TEORÍA DE
PUESTAS A TIERRA

TEORÍA DE
PUESTAS A TIERRA

Johny Montaña

Montaña, Johny.

Teoría de puestas a tierra / Johny Montaña. – Barranquilla : Editorial Universidad del Norte, reimpr., 2013.

97 p. : il. ; 16 x 2424 cm.
Incluye referencias bibliográficas (p. 87-91)

ISBN 978-958-741-125-6

ISBN 978-958-741-941-2 (EPUB)

1. Conexión a tierra (Electricidad) I. Tít.

(621.317 M767 22 ed.) (CO-BrUNB)

www.uninorte.edu.co
Km 5, vía a Puerto Colombia
A.A. 1569, Barranquilla (Colombia)

www.ecoeediciones.com
Carrera 19 N.° 63C-32
Bogotá (Colombia)

Primera edición, abril de 2011
Primera reimpresión, agosto de 2011
Segunda reimpresión, febrero de 2012
Tercera reimpresión, junio de 2013

© Editorial Universidad del Norte, 2011
© Johny Montaña, 2011

Coordinación editorial
Zoila Sotomayor O.

Diseño y diagramación
Luis Gabriel Vásquez M.

Diseño de portada
Joaquín Camargo Valle

Corrección de textos
Mercedes Castilla

Procesos técnicos
Munir Kharfan de los Reyes

Desarrollo ePub
Lápiz Blanco S.A.S.

Hecho en Colombia

Made in Colombia

A Maye, por iluminar cada mañana y sonreír en cada atardecer.
A mis padres y a mi hermano, por apoyarme siempre.

Agradecimiento a mis maestros
Francisco, Horacio y Favio.

Agradecimiento a Lucho y Andrés,
porque con ellos inicié el estudio del tema.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. | Punto fuente de corriente en un medio infinito
Figura 2. | Potencial en un punto M debido a un punto fuente de corriente
Figura 3. | Potencial en un punto M en la capa superior debido a un punto fuente de corriente en la capa superior
Figura 4. | Potencial en un punto M en la capa inferior debido a un punto fuente de corriente en la capa inferior
Figura 5. | Potencial en un punto M en la capa inferior debido a un punto fuente de corriente en la capa superior
Figura 6. | Potencial en un punto M en la capa superior debido a un punto fuente de corriente en la capa inferior
Figura 7. | Método de segmentación e integración
Figura 8. | Transformación de coordenadas entre el sistema xyz y uvw
Figura 9. | Función doble exponencial. Onda 1.2/5 µs
Figura 10. | Transformada de Fourier de la onda doble exponencial 1.2/5 µs de 1kA
Figura 11. | Transformada FFT de la onda doble exponencial 1.2/5 µs de 1kA
Figura 12. | Corrientes de conducción y dispersión asociadas a un segmento de conductor
Figura 13. | Definición de segmentos en un sistema
Figura 14. | Estructura conductora sometida a un campo electromagnético
Figura 15. | Representación de la imagen de un punto fuente de corriente
Figura 16. | Funciones sinusoidales de aproximación en un segmento
Figura 17. | Configuración del dipolo eléctrico
Figura 18. | Distribución de los dipolos eléctricos en un sistema
Figura 19. | Componentes del campo eléctrico en un sistema de coordenadas cilíndrico
Figura 20. | Diagrama básico del proceso de cálculo
Figura 21. | Acoplamiento longitudinal
Figura 22. | Acoplamiento transversal
Figura 23. | Distancia R entre el segmento receptor i y el segmento emisor j
Figura 24. | Sentido de integración para calcular el potencial en un punto del segmento receptor i debido a la contribución de todos los puntos (dl) del segmento emisor j
Figura 25. | Segmento emisor j y receptor i inmersos en el suelo
Figura 26. | Segmentos emisor j, imagen j’ y receptor i inmersos en el suelo
Figura 27. | Potencial V respecto a infinito en función de las tensiones
Figura 28. | Caída de tensión ΔV en función de las tensiones
Figura 29. | Corrientes en cada nodo para un segmento de conductor
Figura 30. | Mediciones de resistividad del terreno
Figura 31. | Variación de la resistencia de puesta tierra con el radio del conductor
Figura 32. | Variación de la resistencia de puesta tierra con la longitud del conductor
Figura 33. | Configuraciones de mallas de puesta a tierra a ser evaluadas
Figura 34. | Magnitud de la impedancia en función de la longitud de la varilla
Figura 35. | Magnitud de la impedancia en función de la longitud del contrapeso
Figura 36. | Magnitud de la impedancia para diferentes tamaños de malla
Figura 37. | Distribución de corrientes a lo largo de un conductor en función de la frecuencia
Figura 38. | Magnitud de tensión en el punto de inyección para diferentes longitudes de contrapeso
Figura 39. | Magnitud de tensión en diferentes puntos a lo largo de un contrapeso de 60 m
Figura 40. | Puntos de inyección de la corriente en una malla de 24 x 24 m
Figura 41. | Magnitud de tensión en los puntos de inyección para la malla de 24 x 24 m
Figura 42. | Puntos de evaluación de la tensión en una malla de 24 x 24 m cuando la corriente se inyecta en el centro de la misma
Figura 43. | Magnitud de tensión en los puntos de la malla de 24 x 24 m para inyección de corriente en el centro
Figura 44. | Configuración de la malla del ejemplo 1
Figura 45. | Densidad lineal de corriente (medida y calculada) y resultados del programa GMT
Figura 46. | Señal de corriente de la prueba experimental
Figura 47. | Señales de tensión en el punto de inyección de la corriente para la prueba experimental

AUTOR

JOHNY HERNÁN MONTAÑA C.

Es profesor e investigador de tiempo completo del Departamento de Ingenierías Eléctrica y Electrónica de la Universidad del Norte en Barranquilla (Colombia). Recibió su título de Doctor en Ingeniería con énfasis en Ingeniería Eléctrica de la Universidad Nacional de Colombia en 2006, y su título de Magíster en Alta Tensión de la misma universidad en el 2002. Es Ingeniero Electricista de la Universidad Nacional de Colombia desde 1999. Actualmente, es miembro del grupo de investigación en Sistemas de Potencia GISEL de la Universidad del Norte. Ha trabajado principalmente en temas relacionados con los sistemas de puesta a tierra, protección contra descargas eléctricas atmosféricas, protecciones eléctricas y calidad de la potencia; sus intereses en investigación se centran en el estudio y desarrollo de redes inteligentes y fuentes no convencionales de energía. Ha participado en diferentes comités de normalización del ICONTEC en los cuales se han desarrollado normas técnicas colombianas.

PRÓLOGO

El análisis de las puestas a tierra ha tomado principal importancia desde hace unas cinco décadas debido a que el desarrollo de equipos más sensibles ha demandado un mejor entendimiento del tema. Las primeras aproximaciones que se hicieron al estudio de las puestas a tierra fueron ecuaciones analíticas que permitían calcular el valor de la resistencia de puesta tierra de configuraciones sencillas y fue de allí que, dada la complejidad matemática para representar diseños más complejos, se empezaron a utilizar las ecuaciones de campos electromagnéticos: primero en forma estática y luego de forma transitoria, implementándolas en programas de computador capaces de diseños complejos y tiempos de cálculo reducidos.

Este manual presenta con claridad y concisión los desarrollos matemáticos estudiados por el autor a lo largo de sus cursos y proyectos académicos, a fin de darle al lector los conceptos necesarios en el análisis de las puestas a tierra. En este documento se hace el paralelo entre los análisis en estado estable y los análisis en estado transitorio; además, presenta las ecuaciones que solo después de ser verificadas e implementadas entregan resultados confiables, pues estos modelos recogen información de muchas fuentes y autores, incluso, en algunos casos, corrigen ecuaciones presentadas en la literatura existente sobre el tema.

Esta obra puede ser empleada por estudiantes y profesionales en el área de ingeniería con conocimientos previos de las leyes electromagnéticas y teoría de circuitos. No pretende reemplazar libros teóricos de campos electromagnéticos, sino que, por el contrario, los complementa dentro del tema específico de las puestas a tierra, debido a que los textos de campos electromagnéticos no tratan específicamente este interesante tema.

En el capítulo final se analizan ejemplos prácticos mediante programas desarrollados según modelos matemáticos descritos a los que se les varían algunos parámetros del sistema, y se presentan recomendaciones de diseño tanto para el análisis en baja frecuencia como para el análisis transitorio, con el propósito de poner en práctica el análisis teórico descrito en los primeros capítulos.

1

ANÁLISIS DE ELECTRODOS DE PUESTA A TIERRA EN BAJA FRECUENCIA

Este capítulo describe la formulación matemática para el análisis de los electrodos de puesta a tierra ante señales de baja frecuencia. Por ello la formulación se realiza desde su concepción básica de un punto infinitesimal de corriente, lo que contribuye a la elevación de potencial en otro punto diferente del espacio. De esta forma se va a realizar la descripción del modelo teórico.

Cuando una corriente eléctrica DC o AC de baja frecuencia es inyectada en un sistema de puesta a tierra, la corriente fluye por todos los conductores y pasa a la tierra a lo largo de la superficie de ellos. Dicha corriente encuentra una resistencia, que depende principalmente de la resistividad del suelo. Debido al efecto de una corriente que está fluyendo a través de una resistencia, el sistema de puesta a tierra y todas las estructuras metálicas conectadas a él se elevarán de potencial con respecto a un punto remoto. Esta elevación de potencial puede producir sobre la superficie del terreno gradientes de potencial que pueden resultar peligrosos para las personas.

La mayoría de métodos de análisis de sistemas de puesta a tierra asumen la resistividad del suelo como uniforme. Lo anterior supone que la resistividad del suelo permanece constante con la profundidad y también con la ubicación sobre la superficie del terreno. Desafortunadamente, esta situación rara vez se encuentra en la práctica. En la mayoría de los casos, la resistividad medida, trazada como una función de la distancia entre electrodos, muestra variaciones, lo cual indica un suelo no uniforme.

Aunque en la literatura se encuentran diversos modelos para representar la estructura del suelo, en la mayoría de los casos en que se presenta suelo no homogéneo resulta suficiente modelar el terreno con dos capas horizontales de diferente resistividad. Únicamente cuando se presentan cambios muy bruscos en las medidas de resistividad es necesario pensar en la utilización de un modelo del terreno de más de dos capas. Sin embargo, los algoritmos de cálculo para modelos de suelos multicapa¹ requieren muchísimo más tiempo de cómputo que los algoritmos para modelos de suelo homogéneo o de dos capas. Además, la experiencia demuestra que no es práctico insistir en el uso de modelos del terreno multicapa para cualquier estudio [2]. Por las anteriores razones, el modelamiento de suelos es el más comúnmente usado.

El proceso físico de conducción de corriente en el terreno es de naturaleza tridimensional, y, por consiguiente, matemáticamente muy complejo, más aún si se consideran configuraciones de forma diversa como las mallas. Además, si las circunstancias ameritan el uso de modelos de terreno no homogéneo, el análisis requerirá necesariamente la ayuda del computador.

El análisis que se presenta a continuación se basa en los métodos descritos en [5], [9], [10], [13], [15], [20], [21. Una revisión y comparación entre algunos de los métodos se encuentra en [20], [21]. La metodología descrita ha sido verificada en pruebas de laboratorio a escala en [6], [18], [19], [24] y pruebas de campo en [3]. En general, dichos métodos están basados en:

Modelamiento de los componentes individuales que conforman el sistema (conductores, varillas, etc.).

Conformación de un conjunto de ecuaciones que describan la interacción entre estos componentes.

Solución a una condición dada (p. ej. corriente de falla, modelo del terreno).

Cálculo del potencial en cualquier punto de la superficie del terreno debido a todos los componentes individuales.

El estudio teórico para el análisis de electrodos de puesta a tierra fue llevado a cabo de acuerdo con la siguiente metodología:

Cálculo del potencial en un punto debido a un punto fuente de corriente.

Cálculo de potencial en un punto debido a una línea fuente de corriente.

Una vez conocido el potencial en un punto debido a una línea fuente de corriente, el método puede extenderse para analizar un sistema más complejo permitiendo:

Cálculo de las densidades lineales de corriente en los conductores

Cálculo de la elevación de potencial del sistema o GPR².

Cálculo de la resistencia de puesta a tierra.

Una vez calculadas las densidades de corriente en los conductores es posible determinar el potencial en cualquier punto sobre la superficie del terreno.

1.1. PUNTO FUENTE DE CORRIENTE

Considérese un punto fuente de corriente en un medio infinito con resistividad uniforme r. La densidad de corriente J en la superficie de una esfera imaginaria de radio r y con el punto fuente de corriente ubicado en su centro es:

Donde i es la corriente total inyectada por el punto fuente de corriente en el medio, como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Punto fuente de corriente en un medio infinito

El campo eléctrico en un punto M sobre la superficie de la esfera será:

Por lo tanto, el potencial absoluto en el punto M está dado por:

Si el punto fuente de corriente se encuentra enterrado bajo la superficie del terreno, el potencial en un punto M puede ser calculado usando el método de las imágenes o por solución directa de la ecuación de Laplace, lo cual conduce a resultados idénticos [5], [17]. Por el método de las imágenes, la perturbación originada por la frontera suelo–aire se suple por la influencia de una fuente imaginaria de corriente ubicada simétricamente de la frontera sobre la fuente real, e inyectando una corriente i’ = i como se muestra en la figura 2. Por lo tanto, el potencial de la fuente puntual, originalmente en un medio heterogéneo (suelo–aire), se calcula ahora como si se encontrase en un medio homogéneo, pero para el conjunto de la fuente real y la fuente imaginaria

Figura 2. Potencial en un punto M debido a un punto fuente de corriente

Aplicando el teorema de superposición, el potencial en el punto M será:

donde r es la distancia entre el punto M y la fuente y r’ la distancia entre el punto M y la fuente imaginaria. Con esta definición se elimina la frontera aire-tierra; su contribución al cálculo del potencial es representada por la fuente imagen i’.

Escogiendo un sistema de coordenadas xyz en el cual el plano xy concuerda con la superficie del terreno y si las coordenadas con respecto a los ejes de referencia del punto fuente de corriente son xj, yj, zj, y las coordenadas del punto M son x₀, y₀, z₀, entonces el potencial en el punto M se puede escribir como:

Nótese que la diferencia entre r y r’ está en el signo de z₀, ya que la imagen se encuentra por encima de la superficie del terreno y la única coordenada que se ve afectada es en z.

Ahora bien, si el análisis se extiende a un modelo de dos capas horizontales en donde la capa superior tiene resistividad ρ₁ y espesor H, y la capa inferior tiene resistividad ρ₂ y se extiende hasta una gran profundidad³, la intensidad y disposición de estas fuentes imaginarias de corriente son elegidas de tal forma que satisfagan las condiciones exigidas en la frontera de los medios de diferente resistividad. El cambio de resistividad en ésta se describe por medio de un factor de reflexión K, el cual representa la imagen de la corriente que se refleja en la frontera y está definido por [2], [5], [9], [10], [13], [20], [22] como:

Se pueden presentar diferentes configuraciones dependiendo de la ubicación del punto fuente de corriente y del punto M en donde se calcula el potencial, que son:

Punto fuente de corriente y punto M en la capa superior.

Punto fuente de corriente y punto M en la capa inferior.

Punto fuente de corriente en la capa superior y punto M en la capa inferior.

Punto fuente de corriente en la capa inferior y punto M en la capa superior.

Basándose en [10], [13], [20], la expresión del potencial para éstas será: (la variable “n” en las sumatorias tiene en cuenta el número de reflexiones que se presentan entre las capas del terreno (representadas por las imágenes), que son infinitas, pero para efectos prácticos de cálculo su valor debe ser truncado cuando la contribución de la reflexión sea despreciable).

a. Punto fuente de corriente y punto M en la capa superior (figura 3)

Figura 3. Potencial en un punto M en la capa superior debido a un punto fuente de corriente en la capa superior

b. Punto fuente de corriente y punto M en la capa inferior (figura 4)

Figura 4. Potencial en un punto M en la capa inferior debido a un punto fuente de corriente en la capa inferior

c. Punto fuente de corriente en la capa superior y punto M en la capa inferior (figura 5)

Figura 5. Potencial en un punto M en la capa inferior debido a un punto fuente de corriente en la capa superior

d. Punto fuente de corriente en la capa inferior y punto M en la capa superior (figura 6)

Figura 6. Potencial en un punto M en la capa superior debido a un punto fuente de corriente en la capa inferior

Si el suelo es homogéneo, es decir, ρ₁ es igual a ρ₂, se p uede observar que las ecuaciones 1.7 a 1.10 conducen a la ecuación 1.5. Es importante resaltar que los sistemas de imágenes planteados son válidos únicamente para el cálculo de potenciales en y bajo la supe rfici e del terreno.

Las ecuaciones 1.7 a 1.10 pueden escribirse en forma general como:

donde:

A es una constante (p.ej. images en la ecuación 1.7)

ψ es una función de los parámetros del suelo, la ubicación del punto fuente de corriente y la ubicación del punto en donde se calcula el potencial.

En este punto vale la pena anotar que escribiendo las ecuaciones planteadas en [9] con la mis ma no tación empleada por las ecuaciones 1.8 a 1.10, se encontraron errores en las primeras. Sin embargo, basados en [10], [13], [20], y verificando el procedimiento de obtención de las mismas por el método de las imágenes se llegó a las ecuaciones finalmente presentadas.

1.2. LÍNEA FUENTE DE CORRIENTE

Una vez se definieron las ecuaciones para un punto fuente de corriente se va extender el análisis a un conductor; para esto se hacen las siguientes aproximaciones: cuando el diámetro del conductor es pequeño comparándolo con su longitud l, con la profundidad de enterramiento y con la distancia entre conductores vecinos, la densidad superficial de corriente en un elemento infinitesimal dl puede ser considerada uniforme sobre su propia superficie. Así, es posible modelar el conductor cilíndrico como un filamento o línea fuente de corriente. Una línea fuente de corriente puede ser considerada como un número infinito de puntos fuentes de corriente dispuestos uno a continuación de otro.

Considérese un conductor ubicado sobre el eje u de un sistema de coordenadas uvw. Cada punto fuente localizado a una distancia u del origen de la línea fuente inyecta una corriente i(u) hacia la tierra, por lo tanto, la corriente total inyectada a la tierra I es:

donde l es la longitud de la línea fuente.

El potencial en cualquier punto de la superficie del conductor debe ser constante asumiendo que el conductor es perfecto⁴. Por lo tanto:

donde V es el potencial constante en el conductor.

u₀, v₀, w₀ son las coordenadas en el sistema uvw de un punto en la superficie del conductor.

U es el potencial debido a un punto fuente de corriente.

U está dado por las ecuaciones 1.7 a 1.10 o por la ecuación 1.11. Estas ecuaciones son funciones lineales de la corriente i(u), que es desconocida. Según [9], la distribución de corriente i(u) satisfará una ecuación integral para la cual aún no hay una solución explícita, aunque mediante aproximaciones sucesivas es posible obtener una solución. Este proceso es tedioso para un solo conductor horizontal enterrado en suelo homogéneo. Cuando la configuración del sistema es más compleja y el suelo no es homogéneo, el proceso para obtener una solución se hace inmanejable. En tales casos es aconsejable usar otros métodos.

Aprovechando la ventaja que trae considerar que tanto en el conductor perfecto como a bajas frecuencias los efectos inductivos y capacitivos son despreciables [2], [11], [12], [13], [14], [20], el análisis se vuelve independiente del punto de inyección de corriente de igual manera que en el modelo de Rüdenberg⁵. Este último y otros métodos consideran la corriente de dispersión⁶ i(u) uniformemente distribuida a lo largo del conductor [2], [12], lo cual puede ser una primera aproximación.

Varios algoritmos han sido propuestos en la literatura para solucionar el problema de las líneas fuentes de corriente. El método utilizado más ampliamente está basado en el proceso de segmentación e integración. Otro proceso utilizado es el método de la sumatoria [5]. Este último consiste en realizar la sumatoria de funciones escalares de potencial de un número finito de fuentes puntuales, que están distribuidas adecuadamente sobre la longitud de los conductores, cuya solución es un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas para determinar los valores de distribución de corriente desconocidos i(u). Este método presenta una gran desventaja en la medida en que para simular instalaciones de puesta a tierra reales necesita de una gran cantidad de fuentes puntuales, que lo vuelve dispendioso; así mismo hace que su exactitud sea dependiente del número y ubicación de los puntos fuentes de corriente.

1.3. MÉTODO POR SEGMENTACIÓN E INTEGRACIÓN

Este método consiste en la división de una línea fuente de corriente en pequeños segmentos (con respecto a las dimensiones del sistema), de tal forma que se pueda considerar uniforme la densidad lineal de corriente en cada uno de ellos. Mientras más pequeñas sean las longitudes de los segmentos, más exactos son los resultados. Sin embargo, hay limitaciones de orden práctico en cuanto al tiempo de cómputo, y se ha demostrado que se obtienen resultados con muy buena exactitud cuando la longitud de los segmentos es del orden de un décimo de la longitud del conductor y que a partir de cierto número de segmentos, una subdivisión adicional llega a ser innecesaria [9], [16]. La validez del método de segmentación e integración ha sido verificada en pruebas a escala [8], en donde, además, se encontró que la ubicación y el número de puntos de energización, así como la frecuencia y la forma de onda no tienen efectos significativos hasta frecuencias de 3 kHz (límite de este primer análisis teórico).

Asumiendo que la línea fuente de corriente ha sido dividida en un adecuado número de segmentos, la densidad lineal de corriente a lo largo de cada segmento se considera uniforme pero varía de un segmento a otro. Hay un total de m segmentos, y cada segmento j inyecta en la tierra una corriente Ij.

Como I es la corriente total inyectada al terreno, se tiene

La densidad lineal de corriente δj [A/m] del segmento j de longitud lj es

Ahora considérese un elemento infinitesimal de longitud du en el segmento j de la línea fuente de corriente. Este pequeño elemento será llamado microsegmento, que puede considerarse como un punto fuente de corriente, según se muestra en la figura 7. La contribución del microsegmento al potencial en el punto M (x₀, y₀, z₀) está dada por las ecuaciones 1.7 a 1.10.

Figura 7. Método de segmentación e integración

La corriente total en el microsegmento es:

Reemplazando la ecuación anterior en la ecuación 1.11, la contribución de potencial del microsegmento se puede escribir como:

La contribución de potencial del segmento j en el punto M es, por lo tanto:

Algunos métodos [13], [21], [23] han desarrollado ecuaciones explícitas para cada una de las posibles posiciones relativas entre conductores de puesta a tierra. Sin embargo, con el fin de permitir mayor flexibilidad al método sin afectar su exactitud, es posible plantear una transformación de coordenadas (traslación y rotación) que permita utilizar una sola ecuación general independientemente de la posición relativa entre los conductores. Este método de transformación de coordenadas es explicado a continuación y es una de las formas de solucionar la ecuación.

Las coordenadas del conductor en los dos sistemas de coordenadas serán:

Descripción | Sistema x y z | Sistema u v w
Origen | xs, ys, zs | us, vs, ws
Final | xp, yp, zp | up, vp, wp

Los ejes del sistema de coordenadas uvw siempre se escogen de tal forma que el conductor esté ubicado sobre el eje u con us = 0, quedando vs = vp = ws = wp = 0, para cualquier conductor.

Para llevar a cabo la integración, las distancias de las ecuaciones 1.7 a 1.10 deben expresarse en términos de u, v, w. Las coordenadas x, y, z se relacionan con las coordenadas u, v, w de la siguiente forma [7]:

en donde a es el ángulo de rotación de u con respecto a x’ sobre el eje z’ y b es el ángulo de rotación de w con respecto a z’ sobre el eje y’. La figura 8 representa los dos sistemas de coordenadas.

Figura 8. Transformación de coordenadas entre el sistema xyz y uvw

Por ejemplo, en el caso de un segmento horizontal j enterrado en la capa superior de un suelo de dos capas y con el nuevo sistema de coordenadas, el potencial en un punto M(u₀, v₀, w₀) ubicado en la capa superior es⁷:

1.4. CÁLCULO DE LAS DENSIDADES DE CORRIENTE, LA ELEVACIÓN DE POTENCIAL Y LA RESISTENCIA DE PUESTA A TIERRA

La ecuac ión 1.18 contiene una cantidad desconocida hasta el momento, la densidad lineal de corriente (δj) en los segmentos. Debido a que la distribución de la densidad de corriente a lo largo de los conductores de un sistema de puesta a tierra generalmente es no uniforme [4], [5], [6], [8], [13], [15], [20], δj no es el mismo para todos los segmentos. Como se mencionó anteriormente, una primera aproximación es considerar uniforme la densidad lineal de corriente; bajo esta premisa, la densidad lineal de corriente para todos los segmentos será:

donde I es la corriente total inyectada al sistema y L, la longitud total de todos los electrodos que conforman el sistema. La anterior aproximación puede conducir a errores graves, excepto para pocas configuraciones de electrodos en suelos homogéneos. Cuando se requiere exactitud en los cálculos, es necesario determinar las densidades lineales de corriente de cada segmento.

Teniendo en cuenta que el potencial en la superficie de todos los segmentos debe ser constante e igual a la elevación de potencial V del sistema (GPR), así, si M es un punto sobre la superficie del conductor, la siguiente condición debe satisfacerse:

y dado que Uj es directamente proporcional a δ j (ecuación 1.18), es posible reescribir la ecuación anterior como

en donde Tj (M) es una cantidad calculable a partir de los parámetros del suelo y las coordenadas del punto y del segmento, aun cuando a ella misma no se le encuentre significado físico real.

La ecuación 1.23 debe ser verificada para cada punto M sobre la superficie de todos los segmentos, de tal manera que se puede conformar un sistema de m ecuaciones linealmente independientes con m densidades lineales de corrientes (δj) desconocidas. Los m puntos sobre la superficie de los conductores son seleccionados como los puntos centrales geométricos de cada segmento.

Dado que el valor de la elevación de potencial del sistema V en la ecuación 1.23 también es desconocido, se puede realizar un cambio de variable para determinar esta cantidad. La nueva variable es

Reemplazando la ecuación 1.24 en la ecuación 1.23, se obtiene

de tal forma que λj se puede calcular usando inversión de matrices. Una vez conocido λj es necesario calcular la elevación de potencial V del sistema, a fin de obtener las densidades lineales de corriente δj en los segmentos. El procedimiento es el siguiente:

La corriente total en cada segmento es

La corriente total inyectada I está relacionada con las corrientes de los segmentos por

por lo tanto,

Conocido V, las densidades lineales de corriente se calculan a partir de la ecuación 1.24 quedando

La resistencia de puesta a tierra de un sistema es, por definición, la razón entre el potencial del sistema y la corriente que se dispersa en el suelo, por lo tanto:

Finalmente, es posible calcular el potencial en cualquier punto M sobre la superficie del terreno así:

La mayoría de software comerciales usan este tipo de metodología para el cálculo de potenciales y resistencia de puesta a tierra. Estas ecuaciones pueden ser implementadas en algún lenguaje de programación con buenos resultados ya que estas ecuaciones fueron probadas y sus resultados validados ampliamente [37].

Notas

¹ Más de dos capas horizontales.

² Del inglés Ground Potential Rise.

³ Algunas referencias describen el espesor de la capa inferior como infinito.

⁴ La resistencia del conductor es despreciable en comparación con los valores de resistencia de puesta a tierra del mismo.

⁵ Apéndice H. Norma ANSI/IEEE estándar 80 de 1986 [2].

⁶ Corriente que va de forma transversal al conductor hacia el terreno.

⁷ La expresión de potencial también puede escribirse en forma equivalente en términos de senos hiperbólicos inversos [14].

2

ANÁLISIS DE ELECTRODOS DE PUESTA A TIERRA EN ALTA FRECUENCIA

Antes de explicar el modelo matemático para el estudio transitorio de puestas a tierra, es necesario describir la formulación empleada para definir las fuentes de corriente y el tratamiento que se les debe dar para representarlas en el dominio de la frecuencia, ya que los modelos que se presentan más adelante están formulados en dicho dominio.

2.1. FUENTES DE CORRIENTE

La fuente de inyección de corriente en un conjunto de electrodos puede realizarse de dos maneras: una, debido a una forma de onda arbitraria en el dominio del tiempo o la otra, una amplitud de corriente a una frecuencia determinada.

Cuando la fuente de inyección de corriente es una forma de onda arbitraria en el dominio del tiempo existe la posibilidad de aplicar aquellas de ondas conocidas como la onda doble exponencial o la onda tipo Heidler para las cuales se presenta a continuación una breve descripción. La inyección puede ser por medio de un oscilograma de una señal experimental.

2.1.1. Onda tipo doble exponencial

la onda de descarga atmosférica es casi siempre unidireccional y su forma puede ser representada matemáticamente en forma aproximada como [45]:

donde los valores de E, a y b determinan la amplitud, el tiempo de frente y el tiempo de decaimiento según la tabla 1.

Tabla 1. Valores de las constantes de la función doble exponencial

En la figura 9 se presenta una onda doble exponencial 1.2/5 µs de amplitud máxima de 1 kA con un ∆t igual a 0.1 µs.

Figura 9. Función doble exponencial. Onda 1.2/5 µs

2.1.2. Onda tipo Heidler

Tanto la onda tipo Heidler como la onda de corriente tipo exponencial son la expresión matemática que define los impulsos de corriente a partir de unas constantes elegidas según los tiempos de frente y de decaimiento deseados. La expresión es la siguiente:

donde:

images, factor de corrección de amplitud.

Io = amplitud de la corriente.

images = constante de tiempo de frente.

images = constante de tiempo de decaimiento.

n = exponente entre 2 y 10.

La ecuación de Heidler es preferida en algunas ocasiones debido a que tiene una derivada con respecto al tiempo igual a cero en t = 0.

2.1.3. Transformada de Fourier de tiempo continuo

Tal como se mencionó anteriormente, los modelos de análisis transitorio son desarrollados en el dominio de la frecuencia, por lo tanto, a continuación se describe la forma de convertir una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa: por medio de la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier.

Una señal continua periódica se puede representar por medio de una combinación lineal de exponenciales complejas relacionadas armónicamente por medio de las series de Fourier; estos resultados se pueden extender para desarrollar una representación de señales no periódicas (impulsos de corriente) como una combinación lineal de exponenciales complejas, que toma el nombre de la transformada de Fourier [36], el que la desarrolló. Para señales periódicas, estas exponenciales complejas tienen amplitudes definidas y ocurren en un conjunto discreto de frecuencia relacionadas armónicamente (múltiplos de la frecuencia fundamental), mientras que en las señales no periódicas estas exponenciales complejas ocurren en una sucesión continua de frecuencias con una amplitud definida.

Básicamente, la aproximación hecha por Fourier fue pensar en una señal no periódica como el límite de una señal periódica cuando el periodo se hace arbitrariamente grande a fin de examinar el comportamiento en el límite de la representación de la serie de Fourier para esta señal. Un estudio más detallado de este procedimiento puede ser encontrado en [35], [36].

Según se había mencionado, dicho procedimiento se debe llevar a cabo si la señal de entrada está en el dominio del tiempo, pues es necesario encontrar su espectro de frecuencias para que sea la fuente de excitación del modelo de los electrodos de puesta a tierra. Si se conoce la ecuación matemática de esta señal de entrada, por medio de la transformada de Fourier de tiempo continuo se puede hallar su espectro de frecuencia, que también será una ecuación de tiempo continuo, como resultado de las integrales de Fourier.

La transformada de Fourier o integral de Fourier está definida de la siguiente manera:

si la integral existe para cada valor de f, entonces H(f) (función en el dominio de la frecuencia) en la ecuación 2.3 es la trasformada de Fourier de h(t) (función en el dominio del tiempo).

Esta integral de Fourier se utiliza cuando el caso es de función doble exponencial (ecuación 2.1) u onda tipo Heidler (ecuación 2.2) como señal de excitación del sistema. De esta forma se obtiene el espectro continuo de frecuencias de la señal de excitación, pero debido a que posee un valor infinito de puntos no puede ser directamente la señal de excitación del sistema (por razones de tiempo de cálculo); por esto es necesario seleccionar unos valores de frecuencia f para los cuales la corriente tiene una amplitud I(f) que serán los valores de excitación del sistema.

2.1.4. Transformada de Fourier de tiempo discreto

Como un caso especial de la transformada de Fourier de tiempo continuo, se presenta la transformada de Fourier de tiempo discreto. Es muy empleado si se tiene en cuenta que los resultados de una prueba física del laboratorio o los resultados de una señal capturada en un equipo de medida son muestras finitas de la señal medida; posteriormente, en caso de que aquellos sean analizados en un programa de computador (restricciones de tamaño de memoria), estas muestras de la señal la van a representar y a caracterizar.

El procedimiento básico para encontrar la transformada de Fourier de tiempo discreto consiste es tener una señal h(t) muestreada cada ∆t. Se debe tener en cuenta que si la forma de onda de h(t) es muestreada a una frecuencia de al menos el doble de la componente de frecuencia máxima, no existirán perdidas de información como consecuencia de dicho proceso [25], [36].

Esta señal muestreada images, no es apropiada para el cálculo en un computador digital debido a que posee un número infinito de muestras de h(t); por eso es necesario truncar dicha señal images para así tener únicamente un número finito de puntos N (que es lo que se consigue en la práctica). La forma de truncar la señal es por medio de una función rectangular o función ventana con longitud lo más grande posible, para evitar rizado en la señal obtenida en frecuencia [35]. En este punto la transformada de Fourier de tiempo discreto no es aceptable debido a que la función en frecuencia es una función continua y el computador digital solo puede analizar muestras de frecuencia; entonces, es necesario obtener una modificación de la función en frecuencia. Por consiguiente, se realiza un muestreo en frecuencia cada 1/∆t con lo cual se consigue una forma adecuada para el cálculo en un computador digital debido a que la señal tanto en tiempo como en frecuencia se le represent mediante valores discretos. Un análisis más detallado de este proceso se puede encontrar en [36].

De esta forma se encontró la ecuación que relaciona una serie de muestras en el dominio del tiempo con su espectro discreto en el dominio de la frecuencia, la ecuación es:

donde:

T = delta de tiempo de muestreo

N = número de muestras en el dominio del tiempo

De esta forma se obtiene N muestras de frecuencia de la señal h(kT).

Debido a que la señal de entrada tiene un número N de muestras y estas están muestreadas un delta de tiempo T, las muestras en el espectro de frecuencia también serán N y ∆f estará dado por:

A continuación se presenta el espectro discreto de frecuencias de la onda doble exponencial de la figura 9.

Figura 10. Transformada de Fourier de la onda doble exponencial 1.2/5 µs de 1kA

2.1.5. Transformada rápida de Fourier (FFT)

La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo que puede calcular la transformada discreta de Fourier mucho más rápido que otro algoritmo conocido y es la más empleada por los métodos de cálculo en los diferentes programas de computador [36]. La FFT consiste en la factorización de matrices representada por medio de gráficas de flujo de señal para las cuales se desarrollaron dichos programas. A continuación se presenta la transformada de Fourier usando la FFT de la señal doble expon encial de la figura 9. Se empleó un ∆t igual a 0.1 µs y se recortó la señal en un tiempo igual a 30 µs.

Figura 11. Transformada FFT de la onda doble exponencial 1.2/5 µs de 1kA

Debido al manejo matemático realizado por la FFT para obtener el espectro discreto de la señal se observa que a partir del valor N/2 + 1 la amplitud corresponde a valores de frecuencia negativa –f de un espectro de frecuencias, comparando con la figura 10, es decir, se presenta simetría respecto al punto N/2 (ver figura 11); por lo tanto, estos valores de frecuencia negativa se pueden despreciar en el proceso de cálculo, pero cuando al final se realice la transformada inversa de Fourier deben tenerse en cuenta de nuevo (recomponer la señal). Esta frecuencia correspondiente al valor N/2 es comúnmente llamada frecuencia de Nyquist [25], que corresponde a la frecuencia máxima del espectro de frecuencia.

La frecuencia máxima del espectro de frecuencia o frecuencia de Nyquist estará dada por:

Por lo tanto, para el espectro de la figura 11 la frecuencia máxima es 5 MHz.

Se puede concluir entonces que manteniendo constante ∆t, o sea la frecuencia máxima de muestreo, se puede disminuir ∆f haciendo mayor el número de muestras de la señal en el dominio del tiempo.

Debido a la simetría que se presenta en el punto medio de la señal en frecuencia se observa que la parte real de dicha función es de tipo par (ver figura 11), es decir:

y la parte imaginaria es de tipo impar (ver figura 11), es decir:

por lo tanto, se puede trabajar con la mitad del espectro de frecuencias (frecuencias positivas) y una vez obtenida la respuesta se debe modificar la parte real e imaginaria para componer el espectro de frecuencias de modo que se pueda usar de nuevo la FFT. Este proceso obedece a la forma en que la FFT ordena el espectro de frecuencias de una señal muestreada en tiempo.

2.1.6. Transformada inversa de Fourier de tiempo discreto

El proceso opuesto a la transformada de Fourier de tiempo discreto consiste en obtener su inversa, es decir, que a partir de una serie de muestras igualmente espaciadas en frecuencia se obtenga su equivalente en el dominio del tiempo. La ecuación que relaciona estas dos funciones es:

donde g(kT) son las muestras de la función en el tiempo debido a las muestras de la función G en frecuencia.

Este proceso de la transformada inversa de Fourier discreta tiene las mismas connotaciones descritas anteriormente en la FFT; el proceso de obtención es similar y tiene la misma estructura, es decir, hasta el valor N/2 se presentan las frecuencias positivas y a continuación las frecuencias negativas para obtener la función correspondiente en el tiempo.

Es necesario realizar este proceso una vez calculada la respuesta del sistema con el propósito de obtener su equivalente en el dominio del tiempo.

2.2. MODELO ELECTROMAGNÉTICO

Sin duda, que la metodología de la teoría electromagnética es la que presenta mejores resultados cuando se interpreta del comportamiento de las señales tipo impulso en los electrodos de puesta a tierra y en general de cualquier conductor que se vea afectado por este tipo de ondas, para cualquier configuración dada. A continuación se presenta todo el análisis matemático y las aproximaciones que se tienen en cuenta para el desarrollo del modelo de interpretación.

2.2.1. Metodología de solución

Después de explicar la forma de las fuentes de excitación se describe una de las formas de analizar el comportamiento transitorio de los electrodos de puesta a tierra, que consiste en una formulación matemática del problema que se hace en el dominio de la frecuencia; posteriormente por medio de la transformada inversa de Fourier se obtiene la respuesta del sistema en el dominio del tiempo. La expresión que se tiene en el dominio de la frecuencia es el cálculo del campo eléctrico en un punto M en el espacio debido a un punto fuente de corriente. Esta expresión involucra el valor de la corriente de conducción presente en el punto fuente y la corriente de dispersión asociada a la carga eléctrica, ver figura 12 (se presentan los dos tipos de corriente para un segmento de conductor⁸). Para tal propósito se calculan el vector de campo magnético images (asociado a la corriente de conducción) y el escalar eléctrico V (asociado a las cargas eléctricas) en el punto M. De esta forma se llega a una relación del campo eléctrico en un punto debido a la corriente inyectada al sistema.

Figura 12. Corrientes de conducción y dispersión asociadas a un segmento de conductor

Si la fuente de excitación se encuentra en el dominio del tiempo, es necesario obtener el espectro de frecuencia de esta señal para que así pueda ser la fuente que alimenta el sistema con una amplitud dada a una frecuencia determinada. Este espectro de frecuencia se obtiene por medio de la transformada de Fourier cuando es una señal continua en el tiempo, o por medio de la transformada discreta de Fourier si es una señal muestreada cada delta de tiempo [36], como se describió anteriormente.

Para encontrar la solución del sistema se tendrán en cuenta las siguientes aproximaciones [25], [26], [27], [28], [30]:

El aire y el terreno son homogéneos⁹, están separados por una frontera horizontal plana.

Los conductores son cilíndricos, con orientación arbitraria y delgados, es decir, el radio es mucho menor que la longitud del conductor. Para una primera aproximación se tendrá en cuenta que los conductores son ideales (igual que el análisis presentado para señales de baja frecuencia).

Se asume que la corriente está distribuida en el eje de conductor (fuente lineal de corriente o filamento de corriente) y el campo eléctrico se calcula sobre la superficie del conductor (a una distancia igual al radio) para evitar inestabilidad numérica en el modelo matemático.

La corriente se asume cero en el o los extremo(s) abierto(s) de un conductor.

El sistema se alimenta por una fuente de corriente de forma de onda arbitraria.

El método de solución consiste en dividir nuevamente cada uno de los conductores del sistema en segmentos cortos, en donde se va a hallar la distribución de corriente; en cada uno de estos segmentos se calcula el campo eléctrico tangencial en la superficie debido a la contribución de cada una de las corrientes presentes en todos los segmentos (incluso por causa del mismo segmento en donde se calcula el campo eléctrico). De esta forma se obtiene un sistema lineal de ecuaciones donde las incógnitas son las corrientes en cada segmento.

La topología básica para la división de los conductores en segmentos consiste en definir un segmento entre los puntos de unión, intersección o curva en uno o varios conductores de tal forma que a lo largo de un segmento no se presenten intersecciones o curvas [26]. En la figura 13 se presenta un diagrama básico de la definición de los segmentos para un sistema dado.

Figura 13. Definición de segmentos en un sistema

En la figura 13 se presenta un sistema de tres conductores unidos de forma arbitraria. El primer conductor fue dividido en cinco segmentos (segmentos 1, 2, 3, 6 y 7), a él se encuentra unido el conductor dos que fue dividido en dos segmentos (segmentos 4 y 5) y en su extremo se encuentra unido el tercer conductor que fue dividido en un único segmento (segmento 8); de esta forma se encuentra definido un sistema de tres conductores y 8 segmentos.

2.2.2. Medio conductor infinito

Se considera el caso donde existe una estructura conductora que está sujeta a un campo electromagnético incidente Einc según se muestra en la figura 14.

Figura 14. Estructura conductora sometida a un campo electromagnético

Debido al campo incidente Einc se inducirá una corriente en la superficie de la estructura y, a su vez, esta corriente producirá un campo que es llamado campo disperso (scattered) Escat. Si se asume que la estructura es un conductor perfecto (no tiene pérdidas eléctricas), se tiene que la componente tangencial del campo eléctrico en la superficie de la estructura debe ser cero; por lo tanto, se debe tener la siguiente ecuación en la superficie de la estructura [41]:

Si, por el contrario, se asume que la estructura no es un conductor perfecto, entonces se puede asumir que la conductividad finita puede ser expresada con una impedancia superficial. En este caso la ecuación 2.10 cambia así:

Donde Zs es la impedancia superficial y J es la densidad de corriente superficial inducida en la estructura.

Ahora que ya se tienen las condiciones de frontera para el campo eléctrico tangencial en un conductor sin pérdidas y a partir del vector de potencial magnético y el potencial escalar eléctrico, se calcula el campo eléctrico en la superficie de cada segmento. Este desarrollo primero se modela para un terreno homogéneo infinito representado por la permitividad images, por la permeabilidad m y por la conductividad s, y luego se adiciona el efecto de la interfaz aire-tierra por medio del método de imágenes.

El campo disperso (scattered) es producido por la corriente tangencial images y la carga images y puede ser expresado como ¹⁰ [25]:

que satisface la ecuación:

donde A es el vector de potencial magnético (debido a images) y images es el potencial escalar eléctrico (debido a la carga images).

images corresponde a la función de Green y es igual a

donde

las coordenadas (x’, y’, z’) corresponden al punto fuente de corriente, mientras que las coordenadas (x, y, z), al punto de cálculo del campo eléctrico.

Los valores de las constantes son:

Esta ecuación de campo eléctrico se puede expresar únicamente en términos de la corriente de conducción Il para llegar a la siguiente forma [25]:

2.2.3. Medio conductor con la interfaz aire-tierra

El campo eléctrico radiado por una fuente de corriente que esté ubicada debajo o encima de la superficie del terreno puede ser evaluado por medio del método de imágenes. En la literatura existe un método llamado de imágenes modificado [26], [31], [33], que debe ser contemplado para frecuencias por encima de 10 MHz. Sin embargo, como este no es el caso que se está trabajando, aquí no será empleado, aunque sea explicado a manera de información.

La diferencia entre el método de imagen modificado y el método de imágenes convencional, ya explicado en el capítulo anterior, radica en los coeficientes que multiplican la fuente de corriente i para obtener las fuentes de corriente imagen i’ e i’’. Estos coeficientes dependen de los parámetros eléctricos de los medios involucrados a lado y lado de la interfaz y del valor de la frecuencia.

La imagen se simula como se muestra en la figura 15: existe una fuente de corriente i en el terreno a una profundidad h de la interfaz aire-tierra y se quiere calcular el campo eléctrico debido a esta fuente de corriente en el punto M, que está ubicado a una distancia r de la fuente; el efecto de la interfaz se modela ubicando una fuente de corriente images perpendicular a i, a una distancia h de la frontera; su contribución en el punto M, que está ubicado a una distancia r’ de éste, es sumada al valor debido a la fuente i para obtener el valor total del campo eléctrico en el punto M debido a i en presencia de la frontera aire-tierra; el valor de images es igual al valor de i multiplicado por un factor que depende de los parámetros del medio.

Figura 15. Representación de la imagen de un punto fuente de corriente

Se pueden presentar cuatro casos diferentes según la ubicación de la fuente de corriente y del punto M en donde se quiere calcular el campo eléctrico.

1. Fuente y punto de cálculo en el terreno: el campo puede ser evaluado como la suma del campo debido a la fuente i y a su imagen i’ (tal cual se muestra en la figura 15).

2. Fuente y punto de cálculo en el aire: el campo puede ser evaluado como la suma del campo debido a la fuente i y a su imagen i’

3. Fuente en terreno y punto de cálculo en el aire: el campo puede ser evaluado como el campo debido a la fuente de corriente modificada i’’

4. Fuente en el aire y punto de cálculo en el terreno: el campo puede ser evaluado como el campo debido a la fuente de corriente modificada i’’

donde images es la permitividad compleja (para todos los cuatro casos) y es dado en la ecuación 2.16.

En el caso en el cual solo se consideran conductores enterrados y se desprecian conductores que se encuentran por encima de la superficie del terreno, solamente se debería considerar la primera expresión del método de imágenes modificado (ecuación 2.18). Si se tomaran en cuenta conductores sobre y bajo la superficie, deberían emplearse los cuatro casos.

2.2.4. Solución del modelo matemático

La distribución de corrientes en el eje de cada uno de los segmentos del sistema puede ser aproximada a un valor constante a lo largo de todo el segmento (función escalón unitario) o puede ser aproximada con una combinación lineal de M funciones básicas Pi (l) [26], [28], [29], [30], [31]:

donde:

y

Pi (l) puede ser una función sinusoidal o una función lineal (función rampa, etc.). Se eligió trabajar con funciones sinusoidales hiperbólicas debido a que se obtienen modelos matemáticos menos complejos [26], [28].

La forma de las funciones sinusoidales es (ver figura 16):

donde:

images es la corriente en el extremo izquierdo del segmento k,

images es la corriente en el extremo derecho del segmento k,

images y images son las coordenadas del extremo izquierdo y derecho, respectivamente,

images es la longitud del segmento y

images está dado en la ecuación 2.16.

Figura 16. Funciones sinusoidales de aproximación en un segmento

Para considerar la forma en la cual la corriente se distribuye en el eje de los segmentos a partir de las funciones de expansión Pi (l), se hace una aproximación de dipolo eléctrico¹¹ trabajada en la teoría de antenas [26].

Se asume un dipolo típicamente en forma de V donde cada uno de sus brazos corresponde a un segmento de conductor. Se supone que la corriente es cero en los extremos de cada segmento¹² y que tiene un valor máximo en el punto de unión, conforme lo indica la línea punteada en la figura 17. De esta forma se tiene un valor de corriente desconocido por cada dipolo eléctrico.

Figura 17. Configuración del dipolo eléctrico

En la figura 18 se presenta un ejemplo de la forma como estarían distribuidos los dipolos eléctricos en un sistema compuesto por cinco segmentos. Se tiene un caso especial en el extremo en donde se inyecta la corriente Is de la fuente, ya que se observa la mitad de un dipolo, lo que se conoce como monopolo eléctrico porque posee un solo brazo; esta condición específica siempre se debe satisfacer en el punto de inyección de corriente.

Figura 18. Distribución de los dipolos eléctricos en un sistema

La distribución de los dipolos en los puntos de intersección de varios segmentos es según se presenta en la figura 18 y consiste en tomar uno de los segmentos como segmento base y formar dipolos con los segmentos restantes¹³, de esta forma entre el segmento 3, 4 y 5 en la figura 18 hay dos dipolos: uno entre los segmentos 3 y 4 y el otro entre los segmentos 3 y 5, tomando como base el segmento 3. Así, se obtienen dos valores de corriente desconocidos (I₄ e I₅), uno por cada dipolo, en el punto de unión de los tres segmentos. El valor de corriente I₃ (que se distribuye a lo largo del segmento 3) es igual a I₄+I₅ lo que satisface la ley de corrientes de Kirchhoff.

Empleando las funciones sinusoidales hiperbólicas a fin de aproximar la corriente I⁺ a lo largo de un segmento, y con la definición de dipolo eléctrico, se integra la ecuación 2.12; mientras, se realizan algunas reducciones trabajando en un sistema de coordenadas cilíndrico, como el de la figura 19 [32], [42], para obtener las ecuaciones de las componentes cilíndricas del campo.

Figura 19. Componentes del campo eléctrico en un sistema cilíndrico de coordenadas

Donde R₁, R₂, ρ y d son distancias en metros, θ₁ y θ₂ son los ángulos en relación con el eje Z del punto de cálculo respecto a cada uno de los extremos del conductor y donde Eρ y Ez son las componentes del campo eléctrico en ρ y z, respectivamente, en el punto de cálculo.

Las ecuaciones reducidas en el nuevo sistema de coordenadas cilíndrico para la corriente I⁺, resultado de la integral del campo eléctrico desde Z₁ hasta Z₂, son:

La corriente en el segmento tiene un valor máximo en Z₂ y es igual a cero en Z₁ tal como se muestra en la figura 19. De la misma forma se obtienen las ecuaciones de campo eléctrico para la corriente I- según se presenta en la figura 16; las ecuaciones en cada una de las componentes cilíndricas son:

donde:

Teniendo en cuenta que el conductor se encuentra en el eje Z (de este sistema coordenado), y que el punto de cálculo de campo eléctrico se encuentra ubicado en cualquier parte del espacio, es necesario efectuar un cambio de coordenadas en el espacio que permita mantener siempre esta condición [37]. La forma como se realiza el cambio de coordenadas fue explicada en el capítulo anterior.

2.2.5. Matriz de impedancia generalizada

Ahora que ya se encontró una expresión para el campo eléctrico en un punto debido a una fuente de corriente sinusoidal, se puede calcular el campo eléctrico en una sucesión infinita de puntos y, por ende, el potencial eléctrico por medio de una integral de línea. A partir de la relación lineal entre el campo eléctrico y la tensión (images: longitud del segmento) se llega a una correlación entre la tensión V y la corriente I que genera un sistema lineal de ecuaciones debido a que existen N corrientes y N puntos de cálculo, y que es denominado matriz de impedancias generalizada Zmn (se le llama así por la relación entre la tensión y la corriente) [25], [26].

images hace referencia a las funciones de aproximación del campo eléctrico en la superficie de los conductores¹⁴, que en este caso específico son las mismas empleadas para la distribución de la corriente en el eje del conductor (según el método de Galerkin [46]), ecuación 2.23. En este sistema existen N muestras de corriente desconocidas (In) que corresponden al número de dipolos formados en la red de conductores y un monopolo en el punto de inyección con valor de corriente conocido, igual al valor de la corriente de la fuente.

Para determinar los N coeficientes de Ii en la ecuación 2.29 se necesita de un sistema de N ecuaciones

donde Zim representa la interacción electromagnética entre el segmento i (segmento de cálculo) y el segmento m (segmento fuente).

En el caso específico en donde la corriente se está inyectando por uno de los extremos, ver figura 18, Is corresponde a la amplitud de la corriente de la fuente de excitación, por lo tanto, esta condición se debe satisfacer y debe ser introducida en el sistema lineal de ecuaciones. Para el caso de conductores sin pérdidas y a partir de las condiciones de frontera (ecuación 2.10), donde el valor de Vi =0 en la ecuación 2.30 se obtiene¹⁵:

El término de la izquierda corresponde a Znm (matriz de impedancia generalizada), el vector de corrientes [I₁ … IN] es un vector de incógnitas que se desea obtener, el valor Is del vector de la derecha es la amplitud de la corriente de excitación del sistema que multiplica los valores de impedancia mutua Zk0, que corresponden a la contribución del monopolo de inyección sobre los N dipolos. La ecuación 2.31 tiene la siguiente forma matricial:

Esta solución del modelo se conoce como el método de momentos [43], [44], que consiste en resolver una ecuación integral compleja de un sistema dividiéndolo en segmentos cortos pues de esta forma la fuente de excitación a lo largo del sistema se distribuye mediante funciones de aproximación fácilmente integrables que permiten simplificar la ecuación integral y obtener un sistema lineal de ecuaciones.

Para el caso específico de las puestas a tierra, el resultado final es la obtención de la distribución de la corriente en cada uno de los segmentos y, por ende, en los conductores. Una vez obtenida la distribución de la corriente a lo largo de todos los conductores del sistema se puede calcular el campo eléctrico en cualquier punto sobre los conductores o en el terreno y también la elevación de potencial del sistema respecto a una tierra lejana o la diferencia de potencial entre dos puntos diferentes. El diagrama simplificado que explica el procedimiento de solución es el siguiente:

Figura 20. Diagrama básico del proceso de cálculo

Como se observa, la formulación matemática del modelo es más compleja que la descrita en el modelo de análisis de baja frecuencia y requiere de tiempos de cálculo mayores ya que es necesario realizar los cálculos para varios valores de frecuencia. Este método posee una desventaja en la medida en que es necesario calcular una integral de línea más para obtener la elevación de potencial sobre los conductores o en el terreno, por lo cual toma más tiempo de cálculo, mientras que el modelo de cálculo que se explica a continuación obtiene directamente la elevación de potencial en los conductores y su formulación matemática es menos compleja para ser implementada.

2.3. MODELO ELECTROMAGNÉTICO HÍBRIDO

En este capítulo se va a describir otra formulación matemática empleada para obtener el comportamiento de los electrodos de puesta a tierra ante señales transitorias. El modelo permite la distribución de las corrientes en todos los conductores que conforman la puesta a tierra y finalmente obtiene la elevación del potencial de los conductores respecto al infinito. El análisis se hace en el dominio de la frecuencia a partir de las ecuaciones de campos electromagnéticos en forma integral, y toma el nombre de modelo electromagnético híbrido.

El modelo fue desarrollado por el Centro de Investigación de Rayos de la Universidad Federal de Minas Gerais-Brasil, a partir de varios trabajos de investigación que intentan representar el comportamiento de elementos conductores ante efectos transitorios producidos por descargas eléctricas atmosféricas [47], [48], [49], [50]; se basa en las ecuaciones de Maxwell y toma el nombre de híbrido dado que usa la teoría de circuitos para el balance de corrientes y cálculo de tensiones en cada uno de los nodos de los conductores.

Al igual que en el modelo explicado en el capítulo anterior, este tampoco hace análisis de propagación de ondas en el modo TEM¹⁶, lo cual requiere de al menos dos conductores para la propagación, sino que las aproximaciones las realiza por medio de análisis de los efectos que tienen las fuentes de campo en un punto fijo de la región, a partir de las relaciones de potencial escalar eléctrico y potencial vectorial magnético en el dominio de la frecuencia, y hasta que halla las distribuciones de corriente a lo largo de segmentos conductores¹⁷ y el acople que existe con el medio en el cual está inmerso el sistema. Las fuentes de campo son señales transitorias presentes en los segmentos conductores (uno solo o varios), que para efectos de la aplicación del modelo se han considerado señales de corriente tipo rayo.

2.3.1. Consideraciones iniciales

Para poder realizar los diferentes análisis, el modelo parte de algunas consideraciones respecto al sistema y al medio en el cual está inmerso, de modo que se puedan hacer aproximaciones que reduzcan la complejidad del problema a fin de facilitar aun más su modelacción o representación. Por lo mismo, solo aplica a aquellas configuraciones que cumplen con dichas consideraciones, como son:

2.3.1.1. Consideraciones del medio

Los electrodos se consideran inmersos en el terreno y el efecto de la frontera se representa por medio del método de imágenes, el cual ya se explicó en los capítulos anteriores. Para efectos de la formulación matemática presentada en este capítulo, no se consideran las variaciones con la frecuencia de los parámetros s y e. Con esta consideración, las características del medio para el desarrollo de las ecuaciones son [41]:

Lineal: considerar que las susceptibilidades eléctrica y magnética images y images son constantes y, por, ende independientes de los campos aplicados, es decir, el material es lineal respecto a los efectos de polarización eléctrica y magnética.

Isotrópico: se miden iguales valores de r, e y m en diferentes direcciones dentro del material, o lo que puede ser definido en términos de las susceptibilidades como: images y images iguales para cualquier dirección dentro del material.

Homogéneo: una región material con los parámetros m, s y e independientes de su posición en el material.

El valor de la permeabilidad µ para el terreno es considerado como el valor que se toma de permeabilidad del vacío µ₀, por lo tanto, el valor para la permeabilidad relativa µr es igual a 1.

2.3.1.2. Consideraciones de los conductores

El sistema a analizar debe estar conformado por un conjunto de elementos conductores, puede ser de uno o varios conductores, interconectados o separados, pero siempre inmersos en el terreno. Es importante que los conductores sean:

Cilíndricos: por simetría del campo alrededor del elemento conductor.

Delgados: es decir, que el radio del conductor sea mucho menor comparado con la longitud del mismo¹⁸ y con la distancia a la frontera, de modo que se pueda considerar como un hilo conductor.

Rectilíneos: para facilitar el manejo de vectores unitarios en el eje del conductor.

La distancia entre los conductores y la frontera es también un aspecto importante a tener en cuenta en el momento de realizar las aproximaciones que permitan simulación de esta última de forma que pueda ser eliminada; dichas consideraciones se explicarán más adelante.

De igual forma que en el capítulo anterior en donde se explicó el modelo electromagnético, cada conductor de la configuración será divido o particionado en un número finito de segmentos, de igual o diferente longitud, donde se asume un valor constante de corriente, aunque varía de un segmento a otro. Este número será definido previamente y al final será el número de elementos que se tomarán para cálculo.

El valor de la resistencia interna del conductor puede ser adicionado a los cálculos pero para este estudio no es considerado ya que su valor es despreciable comparado con los valores de conductividad de los conductores, 10⁶, y comparado con los valores de conductividad del terreno, entre 10⁻² y 10⁻³; elementos adicionales¹⁹ conectados a la estructura tampoco son considerados.

2.3.2. Fuentes de corriente

Las fuentes de campo son señales transitorias de corriente presentes a lo largo de la configuración, es decir, a través de los segmentos conductores; el efecto que produce la señal de corriente en un punto de observación fijo se puede representar como la suma de dos fuentes de corriente, definidas a continuación.

images Efecto longitudinal

La corriente existente a lo largo del conductor, representada como una fuente de corriente longitudinal IL, genera un efecto electromagnético traducido en una fem inducida en los demás segmentos, y que se representa como una caída de tensión ∆V entre los extremos (nodos) de dichos segmentos.

La relación que existe entre la corriente longitudinal IL y la caída de tensión ∆V se puede considerar como un acoplamiento entre ellos llamado acoplamiento longitudinal, representado por una impedancia longitudinal ZL. Si se considera el segmento por el que se propaga la fuente de corriente longitudinal IL como el segmento emisor j y el segmento que experimenta la caída de tensión ∆V como el receptor i, la impedancia longitudinal entre los segmentos emisor j y receptor i es definida como:

Los segmentos receptor i, emisor j, la corriente longitudinal IL, el potencial F y la caída de tensión ∆V en el segmento receptor i se muestran en la figura 21.

Figura 21. Acoplamiento longitudinal

images Efecto transversal

El efecto transversal se genera al considerar un campo eléctrico divergente hacia el infinito en cada segmento fuente, que produce una elevación de potencial V en la región y en los demás segmentos respecto a infinito. Este efecto es representado como una fuente de corriente transversal que a lo largo del segmento fuente de longitud L se expresa como la densidad lineal de corriente IT/L.

El segmento desde el cual fluye la corriente transversal es el segmento emisor j y el segmento que eleva su potencial respecto a infinito es el receptor i. El acoplamiento transversal que existe entre ellos es representado por una impedancia transversal definida como:

Los segmentos receptor i, emisor j, la densidad de corriente transversal IT/L, y la elevación de potencial Φi en el segmento receptor respecto al potencial en infinito Φ∞ se muestran en la figura 22.

Figura 22. Acoplamiento transversal

2.3.3. Cálculo de impedancias de acople

En el numeral anterior se expresó cuál es la interpretación que tienen las impedancias de acople, longitudinal y transversal; aquí se usan las ecuaciones de Maxwell para la deducción y cálculo de dichas impedancias en función de los efectos transversal y longitudinal explicados anteriormente.

Es importante aclarar que los cálculos para determinar las impedancias de acople son realizados en el dominio de la frecuencia, cada uno de los valores de impedancia es obtenido a una determinada frecuencia de cálculo w; si se quiere hacer un barrido en frecuencia, es necesario repetir el cálculo varias veces para el rango de frecuencia deseado. Si la señal de entrada es una onda en el dominio del tiempo, se utiliza la transformada de Fourier para pasar dicha señal al dominio de la frecuencia y realizar los diferentes cálculos, de igual forma, si los resultados del modelo se quieren observar en el dominio del tiempo nuevamente, se usa la transformada inversa de Fourier aplicada sobre la respuesta obtenida en el dominio de la frecuencia. La forma en la cual se calcula cada una de estas fue explicada al inicio de este capítulo.

images Impedancia longitudinal

El acople longitudinal está relacionado con la fem inducida tal cual se describió en la sección anterior. La fem inducida como función del potencial vectorial magnético en el dominio de la frecuencia es:

donde A se define en la siguiente ecuación en función de la densidad de corriente J.

que a este estudio, con las aproximaciones descritas para los conductores, se tienen las siguientes consideraciones:

Los elementos de volumen son filamentos de corriente, por lo tanto la integral de volumen se convierte en una integral de línea y la densidad de corriente J se puede aproximar a la corriente longitudinal IL.

dV’ son los elementos diferenciales dlj a lo largo del segmento emisor j y con la misma dirección de IL.

images es la distancia entre cada uno de los dlj a lo largo del segmento emisor y un punto en el segmento receptor i en el cual se está calculando images. Figura 23.

Figura 23. Distancia R entre el segmento receptor i y el segmento emisor j

De esta forma la ecuación 2.36 se convierte en:

Donde g es la constante de propagación, que está expresada en la ecuación 2.38 y fue definida en la ecuación 2.16.

Donde w es la frecuencia de análisis y e, m y s son los parámetros eléctricos del medio.

En esta ecuación, la integración se realiza a lo largo del segmento emisor j como aparece en la figura 24, donde se toman las contribuciones de cada uno de los puntos dlj del segmento emisor j sobre uno de los puntos en la superficie del segmento receptor i.

Figura 24. Sentido de integración para calcular el potencial en un punto del segmento receptor i debido a la contribución de todos los puntos (dl) del segmento emisor j

Al reemplazar 2.37 en 2.35, la fem inducida (∆Vij) en el segmento receptor debida a las contribuciones del segmento emisor j es igual a:

en donde la doble integral se debe a que el proceso mostrado en la figura 24 se realiza para todos y cada uno de los puntos del segmento receptor i con el fin de hallar ∆Vij a lo largo del segmento.

El acople longitudinal entre los segmentos emisor j y receptor i, de acuerdo a la expresión 2.33, se obtiene de dividir 2.39 entre la corriente IL, con lo que resulta la expresión para la impedancia longitudinal:

Es importante resaltar que la impedancia longitudinal depende de la configuración, la frecuencia y los parámetros del medio μ, σ y ε.

images Impedancia transversal

La elevación de potencial V en un punto del segmento receptor i se puede calcular con la ayuda de la función de potencial escalar eléctrico Φ dada en la ecuación 2.41, donde r es la densidad volumétrica de carga.

Asumiendo que en el dominio de la frecuencia la permitividad ε se puede reemplazar por la permitividad compleja σ+jωe [41], [51], y que el conductor es delgado²⁰, se obtiene la expresión de Φ en el dominio de la frecuencia (ecuación 2.42).

Para hallar la elevación de potencial a lo largo de todo el segmento receptor se debe calcular el potencial Φ como el promedio de todas las contribuciones del potencial sobre la longitud del segmento (calculada sobre su superficie cuando el segmento emisor y el segmento receptor son el mismo para evitar divisiones por cero), por tanto, Vij queda:

Reemplazando V de la ecuación 2.42 se obtiene finalmente:

El acoplamiento transversal de acuerdo a la expresión 2.34 se obtiene al dividir 2.44 entre la corriente transversal IT, por tanto, la impedancia transversal queda expresada como:

Al igual que la impedancia longitudinal, la impedancia transversal es función de la configuración, la frecuencia y los parámetros del medio μ, σ y ε.

2.3.4. Eliminación de la frontera

Las configuraciones que son consideradas para estudio en el modelo MEH, como se describió anteriormente, son configuraciones inmersas en el terreno, medio semiinfinito. El hecho de que el medio sea semiinfinito, involucra directamente la presencia de una frontera que ejerce algún efecto sobre el sistema de estudio. La eliminación de dicha frontera, de modo que el medio se pueda representar como infinito con las mismas características del medio semi-infinito original, se realiza con la ayuda del método de imágenes, que permite simular el efecto de la frontera.

La concepción básica del método de imágenes fue explicada en los capítulos anteriores. Aquí se realiza la definición del método para cada una de las fuentes usadas en el modelo electromagnético híbrido.

Figura 25. Segmento emisor j y receptor i inmersos en el suelo

La utilización del método de imágenes consiste en ubicar un segmento imagen del segmento emisor en la otra región (aire), localizado simétricamente con relación al emisor y tomando como plano de simetría el plano frontera (frontera aire-tierra); la polaridad que debe tener la imagen debe ser tal que se cumplan las condiciones de frontera en la interfaz aire-tierra. El segmento receptor i deberá el potencial V y la caída de potencial ∆V a las fuentes existentes, es decir, al segmento emisor j y a su imagen j’; este efecto se verá representado con un componente adicional en el cálculo de las impedancias longitudinal 2.33 y transversal 2.34 como se explicará a lo largo de esta sección.

Al analizar el comportamiento de las líneas de campo eléctrico en la frontera aire-tierra se observa que la componente normal En en la superficie de separación es nula (para conductores en el terreno), consideración que se debe conservar al aplicar el método de imágenes y eliminar la frontera. Para ello es importante aproximar la conductividad del aire a cero (σ → 0, ρ → ∞) y la conductividad σ del suelo mucho mayor que la del aire. Los valores de conductividad y permitividad ε del terreno serán tomados de valores previamente medidos. Según se mencionó anteriormente el valor de permeabilidad m del suelo es igual a la permeabilidad del espacio vacío.

images Acoplamiento longitudinal

Referente al acoplamiento longitudinal es muy importante tener en cuenta el sentido que se le da a la corriente longitudinal en el segmento imagen, la cual debe tener el mismo valor de la corriente longitudinal del segmento fuente y el mismo sentido (como se observa en la figura 26, desde el nodo a hasta el nodo b) con el fin de garantizar la condición de campo eléctrico normal nulo en la interfaz de separación.

La siguiente ecuación representa la impedancia longitudinal para segmentos conductores inmersos en suelo, e incluye el aporte del segmento imagen para la eliminación de la frontera de separación.

Para este caso las longitudes de los segmentos emisor e imagen son iguales Lj’ = Lj, pero sus elementos diferenciales no lo son dlj’ ≠ dlj.

images Acoplamiento transversal

Al ubicar el segmento imagen se logra eliminar la frontera existente entre los dos medios para representarlos como un solo medio. En la figura 26 se puede observar que la densidad de corriente transversal (ITj/Lj) tanto del segmento fuente como de la imagen son del mismo valor y polaridad; esto se hace con el fin de satisfacer la condición de campo eléctrico normal nulo en la interfaz de separación.

Figura 26. Segmentos emisor j, imagen j’ y receptor i inmersos en el suelo

Al incluir el aporte del segmento imagen en el cálculo de la impedancia de acople es necesario que la impedancia transversal se calcule como se muestra a continuación:

Para esta ZTij se tiene que Lj, Li y Lj’ corresponden a las longitudes de los segmentos emisor, receptor e imagen, respectivamente, y dlj, dli y dlj’ son los elementos diferenciales de estos mismos segmentos. También debe aclararse que las longitudes de los segmentos emisor e imagen son iguales Lj’ = Lj.

2.3.5. Sistema matricial

El cálculo de las impedancias transversal y longitudinal obtenido anteriormente es realizado para un par de segmentos, emisor j y receptor i, inmersos en el terreno. El modelo electromagnético híbrido (MEH) trabaja con configuraciones de conductores que son particionados en segmentos con lo que resulta un conjunto de n segmentos; para cada segmento se debe calcular su acople transversal y longitudinal, traducido en el cálculo de impedancias con cada uno de los demás segmentos y consigo mismo.

Los acoples entre todos los segmentos de la configuración crean una lista de elementos que permiten la construcción de las matrices de impedancias longitudinales ZL y de impedancias transversales ZT. Cada fila de la matriz corresponde al acople (transversal o longitudinal) de un k-ésmino segmento respecto a los demás, zk1, zk2, ..., zkn, y el acople respecto de sí mismo, zkk; al repetir el proceso con cada uno de los n segmentos se obtiene que las matrices resultantes ZL y ZT son cada una, una matriz cuadrada de tamaño nxn, ZT[nxn] y ZL[nxn].

En el cálculo de cada componente zkk de las matrices ZL y ZT se tiene que el segmento k se convierte tanto en emisor como en receptor, y es aquí donde toma importancia la forma en que se calcula la distancia R entre el emisor j y receptor i. Al observar las expresiones 2.40 y 2.45, el denominador de la integral no debe hacerse 0, es decir, R ¹ 0, condición que se logra si R se calcula como se muestra en la figura 23, donde el punto origen se toma desde el eje (centro) del segmento emisor j y j’ y la coordenada final se toma en la superficie del segmento receptor²¹. Para evitar divisiones por cero, a la hora de hallar las matrices ZT y ZL, la condición de cálculo de R mostrada en la figura 23 (cálculo sobre la superficie del segmento receptor) se conserva solamente para los casos de evaluación de las impedancias cuando i = j.

Una vez determinadas las matrices ZT y ZL, se puede obtener un sistema matricial a partir de las expresiones 2.33 y 2.34, respectivamente:

donde

V[nx1] es el vector de elevación de potencial de cada uno de los segmentos de la configuración respecto a infinito,

IT[nx1] el vector de corrientes transversales de cada segmento,

∆V[nx1] es el vector de caídas de tensión en cada segmento,

IL[nx1] el vector corrientes longitudinales de cada segmento y

n el número de segmentos de la configuración.

El sistema matricial está compuesto por dos sistemas de ecuaciones independientes (2.48 y 2.49), cada uno con incógnitas distintas. Para poder hallar una sola solución al sistema es importante dejar las ecuaciones expresadas de tal forma que se disminuya el número de variables y quede un sistema del mismo número de ecuaciones y de incógnitas. Es en este punto del proceso donde se aplica la teoría de circuitos eléctricos sobre los segmentos conductores que dan la explicación de híbrido al nombre del modelo, buscando relaciones que eliminen las incógnitas adicionales o las expresen en función de otras; para esto se van a emplear las tensiones en los extremos de los segmentos, las cuales se definen como tensiones nodales.

Hasta este punto el análisis por medio de este modelo y el modelo explicado en el capítulo anterior no presentan mayores diferencias, y es aquí donde se diferencian los análisis de cada uno, ya que en el modelo del capítulo anterior se encontró una ecuación que relaciona la densidad de carga eléctrica con la corriente y todo es expresado en función de esta última, mientras que en este modelo se usa la teoría de circuitos eléctricos para solucionar las incógnitas.

El análisis es el siguiente:

1. El primer paso consiste en invertir las matrices de impedancia longitudinal ZL y transversal ZT, para expresar las ecuaciones 2.48 y 2.49 en función de admitancias longitudinales YL = ZL-1 y transversales YT = ZT-1; el sistema matricial queda expresado de la siguiente forma:

2. El segundo paso corresponde a las relaciones de tensión en cada segmento que vinculan las tensiones V y ∆V:

a. La primera relación se presenta entre el potencial de cada segmento respecto a infinito dado por los elementos del vector V[nx1] y los potenciales Va y Vb de los dos extremos del segmento, llamados tensiones nodales. Se puede observar que en la figura 27, esta relación establece que el potencial de cada segmento es igual a la media aritmética de las tensiones nodales de dicho segmento, lo cual se representa como el potencial medio

images.

Figura 27. Potencial V respecto a infinito en función de las tensiones nodales Va y Vb del segmento

b. La segunda relación se presenta entre la caída de tensión en cada segmento, dada por los elementos del vector ∆V[nx1], y las tensiones nodales Va y Vb del segmento correspondiente. En la figura 28 se puede observar que la caída de tensión en cada segmento es igual a la diferencia de potencial entre los extremos del segmento en cuestión, expresada como ∆V = Vb - Va ²².

Figura 28. Caída de tensión ∆V en función de las tensiones nodales Va y Vb del segmento

Luego de aplicar las relaciones planteadas para cada segmento, la caída de tensión ∆V y el potencial V quedan expresados en función de las tensiones nodales de cada segmento, representados como el producto de una matriz de constantes por el vector de tensiones nodales, como se ve a continuación:

donde

VN[mx1] es el vector de tensiones nodales de la configuración,

m el número de nodos (no es el número de segmentos),

AT es una matriz de constantes llamada matriz de constantes transversales,

AL es una matriz de constantes llamada matriz de constantes longitudinales.

Las matrices de constantes AT y AL son calculadas como sigue:

a. Debido a la relación de potencial medio se puede factorizar ½ de la relación

y para cada una de las filas de la matriz AT colocar dicha constante en la l-ésima y k-ésima columnas correspondientes a las dos tensiones nodales del segmento receptor que están ubicadas en la l-ésima y k-ésima filas del vector de tensiones nodales VN. Los demás valores de la fila en la matriz AT son iguales a 0.

b. Para la relación de la caída de tensión en los segmentos, se realiza el mismo procedimiento precitado, pero en este caso se diferencia del anterior en que el valor factorizado es -1 y 1, donde -1 se coloca en la l-ésima columna correspondiente al nodo inicial del segmento receptor ubicado en la l-esima fila del vector de tensiones nodales VN y 1 en la k-ésima columna correspondiente al nodo final del segmento destino ubicado en la k-esima fila del vector de tensiones nodales VN. Los demás valores de la fila en la matriz AL son iguales a 0.

Al reemplazar V[nx1] y ∆V[nx1] dadas en 2.52 y 2.53 en las ecuaciones 2.50 y 2.51, se tiene:

3. El tercer y último paso corresponde a la aplicación de la ley de Kirchoff de corrientes vista en cada uno de los nodos del segmento como se ve en la figura 29. La corriente transversal IT de un segmento se asume que está concentrada en los extremos del segmento y, por tanto, en cada nodo se tendrá la mitad de la corriente transversal: IT/2. Al examinar cada extremo del segmento se observa que en uno de ellos la corriente longitudinal está entrando (nodo final) y que en el otro extremo está saliendo (nodo inicial).

Al aplicar las leyes de Kirchhoff de corrientes a todos los m nodos de la configuración se tiene que la sumatoria de corrientes entrantes y salientes en cada nodo debe ser igual a cero. La fuente de excitación de corriente de valor conocido existente en la configuración es la señal de corriente transitoria bajo la cual se efectúan los análisis, esta es expresada en el dominio de la frecuencia y entra a la configuración en uno o varios de sus nodos, llamado nodo o nodos de inyección; la sumatoria de corrientes en el o los nodos de inyección no se iguala a cero sino al valor de la corriente inyectada en dicho nodo²³.

Figura 29. Corrientes en cada nodo para un segmento de conductor

El resultado de estos procedimientos arroja un sistema matricial en función de las corrientes IT e IL y un vector de corrientes de inyección Iy así:

donde A[mx2n] es una matriz de valores constantes ½, 1, -1 y 0, que después de muchos análisis resultó ser una matriz compuesta por las matrices AL y AT transpuestas: ALt y ATt. IT,L es un vector columna conformado por las corrientes IT e IL de la configuración, e Iy es el vector columna de las corrientes de inyección y tendrá valor de 1 en el nodo o los nodos de inyección y 0 en los demás nodos.

Reemplazando 2.50 y 2.51 en la ecuación anterior y A[mx2n] por las matrices de constantes transpuestas se tiene:

Se obtiene así un sistema lineal de ecuaciones de la forma images que al ser solucionado arroja como resultado las tensiones en cada uno de los nodos.

Aquí se observa la otra diferencia de los métodos de cálculo, ya que en el modelo del capítulo anterior se obtiene como resultado final la corriente en cada segmento y de ser necesario se calcula la tensión a partir de una nueva integral. Por el contrario, en este modelo se calcula directamente la tensión en los segmentos y la obtención de la corriente en cada uno de ellos es sencillo a partir de funciones entre matrices, lo cual da mayor versatilidad al método y menores tiempo de cálculo.

Notas

⁸ Si se tiene en cuenta que es una sucesión infinita de puntos fuente de corriente.

⁹ Los análisis en alta frecuencia, a diferencia de los de baja frecuencia, no consideran los modelos del terreno en capas horizontales dada su complejidad matemática. Adicionalmente, en este análisis no se tiene en cuenta la ionización del terreno para esta primera aproximación.

¹⁰ Debido a un punto fuente de corriente

¹¹ Se trabaja con el dipolo eléctrico ya que un monopolo desprecia la contribución de las cargas puntuales en los extremos [34].

¹² Tal como se mencionó en las aproximaciones del modelo.

¹³ Solución obtenida por medio de conversación vía correo electrónico con L. Grcev [25].

¹⁴ Es la forma en que se aproxima el campo eléctrico a la superficie de los conductores.

¹⁵ Aunque la condición de frontera hace referencia al campo eléctrico en la superficie del conductor, al hacer la integral de línea del campo eléctrico se debe seguir cumpliendo dicha condición, por tanto, la sumatoria de los potenciales debe ser igual a cero.

¹⁶ Modo transversal electromagnético. Consiste en el análisis de guía de ondas en el cual no se consideran las componentes de campo ni; su constante de fase es idéntica a la de ondas planas uniformes, que se propagan en regiones de parámetros images y images uniformes [41].

¹⁷ Se refiere a los segmentos en los cuales se dividen los conductores de la configuración, ya que es una de las características del método de solución.

¹⁸ Se puede asumir esta relación como una longitud del conductor 10 veces mayor a su radio.

¹⁹ Pueden considerarse como elementos adicionales, impedancias de acople de valor fijo que se conectan físicamente a los conductores.

²⁰ La densidad volumétrica de carga se convierte en densidad lineal de carga.

²¹ Solo en este caso R = r, con r el radio del conductor.

²² Debido a que ∆V se calcula como la integral images.

²³ El valor de la corriente de inyección se asume igual a 1 en los cálculos y, posteriormente, la respuesta obtenida se escaliza por la amplitud de la corriente en el valor de la frecuencia en que se están realizando los cálculos.

3

ANÁLISIS DE CASOS

Con el propósito de realizar un análisis de parámetros que afectan el comportamiento de las puestas a tierra se van a presentar los siguientes ejemplos.

3.1. ANÁLISIS EN BAJA FRECUENCIA

3.1.1. Influencia del modelo del terreno

Un modelo del terreno se obtiene a partir de las siguientes mediciones de resistividad del terreno que se han tomado utilizando el método de Wenner.

a (m) | Resistividad (Ω*m)
1 | 396
2 | 281
3 | 207
4 | 173
5 | 148
6 | 117

Figura 30. Mediciones de resistividad del terreno

Si se obtiene el promedio de las mediciones, el valor encontrado es 220 Ω. Pero si se obtiene un modelo de dos capas, el resultado es el siguiente:

r1 = 412 Ωm, h = 1.62 m, r2 = 101 Ωm.

Al obtener el valor de la resistencia de puesta a tierra de una varilla de 2.4 m de 5/8”, que fue enterrada a una profundidad de 0,4 m, para los dos tipos de terreno se encontró lo siguiente:

| Homogéneo | Dos capas
R (Ω) | 75.7 | 52.4

Se aprecia un sobredimensionamiento del sistema al usar un modelo del terreno homogéneo.

3.1.2. Influencia del radio del conductor en la resistencia de puesta a tierra

Tomando el modelo del terreno de dos capas obtenido en el ejemplo anterior se variaron los radios de un conductor horizontal de 20 m de largo enterrado a una profundidad de 0,4 m²⁴. Los valores de resistencia de puesta a tierra son:

Radio (cm) | Resistencia (Ω)
1 | 24.07
3 | 20.45
5 | 18.77
10 | 16.47

Se aprecia que con un gran incremento del radio del conductor no se consiguen mejoras significativas en el valor de la resistencia de puesta a tierra. El radio se está aumentando 10 veces, pero la resistencia tan solo disminuye en un 32%.

Figura 31. Variación de la resistencia de puesta tierra con el radio del conductor

3.1.3. Influencia de la longitud en la resistencia de puesta a tierra

Usando el modelo de dos capas del numeral 1, se analizan diferentes longitudes en un conductor horizontal de 0,01 m de radio a una profundidad de 0.4 m. Los resultados son:

Longitud (m) | Resistencia (Ω)
15 | 31.3
30 | 16.6
45 | 11.4
60 | 8.7

Existe una relación proporcional e inversa entre la longitud y la resistencia de puesta a tierra.

Figura 32. Variación de la resistencia de puesta tierra con la longitud del conductor

3.1.4. Efecto de la configuración de la malla de puesta a tierra

Para realizar este ejercicio se van a definir cuatro diferentes configuraciones de mallas de puesta a tierra.

Malla 1

Malla 2

Malla 3

Malla 4

Figura 33. Configuraciones de mallas de puesta a tierra a ser evaluadas

Para las cuatro mallas se calcularon los valores de resistencia de puesta a tierra y tensiones de paso y contacto máximas. Las mallas se encuentran a una profundidad de 0.4 m y tienen 10 m de lado. El terreno fue modelado en dos capas según los datos del numeral 1. Las varillas tienen una longitud de 2.4 m y 5/8” de diámetro.

Entre la malla 1 y la malla 3 no se encontró una reducción apreciable de los valores de resistencia por tener un enmallado más fino, pero con el uso de las varillas se encontraron reducciones apreciables de las tensiones de paso y contacto.

Con base en estos resultados se dan las siguientes recomendaciones:

3.1.5. Recomendaciones del análisis de estado estable

Simular un terreno en un modelo de dos capas es una buena aproximación por cuanto presenta un mejor comportamiento que el modelo del terreno homogéneo.

Aumentar el radio de los conductores enterrados no disminuye apreciablemente el valor de resistencia de puesta a tierra.

Se observa una relación inversa y lineal entre el valor de resistencia de puesta a tierra y la longitud de conductor enterrado y el área del SPT.

El valor de resistencia de puesta a tierra no es el único parámetro para la aceptación de un diseño: se deben considerar los valores de las tensiones de paso y de contacto del sistema.

Las varillas de puesta a tierra ayudan a disminuir las tensiones de paso y de contacto, pero no influyen apreciablemente en el valor de resistencia de puesta a tierra en sistemas de grandes tamaños.

3.2. ANÁLISIS TRANSITORIO

Debido a que el análisis de las puestas a tierra presenta comportamientos diferentes a medida que se incrementa el valor de la frecuencia de análisis, enseguida se presentan algunas consideraciones y recomendaciones para este tipo de comportamientos.

El estudio de este tipo de comportamientos es importante debido a que da un mejor entendimiento de los sistemas cuando son afectados por las descargas eléctricas atmosféricas.

3.2.1. Impedancia de puesta a tierra

Cuando se realiza un análisis de los fenómenos transitorios como los rayos, es necesario tener en cuenta el comportamiento de los electrodos de tierra en un amplio rango de frecuencias desde 50 o 60 Hz hasta 1-5 MHz. En tal caso no se puede hablar únicamente de resistencia de puesta a tierra si no que esta relación entre la tensión y la corriente presenta adicionalmente una componente compleja, por lo tanto, se define la impedancia de puesta a tierra.

De esta forma, se dibuja un gráfico de la magnitud de la impedancia de puesta a tierra versus la frecuencia de análisis. Es necesario mencionar exactamente el punto en donde se calcula la impedancia, es decir, donde se calculó la relación entre tensión y corriente. Para este tipo de figuras, el valor a 60 Hz corresponde a los valores de resistencia de puesta a tierra a baja frecuencia, valores con los que se tiene mayor familiaridad y que son medidos en los estudios de puestas a tierra convencionales. Los valores a frecuencia mayores corresponden a los cálculos de los diferentes modelos matemáticos que emplean las ecuaciones electromagnéticas.

El terreno no solo debe ser modelado por los valores de resistividad, sino que adicionalmente debe ser tenida en cuenta la permeabilidad µ del medio, que señala los efectos inductivos y el valor de la permitividad e con el cual se consideran los efectos capacitivos entre los elementos del sistema. Para efectos prácticos se asume que la permeabilidad del medio presenta un valor igual a la del aire, es decir, que µr = 1.

a. Impedancia de varillas

Como primer ejemplo de cálculo se presenta la impedancia de puesta a tierra de varillas verticales de diferentes longitudes de 5/8” de radio. El terreno fue modelado con un valor de resistividad de 100 Ω*m y una permitividad εr = 36. La impedancia es calculada en su extremo superior.

Figura 34. Magnitud de la impedancia en función de la longitud de la varilla

Ya se mencionó anteriormente que el valor obtenido a baja frecuencia, al que se conoce como resistencia de puesta a tierra, es el valor inicial de cada una de las curvas anteriores. A partir de ese valor se hace variar la frecuencia de análisis y se aprecia la variación de la magnitud de la impedancia con el aumento de la frecuencia.

Para las varillas no se obtiene una característica uniforme de variación. Se ve que para varillas de hasta 3 metros la impedancia disminuye para frecuencias altas, pero para longitudes mayores a 3 m la impedancia empieza a aumentar con el aumento de la frecuencia.

b. Impedancia de contrapesos

Al igual que el ejemplo anterior se va a graficar la magnitud de la impedancia para diferentes longitudes de electrodos. En este caso se simuló un conductor horizontal, o contrapeso, de 0,01 m de radio enterrado a una profundidad de 0.6 m. El terreno fue modelado con una resistividad de 100 Ω*m y una permitividad εr = 36. La impedancia es calculada en uno de sus extremos.

Figura 35. Magnitud de la impedancia en función de la longitud del contrapeso

Para este caso se observa un comportamiento similar para los conductores de diferentes longitudes, ya que con el aumento de la frecuencia también se observa un aumento de la impedancia, pero a partir de un determinado valor de frecuencia, 500 kHz, la impedancia no presenta variaciones entre las diferentes longitudes de contrapeso.

c. Impedancia de mallas de tierra

Para realizar el cálculo de impedancias en mallas, se empleó una malla cuadrada de diferentes longitudes inyectando la corriente en una de sus esquinas. Las mallas van desde 1 x 1 cuadricula interna hasta una malla de 8 x 8 cuadriculas internas. Cada una de las cuadriculas tiene 6 x 6 m. Las mallas están a una profundidad de 0.5 m y el conductor tiene un radio de 0.01 m. El terreno fue modelado con una resistividad de 100 Ω*m y una permitividad εr = 36.

Figura 36. Magnitud de la impedancia para diferentes tamaños de malla

Nuevamente el comportamiento de la impedancia tiene un crecimiento con el aumento de la frecuencia para todas las mallas bajo estudio.

3.2.2. Máxima longitud de conductores

A diferencia de los análisis en baja frecuencia en donde al aumentar la longitud de conductores se obtiene una mejora en el valor de la resistencia de puesta a tierra, los análisis en alta frecuencia no presentan este mismo comportamiento, ya que, como se observará en las siguientes simulaciones, existen unas longitudes máximas a partir de las cuales no se obtienen mejoras en el valor de impedancia en alta frecuencia.

La explicación para este comportamiento en alta frecuencia es la longitud efectiva de un conductor a través de la cual se dispersa la corriente en el terreno. Para esto se muestran dos ejemplos.

Longitud efectiva de contrapesos

A efectos de mostrar cuál es la longitud efectiva de dispersión de corriente de un contrapeso, se presenta la distribución de corriente según dos tipos de terreno para un conductor de 100 m de largo. Los dos tipos de terreno son:

Parámetro | Húmedo | Seco
ρ(Ω*m) | 100 | 1000
εr | 36 | 9

Los resultados son presentados conforme a dos valores de frecuencia: 100 Hz y 2 MHz.

Figura 37. Distribución de corrientes a lo largo de un conductor en función de la frecuencia

En los dos tipos de terreno se aprecia que cuando la señal es de 100 Hz la corriente se distribuye uniformemente a lo largo de todo el conductor, mientras que ante la señal de alta frecuencia, 2 MHz, el comportamiento es diferente. Se aprecia que en el suelo tipo húmedo durante los primeros 30 m toda la corriente se dispersa en el terreno y la corriente en el conductor es casi cero cuando se trata de longitudes mayores, mientras que en el terreno tipo seco la corriente es casi cero a partir de longitudes superiores a 80 m.

De esta forma, a pesar de que se usen conductores más largos, la corriente en el conductor en altas frecuencias si las longitudes son muy grandes, será prácticamente cero, ya que esta se dispersa en el terreno en los primeros metros.

3.2.3. Tensiones transitorias

Con base en los resultados anteriores se pueden calcular las tensiones transitorias de las diferentes configuraciones de puestas a tierra.

a. Tensión en contrapesos

Para este ejemplo se inyectó una señal de corriente tipo rayo de forma de onda 1/20 µs de 1kA de amplitud pico. El punto de inyección fue uno de los extremos de contrapesos de diferentes longitudes. Los contrapesos están enterrados a una profundidad de 0.6 m, el radio es 0.01 m y el terreno fue modelado con una resistividad de 100 Ω*m y una permitividad εr = 36.

Figura 38. Magnitud de tensión en el punto de inyección para diferentes longitudes de contrapeso

En la figura se aprecia que los valores pico de las señales de tensión son muy similares, lo que coincide con los resultados de impedancia de contrapesos, ya que para altas frecuencias los valores de impedancia no dependen de la longitud del contrapeso, y estos valores de impedancia a alta frecuencia gobiernan el comportamiento del pico de la señal de tensión.

La diferencia se hace notoria en la cola de la señal, parte que es gobernada por los valores de impedancia a frecuencias más bajas. Estas diferencias se ven traducidas en energía, ya que el área bajo de las curvas son diferentes cuando varían las longitudes de conductor.

b. Tensión en contrapeso de 60 m

Para evaluar las diferencias de potencial que se presentan en un mismo conductor, se va tanto a simular un contrapeso de 60 m de largo como a mostrar las tensiones en sus extremos y en su punto central. La señal de corriente es tipo rayo de forma de onda 1/20 µs de 1kA de amplitud pico. El contrapeso está enterrado a una profundidad de 0.6 m, el radio es 0.01 m y el terreno fue modelado con una resistividad de 100 Ω*m y una permitividad εr = 36.

Figura 39. Magnitud de tensión en diferentes puntos a lo largo de un contrapeso de 60 m

Se pueden observar las diferencias de tensión que se presentan en el mismo conductor y los retrasos que hay entre las diferentes señales debido al tiempo que le toma a la señal recorrer esas distancias.

Estos resultados permiten identificar que en los estudios transitorios de puestas a tierras no se obtiene una característica equipotencial entre los equipos conectados a los electrodos.

c. Tensión en malla

Para este análisis se van a considerar dos puntos diferentes de inyección de corriente en una malla de 24 x 24 m. Los puntos de inyección son una esquina y el centro de la malla, tal como aparece en la siguiente figura.

Figura 40. Puntos de inyección de la corriente en una malla de 24 x 24 m

La malla está enterrada a 0.5 m de profundidad y el terreno fue modelado con una resistividad de 100 Ω*m y una permitividad εr = 36. La señal de corriente es tipo rayo de forma de onda 1/20 µs de 1kA de amplitud pico.

Figura 41. Magnitud de tensión en los puntos de inyección para la malla de 24 x 24 m

La diferencia entre aplicar la corriente en el centro o en una esquina radica en el área efectiva de dispersión de corriente, la cual es mayor al ser el punto central de la malla. En este caso para una señal de 1 kA se presentaron diferencias de 3kV en una malla de 24 m de lado. Este resultado se puede extrapolar para corrientes más grandes ya que el comportamiento es lineal.

Se aprecia que después de 50 µs, la tensión de los dos casos simulados es la misma, esto debido a que para bajas frecuencias toda la malla tiene un único valor de tensión sin importar el punto de inyección de corriente.

d. Diferencias de tensión en una malla

Finalmente se realizaron las comparaciones entre los potenciales transitorios en diferentes puntos de una malla de tierra de 24 x 24 m. Las características de la malla y el terreno son las mismas del ejemplo anterior.

Figura 42. Puntos de evaluación de la tensión en una malla de 24 x 24 m cuando la corriente se inyecta en el centro de la misma

El punto de inyección de corriente es el centro de la malla y en colores aparecen los puntos en que se observaron los potenciales en la figura anterior.

Figura 43. Magnitud de tensión en los puntos de la malla de 24 x 24 m para inyección de corriente en el centro

Nuevamente se aprecian las diferencias de potencial entre diferentes puntos del mismo sistema y las consecuencias de esta no equipotencialidad de puntos, que pueden tener conexiones en común.

3.2.4. Recomendaciones del análisis transitorio

En los análisis transitorios existe dependencia del punto de inyección de la corriente.

No se debe usar longitudes de contrapesos mayores a 80 m en suelos con resistividades cercanas a 1000 Ωm para desempeño ante fenómenos transitorios, y no mayor a 30 m en suelos con resistividades cercanas a 100 Ωm.

Usar longitudes de contrapeso de mayor longitud disminuye la energía de la señal de tensión transitoria, pero no disminuye el valor pico de la señal.

La impedancia en una malla de puesta a tierra es más alta en los bordes de la misma. Esto debe ser considerado para la ubicación de bajantes de cables de guarda.

Una malla de mayor área modifica la impedancia en baja frecuencia, pero no en alta frecuencia.

Una grilla más densa no cambia el valor de la impedancia de tierra.

Notas

²⁴ Estos radios no corresponden a valores de calibres de conductores comerciales. Este ejemplo se realiza para observar el porcentaje de variación de la resistencia de puesta a tierra con el parámetro radio del conductor.

REFERENCIAS

[1] G. Alaguna y L. Orjuela, Modelos de puesta a tierra por computador. Proyecto de Grado (Ingeniero Electricista), Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 1989.

[2] ANSI/IEEE Std 80-1986. “IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding”. IEEE Inc., New York, 1986.

[3] F. Dawalibi y N. Barbeito, “Measurements and Computations of the Performance of Grounding Systems Buried in Multilayer Soils”, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 6, n.o 4, pp. 1483-1490, October 1991.

[4] F. Dawalibi y D. Mukhedkar, “Multi-Step Analysis of Interconnected Grounding Electrodes”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-95, n.o 1, pp. 113-119, January/February 1976.

[5] F. Dawalibi y D. Mukhedkar, “Optimum Design of Substation Grounding in Two-Layer Earth Structure - Part I, Analytical Study”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-94, n.o 2, pp. 252-261 March/April 1975.

[6] F. Dawalibi y D. Mukhedkar, “Optimum Design of Substation Grounding in Two-Layer Earth Structure - Part II, Comparison Between Theoretical and Experimental Results”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-94, n.o 2, pp. 262-266, March/April 1975.

[7] F. Dawalibi y D. Mukhedkar, “Resistance Calculation of Interconnected Grounding Electrodes”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-96, n.o 1, pp. 59-65, January/February 1977.

[8] F. Dawalibi, D. Mukhedkar y D. Bensted, “Measured and Computed Current Densities in Buried Ground Conductors“, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-100, n.o 8, pp. 4083-4092, August 1981.

[9] EPRI, “Transmission Line Grounding”, Project 1494-1, Final Report, October 1982.

[10] K. A. Ewy y H. A. Smolleck, “A Graphical Explanation of the Resistance and Surface-Potential Calculations for Grounding Systems in Two-Layer Earth”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 103, n.o 3, pp. 631-637, March 1984.

[11] R. García M., La puesta a tierra de instalaciones eléctricas y el R.A.T. Barcelona: Marcombo, 1991.

[12] C. González y J. Sánchez, Modelamiento de contrapesos en sistemas de puesta a tierra. Proyecto de Grado (Ingeniero Electricista). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 1998.

[13] R. J. Heppe, “Computation of Potencial at Surface above an Energized Grid or other Electrode, Allowing for Non-Uniform Current Distribution”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 98, n.o 6, pp. 1978-1989, November/December 1979.

[14] R. J. Heppe, “Step Potentials and Body Currents near Grounds in Two-Layer Earth”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 98, n.o 1, pp. 45-59, January/February 1979.

[15] P. Kouteynikoff, “Numerical Computation of the Grounding Resistance of Substations and Towers”. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 99, n.o 3, pp. 957-965, May/June 1980.

[16] A. P. Meliopoulos, R: P. Webb, y E. B. Joy, “Analysis of Grounding Systems”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 100, n.o 3, pp. 1039-1048, March 1981.

[17] V. S. Menshikov, M. E. Calzadilla & O. Montes, Exploración Eléctrica. Tomo II. Pueblo y Educación. Ciudad de la Habana: Playa, 1990.

[18] D. Mukhedkar, Y. Gervais y J. DeJean “Modeling of a Grounding Electrode”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 92, n.o 1, pp. 295-297, January 1973.

[19] D. Mukhedkar, Y. Gervais y J. DeJean “Modelling of Potential Distribution around a Grounding Electrode”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 92, n.o 5, pp. 1455-1459, September/October 1973.

[20] R. P. Nagar, R. Velázquez, M. Loeloeian, D. Mukhedkar, & Y. Gervais, “Review of Analytical Methods for Calculating the Performance of Large Grounding Electrodes. Part I: Theoretical Considerations”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 104, n.o 11, pp. 3124-3133, November 1985.

[21] R. P. Nagar, R. Velázquez, M. Loeloeian, D. Mukhedkar & Y. Gervais, “Review of Analytical Methods for Calculating the Performance of Large Grounding Electrodes. Part II: Numerical Results”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS 104, n.o 11, pp. 3134-3141, November 1985.

[22] T. Takahashi y T. Kawase, “Calculation of Earth Resistance for a deep-driven rod in a Multi-Layer Earth Structure”, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 6, n.o 2, pp. 608-614, April 1991.

[23] B. Thapar, V. Gerez, A. Balakrishnan & D. Blank, “Evaluation of Ground Resistance of a Grounding Grid of any shape”, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 6, n.o 2, pp. 640-647, April 1991.

[24] B. Thapar y S. Goyal, “Scale Model Studies of Grounding Grids in Non-Uniform Soils”, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 2, n.o 4, pp. 1060-1066, October 1987.

[25] L. Grcev y F. Dawalibi, An Electromagnetic Model for Transients in Grounding Systems, IEEE Transaction on Power Delivery, vol. 5, n.o 4, pp. 1773-1780, November. 1990.

[26] L. Grcev, Computer Analysis of Transient Voltage in Large Grounding Systems, IEEE Transaction on Power Delivery, vol. 11, n.o 2, pp. 815-823, April. 1996.

[27] L. Grcev y V. Arnautovski, “Electromagnetic Transients in Large and Complex Grounding Systems”, IPST’99-International Conference on Power Systems Transients, June 20-24, 1999, Budapest-Hungary, pp. 341-345.

[28] L. Grcev y D. Hristov, “More Accurate Modelling of Earthing Systems Transient Behaviour”, S.25.B Compatibilite Electromagnetique.

[29] L. Grcev, “Numerical Analysis of the Transient Voltages Near Grounding Systems”, ICLP 1992- International Conference on Lightning Protection, Berlin-Germany, September 21-25, 1992. pp. 105-110.

[30] L. Grcev, “Computation of Transient Voltages Near Complex Grounding Systems caused by Lightning Currents”, IEEE.

[31] L. Grcev. y F. E. Menter, “Transient Electromagnetic Fields Near Large Earthing Systems”, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 32, n.o 3, pp. 1525-1528, may 1996.

[32] F. E. Menter y L. Grcev, “EMTP-Based Model for Grounding System Analysis”, IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 9, n.o 4, pp. 1838-1849, October 1994.

[33] T. Takashima, T. Nakae & R. Ishibashi, “High Frequency Characteristics of Impedance to ground and Field Distributions of Ground Electrodes”, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, vol. PAS-100, n.o 4, pp. 1893-1900, April 1981.

[34] C. W. Chuang y J. H. Richmond, “ New Expression for Mutual Impedance of Nonplanar-Skew Sinusoidal Monopoles”, IEEE Transactions on Antennas and propagation, vol. 38, p. 275-276, February 1990.

[35] A. Oppenhaim y A. Willsky, Señales y Sistemas. Ed. Prentice-Hall Hispanoamericana.

[36] E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform and its Applications. Ed. Prentice Hall, 1988.

[37] L. Gallego, J. Montaña & A. Tovar, Desarrollo de un programa de computador para el análisis de mallas de puesta a tierra para tensiones AC y DC”. Proyecto de Grado (Ingeniero Electricista). Bogotá:Universidad Nacional de Colombia, 1999.

[38] J. Montaña, Estudio Teórico-experimental de una malla de puesta a tierra hasta impulsos de alta frecuencia (Hasta 500 kHz). Tesis de Maestría. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 2002.

[39] A. Sarmiento y A. Marín, Descripción del modelo electromagnético híbrido e implementación en una herramienta de software. Proyecto de grado (Ingeniero Electricista). Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. 2005.

[40] J. Montaña, Puestas a tierra. Variación de los Parámetros Eléctricos del Terreno con la Frecuencia y Software para el Cálculo de Potenciales Transitorios. Tesis de doctorado. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 2006.

[41] Carl T. A. Johnk, Teoría electromagnética – campos y ondas. México: Ed. Limusa, 1994.

[42] S. Shelkunoff y H. Friis, Antennas Theory and Practice. John Wiley & Sons, 1952.

[43] John D. Kraus, Antennas, 2th Edition, Mc Graw Hill, 1988.

[44] Balanis C. A. Antenna Theory – Analysis and Design. Ed. John Wiley & Sons, 1982.

[45] G. Enríquez, Técnica de las altas tensiones – estudio de sobretensiones transitorias en sistemas eléctricos y coordinación de aislamiento Vol. II. México: Ed. Limusa, 1987.

[46] O. C. Zienkiewic y K. Morgan, Finite Elements and Approximation. John Willey & Sons, 1983.

[47] S. F. Visacro (1992): Modelagem de Aterramentos Elétricos. Coordenação dos Programas de Pós-Graduação da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ).

[48] M. A. Oliveira (2001): Modelo Electromagnético para Descontaminaçao de Ondas de Corrente de Descargas Atmosféricas: Aplicaçao as Mediciones da Estaçao do Morro do Cachimbo. Universidad Federal de Minas Gerais (Brasil).

[49] S. F. Visacro, “Modeling of Earthing Systems for Lightning Protection Applications, Including Propagation Effects”. International Conference on Lightning Protection ICLP. Berlin-Germany,1992.

[50] S. F. Visacro y F. H. Silveira, “Evaluation of Current Distribution Along the Lightning Discharge Channel by a Hibrid Electromagnetic Model”, Journal of Electrostatic n.o 60 pp. 111-120, 2004.

[51] J. Krauss, Electromagnetismo, 1986.

ANEXO

VALIDACIÓN DE PROGRAMAS DE SIMULACIÓN

Las metodologías de análisis descritas en los capítulos uno y dos fueron implementadas en programas de simulación con el propósito de verificar los modelos y poder contar con una herramienta de análisis de puestas a tierra que proporcionara resultados en los análisis de ingeniería.

El análisis en baja frecuencia fue estudiado en un proyecto de grado de la Universidad Nacional de Colombia [37] y fue implementado en un software llamado GMT. El modelo electromagnético híbrido fue analizado en conjunto en un proyecto de grado [39] y una tesis de doctorado [40] de la misma universidad y fue implementado en un programa llamado UN_PAT.

A continuación se presentan algunos ejemplos de verificación que demuestran el buen grado de aproximación de los resultados de estos programas con datos experimentales y teóricos para después mostrar algunos casos prácticos.

A. ANÁLISIS EN BAJA FRECUENCIA

Ejemplo 1: Malla uniforme con varillas en suelo de dos capas

Se presenta el ejemplo planteado en la norma IEEE-80 [2] la cual utiliza el programa SGA¹. También se presentan los resultados del programa TecAt IV Plus para el mismo ejemplo. La configuración de la malla² se muestra en la figura 44.

Características del suelo

Resistividad de la capa 1 |  | : |  | 300 Ω⋅m
Resistividad de la capa 2 |  | : |  | 100 Ω⋅m
Espesor de la capa 1 |  | : |  | 4.572 m

Figura 44. Configuración de la malla del ejemplo 1

Características de la malla

Longitud |  | : |  | 60.96 m
Ancho |  | : |  | 60.96 m
Profundidad de enterramiento |  | : |  | 0.5 m
Número de varillas |  | : |  | 9
Longitud de las varillas |  | : |  | 9.144 m
Radio de los conductores |  | : |  | 0.005 m
Radio de las varillas |  | : |  | 0.00635 m

Parámetros de simulación

No. de segmentos de conductores paralelos al eje x |  | : |  | 12
No. de segmentos de conductores paralelos al eje y |  | : |  | 12
No. de segmentos de varillas |  | : |  | 2
Corriente inyectada a la malla |  | : |  | 1000 A

La tabla 2 presenta los resultados de la resistencia de puesta a tierra (Rg) y la elevación de potencial de la malla (GPR) para esta configuración.

Tabla 2. Comparación de resultados – ejemplo 1

En general, los valores encontrados con el programa GMT concuerdan con los resultados de las fórmulas, métodos y programas presentados. Con respecto a otros métodos y programas las diferencias no son apreciables. No se puede calcular un error relativo puesto que no hay ningún valor verdadero y los resultados en cada caso dependen del método usado (derivado con ciertas suposiciones), el algoritmo adoptado y el número de segmentos utilizados.

Ejemplo 2: Densidad de corriente de un conductor en suelo de dos capas

Se comparan los resultados obtenidos para las densidades lineales de corriente en pruebas de laboratorio [8], con los resultados del programa GMT.

Los parámetros del ejemplo son:

Longitud |  | : |  | 20 m
Radio |  | : |  | 0.16 m
ρ1 |  | : |  | 1 Ω⋅m
ρ2 |  | : |  | 1000 Ω⋅m

Los resultados se presentan³ en la figura 45.

Figura 45. Densidad lineal de corriente (medida y calculada) y resultados del programa GMT

B. ANÁLISIS TRANSITORIO

Con el propósito de validar los resultados del programa con datos experimentales se realizó un trabajo conjunto con la Universidad Politécnica de Catalunya. La prueba consistió en aplicar una señal transitoria de corriente obtenida de un generador portátil a un electrodo vertical de 1.5 m de longitud y 15 mm de radio, con su extremo superior a nivel de la superficie. Se midió la tensión en el punto de inyección de la corriente. Un electrodo de 20 cm de longitud fue ubicado a 20 m en dirección horizontal del electrodo bajo estudio con el propósito de cerrar el circuito de inyección de la corriente. La corriente fue medida por medio de una bobina tipo Pearson ubicada en serie con el generador de impulso. Para la medición del potencial en el punto de inyección se ubicó un tercer electrodo de 20 cm de longitud a una distancia de 20 m del electrodo bajo estudio, en dirección opuesta al primer electrodo de 20 cm. Esta configuración fue diseñada con el propósito de no medir la caída de tensión presente en los cables del circuito de corriente y evitar acoples.

La resistividad del terreno fue obtenida por medio del método de Wenner y fue corroborada por medio de la medición de la resistencia de puesta a tierra a baja frecuencia ⁴. El valor medio de resistividad r que se obtuvo, fue 50.4 ρm. Debido a que no se realizó una medición del valor de la permitividad, en las simulaciones se asumió un valor de εr igual a 10 [40].

En las se presentan las curvas de corriente y tensión de la prueba y se muestra la comparación entre los resultados experimentales y los resultados teóricos obtenidos con el modelo electromagnético híbrido - MEH.

Una vez realizadas las comparaciones de las señales de tensión, se observa que los resultados son muy cercanos. Las diferencias que se pueden presentar pueden ser atribuidas a las impedancias de los cables de conexión, a la aproximación del valor de permitividad del terreno y a la variación de los parámetros del terreno con la frecuencia, que no se está considerando en los cálculos realizados con UN_PAT.

Figura 46. Señal de corriente de la prueba experimental

Figura 47. Señales de tensión en el punto de inyección de la corriente para la prueba experimental

¹ EPRI. Final Report EL-2682, vol. 2.

² Los puntos representan las varillas.

³ Para comparar la gráfica con la de la referencia, se han unido los puntos de las densidades lineales de corriente. Sin embargo, la gráfica debe ser discreta.

⁴ Conociendo el valor de la resistencia de puesta a tierra y la configuración, se puede calcular el valor de la resistividad del medio.