Kurt Gödel (1906-1978), el protagonista de este libro, dedicó su trabajo y una parte considerable de su vida al desarrollo de la ciencia de la lógica o de lo que podríamos llamar también fundamentos de matemáticas. Ésta es seguramente la única razón por la que nunca obtuvo un premio Nobel «la lógica no figura entre sus áreas de interés» y por la que nunca llegó a disfrutar de la fama que le hubiera correspondido en caso de haberse dedicado a ciencias más populares.

Quizá sea ésta la razón principal por la cual el símil con la figura de Sócrates surge de forma tan natural. Ambos son un referente que se oculta tras la obra de aquellos sobre los que influyeron de forma decisiva. Ambos deben ser citados y estudiados si se quiere entender la trama íntima de una época. Los dos están, en definitiva, arropados o sepultados, como se quiera ver, por el mito creado en torno a su vida y su pensamiento.

Así pues, en las páginas de este libro nos enfrentamos con la obra, y también en parte con la vida, de un genio de nuestro tiempo.

Enrique Alonso

Sócrates en Viena

Una biografía intelectual de Kurt Gödel

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Titivillus 15.03.2022

Título original: Sócrates en Viena: Una biografía intelectual de Kurt Gödel

Enrique Alonso, 2007

Editor digital: Titivillus

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A mis chicas

CONSEJOS ÚTILES PARA ABORDAR
LA OBRA DE UN GENIO DE NUESTRO TIEMPO

Kurt Gödel (1906-1978) dedicó su trabajo y una parte considerable de su vida al desarrollo de la ciencia de la lógica o de lo que podríamos llamar también fundamentos de matemáticas. Ésta es seguramente la única razón por la que nunca obtuvo un premio Nobel —⁠la lógica no figura entre sus áreas de interés⁠— y por la que nunca llegó a disfrutar de la fama que le hubiera correspondido caso de haberse dedicado a ciencias digamos más populares. Es cierto que existe, quizá por esto mismo, una considerable mística en torno a sus principales resultados. Mostrar conocimiento de la figura de Gödel, no digamos ya de los teoremas por los que es famoso, puede aportar, según las circunstancias, un fino toque de distinción a los contertulios más intrépidos. Aunque son muchos menos, como es normal, los que pueden valorar la importancia de su trabajo para nuestra tradición cultural y para su actual constitución e ideario. Quizá sea ésta la razón principal de que al proponerme este trabajo el símil con la figura de Sócrates haya surgido de forma tan natural. Ambos son un referente que se oculta tras la obra de aquellos sobre los que influyeron de forma decisiva. Ambos deben ser citados y estudiados si se quiere entender la trama íntima de una época. Los dos están, en definitiva, arropados o sepultados, como se quiera ver, por el mito creado en torno a su vida y su pensamiento. Y quizá ahí acaba el símil, ya que las capacidades dialécticas y sociales de uno y otro nada tienen que ver.

En estas páginas vamos a enfrentarnos con la obra y también en parte con la vida de un genio de nuestro tiempo. Dadas las dificultades presentes para gozar de una existencia plena sin haber batido ningún record, haber obtenido un premio o figurar en alguna de las innumerables listas del mérito que tanto abundan, me parece prudente advertir al lector de los riesgos existentes al enfrentarse a la figura de Gödel. Se trata, sin duda, de un personaje cuya luz ha brillado muy por encima de la media de su momento, no digamos ya del nuestro. Pero también es cierto que su época fue propicia a que mentes bien dotadas animadas por una gran curiosidad pudieran mostrar toda su fuerza creativa imponiendo sus puntos de vista en los foros científicos y académicos. Digo esto porque la obra de Gödel, al menos la de mayor impacto, es, como la de Einstein, extraordinariamente precoz. Sus mayores aportaciones estaban ya publicadas a la edad de 25 años. Pero no es un caso extraordinario. El periodo de entreguerras, el primer tercio del siglo XX en general, fue propicio a este tipo de precocidad intelectual. ¿Significa esto que nuestra época ha experimentado un claro deterioro de las facultades intelectuales de sus ciudadanos? Obviamente no.

Abordar la lectura de figuras tan sobresalientes suele provocar en los lectores —⁠me incluyo con todo el derecho⁠— reacciones que van desde los intentos de emulación a la frustración más absoluta. Es típico, por ejemplo, buscar en cada pequeño detalle biográfico alguna similitud con nuestra propia experiencia. Manías, hábitos y costumbres, temperamentos, todo vale. Se trata de ponernos en alguna medida en la senda del genio. No desde luego a su altura, pero sí en una suerte de complicidad capaz de animarnos en nuestra lucha interna por la excelencia. Quienes se frustran, y no son pocos, suelen fijarse ante todo en las diferencias. Es un clásico entre la comunidad matemática el síndrome de los 25. Alcanzar esa edad sin haber realizado una aportación de mérito supone aceptar el fin de tu carrera, al menos de aquel tipo de carrera a la que se reservan todos los honores.

Lo que pretendo con estas consideraciones es proponer al lector el abandono de todos estos prejuicios para enfrentarse a este trabajo en una mejor disposición de ánimo. No hace falta un gran dominio de la historia de las ideas para apreciar con total claridad que no existe un método que guíe de forma infalible al éxito intelectual. Ni las épocas son comparables ni lo son las biografías de las personas. No renunciar a los prejuicios que afectan nuestra interpretación de las grandes figuras del pensamiento puede suponer malograr momentos de gran valor intelectual o estético. Propongo que disfrutemos de la obra de Gödel con la tranquilidad que proporciona el sentir que nuestra tarea es otra. Aunque para ello nos venga muy bien, eso sí, entender cuál fue la labor de Gödel y de sus contemporáneos.

Los capítulos en que se divide este trabajo se ajustan en general al análisis de lo que son sus principales logros pero siguen también un cierto orden cronológico. El primer apartado nos va a llevar al contexto intelectual de una de las épocas más intensas de la historia reciente de las ideas. Veremos lo que se discute en la Viena de entreguerras remontándonos a los episodios finales del siglo XIX, es decir, a la propia refundación de la lógica contemporánea. Aprovecharemos para situar los primeros años de formación de Gödel y se ofrecerán algunos detalles biográficos de interés: sus primeros estudios, sus habilidades, su vida universitaria y sus relaciones con los demás y con el amor. El segundo y tercer capítulos se dedican a sus dos aportaciones más renombradas: la completitud de la lógica elemental, y la existencia de proposiciones indecidibles de la aritmética. Se trata de su trabajo más característico antes de abandonar definitivamente la residencia en Viena por el exilio dorado de Princeton durante los primeros compases de la II Guerra Mundial. No insisto en ello porque, como cabe imaginar, constituye el grueso de esta obra. En ambos casos hay una cierta complejidad que es imposible obviar. Por ello he optado por intercalar detalles técnicos de interés para los más intrépidos con otros que permiten seguir la lectura sin perder el hilo aún cuando se ignoren las partes más complejas. Todos nos saltamos párrafos cuando creemos que no van a aportar nada a lo que buscamos en una obra. He pensado en ello y creo que un uso prudente de esta práctica es mejor que abandonar sin seguir adelante. Los detalles biográficos y las consideraciones filosóficas están intercaladas en todo el texto de forma más o menos regular. Perdérselos por culpa de un párrafo algo más formal sería una pena. El cuarto capítulo analizará la relación de Gödel con algunos de los protagonistas del nacimiento de la Teoría de la Computación así como sus puntos de vista al respecto. Este episodio conecta biográficamente con su exilio voluntario a los Estados Unidos y con el inicio de las relaciones personales que mantendría hasta su muerte. El quinto apartado estará dedicado a su interés por la teoría de conjuntos. Aunque lo cierto es que su tratamiento de uno de los problemas principales en ese ámbito, la denominada hipótesis del continuo, pertenece propiamente a la etapa vienesa, el tiempo dedicado posteriormente a refinar su resultado y la importancia que estos esfuerzos tuvieron para su concepción de la lógica y la filosofía ha aconsejado situarlo en el periodo americano. A finales de la década de 1940 Gödel aborda lo que siempre consideró una digresión, me refiero a las soluciones no estándar de las ecuaciones de campo. Sus incursiones en la teoría de la relatividad empiezan y terminan en ese punto, pero es recurrente referirse a ellas. Respetaremos su propia visión del asunto aparcando un tratamiento más detallado de ese aspecto de su obra. El último apartado tenía que estar dedicado a lo que podríamos llamar las reflexiones de Gödel como filósofo natural. Es muy poco lo que llegó a escribir sobre filosofía, y lo que realmente comunicó no parece informar de la importancia y alcance de sus opiniones. Mucho de lo que sabemos lo sabemos gracias a las referencias de Hao Wang, discípulo y cronista, quien aporta numerosas citas en varias obras que serán de uso común en este trabajo.

El tono de esta obra no es formal. Para comprobarlo lo mejor es que el lector eche ahora una ojeada —⁠si no lo ha hecho ya⁠— y compruebe la escasa presencia de fórmulas o de notación matemática. Alguna habrá, es inevitable en un trabajo de este tipo, pero se usará sólo cuando ello tenga un valor histórico o instrumental que lo justifique. No obstante, creo que es justo advertir al lector de la complejidad inherente de los temas que aquí se abordan. Por desgracia no hay una forma fácil de exponer las conclusiones obtenidas por Gödel. Un tratamiento superficial resulta insulso, pero el detalle se hace a menudo insoportable. Lo único que puedo decir es que lo he hecho lo mejor que he podido y sabido.

Gödel fue una persona obsesionada por el rigor pero con una manifiesta voluntad filosófica. Pensó y así lo creemos muchos, que los resultados de la moderna lógica matemática podían llegar a ofrecer mensajes de valor para un cierto modo de entender la filosofía. Una buena forma de rendir homenaje a su figura es retomando ese proyecto desde nuestro propio punto de vista teniendo en cuenta las exigencias del momento que nos ha tocado vivir: los prejuicios de nuestro tiempo, serían sus palabras. No quiero decir que no se hayan hecho interpretaciones generales de sus resultados. Las hay y muchas. Sin embargo, no siempre se han atendido con el rigor necesario o con la sensibilidad filosófica precisa. Esta obra intentará, siguiendo el ejemplo de otras de mayor mérito, cumplir el difícil equilibrio existente entre rigor formal y sensibilidad filosófica. Creo que hay todavía un largo camino que recorrer en esa dirección que apunta hacia lo que ya muchos empiezan a reconocer como una suerte de filosofía natural de nuevo cuño.

Quizá se entienda ahora que no pueda recomendar esta obra a nadie en concreto ni advertir sobre la conveniencia de cualesquiera conocimientos previos. Saber es mejor que ignorar, pero ello no arroja n este caso ningún consejo previo. Supondré que aquellos que se enfrentan a esta lectura lo hacen de motu proprio y en el deseo sincero de aprovechar para sus legítimos intereses lo que en sus páginas se pueda encontrar. Supondré, en fin, que todos somos sujetos racionales dotados del sano deseo de aprender cosas nuevas y de resolver otras, ya sean nuevas o viejas. Hacerlas entender debidamente es mi problema.

SUEÑOS IMPOSIBLES.
LA VIENA DE ENTREGUERRAS

La obra de Gödel, al menos la más conocida, parece estar inevitablemente asociada a una cierta decepción. Los objetivos que un amplio colectivo de lógicos, matemáticos y filósofos se fijaron a lo largo de los primeros años del siglo XX resultan frustrados gracias al puñado de páginas en que Gödel consigue mostrar la imposibilidad de satisfacerlos adecuadamente. Resulta irónico que aquél a quien veneramos hoy como una de las figuras indiscutibles de la lógica de todos los tiempos, a la altura de Aristóteles o Leibniz, alcanzara este reconocimiento por mostrar la imposibilidad de alcanzar unas determinadas metas y no más bien por resolver favorablemente algunas de las muchas preguntas que la comunidad matemática tenía planteadas en aquellos momentos. Pero quizá sea bueno que lo tomemos como una sutil metáfora del cambio que el siglo XX fue produciendo en las expectativas acerca que aquello que nos es dado conocer de forma clara y distinta. Pase lo que pase en el futuro no creo que podamos recuperar ya la ingenuidad que este y otros episodios nos hicieron perder.

Para comprender el sueño de la razón con cuyo fin se relaciona a Gödel tenemos que empezar nuestro relato en torno al último cuarto del siglo XIX. Durante esta época se empieza a configurar un ambicioso programa de investigación cuyo fin último es refundar la matemática de la época sobre unas bases absolutamente ciertas. Se trata, por tanto, de un proyecto que no sólo afecta al objeto de estudio, sino también al modo de acercarse a él. Y será en este punto, más que en el del propio contenido matemático de las teorías, en el que se van a centrar los problemas y |as discusiones que se prolongan hasta bien entrada la década de 1930. (Pero, ¿por qué esa obsesión por los fundamentos? Una interpretación muy extendida relaciona esta tendencia con la aparición de una serie de paradojas que habrían afectado a algunos de los conceptos más básicos del edificio de la matemática de la época. Y es verdad que resulta razonable verlo así. Ante un desafío de esa magnitud lo que corresponde es una profunda revisión de los fundamentos y una reconstrucción cuidadosa a partir de un aparato conceptual convenientemente depurado de toda ambigüedad. Pero lo cierto es que los datos son tercos y no coinciden plenamente con esta explicación, por plausible que parezca. Las paradojas que afectaron a las teorías matemáticas de finales del siglo XIX y principios del XX no fueron siempre la causa de la revisión de fundamentos que tuvo lugar entonces sino, en muchos casos, su consecuencia[1]. La paradoja de Russell, relativa al concepto de clase, o la de Richard, que afecta al acto de definir un objeto bajo determinadas condiciones —⁠de todo esto hablaremos mas adelante⁠— datan de los primeros años del siglo XX, algún tiempo después de que el programa de refundación hubiera echado a andar.

Parece claro que hay que buscar otro tipo de razones que expliquen esa manifiesta obsesión por los fundamentos de teorías que hasta entonces habían funcionado dentro de lo que cabía esperar de ellas. Quizá sea bueno tomar algo de perspectiva. Durante la segunda mitad del siglo XIX vieron la luz las obras de las que surgen teorías tan importantes como el marxismo, el evolucionismo y finalmente, ya casi en el propio siglo XX, el psicoanálisis. Son teorías que poco tienen en común salvo la vocación de explicar grandes ámbitos de la realidad a partir de un número muy reducido de principios. ¿Por qué no aceptar la existencia de un cierto tono general propicio al alumbramiento de grandes iniciativas teóricas de este tipo? Entender el programa de refundación del conocimiento matemático bajo esta perspectiva general puede ayudar a comprender mejor algunos de los acontecimientos de la época.

Si vamos a las causas concretas encontramos un cóctel de razones que actúan de forma combinada y no una única causa principal. En primer lugar, creo que es justo hablar de la importancia que en esa época ha adquirido la transmisión de conocimiento a través de los sistemas educativos reglados. La extensión de la formación superior desde universidades y escuelas técnicas crea un nuevo género: el libro de texto especializado. El reto planteado consiste en ofrecer a un gran número de personas acceso a teorías dotadas ya de una considerable sofisticación. Organizar los contenidos de una materia compleja de tal modo que aparente solidez lleva de forma casi inevitable a plantearse problemas reales en torno a su fundamentación. Dedekind, activo precisamente durante el último cuarto del siglo XIX, y responsable de buena parte de la refundación de la aritmética tradicional, confiesa que ésa fue la razón que le llevó a experimentar de forma clara la necesidad de revisar a fondo los conceptos y procedimientos básicos empleados hasta entonces en el cálculo.

La segunda razón que puede estar en el origen de esta tendencia aparece ligada a un episodio de mayor calado teórico. Me refiero a la aparición de las geometrías no-euclídeas durante la segunda mitad del XIX. Este descubrimiento vino a confirmar lo que se conoce como la independencia del quinto postulado de Euclides, precisamente el que establece que por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela a la misma. Desde antiguo se había creído que ese postulado o axioma debía poderse demostrar a partir de los cuatro restantes no siendo entonces independiente de ellos. Al mostrarse que este último puede ser reemplazado por otros distintos sin perdida de coherencia o contenido geométrico el canon euclídeo pierde parte de su privilegiada relación con la realidad.

La geometría euclídea, con quinto o sin él, había sido considerada desde siempre como un referente para cualquier intento de exponer con rigor y elegancia una teoría matemática. Organizada en torno a unos pocos principios generales o axiomas y una serie de reglas de inferencia absolutamente elementales había permitido derivar todo el conocimiento relevante acerca de la geometría plana. La verdad de sus axiomas se sustentaba de forma ideal en aspectos absolutamente elementales de nuestra experiencia sensible. O lo hacía, al menos, al punto de poder ofrecer la misma realidad de nuestra intuición visual como un modelo plausible de sus axiomas. La geometría euclídea era cierta porque la realidad ofrecía un modelo fehaciente de lo que en ella se afirma. Pero, ¿qué pasa cuando se muestra la existencia de otros sistemas geométricos igualmente aceptables desde el punto de vista formal pero carentes de significado material explícito? Esta extraña sensación empezó a extenderse entre la comunidad matemática a partir seguramente de la versión francesa del original de Lobachevsky[2] en el que se fijan los axiomas de una geometría, la hiperbólica, en la que el quinto de Euclides no se cumple. La correspondencia de los axiomas de una teoría con la realidad material no parece ser ya el fundamento único de su verdad, pero si esto es así, ¿qué criterio nos queda para aceptar teorías? Esta cuestión hizo que se reparase cada vez más en ciertas cualidades formales progresivamente alejadas de la intuición y que incluso se viera en las apelaciones a la percepción y el sentido común una guía poco fiable a la hora de aproximarse a conceptos matemáticos de cierto valor. Es este alejamiento de la intuición y la creciente valoración de los aspectos puramente formales de las teorías lo que nos interesa considerar ahora.

La tercera causa que debe ser tenida en cuenta en todo este complejo proceso se relaciona con una corriente muy general de pensamiento a la que se suele denominar la filosofía de la sospecha. Las doctrinas tradicionalmente inscritas bajo esta etiqueta son el marxismo, el psicoanálisis y la filosofía vitalista de Nietzsche. Pero con el tiempo se ha ido ampliando su alcance hasta incluir todas aquellas teorías que se caracterizan por identificar algún tipo de fenómeno muy concreto como fuente persistente de error y confusión en todo lo que afecta al ejercicio del pensamiento, de ahí la alusión a la sospecha. En el caso que nos interesa, esa fuente de error es el lenguaje ordinario, o más bien su uso irrestricto en contextos científicos. La obsesión por el uso de lenguajes expresamente diseñados, fabricados, para evitar toda ambigüedad resulta especialmente llamativa en Frege, a quien debemos buena parte de la moderna refundación de la lógica, y a Peano, cuya notación aún pervive en la que se emplea de forma general en la actualidad en el ámbito de la lógica y la matemática. No son los únicos, aunque sí fueron quizá los primeros en proponer el uso de lenguajes formalizados como nueva forma de expresar el contenido de cualesquiera teorías —⁠pero de ellos hablaremos en breve⁠—. No se trata tan sólo de refinar los medios ya existentes, sino de diseñar un medio de expresión al completo capaz de representar sin opción alguna a la ambigüedad cualquier tipo de contenido y no sólo el de una teoría matemática particular. Este afán conecta de forma reconocida con un viejo ideal muy bien asentado en nuestra tradición filosófica. Me refiero al amplio programa trazado en el siglo XVII por Leibniz en torno al diseño de una characteristica universalis, es decir un lenguaje en el que expresar todo conocimiento

posible dotado además de recursos suficientes como para resolver en su interior toda posible controversia acerca de la verdad de sus afirmaciones.

El cuarto componente a tener en cuenta se relaciona directamente con el que acabamos de comentar. De hecho, viene de la mano. Mientras los contenidos de una teoría se expresan en el lenguaje ordinario resulta muy difícil poner orden en los mecanismos que en cada caso se emplean para derivar nuevos contenidos a partir de otros previamente aceptados. Los procedimientos de prueba admitidos sufren, en definitiva, de las mismas ambigüedades detectadas en la propia expresión de los contenidos de la teoría. La discusión acerca de las técnicas y principios legítimos para derivar las consecuencias que se siguen de una determinada colección de postulados adquiriere a finales del XIX y principios del XX una importancia realmente inusitada. Determinar los recursos admisibles en cada caso constituye una labor absolutamente determinante para juzgar la buena fundamentación de una teoría, hallar esa pequeña colección de reglas del entendimiento absolutamente seguras e incapaces por tanto, de conducirnos de proposiciones verdaderas a otras menos ciertas se vuelve una tarea urgente. Estas reglas serán, por su generalidad, principios comunes a cualquier teoría y por tanto sólo ligadas a la estructura formal del lenguaje en el que hemos decidido expresar sus postulados. No podemos confiar ya en principios que dependan del contenido específico de aquello de que se trata. Los principios ciertos del entendimiento tienen que ser absolutamente generales y abstractos. El debate, como ya he dicho, se inicia entonces, pero sólo ha empezado a amainar recientemente, casi un siglo después de que tuvieran lugar las primeras discusiones, y no precisamente porque se haya zanjado, sino más bien por agotamiento.

Todas estas razones se podrían resumir bastante bien en la substitución del concepto informal o ingenuo de teoría por el de teoría formalizada, al menos como expresión ideal de nuestro conocimiento cierto. Una teoría formalizada no se expresa, como parece obvio, en el lenguaje ordinario, sino en un lenguaje formal previamente definido con todo rigor. Sus proposiciones tampoco pueden ser consideradas ya como un conglomerado de verdades organizadas según algún criterio de prioridad más o menos conveniente. Los enunciados que componen una teoría formalizada sólo pueden ser de dos tipos: o bien son axiomas y por tanto se aceptan como verdades no demostradas, o son teoremas obtenidos a partir de aquéllos —⁠de forma mediata o inmediata⁠— mediante el uso de una colección bien definida de reglas de inferencia. Estas reglas, finalmente, constituyen procedimientos de inferencia aplicables directamente a los símbolos del lenguaje formal sobre el que se opera. Son reglas que transforman signos en signos del mismo lenguaje ignorando por completo cualquier apelación al significado de aquello que se simboliza.

El concepto de teoría formalizada no se sostiene pues sin una profunda comprensión de los recursos de los lenguajes formales y las reglas de transformación —⁠inferencia⁠— basadas en ellos. No se entiende, en definitiva, sin una interpretación adecuada de los recursos y alcance de la ciencia de la lógica. Es justo pues que el segundo episodio de esta narración se dedique a la refundación experimentada por esta disciplina durante el último tercio del siglo XIX y el primero del XX.

Los fines, métodos y contenidos de la lógica no siempre son fáciles de entender y menos aún de explicar. No suele ser necesario aclarar qué es lo que uno realmente hace cuando su profesión es la medicina, la arquitectura o incluso la física o las matemáticas, pero cuando uno es lógico… Se pueden entender por tanto las numerosas bromas e ironías que circulan al respecto. Una de las más misericordiosas es aquella que la define como la ciencia que nos enseña, a llegar con todo rigor y corrección a conclusiones falsas haciendo además que nos sintamos muy orgullosos de ello. Sea como fuere lo cierto es que siempre ha habido lógica. Desde que se reuniera en el Organon los opúsculos compuestos por Aristóteles y sus discípulos para analizar las formas absolutamente generales de la argumentación correcta ha habido lógica. Y ésta no ha cambiado además su definición y objetivos aunque apenas haya mantenido nada más del aspecto que tuvo en otros tiempos. Por tanto es absolutamente asumible en la actualidad una definición que haga de la lógica la ciencia que analiza la argumentación correcta teniendo en cuenta tan sólo su forma o estructura.

Un argumento es cualquier relato en el que podemos distinguir unas premisas de las que se sigue una determinada conclusión. Pero, ¿a qué denominamos estructura o forma de un argumento? Quizá sea mejor empezar con un ejemplo. Considérese el siguiente argumento: “Las personas amables siempre hacen felices a quienes les rodean. Aquellos que son felices suelen envejecer más tarde llegando incluso a vivir más años. Juan lleva casado más de 20 años con Laura que es la persona más amable que conozco. No me extrañaría nada por tanto que Juan llegara a los 100”. ¿Qué se juega en este argumento? ¿Realmente estamos hablando de la edad, el matrimonio y las virtudes morales de las personas, o más bien del modo en que ciertas propiedades se predican de individuos y se relacionan unas con otras? Si el lector aún cree que el contenido de las palabras, lo que ingenuamente calificaríamos como la sustancia del argumento, tiene algo que ver en el modo en que se llega a la conclusión le sugiero que cambie términos como “ser feliz”, “envejecer más tarde…”, etc., por otros de su elección. O aún mejor, que los reemplace por variables que aludan a cualquier propiedad similar que pueda ocupar su lugar. El resultado es el mismo, la conclusión se sigue de las premisas con la misma necesidad que antes. ¿De qué elemento depende esa certeza, identificable con la necesidad, qué hace que concluyamos algo que no está explícitamente dado, a partir de una colección de proposiciones previamente consideradas? Determinarlo más allá de toda duda es, precisamente, la tarea de la lógica.

Estas consideraciones pueden parecer extremadamente elementales ya que toda persona más o menos informada tiene alguna noticia acerca del tipo de partículas con las que se puede construir un argumente lógico. Lo que quizá ya no resulte tan obvio es responder a la siguiente pregunta: ¿existe un catálogo definitivo de partículas a las que quepa asignar esa función? La primera propuesta conocida corrió a cargo de Aristóteles y su escuela recibiendo el nombre de silogística. La Silogística es en realidad un compendio de esquemas inferenciales cuyo uso garantiza la obtención de argumentos lógicamente aceptables: “si A es B y B es a su vez C, entonces A es C”. La lista ha variado algo a lo largo del tiempo pero supuso un estándar durante sus casi 20 siglos de vigencia. En el lenguaje de la silogística sólo se manejan relaciones entre lo que hoy denominaríamos clases —⁠A, B y C en el ejemplo⁠—, de éstas se puede afirmar o negar uno de estos dos hechos: que todo A sea B y que algún A sea B. El resto es cuestión de pura combinatoria. El uso práctico de este formato para la descripción de las partículas relevantes desde un punto de vista lógico fue acumulando, como suele pasar casi siempre, un número de anomalías que fueron extendiendo un sentimiento de insatisfacción con respecto a su utilidad real. Las iniciativas desarrolladas por Leibniz en el siglo XVII indican que incluso en un momento tan temprano como ése ya existía una buena base para replantearse los fundamentos de la lógica tradicional aristotélica.

Pero la auténtica refundación de la lógica sobre principios enteramente distintos sólo tiene lugar a partir de la segunda mitad del XIX. Existe un sobrado consenso a la hora de señalar dos autores como principales responsables de este proceso de cambio. Se trata de un británico, George Boole y un alemán, Gotlob Frege. Pero es este último el que, quizá por la orientación última de este trabajo, destaca claramente. Frege publica en 1879 una obra, no muy larga ciertamente, que lleva por nombre Conceptografía —⁠traducción literal de Begriffischrift⁠— y en cuyo subtítulo se la presenta como un “lenguaje formal, modelado a partir del de las matemáticas, para el pensamiento puro”. El gran mérito de esta obra, realmente difícil de leer y entender, es haberse replanteado el marco conceptual en el que la lógica se había venido moviendo desde su fundación aristotélica. Como ya he dicho, la silogística sólo habla de clases y de sus relaciones respectivas —⁠inclusión e intersección no-vacía⁠—. No permite considerar, como hemos hecho en el ejemplo sobre la longevidad de Juan, la atribución de una propiedad a un individuo y mucho menos aún afirmaciones acerca de las relaciones que dos o más individuos mantienen entre sí. Establecer un marco formal en el que este tipo de proposiciones se integren adecuadamente puede parecer fácil en principio, pero nada más lejos de la realidad. Frege supo hacerlo y ése es su mayor mérito. El resultado es lo que hoy llamamos, en terminología actual, el lenguaje de la lógica de primer orden. Todas las consideraciones que quedan por hacer aquí se refieren al alcance, potencia y propiedades de este lenguaje. Creo que eso pueda dar idea de su importancia.

Frege y con él algunos otros —⁠Russell de forma destacada⁠— vieron en esta nueva configuración la oportunidad de obtener un lenguaje con suficiente potencia como para expresar en su interior toda la matemática de la época. Un vistazo a cualquier manual de lógica elemental permite hacerse idea de hasta qué punto éste es un medio realmente universal de expresión. Las bondades del lenguaje recién descubierto, la evidencia con la que las reglas de inferencia consideradas pueden sel aplicadas para obtener conclusiones correctas, llevaron, de hecho, a un programa mucho más ambicioso. Frege primero, y Russell después creyeron posible reducir la matemática, la aritmética en el caso de Frege, a pura lógica. Este intento, conocido como logicismo, pronto se mostró inviable, pero ése no es ahora nuestro problema.

La obra de Frege no tuvo una repercusión inmediata ni desde luego le granjeó el éxito en vida. Del simbolismo originalmente empleado en la Conceptografía no queda nada, lo que da ya idea del mucho trabajo que media hasta llegar al estado que en la actualidad presenta la lógica. La gran suerte de Frege fue, sin duda, haber atraído la atención da un joven Russell en pleno proceso creativo. El impacto que Frege produjo en esta especie de genio universal bastó para que junto con Whitehead, Russell se embarcara a lo largo de la década de 1910 en la comí posición de lo que más tarde sería considerado como el canon de la lógica contemporánea: los Principia Mathematica. Los sistemas lógicos presentados en aquella obra, pero inspirados en el trabajo original de la Conceptografía, son los que van a suscitar las grandes cuestiones sobre las que finalmente se pronuncia la obra de Gödel. De ahí su importancia para todo lo que sigue.

No creo que si el azar hubiera querido que Russell no llegara a conocer a Frege la historia hubiera tenido un final muy distinto. La tendencia estaba tan claramente marcada que antes o después se hubiera acabado por diseñar algo muy parecido a lo que hoy es la lógica matemática moderna. En Italia Giuseppe Peano trabajaba en una línea bastante parecida a la de Frege aunque en un estilo algo diferente y mucho menos riguroso. En 1889 publica sus Arithmetices principia, novo methodo exposita compuestos —⁠en lo que parece una especie de impulso romántico[3]⁠— en latín. En esta obra se hace uso de un formalismo menos estructurado, pero también más eficiente, para representar los axiomas de la aritmética, en un intento de asimilar esta materia al canon de rigor conocido para la geometría. El resultado es lo que hoy conocemos como Aritmética de Peano y constituye la teoría sobre la que Gödel trabajaría hasta obtener los resultados que le llevaron a la fama. El valor de Peano consiste precisamente en haber ensayado con éxito el intento de aislar los principios básicos —⁠axiomas⁠— de una teoría matemática hasta entonces altamente intuitiva y de emplear para ello un lenguaje formal con categorías bien definidas. Su tratamiento no llega a dar como resultado una teoría plenamente formalizada al dejar sin una completa sistematización los recursos admitidos para generar pruebas dentro del sistema, que aún son plenamente intuitivos e informales. Pero las bases están ya sentadas para ello.

El contexto intelectual en el que se formaría Gödel empieza a definirse ahora con cierta claridad. Falta, sin embargo, una pieza casi fundamental, una influencia absolutamente determinante para la ma temática de la época. David Hilbert termina su formación en la Universidad de Königsberg en torno a 1885 doctorándose con una tesis dedicada a la teoría de invariantes. Permaneció en aquel centro ocupando distintos cargos docentes hasta que en 1895 marchó a Göttingen, por mediación y consejo de Félix Klein, a ocupar la cátedra d matemáticas, puesto en el que se mantendría el resto de su carrera Pese a los muchos intereses desarrollados por Hilbert a lo largo de si vida intelectual lo que aquí nos importa sobremanera es su decisiva aportación al dominio de la geometría, en particular, su reintepretación de esta disciplina. En los Grundlagen der Geometrie —⁠Fundamentos de la Geometría⁠— publicados en 1899, lleva a cabo una presentación absolutamente rigurosa de esta disciplina empleando lo recursos expresivos y técnicas que el reciente desarrollo de la lógica había ido depositando en el ambiente. Se trata de una presentación axiomática —⁠21 axiomas⁠— de nuevo cuño en la que la evidencia sensible y las apelaciones a la intuición aparecen completamente reemplazadas por propiedades formales de un orden totalmente dis tinto. Una de sus maniobras más decisivas consiste en reconducir 1 geometría hacia el álgebra de coordenadas cartesianas. En álgebra la figuras planas se expresan siempre mediante una ecuación o sistema de ellas incluyendo pares de números para representar puntos. Un sistema geométrico no es ahora más real que el modelo algebraico sobre el que se interpreta. Esta operación tiene, sin embargo, coste evidentes. Para que un sistema de axiomas adquiera realidad, es decir, para que represente algo, ya no hay que acudir a una realidad material tangible. Un tanto a favor, pero tampoco basta con ofrecer un modelo definido sobre una teoría cualquiera. Ésta debe ser fundamentada a su vez de alguna otra forma, por medio de algún otro. Expediente. Hablaremos de ello en breve.

En 1900 se celebra en París el II Congreso de Matemáticas al que Hilbert acude presentando una comunicación de esas que a todo investigador le gustaría firmar alguna vez. El título original del texto es un escueto Mathematische Probleme y aparece publicado en la Gottinger Nachrichten antes de ser traducido al francés como Sur les problemes futurs des mathématiques y presentado en el congreso que acabo de mencionar. En esta comunicación Hilbert enumera los problemas que a su juicio se mantienen abiertos en la matemática de la época. La lista contiene 23 ítems cuya influencia en la investigación matemática posterior queda fuera de toda duda. Entre ellos hay un buen número, de hecho la mayoría, que pertenecen al dominio de lo que podríamos llamar matemática sensu estricto. Otros, sin embargo, tienen un aire algo distinto. Se refieren básicamente a las nuevas preguntas que surgen al someter teorías tradicionales al nuevo ideal formal que Hilbert ya ha ensayado en su presentación de la geometría, al alcance de ese método —⁠el sexto problema hace referencia, por ejemplo, a la posibilidad de axiomatizar toda la física teórica⁠— y también al papel que algunas conjeturas desempeñan en ámbitos especialmente básicos del edificio matemático —⁠la hipótesis del continuo que afecta a la teoría de conjuntos.

Pero, ¿qué cuestiones son esas que surgen a propósito de la reinterpretación formal del concepto ingenuo de teoría? Cuando una teoría solamente es una colección más o menos estructurada de verdades —⁠las verdades de esa teoría⁠— junto con algunos procedimientos pa.a comprobar sus consecuencias, hay ciertas cuestiones que, simplemente, no tiene sentido plantearse. La situación cambia y mucho cuando por teoría se entiende la clase de los enunciados que pueden obtenerse como consecuencias de una serie de axiomas mediante el solo uso de una colección finita y bien conocida de reglas de inferencia puramente formales —⁠lo que denominamos la clausura bajo consecuencia lógica del conjunto de axiomas⁠—. Para empezar hay que determinar si la teoría así obtenida es trivial o no lo es. Será trivial si simplemente contiene cualquier proposición posible, situación que surge cuando encontramos una fórmula y su negación entre las consecuencias de los axiomas. Si una teoría tiene entre sus consecuencias una proposición A y su negación no-A, el uso de la lógica elemental garantiza que cualquier otro enunciado B es compatible con los axiomas de esa teoría. Una regla lógica absolutamente básica afirma precisamente que de una contradicción se sigue cualquier cosa. Si una teoría es compatible con cualquier proposición posible entonces, simplemente no dice nada. Determinar que una teoría axiomatizada o formalizada no deriva contradicciones se conoce como el problema de la consistencia de esa teoría. Y es, con matices que comentaremos en breve, la sustancia del segundo de los problemas que Hilbert plantea en su comunicación de París da 1900. La consistencia de una teoría informal nunca puede ser establecida más allá de toda duda. Lo más que se puede constatar medianía su uso es la no aparición de contradicciones. Pero, ¿cómo establecen que una teoría formalizada es consistente? La geometría euclídea entendida al modo clásico recurría, por ejemplo, a constatar la existencia de un modelo de los axiomas, formado en este caso por nuestra intuición visual. Una teoría dotada de un modelo no puede ser inconsistente por la sencilla razón de que los modelos se suponen entidades libres de contradicción. Estos modelos vendrían a responden a fragmentos idealizados de la realidad en los que nunca se verifica un enunciado y su negación. Hilbert adoptó en parte esta estrategia cuando en los Grundlagen der Geometrie constata la consistencia de su axiomatización ofreciendo un modelo algebraico de la misma. Pero sucede que un modelo construido sobre otra teoría, el álgebra y con ello la aritmética, no resuelve por entero el problema, sólo lo cambia de lugar. Se hace preciso demostrar la consistencia de esa teoría pero esta vez sin recurrir a ningún otro expediente. Hilbert se irá convenciendo progresivamente de la posición estratégica que la teoría de números —⁠la aritmética elemental⁠— ocupa a la hora de obtener la fundamentación del todo el edificio matemático de la época llevándole a reclamar una demostración absolutamente independiente de su consistencia. La discusión de la consistencia de la versión axiomática de la aritmética —⁠basada en los axiomas de Peano⁠— tiene que proceder, en consecuencia, mediante técnicas radicalmente distintas. La evidencia de que de los axiomas y las reglas del sistema no se deriva contradicción alguna tiene que poderse obtener mediante una inspección directa de esas reglas y enunciados fundamentales y no mediante otro tipo de expedientes. Obtener una consecuencia de un conjunto de enunciados no es sino mostrar la existencia de una lista finita de fórmulas en la que cada una de las subsiguientes se obtiene a partir de las anteriores mediante una transformación de tipo puramente simbólico —⁠gracias al uso del formalismo lógico⁠—. El estudio de la consistencia de un sistema se transforma así en un análisis de sus capacidades para llevar a cabo ciertas pruebas[4], y en particular para imposibilitar demostraciones de una fórmula con el símbolo de negación antepuesto cuando existe ya una prueba para esa misma fórmula dentro del sistema. El problema se reconduce así a la capacidad de un sistema de reglas puramente simbólicas para introducir ciertos signos y no otros, procedimiento que Hilbert desarrolla de forma tentativa en época tan temprana como 1904. En Über die Grunglagen der Logik und Arithmetik —⁠texto correspondiente a la conferencia impartida en el III Congreso de Matemáticas celebrado esta vez en Heidelberg en agosto de 1904⁠— desarrolla por primera vez este procedimiento para un sistema lógico un tanto peculiar mostrando abiertamente su confianza en la novedad y valía del método adoptado, el cual incluye dentro de la nueva rama de la lógica matemática que decide bautizar como teoría de la prueba. La teoría de la prueba consistirá pues en el estudio de las propiedades formales de un sistema teniendo en cuenta sólo los símbolos en que se basa y las reglas admitidas para generar nuevas proposiciones a partir de otras dadas. Conseguir mostrar la consistencia de un sistema dentro del margen que ofrece la teoría de la prueba representa en cierto modo un máximo epistemológico. No hace falta recurrir a nada externo al propio sistema analizado, a teorías más básicas que la que se considera. La propiedad de la consistencia así entendida es un rasgo interno a la teoría derivado tan sólo de la atenta inspección de sus axiomas y reglas de inferencia. Este tipo de demostraciones reciben el nombre de demostraciones absolutas y son las que Hilbert reclama para un fragmento especialmente básico de la matemática, la aritmética elemental. En 1928 Hilbert y Ackermann consiguen aplicar con éxito el procedimiento en sus Grundzüge der theoretischen Logik —⁠Principios de Lógica teórica⁠— para mostrar la consistencia de la lógica elemental, pero esto no es en modo alguno suficiente, aunque sí un buen principio. El problema, mencionado por vez primera en la comunicación de París de 1900 es repetido con insistencia y algo más de elaboración en una conferencia que Hilbert imparte en 1928 y de la cual Gödel tuvo cumplida referencia, al punto de influir decisivamente en todo su trabajo posterior.

El segundo problema que surge a propósito de la consideración de una teoría formalizada es lo que hoy denominamos su completitud. Es obvio que cualquier conjunto de axiomas junto con las reglas de la lógica elemental es capaz de producir una teoría la cual, si no es trivial, siempre arroja una cierta cantidad de información. Ésta se mide simplemente por la capacidad de esa teoría para dividir las expresiones del lenguaje de referencia en dos clases: las proposiciones que forman parte de la teoría y las que no. Ahora bien, no toda teoría es en sí misma interesante. Supongamos que se nos ofrece una cierta colección de axiomas como supuestos postulados básicos de la aritmética elemental. Tras operar con ellos comprobamos que podemos derivar muchos teoremas…aunque entre ellos nunca figura uno que afirme que no existe un máximo para la clase de los números primos. Sabemos por razonamientos independientes que esa proposición es verdadera, pero no parece que forme parte de la teoría que hemos fabricado. En ese caso nuestra teoría axiomática será incompleta. La razón de hablar así es que en realidad siempre partimos de teorías intuitivamente aceptables formadas ya por colecciones de verdades que deseamos sistematizar reduciéndolas a un número, a ser posible finito, de axiomas y reglas de inferencia. Cuando conseguimos mostrar que el conjunto de axiomas y reglas permite derivar toda verdad de la teoría previamente dada, entonces decimos de dicha axiomatización es completa. Cuando una teoría tiene una axiomatización completa decimos que es axiomatizable. Cuando Hilbert y Ackermann publican sus Grundzüge der theoretischen Logik —⁠traducidos al castellano como Elementos de lógica Teórica⁠— están pendientes tanto la completitud de la lógica elemental como la de la Aritmética. Thoralf Skolem, lógico de origen noruego, había ofrecido ya un método que permite acercarse mucho a la solución del problema para la lógica de los Principia mientras que Bernays en 1918 había conseguido ofrecer una respuesta positiva para un fragmento de ese sistema[5] como parte de su ejercicio de habilitación —⁠Habilitationsschrift⁠—. La cuestión estaba abierta no obstante para casi todos los sistemas que podían desempeñar algún papel de importancia en la coyuntura de la época.

El tercer problema hace referencia a los mecanismos que permiten decidir si una fórmula dada es o no un teorema de una determinada teoría. Cuando se cuenta con un conjunto de axiomas y una colección bien acotada de reglas, la obtención de teoremas se reduce al proceso de construir pruebas que respeten la corrección de los procedimientos descritos en esas reglas. De hecho toda aplicación correcta de una regí sobre un axioma o teorema de la teoría produce un nuevo teorema. Si se nos pregunta si una cierta fórmula pertenece a una teoría axiomatizada y ésta de hecho pertenece, entonces es obvio que antes o después encontraremos la prueba que lo demuestra. Ahora bien, si esa misma pregunta se nos hace sobre una fórmula que no resulta formar parte de la teoría, ¿en qué situación nos vemos?, ¿cómo podemos establecer que ése es realmente el caso? No haber hallado hasta el momento una prueba de una fórmula no permite concluir que no sea un teorema, es decir, que en algún momento posterior no pueda hallarse una a la que aún no se ha llegado. Un sistema axiomático no permite, con sus solos recursos responder de forma mecánica y en tiempo finito al problema de si una fórmula es o no un teorema de ese sistema. Este asunto, es decir, determinar de forma mecánica y en tiempo finito si una fórmula pertenece o no a una teoría recibe el nombre de problema de la decisión —⁠Entscheidungsproblem⁠— y también es atribuible al ingenio e intuición de Hilbert. Su origen podría situarse en la conferencia que éste imparte en Bolonia en 1928 aunque también en sus Elementos de lógica teórica, en los que se dedica un apartado a ese asunto. Tanto en u caso como en otro el problema se liga a los mecanismos de cálculo d la lógica de primer orden y no a las teorías particulares que se puede expresar en ella. La diferencia es importante porque supone reconoce que los mecanismos de prueba con los que opera una teoría formaliza da no son específicos de esa teoría, sino propios de la lógica subyacen te. En el horizonte formal que Hilbert prevé, demostrar algo en un teoría es tarea exclusiva de la lógica. Existe una cierta tradición que liga este problema a uno de los que Hilbert menciona en el listado del Congreso de París. En concreto al décimo de ellos que es el que se plan tea la existencia de soluciones generales para la clase de las ecuaciones diofantinas. Más adelante se mostró que este asunto no era independiente del problema de la decisión pero no parece que esta conexión fuera evidente ya en aquellos momentos.

Estos tres problemas, el de la consistencia de una teoría, el de su completitud o suficiencia y el de la decidibilidad afectan al concepto mismo de teoría formalizada y por tanto al mismo espíritu del programa de investigación asociado a la figura de Hilbert. No es extraño que éste sea conocido, por eso mismo, como programa, formalista o simplemente formalismo. Para sus defensores una teoría en su estado de madurez tiene que poder ser presentada como una teoría axiomática sobre el lenguaje de la lógica de primer orden, es decir, la lógica de los Principia. La teoría tiene que ser consistente, completa y decidible porque como Hilbert declara una y otra vez, en su concepción de las matemáticas no hay ignorabimus.

El ambiente intelectual en que se desarrolla la carrera temprana de Gödel está fuertemente determinado por los objetivos y tempos marcados por Hilbert y su programa formalista. Pero también por una serie de problemas colaterales, menos específicos tal vez, pero que resultaron de gran importancia en su desarrollo intelectual y en sus opiniones filosóficas. El formalismo tiene un componente epistemológico que se manifiesta claramente en los tres problemas que acabamos de comentar. Pero existen también otra serie de cuestiones que afectan a nuestra interpretación de la existencia o realidad de los objetos matemáticos. Gödel se forma en medio de un intenso debate entre escuelas, formalismo e intuicionismo[6] de forma destacada, relativa al modo de entender la existencia de los concepto de que trata la matemática. Este interes se manifestó a lo largo de toda su vida en una constante tensión con la teoría de conjuntos y en particular con aquellos resultados que en su opinión más podían afectar a los términos de este problema. Pienso ahora en la denominada hipótesis del continuo, la cual constituye, como no podía ser de otra forma, el primero de los problemas del histórico listado de Hilbert.

Pero, ¿quién era Gödel, dónde se formó, qué estudios cursó, cuándo lo hizo? ¿Era el típico muchacho retraído volcado sólo en sus estudios, o era popular entre sus compañeros? ¿Se vio muy afectado por los movimientos políticos de la época o supo mantenerse al margen? ¿Era judío? Y, finalmente, ¿se relacionó con otros movimientos intelectuales de la época, y en particular, con el Círculo de Viena y su ofensiva neo-positivista contra la metafísica? Bien estará que dediquemos ahora un espacio a este tipo de cuestiones sobre las que no obstante, volveremos cada vez que resulte oportuno.

Kurt Gödel nace en 1906 en Brün, Moravia, cuando esta ciudad aún forma parte del Imperio Austro-Húngaro. Al acabar la Gran Guerra esta región se integra en Checoslovaquia sin que ello provoque, según las propias palabras de Gödel, un gran trastorno de su vida familiar o intelectual. Kurt tuvo un hermano mayor, Rudolf, con el que siempre mantuvo lo que parece una buena relación, que llega a la camaradería en la época en que ambos son estudiantes en Viena. No obstante, no se puede decir que Gödel fuera en el sentido más estricto del término un hombre familiar. Mantuvo una larga e intensa relación con su madre, sobre todo en forma epistolar, pero nunca disfrutó según su hermano los placeres de la vida en familia del mismo modo que él o su madre. Desde bien temprano se mostró como un niño despierto al punto de ser apodado, como tantos otros niños de esa edad, el Sr. por qué —⁠der Herr Warum⁠—. Sí parece más destacable el inicio de algunos de los problemas nerviosos que luego mantendría en la edad adulta. A los cinco años sufre episodios de ansiedad que adquieren rasgos de neurosis y que termina remitiendo con el paso del tiempo. Pese a su recuperación y la relativa normalidad con la que vive el resto de su infancia, su carácter empieza a verse determinado ya por una gran autoexigencia y una baja tolerancia a la frustración. Ésta nunca produce agresividad pero sí crisis depresivas que con el tiempo y en periodos de intenso trabajo, llegan a tener cierta importancia.

Los hermanos Gödel se criaron en un ambiente amable y económicamente próspero que les ofreció una vida plenamente orientada al éxito profesional e intelectual. No recibieron formación religiosa durante su infancia, lo que hizo que ninguno de ellos llegara a practicar nunca algún tipo de culto. Gödel se consideraba, no obstante, luterano baptista, como su madre —⁠su padre era católico⁠— y persona con una profunda motivación religiosa de la cual hablaremos en su debido momento. Cursó su etapa formativa obligatoria en el Staatsrealgymnasium de Brün en lengua alemana rechazando además los cursos de carácter optativo de lengua checa. Mostró siempre una gran aplicación para los estudios destacando en lengua e idiomas, historia y por último —⁠curioso dato⁠— en matemáticas. A los diecisiete años parece que era capaz de manejar material universitario relativo a esta disciplina. Aunque Gödel declara en cierta ocasión que su interés por las matemáticas se produce ya a los catorce lo cierto es que su primera opción académica fueron los estudios de física. Según parece este interés se suscita a propósito de la lectura de una biografía de Goethe y de la subsiguiente comparación entre las teorías naturales de este gran pensador alemán y la obra de Newton. Gödel, en las charlas que a ese respecto mantiene con su hermano en el verano de 1921, confiesa sus preferencias por Newton. En 1924 marcha a Viena instalándose junto a su hermano en un céntrico apartamento para iniciar los estudios de física. Aprovecha además para tomar contacto también con la historia de la filosofía, en las clases de Gomperz, la filosofía de la ciencia, con Schlick, y la teoría de números, con Furtwängler. La sensación de que la física carece del rigor deseado hace que cambie su orientación hacia las matemáticas en 1926 y a la lógica formal en torno a 1928. Ese año asiste a la conferencia que Brouwer imparte en Viena encontrando en las discusiones en torno a la fundamentación de la matemática el tipo de problemas que en su opinión merece la pena abordar. Su giro hacia la nueva lógica se confirma al inscribirse en el curso que Carnap imparte ese mismo año con el título de Fundamentos filosóficos de las matemáticas y en el que adquiere una visión panorámica del estado actual de la lógica y del problema de la fundamentación de la matemática. Es en ese momento cuando Gödel toma contacto con la obra de Frege y con los Grundzüge de Hilbert y Ackermann, cuya primera edición se publica justamente entonces. Los Principia los lee un año más tarde iniciándose el periodo de actividad frenética que tiene como resultado lo que serían sus principales aportaciones al mundo de la lógica matemática contemporánea.

Aunque las principales influencias en el desarrollo intelectual de Gödel son, y en esto me limito a seguir sus palabras, las que acabo de comentar, su intervención en el mundo intelectual vienes de la época no fue tan pasiva y anecdótica como puede parecer a primera vista. Su personalidad, quizá algo tímida e introvertida, no le convertía sin embargo en un sujeto huidizo y marginal. Sus brillantes aunque breves intervenciones, su amplio y profundo conocimiento de gran cantidad de materias le convirtieron pronto en un contertulio deseado en los foros intelectuales del momento. El primero y principal el círculo que se establece en torno a Moritz Schlick —⁠el Círculo de Viena⁠— y en el cual se integraría a partir de 1926, en parte por amistad con Schlick y Hans Hahn, y en parte por curiosidad hacia el nuevo tipo de planteamientos que allí se desarrollan. Ya veremos que, pese a ello, y pese a haber aceptado hasta 1929 figurar en el listado, digamos oficial, de miembros, Gödel nunca compartió el fondo de la filosofía que allí se estaba discutiendo.

El periodo más intenso de la vida de Gödel es el que se desarrolla entre 1928 y su exilio a Estados Unidos en 1939 —⁠en realidad en enero de 1940⁠—. En esos diez años largos ven la luz las contribuciones que le llevan de ser un joven prometedor más a un genio reconocido, contrae matrimonio y deja atrás la vida y el mundo al que hasta entonces había pertenecido. De lo primero hablaremos en los próximos capítulos, veamos algo de su vida personal y de su posición académica.

Gödel inicia su relación con la que sería su mujer, Adele Porkert, en torno a 1928, aunque también es posible que ya la conociera desde algunos meses antes. Ella vive enfrente del apartamento que los dos hermanos ocupan y trabaja por las noches en Der Nachtfalter, un local de copas de los muchos que prosperan en la época. Un año más tarde muere el padre de Gödel de forma repentina y la viuda viaja a Viena a reunirse con sus hijos en un apartamento más cómodo y amplio. La desaprobación ante la relación que Kurt mantiene con Adele hace que estos mantengan un romance oculto —⁠semioculto en realidad ya que Rudolf pudo llegar a enterarse de la existencia de un apartamento que Kurt mantenía para sus citas con Adele⁠— hasta su mismo matrimonio, que tiene lugar en 1938. La relación entre Adele y la madre de Gödel nunca llegó a mejorar sustancialmente pese al cuidado y sacrificio que aquélla mostró por su marido a lo largo de toda su vida[7].

La vida política de la época, pese al grado de envilecimiento que llegó a alcanzar, nunca constituyó un obstáculo real en los asuntos de los Gödel. Carnap apuntó en cierta ocasión en su diario el interés demostrado por Gödel por la obra de Lenin y Trotsky pero lo cierto es que Gödel, pese a ser un demócrata y un profundo amante de la paz, nunca llegó a tomar partido público en temas de política. Su exilio no fue un exilio político, al menos no en el sentido que normalmente damos a esa palabra.

Gödel había conseguido un puesto de Privatdozent en Viena en 1933 en el cual se mantiene hasta la Anschluss. Con posterioridad a este impresionante proceso de nazificación de la vida pública y privada Gödel empieza a tener dificultades para mantener su puesto pero consigue mantenerse en él haciendo incluso lo que parecen planes de futuro: adquiere ya con Adele un apartamento que decora y prepara para su vida en matrimonio. Tampoco puede decirse que el asesinato de Schlick en 1936 por un estudiante nazi fuera, tras la anexión de Austria, un referente peligroso para él. Es cierto, eso sí, que este episodio le supuso la que quizá fue una de sus más graves crisis depresivas —⁠con internamiento en contra de su voluntad incluido⁠— pero supo recuperarse sin verse demasiado tocado por ello. El factor que finalmente desencadena su exilio fue de índole más personal: fue declarado apto para el servicio militar en 1939 algo a lo que una persona como él, con un temor enfermizo a la incertidumbre y la inseguridad, no podía hacer frente de ninguna de las maneras. Desde 1933 Gödel había visitado en varias ocasiones Princeton para impartir diversos cursos y conferencias. Para él constituía una salida aceptable que intenta a la desesperada poniéndose en contacto con Oswald Veblen a finales de 1939. Tras un largo periplo en mitad de los primeros compases de la guerra los Gödel llegan en enero de 1940 a Princeton lugar en el que fijarían su residencia a partir de entonces.

Hay muchos otros detalles de la vida de este hombre que irán saliendo en capítulos sucesivos, pero creo que una panorámica general, a menos de sus primeros años, estaba más que indicada en este momento. No es fácil hacer un resumen del marco intelectual en el que Gödel se formó porque quizá no se trata de una época que se preste fácilmente a simplificaciones de historiador aficionado. Pero no me resigno. Las gentes que protagonizaron este intenso periodo de nuestra historia intelectual mostraban en mayor o menor medida lo que podríamos calificar como el espíritu de la batalla final. Era posible, por primera vez er la historia, vencer de forma definitiva la ignorancia situando el conocimiento sobre unas bases y fundamentos que sólo el estado temprano e infantil de la ciencia nos había impedido alcanzar. Lina nueva fundación era ahora posible y para ello sólo bastaba el esfuerzo concentrado de un puñado de pensadores bien convencidos de su causa. El resultado de ese esfuerzo sería un saber organizado de tal manera que no habría nada en el pasado —⁠salvo tímidos intentos⁠— con lo que se pudiera comparar. Wir müssen wissen, wir werden wissen[8] —⁠Tenemos que conocer y lo haremos⁠—. Todo esto era así justo en el momento en que Europa se conducía de forma irremediable al fracaso y el precipicio de la guerra quizá por causas y afanes no muy distintos a los que aquí nos afectan. Quisimos poner fin a una parte de la historia y lo cierto es que casi lo conseguimos.

Y Gödel no era judío.

BUENAS NOTICIAS.
LA LÓGICA COMO SISTEMA
COMPLETO DEL RAZONAMIENTO HUMANO

Este capítulo está dedicado a comentar el que fue el primer resultado de relevancia obtenido por Gödel, lo que hoy conocemos y estudiamos como teorema de completitud para la lógica de primer orden. En su primera versión constituía el núcleo de su tesis doctoral —⁠concluid da en julio de 1929⁠— lo que lo convierte en un trabajo extraordinariamente temprano, de hecho, el primero de su carrera científica profesional.

Este teorema forma parte de los contenidos básicos de cualquier curso introductorio de lógica aunque bajo un aspecto y formatos totalmente distintos. La prueba que se presenta y discute en la actualidadl no es, ni mucho menos, la original de Gödel, sino otra diseñada sobra técnicas enteramente distintas bastante tiempo después —⁠1949⁠— por L. Henkin. El contenido es, sin embargo, el mismo: toda verdad de lógica de primer orden es un teorema. En el capítulo anterior huí deliberadamente de una presentación siquiera superficial de la lógica de primer orden y de algunas de las nociones básicas que la acompañan, verdad lógica, teorema, etc. Esto ya no se puede aplazar más, pero que nadie tema, no es tan difícil. No puede serlo, ya que es fruto, simplemente, de nuestra intuición formal más básica.

Uno de los conceptos más sorprendentes a mi entender del dominio de la lógica es, precisamente, el de forma, más en concreto el de forma de un enunciado. La forma de un enunciado no es sino una representación de ese enunciado en la que hacemos explícitos tanto sus rasgos esenciales como los accidentales, es decir, aquellos que no pueden cambiar sin destruir esa forma, y los que por el contrario, sí pueden hacerlo. Algo tan sencillo y a la vez tan sorprendente como eso. Consideremos la siguiente oración: “Si llueve y no me resguardo, entonces acabaré pronto empapado”. Si alguien nos pregunta por su forma una posible respuesta puede ser ésta: se trata de un enunciado de la forma “si esto, entonces lo otro”. Hemos respondido analizando el contenido inmediato del tipo de afirmación que allí se hace y lo que se dice es, sin entrar en pormenores, que si se cumple una cierta condición, entonces se dará una determinada consecuencia. Las expresiones “esto” y “lo otro” representan partes del enunciado que a su vez son enunciados. Podríamos haber usado letras, A y B, por ejemplo para representar esas partes y decir entonces que el enunciado considerado es de la forma “si A entonces B”. Es obvio que A presenta a su vez cierta complejidad, con lo que siempre se podría decir que esa caracterización de la forma es incompleta o insuficiente y que tal vez sería mejor incorporar el hecho de que A es a su vez de la forma “C y D” —⁠llueve y no me resguardo⁠— para decir entonces que la forma real del enunciado en cuestión es “si C y D, entonces B”. Y con ello llegamos al punto que interesa que no es otro que las razones por las que la lógica de primer orden resulta un sistema formal tan increíblemente poderoso. Estas razones residen en parte en los medios que ofrece para representar la estructura de un enunciado. Medios que permiten una aceptable representación de la forma de un gran número de proposiciones y en particular de la mayoría de las que componen el conocimiento matemático.

Veamos qué medios son ésos. En primer lugar consideramos un apartado que incluye partículas relevantes desde un punto de vista lógico y las dividimos en dos clases, aquellas que como “y”, “o”, “no”, “si, entonces” y otras parecidas conectan enunciados para formar enunciados complejos, y otras que permiten expresar cantidad y existencia, que en nuestro caso son dos, “todo” y “algún”. Las partículas lógicas del primer tipo reciben el nombre de conectivas y las del segundo, cuantores. En segundo lugar introducimos letras que representan propiedades o relaciones poseídas por individuos —⁠y las representamos mediante letras mayúsculas latinas P, Q, R, etc. Los individuos en cuestión será representados por variables x, y, z…, si no conocemos su valor, o por le tras a, b, c… si éste es conocido y se mantiene constante. Y esto es todo

Una buena forma de entender cómo funciona la representación d la estructura en lógica de primer orden, LPO de aquí en adelante, c comparar la forma que ésta otorga a los enunciados típicos de la S: logística Aristotélica. Para no extenderme consideraré sólo dos caso: Mediante A y B simbolizamos clases de individuos, lo que también podríamos denominar conceptos —⁠por ejemplo, “ser humano”, “ser mortal”, etc⁠—. Las proposiciones universales afirmativas de la Silogística son del tipo Todo A es B, en el ejemplo, “Todo ser humano es moi tal”, mientras que las existenciales afirmativas son a su vez del tip Algún A es B. Y no hay más margen para la representación de la estructura de un enunciado, no se dispone de más herramientas, medios categorías para ello. ¿Cómo se ve la estructura de esos enunciados desde LPO? En vez de clases, en LPO se considera una propiedad o relación y se incorpora una indicación del individuo o individuos que la satisfacen. Así, diremos que “un individuo x es P” y lo representaremos mediante “Px” o que “los individuos x e y” están en la relación R, lo que s representa como “Rxy”. Todo A es B se traduce en LPO como “para todo individuo x, si Px, entonces Qx”, mientras que Algún A es B se traduciría como “hay algún individuo x tal que Px y Qx”. Se aprecia que el tipo de recursos empleados es ahora considerablemente más rico está además mejor organizado permitiendo una descripción, digamos más fina, de la estructura de un enunciado. En la Silogística no se pe día, además, contar con relaciones entre individuos, mientras que ahora propiedades —⁠clases⁠— y relaciones sólo se distinguen por el número de variables de individuos que en cada caso se ven involucradas. Si queremos expresar, por ejemplo, que la relación R es simétrica bastará con formular la siguiente proposición “para todo x e y, si Rxy, entonces Ryx”, la reflexividad corresponderá obviamente a “para todo x, Rxx”, y es fácil imaginar el resto.

Ésta es la razón del éxito de la LPO, su extraordinaria capacidad para representar la forma de los enunciados más típicos de la matemática. No quiero decir, que quede claro, que la LPO sea capaz de representar la estructura real de los enunciados que los matemáticos formulan en el lenguaje ordinario y que la Silogística, por ejemplo, falle en ese objetivo. No se puede hablar de la verdadera estructura o forma de un enunciado porque ésta es relativa siempre a los medios expresivos de que se dispone. Resultaría incorrecto transmitir en este punto la impresión de que la lógica de primer orden es, de alguna manera, la lógica real o definitiva del pensamiento formal o matemático. Hay razones para pensar que se trata de un producto extraordinariamente fiel y certero, al punto de llevar en ocasiones a hablar más de un descubrimiento, que de una invención conveniente, pero éste es un complejo asunto que es mejor posponer para otro momento. Terminamos esta escueta presentación del lenguaje de la lógica de primer orden introduciendo los símbolos que representan las categorías que ya se han discutido y que permiten entender la lógica como un auténtico álgebra del lenguaje.

Cuantores

todos , algún

∀, ∃

Conectivas

Letras relaciónales

“no” , “y” , “o” , “si, entonces”

¬, &, ∨, →

Px, Qx, Rxy, etc

Variables

x, y, z,…

Constantes

a, b, c,…

Las proposiciones “para todo individuo x, si Px, entonces Qx” y “hay algún individuo x tal que Px y Qx” se escribirían, según estas convenciones como ∀x(Px → Qx) y ∃x(Px → Qx), mientras que la expresión de la simetría y reflexividad de una relación R quedaría como ∀×∀y(Rxy → Ryx) y ∀xRxx respectivamente.

^En el momento en el que Gödel empieza a mostrar interés por el /problema de la fundamentación de la matemática y el papel que la lógica puede tener en ello, no hay muchas obras en las que encontrar una adecuada descripción de los contenidos de esa ciencia aparentemente refundada. Si descontamos la Conceptografía de Frege, sólo encontramos de hecho dos grandes textos de referencia, los Principia Mathematica de Russell y Whitehead —1910-13— y los Grundzüge de Hilbert y Ackermann. Como en otras ocasiones, Gödel decide adoptar como marco de referencia la primera de ellas, aunque en realidad esté respondiendo a problemas que sólo se plantean en la segunda. Como ya he dicho, la completitud de la lógica de primer orden constituye la principal aportación de su tesis, titulada Über die Vollständigkeit del Logikkaküls y presentada en julio de 1929 bajo la dirección de Hans Hahn. Se trata de un trabajo de algo más de 30 páginas[9] del cual surge inmediatamente el texto que en realidad hoy se conoce y que toma forma de artículo, “Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls”, para ser publicado en 1930 en la Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 37, pp. 349-360[10]. A diferencia de su tesis, este texto es extremadamente escueto y hace muy pocas concesiones al lector. Nada de filosofía, ni consideraciones sobre su motivación, incluso la demostración es difícil de seguir, algo muy propio del estilo de Gödel. Ese año, 1929, fue además extremadamente intenso: su padre fallece de forma repentina a principios de año —⁠febrero⁠— y en julio presenta la tesis.

Las primeras líneas del artículo de 1930 —⁠resumen del primer apartado de la tesis⁠— se inician con una mención a los Principia y a la entera motivación de su trabajo:

Whitehead y Russell, como es bien sabido, construyen la lógica y las matemáticas tomando ciertas proposiciones evidentes como axiomas y derivando los teoremas de la lógica y las matemáticas a partir de ellos de una manera puramente formal (es decir, sin hacer uso del significado de los símbolos) por medio de ciertos principios inferenciales precisamente formulados. Como es obvio, cuando se adopta este procedimiento surge inmediatamente la cuestión de si el sistema de axiomas y principios inferenciales inicialmente postulado es completo, esto es, si basta realmente para derivar toda proposición lógico-matemática verdadera, o si tal vez es concebible la existencia de proposiciones verdaderas (que podrían ser probables por otros medios) que no puedan ser derivadas en el sistema en cuestión.

De la lectura de este fragmento se puede obtener la impresión de que son Russell y Whitehead quienes proponen el estudio de la completitud por vez primera, pero esto no corresponde a la verdad histórica. En los Principia se adopta una perspectiva que, en cierto modo, hace difícil que esta cuestión siquiera se plantee. La alusión que Gödel hace a la obtención de nuevas fórmulas por métodos puramente formales debe ser interpretada en un sentido aún más radical del que se deduce del texto citado. Para Russell y Whitehead la idea de teorema, es decir, de fórmula obtenible a partir de los axiomas por medio de una colección cerrada de reglas parece constituir un genuino análisis de la noción completamente informal e intuitiva de verdad lógica o matemática. No hay, por tanto, dos términos que comparar, sino uno formal, del que cabe hacer ciencia, y otro preteórico del que poco se puede decir. Esta situación es ya muy distinta en el trabajo de Hilbert y Ackermann en el que en concepto de verdad lógica adquiere, aunque no sin dificultades, sentido propio. Sólo esto puede permitir que se plantee la cuestión de si la clase de las verdades de la lógica coincide o no con la de los teoremas de un cierto sistema de axiomas. Pero, ¿qué es en realidad una verdad lógica y qué tipo de acceso tenemos a ellas? Consideremos la fórmula “A o no-A” —A ∨ ¬A, en símbolos⁠—. Esta expresión representa la forma de todos aquellos enunciados que afirman que “o bien una proposición A es el caso, o bien lo es su negación”. No hace falta reflexionar demasiado para apreciar que esta proposición y con ella la fórmula que representa su forma, es verdadera siempre sin importar si A es o no el caso. Su verdad la deducimos del significado de las partículas involucradas, “o” y “no” en este caso, y de ciertas convenciones básicas acerca de la idea misma de verdad. Una verdad lógica es, siguiendo esta pauta, una fórmula verdadera bajo cualquier posible interpretación de las letras que representan enunciados y por tanto compatible con cualquier posible estado de cosas. Visto así, el concepto de verdad lógica no parece en realidad tan informal e inexacto. Depende de ciertas estipulaciones acerca de la noción general de verdad, como que toda proposición es o bien verdadera o bien falsa y nunca ambas cosas a la vez, y de un escrutinio del modo en que las partículas que hemos denominado conectivas se comportan ante la asignación de un valor —⁠verdadero o falso⁠— a las proposiciones que conectan. Una expresión del tipo A ∨ B es verdadera si al menos uno de los enunciados A, o B, lo son, una expresión del tipo A & B es verdadera si y sólo sí ambos lo son, etc. Este tratamiento del problema se suele atribuir a Wittgenstein quien en su Tractatus Logico-Philosophicus —⁠obra compuesta en 1918 pero publicada en 1921⁠— ofrece un análisis exhaustivo de las conectivas preposicionales y del modo en que una fórmula resulta ser, según sus criterios, una verdad lógica, pero lo cierto es que estaba en el ambiente al menos desde mediados de la década de 1910. Hasta ahora he hablado sólo de conectivas dando una definición de verdad lógica aceptable en el fragmento de LPO en el que sólo se emplea este tipo de recursos. Es decir, no se introducen cuantores ni ninguno de los medios que hemos visto antes. A este fragmento se le denomina lógica preposicional o de enunciados y, según parece, posee una definición de verdad lógica independiente y absolutamente rigurosa. Estos tratamientos eran bien conocidos en el entorno intelectual de Hilbert —⁠con anterioridad incluso al trabajo de Wittgenstein⁠— y permiten que la cuestión de la completitud se plantee de una forma absolutamente natural. De hecho, el primer resultado de completitud obtenido para el fragmento preposicional es el que desarrolla P. Bernays —⁠discípulo y estrecho colaborador de Hilbert⁠— como parte de su Habilitationsschrift presentada nada más y nada menos que en 1918[11]. ¿Por qué entonces tanta dificultad para extender ese mismo resultado a la lógica de primer orden considerada en su totalidad? Téngase en cuenta que en la primera edición de los Grundzüge de Hilbert y Ackermann que data de 1928, diez años después, el problema de la completitud para LPO aún se presenta como cuestión abierta.

Nos encontramos, en resumen, con una situación en la que la completitud de la lógica de primer orden no puede dejarse ya de lado, como sí hicieran Russell y Whitehead algunos años antes. No es cierto, como se demuestra a partir del trabajo de Bernays, y en cierto modo de Wittgenstein, que el concepto de verdad lógica sea puramente informal. Admite un tratamiento exacto que demuestra además un notable alejamiento del concepto de teorema: no hay nada que garantice a priori que toda verdad lógica, es decir, que toda fórmula verdadera bajo cualquier posible estado de cosas o asignación de valores sea, por ello mismo, un teorema de un cierto sistema axiomático. Los orígenes de estas nociones están suficientemente alejados como para que su equivalencia no quede garantizada sin una prueba adecuada. Además tampoco cabe suponer que este tipo de problema no afecte a LPO del mismo modo que al fragmento proposicional. En los términos en que está planteado afecta, de hecho, a cualquier sistema en el que se pueda hablar de teoremas y verdades lógicas. Y aceptar la posibilidad de que un sistema formal sea incompleto supone, ciertamente, una perspectiva desagradable. De hecho implica admitir la posible existencia de verdades lógicas en el ámbito de aplicación de ese sistema para las cuales este no puede ofrecer una adecuada fundamentación —⁠prueba⁠— a partir sus los axiomas y reglas características. Como muy bien indica Gödel al inicio de su trabajo —⁠cfr. supra., p. 41— que esta situación pueda llegar a afectar a la propia lógica elemental no es algo que se pueda dispensar como problema menor o de aplicación. Es básico para cualquier intento legítimo de emplear la lógica como un sistema completo de análisis de la forma y de la inferencia en los dominios de la matemática. Ni más, ni menos.

Hilbert y su escuela se vieron atrapados entre el reconocimiento de la legitimidad de una pregunta y las dudas acerca del modo de plantearla correctamente y abordarla. La razón por la que no supieron resolver el asunto de la completitud para la lógica de primer orden es que el concepto de verdad lógica que rige para ésta es en realidad bastante distinto del que se emplea en el fragmento proposicional. Consideremos un ejemplo: “si todo individuo es P, entonces es obvio que alguno es P”, —∨xPx → ∃xPx, en símbolos⁠—. Estamos, de nuevo, ante un enunciado que resulta verdadero con independencia de lo que represente “ser P” eso sí, siempre que haya al menos un individuo sobre el que comprobar la afirmación. Parece una verdad lógica, si algo lo es. Pero en este caso y en todos aquéllos en que operan los cuantores de forma relevante parece que estamos obligados a comprometernos de algún modo con situaciones que pueden llevar a búsquedas que podrían extenderse infinitamente en el tiempo. Basta que el número de individuos sobre los que haya que comprobar la verdad del enunciado en cuestión —⁠lo que se denomina dominio⁠— sea infinito. Y los enunciados típicos de la matemática se refieren siempre a dominios infinitos: los números naturales, los reales, los conjuntos formados por números naturales, etc. Esta situación es enteramente distinta de la que rige en el caso preposicional. Para determinar si una fórmula preposicional es una verdad lógica —⁠lo que se suele denominar una tautología⁠— no hay que considerar nunca un número infinito de situaciones. Basta, de hecho, considerar todas las formas posibles de combinar los valores de verdad que pueden recibir las proposiciones simples presentes en la fórmula —⁠representadas en los ejemplos anteriores por letras latinas mayúsculas A, B, etc⁠— y ver qué pasa entonces. El número de situaciones posibles, si bien es alto[12], es finito y por tanto siempre es posible decidir si una fórmula preposicional es o no una verdad lógica. El concepto de verdad lógica que opera en la LPO no se comporta de esa forma. La cosa puede parecer menor, pero veámoslo de este otro modo. La completitud de un sistema de axiomas se puede formular equivalentemente diciendo que toda fórmula no derivable en el mismo resulta no ser una verdad lógica, es decir, existe una interpretación o situación que permite leer sus símbolos de tal modo que resulte ser falsa. En el caso de la lógica preposicional podemos hallar y construir esa situación siempre. Si alguien nos dice que tal o cual fórmula no es un teorema antes o después identificaremos una forma de atribuir un valor de verdad a las proposiciones básicas de esa fórmula de tal modo que resulte falsa. Pero en el caso de la lógica de primer orden no tenemos un mecanismo para completar esa búsqueda en todos los casos. Es decir, podría haber fórmulas que no sean teoremas pero para las cuales seamos incapaces de llegar de forma sistemática a una interpretación de sus símbolos que la hagan falsa. Para Hilbert esta situación resultaba altamente paradójica ya que desde su punto de vista resulta ciertamente difícil concebir un sistema completo en el cual no fuera siempre posible decidir si una fórmula es o no una verdad lógica o mostrar, cuando no es un teorema, las razones por las que esa fórmula no es tampoco una verdad lógica. Téngase en cuenta que para Hilbert no existen en principio problemas insolubles. Desde su punto de vista demostrar la existencia de una interpretación de los símbolos de una fórmula capaz de hacerla falsa tiene que venir de la mano de la construcción efectiva de esa interpretación. Existencia y construcción efectiva no pueden divergir para la concepción hilbertiana de ciertos fragmentos especialmente críticos del edificio de la matemática. Un sistema en el que siempre es posible determinar para cualquier expresión construida en el lenguaje de referencia si ésta es o no una verdad lógica es lo que solemos denominar decidible. Lo que intento decir es que para Hilbert y su escuela el problema de la completitud de la lógica de primer orden no era del todo independiente del problema de la decidibilidad de ese mismo sistema —⁠el conocido como Entscheidungsproblem⁠—. No quiero dar a entender que no distinguieran la entidad y rasgos de cada una de estas propiedades, sino que, al igual que sucedía en el caso preposicional, la demostración de una de ellas debía dar pistas suficientes como para alcanzar sin especial esfuerzo la restante.

La novedad del trabajo de Gödel consiste precisamente en reconocer la plena independencia de ambos problemas ofreciendo una solución algo más liberal del problema de la completitud. En ella lo único que se establece es la existencia de una interpretación capaz de hacer falsa una fórmula no derivable a partir del sistema de axiomas, pero no se ofrece una construcción efectiva y finita de la misma[13]. Esto supone un sustancial cambio de actitud con respecto al papel que pueden desempeñar demostraciones no estrictamente constructivas y imitarías en el análisis de las propiedades formales de sistemas tan básicos como pueda ser LPO. Según Hao Wang[14] la tolerancia mostrada por Gödel ante este tipo de recursos se apoya en la consideración de la completitud como una propiedad no elemental, es decir, no ligada directamente a los problemas de la fundamentación de la matemática. Al tratarse entonces de un problema, digamos típico, las herramientas de prueba también pueden ser las típicas, eludiendo así la espinosa cuestión del recurso a métodos estrictamente finitarios. Pero puede haber también otro componente ideológico ligado a la solución adoptada por Gödel en el tratamiento de la completitud. La respuesta esperada desde las filas de la escuela formalista —⁠Hilbert, Ackermann, Bernays, etc.⁠— para el problema de la completitud pasa por resolver positivamente el problema de la decisión. Es decir, siempre ha de poderse determinar de forma mecánica y en tiempo finito si una fórmula de LPO es o no una verdad lógica, o un teorema, tanto da. En otras palabras, en LPO no debería haber proposiciones indecidibles. Wang sugiere que la sensibilidad de Gödel ante la existencia de proposiciones indecidibles —⁠auténticos insolubilia contemporáneos⁠— fue siempre otra, mostrándose tolerante ante su existencia quizá porque para él ese extremo no tenía la importancia que otros le concedían. La existencia de proposiciones indecidibles no desafiaba en su caso el edificio de la matemática porque Gödel admitía sin especial sonrojo la existencia real de sus objetos. Admitir dificultades en la descripción de sus rasgos característicos no era más dramático que hacerlo en el caso de la realidad natural.

El teorema de completitud de Gödel, cuya estructura vamos a comentar a continuación, no nace de la nada sino que se sirve de una serie de resultados bien conocidos a finales de la década de 1920. En primer lugar la posible reducción de expresiones de LPO a fórmulas de longitud infinita del nivel preposicional. Si el dominio de las relaciones de una fórmula de LPO es finito, entonces esa reducción da lugar a una fórmula finita de tipo preposicional que tiene las mismas propiedades que la original. La idea es en realidad muy simple: las expresiones de tipo universal representan conjunciones de fórmulas en las que la variable individual afectada por el cuantor ha sido reemplazada por todos los individuos de ese dominio, mientras que las de tipo existencial son representadas por disyunciones. Lo que se recoge aquí no es otra cosa que la intuición según la cual un juicio del tipo “para todo individuo x F” es lo mismo que decir que “u₁ satisface F” y “u₂ satisface F” y “u₃ satisface F” y… mientras que un juicio existencial “hay un individuo x tal que F” supone afirmar que o bien “u₁ satisface F” o bien “u₂ satisface F” o bien “u₃ satisface F” o bien…, donde F es cualquier fórmula en la que figure la variable individual x y u₁, u₂,… un son los individuos que forman el dominio en cuestión. Nótese que esta reducción resolvería todos los problemas aquí planteados si pudiéramos asegurar que cada fórmula de LPO que es verdadera bajo alguna posible interpretación de sus símbolos lo es considerando algún dominio finito, es decir, una colección finita de individuos. Si esto fuera así, siempre habría una fórmula preposicional, obtenida por el método anterior, que resultaría verdadera en el dominio elegido. Puesto que la lógica preposicional sí es decidible, LPO lo sería a su vez y el programa y estrategia hilbertianos resultarían plenamente satisfechos. La existencial de fórmulas que sólo son satisfechas por interpretaciones, lo que a partir de ahora llamaremos modelos, con dominios infinitos desbarata esta opción y sitúa el problema en el quicio —⁠fuera, en realidad⁠— de loa métodos finitarios de prueba tal y como hemos comentado páginas atrás.

La segunda idea de la que saca partido la demostración de Gödel ea la existencia de formas normales en el lenguaje de LPO. Una fórmula en forma normal tiene que cumplir ciertos requisitos de tipo gramatical, por ejemplo, que todos los cuantores figuren en un prefijo y que el resto de la fórmula, lo que se denomina matriz no contenga ninguno. Esta forma normal adopta el siguiente aspecto: ΠF, donde Π es el prefijo formado sólo por cuantores universales o existenciales y F la matriz. El primero que explota todo el potencial de este tipo de formas canónicas es el lógico noruego Thoralf Skolem quien en un artículo de 1920 —⁠[Skolem, 1920]— introduce lo que hoy denominamos formas normales de Skolem. Una fórmula de LPO está en la forma normal de Skolem si todos sus cuantores figuran en un prefijo Π y sucede además que éstos se agrupan de tal modo que primero vienen todos los universales, si los hay, y luego todos los existenciales, igualmente si hay alguno. Estas fórmulas tienen, en resumidas cuentas el siguiente aspecto: “para todo individuo x₁ y todo individuo x₂y… todo individuo xn, existe un individuo y₁ y existe un individuo y₂ y… existe un individuo ym tal que F”. La gracia de la formas normales es que son capaces de resumir la conducta de todas las fórmulas del lenguaje de referencia, el de la lógica de primer orden en este caso, permitiendo que nos centremos sólo en su estudio olvidando la infinita variedad que un lenguaje formal presenta. En el artículo mencionado, Skolem prueba en concreto, que para toda fórmula A existe otra A en forma normal tal que A es verdadera en un cierto modelo si y sólo si A lo es. No deja de ser curioso que a efectos de la capacidad expresiva de un lenguaje tan rico como el de LPO toda fórmula pueda ser interpretada en definitiva como una afirmación universal seguida de otra existencial y de una fórmula que conecta las variables individuales que figuran en esos prefijos. El valor de este tipo de estrategias fue rápidamente apreciado como forma de organizar demostraciones acerca de las propiedades metateóricas de un sistema. No es lo mismo considerar todos los tipos de fórmulas posibles que un conjunto reducido de ellas cuya forma permite, además, sistematizar la búsqueda de soluciones. Con posterioridad ha habido otros procesos de normalización distintos, pero en todos los casos se establece algún género de reducción de expresiones de cualquier tipo a formas normales. Estos procesos tienen la forma general que se menciona en el caso de Skolem, es decir, si una fórmula A cualquiera tiene una propiedad P, entonces la forma normal A’ de A también la posee, aunque también podemos sacar partido de lo que sería la dirección inversa, en la que es la posesión de una propiedad en la forma normal A de A la que garantiza que A también la posea. Y eso es todo.

El tercer resultado que debería ser mencionado en este punto es lo que se conoce como Teorema de Löwenheim-Skolem. Este fue demostrado poco tiempo antes por Leopold Löwenheim en 1915 y ampliado posteriormente en el trabajo ya mencionado de Skolem de 1920. En él se establece que si un conjunto de fórmulas tiene un modelo, es decir, es satisfacible para alguna interpretación de sus símbolos, entonces es satisfacible en un modelo definido sobre un dominio de individuos de cardinal infinito enumerable —⁠los números naturales, por ejemplo⁠—. Es decir, para evaluar la satisfacibilidad —⁠verdad⁠— de una fórmula o conjunto de ellas podemos olvidarnos del espinoso asunto del tamaño de los modelos que analizamos. La satisfacibilidad es independiente del tamaño, afirmación de la que sin duda se podrían ofrecer jugosas conclusiones en filosofía. El teorema de completitud de Gödel permite derivar este otro teorema como corolario, pero como se puede ver, es independiente de él. Su utilidad para la demostración de la completitud no es exactamente técnica, sino más bien conceptual. Lo veremos comentando la propia estructura de la demostración de Gödel. La descripción que ofrezco intenta mostrar una idea general de la prueba, no es la propia prueba. No obstante, he de reconocer que e asunto no es simple en modo alguno. Los lectores no especialmente interesados en el detalle pueden pasar de puntillas si lo prefieren y esperar al otro lado.

Ésta consta de un total de seis teoremas de los cuales el primero es precisamente el que se trata de probar. El orden de la presentación no es, por tanto, el orden lógico de la demostración. El teorema 1 expresa lo que hoy denominamos completitud débil: toda fórmula válida de la lógica de primer orden —⁠cálculo funcional restringido, en el original⁠— es demostrable. La validez de una fórmula se define como verdad en todo modelo y sabemos que las verdades lógicas son, precisamente las fórmulas válidas en este sentido. El valor del Teorema de Löwenheim-Skolem se demuestra, como Gödel advierte en nota a pie aunque sin citarlo expresamente, al eximirnos de mayores referencias al cardinal —⁠tamaño⁠— de los dominios de individuos sobre los que se define esa validez. Es decir, podemos emplear una noción general de validez sin preocuparnos demasiado del tipo de modelos con que se trabaja para interpretar esas fórmulas. El segundo teorema es, simplemente, una forma equivalente del primero: toda fórmula de la lógica de primer orden es, o bien refutable, o bien satisfacible (en particular en un modelo con dominio de cardinal enumerable). Es este resultado el que realmente se va a probar en lo que sigue. Para entender la conexión entre ambos basta tener en cuenta que una fórmula es refutable si es derivable su negación. El tercero está dedicado a establecer un resultado de normalización del estilo ensayado por Skolem en el artículo que hemos mencionado más arriba. Las formas normales que Gödel escoge son ligeramente distintas y reciben el nombre de K-fórmulas. Éstas poseen un prefijo cuantificacional y una matriz libre de cuantores como en el caso de las formas normales de Skolem y el prefijo empieza siempre por una serie de cuantores universales y termina siempre con una serie similar de cuantores existenciales. La única novedad es que esa serie, universales seguidos de existenciales, se puede repetir en el prefijo tantas veces como se quiera. Gödel emplea el número de alternaciones de cuantores universales y existenciales para definir el grado de esas K-fórmulas introduciendo un criterio métrico que ordene esa colección de expresiones para su posterior estudio. El teorema 3 establece, simplemente, que si el teorema 2 se cumple para K-fórmulas, entonces se cumple para cualquier fórmula. Es decir, es un típico resultado de normalización. Basta, por tanto, que centremos nuestra atención en las K-fórmulas quedando el problema de la completitud reducido a un fragmento notable del lenguaje de LPO. Los dos teoremas siguientes, el 4 y 5 tienen por objeto simplificar aún más la cuestión. Tomados conjuntamente forman lo que se denomina una prueba por inducción, que constituye la manera habitual de demostrar que un conjunto infinito cuyos elementos puedan ordenarse adecuadamente tiene una cierta propiedad. Para ello basta establecer dos hechos. El primero, denominado hipótesis de inducción, afirma que si el n-ésimo elemento de la ordenación tiene la propiedad P, entonces el n+l-ésimo también la posee. El segundo, la base de la inducción, afirma que el primer elemento de la serie tiene la propiedad P. Si se consigue demostrar ambos enunciados, entonces es obvio que lo que se ha logrado probar es que todos los elementos de la serie, del conjunto estudiado, en definitiva, tienen propiedad P. Esto y no otra cosa es una prueba por inducción. No creo que visto de esta forma pueda parecer algo demasiado complicado, ni siquiera demasiado abstracto. En el caso de Gödel se trata de probar que el teorema 2 se cumple para todas las K-fórmulas. Hace falta ordenarlas según algún criterio numérico para aplicar inducción. Éste va ser el número de alternaciones de cuantores universales y existenciales que hay en el prefijo de las K-fórmulas. Omito los detalles. El teorema 4 es la hipótesis de inducción, que queda demostrada es ese momento, y el teorema 5 es la base de inducción. Su enunciado afirma que cae K-fórmula de grado 1 es o bien refutable o satisfacible. Las K-fórmulas de grado 1 tienen un aspecto extremadamente simple: un prefijo cuantificacional con una serie de cuantores universales seguidos de única serie de cuantores existenciales. Y esto es a lo que ha quedado reducido el espinoso asunto de la completitud de LPO. En cierto modo es increíble, pero así es la lógica cuando se hace bien.

El paso siguiente es de carácter marcadamente técnico y sólo lo comentaré muy por encima. Gödel tiene que extraer ahora de las K-fórmulas de grado 1 expresiones que contengan información capaz de describir un modelo que la satisfaga en caso de no ser refutable. Se trata, básicamente, y sin más detalles, de volcar esas formas normales sobre expresiones de tipo proposicional. Téngase en cuenta que cuando se afirma, por ejemplo, que “para todo individuo x existe otro y tal que está en la relación R con y” —⁠∀x∃y Rxy, en símbolos⁠— la cantidad de información que se ofrece acerca de los modelos que verifican esa expresión es incapaz de describir exactamente como son éstos por dentro. Si, por el contrario, se afirma que “u₁ está en la relación R con u₂” y que “u₂ está en esa relación R consigo mismo”, por ejemplo, y que u₁ y u₂ son todos los individuos que hay, entonces el modelo es descrito completamente y satisface además la expresión cuantificada anterior. La conexión entre fórmulas cuantificadas y expresiones de tipo preposicional, como las que acabo de mencionar, fue empleada por Löwenheim, pero considerando fórmulas preposicionales de longitud infinita. Un remedio ciertamente incómodo ya que una fórmula de longitud infinita sólo es una entidad lingüística si relajamos mucho nuestros criterios acerca de qué es un lenguaje. Gödel, y éste es el descubrimiento fundamental de su artículo, idea un procedimiento por el cual lo que se construye es una serie de fórmulas de longitud finita, es decir, fórmulas genuinas, cada una de las cuales contiene a la anterior como parte y en las que progresivamente van apareciendo nuevos individuos. Lo que se consigue es una serie infinita, de expresiones, cada una de las cuales es obviamente implicada por la fórmula cuantificacional original, en la que la información sobre el modelo crece a medida que se avanza en la serie. De fórmulas infinitas a fórmulas ordinarias conectadas en una serie finita, ésta es la idea. Y es buena, muy buena. Puesto que los detalles son complejos y poco pueden aportar mis comentarios a la consulta del texto de Gödel lo dejaré aquí. El teorema 6 establece, precisamente, que cada fórmula de esa serie es implicada por la original. El resto consiste simplemente en la explicación del modo en que se obtiene el modelo a partir de las fórmulas de la serie y la comprobación de que si la K-fórmula original es satisfacible entonces también lo es cada una de las traducciones preposicionales que de ella se siguen. La parte para la refutabilidad se obtiene de forma similar. Con ello se cierra el largo proceso al comprobar que el teorema 2 se cumple para K-fórmulas de grado 1. Puesto que ésa era la base de la inducción desplegada en los teoremas 4 y 5, se llega finalmente a la afirmación de que el resultado vale para K-fórmulas en general. Puesto que el teorema 3 mostraba que lo que se diga de las formas normales, K-fórmulas, se extiende a cualquier fórmula de LPO se llega al teorema 2 y con ello a su forma equivalente, el teorema 1, es decir, a la completitud débil. Quod erat demonstrandum.

La construcción ideada por Gödel ha sido abandonada en sus detalles concretos pero queda de ella lo que podríamos considerar como el núcleo fundamental, esto es, el uso de una serie infinita de fórmulas que constituyen aproximaciones parciales a la forma final de alguno de los modelos que satisface la fórmula analizada. Esta estrategia tiene dos consecuencias colaterales de cierta importancia. La primera de ellas es el teorema de Löwenheim-Skolem, aunque no entraré en detalles. El segundo resultado, que Gödel expone en los teoremas 9 y 10, es lo que hoy conocemos como compacidad. Esta propiedad afirma que si se considera un conjunto infinito de fórmulas y sucede que cada colección finita de fórmulas de ese conjunto tiene un modelo, entonces el propio conjunto original tiene un modelo. Para entenderlo basta considerar que las fórmulas son descripciones de modelos, en realidad de partes de modelos. Y son más o menos precisas. Lo que se juega, por tanto, es la eficacia de un lenguaje para describir fragmentos de realidad a través de los modelos de sus fórmulas. Si una lógica no es compacta, entonces podría suceder que una colección de descripciones parciales, finitas, nunca pudiera ser amalgamada por completo en una infinita descripción del modelo y por tanto máximamente fiel. Dicho de otro modo, nuestra capacidad para describir modelos tendría un límite, lo finito, más allá del cual no podríamos decir nada con acierto. Estas consideraciones son, si algo lo es, profundamente filosóficas, metafísicas en realidad, y Gödel supo verlo así. La moraleja que él mismo extrae es la siguiente:

Nótese que la equivalencia ahora probada entre “válido” y “demostrable” supone, por lo que al problema de la decisión se refiere, una reducción de lo no enumerable a lo enumerable, ya que la “validez” se refiere al conjunto no enumerable de todas las relaciones, mientras que “demostrable” alude sólo la cantidad enumerable de las pruebas formales[15].

Si traducimos esta observación a un lenguaje más asequible, constatamos algo que ya dijimos al principio de este capítulo y que forma, en realidad, la sustancia misma del asunto de la completitud. Mostrar que una verdad de la lógica de primer orden lo es por procedimientos basados en la interpretación de sus símbolos, es decir, mediante el análisis de sus modelos, queda fuera del alcance de las capacidades del ser humano. No podemos estudiar todos los modelos pertinentes ni comprobar para cada individuo del dominio si hace o no verdadera la fórmula en cuestión. Pero si tenemos constancia de que toda verdad lógica es un teorema, entonces tenemos la garantía de que el proceso de producción de teoremas a partir de los axiomas irá enumerando —⁠por el orden de obtención, por ejemplo⁠— todas las verdades lógicas sin dejar ninguna fuera. En otras palabras, si algo es una verdad lógica podremos dar, antes o después, una justificación de ese hecho en términos de una prueba —⁠que es una construcción finita⁠— sabiendo además que toda verdad de ese tipo puede siempre ser justificada de ese modo. En lógica no hay ignorabimus, todo lo que es merecedor de una prueba, la tiene. Cosa distinta, lo veremos en su momento, es determinar a priori qué fórmulas son verdades lógicas y por tanto teoremas.

El primer acto de la vida intelectual de Gödel se salda con un espaldarazo y no menor al sueño de la razón auspiciado por Hilbert y su escuela. Y también con lo que sin duda es un notable éxito personal. Este resultado hubiera bastado para auparle en el palmarés junto con otros grandes de la época, pienso por ejemplo, en Bernays, Skolem, Löwenheim, Ackermann o Herbrand, pero no le sitúan aún en ese altar del culto laico al que el gusto contemporáneo por el genio y lo genial le han llevado. El próximo capítulo intentará explicar las razones de esta exaltación aunque eso sí, sin lágrimas ni vítores. Ya hay demasiado de eso en torno a la vida y obra de Gödel como para insistir aquí en ello.

ESPERANZAS ROTAS.
LOS RESULTADOS DE INDECIDIBILIDAD
DE LA MATEMÁTICA ELEMENTAL

Poco tiempo después de cerrar el capítulo correspondiente a la demostración de la completitud de la lógica elemental Gödel se encuentra trabajando ya en otro de los problemas que Hilbert había planteado en su conferencia de 1928[16]. Se trata, en concreto, del primero de ellos en el que se propone la obtención de una prueba de la consistencia del análisis recurriendo tan sólo a lo que se denomina métodos finitistas. Como sabemos por referencias anteriores, la consistencia del análisis había acabado de una forma no pretendida en el mismo núcleo del programa trazado por Hilbert.-To que se requiere es una prueba absoluta —⁠no diferida a ningún otro sistema⁠— de esa circunstancia que recurra tan sólo a herramientas absolutamente básicas, elementales, lo que acabo de denominar procedimientos finitistas. El segundo de los problemas descritos por Hilbert en dicha conferencia plantea la extensión de esa prueba a sistemas más potentes cuya descripción no nos interesa ahora. El tercero se refiere al problema de fijar la completitud de las versiones axiomáticas del análisis y la teoría de números mientras que el cuarto es, precisamente, al que ha estado dedicado el capítulo anterior. Como se puede ver, no son problemas del todo independientes, al menos desde un punto de vista conceptual y teniendo en cuenta el grado de conocimiento que en esa época se tiene de todos los conceptos en juego.

Toca ahora abordar los dos grandes resultados que hacen que la fama de Gödel destaque entre la del resto de sus contemporáneos elevándolo a la categoría de genio universal. Son teoremas que ofrecen de forma bastante directa respuesta a los tres primeros problemas del listado de Hilbert y lo hacen con una elegancia y acierto que no dejan indiferente. Pero tampoco creo que sea adecuado situarlos más allá de toda posible comprensión. Son, en cierto modo, la consecuencia natural de una serie de coincidencias que antes o después hubieran sido descubiertas por alguno de los actores de la época. Con ello no le quito mérito a Gödel, no se puede. Tan sólo pretendo que no introduzcamos más distancia entre él y nosotros de la estrictamente necesaria, aquella que reconociendo su indudable talento nos permita, sin embargo, hacernos con el núcleo de sus reflexiones y entenderlas sin complejos y sin más reverencias que las justas.

Los resultados que Gödel publica en 1931 —⁠la cronología exacta la describiré más adelante⁠— se resumen en dos grandes teoremas calificados con frecuencia como teoremas de limitación. El primero de ellos establece para una cierta axiomatización de la aritmética elemental la existencia de proposiciones indecidibles, siempre que dicha axiomatización sea consistente, ya que en otro caso toda proposición seria demostrable de forma trivial. Que una proposición resulte indecidible para una determinada teoría axiomatizada significa ni más ni menos que ni ella ni su negación son teoremas de esa teoría. Intentemos aclarar un poco los términos. Dada una teoría informal, toda expresión formulada en su lenguaje característico será o bien una verdad de la teoría o en caso contrario resultará ser falsa desde su punto de vista. Con la verdad no caben soluciones intermedias, al menos como ideal. Un ejemplo: el enunciado “la solución positiva de la ecuación x²-b=0 es mayor que c” será siempre verdadera o falsa una vez sabidos los valores de b y c, y no caben más opciones. Cuando trabajamos con teorías formalizadas lo que se espera es que el concepto de teorema reemplace eficazmente al concepto informal de verdad absorbiendo también sus normas básicas de conducta, las buenas al menos. Así, lo deseable es que toda expresión construida en el lenguaje de referencia de una teoría formalizada —⁠comprimida en una serie de axiomas y reglas fijados de antemano⁠— se comporte de tal modo que o bien ella o bien su negación sean teoremas de esa teoría, como pasa en el caso de las verdades. Una teoría que cumple esta condición para toda expresión construida en su lenguaje recibe el nombre de teoría, completa. El primero de los teoremas de limitación probados por Gödel establece por tanto que la expresión axiomática de la aritmética elemental no es completa. Lo cual, ciertamente, no es de recibo, al menos si se tiene en cuenta que la aritmética o Teoría de números es algo así como el primer peldaño del edificio de la matemática, algo tan básico que difícilmente debería plantear problemas. Este resultado se hace extensivo además al análisis con lo que el tercero de los problemas de Hilbert queda resuelto aunque en una dirección muy distinta a la esperada. La forma en que Gödel ataca este resultado permite concluir también que no hay teoría que contenga a la aritmética elemental en la que quepa resolver la situación. Es decir, la incompletitud de la aritmética se hace extensiva a todo sistema que la contenga. Se trata de una incompletabilidad que calificamos como esencial. Con lo que el segundo de los problemas de Hilbert queda también resuelto, y de nuevo de forma negativa.

El segundo de los teoremas de limitación de Gödel afirma, precisamente, que una de las proposiciones indecidibles de la aritmética elemental es aquella que afirma su propia consistencia. Este resultado no sería especialmente dramático si Gödel no hubiera mostrado de forma suficientemente clara que la versión de la aritmética con la que opera es la que contiene todos los métodos elementales, finitarios, de prueba que son seguros en matemáticas. Por tanto, lo que se establece en realidad es la imposibilidad de obtener una demostración elemental de la consistencia de la aritmética y con ella del análisis siempre que la aritmética sea, de hecho, consistente. Y con ello el primer problema de Hilbert queda, una vez más, resuelto de forma negativa. Para desesperación de muchos, eso sí. En resumidas cuentas, lo que Gödel prueba en su contribución de 1931 se resume de forma destacada en dos teoremas que podemos enunciar del siguiente modo:

Teorema I: Considerada una versión axiomática de la teoría de números que denominamos PA, por contener los axiomas de Peano para la Aritmética, sucede que si esta teoría es consistente, entonces hay proposiciones de esa teoría tales que ni ella, ni su negación son teoremas de PA, es decir, son indecidibles en PA.

Teorema II. Si PA es consistente, el enunciado que expresa en esa teoría la consistencia de PA no es demostrable en PA.

Son resultados ciertamente demoledores que pertenecen con toda propiedad a ese complejo ámbito del pensamiento formal caracterizado por establecer la imposibilidad de responder determinado tipo de cuestiones. No se trata simplemente de probar incoherencias de partida en las preguntas planteadas, no hay un pecado original en ellas que nos obligue a reconocer con sonrojo lo improcedente de su planteamiento. Nada de eso. Son preguntas legítimas que simplemente; no podemos responder o no podemos hacerlo en el ámbito que hubiera sida deseable. Es muy importante entender este punto aunque ello no suponga especial alivio ya que la naturaleza real de este tipo de limitaciones no es muy bien entendida ni siquiera en la actualidad. No hay una contradicción aparente en la posibilidad de concebir una axiomatización completa de la aritmética completa, como tampoco la hay en imaginar la posibilidad de una prueba elemental de su consistencia. No obstante, su análisis lleva a concluir que la existencia de las soluciones imaginadas o deseadas entraña contradicción bajo consideraciones lógicas y de contexto absolutamente elementales. ¿Cómo es posible? La respuesta a este tipo de situaciones va más allá de lo que es el mero ámbito de la matemática y así lo sienten muchos de sus practicantes contemporáneos. ¿Cómo pueden aparecer limitaciones, genuinos ignorabilia, en un terreno que se supone regido por nuestras decisiones de carácter puramente formal? Si una colección de axiomas no basta para capturar todas las verdades de una teoría añádanse los que faltan para lograrlo. Es cuestión de atención y cuidado. Pero aceptar que por mucho que mejore nuestro conocimiento de la situación nuestros movimientos siempre provocarán nuevas verdades no incluidas en nuestras teorías suena un tanto truculento. Afirmar, por ejemplo, que nunca tendremos una teoría de la aritmética que sea al tiempo consistente y completa recuerda en demasía a aquellos principios de la física conocidos como resultados de indeterminación. Pero esto y no otra cosa es lo que Gödel prueba de forma absolutamente convincente. Que no podamos conocer al mismo tiempo el momento y posición de una partícula material suficientemente pequeña es molesto, indignante incluso, pero estamos bien dispuestos a reconocer nuestras limitaciones cuando éstas se refieren al conocimiento de la realidad física. Aceptar eso mismo cuando se trata del conocimiento matemático cuyos objetos parecen proceder de nuestra pura actividad mental es muy otra. Estas consideraciones son sólo una pequeña muestra de aquellas que surgen en torno a los teoremas de limitación de Gödel. La imposibilidad de obtener como teoremas todas las verdades de la matemática, lo que se suele denominar su inexhaustibilidad, no sólo afecta al problema de la existencia y estatus sus objetos característicos. Pone también en cuestión, ya hablaremos de ello, la posibilidad de generar algoritmos que imiten con suficiente eficacia el comportamiento matemático de la mente humana. Afecta, en definitiva, al programa conocido como I. A. —⁠inteligencia artificial.

No es de extrañar que los matemáticos se sientan un tanto reacios a entender como propias de su ámbito este tipo de reflexiones, y seguramente estén en lo cierto. Lo cual no supone menoscabo alguno ya que se trata, o así me lo parece, de problemas propios de esa especie de nova philosophia naturalis que el siglo XX ha ido viendo aparecer en torno a algunos de sus descubrimientos más característicos. Es posible que podamos hacer matemáticas sin entender ni conocer los resultados de Gödel, no lo niego. Pero dudo que podamos entender el siglo en que ahora nos ha tocado vivir y los sueños que hemos tenido que dejar atrás sobre todo en lo que respecta a nuestra capacidad para conocer y resolver los problemas que nosotros mismos nos planteamos. La tradición de optimismo racionalista que se inicia con la modernidad en torno al siglo XVII nos ha dejado una considerable colección de ilusiones rotas y un cierto pesimismo desde el cual tenemos, no obstante, que recomponer nuestras expectativas. Si hay un sentido en el que se pueda afirmar que ya no somos modernos es desde luego en éste. La contribución de la lógica al final del sueño de la razón ilustrada me parece, a las pruebas me remito, fuera de toda duda.

El principal destinatario de las consecuencias de los teoremas de limitación de Gödel fue, como es bien sabido, el propio programa formalista trazado por Hilbert y sus seguidores. Aunque Gödel nunca estuvo del todo de acuerdo con la afirmación de que fueron sus teoremas y no otra cosa lo que puso fin a ese sueño de la razón, lo cierto es que al menos tuvo parte en ello. Y esto es así pese a compartir el optimismo racionalista que el propio Hilbert defendió a lo largo de toda su carrera, lo que no deja de ser una cruel ironía. Pero pensemos por un momento qué hubiera pasado si el resultado del partido hubiera sido otro, es decir, si el artículo de 1931 hubiera mostrado la existencia de una prueba finitista de la consistencia de la aritmética y de paso su completitud. En este punto las opiniones se dividen entre quienes piensan que el efecto final del éxito del formalismo sólo se habría notado en aspectos metodológicos superficiales y quienes lo consideran como una auténtica revolución civilizatoria, algo próximo al descubrimiento del sistema alfabético o la imprenta. Prefiero no entrar en este debate ahora. Es posible que en la etapa de formación de una teoría, en la que lo que se persigue es el descubrimiento de sus contenidos básicos, las técnicas formales tengan un papel secundario, pero en la etapa de maduración se puede esperar ya otra cosa. Una teoría formalizada absorbe todo el contenido de su ancestro informal en una colección finita de axiomas a través de los símbolos no lógicos, es decir, los específicos de esa teoría. Suma, producto, identidad si hablamos de números; rasgo, gen, herencia si se trata de genética; capital, precio, trabajo si es de economía. Una vez fijados éstos y las reglas de inferencia características, la teoría deja de comportarse de forma singular para convertirse en un producto más del conocimiento formal. Las demostraciones son demostraciones lógicas, la obtención de nuevas verdades un mero juego de símbolos cuyo significado nos importa sólo a efectos de interpretación. La actividad del científico cuyas teorías tienen el aspecto de genuinas teorías formalizadas se reduce a la actividad del lógico: el método científico de la ciencia madura es, hubiera sido, la propia lógica. Esto habría resultado así para el corpus de teorías formalizadas para las que hubiera sido posible establecer pruebas elementales de consistencia o en su caso reducir el problema al de aquellas teorías para las que sí existe tal prueba. Una lógica y una aritmética consistentes y completas hubieran apuntalado el análisis y con ello la geometría. Un núcleo tan poderoso hubiera ejercido, en el peor de los casos, un efecto ejemplar sobre otras materias difícilmente soportable. El aspecto de la ciencia, al menos, en una de sus fases, hubiera podido ser ciertamente otro, aunque no sabemos cuán distinto, porque todo lo que podemos hacer aquí es especular. Pero lo cierto es que la frustración provocada por los resultados de Gödel restó incentivo a un programa al que aún le quedaba mucho por hacer. Para que el escenario que pintamos aquí hubiera tenido lugar habría hecho falta una cantidad ingente de trabajo que después de Gödel, no había especiales razones para abordar. No sabemos, no lo sabremos nunca, qué otras dificultades podrían haber surgido en un programa de formalización del conocimiento que, simple mente, dejó de resultar rentable.

Si examinamos los acontecimientos de la época pronto se aprecia que la auténtica genialidad de Gödel, su toque maestro, se encuentra en haberse atrevido a reunir tópicos relativamente alejados conceptualmente aunque bien conocidos en la época. El primero de ellos, las paradojas. En una de sus numerosas entrevistas con Hao Wang, Gödel describe lo que fueron sus primeras aproximaciones al problema tratado luego en el artículo de 1931 en que publica sus resultados de indecidibilidad. Allí sostiene, siempre según la trascripción de Hao Wang, lo siguiente:

En el verano de 1930 empecé a estudiar el problema de la consistencia del análisis clásico. […] Representé los números reales mediante predicados en teoría de números [que expresan propiedades de números naturales] y encontré que tenía que emplear el concepto de verdad [para teoría de números] para verificar los axiomas del análisis. Recurriendo a una enumeración de los símbolo, enunciados y pruebas del sistema en cuestión pronto pude apreciar que el concepto de verdad aritmética no podía ser definido en la propia aritmética. Si fuera posible definir la verdad en el propio sistema nos encontraríamos con algo parecido a la paradoja del mentiroso mostrando así la inconsistencia del sistema. […] Este aspecto del problema se discute de forma explícita en mi Seminario de Princeton de 1934 donde la paradoja del mentiroso es mencionada como un principio heurístico… La paradoja del mentiroso se refiere a una situación empírica que no es formalizable en matemáticas. En el texto original [publicado en 1931] hay [además] una alusión a la paradoja de Richard, que es puramente lingüística y no hace referencia a ningún hecho empírico[17].

Lo que llama la atención de este pequeño fragmento es el sutil cambio de actitud con respecto a las paradojas. Hasta entonces habían sido subproductos inesperados y ciertamente temidos. El caso de la paradoja de Russell es, quizá, el más significativo. Gödel parece entenderlas ya de otro modo, quizá como algo más parecido a una herramienta de trabajo que a una consecuencia indeseable o sorprendente. La paradoja del mentiroso, atribuida en unas ocasiones a Eubúlides, en otras a Epiménides, se produce cuando un enunciado predica de sí mismo una propiedad de forma contradictoria. “Este enunciado es falso” es el caso que más fielmente responde a esa idea. El componente empírico que Gödel menciona con desagrado se produce al no someter a reglas estrictas los mecanismos por los que se establece la referencia del enunciado en cuestión. Originalmente la paradoja —⁠de ahí su nombre⁠— se formulaba en términos del enunciado “todos los cretenses mienten siempre y en toda ocasión”. Este enunciado sólo es paradójico si quien lo pronuncia es cretense, es obvio. La paradoja de Richard, en la que no entraré ahora, analiza la posibilidad de jugar con la autorreferencia a la hora de definir una cierta entidad, un número en su caso. El efecto es, sin embargo el mismo. Sirviéndose de estos ejemplos como componente heurístico Gödel considera la posibilidad de construir un genuino enunciado aritmético que remede el contenido del enunciado del mentiroso. El candidato ideal es, ya lo explicaré más adelante con todo detalle, aquel que “afirma de sí mismo que no es demostrable en la aritmética formalizada”. La segunda maniobra de mérito no es del todo independiente de ésta. La autorreferencia es un fenómeno que puede ser definido como la capacidad de un sistema simbólico para referirse a sus propios elementos. El lenguaje ordinario es autorreferencial en la medida en que dispone de los recursos adecuados para referirse a sus expresiones por medio de esas mismas expresiones. Nuestros textos de gramática son autorreferenciales en ese sentido. Los recursos por los que se genera la autorreferencia son múltiples: pueden ser adjetivos demostrativos, como en el ejemplo anterior, u otros como el uso de comillas. Pero, ¿qué tiene que ver el fenómeno de la autorreferencia con una teoría formalizada tan elemental como la aritmética? El dominio de esta teoría, aquello de lo que habla, está formado por números. La aritmética no parece disponer de recursos para referirse a sus propias expresiones, ¿por qué habría de hacerlo? Su objetivo es hablar de números y no de las expresiones —⁠fórmulas⁠— que se refieren a ellos. Gödel supo, sin embargo, identificar en la aritmética recursos que hacían posible asociar a cada expresión del lenguaje formal empleado un número de forma univoca. Y lo que es más, emplear operaciones puramente aritméticas para manipular los números que representan esos símbolos emulando operaciones de tipo simbólico, del tipo que son habituales en lógica, por ejemplo. Al producirse este volcado de la sintaxis de la aritmética en el dominio de definición de sus predicados y funciones —⁠los números naturales⁠— la aritmética adquiere inmediatamente una conducta autorreferencial. Lo mismo que sucede cuando reconocemos que las entidades que empleamos para hablar de una lengua son las propias palabras de esa lengua. Sólo de esta forma se puede conseguir que el enunciado que imita en este contexto al del mentiroso, es decir, el que afirma de sí mismo que no es demostrable en la aritmética, sea un genuino enunciado aritmético. En nada distinto, de hecho, que aquel que afirma que 5 + 7 = 12.

La gran aportación de Gödel, el componente realmente innovador y revolucionario de su trabajo es, por tanto, haberse atrevido a emplear las paradojas como herramienta de trabajo entendiendo la autorreferencia como un fenómeno general dependiente tan sólo de la capacidad expresiva de un sistema y no de su sustancia o contenido.

Todo indica que Gödel se pone manos a la obra en el verano de 1930. Sus primeras manifestaciones ante Carnap, Feigl y Waismann en el café Reichsrat, que datan del 26 de agosto, así lo indican. En esa ocasión Gödel manifiesta su creencia en que todo sistema matemático capaz de expresar ciertas nociones elementales de carácter combinatorio —⁠son sus palabras⁠— ha de presentar enunciados indecidibles. Cuando se refiere a propiedades combinatorias piensa en algo tan básico como la posibilidad de hacer referencia a números, secuencias de números y secuencias de estas secuencias. Este punto representa posiblemente algo más de la mitad del camino que Gödel va a recorrer en un tiempo increíblemente corto y que pocos meses después, ya en el otoño, le lleva a la formulación definitiva de sus resultados. Pero, ¿cómo alcanza esa conclusión y cuál era el punto de partida? El trabajo que Gödel emprende en ese verano tiene que ver inicialmente con la consistencia del análisis, no con la existencia de proposiciones indecidibles. ¿Cómo llega de un problema al otro? Gödel confesó en varias ocasiones su relativa sorpresa ante el modo en que Hilbert intentaba abordar el problema de la consistencia del análisis. En su opinión resultaba extremadamente complicado intentar probar directamente este resultado mientras que parecía mucho más prometedor aplicar aquí la táctica que el propio Hilbert había empleado con la geometría, es decir, una prueba de consistencia relativa. La idea de Gödel era probar la consistencia relativa del análisis con respecto a alguna versión de la teoría de números empleando en la prueba métodos finitistas para repetir luego la operación con la propia teoría de números. Había de hecho un cierto margen para considerar versiones más o menos potentes de la aritmética si ello facilitaba el abordaje y planteamiento de la prueba. El problema es cómo representar números reales a partir de la aritmética elemental, es decir, considerando construcciones basadas tan sólo en números naturales. Para entender este punto conviene que presentemos ya de una forma clara y rigurosa el sistema PA o aritmética de Peano. Se trata de un sistema axiomático en el que se estipula lo que se va a entender por número natural, se introducen las operaciones suma y producto mediante sendas definiciones —⁠axiomas, en realidad⁠— y se añade un esquema en el que se explícita el principio de inducción. Todo ello se hace en el formalismo de la lógica de primer orden.

Aritmética de Peano

Símbolos propios:

s, que designa la operación sucesor

0, que representa la constante lógica correspondiente al cero.

+, X, que representan las operaciones suma y producto respectivamente

=, que representa la identidad

Axiomas:

Pl. El cero no es el sucesor de ningún número. ∀x ¬(0=sx)

P2. Si dos números son distintos también lo son sus sucesores inmediatos (los naturales no forman ciclos o bucles). ∀x∀y (x≠y → sx≠sy)

P3. Suma

x+0=x

x+sy=s(x+y)

P4. Producto

x×0=0

x×sy=(x×y)+x

P5. Si Ψx es una fórmula de PA, entonces vale lo siguiente:

Si Ψ0 y sucede que para todo número natural se puede probar que si Ψx, entonces Ψsx, entonces se puede afirmar que para todo número x, Ψx.

[Ψ0 & ∀x(Ψx → Ψsx)] → ∀xΨx, en símbolos

Y esto es todo lo que tenemos que saber para hacer aritmética. Esto y obviamente lógica, que aporta las reglas de inferencia que se precisan para obtener nuevos teoremas así como el resto de las verdades lógicas elementales.

La idea de Gödel para representar números reales a partir los naturales pasa por tomar un fragmento de PA, el formado por P1-P2 reforzando a su vez el principio de inducción —⁠P5⁠—, los detalles no importan, para añadir un par de axiomas más que permitan manejar nociones de tipo conjuntista. Se trata de los axiomas de comprehensión y extensionalidad. Este sistema lo denominaremos AG, el Análisis de Gödel.

P6. Comprehensión: para cada fórmula Ψx del nuevo sistema hay un conjunto formado exactamente por los elementos que la hacen verdadera.

∃C∀x(x ∈ C ⇔Ψx)

P7. Extensionalidad: si dos conjuntos C y D tienen los mismos elementos, entonces son iguales.

∀x(x ∈ C ⇔ x ∈ D) → C=D

Pero, ¿por qué esta maniobra? Por la sencilla razón de que Gödel tiene pensado representar los números reales mediante conjuntos de números naturales obtenidos como aquellos que satisfacen exactamente algún predicado numérico del tipo Ψx. Es decir, un número real será expresado por el conjunto {Ψi, Ψj, …} donde i,j, etc son los naturales que satisfacen, hacen verdadero, el predicado numérico Ψx.

Lo cierto es que no contaría nada de esto si no fuera del todo imprescindible para apreciar el modo en que Gödel llegó a situar el problema de las paradojas y la autorreferencia en el centro de su análisis del problema de la consistencia. Y para apreciar la forma en que, de hecho, termina por desplazarlo completamente. El axioma de comprehensión, que tampoco dice nada del otro mundo, ha sido siempre una fuente constante de problemas. Gödel se da cuenta de que para formar los conjuntos numéricos que representan reales en el ámbito de la aritmética necesita, por el axioma de comprehensión, controlar el concepto de verdad. En realidad necesita poder manejar un predicado que se cumpla en ese sistema para las fórmulas que son verdaderas en dicho sistema. Tiene que comprobar que el predicado verdad es definible en AG. Y de esta forma el problema de la consistencia de una teoría acaba girando inesperadamente hacia el asunto de la definibilidad de un predicado claramente metateórico en esa teoría. Para lograr definir el predicado verdad en AG —⁠que simbolizaré como T(.), con el punto indicando la presencia de una entidad capaz de representar fórmulas⁠— Gödel tiene que poder hacer corresponder a cada fórmula una entidad que al ocupar el lugar que le corresponde en T(.) de cómo resultado un enunciado de AG. Éste es el problema típico de la autorreferencia, no sólo hay que buscar cómo representar las entidades de una cierta teoría en esa teoría, sino que hay que lograr que al combinar esos elementos que las representan con otros objetos de la teoría el resultado quede dentro de la teoría en cuestión, es decir, también sean objetos de esa teoría[18]. Gödel asocia a cada símbolo básico del sistema AG un número natural, es decir, establece un código numérico para los símbolos primitivos del sistema. Una fórmula será entonces una secuencia de números y una demostración, por ejemplo, una secuencia de secuencias. Como hay suficiente teoría de conjuntos en AG como para expresar esas nociones, Gödel se da cuenta de que es en principio posible considerar de la definibilidad de un predicado verdad del tipo T(s), donde s es una secuencia numérica, en AG —⁠recuérdese que una secuencia de números representa desde su punto de vista una fórmula de AG⁠—. Ahora bien, T(.) no es por definición un predicado de AG, no sabemos cómo construirlo realmente, sólo hemos considerado a modo de hipótesis su definición en AG. Recordemos este detalle porque es importante. Es en este momento, justo en éste, en el que el conocimiento y enfoque que Gödel tiene de las paradojas[19] muestra todo su potencial. Gödel considera la definición de una operación de substitución, subs(x,y), por ejemplo, que da como resultado la fórmula que resulta de reemplazar en otra dada por su secuencia característica, x en este caso, su variable libre por el valor que esa función de substitución le suministra, y en el ejemplo. Esta función, de apariencia sumamente técnica, viene en realidad a imitar en el ámbito de AG el papel que los adjetivos demostrativos tienen en el lenguaje ordinario. Un enunciado como el del mentiroso que dice que “este enunciado es falso” depende esencialmente para su formación del demostrativo “este”. Si se piensa un poco es ésa exactamente la función que subst(x, y) tiene, sólo que en el contexto de AG. Con todo ello, Gödel se plantea la posibilidad de formar un enunciado de AG que diga de sí mismo que es falso, lo que podríamos representar como P’⇔¬T(p), siendo p la secuencia numérica que representa la fórmula P. Al mostrar que si T(.) es definible, la versión en AG del mentiroso también lo es, Gödel se ve forzado a admitir, por reducción al absurdo, que T(.) no es en realidad definible en AG, ya que en otro caso llegaríamos a obtener contradicciones palmarias. Pero entonces su intento de volcar el análisis en la teoría de números, que depende críticamente de la definibilidad de T(.) debido al axioma de comprehensión, se viene abajo igualmente. Lo que se salda en apariencia como un fracaso es en realidad el primer paso hacia un éxito de mayor cuantía. Porque Gödel ha olvidado ya en este momento el problema de la consistencia del análisis para volcarse en el de la definibilidad de ciertos predicados numéricos. Es cierto que la definibilidad de T(.) era una mera hipótesis ya que en realidad nadie sabe cómo dar una construcción directa de ese predicado en teoría de números, pero hay otros predicados para los que sí que existe esa construcción debido a su carácter elemental, lo que Gödel en este contexto califica como conducta combinatoria. Uno de ellos es el predicado de prueba en AG o en alguna extensión de PA apropiada. Una prueba no es sino una secuencia de fórmulas en la que cada una de ellas procede de alguna de las precedentes o directamente de los axiomas. En términos de los criterios de representación seguidos en AG, una prueba es una secuencia de secuencias de números. Gödel encuentra fácil el uso de la función de substitución, subst(x,y), para localizar una versión del mentiroso pero construida esta vez sobre el predicado de prueba en AG, que representaré como Pr(.). El enunciado obtenido por Gödel, que dice de sí mismo que no es demostrable en AG, expresable como P’⇔¬Pr(p’),, donde p’ es la secuencia de números que representa P’, permite esta vez llegar a una conclusión ligeramente distinta a la que se alcanza en el caso de la verdad, porque Pr(.) sí es definible en AG —⁠no se trata de una hipótesis de trabajo, como en el caso de la verdad T(.). La única vía de escape es admitir que P’ no es derivable en AG. Pero un poco más de discusión le permite a Gödel apreciar que un argumento parecido —⁠lo describiremos con detalle en breve, cuando apliquemos todo esto a la propia aritmética⁠— sirve para concluir que la negación de P’, ¬P’, tampoco es derivable en AG. P’ se convierte así en el primer ejemplo de proposición indecidible en un sistema formal. Y ésta y no otra es la convicción con la que Gödel se presenta a la reunión habida en agosto en el café Reichsrat de Viena.

Pocos días después el grupo ya mencionado, al que aún se unen otros matemáticos relevantes como Hahn y Grelling, inicia viaje para llegar a Königsberg, capital de Prusia Oriental, donde se van a celebrar las Segundas Jornadas sobre Epistemología de las Ciencias Exactas. Se trata de un ciclo de conferencias de tres días de duración —5 al 7 de septiembre⁠— en el que Gödel participa con una comunicación en la que expone su resultado acerca de la completitud de la lógica de primer orden. No se trata de arriesgar ahora cuando aún no ha explotado el éxito obtenido con su trabajo de tesis. La tercera jornada estuvo dedicada a discutir, en forma de una mesa redonda moderada por Hans Hahn, el problema general de la fundamentación de la matemática y es en ese momento en el que al calor de la discusión, Gödel comenta algo de sus resultados sobre la existencia de proposiciones indecidibles en todo sistema capaz de manejar cierta cantidad de nociones conjuntistas de tipo absolutamente elemental. Y lo hace en unos términos que sólo pueden considerarse críticos ya con el programa formalista. En esa misma mesa redonda participa Von Neumann manifestándose en una dirección muy similar a la que sostiene Gödel. Al final, ambos mantienen una conversación seguramente determinante para el curso de los acontecimientos y en la cual Von Neumann, que ha captado perfectamente la esencia de la estrategia seguida por Gödel, le plantea la posibilidad de concentrar su resultado en una teoría aún más elemental, la propia aritmética de Peano. Gödel se muestra convencido de ello, pero posiblemente está jugando de farol. Para que ese resultado pueda verse materializado en la aritmética elemental, añade, habría que demostrar la capacidad de dicha teoría para manipular predicados numéricos que tengan un contenido plenamente autorreferencial, algo que no es evidente en forma alguna.

Justo a la vuelta de esta estancia se pone manos a la obra consciente en parte de que ya no es el único que trabaja en esa dirección. No es cierto, por tanto, que Gödel represente a la perfección el ideal del genio independiente y aislado que trabaja en soledad debido al carácter absolutamente innovador y revolucionario de sus ideas. Esto es algo que distaría bastante de la verdad si somos fieles a los datos. Lo notable en su caso es la velocidad a la que es capaz de resolver los puzzles que en cada momento se plantean, y no tanto la novedad absoluta de sus iniciativas. Para lograr la formulación de una proposición indecidible en PA hay que actuar decididamente sobre los mecanismos con que este sistema cuenta para representar sus propias expresiones, que en este caso son sólo números naturales. En PA no podemos manipular conceptos como el de secuencia de números o el de secuencia de secuencias de números, fundamentales ambos para captar la idea de prueba en un sistema formal. PA, a diferencia del sistema previamente considerado AG, no contiene suficiente teoría de conjuntos como para incorporar ese tipo de nociones. Esto hace que el mecanismo de representación haya de ser mucho más compacto y complejo: todas las nociones metateóricas relevantes tienen que ser representadas sola y exclusivamente por números. Un predicado como Pr(.), pero definido ahora para la teoría de números, tiene que ubicar en lugar del punto un número que represente una fórmula para la cual existe una secuencia de fórmulas tales que, etc. Y eso no es fácil. Son varias las ocasiones en las que Gödel confiesa haberse mostrado altamente sorprendido al haber encontrado una forma increíblemente simple de superar esas dificultades. Y si eso fue así para él, no digamos lo que al resto de sus colegas les pudo parecer esa misma solución. Para ello Gödel se sirve de los conocimientos de teoría de números adquiridos en las clases impartidas por Furtwängler en Viena —⁠según él mismo declara⁠— y en particular del conocido resultado que se conoce como teorema chino del resto. Para hacerlo más sencillo me referiré mejor a otro teorema más básico aún que se conoce como teorema fundamental de la aritmética. Este afirma que la descomposición factorial de cualquier número natural en términos de potencias de factores primos es única. Todos lo hemos comprobado en nuestra experiencia escolar, pero veamos un ejemplo. El número 20.590.675.875.000, sin ir más lejos, puede expresarse como el siguiente producto: 2³×3⁴× 5⁶×7⁵×11². Si ordenamos los primos que sirven de base por su orden natural, los exponentes de cualquier posible factorización forman una secuencia canónica que en este caso sería <3,4,6,5,2>. Si previamente, como en el caso de AG, hemos fijado un código numérico para los símbolos del lenguaje, esa secuencia de exponentes representará una secuencia de símbolos del lenguaje así codificado, es decir, posiblemente una fórmula de ese lenguaje. Supongamos que en ese proceso de codificación previo, las variables “x” e “y” son representadas por los números 2 y 3 respectivamente, el signo de la suma “+” por el número 4, la identidad “=” por el 5 y el propio número “1” por el 6. Tomando esa codificación la secuencia anterior representa la fórmula y+1 =x, pero también se puede decir que es el número cuyos exponentes forman la secuencia que representa la fórmula en cuestión. Si además introducimos entre los signos admisibles otros como comas o signos de puntuación, podremos acceder sin problemas a la representación de secuencias de símbolos de cualquier extensión y complejidad. Este método que acabo de esbozar es lo que se conoce como gödelización de la sintaxis de la aritmética y es la base de los procesos de codificación numérica de cualquier sistema de signos conocido. Por número de Gödel de una fórmula se entenderá a partir de ahora aquel que representa esa fórmula en un sistema de estas características. Con este as en la manga, Gödel se dispone a reproducir la argumentación ensayada en AG sobre la propia teoría de números, sobre PA, también conocida como aritmética de primer orden. El predicado que emplea en lugar de Pr(.) lo representaremos como Bew(.) —⁠de Beweisbar, “derivable” en alemán⁠— siguiendo la elección que el propio autor hace en el original de 1931: Bew(.) es un predicado numérico más, se aplica a números y significa que la fórmula cuyo número de Gödel es aquel del que se predica es derivable en PA.

El siguiente paso consiste en comprobar si realmente existe una versión aritmética del mentiroso construida ahora a partir de PA y su correspondiente predicado de prueba Bew(.). El resultado no puede ser más sorprendente, ya que no sólo existe, sino que la fórmula G⇔¬Bew(g) es un teorema de PA: se sigue de sus axiomas y reglas de inferencia. Si tenemos en cuenta que g es el número de Gödel de G, esta última fórmula —G— sólo puede interpretarse como afirmando de sí misma que no es derivable en PA —⁠para eso usamos el símbolo de equivalencia empleado en lógica que representamos como “⇔”. Por un argumento parecido al empleado en AG, Gödel se convence de que si PA es consistente, entonces ni G, ni su negación ¬G, pueden ser derivables en PA: básicamente la sustancia del primer teorema de incompletitud. Es muy posible que Gödel se diera ya por satisfecho en este punto del proceso al haber conseguido mostrar que su sospecha inicial acerca de la existencia y extensión de este tipo de anomalías, si así se las puede calificar, era correcta. Pero pronto aprecia que la formulación de ese teorema, su propio enunciado, encierra en su interior otra sorpresa, una auténtica joya que para muchos es el auténtico logro de Gödel. Si leemos con cuidado lo que dice el primer teorema pronto nos damos cuenta que todas las expresiones empleadas en su formulación pertenecen propiamente al vocabulario de la aritmética. Si aceptamos representar la consistencia de PA en términos de una fórmula, llamémosla ConPA, vemos que ese teorema se puede expresar perfectamente bien mediante la fórmula ConPA→¬Bew(g)&¬Bew(g’), donde g es como antes y g’ es el número de Gödel de la negación de G. Pero los razonamientos empleados para obtener este enunciado son a su vez totalmente elementales, por lo que no es absurdo plantearse la posibilidad de que esa misma fórmula, la que representa el enunciado del primer teorema en el lenguaje de la propia aritmética, pueda ser a su vez un teorema de PA. Al comprobar que éste es el caso, lo que se acaba por concluir es que la expresión que representa la consistencia de la aritmética formalizada, esto es, ConPA no es en realidad derivable en PA. Los detalles en breve. Se llega así a la expresión del segundo de los teoremas de incompletitud y con ello a la solución negativa de una de las preguntas sobre las que reposaba el éxito y también parte del destino final del programa formalista.

La importancia de los resultados alcanzados no se le escapa a nadie y desde luego tampoco al propio Gödel. La evidencia de haber conseguido un resultado de indudables consecuencias para el escenario intelectual de la época le llevan a redactar una breve nota que Hans Hahn presenta en su nombre ante la Academia de Ciencias de Viena. El texto, de apenas una página, lleva por título “Algunos resultados metamatemáticos sobre completitud y consistencia” y es recibido el 23 de octubre de 1930. En él se incluye el enunciado de los dos teoremas de incompletitud así como su extensión a cualesquiera sistemas que contengan al menos la misma cantidad de teoría de números que PA. Las siguientes jornadas debieron ser fuertemente estresantes para Gödel ya que el artículo definitivo, minucioso a veces hasta la exasperación, está finalizado en la segunda semana del mes de noviembre: el día 17 es recibido en la redacción de la Monatshefte für Mathematik und Phisik que lo publica en el número 38 que aparece ya durante 1931. Las prisas de Gödel estaban plenamente justificadas ya que el 20 de noviembre recibe una carta de Von Neumann en la este se sirve de su primer teorema para demostrar la imposibilidad de derivar la consistencia de la aritmética por procedimientos finitistas. Es decir, Von Neumann llega de forma independiente al argumento que permite derivar el segundo teorema de limitación a partir del primero. La respuesta de Gödel a esa carta consiste en la remisión del original que acaba de enviar a la Montashefte en calidad de primicia, gesto que Von Neumann supo agradecer en lo que valía.

Me he extendido en los pormenores porque contribuyen a situar la figura de Gödel en un marco más humano, menos alejado de los ritos mundanos de la ciencia de lo que habitualmente se hace. Y no por el ánimo de hacer menguar su figura, sino con la intención de no aumentar artificialmente la distancia entre él y nosotros. Hay muchos pequeños detalles que indican que el propio Gödel es consciente de que la clave de su éxito está, quizá, en haberse permitido algo más de libertad con respecto a los objetivos finales y el método a seguir y no tanto en su genuina excelencia. Así, por ejemplo, son varias las ocasiones en que confiesa que la única razón por la que Hilbert, o alguien de su entorno, no obtuvo el resultado fue la clara expectativa que todos ellos compartían en la existencia de una solución positiva al problema de la consistencia. Alguien menos cargado de prejuicios bien podía ver que la respuesta iba en otra dirección. Y un pequeño detalle: el título del artículo definitivo “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwadter Systeme I” —⁠“Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines I”⁠— indica claramente que fue concebido como una primera parte de un trabajo más minucioso, que, dado el carácter detallista de Gödel, sólo aplazó debido a la urgencia de fijar sus resultados en un entorno de relativa competencia. La segunda parte, nunca publicada, debía contener un desarrollo detallado de la prueba del segundo teorema de incompletitud —⁠teorema IX en el original. La rápida aceptación del argumento le hizo postergar la iniciativa hasta que finalmente, ésta dejó de tener sentido.

Me he entretenido en la descripción del proceso que lleva al descubrimiento de los teoremas de incompletitud porque es este periodo y toda su peripecia el que quizá es menos conocido. Pero supongo que también será conveniente decir algo de la estructura interna de esas demostraciones. Para los que deseen extenderse en los detalles existe una larga lista de obras de las que pueden destacarse al menos dos. La primera de ellas es un clásico de 1958 publicado por E. Nagel y J. R. Newman bajo el título de Gödel’s Proof[20], el es el prólogo que redacta S. Kleene en la edición de las Obras Completas de Gödel al artículo de 1931. El primero de ellos es especialmente notable por su carácter introductorio adquiriendo incluso valor propio como instrumento de divulgación y propaganda. Algunos de los sesgos que estos teoremas han adquirido son producto, precisamente, de la interpretación que estos autores hacen entonces de ellos.

El artículo de 1931 consta de tres secciones de muy desigual importancia y extensión a las que en 1963 se añadiría un apéndice incorporado en las versiones hoy consideradas canónicas. La primera sección, de tan sólo un par de páginas, constituye una introducción al problema dejando claro desde un principio el peso del asunto de la completitud: el problema tradicional de la consistencia del análisis o de la teoría de números ni siquiera se menciona en este punto. Así, se lee:

Estos dos sistemas [los Principia Mathematica y la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel] son tan amplios que todos los métodos usados hoy en la matemática pueden ser formalizados en ellos, es decir, pueden ser reducidos a unos pocos axiomas y reglas de inferencia. Resulta por tanto natural la conjetura de que estos axiomas 1 y reglas basten para decidir todas las cuestiones matemáticas que 1 puedan ser formuladas en dichos sistemas. En lo que sigue se muestra que esto no es así, sino que, por el contrario, en ambos sistemas hay problemas relativamente simples de la teoría de números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas (y reglas). Este hecho no se debe a la especial naturaleza de los sistemas citados, sino que se da en una clase muy amplia de sistemas formales, a la que en especial pertenecen todos los que resultan de añadir un número finito de axiomas a los dos sistemas citados[21]….

A continuación Gödel introduce el problema de la autorreferencia para mostrar, de manera informal, que todo sistema capaz de codificar su propia sintaxis es capaz de producir, imitando los procesos de Richard o la paradoja del mentiroso, enunciados problemáticos que deben ser analizados en detalle. El segundo apartado representa las tres cuartas partes de la obra y contiene todo el desarrollo formal que se precisa para demostrar —Teorema VI— la existencia de proposiciones formalmente indecidibles en la aritmética formalizada. Tras presentar el sistema formal P como la combinación de los axiomas de Peano para la teoría de números junto con el sistema PM de Russell y Whitehead para la lógica elemental —⁠lo que en realidad se denomina ahora PA⁠— Gödel plantea el método de representación de la sintaxis de este sistema en términos de números. Es decir, plantea el procedimiento que hemos denominado “gödelización de la sintaxis de la aritmética”. El siguiente paso consiste en la introducción de una clase de funciones definidas sobre números a las cuales Gödel denomina funciones recursivas[22] y que se caracterizan por garantizar mediante su definición explícita el cálculo efectivo de los valores de sus argumentos. No tienen ningún otro rasgo distintivo, ninguna mención al ámbito al que pertenecen o a su aplicación salvo el que acabo de mencionar, es decir, que existe un método efectivo para calcular sus valores. Mediante el uso de estas funciones Gödel define el concepto de predicado y relación recursivos que son los que realmente nos interesan. Consideremos el caso de los predicados recursivos. Un predicado recursivo lo es porque es posible determinar mediante una cierta función recursiva asociada a él si un número satisface o no el predicado en cuestión. Las propiedades numéricas que pueden ser expresadas mediante predicados recursivos son extraordinariamente satisfactorias ya que son exactamente aquéllas para las que es posible determinar por un procedimiento efectivo y finito qué números las poseen. Saber si una propiedad numérica es recursiva es importante cuando se planifica volcar la sintaxis de la aritmética sobre sus propios predicados y relaciones. Una propiedad meta-teórica que pueda ser determinada de forma efectiva desde fuera del sistema tendrá que ser representada por un predicado del sistema que sea recursivo. Una vez establecidos estos conceptos, Gödel inicia un proceso en el que se definen 46 predicados y relaciones numéricos todos los cuales son recursivos salvo el último de ellos, que resulta ser, precisamente Bew(.). Nótese que si este predicado fuera recursivo, en la medida en que es verificado por los números de Gödel de fórmulas demostrables en PA, la propia noción de teorema de la aritmética sería recursiva y por tanto no habría proposiciones indecidibles en teoría de números. Aunque no lo haga yo aquí y ahora, merece la pena echar un vistazo a ese proceso que se inicia tímidamente con la definición del predicados y relaciones numéricos como “x es divisible por y”, “x es primo” para ir alcanzando sin solución de continuidad predicados también numéricos pero dotados con un contenido que difícilmente podría ser considerado como típico de la aritmética. En el lugar 20 encontramos, por ejemplo, el predicado Elf(x), que es verificado por x si y sólo si ese número es el código de una fórmula elemental de PA; en el 31 se introduce la operación de substitución sobre fórmulas, imprescindible, como hemos visto, para generar proposiciones autorreferenciales, mientras que en el 45 se presenta la relación recursiva x B y que se verifica cuando x es el código de una prueba de la fórmula codificada por y. La definición del predicado de prueba en PA a partir de esta relación es trivial, ya que una fórmula es un teorema de PA si y sólo si existe una prueba de esa fórmula, es decir, Bew(x) equivale a ∃y y B x. Esta cadena de definiciones se prolonga como ya he dicho hasta el ítem 45, donde se introduce la relación x B y, garantizando en cada caso que el nuevo predicado o relación obtenido es recursivo. La forma de generar Bew(x) a partir de y B x mediante la incorporación de un cuantor existencial que afecta a la variable y no permite concluir que Bew(x) sea recursivo. A partir de este punto Gödel inicia un razonamiento, culminado en el Teorema VI, en el que se procede a mostrar por reducción al absurdo que Bew(x) no puede ser recursivo. Lo veremos en un momento.

La tercera parte del artículo está dedicada a extender la existencia de proposiciones indemostrables a sistemas más potentes que PA finalizando con el segundo de los teoremas de limitación. En el Teorema VIII Gödel muestra la existencia de proposiciones indecidibles en cualquier sistema que contenga PA y haya sido obtenido mediante la adición de un número finito de axiomas respetando la consistencia del sistema resultante. Supongamos por un momento que disponemos de algún modo de identificar cuál de las dos proposiciones entre las que PA no puede decidirse, G o ¬G, es la verdadera. No importa ahora cuál, sino que tengamos en cuenta que una ha de ser verdadera y la otra falsa, ya que es su negación. Identificada la verdadera mediante un argumento independiente y obviamente no representable en PA, generamos un nuevo sistema PA’ añadiendo como nuevo axioma a PA la proposición que hemos podido identificar como verdadera. Todo parece indicar que el nuevo sistema enriquecido constituiría una versión completa y formalizada de la aritmética, ya que ha incorporado entre sus axiomas la proposición verdadera que PA no era capaz de identificar como teorema. Ahora bien, el sistema así obtenido se ajusta a lo que el enunciado del Teorema VIII indica, y por tanto, habrá nuevas proposiciones indecidibles para ese sistema ampliado. La incompletabilidad de la aritmética es esencial, no tiene remedio por procedimientos finitos. Esta tercera sección termina con el segundo teorema de incompletitud —Teorema IX— en el que se establece que la consistencia de PA no es demostrable en el propio PA, y por tanto, que no es demostrable empleando el tipo de recursos elementales que emplea este sistema. El apéndice añadido en 1963 supone, en realidad, una reafirmación del valor y alcance de los resultados de 1931. Los avances habidos al final de la década de 1930 en la comprensión del concepto de tarea efectiva —⁠gracias a los trabajos de Turing, Church o Kleene, entre otros⁠— permite afirmar que las conclusiones negativas obtenidas en el trabajo de 1931 no son coyunturales ni imputables a la debilidad o escasa potencia de los métodos de cálculo empleados entonces por Gödel. Es decir, no hay otros métodos que podamos considerar efectivos que sí permitan decidir entre las proposiciones indecidibles del Teorema VI o demostrar de forma satisfactoria y elemental la consistencia de PA. El problema no está en el concepto de tarea efectiva empleado, sino en el alcance general del problema de la formalización de teorías capaces de expresar su propia sintaxis.

Creo que una buena forma de finalizar este intenso capítulo puede ser exponer de forma muy somera la estructura de las demostraciones de esos dos grandes teoremas de limitación. Y aquí no voy a ser fiel a desarrollo original: simplemente no merece la pena.

Para empezar vamos a anotar dos hechos básicos que consideramos como ya establecidos:

A. La fórmula G⇔¬Bew(g) es un teorema de PA, y

B. Si A es un teorema de PA, la fórmula Bew(a) es también un teo rema de PA —⁠recuérdese que letras minúsculas como a, g, etc, represe tan los números de Gödel de fórmulas genuinas como A, G, etc.

Ahora introducimos de forma explícita dos propiedades elementales en cualquier teoría que se precie.

C. Una teoría T es consistente syss no hay ninguna fórmula A tal que tanto ella como su negación ¬A, sean teoremas de T.

D. Una teoría T es ω-consistente syss no sucede que exista un predicado Ψ(x) tal que la proposición ∃xΨ(x) sea un teorema al tiempo que también lo son cada una de las fórmulas siguientes: ¬Ψ(O), ¬Ψ(1), ¬Ψ(2), etc.

Si una teoría T es ω-consistente también es consistente, aunque la conversa no se da. La razón de que se necesite esta propiedad más fuerte lo vamos a ver de inmediato.

Proposición I: Si PA es (ω-consistente entonces G no es demostrable en PA.

1. Supongamos no obstante que G fuera demostrable en PA,

2. entonces por B, Bew(g) también sería demostrable en PA, esto es, Bew(g) sería un teorema de PA,

3. pero por A, de 2 se sigue que ¬G sería entonces también un teorema,

4. por lo que G y ¬G serían ambos teoremas y en consecuencia PA no sería consistente, y por tanto tampoco ω-consistente.

5. En consecuencia, y por reducción al absurdo nos vemos obligados a reconocer que el supuesto adoptado en 1 es falso.

Proposición II: Si PA es ω-consistente entonces ¬G no es demostrable en PA.

1. Supongamos ahora que ¬G es quien resulta demostrable en PA,

2. tomando A se obtendría entonces que Bew(g) es demostrable en PA.

3. Bew(g) significa que existe un número y que es el número de Gödel de una prueba de G, es decir, ∃y Prov(y,g).

4. Por ω-consistencia, eso supone que existe un número k tal que Prov(k,g) es un teorema de PA,

5. y por tanto que G es él mismo un teorema de PA.

6. Pero lo que se concluye entonces es que G y —⁠G son teoremas de PA contradiciendo los supuestos de consistencia y ω-consistencia,

7. y de nuevo por reducción al absurdo nos vemos obligados a negar el supuesto adoptado en 1.

Estas dos proposiciones tomadas conjuntamente constituyen el contenido del primer teorema de incompletitud de Gödel formulado en su redacción original. Años más tarde, concretamente en 1936, Barkley Rosser, miembro del grupo de Princeton formado en torno a Alonzo Church, encontró el modo de prescindir de la molesta exigencia de que el sistema analizado fuera ω-consistente en lugar de consistente a secas. De ahí en adelante los teoremas de Gödel se exponen y formulan en los términos en que Rosser lo hizo aunque cambiando ahora el tipo de proposiciones que resultan indecidibles en PA. Éstas ya no son G y ¬G, sino las variantes de Rosser. La proposición R indecidible de Rosser dice de sí misma algo más que su ancestro G, dice que para cualquier posible prueba existe otra previa de su negación. Como se ve, se trata sólo de un pequeño reajuste en los contenidos que no afecta al meollo de la cuestión.

La demostración del segundo teorema de incompletitud es en realidad inmediato a partir de la observación de un nuevo hecho: la posibilidad de formalizar en PA el propio primer teorema de incompletitud. En concreto basta añadir a los hechos básicos A y B lo siguiente:

E. ConPA→¬Bew(g) es un teorema de PA.

Proposición III: Si PA es consistente, entonces la proposición que expresa esa circunstancia, ConPA, no es derivable en PA.

1. Supongamos, no obstante que ConPA sí que fuera derivable en PA,

2. entonces por E, ¬Bew(g) sería derivable en PA

3. pero de ahí, por A se llegaría a que G es derivable en PA, alcanzándose una contradicción,

4. con lo cual por reducción al absurdo nos vemos obligados de nuevo a rechazar el supuesto 1.

Y esto es lo que la razón humana es capaz de hacer cuando se trata de analizar críticamente sus expectativas. Algo que como se ve, no concede más al pesimista que al optimista. Porque lo que por un lado hemos perdido al no poder satisfacer nuestros legítimos deseos de dar forma ideal al núcleo más firme de nuestro conocimiento matemático, lo hemos ganado al entender algunos de sus mecanismos más íntimos y profundos. Somos limitados y falibles, es cierto, pero al menos sabemos por qué.

CONSAGRACIÓN Y EXILIO

Es tentador establecer una especie de antes y después en la biografía de todos aquellos que deben su fama a un logro muy concreto y éste podría ser sin duda el caso de Gödel. Salta a la vista que nunca volvió a publicar nada de importancia comparable al artículo de 1931 y que su actividad científica declinó hasta convertirse, como en alguna ocasión llegó a reconocer, en una especie de gloria del pasado incapaz de seguir y entender los intereses de nuevas generaciones de investigadores[23]. Pero esto no basta para afirmar que su trabajo de 1931 marcara el punto de inflexión de su carrera porque lo cierto es que no fue así. Gödel mantuvo una actividad frenética hasta mediados de la década de 1940 superando situaciones que, como el exilio a Estados Unidos, hubieran podido ser determinantes en una personalidad tan frágil e inestable como la suya. Lo sorprendente, si hemos de hacer justicia a los datos, es la relativa independencia entre su peripecia personal y la calidad de su trabajo. No da la impresión de que las situaciones del entorno, incluso cuando pudieran ser fuente de molestia o inquietud, actuasen de forma determinante en su estado de ánimo, el cual parece más directamente influido por el progreso de su investigación y los problemas que ésta le plantea. Su creciente falta de interés por el desarrollo de la lógica formal y la escasa productividad mostrada en la segunda mitad de su vida académica responden a causas que poco tienen que ver con lo biográfico o con el peso del trabajo anterior. En realidad son consecuencia de la propia evolución de sus intereses y del progresivo ensimismamiento en una serie de problemas y objetivos que ni siquiera él pudo abordar con éxito.

Tras la publicación del trabajo sobre proposiciones indecidibles el objetivo inmediato de Gödel no es otro que obtener una relativa estabilidad académica, para lo cual convierte ese texto en el contenido de la Habilitationsschrift que Hahn acepta en diciembre de 1932. Las formalidades se demoran hasta marzo del año siguiente momento en el que firma la plaza de Privatdozent en la Universidad de Viena e inicia su carrera como profesor. Este periodo resulta ser relativamente improductivo aunque Gödel no deja de participar en distintos congresos y reuniones. Uno de ellos, el que se celebra en Bad Elster en septiembre de 1931, presencia el desencuentro habido con Zermelo cuando éste declara estar en posesión de unos resultados similares de indecidibilidad que, no obstante, no creyó necesario hacer públicos. Ni que decir tiene que ese contacto no fue, en palabras de algunos testigos[24], el comienzo de una bella amistad.

A parte de divulgar sus hallazgos recientes, Gödel emplea este momento de su carrera en lo que son los primeros contactos con el último gran problema de índole formal al que prestaría atención en su vida científica. Me refiero a la teoría de conjuntos y más en concreto a la relación entre sus distintas axiomatizaciones y dos proposiciones de carácter altamente problemático, el axioma, de elección y la hipótesis del continuo. De todo ello hablaremos más adelante.

El periodo que media entre la obtención del puesto docente en Viena y su matrimonio con Adele puede ser considerado como un claro ejemplo de nomadismo académico. Gödel no paró de viajar a Estados Unidos bajo el amparo del recientemente creado Institute for Advanced Studies —I. A. S.— al que finalmente uniría su destino profesional a partir de 1940. La reproducción de la serie es suficientemente expresiva: octubre de 1933 a mayo de 1934, septiembre de 1935 a noviembre de ese mismo año, octubre de 1938 a junio de 1939 y, por último, de marzo de 1940 hasta el final de su vida. De esta secuencia de viajes son especialmente interesantes el primero y el tercero, ya que el segundo de ellos fue prematuramente interrumpido a causa de una crisis depresiva que llevó a Gödel a una breve estancia en un sanatorio psiquiátrico a su vuelta a Europa. El formato de estas participaciones consistía por lo general en una serie de Lectures bastante concentradas en el tiempo y con una temática muy concreta. En febrero de 1934 el tema elegido son sus resultados de incompletitud mientras que en la de 1938 el asunto pertenece ya por entero a sus nuevos objetivos en teoría de conjuntos, esto es, las demostraciones de consistencia del axioma de elección y la hipótesis del continuo.

La estancia de 1934 resulta especialmente interesante por el efecto que tuvo sobre un grupo de investigación relativamente joven formado en torno a la figura de Alonzo Church. Este lógico y matemático de origen americano se había centrado en el estudio del concepto riguroso y formal de la noción de tarea efectiva, más en concreto, en la identificación de la clase de todas las funciones numéricas cuyos valores podían ser calculados de manera efectiva. La idea de efectividad o tarea efectiva puede parecer más o menos evidente desde un punto de vista intuitivo, pero su perfecta y completa descripción formal puede suponer complicaciones no previstas en principio dotadas además de una gran carga epistemológica. Parte de la gracia del descubrimiento de proposiciones indecidibles en la Aritmética elemental reside en la interpretación irreprochable que Gödel hace de los procedimientos que pueden ser considerados efectivos a la hora de demostrar una determinada proposición dentro de una teoría. No es de extrañar que este aspecto de su trabajo llamara profundamente la atención del grupo de Princeton que en ese momento encabeza Church. La interpretación que Gödel hace en 1931 del concepto de efectividad queda perfectamente recogido en la clase de las funciones recursivas primitivas. Esa clase de funciones definidas sobre los naturales tiene como única propiedad característica el hecho de que sus valores pueden ser calculados por procedimientos puramente mecánicos, de tal modo que siempre es posible determinar esos valores para cualquier posible argumento. Los predicados numéricos recursivos son aquéllos para los cuales existe una función recursiva primitiva asociada que permite determinar los valores que satisfacen ese predicado. Puesto que PA es capaz de representar su propia metateoría, aquellas propiedades generales que son determinables de forma efectiva en el exterior del sistema tienen que ser representables en PA como predicados recursivos. Que el predicado de prueba Bew(.) no sea recursivo primitivo es otra forma de decir que existen proposiciones indecidibles en PA. Ahora bien, nada impide en principio que existan otros mecanismos efectivos que puedan ser aplicados al caso siempre, eso sí, que no sean representables en PA.

En el otoño de 1933 Church tiene más o menos perfilada una versión del denominado λ-calculus, un sistema en el que es posible definir en principio todas las funciones numéricas efectivamente calculables. Tras el artículo de 1931 Gödel había recibido una carta del matemático francés J. Herbrand[25] sugiriendo una forma de ampliar el alcance del concepto de recursividad de 1931, de tal modo que cuando viaja al I. A. S. está ya en condiciones de presentar un modelo desarrollado a partir de tales sugerencias que sería conocido como “funciones recursivas generales”. Parece que éste fue parte del contenido de la serie de conferencias impartidas allí en los primeros meses de 1934 y la razón de que Church se decidiera a interpelarle acerca de la posibilidad de que o bien esa clase, la de las funciones recursivas generales, o el propio cálculo-λ fueran capaces de capturar de hecho toda función calculable por procedimientos efectivos. La respuesta que Gödel da a la sugerencia de Church fue negativa y cabe suponer que algo desencantada. Gödel nunca creyó que fuera realmente posible formalizar todos los mecanismos que la mente humana tiene para resolver cuestiones de índole matemática de manera efectiva. No fue lo que podríamos calificar como un mecanicista moderno, aunque su trabajo y sus opiniones nunca consiguieran escapar de esa polémica. Church se propone entonces la tarea de mostrar la equivalencia entre ambas clases, funciones recursivas generales y funciones definibles en el cálculo-λ, consiguiéndolo gracias a la ayuda de S. Kleene —⁠discípulo ciertamente aventajado⁠—. De ese trabajo se derivaría poco tiempo después, finales de 1936, uno de los últimos grandes resultados de limitación del siglo XX, aquel que afirma que la lógica elemental tampoco es decidible. Este resultado, conocido como teorema, de Church es alcanzado de forma independiente y casi simultánea por un joven inglés de apenas 25 años sirviéndose de procedimientos completamente distintos. Se trata de Alan Turing quien con sus famosas máquinas alfa, luego máquinas de Turing, acaba de sentar las bases conceptuales de la teoría de la computación. A Turing se le pide que para redondear su trabajo evalúe la equivalencia de su método con el seguido por Church, es decir, que determine si el cálculo-λ y la clase de las funciones computables por medio de sus máquinas es o no equivalente. El resultado afirmativo hace que Church se atreva a hablar más abiertamente de su hipótesis acerca de la captura rigurosa de un concepto tan informal y escurridizo como el de tarea efectiva. La tesis que afirma que toda tarea efectivamente ejecutable por un ser humano es computable, expresable en el cálculo-λ, o por medio de funciones recursivas generales ha sido conocida desde entonces como tesis de Church —⁠aunque impropiamente, ya que Church sólo la aplica a funciones numéricas⁠— y constituye un indudable apoyo a los propios resultados de indecidibilidad de Gödel[26]. Piénsese lo que hubiera pasado si se hubiera constatado la existencia de un número distinto y disjunto de procedimientos efectivos, ¿acaso no habría sido razonable esperar la aparición de alguno no representable en PA que resolviera de forma mecánica, efectiva y finitaria, la decibilidad de G? Pero nada de esto tuvo lugar, y ello para sorpresa del propio Gödel que, y tras algún tiempo de reflexión, hubo de reconocer la indudable plausibilidad de la Tesis de Church.

Esa primera estancia en el I. A. S. fue aprovechada para conferenciar en algunos centros de investigación americanos donde previsiblemente dejó un grato recuerdo aunque sin duda fue el I. A. S. donde centró el grueso de su actividad. El curso impartido fue seguido con detalle por S. Kleene y B. Rosser quienes a sugerencia de Veblen, uno de los responsables del I. A. S. en ese momento, tomaron notas con la intención de publicarlas más adelante. Ese curso sería publicado en 1934 con el título de On undecidable propositions of formal mathematical Systems para añadírsele en 1964 una posdata del propio Gödel en la que reconoce el considerable reforzamiento de sus resultados gracias a la aportación de Turing sobre calculabilidad efectiva y la simplificación introducida por Rosser, que permite hablar en todo momento de consistencia simple en lugar de ω-consistencia.

La vuelta a casa supone, sin embargo, el inicio de uno de los periodos más convulsos e inestables de su vida. A los pocos meses muere Hans Hanh personaje clave en su formación y punto de referencia en su éxito posterior. En otoño es ingresado, posiblemente por primera vez, en un centro de salud mental para ser tratado de una depresión nerviosa. Es tentador pensar que ello se debió al impacto causado por la muerte de su maestro y amigo pero lo cierto es que otras fuentes datan el inicio de su crisis justo antes de ese incidente y en pleno regreso del viaje a Estados Unidos. Tampoco era, por otra parte la primera crisis de ese tipo que padecía, ni tampoco sería la última. Según su hermano Rudolf parece ser que a finales de 1931 tuvo un episodio depresivo que llevó incluso a la aparición de tendencias suicidas. Tras la crisis de 1934 y la que le llevó a interrumpir su estancia en América a finales de 1935 hubo al menos otra que sí que podría haber coincidido con el impacto causado por un hecho ajeno a su vida intelectual, en concreto el asesinato de Moritz Schlick en 1936 a manos de un militante nazi. Hao Wang conecta este episodio con un relato de Adele en el que ésta afirma haber ayudado al joven Gödel a escapar por una ventana del centro en el que estaba recluido contra su voluntad. Ambos huirían a un hotelito de Aflanz donde permanecerían, gusta pensar que ocultos, durante dos semanas[27].

Como se puede ver, Gödel fue todo menos un hombre tranquilo y previsible. Difícilmente puede ser visto cómo un genio aislado del mundo, aunque pudiese más en él su propio mundo interior, y tampoco puede decirse que permaneciera recluido o eternamente ligado a su hogar intelectual, la Viena de entreguerras. Salió al mundo y buscó la gloria y supo encontrarla cuando ésta llegó.

Veamos si no la polémica montada en torno al impacto de su obra y la forma en que Hilbert interpretó el segundo teorema del 1931. Siempre se ha dado por sentado que los resultados de indecidibilidad fueron la causa más o menos inmediata del declinar del programa formalista desarrollado por Hilbert y Bernays, entre otros. Un estudio más detallado del asunto muestra muchos matices e impide que veamos la cosa tan clara. Sí que parece cierto, como se puede ver a partir del éxito de su periplo americano, que los resultados de indecidibilidad fueron prontamente aceptados por todos aquellos que estaban al corriente del estado de la cuestión en el dominio de los fundamentos de la matemática. Algunos, como Zermelo, intentaron incluso sumarse a la estela de su éxito dando a entender que de un modo u otro era algo que ya estaba en el ambiente. Sin embargo, no parece que el propio Gödel considerara tan determinante su intervención, o al menos no tanto como para sentenciar definitivamente la propia existencia del programa formalista. Hay varios datos que avalan esta impresión. El primero de ellos se encuentra en el propio artículo del 1931. Allí Gödel afirma lo siguiente:

Hagamos notar explícitamente que el teorema XI […] no se opone al punto de vista formalista de Hilbert. En efecto, este punto de vista sólo supone la existencia de una prueba de consistencia llevada a cabo por medios finitarios y sería concebible que hubiera pruebas finitarias que no fuesen representables en P[28].

Es posible que en ese momento la cautela respondiera más a razones de oportunidad que a otra cosa, pero lo cierto es que Gödel insiste en esa idea al menos en dos ocasiones más, una en 1958 —⁠“Sobre una ampliación todavía no utilizada del punto de vista finitario”⁠— y otra nada menos en 1972 —⁠“Sobre una extensión de la matemática finitaria que todavía no ha sido usada”⁠—. La razón de ello tiene que ver a buen seguro con sus puntos de vista filosóficos. Gödel compartía en gran medida el mismo tipo de optimismo racional que animó la obra matemática de Hilbert, algo que Hao Wang ha llegado a calificar como el optimismo propicio de Gödel. Nunca creyó, como ya he dicho, que los recursos de la mente humana pudieran ser realmente igualados por los mecanismos automáticos que se derivan de la interpretación formal de la idea de procedimiento efectivo. Algo que le hubiera llevado a admitir la hipótesis general del mecanicismo moderno. Pero tampoco estaba en su ánimo aceptar el carácter irracional o asistemático de la habilidad simbólica del ser humano. Tenía que haber un punto intermedio en el que se pudiera hablar de procedimientos racionales, finitarios o efectivos si se quiere, pero claramente independientes de aquellos que pueden caer dentro del alcance de la aritmética o de la teoría de la computación estándar. Todo parece indicar que Gödel interpretó su trabajo como un modo de marcar los hitos de la ruta que debía ser seguida en el futuro si realmente se quería obtener algún progreso en ese punto. Muchos lo interpretaron así al buscar métodos que permitieran demostrar la consistencia de la aritmética recurriendo a un arsenal tan limitado como fuera posible. La prueba de consistencia obtenida por Gentzen en 1936 marca, por ejemplo, una referencia que no ha sido superada, pero que hace uso de métodos —⁠inducción transfinita⁠— que no pueden ser considerados finitarios en modo alguno.

Pero, ¿cómo vivió todo esto el propio Hilbert? La fuente más fiable en ese sentido es quizá la de Paul Bernays, colaborador estrecho de aquél en el desarrollo del programa formalista al tiempo que amigo de Gödel. Esa amistad, mantenida básicamente en forma epistolar, se inicia cuando Bernays solicita a Gödel una copia del texto de 1931, antes incluso de su publicación oficial. Tras recibir las galeradas, Bernays redacta una evaluación sincera e incisiva en la que se interpretan de forma inmediata las consecuencias que ese trabajo podía tener para el programa en el que él mismo trabajaba. La reacción de Hilbert parece haber sido, sin embargo, distinta. En un primer momento, siempre según Bernays, Hilbert reacciona con enfado y frustración[29]. A partir de ese momento se abre un periodo en el que intenta añadir procedimientos que soslayen la cuestión pero que no consiguen el efecto deseado. Gödel parece mostrarse sorprendido al observar que el tipo de soluciones propuestas por Hilbert no corresponden a lo que de él se espera, llegando a quejarse de la falta de comprensión mostrada por aquél ante la verdadera naturaleza del problema. Pese a la posible dureza con que Gödel juzga las sucesivas respuestas de Hilbert lo que parece cierto es que siguió admirando y respetando su propósito general que, desde un punto de vista desde luego distinto, no difería tanto del suyo, ya que ambos reivindicaban una suerte de racionalismo crítico orientado hacia la correcta fundamentación del conocimiento matemático.

Los convulsos años que van desde su regreso del I. A. S. en la primavera de 1934 hasta su definitivo exilio a finales de 1939 están presididos, como ya he dicho, por un intenso trabajo en el ámbito de la teoría de conjuntos. La razón del aparente giro de sus intereses sólo puede apreciarse en el contexto de lo que son las preocupaciones generales de aquella época. En la actualidad la teoría de conjuntos es un dominio altamente especializado dentro del campo de la lógica matemática pero no lo era tanto en aquella especie de etapa constituyente de la lógica moderna que se extiende hasta el final de la Segunda Guerra Mundial. La teoría de conjuntos estaba íntimamente asociada al problema de los fundamentos al ocuparse de un concepto que para muchos era el más básico de todo el ámbito de la matemática moderna, así como de todas las operaciones efectivas e ideales que le corresponden propiamente. Es posible que fuera este último aspecto el que hiciera que Gödel dirigiera rápidamente su atención a esa clase de problemas en los que con mayor rigor y claridad podían determinarse las fronteras entre razonamientos constructivos, finitarios, de un lado, e ideales de otro. Que su trabajo se centre en la evaluación del papel del axioma de elección o la hipótesis del continuo es perfectamente coherente con esta interpretación, ya que el carácter problemático de estas proposiciones deriva, precisamente, de su delicada posición con respecto a las habilidades constructivas y efectivas del ingenio matemático.

La escasa docencia de la que se hizo cargo en Viena fue girando progresivamente hacia esos tópicos al punto de constituir el tema al que dedicó aquella que pudo sobrellevar en la primavera de 1937. A este curso seguiría su tercera estancia en el I. A. S. enteramente dedicada al asunto de la consistencia del axioma de elección y a la hipótesis generalizada del continuo y las conferencias impartidas a su vuelta en la Universidad de Gottinga en diciembre de 1939, justo antes de conseguir la visa que le alejaría definitivamente del viejo continente y de la guerra. Ésta fue casi con certeza la última vez que Gödel hubo de afrontar unas responsabilidades docentes concretas de las que no parecía disfrutar en absoluto. Su exilio en el I. A. S. fue, a juzgar por sus propias declaraciones, extremadamente dulce en lo que se refiere a sus obligaciones formales. Se le permitió investigar a su propio ritmo y se le exigió lo mínimo en el campo de la docencia. Lo cual supuso, como ya he dicho, un considerable alivio. Gödel nunca disfrutó demasiado en la comunicación de su pensamiento. Su extremado rigor hacía que cualquier expresión de sus ideas se convirtiera i de inmediato en algo necesitado de retoque o de ulteriores precisiones. Sus clases parecían adoptar ese mismo tono haciendo que los estudiantes encontraran sumamente difícil seguir sus explicaciones al punto de hacer que la asistencia fuera mermando de forma sustancial según pasaban las semanas. La costumbre de desarrollar las clases girado hacia la pizarra sin prestar mucha atención al entorno tampoco debió contribuir mucho a su fama como docente; pero que Gödel hubiera resultado además un profesor brillante era, quizá, pedir demasiado.

Sus últimos años en Viena estuvieron presididos por un sentimiento de creciente inseguridad que fue lo que finalmente le llevó a tomar la decisión del exilio. Ya he dicho que Gödel era un hombre de convicciones profundamente democráticas, quizá incluso liberales o igualitarias, pero en modo alguno era un sujeto con vocación política, como sí lo eran, por ejemplo, Russell o Einstein. Gödel necesitaba una gran tranquilidad material en su entorno inmediato para poder trabajar, algo totalmente contrario al gusto por la militancia política, al menos, por la más activa. El asesinato de Schlick debió representar un toque de atención pero no parece que influyese determinantemente en sus decisiones posteriores. Tras su matrimonio con Adele en septiembre de 1938 los Gödel adquieren un apartamento en Viena en cuya decoración invierten cierto tiempo y recursos a lo largo incluso de 1939, lo cual indica claramente que no estaba entre sus planes abandonar el país pese a que éste ya no fuera sino una parte más y no menor del III Reich. Los intentos de sobrellevar una vida normal bajo el nuevo régimen se complicaron considerablemente cuando se le negó la renovación de su plaza de Privatdozent en Viena. Gödel fue erróneamente considerado judío por las nuevas autoridades académicas y tratado como tal en principio. Pese a resolverse el equívoco, sus amistades judías lo hacían igualmente sujeto poco digno de confianza para las nuevas autoridades políticas y sus sicarios académicos. Su aspecto debía además contribuir a ello ya que incluso fue atacado por un grupo de vándalos nazis, ya en 1939, cuando paseaba por la calle con Adele. Pero ni siquiera eso colmó el vaso de su paciencia o inquietud. El detonante final fue haber sido declarado persona apta para el servicio de armas al inicio de k guerra. Eso era simplemente demasiado para él. Sus desesperadas gestiones para obtener una visa que les sacara de aquel previsible infierno surten efecto a finales de ese mismo año iniciándose un complicado periplo que lleva al matrimonio a través de Rusia y Japón hasta alcanzar los Estados Unidos por el Pacífico. Eso sucede un 4 de marzo de 1940 y supone, al menos para Gödel, el inicio de una nueva etapa en su vida en la que nunca echaría de menos su hogar o la ciudad y el entorno en los que desarrolló las etapas más brillantes de su vida como científico. La nostalgia no estaba entre sus planes, no formaba parte de su horizonte vital ni contribuiría en nada a las tareas que él mismo se tenía ya asignadas. Cosa distinta fue la conducta de Adele, que nunca llegó a integrarse por completo en los usos y costumbres americanos recurriendo a constantes y largos viajes por la vieja Europa una vez que ésta retornó a la calma.

La actividad inicialmente desarrollada por Gödel en el Nuevo Mundo hace prever una carrera no menos intensa que la desarrollada hasta entonces. En 1940 aparece publicado un trabajo relativamente extenso y ciertamente profundo sobre sus investigaciones previas en teoría de conjuntos. Se trata de La consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo con los axiomas de la teoría de conjuntos que corresponden a las notas del curso impartido en el I. A. S. en otoño de 1938, es decir, durante su último viaje a Estados Unidos antes del exilio definitivo. Los ciclos de conferencias impartidos en Brown, Yale o Princeton así lo confirman. Sin embargo, Gödel no está sino comunicando y dando forma a investigaciones que venía realizando ya desde mediados de la década de 1930, porque en realidad su trabajo está a punto de atascarse en un punto del que ya no volvería a salir, y no por falta de capacidad o ingenio o simple agotamiento, sino por voluntad propia.

ASALTO A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

El interés de Gödel por la teoría de conjuntos puede proceder, como el resto de su obra y la de tantos otros, del listado de problemas enumerado por Hilbert en el Congreso de Matemáticas de París de 1900. El primero de todos ellos, el que encabeza esa lista, es el denominado Problema de Cantor sobre el cardinal del Continuo, conocido más popularmente como hipótesis del continuo. Se trata de una proposición, que como veremos en breve, ocupaba una posición crítica en la por entonces joven teoría de conjuntos, lo cual seguramente bastó para que Gödel se centrase en ella planeando, muy a su estilo, un auténtico asalto a un terreno en el cual él todavía no había dicho nada.

La hipótesis del continuo fue formulada por Cantor en torno a 1878, poco tiempo después de haber publicado el artículo que es considerado por muchos como al acta fundacional de la teoría de conjuntos. En su expresión actual, la hipótesis del continuo afirma que no hay conjuntos de tamaño —⁠lo que denominamos cardinal del conjunto⁠— intermedio entre el de los números naturales y el de los números reales. Obviamente ambos son conjuntos infinitos, con lo que esta afirmación sólo tiene sentido si antes se ha probado que esos conjuntos infinitos tienen, de hecho, distinto cardinal, distinto tamaño. Este resultado fue demostrado por Cantor en 1874 en el artículo en el que además se introducen los conceptos que hoy son típicos en cualquier tratamiento del asunto de la cardinalidad de conjuntos. La existencia, por así decirlo, de infinitos de distinto tamaño no es, desde luego, algo que se perciba de una forma directa o inmediata. No hay ninguna intuición que nos permita concluir tal cosa, aunque como veremos de inmediato, eso tampoco significa que nuestra interpretación ingenua del infinito sea clara o resulte única.

La intuición más clara o directa que podemos tener acerca de la idea de infinito es la que viene dada por la formación de una serie no terminativa. Éste es el tipo de infinito que, precisamente le conviene a los números naturales. Los naturales se forman tomando uno de ellos, el cero, y repitiendo la operación sucesor una y otra vez sin fijar límite alguno. Y en esto consiste la concepción del infinito como serie no terminativa. Una idea tan clara y distinta como es ésta debería capturar de hecho la forma en que cualquier conjunto infinito lo es. Sin embargo, sabemos de la existencia de conjuntos infinitos que no parecen responder a la idea de serie no terminativa. Tales conjuntos no son, además, nada raros, sino fruto de intuiciones muy elementales: el conjunto de los números racionales es, por ejemplo, uno de ellos. Este conjunto resulta ser denso, es decir, entre dos racionales es posible encontrar siempre un tercero distinto de ambos, con lo que no parece posible concebir su existencia como fruto de una construcción en la que a cada paso se añade otro y así sucesivamente. Es decir, los racionales no parecen encajar en la modalidad de infinito que se ve realizada en los números naturales. En 1873 Cantor ideó una forma de ordenar los racionales de tal manera que fuera posible ponerlos en relación uno a uno con los naturales, con lo que de hecho mostró que no hay más números racionales que naturales, pese al carácter denso del primero de esos conjuntos. Hay, por tanto, propiedades de los conjuntos infinitos que no parecen afectar a su cardinal ni tampoco depender de él. ¿Significa eso que el único concepto de infinito, entendido como magnitud, es, en el fondo, el que representan los números naturales y que todos los demás no son sino variantes de aquél? Desarrollando la idea básica de poner dos conjuntos en una relación uno-a-uno, Cantor intentó probar que no hay más números reales que naturales. Intentó demostrar que los reales eran enumerables, es decir, que podían ser puestos en relación uno a uno con los naturales, lo que obviamente equivale a poder enumerarlos dotándolos así de un buen orden. Tras comprobar que no era capaz de hallar la deseada prueba optó por la hipótesis contraria, es decir, intentó demostrar que los reales no eran en realidad enumerables. La prueba[30] se expone en la actualidad empleando una técnica ideada por Cantor que recibe el nombre de argumento diagonal —⁠aunque lo cierto es que Cantor no empleó este recurso en su demostración original de 1874 sino mucho más tarde, en concreto en 1891.

El argumento diagonal o técnica de diagonalización puede ser empleado para abordar un gran número de problemas y en particular, aquellos que tienen que ver con la existencia de magnitudes no enumerables. Fue así como se pudo demostrar que las funciones numéricas definibles sobre números naturales no forman un conjunto enumerable y que tampoco lo es el conjunto formado por todos los subconjuntos que pueden definirse sobre los naturales. Y es este último resultado es el que realmente nos interesa ahora. Ese conjunto de subconjuntos es lo que habitualmente se denomina conjunto de partes de otro dado o también conjunto potencia. Veamos por qué es interesante este concepto. Cuando se toma como conjunto original uno finito, el cálculo de su conjunto de partes es un asunto completamente trivial: supongamos dado el conjunto {1,2,3}, su conjunto de partes será entonces {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Si se estudia un poco la construcción seguida se ve además que es fácil determinar el cardinal del conjunto de partes a partir del cardinal del conjunto original. Si ése es m, el cardinal del conjunto de partes será 2m. Todas nuestras intuiciones parecen venirse abajo, sin embargo, cuando los conjuntos implicados son infinitos. Si empleamos la letra hebrea ℵo —⁠aleph⁠— con el subíndice “0” para referirnos al cardinal de los naturales y el de todos aquellos conjuntos que pueden ponerse en correspondencia uno a uno con sus elementos, el cardinal de su conjunto de partes será, adoptando una extensión de la notación para el caso finito, 2ℵ0. La cuestión que Cantor se planteó en primer lugar, era si 2ℵ0 resultaba, como en el caso finito, mayor que ℵo. Como ya hemos visto, la respuesta es afirmativa, es decir, ℵ₀<2ℵ0. Además, Cantor estableció la cuestión de modo tal que 2K0 podía ser identificado con el cardinal de los números reales. El conjunto de los números reales tiene entonces como cardinal 2ℵ0, y puesto que se identifica ese conjunto con la idea de magnitud continua, se puede decir, y así se hace, que el cardinal del continuo es 2ℵ0. Creo que esta explicación permite entender parte de la nomenclatura empleada al inicio de este capítulo y parte también del problema que Cantor se plantea en 1878. Si se acepta la hipótesis del continuo, 2ℵ0 resulta ser el siguiente cardinal existente para conjuntos infinitos representándose entonces como ℵ₁. Hasta ahora, el comportamiento de las magnitudes infinitas parece ser muy similar al de las finitas en aquello que tiene que ver con el tamaño de conjuntos y con el tamaño de los conjuntos de partes de éstos. En el caso finito, basta considerar el del ejemplo, hay varios subconjuntos que tienen un tamaño intermedio entre el cardinal de {1,2,3} y el de su conjunto de partes. De hecho, tenemos cada posible cardinal simplemente procediendo a substraer algún subconjunto de {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} y así sucesivamente. Cantor observó que eso mismo no parecía ser cierto cuando se pasaba al caso infinito. Si tomamos el conjunto de partes de los naturales e intentamos buscar subconjuntos de distinto cardinal encontramos que o bien tienen el cardinal del continuo, es decir 2ℵ0, o el de los naturales, ℵo. No parece haber conjuntos de cardinal intermedio entre el propio de los naturales y el propio del continuo, terminándose así el parecido entre el tratamiento de magnitudes finitas e infinitas.

Pero una cosa es no encontrar conjuntos del tamaño requerido y otra muy distinta es saber que tales conjuntos no existen. Cantor invirtió una energía considerable en intentar probar por medios rigurosos la hipótesis del continuo sin lograr avances significativos en la materia lo cual parece que fue el origen de más de un brote de ansiedad y de alguno de los episodios depresivos que fueron tan frecuentes en la vida de este personaje. Además también pudo estar relacionado de algún modo con su aproximación a la filosofía, movimiento que como veremos se repetiría años más tarde con el propio Gödel.

El primero que se plantea un nuevo asalto a este problema tras el fracaso de Cantor fue Zermelo. En el artículo de 1900, Hilbert sugiere que el hallazgo de una prueba de la hipótesis del continuo podría estar relacionado de forma relevante con un paso intermedio que ya fue indicado por el propio Cantor. Este consistiría en la identificación de una técnica que permitiera ordenar subconjuntos de números reales de forma similar a como se ordenan los subconjuntos de números naturales. Como es sabido, no todos los subconjuntos de reales se pueden ordenar de ese modo ya que en muchos casos no hay primer ni último elemento en esos subconjuntos de números reales. En 1904 Zermelo encontró un modo de introducir ese orden sobre subconjuntos de reales pero haciendo uso de una proposición que desde entonces uniría su destino a la propia hipótesis del continuo. Se trata, cómo no, del axioma de elección. Este principio afirma, en sus versiones actuales, que dada una colección no vacía de conjuntos siempre es posible obtener otro extrayendo uno y sólo un elemento de cada uno de los conjuntos de esa serie. La idea es simple y parece bastante intuitiva, ya que corresponde bastante bien al modo en que en ocasiones procedemos cuando manipulamos colecciones finitas de conjuntos a su vez finitos. Pero estamos hablando de magnitudes no finitas y por tanto, no podemos confiar en que nuestras intuiciones al respecto funcionen sin más. Para tener garantía de que realmente se obtiene un conjunto al proceder de ese modo parece necesario que las elecciones estén determinadas de algún modo. Es decir, tiene que existir una función de elección que determine qué elemento es el que se toma de cada conjunto de la serie. No es muy difícil ver que la existencia de esa función se reduce en definitiva a la posibilidad de determinar para cada subconjunto en la serie considerada un elemento menor, por ejemplo. Es decir, uno que constituiría el resultado de nuestra elección respondiendo a algún criterio claramente aplicable. Que exista un menor elemento en cada subconjunto de números equivale a afirmar que cada uno de esos subconjuntos se puede ordenar de forma satisfactoria, afirmación, que es la que obtiene Zermelo en 1904. De hecho, sabemos que el axioma de elección, en la forma en que aquí lo he expresado, y la existencia de un buen orden para cualesquiera subconjuntos de números reales son proposiciones equivalentes.

Pero, ¿cuál es el problema entonces? En primer lugar, no es cierto que la existencia de un buen orden baste para probar la hipótesis de continuo y en segundo, el axioma de elección no es una proposición carente de problemas. Obsérvese que esta afirmación sostiene que es posible construir un conjunto eligiendo uno y sólo un elemento de una serie no vacía de conjuntos. En el caso infinito esa elección debería responder a algún criterio, pero no se suministra uno. Es decir, la función de elección podría no tener una formulación explícita aunque parece obvio que si seguimos una tal función el conjunto postulado finalmente se obtiene. En otras palabras, hemos descrito un modo para obtener nuevos conjuntos cuya definición concreta podríamos ignorar por completo. Aplicado el caso a la ordenación de los reales, el axioma de elección permite concluir que hay un tal orden, pero no nos dice cómo obtenerlo. Curiosa situación, sin duda. Resulta muy difícil decir más de este problema ya que con él nos situamos prácticamente en el centro de una polémica que pervive y que quizá aún ha de tener mucho recorrido. Se trata de la que enfrenta a la concepción clásica o ideal de la matemática con la concepción constructiva. Para ésta última los objetos de nuestra intuición matemática que realmente tienen algún tipo de existencia son aquéllos para los que se pueden especificar construcciones explícitas. Todo resultado que se haya obtenido por medio de un uso relevante de axioma de elección resultará por tanto sospechoso desde un punto de vista constructivo. No es que la concepción clásica admita por el contrario todo tipo de entidades sin preocuparse mucho de su estatus ontológico. La cosa no es desde luego tan sencilla. Lo que sucede es que para el punto de vista clásico el tipo de instrucciones que, por ejemplo, se ofrecen en el caso del axioma de elección son suficientemente descriptivas como para garantizar que su seguimiento arroja la existencia de un objeto. De todos modos hay, o podría haber, una forma de zanjar la cuestión. Veamos cuál es.

En 1908 Zermelo propuso una serie de axiomas destinados a someter el concepto informal de conjunto a unas reglas absolutamente claras. Alguno de estos axiomas ya los hemos discutido en capítulos anteriores con lo que nos ahorraremos ahora la exposición detallada de la serie completa. El sistema así obtenido se denomina, como no podía ser de otro modo, Z. En 1920 Fraenkel y Skolem propusieron de forma independiente una serie de mejoras añadiendo un par de axiomas para dar lugar a lo que se conoce como Teoría axiomática de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, en lo que sigue. Luego ha habido otras axiomatizaciones pero son irrelevantes para lo que interesa aquí. El sistema ZF parecía, aún a falta de una prueba de consistencia, un sistema extraordinariamente robusto capaz, por ejemplo, de soslayar las paradojas que hasta entonces podían aplicarse al concepto intuitivo o ingenuo de conjunto. De hecho, y ya han pasado años, nadie ha encontrado una situación contradictoria que obligue a revisar ese listado de axiomas. Una herramienta tan potente debería ser capaz de juzgar si una proposición como el axioma de elección es o no verdadera en el dominio de la teoría de conjuntos. Como sabemos, decir verdadero en el terreno de una teoría axiomática equivale a establecer que la correspondiente proposición es un teorema de esa teoría. Y así es como estaban las cosas cuando Gödel las pone encima de su mesa de trabajo. En realidad algo peor ya que su resultado de indecidibilidad de 1931 tenía plena aplicación a ZF impidiendo demostrar de forma absoluta su consistencia. No obstante, el carácter elemental de ZF bastaría para dotar al axioma de elección de un soporte adecuado con tal de que se consiguiese demostrar que ese principio era en efecto un teorema de ZF. Gödel, como una buena parte de la comunidad matemática a excepción hecha de los constructivistas recalcitrantes, opinaba que el axioma de elección no resultaba un principio especialmente peligroso o dañino pues en el fondo anticipaba la existencia de objetos quizá obtenibles también por medios más seguros, pero obtenibles en el fondo de algún modo.

Pero demostrar que ese axioma era en realidad un teorema de ZF no era, pese a los deseos de la mayoría, asunto fácil de resolver. Aplicando la vieja técnica de divide et impera, Gödel intentó en primer lugar refutar que la negación del axioma fuera una consecuencia de ZF. Esto es, intentó mostrar que el axioma de elección, si se añadía a ZF, no rompía la consistencia del sistema obtenido. Esta prueba proviene, según el propio Gödel[31], de sus trabajos de 1935, pero el método ideado no da sus auténticos frutos hasta 1937 momento en el que encuentra una forma de extenderlo para abarcar simultáneamente tanto al axioma de elección como a la hipótesis del continuo bajo una versión ampliada conocida como hipótesis generalizada del continuo. Esta proposición afirma que dado un conjunto infinito cualquiera de cardinal λ, no hay ningún conjunto de cardinal intermedio entre λ y 2λ En ocasiones también se expresa diciendo que para cualquier ordinal n, 2ℵn = ℵℵ+1.

Pese a concentrar en un único trabajo la prueba de la consistencia del axioma de elección y de la hipótesis generalizada del continuo la actitud de Gödel frente a estas dos proposiciones era en realidad muy distinta. Como ya he dicho, el axioma de elección era considerado como una hipótesis más que razonable, por lo que una demostración de consistencia sólo se podía considerar en este caso como una invitación a probar más tarde y por medios más potentes su carácter teoremático. En el caso de la hipótesis generalizada del continuo la actitud es justamente la contraria. Gödel no cree en absoluto en su verdad. En esto se muestra conforme con una corriente bastante extendida, que quizá aún perviva hasta nuestros días, tendente a considerar dicha proposición como altamente dudosa, si no directamente falsa. En un texto aparecido en 1947 que lleva por título “¿Qué es el problema del continuo de Cantor?” Gödel sostiene lo siguiente:

Un segundo argumento a favor de que el problema de continuo no es solucionable en base a los axiomas usuales puede fundarse en ciertos hechos (desconocidos en la época de Cantor) que parecen indicar que la conjetura de Cantor acabará siendo errónea, aunque, por otro lado, es demostrablemente imposible refutarla a partir de los axiomas que hoy se aceptan[32].

Los hechos que Cantor ignoraba y que r atecen restar plausibilidad a su conjetura son por desgracia demasiado complejos para exponerlos aquí y ahora. Se refieren, por lo general, a ciertas consecuencias contraintuitivas en el modo en que conjuntos infinitos de distinto cardinal se relacionan a través de operaciones más o menos elementales. Los comportamientos anómalos identificados tienen en común el hecho de ser consecuencias directas de la hipótesis generalizada del continuo, hecho, que a juicio de Gödel, puede ser considerado si no una refutación, sí una evidencia en contra a considerar muy en serio. ¿Qué hacer cuando se busca refutar una proposición mostrando que su negación es consecuencia de unos axiomas y se halla, justamente lo contrario, es decir, que es consistente con esos axiomas? Desde el punto de vista de Gödel, y teniendo aquí muy en cuenta sus posiciones filosóficas generales, eso lo único que muestra es la escasa precisión de la teoría axiomática considerada. En el mismo artículo de 1947 que he citado hace un momento, Gödel termina diciendo lo siguiente:

Creo que, resumiendo todo lo dicho, hay buenas razones para sospechar que el papel del problema del continuo en la teoría de conjuntos consistirá en conducir al descubrimiento de nuevos axiomas que permitan refutar la conjetura de Cantor[33].

Este punto de vista es compatible con la aceptación del axioma de elección siempre y cuando estas proposiciones no estén relacionadas de un cierto modo. Es decir, siempre que sean suficientemente independientes. De hecho bastaría con que el sistema que resulta de añadir a ZF el axioma de elección, lo que se conoce como ZFC, no lograra probar la hipótesis generalizada del continuo como teorema. En la actualidad sabemos que es así, aunque la conversa no es cierta, es decir, ZF más la hipótesis generalizada del continuo sí permite derivar el axioma de elección como teorema.

Una vez aclarada la posición de Gödel con respecto a estas proposiciones, quizá podamos decir algo, muy poco, de la estructura de la prueba que obtenida en 1938. Tomada literalmente, la demostración de la consistencia relativa de una serie de proposiciones con respecto a un determinado sistema axiomático parece algo extraordinariamente difícil de abordar. Podemos entender en qué consiste mostrar que una serie de proposiciones son teoremas de una teoría, basta con hallar las correspondientes derivaciones a partir de los axiomas y reglas de esa teoría, pero la consistencia… La dificultad procede en parte del hecho de que se trata de una afirmación extraordinariamente fuerte la cual sólo se plantea, por lo general, cuando el intento de probar la teorematicidad no se muestra exitoso. Decir que una proposición es consistente con una teoría equivale a decir que su negación no es un teorema de esa teoría, es decir, apunta a una afirmación negativa extraordinariamente general que por lo general plantea un marco no constructivo. Por el contrario demostrar que algo es un teorema supone sólo el hallazgo de una construcción finita, es decir, una prueba de esa proposición dentro del sistema.

En la época en la que Gödel aborda estas cuestiones es sobradamente conocida la técnica de establecer la consistencia de una proposición con respecto a una teoría por medio de la construcción de un modelo de la teoría en el que la proposición analizada se verifica de forma constatable. Lo difícil es identificar el modelo apropiado. La idea de Gödel consiste en trabajar con una subclase de la clase de los conjuntos que forman el universo típico de ZF obtenida de forma que el axioma de elección se cumpla de forma evidente y en cualquier caso demostrable. Esa clase es bautizada por Gödel como la clase de los conjuntos constructibles y se identifica desde entonces por medio de la letra “L”. El universo de todos los conjuntos se reconoce por la letra “V” de tal modo que una afirmación como V=L se interpretaría como “todos los conjuntos son constructibles”. La gracia de esa subclase de conjuntos está, en realidad, en la forma en que se obtiene. Se trata de una construcción recursiva extraordinariamente simple. En el primer paso sólo se afirma que el conjunto vacío es constructible. El segundo paso indica cómo obtener una nueva capa de conjuntos constructibles a partir de la anterior. Y el último paso muestra cómo obtener una capa de conjuntos constructibles reuniendo todas las anteriores. El detalle de la construcción es muy técnico y supera el alcance de este trabajo, pero sí se puede decir algo más. La forma en que se genera la serie de los conjuntos constructibles garantiza, gracias al segundo paso, que estos están bien ordenados, con lo que se asegura de forma directa el cumplimiento del axioma de elección. La razón por la que L también garantiza la satisfacción de la hipótesis generalizada del continuo es más difícil de entender. En realidad L es una clase en la que podrían faltar muchos conjuntos. De hecho quedan los precisos para que los axiomas de ZF se cumplan y por tanto se garantice el cumplimiento del axioma del conjunto potencia que afirma que para cada conjunto hay otro formado por todos sus subconjuntos. Esto basta para garantizar que si en λ hay conjuntos de cardinal  X también los hay de cardinal 2λ El hecho de que en cada etapa se hayan añadido sólo los conjuntos necesarios para garantizar ese hecho es lo que lleva a probar la inexistencia en ese modelo de conjuntos de cardinal intermedio. Gödel demuestra además que la afirmación V=L, es decir, la que sostiene que todo conjunto es constructible, es consistente en ZF con lo que en realidad acaba probando que ZF+V=L —⁠el resultado de añadir V=L como axioma⁠— permite probar como teoremas de ese sistema ampliado tanto el axioma de elección como la hipótesis generalizada del continuo.

Y éste es el estado en el que queda la cuestión tras el asalto que Gödel realiza a la teoría de conjuntos durante la segunda mitad de la década de 1930. Una vez más ha vuelto a fijar la ruta y casi el calendario que habrá de seguirse en el futuro pero esta vez no todo está dicho. La primera noticia de la prueba de consistencia del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo se produce a finales de 1938 cuando un breve abstract de apenas una página es publicado en los Proceedings of the National Academy of Sciences, U. S. A. El texto que realmente contiene el desarrollo de la demostración y en el que se introduce de forma explícita la técnica para obtener la clase de los conjuntos constructible aparece en ese mismo medio en el número siguiente que aparece ya en 1939. Es este segundo ítem el que se considera hoy en día como un clásico en teoría de conjuntos, no sólo por la solución, sino por los medios que allí se introducen y que, en cierto modo, inauguran un nuevo modo de trabajar en este ámbito. Un texto mucho más amplio verá la luz en 1940 cuando se publiquen las clases que Gödel impartió en el IAS justo antes de volver a Viena en lo que sería su última estancia en Europa. El curso debió celebrarse a finales de 1938 y coincide en líneas generales con su primer anuncio en los PNAS —⁠Proceedings ofthe National Academy of Sciences. Las notas fueron tomadas por G. W. Brown quien se ocupó también de la edición que dio lugar al libro que aparecería en los Annals of mathematics studies volumen 3 correspondiente a 1940. A este texto se añadieron ciertas correcciones en 1951 y un apéndice en 1966 en el que Gödel incorpora los últimos resultados en ese terreno.

En esta ocasión las fechas tienen un interés biográfico porque estamos asistiendo a lo que serían las últimas contribuciones de relevancia que Gödel va a hacer en el terreno de la lógica matemática contemporánea. Y si se apura, a sus últimos esfuerzos por dar a conocer el fruto de su trabajo. Ese interés sólo reaparece en el tratamiento que hace de las soluciones no estándar a las ecuaciones de campo de Einstein a finales de la década de 1940 y ello sólo como una digresión. Sería justo pensar, las fechas lo justifican, que su traslado a Estados Unidos fue el origen y la causa de esa especie de retirada voluntaria que Gödel lleva a cabo desde entonces. Pero no es correcto. Gödel fue feliz en ese país, al menos en la medida en que estaba dispuesto a serlo y desde luego no le faltaron ni libertad ni incentivos para trabajar. Si hay que buscar alguna razón para el proceso de aislamiento que se inicia entonces quizá haya que buscarlo en la sustancia misma del problema en que trabajó desde su llegada a Estados Unidos y al I. A. S. Por muy brillante que pudiera ser su respuesta al problema planteado por el axioma de elección y la hipótesis del continuo el trabajo hecho representaba sólo la mitad de lo que debía hacerse. Es cierto que nadie que hubiera llegado a ese punto podía sentirse plenamente satisfecho y menos que nadie el propio Gödel. Como he dicho, la tarea había quedado fijada y era bastante evidente. Era preciso determinar si el axioma de elección era o no un teorema de ZF y si había forma de encontrar los principios que permitieran refutar la hipótesis generalizada del continuo. En este último caso resultaba fundamental demostrar que esta proposición era independiente de ZF ya que hubiera sido una sorpresa considerable demostrar que en realidad era un teorema derivable de los axiomas y reglas de la teoría axiomática de conjuntos. Demostrar que la negación de la hipótesis del continuo era consistente con los axiomas de ZF se convertía de este modo en el objetivo a batir. Gödel debió dedicarse a ello de forma casi exclusiva desde su llegada al I. A. S. en 1940 hasta al menos 1943, momento en el que sus intereses empiezan a cambiar fruto en parte del desánimo que le produce no ser capaz de llegar a ninguna conclusión. Algo a lo que ciertamente, no estaba acostumbrado. En 1942 dedica algún tiempo a la aritmética intuicionista para llegar en 1943 a una prueba de la independencia del axioma de elección en el marco algo más limitado de la teoría de tipos —⁠no importa el detalle ahora⁠—. Lo cierto es que el método seguido le lleva a una especie de callejón sin salida del cual no supo salir, abandonando la publicación o anuncio de los resultados obtenidos hasta entonces.

La solución llega años más tarde, 1963, y en ella ya no participa. Es P. J. Cohen quien consigue mostrar la independencia de la hipótesis del continuo empleando un procedimiento enteramente nuevo —⁠forcing⁠— que a juzgar por algunos comentarios no era del completo agrado de Gödel. De hecho, unas declaraciones recogidas por Hao Wang en 1976 muestran el pesar sentido ante su pronto abandono de una camino que podía haber conducido al mismo resultado por procedimientos enteramente distintos:

Intenté emplear mi método para probar la independencia de la Hipótesis del Continuo [en 1942 o 1943] pero no lo conseguí. El procedimiento parecía prometedor pero nunca tuve una formulación que fuera elegante desde un principio. En ese momento empecé a desarrollar un cierto disgusto por el problema ya que sentía que podía hacerlo todo de veinte formas distintas y era incapaz de ver cuál era la mejor. Además, por entonces estaba más interesado en filosofía, en concreto en la relación de la filosofía de Kant con la teoría de la relatividad y también en la característica universal de Leibniz.[…] Me arrepiento ahora. Si hubiera perseverado la independencia de la hipótesis del continuo podría haber sido probada en 1950 acelerando el desarrollo de la teoría de conjuntos en varios años[34].

Gödel no pudo terminar su asalto a la teoría de conjuntos tal y como había planeado, fue incapaz de terminar el trabajo que había iniciado dejándolo además en un punto que era contrario a sus intuiciones acerca del resultado que debía alcanzarse finalmente. Esto es algo que ciertamente puede resultar incómodo para muchos pero para Gödel era simplemente insoportable. ¿Es casualidad que su interés por la filosofía, el mismo que empezó a mostrar Cantor en una situación similar, empiece aquí?

DECADENCIA

Hay práctica unanimidad en considerar que 1943 marca un punto de inflexión en la carrera científica de Gödel, giro que claramente coincide con su renovado interés por la filosofía. Es mucho más difícil determinar si ese cambio de actitud se debe al desencanto con su trabajo formal en el ámbito de la lógica matemática y el agotamiento de sus ideas en ese terreno, o al intento sincero de buscar vías más radicales de resolver los problemas a los que finalmente se había ido enfrentando. Dejémoslo en empate.

Lo cierto es que a partir de ese momento su productividad se vio severamente afectada admitiendo sólo participaciones muy señaladas y orientadas en general a problemas relacionados con la fundamentación de las matemáticas. El ensayo dedicado a la figura de Russell, 1944, el análisis de las nociones de computabilidad y derivabilidad de su conferencia conmemorativa del bicentenario de Princeton, 1946, y la discusión sobre el problema del continuo en Cantor, 1947, son ejemplos del tipo de trabajo que está dispuesto a hacer público en ese ámbito y en ese punto de su carrera. Parece que en todos estos casos Gödel se vio obligado por compromisos que de una forma u otra no pudo eludir. Pero sí lo hizo, y muy a pesar de su editor, cuando finalmente desestimó publicar un texto sobre la figura de Carnap y su filosofía que le había sido inicialmente solicitado en torno a 1953 para la serie dirigida por P. A. Shilpp. En ese texto Gödel se propuso mostrar que la matemática no podía ser reducida a una mera sintaxis del lenguaje, es decir, no podía ser considerada como una mera colección de convenciones notacionales. La incapacidad para hallar argumentos suficientemente definitivos, al menos desde su punto de vista, le lleva a abandonar finalmente el proyecto, del que hay varias versiones manuscritas, a principios de 1959[35].

El periodo que va de 1949 a 1952 parecía indicar, sin embargo, la apertura de nuevos intereses capaces de devolverle a la primera línea del frente del debate científico. En esos años Gödel publica varios ensayos que aportan una serie de soluciones no estándar a las ecuaciones de campo de Einstein. Es lógico pensar que su interés por estas materias podría haberse despertado a raíz de la creciente amistad establecida con el físico alemán y premio Nobel también asilado en el I. A. S., pero lo cierto es que ese interés tiene una procedencia por entero distinta. Según Gödel declara es la filosofía kantiana y su interpretación de las nociones de espacio y tiempo la que le lleva a interesarse por la posible conexión de estos conceptos con la Teoría General de la Relatividad. En esos ensayos Gödel encuentra soluciones que permiten viajes hacia atrás en el tiempo aunque exigiendo una serie de condiciones de contorno que carecen de una correspondencia física real. Dicho de otra forma, no se corresponden con las propiedades generalmente admitidas del espacio-tiempo. Es, como se puede ver, lo que cabe esperar de un lógico cuando hace física.

Los últimos trabajos que Gödel aceptó hacer públicos son escasos y por lo general extraordinariamente breves. En ellos se detecta una cierta preocupación por rescatar el impulso racional y optimista del que disfrutara en los años de su juventud. Gödel admite no entender ya e trabajo de las nuevas generaciones de lógicos y parece crecer en él la sensación de que el asunto de los fundamentos o bien ya no interesa, o es tratado con un relativismo que le es totalmente ajeno. Las adendas o suplementos que publica a sus resultados de indecidibilidad o la indicación de la existencia de nuevas interpretaciones posibles del punto de vista finitario apuntan hacia el intento de reactivar la búsqueda racional de un soporte firme a los fundamentos de la matemática. Algo que como veremos en breve, tampoco pudo encontrar en su largo periplo por los dominios de la filosofía.

A parte del interés mostrado por Kant o Leibniz, el auténtico esfuerzo en este terreno se produce tomando como punto de partida la obra de Husserl. Gödel parece tomarse en serio su estudio alrededor de 1959 quedando relativamente impresionado por el tratamiento que éste hace de la intuición categorial en sus Investigaciones lógicas. En más de una ocasión declaró haber percibido una similitud entre sus preocupaciones y las del propio Husserl aunque finalmente nunca llegaría a aceptar la validez del método fenomenológico. Este radical cambio de intereses parece estar ligado al reconocimiento de que el método a seguir en filosofía no puede ser el mismo que le corresponde a la ciencia. Algo que en esa época y sobre todo en su entorno más cercano quizá no fuera del todo bien comprendido. Sea como fuere no parece que Gödel sacara nada en claro de esta aproximación a la filosofía. Nunca publicó nada de las muchas y variadas opiniones que mantuvo en diversos aspectos generales del pensamiento y de las cuales a veces sólo sabemos por las conversaciones mantenidas de forma privada con Hao Wang. Creo que merece la pena hablar más en detalle de la labor de Gödel como filósofo natural y por ello dedicaré un apartado al asunto aunque sólo sea por la relativa actualidad que han ido adquiriendo algunas de sus opiniones más polémicas o incluso disparatadas.

Si hubiera que hacer una evaluación general de la vida de Gödel como ciudadano americano el balance debería ser sin duda positivo. Que su producción científica empezara a declinar justo tras su llegada al nuevo mundo poco tiene que ver con la acogida que tuvo allí. El mismo quiso reconocer en más de una ocasión el buen trato recibido llegando incluso a mostrar una relativa sorpresa ante las escasas obligaciones formales a que fue sometido por el IAS desde que en 1946 pasara a formar parte de su plantilla de manera permanente. Esta sensación de bienestar no se limita tan sólo al aspecto académico:

Me siento muy a gusto en este país y lo cierto es que tampoco volvería a Viena si se me llegase a hacer alguna oferta. Dejando a parte las relaciones personales, encuentro este país y su gente diez veces más agradable que el nuestro[36].

La televisión, la radio e incluso el cine parece que contribuyeron a alegrar la vida de una persona poco capaz de encontrar en su interior razones para el optimismo. Gödel no era, si nos ceñimos a algunas de sus opiniones al respecto, un intelectual tipo: prefería la música moderna a la clásica y el cine y la comedia al drama.

Esta especie de sintonía con el modo de vida americano, en la medida en que pudo disfrutar del mismo, hace que acepte la nacionalidad estadounidense en 1948 produciéndose entonces otra de las famosas anécdotas que rodearon su vida pública. Meses antes, probablemente a finales de 1947, tuvo lugar la entrevista previa ante el juez en el que el candidato es examinado de una serie de conocimientos básicos sobre la Constitución americana y su ordenamiento jurídico. Según parece es una prueba absolutamente elemental que no requiere una especial preparación previa. No obstante Gödel se instruyó a fondo leyéndose con todo detalle la Constitución. La noche anterior a la visita al juzgado Gödel habló con Morgenstern para comunicarle que había descubierto la posibilidad lógica de que el Presidente de los Estados Unidos se comportara como un Dictador de hecho sin vulnerar por ello la Constitución. Gödel dio a este problema, como a todas las cosas que tenían que ver con su vida ciudadana, la máxima importancia insistiendo en comunicárselo al juez. Morgenstern y el propio Einstein, que también asistió al acto, distrajeron a Gödel intentado que no se produjera un incidente pero no consiguieron evitar que éste intentara exponer su descubrimiento. El juez, persona sensata a lo que se ve, obvió la cuestión y dio por válido el examen: el matrimonio Gödel adquirió finalmente la nacionalidad en abril de 1948.

La amistad con Einstein no fue, a buen seguro, una simple anécdota en la vida de Gödel. Siempre se ha comentado que su carácter retraído e hipocondríaco parecía relajarse y cobrar algo de seguridad y entusiasmo en su compañía. Ésta es la razón de que se viera a Einstein acompañando a Gödel en ocasiones en las que éste se sentía a disgusto o en aquellas otras que simplemente intentaba evitar. Solían pasear casi a diario manteniendo conversaciones de tipo general o filosófico aunque tampoco renunciaban a hablar de política —⁠ambos se mostraban partidarios de opciones de progreso, aunque Gödel votase en una ocasión a Eisenhower⁠— o de asuntos propios de sus respectivas disciplinas. Tras la muerte de Einstein en 1955 Gödel se sintió profundamente afectado empeorando su estado de ánimo y su salud de forma considerable. Había perdido uno de los pocos canales efectivos de comunicación que aún le quedaban con el mundo y en los años de vida que aún le restaban no fue capaz de encontrar a nadie que volviera a jugar ese papel. Morgenstern, con el que mantuvo una relación de amistad casi hasta el final de sus días, asumió en parte la tarea de mantener a Gödel en contacto con el mundo, pero no parece que éste desarrollara con él la misma sintonía intelectual que había llegado a establecer con Einstein. La relación con Bernays, íntima y amistosa en muchos sentidos, fue siempre epistolar, por lo que no podía encontrar en ella más que un apoyo muy limitado. La relación con Hao Wang[37], pese a ser intensa en un cierto sentido, parecía pertenecer a un orden de cosas enteramente distinto.

Como ya he dicho, desde la segunda mitad de la década de 1960 hasta su muerte en 1978, cuando contaba 72 años de edad, su vida científica se fue volviendo cada vez más reducida limitándose a la lectura y comentario del trabajo de otros y abandonando la defensa de sus propias ideas. La sensación de relativo abandono que en ocasiones mostró no se corresponde del todo con los hechos, ya que siguió recibiendo constantes invitaciones a todo tipo de actos y numerosos reconocimientos por su trabajo anterior.

Su salud fue empeorando progresivamente debido en parte a la negativa de seguir los tratamientos que se le prescribían. El rechazo a ser hospitalizado para recibir una mejor atención obligaba a aquellos que le rodeaban a un sinfín de trabajos para intentar procurarle un tratamiento adecuado. La muerte en 1977 de Morgenstern y Bernays debió acrecentar significativamente su sensación de soledad y le llevó a desarrollar o incrementar una conducta paranoide que se manifestó principalmente en un progresivo rechazo a ingerir alimentos. Cada vez que leo los relatos de esa etapa final de su vida me quedo sorprendido ante una cita de Hao Wang que este data tan sólo cuatro semanas antes de su fallecimiento. Gödel, preguntado por su estado, se limita a responder: “He perdido la capacidad de tomar decisiones positivas. Sólo puedo tomar ya las negativas”. Y con ello no se refiere a decisiones buenas o malas para su persona, sino simplemente positivas o negativas. Gödel no pudo, ni siquiera entonces, ser sencillo o directo. Incluso para comunicar hechos básicos de la vida que en el fondo ya sólo tienen que ver con la propia muerte Gödel se sirvió de una fórmula compleja y alambicada pero capaz de expresar con un rigor hiriente su auténtico estado. No hace falta saber de lógica para identificar el valor de esa respuesta, pero gana mucho si además se sabe algo de ella.

Fue Adele finalmente quien de forma ejecutiva decidió el traslado de Kurt al Hospital de Princeton donde en realidad ya poco se podía hacer por su vida. Éste fue encontrado muerto en la silla de su habitación el 14 de enero de 1978. Su cuerpo estaba consumido por la constante malnutrición mantenida de forma voluntaria durante los últimos meses de su vida. Es sabido que las razones por las que se negaba a ingerir alimentos no preparados directamente por Adele era el temor a ser envenenado, pero poco importa eso ahora. La imposibilidad material de que su mujer, que tampoco gozaba de buena salud, siguiera atendiendo esa demanda hizo que el proceso se acelerara precipitando lo que seguramente era un final anunciado. Que Gödel no tuviera una muerte del todo común tampoco nos puede extrañar demasiado.

Creo que éste es un buen momento para recordar algunos de los premios que recibió en vida, aunque sólo sea para constatar que contrariamente a sus impresiones nunca fue olvidado por la comunidad científica. El primero de ellos, y probablemente el más significativo de todos, es el Premio Albert Einstein que recibe en 1951 de manos de su amigo. Existe una instantánea que registra el momento y en la que puede captarse sin especial dificultad la diferencia de caracteres existente entre estos dos grandes personajes. Ese mismo año recibe un Doctorado Honoris Causa por Yale y un año más tarde por Harvard. En 1955 es nombrado Miembro de la Academia Nacional de Ciencia de los Estados Unidos y en 1961 lo es asimismo de la Sociedad Filosófica Americana. En 1966 recibe la invitación de la Academia Nacional de Ciencias austríaca a figurar como miembro honorario, propuesta de rechaza y según parece con una argumentación tortuosa que dejó desconcertados a los proponentes. Gödel nunca aceptó en vida el reconocimiento de las instituciones austríacas ni de la propia Universidad de Viena que sólo pudo concederle el Doctorado Honoris Causa a título póstumo. Sí acepta sin embargo los honores procedentes de las instituciones británicas: en 1967 es reconocido como Miembro Honorario de la Sociedad Matemática Londinense y un año después es nombrado Miembro extranjero de la Royal Society. En los primeros años de la década siguiente los premios y reconocimientos se aceleran, mala señal. Todo indica que su decadencia física era perfectamente apreciable para aquellos que no deseaban perder las ocasión de reconocer la importancia de su figura aún en vida. Así, es nombrado Miembro de la British Academy y del Institut de France en 1972 y, finalmente, recibe la Medalla Nacional de la Ciencia de los Estados Unidos correspondiente al ejercicio de 1974. Gödel ya no pudo recoger esta condecoración ni pudo asistir tampoco, pese a haberlo intentado, al acto de concesión del Doctorado Honoris Causa por Princeton donde se reunieron, como es fácil imaginar, todos aquellos que habían seguido su vida de cerca y entre los cuales se encontraban los pocos amigos que aún le quedaban. Gödel fue, si nos ceñimos a los datos, mucho más querido, cuidado, e incluso mimado de lo que él pudo o quiso reconocer a través de su conducta. En ningún momento se vio solo o abandonado y si así lo quiso ver es debido tan sólo a su propia voluntad de no participar más activamente en los acontecimientos de una época de los que ya no era el protagonista principal.

NO PUDO SER: GÖDEL Y LA FILOSOFÍA NATURAL

Hace pocas líneas que Gödel ha muerto, lo que hace suponer que el final de nuestro relato está ya cerca. La memoria de sus éxitos, los reconocimientos obtenidos, la indudable admiración lograda en vida producen ese tipo de vértigo que hace que nos sintamos pequeños al lado de tamaños ejemplos de ingenio. Pero ya dije al comienzo de este trabajo que mi intención no era contribuir a la cultura del mito sino permitir que comprendiéramos una obra que, vista desde dentro, es el producto de un hombre de su época, ni más ni menos. Por eso me he reservado para el final el estudio de aquella parte de la vida de Gödel que no puede saldarse con un éxito manifiesto, ni siquiera con uno parcial, sino con algo que se parece más a un abierto fracaso. Me refiero a aquella parte de su vida que estuvo dedicada a la práctica y estudio de la filosofía. Si tomamos el año de 1943 como hito para el inicio, digamos oficial, de sus intereses en ese ámbito comprobamos que en realidad lo justo sería hablar de Gödel como de un filósofo frustrado. En su no corta vida dedicó 13 años al estudio y desarrollo de la lógica matemática y ¡35 al correspondiente estudio de la filosofía! Pero si esto es así, ¿dónde está su obra filosófica? De todo ello hablaremos en breve, pero antes quizá sea conveniente narrar los momentos inmediatamente posteriores a su muerte y las iniciativas que tienen lugar entonces y de las cuales aún se habla en la actualidad.

Al funeral privado que se celebra a la semana del óbito no acude demasiada gente, viudas de los antiguos amigos y algunas personas cercanas al matrimonio. Los actos conmemorativos vendrían después y serían numerosos y prolongados en el tiempo. El más relevante y también el más temprano es el de Association for Symbolic Logic—A. S. L.— entidad que agrupa, aún hoy, a la comunidad que se dedica al cultivo y ejercicio de la lógica en sus más diversas facetas. En el congreso monográfico que dicha organización le dedica en 1979 se plantea la idea de proceder a una edición de sus obras completas incluyendo el Nachlass que Gödel ha depositado en manos de Adele, la cual, a su vez, lo entrega poco después al IAS. La idea surge, ni más ni menos, de H. Putnam quien por entonces es presidente de la ASL. El Proyecto sólo consigue ponerse en marcha a lo largo de 1982 bajo la dirección de otro peso pesado de la lógica, S. Fefferman, quien logra reactivarlo aprovechando el cambio de actitud que el LAS muestra en relación al acceso al legado manuscrito de Gödel que obra en su poder. El primer volumen de ese vasto proyecto aparece en 1986 y el quinto y último lo hace en 2003, dato que debería informar de las dificultades que ello ha supuesto. La existencia de gran cantidad de material manuscrito que aún no han sido publicado hace pensar en la existencia de un trabajo pendiente que quizá pueda ir siendo desarrollado por futuros investigadores[38].

La aparición de los volúmenes IV y V en fechas recientes, conteniendo buena parte de su correspondencia primada, permite entender el tipo de trabajo que Gödel asumió desde que en 1943 decidiera dedicarse a la filosofía. Se puede ver que en realidad nunca llegó a olvidarse del tipo de problemas que le habían llevado a la fama. Actuó como un consultor activo y despierto en el que se aprecia además un ánimo manifiesto por influir en el trabajo de sus colegas más jóvenes. Entre los documentos no publicados se encuentran además tópicos que demuestran su grado de conocimiento del trabajo actual en lógica. Con lo que su retiro al mundo de la filosofía puede ser visto, quizá, como una forma de amparar su decisión de librarse de la obligación del servicio activo. Las razones de esta decisión quizá tengan que ver con el tipo de problemas que aún considera pendientes y para los cuales nunca pudo encontrar una respuesta suficientemente a su gusto. Y con esto no quiero decir que su interés por la filosofía no fuera sincero, aunque, ¿realmente se propuso Gödel una tarea sistemática en filosofía?

En este último capítulo no me propongo algo tan ambicioso como responder a esta última pregunta. Bastará con que ofrezcamos pistas que el lector pueda luego seguir y algo de orientación acerca de los temas que Gödel trato a lo largo de ese periodo de 35 años. Pero antes una explicación. Analizar los esfuerzos de Gödel en el terreno de la filosofía una vez que hemos narrado su muerte no es casual. He querido que sea así por dos razones. En primer lugar, Gödel nunca aceptó que su pensamiento filosófico formara parte, digamos oficial, de su legado. Separarlo aquí de la obra publicada en vida es una forma de insistir em ese punto respetando un distingo que él mismo quiso hacer explícito en todo momento. Lo poco que hizo público se concentra principalmente en el terreno de la filosofía de las matemáticas y es, por lo general, una colección más bien tímida de opiniones y análisis tentativos. En segundo lugar, la base documental que nos permite hablar de su posición filosófica no es excesivamente robusta. Está basada por lo general en textos manuscritos, parte de los cuales siguen si publicar, y sobre todo en las conversaciones que Hao Wang ha publicado en diversas obras. Se trata, por tanto, de una fuente que carece de una amplia contrastación aunque tampoco por ello creo que sea menos digna da ser tenida en cuenta.

Mi recorrido por las opiniones filosóficas de Gödel se va a dividir en tres apartados. El primero de ellos es el dedicado a su posición en el ámbito de la filosofía de la matemática. En el segundo analizaremos algunos de sus comentarios en relación al problema del mecanicismo, en particular a la luz de la por entonces naciente Teoría de la Computación. La situación que en la actualidad atraviesa el gran proyecto de la inteligencia artificial hace que algunas de sus opiniones al respecto hayan sido rescatadas y reintroducidas en la polémica por lo que su estudio aquí no está de más. Por último me ocuparé de su visión general acerca de la filosofía y la forma de abordarla. Esta parte es, con diferencia, la menos firme y documentada, pero quizá por ello también la más magra.

Gödel parece haber aceptado como calificativos para describir su situación frente a la filosofía de las matemáticas tres términos que parece entender como más o menos equivalentes: “platonismo”, “realismo” y lo que en algún momento denomina “objetivismo”. La confesión quizá más contundente y precisa es la que aparece en el Cuestionario Grandjean —⁠una batería de preguntas muy variada sobre su vida y obra⁠— en respuesta a la pregunta siguiente:

Sus inclinaciones filosóficas han sido descritas por alguno como “realismo matemático”, debido a que los conjuntos y teoremas matemáticos se considera que describen objetos de alguna clase.

¿Cómo es de exacta esta caracterización[39]?

A lo que Gödel responde: “correcta”. En una carta que pretende añadir al cuestionario Gödel insiste en aclarar que

He sido un realista conceptual y matemático desde 1925 aproximadamente. Nunca he mantenido la tesis de que la matemática sea sintaxis del lenguaje, sino que por el contrario esta tesis, en cualquiera de sus sentidos razonables, puede ser refutada con mis resultados[40].

Este cuestionario fue remitido en 1974 por Burke D. Grandjean como parte de la documentación que éste pretendía incorporar en su 1 investigación sobre la figura de Gödel. Según parece, ni las respuestas ni la carta complementaria llegaron realmente a salir del domicilio de este último. Dicha carta puede ser de 1975 y en ella Gödel habla abiertamente de una posición filosófica mantenida de por vida que se substancia en una serie de afirmaciones que resume en poquísimas palabras. Interpretar sus opiniones con respecto a la matemática como una posición es quizá mucho más correcto que pretender ver en ello la expresión de algún tipo de filosofía más elaborada o sistemática. Esa posición se concentra además, y de forma casi obsesiva, en una serie de tesis o supuestos entre los que figuran los que acabo de citar, pero que podría resumirse en las siguientes afirmaciones: la matemática no puede reducirse a meras convenciones notacionales, lo que denomina en abierta polémica con Carnap, una sintaxis del lenguaje; los objetos matemáticos tienen una existencia independiente; las proposiciones de la matemática tienen contenido real o empírico; los resultados de incompletitud avalan esa tesis y además, el realismo conceptual es, al margen de su veracidad, conveniente para el ejercicio de la matemática.

Estas posiciones se pueden encontrar distribuidas en media docena de textos no todos los cuales fueron publicados en vida. Entre los que sí lo fueron se encuentran “La lógica matemática de Russell” de 1944, “Observaciones presentadas ante la conferencia del bicentenario de Princeton sobre problemas de las matemáticas” de 1946 y “¿Qué es el problema del continuo en Cantor?” de 1947. Tenemos constancia documental del texto de la conferencia que Gödel impartió en la Universidad de Brown en 1951 dentro de las Gibbs Lectures la cual lleva por título “Algunos teoremas básicos sobre fundamentos de Matemáticas y sus implicaciones”. Finalmente se han recuperado algunas versiones de lo que iba a ser su libro sobre Carnap para la serie de Schilpp titulado “¿Es la matemática sintaxis del lenguaje?” y que como ya he dicho no llegó nunca a terminar. El resto son retazos e insinuaciones distribuidos en textos de tipo técnico, en cartas, o en los fragmentos de las conversaciones mantenidas con Hao Wang.

El aspecto que quizá resulta más llamativo es el que se refiere a la existencia de los objetos matemáticos, existencia independiente, se entiende. ¿Hasta qué punto se tomó Gödel en serio afirmación tan problemática como ésta? En el texto dedicado a Cantor se puede leer lo siguiente:

Para quien considere que los objetos matemáticos existen independientemente de nuestras construcciones y de que tengamos individualmente una intuición de ellos y para quien exija únicamente que los conceptos generales matemáticos sean lo suficientemente claros como para que seamos capaces de reconocer su corrección y la verdad de los axiomas que les conciernen, existe, creo, una fundamentación satisfactoria de la teoría de conjuntos de Cantor[41]…

Este texto es importante porque muestra la relativa ambigüedad, quizá calculada, quizá no, en que se mueve Gödel. De qué se trata, ¿de una forma de ofrecer salidas a la fundamentación de una teoría, o de sostener y afirmar la bondad del realismo? En una conversación mantenida con Hao Wang a principios de 1972 Gödel sostiene lo siguiente:

Incluso reconociendo el rendimiento que ha tenido mi objetivismo para mi trabajo, otros podrían elegir no adoptar esta posición sino hacer su trabajo como si fuera cierta[42]…

Si comparamos estos textos con otros procedentes del trabajo sobre Carnap vemos que quizá lo más justo sea reconocer la sinceridad del realismo gödeliano viendo en esa especie de alternativa de conveniencia una forma de no entrar en polémica con los defensores del convencionalismo, ciertamente hegemónicos en su época. Porque decir cosas como ésta no era entonces, tampoco lo es hoy, fácil de hacer:

…el examen del punto de vista sintáctico, quizá más que ninguna otra cosa, lleva a la conclusión de que existen objetos matemáticos y hechos que son exactamente tan objetivos (i.e., independientes de nuestras convenciones o construcciones) como los objetos y hechos físicos o psicológicos, aunque, claro está, sean objetos y hechos de una naturaleza por entero distinta[43].

El “punto de vista sintáctico” se refiere, cómo no, a las tesis convencionalistas sostenidas por Carnap.

El realismo conceptual suele demandar algún tipo de acceso privilegiado a ese reino o plano en el que habitan los objetos postulados. En el caso de Gödel esta función la desempeña un género de intuición matemática como la que se reivindica en el artículo sobre Cantor: 1

…tenemos algo similar a una percepción de los objetos de la teoría de conjuntos como se ve a partir del hecho de que los axiomas se nos imponen como algo verdadero. No veo ninguna razón por la cual debiéramos tener menos confianza en este tipo de percepción, i. e., en la intuición matemática, que en la percepción sensorial, la cual nos permite edificar teorías físicas y […] confiar en que una cuestión que no puede ser decidida ahora puede tener sin embargo significado y llegar a ser determinada más adelante[44].

A lo que añade,

Debe tenerse en cuenta que la intuición matemática no tiene por qué ser concebida como una facultad capaz de dar un conocimiento inmediato de los objetos a los que se refiere. Parece, más bien, que como en el caso de la experiencia física, formamos nuestras ideas de aquellos objetos a partir de alguna otra cosa que sí nos es inmediatamente dada. Sólo que esa otra cosa no es aquí o no son primariamente las sensaciones[45].

Esa especie de realidad inmediata que es sujeto de la intuición matemática parece estar formada por todos aquellos conceptos que permiten hacerse idea del modo en que las cosas se relacionan y poseen propiedades de uno u otro tipo. En sí mismos no serían conceptos matemáticos, como las sensaciones tampoco son conceptos físicos, pero constituirían el ámbito en el que se construyen las matemáticas y del cual son su explicación racional. Es imposible no pensar en este punto en dos de las grandes referencias de Gödel en el ámbito del pensamiento, me refiero a Leibniz y a Husserl. En el caso de Leibniz existe un tipo de contacto problemático entre la ontología y la epistemología positiva que recuerda en mucho el tipo de anhelo que parece perseguir Gödel. En el plano ontológico encontramos unas mónadas que resultan ser sustancias inextensas portadoras del orden de relaciones de todas las cosas que existen o son meramente posibles. En el orden epistemológico esas relaciones deberían ser capturadas por una characterística universalis concebida al mismo tiempo como un lenguaje y como una herramienta de cálculo, algo que Gödel en “La Lógica Matemática de Russell” no duda en ver realizado o elucidado en el progreso actual de la lógica. Pero entremedias no hay nada que a juicio de Gödel conecte ambos dominios de forma satisfactoria. Y es ahí donde parece entrar en juego la experiencia fenomenológica husserliana como vía de acceso al tipo de entidades que constituyen el objeto de la intuición matemática. Lo cierto es que tras dedicarle no poco tiempo al papel que el método fenomenológico podía desempeñar en su propia filosofía Gödel acabó por reconocer que había encontrado poco de provecho en ello volviendo sus simpatías hacia el proyecto original de Leibniz.

Quizá y después de todo, aún es posible que Gödel tuviera en mente un proyecto filosófico de largo alcance cuya amplitud simplemente fue incapaz de abarcar.

El último aspecto de la filosofía de la matemática de Gödel que me gustaría tratar aquí es la manifiesta relación existente entre sus resultados de inexhaustiblidad —⁠incompletitud⁠— y sus posiciones objetivistas. A parte del reconocimiento explícito que Gödel hace de ello —⁠en el propio informe Grandjean, sin ir más lejos⁠— su peso resulta evidente sobre todo en el problemático “¿Es la matemática sintaxis del lenguaje?”. Uno de los argumentos fundamentales que Gödel ofrece para negarse a reconocer la tesis sintáctica, lo que solemos denominar convencionalista, sostenida por Carnap y Ramsey es la existencia de resultados de incompletitud que impiden obtener una demostración absoluta y bien fundamentada de la consistencia de sistemas matemáticos elementales. Sin una tal demostración, sostiene Gödel, no es posible defender de forma coherente que todo el conocimiento matemático se pueda reducir a una serie de convenciones sobre el uso de sus símbolos. Por otra parte, y si esta tesis fuera finalmente cierta, si nuestros sistemas sólo consistieran en un juego de signos con reglas previamente pactadas, ¿cómo podría haber sorpresas en matemáticas, y sorpresas además del tipo que entrañan sus resultados de incompletitud? Pero lo cierto es que el uso de este tipo de teoremas fuera del terreno en el que nacen y tienen pleno sentido no es asunto fácil y suele, a menudo, volverse contra aquellos que así los emplean. ¿Pudo sucederle esto mismo a Gödel? Si se lee con detenimiento el texto dedicado a Carnap vemos que lo que a veces parece esbozarse como un argumento definitivo contra la concepción sintáctica se detiene y enfría disolviéndose en una serie de disquisiciones menores que en realidad sólo esconden una retirada. Gödel ataca una y otra vez las posiciones del convencionalismo sin conseguir algo tan contundente como una prueba definitiva de la falsedad de esa posición. Único resultado que hubiera estado dispuesto a aceptar y hacer público. Y es comprensible que sea así, porque ni siquiera hoy tenemos claro cuál es el importe y el estatus epistemológico real de resultados que, como los de Gödel, demuestran que una cierta pregunta perfectamente legítima no puede ser respondida de forma consistente con el resto de nuestros datos de partida. En la demostración de la imposibilidad de obtener una prueba constructiva de la consistencia de la Aritmética de Peano entran en juego muchas reglas y principios básicos cuya aceptación podría basarse, pese a todo, en meras convenciones. Como por ejemplo, el comportamiento ideal del concepto de verdad, que permite considerar que toda proposición es o bien verdadera o bien falsa y además que sólo una de esas circunstancias puede darse a la vez. En definitiva, para que un resultado de limitación funcione hemos de aceptar la innegable validez de los principios y reglas que hemos empleado en su demostración. Pero, ¿qué hace de ellos principios sacrosantos? Quizá nada distinto del juicio sereno que sopesa pros y contras y determina ciertas lecturas como las más correctas y adecuadas para el estado general de nuestro conocimiento de las cosas. Algo que quedaba muy lejos de satisfacer las aspiraciones racionales de Gödel. Pero fundamentar los principios más básicos de la lógica obliga, parece inevitable, a salir de ella y mucho me temo que, como en su caso, a no volver ya nunca más. Creo que fue el intento desesperado de apuntalar los hechos más básicos de nuestra intuición lógica y matemática lo que llevó a Gödel a postular primero una realidad externa al discurso lógico que evitara una eterna circulatio y luego una intuición directa capaz de aportar un suelo firme al conocimiento matemático. Pero aunque pueda parecer que la solución está en aproximar las verdades de la matemática a las de la física eso sólo constituye una solución en un nivel puramente formal, porque, ¿dónde está y cómo es el mundo en el que habitan los objetos de la matemática y a los cuales brinda acceso nuestra intuición formal? El problema en este punto siempre será el mismo: por mucho que queramos resolver el estatus del conocimiento formal asimilándolo al empírico la realidad de la que este habla nunca nos será dada con la misma contundencia y efectividad que la realidad de nuestros sentidos. Y postular el mundo que nuestra teoría requiere para confirmarse nunca ha sido la solución.

El segundo apartado de los intereses filosóficos de Gödel que he prometido tratar aquí es el que tiene que ver con la mecanización de la cognición humana. Hay dos grandes puntos de contacto entre su obra y este problema de la filosofía contemporánea y quizá de la de todos los tiempos. Y ello a parte del interés intrínseco que Gödel mostró por este asunto. El primero es la definición de la clase de las funciones recursivas como aquella que agrupa todas aquellas funciones caracterizadas por la existencia de un procedimiento mecánico capaz de calcular el valor de sus argumentos. El segundo se refiere al posible uso de los teoremas de indecidibilidad como contraejemplo de las tesis mecanicistas, es decir, de aquellas que sostienen que la cognición humana puede ser legítimamente imitada por medios mecánicos, y por ende artificiales. El asunto es complejo, ha generado auténticos ríos de literatura y por tanto sólo lo trataré muy por encima.

Lo primero que debe quedar claro es que Gödel no compartía en modo alguno los postulados del mecanicismo. Lo cual tampoco puede sorprender demasiado a la vista de su decidida defensa de la intuición matemática de la que parece estar dotada la mente humana. Sí resulta sorprendente, sin embargo, lo cauto que Gödel se muestra en el planteamiento de sus argumentos antimecanicistas y en el uso de sus propios resultados para defender su posición. Algo que otros no tendrían problema alguno en hacer de forma abierta.

La introducción de la clase de las funciones recursivas se produce en un momento en el que existe un manifiesto interés por definir de manera rigurosa qué se entiende por procedimiento mecánico, sobre todo referido a las demostraciones que son admisibles en el dominio de la matemática. Como ya he dejado dicho en otro apartado de esta obra, el grupo que más esfuerzo había dedicado a ese tema es el que trabaja con Church en Princeton y con el cual Gödel entra en contacto en sus primeros viajes al I. A. S. alrededor de 1935-36. A diferencia de Church, Gödel no pensaba en aquel entonces que el concepto informal de tarea efectiva pudiera ser finalmente reducido a un concepto matemático y preciso de forma satisfactoria. No lo creía de su propuesta, las funciones recursivas generales, y tampoco del cálculo-λ introducido por Church. Su apreciación del problema parece cambiar algo cuando a estas clases de procedimientos se añade la que lanza Turing a finales del prodigioso año de 1936. La demostración casi instantánea de que todas esas clases de funciones coinciden en definir uno y el mismo concepto formal debió provocar en Gödel una considerable impresión y no sólo en él, porque lo menos que se esperaba en una época fuertemente influida por resultados negativos y de limitación era que un concepto informal pudiera ser razonablemente analizado con las herramientas técnicas de la época. De todos estos métodos el que más fama ha alcanzado es el que se debe a Turing. Este joven matemático inglés realiza su propuesta, las máquinas de Turing, son la intención manifiesta de capturar formalmente las acciones y recursos que un operario humano ejecuta cuando actúa de forma efectiva en la resolución de un cierto problema. Se trata claramente de un intento de analizar la cognición humana y en definitiva de reducirla a mecanismos implementables en otro tipo de entidades. Las máquinas de Turing son, de hecho, el fundamento teórico en el que se apoya el desarrollo de la computación tal y como hoy la conocemos y ello tanto en sus aspectos teóricos como prácticos. La importancia que Gödel concede a este indudable éxito del método formal de análisis de nuestros conceptos intuitivos más básicos se aprecia claramente en las siguientes palabras con las que se inicia su intervención de 1946 con motivo del bicentenario de Princeton:

Tarski ha insistido en su conferencia (y creo que justamente) en la gran importancia del concepto de recursividad general (o Turing-computabilidad). Me parece que esta importancia se debe en gran medida al hecho de que con este concepto se ha tenido éxito por primera vez en el intento de ofrecer una definición absoluta de una noción relevante desde el punto de vista epistemológico, i. e., una que no dependa del formalismo elegido. En todos los otros casos tratados previamente tales como la demostrabilidad o la definibilidad, sólo se ha podido definir estas nociones relativamente a un lenguaje dado y en cada caso se ha comprobado que la noción así obtenida no era la realmente buscada. Pero con el concepto de computabilidad, aunque es meramente un tipo especial de demostrabilidad o decidibilidad, la situación es diferente. Por algún tipo de milagro no es preciso distinguir órdenes y el método diagonal no nos lleva fuera de la noción definida. Esto, creo, debería animarnos a esperar el mismo resultado también en otros casos[46].

La moraleja es, precisamente, la que el propio Gödel obtiene al final de esta cita y a la cual vuelve cada vez que sus esperanzas aparecen debilitadas por las dificultades o el paso del tiempo. Si hay algo positivo que sacar del progreso de la teoría de la computación es precisamente el ejemplo que brinda a todos aquellos que crean que el análisis formal de los conceptos de nuestra intuición es una forma efectiva de hacer epistemología y de resolver los conflictos que esta disciplina plantea. Luego insistiremos en ello. Lo que no se puede pensar, pese a que parezca otra cosa, es que con estas palabras Gödel pretende dar un espaldarazo a las tesis mecanicistas. Es cierto que sostiene que en este caso se ha logrado una definición absoluta y satisfactoria del concepto de computabilidad el cual, y aunque no lo diga, aparece indudablemente relacionado con nuestra habilidad para realizar tareas de manera efectiva. Sin embargo, Gödel no le concede a este punto la importancia que sí le dan otros autores. En primer lugar, no cree que nuestra actividad cognitiva sea toda ella reductible al dominio de las tareas que podemos describir de manera efectiva, y en segundo lugar, no tiene nada claro que todas las acciones que la mente humana puede ejecutar de manera efectiva sean realmente computables. Esta segunda afirmación, la que sostendría que toda tarea efectiva es computable, coincide más o menos con una controvertida hipótesis que Church apoya y hace circular a finales de la década de 1930 y que como es obvio ha sido bautizada con su nombre. Gödel nunca aceptó la tesis de Church. Pero sí reconoció que la elucidación formal del concepto de tarea efectiva, tal y como se recoge en la noción de tarea computable, marcaba y marcaría el contexto en el que analizar metódicamente este tipo de cuestiones en el futuro. Sus intentos de rechazo del mecanicismo, al menos los más elaborados, girarían siempre en torno a la posibilidad de violar los límites impuestos por el concepto de computabilidad haciendo que alguno de los componentes formales del concepto dejen de cumplirse o lo hagan de forma sólo parcial. La computabilidad es para Gödel un tipo fundamental de efectividad, pero no tiene por qué ser la que el ser humano es capaz de exhibir cuando explota todas sus facultades.

Llegados a este punto creo que es conveniente que nos preguntemos ya por las razones que hicieron que Gödel se mostrara siempre tan cauto con la posible lectura antimecanicista de los resultados de incompletitud de 1931. Hay una larga tradición en el uso de estos resultados como contraejemplo de las tesis mecanicistas, tradición que se inicia, con cierta cautela, en la que es la primera gran obra de divulgación de los resultados de limitación de Gödel. Me refiero a El Teorema de Gödel publicado por Nagel y Newman en 1958. Su último capítulo, Reflexiones finales, contiene una clara invitación a considerar estos teoremas de limitación como una muestra fehaciente de que el ingenio formal humano no puede reducirse a los métodos formales que pueden ser implementados con éxito en una máquina calculadora. Sin embargo, no se entra en detalles ni se pretende hacer de ello una refutación con carga demostrativa de las tesis mecanicistas. Quien sí se atreve a llegar tan lejos es J. R. Lucas quien en 1961 publica un artículo en la revista Philosophy[47] en el que se sirve de los resultados de Gödel de 1931 para construir el tipo de refutación que acabo de mencionar. En el primer teorema de indecidibilidad Gödel obtiene, siempre según Lucas, una proposición indemostrable, la proposición G, de la cual tenemos argumentos racionales para determinar que es ella, y no su negación la que es verdadera. G, recuérdese, dice de si misma que es no es demostrable en la Aritmética de Peano. Obtener una prueba de una proposición no es sino una forma de aceptarla en una teoría, de decidirnos entre ella y su negación, como también lo es determinar racionalmente su veracidad. El ser humano puede aceptar una proposición, bien porque tenga una demostración de la misma, bien porque conozca su verdad. Los sistemas mecánicos del tipo al que pertenecen nuestros ordenadores, y en general todos aquellos que actúan según reglas fijas establecidas en lenguajes formales sometidos a unos mínimos requisitos producen proposiciones obteniéndolas en realidad a partir de sus correspondientes pruebas. Por tanto, los sistemas mecánicos de tipo simbólico que acabo de mencionar sólo pueden aceptar proposiciones cuya demostración puedan obtener. Una proposición verdadera indemostrable queda claramente fuera de su alcance, ya que estos sistemas simbólicos no tienen auténtico acceso al concepto de proposición verdadera. Pueden imitarla a través de mecanismos de prueba, pero entonces un ser humano siempre podría generar una nueva proposición acerca de ese sistema verdadera para él y la cual no podría ser obtenida como resultado de sus propios mecanismos. Éste es, grosso modo, el argumento que desarrolla Lucas en 1961 y que ha sobrevivido hasta nuestros días en distintas versiones. Debo admitir que tal y como lo he expresado parece convincente. Tanto que con algunas modificaciones sutiles, pero eficaces, ha pasado a formar parte del propio argumento que Roger Penrose elabora en La Nueva Mente del Emperador de 1989 y depura luego en Las Sombras de la Mente de 1994. Se trata, como se puede ver, de un tipo de argumento capaz de reactivarse en el tiempo con el pretexto de ofrecer una victoria definitiva al frente antimecanicista. Se puede entender que la tentación sea grande. El problema es que su escrutinio pormenorizado siempre lleva a identificar pequeños errores y saltos que en el fondo comprometen toda su validez. En el caso, tal y como lo hemos expuesto, el error se encuentra en la lectura incorrecta del primer teorema de incompletitud de Gödel. Éste no dice que G sea indemostrable en PA —⁠Peano Arithmetic⁠— sino que si PA es consistente, entonces G es indemostrable en PA. No hay, por tanto, una intuición directa de la verdad de G, ni tampoco un argumento racional no formalizable que nos garantice su verdad. Todo lo que se prueba es un enunciado condicional que además es formalizable en PA, y que constituye parte de la demostración del segundo teorema de incompletitud. Convine saber todo esto y tenerlo en cuenta, porque no corro riesgos si vaticino que en los próximos años volveremos a hablar de ello a raíz de algún nuevo intento de refutación definitiva del mecanicismo a partir de argumentos lógicos más o menos emparentados con los resultados originales de Gödel. La tentación es fuerte, y la razón débil.

Gödel, sabedor de las dificultades reales de sacar de sus límites estrictos los teoremas de 1931, prefería una lectura más contenida aunque nada trivial en sus consecuencias. En la Gibbs Lecture de 1951 desgrana sus argumentos con tal cuidado que hace difícil saber qué es exactamente lo que desea decir. El siguiente párrafo es, quizá, el que mejor expresa su postura:

De todos modos, y por lo que hace a la matemática subjetiva [la formada por todos los teoremas demostrables], no se puede eliminar la posibilidad de que exista en procedimiento finito que produzca todos sus axiomas más evidentes. De todos modos, si tal mecanismo existe, nosotros, con nuestro entendimiento nunca podríamos saber que es así, esto es, nunca podríamos saber con certeza matemática que todas las proposiciones que produce son correctas. [ ] Si todo esto resultara ser así, entonces supondría que la mente humana (en el ámbito de las matemáticas puras) es equivalente a alguna máquina finita que, no obstante, es incapaz de entender completamente su propio funcionamiento[48].

El párrafo es complicado de entender y no disponemos aquí del tiempo suficiente para entrar en ello. Apuntaré simplemente las dos ideas que me parecen que mejor reflejan su posición en este punto. La primera parte del argumento se dirige a una lectura de los resultados de inexhaustibilidad muy próxima a lo que es un teorema, de indeterminación, precisamente del tipo que tanto avanzaron en la física del siglo XX. Es posible que exista en algún momento una entidad mecánica igual en capacidad a la propia de la mente humana, y capaz además de completar la matemática demostrable. Pero si esto es así, entonces el argumento que lo demuestra no nos sería accesible, salvo contradicción. Es decir, no podemos establecer a un tiempo que una entidad mecánica es completa e idéntica a nosotros en potencia ya que el tipo de argumento empleado para ello también le sería accesible a esa entidad haciendo entonces que resultase, por sus propios resultados de inexhaustibilidad, inconsistente. El argumento es retorcido, pero muy propio de su modo de ver las cosas. La consecuencia de todo ello es la segunda parte del argumento: si el mecanicismo es cierto, entonces la mente humana quedaría condenada a reconocerse a sí misma como una entidad incapaz de entenderse por completo, de nuevo salvo contradicción. Gödel evita mostrar así la falsedad del mecanicismo, pero incide abiertamente en el tipo de consecuencias negativas o contraintuitivas que se derivarían de su aceptación. Lo que no quiere decir que dude o se muestre ponderado ante la posibilidad de su éxito ya que casi con toda seguridad incluía esta doctrina dentro de las tendencias materialistas y reduccionistas contra las que se pronunciaba tan abiertamente. Más bien parece que nos hallamos ante otro ejemplo más de su obsesión por la exactitud y la precisión: antes que abusar de un argumento para sostener una determinada tesis es preferible remitir su defensa a la bondad de principios filosóficos más generales cuya verdad pueda ser establecida de forma independiente. Lo único malo de proceder de así es la acumulación del trabajo y en esto Gödel no fue una excepción.

Lo más destacable de su crítica al mecanicismo es el uso del contexto formal que tan bien conoce para intentar buscar vías de escape coherentes con el estado actual del conocimiento pero más favorables a su posición filosófica. Hao Wang menciona la siguiente conversación mantenida ya bastante al final de la vida de Gödel:

Sería un resultado de gran interés probar que el procedimiento de decisión más corto existente para proposiciones relativamente simples requiere una gran cantidad de tiempo. Más en concreto, quizá se pudiera probar lo siguiente: para cada sistema decidible y cada procedimiento de decisión en ese sistema hay alguna proposición de longitud menor de 200 cuya prueba más breve es de longitud mayor que 10²⁰. Este resultado significaría en realidad que los ordenadores no pueden reemplazar a la mente humana, la cual puede dar pruebas más cortas ofreciendo una nueva idea[49].

Es cierto que en teoría de la computación existen teoremas como los que Gödel menciona —⁠los denominados speed-up theorems⁠— pero nada permite extraer la lectura que él pretende hacer aquí. El ejemplo es interesante porque muestra claramente cuál es la estrategia del ataque del problema. Se trata de encontrar una prueba que constate la existencia de un objeto que por su propia definición lleva más allá de los límites de la computabilidad estándar. La idea no es del todo extraña porque de hecho recuerda mucho al tipo de maniobra que le llevara a lo más alto en 1931. Un argumento muy parecido es el que emplea, por ejemplo, para refutar la identificación mente-cerebro. En este caso se trataría de localizar algún tipo de acto mental absolutamente claro desde el punto de vista de nuestra experiencia inmediata cuya ejecución requiriese un número mayor de neuronas de las que el cerebro posee. Este argumento sitúa el problema, según Gödel, en un terreno mensurable capaz de enfocar la cuestión desde un punto de vista científico.

Pero el argumento que más repercusión ha tenido es el que se expresa en las siguientes líneas:

Turing en Proc. Lond. Math. Soc. 42 (1936), p. 250 ofrece un argumento que se supone destinado a mostrar que los procesos mentales no van más allá de los procedimientos mecánicos. No obstante, este argumento no es conclusivo porque depende del supuesto según el cual una mente finita es sólo capaz de poseer un número finito de estados distinguibles entre si. Lo que Turing obvia por completo es el hecho de que la mente en su uso no es estática, sino que se halla en constante desarrollo. […] Por todo ello, aunque en cada momento del desarrollo de la mente el número de sus posibles estados sea finito, no hay ninguna razón por la este número no pueda converger a infinito en el curso de ese desarrollo. Puede haber métodos sistemáticos de acelerar, especializar y determinar de forma única ese desarrollo, p. j., haciendo las preguntas correctas a partir de un procedimiento mecánico. Pero hay que admitir que la definición precisa de un procedimiento de este tipo requeriría una profundización sustancial de las operaciones básicas de la mente[50].

El argumento de Turing al que Gödel se refiere es aquél en el que se pone en relación la arquitectura de las máquinas alpha —⁠es decir, las máquinas de Turing⁠— con el tipo de acciones que un operario humano ejecuta cuando aplica de manera efectiva un procedimiento dado por una colección finita de instrucciones. La estrategia seguida implica, como parece obvio, algún tipo de identificación entre las habilidades cognitivas humanas y los mecanismos simbólicos encarnados por las máquinas de Turing. El argumento que Gödel avanza en estas líneas constituye en realidad una reedición de un problema clásico en el ámbito de los resultados de limitación y la fundamentación de la matemática. Es posible que ciertos problemas referidos a un determinado formalismo no sean solubles en su interior, sino sólo en alguna extensión apropiada del mismo. Esa extensión poseerá su propio problema insoluble y así obtendremos una cadena de sistemas parcialmente completos que se extiende al infinito. Si uniéramos todos esos sistemas en un gran megasistema, ¿acaso no sería este completo con respecto a todos los problemas insolubles previamente identificados? En esta ocasión Gödel emplea esa misma idea para sugerir un modo de burlar las tesis mecanicistas de origen computacional. Podríamos admitir que la mente se comportara en cada uno de sus estados instantáneos o puntuales como un mecanismo simbólico del tipo encarnado por una máquina de Turing, para negar a continuación que el tipo de transiciones que un ser humano experimenta entre sus estados mentales cuando intenta resolver un problema sea él mismo computacional. O incluso siendo así, bastaría con considerar ciertos outputs de nuestra actividad cognitiva como el resultado de algún tipo de algoritmo compuesto por un número infinito de descripciones finitas. En un interesante ensayo de 1981 acerca de la plausibilidad de la Tesis de Church, S. Kleene, padre de no pocos resultados en Teoría de la Computación, reacciona enérgicamente contra esta cita de Gödel mostrando su abierto escepticismo ante la posibilidad de obtener algo interesante por esa vía. Un algoritmo cuya descripción no pueda ser dada en todo momento a través de una colección finita y bien definida de reglas no es, pese a que Gödel así lo sugiera, un algoritmo. Ésta es la posición de Kleene, y con él la de la mayoría de los investigadores que han dicho algo en el terreno de la computación teórica. Pero lo cierto es que las cosas no siempre están tan claras. Hay casos en los que consideramos procedimientos descritos de forma vaga o imprecisa y que, no obstante, ofrecen guías para la acción suficientemente objetivas. Ésa es la idea que en el fondo subyace a la sugerencia de Gödel. De hecho, él cree que “conocemos procedimientos vagamente definidos de este tipo…” aunque los ejemplos ofrecidos no sean, una vez más demasiado convincentes[51]. No pretendo entrar en la cuestión más de lo justo ya que nos llevaría a otra aventura que no podemos empezar ahora. Lo que sí merece la pena aclarar es la moraleja que se desprende del modo en que Gödel combate el mecanicismo. Para quedar libre de sus planteamientos debe partirse de aceptar aquellos resultados positivos alcanzados a través del impresionante desarrollo de la Teoría de la Computación. No tiene sentido atrincherarse en argumentos antropocéntricos que insisten en ridiculizar la pretensión de la inteligencia artificial de imitar las facultades humanas por medios artificiales. Porque la posición del mecanicismo es en este punto extremadamente robusta. La opción de Gödel, como queda claro a partir del argumento anterior, consiste en destripar los fundamentos de la computación teórica para descubrir a partir de su propia arquitectura elementos que permitan averiguar alguna diferencia constatable con la cognición humana. Se trata de hallar una evidencia científica perfectamente medible y comprobable a las luces de la razón. Y en este punto la labor de la Teoría de la Computación y en general de la lógica matemática es fundamental. La creencia en la falsedad intrínseca del mecanicismo es, mientras tanto, una consecuencia más del optimismo racionalista que cabe adoptar cuando las pruebas aún no están disponibles. Un estado transitorio, nada más que eso.

Y sin embargo no pudo ser. Gödel no fue capaz de aportar argumentos definitivos que sostuvieran sus tesis filosóficas, y en cualquier caso, así fue como él lo vio. Ya he manifestado mis dudas acerca de la coherencia, que no la sinceridad, de su proyecto filosófico. Pero, ¿en qué consistía ese proyecto y sobre todo, qué había de valor en él?

En el título de este apartado se hace mención al término Filosofía Natural como una forma posible de entender la posición adoptada por Gödel ante su proyecto filosófico. En un sentido absolutamente estricto ese término sólo describe el trabajo de los precursores de la ciencia moderna en el periodo previo a su proceso de división disciplinar e institucionalización académica. Newton es el filósofo natural por excelencia. En las últimas décadas esta denominación se ha empleado también para referirse al trabajo que ciertos científicos han realizado en el ámbito de la filosofía y más en particular a aquel que intenta extraer consecuencias generales los resultados obtenidos en sus respectivos ámbitos. Andrew Hodges, biógrafo y comentarista de la obra de Turing emplea ese término para referirse a su trabajo en el terreno de la filosofía, y si esa denominación es buena para Turing también lo es sin duda para Gödel. En ambos casos hay un intento de aproximarse a la naturaleza como una unidad y de servirse de los resultados obtenidos en el ámbito de la matemática como una forma de afrontar temas clásicos de la filosofía. Ninguno empleó para sí esa denominación ni culminó tampoco una obra que permitiera hablar de la existencia de un sistema tras sus opiniones. En el caso de Turing su temprana muerte impide saber si su evolución intelectual hubiera conducido finalmente a la propuesta de una obra filosófica sistemática, pero en el caso de Gödel sabemos que no fue así. Gödel no pudo con ello, y así lo vino a reconocer al rechazar la posibilidad de elaborar alguna contribución en la que presentar sus conclusiones o ideas al respecto. Su legado manuscrito muestra la existencia de numerosas notas referidas sobre todo a sus lecturas de Leibniz, Husserl o Kant, pero poco material elaborado del que poder extraer un texto coherente.

¿Cuáles fueron sus objetivos en el terreno de la filosofía, qué dimensión tenía el asalto que finalmente no pudo llevar a término? Hay una cita sobradamente conocida en la que Wang resume la intención de Gödel de contribuir, ¿quizá de forma decisiva?, a que la filosofía adopte para sí una actitud y metodología propia de las ciencias positivas.

La filosofía entendida como una teoría exacta debería hacer por la metafísica lo mismo que Newton hizo por la Física. Creo que es perfectamente posible que el desarrollo de una teoría como la anterior tenga lugar dentro de los próximos cien años o incluso antes[52].

Pero no sería ésta la única ocasión en la que manifiesta su fe en un ideal que, sin lugar a dudas, permite entender su franca admiración por la figura de Kant, a quien sabemos que leyó con cuidado y respecto. Esa obsesión será constante a lo largo de su búsqueda en el dominio de la filosofía, de hecho, es quizá lo único que permaneció constante a lo largo de los años invertidos en este fin.

La forma que debía adoptar esa especie de filosofía refundada es, si aceptamos el testimonio de Hao Wang, la de una monadología construida quizá a partir de un género de entidades simples algo distinto al del original leibniziano. Es difícil resumir en pocas palabras qué supone hablar una monadología como sistema metafísico fundamental. Baste decir que una mónada es una entidad simple inextensa que contiene en su interior todas las relaciones funcionales con las restantes mónadas y a partir de la cual se pueden definir las substancias individuales y sus distintos órdenes de relación[53]. Algo muy abstracto y desde luego muy alejado de nuestras intuiciones ingenuas. Wang menciona, por ejemplo, los biones como una especie de trasunto remozado de las viejas mónadas leibnizianas. Esos biones constituirían el elemento central del sistema metafísico gödeliano, aunque en este punto es muy difícil determinar el valor de la propuesta y la propia importancia que Gödel pudo llegar a otorgarle[54]. La influencia de Leibniz es, lo sabemos de antes, manifiesta, pero ¿lo es tanto como para llegar a adoptar su metodología considerándose un continuador de sus esfuerzos? Lo cierto es que hay datos que podrían sugerir esa interpretación pero también es posible, y me inclino más a verlo así, que simplemente estemos ante la manifestación de una simpatía genérica procedente de compartir un origen y pasión comunes. Ambos fueron grandes lógicos convencidos además del poder de la razón para solventar todas sus preguntas fundamentales por procedimientos firmes y seguros. Y ambos creyeron además, que parte de la solución a nuestra ignorancia debía estar en el sometimiento de los lenguajes por medio de los que expresamos nuestras dudas y certezas a reglas fijas y bien conocidas. Estas reglas controlarían el uso de los símbolos, pero los axiomas o principios que las acompañan sólo podrían estar basados en la propia naturaleza de los conceptos analizados. Y es en este punto donde la influencia de Husserl se hace manifiesta. No deja de ser curioso que el texto —⁠“The Modern development of foundations of mathematics in the light of philosophy[55]”⁠— en el que Gödel se muestra más dispuesto a hablar de su propia filosofía sea uno en el que la figura y obra de Husserl resulten ser la referencia constante. Si bien nos encontramos una vez más ante un manuscrito no publicado, lo cierto es que tiene una forma que muchos habrían considerado suficientemente acabada como para ser enviado a algún medio especializado. Que a buen seguro se habría mostrado ampliamente dispuesto a divulgar tamaña primicia. El hueco que la obra de Husserl cubriría en el esqueleto de su propio sistema es el de brindar la fuente de la intuición que permite identificar los principios que controlan el comportamiento de los conceptos filosóficos fundamentales. La experiencia fenomenológica constituiría un método, más que una colección de contenidos, capaz de guiar a la mente humana hacia los axiomas que controlan esos conceptos ancilares. Y aquí retorna de nuevo la vieja pasión del lógico, aún no del todo consumida, que le obliga a pronunciarse acerca del número y tipología de tales conceptos. “Fuerza”, “Vida”, “Placer”, “Dios”, “Tiempo”, “Espacio” son algunos de los que se han encontrado en notas destinadas quizá a identificar el listado definitivo. Según parece sobre todos ellos destacaría como concepto fundamental el de “Causa”. Ver a Gödel convertido en un nuevo Demócrito obsesionado por la correcta enumeración de los elementos constitutivos del cosmos no nos debe extrañar, ni creo tampoco que deba juzgarse con excesiva dureza. Al fin y al cabo, la física del siglo XX basa su éxito en su intensa reflexión en torno a las dimensiones fundamentales del universo y sus constituyentes básicos, y si eso fue bueno para física, ¿por qué no habría de serlo para la filosofía? Algo que podríamos juzgar como fruto de la ingenuidad y el desconocimiento de la historia podría ser muy bien el resultado de un genuino intento de emular las técnicas que en otros ámbitos han dado buenos resultados. De todos modos, no debe pensarse, no se puede, que Gödel pretende hacer de la filosofía una ciencia más de la naturaleza. En modo alguno. Creo que no es muy exagerado afirmar que su interés por esta disciplina adquiere la dimensión que luego llegó a tener cuando Gödel reconoce que la constitución de la filosofía como un saber positivo no tiene por qué imitar los caminos seguidos por las ciencias naturales. Juicio que sin duda hubiera tachado como positivista y por tanto profundamente equivocado. Su propia posición al respecto habría sido idealista y optimista y por ello se habría visto sometida a lo que en más de una ocasión califica como los prejuicios de nuestra época.

Pero su pasión por la obra de Husserl y el método fenomenológico no terminó bien. Por fin hubo de reconocer que había encontrado en ello menos soluciones de las esperadas viéndose obligado a confesar su precariedad con respecto al verdadero método de la filosofía. Su proyecto se venía abajo mientras que la pretendida monadología apoyada en una suerte de intuición fenomenológica se estancaba sin avanzar un ápice hacia la tan ansiada refundación de la filosofía sobre unas bases firmes y seguras.

Colateral a sus esfuerzos en materia de filosofía se encuentra también su preocupación religiosa, de la cual lo más notable es su conocida versión del argumento ontológico. Según parece las primeras notas conteniendo indicaciones generales acerca de ese argumento podrían datar de 1941 coincidiendo e incluso anticipándose a su interés manifiesto por la filosofía. El argumento le es entregado a Dana Scott en una forma más o menos definitiva en torno a 1970 siendo expuesto y discutido en el seminario que este impartía en Princeton en aquel entonces[56]. Se trata de una versión próxima a la bien conocida de Leibniz, lo que en modo alguno puede extrañar aquí. Gödel parece haber justificado sus reticencias a publicitar su argumento aduciendo en esta ocasión el considerable riesgo de que se malinterpretara su posición ante el hecho religioso. Más en concreto, intenta evitar que se le considere creyente. Pero lo cierto es que lo era. Según manifestó a Morgenstern su interés en este caso y la propia satisfacción con el argumento, eran de índole puramente formal. Poco creíble si tenemos en cuenta otras manifestaciones en las que directa o indirectamente viene a aceptar la existencia de Dios y también de un más allá. En cuanto al primero de estos aspectos, Gödel se inclina por una forma de Dios personal distinta de las versiones panteístas de tipo spinoziano. El lugar en el que más claramente habla de todo ello es una colección de cartas, de un considerable nivel intelectual, dirigidas a su madre a lo largo de 1961. Ahí queda claro que el modo de atacar el hecho religioso está íntimamente unido a su optimismo propicio. El mundo y la existencia del hombre en él tienen un sentido y además uno positivo. Si existe un diseño y un propósito en nuestra existencia y uno además orientado al bien, la existencia de un Dios personal como supremo arquitecto de todo orden emerge de forma más o menos directa. La supervivencia del yo personal en otra vida se ve también como una consecuencia de esta posición fundamental. ¿Qué sentido tiene la extinción personal tras la inmensa experiencia acumulada y el esfuerzo depositado en todo ello si tras la muerte sólo nos espera la nada? La existencia de un sentido en el orden de las cosas garantiza, según Gödel, nuestra pervivencia tras la muerte, aunque la forma y contenido de esa existencia posterior no nos sea dada en absoluto.

Las cosas, simplemente, no pueden terminar mal. Éste parece el resumen de sus opiniones en materia religiosa y también, por qué no, de su propia filosofía. La existencia sería demasiado penosa si pensáramos de otro modo. Y siguiendo este consejo no me gustaría finalizar el estudio de la vida y obra de Gödel sin aclarar algo que me parece de justicia. Es posible que su intento de elaborar una filosofía positiva fuese abordado con excesiva ingenuidad e incluso con algunas dosis de soberbia intelectual. Pero su esfuerzo fue sincero. Lo que queda de su pensamiento es una fe profunda, radical, en la capacidad de la razón humana para alzarse por encima de todas las limitaciones y para corregirse cuando comete excesos. Algo que irremediablemente pone a Gödel en la más íntima sintonía con el espíritu de la obra y filosofía de Kant. Por encima incluso de la influencia aceptada de Leibniz o Husserl. No sé cuánto queda en nuestros días del proyecto de Gödel, posiblemente nada, pero creo que existe una verdad profunda tras el intento de emplear los resultados de la moderna lógica matemática como una forma de analizar positivamente las capacidades y límites de lo que la razón humana puede llegar a conocer, la forma, en definitiva, de nuestras teorías ciertas acerca de la realidad. No creo que esta vía esté ni mucho menos agotada aunque creo que cualquier previsión o apuesta sobre esta nueva forma de filosofía está fuera de lugar. Pero, ¿qué perdemos, una vez más, por intentarlo?

Creo que hay que reconocer que, por encima de todas sus ingenuidades, que las tuvo, y de sus pretensiones, a veces excesivas, Gödel fue honesto, porque muy bien se podía haber ahorrado esta etapa de su vida. Con la gloria ganada de forma justa y contundente, nada le hubiera impedido disfrutar de una vida dedicada a la prudente administración del éxito. Quizá alguna contribución ocasional, o alguna actuación decisiva para animar o criticar tendencias en desarrollo y de nuevo a los cuarteles. Sin embargo, no quiso que fuera así. No pudo aceptar la paz tras la victoria. Sea por soberbia intelectual o por un sano y profundo sentido de la oportunidad, quiso algo más. ¿Alguien pude culparle por ello?

ARGUMENTO DIAGONAL DE CANTOR

Se trata de una prueba de apariencia un tanto truculenta pero absolutamente correcta.

Vamos a mostrar cómo funciona presentando dos ejemplos sobradamente conocidos que son, además, los que más interés pueden tener aquí. En el primero de ellos se demuestra que el intervalo los reales comprendidos en el intervalo [0,1] no es enumerable. En el segundo se obtiene esa misma conclusión pero referida esta vez al conjunto formado por todos los posibles conjuntos de números naturales, lo que se llama su conjunto de partes o también conjunto potencia.

Caso 1: Los reales en el intervalo [0,1] no son enumerables.

Para ello comenzaremos suponiendo que los números reales que se encuentran en ese intervalo sí son enumerables. Es decir, vamos a razonar por reducción al absurdo. Puesto que todos los números en ese intervalo se pueden representar como una secuencia de decimales eventualmente infinita parece fácil servirse de una tabla para representar esos números reales. La tabla a la que me refiero podría tener el siguiente aspecto:

1

x₁₁

x₁₂

x₁₃

x₁₄

x₁₅

x₁₆

x₁₇

..........

2

x₂₁

x₂₂

X₂₃

x₂₄

X₂₅

X₂₆

x₂₇

..........

3

x₃₁

x₃₂

x₃₃

x₃₄

x₃₅

x₃₆

x₃₇

..........

4

x₄₁

x₄₂

x₄₃

x₄₄

x₄₅

x₄₆

x₄₇

..........

5

x₅₁

x₅₂

x₅₃

x₅₄

x₅₅

X₅₆

x₅₇

..........

....

....

....

....

....

....

....

....

..........

donde los elementos xij son siempre números naturales extraídos del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Es decir, se trata de tomar los elementos del sistema decimal de numeración permitiendo así que cada secuencia del tipo <xi1, xi2…> represente la expansión decimal de un número real en el intervalo [0, 1]. Esta tabla existe sólo, si como hemos supuesto a modo de hipótesis, los reales en el intervalo [0, 1] son enumerables, en cuyo caso esa tabla los recogería a todos. El número que figura en la columna de la izquierda es su orden de aparición en la tabla y equivale al acto de asociar a cada número natural un real. Ahora vamos a formar otra secuencia de naturales obtenida de la tabla anterior que obtenemos tomando los números en la diagonal de la tabla, es decir, <x₁₁, x₂₂, x₃₃, x₄₄, x₅₅… xii…>.

1

x₁₁

x₁₂

x₁₃

x₁₄

x₁₅

x₁₆

x₁₇

..........

2

x₂₁

x₂₂

X₂₃

x₂₄

X₂₅

X₂₆

x₂₇

..........

3

x₃₁

x₃₂

x₃₃

x₃₄

x₃₅

x₃₆

x₃₇

..........

4

x₄₁

x₄₂

x₄₃

x₄₄

x₄₅

x₄₆

x₄₇

..........

5

x₅₁

x₅₂

x₅₃

x₅₄

x₅₅

X₅₆

x₅₇

..........

....

....

....

....

....

....

....

....

..........

A partir de ella formamos otra secuencia, que denominaremos antidiagonal por razones obvias, y que se forma sumando a cada elemento de la secuencia diagonal anterior la unidad, aunque en realidad basta con asegurarse de que los elementos en esa nueva secuencia son siempre distintos en cada valor a los que figuran en la diagonal. En el caso de que xjj sea “9”, xjj + 1 corresponde al “0”, ya que el “10” no está en el conjunto de opciones previamente seleccionado. La antidiagonal d* es entonces la secuencia <x₁₁ + 1, x₂₂ + 1, x₃₃ + 1, x₄₄ + 1, x₅₅ + 1, … xii + 1, …>.

Es obvio que esta secuencia aún representa un número real en el intervalo [0, 1] y que si la tabla en cuestión los contiene a todos, d* tendrá que ocupar algún lugar en la tabla. Es decir, tendrá que ser alguna fila de esa tabla. Supongamos que es la i-ésima. Eso significa que d* es <xi1, xi2, xi3, xi4, xi5… xii…>. Ahora bien, puesto que d* ha sido obtenida de la secuencia diagonal alterando en una unidad sus valores, eso nos empuja a admitir que xii = xii + 1, lo que obviamente es absurdo. Como este razonamiento se había desarrollado bajo la hipótesis de la existencia de una enumeración de los reales en el intervalo [0,1], esto es lo único que podemos rechazar, ya que el resto de los pasos son inobjetables.

Caso 2: El conjunto de partes de los naturales no es enumerable.

El esquema de la prueba es prácticamente idéntico al anterior cambiando tan sólo el criterio empleado para construir la matriz. Supongamos pues que el conjunto de partes de los naturales es enumerable. La matriz tiene en esta ocasión dos ejes.

1

2

3

4

5

6

7

..........

1

x₁₁

x₁₂

x₁₃

x₁₄

x₁₅

x₁₆

x₁₇

..........

2

x₂₁

x₂₂

X₂₃

x₂₄

X₂₅

X₂₆

x₂₇

..........

3

x₃₁

x₃₂

x₃₃

x₃₄

x₃₅

x₃₆

x₃₇

..........

4

x₄₁

x₄₂

x₄₃

x₄₄

x₄₅

x₄₆

x₄₇

..........

5

x₅₁

x₅₂

x₅₃

x₅₄

x₅₅

X₅₆

x₅₇

..........

....

....

....

....

....

....

....

....

..........

Cada fila del tipo <xn1, xn2, xn3, xn4… xni…> consiste ahora en una secuencia de “ceros” y “unos”. Cada una de estas filas, la n-ésima en este caso, representa un conjunto de números naturales. El criterio empleado es simple. Si xni es “1”, i ∈ n-ésimo conjunto, si es “0”, i ∉ n-ésimo conjunto. Veamoslo con un ejemplo. Supongamos que la secuencia <xn1, xn2, xn3, xn4… xni…> es <1, 1, 0, 1… 1…>. Entonces el conjunto n de la tabla será {1, 2, 4… i…}. Si el conjunto de partes es enumerable, una tabla como la anterior que responde a este criterio de representación, contendrá todos los conjuntos de naturales que existen. Tomemos la secuencia diagonal <x₁₁, x₂₂, x₃₃, x₄₄, x₅₅ …xii…>. Ahora es una secuencia de unos y ceros. Formamos la secuencia antidiagonal simplemente invirtiendo los valores de la secuencia diagonal. Si xjj es un “cero” en la secuencia diagonal, en la antidiagonal, x*jj es un “uno” y viceversa. Es obvio que la secuencia antidiagonal así obtenida representa un conjunto de números naturales. De hecho sigue el mismo criterio de representación que todas las demás. Por un argumento enteramente similar al utilizado en el Caso 1 se comprueba que la secuencia antidiagonal no pertenece a la matriz, y por tanto hay conjuntos de números naturales que no figuran en ella. Puesto que el argumento es independiente de la enumeración elegida para producir la matriz, concluimos que para cualquier posible enumeración, siempre hay conjuntos de naturales que quedan fuera.

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ENRIQUE ALONSO GONZÁLEZ (Madrid, España, 1964), Profesor del Departamento de Lingüística, Lenguas Modernas, Lógica y Filosofía de la Ciencia y Teoría de la Literatura y Literatura Comparada de la Universidad Autónoma de Madrid. Doctor de la misma universidad. Inicialmente su trabajo se centra en el ámbito de las lógicas no-clásicas, donde reformula las técnicas básicas para establecer las propiedades características de tales sistemas. Posteriormente su interés se dirige a la Teoría de la Computación en sus aspectos históricos y filosóficos.

Publicaciones: Consecuencia lógica (1995); Curso de Teoría de la computación (1996). Henkin’s Theorem in textbooks en: The Life and Work of Leon Henkin. pp. 135-148, Springer, 2014; María Manzano & Enrique Alonso Leon Henkin: The Life and Work of Leon Henkin. pp. 3-32, Springer, 2014. La Quimera del usuario Abada Editores-UAM, 2014; María Manzano Arjona; Enrique Alonso González. Visions of Henkin. Synthese. Springer, 2014. María Manzano & Enrique Alonso. Completeness: from Gödel to Henkin. History and Philosophy of Logic, Taylor and Francis, 2013; E-learning and semantic technologies: tools and concepts. Lecture Notes in Computer Science. 6680, pp. 9-23, Springer, 2011. Nuevas formas de producción textual. Éndoxa. 22, pp. 357 - 383. Ediciones de la UNED; Sócrates en Viena, Montesinos, 2007.

Notas

[1] E. W. Beth en Las paradojas de la lógica atribuye la emergencia de paradojas en una disciplina precisamente a los procesos de revisión de fundamentos. Las paradojas y otras dificultades similares aparecerían en etapas tempranas de dichos procesos “…bien por el hecho de que el nuevo aparato conceptual no está, todavía, completamente constituido de una forma satisfactoria, o bien por el uso de una terminología tomada del anterior…”. <<

[2] La obra original de Lobachevsky que puede considerarse como la comunicación oficial de su descubrimiento lleva por título Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien —⁠Investigaciones geométricas acerca del Paralelismo⁠— y se publica en Berlín en 1940. La edición de Houel vería la luz en 1866, después ya de su muerte. <<

[3] Lo cierto es que esta decisión parece obedecer no tanto al intento de reivindicar el glorioso pasado de la tradición latina, como al deseo de promover una auténtica cultura paneuropea basada en una lengua común. Peano lo volvió a intentar más tarde con el “latino sine flexione”, lengua de diseño más o menos en la misma línea del “esperanto” o el “volapük”. <<

[4] Esto es lo que en su conferencia de 1927 —⁠incorporada en van Heijenoort como The foundations of mathematics⁠— denomina proof theory. Es decir, el estudio sistemático de las teorías formalizadas a partir de los recursos formales que en cada caso incorporan. <<

[5] El fragmento en cuestión es lo que hoy llamamos lógica de enunciados, que es la que se estudia en las primeras sesiones de cualquier curso introductorio a la ciencia de la lógica. Este sistema, la lógica de enunciados, tiene la estructura de un álgebra de Boole, de hecho decimos que es isomorfa a un álgebra de Boole. <<

[6] No es fácil definir los contenidos y objetivos de la escuela intuicionista en pocas palabras. La principal diferencia con la matemática clásica, aunque no la única, tiene que ver con los criterios que en cada caso se tienen en cuenta para aceptar la existencia de ciertos objetos. Para el intuicionismo esta existencia está ligada a una construcción explícita mientras que en el caso de la matemática clásica puede bastar en ocasiones con la demostración de que la definición analizada se ve libre de contradicción. Esto hace, a su vez, que el tipo de razonamientos que se pueden emplear en uno y otro caso no sean siempre iguales, hablándose de una lógica clásica y de una lógica intuicionista. <<

[7] No tuvieron hijos debido, en parte, al temor que Gödel mostró siempre ante su situación económica. Cuando ésta se hizo definitivamente estable, Adele ya era demasiado madura como para plantearse la maternidad. <<

[8] Esta es una de las citas más repetidas de Hilbert. Demostración de su ¿desmedida? fe en la razón. Ahora figura como epitafio en la lápida de su tumba. <<

[9] Según declara Hao Wang en Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 366. <<

[10] Esta obra es recogida en traducción inglesa en la antología de Van Heijenoort, lo cual explica su difusión, mientras que la tesis sólo se encuentra en Complete Works. <<

[11] La versión abreviada en la que se expone el resultado debería esperar, sin embargo, hasta 1926. <<

[12] 2n, donde n es el número de proposiciones simples de la fórmula analizada. <<

[13] En realidad, lo que Gödel demuestra es que toda fórmula o bien es satisfacible, es decir, existe un modo de interpretar sus símbolos que la hace verdadera, bien es derivable su negación, lo que se denomina refutable. He optado por esta ot versión para hacer más comprensible el problema. <<

[14] Hao Wang, Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 270. <<

[15] J. van Heijenoort, From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, p. 589. <<

[16] Se trata de una ponencia presentada al Congreso Internacional del Matemáticas celebrado en Bolonia en septiembre de ese año con el expresivo título de “Probleme der Grundegung der Mathematic” —⁠“Problemas de la fundamentación de la Matemática”. <<

[17] Hao Wang, A Logical Journey, p. 82-3. <<

[18] Del mismo modo que una oración referida al uso de una expresión del castellano es, ella misma, una expresión correcta del castellano. <<

[19] Quizá cuente algo en todo esto los cursos de Gomperz sobre historia de la, filosofía aunque no se puede asegurar nada ya que en cualquier caso el asunto de las paradojas estaba en el ambiente. <<

[20] La edición española data de 1970 —⁠traducción de Adolfo Martín⁠— y constituye un buen ejemplo del tipo de interés por la lógica que recorrió nuestro país en aquellas épocas. <<

[21] “Über formal…” edición de las Obras Completas de J. Mosterín, p. 53-54. <<

[22] Mosterín emplea en su edición el término “funciones recursivas primitivas” que es el que en la actualidad se usa para la clase definida entonces por Gödel. Pero en el original, el autor solo habla de funciones recursivas sin más. Ya veremos más adelante a qué se debe eso. <<

[23] Esta impresión procede de unos comentarios hechos por Morgenstern que corresponden a alguna conversación mantenida con Gödel a finales de 1960. En ella Gödel parece confesar su incapacidad para entender el trabajo de las nuevas generaciones de lógicos. Debemos suponer que esa incapacidad se refiere al sentido o intención de ese trabajo y no a su complejidad técnica o formal. Cfr. Hao Wang, Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 196. <<

[24] La fuente es Olga Taussky-Todd, compañera de estudios de Gödel en aquella época y persona que siguió muy de cerca su formación en aquella época. <<

[25] Cuya respuesta no le llegó debido a su muerte repentina. <<

[26] Consúltese a este respecto el delicioso trabajo de J. Webb, Mechanism, Mentalism and Metamathematics. <<

[27] Hao Wang, A Logical Journey, p. 30. <<

[28] K. Gödel, Obras Completas, p. 87. <<

[29] Las palabras proceden de una carta de 1966 que es parcialmente reproducía da por Hao Wang en Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 140. <<

[30] Dada su relativa complejidad, he preferido exponerla en un apéndice y continuar aquí con el hilo del problema. El lector interesado puede ganar mucho consultando ahora la estructura de la prueba, pero también puede continuar leyendo sin temor a perderse un ápice de lo que sigue. <<

[31] Hao Wang, A Logical journey, p. 85. <<

[32] K. Gödel, Obras Completas, p. 367. <<

[33] K. Gödel, Obras Completas, p. 368. <<

[34] Hao Wang, A Logical journey, p. 87. <<

[35] En Ensayos Inéditos, Kurt Gödel, obra traducida, y comentada por F. Rodríguez Consuegra, aparecen algunos de estos manuscritos con diversos comentarios de gran interés. <<

[36] Hao Wang, A Logical journey, p. 45. <<

[37] Quizá haya podido parecer aquí que Hao Wang es un personaje absolutamente ligado a la vida y obra de Gödel sin otra aportación que la de actuar de comentarista e intérprete de éste. Pero eso no responde en modo alguno a la realidad. Hao Wang, fallecido en 1995, también ha sido un matemático relevante, famoso por la definición de la teselación de Wang, y también hasta cierto punto un filósofo original. Al menos en su intento de analizar las enseñanzas de la moderna lógica matemática para la filosofía y de investigar la posible convergencia entre la filosofía oriental y la tradición occidental contemporánea. <<

[38] Este es el llamamiento explícito que hace Dawson, uno de los editores de la Obra completa, en “Future Tasks for Gödel Scholars”. <<

[39] Hao Wang, Reflexiones sobre Kurt Gödel, p. 54. <<

[40] Ibíd., p. 57. <<

[41] K. Gödel, Obras Completas, p. 359. <<

[42] Hao Wang, A Logical Journey, p. 239. <<

[43] K. Gödel, Complete Works, vol. III, p. 337. “Is mathematics syntax of language?” <<

[44] K. Gödel, Complete Works. Obras completas, vol. II, p. 268. “Cantor’s continuum problem”. <<

[45] Ibídem. <<

[46] K. Gödel, Complete Works, vol. II, p. 150. <<

[47] J. R. Lucas, “Minds, machines and Gödel”, Philosophy 36, pp. 112-127. <<

[48] K. Gödel, Complete Works, vol. II, p. 309-310. <<

[49] Hao Wang, A Logical Journey, p. 189. <<

[50] Hao Wang, From Mathematics to Philosophy, p. 325. <<

[51] A continuación de la cita anterior menciona, precisamente, “el proceso de definición de órdenes recursivos de enteros representando ordinales cada vez mayores o el proceso de formación de axiomas de infinitud cada vez más fuertes en teoría de conjuntos”. <<

[52] Hao Wang, A Logical Journey, p. 233. <<

[53] G. W. Leibniz, Monadología, §1 a §6. <<

[54] Hao Wang, A Logical Journey, p. 291. <<

[55] Este texto data de 1961 y puede ser que fuera pensado como una conferencia a impartir en el seno de la American Philosophical Society con motivo de su nombramiento como socio de la misma. Gödel, una vez más, no llegó a culminar su propósito declinando finalmente la posibilida de impartir dicha conferencia. <<

[56] R. Merrihew Adams en Complete Works, p. 388 y ss. <<