A mi padre,

mi mejor profesor de matemáticas

Matemáticas védicas: la solución a la fobia y la ansiedad matemática

A ninguna otra asignatura de las que se estudian en los colegios, escuelas y universidades se le ha dado un nombre para definir lo que los alumnos sienten por ella excepto a las matemáticas: la fobia matemática y la ansiedad matemática describen el miedo y el nerviosismo que a los alumnos os crea u os creó esta materia. Si preguntas a un estudiante por su asignatura más odiada, es probable que conteste sin dudarlo que las matemáticas. Lo curioso es que, de todas las asignaturas que estudias o has estudiado, las matemáticas son las que más usas y vas a usar en tu vida diaria te dediques a lo que te dediques, y es que las matemáticas están en todas partes: no en vano fue Einstein quien dijo que las matemáticas son el lenguaje del universo. Piénsalo, desde el resultado de un partido de fútbol, la clasificación en la liga, la duración de tu película favorita, la capacidad de tu móvil, hasta el presupuesto de tu casa o el del país necesitan de las matemáticas.

Sin embargo, existen unas matemáticas antiguas pero de absoluta actualidad que se presentan como la solución a este odio, miedo y fobia que existe hoy en día por las matemáticas, además de como un sistema matemático increíble y con grandes beneficios para todas las personas que lo utilizan. Se trata de las matemáticas védicas.

Las matemáticas védicas están basadas en la manera natural de pensar de las personas, lo que favorece su simpleza. Son fáciles de enseñar y de aprender, lo que permite que la velocidad de aprendizaje de los alumnos sea mucho más rápida que con el sistema tradicional: se estima que en un año se puede adquirir el conocimiento matemático que, con el sistema tradicional, requeriría todos los cursos escolares.

Las matemáticas védicas cuentan con gran variedad de métodos para hacer lo mismo, frente al método único de las matemáticas que te enseñan o te han enseñado. El sistema védico posee métodos generales y métodos específicos, lo cual permite elegir en cada momento la manera en que se quiere hacer un cálculo o resolver un problema y aporta una libertad desconocida hasta el momento en las matemáticas.

Esta flexibilidad y sencillez proporcionan un entretenimiento desconocido hasta ahora, además de favorecer la intuición y creatividad, pues cada cual puede crear sus propios métodos de resolución de los problemas. Además, es el único sistema matemático que activa los dos hemisferios cerebrales.

Por si fuera poco, las matemáticas védicas permiten llegar a las soluciones de los cálculos en una sola línea, lo que favorece que se puedan hacer de forma mental y rápida, mejorando así la memoria, la capacidad y la agilidad mental.

Por otro lado, todos los cálculos se pueden realizar de izquierda a derecha, así como de derecha a izquierda, hecho que favorece la coherencia y la posibilidad de combinar operaciones. Es curioso que, a pesar de leer y escribir de izquierda a derecha y de que los números más importantes son siempre los de la izquierda, en el sistema tradicional solo podemos realizar una de las cuatro operaciones básicas de este modo: la división.

Por ello, las matemáticas védicas son la solución a este problema tan común de fobia a las matemáticas. Son divertidas y fáciles, proporcionan motivación al poder resolver de manera simple operaciones hasta ahora complicadas, además de mejorar la memoria, la creatividad, la agilidad mental y la capacidad intelectual, lo que ayuda en el estudio de otras materias.

Como escribió el Sri Bharati Krisna, descubridor de la materia: «El gran público quedó sumamente impresionado, no, encantado, maravillado y atónito con las matemáticas védicas. Para aquellos que preguntaban si se trataba de matemáticas o de magia, siempre tenía la misma respuesta: son ambas cosas. Es magia hasta que lo entiendes, y son matemáticas a partir de ese momento».

Lo que te prometo

¿Te gustan las matemáticas? ¿Crees que las matemáticas son aburridas? Es más, ¿las odias? ¿Tienes problemas para multiplicar? ¿Estás estudiando y te gustaría mejorar tus resultados académicos de manera fácil? ¿Quieres sorprender por tu capacidad matemática? ¿Te divierten las matemáticas pero quieres divertirte aún más? ¿Crees que nunca se te podrán dar bien las matemáticas? ¿Te gustaría mejorar tu memoria? ¿Notas que la estás perdiendo y quieres conservarla? ¿Quieres entretenerte mientras desarrollas tus capacidades innatas? ¿Quieres ayudar a tus hijos a amar las matemáticas? ¿Eres homeschooler y buscas una nueva manera de abordarlas?

Si has contestado que sí a alguna de estas preguntas, este libro es para ti. Se trata de una primera aproximación al mundo de las matemáticas védicas: en concreto, aprenderemos distintas maneras de multiplicar y elevar números al cuadrado. Después de leerlo y practicar con los pasatiempos mentales que he incluido, te prometo que serás capaz de multiplicar en una línea y en segundos números de hasta tres cifras y, además, que te divertirás haciéndolo, y con un poco de práctica podrás hacerlo mentalmente.

Y si crees que las matemáticas no son para ti, te diré que lo único que tienes que saber antes de empezar a leer son las tablas de multiplicar hasta el 5, sumar y hacer restas sencillas. Del resto se encargará el libro.

Te prometo que tu visión de las matemáticas cambiará totalmente. Estoy seguro de ello porque he visto cómo le ocurría a mucha gente de todas las edades al descubrir las matemáticas védicas, y de hecho me pasó a mí cuando empecé a estudiarlas hace algún tiempo y conforme me certificaba como profesor y obtenía un diploma avanzado en ellas. La frase que siempre me dicen es: «Si hubiera sabido todo esto antes...».

Breve historia de las matemáticas védicas

En los primeros años del siglo XX surgió un fuerte interés en Europa por los antiguos textos védicos provenientes de la India. Fueron muchas las universidades que intentaron extraer de ellos la sabiduría que encerraban. Sin embargo, los textos conocidos como Ganita Sutras, cuyo significado es «matemáticas», fueron desechados por los estudiosos al no encontrar en ellos ninguna referencia explícita a las matemáticas.

Sri Bharati Krisna Tirthaji (1884-1960), un brillante estudiante de distintas disciplinas, entre ellas física, matemáticas, sánscrito, inglés y filosofía, se propuso hallar en aquellos libros lo que no habían encontrado los europeos.

Para ello, trabajó incansablemente durante cerca de ocho años para reconstruir el sistema matemático hoy conocido como matemáticas védicas, basándose en 16 sutras o fórmulas escritas y 13 subsutras, formulados de la manera natural en que nuestra mente piensa y de los que se derivan todos los campos de las matemáticas aplicadas. Luego escribió, entre 1911 y 1917, 16 volúmenes en los que explicaba el sistema.

Estos volúmenes manuscritos se perdieron posteriormente, y Bharathi Krisna se propuso volver a escribirlos en los últimos días de su vida. Finalmente solo le dio tiempo a escribir un volumen, que se publicó en 1965, cinco años después de su muerte, con el título Vedic Mathematics, y que continúa siendo uno de los libros más vendidos sobre matemáticas en la actualidad. Lamentablemente, el libro no se ha traducido al español.

Cuando a finales de los años sesenta una copia del libro llegó a Inglaterra, algunos matemáticos británicos como Kenneth Williams, Andrew Nicholas o Jeremy Pickles comenzaron a interesarse en el sistema y a dar conferencias sobre él. Estas conferencias acabaron recogiéndose en el libro titulado Introductory Lectures on Vedic Mathematics, publicado en 1982.

Los posteriores viajes del profesor Nicholas a la India reavivaron el interés de profesores y alumnos en el sistema, y las matemáticas védicas volvieron a adquirir importancia dentro del ámbito educativo en la India.

Algunos años después, la St. James School de Londres y otras escuelas comenzaron a enseñar matemáticas védicas con gran éxito.

El interés en las matemáticas védicas está creciendo rápidamente por todo el mundo, pues los profesores buscan métodos de hacer más atractiva e interesante la materia a sus alumnos y terminan escogiendo este sistema dadas su simplicidad de aprendizaje y sus importantes beneficios para el alumno en cuanto a incremento de la creatividad, flexibilidad, memoria e inteligencia. Por eso hoy en día son multitud las escuelas y universidades que enseñan las matemáticas védicas en la India y Occidente.

Restando fácilmente de cualquier número terminado en ceros

Antes de empezar con el tema central del libro, de que te conviertas en una máquina de multiplicar y de que te des cuenta de que otras matemáticas sencillas y divertidas son posibles, debes aprender algunas cosas. Para ello, primero veremos lo que son las bases y también la manera de restar cualquier número de una base casi sin pensar. Esta técnica puede aplicarse en el día a día, ya seas estudiante de matemáticas, trabajador de una empresa, padre de un alumno con problemas en mates o simplemente si has llegado aquí por casualidad y te ha entrado la curiosidad por las matemáticas védicas.

1.1. Bases

Vamos a llamar «bases» a aquellos números formados por un número seguido de ceros. Normalmente hablaremos de base 10, 100, 1.000, 10.000, 1.000.000, pero también serán bases los números 20, 200, 5.000 o 6.000, por ejemplo.

Por tanto, cualquier número seguido de ceros será una base. Cuando luego tratemos el caso de la multiplicación de números que están cerca de una base, primero nos vamos a centrar en las bases que llamamos bases «primarias», aquellas cuyo primer número es un 1. Así, hablaremos de multiplicación de números cercanos a la base 10, base 100, base 1.000... para luego extender el cálculo a números cercanos a cualquier base, sea primaria o no.

1.2. Todos de 9 y el último de 10

Las matemáticas védicas nos enseñan una manera muy sencilla y rápida de restar números de las bases. Este método se basa en el sutra «Todos de 9 y el último de 10», que en sánscrito, el antiguo idioma de la India, sería Nikhilam Navatascaramam Dasatah, y que nos dice que si queremos restar un número de una base solo tendremos que restar de 9 cada uno de los dígitos que forman este número, y de 10, el último dígito.

Veamos un ejemplo de cómo restar un número de una base aplicando este sutra.

Como ves, solo es necesario seguir lo que nos dice el sutra.

• 9 — 3 = 6

• 9 — 6 = 3

• 9 — 5 = 4

• 10 — 4 = 6

Veamos otros ejemplos:

• 100 — 36 = 64, ya que 9 — 3 = 6, 10 — 6 = 4

• 1.000 — 367 = 633

• 10.000 — 6.443 = 3.557

Si el último dígito del número que vamos a restar es un cero, como, por ejemplo, en la resta 1.000 — 350, debemos tener un poco de cuidado, ya que, si aplicamos el sutra tomando como última cifra el 0, al restarla de 10 el resultado sería 10, que es un número de dos dígitos. Para evitar este problema lo que hacemos es tomar el 5 como último dígito, aplicar el sutra a 35 y añadir luego simplemente un 0 detrás: el resultado será 650. Es decir, si el número que tenemos que restar termina en uno o varios ceros, no los tendremos en cuenta y los dejaremos igual.

Así:

• 1.000 — 630 = 370

• 100.000 — 64.300 = 35.700

1.2.1. Primera extensión del método

¿Qué pasa si el número que restamos tiene menos dígitos que ceros tiene la base?

Vamos a verlo con el ejemplo 1.000 — 36.

En este caso, lo que tenemos que hacer es igualar los ceros de la base con la cantidad de dígitos del número a restar. Para eso, añadiremos a este número tantos ceros por delante como necesitemos, y quedaría:

Añado un 0 delante del 36 para igualar el número de ceros de la base con la cantidad de cifras del número a restar.

Algunos ejemplos más:

• 1.000 — 45 = 1.000 — 045 = 955, 9 — 0 / 9 — 4 / 10 — 5

• 10.000 — 792 = 10.000 — 0792 = 9.208, 9 — 0 / 9 — 7 / 9—9 / 10 — 2

• 10.000 — 65 = 10.000 — 0065 = 9.935, 9 — 0 / 9 — 0 / 9 — 6 / 10 — 5

1.2.2. Segunda extensión del método. Restando de una base no primaria

Como hemos visto, al restar de una base primaria el 1 de la base desaparece. Esto se debe a que al restar reducimos el primer número de la base en uno.

Vamos a considerar ahora el caso en el que, en lugar de restar de una base que empieza por uno, restamos de cualquier otra base, por ejemplo, si restamos 4.000 — 743.

En este caso, el 743 lo restaremos de uno de los cuatro miles que tenemos, con lo cual todavía nos quedarán tres miles.

Por tanto, 4.000 — 743 = 3.257. El 4 se reduce en uno para obtener 3, y luego aplicamos el sutra al 743, obteniendo 257.

Esta reducción que hemos aplicado viene del sutra «Por uno menos que el anterior», y se aplica siempre que estemos restando de una base.

Otra aplicación de esta extensión la encontramos cuando calculamos restas, como, por ejemplo, 6.000 — 2.346. Aquí el número que estamos restando tiene tantas cifras como la base, que no es una base primaria, por lo que, antes de hacer la resta 6 — 2, debemos reducir la base en uno y pensar en 5 — 2, y aplicar el sutra al 346.

• 6.000 — 2.346 = 3.654

Esto se produce porque los dos mil y pico los estamos restando de tres mil de los seis mil que tenemos, por lo que todavía nos quedan otros tres mil y pico: ese pico es lo que calculamos con el sutra.

1.3. Pasatiempos mentales

A continuación, podemos practicar lo aprendido con los siguientes ejercicios, aunque yo prefiero llamarlos «pasatiempos». Intenta hacerlos mentalmente, sin escribir; pero si al principio te resulta complicado, ¡escribe!, que no estás aquí para estresarte. La idea es que te diviertas.

1.4. Aplicaciones en la vida diaria

Una de las aplicaciones prácticas de este sutra a la hora de ganar dinero o, al menos, no perderlo es que nos ayuda a calcular el cambio que nos tienen que dar en una tienda, restaurante..., sin necesidad de sacar la calculadora del móvil para obtener el resultado.

No es raro que vayas a pagar y te des cuenta de que quien te da el cambio se equivoca al entregártelo; con este sutra siempre te enterarás cuando te pase.

Supón que vas a una tienda y haces una compra de 2,37 € que quieres pagar con un billete de 10 €. ¿Cuánto te tienen que dar de cambio? Muy sencillo: no tienes más que aplicar el sutra «Todos de 9 y el último de 10» y el resultado es inmediato.

• 10,00 € — 2,37 € = 7,63 €

La mecánica es la misma: 9 — 2 = 7, 9 — 3 = 6

y 10 — 7 = 3

¿Qué pasa si, por ejemplo, algo cuesta 1,58 € y pagas con un billete de 5 €? En este caso la base sería 5 y, como hemos visto, debemos reducirla en uno.

• 5,00 € — 2,58 € = 2,42 €, que sale de 9 — 5 = 4, 10 — 8 = 2

1.4.1. Casos prácticos

Veamos algunas situaciones que se podrían presentar en la vida cotidiana para calcular el cambio a recibir en cada una de ellas. Ahora que ya tienes cierta práctica deberías poder hacerlos todos mentalmente. ¡Ánimo!

Multiplicación de números cercanos a 10

Ahora que ya sabemos lo que son las bases y conocemos el sutra «Todos de 9 y el último de 10», vamos a ver un método especial de multiplicación. Es especial porque no se puede aplicar a todas las multiplicaciones, pero sí que nos ayudará a resolver aquellas en que los números que estamos multiplicando se encuentren cerca de una base, ya sea por encima o por debajo de ella.

Este tipo especial de multiplicación se basa en el sutra al que hemos dedicado gran parte del capítulo anterior: «Todos de 9 y el último de 10».

2.1. Multiplicación de números por debajo de 10.
Las tablas de multiplicar de siempre, para siempre: no se te olvidarán nunca

Vamos a sentar las bases del sutra «Todos de 9 y el último de 10» cuando lo aplicamos a la multiplicación. Y para quienes olvidan las tablas de multiplicar, este apartado servirá para impedir que les ocurra de nuevo: de ahora en adelante solo será necesario recordar las tablas hasta el 5.

Vamos a multiplicar números por debajo de la base 10 pero que estén cerca de esta, por ejemplo 8 x 7. A quienes recuerden las tablas de multiplicar quizá les parezca una tontería aprender un método nuevo para calcular la multiplicación de estos números, pero les recomiendo que sigan leyendo, pues luego usaremos este método para multiplicaciones mucho más complejas que resolverán con la misma velocidad, sencillez y exactitud que ahora les supone este 8 x 7.

Empezamos.

Dado que es la primera vez que trabajamos con este método védico, lo voy a explicar paso a paso. Recomiendo seguir las instrucciones y escribir los pasos necesarios para llegar al resultado. En cuanto se le coge el truco deja de ser necesario escribir nada y se podrán hacer de cabeza multiplicaciones que ahora mismo parecerían imposibles.

1. Lo primero que haremos es calcular la desviación de cada número respecto a la base y escribir esta desviación al lado del número.

Ponemos el signo menos en el dos (—2) porque 8 está por debajo de 10, o, lo que es lo mismo: 8 — 10 = —2.

En el caso de —3, 7 está 3 números por debajo de 10: 7 — 10 = —3.

Una vez hecho esto, podemos pasar a resolver la multiplicación. La solución tiene dos partes: la parte izquierda y la parte derecha. Veamos cómo calcular cada una de ellas.

2. La parte izquierda se calcula operando los números en cruz, tal y como indican los signos. Así, la primera parte de la solución será 8 — 3 = 5 o 7 — 2 = 5; podemos elegir la operación que resulte más fácil, ya que ambas dan el mismo resultado.

3. La parte derecha se calcula multiplicando verticalmente las desviaciones respecto de la base, tal y como indica el esquema: (—2) x (—3) = 6.

Así, tenemos que 8 x 7 = 56.

Veamos otro ejemplo para terminar de aclararlo. Calculemos 9 x 6:

Resumiendo:

1. Calculamos la desviación de cada número respecto de la base.

2. Restamos en cruz para obtener la parte izquierda del resultado.

3. Multiplicamos las desviaciones en vertical para obtener la parte derecha de la solución.

Es evidente que este sencillo método hace imposible olvidar las tablas de multiplicar. Si surgiera cualquier duda con alguna, ya sabemos qué hacer.

Pero esto es solo una pequeña introducción a esta forma de multiplicar: lo bueno viene a partir de ahora. Después de leer las próximas páginas dominaremos fácilmente las tablas de multiplicar hasta el 20, tan rápido como ahora mismo sabríamos contestar cuánto es 2 x 2. Has sabido la solución inmediatamente, ¿verdad? Pues prepárate para sorprenderte y sorprender.

2.2. Multiplicación de números encima de la base 10, en 3 segundos sin memorizar

En este apartado aprenderemos la multiplicación de números encima de la base 10 sin tener que memorizar ni pensar mucho: bastará un poco de práctica para poder dar un resultado mentalmente y de manera inmediata.

2.2.1. Primera aproximación. Multiplicación sin llevar

Empezaremos con un primer ejemplo sencillito. Supongamos que tenemos que calcular 12 x 13. Hay muchos métodos y trucos para hacerlo, desde la manera tradicional de poner un número encima de otro y empezar a multiplicar como nos enseñaron en el cole hasta «atajos matemáticos» que a todos nos han explicado o hemos deducido con la experiencia y que, por cierto, están muy bien porque nos ayudan a ser más rápidos. Uno de ellos, aplicado a este caso concreto, sería multiplicar por un lado 12 x 10 = 120, por otro 12 x 3 = 36 y sumar los dos números para conseguir el resultado final: 120 + 36 = 156.

El problema es que estos «atajos» a veces no son tan sencillos de calcular. En cambio, las matemáticas védicas nos proporcionan un sistema que requiere menos cálculos y que siempre es fácil.

El sistema que emplearemos será el mismo que en el apartado anterior, pero, aunque parezca increíble, incluso más fácil, pues ahora los números a multiplicar están por encima de la base 10, lo que nos va a simplificar todavía más los cálculos.

Vamos a por ello:

1. Como antes, calcularemos la desviación de cada número respecto de la base. En estos casos es muy fácil, pues la desviación es el dígito de la derecha de cada número a multiplicar: en 12 el 2 y en 13 el 3. Les ponemos un signo +, pues ambos están por encima de 10.

2. Calculamos la parte izquierda del resultado sumando en cruz: 12 + 3 o 13 + 2, el que más nos apetezca, ya que en los dos casos la parte izquierda del resultado es 15.

3. Por último, multiplicando las desviaciones en vertical obtenemos la parte derecha del resultado: 2 x 3 = 6.

Una vez vista esta manera tan simple de multiplicar números por encima de la base, todavía podemos simplificarla y mecanizarla más, aunque cueste creerlo.

Basta con coger uno de los dos números, por ejemplo el 12, y sumarle el segundo dígito del otro, en este caso el 3 del 13. Así obtenemos la parte izquierda del resultado, 15. La parte derecha es la multiplicación de los segundos dígitos de los números que estamos multiplicando (el 2 del 12 y el 3 del 13), 2 x 3 = 6. El resultado es 156.

Probemos con este otro:

• 14 x 12. Rápidamente sabemos que el resultado es 16/8, (formado por 14 + 2/4 x 2). Sin duda, es un sistema muy rápido para calcular mentalmente.

2.2.2. Cuando tenemos que llevar

Hay una pequeña norma que debemos tener en cuenta al multiplicar números cerca de una base con este sistema, y es que la parte derecha de la solución debe tener tantos dígitos (números) como ceros tenga la base.

Si estamos trabajando, como hasta ahora, con números cercanos a la base 10, la parte derecha del resultado solo puede tener un dígito porque la base, el 10, solo tiene un cero. ¿Cuántos dígitos podría tener la parte derecha del resultado si calculáramos multiplicaciones con números cercanos a la base 100?

¡Exacto! Podría tener dos dígitos porque 100 tiene dos ceros.

Veamos qué tendríamos que hacer si, al calcular la parte derecha de la solución, obtuviéramos un número que tiene más dígitos que el número de ceros de la base.

Lo ilustraremos con un ejemplo:

1. Una vez más, calculamos la desviación de cada número respecto a la base.

2. La parte izquierda del resultado la obtenemos de la suma en cruz. Hasta aquí, todo como en los ejemplos anteriores.

3. La complicación surge cuando al multiplicar en vertical las desviaciones, en este caso 3 y 4, obtenemos 12 en la parte derecha de la solución. Cabría pensar que ya está resuelto, pero evidentemente el resultado no puede ser 1712 porque, como decíamos, la parte derecha solo puede tener tantos dígitos como ceros tenga la base, y en este caso la base solo tiene un cero.

4. Lo que hacemos es pasar el 1 a la parte izquierda de la solución, lo «llevamos» para sumarlo con el 17.

La solución será 18/2 o, lo que es lo mismo, 182.

Con un poco de práctica es mucho más fácil y rápido hacerlo mentalmente. Prueba a ver cuánto tardas en resolver esta multiplicación: 16 x 12.

Ha sido rápido, ¿verdad?

16 + 2 = 18, 6 x 2 = 12. Si pasamos el 1 a la parte izquierda, 18 + 1/2 = 19/2, o sea 192. Cuesta más escribirlo que calcularlo.

Vamos con otro ejemplo más. En este quedan algunos huecos por rellenar. Confío en que ayude a resolver todas las pequeñas dudas que puedan quedar:

Y mentalmente,

2.2.3. Pasatiempos mentales

A continuación, propongo unos cuantos ejercicios para practicar lo aprendido. La idea es resolverlos todos mentalmente, pero si hace falta escribirlos hasta dominar el sistema, adelante. Con un poco de práctica serás capaz de resolver cualquiera de ellos en menos de 3 segundos.

Multiplicación rápida de números por debajo de 100, 1.000, 10.000...

y también por encima

Vamos a subir un poco el nivel del juego, pero eso no quiere decir que vaya a ser más difícil, sino que podremos hacer más cosas con lo que ya sabemos. Aprenderemos a multiplicar números que estén cerca de la base 100, y el sistema será el mismo que con los números cercanos a la base 10, que ya conocemos.

3.1. Por debajo de 100

Vamos a empezar con ejemplos de multiplicación de números por debajo de la base 100.

Al igual que hacíamos antes, lo primero es buscar la desviación de los números respecto de la base:

El signo del 2 es negativo porque a 98 le faltan 2 para llegar a 100. De igual manera, como a 96 le faltan 4 ponemos —4.

Ahora solo nos queda operar para calcular la parte izquierda y la parte derecha de la solución:

Si operamos en cruz, tenemos dos opciones: hacer 98 — 4 o 96 — 2. En los dos casos resulta de manera rápida y fácil que la parte izquierda es 94.

También podríamos restar las desviaciones directamente de la base, es decir, 100 — 2 — 4 = 94.

Para la parte derecha de la solución tenemos que multiplicar las desviaciones (—2 y —4) en vertical: (—2) x (—4) = 8. Recordemos que la parte derecha tiene que tener tantos dígitos como ceros tenga la base; como en este caso estamos trabajando con números cerca de la base 100, la parte derecha del resultado tiene que tener dos dígitos. Por eso tendremos que añadir un 0 delante del 8.

El resultado es 9.408.

Vamos a ver los pasos de otra multiplicación con números por debajo de la base 100.

¡Tachán, tachán! 93 x 95 = 8.835.

En este caso, la parte derecha de la solución tiene dos dígitos, por lo que no es necesario hacer nada, ni añadir un cero delante ni pasar ninguna cifra a la parte izquierda. Vamos a ver un caso en el que sí habrá que arreglar la parte derecha.

Calcularemos la multiplicación 89 x 88:

Recordemos que para calcular las desviaciones solo tenemos que usar el sutra «Todos de 9 y el último de 10».

La parte izquierda, una vez más, saldrá de sumar en cruz. Podemos elegir la operación que más fácil nos resulte, ya que el resultado será el mismo.

Y la parte derecha se obtiene multiplicando verticalmente, de arriba abajo o de abajo arriba.

La multiplicación vertical (—11) x (—12) no debería suponernos ninguna dificultad, después de haber aprendido a calcular de forma mental y rápida las tablas de multiplicar hasta el 20.

Para terminar, como la parte derecha tiene tres dígitos y solo puede tener dos (por estar multiplicando números cerca de la base 100), pasamos el 1 a la izquierda y ya está.

Otro ejemplo para terminar de verlo claro:

3.2. Por encima de 100

Y si esto ha sido fácil, vamos a ver lo sencillo que resulta multiplicar dos números cercanos a la base 100 pero que estén por encima. El sistema es el mismo.

Calculemos 104 x 102:

Pero ¡ojo!: de nuevo, la parte derecha del resultado tiene que tener tantos dígitos como ceros tenga la base con la que estamos trabajando. Base 100, dos ceros, dos dígitos la parte derecha, de modo que añadiríamos un 0 delante del 8 y quedaría 10.608.

Un truco para que no se nos olvide esto último consiste en añadir el cero ya en las desviaciones. Veámoslo con otro ejemplo:

De esta manera es más difícil olvidarnos de poner dos dígitos en la parte derecha.

Otro ejemplo:

Después de practicar un poco escribiendo el proceso, verás qué sencillo te resulta hacerlo mentalmente. Como decíamos antes, vas a sorprender y a sorprenderte.

3.2.1. Pasatiempos mentales

A continuación, propongo unas cuantas multiplicaciones. Intenta hacerlas mentalmente o anotando lo mínimo y verás como no te cuesta esfuerzo: te has convertido en una calculadora humana.

3.3. Nivel avanzado. Multiplicación de números cercanos a 100 cuando uno está por encima y otro, por debajo

Ya sabemos multiplicar de manera rápida y fácil números cercanos a la base, al menos cuando ambos están por encima o por debajo de esta. Sin embargo, es muy posible que nos veamos en la necesidad de multiplicar dos números cercanos a una base pero que uno esté por encima y el otro, por debajo de ella.

En el siguiente ejemplo vamos a multiplicar 97 x 104. Uno de los números, el 97, está por debajo de la base (en este caso 100), y el otro número, 104, está un poco por encima.

Los pasos son los mismos que llevamos haciendo todo el capítulo, solo que deberemos tener cuidado al calcular la parte derecha de la solución.

En el primer paso, una vez más, calculamos las desviaciones de cada número respecto de la base. Tenemos que estar atentos porque en esta ocasión a 97 le faltan 3 para llegar a 100, por lo que escribiremos —03, pero 104 pasa de 100 por 4, por lo que escribiremos +04.

En el segundo paso calculamos 97 + 4 para obtener la parte izquierda de la solución. Podríamos haber elegido hacer 104 — 3 y el resultado, evidentemente, sería el mismo: 101.

En el tercer paso, al multiplicar en vertical (—3) x 4, como uno de los números es positivo y el otro, negativo, el resultado es un número negativo, lo que hace que la parte derecha de la solución (de momento) sea —12.

Está claro que la solución no puede quedar así porque «101 — 12» no es un número que exista. Por supuesto, las matemáticas védicas, a través del sutra «Todos de 9 y el último de 10», nos solucionan este problema y nos permiten resolver la multiplicación mediante una sencilla resta.

Vamos a verlo.

Lo que tenemos que hacer es arreglar el número para que nos quede una solución válida. El número que ha salido lo podemos interpretar como si a 10.100, que sería la solución si la parte derecha diese cero, hubiera que restarle 12, por lo que basta con aplicar «Todos de 9 y el último de 10» a esta resta.

La solución, por tanto, es 10.088.

Con un poco de práctica se puede hacer directamente, restando uno a la parte izquierda de la solución y aplicando «Todos de 9 y el último de 10» a la parte derecha.

Vamos a ver otro caso de multiplicación en el que un número está por encima de la base 100 y el otro, por debajo; pero, ahora, al calcular la parte derecha de la solución obtendremos un número de tres dígitos. Y, como ya sabemos, si la base es 100 la parte derecha de la solución tiene que tener dos dígitos.

Los pasos son los de siempre, pero en la parte derecha de la solución sale un número de tres cifras y solo puede haber dos, por lo que deberemos tener cuidado al aplicar el sutra, ya que el 99 se reducirá en este caso en dos en vez de en uno. El resultado final será 9.744.

Vamos con algunos ejemplos resueltos más para familiarizarnos con la multiplicación cuando un número está por encima y otro, por debajo de la base.

Una vez entendidos los ejemplos anteriores, recomiendo intentar los siguientes ejercicios, a poder ser mentalmente o escribiendo lo menos posible.

3.3.1. Pasatiempos mentales

3.4. Multiplicación de números cercanos a 1.000 y 10.000

Hasta ahora nos hemos centrado en multiplicaciones de números cercanos a la base 10 o a la base 100, pero este sistema es aplicable a la multiplicación de números cercanos a cualquier base primaria. Solo debemos tener en cuenta que el número de dígitos de la parte derecha de la solución tiene que ser igual al número de ceros de la base. Recordemos que a veces hay que añadir ceros y, en otras ocasiones, llevar algún número a la parte izquierda.

A continuación veremos algunos ejemplos resueltos que ilustran que el proceso es exactamente el mismo.

3.4.1. Base 1.000

En este caso, los dos números son cercanos a la base 1.000. Para no olvidarnos, haremos que las diferencias tengan tres dígitos añadiendo dos ceros delante del 4 y del 8 y, al calcular la parte derecha de la solución, pondremos un 0 delante del 32 para que tenga tres cifras. Resultado: 996 x 992 = 988.032.

En este caso no hay que hacer nada en la parte derecha, pues el resultado de la multiplicación vertical tiene tres dígitos, que son los que necesitamos.

Al trabajar con números que están encima de la base, todavía se hace más sencillo el cálculo.

3.4.2. Base 10.000

¿Te imaginas lo que costaría hacer esta multiplicación usando el «sistema tradicional»?

Es fácil darse cuenta de que cuanto más grandes son los dígitos de los números a multiplicar, más sencillo se hace el método védico frente al sistema tradicional. Este último implicaría muchas multiplicaciones de números grandes y llevadas, con la consiguiente posibilidad de equivocarnos al multiplicar o bien luego al sumar. Podemos comprobar la diferencia de tiempo y esfuerzo que supone trabajar con un método u otro en los siguientes pasatiempos.

3.4.3. Pasatiempos mentales

Multiplicación de números cercanos a cualquier número: 20, 50, 250...

En los dos capítulos anteriores hemos visto las técnicas rápidas para multiplicar números cercanos a una base primaria, sin importar si los números están por debajo o por encima de esa base.

A través del subsutra Anurupyena, que significa «Proporcionalmente», podemos extender el sistema ya estudiado a números cercanos a cualquier base no primaria, completándolo y pudiéndolo aplicar en muchas más ocasiones.

Para no aburrirnos con ejemplos de multiplicaciones cercanos a todas las bases posibles, nos centraremos en algunos casos a partir de los cuales es fácil deducir la manera de hacer multiplicaciones de números cercanos a cualquier base secundaria.

4.1. Multiplicación de números cercanos a 20, 30, 40, 60, 200...

Supongamos que queremos multiplicar 23 x 22. La manera de hacerlo sería seguir los pasos aprendidos hasta ahora, pero con una pequeña modificación al final.

Al estar los números cerca de 20, hallamos las desviaciones respecto a esta base, sumamos en cruz y multiplicamos verticalmente: lo mismo que hemos hecho en todos los casos anteriores.

Como nuestra base es 20, que es 2 x 10, debemos multiplicar la parte izquierda de la solución por 2, pero ¡ojo!, solo la parte izquierda de la solución. El resultado es 506.

Si multiplicáramos números cercanos a 200, procederíamos igual, solo que la base secundaria sería 200, es decir, 2 x 100, y, por tanto, la base primaria de referencia 100, así que la parte derecha del resultado deberá tener dos dígitos.

Vamos a ver un caso de números cercanos a 30:

Como solo tenemos que multiplicar por 3 la parte izquierda de la solución, debemos llevar el 1 después de hacer la multiplicación y nunca antes.

Vamos a repetir este mismo ejemplo tomando como base secundaria 40 en lugar de 30 y manteniendo como base primaria de referencia 10.

Evidentemente, el resultado es el mismo.

Veamos algunos ejemplos resueltos más.

4.2. Multiplicación de números cercanos a 50, 250, 500...

En algunas ocasiones tendremos la posibilidad de elegir la base primaria de referencia que más nos interese. En esos casos solo tendremos que tener en cuenta que la parte derecha del resultado deberá tener tantos dígitos como ceros tenga la base de referencia elegida, y que la parte izquierda la tendremos que multiplicar o dividir en función de cuál sea esa base.

Supongamos que queremos multiplicar 54 x 52.

Para hallar el resultado tenemos dos opciones:

a) Base secundaria 50, base de referencia 10.

Este caso se resolvería igual que los ejemplos del apartado anterior.

b) Base secundaria 50, base de referencia 100.

En este caso, la parte derecha ha de tener dos dígitos y la parte izquierda del resultado la deberemos dividir entre 2, ya que 100  2 = 50.

Alucinante, ¿no? No deja de sorprender la cantidad de posibilidades que ofrecen las matemáticas védicas para llegar a la solución de cualquier cálculo o problema.

Normalmente es preferible multiplicar la parte izquierda, porque, aun cuando dividir por 2 es muy fácil, la cosa se complica un poco si en la parte izquierda del resultado nos sale un número impar, como en el siguiente ejemplo. En cualquier caso, cada multiplicación es distinta, y lo bueno de las matemáticas védicas es que, con un poco de práctica, se acaba eligiendo la manera más fácil de resolver la operación sin saber muy bien por qué.

El 5 de 247,5 pertenecería a la parte derecha de la solución, de modo que lo pasamos allí como 500 y le sumamos el 6 que ya teníamos.

Si somos capaces de anticipar que no nos saldrá un número impar en la parte izquierda o no nos importa que salga porque preferimos dividir, podemos elegir como base de referencia una base mayor a la secundaria.

Repitamos el mismo ejemplo usando como base de referencia 100:

En el caso de números cercanos a 250, lo más práctico es usar como base de referencia 1.000 y dividir la parte izquierda de la solución entre 4, ya que 1.000  4 = 250. Además, si tomamos como referencia la base 100, tendríamos que multiplicar la parte izquierda por 2,5, lo que complicaría los cálculos. Y a nosotros nos gusta que todo sea lo más fácil posible, ¿verdad?

Veamos un ejemplo:

Algunos ejemplos resueltos más antes de pasar a los pasatiempos mentales:

En casos como este último, es posible que nos interese más usar el método general de multiplicación védica que aprenderemos en el capítulo 6 y que quizá resulte más sencillo.

4.3. Pasatiempos mentales

Regalo útil: navasesh o suma de dígitos. Qué es y para qué nos puede servir

Hasta ahora hemos visto una manera muy sencilla y rápida para calcular multiplicaciones de números que están cercanos a una base (10, 100, 1.000...), sin importar si están por encima o por debajo de ella.

En este capítulo no aprenderemos ninguna otra técnica rápida de cálculo, sino una manera muy sencilla de comprobar los resultados de las operaciones que hagamos, ya sean sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, elevar al cuadrado, raíces cuadradas... Con ella podremos asegurarnos de que la operación que hemos hecho está bien sin necesidad de repetirla.

Este método de comprobación se llama navasesh de un número, es decir, suma de dígitos o raíz digital. A mí, personalmente, me hace gracia el nombre de navasesh y por eso es el que más empleo. Como curiosidad, navasesh significa «nueve y su resto», pues, además de servirnos para las comprobaciones mencionadas, el navasesh de un número coincide con el resto de dividir este número por 9. Sin embargo, no tendremos que dividir entre 9 para calcularlo: la operación más difícil que deberemos hacer será sumar.

Veamos en primer lugar cómo calcularlo y luego aprenderemos cómo usarlo para las comprobaciones de resultados.

5.1. Método básico

El navasesh de un número no es más que la suma de sus dígitos. Por ejemplo, el navasesh de 26 es 8, porque 2 + 6 = 8. El navasesh de 141 es 6, porque 1 + 4 + 1 = 6.

El navasesh de un número, por largo que sea, solo puede tener un dígito, es decir, no puede ser mayor de 9. Pero puede ocurrir que, al sumar los dígitos de un número, no nos quede un número de un solo dígito. Lo que haremos en estos casos es seguir sumando los dígitos del resultado hasta obtener un número de un solo dígito.

Por ejemplo:

• El navasesh de 138 es 3, pues 1 + 3 + 8 = 12 y 1 + 2 = 3

• El navasesh de 2.949 es 6, ya que 2 + 9 + 4 + 9 = 24 y 2 + 4 = 6

• El navasesh de 8.348 es 5, ya que 8 + 3 + 4 + 8 = 23 y 2 + 3 = 5

• El navasesh de 5.327 es 8, porque 5 + 3 + 2 + 7 = 17 y 1 + 7 = 8

• El navasesh de 89.365.476 es 3, dado que 8 + 9 + 3 + 6 + 5 + 4 + 7 + 6 = 48, 4 + 8 = 12, 1 + 2 = 3

Con este simple método podremos obtener el navasesh de cualquier número. Como decíamos, el navasesh coincide con el resto de dividir ese número entre 9 y, además, lo podremos usar para saber si hemos hecho bien los cálculos de una operación sin tener que repetirla. Pero tampoco es que resulte muy sencillo calcularlo cuando tenemos números largos, ¿me equivoco? Para ello, vamos a mejorar el método de cálculo del navasesh.

5.2. Primera mejora del método. Eliminando los nueves

La primera forma de facilitar el cálculo es eliminar todos los nueves que tenga el número del que calculamos el navasesh. ¿Por qué? La respuesta es que el navasesh de 9 es 0. Recordemos que el navasesh coincide con el resto de la división de un número entre 9. Si dividimos 9 entre 9, el resto es 0, y por eso el navasesh de 9 es 0. No tener en cuenta los nueves que tiene el número nos puede ayudar a simplificar el cálculo. En el segundo ejemplo de antes, calculábamos el navasesh del número 2.949; si no tenemos en cuenta los nueves es rapidísimo y fácil ver que su navasesh es 6, resultado de la suma 2 + 4.

Así tenemos:

• El navasesh de 952 es 7, ya que 5 + 2 = 7

• El navasesh de 9.231 es 6, pues 2 + 3 + 1 = 6

• El navasesh de 5.492 es 2, porque 5 + 4 + 2 = 11 y 1 + 1 = 2

Hemos simplificado el cálculo descartando los nueves y, como podéis comprobar, el resultado es el mismo que si los tuviéramos en cuenta.

5.3. Segunda mejora del método. Eliminando los números que sumen 9

La segunda forma para facilitar el cálculo del navasesh consiste en no tener en cuenta los números cuya suma dé como resultado 9.

Por ejemplo:

• El navasesh de 7.432 es 7. Como 7 + 2 = 9, no los tenemos en cuenta y solo necesitamos sumar 4 + 3 = 7 para obtener el navasesh.

En el último ejemplo del apartado anterior, para calcular el navasesh de 5.492, primero no tenemos en cuenta el 9, y luego vemos que 5 + 4 = 9, por lo que tampoco los tendremos en cuenta. Así, a simple vista, vemos que el navasesh de 5.492 es 2. En este caso hemos tenido en cuenta las dos mejoras del método, pero aún podemos simplificarlo más si vamos juntando dígitos conforme vamos sumando, sin esperar al final.

5.4. Método final. Eliminando 9, números que sumen 9 y juntando dígitos sobre la marcha

Para empezar, como ya hemos visto, no tendremos en cuenta los nueves ni los grupos de números cuya suma sea 9.

Además, si mientras calculamos el navasesh obtenemos un número de dos dígitos, lo reduciremos a un dígito en ese momento, calculando la suma de esos dos dígitos al instante.

Veámoslo con un ejemplo:

• 9.247.614. No tenemos en cuenta el 9, ni el 2 y el 7, pues 2 + 7 = 9.

Empezamos a sumar los números que nos quedan. 4 + 6 nos da 10, que tiene dos dígitos, así que los sumamos: 1 + 0 = 1. Una vez reducido, seguimos sumando: 1 + 1 + 4 = 6, que será el navasesh del número.

Por supuesto, el resultado será el mismo que usando el método básico o cualquiera de sus mejoras. Lo que consiguen estas es que el cálculo del navasesh sea más rápido y fácil.

5.4.1. Pasatiempos mentales

Calcula mentalmente el navasesh de los siguientes números:

5.5. Verificar el resultado de las operaciones con el navasesh o suma de dígitos

El resultado de una operación puede comprobarse haciendo la misma operación pero con los navasesh de los números que intervienen en ella, lo cual es mucho más sencillo porque el navasesh tiene solo un dígito.

Si queremos verificar el resultado de la multiplicación 53 x 24 = 1.272, lo hacemos de la siguiente manera:

• Colocamos el navasesh de 53. N(53) = 8

• Colocamos el navasesh de 24. N(24) = 6

• Colocamos el navasesh de 1.272. N(1.272) = 3

Como es una multiplicación, multiplicamos los navasesh y resulta 8 x 6 = 48, cuyo navasesh es 3 (8 + 4 = 12, 1 + 2 = 3).

Parece que lo hemos hecho bien y no nos hemos equivocado. Veamos otro ejemplo de una multiplicación:

• 37 x 17 = 629

N(37) = 1

N(17) = 8

N(629) = 8

1 x 8 = 8, por lo que, de nuevo, el navasesh no avisa de que nos hayamos equivocado

Con las sumas, la manera de comprobar el resultado es la misma:

• 7.293 + 5.487 = 12.780

N(7.293) = 3. No tenemos en cuenta el 7, el 2 ni el 9

N(5.487) = 6. No tenemos en cuenta el 5 ni el 4

N(12.780) = 0

6 + 3 = 9, cuyo navasesh es 0

Para las restas haremos lo mismo:

• 86 — 74 = 12

N(86) = 5

N(74 ) = 2

N(12) = 3

5 — 2 = 3, por lo que, al parecer, no nos hemos equivocado

Al comprobar el resultado de una resta puede ocurrir que la resta de los navasesh dé un resultado negativo. Para convertirlo en positivo solo tenderemos que sumarle 9. Veámoslo con un ejemplo:

• 47 — 26 = 21

N(47) = 2

N(26) = 8

N(21) = 3

Al restar los navasesh para verificar el resultado, vemos que 2 — 8 = —6. Para transformar este número en positivo le sumamos 9: —6 + 9 = 3, que coincide con el N(21).

Este método de verificación tiene una limitación que deberemos tener en cuenta: en realidad no nos asegura que hayamos hecho bien la operación, pues puede ocurrir que nos equivoquemos y el resultado erróneo tenga el mismo navasesh que el correcto, lo que nos llevaría a error.

Lo que sí nos asegura este método es que, si el navasesh no coincide, hemos hecho mal la operación.

A pesar de esta limitación, el navasesh es un método muy poderoso para verificar el resultado de las operaciones por su sencillez y facilidad de cálculo.

Multiplicación de cualquier número en una línea con «En vertical y cruzando»

En las matemáticas tradicionales que todos hemos aprendido tenemos un sistema general para realizar cualquier tipo de multiplicación, un método estupendo que sirve para todas las multiplicaciones, sin importar los números con los que estemos trabajando.

Hasta ahora, el método del sistema védico que hemos estudiado se puede aplicar únicamente en casos especiales, en concreto cuando los números están cerca de una base. Pero en las matemáticas védicas también tenemos un sistema «universal» que nos sirve para realizar cualquier multiplicación, sin importar qué números estemos multiplicando. La diferencia con el sistema tradicional consiste en que el cálculo es, como siempre con las matemáticas védicas, mucho más rápido y sencillo. Además, nos permite calcular en una sola línea el resultado de multiplicaciones para las que, con el sistema tradicional, necesitábamos varias.

El sutra que nos da la clave para este método se llama Urdhva Tiryak, que se traduce como «En vertical y cruzando».

Primero aprenderemos a multiplicar números de dos dígitos por números de dos dígitos, y más adelante ampliaremos el método para números de tres dígitos para luego poder aplicar lo aprendido a números con cualquier cantidad de dígitos.

6.1. Números de dos dígitos (por números de dos dígitos)

6.1.1. Sin llevar

Vamos a suponer que queremos multiplicar 21 x 13.

Para obtener el resultado de esta operación en una sola línea, lo primero que debemos tener claro es que requerirá tres operaciones y el resultado tendrá tres partes. Veámoslo con un caso práctico.

De momento, veremos cómo hacer la multiplicación de derecha a izquierda, tal y como nos han enseñado siempre. Con un poco de práctica resultará igual de fácil hacerlo de izquierda a derecha.

Primero, multiplicamos en vertical: 1 x 3 = 3, así que 3 es la parte derecha de nuestra solución.

Segundo, multiplicamos cruzando: 2 x 3 = 6 y 1 x 1 = 1, y sumamos los resultados: 6 + 1 = 7, por lo que 7 es el dígito central de nuestra solución.

Tercero, volvemos a multiplicar verticalmente en la columna de la izquierda: 2 x 1 = 2, de modo que 2 es la parte izquierda de nuestra solución.

Salta a la vista que este sistema nos permite calcular la multiplicación en una sola línea y, además, también podríamos hacer el cálculo de izquierda a derecha. Veámoslo con otro ejemplo, esta vez calculando de izquierda a derecha.

Supongamos que tenemos que calcular 32 x 21.

Ahora primero calculamos la parte izquierda de la solución multiplicando en vertical.

Segundo, como antes, multiplicamos y sumamos en cruz para obtener la parte central de la solución.

Tercero, calculamos la parte derecha de la solución multiplicando la columna de la derecha en vertical.

Una de las mayores diferencias entre las matemáticas védicas y las que se enseñan actualmente en los colegios es que en las matemáticas védicas podemos hacer todos los cálculos de derecha a izquierda, pero también de izquierda a derecha. Esto es muy útil, pues nos otorga mucha más flexibilidad y nos permite combinar operaciones.

Practiquemos un poco con los siguientes ejercicios. Intenta hacerlos mentalmente y prueba a hacerlos de izquierda a derecha, para comprobar lo fácil que es.

6.1.1.1. Pasatiempos mentales

6.1.2. Llevando

En todos los ejemplos que hemos visto hasta ahora, los cálculos nos daban como resultado un solo dígito, pero es posible que, al operar en vertical o en cruz, obtengamos un número de dos cifras. Vamos a ver qué tendríamos que hacer si nos ocurriera, aunque es fácil imaginar que el método consiste en llevar un dígito hacia la izquierda. Lo vemos con un ejemplo.

Vamos a calcular la multiplicación 42 x 14 de derecha a izquierda.

El proceso sigue siendo el que hemos aprendido antes.

Multiplicando la columna de la derecha en vertical obtenemos un 8, que ponemos debajo.

Para conseguir la parte central de la solución tenemos que multiplicar en cruz: 4 x 4 y 1 x 2 y sumar los resultados. En este caso: 4 x 4 = 16 y 1 x 2 = 2, 16 + 2 = 18.

¿Por qué escribimos el 1 más pequeño? Simplemente porque no puede haber más de un dígito en cada parte de la solución, exceptuando a la izquierda del todo. Por ello, si en alguno de los pasos anteriores obtenemos un número de dos cifras, tendremos que llevar el primero de los dígitos hacia la izquierda y sumarlo.

La última operación es volver a multiplicar en vertical, en este caso: 4 x 1 = 4.

Solo queda sumar el 1 del 18 al 4 que acabamos de obtener para llegar al resultado final de la operación, 588.

6.1.3. Calculando de izquierda a derecha: ¿cómo escribirlo?

Hagamos ahora una multiplicación de números de dos dígitos llevando, pero esta vez de izquierda a derecha. Como en las matemáticas tradicionales no podemos calcular de izquierda a derecha, no tenemos costumbre de escribir las llevadas ni sabemos cómo trabajar con ellas. Veamos una manera sencilla para que, después de hacer un par de ellas de izquierda a derecha, confirmes lo fácil que resulta. Vamos a multiplicar 69 x 24.

Multiplicamos en vertical la columna de la izquierda y el resultado es 12. Ponemos el 2 pequeño por si lo tuviéramos que sumar a la siguiente parte del resultado.

Hacemos las multiplicaciones en cruz: 6 x 4 = 24 y 9 x 2 = 18, y las sumamos: 24 + 18 = 42. Como teníamos un 2 que llevábamos del cálculo anterior lo sumamos al 4 y obtenemos 6. De nuevo, el 2 del 42 lo ponemos pequeño por si lo tenemos que llevar a la parte derecha de la solución.

Volvemos a multiplicar en vertical, esta vez la columna de la derecha: 9 x 4 = 36. Como llevábamos un 2 (que habíamos puesto en pequeño) del cálculo central, lo sumamos al 3 y dejamos 56. El resultado de la multiplicación en 1.656.

Veamos ahora qué pasa si no obtenemos resultados de dos cifras en todos los cálculos. Será entonces cuando debamos tener cuidado si calculamos de izquierda a derecha, pero aprenderemos un truco que nos librará de problemas y dudas.

Lo vamos a ver con la multiplicación 32 x 23.

Calculamos en vertical en la columna de la izquierda, 3 x 2 = 6, pero pondremos un 0 delante del 6. El 0 lo dejamos grande y el 6, pequeño.

Hacemos el cálculo en cruz: 3 x 3 = 9, 2 x 2 = 4, y sumamos: 9 + 4 = 13. Ahora el 1 lo sumamos al 6 pequeño que teníamos, nos queda 7 en grande y 3 en pequeño.

Por último, calculamos en vertical en la columna derecha: 2 x 3 = 6. Otra vez nos queda un número de una cifra, por lo que le ponemos un 0 delante, que será el que sumemos al 3 pequeño que teníamos del cálculo anterior, así que escribimos 36.

El resultado final es 736.

Al no estar acostumbrados a calcular de izquierda a derecha, al principio puede resultar costoso hacerlo. Sin embargo, con un poquito de práctica será igual de sencillo que hacerlo de derecha a izquierda.

El patrón general para multiplicar números de dos cifras por números de dos cifras sería el siguiente:

Si quisiéramos empezar a calcular por la derecha, solo tendríamos que invertir el orden.

Se trata de un esquema muy sencillo de recordar y también de aplicar.

¡Ya puedes multiplicar números de dos cifras en una sola línea y además hacerlo de derecha a izquierda o de izquierda a derecha!

Como estamos viendo, las matemáticas védicas son tan sencillas que están pensadas para que podamos hacer las operaciones mentalmente. Al principio es un poco costoso porque no estamos acostumbrados a hacerlo fuera del «sistema tradicional», pero con un poco de práctica resulta sencillo incluso haciéndolo de izquierda a derecha, que es el método más recomendable. Solo hay que retener en la cabeza la parte de la solución que se está calculando y hacer la siguiente operación; si sale un número de dos dígitos, se suma el primero al número que teníamos retenido en la cabeza y se mantiene en la mente el resultado obtenido hasta el momento. Y así hasta calcular las tres partes del resultado y tener el número final.

Una vez se comprendan los ejemplos que hemos resuelto, recomiendo hacer las siguientes multiplicaciones. Puede ser de derecha a izquierda si resulta más cómodo, pero lo ideal es irnos acostumbrando a trabajar de izquierda a derecha y, además, hacerlo mentalmente. A algunas personas les funciona mejor calcular primero la parte central del resultado y luego hacer la parte izquierda y la derecha, yo entre ellas. Pruébalo a ver qué tal.

6.1.4. Pasatiempos mentales

6.2. Avanzado. Números de tres dígitos (por números de tres dígitos)

Para multiplicar números de tres dígitos por números de tres dígitos, el sutra no cambia y seguiremos usando «En vertical y cruzando», solo que tendremos que hacer algunos cálculos más al tener más cifras en cada uno de los resultados parciales.

Como ya sabemos hacerlo con números de dos dígitos, primero aprenderemos el esquema general y luego veremos algún ejemplo.

Como antes, podemos calcular de derecha a izquierda o de izquierda a derecha.

Supongamos que tenemos que multiplicar 516 x 243, operación que haremos de izquierda a derecha.

Primero, multiplicamos en vertical la columna de la izquierda: 5 x 2 = 10.

Segundo, multiplicamos en cruz y sumamos, pero solo las dos primeras columnas: 5 x 4 = 20, 2 x 1 = 2 y 20 + 2 = 22. Como llevábamos cero, queda 22.

Tercero, y aquí viene la mayor novedad, como indica el esquema, multiplicamos en cruz y sumamos entre todas las columnas, de la siguiente manera: 5 x 3 = 15, 6 x 2 = 12, 1 x 4 = 4 y 15 + 12 + 4 = 31. Al llevar 2 de la operación anterior, escribimos 51.

Cuarto, volvemos a multiplicar en cruz y sumar, esta vez entre las dos últimas columnas: 1 x 3 = 3, 6 x 4 = 24 y 3 + 24 = 27. Como llevábamos 1, apuntamos 37.

Y, finalmente, quinto, multiplicamos en vertical en la columna de la derecha: 6 x 3 = 18, Como llevábamos 7, ponemos 88.

El resultado final es 125.388. Siguiendo este patrón podemos multiplicar números de tres cifras en una sola línea.

Evidentemente, si quisiéramos multiplicar de derecha a izquierda lo único que tendríamos que hacer es cambiar el orden de los cálculos, pero serían exactamente los mismos.

Veamos otro ejemplo resuelto para acabar de cogerle el tranquillo. Observa, sobre todo, lo que ocurre cuando calculo la parte central del resultado y cómo lo indico.

Al hacer el tercer paso encontramos que el resultado es 66, es decir, 42 + 16 + 8. Al sumar los ochos que llevábamos del paso anterior, obtenemos 146, así que debemos llevar el 1 un puesto más a la izquierda, tal y como está indicado, y el 6 se transforma en un 7.

Si se hace mentalmente el cálculo, se puede modificar de cabeza en el momento. Si se hace por escrito, se puede esperar al final de todo o cambiarlo en el mismo momento, como en el ejemplo.

Propongo practicar con los siguientes ejercicios. Como siempre, recomiendo intentarlos de izquierda a derecha y mentalmente, aunque estos son un poco más complicados.

6.2.1. Pasatiempos mentales

6.3. Avanzado. Multiplicación moviendo el multiplicador

Es posible que encontremos multiplicaciones en las que no hay el mismo número de dígitos en el multiplicando y el multiplicador, es decir, en el número de arriba y el número de abajo. Por ejemplo, quizá tengamos que multiplicar un número de tres dígitos por un número de dos. En ese caso, podemos hacer dos cosas. La primera es poner un cero delante del número de dos dígitos y aplicar el esquema, teniendo en cuenta que al multiplicar un número por cero el resultado es cero. La segunda es mover el multiplicador, como vamos a ver con la multiplicación 312 x 41.

Como haremos el cálculo de izquierda a derecha, empiezo poniendo el multiplicador a la izquierda del todo. Cuando tengamos que hacer una multiplicación de este tipo, no hace falta moverlo físicamente en la hoja: basta con imaginar que está allí. En el esquema vamos a moverlo para visualizarlo mejor. Empiezo multiplicando la columna de la izquierda en vertical.

El segundo paso es multiplicar en cruz y sumar la primera y la segunda columna.

Ahora movemos el multiplicador un puesto a la derecha y volvemos a multiplicar en cruz.

Y terminamos multiplicando en vertical la columna de la derecha.

El resultado final es 12.792.

La manera de hacerlo es simplemente multiplicar en cruz en cada posición a la que vamos moviendo el multiplicador y en vertical solo al principio y al final.

Vamos con algunos pasatiempos más.

6.3.1. Pasatiempos mentales

6.4. Patrones generales para multiplicación de números de más dígitos

A continuación veremos los patrones para multiplicar números de cuatro dígitos por cuatro dígitos y de cinco dígitos por cinco dígitos.

A partir de lo que ya sabemos y de estos patrones, es fácil deducir el esquema para la multiplicación de números con cualquier cantidad de cifras.

6.4.1. Números de cuatro dígitos por números de cuatro dígitos

6.4.2. Números de cinco dígitos por números de cinco dígitos

Otras multiplicaciones especiales

Como ya hemos visto, una de las cosas más divertidas y distintas que tienen las matemáticas védicas en comparación con las matemáticas que nos han enseñado en el colegio es la cantidad de métodos especiales de que disponen. Lo normal es que estos métodos solo se puedan usar en casos determinados, como, por ejemplo, cuando veíamos la forma de multiplicar números cerca de una base. Otras veces estos métodos solo se pueden aplicar cuando se cumplen unas condiciones específicas, como en los casos que veremos a continuación. Aun así, son métodos muy útiles y que nos pueden ahorrar mucho trabajo en multitud de ocasiones. Además, como todos los cálculos en las matemáticas védicas, parecen magia y pueden ayudar a dejar impresionados a familiares y amigos que nos tomarán por calculadoras humanas.

7.1. Multiplicación por 11

Uno de los casos que podemos resolver de manera muy rápida y sencilla es la multiplicación de un número por 11.

Es evidente que, si el número tiene una única cifra y lo multiplicamos por 11, solo tenemos que repetir el número que estamos multiplicando dos veces y ya tenemos el resultado:

• 2 x 11 = 22

• 6 x 11 = 66

• 8 x 11 = 88

Puede parecer una tontería, pero al final la tabla del 11 resulta ser la más fácil de todas.

Pero ¿qué pasa cuando el número tiene más de una cifra? Vamos a multiplicar 23 x 11, por ejemplo. La solución se consigue dejando el primer y el último número igual y poniendo la suma de ambos en el medio, así:

• 23 x 11 = 253. El 5 del centro no es más que la suma de 2 y 3

• 42 x 11 = 462

• 53 x 11 = 583

Veámoslo en forma de esquema para entenderlo mejor:

Si al sumar los dos dígitos para obtener el número central de la solución obtenemos un número de más de una cifra, tendremos que llevar el primer dígito del resultado de la suma hacia la izquierda.

Un ejemplo:

Primero calculamos como hasta ahora y nos damos cuenta de que la suma del primer y el último dígito da como resultado 11, que tiene dos cifras.

Llevamos el 1 a la izquierda y lo sumamos al 5.

Obtenemos el resultado final: 616.

Lo hemos hecho en tres pasos por claridad, pero se puede hacer todo en un solo paso.

Vamos a ver el caso de que el número a multiplicar tenga tres cifras. La manera de hacerlo es la misma.

¿Qué pasa si el número que multiplicamos por 11 es más largo? Que la manera de calcular el resultado es la misma. Vamos a suponer que tenemos que multiplicar 32.543 x 11.

Sencillo, ¿verdad? Vamos a ver un caso en el que tengamos que llevar. El esquema muestra la resolución en dos pasos, pero con práctica deberíamos ser capaces de hacerlo de una sola vez.

La multiplicación por 11 es muy útil cuando queremos calcular incrementos en porcentajes del 10%. Estos incrementos se calculan multiplicando por 1,1, que es lo mismo que multiplicar por 11 y poner una coma delante del último dígito.

Te invito a practicar con los siguientes ejercicios.

7.1.1. Pasatiempos mentales

7.2. Multiplicación por series de nueves

Este es otro sistema de multiplicación especial basado en dos sutras: «Por uno menos que el anterior» (Ekanunena Purvena) y «Todos de 9 y el último de 10». Sirve para multiplicar números por series de nueves.

Podemos pensar que este tipo de multiplicación es muy complicada, pero la mayoría de los casos se pueden resolver de manera bastante sencilla.

Nos podemos encontrar tres casos al multiplicar un número por una serie de nueves.

7.2.1. El número tiene tantos dígitos como la serie de nueves

Sería el caso de multiplicar 235 x 999, donde 235 tiene tres dígitos y la serie de nueves también.

Para este caso, la solución es muy simple y la podemos deducir sin gran complicación.

Para hallar el resultado de 235 x 999 podríamos calcular primero 235 x 1.000 y luego restarle 235, pues sería lo mismo que multiplicar por 999.

Si lo hiciéramos así:

Resta que podemos calcular rápidamente si aplicamos el sutra «Todos de 9 y el último de 10».

Fijémonos en que la solución tiene dos partes: la parte izquierda no es más que 235 — 1, y la parte derecha es el resultado de aplicar «Todos de 9 y el último de 10» a 235.

Por tanto, si multiplicamos un número por la misma cantidad de nueves, la solución consta de una parte izquierda, que es ese número a multiplicar menos uno, y una parte derecha que sale de aplicar el sutra al número.

Lo mejor, como siempre, unos ejemplos:

• 68 x 99 = 68 — 1 / 32 = 6.732

• 756 x 999 = 756 — 1 / 244 = 755.244

• 8.526 x 9.999 = 85.251.474

• 435.252 x 999.999 = 435.251.564.748

El cálculo es muy fácil y también sirve para no olvidar nunca la tabla del 9:

• 7 x 9 = 7 — 1 / 3 = 63

• 5 x 9 = 5 — 1 / 5 = 45

Para resolver este tipo de multiplicaciones tenemos otra opción, que consiste en calcular la parte derecha de la solución como los números complementarios hasta 9 de la parte izquierda; podemos comprobar en los ejemplos anteriores que las cifras de la parte izquierda más las cifras de la parte derecha suman series de nueves.

• 457 x 999 = 456.543 543 = 999 — 456

A algunas personas les resulta más fácil esta manera de hallar el resultado cuando lo calculan mentalmente. Es cuestión de ver cómo se siente más cómodo cada cual.

Puedes practicar con estos pasatiempos.

7.2.1.1. Pasatiempos mentales

7.2.2. El número tiene menos dígitos que la serie de nueves

Este caso se resuelve de la misma manera que el caso general. Solo tendremos que igualar la cantidad de dígitos del número que estamos multiplicando con la cantidad de nueves, para lo que bastará con añadir ceros delante del número.

Ejemplos:

• 65 x 999 = 065 x 999 = 064.935

• 874 x 99.999 = 00874 x 99.999 = 0087.399.126

• 263 x 999.999 = 000.262.999.737

• 457 x 9.999 = 0457 x 9.999 = 04.569.543

No hará falta escribir los ceros, pero al principio ayuda a visualizar mejor de dónde sale el resultado final.

Intenta estos mentalmente.

7.2.2.1. Pasatiempos mentales

7.2.3. El número tiene más dígitos que la serie de nueves

Este caso presenta alguna dificultad más que los anteriores; pero, a pesar de ello, seguirá resultando más fácil resolver este tipo de multiplicaciones por el sistema védico que por el tradicional.

Para calcular el resultado debemos seguir los siguientes pasos.

456 × 99

Como 99 tiene dos dígitos, ponemos dos puntos separando el número para dejar dos dígitos a la derecha de este.

4 : 56

Ponemos otros dos puntos al final del número.

4 : 56 :

Aumentamos en uno el número de la izquierda («Por uno más que el anterior»), con lo que nos queda 5 : 56.

Alineamos los dos puntos de este número con los dos puntos finales del anterior.

Ahora restamos 5 de 456 y a 56 le aplicamos «Todos de 9 y el último de 10».

Solución: 45.144.

Veamos un ejemplo más.

3.257 × 99

Partimos 3.257 en dos partes; la parte derecha tiene que tener dos dígitos porque 99 tiene dos dígitos.

32 : 57 :

A la parte izquierda del número le sumamos 1, y resulta:

33 : 57

Ponemos los dos puntos de este número debajo de los dos puntos finales del anterior.

Restamos la parte izquierda y a la derecha le aplicamos el sutra «Todos de 9 y el último de 10».

Puede parecer un poco complicado, pero tengamos en cuenta que el método no requiere ni una sola multiplicación, tan solo una resta.

Algunos ejemplos más:

Propongo practicar con los siguientes pasatiempos. Si resulta complicado resolverlos mentalmente, se pueden escribir, pero con paciencia y práctica debería ser posible hacerlos mentalmente.

7.2.3.1. Pasatiempos mentales

7.3. Elevar al cuadrado números terminados en 5

Tanto este método para elevar al cuadrado números terminados en 5 como su variación que veremos después se resuelven mediante el sutra «Por uno más que el anterior» (Ekadhikena Purvena).

Vamos a ver cómo funciona el sutra si tenemos que elevar al cuadrado números terminados en 5. Elevar al cuadrado no es más que multiplicar un número por sí mismo, pero en nuestro caso el número tiene que terminar en 5 para que el sutra funcione.

Por ejemplo, podríamos elevar al cuadrado el número 25, pues termina en 5.

Para resolver esta operación solo tendríamos que multiplicar el 2, que es el número anterior al 5 (recordemos que el sutra dice «Por uno más que el anterior») por uno más que 2, que sería 3: 2 x 3 = 6. Así, 6 sería la primera parte de la solución. La segunda parte siempre será 5² = 25.

Así tenemos 25² = 625.

Otro ejemplo: 35² sería 1.225, ya que 3 x 4 nos daría la primera parte de la solución y 25, la segunda.

65² = 4.225, ya que 6 x 7 = 42.

Es fácil comprobar que para cualquier número que elijamos, siempre que termine en 5, se cumple el sutra. Parece magia, ¿verdad?

7.3.1. Pasatiempos mentales

Prueba a elevar al cuadrado los siguientes números.

Como ves, los dos últimos ejercicios son números de tres cifras. La manera de resolverlos es la misma, solo que ahora el número anterior al 5 en vez de un dígito tiene dos. Por ejemplo, si tenemos que elevar 135², la primera parte de la solución será 13 x 14 = 182, y la segunda, como siempre, 25.

Para este caso tendremos que aplicar dos de los casos especiales de multiplicación que hemos aprendido: la multiplicación de números cercanos a una base del capítulo 2 y el caso que estamos viendo para elevar números al cuadrado con el sutra «Por uno más que el anterior».

Quizá, en algunos casos, para calcular la primera parte de la solución sea más sencillo usar la fórmula general que hemos aprendido con el sutra «En vertical y cruzando». La magia de las matemáticas védicas es que permiten que elijamos.

Inténtalo con estos:

7.4. Multiplicación de números que empiezan igual y cuyos últimos dígitos suman 10

Una extensión del sutra «Por uno más que el anterior» nos permite calcular rápidamente productos de números cuyas primeras cifras son iguales si sus últimos dígitos suman 10.

Por ejemplo, nos puede servir para calcular la multiplicación 44 x 46, pues cumple con las condiciones: sus primeras cifras son iguales, en este caso 4, y las últimas cifras suman 10, o sea 4 + 6.

El cálculo es igual que en el caso de elevar al cuadrado números terminados en 5. La primera parte de la solución resulta de multiplicar por uno más las cifras que son iguales, en nuestro caso 4 x 5 = 20, y la segunda parte se calcula multiplicando los dígitos que suman 10, para nuestro caso 4 x 6 = 24.

• Por tanto, 44 x 46 = 2.024.

• Para 27 x 23, los dos números empiezan por 2 y las últimas cifras (7 y 3) suman 10. Primero multiplicamos 2 «por uno más»: 2 x 3 = 6. Luego multiplicamos las últimas cifras: 7 x 3 = 21. Así: 27 x 23 = 621.

Por supuesto, podemos usar este sutra para números que tengan más de dos dígitos. Por ejemplo, si queremos calcular 121 x 129, las últimas cifras suman 10 (1 + 9) y las primeras cifras son iguales (12), por lo que podemos aplicar el sutra.

• 121 x 129 = 15.609 (156 = 12 x 13, 09 = 1 x 9). En la segunda parte de la solución hemos añadido un 0 delante del 9 porque tiene que tener dos dígitos.

7.4.1. Pasatiempos mentales

Tal vez los pasatiempos f, g y k parezcan fuera de lugar, pero en realidad pretenden ilustrar que podemos aplicar el método a más casos. Si prescindimos del cero del final, se cumplen las condiciones para aplicar el sutra, por lo que lo único que tenemos que hacer es aplicarlo y luego añadir el cero.

Cuadrado de números

En el capítulo anterior hemos visto un método especial que sirve para elevar al cuadrado números terminados en 5, pero no siempre los números que queramos elevar al cuadrado terminarán en 5. Por eso es necesario que aprendamos algunos métodos más. Primero veremos cómo elevar al cuadrado números cercanos a una base y luego el método general para elevar al cuadrado números de dos y de tres dígitos.

8.1. Números cercanos a una base

Para elevar al cuadrado números cercanos a una base tenemos que usar el sutra «Cualquiera que sea la desviación, disminuye (o incrementa) por ese número y pon el cuadrado de este». Por supuesto, no hace falta memorizar el sutra. Lo importante es entenderlo, para lo cual veremos algunos ejemplos.

Vamos a suponer que queremos elevar al cuadrado el número 12.

• 12² = 144. La desviación de 12 respecto de 10 es +2, por lo que incrementamos el 12 en 2: 12 + 2 = 14, que será la parte izquierda. «Y pon el cuadrado de este» se refiere a que añadamos el cuadrado de 2, es decir 4, que es la parte derecha de la solución.

• 13² = 169 (13 + 3, 3²).

Si la desviación respecto a la base es negativa, para hallar la parte izquierda de la solución tenemos que disminuir el número en vez de aumentarlo.

Por ejemplo, 98² = 9.604 (98 — 2, 2²). La parte derecha de la solución tiene que tener dos dígitos porque la base es 100, por eso añadimos el 0 delante del 4.

• 96² = 9.216. En este caso la parte izquierda es el resultado de calcular 96 — 4, y la parte derecha es 4² = 16; como 16 tiene dos dígitos, lo dejamos tal cual.

Vamos a ver qué otro caso se nos puede presentar al calcular la parte derecha.

• 88² = 7.744. La parte izquierda sería 88 — 12 = 76, y la derecha 12² = 144. Como la parte derecha tiene tres dígitos y solo puede tener dos, pasamos el 1 a la parte izquierda y nos queda 77.

Por muy grande que pueda ser la base, el cuadrado de un número cercano a ella siempre se puede calcular de esta manera. Lo único que debemos tener en cuenta es la cantidad de dígitos de la parte derecha de la solución.

Veamos el ejemplo de un número cercano a la base 1.000.

• 992² = 984.064 (992 — 8, 8²).

• 985² = 970.225 (985 — 15, 15²). En este caso, 15² lo calculamos rápidamente aplicando el sutra «Por uno más que el anterior», que hemos visto en el capítulo 5.

En realidad, este sutra no es más que una extensión del sutra «Todos de 9 y el último de 10», que nos servía para multiplicar números cercanos a una base, pero aplicado a un caso especial. De esta manera queda todavía más simplificado el cálculo y los pasos a seguir para hallar la solución.

8.1.1. Pasatiempos mentales

8.2. Cuadrado de números de dos dígitos

El método general para hallar cuadrados, al igual que el método general de multiplicación, viene bajo el sutra «En vertical y cruzando» y se deduce de él.

Para hallar rápidamente cuadrados de números, antes tenemos que aprender a calcular el dúplex de un número. Quizá nunca hayas oído esta palabra (al menos en matemáticas), pero de todos modos es muy fácil de calcular.

El dúplex de un número de un dígito es su cuadrado.

• D(4) = 4² = 16

• D(3) = 3² = 9

Y así con cualquier número de un dígito.

El dúplex de un número de dos dígitos es dos veces el producto de esos dígitos, es decir, el doble de multiplicar un dígito por otro. Así:

• D(42) = 2 x 4 x 2 = 16

• D(34) = 2 x 3 x 4 = 24

Para practicar calcula el dúplex de los siguientes números.

8.2.1. Pasatiempos mentales

Para calcular el cuadrado de cualquier número de dos dígitos, solo tenemos que calcular los tres dúplex posibles que hay (el del dígito de la izquierda, el del número entero y el del dígito de la derecha) y combinarlos de la misma manera que hacíamos al multiplicar con «En vertical y cruzando».

Por ejemplo, 43².

• D(4) = 16, D(43) = 24, D(3) = 9

La solución tendría tres partes, 16/24/9, pero, como en la parte central y la derecha solo puede haber un dígito, tendríamos que combinar los dúplex y pasar el 2 a la izquierda, con lo que el resultado final sería 1.849.

Como siempre, con la práctica es muy fácil calcular el cuadrado de cualquier número de dos cifras mentalmente. Veamos un ejemplo haciéndolo de izquierda a derecha.

• 53² = 2.809

Primero pensaremos en 5² = 25 y lo retenemos en la mente. Calculamos 2 x 5 x 3 = 30 y añadimos al 3 el 5 del 25 que había salido antes. Ya tenemos 280, y calculamos 3² = 9 para ponerlo después del 280. El resultado es 2.809, compuesto de 28, 0, 9, que es la manera en que vamos reteniendo lo números en la memoria. Por supuesto, cada cual tiene su propia manera de hacerlo.

Vamos con algunos ejercicios mentales para resolver. Seguro que te quedas impresionado con tu propia capacidad. ¡Ánimo!

8.2.2. Pasatiempos mentales

8.3. Cuadrado de números de tres dígitos

Sabiendo cómo calcular el cuadrado de números de dos dígitos con el método general, vamos a aprender a hacer lo mismo con números de tres cifras. El sistema es el mismo, es decir, combinar los dúplex, pero nos falta saber cómo se calcula el dúplex de un número de tres dígitos.

El dúplex de un número de tres dígitos se calcula hallando el doble del producto del primer dígito por el tercero y sumándole el cuadrado del número del centro.

Así:

• D(123) = 2 x 1 x 3 + 2² = 6 + 4 =10. Donde 2 x 1 x 3 es el doble de los números de los lados, y 2² es el cuadrado del número del centro.

• D(234) = 2 x 2 x 4 + 3² = 16 + 9 = 25. Donde 2 x 2 x 4 es el doble del producto del primero por el tercero, y 3² es el cuadrado del número central.

Practica con los siguientes:

Sabiendo la manera de calcular el dúplex de un número de tres dígitos, para calcular su cuadrado tendremos que hacer lo mismo que en el caso de dos dígitos: calcular de izquierda a derecha o de derecha a izquierda todos los dúplex posibles que hay y combinarlos. Al tener tres dígitos el número que vamos a elevar al cuadrado, saldrán cinco dúplex posibles. De izquierda a derecha y en orden serían:

El del primer dígito.

El del primer y el segundo dígito.

El del número entero; es decir, los tres dígitos.

El del segundo y el tercer dígito.

El del último dígito.

Si calculáramos de derecha a izquierda, bastaría con cambiar el orden y empezar por el dígito de la derecha, el último.

Veamos un ejemplo:

• 123² = 1 / 2 x 1 x 2 / 2 x 1 x 3 + 2² / 2 x 2 x 3 / 3² = 1/4/10/12/9. Como solo la parte de la izquierda de la solución puede tener más de un dígito, tendríamos que combinar, y quedaría:

• 1 / 4 / ₁0 / ₁2 / 9 → 1 / 4 + 1 / 0 + 1 / 2 / 9 → 15.129

Está claro que para hacer mentalmente los cuadrados de números de tres cifras se necesita más práctica. En cualquier caso, y aun resolviéndolos por escrito, salta a la vista la diferencia de trabajo que supone hacerlo por el método védico frente a la manera «tradicional». Con las matemáticas védicas es posible conseguir la solución en una sola línea. La diferencia resulta evidente si probamos a calcular 123 x 123 de la manera tradicional.

Vamos con unos cuantos ejemplos resueltos de izquierda a derecha:

• 345² = 3² / 2 x 3 x 4 / 2 x 3 x 5 + 4² / 2 x 4 x 5 / 5² = 9/24/46/40/25 = 119.025

• 253² = 2² / 2 x 2 x 5 / 2 x 2 x 3 + 5² / 2 x 5 x 3 / 3² = 4/20/37/30/9 = 64.009

• 364² = 3² / 2 x 3 x 6 / 2 x 3 x 4 + 6² / 2 x 6 x 4 / 4² = 9/36/60/48/16 = 132.496

• 132² = 1² / 2 x 1 x 3 / 2 x 1 x 2 + 3² / 2 x 3 x 2 / 2² = 1/6/13/12/4 = 17.424

Y ahora, unos cuantos para que los resuelvas tú:

8.3.1. Pasatiempos mentales

¿Difíciles? ¿Aburridas? Eso se acabó.

Multiplica como nadie es el primer libro en castellano que introduce las matemáticas védicas de la antigua India, un método que convierte el cálculo en algo fácil, divertido y creativo.

El autor, Nacho Ruiz Cía, es el máximo exponente del movimiento por la difusión de las matemáticas védicas en España. Su misión es dar a conocer la sencillez del método, formar a padres, profesores y alumnos para que disfruten con el cálculo, desarrollen su potencial, memoria, atención y creatividad, y acabar por fin con la tan común aversión a las matemáticas. En este libro ofrece una primera aproximación a las matemáticas védicas aplicadas a la multiplicación.

Nacho Ruiz Cía (Zaragoza, 1975), máximo exponente del movimiento por la difusión de las matemáticas védicas en España, se formó en la Vedic Maths Academy de Londres —con el gran Kenneth Williams, con quien colabora en la actualidad—, y es el único ponente de habla hispana en las conferencias internacionales sobre matemáticas védicas. Además, es el creador de matematicasvedicas.org (YouTube, Facebook), desde donde da a conocer el método.

Edición en formato digital: abril de 2019

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