MASES Y MENOS

Las matemáticas y el mundo que nos rodea

STEFAN BUIJSMAN

Traducción de Julio Grande

Índice

Introducción

1.Las matemáticas que nos rodean

¿Qué tren he de coger?

Recomendaciones de Netflix

Las matemáticas están por todas partes

2.¿Algo que te pilla muy de lejos?

Las matemáticas como una gran historia

La utilidad de la belleza

3.Una vida sin números

En una isla, alejada de los pirahã

¡Sin medir!

Trabajar con cantidades pequeñas

¡No lo sé con exactitud! Las cantidades grandes y el cerebro

Hasta un polluelo es capaz de reconocer figuras

¿Aportan algo las matemáticas?

4.Las matemáticas hace mucho, mucho tiempo

Hacienda somos todos

El trabajo en las escuelas de Mesopotamia

Pan, cerveza y números en Egipto

Los siempre teóricos griegos

Los empollones de China

5.Todo sigue cambiando

Newton versus Leibniz

Pasos cada vez más pequeños

Sumar los pasos

Más variable es imposible: el tiempo

Las integrales y las diferenciales en los edificios, los planes de gestión y la física

¿Todo el mundo con las integrales?

6.Asidero en la incertidumbre

Juegos en las matemáticas

Repartir monedas

Dos veces Thomas

¿Por qué juegos? Las matemáticas de la práctica

¡Más datos!

Lo que sí sabía John Snow

Nicholas Cage y las piscinas

¿Es realmente cierto? ¡Deforma el mundo con estadísticas!

Por si no quieres preguntarle a todo el mundo

7.Paseando con el pensamiento

Dirección única

Los grafos de los Ferrocarriles Neerlandeses

Los paseos de Google por internet

Ver las películas con un grafo

El tratamiento más eficaz del cáncer gracias a las matemáticas

Facebook, amistades e inteligencia artificial

Los grafos en segundo plano

8.La utilidad de las matemáticas

Pequeños errores en las matemáticas

¿Todo es casualidad?

Las matemáticas ayudan

También en la vida diaria

Bibliografía

Créditos

Introducción

Retrocedamos un poco en el tiempo. Estoy observando con mirada vidriosa a mi profesor de Matemáticas; en una pizarra digital hay una serie de fórmulas y, al lado, puede verse el dibujo de una línea ondulada entreverada con unas cuantas líneas rectas. Como todo alumno que haya recibido clases de matemáticas en los cursos superiores del bachillerato, no tengo más remedio que aprender el funcionamiento de esas fórmulas y dibujos. ¿Por qué? En mi caso, porque mi propósito es estudiar Astronomía. Lo que no sabía en ese momento es que soy demasiado impaciente para estudiar esa carrera. Pero supongamos que sí lo hubiera sabido y que, además, en mi profesión actual casi nunca tuviera la necesidad de hacer cálculos; en ese caso, habría tecleado en Google esta pregunta: ¿para qué sirven las matemáticas?

El primer resultado que desembucha Google, si lo ponemos en neerlandés, es un artículo del diario de Volkskrant sobre el teorema de Pitágoras y la repartición de las pizzas. Es algo muy concreto, pero desarrolla una parte muy pequeña de la utilidad de las matemáticas, ya que sin ellas ni siquiera hubiera sido capaz de buscar una respuesta a mi pregunta en Google o hubiera llegado a un artículo que no tendría casi nada que ver con mi pregunta. Un buscador como Google sólo es posible haciendo un uso inteligente de las matemáticas, y no me refiero solamente a que los ordenadores trabajan con unos y ceros, sino también a que la manera en que Google determina lo que es una respuesta relevante a mi pregunta está basada en una parte de esta ciencia. Antes de que los fundadores Sergey Brin y Larry Page inventaran su método en 1998, el mejor resultado para quien tecleara en la línea de búsqueda «Bill Clinton», por ejemplo, era una foto suya con el chiste del día. Quien buscara «Yahoo» en Yahoo ¡ni siquiera vería aparecer en los primeros diez resultados la propia página web de la empresa! Actualmente, esto ya no es así y es algo que tenemos que agradecérselo a las matemáticas.

Sin embargo, hay muchas personas hoy en día que tienen la misma sensación que tenía yo en la escuela secundaria: se encuentran ante una pizarra llena de fórmulas que no comprenden demasiado bien y que no volverán a ver nunca más en la vida cotidiana, así que no es de extrañar que las matemáticas les parezcan incomprensibles e inútiles a muchos, aunque en realidad es todo lo contrario, porque, en verdad, las matemáticas desempeñan un importante papel en nuestra sociedad moderna y a menudo, para quien mire detrás de las fórmulas, también pueden llegar a comprenderse mejor de lo que suele creerse. La manera en que Google nos elige la información exhibe la influencia que ejercen las matemáticas en nuestra vida diaria, tanto en el sentido positivo como en el negativo, y una muestra de los efectos secundarios que encontramos en servicios digitales tales como Google, Facebook y Twitter es la capacidad que tienen de reforzar opiniones ya existentes. En la actualidad, surgen constantemente noticias falsas que difícilmente pueden rebatirse y eso se debe, en parte, a la manera en que funcionan estos servicios y redes sociales. Sólo podremos tratar de manera inteligente con ellos si llegamos a comprender a qué se debe que sean precisamente esta clase de servicios de internet los que refuerzan nuestras opiniones y por qué la manera en que esto ocurre no puede cambiarse así sin más.

En este libro quiero mostrar lo útiles que son las matemáticas. En cierto sentido, está dirigido a mi yo más joven, ahora que les he cogido el tranquillo. Al mismo tiempo, está dirigido a todas las personas que, como me pasaba a mí antes, piensan que los cálculos matemáticos sólo son un engorro y que en el futuro será estupendo perderlos de vista y no tener nada que ver con ellos. Desde que trabajo como filósofo de las matemáticas y reflexiono mucho sobre cómo funcionan y cómo las enseñamos, soy consciente de que esta disciplina es muy relevante, ya tengas que calcular cosas en tu profesión o no. Las matemáticas tratan de mucho más que de fórmulas —que apenas encontrarás en este libro—, pues si bien son muy prácticas a la hora de calcular algo específico, a menudo distraen de las ideas subyacentes.

Para mostrar que las matemáticas son más importantes y comprensibles de lo que creen muchas personas, hablaré aquí sobre unas cuantas ramas de las matemáticas y de las ideas que hay detrás. Es sorprendente la cantidad de aplicaciones que tienen algunos de los campos de esta ciencia, aplicaciones que todo el mundo es capaz de comprender, sobre todo si te olvidas por un momento de las fórmulas que subyacen en segundo plano. Tomemos la teoría de los grafos: un buscador como Google la utiliza para ordenar los resultados de la búsqueda, pero también se utiliza, por ejemplo, para predecir cómo reaccionará a un tratamiento un paciente con cáncer y para estudiar los flujos de tráfico en una gran ciudad.

Lo mismo vale para los demás campos de las matemáticas modernas que tocará este libro: la estadística y el cálculo integral y diferencial. Las ideas que subyacen suelen ser inesperadamente simples y son mucho más útiles de lo que puedes llegar a suponer en el colegio. Con la estadística te encuentras casi cada día: en la forma de los números en las noticas sobre delincuencia, economía, política, etcétera, etcétera. A menudo no está claro lo que hay que hacer exactamente con esos números o de dónde vienen; no en vano ya hace cien años que se nos lleva advirtiendo de que las estadísticas pueden llegar a ser engañosas, y, desde entonces, esa advertencia sólo ha ido creciendo cada vez más.

El papel de las diferenciales e integrales se parece más al de la teoría de grafos: son útiles porque posibilitan todo tipo de aplicaciones sin que nos demos cuenta. Desde la Revolución Industrial se han utilizado, entre otras cosas, para mejorar la eficacia de las máquinas de vapor, hacer que los coches circulen de manera autónoma y construir rascacielos. Si hay una rama de las matemáticas que haya cambiado la historia, es ésta.

Pero antes de que empiece a profundizar de manera más extensa en las muchas aplicaciones modernas de esta ciencia, debemos remontarnos a sus primeros principios. Para esto no necesitamos buscar complicados problemas históricos o eruditos de la Antigüedad, sino que nos adentraremos en la historia del ser humano en sí. Cada ser humano dispone, al nacer, de un número notable de destrezas matemáticas, por lo que en principio podríamos sobrevivir perfectamente sin clases de Matemáticas. La historia nos enseña que estas habilidades innatas empiezan a fallar tan pronto como las personas comienzan a convivir en grupos más numerosos. En un momento dado, las sociedades se vuelven simplemente demasiado grandes para poder funcionar sin matemáticas y, por eso, viramos hacia la aritmética y la geometría. Algunas culturas han conseguido seguir viviendo sin forma alguna de matemáticas, pero en estos casos siempre se trata de pequeñas sociedades que, por ejemplo, no construyen ciudades. La abstracción de las matemáticas es necesaria para asuntos como la organización de una comunidad, para la seguridad, para la construcción de casas y otros edificios, para la regulación del abastecimiento de víveres, etcétera. Ellas simplifican más los problemas prácticos y, al simplificarlos, hacen más manejable el mundo a nuestro alrededor.

La cuestión de la utilidad de las matemáticas no trata sólo de esta disciplina en la práctica. Es, en primer lugar, una cuestión filosófica, y por eso empezaré y terminaré este libro con una incursión en la filosofía. Los filósofos de las matemáticas, como yo, llevan siglos ocupándose de cuestiones como qué son las matemáticas y cuál es el funcionamiento de su aplicación, sin preocuparse demasiado de los problemas de aritmética ni de las fórmulas. En parte son cuestiones sin dilucidar, aunque dentro de la filosofía hemos progresado lo suficiente como para señalar el aspecto que debe tener la respuesta correcta.

Sin embargo, debes ser tú mismo quien al final —como en la mayoría de cuestiones filosóficas— elijas lo que piensas sobre esta ciencia y qué respuesta a esas cuestiones es la que más te gusta. Tú mismo deberás también determinar si estás satisfecho con la manera en que las matemáticas se están aplicando hoy en día. ¿Las ventajas de Facebook, por ejemplo, compensan sus inconvenientes? La respuesta a esa pregunta te la dejo a ti. Entre tanto, intentaré explicar cuál es su función en esa clase de aplicaciones; por qué Facebook tiene los inconvenientes que, entre tanto, todos conocemos y cómo es posible que esos inconvenientes no puedan resolverse con un simple cambio de la idea matemática subyacente.

1

Las matemáticas que nos rodean

Un año tras otro tenemos una parte de las matemáticas detrás de una decisión que afecta a la totalidad de los Países Bajos, ya que los horarios y los lugares adonde van los trenes se determinan basándose en el trabajo de un grupo de matemáticos. Los Ferrocarriles Neerlandeses (NS) comunican los requisitos que deben cumplir esos horarios —por ejemplo, la frecuencia con la que debe circular un intercity entre el aeropuerto de Schiphol y Nimega— y queda en manos de los matemáticos, en cuyos cálculos se basa la guía definitiva de horarios e itinerarios, la tarea de encajarlo todo tan bien como sea posible, de manera que la hora a la que llega tu tren depende de una serie de cálculos, siempre y cuando no se hayan cubierto los raíles de hojas otoñales o se haya producido un retraso por cualquier otra razón.

Pero, en realidad, eso es algo que no tiene nada que ver con los cálculos. ¿Por qué es bueno que los matemáticos realicen la guía de circulación de trenes? Los Ferrocarriles Neerlandeses emplean alrededor de 3.000 trenes que paran en casi 400 estaciones. Para evitar accidentes, los trenes no pueden circular demasiado cerca los unos de los otros ni pueden utilizar al mismo tiempo el mismo andén de una estación, pero los viajeros tampoco quieren que un tren tenga que esperar antes de llegar a una estación hasta que el andén quede libre. Una vez que han llegado al andén, esos viajeros quieren a continuación que su trasbordo se realice sin complicaciones, de manera que no se vean obligados a correr para alcanzar la siguiente conexión, pero lo que tampoco quieren es tener que esperar media hora al haber perdido por los pelos el tren por enésima vez. También, a veces, hay puentes ferroviarios que deben abrirse, cambios de aguja rápidos o lentos, y así sucesivamente. Es igual que un puzle, pero uno que tiene una manera de colocar las piezas mejor que la otra. Podría hacerse una guía de horarios e itinerarios como se hace un puzle: preparas todas las piezas y empiezas con lo más sencillo, montando luego a partir de ahí el resto del puzle.

El mapa de las vías férreas de los Países Bajos con todas las estaciones y compañías transportistas.

Imaginemos que fuera así. Ese grupo de matemáticos construye en las oficinas centrales de los Ferrocarriles Neerlandeses un modelo a escala de la red ferroviaria del país: una enorme vía de tren con el aspecto del mapa anterior. Organizan 3.000 trenes en miniatura que circulan con sus velocidades correspondientes por la pequeña vía. Una especie de Madurodam, el pequeño país a escala que puede verse en La Haya, pero con 400 estaciones en lugar de las cuatro existentes en miniatura. La guía de horarios e itinerarios puede examinarse ahora en la realidad y ves delante de tus narices lo que pasa cuando dos trenes circulan demasiado cerca el uno del otro y chocan.

Por supuesto que en la práctica no funciona un modelo a esta escala. El espacio en las oficinas de los Ferrocarriles Neerlandeses es demasiado reducido como para colocar allí 400 estaciones y hacer que circulen miles de trenes al mismo tiempo por las vías eléctricas en miniatura. Además, seguro que todo saldría mal, por lo que los trenes se retrasarían y esos retrasos no son tan importantes para la guía de horarios e itinerarios. Naturalmente, todo ha de ser dispuesto para que la red ferroviaria no se altere si llega tarde un tren, pero en realidad está reproduciendo la situación ideal en la que todo sale bien.

De ahí que haya un grupo de matemáticos que deba cumplimentar esa guía. Al observar el problema desde una perspectiva matemática, en realidad pueden pasar por alto todos esos «pequeños» problemas. ¿Tormentas primaverales? En las matemáticas no existen. El problema matemático sólo trata de las líneas en el mapa sobre las que circulan puntitos imaginarios. Esos puntitos circulan siempre a su debido tiempo, nunca llegan a una tormenta de nieve cuando están circulando y nunca les afectan las averías. En otras palabras, abstrayendo más los problemas, te evitas tener en cuenta todo tipo de vicisitudes, lo que facilita por sí mismo encontrar una solución. Aplicar las matemáticas al problema ayuda, porque las matemáticas ignoran todos esos detalles insignificantes. En el mapa de las vías férreas sólo se ven puntitos y líneas, sin todas esas cosas prácticas que luego un maquinista sí que deberá tomar en consideración. Aquí sólo se trata de dos cosas: las horas a las que llegan los diferentes trenes a una estación y las horas a las que salen. Si sabes cuáles son los números que hacen posible que todo encaje, el puzle está resuelto. Al verlo todo como un gran problema de aritmética con horarios de trenes, resulta más fácil tener en cuenta el meollo de la cuestión, y es en esto en lo que radica el principal valor de las matemáticas.

Para aclarar mejor cómo funciona, podemos reflexionar sobre una pequeña parte de la red ferroviaria. Hay una línea que va del aeropuerto de Schiphol a Amsterdam Centraal. Por ella circulan trenes que paran en ambas estaciones. En los carteles informativos deben aparecer, por tanto, las horas de llegada y salida de los trenes que circulan de Schiphol a Amsterdam Centraal y de Amsterdam Centraal a Schiphol. Además, hay dos tipos de trenes que realizan este trayecto: un sprinter, que para también en Amsterdam Lelylaan y Amsterdam Sloterdijk, y un intercity que no se detiene en estas dos estaciones intermedias.

El trayecto entre Schiphol y Amsterdam Centraal lo han reproducido los matemáticos, que han utilizado la teoría de grafos, con líneas para las vías y puntos para las estaciones. En la ilustración de la página siguiente, el sprinter es la línea inferior, que recorre las cuatro estaciones, mientras que el intercity pasa de largo por las estaciones intermedias, aunque circula por la misma vía. Por eso dibujan una línea recta entre Schiphol y Amsterdam Centraal.

Un esquema así es mucho más simple que una maqueta en miniatura con cuatro estaciones y dos trenes. Además, se parece a los dibujos con los que estamos familiarizados. El mapa de las vías férreas que acabamos de ver podemos comprenderlo con facilidad y los carteles amarillos que utilizan los Ferrocarriles Neerlandeses en las estaciones, para mostrar cómo discurre un trayecto ferroviario, con un diseño semejante. La única diferencia es que allí hay más líneas, ya que en el mencionado esquema pueden verse dos rutas de tren en el mismo trayecto.

Sprinter e intercity entre Schiphol y Amsterdam Centraal.

Con unos cuantos números añadidos es posible, además, hacer cálculos con este esquema. Se puede indicar cuánto tarda en llegar de un círculo al otro poniendo un número en cada línea. El intercity, por ejemplo, tarda 14 minutos en ir de Schiphol a Amsterdam Centraal. Así pues, a la línea superior le correspondería un «14». Esos números son el punto de partida para completar el puzle: el tiempo en el que llegan el sprinter y el intercity a Amsterdam Centraal, por ejemplo, no puede ser el mismo, ya que en ese caso chocarían al tener que estar en el mismo momento en el mismo tramo de línea. Los números hacen más sencilla, a fin de cuentas, la cumplimentación de la guía de horarios e itinerarios de los trenes.

Aunque esto no quiere decir que ahora se haya simplificado todo el problema. Con tantas estaciones y trenes, el cálculo matemático es demasiado grande para hacerlo a mano y hay que recurrir a un ordenador adecuado para encontrar una buena solución. El asunto es que, a pesar de todo, es un problema que puede resolverse en un plazo de tiempo razonable, mientras que se tardaría demasiado en elaborar una guía sobre la base de un modelo a escala. Con un ordenador y la interpretación de las matemáticas, es posible registrar dentro de un plazo razonable los nuevos horarios de los trenes y, de esa manera, se puede incluso comprobar si se ha encontrado la mejor solución, lo que no puede hacerse con la ilustración tal como la he dibujado aquí, pero en el capítulo 7 explicaré con más detalle cómo funciona con los Ferrocarriles Neerlandeses. Lo importante es la idea de que las matemáticas se utilizan en toda clase de circunstancias cotidianas.

¿Qué tren he de coger?

Gracias a la teoría de grafos, los Ferrocarriles Neerlandeses pueden decirte también qué tren debes coger para llegar lo más rápido posible a tu destino. Esos consejos también los calcula hoy en día un ordenador, porque resulta más rápido que pedir a un empleado que lo busque en la guía de horarios e itinerarios.

Sin embargo, no suele ser tan difícil hacerte una idea de cuál es el tren que más te conviene. Para quien quiera viajar de Utrecht a Ámsterdam seguro que la mejor opción no es subirse en el tren que va a Venlo. No suele haber tantas alternativas de las que te puedas fiar y, por regla general, también puedes llegar por tus propios medios a saber cuál es la mejor manera de viajar. ¿Cuál es entonces el valor añadido de las matemáticas en las recomendaciones de viaje?

En este caso, las matemáticas ya no simplifican más un problema fácil, pero procuran que puedas resolverlo antes. Un programa de ordenador puede, al igual que tú, mirar en los horarios cuáles son los trenes que circulan en la buena dirección. Ese programa utiliza el modelo matemático para los horarios. También para una recomendación de viaje lo único que importa son los horarios de llegada y salida. Aunque, en este caso, quisieras saber también dónde hay retrasos, así que el esquema deberá mantenerse algo más activo. Por lo demás, puede seguir siendo el mismo.

Un programa de ordenador semejante comienza en el punto de partida de tu viaje. Los próximos pasos dependen del algoritmo subyacente, pero una de las opciones predeterminadas funciona como sigue: desde el punto de partida, el ordenador va a viajar a todos los lugares posibles, ya que un ordenador no puede echarle, como nosotros, rápidamente un vistazo al mapa con los diferentes trayectos, así que no tiene ni idea de en qué dirección hay que ir para llegar a Ámsterdam desde Utrecht. El ordenador no sólo prueba el primer paso del viaje hacia Hilversum —una línea recta sin puntos intermedios—, sino que también se toma en consideración el primer paso del viaje a Venlo.

Y así sucesivamente, cada vez un paso más. El ordenador se fija en dos cosas: lo que dura cada viaje por separado y si ya has llegado a tu destino. Si uno de los viajes va a parar a Ámsterdam, entonces es una posible recomendación para viajar. El ordenador sabe entonces con exactitud cómo puedes ir de Utrecht a Ámsterdam y cuánto tiempo dura el viaje. Puede incluso encontrarte diferentes opciones.

Calcular las recomendaciones de esta manera es facilísimo, ya que sólo necesitas que un ordenador realice una serie de sumas para llevar la cuenta de la duración del viaje. Es rápido y eficaz, pero también un poco estúpido, porque no tiene ningún sentido proyectar en tu cabeza un viaje en dirección a Venlo cuando quieres ir justo en dirección contraria. Las matemáticas no simplifican más el problema en este punto, lo que sí procuran es que pueda resolverse más rápidamente con el método aquí expuesto, que se abordará en el capítulo 7, simplemente porque empleando las matemáticas puedes conseguir que todo lo haga un programa de ordenador, mientras que sin ellas eso no sería posible.

Recomendaciones de Netflix

Estás esperando en el andén un tren que, según los horarios, no circula, y te pones a mirar las películas y series nuevas de Netflix. Junto a cada película aparece un porcentaje en verde que indica lo bien que se adapta esa película a las que normalmente ves. A veces no acierta en absoluto y esa película que tendría que haberte gustado muchísimo es bastante mala, pero si, para variar, decides no ignorar esas cifras, deberían ofrecer una imagen razonable de tu gusto en cuanto a películas y series se refiere. Esa imagen va cambiando a medida que te pones a ver otras películas y se determina, además, de manera completamente automática. En algún lugar hay, por tanto, un programa informático que, sin tener ni idea de películas ni de series, deduce lo que se ajusta o no a tus gustos.

Netflix lo hace, naturalmente, basándose en los datos que tiene. Hay un ingente número de personas que ven películas y series en esta plataforma y se lleva a cabo un seguimiento de todo. La plataforma sabe qué películas y series ves, lo que, dicho de manera muy simple, significa que también sabe qué clase de películas y series son: todo documental sobre la elaboración de guías de horarios e itinerarios de trenes o películas de terror o cualquier otra cosa. Además, Netflix sabe antes que nada en cuál de las diversas categorías se encuentra todo lo que hay en su página web. Une ambas cosas y allí tienes la recomendación. Si lo que más ves son películas de terror, seguro que querrás ver una película que todavía no conoces. No puede ser tan difícil, ¿no?

Lo más difícil lo encontramos en parte en otras cosas que hace Netflix. Para toda clase de películas y series diferentes que no se enmarcan en este ejemplo en el género de terror, ofrece también una puntuación en la forma de un porcentaje. Ese porcentaje indica en qué medida la película coincide con lo que ves normalmente. Netflix determina también, por tanto, en qué medida una película de aventuras coincide con una serie de películas de terror. Si hay más tensión en la película de aventuras, por ejemplo, encaja mejor con tu hábito normal de espectador que si apenas ocurre algo horripilante. Esta clase de detalles se suele obtener cuando pides recomendaciones a tus amigos, pero Netflix sabe también aprovecharlo, aunque no alcanza ni con mucho el nivel de los consejos que te daría un auténtico cinéfilo.

Lo que lo convierte en algo aún más difícil es que tal vez sólo veas una clase determinada de películas de terror. Sólo películas en las que no hay demasiada sangre, por ejemplo. Entonces, las películas de terror muy sangrientas no serán una recomendación tan apropiada como una película de aventuras algo más emocionante. Guiándote sólo por el género, no siempre obtienes las mejores recomendaciones, porque de lo que realmente se trata es del contenido de la película y eso es algo que todavía no ha llegado a comprender un ordenador; de hecho, sería mejor que contrataras a personas que se encargaran de ver con cada usuario las películas y las series que éste ve para decir a continuación las que se parecen en cuanto a contenido. Naturalmente, con millones de usuarios resulta imposible, así que las recomendaciones debe hacerlas un ordenador y esto sí que es algo factible, aunque hay que utilizar un truco.

La idea que subyace tras ese truco es en realidad muy simple: una buena recomendación es aquella que se parece a lo que te gusta. En todo el mundo las personas ven a través de Netflix series y películas que les gustan y que, por tanto, coinciden con las series y películas que han visto antes. Dos películas se parecen si muchas personas han visto una película después de que hubieran visto la otra. Si hay mucha gente que ha visto Iron Man 2 después de haber visto Iron Man, esas películas se parecerán seguramente y, por tanto, Iron Man 2 será una buena recomendación después de que hayas visto Iron Man. Cuantas más personas utilicen Netflix, tanto más precisas serán las predicciones sobre las películas y las series de la oferta. El programa informático propone las que han sido vistas por muchos otros espectadores que han elegido más o menos las mismas que has visto tú.

Ésta es una solución que lleva implícita un problema. Netflix tiene millones de usuarios que han visto, cada uno, bastantes películas y series. Conforme al truco de Netflix, la solución para las recomendaciones es un simple problema de aritmética: observa cuántas personas que han visto las mismas películas y series han visto el título recomendado. El problema está en el resultado que explico aquí de manera algo simplificada (entre otras cosas porque los detalles reales no se conocen públicamente). También tienes que contar con las personas que han visto lo mismo que tú, menos una película o serie. ¿Y qué pasa si no ves sólo películas de terror, sino también te gustan los documentales? Entonces, de repente quedan muchas menos personas que hayan visto exactamente los mismos títulos. Cuantas menos personas, tanto más imprecisa será la recomendación. En la práctica, la idea simple se complica un poco más.

Por eso ayuda representar toda su oferta en un mapa como la guía de horarios e itinerarios de trenes de los Países Bajos, que es lo que en realidad hace Netflix. Cada película o serie es un punto, una especie de estación en el mundo de Netflix. Puedes viajar de una estación a otra y, para ello, sólo hace falta hacer clic en dos películas o series diferentes en su página web.

Para poder calcular con este mapa, aquí necesitas también añadir números. En este caso, naturalmente, no es el tiempo que se tarda en viajar entre estaciones, sino la cantidad de personas que han visto las dos películas o series. Dicho de otro modo, cuántas personas han saltado de una estación a la otra. Eso es algo que puede tener más o menos este aspecto, en el que los números (inventados) indican cuántas personas han visto las dos películas.

Netflix, limitado a tres películas.

Con este esquema la cuestión es qué porcentajes encajan en las películas, indicando estos porcentajes lo bien que se ajusta a tus gustos una película o una serie. Imagínate que sólo has visto Iron Man en Netflix. El ordenador ahora debe predecir qué te parecerán Iron Man 2 y The Blue Planet. Según el esquema de arriba, Iron Man 2 tiene que obtener un porcentaje muy alto. Al fin y al cabo, una película te gustará más si muchas personas con tu mismo gusto para las películas también han visto esa otra película. The Blue Planet, por el contrario, deberá obtener una puntuación baja, porque pocas personas han visto The Blue Planet y Iron Man. Además, hay pocas personas que hayan visto tanto Iron Man 2 (que el ordenador piensa que te gustaría) como The Blue Planet, es una razón más para darle un bajo porcentaje a The Blue Planet.

A fin de cuentas, un ordenador utiliza sus propias predicciones, por ejemplo, acerca de lo que te gustaría Iron Man 2, para mejorar las predicciones de otras películas y series. Con sólo tres películas puede hacerse sin dificultad, pero inténtalo con miles de películas o series. En principio, se puede averiguar; al fin y al cabo, con el tiempo y el espacio suficientes también puedes trazar cualquier ruta que quieras seguir sin la ayuda de las matemáticas. Gracias a éstas y sobre todo a los grafos, a los que les tocará el turno en el capítulo 7, no es sólo posible en teoría, sino que es factible en la práctica si dispones de un buen ordenador. La versión matemática de este puzle posibilita a Netflix predecir de manera completamente automática si una película o una serie te van a gustar.

Las matemáticas están por todas partes

Cada día nos topamos con las matemáticas en todo tipo de lugares. Naturalmente, no lo digo en sentido literal. Ni siquiera yo tengo que calcular nada en un día normal, aunque para mi trabajo reflexiono sobre cuestiones matemáticas. Sin embargo, las matemáticas desempeñan un papel importante entre bastidores, porque sin ellas no habría habido ningún horario para 3.000 trenes y Netflix podría proponerte al azar unas cuantas películas y series, pero muchas menos recomendaciones resultarían atinadas. El buscador de Google apenas habría funcionado. En resumen, los servicios que utilizamos todos los días son sólo posibles porque las matemáticas se emplean en un segundo plano.

Netflix, Google y el programa de circulación de trenes son ejemplos de servicios que dependen de la misma rama de las matemáticas: la teoría de grafos. Pero no es sólo importante ese campo. Tu teléfono te avisa, por ejemplo, del enésimo artículo periodístico en el que hay cifras. Los sondeos para las elecciones, que con unos cuantos números dicen dar una imagen de las preferencias políticas de todo un país. ¿Qué haces con eso? A menudo se equivocan bastante. Sólo hay que pensar en las elecciones a la presidencia de 2016 en los Estados Unidos que, según los sondeos, iba a ganar Hillary Clinton. Los números, por tanto, pueden engañar fácilmente, incluso aunque no sea ésa su intención. Se esconde todo un mundo detrás de la rama de la estadística y, para quien no comprenda lo que puede fallar, es casi inútil una cifra presentada como trascendental. Qué bien que puedan decirte algo los sondeos, pero ¿cómo puedes confiar en ellos si pueden equivocarse tanto?

Levantas la vista de tu teléfono por un instante para pedir un expreso, que se prepara con una máquina de café de esas grandes de acero inoxidable que calienta el agua hasta que alcanza la temperatura adecuada para este tipo de café. Si es una cafetera de lujo, el procedimiento no es tan sencillo, ya que realiza un seguimiento de lo rápido que se calienta el agua y, sobre la base de ese dato, se calcula si debe calentarse más o, por el contrario, debe enfriarse un poco, etcétera. Todo esto hasta que se alcanza la temperatura perfecta y se puede mezclar el café con el agua caliente. Tú no te das cuenta de nada, pero ante tus narices se utilizan esas fórmulas de las que hablaba mi profesor de Matemáticas para hacer café.

Entre tanto, te pones a leer las noticias sobre política. El gabinete ha cambiado determinados planes de gestión. ¿Fue una buena idea retocarlos? Si quieres ser lo más objetivo posible, miras las previsiones sobre los nuevos planes. La Oficina Central de Planificación, fiel a la tradición, lo calcula todo. Que sea una buena o mala idea puede depender de tantas cosas que uno apenas es capaz de seguir el ritmo. A fin de cuentas, aquel cálculo que indica que puedes gastar más dinero resume muy bien todos esos factores en el único punto que te importa. También para llegar hasta aquí se ha empleado un montón de matemáticas.

Visto de esta forma, las matemáticas ejercen una enorme influencia en tu vida. Sin estar calculando nada tú mismo, dependes de todo tipo de cálculos. La información que utilizas para tomar decisiones es el resultado final del trabajo matemático de otros. Incluso la información que llegas a ver al final depende de un cálculo en algún lugar de un ordenador de Google, Facebook u otra página web que filtra esa información. También la tecnología de tu entorno emplea cada vez más las matemáticas. La cafetera de lujo de la cafetería de la esquina, el piloto automático del avión con el que vuelas a tu destino de vacaciones y el ordenador del que día tras día dependes para trabajar: todos dependen de las matemáticas. Ahora que pueden encontrarse cada vez en más lugares, también es cada vez más importante comprenderlas y ser conscientes de la influencia que ejercen en nuestra vida.

La mayor parte de este libro trata de lo importante y práctico que es hoy en día comprender un poco las matemáticas. Pero ¿qué son en realidad y cómo funcionan? Ésa es una cuestión filosófica por excelencia que se remonta a Platón y a Sócrates. Ellos ya se preguntaban de qué trataban y cómo aprendemos algo sobre ellas. Además, si te paras a pensarlo un poco más, es bastante curioso que las matemáticas tengan tantas aplicaciones siendo, como son, tan increíblemente abstractas. Así pues, ¿cómo es posible que sean útiles? Para responder a esto, necesitamos un poco de filosofía.

2

¿Algo que te pilla muy de lejos?

Un grupo de presos se encuentra encadenado a un muro con las cabezas tan sujetas que sólo puede mirar hacia delante, hacia un muro sin ventanas. Además, llevan toda su vida encadenados al mismo muro y para ellos las sombras que ven reflejadas en él son cosas reales. Si pudieran acercarse lo suficiente, podrían tocarlas, con lo cual los presos no saben que, además de esas sombras en el muro, también existen otras cosas. Su mundo se compone únicamente de sombras.

Así empieza el mito de la caverna de Platón, que nos compara con esos presos. Las cosas que vemos a nuestro alrededor en realidad son sólo sombras. Esas sombras son arrojadas por algo que nunca podemos ver directamente. La mesa a la que estás sentado, por ejemplo, por supuesto que existe, pero Platón la ve como una de esas sombras en el muro. Esa mesa en concreto no es lo que le interesa a Platón, desde luego, sino lo abstracto que une a todas las mesas: la razón por la que el objeto que está delante de mis narices es una mesa y no es otra cosa. Esa razón abstracta no puedes verla sin más. Has de averiguar lo que es, lo que arroja la sombra sobre el muro, mirando toda clase de mesas a tu alrededor.

Según Platón, las matemáticas funcionan exactamente igual, y ésta es por tanto mi respuesta a la pregunta: ¿de qué van las matemáticas? Los números son, en su opinión, cosas de esas que proyectan sombras. No podemos observarlos sin más. Un número no es algo que puedas agarrar o contra lo que te puedas chocar cuando tienes la mirada clavada en el teléfono mientras caminas. Por supuesto que puedo escribir un número con una cifra, como el «2», pero al igual que la palabra «sol» no es ninguna estrella, la cifra «2» no es lo mismo que el número del que intento hablar. Para seguir con el ejemplo de Platón, el espacio que nos rodea no es más que esas sombras, mientras que el número va deambulando por algún lugar detrás de nosotros.

Así puedes reflexionar sobre las matemáticas. Si hablamos de números y decimos algo como 1 + 1 = 2, estamos hablando de cosas que existen de verdad. No sólo existen en la manera en que existe la mesa delante de tus narices. Platón pensaba que eran todavía «más reales», porque él otorgaba al conocimiento abstracto mayor valor que al conocimiento sobre cosas específicas. Por eso reduce a sombras las cosas que las personas ven normalmente a su alrededor y piensa que los números, por así decirlo, andan flotando en un universo alternativo. Tal vez sea un poco excesivo, pero su idea de que los números existen ha sido tan influyente que hoy en día seguimos llamando platónicas a las personas que todavía piensan así.

¿Las matemáticas son entonces esto? Tal vez suene lógico reflexionar así al respecto. Tu profesor de Matemáticas te cuenta el aspecto que tiene el mundo de las matemáticas, un mundo de verdad pero que no puedes ver. Los matemáticos estudian ese mundo, al igual que los físicos estudian el mundo que sí podemos ver. Entonces las matemáticas sí que te pillan muy de lejos. No es de extrañar que a tanta gente le resulten tan difíciles: ¡has de descifrar primero cómo vas a llegar a ese otro mundo antes de que puedas aprender también algo sobre él!

¿Cómo se hace eso en realidad, aprender algo sobre un mundo que no puedes ver, sentir, oler o lo que sea? Porque, según Platón y los platónicos, las matemáticas son totalmente independientes de todo lo que hay en nuestra vida diaria. O bueno, no del todo: Platón da un ejemplo de un esclavo en la casa de un amigo para mostrar cómo entramos en contacto con las matemáticas. Este esclavo no ha tenido ninguna formación y le encargan dibujar, sin medirlo, un cuadrado que sea dos veces mayor que un cuadrado que ya ha sido dibujado en la arena, lo que es un problema bastante complicado: si lo aumentas alargando los dos lados dos veces, acabas dibujando un cuadrado cuatro veces mayor. Dibujar algo que es exactamente dos veces mayor, sin utilizar una regla, requiere una solución ingeniosa.

En el ejemplo de Platón, las personas que rodean al esclavo le hacen todo tipo de preguntas, escogidas de tal manera que el esclavo al final comprende que el truco está en dibujar un cuadrado nuevo basándose en la línea oblicua que atraviesa el primer cuadrado. Para hacer un cuadrado que sea el doble que el cuadrado gris claro de aquí abajo, hay que emplear la diagonal de puntos en la siguiente ilustración. Imagínate que unes cuatro de esos cuadrados grises. El cuadrado grande que puedes hacer con ellos es, naturalmente, cuatro veces mayor. Para conseguir un cuadrado que sea el doble tendrás que tomar, por tanto, la mitad. Así pues, utilizas las diagonales, que cortan exactamente los cuatro cuadrados en dos, por lo que te queda la mitad de los cuatro. Junta las cuatro mitades en un cuadrado, como en la figura de abajo, y ya está: ¡tienes un cuadrado que es exactamente el doble que aquel con el que empezaste!

¿Cómo se hace un cuadrado el doble de grande?

Platón sólo ofrece ayuda en este ejemplo mediante preguntas. Así el esclavo va averiguando solo poco a poco que ésta es la manera de duplicar un cuadrado. Platón, que naturalmente quiere mostrar así cómo se aprenden las matemáticas, dice entonces que el esclavo en realidad ya sabía la respuesta; él, Platón, sólo le ha ayudado a encontrar el camino para que pueda recordar la respuesta. Porque, esto es lo que afirma Platón, en una vida anterior todos sabíamos lo que puede llegar a saberse sobre las matemáticas. Ese conocimiento sigue estando en algún lugar de nuestra cabeza, en lo más profundo de nuestro subconsciente. Para aprender algo sobre las matemáticas, en su opinión, sólo tienes que recordar lo que ya sabías.

¿Suena rebuscado? Esperemos que sí, porque lo que Platón ofrece como solución es un disparate. Él engaña con las preguntas de su ejemplo; en realidad, dibuja primero la respuesta y sólo después llega con sus preguntas de respuesta sí o no, para que el esclavo comprenda al final que el truco funciona con la diagonal. El esclavo «se enseña a sí mismo» el truco, pero sólo lo consigue porque se van explicando todos los pasos, casualmente mediante preguntas. ¿Y luego afirmando que ha retenido esas cosas de una vida anterior? Pues sería una vida anterior muy especial si se sabía todas las matemáticas de memoria.

Si es un disparate, ¿cómo puede ser que aprendamos algo sobre el mundo de las matemáticas? Todavía no sabemos cómo funcionan. Todos los platónicos de ahora, que creen que las matemáticas tratan de números existentes, dicen otra cosa. La cuestión es si sólo hay uno que esté en posesión de la verdad. Por lo demás, todos piensan naturalmente que las matemáticas se pueden aprender: al fin y al cabo, acabamos de aprender cómo podemos hacer un cuadrado que sea el doble de grande del cuadrado con el que empezamos. Hasta el alumno más desesperante sabe algo de números. Los únicos que no han logrado todavía explicar cómo funciona eso en su trabajo son los platónicos, cómo aprendemos algo sobre ese inasequible mundo abstracto de las matemáticas.

Pero ¿por qué tendríamos que pensar que el mundo de las matemáticas es tan inasequible y abstracto? Platón lo pensaba porque muchos matemáticos de su época lo decían, y los matemáticos de ahora dicen lo mismo, pero ¿debemos creerlos? Hay todo un grupo de filósofos modernos que dicen que no podemos hacerlo mejor. Olvidemos a los presos de la caverna y pensemos en Sherlock Holmes.

Las matemáticas como una gran historia

Sherlock Holmes vive en Londres, en Baker Street 221-B. La casa puede visitarse, pero en realidad nunca vivió allí, porque Sherlock Holmes es un detective ficticio. Se han escrito muchas historias, películas y series sobre él, por eso no pensamos en seguida: ¿qué es ese disparate?, ¿cómo va a vivir Sherlock Holmes en Londres? En las novelas es cierto que vive allí, pero en el Londres real nunca ha vivido nadie con ese nombre en esa dirección. Del mismo modo podemos pensar sobre las matemáticas.

Las matemáticas cuentan en realidad una historia: sobre números, figuras y todo tipo de cosas distintas. Las matemáticas hablan de un mundo que tiene el aspecto que Platón le confería. Nunca cambia nada y todo está relacionado de un modo perfectamente lógico. Aunque, según dicen los nominalistas, al igual que las historias sobre Sherlock Holmes, sólo es ficción. Los matemáticos hablan de cosas tales como números y triángulos, pero esas cosas no existen. Lo único que es auténtico son las cosas que ves a tu alrededor. Simplemente, no hay ningún mundo aparte por el que anden flotando los números.

Dicho de otra forma: según Platón, descubrimos cosas sobre las matemáticas, pero tal vez no haya nada que descubrir y simplemente nos lo hayamos inventado todo, lo que también procura algunas declaraciones absurdas. Como las cosas de las que hablan las matemáticas no existen realmente, tampoco son ciertas ninguna de las cosas sobre esos números, triángulos, etcétera. Decimos: 3 es un número primo y 1 + 1 = 2, pero no es cierto: 1 + 1 = 2 es falso, porque los números no existen en absoluto. Al igual que es falso que Sherlock Holmes haya vivido en Londres, porque tampoco él existe en la realidad.

¿Por qué no puedes decirle entonces a tu profesor que en las matemáticas todo es un disparate? Porque sí que hay algo verdadero, también para los nominalistas. Mis frases sobre Sherlock Holmes, por ejemplo, son en cierto sentido verdaderas porque concuerdan con la historia de sir Arthur Conan Doyle, de modo que si afirmo que Holmes vive en Alaska, podrás demostrar con fragmentos de sus libros que mi afirmación no es verdad. Siempre podrás someter a prueba si las declaraciones sobre Sherlock Holmes concuerdan con los libros. Con las matemáticas pasa lo mismo: la afirmación «1 + 1 = 3» no concuerda con la historia de las matemáticas.

Sin embargo, repito una vez más que no sabemos exactamente cómo funcionan. Dicho de otro modo, no sabemos si las matemáticas hacen descubrimientos sobre un mundo abstracto que sólo podremos llegar a alcanzar con dificultad o si nos lo estamos inventando todo. Eso se debe a que ni los platónicos ni los nominalistas han conseguido explicar bien cómo aprendemos las matemáticas.

Para Platón era difícil decir cómo llegamos al mundo matemático, lo que no es un problema tan grande si ese mundo no existe. Está muy claro, por ejemplo, cómo aprendemos algo sobre Sherlock Holmes: leyendo un libro. Si conseguimos recordar lo que hay en ese libro, hemos aprendido algo sobre el detective, pero con las matemáticas es más complicado. Las historias de las matemáticas son especiales, porque sí que solemos pensar que tratan del mundo que nos rodea. Los matemáticos las toman literalmente, mientras que nadie toma literalmente los libros sobre Sherlock Holmes, lo que hace más difícil explicar cómo funcionan. ¿Cómo procuras que personas que dicen literalmente falsedades puedan construir una ciencia que sea muy valiosa y rigurosa? Para esa pregunta los nominalistas siguen sin tener todavía ninguna buena respuesta.

Hasta aquí la filosofía. No es tan grave si no puedes seguir punto por punto las cosas con las que se complican tanto la vida esos filósofos. Lo que en cualquier caso quiero mostrar con esto es que podemos enfocar las matemáticas de dos maneras. Por diferente que sea la forma de pensar que tienen los platónicos y los nominalistas, las dos maneras intentan explicar cómo funcionan las matemáticas, o bien contar lo que sucede cuando nos ocupamos de ellas. Los platónicos dicen que descubrimos entonces de todo sobre un mundo lleno de cosas abstractas. Los nominalistas dicen que ese mundo no existe en absoluto y que precisamente te lo estás inventando todo. Mientras esa diferencia esté clara y puedas aceptar que seguimos sin saber todavía cuál de las dos teorías es la cierta, sabes lo suficiente.

La utilidad de la belleza

Si las disputas de los filósofos aclaran algo, es que las matemáticas tratan de cosas enormemente abstractas. Tampoco es por tanto muy de extrañar que en el instituto no sepas para qué sirve todo eso. Las matemáticas parecen no tener nada que ver con el mundo que nos rodea. No si te pones a reflexionar sobre ellas como un mundo en sí mismo que de ninguna manera entra en contacto con lo tangible. Tampoco si te pones a reflexionar sobre ellas como una historia, porque ¿qué tiene que ver esa historia con nuestro mundo? Tampoco nos ponemos a estudiar las historias sobre Sherlock Holmes cuando queremos aprender algo sobre la naturaleza, ¿no? ¿Por qué tendríamos que hacerlo con las historias de las matemáticas? ¿Cómo es posible que las matemáticas, que no tienen nada que ver con el mundo tangible, puedan utilizarse para comprender ese mundo?

Al fin y al cabo, sabemos que son muy prácticas para comprender mejor el mundo. En el capítulo 1 ya se han mencionado un par de ejemplos en los que las matemáticas desempeñan un gran papel a la hora de simplificar los problemas y es precisamente su condición abstracta lo que ayuda, y no sólo en la vida diaria. También los científicos las han utilizado durante siglos para llevar a cabo nuevos descubrimientos. Esas historias son sumamente sorprendentes, porque muestran que las matemáticas son todavía más útiles de lo que tal vez pienses si sólo te fijas en los ejemplos del capítulo anterior. Para empezar, está la historia de Isaac Newton.

El joven Newton estaba sentado debajo de un manzano en el campo, con la mirada perdida, durante una epidemia de peste. De repente, le cayó una manzana en la cabeza y pensó: «¡Eso es! ¡La fuerza de la gravedad!». O eso dice la historia. Manzana o no, las ideas de Newton sobre la fuerza de la gravedad fueron innovadoras. Por primera vez en la historia alguien había pensado que la caída hacia abajo de las cosas sobre la Tierra puede explicarse de la misma manera que el movimiento de las estrellas y planetas. El resto es historia. Todos sabemos que la idea de Newton era una idea brillante y no una teoría descabellada sobre dos cosas que no tenían nada que ver entre sí.

Así era como pensaban sus contemporáneos. Newton habla de la fuerza de la gravedad como algo que funciona a distancia y procura de un modo casi mágico que las cosas se atraigan entre sí. En su época todo giraba alrededor de colisiones: todo ocurría, se pensaba, porque las cosas entraban en contacto. Ni siquiera es una idea tan absurda, porque ¿cómo pueden las cosas ejercer una influencia mutua si no están cerca las unas de las otras? ¿Cómo puede «saber» la Tierra que el Sol está ahí y atrae a la Tierra cuando no están en contacto entre sí de ninguna manera? Gracias a Einstein tenemos ahora una respuesta razonable al respecto, pero cuando Newton presentó la fuerza de la gravedad no había ninguna respuesta, sólo una bonita pieza de las matemáticas que no se sabía si realmente era correcta.

El hecho de que Newton tenía razón en líneas generales lo sabemos gracias a las predicciones de su teoría. Cuadraban muy bien con lo que veíamos que ocurría: es lo que ha resultado ahora que podemos estudiarlo todo con mucha mayor precisión. En la época de Newton no estaba en absoluto tan claro que su teoría fuera la mejor. Lo que veían los científicos tenía a veces un error del cuatro por ciento comparado con lo que predecía Newton y, sin embargo, él creía que era mejor una teoría que servía tanto para la Tierra como para los otros planetas. Una teoría así tiene un aspecto «más bonito». No es sólo más simple físicamente, sino que también sus matemáticas son menos complicadas.

La sorpresa está en lo que ocurrió después. Los físicos siguieron comprobando la teoría de Newton y, con los instrumentos que tenemos ahora, que desde luego son mucho más precisos que todo lo que Newton podía utilizar, sabemos que su teoría nunca erraba más de un 0,0001%. Sin que Newton hubiera podido saberlo, su preferencia por una teoría con matemáticas bonitas fue un gran éxito. Los pronósticos matemáticos resultan ser tremendamente precisos sin que su teoría se hubiera hecho basándose en ellos, allí, bajo ese manzano en la campiña inglesa.

¡Casualidad!, exclamará el lector escéptico. Newton tuvo suerte sin más, en contraposición a todos esos otros cuyos nombres hemos olvidado. Tal vez sea suerte, en efecto, pero hay demasiados casos semejantes como para ignorarlos. Copérnico llegó con el modelo del sistema solar que utilizamos ahora: el Sol en el medio y la Tierra en una órbita alrededor del Sol. Su modelo era más bello —empleaba matemáticas más simples y elegantes— que los modelos cada vez más complicados en los que la Tierra se encontraba en medio y el Sol giraba a su alrededor. Sin embargo, funcionó peor. Copérnico casi lo había pillado ya, porque la órbita de la Tierra es una elipse y no una circunferencia, pero sus predicciones eran peores que las de las complejas teorías con la Tierra como centro. Al final, la teoría más simple, la teoría que les parecía más bonita a los matemáticos, resultó ser la mejor.

Todavía más llamativo es el descubrimiento que Paul Dirac hizo a principios del siglo XX. Dirac estaba trabajando con la mecánica cuántica y su objetivo era, al igual que había hecho Newton con la fuerza de la gravedad, explicar diversas ramas de la física de la misma manera. Como de costumbre, lo hizo basándose en un modelo matemático: una pieza de las matemáticas que les pareciera atractiva a los científicos y que, además, ofreciera los resultados exactos para lo que se conocía entonces.

Dirac tenía, sin embargo, un problema. Había conseguido encontrar un modelo matemático que encajaba, pero hacía raras predicciones adicionales. Dirac estaba interesado, entre otras cosas, en el electrón, la pequeña partícula que gira alrededor de un átomo. De ella sabían bastante los físicos en aquella época y la fórmula de Dirac la describía de forma bella. Pero, según esa fórmula, tendría que haber otra partícula que fuera justo lo contario de un electrón. Nadie había visto todavía nunca una partícula semejante y, por tanto, no había ninguna razón para pensar que existiera. Las matemáticas de Dirac aportaron una predicción completamente nueva.

Al menos, así lo vemos ahora. A la sazón, en los albores del siglo XX, pasó algo de tiempo antes de que Dirac y otros físicos lo entendieran. En primera instancia, Dirac propuso que la misteriosa partícula inversa era un protón. Ya se conocían los protones, que tenían una carga eléctrica positiva en contraposición a la carga negativa de los electrones. Esa solución no funcionaba, ya que los protones son mucho más pesados que los electrones y, por tanto, no son justo lo contrario de un electrón. Dirac vio como única solución que debía haber una partícula extra: un positrón o antielectrón.

Esto no lo hemos tratado todavía en los ejemplos de este libro. Aquí, las matemáticas no sólo han hecho más fácil un problema o han ofrecido mejores pronósticos de lo esperado, sino que han predicho la existencia de algo muy nuevo que no habíamos visto nunca hasta entonces. Los científicos se pusieron a buscar esa partícula nueva sólo porque las matemáticas de Dirac tenían una apariencia muy bonita.

Con éxito, ya que Carl David Anderson consiguió demostrar la existencia de positrones no mucho tiempo después de la predicción de Dirac. Recibió por ello en 1934, sólo dos años después de su descubrimiento, el premio Nobel. El positrón no es sólo lo contrario del electrón, sino que también es la primera partícula de antimateria que se ha descubierto jamás. Y es un descubrimiento procedente de las matemáticas.

La física conoce aún más de esa clase de descubrimientos. Casos en los que algo absurdo en las matemáticas al final resulta encajar con lo que ocurre en la naturaleza. Alrededor de 1823, Augustin Fresnel reflexionaba sobre el comportamiento de la luz. Él también era un físico que encontró una fórmula matemáticamente bella para explicar algo del mundo que nos rodea. Esta bonita fórmula trata en este caso sobre la reflexión de la luz, lo que ocurre por ejemplo cuando la luz incide en un espejo. ¿Cómo podemos calcular en una cicunstancia así hacia dónde va?

Con un espejo sabrás probablemente la respuesta. La luz se refleja en el mismo ángulo con el que incide contra el espejo. Un espejo refleja la luz exactamente. Cuando estás justo delante, la luz vuelve directamente reflejada, pero si estás colocado en posición oblicua, no te ves a ti mismo, sino algo que está igual de lejos que tú al otro lado del espejo. Ése es el caso sencillo: un espejo refleja la luz muy bien, por lo que la luz reacciona de manera bastante predecible.

Fresnel era más ambicioso, porque quería saber también lo que sucede si la luz, por ejemplo, choca contra el aire desde el agua. O desde el aire contra un cristal transparente. Suena difícil, pero la fórmula que proponía Fresnel apenas es más complicada que la fórmula para los espejos y sólo tuvo que añadir una variable: el índice de refracción. Así pues, de nuevo una pieza muy bonita de las matemáticas, pero con un problema: puede salir algo extraño.

La fórmula de Fresnel predice que la luz se curva a veces en un ángulo imposible. Las matemáticas emplean números complejos que son, por así decirlo, números adicionales que no tratan de algo que existe realmente. Son, al menos eso es lo que se creía entonces, números que necesitas para hacer los cálculos más fáciles, pero a los que no tomas en serio. Cuando Fresnel obtuvo uno de esos números como resultado de uno de sus cálculos, le entró el pánico. ¡Su bello modelo afirmaba algo que no podía ser de ninguna de las maneras!

Sin embargo, no quería abandonar sus matemáticas, así que decidió que ese resultado absurdo sí que cuadraba. Justo en esos casos en los que las matemáticas ofrecen resultados extraños ocurre algo especial con la luz que encaja con los cálculos, que por lo tanto no son tan extraños. También, aunque la luz parta desde el agua dirigiéndose al aire, se refleja de manera perfecta, exactamente como si la superficie del agua fuera un espejo. Lo que habían encontrado las matemáticas de Fresnel es algo sobre lo que los físicos no habían reflexionado realmente hasta ese momento, y algo que todos nosotros conocemos. Mira la fotografía de esta página. En la superficie del agua puede verse una reverberación. El resultado absurdo en las matemáticas, ese número complejo que nadie quería tener, resulta que se trata de esa reverberación. Vuelve a cuadrar una vez más la fórmula bonita, el extraño resultado matemático vuelve a indicar una vez más algo que antes se había pasado por alto.

Una reflexión de una tortuga en la superficie del agua.

Así demuestran las matemáticas su utilidad de diferentes maneras. Hacen los problemas más fáciles, pero también procuran que los físicos puedan descubrir cosas nuevas y todo porque les parece que determinados modelos matemáticos tienen una apariencia bella, por lo que aceptan como son las predicciones extrañas. Incluso cuando no hay ninguna prueba de que las matemáticas sean ciertas, los eruditos se aferran a sus fórmulas. A menudo con toda la razón, como resulta una y otra vez.

Naturalmente, no siempre sale bien. Hay teorías más que suficientes que no resultan ser correctas, ya sean bonitas o no, pero lo sorprendente es que suela funcionar tanto, que las matemáticas que les parecen bellas a los científicos también suelen ser las matemáticas correctas con las que comprender el mundo. Para quien reflexiona sobre las matemáticas, de la manera que sea, son un puzle que ha de resolverse. Que las matemáticas son muy útiles, de todo tipo de maneras y en todo tipo de lugares, resulta evidente. Pero ¿cómo es posible?

Pensemos de nuevo en el mundo abstracto de Platón, que está lejísimos del nuestro; los números no tienen nada que ver con nosotros y el mundo que la física intenta describir está completamente apartado del mundo matemático. Las fórmulas que hacen predicciones sobre el mundo que nos rodea no proceden de ese mundo; esas predicciones matemáticas parece que provengan de la nada. ¿Cómo sabe el mundo de las matemáticas algo sobre el mundo normal?

Tampoco ayuda mucho pensar en Sherlock Holmes para responder tales preguntas. Si bien las historias no son tan independientes del mundo como los números de Platón, son y siguen siendo invenciones. Las matemáticas que utilizaba Newton habían sido inventadas antes de que supiéramos que podían emplearse de manera tan eficaz para comprender la fuerza de la gravedad. Las fórmulas de Dirac estaban allí antes de que alguien se diera cuenta de que existían los positrones. De un mismo modo, nos parecería absurdo aprender cosas sobre Londres en la época de Sherlock Holmes, cosas que son de verdad, pese a que Conan Doyle sólo las había introducido en sus libros porque para él eran invenciones que encajaban bien en la historia.

Eso es lo que hace tan fascinante que las matemáticas funcionen. Puedo enumerar muchísimos ejemplos de utilidad de las matemáticas y también los enumeraré, concentrándome más en las que influyen directamente en la vida diaria. Pero al mismo tiempo está esa pregunta adicional que no me deja tranquilo: sí, pero ¿cómo es posible? En el último capítulo volveré a ella.

Sin embargo, ésta es la cuestión más importante a la que me dedicaré en este libro. Es una fascinación que se ha ido acrecentando desde que empecé a trabajar de filósofo, una pregunta complementaria una vez que ya sabemos que las matemáticas son útiles y que también tiene sentido saber algo de ellas. Puesto que ¿por qué debería importarte que las matemáticas funcionen bien si no vas a hacer nada con ellas? ¿Realmente hace falta ocuparse de ellas? ¿No puedes llevar simplemente una vida feliz sin zambullirte en ellas?

3

Una vida sin números

Bajo un cielo azul claro va navegando un hombre por el Maici, un río en el corazón de la selva amazónica en cuyas orillas vive una pequeña tribu que apenas mantiene contacto con el mundo exterior. Él los visita todos los años confiando en llevarse de vuelta tanto caucho, nueces de Brasil y otros productos naturales como le sea posible. Para ello, en su embarcación transporta los productos habituales: whisky, tabaco, más whisky. Cuando los miembros de la tribu se emborrachan lo suficiente, están dispuestos a vender en una noche incluso a su esposa o a su hija por una botella de whisky.

Así recibe algo a cambio, porque negociar con los pirahã, que es el nombre de la tribu, resulta un desafío considerable. Tras doscientos años de negociaciones, todavía siguen sin saber hablar más que un par de palabras de portugués. Por fortuna, las suficientes para darles lo que necesitan: valiosas nueces y caucho por un precio que pocos pueden igualar. Aunque todo depende: unas veces cambian un cubo lleno de nueces por un cigarrillo y otras veces quieren todo un paquete de tabaco por nada más que un puñado de nueces. Por lo demás, es un procedimiento muy simple. Los pirahã le señalan productos de la embarcación hasta que el comerciante empieza a protestar.

Los pirahã lo ven desde una perspectiva muy diferente. Mientras que para los brasileños es imprevisible qué precio obtendrán por su tabaco y por su whisky, ésa es una preocupación menos inmediata para los pirahã. Ellos no tienen números. No se mantiene un precio fijo porque simplemente lo desconocen. Tampoco ven ninguna razón para tenerlo, aunque entre ellos hay una imagen clara de los comerciantes. Todo el mundo sabe quién es honesto y quién intenta una y otra vez ofrecerles menos de lo que valen realmente sus productos. Eso es lo que cuenta Daniel Everett, un investigador que lleva años viviendo con los pirahã y es una de las pocas personas que hablan tanto pirahã como otra lengua.

Everett descubrió que los pirahã no tenían ninguna palabra para los números. Aunque a veces hablan de grandes cantidades, les falta incluso una palabra para designar «uno», al igual que una palabra para designar el «rojo» o una forma gramatical como los tiempos perfectos. Así, los pirahã forman parte de las pocas sociedades que no utilizan nada de matemáticas. Su idioma, el pirahã, además no tiene (al igual que un puñado de lenguas) ninguna palabra para las líneas, los ángulos y otros signos geométricos. Así pues, carecen totalmente de matemáticas. Esta sociedad excepcional nos ofrece una visión única sobre nuestro pasado, ya que al fin y al cabo las matemáticas apenas cuentan con cinco mil años de existencia.

Las diferencias culturales entre nosotros y los pirahã son, por tanto, grandes. No se preocupan por llevar la cuenta de lo valiosas que son las cosas, la hora que es o si tienen dinero suficiente para llegar a fin de mes. No tienen dinero; en el caso de que negocien, lo hacen con un comercio de trueque, lo que es posible gracias a que viven en pequeños grupos. Todo el mundo se conoce y sólo importan los vivos. No se tienen en cuenta los árboles genealógicos y tu paso por el mundo se olvida tan pronto como han fallecido todas las personas que te han conocido. La vida de los pirahã se concentra por completo en el presente.

Las matemáticas tienen poco que ver con esto. Everett intentó durante un tiempo, a instancias de los pirahã, darles clases en portugués, pero fue un fracaso total. Durante ocho meses estuvieron recibiendo todos los días clase sobre números y figuras geométricas, con tareas como dibujar una línea recta o numerar en el orden correcto los cinco primeros números, pero en esos meses no consiguieron aprender nada.

¿Son entonces negados para las matemáticas? Probablemente sí, pero los pirahã simplemente no parecen estar interesados en conocimientos provenientes del exterior. No creen en la existencia de respuestas exactas para las preguntas. Ante la propuesta de Everett en el sentido de que hay respuestas erróneas para una cuestión matemática, ellos escriben unos cuantos signos en el papel y dicen los números de forma arbitraria. A veces ignoran las matemáticas por completo e hilvanan una historia sobre lo que ha ocurrido ese día. Incluso dibujar una línea recta dos veces seguidas es demasiado pedir.

Igualito que una clase de Matemáticas en los Países Bajos, aunque los pirahã acudían voluntariamente. En realidad, no por las matemáticas, sino porque Everett siempre hacía palomitas de maíz y era una ocasión estupenda para charlar con todo el mundo. Muy bien, tal vez coincida con algunos períodos de mi época de instituto.

En una isla, alejada de los pirahã

En el mundo hay todavía un par de culturas que no practican las matemáticas. Los pirahã son un caso extremo, porque ni siquiera tienen palabras para los números, pero en Papúa Nueva Guinea pueden encontrarse unas pocas sociedades que —aunque sí que tienen las palabras—, logran subsistir sin utilizar las matemáticas. En la práctica, apenas las emplean.

En la pequeña Normanby, una isla al este de las grandes islas de Papúa Nueva Guinea, viven los loboda, que saben contar basándose en las partes del cuerpo; su palabra para el «seis», por ejemplo, se traduce literalmente como «una mano y un dedo de la otra mano». Pero no es una palabra tan útil, porque tampoco ven ninguna razón para utilizarla en situaciones en que emplearíamos números. Pensemos por ejemplo en el dinero, que utilizamos para poder comprar cosas. Todo tiene un precio, expresado en un número.

Los loboda no tienen dinero. O mejor dicho, tienen monedas y billetes que puedes cambiar por euros, pero no puedes regalarle a nadie dinero, por ejemplo, en una de las muchas fiestas que organizan. En una de esas fiestas recibes un regalo que después has de devolver exactamente igual. Imagínate que tu vecino te regala una cesta de ñames, que es una especie de patata. En la fiesta siguiente tú tendrás que llevarle una cesta igual de grande con ñames. El dinero, o algo distinto del mismo valor, no es una opción. Deben ser exactamente los mismos ñames.

Aunque, ¿exactamente lo mismo? Yo pienso en seguida entonces en exactamente el mismo número de ñames, pero ellos no lo hacen así, porque nunca cuentan el número de ñames que hay en la cesta; esa cantidad la estiman. Miran, por ejemplo, si es media cesta o una cesta entera. Por eso puedes dar algo más o menos sin que importe.

Hay más situaciones así en las que los loboda, al contrario que nosotros, no emplean números. Naturalmente, también se refieren a la edad, la longitud y la duración del tiempo. Cuando nosotros hablamos de esas cosas, utilizamos números en seguida: cuántos años tiene alguien, cuántos centímetros mide algo y hace cuántos minutos ocurrió algo. En realidad, nosotros recurrimos siempre a los números para hablar de esas cosas. En cambio, los loboda se refieren a la longitud comparándola con algo conocido. Una cadena, por ejemplo, puede ser tan larga como tu antebrazo. Se parece un poco a las palabras que utilizábamos antaño para indicar las medidas —un codo o un pie—, pero para los loboda no son unidades de medida. Podemos decir que algo tiene dos pies de largo, mientras que para los loboda eso es absurdo. Algo es tan largo como tu antebrazo, pero si es más largo, es tan largo como algo distinto. No es tan largo como dos veces tu antebrazo.

Esa manera de pensar volvemos a encontrarla en toda clase de lugares. Los loboda hablan de la edad, pero no en términos de años. Hablan de grupos de edad: eres como un bebé, un niño, etcétera. Incluso el tiempo puedes describirlo de esa manera. Algo duró igual que un viaje desde el pueblo a la isla siguiente, por ejemplo. Se puede vivir muy bien sin números.

Los yupno, otra tribu de Papúa Nueva Guinea, están totalmente de acuerdo en este sentido. Sus pueblos están aproximadamente a dos mil metros de altitud en la provincia de Madang y, al igual que los loboda, cuentan señalando partes del cuerpo. No siempre se produce de la misma manera, pero por lo general lo hacen como en la imagen de aquí abajo. Nombras un número utilizando la palabra que designa la parte del cuerpo o indicando la parte del cuerpo. Al menos, si eres un hombre. En la imagen puede verse que a las mujeres, en un momento determinado, les resulta problemático el sistema numérico.

El sistema numérico de los yupno.

Los yupno a veces utilizan palos para contar, que van colocando uno a uno con el fin de obtener un número cada vez mayor. Tampoco viven tan aislados, ya que la mayoría de los miembros más jóvenes de la tribu han tenido escolarización occidental y cuentan con las palabras del tok pisin, un idioma que se parece al inglés. Los jóvenes de los yupno cuentan, por tanto, como nosotros.

De manera que tienen tres maneras de contar, pero no les parece necesario hacerlo regularmente. Han acordado que todo aquello para lo que haya que pagar tiene un valor fijo que no se expresa en cantidad de monedas. En su lugar, exponen sus mercancías en pilas cuyo valor en todas es exactamente el de una moneda de diez toea. Las pilas de tabaco, así pues, son más pequeñas que las pilas de alimento y no hay ningún problema con el cambio. Lo único que pasa es que la gente no puede comprar sólo una banana; la idea es que se compre tanto como pueda alcanzar el valor de su moneda. Así pues, apenas se cuenta.

Con una excepción importante: la dote. Por lo general, consiste en cerdos y dinero. Una dote, por tanto, puede contarse de dos maneras: los hombres cuentan en voz alta la cantidad de cerdos y dinero que hay y, además, se lleva la cuenta de esa cantidad con palos, lo que evita la confusión, porque no todo el mundo cuenta de la misma manera. Y si el orden en el que cuentan se desvía porque, pongamos como ejemplo, después de las manos se pasa en seguida a las orejas y entonces «oreja izquierda» tiene de repente el valor de 12 en lugar de 22, como en la figura de la página anterior, en esos casos los palos sirven de ayuda.

La cuenta exacta de la dote es, por tanto, muy importante para los yupno, y por eso unos cuantos investigadores pensaron en poder sacar de aquí una útil lección de matemáticas. Al igual que nosotros tenemos nuestros problemas con contenido narrativo, ellos intentaron que los yupno calcularan con dotes. Plantearon el problema siguiente a uno de los miembros más ancianos de la tribu: «Necesitas diecinueve cerdos para una novia y ya tienes ocho. ¿Cuántos cerdos te faltan?». La respuesta fue sorprendente: «Amigo, todavía no soy lo suficientemente rico como para comprarme a una mujer. ¿Dónde podría encontrar ocho cerdos? Además, yo soy un hombre viejo y ya no me quedan fuerzas».

¡Sin medir!

Con todo y con eso, la vida de las personas transcurre de maravilla cuando no utilizan números. Aunque ¿no deben utilizarlos para medir cosas? ¿No son necesarios para entender de figuras y distancias?; por ejemplo, ¿para poder construir algo? ¿Para encontrar el camino? Por lo visto no, porque los pirahã, los loboda, los yupno y otras cuantas culturas diferentes lo consiguen también sin las matemáticas.

Una de las cosas que construyen muchas culturas en Papúa Nueva Guinea son canoas. Como en su mayor parte Papúa Nueva Guinea está constituida por islas, se ven de alguna manera obligados a construirlas; no hay, o bueno, más bien no había, ninguna otra manera de viajar entre las islas. Por tanto, es importante disponer de una sólida embarcación que no sucumba de repente en el mar, lo que consiguen las tribus —no necesariamente los yupno, que viven a dos mil metros de altitud— sobre todo comparando la nueva embarcación con la antigua. No hay ningún esbozo con medidas estándar ni tampoco tienen requisitos fijos para el grosor de las piezas de madera con que se construye la canoa. Todo se basa en la experiencia con embarcaciones anteriores.

Para ayudarse en esa experiencia con la construcción de embarcaciones sí que se mide algo. No con una cinta métrica ni con una medida exacta, sino con el antebrazo del constructor de la embarcación. O, como en las islas Kiriwina, con pulgares y palmas de la mano. Así son un poco más precisos y no les viene mal, porque las islas Kiriwina son pequeñas, razón suficiente para echarse al mar regularmente con una canoa. Miden el contorno con precisión, pero en realidad no se fijan mucho en la forma.

Más importante que el contorno y la forma de una canoa es el grosor de la madera. Si la madera fuera demasiado fina, la canoa podría dañarse fácilmente, mientras que si la madera fuera muy gruesa la embarcación no podría llevar mucho peso porque se hundiría. No es que ésa sea una razón para ponerte a medir con toda precisión: algunas tribus en Papúa Nueva Guinea utilizan las piernas para probar el grosor; simplemente por sensaciones. Otros constructores de embarcaciones han descubierto que se puede oír si una canoa tiene el grosor exacto. Con un buen golpe contra la madera, el sonido te dice si la canoa es segura o no. Sin embargo, los constructores no suelen saber hasta el final, cuando la canoa está en el agua, cuánto peso puede soportar.

En tierra se puede construir también de todo. Así, a veces, es necesario construir un puente sobre el agua o un barranco y, naturalmente, no puedes probarlo de manera segura con anterioridad. No puedes ver siempre si un puente es lo suficientemente consistente como para poder pasar por él. Es un enigma cómo esta gente ha llegado a saber si un puente aguanta. Lo llevan haciendo tanto tiempo que ya nadie recuerda cómo salieron los primeros experimentos.

Los kewabi, que viven en el centro de la isla principal, construyen también esta clase de puentes y para ellos todo el proceso transcurre sin que nada se mida con precisión. La distancia de un lado al otro se estima aproximadamente. Después buscan troncos de árboles que parezcan tener bastante longitud como para llegar al otro lado. Lo mismo vale para los postes, que deben tener la altura suficiente para servir de apoyo. Pensemos en el Golden Gate Bridge de San Francisco, que se sostiene también con postes y cables, pero eso es algo que sólo funciona si los postes sobresalen por encima del puente. Luego también deben tener cuerdas que sean lo suficientemente largas y gruesas, etcétera. Los kewabi apenas tienen dificultades, y eso con nada más que un buen criterio y un montón de experiencia.

También se construyen casas basándose en la estimación y la experiencia, aunque con las casas hay mucha más variación. Una tribu las construye cuadradas y la otra sólo redondas.

Uno de los trucos que se utilizan en Finschhafen, al este de Papúa Nueva Guinea, es la elaboración de una cuerda que tiene la longitud exacta de la futura casa. Los kâte que viven allí construyen casas rectangulares. Con la ayuda de dos cuerdas, una para la longitud y otra para la latitud, tienen una medida útil para el tamaño de la casa. Durante la recopilación de materiales para la construcción se utilizan las cuerdas para determinar si es suficiente, lo que ahorra un montón de trabajo; naturalmente, nadie quiere talar diez árboles de más.

Sin embargo, no son todas las tribus unos constructores tan precisos. Una tribu en la provincia de Madang construye casas sin cuerdas ni otros recursos. Tienen un procedimiento estándar para una casa: los cimientos consisten en nueve o doce postes, todos colocados más o menos a la misma distancia los unos de los otros, y sobre esos cimientos construyen una casa rectangular, basándose completamente en cálculos estimativos.

Y luego están, además, las tribus que viven en alto y construyen casas redondas. En el pueblo Kaveve se construyen casas redondas sobre postes. La entrada está en el suelo y tiene la forma de un agujero redondo al borde del círculo, con el fin de que en el centro de la casa quede espacio para el fuego del hogar.

En estas casas redondas, por lo demás, sí que miden lo grandes que deben ser esos dos círculos, y lo hacen también con cuerdas. Además es importante que la entrada sea lo más pequeña posible para evitar las corrientes de aire, por lo que tienen que medir a la persona más gruesa del pueblo. Si ésta encaja justo, el agujero es lo suficientemente grande. Así pues, se mide mucho, pero en cierta medida. Nadie calcula cuánta madera se necesita o lo grande que será la superficie de la casa. La recopilación de materiales y la propia construcción se hacen todavía por corazonadas. Las cuerdas indican lo grande que debe ser todo, pero por lo demás no desempeñan otra función. Tampoco para construir casas, puentes o canoas necesitas tener conocimientos de matemáticas.

Trabajar con cantidades pequeñas

Así, hay toda clase de culturas que apenas utilizan las matemáticas. Incluso aunque las conozcan, incluso aunque tengan un sistema numérico, no les parecen necesarias. Pueden evaluar muy bien las cosas; les ahorra un montón de tiempo y funciona igual de bien. ¿Cómo es posible, en realidad? ¿Qué nos lleva a comerciar, a conseguir la comida suficiente, a construir puentes, etcétera? Para esto la ciencia ha encontrado una respuesta en las últimas décadas. Determinadas partes de nuestro cerebro procuran que podamos trabajar con cantidades y por eso somos capaces de, por ejemplo, estimar longitudes y reconocer lo que es un cuadrado sin problemas, incluso si nunca hemos estudiado las matemáticas que tratan de eso.

Las partes del cerebro que lo hacen posible pueden dividirse muy bien en tres clases. Una parte tiene que ver con cantidades que son inferiores a cuatro. Esa parte procura que puedas ver de inmediato la diferencia entre una sola manzana y dos manzanas. Otra parte tiene que ver con todas las cantidades que son superiores. La última parte es una que reconoce figuras. Por eso, incluso las personas que nunca han trabajado con un mapa averiguan la manera de utilizarlo para encontrar el camino. En principio, podemos trabajar muy bien con pequeñas cantidades.

Hasta los bebés son capaces. Una de nuestras capacidades innatas es, por ejemplo, que podemos reconocer la diferencia entre uno y dos. Naturalmente, no la diferencia entre los números, pero sí entre una cosa y dos. Los bebés, así, se sorprenden cuando les muestras de repente dos puntos en una hoja de papel después de que hayan estado mirando durante mucho tiempo un solo punto. Esa sorpresa demuestra que comprenden que están mirando algo distinto. Los científicos pueden medirlo calculando el tiempo que un bebé mira una hoja de papel. Tan pronto como le resulta conocido el dibujo, el bebé empieza a aburrirse, y tarda más en aburrirse si el dibujo es nuevo. En esos casos, se queda mirándolo durante más tiempo.

De esa manera, los científicos pueden hacer amplias averiguaciones sobre lo que esperan los bebés del mundo que los rodea y eso lleva a descubrimientos sorprendentes. Así, parece ser que los bebés saben sumar y restar. Si le muestras a uno primero dos muñecos y después te llevas uno, el bebé espera que sólo quede uno. Si en su lugar le muestras dos muñecos y tras llevarte uno todavía sigue habiendo dos, el bebé se queda muy sorprendido. Antes de que un bebé haya llegado a aprender algo sobre números, comprende, por lo visto, que 2 – 1 = 1 es lo correcto y que 2 – 1 = 2 no cuadra.

Bueno, no del todo. Entre tanto, sabemos lo que despierta la sorpresa de los bebés: que haya aparecido de pronto un muñeco cuya existencia desconocían. Lo contrario ocurre si les muestras 1 + 1 = 1. Entonces se sorprenden de que haya desaparecido un muñeco sin que ellos lo hayan comprendido. Eso se debe a que una parte de nuestro cerebro está especializada en el seguimiento de las cosas que nos rodean. Su atención radica en el color que tiene algo, lo grande que es algo, dónde está ese algo, etc. Esa clase de información la almacenas de manera automática cuando diriges tu atención a una cosa. Los bebés también lo hacen y, por tanto, les llama la atención si desaparece un objeto con el que estaban ocupados o si aparece algo en un lugar en el que ellos estaban seguros de que no había nada.

Nuestro cerebro sólo puede seguir un pequeño número de cosas en muchos detalles. Varía la cantidad. Para los bebés, el máximo número de cosas parece estar en tres, porque con más de tres empieza a ir mal el asunto. Hay un experimento en el que a los bebés se les deja elegir entre dos cosas. A su izquierda hay una caja con una galleta que ha sido colocada allí cuando los bebés estaban mirando a ese lado, así que saben lo que hay en la caja, y a su derecha hay una caja que contiene cuatro galletas, algo que también han visto. Ahora viene la pregunta: ¿qué caja eligen? ¿Hacia dónde salen gateando?

Por extraño que parezca, la respuesta no es siempre la caja de la derecha. Se podría pensar que los bebés que pueden ver la diferencia entre una y tres galletas también pueden verla cuando hay cuatro. Para ellos es más sencillo. Pero no, si hay cuatro galletas en la caja de la derecha, ya no tienen ni idea de cuál de las dos cajas contiene más galletas. ¡Su elección es totalmente arbitraria! Esa parte hábil del cerebro, por decirlo de algún modo, se ha sobrecargado y ha sufrido una especie de cortocircuito. En los veintidós primeros meses de su vida, los niños no son capaces de ver la diferencia entre uno y cuatro.

Ese cambio con veintidós meses no se debe a que el cerebro pueda de repente seguir también cuatro cosas al mismo tiempo. Los adultos tal vez lo consigan, pero ya resulta difícil. Lo que sucede sigue estando todavía poco claro y tiene algo que ver con el lenguaje, porque los niños ven la diferencia más rápido si el idioma que hablan tiene singular y plural. En japonés, por ejemplo, no está clara la diferencia entre ambos. Los niños en Japón, por tanto, tardan más en aprender la diferencia. Trabajar con números se aprende incluso un par de meses después. Por lo demás, vuelven a recuperar también ese retraso, porque los niños que hablan neerlandés tardan más en aprender los números por encima del diez. En japonés, como en español, es «veinte-y-cuatro», mientras que en neerlandés es «cuatro-y-veinte», y para los niños es más fácil comprender cómo encajan los números uno detrás de otro. En danés resulta todavía más difícil que en neerlandés: en este idioma la palabra para noventa es «cuatro-y-medio-veinte».

Así pues, el idioma es importante para aprender los números, pero al fin y al cabo se trata sobre todo de la capacidad de ver la diferencia entre una cosa y más de una cosa. Ésa es, probablemente, la base sobre la que los niños aprenden lo que significa nuestra palabra «uno». En cualquier caso, antes de conocerlo, los niños no saben cómo funcionan los números. Sí que pueden enumerarlos en fila, pero si les pides que te den un sólo abrazo, hacen algo arbitrario, sin importar cuántas veces hayas seguido con la lista de números para «contar».

Así vamos, por tanto, construyendo sobre las cosas que recibimos al nacer. Aprendiendo lo que significa «uno», puedes aprender también lo que significa «dos»: «uno y uno más». Eso es, a fin de cuentas, sólo posible gracias a esas partes de nuestros cerebros que trabajan con cantidades, que resultan muy prácticas sobre todo para aprender números. Porque, para esas culturas que se han mencionado al principio de este capítulo, la parte del cerebro relacionada con las cantidades mayores es aún más importante.

¡No lo sé con exactitud! Las cantidades grandes y el cerebro

En cuanto hay más de tres cosas, el mando pasa a tomarlo otra parte del cerebro, algo que se produce también desde el nacimiento. Los bebés son capaces de ver en seguida la diferencia entre cuatro y ocho puntos. Lo único que pasa, y aquí tenemos la diferencia con la parte de los números más pequeños, es que no lo consiguen con todos los números mayores. No ven ninguna diferencia entre cuatro y seis puntos, pero sí que saben que dieciséis puntos son más que ocho.

Eso se debe a que no somos capaces de ver exactamente cuántos puntos hay en el momento en que haya más de tres o cuatro. Podemos distinguir algunas cosas, pero otras no. Los niños recién nacidos son capaces de distinguir si en una hoja de papel hay al menos el doble de puntos que en la otra. No logran acertar que seis es más que cuatro, pero sí que ocho es más que cuatro. Por tanto, depende de la relación entre los dos números. Pensémoslo: es mucho más difícil distinguir de un vistazo la diferencia entre cien y ciento cinco que la diferencia entre cinco y diez.

Conforme vamos haciéndonos mayores, somos capaces de distinguir también más cosas. Así, los bebés al cabo de un par de meses de su nacimiento ven la diferencia entre cuatro y seis puntos: la cantidad es entonces sólo una vez y media mayor. Los adultos consiguen, por regla general, distinguir que trece puntos son más que doce. No siempre aciertan, pero en más de la mitad de los casos logran indicar la cantidad mayor. ¿Ver la diferencia entre veinte y veintiuna cosas sin contar? Eso no se conseguirá casi nunca.

Por eso, contar funciona al fin y a la postre mejor. Los números son exactos, en contraposición a lo que podemos ver sin contar. De ahí que los loboda no sepan exactamente cuántos ñames le han dado a alguien, aunque pueden ver cuántos son aproximadamente. Si alguien regresa con muchos menos (o muchos más), llama de inmediato la atención. Pero de uno más o menos nadie se dará cuenta.

Aquí estamos tratando, pues, con algo distinto de las pequeñas cantidades, aunque los bebés también parecen a veces ser capaces de calcular con grandes cantidades, incluso mucho antes de que sepan algo de números. Con un experimento como el de 2 – 1 = 2 se puede averiguar si los bebés también ven que algo anda mal con 5 + 5 = 5, representado por muñecos. Y, fíjate, de eso también se dan cuenta. 5 + 5 = 10 les parece aburrido, pero con 5 + 5 = 5 surge de nuevo esa sorpresa. ¿Han aprendido entonces a calcular con números mayores?

De nuevo ésa fue la conclusión de los investigadores que hicieron el experimento en 2004. Y ahora sabemos más cosas. Los bebés se sorprenden con 5 + 5 = 5, pero 5 + 5 = 9 les parecería igual de normal que 5 + 5 = 10. Después de todo, no aprecian ninguna diferencia entre nueve y diez. Los bebés se sorprenden, por tanto, cuando de repente sólo pueden verse cinco muñecos, porque ellos habrían esperado que fueran más. No se habrían esperado exactamente diez, algo que sólo habrían podido hacer si lo hubieran calculado. No, lo que ellos se esperaban era algo mucho menos exacto: debería tener el aspecto de más de cinco, pero no mucho más. Por desgracia, tendrían que haber aprendido sencillamente a sumar y a restar.

¿Cómo funcionan estas cosas? ¿Qué hace el cerebro para que seamos capaces de ver semejantes diferencias? Las opiniones están repartidas al respecto. Antes de decir lo que pienso yo, explicaré algo acerca de la parte de nuestro cerebro que tiene que ver con la longitud, el tiempo y cosas semejantes.

Con la longitud, por ejemplo, no somos capaces de distinguir todo con exactitud. Naturalmente, nos damos cuenta en seguida de si algo es el doble de largo que otra cosa. La diferencia entre la longitud y la anchura de la mesa rectangular a la que me siento puedo distinguirla sin más, pero no veo esa longitud o anchura en centímetros justos. Puedo aventurarme, pero la probabilidad de que me equivoque es alta. Con el tiempo ocurre exactamente lo mismo: yo tengo una idea razonable de cuánto dura algo. La diferencia entre diez segundos y cinco minutos sí que la tengo clara, al igual que entre una y dos horas. Pero la diferencia entre una hora y una hora y un minuto no se notará.

¿Suena esto familiar? Puede ser, porque la manera en que funcionamos con la longitud y el tiempo es igual que la manera en que funcionamos con las cantidades. Los bebés aprecian también la diferencia entre longitudes cuando nacen. Se dan cuenta incluso de que el tiempo entre dos tonos en un caso es mayor que en el otro, siempre que esos tonos se diferencien lo suficiente entre sí. A medida que vamos haciéndonos mayores, apreciamos cada vez ese tipo de diferencias; somos mejores, por tanto, reconociendo longitudes y lapsos de tiempo, pero sin medirlos nunca serán exactos. Con cada puente que construyen los kewabi es una aventura saber si los troncos de los árboles llegarán a tener la longitud exacta. Si se trata de una distancia grande, fallas por un buen trozo, simplemente porque no ves la diferencia hasta que intentas echar el tronco al río.

La capacidad de percepción en la que confían esas tribus que calculan es algo que todos tenemos. Se nace con ella y va mejorando con el tiempo. También es algo que compartimos con otras especies: no sólo los monos, sino también las ratas y los peces de colores pueden ver diferencias entre cantidades y longitudes. Casi todos los animales tienen una parte en su cerebro que se ocupa de ellas. ¿Cómo es posible? ¿Qué es lo que procura que podamos trabajar con cantidades sin que tengamos que saber también algo de matemáticas? ¿Cómo son también capaces de conseguirlo todos esos animales?

Mi respuesta es: porque podemos trabajar con longitudes y tiempos. Nuestro cerebro utiliza esa información para decir algo sobre las cantidades. El hecho de que nos demos cuenta más fácilmente de longitudes y otras cosas visuales es para él un paso que tiene como fin aprender también cosas más abstractas. Basándonos en lo que vemos de longitud, superficie, etcétera, nuestro cerebro empieza a abstraer y es así como llegan a las cantidades.

¿Por qué lo pienso así? Entre otras cosas, porque podemos tomar el pelo a nuestro cerebro de muchas maneras. Por eso sabemos que el modo en que el cerebro se relaciona con cosas como la longitud está vinculado a la manera en que se relaciona con las cantidades. Eso es exactamente lo que podemos esperar cuando el cerebro aprende acerca de cantidades utilizando todo lo que podemos ver sobre las longitudes.

El ejemplo que me resulta más convincente es el dibujo de aquí abajo. Míralo rápido por un momento e intenta, sin contar o pensártelo mucho, determinar qué círculo contiene más puntos negros. Es alta la probabilidad de que, al igual que yo, elijas el círculo de la derecha. Parece un poco más lleno, así que allí tendría que haber más puntos. Sin embargo, esa impresión no es correcta. Cuéntalos: en todas las imágenes hay los mismos puntos.

Cuatro veces la misma cantidad de puntos, pero parece como si fueran más cuando los puntos son más grandes.

Éstos son errores que comete nuestro cerebro, y como muestran bien lo que puede salir mal, esos errores nos dicen algo sobre la manera en que trabaja el cerebro. Hay más puntos en los que no funciona de forma óptima. En la comparación de números tiene cierta importancia si un número está a la izquierda o a la derecha. Cuando debemos elegir si un número es mayor o menor que otro número, ayuda si ese número está en el lado «bueno». Para un número que es más pequeño, ese lado es el izquierdo. Los números mayores «deben» estar a la derecha. Eso es lo que piensa nuestro cerebro.

Respondemos más rápido si se presentan los números de esa manera. ¿Es 9 mayor que 5? Si el 9 está en el lado derecho de la imagen, tardas menos en responder. La diferencia de tiempo entre ver el 9 en el lado izquierdo y ver el 9 en el lado derecho no es lo suficientemente grande como para notarlo, pero un temporizador sí que lo ve. Esa diferencia es inversa, por lo demás, si el 9 es el número más pequeño. ¿Es 9 mayor que 15? Ahora, de repente, es más fácil responder cuando el 9 está en el lado izquierdo.

Pero esto no es siempre así. Para las personas que hablan hebreo es justo lo contrario: en ese caso es más fácil decidir que 9 es más pequeño que 15 si el número menor está a la derecha. Simplemente porque el hebreo no se lee de izquierda a derecha, sino de derecha a izquierda. Para las personas que hablan fluidamente dos idiomas puede ser más confuso aún. Para alguien que junto al hebreo (de derecha a izquierda) también habla ruso (de izquierda a derecha), todo depende de lo que haya leído por última vez. ¿El último texto que vio fue en hebreo? Entonces será más fácil con los números mayores a la izquierda. ¿Fue ruso? Entonces el cerebro preferirá ver los números mayores a la derecha.

En otras palabras, nuestro cerebro vincula los números con lo que ve. El lugar de un número decide cómo el cerebro lo trata. No sólo si es un número exacto, como el 9 o el 15, sino también si se trata de puntos. Y esto no sólo vale para nosotros. Los polluelos tienen la misma preferencia de ver los números mayores al lado derecho, en la forma de puntos. Razón suficiente para pensar que también en el cerebro de los polluelos la parte que reconoce las longitudes tiene dificultades.

Hasta un polluelo es capaz de reconocer figuras

Así que sabemos muy bien a qué se debe que las personas también puedan comerciar, puedan construir puentes y puedan hacer embarcaciones capaces de navegar sin necesidad de las matemáticas. Todas esas actividades tienen algo que ver con los números, pero hay todavía una rama de las matemáticas que es de gran importancia para la sociedad: la geometría. Para construir una casa, por ejemplo, debemos comprender las formas. Cómo cambia la superficie si hacemos la casa más larga y qué ocurre si cambiamos el radio de un círculo. Por suerte, también tenemos habilidades geométricas innatas que nos posibilitan hacer todas esas cosas.

Hay incluso una parte específica de nuestro cerebro que se ocupa de las figuras, sobre todo para procurar que podamos encontrar el camino. Esto no es privativo de las personas, ya que otros animales también, incluso hasta los polluelos, reconocen figuras simples y las utilizan para localizar alimentos escondidos, por ejemplo. Por lo demás, no es la única manera en que se desplazan los animales. Un ave migratoria tiene en cuenta la posición del sol y las estrellas para volar hacia el lugar correcto. Los insectos utilizan rastros de olor para regresar a sus nidos. Las figuras no son siempre necesarias, pero a veces son prácticas. Si, por ejemplo, el nido está bien colocado en el centro de un círculo o por el contrario en uno de los ángulos de un rectángulo.

Podemos imitar situaciones semejantes. De esa manera, los investigadores analizan la capacidad que tienen los niños y los animales de reconocer figuras. Esconden un poco de comida en una figura y luego miran en qué lugares se busca esa comida. En la página 60 se puede ver un experimento en un espacio rectangular. Un polluelo empieza en el centro del rectángulo y tiene que encontrar una golosina en uno de los ángulos. Es bastante difícil, porque al animal se le dan muchas vueltas poco antes de que empiece a buscar. Lo único que sabe es que la golosina estaba en uno de los ángulos del rectángulo y que, vista desde el centro, la pared larga está al lado izquierdo de ese ángulo. Al menos, se ve que el polluelo lo sabe, porque después de los giros sólo va a buscar en dos lugares: en la izquierda de abajo y en la derecha de arriba. Ésos son, por tanto, los lugares donde está la golosina y su imagen especular. Un resultado perfecto, porque no es posible elegir entre esos dos sin dirigirse a ambos.

A veces no logra reconocer el rectángulo. En las dos ilustraciones inferiores, el polluelo busca comida en las cuatro esquinas. El animal no se daba cuenta de que había un rectángulo. Los polluelos son buenos reconociendo figuras, pero a veces esas figuras son demasiado imprecisas.

Otros animales son capaces también de reconocer figuras con las mismas limitaciones más o menos. Las ratas, las palomas, los peces y el macaco Rhesus han mostrado que pueden manejarse con formas. Y en nuestra propia especie también los niños pequeños pueden trabajar de manera espontánea con figuras. Asimismo un niño que deba encontrar un caramelo en una habitación rectangular busca sólo en dos lugares: el lugar correcto y su reflejo. Lo raro es que los niños de corta edad lo hacen además si tienen otras indicaciones. No importa si la pared junto a la que está el caramelo tiene otro color. Hasta que no son mayores no aprenden a utilizar también esa clase de información.

La cuestión es ahora: ¿demuestran estos experimentos en realidad que los niños y los animales son capaces de reconocer formas? ¿Saben lo que es un rectángulo? ¿O sólo saben que hay algo en un ángulo con esa pared larga a la izquierda? Para comprobarlo, se han hecho más pruebas, de las que resulta que en realidad se trata de las formas y no sólo de unos cuantos ángulos y longitudes.

Mi cerebro, por ejemplo, realiza activamente una representación de la habitación en la que me encuentro. No recuerdo solamente que mi mesa está en un rincón con una pared larga en el lado izquierdo. También sé que hay una puerta en la parte trasera derecha de la habitación, que en un rincón a la izquierda detrás de mí hay otra mesa, etcétera. Ahora conozco este espacio muy bien; a fin de cuentas, trabajo aquí cada día. Pero también cuando entras en una habitación nueva, tu cerebro se crea una representación mental de todo el espacio. Incluso con los ojos vendados puedes indicar la forma general de la habitación y señalar cosas que llaman la atención.

Cuatro versiones de un rectángulo en el que un polluelo debe buscar una golosina una y otra vez.

Lo que no retienes es dónde estás tú en la habitación. Imagínate que llevas esa venda puesta. Ahora alguien empieza a darte muchas vueltas, por lo que ya no sabes a qué lado estás mirando. Naturalmente, ya no consigues señalar dónde están las cosas, pero tampoco si hay una lámpara encendida que puedes utilizar como punto de referencia —siempre y cuando la venda sea lo suficientemente fina como para dejar pasar algo de luz—, conseguirás señalar las cosas. Y, sin embargo, la gente en este tipo de situaciones sigue siendo capaz de describir el aspecto de la habitación. Esa representación mental del espacio está ahí, pero no hay forma de que tu cerebro sea capaz de averiguar dónde estás tú.

Para esa representación mental has de poder reconocer figuras hasta cierto punto. El número de ángulos, la relación de las paredes entre sí, etcétera. Los ejemplos mencionados tratan de adultos, pero existen los suficientes indicios como para pensar que esto también vale para animales y niños. Parece incluso que hay neuronas sueltas en el cerebro para cuadrados, círculos y esas cosas.

Gracias a esas neuronas, los miembros de culturas que no tienen matemáticas pueden también reflexionar sobre figuras. Por ejemplo, los mundurukú, que viven en diferentes lugares de la selva amazónica, no hacen ningún uso de las matemáticas, al igual que los pirahã, y tienen plena confianza en sus habilidades innatas.

Los mundurukú han participado además en experimentos sobre figuras. El miembro de una tribu recibe en ese experimento una hoja de papel en la que aparecen seis imágenes con figuras en las que una es diferente al resto: cinco líneas rectas y una curva, por ejemplo. La cuestión es si las personas reconocen esa diferencia sin un entrenamiento matemático, al igual que la cuestión anterior era si los niños reconocen la diferencia entre una galleta y cuatro galletas. A veces sale bien, como en la línea recta y curva. A veces no sale bien, como en la diferencia entre un punto en medio de una línea y un punto en otra parte de una línea.

Incluso, aunque a veces salga mal, para formas y distancias los sujetos de experimentación no necesitan lecciones extra. Las comprenden lo suficientemente bien como para, sin instrucciones, leer un mapa: en cualquier caso, un mapa que reproduzca una pequeña parte del terreno. En la página siguiente se puede ver uno de los mapas que se utilizaron en el experimento con los mundurukú. Un sujeto de experimentación ve en el mapa tres figuras en un rectángulo. Una de las tres figuras es de otro color: hacia allí es hacia donde tiene que ir en esta prueba. Tras estudiar el mapa, se da la vuelta y puede ver el pequeño campo con las tres figuras como auténticos cilindros. Uno de ellos tiene un color distinto, al igual que en el mapa. Se dirige hacia allí, lo que significa que el mapa se refería a ese pequeño campo. Ahora ha sido capaz de pensar con colores, pero también saldría bien si el objetivo no tuviera ningún color.

Aunque esa lectura de mapas también tiene sus limitaciones. Algunas figuras son más difíciles que otras y el encontrar el lugar correcto es más complicado si la figura no tiene un color propio. Además, nuestros mapas habituales funcionan de una manera algo más abstracta, se parecen menos al entorno que los mapas que se utilizan aquí. Pero, y es de esto de lo que se trata, vuelve a mostrar que podemos manejarnos con figuras sin entrenamiento matemático.

Lectura de un mapa por parte de un miembro de los mundurukú.

¿Aportan algo las matemáticas?

Hay toda clase de culturas que logran vivir sin las matemáticas. Así pues, las personas pueden llevar una buena vida sin números ni geometría gracias a que desde nuestro nacimiento podemos manejarnos con cantidades, distancias y formas. Nuestro cerebro está organizado de manera que no necesitamos las matemáticas para darnos cuenta de cuántos ñames aproximadamente hay en una cesta, de la distancia existente entre dos orillas o de cuántos árboles se necesitan para construir una casa. Podemos hacer todas estas cosas sin utilizar las matemáticas, debido a esas habilidades innatas.

Sin embargo, no debemos confundir esas habilidades con las habilidades matemáticas, porque las matemáticas son algo que debemos aprender. Un bebé no sabe lo que es un número y tampoco conoce la geometría. Sí que reconoce formas, pero, por supuesto, es incapaz de reflexionar sobre ellas y analizar tales formas. Precisamente esa reflexión sobre las formas es el terreno de las matemáticas. Para ello, hay que poder reconocer un cuadrado, pero eso todavía no es suficiente para hacer matemáticas.

¿Por qué deberías empezar a interesarte por esta disciplina? Cada vez está más claro que no necesitamos las matemáticas para sobrevivir y que podemos llevar incluso una vida muy feliz sin aprender nunca nada de ellas. Sin embargo, a personas de todas partes del mundo les ha parecido necesario implicarse en la aritmética y la geometría: desde Mesopotamia hasta Egipto, desde Grecia hasta China. Aportaban algo muy importante que necesitaban. ¿Qué era eso tan importante? Eso es algo de lo que tratará el capítulo siguiente.

4

Las matemáticas hace mucho, mucho tiempo

Un capataz está haciendo sus cuentas anuales cerca de Umma, una antigua ciudad en el sudeste de la actual Irak. Estamos en el 2034 a. C. y el rey Shu-Sin gobierna todo el territorio. A ese capataz no le va bien. El Estado determina al año cuántos días debe trabajar su equipo y todos los años le faltan días. Con el tiempo, ha ido acumulando una deuda de 6.760 días laborales y este año, debido a un error de cálculo por su parte, la deuda ha aumentado hasta los 7.421 días laborales. Es una deuda en el sentido en que utilizamos la palabra ahora, porque los días laborales se consideraban en esa época bienes que pertenecían al Estado. Por lo que respecta al rey Shu-Sin, la culpa de que no se produzca más grano y cosas semejantes es del capataz y, por eso, cuando muera, el Estado venderá su casa, sus pertenencias y a su familia para saldar la deuda.

Era una vida dura para los capataces y para las personas que trabajaban en equipo. Las mujeres sólo podían descansar una vez cada seis días y a un hombre sano sólo se le permitía tomarse un descanso una vez cada diez días. No existía la jubilación y la gente mayor seguía trabajando, probablemente hasta que caían muertos. ¿Cómo mantenía esto el rey Shu-Sin? Mediante la contabilidad. La memoria anual del capataz era realmente una memoria anual, como la redactan hoy en día las empresas. Shu-Sin gobernaba su reino mediante un doble sistema de contabilidad con el lado de crédito y de débito, apoyado por comprobantes, facturas, vales y certificados de deuda. La contabilidad era tan extensa que, cuando ésta desapareció tras su reinado, no volvió a resurgir hasta 3.500 años después, alrededor del 1500 d. C., en Europa. Pasó aún más tiempo antes de que hubiera un Estado que decidiera establecer un sistema de economía planificada semejante.

Contabilidad en 2000 a. C.

Todo el sistema era terrible. El número de días de trabajo requeridos era tan absurdamente alto que a la hora de la verdad todos los capataces tenían deudas. La única ventaja del sistema fue que ha dejado muchísimas tablillas de arcilla. Todos esos recibos, facturas e informes anuales han quedado bien conservados, por eso sabemos tanto acerca de ese capataz de Umma. Su informe financiero para el año 2034 a. C. se encontró y puede leerse perfectamente, a excepción de un par de desperfectos (las manchas grises).

La memoria anual muestra, además, para qué sirven los números: para la contabilidad. Es mucho más fácil planificar y llevar la cuenta de los días trabajados si puedes trabajar con cantidades exactas. Las matemáticas facilitan la supervisión de un grupo grande de personas y surgió, por tanto, en momentos en que esos grandes grupos empezaron a convivir en ciudades.

Hacienda somos todos

Mucho antes que el rey Shu-Sin, vivieron en Mesopotamia (más o menos en la actual Irak) cazadores-recolectores. Ya alrededor del 8000 a. C. construyeron los primeros asentamientos en la zona, tras lo cual empezaron a cultivar granos, verduras y fruta. Fue un gran éxito; gracias a los dos ríos y a un inteligente sistema de irrigación, se podía alimentar a ciudades enteras. La gente empezaba a reunirse para vivir en grupos cada vez mayores y, además, se producían cada vez más contactos entre las distintas ciudades. Los comerciantes viajaban de un lado a otro confiando en ganar dinero y fue adquiriendo también cada vez mayor importancia la existencia de un gobierno central; para las personas que vivían en el tribalismo era posible mantener el orden, porque todo el mundo conocía a todo el mundo, pero ahora eso ya se había vuelto imposible. Las ciudades se habían hecho demasiado grandes, sin más. Así pues, surgieron al mismo tiempo gobiernos en forma de ciudades-Estado y las ciudades-Estado empezaron a recaudar impuestos.

Pero la recaudación de impuestos no era sencilla porque no había números con los que trabajar. De hecho, todo funcionaba como esos regalos de los loboda. El Estado no siempre cogía exactamente lo mismo, sino que estimaba lo que era más o menos necesario. Así pues, no había ninguna manera de saber con seguridad cuánto te sobraba a ti como súbdito o de controlar que se mantuviera una tasa fija de contribución. Lo que era del todo engorroso era el hecho de que apenas había palabras con las que pudiera decirse a las personas cuánto debían pagar. En una indicación sencilla como «una cesta» ya hay un número (uno). Hablar de cantidades no era tan evidente cuando no había números, pero a las ciudades-Estado se les ocurrió algo para esta tesitura.

Todo empezó con los almacenes. En las ciudades de Susa y Uruk, ambas en Mesopotamia, esos almacenes fueron creciendo cada vez más porque las ciudades crecían cada vez más. Para llevar la cuenta de la cantidad de comida que había en los almacenes, los comerciantes utilizaban piedras; no piedras de verdad, sino tablillas de arcilla, todas de la misma forma, con signos grabados. Hoy en día se llaman fichas de cálculo, calculi (guijarros) en latín, aunque nadie calculaba con ellas. Sin embargo, esas fichas de cálculo, esos calculi, eran importantes porque cada una correspondía a una cantidad de alimento: una cesta de grano o una oveja, por ejemplo. Gracias a las fichas ya no era necesario ver todas esas cestas aisladas juntas; unas cuantas tablillas de arcilla eran suficientes.

Esas tablillas de arcilla fueron utilizándose cada vez para más cosas. Cuando en Susa había que transmitir cuántas cestas de grano necesitaba la capital, los recaudadores de impuestos tenían un problema. No podían decirlo sin más, porque todavía no existían palabras para designar los números, así que utilizaban sobres de arcilla sellados, dentro de los cuales había fichas de cálculo. La cantidad de fichas indicaba exactamente cuántas cestas de grano eran necesarias. Cada ficha era una cesta y así todo salía a las mil maravillas sin necesidad de contar. Por eso, Susa utilizaba ya alrededor del 4000 a. C. fichas de cálculo para regular los pagos al templo y recaudar impuestos. No es que calcularan después lo que había sido el rendimiento total, porque eso es imposible sin números.

En Uruk las autoridades fueron un paso más allá. Al igual que las de Susa, empezaron con los calculi, y esos calculi iban metidos también en sobres de arcilla para indicar cuánto debía devolver alguien o cuántos bienes debían enviarse. El sobre con contenido era también una buena forma para controlar que por el camino no se malversara nada. Pero era bastante intrincado eso de un sobre de arcilla con muchas piezas de arcilla dentro. No sabemos con exactitud cuándo y cómo, pero en un momento dado a alguien se le ocurrió que también podían hacerse dibujos de los calculi en la parte exterior del sobre. Las tablillas de arcilla no se podían borrar sin más, así que un dibujo en la parte exterior era igual de seguro que las piezas de arcilla sueltas dentro del sobre. Esos dibujos de calculi fueron convirtiéndose poco a poco en números. La gente olvidó qué simbolizaban y empezaron a verlos cada vez más como símbolos de «una cesta de grano», «una oveja» y cosas semejantes. Fueron, por tanto, las primeras palabras escritas, y mucho antes que otras palabras, no se encontraron frases enteras en las tablillas de arcilla hasta setecientos años después.

Así surgieron en Mesopotamia los primeros números. Los calculi se representaban en la parte exterior de los sobres; en lugar de los sobres, se introdujeron tablillas planas de arcilla y los símbolos fueron poco a poco empleándose cada vez con mayor normalidad, ideándose abreviaturas para las repeticiones. Dibujar diez veces lo mismo es mucho trabajo, así que se inventó un nuevo signo. De esta manera llegaron los números: si puedes utilizar el mismo signo para contar ovejas y para contar cestas de grano, empleas un número. Y todo eso porque ciudades como Susa y Uruk crecieron tanto que necesitaban una manera práctica para controlar los impuestos. Los números son en realidad, por tanto, el resultado de una autoridad fiscal que quería simplificar las cosas.

Esos primeros números tenían la apariencia de pequeños ganchos y círculos, debido a que el instrumento que se utilizaba para dibujar en las tablillas de arcilla tenía dos bordes: uno redondo por detrás y uno más puntiagudo por delante. Los símbolos empezaban por la derecha, con un pequeño cono para el número 1. Ese cono se repetía hasta que había nueve, uno detrás de otro. Para apuntar 10, se cambiaba de signo; el número 10 es, por tanto, un círculo pequeño.

Los primeros números en Mesopotamia.

Los números de Mesopotamia eran distintos de los números que nosotros utilizamos. El círculo pequeño no se repetía diez veces, hasta que llegaba a cien. Se cambiaba después de seis veces; así pues, tras 59 se escribía un cono grande para 60. Así continuaba todo el tiempo hasta el 36.000. Para cifras mayores se complicaba, pero no importaba: ¿quién tenía en aquella época 36.000 cestas de grano en un almacén?

El sistema numérico sexagesimal en escritura cuneiforme.

Más tarde, cuando los sumerios tuvieron una escritura más amplia —la escritura cuneiforme—, empezaron a escribir los números de manera distinta, y podían apuntar cantidades aún mayores. Esos números aparecen en la imagen superior. En ella podrás ver también de dónde viene el nombre de «escritura cuneiforme»: la mayoría de los símbolos parecen cuñas. Así desarrollaron toda una escritura con la que incluso podían anotarse fracciones, sólo para mantener en marcha la economía.

Ciudades-Estado como Uruk y Susa utilizaron los números no sólo para regular los impuestos; también lo hicieron para supervisar el suministro de alimentos. Llevaban activamente la cuenta de cuánto grano y otros alimentos había en los almacenes, cuánto había en los campos, y consideraban si sería suficiente para la población. Así pues, hacían estimaciones de la cantidad de grano que entraría y la cantidad que se necesitaba para proveer a todo el mundo de pan. Si preveían carencia, mandaban plantar más grano. Asimismo había que calcular cuánto suelo extra debía plantarse. Tener demasiada comida era casi tan malo como tener demasiado poca, ya que se pudría si se mantenía demasiado tiempo en un almacén.

Los mejores escribas, o los contables de Mesopotamia, eran junto con los sacerdotes del templo los responsables de esa planificación. Los amanuenses no sólo aprendían a escribir, sino también a calcular y a medir, pudiendo así llevar tanto la contabilidad como calcular la superficie de un terreno; de hecho, en su mayoría trabajaban de interventores de cuentas. Redactaban contratos para comerciantes y algunos tenían además la tarea de calcular cuántos obreros se necesitaban para un proyecto de construcción. Se planificaban cada vez más actividades con la ayuda de las matemáticas; también la forma de los edificios se ideaba basándose en figuras geométricas. Los escribas se convirtieron en arquitectos para terminar siendo, por último, capataces al servicio del rey Shu-Sin.

El trabajo en las escuelas de Mesopotamia

Para todas esas tareas, naturalmente, los escribas debían ser instruidos y, gracias a las excavaciones en una escuela de 1740 a. C., tenemos también un conocimiento bastante bueno de cómo funcionaba y de lo que se consideraba importante. No se trataba sólo de poder realizar cálculos de memoria o subdividir terrenos; también tenía mucha importancia la vinculación de las matemáticas a los problemas cotidianos. A fin de cuentas, para eso se formaba a los escribas y alguien que no tuviera ni idea de cómo debía aplicar las matemáticas era blanco de las burlas, como puede verse en un texto satírico encontrado en esa escuela.

Un escriba joven está discutiendo con un escriba viejo y experimentado. El anciano se queja de que la enseñanza ha retrocedido mucho. La juventud de hoy en día ya no sabe hacer nada en absoluto; ni siquiera es capaz de dividir un terreno entre dos personas. Eso es algo que no puede consentir más el escriba joven: ¿qué es eso de que él es incapaz de dividir un terreno en dos? ¡Puede llevarle a un lugar cualquiera y le enseñará lo bien que sabe hacerlo! Entre su propia risa, el anciano intenta explicarle que no se refería a eso en ningún caso. Es estupendo que puedas dividirlo con cuerdas, pero para un contrato debes saber calcularlo, y eso era lo que estaba claro que ese torpe muchacho no sabía.

Las matemáticas estaban destinadas a fines prácticos, pero esa conexión entre problemas de aritmética y la práctica no se enseñaba de forma tan explícita. Una gran parte de las materias de esa escuela de Nippur —una ciudad en el centro de Mesopotamia— consistía en filas de sumas. Repetición, repetición y una vez más repetición. Aprendes de forma natural cómo hay que hacer algo imitando las veces necesarias lo que ha hecho el profesor. Eso sirve para las matemáticas, pero también para otras asignaturas.

Los alumnos en Nippur aprendían, naturalmente, primero a leer y a escribir sobre todo basándose en listas con palabras que debían escribir tantas veces como fuera necesario, hasta que se las sabían de memoria. Después de que se sabían las palabras para lugares, clases de carne, pesos, longitudes y cosas semejantes, empezaban con las matemáticas. Igualmente éstas las aprendían basándose en tablas y otras listas con datos sobre aritmética y geometría. Como guinda de la tarta, se aprendían de memoria unos cuantos contratos modelo, ya te lo imaginarás, copiándolos muchas veces.

Pero no todo era una cuestión de repetición. A veces les mandaban a los alumnos ejercicios en forma de problemas con contenido narrativo sobre situaciones prácticas.

Una pared. El grosor es [2 codos], la longitud 2 1/2 nindan, la altura 1 1/2 nindan. [¿Cuántos ladrillos?]

Una pared. La longitud es 2 1/2 nindan, la altura 1 1/2 nindan, los ladrillos son 45 sarb. ¿Qué grosor tiene este muro?

La superficie de una casa es 5 sar. ¿Cuántos ladrillos debo mandar hacer para una altura de 2 1/2 nindan?

Es lógico que quieras saber esa clase de cosas. Pero los estudiantes recibían además un montón de problemas con contenido narrativo absurdos, como éste:

Una pared. La altura es de 11 nindan, los ladrillos son 45 sarb. La longitud sobrepasa la anchura de la pared con 2;20 (o nuestros 140, porque 2 × 60 + 20) nindan. ¿Cuáles son la longitud y la anchura de mi pared?

[Una pared] de [ladrillo] cocido. La altura de la pared es de 1 nindan, el ladrillo cocido 9 sarb. La suma de la longitud y el grosor [de la pared] es 2;10 (así pues 130). ¿Cuáles son la longitud y el grosor de mi pared?

[Una pared de ladrillo cocido]. Disperso 9 sarb de ladrillo [cocido]. La longitud [sobrepasa el grosor de la pared] con 1;50 (así pues 110). La altura es de 1 nindan. ¿[Cuáles son] la longitud de la pared y el grosor de la pared?

Pensemos en el primer y tercer ejercicio: tienes una pared y sabes exactamente cuánto más larga es que ancha o gruesa. ¿Cómo lo sabes? No midiéndola; ¡entonces también habrías sabido la respuesta correcta! Pero ¿de qué otra manera podrías obtener toda esa información? Todo suena un poco rebuscado. En el segundo ejercicio es todavía más absurdo: ¿cómo puedes saber la suma de la longitud y del grosor si no tienes la longitud y el grosor? Otra cosa más que no se da en la práctica.

La idea que subyace tras semejantes problemas con contenido narrativo absurdo no era, por tanto, mostrar lo bien que se podían aplicar las matemáticas en situaciones cotidianas. Probablemente, estos ejercicios un tanto más difíciles fueran utilizados para probar lo buenos que eran los (aprendices de) escribas; con el único inconveniente de que esta rama de las matemáticas ya no es tan útil. En la mejora de las técnicas matemáticas, la escuela se ha ido apartando cada vez más de las razones prácticas para utilizar las matemáticas. Esta clase de cálculos no tiene nada que ver con la buena organización de una ciudad-Estado.

Sin embargo, no es absurdo realizar esa clase de matemáticas, porque nunca sabes si puede salir algo útil de ellas, que fue lo que ocurrió con un problema sobre un palo que estaba apoyado contra un muro. Imagínatelo como en la figura de abajo: tienes un palo con una longitud d, que está apoyado contra un muro. El palo llega a una altura l del muro visto desde el suelo. Luego sobran todavía b centímetros del muro. Por ejemplo: un palo de cinco metros alcanza en el punto más alto, por tanto donde toca el muro, cuatro metros por encima del suelo. ¿Cuánto está alejada del muro la parte inferior del palo? ¿Cuál es la longitud de a?

Si recuerdas algo sobre los triángulos, ya sabrás la respuesta.

El teorema de Pitágoras, pero en Mesopotamia.

El palo y el muro conforman un triángulo rectángulo y para esa clase de triángulos sirve el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2, o en este caso: a2 + l2 = d2. La distancia del extremo inferior del palo hasta el muro (a) es de 3 metros, porque 32 + 42 = 52. Lo peculiar es que la gente en Mesopotamia ya lo sabía, ¡1.500 años antes de que hubiera nacido Pitágoras! En el caso de un palo contra un muro no deberías utilizar tan rápido su teorema. Es más fácil que midas esa longitud, si ya estás midiendo la altura del palo. Pero el teorema de Pitágoras sí que es muy práctico para estar seguro de que tienes un ángulo recto. ¿Es cierto que a2 + b2 = c2? Entonces habrás hecho un triángulo rectángulo.

Las matemáticas estaban muy avanzadas en Mesopotamia. Alrededor del 1800 a. C. ya eran capaces de resolver toda clase de problemas difíciles, mucho antes que los griegos, por ejemplo. Así consiguieron ya entonces resolver la fórmula x2 + 4x = 41/60 + 40/3600. Siempre y cuando no vivieras en la época del rey Shu-Sin, porque a él le parecía que las matemáticas estimulaban demasiado el pensamiento independiente. Así pues, nada de matemáticas difíciles. En su lugar, se empleaba tiempo extra para adoctrinar a los niños con el fin de que siguieran siendo leales al rey.

Para volver a la pregunta del capítulo anterior: ¿por qué empezó el ser humano a utilizar las matemáticas? En Mesopotamia fueron útiles para organizar las ciudades-Estado. No sólo la recaudación de impuestos, sino también la planificación de provisiones de víveres y la construcción de casas eran más fáciles gracias a las matemáticas. Y también se necesitaban porque, con tanta gente, se había hecho muy difícil hacerlo sin ellas. Sin embargo, no todas las matemáticas era útiles. Los problemas con contenido narrativo inútiles se utilizaban como símbolo de prestigio: ¡mira lo que soy capaz de resolver! Incluso el rey Shu-Sin las practicaba. A sus súbditos no se les permitía saber demasiado, pero él, naturalmente, lo sabía todo.

Pan, cerveza y números en Egipto

Dos hombres están reflexionando sobre su elección profesional en el antiguo Egipto. Uno propone hacerse campesino, a lo que el otro responde: «¡No, oye, escriba, ésa sí que es una buena profesión! Un campesino tiene que estar trabajando todo el día. Tiene que arar la tierra, cosechar, mantener un sistema de irrigación, etcétera. Un escriba sólo tiene que estar sentado en un sitio cálido para escribir cosas». «Bueno», dice el primer hombre, «campesino no es una buena idea. Pero ¿qué te parece obrero de la construcción?».

Ya has adivinado la respuesta. En este texto satírico sobre la profesión de escriba se comparan toda clase de profesiones y, en relación con las demás, el escriba casi no tiene nada que hacer. ¿La moraleja? «El escriba es el que calcula los impuestos para todos los demás. A él no vas a olvidarle.» Hoy en día la diferencia es menor, pero Hacienda sigue utilizando las matemáticas, naturalmente.

La situación en el antiguo Egipto se parecía mucho a la de Mesopotamia. También aquí los matemáticos, o escribas, desempeñaban una función importante en la recaudación de impuestos. Sin embargo, existe una diferencia importante: sabemos algo menos del antiguo Egipto. En Mesopotamia todo el mundo escribía en tablillas de arcilla que se han encontrado casi intactas, pero en Egipto se escribía en papiro, que se desgasta con facilidad. Además, los egipcios vivían en lugares donde hoy en día sigue habiendo ciudades, como El Cairo y Alejandría, por eso sólo se han encontrado en total seis textos del antiguo Egipto que realmente tratan de matemáticas, todos procedentes del Imperio Medio (2055-1650 a. C.). Sobre el Imperio Antiguo (2686-2160 a. C., en el que se construyó la Gran Pirámide de Guiza) y el Imperio Nuevo (1550-1069 a. C.) sabemos menos todavía.

Y todos esos jeroglíficos, entonces, ¿no los pintaban en piedra? Sí, es cierto, pero los jeroglíficos sólo se utilizaban para escribir sobre reyes y dioses. Todos los asuntos administrativos se escribían en una escritura totalmente distinta: la escritura hierática. Sólo en esa escritura utilizaban números los egipcios.

Esos números aparecen por primera vez alrededor del 3200 a. C. en documentos escritos; más o menos en la época en que se escribieron las primeras tablillas de arcilla en Mesopotamia. Al igual que allí, en Egipto los primeros documentos también se referían a la administración. Eran listas con títulos de personas, nombres de poblaciones y listas de bienes con cantidades. Había incluso textos sobre el estado del Nilo, probablemente recogido como guía para el cálculo de los impuestos. En resumen, la primera vez que se emplearon los números en Egipto fue por razones administrativas: para calcular los impuestos y para redactar una lista, dos veces al año, de todos los víveres de que se disponía.

Los números en la escritura hierática del antiguo Egipto.

Para eso los egipcios empleaban los números que, en cuanto a su sistema, se parecen a los nuestros, como puede verse en la tabla de arriba. Tras el 9 viene un nuevo signo, otro nuevo tras 99 y así. Pero no tienen ningún signo para el cero: eso no llegará hasta mucho más tarde, en la India.

Además, los egipcios tenían signos para los números fraccionarios, que se indicaban poniendo un punto sobre el número. El número 2 con un punto encima es, por tanto 1/2. Para facilitarnos la lectura, actualmente lo escribimos con una raya en lugar de un punto encima del número, como 2–.

¿Se podían entonces escribir todos los números fraccionarios? Los egipcios consideraban los números fraccionarios lo contrario de un número entero: 1/2 es lo contrario de 2, pero una fracción como 5/7 no es lo contrario de 7 o de otro número entero. Sin embargo, también aparecían semejantes números fraccionarios, si sólo querían llevar la administración. Así pues, hacía falta una solución inteligente para poder trabajar igualmete con esas fracciones más complicadas. Su idea fue escribirlos como suma de fracciones que son todos 1 dividido por algo. 3/4, por ejemplo, podía escribirse también como 1/2 + 1/4, por tanto como 2– 4–. Incluso se puede con 5/7: 5/7 = 1/2 + 1/7 + 1/14, por tanto 2– 7– 14—. Inténtalo tú mismo con otra fracción. Difícil, ¿no? Por eso los egipcios se aprendían de memoria los números fraccionarios más importantes.

Esas fracciones las utilizaban de manera activa en su administración, que solía ir sobre pan y cerveza: porque en torno a esos dos productos giraba toda su economía. No había dinero de verdad. Hasta que Egipto no empezó a reclutar mercenarios griegos para el ejército, en 390 a. C., no se planteó el empleo de monedas. Los soldados griegos se negaban simplemente a que les pagaran con pan y cerveza. Exigían una soldada en forma de monedas griegas de plata. Fue entonces cuando Egipto empezó a utilizarlas, porque ese dinero sí que resultaba práctico.

Antes de la llegada de los griegos, los egipcios habían mantenido toda una nación durante miles de años sin emplear dinero. Las pirámides se construyeron sin monedas como medio de pago, pero los grandes grupos de esclavos son también un mito. Los obreros que trabajaban en las pirámides eran trabajadores pagados normalmente. Lo sorprendente es que en realidad sólo les pagaban con pan y cerveza, a menudo incluso en cantidades fraccionadas. Se han encontrado nóminas enteras en las que aparece que incluso a los sacerdotes se les pagaba así. Recibían cada día, por ejemplo, 2– 3– 10— barriles de cerveza o 2 23/30 barriles de cerveza. La idea no era que se lo bebieran todo, sino que canjearan lo que les sobraba por otros productos.

Así funcionaba todo. ¿Necesitabas una cama? Entonces intercambiabas otros objetos por esa cama que te gustaba. Incluso una casa la comprabas canjeándola con el vendedor por cosas que tú poseías. ¿Era ése entonces un proceder tan arbitrario como el comercio de los pirahã? No, porque los egipcios sabían contar. Los precios seguían siendo en gran parte los mismos y para adquisiciones realmente grandes, como una casa o un buey, iban a un escriba, que redactaba un contrato en el que se describía el intercambio, de manera que ninguna de las dos partes pudiera reclamar nada después. De ahí que los escribas tuvieran que vérselas tanto con el pan y la cerveza; en los recibos de pago y los contratos aparecían mencionados frecuentemente.

El ejército también necesitaba comida. Así pues, había alguien, un escriba, que organizaba toda esa comida. Uno de los textos del Imperio Medio trata de un escriba que ridiculiza a un colega enumerando lo que él haría en toda clase de situaciones. Por ejemplo, hace una estimación de cuántos víveres necesitaría una unidad de 5.000 hombres para una expedición militar larga. Su conclusión es que deberían llevar 300 panes y 1.800 cabras.

El primer día de la campaña llega el ejército donde está el escriba, que muestra orgulloso todos los víveres, tras lo cual los soldados empiezan a comer. Tienen que marchar durante todo el día y quieren acumular energía para el largo viaje. Entre unas cosas y otras, pasa una hora tras la cual ven que hay un problema: ¡se han acabado todas las provisiones! Quejándose a voz en grito, van a ver al escriba: «¡Cómo pueden haberse terminado ya las provisiones! ¡Inútil!». El escriba no sabe qué responder. No le queda otra cosa más que presentar su dimisión.

Así pues, los escribas eran una especie de directivos que tenían como única habilidad su dominio del cálculo, por eso eran los responsables de los salarios, los impuestos y las raciones. También calculaban la superficie de los terrenos para compararla con lo que quedaba tras una inundación del Nilo. Si los campesinos perdían terrenos, recibían una compensación. Se calculaba hasta la rapidez con que alguien era capaz de fabricar calzado para coordinarlo de la mejor manera posible con el abastecimiento del cuero.

Más impresionante aún que estos asuntos prácticos es el hecho de que los egipcios utilizaran las matemáticas para construir las pirámides. Imagínate que, para construir una pirámide, debes saber con qué ángulo vas a obtener el vértice. Tienes que empezar por abajo, así que te resultará imposible evaluar cómo llegarás a la cúspide. Esto es algo que se puede calcular y era lo que hacían los egipcios.

Para ese cálculo se necesitan unos cuantos datos. Tienes que saber lo larga y ancha que debe ser la pirámide y la altura que alcanzará al final. Pero también la inclinación en que deberá construirse. Si algo va mal con ese ángulo, no llegarás al vértice. Y mucho menos si los cuatro lados no tienen el mismo ángulo. Un ángulo así es, por tanto, muy importante. Sin embargo, los egipcios no calculaban con ángulos como lo hacemos nosotros. No hablaban de 40 grados o cosas semejantes.

Medición de ángulos para una pirámide.

Tenían un método muy distinto: un ángulo puede medirse igual de bien observando cuánto se desplaza la pirámide si ésta sube un poco. El procedimiento puede verse en el dibujo de la página anterior. Imagina que el ángulo es de 90 grados; la pirámide sube recta. Entonces, el desplazamiento es, por tanto, cero. Con un ángulo inferior, por ejemplo 45 grados, el desplazamiento es mayor. En ese caso la pirámide se desplaza tanto hacia arriba como hacia la derecha.

Los egipcios utilizaban las matemáticas para cosas diversas. Aunque sepamos un poco menos de ellos por sus materiales de escritura poco prácticos, han quedado suficientes papiros en los que podemos ver que en realidad practicaban las matemáticas del mismo modo que los sumerios. Los matemáticos eran importantes y desempeñaban su trabajo sobre todo en la función administrativa, ya que Egipto poseía un sistema fiscal inteligente que tenía en cuenta las inundaciones del Nilo y se utilizaban contratos tipo para grandes compras y ventas. Más adelante, alrededor del 300 a. C., los egipcios adoptaron las matemáticas un poco más difíciles de Mesopotamia, pero lo que hacían antes lo inventaron por lo visto ellos mismos. Por tanto, otra vez un pueblo que empezó a practicar las matemáticas «complejas» sin más.

Los siempre teóricos griegos

En la Antigüedad, nadie sabía tanto de matemáticas como los griegos y no es gratuito que haya tantos matemáticos griegos famosos: Pitágoras, Euclides, Arquímedes, por mencionar sólo a los más conocidos. Es bastante sorprendente que no sepamos muchas cosas sobre las matemáticas griegas; sí que nos han llegado relatos y textos de la antigua Grecia, pero son todos teóricos. Euclides, por ejemplo, es famoso por su libro sobre geometría teórica. En él ofrece toda clase de definiciones y demostraciones, tales como «una línea es longitud sin anchura». Es abstracto —en la línea de Platón—, pero su libro no nos cuenta cómo se empleaba la geometría en la práctica, y lo mismo sirve para el resto de obras teóricas: nos ofrecen pocas perspectivas sobre la manera en que los griegos practicaban las matemáticas, por qué empezaron a utilizarlas y qué razones tenían para todas esas cosas abstractas.

Eso, por lo demás, no quiere decir que los griegos no aplicaran sus teorías. Un ejemplo impresionante es el túnel de Eupalinos, en la isla de Samos. Ese túnel tiene más de un kilómetro de longitud y no llega a dos metros de ancho. Durante 1.200 años estuvo llevando cinco litros de agua de manantial por segundo a la capital de la isla. Los griegos se las arreglaron ya en el 550 a. C. para excavarlo, pero lo más sorprendente es que empezaron con la construcción en ambos lados a la vez. De una u otra manera, los griegos consiguieron empalmar las dos partes del túnel a la mitad de ese kilómetro. Incluso con la diferencia de un par de metros, los dos equipos de trabajo se habrían cruzado sin encontrarse.

Desconocemos cómo lo hicieron exactamente. Lo griegos, por lo que sabemos, no pensaban que mereciera la pena describir el modo en que hicieron un túnel así; muy al contrario de los romanos, que pensaban precisamente que era muy interesante esa clase de aplicaciones matemáticas. Es probable que los griegos utilizaran líneas rectas y triángulos rectangulares para realizar repetidas mediciones y, basándose en esas mediciones, la dirección de las dos mitades del túnel se habría ido adaptando un poco una y otra vez. En el medio, cuando las dos mitades deberían unirse, en un lado podrían oír golpear los martillos que había en el otro; esos últimos metros irían, así pues, a oído. Con trucos inteligentes y constantes mediciones pudieron excavar un túnel de un kilómetro de largo; y está tan bien construido que aún hoy podemos seguir yendo a visitarlo. Incluso podría volver a funcionar como acueducto, probablemente, en el caso de que fuese necesario.

Es difícil averiguar cómo los griegos aplicaron en la práctica su conocimiento teórico. En gran parte son conjeturas, en contraposición a sus malabarismos teóricos. Si bien el teorema de Pitágoras no fue inventado por Pitágoras —los sumerios ya lo conocían mucho antes—, él sí que fue el primero que lo demostró en la manera en que los matemáticos hoy en día presentan las pruebas. Un bello razonamiento lógico que demuestra que lo que se dice aquí sobre las matemáticas es cierto en todos los casos: por eso se les conoce a los griegos. Euclides tenía su libro con demostraciones y Pitágoras tenía su teorema. Arquímedes había demostrado también teoremas, pero es conocido por muchas más razones. No es de extrañar que les dé mil vueltas al resto.

Arquímedes es el físico al que se le habría ocurrido, metido en la bañera, el principio sobre los fluidos que lleva su nombre. Según la tradición, se entusiasmó tanto que salió corriendo a ver al rey sin volver a vestirse antes. Además, Arquímedes habría sido un diseñador de maquinaria bélica tan brillante que durante años los romanos no se atrevieron a atacar su lugar de residencia: Siracusa. Ya sólo con la amenaza de Arquímedes era suficiente. Cuando la ciudad fue tomada por fin, él estaba precisamente enfrascado en un problema matemático y, a un soldado romano que se dirigió a él, se supone que le habría dicho literalmente: «¡No molestes a mis círculos!», tras lo cual el soldado le ensartó con la espada para descontento de los comandantes romanos. Nunca sabremos si todo eso fue verdad, pero corren por ahí otras historias raras sobre matemáticos griegos. Pitágoras habría tirado por la borda a un discípulo —con el consecuente ahogamiento del mismo— para mantener en secreto su prueba de que no todo número podía escribirse como fracción.

Dejando a un lado estas historias, sí sabemos que Arquímedes fue un matemático brillante que era bueno sobre todo reflexionando con volúmenes y superficies. En su lápida había tres figuras: una esfera, un cilindro y un cono, porque de eso se trata su demostración más importante. Fue el primero en mostrar la relación que había entre el volumen de esas tres figuras. Para los griegos, que carecían de fórmulas que calcularan los volúmenes, esto suponía un problema increíblemente complicado. También era conocido por todos lo difícil que resultaba encontrar un cuadrado con la misma superficie que un círculo, lo que seguimos viendo ahora en la expresión «la cuadratura del círculo» para indicar algo que es imposible.

El volumen de un cono, una esfera y un cilindro.

Arquímedes demostró cuánto más grande es un cilindro que una esfera o un cono. En las tres figuras de la ilustración aparece siempre una línea con una r, bien el radio de la esfera o bien el radio del cono y del cilindro. También lo ves aparecer en la altura del cono y del cilindro, que en realidad son igual de altos que la esfera. El cono lo obtienes si le recortas las partes adecuadas al cilindro y la esfera encaja también exactamente en el cilindro. Buena razón para suponer que los volúmenes se parecen, y esa suposición es cierta: el volumen de la esfera es dos tercios del volumen del cilindro. Para una esfera te llevas, por tanto, un tercio del cilindro. Un cono es aún más pequeño, sólo es un tercio del cilindro. Para eso tienes que llevarte, por tanto, dos tercios del cilindro, lo que implica también que la esfera es dos veces mayor que el cono.

¿Cómo se obtiene todo esto de esas tres imágenes? No es que captes de un vistazo que hay dos veces más en la esfera que en el cono; por eso también Arquímedes se sentía orgulloso de haber sido capaz de demostrarlo, tan orgulloso incluso que encargó que se lo grabaran en la lápida. Hoy en día, por lo demás, es muy fácil demostrar que una esfera es dos veces más grande que un cono. Es algo que veremos en el capítulo siguiente y es un conocimiento que debemos a las matemáticas nuevas: el número π.

π (pi) es en realidad un número especial. Se utiliza entre otras cosas para calcular la superficie y el volumen de los círculos, y es útil cuando te pones a pensar en el volumen de las figuras redondas, como lo hizo Arquímedes. Sin embargo, los griegos no sabían qué era el número π. Se habían imaginado que había un número como π, pero no sabían exactamente lo grande que era ese número. También aquí fue Arquímedes quien realizó el descubrimiento más emocionante. Con un cálculo que todavía no comprendemos del todo, incluida una figura con 96 ángulos, él dijo que π está entre 3 10/71 y 3 1/7, así pues, entre 3,1408 y 3,1428. No es nada absurdo, si piensas que más tarde se ha calculado que es 3,1415...

Los griegos no avanzaron mucho más. Sus teorías son muy buenas, más incluso si te paras a pensar en las limitaciones que tenían: sólo empleaban números enteros y proporciones entre números. Las proporciones son de hecho números fraccionarios; 2/3 es simplemente la proporción de dos a tres. Ellos lo apuntaban de una manera mucho más intrincada, no como 2/3. Además, no tenían fórmulas. Todas sus demostraciones, también las de Arquímedes sobre volúmenes, constaban de figuras. Por suerte, ahora somos capaces de resolver esta clase de problemas mucho más fácilmente, pero la manera en que lo hacemos —el empleo de demostraciones en las matemáticas— se la debemos por completo a los griegos. Pitágoras, Euclides, Arquímedes y muchos otros más han transformado las matemáticas para siempre.

Los empollones de China

Hasta ahora todas las culturas se parecen bastante entre sí. Mesopotamia y Egipto empezaron pronto con los números, tan pronto que muy probablemente fueran una de las primeras cosas que escribieron. Los matemáticos tenían allí y en Grecia un estatus elevado y trabajaban sobre todo en problemas prácticos, pero con métodos comunes. En China era muy distinto, y esa diferencia con otros lugares empieza muy pronto.

En China, las personas probablemente no empezaron con la escritura por razones administrativas; de hecho, no se han encontrado largas listas con bienes y cantidades. En la antigua China, por el contrario, la adivinación era una actividad importante. Las marcas en los huesos con las que trabajaban los adivinos constituyeron la base de la primera escritura. Las matemáticas sí se utilizaron en un momento dado, pero no eran ni con mucho importantes y por eso no sabemos tanto sobre las matemáticas en la antigua China; lo que sí sabemos es que en el 1000 a. C., bastante tarde, se hacían cálculos para calendarios y para la Administración.

En esas ocasiones, utilizaban dos sistemas numéricos. Por un lado tenían palabras para designar los números, tales como aparecen en el normal uso del idioma; tenían, y todavía hoy tienen, una forma muy simple. El número 354 se pronunciaba y escribía como «tres cien cinco diez cuatro», por lo tanto muy parecido al español y algo más claro que en neerlandés, donde el cuatro y el cincuenta cambian el orden. Más revolucionaria era la segunda manera de escribir los números. Primero utilizaban palos de bambú, que más tarde fueron sustituidos por signos con pequeñas franjas. Desde el 1 hasta el 9 había maneras especiales de colocar los palos, que se repetían para colocar números mayores, al igual que los numerales repiten los nombres del 1 al 9.

Las dos versiones de los números chinos del 1 hasta el 9: horizontal y vertical.

Para el sistema numérico con palos había incluso dos clases de signos. En la fila de arriba se ve una serie donde están en horizontal y debajo otra con los signos verticales. Esas dos clases se utilizaban como truco para mostrar que en algunos números había un 0. El número 506 no es naturalmente el mismo que el número 56, pero sin el 0 no puede verse ninguna diferencia. Esa diferencia no podían hacerla visible ni los sumerios ni los egipcios. No tenían ninguna manera de escribir un 0, no digamos ya de decir que no había dieces en el número. Con sus dos clases de signos, los chinos fueron los primeros en la historia que pudieron hacerlo. Ésta es su manera de escribir el número 60.390:

El número 60.390 en la antigua notación china.

Al escribirlo, iban cambiando de clase de signos, mira el 3 y el 9: el 9 está escrito de la manera horizontal y el 3, en cambio, en vertical. Por eso sabían que entre dos signos verticales juntos (como con el 6 y el 3) debía haber un hueco, aunque no escribieran ese hueco: no había ningún signo aparte para el 0, con lo que todavía no podían ver cuántos ceros debía haber entre dos signos verticales, uno o tres o cinco o... Con los recuadros que se han dibujado en la figura sí que queda claro. Sin embargo, el sistema chino supone un gran avance, porque con él se puede escribir por primera vez cada número con no más de veinte signos.

Junto a un sistema numérico inteligente, los chinos tenían también diversas técnicas para realizar cálculos. Podían multiplicar de la manera en que lo hacemos ahora. Para calcular 81 × 81 colocas primero los números con palos y luego los multiplicas paso a paso: primero 80 × 80, luego 80 × 1 y así. Además había técnicas para resolver problemas más difíciles, que fueron recopiladas en Los nueve capítulos sobre arte matemático y en comentarios posteriores a ese libro. Los títulos de los capítulos ofrecen una buena idea de todo lo que sabían los chinos alrededor del año 0:

1.Campos rectangulares (superficies y números fraccionarios).

2.Mijo y arroz (intercambio de bienes a tarifas distintas).

3.Distribución proporcional (repartición de bienes y dinero según el principio de proporcionalidad).

4.Extensiones más pequeñas (lados de los rectángulos, el perímetro de un círculo, extracción de raíces cuadradas y cúbicas).

5.Reflexiones sobre determinados trabajos (volúmenes de sólidos de varias formas).

6.Impuesto equitativo (problemas de proporción más avanzados, como los impuestos en proporción con el número de personas).

7.Excedente y déficit (la resolución de problemas no lineales utilizando el método conocido ahora como el método de la regla falsa «ax + b = 0»).

8.La disposición rectangular (problemas con múltiples variables como los de aquí arriba, con números negativos y positivos).

9.Base y altura (aplicaciones de lo que conocemos como el teorema de Pitágoras).

Para los chinos, las matemáticas no iban sobre abstracción. En todo el libro tampoco se puede encontrar, por tanto, ninguna definición o demostración generales. A ellos lo que les importaba eran los métodos concretos para resolver problemas, presentados con muchos ejemplos. Su objetivo era encontrar métodos lo más generales posible, y mientras los métodos fueran acertados y fueran lo más generales posible, no era importante si se podían reducir a principios matemáticos fundamentales.

Las matemáticas pretendían, así pues, ser útiles por excelencia. Quien aprendía matemáticas, aprendía a responder cuestiones sobre impuestos, arquitectura, guerra y semejantes. Pero mientras que eso en Mesopotamia y Egipto otorgaba a los matemáticos un elevado estatus social que en seguida los colocaba como una suerte de directivos justo por debajo de los jefazos superiores, en China la situación era muy distinta. Allí los matemáticos trabajaban con funcionarios cuyos problemas debían solucionar. Se los veía más bien como los «empollones» de la sociedad. Incluso cuando las matemáticas chinas estuvieron en su punto culminante, los matemáticos se quejaban de que la gente que había estudiado literatura los despreciaba. Un emperador chino nunca se jactaría de su conocimiento matemático.

Y eso mientras que los matemáticos desempeñaban una función muy importante en China. El libro más famoso de esos tiempos de apogeo (el Shushu Jiuzhang o «técnicas computacionales en nueve capítulos»), que fue escrito en torno a 1247 d. C., dedica nada menos que dos capítulos a las fortificaciones y a calcular la distancia hasta un campamento enemigo. Esas matemáticas eran muy necesarias para la guerra contra los mongoles. Contiene más cosas prácticas, tales como los sistemas crediticios y las normas para la construcción de diques. Pero también cosas «inútiles», problemas que se resuelven de manera innecesariamente complicada. ¡Uno de esos problemas tenía una solución tan complicada que en Europa no se llegó a plantear hasta 1890, mientras que en este libro chino ya aparecía en 1247!

En resumen, también en China las matemáticas tenían una función sumamente práctica, dirigida a la organización y a la administración, pero esa función se cumplía de manera distinta: con métodos generales para resolver problemas en lugar de demostraciones abstractas, y con ejemplos concretos en lugar de definiciones y principios fundamentales. Sus métodos son distintos, pero las razones para desarrollar las matemáticas son las mismas. Un buen momento, por tanto, para volver una vez más a la cuestión del final del capítulo anterior. ¿Por qué hemos empezado los seres humanos a ocuparnos de las matemáticas?

La respuesta a esta pregunta es muy simple, en realidad. Las matemáticas posibilitan organizar la administración de las ciudades y de las sociedades más grandes. Se pueden recaudar impuestos sin números, pero es tan difícil que en la práctica no saldría bien sin las matemáticas. En todas partes donde las personas se ponen a vivir en grandes grupos y empiezan a comerciar más, ves cómo surgen las matemáticas. La planificación de las ciudades, el diseño de los edificios, el mantenimiento de las existencias de alimentos y la construcción de las máquinas de guerra son todas cosas para las que utilizamos las matemáticas. Todos podríamos sobrevivir sin ellas, sólo basándonos en nuestras habilidades innatas, pero las necesitamos para vivir mejor. De manera más eficaz y precisa.

Ese resultado se puede alcanzar de más de una manera. Los pueblos tenían su propio sistema para escribir números. A veces son muy prácticos, como la manera egipcia de escribir 1/2, y a veces poco prácticos, como la manera egipcia de escribir 5/7. Sin embargo, los diferentes planteamientos en su totalidad, desde el enfoque abstracto de los griegos hasta el enfoque basado en ejemplos de los chinos, tienen el mismo resultado. Así, los egipcios podían dividir en trozos los panes de manera eficaz y repartirlos como salario. También podían procurar que la proporción en el salario fuera bien emparejada con la diferencia de estatus. Al sumo sacerdote de un templo se le pagaba justo treinta veces más que a los trabajadores menos cualificados. Con los números resulta bastante más fácil que sin ellos.

Esa idea ya se ha planteado en el capítulo 1. También allí hemos visto que las matemáticas simplifican los problemas y que, gracias a ellas, de repente es prácticamente viable resolverlos. Por eso hemos empezado a manejar las matemáticas. Las ciudades y los países lidiaban con problemas administrativos que eran difíciles de resolver sólo con nuestras habilidades innatas, así que empezaron a utilizar las matemáticas para resolverlos. No en vano, son las culturas pequeñas las que no las utilizan; esas personas viven en pueblos de dimensiones reducidas y se conocen entre sí. Las ciudades-Estado y los reinos son demasiado complejos para poderse abarcar sin su ayuda.

Sin embargo, vemos también que las matemáticas más difíciles que se desarrollaron, todos esos problemas de aritmética extra, no eran realmente útiles. Sólo muestran lo bueno que alguien era o no en matemáticas. ¿Serán útiles alguna vez esas matemáticas más complejas? ¿Hay buenas razones para ir más allá de los números y las mediciones? ¿Y nos daremos cuenta asimismo de algo de eso en la vida diaria? Ésas son las cuestiones de los capítulos siguientes, acerca de las matemáticas más complicadas.

5

Todo sigue cambiando

Voy conduciendo por una autopista sueca. Para quien no lo sepa, las autopistas suecas son terriblemente aburridas: cientos de kilómetros sólo en línea recta, con árboles a ambos lados. Por suerte, todos los suecos respetan como es debido la misma velocidad, así que se puede activar el sistema de control de velocidad de crucero. Entre tanto, el ordenador de a bordo anda muy atareado con cálculos matemáticos. Calcula lo rápido que va el coche, la diferencia con la velocidad a la que quiero conducir y si debe acelerar más o menos. Un coche de lujo puede percatarse incluso de si me mantengo adecuadamente dentro del carril. Entonces el ordenador observa también la distancia entre el coche y las líneas, más la dirección en la que conduzco. Corrige el rumbo si me desplazo demasiado a un lado o a otro y, a continuación, calcula cuánto debo corregir el rumbo.

Pero bueno, ¿es difícil todo eso? Ese tipo de cosas las podemos hacer de maravilla nosotros solos, sin tener que estar calculándolo todo. Miro, sin más, el velocímetro y ajusto la velocidad hasta que vaya bien, sí es importante que conduzca a la velocidad correcta. Los usuarios de la vía pública deben ajustarse ágilmente al tráfico, no aferrarse con rudeza a los 120 kilómetros por hora. Y conducir entre las líneas, eso también lo puede hacer todo el mundo, ¿no? Exacto, eso es algo que puede hacer cualquiera. Incluso un ordenador que no sea capaz de captar cómo reacciona el volante y no pueda ver lo que ocurre en el tráfico como podemos verlo nosotros. Un ordenador debe calcularlo todo. Algo que es posible y que resulta toda una proeza, porque no era fácil idear los métodos por los que podemos realizar cálculos de procesos cambiantes, tales como la velocidad del coche y la distancia hasta el siguiente carril. Sin embargo, también se ha logrado encontrar matemáticas para eso y el coche las utiliza cuando activas el control de velocidad de crucero, no digamos ya los coches autónomos, que las utilizan aún más. Sin matemáticas no tendríamos esa posibilidad.

Isaac Newton procuró el avance matemático por el que hoy en día tenemos el sistema de control de velocidad de crucero en el coche. Al menos, en opinión de los británicos, porque en Alemania vivía en ese momento otro matemático, Gottfried Wilhelm Leibniz, que ideó exactamente lo mismo. Para explicar lo que idearon y lo importante que le pareció a todo el mundo entonces, debemos retrotraernos a los antiguos griegos. Para ser exactos, a lo que Arquímedes descubrió sobre los cilindros, las esferas y los conos.

Arquímedes quería demostrar algo sobre los volúmenes. Quizá recuerdes todavía cómo se calcula el volumen de una esfera: hay una fórmula estándar que se enmarca en la escuela secundaria. El volumen de una esfera es 4/3 πr3, así que necesitamos dos fórmulas más. El volumen de un cilindro es la superficie del círculo por la altura del cilindro, por tanto aquí πr2 × 2r, o bien 2 πr3. El volumen de un cono, por último, es 2/3 πr3. Cómo se llega a esas fórmulas ahora no es importante; ni siquiera hace falta que comprendas ese πr3. Lo único que me interesa es que con esas fórmulas puedes resolver enseguida el problema de Arquímedes. ¿Cuántas veces es mayor la esfera que el cono? Divide 4/3 entre 2/3 y lo sabrás: la esfera es dos veces más grande. ¿Y cuánto queda del cilindro después de que hayas hecho una esfera con él? Divide 4/3 entre 2 y ahí lo tienes: quedan dos tercios. El punto culminante de las matemáticas griegas es pan comido tan pronto como conoces estas tres fórmulas.

¿Qué les molestaba a los griegos? En primer lugar no tenían el número π como nosotros lo utilizamos. Aún más importante es que para poder encontrar las fórmulas debes trabajar con el infinito, algo que los griegos se negaban a hacer. Se limitaban a los números enteros y los fraccionarios, que tenían un fin claro y no tenían nada que ver con el infinito. Eso es importante, porque no puedes escribir todos los números como fracciones o como números enteros. El número π, por ejemplo, es uno de esos números que no puedes expresar como fracción. Actualmente lo podemos reproducir con cifras detrás de la coma, pero el problema con esto es que en este caso son infinitas. Empieza como 3,1415 y sigue así hasta el infinito.

Un triángulo con el que los griegos se metieron en líos.

Los griegos sabían muy bien que no podían escribir todos los números como números enteros o fraccionarios. Se supone que Pitágoras habría tirado a un discípulo por la borda cuando este mostró que no podía ser así para √2. Aunque salieron con una respuesta muy distinta de la que tenemos hoy en día: los griegos decidieron que no podía medirse todo con la misma medida. Si algo es √2 centímetros de largo, simplemente no tienes que medirlo en centímetros. Entonces eliges algo distinto en lo que sí obtienes una bonita longitud. Los griegos decían, por tanto, que para el triángulo de la página anterior, cuyo lado más largo tiene la longitud de √2, no se pueden medir los tres lados con la misma medida.

No es de extrañar que los griegos nunca dijeran que el volumen de una esfera es 4/3 πr3. El punto de partida para esto es que π es un número con el que puedes calcular. El primero que lo hizo realmente fue Simon Stevin, procedente de Brujas. Él escribió basándose en ideas de la India y Oriente Medio que fueron adoptadas por los europeos. Su paso adelante más destacado fue tomar cada vez más en serio los números fraccionarios, escribiéndolos también como cifras detrás de la coma: como 0,2 en lugar de 1/5. Stevin enumera esos cambios al final del siglo XVI en una definición general: «Número es aquello por lo que se explica la cantidad de cada cosa» (Nombre est cela par lequel s’explique la quantité de chacune chose). Él acepta por completo que todo se puede medir con una medida y que, por tanto, debemos aceptar números tales como π y √2.

Ése fue todo un paso hacia delante, por esa infinitud: por ejemplo, π nunca se puede escribir del todo. Con las fracciones, tales como 1/3, sí que es posible, aunque el número fraccionario se debe escribir todavía en la forma de un número con coma de treses infinitos: 0,3333... La diferencia importante con π es que esos números tras la coma se pueden predecir. Se sabe que con 1/3 cada número que va detrás de la coma también es un 3 y eso es algo que no se sabe con π.

Sin embargo, nadie se sorprende cuando hablamos del número π. Nos hemos acostumbrado tanto a esta clase de números que no vemos que son raros hasta que nos ponemos a reflexionar un poco más sobre ellos. Así, el número 0,999... es bastante engañoso, porque es simplemente igual a 1. ¿Te parece absurdo? Seguro que estarás de acuerdo con que 1/3 es lo mismo que 0,333... Multiplica los dos casos por 3 y entonces verás que 1/3 × 3 = 1 y, por tanto, es realmente lo mismo que 0,333... × 3 = 0,999...

Así pues, esa infinitud empieza pronto a marear, pero la necesitas para el control de velocidad de crucero de tu coche. Sin números como π, con infinitas cifras tras la coma, no puedes hablar sobre cosas que cambian constantemente. Entonces no tienes suficientes números para calcular, por ejemplo, la aceleración de tu coche. Un coche, al fin y al cabo, no pasa de 100 a 101 km/h dando sólo un gran paso, sino que pasa también por 1001/2 km/h y 100,1415... km/h (con lo que en ese último caso viene una cantidad infinita de números detrás de la coma). Sin números para ello no se pueden medir todas las velocidades del coche en kilómetros por hora. Al igual que sin el número √2 no pueden medirse en centímetros todos los lados de un triángulo.

Newton versus Leibniz

Arquímedes no tenía los números suficientes para reflexionar sobre volúmenes. No podía medirlo todo con la misma medida, por lo que las matemáticas tampoco ayudaban. Sólo cuando los matemáticos aceptaron que existen más números que los enteros y los fraccionarios, pudieron hacer cálculos con volúmenes y variaciones. Las personas que lo hicieron por primera vez fueron Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Cada uno por su cuenta ideó la nueva rama de las matemáticas entre 1660 y 1690, pero no podían creer que el otro tuviera la misma idea. Lo que se les ocurrió a ellos es una parte de las matemáticas que todavía sigue siendo famosa y notoria: el cálculo integral y diferencial. Todo se reduce, en pocas palabras, a que podían calcular lo rápido que algo cambia (derivar) y cuánto ha cambiado algo al cabo del tiempo (integrar).

Así pues, había dos matemáticos que aparecieron con una teoría revolucionaria propia, lo único que pasaba era que esas teorías eran casi lo mismo. ¿Quién se llevaba la gloria? ¿Quién fue el primero? Ésa era la gran cuestión, desde luego porque Newton vivía en Inglaterra y Leibniz en Alemania. Esos países no se llevaban nada bien entre sí por aquella época, así que su descubrimiento sensacional en las matemáticas se convirtió en un asunto de orgullo nacional.

Comenzó con una publicación de Leibniz en 1684 en la que presentaba su descubrimiento: el nuevo método para calcular en variaciones. Los matemáticos se entusiasmaron en seguida y Leibniz constituyó todo un grupo de personas a su alrededor que siguió trabajando en «sus» matemáticas. En 1693 publicó el primer libro explicativo sobre el cálculo integral y diferencial para un público más amplio. Newton, por el contrario, no publicó casi nada. Había muchas personas a su alrededor que sabían que había descubierto un nuevo método matemático, pero nadie sabía con exactitud cómo funcionaba ese método nuevo. Newton mantenía su descubrimiento en el mayor de los secretos posible para ser el único en poder utilizar esos cálculos.

No es de extrañar que Newton no pudiera soportar que Leibniz de pronto saliera con las mismas matemáticas sin mencionarle de ninguna de las maneras. Newton llegó a enviarle una carta a Leibniz, ya en 1676, en la que le explicaba su descubrimiento; con lenguaje en clave. Por aquella época era habitual. Así le contó Galileo a Kepler en una carta codificada que había visto dos lunas en Júpiter. Lo que pasaba es que a la hora de descifrar solía salir mal; Kepler pensó que en la carta ponía que Marte tenía dos lunas.

Newton no envió, por tanto, su carta codificada para explicarle cómo funcionaba su método, sino para poder decir más tarde que Leibniz le había robado «sus» matemáticas. Era lo que afirmaba Newton entonces, o mejor dicho, encargó a sus discípulos que lo dijeran. Cuando vio que Leibniz estaba difundiendo sus matemáticas, Newton ordenó a sus propios seguidores que ridiculizaran a Leibniz.

Lo que siguió fue una de las discusiones más absurdas en la historia de la ciencia. Incluso sus propios contemporáneos —que realmente estaban ya bastante acostumbrados— se conmocionaron. Los seguidores de Newton y Leibniz estuvieron publicando durante años panfletos en los que ridiculizaban al otro bando. Leibniz escribió en un momento dado un folleto en el que se defendía y pedía ayuda a la Royal Society, el instituto científico más prestigioso de aquella época, que puso en marcha una investigación independiente para averiguar cuál de los dos matemáticos fue el primero.

Aunque tan independiente no era, pues Newton, en ese momento, tenía el cargo de presidente de la Royal Society y, aunque hizo como si la comisión oficial fuera a investigar de manera independiente, en realidad esa comisión no hizo nada en absoluto. Newton fue quien escribió en secreto el informe de la comisión y en él aparecía, naturalmente, que él había sido quien había ideado todo y que Leibniz era un terrible ladrón incapaz de admitir su derrota. Sólo 133 años después llegó a hacerse público hasta dónde había llegado Newton a la hora de defender su posición.

El informe no resolvió nada, por supuesto. Leibniz continuó defendiendo su reputación en un comentario «anónimo» al informe de la Royal Society. Las ofensas siguieron volando de un lado a otro hasta mucho después de la muerte de Newton, en 1716. ¿Quién llevaba la razón entonces? Actualmente sabemos que Newton fue el primero, en efecto, porque ya en 1665 se le había ocurrido cómo había que integrar y derivar. Leibniz era entonces un muchacho de veinte años que todavía no sabía nada de matemáticas. Sin embargo, Leibniz no le había mangado las ideas a Newton, simplemente había tenido la mala suerte de que se le hubiera ocurrido lo mismo, pero un par de años después.

Pasos cada vez más pequeños

En seguida estuvo claro que la nueva rama de las matemáticas tendría una importancia enorme, de ahí que se luchara tanto por poseerla. Pero ¿qué se les había ocurrido exactamente? Una manera de calcular lo rápido que cambian las cosas y cuánto han cambiado después. Antes sólo era posible calcular algo que sigue siendo lo mismo; sólo podías contar algo si el número no cambiaba continuamente, o medir algo si mantenía la misma longitud, y eso lo cambiaron Newton y Leibniz utilizando la infinitud y esos números nuevos.

El cálculo de la velocidad de un cambio te lo encuentras por todas partes. El control de velocidad de crucero de un coche debe calcular cuánto debes acelerar, mientras que un coche autónomo debe calcular cuánto debe corregirse el rumbo y tu cafetera último modelo calcula lo elevado que debe estar el difusor de calor para obtener el agua a la temperatura exacta para un expreso. Te lo encuentras incluso en el hospital, cuando se debe calcular la rapidez con la que crece un tumor. En todos esos casos utilizamos la misma técnica.

Siempre se trata, por tanto, del cambio. No importa qué clase de cambio sea, las matemáticas son lo mismo. Por eso se puede dar un ejemplo lo más sencillo posible para explicarlo, aunque sea un poco irreal. Imagínate que eres un policía de tráfico y tu objetivo es atrapar a gente que conduzca demasiado rápido. Debes calcular lo rápido que conducen o lo rápido que cambian de lugar. Para empezar, lo haces con el mínimo de matemáticas y de técnica moderna posible.

La solución más simple es una forma de control de tramo, para lo que se necesitan dos agentes: tú te pones al principio y apuntas cuándo pasa un coche, mientras que tu colega hace exactamente lo mismo un kilómetro más adelante. Después comparas los tiempos, confiando en averiguar lo rápido que iba el coche cuando pasó por delante de ti; así pues, no con el objetivo de saber la velocidad media en todo el kilómetro. Sin embargo, para calcular la velocidad del principio debes también calcular cuánto tiempo ha tardado el coche en recorrer ese kilómetro. Si contigo iba a 120 km/h, el recorrido de un kilómetro duraría medio minuto. Con una diferencia de medio minuto entre el momento en que tú y tu colega visteis el coche, sabrás que iba a 120 km/h.

¿De veras? ¿No puede hacer ese coche algo inteligente? Sí, claro que puede. El automovilista ve al policía y pisa el freno: aquí sólo se permite ir a 120, mientras que él conducía a 140. Si se pone a conducir más despacio durante el resto de ese kilómetro, puede procurar que el cálculo de los agentes dé cómo resultado 120 km/h. Y sí, oye, al principio el automovilista iba a 140 y al final sólo a 100, y los policías calculan muy bien una velocidad de 120 km/h.

Para evitar esa clase de comportamientos al volante, siendo policía puedes disminuir la distancia en la que mides; por ejemplo, con medio kilómetro. Eso le da a un automovilista que conduce a 120, como es debido, sólo quince segundos para cambiar de velocidad. Y así sucesivamente: vas haciendo la distancia cada vez un poco más pequeña y el cálculo para la velocidad del principio va resultando cada vez mejor. En la práctica ya no importa en un momento dado, porque los coches no pueden cambiar mucho de velocidad en un milisegundo. Por eso funcionan tan bien las señales que muestran la velocidad a la que vas, ya que hacen justo ese cálculo, pero en una distancia pequeña: un metro o así.

Imagina que esto no es suficiente. Quieres saber exactamente lo rápido que va ese coche en el momento en que lo ves. Entonces hasta el pequeño error que cometes con una señal de esas es demasiado grande. Para saberlo con mayor precisión debes ir reduciendo la distancia cada vez más. Aquí está la infinitud a la vuelta de la esquina: cuando haces infinitamente pequeña la distancia que mides, eres también infinitamente preciso y, por tanto, lo sabes con exactitud. Newton y Leibniz fueron los primeros a los que se les ocurrió esto.

Newton y Leibniz, en lugar de pensar en este caso, pensaron en una línea, con la que se preguntaban lo rápido que iría un punto sobre la línea arriba o abajo. Cuanto más empinada fuera la gráfica, tanto más rápido subiría o bajaría el punto.

Mira la línea curva en la imagen de la página siguiente. Ignora por un momento las otras dos líneas. Quieres saber lo rápido que sube el punto inferior cuando te mueves hacia la derecha, así que mides lo alto que está el punto en la parte baja de la línea, y lo alto que está un poco más adelante hacia la derecha. A continuación comparas esa diferencia en altura con una línea y luego ves lo rápido que sube el punto en la parte de debajo de la línea. Solo no funciona. El punto de debajo de la línea no subió tan rápido; en el intervalo fue mucho más deprisa, justo igual que cuando aceleraba el coche de mi ejemplo.

Una gráfica en la que quieres saber lo rápido que sube la línea curva con respecto al punto inferior.

La solución de Newton y Leibniz es ésta: redujeron la diferencia entre los dos puntos desplazando el segundo punto de la línea cada vez más hacia la izquierda. Debido a la distancia más pequeña, la línea en este caso se hace más plana y por eso el error es menor. Su idea fue reducir hasta el infinito la distancia entre los dos puntos. Entonces la línea tendrá el aspecto de la línea inferior de la imagen, que está exactamente igual de inclinada que la gráfica en ese punto. Pero bueno, entonces has de calcular con algo que es infinitamente pequeño...

Eso a Newton y a Leibniz les pareció también un fastidio. Más aun, pasaron cientos de años antes de que a alguien se le ocurriera cómo podías anotarlo como es debido. Porque ¿infinitamente pequeño no es sencillamente lo mismo que cero? ¿Cómo puedes medir la velocidad durante un tiempo de cero segundos? ¿No estaría parado el coche entonces? Igual que para las líneas. Por supuesto que puedes dibujar una línea entre los dos primeros puntos, pero ¿qué pasa si la distancia es infinitamente pequeña entre los puntos? Entonces no podrás dibujar ninguna línea entre ellos, ¿no?

Es complicado imaginarse este tipo de cosas. No en vano, pasó mucho tiempo antes de que los matemáticos comprendieran lo que hacían. Entre tanto, seguían calculando tan ricamente, porque funcionaba. Pero nadie sabía cómo funcionaba. Todo porque la diferencia entre infinitamente pequeño y el cero absoluto no está tan clara, al igual que la diferencia entre 0,9999... y 1. En ese caso no hay ninguna diferencia sin más, así que ¿por qué tendría que haberla entre 0,0000... 0?

Al final, a unos cuantos matemáticos se les ocurrió desechar todo ese «infinito». Es demasiado difícil, y en realidad estás mirando, sencillamente, algo que es lo más pequeño posible. Si procuras poder utilizar siempre una distancia más pequeña, estás dando en el clavo. De manera que puedes ir midiendo cada vez con mayor precisión si averiguas que has cometido un error. ¿Sigue pareciéndote demasiado teórico? No te preocupes, esos detalles no importan mucho. Si comprendes la idea de que vas disminuyéndolo todo cada vez más y de que, al disminuirlo, sabes cada vez con mayor precisión lo rápido que va el coche al principio, todo está bien.

¿Por qué los antiguos griegos fueron incapaces de hacerlo? Por dos razones. En primer lugar, no tenían números suficientes; te puede salir como resultado sin más una velocidad como π y eso lo ignoraban ellos en seguida. Entonces, los cálculos tampoco funcionan, porque para ello debes poder calcular precisamente cada velocidad posible. En segundo lugar, les parecía absurdo ese infinito. ¿Medir una distancia infinitamente pequeña? ¡Déjate de vaguedades! Eso es algo que no puede hacer nadie. Así pues, tenían problemas en dos puntos con la infinitud. Y tal vez nosotros los sigamos teniendo todavía un poco. Al fin y al cabo, todavía sigue siendo complicado comprender cómo funcionan las diferenciales que calculas de esta manera.

Sumar los pasos

Por desgracia, las integrales no pueden comprenderse más fácilmente. Las diferenciales tratan de la velocidad: ¿cómo de rápido cambia algo? Las integrales tratan de la cantidad: ¿cuánto ha cambiado ya algo? Las integrales, por tanto, suman tantos cambios como sea posible. ¿Quieres saber lo que ha crecido un tumor al cabo de un tiempo? Para eso necesitas una integral. Siempre que quieras conocer el cambio total, utilizas integrales, o bien cuál es la cantidad total de corriente que consumes, la posibilidad total de que Donald Trump gane las elecciones presidenciales, el abombamiento final de una viga maestra o el daño que sufres en un accidente automovilístico. Como el que no quiere la cosa, vas encontrándote integrales por todas partes. También en la manera en que los fabricantes de coches procuran que sobrevivas a una colisión.

¿Cómo ocurre esto en su trabajo? De nuevo con pequeños pasos; sólo queremos seguir muchísimos pasos pequeños y sumarlos todos. Imagínate que trabajas para la Mercedes y tienes que fabricar coches tan seguros como sea posible. Puedes hacerlo probando de todo, cargándote coches y viendo qué ocurre, pero también de forma mucho más barata con las matemáticas.

Cuando un coche se estrella, es sobre todo la cabeza de los ocupantes la que corre peligro; cuanto más rápido y durante más tiempo se mueva de una lado a otro, tanto más peligroso el accidente. La velocidad es, por tanto, importante y puedes calcularla con —primero— una diferencial. Para cada momento del accidente observas la rapidez con que se mueve la cabeza. Primero sale disparada hacia delante y es de esperar que vaya a dar con un airbag que frene al conductor. Después vuelve hacia atrás, a su posición original, chocando contra el apoyacabeza, y luego de nuevo hacia delante.

Como matemático de Mercedes calculas, por tanto, primero lo rápido que se mueve esa cabeza en muchísimos momentos. Pero todavía no sabes lo peligroso que ha sido el accidente, porque sólo conoces la velocidad. Por eso necesitas también una integral. Una velocidad alta es, naturalmente, peligrosa, pero moverte mucho de un lado a otro es más peligroso aún. Piénsalo: girar rápido en redondo una vez no es tan grave, pero si das veinte vueltas girando en redondo muy rápido, pillarás un mareo de mil demonios.

Ésa es una buena razón para sumar lo rápido que se mueve la cabeza durante el accidente. Un matemático perezoso lo hará con una sola velocidad. Eliges, por ejemplo, la velocidad más alta y la multiplicas con el tiempo del accidente. Luego haces predicciones que no son ciertas: los coches parecen mucho más inseguros de lo que son en realidad. Así pues, exactamente el mismo problema que con las mediciones del trayecto para la velocidad que vimos antes.

La solución es, por tanto, la misma: mirando muchísimos pasos pequeños juntos, tu cálculo va mejorando. De hecho, quieres sumar todos esos pequeños pasos infinitamente pequeños, porque entonces sabrás con mayor precisión cuánto se mueve la cabeza de un lado a otro, es decir: lo peligroso que es ese accidente. Un cálculo semejante lo siguen utilizando los fabricantes de coches para pronosticar la seguridad de sus automóviles. Naturalmente, también los someten a pruebas en la realidad, pero un cálculo matemático lo hace todo más fácil y seguro. Ya no necesitan cargarse tantos coches antes de saber lo seguros que son y consiguen más rápido un resultado de la seguridad. Los investigadores, a continuación, pueden ver con qué resultado de ese cálculo las personas sufren una conmoción cerebral, por ejemplo. Así es como las integrales se ocupan de tu seguridad.

¿No tenían las integrales también algo que ver con las superficies y los volúmenes? Tal vez lo recuerdes del instituto, porque con las integrales llegas también a esas fórmulas para el principio de Arquímedes sobre esferas, conos y cilindros. Además, utilizas el mismo truco, lo único que pasa es que el cambio ya no está tan claro; tienes que imaginártelo. Las ilustraciones de la página siguiente muestran cómo calculas una superficie: todo con pequeños pasos que vas sumando. Pasos que haces cada vez más pequeños. Por eso van encajando los rectángulos, tu cálculo de la superficie, cada vez mejor en la sección inferior de la línea ondulada. Pero un cambio es difícil de encontrar.

Si ayuda, puedes imaginarte esta gráfica también como dos láminas tendidas sobre el suelo. Quieres saber lo grande que es el terreno bajo la línea de la gráfica. Eso habría sido fácil con un rectángulo, porque entonces puedes multiplicar en un cálculo la longitud por la anchura. Como es tan fácil, quisiéramos calcular también la forma más difícil de esa manera: dividimos el terreno en pequeños rectángulos que encajan, en la medida de lo posible, en la línea curva, yendo de esa manera de un lado a otro con una cinta métrica.

Recorriendo de arriba abajo un sendero estrecho con la forma de esos rectángulos, al final puedes calcular la superficie con esa simple cuenta de longitud por anchura. Por último, sólo necesitas sumar los rectángulos para llegar a la respuesta. El cambio es, por tanto, lo que has ido recorriendo de un lado a otro a lo largo de esos rectángulos. Y por el hecho de haber estado caminando en rectángulos cada vez más pequeños, ese cambio total encaja cada vez mejor con la superficie.

Así calculas superficies, pero también volúmenes. Para un volumen, además, tienes que andar también arriba y abajo. Eso sí que es más difícil de calcular, pero en cuanto a la idea es lo mismo. Vas caminando de un lado a otro y al final calculas cuánto has caminado. A veces no significa más que eso, como cuando encuentras las fórmulas estándar para volúmenes que he mencionado al principio de este capítulo. A veces es más concreto. El cálculo del peligro en un accidente también puedes verlo como el cálculo de una superficie: esos rectángulos debajo de la línea tratan del movimiento de la cabeza. Si la línea muestra lo rápido que se mueve la cabeza y un lugar más alto significa un movimiento más rápido, entonces después de caminar ves en el resultado de la suma cuánto se ha movido la cabeza de un lado a otro en total. Es la misma idea, pero descrita de nuevo de manera distinta.

Más variable es imposible: el tiempo

Por fin, el hombre del tiempo pronostica que va a hacer bueno mañana. Pero claro, no es que puedas fiarte. Los partes meteorológicos suelen equivocarse tanto que harás bien en no tomarte una predicción al pie de la letra. ¿No? Así era antes de que los meteorólogos pudieran utilizar integrales y diferenciales para pronosticar el tiempo. Desde que sí se puede, gracias a los grandes ordenadores, los pronósticos son sorprendentemente precisos, tanto más si los comparas con los pronósticos de la década de los setenta del siglo pasado.

Hasta entonces había una receta simple para la predicción del tiempo. Paso número uno: mira afuera y observa las nubes que ves, la temperatura y ese tipo de cosas. Paso número dos: busca en un libro gordo un día anterior en el que el tiempo fuera el mismo. Paso número tres: la predicción es el tiempo atmosférico del día siguiente, tal como aparece en tu libro. Así pues, haces como si el tiempo fuera exactamente el mismo que antes y, por tanto, los días posteriores ocurrirá exactamente lo mismo. Si sólo miras las nubes y la temperatura, por supuesto que casi nunca saldrá bien. El tiempo atmosférico es bastante más complicado, de ahí que esas predicciones suelan fallar.

Naturalmente, el tiempo también se puede «calcular». Precisamente esa variabilidad del tiempo, las corrientes de aire, es algo para tratar con integrales y diferenciales. En la Primera Guerra Mundial, por ejemplo, Lewis Richardson pensó en experimentar con predicciones de tiempo mediante cálculos, porque conocer bien el tiempo que va a hacer es una ayuda también a la hora de entrar en guerra. Empezó cauteloso con una predicción para el tiempo que iba a hacer en las próximas seis horas. Así pues, miró afuera, se puso a calcular deprisa y, después de su cálculo, sabía qué tiempo haría al cabo de las seis horas de haber mirado afuera. Lo único fue que Richardson se había equivocado en la parte de «calcular deprisa». ¡Un cálculo así duraba seis semanas!

Pronosticar el tiempo con un cálculo es, así pues, muy complicado. No sólo el cálculo duraba seis semanas, sino que ese cálculo solía ser erróneo, algo que se debe a que en el tiempo hay muchas variables. Cada parte de aire se mueve, cambia la temperatura, la humedad del aire, etcétera. Debes saber dónde están las zonas de altas y bajas presiones, cómo se desplazan, y eso para una parte muy grande de la atmósfera. Hasta los pequeños cambios suponen una gran diferencia.

Por todos esos cambios todavía no podemos predecir el tiempo. Ni siquiera un superordenador gigante es capaz de calcular lo suficientemente rápido para hacerlo. Así que hemos renunciado a querer saberlo todo exactamente y se ha optado por un término medio: un superordenador hace como si el tiempo en un trozo de aire de diez kilómetros cuadrados fuera el mismo en todas partes, porque pasos aún más pequeños suministrarían demasiados cálculos. Por eso, el pronóstico del tiempo sigue siendo un poco impreciso, si bien se puede confiar un poco más en él desde que lo predecimos mediante esta solución intermedia.

¿Debemos creer al hombre del tiempo cuando dice que mañana hará bueno? Sí. Los meteorólogos no pueden predecir el tiempo de manera exacta, pero sí bastante bien. Los ordenadores calculan cómo cambia el tiempo entre esos cuadrados. Lo hacen mirando lo rápido que se mueve el aire, mediante diferenciales, y cuánto ha cambiado todo al cabo de un tiempo, mediante integrales. Gracias a esas matemáticas nuestros pronósticos del tiempo han ido mejorando cada vez más. Son incluso tan buenos que el pronóstico para el día siguiente casi siempre es correcto. Incluso una predicción sobre el tiempo de la semana siguiente es exacta en el 80% de los casos. Esas integrales y diferenciales son muy prácticas, ¿no?

Las integrales y las diferenciales en los edificios, los planes de gestión y la física

No sólo cambia el tiempo. Otras cosas también cambian; los edificios, por ejemplo. No te das cuenta, pero a un edificio le afectan continuamente cosas como el viento y el peso de las personas que lo recorren. La gravedad tira de él, confiando en llevárselo para abajo, y, sin embargo, sigue erguido tan ricamente, porque sabemos muy bien cómo debemos asentar un edificio. Aunque también se ha mejorado bastante desde que empezaron a utilizarse las matemáticas en su construcción.

Durante mucho tiempo, los edificios se diseñaban basándose en la experiencia anterior. Las personas construían algo que se conocía sin experimentar demasiado. Las cosas nuevas se testaban con cautela, confiando en que todo funcionaría. La construcción era un arte que alrededor de 1900 fue convirtiéndose cada vez más en ciencia. Mira, por ejemplo, el Golden Gate Bridge en la página siguiente. Cuando fue construido era, con diferencia, el puente más largo del mundo: casi tres kilómetros y 129.000 kilómetros de alambre en los cables. Superaba en todo las dimensiones de los puentes que se habían construido antes. ¿Cómo se lleva a cabo algo así? ¿Y cómo puedes saber con seguridad que un puente tan grande va a seguir en pie? ¿Que el viento no lo destrozará y que no será demasiado pesado en el medio? Eso es algo que se calculó con antelación.

El Golden Gate Bridge en San Francisco.

La rama de la física que se utiliza para calcular si un puente va a seguir en pie depende de las integrales y las diferenciales. Trata sobre todo de la capacidad de doblarse que tienen las vigas de acero. Como sabes, el Golden Gate Bridge consta en su mayor parte de piezas de acero sobre las que descansa el peso. Esas vigas de acero van doblándose por ese peso y se puede calcular hasta dónde se doblan. El cambio de forma le corresponde a una diferencial, y quien a continuación quiera saber cuánto se dobla en total la viga utiliza una integral. Además, se debe tener en cuenta un montón de cosas más, tales como la manera de colocar esa viga. En el dibujo de la página siguiente se ve a lo que me refiero: una viga plana se dobla mucho más que una viga que se coloca de canto.

Las matemáticas han eliminado las conjeturas de la construcción. Los constructores tenían experiencia con las vigas de acero, pero nadie tenía experiencia con un puente tan grande como el Golden Gate Bridge. O con un puente de ese tamaño que fuera por completo de acero. Puedes empezar a construir al buen tuntún y confiar en que todo siga siendo lo mismo si trabajas a gran escala, pero es algo que se vuelve muy caro. Imagínate que al final sale mal. El contribuyente no quiere pagar por una serie de experimentos con puentes que van desplomándose una y otra vez. Afortunadamente, eso deja de ser necesario haciendo cálculos con antelación. De esa manera, las matemáticas han hecho prácticamente posible asentar edificios cada vez mayores y más complejos. Como podemos calcular si un edificio va a mantenerse en pie, también podemos asentar edificios que nunca ha visto nadie todavía. Una construcción como la de la página siguiente, en Pekín, es de repente factible.

La diferencia en deformación de una viga por la manera en que se ha colocado.

El cambio se puede encontrar en muchos más lugares. Pensemos en la economía, donde fluye el dinero de un lugar a otro. El número de empleos, plazas vacantes y demandantes de empleo cambia continuamente. A veces la Administración toma medidas para provocar los cambios y esos planes de gestión deben calcularse, por descontado. ¿Qué clase de consecuencias tendría en realidad, por ejemplo, la supresión del impuesto sobre la renta del capital? Para las respuestas a esa clase de preguntas, los Países Bajos tienen la Oficina Central de Planificación (CPB), donde se estudian los planes del Gobierno y se calculan las consecuencias que podrían tener.

La sede de la CCTV en Pekín.

La CPB no se inventa esos cálculos sin más. Tiene un gran modelo matemático para llevarlos a cabo, una serie de fórmulas relacionadas con la economía que dicen lo que ocurre cuando algo cambia. ¿Y qué es lo que aparece en esas fórmulas? Exacto, integrales y diferenciales para poder calcular los cambios.

Con la supresión del impuesto sobre la renta del capital cambia la cantidad de impuestos que recauda el fisco, y con ello también la cantidad de dinero en manos privadas. Eso tiene, si sale adelante, también otros efectos en la economía. Cambias una cosa y confías en mejorar toda clase de cosas diferentes al cambiarla. La CPB puede ayudar a reflexionar sobre esos efectos. Desde luego, resulta más exacto si puedes calcularlo matemáticamente. Más aún, corres menos riesgos de que se te pase algo por alto. Tú puedes olvidarte de algo quizá, pero las fórmulas no se olvidan de nada, por supuesto.

Esos cálculos de la CPB no sueles encontrártelos mucho, a lo sumo en época electoral. Pero las integrales y las diferenciales aparecen también más cerca en nuestras casas. En los aparatos que tienes a tu alrededor: tu coche, tu cafetera, el termostato. Pero también el piloto automático del avión en el que te vas de vacaciones, por ejemplo. Todos son aparatos que dependen en una misma manera de la rama de las matemáticas de la que tanto se quejan los alumnos de secundaria.

Lo que tienen en común es que deben cambiar algo de modo controlado. El termostato debe alcanzar y mantener la casa a la temperatura adecuada y eso lo consigue mediante cálculos. Imagínate que la temperatura de la casa es de 16 grados por la mañana temprano y quieres que sea de 18. El termostato calcula entonces lo alta que debe estar la calefacción y durante cuánto tiempo. Gracias a una diferencial, el termostato puede llevar la cuenta de lo rápido que desaparece la diferencia entre la temperatura actual y la deseada, o lo rápido que se calienta la casa, con el fin de evitar que primero la casa se caliente demasiado, tras lo cual debería volver a enfriarse durante un tiempo; el termostato calcula de esa manera las diferenciales y las integrales.

En otros lugares debe ocurrir también algo semejante. El sistema de control de velocidad de un coche debe adaptar primero tu velocidad y después mantenerla igual. Hay que acelerar constantemente, porque de lo contrario el coche se frenaría. Lo que debes acelerar para mantener la misma velocidad se calcula con diferenciales e integrales, que es lo que hace también el piloto automático de un avión y ésa es también la idea tras los impresionantes aterrizajes de los cohetes de la empresa SpaceX. Siempre hay cambios que deben controlarse y, para controlarlos, casi no podemos pasar por alto ni las integrales ni las diferenciales.

Y la física tampoco puede pasar sin ellas. En la naturaleza todo cambia constantemente, así que si quieres estudiarla, necesitas un método para reflexionar sobre esos cambios: el cálculo integral y diferencial. Newton lo utilizó en seguida en su teoría sobre la gravedad y entonces era todo nuevo todavía, así que no hizo tantos cálculos con ellas, pero las formulaciones eran, como ya vimos en un capítulo anterior, asombrosamente precisas y simples. Tan precisas y simples que Richard Feynman, un famoso físico del siglo XX, dijo que Newton no podía haber escrito de ninguna otra manera su teoría sin haberla hecho peor.

¿Todo el mundo con las integrales?

Las integrales y las diferenciales son enormemente útiles. Son un poco más difíciles de comprender que la aritmética y la geometría del capítulo anterior, pero ¿son de verdad necesarias? Eso se lo preguntan casi todos los alumnos de secundaria. ¿Voy a utilizar alguna vez esas cosas en mi vida diaria? Depende, porque como ya he mostrado en este capítulo, aparecen en muchísimos lugares. ¿Vas a diseñar edificios en el futuro? Hay grandes probabilidades de que te las encuentres. ¿Vas a introducirte en la física? Probablemente trabajarás en un momento dado con integrales y diferenciales. Y si vas a realizar pruebas de choque o a diseñar coches tendrás que vértelas también con integrales y diferenciales. Pero bueno, siguen quedando suficientes profesiones en las que ya no tendrás que volver a verlas nunca más.

Por eso es grande la probabilidad de que no te topes en la vida diaria con ninguna situación en la que tengas que calcular una integral o diferencial. Podemos reflexionar muy bien sobre los cambios en nuestra vida sin calcularlos. En ese sentido, es cierto que no vas a utilizar integrales y diferenciales en la vida. No tendrás que trabajar con ellas personalmente siempre y cuando elijas una profesión que no utilice las matemáticas. Pero también si eliges una profesión así, tal vez no tengas que calcular; no por ti mismo, al menos. Cada vez es más fácil conseguir que un ordenador haga los cálculos por ti.

¿Hay entonces otra razón importante para saber algo sobre integrales y diferenciales? Imagínate que quieres comprender los números, solamente porque la Administración calcula tus impuestos con ellos. Sería bastante engorroso que se cometiera un fallo con el impreso de tu declaración sin darte cuenta. Pero en realidad no necesitas controlar nunca los cálculos con integrales y diferenciales de esa manera. Sí, se calcula con ellas y se toman decisiones basándose en esos cálculos. Si quieres comprender realmente esas decisiones, como de dónde provienen los cálculos de los planes del Gobierno, entonces necesitas ese conocimiento matemático. Pero, por lo general, los resultados de esos cálculos tampoco tendrán ninguna influencia directa en ti, al contrario de lo que pasa con los números con los que se calculan tus impuestos.

Sin embargo, esto no significa que debas quejarte demasiado del plan de estudios en el instituto. La idea que hay tras las integrales y las diferenciales es quizá algo difícil de comprender, pero es de esperar que resulte atractiva e interesante. Los signos matemáticos te ocultan fácilmente la visión del pensamiento que se esconde detrás: estudias el cambio subdividiéndolo en pedacitos lo más pequeños posible. Si quieres comprender cómo funcionan las cosas a nuestro alrededor, es esencial seguir esa idea.

En realidad, las integrales y las diferenciales han cambiado el mundo. Han hecho posibles ordenadores, teléfonos inteligentes, aviones y muchas más tecnologías modernas, haciéndose imprescindibles para comprender mejor el mundo. Gracias a ese concepto, podemos trabajar con esas tecnologías modernas; sin ese concepto, todavía seguiríamos construyendo cosas que sólo sabríamos por pura experiencia práctica, lo que habría dificultado mucho más la creación de edificios grandes y variados, además de que la tecnología moderna habría sido prácticamente inviable. En resumen, sin integrales y diferenciales habríamos vivido en un mundo muy distinto.

Así que inútiles seguro que no son. Incluso nos las encontramos en muchos más lugares de los que pensamos, lo que pasa es que no nos percatamos y tampoco es que tengamos que hacer algo con ellas a toda costa, porque hemos llegado hasta tal punto que los cálculos se hacen para nosotros. ¿Todo el mundo con las integrales? No, eso no. Pero sí que estoy a favor de explicar a todo el mundo la idea que hay detrás de las integrales. Al igual que enseñamos historia a todo el mundo. Las integrales y las diferenciales constituyen un importante telón de fondo para el mundo que nos rodea. Uno que, desgraciadamente, suele presentarse a menudo de una manera que da miedo. No es necesario en absoluto; la idea que hay detrás, y la utilidad de esa idea, pueden comprenderse de maravilla.

6

Asidero en la incertidumbre

Es el otoño de 2016. Todos los ojos están puestos en los Estados Unidos de Norteamérica y en las elecciones presidenciales, y, como siempre, no podemos esperar para conocer el resultado. Queremos saber con antelación quién tiene las mayores probabilidades de ganar: ¿Hillary Clinton o Donald Trump? Las previsiones han adquirido, entre tanto, mala fama. Los expertos tras las encuestas afirmaban que Clinton tenía entre el 70 y el 99% de probabilidades de ganar. ¡99%!

Todos sabemos lo que ocurrió después. Para sorpresa de todos, ganó Trump. Las encuestas estaban muy equivocadas; al menos, eso parecía. Los expertos que decían que Clinton estaba segura del triunfo habían errado en cualquier caso. ¿Cómo podían equivocarse tantas personas? Ésa es la gran cuestión, porque esta clase de equivocaciones suceden con mucha frecuencia. Pensemos también en las encuestas para el referéndum del Brexit en Gran Bretaña. Según las encuestas, una mayoría quería quedarse en la UE. Se exhibía menos autosuficiencia que en las encuestas para las elecciones presidenciales norteamericanas, pero también había una clara preferencia por un voto a favor de la permanencia. Y tampoco allí acertaron las encuestas y los pronósticos: una mayoría votó precisamente contra la UE.

¿Qué podemos hacer ahora con las encuestas? Si los números pueden tomarnos así el pelo, ¿debemos confiar en ellos? Sí, pero no a ciegas. Como las encuestas pueden estar equivocadas, es bueno saber cómo funcionan. Al fin y al cabo, son también cálculos que proceden de algún sitio. Y tampoco llevamos mucho tiempo haciendo esos cálculos; por ejemplo, no había encuestas en la antigua Atenas, donde también se votaba sobre decisiones importantes. Allí no tenían las matemáticas para pronosticar resultados, y ni siquiera en la época de Newton y Leibniz existan esas matemáticas, aunque ya estaban ocupándose con ellas. No empezó todo hasta 1654.

Juegos en las matemáticas

Blaise Pascal y Pierre de Fermat, dos matemáticos (aficionados), mantuvieron una apasionada discusión. A Pascal le había desafiado un noble francés a resolver un problema. A ese noble, De Méré, le gustaba apostar en juegos de azar, pero se topaba con un problema: a veces el juego debía interrumpirse antes de que hubiera un claro ganador. Imagínate que el rey viene de repente de visita; entonces no puedes seguir jugando sin más. Así pues, él quería saber cómo debía repartirse el dinero con el que estaba apostando. Su pregunta a Pascal fue: ¿cómo hacerlo? Pascal tampoco lo sabía, así que empezó a escribirse cartas con Fermat hasta que dieron con la solución: se trata de la probabilidad de que tú, o aquel por el que apuestas, gane al final. Con esto nació el cálculo de probabilidades, también conocido como estadística.

Imagínate que estás jugando un juego en el que debes ganar tres rondas y te ves obligado a parar cuando estás 2-1 por delante. ¿Qué cantidad debe pagarte el otro? ¿2/3 del bote, porque has ganado dos de las tres partidas? No, tienes que recibir más, porque se trata de la posibilidad de obtener el bote entero. Esa posibilidad resulta ser de 3/4, así que debes obtener también esa parte del bote. A Pascal y a Fermat se les ocurrió reflexionando sobre las maneras en que el juego podría terminar, como en la figura de la página siguiente.

Los posibles resultados de una partida interrumpida.

Imagínate que ganas también la ronda siguiente, entonces el resultado será de 3-1. La otra opción es que gane tu contrincante y que debas jugar una ronda más para acabar 3-2 o 2-3. Así pues, ganas en dos de los tres casos. Lo que pasa es que hay un problema: el número de rondas que juegas no es siempre igual. Si juegas a la izquierda también una ronda extra, para acabar 3-2 o 4-1, verás que en realidad ganas en tres de los cuatro casos. De ahí esa probabilidad de 3/4, según Pascal y Fermat.

¿Cuál es la utilidad de esto? No suena como un problema muy importante que resolver. Quizá se presente de vez en cuando, pero también habrían podido seguir jugando después. Aquí tenemos un principio sorprendentemente inútil para una de las disciplinas más aplicadas de las matemáticas. Por extraño que parezca, en seguida surgieron toda clase de matemáticos para hacer esta clase de cálculos relacionados con otras situaciones y juegos cada vez más difíciles.

¿Era entonces tan inútil? Tal vez no, porque en la época de Fermat y Pascal se especulaba cada vez más con el comercio. Había inversores que apostaban que un barco regresaría sano y salvo con una bodega llena de mercancías. A veces esos inversores se echaban atrás, por ejemplo, porque necesitaban el dinero para otra cosa. Podría darse muy bien y por eso los matemáticos se pusieran a reflexionar sobre una versión más simple, en la que también se trataba del dinero que querías recuperar antes del «final».

Fuera cual fuera la motivación, el estudio de esta clase de juegos no llevaba de inmediato a algo útil. En realidad, debes saber con antelación cuál es la probabilidad de que ganes una ronda. En mi ejemplo hice como si los dos jugadores tuvieran la misma probabilidad de ganar, cuando me salió 3/4. En la mayoría de los juegos esto no es así, naturalmente; quizá seas mejor que tu contrincante, lo que entonces aumenta, por supuesto, la probabilidad de que ganes. En realidad, calculas lo que ocurrirá si sabes con exactitud cómo funciona todo. Piensa de nuevo en las elecciones. Ese cálculo de probabilidades del ejemplo puedes utilizarlo en las elecciones sólo si sabes de cada votante lo grandes que son las probabilidades de que vayan a votar a Trump o a Clinton. De hecho, deberías asimismo saber lo que van a votar todos los norteamericanos inscritos en el censo electoral. Pero eso yerra el objetivo; no puedes leer el pensamiento de todo el mundo en los Estados Unidos de Norteamérica. Si pudieras leerlo, tampoco te haría falta hacer ninguna predicción más. Ya sabrías la respuesta entonces, ¡porque en cierto sentido ya habrías celebrado las elecciones!

Calcular las probabilidades sin tener ya toda la información para la respuesta, eso sí que es útil. ¿Y por dónde empiezas entonces? Por las cosas que sí puedes ver, tales como un cuestionario rellenado sobre las elecciones. Sólo puedes dárselo a un número pequeño de personas y nunca sabes si lo rellenarán en serio, pero es lo que tienes. O con un dato aún más simple, tal como el color de una piedra. Así empezó por lo menos Jakob Bernoulli, en su libro Ars Conjectandi de 1713; más de cincuenta años después de Pascal y Fermat, porque pasó todo ese tiempo antes de que a alguien se le ocurriera que era mejor estudiar algo con mayor utilidad práctica.

Bernoulli fue el primero que intentó calcular una probabilidad sin saber cuáles eran todos los resultados posibles. Imagínate que tienes una gran vasija de cerámica que contiene cinco mil piedrecitas. No sabes cuántas de esas piedrecitas son blancas y cuántas son negras. Para averiguarlo, sacas unas cuantas piedrecitas de la vasija: dos negras y tres blancas. ¿La vasija contiene entonces 2.000 piedras negras y 3.000 blancas? Tal vez, pero también podría ser perfectamente que hubieras cogido por casualidad las únicas tres blancas. Esa probabilidad es, naturalmente, mucho menor, pero sigue siendo posible.

Así pues, sigues sacando piedras de la vasija. Siempre las ves en la misma proporción: dos negras frente a tres blancas. Lógicamente, crees estar cada vez más seguro de que de veras hay 3.000 piedras blancas, al igual que cada vez estamos más seguros de que el Sol saldrá al día siguiente conforme vamos viendo que sale cada vez más a menudo. Pero ¿cuántas piedras debes coger antes de que puedas decir de manera razonable que la proporción es correcta? Eso era lo que quería calcular Bernoulli. En su opinión, sólo llegarás a saberlo con «seguridad moral» cuando aciertes en 999 de los 1.000 casos. Lo que pasa es que entonces tendrías un problema. Él calculó que, para obtener el buen resultado incluso en 49 de los 50, ¡tendrías que sacar 25.550 piedras!

Ahí termina su libro. Bernoulli paró en medio de la historia, porque realizar 25.550 veces un experimento para ni siquiera acercarse a una «seguridad moral» es demasiado pedir. No publicó el libro y fue su sobrino quien decidió editarlo ocho años después de su muerte; aunque eso también duró mucho tiempo, porque la viuda de Bernoulli no confiaba en el hermano de éste, con el que discutía sólo a través de revistas científicas, ni en el sobrino.

Bernoulli llevó a cabo, por tanto, un buen primer intento, pero tuvo algunos problemas. En primer lugar, debes apostar por la proporción correcta: debes decidir con antelación que quieres saber cuál es la probabilidad de que haya 3.000 piedras blancas. Es un cálculo distinto de si quieres saber la probabilidad de que haya 2.999 piedras blancas. En segundo lugar, el número de experimentos era excesivo y su exigencia de certeza demasiado alta. La ciencia suele utilizar actualmente el requisito de que has de tener razón 19 de 20 veces.

Así, con juegos, es como empezaron las matemáticas alrededor de las probabilidades. Después de esto, fue haciéndose poco a poco más práctico. Ya vemos a Bernoulli intentar calcular algo que sea también útil. Él también se acerca algo más a una solución: ya no es necesario saber lo que piensan todos los ciudadanos norteamericanos para hacer un sondeo. Sin embargo, debes seguir pensando con antelación que Clinton va a conseguir el 52 por ciento de los votos, por lo que no es mucho más práctico. Al principio, a fin de cuentas, no sabemos cómo va a votar todo el país. Esa apuesta no quieres hacerla tú y, por suerte, tampoco hace falta que la hagas gracias a las ideas del matemático siguiente, Abraham de Moivre, que se basó en algo que todos asociamos con las probabilidades: el lanzamiento de una moneda al aire.

Repartir monedas

De Moivre se crió en Francia, pero huyó a Inglaterra después de haber pasado un año en una celda francesa por ser protestante. Una vez en Inglaterra, trabajó de profesor de Matemáticas, no para una clase, sino para niños de la nobleza. En su tiempo libre, se dedicaba a investigar y en la investigación era sorprendentemente bueno. Tan bueno que incluso Newton, en un momento dado, llegó a enviarle a personas que tenían preguntas acerca de las matemáticas.

De Moivre también andaba atareado con piedras negras y blancas, aunque puedas imaginártelo más fácilmente como los dos lados de una moneda que lanzas al aire. Si continúas haciéndolo las suficientes veces, pensaba De Moivre, acabarás viendo de forma natural una «distribución binomial», un gráfico que obtienes para algo con dos («bi») resultados. En la página siguiente ves uno si se lanza una moneda diez veces. En el extremo de la derecha es la vez en que te sale cara diez veces, en el extremo de la izquierda el número de veces en que nunca te sale cara. Justo en el medio ves el número de veces en que te salen cinco veces cara.

Probabilidad del número de veces en que te sale cara cuando lanzas diez veces una moneda al aire.

Naturalmente, lo más probable es que te salgan cinco veces cara y cinco veces cruz, por eso el gráfico allí también está más alto. Es «más normal» que obtener las diez veces cara. Un gráfico así puedes verlo en toda clase de lugares. La altura también es un buen ejemplo: en los Países Bajos la estatura media de un hombre es de 184 cm, ése es el punto más elevado del gráfico. Si eres más bajo, caes al lado izquierdo. No hay, por ejemplo, muchos hombres con una altura de 150 cm, por tanto esos estarán más bajos en el dibujo. Tampoco hay tantos hombres con una altura superior a los dos metros; éstos caen al otro lado del gráfico, abajo a la derecha, por tanto.

Probabilidad del número de veces que sale cara si lanzas al aire una moneda cincuenta veces.

El dibujo con los diez lanzamientos de una moneda es bastante burdo. Si continúas más, obtendrás una colina cada vez más bonita. Mira el dibujo de abajo para el lanzamiento de una moneda cincuenta veces, que ya va más gradual.

Si sigues haciéndolo, al final obtendrás una colina lisa, y en ella verás también en seguida lo que tiene que ver esa colina con las probabilidades. Utilizando el método de Newton y Leibniz —integrales—, puedes calcular la superficie debajo de la colina. Con un cálculo así, ves que el lado superior es «normal», porque dentro de esos dos lados superiores está casi el 40% de todos los resultados.

Una distribución normal en la que los números indican la probabilidad de caer en el trozo delimitado de la línea.

Esa superficie se convierte también en seguida en una probabilidad. Porque casi el 40% de todos los hombres en los Países Bajos tiene una altura de 184 cm, que también es la probabilidad de que la estatura de un hombre cualquiera sea aproximadamente de 184 cm. Con las monedas funciona exactamente igual: la probabilidad de que la mitad de las veces que lances salga cara es mucho mayor que la probabilidad de que al lanzar cien veces las cien veces te salga cara. Esa probabilidad no es cero, porque alguien puede muy bien sacar cara cien veces seguidas, pero es muy inverosímil. Por eso está tan bajo en el gráfico.

Dos veces Thomas

De Moivre llegó, así pues, con ese gráfico y con integrales para calcular probabilidades. Pero ¿para qué vas a utilizar realmente ese gráfico? La estatura es estupenda y también las puntuaciones de cociente intelectual funcionan con un gráfico así, pero cosas más importantes, como sondeos, no puedes encajarlos en una colina sin más. No hay votos «normales» y «absurdos». La ciencia tampoco funciona tan fácilmente. Imagínate que quieres saber si de veras has encontrado un bosón de Higgs, uno de los descubrimientos más importantes de los diez últimos años. ¿Cómo vas a utilizar este desglose de resultados? ¿Acaso es posible?

Sí, gracias al trabajo de otro matemático: Thomas Simpson. Continuó creando, tomando como base la obra de su contemporáneo De Moivre, y también publicó un libro que explicaba ese trabajo a un público más amplio, algo que no aceptó De Moivre; en un libro posterior, se dirigía en el prólogo a «cierta persona [...] que haría aparecer, por compasión con el público, una segunda impresión de este libro con el mismo tema, por un precio muy módico [...] a pesar de todo lo que mutila mi argumentación...». Simpson pasó al contraataque, pero por suerte se interpusieron amigos de De Moivre y la disputa, por lo demás, no se salió de madre.

Además, Simpson tuvo una idea nueva: dio la vuelta al cálculo de probabilidades y no se concentró en las veces en que sale bien, sino en la probabilidad de que salga mal. La probabilidad, por tanto, de que el resultado de los experimentos científicos no sea correcto. Tus aparatos funcionarán bien casi siempre, aunque cometas un pequeño error de medición. La probabilidad de que más o menos midas lo correcto es grande, por tanto: esos casos estarían en medio del gráfico, en la parte superior de la colina. En algunos casos, sin embargo, estarás muy equivocado. Con mucha mala suerte, cometes un enorme fallo de medición, pero como se necesita mucha mala suerte, no suele ocurrir. La probabilidad de grandes fallos es pequeña, por lo que con uno de esos resultados estarás en la esquina izquierda o derecha del gráfico, en la parte de debajo de la colina.

Si todo va bien, por lo demás, gracias a las matemáticas podemos calcular la probabilidad de que nuestra suposición, por ejemplo, de que exista el bosón de Higgs, sea correcta. Al fin y al cabo, no sabemos cuáles son las mediciones correctas: ¿hay un bosón de Higgs, sí o no? No lo sabemos, así que tampoco sabemos si son correctas las mediciones que dicen que sí hay uno; quizá sean precisamente ésos los errores. Así pues, utilizamos ese gráfico en el que hacemos como si nuestra conclusión fuera errónea, y luego observamos lo absurdas que serían las mediciones en ese caso. Nos imaginamos que no hay bosón de Higgs. A continuación calculas la probabilidad de ver los resultados medidos. Si se necesita un montón muy grande de errores de medición para ver nuestros resultados y tus resultados, por tanto, van a parar a la parte baja del gráfico, serían buenas noticias. Es poco probable que no exista «ningún» bosón de Higgs, por tanto hay una gran probabilidad de que sí exista el bosón de Higgs. Si, por el contrario, apenas se necesitaran errores de medición para explicar lo que hemos medido, el resultado iría a parar a la parte superior del gráfico de la teoría de que no existe «ningún bosón de Higgs», lo que nos llevaría a tener que decepcionar a los científicos. Por suerte, esto último no se da. Es mucho más probable que exista un bosón. Y eso ocurrió en el CERN; llegaron mediciones de los experimentos que serían muy casuales si no hubiera ningún bosón de Higgs; ¡la probabilidad de ver nuestros resultados solamente mediante errores de medición era un minúsculo 1 sobre 3,5 millones!

Ahora bien, todo eso no se le ocurrió a Simpson solito. Volvamos a pensar por un momento en los dos problemas con el trabajo de Bernoulli: se necesitaban demasiados experimentos y sólo podías calcular lo probable que es que tu estimación sea correcta. Simpson resolvió ese primer problema, porque el resultado de sus cálculos era mucho más bajo. Más adelante otro Thomas, Thomas Bayes, resolvió el segundo problema elaborando más la idea de Simpson. Gracias a Bayes, podemos calcular también lo absurdo que sería ver esos resultados si no hubiera ningún bosón de Higgs.

Algunas probabilidades son, por lo demás, más fáciles de calcular que otras. Imagínate que recibes un correo electrónico y Gmail debe calcular lo elevada que es la probabilidad de que ese correo electrónico sea spam. Para eso puedes observar determinadas palabras que aparecen mucho en los correos basura, como «príncipe nigeriano». Lo único que pasa es que es difícil de predecir. Gmail no sabe de antemano si los correos electrónicos son spam o no, por tanto no puede juzgar tampoco si las palabras «príncipe nigeriano» aparecen sobre todo en el spam. A Bayes se le ocurrió una fórmula con la que se puede llegar a saber cuál es la probabilidad de que sea correo basura al ver esas palabras:

Así pues, debes conocer otras tres probabilidades. Por suerte, para tu proveedor de correo electrónico son todas mucho más fáciles de calcular que la probabilidad de spam con determinadas palabras, ya que esas palabras las aprende porque tú las has echado activamente en tu carpeta de correo basura. ¿Con cuánta frecuencia recibes spam? Para averiguarlo, Gmail sólo tiene que dividir el número de correos en tu carpeta de spam entre el número total de correos electrónicos. ¿Con qué frecuencia recibes correos que contengan «príncipe nigeriano»? Gmail simplemente lo calcula sumando esos e-mails y dividiéndolos entre el número total de correos electrónicos. Por último está la probabilidad de «príncipe nigeriano» en los correos spam, pero eso también es un sencillo cálculo: divide el número de correos en los que aparece «príncipe nigeriano» en tu carpeta de spam entre el numero total de correos spam que has recibido. Uno por uno simples cálculos, así pues, para llegar al final a una predicción de si un correo con «príncipe nigeriano» es spam o no lo es. Si esas palabras aparecen sobre todo en tu carpeta de spam y en realidad no estás manteniendo correspondencia con príncipes en Nigeria, ya puedes pronosticar el resultado: ¡a la carpeta de spam con ellos!

Así utilizamos mucho la fórmula de Bayes, porque daba una bonita solución al problema de Bernoulli. Bayes podía calcular con probabilidades sin estar atado a un juego de azar. Naturalmente, la fórmula todavía no es perfecta, porque no sabes si las probabilidades con que calculas en el lado derecho son correctas. Pero las probabilidades suelen ser más fáciles de controlar, y algo de incertidumbre mantienes siempre. La diferencia principal con el cálculo de probabilidades antes de la fórmula de Bayes es que en la práctica esta fórmula también tiene su utilidad.

Como en el médico: imagínate que te haces una prueba para ver si tienes cáncer. Luego quieres saber si la prueba dice que estás enfermo. ¿Cuánta fiabilidad tiene esa prueba? ¿Cuál es la probabilidad de que tengas realmente cáncer si la prueba es positiva? Eso se puede calcular con unas cuantas probabilidades distintas mediante esa fórmula de Bayes. Para ello necesitas otras tres probabilidades, para empezar con el número de personas con cáncer. Imagínate que son 20 de 1.000. Después, la prueba dice en el 90% de los casos, por tanto en 18 personas, «sí». Ésa es la segunda probabilidad que debes tener: la probabilidad de que la prueba consiga localizar el cáncer en las personas que están enfermas. Luego se necesita una tercera probabilidad: la probabilidad de que la prueba diga «sí» cuando no tienes cáncer. Imagínate que sea del 8%, así pues, con 80 de las 1.000 personas sin cáncer la prueba dice que tienen cáncer.

Junta esos números con la fórmula de Bayes —la probabilidad de cáncer después de que la prueba haya dicho «sí» es igual a la probabilidad de cáncer por la probabilidad de que la prueba localice el cáncer, dividido entre la probabilidad de que la prueba diga «sí»— y entonces verás que la prueba dice que con 98 personas dice que tienen cáncer. Eso es mucho más elevado que el número de personas con una prueba positiva que también están realmente enfermas: son sólo 18. Gracias a la fórmula de Bayes, puedes ver que la probabilidad de que tengas cáncer después de que la prueba haya dicho que lo tienes sólo es del 18%. Eso es mucho más bajo de lo que pensarías con una prueba que en el 90% de los casos ofrece el resultado correcto cuando estás enfermo. Por tanto, es bueno que tengamos esta rama de las matemáticas, porque por ella podemos averiguar cuánto nos dice en realidad una prueba así.

¿Por qué juegos? Las matemáticas de la práctica

La estadística, la versión aplicada de la probabilidad, sobre la que hemos tratado hasta ahora, empezó un poco más tarde con un problema práctico que debía resolverse. Tobias Mayer, un astrónomo, lo planteó en 1750. Por tanto, no es ninguna teoría abstracta, sino una rama de las matemáticas que provino directamente de la práctica.

En la época de Mayer había un gran problema: todas las potencias extranjeras tenían colonias y el mundo entero se había echado a la mar, pero nadie sabía cómo calcular el lugar exacto donde se encontraba un barco. Los barcos que se perdían costaban una fortuna, así que los británicos ofrecieron grandes sumas de dinero a las personas que pudieran idear la manera de calcular el grado de longitud y de latitud en el mar. El grado de latitud podía calcularse desde 1730 con un sextante, pero el grado de longitud era difícil. Así pues, el Estado decidió patrocinar la investigación para conseguir averiguar el cálculo del grado de longitud. Entre 1714 y 1814 se repartieron 100.000 £ —millones de libras de hoy en día— en premios para conseguir averiguar cómo se calculaba el grado de longitud.

Tras su muerte, en 1765, Mayer ganó 3.000 £, casi medio millón de libras de las actuales. ¿Su hallazgo? Logró predecir dónde puede verse la luna y, si sabes eso, puedes calcular la hora que es. El grado de longitud lo calculas a continuación mediante los husos horarios: cuanto más hacia el este estés, tanto más adelantado estás a la hora de Londres. En Ámsterdam es más tarde que en Londres y en Nueva York es más temprano. Mientras seas capaz de calcular qué hora es, también puedes calcular lo lejos que has navegado al este o al oeste.

Su predicción de la posición de la luna estaba basada en más de las tres mediciones habituales. Mayer empleó nada menos que veintisiete; para esa época excepcionalmente muchas, pero según nuestros estándares, muy pocas. Nos hemos acostumbrado a grandes cantidades de datos, pero antes de Mayer, simplemente, las personas no sabían cómo debían manejar datos extra. Para predecir dónde está la luna debes despejar tres incógnitas o, lo que es igual, tres mediciones; nada más ni nada menos. Así lo pensó también Leonhard Euler, uno de los matemáticos con mayor talento que haya habido nunca.

Para dar una idea más clara de lo que es tan complicado, tal vez lo mejor que puedas hacer es reflexionar sobre el dibujo de una línea, en la que hay dos incógnitas: lo empinada que es la línea y a qué altura empieza. Por eso no se puede dibujar una línea con sólo una medición. Si sólo tienes un punto en un gráfico, sabes a qué altura empieza, pero no la altura que debe alcanzar; mira en el dibujo de la izquierda aquí abajo. Con dos puntos, por el contrario, es un poco más fácil. Entonces puedes tirar una línea entre los dos, lo que se ve en el dibujo del medio.

Intentos de dibujar una línea a través de uno, dos y tres puntos.

¿Qué pasa si tienes más de dos puntos? En el dibujo de la derecha hay tres. ¿Cómo debe trazarse ahora la línea? No puedes trazarla sin más cogiendo sólo dos puntos, porque no utilizarías la tercera medición. ¿Debe trazarse entonces por algún lugar entre los tres puntos? Pero ¿por dónde? ¿Cómo de inclinada deber ser exactamente? ¿Y debe empezar también otra vez un poco por encima de ese punto inferior? Como ves, no es tan sencillo dibujar la mejor línea cuando tienes más de dos puntos. Por eso tampoco tuvo mucho éxito Euler y se negó a utilizar más que el número de mediciones indispensable.

Mayer sí lo consiguió. Su truco era en realidad muy simple: tienes veintisiete mediciones y tres incógnitas, así pues divides esas mediciones en tres grupos de nueve. Después tomas la media de esas nueve divisiones, de manera que utilizas esos grupos como tus puntos de medición. Él los utilizó todos, pero hizo el cálculo para tres mediciones. Y funcionó; su predicción era bastante más precisa que la de sus contemporáneos.

¿A qué se debe? Euler pensaba que no tenía sentido. Sí, utilizas más, pero así pueden acumularse precisamente tus errores. Si el resultado excede una y otra vez en 2, con más mediciones ese error de exceso lo único que hará será crecer. Por eso Euler pensaba que lo mejor que podías hacer era utilizar el menor número de datos posible. Ahora sabemos que eso no es cierto, pero ¿por qué no? Pensemos de nuevo en esa colina. Puede haber errores por todas partes en esa colina, tanto a derecha como a izquierda. Euler creía que, sumando mediciones, se deslizaría cada vez más hacia abajo. Pero precisamente, como hay errores a ambos lados, se descartan entre ellos, quedando entonces un error hacia la derecha y el otro hacia la izquierda. Si sumas esos errores positivos y negativos, llegas más hacia el centro. Por el mero hecho de que los errores en las mediciones son arbitrarios, es una buena idea emplear tantas mediciones como sea posible.

¡Más datos!

Alrededor de 1800 convergió la obra práctica de Mayer con toda la obra teórica sobre probabilidades. A esto contribuyeron especialistas como Carl Friedrich Gauss, Pierre Simon Laplace y Adrien-Marie Legendre, lo que volvió a provocar disputas sobre quién había llegado antes. Gauss llegó a hacer que sus amigos testificaran que le habían oído hablar del tema antes de que los otros hubieran publicado una letra sobre el asunto. No importa tanto quién fue el primero, pero está bien que a todos les pareciera un descubrimiento muy importante. No es de extrañar, porque antes de la muerte de Laplace, en 1827, ya había decenas de libros que trataban sobre sus obras. Las ciencias naturales aplicaron sus matemáticas en seguida y también fuera de ellas se utilizaron cada vez más. Siglo y medio después de Pascal y Fermat ya no había quien lo frenara.

La razón para que esto se produjera fue una mejora del método de Mayer, que en realidad no era nada más que un truco con el que se sorteaba el problema. Él no adaptaba el cálculo final, sino que tomaba sencillamente el promedio de esos tres grupos y trabajaba con él. Gauss y Laplace resolvieron el problema de una forma más pulcra. Se les ocurrió una prueba para ver qué línea debías dibujar si hay más de dos puntos. Imagina que tienes las mediciones como en el dibujo de aquí abajo. Entonces debes elegir, fue lo que se les ocurrió a Gauss y a Laplace, la línea de puntos como tu mejor enfoque.

El método de mínimos cuadrados de Gauss y Laplace para encontrar la mejor estimación.

Lo especial de la línea de puntos es que en ella los errores de medición son lo más pequeños posible. Dicho de otro modo, la línea armoniza lo mejor posible con tus resultados. Los errores de medición, que ves aquí como las líneas verticales entre los puntos y la predicción punteada, en este caso son mínimos. Como los errores son tanto positivos (hacia arriba) como negativos (hacia abajo), tomas por un momento el cuadrado; entonces no tienes que reflexionar sobre los menos. Pero es eso. Atendiendo a los errores, como pensaba Simpson, puedes utilizar mejor que Mayer múltiples mediciones. Tus pronósticos también mejoran así: si tienes nueve veces más mediciones, como Mayer, tu predicción es tres veces mejor. La diferencia no es tan grande, pero sí relevante; lo suficiente como para ganar con ello medio millón de libras.

Además, ahora también sabes lo buena que es una estimación. Sabes, en efecto, cuáles son los errores de tus mediciones. Con muchos pequeños errores tu medición es un poco más segura que con un par de grandes errores en medio. Eso era algo realmente nuevo. Compáralo, por ejemplo, con las estimaciones que hacían los antiguos sumerios. Ellos trabajaban también con conjeturas para la cantidad de grano que proporcionaba un terreno: un número fijo por metro cuadrado. Pero en la práctica no cuadraba, por supuesto, ya que no toda la tierra es igual de fértil, no cae en todas partes la misma lluvia y no todos los campesinos se ocupan igual de bien de su grano. Naturalmente que en Mesopotamia lo sabían también, pero no podían hacer mucho. Era demasiado pedir calcular cuál era la mejor estimación, o incluso lo buena que era su estimación. No tenían las matemáticas suficientes para realizarlo. No pudimos emplear esos datos hasta que a Gauss y a Laplace se les ocurrió cómo se hace una estimación óptima.

Lo que sí sabía John Snow

Pasaron otros cien años antes de que se pudiera ver realmente la estadística por todas partes, como en el estudio de las causas de las enfermedades. Alrededor de 1850, el cólera se había convertido en un gran problema, sobre todo porque nadie sabía cómo se propagaba la enfermedad: por eso brotaban las epidemias con tanta regularidad. Sí que había unas cuantas teorías. Muchas personas pensaban que el cólera se contraía inhalando aire contaminado o malos olores, pero más absurda aún era la idea de que, si eras malo, se elevaba la probabilidad de contraer la enfermedad. En 1832 y 1844 se convocó a los habitantes de Nueva York para que siguieran estando tranquilos y alegres con el fin de evitar que sucumbieran al cólera. Por fortuna, había otros que tenían la idea adecuada: el cólera se transmite a través del agua, sin importar que las personas fueran malas o no. Lo que pasaba es que apenas había una investigación sistemática en busca de la causa. Toda la discusión sobre el cólera era teórica.

Y entonces, alrededor de 1850, el médico británico John Snow salió a explorar. En aquella época se produjeron un par de epidemias de cólera sucesivas con cierta proximidad. Snow realizó su primera investigación en 1848 y consiguió señalar a un culpable: un marino llamado John Harold fue el primero que enfermó, pero eso no explicaba todavía por qué el siguiente morador de la habitación de Harold enfermó también. Era necesario investigar más.

Por suerte —para Snow— un par de años más tarde volvió a haber un gran brote de cólera. Esta vez el doctor estaba mejor preparado. Llevaba un mapa detallado de todos los lugares donde había sucumbido alguien a la enfermedad. Ese mapa puede verse en la página siguiente, con una franja negra por cada paciente de cólera que murió. Toda la gente se contagiaba en la misma parte de Londres, alrededor de Broad Street: la bomba de agua en Broad Street estaba infectada de cólera y todos los que sacaban agua de allí enfermaban, salvo en la cervecería y en un asilo de pobres cercano, porque ambos tenían una bomba propia.

Pero la prueba anecdótica más bella de que el cólera se propaga a través del agua fue el caso de una anciana que vivía en una parte muy distinta de la ciudad. También enfermó de cólera, porque todos los días mandaba traer especialmente agua de la bomba de Broad Street, ya que había vivido allí y el sabor de su agua le parecía mucho mejor que el de las bombas donde se fue a vivir después. Una investigación realmente científica debe ser un poco más minuciosa, y eso tomó forma un par de años después con motivo de una epidemia mucho mayor.

Víctimas (las franjas negras) de la epidemia de cólera alrededor de Broad Street.

La investigación de Snow ese año fue, incluso sin que él lo supiera, uno de los primeros experimentos doble ciego en la historia. En 1855 fallecieron, en efecto, miles de personas por el cólera. Snow había pensado que, si se debía al agua, podría haber una relación entre la empresa que te suministraba el agua y la probabilidad de que murieras de cólera. Así pues, observó a los dos grandes proveedores de agua de Londres: Southwark & Vauxhall y Lambeth. El primero extraía agua de una parte más sucia del Támesis que el otro, así que se podía esperar que las personas que recibían el agua de Southwark & Vauxhall tenían una probabilidad mayor de fallecer de cólera.

En efecto. Southwark & Vauxhall suministraba agua a 40.000 hogares y, con ello, la empresa envió a la muerte a 1.263 personas. Snow lo convirtió al número de muertos por 10.000 casas: 315. Compara eso con la compañía de agua Lambeth, que suministraba agua mucho más limpia, por lo que fallecieron «sólo» 37 personas por 10.000 casas. Y luego había otra compañía más pequeña, Chelsea, que utilizaba la misma agua contaminada que Southwark & Vauxhall, pero Chelsea purificaba el agua cuidadosamente, por lo que pocos clientes de la compañía contrajeron el cólera.

Snow estaba convencido. Toda su investigación señalaba que el cólera se propagaba mediante el agua contaminada. Era cierto, y no mucho más tarde se descubrieron bacterias de cólera, pero Snow no pudo demostrar la verosimilitud de su afirmación, no pudo demostrar que existía una estrecha relación entre el número de muertos y la compañía de agua. Sus contemporáneos no creían en absoluto que sus experimentos demostraran que el agua contaminada era la causa. Incluso en 1892 había doctores que creían que el cólera se propagaba por el suelo. Con un poco de matemáticas, Snow habría podido demostrar el grado de probabilidad de que él tenía razón. La falta de matemáticas costó vidas, literalmente.

Nicholas Cage y las piscinas

¿Qué faltaba? ¿Cómo habría podido calcular John Snow lo precisa que era la relación entre los suministradores de agua y el número de muertes? Una de las ideas ya la hemos visto por aquí; puedes observar, al igual que con el bosón de Higgs, lo probable que es que veas una diferencia así en número de muertes sin que el cólera se propague a través del agua contaminada. Hay un gran agujero entre 315 muertes por 10.000 casas y 37 muertes por 10.000 casas. ¿Puede ser casualidad? Para eso utilizas la colina: ¿adónde irías a parar si aceptas que el cólera es causado por algo muy diferente? Exacto, a otra parte. Si la probabilidad de que sea casualidad es muy pequeña, puedes decir muy bien que la diferencia en el agua es la responsable de la diferencia en el número de muertes.

Hay una segunda manera. Imagínate que has hecho varios experimentos, que había una serie de epidemias en las que el número de personas que recibía el agua contaminada no siguió siendo el mismo. Las personas leyeron en el periódico que Southwark & Vauxhall vendía agua peligrosa y se pasaron en masa al agua de Lambeth. Entonces puedes ver también si el paso al agua de Lambeth supuso un cambio en el número de personas que enfermó de cólera. Más personas que beben agua segura significa también menos muertes, ¿no? Y se puede calcular.

Una relación así —en este caso entre el número de personas que bebe agua contaminada y el número que enferma de cólera— se llama correlación. A los científicos les gusta decir que «la correlación no es igual a la causalidad»: una bella cohesión de tus datos no significa automáticamente que lo uno es causa de lo otro. No se dice que el cólera se propaga, por tanto, mediante el agua contaminada. ¿Por qué no? Porque si buscas un poco puedes encontrar más relaciones. Como la existente entre el número de películas en las que actúa Nicholas Cage y el número de muertes por ahogamiento al caer en una piscina.

Mira el gráfico de la página siguiente. Durante años, sorprendentemente, el número de muertes por ahogamiento ha ido aumentando al igual que el número de películas en las que actúa Nicholas Cage. ¿Procura Cage que la gente caiga en las piscinas? ¿Hay una relación causal? Por supuesto que no. Pero sí que hay una correlación entre esas dos cosas. Por eso quieres poder calcular lo buena que es una relación así.

Desde 1900 podemos hacerlo. Para relaciones como ésas entre Nicholas Cage y ahogamientos puedes calcular lo bien que armonizan, y eso se hace con un coeficiente de correlación: un número entre –1 y 1 que dice lo fuerte que es la correlación. Si tienes un coeficiente de –1, eso quiere decir entonces que tan pronto como Nicholas Cage aparezca en una película nueva, en seguida se ahogarán menos personas en las piscinas. Las dos líneas son la imagen invertida exacta entre sí. Si el coeficiente es 1, ocurre lo contrario: en cuantas más películas actúe Nicholas Cage, se ahogarán tantas más personas. El número de muertes por ahogamiento no sube sin que el número de películas con Cage suba. En resumen, las líneas se ajustan exactamente la una a la otra. ¿Y con 0? Entonces no tienen nada que ver en absoluto entre sí.

El número de películas de Nicholas Cage comparado con el número de personas que se ahogan cayéndose en una piscina.

Ni siquiera con un coeficiente de correlación puedes eliminar todas las relaciones absurdas. El coeficiente para el gráfico sobre los ahogamientos es todavía de 0,666: las dos líneas se parecen mucho, pero eso era de esperar; ambas no cambian muchísimo. Nicholas Cage no puede de pronto actuar en veinte películas y, por suerte, el ahogamiento por caída en una piscina casi siempre es un accidente. Las personas no tienen de repente diez veces más mala suerte en un año. Si sigues buscando el tiempo suficiente, encontrarás seguro algo que también cambie poco.

Por eso hay que tener cuidado con las correlaciones. En este caso, a ti solito se te puede ocurrir que Nicholas Cage no es realmente responsable de las personas que se ahogan en las piscinas, pero no siempre es así, ni mucho menos. Según un artículo en The Wall Street Journal, la mayor seguridad fomentaba la obesidad. Existe, bien es cierto, una correlación entre la seguridad de los parques infantiles y el número de niños con obesidad. ¿Debemos llevar ahora a los niños a parques infantiles más peligrosos? ¿La seguridad te engorda realmente? Por supuesto que no, pero alguien ha visto que los parques infantiles son cada vez más seguros y los niños cada vez más gordos. ¡Tachán, una correlación! Una que volvió a alcanzar las noticias. La estadística puede ser muy engañosa.

¿Es realmente cierto? ¡Deforma el mundo con estadísticas!

Es bastante fácil esbozar una imagen distorsionada del mundo con cifras, algo que ocurre desde que existe la estadística. Así, hay un libro de 1954, How to Lie with Statistics, que describe cómo las personas abusan de las estadísticas. Contiene correlaciones absurdas, pero aún muchas más maneras con las que puedes engañar valiéndote de los números.

Un ejemplo reciente. Jeff Sessions, el ministro norteamericano de Justicia, dio un discurso a mediados de 2017 sobre seguridad que decía así: la seguridad ha descendido mucho, Estados Unidos es cada vez más peligroso. Ya es hora de que empecemos a desconfiar de todo el mundo que entra en el país. Y seguro que también hay algo malo con los inmigrantes que ya están aquí. El número de asesinatos ha subido un 10% desde el año pasado. Un ascenso tan elevado no lo veíamos desde 1968, así que no nos queda otra que ver cómo los Estados Unidos se están convirtiendo rápidamente en un territorio más inseguro.

Suena convincente, ¿no? Pero, a pesar de esos números, los Estados Unidos son ahora un país mucho más seguro de lo que lo eran antes. El aumento es sólo tan alto porque el número total de asesinatos es muy bajo. Pensémoslo: 10% puede significar que hay uno más de los 10 que había o que hay 1.000 más de los 10.000. En los Estados Unidos, el número de asesinatos había descendido tanto que un pequeño incremento en seguida parecía muy grande cuando Sessions lo expresó en porcentajes.

El 10% de Sessions ocultaba algo más. Más de la mitad del incremento en el número de asesinatos se debía a que habían asesinado a mucha más gente en Chicago. Allí el contador estaba en 781. El resto del país era en gran parte más seguro. Un par de lugares eran, en efecto, más inseguros, pero Estados Unidos en conjunto nunca había sido tan seguro. El número era correcto —el ministro no estaba mintiendo—, pero las implicaciones no eran correctas. Un número elegido astutamente ofrece una imagen completamente distorsionada de la realidad.

Eso es algo que puede llevarse a cabo de todo tipo de maneras. ¿Te preguntas si ahora estamos mejor que antes? Entonces quizá quieras saber si ahora disponemos de más dinero. Estados Unidos, por ejemplo, tiene cifras para esto. Dos, incluso. Según una, la oficial, la respuesta es no: desde 1979 apenas ha subido la renta media. Incluso ha descendido durante mucho tiempo. Antes tal vez no era mejor, pero seguro que no era peor. Esto procede de la Oficina del Censo de Estados Unidos, así pues todo superoficial.

La otra cifra procede de un think tank, no de la Administración. Según el think tank, las personas gastan una vez y media más que en 1979. ¡Se ha mejorado bastante! Nunca habíamos tenido tanto dinero. Incluso casi siempre se ha hablado de un incremento. El think tank y la Administración nos vienen con historias muy distintas, ¿quién tiene razón?

Probablemente el think tank. La Administración ha olvidado algo muy simple, a saber: utiliza cifras para la renta media por hogar y las divide por el número de personas en esos hogares. Pero la renta media para 2014 se divide por el mismo número de personas que la renta media para 1979. Los hogares se han hecho más pequeños entre tanto; hay más personas que viven solas o no tienen hijos. Los hogares con hijos suelen tener menos, con lo que la renta debe dividirse también por un menor número de personas. Es lógico que las cosas no mejoren si empiezas a repartir el sueldo de alguien, proporcionalmente, cada vez entre más personas.

A veces también es complicado comprender una cifra. Pensemos por un instante en la diferencia salarial entre hombres y mujeres. En los países ricos es por término medio del 85%, lo que significa que las mujeres sólo ganan el 85% de lo que ganan los hombres. Suena obvio y, además, terrible. Por supuesto que es un problema, pero quizá no sea ése el problema que una sola cifra así hace suponer. No es que una empresa pague tan poquísimo a una mujer en una función determinada en comparación con un hombre que desempeña la misma función. En esos mismos países ricos una mujer recibe el 98% del salario de un hombre que hace el mismo trabajo en la misma empresa. Sigue siendo estúpido que exista aquí una diferencia, pero de pronto es bastante más pequeña.

La diferencia salarial tampoco se halla realmente, por tanto, en una diferencia en la retribución para el mismo trabajo. Es una media del salario de todos los hombres frente al salario medio de todas las mujeres. A las mujeres se les paga menos porque hay menos mujeres en los trabajos mejor remunerados. Por ejemplo, hay menos mujeres en la dirección de grandes empresas y, además de esto, hay profesiones que desempeñan más las mujeres, tales como la de enfermera. Esas profesiones están, por lo general, peor pagadas que profesiones que ejercen hombres sobre todo, tales como la de policía. Problemas hay por tanto, desde luego, lo que pasa es que son problemas distintos de lo que pensarías si sólo te enteras de esa diferencia salarial general. Las mujeres deberían desempeñar más trabajos altamente remunerados, por ejemplo mediante una mejor regulación referente al embarazo, y el trabajo que desempeñan debería estar mejor pagado. Pero recibir menos dinero por hacer el mismo trabajo exactamente, por fortuna, no suele ocurrir.

Las estadísticas pueden distorsionar tanto el mundo porque las cifras con las que trabajan suelen ser promedios. El incremento de la renta es un promedio: divides por el número de hogares y por el número de personas en un hogar. También la diferencia salarial entre hombres y mujeres es un promedio. Y los promedios no muestran siempre bien lo que ocurre entre bastidores. No es de inmediato manifiesto que la diferencia salarial existe por el hecho de que los hombres tienen otros trabajos distintos de los de las mujeres, porque las estadísticas escamotean un montón de cosas. Fíjate en los cuatro gráficos de la página siguiente. Los puntos de medición están en lugares totalmente distintos y, sin embargo, las cifras estadísticas más habituales son lo mismo. Todas proporcionan, entre otras cosas, la misma línea que la mejor predicción, según el método de Gauss y Laplace.

Por eso se debe tener cuidado al leer las estadísticas. Es casi siempre posible encontrar algo que confirme tu visión del mundo. ¿Crees que el pasado era mejor? Entonces seguro que no querrás creer que ahora ganamos una vez y media más; así pues, por fortuna hay una cifra oficial que está de acuerdo contigo. ¿O quizá piensas que los inmigrantes hacen más inseguro el país? Entonces un ascenso de un 10% en el número de asesinatos te vendrá de perlas. Al contrario funciona, naturalmente, igual. Alguien que no quiera saber nada de diferencias salariales puede insistir en el hecho de que a las mujeres se les paga casi lo mismo cuando hacen el mismo trabajo para el mismo empresario. Naturalmente, es cierto, pero no hay razón alguna para no hacer nada contra las desigualdades que sí que existen.

Cuatro mediciones totalmente distintas con la misma estimación.

Al margen de esos riesgos, desde luego, los promedios son necesarios. Posibilitan obtener rápidamente una visión global de situaciones complejas. ¿Cómo podrás obtener, si no, una imagen de la retribución de todos los hombres y mujeres en los países ricos? Es demasiado trabajo comparar todos esos salarios uno a uno. Necesitamos los promedios para obtener una visión de conjunto de todos esos datos, al igual que necesitamos un método para hacer estimaciones. Esas estimaciones, ya sea si las utilizas para la cosecha, ya sea para determinar dónde estás con el GPS o para hacer fotos más nítidas, son mejores y más prácticas por el uso de las matemáticas, que también se utilizan en los sondeos de los que hablaba al principio de este capítulo.

Por si no quieres preguntarle a todo el mundo

Los sondeos electorales llevan existiendo mucho tiempo. Ahora usamos las matemáticas, desde algo más de un siglo, para pronosticar lo que hará toda la población, sin que haga falta dirigirse a todo el mundo. En realidad, la idea es muy simple. Imagina que quieres saber qué porcentaje de las personas piensa que Trump lo hace bien. Ése puede ser, por ejemplo, el 40% de la población total. Para averiguarlo, no vas a preguntarle a todo el mundo qué le parece Trump, ya que sería demasiado trabajo. La idea que subyace tras los sondeos es que puedes preguntárselo a un grupo más pequeño, siempre que haya sido elegido aleatoriamente. Si todo el mundo tiene las mismas probabilidades de estar en ese grupo más pequeño, entonces la probabilidad de que esté alguien que piense que Trump lo hace bien es del 40%. En resumen, el grupo más pequeño será entonces un buen reflejo del resto del país.

Las matemáticas tratan aquí sobre todo del cálculo de la exactitud de un sondeo. ¿Cuál es la probabilidad de que falles? Puedes tener la mala suerte de que, si bien elegiste aleatoriamente, fuiste a toparte con un grupo en el que sólo había admiradores de Trump. Esa probabilidad va haciéndose menor a medida que sondeas a más gente. En resumen, el sondeo se hace más preciso. Si todo va bien, porque seleccionar a personas realmente de manera aleatoria es todo un movidón. Fíjate en las elecciones presidenciales norteamericanas de 1936.

Los Estados Unidos se encontraban entonces en la última fase de la Gran Depresión. Había en juego grandes decisiones económicas, así que todo el mundo quería saber cuál de los dos candidatos ganaría: Franklin Roosevelt o Alf Landon. La revista Literary Digest decidió organizar un sondeo entre sus 10 millones de abonados. En 1936 eso era casi el 10% de la población, porque Estados Unidos contaba por entonces con 125 millones de habitantes. De esos 10 millones de abonados respondieron finalmente dos millones a las preguntas del Digest. Por teléfono, porque así era más fácil.

Poco después llegó la revista con el resultado de este sondeo gigantesco, en el que el republicano Alf Landon ganaría con el 57,1% de los votos y el demócrata Roosevelt no obtendría más del 42,9%. Entonces llegaron las elecciones. ¿Y qué pasó? El sondeo del Digest estaba completamente equivocado. Roosevelt ganó en 1936 con un abrumador 60,8%, Landon sacó sólo el 36,5%. ¿Qué había salido mal? A pesar del enorme alcance del sondeo, la selección no había sido realmente aleatoria: sólo las personas ricas podían permitirse una línea telefónica durante la Gran Depresión. El Digest interrogó, en otras palabras, precisamente a esas personas que en su mayoría votaban a los republicanos.

Un gran fiasco semejante no lo hemos experimentado últimamente. Aunque, ¿qué pasó ahora con esos sondeos para las elecciones presidenciales de 2016? Estas ofrecieron también una imagen completamente equivocada. Los expertos afirmaban, al fin y al cabo, que Clinton tenía entre el 70 y el 99% de probabilidades de ganar. Tal vez suene extraño, pero los sondeos de 2016 eran de los más precisos desde 1936. En realidad no se equivocaron tanto, en absoluto. Si olvidas por un momento esas frases sobre las probabilidades de triunfo para Clinton, los sondeos decían entonces que ella obtendría el 46,8% de los votos y Trump el 43,6%. Sobre todo es importante la diferencia: son aproximadamente tres puntos porcentuales (el resultado si calculas 46,8 – 43,6). Al final, Clinton obtuvo el 48,2% de los votos y Trump el 46,1%. La diferencia en número de votos fue algo más pequeña de lo previsto: 48,2 – 46,1 = 2,1. Sin embargo, sí que era cierto que Clinton obtendría más votos que Trump.

Con todo y con eso, salieron tres cosas mal. La selección seguía sin ser todavía del todo aleatoria. Los sondeos han ido mejorando bastante con el transcurso del tiempo, pero las personas con un título universitario suelen reaccionar con mayor frecuencia a los sondeos de manera distinta que los demás. Las personas con alto nivel de educación están sobrerrepresentadas y ahora votan con una frecuencia algo mayor a Clinton. Por tanto, en los sondeos echamos en falta a una parte de los votantes de Trump. Al igual que entonces en 1936, con el Digest, sigue siendo difícil recoger en un sondeo las opiniones de los pobres y de las personas con un bajo nivel educativo.

En segundo lugar era difícil sondear en los estados que proporcionaron a Trump el triunfo. Pensilvania, Wisconsin y Florida iban a votar a Clinton, según los sondeos. Así era también como las personas habían votado en el pasado. Hasta 2016. Muchas personas en estos tres estados no sabían hasta la última semana antes de las elecciones qué iban a votar, y casi todos los que entonces aún no lo sabían votaron al final a Trump, algo que no habría podido pronosticar ningún sondeo; ni siquiera esas mismas personas lo sabían en el momento del sondeo.

En tercer lugar había también personas que simplemente no declararon que iban a votar a Trump. Si eso se debe a que realmente no lo sabían o a que se avergonzaban de su elección, no lo sabemos. El hecho sigue siendo que las empresas de sondeos solían tener más a menudo una respuesta clara de las personas que votaban a Clinton. Tampoco era de nuevo la culpa de estas empresas. No puedes obligar a nadie a rellenar un cuestionario con la verdad. El único error real en los sondeos tuvo que ver con el nivel de formación. Los otros factores no los supimos hasta después. En realidad, los sondeos sólo salieron mal porque no habían visto venir ese cambio en Pensilvania, Wisconsin y Florida. El resto lo tenían bien, sin duda.

De esto resulta que las estadísticas no siempre ofrecen una imagen perfecta del mundo que nos rodea. Aunque los sondeos sean minuciosos, pueden fallar. Los promedios pueden engañar y también pueden encontrarse correlaciones entre cosas que no tienen nada que ver entre sí. Por eso es práctico entender algo de estadística; para comprender cómo se lleva a cabo uno de esos promedios o que una correlación sólo dice que dos gráficos se parecen entre sí. Porque, aunque las estadísticas puedan engañar, también son muy útiles.

Así vimos ya que las estadísticas se utilizan para calcular lo elevada que es la probabilidad de que tengas cáncer, en efecto, si de una prueba resulta que lo tienes. Y que esa probabilidad puede ser bastante más baja de lo que pensarías si no calculas. Un cálculo así te da más agarre a la incertidumbre. Otros números, como los promedios, ofrecen precisamente un rápido panorama de muchísima información que resumen para ti, pero sin dar ninguna imagen perfecta de la situación. Para eso tampoco tenemos tiempo. No podemos leer toda la información sobre, por ejemplo, la economía. Entonces un par de promedios que nos den una idea si va a ir mejor o peor nos resultará mucho más útil.

¿Es entonces importante entender esta rama de las matemáticas? No hará falta que hagas rápidamente los cálculos en la vida diaria, como con las integrales y las diferenciales, pero en este caso sí que es útil comprender algo más. Al fin y al cabo, solemos sacar nuestra información de sondeos y estadísticas, que pueden engañar de muchas formas. El ministro Sessions puede darles a sus compatriotas una imagen equivocada de la seguridad en los Estados Unidos mediante una taimada elección de números. Los sondeos pueden equivocarse, por accidente o a propósito, mediante la manera en que se seleccionan los grupos. Prácticamente toda investigación científica utiliza la estadística para determinar si el resultado de los experimentos podría ser casual.

De esa manera, la estadística tiene una gran influencia en nuestra vida. ¿Qué es lo mejor para tu hijo? ¿Cómo te mantienes sano? ¿Qué resultado podemos esperar en las próximas elecciones? ¿Qué causaba el cólera? Pero también: ¿cómo comprende un ordenador lo que hay en una ilustración? ¿Cómo sabe Gmail los correos que son spam? Tan pronto como entran en juego grandes cantidades de datos, echamos mano de la estadística. Ésa es, con mucho, la mejor manera de analizar esos datos. De ahí esa grande, y cada vez mayor, influencia de la estadística en nuestras vidas. Cada vez que lees algo sobre datos, hay un cálculo estadístico detrás. Piensa en la frecuencia con que ves porcentajes y promedios en el periódico o en las noticias. Comprendiendo cómo se calculan y de qué maneras pueden errar, puedes analizar esa información de forma más crítica. Las cifras no son para aceptarlas sin más, provienen de algún sitio. Una comprensión de la estadística te capacita para poder revisarla también.

7

Paseando con el pensamiento

A principios de 1700 en Königsberg, la actual Kaliningrado rusa, circulaba un acertijo por la ciudad. El río que la cruzaba tenía dos grandes islas y entre las orillas y las islas había siete puentes. En la página siguiente verás un mapa de la ciudad, del año 1700, con los puentes señalados por un círculo. El acertijo era el siguiente: ¿es posible planificar un paseo por Königsberg en el que sólo pases una vez por cada puente?

Una manera de resolverlo es probando muchísimos paseos diferentes, pero eso es algo que te llevaría mucho tiempo, además de que Euler, que en el capítulo anterior ya pasó por aquí, demostró en 1736 que era imposible caminar así por Königsberg. Es uno de sus muchos méritos, porque Euler es también el autor intelectual de términos como seno, coseno y tangente, y de todo tipo de nuevas matemáticas diversas. Incluso mientras iba quedándose ciego poco a poco siguió enfrascado en las matemáticas, y hasta habría llegado a decir que mejor así, porque de esta manera tendría menos distracciones.

En el caso del acertijo, a Euler se le ocurrió que el problema se hace más fácil si ignoras tanta información como te sea posible. El plano de la ciudad de Königsberg, por ejemplo, no importa para el problema; sólo se trata de los puentes, que él dibujó como pequeñas líneas, con las islas como puntos. De un puente sólo puedes ir al otro puente si están unidos con el mismo punto. De un paseo por Königsberg, Euler hizo un paseo por la figura de esta página, que se conocía como un grafo.

Plano de Königsberg con los siete puentes famosos.

Los puentes de Königsberg, ahora como grafo.

Puedes pasear de dos maneras por ese grafo: dando una vuelta o con un punto de partida y un punto de llegada. Siempre que hayas pasado por todos los puentes una sola vez, da igual. Imagínate que das una vuelta, entonces tendrá que haber por lo menos dos líneas que vayan a tu punto de partida y al punto de llegada, porque lo que no puedes hacer es pasar dos veces por la misma línea. En el otro caso, con un punto de partida y un punto de llegada diferentes, hay dos círculos al menos con una sola línea: sales del punto de partida con sólo un puente y llegas por el último puente al punto final.

Entre esos dos puntos vas siempre de círculo en círculo, con lo que cada vez llegas por un puente y sigues caminando de nuevo por otro. En cada parada intermedia vas, por tanto, por dos líneas exactas. No puedes cruzar el río por dos puentes a la vez o atravesar el agua en barco para evitar un puente por el que ya has pasado.

Si tienes en cuenta todas esas cosas, ves que un paseo por los diferentes puentes sólo es posible en dos casos. Si das una vuelta, en cada círculo del grafo debe salir un número par de líneas: dos líneas por escala más dos líneas en el punto de partida y el punto final. Si, por el contrario, vas de A a B, entonces habrá dos círculos con un número impar de líneas. Todos los círculos que se pasan de camino deben seguir siendo pares, pero en el punto de partida tienes una línea extra y en el punto final también tienes una línea extra: allí, por tanto, el número de líneas es impar.

¿No resulta comprensible en seguida? No importa. De lo que se trata ahora es de que a Euler se le ocurrió que un acertijo sobre un paseo por puentes sólo puede resolverse si no hay más de dos círculos con un número impar de líneas. ¡Pero Königsberg tiene cuatro lugares con un número impar de puentes! Por eso no hay ningún paseo por Königsberg en el que sólo tengas que pasar una vez por cada puente. Aquí termina el acertijo. Por mucho que lo intentes, nunca encontrarás un paseo semejante. ¿Y eso de qué te sirve? No de mucho. Al igual que los juegos fueron el inicio de la teoría de la probabilidad, este acertijo es el principio de la teoría de grafos. Euler fue el primero que pensó que podías simplificar el acertijo de manera más abstracta con líneas y círculos, que esa abstracción sirve para la resolución de problemas. También de problemas más prácticos, como planificar rutas en Google Maps o elaborar la guía de horarios e itinerarios de los trenes.

Dirección única

En Königsberg no importaba si ibas de la parte baja del mapa hacia arriba o al revés y podías cruzar los puentes en ambas direcciones. Pero en otros casos sí que importa, por ejemplo en carreteras de dirección única. Por eso las líneas simples no siempre son suficientes y tiene que haber flechas para mostrar que sólo está permitido ir en una dirección. Así es el plano de Manhattan. Allí casi todas las calles son de sentido único. Quien quiera reflexionar matemáticamente sobre la conducción por las calles de Nueva York debe tenerlo en cuenta. Entonces dibujarás un grafo aproximadamente así:

El plano de Manhattan.

Aquí los círculos son los cruces entre las diferentes calles de dirección única, indicadas con flechas. Ves que, por ejemplo, abajo a la izquierda puedes quedarte atrapado en un atasco; de ese cruce no parte ninguna línea. Este grafo, por tanto, no funciona del todo como diseño de las calles si partes de la idea de que los automovilistas respetan siempre las normas de circulación.

Si quitamos la columna de la izquierda con los cruces, de pronto podrás ir a todas partes. Así pues, con un número par de cruces, vistos en horizontal y vertical, todo irá bien. Entonces obtendrás, como ves en la mitad derecha, una bonita ronda. El mapa de arriba no funciona porque la ronda izquierda sólo está terminada a la mitad. Por eso no puedes llegar a la parte superior izquierda y no puedes salir del cruce inferior izquierdo. En la parte superior derecha y la inferior derecha no hay, gracias a esa ronda, ningún problema. Un matemático puede decirle más fácilmente a un planificador de ciudades que eso siempre funciona, con el fin de que ese planificador tenga que reflexionar menos sobre la planificación práctica de las calles.

Hay una razón más para mirar los grafos con flechas en lugar de líneas: los trenes también circulan sólo hacia un lado. No puedes ir con el mismo tren en el mismo momento de Schiphol a Ámsterdam y de Ámsterdam a Schiphol. Y como los trenes individuales sólo pueden ir en una dirección, en realidad tienes que dibujar los grafos sobre la red de ferrocarriles con flechas. Ése es el primer paso para comprender la manera que tienen los Ferrocarriles Neerlandeses de organizar sus horarios. Como ya he descrito en el capítulo 1, lo hacen con grafos. La idea es que tú, al igual que con el acertijo de Königsberg y el plano de Manhattan, olvides toda clase de detalles: sólo se trata de los diferentes trayectos, como ese entre Schiphol y Amsterdam Centraal.

En el ejemplo del capítulo 1 van un Sprinter y un Intercity a Ámsterdam. El Intercity es más rápido que el Sprinter. ¿Cómo puedes verlo en un esquema? Bueno, no resulta nada claro si sólo observas la versión del capítulo 1. Sin números que indiquen cuál es la duración del viaje, no sabes cuál de los dos trenes es el más rápido, por eso es importante añadir también números al grafo. Ese número se coloca sobre una flecha para indicar cuántos minutos tarda en ir de una estación a la otra.

El intercity y el sprinter entre Schiphol y Amsterdam Centraal.

Si miras el grafo de aquí arriba, ves la versión más extensa para el Sprinter y el Intercity que van de Schiphol a Amsterdam Centraal. Lo que pasa es que de repente hay muchos más círculos. ¿De dónde vienen? Bueno, el tren por supuesto que no está constantemente circulando. De lo que se trata es de que también se pare un momento en el andén para que las personas tengan tiempo de subir y de bajar. Esas flechas con «1, 2» encima corresponden al tiempo de entrada y salida del tren en el andén. El grafo se lee entonces de izquierda a derecha. En la parte superior izquierda llega el Intercity a Schiphol y está parado allí un minuto, quizá dos. Después sigue circulando directo hacia Amsterdam Centraal. No sabemos con exactitud lo rápido que puede ir el Intercity; por ejemplo, si se ve afectado por el viento en contra. Por eso se realiza una estimación: tarda entre 14 y 16 minutos. El viaje se ha terminado cuando llega a Ámsterdam, al igual que ocurre con el Sprinter.

Los grafos de los Ferrocarriles Neerlandeses

Los Ferrocarriles Neerlandeses deben tener en cuenta más cosas. Ya tenemos una solución para el tiempo de viaje y para el tiempo de espera en los andenes. Pero ¿qué pasa con los transbordos? Los viajeros deberían poder transbordar con facilidad del Intercity al Sprinter, lo que es una buena razón para cambiar algo de ese grafo. Aquí funciona la misma solución: ¡más flechas!

El intercity y el sprinter con transbordo en Schiphol.

La flecha oblicua indica que debes poder transbordar del Intercity al Sprinter. A la hora de hacer un transbordo, lo que quieres es poder ir tranquilo al siguiente andén después de que tu tren haya llegado a la estación. El otro tren no debe salir veinte minutos después, pero tampoco al cabo de apenas dos minutos. Un plazo entre los cinco y los ocho minutos está bien; además, también hay menos estrés si el Intercity llega tarde, de ahí que en esa flecha aparezca que entre la llegada del Intercity y la partida del Sprinter debe haber como mínimo cinco minutos y como máximo ocho.

Naturalmente, los Ferrocarriles Neerlandeses no pueden tener en cuenta siempre la planificación de un transbordo entre dos trenes, pero en rutas importantes sí que ocurre esto. No es en absoluto siempre casualidad que dos trenes conecten entre sí. Menos casual aún es el hecho de que dos trenes no necesiten esperarse cuando tienen que llegar al mismo andén. En parte, por supuesto, porque se piensa qué tren se envía a qué andén, pero también porque está recogido en la guía de horarios. Así, en 2007 se habían recogido ya 600 transbordos planeados en la guía de horarios.

Queda un último problema: imagínate que el Intercity y el Sprinter llegan a la misma vía en Amsterdam Centraal. Para evitar que choquen o que tengan que esperarse el uno al otro, puedes decir que debe haber algo de tiempo entre la hora de partida de uno de los trenes y la hora de llegada del otro, así que se le añade una flecha más, que puede verse en el lado derecho del esquema en la página siguiente. En esta flecha aparece «3,57», lo que significa que el Sprinter debe partir como mínimo tres minutos más tarde que el Intercity y 57 minutos como máximo. Ese máximo está ahí porque los horarios se repiten, en principio, cada hora. Sesenta minutos más tarde llega, por tanto, «el mismo» Intercity de nuevo a Ámsterdam. De ahí esos 57 minutos: entonces el Sprinter sigue llegando tres minutos antes que el siguiente Intercity. Ahorra muchos problemas, por eso los Ferrocarriles Neerlandeses han puesto más de 8.000 de esta clase de colchones en su grafo.

El trayecto Schiphol-Amsterdam Centraal con dos trenes que deben llegar al mismo andén en Ámsterdam.

¿Cómo se obtienen a partir de aquí los horarios? Calculando muchísimo. Los Ferrocarriles Neerlandeses tienen, naturalmente, un grafo mucho mayor y el truco está en buscar qué tiempos de llegada y de salida puedes rellenar en los círculos, de manera que todo cuadre. Los números en las líneas indican cuánto pueden diferir entre sí esos tiempos. Con sólo dos trenes es muy simple. Mira, esto funciona:

El Intercity y el Sprinter de Schiphol a Ámsterdam, incluida la hora de llegada y salida.

Las cifras en los circulitos indican aquí a qué hora circulan los trenes. El Intercity llega, por ejemplo, a las 12 horas (por tanto, 0 minutos después de cada hora). Está un minuto parado y a las doce y cuarto está en Ámsterdam. El Sprinter llega algo más tarde. Sale de Schiphol a las doce y ocho minutos. Como también es un poco más lento que el Intercity, el Sprinter no llega a Ámsterdam hasta eso de las doce y media. Lo suficientemente tarde como para no chocar con el Intercity. ¿Está claro? ¡Inténtalo ahora con todas las franjas ferroviarias al mismo tiempo!

Por suerte tenemos ordenadores para llevarlo a cabo, al igual que tenemos ordenadores que pueden decirnos cuál es la mejor combinación para viajar de una estación a la otra, porque también en las recomendaciones de viajes de los Ferrocarriles Neerlandeses se utilizan grafos. No exactamente los grafos que has visto en estas páginas, ya que para una recomendación de viaje sólo quieres saber cuánto tiempo tardarás en ir de una estación a la otra. No necesitas en absoluto esas flechas que evitan que dos trenes se choquen.

En el capítulo 1 ya he hablado de que los programas de ordenador no siempre son igual de listos al calcular una recomendación de viaje. Una de las maneras más conocidas de hacerlo es, por tanto, ir sencillamente a todas partes hasta que llegas a tu destino. Para quien quiera viajar de Utrecht a Ámsterdam, el ordenador toma sin ningún problema el tren en la dirección contraria, a Venlo. Los ordenadores son en realidad más rápidos con las recomendaciones de viajes sólo porque pueden desplazarse con mayor rapidez por el grafo de lo que nosotros podemos hojear la guía de ferrocarriles.

Imagínate que estás en Utrecht Centraal. Esta vez no quieres ir a Ámsterdam, sino a Amersfoort. Entonces el ordenador utiliza —más o menos— el grafo que hay en la página siguiente. Éste es, naturalmente, un poco más simple; faltan los tiempos de espera intermedios en la estación y no refleja todos los trenes diferentes que circulan aparte. Si quieres tenerlos, no hay problema, ya que los Ferrocarriles Neerlandeses te dan toda la información que necesites en las recomendaciones de viaje, como las horas de llegada y salida en cada estación de cada tren. Pero para no hacer el ejemplo demasiado confuso, todas esas cosas se han omitido aquí.

El trayecto Utrecht-Amersfoort como lo ve un planificador de viajes.

Así olvidamos también por un momento que igualmente circulan desde Utrecht, abajo a la izquierda, trenes en otras direcciones. Aquí sólo ves el trayecto entre Utrecht, Hilversum arriba a la izquierda y Amersfoort arriba a la derecha. Los números son, al igual que en los ejemplos anteriores, la duración del viaje de una estación a otra. El algoritmo lo calcula.

Un algoritmo así lleva la cuenta de todo tipo de trayectos posibles a la vez. Naturalmente, empieza abajo a la izquierda en Utrecht Centraal y va por la única línea que hay hacia Utrecht Overvecht, que dura cuatro minutos. Después hay otra opción. ¿Vamos a la derecha o a la izquierda? A la derecha hacia Bilthoven dura menos, así pues hacemos primero ese trayecto: el tiempo de viajes es ahora 4 + 5.

Si nos preparáramos nosotros mismos la ruta, seguro que continuaríamos con el tren que circula directo a Amersfoort, ya que en el mapa de la página anterior al fin y al cabo no nos resulta tan difícil encontrar la ruta más rápida. Pero este algoritmo es incapaz de hacerlo. En lugar de continuar desde Bilthoven, regresa hacia Utrecht Overvecht y va hacia la izquierda, en dirección a Hollandsche Rading. Ésa es la ruta número dos, que quizá sea más rápida. Ahora tardaríamos 4 + 8 minutos. Esos ocho minutos pueden deberse también, por lo que sabe el algoritmo, a que aquí se trata de un Intercity, que no para en algunas estaciones, y por eso regresa para probar otra ruta más.

Tras Hollandsche Rading, el algoritmo salta de regreso a Utrecht Overvecht y desde allí va a Den Dolder, cuatro minutos más adelante y separada de Amersfoort sólo por una estación. Pero bueno, ese último tramo a Amersfoort dura ocho minutos, así que ese algoritmo de los Ferrocarriles Neerlandeses va también de Hollandsche Rading a Hilversum Sportpark y a Hilversum. Y sí, también pasa por Soest Zuid antes de que tome el tren a Amersfoort desde Den Dolder. Con esto, el algoritmo ha terminado, y también está garantizado que la ruta más rápida para ir a Amersfoort es la primera. Estaremos allí dentro de 4 + 5 + 4 + 8 minutos. Aunque en este caso está claro que nosotros lo sabíamos ya desde hacía mucho...

Naturalmente, Google Maps también necesita flechas en sus grafos. Para calcular una ruta hay que tener en cuenta si una calle es de doble sentido o no. Por lo menos es importante que el sistema sepa en caso de atascos que éstos no siempre se producen en ambas direcciones. Si en una autopista hay atasco en un lado y en el otro lado no, el tiempo de viaje deberá ser, por supuesto, mayor sólo para las personas que se encuentran en el atasco. Si por casualidad viajas por el lado bueno, el tiempo no tiene por qué cambiar. Las flechas resultan muy prácticas en estos casos: el ordenador sólo necesita aumentar el número junto a la flecha en la dirección del atasco —por tanto lo que aparece en esa dirección para el tiempo de viaje— con el fin de incluir el atasco en el cálculo. El número junto a la flecha que indica la otra dirección sigue siendo el mismo, sin más.

Esos números y flechas en Google Maps representan, por tanto, carreteras y tiempo de viaje. Como seguro recordarás del capítulo 1, esos dos elementos son suficientes para poder calcular una ruta sin que nadie tenga que consultar una y otra vez un mapa físico. Vimos un cálculo simple para encontrar la ruta más corta: el ordenador recorre todas las rutas posibles, por orden de longitud, hasta que la suma da como resultado la ruta más corta con el destino adecuado. Antes de que des con él, el ordenador ha seguido todos los caminos que son menos largos, pero que tienen un destino equivocado. Este cálculo es más conocido como el algoritmo de Dijkstra.

En la ilustración de la página siguiente verás un ejemplo de este algoritmo, donde para facilitar la visión de conjunto se representa el grafo con casillas en lugar de redondeles. Entre esas casillas puedes imaginarte las flechas en las cuatro direcciones hacia las casillas colindantes. Dentro de este grafo, el algoritmo de Dijkstra se utiliza para encontrar la ruta desde la estrella de abajo a la izquierda hasta la cruz de arriba. La única limitación es una fila oscura de casillas por donde no puedes pasar, porque a lo mejor hay un río por el que no quieres conducir. Por lo demás, ves todo lo que ha calculado el ordenador. Cada casilla con un número es un lugar donde ha mirado el algoritmo si tal vez es allí donde quieres ir, en el que el número simboliza la longitud de la ruta. La ruta final la ves por fin correr algo más clara por ese mar de posibles rutas.

El algoritmo de Dijkstra ha calculado aquí la ruta de manera muy sistemática, al igual que siempre. El ordenador se fija primero en todas las rutas de una casilla que puedes encontrar en el dibujo, porque los puntos finales de esas rutas están marcados con un 1. Después el algoritmo recorre todas las rutas de dos casillas, así pues aquellas en las que hay un 2 como puntos finales. El algoritmo tarda muchísimo en encontrar la cruz (23 casillas más adelante), porque hay muchísimas rutas posibles que son más cortas que las 23 casillas. El ordenador calcula todas esas rutas más cortas, aunque no lleguen al destino adecuado. Éste es precisamente el problema con este algoritmo: el ordenador debe calcular muchísimo antes de encontrar una ruta.

Algoritmo de Dijkstra

El algoritmo de Dijkstra y todas las rutas que se observan: cada ruta de menos de 23 pasos. Copiado de https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html como un primer borrador. Si pudiéramos imitarlo con círculos y líneas, cada casilla sería un círculo con líneas hacia las cuatro casillas colindantes.

Cuantos más caminos haya y cuanto más lejos esté tu destino, más tardará un ordenador en hacer un cálculo. Por eso Google Maps tampoco utiliza este algoritmo. El programa exacto que utiliza se desconoce, como suele ocurrir con este tipo de empresas. Sin embargo, podemos aventurarnos a realizar una apuesta razonable, porque sí que se sabe qué técnicas son populares en general para encontrar rutas. Muchas empresas utilizan el algoritmo de búsqueda A* (A estrella o asterisco). Se parece un poco al algoritmo de Dijkstra; se recorren todas las rutas más cortas posibles, sólo que el algoritmo de búsqueda A* añade al cálculo una estimación de la longitud de la ruta.

Una estimación así no es difícil de hacer. El ordenador, si bien no tiene ninguna visión de conjunto del grafo, con un poco de información adicional va bastante lejos. Google Maps sabe, por ejemplo, cuáles son las coordenadas de tu punto de partida y tu punto de llegada. O bien, cuáles son los grados de latitud y de longitud en los extremos de la ruta. Con esto, un ordenador puede realizar una estimación aproximada: la distancia entre los grados de latitud es por término medio de 111 km. Así pues, si el ordenador sabe cuántos grados de latitud y de longitud hay entre dos puntos, también puede calcular la distancia que hay entre ellos y cuánto tardarás aproximadamente en llegar a tu destino final. Esa estimación no tiene en cuenta en absoluto el número de carreteras, las limitaciones de velocidad en esas carreteras, la cantidad de tráfico medio, etcétera. Por eso, Google utilizará sin duda un tipo de estimación mejor. No se conoce cómo lo hace exactamente, pero la idea que hay detrás del cálculo de la distancia, el tiempo y la ruta no se desviará mucho del algoritmo A*. Google valora (inteligentemente) cuánto durará la ruta todavía antes de que empiece el cálculo matemático de la ruta.

El truco matemático que hay tras el algoritmo de búsqueda A* es que no sólo se fija en la distancia que ya se ha recorrido. En su lugar, se trata de la suma de la distancia recorrida y la estimación de la distancia que aún queda por recorrer. A continuación, el ordenador que sigue el procedimiento matemático observa sólo aquellas rutas en las que esa suma es lo más baja posible. Eso puede ahorrar mucho tiempo. Mira el dibujo de aquí abajo, donde ves calculada la misma ruta que con el algoritmo de Dijkstra, pero ahora mediante el A*. La cantidad de casillas que tiene un número en este caso es mucho menor que en el caso del algoritmo de Dijkstra. La cantidad de rutas posibles que ha estudiado el ordenados es, por tanto, también mucho menor.

A* Search

El cálculo de la misma ruta con el algoritmo de búsqueda A*. También de https://www.redblobgames.com/pathfinding/a-star/introduction.html.

En este ejemplo, la estimación del algoritmo A* era muy buena: 22, así pues una más baja que la ruta efectivamente más corta. Esa estimación pudo hacerla el ordenador mediante una pieza de las matemáticas similar al cálculo con los grados de latitud y longitud: resta las coordenadas del destino final (14 desde abajo, 12 desde la izquierda) de las coordenadas del punto de inicio (3 desde abajo, 1 desde la izquierda) y llegas al resultado (14 – 3) + (12 – 1) = 22. También se pueden calcular de esta manera las estimaciones intermedias para la distancia que el ordenador debe recorrer.

El ordenador se sigue fijando todavía en todo tipo de rutas que no valen. Controla, por ejemplo, todos los tramos a lo largo del río por los que posiblemente podría ir más rápido, por si acaso hubieran construido en algún lugar un puente. Sin embargo, el algoritmo A* funciona de manera claramente más práctica: en contraposición con el dibujo del algoritmo de Dijkstra, no ves ningún número en las casillas de debajo a la derecha en el dibujo, la dirección totalmente equivocada. Eso se debe a que este lugar es difícil de alcanzar —el algoritmo debe dar muchos pasos desde el punto de partida para llegar allí— y se ha estimado que está lejos del punto final. La suma de esos dos números es muy alta para rutas que están completamente equivocadas, por eso el ordenador no se fija en ellos con el cálculo del algoritmo A*, mientras que el algoritmo de Dijkstra sí que desentraña esas rutas.

A* funciona bien, sobre todo cuando la estimación de la distancia no es más elevada que la ruta efectivamente más corta, lo que está garantizado con el método de aquí arriba. Mientras esa estimación sea más baja, el algoritmo matemático siempre dará como resultado la ruta más corta hasta el destino final. Un inconveniente de A* es que, si el ordenador llega a una estimación más alta, utilizando por ejemplo un método para la estimación más amplio que restando simplemente coordenadas, no encontrará siempre la ruta más corta. Las matemáticas pueden entonces seguir una ruta poco práctica sin darse cuenta, porque de camino, por así decirlo, se ven sorprendidas por el hecho de que ya se ha llegado al destino.

Sin embargo, el algoritmo A* es bastante mejor que el de Dijkstra, porque el ordenador necesita calcular muchísimo menos en largas distancias. Y luego se pueden utilizar todavía más trucos matemáticos para conseguir que el conjunto transcurra más rápido. Ayuda, por ejemplo, cuando la ruta no se calcula simplemente del punto de partida al punto de llegada, sino que se estudian simultáneamente ambas direcciones (del punto de partida al punto de llegada y del punto de llegada al punto de partida). El ordenador alterna entonces entre una dirección y la otra, hasta que las dos rutas se encuentran. Primero da un paso desde el punto de partida, después un paso desde el punto de llegada, luego otra vez un paso desde el principio. En ambas direcciones se calcula con la ayuda de A*, así pues con una estimación de la distancia que queda por recorrer. Si eso sucede de manera inteligente, un ordenador puede incluso planificar eficazmente rutas por toda la red de carreteras de América del Norte.

La diferencia entre los dos métodos es grande. Un experimento con una versión del algoritmo A* lo muestra muy bien. La red de carreteras estadounidense constaba de 21.133.774 círculos y 53.523.592 líneas conectoras. El algoritmo de Dijkstra se fijaba por término medio en 6.938.720 de esos círculos para encontrar una ruta. Con un poco de preparación, un cálculo matemático que hiciera el grafo más pequeño, el algoritmo de dos direcciones podría llegar a la ruta más corta con 162.744 círculos.

Esa preparación es muy importante. Las innovaciones más importantes suceden momentáneamente en ese terreno, como las muy utilizadas highway hierarchies o «jerarquías de autopistas». Simplificando el grafo con esta pieza extra de las matemáticas, un ordenador normal puede calcular una ruta más corta en Europa, con 18 millones de círculos en el grafo original, en menos de una milésima de segundo. La idea ya está contenida en el nombre: las rutas más largas se recorren probablemente con mayor facilidad por autopistas. Se tardará mucho más en ir de Nueva York a Chicago si sólo se siguen carreteras comarcales, así que un ordenador inteligente ignorará esas rutas. Desde un punto de vista matemático se consigue eliminando sin más las carreteras comarcales del grafo. Los únicos círculos y flechas que queremos mantener son las pequeñas carreteras que unen los puntos de partida y de llegada con las autopistas, y esas autopistas también.

Pero el ordenador no sabe de antemano qué flechas simbolizan las autopistas. La tarea más destacada de las matemáticas es, por tanto, reconocer esas autopistas sin que alguien las identifique con antelación. Eso es posible, de manera completamente automática, calculando qué carreteras se encuentran con mayor frecuencia el ordenador en las rutas más cortas del grafo original. Una carretera comarcal pequeña aparecerá en muy pocas rutas más cortas, así que el ordenador elimina ésa. Sólo quedan de esta manera las autopistas y las carreteras más importantes. La idea que hay tras las matemáticas, que las autopistas son carreteras que utilizan muchas personas, procura muy bien que el ordenador pueda eliminar millones de círculos y flechas insignificantes. Tras el cálculo con las «jerarquías de autopistas», quedan muchos menos círculos para calcular las rutas.

La ruta de Nueva York a Chicago puedes calcularla, por tanto, como sigue: el ordenador mira primero cerca de tu domicilio en Nueva York las autopistas más cercanas. Hace lo mismo desde tu destino final en Chicago, porque el ordenador está viajando desde ambas direcciones. Tan pronto como haya encontrado las autopistas, el ordenador puede ignorar el resto de carreteras, hasta que se encuentran las rutas del punto de partida y del punto de llegada en la autopista. Como el ordenador ha filtrado con antelación las autopistas, el cálculo se ha hecho algo más sencillo. Así procura una serie de ideas matemáticas, desde la estimación de la duración de tu viaje basándose en, por ejemplo, tus coordenadas, hasta el reconocimiento de las carreteras principales por la cantidad de viajes que las utilizan, y también procura que podamos calcular rutas de manera automática en distancias enormes.

Los paseos de Google por internet

Los grafos te los encuentras cada día. Por tanto, en los Ferrocarriles Neerlandeses, pero también si no viajas en tren. Cada vez que un ordenador te calcula una recomendación de itinerario, se recorre un grafo, ya sea para el tren o para el coche, en Google Maps. Pero incluso si ya sabes cómo debes ir, entras en contacto con los grafos. Google los utiliza también cada vez que buscas algo. Los resultados que obtienes se basan en una gran parte en un paseo que Google da por internet. Gracias a ese paseo, los buscadores han mejorado bastante. Ya lo dije en la introducción, antes de Google ¡los buscadores ni siquiera eran capaces de buscarse a sí mismos en internet!

Los fundadores de Google han resuelto ese problema, la posibilidad de encontrar automáticamente las páginas de internet más importantes de una manera matemática. Ellos fueron los primeros que vieron internet como un grafo muy grande, en el que las páginas se señalaban entre sí mediante vínculos. Dentro de Wikipedia, por ejemplo, puedes recorrer internet saltando de página a página mediante los vínculos. ¿En tu paseo acabas muy a menudo en la misma página? Entonces es importante, así que estará en un lugar prominente en los resultados de búsqueda. Por tanto, lo que hace Googles es, sobre todo, recorrer muy a menudo internet, entre otras cosas para ver adónde llegas. Y sueles llegar a Wikipedia mucho más a menudo que a una página web oscura en la que sólo hay fotos anticuadas de Bill Clinton.

Google hace esto, por supuesto, mediante un cálculo matemático, lo que es también bueno porque así saben con mucha mayor seguridad que están marcadas como importantes las páginas web correctas. Si recorres internet sólo de manera arbitraria, podrías muy bien quedarte atorado en algún lugar. Por ejemplo, en un grupo de páginas web sobre teorías de la conspiración. Todas estas páginas se reenvían constantemente unas a otras, pero no son realmente más importantes que Wikipedia como fuente de información. El cálculo de Google procura que veas también esa diferencia, algo que tú mismo no puedes ver siempre tras un poco de navegación aleatoria. Al fin y al cabo, hay suficientes personas que se ven absorbidas por esas teorías de la conspiración.

Imagínate que el grafo de aquí abajo es el internet total. Las letras en los circulitos simbolizan las páginas web. B puede representar, por ejemplo, Wikipedia, una fuente de información fidedigna de la que hablan muchas otras páginas web. Los números que hay, además, indican lo importante que es, según Google, cada página. Ésas son las puntuaciones que se deben calcular. Una puntuación alta significa que una página web es importante, mientras que una puntuación baja indica que realmente debes cerrarlo, irte de esa página web si quieres llegar a algún sitio de provecho. Según Google, claro.

Internet visto por Google.

Un número semejante se calcula haciendo exactamente como si anduvieras de veras rastreando por internet. Vas de una página a la otra mediante vínculos, las flechas del grafo. Lees algo en la página web I, quieres saber más y continúas hacia E. De allí llegas de manera natural a B, pasando por F. En este ejemplo casi todos los caminos conducen a Wikipedia, que obtiene por tanto una puntuación muy alta. Llegas rápidamente a una de sus páginas y seguro que hay una buena razón para llegar allí.

Wikipedia habla a continuación de otra página: C. Ésas se mencionan como fuente para más información. A pesar de todas las quejas sobre Wikipedia, hoy en día es muy fiable, por eso C obtiene una puntuación elevada, aunque sólo hay una página que la consulta. Mucho mayor, por ejemplo, que D, que sólo tiene enlace a una página. Así pues, no sólo importa cuántas páginas web remiten a tu página, sino que también se toma en consideración lo importantes que son esas páginas.

¿Lo ves? Tienes que elegir entre dos páginas web. Una es la página de Wikipedia sobre el 11 de septiembre y la otra una página con una teoría de la conspiración sobre el atentado. Según Google, deberías mirar primero el número de vínculos. Para Wikipedia hay un montón, pero la gente que hay detrás de esa teoría de la conspiración se ha gastado un montón de dinero para decir que su página tiene más cosas. Por eso, también tienen un vínculo a su teoría todas esas páginas absurdas en las que no entra nunca nadie. ¿Es por esa circunstancia, de pronto, Wikipedia menos importante? Bueno, no. Google no quiere que la gente, por gastarse simplemente un montón de dinero, determine que una teoría de la conspiración sea el primer resultado de búsqueda sobre el 11 de septiembre. Los visitantes quieren ver la información más fidedigna, no la información que más dinero lleva adherido. Aprovechando lo importantes que son las páginas web que te remiten a una página determinada, Google puede evitarlo en parte. No puedes pagar a la BBC para que se vincule a una teoría de la conspiración. Los vínculos de la BBC son, por tanto, bastante más valiosos para Google que los vínculos de una página web que los vende activamente.

Lo que pasa es que en la realidad no es así como utilizamos internet. ¿Cuándo fue la última vez que visitaste cincuenta páginas seguidas clicando en un vínculo detrás de otro? Casi siempre vas directamente a Facebook, por ejemplo, tecleando la dirección. Es demasiado trabajoso llegar a páginas conocidas sólo mediante vínculos. Así pues, Google tampoco lo hace siempre. A veces ese cálculo visita una página directamente. Entonces saltas de repente de C a E, porque no puedes evitar ver si tus amigos han subido algo nuevo. Has incluido Facebook en la barra de direcciones y ni siquiera te pones a buscar primero los diez pasos intermedios que se necesitan para llegar allí a través de vínculos. En el caso del cálculo, la probabilidad de que lo hagas así es de una entre seis. No es que suelas cliquear cinco vínculos seguidos, pero es que de esta manera el cálculo de Google da un resultado más preciso.

Al fin y al cabo, no es más que un puzle grande que hay que rellenar con números, al igual que ocurre con los Ferrocarriles Neerlandeses. Imagínate que llegas a C desde B. Entonces C obtiene una puntuación más elevada. Pero después regresas a B y así B también vuelve a obtener una puntuación más elevada. Uno de los vínculos a B se ha vuelto, a fin de cuentas, más importante. Y sigue así, porque ahora C también debe obtener una puntuación más elevada, hasta que todo se equilibra. Por suerte esas puntuaciones no van aumentando hasta el infinito y se puede demostrar matemáticamente que en un momento dado ya no cambian, algo para lo que Google tarda cincuenta cálculos. ¡Eso es, por tanto, dar una puntuación cincuenta veces a cada página web que puede encontrarse a través de su motor de búsqueda! Sólo entonces dejan de cambiar ya las puntuaciones y los números en B y C ya no aumentan más, porque se potencian mutuamente.

La idea matemática es, pues, como sigue: vas por un grafo a través de vínculos, de vez en cuando te introduces en una URL para salir a otra página web cualquiera. Las páginas más importantes son aquellas a las que se refieren otras páginas importantes, es decir, los lugares con los que te sueles topar durante tu paseo. Y esa idea resulta que funciona muy bien. No sólo para las páginas web, sino también en otros lugares: por ejemplo, para averiguar qué películas te gustarán.

Ver las películas con un grafo

Netflix sugiere películas y series nuevas basándose en el mismo cálculo. También los ordenadores de Netflix utilizan probablemente un grafo que recorres mediante sugerencias. Además, a veces ves algo muy nuevo, porque viste el cartel de una película, por ejemplo, o caíste en la cuenta de una reacción de entusiasmo por parte de un amigo. De esa manera, Netflix intenta enterarse de cuáles son tus gustos; te incorpora a un par de grupos y en ellos se basan esas recomendaciones, con las técnicas que también emplea Google como idea subyacente. Volvamos a pensar en el capítulo 1, en lo que sucede después de que hubieras visto Iron Man.

Netflix utiliza lo que sabe de todos esos otros abonados. Ve las películas que a continuación las personas también han empezado a ver y se pregunta, por ejemplo, cuántas personas después de ver Iron Man 1 vieron también Iron Man 2. Si hay muchas, es una buena recomendación: Iron Man 2 obtiene un alto porcentaje, lo que indica que encaja bien con las cosas que ya has visto antes. The Blue Planet no obtiene esa puntuación elevada, porque hay muchas menos personas que vean tanto películas de acción como documentales sobre la naturaleza.

Matemáticamente, apenas hay diferencia entre Netflix y Google. El algoritmo de Netflix imita el comportamiento de las personas. Netflix parte del supuesto de que sobre todo verás esas películas que han visto muchas otras personas con tu mismo gusto, del mismo modo en que Google supone que esas páginas web a las que remiten muchas otras páginas importantes son importantes. Una película se ajusta a tus gustos cuando se parece a muchas otras películas que se corresponden con tus gustos. Y así, de vez en cuando, eres un poco más aventurero y ves algo muy distinto, simplemente para ver si es algo que pueda gustarte. Entonces el cálculo matemático no va muy bien a través de una línea hacia otra película o serie, sino que salta hacia otro lugar completamente distinto del grafo.

Así, una rama de las matemáticas que se ha desarrollado para encontrar la información más importante en internet es además práctica para encontrar las películas y series más relevantes. Para ambas cosas se necesita un montón de potencia computacional. Netflix tiene muchísimas películas y series y todas deben obtener una puntuación. Y esa puntuación también debe ser recalculada un buen número de veces, al igual que ocurre con Google, y eso por usuario, obteniéndose como consecuencia, según palabras de la propia empresa, que Netflix es diferente para todo el mundo. Sus cálculos procuran que la oferta esté adaptada especialmente para ti, aunque tampoco funcione esto siempre igual de bien.

Netflix no puede, de hecho, elegir ninguna película que te parezca fabulosa y que no se parezca nada en absoluto a lo que has visto antes; realmente no puede sorprenderte. Su cálculo se dirige a las películas que más se parecen a las películas que has visto antes, no a algo totalmente distinto que también apreciarás. Esta rama de las matemáticas es simplemente incapaz de hacerlo; no sabe de películas.

El tratamiento más eficaz del cáncer gracias a las matemáticas

No sólo a las grandes empresas de internet les parece fabulosa la teoría de grafos, sino que también los hospitales utilizan grafos para predecir, por ejemplo, lo eficaz que será un tratamiento determinado contra el cáncer, si bien es algo que varía según el paciente, entre otras cosas por las diferencias genéticas. Resulta que esas diferencias pueden predecirse muy bien con el mismo cálculo que utilizan Google y Netflix. Antes de que lo hicieran los médicos, salía bien en aproximadamente el 60% de los casos. En los cálculos con la ayuda de la teoría de grafos ya al principio en 2012, consiguieron en seguida una precisión del 72%. Ésa es una enorme mejora para todos esos pacientes que, de otra forma, perderían un tiempo valioso en un tratamiento que no funciona.

¿Cómo fue al principio? Una predicción así se basa y se basaba en un pequeño grupo de genes. Antes del empleo de las matemáticas, se elegía ese grupo al azar; cada investigador utilizaba su propia elección, que solía ser muy distinta de los genes que observaban otros investigadores. Nadie sabía con exactitud qué genes eran los más importantes. Son tantísimos que apenas puede hacerse nada para que uno obtenga una perspectiva al respecto. Lo que lo hace todo aún más difícil es que tú, como investigador, estás buscando genes que cambian de comportamiento con un tratamiento, pero a veces lo hacen influyendo a otros genes sin transformarse ellos a simple vista. Los genes importantes pueden ocultarse de esa manera ante un investigador. Es muy complicado descubrir qué genes son importantes en el sentido de que cambian mucho con un tratamiento.

¿No suena esto familiar? ¿Buscar cosas importantes en una pila enorme? Eso es precisamente lo que intentan también Google y Netflix, de ahí que a un grupo de investigadores se les ocurriera utilizar esos cálculos también para los genes, empleando un grafo que ahora estaba basado en toda clase de experimentos sobre el comportamiento cambiante de los genes. Esos experimentos muestran, por ejemplo, cómo cambia el comportamiento de un gen y qué genes se influyen entre sí. Con todos esos datos puede hacerse un grafo: las líneas entre dos círculos/genes indican el grado de influencia que tiene un gen sobre otro.

A continuación hay una pequeña diferencia con Google y Netflix: los investigadores no empiezan con puntuaciones iguales para todo el mundo. Las puntuaciones iniciales se basan en más investigación que asocia el comportamiento de los genes con las probabilidades de supervivencia de un paciente. Un gen que es muy activo puede, por ejemplo, ayudar a combatir el cáncer. Ese gen obtiene una elevada puntuación inicial: es, desde luego, importante para el doctor observar ese gen. Después, el grafo hace exactamente lo mismo: un ordenador va pasando de gen a gen para observar cómo cambian esas puntuaciones si se toma en cuenta que los genes se influyen entre sí.

Calculando las puntuaciones de nuevo una y otra vez, al final salen un par de genes que son los más importantes para las probabilidades de supervivencia de un paciente y su reacción a los tratamientos. El algoritmo elabora, así pues, toda esa información sobre la importancia de los genes y su influencia recíproca. Encuentra exactamente esos genes que, directa o indirectamente, son los más importantes para los tratamientos contra el cáncer. Las matemáticas obtienen más fácilmente un panorama completo de todo ese conocimiento sobre genes. Además, lo hace mucho mejor que los otros métodos que tenían en 2012. Así, una rama de las matemáticas salva vidas cuando ni siquiera estaba ideada para eso.

Facebook, amistades e inteligencia artificial

Como último ejemplo, Facebook utiliza también esta clase de cálculos mediante grafos. No tanto para ordenar información, sino para los amigos que proponen. Al fin y al cabo, Facebook sabe exactamente quién es amigo de quién, con lo que tiene un grafo enorme que incluye todos los usuarios y amistades en la red social. Empezando por ti y haciendo correr el grafo, Facebook puede ver a quién te encontrarás probablemente en la realidad y, con alguien con quien tienes muchos amigos en común, seguro que te encuentras alguna vez en una fiesta, o quizá sirve para alguien que tiene los mismos amigos que tus amigos, aunque esto último es un poco más complicado, pero imagina que son unos veinte. Un amigo tuyo puede llevarte hasta una de esas personas intermedias. Dicho de otro modo, Facebook no sabe sólo a quién conoces, sino que puede también predecir a quién llegarás a conocer dentro de poco.

Bueno, eso no es en absoluto tan preocupante como todas esas otras cosas que Facebook sabe de ti. A quién llamas, qué tipo de páginas web visitas y un montón de cosas más: han salido a la luz suficientes historias que indican la inmensa cantidad de datos que Facebook intenta recopilar sobre sus usuarios y sobre las personas que ni siquiera se han abierto nunca una cuenta. Todo para analizar también esos datos con grafos y no de la manera en que Google ordena los resultados de la búsqueda, sino con las llamadas redes neuronales, que son cosas que posibilitan casi cada aplicación de inteligencia artificial, desde el reconocimiento de voz hasta la filtración del spam y la elaboración de diagnósticos médicos. También la optimación de anuncios se realiza mediante este tipo de redes, llegando así Facebook a categorías de anuncios tales como «personas que probablemente van a comprarse un Mazda dentro de 180 días».

¿Cómo sabe Facebook algo así aun antes de que tú mismo hayas tomado una decisión? Pues a través de esas redes neuronales, junto con una monstruosidad de datos. La idea es que no sólo puedes hacer cálculos sobre qué lugares son importantes en un grafo; es decir, cálculos que sólo intentan rellenar algo en los círculos. Pueden utilizarlos también para imitar nuestro cerebro. En lugar de neuronas, que están unidas entre sí y se transmiten señales, tienes circulitos que transmiten números mediante flechas en un grafo. Entonces introduces información en un lado y en el otro lado obtienes una predicción. Por ejemplo, información sobre ti, con el resultado de las categorías de anuncios en las que mejor encajas, según Facebook. Así, el grafo no es ningún puzle invariable en el que intentas rellenar los números correctos, sino un conjunto dinámico con el que intentas hacer predicciones sobre algo muy distinto.

Una red neuronal es en esencia un grafo, como en el dibujo de la página siguiente, pero con los papeles de los círculos distintos. La columna de la izquierda es «entrada»: allí entra información, igual que con un sistema de navegación, dentro de tu cerebro; una foto de un rostro, por ejemplo, sólo que en la forma de unos y ceros. Esos números, o esa información, la elabora la parte central, los cuatro círculos, transformando los números; un 1 arriba a la izquierda puede convertirse en un 0,5 en el círculo superior del medio, por lo que la flecha divide a la mitad todo lo del círculo superior izquierdo. Las flechas se adaptan a los números, al igual que lo hacen las conexiones entre neuronas; todas esas conexiones no son siempre igual de fuertes, por lo que algunas neuronas se influyen entre sí con mucha fuerza y otras sólo un poco. El algoritmo imita, mediante un grafo, el funcionamiento del cerebro.

Modelo a escala de una red neuronal.

Al final de muchísimos de esos circulitos intermedios, en los que la entrada se ha transformado por las flechas, desemboca la información en los círculos de la columna derecha: la salida. Si la entrada es, en efecto, la foto de un rostro, esos dos círculos de la derecha podrían simbolizar la cuestión de si es de un hombre o de una mujer. Si el ordenador sabe con seguridad que es un hombre, el círculo recibe para «hombre» un 1 y el círculo para «mujer» un 0. Cómo ha llegado el ordenador a esa predicción o, en otras palabras, de qué manera la entrada ha cambiado exactamente hasta convertirse en la predicción de la salida, a menudo se desconoce.

En muchos casos el propio ordenador es el que piensa los pasos intermedios, adaptándolos al grafo mientras está resolviendo problemas en la «fase de entrenamiento». En esa primera fase va mejorando en la resolución de problemas, ejercitándose mucho con fotografías en las que se conoce la respuesta, de ahí que se suela decir de los ordenadores entonces que «aprenden». Cambian la intensidad de las relaciones entre los círculos; así pues, el tipo de números que están con las flechas. Si el círculo de entrada arriba a la izquierda simboliza la longitud de pelo, eso puede empezar, por ejemplo, como algo sin importancia; realmente para el cálculo no importa qué número esté en el círculo; así pues, todas las flechas que salen del círculo superior izquierdo tienen un número muy bajo. Durante la ejercitación, el ordenador puede llegar a descubrir que sí es importante, y adjudicará a las flechas que salgan de «círculo del pelo» un número cada vez mayor.

Para eso se necesitan montones de datos. Para el reconocimiento facial tiene que haber muchísimas fotos de las que sabemos si es un hombre o una mujer quien aparece en ella. Un ordenador empieza entonces de manera casi aleatoria. En la primera foto no reconoce aún nada, pero sale una respuesta que se compara con la respuesta correcta. En base a esto, el ordenador realiza cambios antes de pasar a la foto siguiente. Una vez que se ha repetido ese procedimiento lo suficiente, el ordenador es capaz de dar en un momento dado casi siempre la respuesta correcta.

Así también un ordenador ha conseguido derrotar al mejor jugador humano de Go, un juego de mesa que durante mucho tiempo era demasiado difícil para los ordenadores. El ordenador utilizó un grafo enorme y jugó con ese grafo millones de partidas contra sí mismo. En cada partida salía un ganador y el ordenador adaptaba el grafo, con lo que no sólo aprendía las reglas del juego, sino también cuál es la manera de jugar lo mejor posible el juego. Hoy en día todo resulta tan fácil que un ordenador sólo necesita tres días de aprendizaje para poder ganar al campeón del mundo.

Esa misma idea la utiliza, pues, Facebook para averiguar si tú eres una de esas personas que probablemente va a comprarse un Mazda. Los servicios secretos quieren utilizarlo para rastrear a terroristas y criminales. China va a instaurar con esto un nuevo sistema de crédito social en el que cada miembro de la población obtiene una puntuación que depende de su comportamiento. Y así son posibles muchas más aplicaciones (preocupantes). Los ordenadores son también capaces, por ejemplo, de determinar cuáles son las preferencias sexuales de alguien basándose en una fotografía. Tales predicciones todavía no son perfectas, pero son posibles. Y, por tanto, puede hacerse un mal uso de ellas.

Un ejemplo es el escándalo de Cambridge Analytica, la empresa de datos angloamericana que utilizó información de Facebook para pronosticar las preferencias políticas, incluyendo qué clase de mensaje le gustaría oír más a determinadas personas. Más específicamente: cómo convences a esas personas para que voten a Trump. No está claro qué tipo de efecto ha tenido este asunto en el comportamiento electoral, pero la empresa también ha colaborado en la campaña de Ted Cruz, que no cosechó muy buenos resultados. Seguirá quedando poco claro cuál ha sido el impacto del trabajo de Cambridge Analytica, pero lo que, por el contrario, no tiene vuelta de hoja es que la empresa nunca tendría que haber podido disponer de todos esos datos, y que se pudieron hacer muchísimas cosas con ellos gracias a la teoría de grafos.

Los grafos en segundo plano

Los grafos, como hemos visto, nos los encontramos por todas partes. No de inmediato, como ocurre con la estadística, sino en segundo plano. Tampoco es necesario que sepamos nada sobre grafos para poder utilizar el tren, un sistema de navegación, Google o Netflix. Y para las integrales y las diferenciales es lo mismo. ¿Es entonces importante comprender algo de la teoría de grafos? Yo creo que sí, porque la manera en que se utilizan los grafos puede ejercer una influencia enorme en nuestras vidas. Siempre y cuando sepas bien qué aplicaciones son relevantes de esa manera.

Así existen las aplicaciones con las que ha empezado este capítulo. Los Ferrocarriles Neerlandeses componen su guía de horarios e itinerarios con la ayuda de grafos y Google Maps calcula de la misma manera la ruta más rápida a tu destino. Esas aplicaciones funcionan igual que las integrales y las diferenciales, no cambian tanto tu vida. Determinadas cosas se vuelven más fáciles, ya no es necesario (que sepas) leer mapas, por ejemplo. Pero, en sí, una aplicación semejante no genera grandes problemas en el sentido de si debes quererlo. Por supuesto que queremos tener un método para llegar lo más rápido posible a nuestro destino. Si resulta más fácil con la teoría de los grafos, estupendo, pero no es necesario que tú, como usuario, tengas que saber todo esto.

Es muy diferente si la teoría de grafos la utilizan Google, Facebook y otras empresas e instituciones para ordenar información o tomar decisiones a través de las redes neuronales. Entonces sí que es práctico saber algo sobre esta teoría. Piensa, por ejemplo, en los servicios secretos que de repente quieren acceder a muchos datos personales. ¿Qué van a hacer con ellos? ¿Qué cosas pueden sacar de allí? ¿Qué pasos dominan las personas y qué ocurre sin la supervisión humana? Sólo alguien que comprenda algo de la teoría de grafos puede responder realmente esas preguntas.

Así hay más cuestiones en las que un conocimiento de la teoría de grafos nos ayuda a formarnos una opinión. Google y Facebook suelen procurar que sus usuarios lleguen a una «burbuja» donde encuentran sobre todo esa información que confirma lo que ya piensan. Como usuario, debes esforzarte mucho para encontrar un punto de vista muy distinto. ¿No podrían Google y Facebook hacer algo al respecto? Ellos tienen acceso a todos esos otros puntos de vista, que simplemente también están en línea, ¿por qué no los ves entonces? ¿Por qué no puedo indicar de manera activa que quiero ver también las cosas del otro lado? Simplemente, porque las matemáticas no tienen esa aptitud. Google y Facebook no pueden «por un momento» adaptar sus algoritmos para procurar que recibas también cosas totalmente distintas que, sin embargo, siguen teniendo que ver con el tema en el que estás interesado.

Google y Facebook utilizan, como vimos, una pauta en la que la información más importante también es la información a la que se puede llegar más fácilmente, a saber, la información que más se parece a aquella que buscas. Al igual que Netflix no puede recomendarte películas completamente inesperadas pero perfectamente apropiadas, así Google no puede ofrecer sin más información que se halle fuera de los términos específicos que has buscado. La posibilidad de filtrar noticias falsas suena más simple de lo que es, en vista de que los cálculos matemáticos no «ven» lo que hay en una página web. Naturalmente, se trabaja mucho para poder verlo a corto o largo plazo, pero no es algo de hoy para mañana. Las matemáticas que se utilizan ahora no lo hacen fácil.

Las noticias falsas, la inquietud por la privacidad y la preocupación por la inteligencia artificial se han convertido en importantes temas sociales. Uno a uno están basados en las posibilidades y limitaciones de la teoría de grafos. Precisamente por eso es tan importante hoy en día comprender algo de esta rama de las matemáticas. Quien quiera formarse una opinión sobre los grandes debates sociales de la actualidad sólo podrá hacerlo si comprende en cierto sentido de lo que tratan, qué soluciones hay viables y cuáles no lo son. Además, no podemos ignorar la teoría de grafos.

8

La utilidad de las matemáticas

Las matemáticas, vuelvo a repetirlo una vez más, son muy útiles. Y relevantes. También en la vida diaria, aunque a menudo no nos demos cuenta. Pero ¿cómo es posible que funcionen tan bien? Esa cuestión se ha planteado en el capítulo 2, donde también hemos visto que no importa lo que pienses de ellas: puedes verlas como formas abstractas, al igual que hacía Platón con su caverna; o como una gran fábula, al igual que las historias sobre Sherlock Holmes. En ambos casos, la utilidad de las matemáticas no resulta evidente al instante. Siendo como son tan abstractas, ¿cómo pueden tener algo que ver con la realidad que nos rodea?

Para esa clase de cuestiones lo que suele ayudar es mantener la simplicidad de las matemáticas en la medida de lo posible. Así pues, ¿en qué medida son útiles los números? Al fin y al cabo, comenzamos a utilizarlos para calcular cantidades de manera más precisa, y eso es posible porque los números tienen la estructura adecuada. Encajan, por así decirlo, en la situación. Los números positivos enteros son, a saber, muy especiales: empiezas con el 1 y sumas cada vez el mismo, es decir, el 1. El 2 no es nada más ni nada menos que el número que va delante del 3 y después del 1: es, en efecto, una forma que encaja en toda clase de situaciones.

Tan pronto como empiezas a contar, utilizas esa forma: «1» es, por decirlo de algún modo, un cuenco donde metes la primera cosa, «2» el cuenco para la siguiente y así sucesivamente. El orden en que metes cosas en la forma de los números las mantiene separadas, algo que sirve para panes, ovejas, monedas, etc., pero no para todo. Intenta contar montones de arena. Pones uno a la izquierda en un solar y luego pones otro al lado, a la derecha, pero ése se hunde un poco hacia la izquierda. En lugar de dos cosas claramente separadas, ahora hay sólo un montón de arena aún mayor. Un montón de arena más otro montón de arena sigue siendo, por tanto, un montón de arena. ¿1 + 1 = 1? No, hombre, los números simplemente no funcionan con los montones de arena. No encajan bien en la forma, porque los montones de arena no son unidades separadas.

Eso puede cambiar utilizando una unidad. Con la arena, por ejemplo, puedes echar un vistazo a los litros, porque con los litros 1 + 1 es sencillamente 2, aunque también toda la arena caiga en el mismo montón. Las unidades pueden procurar que algo así encaje en la forma adecuada, de manera que puedas utilizar números. Mientras esa forma sea organizada, puedes calcular con números las cantidades. En otras palabras, los números tienen una estructura muy rígida que resulta muy apropiada, porque nos encontramos con esa misma estructura en toda clase de lugares a nuestro alrededor. Pero eso no quiere decir que puedas hacer todo lo que quieras, porque contar montones de arena será difícil.

Retomando nuestra cuestión: ¿en qué medida son útiles los números? Bueno, pues acabamos de ver que reflejan una estructura que nos encontramos a nuestro alrededor. Los números son apropiados y útiles porque dirigen nuestra atención a esa estructura, lejos de todos los detalles que no tienen mucha importancia. Por eso las matemáticas son distintas de una historia sobre Sherlock Holmes. En una historia de esas sí que hay cosas que «encajan» con la realidad: Londres se describe de una manera que cuadra en su mayor parte con lo que era la ciudad, por lo que puedes aprender muy bien algo sobre el Londres de la época de Sherlock Holmes, pero lo que falta es lo abstracto, lo general. No hay ninguna estructura en la historia que dirija tu atención a una propiedad específica, como lo hacen los números con las cantidades.

Pequeños errores en las matemáticas

Suena bien, ¿no? Las matemáticas encajan perfectamente con las cosas que encontramos a nuestro alrededor. Por eso puedes utilizarlas, por ejemplo, para reflexionar sobre cantidades. Lo único que pasa es que no suele ser tan simple. Si se trata de matemáticas un poco más difíciles, de pronto se vuelven menos buenas: contienen pequeños errores. El algoritmo de Google, por ejemplo, hace como si cada vínculo fuera positivo; como si las personas nunca dijeran en una página web: «¡Mira esta página, qué cosa más absurda hay aquí!». Precisamente una página así no quieres tenerla en tus resultados de búsqueda, pero las matemáticas no ven este tipo de cosas y simplemente calculan puntos extra para el vínculo. Al igual que Facebook en el grafo no ve de inmediato a qué personas conoces realmente y a quién has añadido en broma, de manera que para las matemáticas en Facebook eres igual de amigo con todo el mundo.

Las matemáticas simplifican situaciones y por eso no ofrecen siempre, ni con mucho, una imagen perfecta. Piensa también en una de las preguntas estándar en física: alguien dispara un cañón contra un castillo, ¿adónde llegará la bala del cañón? El cálculo matemático ofrece dos respuestas, porque tienes que extraer raíces. La bala alcanza el castillo, que está 100 metros más adelante, o sale a 100 metros por detrás de ti. Como si pudiera pasar alguna vez que una bala de cañón saliera volando justo por el otro lado. Una solución así es completamente disparatada y, por tanto, «errónea».

Es fácil decir con los números que las matemáticas son útiles porque encajan de maravilla con las situaciones que nos rodean. En ese caso es cierto, siempre que te fijes bien en las cosas que cuentas. Si lo hacen un poco más difícil y se introducen diferencias, las matemáticas dicen entonces algo distinto de lo que ocurre en la realidad. Sin embargo, también hay en esos casos bastantes acuerdos como para decir que las matemáticas ayudan. Nos damos perfecta cuenta de que una bala de cañón no vuela hacia atrás y por eso podemos utilizar el cálculo.

¿Cómo funciona exactamente entonces? ¿Qué clase de acuerdos debe haber para hacer útiles las matemáticas? ¿Cuántas faltas pueden contener? No lo sabemos. Los filósofos andan discutiéndolo. Nunca es una buena idea esperar a que se pongan de acuerdo entre sí, así que de momento es suficiente con que también esos acuerdos expliquen cómo funciona la aplicación de las matemáticas. Las matemáticas nos indican estructuras que de otra manera nos pasarían desapercibidas. Hacen más fácil el olvido de detalles y te dirigen al problema real. Como el grafo de los Ferrocarriles Neerlandeses hace más fácil a los Ferrocarriles Neerlandeses elaborar su regulación. En ese grafo no hay tormentas primaverales, mientras que en el tren eléctrico en miniatura del capítulo 1 sí que las habría.

¿Todo es casualidad?

Acuerdos entonces, de eso se trata al fin y al cabo en lo referente a la utilidad de las matemáticas. Pero ¿de dónde provienen? ¿Han caído del cielo o los matemáticos han trabajado precisamente mucho para hacer matemáticas que podamos utilizar también nosotros? Todavía no está tan claro. Miremos lo que les parece importante a los propios matemáticos. A Arquímedes, que hizo toda clase de descubrimientos prácticos, lo que le parecía más importante fue su tesis sobre una esfera, un cilindro y un cono, aunque justo ése fue el descubrimiento que no tenía ninguna utilidad práctica. ¿Qué importa cuánto tienes que quitar de un cilindro para convertirlo en un cono? De eso te enteras de manera natural y sobre la marcha.

Los matemáticos no suelen preocuparse de las aplicaciones y por eso parece que sea casi algo casual que las matemáticas sean tan prácticas; tal vez no para los números y la geometría, pero en cualquier caso para el resto. La aritmética y la geometría han empezado, al fin y al cabo, basándose en problemas muy prácticos. En el capítulo 3 hemos visto que había problemas administrativos debido a los grupos cada vez mayores en los que vivían las personas. Las ciudades-Estado debían tener una manera más eficaz de recaudar impuestos para calcular las provisiones, para planificar el futuro. Los números fueron la solución.

Sólo poco a poco fueron surgiendo esos números. En Mesopotamia tenían fichas de cálculo, una manera práctica de calcular cuánto tienes al llevar tantas fichas como bienes hay. Esas fichas se convirtieron con el curso del tiempo en signos sobre tablillas de arcilla, que eran más fáciles de transportar que una pila de fichas. En resumen, hemos empezado a utilizar números porque eran útiles. Los primeros problemas de matemáticas eran sumamente prácticos, de modo que seguramente que no era ninguna casualidad. Esas matemáticas son útiles porque surgieron como solución de un problema difícil.

Un par de siglos después, la imagen es menos clara. En diversas culturas, los matemáticos empezaron a estudiar también problemas inútiles porque querían resolver esos problemas, pero más por el estatus que por la utilidad. Todavía hoy es así, porque es precisamente por esas matemáticas «inútiles» por las que seguimos teniendo el mayor respeto. Tomemos a los griegos, a los que recordamos sobre todo por su obra tan abstracta. ¿Ese túnel que cavaron? Olvidémoslo. Pitágoras, ése fue el matemático definitivo. A Eupalinos, el del túnel, en realidad no le conoce nadie.

Estatus o no, esas aplicaciones existen. El teorema de Pitágoras es una manera práctica de someter a prueba si tienes un triángulo rectángulo. Mucha de la obra de Arquímedes sí que tiene aplicaciones directas. Las matemáticas más difíciles, como el cálculo integral y el cálculo diferencial, la ley de probabilidades y la teoría de grafos también las tienen, en abundancia. Por extraño que parezca, si te fijas bien en la historia, tampoco suelen ser por casualidad.

Las integrales y diferenciales, por ejemplo: Newton y Leibniz supieron de inmediato que serían importantes. Newton las aplicó en seguida a su propia física, aunque resultó dificultoso. Sin embargo, pudieron aplicarlas al instante, porque la idea que había tras toda esa teoría era muy simple: querían estudiar cambios. Y los cambios, naturalmente, los vemos por todas partes a nuestro alrededor. Ese cambio puede verse incluso en las matemáticas, como Newton lo vio imaginándose que iba por encima de un gráfico. La idea es por ello un poco más abstracta, pero no menos relevante.

Un método para calcular los cambios, por supuesto que es aplicable. Aquí, por tanto, ya no hay ninguna casualidad. Pero también en los otros casos no puede hablarse de casualidad. La ley de probabilidades empezó con juegos que acababan de forma prematura, lo que parece no tener nada que ver con sondeos, enfermedades o tasas de criminalidad, pero indirectamente sí que tiene que ver. Los matemáticos se ocupaban de la cuestión: ¿cómo calculas cosas que no conoces con seguridad? ¿Cómo tratas la incertidumbre de una manera precisa?

La incertidumbre te la encuentras, por supuesto, en todo tipo de lugares. Así pues, si sabes alguna manera de calcularla, también puedes utilizar entonces esa rama de las matemáticas para estudiar el mundo que te rodea. No es que sea tan simple aplicar la ley de la probabilidad, ya que han pasado literalmente siglos hasta que pudimos hacer sondeos en los que se calculara la precisión matemáticamente. El asunto es que esas aplicaciones no son casuales; los matemáticos estaban interesados en la incertidumbre y trabajaron por ello en algo que por fin podía utilizarse para estudiar incertidumbres concretas a nuestro alrededor. Dejando a un lado los juegos inútiles, la elección del tema ya tenía potencial.

Ése es el caso incluso con la teoría de grafos. Euler empezó la especialidad también basándose en un acertijo: los siete puentes de Königsberg. Ese mismo acertijo no era tan útil, porque ¿de qué nos sirve que no podamos dar un bonito paseo matemáticamente por el centro de esa ciudad? También la idea subyacente está muy lejos. Los paseos no parecen tener nada que ver con los planificadores de rutas o los buscadores de internet. Hasta que observamos algo más general que podemos hacer más sencillo a posteriori. Euler estudió una red, es decir, una manera en que están unidos diferentes lugares entre sí. Esa clase de redes resultó que sí nos las encontrábamos más a menudo.

Y hoy en día sobre todo. Las redes sociales son un ejemplo evidente, pero hay muchas más. Las redes de transporte pueden estudiarse igual de bien con la teoría de grafos. O las redes ferroviarias, para elaborar unos horarios. Las redes de películas y series, o las redes de genes que influyen en el comportamiento recíproco. La teoría de grafos es el estudio general de las redes y sus propiedades, por lo tanto tampoco es ninguna casualidad que podamos aplicarlas.

La obra abstracta de los matemáticos se suele inspirar, así, en cosas que nos encontramos en la vida diaria. Por eso no es ninguna casualidad que esas ramas de las matemáticas puedan utilizarse a continuación para comprender el mundo que nos rodea. Las matemáticas son útiles por una buena razón.

Las matemáticas ayudan

Ahora ya hemos tenido dos grandes cuestiones: ¿qué hace útiles a las matemáticas y es esa utilidad pura casualidad? Pero ¿por qué querrías utilizar las matemáticas de esa manera? Como ya se ha dicho, las matemáticas no procuran que podamos hacer cosas completamente nuevas. En principio, habríamos podido pasar también sin ellas. Mira a los pirahã y a las otras culturas del capítulo 2. Llevan una vida estupenda; pueden trabajar con cantidades, formas, grupos sociales, cambios y demás. Si alguien les enseña a construir máquinas, seguro que podrán imitar todos los pasos. Las matemáticas no están, al fin y al cabo, en las máquinas o en los edificios. El ser humano puede hacer de todo sin ayuda, pero sin esa ayuda todo se hace sencillamente mucho más difícil.

Las similitudes en la estructura, por las que las matemáticas pueden ayudar, hacen más fáciles los problemas prácticos. Las matemáticas simplifican la realidad. Atendiendo sólo a la estructura, no es necesario tener todas esas otras cosas en la cabeza. La diferencia entre 21 y 22 panes no puede verse, a no ser que los organices cuidadosamente. Así ves que una de las dos filas de panes sobresale: y eso es de hecho lo que las matemáticas hacen por nosotros.

Pensemos también en las predicciones meteorológicas. Podemos hacerlas sin las matemáticas y así las hemos estado haciendo también durante mucho tiempo. Miras simplemente muy bien el tiempo meteorológico en este momento y, a continuación, reflexionas sobre cómo cambiará. ¿Ves que el viento viene del este y sabes que allí hay un montón de chaparrones? Entonces seguro que empieza a llover dentro de poco. Lo único es que a uno solo le resulta difícil llevar la cuenta de todas esas pequeñas diferencias y cambios. Hay tantos cambios y son tan rápidos que simplemente nos vemos incapaces de abarcarlos. En cualquier caso, no disponemos del tiempo. Podríamos escribirlo todo en un libro grande para hacer rompecabezas con esos datos los próximos cien años, pero eso es algo que no supondría un beneficio para nadie.

Las matemáticas nos ayudan entonces a concentrarnos en los aspectos importantes del tiempo meteorológico, tales como las corrientes de aire y sus cambios a través del tiempo. Naturalmente, también ayuda que podamos introducir esos cálculos matemáticos en un ordenador, porque de lo contrario seguiría sin ser práctico predecir el tiempo basándose en fórmulas. Sólo podemos hacerlo gracias a las integrales y las diferenciales. Sin las matemáticas no podemos hacer que un ordenador nos ofrezca pronósticos del tiempo.

Las matemáticas ayudan, así pues, porque con ellas los problemas se hacen más comprensibles. Aplicas una rama de las matemáticas basándote en un acuerdo entre la estructura en las matemáticas y en la realidad. Gracias a ese acuerdo puedes olvidar los detalles que te encuentras en el mundo. Puedes incluso detener el tiempo por un instante para observar tranquilamente todos los componentes del clima. Puedes olvidar todas esas diferencias entre las personas por un momento atendiendo sólo a sus ingresos medios o preferencia política, lo que facilita un poco más la resolución de los problemas.

Así funcionan muchas de las matemáticas que se han planteado en este libro, pero a veces son prácticas por razones muy distintas: pueden proponer nuevas respuestas. Hemos visto ejemplos en el capítulo 1. En la física, las matemáticas procuran sorpresas con regularidad.

Los científicos Dirac y Fresnel descubrieron cosas nuevas mediante un resultado absurdo en sus cálculos. Vieron algo similar al problema de la bala del cañón: un resultado que parece disparatado. ¡Por supuesto que las balas de cañón no van hacia atrás! Pero a ellos sí que les ocurría en el plano de las partículas y en el comportamiento de la luz. Las matemáticas encajan mejor de lo esperado en la realidad, porque dejan ver incluso cosas que todavía no habíamos observado.

¿Cómo es posible? Bueno, en realidad no tengo ni idea. Es un enigma por qué funcionan tan bien. Si funcionan, en efecto, tan bien y en estos casos simplemente no es que hayamos tenido suerte. Donde es razonablemente claro cómo las matemáticas simplifican más los problemas, aún no queda claro cómo pueden ayudar a encontrar teorías nuevas. Cómo es posible que algunos resultados llamativos de cálculos llevaran a nuevos descubrimientos. Algo que no hace a las matemáticas menos especiales.

También en la vida diaria

Esos nuevos descubrimientos se produjeron sobre todo en la ciencia. La mayoría de las personas no calculan probablemente lo suficiente como para tropezar con raras predicciones matemáticas. Las matemáticas en nuestra vida diaria son útiles porque el mundo que nos rodea se hace más comprensible con ellas; incluso aunque no las utilicemos activamente. No, no necesitamos calcular integrales después de haber salido del instituto. ¿Esas fórmulas que nos quedábamos mirando fijamente en los cursos superiores del bachillerato? Apenas nos topamos con ellas después. Incluso yo, como filósofo de las matemáticas, no las necesito. ¿Por qué insisto entonces tanto en que deberíamos saber algo de las matemáticas?

No son sólo las matemáticas con lo que entramos en contacto un día sí y otro también de una manera indirecta. ¿Qué pensabas de los motores de los automóviles y de la política? Ambos tienen una gran influencia en nuestras vidas. Sin los coches sería bastante más difícil nuestro propio transporte y el de los productos que consumimos. Algo semejante puede decirse de la política. Por lo general, no nos relacionamos directamente con ella y, sin embargo, las decisiones políticas son tremendamente importantes para cada uno de nosotros. Los motores de los automóviles y la política: dos fenómenos que ejercen una gran influencia indirecta en nuestras vidas. ¿Debes, por ello, comprenderlos también los dos?

Con un motor eso sería absurdo, porque para el automovilista no importa cómo funciona, de lo que se trata es de que funcione. Otro asunto relacionado con el motor, como es el paso de los motores de gasolina a los motores eléctricos, no supone ninguna diferencia para tu vida. Los coches seguirán circulando y la economía seguirá funcionando de la misma manera. Más respetuosa con el medio ambiente, muy bien, pero no esencialmente distinta.

Con los cambios en la política es diferente. El paso de una democracia a un régimen autoritario sí que se nota. También diferencias más pequeñas, como que una ley se lleve a la práctica o no, influyen en tu vida diaria. No es extraño que todo el mundo estudie en la escuela cómo está conformada la política. Aunque la política a veces está muy alejada de ti, el conocimiento de cómo funciona sí que es importante. No tendrás que ver con ella diariamente, pero por eso no es de menos importancia comprender lo que ocurre.

Así ocurre también dentro de las matemáticas, aunque hay diferencias entre las partes de las matemáticas. Las ramas muy teóricas, tales como la teoría de conjuntos, apenas tienen algo que ver con nuestra vida diaria. De ahí que no se hayan tocado en este libro, pero también dentro de las ramas que tienen muchas aplicaciones hay diferencias. Las integrales y las diferenciales son muy importantes, pero se parecen más a los motores de coches que a la política. Si se hubiera encontrado otra manera de calcular los cambios, también estaría bien. Hay incluso unas cuantas versiones diferentes del cálculo integral y diferencial, pero no importa cuál se utiliza, pues con ellas obtenemos los mismos pronósticos meteorológicos, los mismos edificios y las mismas previsiones sobre los programas electorales. Lo importante sobre todo es que el método funcione. No hace falta que podamos reflexionar críticamente sobre cómo funciona.

Las integrales y las diferenciales se usan en tantos lugares que no puede hacer ningún mal comprenderlas. Nos las encontramos en un número considerable de profesiones y, además, han desempeñado una función de gran importancia en la construcción de nuestra sociedad actual. En el capítulo 5 ya dije que puedes compararlas con la historia. Ayudan a comprender cómo ha surgido el mundo que te rodea, por qué las cosas son como son ahora. Te ofrecen una perspectiva mejor sobre la sociedad. De esa manera también puedes mirar las integrales y las diferenciales. La idea de Newton y Leibniz es una de las que más han influido en la historia. Es lógico, por tanto, que aprendas algo sobre ella, incluso si los detalles de los cálculos no son directamente relevantes para tu vida diaria.

La estadística tiene, por otro lado, una gran influencia en cómo vives día a día. La manera en que se calcula la mejora en los ingresos medios es de una enorme importancia para el resultado; y con ello para nuestra imagen de la sociedad. Eso es algo que sirve también para los sondeos, la información sobre diferencias salariales entre hombres y mujeres y los resultados de investigaciones científicas. Mientras todo vaya bien, la estadística puede ayudarnos muchísimo clarificándonos grandes cantidades de datos y haciéndonos encontrar relaciones que, de lo contrario, pasaríamos por alto. El problema es que no siempre va bien. Las estadísticas pueden utilizarse o manipularse fácilmente para deformar nuestra imagen del mundo.

Qué métodos se utilizan, cómo se hace un sondeo y en qué se basa un promedio: todas esas cosas son importantes para la imagen que nos formamos del mundo y para la información en la que basamos nuestras decisiones. Si queremos poder formarnos una opinión independiente, es también importante que seamos capaces de estudiar esas cifras críticamente. Al igual que debemos ser capaces de tener una mirada crítica hacia la política y no aceptar como verdadero todo lo que dicen los políticos. Para ello es imprescindible tener cierto conocimiento de las matemáticas. No para ponerse uno mismo a calcular, sino para comprender las cosas que pueden ir mal. Esa estadística sí que te sirve, y mucho, en la vida diaria.

Por último está la teoría de grafos, que también tiene una enorme influencia, cada vez mayor, en nuestras vidas, porque empresas como Google y Facebook la utilizan para determinar qué información vamos a obtener, lo que es algo más radical que la mera estadística: una diferencia en la manera en que Google utiliza los grafos puede procurar que, de repente, obtengas una información muy distinta. Que no sólo se te engañe, sino que apenas puedas encontrar otra información, algo que podemos ver ahora en las burbujas de información con las que las personas entran en contacto, sobre todo con gente que tiene su misma opinión.

La teoría de grafos muestra cómo llegamos a la información a través de páginas web tales como Google. Al menos igual de importante es que veamos lo que ocurre con la información que entregamos. Todos esos datos personales que recopilan Google, Facebook y otras empresas de internet: ¿qué pueden hacer con ella? ¿Quién está mirando y qué partes del proceso de recopilación ocurren de manera totalmente automática? Ésas son cuestiones que preocupan especialmente a la gente. Para obtener respuestas realmente buenas hay que recurrir a las matemáticas; entonces pueden hablar de lo que se puede y de lo que no se puede; cómo funciona exactamente la inteligencia artificial y dónde están los peligros.

¿Quién tiene tiempo suficiente para hacer todo eso a continuación? ¿Para controlar cada cifra que te encuentras, mantenerte al tanto de los últimos avances en el terreno de la inteligencia artificial y también seguir llevando una vida normal? No lo tiene nadie, y tampoco es necesario tenerlo. Incluso si sólo comprendes los fundamentos, ya has hecho muchos progresos. Si es necesario, puedes mirar críticamente un resultado absurdo de una investigación o un sondeo inesperado. Y puedes pensar de manera más activa sobre lo que les está permitido recopilar o no a los servicios secretos, porque con unas cuantas matemáticas en el bolsillo tienes una imagen mucho mejor de lo que ocurre con esos datos.

Con las matemáticas, desde luego también con esas ramas más complicadas, alcanzamos una mayor comprensión del mundo que nos rodea. Muy bien, en tu existencia diaria habitual apenas te topas con cálculos. Pero, le diría ahora a mi yo de quince años, con lo que sí que te topas es con lo que estudian las matemáticas. Edificios con formas absurdas y pronósticos meteorológicos. Sondeos y predicciones basados en montones de datos. Buscadores e inteligencia artificial. Cosas que comprendes un poco mejor si comprendes también las ideas principales de las matemáticas. Justo ahora que el mundo va haciéndose continuamente más complejo, necesitamos algo para hacerlo más manejable. Eso es precisamente lo que hacen las matemáticas, y también de una manera que es algo más comprensible de lo que solemos pensar.

Bibliografía

Barner, D., Thalwitz, D., Wood, J. et al. (2007). On the relation between the acquisition of singularplural morpho-syntax and the conceptual distinction between one and more than one. Developmental Science 10 (3): 365-373.

Batterman, R. (2009). On the explanatory role of mathematics in empirical science. The British Journal for the Philosophy of Science: 1-25.

Bauchau, O. y Craig, J. (2009). Structural Analysis: With Applications to Aerospace Structures. Dordrecht: Springer.

Bianchini, M., Gori, M. y Scarselli, F. (2005). Inside PageRank. ACM Transactions on Internet Technology 5 (1): 92-128.

Boyer, C. (1970). The History of the Calculus. The Two-Year College Mathematics Journal 1 (1): 60-86.

Brin, S. y Page, L. (1998). The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine. Computer Networks and ISDN Systems 30: 107-117.

Bueno, O. y Colyvan, M. (2011). An Inferential Conception of the Application of Mathematics. Noûs 45 (2): 345-374.

Buijsman, S. (publicado online). Learning the Natural Numbers as a Child. Noûs.

Burton, D. (2011). The History of Mathematics: An Introduction, 7.ª ed. McGraw-Hill.

Carey, S. (2009). Where Our Number Concepts Come From. Journal of Philosophy 106 (4): 220-254.

Cartwright, B. y Collett, T. (1982). How Honey Bees Use Landmarks to Guide Their Return to a Food Source. Nature 295: 560-564.

Chemla, K. (1997). What Is at Stake in Mathematical Proofs from Third-Century China? Science in Context 10 (2): 227-251.

— (2003). Generality Above Abstraction: The General Expressed in Terms of the Paradigmatic in Mathematics in Ancient China. Science in Context 16 (3): 413-458.

Cheng, K. (1986). A Purely Geometric Module in the Rat’s Spatial Representation. Cognition 23: 149-178.

Christensen, H. (2015). Banking on Better Forecasts: The New Maths of Weather Prediction. The Guardian, 8 de enero de 2015. Online en https://www.theguardian.com/science/alexs-adventures-in-numberland/2015/jan/08/banking-forecasts-maths-weather-prediction-stochastic-processes

Colyvan, M. (2001). The Miracle of Applied Mathematics. Synthese 127 (3): 265-278.

Cullen, C. (2002). Learning from Liu Hui? A Different Way to Do Mathematics. Notices of the AMS 49 (7): 783-790.

Dehaene, S., Bossini, S. y Giraux, P. (1993). The Mental Representation of Parity and Number Magnitude. Journal of Experimental Psychology: General 122: 371-396.

Dehaene, S., Izard, V., Pica, P. et al. (2006). Core Knowledge of Geometry in an Amazonian Indigene Group. Science 311: 381-384.

Doeller, C., Barry, C. y Burgess, S. (2010). Evidence for Grid Cells in a Human Memory Network. Nature 463: 657-661.

Dorato, M. (2005). The Laws of Nature and The Effectiveness of Mathematics. En: Budinich, P. The Role of Mathematics in Physical Sciences. Dordrecht, Springer: 131-144.

Edwards, C. (1979). The Historical Development of the Calculus. Dordrecht, Springer-Verlag.

Englund, R. (2000). Hard Work – Where Will It Get You? Labor Management in Ur III Mesopotamia. Journal of Near Eastern Studies 50 (4): 255-280.

Ekstrom, A., Kahana, M., Caplan, J. et al. (2003). Cellular Networks Underlying Human Spatial Navigation. Nature 425: 184-187.

Epstein, R. y Kanwisher, N. (1998). A Cortical Representation of the Local Visual Environment. Nature 392: 598-601.

Everett, D. (2005). Cultural Constraints on Grammar and Cognition in Pirahã: Another Look at the Design Features of Human Language. Current Anthropology 46 (4): 621-646.

Ezzamel, M. y Hoskin, K. (2002). Retheorizing Accounting, Writing and Money with Evidence from Mesopotamia and Ancient Egypt. Critical Perspectives on Accounting 13: 333-367.

Feigenson, L. y Carey, S. (2003). Tracking Individuals via Object-Files: Evidence from Infants Manual Search. Developmental Science 6 (5): 568-584.

Feigenson, L., Carey, S. y Hauser, M. (2002). The Representations Underlying Infants’ Choice of More: Object Files versus Analog Magnitudes. Psychological Science 13 (2): 150-156.

Feigenson, L., Dehaene, S. y Spelke, E. (2004). Core systems of Number. Trends in Cognitive Sciences 8 (7): 307-314.

Ferreirós, J. (2015). Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices. Princeton, Princeton University Press.

Fias, W. y Fischer, M. (2005). Spatial Representation of Number. En: Campbell, J. (ed.). Handbook of Mathematical Cognition. Nueva York, Psychology Press: 43-54.

Fias, W., Van Dijck, J. y Gevers, W. (2011). How Is Number Associated with Space? The Role of Working Memory. En: Dehaene, S. y Brannon, E. (ed.), Space, Time and Number in the Brain: Searching for the Foundations of Mathematical Thought. Ámsterdam, Elsevier Science: 133-148.

Fienberg, S. (1992). A Brief History of Statistics in Three and One-Half Chapters: A Review Essay. Statistical Science 7 (2): 208-225.

Fischer, R. (1956). Mathematics of a Lady Tasting Tea. En: Newman, J. (ed.). The World of Mathematics, vol. III, parte VIII, Statistics and Design of Experiments. Nueva York, Simon & Schuster: 1514-1521.

Franceschet, M. (2011). PageRank: Standing on the Shoulders of Giants. Communications of the ACM 54 (6): 92-101.

Frank, M., Everett, D., Fedorenko, E. et al. (2008). Number as a Cognitive Technology: Evidence from Pirahã Language and Cognition. Cognition 108: 819-824.

Freedman, D. (1999). From Association to Causation: Some Remarks on the History Of Statistics. Journal de la société française de statistique 140 (3): 5-32.

Fresnel, A. (1831). Über das Gesetz der Modificationen, welche die Reflexion dem polarisirten Lichte einprägt. Annalen der Physik 98 (5): 90-126.

Geisberger, R., Sanders, P., Schultes, D. y Delling, D. (2008). Contraction Hierarchies: Faster and Simpler Hierarchical Routing in Road Networks. En: McGeoch C.C. (eds.) Experimental Algorithms. WEA 2008. Lecture Notes in Computer Science, vol. 5038, 319-333. Springer, Berlín, Heidelberg.

Gleich, D. (2015). PageRank Beyond the Web. SIAM Review 57 (3): 321-363.

Gordon, P. (2004). Numerical Cognition without Words: Evidence from Amazonia. Science 306: 496-499.

Gori, M. y Pucci, A. (2007). ItemRank: A Random-Walk Based Scoring Algorithm for Recommender Engines. IJCAI’07 Proceedings of the 20th International Joint Conference on Artificial Intelligence: 2766-2771.

Hamming, R. (1980). The Unreasonable Effectiveness of Mathematics. American Mathematical Monthly 87 (2): 81-90.

Hensley, S. (2008). Too Much Safety Makes Kids Fat. Wall Street Journal 13 de agosto de 2008. Online en https://blogs.wsj.com/health/2008/08/13/too-much-safety-makeskids-fat/

Hermer, L. y Spelke, E. (1994). A Geometric Process for Spatial Reorientation in Young Children. Nature 370: 57-59.

Hodgkin, L. (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford, Oxford University Press.

Høyrup, J. (2001). Early Mesopotamia: A Statal Society Shaped by and Shaping Its Mathematics. Contribución a Les mathématiques et l’état, CIRM Luminy, 15-19 de octubre de 2001. Fotocopia, Roskilde University. Online en http://akira.ruc.dk/~jensh/Publications/2001%7BK%7D04_Luminy.pdf

— (2007). The Roles of Mesopotamian Bronze Age Mathematics: Tool for State Formation and Administration – Carrier of Teachers’ Professional Intellectual Autonomy. Educational Studies in Mathematics 66: 257-271.

— (2014a). A Hypothetical History of Old Babylonian Mathematics: Places, Passages, Stages, Development. Ganita Bhārati 34: 1-23.

— (2014b). Written Mathematical Traditions in Ancient Mesopotamia: Knowledge, Ignorance, and Reasonable Guesses. En Bawanypeck, D. y Imhausen, A. (ed.). Traditions of Written Knowledge in Ancient Egypt and Mesopotamia. Proceedings of Two Workshops Held at Goethe University, Fráncfort del Meno, diciembre de 2011 y mayo de 2012. Münster, Ugarit-Verlag: 189-213.

Huff, D. (1954). How to Lie with Statistics. Nueva York, W. W. Norton & Company.

Imhausen, A. (2003a). Calculating the Daily Bread: Rations in Theory and Practice. Historia Mathematica 30: 3-16.

— (2003b). Egyptian Mathematical Texts and Their Contexts. Science in Context 16 (3): 367-389.

— (2006). Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources. The Mathematical Intelligencer 28 (1): 19-27.

Izard, V., Pica, P., Spelke, E. et. al. (2011). Proceedings of the National Academy of Sciences 108 (24): 9782-9787.

Kennedy, C., Blumenthal, M., Clement, S. et al. (2017). An Evaluation of 2016 Election Polls in the U.S. American Association for Public Opinion Research, informe publicado el 4 de mayo de 2017. Online en https://www.aapor.org/Education-Resources/Reports/An-Evaluation-of-2016-Election-Polls-in-the-U-S.aspx

Kleiner, I. (2001). History of the Infinitely Small and the Infinitely Large in Calculus. Educational Studies in Mathematics 48: 137-174.

Langville, A. y Meyer, C. (2004). Deeper Inside PageRank. Internet Mathematics 1 (3): 335-380.

Lax, P. y Terrell, M. (2014). Calculus With Applications. Dordrecht: Springer.

Lee, S., Spelke, E. y Vallortigara, G. (2012). Chicks, like Children, Spontaneously Reorient by Three-Dimensional Environmental Geometry, Not by Image Matching. Biology Letters 8 (4): 492-494.

Li, P., Ogura, T., Barner, D. et al. (2009). Does the Conceptual Distinction Between Singular and Plural Sets Depend on Language? Developmental Psychology 45 (6): 1644-1653.

Lützen, J. (2011). The Physical Origin of Physically Useful Mathematics. Interdisciplinary Science Reviews 36 (3): 229-243.

Madden, D. y Keri, A. (2009). The Mathematics behind Polling. Online en http://math.arizona.edu/~jwatkins/505d/Lesson_12.pdf.

Malet, A. (2006). Renaissance Notions of Number and Magnitude. Historia Mathematica 33: 63-81.

Melville, D. (2002). Ration Computations at Fara: Multiplication or Repeated Addition? En: Steele, J. y Imhausen, A. (ed.). Under One Sky: Astronomy and Mathematics in the Ancient Near East. Münster: Ugarit-Verlag: 237-252.

— (2004). Poles and Walls in Mesopotamia and Egypt. Historia Mathematica 31: 148-162.

Mercer, A., Deane, C. y McGeeny, K. (2016). Why 2016 Election Polls Missed Their Mark. Pew Research Center 9 de noviembre de 2016. Online en http://www.pewresearch.org/fact-tank/2016/11/09/why-2016-election-polls-missed-their-mark/.

Morrisson, J., Breitling, R., Higham, D. et al. (2005). GeneRank: Using Search Engine Technology for the Analysis of Microarray Experiments. BMC Bioinformatics 6: 233.

Negen, J. y Sarnecka, B. (2012). Number-Concept Acquisition and General Vocabulary Development. Child Development 83 (6): 2019-2027.

Nuerk, H., Moeller, K. y Willmes, K. (2015). Multi-digit Number Processing:

Overview, Conceptual Clarifications, and Language Influences. En: Kadosh, C., Dowker, A. (ed.). The Oxford Handbook of Numerical Cognition. Oxford: Oxford University Press: 106-139.

Núñez, R. (2017). Is There Really an Evolved Capacity for Number? Trends in Cognitive Sciences 21: 409-424.

Owens, K. (2001a). Indigenous Mathematics — A Rich Diversity. En: Proceedings of the Eighteenth Biennial Conference of The Australian Association of Mathematics Teachers: 157-167.

— (2001b). The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania. Mathematics Education Research Journal 13 (1): 47-71.

— (2012). Papua New Guinea Indigenous Knowledges about Mathematical Concept. Journal of Mathematics and Culture 6 (1): 20-50.

— (2015). Visuospatial Reasoning: An Ecocultural Perspective for Space, Geometry and Measurement Education. Cham: Springer International Publishing.

Pica, P., Lemer, C., Izard, V. et al. (2004). Exact and Approximate Arithmetic in an Amazonian Indigene Group. Science 306 (5695): 499-503.

Pincock, C. (2004). A New Perspective on the Problem of Applying Mathematics. Philosophia Mathematica 12 (2): 135-161.

Pucci, A., Gori, M. y Maggini, M. (2006). A Random-Walk Based Scoring Algorithm Applied to Recommender Engines. En: Nasraoui, O., Spiliopoulou, M., Srivastava, J. et al. (ed.). Advances in Web Mining and Web Usage Analysis. Webkdd 2006. Lecture Notes in Ordenador Science, vol. 4811. Heidelberg: Springer Berlin: 127-146.

Radford, L. (2008). Culture and Cognition: Towards an anthropology of mathematical thinking. En: English, L. (ed.), Handbook of International Research in Mathematics Education. 2.ª ed. Nueva York, Routledge: 439-464.

Rice, M. y Tsotras, V. (2012). Bidirectional A* Search with Additive Approximation Bounds. SOCS.

Ritter, J. (2000). Egyptian Mathematics. En: Selin, H. (ed.), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers: 115-136.

Robson, E. (2000). The Uses of Mathematics in Ancient Iraq, 6000-600 BC. En: Selin, H. (ed.) Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers: 93-113.

— (2002). More than Metrology: Mathematics Education in an Old Babylonian Scribal School. En: Imhausen, A. y Steele, J. (ed.) Under One Sky: Mathematics and Astronomy in the Ancient Near East. Münster: Ugarit-verlag: 325-365.

Sanders, P. y Schultes, D. (2012). Engineering Highway Hierarchies. Journal of Experimental Algorithms 17, 1-6.

Sarnecka, B., Kamenskaya, V., Yameana, Y. et al. (2007). From Grammatical Number to Exact Numbers: Early Meanings of One, Two, and Three in English, Russian, and Japanese. Cognitive Psychology 55: 136-168.

Sarnecka, B. y Lee, M. (2009). Levels of Number Knowledge During Early Childhood. Journal of Experimental Child Psychology 103: 325-337.

Schrijver, A. (2008). Wiskunde achter het spoorboekje. Pythagoras, 48 (2): 8-12.

Schlote, A., Crisostomi, E., Kirkland, S. et al. (2012). Traffic Modelling Framework for Electric Vehicles. International Journal of Control 85 (7): 880-897.

Shafer, G. (1990). The Unity and Diversity of Probability. Statistical Science 5 (4): 435-562.

Shaki, S. y Fischer, M. (2008). Reading Space into Numbers – a Cross-Linguistic Comparison of the SNARC Effect. Cognition 108: 590-599.

— (2012). Multiple Spatial Mappings in Numerical Cognition. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance 38 (3): 804-809.

Spelke, E. (2011). Natural Number and Natural Geometry. En: Brannon, E., y Dehaene, S. (ed.) Time and Number in the Brain: Searching for the Foundations of Mathematical Thought Attention & Performance XXIV. Oxford, Oxford University Press: 287-317.

Steiner, M. (1998). The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem. Cambridge: Harvard University Press.

Stigler, S. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900. Cambridge: Harvard University Press.

Syrett, K., Musolino, J. y Gelman, R. (2012). How Can Syntax Support Number Word Acquisition? Language Learning and Development 8: 146-176.

Tabak, J. (2004). Probability and Statistics: The Science of Uncertainty. Nueva York, Facts on File.

The Economist (2017a). Crime and Despair in Baltimore: As America Gets Safer, Maryland’s Biggest City Does Not. The Economist, 29 de junio de 2017. Online en https://www.economist.com/united-states/2017/06/29/crime-and-despair-in-baltimore.

— (2017b). The Gender Pay Gap: Women Still Earn a Lot Less than Men, Despite Decades of Equal-Pay Laws. Why? The Economist, 7 de octubre de 2017. Online en https://www.economist.com/international/ 2017/10/07/the-gender-pay-gap.

— (2018). The Average American Is Much Better Off Now than Four Decades Ago: Estimates of Income Growth Vary Greatly Depending on Methodology. The Economist, 31 de marzo de 2018. Online en https://www.economist.com/finance-andeconomics/2018/03/31/the-average-american-is-much-better-offnow-than-four-decades-ago.

Vargas, J., López, J., Salas, C. et al. (2004). Encoding of Geometric and Featural Spatial Information by Goldfish (Carassius auratus). Journal of Comparative Psychology 118 (2): 206-216.

Wang, F. y Spelke, E. (2002). Human Spatial Representation: Insights from Animals. Trends in Cognitive Science 6 (9): 376-382.

Wassman, J. y Dasen, P. (1994). Yupno Number System and Counting. Journal of Cross-Cultural Psychology 25 (1): 78-94.

Wigner, E. P. (1960). The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences. Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1): 1-14.

Wilson, M. (2000). The Unreasonable Uncooperativeness of Mathematics in the Natural Sciences. The Monist 83 (2): 296-314.

Winter, C., Kristiansen, G., Kersting, S. et al. (2012). Google Goes Cancer: Improving Outcome Prediction for Cancer Patients by Network-Based Ranking of Marker Genes. PLoS Computational Biology 8 (5): e1002511.

Wynn, K. (1992). Addition and Subtraction by Human Infants. Nature 358: 749-750.

Xu, W. (2003). Numerosity Discrimination in Infants: Evidence for Two Systems of Representations. Cognition 89: B15-B25.

Título original: Plussen en minnen. Wiskunde en de wereld om ons heen, originalmente publicado en De Bezige Bij, Ámsterdam.

Alianza Editorial agradece el apoyo de la Dutch Foundation for Literature para la publicación de este libro.

Edición en formato digital: 2019

Copyright © 2018 Stefan Buijsman, Plussen en minnen

© de la traducción: Julio Grande Morales, 2019

© Alianza Editorial, S. A., Madrid, 2019

Calle Juan Ignacio Luca de Tena, 15

28027 Madrid

alianzaeditorial@anaya.es

ISBN ebook: 978-84-9181-700-0

Está prohibida la reproducción total o parcial de este libro electrónico, su transmisión, su descarga, su descompilación, su tratamiento informático, su almacenamiento o introducción en cualquier sistema de repositorio y recuperación, en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, conocido o por inventar, sin el permiso expreso escrito de los titulares del Copyright.

Conversión a formato digital: REGA

www.alianzaeditorial.es