Miquel Albertí Palmer

Las matemáticas de la vida cotidiana

La realidad como recurso de aprendizaje

y las matemáticas como medio de comprensión

© Miquel Albertí Palmer, 2018

© Federación Española de Sociedades de Profesores

de Matemáticas (FESPM), 2018

Servicio de Publicaciones

Avda. de la Mancha s/n

02006 Albacete

www.fespm.es

© Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), 2018

Nicolás Cabrera, nº 13-15

Campus de Cantoblanco, UAM

28049 Madrid

www.icmat.es

© Los libros de la Catarata, 2018

Fuencarral, 70

28004 Madrid

Tel. 91 532 20 77

www.catarata.org

Las matemáticas de la vida cotidiana.

La realidad como recurso de aprendizaje y las matemáticas como medio de comprensión

ISBN: 978-84-9097-565-7

E-ISBN:

DEPÓSITO LEGAL: M-35.125-2018

IBIC: pdz

este libro ha sido editado para ser distribuido. La intención de los editores es que sea utilizado lo más ampliamente posible, que sean adquiridos originales para permitir la edición de otros nuevos y que, de reproducir partes, se haga constar el título y la autoría.

Introducción

Numerosas son las publicaciones sobre la relación entre las matemáticas y la vida cotidiana. Incluso hay una que lleva precisamente este título, como es el caso de Las matemáticas en la vida cotidiana, editada por Addison-Wesley y la Universidad Autónoma de Madrid en 1999. Se trata de un libro voluminoso dividido en cinco partes cuyos capítulos van alternando contenidos matemáticos y situaciones más o menos generales que supuestamente podíamos encontrarnos en la vida cotidiana a finales del siglo XX. Una obra muy completa, rigurosa y de gran potencial didáctico.

Entonces, ¿para qué escribir otra obra acerca de las matemáticas y la vida cotidiana? Un primer motivo serían los cambios en los estilos de vida, pero en las últimas décadas la vida cotidiana tampoco ha cambiado demasiado. Y si algo lo ha hecho ha sido la universalización del uso de dispositivos digitales (teléfonos, ordenadores, tabletas) y de las aplicaciones disponibles. Aparte de eso, el resto de actividades que componen lo que llamamos vida cotidiana continúa siendo prácticamente idéntico al de hace más de dos décadas.

Pero dos motivos distinguen este libro de otros, por los cuales merece esta obra ver la luz. Las publicaciones sobre el uso de las matemáticas en la vida cotidiana suelen organizarse tomando como eje principal los contenidos matemáticos, de los que se ofrece un desarrollo exhaustivo. Según esa perspectiva el objetivo es demostrar al lector que prácticamente todas las matemáticas de la educación primaria, secundaria y bachillerato encuentran aplicación y sentido en muchos quehaceres cotidianos. El sentido de este libro se aparta de dicho enfoque, ya que en las situaciones de la vida son interdisciplinarias y no se organizan por asignaturas ni por contenidos. Por eso, el contenido de este libro se organiza según situaciones afines a cinco campos principales y a los que se dedica un capítulo a cada uno de ellos: uno mismo, la movilidad, el entorno, el intercambio y la incertidumbre. Otro rasgo distintivo es que en cada uno de esos aspectos y capítulos se aborda la cuestión didáctica de cómo convertir situaciones cotidianas en recursos de aprendizaje y enseñanza matemáticos. Se ofrecen, por tanto, propuestas concretas de incorporar a las aulas de primaria, secundaria o bachillerato actividades estructuradas según tres grados de apertura: abiertas, orientadas y asistidas. Se pretende con ello ayudar al profesorado de matemáticas a atender la diversidad de su aula.

No debería resultar difícil a cualquier educador matemático ser capaz de relacionar, identificar o aplicar matemáticas en situaciones cotidianas. Pero crear nuevas ideas matemáticas inspiradas en situaciones cotidianas quizá no resulte tan fácil. Más difícil todavía es hacer de una situación cotidiana una actividad de enseñanza y aprendizaje matemático para desarrollarla en una clase y evaluarla según criterios competenciales. Eso es lo que más preocupa al profesorado de matemáticas: ¿cómo convierto una experiencia en una actividad de clase? ¿Por qué debería hacerlo? ¿Hasta qué punto vale la pena? ¿Se adaptará al currículo? ¿Cómo la evaluaré? Entrar en todos estos temas nos llevaría a una extensión de la que no disponemos, por lo que las propuestas didácticas se limitan al planteamiento y al modo de desarrollo sin entrar en la evaluación. Dada la gran diversidad de formas de evaluar, los profesionales de la educación matemática hallarán la más conveniente y adecuada a su alumnado para las actividades que aquí se proponen.

Sin duda, existen matemáticas en la vida cotidiana, pero ni todas son evidentes ni todas las personas las perciben de la misma forma. La búsqueda de matemáticas en situaciones cotidianas tiene una doble motivación. Por una parte, comprender la situación en cuestión; y por otra, aprender matemáticas inspiradas por la vida. Quienes dan vida a las matemáticas, especialmente en la vida cotidiana de los adolescentes, son los educadores matemáticos. Por tanto, deberían ser competentes para identificar situaciones y fenómenos de la vida cotidiana en los que intervengan las matemáticas y desarrollar un trato didáctico para incorporar algunas de ellas al proceso de enseñanza y aprendizaje académico de las matemáticas. Deseo que este libro contribuya a la realización de estas labores.

Capítulo1

La vida cotidiana como recurso

de aprendizaje académico

Llevar fenómenos, situaciones o experiencias propias de la vida real o cotidiana a un aula de clase, sea de la materia que sea, no es cuestión sencilla. Una cosa es vivir una situación que la vida nos impone o a la que nos prestamos y otra muy distinta convertirla en una actividad o proyecto de enseñanza y aprendizaje. El contexto, los objetivos y el modo en que abordamos la situación vital, la real y cotidiana, serán siempre distintos de los que se den en un ámbito académico. Si se falla en la vida académica, el resultado negativo es, a lo sumo, una mala calificación que podrá recuperarse. Si se falla en la vida, el resultado puede ser un disgusto para el que a menudo no existe recuperación.

Cuando se trata de relacionar vida cotidiana, matemáticas y educación conviene precisar primero qué se entiende por cada una de estas tres cosas y desde qué perspectiva se enfoca su relación entre ellas. De eso trata este capítulo.

La vida cotidiana

Cotidiano es algo que ocurre a diario o con mucha frecuencia, un significado que remite a la idea de periodicidad. Llamamos “vida cotidiana” a aquella serie de fenómenos y situaciones que, además de ser periódicos, son también compartidos por la mayoría de las personas de una misma sociedad o ámbito cultural. No encajan en esa descripción las situaciones específicas de la vida profesional de cada cual, ya que, pese a ser cotidianas para alguien concreto, no lo son para la mayoría. En este sentido, la vida cotidiana es algo relativo al grupo cultural que la comparte dentro de una sociedad o cultura más amplia. Por ejemplo, el trabajo es algo cotidiano, pero no por el trabajo concreto desarrollado por cada uno, sino por aquello que se deriva del hecho de trabajar, como la movilidad o el transporte. Así es como el trabajo provoca situaciones cotidianas para todo el mundo.

Cuando hablamos de vida cotidiana cabe preguntarse el qué, el quién y el cuándo. ¿Qué actividades componen la vida cotidiana y en qué cultura? ¿A quiénes atañe y a qué edades? La vida cotidiana de un niño, una madre o un anciano pueden ser muy distintas. Y aunque hay ciertas actividades elementales compartidas por los tres, estas se diferencian por el modo en que se llevan a cabo. Comencemos concretando qué actividades componen eso que llamamos vida cotidiana.

Las vidas cotidianas de personas pertenecientes a culturas diferentes pueden ser bastante distintas, a no ser que restrinjamos este concepto a las necesidades básicas del ser humano. Por una parte, pueden distinguirse las referentes al cuidado personal (lavarse, peinarse, vestirse, evacuar), la movilidad (caminar, irse y levantarse de la cama, sentarse y levantarse de un asiento) o la alimentación (comer con autonomía, pero no cocinar). Por otra parte, están las actividades de carácter instrumental: la limpieza del hogar, el manejo de dinero, la relación con una comunidad, la preparación de alimentos, la compra de productos básicos, la toma de medicamentos prescritos y la comunicación (oral o escrita, presencial o virtual). Algunas de estas las realizan hoy en día las máquinas, por lo que habría que añadir el manejo de su hardware o software. Por lo tanto, las actividades de la vida cotidiana pueden clasificarse en tres bloques principales: cuidado personal, movilidad y manejo instrumental.

Todas esas actividades son necesarias para llevar una vida corriente en los diversos y universales ámbitos que la componen y en los que todo ser humano, sea de la cultura o grupo social que sea, se ve implicado: higiene, salud, vivienda, alimentación, consumo, sociedad, trabajo, transporte, comunicación, tecnología, cultura, ocio, creencias y formación.

Si pensamos en un adolescente, surge la paradoja, pues la vida cotidiana de un adolescente es eminentemente académica. ¿Es vida cotidiana la que se lleva a cabo en la escuela o en el instituto? De las catorce horas de vigilia en la vida diaria de una persona adolescente, casi la mitad transcurren en el ámbito académico. Eso plantea un problema que no es menor, pues quienes los educan son adultos y, a diferencia de sus alumnos, protagonizan como personas activas y responsables sus propias vidas cotidianas. En cambio, el papel de los adolescentes en sus vidas cotidianas suele ser más pasivo y supeditado a la voluntad de los adultos. No es corriente que realicen grandes compras ni que manejen dinero, y si lo hacen es en cantidades muy pequeñas que no implican mayores problemas. Tampoco son responsables del pago de facturas relacionadas con el consumo energético. Si alguna vez tienen dinero, se lo administran sus mayores. Al desplazarse, suelen hacerlo acompañados por sus progenitores, raramente lo hacen solos.

Por tanto, ¿qué situaciones de la vida cotidiana tiene sentido llevar a las aulas y con qué propósito si aquellos a quienes irán dirigidas no las viven cotidianamente? El motivo es claro: la educación, la preparación para un futuro en el que sí deberán responsabilizarse de tareas que ahora asumen otros. He aquí la principal razón de la incorporación de la vida cotidiana al ámbito académico. Mediante la realización de actividades académicas sobre situaciones de la vida cotidiana que tarde o temprano acabarán viviendo, pueden aprender a responsabilizarse y a ser conscientes de lo que valen las cosas, de que hay que planificar y organizar las tareas, de anticipar y tomar decisiones que no siempre obedecen los aspectos de su gusto personal, sino racional. Al hacerlo, se contribuirá a su maduración como personas y, si la realización de dichas actividades académicas basadas en la vida cotidiana supone la intervención de las matemáticas, podrán ver el papel desarrollado por esta materia en la vida cotidiana y mejorar de paso su competencia en ambas, en la vida y en las matemáticas.

Las matemáticas tienen sujeto

La siguiente cuestión sería preguntarse si las matemáticas intervienen en la vida cotidiana. Como se verá, muchas de las situaciones y fenómenos que se producen en los ámbitos cotidianos mencionados conllevan algún tipo de actividad matemática. Y puesto que se desarrollan siempre dentro de una determinada cultura, su carácter se corresponde con alguna de las seis actividades matemáticas universales identificadas por Bishop (1999): contar, medir, localizar, diseñar, jugar o explicar. Es fácil entrever que varios de estos seis universales forman parte de actividades cotidianas.

Pero lo crucial aquí es observar que todas y cada una de dichas actividades tienen sujeto: la persona que las realiza, pues en este libro partimos de la idea de que las matemáticas no están en las cosas, sino en las personas que con las cosas se relacionan. Por lo tanto, las matemáticas tienen un sujeto. Es en los fenómenos y situaciones cotidianos donde alguien cuenta, mide, localiza, diseña, juega o explica en los que cabe la posibilidad de hallar matemáticas que serán de la vida cotidiana.

Las matemáticas no están en los libros. Estos recogen los resultados elaborados y contrastados por quienes llevan a cabo la actividad matemática. Y la actividad matemática se desarrolla mediante toda una serie de procesos en los que intervienen la experimentación, el ensayo y el error, la intuición y, por último, la formalización y la demostración (Courant y Robbins, 1997; Davis y Hersh, 1988). De acuerdo con Polya (1945), las matemáticas vienen a ser una ciencia experimental que ofrece al público resultados demostrados sin mácula (teoremas), que han sido desarrollados mediante errores, discusiones con otros colegas e intuiciones fallidas. Eso a lo que Lakatos se refiere como pruebas y refutaciones (1978). Los axiomas y teoremas no son el punto final del proceso, sino el principio (Fischbein, 1995). No debemos esperar hallar en la vida cotidiana teoremas matemáticos ni demostraciones de resultados matemáticos, pero sí situaciones o problemas para los que se necesiten matemáticas o que inspiren nuevas ideas matemáticas. Estas pueden ser nuevos problemas, nuevas aplicaciones o nuevas formulaciones de conceptos matemáticos. Si queremos que los adolescentes aprendan matemáticas de un modo creativo, práctico y con significado, ¿qué mejor oportunidad podremos encontrar que la que nos ofrecen las experiencias de la vida?

Aprendizaje matemático

Llegados a este punto, surgen dos nuevas dificultades indisociables. Por una parte, ¿cómo convertir una situación real de la vida en una actividad de enseñanza y aprendizaje matemático? Por otra, ¿qué sentido y forma se dará a dicha conversión? El modo en que el educador matemático concibe el aprendizaje resultará determinante en el proceso. Por ejemplo, en una concepción educativa basada en la transmisión de conocimiento, la forma preponderante de actividad serían las aplicaciones. En cambio, en una filosofía constructivista del aprendizaje, como la que se defiende aquí, los problemas de aplicación son secundarios y se prioriza la investigación y la creatividad.

Partiendo de la idea de que las matemáticas están en las personas, resulta coherente plantear que las matemáticas son una construcción social (Ernest, 1991). Esta afirmación es la que da sentido a reunir diversas personas en un mismo espacio (aula) y tiempo (hora de clase) para que observen y analicen situaciones de la vida real y desarrollen matemáticas (aprendan) a partir de ellas y en colaboración con sus compañeros. El aprendizaje constructivista es el más fiel al modo en el que se desarrollan y se han desarrollado las matemáticas a lo largo de la historia.

Piaget y Vygotsky

Jean Piaget (1896-1980) y Lev Semyonovich Vygotsky (1896-1934) nacieron el mismo año; Piaget, en Neuchatel (Suiza), y Vygotsky, en Orcha (Rusia). Sin embargo, la vida del psicólogo suizo, 84 años, fue mucho más extensa que la del bielorruso, quien no llegó a cumplir los 38 por culpa de la tuberculosis. Para ninguno de los dos la psicología fue su primer centro de atención. Piaget se interesó antes por la biología y llegó a doctorarse con una tesis sobre los moluscos. Vygotsky se interesó por la filosofía, la medicina y el derecho antes que por la psicología.

Lev Vygotsky y Jean Piaget. Fuente: Wikimedia Commons.

Las perspectivas piagetiana y vygotskyana se distinguen fácilmente, pero lejos de ser antagónicas, se complementan. Piaget estudió el aprendizaje de los niños relacionando la madurez del cuerpo humano con sucesivas etapas cognoscitivas de la persona, situando al individuo en el objeto de su análisis. Vygotsky, en cambio, no se preocupa tanto del individuo como de su entorno, pues para él el aprendizaje no se produce de forma aislada del entorno social y es siempre un producto de las relaciones desarrolladas en ese contexto social. Ambos leyeron a Sigmund Freud.

No es posible abordar el conocimiento del aprendizaje y desarrollar programas educativos sin tener en cuenta esos dos enfoques.

Jean Piaget y Lev Vygotsky sentaron las bases de la concepción constructivista del aprendizaje. El sistema de Piaget (1970) se basa en estructuras cognitivas correspondientes a cuatro estadios de desarrollo: sensor y motriz (0-2 años), preoperacional (2-7 años), operacional concreto (7-12 años) y operacional formal (a partir de los 12 años). Los procesos de asimilación y acomodo fundamentan el aprendizaje. En la fase de asimilación, los acontecimientos se interpretan mediante las estructuras cognitivas ya existentes. En cambio, la acomodación supone modificar una estructura para dar sentido al entorno. Así, el desarrollo cognitivo consiste en una sucesión de asimilaciones y acomodamientos. Desde la perspectiva piagetiana, el aprendizaje se construye poniendo al alumno ante situaciones que precisen desarrollar asimilaciones y acomodos. El psicólogo francés situaba el punto de tránsito de las operaciones concretas a las formales alrededor de los doce años de edad, justo cuando inicia la educación secundaria en nuestro actual sistema educativo.

A diferencia de Vygotsky, Piaget centra su atención en el individuo y no en su entorno social. Para Vygotsky (1978), la interacción social desempeña un papel fundamental en el aprendizaje hasta el punto de que no solo lo que el niño puede aprender con ayuda amplía lo que puede aprender por sí solo, sino que, sin esa ayuda, el desarrollo cognitivo no puede completarse. Vygotsky se refiere a ello como la zona de desarrollo proximal (ZDP).

Vygotsky considera también dos tipos de conceptos. Por una parte, los científicos, que se construyen de arriba hacia abajo y que de entrada son abstractos, pero van ganando significado a medida que se aplican a fenómenos particulares. Por otra, los espontáneos, creados de abajo hacia arriba, ligados a situaciones concretas y que resultan ricos en significado.

La concepción de las ideas científicas de Vygotsky es en cierto sentido platónica, ya que las considera en un plano superior y cuyo aprendizaje se adquiere por medio de aplicaciones. Sin embargo, es especialmente valiosa su idea de partir de situaciones concretas en la construcción de ideas nuevas, su tesis, que es donde reside la creatividad. Ambos planos vygotskianos serán muy relevantes. Por una parte, la aplicación de las matemáticas a la vida cotidiana favorecerá el aprendizaje y el desarrollo de la competencia matemática. Por otra, las situaciones de la vida cotidiana podrán inspirar el desarrollo de nuevas ideas matemáticas.

Jean Lave (1988) relaciona el aprendizaje con la práctica. En situaciones reales, el pensamiento está al servicio de la acción y la gente se las ingenia para hallar soluciones. Según Lave, el pensamiento cotidiano no resulta ni ilógico ni escaso de rigor, sino que es sensible y eficaz en el contexto práctico y real donde se produce. De esta forma, el aprendizaje es situado y no debería presentarse desligado de sus componentes prácticos. Puede definirse, por ejemplo, un círculo formalmente como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de otro, pero el aprendizaje de ese concepto jamás será completo si no se traza esa figura. Incluso el tipo de instrumento utilizado para ello influye en la concepción: no es lo mismo trazarlo con un compás estándar (radio invisible), con uno de carpintero (radio visible) o con el software GeoGebra. Este enfoque será primordial, pues convertir un fenómeno de la vida cotidiana en una actividad de aprendizaje académico solo tendrá sentido si dicho fenómeno puede experimentarse realmente in situ, fuera del aula.

A mediados del siglo XX, Hans Freudenthal observó que, en los niveles más elementales, el aprendizaje de los niños es discontinuo, y que estos actúan de forma intuitiva, informal y, sobre todo, manipulando objetos. Sentaba así las bases del cambio que representa no tan solo aplicar matemáticas, sino dar importancia a la riqueza de los contextos en el aprendizaje. Freudenthal criticó la por entonces conocida como “matemática moderna” porque representaba una versión antididáctica, donde las definiciones y los axiomas constituían el punto de partida. Para Freudenthal (1972), una educación matemática realista debe comenzar con problemas ricos en contexto y significado sobre los que los estudiantes reflexionen progresivamente de lo concreto a lo abstracto. Se trata de una perspectiva próxima al desarrollo de los conceptos científicos ascendentes de Vygotsky que acabamos de destacar en el párrafo anterior y que va a resultar muy útil en este libro.

GeoGebra

GeoGebra es un programa matemático interactivo creado por el austríaco Markus Hohenwarter en 2002, con el objetivo de servir de recurso en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Su nombre es una combinación de las palabras “geometría” y “álgebra”, y en sus primeras versiones combinaba estos dos elementos, con un procesador geométrico y otro algebraico. Desde su creación hasta la actualidad ha experimentado numerosas mejoras; ha introducido herramientas de cálculo simbólico y estadística cada vez más potentes, así como gráficos tridimensionales. Hoy en día, este software ha trascendido el ámbito exclusivo de las matemáticas y es un recurso cada vez más utilizado en otras materias científicas. Las últimas versiones del programa están concebidas para el trabajo desde dispositivos móviles, adaptándose así a la evolución de la tecnología empleada por docentes y estudiantes.

De la imposición y abstracción de la matemática académica de hace algunas décadas y de su desconexión con la vida real proviene la idea de que las matemáticas que no son difíciles no son verdaderas matemáticas. Algunos profesionales considerarán que no hacen matemáticas cuando calculan o realizan una estimación razonada de una superficie, ya que algo tan sencillo como es multiplicar el largo por el ancho de un rectángulo no son auténticas matemáticas para ellos (Albertí, 2009). Fácil o difícil, lo matemático es matemático. La facilidad o dificultad es algo tan subjetivo que no sirve para evaluar el grado de matematización de una situación. La suma de números naturales es tan matemática como la suma de vectores o la suma de integrales.

No es raro que los no matemáticos sean a veces más exigentes que los propios profesionales a la hora de calificar como matemática alguna actividad. Esta opinión está sin duda imbuida por el modo en que se les presentó y se relacionaron con la asignatura durante su etapa de formación. Tampoco podemos fiarnos de lo que diga la gente para saber qué matemáticas utilizan en su vida diaria, ya que corremos el riesgo de que algunas prácticas matemáticas queden excluidas de tal consideración. Esto nos lleva a considerar dos tipos de matemáticas en la vida: las necesarias y las complementarias.

Matemáticas: necesidad y complemento

Dos aspectos fundamentales relacionan las matemáticas con la vida: su utilidad y ayuda a la comprensión. Son útiles aquellas matemáticas que necesitamos para relacionarnos con las situaciones porque nos vemos obligados a realizarlas. La vida nos las impone y mucha gente trata de evitarlas. El ejemplo más claro es la realización de cálculos y estimaciones razonadas sobre situaciones de consumo y de medida (longitud, peso, tiempo, capacidad), vinculadas a la economía doméstica.

El planteamiento académico de esas matemáticas necesarias suele basarse en que en la vida cotidiana se aplican las del ámbito académico. La utilidad es uno de los criterios más extendidos entre el profesorado para justificar la necesidad de aprendizaje de la matemática formal o académica. Ejemplos claros de situaciones en las que se requieren ese tipo de matemáticas son las vinculadas a preguntas como:

¿A qué hora salgo para llegar puntual a una cita?

¿Cuánto tardaré?

¿Qué itinerario debería seguir?

¿Cuánto me va a costar?

¿Cuánto me ahorraré con un descuento?

¿Me lo habrán aplicado correctamente?

¿Cabrá o no cabrá?

Sin embargo, en la vida cotidiana las respuestas a esas preguntas se hallan, la mayoría de las veces, por ensayo y error. No suelen aplicarse metodologías formales, sino prácticas. Por ejemplo, si la ropa cabe o no en una maleta se sabe tratando de meterla ahí y no mediante el cálculo de volúmenes; el tiempo que se tarda en realizar una acción no se calcula a priori, sino que se realiza la acción directamente. Uno sabe el tiempo necesario para llegar al lugar de trabajo después de realizar el mismo trayecto varias veces y obtener una especie de media aritmética tácita y aproximada, ni escrita ni calculada, de esas experiencias.

Pero la excusa de la utilidad no es suficiente. Algo tan corriente, necesario y matemático como conocer las cuotas de amortización de un préstamo o realizar la declaración de la renta son tareas que muchos, matemáticos o no, rehúyen pese a disponer de programas informáticos que facilitan la tarea. A menudo, esas tareas se delegan en otras personas profesionales (cuya labor consiste precisamente en eso) del mismo modo en que se delegan labores de limpieza, por ejemplo. Eso hacen muchos adultos que pueden permitírselo. Pese a todo, debemos ser conscientes de que hay unas matemáticas útiles y necesarias en la vida diaria que se asocian con las competencias básicas de una persona. Por lo tanto, llevarlas al ámbito académico puede favorecer su desarrollo.

Otro enfoque es que la perspectiva matemática puede ayudar a la comprensión de muchas situaciones cotidianas. Se trata de matemáticas que complementan las necesarias y que pueden resultar beneficiosas en la vida cotidiana de las personas. Esas matemáticas complementarias requieren la participación voluntaria del sujeto que vive o experimenta el fenómeno en cuestión. Nada obliga a realizarlas, y se puede vivir sin ellas como de hecho hace la mayoría de la gente. Sin embargo, su realización aporta algo fundamental para la vida y la cultura: comprensión.

Si los individuos de una sociedad deben por lo menos atisbar una competencia que va más allá de lo estrictamente necesario para la vida, el alumnado debería experimentar por sí mismo, en el nivel educativo adecuado, fenómenos o situaciones cuyo enfoque matemático proporcione comprensión. Entonces aprenderá que la perspectiva matemática complementa sus necesidades. Este es el punto donde llevar al ámbito académico la vida cotidiana cobra más sentido, pues resultará difícil desarrollar esas matemáticas complementarias sin la guía de un profesional de la educación matemática. El maestro o profesor podrá guiar a su alumnado a ver cómo las matemáticas ayudan a comprender situaciones cotidianas y, como consecuencia de ello, a aprender matemáticas.

La formación ocupa la mayor parte de la vida de los adolescentes en todo el mundo. Su vida cotidiana está llena de matemáticas. Unas matemáticas establecidas en el currículo escolar y obligatorias que los adolescentes viven con mayor o menor agrado y que resultan difíciles de aceptar mientras no resulten significativas, útiles y comprensibles con su bagaje cultural, es decir, ricas en contexto y en significado. Por ello, el tratamiento académico de las matemáticas de la vida puede suavizar el impacto conceptual que hasta hace poco ha supuesto para muchos adolescentes la imposición de conceptos y procesos matemáticos abstractos. Ayudar al tránsito de unas a otras forma parte de la tarea del educador matemático. Cómo tratar en el ámbito educativo las situaciones de la vida es uno de los objetivos de este libro. Las situaciones cotidianas que se analizarán en los siguientes capítulos ilustrarán este enfoque.

Estas son las cuestiones que abordamos a continuación y cuyo objetivo es adentrarnos en el mundo matemático.

¿Cómo percibimos, reaccionamos y nos enfrentamos a un fenómeno o situación de la vida cotidiana?, ¿tomamos en consideración el enfoque matemático?

¿Qué hacer con todo ello en el mundo educativo? Ante una respuesta afirmativa, ¿quiénes deben asumir la tarea?

Si las matemáticas necesarias y las complementarias deben llevarse al ámbito educativo, ¿cómo y en qué niveles hacerlo?, ¿qué conflictos se crean en relación con el currículo?

¿Es posible transitar sin sobresaltos de la competencia matemática para la vida cotidiana a la competencia matemática formal y abstracta?

Competencia matemática vital: más actitud

que contenido

En cuanto a los contenidos, una persona se desenvolverá cómodamente en la vida cotidiana si es capaz de:

Calcular con y sin calculadora y realizar estimaciones razonadas de cálculos.

Usar la calculadora a nivel elemental.

Usar con comodidad expresiones numéricas equivalentes (decimal, fracción, porcentaje).

Usar correctamente instrumentos de medida (regla, balanza, reloj, termómetro).

Identificar y crear patrones de formación de sucesiones figurativas y numéricas.

Establecer relaciones de cambio entre variables y representarlas gráficamente, ya sean de origen algebraico (lineales, cuadráticas) o experimental (edad-estatura, masa-importe…).

Distinguir y nombrar correctamente curvas, figuras y sólidos elementales: segmento, recta, cónicas, cuadriláteros, triángulos, polígonos, poliedros y cuerpos circulares.

Calcular perímetros, áreas y volúmenes de figuras y sólidos sencillos.

Modelizar matemáticamente para visualizar situaciones con figuras geométricas y expresiones algebraicas sencillas.

Relacionar y distinguir figuras por su forma y orientación espacial o simetría.

Usar decimales, fracciones y porcentajes para medir la incertidumbre.

Contar y determinar las características de una población (moda y media aritmética).

La mayoría de la gente es capaz de realizar estas actividades, aun cuando muchas de ellas haya aprendido a hacerlas a lo largo de su vida posterior a la académica, viviendo la vida, con los años y la experiencia y la reiteración de muchas de ellas.

Lo que suele resultar difícil a la gente corriente no son los contenidos matemáticos, sino las competencias. Quienes tratan de evitar las matemáticas, ya sean adolescentes o adultos, eluden poner en juego su competencia matemática. La quinta competencia se ha hecho muy popular en lo que respecta al ámbito político y los medios de comunicación, donde cifras y proporciones numéricas se ofrecen a menudo como garantía de un razonamiento. Y aunque los razonamientos y justificaciones esgrimidas no sean matemáticamente perfectas, recurrir a números, fracciones, porcentajes y representaciones gráficas se han convertido en algo cotidiano. La lectura de las doce competencias pone de manifiesto lo útil y rica que puede ser la vida cotidiana para la competencia matemática.

Algunas orientaciones para responder las cuestiones planteadas pueden ser las siguientes:

Primero, dar la vuelta al calcetín. Los profesionales de la educación matemática deberían regirse más por las competencias que por los contenidos de su asignatura. Si para algunos currículos previos basados en contenidos había una serie de problemas matemáticos estándar, un currículo basado en competencias, como el que se muestra en la tabla a continuación, debería basarse más en fenómenos y situaciones a partir de las cuales ir desarrollando los contenidos necesarios. Con esa idea se plantean muchas situaciones de los siguientes capítulos.

1. Traducir un problema a lenguaje matemático o a una representación matemática utilizando variables, símbolos, diagramas o modelos adecuados.

2. Usar conceptos, herramientas y estrategias matemáticas para resolver problemas.

3. Mantener una actitud de investigación ante un problema ensayando estrategias diversas.

4. Generar preguntas de tipo matemático y plantear problemas.

5. Construir, expresar y contrastar argumentaciones para justificar y validar las afirmaciones que se hacen en matemáticas.

6. Usar el razonamiento matemático en entornos no matemáticos.

7. Usar las relaciones entre diversas partes de les matemáticas para analizar situaciones y para razonar.

8. Identificar las matemáticas implicadas en situaciones cercanas y académicas y buscar situaciones que se puedan relacionar con ideas matemáticas concretas.

9. Representar un concepto o relación matemática de diversas maneras y usar el cambio de representación como estrategia de trabajo matemático.

10. Expresar ideas matemáticas con claridad y precisión y comprender las de los demás.

11. Utilizar la comunicación y el trabajo colaborativo para compartir y construir conocimiento a partir de ideas matemáticas.

12. Seleccionar y usar tecnologías diversas para gestionar y mostrar información, visualizar y estructurar ideas o procesos matemáticos.

Segundo, ¿qué formación matemática precisa el maestro o profesor de quienes van a aprender a ser matemáticamente competentes en la vida? ¿Le hacen falta estudios universitarios de matemáticas? ¿Qué tipo de bachillerato debería estudiar? ¿Necesita educación matemática formal si en la vida cotidiana no se precisa? Aunque no se precise en la vida cotidiana, en la educación primaria debe perseguirse ya la comprensión de los fenómenos y situaciones que a diario vive el alumnado (las personas) y tratar de comprender aquellas que matemáticamente se encuentran a su alcance. Esto significa que ya en primaria deben introducirse las matemáticas “complementarias” para la vida cotidiana. Labor harto difícil si el maestro no ha experimentado por sí mismo tanto las matemáticas “necesarias”, lo que supone no rechazarlas ni evitarlas, como algunas de las “complementarias” mediante alguna vivencia matemática que le haya permitido comprender algún fenómeno o situación real.

Tercero, contemplar la competencia matemática más allá de la vida cotidiana. Si la competencia matemática de una persona no se reduce a la necesaria para la vida cotidiana, ¿qué hacemos con las competencias matemáticas que sobrepasan lo cotidiano? La vida cotidiana y la comprensión de los fenómenos y situaciones que vivimos pueden ser la excusa para desarrollar esas competencias de tal manera que, como se verá más adelante, mediante vivencias matemáticas se puede transitar de situaciones matemáticas cotidianas a otras puramente matemáticas cuyo nivel de abstracción o rigor no reside en la situación, sino en el sujeto que las vive o lleva a cabo. Se trata de un proceso difícilmente abordable fuera del ámbito académico y que determinará el tratamiento académico (matemático y didáctico) de la vida cotidiana.

Cuarto, ¿deben los educadores ser necesariamente matemáticos? Muchas de las competencias matemáticas necesarias y complementarias para la vida cotidiana no son exclusivas del ámbito matemático, sino que pueden desarrollarse —como, de hecho, se desarrollan— en otras materias. En este sentido, merecen valorarse las aportaciones que en el trato de fenómenos cotidianos puedan hacerse desde otras asignaturas, especialmente las de ámbito científico.

Trato didáctico de situaciones cotidianas

Suele decirse que los jóvenes de hoy en día han nacido en la era digital y que, como consecuencia de ello, han desarrollado una competencia digital natural de la que carecen sus progenitores y educadores. Es verdad que han nacido en la era digital, pero eso no los hace competentes del mismo modo que quienes nacen en un ámbito rural no son automáticamente competentes en labores de siembra, riego, siega, cosecha, almacenamiento y compraventa de productos. Los jóvenes ven los aparatos electrónicos como algo muy corriente y los manipulan según sus necesidades. Ser competente digital no se reduce a esto.

Llevar situaciones de la vida cotidiana al ámbito académico no significa llevar a clase una situación cotidiana de cualquier forma. El educador responsable debe ser consciente de que convertir una situación cotidiana en una situación de aprendizaje matemático no es algo banal. Debe tener razones didácticas y pedagógicas para hacerlo, esto es, curriculares: competencias del ámbito matemático, procedimientos, conceptos, contenidos, relaciones con otras materias y evaluación. Esto significa plantearse toda una serie de cuestiones entre las que no pueden faltar:

¿Cómo voy a plantear la situación? ¿Mediante un enunciado como si de un problema se tratase o como una actividad abierta de investigación? Ya sea en un caso o en otro, ¿la comprenderán todos mis alumnos? ¿Deberé redactar versiones distintas para aquellos que tienen necesidades educativas especiales? De ser así, ¿cómo lo haré? ¿Por escrito u oralmente?

¿Qué tiempo voy a dedicar a la realización de dicha actividad? ¿Será individual, en pareja o en grupo? ¿Dejaré suficiente tiempo para que el alumnado pueda discutir el modo de realizarla? ¿Debería, una vez hayan terminado, dejar que expongan públicamente sus resoluciones? ¿Necesitarán algún recurso TIC para llevarla a cabo? ¿Disponen los alumnos de los recursos que considero necesarios?

¿Implicaré a otras asignaturas? Eso tendría mucho sentido por tratarse de la vida cotidiana, ya que en ella nada se aísla completamente del resto de ámbitos. De ser así, ¿a qué ámbitos puede implicar el fenómeno en cuestión? ¿Cómo estableceré la coordinación con sus correspondientes profesores?

¿Cómo voy a evaluarla? La evaluación debe ser acorde al carácter de individualidad, pareja o grupo en el que se desarrolle la actividad. Y si se realiza transversalmente con otras materias, ¿hasta qué punto deberán participar estas en la evaluación?

Nada de eso es inmediato ni sencillo, pero supone la médula espinal de la labor docente, lo más apasionante. A lo largo de las páginas siguientes se ofrecerán algunas orientaciones de cómo situaciones cotidianas concretas pueden convertirse en situaciones de aprendizaje matemático. Se hará desde la modestia, con un carácter científico lo más objetivo posible y sin que con ello se pretenda sentar metodologías inflexibles.

En conclusión, los principales motivos por los que la vida cotidiana debe impregnar la actividad matemática académica son cinco:

Proporciona contexto y significado al aprendizaje.

Permite aplicar conceptos y procesos matemáticos.

Constituye una fuente de creación matemática: materiales, ideas y problemas.

Ayuda a comprender el mundo en que vivimos.

Socialización del aprendizaje.

El punto 1 se relaciona con las ideas de Freudenthal por la importancia de los contextos en el aprendizaje. En el punto 2 encontramos la perspectiva aplicativa de las matemáticas de Piaget y de los conceptos descendentes de Vygotsky. En el punto 3, el más creativo, tenemos un ejemplo de construcción de los conceptos ascendentes de Vygotsky. Y el punto 4 resulta fundamental desde cualquier perspectiva, pues además de asentar el aprendizaje (Piaget) nos hace crecer como personas mediante la comprensión. Todo ello solo es posible mediante el punto 5, que encierra y cohesiona esos cuatro: el aspecto social del aprendizaje (Vygotsky) en el que intervienen, además del educador, y si este lo permite, los pares o iguales (compañeros de clase) del alumno.

Sobre el punto 4 existen muchas publicaciones en las que se muestra cómo las matemáticas resultan determinantes en muchos fenómenos y situaciones a las que se expone cualquier persona. Sin embargo, escasean obras acerca de cómo resolver los problemas didácticos que plantea la incorporación de los fenómenos y situaciones de la vida cotidiana al ámbito académico. De esto nos ocuparemos aquí un poco.

En teoría, la interpretación y desarrollo matemáticos que de un fenómeno o situación cotidiana hagan dos personas, incluso matemáticos profesionales, no tienen por qué apuntar en la misma dirección. No todos los matemáticos piensan lo mismo, observan lo mismo, ven lo mismo y desarrollan lo mismo cuando observan lo mismo. Pero, en la práctica, a menudo tienden a percibir y pensar de modo muy simular. La cuestión es cómo enseñamos a percibir matemáticamente a los demás. Como decía Miguel de Guzmán en su pequeño gran libro: “No basta con mirar, hay que ver”. Y no todos alcanzamos a ver todo lo visible.

De lo expuesto podría derivarse la conclusión de que el aprendizaje matemático debe reducirse a las matemáticas implicadas en la vida cotidiana, tanto las necesarias como las complementarias. Nada más lejos de la verdad. Acabada la ESO uno debe ser matemáticamente competente en la vida diaria, pero también debe serlo más allá. Debe haber vivido situaciones propias del mundo matemático más formal y abstracto y debe ser capaz de realizar abstracciones y formalizaciones sencillas de situaciones reales. Como se verá, muchos fenómenos y situaciones de la vida cotidiana pueden inspirar situaciones puramente matemáticas ajenas a la cotidianidad que las inspiró.

Capítulo 2

Nada más cotidiano que uno mismo

Una persona visita un lugar, celebra una fiesta, asiste a un espectáculo cultural o deportivo, acude a una manifestación o se encuentra en un bar con los amigos y… ¿qué hace? Un selfi. Las autofotos se han convertido en la más cotidiana forma de registro de nuestra vida. Al margen de suscribir o no dicha costumbre, ese acto manifiesta el hecho de que cada una de todas las vidas se viven en primera persona y que cada uno de nosotros protagoniza la suya. Los selfis destacan lo que últimamente se conoce como “yoísmo”. Y, ciertamente, nada hay más cotidiano que uno mismo.

En su obra Meditaciones del Quijote, el filósofo José Ortega y Gasset escribió la que se convertiría en su más celebre cita: “Yo soy yo y mi circunstancia, y si no la salvo a ella no me salvo yo”. Muchos aspectos de la vida cotidiana de cada uno vienen impuestos por los entornos espaciales y sociales en los que se desarrolla la vida. El yo y sus circunstancias asociadas conforman esa vida cotidiana en una retroalimentación en la que resulta difícil dilucidar cuál es causa o consecuencia, si las circunstancias o el yo.

La relación de las matemáticas con la vida cotidiana se acomoda en el conocimiento del yo y sus circunstancias. El modo en que uno experimenta, afronta y analiza sus circunstancias determina la manera de desenvolverse en ellas y las decisiones que adopte influirán en su vida. Pero solo hasta cierto punto, pues hay aspectos cotidianos que por su carácter universal son independientes de las circunstancias específicas de cada uno.

Vivimos la vida en primera persona, con nuestro yo protagonizando cada situación continuamente, sin descanso. Apenas podemos intervenir en el cambio físico, pero sí podemos hacerlo en algunos aspectos psicológicos transformándonos en otros yoes futuros a través del aprendizaje. Mediante el aprendizaje conformamos una sucesión de yoes de los cuales se deriva una persona definitiva cuyo núcleo encierra nuestra esencia primigenia.

Uno de tantos

Nada más cotidiano que la existencia de uno mismo. Cada día nos despertamos siendo conscientes de que somos “yo” y no otro. Haciendo nuestra la afirmación de Descartes podemos asegurar nuestra existencia como consecuencia de nuestro pensamiento. Somos uno, único, sin par. Incluso cada uno de los miles de pares de gemelos de todo el mundo pueden afirmar tal cosa. Hoy en día, cada uno de nosotros es uno solo de los siete mil quinientos millones de personas que habitan este planeta. Esta relación social vincula mi existencia al resto de mis congéneres. Puedo escribirla como una fracción:

Pero también puedo expresarla verbalmente: un siete mil quinientos millonésimo; mediante un numero decimal, 0,000000000133…; e incluso con un porcentaje, 0,0000000133… %. Pero ninguna de estas expresiones me da una verdadera idea de mi medida en relación con el resto del mundo. Uno de siete mil quinientos millones es una nimiedad, algo acaso visible, apenas positivo, casi la nada. La conclusión plausible puede ser que no somos nada en relación con la ingente cantidad que son los demás. Si yo soy 1, los demás son 7.499.999.999. He aquí mi relación numérica con los demás terrícolas: una brizna de césped de un campo de fútbol, una gota de agua en una piscina, un grano de arena de una duna, una hoja de la Amazonía.

Para comprender mi relación con los demás necesito hacerme representaciones significativas como las anteriores. Si imagino cada persona como un milímetro cuadrado, siete mil quinientos millones de milímetros cuadrados representan la población terrestre. Pero debo reducir la cantidad buscando totalidades abarcables por mi imaginación:

Soy 1 mm2 en un rectángulo de 100 m · 75 m, dimensiones propias de un campo de fútbol para partidos internacionales. Si me imagino como una hoja de papel DIN A4, la población mundial son tres millones de cajas en cada una de las cuales hay cinco paquetes de 500 hojas cada uno. Con esas hojas podría recubrirse una extensión de unos 450 km2, casi la superficie de Andorra. Tomando la representación de los granos de arroz, y teniendo en cuenta que en un kilo de ese cereal hay alrededor de 30.000 unidades. Soy uno de los 7.500 millones de granos de arroz de un cuarto de millón de paquetes de kilo, un grano de un montón de 250 toneladas.

Esas consideraciones numéricas relacionan la unidad de mi persona con la totalidad, pero el entorno social al que pertenezco (aspecto esencial de mi circunstancia) es mucho más reducido. Si soy europeo y español, tiene más sentido que me pregunte por mi relación como español con Europa: 6% (uno de cada 16). Si soy catalán, soy uno de cada cien europeos (1%) y uno de cada mil terrícolas (0,1%).

Esas consideraciones invitan a trazar un mapa con un referente distinto al corriente. Tanto los mapas físicos como los políticos se trazan sobre un mismo fondo territorial. Tomando la población como lo más relevante, obtendremos más significado real de nuestra relación con los demás dibujando un mapa de España en el que las áreas de las comunidades autónomas sean proporcionales a su población y no a su territorio. La figura 2.1 muestra un mapa elaborado así con los datos obtenidos de Wikipedia (consulta del 15/04/2018) según el padrón municipal del 1 de enero de 2016 y dando a cada comunidad autónoma la misma forma cuadrada. La ubicación de las Comunidades Autónomas sigue el patrón de un mapa territorial para que la figura resultante sea reconocible.

Figura 2.1

Mapa de España proporcional a la población

Fuente: Elaboración propia.

Cada día se hace referencia a mi relación con los demás en los medios de comunicación. Las relaciones suelen expresarse en porcentajes y fracciones: “Tres de cada cuatro andaluces…”, “el 20% de los gallegos…”. Así los medios me sitúan en una totalidad. Esas cuantificaciones forman parte de la vida cotidiana. Yo soy y seré siempre uno, pero nunca solo. Seré uno de seis, uno de un 20%, uno de una aplastante mayoría del 98%, uno entre tantos, entre muchos, o muchísimos. Sin la expresión matemática de esas relaciones estoy solo en el mundo, perdido. No soy yo la medida de mí mismo, sino los otros.

A diario recibimos noticias de lo que ocurre en los lugares más remotos del mundo. Cuando nos informan de acontecimientos en China, India, Estados Unidos, España o Bolivia pensamos esos países como cinco unidades estatales cada uno de ellos equiparable a los cuatro restantes en cuanto estados. Y lo son. Sin embargo, nos hacemos una idea más fiel de sus tamaños sociales aplicándoles el anterior modelo de representación:

Figura 2.2

China, India, España, Bolivia y EE UU representados según sus poblaciones

Fuente: Elaboración propia.

El G7 está formado por Alemania, Canadá, Estados Unidos, Francia, Italia, Japón y Reino Unido, las siete economías más avanzadas del mundo. Pueden informarnos de que el G7 ha adoptado una resolución por mayoría con los votos de cuatro de estos siete países. Sin embargo, cabe la posibilidad de que a quienes representan, sus respectivas poblaciones, sean minoría, pues los ciudadanos estadounidenses superan a los de Alemania, Francia, Italia y Reino Unido juntos.

Lo que me gusta y lo que me disgusta son fundamentales en mis circunstancias y determinan hasta mis relaciones con los demás y con las situaciones de la vida. Con quienes comparto preferencias establezco sintonías que raramente se crearán con quienes poseen gustos diferentes de los míos, lo que afecta a una parte importante del entramado social que voy construyendo. Cuán igual o diferente soy es algo que puede cuantificarse objetivamente. Basta contar y establecer proporciones o porcentajes. Acerca de las apetencias se han establecido con el tiempo toda una serie de dicotomías en las que cada uno puede sentirse bastante reconocido. Entre las más populares, tenemos: ¿montaña o playa?, ¿FC Barcelona o Real Madrid?, ¿carne o pescado?

Pertenecer a una parte mayoritaria o minoritaria no es bueno ni malo, tan solo me define y me da una medida aproximada de mis semejantes. Por eso la estadística puede ayudarme a saber quién soy como persona social. La web del Instituto Nacional de Estadística es una buena fuente para conocernos mejor en relación con las diversas totalidades a las que pertenecemos.

En esa web encontramos informaciones de todo tipo de carácter social y cultural. Entre ellas, una que nos toca de cerca: ¿cuántas personas hay que se llamen como yo me llamo en mi país? He aquí (figura 2.3) los nombres más frecuentes. El nombre sirve para saber quién soy en mi entorno social más reducido y cotidiano, pero no en entornos más amplios a los que también pertenezco.

Figura 2.3

Nombres más frecuentes en España

Fuente: Instituto Nacional de Estadística.

Existo, pero ¿estoy?

Queramos o no, la vida política también forma parte de nuestra cotidianeidad merced al insistente interés de los medios de comunicación. Participemos o no de ella, nos vemos impelidos a sus designios. Más todavía cuando estos últimos años se producen convocatorias electorales con mayor frecuencia que en periodos de normalidad económica y social.

Los resultados de las últimas elecciones generales celebradas en España (figura 2.4) fueron publicados por todos los medios, pero muchas personas no se vieron representadas en ellos. No estaban ahí, pero existían. Son quienes votaron a un partido político minoritario y quienes se abstuvieron de votar.

Figura 2.4

Gráfico de los resultados de las elecciones generales celebradas en España en 2016

Fuente: Adaptado de El País.

Quien se abstuvo de votar, ¿dónde está? El gráfico anterior muestra solo los partidos más votados. La sucesión continuaría a la derecha con partidos muy minoritarios cuyo porcentaje de votos no supera el 1%. Reuniéndolos bajo el epígrafe de “Otros” y añadiendo al gráfico las abstenciones (figura 2.5), obtenemos un nuevo gráfico del cual podemos hacernos una idea más realista de los resultados.

Figura 2.5

Resultados de las elecciones generales celebradas en España en 2016

Fuente: Elaboración propia.

En este nuevo gráfico están representadas todas las personas que tenían derecho a voto. Las abstenciones no deberían excluirse de los resultados, aunque sea discutible si deben incorporarse en este gráfico o en otro dedicado exclusivamente a la participación. Por muy significativas que sean, las personas no votan no cuentan en la representación política. El gráfico de participación (figura 2.6) muestra que, aproximadamente, de cada tres personas con derecho a voto, una se abstuvo.

Figura 2.6

Votos y abstenciones en las elecciones generales en España el 26 de junio de 2016

Fuente: Elaboración propia.

Cada día ante el espejo

¿Quién no comienza el día mirándose en un espejo? Cada mañana, en todo el mundo, todas las personas comienzan el día con la más cotidiana de las actividades: el aseo personal. Y en los cuartos de baño no falta un espejo. Ahí nos topamos con nosotros mismos. Miramos el espejo, vemos un reflejo y nos decimos: este soy yo.

Imagino a alguien de hace decenas de miles de años agachándose para beber agua de un charco como tantos otros seres vivos que entonces poblaban el planeta. Ahí se encontró con un rostro. La impresión tuvo que ser mayúscula. Otro le estaba mirando. Un desconocido plano flotando sobre el líquido moviéndose con el vaivén de la superficie y que se desvanecía al rozar el agua con los dedos. Lo veía, pero no estaba. Una imagen mágica y espectral. ¿Quién sería aquel extraño fantasma en la superficie del agua? ¿De dónde había salido?

Cuando el ser humano se dio cuenta de que aquel rostro que también le observaba era el suyo propio debió de sentir un escalofrío. Tal vez se lo dijese otro, su vecino sediento. Quizá la sorpresa contagió incluso las risas. Dos personas de rodillas contemplando el agua de una charca, cada una señalando el rostro de la otra en el agua. Si por entonces ya hubiesen desarrollado un lenguaje quizá se habrían dicho: “No eres una, sino dos” o “estás en dos sitios a la vez”, “estás repetida”, “tu gemela se ha ahogado”. Quizá pensaron que el agua contenía una copia de toda la tribu. El hecho tan cotidiano como sorprendente de encontrarse con uno mismo pudo cambiar a la humanidad.

Desde entonces, el ser humano sabe que, como el que ve en los demás, también él tiene un rostro. Y las diferencias en el rostro nos hacen únicos, o casi. Los reflejos en el agua han perdido el interés de antaño. Ahora sabemos cómo funciona un espejo. La luz que refleja produce la ilusión de una imagen virtual del objeto situado ante él.

Si nuestra mente cartesiana nos permite concluir que al pensar existimos, el espejo nos permite ver nuestra existencia a través de una ventana a la irrealidad, un modelo de la simetría. Cuando cada mañana nos ponemos delante del espejo vemos una imagen que se diría ubicada detrás del plano de cristal, a cierta distancia de nuestros ojos. Mediante la modelización matemática representada en la figura 2.7 podemos comprender mejor este fenómeno.

Figura 2.7

El fenómeno especular

Fuente: Elaboración propia.

En esta figura no hay espejo ni cara. El espejo se muestra al través. Él, el rostro del observador y su reflejo se han sustituido por segmentos. El ojo es un punto. Una representación geométrica muy simple de la realidad para un profesor de matemáticas, pero muy difícil para un adolescente que pretenda representar en un papel dicha situación. La tarea de reducir una situación corriente a un esquema geométrico es más difícil de lo que muchos creen y su práctica constituye uno de los aspectos fundamentales de la actividad matemática.

La figura 2.7 reproduce la situación, pero ¿respeta las medidas? Se tiende a representar la imagen especular poniéndola a la misma distancia del espejo a la que se encuentra la imagen original. Así se ha hecho en la figura 2.7. ¿Qué razones hay para hacerlo? Todo lo que tiene que ver con la realidad conlleva implícitamente aspectos físicos. En el fenómeno especular el espejo refleja la luz que recibe. Y si la recibe de un objeto situado a una distancia, lo que vemos nosotros es la imagen luminosa correspondiente a un objeto que se halla a esa distancia del espejo (siendo este plano). Esto se sabe por experimentación y es así porque así sucede. La reducción a la simetría es la versión matemática del fenómeno físico. En esa versión, el espejo hace de eje de simetría entre la imagen original y su reflejo. Realmente, el “rostro especular” no existe, si se dibuja es para facilitar la comprensión del fenómeno.

Así las cosas, cabe preguntarse por las dimensiones que debe tener un espejo para vernos el rostro por completo. La primera respuesta intuitiva a esta cuestión suele ser que el espejo debe tener la misma altura que nuestro rostro. Otras respuestas consideran que el tamaño del espejo depende de la distancia a la que nos hallemos de él. Tales respuestas comparten un rasgo común: nadie ha llevado a cabo la experiencia. Si dicha experiencia se pone en práctica, la sorpresa es que la distancia a la que nos pongamos del espejo resulta irrelevante. Analicemos lo que ocurre geométricamente (figura 2.8).

Figura 2.8

Espejo de rostro entero

Fuente: Elaboración propia.

La luz (línea visual) que llega al ojo O de los extremos del rostro reflejado proviene de los extremos A y B del rostro especular. Esos rayos de luz cortan el espejo en dos puntos X e Y. Por tanto, las partes del espejo que quedan por encima del punto X y por debajo del punto Y son despreciables y no intervienen en la reflexión del rostro. El segmento XY es el espejo mínimo necesario para poder vernos en él el rostro completo. Calculemos ahora la medida de este espejo (figura 2.9).

Figura 2.9

Medida del espejo de rostro entero

Fuente: Elaboración propia.

Trazando la línea adicional OPP’ vemos que los triángulos OXP y OAP’ son semejantes, pues tienen lados paralelos. Lo mismo ocurre con OPY y OP’B. Además, como OP = PP’, la razón de semejanza es 2 y OP’ = 2·OP. Luego:

Para vernos la cara por completo el espejo debe tener una altura (o anchura) mínima igual a la mitad de nuestra cara. De modo similar, un espejo de cuerpo entero deberá ser, como mínimo, tan alto como la mitad de nuestra estatura.

Hoy en día las cámaras incorporadas en móviles y tabletas han hecho abandonar a sus usuarios el uso de espejos de maquillaje. Dichas cámaras no reflejan lo que tienen delante, sino que lo ven como si de otro ojo se tratase. Ello puede incitar a plantearse la cuestión que se acaba de responder: ¿hace falta que la pantalla de la tableta o del móvil sean la mitad de nuestra cara para vérnosla entera?

De vez en cuando, a la peluquería

Las visitas a la peluquería, aunque no diariamente, forman parte de nuestra cotidianeidad. Dentro de una peluquería muchas personas ven por primera vez algo que jamás habían podido ver antes: a sí mismas por detrás. Tras los arreglos pertinentes necesitamos saber cómo ha quedado nuestro peinado al completo. El peluquero o peluquera nos acercará otro espejo que situará a nuestra espalda encarando el que tenemos delante (figura 2.10). Nuestra cabeza entre ambos permitirá que nuestros ojos alternen la mirada en uno y otro para ver ahora nuestra cara, ahora nuestro cogote, y determinar cuál es el resultado del lavado, corte o peinado.

Figura 2.10

En la pelu: viendo detrás de sí entre dos espejos encarados

Fuente: Fotografía del autor.

En esa situación muchísimas imágenes nuestras, frontales y dorsales, se van alternando en una sucesión que muchos consideran rectilínea e infinita. La observación experimental muestra que no es así. El análisis geométrico demuestra que no puede ser así. Con todo, comprendemos mejor la realidad y por qué es como es.

Comencemos analizando cómo se crean las sucesivas imágenes especulares. La cuestión se desvela aplicando a ambos espejos el mismo modelo aplicado antes a uno solo. Pongamos una cara E entre los espejos 1 y 2 (figura 2.11). E se refleja en el espejo 1 produciendo E1; y en el espejo 2, produciendo E2. Pero, a su vez, estas imágenes se reflejan también en cada espejo produciendo E21 y E12, respectivamente. Para que esto sea, así los espejos no deben ser exactamente paralelos, sino formar un pequeño ángulo. Solo así lograremos ver lo que hay detrás de nosotros. Los reflejos frontales y dorsales de nuestra cabeza se suceden en una serie que, en la práctica, tampoco es infinita, pues depende del tamaño de los espejos. En una situación práctica como la reproducida en la figura 2.11, E2121 no existiría, pues no queda espejo donde E212 pueda reflejarse.

Figura 2.11

Imágenes especulares entre dos espejos encarados

Fuente: Elaboración propia.

Aunque imposible en la práctica, la sucesión de reflejos según las prolongaciones de ambos espejos sí resulta posible. Y no solo eso, sino que los puntos de dicha sucesión obedecen un orden bien estricto asociado al fenómeno real y que en la experiencia real a muchos ni siquiera se les había ocurrido: los sucesivos reflejos forman una circunferencia cuyo centro se halla en el punto en el que se cortarían las prolongaciones de los espejos (figura 2.12).

Figura 2.12

La circunferencia de imágenes especulares entre dos espejos encarados

Fuente: Elaboración propia.

Llegamos a dos tipos de conclusiones; una correspondiente al ámbito real y práctico; la otra, al geométrico y teórico. En la práctica, los reflejos visibles son siempre un número finito y se ubican en un arco de circunferencia. En la teoría, la sucesión de reflejos es infinita y todos ellos se ubican en la circunferencia con centro en la intersección de las rectas determinadas por los espejos.

Figura 2.13

Imposibilidad de ver detrás de nosotros entre dos espejos encarados y paralelos

Fuente: Elaboración propia.

La imposibilidad de que la serie de reflejos sea infinita en la práctica se ilustra la figura 2.13: los ojos de E solo ven el reflejo de su cara, nada más.

Lo que vemos entre dos espejos encarados se ilustra en la figura 2.14, con los reflejos formando el arco circular descrito con GeoGebra en la figura 2.12.

Figura 2.14

Entre espejos encarados

Fuente: Fotografía del autor.

La pantalla de un móvil o de una tableta pueden sustituir al espejo, pero no funcionan como tal. Al usar el modo foto con el ojo de pantalla frontal vemos en la pantalla lo que su ojo tecnológico tiene delante. Esto significa que si encaramos dos pantallas no se producirán reflexiones de las imágenes, sino copias de lo que cada una de ellas tiene delante. Las sucesivas iteraciones no van modificando ángulo alguno, como sí ocurría en las reflexiones especulares, sino que se suceden en serie, ahora sí, infinita y rectilínea.

Vestirse y desvestirse

Antes o después de encontrarnos frente al espejo nos vestimos o desvestimos. La tarea lleva más o menos tiempo según la estación y según los complementos. Una circunstancia clave en este proceso es el orden en que se realiza la tarea. No importa el orden de vestirse con una camiseta y unos pantalones o cambiar el orden de calzarse los zapatos, pero sí cuando una prenda se superpone a otra. Los resultados son muy distintos si se invierte el orden en que nos ponemos unos calcetines y unos zapatos o una camisa y una camiseta.

También merece la pena prestar atención a la forma de la ropa. A no ser que nos cubramos con una pieza de tela (una manta, un pareo o una toga), vestirse consiste fundamentalmente en pasar las extremidades y la cabeza por los agujeros que tienen las prendas y que se corresponden precisamente con nuestras extremidades (cabeza incluida). Se pueden encontrar diferencias en las prendas respecto al grosor, el tejido, el peso… También en el modo de ponérnoslas. ¿Pero en relación con su forma? La forma esencial de una prenda depende de sus agujeros. Desde esta perspectiva, una camiseta y un jersey son iguales. De hecho, cualquier pedazo de tela con cuatro agujeros podría hacer las veces de jersey o de camiseta si fuese lo suficientemente flexible. Aquí las medidas no importan, pero sí importa un aspecto de la forma como el número de agujeros. Un jersey y una camiseta de tallas distintas no son geométricamente iguales, pero sí lo son topológicamente sean de la talla que sean.

La figura 2.15 muestra las equivalencias topológicas de algunas prendas corrientes. Obsérvese que en esas figuras parece faltar un agujero, esto es porque la prenda se ha extendido sobre un plano a través de uno de ellos. La circunferencia del calcetín en la figura se convierte en el extremo superior que rodeará nuestro tobillo, la circunferencia de los pantalones en la figura rodeará nuestra cintura al ponérnoslos.

Carecen de agujeros bufandas, calcetines, pareos, guantes y sombreros. Tienen uno las bufandas cerradas y las faldas. Con dos, están las chaquetas, abrigos, camisas, blusas (sin abrochar), pantalones, calzoncillos y bragas. Tres agujeros tienen una camiseta, un jersey y la mayoría de prendas abrochadas (camisas, abrigos y chaquetas). Existe una prenda que extendida en una mesa presentaría cuatro agujeros: un mono cerrado.

Figura 2.15

Topología de las prendas de vestir

Fuente: Elaboración propia.

Esto significa que si a un calcetín se le practica un agujero el resultado será topológicamente equivalente a una falda. O que si a unos pantalones se les cierra una de las dos piernas la prenda resultante servirá de chaqueta sin abrochar.

El patrón y la confección de una prenda de vestir determinan su topología. Una camiseta se confecciona tejiendo por separado el tronco y las mangas (figura 2.16). El tronco consta de dos piezas que al coserse forman un tubo con dos agujeros en los que se ensamblarán las mangas. Las flechas en la figura indican el sentido de cosido para el ensamblaje de la pieza o de las piezas.

Precisamente el ensamblaje resulta esencial en la topología de la pieza. Un ejemplo de ello muy popular estas últimas temporadas es un fular cerrado llamado bufanda infinita. Se confecciona tejiendo un rectángulo alargado uno de cuyos extremos se gira 180º antes de coserse al otro. Se crea así una pieza de una sola cara conocida como cinta de Möbius (figura 2.17). Obsérvense los sentidos opuestos de las flechas de cosido.

Figura 2.16

Confección del tronco y de las mangas de una camiseta

Fuente: Elaboración propia.

Figura 2.17

Confección de una bufanda infinita o cinta de Möbius

Fuente: Elaboración propia.

Poseer cola obliga a muchos animales a precisar prendas con un agujero extra, tal y como se aprecia en la indumentaria utilizada por los perros en el parque durante el invierno.

De la vida cotidiana al aula

Tres situaciones cotidianas se han tratado en este capítulo: nuestra relación individual con los demás, la situación de enfrentarnos al espejo y la de la indumentaria. El enfoque matemático ha servido para comprender mejor esos fenómenos. Según lo establecido en el capítulo anterior, la conversión de esos fenómenos cotidianos en actividades de enseñanza y aprendizaje matemático académico se llevará a cabo mediante diferentes grados de apertura (dialogada, abierta o cerrada).

La representación de las comunidades y ciudades autónomas españolas en forma de cuadrados no fue gratuita. Podría haberse hecho con cualquier otra figura e, incluso, con poliedros tridimensionales. El cuadrado la hace factible a todos los alumnos y no precisa de conocimientos extra como el número p. Permite además el encaje de las piezas a modo de puzle y conformar, como así se hizo en la figura 2.1, un mapa de España distinto al corriente. La primera propuesta de actividad es dialogada:

La siguiente actividad es una versión menos basada en el diálogo, pero todavía abierta. En lugar de abrirse con preguntas incitando al diálogo, existe ahora un enunciado. Pero este no determina los pasos que hay que seguir.

En relación con este tema del mapa humano, se propone una última actividad cerrada en la que el enunciado sí dicta los pasos que se deben seguir.

A diferencia del mapa de humano de España, cualquier actividad relacionada con espejos debería comenzar por la experimentación. No se trata tanto de asegurarse de que todas las personas del grupo se hayan visto alguna vez en un espejo, sino de que reflexionen matemáticamente sobre lo que ven o han visto reflejado en él. A modo de orientación, las experiencias con espejos en primaria podrían tener por objetivo hacer ver al alumno que lo reflejado parece de menor tamaño que el original y que esto es independiente de la distancia a la que se sitúa el espejo. En secundaria, habría que cuantificar esa reducción de tamaño, cosa que puede hacerse experimentalmente en los primeros cursos y más formalmente, basándose en modelos geométricos, en los últimos. El panorama sería el siguiente.

EL FENÓMENO ESPECULAR

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

El reflejo se ve más pequeño que el original y eso no depende de la distancia que nos separa del espejo

Modelos geométricos 2D o 3D realizados con GeoGebra de todas esas experiencias

Cuantificación de esta relación (1:2)

Espejos de cuerpo entero

Dibujo del fenómeno especular: el espejo es un segmento

Análisis situación peluquería: entre dos espejos encarados

Desde una perspectiva tradicional puede pensarse que para llevar al aula todas esas actividades es necesario haber estudiado las isometrías del plano y que el alumnado debe haberse familiarizado ya con términos como “simetría”, “equidistancia”, “homólogo”, “reflexión axial”, “isometría”… Sin embargo, no es esta la perspectiva defendida aquí, sino la contraria. Es decir, que la situación cotidiana llevada al aula sirva para poner nombres a relaciones geométricas que se dan en la realidad y con ello introducir el estudio de las transformaciones isométricas en el espacio (realidad cotidiana) y en el plano (modelización geométrica).

A continuación, se muestran actividades concretas que convierten estas partes del fenómeno especular (FE) recursos de aprendizaje y creación matemática.

Para reflexionar sobre la situación de los espejos enfrentados corrientes en las peluquerías, es mejor esperar a la educación secundaria. Es evidente que esta situación puede reproducirse en el aula, pero la primera experimentación debería ser con la situación verdaderamente cotidiana y esta se da en la peluquería. La reproducción en el aula sería una modelización de la situación real vivida en el establecimiento. Puesto que se trata de asegurar que el alumnado se fije en ciertos detalles para compartir y contrastar su experiencia con los demás, se plantea con un enunciado orientador. De ahí su carácter semiabierto.

La cuestión del espejo de cuerpo entero no es banal y resulta muy interesante didácticamente como modelización geométrica de una situación real y cotidiana. Se requiere mirar la situación desde cierta perspectiva en la que el espejo (un rectángulo plano) se reduce a un segmento, pues lo importante es cómo se produce el reflejo. Esto no resulta nada fácil sin orientación. Por ello, esta actividad será semiabierta.

Ya en 4º curso de ESO, puede plantearse una modelización geométrica de esta situación con GeoGebra. Será conveniente haber estudiado las isometrías del plano y relacionar esta situación con la simetría axial.

En relación con el fenómeno de la indumentaria (FI), la dificultad reside en que raramente se estudia el fenómeno topológico en el ámbito académico. Pero el fenómeno tan cotidiano de vestirnos es una excusa excelente para incorporarlo más de lo realizado hasta ahora, que solía reducirse a determinar el número de posibles vestimentas con x camisetas, y pantalones y z zapatos. La tabla siguiente propone una incorporación del fenómeno topológico al ámbito académico a través del fenómeno cotidiano de la indumentaria.

EL FENÓMENO INDUMENTARIA (FI)

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

La cantidad

de agujeros corresponde

al número de extremidades

Animales con cola precisan prendas con un

agujero más

Patrón

de confección de una camiseta

Patrones de confección de diversas prendas

Patrón de confección de una bufanda

infinita (cinta de Möbius)

Modelos topológicos de las prendas de vestir

Qué prendas pueden vestir los animales

El número de agujeros determina

el carácter topológico de una prenda

Clasificación de prendas por número de agujeros

Capítulo 3

De un sitio a otro

La mayoría de la gente vive en núcleos urbanos en los que vamos de un lugar a otro utilizando diversos medios de transporte. Pero el modo en que nos relacionamos diariamente y directamente con el espacio de nuestro entorno es andando. Ya sea en el interior de nuestro hogar o fuera de él, caminamos a diario.

Caminar es el modo natural de desplazamiento del ser humano. Suele decirse que para caminar basta poner un pie delante del otro, pero esta descripción reduce extraordinariamente el complejo acto de caminar. La perspectiva matemática también supone una simplificación, pero puede ayudar a comprender el fenómeno y a saber cómo camina cada uno de nosotros.

A pie

Si se pregunta a un grupo de estudiantes de primer curso de ESO cuál es su zancada la respuesta suele ser el silencio o preguntar qué quiere decir eso. Pocas personas han reflexionado sobre cómo caminan. Cuando por fin se dan cuenta de que la zancada es la longitud de uno de sus pasos y se les pregunta que la dibujen, los resultados más corrientes son representaciones de dos tipos: horizontales (figura 3.1) y cenitales (figura 3.2).

Figura 3.1

Zancadas vistas horizontalmente por alumnos de 1º de ESO

Fuente: Fotografía del autor.

La idea mayoritaria en las perspectivas horizontales es considerar la zancada como la distancia que separa ambos pies. Pero la zancada es lo que se avanza al dar un paso, tal y como ilustra el dibujo de la derecha (figura 3.1). Los dibujos de la zancada vistos cenitalmente no son mejores y adolecen, mayoritariamente, del mismo error (figura 3.2).

Figura 3.2

Zancadas vistas cenitalmente por alumnos de 1º de ESO

Fuente: Fotografía del autor.

Eso demuestra que muchos estudiantes no tienen una idea clara de cuánto se avanza con un paso. Hace falta reflexionar un poco más para darse cuenta de que la longitud del paso, la zancada, puede tomarse de dos formas: midiendo la distancia entre los talones o entre las puntas de los pies.

Cada persona tiene su propia zancada. La primera tendencia para conocerla es dar un paso y medirlo. Pero un único paso no es el verdadero paso de nuestro caminar. Las propuestas para corregir ese error llevan a caminar una distancia (d) conocida (figura 3.3), contar el número de pasos (n) necesarios para recorrerla y tomar como zancada (z) la media aritmética: z = d/n.

Figura 3.3

Paseos para determinar las zancadas

Fuente: Fotografía del autor.

Una vez conocida nuestra zancada, podemos plantearnos multitud de cuestiones relacionadas con nuestro propio caminar. Algunas pueden ser de cálculo directo: ¿cuántos pasos necesito para caminar un kilómetro? ¿Cuál es la zancada de una persona que para recorrer cien metros ha dado 150 pasos? ¿Qué distancia habré recorrido si camino mil pasos? Otras pueden estar dirigidas a reflexionar sobre la relación de cambio de la anterior expresión simbólica y al cálculo indirecto: ¿qué ocurre con el número de pasos si aumento o disminuyo la zancada?

Otro aspecto importante del caminar es el ritmo. Igual que ocurre con dos de las constantes vitales (la frecuencia cardiaca y la frecuencia respiratoria), el ritmo al que una persona camina puede definirse como el número de pasos que da por minuto. Esto es, la frecuencia del paso. Y el ritmo es antesala de la velocidad.

Todavía queda un aspecto muy relevante del cotidiano fenómeno del caminar. El paso viene determinado por los dos pies. La posición de estos en el suelo depende de la longitud de las piernas, pero sobre todo de la amplitud con la que estas se separan. La amplitud del paso, el ángulo con el que se abren las piernas, causa la zancada, su consecuencia.

Movimiento bípedo

El bipedismo es la capacidad que tienen algunos animales para desplazarse sobre sus dos extremidades inferiores. Hay cuadrúpedos, como los chimpancés y gorilas, que pueden adoptar la bipedestación para sus desplazamientos sin que ello signifique que siempre se desplacen así.

La bipedestación favorece el porte de objetos y crías en las extremidades superiores durante el desplazamiento, el acceso a las ramas de los árboles y abarcar un mayor campo visual. La adopción de una postura erguida provocó cambios en el cuerpo del ser humano: mayor amplitud de las articulaciones de la cadera y las rodillas, desarrollo de los talones en los pies y deformación de la columna vertebral.

De este modo vemos que el paso de una persona es parecido a un compás abierto y que este, a su vez, dada la igual longitud de las piernas de las personas (salvando casos extraordinarios), equivale a un triángulo isósceles (figura 3.4). Completamos así los cuatro elementos geométricos del paso: zancada (longitud de la base), amplitud (ángulo en el vértice), longitud de piernas (lados iguales del triángulo) y altura del paso (altura del triángulo).

Figura 3.4

Modelización matemática del paso

Fuente: Fotografía del autor.

Como consecuencia, el caminar puede modelizarse matemáticamente en una sucesión de triángulos isósceles que se abren y se cierran como un compás (figura 3.5).

Figura 3.5

Modelización matemática del paso

Fuente: Elaboración propia.

La altura de la persona al caminar no es constante, su cabeza sube y baja como el vértice superior del triángulo isósceles que matematiza cada paso. Sin tener en cuenta la flexión de las piernas, podemos elaborar un nuevo modelo del caminar en el que la trayectoria del vértice del paso se compone de una sucesión de arcos circulares de radio igual al lado o pierna del triángulo isósceles (figura 3.6) y de la misma amplitud que el paso.

Figura 3.6

Modelización matemática del paso sin tener en cuenta la flexión de las extremidades

Fuente: Elaboración propia.

Existen aplicaciones gratuitas para móviles y tabletas cuyas funciones amplían las de un simple podómetro (figura 3.7). Además de contar los pasos con base en la medida de la zancada introducida en ella, ofrece la distancia recorrida, el tiempo que se ha caminado, la velocidad a la que se ha hecho el paseo y un gráfico de los pasos acumulados a lo largo del día.

Figura 3.7

Captura de una aplicación podómetro que nos ayuda a conocer cómo caminamos

Fuente: Aplicación Pedometer.

Lejos de echar por tierra cualquier pretensión de actividad matemática, esas aplicaciones constituyen un excelente recurso educativo. Lo interesante desde la perspectiva didáctica es analizar y relacionar los datos que la aplicación ofrece, como comprobar si la velocidad del paseo es la mostrada en pantalla. Más que el mero cálculo de dicha velocidad, lo que importa son dos cosas. Una, que la conversión de unidades del tiempo expresado en horas, minutos y segundos a horas se convierte en necesaria para que dicha persona sepa cómo ha caminado. Muchos estudiantes creen que un tiempo de 00:40:35 corresponde a 40,35 minutos. La otra, que el hecho de que la tarea sea personal favorece la implicación del alumnado.

Barrio reticular, círculo rectangular

Los barrios modernos de las ciudades son reticulares, trazados por calles rectilíneas y perpendiculares que crean cuadrados y rectángulos. Célebres son algunas retículas como las del barrio del Eixample, en Barcelona (España), la del barrio de La Plata, en Buenos Aires (Argentina) o la de Manhattan, en Nueva York (EE UU). A diferencia de las ciudades de origen antiguo, las ciudades reticulares fueron planificadas y sus retículas son fácilmente observables mediante Google Maps o Google Earth.

Los ciudadanos no se relacionan con el espacio que los rodea según los axiomas de la geometría euclidiana. Si algo caracteriza a una ciudad, sea o no reticular, es la imposibilidad de ir de un punto a otro en línea recta. Hoy en día, incluso las normas de circulación peatonal ya no permiten ahorrar longitudes recorriendo las diagonales de las calles. Estas deben cruzarse por los pasos peatonales señalados a tal efecto que suelen ubicarse en sus extremos. Los itinerarios urbanos son, por tanto, zigzagueos rectangulares que los peatones pueden recorrer, por ahora, en ambos sentidos. En consecuencia, el itinerario de mínima distancia entre dos puntos de una retícula urbana (figura 3.8) rectangular no es único, sino múltiple, pues las longitudes de los tramos horizontales y verticales de todos los trazados posibles tienen la misma longitud.

Figura 3.8

Itinerarios equidistantes para ir desde A hasta B

Fuente: Elaboración propia.

Siendo múltiples las posibilidades, cabe preguntase cuántas son. Pongamos que queremos ir desde un vértice A hasta otro B de la retícula. Para llegar a B debemos recorrer cinco tramos horizontales y tres verticales. No importa el orden en que los hagamos mientras sean exactamente estos.

Si la retícula es una cuadrícula, los vértices equidistantes de un vértice dado A siguiendo la trama de la cuadrícula forman un cuadrado (figura 3.9, izquierda); o un rectángulo, si la retícula es rectangular y no cuadrada (figura 3.9, centro). Los puntos de la retícula equidistantes de A en línea recta, e inaccesibles, por tanto, en una retícula urbana, se obtienen por la intersección de esta con una circunferencia con centro en A y radio determinado. El resultado es un polígono irregular cuyo número de lados y vértices depende de la distancia tomada (radio de la circunferencia) y de las dimensiones de la retícula (figura 3.9, derecha).

Figura 3.9

Diferentes “círculos” en distintas retículas urbanas

Fuente: Elaboración propia.

Volviendo a nuestro paseo, al comenzar en A, podemos tomar dos caminos diferentes. Cada uno de ellos nos conduce a un vértice de la retícula situado a un tramo horizontal y otro vertical. Podríamos asignarle coordenadas (1h, 1v). A él podemos llegar de dos formas distintas. Llegados al tercer vértice, nos encontramos de nuevo en la misma situación. Y así sucesivamente. Pero el total de caminos posibles que conducen a cada vértice se compone de la suma de las opciones precedentes, tal y como se señala en la figura 3.10. La conclusión es que para ir desde A hasta B podemos hacerlo siguiendo 56 itinerarios distintos. Todos ellos tendrán la misma longitud porque se componen de los mismos 5 tramos horizontales y 3 verticales de la retícula.

Figura 3.10

Itinerarios equidistantes distintos para ir desde A hasta B

Fuente: Elaboración propia.

En el caso de barrios cuadriculados, el círculo de radio cinco manzanas, esto es, los vértices realmente accesibles y distantes cinco manzanas, de uno dado forman un cuadrado perfecto. La figura 3.11 incluye el número de trayectos distintos que llevan del centro hasta cada uno de los puntos de ese círculo cuadrado.

Figura 3.11

Maneras de llegar de un vértice a sus equidistantes en una cuadrícula urbana

Fuente: Elaboración propia.

Si somos peatones responsables y nos sometemos a las normas de deambulación urbana, veremos que para ir de un sitio a otro tanto da el itinerario escogido si el recorrido se hace en un barrio reticulado de calles rectilíneas siguiendo uno de los posibles trayectos mínimos. Sin embargo, cuando nos ponemos en marcha, acostumbramos a tener en cuenta otros factores como son cruzar algunas calles trazando diagonales y buscar recorridos con escasa pendiente.

En bici o patinete

Los desplazamientos en bicicleta se han hecho muy populares en las grandes ciudades. La moda, la salud, la ecología y la sostenibilidad se hallan entre sus causas. El auge ciclista ha provocado la saturación de las aceras, antes reservadas al desplazamiento a pie de los transeúntes, y en ellas se han vuelto cotidianas las bicicletas, los patinetes y otros artilugios eléctricos de una o dos ruedas. La esencia de todos los ciclos está en el círculo; la rueda el ingenio fundamental del transporte terrestre: motos, coches, autobuses, camiones, trenes y tranvías también se mueven sobre ruedas.

Figura 3.12

Radios que no son radios

Fuente: Thinkstock.

Muchas ruedas de bicicleta se construyen según el diseño tradicional. En él, un tubo de caucho rodea una llanta metálica circular conectada a un eje rodante mediante gran número de varillas (figura 3.12). Esas varillas se llaman “radios”, pero no lo son. Ninguno de los radios de la rueda alcanza el centro del círculo que los sujeta. Son tangentes a un círculo interior, como si de un grueso centro se tratase.

En la bicicleta, la rueda delantera guía y la trasera obedece. Pero esa obediencia no es total, porque la rueda trasera no sigue exactamente el mismo camino marcado por la delantera, a no ser que el ciclista mantenga el volante apuntando al frente. Entonces, las trayectorias de ambas ruedas coinciden y el desplazamiento es rectilíneo, pero cuando se gira el volante, la rueda trasera no sigue la trazada de la delantera (figura 3.13). Este fenómeno se ilustra en las diferentes rodadas, las cuales se cruzan (al girar el volante de derecha a izquierda o viceversa) o son paralelas (al mantenerlo fijo). Comprender la bicicleta pasa por comprender como se generan sus rodadas.

Figura 3.13

Rodadas de bicicleta

Fuente: Fotografía del autor.

El análisis geométrico comienza con una perspectiva transversal en la que ambas ruedas son circunferencias tangentes a una recta que hace de suelo (figura 3.14). Además, dado que la distancia entre los centros de las ruedas no varía, los uniremos con un segmento. Los puntos de apoyo de las ruedas en el suelo, A y B, son las proyecciones ortogonales de sus centros.

Figura 3.14

Modelo geométrico cenital (izquierda) y transversal (derecha) de una bicicleta

Fuente: Elaboración propia.

Adoptando ahora una perspectiva cenital como la que nos hace ver las rodadas, la bici se reduce a este segmento, cuyo desplazamiento determina su extremo A. Imaginemos ahora diferentes situaciones. La primera, aquella en la que el manillar no se gira, y la rueda delantera y la trasera forman un ángulo de 0º. Entonces, el desplazamiento se produce según una recta y la rueda trasera no derrapa en absoluto, pues su posición (ángulo con la rueda delantera) coincide con la trayectoria.

Una sola rueda, si no derrapa, rueda siguiendo la línea que marca su diámetro horizontal. Si gira, la proyección de su diámetro horizontal sobre el suelo es siempre tangente a la trayectoria que sigue. Cuando tenemos dos ruedas conectadas por un segmento como es el cuadro de una bicicleta, la rueda delantera arrastra la trasera y se produce un derrape, es decir, arrastres sobre el suelo en dirección distinta a la de rodamiento.

El resultado es que, cenitalmente, cada rueda debería ser tangente a la trayectoria. Pero, puesto que no pueden ir en línea recta, la opción es la circunferencia (figura 3.15).

Figura 3.15

Perspectiva cenital de una bicicleta con el volante girado 40º a la izquierda

Fuente: Elaboración propia.

No existen ni una recta ni un círculo común de desplazamiento. La rueda delantera no puede ir en línea recta, tampoco la trasera. La única solución posible de manera que la trayectoria de cada una de ellas sea tangente a la curva que describen es que tracen dos círculos concéntricos distintos, de forma que el cuadro de la bicicleta viene a ser el segmento común entre los dos puntos de tangencia (en gris en la figura 3.15). Obsérvese que dicho segmento es tangente al círculo interior, pero no al exterior.

Eso provoca que, a medida que la bicicleta se desplaza y el volante gira a derecha e izquierda, se creen intervalos en los que las rodadas puedan ser coincidentes (si la bici va en línea recta), paralelas (tramos circulares) o se crucen (cuando hay un cambio de dirección de izquierda a derecha o de derecha a izquierda), tal y como se apreciaba en la figura 3.12 y como se modeliza con GeoGebra en la figura 3.16. Incluso puede deducirse, por la forma peculiar de la rodada de la rueda trasera, el sentido de la marcha.

Figura 3.16

Rodada trasera (gris) de una bicicleta al recorrer la curva y = sen(x)

Fuente: Elaboración propia.

Esta situación deriva en un interesante problema matemático como es el del área de una corona circular. En la figura 3.15 aparece un segmento inscrito en la corona circular de forma un tanto especial, ya que es tangente a la circunferencia interior. Incorporando al dibujo los radios r y R de ambos círculos (figura 3.17) se crea un triángulo rectángulo uno de cuyos catetos es precisamente el segmento L (el cuadro de la bicicleta).

Figura 3.17

Área de la corona circular

Fuente: Elaboración propia.

Aplicando el teorema de Pitágoras a dicho triángulo, tenemos que:

Despejando y multiplicando por p obtenemos:

Y esto significa que el área de la corona circular es la misma que el área del círculo de radio L, el segmento que representaba el cuadro de la bicicleta. La conclusión matemática es extraordinaria (figura 3.18): cuando un segmento inscrito en una corona circular es tangente a la circunferencia interior, barre al girar el área de la corona que es la suya propia.

Figura 3.18

Barriendo el área de la corona de una bicicleta

Fuente: Elaboración propia.

En coche

Los desplazamientos en automóvil tienen límites de velocidad. Si conducimos con exceso de velocidad, un peligro para quienes nos acompañan y para los demás, probablemente seamos sancionados. La DGT graba desde el aire a muchos conductores que van demasiado deprisa. La prueba de que un coche circula con exceso de velocidad es una breve película. La figura 3.19 es una captura de una de esas filmaciones publicadas en los medios de comunicación. En ella se ve un automóvil con la matrícula oculta y en la parte inferior derecha una tabla de valores de la que se obtiene una conclusión: el coche va a 217 km/h.

Figura 3.19

Cazada o cazado a 217 km/h

Fuente: DGT, publicado en El País.

Esta velocidad no es la real, no corresponde al instante exacto de la imagen. Si se observan los datos, vemos que se han tomado las velocidades en tres instantes distintos: a los tres, seis y nueve segundos, 222 km/h, 216 km/h y 214 km/h, respectivamente. Al parecer, el conductor fue reduciendo velocidad. La velocidad estimada se corresponde con la media aritmética de esos tres valores. Por tanto, las multas se emiten a partir de un estimador estadístico como es la media aritmética de tres valores:

Un elemento de cualquier vehículo al que hay que prestar atención es el cuadro de mandos del salpicadero (figura 3.20).

Figura 3.20

Cuadro de control en el salpicadero de un automóvil

Fuente: Fotografía del autor.

La atención que merece está relacionada con la interpretación de los datos que ofrece y que son de gran importancia para conocer, además de la velocidad a la que se circula, el estado del vehículo. Esos datos, generalmente numéricos, se muestran en una serie de pantallas cuyo diseño geométrico incita a la actividad matemática, pues en ellos se manifiestan relaciones entre número y forma relevantes para su interpretación y significado.

¿Cuánto se reduce el tiempo de un desplazamiento por cada unidad que se aumenta la velocidad? El espacio e constante del recorrido, la velocidad v a la que este se realiza y el tiempo t que se tarda en ello se relacionan por la expresión:

Si al aumentar la velocidad en x, llamamos y a la reducción del tiempo invertido en el mismo recorrido:

El ahorro de tiempo es:

Si en un recorrido de 50 km se aumenta la velocidad de 100 km/h a 120 km/h, lo que supone un incremento de 20 km/h, reduciremos el tiempo en:

¡Solo cinco minutos! ¿Merece la pena aumentar la velocidad y el riesgo para ahorrarse cinco minutos? Sin duda, lo mejor es salir cinco minutos antes y respetar los límites de velocidad.

En metro

La figura 3.21 muestra el plano del metro de Madrid (España). Se le llama plano, aunque no se trate ni de un mapa ni de un plano porque no está hecho a escala. Ni las distancias son proporcionales a la realidad ni los ángulos de las líneas son los verdaderos. De hecho, los únicos ángulos apreciables en él son múltiplos de 45º.

El plano sirve para averiguar el trayecto en metro que puede llevarnos de un sitio a otro. Aunque el precio sea el mismo, pues el precio del recorrido en metro no depende de la distancia ni del tiempo invertidos en el recorrido, siempre conviene que el tiempo sea el menor posible. Si solo hay un modo de conectar la estación de partida con la de destino, no caben discusiones. Pero si existen varias opciones, merece la pena considerar un modo de establecer una estimación del tiempo del desplazamiento.

En el caso del metro, un modelo sencillo sería tomar dos unidades básicas: una, el tiempo del trayecto entre dos estaciones consecutivas, que suele ser bastante parecido; y el otro, el necesario para efectuar un transbordo, es decir, cambiar de línea metro en una misma estación. Esto puede llevar un tiempo varias veces superior al de un tramo. Además del tiempo, hay que tener en cuenta la incomodidad que ello puede suponer, especialmente si se lleva equipaje. ¿Qué proporción escoger como plausible? La experiencia nos puede orientar a establecerla alrededor del triple, aunque también depende de la estación. Pongamos que el tiempo de transbordo es k veces superior (k > 1) al de un tramo. La pregunta relevante ahora sería cuántos tramos y transbordos ha de tener un recorrido para ser más breve que otro que solo tiene tramos.

Figura 3.21

Plano del metro de Madrid (España)

Fuente: Ayuntamiento de Madrid.

Obsérvese que esta situación no ofrece datos concretos y que toda la reflexión es más subjetiva de lo que suelen ser las reflexiones matemáticas en las que los datos son muy precisos. Sin embargo, la experiencia ayuda a establecer un modelo basado en dos datos (tramos y transbordos) cuya relación es cuantificada mediante la experiencia. Todo ello conlleva competencia matemática.

Pongamos que el tiempo necesario para efectuar un transbordo equivale del recorrido de tres tramos. Ante varios trayectos posibles para ir de una estación a otra, quizá lo más práctico sea convertir todos los transbordos a tramos y comparar los resultados:

Opciones

Tramos

Transbordos

Equivalencia

Tiempo total estimado

A

5

2

1 tramo = 3 transbordos

T(A) = 5 + 2 · 3 = 11

B

12

0

T(B) = 12 + 0 · 3 = 12

C

4

3

T(C) = 4 + 3 · 3 = 13

En general, si k es la proporción entre el tiempo del transbordo y del tramo, y siendo a el número de tramos y b el número de transbordos, el tiempo T necesario de un trayecto es:

¿Qué determina que dos recorridos distintos conlleven el mismo tiempo T? Veámoslo:

Esta igualdad matemática no resulta fácil de traducir a lenguaje corriente comprensible y hacerlo conlleva un alto grado de competencia. Para el caso anterior en el que k = 3, los tiempos serán iguales si la diferencia de tramos (positiva) es igual al triple de la diferencia de transbordos (positiva). Y en general, si la diferencia de tramos (positiva) es igual a k veces la diferencia de transbordos (positiva).

Esto significa que si un recorrido carece de transbordos (b1 = 0) y el otro sí (b2 ¹ 0), los tiempos coincidirán cuando uno tenga tantos tramos más que el otro como sea la proporción entre tramo y transbordo. Volviendo al caso anterior (k = 3), cuando el número de tramos del primero sea igual a los tramos del segundo más el triple de transbordos.

Matemáticamente son posibles trayectos que, en la realidad, serían de todo absurdos, como realizar un recorrido con 1 tramo y 2 transbordos. Esto solo es posible si efectuamos transbordos, antes de salir, en la estación de partida y en la de destino. Matemáticamente, posible; realmente, un sinsentido.

De la vida al aula

Las matemáticas han permitido comprender mejor algunos fenómenos de movilidad como son el caminar de una persona, el desplazamiento por espacios reticulados como los urbanos y el uso de medios de transporte para efectuar dichos desplazamientos: la bicicleta, el automóvil y el metro.

Ya se han analizado los aspectos del caminar desde una perspectiva muy didáctica, por lo que ahora será suficiente con desplegar el enfoque de esa actividad tan cotidiana a lo largo de la educación académica.

Como ya se ha mencionado en el capítulo anterior, la perspectiva constructivista no pretende adaptar el estudio del fenómeno de caminar a los contenidos de cada curso académico, sino al revés. El sentido primordial es que una actividad tan humana y cotidiana como es caminar debe tratarse porque nos ayuda a conocernos: cada uno camina con una zancada, un ritmo y una velocidad. La gradual modelización matemática debería iniciarse en la educación primaria y puede extenderse hasta la universitaria.

CAMINAR

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

Ritmo (frecuencia de paso): recuento de pasos por minuto

Velocidad: relación entre la zancada y la frecuencia del paso (ritmo)

Expresiones algebraicas de las relaciones trigonométricas entre los elementos del paso

Zancada: dibujo y medida

Modelo geométrico del caminar y uso de aplicaciones (podómetros)

Modelo geométrico del movimiento de la cabeza al caminar

Relaciones de cambio entre los elementos del caminar

Con los cuatro elementos del paso pueden plantearse infinidad de actividades divididas en dos tipos distintos:

Actividades relacionadas con la velocidad a la que se camina: conociendo la zancada y el ritmo con los que camina una persona, ¿cómo podemos averiguar a qué velocidad se desplaza? (abierta); una persona que camina con zancadas de 70 cm y a un ritmo de 112 pasos por minuto, ¿a qué velocidad camina? (semiabierta); una persona camina con zancadas de 70 cm y a un ritmo de 112 pasos por minuto. ¿Cuántos metros camina en un minuto? ¿Cuántos quilómetros caminaría durante una hora? (cerrada).

Actividades que destacan la competencia de razonamiento y prueba: ¿qué puedo hacer para aumentar o disminuir la velocidad a la que camino? (abierta); ¿cómo puedo aumentar mi zancada? (semiabierta); si disminuyo mi zancada, pero conservo el ritmo de mi paso, ¿aumenta o disminuye mi velocidad de desplazamiento? (cerrada).

Dos cuestiones fundamentales sobre las retículas urbanas han protagonizado los paseos que en ellas efectuamos todos a diario. Una tiene que ver con la combinatoria, esto es, el número de paseos distintos que conducen de un vértice a otro de la retícula sin que su longitud se vea afectada. La otra nos sitúa en un espacio desacostumbrado, pues los vértices equidistantes de otro, lo que corrientemente llamamos “círculo”, no adopta una forma curvilínea circular. La conclusión a la que debería llegar el alumnado al estudiar desde esta perspectiva el espacio urbano real y cotidiano es que no sigue las normas euclidianas, dado que la arquitectura de la ciudad impide unir dos puntos siguiendo la más breve de las líneas. Didáctica y pedagógicamente es de gran riqueza darse cuenta de que el concepto de círculo no tiene por qué estar asociado a la forma redonda, sino que lo que resulta primordial en él es la equidistancia de un punto dado. He aquí dos propuestas, una dialogada y abierta, y otra cerrada, de actividades.

La segunda propuesta es cerrada, mucho menos rica, dado que especifica lo que hay que hacer:

El estudio de la bicicleta da para toda una vida académica. Comenzando por la riqueza geométrica de los elementos que la componen y terminando por la relación entre las trazadas de sus dos ruedas, tenemos un amplísimo abanico de posibilidades entre las que entrarían también cuestiones físicas sobre la fuerza de tracción y su relación con los cambios de marchas. Lo último tocante más a ciencias experimentales y tecnología que a matemáticas.

BICICLETA

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

Descripción de los elementos geométricos

Radios que no son radios

Cuestiones tecnológicas (experimentales

y tecnología)

Relación entre el giro del volante y el radio del recorrido trazado

Relación entre recorrido y número de vueltas de las ruedas

Relación entre las rodadas de las ruedas

GeoGebra de las rodadas

Teorema de la corona

En relación con el panel de control del salpicadero de un automóvil, pueden plantearse multitud de actividades, entre las que se distinguen tres tipos fundamentales:

Geometría de los paneles: (1) cada marca del cuentakilómetros circular, ¿a cuántos grados sexagesimales corresponde?; (2) cada marca del indicador de carburante, ¿a qué parte de la capacidad del depósito corresponde?; (3) cada una de las marcas del indicador de temperatura, ¿cuántos grados centígrados representan?

Interpretación de datos: (1) velocidad, (2) estado del depósito de carburante, (3) temperaturas, (4) kilometraje total recorrido con el automóvil, (5) kilometraje parcial, (6) consumo último tramo.

Relaciones entre datos: (1) según lo consumido en el último tramo y según el carburante disponible todavía, ¿cuántos kilómetros podré recorrer todavía?; (2) ¿qué relación hay entre los indicadores de kilometraje parcial y total?

La versión cerrada de una actividad sobre un recorrido en metro por Madrid consistiría en describir todos los recorridos posibles entre una estación de origen y una de destino, contabilizar los tramos y los transbordos, y decidir a partir de esas cifras la mejor de las opciones. Una versión más abierta, que es la que se encuentra quien visita una ciudad por primera vez, sería la siguiente.

Capítulo 4

Ve a tu alrededor

Sea rural, urbano o de cualquier otra índole, nuestro entorno condiciona nuestra vida y la sitúa en un contexto espacial concreto. Si al salir de casa dejamos de mirar el móvil, el entorno nos ofrece infinidad de cosas a las que mirar. La cuestión entonces es: ¿qué vemos?

La realidad del entorno, sobre todo cuando sorprende, incita a la reflexión. Y de la reflexión se deriva el aprendizaje. Por eso es voluntario. De ahí que para identificar elementos de matemáticas en el entorno haga falta la voluntad de hacerlo, aun cuando se sepan muchas matemáticas.

A continuación, se tratarán diversos fenómenos extraordinarios que fácilmente pueden relacionarse con las matemáticas. Que esta relación sea sencilla no significa que el pensamiento y reflexión matemática que ello conlleve lo sea también. Decíamos en el primer capítulo que las matemáticas no están en las cosas, sino en las personas. Luego dependen del observador tanto la relación entre el entorno y las matemáticas como el desarrollo e ideas matemáticas que dicha relación inspiren. Una parte muy importante del aprendizaje matemático es aprender a ver cuando se mira.

Tan lejos, tan pequeño

Abrimos los ojos al nacer y se produce la maravilla: vemos. Y enseguida nos acostumbramos a que las cosas lejanas se ven más pequeñas que cuando están próximas (figura 4.1). Cada día de nuestra vida, en todo el mundo, todas las personas y todos animales experimentan el fenómeno de la disminución en la distancia. Incluso estimamos distancias según el tamaño con el que vemos las cosas conocidas.

Figura 4.1

Un corredor en el Alcázar de Sevilla

Fuente: Fotografía del autor.

¿Por qué las cosas se ven más pequeñas cuanto más lejos están de nosotros? ¿Cuánto disminuyen? Dando por sentado que los rayos luminosos son rectilíneos, el tamaño con el que percibimos visualmente un objeto corresponde a la amplitud con la que lo vemos. La figura 4.2 muestra como dicha amplitud, el ángulo de visión, disminuye a medida que el objeto se aleja de nuestro ojo.

Figura 4.2

Cuanto más lejos, más pequeño el ángulo visual

Fuente: Elaboración propia.

La siguiente pregunta sería cuánto disminuye el tamaño en la distancia. La relación entre distancia y tamaño se diría de proporcionalidad inversa, puesto que cuanto mayor es la distancia menor es el tamaño. Pero un objeto situado a la mitad de distancia, ¿se ve el doble de grande? Observando la figura 4.3 podemos establecer la relación entre las variables que intervienen: el ángulo visual A, el tamaño L del objeto que estamos contemplando y la distancia d a la que se encuentra de nuestra mirada.

Figura 4.3

Más lejos, más pequeño el ángulo visual

Fuente: Elaboración propia.

Considerando el triángulo rectángulo de catetos L/2 y d, tenemos lo siguiente:

Para ver con más claridad la relación entre la distancia y el ángulo, pongamos que d = x m y que L = 2 m. Entonces:

Por lo tanto, la relación no es exactamente de proporcionalidad inversa, aunque se le parece mucho, como se aprecia en la figura 4.4. Para x > 3 m, las gráficas de A(x) y la de f(x) = 2/x son visualmente indistinguibles. Cuanto más lejos está el objeto más se aproxima a la de proporcionalidad inversa la relación entre su tamaño aparente y el real.

Figura 4.4

Amplitud visual A(x) con la que percibimos un objeto de 2 m y la función de proporcionalidad inversa f(x) = 2/x

Fuente: Elaboración propia.

La perspectiva matemática de la situación nos ayuda a comprender su realidad y a establecer relaciones entre sus componentes.

Formatos

Vivimos en casas de suelos, paredes, techos, puertas y ventanas rectangulares. También son rectangulares la inmensa mayoría de obras de arte y las fotografías, y vemos películas, programas de televisión e incluso la realidad que nos rodea a través de pantallas de formato rectangular: ordenadores, televisores, teléfonos, tabletas…

Muchos de esos formatos se dan a conocer mediante una sola medida: las pulgadas de su diagonal. También se expresan mediante dos números que indican la proporción entre su longitud y anchura. Así, hay formatos de 17 pulgadas y otros de 16:9. Eso plantea dos problemas matemáticos relacionados con la expresión del formato rectangular cuya resolución ayuda a comprenderlo. Por ejemplo, ¿cuántos formatos distintos hay con un número de pulgadas determinado? ¿Cuántos hay del tipo a:b?

La solución a la segunda pregunta es sencilla: existen infinitos formatos del tipo a:b. Para verlo, basta pensar que multiplicando o dividiendo a y b por el mismo número, la proporción no cambia. Por ejemplo, en el caso 16:9:

Para la otra cuestión, existe una primera forma de abordarla experimentalmente en el aula. Si cada alumno construye un rectángulo con una diagonal determinada se obtendrán varios rectángulos distintos, hasta veinte o treinta, con idéntica diagonal. Eso probará que la solución no es única y dará lugar a la conjetura de que existen infinidad de soluciones.

Pero lo más extraordinario del fenómeno es que, si se superponen todos esos rectángulos haciendo coincidir sus diagonales, sus vértices superiores se alinearán en una curva que se diría circular. Eso es lo que puede probarse con una construcción dinámica con GeoGebra (figura 4.5).

Figura 4.5

Los vértices de los rectángulos de diagonal 5 están sobre el círculo de ese diámetro

Fuente: Elaboración propia.

La demostración más formal de este fenómeno puede obtenerse de otras dos formas. Una, mediante el teorema de Tales circular, según el cual el triángulo formado por el diámetro de un círculo cuyo tercer vértice está sobre la semicircunferencia es rectángulo. Otra, mediante el teorema de Pitágoras: para una diagonal D, los lados del rectángulo verifican D2 = x2 + y2. Dicha ecuación tiene por solución los infinitos puntos del círculo de diámetro D.

En el escaparate

También los escaparates suelen ser rectangulares. Contemplándolos podemos ver cosas sorprendentes. Una de ellas es que la compra de ropa no depende de su tamaño ni de su peso. Una misma prenda de ropa o de calzado vale lo mismo sea de la talla que sea y pese lo que pese. La enorme diferencia de tamaño entre un zapato de señora del 36 y uno del 42 no se refleja en el precio. Ni la diferencia de talla entre una camiseta XS con otra XXL, que puede llegar a pesar un 50% más. Una persona que pese 100 kg y tenga estatura de 2 m pagará lo mismo por las mismas prendas y calzado que use una de 1,6 m y pese apenas 50 kg. No ocurre lo mismo con la alimentación.

Los descuentos en el mundo de la moda son las rebajas, también iguales para todo el mundo, y se expresan en porcentajes. A la hora de pagar no los aplican las personas, sino las máquinas. Pese a que ya no es necesario hoy en día calcular mentalmente porcentajes, conviene poder hacer estimaciones plausibles de su aplicación. Entre el momento en que leemos en el escaparate de una tienda que todos sus productos están rebajados un 15% y el momento en que leemos el resultado de aplicarlo a una prenda concreta en nuestro móvil o en su etiqueta pasan unos segundos durante los cuales nos podemos hacer una idea de la cuantía de la oferta. Ahí interviene, incluso de modo involuntario, la estimación del cálculo mental. Un descuento del 15% significa que de cada 100 € pagaremos 85 €; o 8,5 € de cada 10 €. Con eso nos hacemos una idea clara de la magnitud de la oferta.

Dado que esos cálculos son fáciles de realizar en un dispositivo electrónico, quizá pueda objetarse que no merece la pena llevarlos al aula. Pero pese a que esto pueden hacerlo las máquinas, nos encontramos ante la oportunidad de plantear cuestiones más relevantes que las máquinas ni se plantean ni son, por ahora, capaces de responder, a no ser que un ser humano se lo ordene. Una de esas cuestiones podría ser, por ejemplo, ¿qué me sale más barata, una prenda de 99,95 € rebajada un 15% o la misma que en otro establecimiento cuesta 95 € y que está rebajada un 10%? La respuesta está en la máquina, pero nosotros la manejamos. Quien piense que la escasa diferencia de 54 céntimos no hace relevante la cuestión puede tomar un precio mucho mayor y ver cómo aumenta el ahorro.

Otra situación matemática, más abierta todavía, alude a los descuentos acumulados. ¿Qué es mejor, hacer un descuento del 5% y luego aplicar otro del 8%, o hacer primero el del 8% y luego el del 5%? Lo relevante aquí es la justificación matemática del resultado y no el valor concreto o la respuesta concreta sin reflexionar sobre su trasfondo matemático. Podemos calcular esos descuentos consecutivos sobre una cantidad concreta y aventurar de ella una respuesta universal:

A raíz de esos resultados, la respuesta es clara: da lo mismo. Pero el quid de la cuestión es si dará lo mismo independientemente de la cantidad inicial. El único modo de razonarlo es ver que estamos efectuando dos productos en distinto orden y que, como el producto es conmutativo, el resultado será siempre el mismo:

He ahí la razón matemática subyacente por la que los descuentos consecutivos no dependen del orden sucesivo en que se apliquen.

En una boutique podemos comprar también calzado especial. Por lo general, el calzado femenino más llamativo suele ser incómodo porque lleva tacones altos. Sobre ellos podemos preguntarnos si los tacones de tallas distintas tienen altura distinta. La figura 4.6 responde negativamente a esta cuestión: dos zapatos de tallas distintas tienen la misma altura de tacón y de plataforma. De ahí que a las personas con gran talla de pie les pueda resultar más cómodo un tacón alto que a las de talla pequeña.

Figura 4.6

Dos zapatos de tacón con plataforma: talla 40 (izquierda) y talla 37 (derecha)

Fuente: Elaboración propia.

Sobre la imagen se ha trazado un triángulo para mostrar que la pendiente del zapato de talla 40 (ángulo de 18,89º) es menor que la del zapato de talla 37 (ángulo de 21,36º). En conclusión, quien se calce la talla menor basará el peso de su cuerpo sobre unos pies que irán más de puntillas que quien se calce la talla mayor. Lo cierto es que no es siempre así, pues hay casos en los que el tacón disminuye con la talla respetando la proporcionalidad de forma y, por tanto, modulando el grado de comodidad o incomodidad.

De tapas

¿Existe actividad más cotidiana que ir de tapas en España? Ya sea para tomar un refresco, una serie de tapas o para comer, los bares constituyen puntos de reunión, de pasatiempo, de relación social y de negocios. Los bares son un lugar de encuentro. La figura 4.7 muestra la mesa de un bar sevillano con una tapa de calamares y una caña de cerveza.

Figura 4.7

Mesa en un bar de tapas

Fuente: Fotografía del autor.

¿Qué hay de matemático en esa imagen? De la carta, hay mucho que decir: tiene forma rectangular y presenta la marca de haberse doblado por la mediatriz de dos lados opuestos a modo de eje de simetría e incluye las columnas de precios según el tamaño de la ración y el lugar donde se sirva. Del servilletero puede decirse que es casi un poliedro perfecto, un prisma recto de base cuadrada con las aristas redondeadas y cara superior ligeramente abombada que contiene papeles rectangulares y doblados. Luego están los objetos redondos: el vaso no exactamente cilíndrico, sino cónico; el plato y los aros de calamar y el logo de una marca comercial encima del servilletero. Incluso se aprecia una cenefa ornamental en la cestita de los cubiertos, una serie de arcos cada uno superpuesto a su vecino conformando un friso de tipo pm1. Y todo ello encima de una mesa que se diría cuadrada o rectangular aunque sus dos esquinas parezcan las de un trapecio por la perspectiva con la que se hizo la fotografía.

Pero nada de eso importa cuando uno se encuentra en un bar para tomar algo con unos amigos. Entonces hay que dejar la mirada matemática en reposo y disfrutar de la compañía, la charla, la comida y la bebida.

Figura 4.8

Matemáticas en el bar: cálculo de la cuenta en la barra

Fuente: Fotografía del autor.

En algunos establecimientos como el de la figura 4.8 se hace la cuenta en la misma barra como si fuese la pizarra de un aula. Lo extraordinario del caso es que la cuenta se hace sin decimales, como si la unidad monetaria fuese el céntimo. Una vez efectuada la suma, el importe se obtiene introduciendo una coma dos cifras a la izquierda: un ejemplo extraordinario en el que se utiliza un hecho matemático como es que la suma de los decimales es igual al decimal de la suma, lo que en álgebra se conoce como extraer factor común o aplicar la propiedad distributiva de la suma con relación al producto.

Para sumar 5,50, 4,40 y 6,60, se desprecia la coma (como si se hubiese multiplicado por 100) y se hace la suma de 550 + 440 + 660 = 1650. A ese total se le añade la coma (como si se dividiese por 100): 16,50 € es el importe. Expresado con fracciones:

Con los ojos abiertos

No solo en las calles de la ciudad encontramos retículas rectangulares. Lo cierto es que vivimos rodeados de ellas. El rectángulo es la forma más abundante de nuestro entorno. Los suelos de nuestras habitaciones y sus homólogos, los techos, son rectángulos. Los suelos están embaldosados con otros rectángulos. También lo son las paredes, ventanas, puertas y las fachadas de los edificios. Incluso los muebles son poliedros de caras rectangulares, igual que las de los teléfonos móviles, tabletas, televisores… Vivimos en el dominio del prisma recto.

Resulta difícil hallar formas no rectangulares en nuestro entorno, pero las hay. Abundan en las cocinas y en la iluminación. En esos dos entornos, el círculo es preponderante. La mayoría de ollas, cazos, cazuelas, platos, vasos, bombillas, lámparas y pantallas tienen forma circular.

Dando una vuelta por el barrio podremos apreciar en los suelos y fachadas composiciones geométricas que harán las delicias del alumnado y del profesorado que estudie los recubrimientos del plano y las isometrías (traslaciones, giros y reflexiones axiales). Pero puede ser más divertida la búsqueda de relaciones numéricas y de errores, incluso documentarlos fotográficamente para después establecer un diálogo sobre ellos.

Figura 4.9

Plaza de la Corredera (Córdoba, España)

Fuente: Fotografía del autor.

La mayor parte de la fachada de la plaza de la Corredera (figura 4.9) muestra tres relaciones numéricas. Tres ventanales de la plantas primera, segunda y tercera ocupan la misma extensión que dos arcos de la planta baja y un arco de la puerta de acceso a la plaza. Además, la altura del arco de acceso es la suma de la del arco de la planta baja más la de un ventanal. En cuanto a las alturas, podemos asegurar que A = a + v. En cuanto a las anchuras, siendo A la anchura de la puerta de acceso, a la anchura de un arco de la plaza, y v la de un ventanal, podemos afirmar que a/v = 2, A/v = 3 y A/a = 3/2. Esa fachada habla matemáticas diciendo:

Figura 4.10

Fachada del edificio El Triangle (Barcelona, España)

Fuente: Fotografía del autor.

La fachada del edificio El Triangle (figura 4.10) se compone de losas y dos columnas de ventanales. En la columna izquierda, los ventanales tienen 7 cristales y ocupan el equivalente a 10 losas; en la columna derecha, los ventanales tienen 5 cristales y ocupan 7 losas de la fachada:

Dado que las proporciones 10:7 y 7:5 no son exactamente iguales, ya que 10 · 5 = 50 y 7 · 7 = 49 o, calculado de otro modo, 10 : 7 = 1,4285… y 7 : 5 = 1,4, las conclusiones que de esta desigualdad se derivan son: (1) siendo todas las losas y los cristales iguales, nuestra percepción no es correcta, (2) las losas que recubren la fachada no son iguales, (3) los cristales de los ventanales no son iguales, (4) no hemos tenido en cuenta las juntas, ni las de las losas (muy finas) ni las de los cristales (más gruesas, sin duda). A simple vista, en esa fotografía, no podemos aventurar cómo son las juntas, pero la búsqueda de relaciones matemáticas y el cálculo nos han conducido a una serie de reflexiones que de otro modo jamás nos habríamos planteado. Nos dicen también que esta fachada no es tan simple como parece a primera vista y que los arquitectos que la diseñaron quizá sí tuvieron en cuenta la semejanza entre las proporciones 10:7 y 7:5.

Otra vertiente divertida de la observación visual es la caza de errores relacionados con las matemáticas. Es evidente que la arqueta de la figura 4.11 ha sido colocada erróneamente. Llevarla a su correcta posición supondría girarla 90º hacia la derecha o 270º hacia la izquierda. Lo extraordinario del caso es que el error fue posible porque la arqueta era cuadrada. Es la factibilidad del error prueba su cuadratura. Si fuese rectangular, su longitud y anchura serían distintas y no habría posibilidad de encaje tras aplicarle un giro de 90º.

Figura 4.11

Error de giro de 270º o de -90º

Fuente: Fotografía del autor.

Otro caso de error de colocación es la discontinuidad creada en la curva que bordea una acera (figura 4.12). Pese a lo fácil que habría sido respetar la continuidad de la curva, la arqueta fue encajada rompiendo ese aspecto. Las dos discontinuidades resultantes serían menos fáciles de salvar de lo que puede parecer en un principio, pues de los 360º posibles solo uno sería el correcto. Lo más probable era el error y eso fue lo que ocurrió.

Figura 4.12

Discontinuidades casi inevitables

Fuente: Fotografía del autor.

Todos esos errores son de giro. El hecho de que se trate de círculos o de cuadrados facilita la posibilidad del error. Una figura cuadrada encaja en su propio hueco tras haberle aplicado rotaciones de 90º, 180º o 270º. Un círculo encaja en su propio hueco después de haberle aplicado una rotación de cualquier ángulo. Si la arqueta es rectangular se reduce la posibilidad de error, pues su encaje solo es posible tras un giro de 180º. La conservación de la continuidad de las líneas, formas y colores del entorno puede ayudar a prevenirlo.

Cinegética matemática

La cinegética es el arte de la caza. El arte de cazar matemáticas es, además de una fuente de aprendizaje, divertido. Tanto es así que se ha convertido ya en un recurso de aprendizaje matemático. Salir a la caza de números, figuras geométricas, relaciones cuantificadas, fórmulas, símbolos y curvas para registrarlos en fotografías es una actividad creativa que activa aspectos cognoscitivos difícilmente activables con otro tipo de actividades. Sirve también para poner contexto a las matemáticas y relacionarlas con la realidad y la vida cotidiana.

De fotografía matemática se organizan concursos y existen webs específicas destinadas a promover dicha actividad y su uso didáctico en las aulas. Dos son las vertientes principales desde las que se enfoca una fotografía matemática. Una es la de fotografiar un fenómeno u objeto al que le veamos sentido matemático cuando nos topemos con él. Para hacer esto es necesario llevar la cámara a punto y tener la capacidad de ver el entorno con ojos matemáticos, una verdadera competencia matemática. La otra perspectiva de la fotografía matemática es la de buscar elementos matemáticos concretos y fotografiarlos.

Las tres fotografías siguientes (figuras 4.13, 4.14 y 4.15) fueron tomadas según el primero de los dos enfoques descritos. Durante un paseo por el barrio de la judería de Córdoba (Andalucía, España), encontré una casa en obras en dos de cuyos balcones había colgada una gran madeja de cableado (figura 4.13). Enseguida relacioné su forma con la del símbolo de infinito. Esa madeja enorme conectaba dos balcones y pensé que si el segmento es la línea más breve entre dos puntos, la línea más larga sería una curva de longitud infinita. Ahí estaban la idea y una doble conexión: entre realidad y matemáticas (madeja con forma de símbolo infinito) y entre diferentes partes de las matemáticas (longitud infinita y la recta como línea más corta). El título sería: la línea más larga entre dos puntos.

Figura 4.13

La línea más larga entre dos puntos

Fuente: Fotografía del autor.

La siguiente fotografía (figura 4.14) muestra la ventana de un establo en Valderrobres (Teruel). Es corriente del ámbito rural cerrar los recintos donde se alojan los animales con rejillas como estas. Donde más se ven es en los gallineros. Lo que me llamó la atención es que la malla no era una, sino dos superpuestas. Pero la superposición de una con respecto a la otra se iba desplazado y creaba un efecto tridimensional. A la izquierda vemos hexágonos planos, aunque con lados duplicados, pero a la derecha se crea un efecto óptico, un espejismo geométrico, por el que ya no percibimos hexágonos, sino cubos amontonados. Moviendo un palmo la mirada pasamos del plano al espacio. Este sería el título: del plano al espacio.

Figura 4.14

Del plano al espacio

Fuente: Fotografía del autor.

Otra fotografía matemática realizada desde el enfoque de la casualidad es la que muestra la sombra del tejado de una casa en la fachada de la de enfrente (figura 4.15). Aunque es distinta, la sombra guarda gran parecido con la curva trigonométrica y = x + senx. Pero para darle un título, pensé en el autor de esa sombra. Puesto que el programa más utilizado hoy en día para trazar gráficas de curvas es GeoGebra, y dado que el prefijo “geo-” remite a la Tierra, opté por un título en sintonía: gráfica de y = 0,3 · sen(x) trazada con HelioGebra.

Figura 4.15

Gráfica de f(x) = 0,3 · sen(x) trazada con HelioGebra

Fuente: Fotografía del autor.

Las tres fotografías siguientes se realizaron desde la segunda perspectiva, es decir, buscando en la realidad de mi entorno los elementos matemáticos que tenía en mente. La primera fue fotografiar la tangente a una curva, algo que resulta mucho más cotidiano de lo podría parecer si pensamos en que eso es lo que hacen unas tijeras al recortar una línea (figura 4.16). El título estaba claro: interpretación geométrica de la derivada.

Figura 4.16

Interpretación geométrica de la derivada

Fuente: Fotografía del autor.

La siguiente foto también tiene que ver con derivadas. Muestra el máximo y el mínimo de una curva cuyas tangentes horizontales están representadas por las piernas de las personas sentadas en ellos (figura 4.17). Para realzar la cuestión solo tenía que girar 90º a la derecha la imagen original, una estrategia que tal vez me fue inspirada por los errores de las arquetas.

Figura 4.17

Tomándose un respiro en los puntos de reposo de la curva

Fuente: Fotografía del autor.

Para la siguiente fotografía (figura 4.18), realizada también exprofeso, busqué un cambio de base vectorial en las aceras del suelo urbano. Sobre la figura se ha marcado el cambio de base.

Figura 4.18

Cambio de base

Fuente: Fotografía del autor.

La última imagen (figura 4.19) no es una verdadera fotografía matemática, pero es tan corriente en nuestro entorno que merece la pena detenerse en ella por la riqueza de elementos geométricos que contiene, explícitos e implícitos.

Figura 4.19

La geometría dice que ya se acabó la prohibición de adelantamiento

Fuente: Fotografía del autor.

El contenido geométrico de esta señal de tráfico es extraordinario:

Objetos geométricos: círculo (el disco blanco, el fondo de la señal), circunferencia (el contorno negro del disco), corona circular (ese contorno no es exactamente una circunferencia, ya que posee un cierto grosor), cuerdas circulares (los cinco segmentos del pentagrama), diámetro (solo la más larga, la central, lo es).

Números: 2 (coches grises), 5 (segmentos del pentagrama que atraviesa la señal), y el 10 (considerando los perfiles, son diez).

Relaciones: simetría axial (en el pentagrama, en cada uno de los dos coches grises dibujados y entre ellos dos), paralelismo (entre las barras del pentagrama, entre los ejes de simetría y entre los perfiles de la corona circular negra y entre las líneas de los coches dibujados), perpendicularidad (entre el diámetro y la circunferencia y entre esta y el poste metálico que sostiene la señal entera), equidistancia (entre las barras del pentagrama) y ángulos (paralelismo aparte, el pentagrama forma 45º con la vertical y con la horizontal).

Creatividad

Las imágenes de nuestro entorno pueden modificarse aplicándoles transformaciones geométricas sencillas para crear nuevas imágenes que pongan a prueba nuestra concepción espacial. Con isometrías del plano (desplazamientos, giros y reflexiones axiales), fotografías corrientes se convierten en imágenes sorprendentes que estimulan nuestro pensamiento.

Para la primera transformación se ha duplicado, desplazado y reflejado según un eje de simetría vertical una fotografía (figura 4.20) hecha en Takayama, en la isla Kyushu (Japón). El resultado es pura ficción, pero hace visible una realidad siempre invisible como es el paralelismo de las calles. En el mundo real las calles son paralelas, pero nunca las vemos así.

Figura 4.20

Simetría especular aplicada a una calle de Takayama (Japón)

Fuente: Fotografía del autor.

Figura 4.21

La simetría crea un lago en Barcelona

Fuente: Fotografía del autor.

En la figura 4.21, la misma simetría especular convierte el mar Mediterráneo que baña una playa de Barcelona (España) en un lago de oleaje inverosímil.

A continuación, tenemos una imagen imposible: un poliedro suspendido en el aire (figura 4.22). El entramado de protección del andamio de una obra (imagen superior izquierda) se ha replicado aplicándole las mismas transformaciones que antes. En este caso, la figura se cierra sobre sí misma mostrando un cuerpo geométrico (decaedro irregular) levitante.

Figura 4.22

La simetría libera de la gravedad

Fuente: Fotografía del autor.

Aplicando ese mismo tipo de transformaciones isométricas (desplazamientos, simetrías axiales y giros de 180º) a la foto de una cubierta como la de la figura 4.23 puede componerse un mosaico de apariencia tridimensional como el que se ilustra en la figura 4.24.

Figura 4.23

Techado lobular

Fuente: Fotografía del autor.

Figura 4.24

Mosaico tridimensional con grupo de isometría pmm

Fuente: Elaboración propia a partir de la fotografía anterior.

De la vida al aula

La cuestión de la disminución en la distancia es fundamental y debería ser tratada en varios momentos a lo largo de la educación académica, pues nunca se plantea fuera de ella. Pueden distinguirse dos aspectos clave de este fenómeno. El primero, la modelización geométrica que permite ver claramente por qué la disminución se basa en la reducción del ángulo de visión al alejarnos de aquello que estamos contemplando. Y el segundo, la cuantificación de dicha disminución, lo que servirá para darnos cuenta de que al duplicar la distancia el tamaño no se reduce a la mitad, aunque casi.

Lo primero puede abordarse ya en ciclo superior de primaria y la mejor manera de llevar este fenómeno al aula es plantear una pregunta sorprendente para la cual se precisa reflexión. Hacerlo de forma cerrada destruiría el encanto de la actividad. La actividad que abriría el diálogo en gran grupo podría ser la siguiente.

Lo segundo, la cuantificación de esa disminución, debería abordarse en 4º de ESO, dado el alto componente trigonométrico de las relaciones involucradas. Ahí sí que podría plantearse de forma abierta o más cerrada (ofreciendo un esbozo del modelo geométrico) y planteando el problema como una cuestión trigonométrica. Todo ello pasa, evidentemente, por la interpretación física de que la luz viaja en línea recta, lo que podría ponerse en cuestión si el fenómeno se plantea con objetos extraordinariamente distantes.

Con respecto al fenómeno de los zapatos de tacón alto debemos admitir que muchas veces miramos viendo siempre lo mismo. Esa nueva mirada matemática a un fenómeno corriente ilumina una pregunta sobre proporcionalidad cuya respuesta nos hace comprender mejor la realidad. Es, en este sentido, muy parecida a la disminución en la distancia al cuestionar algo extraordinariamente corriente. Dicho fenómeno puede convertirse en un recurso de enseñanza y aprendizaje muy apropiado para 2º de ESO (estableciendo la relación y concluyendo que para la misma altura de tacón el zapato de talla menor debe ser más incómodo) y para 4º de ESO (cuantificando trigonométricamente la relación entre la talla y el ángulo de inclinación adoptado por el pie).

La imagen de la mesa de un bar de tapas remite a las formas geométricas que habitan nuestra cotidianeidad. Un modo de hacer de ello un recurso de aprendizaje es mostrar una fotografía de la que se requiera un comentario matemático. Abiertamente, la cuestión se reduce a realizar un comentario matemático de la imagen. Tanto si es abierta como si no, puede usarse la siguiente base de orientación como referente. Una misma imagen puede comentarse matemáticamente desde diferentes niveles académicos. Los comentarios dependen del bagaje matemático cultural de la persona y del nivel en el que se plantee la actividad.

Comentario matemático de una imagen

Observación

¿Veo algún elemento matemático en la imagen, como números, símbolos, figuras geométricas, cálculos, relaciones, conceptos, propiedades, teoremas…?

¿Los nombro con los términos matemáticos adecuados?

Análisis

¿Existe alguna relación matemática entre los elementos encontrados?

¿Escribo dichas relaciones utilizando términos matemáticos?

Argumentación

¿Soy capaz de justificar por qué estos son los elementos matemáticos de la imagen?

¿Soy capaz de justificar las relaciones que he visto entre ellos?

¿Lo expreso mediante el lenguaje matemático?

Creación

¿Planteo alguna cuestión matemática inspirada en la imagen?

¿La resuelvo o, por lo menos, apunto algún modo de resolverla?

¿Se me ocurre un título matemático para esta imagen?

Las barras de muchos bares sevillanos muestran que la realidad supera a menudo a la ficción. Ahí habíamos derivado un teorema: la suma de decimales es igual al decimal de la suma. Una actividad matemática apropiada podría ser la destinada a realizar una versión formal de dicho resultado para ver que lo que se hace de forma natural en la barra de un bar tiene su correspondiente justificación matemática basada en la propiedad distributiva del producto en relación con la suma.

Para cazar matemáticas hace falta tener los ojos bien abiertos, pero mirar a nuestro alrededor matemáticamente. Eso se aprende. Y un modo divertido de aprenderlo es realizando fotografías matemáticas, algunas más sutiles, como las de los errores expuestos y de los que podían derivarse importantes consecuencias. Educamos así la mirada para ver algo más profundo que las formas geométricas de nuestro entorno: las relaciones entre ellas, tanto en lo referente a la proporcionalidad geométrica (más corriente en el currículo) como en relación con la proporcionalidad numérica (destacado aquí).

El siguiente es un ejemplo de cómo pueden hacerse las cosas:

La biblioteca del geómetra

DESCRIPCIÓN GENERAL. La fotografía muestra una parte del almacén de un taller con una serie de estantes llenos de tubos metálicos. También ha montones de discos en el suelo y una pila de alambres enrollados. La foto se tomó en la ciudad de Battambang, al norte de Camboya.

CONTENIDO MATEMÁTICO. Todo lo que se ve en la imagen es geométrico. Las secciones delos tubos son cuadradas (lados iguales y ángulos rectos), rectangulares (ángulos rectos, perolados distintos) o circulares. De tubos los hay de la misma forma, per medidas diferentes.En el suelo hay un montón de discos (círculos), muchos de los cuales están perforados como CDs formando coronas circulares.

INSPIRACIÓN DEL TÍTULO. El material puesto en los estantes como los libros de una biblioteca hace pensar en quién utilizaría todas estas formas geométrica. Si un geómetra trabaja la geometría, lógicoes que guarde las formas con las que trabaja en los estantes de su biblioteca. De ahí el título: “La biblioteca del geómetra”.

A continuación, se muestra una rúbrica para evaluar según tres niveles competenciales una fotografía matemática.

Rúbrica de evaluación matemática

Nivel

0

1

2

3

Título

No hay título o el que hay no es matemático o no está relacionado con la imagen

El título identifica o hace referencia a algún elemento matemático de la imagen

El título señala alguna característica o propiedad de los elementos matemáticos

El título tiene gracia e incluye una argumentación implícita expresada en un juego de palabras, una conexión insólita o juega con la percepción visual…

Imagen

No hay fotografía o la imagen presentada es un dibujo

Imagen desenfocada o descentrada, con escasas luz, nitidez o pobre cromatismo

La imagen, aun carente de equilibrio, permite apreciar lo importante

Imagen perfectamente equilibrada: centrada, enfocada, nítida, con buena luz y riqueza cromática

Texto

No lo hay o no explica la relación entre el título y la imagen

Ubica la imagen, identifica sus elementos matemáticos y explica la creación del título

Relaciona el título con la imagen caracterizando sus elementos matemáticos (términos y propiedades), pero presenta errores ortográficos, gramaticales o de tipo técnico

Relaciona el título con la imagen caracterizando sus elementos matemáticos (términos y propiedades) sin errores ortográficos, gramaticales ni de tipo técnico

Por último, utilizamos transformaciones geométricas para transformar nuestro entorno en irrealidades de las que, paradójicamente, obtenemos comprensión y diversión. Lo que puede hacerse con una imagen no tiene límites y depende de la creatividad del autor o autora. Pero si esa creatividad se limita a las transformaciones geométricas, contrariamente a lo que pueda parecer, hará aflorar producciones de otro modo imposibles.

Geometría esférica y proyectiva

Vivimos encima de una bola cuya geometría esférica no es la euclidiana. Nuestra percepción espacial tampoco se ajusta a los patrones de Euclides. Sabemos que dos calles son paralelas, pero cuando paseamos por ellas vemos que siempre concurren en un punto lejano que la geometría proyectiva denomina punto del infinito.

En una superficie esférica las rectas no son tales, sino círculos máximos. No existen, por tanto, dos rectas paralelas distintas, pues todos los círculos máximos se cortan, no en uno, sino en dos puntos. Eso les ocurre a todos los meridianos, concurrentes en el polo norte y en el polo sur. También el ecuador es una recta esférica, pero solamente los segmentos esféricos, como los paralelos terrestres, pueden ser paralelos sin compartir ningún punto en común.

Paralelos (izquierda) y meridianos (derecha) terrestres vistos desde el eje polar y desde el plano ecuatorial.

La geometría proyectiva viene a ser una fundamentación matemática de la perspectiva iniciada por Desargues en la primera mitad del siglo XVII. Dos principios rigen dicha fundamentación: (1) dos puntos determinan una recta, y (2) todo par de rectas concurren en un punto.

Ilustración de A. Bosse para el Tratado de Desargues.

Fuente: Wikimedia Commons.

En el caso de que las rectas sean paralelas, el punto de corte se llama impropio o, vulgarmente, punto del infinito. Por tanto, se trata de una geometría de la percepción visual basada en la disminución en la distancia que todos experimentamos desde el nacimiento.

Álgebra de la simetría

Las páginas de este libro son rectángulos idénticos. Y los consideramos así tanto al contemplar el libro en posición de lectura como apaisado. Pese a que su forma es distinta, decimos que son iguales porque basta aplicar un giro de 90º para que aparezcan idénticos y sus lados y ángulos encajen a la perfección. Ese giro es una transformación en el plano que no modifica la medida de esos rectángulos. Lo mismo sucede con nuestro reflejo ante el espejo: lo consideramos igual que nosotros porque su relación con nuestro rostro es la de simetría y el espejo actúa como plano de simetría. También declararemos iguales las mesas y sillas de una clase, al ser su única diferencia el hecho de ocupar puntos distintos de ese recinto. Esos tres, desplazamientos, simetrías axiales y giros, son las transformaciones en el plano y en el espacio que conservan las distancias. Por eso se les llama isometrías.

Resulta interesante ver cómo se pueden realizar operaciones con las isometrías. Así, al aplicar a la letra F un giro de 180º produce el mismo resultado que aplicarle una simetría axial de eje horizontal y otra de eje vertical.

Podemos decir que el producto de dos simetrías es una rotación. La introducción del cálculo simbólico hace que las transformaciones del plano puedan operarse entre ellas como si de números se tratase y formen grupos operativos. Es el álgebra de la isometría.

Capítulo 5

Con sumo cuidado

Cada uno es como es, pero hay algo que nos iguala en la sociedad contemporánea y en todo el mundo: somos consumidores. Tanto es así que, para muchos, el consumo se ha convertido en la razón principal de su existencia. Sin consumo no hay vida o, por lo menos, no es posible llevar una vida digna. Ante el vano esfuerzo de no consumir en una sociedad de consumo, hagámoslo con sumo cuidado.

Sin duda es en la adquisición de productos donde más se evidencia la actividad matemática en nuestras vidas. Y aunque hoy en día los cálculos para determinar los importes se delegan en calculadoras, nos vemos obligados a realizar estimaciones mentales aproximadas para controlar la relación entre lo que consumimos y lo que pagamos por ello. Así que la actividad comercial, sobre todo, la compra, se ha convertido en la más corriente de nuestra existencia. Compramos a diario porque comemos, bebemos y nos vestimos cada día. Y como no hay compra o venta sin matemáticas, tampoco hay consumo sin ellas.

En la panadería

El importe total de una compra se calcula siempre sumando los importes de cada uno de los artículos adquiridos siguiendo la secuencia siguiente: producto, cantidad, precio unitario, importe parcial e importe total. Lo primero que llama la atención, desde la perspectiva matemática, al hacer una compra es la existencia de precios por unidades de cantidad (magnitudes discretas) o por unidades de medida (magnitudes continuas). En el primer caso, la variable que determina el precio, llamada variable independiente en matemáticas, solo puede tomar valores naturales. Así sucede al comprar barras de pan o cruasanes en la panadería. No se compran 5/7 de una barra ni 1,18 cruasanes. En el segundo caso, en cambio, sí se pueden pedir cantidades decimales: tres cuartos de kilo de tomates o lo que pese una docena de naranjas (que pueden ser 1,043 kg).

Figura 5.1

Gráficas de la compra de un producto de dominio (arriba) y continuo (abajo)

Fuente: Elaboración propia.

Como consecuencia, los importes de los productos por unidades aumentan saltando de múltiplo en múltiplo del precio unitario; mientras que los importes de los productos de precio por medida aumentan de forma continua, sin saltos. Esta diferencia se aprecia claramente en una cada representación gráfica. La gráfica del importe que se paga por la compra de barras de pan a 0,65 €/u se compone de una serie de puntos aislados, aunque alineados; la gráfica del importe que se paga por la compra de tomates a 1,8 €/kg es una línea continua (figura 5.1). Los valores numéricos de los ejes de ordenadas en ambos gráficos corresponden a los euros del importe; los valores del eje de abscisas corresponden a unidades de barras de pan y a kilos de tomates, respectivamente.

Matemáticamente, dicha diferencia se expresa diciendo que el dominio de la cantidad de barras de pan es discreto, {0, 1, 2, 3, …}; y el de la cantidad de tomate, continuo [0, +∞).

Ambas gráficas comienzan en el origen de coordenadas, puesto que si se compra una cantidad nula de producto se pagan cero euros por ella. La inclinación de las semirrectas está directamente relacionada con el valor unitario del producto. Cuanto más cara la unidad, más inclinada la gráfica. Existe, además, proporcionalidad, pues por una cantidad doble o triple de producto se paga también el doble o el triple. Sin embargo, esta relación de proporcionalidad tan corriente en el mundo matemático no lo es tanto en el mundo real, ya que cuando se adquieren grandes cantidades de un mismo producto suelen practicarse descuentos. Esa ruptura de la relación de proporcionalidad provoca la pérdida de rectitud de la gráfica y suele ir acompañada de una ruptura de la continuidad, como se verá más adelante.

En el súper

Los precios de los productos suelen ser constantes y no cambiar si la cantidad que se adquiere de ellos se corresponde con el de un uso doméstico. Sin embargo, también es corriente que dicha pauta se vea modificada por ofertas promocionales, siendo las más corrientes las de “3x2” y “segunda unidad al 50%”.

Una tabla de valores, como la que se muestra a continuación, sirve para hacernos una idea de cómo varían los importes según la cantidad de productos adquiridos:

Oferta 3x2

Cantidad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A pagar

1

2

2

3

4

4

5

6

6

7

Figura 5.2

Gráfica de la oferta 3x2

Fuente: Elaboración propia.

Se trata de una situación cotidiana en la que resulta muy útil la división de números enteros sin extraer decimales, pues lo importante es conocer cuántos tríos contiene el número de ítems que deseamos comprar y cuál es el resto de la división para saber cuántos vamos a pagar. Si queremos 19 unidades, la división de 19 : 3 tiene resto 1 : 19 = 3 · 6 + 1. Luego pagaremos 2 unidades por cada trío (2 · 6) y una unidad más. En total, 2 · 6 + 1 = 13 unidades. La gráfica de esta oferta se compone de puntos aislados (figura 5.3), no es rectilínea (no existe proporcionalidad) y es escalonada (presenta intervalos en los que el importe es constante).

Analicemos ahora la oferta de la segunda unidad a mitad de precio. Un modo equivalente de expresarla es que por cada 2 unidades se pagan 1,5. Una tabla similar a la compuesta anteriormente para la oferta 3x2 da una primera idea de la situación:

Oferta 2ª

unidad al 50%

Cantidad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A pagar

1

1,5

2,5

3

4

4,5

5,5

6

6,5

7,5

Figura 5.3

Gráfica de la oferta “segunda unidad a mitad de precio”

Fuente: Elaboración propia.

De forma parecida al caso anterior, ahora se trata de dividir el número de ítems que deseamos comprar entre 2. Si compramos 11: 11 = 2 · 5 + 1. Pagaremos 1,5 por cada uno de los 5 pares que contiene el 11, y otro más por el resto de la división. En total, pagaremos por 1,5 · 5 + 1 = 8,5 ítems. La figura 5.3 muestra la gráfica correspondiente a dicha oferta.

La diferencia más significativa entre ambas ofertas es que, en este caso, no hay intervalos de importe constante. Comparando ambas ofertas para una serie de valores concretos se aprecia que la más ventajosa para el cliente es la oferta 3x2. Lo práctico es averiguar rápidamente cuál de las dos ofertas es mejor para el comprador. Cuando compramos a 3x2, estamos pagando, 2 de cada 3 productos, los 2/3 del producto. Cuando compramos con la 2ª unidad a mitad de precio, estamos pagando 1,5 de cada 2, las 1,5/2 = 3/4 partes del producto. Puesto que 2/3 < 3/4, la mejor oferta es la primera. Otro modo más tradicional de averiguar esto, pero menos práctico, es la comparación de fracciones con el mismo denominador:

Dicho de otro modo, con la oferta 3x2 pagamos 8 de cada docena de ítems. Con la oferta de la 2ª unidad a mitad de precio, pagamos 9 de cada docena. Mejor la primera.

Figura 5.4

Precio de pescado por intervalos: “Rubios. 1 kilo: 1,98 €. Menos, 2,80 €”

Fuente: Fotografía del autor.

Los precios de algunos productos en las pescaderías, aun sin tratarse de ofertas comerciales, son insólitos porque varían según la cantidad de pescado que se compra. El precio del kilo no es constante. La figura 5.4 es un ejemplo de este fenómeno.

La etiqueta indica que el pescado se vende a 1,98 €/kg, pero que si se compra menos de un kilo, sale más caro y se paga a 2,80 €. Justo en el kilo cambia el precio. Si se compran 1,75 kg, el importe será de 1,5 · 1,98 = 2,97 €. En cambio, por 800 g pagaremos 0,8 · 2,80 = 2,24 €. Teniendo en cuenta que 1,5 kg son casi el doble de 800 g se intuye que comprar más pescado del que necesitemos puede salirnos más barato. El precio está definido por dos intervalos y la relación de cambio entre la cantidad de producto (masa) y el importe que debemos pagar por ella (euros) puede expresarse simbólicamente del modo siguiente:

En la figura 5.5 se aprecian la discontinuidad y el cambio de pendiente de esta función definida en x = 1.

Figura 5.5

Precio de pescado definido por intervalos

Fuente: Elaboración propia.

Se aprecia un intervalo de masa inferior al kilo por el que se pagará más que por el kilo completo. Esto plantea una pregunta muy relevante: ¿a partir de qué peso sale a cuenta comprar un kilo entero? La solución geométrica puede hallarse con GeoGebra mediante el trazo de las intersecciones y perpendiculares apropiadas sin necesidad de realizar cálculo alguno, buscando la antimagen de los 1,98 € en el primer intervalo de la gráfica. La solución analítica de este problema se halla planteando una sencilla ecuación basada en la cuestión de cuándo el valor de 2,8 · x se iguala a los 1,98 € que cuesta el kilo:

Por tanto, a partir de los 707 g sale a cuenta comprar un kilo entero.

Alimentación sana

Para llevar una alimentación sana y equilibrada hay que fijarse en las etiquetas de los productos. En ellas encontramos información acerca de los componentes y propiedades nutritivas. Las etiquetas nutricionales forman parte (y si no lo hacen todavía, deberían hacerlo más) de nuestra vida cotidiana, pues debemos conocer qué comemos.

Cualquier etiqueta nutricional puede convertirse en un excelente recurso de enseñanza y aprendizaje, tanto matemático como vital. Muchas son las cuestiones relacionadas con matemáticas que pueden resultar relevantes para comprender el producto en cuestión y para saber qué estamos comiendo al ingerirlo. Ante la etiqueta nutricional de unas galletas como la de la tabla a continuación cabe preguntarse:

¿Realmente suman 100 g los ingredientes de la lista? ¿Qué sumandos hay que considerar?

¿Qué porcentaje del producto no es ni harina de trigo ni aceite de oliva?

¿Qué porcentaje representan las grasas?

¿Por qué se informa de que puede haber trazas de huevo y de frutos secos?

¿Qué porcentaje de azúcar nos comemos?

¿Cuáles serían esos porcentajes en 200 g de galletas?

¿Por qué se informa que las galletas contienen 0 g de colesterol?

Si se comparan estas con otras galletas, ¿cuáles son más nutritivas?, ¿cuáles contienen más azúcar?, ¿y colesterol?, ¿cuáles son más saludables?, ¿cuáles engordan más?

INFORMACIÓN NUTRICIONAL de 100 gramos de una galleta INTEGRAL

Valor energético

439 Kcal

GRASAS, de las cuales:

12,7 g

Saturadas

1,89 g

Monoinsaturadas

8,76 g

Poliinsaturadas

2,04 g

Colesterol

0 g

HIDRATOS DE CARBONO, de los cuales:

69,3 g

Azúcar

19,1 g

FIBRA ALIMENTARIA

4,0 g

PROTEÍNAS

9,5 g

SAL

0,5 g

Ingredientes: harina integral de trigo (60,4%), azúcar y azúcar moreno, aceite de oliva (10,7%), avellanas, leche descremada en polvo, dextrosa, gasificantes (bicarbonato sódico, bicarbonato amónico), sal. Puede contener trazas de frutos secos.

Acerca de la cuestión (a), la disposición de todas las masas en la misma columna puede llevar a confusión. Las grasas, por ejemplo, son 12,7 g y este valor es, aproximadamente, la suma de 1,89 + 8,76 + 2,04 + 0 = 12,69, correspondientes a los cuatro tipos de grasas. Sobre la cuestión (b), se informa de que un 60,4% es harina y un 10,7% aceite de oliva. El resto es un 28,9%. La respuesta a (c) es 12,7%. Suele informarse de que un producto puede contener trazos de frutos secos y huevo porque hay personas alérgicas a esos ingredientes (d). El 19,1% de esas galletas es azúcar (e). La cuestión (f) resulta muy relevante porque los estudiantes tienden a duplicar los porcentajes cuando se duplica la cantidad del producto. Que “estas galletas no contienen nada de colesterol” (g) se expresa con la mayor brevedad: “colesterol 0 g”. El cero existe y expresa una cantidad. Las preguntas relativas a un estudio comparado de varios productos (h) serían de gran riqueza y trascenderían el ámbito matemático.

Ya se sabe que a menudo la realidad de la vida supera a la ficción matemática. Este es el caso de las tabletas de chocolate de una marca cuyo diseño de sus tabletas se corresponde con la representación gráfica de sus calorías (figura 5.6).

Figura 5.6

El producto es la gráfica

Fuente: Fotografía del autor.

Las diferentes barras de chocolate que componen la caja tienen longitudes proporcionales al número de calorías: 34, 68, 102, 136, 170, 204, 238, 272. Dicha serie numérica no es casual, está formada por los ocho primeros múltiplos de 34. La longitud de la segunda barra es el doble que la primera; la tercera, el triple; y así sucesivamente. Cabe preguntarse cuántas calorías contiene la caja entera. Como al calcularlo hay que sumar múltiplos sucesivos, aparece la suma de los primeros números naturales:

La investigación gaussiana está servida: de continuar así la serie, ¿cuántas calorías tendría una caja de cien tabletas como esas?

Cambio de moneda

Acudimos a un money changer cuando necesitamos cambiar nuestro dinero a otra divisa, una práctica habitual cuando uno está de viaje fuera de su ámbito económico. La de viajar fuera de la CE es una situación cada vez más cotidiana y que sin duda afrontarán en el futuro los adolescentes de hoy. Cambiar dinero requiere cálculos que efectúan las máquinas, pero a diferencia de las situaciones de compra diaria, los números que protagonizan los cambios de moneda suelen ser grandes y resulta muy práctico poder realizar estimaciones rápidas del resultado del cambio.

Algunas estrategias de cambio a la divisa local con respecto al dólar forman parte de la cultura popular de cada país. También lo fue a principios de este siglo la estrategia para convertir euros en pesetas: añadir tres ceros y dividir por seis. Y al revés, para pasar de pesetas a euros, multiplicar por seis y anteponer una coma a la tercera cifra por la derecha. La búsqueda de una estrategia de cálculo mental para un cambio de divisa es un problema cuyo planteamiento y resolución ponen de manifiesto varias competencias matemáticas, pero hoy en día esto se ha hecho innecesario dada la cantidad de aplicaciones que convierten cantidades concretas de dinero a otra divisa con tan solo un par de clics o calculándolo directamente en una aplicación del móvil que todo el mundo lleva encima. Muchas aplicaciones de cambio de moneda ofrecen incluso respuestas a preguntas que no nos hemos planteado siquiera (figura 5.7).

Figura 5.7

Captura de XE-Currency Converter

Fuente: Aplicación XE-Currency Converter.

En la figura 5.7 vemos que el cambio se realiza automáticamente, incluso se nos da la equivalencia unitaria a cada moneda seleccionada. Y con un solo clic vemos la evolución del cambio por intervalos de tiempo, como el recogido en la figura 5.8 entre el euro y el peso argentino.

A simple vista, parece existir entre ambos gráficos una relación. Uno crece, y el otro decrece, más o menos entre los mismos valores y siguiendo un ritmo que, pese a ser distinto, contiene subyacente una similitud que no acertamos a expresar. Para verla con mayor claridad, pongamos boca abajo uno de los dos gráficos (figura 5.9).

Figura 5.8

Gráficas de cambio entre el peso y el euro (agosto, 2017)

Fuente: Aplicación XE-Currency Converter.

Figura 5.9

Gráficos de intercambio entre el euro y el peso argentino relacionados

por la simetría

Fuente: Aplicación XE-Currency Converter.

Aparte del color, y del arrastre vertical del segundo con respecto al primero, los dos gráficos son idénticos, punto por punto. La diferencia se reduce a una constante. ¿Por qué?

Ambas gráficas (peso argentino, $; euro, €) son función del tiempo t y en cada instante o día las tasas de cambio de cada divisa, r(t) y s(t), son recíprocas una de la otra:

Para ver que esta relación de reciprocidad determina precisamente la simetría observada basta analizar las características de las funciones recíprocas:

Comparten signo y paridad.

Intercambian los intervalos de crecimiento con los de decrecimiento, máximos con mínimos y los ceros con las discontinuidades asintóticas.

Coinciden en los puntos cuyas imágenes son 1 o -1.

La figura 5.10 presenta una función polinómica y su recíproca.

Figura 5.10

Gráficas de f(x) = x · (x - 1) · (x + 2), en negro, y su recíproca 1/f(x), en gris

Fuente: Elaboración propia.

De este tipo es la relación entre las gráficas del cambio bimensual del euro-peso argentino y peso argentino-euro mostradas más arriba. Tratando didácticamente las funciones recíprocas conseguiríamos comprender mejor el cambio de divisas y enriquecer el conocimiento matemático con un tipo de funciones que suelen pasarse por alto. El análisis matemático de una situación cotidiana en busca de su comprensión ha puesto de relevancia un tipo de funciones que merecen la misma consideración que suele darse a las funciones lineales, afines, polinómicas, inversas, exponenciales y logarítmicas. Sobre todo, en un ámbito educativo basado en el aprendizaje competencial.

Tarifas planas

Otra expresión popular y cotidiana en relación con el consumo es la de abonar los importes mediante tarifas planas. Las cuotas mensuales de asociación a un club de natación se recogen en la figura 5.11. Se distribuyen en cuatro intervalos de edad: hasta 9 años, de 10 a 12 años, de 13 a 14 y a partir de 15.

Figura 5.11

Tarifas del club de natación

Fuente: Folleto informativo del Club Natació Sabadell, 2016.

La gráfica de la relación entre la edad de una persona y la tarifa correspondiente (figura 5.12) muestra una relación creciente, pero discontinua según los intervalos de edad y compuesta de cuatro tramos constantes: cuatro tramos de tarifas planas.

Figura 5.12

Gráfica de tarifas del club de natación para cada edad

Fuente: Elaboración propia.

Los cambios de tarifa no solo son crecientes, sino muy crecientes. Se podría pensar que las cantidades de esas cuotas están determinadas por capricho, pero un análisis más detenido desvela la relación subyacente entre ellas:

Al parecer las tarifas se han confeccionado tomando 5, 6, 8 y 10 unidades de 3,656 € para cada uno de los cuatro intervalos de edad. La serie numérica homóloga a la serie niño de 0 a 9 años, niño de 10 a 12 años, joven y adulto es 5, 6, 8, 10. De niño de 0 a 9 años a niño de 10 a 12 años, la tarifa aumenta un 20%; de niño de 10 a 12 años a joven, un 33%; y de joven a adulto, un 25%.

Vemos aquí la eficacia de la proporcionalidad numérica como método de análisis de una serie de valores numéricos. Del análisis se aventura la conjetura plausible de que esas tarifas fuesen diseñadas según el patrón identificado, aunque no sepamos si fue así realmente. En tal caso, sería un modo matemático de crear cuotas de afiliación.

La figura 5.13 muestra dos imágenes de una promoción publicitaria sobre la tarifa plana de un producto de consumo.

Figura 5.13

Promoción de tarifa plana para el consumo de gas

Fuente: El País.

Una tarifa plana consiste en pagar lo mismo cada mes o periodo de facturación. En lugar de pagar lo correspondiente al consumo real, lo que supone subidas y bajadas de importes acordes con la vida que se lleva en el hogar, se nos ofrece la opción de pagar una cantidad constante. De esta forma nos evitamos sorpresas de consumos muy elevados (esos altibajos a los que alude la campaña publicitaria). Evitamos así el temor al próximo recibo porque ya sabemos de cuánto será: igual que el del mes pasado. Los posibles desajustes que haya se van actualizando al cabo del año o periodo amplio que especifique la empresa suministradora. La realidad es que los altibajos persistirán, pero serán menores y más pausados.

La imagen visual resulta muy reveladora porque si la longitud horizontal corresponde al periodo de tiempo y la altura del riel es el importe correspondiente a la tarifa plana (figura 5.13, derecha), el importe total se obtiene multiplicando la base por la altura, esto es, el área del rectángulo que se forma. Dirigiendo la mirada a la imagen izquierda de la figura 5.13 nos damos cuenta de que el área bajo la curva de la montaña rusa debe ser igual a la que corresponda a la tarifa plana. En resumen, que la tarifa plana no es otra cosa que un promedio de áreas. Si f(x) es la función del importe variable y F(x) su primitiva, entonces el valor de la tarifa plana Tp en el periodo del intervalo [a, b] será:

Sin embargo, en la práctica, la función f(x) no será polinómica, ni continua, sino discontinua y definida por intervalos y cuya gráfica será una curva poligonal cuando no una serie de segmentos planos. Es una función que no se determina por una única expresión algebraica, sino que se va construyendo estadísticamente a través de las lecturas de los contadores del consumo. Un lapso del pasado determina la de tarifa plana del siguiente lapso futuro.

Para un periodo de tiempo anual, la gráfica del consumo se obtiene con los importes mensuales. Algunas compañías (figura 5.14) acompañan sus facturas con gráficos estadísticos hechos con diagramas de barras.

Entonces surge un problema interesante: ¿cómo determinar la tarifa plana a partir de aquí? Numéricamente, se trata de realizar una media aritmética: sumar todos los valores y dividirlos por doce. Es lo mismo que antes, solo que ahora la función no es continua, sino discreta.

Figura 5.14

Promoción de tarifa plana para consumo de gas

Fuente: Factura del autor.

La figura 5.15 muestra tres capturas de una animación realizada con GeoGebra correspondiente a la tarifa plana de una función polinómica.

Figura 5.15

Tres fases de la tarifa plana de una función polinómica

Fuente: Elaboración propia.

De la vida al aula

Más que llevar al aula las relaciones de cambio propias de la compra de alimentos, debería llevarse el aula a una panadería, mercado o súper para que el alumnado viviese de primera mano dichas situaciones cotidianas: del aula a la vida, podría titularse la actividad.

Pero dadas las dificultades prácticas que eso conlleva, puede limitarse la salida a una recogida de datos in situ, reales y no realistas, con los que luego trabajar en clase. Los datos que habría que recopilar serían: precios de diferentes productos de panadería, frutería, carnicería y posibles ofertas vigentes como las analizadas.

Salida curricular: A comprar

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

In situ: recogida de precios y ofertas

In situ: recogida de precios y ofertas

Ofertas comerciales: experimentación con casos concretos

Ofertas comerciales: comparativa general

En la pescadería: cambio de precio

En la panadería y el mercado: relaciones de cambio proporcional

Expresiones algebraicas de ofertas comerciales

A continuación se recogen algunas propuestas de actividades matemáticas concretas con diferente grado de apertura relacionadas con las ofertas comerciales:

Actividad abierta: “¿Qué es mejor para el cliente, la oferta 3x2 o la oferta de la 2ª unidad a mitad de precio?”. Supone realizar un estudio general y comparativo de ambas ofertas, independiente de la cantidad de ítems y sin especificar cómo hacerlo.

Actividad semiabierta: “En la tienda de la esquina las latas de refrescos están de oferta 3x2. En el súper, están de oferta con la 2ª a mitad de precio. ¿Dónde me sale más barato comprar una docena de latas?”. La cuestión atañe al individuo que realiza la actividad y el estudio se reduce a un caso concreto de 12 ítems.

Actividad cerrada: “En la tienda de la esquina las latas de refrescos valen 0,42 € y están en oferta 3x2. En el súper valen 0,50 € y están de oferta con la 2ª unidad a mitad de precio. ¿Dónde me sale más barato comprar una docena de latas?”. La cuestión atañe al individuo que la realiza y se concreta más todavía dando el precio de los ítems, lo que la hace inmediata.

Acerca del etiquetaje, presente en todos los productos y muy importante de cara a la relación entre consumo y salud, la actividad más realista y, por tanto, más abierta, consistiría en realizar un comentario matemático como si de una imagen o texto se tratase. En el caso de disponer de las etiquetas de dos productos distintos, pero de la misma clase (como, por ejemplo, dos cajas de galletas de marcas distintas) lo más natural y significativo sería realizar una comparación de sus ingredientes.

Sin duda, dichas actividades tocan de cerca a la asignatura de Ciencias Experimentales, dado que podemos profundizar en el sentido matemático al plantear relaciones de cantidad y consumo. Por ejemplo, determinar la cantidad de azúcar o de hidratos de carbono ingeridos por una persona que consuma ese tipo de galletas para desayunar durante un periodo de tiempo. Es más, lo mejor sería que el alumnado aportase las etiquetas de los productos consumidos en sus desayunos para realizar un estudio de consumo personalizado. El objetivo último sería responder la pregunta siguiente: yo, ¿desayuno sano?

Así como la conversión de una divisa a otra puede plantearse en segundo ciclo de primaria, la búsqueda de una estrategia sencilla de cálculo mental para llevar a cabo dicha conversión se correspondería más con 1º o 2º de ESO.

La composición de una tabla de valores para un cambio de moneda tiene por objetivo ver que los valores aumentan o disminuyen según la tasa de cambio sea mayor o menor que la unidad. Esto provoca una situación didáctica muy interesante, pues muchos estudiantes creen que multiplicar aumenta y dividir disminuye. En cambio, cuando multiplicamos por un número menor a la unidad el resultado es menor que el original, lo que nos sitúa en una cuestión didáctica matemática primordial.

Cambio de moneda

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

Cambio de una moneda concreta a otra

La relación de cambio de moneda como función lineal de primer grado

Funciones recíprocas

Estudio de casos patológicos

Composición de tablas de cambio

Las pendientes de tasas de cambio recíprocas

Representación gráfica del cambio

Continuidad y la derivabilidad de las funciones recíprocas

Expresión algebraica del cambio

Los casos patológicos son aquellas situaciones puramente matemáticas: ¿qué ocurre si la tasa de cambio es nula?, ¿y si es la unidad?, ¿cómo cambia la situación gráfica si la tasa es negativa? Son cuestiones sin sentido práctico y real, pero con sentido matemático. Si la tasa de cambio f(x) es nula, su recíproca 1/f(x) deja de ser una función, aunque la relación de simetría entre y = 0 e x = 0 con respecto a la bisectriz del primer cuadrante se conserva. Estamos fuera de la realidad cotidiana, pero en un mundo inspirado por ella.

Una actividad rica para bachillerato sería: “Dada la gráfica de una función cuya expresión algebraica es desconocida, trazar de forma aproximada, pero razonadamente, la gráfica de su recíproca”.

La importancia cotidiana del cambio de divisas en todo el mundo debería ser excusa suficiente como para estudiar la relación de reciprocidad entre los números y las funciones. Esto no es necesario para la vida cotidiana, pero debería serlo en el ámbito académico, pues comprender el cambio de divisas pasa por comprender dicha relación de reciprocidad.

La tarifa plana inspira conexiones entre diferentes partes de las matemáticas. Relaciona la estadística con la integración, pero no de la forma más corriente como es una función de distribución, sino mediante la media aritmética: la calificación de final de curso de un alumno viene a ser una tarifa plana y la tarifa plana de la integral de una función en un intervalo viene a ser el rectángulo equivalente a dicho área.

En el ámbito académico ese fenómeno cotidiano puede incorporarse a partir de segundo ciclo de ESO. Y dada su relación con las integrales, puede llevarse hasta el bachillerato, tal y como se ilustra en la tabla siguiente:

Tarifa plana

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

La tarifa plana como media aritmética, la media

aritmética como tarifa plana

Aportaciones de facturas

de consumo (anónimas) para

el estudio y cálculo de sus tarifas

planas correspondientes

La tarifa plana como la

integral media de un intervalo

Representaciones gráficas con

GeoGebra de relaciones de cambio definidas por intervalos constantes

Capítulo 6

Vivir con incertidumbre

El jugador bota la pelota varias veces. Mira sus idas y venidas del suelo, delante de sus pies. Mira, pero no ve lo que mira. Su mente se concentra en la canasta. No quiere fallar el lanzamiento. Tras cuatro botes, siempre son cuatro, agarra la pelota con ambas manos y los dedos bien abiertos. Levanta la mirada hacia el aro, y lo ve. Levanta los codos al mismo tiempo que con su mano derecha rodea la pelota y la sitúa justo delante de su boca. Se besa el dorso de la mano y de un latigazo impulsa la esfera de cuero. Solo usa la derecha, con la mano izquierda ajusta la dirección. Efectúa el gesto del modo más automático posible, como un robot, pero consciente.

Miles de veces ha ejecutado esa acción durante los entrenamientos. Series de lanzamientos desde todos los puntos que rodean la zona de tiros libres. Los datos iniciales son siempre los mismos: su misma estatura, las mismas dimensiones de la pelota, la misma cantidad de botes en el suelo, el beso, la misma distancia al aro, la misma altura de este sobre el suelo, el mismo diámetro por el que deberá entrar la pelota, el mismo diámetro de esta. Como en un laboratorio, el experimento repetido debe ofrecer el mismo resultado. Sin embargo, la realidad incluye factores imprevistos. Las circunstancias son parecidas, pero no idénticas. Las circunstancias no son cuantificables como no lo son sus emociones. En el laboratorio de la cancha vacía nadie le molesta, nadie le grita, nadie desea que falle. Y si alguien lo hace, son los suyos jugando a ser sus oponentes. En la cancha vacía todo es ficción y broma. Ahora está en la vida real. En un partido que su equipo no quiere ni puede perder. Ahora todo se reduce a meterla o no, a un sí o un no, a un 1 o un 0. La pelota vuela en el aire silencioso de un pabellón abarrotado.

Lo cotidiano no es equiprobable

A diario utilizamos en nuestras conversaciones adjetivos como “posible”, “imposible”, “probable”, “improbable” o “seguro”. Con ellos nos referimos al grado de posibilidad de ocurrir que tiene un suceso. Posible es lo que puede suceder; imposible, lo que no. Calificando algo como probable damos a entender que tiene un alto grado de posibilidad de ocurrir. Improbable es lo que raramente ocurre. Imposible es un fenómeno que no puede ocurrir jamás, como, por ejemplo, que una vaca vuele. Y seguro es aquello cuya única opción es la ocurrencia, como que al lanzar una piedra al aire acabe en el suelo si nada se lo impide. En este sentido, cualquier fenómeno cotidiano es probable.

Si en algunas discusiones se ponen en duda dichas posibilidades es porque se cuestiona el significado de los términos que utilizamos para describir el suceso. Cuando alguien dice que es posible que una vaca vuele si esta va en un avión, tendremos que especificar que esto no es volar porque no se corresponde con el significado de este verbo. Aun en el caso de que se adosaran unas alas artificiales al rumiante y estas se agitasen mecánicamente con tal fuerza y velocidad que la vaca se levantase del suelo, tampoco volaría porque esto no es volar. Incluso podríamos decir que en tal caso dejaría de ser una vaca, puesto que una vaca con alas no es una vaca.

Esas discusiones pueden parecer absurdas, pero nos acercan a la cuestión matemática subyacente, pues en lo que entendemos como grado de posibilidad de ocurrencia de un fenómeno hay que precisar claramente cuáles son los significados de los términos utilizados. La probabilidad de un suceso es el nombre que recibe una de sus magnitudes: el grado de ocurrencia. Se trata de una magnitud de reciente creación, mucho más reciente que otras milenarias como el tiempo, la longitud o la temperatura. El grado de ocurrencia se cuantifica con un número que mide sus posibilidades de ser, su probabilidad. La probabilidad de un suceso imposible es nula, 0 o el 0%; la de un suceso seguro, es 1 o del 100%. Un suceso muy probable es aquel cuya probabilidad se aproxima al 100%, como la de que un jugador profesional de baloncesto enceste un tiro libre, alrededor de 0,8 o del 80%.

En el ámbito académico se estudian sucesos cuya probabilidad depende de los aspectos geométricos o numéricos de los objetos que los protagonizan. Todo funciona como cabe esperar: los dados tienen seis caras idénticas y las monedas solo dos. De este modo, la probabilidad de sacar un seis al lanzar un dado es 1/6, la de que salga cara al lanzar una moneda es 1/2 y la de extraer un as de una baraja española, 1/12. Pero en nuestra realidad cotidiana las monedas tienen tres caras y las cartas de una baraja nunca ocupan posiciones equidistantes de la mano que escoge una de ellas.

Muchos de los objetos con los que nos relacionamos cotidianamente se asemejan a objetos geométricos del ámbito matemático, pero no lo son. De ahí que en la vida real y cotidiana las probabilidades de ciertas situaciones se determinen a posteriori, esto es, mediante un estudio estadístico. Gracias a la recogida de datos estadísticos podemos establecer, inventarnos, una medida de la probabilidad de que vuelva a ocurrir en el futuro. Así se hace con los aciertos en los lanzamientos de tiros libres de los jugadores de baloncesto.

Caminando por la calle no es raro ver en la cuneta o en el parterre de un árbol una tuerca hexagonal perdida no se sabe por quién ni cuándo (figura 6.1). Por su aspecto nos podemos hacer una idea del tiempo que lleva ahí. Nos llaman la atención su brillo y su forma tan geométrica en contraste con su entorno. Puede describirse una tuerca como un prisma hexagonal de seis caras rectangulares atravesado por un agujero cilíndrico que va de una a otra de sus dos caras hexagonales. Una hélice surca este cilindro mediante la cual la tuerca se enrosca a su tornillo. Las seis caras rectangulares facilitarán la labor de una llave inglesa. Tuercas y tornillos jamás se pierden juntos, siempre por separado.

Figura 6.1

Tuerca en una cuneta

Fuente: Fotografía del autor.

Las tuercas con las que nos topamos nunca se apoyan sobre un lado rectangular. Siempre descansan tumbadas sobre una de sus dos caras hexagonales agujereadas. En esa posición acaban todas las tuercas perdidas. ¿Será que es más probable que las demás?

Cuando el objeto de estudio tiene forma geométrica, como una tuerca hexagonal, la probabilidad experimental calculada a posteriori debería ajustarse a la probabilidad matemática determinada a priori mediante el estudio geométrico del objeto. La siguiente tabla muestra el inventario geométrico de una tuerca hexagonal:

Puntos

Líneas

Superficies

Cuerpos

Ángulos

Paralelas

Perpendiculares

Vértices

Aristas

Rectángulo

Prisma

90º

Aristas

Aristas

Poligonales

Hexágono

Cilindro

120º

Caras

Caras

Circunferencia

Cilindro

Hélice

Una tuerca perforada no verifica la fórmula de Euler relativa a los poliedros, ya que posee 9 caras (una es circular), 20 aristas (dos son circulares) y 12 vértices. En lugar de C + V = A + 2, verifica que C + V = A + 1. ¿Será siempre así en un poliedro perforado de lado a lado? La perforación cilíndrica añade 2 aristas circulares y 1 cara cilíndrica. El miembro de la izquierda en la igualdad C + V = A + 2 aumenta en 1, mientras que el de la derecha lo hace en 2. Por tanto, en poliedros convexos la respuesta parece afirmativa.

Del estudio de un objeto tan sencillo y cotidiano como una tuerca hexagonal acabamos de obtener un teorema matemático jamás planteado en el mundo académico. Y no se planteaba allí porque en el ámbito académico se tratan objetos que provocan sucesos probabilísticos que funcionan como deben de funcionar.

Volviendo a la cuestión de por qué las tuercas nunca acaban en el suelo de canto, sino echadas sobre una de sus dos caras hexagonales, planteémonos cuál es la probabilidad de que esto suceda. Las probabilidades en el dado y en la moneda se basan en que sus caras son idénticas en todo: en forma, en perímetro y en área. Al parecer es esto lo que las hace equiprobables, de idéntica probabilidad. Una tuerca no es así. Tiene ocho caras. De ellas, cuatro son iguales (rectangulares) y otras dos también (hexagonales y agujereadas). No asignaremos a cada cara 1/8 de probabilidad, ¿no?

Con estas consideraciones estamos dando una vuelta de tuerca a nuestra concepción de la probabilidad. Gracias a un objeto cotidiano estamos poniendo a prueba cómo se determina la probabilidad. Parece claro que la probabilidad de que un poliedro de n caras caiga sobre una de ellas no es 1/n si es irregular. Sin embargo, pueden tener distinta forma y compartir el mismo perímetro o área. Llegamos así a la cuestión central: ¿de qué depende la probabilidad? ¿De los perímetros? ¿De las áreas? ¿O de otros aspectos físicos no contemplados en las matemáticas? Al fin y al cabo, en el mundo real existe la fuerza de gravedad, una consideración nada banal que no es tenida en cuenta en los fenómenos probabilísticos matemáticos.

Puesto que un dado o una moneda pueden trucarse para que una cara tenga mayor probabilidad de salir y que esto se logra alterando la altura del centro de gravedad del objeto, podemos aventurar que la probabilidad de que un poliedro irregular caiga sobre una de sus caras depende de la altura a la que esté el centro de gravedad sobre ella. Pongamos que las caras rectangulares de la tuerca tienen longitud L y anchura A. Cuando se apoya sobre una de sus dos caras hexagonales, el centro de gravedad G se halla a altura L/2. Pero cuando se apoya sobre una cara rectangular (figura 6.2), su altura es distinta y coincide con la del triángulo equilátero de lado L: a = L · √3/2.

Figura 6.2

Tuerca hexagonal

Fuente: Elaboración propia.

Parece lo más lógico pensar que la probabilidad es inversamente proporcional a dicha altura, pero no está claro si esa proporcionalidad inversa es simplemente del tipo k/a, k/a2 o de cualquier otra índole. Estamos en el mundo real y físico y solo una experiencia física y real puede sacarnos de la duda. De hecho, nada nos impide definir probabilidades basadas en k/a o en k/a2 matemáticamente. Pueden funcionar como tales siempre que el valor de k se ajuste para que la suma sea 1, la probabilidad del suceso seguro. Pero esto no implicaría una relación de veracidad entre ese modelo matemático y el real. Matemáticamente, el valor de k para cada caso sería:

Las dimensiones de una tuerca real hallada en una cuneta son A = 3 mm y L = 6,5 mm. Aplicándole este modelo probabilístico, se obtiene:

La probabilidad de que la tuerca cayese sobre una cara hexagonal era, como se intuía, mucho mayor, casi el doble de que cayese sobre una cara rectangular. Disponía también de otra tuerca hexagonal cuyas dimensiones eran L = 7 mm y A = 5 mm y cuyas probabilidades son:

Las probabilidades se igualan mucho y ambos resultados parecen plausibles. Pero ¿cuál sería el resultado de un experimento real practicado con una tuerca real? Realicé el experimento lanzando ambas tuercas cien veces. El resultado fue el siguiente: la primera tuerca (A = 3 mm y L = 6,5 mm) cayó 100 veces sobre una cara hexagonal y ninguna sobre una cara rectangular. La segunda tuerca (A = 5 mm y L = 7 mm) cayó 79 veces sobre una cara hexagonal y 21 veces sobre una rectangular.

Ninguno de estos resultados se ajusta al modelo probabilístico diseñado. Cambiemos el modelo y tomemos el que considera la relación de proporcionalidad inversa al cuadrado de la altura del centro de gravedad (k/a2). El nuevo valor de k es:

Y las correspondientes probabilidades de cada tuerca serían:

Los valores experimentales de la tuerca de altura A = 5 mm se ajustan bastante bien a este modelo, pues cayó un 79% de veces sobre una de sus dos caras hexagonales y 21 sobre alguna de las rectangulares. Muy cerca del 74,6% y del 25,4%. Pueden desarrollarse otros modelos, pero este último, más físico y relacionado con la ley de la gravedad, es, de momento, el más plausible y, por lo menos, más que el otro, aunque no definitivo. La mejora de ajustes quizá deba plantearse observando más de cerca la realidad y no los cálculos.

Examinando las tuercas con lupa se aprecia que ninguna de las caras es un polígono perfectos. Las que había tomado por rectángulos tenían los dos lados más largos arqueados, lo que hacía que las caras hexagonales fuesen ligeramente convexas en sus vértices. Estas diferencias con el modelo de prisma hexagonal eran mayores en la tuerca pequeña. Su especial diseño rompía la simetría y acentuaba la inestabilidad de su equilibrio vertical. La tuerca pequeña se había comportado prácticamente como una moneda. Decidí lanzar las tuercas cien veces más. La pequeña cayó de canto 2 veces; la mayor, 21. Las probabilidades se asentaban en torno al 1% (2/200) y al 21% (42/200).

Sobre proporciones de magnitudes de lo inexistente las matemáticas aventuran probabilidades de lo real. Mientras determinamos con cuál de las dos, si con las matemáticas o con la experimentación, nos acercamos más al valor buscado (perfeccionando los modelos de una y aumentando los ensayos de la otra), no hacemos sino construir el valor perseguido. La paciencia conduce a la verdad. Nunca se plantea en el ámbito académico el cálculo de probabilidades con poliedros irregulares. La realidad cotidiana es a menudo excesivamente compleja para la realidad académica elemental (no universitaria). En el caso de que trastoque sus concepciones, quizá haya que cambiarlas.

¡Ábrete, sésamo!

Hace siglos se usaban llaves cuya forma geométrica constituía la contraseña o clave para abrir la puerta. Esas formas geométricas fueron sofisticadas hasta límites extraordinarios, hasta el punto de dejar de dentar los perfiles de las llaves. Luego se han venido utilizando, y se usan todavía, contraseñas numéricas de 3 o 4 dígitos para las tarjetas de crédito y candados de maletas y taquillas personales. También se utilizan códigos más extensos y complejos como los alfanuméricos, destinados a disminuir la probabilidad de acertar una contraseña.

Ahora estamos entrando en una nueva fase en la que nosotros mismos somos la contraseña. La huella dactilar de nuestro pulgar, nuestros ojos, nuestra mano, nuestra voz o la forma de nuestro rostro van convirtiéndose en las llaves que abren puertas, dispositivos electrónicos o cuentas bancarias. Si esto es así es porque se supone que se reducen las posibilidades, y con ellas las probabilidades, de que otros accedan a aquello que nos pertenece en exclusiva. Hoy en día ya no hay llaves, cada uno somos nuestra propia llave.

Pese a ello, todavía son frecuentes los candados en las puertas de las taquillas personales (figura 6.3).

Figura 6.3

Candados de cuatro y tres dígitos

Fuente: Fotografía del autor.

Si el candado tiene tres ruedas, cada una con opciones para marcar las diez cifras desde el 0 hasta el 9, la probabilidad de acertar la contraseña escogida es:

Por lo tanto, si el candado tiene cuatro o, más generalmente, n ruedas de 10 cifras cada una, la probabilidad de adivinar la contraseña pasa a ser:

Lo mismo ocurre o puede ocurrir con el pin de acceso a las tarjetas de crédito, que son de cuatro dígitos (figura 6.4).

Figura 6.4

Teclados de un cajero automático

Fuente: Fotografía del autor.

Hoy en día hemos llegado a tal nivel de desarrollo tecnológico que la célebre expresión de aquel cuento inmemorial se ha hecho realidad. Las puertas pueden abrirse con solo mirar de cerca un dispositivo que identifica nuestro iris o hablándole a un micrófono oculto no se sabe dónde. Decimos “¡ábrete, sésamo!” y la puerta se abre. Extraordinario.

Crecerá o decrecerá, pero ¿cuánto?

El ahorro es un aspecto primordial de la subsistencia. Ahorrar significa gastar menos de lo que se ingresa y para ello es necesario ajustar el consumo. Hace pocos años las entidades financieras publicitaban ofertas de ahorro como la mostrada en la figura 6.5. En ella se hace un paralelismo entre el crecimiento que la entidad ofrece a sus clientes y el crecimiento de los niños. Nada hay más hermoso (y cotidiano) que poder ver crecer a los hijos. Los problemas vienen cuando uno se da cuenta de que verlos crecer supone ver crecer también la economía del hogar. Aquí es donde las matemáticas tocan los sentimientos: los cálculos, en lugar de relajar, no hacen sino enervar el espíritu de quien los realiza.

Figura 6.5

Oferta de depósitos de una entidad financiera (Valencia, 2013)

Fuente: Fotografía del autor.

La imagen muestra a una niña junto a una regla trazada en la pared con la que se puede medir la estatura. Tráenos tus ahorros, siéntate y contemplarás como crecen: el 1%, el 2%, el 3%... y así sucesivamente. La estatura de la niña está en el 4% y las tres marcas entre las unidades de los porcentajes remiten a las fracciones correspondientes al 0,25%, 0,5% y 0,75%. Lo que no se especifica son las condiciones del depósito de ahorro ni sus gastos. Falta la letra pequeña. Pero la publicidad cumple su función: llama la atención y es difícil que los transeúntes no se fijen en ella.

Desde la perspectiva matemática hay una cosa que este cartel publicitario sí especifica claramente y es el carácter lineal del interés asignado al ahorro. Que las separaciones entre los porcentajes sean idénticas significa que estos no se aplican de manera sucesiva. Por ejemplo, el crecimiento del 4% no se aplica a la estatura alcanzada en el 3%, sino a la estatura original correspondiente al 0% (ausente en el gráfico).

Para ilustrarlo exageraremos los porcentajes, puesto que los aumentos del 1%, 2%, etc. resultan difíciles de distinguir. En la figura 6.6 se ha tomado un rectángulo cuya altura va aumentando un 10%, 20%, 30%, 40% y 50%. Pero todos esos porcentajes se aplican a la altura original. El resultado es un crecimiento lineal y proporcionado, lo que corresponde a lo que en el ámbito financiero se conoce como interés simple. La oferta hace referencia a un aumento según un interés simple, puesto que para que la regla de la estatura sea la mostrada en el cartel, los porcentajes deben aplicarse a la misma cantidad o estatura original.

Figura 6.6

Crecimiento porcentual lineal

Fuente: Elaboración propia.

Si los porcentajes fuesen acumulativos, esto es, si la estatura correspondiente al 2% aumentase un 3% y esta un 4%, cada uno de ellos se aplicaría a la estatura anterior. El resultado (figura 6.7) sería un crecimiento exponencial acorde con un interés compuesto.

La publicidad solo es publicidad, pero se diría que en este caso la entidad financiera ofrece un crecimiento a interés simple por los ahorros que custodia de sus clientes.

La AECC (Asociación Española Contra el Cáncer) elabora cada año un informe económico y social en el que se dan a conocer las actividades llevadas a cabo, las subvenciones y apoyos recibidos con los que se han financiado y la evolución de sus socios. Según este informe, hay 1.500.000 personas afectadas por el cáncer en España (228.482 nuevos casos en 2017). La asociación ha efectuado labores de apoyo y acompañamiento a 429.390 personas y 1.362.823 han participado en los programas y actividades de investigación. Todo esto ha sido posible gracias a 23.371 voluntarios, los 317.399 socios de la fundación y 845 empleados. Los números del mundo real son grandes e impresionan por diferentes motivos según el aspecto que cuantifican.

Figura 6.7

Crecimiento exponencial

Fuente: Elaboración propia.

El informe aporta gráficos para ilustrar esos datos de tal modo que el lector pueda hacerse una idea más clara de sus magnitudes. Algunos son coronas circulares en los que el sector de la corona se corresponde con el porcentaje o cantidad referidos. Otros, en cambio, pretenden llegar al corazón del lector y tienen, literalmente, forma de corazón (figura 6.8). El problema que plantean las figuras irregulares es que resulta difícil representar objetivamente una parte o porcentaje de ellas.

Figura 6.8

Corazones estadísticos que tocan la fibra

Fuente: Folleto informativo de la AECC (Asociación Española Contra el Cáncer).

En este caso, ¿qué factor determina las alturas de las franjas coloreadas? En principio, y puesto que percibimos la figura completa, cada porcentaje debería corresponderse con un área sombreada. Sin embargo, no es así. Se ha optado por representar cada porcentaje con el mismo porcentaje de altura del corazón. Así, el 50% se ilustraría con una franja de altura igual a la mitad de la altura del corazón; un 25%, con la altura de un cuarto.

Ambos corazones tienen altura de 24 mm en el original. En el gráfico de la izquierda las alturas asignadas a cada porcentaje (8 mm y 16 mm) sí se corresponden con los porcentajes de las alturas (8/24 = 33,33% y 16/24 = 66,67%). En el gráfico de la derecha, en cambio, hay ciertos problemas. La altura del porcentaje mayor (17 mm) es la correcta, ya que 17/24 = 70,08%. Pero las alturas de los porcentajes menores (1%, 4% y 24%) no son proporcionales (1 mm, 2 mm y 3 mm). Quizá se hizo el gráfico superponiéndolos, de tal modo que la altura del 24% sea de 6 mm (hay que excluir 1 mm de la punta inferior, puesto que quienes no necesitan asistencia no pueden contabilizarse dentro de quienes la necesitan de tipo emocional). Entonces, el resultado es aproximadamente correcto: 6/24 = 25%. El porcentaje del 4% estaría mal señalado. La línea de puntos debería marcar el vértice inferior del corazón porque su altura debería ser el 4% de 24 mm, es decir, 1 mm. Esto nos permite ver la dificultad de ilustrar ese 1% que correspondería a una altura de 1% · 24 mm = 0,24 mm. Un cuarto de milímetro, el punto inferior. La figura 6.9 es una versión con diagrama de sectores.

Figura 6.9

Los diagramas de sectores no tocan la fibra

Fuente: Elaboración propia.

En cuanto la evolución del número de socios a lo largo de los años, el informe ofrece solo las cifras, no las acompaña de gráfico alguno. Pero el lector debería estar al caso de algunos detalles relevantes para interpretar dicha información. Los datos son los siguientes:

Año

2014

2015

2016

2017

Socios

198.021

237.534

277.316

317.399

Viendo esas cifras queda claro el aumento del número de socios a lo largo del tiempo. Ahora bien, ¿ese aumento va creciendo o disminuyendo? Para averiguarlo podemos confeccionar otra tabla con esos datos y añadir una columna de diferencias y otra de porcentajes.

Años

Socios

Diferencias

Aumento

Ratio

2014

198.021

–

–

2015

237.534

39.513

20%

1,20

2016

277.316

39.782

17%

1,17

2017

317.399

40.083

14%

1,14

Pese al aumento del número de socios, dicho aumento ha ido decreciendo. ¿Significa esto malas noticias? No, si tenemos en cuenta que todo proceso de crecimiento tiene un límite. También lo tienen las poblaciones y asociaciones. Al principio, cuando una población es escasa, puede aumentar mucho y suele crecer deprisa. Pero, con el tiempo, ese crecimiento, aunque exista, se hace cada vez menor y tiende a la estabilidad. La consecuencia es una evolución del tipo ilustrado en la figura 6.10.

Figura 6.10

Modelo de crecimiento estándar de una población

Fuente: Elaboración propia.

A partir de la evolución de las cifras podemos realizar prospecciones de futuro. ¿Qué pasará el año siguiente? Una plausible estimación acorde con los datos de la tabla anterior sería estimar que en 2018 los socios de la AECC también habrán aumentado, aunque menos que en 2017, en torno a un 10% u 11%, lo que significa unos 349.000 asociados. Dónde está el límite, el tiempo lo dirá. De lo que sí estamos seguros es de que quien padece cáncer no está solo.

Te compras un coche y nada más salir del concesionario ya vale mucho menos de lo que pagaste por él. En algunas revistas especializadas hablan de que, nada más estrenarlo, un coche se ha depreciado entre un 15% y un 20%. A partir de ese momento, la pérdida de su valor es de un 10% anual, más o menos. El ritmo de depreciación de un vehículo por el que se han pagado 20.000 € es 20.000, 16.600 (1 minuto después), 15.700 (al año), 14.000 (a los dos años)…

Viendo esto uno teme que muy pronto acabe no valiendo nada, ni un céntimo de euro. Sin embargo, por una vez encontramos consuelo en las matemáticas, ya que jamás, de seguir con ese ritmo de depreciación, un coche valdrá 0 €. Es así porque la depreciación está marcada por un factor multiplicativo y no por un minuendo. Si el coche perdiese, por ejemplo, 1.000 € cada año, llegaría un momento en el que 20.000 - 1.000 € · x daría cero como resultado (siendo x el número de años). Al cabo de veinte años, nuestro automóvil no valdría nada: 20.000 - 1.000 · 20 = 0. Pero, al reducirse el valor según una tasa del 10%, significa que cada año el valor del anterior se multiplica por 0,9. Y por muchas veces que multipliquemos un número por 0,9 nunca obtendremos 0 como resultado, aunque sí que nos aproximemos a él. Por ejemplo, en veinte años, y una vez descontado el 17% inicial, valdrá una miseria:

Una pregunta interesante es preguntarse cuándo se habrá reducido su valor a la mitad. Para ello se plantea una ecuación en la que la incógnita está en el exponente:

Aunque puede resolverse por tanteo probando distintos valores para x hasta que el cálculo de la izquierda dé diez mil euros, la solución exacta se obtiene mediante el uso de logaritmos:

Por lo tanto, en cinco años, un coche vale la mitad de lo que pagamos por él (figura 6.11). La conclusión es clara: comprar un coche no es una buena inversión. Sin embargo, hasta ahora todo el mundo veía bien realizar un dispendio semejante. La mayoría cambiaba de coche antes de diez años malvendiendo, en el mejor de los casos, su vehículo tildado de viejo. Y eso, aunque funcionase perfectamente.

Figura 6.11

Comparación entre las depreciaciones lineal y exponencial del valor de un automóvil

Fuente: Elaboración propia.

Las matemáticas demuestran que muy probablemente no haya otro bien de consumo tan caro y tan demandado que resulte tan mala inversión.

¿Cabrá o no cabrá?

Al prepararnos para un viaje nos asaltan las dudas: ¿podremos embarcar en el avión con esa nueva maleta de ruedecitas tan mona que acabamos de comprarnos o nos obligarán a facturarla con el resto de nuestro equipaje? Algunos fabricantes aseguran que sus maletas cumplen la normativa, pero la normativa es un tanto ambigua cuando no todas las compañías se atañen a los mismos criterios. Existen los criterios de la Asociación Internacional de Transporte Aéreo (IATA: International Air Transport Association), pero cada compañía establece de forma particular los pesos y medidas del equipaje de mano que pueden portar sus pasajeros en la cabina del avión, ya sea pagando o no. La tabla a continuación recoge los pesos y medidas de una serie de compañías aéreas. El mejor consejo es asegurarse de cuáles son las que justo en el día que vamos a viajar corresponden a nuestro transportista.

Aerolínea

Tamaño máximo

Límite de peso

Aeroflot

55 x 40 x 20 cm

10 kg

Air Berlin

55 x 40 x 23 cm

8 kg

Air Europa

55 x 35 x 25 cm

10 kg

Air France

55 x 35 x 25 cm

12 kg

British Airways

55 x 45 x 25 cm

23 kg

Easy Jet

55 x 45 x 25 cm

No hay límite de peso

Emirates

55 x 38 x 20 cm

7 kg

Iberia

55 x 45 x 25 cm

No hay límite de peso

Iberia Express

55 x 45 x 25 cm

No hay límite de peso

KLM

55 x 25 x 35 cm

12 kg

Lufthansa

55 x 40 x 23 cm

8 kg

Norwegian

55 x 40 x 23 cm

10 kg

Ryanair

55 x 40 x 20 cm

10 kg

Swiss

55 x 40 x 23 cm

8 kg

TAP Portugal

55 x 40 x 20 cm

8 kg

Transavia

55 x 40 x 25 cm

10 kg

Turkish

Airlines

55 x 40 x 23 cm

8 kg

Vueling

55 x 40 x 20 cm

10 kg

Fuente: Skyscanner Ltd, 2017.

Precisamente la norma general de la IATA de hace algunos años establecía que las tres dimensiones de la maleta (largo, ancho y alto) debían sumar, a lo sumo, 115 cm. Quizá por ello todas las compañías de la lista, a excepción de Iberia e Iberia Express (2 de 18), verifican dicha desigualdad:

Cabe plantearse tres cuestiones matemáticas. La primera, si las maletas cuyas dimensiones suman 113 cm tienen menor capacidad que las que suman 115 cm. La segunda, si las maletas con la misma suma de longitudes tienen la misma capacidad. Y la tercera, si para la suma de 115 cm existe una maleta de máxima capacidad.

Lo que determina la capacidad de una maleta es su volumen y este se obtiene multiplicando sus tres dimensiones. Por lo tanto, calculemos los productos correspondientes a las dimensiones de las maletas:

Dimensiones (cm)

Suma

(cm)

Volumen

(cm3)

55

40

20

115

44.000

55

35

25

115

48.125

55

40

23

118

50.600

55

38

20

113

41.800

56

45

25

126

63.000

Viendo estos resultados podemos responder ya algunas de las preguntas precedentes. La respuesta a la segunda es negativa: las maletas con idéntica suma pueden tener distinta capacidad. La respuesta a la tercera se deduce de esta, pues si para una misma suma de dimensiones puede haber distintas capacidades se intuye que sí tendrá que haber, para cada suma, una maleta de capacidad máxima y otra de capacidad mínima.

La respuesta a la primera pregunta requiere más análisis, pues no se desprende de los cálculos efectuados hasta ahora. Tomemos para ello dos maletas, una cuyas dimensiones sumen 115 cm, como la de 55 cm, 40 cm y 20 cm; y otra que sume 113 cm: 40 cm, 40 cm y 33 cm. Ya conocemos el volumen de la primera (44.000 cm3). El volumen de la segunda es de 52.800 cm3. Por tanto, la respuesta a la primera pregunta es negativa: hay maletas que suman 113 cm con mayor capacidad que otras que suman 115 cm.

Haciéndonos una representación mental de cómo son esas maletas vemos que aquellas cuyas tres dimensiones son más similares tienen mayor capacidad que aquellas en las que son más dispares. Por ejemplo, para una suma de 115:

Dimensiones (cm)

Suma

(cm)

Volumen

(cm3)

55

40

20

115

44.000

50

40

25

50.000

45

40

30

54.000

40

40

35

56.000

39

39

37

56.277

Vemos que a medida que se van igualando las tres aristas, el volumen de la maleta es mayor. ¿Y qué significa que se igualen longitud, anchura y altura? Que la maleta adopta forma cúbica. Por tanto, ya podemos aventurar que la mayor de las maletas será aquella cuyas aristas sean idénticas, esto es, un tercio de 115 cm: 38,3333 cm.

Un análisis más funcional conduce a la misma conclusión. Si la suma de las tres dimensiones a, b y c es 115 cm y llamamos V a su volumen, entonces:

Estas dos igualdades pueden reunirse en una sola expresando el volumen en función de dos variables:

La función V(x) = a · x · (115 - a - x) se ha representado en la figura 6.12. Para cada valor de a se obtiene una parábola cuyo vértice (máximo) va trazando la curva destacada. Dicha curva alcanza su máximo precisamente en el punto (38,3 cm, 56.328,7 cm3).

Figura 6.12

Volumen máximo del equipaje de mano

Fuente: Elaboración propia.

Averiguar qué cabe en una maleta no se sabe calculando volúmenes, sino metiendo cosas en ellas hasta que el espacio ya no da más de sí.

Lo cotidiano es periódico

Hay situaciones de la vida que son predecibles: aquellas en las que se sabe más el cuándo que el qué. Uno de esos casos es el fenómeno “cotidiano” de la menstruación que atañe a la mitad de la población mundial. Lo que caracteriza ese fenómeno es su periodicidad. Tanto es así que solemos referirnos a él con ese sustantivo: el periodo. No deja de ser curioso que la vida esté llena de funciones periódicas y que estas sean las últimas que se estudien en la educación secundaria. Son de lo más natural, pero, al parecer, de lo más difícil, si bien el grado de dificultad está en el modo en que se abordan. Tradicionalmente, su enfoque ha estado relacionado con aspectos muy formales mucho más relacionados con su trasfondo matemático (trigonométrico) que natural. Y lo natural es la observación experimental de que hay cosas que ocurren cada cierto tiempo (llamado “periodo del fenómeno”) y que durante un lapso de tiempo se producen un determinado número de veces (llamado “frecuencia”).

De hecho, un fenómeno considerado cotidiano es muy frecuente (siete veces a la semana) o con breve periodo de tiempo (diario). Otros fenómenos no son ni tan frecuentes ni se producen cada tan poco tiempo. Por ejemplo: la menstruación (periodo mensual), las evaluaciones académicas (periodo trimestral o cuatrimestral), las olimpiadas (cuatrienio), la elaboración de censos (decenio), etc.

Esto en lo referente a intervalos de tiempo grandes, pero existen otros muy breves y que nos tocan muy de cerca y diariamente, instante a instante. Dos de ellos son la frecuencia cardiaca (FC) y la frecuencia respiratoria (FR). La FC se llama precisamente así porque contabiliza el número de latidos del corazón durante un minuto. El latido del corazón suele tener un periodo un poco inferior al segundo; mientras que respiramos, cada dos o tres segundos. Sin duda, la representación gráfica más importante de una persona es la que proporciona un electrocardiograma (figura 6.13). En él vemos las sacudidas que experimenta nuestro órgano vital.

He aquí la gráfica de varias funciones periódicas impresas sobre una cuadrícula. Un segundo corresponde a cinco celdas. Se trata de funciones cuya variabilidad es escasa, prácticamente oscilante entre dos valores: un máximo muy agudo que se diría apenas derivable y un mínimo también agudo, pero no tanto. Conociendo un pedazo de la gráfica, la correspondiente al intervalo de tiempo de su peroodo (aquí, de unas cinco celdas) conocemos prácticamente el resto (si no hay anomalías).

Figura 6.13

Fragmento de un electrocardiograma

Fuente: Fotografía del autor.

Cuando en matemáticas se estudian las funciones periódicas, muchas de ellas inspiradas por fenómenos de la vida real más o menos cotidianos, todo ocurre exactamente como se espera. El periodo de la función f(x) = sen(x), como vemos en el gráfico inferior, es siempre 2p. Y, si no lo es, entonces no se trata de la función seno. En el mundo real, nada es así, las cosas son aproximadamente así. Aunque cuando se trata de salud esa aproximación no puede ser cualquiera, pues la excesiva variabilidad de los periodos de sístole y diástole son indicadores de anomalías cardiacas que pueden afectar nuestra salud.

Figura 6.14

Gráfica de la función seno

De la vida al aula

Aparte de los juegos de azar y de apuestas, los sucesos cotidianos relacionados con el azar no son equiprobables. La forma más corriente de objeto, la forma de caja de un prisma recto, un hexaedro, permite abordar en la educación secundaria estudios probabilísticos reales. La forma más apropiada sería mediante un trabajo de investigación en grupo:

En relación con las contraseñas, la primera actividad, y la más corriente, que se suele plantear es cuántas pueden crearse en un candado de tres o de cuatro dígitos. La relevancia de esta actividad no es su grado de dificultad, sino la generación de un problema de índole didáctica, pues son muchos los estudiantes que ante un problema como este tienden a pensar que las opciones posibles en cada una de las ruedas deben sumarse y no multiplicarse. Ahí reside la importancia de la cuestión. Plantear ese problema de forma dialogada puede contribuir a una mayor comprensión y a ver que, en el fondo, escribir una contraseña y todas las contraseñas posibles equivale a escribir un número de tres o cuatro cifras (considerando la cifra 0 a la izquierda como buena), según sean los dígitos del candado.

Los gráficos hablan. Y a menudo hablan matemáticas. El anuncio publicitario de la figura 6.5 incita a plantear un comentario matemático que podría realizarse en parejas. Pero dado que su relevancia reside en ver que el símbolo de % del gráfico representa una unidad de medida y que su significado no se corresponde con el de porcentaje, ese comentario matemático podría plantearse por parejas en 4º de ESO o en 1º de bachillerato de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales. Lo mismo puede decirse de los gráficos de la AECC.

Sobre el equipaje de mano, el planteamiento a lo largo del currículo podría ser:

Equipaje de mano

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

Investigación de las medidas autorizadas

Composición de tabla de datos y planteamiento del problema de optimización

2ª resolución (gráfica con GeoGebra) del problema

3ª resolución (analítica) del problema

Las maletas usadas por el alumnado, ¿se ajustan a esas medidas?

1ª resolución (experimental) del problema

Por definición, lo cotidiano es periódico. Y entre la periodicidad de lo cotidiano hay fenómenos cuya periodicidad tiene una carga matemática mayor. Llevar lo cotidiano al aula es llevar al aula la periodicidad. En el ámbito matemático académico, lo más corriente es estudiar las funciones periódicas al final. Se empieza por las de primer grado, luego las de segundo grado, después, los polinomios, las fracciones algebraicas y, por último, al fin, las únicas funciones periódicas: las trigonométricas.

En la vida las cosas van en sentido contrario. Lo primero es la periodicidad natural de los días y las noches, de los años, de las estaciones, de las menstruaciones, de los ritmos cardiacos y respiratorios… Después viene la periodicidad artificial y social de las semanas, los meses, las horas y los segundos, los cursos académicos, los Juegos Olímpicos… Un currículo más natural empezaría estudiando los fenómenos periódicos que la naturaleza impone y de los cuales se determinarían su frecuencia y periodo.

Fenómenos periódicos

Primaria

ESO

Bachillerato

CI

CM

CS

1º

2º

3º

4º

1º

2º

Investigación: fenómenos cotidianos periódicos

Periodos y frecuencias de las constantes vitales

Funciones periódicas no trigonométricas

Estudio analítico de funciones periódicas no trigonométricas

Epílogo

Vida cotidiana de las matemáticas

La vida es aprendizaje y el aprendizaje es vital. Durante la vida, en especial la cotidiana, se aprende con la experiencia periódica, entendiendo esta siempre acompañada de reflexión analítica. El aprendizaje del ámbito académico se basa mayoritariamente en el planteamiento y resolución de actividades en las que también prima la experiencia, pero que cuando se refieren a la vida real no pasan de ser simulaciones realistas. En la vida real no hay acompañantes ni orientadores, uno se enfrenta solo a las situaciones. Por eso importa adquirir competencia para la vida en el ámbito académico, ensayar y vivir situaciones que sirvan de preparación para la vida futura.

A lo largo de los capítulos anteriores se han analizado desde la perspectiva matemática toda una serie de situaciones cotidianas. Con ello se ha logrado comprender mejor la realidad de nuestro entorno, nuestra circunstancia, y se ha puesto de manifiesto la intervención de las matemáticas, en mayor o menor grado, en muchas de las situaciones que vivimos a diario. En ciertos fenómenos nos vemos obligados a las matemáticas, son impuestas por la propia realidad social y las necesitamos. En otros, representan un complemento para la comprensión de lo que se está viviendo e incluso pueden inspirar nuevas ideas matemáticas (conceptos, relaciones, problemas). A unas las llamamos necesarias; a las otras, complementarias.

En todo el proceso desarrollado pueden apreciarse las dos perspectivas vygotskyanas de desarrollo del conocimiento científico. En la perspectiva descendente, las matemáticas ayudan a comprender y resolver situaciones reales, lo que se consigue mediante la aplicación de conocimiento matemático. En la perspectiva ascendente, de las situaciones reales se pueden aprender y crear ideas matemáticas que nos conducirán a resultados en los que nos habremos liberado de los aspectos concretos y tangibles que los inspiraron.

Mediante el análisis matemático de fenómenos cotidianos damos significado a las ideas matemáticas, y estas, como decía Freudenthal, se incorporan realmente a nuestro quehacer y personalidad, sentando así las bases de nuestro aprendizaje. Dicho aprendizaje se produce a través de analogías, intuiciones y experimentaciones que Courant y Robbins destacaron como parte esencial del desarrollo de conocimiento matemático.

La mirada matemática es tan fundamental como otras y no deberíamos rehuirla. Eso no significa estar alerta constantemente manteniendo una actitud de enfoque matemático en todas las situaciones vitales; basta con tener la capacidad de activar o desactivar ese enfoque a voluntad, cuando lo consideremos pertinente o cuando algún aspecto de la situación nos llame la atención en un sentido numérico, simbólico o geométrico, esto es, matemático.

Puesto que para un educador matemático resulta mucho más fácil adoptar esa mirada que para un adolescente, lo lógico es que aquel asuma la responsabilidad de incitar el aprendizaje de este en el ámbito académico donde se encuentran a diario y durante tantos años. Precisamente los fenómenos matemáticos forman parte de la vida cotidiana de los niños y los adolescentes, pues casi a diario viven situaciones matemáticas impuestas por los sucesivos sistemas educativos por los que transitarán al menos durante doce años: primaria, secundaria y bachillerato.

La tarea de convertir una situación cotidiana en un recurso de aprendizaje matemático no es banal. Una primera dificultad estriba en que los fenómenos y situaciones de la vida cotidiana no están organizados como un currículo, cada situación es interdisciplinar. Los fenómenos cotidianos tratados aquí han inspirado ideas matemáticas y generado problemas didácticos cotidianos en el ámbito académico. Las siguientes tablas recopilan esos dos aspectos.

Situación

Matemáticas que ha inspirado

Uno de tantos

Nuevo modo de representación de un país: poblacional y no territorial

Ante el espejo

La simetría axial es consecuencia y no causa

En la peluquería

Simétricos cautivos en un circunferencia

Vestirse y desvestirse

Nuevo modo de representación de las prendas de vestir

Caminar

Conversión de unidades de tiempo sexagesimal a decimal

Barrio reticular

Círculo rectangular

En bici

Teorema de la cuerda y su corona circular

En coche

Velocidad y media aritmética

Tan lejos, tan pequeño

La disminución en la distancia es la inversa de una función trigonométrica

De tapas

La suma de decimales es igual al decimal de la suma

Con los ojos bien abiertos

Causa arquitectónica de la regla para dividir fracciones

Cuadrado: invariable bajo giro de 90º

Cinegética matemática

Interpretación dinámica y cotidiana de la derivada

Ofertas 3x2

Límite de n/(n + k) = 1

En la pescadería

Problema de optimización de consumo

Alimentación sana

Problema gaussiano de la suma de los números naturales

Cambio de moneda

Funciones recíprocas

Tarifa plana

Nueva interpretación de la integral

Dinamización con GeoGebra de la tarifa plana de una función

Lo cotidiano no es equiprobable

Sucesos no equiprobables

Teorema de los poliedros agujereados

Modelo de probabilidad para poliedros irregulares

Situación

Incita cuestión didáctica, ¿cuál?

Cambio de moneda

Si el divisor es menor que la unidad, el cociente es mayor

que el dividendo

¿Crecerá o decrecerá?

El símbolo de la unidad de medida (%) no significa lo que representa

¿Cabrá o no cabrá?

Educación matemática de la intuición

Para convertir situaciones vitales en actividades académicas de enseñanza y aprendizaje matemático se establecieron tres grados de apertura: abiertas, semiabiertas y cerradas. Se hizo así pensando en la atención a la diversidad. Teniendo en cuenta que el profesor puede dar alguna orientación o especificar algunas fases en la realización de la más abierta de las actividades y que incluso puede ir más allá desmenuzando todas las fases para realizarla o ayudar directamente al alumnado más renuente o menos creativo, los términos “abierta”, “semiabierta” y “cerrada” pueden sustituirse por los de “abierta”, “orientada” y “asistida”. De esta forma, el término indica ya el grado de intervención del profesor. Una actividad de investigación es abierta. En ella se plantea una pregunta que responder o algo que averiguar. No se dice qué es lo que hay que hacer, los datos no se conocen y debe diseñarse un método para responder a la pregunta. Esto significa buscar, obtener y organizar los datos, analizarlos, aplicar el método diseñado, obtener resultados, analizarlos y extraer conclusiones que sirvan para responder la cuestión.

La actividad orientada puede requerir algo de investigación, pero ofrece algunas claves y pistas, más o menos implícitas, como las de los enunciados de los problemas. Los enunciados contienen los datos, pero hay que seleccionar los que son relevantes, relacionarlos entre sí y diseñar una estrategia de resolución. Un problema tampoco dice qué es lo que hay que hacer.

En una actividad asistida se indica, paso a paso, lo que debe hacerse, como si de una serie de ejercicios sucesivos se tratase. Dicha asistencia puede darse de manera oral (por el profesor u otros alumnos) o por escrito (en el enunciado de la actividad). Si es por escrito, el enunciado será parecido al de un ejercicio y empezará con una forma verbal imperativa: calcula, determina, resuelve, simplifica… Nos están diciendo qué es lo que hay que hacer y la técnica suele inferirse directamente del enunciado.

Todo esto se basa en una labor que debe realizar el profesional de la educación matemática y que consta de las fases siguientes:

Identificación de matemáticas en situaciones cotidianas: significa ver qué matemáticas intervienen en las situaciones, las más evidentes serán las que hemos llamado necesarias (impuestas por la propia situación).

Vivencia matemática de situaciones cotidianas: supone analizar matemáticamente las situaciones mediante aplicaciones de las matemáticas académicas a la vida real y viceversa, inspirarse en la vida real para desarrollar nuevas matemáticas, si es posible. El nivel de profundidad depende de la persona, no de los fenómenos. Si con ello el educador aprende matemáticas y comprende mejor la situación gracias a ellas, podrá incitar a su alumnado a desarrollar un proceso de aprendizaje similar.

Conversión de situaciones cotidianas en actividades de E/A matemático mediante tres grados diferentes de apertura (abiertas, orientadas y asistidas), cuyos objetivos primordiales serán comprender la situación cotidiana y aprender matemáticas y para las que habrá que diseñar un método de evaluación competencial.

El profesional de la educación matemática debe tener la capacidad de enfocar matemáticamente a voluntad los fenómenos de su vida. Viviendo las matemáticas en primera persona, aplicándolas a diferentes contextos y aprendiendo matemáticas de sus experiencias vitales podrá incitar a sus alumnos a vivir también las matemáticas.

Uno puede mirarse al espejo miles de veces, pasear por su barrio sin recorrer los trayectos más cortos o comprar pescado pasando por alto que está viviendo la simetría, la equidistancia, la discontinuidad o la no derivabilidad. Luego puede irse a casa como si nada, pero quizá deje escapar una oportunidad para aprender algo de la vida.

Cuando el educador matemático se fija en los aspectos matemáticos del entorno, activa una especie de realidad aumentada matemáticamente (RAM) mediante la cual visualiza la realidad de modo similar al representado en la figura 7.1.

Figura 7.1

Realidad aumentada matemáticamente en Valderrobres (Teruel)

Fuente: Elaboración propia.

Al hacerlo, no solo dará vida cotidianamente a las matemáticas que ya conoce, también le servirá de inspiración para dar vida cotidiana a las matemáticas de sus alumnos.

Bibliografía

Albertí, M. (2009): Activitat matemática en l’àmbit laboral a l’inici del segle XXI. Implicacions pel currículum de l’ESO, informe del trabajo desarrollado con licencia retribuida del Departament d’Educacio de la Generalitat de Catalunya.

Bishop, A. (2009): Enculturación matemática. La educación matemática desde una perspectiva cultural, Ediciones Paidós Ibérica, Barcelona.

Courant, R. y Robbins, H. (1996): What is Mathematics? An elementary approach to ideas and methods, Oxford University Press, Oxford.

Davis, P. y Hersh, R. (1988): Experiencia matemática, Editorial Labor y Ministerio de Educación y Ciencia, Barcelona.

Guzmán, M. (1991): Para pensar mejor, Editorial Labor, Barcelona.

Ernest, P. (1998): Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics, Suny Press, Nueva York.

Fischbein, E. (1990): “Mathematics and Cognition”, en P. Nesher y J. Kilpatrik (eds.), A Research Synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics Education, ICMI Study Series, Cambridge University Press, Cambridge.

Freudenthal, H. (1972): Mathematics as an Educational Task, Springer, Heidelberg.

Lakatos, I. (1994): Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático, Alianza Universidad, Madrid.

Lave, J. (1988): Cognition in Practice. Mind, Mathematics and Culture in Everyday Life, Cambridge University Press, Cambridge.

Ortega y Gasset, J. (2014): Meditaciones del Quijote, Alianza Editorial, Madrid.

Piaget, J. (1970): The Science of Education and the Psychology if the Child, Grossman, Nueva York.

Polya, G. (1988): How to Solve It. A New Aspect of Mathematical Method, Pinceton Science Library, Nueva Jersey.

Vygotsky, L. S. (1978): Mind in Society, Harvard University Press, Cambridge.

Federación Española de Sociedades de Profesores

de Matemáticas (FESPM)

Se constituyó en Sevilla en el año 1988 con la vocación de aunar los esfuerzos de cuantos trabajan por mejorar la educación matemática y a ella pueden adherirse todas aquellas asociaciones de profesores de Matemáticas que compartan los fines de esta Federación. Desde su creación y hasta la fecha, la federación ha seguido un proceso continuo de crecimiento, hasta llegar a estar formada en la actualidad por veinte sociedades.

La FESPM forma parte de la Federación Europea de Asociaciones de Profesores de Matemáticas (FEAPM) y de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática (FISEM).

ICMAT

El ICMAT es un centro mixto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y tres universidades de Madrid: la Autónoma (UAM), Carlos III (UC3M) y Complutense (UCM). Su principal objetivo es el estímulo de la investigación matemática de alta calidad y de la investigación interdisciplinar. Es uno de los centros españoles del programa de excelencia Severo Ochoa, lo que acredita la alta calidad de su proyecto investigador. Además, sus investigadores han obtenido once de las prestigiosas ayudas del Consejo Europeo de Investigación (ERC), en las modalidades “Starting”, “Consolidator” y “Advanced”, y una Cátedra Permanente del AXA Research Fund.