PRÓLOGO

La falta de lógica no se acobarda en modo alguno ante la lógica.

Hoimar von Ditfurth, «El legado del Neandertal»

La lógica no goza de buena imagen. Se considera fría y calculadora, y en la cultura popular existen muchos personajes que hacen el ridículo porque tratan de enfrentarse a los aspectos ilógicos de la vida con el formalismo estricto de las leyes de la lógica; baste pensar en el medio vulcano Spock de la serie Star Trek. Una de las razones de ello es que la lógica como tal no formula enunciados significativos, sino que se limita a sacar deducciones de unas premisas, pero en realidad no añade nada nuevo a estas últimas. ¿Se trata por tanto de mera palabrería hueca? En este libro también encontrará el lector o la lectora algunas deducciones formales de proposiciones de las que dirá: ¡pero si es lógico, para eso no hacía falta una demostración tan compleja!

Lo mismo piensan muchos matemáticos y filósofos. La lógica, que hace de puente entre la matemática y la filosofía, es más bien la cenicienta de las asignaturas de las facultades en que se enseñan estas dos disciplinas. Los estudiantes de filosofía acuden con desgana a los seminarios obligatorios en los que tienen que transformar grotescos montajes verbales y los de matemáticas suelen tachar la lógica de formalismo hipersofisticado que les impide formular sus conclusiones de manera breve, concisa y «elegante».

Sin embargo, precisamente los matemáticos tuvieron que experimentar en propia carne, hace alrededor de un siglo, que un manejo demasiado descuidado de la lógica puede quitarles realmente el suelo bajo los pies. La ciencia matemática se vio sacudida repetidamente por contradicciones lógicas y le costó mucho tiempo volver a situarse sobre un fundamento relativamente sólido.

Aunque la lógica no añada nada nuevo a las proposiciones a las que se aplica, esto no significa que con ella no se puedan adquirir nuevos conocimientos. La matemática vuelve a ser el mejor ejemplo: en su forma moderna deduce todas sus proposiciones de axiomas simples, es decir, no añade nada a esas meras premisas, sino que todo ya está contenido en las hipótesis aparentemente inocuas. El último teorema de Fermat, la conjetura de Poincaré, todas las espectaculares soluciones matemáticas de los últimos años, sobre las que se han devanado los sesos numerosos genios durante años, en última instancia «no son más» que lógica aplicada.

Pero también los que no se dedican a la matemática harán bien en estudiar al menos en sus rasgos fundamentales las leyes de la lógica, que nos incitan a observar una especie de «higiene mental» y nos obligan a formular limpiamente nuestras ideas y pensamientos. En el capítulo 3 se enumeran 25 maneras de argumentar no limpias, falacias lógicas o de otro tipo con que nos encontramos todos los días en las tertulias de la televisión.

Y por supuesto, la lógica también es fuente de diversión y entretenimiento. He seleccionado tres tipos de problemas lógicos: los juegos de lógica, los rompecabezas de los mentirosos y los acertijos de los sombreros. Los tres se caracterizan por el hecho de que se pueden resolver sin necesidad de tener conocimiento alguno, exclusivamente por la vía de la lógica. Señalo ejemplos de solución para que el lector pueda abordar después por su cuenta algunos de los problemas.

Quiero dar las gracias a Andreas Loos y a Bernd Schuh por la revisión de mi manuscrito y algunas importantes indicaciones sobre el contenido y a mi agente Heike Wilhelmi y mi lector editorial Frank Strickstrock de la editorial Rowohlt. Para cualquier comentario sobre eventuales errores lógicos y sugerencias, visite mi página web www.droesser.net.

CHRISTOPH DRÖSSER

Hamburgo, septiembre de 2012

1    SI LA LUNA ES DE QUESO VERDE…

    O DE LA LÓGICA Y LA REALIDAD

Tres lógicos entran en un bar.

—¿Queréis todos una cerveza? —pregunta la camarera.

—No lo sé —contesta el primer lógico.

—No lo sé —repite el segundo.

—¡Sí! —afirma el tercero.

Las personas familiarizadas con la lógica se parten de risa con esta historia. Las demás dirán: con esa gente yo no entro en un bar. La explicación lógica del chiste es esta: el primer lógico quiere una cerveza, pero no sabe qué desean beber sus acompañantes, por lo que no puede responder ni «sí» ni «no» a la pregunta de la camarera.

El segundo lógico deduce de la respuesta del primero que este se tomaría de buena gana una cerveza, ya que de lo contrario habría contestado negativamente. Basta una única excepción para que una oración que comienza con «todos…» sea falsa. El segundo lógico también desea una cerveza, pero dado que no sabe qué prefiere beber el tercero, responde asimismo con un «no lo sé».

Hay que esperar al tercer lógico para obtener una respuesta concluyente: él sí sabe por deducción que sus dos acompañantes quieren una cerveza y él mismo también, así que responde afirmativamente.

¡Bienvenido al país de la sutileza! Si al lector le ha hecho gracia el razonamiento del chiste, tal vez desee echar una ojeada al capítulo 11 y resolver una serie de enigmas en los que también hay que hilar fino. Por suerte, en la vida real estas situaciones no son frecuentes, y cuando una camarera pregunta a un grupo de clientes si todos quieren una cerveza, lo normal no es que le respondan encogiendo los hombros, sino todos a coro con un «sí», «desde luego» o «¡qué pregunta!».

El caso es que en la vida cotidiana las cosas no siempre son lógicas, y está bien que así sea, pues de lo contrario Hamlet no podría preguntarse: «Ser o no ser, esta es la cuestión», ya que una proposición en forma de «A o no A» siempre es cierta y por tanto no es cuestionable. Y cuando el cantante y poeta Wolf Biermann, en la época en que todavía vivía en Alemania Oriental, expresó su dilema interior con estas palabras: «Me gustaría irme y prefiero quedarme aquí», sin duda habría rechazado de plano la observación de que la proposición está formulada en forma de «A y no A» y por eso es una contradicción. Ocurre que la vida está llena de contradicciones y a veces hay que convivir con ellas.¹ Pero no así en la lógica.

Cuando hace unos decenios yo estudiaba matemáticas y filosofía en la universidad, para los futuros filósofos la lógica era una asignatura obligatoria, y la mayoría de ellos acudían a las lecciones como a una película de terror. El momento álgido de la incomprensión llegaba cuando el profesor declamaba, con el semblante serio, la siguiente proposición: «Si la Luna es de queso verde, el número cinco está borracho». Encima afirmaba que esta proposición era cierta, ya que de una falsedad se puede deducir otra falsedad y el conjunto del enunciado, a pesar de todo, es verdadero.

Puede que el editor del diario Frankfurter Allgemeine Zeitung, Frank Schirrmacher, quien además de filología germánica también estudió filosofía, hiciera campana cuando tocaba esta asignatura, pues en pleno clímax del escándalo en torno al ex presidente de la República Federal de Alemania, Christian Wulff, escribió a comienzos de 2012 un comentario indignado en su publicación. Wulff había intentado, en una notoria entrevista televisada, desmentir las acusaciones de ventajismo que se habían formulado contra él y ofrecer explicaciones plausibles de su comportamiento. Schirrmacher no dio crédito a ninguno de esos subterfugios y escribió: «Puesto que una falsa premisa lo falsea todo, la entrevista con el presidente resultó fatal». La entrevista resultó fatal, efectivamente, pero en la lógica las falsas premisas no lo falsean todo, sino que lo convierten en verdadero. «Si no fuera por la palabrita “si”, mi padre sería millonario», reza un dicho alemán, y lo que dice es cierto aunque no tengamos ni un céntimo en el bolsillo.

La implicación lógica, sin embargo, no solo causa problemas al sentido común cuando la premisa es falsa, sino que incluso cuando es cierta puede dar lugar a proposiciones muy extrañas: «Si Madrid es la capital de España, entonces Mariano Rajoy es jefe del gobierno». Ambas partes del enunciado dicen la verdad, pero ¿qué tiene que ver una con otra? Nada de nada. La lógica no trata de los nexos del contenido de los enunciados. «Si…, entonces» siempre sugiere en el lenguaje coloquial una relación causal entre las partes de una oración, pero esta es una materia en que la lógica no entra (véanse más detalles al respecto en el capítulo 9).

Pero tampoco los estudiantes que cursaban conmigo la carrera de matemáticas dedicaron mucho tiempo y esfuerzo a la lógica. En Bonn, donde estudié, había en la Facultad de Matemáticas un departamento de «Lógica e investigación fundamental», ubicado en una pequeña casa alquilada por la Facultad en una calle adyacente. Los estudiantes nunca cruzaron el umbral de entrada de aquella casa. Por mucho que la lógica matemática sacudiera notablemente los cimientos de la matemática en el siglo XX, demostrando en última instancia que no todos los teoremas ciertos de esta ciencia tan lógica pueden demostrarse lógicamente (véanse los capítulos 8 y 10), los matemáticos manejan la lógica de una forma asombrosamente ingenua en su labor cotidiana. Han aprendido algunas técnicas de demostración y por lo demás aplican su sentido común, que les lleva bastante lejos.

La lógica no tiene ojos para la realidad, sino que lo único que le interesa son las relaciones formales entre enunciados, los corolarios que se desprenden de una serie de premisas si estas son ciertas. Su dominio no es la inducción, es decir, la elaboración de leyes generales partiendo de la observación de la realidad, sino la deducción. La lógica como tal no nos proporciona argumentos en un debate, pero permite verificar la validez de los argumentos.

Por eso se reprocha a menudo a la lógica su frialdad consustancial. El teniente comandante Spock, el vulcano de la nave Enterprise, era un agudo analista, pero poco ducho en cuestiones de sentimiento. Sin embargo, grandes pensadores del pasado consideraban precisamente que esta capacidad de pensar lógicamente era una ventaja y soñaban con poder dirimir las apasionadas disputas de la humanidad a base de lógica pura y dura. Gottfried Wilhelm Leibniz fue uno de ellos: nacido dos años antes de terminar la guerra de los Treinta Años, un conflicto en el que casi la mitad de la población pagó con la vida una disputa sobre cuestiones de fe, Leibniz soñaba con que la lógica permitiera zanjar los vehementes y violentos enfrentamientos verbales. «Entonces, ante el surgimiento de discrepancias, dos filósofos ya no tendrán que dedicar más esfuerzo al diálogo científico que dos expertos en cálculo», escribió. «Bastará con tomar papel y lápiz, sentarse ante la máquina de calcular y decir el uno al otro (a ser posible, en tono amistoso): calculemos.»

En la Edad Media, los sabios y eruditos incluso trataron de responder con ayuda de la lógica a las preguntas más trascendentales. Así, más de uno intentó deducir la existencia de Dios mediante el puro raciocinio a partir de los principios lógicos. El primero en hacerlo fue Anselmo de Canterbury, en el siglo XI, que argumentó más o menos del modo siguiente:

• Dios es aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande (aliquid quo nihil maius cogitari possit).

• Supongamos que Dios existiera únicamente en nuestro pensamiento. Entonces sería posible pensar algo que es más grande que aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande.

• Si se puede pensar algo que sea más grande que aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande, entonces aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande es algo más allá de lo cual sí se puede pensar algo más grande.

• Por consiguiente, aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande es algo más allá de lo cual sí se puede pensar algo más grande.

• Esto es una contradicción, por lo que el supuesto de que Dios no existe realmente ha de ser falso, y Dios existe.

Hoy en día, esta argumentación nos parece retorcida, medieval y escolástica y nadie se dejará convertir a la religión por esta vía. Partiendo de un constructo lingüístico («aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande») se deduce la existencia de un ser que tiene las características señaladas. Algo muy parecido le ocurrió a la matemática a comienzos del siglo XX: el «conjunto de conjuntos» —contemplado en la teoría de conjuntos ingenua de Georg Cantor—, que no admitía nada que fuera mayor que él, era un constructo similar que hizo caer a la matemática en contradicciones como las que señaló Bertrand Russell en 1903. Esto provocó directamente una crisis de principios muy grave de esta ciencia basada en la pura lógica. Véanse más detalles al respecto en el capítulo 8.

Leibniz soñaba con desarrollar una descripción universal del mundo, una «characteristica universalis» a base de una enciclopedia de las verdades comprobadas, un lenguaje formal para describirlas y una serie de reglas derivadas que permitieran deducir nuevas verdades y zanjar todas las diputas. Estaba convencido de que sería posible llevar a cabo este proyecto, con un grupo de científicos, en el plazo de cinco años, pero murió antes de llegar a emprender la tarea.²

La idea de Leibniz no solo estaba condenada al fracaso por exigir un esfuerzo excesivo, sino también por una razón más profunda: la lógica por sí sola no basta para demostrar todas las verdades. Esto es válido en particular en las matemáticas: en 1931, Kurt Gödel mostró que todo sistema formal suficientemente complejo (de lo que significa esto trata el capítulo 10) contiene proposiciones ciertas que, sin embargo, no se pueden demostrar con los medios de la lógica. Fue el segundo golpe bajo que encajó la matemática en 30 años.

La lógica no añade nada al contenido de las proposiciones a las que se aplica; se limita a extraer de ellas las verdades que encierran desde siempre. En última instancia no genera más que tautologías, es decir, proposiciones que son ciertas independientemente de su contenido. Claro que esto puede ser mucho, como demuestra la matemática, cuyos resultados son siempre, en última instancia, tautologías, es decir, corolarios de axiomas que se supone son verdaderos. Esto demuestra la fuerza que puede tener el instrumento de la lógica.

Invito al lector a un viaje por el territorio de la lógica, un viaje en el que nos esperan enigmas y ejercicios mentales, argumentos buenos y malos, antinomias y paradojas, y que al final nos mostrará los límites del pensamiento humano.

El chiste que he contado al comienzo del capítulo tiene una variante: cuatro lógicos entran en un bar.

—¿Queréis todos una cerveza? —pregunta la camarera.

—No lo sé —contesta el primer lógico.

—No lo sé —repite el segundo.

—No lo sé —corrobora el tercero.

—No —dice el cuarto lógico.

—Ah, ¿acaso sois lógicos? —pregunta la camarera riéndose—. Entonces os traigo ahora vuestras tres cervezas.

—Sí —dice el cuarto lógico—, y para mí una copa de vino tinto, por favor.

2    MENTIRA Y VERDAD

    O CUANDO UNOS LADRONES CAEN EN LA TRAMPA DE LA LÓGICA

El día parece que promete, piensa el comisario Darío Beltrán. A través de la puerta abierta de su despacho ve a los tres sospechosos sentados en el pasillo: Antonio Sierra (llamado Toni), Luis Enjuto (conocido en el hampa por «el Bombas») y Cristóbal Sacre (alias «Cris el revientacajas»). Los tres acaban de ser interrogados a solas y por lo visto están satisfechos con el resultado, ya que se muestran de buen humor, cuchichean entre ellos y Toni incluso se da palmadas en las piernas. El buen humor está justificado, porque si no se le ocurre pronto una brillante idea, Beltrán tendrá que soltarlos a todos.

Y eso que está convencido de que por lo menos uno de los tres es responsable del robo del banco que la víspera fue tema de conversación en toda la pequeña ciudad. En la noche del lunes al martes, alguien forzó la puerta de la sucursal local de la caja de ahorros. Fue un trabajo limpio, y luego los ladrones desconectaron la alarma y perforaron la caja fuerte con una llamada lanza térmica, llevándose 20.000 euros en efectivo.

Sabían exactamente dónde tenían que aplicar la herramienta, de modo que sin duda eran profesionales. ¿O acaso fue una persona sola quien cometió el crimen? No había huellas dactilares ni testigos, y todo indicaba que la investigación sería larga y el resultado incierto. Es el primer caso de robo que la cae a Beltrán, que hace un par de semanas consiguió el traslado después de trabajar durante 20 años en la sección de homicidios. «Ya he visto suficientes cadáveres», le dijo a su jefe cuando este le preguntó por los motivos. Una resolución rápida del robo espectacular de la caja de ahorros le permitiría entrar con buen pie en el nuevo destino.

Ayer parecía que se allanaba el camino cuando entró en la comisaría una señora mayor, de apellido Maestro, de unos 75 años de edad y andar inseguro, pero mentalmente al parecer en plena forma. Le habló lo que había observado un día de la semana pasada: mientras esperaba en la parada del autobús que hay frente a la caja de ahorros, se acercaron tres hombres que le infundieron un poco de miedo. Ella se apartó a un extremo de la parada, pero aun así pudo cazar al vuelo algunas palabras de la conversación que mantenían los tres hombres: «caja», «lunes por la noche», «lanza térmica». Recordaba muy bien, sobre todo, esta última expresión porque nunca antes la había oído. Cuando se enteró luego de la noticia del robo, se acordó de inmediato de aquella situación y fue directamente a la policía.

Beltrán no cabía en sí de gozo ante este testimonio. En cuestión de minutos podía seleccionar a los posibles sospechosos de la base de datos de la policía y mostrar sus fotos a la señora Maestro. Esta estaba segura de que Toni, Luis y Cris eran los tres hombres que ella había visto en la parada de autobús. Beltrán estaba seguro de que la rueda de reconocimiento convencería a cualquier juez.

La detención esta mañana de los tres hombres con antecedentes penales por robo tampoco fue nada del otro mundo. Todos estaban en casa cuando ha ido la policía y se han dejado conducir a la comisaría sin ofrecer resistencia.

Allí, el asistente de Beltrán, Óscar Herrero, ha estado vigilando para que no tuvieran contacto entre ellos ni la oportunidad de concertar sus declaraciones. Los han llevado uno por uno a la sala de interrogatorios y después de conocer el testimonio de la señora Maestro los tres se han mostrado sorprendentemente dispuestos a declarar aunque tuvieran derecho a no hacerlo.

Antonio Sierra ha sido el primero en ser interrogado. «En realidad nos encontramos por casualidad en la parada de autobús», ha declarado, añadiendo que se conocen desde la última vez que estuvieron en la cercana prisión y que se pusieron a charlar un rato. Sobre cosas de la profesión, por decirlo de alguna manera, aunque para él, Toni, esta actividad ya pertenece al pasado. «Sin embargo, Luis y Cris por lo visto todavía siguen por ese camino», ha señalado, «en todo caso hablaron de lo fácil que era desactivar la alarma de la caja de ahorros y de que el blindaje de la caja fuerte tampoco sería un gran obstáculo.» Después pasaron a otros temas, pero Luis y Cris dejaron claro que planeaban algo con respecto a la caja de ahorros.

El siguiente en declarar ha sido Luis Enjuto. Este también ha explicado que el encuentro en la parada fue fortuito y que él se alegró de ver a los compañeros de otros tiempos. Él mismo vive ahora modesta pero honradamente y no se mete en asuntos turbios, aunque sobre todo Toni dejó claro que prefería el dinero rápido obtenido en un atraco que un mísero salario de peón que hay que ganarse a base de mucho esfuerzo. Luis ha contado que Toni explicó a los otros dos sus planes con respecto a la caja de ahorros. «Incluso nos ofreció participar en el golpe y repartirnos el botín, pero a Cris y a mí nos pareció un mal asunto, no teníamos ganas de ir a parar de nuevo al trullo por un par de años.»

La declaración de Cris, a su vez, ha sido muy parecida a la de Toni, casi palabra por palabra, salvo con los papeles cambiados. Todo indicaba que Toni y Luis ya habían hablado antes de aquel encuentro y tenían planes detallados para el robo y ni siquiera le preguntaron si quería participar… Por lo visto no querían compartir el dinero con él. Además, él se habría negado de todos modos, y aunque vive modestamente, aprecia la vida en libertad.

Tres declaraciones, tres versiones distintas de la historia, en las que cada uno acusa a otro o a dos de sus amigos. Parece que la lealtad entre delincuentes ha caído en desuso, piensa Beltrán. ¿O se han puesto previamente de acuerdo para declarar versiones contradictorias y observar después, con una sonrisa de oreja a oreja, cómo la policía intenta probar algo?

—Herrero, haga el favor de venir un momento —dice Beltrán en voz alta para que le oiga su asistente en el despacho de al lado. Este tiene el acta de todas las declaraciones y el comisario quiere saber qué piensa sobre lo que hay que hacer ahora. En los últimos años, el joven detective ha dejado de ser un lanzado que ha visto demasiadas series policíacas en la televisión para convertirse en un policía que reflexiona antes de sacar conclusiones precipitadas. Es posible que se le ocurra algo para salir de este embrollo.

Herrero viene con un bloc de notas cuadriculado bajo el brazo y el brillo de sus ojos parece indicar que los interrogatorios le han proporcionado una buena pista.

—¡Jefe, ya lo tengo! —exclama Herrero antes incluso de tomar asiento—. Usted siempre me ha insistido en que haga trabajar al cerebro antes de abandonar un caso.

—Así es. ¿Ha servido de algo en esta ocasión?

—¡Desde luego! Mire, he hecho un esquema con las declaraciones de los tres.

Beltrán mira sin comprender el papel que le alcanza el asistente y que le recuerda más a un crucigrama que al acta de un interrogatorio.

—Si suponemos —continúa Herrero— que un culpable miente y un inocente dice la verdad, entonces ya podemos encerrar de inmediato a Luis Enjuto.

—¿De veras? Eso me lo tiene que explicar… —responde Beltrán asombrado. Después de escuchar las reflexiones de Herrero se muestra convencido—. ¿Lo hizo solo o tenía un cómplice?

—No cabe duda de que no lo hizo solo —dice el asistente—, pero todavía no podemos asegurar con quién llevó a cabo el robo. Propongo que le interroguemos de nuevo y le mostremos nuestras conclusiones, tal vez se derrumbe y nos lo cuente todo.

De modo que vuelven a llevarse a Luis Enjuto a la sala de interrogatorios. Beltrán permanece en silencio mientras Herrero formula las preguntas. Primero muestra al acusado sus notas y le dice que ya no tiene escapatoria. Beltrán no puede reprimir una sonrisa cuando ve cómo Luis, que sabe más de explosivos que de lógica, tiene que estrujarse el cerebro para entender la argumentación del joven ayudante del comisario. Finalmente se da cuenta de que los otros dos le han metido en un buen aprieto y abandona toda resistencia.

—Pero no lo he hecho solo —dice Luis, que está a punto de ponerse a llorar.

—Eso ya lo sabemos —le contesta Herrero—, o sea que a desembuchar. ¿Quién fue su cómplice? ¿Quién ha dicho la verdad, Toni o Cris?

En el rostro de Luis aparece una sonrisa de oreja a oreja.

—¿La verdad? Ninguno de los dos.

Ahora es Óscar Herrero quien se queda boquiabierto. Sin embargo, Darío Beltrán ha seguido el hilo.

—Está claro, ha omitido usted un caso posible.

Llama al agente que vigila delante de la puerta.

—Que no envíen a ninguno de los otros dos a casa. De momento se quedan todos aquí. Si no me equivoco, el robo lo han cometido los tres.

LA VERDAD Y NADA MÁS QUE LA VERDAD

¿Qué ha anotado el asistente Herrero en su bloc? Ha reducido las declaraciones de los tres sospechosos a su núcleo lógico y las ha evaluado con ayuda de una tabla. Pero antes de examinarlo en detalle tenemos que ocuparnos un momento de los fundamentos de la lógica proposicional.

La lógica proposicional es el sistema lógico más sencillo, aunque permite codificar proposiciones bastante complejas. Como su nombre indica, se ocupa de las proposiciones, que normalmente son oraciones completas que pueden ser ciertas o falsas. «Madrid es la capital de España», «El lunes que viene lloverá», «Existen los elfos y los trolls». Por tanto, incluye oraciones cuyo valor de verdad no puedo determinar (bien porque se refieren a un acontecimiento futuro, como en el segundo ejemplo, bien porque no puedo comprobar plenamente la afirmación, como en el tercer ejemplo). Las proposiciones no incluyen, por ejemplo, órdenes («¡Haz los deberes!») ni preguntas («¿Me querrás toda la vida?»). Una regla empírica: si podemos colocar delante de la oración la frase «La siguiente oración es cierta» y el conjunto tiene sentido, entonces se trata de una proposición.

La limitación a tan solo dos valores de verdad (verdadero o falso) es una característica importante de la lógica proposicional, ya que la simplifica bastante.

En la vida cotidiana dudamos a veces de ver el mundo así, en blanco y negro. «El Athletic Club es un equipo de primera categoría» encaja perfectamente en la lógica de verdadero/falso si por «primera categoría» se entiende que juega en la Primera División. En cambio, a la hora de valorar el juego del equipo, en ocasiones se dudará de calificarlo de «primera categoría» y se dirá, especialmente después de un partido mediocre, que la frase solo es verdadera a medias. De esta lógica «multivalente» trata el capítulo 13.

En la lógica proposicional, las proposiciones no se segmentan y como tales se representan con letras minúsculas a partir de la p (p, q, r, …). Combinando proposiciones mediante operadores lógicos se obtienen nuevas proposiciones.

Un operador importante es el de negación, que convierte cada proposición en su contraria. Así, «Mañana lloverá» se transforma en «Mañana no lloverá». Si p es una proposición, la negación de p se escribe ¬p, y entonces se puede formular una tabla de verdad que describe el valor de verdad de ¬p.

Los valores «V» y «F» significan «verdadero» y «falso», y la tabla dice: ¬p es falso si p es verdadero, y es verdadero si p es falso.

Pero todo esto solo tiene interés si se combinan entre sí dos proposiciones, en cuyo caso existen (entre otras) los operadores «y», «o», «si… entonces» y «si y solo si…». Estos operadores se definen completamente mediante sus tablas de verdad. Puesto que para dos proposiciones existen cuatro combinaciones de verdadero y falso, bastan cuatro líneas para describir el operador correspondiente, por ejemplo el de conjunción («y»), representado por una «v» invertida:

El operador hace exactamente lo que esperamos de él: la proposición «p y q» solamente es verdadera si tanto p como q también son verdaderas; en todos los demás casos, es falsa.

El operador «o», cuyo signo se parece a la letra v, tiene la siguiente tabla de verdad:

En el lenguaje coloquial utilizamos la conjunción «o» en dos sentidos. Por un lado está la llamada «o excluyente», por ejemplo en la oración «Para comer habrá arroz o fideos», que la mayoría interpretará en el sentido de que o bien habrá arroz, o bien fideos, pero no las dos cosas. En cambio, la frase «Mañana lloverá o nevará» no excluye que puedan ocurrir ambas cosas, como por ejemplo un chubasco por la mañana que al poco se convierte en nevada. En lógica se emplea casi siempre la «o incluyente», que también es cierta si ambas proposiciones son ciertas.

Como ya se ha mencionado en el capítulo 1, muchos y muchas estudiantes tienen problemas con la implicación, es decir, la conectiva «si… entonces». Esta conectiva condicional sugiere siempre que existe una relación de contenido entre ambas proposiciones, en el caso más estricto incluso una relación causal: «Si llueve, el suelo está mojado». En este caso también se trata de una relación puramente formal, que prescinde totalmente del contenido de las dos proposiciones. El operador condicional se define del modo siguiente:

Se describe óptimamente con los dos siguientes criterios: de una verdad no se puede deducir una falsedad, y de una falsedad se puede deducir cualquier cosa.

Veamos un ejemplo que induce a confusión: ¿qué ocurre con la proposición «De la negación de p se deduce p»? Podemos elaborar rápidamente una tabla de tan solo dos líneas:

Esto significa que la proposición «Si Zapatero no es jefe del gobierno, entonces Zapatero es jefe del gobierno» era falsa durante el mandato de Zapatero, pero hoy es verdadera. Es de locos, ¿no?

El operador bicondicional «p si y solo si q», a su vez, se corresponde bastante bien con el uso del lenguaje coloquial. De nuevo no hay que prestar demasiada atención a la coherencia de p y q, pues la lógica no tiene nada que ver con esto, sino que únicamente se interesa por los valores de verdad. La proposición es verdadera si p y q tienen el mismo valor de verdad y falsa en los otros dos casos.

¿Existen más operadores lógicos? Es fácil de ver que con un operador que relaciona dos proposiciones se pueden elaborar exactamente 16 tablas de verdad y por tanto definir 16 operadores. Pero en realidad no hacen falta tantos, pues todos pueden representarse mediante combinaciones de los operadores definidos hasta ahora. Y de hecho ni siquiera se precisarían todos estos, ya que por ejemplo el operador «si p entonces q» también puede representarse en forma de «q o no p». Esta será la primera «proposición» lógica que vamos a demostrar. Para ello elaboramos la tabla de verdad de «q o no p».

Esta tabla de verdad es idéntica a la de la definición del operador condicional. Por tanto, también se puede describir con la frase «q es verdadera o p falsa o ambas cosas».

Se puede demostrar fácilmente que todos los operadores lógicos se pueden representar como una combinación de «no» u «o». Incluso es posible reducirlos todavía más, aunque para ello se precisa un nuevo operador, el «operador NAND», también denominado «barra de Sheffer». Con él pueden definirse todos los demás operadores, incluido el de negación. «NAND» viene del inglés not-and y esto es justamente lo que representa este operador: la proposición «p NAND q» es exactamente lo contrario de la conectiva de conjunción, y solo es falsa si tanto p como q son verdaderas. Esta es la tabla de verdad:

He aquí las transcripciones de los demás operadores con la barra de Sheffer:

¬p equivale a p|p

p∧q equivale a (p|q)|(p|q)

p∨q equivale a (p|p)|(q|q)

p→q equivale a p|(p|q)

p↔q equivale a (p|q)|((p|p)|(q|q))

Aconsejo al lector que lo pruebe y elabore algunas de las tablas de verdad correspondientes.

Tan importante como es teóricamente todo esto, tan poca utilidad práctica tiene, puesto que las expresiones NAND correspondientes resultan demasiado largas. Veamos por ejemplo la siguiente proposición: «Si llueve, solo salgo de casa con paraguas». En vez de «llueve» pondremos r, por «solo salgo de casa» pondremos s y por «llevo conmigo un paraguas» pondremos t, de modo que podemos escribir la proposición de esta manera:

Esta fórmula lógica resulta bastante clara. En cambio, con la barra de Sheffer se presentaría así:

Ante esto tenemos que empezar contando si hay tantos paréntesis de apertura como de cierre. Y desde luego la expresión no transmite ningún sentido intuitivo.

Volvamos ahora al robo del banco. ¿Qué ha escrito el asistente Herrero en su hoja de papel? Ha elaborado una tabla de verdad completa de las tres proposiciones «Toni participó en el robo», «Luis participó en el robo» y «Cris participó en el robo», representadas por las letras p, q y r. Esto le da un total de ocho posibles combinaciones de valores de verdad (véase la tabla).

¿Cómo pueden representarse las declaraciones de los tres ciudadanos sospechosos? Cada uno de ellos afirma que él es inocente y echa la culpa a uno o dos de sus compinches.

Declaración de Toni: ¬p∧q∧r ³

Declaración de Luis: ¬q∧p∧¬r

Declaración de Cris: ¬r∧p∧q

¿Qué significa la última columna que Herrero ha titulado con la palabra «congruente»? En esta columna se codifica la hipótesis que ha formulado el asistente del comisario al inicio de sus reflexiones, a saber, que los culpables han mentido y los inocentes han dicho la verdad. Esto significa que el valor de verdad de la declaración de Toni ha de ser el inverso de la proposición p, y lo mismo en el caso de las declaraciones de Luis y Cris. Si se examina esto con respecto a cada línea de la tabla se obtienen únicamente tres líneas para las que resulta cierto en el caso de los tres sospechosos. Las tres líneas están sombreadas, y en todas ellas el valor de verdad de la declaración de Luis es F, por lo que Herrero deduce que este último ha participado en cualquier caso en el robo.

La segunda y la tercera línea sombreada corresponden a las declaraciones de Toni y Cris, a saber, las que afirman que han sido los otros dos los que han cometido el robo. Pero entonces la policía vuelve a interrogar a Luis, quien dice (ahora sin mentir, pues ya no tiene motivos para ello) que no solo su primera declaración era falsa, sino también las de Toni y Cris. Este es el caso descrito en la primera línea: los tres ladrones han cometido el robo juntos y sus tres declaraciones son falsas.

Si el lector desea resolver casos de estos, en los que se trata de descubrir si alguien ha mentido o no, en el capítulo 7 puede viajar a Bola-Trola, la isla de los mentirosos.

3    MALAS CARTAS PARA SUPERMÁN

    O LOS BUENOS ARGUMENTOS

    Y LOS NO TAN BUENOS

Estado de excepción en casa de los Parlón: la señora ha tenido que acudir a una reunión del grupo de madres que se encargan voluntariamente de dar de comer cada día a los niños en el comedor del colegio y por tanto le toca a Matías Parlón cuidar de su hijo.⁴

Biel tiene ahora diez años de edad y las funciones que desempeña cada uno en la familia están claramente delimitadas: Matías es asesor de inversiones que trabaja por cuenta propia y tiene su despacho en la vivienda que les pertenece, donde se encierra durante ocho horas al día con orden de que no le molesten, no en vano es él quien asegura el alto nivel de vida de que gozan los tres. Su esposa se ocupa de las tareas del hogar, del cuidado del hijo común y de las demás «cosillas», como designa Parlón a veces con tono despectivo las actividades de su mujer fuera de la familia. Hoy toca una de esas «cosillas» y Matías no tiene más remedio que atender por la tarde a su hijo.

Claro que esto tampoco le exige demasiado esfuerzo: antes, cuando Biel era más pequeño, tenía que sentarse en su cuarto sobre una sillita de plástico o incluso en el suelo y jugar con él, y se aburría como una ostra. Ahora, el hijo se ha hecho mayorcito y no hay que estar tan pendiente de él. Hace sus deberes, lee o juega con el ordenador (con qué exactamente es algo que Matías Parlón tampoco sabría decir).

Así que el padre está en su despacho ante el ordenador rellenando unas complejas hojas de Excel mientras el hijo está tumbado en el suelo de su cuarto leyendo un tebeo. Las puertas que dan al pasillo están abiertas, de modo que uno y otro pueden oírse.

—¿Papá? —llega la voz procedente del cuarto del niño.

—Hum —contesta Parlón. «Clac-clac-clac-clac» suenan las teclas del ordenador.

—¿Puedo preguntarte algo?

¿Por qué preguntará la criatura siempre si puede preguntarle algo?

—Claro, hijo. «Clac-clac-clac-clac».

—¿Existe Supermán? —quiere saber Biel.

Matías reflexiona sobre la respuesta. ¿Qué conviene decirle? ¿Creerá Biel todavía en los Reyes Magos? ¿Le causará una profunda decepción si contesta que no?

—Pues claro que existe Supermán —responde Parlón finalmente.

Durante un rato reina el silencio, solo se oye el «clac-clac-clac-clac» del teclado y de vez en cuando el sonido que emite Biel al volver la hoja.

—Si Supermán es capaz de impedir algo malo —dice Biel ahora— y si quiere, entonces impide que ocurra, ¿no?

—Desde luego —contesta el padre—. Seguro que has leído más de una historieta en que Supermán salva el mundo.

—Y si no fuerza capaz de impedir algo malo, entonces sería un inútil, ¿no? —insiste Biel.

—Cierto —contesta Parlón. ¿No había esa historia de la kriptonita que debilita al superhéroe? Claro que siempre consigue zafarse de la situación de debilidad.

—Y si Supermán no quisiera impedir algo malo, entonces él también sería malo, ¿no?

¿Adónde quiere llegar ahora el pequeño? Parlón empieza a perder la paciencia.

—Claro que sí, Supermán es un héroe bueno, o sea que quiere impedir el mal.

«Clac-clac-clac-clac». Movimiento de hojas. Pasan unos minutos.

—Pero Supermán no impide el mal. Ahí está ese Lex Luthor, que comete continuamente los peores crímenes —suena la voz del niño.

—Sí, claro —murmura el padre—, porque si no fuera por eso, las historias serían aburridas. Siempre tiene que haber ese adversario malo, porque eso le da emoción a la cosa.

Con esto tendría que bastarle, piensa Parlón.

—Pero si Supermán existe realmente, seguro que no es malo y seguro que tampoco es un inútil —dice Biel.

—Tienes razón, Supermán es bueno y tiene también esos superpoderes.

Durante un rato se instala de nuevo el silencio. Parlón puede seguir tranquilamente con su clac-clac-clac-clac y rellenar la tabla de la pantalla con números y tipos de interés. De repente aparece Biel ante la puerta del despacho, cometiendo casi un sacrilegio, ya que el cuarto de trabajo del padre es como un templo sagrado que no puede pisar nadie más que él.

—Papá, ahora te has contradicho —dice el hijo con una sonrisa triunfante.

—¿Contradecirme yo? ¿Por qué? Si lo único que he hecho ha sido confirmar lo que se sabe de Supermán.

—Es posible —concede Biel—, pero de todo lo que has dicho se deduce por lógica que Supermán no puede existir.

—¿Por lógica?

—Por lógica.

—Esto tendrás que explicármelo.

El hijo muestra al padre un esquema que se parece mucho a una de sus hojas de cálculo. Al cabo de un rato, Matías Parlón se da cuenta de que la lógica de Biel es intachable y aplastante. En efecto, bajo esas premisas Supermán no puede existir realmente.

—¡Bravo! —exclama Parlón y espera que su vástago dotado para la lógica no le venga la semana que viene con argumentos parecidos sobre la existencia de Dios.

UNA BUENA DEDUCCIÓN

Los temores de Matías Parlón están justificados, desde luego. Lo que le muestra su hijo no es más que un análisis lógico de la cuestión de por qué no puede existir Dios si permite el mal en el mundo, con la salvedad de que en este caso en vez de Dios se trata de Supermán. Desde hace siglos, los filósofos y teólogos denominan «teodicea» los intentos de conciliar la maldad del mundo con la idea de un Dios bondadoso.

Con una argumentación lógica se pretende demostrar que de cierto número de premisas se infiere una determinada proposición. La lógica clásica dispone para ello de toda una serie de reglas de inferencia, y la demostración se consigue transformando las premisas según unas reglas elementales hasta que finalmente aparece la conclusión que se afirma.

Las dos reglas más antiguas son el «modus ponens» y el «modus tollens», que ya utilizaban los griegos en la Antigüedad. El «modus ponens» dice: si de la proposición p se deduce la proposición q y además p es válida, entonces q también es válida. Veamos un ejemplo:

• Si llueve, la calle está mojada.

• Está lloviendo.

• Luego la calle está mojada.

El «modus ponens» se puede expresar con la siguiente notación:

Es decir, las premisas se separan con coma y detrás del doble punto está la conclusión.

El «modus tollens» es muy parecido, y la notación formal es la siguiente:

Un ejemplo sería:

• Si llueve, la calle está mojada.

• La calle no está mojada.

• Luego no llueve.

Ambas reglas no solo son bastante plausibles para cualquier persona que piensa, sino que también se pueden verificar sin mayor problema con ayuda de la tabla de verdad. Entonces se ve de inmediato que siempre que ambas premisas sean verdaderas, la conclusión también lo será con todas las combinaciones posibles de valores de verdad de p y q.

¿Por qué se necesitan reglas de inferencia lógicas? Esta pregunta tiene una respuesta práctica y otra de fondo. En la práctica ocurre que la comprobación de argumentos con ayuda de tablas de verdad resulta más compleja cuantas más proposiciones contiene un enunciado. En el caso de la argumentación de Biel sobre el tema de Supermán son, como veremos enseguida, seis proposiciones, y el número de posibles combinaciones de valores de verdad V y F de estas seis proposiciones es de 2⁶, es decir, 64.

Pero existe también una diferencia fundamental: la interpretación de las tablas de verdad constituye una prueba semántica de la veracidad de una afirmación. Semántica porque se tiene en cuenta el contenido concreto, es decir, la veracidad o falsedad efectivas de la proposición. Una demostración basada en reglas de inferencia, en cambio, es una prueba sintáctica, pues únicamente transforma las proposiciones sin fijarse en su contenido. Se basa exclusivamente en una manipulación de los símbolos lógicos y no se detiene en discernir entre veracidad y falsedad.

Puede que esto suene a una sofisticación. La lógica proposicional es un sistema simple, en el que todas las oraciones semánticamente verdaderas también pueden demostrarse sintácticamente. También se dice que el sistema es completo.

A pesar de ello es importante distinguir en este punto entre verdad y demostrabilidad: un sistema formal consiste en un cálculo, es decir, en la manipulación de símbolos sin atender al contenido, y en una interpretación de estos símbolos, es decir, en una evaluación de su contenido, en este caso mediante la asignación de valores de verdad. Un mismo sistema puede tener varias interpretaciones: verdadera es una expresión válida en la correspondiente interpretación del sistema. Es demostrable si se puede inferir sintácticamente paso a paso a partir de unos axiomas exactamente definidos y unas reglas de inferencia. Como ya se ha señalado, en la lógica proposicional la verdad y la demostrabilidad coinciden, y hasta hace algunas décadas los matemáticos también pensaban que en su ciencia todos los teoremas verdaderos son demostrables. En el capítulo 10 veremos que Kurt Gödel ha destruido esta ilusión de una vez por todas.

Una demostración lógica formalmente correcta utiliza realmente en cada paso tan solo las proposiciones contenidas en las premisas o deducidas de ellas aplicando pocas reglas de transformación o inferencia. En cada línea hay que señalar cómo se infiere de la anterior, y expresiones del tipo «como podemos ver fácilmente…», tan apreciadas por los matemáticos, no están permitidas.

Antes de abordar la historia de Supermán, veamos primero un ejemplo más sencillo. Se trata de demostrar el siguiente argumento:

He aquí un ejemplo de este esquema de inferencia:

«Si me acabo la comida, hace buen tiempo. Si no me acabo la comida, mi madre me riñe. No hace buen tiempo, luego mi madre me riñe.» Suena lógico, ¿no?

Para demostrar esto formalmente hay que escribir primero todas las premisas y numerarlas:

Ahora se formulan, con ayuda de las reglas de transformación e inferencia, nuevas proposiciones con el fin de que en algún momento se obtenga una conclusión, es decir, r.

Entre paréntesis se indica siempre a partir de qué proposiciones existentes y con qué regla se ha creado la nueva proposición. En este caso se ha aplicado a las proposiciones 1 y 3, es decir, las premisas p→q y ¬q, el modus tollens, concluyendo con la negación de p. Y es cierto: «Si me acabo la comida, hace buen tiempo. No hace buen tiempo. Luego no me he acabado la comida». El siguiente paso ya es el último:

Se trata de un claro modus ponens: «Si no me acabo la comida, mi madre me riñe. No me he acabado la comida. Luego mi madre me riñe». ¡Hecha la demostración!

¿Suena esto ahora excesivamente sutil y sofisticado? Es posible, pero ahí reside también la fuerza de este método de demostración: es realmente a prueba de bomba, pues en cada línea solo se efectúan transformaciones muy elementales de proposiciones válidas. Ahora bien, de ello no se puede deducir a la inversa que estas demostraciones sean un juego de niños, y ante proposiciones más complejas ya hay que reflexionar bastante para hallar la vía de solución correcta. A pesar de todo, los matemáticos soñaban hace un siglo que podrían demostrar de esta manera todos sus teoremas: infiriendo todas las conclusiones formales posibles a partir de todos los axiomas habidos y por haber y obteniendo así, tras un número finito de pasos, todas las proposiciones verdaderas.

Ahora estamos pertrechados para formalizar la historia de Biel y Supermán. ¿Se puede inferir sintácticamente la proposición «Supermán no existe» de las premisas? Dado que todo esto es bastante técnico, los apartados siguientes aparecen con el fondo sombreado. Los alérgicos a las fórmulas pueden saltárselos.

En primer lugar sustituimos las proposiciones por letras:

p sustituye a la proposición «Supermán es capaz de impedir el mal».

q sustituye a la proposición «Supermán desea impedir el mal».

r sustituye a la proposición «Supermán es un inútil».

s sustituye a la proposición «Supermán es malo».

t sustituye a la proposición «Supermán impide el mal».

u sustituye a la proposición «Supermán existe».

Las premisas se pueden codificar del modo siguiente:

«Si Supermán desea impedir el mal y es capaz de hacerlo, entonces lo impide.»

1. (x∧y)→t

«Si Supermán no es capaz de impedir el mal, entonces es un inútil.»

2. ¬x→z

«Si Supermán no quiere impedir el mal, entonces es malo.»

3. ¬y→s

«Supermán no impide el mal.»

4. ¬t

«Si Supermán existe, entonces no es malo ni inútil.»

5. u→(¬s∧¬z)

Lo que se afirma entonces es que de estas cinco premisas se infiere la inexistencia de Supermán:

(x∧y)→t, ¬x→z, ¬y→s, ¬t, u→(¬s∧¬z): ¬u

Para demostrarlo generamos sucesivamente nuevas proposiciones a partir de las ya conocidas, indicando en cada paso qué regla hemos aplicado con este fin. Para esta demostración necesitamos en particular las siguientes reglas:

p→q :: q∨¬p (implicación, abreviado impl)

Esta regla la conocemos ya del capítulo 2. Los dobles puntos indican que la inferencia funciona en ambos sentidos, es decir, que las expresiones son equivalentes.

p→q :: ¬q→¬p (contraposición, abreviado contra)

La validez de esta regla se comprueba fácilmente utilizando un ejemplo: «si bebes mucho alcohol, te emborrachas» equivale a «si no estás borracho, no has bebido mucho alcohol».

¬(p∧q) :: ¬p∨¬q

¬(p∧q) :: ¬p∧¬q (leyes de De Morgan, DM)

Las leyes de De Morgan explican cómo negar conectivas de conjunción y disyunción. Estas reglas también se entienden fácilmente a base de proposiciones concretas: «no soy rico y famoso» es lo mismo que «no soy rico o no soy famoso (o ambas cosas)».

p→q, q→r : p→r (silogismo hipotético, SH)

Esta regla permite establecer una secuencia de implicaciones: «Si llueve, la calle está mojada. Si la calle está mojada, los coches resbalan fácilmente. Luego los coches resbalan fácilmente cuando llueve».

Ahora podemos proceder a la demostración. Empezaremos aplicando el modus tollens a las proposiciones 1 y 4, obteniendo:

6. ¬(x∧y) (1, 4 MT)

Detrás de cada nueva proposición consta entre paréntesis la regla con que la hemos obtenido. Ahora transformamos la expresión con la regla de De Morgan:

7. ¬x∨y (6 DM)

Es decir, Supermán no es capaz o no desea impedir el mal. Si no es capaz, entonces es, según la proposición 2, un inútil, y si no lo desea, es malo conforme a la proposición 3. ¿Podemos deducir ahora que es inútil o malo? No es tan sencillo, para ello hay que dar varios pasos:

8. ¬z→x (2 contra)

9. x→¬y (7 impl)

10. ¬z→¬y (8, 9 SH)

11. ¬z→s (10, 3 SH)

12. z∨s (11 impl)

Ya estamos llegando a la meta:

13. ¬(¬s∧¬z) (12 DM)

Esto significa que el miembro derecho de la proposición 5 es falso, y por tanto, con arreglo al modus tollens, también el miembro izquierdo ha de ser falso.

14. ¬u (5, 13 MT)

Aquí acaba la demostración: hemos deducido la afirmación («Supermán no existe») de las premisas.

En la lógica proposicional se pueden demostrar de modo similar todas las proposiciones verdaderas. En este caso hemos tenido que dar bastantes pasos para inferir algo que de alguna manera ya se podía vislumbrar en las premisas. Este es el precio de la exactitud lógica. Si se incorporan más reglas de inferencia lógicas, derivadas de las básicas, las demostraciones son más breves. Y a la inversa, se hacen más largas y opacas si se admiten menos reglas.⁵ ¿Cuántas se precisan como mínimo? Se puede demostrar que en realidad basta una sola regla, por ejemplo el modus ponens. Todas las demás son entonces demostrables. Puesto que además tampoco basta el operador NAND para expresar todas las conectivas lógicas, podemos decir que con un único operador y una única regla de inferencia es posible deducir todas las proposiciones verdaderas de la lógica proposicional. Claro que prácticamente nadie será capaz de leer entonces las demostraciones.

Lo que ha mostrado Biel a su padre es un ejemplo de argumentación lógica. De cinco premisas se infiere una conclusión válida. Claro que este es un caso extremo, pues en la práctica solemos tener más bien dos o tres premisas, como por ejemplo en el modus ponens. Un argumento en el que se han aplicado correctamente las reglas lógicas se denomina argumento válido. A pesar de ello no es necesario que la conclusión sea cierta, pues solo lo será si las premisas también lo son. Si una de ellas es falsa, incluso un argumento válido puede llevar a una conclusión falsa; como ya hemos visto en el capítulo 1, de premisas falsas se puede inferir cualquier cosa.

Si el argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, también se denomina concluyente. Un argumento concluyente produce efectivamente una proposición verdadera.

Un argumento que no demuestra su conclusión de forma concluyente se denomina también sofisma. En debates políticos e ideológicos se argumenta a menudo con tales sofismas. Incluyen conclusiones falsas puramente lógicas, que representan en efecto un argumento no válido, pero también muchas expresiones destinadas a persuadir al interlocutor de la propia opinión a pesar de no tener muchos datos que aportar. Delatan pereza mental y ánimo de confundir y forman parte más de la retórica que de la lógica. Pese a ello las incluiré también en mi pequeña e incompleta lista de los principales sofismas. Si el lector memoriza estos modelos, seguro que sabrá detectar muchos ejemplos en cualquier tertulia televisiva.

Falsos modus ponens/modus tollens: las conclusiones inexactas por simple falta de lógica violan efectivamente las reglas de inferencia lógicas. Por ejemplo: «Quien come demasiado chocolate, engorda. Yo no como chocolate, luego no he de tener miedo de engordar». Desde el punto de vista formal, de la validez de p→q se infieren incorrectamente la negación de p y la negación de q.

Falsa premisa: en este caso se ve claramente que un argumento válido no tiene por qué ser concluyente: «Los mamíferos no ponen huevos. El ornitorrinco pone huevos. Luego el ornitorrinco no es mamífero». La lógica del argumento es intachable, pero la primera premisa no es verdadera: hay mamíferos que son ovíparos.

Inferencia circular: de p se infiere q y acto seguido (eventualmente dando algunos pasos intermedios) se infiere de nuevo p. Ejemplo: «La ingeniería genética está demasiado poco estudiada. Por eso, la mayoría de la población la rechaza. De ahí que haya que limitar los ensayos con organismos genéticamente modificados».

Otra categoría de sofismas establece nexos inadmisibles entre proposiciones.

Post hoc, ergo propter hoc: este latinajo significa que del hecho de que q aparezca después de p se infiere que p es la causa de q: «He bebido leche y dos horas después me ha dolido la barriga. Por tanto, soy alérgico a la leche». Toda inferencia inductiva en ciencias naturales corre peligro de cometer este error, y en sentido estricto cualquier número de observaciones, por grande que sea, no basta para demostrar una relación causal.

Argumento en cascada: de una proposición p se infieren una serie de consecuencias, de las que la última es espantosa, por lo que p tiene que ser mala. Ejemplo: «Si se permite abortar fetos discapacitados, cada vez habrá menos discapacitados en la sociedad. Si hay menos discapacitados, aumentará la estigmatización de los mismos. Por tanto, los discapacitados estarán todavía más discriminados que hoy». La cadena argumentativa comprende siempre un eslabón débil, o varios. En este caso se puede decir que no hay indicios de que la discriminación aumente si hay menos discapacitados.

Falso dilema: se reduce el número de alternativas y así se saca una conclusión incorrecta. Ejemplo: «O vamos de vacaciones a Holanda, o no vamos a ninguna parte. No quieres ir a Holanda, pues bien, entonces nos quedamos en casa». También los detectives corren peligro de equivocarse si partiendo de la premisa de que «o bien fue el jardinero, o bien el mayordomo o la camarera», descartan las dos primeras posibilidades y acusan por tanto a la camarera. También podría haber sido algún desconocido.

Falsa analogía: p se parece a q; si r se infiere de q, entonces de p tiene que inferirse algo parecido a r. Un ejemplo es la argumentación de quienes dudan de la teoría de la evolución: «Que de una mezcla de sustancias orgánicas se forme un organismo complejo es tan improbable como la posibilidad de que pase un huracán por encima de un cementerio de coches y se forme un Mercedes que funciona». Cualquier comparación cojea, y algunas lo hacen muy visiblemente.

Reducción al absurdo: se atribuye al adversario una versión distorsionada o simplificada de su opinión para argumentar más fácilmente contra ella. Por ejemplo, el diputado A pide que en el presupuesto de Defensa se reduzca un 20 % el gasto en sujetapapeles. El diputado B le replica: «¿Quiere usted entregar el país al enemigo?».

Falsa equivalencia: se equiparan dos cosas que no son iguales. Ejemplo: «Los ecologistas dicen que el planeta se calienta. Sin embargo, hemos tenido un verano frío, luego no tienen razón». En este argumento se equipara el clima (es decir, la situación meteorológica media durante un largo periodo de tiempo) al tiempo que hace en un momento dado.

Son especialmente débiles los argumentos que modifican de forma manifiesta sus proposiciones y definiciones ante una postura contraria sólida para poder mantener la propia posición.

Hipótesis fabricadas: alguien afirma que es posible demostrar fenómenos paranormales, como la lectura del pensamiento, mediante experimentos científicos y propone unas cuantas pruebas. Un escéptico trata de comprobar el experimento y fracasa. En vez de interpretar esto como una objeción contundente a la teoría, se mantiene esta y se añade que la lectura del pensamiento no funciona en presencia de escépticos.

Desplazamiento de la portería: en este caso se cambian los criterios de los propios argumentos. «La teoría de la evolución no puede ser cierta porque no existe ninguna forma intermedia entre peces y anfibios.» Cuando entonces un biólogo menciona el tiktaalik, que constituye precisamente una forma transitoria, se cambia el argumento: «Pero no existe ninguna forma intermedia entre el tiktaalik y los anfibios».

«No es un verdadero escocés»: en este caso se manipulan los conceptos mismos. «Todos los escoceses son valientes. — Pero MacDonald es un cobarde. — ¿Ese? Ese no es un verdadero escocés.» Cuando un cristiano conservador dice: «Ningún cristiano puede estar a favor del aborto», entonces afirma que los cristianos que están por la liberalización del derecho al aborto no son verdaderos cristianos.

Muchos sofismas se delatan por el intento de reforzar su débil argumentación recurriendo a una autoridad ajena, o a la inversa, de demostrar que el adversario anda con personas de dudosa credibilidad o él mismo no merece confianza.

Argumento de popularidad: «Veinte millones de seguidores de la música popular no pueden equivocarse». — «Millones de personas emplean la terapia de las flores de Bach y están satisfechas.»

Argumento de autoridad: «Altas dosis de vitamina C protegen del resfriado. Lo dijo Linus Pauling, quien gano dos veces el Premio Nobel». Sin embargo, Pauling ganó los Nobel de Química y de la Paz, y solo se dedicó a estudiar terapias médicas alternativas en la vejez. Cualquier famoso que anuncia algo en una cuña publicitaria utiliza su fama (por ejemplo, como futbolista o locutor de televisión) para dar peso a una afirmación que no tiene nada que ver con su actividad. A la inversa, la misma actitud sirve para rebatir argumentos contrarios negando que el adversario sea un experto: «Como no has cursado ninguna formación en psicoterapia transpersonal, no tienes ni idea y es mejor que te calles».

Ejemplo de Galileo: «También se rieron de Galileo por sus opiniones, pero hoy se le considera uno de los grandes sabios». Es posible que realmente todos los grandes innovadores fueran ridiculizados en su tiempo, pero esto no quiere decir que cualquier idea estrambótica que no causa más que sonrisas de incredulidad se convertirá algún día en verdad científica.

Ejemplo de Hitler: especialmente en los países de lengua alemana se piensa que se puede desacreditar cualquier opinión aduciendo que Hitler pensaba algo parecido. Así, los vegetarianos son en el fondo nazis porque Hitler también lo era y las autopistas son obra del demonio porque Hitler fomentó su construcción. Un ejemplo clásico de este subterfugio son las frases que pronunció el canciller alemán Helmut Kohl en 1986 en una entrevista con la revista Newsweek sobre el dirigente soviético Mijaíl Gorbachov: «Es un líder comunista moderno… que sabe bastante de relaciones públicas. Goebbels también estaba versado en relaciones públicas. Hay que poner los puntos sobre las íes».

Antecedentes: en este caso se utiliza un detalle de la biografía del adversario o un rasgo de su personalidad que no tiene nada que ver con la cuestión debatida para desacreditar su punto de vista. «Al señor X le condenaron una vez por exceso de velocidad, por eso su postura sobre la defensa del medio ambiente no merece ninguna confianza.» En EE.UU. se seleccionan los candidatos a las elecciones presidenciales sobre todo a la luz de su vida sexual, y quien tenga un pasado agitado o fuera de lo común en este terreno está condenado al fracaso.

Tú también: A propugna una mejora de la protección animal y es partidario de una alimentación vegetariana, y B le contesta: «Tú mismo llevas una chaqueta de piel y ayer te vi comprando un pollo asado». Es posible que el comportamiento de A sea contradictorio con sus puntos de vista, e incluso que hasta hace poco defendiera lo contrario que ahora, pero eso no resta credibilidad a sus argumentos.

Entre los argumentos más débiles figuran aquellos que se basan únicamente en supuestos ideológicos y no se justifican de ninguna otra manera.

Argumento de tradición: Hace unas décadas se consideraba automáticamente que todo lo nuevo era mejor (este se denomina el sofisma «ad novitatem»), mientras que hoy se argumenta a menudo que todo lo antiguo es automáticamente bueno, como por ejemplo la «medicina tradicional china». En la publicidad suelen combinarse ambos sofismas pegando en un bote de mermelada «como la hacía la abuela» una etiqueta con la palabra: «¡Novedad!».

Sofisma naturalista: Todo lo «natural» es bueno. «Los hombres suelen ser más fuertes que las mujeres, por tanto deben tener más poder.» «En la naturaleza no hay homosexualidad —cosa que por cierto es mentira—, por tanto hay que rechazarla.» «Los aditivos “naturales” son mejores que los “artificiales”.»

Algunos argumentos malos son de naturaleza puramente retórica: se trata de camuflar con palabras la debilidad de la propia posición. Mencionaremos algunos:

Equívoco: En este caso se argumenta con palabras homónimas que se refieren a cosas distintas. Por ejemplo: «Es inmoral matar a un ser humano inocente. Los fetos son seres humanos inocentes. Por eso el aborto es inmoral.» Aunque se pueda argumentar de este modo, la mayoría de las personas piensan en otra cosa cuando oyen la expresión «ser humano» en la primera frase que en la segunda.

Omisión: Es el pecado retórico número uno de las tertulias radiofónicas o televisadas. Simplemente no se contesta a una pregunta incómoda y se espera que caiga en el olvido soltando una avalancha de palabras.

Repetición: Se confía en que una afirmación falsa se tome por verdadera repitiéndola constantemente. «En la Edad Media se pensaba que el mundo era un disco plano», «según las leyes de la aerodinámica, los abejorros en realidad no deberían poder volar». Si uno escribe en un buscador de Internet la expresión «conocimientos inútiles» encontrará cientos de afirmaciones no demostradas y casi siempre falsas de este tipo.

Imputación: «¿Ha dejado usted de pegar a su mujer?» Quien acusa al adversario en la misma pregunta, le obliga a centrar todos sus esfuerzos en defenderse. A esta pregunta no se puede contestar afirmativa ni negativamente sin admitir la imputación de ser un machista maltratador.

Finalmente mencionaré un sofisma muy sofisticado:

Doble sofisma: Si el adversario saca una conclusión lógicamente falsa, conviene señalarlo siempre, pero el hecho de haberlo descubierto no sirve de contraargumento, pues su conclusión puede ser a pesar de todo válida.

4    EJERCICIO MENTAL N.º 1:

    JUEGOS DE LÓGICA

Por «juegos de lógica» se entiende un tipo de ejercicio mental en el que se trata, en abstracto, de relacionar entre sí grupos compuestos por el mismo número de elementos. Por ejemplo, tenemos los nombres de cinco amigos, de los cuales cada uno tiene su bebida preferida, un deporte al que es aficionado, una novia y una mascota. Se trata de atribuir a cada uno la bebida, el deporte, la novia y la mascota que le corresponde. Se proporciona una serie de pistas directas o indirectas, y a efectos de control la adivinanza termina casi siempre con una pregunta como esta: «¿Cómo se llama la novia del bebedor de cerveza?»

Desde el punto de vista lógico-matemático, el problema planteado se formula del modo siguiente: tenemos cierto número de conjuntos de n elementos cada uno y hay que proceder a relacionar estos conjuntos con arreglo a una serie de condiciones. En nuestro ejemplo, los conjuntos C₁ a C₅ son los hombres, las bebidas, las novias, los deportes favoritos y las mascotas. Hay que establecer cinco combinaciones del estilo «Juan, cerveza, fútbol, Clara, canario», de manera que, por supuesto, dos hombres no tengan la misma novia.

El problema se puede resolver por completo analizando todas las combinaciones posibles y comprobando si cumplen todas las condiciones. Sin embargo, con un grupo de cinco elementos, las posibles asignaciones de una bebida a cada hombre ya son muchas: 5 x 4 x 3 x 2 = 120. En cada uno de estos casos existen 120 posibles combinaciones con un deporte, después otras 120 con una mujer y otras tantas con una mascota. En total serían

Un ordenador personal moderno permite resolver la cuestión a base de probar y probar en más o menos una hora. Los humanos, en cambio, pueden resolverlo a su manera: en vez de aplicar la fuerza bruta de la pura aritmética, van descartando posibilidades hasta que solo queda una.

He aquí un ejemplo de tercer orden. En Villanueva de Ebro existen tres clubes de fútbol: el FC Villanueva, el Atlético de Villanueva y el Villanueva Balompié. Cada uno tiene su propio estadio: el Estadio del Centro, el Campo del Parque y el Polideportivo. Un equipo juega con camiseta azul, otro lleva uniforme rojo y el tercero viste de blanco. Finalmente, cada uno tiene un número distinto de socios: 300, 400 y 500.

Tenemos las siguientes pistas:

1. El FC Villanueva, que luce camiseta azul, tiene menos socios que el club que juega en el Estadio del Centro.

2. El Atlético de Villanueva tiene 400 socios.

3. El Villanueva Balompié no juega con uniforme rojo. Su número de socios, al igual que el del club que juega en el Campo del Parque, es distinto de 300.

El medio principal que se utiliza para resolver el problema es un esquema en el que anotamos los resultados a que llegamos. Las pistas suelen reflejar una relación entre un elemento de un conjunto con un elemento de otro conjunto. En este caso tenemos cuatro grupos, y la mejor forma de resolver el problema sería un sistema de coordenadas de cuatro ejes, pero dado que en el papel solo disponemos de dos dimensiones, ordenaremos los conjuntos de un modo distinto.

Ahora vamos rellenando las casillas con un signo de más (+) si la relación es válida y un signo de menos (–) si no lo es. En cada cuadrado de 3 x 3 casillas tiene que constar finalmente un signo de más en cada línea y cada columna. La adivinanza está resuelta cuando los tres cuadrados superiores están totalmente rellenados.

La siguiente tabla muestra qué informaciones podemos deducir definitivamente de las tres pistas.

Estas incluyen algunos datos que por así decirlo están «entre líneas»: la primera frase indica que el FC Villanueva no juega en el Estadio del Centro, que no tiene 500 socios y que el club que juega en el Estadio del Centro no puede ser el que tiene 300 socios.

Acto seguido rellenamos en cada campo de 3 x 3 casillas en el que hay un signo de más poniendo un signo de menos en las casillas vacías. Si en una línea o columna hay dos signos de menos, la tercera debe llevar un signo de más.

Ahora ya sabemos el color del uniforme de cada club y su número de socios, y solo nos falta determinar los estadios en que juegan. La información correspondiente la extraemos de los cuadrados inferiores, que podemos «reflejar» en la línea superior del modo siguiente: sabemos que el FC Villanueva tiene 300 socios y por tanto le corresponden todos los datos que constan más abajo en la línea «300», en particular el signo de más que indica el Polideportivo. Con ello podemos rellenar todo el esquema.

Podríamos rellenar también el resto de campos inferiores, pero no es necesario. Puesto que en las tres líneas superiores hemos asignado todos los estadios, colores y números de socios a los tres clubes, el problema ha quedado resuelto.

¿Apetece un problema un poco más difícil? Veamos este:⁶ supongamos que en la famosa serie de televisión

Doctor House el protagonista salva cada día, de lunes a viernes, a una persona gravemente enferma. Además,

cada día se aplica también un tratamiento complementario. Tenemos las siguientes informaciones:

1. El martes, House tuvo que tratar un complicado caso de intoxicación por un pesticida.

2. Cuando estaba tratando las secuelas de una picadura de garrapata, tuvo también problemas con Vogler, el nuevo patrocinador de la clínica.

3. El doctor House curó al bandido de una intoxicación por cadmio. Fue el día después de volver a encontrarse con su ex novia.

4. El día en que el doctor House trató a la maestra, la mujer de Wilson abandonó a este. Dos días después, Wilson ayudó al doctor House en la operación de un tumor.

5. La niña no fue tratada el día en que Cameron inició una relación con Chase.

6. El jueves, Cuddy fue a comer con Wilson.

7. El miércoles, el doctor House tuvo de paciente a una monja.

La pregunta es: ¿Cuándo fue tratado el estudiante? ¿Quién tenía peste bubónica?

Empezaremos como siempre anotando las informaciones evidentes, tal como se indica en la tabla siguiente.

En la tabla hemos rellenado ya con signos de menos las líneas y columnas que tienen un signo de más y hemos «reflejado» las información de las líneas inferiores en la parte superior. Además, un acontecimiento que ocurre un día después de otro acontecimiento no pudo producirse el lunes, y si ocurre dos días después del otro, tuvo producirse a más tardar el miércoles.

El diagrama ya nos muestra que el bandido solo pudo ser tratado el jueves de su grave intoxicación con cadmio.

Luego se infiere una cosa después de otra. La única cuestión un poco problemática es saber si el doctor House trató a la maestra el lunes o el martes, pero como sabemos que dos días después hubo la operación del tumor, solo queda el lunes.

Los juegos de lógica viven de no solo proporcionar informaciones claras, sino también de establecer relaciones entre los grupos que no siempre se pueden anotar inequívocamente en el diagrama, sino que hay que memorizarlas o anotarlas en una hoja aparte.

Pero ahora el lector está pertrechado para abordar un juego de lógica que en algunas páginas de Internet se califica de «el más difícil del mundo», cosa que es una tontería, del mismo modo que la afirmación de que lo ideó Einstein y este dijo que solo podría resolverlo un 2 % de las personas. El ejercicio también se denomina «acertijo de la cebra» y su versión original se publicó el 17 de diciembre de 1962 en la revista Life International Magazine. Este juego de lógica comprende seis grupos de cinco elementos cada uno, en que figuran hombres de distintas nacionalidades que suelen tomar bebidas distintas, fuman tabaco de marcas diferentes y mantienen animales exóticos. Son vecinos y cada uno vive en una casa pintada de un color diferente. Estas son las condiciones de la solución:

1. Hay cinco casas.

2. El inglés vive en la casa roja.

3. El español tiene un perro.

4. En la casa verde se toma café.

5. El ucraniano bebe té.

6. La casa verde esta inmediatamente a la derecha de la blanca.

7. La persona que fuma Old Gold tiene caracoles.

8. En la casa amarilla fuman Kools.

9. El que vive en la casa del centro toma leche.

10. El noruego vive en la primera casa.

11. El que fuma Chesterfield vive en la casa de al lado del que tiene un zorro.

12. En la casa situada al lado de aquella en que hay un caballo se fuma Kools.

13. La persona que fuma Lucky Strike bebe zumo de naranja.

14. El japonés fuma Parliament.

15. El noruego vive al lado de la casa azul.

EJERCICIO    Las preguntas a las que hay que contestar son:

¿Quién bebe agua? ¿A quién pertenece la cebra?

5    LA MÁQUINA INFERNAL

    O CUENTE CON LA VERDAD

Lo primero que nota James Blond cuando se disipa lentamente el velo delante de sus ojos es realmente agradable: la hermosa mujer morena que ha conocido esta mañana todavía está acostada a su lado y lleva el mismo bikini rojo ajustado. ¿Cómo se llamaba? Ah, sí, Tonia.

Lo segundo que percibe es un dolor punzante en el cogote.

Lo tercero que observa, cuando va a estirar el brazo en dirección a Tonia, es que no puede mover las manos porque las tiene a atadas a la espalda con una brida. Tampoco las piernas le obedecen, pues sus pies están fuertemente atados a los de Tonia. A Blond nunca le han gustado las ataduras demasiado fuertes.

El agente mira alrededor: Tonia y él están acostados en un somier sin colchón en un cuarto sin ventanas cuya instalación es muy espartana: una mesa y una silla, nada más. La bombilla del techo emite una tenue luz difusa, suficiente para vislumbrar la estancia. Sobre la mesa hay un aparato que parece electrónico, con una pantalla de diodos rojos que por lo visto ejecuta una cuenta atrás: 7:34, 7:33, 7:32… Blond se teme lo peor.

Da unos golpecitos con el codo a su vecina dormida hasta que esta se despierta con un lamento. Tonia abre los ojos como atontada, pero se orienta rápidamente.

—Mierda —se le escapa.

Su voz ya no suena tan melosa y seductora como por la mañana en el chiringuito de la playa cuando se le acercó.

—James, tenemos que poner las cartas sobre la mesa —prosigue la mujer—. No hay tiempo para largas explicaciones, pero no soy la chica de alterne por la que usted me ha tomado. Soy Tonia Turner, de la CIA.

—Ah, ¿de veras? —dice Blond, a quien no se le ocurre nada original. Por suerte, la mujer es de una organización amiga, piensa, de lo contrario la neblina de testosterona en el cerebro me habría costado la vida.

—Nosotros también andamos detrás de Miki Navaja y su red de narcotraficantes —prosigue Tonia—. Se lo habría dicho a usted antes o después, pero quería seguir disfrutando un rato de su ingenuo encanto.

A Blond no le gusta nada que le llamen «ingenuo», aunque tampoco tendría nada que objetar a eso del disfrute.

—Bueno, antes que nada hemos de soltar esas ataduras —dice con voz firme. Él es el hombre y ha de adueñarse de la situación. Pero ¿cómo? Ocurre que Blond no lleva puesto más que los calzoncillos; todavía recuerda cómo los bandidos le han despojado de todo lo demás, hasta del reloj de pulsera.

—¿Puede girarse para alcanzar con la mano el dobladillo de la braga de mi bikini? —pregunta Tonia—. Tengo escondida allí una pequeña navaja suiza, para cualquier emergencia. No creo que los pistoleros de Miki Navaja la hayan encontrado, me parece que han respetado mi intimidad femenina.

Ambos intentan maniobrar de manera que Blond llegue con la mano a palpar el dobladillo del bikini de Tonia. En otras circunstancias esta operación le habría encantado, pero ahora incluso él tiene claro que esto no tiene nada que ver con el erotismo. Al final consigue tocar efectivamente la pequeña navaja, de tal vez cuatro centímetros de longitud; los bandidos tendrían que haber registrado a Tonia a fondo para descubrirla.

No le cuesta gran cosa sacar la navaja del dobladillo y abrirla. Primero corta la brida que ata las manos de Tonia y al cabo de medio minuto están los dos libres, con la salvedad de que la puerta del cuarto está cerrada. Y de que el aparato de encima de la mesa sigue contando atrás sin arredrarse: 5:19, 5:18, 5:17…

Ambos examinan el aparato con detenimiento: se trata de una caja negra en cuyo exterior no se ve nada más que la pequeña pantalla digital del temporizador y tres cables —uno rojo, otro verde y otro azul— que salen de la caja por un orificio y entran por otro.

—Está visto que esta cosa va a estallar dentro de cinco minutos —dice Blond secamente—. Déme un momento la navaja…

Agarra la navaja suiza, la abre y se apresta a manipular el aparato. Tonia le retiene el brazo.

—¿Qué se propone? ¿Acaso quiere acortar el tiempo que falta?

—Voy a cortar el cable rojo —contesta Blond.

—¿El cable rojo? ¿Por qué? —pregunta Tonia asombrada.

—Siempre corto el cable rojo —responde Blond encogiendo los hombros—. Hasta ahora siempre me ha funcionado.

—Por dios, quizá sea mejor que antes analicemos un poco —dice Tonia moviendo la cabeza y preguntándose cómo el supuesto rey de los espías británico ha podido sobrevivir con métodos tan intuitivos—. Veamos.

Tonia examina la caja por todos los lados, después la agarra con las manos y la vuelca a un lado. Blond cierra instintivamente los ojos y se tapa los oídos con los dedos, recibiendo de Tonia una mirada asesina.

—Ahí está —dice triunfante la agente de la CIA. En la cara inferior de la caja está pegada una etiqueta salpicada de símbolos. A Blond le podrían mostrar un papiro del antiguo Egipto, que habría entendido lo mismo.

Tonia, en cambio, se mira la etiqueta con detenimiento, está visto que entiende de jeroglíficos.

—Blond, ¿qué está mirando? ¿Acaso en el MI6 no les dan un curso básico de electrónica?

—Para eso tenemos el departamento que dirige Q —responde Blond dolido—. Nosotros aprendemos cosas como disparar y kárate.

—Pero papá Q no está ahora aquí para sacar al pequeño James del embrollo en que se ha metido —insiste Tonia con malicia—. Bueno, esto es un esquema electrónico que por lo visto corresponde a este aparato. No sé por qué lo han dejado ahí puesto; tal vez los secuaces del Navaja no lo han visto, o quizás esta etiqueta les decía tanto como a usted. Pero esto ahora no importa, tenemos que combinar rápidamente.

3:28, 3:27, 3:26…

—Las letras R, G y B designan seguramente los cables por su color: rojo, verde y azul. Después hay unas cuantas puertas lógicas, enseguida le explico de qué se trata. El símbolo del reloj también está claro, es el mecanismo de relojería.

—¿Y qué significa el símbolo de la derecha del todo? —pregunta Blond.

—Esto —contesta Tonia sonriendo fríamente— no es ningún símbolo normalizado. Es la bomba.

—Lo que sí sé es qué significan las letras HMJB —dice Blond presuroso.

—¿Qué significan?

—Hell Machine James Blond —responde el agente y parece estar doblemente orgulloso, por su ingenio y por el hecho de que la bomba lleve su nombre.

—Es posible —dice Tonia—, pero carece de interés. Veamos el esquema: los símbolos son todos iguales. El signo que parece una D grande es una puerta AND, y junto con el circulito que lleva detrás pasa a ser la llamada puerta NAND.

La mirada de Blond no podría ser más inexpresiva.

—Esta puerta tiene dos entradas y una salida. Las entradas pueden hallarse en uno de dos estados: conectado o interrumpido, o lo que es lo mismo, 1 o 0. Los tres hilos R, G y B están todos conectados a la fuente de alimentación, es decir, se hallan en estado 1. Si cortamos uno o varios, pasarán al estado 0. Ahora solo nos queda encontrar la combinación o las combinaciones que hacen que al final, en el reloj, llegue 0.

—¿Qué hacen exactamente estas puertas? —pregunta Blond.

—Una puerta NAND es el equivalente al operador lógico «no y» —contesta Tonia—.⁷ Una conectiva «y» de dos proposiciones es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. En cambio, una conectiva NAND es falsa si ambas proposiciones son verdaderas, de lo contrario NAND es válida. En un circuito electrónico, esto quiere decir que una puerta NAND produce 1 cuando ambas entradas son 0, y 0 en todos los demás casos.

—Hum —murmura Blond—. ¿Y ahora hemos de calcular hacia atrás para saber cómo conseguimos que el sistema genere 0?

—Lógicamente —contesta Tonia, que ya ha empezado a combinar mentalmente—. También podemos describir el circuito con expresiones lógicas. El símbolo lógico de NAND es la raya vertical, y entonces la cosa se presenta así.

A falta de papel y lápiz, Tonia pinta con el dedo diversos símbolos en la espesa capa de polvo que se ha acumulado sobre la mesa.

—Vea los tres símbolos de la izquierda. ¿Qué se conecta con qué? Por cierto, que cuando los hilos se cruzan no quiere decir que estén conectados; solo lo están si está marcado el nudo con un punto negro.

—Ahí se conectan B con B y dos veces R con G —dice Blond.

—Correcto —exclama Tonia, y el superagente de su Majestad está orgulloso como un estudiante de ESO que se ha ganado una buena nota.

Tonia escribe las tres conexiones en el polvo:

—Los resultados de las dos conexiones de R y G se conectan de nuevo con NAND y a continuación este resultado con la conexión B–B… —prosigue Tonia y añade un par de rayas—. ¡Ya está!

Ahora el dibujo en el polvo tiene este aspecto:

—Pues sí que es complicado —gruñe Blond—.

¿No se pueden quitar los paréntesis? Así se simplificaría todo bastante. Cuando se suma también se puede.

—Pero aquí no. Si todo fueran signos de más, podríamos prescindir de los paréntesis, pero la conectiva NAND no es asociativa.

Tonia hace caso omiso de la mirada atontada de Blond; no hay tiempo para largas explicaciones.

—Para ver los árboles en este bosque de NAND, los paréntesis incluso son muy importantes. Mire las dos expresiones de arriba que están separadas por una raya: a la izquierda pone B |B, que es lo mismo que «no B». A la derecha hay una expresión parecida, pero con R|G en vez de B. Por tanto, también podemos escribir la expresión de este modo…

Tonia escribe:

—El doble «no» no me gusta —prosigue Tonia—, o sea que lo transformo con De Morgan.

Y escribe la siguiente fórmula en el polvo:

Tonia observa que su interlocutor todavía no se aclara y, en un gesto casi maternal, le rodea los hombros con un brazo. Los papeles entre ambos han cambiado mucho desde el cortejo de la mañana y la siesta en el hotel. Blond se deja hacer, invadido de un cálido sentimiento de que le recuerda a su niñez.

—Permítame que traduzca: esta expresión se lee «B o no (R y G)» —dice ella sin quitar los ojos de la pantalla digital, que ahora marca 0:59—. Para que no explote la bomba, la expresión ha de proporcionar el valor 0 o falso. ¿Cuándo es falsa una proposición «o»?

Cuando ambos miembros son falsos. Por tanto, B ha de tener el valor 0 y «no (R y G)» también. Por consiguiente (R y G) ha de tener el valor 1, lo que implica que tanto R como G han de tener el valor 1. Esto lo podríamos ver también en la tabla de verdad, que analiza las ocho posibilidades, pero no tenemos tiempo. El resultado es que solo existe una combinación con la que la bomba no explota: cuando B tiene el valor 0 y R y G el valor 1.

La pantalla indica 0:17.

En el rostro de Blond se dibuja una sonrisa que parece indicar que entiende.

—¿Puedo? —dice cogiendo la navaja y acercándola al cable azul. Mira a Tonia para asegurarse y esta la dice que sí con un gesto. Entonces corta el hilo azul.

El reloj marca 0:00 y no ocurre nada.

PUERTAS LÓGICAS

En los capítulos anteriores hemos establecido conectivas lógicas entre proposiciones para extraer conclusiones más o menos interesantes. Sin embargo, el cálculo lógico aplicado no se interesa para nada por el contenido de las proposiciones. El sistema formal solo se fija, en última instancia, si una proposición es verdadera o falsa, y todas las proposiciones verdaderas son iguales ante la lógica.

Este planteamiento no está muy alejado de la interpretación de que en realidad no operamos más que con dos objetos y que esta operación es una especie de cálculo aritmético. Fue el lógico inglés George Boole (1815-1864) el primero en darse cuenta de ello y quien desarrolló la que más tarde se denominaría «álgebra booleana». Equivale totalmente a la lógica proposicional, pero contempla las operaciones de otro punto de vista, más matemático.

En el álgebra booleana operamos únicamente con dos «cifras», 1 y 0, que representan los valores de verdad de la lógica proposicional. Sobre estas cifras se han definido de entrada tres operaciones que se denominan conjunción, disyunción y negación, y para no complicar la cosa utilizaremos aquí los signos ya conocidos ∧,∨ y¬. A menudo se emplean también los conocidos signos de la suma y la multiplicación, no en vano el álgebra booleana tiene mucho que ver con sumar y multiplicar.

He aquí las tablas de las operaciones, que no nos aportan nada nuevo: simplemente sustituimos en las tablas que conocemos del capítulo 2 los valores de verdad V y F por 0 y 1 y expresamos las variables con las letras que suelen emplearse en el álgebra.

¿En qué se diferencian la operaciones booleanas de las operaciones aritméticas «más» y «por»? La conectiva «y» (∧) se corresponde plenamente con la multiplicación, lo que puede sonar extraño, ya que en el lenguaje coloquial solemos decir «tres y dos son cinco». En la tabla de la conectiva «o» (∨), tres líneas coinciden con la suma habitual y solo en una hay un problema: como es sabido, 1 más 1 da 2, pero esta cifra no existe en el álgebra booleana, de modo que en esta línea 1 o 1 equivale a 1.

Ambas operaciones son absolutamente simétricas entre sí, de modo que si en una ecuación se sustituye 1 por 0 y ∧ por ∨, sigue siendo correcta:

La suma y la multiplicación no tienen esta propiedad:

Por esta razón, el álgebra booleana se rige por otras reglas de cálculo. Por ejemplo, los paréntesis se pueden «simplificar» de dos maneras:

Estas son las reglas de De Morgan ya mencionadas en el capítulo 3. Cuando se calcula con los números habituales, la regla se denomina «ley distributiva» y solo es válida en una versión:

George Boole todavía no podía imaginar que sus reglas de cálculo sentarían las bases del desarrollo de la informática. Dado que los nexos lógicos se reducen a las relaciones entre dos cifras, es decir, las codifican digitalmente, resulta fácil aplicarlos a circuitos electrónicos como el que hemos conocido en la historia de James Blond.

Los elementos importantes de los circuitos electrónicos son las llamadas «puertas», que se corresponden con los operadores lógicos. En nuestra historia solo aparecían las puertas NAND, que no son fáciles de interpretar (sobre todo si el tiempo apremia), pero tienen la ventaja de que es posible realizar cualquier circuito exclusivamente con puertas NAND. Esto se debe, por supuesto, a que con la conectiva NAND (x|y) se pueden representar todos los demás operadores lógicos.

En este libro no vamos a detenernos en cómo una puerta genera físicamente una salida a partir de la entrada. En los primeros ordenadores, las puertas estaban formadas por relés electromecánicos que contenían pequeños conmutadores que se activaban al aplicar una corriente eléctrica. Los aparatos chasqueaban, eran bastante lentos y los relés se estropeaban a menudo. Hoy en día, las puertas consisten en semiconductores alojados a miles de millones en un chip, pero el principio es el mismo.

Estos son los símbolos de las principales puertas:

Nótese que la puerta AND y la puerta NAND solo se distinguen por un circulito, que representa un signo de negación que convierte todo operador al que se aplica en su contrario.

El álgebra booleana se confunde a menudo con el cálculo binario, aunque los operadores lógicos obedecen a otras leyes. A pesar de ello, con los ordenadores queremos realizar cálculos matemáticos, entre otras cosas. ¿Cómo podemos representar la simple suma mediante puertas lógicas?

Antes conviene refrescar brevemente la memoria con respecto a los números binarios: el hecho de que escribamos los números naturales sobre base diez, es decir, que en 10, 100, 1.000, etc., añadamos cada vez una cifra, es una cuestión totalmente convencional que con toda probabilidad se debe a que tenemos diez dedos. Podemos tomar como base de un sistema numérico cualquier número, pero como mínimo se necesitan dos cifras. Este sistema mínimo es el sistema binario, con el que se cuenta del modo siguiente: 1, 10, 11, 100, 101…

He aquí una lista de los números en el sistema decimal y binario: decimal binario

Sin embargo, el cálculo en el sistema binario se efectúa del mismo modo que en el decimal, con la única diferencia de que la cantidad de cifras de los números aumenta más rápidamente, pues disponemos de menos guarismos. Por ello, los números resultan bastante más largos, pero el cálculo es más sencillo. La pequeña tabla de multiplicar en el sistema binario solo tiene una regla: 1 por 1 es 1.

Empecemos a construir nuestro ordenador sumador diseñando un circuito que sume dos números de una cifra. La tabla de suma será la siguiente:

La única línea que causa problemas es la última: una función lógica no puede dar el resultado 10, sino únicamente 0 o 1. Cuando sumamos por escrito, debajo de la columna no escribimos 17, sino 7 y «nos llevamos» 1, es decir, lo anotamos mentalmente para sumarlo a la siguiente columna. Esto es lo que también hacemos aquí: escribimos el resultado 0 y «nos llevamos» 1. En todos los demás casos «nos llevamos» 0 o, como también se dice, el «acarreo» es 0.

Por decirlo de otra forma: nuestro resultado ha de estar formado por dos cifras, un resultado s de una cifra y el acarreo a. El resultado de una cifra, en el que por 1 + 1 se anota 0, se corresponde exactamente con el operador XOR, la disyunción excluyente: el resultado es 1 cuando x e y son distintos, y 0 cuando son iguales. El acarreo es 1 cuando tanto x como y son 1, y 0 en los demás casos. Este es el operador AND, de modo que podemos dibujar el siguiente circuito:

Este «ordenador» es capaz de sumar números de 0 a 1, y el resultado máximo es 2. Para ampliar su capacidad, al menos un poco, diseñaremos a continuación un circuito capaz de sumar números de varias cifras. Para ello construimos primero un «sumador completo» que puede aplicarse a cualquiera de las columnas de cifras. En la entrada recibe no solo las dos cifras x e y que hay que sumar, sino también un acarreo de entrada ae resultante de la suma de la columna de cifras anterior, que puede ser 0 o 1. En la salida emite la cifra de la suma s y un acarreo de salida as que se aplicará a la columna siguiente. La tabla de adición correspondiente es la siguiente:

¿Qué conectivas lógicas de x, y y ae dan exactamente estos resultados de s y as? Hay muchas posibilidades distintas, y vamos a presentar una que tal vez sea la más fácil de entender. Los siguientes apartados vuelven a estar sombreados para aquellos lectores que quieran saltarse el cálculo.

Examinemos la mitad superior y la mitad inferior de la tabla de conectivas. Si ae es igual a 0, entonces para s se obtiene lo mismo que con el sumador de una cifra, es decir, la conectiva XOR de x e y. Esta disyunción excluyente se escribe con un signo de más rodeado de un círculo:

s = x⊕y

Si ae es igual a 1, entonces obtenemos para s exactamente el resultado inverso, el llamado operador XNOR, que no es otra cosa que la equivalencia lógica: la expresión es 1 si x e y son iguales, y 0 si son desiguales:

s = x↔y

Para introducir la magnitud ae en la fórmula juntamos hábilmente las dos expresiones, para lo cual utilizamos cuatro sencillas reglas booleanas, que resultan convincentes si se sustituye x por las cifras 0 y 1:

x∧1 = x x∧0 = 0 x∨1 = 1 x∨0 = x

La expresión combinada parece, a primera vista, complicada:

s = ((x⊕y)∧¬ae)∨((x↔y)∧ae)

Si ae es igual a 0, entonces la mitad derecha de la expresión será 0, y a la izquierda la suma de x e y se calcula como en el sumador de una cifra. Si ae es igual a 1, la mitad izquierda de la expresión será 0 y a la derecha tendremos las cuatro líneas inferiores de nuestra tabla. La conectiva «o» solo hace que se anule la expresión cero.

Empleamos una técnica similar para calcular el acarreo de salida as: en la mitad superior se corresponde con el operador AND de x e y y en la mitad inferior con el operador OR. Los dos se combinan entre sí exactamente de la misma manera para expresar la influencia de ae:

as = ((x∧y)∧¬ae)v((xvy)∧ae)

Ahora solo queda colocar las doce puertas lógicas de una manera más ordenada y ya tenemos el sumador.

Acto seguido juntamos todos estos elementos de conmutación en una caja con varias entradas y salidas que denominaremos S (por «sumador»):

Si ahora queremos sumar dos números de cuatro cifras, basta con conectar en serie cuatro sumadores de estos y ya tenemos la máquina de sumar completa. El siguiente sería un ejemplo de la suma de 13 más 5, que en código binario equivalen a 1101 más 101:

Ha sido un proceso largo, pero hemos diseñado efectivamente una calculadora capaz de sumar números del 1 al 15.

De este modo hemos representado una importante función de los ordenadores a base de simples puertas lógicas: el cálculo aritmético. Ahora queremos, por ejemplo, guardar un determinado resultado obtenido en algún lugar para poder utilizarlo más adelante; pues bien, también es posible representar una memoria con ayuda de la lógica. Para ser más exactos, vamos a examinar los llamados biestables (o flip-flops), que mantienen un determinado estado, 1 o 0, hasta que en una entrada reciben un impulso eléctrico.

El truco en que se basan los biestables es la llamada realimentación (en inglés, feedback), que significa que la salida de un elemento se conduce de nuevo a la entrada. Esto siempre es un proceso peligroso, pues puede provocar cortocircuitos o comportamientos «contradictorios», como veremos enseguida.

El «estado» de este elemento de memoria es la salida q en el lado derecho. La salida q’ es el contrario lógico de q. Los dos elementos son puertas NOR, es decir, la negación de la conectiva «o», y por tanto solo emiten 1 cuando ambas entradas son 0; de lo contrario emiten siempre 0.

Supongamos que q se halla en estado 0 —es decir, el valor de la salida de q es 0 y el de q’ es 1— y que ambas entradas, r y s, están ajustadas en 0. En este caso tenemos en la puerta A superior las entradas 0 y 1 y la salida en q es 0. La puerta B inferior tiene las entradas 0 (de r) y 0 (de q) y emite la salida 1 en q’. Globalmente, por tanto, se mantienen ambos estados aunque en la entrada no llegue ninguna señal.

Si ahora llega en s (por «set») un impulso eléctrico, o sea, una breve señal de intensidad 1, se producirán los siguientes efectos:

En B: 1 de s, 0 de q→q’ = 0

En A: 0 de r, 0 de q’→q = 1

Este estado se mantiene incluso cuando la señal ya no esté presente, pues:

En A: 0 de r, 0 de q’→q = 1

En B: 0 de s, 1 de q→q’ = 0

Por consiguiente, el breve impulso ha conmutado duraderamente la salida de q y q’. Esto tampoco cambia cuando llega un nuevo impulso en s: el 1 que viene de q impide que se conmute la puerta inferior.

Para volver a poner a 0 la «memoria» es preciso que en r (por «reset») llegue un impulso 1, en cuyo caso ocurre lo siguiente:

En A: 1 de r, 0 de q’→q = 0

En B: 0 de s, 0 de q→q’ = 1

El sistema se halla ahora en el estado q = 0 y se mantiene invariable hasta que un nuevo impulso «set» en s haga de nuevo que q = 1.

Quien haya leído atentamente lo que antecede tal vez se pregunte ahora qué ocurre si en r y s llega simultáneamente un impulso 1. Esto significaría que en q y q’ aparecería un 0; ahora bien, este es un «estado no definido», pues q’ ha de ser siempre el contrario de q. De este modo hemos llegado a una situación lógica en la que una proposición es verdadera y al mismo tiempo lo es su contraria. ¡Esto no puede ser! En la electrónica, estas memorias biestables se completan siempre con un circuito que impide que lleguen al mismo tiempo una orden de set y de reset. En la lógica, sin embargo, estos estados en que una proposición y su contraria son verdaderas al mismo tiempo tienen consecuencias devastadoras. Estas paradojas indican a veces que el conjunto creado es contradictorio. En el capítulo 8 nos ocuparemos más en detalle de estas peligrosas paradojas.

EJERCICIO     Ahora le toca a usted: una adivinanza que se parece un poco a la de James Blond, pero es menos peligrosa y no incluye circuitos electrónicos. En el sótano hay una bombilla que se enciende accionando uno de tres interruptores que hay en la planta baja de la casa. Usted sabe que la bombilla está ahora apagada y puede bajar una sola vez al sótano para comprobar si está encendida o apagada. Ahora puede accionar a voluntad los interruptores y la pregunta es: ¿cómo puede usted determinar cuál de los tres interruptores enciende y apaga la bombilla?

6    EL FALSIFICADOR DE BILLETES

    O UNA LEY AMBIGUA

—Acusado, haga el favor de acercarse.

El juez Heribert Beckmann acaba de abrir la vista oral del último caso previsto para hoy ante el tribunal que preside. Han dado las 15 horas del viernes y Beckmann ya tiene ganas de irse de fin de semana; por la cara que ponen los demás magistrados, el abogado defensor y la fiscal, se percata de que a ellos les ocurre lo mismo.

El caso que hay que dirimir ahora parece clarísimo: Fiete Schneider, un pequeño delincuente con antecedentes, de 50 años de edad, fue detenido unos meses antes «con las manos en la masa», concretamente produciendo billetes falsos de 50 euros con una fotocopiadora en color en el sótano de su casa. Ya había ordenado en fajos unos mil billetes, copias muy malas del original que ninguna cajera de supermercado de

Helsinki a Lisboa habría aceptado jamás.

Durante el interrogatorio, Fiete se mostró sumamente locuaz y declaró que no había pensado hacer nada con esos billetes, que un viejo conocido iba a ir a recogerlos al día siguiente para llevarlos a Europa Oriental, donde esperaba encontrar a algún comprador de billetes falsos que no llevaban ninguna de las características de seguridad dispuestas por el Banco Central Europeo. Pero por muy malas que fueran las copias, una falsificación de dinero es una falsificación, y las copias malas pueden llevar a uno a la cárcel tanto como las copias buenas.

Claro que Fiete Schneider no delató el nombre de su «conocido», ni a los agentes que le detuvieron ni en el interrogatorio posterior en la Jefatura de Policía. Y aunque en los días siguientes estuvieron vigilando su casa durante las 24 horas del día, nadie llamó al timbre de la puerta a quien la policía hubiera podido detener.

Así que en lugar de toda una banda de falsificadores de dinero, hoy solo comparece Schneider ante el tribunal, y vistas las pruebas, todo indica que la vista oral será rápida; el fin de semana está al caer.

—Señor Schneider, está usted acusado de falsificar dinero, lo cual constituye un delito definido en el artículo 146 del Código Penal —comienza el juez Beckmann—. Esto está castigado con pena de prisión, y vistos sus antecedentes no veo ninguna circunstancia atenuante.

Schneider mira al suelo mientras el juez lee la acusación y no dice nada.

—Señor Schneider, le ruego que me mire: ¿es cierto lo que afirma la acusación de que le descubrieron en su despacho, si lo podemos llamar así, delante de una fotocopiadora que estaba en funcionamiento y de la que salían sin parar billetes falsos de 50 euros?

El acusado se encoge de hombros.

—Eso no es una respuesta, señor Schneider —Beckmann empieza a perder la paciencia—. Tendrá que abrir la boca si queremos avanzar.

—Hasta aquí, sí —murmura Schneider.

—¿Qué quiere decir «hasta aquí, sí»? ¿Sí o no?

—Sí —contesta Schneider—, pero no he hecho nada que estuviera prohibido.

—¿Nada que estuviera prohibido? —pregunta el juez asombrado—. ¡No me diga que estaba usted fabricando billetes para jugar al Monopoly por la tarde!

—No —dice Schneider—, eran billetes de verdad.

Al oír la expresión «de verdad», la fiscal y el juez no pueden reprimir una mueca burlona, pero el acusado no se da cuenta y afirma enfadado:

—¡Pero esto no está prohibido!

Ahora el juez se queda boquiabierto. ¿Que no está prohibido?

—Oiga, ya tiene usted edad y doy por seguro que en su juventud utilizó los billetes de marco, en los que constaba claramente la advertencia legal: «Quien falsifique o altere billetes de banco o adquiera billetes de banco falsificados o alterados…»

—«… y los ponga en circulación», prosigue Schneider arrastrando la voz, «será castigado con pena de prisión de no menos de dos años». Ya lo sé, todavía me acuerdo. Algunos compañeros míos pensaban que si omitían la frase en los billetes falsos, esta disposición no les sería aplicable.

Se oyen algunas risas en las bancadas del público.

—Pero yo no he puesto los billetes en circulación —prosigue el acusado—, y por lo tanto esta disposición no se me puede aplicar. Esta dice que «Quien falsifique o altere billetes de banco, etc. y los ponga en circulación…». Es decir, quien cometa A y B, irá a la cárcel; yo he cometido A, pero no B, y por tanto no se me aplica.

El juez se queda estupefacto. ¡Quién iba a creer que Schneider fuera capaz de concebir un argumento tan sofisticado! Pasan algunos segundos hasta que se aclara.

—No, no y no —exclama Beckmann—, así no se puede interpretar la frase. Esta dice: «Quien falsifique o altere billetes de banco» —intercala una breve pausa retórica— o sea, dice o, y esto hay que verlo todo junto, «o adquiera billetes de banco falsificados o alterados y los ponga en circulación…». Es decir, quien cometa A o cometa B irá a la cárcel; usted ha cometido A, y eso basta para condenarle.

Murmullos en la sala. ¿Acaso esta frase, que si se hiciera una encuesta seguramente sabrían recitar de memoria 8 de cada 10 alemanes, máxime cuando incluso es la letra de una canción… acaso esta frase es ambigua? ¿Se podría interpretar en el sentido de que el falsificador puede quedar libre si no pone en circulación él mismo el dinero falso?

Beckmann mira en busca de ayuda a la joven fiscal Ulrike Eckert, quien durante el intercambio entre el juez y el acusado ha permanecido en silencio, sentada en su sitio. ¿Es una sonrisa burlona la que asoma ahora en su cara? ¿Disfruta viendo cómo el juez no sabe por dónde salir del embrollo?

—Señora fiscal —dice Beckmann—, sin duda ha estudiado usted a fondo este caso antes de formular la acusación, ¿no es cierto?

—Efectivamente —contesta ella con una sonrisa que al juez le parece exageradamente amable—. Está claro que uno no puede producir billetes falsos en su fotocopiadora para exportarlos y pensar que se saldrá de rositas por el mero hecho de dividirse el trabajo con un cómplice.

—¡Pero la ley es la ley! —protesta el acusado.

—Así es —replica la fiscal—, y la frase que acaban de citar y recitar ustedes dos, esa frase no está en ninguna ley.

La mirada que le echa ella ahora al juez es claramente burlona.

—Es más —prosigue la fiscal—, nunca lo ha estado. Ni siquiera en los años sesenta, cuando por lo visto ustedes dos se la aprendieron de memoria.

Ahora se burla hasta de nuestra edad, piensa el juez Beckmann.

—He ido a buscar hasta la primera versión del artículo 146 en el Código Penal de 1872 —dice la fiscal—. En ninguna parte aparece la dichosa frase. Tampoco sería aceptable en una ley debido precisamente a la ambivalencia que el acusado acaba de exponer tan bien. Ahora le diré qué pone realmente en el Código Penal.

La fiscal agarra un grueso libro que tiene sobre la mesa y vuelve a mirar al juez. Podría haberlo comprobado usted también, parece decir esa mirada.

—Cito: «Será castigado a no menos de un año de privación de libertad quien, en primer lugar, falsifique dinero con el propósito de que se ponga en circulación como si fuera auténtico o de hacer posible esta puesta en circulación» etcétera, «en segundo lugar, adquiera u ofrezca dinero falso con este propósito o, en tercer lugar, ponga en circulación dinero falsificado o adquirido en las condiciones de los números 1 y 2 como si fuera auténtico». En primer lugar, en segundo lugar o en tercer lugar. Esto excluye toda confusión lógica.

El juez Beckmann respira hondo; ¿es esa una señal de alivio?

—Gracias, señora fiscal, por su detallada exposición. O sea, acusado, usted se halla en el caso contemplado en la primera frase: falsificar dinero con el propósito de que se ponga en circulación como si fuera auténtico. ¿Sigue afirmando que no es así?

Fiete Schneider está demolido.

—O sea, si hubiera dicho que solo producía los billetes para uso particular porque quería empapelar con ellos las paredes del salón, ¿no habría problema?

El juez sonríe de oreja a oreja.

—No le habríamos creído, por supuesto, pero al menos nos habría puesto usted las cosas más difíciles. El Código Penal dice, efectivamente, que hay que demostrar que tenía usted el propósito de poner en circulación sus malas copias. Pero gracias a su amable declaración nos ha ahorrado usted este trabajo.

El juez Beckmann cierra aliviado, pero audiblemente, la carpeta con el expediente del caso.

—Me parece que hoy podremos empezar puntualmente el fin de semana, aunque me temo que usted, señor Schneider, tendrá que pasarlo entre rejas.

CON LÓGICA SE LLEGA A TODAS PARTES

Si hay algún texto que esperamos que tenga una estructura lógica inequívoca, es el texto de la ley, en el que cualquier malentendido o formulación contradictoria puede tener graves consecuencias. Existen incluso intentos de desarrollar una especie de «lenguaje jurídico lógico», pero volveremos sobre esto más adelante. Antes tenemos que ampliar un poco nuestra caja de herramientas lógicas.

¿Cómo podemos reflejar la estructura del supuesto artículo sobre la falsificación de dinero mediante símbolos lógicos? Es decir, de la frase «Quien falsifique o altere billetes de banco o adquiera billetes de banco falsificados o alterados y los ponga en circulación será castigado con pena de prisión de no menos de dos años». Hasta ahora solo hemos conocido símbolos para enunciados completos y las conexiones entre ellos. Con ellos no podemos formular expresiones como «quien falsifique billetes de banco». Sin embargo, para facilitar las cosas podríamos formular el famoso «artículo» del modo siguiente:

«Si uno falsifica o altera billetes de banco o adquiere billetes de banco falsificados o alterados y los pone en circulación, será castigado con pena de prisión de no menos de dos años.» Utilizaremos los siguientes símbolos:

A: «Alguien fabrica o altera billetes de banco.»

B: «Alguien adquiere billetes de banco falsificados o alterados.»

C: «Alguien pone en circulación billetes de banco falsificados o alterados.»

D: «Alguien es condenado a una pena de no menos de dos años de cárcel.»

Ahora podemos escribir la frase del modo siguiente:

¿Es esta una expresión lógica regular? No, no lo es. Aunque podemos poner uno detrás de otro tantos signos de conjunción (∧) como queramos sin utilizar paréntesis, o también tantos signos de disyunción (∨) como deseemos, no podemos mezclarlos. Porque según cómo pongamos los paréntesis, el resultado varía, como muestra la tabla de verdad:

Como vemos, las proposiciones son muy distintas. El caso de nuestro falsificador es el de fondo gris; su interpretación es la primera, y con arreglo a ella no debería ir a la cárcel, y la del juez es la segunda, según la cual sí habría de ser declarado culpable.

Optemos primero por la versión del juez, según la cual la mera falsificación ya es delito. Por tanto, nuestra «ley» establecerá lo siguiente:

¿Reproduce esto más o menos la estructura de la proposición? No precisamente, y en particular falta la diferenciación entre falsificar y alterar (que significa que se altera el valor facial de un billete de banco y, por ejemplo, se convierte uno de 10 euros en otro de 100 euros, una falsificación no muy sutil que digamos). Esto se podría corregir de la siguiente manera:

A₁: «Alguien reproduce billetes de banco.»

A₂: «Alguien altera billetes de banco.»

B₁: «Alguien adquiere billetes de banco falsificados.»

B₂: «Alguien adquiere billetes de banco alterados.»

C₁: «Alguien pone en circulación billetes de banco falsificados.»

C₂: «Alguien pone en circulación billetes de banco alterados.»

Entonces la ley dirá lo siguiente:

Sin embargo, esto todavía no contiene muchos elementos de la proposición. Aparte del hecho de que la palabra «alguien» suena un poco extraña, como un espacio en blanco que está por rellenar, esto se debe a que para la lógica proposicional una «proposición elemental», es decir, una oración principal sin conectivas lógicas, es como una especie de «caja negra». De la letra A no se desprende qué está ocurriendo, en particular quién tiene qué propiedad o está llevando a cabo qué acción. Varias proposiciones de nuestro ejemplo tienen el mismo sujeto y el mismo predicado, pero esto no se ve si solo se escribe «A».

Por eso existe una ampliación natural de la lógica proposicional, que es la llamada lógica predicativa. Esta examina el contenido de la «caja negra» de la proposición elemental y distingue entre el sujeto de una oración y el predicado.

Tomemos como ejemplo la famosa expresión «las chicas buenas van al cielo y las malas a todas partes» (el título de un libro de Ute Ehrhardt). En la lógica proposicional solo podemos formular esto en forma de «A y B», donde A sustituye a «las chicas buenas van al cielo» y B a «las chicas malas van a todas partes».

La lógica predicativa puede formular la proposición de un modo mucho más diferenciado definiendo en primer lugar algunos predicados.

Cx: «x es una chica»

Bx: «x es buena»

¬Bx: «x es mala»

(Claro que es discutible si «mala» es lo contrario de «buena», pero supongamos que así sea.)

Dx: «x va al cielo»

Tx: «x va a todas partes»

Por tanto, la proposición se formula así:

Hay algo que todavía no cuadra: puesto que x no representa a una persona determinada, sino que es una variable, la frase Cx, por ejemplo, no es una proposición, sino un tipo de proposición, que solo se convertirá en proposición cuando se sustituya x por una persona concreta. Por ejemplo, si suponemos que m representa a María, entonces Cm significa «María es una chica».

Sin embargo, en este caso no buscamos una proposición sobre María, Andrea o cualquier persona determinada, sino sobre todas las chicas. Para ello existe en la lógica predicativa el llamado «cuantificador universal». Se escribe en forma de A invertida y se lee «para todos». Veamos un ejemplo:

Esto se lee así: «Para todas las x es válido lo siguiente: si x es una chica, entonces x es buena» o, traducido al lenguaje coloquial, «todas las chicas son buenas».

Ahora situamos el cuantificador delante de la fórmula larga que acabamos de generar:

Puesto que la expresión «a todas partes» también contiene un enunciado de tipo universal, ¿sería posible formalizarla del mismo modo? Sí, esa posibilidad existe, pues un predicado puede referirse a más de una variable; por ejemplo, podemos definir que

Si sustituimos de nuevo la x por María, o m, e y por el cielo, o d, entonces la proposición Kmd significa: «María va al cielo». Pero si queremos decir que María va a todas partes (al margen de lo que pueda significar esto), entonces podemos escribir:

El cuantificador universal se refiere siempre al contenido del paréntesis; por decirlo así, «vincula» la variable y, mientras que m es una constante (María).

Ahora podemos formular la proposición sobre las chicas del modo siguiente:

Este ya es un enunciado bastante complejo en clave de lógica predicativa. Y de él incluso se puede deducir que las chicas malas van al cielo: puesto que el último término de la fórmula se refiere a todas las y, podemos sustituir y por d y obtenemos Kxd para todas las chicas que son malas.

El cuantificador universal tiene un complemento, el cuantificador existencial, cuyo símbolo es una E invertida: Mientras que el cuantificador universal dice que todas las x cumplen una determinada fórmula, el cuantificador existencial establece que existe (por lo menos) una x para la que es válido el enunciado. Por ejemplo:

Esta fórmula se lee así: «Existe por lo menos una x, de modo que x es una chica y x es buena». O también: «Hay chicas buenas».

El cuantificador universal y el cuantificador existencial guardan entre sí una relación interesante: para un predicado cualquier Px siempre son válidas las cuatro equivalencias:

(«Todas las chicas son buenas» equivale a «no existe ninguna chica que sea mala».)

(«No todas las chicas son buenas» equivale a «existe una chica que es mala».)

(«Hay chicas buenas» equivale a «no todas las chicas son malas».)

(«No hay ninguna chica buena» equivale a «todas las chicas son malas».)

Estas cuatro reglas se denominan «negación de cuantificadores». Ahora podemos volver una última vez a la proposición sobre la falsificación de moneda y dotarla de cuantificadores y predicados. Para ello definimos los siguientes predicados:

Px: «x es una persona.»

Fy: «y es un billete de banco falsificado.»

Ay: «y es un billete de banco alterado.»

Rxy: «x produce y.»

Sxy: «x adquiere y.»

Cxy: «x pone y en circulación.»

Mx: «x es condenado a dos años de cárcel como mínimo.»

Respiremos hondo, que ahí viene la proposición:

Traducción literal: «Para todas las x y todos los y es válido lo siguiente: si x es una persona e y un billete de banco falsificado o alterado, entonces x será condenada a dos años de cárcel por lo menos si produce y o si adquiere y y lo pone en circulación.»

La restricción «x es una persona» parece a simple vista una perogrullada («¿qué va a ser si no?»), pero es importante delimitar exactamente el ámbito que abarcan las variables x e y, pues «para todas las x» se refiere efectivamente a todas las cosas.

¿Hace falta formular las leyes de esta manera tan minuciosa? Desde luego que nuestro Código Penal no consistiría nunca en una recopilación de fórmulas como la culebra del enunciado que acabamos de formular.

Esto no lo puede leer ninguna persona, y mucho menos un jurista. Sin embargo, los textos legales deberían ser tan coherentes desde el punto de vista lógico que al menos pudieran traducirse a un lenguaje formal sin que aparecieran ambigüedades o contradicciones. Hace ya tiempo que numerosos textos legales se procesan en sistemas informáticos que extraen conclusiones hasta cierto punto y son capaces de verificar argumentos jurídicos. Por esta razón, dos investigadores suizos, Stefan Höfler y Alexandra Bünzli, de la Universidad de Zúrich, han inventado un lenguaje artificial llamado «Controlled Legal German» (CLG, alemán jurídico controlado), que por un lado resulta comprensible y legible para los legos, incluidos los juristas, y por otro pretende evitar las ambivalencias propias de nuestro lenguaje natural. Se trata, por decirlo de alguna manera, de un subconjunto de la lengua alemana, en el que la sintaxis se ha simplificado y normalizado, el vocabulario es más restringido y cada concepto está definido con mayor precisión que en el lenguaje coloquial. Tan pronto se ha formulado un texto legal en este lenguaje artificial, puede traducirse inequívocamente a la lógica predicativa, que para ello se amplía con formulaciones como «está permitido», «es obligatorio», «está prohibido».

No siempre nos percatamos de las formulaciones ambivalentes. He aquí un ejemplo de la Ley del Tribunal Federal suizo: «La publicación de las resoluciones se efectuará en general de forma anónima». La expresión «en general» en esta frase puede tener dos sentidos contrapuestos: por un lado, el sentido de «en todos los casos, siempre», y por otro el de «habitualmente, aunque con posibles excepciones». ¿Es la primera vez que ha tropezado el lector o la lectora con esta expresión ambigua al leer la frase? Probablemente no. En el lenguaje artificial CLG, la palabra alemana equivalente a «en general» (grundsätzlich) indica en todos los casos que se admiten excepciones.

Otro ejemplo son los pronombres: «Los cantones podrán crear escuelas técnicas superiores, que contarán con una gestión autónoma». Para cualquier persona está claro que el pronombre relativo «que» se refiere a las escuelas y no a los cantones, pero en un lenguaje formalmente inequívoco no debe haber ningún margen para la interpretación. Por eso, en el CLG se establece que los pronombres solo podrán referirse al sujeto de la oración anterior, en este caso los cantones. Si se pretende decir otra cosa, habrá que especificar más y escribir, en este caso: «Los cantones podrán crear escuelas técnicas superiores; estas contarán con una gestión autónoma».

La lógica predicativa engloba de un modo muy natural toda la lógica proposicional. También permite integrar todas las reglas de deducción de la lógica proposicional, aunque los dos cuantificadores requieren todavía algunas reglas nuevas.

Examinemos por ejemplo el más famoso de los «silogismos» lógicos, es decir, de las deducciones válidas, que ya se formuló en la Antigüedad:

• Todos los humanos son mortales.

• Sócrates es un humano.

• Luego Sócrates es mortal.

En notación predicativa, esto se presenta así:

Hx significa que «x es un humano», Mx que «x es mortal» y s representa a Sócrates. ¿Cómo se puede demostrar?

Para hacerlo necesitamos otra regla de inferencia adicional, la llamada «sustitución universal» (SU), que establece que una proposición que es válida para todas las x, también lo es para toda sustitución concreta de x. Se trata de una consecuencia trivial del sentido del cuantificador, pero aquí se trata de la transformación formal de cadenas de signos. Así, el silogismo de Sócrates queda de este modo:

Una vez sustituidas las variables x, el silogismo se ha convertido en un caso que puede resolverse con el conocido modus ponens (MP).

Veamos un ejemplo un poco más complicado.

• Los lactantes son ilógicos.

• No despreciamos a nadie que sea capaz de superar a un cocodrilo.

• Despreciamos a todos aquellos que son ilógicos.

• Luego los lactantes no son capaces de superar a un cocodrilo.

Primero definimos los predicados Lx («x es un lactante»), Ix («x es ilógico»), Cx («x es capaz de superar a un cocodrilo»), Dx («despreciamos a x»), resultando la siguiente fórmula:

He aquí la demostración, de nuevo sobre fondo gris para los alérgicos a las fórmulas:

1. ∀x (Lx→Ix)

2. ¬∃x (Cx∧Dx)

3. ∀x (Ix→Dx)

En primer lugar nos desprenderemos del cuantificador existencial negado de la segunda línea mediante una negación del cuantificador. «No hay nadie a quien despreciemos y que sea capaz de superar a un cocodrilo» es lo mismo que «para todas las personas es válido que no pueden superar a un cocodrilo y al mismo tiempo ser despreciadas por nosotros».

4. ∀x¬(Cx∧Dx) (2 NC)

Ahora todos los enunciados están formulados con carácter universal y es posible aplicar a las expresiones que figuran entre paréntesis las reglas de la lógica proposicional, en primer lugar la de De Morgan:

5. ∀x (¬Cx∨¬Dx) (4 DM)

Este es de nuevo un caso para la regla de la implicación:

6. ∀x (→Dx→¬Cx) (5 impl)

Ahora tenemos una cadena de implicaciones que podemos desensamblar con ayuda del silogismo hipotético:

7. ∀x (Lx→Dx ) (1,3 SH)

8. ∀x (Lx→¬Cx ) (7,6 SH)

Y esta es la proposición formulada. Claro que hay que añadir que el enunciado n.º 7 dice que despreciamos a todos los lactantes, y yo, que soy padre, quiero distanciarme de semejante afirmación.

Las demostraciones en la lógica predicativa son un poco más difíciles que en la lógica proposicional, ya que es muy fácil equivocarse con los cuantificadores y llegar entonces a conclusiones como esta:

• Todos los humanos son mortales.

• Sócrates es mortal.

• Luego Sócrates es un humano.

Aunque este silogismo es válido para Sócrates, la conclusión es falsa, como se puede ver fácilmente si sustituimos Sócrates por «mi perro».

En la lógica predicativa tampoco es posible evitar las demostraciones sintácticas elaborando una tabla de verdad completa y resolviendo de este modo el problema por la vía semántica. Esto no funciona para enunciados con cuantificadores, porque con el cuantificador universal se formulan, según el caso, infinitos enunciados de una sola vez. Por esta razón, la cuestión de si la lógica predicativa es completa, es decir, si permite demostrar formalmente toda proposición verdadera, no es banal. De hecho sí lo es, pero la prueba no la aportó Kurt Gödel hasta 1929. Los matemáticos albergaron entonces la esperanza que lo mismo cabría decir de toda su ciencia, pero con la lógica predicativa sola todavía no es posible hacer matemáticas. Para ello hay que incorporar algunos conceptos básicos de las matemáticas, como conjuntos y números y operaciones como la suma y la multiplicación, pero tan pronto como se hace esto, el sistema resulta mucho más complejo. Dos años después de demostrar que la lógica predicativa es completa, el mismo Kurt Gödel desbarató toda esperanza de que las matemáticas pudieran llegar alguna vez a ser completas: siempre incluirá proposiciones verdaderas imposibles de demostrar. En el capítulo 10 se explica cómo lo hizo.

EJERCICIO     Ahora le toca a usted – Supongamos que son verdaderos los siguientes enunciados:

1. Ningún tiburón duda de que está bien armado.

2. Un pez que no sabe bailar el vals es de compadecer.

3. Ningún pez se siente suficientemente armado si no tiene por lo menos tres hileras de dientes.

4. Todos los peces, salvo los tiburones, son amables con los niños.

5. Los peces pesados no saben bailar el vals.

6. Los peces con tres hileras de dientes por lo menos no son de compadecer.

Demuestre que bajo estas premisas es correcta la siguiente proposición: «Todos los peces pesados son amables con los niños».

EJERCICIO     Ahora le toca a usted – Supongamos que son verdaderos los siguientes enunciados:

1. Ningún tiburón duda de que está bien armado.

2. Un pez que no sabe bailar el vals es de compadecer.

3. Ningún pez se siente suficientemente armado si no tiene por lo menos tres hileras de dientes.

4. Todos los peces, salvo los tiburones, son amables con los niños.

5. Los peces pesados no saben bailar el vals.

6. Los peces con tres hileras de dientes por lo menos no son de compadecer.

Demuestre que bajo estas premisas es correcta la siguiente proposición: «Todos los peces pesados son amables con los niños».

7     EJERCICIO MENTAL N.º 2:

    LA ISLA DE LOS MENTIROSOS

¡Bienvenido a la exótica isla de Bola-Trola! La peculiaridad de esta isla radica en que en ella viven dos clases de personas: unas siempre dicen la verdad y las otras mienten continuamente. Llamaremos a unas «veraces» y a las otras «mendaces». Por su aspecto exterior es imposible distinguir a unas de otras. Cuando usted se cruza con uno o varios habitantes de la isla, tiene dos opciones: o bien descubrir a qué categoría pertenecen sus interlocutores, o bien sonsacarles una determinada información sin que usted sepa si está hablando con veraces o con mendaces.

Ahora no vamos a reflexionar sobre si en la vida real es factible mentir continuamente. O peor todavía: ¡decir siempre la verdad! Porque en última instancia el extraño comportamiento de todos los isleños los convierte en veraces: basta con preguntar al interlocutor, al comienzo de la conversación, si un triángulo tiene tres esquinas y ya se sabe qué clase de persona es. De este modo es fácil calibrar correctamente todas sus respuestas. Nadie podría guardar un secreto, con lo que en poco tiempo seguramente la sociedad quedaría desarticulada.

No, en las adivinanzas se trata de sacar conclusiones lógicas de informaciones aparentemente incompletas. Quiero mostrar en este capítulo un método para resolver al menos la mayoría de los enigmas de forma casi automática. El método no funciona si se implica a demasiados habitantes insulares (véanse los ejercicios 7 y 8) o si el problema está formulado de forma abierta, es decir, si es el propio lector quien debe encontrar la pregunta correcta que le conduzca a la pista adecuada. Un típico problema abierto es el más conocido de los acertijos sobre mentirosos:

1. Arriba usted a Bola-Trola y quiere visitar la localidad principal. La carretera se bifurca y no hay letreros indicadores. Junto al cruce hay un lugareño tumbado al sol y usted no sabe, desde luego, a qué categoría pertenece. Usted solo le puede formular una pregunta y debe deducir de la respuesta cuál es el camino correcto para llegar a la capital.

Si no conoce todavía la solución a este problema, trate de hacerlo ahora. En todo caso, al final del libro figuran las soluciones a todos los problemas planteados.

Veamos ahora la clase de enigmas que pueden resolverse mediante un esquema. Supongamos que se cruza usted con dos isleños, Andrés y Beatriz. Usted les pregunta: «¿Quién de vosotros pertenece a los veraces y quién a los mendaces?» Andrés contesta: «O bien yo soy mendaz, o bien Beatriz es veraz». ¿Qué son Andrés y Beatriz?

Para resolver la adivinanza, formalizaremos un poco los enunciados. Escribiremos el predicado Vx por la frase «x es veraz». No hace falta introducir un predicado particular para los mendaces, ya que un mendaz es un «no veraz», representado por ¬Vx. Si un habitante a dice: «b es un mentiroso», escribiremos: a:«¬Vb».

Si me encuentro con dos habitantes existirán exactamente cuatro combinaciones posibles de veraces y mendaces, como en una tabla de verdad con dos proposiciones. En general, para n habitantes de Bola-Trola existen 2n posibles combinaciones.

En primer lugar trataremos de adivinar en cuál de los cuatro casos es cierta la respuesta de Andrés. El «o bien» lo interpretamos como la disyuntiva lógica, es decir, la o no excluyente. Va Vb ¬Va∨Vb

De momento se trata de una tabla de verdad normal y corriente. Sin embargo, hemos de dar un paso más. Examinemos por ejemplo la segunda línea de la tabla, donde Andrés dice una mentira, pero donde también se indica que Andrés es veraz y Beatriz es mendaz. Sin embargo, puesto que un veraz no puede mentir, este caso no puede darse y lo calificamos de «inconsistente». Ahora podemos comprobar la consistencia de los cuatro casos posibles y veremos que de ellos, tres son inconsistentes.

Esto significa que dichos casos inconsistentes no pueden darse en la realidad y solo queda una combinación posible: tanto Andrés como Beatriz son veraces.

EJERCICIO     Ahora puede usted exprimirse los sesos: le plantearé una serie de enigmas que podrá resolver con este método de la tabla de verdad completa. Al final del libro están las soluciones.

2. Se encuentra usted con un isleño, a quien llamaremos Carlos. «¿A qué categoría perteneces?» – «Si soy un veraz, entonces me como una escoba», contesta Carlos. ¿Ha de comerse la escoba?

3. En su camino se encuentra usted con dos habitantes de Bola-Trola, Diego y Elena, que se abrazan y besan en un banco público (entre las dos categorías no hay hostilidad, sino incluso relaciones románticas, pues después de una pregunta de prueba todo el mundo sabe a qué categoría pertenece el otro). «Hola, ¿a qué categoría pertenecéis?», les pregunta usted. Diego responde: «Si Elena es veraz, yo soy mendaz». ¿Qué son Diego y Elena?

4. Ahora conoce usted a un trío de isleños: Francisco, Georgina y Herminia. A la pregunta de qué son, Francisco contesta entre risas: «Todos somos mendaces». Las dos chicas también ríen y cuando Georgina ve la cara de pasmo que pone usted, añade: «No, en serio, solamente una o uno de nosotros es un veraz». Dicho esto, los tres vuelven a darse palmadas en las piernas partiéndose de risa.

5. Después se topa usted con otros tres habitantes de la isla, Inés, Juan y Kevin. Les interroga uno a uno, empezando por Inés: «¿Eres veraz o mendaz?» Sin embargo, Inés tiene un defecto al hablar y usted no entiende la respuesta, así que le pregunta a Juan: «¿Qué ha dicho Inés?». «Inés dice que es mendaz», contesta Juan. «No te creas ni una palabra de Juan», tercia Kevin, «pues miente». –«¿Y qué me dices de Inés?» –«Ella dice la verdad», contesta Kevin.

6. En un bar se hallan Luisa, Martina y Nuria, que sonríen al pasar usted. «¿Qué clase de mujeres sois?», pregunta usted. Por suerte, ninguna de ellas percibe la posible ambigüedad de la pregunta. «Martina y Nuria son de la misma categoría», dice Luisa. Usted reflexiona un instante y luego le pregunta a Nuria: «¿Son Luisa y Martina de la misma categoría?». ¿Qué contesta Nuria?

Veamos ahora dos problemas que no pueden resolverse con una tabla de verdad completa, pues habría de tener 2¹⁰⁰ líneas, una cantidad superior a un uno seguido de 30 ceros.

7. En Bola-Trola viven exactamente 100 personas. Preguntamos a la primera con que nos encontramos cuántas de ellas son mendaces. «Una», contesta el interpelado. Seguimos nuestro camino y preguntamos lo mismo al segundo habitante, que contesta: «Dos». Esto continúa así con todos y cuando preguntamos al último, este nos contesta: «Cien». ¿Cuántos mendaces existen realmente?

8. La situación es la misma, pero el primer interpelado contesta: «Por lo menos una». El segundo: «Por lo menos dos», y así sucesivamente, hasta que el último nos dice: «Por lo menos cien». ¿Cuántas personas mendaces hay en este caso?

8     EL RECATÁLOGO

    O CÓMO SE PUEDE EXAGERAR EL ORDEN

¡Literatura! ¡Kafka! ¡Hemingway! ¡Todo el día rodeada de libros! Estas eran las razones que movieron a Laura Cuerno a estudiar para ayudante bibliotecaria, o como dicen ahora: «auxiliar de biblioteconomía y documentación». Y efectivamente, ahora se encuentra en su primer empleo fijo en la biblioteca municipal, rodeada todo el santo día de libros. Sin embargo, apenas tiene ocasión para hojear en ellos. Las obras impresas que tiene sobre la mesa del escritorio parecen libros, pero en realidad son catálogos. Claro que no son catálogos de Ikea o de Jardiland, sino catálogos bibliotecarios, es decir, listas de libros.

Por supuesto que esto ya existe desde hace tiempo en formato electrónico, es posible acceder a estas listas en Internet y se puede buscar en el fondo de la Biblioteca Pública de Nueva York por conceptos clave. Al fin y al cabo, en su carrera ha estudiado cómo la interconexión en red permite conocer el contenido de muchos archivos y evitar así que acumulen polvo. No obstante, el jefe de Laura, Alfredo Colom, es un bibliotecario de la vieja escuela; ama los catálogos, tanto si vienen en gruesos volúmenes como si consisten en ficheros, archivos de microfichas o colecciones de papelitos manuscritos. Cuando Laura opina que esos catálogos ya están anticuados y son poco prácticos, él suele contestar mirándola por encima de sus gafas de leer: «Sí, pero si alguna vez falla Internet o deja de existir, siempre nos quedarán nuestros catálogos de siempre».

En las últimas semanas, el señor Colom ha dado una vuelta de tuerca más a su manía catalogadora. Quiere elaborar una cosa que los empleados de la biblioteca llaman bajo mano «el recatálogo»: «Registro de catálogos y listas de fondos de la biblioteca municipal de Torrenueva». En la sede central, Laura Cuerno se ha encargado, aunque a regañadientes, de tan ardua tarea, y en cada una de las 13 bibliotecas de barrio y escolares han encomendado a uno de los empleados la búsqueda de catálogos.

La semana pasada ha expirado el plazo fijado por Alfredo Colom para que todas las bibliotecas de barrio presentaran sus catálogos de catálogos. Ahora, cinco días después, han llegado los últimos retrasados. En la mesa de Laura se amontonan las 13 carpetas de anillas en las que cada sucursal de la biblioteca ha registrado los ficheros y registros de que dispone, incluidos los enlaces con archivos electrónicos. Las listas resultantes son considerables y Laura las ha repasado en los últimos días para eliminar duplicidades. Ahora le toca confeccionar un único catálogo de todos los catálogos de catálogos. Este supercatálogo no solo debe incluir todos los registros de los catálogos, sino también los propios catálogos, ya que Colom no sería Colom si no exigiera que los registros se guardaran después en las bibliotecas, para las personas interesadas en informarse de los catálogos locales.

A Laura le ha llamado la atención una incongruencia: la mayoría de sucursales se han limitado a anotar en la lista los catálogos ya existentes y enviarla a la central, pero tres de ellas —que Laura califica de «pelotilleras»— han incluido en sus listas un registro adicional, a saber, el de su catálogo de catálogos de barrio. ¿Qué hay que hacer con eso? Antes de cometer una equivocación, Laura decide consultar personalmente con su jefe.

Este la recibe con una sonrisa esperanzada.

—Señora Cuerno, ¿qué tal está? ¿Cómo va su trabajo con los catálogos? ¿Ha recibido todas las listas en el plazo previsto?

—Sí, hasta este punto todo marcha sobre ruedas —responde Laura—. Pero hay un aspecto en el que no sé cómo proceder.

Le explica al jefe el problema y le pregunta si los catálogos de barrio debieran mencionarse a sí mismos.

—Bueno, yo como bibliotecario y experto en catálogos —dice Colom mirándola como es su costumbre por encima de las gafas de leer, lo que al parecer sirve para subrayar su profesionalidad— lo tengo claro: las carpetas de anillas estarán al final en la respectiva biblioteca, por lo que forman parte del fondo y han de figurar en la lista.

—Sí, pero…

—¡No hay pero que valga! ¡Si es de pura lógica! —la interrumpe Colom acallando su protesta—. Un catálogo incompleto no es un catálogo. Con mucho gusto comprobaré los detalles, pero para ello necesito saber primero cómo han procedido las distintas bibliotecas de barrio.

O sea, piensa Laura, que quiere saber cuáles son los bibliotecarios que le hacen la pelota y cuáles no.

—¿Una lista? —pregunta ella dudando.

—Sí, una lista. Un registro. Un catálogo, si lo prefiere —con la última frase se dibuja una ancha sonrisa en la cara de Colom, y Laura no sabría decir si se trataba de un chiste o de si la perspectiva de otro catálogo más le había hecho entrar en éxtasis.

—Es decir, un catálogo de todos los catálogos de catálogos de Torrenueva en que consten ellos mismos? —pregunta insegura.

—Así es —contesta Colom—. Y por supuesto, también el catálogo de todos los catálogos de catálogos en que no consten ellos mismos.

El bibliotecario no tiene dificultad alguna en pronunciar esta frase de corrido.

—Y haga el favor de tenerlo preparado para esta tarde, quiero que esto esté terminado lo antes posible —añade el jefe.

Tres horas después, Laura vuelve al despacho del jefe, con dos delgadas carpetas bajo el brazo.

—Para eso no hacía falta que volviera a mi despacho —dice Colom, que parece estar trabajando sobre un montón de documentos. Laura ve en la pantalla de su ordenador los naipes del solitario… así que era para eso que el jefe necesitaba el potente ordenador que se compró hace poco. Y tampoco parece estar tan ocupado.

—Lo mismo pensaba yo, pero hay una cuestión en la que no me aclaro —dice Laura, quien ante la mirada interrogativa de Colom prosigue con su explicación—. Uno de los catálogos me ha costado relativamente poco tiempo. El catálogo de todos los catálogos de catálogos en los que figuran ellos mismos: no son más que tres.

—Ah, seguro que se trata de los buenos colegas que gracias a su amplitud de miras han incluido de paso el nuevo catálogo, ¿no?

—Exactamente —responde Laura—, pero la segunda lista ya no es tan fácil. Está bien que hayamos llamado a la cosa «catálogo de todos los catálogos de catálogos en los que no figuran ellos mismos», pues de lo contrario se trataría en la práctica de nuestro entero catálogo de catálogos, menos los tres mencionados.

—No quería hacerle trabajar innecesariamente —sonríe Colom. ¿Se ha percatado realmente del problema? Laura no está segura.

—Por tanto, me he limitado a registrar los diez catálogos de catálogos de los barrios en los que no constan ellos mismos.

—Muy bien —dice Colom, quien parece un poco impaciente, por lo visto todavía quiere acabar el solitario antes de irse a casa—. ¿Cuál es entonces el problema?

—Me he preguntado si debo incluir el catálogo mismo en la lista.

—¿Qué catálogo?

—Bueno, el catálogo de todos los catálogos de catálogos en los que no figuran ellos mismos —balbucea Laura, que ha estado a punto de enumerar un catálogo más de la cuenta.

—Hum —suelta Colom, que ahora tiene que reflexionar un rato—. Es cierto que no se trata de un catálogo permanente, pues se trata de establecer una normativa común, de modo que al final solo habrá catálogos de barrio que se incluyan a sí mismos. Entonces la lista estará vacía. Pero mientras tanto, la cosa es un catálogo, y por tanto hay que catalogarlo. O sea que inclúyalo en la lista.

—Pero ¿en cuál de ellas? —pregunta Laura desorientada—. Lo he probado, y puesto que no se contiene a sí mismo, lo he inscrito en él mismo, si se puede decir así. Es decir, en el catálogo de todos los catálogos de catálogos en los que no figuran ellos mismos. Sin embargo, a partir de ese momento ya figura en él mismo, por lo que debería constar en la lista de catálogos de catálogos en que figuran ellos mismos.

—¿La lista de tres?

—Exactamente. En ella lo he inscrito, y por consiguiente he de tacharlo de él mismo, pues ya no cumplía el criterio de no figurar en él mismo.

Ahora aparece un pliegue que cruza toda la frente de Colom y se torna cada vez más profundo. Parece que ha captado el problema.

—Entonces, como el catálogo ya no se contenía a sí mismo, no podía estar en la lista corta, ¿no es cierto?

—Así es.

—Por lo tanto, había que ponerlo de nuevo en la otra lista, ¿no?

—Correcto.

—Por consiguiente, volvía a figurar en él mismo… por este punto ya hemos pasado.

Colom se ha levantado y camina inquieto de un lado a otro del despacho. El experto en catálogos se ha topado con un problema de catalogación que por lo visto no sabe resolver.

—¿Sabe qué? —dice finalmente—, deme las dos carpetas, que ya no llamaremos catálogo sino simplemente… «relación». De este modo ya no formarán parte de ningún grupo y el problema está resuelto.

Laura se da por satisfecha con esta solución y ya está pensando en cerrar e irse a casa.

—Una pregunta más, señor Colom…

—¿Qué más quiere?

—¿Cree que deberíamos compartir el punto de vista de los peloti…, quiero decir, de las tres bibliotecas de que el catálogo se contenga a sí mismo? No podría ser que pronto volvamos a tener el mismo problema?

—¿Por qué? ¿Qué clase de problema? —pregunta el bibliotecario jefe—. Un catálogo de catálogos ha de contenerse a sí mismo. En general, nunca habrá suficientes catálogos —afirma y mientras habla desconecta el ordenador, agarra la cartera y se pone el abrigo.

—Gracias, señora Cuerno —le dice a la pasmada ayudante de biblioteca mientras la empuja suavemente hacia la puerta—. Después de tanto estrujarnos el cerebro merecemos un descanso.

MALAS NOTICIAS PARA FREGE

En la biblioteca han encontrado una solución relativamente elegante al problema (aunque la cuestión de si un catálogo puede contenerse a sí mismo no está del todo resuelta, volveremos sobre ella más adelante). En la lógica y la matemática, en cambio, un problema similar ha dado lugar a grandes distorsiones.

Nuestro ejemplo se inspira en la «paradoja del barbero» que utilizó el matemático británico Bertrand Russell (1872-1970) para ilustrar la antinomia descubierta por él en 1902 (aunque dicha paradoja no fuera invención suya): supongamos que en una pequeña ciudad hay un único barbero (hombre). Todos los hombres de la ciudad aprecian un afeitado perfecto, y para ello se afeitan ellos mismos o van al barbero. Esto significa que el barbero afeita únicamente a los hombres que no se afeitan a sí mismos. La pregunta es: ¿quién afeita al barbero?

Análogamente a nuestra historia de la biblioteca, en este caso también podemos generar una contradicción: supongamos que el barbero no se afeita a sí mismo, lo que implica que le afeita el barbero. Esto quiere decir que se afeita a sí mismo, en cuyo caso no puede ir al barbero a que le afeite, o sea que no se afeita a sí mismo… y así sucesivamente, en un vaivén interminable sin conclusión clara.

La antinomia propiamente dicha de Russell no se refería, desde luego, a barberos o catálogos, sino a la teoría matemática de conjuntos, desarrollada en las décadas anteriores por el matemático alemán Georg Cantor. En los albores del siglo XX, la teoría de conjuntos era una de las principales líneas de avance de la matemática, que parecía constituir un nuevo fundamento sobre cuya base podrían desarrollarse todas las disciplinas matemáticas. Por el hecho de que prácticamente todas las disciplinas matemáticas se basan en números, el primer paso consiste en desarrollar a partir de la teoría de conjuntos el cálculo con números enteros, es decir, la aritmética. El lógico y aritmético alemán Gottlob Frege (1848-1925) estaba terminando el segundo tomo de sus Fundamentos de la aritmética cuando recibió una carta de Russell, en la que este le exponía su antinomia.

La noticia debió de ser devastadora para Frege: la obra de su vida había quedado destrozada. Ya no podía cambiar nada en el libro, limitándose a añadir un breve epílogo: «No hay nada más terrible para un escritor científico que ver tambalearse los fundamentos de su obra antes de terminar el libro. Esta es la situación en que me hallo desde que recibí una carta del señor Bertrand Russell, cuando la impresión de este tomo ya estaba casi concluida…».

Tal vez se pregunte el lector por qué le cuento todo esto, cuando al fin y al cabo de trata de un problema matemático y este libro trata de la lógica. ¿Qué tienen que ver la teoría de conjuntos y la lógica?

Mucho. Resulta que cualquier enunciado de la lógica predicativa se puede interpretar como un enunciado sobre conjuntos. Tomemos por ejemplo el silogismo «Todos los humanos son mortales. Sócrates es humano. Luego Sócrates es mortal». En la teoría de conjuntos la conclusión se formularía del modo siguiente: «El conjunto de seres humanos es un subconjunto del conjunto de seres mortales. Sócrates es un elemento del conjunto de seres humanos. Luego Sócrates es un elemento del conjunto de seres mortales.»

Si el lector o lectora es una de las personas que en las décadas de 1960 y 1970 conocieron en la escuela primaria la teoría de conjuntos y solo recuerda que en aquel entonces pasaba el rato dibujando círculos de colores alrededor de grupos de manzanas y peras sin entender bien qué sentido tenían, no se preocupe: se trata justamente de eso, de dibujar círculos que rodean objetos para agruparlos, formando los susodichos conjuntos. Esta es, en efecto, la operación matemática básica, y es asombroso cuántas cosas interesantes se derivan de ella.

En vez de dibujar círculos, en la matemática se utilizan también las llaves ({ }) para reunir objetos en un conjunto. Por ejemplo, podemos formar un conjunto C con tres elementos:

El hecho de que un objeto sea un elemento del conjunto se indica del modo siguiente:

Los elementos pueden consistir en cualquier cosa del mundo material o espiritual, siempre que esté claro de qué se está hablando. Además, uno o varios conjuntos pueden ser a su vez elementos de otros conjuntos.

Siempre que el número de elementos de un conjunto sea finito es posible enumerarlos completamente; después hay que pensar otra cosa. Los conjuntos también pueden abarcar un número infinito de elementos, lo que se puede indicar mediante puntos suspensivos:

Los puntos suspensivos significan: así sucesivamente hasta el infinito.

También se puede definir —y ahora nos acercamos a la lógica— una propiedad y formar entonces el conjunto de objetos que tienen dicha propiedad:

Esto se lee así: «B es el conjunto de todos los x para los que es válido lo siguiente: x es o ha sido presidente del Gobierno». El conjunto comprende, en el caso español, seis elementos (si contamos a partir de la Transición hasta la entrada de este libro en imprenta), desde Adolfo Suárez hasta Mariano Rajoy.

Los conjuntos definidos de este modo también pueden contener una infinitud de elementos, y en algunos casos ninguno, como por ejemplo el siguiente:

En este caso, M es un conjunto vacío que no contiene nada y se designa también con el símbolo Ø.

Un axioma —es decir, un principio incuestionable— de la teoría de conjuntos es que es posible formar conjuntos definiendo una propiedad cualquiera y construyendo entonces el conjunto que comprenda todos los elementos que tienen esa propiedad. En su libro, Frege lo denominó el «axioma general de comprensión», precisamente el axioma que Russell utilizó después para rebatir toda la teoría de conjuntos.

La propiedad que define un conjunto puede considerarse también un predicado lógico. Si Hx representa el predicado «x es un ser humano», de este predicado podemos derivar directamente el conjunto de todos los seres humanos:

El anunciado lógico Hs (= Sócrates es un ser humano) se traduce entonces en la teoría de conjuntos por s ∈ H.

Si contemplamos dos conjuntos, suele ocurrir que hay elementos que están contenidos en ambos, en uno solo de ellos o en ninguno. En general esta situación puede describirse mediante un gráfico en el que cada uno de los cuatro recintos cerrados puede contener elementos o no. Tomemos por ejemplo el conjunto M de todos los muebles y el conjunto P de todos los objetos de cuatro patas:

En cada una de las cuatro regiones he incluido un elemento a modo de ejemplo. Si el conjunto M está definido por el predicado Mx («x es un mueble») y el conjunto P por el predicado Px («x tiene cuatro patas»), se puede formar fácilmente el «complemento» de M, a saber, el conjunto de todos los elementos que no están comprendidos en M o no tienen la propiedad Mx, es decir, todos los «no muebles»:

o bien

Los cuatro recintos cerrados en que se divide el mundo de todos los objetos pueden reunirse de 16 maneras distintas en subgrupos, lo que se corresponde exactamente con los 16 posibles operadores lógicos entre dos enunciados. Veamos por ejemplo los siguientes tres conjuntos:

En el primer caso se trata de todos los elementos que están contenidos tanto en M como en P, es decir, los muebles de cuatro patas. En la teoría de conjuntos, esto se denomina «intersección», que se corresponde con la conectiva de conjunción en la lógica:

No en vano se asemejan los símbolos de «intersección» y «conjunción». El segundo conjunto es la unión de los elementos de M y P en un nuevo conjunto: todo lo que tiene cuatro patas o es un mueble. Esto se corresponde con la conectiva de disyunción (no excluyente, claro):

¿Cómo se puede describir el tercer conjunto? Están resaltados todos los recintos que no pertenecen a M, es decir, todos los objetos que no sean muebles que no tengan cuatro patas. Dicho de otro modo: todos los elementos que formen parte de «no M» o de P. Lo llamaremos el conjunto C :

La última transformación se deriva de la regla de implicación. La zona resaltada abarca exactamente las x para las que es válida la proposición: si son muebles, entonces tienen cuatro patas.

En este punto nos topamos de nuevo con la definición de la conclusión lógica que se contradice un poco con la intuición. Tal vez sea mejor describir el conjunto del modo siguiente: se trata de «los elementos que o bien no son muebles, o si lo son, entonces tienen en todo caso cuatro patas».

Los cuantificadores de la lógica de predicados también pueden traducirse sin problemas a la teoría de conjuntos. Veamos por ejemplo el cuantificador existencial:

Este es el enunciado: «existen muebles de cuatro patas». En la teoría de conjuntos se dirá: «la intersección de M y P no es el conjunto vacío».

El silogismo clásico de Sócrates mortal también puede traducirse sin problemas a la teoría de conjuntos:

«Todos los humanos son mortales» significa justamente que todo elemento del conjunto H está incluido asimismo en el conjunto M. En la teoría de conjuntos también se puede decir que H es un subconjunto de M, que expresado mediante una fórmula se expresa así: «H⊂M». Del hecho de que Sócrates es un elemento de H se deduce que también es un elemento de M.

Los orígenes de la teoría de conjuntos han sido tachados de «ingenuos» porque al principio empleaba efectivamente los términos «conjunto» y «elemento» sin definirlos con precisión, de forma parecida al griego Euclides, quien hablaba en su geometría de «puntos» y «rectas» y apelaba a la percepción. Sin embargo, a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX, los matemáticos pretendían cimentar su ciencia sobre un fundamento axiomático totalmente formal. En lugar de utilizar conceptos de la percepción, definían qué era un «cálculo». Esto significa que se define una reserva básica de signos a utilizar y se establecen unas cuantas reglas sobre las combinaciones de signos que representan fórmulas correctas, es decir, sobre la manera de transformar una combinación de signos en otra. Además se formulan los llamados axiomas, o combinaciones de signos cuya verdad se da por supuesta. Esto se hace con la esperanza de que semejante cálculo esté libre de contradicciones, es decir, que no permita deducir una proposición y al mismo tiempo su contraria. En un sistema contradictorio es posible demostrar cualquier bobada.

El matemático Frege estaba trabajando en esta fundamentación axiomática de la teoría de conjuntos y la aritmética basada en ella cuando recibió la carta de Russell. Uno de sus axiomas era el ya citado «axioma general de comprensión», que dice que para un predicado Px cualquiera es posible construir el conjunto de todos los objetos que tienen esa propiedad. La notación que empleaba Frege de los operadores lógicos y los conjuntos era sumamente arbitraria, pero actualmente el axioma se formularía de este modo:

«Existe un conjunto y de manera que para todos los x es válido lo siguiente: x es un elemento de y si, y solo si, x tiene la propiedad P.»⁸

Téngase en cuenta que no se trata de saber si este conjunto comprende realmente algún elemento. Así, por ejemplo, podemos definir para P la propiedad «x es un ser extraterrestre», en cuyo caso el axioma dice que de este modo puedo crear el conjunto de todos los extraterrestres, que posiblemente sea un conjunto vacío.

A simple vista, el axioma parece banal, pero Frege ya se sentía incómodo con él incluso antes de recibir la nueva de Russell. En el epílogo ya mencionado escribió: «Siempre me he dicho que no es tan plausible como los demás y como debería ser en realidad una ley de la lógica. Me habría gustado prescindir de este fundamento si hubiera encontrado algo que lo sustituyera». En otras palabras: no las tenía todas consigo, pero necesitaba la regla para desarrollar su aritmética formal.

Para construir su antinomia, Russell eligió una propiedad muy particular, a la que luego aplicó el axioma de Frege, a saber, la propiedad «x no se contiene a sí mismo como elemento». También esto parece banal a primera vista, no en vano se aplica a la mayoría de conjuntos. El conjunto de todas las sillas no es una silla, el conjunto de todos los humanos no es un humano. Pero convertir todos esos conjuntos que no se contienen a sí mismos en un nuevo conjunto z, como permite el axioma de Frege, da lugar a una fórmula extraña, pues en este caso tendremos:

Esta proposición es verdadera para todos los objetos del universo, tanto si forman parte del conjunto z como si no. Por ello también se puede reemplazar x por el propio conjunto z , de manera que obtenemos:

Esto significa que z es un elemento de z si, y solo si, no es un elemento de z. El catálogo de todos los catálogos en el que no figura él mismo se contiene a sí mismo si, y solo si, no se contiene a sí mismo. El barbero se afeita a sí mismo si, y solo si, no se afeita a sí mismo. Un enunciado es lógicamente equivalente a su contrario: un cálculo que produce este resultado no sirve de nada. Porque es fácil comprobar que con este cálculo son verdaderos y falsos al mismo tiempo todos los enunciados.

¿Qué ocurre entonces con los demás catálogos que el señor Colom todavía consideraba legítimos, a saber, los catálogos que se contienen a sí mismos?

El supuesto de que esos conjuntos existen conduce no tan directamente a una contradicción. Pero ¿puede un conjunto contenerse a sí mismo como elemento? ¿Se puede, por ejemplo, crear «el conjunto de todos los objetos matemáticos», que a su vez sería, desde luego, un objeto matemático y por tanto se contendría a sí mismo? Y ¿qué sucede con el «conjunto de todos los conjuntos»?

Que estos no pueden existir ya lo había demostrado Georg Cantor en 1899. Su demostración se basó en el hecho de que el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto siempre será «realmente más grande» que el propio conjunto (lo que esto significa no vamos a dilucidarlo aquí); en suma, que no puede haber un conjunto que contenga todos los conjuntos. Pero también una reflexión elemental demuestra que los conjuntos que se contienen a sí mismos son problemáticos.

Supongamos que C es uno de esos conjuntos que se contienen a sí mismos. Entonces podemos representarlo del modo siguiente:

En esta fórmula, a, b, c… son los demás elementos no definidos concretamente de C, de número finito o infinito. Podemos sustituir C en el lado derecho:

Y así sucesivamente. El resultado es una secuencia infinita de expresiones intercaladas entre llaves, lo que no está prohibido de por sí —el concepto de infinito se utiliza a menudo en la matemática—, pero sí produce incomodidad.

¿Cómo salieron la matemática y la lógica de este atolladero? Hacía falta encontrar un fundamento que evitara estas antinomias, pero que a pesar de todo permitiera generar la compleja y rica estructura de la matemática moderna.

El propio Russell propuso la llamada «teoría de tipos», en la que los objetos se clasifican en una jerarquía estricta y cada objeto no puede contener como elementos más que objetos de un tipo inferior. De este modo, ningún conjunto puede contenerse a sí mismo como elemento y la formación de estos superconjuntos contradictorios está vedada por definición.

Sin embargo, la mayoría de matemáticos consideraron que esta teoría de tipos era por un lado arbitraria y por otro muy rígida. Al final se impuso otra fundamentación de la teoría de conjuntos, llamada de Zermelo-Fraenkel por sus creadores, Ernst Zermelo (1871-1953) y Abraham Adolf Fraenkel (1891-1965).⁹ En esta variante de la teoría de conjuntos no se prescribe estrictamente qué objeto puede ser elemento de qué conjunto. Comprende además un axioma que se corresponde con el axioma general de comprensión de Frege. Por tanto, permite crear para cada propiedad un conjunto de todos los objetos que tengan esa propiedad, pero siempre dentro de un superconjunto fijo. Además existe un axioma que limita la intercalación recursiva de conjuntos y en particular impide que los conjuntos se contengan a sí mismos como elemento.

Este axioma es el llamado «axioma de regularidad» y dice que todo conjunto no vacío contiene un elemento que tiene con el propio conjunto un conjunto de intersección vacío:

∀ x (x ≠ Ø→∃y ((y ∈ x )∧ (x ∩ y = Ø)))

El conjunto mencionado más arriba, que se contiene a sí mismo, vulnera este axioma, pues es posible formar el conjunto C1 = {C} que no contiene más que un elemento. Y el conjunto de intersección de C1 y C contiene entonces C, dado que C se contiene a sí mismo.

A finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX, los planteamientos que condujeron al hundimiento de la teoría de conjuntos ingenua y a su refundación axiomática eran nuevos y revolucionarios, pero las paradojas en que se basaban eran en parte archiconocidas. El argumento de Cantor de que no puede existir el conjunto de todos los conjuntos era una forma perfeccionada del argumento de la existencia de dios formulado por Anselmo de Canterbury en el siglo XI. Este decía: si se puede pensar algo que sea más grande que aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande, entonces aquello más allá de lo cual no se puede pensar nada más grande es algo más allá de lo cual sí se puede pensar algo más grande. En la nomenclatura de Cantor, esto se expresaría así: si existe un conjunto más grande que el conjunto de todos los conjuntos (por ejemplo, el conjunto de sus subconjuntos), entonces no puede ser el conjunto de todos los conjuntos. A Cantor no se le habría ocurrido deducir de ello la existencia de dios, por mucho que fuera un hombre muy creyente.

En el capítulo siguiente he recopilado un pequeño compendio de paradojas que en parte ya se conocen desde hace siglos.

9     CUANDO LA LÓGICA SE VUELVE LOCA

    O FAMOSAS PARADOJAS Y CÓMO SE RESUELVEN

De las paradojas se han ocupado con fruición grandes y no tan grandes pensadores desde la Antigüedad. Cuentan que el filósofo Zenón de Elea ya conocía cuarenta paradojas, de las que diez todavía se conocen actualmente y dos están recogidas en este capítulo.

Una paradoja es una historia que lleva nuestro pensamiento a un terreno resbaladizo. Comienza como si nada y llega a un resultado que no encaja en nuestro sentido común, o incluso conduce a dos resultados que se contradicen diametralmente, aunque ambos pueden ser verdad.

No todo lo que puede considerarse una paradoja es algo que interese efectivamente a los estudiosos de la lógica. Un ejemplo de esto es la «paradoja del cumpleaños»: ¿Cuántas personas tienen que acudir a una fiesta de cumpleaños para que la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día sea superior al 50 %? El número es asombrosamente pequeño: basta con que vengan 23 invitados. La mayoría de las personas dirían que tendrían que ser muchos más. Esto se debe tal vez a que confunden la pregunta con la cuestión de la probabilidad de que dos personas cumplan años en un determinado día del año, cuando en realidad se trata de un día cualquiera. Sin embargo, el asunto no tiene nada paradójico, sino que solo demuestra que nuestra intuición no está muy desarrollada en lo que a las probabilidades se refiere.

Tampoco las «grandes paradojas» que se describen a continuación constituyen en todos los casos grandes complicaciones lógicas. Las he recogido en la lista porque a pesar de todo conducen nuestro pensamiento por la vía equivocada.

LA PARADOJA DE AQUILES

La más famosa es seguramente la paradoja de Zenón de Elea que se ilustra en la cubierta de este libro. La historia nos habla del gran Aquiles y de una pobre e insignificante tortuga. El héroe de Troya y el reptil se retan a una carrera; puesto que Aquiles es mucho más rápido, le concede al animal una cierta ventaja. Zenón argumenta que Aquiles nunca logrará adelantar a la tortuga. Tan pronto él ha recorrido la distancia de ventaja, ella habrá avanzado un tramo, y una vez superado este tramo, ella habrá recorrido otro… y así sucesivamente. La distancia que les separa es cada vez más corta, pero Aquiles siempre está corriendo para alcanzar el punto en que se encuentra la tortuga, que mientras tanto se aleja de nuevo del mismo.

Hoy en día, esta paradoja ya no confunde a casi nadie. Podemos hacer un cálculo basado en un ejemplo: supongamos que Aquiles recorre diez metros en un segundo, que es la velocidad de un buen atleta de 100 metros lisos, pero la tortuga, en cambio, solo avanza diez centímetros en un segundo. Digamos que su ventaja de partida es de cien metros.

Comienza la carrera. Al cabo de un diez segundos, Aquiles está en el punto en que ha arrancado la tortuga, pero esta ha avanzado mientras tanto un metro, o sea, se encuentra en el punto 101. Para salvar este metro, Aquiles necesita una décima de segundo, tiempo en que la tortuga recorre un centímetro. Esta distancia la supera Aquiles en la siguiente milésima de segundo… y así sucesivamente. Si sumamos todos estos tiempos, el resultado es el siguiente:

Y el punto en que Aquiles alcanza a la tortuga se encuentra ya a poca distancia de la marca de 100 metros, a saber, en:

Hoy en día no es ningún problema para nosotros calcular con puntos suspensivos, que representan un concepto matemático, a saber, el cálculo infinitesimal, que permite sumar una cantidad infinita de números y obtener un resultado finito. De hecho se trata de un logro del siglo XVII, y para los antiguos griegos la idea de que la suma de una cantidad infinita de números diera un resultado finito era cuando menos insólita.

Claro que Aquiles hará bien en no perder el tiempo con estas cavilaciones: si cada vez que alcanza el punto en que se encontraba antes la tortuga se detiene, aunque solo sea una millonésima de segundo, nunca alcanzará a su adversaria.

LA PARADOJA DE LA OMNIPOTENCIA

Esta paradoja es un nuevo intento de introducir la lógica en el debate religioso, aunque la experiencia enseña que en cuestiones de fe las deducciones no nos llevan muy lejos. Esta vez no se trata de demostrar la existencia de dios, sino todo lo contrario, o para ser más precisos: de probar la inexistencia de un dios todopoderoso. Si dios es omnipotente, dice el argumento, ¿puede crear entonces una piedra tan pesada que ni siquiera él mismo pueda levantarla?

La estructura de la paradoja recuerda al «conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elemento». En lenguaje lógico podemos formularla del modo siguiente (me ahorraré por esta vez el desarrollo de las fórmulas):

Si s es el ser omnipotente, entonces son válidas las siguientes dos proposiciones:

Con respecto a todas las piedras x es válido que s puede levantar x.

Con respecto a todos los seres y es válido que s puede crear una piedra x que y no es capaz de levantar.

(La segunda proposición demuestra, por cierto, que solo puede existir un único ser omnipotente. Únicamente en las religiones monoteístas existen dioses todopoderosos; en las demás, los dioses son imperfectos e incluso se guerrean entre sí.)

Ahora procedemos del mismo modo que Bertrand Russell y sustituimos en la segunda proposición la y por el ser omnipotente s. Con respecto a la piedra x es válido lo siguiente:

• Según la proposición 1: s puede levantar x.

• Según la proposición 2: s no puede levantar x.

Por consiguiente, de las premisas se deriva una proposición y la contraria. Desde el punto de vista puramente lógico podemos sacar entonces de inmediato la conclusión de que de premisas contradictorias es posible deducir cualquier cosa, por lo que aquellas son inadmisibles. ¿Significa esto que la teología pierde el suelo bajo los pies del mismo modo que la teoría de conjuntos a causa de la antinomia de Russell?

Difícilmente. Los teólogos y filósofos han discutido durante siglos sobre el problema y han propuesto diversas soluciones posibles. A fin de cuentas, de lo que se trata es de saber si un ser omnipotente es capaz de realizar algo lógicamente imposible. En lugar de la piedra también se le podría reclamar que creara un triángulo de cuatro ángulos o un número primo divisible entre 4. La respuesta que más me gusta es la de los fundamentalistas escolásticos: un ser que ha creado las leyes de la lógica es perfectamente capaz de situarse por encima de ellas y crear una piedra tan pesada que no pueda levantarla ni él mismo.

LA PARADOJA DE BERRY

Esta paradoja la contó por primera vez Bertrand Russell en 1908 y por lo visto la inventó un bibliotecario de Oxford llamado G. G. Berry. Trata de un extraño número que es el menor número natural que no se puede describir con menos de catorce palabras.

La idea subyacente es que el idioma inglés, como cualquier otra lengua, tiene un número finito de palabras, por lo que solo puede formarse un número finito de combinaciones de menos de catorce palabras. Serán relativamente pocas las combinaciones que designen un número: «el número de ángulos de un cubo» (8), «el número primo de dos cifras más pequeño» (11), «un millar» (10³). Es muy posible que existan varias cadenas de palabras que describan el mismo número. En todo caso, la cantidad de números que pueden describirse con catorce palabras como máximo es finita. Con respecto a los demás se puede decir (conforme al llamado principio del buen orden) que uno de ellos es el más pequeño, es decir, el menor número natural que no se puede describir con menos de catorce palabras. Ahora bien, esta expresión consta exactamente de catorce palabras, de modo que el número no es lo que dice ser.

Supongamos que el vocabulario de una lengua es de un millón de palabras. Esta lengua permitiría formular 1.000.000¹⁴ combinaciones posibles de catorce palabras como máximo, una cantidad equivalente a 10⁸⁴. Es un número tan grande que resulta difícil de imaginar (es casi tan grande como el número de átomos que hay en el universo). La mayor parte de estas combinaciones carecen de sentido y la gran mayoría de las demás no designan ningún número, pero en todo caso esa cantidad comprende todos los números que pueden describirse con menos de quince palabras.

Si procedemos de esta forma sistemática, seguro que al analizar las 10⁸⁴ expresiones también hemos examinado la expresión «el menor número natural que no se puede describir con menos de quince palabras». ¿Qué número le hemos asignado? Esta reflexión demuestra que es un error pensar que existe una relación inequívoca entre expresiones lingüísticas y números. A pesar de ello, la paradoja es muy bonita, y con su ayuda incluso es posible —si se traduce a un cálculo matemático formal— demostrar el famoso teorema de incompletitud de Gödel, como veremos en el siguiente capítulo.

Otra bella paradoja emparentada con la de Berry es la paradoja de los números interesantes: muchos números, incluso muchos números muy grandes, son interesantes. A algunos no se les nota a simple vista; por ejemplo, 33.550.336 es el quinto número perfecto, es decir, un número igual a la suma de todos sus divisores.¹⁰ Pero incluso el mayor forofo de los números tendrá que reconocer que no todos ellos le parecen realmente interesantes. Entonces, si aplicamos de nuevo el principio del buen orden, entre los números no interesantes tiene que haber uno que sea el más pequeño. ¿El más pequeño de los números no interesantes? Interesante, interesante…

LA PARADOJA DE LAS ESMERALDAS VERULES

En este libro tratamos casi exclusivamente de procesos deductivos y no de operaciones inductivas. La lógica es deductiva porque siempre saca sus conclusiones de unas premisas dadas, a las que no añade ningún dato nuevo. La inducción, en cambio, es el método de las ciencias empíricas, que recogen datos del mundo real y formulan hipótesis que después se confirman o rebaten a la luz de nuevos datos, pero nunca acaban de demostrarse definitivamente.

Hay unas cuantas paradojas que tienen que ver con la inducción y ponen a prueba nuestro pensamiento lógico (véase también la «paradoja del cuervo»). Una de ellas es la «nueva adivinanza inductiva de Goodman», elaborada por el filósofo estadounidense Nelson Goodman (1906-1998), y pone en tela de juicio la posibilidad de utilizar datos del pasado para predecir el futuro. Está claro que no es una paradoja para comentar en la tertulia del bar, sino más bien para un debate de teoría científica.

Las esmeraldas son verdes, ¿no? Pues no, las esmeraldas son verules. Lo que pasa es que definimos una nueva propiedad, llamada verul. Un objeto hallado antes del 1 de enero de 2020 es verul si es verde. En cambio, un objeto hallado por primera vez a partir del 1 de enero de 2020 será verul si es azul.

Nótese que un objeto verul no cambia de color en la fecha indicada; se trata de una convención lingüística bastante absurda, como por ejemplo «Raider se llama ahora Twix».

Examinemos estas dos proposiciones:

1. Todas las esmeraldas son verdes.

2. Todas las esmeraldas son verules.

Las dos proposiciones dicen cosas distintas: la primera afirma que las esmeraldas son verdes independientemente de la fecha en que se extraigan de las entrañas de la Tierra. La segunda proposición establece que las esmeraldas halladas antes del 1 de enero de 2020 son verdes y las que se obtengan después de esa fecha son azules.

La paradoja es esta: todas las esmeraldas que se han encontrado hasta ahora eran verdes. Por tanto, todo hallazgo nuevo apoya la hipótesis n.º 1. Pero también todas las esmeraldas conocidas hasta ahora son verules, y de momento también toda esmeralda que se encuentre será verul. Esto significa que todo nuevo hallazgo de una esmeralda verde también apoya la hipótesis n.º 2. Y apoya toda afirmación que se quiera inventar sobre las esmeraldas, siempre que se refiera a hallazgos futuros y nosotros acuñemos un término para designarla.

El principal argumento frente a tales constructos es el de la «cuchilla de afeitar de Ockham», un principio que se aplica desde el siglo XVII en la ciencia: si existen varias explicaciones de un hecho empírico, entonces conviene dar preferencia a la más simple de todas, a saber, la que formule menos supuestos adicionales. Así, en el caso de las esmeraldas podemos decir: el supuesto de que a partir de una fecha fijada arbitrariamente solo se encuentren esmeraldas de otro color es descabellado, no se basa en ningún indicio, por lo que está claro que hay que dar preferencia a la hipótesis n.º 1 sobre la hipótesis n.º 2.

El mismo principio se puede ilustrar también a la luz del ejemplo de las series numéricas que suelen utilizarse en los test de inteligencia o exámenes: el sujeto debe continuar la secuencia 2, 4, 6… Se sugiere que solo existe una solución correcta (en este caso 8), pero desde el punto de vista matemático la solución dice: se puede continuar la secuencia de cualquier manera y siempre habrá una fórmula que justifique esa continuación. Por ejemplo, alguien podría decir que el número siguiente es el 9, ya que en este caso todos los elementos de la secuencia obedecen a la fórmula

Si sustituimos n sucesivamente por los números 1, 2, 3 y 4, veremos que es cierto. Claro que la fórmula 2n es más sencilla y elegante y, de acuerdo con la cuchilla de afeitar de Ockham, es la mejor, pero la otra fórmula también es «correcta» y por tanto el número 9 también es una continuación admisible de la serie. Si el lector tiene que hacer un test de este tipo en la próxima entrevista de trabajo, le aconsejo que de todos modos ponga 8, pues de lo contrario corre el peligro de que le califiquen de idiota o —si explica su solución— de lunático tocapelotas.

LA PARADOJA DEL MONTÓN

Este problema, también llamado «de sorites» (del griego soros, montón) se conoce ya desde la Antigüedad y es posible que también fuera obra de Zenón. Dice lo siguiente: todo el mundo admitirá que diez millones de granos de arena forman un montón de arena (aunque tampoco muy grande, pues equivale más o menos a un volumen de medio litro). Además, nadie negará que un montón de arena sigue siendo un montón de arena aunque se saque un grano del mismo. Así que si sacamos un grano después de otro, seguirá siendo un montón, hasta que el final no quede más que un solo grano. Pero ¿es un grano de arena realmente un montón?

La conclusión lógica de que un único grano de arena es un montón es absolutamente correcta de acuerdo con las dos premisas. Se puede demostrar matemáticamente una propiedad de todos los números inferiores a n demostrándola para n y probando después de que si es válida para x también es válida para x –1.

El «fallo» en este caso radica en el supuesto de que un montón de arena sigue siendo un montón de arena cuando se aparta un grano. Esto puede ser cierto cuando hablamos de diez millones de granos, pero a medida que disminuye la cantidad de granos, este supuesto resulta cada vez más dudoso. Si diez granos de arena todavía son un montón, ¿también lo son nueve granos?

Si partimos de que los conceptos lingüísticos son conjuntos clásicos, es decir, que cualquier conjunto de granos de arena representa un montón o no, tiene que haber efectivamente una cantidad mínima de granos de arena para que se pueda hablar de un montón. Si de ese montón se aparta un grano de arena, entonces deja de ser un montón. Y punto.

Está claro que nuestra lengua no funciona así. Muchos conceptos lingüísticos son imprecisos en el sentido de que algunos montones son indudablemente montones, pero a un montoncito solo le reconocemos esta propiedad hasta cierto punto, y de que a partir de cierto volumen ya no queremos admitir de ningún modo que se trate de un montón. Por tanto, el mundo no se divide en montones y no montones, en blanco y en negro, sino que existen transiciones graduales. Y el montón deja progresivamente de serlo a medida que se van sacando granos de arena, y mucho antes de que quede un solo grano ya le habremos negado a la aglomeración la calidad de montón.

Existe una lógica que trata de tener en cuenta esta imprecisión de la lengua: la llamada lógica difusa. En el capítulo 13 la veremos más en detalle.

LA PARADOJA DE LA EJECUCIÓN

Un asesino es declarado culpable en un país en que todavía se aplica la pena de muerte. El juez sentencia: «Será usted ejecutado a mediodía en uno de los días que van de lunes a sábado. No sabrá usted el día exacto hasta la misma mañana de la ejecución, cuando el verdugo se la anuncie por sorpresa». El condenado reflexiona: «¿Qué ocurre si de lunes a viernes espero temblando a que venga el verdugo y no viene? Entonces tendrá que venir por fuerza el sábado, y por tanto ya no será ninguna sorpresa para mí. Por consiguiente, la ejecución no será el sábado, así que el último día posible tendrá que ser el viernes. Pero entonces tampoco me sorprendería que el verdugo apareciera el viernes por la mañana. Queda el jueves como último día…». Así prosigue hasta llegar al lunes, pero entonces la llegada del verdugo tampoco sería ya una sorpresa. «¡Luego no me pueden ejecutar!», deduce el reo y se pone cómodo en su celda… y se queda estupefacto cuando el miércoles por la mañana aparece el verdugo y le anuncia la ejecución para el mismo día.

Hasta aquí la historia paradójica, y está claro que el condenado ha cometido un error lógico, pero ¿cuál? La sentencia del juez comprendía dos enunciados:

1. Será usted ejecutado en uno de seis días.

2. El anuncio de su ejecución le llegará por sorpresa por la mañana.

La reflexión lógica, de momento correcta, lleva a la conclusión de que ambos enunciados no pueden ser ciertos al mismo tiempo: está claro que el sábado no puede producirse ninguna ejecución por sorpresa.

La premisa, compuesta por los enunciados 1 y 2, es por tanto falsa. Sin embargo, de una premisa falsa es posible sacar cualquier conclusión, como ya se ha señalado repetidamente en este libro. El condenado, sin embargo, deduce que el enunciado 1 es falso y no lo pueden ejecutar. Pero esto hace incluso a posteriori que la sentencia del juez sea subjetivamente correcta: cegado por su error, el reo también se habría sorprendido si el verdugo hubiera aparecido el sábado.

LA PARADOJA DEL MENTIROSO

Esta conocida paradoja tiene muchas variantes, y ¡algunas de ellas ni siquiera son paradójicas!

1. Bertrand Russell atribuye la paradoja a Epiménides, del siglo VI a. C.: «Epiménides el cretense decía que todos los cretenses eran unos mentirosos y que cualquier afirmación contraria sobre los cretenses eran sin duda una mentira».

2. A esto se refiere también el apóstol Pablo en Tito 1,12-13: «Ya dijo de ellos uno de sus propios profetas: “Cretenses, siempre mentirosos, malas bestias, vientres perezosos”. Y es cierto».

3. Eubulides planteó en el siglo IV a. C. el siguiente problema: «Cuando mintiendo digo que miento, ¿miento o digo la verdad?».

4. De nuevo fue Russell quien redujo la paradoja a su forma más sucinta y contundente: «Un hombre dice: estoy mintiendo».

Para aclarar qué es lo paradójico de esto habría que dilucidar primero qué se entiende por mentiroso. En el lenguaje coloquial se califica de mentiroso a alguien que suele decir lo contrario a la verdad, aunque no lo haga en todas y cada una de sus manifestaciones. Si se interpreta la palabra «mentiroso» en este sentido, los anunciados sobre los cretenses (1 y 2) no suponen ningún problema: no sabemos si Epiménides dice la verdad, pero es muy posible.

Sin embargo, puesto que estamos hablando de lógica, podemos suponer que un mentiroso es alguien que siempre dice lo contrario a la verdad. ¿Qué hay en este caso del enunciado de Epiménides (n.º 1) o del profeta (n.º 2)?

La forma lógica del enunciado será (con el predicado Mx por «x es un mentiroso» y Cx por «x es un cretense»:

Si el enunciado es verdadero, entonces el mismo Epiménides, en particular, es un mentiroso, lo que implica que lo que dice es mentira. Por tanto, tenemos:

Por tanto, existe al menos un cretense que no es mentiroso. ¿Es esto una contradicción? No, lo que ocurre es que Epiménides simplemente no dice la verdad. No hace falta ni siquiera que sea un mentiroso empedernido, basta con que mienta una vez.

La cosa se vuelve realmente paradójica en los casos n.º 3 y 4, donde no se dice nada de los cretenses ni otras personas, sino que la proposición solamente afirma algo sobre su propia verdad. Si decimos que la proposición es P, el enunciado que contiene es «no P». Esto podemos formularlo del modo siguiente:

Esto se contradice con el «principio de la contradicción», que se deduce fácilmente de los axiomas lógicos: un enunciado y su contrario no pueden ser verdaderos al mismo tiempo.

Existen muchos otros enunciados que se pueden formular y que violan el principio de la contradicción, como por ejemplo: «está nevando y no está nevando». Esta proposición es simplemente falsa. La proposición del mentiroso se convierte en paradoja porque relaciona dos enunciados: uno sobre el mundo (una persona no dice la verdad) y un metaenunciado sobre sí mismo (que el propio enunciado es falso). Los metaenunciados como tales no tienen que conducir necesariamente a una contradicción, pues siempre puedo añadir a un enunciado la coletilla «… y es cierto» sin alterar su verdad. Pero si un enunciado se niega a sí mismo, entonces hay problemas. En el capítulo siguiente hablaremos de estas autorreferencias.

LA PARADOJA DE LA FLECHA

Es otro ejemplo famoso del griego Zenón. Si en la paradoja de Aquiles se trataba de dividir el espacio en una infinitud de partes cada vez más pequeñas, Zenón hace algo parecido con el tiempo. Contemplamos una flecha que vuela por el aire. En cada momento se halla en una posición determinada, y en ese instante no se mueve, es decir, está parada. Sin embargo, si la flecha está parada continuamente, ¿cómo es que se mueve? El movimiento, según Zenón, es una ilusión. Si en aquel entonces ya hubiera habido cámaras para filmar, tal vez habría sido una buena analogía: si filmamos la flecha en su vuelo, generamos cierta cantidad de imágenes fijas, unas 25 o 30 por segundo. En cada fotograma se ve una flecha estática, realmente no se mueve nada, el movimiento no está más que en nuestra cabeza. Según la paradoja, también la realidad es una especie de «película» compuesta por fotos fijas, con la única salvedad, como diríamos hoy en día, de que no se dice nada de la frecuencia de imágenes.

Mientras que en el caso de Aquiles se divide el recorrido en una infinitud de partes que tienen todas una determinada longitud, aunque cada vez más pequeña, Zenón divide el tiempo de vuelo de la flecha en momentos, y de su argumentación se desprende que un momento no se alarga en el tiempo, no tiene duración. ¿Cómo pueden sumarse esos momentos de duración cero para generar un espacio de tiempo de duración distinta de cero?

De nuevo hallamos la respuesta a esta paradoja en el cálculo infinitesimal de Leibniz y Newton, según el cual la velocidad no puede definirse únicamente para un intervalo de tiempo (midiendo la posición de la flecha al comienzo y al final del intervalo y dividiendo la diferencia entre la duración del intervalo). Si se examinan intervalos de tiempo cada vez más pequeños y se contempla la secuencia de velocidades, es posible calcular un valor límite, que es la velocidad de la flecha en un determinado momento.

Así, la física clásica logró resolver la paradoja, pero luego vino la física cuántica, que en cierto modo vuelve a dar la razón a Zenón. De acuerdo con la relación de incertidumbre de Heisenberg, cuanto más exactamente determino el lugar de una partícula física (o también de un objeto entero), tanto más indeterminada es su velocidad. Mi observación influye en el objeto. De este modo, los físicos hablan hoy incluso de un «efecto Zenón cuántico» en relación con las partículas inestables, que suelen desintegrarse con una determinada probabilidad dentro de un espacio de tiempo determinado. Pero si observo continuamente la partícula, esa desintegración no se produce: análogamente a la paradoja de la flecha de Zenón, la realidad se «congela» si la contemplamos demasiado.

LA PARADOJA DEL CUERVO

Esta paradoja formulada por primera vez por el lógico alemán Carl Gustav Hempel (1905-1997) en la década de 1940 trata asimismo del método inductivo del conocimiento. Con este método se recopilan datos empíricos que apoyan o desmienten una hipótesis. Por ejemplo, puedo establecer la hipótesis de que todos los cuervos son negros. Cada vez que veo un cuervo negro, este dato viene a corroborar de nuevo mi teoría, pero en el mundo real no es posible hacer una demostración completa de ella.

La paradoja dice que no solo un cuervo negro apoya la hipótesis de que todos los cuervos son negros, sino también un zapato blanco que encuentro. ¿Por qué?

La hipótesis afirma que «todos los cuervos son negros», o dicho de otro modo, «para todas las x es válido que si x es un cuervo, entonces x es negro». La fórmula es la siguiente:

De nuevo nos topamos con la extraña naturaleza de la implicación lógica, que en ocasiones se contradice con nuestra intuición. Conforme a la ley de la contraposición, puedo invertir la flecha si niego ambos términos de la fórmula: «si meto la mano en el fuego, se quema» equivale lógicamente a «si la mano no se quema, no la estoy metiendo en el fuego». Por tanto, la hipótesis también puede formularse del modo siguiente:

El significado de esta expresión es: «todos los objetos que no son negros no son cuervos». Por consiguiente, cada vez que encuentro una cosa que no es negra y no es un cuervo, como por ejemplo un zapato blanco, este dato apoya la hipótesis de partida.

¿Cómo se puede resolver esta paradoja? Existen dos intentos básicos al respecto: el primero acepta esta deducción lógica, el segundo no.

Ilustraremos el primer intento con ayuda de un ejemplo: una bolsa contiene 20 pequeñas figuras de animales de plástico de distintos colores. Por alguna razón sospecho que todas las figuras de patos son amarillas. No sé cuántas figuras son de patos ni cómo están distribuidos los colores. Voy sacando una figura después de otra. Cuando he sacado ya 18 de ellas, resulta que tres son patos amarillos y no hay ningún pato de otro color, de modo que mi hipótesis tiene todas las de ganar. Si acto seguido vuelvo a sacar un pato amarillo, se vería todavía más reforzada. Pero también una vaca azul (o incluso amarilla) aportaría su granito de arena a la confirmación de mi hipótesis, por el mero hecho de que se reduce la probabilidad de que la última figura que queda en la bolsa sea un pato no amarillo. Cuantos más objetos del mundo (en este caso abarcable a simple vista) clasifique sin que contradigan mi hipótesis, tanto más se refuerza la misma.

El propio Hempel también lo veía de este modo. Tomó como ejemplo la siguiente hipótesis: «Todas las sales sódicas arden con llama amarilla». O su equivalente lógico: «Lo que no arde con llama amarilla no es una sal sódica». ¿Mejora mi conocimiento si acerco a la llama un témpano de hielo y constato que no arde con llama amarilla, o que ni siquiera arde? No, dice Hempel, pero veamos la siguiente situación: acerco a la llama del quemador una sustancia cuya naturaleza desconozco y veo que arde con llama azul; el análisis químico demuestra después que la sustancia, efectivamente, no contiene sal sódica; esto refuerza sin duda la hipótesis.

En el ejemplo del cuervo y el zapato, sin embargo, sucede que el zapato blanco solo refuerza la hipótesis en mucha menor medida que un cuervo negro. Esto incluso se puede calcular —sobre la base de determinados supuestos relativos a la probabilidad— y existen para ello diversas fórmulas elaboradas por lógicos.

El segundo intento de solución parte de la afirmación de que la implicación lógica no refleja correctamente nuestra comprensión del contenido de la hipótesis. En plan estrictamente lógico, la proposición «todos los cuervos son negros» es verdadera incluso si no existieran cuervos, en cuyo caso sería equivalente a la proposición «todos los unicornios son blancos», que es verdadera mientras no encontremos uno de esos seres fabulosos. No obstante, la hipótesis no se refiere a esto, sino que afirma algo sobre aves realmente existentes, y esto no lo puede describir la lógica clásica, que hace caso omiso del contenido de las proposiciones.

LA PARADOJA DEL BARCO

Otra paradoja conocida desde la Antigüedad y que Plutarco formuló de este modo: «El barco en que zarparon Teseo y los jóvenes atenienses y con el que arribaron a destino, una galera de 30 remos, fue conservado por los atenienses hasta la época de Demetrio de Falero. De vez en cuando retiraban cuadernas viejas y las sustituían por otras nuevas intactas. De este modo, el barco se convirtió para los filósofos en un ejemplo ilustrativo de la controversia sobre la evolución, pues unos sostenían que la embarcación seguía siendo la misma, mientras que otros afirmaban que ya no».

Las cosas cambian con el tiempo, nosotros las alteramos. ¿Hasta qué punto hay que modificarlas para que dejemos de considerarlas la misma cosa (y no solo una cosa igual)? El filósofo inglés Thomas Hobbes (1588-1679) afinó todavía más la pregunta introduciendo una variante: ¿Qué pasaría si en vez de tirar las cuadernas viejas las guardaran en otro lugar y después alguien reconstruyera con ellas un barco exactamente igual? ¿Cuál de los dos barcos sería entonces el de Teseo?

Este es exactamente el mismo problema con que se toparon las tres componentes originales del grupo musical femenino Sugababes, que habían sido sustituidas sucesivamente por nuevas cantantes y que cuando quisieron juntarse de nuevo para grabar discos, un juez les prohibió utilizar el nombre de «Sugababes», que había pasado a ser propiedad del nuevo trío formado tras las sucesivas renovaciones.

En la vida cotidiana hay muchos ejemplos de esta paradoja: un río sigue siendo siempre el mismo por mucho que el agua que fluye en él cambie constantemente (razón por la que el filósofo griego Heráclito afirmó que no es posible bañarse dos veces en el mismo río). El organismo humano cambia continuamente no solo moléculas, sino células enteras. Incluso el cerebro que tenemos hoy es materialmente distinto del que teníamos hace diez años, y a pesar de todo consideramos, y no solo por razones prácticas, que somos la misma persona. Con respecto a nosotros mismos, estamos subjetivamente muy convencidos de que nuestra identidad se halla en el envoltorio totalmente renovado y no en las numerosos partículas que hemos expulsado. Por cierto que esta cuestión se agravará todavía más en el futuro, cuando sustituyamos cada vez más partes del cuerpo por prótesis, en algún momento incluso partes del cerebro, en el que de alguna manera está radicada nuestra conciencia. Por suerte sigue siendo hoy por hoy una cuestión puramente teórica qué pasaría si se construyera una copia estructuralmente perfecta de nuestro cerebro a base de circuitos artificiales y se accionara entonces el interruptor de encendido: ¿despertaría en su interior el mismo espíritu que el que habita nuestra cabeza? ¿Y seguirá viviendo cuando muera el yo original?

En última instancia, la paradoja del barco no se puede resolver, pues tiene que ver con la idea que tenga cada uno de la identidad. El filósofo estadounidense Theodore Sider propuso una solución ingeniosa: contempla el mundo en cuatro dimensiones, tres en el espacio y una en el tiempo. Un objeto que ocupa un determinado espacio durante cierto tiempo, traza una huella continua en este sistema cuatridimensional de coordenadas (que no es idéntico al espacio-tiempo físico de Einstein). Mientras no se interrumpa esa huella, el objeto sigue siendo el mismo, aunque se cambien algunas de sus partes. En este caso, el barco nuevo sería el que puede ostentar el nombre de «barco de Teseo» en vez del que se ha reconstruido con las cuadernas originales.

LA PARADOJA DEL SOBRE

El último ejemplo es de nuevo de naturaleza más matemática que lógica. A quien no conozca el concepto de «esperanza matemática» le parecerá incluso que no tiene nada de paradójico.

Se trata de un concurso televisivo en el que el ganador recibe un premio en metálico. El presentador le muestra dos sobres y dice que uno de ellos contiene el doble de dinero que el otro. El concursante abre uno de los sobres y saca 100 euros. Acto seguido le pregunta el presentador: «Puede escoger usted una segunda vez. ¿No prefiere elegir el otro sobre?».

El concursante hace el siguiente cálculo: si me quedo con el sobre que he abierto, habré ganado 100 euros. Si elijo el otro, tengo un 50 % de probabilidades de ganar 200 euros y otras tantas de ganar 50 euros. En promedio son 125 euros, es decir, más que los 100 euros que tengo ahora, así que elegiré el otro sobre.

Sin embargo, si siempre sale más a cuenta elegir el segundo sobre, ¿por qué no lo ha elegido directamente antes de abrir el primero? Además, ¿no se podría aplicar la misma reflexión en sentido inverso?

Estamos en este caso ante un auténtico error de cálculo matemático. El supuesto de que el segundo sobre tiene la misma probabilidad de contener 50 que 200 euros no se puede generalizar de este modo. No es posible que todas las cantidades entre cero e infinito tengan la misma probabilidad, he de suponer que hay cierta distribución de probabilidades. El concurso tiene un presupuesto al que tiene que ajustarse (por mucho que en los concursos televisivos modernos se superen de lejos los 200 euros), y cuando más nos acerquemos al límite superior presupuestado, tantas menos probabilidades existen de que el sobre contenga la cantidad correspondiente. Y a la inversa, nadie querrá premiar a un ganador con míseros dos euros y medio, por lo que los importes muy pequeños tampoco serán muy probables. Calcular las posibilidades que tiene uno y decidir entonces si elegir el segundo sobre o no implica partir de esta distribución de las probabilidades, pero esto supera el marco de este libro, que se ocupa de problemas puramente lógicos.

10     ESTE TÍTULO ES AUTORREFERENCIAL

    O ACERTIJOS DE CABRAS EN LA ISLA DE LOS MENTIROSOS

En la isla de Bola-Trola existe también una emisora de televisión. Recordemos que en esa isla viven dos clases de personas que no se distinguen por su aspecto; unas dicen siempre la verdad y las otras mienten constantemente. Las llamamos «veraces» y «mendaces».

Bola-Trola TV (BTTV) es una cadena de televisión generalista, con noticias, series, concursos y retransmisiones deportivas. Hubo un conato de rebelión cuando se decidió que los presentadores y presentadoras fueran todas veraces, no en vano los mendaces se sintieron discriminados. Sin embargo, pronto se dieron cuenta de que sería mejor así y no tener que darle la vuelta mentalmente a cada frase que saliera de la boca del locutor para comprenderla. A cambio se crearon otros tantos puestos para mendaces que trabajarían entre bastidores.

La convivencia de los habitantes de Bola-Trola merece algún comentario, pues prácticamente todo el mundo sabe quién es mentiroso y quién dice siempre la verdad. Además, para saberlo basta con preguntarle si dos y dos son cuatro y ver qué responde. También es cierto que no todo lo que dice un mendaz tiene que ser forzosamente una mentira. Así, por ejemplo, en la carnicería puede decir «quiero medio kilo de carne picada», saludar en la calle con un «hola» a los conocidos y preguntar en la cafetería «¿puede alcanzarme el azúcar, por favor?». Únicamente mienten cuando se trata de enunciados que solo pueden ser o veraces o mendaces.

Uno de los programas más populares de BTTV es el concurso El premio llama a la puerta. El espectáculo culmina en que el concursante se sitúa delante de dos o tres puertas, entre las que tiene que elegir una. El premio principal se halla detrás de una de ellas, mientras que si abre la puerta que no corresponde, aparece una cabra que berrea burlonamente. El objetivo es, por supuesto, que el concursante se equivoque y provoque las risas del público abriendo la puerta falsa.

Algún lector o alguna lectora sospecharán quizá que estamos ante una nueva variante del acertijo de la cabra.¹¹ Sin embargo, mientras el acertijo de la cabra es una cuestión que tiene que ver con el cálculo de probabilidades, es decir, con la matemática, el concurso de BTTV trata de decisiones exclusivamente lógicas, en las que la naturaleza de la población de Bola-Trola, como no podría ser de otra manera, desempeña un papel importante.

La presentadora de El premio llama a la puerta es Pilar Moreno, un personaje muy popular entre los bolatrolenses que, como todos los presentadores de concursos de televisión, pertenece al grupo de los veraces. El público también venera a sus dos ayudantes, Juan y José. El primero, alto y delgado, es veraz, y el segundo, pequeño y rechoncho, es mendaz. La clave del concurso estriba en que Juan y José (que saben cuál es la puerta que oculta el premio y cuál la que esconde la cabra) aportan al concursante ciertas pistas más o menos útiles. Esto lo hacen enganchando sobre las puertas sendos letreros que contienen una proposición. Está claro que Juan y José actúan de acuerdo con su naturaleza: cuando Juan escribe un enunciado en un letrero, su contenido es verdadero, y en el caso de José es sin duda una mentira. El concursante no sabe, desde luego, quién de los ayudantes ha colgado cada letrero.

Hoy el concursante es Bernardo Blanco, un honrado veraz de un pueblo del sur de la isla. Ha superado ya una serie de pruebas más o menos graciosas y ahora el concurso se acerca al momento culminante.

—¡Eres un supercandidato, Bernardo! —exclama la rubia Pilar Moreno—. Te quedan tan solo dos pruebas que superar y entonces te espera el gran premio. En la primera puedes ganar un televisor LCD de 47 pulgadas. Con conexión a Internet y alumbrado posterior, donado por la empresa BT Electrónica.

Los patrocinadores siempre se mencionan con especial reclamo.

—El televisor se halla detrás de una de las dos puertas. Está claro que Juan y José han vuelto a colocar sus letreros sobre las puertas. ¡Vamos allá!

Se levanta el telón.

Murmullos entre el público: ¡de nuevo una de esas complicadas adivinanzas! En la frente de Blanco aparecen gotas de sudor, pero el aspirante no pierde los nervios. ¡Cómo le gustaría tener ahora papel y lápiz para poder apuntar un esquema con todas las variantes verdaderas!

Da lo mismo, piensa, lo conseguiré igual. Supongamos que el letrero de la segunda puerta lo ha escrito Juan. En este caso, el cartel dice la verdad y Juan ha escrito solamente uno de los letreros, el de la segunda puerta. Por consiguiente, el letrero de la primera puerta es de José, que es del grupo de los mendaces, por lo que este letrero no dice la verdad y el televisor se encuentra detrás de la primera puerta.

Está a punto de expresar su respuesta cuando piensa que para mayor seguridad debería probar la hipótesis contraria. ¿Qué ocurre si es José quien ha escrito el letrero de la segunda puerta? En este caso, lo que dice el letrero es falso y por tanto Juan no ha escrito solamente uno de estos letreros. Pero dado que Juan tampoco puede haber escrito ambos, puesto que el de la segunda puerta es de José, no ha escrito ninguno de los dos, por lo que el letrero de la primera puerta también tiene que ser de José. La conclusión es la misma que con la primera hipótesis. Lo único que no se sabe es quién ha escrito el letrero de la segunda puerta, pero esto no afecta a la solución.

—Apuesto por la primera puerta —dice Bernardo Blanco con voz firme.

Se hace el silencio entre el público cuando Pilar Moreno se acerca a las puertas. Luego la presentadora se detiene brevemente, se gira hacia Blanco y le guiña un ojo.

—Pues veamos… —y abre con ímpetu la primera puerta. Efectivamente, detrás aparece, sobre un brillante pedestal plateado, la enorme pantalla del televisor. Aplausos, el concursante se relaja y la presentadora anuncia una breve interrupción para la publicidad (de BT Electrónica y otras empresas).

Después de la publicidad suenan de nuevo los acordes identificativos del programa y los focos se centran en el concursante, la presentadora y el telón, detrás del cual ha habido movimiento mientras se emitían los anuncios. El personal ha colocado un nuevo premio y a la cabra, y Juan y José han colocado sus letreros.

—Bueno, ¡ahora muy atentos, alta tensión! —suelta Pilar Moreno—. Bernardo, ya has ganado un montón de cosas, pero ahora viene el gran superpremio. Puedes ganar un coche, un gran deportivo con tapizado de cuero, GPS, arranque y parada automáticos y todo tipo de virguerías.

Sigue un vídeo de presentación del automóvil y acto seguido la atención se centra en Bernardo Blanco. Retumbe de tambores, se levanta el telón y de nuevo aparecen las dos puertas.

Alto ahí, piensa el concursante, ¿acaso no estamos en las mismas que antes? El letrero de la primera puerta dice prácticamente lo mismo que en la prueba anterior, y el de la segunda puerta se parece mucho. Pero seguro que esto tiene trampa.

El valor del premio hace que esté más tenso, pero también esta vez logra conservar la sangre fría y pensar con lógica. Supongamos, reflexiona, que el letrero de la segunda puerta es de Juan, o sea, que dice la verdad. En este caso, el de la primera puerta es de José y miente, por lo que el coche tiene que estar detrás de ella.

De todos modos decide, igual que antes, hacer la prueba en sentido contrario. ¿Qué ocurre si el letrero de la segunda puerta es de José? Entonces lo que dice es falso y en este caso no es solamente uno de los letreros el que contiene una frase verdadera. Por consiguiente, el de la primera puerta también tiene que ser de José y lo que indica es mentira. Conclusión: el coche está detrás de la primera puerta.

En el rostro de Bernardo Blanco se dibuja una sonrisa: ¡el coche es suyo! No espera a que actúe la presentadora, sino que se pone de pie de un salto, va hacia las puertas y abre de un tirón la primera de ellas… y aparece la cabra berreando.

—No… ¡no puede ser! —exclama Bernardo Blanco—. Esto no es lógico. ¡El coche tiene que estar detrás de la primera puerta! ¡Me habéis engañado!

Pero el realizador ya ha puesto en marcha el cierre del programa, la música sube de volumen, la cámara enfoca a Pilar Moreno, que se ríe alegremente y se despide hasta la próxima vez. En segundo plano se ve cómo Juan sale al plató y trata de calmar al concursante y conducirlo hacia la salida, mientras José le echa una mirada diabólica.

SOBRE LA VERDAD Y LA DEMOSTRABILIDAD

¿En qué se ha equivocado Bernardo Blanco? ¿Cuál ha sido su error lógico? La trampa está en el enunciado de la segunda puerta: «Solamente uno de estos letreros contiene una frase verdadera». Esta proposición es autorreferencial, es decir, manifiesta (entre otras cosas) algo sobre su propio contenido. En la lógica, esta clase de proposiciones resultan problemáticas, y su análisis va más allá de la mera palabrería. El siglo pasado, las proposiciones autorreferenciales sacudieron en dos ocasiones las bases de la matemática: una vez en 1903 con la antinomia de Russell, que demostró que no se pueden formar conjuntos de un modo «inocente». Justo cuando los matemáticos habían conseguido «remendar» su teoría y liberarla de esas contradicciones, apareció en 1931 Kurt Gödel y les volvió a demostrar, de nuevo con una proposición autorreferencial, que la esperanza de que con la matemática sólidamente instalada sobre un fundamento seguro sería posible demostrar o rebatir todas las proposiciones no era más que una ilusión.

En este capítulo explicaré cómo se puede entender el descubrimiento de Gödel, seguramente el más importante de la matemática en el siglo XX. Sé muy bien que es una tarea ardua la que me propongo, de modo que abróchese el cinturón porque vamos a subir a las más altas cumbres de la lógica.

Empezaremos con los simples juegos de palabras que sirven para confundir. Seguramente la paradoja del barbero ya no sorprenderá a nadie que haya leído el capítulo anterior. Si prescindimos de todas las metáforas sobre el afeitado, de lo que se trata en esencia es de que una persona dice que está mintiendo. O, para simplificarlo todavía más, una proposición afirma su propia falsedad.

Esta proposición es falsa.

Formulada con símbolos lógicos, la proposición dice:

Si la proposición es verdadera, entonces es falsa, y si es falsa, entonces es verdadera. Se puede alargar un poco la paradoja formulando un bucle de dos proposiciones que se refieren una a otra. Por ejemplo, con una tarjeta que lleva escrita en una de sus caras la siguiente oración:

Si damos la vuelta a la tarjeta, leemos:

Ahora tenemos las dos fórmulas lógicas siguientes:

Como vemos, en este caso P vuelve a ser equivalente a la negación de P, solo que pasando por el desvío de la equivalencia con el enunciado Q. Si se comienza la cadena por Q también se llega a la conclusión de que esta proposición equivale a su negación.

Todas estas proposiciones tienen una cosa en común: el único enunciado que contienen se refiere a su propio valor de verdad y no a alguna realidad objetiva. Sin embargo, este valor de verdad viene determinado por el propio enunciado. Así que el pez se muerde la cola. El lógico Raymund Smullyan, autor de muchos de los ejemplos de este libro, califica las proposiciones que se refieren a un hecho objetivo de «bien fundadas» (well-grounded). Así, la proposición «Juan ha escrito solamente uno de estos letreros» está bien fundada porque se refiere a un hecho del pasado, que ha tenido lugar o no. En cambio, la proposición «Solamente uno de estos letreros contiene una frase verdadera» no está bien fundada, incluso si el enunciado del otro letrero sí lo está.

No toda proposición no bien fundada ha de conducir a un bucle lógico contradictorio. En el último problema planteado en el concurso televisivo existe una interpretación lógica no contradictoria de los letreros, a saber, justamente la de Bernardo Blanco: el coche se halla detrás de la primera puerta, el letrero de esta puerta es de José, es decir, su enunciado es falso. Entonces el letrero de la segunda puerta puede ser de Juan o José, o sea, su enunciado puede ser verdadero o falso.

Sin embargo, ¿qué ocurre si es Juan quien ha escrito el letrero de la primera puerta, lo que significa que el coche se encuentra detrás de la segunda? Entonces el enunciado del letrero de la segunda puerta es verdadero si es falso y es falso si es verdadero. La cuestión es: ¿quién podría haber escrito ese letrero? Ambos, creo yo sobre la base de una interpretación que admito es generosa de las condiciones de nuestra historia, a saber, que lo que dice o escribe Juan es verdadero si su verdad es opcional; por lo demás dice toda clase de cosas como «Buenos días», «¿Queda café?», y también puede formular frases paradójicas. Lo mismo se puede decir, aunque en sentido inverso, de José. Así que el segundo letrero puede haberlo escrito cualquiera de ellos en plan de broma.

Las proposiciones autorreferenciales se pueden emplear incluso para demostrar cualquier enunciado, como por ejemplo que Fernando Alonso es el emperador de China:

Si esta proposición es verdadera, entonces Fernando Alonso es el emperador de China.

Que quede claro que no se trata de demostrar el conjunto de la proposición, sino únicamente la segunda parte del enunciado.

La demostración sigue estrictamente las reglas que hemos aprendido en el capítulo 2. Supongamos que P representa el conjunto de la proposición y Q simboliza el enunciado «Fernando Alonso es el emperador de China».

1.

Esta es la formulación autorreferencial: «esta proposición» es una parte de sí misma.

2.

Esto es válido para cualquier enunciado.

3.

Aquí hemos sustituido en (2) la equivalencia de (1).

4.

La proposición se deriva de (3) aplicando la llamada regla de contracción, que es válida para cualquier enunciado P y Q.

5.

Ahora hemos vuelto a sustituir, de acuerdo con (1), P→Q por P. Así, con los trucos de trilero que acabamos de hacer hemos demostrado que el conjunto de la proposición es verdadero. Ahora el resto es pan comido: aplicamos el modus ponens a las proposiciones 4 y 5 y obtenemos:

6.

Esto significa que la proposición Q es verdadera y que Fernando Alonso es el emperador de China.

El ejemplo muestra cómo basta abrir la puerta a la contradicción, aunque solo sea una rendija, y el caos invade la casa, es decir, se puede demostrar cualquier enunciado, por absurdo que sea; claro que lo mismo cabe decir de su contrario. Por tanto, hay que ponerle un dique. ¿Hay que prohibir en general todas las proposiciones autorreferenciales? Sería una lástima, pues hay algunas que tienen sentido, como por ejemplo el título de este capítulo, que también está bien fundado, porque se describe a sí mismo y no solo habla de su verdad.

Sin embargo, existen enunciados bien fundados que pueden hacernos caer en una contradicción, al menos en el lenguaje coloquial. ¿Qué le parece la siguiente proposición?

Esta proposición consta de seis palabras.

Está bien fundada, ya que describe un hecho verificable. Y es verdadera. La cosa se pone difícil si analizamos su negación:

Esta proposición no consta de seis palabras.

Cuente: la oración tiene siete palabras. También es verdadera. Una proposición es verdadera y su contraria también, lo cual constituye una clásica violación del «principio de contradicción» de la lógica. La cosa no mejora si comenzamos con un número de palabras falso:

Esta proposición consta de siete palabras.

Esta proposición no consta de siete palabras.

Esta contradicción se explica por una característica de muchos idiomas que consiste en añadir una palabra para negar una proposición, con lo cual esta se alarga (al menos es una manera posible de expresar la negación, porque también se podría decir: «no es cierto que esta proposición conste de seis palabras», en cuyo caso la negación constaría nada menos que de diez palabras). Cabe imaginar que hay lenguas que incluyen la negación en el verbo, y en este caso el número de palabras no variaría, con lo cual no habría contradicción.

Es importante tener en cuenta que todas estas contradicciones y paradojas que hemos analizado no afectan mucho a la lógica proposicional y predicativa. Al menos no le afectan en el sentido de hacer que se contradiga todo el sistema. Esto solo se produciría si mediante la aplicación de los axiomas y las reglas de deducción pudiera demostrarse un enunciado y su contrario, pero esto no es lo que ocurre en este sistema, ya que las contradicciones solo surgen a partir de supuestos adicionales, como en la demostración de la dignidad imperial de Fernando Alonso o la equiparación de P y P→Q. En cambio, la antinomia de Russell en la teoría de conjuntos se derivaba directamente de los axiomas de Frege y otros. Contemplaba un conjunto formado conforme a las reglas de la teoría de conjuntos y demostraba que dicho conjunto se contenía y no se contenía a sí mismo al mismo tiempo.

En el caso de la teoría de conjuntos (y por tanto de toda la matemática) se consiguió, en efecto, «reparar» la lista de axiomas de manera que se evitara la contradicción. La cuestión siguiente era si este sistema era completo, es decir, si era posible demostrar todas las proposiciones verdaderas.

Para abordar esta cuestión enumeraremos de entrada, una vez más, los principales conceptos válidos en sistemas formales:

En primer lugar se define un cálculo, que no es otra cosa que la manipulación de signos sin atribuirles un significado. Para esto resultan muy útiles los ordenadores, ya que se trata de una labor rutinaria para la que no hay que cavilar mucho. Existen cadenas de signos que se consideran dadas, los axiomas, y reglas para formar cadenas nuevas a partir de las existentes. Cada cadena obtenida de este modo es una proposición de validez universal. El plano de los signos es el plano sintáctico.

Sin embargo, el juego con los signos no es totalmente arbitrario, sino que encierra segundas intenciones, es decir, existe una interpretación de los signos. En la lógica proposicional tenemos los enunciados verdaderos y falsos, mientras que en el llamado postulado de Peano, que formaliza los números naturales y el cálculo con ellos, se trata de los números. También se puede formular matemáticamente en qué consiste tal interpretación, pero esto no interesa para lo que estamos tratando en este libro.

Lo que importa es distinguir entre proposiciones demostrables y verdaderas. La demostrabilidad es una propiedad sintáctica: se trata de las proposiciones que se pueden formular mediante la manipulación de los signos. La verdad, en cambio, es una propiedad semántica. Por ejemplo, se entiende muy fácilmente que la proposición «Existe una cantidad infinita de números primos» tiene que ser verdadera o falsa; si es demostrable o no ya es harina de otro costal.¹²

Solo existen unos pocos conceptos que designan propiedades sintácticas y semánticas de un sistema:

• Un sistema es consistente si no es posible demostrar al mismo tiempo una proposición y su negación.

• Un sistema es correcto si todo enunciado demostrable también es verdadero.

• Un sistema es completo si todo enunciado verdadero es demostrable.

La consistencia de una propiedad puramente sintáctica e imprescindible para que un sistema tenga sentido, pues de lo contrario se podría demostrar en él cualquier proposición. Esta es la piedra sobre la que tropezó la teoría de conjuntos original.

Si un sistema no es correcto, el cálculo genera proposiciones falsas; no tendría mucho sentido desarrollar un cálculo con números naturales en el que 2 más 2 fuera igual a 5.

¿Qué ocurre con la completitud? ¿Acaso no es de suponer que toda proposición verdadera también sea demostrable? ¿Es posible que entre los problemas irresueltos de la matemática haya algunos que no puedan demostrarse por principio?

Que la lógica proposicional tenga las tres propiedades es bastante trivial, ya que es posible verificar con una tabla de verdad hasta la secuencia más compleja de enunciados elementales. En cuanto a la lógica de predicados, Kurt Gödel demostró su completitud en 1928, pero tres años después señaló que todo sistema correcto y consistente que sea al menos igual de complejo que la aritmética de números naturales, es incompleto. Con ello destruyó la esperanza de poder demostrar fuera de toda duda cualquier verdad matemática.

Para demostrar su afirmación, Gödel numeró por así decirlo todos los teoremas matemáticos y acto seguido formuló un teorema que afirmaba su propia indemostrabilidad. Esta demostración es muy parecida a la paradoja del mentiroso («esta proposición es falsa»), pero la pequeña diferencia es importante, ya que evita la paradoja: la proposición dice que «esta proposición es indemostrable». Si es falsa, entonces es demostrable, y si una proposición falsa es demostrable, el sistema deja de ser correcto. En un sistema correcto, por tanto, la proposición ha de ser verdadera, y por tanto existe efectivamente una proposición verdadera que es indemostrable.

Ahora voy a exponer una demostración que parte de una paradoja distinta, a saber, la paradoja de Berry, que tiene que ver con «el menor número natural que no se puede describir con menos de catorce palabras». En el capítulo 9 pudimos explicar que esta paradoja se debe a que las formulaciones de la lengua natural carecen de suficiente precisión formal. Sin embargo, en el año 1989 el matemático George Boolos tradujo esta paradoja a un lenguaje formal y demostró de este modo el primer teorema de la incompletitud de Gödel; también él formuló una proposición que es verdadera, pero indemostrable.

En el siguiente pasaje expondré la demostración de Boolos en (casi) toda su formalidad. Para entenderla no se precisan profundos conocimientos matemáticos, y quien lo logre podrá jactarse de haber comprendido la demostración del teorema matemático más importante del siglo XX. Claro que si el lector considera que esto le da igual y opta por prescindir de la intensa emoción de tan feliz proeza, puede saltarse estos párrafos y pasar directamente a la adivinanza del final del capítulo.

Para poder formular una proposición verdadera, pero indemostrable, es preciso tener siempre en cuenta la sutil diferencia entre la demostrabilidad en un sistema formal y la verdad en su interpretación semántica. En este caso se trata de los números naturales y de un sistema que los describe.

La descripción formal de los números naturales fue obra del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Sus axiomas operan sobre todo con el concepto de sucesor. Cada número x tiene un sucesor sx. El cero no es sucesor de ningún otro número. Las reglas de cálculo se definen en los axiomas. Para describir el conjunto del sistema solo se precisan los siguientes símbolos:

• Los símbolos lógicos ya conocidos: ¬,∧,∨,→, ↔, ∀, ∃

• Los símbolos de relación para la suma y la multiplicación: +, x

• El número cero: 0

• El símbolo de igualdad y la relación «menor que»: =, <

• Dos símbolos con los que pueda generarse cualquier cantidad de variables: x, x’, x’’, x’’’…

• El símbolo de «sucesor» s, que genera el sucesor sx del número x

• Y finalmente los paréntesis: (, )

En total son 17 símbolos que permiten componer todas las fórmulas, y es importante memorizarlos. Todos los símbolos adicionales que se introduzcan a partir de ahora no son más que «símbolos taquigráficos» que pueden reducirse a los símbolos básicos.¹³

Asimismo es importante saber que en este lenguaje de fórmulas no aparecen números aparte del cero; para contar se utilizan 0, s0, ss0, sss0… A fin de no equivocarnos con tantas s, por sss0 escribiremos [4]. Hay una diferencia entre la cadena de símbolos [4] y el número 4, que solo existe en la interpretación del sistema.

Se trata de definir formalmente qué entendemos por «el menor número que se puede representar con menos de k signos». Para ello definimos qué significa que una fórmula defina el número n:

Una fórmula es la expresión con una variable x, como por ejemplo «2 + x = 4», que en lenguaje formal se escribe así:

ss0 + x = ssss0

Una fórmula describe el número natural n si se puede demostrar que solamente es correcta si se sustituye x por el valor [n]. La fórmula anterior describe por tanto el número 2.

Cada fórmula no describe más que un número, aunque por supuesto ese mismo número puede describirse con más de una fórmula.

Dado que con 17 símbolos solo es posible formular una cantidad finita de expresiones formales de una determinada longitud i (exactamente 17i, que en su mayoría carecen de sentido), está claro que las fórmulas de longitud i solo pueden describir una cantidad finita de números. A la inversa, la cantidad de números que pueden describirse con una fórmula de menos de i signos también es finita. Finalmente, tiene que haber un número que sea el más pequeño que no pueda describirse con una cadena de símbolos que comprenda como máximo i signos.

Estos hechos pueden describirse también en el lenguaje formal (realizando el mismo rodeo que también utilizó Gödel al numerar cada fórmula con un «número Gödel» inequívoco. Por ejemplo, existe una fórmula Cxz que indica que el número x viene descrito por una cadena de signos de longitud z. Además definimos otras dos fórmulas: Bxy significa que x se puede describir con una fórmula de menos de y signos, y Axy que x es el número menor para cuya descripción se precisan como mínimo y signos.

Hechos los preparativos, ahora viene la jugada: contamos los signos de la fórmula Axy, obteniendo un número k que sin duda es mayor que 3. Acto seguido formulamos una nueva proposición formal Fx:

∃y ((y = [10] x [k])∧ Axy

En román paladino, esto significa que «x es el número más pequeño que no se puede describir con menos de 10 x k signos».

Este número natural existe sin ninguna duda.

Ahora contamos los signos que contiene la fórmula Fx. Sabemos que contiene muchos signos sustitutivos y se trata de descender al plano en que se utilizan exclusivamente los 17 signos originales:

[10] significa ssssssssss0 y contiene por tanto 11 signos.

[k] contiene por tanto (k + 1) signos.

Axy contiene k signos.

En vez de y deberíamos escribir en realidad x’, es decir, 2 por 2 signos.

El resto de la fórmula consta de 7 signos.

El total, por consiguiente, es 2 x k + 23 signos. Dado que k es superior a 3, tenemos

2 x k + 23 < 10 x k

Esto significa que tenemos una fórmula para «el menor número que no se puede describir con menos de 10 x k signos» y que tiene menos de 10 x k signos.

Para salir de esta paradoja solo hay dos posibles vías: por un lado, reconocer que el sistema no es consistente y permite demostrar una proposición y su contraria. Esto sería el fin de la matemática, pues tan pronto se puede demostrar en un sistema una proposición y su contraria, también se podrá demostrar cualquier proposición y su contraria. Claro que ningún matemático se lo creerá —en realidad, todos suponen que tras la antinomia de Russell la teoría de conjuntos (en la que se basa toda la matemática) ha quedado «reparada» hasta el punto de que en ella ya no existen contradicciones—, por mucho que no se pueda demostrar con los medios de la teoría.

Queda la segunda vía menos mala: la fórmula Fx no describe x con arreglo a la definición estricta, es decir, no es demostrable en el sistema formal. Con esto hemos encontrado justamente lo que estábamos buscando: un enunciado verdadero, pero indemostrable.

Es una verdad amarga, pero los matemáticos se han acostumbrado a vivir con ella. En su trabajo cotidiano no se han tropezado todavía con ningún teorema que sea demostradamente indemostrable. Es cierto que existen problemas tenaces que se han resistido hasta ahora a todos los intentos de resolverlos, pero todo matemático de verdad cree en estos casos que con suficiente creatividad e instrumental teórico alguna vez se hallará la solución. Así, el teorema de la incompletitud de Gödel apenas tiene relevancia práctica. Pero ha marcado los límites a la matemática de una vez por todas.

EJERCICIO     Ahora le toca a usted: en Bola-Trola están emitiendo un nuevo episodio del concurso televisivo, y en esta ocasión el premio estrella es una barbacoa eléctrica con todos los complementos habidos y por haber. Cuando sube el telón aparecen tres puertas. ¿Detrás de cuál de ellas se esconde la barbacoa?

11    EJERCICIO MENTAL N.º 3:

    EL ESPECTÁCULO DE LOS SOMBREROS

Este programa de televisión no se emite en Bola-Trola y no tiene que ver con verdades y mentiras. Sin embargo, sí se trata de un concurso basado en la lógica, por lo que seguramente se emite en alguno de los canales menores a altas horas de la noche. El «espectáculo de los sombreros» consiste en varias rondas que tienen formatos muy distintos, pero se inspiran todas en el mismo principio. Las y los concursantes, que en ocasiones juegan unos contra otros y en ocasiones colaboran entre ellos, llevan sombreros rojos o negros sobre la cabeza, y aunque ellos mismos no pueden verlos, han de adivinar de qué color es el suyo propio (en una ocasión llevan puestos incluso dos sombreros, uno encima de otro).

La presentadora da muy pocas pistas y cada concursante ha de tratar de sacar conclusiones a partir del comportamiento de los demás concursantes. Por cierto que todos los participantes son gente inteligente, seleccionada a conciencia en un laborioso casting. Por consiguiente, cabe suponer que todos ellos serán capaces de pensar lógicamente como uno mismo.

Sucede a menudo que se formula una pregunta y durante un rato no pasa nada; a veces incluso durante dos ratos. Esto siempre es una señal de que de momento los concursantes no saben la respuesta, y muchas veces este es precisamente el dato decisivo que le faltaba conocer a uno de ellos.

Para la primera adivinanza daré la solución con el fin de que el lector conozca la pauta típica de las reflexiones del «espectáculo de los sombreros». Las soluciones de las demás tendrá que hallarlas usted mismo, aunque para comprobar si ha acertado tendrá que buscar en el anexo.

EJERCICIO

1. Tres concursantes se colocan en fila india y cada una pone las manos sobre los hombros de la que tiene delante. La que está más atrás puede ver los sombreros de las dos delanteras, la del medio solo puede ver el de la primera y esta no puede ver ninguno. Previamente, la presentadora les ha mostrado cinco sombreros, tres negros y dos rojos, de los que escoge tres sin que las concursantes sepan cuáles. Después exclama entre el griterío del público la famosa orden «¡Apagad las luces!» y calza un sombrero sobre la cabeza de cada concursante. Después se encienden de nuevo las luces y la presentadora dice que la concursante que sepa el color de su sombrero lo diga. Al cabo de un rato, la que encabeza la fila dice: «Mi sombrero es…». ¿De qué color es el sombrero que lleva en la cabeza?

Solución: si las concursantes se llaman A, B y C y C es quien encabeza la fila, esta piensa: «Supongamos que mi sombrero es rojo. Entonces la mujer que está detrás de mí, B, vería un sombrero rojo y pensaría: “Si mi sombrero también fuera rojo, la que está detrás de mí, A, vería dos sombreros rojos y diría de inmediato: ¡el mío es negro! Pero A no ha dicho nada, de modo que el mío tiene que ser negro”. Por consiguiente, B tendría que haber dicho que el suyo es negro, pero no lo ha hecho. Por consiguiente, mi sombrero no es rojo, sino negro». De modo que C exclama: «¡Mi sombrero es negro!»

2. La siguiente ronda es una variación de la primera. Participan cuatro concursantes, de los que tres se colocan en fila india como en la ronda anterior y el cuarto se halla detrás de una cortina, de manera que ninguno de los tres puede ver su sombrero y él tampoco los de los demás. Esta vez, la presentadora no puede elegir, pues hay disponibles dos sombreros rojos y dos negros. Cuando vuelven a encenderse las luces del plató, pide a los concursantes que adivinen el color de su sombrero. Pasa un rato hasta que habla uno y dice: «¡Mi sombrero es rojo!» ¿Qué concursante es?

3. Esta vez hay tres concursantes en el estrado y todos pueden verse entre sí. Hay disponibles tres sombreros rojos y tres negros, de modo que son posibles todas las combinaciones. Cuando se apagan las luces, la presentadora pone a cada concursante un sombrero rojo sobre la cabeza. Entonces dice: «Enseguida se encenderán las luces, y aquel de vosotros que vea al menos un sombrero rojo, que levante la mano. Y quien adivine primero el color de su sombrero, ha ganado». Cuando se enciende la luz, todos levantan la mano, como es lógico, y al cabo de un rato dicen casi al unísono: «¡Llevo puesto un sombrero rojo!» ¿Cómo lo han adivinado?

4. Puesto que en la ronda n.º 3 no ha habido un claro vencedor, se lleva a cabo una nueva con los mismos tres concursantes. Mientras están a oscuras, la presentadora explica que ha elegido esta vez una variante especialmente difícil, pero ecuánime, para que salga un ganador definitivo. Afirma que ha elegido los tres sombreros entre un surtido de dos rojos y tres negros, y que tan pronto se encienda la luz… No puede seguir porque la interrumpen las voces de los tres concursantes: «¡Mi sombrero es…!» Y efectivamente, cada uno de ellos ha adivinado correctamente el color de su sombrero. ¿Cómo están repartidos los sombreros?

5. Puesto que en la ronda n.º 4 tampoco ha salido un claro vencedor, se incrementa la dificultad un grado más. Uno no solo puede llevar un sombrero en la cabeza, sino también dos colocados uno encima de otro. Los seis sombreros se escogen a oscuras entre cuatro negros y cuatro rojos. Cuando se encienden las luces, la presentadora pregunta sucesivamente a cada uno de los tres concursantes si sabe el color de los sombreros que lleva en la cabeza. Estas son las respuestas:

A: No.

B: No.

C: No.

A: No.

B: Sí.

Efectivamente, la concursante B ha adivinado, entre aplausos del público, los colores de los dos sombreros que lleva puestos. ¿Cuáles son?

6. Ahora hay diez concursantes en el estrado y cada uno de ellos puede moverse libremente y ver los sombreros de los otros nueve. Cuando están repartidos todos y se encienden las luces, la presentadora declara que por lo menos dos de ellos llevan un sombrero negro y el resto lo llevan rojo. Quien crea que lleva un sombrero negro, que lo diga. Ningún concursante dice nada.

—Vale —dice la presentadora—, voy a repetirlo. Quien crea que lleva un sombrero negro, que lo diga.

De nuevo nadie dice nada.

—Pues bien, lo diré por tercera vez: quien crea que lleva un sombrero negro…

El público se impacienta y no entiende a qué viene eso de repetir tantas veces la misma pregunta. Sin embargo, cuando la presentadora pregunta por quinta vez, todos los concursantes que llevan un sombrero negro levantan la mano. ¿Cuántos son?

7. Nuevamente tenemos a diez concursantes en el estrado. A cada uno le ponen un sombrero —rojo o negro, no se sabe cuántos hay de cada color— en un cuarto oscuro en el que no pueden verse unos a otros. Esta vez no compiten entre sí, sino que han de resolver el problema en colaboración. La presentadora dice: «Ahora saldréis uno después de otro al plató, donde os colocaréis en dos filas en función del color de vuestro sombrero. Los del sombrero negro a la izquierda y los del rojo a la derecha». La primera concursante sale al plató al son de las fanfarrias; ella lo tiene fácil, se coloca simplemente en el centro. ¿Cómo han de colocarse los demás concursantes para ajustarse al orden indicado por la presentadora?

12     LA COMPUTADORA POPULAR

    O LA MÁQUINA UNIVERSAL DE TU LING

Esta historia nos lleva al lejano país de Magnolia, cuya cultura es muy distinta de la nuestra. El jefe del Estado, Yin Tseng, que goza de un poder absoluto, gobierna sobre sus súbditos con mano dura. Él mismo vive lujosamente mientras la población, aunque no se muere de hambre, lleva una vida modesta y sin esperanza de mejora. Algunos habitantes del país han oído hablar de que en otras partes del mundo la gente circula en carros que se desplazan solos e incluso en aparatos que vuelan y a veces se ven cruzar el cielo de Magnolia, pero en este país no tienen electricidad, medios de comunicación modernos ni vehículos motorizados.

Una pequeña casta privilegiada de fieles de Yin Tseng tiene permiso para viajar al extranjero y estar en contacto con la gente de fuera. Algunos no han vuelto, pero otros le han contado al dictador cosas sobre la vida de las personas en otros lugares y le han sugerido con sumo cuidado —en Magnolia, un lenguaje demasiado directo puede convertirse fácilmente en antesala de la cárcel— que tal vez fuera conveniente abrir un poquitín el país a las nuevas tecnologías. Le han contado que en el extranjero existen los llamados «televisores», que muestran imágenes en color que se mueven y que permitirían transmitir, por ejemplo, las alocuciones diarias del jefe del Estado a todos los hogares. Además se podrían mostrar espectáculos y conciertos musicales, diversiones que endulzarían un poco la vida del sacrificado pueblo de Magnolia. Sin embargo, Ying Tseng se ha negado siempre a abrir las puertas del país a estas cosas.

—No quiero aparecer como un títere dentro de una caja —suele responder a tales sugerencias—, y para entretener a las masas ya tenemos los juegos corales y las manifestaciones conmemorativas de la Plaza Grande.

Está orgulloso de esas concentraciones de masas, en particular del espectáculo pictórico en que 10.000 o más escolares sentados en la tribuna principal levantan cartulinas de colores que forman enormes imágenes que van cambiando continuamente al girar o cambiar las cartulinas. Algunas de las brigadas son tan buenas que son capaces de representar de esta manera imágenes en movimiento, lo cual requiere un entrenamiento durante meses, pues cada niño ha de saberse de memoria la secuencia exacta de los colores que tiene que mostrar en cada momento y debe mantener con precisión el ritmo de cambio de cartulinas.

El general Tan Liao es uno de los íntimos del jefe del Estado que están a favor de introducir prudentes reformas, pero sabe que proponerle demasiados cambios no hará más que endurecer su postura. En particular, el dictador siempre ha rechazado bruscamente la propuesta de electrificar el país para que las nuevas tecnologías facilitaran un poco la vida a la población. Ying Tseng no las tiene todas consigo cuando le hablan de esa energía invisible que fluye a través de alambres metálicos.

Por eso, Tan Liao ha tenido la idea de mostrarle al dictador una tecnología nueva que funciona sin electricidad ni motores, aunque en otros países que utilizan la electricidad esos aparatos funcionan de modo mucho más eficiente. Si le agrada la propuesta, piensa Tan Liao, tal vez se muestre también más abierto a otras innovaciones técnicas más amplias.

El consejero tiene hoy su entrevista semanal con el jefe del Estado, en la que suele exponerle las preocupaciones de la población, naturalmente edulcorando siempre los problemas, aunque con la suficiente claridad para que la información sobre las penas y penurias del pueblo llegue a sus oídos. Sin embargo, este día no acude solo a la cita: en la antesala espera un hombre bien peinado de apenas 30 años de edad acompañado de un grupo de ocho escolares, todos de unos diez años.

—Gran Yin Tseng —comienza Tan Liao su perorata después del saludo ritual—, hoy no voy a informarle de los problemas del país, sino de una nueva invención que ha realizado uno de los hijos más inteligentes de la nación.

—¿Se trata de nuevo de uno de esos chismes eléctricos? —gruñe Yin Tseng—. Sabes muy bien que no me gustan nada esas cosas.

—No, no —asevera el consejero—. Se trata de una invención totalmente acorde con vuestra ideología de basarnos en las propias fuerzas para generar riqueza. Se inspira en una idea que es el orgullo de todos nosotros: las imágenes en movimiento de la Plaza Grande.

El jefe del Estado pone cara de asombro e intenta dibujar una sonrisa benévola.

—El inventor se llama Tu Ling —prosigue Tan Liao—. Está en la antesala con una brigadilla de sus jóvenes ayudantes y le gustaría presentaros su computadora popular.

—¿Una computadora? ¿Necesitamos una cosa así? —pregunta el dictador desconfiado.

—Permitid que os muestre cómo funciona y juzgad después —propone el consejero.

—Está bien —murmura Yin Tseng—. Le concedo media hora, después tengo cosas importantes que hacer.

Claro que no sabe qué es eso que tiene que hacer, pero alguien se lo dirá y no cabe duda de que es vital para el destino del país.

Tan Liao sale corriendo por la puerta y regresa al cabo de poco con el hombre y los niños que estaban esperando fuera. Los niños llevan unas cartulinas bajo el brazo, de unos 40 por 40 centímetros de tamaño, como las que suelen emplearse en el espectáculo de la Plaza Grande. Uno de los niños lleva además un sombrero de tres picos en la cabeza y un silbato colgado del cuello.

Tu Ling hace una profunda reverencia delante del jefe del Estado. Se le nota nervioso, no en vano es la primera vez que ve un palacio por dentro y el trato cortesano le es totalmente ajeno.

—El señor Tu Ling es profesor de matemática en una de las escuelas de la capital —explica Tan Liao— y os mostrará ahora una invención suya. Los niños han estado ensayando durante cuatro semanas para esta presentación.

Yin Tseng sonríe.

—Adelante, adelante.

Tu Ling hace una señal y los ocho niños se colocan en fila delante del jefe del Estado. Ahora se ve que cada uno lleva tres cartulinas, una blanca, una gris y una negra. El chico del sombrero y el silbato se sitúa a la derecha del todo. Al empezar, los niños mantienen la cartulina blanca delante del pecho. El maestro hace un gesto con la cabeza y el niño de la derecha toca el silbato, poniendo en marcha un espectáculo que a primera vista parece muy confuso. El sombrero de tres picos pasa de un niño a otro y al mismo tiempo gira, de modo que a veces se muestra con la punta hacia delante y a veces hacia un lado. Cuando un niño ha entregado el sombrero al de al lado, cambia a veces de cartulina que sujeta delante de él, pero no siempre. Cada vez que el sombrero vuelve a la cabeza del niño de la derecha, este toca de nuevo el silbato. Todo esto se desarrolla con una rapidez increíble, continuamente cambian las cartulinas del blanco al gris y al negro y de nuevo al blanco. Cuando finalmente los niños se quedan quietos, todos sujetan la cartulina negra delante del pecho, salvo el niño de la derecha, que no ha cambiado su cartulina blanca durante toda la actuación.

Los niños sonríen orgullosos y miran expectantes al jefe del Estado. Este, sin embargo, no suelta más que un gruñido.

—¿Qué era eso? —pregunta malhumorado—. Una demostración muy unidimensional, diría yo. Además, no he conseguido ver qué imágenes pretendíais mostrar.

—Perdonad, gran Yin Tseng —dice Tu Ling—, pero no pretendíamos mostrar ninguna imagen. Estos niños son una máquina de calcular, y lo que han hecho ha sido contar de 1 a 255.

—¿Cómo dice? —pregunta estupefacto el dictador.

—Puesto que todo ha ido tan rápido, he anotado en un papel toda la sucesión de «imágenes», al menos los primeros 50 pasos.

Enseña a Yin Tseng una tira de papel con cuadraditos negros, blancos y grises.

—¿Y? ¿Qué se supone que he de sacar yo en claro de esto? —pregunta el dictador.

—De momento, nada —admite Tu Ling—, pero ahora os mostraré una segunda tira, en la que se ve la situación en cada uno de los momentos en que el niño de la derecha tenía puesto el sombrero y ha tocado el silbato.

Muestra al jefe del Estado una segunda tira de papel parecida a la primera. Yin Tseng mira el papel sin entender nada, después vuelve la vista hacia el profesor de matemática y luego contempla de nuevo el papel.

—¿Pretendes reírte de mí? ¿Acaso soy el único que no entiende ni jota? Estas bromas no me gustan nada.

El maestro nota cómo el miedo le atenaza la garganta y ya imagina que debido al enfado del dictador acabará con sus huesos en un campo de trabajo, pero Tan Liao le echa un cabo.

—¿Ha oído hablar el gran Yin Tseng del sistema binario? —interviene el consejero.

—Bi… ¿qué?

—El sistema binario es una manera de escribir los números diferente que la que hemos aprendido de nuestros antepasados. En vez de diez cifras solo se utilizan dos, el 0 y el 1, aunque en este sistema los números son algo más largos.¹⁴ Si un cuadradito gris representa el 0 y un cuadradito negro el 1, entonces podemos ver en la segunda tira que os ha dado Tu Ling los números 1 a 50. Los niños han contado en total de 1 a 255, que en el sistema binario se escribe 11111111.

—Gracias por la información, pero ya lo sabía, desde luego —dice el dictador, aunque no suena muy creíble—. Pero ¿por qué me mostráis todo esto? Pienso que de hecho cualquier niño de diez años sabe contar en este país hasta ese número sin necesidad de siete ayudantes ni de cartulinas.

—Por supuesto, gran Yin Tseng —le contesta Tu Ling, quien se ha repuesto del susto—. Pero lo que tiene de especial nuestra demostración es que ninguno de los niños tiene que contar o calcular especialmente. Lo único que han de hacer es manipular sus cartulinas de acuerdo con seis reglas sencillas tan pronto tienen el sombrero en la cabeza.

Tu Ling saca otro papel y se lo alcanza al jefe del Estado, pero este lo rechaza, pues por lo visto no le interesan los detalles.

—Todo esto funciona de forma muy mecánica —prosigue Tu Ling—, y quien calcula es el conjunto de la «máquina», es decir, todo el grupo de niños. Y contar es el programa más sencillo que tenemos.

—¿Programa? —pregunta Yin Tseng con cierto aire de burla—. Vuestro programa no es que sea muy entretenido, que digamos.

—Seguramente a esto lo llaman «programa» en el lenguaje técnico de Tu Ling —interviene el general.

—Por ejemplo, podemos sumar números —continúa Tu Ling, que se deja arrastrar por el entusiasmo que le inspira su invención—. O multiplicar y dividir. O calcular los ingresos fiscales de todo el país.

Al oír la palabra «ingresos» se suaviza un poco el gesto fastidioso el dictador.

—Sí, en cierto modo se trata de una máquina universal —dice Tu Ling—. Es capaz de calcular todo lo calculable, siempre que se disponga de suficientes niños, y del tiempo necesario. Todo depende exclusivamente de las reglas y del estado de partida de la máquina, es decir, del reparto de colores en la formación básica.

El jefe del Estado ya no parece tan enojado, seguramente está pensando en la simplificación de su sistema de recaudación de impuestos.

—He hablado con Tu Ling sobre las posibles aplicaciones —interviene el general Tan Liao—, y la verdad es que no tiene límites: por ejemplo, si contamos con suficientes computadoras, se puede llegar a predecir incluso el tiempo que hará la semana que viene. También serviría para el entretenimiento, pues con esta computadora popular se podría dirigir el espectáculo de las imágenes en movimiento en la Plaza Grande. No haría falta que los niños que forman la «pantalla» se aprendan de memoria sus movimientos, pues recibirían una señal de una computadora situada detrás que les indicaría qué cartulina tendrían que levantar en cada momento.

—¿Entonces podríamos hacer realidad, por fin, mi sueño de representar con imágenes móviles la saga de nuestra dinastía en la Plaza Grande? —pregunta Yin Tseng, quien parece haberle cogido gusto a la invención.

—Bueno…, sí, por ejemplo —responde Tan Liao diplomáticamente—. En mis viajes a otros países he visto que construyen estas máquinas con componentes eléctricos, que ya no necesitan a personas y caben en una caja pequeña, de manera que cada ciudadano puede tener un aparato así en casa.

—¿Una computadora personal? —se ríe el dictador—. ¿Para qué la quieren? Calculo que con cinco de estas computadoras populares en todo el país ya sería suficiente.¹⁵ Y si usted, querido Tan Liao, pretende aprovechar la ocasión para convencerme de los parabienes de esa electricidad, será mejor que lo olvide. Creo que la computadora popular es una magnífica tarea para la juventud de nuestro país.

Y antes de que nadie pueda añadir un comentario, Yin Tseng les da la espalda, una señal inequívoca de que la audiencia ha terminado. Tan Liao, Tu Ling y los niños salen de la sala. El maestro está visiblemente orgulloso de que su invención haya sido tan bien recibida y el general también sonríe satisfecho. «El agua es blanda, la piedra dura, pero gota a gota hace cavadura», se dice para sus adentros, y Magnolia ha dado un paso más hacia el progreso.

EL PROBLEMA DE DECISIÓN

Algún lector ya habrá sospechado que el nombre de Tu Ling es una referencia a Alan Turing (1912-1954), el genial matemático británico que está relacionado con tres proezas: el descifrado de la máquina Enigma, con la que los alemanes cifraban sus mensajes radiofónicos durante la Segunda Guerra Mundial; la «prueba de Turing» para calibrar si un ordenador es capaz de desarrollar una inteligencia similar a la humana (y que hasta ahora no ha superado ningún ordenador), y la «máquina de Turing», un ordenador idealizado que inventó Turing antes de que existieran efectivamente ordenadores programables.¹⁶

La «máquina» que presenta Tu Ling en nuestra historia es una versión simplificada de una máquina de Turing, cuyo modelo fue ideado por el informático y empresario estadounidense Stephen Wolfram. De todos modos, es una máquina universal en el sentido de que con ella se puede calcular todo lo que se puede calcular también en una máquina de Turing.

Aunque el dictador Yin Tseng no haya mostrado interés por ello, nosotros examinaremos más de cerca cómo funciona la máquina. Un elemento importante es el sombrero que pasa sucesivamente de un niño a otro; señala el lugar en que se está calculando en cada momento y tiene dos estados: cuando la punta mira hacia delante se halla en el estado A y cuando aparece de frente el lado plano se encuentra en el estado B.

Tan pronto el sombrero llega a la cabeza de un niño, este tiene que ejecutar una acción que depende del estado en que se halla el sombrero y del color de la cartulina que mantiene en ese momento el niño delante del pecho. Por tanto, puede llevar a cabo una de seis acciones posibles, y esas seis reglas son las que los niños han tenido que memorizar previamente.

La acción consiste entonces en que el niño cambia de cartulina o no, varía o mantiene el estado del sombrero y lo pasa al compañero que tiene a la derecha o a la izquierda. Estas son las reglas recogidas en un cuadro sinóptico:

Por ejemplo, si un niño tiene una cartulina gris y le llega el sombrero en estado B, es decir, con la punta mirando atrás, la tabla dice: «cambia a cartulina negra y pasa el sombrero a la derecha (desde el punto de vista del espectador) en estado A».

Las casillas negras representarán más tarde la cifra 1 y las grises, la cifra 0, mientras que las blancas serán «hojas en blanco». Puede realizar usted mismo algunos pasos del «programa de computación», no es nada difícil. Pronto notará que el estado A describe una especie de «programa de transferencia»: si en una casilla ya hay un 1 o un 0 y llega el sombrero en estado A, no se cambia de cartulina y el sombrero se traslada a la derecha sin cambiar de estado. Así sucesivamente hasta que el sombrero le llega al niño de la derecha del todo, quien de hecho nunca cambia de cartulina. Este niño devuelve entonces el sombrero al niño que tiene a la izquierda, pero ahora en estado B, y entonces se ejecuta el siguiente paso del programa.

El estado B es el «programa de computación»: convierte un 0 en un 1, un 1 en un 0 y da un paso a la izquierda (que representa el «acarreo» que trasladamos al calcular). Si allí se encuentra con una hoja en blanco, entonces la colorea de negro, es decir, inscribe un 1. A simple vista, la mayoría de movimientos no parecen tener mucho sentido, pero si miramos únicamente, como en nuestra historia, los renglones en que el sombrero ha vuelto al extremo de la derecha, entonces aparece claramente la pauta de los números binarios.

Incluso un programa tan sencillo como el de contar requiere toda una serie de pasos lógicos, como ya hemos visto repetidamente en este libro. Y desde luego que la idea de que con semejante «computadora popular» se podrían realizar los cálculos que es capaz de llevar a cabo un ordenador moderno es totalmente descabellada, pero de lo que se trata es del principio.

Alan Turing tampoco imaginaba que su «máquina automática», como solía llamarla, acabaría siendo construida alguna vez.¹⁷ En realidad no se compone de células de computación humanas, sino de una cinta de papel sin fin sobre la que va y viene, de forma similar al sombrero de nuestra historia, un cabezal de lectura y escritura. En lugar de los dos estados del sombrero admite todos los que se quiera, y la cantidad de signos disponibles que puede estampar el cabezal en la cinta de papel también es ilimitada y no se compone únicamente del blanco, gris y negro. Existe además el correspondiente conjunto de reglas que indican al cabezal qué símbolo debe escribir y adónde tiene que desplazarse a continuación en función de cada estado y de cada signo que lee. Una importante diferencia con nuestra computadora humana es que la máquina de Turing también conoce el estado de «parada»: se detiene una vez ejecutado el programa. Pero en el trabajo original de Turing de 1936 era realmente una persona, llamada computer, quien ejecutaba las reglas a modo de un esclavo.

Dicho trabajo se titulaba On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem (Sobre números computables, con una aplicación relativa al problema de decisión) y no trataba en absoluto de ningún cálculo numérico concreto. El problema de decisión era el décimo de la lista de 23 problemas matemáticos irresueltos que el matemático alemán David Hilbert enumeró en el año 1900 ante sus colegas. Con el tiempo, los matemáticos fueron ampliándolo, y al final consistía en lo siguiente: desde la teoría de incompletitud de Gödel se sabía que no todos los teoremas matemáticos verdaderos son demostrables, pero ¿es posible al menos decidir si un teorema es demostrable o no?

Hasta entonces se requería mucha fantasía y una buena dosis de genialidad para demostrar un teorema matemático complejo, pero Hilbert se preguntó si sería posible idear un procedimiento que decidiera de manera «mecánica» la cuestión de la demostrabilidad y, en caso de responder afirmativamente, aportara de paso la demostración propiamente dicha. Esto recuerda mucho, nuevamente, a la idea de Leibniz de que sería posible «calcular» cualquier problema, cualquier discrepancia entre personas.

Turing se tomó muy en serio la idea de que podía existir un procedimiento de decisión de este tipo y se dijo: entonces construiré una máquina que lo haga. En última instancia todo se reduce a la manipulación de símbolos de acuerdo con determinadas reglas. El problema de decisión se viste entonces de pregunta: ¿Llega la máquina diseñada por él a un resultado si se la alimenta con una fórmula matemática? ¿Se detiene la máquina de Turing en un momento dado y dice «sí» o «no»?

Turing encontró y demostró la solución, que encaja muy bien en el patrón de las proposiciones paradójicas y autorreferenciales con que nos hemos estrujado los sesos en capítulos anteriores: la cuestión de la posibilidad de decidir no es decidible. O para referirlo a su máquina: no existe ningún programa general que responda a la pregunta de si esta máquina imprimirá alguna vez un 0.

La motivación de Turing era por tanto un problema matemático muy abstracto, pero de paso —si se puede decir así— desarrolló una máquina, hasta entonces solo existente en la teoría, que es algo así como el supraordenador ideal: cualquier ordenador digital puede simularse con la máquina de Turing, aunque esta sea de una lentitud extrema. Y a la inversa, casi todos nosotros llevamos hoy encima, dentro del móvil o del portátil, una máquina de Turing (incompleta, ya que solo dispone de una memoria limitada). De este modo, Alan Turing es uno de los padres fundadores de la revolución digital.

13     EL MEJOR COCHE DE SEGUNDA MANO

     O FORMULAR IDEAS PRECISAS CON CONCEPTOS IMPRECISOS

—¿Han pensado en algún coche en concreto? —pregunta el vendedor de automóviles usados apenas han tomado asiento Gerardo Chueca y su esposa Ingrid López en su despacho del local de ventas de vehículos de ocasión.

Gerardo Chueca mira a su mujer, quien sin dudarlo toma de inmediato la palabra.

—Bueno, mi marido tiene en esto un criterio muy simple, quiere que un coche sea rápido y vistoso (no tengo claro qué significa eso de «vistoso»). Yo añado que no debería ser demasiado viejo ni demasiado caro.

—Sí, eso lo quieren todos —dice Pedro Fornillo, el dueño del establecimiento—. De todos modos, estas indicaciones me resultan todavía un poco demasiado vagas. Como pueden ver, tengo ahí fuera, en el patio, unos 80 coches para vender. ¿Podrían ustedes concretar un poco más? ¿Qué significa para ustedes «rápido», «vistoso», «viejo» y «caro»?

—En casa ya hemos estado pensando sobre ello —contesta Ingrid López—, y tenemos ideas bastante concretas al respecto.

—Soy todo oídos.

Gerardo Chueca saca un trozo de papel del bolsillo del pantalón que por lo visto se ha traído a modo de chuleta.

—Empecemos por el precio: no queremos gastarnos de ninguna manera más de 11.000 euros. Y el coche no debe tener más de cinco años de edad. Y en la autopista debería poder circular fácilmente por el carril izquierdo, es decir, como mínimo a 185 kilómetros por hora de velocidad punta.

—Entendido. Pero ¿qué quieren decir con «vistoso»?

—Hum, no es fácil concretarlo. Digamos que un Audi, Alfa Romeo, Mercedes o algo por el estilo… —contesta el señor Chueca.

—… teniendo en cuenta que el Smart también es de Mercedes —le interrumpe la señora López.

—Esto es todavía una delimitación muy amplia —dice el vendedor—, aunque no sé si tengo algo que responda exactamente a sus expectativas. Permítanme echar una ojeada al ordenador.

Se dedica un rato a teclear en su ordenador, examina de vez en cuando la pantalla y su cara se vuelve cada vez más seria.

—Bueno, de verdad que esto no es nada sencillo.

El señor Chueca y su esposa se miran.

—¿Quiere decir que no tiene usted ningún coche que nos convenga? —pregunta ella.

—Siempre he encontrado el coche adecuado para un cliente —responde Fornillo con una sonrisa—, por mucho que de entrada pareciera difícil. Vean esto: he seleccionado seis posibles ejemplares. Enseguida imprimo las fichas. También podemos ver los coches en el aparcamiento.

—Bueno, primero examinaremos lo que pone en los papeles —propone el señor Chueca.

El vendedor va a la impresora y vuelve un minuto después con seis hojas de papel que entrega a sus clientes. Estos examinan las fichas con los datos de los coches y las correspondientes fotografías. Se trata de los siguientes:

• Opel, dos años, 165 km/h de velocidad máxima, 12.000 euros

• Ford, ocho años, 190 km/h de velocidad máxima, 8.000 euros

• Lada, tres años, 160 km/h de velocidad máxima, 13.000 euros

• Volvo, seis años, 205 km/h de velocidad máxima, 10.000 euros

• Mercedes, siete años, 210 km/h de velocidad máxima, 9.000 euros

• Smart, menos de un año, 160 km/h de velocidad máxima, 12.000 euros

Las caras de los clientes se alargan por momentos, y finalmente dice Gerardo Chueca:

—Pero si le hemos dicho qué es lo que queremos y ninguno de estos seis coches satisfacen todos los criterios: tres son demasiado antiguos, tres son demasiado caros. Y lo que tiene de «vistoso» un Lada me lo tendrá que explicar usted. Vamos, Ingrid… —el señor Chueca echa mano de su abrigo y se dispone a irse.

—Un momento —replica el señor Fornillo y agarra a Chueca de la manga—. Es cierto que ninguno de mis coches satisface al cien por cien sus criterios, pero tengan en cuenta que también les resultará difícil encontrar un coche que responda a todos sus deseos y encima tenga un precio asequible en cualquier establecimiento de la competencia. Les propongo una cosa: vean el programa «Fuzzy Car» que ha creado mi hijo.

—¿Cómo dice que se llama? —pregunta la señora López.

—Fuzzy Car. Está basado en la llamada lógica difusa, esa clase de novedades técnicas que vienen de América. Pero desde que utilizamos el programa hemos vendido muchos coches, ¡y ningún cliente se ha quejado!

—Pues bien —dice el señor Chueca con una mueca de desgana—. No sé de qué manera un programa informático va a mejorar su oferta, pero veámoslo.

—Voy a llamar a mi hijo, que se lo explicará mejor —dice Fornillo, que pulsa un botón de su teléfono. Poco después acude un joven con gafas que a juicio de la señora Chueca debe de tener 21 años de edad.

—Permítanme que me presente —dice el joven—. Sergio Fornillo, estudiante de electrónica. Los automóviles no son mi especialidad, pero este pequeño programa lo he desarrollado en el cuarto semestre en un seminario sobre lógica difusa.

—¿Qué quiere decir «difusa» en este contexto? —pregunta el señor Chueca impaciente.

—La lógica difusa, fuzzy logic en inglés, es una lógica en la que no solo existe lo verdadero y lo falso, el blanco y el negro. Esto comienza ya por los mismos términos: ustedes han dicho que desean un coche «asequible», y por «asequible» entienden un precio máximo de 11.000 euros. Más allá de este importe ya les parece demasiado caro. Pero ¿de verdad les parece que 10.999 euros es un buen precio y 11.001 ya no? En la vida real no existen límites tan estrictos.

—Ya sé que los vendedores de vehículos de ocasión siempre quieren sacarle al cliente más dinero que el que quiere gastar —interviene Ingrid López con tono escéptico.

Sin embargo, el joven Fornillo no pierde el hilo de su argumentación.

—Algo parecido ocurre con sus demás criterios. ¿Por qué establecen un límite de edad de cinco años exactos? Hay coches de seis años muy bien cuidados que sin duda también les podrían interesar. La lógica difusa rechaza esos límites tan estrictos, y así un coche puede cumplir todos los criterios establecidos por ustedes hasta cierto punto, que puede variar entre 0 y 1.

Al ver la cara de asombro que ponen los clientes, toma una hoja de papel y un rotulador.

—Veamos el predicado «rápido». Ustedes quieren un coche rápido y dicen que esto empieza con una velocidad punta de 185 kilómetros por hora. Esto también se puede ilustrar de esta manera: con una velocidad punta de 185 kilómetros por hora, un coche es «rápido» en grado 0, y con una velocidad mayor lo es en grado 1.

—En la lógica difusa, en cambio, las transiciones son graduales. No cabe duda de que para ustedes un coche que apenas alcanza los 160 kilómetros por hora no es un coche rápido. Pero con más de 210 de velocidad punta seguro que es un coche rápido. Entre una y otra, el valor de «rápido» aumenta gradualmente de 0 a 1, más o menos así —continúa el joven Fornillo y dibuja un segundo gráfico.

—¿Lo han entendido? Entonces haremos lo mismo con los demás criterios. Dibujamos una gráfica parecida para el precio y la edad. Con respecto a la «vistosidad» no podemos dibujar ninguna gráfica, sino que tendrán que darme ustedes un valor subjetivo, entre 0 y 1, para cada marca.

Alcanza a los clientes unas hojas de papel y estos dos hablan bajito entre ellos durante un rato y dibujan después con el rotulador las líneas correspondientes sobre el papel. Por lo visto, el punto que más discusión suscita es la cuestión de cuándo se puede calificar un coche de «vistoso», pero al final se ponen de acuerdo también en este aspecto.

—Muchas gracias —dice Fornillo y recoge las hojas de papel—. Mientras introduzco esto en el ordenador, pueden ustedes tomar un café, y luego les presento los resultados.

La señora López y el señor Chueca van a la expendedora de café y el joven Fornillo introduce unas cuantas columnas de números en el ordenador. La pareja sigue discutiendo sobre los datos que han anotado.

—¿No está un poco sobrevalorado el Smart? —duda el señor Chueca.

—Qué va —contesta la señora López—. Todas mis amigas lo encuentran tan encantador. En cambio, en el caso del Ford le habría rebajado otra décima.

Mientras siguen discutiendo, el joven Fornillo se acerca a la mesa y les muestra una hoja que ha sacado de la impresora.

—Miren esto, el ordenador ha encontrado un resultado claro, y creo que les gustará.

Los clientes se inclinan sobre el papel, en el que ven una tabla.

—Tal vez tenga que explicárselo un poco —dice Fornillo—. El programa ha atribuido a cada uno de los coches preseleccionados los valores de las distintas categorías que han fijado ustedes antes. Acto seguido, mi algoritmo de lógica difusa ha calculado el valor total de cada uno de los automóviles.

El señor Chueca entrecierra los ojos y examina las distintas columnas de cifras.

—Si no me equivoco, ha calculado simplemente el promedio en cada línea, ¿no es cierto?

—Exactamente, así es como funciona mi algoritmo de lógica difusa.

—Hum. ¿Así que el programa nos recomienda el Mercedes? —pregunta la señora López, que habría estado más contenta con el Smart.

—Justo por encima del Volvo —dice Fornillo—.

Esto demuestra, por cierto, que no es cuestión de sacarles más dinero, pues con el Volvo ganaríamos más. Ambos coches satisfacen tres de sus criterios y únicamente son un poco más viejos. Pero se hallan en buen estado y por tanto no creo que eso sea un problema.

Los clientes intercambian una mirada. No las tienen todas consigo ante la idea de que un programa de ordenador haya elegido por ellos el coche que mejor responde a sus deseos.

—Bueno, bueno —dice el señor Chueca—. Su sistema difuso está muy bien, pero tal vez podríamos ver los coches en persona.

—Por supuesto —sonríe el joven Fornillo—, aunque para ello les pongo de nuevo en manos de mi padre, que es mejor vendedor de coches que yo.

La mirada del padre indica que ya no está tan seguro de eso.

DEJAR DE PENSAR EN BLANCO Y NEGRO

La lógica con la que hemos estado tratando en capítulos anteriores era estrictamente «bivalente», es decir, cualquier proposición es una de dos: completamente verdadera o completamente falsa. En muchos ámbitos de la vida esto funciona perfectamente. Tomemos por ejemplo el clásico silogismo: «Todos los humanos son mortales. Sócrates es un ser humano. Luego Sócrates es mortal.» Un ser vivo es mortal o no. Sócrates es un ser humano o no. Verdadero o falso, blanco o negro, en estos casos no hay ninguna escala de grises entre uno y otro extremo.

Sin embargo, en otros ámbitos nuestra lengua no traza unos límites tan nítidos. Veamos por ejemplo la siguiente deducción:

• Los tomates rojos están maduros.

• Este tomate está bastante rojo.

• Luego está bastante maduro.

Así es como reflexionamos cada vez que vamos a la verdulería a comprar hortalizas. Otro ejemplo:

• La mayoría de andaluces tienen el cabello oscuro.

• La mayoría de personas con el cabello oscuro tienen ojos castaños.

• Luego la mayoría de andaluces tienen ojos castaños.

Este caso ya nos da más que pensar cuando sabemos que hay muchos andaluces rubios o personas de cabello oscuro y ojos azules. ¿Existe alguna manera de expresar formalmente este tipo de deducciones intuitivas? O a la inversa: ¿de qué sirve una lógica que no tiene cabida para estas vagas conclusiones?

El lógico estadounidense Charles Sanders Pierce (1839-1914) ya comparó la lógica clásica con la física clásica, en cuya forma más simple los cuerpos, una vez han recibido un impulso, se mueven eternamente sin que haya fricción que los frene. De este modo se puede calcular la trayectoria de los cuerpos celestes, pero no la de un coche que se ve frenado constantemente por las fuerzas de fricción. «En el mundo de la lógica no podemos hacer caso omiso de la vaguedad, como tampoco podemos dejar de lado la fricción en la mecánica», escribió Pierce.

En los últimos cien años ha habido varios intentos de apartar la lógica de la estricta visión en blanco y negro para adentrarla en el terreno resbaladizo de la escala de grises. El matemático polaco Jan Łukasiewicz (1878-1956) desarrolló en la década de 1920 una lógica multivalente, en la que el grado de verdad de una proposición podía adoptar valores situados entre 0 y 1.

En la década de 1960 fue entonces el matemático californiano Lotfi Zadeh (nacido en 1921) quien acuñó el término fuzzy logic. Su lógica difusa tenía la peculiaridad de basarse en una teoría de conjuntos difusa.

En capítulos interiores ya hemos oído hablar de la interrelación entre la teoría de conjuntos y la lógica. Cada conjunto define un predicado lógico, que es la particularidad de pertenecer a ese conjunto. Y a la inversa, un predicado lógico nos lleva —al menos en la mayoría de los casos, salvo fatales excepciones— al conjunto de todas las cosas que tienen esta particularidad.

Lotfi Zadeh partió de la observación de que la mayoría de conceptos que utilizamos en el lenguaje coloquial son imprecisos. Tenemos una idea aproximada cuando calificamos a una persona de «alta», pero no sabríamos señalar un límite exacto por debajo del cual dejaría de serlo. Si lo fijáramos en 1,80 metros, tendríamos que calificar de «no alto» a una persona que midiera 179,9 centímetros, y de «alta» a una que midiera dos milímetros más, lo cual es absurdo. Más absurdo todavía sería que una persona alta dejara de serlo en el curso del día, pues como es sabido al anochecer somos un poco más bajos que por la mañana. No es así como pensamos. Hay personas que sin duda son altas, y otras que sin duda no lo son, pero dentro de cierto margen, digamos que entre 1,75 y 1,85, o bien evitamos totalmente el adjetivo o decimos «es bastante alto» o «relativamente alto».

Zadeh definió la pertenencia a un conjunto en términos no absolutos, sino que admitió un continuo de 0 (una cosa no forma parte de ninguna manera de un conjunto) a 1 (una cosa forma parte sin duda alguna de un conjunto). Así, los conocidos círculos que circunscriben un conjunto se convierten en zonas grises poco precisas. En términos matemáticos, la pertenencia a un conjunto se define mediante una función como la que dibujó el joven Fornillo de nuestra historia para delimitar el criterio de «rápido» de un coche.

¿Es posible «calcular» con esos conjuntos difusos de un modo similar que con los habituales? ¿Es posible formar el complemento o la negación lógica? ¿Es posible unir conjuntos difusos (conectiva «o») y delimitar el conjunto de intersección (conectiva «y»)? Esto no es tan fácil como con los conjuntos clásicos y la lógica clásica.

La operación más fácil es la negación. Por ejemplo, si el atributo «alto» viene dado por una determinada función, el calificativo de «no alto» se define restando el valor de «alto» de 1:

no alto(x) = 1 – alto(x)

Algunas «verdades» de la lógica clásica siguen siendo válidas, como por ejemplo que «no no alto» (es decir, la negación de la negación de «alto») equivale a «alto». Sin embargo, en la lógica difusa se pierde el principio de no contradicción, según la cual una cosa es alta o no es alta: una persona de 1,80 metros es, con arreglo al gráfico anterior, tanto alto como no alto, en ambos casos en un grado de 0,5.

¿Cómo se expresa un «y» en lógica difusa? Veamos un ejemplo. ¿Qué significa vivir «cerca de Barcelona»? Es un caso típico de lógica difusa. Lo definiremos diciendo que toda persona que habita a 20 kilómetros a la redonda de Barcelona vive cerca de ella, y quien tiene su vivienda a más de 80 kilómetros, ya no vive cerca de ella. Diremos que entre 20 y 80 kilómetros a la redonda, el valor aumenta linealmente de 0 a 1. En vez de una gráfica, esto también se puede ilustrar con un dibujo en el que la «cercanía a Barcelona» tiene asignado un tono gris.

Podemos unir entre sí las conurbaciones de Barcelona y Gerona y formar el conjunto de todas las localidades que se hallan cerca de Barcelona o cerca de Gerona:

Y podemos calcular el promedio y ubicar todas las localidades que se hallan tanto cerca de Barcelona como cerca de Gerona.

En este pequeño espacio entre Barcelona y Gerona no hay ningún punto totalmente negro, pues ninguna de estas localidades se halla realmente cerca de una de las dos ciudades. ¿Cómo se puede formular esto en términos estrictamente matemáticos? Existen varios planteamientos al respecto. En la historia con que comienza este capítulo, el hijo del vendedor de coches, por ejemplo, ha creado un programa que calcula el promedio para hallar un coche que es rápido y no caro y no viejo y vistoso. En las aplicaciones prácticas suelen tomarse, para la conectiva «y», más bien el inferior de ambos valores. Si CB(x) indica el grado en que un lugar se halla «cerca de Barcelona», y CG(x) el grado correspondiente con respecto a Gerona, entonces podemos definir:

Veámoslo a la luz de los valores situados en una línea entre Barcelona y Gerona (distancia de 100 kilómetros, indicada a partir de Barcelona):

Sin duda aquellas personas que viven más o menos a medio camino entre una y otra ciudad son las que pueden afirmar con más razón que nadie que la localidad en que viven tiene la ventaja de hallarse tanto cerca de Barcelona como cerca de Gerona. El promedio de los valores, en cambio, permanece constante a lo largo de todo el tramo.

Por otro lado, si el hijo del vendedor de coches hubiera aplicado el principio del valor mínimo, la elección habría recaído en el Volvo. La peor nota de este coche es el 0,4 de la edad, criterio en el que el Mercedes solo obtiene un 0,3. Sin embargo, en este caso nos parecería fuera de lugar que no se tuvieran en cuenta para nada las otras tres características.

Los ejemplos muestran que en la lógica difusa no existe una definición clara de los operadores lógicos «y» y «o» susceptible de reflejar óptimamente nuestra intuición cotidiana. Por no hablar ya de la implicación (de A se deriva B), que ya comporta tantas dificultades en la lógica clásica.

Existen algunos otros factores que explican por qué la lógica difusa no ha despertado nunca la simpatía de muchos lógicos teóricos: en ella no se puede operar con tablas de verdad, y sobre todo no es posible establecer unas reglas de inferencia lógicas de carácter general. La fuerza de la lógica clásica reside justamente en el hecho de que sus deducciones son perfectamente limpias, al margen del significado de las proposiciones. La lógica difusa no se presta para nada a esto, en ella todo depende del contexto. Veamos nuevamente el ejemplo de los andaluces y los ojos castaños:

• La mayoría de andaluces tienen el cabello oscuro.

• La mayoría de personas con el cabello oscuro tienen ojos castaños.

• Luego la mayoría de andaluces tienen ojos castaños.

Puede que esto todavía suene plausible, pero con ejemplos distintos, este tipo de deducciones caen en el absurdo:

• La mayoría de vallisoletanos son españoles.

• La mayoría de españoles viven al sur del Duero.

• Luego la mayoría de vallisoletanos viven al sur del Duero.

Por desgracia, los conceptos difusos pueden conducir a conclusiones poco claras, en ocasiones incluso falsas.

En vez de juicios se formulan muchas veces prejuicios, que al analizarlos más de cerca se demuestran falsos.

Probablemente, la lógica difusa sería hoy una perfecta desconocida de no ser por sus útiles aplicaciones en el control de procesos mecánicos, donde permite imitar el modo «heurístico» con que los humanos manejan determinadas operaciones. Tomemos el ejemplo de un gruista que ha de trasladar una carga de un buque a un camión. Se trata de mantener lo más reducida posible la oscilación de la carga y a pesar de todo trasladarla con rapidez. Para esto existen, desde luego, ecuaciones físicas, pero el gruista las desconoce. Además, no tiene los datos exactos sobre la velocidad de su grúa y el ángulo de desviación de la carga. A pesar de ello, si ha estado trabajando varios años en el mismo puesto, sigue unas reglas empíricas de las que ni siquiera es consciente, pero que aplica de forma casi automática. «Si la carga se va demasiado a la derecha, mueve ligeramente la pluma en la misma dirección» es una de estas reglas imprecisas con las que maneja la grúa.

Los clásicos controles de máquinas que han de realizar trabajos de cierta precisión requieren siempre una descripción física exacta de la situación. Un control difuso, en cambio, convierte reglas empíricas humanas imprecisas en órdenes precisas, por mucho que no sea posible describir el sistema técnico por completo con exactitud matemática. El proceso se desarrolla en tres pasos:

1. Los valores exactos transmitidos por sensores de la máquina se «difuminan», es decir, se traducen a conceptos difusos; por ejemplo, una velocidad exacta se expresa mediante conceptos difusos como «lento», «medianamente rápido» y «muy rápido».

2. A estos valores se aplica una serie completa de reglas de conversión como la que acabamos de mencionar, y cada una de ellas genera un resultado difuso, como «acelera con cuidado».

3. A partir de estos valores imprecisos, tal vez incluso contradictorios entre sí, hay que calcular después un valor exacto (o varios) que la máquina pueda convertir en una acción concreta y precisa.

Lo fascinante de esta técnica es que permite crear con relativa facilidad controles de procesos que no se comprenden en todos sus detalles, del mismo modo en que una persona actúa en un entorno cuyas leyes físicas no conoce.

La euforia por la lógica difusa que experimentaron algunos técnicos en la década de 1990 se ha disipado un poco, y hoy en día la lógica difusa constituye uno de varios instrumentos que se emplean en reguladores de procesos. En cambio, la elocuente superestructura filosófica generada por algunos teóricos no ha dejado de ser marginal y apenas ha influido en la mayoría de informáticos y matemáticos.

Los defensores de la lógica difusa han reprochado una y otra vez a los lógicos clásicos que su manera de pensar «en blanco y negro» no refleja plenamente la realidad. En el primer capítulo he mencionado la idea de Leibniz de que llegará un momento en que las personas ya no necesitarán intercambiar argumentos, sino que resolverán sus diputas sobre la base de cálculos matemáticos. Sin embargo, esta idea choca frontalmente con la imprecisión de la lengua humana. «La exigencia formulada de utilizar un lenguaje preciso en la conversación reduciría esta última a un mero intercambio de información», escribió el teórico Bernd Demant en 1993, «y provocaría disputas interminables sobre términos empleados, si es que no se hubieran ahogado previamente en su aridez.»

No cabe duda que en este aspecto tiene razón, aunque también hay que decir que la lógica difusa tampoco ha logrado desarrollar una teoría general de esa imprecisión. A fin de cuentas es tal vez una bendición que gracias a la lógica podamos contar con una herramienta afilada que permite analizar, demostrar o rebatir ideas y planteamientos, y que en nuestra vida todavía haya suficientes cosas que siempre escaparán a esa lógica.

ANEXO: SOLUCIONES

CAPÍTULO 4:

El noruego bebe agua y el japonés tiene una cebra. Los atributos se distribuyen del modo siguiente:

CAPÍTULO 5:

Tal vez nuestros nietos ya no comprendan esta solución, que se basa en el hecho de que las bombillas (incluidas las de bajo consumo) no solo generan luz, sino también calor. En primer lugar se acciona el interruptor 1. Al cabo de unos minutos se desconecta el interruptor 1 y se acciona el interruptor 2. Acto seguido se baja al sótano. Si la bombilla está encendida, el correcto es el interruptor 2; si está apagada, pero caliente, es el interruptor 1; y si está apagada y fría, el que vale es el interruptor 3.

CAPÍTULO 6:

Estas son las condiciones:

1. Ningún tiburón duda de que está bien armado.

2. Un pez que no sabe bailar el vals es de compadecer.

3. Ningún pez se siente suficientemente armado si no tiene por lo menos tres hileras de dientes.

4. Todos los peces, salvo los tiburones, son amables con los niños.

5. Los peces pesados no saben bailar el vals.

6. Los peces con tres hileras de dientes por lo menos no son de compadecer.

Demuestre que bajo estas premisas es correcta la siguiente proposición: «Todos los peces pesados son amables con los niños».

En realidad tendríamos que introducir en primer lugar un predicado que diga que una cosa x es un pez. Sin embargo, puesto que todos los enunciados de este problema se refieren a peces, podemos ahorrarnos este paso limitando el ámbito de todos los objetos al conjunto de todos los peces. De este modo evitaremos un montón de contorsiones formales.

Así que podemos formular los siguientes predicados:

Tx: «x es un tiburón.»

Vx: «x sabe bailar el vals.»

Cx: «x es de compadecer.»

Nx: «x es amable con los niños.»

Ax: «x se siente suficientemente armado.»

Dx: «x tiene por lo menos tres hileras de dientes.» Px: «x es pesado.»

Las premisas son las siguientes:

La pregunta es si a partir de estas seis premisas se deriva la siguiente conclusión:

Antes de comenzar con la demostración eliminaremos primero los feos cuantificadores existenciales negados de las fórmulas 1 y 3 aplicando las reglas de la negación de cuantificadores (en el anexo se reproducen de nuevo todas las reglas de transformación):

En estas fórmulas se ve de inmediato que pueden transformarse con la regla «impl» en una operación «si-entonces»:

Ahora tenemos seis enunciados «si-entonces» con los que vamos a formar una bella cadena modus ponens.

Para la demostración elegiremos esta vez la prueba indirecta. Con este método, la conclusión no se deriva de las premisas, sino que se supone que es falsa y de esta hipótesis se deriva una contradicción. Añadimos esta negación de nuestra afirmación a las premisas y de paso la transformamos un poco:

Este enunciado significa lo siguiente: existe un pez pesado que no es amable con los niños. A este pez le llamaremos p. Así tendremos:

Puesto que hemos transformado todas nuestras premisas en enunciados de alcance universal, son válidas en particular para p. Por tanto, podemos omitir el cuantificador y de este modo los respectivos enunciados entre paréntesis son válidos para p. Entonces podemos aplicar el modus ponens:

Esta era la cadena de las deducciones de Pp. ¿Qué podemos deducir de ¬Np? De momento nada, pero podemos transformar el enunciado 4:

Ahora podemos deducir lo siguiente:

La línea 11 dice que p es de compadecer, pero en la línea 15 pone que p no es de compadecer. Por consiguiente, a partir de las premisas y de la hipótesis 7 hemos deducido un enunciado y su contrario, de modo que (puesto que las premisas se consideran verdaderas) el enunciado 7 tiene que ser falso. Esto significa que la afirmación es correcta y, en efecto, todos los peces pesados son amables con los niños.

CAPÍTULO 7:

1. Si pudiéramos plantear a los isleños dos preguntas, la cosa sería más sencilla: primero se pregunta a uno de ellos sobre un hecho para determinar si es veraz o mendaz y acto seguido se le pregunta por el camino. El truco consiste en formular una pregunta que obligue al mendaz a decir una «doble mentira». Para ello existen varias soluciones, como por ejemplo: «¿Diría un miembro de la otra categoría que este camino conduce a la capital?», señalando con el dedo uno de los caminos. Un veraz contestaría «no» si el camino es el correcto y «sí» si es el equivocado. ¿Qué contestaría un mendaz? ¡Lo mismo! El camino correcto, por tanto, es aquel que el interrogado niega.

«¿Habrías dicho hace media hora que este camino lleva a la capital?» En este caso, el veraz responde con la verdad, pero también el mendaz se ve obligado a dar una respuesta que en última instancia es correcta. Por tanto, podemos confiar en la respuesta.

2. Aunque en este caso solo nos encontramos con un isleño, tenemos que dilucidar también si el enunciado «me como una escoba» es verdadero o falso. Si atribuimos a «x se come una escoba» el predicado Ex, la tabla de verdad será la siguiente:

Resulta, por tanto, que un mendaz ni siquiera puede pronunciar esta frase. Esto se debe a la definición de la implicación lógica, que ya ha sido causa de confusión en capítulos anteriores: de una proposición falsa se puede deducir cualquier cosa, pero el conjunto del enunciado siempre es verdadero. De manera que Carlos tiene que ser un veraz y, por consiguiente, ha de comerse la escoba.

3. La solución de este problema se basa de nuevo en la definición no necesariamente intuitiva de la implicación lógica.

Si reflexionamos un poco podremos ver que la frase «si…, entonces soy un mentiroso» no la puede pronunciar un mendaz, pues en este caso la consecuencia es verdadera y por tanto también el conjunto del enunciado. Por consiguiente, Diego es veraz y Elena ha de ser mendaz para que el enunciado sea verdadero.

4. Esta vez hemos de elaborar una tabla de verdad para tres habitantes de la isla, es decir, analizar ocho líneas. Además hay que examinar dos enunciados, el de Francisco y Georgina. Sin embargo, podemos ahorrarnos trabajo haciendo caso omiso del enunciado de Georgina en los casos en que el de Francisco sea inconsistente. No he anotado la frase de Georgina con operadores lógicos porque la expresión «solamente uno de tres enunciados es verdadero» resulta bastante complicada; en lugar de ello he anotado «solamente un Vx».

En pocas palabras: la frase de Francisco no puede ser verdadera, y por tanto es un mendaz, con lo que ya solo quedan tres casos que examinar.

5. En este caso conviene aclarar algunas cuestiones. En primer lugar, lo que dice Juan sobre Inés tiene que ser mentira: ningún habitante de Bola-Trola se autocalificaría de mentiroso. Por esta razón, en la columna 4 no figura más que la letra f y solo hace falta examinar los casos en que Juan es mendaz. En segundo lugar, es importante prever dos columnas separadas para los enunciados de Kevin de que «Juan miente» e «Inés dice la verdad», en vez de examinar el conjunto del enunciado «Juan miente e Inés dice la verdad», en cuyo caso también sería consistente la última línea. De este modo sabemos que Inés, que no articula bien, ha dicho la verdad y la mentira manifiesta de Juan era la única.

6. El hecho de que x e y sean de la misma categoría puede expresarse lógicamente con la fórmula «Vx ↔Vy».

Solo examinaremos los casos en que la respuesta de Luisa es consistente y después reflexionaremos sobre si Luisa y Martina son de la misma categoría y sobre cuál debería ser la respuesta consistente de Nuria.

Lo bonito de esta adivinanza es que sabemos qué nos contestará Nuria, pero su respuesta no nos servirá de nada: no sabemos a qué categoría pertenecen las tres ni si una de las respuestas era correcta.

7. El número de mendaces está situado entre 1 y 100, y el habitante de Bola-Trola que lo ha dicho es el único veraz. Por tanto, hay 99 mendaces y el penúltimo interrogado es el que ha dicho la verdad.

8. Si x es el número de mentirosos, entonces los isleños 1 a x dicen la verdad. Los isleños (x + 1) a 100 mienten. Son en total (100 – x) habitantes, y por tanto:

Esto significa que 50 habitantes son mendaces y 50 son veraces.

CAPÍTULO 10:

¿Quién ha escrito el letrero de la puerta 3? Supongamos que ha sido José, en cuyo caso lo que afirma es falso, por lo que solo uno de los tres letreros puede ser suyo, justamente el de la puerta 3. Por tanto, los otros dos letreros son de Juan, pero esto es imposible, pues el premio solo puede hallarse detrás de una de las puertas. Por tanto, el letrero de la puerta 3 es de Juan y lo que dice es cierto. En este caso, los otros dos letreros han de ser de José, de manera que la barbacoa no se encuentra detrás de la puerta 1 ni de la puerta 2, sino que tiene que estar detrás de la puerta 3.

CAPÍTULO 11:

2. Los concursantes A, B y C están colocados en fila india, como en la prueba n.º 1, mientras que D se halla detrás de la cortina. Si B y C tuvieran sombreros del mismo color, entonces A sabría de inmediato el color del suyo, pues solo hay dos sombreros de cada color. Pero dado que «pasa un rato», los sombreros de B y C han de ser de distinto color. Por consiguiente, transcurrido cierto tiempo, B puede decir que tiene un sombrero rojo si C lleva uno negro y viceversa.

(El concursante D que está detrás de la cortina no tiene nada que ver con el resultado de esta prueba; esta podría haberse formulado también del mismo modo que la primera, con la condición de que los tres sombreros de A, B y C deberían escogerse entre dos rojos y dos negros.)

3. Cada uno de los tres concursantes piensa: «Veo dos sombreros rojos, el mío es rojo o negro. Si fuera negro, cada uno de los otros dos pensaría: “Veo un sombrero rojo y uno negro. Si el mío fuera negro, entonces el que lleva el sombrero rojo vería dos sombreros negros. Sin embargo, ha levantado la mano, de modo que mi sombrero ha de ser rojo.” Entonces exclamaría: “¡Mi sombrero es rojo!”, pero no lo hace, de manera que mi sombrero no es negro, sino rojo. Y exclama: ¡Mi sombrero es rojo!» Ahora bien, puesto que todos los concursantes son igual de listos y esperan exactamente dos veces a que transcurra un rato, descubren la solución todos al mismo tiempo.

4. La clave de la solución está en la observación de que la prueba ha de ser justa, es decir, que todos los concursantes han de tener las mismas posibilidades de adivinar el color de su sombrero. En este caso, ¿cómo deberían estar repartidos los sombreros? Desde luego no a razón de dos rojos y uno negro, pues el del sombrero negro sabría de inmediato su color.

¿Podrían ser dos sombreros negros y uno rojo? Entonces tendrían ventaja los dos del sombrero negro, que ven uno rojo y uno negro. Si su propio sombrero fuera rojo, tendríamos de nuevo la distribución rojo-rojo-negro, que es injusta. Por tanto, podrían adivinar de inmediato el color de sus respectivos sombreros y por consiguiente estarían en ventaja con respecto al tercer concursante, el del sombrero rojo.

De ello se infiere que la única distribución justa es la de tres sombreros negros. Y para acometer esta reflexión no hace falta esperar a que se encienda la luz: los tres concursantes dan de inmediato con la solución correcta.

5. Seguiremos los pasos que da mentalmente la concursante B cuando le preguntan por segunda vez:

«Supongamos que llevo dos sombreros rojos. En este caso, A habría pensado la segunda vez: “B lleva dos sombreros rojos. Si yo también llevara puestos dos sombreros rojos, entonces C vería cuatro sombreros rojos y sabría que lleva dos sombreros negros. Sin embargo, C no lo ha hecho y por tanto no llevo dos sombreros rojos. ¿Llevo dos sombreros negros? En este caso, C podría haber pensado que no lleva dos sombreros negros ni dos sombreros rojos, porque de lo contrario B o yo mismo habríamos sabido el color de nuestros sombreros antes que él. Por consiguiente, no llevo dos sombreros rojos ni dos sombreros negros, sino uno rojo y uno negro.” Sin embargo, A no lo ha dicho, y por tanto yo no tengo puestos dos sombreros rojos. Según el mismo esquema, tampoco llevo dos sombreros negros. Por consiguiente, uno es negro y el otro rojo.»

No podemos decir con certeza de qué color son los sombreros que llevan los demás concursantes.

Esta adivinanza se puede resolver todavía más rápidamente con un metaargumento: todas las condiciones son simétricas en rojo y negro, y esto significa que nuestra solución también es correcta si se sustituyen los sombreros rojos por negros y viceversa. Claro que esto solo funciona si B lleva dos sombreros de distintos colores.

6. En esta prueba, la presentadora administra con habilidad los periodos de reflexión, ya que los portadores de sombreros negros han de pensar repetidamente durante «un rato» antes de poder estar seguros del color de su sombrero.

Supongamos que el número de sombreros negros fuera el mínimo, o sea, dos. En este caso, cada uno de los dos portadores vería un sombrero negro y ocho rojos y sabría de inmediato que él lleva un sombrero negro. Sin embargo, nadie responde a la pregunta de la presentadora.

Por consiguiente, hay por lo menos tres sombreros negros. A esta conclusión habrán llegado todos los diez concursantes. Si uno de ellos viera dos sombreros negros, levantaría la mano la segunda vez que preguntara la presentadora. Pero como esto tampoco ocurre, tiene que haber por lo menos cuatro sombreros negros. Estos tendrían que responder entonces a la tercera pregunta de la presentadora. Y así sucesivamente… hasta que la presentadora pregunta por quinta vez y contestan todos los que ven cinco sombreros negros, que en total son seis.

El segundo concursante que sale al estrado mira el sombrero de la primera. Si es negro, se coloca a la derecha de ella, y si es rojo, a la izquierda. Todos los demás concursantes proceden del mismo modo mientras solo haya sombreros del mismo color en el estrado. Tan pronto como hay dos colores, cada nuevo concursante que entre se sitúa «en medio», es decir, entre el portador de un sombrero rojo y el de uno negro que se encuentran uno al lado de otro. De esta manera, los sombreros rojos y negros forman una cadena continua, encontrándose los negros a la izquierda y los rojos a la derecha.

LAS PRINCIPALES FÓRMULAS LÓGICAS

LÓGICA PROPOSICIONAL

En la página 19 he señalado que la totalidad del cálculo de la lógica proposicional se puede realizar con un único operador (la barra de Sheffer) y una única regla de inferencia (el modus ponens). Sin embargo, en la práctica esto no nos lleva muy lejos. Por ello, para realizar verdaderas demostraciones lógicas se emplean una serie de equivalencias y reglas de inferencia.

Recordemos: los operadores lógicos ¬,∧,∨,→ y ↔ se explican en el capítulo 2 mediante tablas de verdad. En el capítulo 3 se expone qué es una inferencia lógica: a partir de las premisas de la izquierda del doble punto se infiere, mediante la aplicación de unas pocas reglas, el enunciado de la derecha del doble punto. Si la inferencia funciona en ambos sentidos, significa que ambos lados son equivalentes y escribimos dos dobles puntos (::).

He aquí por tanto una serie de reglas útiles que pueden emplearse en una demostración lógica.

EQUIVALENCIAS

Doble negación:

p :: ¬(¬p)

Conmutación:

p∧q :: q∧p

p∨q :: q∨p

Asociación:

p∧(q∧r) :: (p∧q)∧r

p∨(q∨r) :: (p∨q)∨r

Distribución:

p∧(q∨r) :: (p∧q)∨(p∧r)

p∨(q∧r) :: (p∨q)∧(p∨r)

A diferencia del cálculo con + y x, en la lógica son válidas las dos formas de la regla.

Contraposición:

p→q :: ¬q→¬p

Implicación:

p→q :: ¬p∨q

Exportación:

p→(q→r) :: (p∧q)→r

Reglas de De Morgan:

¬(p∧q) :: ¬p∨¬q

¬(p∨q) :: ¬p∧¬q

Tautología:

p∧p :: p

p∨p :: p

Equivalencia:

p↔q :: (p→q)∧(q→ p)

p↔q :: (p∧q)∨(¬p∧¬q)

REGLAS DE INFERENCIA

Modus ponens:

p→q, p : q

Modus tollens:

p→q, ¬q : ¬p

Conjunción:

p, q : p∧q

Simplificación:

p∧q : p

p∧q : q

Adición:

p : p∨q

Silogismo disyuntivo:

p∨q, ¬p : q

p∨q, ¬q : p

Silogismo hipotético:

p→q, q→r : p→r

Dilema constructivo:

p∨q, p→r, q→s : r∨s

LÓGICA DE PREDICADOS

En la lógica de predicados se emplean las mismas reglas de inferencia y equivalencias que en la lógica proposicional, no en vano un predicado Px es una proposición. Se aplican reglas nuevas para el tratamiento de los cuantificadores:

Negación de

∀x(Px) :: ¬∃x(¬Px)

cuantificadores:

¬∀x(Px) :: ∃x(¬Px)

∃x(Px) :: ¬∀x(¬Px)

¬∃x(Px) :: ∀x(¬Px)

Distribución de

∀x(Px∧Qx) :: ∀x(Px)∧∀x(Qx)

cuantificadores:

∃x(Px∨Qx) :: ∃x(Px)∧∃x(Qx)

Cuidado: aquí solo son válidas las combinaciones de cuantificador universal/y (∀/∧) y de cuantificador existencial/o (∃/∨). Las dos variantes inversas no tienen validez general; por ejemplo, de la proposición «todas las personas son un hombre o una mujer» no se puede inferir que «todas las personas son hombres o todas las personas son mujeres».

Intercambio de

∀x(∀y(Pxy)) :: ∀y(∀x(Pxy ))

cuantificadores

∃x(∃y(Pxy)) :: ∃y(∃x(Pxy ))

Cuidado: solo pueden intercambiarse sin más cuantificadores de la misma clase, pues de lo contrario se generan sinsentidos lógicos.

Finalmente existen cuatro reglas más para la creación o eliminación de cuantificadores:

Instanciación universal: ∀x(Px) : Pa

Si un enunciado es válido para todas las x, también lo es para cada a concreta.

Generalización existencial: Pa : ∃x(Px)

Si un enunciado es válido para una a concreta, entonces también es válido el correspondiente enunciado existencial «existe una x».

Instanciación existencial: ∃x(Px) : Px

Si la proposición existencial es válida, entonces se puede utilizar con la variable x. Claro que hay que prestar mucha atención para no confundir la variable con otras.

Generalización universal: Px : ∀x(Px)

Esta generalización suele ser falsa y solo funciona si la variable x cumple una serie de requisitos muy estrictos.

LOS AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS DE ZERMELO-FRAENKEL

Con la antinomia de Bertrand Russell quedó claro que en la matemática no se puede formar conjuntos «ingenuamente», o a la ligera, sino ateniéndose a unas reglas estrictas. Posteriormente se desarrollaron diversos sistemas axiomáticos con el fin de evitar tales antinomias. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, elaborada por Ernst Zermelo (1871-1953) y Abraham Adolf Fraenkel (1891-1965), es la que más se utiliza actualmente. En ella no se ha encontrado todavía ninguna antinomia, aunque por otro lado también está claro que nunca será posible demostrar su carencia de contradicciones.

Puede que los axiomas les parezcan a algunos muy abstractos o también claros como el agua, pero los relacionaré en estas páginas porque por un lado constituyen el fundamento de la matemática moderna, pero por otro apenas los conoce realmente algún matemático.

AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD

∀x∀y(x=y) ↔ ∀z(z∈x ↔ z∈y)

Este axioma estipula que los conjuntos están determinados por los elementos que contienen: si cada elemento de un conjunto x también se halla en y y viceversa, entonces x es igual a y.

AXIOMA DEL CONJUNTO VACÍO

∃x∀y(y∉x)

Existe un conjunto x que no contiene ningún elemento.

AXIOMA DE PARES

∀x∀y∃z∀u(u∈z↔u=x∨u=y

Con dos objetos x e y siempre puede formarse el conjunto {x,y} que contiene exclusivamente estos dos objetos.

AXIOMA DE UNIÓN

∀x∃y∀z(z∈y↔∃w(w∈x∧z∈w))

Esto es lo que expresa esta fórmula relativamente compleja: es posible crear, con respecto a un conjunto x, otro conjunto y formado por elementos de los elementos de x. Por tanto, si x contiene conjuntos como elementos, entonces se juntan los elementos de todos esos conjuntos para formar a su vez el conjunto y.

AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN

∀x∃y∀z(z∈y↔z∈x∧Fz)

Si F es un predicado lógico, entonces se puede formar, para cada conjunto x, un subconjunto y de los elementos de x que tienen la característica F.

AXIOMA DE INFINITUD

∃x(Ø∈x∧∀y(y∈x→{y}∈x))

Este axioma garantiza que se pueda formar un conjunto que tenga la forma siguiente:

{Ø,{Ø},{{Ø}},{{{Ø}}}…}

En particular significa que existen conjuntos con un número infinito de elementos.

AXIOMA DEL CONJUNTO POTENCIA

∀x∃y∀z(z∈y↔z⊆x)

Es posible formar el conjunto y de todos los subconjuntos de un conjunto x. Este conjunto, por cierto, siempre es «verdaderamente más grande» que el conjunto mismo, lo que significa que no se corresponden exactamente los elementos de x e y.

AXIOMA DE REEMPLAZO

(∀a(a∈x→∃₁b(Fab)))→(∃y∀b(b∈y↔Fab))

Una fórmula muy complicada que en realidad describe una norma sencilla: si existe un predicado lógico de dos variables libres, de manera que para cada a del conjunto x existe exclusivamente una b con Fab (es decir, una función que asigna a cada a una b), todos estos elementos b forman de nuevo un conjunto y. En otras palabras, el valor de un conjunto bajo una función es a su vez un conjunto.

AXIOMA DE REGULARIDAD

∀x(x≠Ø→∃y((y∈x)∧(x∩y=Ø)))

Este axioma ya se ha mencionado en la página 131; es el que sustituye al «axioma general de comprensión» de Frege y estipula que todo conjunto x no vacío contiene un elemento y que no contiene ningún elemento en común con x. En virtud de este axioma, los conjuntos no pueden contenerse a sí mismos como elemento y es imposible que se formen cadenas descendentes infinitas de conjuntos en los que el conjunto subsiguiente es siempre un elemento del anterior. En cambio, sí están permitidas las cadenas ascendentes infinitas.

AXIOMA DE ELECCIÓN

(∀ u∀ v((u∈ x∧ v∈ x)→ (u≠v→ u∩ v=Ø)∧ u≠Ø))→∃y∀ z (z∈x→∃₁w(w∈z∧w∈y))

El enunciado es el siguiente: la parte de la izquierda establece en primer lugar cómo debe ser el conjunto x sobre el que se formula un enunciado: no contiene un conjunto vacío como elemento y todos sus elementos son conjuntos que no se solapan entre sí. Entonces se puede formar un conjunto y que contiene exclusivamente un elemento w de cada conjunto z que forma parte de x. El axioma solamente dice que existe tal conjunto y, pero no cómo se forma.

A muchos matemáticos, este axioma les produce dolor de barriga: no parece ser un axioma, ya que formula un enunciado muy específico, pero sí se puede demostrar que no se deduce de los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel. Por esta razón, algunos utilizan la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin axioma de elección (ZF) y otros la versión con axioma de elección (ZFC), que facilita muchas demostraciones.

BIBLIOGRAFÍA Y FUENTES

INTRODUCCIONES BÁSICAS, SELECCIONADAS SEGÚN EL GRADO DE DIFICULTAD

Una introducción a la lógica en forma de novela gráfica, narrada paralelamente a una biografía de Bertrand Russell:

Apostolos Doxiadis, Christos H. Papadimitriou: Logicomix, Sins Entido, 2011

Fundamentos de la deducción lógica, con muchos ejemplos de demostraciones: Mark Zegarelli: Logic for Dummies (en inglés), Wiley, 2007

Una introducción a la lógica matemática con muchos ejemplos y ejercicios: P. Suppes y S. Hill: Introducción de la lógica matemática, Reverte, 1968

ADIVINANZAS Y ACERTIJOS

Las sugerencias para la mayoría de adivinanzas (que en parte he reformulado a fondo) están tomadas de Internet y no pueden atribuirse a un autor. El juego de lógica con el Dr. House es de Frank Westenfelder (www.daf-raetsel.de). Los problemas del capítulo 6, que giran en torno a cocodrilos, lactantes y tiburones, los he tomado de un librito editado en la RDA y ya agotado:

Otakar Zich, Arnošt Kolman: Unterhaltsame Logik; BSG B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig, 1965.

Las historias de la isla de Bola-Trola (imaginada por mí) están inspiradas en un libro que no solo contiene numerosas adivinanzas de este tipo, sino también profundas refl exiones sobre la autorreferencialidad e incluso una entretenida presentación del teorema de la incompletitud de Gödel:

Raymond S. Smullyan: What Is The Name Of This Book?, publicado en 1978 y vuelto a editar en 2011 por Dover Publications; la edición española se publicó en 1988 con el título ¿Cómo se llama este libro? (Ediciones Cátedra).

Notas

1. Biermann declaró en su famoso concierto del Polideportivo de Colonia, que motivó su expulsión de la RDA, sobre aquella frase: «Expresa exactamente el estado de ánimo político de muchos jóvenes de la RDA».

2. Si hoy en día el sueño de Leibniz no nos provoca más que una sonrisa, puede que estemos simplificando demasiado. Incluso en tiempos recientes ha habido intentos igual de audaces, como por ejemplo el proyecto «CyC» del informático estadounidense Doug Lenat, que pretendía alimentar un ordenador con la totalidad del conocimiento normal de un ser humano. En este caso, los componentes también consistían en una serie de verdades de sentido común, un lenguaje formal para describirlas y las reglas derivadas de la lógica de predicados. El proyecto se puso en marcha en 1984 y Lenat calculó que para llevarlo a término se precisarían 350 años-hombre. Sin embargo, el proyecto todavía no ha concluido y solo existen algunos módulos de conocimiento para aplicaciones especiales.

3. En realidad habría que insertar paréntesis: ¬p∧(q∧r), puesto que en sentido estricto los operadores solo están definidos para dos proposiciones. Sin embargo, en el caso de proposiciones de tres miembros con el operador «y» u «o» se pueden poner los paréntesis a voluntad, y por tanto también se pueden omitir.

4. Algún lector se acordará de la familia Parlón por la historia «En el cuarto de los niños» que escribí en La seducción de la física.

5. En el anexo figura una lista de los axiomas y reglas de inferencia lógicas más usuales.

6. El ejercicio ha sido ideado por Frank Westenfelder, www.daf-raetsel.de

7. Véase la pág. 19.

8. No se deje confundir por el hecho de que de pronto los conjuntos se representen aquí por letras minúsculas. En el cálculo formal de conjuntos no existe ninguna diferencia de principio entre «conjuntos» y «elementos»: todo conjunto puede ser elemento de otro conjunto.

9. En el anexo figuran los axiomas y las reglas de esta teoría de conjuntos.

10. Los cuatros primeros números perfectos son: 6, 28, 496 y 8.128.

11. En este acertijo, el concursante ha de optar entre tres puertas. Elige una y entonces el presentador abre una de las otras dos puertas, detrás de la cual se oculta una cabra, y propone al concursante que se replantee su elección. ¿Es mejor que mantenga su primera opción o que se decida por la tercera puerta? En este caso es mejor, efectivamente, optar por la tercera puerta. Algunas personas no lo creen y ya se han escrito libros enteros sobre la cuestión.

12. Esta proposición es demostrable. En cambio, hasta ahora no se sabe si existe una cantidad infinita de «números primos gemelos» como 17 y 19, y nadie sabe si la proposición o su negación se puede demostrar.

13. En capítulos anteriores ya hemos visto que hay operadores lógicos que pueden reducirse a menos símbolos. Por tanto, también podría utilizarse una cantidad menor de símbolos, pero entonces las fórmulas serían más difíciles de leer.

14. Véase la página 47.

15. Yin Tseng no es el único que comete este tipo de errores de cálculo. Cuentan que el jefe de la empresa de ordenadores IBM, Thomas J. Watson, dijo en 1943: «Creo que existe un mercado mundial de unos cinco ordenadores». Hay que decir que la cita no está acreditada.

16. El trabajo decisivo de Turing se publicó en 1936, año en que en Berlín Konrad Zuse empezó a construir su «cerebro mecánico» Z1. Claro que Turing no se enteró de ello hasta años después.

17. Hace unos años, el ingeniero estadounidense Mike Davey construyó efectivamente una de esas máquinas; una auténtica maravilla de la técnica, que se puede apreciar en aturingmachine.com

La seducción de la lógica

Christoph Drösser

Título original: Der Logikverführer: Schlussfolgerungen für alle Lebenslagen

Publicado originalmente por Rowohlt Taschenbuch Verlag

© del diseño de la portada, Mauricio Restrepo, 2013

© Ilustración de cubierta, © Sergi Soto

© 2012, Christoph Drösser

© 2013, Sergio Pawlowsky

© Editorial Planeta, S. A., 2013

Editorial Ariel es un sello editorial de Planeta, S. A.

Av. Diagonal, 662-664, 08034 Barcelona (España)

www.planetadelibros.com

Primera edición en libro electrónico (epub): abril 2013

ISBN: 978-84-344-0927-9

Conversión a libro electrónico: Newcomlab, S. L.

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