La belleza
de las matemáticas

Josep Manel Marrasé

Primera edición en esta colección: enero de 2016

© Josep Manel Marrasé, 2016

© de la presente edición: Plataforma Editorial, 2016

Plataforma Editorial

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ISBN: 978-84-16620-06-7

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Para Ariel

Introducción

Convivimos con ellas. Las matemáticas tienen que ver con nuestros ordenadores, con la música que escuchamos, con el diseño de un automóvil, con los planos de un arquitecto; son instrumento común del ámbito científico y tecnológico, son utilizadas también por la economía, la sociología, la psicología… Nadie duda de su importancia y de su presencia.

Las matemáticas contienen belleza. Nos cautivan. Lo que las hace tan interesantes no es su vertiente utilitaria, sino precisamente algo inmaterial, mental, intangible: el reto intelectual que representan. Resultan apasionantes porque suponen un desafío para nuestra capacidad de abstracción y para nuestra imaginación. Si suponen una pesadilla para nuestros hijos o nuestros alumnos es por un error en su planteamiento educativo, que destaca su papel instructivo y normativo y olvida su dimensión emocional y creativa.

De hecho, las matemáticas constituyen un instrumento muy útil para aprender a pensar, porque cuando estamos inmersos en ellas nos trasladamos a la razón pura, a la lógica, al rigor. Y para ello nuestra imaginación tiene que ponerse en marcha. A los seres humanos nos atraen los retos, y las matemáticas nos presentan un reto importante y aparentemente complicado. Solo aparentemente. Las matemáticas se basan en principios y convenios sencillos. Quizás la dificultad resida en que nosotros, nuestros cerebros, son complicados, y encajar lo lógicamente sencillo en nuestras mentes requiere superar esta contradicción.

Este libro pretende atraernos hacia ellas. Quiere darnos pistas, sugerencias; quiere animar. Es un libro transversal: se dirige a los que ya saben matemáticas, porque presenta la inteligencia matemática de forma holística, desmitificadora. También a los que se han sentido atraídos por ellas, pero tienen la sensación de no poder entenderlas. Y a los que sienten terror al tener que enfrentarse a ellas. Se trata de una ayuda para todos. De una visión que pretende acercarlas.

La inteligencia matemática reside en todos nosotros, pero a veces la comodidad, los complejos o los miedos nos paralizan. Sin obsesionarnos, con tenacidad, tenemos la capacidad para desarrollarla. No se trata de una competición, ni de ser los mejores. Se trata de avanzar cada día un paso más. Nuestro equipaje genético contiene múltiples inteligencias, y el entorno social puede intervenir positivamente para que las descubramos. La inteligencia matemática puede entrenarse, puede aumentarse. La experiencia lo demuestra. Podemos ejercitarla cada día un poco más, un poco mejor.

Las ideas aquí vertidas han surgido básicamente de la observación. De observar cómo piensan matemáticamente mis alumnos y de analizar los miedos que provoca ese mundo simbólico. A veces se trata de un miedo persistente, interiorizado, que cuesta dejar atrás. Deberíamos apostar por una visión emocional, positiva y humanista de las matemáticas, con el objetivo de derribar estos muros imaginarios que pueden impedirnos disfrutar de ellas, que pueden privarnos de conocer este planeta tan bello, abstracto y aplicable a la vez.

Las formas de expresión de la belleza son diversas: es bello un amanecer, un rostro, un gesto, un cuadro, un texto, un cuerpo; es bella una idea, una demostración, una ecuación, una superficie tridimensional; también las matemáticas sacuden nuestra sensibilidad estética. En La gran belleza, la película de Paolo Sorrentino (2013), el protagonista vive la realidad como observador, un tanto cínico y escéptico, buscando algo esencial, algo sublime, atrapado en el recuerdo de una imagen. También las matemáticas nos atrapan. En muchos sentidos, en muchos aspectos, son bellas.

Pasear por el paisaje matemático es pasear por un parque natural. Atmósfera pura, aire fresco, respirar a pulmón abierto. Quizá, en cuanto se aplican, las matemáticas se contaminan. Abusan del cómo y dejan atrás el porqué, que es la palanca que multiplica el pensamiento, que lo abre a nuevas posibilidades. El espacio salvaje de lo abstracto es más interesante, más creativo. Las matemáticas son un lenguaje, pero también son algo más, y su inmensidad, su estética y su elegancia hacen de ellas un puro placer mental. Y dejan preguntas todavía sin resolver y horizontes abiertos. Mantienen nuestra curiosidad a nivel máximo. Esa es su grandeza.

En realidad, un libro nunca es individual. Lo es su redacción. Pero tras ella han habido muchas ayudas que han actuado aportando ideas y ánimos. Doy las gracias a las diversas reacciones de mis alumnos ante un problema o una pequeña investigación matemática, a esas miradas, a esos gestos y a esos benditos errores. Nos dan pistas. También han sido vitales la confianza y el apoyo de mi familia y del equipo humano de Plataforma. Diversas lecturas de los grandes divulgadores de las matemáticas han ayudado. Gracias a todos, estas páginas son una obra colectiva.

1. ¿Qué son las matemáticas?

Ideas

«La naturaleza y la mente humana matemática y consciente funcionan de acuerdo con unas mismas leyes.»

SIR JAMES JEANS

Las matemáticas, si son algo, son ideas. Las matemáticas no son. Se aplican a, se traducen en, pero no son; no en el sentido que son un gato o una silla. Son buenas ideas. Pertenecen paralelamente al mundo platónico y al mundo racional. Los brotes de estas ideas arrancan de nociones que nos inquietan: ¿qué sucede si una línea curva se aproxima tanto como se quiera a una recta? ¿Cómo se «fabrican» en el espacio las superficies tridimensionales? Consideramos a las matemáticas como una herramienta muy útil, pero en realidad son puro placer intelectual, y muchos de sus logros se generan desde la emoción y desde el desafío que nos supone resolver cuestiones aparentemente inútiles.

¿Cómo surgen estas ideas? Por lo que vengo observando en mis alumnos circulan por dos canales paralelos: de una forma lineal y deductiva, a través de la razón, y también por otra vía más oculta, automática y anárquica: la intuición. El término intueri proviene del latín y significa mirar adentro, significado que se aleja del que otorgamos hoy en día a la intuición. Para intuir tenemos que haber mirado hacia afuera y haber adquirido cierta destreza en procedimientos y cálculos básicos. La intuición, esa cualidad para ver más allá, se logra potenciar con el entreno, y se convierte con el tiempo en un mecanismo automático para afrontar un problema o un reto matemático.

«Las matemáticas se aplican a, se traducen en, pero no son; no en el sentido que son un gato o una silla.»

Desde que René Descartes trasladó los números y el álgebra a dos dimensiones, las matemáticas «entran por la vista», y todo se observa con una doble mirada: la visión gráfica y la abstracción de un lenguaje ideal. Un punto, un vector, una recta, una curva son ideas, como lo es también una superficie curva o un plano en tres dimensiones, pero tienen su traducción en un lenguaje de signos y números. Lo apasionante de este lenguaje es que nos permite trasladar estos elementos geométricos de un «sitio» a otro; de alguna manera nos permite sentirnos dioses, porque nos movemos a nuestro antojo en los espacios bidimensional y tridimensional.

Para Platón, el conocimiento en estado puro es independiente del mundo de los sentidos y no puede ser su reflejo. Lo que vemos, lo que oímos, lo que tocamos es aparente y cambiante, y solo nos llevan a la incerteza de una opinión o directamente a la ignorancia. El camino hacia el episteme o conocimiento parte de esta ignorancia y asciende a través de la doxa u opinión. En el nivel de opinión platónico, inferior al del conocimiento, usamos la imaginación –eikasia– o la creencia –pistis–, que corresponderían al mundo del arte y de la ciencia. Sin embargo, el mundo del episteme, el estado superior, el conocimiento en estado puro, más allá de los sentidos, se compone de la comprensión de las formas mediante la inteligencia y de las matemáticas mediante el pensamiento discursivo. Con toda la crítica que se pueda hacer al esquema platónico de los escalones del conocimiento, resulta evidente que las matemáticas trascienden, se elevan por encima del mundo físico y de nuestros sentidos.

LEY Y PASIÓN

Existen otros planteamientos del conocimiento y de su origen o génesis mucho más difusos que el esquema platónico, pero más «fieramente» humanos. Según esta nueva visión, las matemáticas y la fría lógica que se les atribuye conforman solo una imagen superficial. El filósofo alemán Friedrich W. Nietzsche (1844-1900) contribuye decisivamente a alterar las ideas imperantes hasta el siglo XIX; sus abundantes comentarios sobre el origen instintivo de nuestra actividad intelectual aportan una profundidad extraordinaria a nuestro deseo de preguntarnos cómo elaboramos teorías o creencias. Toda la vida cultural se revoluciona entre la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX. Nietzsche, Freud, Marx… las nuevas geometrías, la física cuántica y la relatividad…, generan nuestro actual mapa intelectual, ávido por encontrar espíritus nuevos, rompedores.

Nietzsche atribuye un origen instintivo al conocimiento: «El desarrollo de los pensamientos y deducciones lógicas en nuestro cerebro actual corresponde a un proceso y a una lucha de instintos, que es en sí mismo bastante ilógico e injusto: por lo habitual nosotros solo experimentamos el resultado de la lucha…». «Durante mucho tiempo se ha considerado el pensar consciente como el pensamiento en general. Solo ahora alborea en nosotros la verdad: la parte más grande de nuestra acción espiritual transcurre de un modo inconsciente, imperceptible.»1

Lenguaje

«La cultura es un campo de dispersión. ¿De dispersión de qué? De los lenguajes.»

ROLAND BARTHES, El susurro del lenguaje

Ya hemos visto que las matemáticas son ideas, realidad inmaterial. Las matemáticas tratan de la abstracción, del pensamiento en estado puro. En sus Reglas para la dirección del espíritu, René Descartes habla de ellas en estos términos:

[…] La aritmética y la geometría son mucho más ciertas que las demás disciplinas…, porque solo ellas versan acerca de un objeto tan puro y simple que no hace falta admitir absolutamente nada que la experiencia haya hecho incierto, sino que consisten totalmente en un conjunto de consecuencias que son deducidas por razonamiento. Son, pues, las más fáciles y claras de todas, y tienen un objeto como el que buscamos, puesto que en ellas, si no es por inadvertencia, parece que el hombre apenas pueda cometer error.2

Según Descartes, las matemáticas tratan de un objeto de pensamiento desligado de la realidad, por lo menos en su origen. Evidentemente, aplicamos las matemáticas, pero ya son ciertas en sí mismas porque pensamos –si no nos distraemos– de forma coherente, sin posibilidad de equivocarnos. Por tanto, tratan de intangibles, de algo que existe solo en nuestra razón, pero de algo que es indiscutible, sólido, seguro. Y sin embargo, partimos de unos axiomas o postulados sencillos, de conceptos que suponemos ciertos de entrada. Con el paso de los siglos hemos construido un edificio matemático sostenible, bello, complejo, a partir de materiales muy simples.

Para orientarnos dentro de este edificio utilizamos un lenguaje peculiar, que pretende ser lo más directo y sencillo posible. El resumen de todo. La expresión mínima. El lenguaje matemático dice mucho con poco. La expresión y = 2x – 4 nos indica todos los puntos de una recta. No necesitamos enumerarlos. La ecuación x² + y² = r² nos indica la circunferencia centrada en el punto origen y de radio r. Aunque el interior del edificio matemático contiene complejos laberintos y conexiones, el conjunto de símbolos y expresiones que utilizamos define sintéticamente cualquier realidad matemática por compleja que esta sea.

«La pretensión del lenguaje matemático es constituirse en universal, en la expresión del conocimiento puro.»

La pretensión de este lenguaje es constituirse en universal, en la expresión del conocimiento puro. Hasta pretendemos que sea cósmico, que sea interpretable por otras posibles civilizaciones. Nos gusta creer que, como afirmaba Galileo, la naturaleza se escribe en lenguaje matemático; nos gusta imaginar que abarca el cosmos.

A finales del siglo XIX se especulaba con posibles contactos con seres extraterrestres. Si se podía contactar con ellos y eran seres inteligentes, la simbología y conceptos que podrían compartir con nosotros serían matemáticos: se había llegado a proponer encender grandes fogatas en el desierto del Sáhara mostrando el teorema de Pitágoras. Se pensó que para muchos marcianos que supuestamente nos observaban la figura triangular no tendría importancia, pero si había matemáticos en Marte, comprenderían que los terrícolas éramos seres inteligentes.3

Sea cual sea nuestro idioma, cuando hablamos y escribimos desplegamos un sistema de símbolos, que aprendemos con toda naturalidad y al cual vamos incorporando nuevo vocabulario. En este sentido, las matemáticas son un lenguaje que no describe sentimientos, pasiones o hechos; se ciñe a una realidad mental abstracta, al conocimiento más genérico posible: el conocimiento matemático. Los principales miedos y fobias que podamos tener al entrar en ese edificio laberíntico son causados por el lenguaje, ese lenguaje «extraño» que nos proponen. Por esto resulta tan importante inducir la simbiosis que existe entre cada signo o símbolo matemático y su significado. En matemáticas, como en la poesía o la novela, es necesario captar el sentido de cada símbolo o conjunto de símbolos.

«En matemáticas, como en la poesía o la novela, es necesario captar el sentido de cada símbolo o conjunto de símbolos.»

Para Aristóteles, los axiomas o postulados se imponen al espíritu y son indispensables. A partir de estas ideas básicas construimos el lenguaje matemático. Veamos algo tan simple como un punto. Es una noción necesaria para situarnos en la línea, en el plano y en el espacio. Un punto en dos dimensiones se indica con dos números. Un punto en tres dimensiones se expresa con tres números. Por sí misma esta información no es nada. Tenemos que comprender el significado de cada número, tenemos que orientarnos en el espacio. Tenemos que dominar este curioso lenguaje.

En definitiva, las matemáticas tratan de este edificio que pensamos pero no palpamos. Encontrar las salidas de sus laberintos requiere de nosotros pautas, estrategias, intuición, conocimiento y reflexión. Nos encanta su perfección y su belleza, pero nos impone el lenguaje, su canal de expresión, nos cuesta orientarnos en el laberinto si no sabemos «leer» los carteles indicativos. Por tanto, para desplegar nuestra inteligencia matemática no podemos tener miedo; es preciso un punto de descaro y atrevimiento, tenemos que experimentar lo interesante que resulta saber orientarse en el interior de este bello edificio y saber traducir los mensajes con que nos encontramos.

LA BASE NUMÉRICA DE LA MÚSICA

«La música no es otra cosa que aritmética inconsciente.»

G. W. LEIBNIZ

La música nos provoca sensaciones elevadas, casi místicas. Cuando asistimos a un concierto, todas las notas impregnan nuestro cerebro y nos trasladan a experiencias pasadas, a aquellas vacaciones, a las emociones más inesperadas…; la música nos anima, nos transmite nostalgia o nos aporta energía. Los pitagóricos estudiaron el sonido emitido por un instrumento de una sola cuerda y sentaron los principios básicos de la armonía musical que siguen vigentes. El lenguaje musical contiene lenguaje matemático. Pensemos en las cuerdas de una guitarra. Si pisamos la cuerda en el centro de su longitud (proporción 2:1), creamos un intervalo de octava, la distancia entre un do y el siguiente do, o entre un fa y el siguiente fa, la distancia que cubre las ocho notas de la escala. Si pisamos la cuerda en un punto situado en un tercio de su longitud, la proporción es 3:2, que corresponde a un intervalo de quinta, que es la distancia do-sol o la distancia re-la; es decir, un intervalo de cinco notas. Si pisamos a un cuarto del total (proporción 4:3), cubrimos un intervalo de cuarta, de cuatro notas, por ejemplo, el intervalo do-fa.

Hemos visto que la armonía musical es racional: las fracciones n+1⁄₁ (4/3, 5/4,…) producen sonidos armónicos. Los compases también se indican con fracciones: el compás de un vals como el Danubio azul es un 3/4, llamado también ternario; el compás 5/4 lo utilizó Lalo Schifrin para componer el tema de la banda sonora de Misión imposible; el legendario tema «Money» de Pink Floyd tiene un compás 7/4, y en el jazz fusión contemporáneo se utiliza mucho el 7/8. La música es matemática, y nos emocionamos con ella gracias a unas sencillas proporciones.

Estímulos

«¡Lógica, lógica! La lógica nos hace sacar consecuencias de los principios establecidos, de los datos, de las premisas, pero no nos da nuevas premisas ni nuevos primeros principios… No es la lógica la que nos da las intuiciones sobre las que opera.»

MIGUEL DE UNAMUNO, Diario íntimo

Nuestras habilidades se limitan de entrada si no existen sensaciones que nos impulsen a utilizarlas. Nuestra capacidad para asimilar conceptos lógico-matemáticos y utilizarlos se puede incrementar si le dedicamos tiempo y esfuerzo. Muchas personas piensan que el dominio de las matemáticas está reservado a unos pocos, especialmente dotados. Quizá sea cierto a partir de determinado nivel, pero quien se introduce en ellas desde la sensibilidad puede alcanzar un conocimiento básico que puede generar nuevos ímpetus para ampliarlo. Para ello necesitamos estímulos, y en este aspecto el lenguaje nos ayuda, porque presenta infinidad de registros simbólicos; luego vendrá la notación formal, la codificación, pero lo primero, lo urgente, es que nos emocionemos previamente con la idea.

Según Jorge Wagensberg,4 las fases por las que incorporamos conocimiento son tres, y la primera etapa se basa en los estímulos. Cada uno de nosotros se puede ver reflejado en ellas. Son fases sucesivas, pero se mezclan y se relacionan. La primera etapa es un tanto desordenada e informal: tiene como protagonista a los estímulos, al impulso o deseo de saber o descubrir algo. Decidimos lo que queremos conocer porque nuestro estado de ánimo es incitado. Es un estadio básico, vital, la génesis que posibilita el proceso. Si entramos en la Sagrada Familia de Barcelona, nos asombramos con sus formas interiores. Comprobamos que la arquitectura de Gaudí y las matemáticas van de la mano. Nos emocionamos, nos sentimos estimulados.

«Quien se introduce en las matemáticas desde la sensibilidad puede alcanzar un conocimiento básico que puede generar nuevos ímpetus para ampliarlo.»

En una segunda fase de conversación interactuamos con la realidad y la contrastamos con los demás y con nosotros mismos. Consultamos, buscamos vías, caminos, alternativas, combinamos los datos que recibimos de la interacción con el entorno. Hemos vuelto a casa, todavía impresionados por la geometría tridimensional que utiliza Gaudí. Leemos, hablamos, comprobamos, entramos en contacto con personas y fuentes de información: exploramos.

En un tercer estadio alcanzamos la comprensión y la intuición: es el momento culminante, hemos analizado todo lo aprendido y sus relaciones y conseguimos una comprensión precisa y a la vez global de lo estudiado. A veces se trata de un proceso súbito e inesperado. Le doy vueltas al tema de las formas en tres dimensiones. Busco sus ecuaciones; compruebo en la pantalla de ordenador que una pequeña alteración en las constantes de la ecuación varía la forma de un elipsoide en menor o mayor grado. Vuelvo a descubrir que álgebra y geometría van de la mano y me asombro de que la estética, la arquitectura y las matemáticas formen una sociedad tan perfecta.

Reflexión

«Todo esfuerzo intelectual que lo sea en rigor nos aleja solitarios de la costa común, […] nos sitúa sobre pensamientos insólitos.»

JOSÉ ORTEGA Y GASSET, ¿Qué es filosofía?

Para conocer tenemos que conocernos y, en el buen sentido, aislarnos. Nuestra inteligencia intrapersonal, la facultad de comprendernos, de dialogar con nuestro yo, de conocerlo, ayuda a la comprensión de conceptos clave de las matemáticas. Nuestra destreza para situarnos frente a los retos que nos plantean las matemáticas necesita del nivel reflexivo que nos aporta el equilibrio personal. En la adolescencia, las aptitudes lógico-matemáticas se ven afectadas por las crisis propias de esta etapa, y la capacidad de aislarse de estas crisis cuando se están resolviendo unas cuestiones o un control pertenece al campo del conocimiento que se pueda tener de uno mismo y de la capacidad de gestionar nuestros estímulos y nuestra emoción.

Parece que nos enfrentamos a unas interacciones variadas e interesantes. En matemáticas, los conceptos, demostraciones y procedimientos son aparentemente sencillos. La dificultad consiste en asentar un edificio aparentemente perfecto sobre una mente compleja, resultado, como afirma Gary Marcus, de un proceso evolutivo ciego, que ha ido adaptando las prestaciones a medida que surgían nuevas necesidades: Marcus define a nuestro cerebro y sus capacidades como un kluge. Este término está tomado del lenguaje coloquial de los ingenieros, que denominan así a una solución burda, poco elegante, pero asombrosamente eficaz, a un problema.5

«En cualquier estímulo, en cualquier mapa mental que construimos, se pone en juego una arquitectura interconectada.»

Nuestra mente actual y su grado de conciencia, fruto de adaptaciones y ajustes que en buena parte desconocemos, presenta una base física cuyo centro logístico es el cerebro. Y, como afirma Antonio Damasio, el cerebro es un sistema de sistemas. Todo está relacionado. En cualquier estímulo, en cualquier mapa mental que construimos, se pone en juego una arquitectura interconectada.6 Para que esta interconexión se produzca, es vital el autoconocimiento; es importante que nos reconozcamos a nosotros mismos. Las matemáticas se utilizan, se construyen o se piensan en el interior de nuestro mapa mental, en un territorio donde los caminos, las direcciones y las derivaciones forman un dibujo microscópico y difuso. No obstante, una legión de números, leyes y conceptos se mueve bien en este territorio. Nuestra red mental –complicada– se adapta perfectamente a la sencillez de las matemáticas.

Ya hemos hablado de nuestro equilibrio emocional y de su importancia. Sin él, nuestra capacidad para reflexionar se ve muy disminuida. Ante un problema matemático debemos adoptar una actitud abierta, flexible y reflexiva. El mundo matemático no permite el error. Un error significa una respuesta equivocada, y para no cometer errores tenemos que reflexionar. La reflexión, aunque parezca lo contrario, nos permite ganar tiempo y eficacia. Antes de iniciar el proceso o procedimiento debemos reflexionar sobre él, comprobando si disponemos de la información necesaria, si debemos calcular parte de esta información con la disponible de entrada, si hemos comprendido bien su significado, estudiando la forma en que expondremos el proceso y la solución… En definitiva, debemos reflexionar de forma global.

Perfección o trampa

[…] En nuestras almas todo por misteriosa mano se gobierna. Incomprensibles, mudas, nada sabemos de las almas nuestras. […]

ANTONIO MACHADO

Todavía sabemos poco de la complejidad de nuestro cerebro y de nuestra mente, gobernada por una mano misteriosa. Una mano que puede llevarnos a la locura, porque las consecuencias de la mezcla explosiva de inteligencia y obsesión pueden ser perversas. Las matemáticas tienen un atractivo procedente de su diseño perfecto. Parecen perfectas. Todo cuadra y se explica, y esto nos deslumbra y nos atrae, como nos fascina la eterna belleza del Partenón o de la Capilla Sixtina, o nos captura un rostro atractivo que nos sonríe. Este es uno de los factores que provoca la conexión emocional con el conocimiento matemático. La elegancia de la demostración del teorema de Pitágoras o la simetría de las formas geométricas nos presentan un mundo donde todo es estético y coherente.

Maravillarnos ante la belleza y la perfección es una de las claves para que nuestra inteligencia matemática se active. A veces de forma obsesiva. Ha habido matemáticos que han sucumbido ante el delirio de lo perfecto, y no han sabido adaptarse a una realidad social que, como sabemos, sigue una evolución lenta, con signos contradictorios de avances y retrocesos, pero que no ofrece la seguridad de una demostración. Y es en este punto donde algunos matemáticos eminentes se han lanzado a una especie de salto mortal: existe un mundo ideal (las matemáticas) y todo lo que nos rodea también debe ceñirse a unos modelos infalibles.

Ted Kaczynski fue profesor de Matemáticas en Berkeley durante dos años y desapareció de su entorno súbitamente. En 1971 se fue a vivir a Lincoln (Montana) a una cabaña sin luz ni agua corriente, totalmente aislado del mundo. Estaba seguro de la deriva negativa del sistema social vigente y era especialmente crítico con las agresiones al medio ambiente y con el crecimiento ilimitado. Con el pseudónimo de Unabomber, Kaczynski estuvo enviando paquetes explosivos a profesores universitarios y propietarios de industrias madereras durante muchos años. En 1997 la policía lo detuvo en su cabaña, y se encontraron a un hombre muy diferente a aquel prometedor profesor de finales de la década de 1960. Su aspecto evidenciaba su aislamiento social extremo.

El caso de Kaczynski es especialmente trágico, pero no el único que confunde la realidad matemática, que es mental, ideal y perfecta, con la realidad social, que es menos predecible y demostrable y está condicionada por esa mezcla compleja de nuestro instinto y nuestra razón. De ahí que la ética sea tan fundamental. Nos pone límites deseables y doma y encauza nuestras tendencias destructivas. Es cierto que desarrollar nuestra inteligencia matemática resulta gratificador, pero también debemos ocuparnos de nuestra relación con los demás y de nuestra aportación positiva al bienestar y a la felicidad de los que nos rodean y de la sociedad en general. La perfección es una cualidad que solo pertenece al ámbito matemático, y pretender generalizarla resulta peligroso. No podríamos respirar en otras atmósferas, de la misma manera que no podemos razonar matemáticamente para conducir nuestra relación con los demás.

«La perfección es una cualidad que solo debemos atribuir al ámbito matemático, y pretender generalizarla resulta peligroso.»

La tentación de lo perfecto es potente. Han existido otros casos de aislamiento premeditado debidos a una especie de delirium tremens matemático, a la magia encantadora de un mundo totalmente predecible, a la seducción de la certidumbre total. Si el resto de inteligencias no se manifiestan, nuestra inteligencia matemática puede convertirse en la cobra que sale del cesto hipnotizada por la música de la perfección. Alexander Grothendieck fue un matemático excepcional que también optó por la soledad y el aislamiento, convencido de que «la ética de la comunidad científica (al menos entre los matemáticos) se ha degradado hasta un punto tal que el saqueo descarado entre colegas (sobre todo a expensas de aquellos que no están en posición de poder defenderse) se ha convertido prácticamente en la norma general y, en cualquier caso, todos lo toleran…».7

En algunos casos, la deriva obsesiva de la inteligencia matemática ha sido un punto de partida para confundir la realidad. En el caso de Grothendieck, su reacción ante la imperfección moral fue inocua, pero evidencia igualmente la necesidad de no pretender una realidad donde todo cuadre. Nuestra realidad como seres humanos en su más amplio sentido trasciende y supera nuestra inteligencia matemática, y esto es realmente así, es objetivo. La ansiedad cartesiana desmesurada, la obsesión por lo perfecto, puede ser la bestia que devore lo mejor de nuestra inteligencia matemática.8

2. ¿Por qué nos gustan las matemáticas?

Ascender en la pirámide

«Las personas autorrealizadas tienen relativamente poco miedo por lo desconocido, lo misterioso, lo enigmático y, a menudo, se sienten profundamente atraídos por ello, es decir, prefieren devanarse los sesos, meditar y dejarse absorber por ello.»

ABRAHAM H. MASLOW

El reto intelectual nos atrae. Es algo inherente al género humano. Si ya tenemos resueltas nuestras necesidades básicas, aspiramos a comprender. Abraham H. Maslow definió la pirámide de las necesidades humanas de una forma bastante lógica, ya que el término representa muy bien cómo nuestra mente pretende alcanzar siempre metas más altas, según una dirección ascendente que culmina en la búsqueda de conocimiento intelectual y de un cierto sentido de trascendencia o espiritualidad. Según Maslow, los estadios que forman la base de la pirámide corresponden a la satisfacción de nuestras necesidades orgánicas y a la necesidad de pertenencia, amor y afecto.

Cuando queremos y nos sentimos queridos y ya disponemos con seguridad de comida y recursos básicos, nuestra mente ya se halla dispuesta para perseguir intereses más elevados, aquellos intereses que nos incitan a ampliar constantemente lo que sabemos, porque somos conscientes de que lo que ignoramos es mucho más extenso. Intentamos nuestra autorrealización, el nivel superior, intentamos alcanzar el vértice de la pirámide. A ello pueden contribuir las matemáticas, un conocimiento en estado puro; por esto, siempre que no haya bloqueos previos, ellas circulan con naturalidad por nuestras neuronas y satisfacen con creces nuestro interés por comprender e interpretar la realidad.

En realidad, esta estructura ascendente no es tan sencilla y esquemática; podemos pretender la satisfacción de nuevas necesidades, por ejemplo, comprender lo básico del álgebra y de la geometría, sin haber satisfecho completamente las anteriores. De hecho, una nueva actividad de tipo intelectual puede curar heridas afectivas, como le sucedió a Bertrand Russell, el gran filósofo y matemático inglés.9 Muchas personas que se consideran normales satisfacen parcialmente los diferentes niveles de la pirámide. Se trataría, pues, de una pirámide no rígida, cuyos estratos se intercomunican entre ellos, se complementan, se ayudan.

Nos gustan las matemáticas porque el desafío que nos suponen nos atrae. Y pensamos en ellas porque deseamos, de acuerdo con Maslow, definir y concretar la realidad, necesitamos comprenderla y ampliar nuestro horizonte mental. Las matemáticas se adaptan incluso a la deformación de la realidad a través de nuestros sentidos. Si miramos un círculo pintado en el suelo desde lejos, vemos una elipse; si observamos las vías de tren paralelas, parece que tengan que cruzarse: los sentidos «traicionan» lo que existe realmente. Pero para los dos mundos, el que sabemos que es y el que parece que es, las matemáticas nos ofrecen su apoyo. Pueden con todo.

«Las matemáticas pueden con todo; con dos mundos: con lo que realmente es y con lo que aparentemente es.»

Nuestra inteligencia matemática encaja muy bien en la pirámide de las necesidades que guía nuestras vidas y conciencias. En nuestro nivel de aspiración intelectual, de realización propia, aparece como una potente herramienta para pensar, para emocionarnos ante la belleza y el descubrimiento y para abstraer e interpretar la realidad. Más allá de su utilización, el placer profundo e interior que nos aporta analizar o discutir un desafío matemático es inmenso.

La llamada emocional

«Las emociones son como una especie de trampa, en la que es muy fácil entrar pero, una vez dentro, muy difícil salir.»

PAUL EKMAN

Todos somos diferentes. Cada ser humano, cada mente, representa un laberinto irrepetible. Como cada uno de nosotros es único, nuestra relación con las matemáticas también lo es. Nuestra capacidad para asimilar sus principios, normas, símbolos y métodos depende de muchos factores. Podemos comprobar que la incitación para relacionarnos con ellas proviene de muchos ámbitos y necesidades, de muchas profesiones, de muchas sensibilidades. Cada uno de nosotros presenta un nivel de dificultad diferente para asimilar los conceptos matemáticos o para efectuar cálculos numéricos de forma rápida. Después de compartir en grupo cualquier cuestión matemática, nos damos cuenta de que pensamos a ritmos diferentes y mediante vías distintas.

Los procesos mentales que tienen lugar para resolver un problema de matemáticas, para aplicar las matemáticas a nuestra vida o para efectuar un cálculo son diversos. La complejidad de nuestro circuito nervioso conlleva que existan muchas vías posibles de explorar un resultado. Algunas personas presentan una habilidad especial para detectar estructuras y principios, y suelen ser especialmente hábiles con problemas de mayor envergadura, más conceptuales. Otras, menos capaces para estos aspectos, son más precisas en el cálculo, más meticulosas y más metódicas. En cualquier caso, la emoción que sentimos antes y durante la resolución de un problema matemático, la emoción que nos lleva a comprender, a llegar a un resultado, a superar un reto, es un motor de nuestra inteligencia matemática.

«La emoción antes y durante la resolución de un problema matemático, la emoción de comprender y de llegar a un resultado, de superar un reto, es un motor de nuestra inteligencia matemática.»

En el caso de presentar los dos tipos de habilidades, nos hallamos frente a alguien con una disposición especial para las matemáticas. Sin embargo, cuando hablamos de inteligencia matemática es obligado estudiar las motivaciones más profundas, la antesala de nuestra actividad mental lógico- matemática, nuestra llamada emocional hacia este mundo abstracto. Las emociones estimulan nuestro pensamiento, actúan de motor. En pleno invierno, nos apetece encender un buen fuego, y cualquiera que lo haya hecho ha aplicado unos principios lógicos: leña menos gruesa en la base, añadir los troncos más gruesos cuando el fuego está en marcha…, pero ¿qué nos mueve a encenderlo?

Existe una base emocional cuando afrontamos cualquier cuestión matemática. De esta base emocional somos responsables nosotros mismos y también el entorno que nos rodea, que puede ser indiferente a ella, frenarla o incentivarla. De nuestro equilibrio emocional va a depender en buena parte el desarrollo de nuestra habilidad matemática. Adiestrar nuestras emociones permite entrenar la focalización de nuestro pensamiento hasta alcanzar una atención plena. Ejercicios básicos, como respirar, caminar o comer de forma pausada y consciente, asimilando cada instante, pensando solamente en ello, nos prepara adecuadamente para ser emocionalmente equilibrados.10

«Las matemáticas juegan al escondite, pero lo hacen posible casi todo y lo explican casi todo.»

Las emociones son necesarias para asimilar las matemáticas y disfrutarlas, pero un adecuado equilibrio interno entre ellas y la razón nos proporciona un estadio ideal, una atención exclusiva ante un problema. Aprender de nuestras propias emociones es vital para que nuestro cerebro aparte sensaciones «laterales» y pueda concentrarse en una tarea. En las aulas comprobamos carencias en este sentido. Las prisas y el exceso de estimulación externa no nos permiten interiorizar, profundizar, razonar coherentemente. Las emociones activan nuestra inteligencia, pero pueden ser una trampa.

La belleza de lo abstracto

«El desarrollo de las matemáticas es una imagen de la lucha eterna por mayor entendimiento y mayor libertad: de lo particular a lo general…; desde lo finito hasta lo infinito.»

E. KASNER y J. NEWMAN

Las matemáticas tratan de coherencia, de consistencia, pero también de dudas y de la dificultad de resolverlas: son divinas y perversas. Nos hablan de todo, pero en un lenguaje único y exclusivo. Aparentemente, no son nada. Existen en nuestra mente y andan detrás, en la trastienda, casi invisibles, tras la ciencia, la tecnología y la informática. También detrás de la economía, la psicología o la biomedicina. Las matemáticas juegan al escondite, pero lo hacen posible casi todo y lo explican casi todo. Generalizan, simplifican y relacionan ideas.

El tema que nos ocupa, cómo pensar matemáticamente, es apasionante. La razón es muy sencilla: las matemáticas significan un reto. Y no son un reto menor. Sin embargo, no son inalcanzables; están ahí, disponibles, y nuestra inteligencia puede con ellas. Son abstractas, conocimiento puro, residen en nuestra mente. En nuestro siglo XXI, en mayor o menor grado, son imprescindibles. Todos nosotros las utilizamos, unos más, otros menos. Gracias a ellas hemos alcanzado el nivel de desarrollo tecnológico en el que estamos inmersos. Por lo tanto, se aplican prácticamente a todo lo que nos rodea. Sin embargo, y esa es su belleza, son inmateriales, son un producto mental.

Su belleza radica también en su libertad. Podemos pensar solo en matemáticas. El pensamiento es libre, con matices. La gran cantidad de publicidad e información que soportamos nos condiciona. Nos obliga cada vez más a elegir, a descartar, a sintetizar. En nuestro planeta mental matemático, la libertad es absoluta. Simplemente se trata de respetar unas normas básicas; en caso contrario, si no las respetamos, podemos caer en paradojas, o mejor dicho, en falacias. Podemos demostrar (evidentemente, con una pequeña trampa) que si x = 0, también x = 1 (paradoja de De Morgan), o que 2 = 1. Si no respetamos unos principios sólidos, las matemáticas se vuelven locas.

«Podemos pensar solo en matemáticas; en nuestro planeta mental matemático, la libertad es absoluta.»

Otro de los rasgos de su belleza es su sencillez. Esta afirmación puede causar sorpresa, pero es razonablemente cierta. Que las matemáticas sean complejas e inmensas no quiere decir que constituyan un objeto de nuestro pensamiento a evitar. Solamente es difícil lo que no se puede explicar. Quizás sucede al revés, quizás a nuestra mente de fondo irracional, instintivo y caótico, mucho más primitivo e imprevisible, le cueste adaptarse a un pensamiento lógico, perfecto y predecible. Es posible que nuestros desencuentros con las matemáticas sean debidos a que no hemos comprendido que son demasiado sencillas, y a nuestro cerebro, una telaraña de infinitos hilos desordenados, le cuesta atrapar lo simple y abstracto. El problema del posible desencuentro con las matemáticas no reside en ellas, está en nosotros.

«A nuestro cerebro, una telaraña de infinitos hilos desordenados, le cuesta atrapar lo simple y abstracto.»

El ser humano sí que es complicado. Nuestro mundo cerebral más antiguo, el instintivo-emocional, sigue ahí, condicionando cada uno de nuestros actos y pensamientos. Entre seres humanos llegar a pactos, a soluciones consensuadas, resulta extremadamente complicado. Si no dejamos de lado, en un esfuerzo titánicamente razonable, nuestros instintos y prejuicios, la solución pactada es difícil. Es decir, llegar a un resultado en asuntos humanos resulta muy laborioso; no hay procedimientos prefijados, no hay normas lógicas, nuestro inconsciente juega en nuestra contra. La eliminación de esta complicación es lo que nos ofrecen las matemáticas: nos allanan el camino; la sencillez de sus conceptos básicos y de sus procedimientos nos aportan vías seguras para obtener soluciones. Nos ofrecen un mundo paralelo y estable.

Muchas personas se han distanciado de las matemáticas –o las siguen odiando–, porque han topado con un sistema educativo que todavía funciona como si nuestra sociedad no hubiera cambiado en los últimos cincuenta años. Pero esto sabemos que no es así. Ya vivimos en un mundo abierto, donde un conflicto lejos de nosotros nos afecta. La sociedad puramente desarrollista e industrial se está transformando, se ha transformado. La matemática meramente descriptiva y utilitaria ha sido importante, pero, como en muchos casos se ha comprobado, esa ha sido precisamente la razón del distanciamiento con ella: se ha prescindido de la imaginación y de la belleza, de su barniz más humano.

La frontera con el arte

«La simplicidad es bella. A los matemáticos les gusta pensar en las cosas más simples posibles, y las cosas más simples posibles son las imaginarias.»

PAUL LOCKHART

A partir de 2002 circuló entre los profesores de Matemáticas más inquietos un artículo que iba a remover conciencias y comportamientos. Paul Lockhart escribió El lamento de un matemático y planteó de forma general una pregunta realmente impactante a los docentes: si las matemáticas se basan en la imaginación, ¿por qué se enseñan en forma de técnicas y procedimientos repetitivos?; si son un arte, ¿por qué se muestran como rutinas? Esta es la piedra de toque que puede invertir el sentimiento de miedo que las matemáticas provocan en nuestros estudiantes, esta es la reflexión que conseguiría nuevas formas de aprendizaje más creativas e innovadoras.

En el mismo artículo, Lockhart nos recuerda cómo podemos deducir el espacio que ocupa un triángulo –su área– a partir de un sencillo dibujo. Trazamos un triángulo dentro de un rectángulo de forma que sus bases coincidan. Dibujando la altura del triángulo ya vemos que se forman cuatro triángulos iguales dos a dos y que la mitad de la superficie del rectángulo queda fuera del triángulo que hemos inscrito. El área del triángulo es igual al área del rectángulo dividida por dos. De hecho, se trata de una visión artística: «¿De dónde me ha venido esa idea? ¿Cómo se me ocurrió dibujar la línea?… No podía ver y de repente pude. De alguna forma pude hacer una belleza simple y profunda a partir de la nada, y de paso cambiarme a mí mismo. ¿No es eso de lo que trata el arte?».11

«Si las matemáticas se basan en la imaginación, ¿por qué se enseñan en forma de técnicas y procedimientos repetitivos?; si son un arte, ¿por qué se muestran como rutinas?»

Las matemáticas son importantes. Nadie lo duda. Pero ¿esto implica que se reduzcan a una serie de técnicas y simbolismos? La literatura, la pintura, la música, la danza… están asociadas al enriquecimiento del espíritu y la sensibilidad, y las matemáticas deberían pertenecer a este grupo de disciplinas, porque nacen de nuestra necesidad de hacernos buenas preguntas, y de disfrutar también con nuestras posibilidades de resolverlas. Nuestra imaginación y nuestra emoción desempeñan un papel esencial en cada pequeño descubrimiento, en cada deducción o en cada creación. Velázquez, Renoir y Dalí también partieron del acto íntimo y personal de descubrir. Las matemáticas son arte. Las matemáticas, como la literatura, la pintura o la música, están asociadas al enriquecimiento del espíritu y la sensibilidad.

Las formas y las simetrías, tan importantes para un artista, se describen y teorizan matemáticamente. Es en este terreno donde trazan una amplia franja común con lo estético. El mundo del arte utiliza la proporción áurea para mostrar la belleza y organizarla, aportándole una organización del espacio que resulta agradable a nuestros sentidos y nuestra percepción. Grandes genios como Rafael, Picasso y Dalí han tenido en cuenta esta proporción en su obra.12 El Guernica de Picasso ocupa un espacio rectangular de dimensiones 771 cm x 345 cm, compuesto por un cuadrado central y dos rectángulos laterales de dimensiones 213 cm x 345 cm. Los rectángulos laterales son áureos, y los compuestos por el cuadrado central y un rectángulo lateral también.

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Los rectángulos laterales del Guernica son aproximadamente áureos (345:213 = 1,6197…). Si tomamos el módulo central y uno lateral, el rectángulo resultante también cumple este canon estético (558:345 = 1,6173…).

De hecho, podemos pasear matemáticamente, podemos rastrear las matemáticas. Muchos edificios de diferentes épocas esconden matemáticas, pero nuestra curiosidad las saca a la luz. Las torres Kio de Madrid, inclinadas quince grados respecto de la vertical, son simétricas respecto a un plano imaginario perpendicular a la plaza Castilla. Dos torres de Pisa posmodernas. La torre Agbar de Barcelona nos muestra una superficie tridimensional simétrica respecto a un eje central, y corresponde a lo que en matemáticas denominamos una superficie de revolución. Podríamos generar –visualmente– esta superficie haciendo girar a gran velocidad su perfil curvo en torno al eje de simetría central.13

UNA PAUTA QUE NOS CONDUCE A LA PROPORCIÓN AÚREA

En 1202, Leonardo de Pisa (Fibonacci) escribió su tratado Liber Abaci («El libro del ábaco»). En tiempos de Fibonacci, todavía se utilizaban los números romanos. Con la aparición del Liber Abaci se introdujo en Europa el sistema de numeración indoarábigo de base 10, que seguimos utilizando. En el libro aparece la famosa sucesión que todos conocemos como «sucesión de Fibonacci». En esta serie numérica, cada término se obtiene sumando los dos términos anteriores a partir de los dos unos iniciales:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

Tres siglos más tarde, en 1509, el genial Leonardo da Vinci ilustró De Divina Proportione, el tratado en el que su amigo Luca Pacioli exponía que el rectángulo aúreo es el único que contiene un cuadrado y otro rectángulo aúreo en su interior, que a su vez se compone de un cuadrado y un rectángulo aúreo… A medida que tomamos términos más avanzados, la serie de Fibonacci, el cociente entre un término y el anterior, se acerca más al número aúreo 1,618…, como podemos comprobar con la calculadora. Los números naturales, ordenados según una cierta ley, nos conducen a Φ.

La frontera espiritual

«La experiencia más bella y profunda que puede tener el hombre es el sentido de lo misterioso.»

ALBERT EINSTEIN

Otra razón por la que las matemáticas son un imán para el pensamiento es su trascendencia, su superioridad abstracta, su síntesis. Nos atrae sobreponernos a lo meramente físico. En las últimas décadas se ha prestado una atención especial al nivel trascendente y espiritual de las personas. Antoni Gaudí y otros científicos, filósofos y creadores han desarrollado este nivel. Las grandes preguntas, aquellas que lo abarcan todo y pretenden dar un sentido más profundo a nuestras vidas, se dan en un nivel superior de conciencia, el nivel que nos dota de una visión especialmente transtemporal, quizás cósmica. Algunas investigaciones llevadas a cabo en los últimos años demuestran que la práctica meditativa y espiritual provoca oscilaciones estables de tipo neuronal en el lóbulo temporal de nuestro cerebro.14

Adentrarse en terreno matemático significa, sin duda, trascender. Aunque se visten de una aureola práctica, las matemáticas contienen preguntas y cuestiones inmateriales. En realidad, como objetos, no existen. En todo caso son modelos, abstracción en estado puro, ideas. Como afirma Adrián Paenza, a las matemáticas no hay quien las defienda. En realidad, puede parecer insólito que consten en todos los planes de estudio. No se ven, no se tocan; en todo caso se imaginan y se piensan en relación con algo que se ve o se toca. En realidad, la razón para estudiarlas y disfrutarlas es más profunda, más contundente: nos ayudan a pensar, a analizar y a pintar sin óleo un paisaje mental. Nos elevan.15

«Las matemáticas nos ayudan a pensar, a analizar y a pintar sin óleo un paisaje mental. Nos elevan.»

Resulta misterioso que solamente existan cinco sólidos perfectos, limitados por caras iguales, regulares y planas. Estos objetos tridimensionales con caras poligonales son únicos. Representan la perfección de las formas. Existen otros poliedros, pero con caras diferentes. Los polígonos escogidos son el triángulo, el cuadrado y el pentágono. Platón16 asoció los poliedros regulares (sólidos platónicos) con los elementos básicos de los griegos: el fuego (tetraedro), la tierra (hexaedro o cubo), el aire (octaedro) y el agua (icosaedro). El dodecaedro era un tanto especial: simbolizaba el elemento espiritual, cósmico, el universo. En la magnífica litografía Reptiles, de M. C. Escher, una especie de lagarto surge de una base cubierta con hexágonos para ascender hacia el universo tridimensional simbolizado por un dodecaedro y descender de nuevo al mundo bidimensional convirtiéndose de nuevo en figura plana.17 De alguna manera, Escher nos muestra el carácter total, limítrofe con lo trascendente, de las matemáticas: el lagarto sigue un ciclo sin fin entre el cubrimiento más perfecto del plano, el formado por hexágonos, como «saben» muy bien las abejas, y la figura tridimensional que encarna también la perfección: el dodecaedro.

En La última cena de Salvador Dalí se perciben diversas influencias. La última cena de Leonardo da Vinci está presente de alguna manera, pero también las teorías freudianas, como marco inconsciente y onírico. En la parte superior del lienzo, de una fuerza perturbadora, podemos observar los brazos de Dios, símbolo de protección, y la dominante figura de un dodecaedro. La vena mística de Dalí se condensa en este poliedro. Respecto a su presencia en el cuadro, Dalí afirmaba: «Quería materializar al máximo la lucidez e instantaneidad pitagórica, basada en la comunión celestial del número doce: doce horas del día, doce meses del año, los pentágonos del dodecaedro, los doce signos del zodíaco alrededor del sol, los doce apóstoles alrededor de Cristo».18

3. ¿Quién es inteligente?

Mito y realidad

«Los matemáticos son humanos, incluso si con frecuencia se pierden en pensamientos abstractos.»

IAN STEWART, Belleza y verdad

La inteligencia matemática se suele asociar con lo mejor de nuestra capacidad mental. Quien es capaz de generalizar, de acuñar símbolos adaptables, de utilizarlos de forma adecuada, de combinarlos, de tratar con ellos, de establecer relaciones y leyes, de interpretar el espacio y ordenarlo, quien es capaz de «respirar» en una atmósfera repleta de códigos… resulta ser, lo catalogamos, como un tipo inteligente: es un matemático. Pero es posible que no se plantee preguntas interesantes respecto al uso de la lengua, por ejemplo, o no sepa preparar una deliciosa pizza. Sin embargo, por el solo hecho de ser matemático, creemos a pies juntillas que, sin lugar a dudas, es inteligente.

Como todos los conceptos líquidos –escurridizos–, el de la inteligencia nos plantea, si lo estudiamos con la debida amplitud de miras, muchas cuestiones. La primera de ellas se refiere a su propia definición: ¿qué es? Encerrar la inteligencia en un campo determinado es delicado, inútil e imposible. Volvamos a nuestro genial matemático. ¿Sabrá establecer una relación de confianza mutua con sus colegas de profesión? ¿Comprende e interpreta la historia? ¿Tendrá la capacidad de narrar una historia humana que nos atrape? ¿Podría ser un seductor? ¿Se conoce bien a sí mismo? ¿Domina algún deporte? ¿Sabe bailar con soltura?

Leo Messi y Vargas Llosa no dominan las matemáticas, pero sin duda son inteligentes, aunque sus conexiones mentales activan circuitos diferentes a los que se ponen en marcha cuando comprendemos una demostración matemática. O no tan diferentes. Un buen futbolista debe intuir una trayectoria del balón, adaptar su velocidad a la de sus compañeros, calcular el momento exacto en que empieza a correr para no caer en el fuera de juego…, capacidades fronterizas con la abstracción matemática. Nuestras habilidades mentales forman un tejido extremadamente complejo. Como afirma Hans Magnus Enzensberger, «no somos lo suficientemente inteligentes para saber qué es la inteligencia».19

Nuestra facilidad para resolver problemas o situaciones que se nos presentan en la vida real –el mito del sabio distraído– contradice la visión mítica de lo que entendemos por inteligencia. En una ocasión, William Feller, matemático de la Universidad de Princeton, quiso trasladar una mesa de una habitación a otra con la ayuda de su mujer. Tras muchos intentos, Feller se fue a su despacho y desarrolló una demostración para comprobar que la mesa no podría pasar por la puerta. Mientras utilizaba su inteligencia matemática, su mujer consiguió colocar la mesa donde querían.

«Encerrar la inteligencia en un campo determinado es delicado, inútil e imposible.»

Pese a estas contradicciones «domésticas», no dudamos en clasificar a una persona que calcula rápidamente o resuelve cuestiones matemáticas con destreza como alguien inteligente. La razón por la cual pensamos de esta manera es sencilla: sabemos que las matemáticas trascienden la realidad, conforman un lenguaje y un ámbito paralelos y requieren de ciertas capacidades de las que más adelante hablaremos, como las de generalizar, ordenar, ampliar, interpretar, relacionar, demostrar o clasificar sistemas de códigos que nos ayudan a describir la realidad, pero que en esencia nada tienen que ver con ella.

Pero ¿de qué realidad estamos hablando? De hecho, todo lo que pensamos puede ser realidad, porque sin la potencia de nuestro cerebro de Homo sapiens tampoco podríamos transformar lo que vemos en palabra, en concepto o en una imagen. Para el matemático G. H. Hardy, la realidad matemática nos trasciende y está fuera de nosotros, y si nos manejamos bien con las matemáticas es porque nos interesamos en descubrir esa otra realidad, que para unos puede ser mental y para otros está ahí, intangible pero presente. En realidad, vivimos rodeados de ellas, y la famosa distinción entre la matemática teórica y su aplicación es una separación prácticamente imposible, porque, en realidad, las dos utilizan los mismos conjuntos numéricos, los mismos signos o símbolos; por tanto, ¿cuál es el punto exacto en que ya se pueden considerar como algo útil y práctico?

«Las matemáticas suelen asociarse directamente con la inteligencia porque requieren múltiples destrezas mentales: generalizar, ordenar, ampliar, interpretar, relacionar, demostrar…»

Para Hardy, «un matemático, lo mismo que un pintor o un poeta, es un constructor de modelos», pero se trata de modelos que perduran más, que sobreviven mejor al paso del tiempo. Para un poeta o un artista, la forma en que se expresan las ideas es tanto o más importante que las ideas en sí, mientras que para un matemático la forma de expresarse es la propia idea. Las ideas son, en el caso de las matemáticas, su propia expresión. No es pues de extrañar que Platón las describiese como el conocimiento en estado puro.20

El mito de la inteligencia matemática existe. Pero, de hecho, la inteligencia es diversa y se manifiesta de muchas formas. El escritor británico Ian McEwan trabajó de basurero cuando era joven: «Me di cuenta de que el rango de inteligencias era igual que en la universidad». Sin embargo, la mayoría de nosotros asociamos la habilidad matemática con la inteligencia con mayúsculas. Sabemos que grandes escritores o artistas han agitado la sociedad y la cultura con aportaciones nuevas y brillantes y han intervenido también de forma decisiva en la génesis de la sociedad en la que vivimos. Esta es la realidad. Filósofos, músicos, escritores y otras muchas personas de muchos ámbitos de la cultura han sido determinantes en esta transformación, en esta génesis. A los matemáticos les debemos también sus aportaciones a estos cambios sociales y culturales. Todos con ideas geniales. Todos, en su campo, inteligentes.

Aproximaciones parciales

«El hombre no podría vivir sin admitir las ficciones de la lógica […] sin falsear constantemente el mundo introduciendo en él la noción de número.»

FRIEDRICH NIETZSCHE, Más allá del bien y del mal

Como hemos visto, ponernos de acuerdo sobre una definición universal de inteligencia resulta complicado. Ante la imposibilidad de una definición, se optó –todavía se opta– por medirla, pese al «aviso» de Nietzsche. Los test que miden nuestro coeficiente de inteligencia (CI) son los que nos clasifican en personas inteligentes o no inteligentes e incluso aspiran a más: definen con un número nuestro nivel de inteligencia. Hace un siglo, Alfred Binet y Théodore Simon crearon las primeras pruebas. Como podemos suponer, tratar de reducir a un indicador numérico nuestras habilidades mentales (¿para pensar en qué?, ¿para ser capaces de hacer qué?) ha sido motivo de controversia y lo sigue siendo.

«La nota que puedan otorgar a nuestra inteligencia no puede considerarse algo absoluto, una especie de tótem. Nuestro cerebro aprende, mejora, es plástico.»

La tendencia psicométrica, que intenta clasificarnos por nuestro CI, tiene sus adeptos, pero también muchos detractores. El CI pone nota a nuestra inteligencia, pero no de forma global. Se centra en nuestras habilidades lingüística y lógico-matemáticas pero no podemos convertir esa nota en algo absoluto, en un tótem. Además, nuestro cerebro aprende, mejora, es plástico. Según el denominado efecto Flynn, el CI aumenta año tras año, y este incremento se explica en parte por el uso creciente de las nuevas tecnologías y el acceso masivo a una cantidad ingente de información, aunque quizás hayan sido más decisivos los mejores niveles de nutrición y educación de las últimas generaciones.

Todavía hacemos test, pero tenemos que ser conscientes de que miden, en todo caso, «partes» de nuestra inteligencia. Simplificar un asunto tan intangible como lo que en potencia seríamos capaces de pensar es como querer atrapar el aire con la mano. Nuestro pensamiento puede procesar extensiones infinitas, puede imaginar sin cesar y, por otra parte, está sometido y ligado a nuestros instintos. Tenemos que ocuparnos de gestionarlo. Según el físico inglés David Bohm, nuestro pensamiento fluye de forma ilimitada, buscando lo extenso y lo diminuto, lo general y lo particular, intentando siempre establecer categorías, pero hacerlo no es fácil, porque interaccionan deseos, voluntades, sentimientos…21 Si nos preguntamos qué es la inteligencia, si alguien es inteligente, disponemos de tal abanico de consideraciones, opiniones, teorías –algunas de ellas con fundamento– que nos resulta imposible estar seguros de alguna afirmación. En todo caso, podemos llegar a afirmar que una persona concreta posee ciertas habilidades o desarrolla ciertos procesos mentales con éxito. Pero intentar abrazar un campo tan extenso, o intentar medir estas capacidades, resulta utópico. Quizás si las clasificamos y nos centramos en la inteligencia matemática podamos opinar con mayor precisión y –lo que es más importante– podamos establecer estrategias para mejorarla.

Orientarse en un bosque

«Para el próximo milenio propongo una nueva virtud: la humildad de la especie… Quizás podamos llegar al acuerdo de no manipular las capacidades intelectuales de las generaciones futuras».

HOWARD GARDNER, La inteligencia reformulada

Al mapa de nuestra inteligencia es difícil dibujarle fronteras. ¿En qué somos inteligentes? Tendríamos que acotar, porque esta cuestión nos desborda y admite todo tipo de respuestas y matices. De entrada, el que podamos serlo no significa que lo estemos siendo. Además, podemos tener la sensación –esto es ideal, constituye un punto de partida– de serlo, pero de que podemos potenciar todavía más nuestras habilidades, de que podemos ser un poco más inteligentes si nos lo proponemos. Esta sensación se resume en la frase que Aristóteles acuñó en su Metafísica: «Todos los hombres por naturaleza desean saber».22

Si nos preguntamos en qué somos inteligentes, a qué habilidades o capacidades aplicamos nuestro potencial mental, acotamos un poco más. Podemos orientarnos mejor en el bosque complicadísimo de nuestra mente. En 1983, el psicólogo cognitivo Howard Gardner publica su Frames of mind, desarrolla la teoría de las inteligencias múltiples (IM) y establece siete tipos de inteligencias, confirmando lo que observamos en la realidad: que nuestros cerebros, teniendo una estructura general común, presentan tal número de conexiones que capacitan a sus dueños para ejercitar distintas habilidades o adquirir o desarrollar conocimiento en áreas diferentes.

«Nuestros cerebros tienen múltiples dimensiones: nos capacitan para desarrollar en mayor o menor medida diferentes tipos de inteligencias.»

Las dos primeras inteligencias descritas por Gardner –lingüística y lógico-matemática– siguen siendo el eje de nuestros sistemas educativos, aunque ya hace años que las escuelas más sensibles a la individualidad tienen muy en cuenta la teoría de las IM. La inteligencia lingüística se refiere a nuestra capacidad para emplear el lenguaje: abogados y escritores son inteligentes en este ámbito. La inteligencia lógico-matemática, a la cual dedicamos este libro, se desarrolla cuando somos capaces de resolver cuestiones matemáticas y llevar a cabo investigaciones científicas. Si poseemos una buena combinación de estas dos inteligencias, nuestro éxito en un test es seguro.

Las otras inteligencias descritas por Gardner contemplan otras habilidades. La inteligencia musical se da en aquellas personas que tienen facilidad para interpretar la música, su lenguaje, sus pautas y sus ritmos o compases. Los deportistas, bailarines y actores, como Leo Messi, Sara Baras o Javier Bardem, poseen la inteligencia corporal-cinestésica, y las personas capaces de desenvolverse bien en espacios grandes, como navegantes o pilotos, o en pequeños espacios, como escultores, cirujanos o arquitectos, ponen en práctica su inteligencia espacial.

Las inteligencias interpersonal e intrapersonal consisten en la habilidad para comunicarnos con los demás y comprenderlos y en la capacidad para comprendernos también a nosotros mismos y saber identificar nuestros sentimientos, nuestras emociones y nuestras capacidades. Aunque la inteligencia matemática tiene sus propios indicadores, parece evidente que las inteligencias se «ayudan», se interseccionan y se complementan. Nuestra empatía y la capacidad de conocernos y escucharnos a nosotros mismos estimulan la inteligencia lógico-matemática.

«Aunque la inteligencia matemática tiene sus propios indicadores, parece evidente que las inteligencias se “ayudan”, se interseccionan y se complementan.»

Las matemáticas participan de un sentido comunitario del conocimiento. La armonía, la belleza y la energía que proporciona un buen grupo de jazz o una orquesta sinfónica se alimenta de las interacciones y aportaciones positivas entre sus miembros, de las señales emocionales de afecto y respeto mutuos entre ellos. No se trata de un tema técnico, sino de unas influencias anímicas que potencian la inteligencia musical de todos, porque cada uno representa enfoques y cualidades diferentes, sensibilidades distintas.23 También nuestra inteligencia matemática se nutre de las demás, y las otras inteligencias también reciben inputs positivos de ella. Nuestra orquesta interna suena de maravilla si las inteligencias se escuchan y respetan.

Una persona que posee buenas aptitudes para las matemáticas podrá potenciarlas todavía más si también es inteligente en su relación con los demás, si facilita vínculos positivos, si es empático, porque esto será decisivo para compartir, crear y desarrollar conocimiento y habilidades. También conocerse a sí mismo, escuchar su propio yo, puede influir decisivamente en aumentar su destreza matemática.

Pero la lista no está cerrada, y el mapa de nuestra mente quizás alberga también, según el propio Gardner, dos nuevas inteligencias: la naturalista y la espiritual. Esta gama de inteligencias, sus intensidades, sus características, presentan tantos matices que dos personas distintas siempre presentan algún cariz que diferencia la presencia y la manifestación de sus potencialidades. Trataremos a partir de ahora de la inteligencia matemática y descubriremos que se puede apoyar en otras, que presenta zonas comunes con otras habilidades y que podemos pensar estrategias para entrenarla y perfeccionarla.24

Un bosque natural constituye un ecosistema sometido a equilibrios y relaciones complejos, como sabe muy bien toda persona dotada de inteligencia naturalista. La composición química del suelo, la fauna que lo habita, la meteorología de la zona y la explotación de sus recursos por parte del hombre componen un tejido delicado y complicado. Nuestro bosque mental, el hábitat de nuestra inteligencia matemática, conforma un mapa de relaciones y mutuas influencias infinitamente más sutil, y nuestro cerebro juega un póker cuyas reglas apenas conocemos. Sin embargo, sí que podemos identificar algunos rasgos de las conexiones que colaboran en nuestra inteligencia matemática y algunas estrategias para que estas conexiones sean efectivas.

«Nuestra inteligencia conforma un mapa de relaciones infinitamente sutil; nuestro cerebro juega un póker cuyas reglas apenas conocemos.»

Todos presentamos en mayor o menor grado algunas de estas inteligencias. La inteligencia matemática puede estar escondida, temerosa, porque nadie nos ha dado valentía y estímulos para desarrollarla. La finalidad principal de los centros educativos debería ser que los niños y las niñas descubrieran algunas de estas inteligencias y dispusieran del talento y del estímulo para potenciarlas. De hecho, un niño se enfrenta al mundo. Abre los ojos. Observa. Descubre. Ante él se despliegan conocimientos, habilidades y posibilidades. No cortemos las alas. Tenemos que facilitar que el abanico de posibilidades esté bien abierto.

Según un aforismo oriental, la muerte de un anciano equivale al incendio de una biblioteca. Esta afirmación presupone que una sola persona equivale a una cantidad ingente de conocimientos y de capacidades. Todos, en menor o mayor grado, somos inteligentes, y nuestra combinación de inteligencias es única. La inteligencia lógico-matemática es solo una de ellas, y se puede entrenar y potenciar utilizando el resto de nuestras habilidades como complemento y ayuda.

4. Un paisaje infinito

De la conjetura al teorema

«Si queréis decirle a alguien que lo queréis para siempre, podéis regalarle un diamante, pero si queréis decirle que lo queréis para siempre siempre, regaladle un teorema; eso sí, ¡quietos! Tendréis que demostrarlo, que vuestro amor no se quede en conjetura.»

EDUARDO SÁENZ DE CABEZÓN

Según Antonio Damasio, nuestro cerebro produce una cantidad enorme de imágenes. Lo que percibimos, junto con lo que recordamos, constituye un material tan abundante que «el cerebro tiende en gran medida a organizar esta abundancia de material como lo haría un director de cine, es decir, dándole cierto tipo de estructura narrativa coherente… Esto precisa de la selección de las imágenes correctas y su ordenación en una hilera de unidades de tiempo y encuadres especiales».25

Para ser inteligentes matemáticamente, tenemos que estar expuestos a lo infinito. Dentro de la narrativa coherente de la que habla Damasio, nuestro director de cine mental debe filmar en el infinito. Nosotros, que somos finitos por naturaleza, vivimos con alegría el nacimiento de un niño y con un inmenso dolor la muerte de un ser querido o de un amigo; por lo tanto, vemos con agrado un origen, pero no aceptamos un final. Nos cuesta aceptar lo limitado porque intuimos lo ilimitado. Nuestra mente vuela mucho más allá de lo evidente; por esto somos inteligentes matemáticamente, porque nos encanta explorar inmensas extensiones de nuestra mente para articular un interesante guion para una buena película y nos vemos capaces para ello.

«Nuestra mente vuela mucho más allá de lo evidente, quiere explorar amplios territorios ilimitados.»

Nuestra inteligencia matemática adiestra o doma la fiera salvaje del infinito. En matemáticas, los infinitos no son todos iguales. Nuestros queridos y cómodos números enteros no tienen decimales y son infinitos: podemos imaginarnos un valor tan grande como queramos (positivo y negativo). Sin embargo, nuestra intuición nos lleva a un grupo de números todavía «más infinito», que contiene los infinitos enteros más los infinitos números con decimales. Podemos poner a prueba nuestra capacidad de acostumbrarnos al ilimitado universo matemático con preguntas como estas: ¿cuántos números están comprendidos entre 0 y 100? Y ¿entre 0 y 1? Y ¿entre 0 y 0,01? Necesitaríamos un número infinito de vidas para lograr escribir estos números en cualquiera de los tres casos.

Para domar la fiera demostramos leyes y teoremas. No basta con que una propiedad se cumpla para algunos casos, tenemos que demostrar que es válida para cualquier caso. Cuando comprobamos que se cumple para muchos casos, podemos establecer una conjetura. En matemáticas, una conjetura es algo que siempre comprobamos que funciona, pero que todavía no hemos demostrado que se cumple para todos los casos, para infinitos casos. Si no existe una demostración, se queda en eso, en una simple conjetura. En el momento en que alguien con una potente inteligencia matemática logra una demostración, la conjetura se transforma en un teorema. Y un teorema es para siempre.

«Para convertir una conjetura matemática en un teorema, es preciso que demostremos su validez para cualquier caso, para infinitos casos.»

Una conjetura está basada en la razón, puede ser fruto de una genial intuición, se puede comprobar para muchísimos casos, pero queda pendiente de una demostración. Hablemos de una sencilla conjetura que todavía no es teorema. Cuando éramos niños nos enseñaron que los números primos eran los que solo se podían dividir por sí mismos y por 1: el 2, el 3, el 5, el 7 y el 11 son los primeros números primos. Cualquier número se puede expresar como un producto de números primos, en realidad, son los «ladrillos» del infinito edificio numérico.

En 1742, el historiador y matemático prusiano Christian Goldbach postuló que todo número natural mayor que 5 puede expresarse como la suma de tres números primos. El número 35 se obtiene sumando 17, 11 y 7 y el número 52 es el resultado de sumar 31, 19 y 2. El matemático suizo Leonhard Paul Euler reformuló esta cuestión en lo que se conoce como conjetura fuerte de Goldbach: todo número par mayor que 2 es igual a la suma de dos números primos (70 = 47 + 23). Esta conjetura sigue pendiente de una explicación universal. Una prueba más de que las matemáticas se muestran como un reto a los límites del pensamiento humano, como conocimiento especulativo y sugerente.

ALOJARSE EN UN HOTEL LLENO

El matemático David Hilbert (1862-1943) concibió un hotel increíble. En el hotel de Hilbert siempre encontramos habitación disponible. Imaginemos que llegamos a un hotel con infinitas habitaciones, todas ocupadas. Sin embargo, en recepción nos proporcionan una. ¿Cómo es posible? Muy sencillo, trasladamos el cliente de la habitación 1 a la 2, el cliente de la 2 a la tres, y así sucesivamente. Si quiere alojarse un grupo de muchos visitantes (infinitos si queremos), también sería posible: cambiamos los clientes a habitaciones pares (el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6…) y nos quedan las infinitas habitaciones impares vacías. Si podemos imaginar este fantástico hotel (¿de infinitas estrellas?), físicamente imposible pero mentalmente a nuestro alcance, nuestra inteligencia matemática se pone en marcha.

Ver lo esencial y expresarlo

«Esta facultad de separar la existencia y la esencia constituye la nota fundamental del espíritu humano, en la que se basan todas las demás.»

MAX SCHELER, El puesto del hombre en el cosmos

Somos transversales e interdisciplinarios por naturaleza. Generalmente nos interesamos por temas diversos, y la curiosidad parece ser una compañera que siempre tiene un as en la manga. Pensamos en cuestiones que trascienden el arte, las matemáticas o la ciencia: buscamos la esencia. En la serie de grabados El toro (1945-1946), Picasso disecciona el animal en busca de su esencia, de aquello que tendrían en común todos los toros, y el resultado final es un toro geométrico esbozado en unas pocas líneas. Se trata de buscar la síntesis, el núcleo, de algo cercano a la articulación de nuestro pensamiento matemático, que trasciende lo múltiple para «cazar» el concepto.26

Todos sabemos que existen infinitos números, nos imaginamos que debe existir algo tan grande que nos es imposible expresar y lo llamamos infinito. Vemos la presencia de algo y le asignamos el signo positivo y percibimos la ausencia de algo y para nosotros es negativo, y también decidimos un nivel de referencia: el número cero. Este número siempre significa lo mismo, no nos importa si se trata de la edad del bebé que está naciendo o del número que se ilumina cuando salimos de él en una planta baja de un edificio. En lenguaje matemático, nos es indiferente repartir a partes iguales un pastel de cumpleaños entre diez niños o una paella entre diez invitados, porque solo pensamos en lo esencial: cada plato contiene una décima parte del pastel o de la paella.

Comprender que podemos hablar de lo esencial en un nuevo lenguaje que es simple y eficaz constituye el primer paso para poder expresarnos según estos nuevos códigos, que simplificamos al máximo. En este sentido, las matemáticas son una herramienta que habla de muchas cosas, de muchos números, a través de muy pocos símbolos. Las matemáticas son como una mirada: captan lo complejo de una forma simple. Para llegar a conocerlas bien, nuestra inteligencia tiene que pretender lo sencillo. Tampoco nos queda otra solución. Imaginemos que queremos indicar todos los números naturales menores que 1.000; la primera opción sería indicarlos uno a uno, pero decidimos que un sencillo paréntesis puede ayudarnos: (0, 1000). Las matemáticas, además de sencillas, son precisas, y por esto hemos puntualizado que se trata de números naturales. Simbolizamos de manera muy simple 1.000 números y utilizamos así nuestra mirada matemática.

Como hemos visto, hemos tenido que concretar de qué números se trata. El lenguaje es nuestro mejor aliado. Si hablamos de mamíferos, pensamos en un conjunto de animales mucho más grande que el de los felinos, al igual que los números reales son mucho más numerosos que los números naturales o los enteros. Las matemáticas poseen unos signos que traducen lo básico de una idea. El «pertenecer a» o «estar contenido en» se expresa con un solo símbolo matemático (C o ∈), según se trate de un grupo27 de elementos o de un elemento: felinos C mamíferos, números naturales C números reales (N C R), gata llamada Perla ∈ felinos 5 ∈ números naturales (5 ∈ N).

«Las matemáticas son como una mirada: captan lo complejo de una forma simple.»

No es que parezca sencillo, lo es, nos basta un solo signo o un solo símbolo. Nuestra inteligencia matemática parte de bases primarias, generales, y para ser inteligentes matemáticamente nunca podemos olvidarnos de estas bases. Pensemos en la evolución de nuestra inteligencia lingüística. Cuando somos niños en sentido estricto –es bueno seguir siendo siempre un poco niños– incorporamos letras y un conjunto limitado de palabras para llamar la atención de nuestros padres o para pedir aquella pelota de playa. Con el paso del tiempo, somos capaces de articular frases y narraciones que expresan sentimientos, emociones y pensamientos complejos. Hemos construido nuestra inteligencia lingüística a partir de relaciones entre un número cada vez mayor de códigos sencillos. Nuestra inteligencia matemática se va ampliando de manera similar.

Nuestra inteligencia matemática se va construyendo y ampliando, como nuestra inteligencia lingüística; con el paso del tiempo somos capaces de elaborar la complejidad a partir de elementos sencillos.

Como otras inteligencias, la inteligencia matemática es una inteligencia-red. Cuando tocamos la guitarra o escribimos, partimos de unas cuantas ideas y símbolos esenciales (notas, compases, palabras, frases) y las relacionamos entre sí para construir una canción o un texto formado a partir de una red compleja –tan compleja como queramos– que conecta elementos esenciales. Si analizamos la explicación de un teorema, el comportamiento de una curva, las propiedades de los polígonos, o si resolvemos un problema aparentemente complicado, partimos de lo esencial. Cuando Gauss sorprendió a su profesor calculando rápidamente la suma de los 100 primeros números partió de una idea esencial.28 Gauss «vio» algo esencial.

Microscopio, lupa, vista

«Estando, pues, la naturaleza toda emparentada consigo misma, y habiendo el alma aprendido todo, nada impide que quien recuerde una sola cosa –eso que los hombres llaman aprender– encuentre él mismo todas las demás, si es valeroso e infatigable en la búsqueda.»

Palabras atribuidas a Sócrates en el Menón (uno de los Diálogos) de Platón

Las matemáticas son un inmenso libro abierto. En este libro coexisten relaciones y formas en un mundo aparentemente irreal. O al menos eso parece a primera vista, porque en nuestra mente ese mundo es real. Este es el valeroso paso que debemos dar para ampliar nuestra inteligencia matemática. El recelo hacia las matemáticas proviene del miedo paralizador y de no acabar de creernos que nuestra óptica cerebral, nuestros instrumentos ópticos mentales puedan simplificar la realidad hasta lo mínimo, puedan imaginarla ampliada hasta el infinito o reducirla hasta prácticamente la nada. ¿Qué vemos en matemáticas?

Una especie de zum se activa en nuestras sinapsis nerviosas cuando imaginamos un triángulo, que es algo general. Nuestra inteligencia matemática deja aparte distancias y medidas e imagina una forma, de la misma manera que asociamos una esfera con nuestro planeta,29 o con una pelota de ping-pong, de tenis o de fútbol. Recordando una sola cosa encontramos todas las demás. Lo fantástico de las matemáticas reside en la amplitud de su campo, que nos permite simplemente ver, medir o comprobar o bien requiere de nosotros una activación de nuestras lupas o microscopios mentales para imaginar.

«Para afrontar con éxito las matemáticas necesitamos dar un paso decisivo y valiente: creernos que son reales, porque en nuestra mente realmente lo son.»

La emoción y la diversión son la chispa que conecta el motor de nuestra inteligencia matemática. Nuestra mente se puede poner a jugar en cualquier momento, incluso en momentos difíciles. Y el asombro infantil es el origen ideal para estos juegos. El neurólogo y escritor Oliver Sacks fue llevado lejos de su casa para estar protegido de los bombardeos de Londres durante la Segunda Guerra Mundial. Su refugio fueron los números:

[…] el primer refugio fueron al principio los números […]. Me gustaban los números, porque eran sólidos, invariables; permanecían impasibles en un mundo caótico. Había en los números y sus relaciones algo absoluto, cierto, que no se podía cuestionar, más allá de toda duda. […] ¿Por qué los números primos aparecían de ese modo? ¿Su distribución seguía alguna pauta, alguna lógica? […] Me permitían muchas horas de un juego ensimismado solitario para el que no necesitaba a nadie más.30

Con el autofoco de nuestra inteligencia matemática podemos jugar a nuestro antojo. Este ir más allá nos permite saber que si sumamos los infinitos números de una sucesión creciente (2, 6, 18, 54,…), el resultado será infinito. Nos hacemos preguntas y ponemos en marcha nuestro zum mental: no habría último número, siempre podríamos escribir uno mayor. Deducimos que esta suma será incalculablemente grande. Sin embargo, la suma de infinitos números cada vez más pequeños (por ejemplo: 2, 1/2, 1/4,…) nos dará un resultado, porque nuestra mirada matemática ha comprendido, a través del uso de nuestro microscopio imaginario, que en este caso la suma se puede calcular.31

LA ATRACCIÓN DEL 1

Cualquier número natural es «atraído» hacia el 1. Los números granizo son los protagonistas de tormentas numéricas que se originan a partir de cualquier número natural. Cuando se produce una tormenta se da una serie de condiciones meteorológicas; veamos cómo originamos una tormenta matemática. Para generar una serie de números granizo, tomamos cualquier número natural y le aplicamos sucesivamente la siguiente pauta: si es par, lo dividimos por 2; si es impar, lo multiplicamos por 3 y sumamos 1. Por lo tanto, se va generando una secuencia de números aplicando el patrón n/2 o 3n + 1 al número granizo n anterior. La sorpresa es mayúscula: siempre terminamos la serie numérica en el 1. La conjetura que el matemático alemán Lothar Collatz descubrió en 1937 todavía no ha sido demostrada, pero se ha comprobado que se cumple hasta valores de n muy elevados.

El granizo termina cayendo al suelo. Los números granizo terminan «cayendo» al 1. Por ejemplo, si iniciamos la serie con el 15, ocurre lo siguiente:

15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1,…

Funciona también si el primer número es par. Por increíble que parezca, una especie de gravedad numérica hace caer la serie hasta el 1.

5. ¿Cómo somos matemáticamente inteligentes?

La sensibilidad matemática

«Vivimos encaramados sobre nuestra sólida razón como los avaros sobre su dinero.»

ELIAS CANETTI, Auto de fe

La razón y la lógica tienen su contrapunto. La amalgama de sensibilidades e intereses del ser humano es compleja, múltiple y variada. De hecho, a la mayoría de nosotros nos atrae más de un campo del conocimiento, de ahí que podamos reinventarnos constantemente. Por lo tanto, nuestro deseo de saber, de conocer, es el sustrato profundo de geólogos, cirujanos, historiadores o matemáticos. En mi experiencia docente he podido comprobar que muchos alumnos que destacan en matemáticas también son sensibles a la literatura, a la historia o a otras materias. En un principio, como algo transversal, aparece la avidez de conocimiento.

Todos somos sensibles a los temas que realmente nos interesan y nos cautivan. Un geólogo es sensible a plegamientos originados hace millones de años, un cirujano se interesa por las últimas técnicas quirúrgicas, un historiador se sumerge entre archivos, testimonios y bibliografía para construir de nuevo la narración de una época o unos episodios determinados de ella. ¿Qué sensibiliza a una persona que se interesa por las matemáticas?

«Las personas con inteligencia lógico-matemática saben relacionar datos y asimilar procedimientos, son rigurosas y hábiles en el diseño de procesos y son sensibles a la belleza.»

La inteligencia lógico-matemática es sensible a las afirmaciones, proposiciones y demostraciones, al esquema y a las relaciones y a la abstracción y generalización en general. Es sensible a la belleza y a la elegancia de un concepto. Las personas con esta sensibilidad poseen la habilidad para relacionar diferentes datos o informaciones y para asimilar procedimientos lógicos diversos. También son especialmente hábiles con el cálculo, son rigurosas y tienen la capacidad de diseñar procesos para la búsqueda de resultados. En el fondo, son personas seducidas por lo abstracto, lo perfecto, lo lógicamente verdadero.

Para mejorar constantemente nuestra inteligencia matemática tenemos que desarrollar diferentes capacidades. Saber formular problemas o cuestiones de interés matemático, ser flexible en la interpretación de los retos que nos proponemos (analizar diferentes enfoques o puntos de vista), ser originales y creativos, son algunas de estas capacidades. También es importante la capacidad de comprensión oral y escrita, la generalización de conceptos clave y la habilidad para ordenar y clasificar datos y utilizarlos correctamente.

Estas habilidades pueden entrenarse: todos podemos, como mínimo, mejorar nuestra inteligencia matemática. El entreno permite identificar coincidencias, «ver» más allá de la información que nos dan, intuir, explorar vías para afrontar un problema o una demostración. La práctica constante también es importante por algo más básico y general: nos proporciona seguridad y agilidad para enfrentarnos a las cuestiones matemáticas. Los elementos que participan en la mejora de nuestra destreza matemática son muy diversos. La memoria, por ejemplo, tampoco está excluida. Nos permite partir ya de un material elaborado. Saber las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta nos permite resolver cuestiones de geometría de una forma más rápida, más adecuada a la información que se nos proporciona. La memoria puede ayudarnos a optimizar el tiempo.

El papel de la intuición

«Para conocer primero hay que creer. Y, en general, donde hay creencia, hay duda. La creencia procede de un conocimiento previo, de una tradición, de una intuición, de una revelación…»

JORGE WAGENSBERG

El psicoanalista Carl G. Jung distribuyó nuestra capacidad para conocer y comprender la realidad en cuatro funciones de nuestra mente: el pensamiento racional, el sentimiento, la sensación y la intuición. Para pensar matemáticamente tenemos que utilizar intensamente nuestra función-lógico racional, pero esto no basta. Si queremos mejorar nuestra inteligencia matemática, la intuición juega un papel importante. Percibir inmediatamente la esencia de un problema o estar inspirado para afrontarlo ponen a prueba esta cualidad de nuestra mente, esencial para abordar cuestiones matemáticas.

«La intuición nos proporciona pistas y se complementa perfectamente con nuestra actividad mental más consciente y voluntaria.»

Intuir es nuestro olfato mental, un sexto sentido. Cuando cocinamos y percibimos los aromas, podemos intuir que nuestros invitados van a comer bien. La intuición nos proporciona pistas muchas veces válidas, y se complementa perfectamente con nuestra capacidad de razonar lógicamente. Para que la intuición actúe es necesario una mente a la deriva, descansada, en un estado sensible al hallazgo creativo. El aula es, en este sentido, un buen observatorio. Los alumnos con este estado agudo de percepción del detalle ven y piensan «más allá de», se elevan por encima de la aparente dificultad.

Sin embargo, la intuición matemática –si es que existen fronteras precisas para la intuición– es difícil que parta de la nada, y se necesita de la fertilidad previa que proporciona el conocimiento. La buena cosecha precisa de un suelo esponjoso, oxigenado, químicamente idóneo. Nuestros frutos mentales, que brotan de la semilla intuitiva, precisan del oxígeno de conocimientos básicos. Para los profesores de matemáticas resulta exasperante observar que un alumno con un sexto sentido matemático no desarrolle todas sus aptitudes a causa de la carencia de unos conceptos básicos bien asimilados y puestos en práctica. Lógicamente, se le debe convencer de la importancia del conocimiento previo y del entreno. Un buen tenista intuye la trayectoria de la pelota golpeada desde el otro lado de la pista, pero no puede responder con un buen drive si no posee la técnica y el entreno adecuados. Rafa Nadal intuye a partir de su experiencia y su constancia.

El terreno intuitivo es un componente importante de nuestra inteligencia matemática, pero sabemos que necesitamos algo más. La intuición es como un resorte que puede actuar como una sacudida súbita, como una onda sísmica que se mueve a una velocidad de vértigo en nuestro subsuelo mental, desplazando sus placas asentadas «racionalmente». Cuando intuimos, nosotros no pensamos, pero nuestro cerebro se agita de forma instantánea. El gran matemático alemán C. F. Gauss explicó en una carta cómo descubrió un teorema: «Tras un repentino resplandor de relámpago, el enigma apareció resuelto…, no puedo decir cuál fue el hilo conductor que conectó lo que yo sabía previamente con lo que hizo mi éxito posible».32

«Nuestros frutos mentales, que brotan de la semilla intuitiva, precisan del oxígeno de conocimientos básicos.»

La inteligencia matemática precisa de descansos para mantenerse activa. Cualquiera de nosotros ha experimentado la sensación de percibir una realidad diferente después de una siesta reparadora o de haber dormido profundamente. Cuando una cuestión matemática se nos resiste, nuestra genialidad está secuestrada por una malvada conciencia lógica. A veces hay que afrontar nuevos puntos de vista, dejar que fluya la imaginación. De alguna forma, la descarga intuitiva permite el nuevo enfoque que nos lleva a la solución que buscábamos. Nuestra mente racional necesita de nuestra primitiva mente aventurera.

Todos nos hemos aburrido en alguna conferencia. Las hay que no son inspiradoras y despiertan en nosotros diversas reacciones. Si la escuchamos después de una buena comida y no logra activar nuestro interés, el sueño hace acto de presencia y nuestra cabeza se cae de vez en cuando. En 1963, el matemático Stanislaw Marcin Ulam (1909-1984) se aburría en una conferencia. Como buen matemático, Ulam quizás intuyó que los sencillos números naturales todavía podían escondernos alguna pauta oculta. Comenzó a escribir los números naturales en forma de espiral cuadrada a partir del 1 y observó que los números primos se disponían en diagonales. Lógico, debió pensar, siempre en las diagonales formadas por números impares, ya que los números pares son divisibles por dos (por lo menos) y no son primos.

«Nuestra mente racional necesita de nuestra primitiva mente aventurera.»

Pero la sorpresa fue comprobar que abundaban mucho más en unas diagonales que en otras. Lo que conocemos como espiral de Ulam surgió de una mente intuitiva, a la deriva, dispuesta a experimentar. Podemos imitar a Ulam y escribir los números naturales sobre un papel cuadriculado, en forma de espiral cuadrada en sentido contrario a las agujas del reloj. Descubrimos que los números primos tienden a ocupar unas diagonales más que otras, y esta «preferencia» por ciertas diagonales persiste si la espiral sigue creciendo indefinidamente. Bienvenido sea el tedio si nos lleva a la sorpresa y al descubrimiento.

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Espiral de Ulam hasta el número 90

Ya observamos que a los números primos, que vemos resaltados, «les gustan más» unas diagonales que otras, y esta tendencia permanece si hacemos crecer tanto como queramos la espiral.

Como afirma Jorge Wagensberg, para conocer hay que creer. Ulam experimentó con su espiral porque creía en regularidades y pautas no descubiertas, y su conocimiento matemático lo llevó a pensar en la posibilidad –todavía en pleno siglo XX– de sorprenderse y de sacar a la luz los caprichos de los números primos camuflados hasta entonces. Las matemáticas todavía guardan secretos aparentemente sencillos, que siguen ahí, esperando a que alguien los intuya.

Mentes que fluyen

«El yo inconsciente no es inferior al yo consciente; no es solo automático, es capaz de discernir, tiene tacto, delicadeza, sabe elegir y adivinar.»

HENRI POINCARÉ

Hay pocos matemáticos eminentes que hayan estudiado con interés el talento y la creatividad en matemáticas. Henri Poincaré defiende el papel esencial que los mecanismos menos conscientes de nuestro cerebro, como la intuición y la creatividad, desempeñan en nuestras habilidades matemáticas. Para que estas habilidades se manifiesten, la atención y la memoria también representan su papel, pero es algo mucho más impreciso y más inconsciente lo que estimula la creación matemática. Nuestra inspiración para resolver una cuestión matemática necesita del trabajo consciente, pero la revelación o la respuesta pueden manifestarse súbita y rápidamente.33

Nuestra inteligencia ya hemos visto que es heterogénea. Este es uno de sus tres rasgos fundamentales. Sabemos que podemos jugar bien al tenis, pintar un buen cuadro o plantearnos retos matemáticos. Nuestra mente toca complejas sinfonías donde intervienen muchos instrumentos, y unos se manifiestan o «suenan» más que otros. Otra característica fundamental de nuestra inteligencia es que es única. Nuestra inteligencia es como nuestro rostro o nuestra huella dactilar: no existen dos seres humanos con inteligencias idénticas. Y por último, también es dinámica. Fluye constantemente.34

«Para resolver cuestiones matemáticas es necesaria una interconexión permanente y dinámica entre el pensamiento consciente y el inconsciente.»

Como es de esperar, para transitar por el espacio infinito de las matemáticas se precisa de una mente con libertad para imaginar y fluir. Focalizar la atención es esencial para resolver ecuaciones matemáticas complicadas y para efectuar operaciones sencillas. No podemos distraernos. Para que nuestro cerebro alcance un nivel de concentración adecuado es imprescindible que adopte lo que podríamos denominar un estado de prealerta. Para conseguir una disposición adecuada para el pensamiento matemático, es necesario que nuestra mente fluya en dos direcciones.

Los mecanismos de atención y concentración, tan importantes en matemáticas, se hallan repartidos en dos sistemas relativamente independientes de nuestro sistema nervioso. En el sistema ascendente, que parte de las regiones subcorticales, es rápido y súbito y está relacionado con la inspiración y la intuición. El segundo, descendente, se origina en nuestra región prefrontal, es más lento, es voluntario y pone en juego nuestra voluntad y nuestro esfuerzo. Si alcanzamos una dinámica equilibrada entre los dos sistemas, nuestra habilidad matemática se puede potenciar más, ya que el trabajo más consciente de nuestro sistema descendente hace posible que el sistema de «abajo hacia arriba» tenga más oportunidad de manifestarse y hacer brotar nuestro ingenio. Por esto tiene tanta importancia fomentar estrategias de autocontrol y concentración desde la infancia.

«Un estado mental de prealerta es necesario para pensar matemáticamente y poder focalizar eficazmente nuestra atención.»

Así pues, nuestra atención –concepto vital si queremos desarrollar nuestra inteligencia matemática– se desplaza por una autopista de doble dirección. En este caso, se trata de una autopista vertical, con un sentido ascendente y otro descendente. Nuestro cerebro dispone de dos «sistemas» para pensar, que están relacionados pero que pueden manipular información de manera bastante independiente. La mente ascendente, que circula de abajo hacia arriba es la predominante y la más rápida, y gracias a ella intuimos y nos emocionamos. Este ascensor de subida, que parte de nuestros ganglios basales situados en la base del cerebro, es el responsable de nuestras rutinas más habituales y de activar el interruptor que provoca nuestro asombro.

La mente descendente, nuestro ascensor de bajada, es más lenta y aparece más tarde en nuestra evolución, acallando nuestro impulso emocional. Las personas más proclives a alguna adicción circulan menos en este sentido de su autopista mental, porque se ven incapaces de contrarrestar el estímulo del placer con autocontrol, voluntad y esfuerzo. Las matemáticas son aparentemente complicadas, pero resultan sencillas al compararlas con nuestra mente. Por suerte, en esta especie de autopista hay gasolineras y áreas de servicio con acceso desde cualquiera de los dos sentidos. De hecho, cuando la mente «descansa», cuando disfrutamos de un paseo, nos liberamos de la presión de nuestra esforzada mente lógico-descendente y estamos más dispuestos para activar nuestra intuición o nuestra creatividad.35

Por lo tanto, nuestra inteligencia matemática circula por los dos sentidos, que podríamos simplificar como el sentido innovador y el sentido trabajador o voluntario. Curiosamente, se necesitan el uno al otro. Imaginemos que dejamos fluir nuestra mente mientras paseamos. Súbitamente, aparece en ella una especie de fogonazo instantáneo que resuelve aquella cuestión que había tenido ocupado a nuestro circuito descendente durante horas y horas. La intuición de nuestro primitivo circuito ascendente ha ayudado a saltar un muro que se había alzado en el proceso descendente. Tras esta inspiración, el ascensor vuelve a bajar, y de nuevo método y esfuerzo se deben poner en marcha para concluir con éxito la cuestión o problema que se atascó en un momento determinado: nuestras dos mentes cooperan y se ayudan entre ellas.

«Nuestro cerebro dispone de dos “sistemas” para pensar, que están relacionados pero que pueden manipular información de manera bastante independiente.»

Las conjeturas matemáticas suelen surgir de la inspiración creadora. Recientemente, uno de mis alumnos ha comprobado el teorema de Morley (1860-1937) utilizando los principios básicos (ecuaciones de las rectas, distancias…) de la geometría en dos dimensiones. Recordemos que antes que teorema fue conjetura. La conjetura de Morley se puede visualizar fácilmente: si dividimos mediante rectas (rectas trisectrices) cada ángulo de un triángulo en tres ángulos iguales podemos comprobar que estas rectas se cortan en seis puntos; pues bien, tres de estos puntos forman un triángulo con los tres lados iguales (un triángulo equilátero). Hasta hace pocos años no se ha convertido en teorema mediante una demostración rigurosa. Quizás cuando Morley buscaba un lápiz en el bolsillo de su pantalón y un papel en su chaqueta y se dirigía a su estudio, actuaba en él su mente ascendente, que instantes después dejaba paso a la dirección contraria de su autopista mental.36 Tal vez fuera así, pero se trata de una conjetura, tendríamos que demostrarlo.

Condiciones previas

«Aprender a sentir y a razonar en positivo es, con seguridad, una inversión rentable.»

LUIS ROJAS MARCOS, La fuerza del optimismo

Si contemplamos la mente como un todo, la interconexión entre emoción, razón, motivación y voluntad es evidente. Todos lo hemos experimentado, y todos estos motores se tienen que poner en marcha cuando pensamos matemáticamente. Pero existe un sustrato anterior, previo, que nos permite activar las estrategias y convencernos de que tenemos la capacidad para aplicarlas. En este sentido, la inteligencia matemática no es diferente a las demás y precisa de una base latente que nos acompaña.

Este sustrato previo consiste en la autoestima y en el optimismo. Resulta una ardua tarea enfrentarse a cuestiones que abarcan la lógica matemática, el álgebra o la geometría si no estamos convencidos de nuestras propias posibilidades. En el aula comprobamos cómo la ausencia de autoestima bloquea o dificulta el pensamiento matemático. En bastantes casos, el problema de un bajo rendimiento matemático consiste en no creerse capaz. Vencidas estas dificultades previas, una vez adquirida una visión optimista de las propias potencialidades, la inteligencia matemática inicia su andadura. Es imposible que nuestro caudal mental circule si no le damos libertad y no abrimos previamente las compuertas de nuestra confianza.

«Para que nuestra inteligencia matemática se ponga en marcha, nuestra autoestima y nuestra confianza previa son indispensables.»

Creer en nosotros mismos siempre constituye una fuerza poderosa. En Estados Unidos, en el colegio universitario Potsdam (Universidad Estatal de Nueva York) se experimentó un programa universitario de matemáticas impulsado por Clarence Stephens, que obtuvo unos resultados espectaculares en dos aspectos: el éxito logrado en el avance académico de los alumnos y la atracción creada en torno a la materia, ya que las matemáticas pasaron de ser «evitadas» a ser solicitadas. Stephens preguntaba a sus profesores: ¿sus alumnos están disfrutando con las matemáticas? Un profesor de Matemáticas de la Universidad Carleton en Ottawa, Canadá, John Poland, escribía sobre este programa:

¿Qué debe hacer un departamento de Matemáticas para obtener resultados así? A los profesores les debe gustar mucho enseñar, con todo lo que eso significa en cuanto a comunicación, atención hacia los estudiantes y su desarrollo […]. La receta del éxito en Potsdam es muy sencilla: inculcarle confianza en sí mismo al alumno y que tenga la sensación de haber logrado algo gracias a un entorno abierto y atento.37

La confianza en nosotros mismos nos sitúa en el estado ideal para abordar cualquier cuestión matemática, para imaginar nuevas preguntas y para elaborar buenas respuestas. A fin de establecer una perspectiva alentadora, que nos incite a usar las matemáticas y a disfrutarlas, necesitamos de un campo abonado para que crezcan el talento, la imaginación y la creatividad. Normalmente, las dificultades parecen imposibles de superar a priori, aumentadas por nuestros miedos, fobias y complejos.

Estar a punto para pensar matemáticamente depende de un espacio mental fértil. Este espacio viene determinado por cuatro factores esenciales. El primero consiste en nuestras capacidades cognitivas personales, basadas en nuestro talento lógico-matemático, pero no solamente en él. Otros talentos son determinantes también, porque nuestra inteligencia es una red-bosque con múltiples ambientes y caminos. Por ejemplo, nuestra capacidad de expresar nuestros anhelos. Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat38 –ahora teorema de Fermat-Wiles– cuando decidió compartir con alguien su inquietud.

«Para establecer una perspectiva alentadora, que nos incite a usar las matemáticas y a disfrutarlas, necesitamos un entorno propicio al brote del talento, la imaginación y la creatividad.»

Había presentado una demostración del teorema en Cambridge, pero contenía algún error. Al principio, la reacción de Wiles fue aislarse durante meses hasta dar con la demostración correcta, pero al final se decidió a compartir su tarea con Richard Taylor, que había sido alumno suyo, y logró resolver el problema. Para Wiles, enfrentarse a un problema matemático es como entrar en una mansión oscura, donde vas tropezando y chocando con muebles, pero vas aprendiendo dónde está cada cosa. Al final encuentras el interruptor de la luz, lo pulsas y todo se ilumina.39

El segundo factor es nuestra capacidad de perseverar, que depende en buena parte de nuestra voluntad. La determinación para superar obstáculos es esencial para afrontar con éxito cualquier tipo de tarea, y las matemáticas no son una excepción. El matemático Robert Lee Moore impartió clases en la Universidad de Texas, en Austin. Tuvo que admitir, pese a su racismo intransigente, a estudiantes afroamericanos en su facultad. Walker Hunt, uno de los primeros doctores que pudo superar estas arcaicas barreras mentales, no quería asistir a las clases de Moore, que menospreciaba constantemente a los estudiantes de color. Pese a este ambiente hostil, Hunt y otros estudiantes negros superaron esta presión y se graduaron en Matemáticas. El destino hizo que Moore tuviera que saltar también barreras y prejuicios: ¡tuvo nietos afroamericanos!

«Todas nuestras capacidades pueden ayudar a que nuestra habilidad matemática se manifieste.»

Un contexto favorable y nuestra capacidad creativa, el tercer y cuarto factor respectivamente, también son importantes, y ambos factores se condicionan. Estas condiciones previas están ligadas entre sí. Un entorno ideal estimula nuestra creatividad, y esta enriquece todo el ambiente que nos rodea. En el aula comprobamos esta relación cada día. Si perseguimos un ambiente donde preguntar, ampliar y desafiar retos sea la norma, la creatividad se manifiesta en muchos alumnos, que revierten al ambiente sus aportaciones y lo hacen cada vez más idóneo para el aprendizaje.

Un cerebro adaptado

«Nuestro cerebro funciona como un complejo centro de operaciones provisto de la tecnología más moderna.»

DICK SWAAB, Somos nuestro cerebro

Nuestros conocimientos matemáticos se van ampliando durante nuestros años escolares, y nuestra inteligencia se enfrenta cada año a una mayor exigencia en este sentido. Si nos sentíamos motivados, si cada actividad, proyecto o problema significaba un reto interesante para nosotros, nuestra habilidad matemática crecía. Pero ¿hasta qué punto se trata de un aprendizaje contra natura? ¿Está nuestro cerebro diseñado para tratar con un conocimiento simbólico y complejo? ¿Posee un sentido numérico innato?

Hagamos un sencillo experimento con los más pequeños de la familia. Si un niño de pocos meses sabe que hay una pelota detrás de un objeto que la oculta, y agregamos otra, cuando retiramos el objeto, el niño espera ver dos pelotas. Si lo engañamos, su mirada indica que algo falla. Nos está diciendo: «Algo no funciona, algo no es correcto». Aunque parezca increíble, antes de saber hablar sabemos contar, esperamos que 1+1 sea igual a 2 o 1+2 sea igual a 3. Los primates, parientes cercanos nuestros, pueden diferenciar también perfectamente patrones visuales o sonidos por el número, capacidad que disminuye al aumentar los números que intervienen. Tenemos un cerebro que se encuentra a gusto entre números.

Existen más experiencias ilustrativas de hasta qué punto nuestro cerebro infantil ya se adapta a las matemáticas. Los bebés de nueve meses ya detectan vagamente el concepto de probabilidad. Les mostramos una caja llena de pelotas de ping-pong, un 80 % rojas y un 20 % blancas. Si les ocultamos las pelotas con una pantalla y después extraemos cinco bolas blancas y se las mostramos, las observan durante más tiempo que en el caso de que les mostremos cinco rojas. En el caso de la muestra blanca, parecen pensar: «No es demasiado lógico» y si somos más optimistas respecto a nuestra inteligencia: «Imposible no, extraño sí».40

«Nuestra mente está adaptada a lo complejo, a los símbolos, a la interpretación; se encuentra a gusto entre números.»

Con los años, esta capacidad innata se va consolidando y ampliando, y el desarrollo de nuestra inteligencia matemática pasa a interconectarse con otras inteligencias, pasa a ser dependiente de otras habilidades y utiliza como muletas de apoyo los sucesivos estímulos que deberíamos recibir en las escuelas. La inteligencia matemática forma parte de una red de relaciones complejas difícil de definir, pero sumamente interesante. Los que vivimos las matemáticas en el aula jugamos un papel de máxima responsabilidad en la expansión constante de la habilidad innata del alumno. Anular el miedo y comunicar confianza contribuye de una forma decisiva al crecimiento de su inteligencia matemática.

La experiencia demuestra que este cerebro adaptado reacciona muy bien ante el descubrimiento matemático y el asombro en nuestra infancia. Esas sensaciones, al ser estímulos positivos, preservan y aumentan un interés por las matemáticas y su extenso territorio, con partes de él siempre inacabadas, inexploradas o todavía no demostradas. La prueba de que nuestra inteligencia es innata, elástica y adaptable es que los alumnos de Bachillerato son capaces de comprender y aplicar las matemáticas surgidas a partir de Newton y Leibniz, muchas más que las que conocían los universitarios del siglo XVI, y hacerlo con una relativa facilidad.

UNA MENTE QUE VE FORMAS

Nuestro cerebro incorpora números y formas con una facilidad sorprendente. Está adaptado para efectuar previsiones y aproximaciones de tipo matemático. Un tenista que coloca un potente drive justo antes de la línea de fondo ha «medido» la fuerza del golpe y la distancia a cubrir. También ha dibujado una curva previa en su mente para poder superar la red. La mente del tenista es matemática. Los jugadores que distribuyen juego, que nutren a los delanteros de buenos pases, activan su inteligencia matemática: miden el espacio, fijan posiciones, calculan y miden trayectorias, eligen la mejor jugada. Para dar un pase preciso el jugador imagina la trayectoria del balón antes de golpearlo con su bota. El delantero, solo ante el portero, también anticipa en su cerebro la curva que describirá el balón para que se introduzca en la portería justo al lado del poste. ¿Estamos hablando solo de fútbol?.

Un poder silencioso

«La función de las neuronas espejo consiste precisamente en reproducir las acciones que observamos en los demás y en imitar –o tener el impulso de imitar– sus acciones.»

DANIEL GOLEMAN, Inteligencia social

Nuestro cerebro alcanzó su tamaño actual de unos 1.500 cm³ hace unos 200.000 años. Sin embargo, nuestra inteligencia más sofisticada, entendida como la entendemos hoy, comenzó a surgir hace solo 40.000 años, con la aparición de habilidades específicamente humanas, como la invención de herramientas diversas, las creencias religiosas y posiblemente el lenguaje, ese fantástico transmisor del conocimiento. Nuestro cerebro actual es producto de este big bang cultural. Según el neurocientífico Vilayanur S. Ramachandran, este súbito despertar del cerebro pudo suceder de forma casual en nuestro cerebro preadaptado para luego extenderse con facilidad a toda la especie gracias a nuestra capacidad de imitarnos.41

«Gracias a nuestra capacidad de imitarnos, nuestro cerebro –y nuestra inteligencia– dieron un salto cualitativo hace unos 40.000 años: se produjo el big bang evolutivo.»

Poder comprender las matemáticas y acomodarlas en nuestro cerebro plástico con cierta facilidad nos sorprende. Para que tantos seres humanos sepan bastantes matemáticas (o algunas, o muchas) tiene que existir algo, un poder invisible pero real, que lo haga posible. Es el poder de imitar: incluso un bebé simio nos imita cuando le sacamos la lengua. Las neuronas espejo o neuronas wifi de nuestro cerebro, situadas bajo la corteza parietal y en el área de Broca,42 se encargan de ello. Imitamos gestos, procedimientos, habilidades. Imitar en el sentido más amplio potencia todas nuestras habilidades, también nuestra destreza matemática.

Daniel Goleman pudo experimentar este poder silencioso de nuestra mente cuando una tarde bajaba las escaleras de la estación de metro de Times Square, en la ciudad de Nueva York. Un hombre parecía desmayado en la mitad de la escalera. Las personas, sumidas en sus prisas urbanas, lo ignoraban, pero Goleman se interesó por él. Inmediatamente surgieron imitadores que captaron la necesidad de ayuda del mendigo, que pudo comer un bocadillo, beber agua y ser atendido. Una atención individual se transformó en atención social después de prestar atención a la actuación solidaria de una sola persona.43

«Las neuronas espejo hacen posible que aprendamos por imitación; aprendemos gestos, procedimientos. El poder de imitar potencia nuestra destreza matemática.»

Desarrollamos nuestra inteligencia matemática imitando, por esto no necesitamos partir de cero para aprender álgebra, no partimos del origen o de la necesidad, como hacían los matemáticos árabes de los siglos X y XI. Los alumnos de nuestras aulas del siglo XXI aprenden por imitación; pero ¿qué imitan? También en Bachillerato imitan al profesor al trabajar con los conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal. Pero esta cuestión es delicada y nos plantea la polémica fundamental de las formas en que nos imitamos para desarrollar nuestra capacidad matemática. ¿Imitamos en el sentido de copiar, de reproducir, de «funcionar», o podemos plantearnos algo mucho más interesante? Podemos imitarnos de una forma más emocional, más orientada al asombro, a la sorpresa y al descubrimiento.

La gran multiplicación del conocimiento matemático ha sido posible gracias a las poderosas neuronas espejo. Pero no debemos confundir imitar con copiar. Cuando pretendemos potenciar la inteligencia matemática, estas neuronas se inspiran, leen gestos y se contagian de sonrisas e invitaciones al conocimiento. Nuestro pensamiento matemático es personal, pero lo recibimos por contagio. Y para que sea vivido y sentido, debemos emocionar; el trabajo que hacen nuestras neuronas espejo es captar la emoción de pensar y de hacerlo de una forma determinada, más allá de los procedimientos concretos. En este sentido, la propagación de la inteligencia matemática depende también, como sucede en otras inteligencias, de una base emocional.

La importancia del contagio emocional para que aprendamos matemáticas ha sido demostrada con numerosas experiencias. Ya he comentado la iniciativa de Clarence Stephens en este sentido. Ha habido otras. Bob Moses fue uno de los líderes del movimiento para reclamar el voto de la población negra en Misisipi a partir de 1960. Años más tarde se ha dedicado a aumentar la competencia matemática de los estudiantes negros de secundaria en Estados Unidos. En su Algebra Project, los profesores comparten ideas y estrategias que han resultado estimuladoras, los estudiantes de más edad enseñan a los más jóvenes, y se tiene en cuenta la individualidad y el potencial de cada alumno. El entorno ideal.

¿Mapa o GPS?

«La mente creativa es un don sagrado y la mente racional un sirviente fiel. Por ello resulta muy curioso que hayamos creado una sociedad que, olvidando el don, haya acabado honrando al sirviente.»

ALBERT EINSTEIN

Hasta hace pocos años, antes de iniciar un viaje en coche nos orientábamos con un mapa. La elección de un itinerario u otro nos obligaba a contrastar, comparar, contar, descubrir. Pese a todo, iniciado el trayecto, quedaba margen para la pequeña aventura, la duda, la improvisación. Actualmente disponemos del GPS, un sirviente fiel que nos proporciona instrucciones sin cesar y nos dice lo que debemos hacer en cada momento. Personalmente, me gustaba más el mapa, me inducía a pensar, a razonar y a valorar todas las posibilidades sin ayuda de ningún tipo. Cuando se nos plantea un problema matemático, podemos orientarnos con un mapa o con un GPS.

La inteligencia matemática es tan diversa como nuestros cerebros. Personas diferentes enfocan problemas matemáticos con estrategias diferentes. Las hay más directas, más visionarias, incluso caóticas, que ven imágenes y resultados más que procedimientos. Intuyen. Conjeturan y aciertan, se arriesgan. Otras necesitan comprobaciones y procedimientos, e incluso otras combinan admirablemente las dos vertientes. Por sus cerebros ascendente y descendente las autovías de su pensamiento están repletas de ideas-vehículo que circulan a velocidades muy altas. El mapa de nuestro pensamiento matemático es complejo y variado. Si los caminos y carreteras de nuestro mapa mental constituyen una red de múltiples conexiones, ¿por qué se tienen en cuenta solamente algunas?

El primer impedimento para inducir una inteligencia matemática sana y creativa tiene su origen en las características de nuestra formación en escuelas y universidades. Alguien invisible –la autoridad educativa– decide programas y tipos de evaluación. Estos programas y formas de evaluación son uniformes y se aplican de manera uniforme. Por alguna razón oculta, alumnos muy diferentes se someten a unas matemáticas basadas solo en procedimientos y repetición de procesos. Con este sistema matamos el asombro, la imaginación y la creación. También se margina el carácter humano de las matemáticas, su historia, su relación con otros ámbitos del conocimiento. Nos encontramos frente a un mapa de conocimientos que nos permite utilizar rutas diferentes y motivadoras, pero nos han enseñado tan solo algunas de ellas. Las instrucciones del GPS educativo nos condicionan.

CIGARRAS Y ABEJAS QUE «SABEN» MATEMÁTICAS

Los seres vivos llevan incorporado un GPS matemático. En Norteamérica, las cigarras del género Magicicada permanecen bajo tierra durante 12 años. Al decimotercer año, las larvas eclosionan y los insectos adultos aparecen súbitamente en cantidades enormes, como una especie de plaga. ¿Porqué cada 13 años? Este número asociado a la mala suerte es para ellas la clave de su supervivencia. Como 13 no tiene divisores, salvo él mismo y la unidad, el proceso evolutivo ha escogido este ciclo vital para evitar la coincidencia con otros ciclos vitales de posibles depredadores o con el ciclo vital de otras especies de cigarras. De esta manera, manteniéndose fieles a este número consiguen reproducirse en grandes cantidades y con seguridad.

También las abejas «saben» matemáticas. Construyen celdas hexagonales de cera para sus panales de miel. ¿Es arbitraria esta elección? ¿Por qué no utilizan cuadrados, o triángulos? El matemático húngaro Lászlo Fejes Tóth (1915-2005) demostró que el polígono regular que presentaba el menor perímetro para cubrir un área dada es el hexágono. Las abejas racionalizan su trabajo empleando el menor tiempo posible para hacerlo y utilizando el menor material posible.

Asombrarse, descubrir

«Las verdades se descubren, las mentiras se construyen.»

JORGE WAGENSBERG

El asombro sigue al descubrimiento. Descubrir nos asombra y nos emociona. Las matemáticas son una prueba de ello, y de las sensaciones positivas que nos proporciona el asombro surge nuestro interés por ellas y la activación de nuestros circuitos inteligentes para comprenderlas y utilizarlas. Las verdades que descubrimos nos provocan sorpresa. Y si la experimentamos desde nuestra niñez cuesta renunciar a ella. Esa permanente inocencia intelectual nos ayuda a comprender las matemáticas. Los niños curiosos desarrollan mecanismos de aprendizaje basados en una motivación interna, intrínseca, que es difícil que pueda abandonarles, como demuestran investigaciones recientes sobre la evolución de la capacidad intelectual de estos niños cuando son adultos.44

«Conservar la capacidad de asombrarnos, preservar una inocencia intelectual permanente, nos ayuda a motivarnos intrínsecamente, desde dentro.»

A los niños deberíamos explicarles historias mágicas sobre las matemáticas. Podemos humanizar a los números, convertirlos en personajes de cuentos que asombren y emocionen, o inducir al descubrimiento de las formas geométricas mediante la manipulación. Y explicarles que los papúes de Nueva Guinea indican los números tocando diversas partes de brazos y cara. El 6 «está» en su muñeca derecha, el 11 en su nariz, el 15 en su hombro derecho. La sorpresa y el juego están asegurados. Los pigmeos utilizan letras o palabras para expresar números: a (1), oa (2) y ua (3). A partir de estos primeros números se expresan los siguientes: ua-ua es el 6. Los mayas numeraban con puntos y líneas. Historias y actividades sorprendentes para un niño, que le causan asombro, que despiertan en él sensibilidad y curiosidad hacia las matemáticas.

Así pues, conservar un poco de «niño» en nosotros, ser curiosos, es esencial para conservar en buena forma nuestra inteligencia matemática. La predisposición de los niños y adolescentes hacia el aprendizaje matemático tiene una relación directa con la inducción del asombro. Y en este sentido, todos los detalles cuentan. Cuando un niño pregunta o se pregunta, debemos mostrarle nuestro interés y estimularlo con nuevas preguntas. Esta es la mejor garantía para que el futuro adulto en el que habita aquel niño curioso siga asombrándose. Como afirma Jorge Wagensberg: «¿Por qué? es una pregunta de urgencia, y debemos extendernos en la respuesta, porque si no lo hacemos demostramos que no estamos interesados en la pregunta.»45

ESOS SORPRENDENTES NÚMEROS…

Los números se relacionan con otros números, son «sociales», entablan relaciones entre ellos, no dejan de asombrarnos. Veamos cómo se llega a la constante de Kaprekar (Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986), matemático indio nacido en Bombay). Se trata del misterioso 6174. Tomamos un número de 4 cifras cualesquiera (no pueden ser 4 cifras iguales), las ordenamos en orden ascendente y descendente y restamos los dos números obtenidos. A partir del resultado obtenido repetimos el proceso indefinidamente: en pocos pasos (un máximo de siete), obtenemos el inquietante 6174, que se autogenera a sí mismo para siempre jamás. Kaprekar también investigó series de autonúmeros. Estos autonúmeros se van generando a partir de un proceso recurrente y dan lugar a una sucesión numérica con una propiedad sorprendente.

Obtenemos la constante de Kaprekar (6174) a partir de cualquier número de 4 dígitos, por ejemplo el 7161.

Ordenamos las cifras de mayor a menor y de menor a mayor y restamos, repitiendo el proceso:

7611 – 1167 = 6444

6444 – 4446 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

7641 – 1467 = 6174 …

Los autonúmeros se generan a partir de cualquier número entero positivo. Tomemos el 69. Le sumamos sus cifras (69+15=84) para obtener el segundo número de la serie, y así sucesivamente: 69, 84, 96, 111, 114, 120,…

Para obtener la suma de las cifras de los n primeros términos restamos el primero del último y sumamos la suma de las cifras del último:

120 – 69 + 3 = 54

Suma de las cifras: 15 +12 + 15 … = 54

Valentía para saltar

«La valentía, la decisión, el ánimo forman parte de la inteligencia humana.»

JOSÉ ANTONIO MARINA

Nuestra inteligencia matemática crece –o así debería ser– gracias a los programas educativos y a su aplicación. En principio, la escuela y la universidad deberían ser el trampolín para que esta inteligencia se desarrolle y permanezca en nosotros como algo interesante que aprender o como algo emocionante de lo que tratar o discutir. Pero con demasiada frecuencia oímos testimonios de adultos que guardan un mal recuerdo de las matemáticas, que «no servían para nada» o que «eran extremadamente difíciles».

Durante estos años escolares se desperdicia o se impulsa nuestro potencial matemático. El entorno de aprendizaje es decisivo. Las causas por las que alguien, gracias a la escuela, aborrece las matemáticas son diversas. Ya hemos hablado del asombro, y es importante provocarlo y gestionarlo, otorgarle importancia. Cuando un niño se interesa por una cuestión matemática, tenemos que abrirle paso, ampliar todo lo posible la continuidad de su interés, aportarle confianza. Es en esta etapa donde nacen esos estímulos que pueden perdurar, siempre y cuando los niños y niñas visualicen, toquen, imaginen y manipulen las matemáticas.

«Cuando un niño se interesa por una cuestión matemática, tenemos que abrirle paso, ampliar todo lo posible la continuidad de su interés, aportarle confianza.»

Pero a medida que avanza el tiempo hay que dar el salto. Cuando aparece el álgebra, cuando la matemática deja de ser palpable y se convierte en algo más universal, hay que dar un salto. El mensaje concreto «multiplica cualquier número por 3 y súmale dos a este resultado» se convierte en un nuevo resultado y, en la ley general, y = 3x + 2. Es el profesor de Matemáticas quien proporciona valentía para saltar, quien transmite el mensaje de que, en realidad, seguimos multiplicando y sumando, y simplemente lo aplicamos a todos los números o al intervalo o conjunto de números que queramos. Se puede provocar pánico o generar seguridad para ampliar el horizonte de nuestra inteligencia matemática.

Pero saltar matemáticamente significa también abrir muchísimas posibilidades. Durante el siglo XVI, los cosistas dieron este salto. Durante aquella época, las matemáticas eran en buena parte mercantiles y servían para desarrollar el comercio. Eran, por lo tanto, pura aritmética. Los maestros calculistas llevaban las cuentas de los asuntos públicos y los contratos comerciales, y dirigían sus propias escuelas de cálculo. Simultáneamente, en el norte de Italia, en Alemania y en otros países aparecieron tratados sobre la cosa, un nivel intermedio entre aritmética y álgebra que ya utilizaba algunos signos como el más (+) o el menos (-), que ahora utilizamos con toda naturalidad. Seguramente, la necesidad de resumir y generalizar contribuyó a dar un salto, a crear el lenguaje directo y simbólico que usamos hoy en día.

Provocar la imaginación es la mejor estrategia para el gran salto del concepto y de la abstracción. En 1945 Jacques Hadamard publicó un libro genial (The psychology of invention in the mathematical field ) sobre la creación matemática que todavía se edita. Hadamard nos habla de la «chispa» que enciende la llama de la intuición y el razonamiento, que son las imágenes visuales. Primero imaginamos, «vemos» sin verla una imagen, y después la matemática se formaliza con símbolos. Cuando pensamos matemáticamente, es vital imaginar primero cosas familiares, que podamos convertir en una especie de dibujo cerebral.

Las ideas matemáticas tienen lugar en tres fases. Al principio se produce una fase de exploración: detectar aquello que queremos estudiar, consultar ejemplos y tratar de entenderlo. Puede ser que después de estas primeras exploraciones nos encontremos encallados, buscando sin éxito soluciones a las dificultades que se nos presentan. La segunda fase consistiría en cambiar de tarea, desconectar de aquella cuestión para que el subconsciente tenga la oportunidad de ordenar o ver lo que parecía caótico o invisible. Por último, superados los obstáculos, se trata de comprobar los detalles y organizar una resolución del problema de manera elegante. Necesitamos liberar nuestra mente, hacer que descanse o se oxigene, para que pueda dar con la clave matemática que abre la llave de la solución. Curiosamente, dejar de pensar en las matemáticas puede devolvernos a ellas.46

La semilla creativa

«La creatividad es un estado en el que el yo está ausente, en el que la mente ya no es foco de nuestras experiencias, ambiciones, empeños y deseos… no es un estado continuo, es nuevo de instante en instante…»

J. KRISHNAMURTI, La libertad primera y última

Para ser creativos matemáticamente hablando, nuestra mente debe adoptar un estado de sosiego y tranquilidad. Debe ser totalmente libre, sin prisas ni ataduras, sin condicionantes. Lo que Krishnamurti concebía como conocimientos de nosotros mismos fue acuñado como inteligencia intrapersonal por Howard Gardner unos años después. Ya había comentado lo importante que resulta la intersección de otras inteligencias –en este caso, la intrapersonal– con la inteligencia matemática. Para que esta tenga destellos creativos, nuestro yo, con sus ataduras, debe ausentarse. La libertad profunda de nuestra mente puede llevarnos, súbitamente, a la comprensión o al descubrimiento.

«Los destellos de originalidad, nuestra capacidad de redescubrir, proporcionan un valor añadido a nuestra destreza matemática.»

Una mente creativa nos ayuda a desarrollar una mente matemáticamente inteligente. Los destellos de originalidad, las preguntas que se puedan derivar de una cuestión de álgebra o geometría o el planteamiento de nuevas relaciones proporcionan un valor añadido a nuestra destreza matemática y aumentan sus posibilidades. A veces se trata sencillamente de redescubrir. Un problema ya resuelto lo planteamos de otra forma o partimos de cero para demostrar un viejo y sencillo teorema. La creatividad tiene un componente de asombro y de ilusión, de búsqueda, de visión súbita, que no podemos dejar escapar.

Muchos autores se han ocupado de la creatividad en general y de la creatividad matemática en especial. Howard Gardner, Ken Robinson, Daniel Goleman, José Antonio Marina, Henri Poincaré, Jacques Hadamard, Gontran Ervynck, son algunos de ellos. De hecho, esa cualidad o llamarada intelectual que denominamos creatividad es genérica y, por tanto, es aplicable también a nuestra inteligencia matemática. Para Goleman, Kaufman y Ray, son cuatro las fases que determinan nuestra creatividad: preparación, incubación, iluminación y traducción.

«Cuando queremos crear algo diferente, original, nuestra mente debe abrirse como un paracaídas.»

Imaginemos que invitamos a unos amigos a comer. Si queremos sorprender con un menú diferente, creativo, podríamos pensar primero en sus personalidades y gustos, en una base segura para sorprenderlos positivamente; estamos preparando, seleccionando unos ingredientes adecuados. Pero nuestra pretensión es elaborar algo diferente: queremos crear. Nuestra mente debe estar fresca, despierta, abierta como un paracaídas, como afirmaba Einstein. Para ello hay que dejar que fluyan ideas; buscamos combinaciones de verduras con legumbres o carnes, queremos una especie de revelación: incubamos un menú único y delicioso. Nos iluminamos repentinamente: hemos dado con una receta realmente atractiva; vamos al mercado y nos ponemos manos a la obra en la cocina: traducimos la inspiración en resultado.

Según Ervynck, la creatividad específicamente matemática comprende cinco ingredientes: estudio, intuición, imaginación, inspiración y resultados. Con el estudio tratamos con confianza la cuestión planteada y el marco teórico que debemos dominar. La intuición toma el material mental que ya tenemos disponible y lo pone en movimiento para afrontar el reto que nos hemos –o nos han– propuesto. Las intuiciones son ideas en acción sobre una base teórica conocida, y nos conducen hacia la imaginación y la inspiración para obtener los resultados.

6. Pensar en el espacio

Soy un punto, ¿dónde estoy?

«El corazón siente que hay tres dimensiones en el espacio.»

BLAISE PASCAL, Pensamientos

¿Vemos el espacio? ¿Podemos situarnos en él? ¿Se puede medir? Estas preguntas ponen en marcha nuestra inteligencia matemática, tiran de ella. De hecho, las matemáticas ven el espacio porque nos sitúan en él y nos permiten medirlo. El espacio nos impresiona y nos sobrecoge, nos impone respeto. No lo tocamos, pero somos capaces de domar su insumisión, su infinitud, con un conjunto relativamente simple de premisas iniciales, conocidas matemáticamente como axiomas. Suponemos que un punto existe y se puede situar, suponemos que una recta es una sucesión continua de puntos en una determinada dirección, «vemos» que la recta es, en realidad, el corte entre dos planos: damos por sentadas ideas sin las cuales nuestra inteligencia matemática no podría desarrollarse.

Todo es cuestión de referencias. En el espacio necesitamos de un origen para describir una situación, una superficie o un volumen. Pongamos en funcionamiento nuestra inteligencia matemática. Imaginemos que en la confluencia del suelo con dos paredes perpendiculares está el centro del espacio, o el centro del universo, o por lo menos de cierto universo. Este punto de contacto de los tres planos sería el punto origen, el punto (0, 0, 0).

«El espacio nos impresiona y se extiende en todas direcciones. Pero podemos situarnos en él. Podemos imaginar puntos, rectas, planos.»

Disminuyamos la escala. Colocamos una libreta abierta según un ángulo de 90° sobre una mesa. El punto inferior del eje de la libreta sería nuestro punto origen. En este punto se cruzan tres planos que en realidad son infinitos, prolongados indefinidamente: los dos planos formados con la libreta y el plano de la superficie de la mesa. Con referencia en este origen, la situación de un punto viene dada por tres números, por ejemplo (2, 3, -4): nuestra inteligencia matemática nos permite pensar el espacio.

¿Podemos saber en qué zona o región del espacio está un punto? Vamos a intentarlo. Hemos visto, simplemente con una libreta abierta en ángulo recto sobre una mesa, cómo el espacio tridimensional se divide en ocho regiones. ¿Podemos «verlas» con nuestra mirada matemática? Podemos estar delante o detrás (DEL, DET) de cada uno de los dos planos infinitos correspondientes a cada parte de la libreta, y podemos estar por encima o por debajo de la superficie de la mesa (ENC, DEB). Nuestro punto (2, 3, -4) está situado en la región (DEL, DEL, DEB). Podemos deducir ya cuáles son las siete zonas restantes y en cuáles de ellas estarían los puntos (3, -3, 5) y (-1, -2, -3). No te rindas, seguro que puedes observar el espacio y situar un punto en él.47

Los ingenieros y arquitectos poseen esta inteligencia espacial-matemática. Si nos cuesta imaginar orígenes o referencias, cruces de tres planos infinitos perpendiculares dos a dos, podemos tener problemas cuando nos adentramos en la geometría analítica, la rama de las matemáticas que utiliza puntos, vectores, rectas, planos, superficies curvas y volúmenes en un espacio tridimensional y que adquiere sentido solo en nuestra mente, aunque podamos aplicar ese sentido a algo tan concreto como el diseño de un automóvil o la cúpula de un edificio.

Como hemos visto, podemos imaginar el espacio utilizando como referencia para ubicarnos tres planos infinitos que se cortan en un solo punto –el origen– respecto al cual definimos un punto cualquiera. Este espacio es el espacio euclídeo, llamado así en honor a Euclides, el sabio griego que sentó las bases de una geometría que todavía hoy es utilizable. En geometría, los elementos esenciales son el punto, la línea, el plano y el espacio tridimensional. El origen es siempre el punto: una situación, un lugar en el espacio. Una línea es una acumulación de puntos, un plano, una acumulación de líneas, el espacio, una acumulación de planos.

«El espacio tridimensional y sus elementos solo tienen sentido en nuestra mente, aunque apliquemos esta imagen mental al mundo real.»

A partir del intento humano de captar y comprender el espacio nace la geometría. Sus principios más comunes siguen siendo los que fueron establecidos por Euclides (325 a. C. -270 a. C.) hace unos 2.300 años. El sabio griego recopiló el saber matemático de siglos en sus Elementos, que reunía las contribuciones de Tales de Mileto, los pitagóricos, Eudoxo, los miembros de la Academia de Platón y otros muchos.48 Pero ¿es esta la imagen real del espacio?, ¿existen otras geometrías? Nuestra inteligencia matemática tiene que efectuar otro salto.

¿QUIÉN FUE EUCLIDES?

El autor de los Elementos, este best seller mundial solo superado en tirada por la Biblia, está rodeado de un halo de misterio. Sobre su identidad planean muchas dudas. Parece ser que nació más tarde que los discípulos de Platón y que fue coetáneo del fundador de la dinastía tolemaica, Tolomeo I, y que se estableció y enseñó en Alejandría. También hay quien opina que Euclides fue de hecho un colectivo y no un personaje. En todo caso, los Elementos han ejercido una influencia enorme, todavía vigente, en el pensamiento matemático, y han sido manual de texto hasta el siglo XIX. Su contenido, distribuido en 13 libros, abarca la geometría en dos y tres dimensiones y cuestiones diversas de aritmética. Con el paso del tiempo se añadieron dos libros más: el libro XIV de Hypsicles (siglo II a. C.) y el libro XV, atribuido a Damasquios (siglo V d. C.).

Alas para nuestra inteligencia matemática

«La geometría de Tlön comprende dos disciplinas algo distintas: la visual y la táctil. La última corresponde a la nuestra y la subordinan a la primera. La base de la geometría visual es la superficie, no el punto. Esta geometría desconoce las paralelas y declara que el hombre que se desplaza modifica las formas que lo circundan.»

JORGE LUIS BORGES, «Tlön, Uqbar, Orbis Tertius»

Cuando pensamos matemáticamente propulsamos nuestra mente con una fuerza inusitada. Nuestra inteligencia vuela y planea sobre territorios que cinco siglos atrás parecían inalcanzables para el conocimiento. En distancias cortas, nuestra mente asimila bien los principios del espacio euclídeo. Numeramos tres ejes perpendiculares que se cruzan en un punto origen y somos capaces de ubicarnos.

Pero ¿existen otras formas de situarnos en el espacio? ¿Pueden haber otros sistemas de referencia? ¿Podemos ajustarnos más a la realidad física, podemos volar más alto? Cuando observamos las vías del tren intuimos que, a lo lejos, existe un punto común. Los sentidos desafían el principio de la distancia constante entre paralelas, conocido como el quinto postulado de Euclides. El quinto postulado funciona en espacios limitados, pero no podemos comprobarlo de forma absoluta. De hecho, ni sabemos cuántas líneas paralelas pueden pasar por un punto. Depende de la amplitud del punto.

«¿Existen diversas formas de interpretar el espacio tridimensional? ¿Puede haber distintos modelos que nos permitan situarnos en él?»

En las superficies hiperbólicas o pseudoesféricas, como la campana de una trompeta, las líneas que parten paralelas desde el interior van ensanchando la distancia entre ellas. El espacio puede ser curvo, como la superficie de la colcha (en principio plana) de nuestra cama cuando hacemos rodar sobre ella una esfera metálica de un cierto peso. Se trata de otro espacio, de otra forma de situarnos. Levantamos el vuelo de nuestra inteligencia matemática.

La geometría hiperbólica no es la única geometría no plana. Bernhard Riemann (1826-1866) aportó los principios de la geometría elíptica pocos años después de que Lobachevski publicara sus Nuevos elementos de Geometría (1834). Según Riemann, la geometría elíptica, concebida sobre superficies esféricas, es la que describe el plano que se prolonga infinitamente y en todas direcciones siguiendo la curvatura del universo. El mismo Albert Einstein reconoció la importancia de esta visión, porque la relatividad representa un espacio-tiempo que se curva cuando se acerca a grandes masas, como la del Sol. La nueva física se adaptó a la nueva geometría como anillo al dedo.

En esta nueva geometría descrita por Riemann, las rectas dejan de serlo y se convierten en curvas geodésicas que describen círculos máximos. En este caso, el espacio plano se proyecta «hacia fuera», los ángulos de un rectángulo son superiores a 90° y los de un triángulo «equilátero», superiores a 60°. Si dibujamos sobre un globo sin inflar un triángulo plano, cuando lo inflamos vemos un triángulo elíptico, con mayores ángulos.49

Riemann definió las rectas como interminables, no como infinitas. Intuitivamente, esta distinción es difícil de digerir, pero es fácil de visualizar con la circunferencia. Podemos dar vueltas sin parar a una circunferencia y, sin embargo, la longitud es limitada. Euclides vuelto del revés: la recta no se prolonga infinitamente, pero es ilimitada. Así pues, la simple operación de colocar una regla sobre un papel para trazar una recta es solo una aproximación, una ilusión, porque nuestro espacio real es curvo. Nuestra inteligencia matemática tiene que discernir. Nuestro pequeño espacio de cada día es lineal, euclídeo, y en este espacio nos desenvolvemos bien, pero viajar por el universo es otra cosa: nos movemos en un espacio elíptico curvo.

A nuestra mente le hemos exigido un nuevo salto. Como sabemos, las matemáticas van unidas al rigor y a la demostración, pero también a la creatividad y a la imaginación. La imaginación de Riemann facilitó a la teoría de la relatividad de Einstein un terreno apropiado.50 El gran mérito del matemático alemán fue ampliar enormemente la idea que tenemos del espacio tridimensional demostrando que los modelos posibles para entenderlo son muchos; tan solo es necesario que las características generales del modelo puedan deducirse de una fórmula aplicable a pequeñas distancias.

En una superficie esférica los ángulos de un triángulo suman más de 180°.

En geometría elíptica, no se puede trazar ninguna recta paralela a otra, y las rectas son finitas. Para mantener la misma distancia entre dos puntos hay que modificar las trayectorias.

Un triángulo euclídeo puede tener como máximo un ángulo recto. Un triángulo esférico puede tener hasta tres ángulos rectos. Dos geodésicas perpendiculares determinan ocho ángulos rectos.

Giros increíbles

«Comenzó a girar lo más rápidamente que pudo, sin dejar de mirar atemorizado y de reojo al padre. La maniobra resultó lentísima.»

FRANZ KAFKA, Metamorfosis

Os propongo una experiencia matemática que consiste en un simple giro, pero que fomenta y estimula nuestra inteligencia matemática. Cortamos una cinta rectangular de papel milimetrado de 6 cm x 40 cm. Si un caracol caminase por ella por una de las dos caras y quisiera pasar a la otra tendría que superar el borde de la cinta. ¿Podríamos ahorrarle este trabajo? Si giramos 180° un extremo de la cinta y lo enganchamos con pegamento de barra a la cara contraria del otro extremo obtenemos una extraña cinta que se retuerce sobre sí misma: es la cinta de Möbius.51 Si la observamos, nos damos cuenta de que un caracol cambiaría de cara sin necesidad de superar el borde de la cinta. Hemos convertido nuestra superficie inicial de dos caras, bilateral, en una superficie de una sola cara.

Las consecuencias de este simple giro son impresionantes. Gregor, el escarabajo «humano» de Metamorfosis, lo habría tenido más fácil de haber vivido en una cinta de Möbius. Podemos dibujar en nuestra cinta inicial una línea central paralela a 3 cm del borde superior con un rotulador o bolígrafo. Si construimos después la cinta de Möbius y la cortamos a lo largo de la línea que hemos trazado, obtenemos dos cintas entrelazadas que son del mismo tipo que la cinta original. Si la línea la trazamos por un tercio de la anchura (a 2 cm del borde), resultan dos bandas. La mayor de ellas es bilateral, como la que obtendríamos si al pegar un extremo lo hubiésemos girado 360°, y la menor resulta ser igual que la primitiva.

Si has realizado el experimento y has observado estos resultados, tu asombro está garantizado. De alguna manera, domamos el espacio, lo cambiamos, lo modelamos. Nuestra inteligencia matemática puede hacerse nuevas preguntas: ¿qué sucede si antes de enganchar el extremo de la cinta lo giramos 540° (una «vuelta y media»)?; ¿y si el giro es de 720° (2 vueltas)? ¿Y si seguimos haciendo giros sumando 180°? Comprobarás que las superficies que obtienes van siendo unilaterales y bilaterales alternativamente. Hemos experimentado, hemos buscado pautas, hemos descubierto la magia del espacio, y nuestra inteligencia matemática ha encontrado un nuevo punto de interés.

Los tornillos penetran fácilmente en la madera gracias a su perfil en forma de hélice, una trayectoria muy fácil de dibujar a partir de un sencillo rectángulo. Para generar la hélice, dibujamos dos líneas paralelas desde un vértice hasta la mitad del lado opuesto:

Si doblamos este papel hasta unir sus lados laterales formando un cilindro, veremos dibujado sobre él una hélice, que es la trayectoria más corta sobre la superficie del cilindro, como saben muy bien las ardillas que trepan por los árboles.

Las escaleras de caracol son curvas tridimensionales helicoides. ¿Cómo pasamos de la hélice al helicoide? Imaginemos que deslizamos un segmento con uno de sus extremos apoyados sobre la hélice, y el otro unido al eje de giro (que coincidiría con el eje de nuestro cilindro inicial). El desplazamiento continuo de este segmento nos genera una superficie helicoidal o helicoide.

ASCENDIENDO HACIA EL CIELO

El ascenso constante de los helicoides que tanto aprecinstante de los helicoides que tanto apreciaba Gaudí son un reflejo de la espiritualidad del gran arquitecto. En la Sagrada Familia encontramos estas escaleras en el interior de la fachada de la Gloria y en los campanarios. Muchos edificios de construcción reciente también incluyen este tipo de escalera como elemento estético.

¿Dónde está la materia?

«Como la mente que observa no es un sistema físico, no puede interactuar con ningún sistema físico.»

ERWIN SCHRÖDINGER

Las matemáticas del azar, de lo probable, definen la realidad. La irrupción de la nueva física colisionó con la geometría clásica. Einstein, agobiado, lanzó un SOS a las matemáticas.52 A principios del siglo XX, en plena revolución de la física, el modelo atómico de Bohr situaba a los electrones del átomo girando en órbitas circulares alrededor del núcleo. Pero este modelo, sin duda estético y perfectamente previsible, no explicaba ciertos datos experimentales. ¿Dónde podemos encontrar realmente a los electrones?

Los padres de la química cuántica descubrieron que la materia tiene comportamiento de onda y que las ondas son materiales. Todavía nos es difícil admitirlo, porque constituye un desafío para nuestra mente, dominada por el racionalismo y el imperio de los sentidos. En pocas décadas, el esquema clásico del átomo pasó a ser un recuerdo. Realmente no podemos conocer la situación de un electrón en un momento dado. En términos muy sencillos, para intentar encontrarlo hay que enviarle luz, y las partículas de luz (fotones) que recibe modifican su posición: lo que «vemos» no coincide con lo real. Toda una visión poética de la naturaleza. El físico alemán Werner Heisenberg (1901-1976) estableció una expresión matemática para esta incertidumbre, donde, por cierto, aparece nuestro querido número π.

«Desde hace un siglo, la dualidad onda-materia explica la realidad física. Las matemáticas traducen en ecuación la incertidumbre de esta realidad.»

Así pues, el mundo físico se nutre de lo probable. Para estudiar el movimiento de los electrones que rodean el núcleo del átomo, podemos solamente aproximarnos, porque lo único que podemos calcular es la probabilidad de encontrar estas partículas en una región determinada. Los electrones se sitúan en zonas colindantes al núcleo llamadas orbitales, que se describen mediante funciones matemáticas llamadas funciones de onda, enunciadas por Erwin Schrödinger (1887-1961). Los cuadrados de estas funciones de onda nos describen la probabilidad de encontrar el electrón en una cierta región, y estas ecuaciones también contienen π. La naturaleza insiste en su íntima relación con este número irracional.

LA GEOMETRÍA INVISIBLE DE LA PROBABILIDAD

El cuadrado de la función de onda de Schrödinger nos proporciona unos contornos en tres dimensiones dentro de los cuales existe un 99 % de probabilidad de encontrar un electrón. La forma de los orbitales depende del nivel de energía asociado al electrón, que aumenta con la distancia al núcleo. En cada orbital «caben» dos electrones. En la figura pueden observarse las formas aproximadamente elipsoides de los orbitales p. Geometría y probabilidad se unen para interpretar la estructura atómica. Las matemáticas del azar nos aportan un modelo para describir el nivel más íntimo de la materia y nos acercan –solo nos acercan– a sus secretos mejor guardados.

7. La estrategia

Pensar, pensar

«Un problema es una situación a la que queremos llegar desde donde estamos.»

MIGUEL DE GUZMÁN

Enfrentarse a un problema de matemáticas requiere imaginación y análisis. A los profesores de esta materia, de hecho, a los profesores de todas las materias, los alumnos suelen preguntar algo muy simple: ¿esto para qué sirve? Mi respuesta siempre es la misma: para pensar. Evidentemente que con las matemáticas calculamos el capital final de un depósito bancario, fuerzas gravitatorias o la probabilidad de obtener dos caras cuando lanzamos tres monedas al aire. Pero la utilidad primera es pensar. Y esto sí que es útil. La vida está repleta de problemas, y saber interpretarlos y resolverlos es determinante. Y las matemáticas son enormemente útiles, porque nos «amueblan» la mente. A medio y largo plazo, nos ayudan a tomar decisiones de todo tipo gracias a los hábitos mentales que han incorporado en nosotros.

Para afrontar cualquier ejercicio o problema matemático tenemos que partir de conocimientos previos en función de cuál sea su dificultad. Un problema matemático significa, sin embargo, un nivel de dificultad superior al de un ejercicio concebido para aplicar estrictamente diversos procedimientos u operaciones. En los ejercicios, somos capaces de actuar de una forma prácticamente automática. Pero al atrevernos con los problemas notamos que nuestra inteligencia matemática crece: se trata de traducir algo no evidente en un mapa matemático. La calidad del reto nos estimula. En un ejercicio nos dicen lo que tenemos que hacer; en los problemas, queremos llegar a un resultado desde la situación que nos proponen, pero no sabemos a priori el camino. Y a lo mejor hay varios.

«La utilidad primera de las matemáticas consiste en enseñarnos a pensar con sentido, condición común para resolver cualquier tipo de problema, incluidos los no matemáticos.»

En primer lugar, tenemos que percibir, tenemos que hacer consciente la información que nos proporcionan. Los datos están ahí, pero son inertes si no los incorporamos a nuestra razón con la motivación que supone el reto que nos han propuesto. Una vez somos sensibles a la situación planteada, iniciamos una enumeración y una organización del problema, intentando ya buscar posibles relaciones con los conocimientos previos que poseemos: buscamos patrones, esquemas, vías, caminos. En algunos casos será necesario dibujar o clasificar. En la práctica y en una primera fase, todos actuamos con estas pautas, pero de forma diversa.

Podemos leer pausadamente varias veces y dibujar, prever y organizar sin apuntar nada. También es posible apuntar de forma resumida la información: confeccionar una sencilla lista de los datos que nos proporcionan y de aquellos otros que supuestamente tenemos que deducir de los primeros; es decir, de aquella información implícita que no nos ha sido dada directamente. Podemos tomar nota incluso de las expresiones o conceptos disponibles para resolver el problema. Hay quien lee solo una vez y directamente se enfrasca ya en primeras tentativas y pruebas. En el aula vemos todos estos comportamientos y otros muchos. Pero la primera fase que nos lleva a la solución correcta tiene un fondo común; se trata de incorporar de forma sensible y consciente la situación y de esquematizarla, de construir un cuadro mental con ella.

Pero ¿qué es lo que hace que «veamos» de qué trata un problema o una cuestión?, ¿cómo podemos «ver» lo que pensamos? O en dirección inversa, ¿cómo «pensamos» lo que vemos? Dar sentido a las palabras nos ayuda decisivamente. Está probado que podemos mostrar claramente o esconder y disimular mediante el lenguaje. A través de la escritura ponemos música al pensamiento, lo convertimos en armonía mental, lo decodificamos. Para «ver matemáticas» tenemos que dominar lenguajes: el de nuestra «sociedad de la palabra escrita» y el contenido en nuestro ideario matemático, que tiene sus propios –y traducibles– códigos.53

Cuando tratamos con matemáticas tenemos que ver lo que pensamos. Consultar la notación idónea, interpretar lo que nos proponen a nuestra manera, comprobar posibles simetrías, detectar semejanzas con situaciones propuestas anteriormente, buscar pautas, explorar relaciones, nos ayuda a encarar la fase ejecutiva, a comenzar a enfocar una vía de resolución. Desplegadas todas estas posibilidades, podemos empezar a transitar ya el camino correcto que nos llevará hacia la solución.

La fase ejecutiva

«El profesor prefería los estrambóticos errores y el silencio de mi rendición al no tener la solución.»

La ecuación preferida del profesor, película de Takashi Koizumi

Esta es la fase decisiva en la cual trabajamos y aplicamos. Ya tenemos la información incorporada. Posiblemente hemos tomado algunas notas o dibujado. Probamos, imaginamos, tanteamos. Hemos efectuado un análisis previo. Cuando entramos ya a resolver el problema, nuestra inteligencia ejecutiva se pone en marcha. José Antonio Marina nos habla de dos aspectos del yo. El ocurrente y el ejecutivo. En la fase anterior, nuestro yo ocurrente se puede manifestar, aunque también puede aparecer como algo súbito mientras ya estamos trabajando en la resolución de nuestro problema. Se nos ocurren cosas que no habíamos previsto, ni siquiera querido. Quizás se puedan aprovechar.54

«Cuando resolvemos un problema todos nuestros sentidos están volcados, incorporando el posible fracaso como algo humano, natural y positivo.»

Pero mientras resolvemos el problema, estamos activando el yo ejecutivo. Es la fase definitiva en que nuestra voluntad consciente se pone en marcha. En el juego entre la inspiración inesperada y la plena conciencia del objetivo se pone de manifiesto nuestra inteligencia matemática. Todos nuestros sentidos están volcados, incorporando el posible fracaso como algo humano, natural y positivo. Del error cometido podemos aprender mucho. Equivocarse es fantástico. Si nuestra experiencia es activa, aquel error no se vuelve a cometer. Este principio suele ser cierto en el contexto en que estamos hablando; en asuntos más vitales, solemos decir que el ser humano es el único animal que tropieza dos veces con la misma piedra.

Nuestro trato con el binomio ensayo-error es constante en un problema de matemáticas. Mientras se va resolviendo se van analizando todos los resultados parciales que vamos obteniendo, y a la vez no debemos abandonar la guía de pasos que hemos concebido. Nuestra excursión matemática a través de la situación propuesta debe adquirir una visión total: tenemos que estar atentos en cada uno de los sucesivos pasos sin perder la orientación, atentos a la secuencia elegida.

En problemas complejos, el trabajo en grupo nos aporta el contagio del entusiasmo, además de desencadenar la aparición de ideas derivadas de otras, o complementarias. Si el reto es compartido, las aportaciones de la estrategia del torrente de ideas resultan enriquecedoras. Habíamos hablado de la capacidad imitativa de nuestras neuronas espejo. El aprendizaje por imitación hace avanzar a cada uno de los miembros del grupo. Se trata de explotar al máximo la dimensión social de nuestra mente y las consiguientes conexiones emocionales.55

Por último, un consejo: saber desconectar provisionalmente cuando una y otra vez topamos con una barrera. Recordemos que a nuestra mente descansada le es más fácil retomar el hilo del problema, tener una repentina descarga de inspiración. Pueden haber sucedido diversas cosas; que algo se nos haya pasado por alto, o que no hayamos percibido un error de cálculo, una expresión errónea…; desconectemos, liberemos nuestras neuronas. Cuando volvamos al problema, con la serenidad conveniente, daremos con el error.

Al afrontar cuestiones matemáticas mejoramos el conocimiento de nosotros mismos. Superamos el exceso de confianza, la posible precipitación en el diseño de nuestra estrategia, complejos, miedos y un posible déficit de autoestima. También tomamos buena nota de posibles errores cometidos. La primera lección que siempre deberemos extraer es que debe guiarnos siempre la tendencia a la mejora, y que ello es posible. Sin pánico, sin exceso de autocrítica, afrontando nuevas manifestaciones de la belleza matemática.

La lección del éxito

«Eres un animal racional. ¿Cuál es, pues, tu bien? La razón perfecta. ¿La elevas ya hasta que quede cumplida, haciéndola crecer tanto como puedas?»

SÉNECA, Cartas morales a Lucilio

Imaginemos que el problema está resuelto. Si nuestra inteligencia matemática sigue activa, no tendremos suficiente. No nos resignaremos a una primera propuesta. Podemos buscar estrategias alternativas, podemos mejorar el cálculo para obtener resultados más precisos, o estructurar la respuesta de una forma más estética, más elegante o más comprensible. Las tareas posteriores completan nuestra pequeña investigación matemática.

Existen muchos casos en los que son posibles otros caminos para llegar al resultado, y quizás sean más directos y sencillos. Tenemos que explorar todas las posibilidades. También se puede experimentar con situaciones parecidas. Esta actitud favorece que la estrategia utilizada se amplíe y se generalice, amplificando la experiencia ya acumulada. Con las matemáticas se puede experimentar. Y no se requiere un laboratorio. No necesitamos matraces, ni pipetas, ni probetas…; nos bastan nuestras neuronas en plena actividad.

«Con las matemáticas se puede experimentar, no se requiere un laboratorio, tan solo necesitamos nuestras neuronas en plena actividad.»

De hecho, para cualquier reto matemático tenemos que experimentar. A medida que acumulamos experiencias de éxito nos sentimos más capaces de buscar nuevas relaciones, aunque sean sencillas. Basta jugar con cuatro números y las operaciones básicas para intentar obtener un número concreto. También podemos experimentar con la geometría buscando relaciones o pautas. Algunos teoremas con elementos geométricos aparentemente sencillos han sido descubiertos hace relativamente poco. Y en su origen fueron tanteos, pruebas, experimentos.

Del éxito pueden derivar nuevos éxitos. La cuestión investigada quizás pueda tratarse de una forma más diáfana o más estructurada. También actúa mejorando nuestra autoestima, aspecto importante, porque nos catapulta con confianza para intentar «pelearnos» con situaciones un poco más complejas. De hecho, al reconvertir una estrategia satisfactoria solemos comprender mejor el camino utilizado. De alguna manera hemos vuelto a crearlo y lo hemos asimilado con más sentido. Hemos entrenado satisfactoriamente nuestra inteligencia matemática.

Epílogo

Las matemáticas constituyen toda una galaxia de conocimiento exclusiva, diferente, que se eleva mucho más allá de su dimensión práctica. De hecho, conforman un lenguaje paralelo al verbal, que nos permite contar, situar y dibujar la realidad. Constituyen todo un cuerpo de conocimiento que nos lleva a una pregunta todavía no resuelta: ¿ya estaban ahí o son un producto de la mente humana? O lo que es lo mismo, ¿las matemáticas han sido descubiertas o han sido inventadas? Hay respuestas para todos los gustos. Quizás, al terminar de leer este libro, optemos por una de las dos, pero existe la posibilidad de que no nos decidamos. Puede ser que continuemos encantados con lo atractivo de la pregunta.

La intención de este libro ha sido incitar, provocar, descubrir la complicada sencillez de las matemáticas desde un ánimo positivo. Muchos teoremas y conjeturas han surgido de pensar y tantear. Y algunos de ellos, relativamente recientes en el tiempo y muy sencillos. Lo simple nos está esperando. Ahí están, si queréis seguir activando vuestro asombro, el teorema del punto fijo de Brouwer y el teorema de Pick, que podéis comprobar con un lápiz y un papel pautado. O la conjetura de Collatz (números-granizo), o la conjetura de Gilbreath, o el teorema de Johnson… Nos cautiva preguntar, buscar, descubrir.

Abrazar la belleza de lo abstracto, descubrir la elegancia de la verdad en estado puro, este debiera ser –evocando el final de Casablanca– el inicio de una gran amistad con las matemáticas. Se explican por sí mismas, y en sí mismas constituyen un reto. Nos amueblan la mente y ponen en marcha nuestra emoción. La ciencia del futuro «espera» nuevas matemáticas, al igual que sucedió con la física cuántica. El lienzo de la naturaleza se pinta con números y símbolos.

Para terminar, unas reflexiones para situar la inteligencia matemática en su justa dimensión. Según Gardner, la sociedad deseable, una sociedad mejor, más libre, más justa, debería enfocar el conocimiento a la verdad, la belleza y la bondad. Las matemáticas constituyen una parte de la verdad y nos ayudan a pensar de una forma lógica. Son bellas, estéticas, y por esto nos atraen. Sin embargo, no nos hablan de bondad. Son externas a toda consideración de este tipo.

Ha habido matemáticos que se han comprometido con el deseo colectivo de contribuir a la mejora social, y han sufrido acoso y persecución a causa de este compromiso. También los ha habido que se han encontrado a gusto en regímenes totalitarios y han colaborado con ellos. Las matemáticas sirven para guiar misiles a sus objetivos y para mejorar la tecnología utilizada en los hospitales para salvar vidas. Definitivamente, nuestra inteligencia superior, individualmente y como especie, es la inteligencia ética.

Notas

1.

Nietzsche, F. W. (2014), La ciencia jovial, Madrid, Gredos.

2.

Descartes, R. (2010), Reglas para la dirección del espíritu, Madrid, Alianza.

3.

Jeans, J., «En la mente de algún espíritu eterno», en Wilber, K. (2014), Cuestiones cuánticas, Barcelona, Kairós, p. 195.

4.

Wagensberg, J. (2007), El gozo intelectual, Barcelona, Tusquets.

5.

Marcus, G. (2010), Kluge: La azarosa construcción de la mente humana, Barcelona, Ariel.

6.

Damasio, A. (2011), Y el cerebro creó al hombre, Barcelona, Círculo de Lectores.

7.

En 1988, Grothendieck rechazó el Premio Crafoord, dotado con 160.000 dólares, y compartido con Pierre Deligne. En 1966 ya había renunciado a la medalla Fields que se entregaba en Moscú, por la persecución que sufrían los disidentes políticos en la antigua URSS. Su obra Récoltes et sémailles (Cosechas y siembras) es un duro ataque a la falta de ética de sus discípulos y seguidores. A partir de 1992 desapareció de la vida pública. Hersh, R. y John-Steiner, V. (2012), Matemáticas. Una historia de amor y odio, Barcelona, Crítica, capítulo 4.

8.

El filósofo norteamericano Richard Bernstein acuñó el término ansiedad cartesiana en 1983. Tenemos miedo a no tener conocimiento si no tenemos certidumbre absoluta.

9.

Según escribe él mismo, «en la adolescencia la vida me era odiosa, y estaba continuamente al borde del suicidio, del cual me libré gracias al deseo de saber más matemáticas… llegué a concentrar cada vez más mi atención en objetos externos: la situación del mundo, las diversas ramas del conocimiento, las personas que me eran agradables». Russell, B. (1999), La conquista de la felicidad, Madrid, Espasa Calpe, p. 34.

10.

Dalái Lama y Ekman, P. (2009), Sabiduría emocional, Barcelona, Kairós.

11.

Gaceta de la RSME (2008), vol. 11, núm. 4.

12.

El número áureo (Φ) es un número irracional (un número con infinitos decimales sin ninguna pauta de repetición) y es, desde la Grecia clásica, un número asociado a lo estético. Nuestra tarjeta del banco es un rectángulo áureo; si dividimos la dimensión mayor por la menor obtenemos, aproximadamente, el número Φ. Si dividimos nuestra altura por la altura de nuestro ombligo, el resultado también es cercano al número áureo; es un canon estético.

13.

Alsina, C. (2009), Geometría para turistas, Barcelona, Ariel.

14.

Torralba, F. (2012), Inteligencia espiritual, Barcelona, Plataforma Editorial, pp. 45-47.

15.

Paenza, A. (2007), Matemática, ¿estás ahí?, Barcelona, RBA, pp. 218-219.

16.

Platón describió en su Timeo los poliedros regulares hacia el año 350 a. C., aunque los habitantes del Neolítico de la actual Escocia ya esculpían en piedra figuras parecidas.

17.

Gardner, M. (1986), Miscelánea matemática, Barcelona, Salvat, pp. 94-95.

18.

Atalay, B. (2008), Las matemáticas y la Mona Lisa, Almuzara, Córdoba, pp. 88-90.

19.

Enzensberger, H. M. (2010), En el laberinto de la inteligencia. Guía para idiotas, Barcelona, Anagrama, p. 69.

20.

Hardy, G. H. (1999), Apología de un matemático, Madrid, Nivola, pp. 85 y 114-115.

21.

Según Bohm, «por un lado, el pensamiento acentúa la percepción de categorías, como lo universal y lo particular, pero, por otro, cada fase del pensamiento se expresa, naturalmente, también a través del sentimiento». Bohm, D., y otros (2005), El paradigma holográfico, Barcelona, Kairós, p. 234. Unamuno sintetizaba esta complejidad en la frase: «Siente el pensamiento, piensa el sentimiento».

22.

Aristóteles (2014), Metafísica, Barcelona, Gredos-RBA, p. 71.

23.

Pirfano, Í. (2013), Inteligencia musical, Barcelona, Plataforma Editorial.

24.

Gardner, H. (2012), La inteligencia reformulada. Las inteligencias múltiples en el siglo XXI, capítulos 3 y 4, Barcelona, Espasa.

25.

Damasio, A., op. cit., p. 266.

26.

Wagensberg, J. (2014), El pensador intruso, Barcelona, Tusquets, p. 80.

27.

Como estamos hablamos de precisión, precisemos. El significado de «grupo» es en este caso el significado ordinario; para un matemático, un grupo es una estructura matemática definida con un conjunto de elementos y una operación que cumple cuatro condiciones básicas con todos estos elementos. Los números enteros con la operación suma forman estructura de grupo.

28.

Uno de los grandes matemáticos de todos los tiempos, el alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855), ya demostró de niño su intuición para captar lo esencial. Sumar una serie de números de una sucesión, como: 1, 2, 3,…, 99, 100, tenía que ser algo sencillo. Observó que si sumamos el primero y el último, el segundo y el penúltimo…, obtenemos siempre el mismo número (1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = … = 101), y dio la respuesta rápidamente: 50 x 101 = 5.050. A partir de esta simple idea, podemos calcular cualquier suma de los términos de una sucesión obtenida a base de ir sumando siempre un mismo número, siempre que conozcamos el primero, el último y el número de términos que sumamos.

29.

De hecho, la Tierra no es una esfera perfecta; el radio se reduce 21 km en los polos. La Tierra está achatada en los polos.

30.

Hersh, R., y John-Steiner, V., op. cit., pp. 18-19.

31.

Las series infinitas crecientes o decrecientes que se «pierden» en el infinito se denominan divergentes y una serie como (2, 1/2, 1/4,…) es convergente. En el caso de esta última, la suma de sus infinitos términos es 4. Podemos comprobarlo con una calculadora, sumando indefinidamente los sucesivos números: nos acercaremos más y más a 4…

32.

Marina, J. A. (2010), La educación del talento, Barcelona, Círculo de Lectores, p. 111.

33.

Henri Poincaré (1854-1912) enunció una conjetura no demostrada hasta el año 2002 por el matemático ruso Grigori Perelman, que fue premiado con la medalla Fields y renunció al premio. Para Perelman, el reconocimiento a su labor consistía, simplemente, en que su demostración era correcta.

34.

Robinson, K. (2009), El elemento, Barcelona, Grijalbo, pp. 75-81.

35.

Goleman, D. (2013), Focus, capítulo 3, Kairós, Barcelona.

36.

Frank Morley (1860-1937) enunció su conjetura en torno a 1900, pero no se convirtió en teorema hasta muchos años después. Alain Connes, en 1998, aportó una demostración rigurosa de la conjetura inicial de Morley. Pickover, C. A. (2011), El libro de las matemáticas, Barcelona, Librero.

37.

Hersh, R., y John-Steiner, V., Op. cit., p. 301.

38.

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros positivos x, y y z, tales que se cumpla la igualdad: xn + yn = zn.

39.

Albertí, M. (2011), La creatividad en matemáticas, Barcelona, RBA, p. 143.

40.

Brockman, J. (2012), Mente, capítulos 12 y 15, Barcelona, Crítica.

41.

Brockman, J., op. cit., capítulo 7.

42.

La corteza parietal es una delgada capa de tejido nervioso situada bajo el hueso parietal (el hueso que cubre la parte media y lateral del cerebro). Si la extendiéramos, cubriríamos un cuadrado de medio metro de lado. El área de Broca se halla situada en el hemisferio izquierdo y en la parte delantera de nuestro cerebro, bajo el hueso frontal.

43.

Goleman, D. (2006), Inteligencia social, Barcelona, Kairós, p. 76.

44.

Bilbao, A. (2013), Cuida tu cerebro… y mejora tu vida, Barcelona, Plataforma Editorial, y L’Ecuyer, C. (2013), Educar en el asombro, capítulo 6, Plataforma Editorial, Barcelona.

45.

Wagensberg, J. (2010), A más cómo, menos por qué, Barcelona, Círculo de Lectores, p. 87.

46.

Stewart, I. (2007), Cartas a una joven matemática, capítulo 6, Barcelona, Crítica.

47.

Las ocho zonas corresponden a las situaciones: (DEL, DEL, ENC), (DEL, DEL, DEB), (DEL, DET, ENC), (DEL, DET, DEB), (DET, DEL, ENC), (DET, DEL, DEB), (DET, DET, ENC) y (DET, DET, DEB). Los dos puntos estarían situados en (DEL, DET, ENC) y (DET, DET, DEB).

48.

Kline, M. (2009), Matemáticas para los estudiantes de humanidades, México, Fondo de Cultura Económica, pp. 157-186.

49.

Gómez, J. (2011), Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas, Barcelona, RBA.

50.

Como afirma Bertrand Russell: «[…] al explicar la gravitación Einstein se vio obligado a pensar que en extensas regiones donde no existe materia, no podemos considerar el espacio como euclidiano… No hay razón por la que en el espacio tridimensional no deban darse las mismas circunstancias que conocemos, por ejemplo, en la superficie de una esfera». Russell, B. (1978), ABC de la relatividad, Barcelona, Ariel, p. 87.

51.

August Ferdinand Möbius (1790-1868), matemático alemán. Por primera vez, el ser humano descubría una superficie de una sola cara.

52.

Einstein nos dio una nueva visión del espacio-tiempo: la de una tela que se puede estirar y doblar. De repente necesitaba profundizar en las matemáticas de las superficies curvadas. Pidió ayuda a su amigo, el matemático Marcel Grossman: «Grossman, debes ayudarme o me volveré loco […] He aprendido a apreciar y tener un gran respeto hacia las matemáticas…». Kaku, M. (2004), El Universo de Einstein, Barcelona, Antoni Bosch, pp. 76-77.

53.

Manguel, A. (2015), Una historia natural de la curiosidad, capítulo 4, Madrid, Alianza Editorial.

54.

Marina, J. A. (1995), Teoría de la inteligencia creadora, capítulo XII, Barcelona, Círculo de Lectores.

55.

De Guzmán, M. (2011), Para pensar mejor, Madrid, Pirámide.

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