FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Números, Matrices y Sistemas

Primera edición

Raúl Antonio Zavala López

Roberto Llamas Avalos

 © Derechos reservados 2013 

Derechos y condiciones

Fundamentos de álgebra lineal: Números, Matrices y Sistemas

ISBN 978-1-62840-041-0

 © Derechos reservados 2013 por Raúl Antonio Zavala López y Roberto Llamas Avalos.

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 Agradecimientos

Nos gustaría agradecer a todas aquellas personas que compraron esta publicación, con el fin de conocer un poco más en qué consisten los fundamentos del álgebra lineal así mismo sus interacciones.

Por ello invitamos al lector a dar su opinión acerca del producto, reportar posibles errores ortográficos, etc. Con el objetivo de mejorar tanto la calidad de esta publicación como la experiencia del lector al correo electrónico: ebookpublicacion@gmail.com o bien en Amazon, de antemano se lo agradeceremos.

Regalo gratis

Algunos de los ejemplos desarrollados mediante software especializado a lo de la publicación es posible descargarlos gratuitamente a través del vínculo: Ejemplos_Geogebra

Nota: A fin de abrir los correspondientes ejemplos dentro del archivo comprimido, es necesario contar con el siguiente software instalado en su computadora: Geogebra (Descargar)

Colaboradores

Así mismo quisiéramos agradecer sin duda alguna al maestro Lauro Enrique Soto Landeros que prestó parte de su tiempo en la revisión y sugerencias de algunas de las cuestiones planteadas en esta primera edición.

Índice

Portada

Subportada

Derechos y condiciones

Agradecimientos

Regalo gratis

Colaboradores

Prefacio

1.- Números complejos

1.1.- Definición y origen de los números complejos

1.2.- Operaciones fundamentales con números complejos

1.3.- Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

1.4.- Forma polar y exponencial de un número complejo

1.5.- Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo

1.6.- Ecuaciones polinómicas

2.- Matrices y determinantes

2.1.- Definición de matriz, notación y orden

2.2.- Operaciones básicas con matrices

2.3.- Clasificación de las matrices

2.4.- Transformaciones elementales por renglón, Escalonamiento de una matriz y Rango de una matriz

2.5.- Cálculo de la inversa de una matriz

2.6.- Definición de determinante de una matriz

2.7.- Propiedades de los determinantes

2.8.- Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

2.9.- Aplicaciones de las matrices y los determinantes

3.- Sistemas de ecuaciones lineales

3.1.- Definición de un sistema de ecuaciones lineales

3.2.- Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

3.3.- Interpretación geométrica de las soluciones

3.4.- Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

3.5.- Aplicaciones

Autores

Bibliografía

Prefacio

Esta publicación está dirigida a todos aquellos estudiantes que se encuentran cursando la materia de álgebra lineal, así mismo para aquellos lectores que desean conocer cada día más un poco del extenso mundo de las matemáticas.

La noción general del álgebra lineal como una rama de las matemáticas aplicadas consiste en gran medida en utilizar aquellos procedimientos y métodos que pudieran existir en la misma a fin de satisfacer o dar capacidad a la exigencia de ciertos procesos necesarios para encontrar la solución a un problema.

Es por ello que tal área generalmente es incluida dentro de los programas universitarios o superiores. Ya que en una sociedad donde la información se encuentra a la palma de la mano cada día se exige una mayor demanda de está, trayendo consigo una serie de consecuencias o repercusiones producto de la inmensa cantidad de factores que hay que contemplar a la hora de analizar, utilizar e implementar dicha información en algún sector.

El rol del álgebra lineal en esta cuestión es de aprovechar el concepto de la linealidad que desde siempre hemos tenido presente en las matemáticas de tal forma que creamos conceptos, métodos y procedimientos sofisticados bajo el estudio de las propiedades y características de sí misma. Algunos ejemplos son: matriz, vector, sistema de ecuaciones lineales, método de Gauss-Jordan, función determinante, etc.

Dichos elementos a base de una lógica matemática ha sido posible vincularlos con fenómenos que justamente presentan cualidades al igual que las herramientas utilizadas, motivo por el cual la álgebra lineal en sí funciona para fines prácticos en campos muy variados (Ej. finanzas, ingeniería, informática, ciencias sociales, etc.).

A lo largo de esta publicación abordaremos en gran medida todos aquellos conceptos considerados indispensables dentro del álgebra como una base para el correcto entendimiento de sí misma, tal como se muestra en los capítulos posteriores.

Un punto a reiterar en todo esto, es que tal publicación no pretende sustituir o tener el rigor matemático estricto que algunos textos ya formales en el área poseen. Sino que trata de aclarar algunas dudas y retroalimentar los conocimientos ya adquiridos por parte del estudiante mediante pequeños capítulos y explicaciones claras, así mismo trata de proporcionar una pequeña introducción a los lectores sin amplio conocimiento en está rama. 

Por otro lado cabe destacar que tal publicación se encuentra segmentada en dos partes siendo una primera parte para los capítulos 1-3, y la segunda parte para los capítulos 4-5.  Esto definido en gran medida por el concepto de que la segunda parte requiere una introducción al álgebra lineal desde una perspectiva más abstracta (mayor conocimiento) para lo cual el lector primero pasa a través de una preparación no abstracta en la primera parte.

Motivo por el cual la publicación se le da el enfoque cómo un libro para estudiantes o para principiantes.

Sin más que agregar dicha publicación es dedicada al maestro Lauro Enrique Soto Landeros y a todas aquellas personas que desean conocer un poco más cada día.

1.- Números complejos

Mucho se podría decir acerca del término “Complejo”, pues justamente está palabra es la razón por la cual muchos estudiantes o lectores inician a retraerse cayendo en el abismo de una sensación de dificultad sobrehumana.

Repercutiendo en un incorrecto aprendizaje del maravilloso mundo de los “números complejos”. Pero en realidad: ¿Qué son estos?, ¿Por qué existen?, ¿Para qué nos sirven?, etc.

Son preguntas que todos en algún momento en la introducción al álgebra lineal nos planteamos, ya que entendemos de su existencia pero de no de su significado generalmente.

Siendo precisamente dicha cuestión lo que abordaremos poco a poco a lo largo de este primer capítulo, tratando de responder implícitamente a todas las interrogantes planteadas.

1.1.- Definición y origen de los números complejos

Existen varias maneras de definir lo que los números complejos representan, algunas de ellas son: 

Los números complejos son una extensión de los números reales

Los números complejos son una entidad algebraica no tradicional o bien es una mera concepción de la razón sobre la lógica del humano

En álgebra lineal básicamente tendemos a definir estos de manera tradicional mediante la siguiente definición.

Definición

Un número complejo, es aquel número conformado por una parte real y una parte imaginaria. Donde la parte real efectivamente es denotada por un número real cualesquiera y la parte imaginaria es denotada por una constante (i) y un escalar (b, es decir un número real cualesquiera).

De ahí la noción:

Dónde:

Es por ello que nos referimos a estos también como una expresión conformada por dos partes o en una representación en forma binomial. Las dos partes comúnmente se les conoce en lo que respecta a la parte real como el número real y a la parte imaginaria con el número imaginario puro.

Siendo tal forma una cierta perspectiva de ver a los números complejos, pues existen otras que más adelante en los capítulos posteriores mencionaremos.

Dicha perspectiva nos conduce a una manera distinta de pensar acerca de los números tradicionales (números reales), pues ahora hay que tomar en consideración la nueva constante (i) con la cual hasta el momento probablemente no estábamos familiarizados.

Esta constante cambia drásticamente la manera de ejercer operaciones tradicionales (suma, resta, multiplicación y división) ya que tal tiene sus propiedades exclusivas que alteran el modo convencional de efectuar las operaciones, como el producto y la división de los números complejos lo demuestran.

Ahora bien, ¿Cómo es que surgió tal constante?...

Origen

Todo apunta a los tiempos en los cuales el proceso de resolución de ecuaciones cuadráticas estaba en construcción, dicho de otro modo aquel proceso que realizamos al tratar de resolver una ecuación de segundo grado estaba en pleno desarrollo.

En la actualidad tal proceso generalmente se enseña a nivel secundaria o a temprana edad y consta de una fórmula general, conocida por la gran mayoría de personas por éste nombre y denotada de la siguiente forma:

En donde “x” representa aquellos valores reales en los cuales la ecuación toma la forma de:

Siendo (a, b, c) números reales cualesquiera diferentes de cero (por aquello de la multiplicación por cero y un polinomio nulo).

Resulta ser que en el momento de la aplicación de esta fórmula al tratar de resolver una ecuación de segundo grado, se encontró con el detalle de un valor negativo dentro de la raíz cuadrada o radical cuadrático.

Definiéndose de esta manera un estándar para la unidad imaginaria o resultado de dicho tipo de descubrimiento de los entonces nuevos números:

Raíz cuadrada la cual si recordamos un poco su noción de significado. Tiene por objeto expresar un número real que multiplicado por sí mismo de como resultado la raíz (radicando). Debido al acuerdo de la ley de los signos en la multiplicación (-) x (-) = + . Y a la definición de una raíz cuadrada, es imposible obtener un valor negativo como radicando al menos en los números reales de acuerdo a como se definió las operaciones en estos.

Pues he ahí el detalle del asunto, ya que resulta que por un lado el desarrollo de la fórmula general involucraba un valor negativo y por el otro nuestra lógica nos decía que esto no era posible en base a lo conocido de las matemáticas. 

Cabe destacar que la constante (i) apareció en primer instancia más no la notación tradicional que ahora tomamos como un hecho, pues está surgió con la representación gráfica de tal clase de números años más tarde. Esto en su tiempo causo una gran controversia pues se llegó a creer en una lógica mal estructurada de parte del ser humano.

Un estudio posterior demostró que tales números tomaban un sentido y significado cuando se les era vistos gráficamente o bien cuando se les asumía en enfoque completamente distinto para su comprensión.

De esta manera es en parte como inicio todo este mundo de los números complejos. Qué ahora se encuentra construido y fundamentado en un análisis, mismo el cual ha dado la posibilidad de tener aplicaciones hoy en día que no han dejado de sorprender a expertos en el área.

1.2.- Operaciones fundamentales con números complejos

Ya más familiarizados con estos números, fue posible encontrar de manera no tan sencilla las reglas para poder efectuar las operaciones básicas hasta entonces conocidas sobre los números reales.

Suma

Resta

Multiplicación

División

Asumiendo que todos estos números complejos se encuentran en un conjunto denotado por:   , definimos a estas de la siguiente forma:

Suma de números complejos

Si Z₁ y Z₂ son elementos de  entonces la suma está dada por:

Ejemplo:

Resta de números complejos

Si Z₁ y Z₂ son elementos de  entonces la resta está dada por:

Ejemplo:

Multiplicación de números complejos

Si Z₁ y Z₂ son elementos de  entonces la multiplicación está dada por:

Ejemplo:

División de números complejos

Si Z₁ y Z₂ son elementos de  entonces la división está dada por:

Ejemplo:

Nota: En la ejecución de la división de unos números complejos hay que tener presente todo el tiempo la manera en que se efectúa la multiplicación de números complejos, así como las cuestiones de excepción que podrían presentarse, es decir: que en el divisor exista un cero, que en el divisor exista un número complejo conjugado, etc.

Por otro lado, el tener un elemento como el número complejo conjugado dentro de la división nos lleva a estar familiarizados con la propiedad:

En donde: 

Por ello es importante recordar está propiedad, debido a que esto ilustra el proceso de la multiplicación de dos números complejos semejantes pero a la vez conjugados implícitamente en el divisor de una división. O visto desde otra perspectiva en el denominador de una fracción.

Básicamente un número complejo conjugado, es aquel número en el cual se invierte el sentido de la parte imaginaria de (+) a (-) o viceversa. Más no significa lo mismo que el inverso de un número complejo, en donde éste último representa:

Siendo Z un número complejo dado.

Una vez definidas las reglas necesarias para poder ejercer alguna operación fundamental y una notación, existe una manera de expresar tanto gráficamente como analíticamente el significado de dichos.

Tal manera por el momento es a través de la: representación en forma binomial (rectangular).

Representación en forma binomial (rectangular)

Dicha representación consiste en utilizar el plano cartesiano convencional (sistema de coordenadas bidimensional con ángulo recto) conformado por los ejes (X,Y) y adaptarlo a un enfoque en donde "X" es representado por la componente "a" de un número complejo y "Y" es representado por la componente "b" de un número complejo.

Como la siguiente imagen lo resume:

Por tanto la parte imaginaria de un número complejo ahora está dictaminada por el eje de las Y, y cada i, 2i, 3i, 4i, etc. será una cierta distancia del origen del plano hacia un determinado punto (posición) lo mismo con respecto a la parte real pero en el eje de las X. 

Conformando de esta manera la representación de un número complejo como una coordenada (a,b) en el sistema de coordenadas rectangular.

Por ejemplo, si deseáramos representar gráficamente un número complejo cualesquiera tendríamos un escenario como el siguiente:

Ejemplo

Representación del número complejo: z=1+2i.

La representación en forma polar será abordada en los temas siguientes, a fin de adquirir sentido entre el origen del concepto módulo o valor absoluto de un número complejo y la representación en sí.

1.3.- Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

Potencias de la unidad imaginaria

El tener un constante como la unidad imaginaria i, nos permite expresar una serie de consecuencias producto de las propiedades de tal.

Es por ello que se habla de las potencias de la unidad imaginaria "i" dicho de otro modo potencias de "i", debido a que es en la potenciación donde se dan estos escenarios. 

Cabe recordar que la potenciación, es una operación unaria donde se tiene una cierta base elevada o multiplicada por sí misma un número determinado de veces (exponente), la cual nos arroga como resultado justamente la potenciación.

Ejemplos

Entre las consecuencias de ejecutar la potenciación con una base igual a la unidad imaginaria destacan que al hacer tal cosa ocurre algo que por lógica no ocurriría si utilizáramos otra base cualesquiera que fuera un número real en su totalidad.

Como puede observarse en la siguiente imagen:

En primera instancia al estar multiplicada la unidad imaginaria al exponente uno el resultado no sufre cambio alguno permaneciendo invariante. Pero al ir incrementando el valor del exponente se puede observar cómo se va desafiando la lógica de los números reales pues por las propiedades de la raíz cuadrada (-1) multiplicado por sí mismo no es equivalente a (-1). 

Aquí es donde empiezan a ocurrir esa serie de escenarios de tal manera que la potenciación sobre la unidad provoca una especie de ciclo en donde al elevar el exponente a 2,3,4,5 tenemos una serie de cuatro valores semejantes pero a la vez distintos por aquello de los signos. 

De tal manera que si el exponente es igual a 5 ocurre el inicio del supuesto ciclo nuevamente, teniendo para el exponente 6,7,8,9 los resultados siguientes:

Así sucesivamente hasta un n-enésimo valor (infinito).

Esta acción de repetición o ciclo en la potenciación de la unidad imaginaria, se traduce a nivel gráfico en una especie de giro de 90 grados sexagesimales en el sentido contrario de la manecillas del reloj.

Como se puede observar en las siguientes imágenes:

Para i con exponente 1.

Para i con exponente 2.

Para i con exponente 3.

Para i con exponente 4.

Por esta razón y por la serie de consecuencias que se van desarrollando al momento de ejercer la potenciación, es por ello que se hace mención de las potencias de i generalmente en los programas de álgebra lineal en bachilleratos e universidades. Ya que es una cuestión no común y merece ser observada a detalle.

Módulo o valor absoluto de un número complejo

Consideramos como módulo o valor absoluto de un número complejo, aquel valor asociado a la distancia geométrica existente entre el punto de referencia de un número complejo y el origen del plano complejo (sistema de coordenadas de referencia).

Por ejemplo, en la siguiente imagen tenemos proyectado un número complejo cualesquiera:

Donde su valor absoluto o módulo es justamente la distancia en rojo que existe entre el punto en amarillo (origen) y el punto en negro (número complejo).

La manera en que calculamos dicho valor dado por un número complejo cualesquiera está asociada con el teorema de Pitágoras. Tal como se observa:

Pues se involucra una distancia basada en un plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangular.  De no ser así, hay que determinar en términos de que valores están dadas las respectivas componentes (real e imaginaria) y ajustar un medio para calcular la norma o distancia en el sistema de coordenadas que se utilice. 

Nota: Este tipo de casos no serán abordados en esta publicación.

Ejemplo

Supongamos que deseamos determinar la norma del siguiente número complejo, para ello realizamos lo que se muestra a continuación:

Teniendo como resultado la raíz cuadrada de 34, que es aproximadamente igual a 5,83095.. Es decir el valor absoluto o módulo del número complejo dado.

1.4.- Forma polar y exponencial de un número complejo

Como en un principio se mencionó, existen diversas formas de expresar un número complejo tanto gráficamente como analíticamente. Tales formas justamente constituyen lo que se conoce a manera general como las representaciones posibles de número complejo.

Existiendo tres formas básicas conocidas como:

Representación en forma binomial

Representación en forma polar

Representación en forma exponencial

La representación en forma binomial ya fue abordada previamente en los temas (1.1 - 1.2) del presente capítulo, por tanto el lector ya se encuentra familiarizado con tal.

Por otro lado las demás representaciones son formas construidas a partir de operaciones alternas como son: las funciones trigonométricas y la función exponencial con base e.

Representación en forma polar

Dicha representación constituye ser una medida para expresar un determinado número complejo mediante las funciones trigonométricas (coseno y seno). 

Por la razón de que dichas funciones pueden ser utilizadas para expresar las componentes X, Y de un sistema de coordenadas; mediante el criterio de las razones trigonométricas (es decir, debido a la noción de construcción de tales).

Recordemos por un momento la noción de construcción de las razones trigonométricas (coseno y seno), mediante la siguiente imagen:

Como podemos observar dichas razones trigonométricas con respecto a un ángulo C, expresan un vínculo entre los catetos y la hipotenusa. Por tanto sí visualizamos a los catetos  (a y b) como x=a y b=y, ahora es posible expresar dichas componentes mediantes las razones o dicho de manera más general mediante las funciones trigonométricas.

El detalle de expresar un número complejo mediante funciones trigonométricas repercute en la dependencia de un ángulo para su expresión, lo cual admite una cierta existencia de un nuevo plano de referencia, es decir: el plano complejo polar o el sistema de coordenadas polar.

Que no es otra cosa, que el mismo sistema de coordenadas rectangular con el detalle de la utilización de funciones trigonométricas y un ángulo, para expresar las coordenadas X y Y.

Ejemplo:

En este plano de referencia el sentido de representación en términos de las funciones trigonométricas cobra sentido, pues ahora existe una razón por la cual es importante conocer el ángulo entre cada una de las proyecciones (parte real y parte imaginaria), así como el valor del módulo.

En otras palabras, un número en su forma polar queda expresado de la siguiente forma:

Donde el ángulo o argumento en común (theta) está dado por una función que se conoce como: arcotangente o inversa de la función tangente:

Existen una serie de condiciones a considerar en cuestión del valor del ángulo cuando tenemos que (a = 0). Esto con el fin de evitar la indeterminación que se podría presentar en la fracción (b/a).

Teniendo como caso extremo, si b = 0 y a = 0 una indefinición en el ángulo. Es decir, no es posible precisar cuál es el valor del ángulo de tal número complejo.

Como se puede observar el enfoque es exactamente el mismo que la representación binomial sólo que en igual de tener componentes cartesianas (X,Y) existen equivalencias a base de funciones trigonométricas existiendo como factor común el módulo del número complejo (que en la expresión en forma polar se encuentra factorizado).

Ejemplo: De la conversión a forma polar dado un número complejo en forma binomial.

Número complejo en (Representación binomial): 

Módulo: 

Ángulo: 

Número complejo en (Representación polar): 

La relación entre ambas formas es posible visualizarse directamente en la siguiente imagen:

Ubicando cada una de las secciones de la representación polar en la imagen y su propósito.

Anexo: El lector que desee experimentar más con esta cuestión puede ingresar al archivo Ejemplo_1_Repr_complejo.ggb ubicado dentro del archivo comprimido a disposición en los agradecimientos de la publicación.

Representación en forma exponencial

La representación en forma exponencial, constituye pues una manera de expresar un número complejo basada en una de las identidades o fórmulas de Euler y la exponenciación.

Precisamente de la fórmula:

Que se deduce de la identidad: 

Las demostraciones de tales identidades y fórmulas no serán colocadas, al lector que le interesé abordar más en esta cuestión puede acudir a la Web y colocar: Fórmula de Euler; he inmediatamente encontrar más información al respecto.

Observando la relación entre la forma polar y la forma exponencial, podemos definir mediante la siguiente fórmula su relación por completo al hacer inclusión del (módulo de un número complejo):

Destacando que el valor "x" representa el ángulo del número complejo ya sea que se encuentre expresado en grados sexagesimales, centesimales o radianes. 

Por ello, si contamos con el módulo de un número complejo así como su ángulo, es posible hacer la conversión de una forma polar a una forma exponencial fácilmente por medio de la identidad anterior.

Percibir o proyectar está forma a nivel gráfico se traduce en una representación equivalente de acuerdo a una representación polar, pues utilizan el mismo plano y los mismo elementos.

Como se muestra:

El poseer esta representación tiene sus ventajas más allá de una simple equivalencia entre formas, por ejemplo al momento de ejercer operaciones como la multiplicación y la división.

Pues recordemos por un instante que está forma exponencial tiene como elementos: una base y un exponente. Lo cual nos da hincapié a poder emplear las reglas de la potenciación previamente conocidas por el álgebra elemental. 

Solo que ahora son conocidas o llamadas como: reglas de la exponenciación; debido a que se tiene como base en particular la constante "e".

Tales reglas son las siguientes:

Esto nos simplifica enormemente la ejecución de la multiplicación y la división de números complejos de tener la forma exponencial. Ya que ahora no es necesario acudir a un elemento adicional, como lo es el número conjugado ni nada por el estilo para efectuar rápidamente dichas operaciones.

Como se puede observar en las siguientes operaciones:

Ejemplo: De la conversión de forma polar a exponencial dado el anterior número complejo.

Observando que tomamos el módulo y el ángulo, es decir los elementos cruciales y construimos la forma exponencial rápidamente.

El tener un amplio abanico de opciones entre las representaciones posibles de un número complejo. Hace posible dar solución de otra manera o de una manera más sencilla a un determinado problema, pues existen situaciones donde una cierta forma o representación no es la más apta que otra. 

Motivo por el cual tendemos a buscar diferentes medios de expresar lo mismo, que es justamente lo que trata de ilustrar este último tema. Con el fin de que se comprenda la importancia de las representaciones en los números complejos.

Retroalimentación: Euler o mejor conocido como Leonard Euler fue un matemático prolífico cuyas aportaciones a las matemáticas se consideran invaluables pues abarcan casi todas las áreas de las mismas, siendo utilizadas reiteradas veces en la construcción y formación del intelecto humano.

1.5.- Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo

Dado por hecho la importancia de los números complejos tanto en su definición como en sus propiedades y representaciones.

Es posible establecer relaciones entre está entidad algebraica y otras áreas de las matemáticas. Como son la geometría y la trigonometría por mencionar solo algunas.

Tal tipo de relaciones son expresadas comúnmente por teoremas e identidades como es el caso del teorema de De Moivre.

Teorema de De Moivre

Dicho teorema es atribuido a Abraham De Moivre un matemático que vivió alrededor de (1667 a 1754).

Tal nos expresa la conexión qué existe entre la potenciación común de un número complejo en una forma exponencial respecto a una forma polar.

La fórmula del teorema originalmente se encuentra definida en términos de un módulo igual a uno (es decir: r = 1). Como se muestra a continuación:

Fórmula de De Moivre

Esto tiene como consecuencia que replanteamos como percibimos la potencia de una potencia en cuestión de los números complejos en su representación polar y exponencial.

Pues recordaremos por un momento, la equivalencia entre una forma polar y exponencial dada por la siguiente igualdad (variante de la fórmula de Euler):

En éste punto podemos observar que la fórmula de De Moivre constituye ser un caso especial de la fórmula de Euler, teniendo como único detalle de diferencia el valor del módulo.

Nota: La variable "x" es otra manera de expresar el valor del ángulo, el usar (theta) o alguna otra literal no altera ni cambia el enfoque de la fórmula de Euler. 

Por otro lado, si tomamos en consideración la cuestión de "la potencia de una potencia" en términos de la función exponencial tenemos lo siguiente:

Ahora bien si combinamos ambas igualdades, es posible expresar o dicho de otro modo resaltar él porque de la fórmula de De Moivre de la siguiente manera:

Como se puede entender, en general la fórmula de De Moivre es el producto de la simple cuestión de aplicar una de las reglas de la exponenciación a la variante de la fórmula de Euler; vista en el tema (1.4) del presente capítulo.

En este punto que ya conocemos tal cosa... Podemos comprender que al elevar o aplicar una potencia a un determinado número complejo ya sea en su forma exponencial o polar, nos ilustra cómo en una cierta representación es necesario amplificar un módulo o realizar una serie de rotaciones a fin de aumentar o disminuir la magnitud del ángulo de ser necesario.

Es decir de manera más general ilustra la necesidad de aplicar unas transformaciones para lograr expresar aquel nuevo número complejo dictaminado por la potencia de un anterior número complejo.

Ejemplo de la aplicación de la (Fórmula de De Moivre)

Supongamos que tenemos el siguiente número complejo:

Y determinamos todos los elementos necesarios para poder expresar dicho número mediante la relación de la variante de la fórmula de Euler.

Módulo:  

Ángulo: 

Por tanto conocemos que de acuerdo a la fórmula de De Moivre tenemos:

Donde "n" es representado por el 7, y "r" es representado por el 5. 

Expresando de esta manera el determinado número complejo producto de la potencia del número complejo original (Z). 

Se puede comprender el detalle de las transformaciones necesarias para lograr llegar al resultado, por ejemplo por el lado de las rotaciones en cuestión del ángulo al estar éste multiplicado siete veces, si se percibiera gráficamente el valor de dicho ángulo observaríamos una serie de rotaciones en sentido contrario de las manecillas del reloj hasta llegar a aproximadamente (-371.91 grados sexagesimales) en el plano complejo con respecto al número complejo original.

En donde ya las funciones trigonométricas (coseno y seno) se ocuparían de posicionar en el cuadrante apropiado el número complejo final de acuerdo al sistema de coordenadas utilizado es decir de las X,Y. Es como sí el valor del ángulo nos alimentará lo necesario para que las coordenadas (X, Y) o (Re(Z), Im(Z)) estén donde deben estar.

Por último el módulo se ocuparía de la distancia entre dicho número y el origen del plano. Reiterando de esta manera en concreto que se encuentra en las coordenadas correctas.

Existiendo como detalle en todo esto frente a la representación original del número complejo, la precisión del número complejo final... Pues al tener el número original tenemos en cierta manera una exactitud ya que los números utilizados para expresar tal, son números enteros o al menos finitos. Contrariamente al número complejo resultado de la potencia, pues al tener funciones trigonométricas estas nos otorgan como resultado de su evaluación valores no concretamente enteros o finitos. 

Por tanto la representación del número final, es decir el número complejo resultado de la potencia se limita en tanto a una muy buena aproximación numérica. He ahí el detalle del asunto.

Vista gráfica del número complejo resultado del ejemplo anterior

El efecto de las transformaciones es muy evidente al observar la escala del plano, al cual se encuentra proyectado el número complejo resultado de la potencia.

Anexo: El lector que desee experimentar más con esta cuestión puede ingresar al archivo Ejemplo_2_Teor_Moivre.ggb ubicado dentro del archivo comprimido a disposición en los agradecimientos de la publicación.

1.6.- Ecuaciones polinómicas

Una de las principales aplicaciones a destacar en esta cuestión de los números complejos, es la aplicación de estos para la resolución o búsqueda de aquellas posibles raíces dentro de una ecuación cuadrática.

Es decir, la búsqueda cuyo objetivo implica encontrar las soluciones o mejor conocidas por todos como las "x" de las ecuaciones del tipo:

Y no es para más, pues si recordamos por un momento... Es en dicho tipo de ecuaciones donde surgen o se empiezan a tomar en consideración la existencia de esta clase de números.

A tal tipo de ecuaciones de manera general se les conoce como: ecuaciones polinómicas.

Por la razón de qué sus términos están construidos sobre lo que se conoce como: términos racionales enteros. Motivo por el cual si sumamos varios términos de estos se forma un polinomio construyendo así en cierta manera una ecuación polinómica.

Aclarado el punto de esto, ¿Cómo es que entran en juego estos números complejos en las ecuaciones polinómicas?

Principalmente en dos sentidos, en primer sentido que obtengamos como resultado de estas ecuaciones soluciones complejas (es decir números complejos). 

O bien en segundo sentido, que construyamos las soluciones por medio de números complejos y obtengamos como resultados ya sea soluciones complejas o no.

Esto dependerá en gran medida de como esté dado o declarada la estructura de la ecuación polinómica. Pues existen varias condiciones que pueden delimitar cual sentido es el que ocurrirá, el primer sentido o el segundo.

Para la ejemplificación de este tema, nos limitaremos a una ecuación polinómica de segundo grado. Ya que el desarrollo algebraico de grados superiores es más complejo cuya introducción requiere por consecuencia más dominio en la teoría de ecuaciones por ende no se abordará a manera general el propósito de los números complejos en las ecuaciones polinómicas de grado "n-enésimo".

Ejemplo del primer sentido

Si tenemos la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática siguiente:  

Conocemos que existe una fórmula general dada y conocida desde el bachillerato o a temprana edad, que nos permite conocer las "x" de esta ecuación.

Pero lo que generalmente conocemos he ignoramos son las condiciones de solución o dicho de otro modo la manera en la cual se encuentra constituida la ecuación.

En este caso, los valores de (a, b y c) conocidos como constantes, así mismo los valores de (x) conocidos como variables.

Por tanto tenemos las siguientes condiciones de solución de acuerdo a la ecuación anterior:

Que quiere decir esto, que si tenemos que los valores de (a y c)  son mayores que el valor de "b"; los valores de las "x" estarán en los números complejos. De lo contrario estarán en los números reales. 

Si alguno de los valores de las constantes (a, b, c) es igual a cero, eso da la posibilidad de que la estructura o las condiciones de la ecuación estén incompletas, por tanto ya no es posible aplicar la fórmula general o bien determinar las condiciones de las soluciones hasta tener que acudir a técnicas que nos lo permitan. Como es el completar cuadrados, factorización, etc.

Esta cuestión a manera general está dada en parte mediante las condiciones del discriminante. Indicando dicho no sólo cuando las soluciones están en el plano complejo sino también sí son: idénticas, recíprocas, etc. como es en el caso de los números reales.

Sea "D" el discriminante, el polinomio cuadrático o ecuación cuadrática queda expresada por:  ,

CASO 1

Cuando tenemos que D > 0, P(x) tiene dos raíces reales distintas dadas por: , siempre y cuando (2a) no sea igual a cero.

CASO 2

Cuando tenemos que D = 0, P(x) tiene dos raíces coincidentes reales , siempre y cuando (2a) no sea igual a cero.

CASO 3

Cuando tenemos que D < 0, P(x) no tiene raíces reales y su representación queda en el plano complejo y las dos raíces son distintas.

Volviendo a lo otro observamos que la ecuación:  , tiene como discriminante:   lo cual nos afirma según el caso 3 que tiene dos raíces complejas y distintas. 

Como lo comprueba al igual manera el siguiente desarrollo:

Con esto se rectifica el primer sentido, pues las dos raíces o soluciones obtenidas son complejas y distintas.

Por otro lado, en el segundo sentido tenemos:

El teorema de De Moivre utilizado para conocer una parte crucial del proceso necesario para encontrar las soluciones dentro del margen de una ecuación de segundo grado, como es en este caso el de una ecuación cuadrática con constantes y variables complejas.

Es por ello que se hace la relación entre los números complejos y las ecuaciones de segundo grado.

Pues resulta ser que una potencia fraccionaria de un número complejo o un radical con número complejo está dado por la igualdad siguiente:

En donde "Z" es un número complejo, dicha igualdad es producto de lo observado en el tema (1.5) del presente capítulo sólo que con exponentes fraccionarios.

¿Por qué es importante conocer la manera en que está dada una potencia fraccionaria de un número complejo?

Porque, resulta ser que es necesario ejercer una potencia fraccionaria dentro de los márgenes de la solución de una ecuación de segundo grado... Recordemos que la fórmula general tiene un radical o una potencia fraccionaria asociada al discriminante:  ; en esta parte de tener una ecuación con constantes complejas torna a que exista debajo de la raíz un número complejo.

Y es justamente ahí donde entra en juego la fórmula de la potencia fraccionaria de un número complejo dado. 

El tipo de condiciones para que la igualdad anterior sea válida, se dan en la parte del discriminante en la ecuación sólo sí se alimentan como constantes y variables elementos de los números complejos. 

Ya que de no hacer esto, se recae en el primer sentido teniendo como resultado únicamente un número complejo. Debido a que el discriminante fue un elemento real o al no tener la posibilidad de tener por completo un número complejo en el mismo (es decir parte real e imaginaria) y no sólo la parte (imaginaria).

El parámetro o valor cambiante denominado por "K" en la fórmula anterior ilustra la cantidad de raíces y el valor de estas pues quedan definidas por el mismo valor de (K).

Por ello una determinada raíz "Z", está construida sobre un número complejo dando como resultado un número complejo también.

La manera en la cual está dado el argumento o ángulo en la igualdad anterior, tiene que ver con el hecho de las rotaciones por parte del número complejo apropiado sobre el mismo origen del plano complejo y el ángulo necesario para determinar las raíces indicadas sobre una ecuación cuadrática dada. 

Es por ello que tenemos la siguiente expresión:  , debido a esto y mucho más generalmente éste es uno de los temas más complicados para una gran variedad de estudiantes pues todo el desarrollo algebraico que implica la búsqueda de raíces puede llevar a cometer una serie de errores simples pero a la vez perjudiciales para la búsqueda de la solución de una ecuación. Causando confusión y estrés entre los estudiantes de tal manera que no entiendan la noción central del asunto.

Ejemplo

Si tenemos la ecuación siguiente: 

Conocemos e identificamos que la gran mayoría de las constantes (a, b y c) son números complejos salvo "a", así mismo que las variables o incógnitas a encontrar son números complejos también. 

Entonces asociamos dicha ecuación con la fórmula general de la ecuación de segundo grado, teniendo algo como:

En tal punto sabemos que tenemos una potencia fraccionaria de un número complejo, razón por la cual procedemos a aplicar la fórmula correspondiente a dicha potencia con el fin de obtener el resultado de esta.

Para ello primero pasamos de una forma de representación binomial a una forma de representación polar de Zn.

Transformación de representación

Obteniendo como resultado lo siguiente:

Del desarrollo:

Conociendo ahora bien ya la representación después de la transformación. 

Seguido establecemos aquella igualdad que ilustre la potencia fraccionaria (raíz) del número complejo:

Ya en esta etapa lo que se hará es sustituir el parámetro "K" hasta llegar a "n-1". Teniendo en consideración que n = 2, es decir el tipo de valor de la raíz; si es cuadrada, cúbica, etc. eso es lo que representa dicho valor.

Nota: La representación de la fórmula de la potencia fraccionaria de un número complejo se hizo en términos de grados sexagesimales, es decir no se utilizó la fórmula original dada en radianes. Pues existe una relación entre dicha cantidad en radianes y dicha cantidad en grados dada por la siguiente expresión:

Por lo cual todo valor empleado en la cuestión de los ángulos es aproximado, pues se colocó de esta forma a fin de que el lector observe o pueda percibir las diversas transformaciones o cambios a nivel gráfico. Destacando que por ser una raíz cuadrada o potencia fraccionaria de (1/2), obtendremos dos raíces o valores posibles para tal raíz cuadrada.

Como se muestra a continuación:

Raíz 1  (K = 0)

Raíz 2  (K = 1)

Por último reemplazamos o colocamos en función tales raíces en la fórmula general con el fin de obtener las soluciones finales (Z₁ y Z₂) a la ecuación planteada, mediante el siguiente criterio:

Solución (Z₁) con (Zn1)

Solución (Z₂) con (Zn2)

Equivalencia entre (Z₁ y Z₂)

Tomando en conclusión dicho aspecto como lo más importante de todo esto... La posible equivalencia que se pueda dar entre las soluciones finales, qué justamente esa es la otra faceta de los números complejos dentro de las ecuaciones polinómicas.

2.- Matrices y determinantes

Ahora que ya conocemos uno de los aspectos del álgebra lineal, es decir los números complejos.

Es necesario precisar otro de sus aspectos las matrices y los determinantes. Nociones dentro de la misma rama que representan un sin fin de propiedades, teoremas, características, relaciones y demás con muchas otras áreas de las matemáticas.

Tal es el caso que existen libros de estos temas de lo extenso que se pueden volver a medida que se avanza en el estudio de está parte del álgebra lineal. Así mismo cabe destacar que esta es la parte donde comienza el verdadero cálculo aritmético para muchos estudiantes o lectores, ya que una simple aplicación donde se haga uso de las matrices puede consolidarse en un serio problema e incluso para un dispositivo electrónico.

Más aun la riqueza de dichos conceptos permite que muchas de las aplicaciones en día no puedan efectuarse con la ausencia de este tipo de elementos dentro del conocimiento humano. Debido a que las herramientas convencionales no dan abasto simplemente, como más adelante observaremos a largo del capítulo.

2.1.- Definición de matriz, notación y orden

Aprender y aplicar un área de las matemáticas como lo es el álgebra lineal, supone en muchas ocasiones un tratamiento más complejo en cuestión de un desarrollo algebraico.

Pues existen entidades algebraicas como pueden ser los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de ecuaciones diferenciales, etc. por mencionar algunas cuyo proceso de desarrollo implica una serie de operaciones elementales que a simple vista son sencillas pero en masa complicadas y laboriosas, debido a la cantidad de operaciones que necesita ejercer la persona o lector que intente dar solución a determinado sistema

Razón por la cual existen elementos puestos a disposición como herramientas a fin de efectuar está cuestión de las operaciones con una facilidad y rapidez.

A estos elementos los hemos denominado como matrices a manera general o matriz a manera particular.

Definición

Una matriz es una disposición rectangular de elementos que pueden ser números (reales o complejos) o elementos demás como pueden ser funciones, matrices, vectores, etc. ordenados bajo un criterio de columnas y filas.

Si la matriz tiene "m" filas y "n" columnas, la matriz se dice que tiene dimensiones m x n.

Generalmente en matemáticas tendemos a emplear como elementos números principalmente sean reales o complejos dependiendo el área donde se trabaje. Más aún existen otras ramas de la ciencia donde es más común emplear funciones que números, es por ello que se habla de elementos demás también.

¿Por qué los elementos se encuentran ordenados en columnas y filas en una matriz?

Porque resulta ser que se ha comprobado que al estar ordenados de una manera simétrica mediante una especie de tabla (columnas y filas) nuestro cerebro adopta una postura de confort frente a los retos que pueden suponer una cantidad cualesquiera de operaciones con los elementos de las matrices, motivo por el cual principalmente se ordenan de esta manera.

Nota: Las filas también pueden ser llamadas como renglones ambos nombres carecen de alguna distinción ya que son totalmente equivalentes.

Notación

Tendemos a representar las matrices bajo el siguiente criterio de notación:

La notación es un medio utilizado para transmitir el concepto clave de la noción de una matriz. Pues permite abstraer y generalizar en cierta forma el hecho de tener que escribir por completo todos los elementos de algún proceso algebraico o bien una matriz.

Simplificando de esta forma dos cosas, la escritura y el desarrollo de las operaciones que son posibles efectuar... Como más adelante observaremos. 

Ejemplo de una matriz y su notación:

Orden

Consideramos como orden, un término aunado a las dimensiones de las matrices es decir a la cantidad de renglones y columnas de una matriz.

Tal término suele utilizarse con frecuencia cuando se habla de un tipo en particular de matrices dentro de la clasificación, llamado: matrices cuadradas. La característica principal de éste tipo de matrices es que posee unas dimensiones (m = n), dicho de otro modo el número de renglones es igual al número de columnas.

En igual de hablar de una matriz cuyas dimensiones son (m x m), decimos que tenemos una matriz de un orden "m"  he ahí la practicidad del término en todo este asunto. 

Así mismo dicho término existe cuando se habla de las aplicaciones de las matrices en ciertos campos, generalmente en aplicaciones dentro del álgebra multilineal, mecánica de medios continuos, mécanica cuántica, análisis tensorial, etc. Concretamente en tensores pues tales también emplean el concepto de orden para especificar las dimensiones de las matrices esto en lo que respecto a un cierto tipo de tensores.

Motivo por el cual es de relevancia mencionar dicho concepto en lo que conocemos como definición e introducción a las matrices.

Nota: No haremos hincapié en la cuestión de los tensores pues en el proceso de estudio de tales es necesario tener conocimiento ya del álgebra lineal.

2.2.- Operaciones básicas con matrices

Existen dos operaciones principales que son posibles ejercer con lo que son las matrices, dichas operaciones son:

Suma

Multiplicación

Debido a que las demás operaciones se consideran operaciones recíprocas o inversas y se pueden obtener de un desarrollo algebraico (despeje) a excepción de que no existe la división de matrices, es decir no hay una operación en concreto que defina lo que se conoce como división de matrices.

Dichas operaciones suma y multiplicación son definidas por una serie de propiedades que a su vez son delimitadas por una serie de teoremas. 

Tales teoremas se verán a profundidad en la segunda publicación, pues en éste capítulo se habla del cómo la álgebra de matrices es un espacio vectorial básicamente.

Por lo pronto nos limitaremos a dar mención de ellos bajo el concepto de propiedades definiendo así el hecho de las operaciones con matrices, como lo ilustra la siguiente imagen:

Nota: La cuestión de las propiedades de la suma y la multiplicación, se da por medio del desarrollo algebraico que hay sobre la demostración matemática de las mismas en la tabla. 

Debido a que conocemos que pueden existir matrices con dimensiones muy variadas, es necesario precisar que las operaciones con matrices están de manera general suscritas a tener una cierta dimensión para efectuar alguna operación (es decir necesitamos tener múltiples matrices del mismo orden o dimensiones). A excepción de la multiplicación de matrices en la cual es necesario cumplir efectivamente un requisito de dimensiones a fin de lograr efectuarla, pero no todos los elementos con los que se vaya a operar deben tener las mismas dimensiones cómo es posible observar en uno de los ejemplos siguientes.

Ejemplos de las operaciones con matrices

Sean A y B dos matrices previamente dadas, efectuamos las operaciones básicas de la siguiente forma:

Suma

Resta

Dicha operación puede verse como el simple hecho de restar en igual de sumar:

Multiplicación

Consideramos a la multiplicación de matrices como una operación meramente de composición, pues sometemos unas matrices con un cierto orden o unas ciertas dimensiones y obtenemos como resultado una matriz que puede tener el mismo orden a las ingresadas o distintas dimensiones (esto dependerá en medida del requisito de las dimensiones).

Por ejemplo, si utilizamos las dos matrices que hemos dado en los ejemplos anteriores tenemos que la multiplicación está dada de la siguiente forma.

Es decir, tenemos dos matrices con el mismo orden de ingreso y como resultado tenemos una matriz con orden igual a las ingresadas. Lo cual nos afirma que en matrices cuadradas el concepto de un requisito de dimensiones no es necesario.

Ahora bien, si tenemos dos matrices de distintas dimensiones como las siguientes:

Es necesario cumplir con el requisito de dimensiones comentado, a fin de conocer aquellas dimensiones finales que tendrá el resultado de la multiplicación de matrices.

Dicho requisito consiste en comparar el número de columnas de la primera matriz con el número de renglones de la segunda matriz; con el objetivo de comprobar si es posible definir o efectuar la multiplicación para estas matrices. De no ser iguales ambos números afirmamos que no está definida la multiplicación de matrices para dichas matrices, por el contrario si ambos números son iguales tenemos que la multiplicación de matrices si está definida por ello pasamos a determinar las dimensiones de la matriz resultante... Dimensiones las cuales en cierta manera son el número de renglones de la primera matriz y el número de columnas de la segunda matriz.

Como se puede observar a continuación:

Básicamente todo este asunto del requisito de dimensiones se resume en lo siguiente:

Si una matriz A tiene dimensiones (m x n) y una matriz B tiene dimensiones (p x q), la multiplicación es posible sólo cuando n=p teniendo como dimensiones la matriz resultante (m x q). Como pudimos observar en el ejemplo anterior (3 x 2) en A y (2 x 3) en B y como resultado en C (3 x 3).

Motivo por el cual afirmamos en la tabla de propiedades anterior, que la multiplicación de matrices no es una operación conmutativa pues si invertimos el orden de las matrices en las multiplicaciones ahora analizamos las dimensiones en un sentido de BA y no de AB.

División

Dicha operación propiamente en tratados de álgebra de matrices, no se encuentra definida por 3 razones principalmente:

1.- Que su determinación implica una conexión directa con lo que se conoce como inversa de una matriz o matriz inversa

2.- Que no toda matriz posee una matriz inversa

3.- Que no todas las matrices son cuadradas

Dentro de estas tres razones, la tercera podríamos decir que es opcional ya que en la definición de la matriz inversa no se contemplan matrices no cuadradas. Más aun el concepto central de dicho tipo de matriz si está definido para ellas, razón por la cual podemos encontrar la inversa para esta clase de matrices mediante métodos como: Moore-Penrose,  LU Descomposition (Single value descomposition), etc.

Por lo cual no es raro encontrar algunas matrices inversas de aquellas matrices no cuadradas como pseudoinversas en algunos libros y publicaciones.

Como ya mencionamos dichos métodos no son comunes encontrarlos en libros de álgebra lineal convencionales, debido a que exigen estar familiarizados con conceptos más especializados o bien con otras áreas de las matemáticas.

Más adelante en el transcurso del capítulo les hablaremos en que consiste una matriz inversa.

Tal como podemos observar las nociones de origen de las operaciones con matrices propician todo lo necesario para lograr establecer una: clasificación de matrices, motivo por el cual abordamos a continuación justamente su clasificación.

2.3.- Clasificación de las matrices

La clasificación de matrices no es más que otra manera de llamar a los distintos tipos matrices o bien aquellos tipos de matrices más relevantes y transcendentales que pueden formarse por algunas operaciones o algún proceso algebraico.

Pues recordemos por un momento el tema (2.2), el cual ilustraba la existencia de una matriz nula, matriz identidad, matriz negada, matriz inversa, etc. en la tabla correspondiente a las propiedades de las operaciones con matrices.

Dichas matrices constituyen una parte fundamental del pilar de la clasificación de matrices, así mismo estas fundamentan una serie de funciones y operadores lineales (determinante, transpuesta, etc).

Cuya existencia toma un sentido y significancia en los territorios del álgebra lineal, pues nos permiten la solución a una serie de problemas exclusivos o no de la misma álgebra.

La cuestión de la clasificación de matrices puede ser muy extensa si a medida que se van definiendo los tipos de matrices se va optando por los sub-tipos o variantes que pudieran existir de un tipo en particular o algún producto de una propiedad ya sea de una clase de elementos o bien de las mismas operaciones admisibles por las matrices.

¿Cuál es el objetivo de un cierto tipo de matriz respecto a otro?

El principal objetivo de nombrar distintos tipos de matrices, se debe en primera instancia a que un cierto tipo de matriz ilustra alguna propiedad de la cual puede subyacer otro tipo de matriz. Generalmente no se atribuye por completo la creación de un tipo de matriz sólo por ilustrar una propiedad, sino que está debe de tener alguna transcendencia e importancia de tal manera que a merite una clasificación.

Razón por la cual se clasifican como lo hacemos actualmente:

Clasificación de matrices

Matriz fila

Matriz columna

Matriz rectangular

Matriz cuadrada

Matriz nula

Matriz triangular superior

Matriz triangular inferior

Matriz diagonal

Matriz escalar

Matriz identidad o unidad

Matriz transpuesta

Matriz regular

Matriz singular

Matriz idempotente

Matriz involutiva

Matriz simétrica

Matriz antisimétrica

Matriz ortogonal

Entre otras...

Matriz fila

Una matriz fila o vector fila es una matriz construida por un sólo renglón o fila, por ejemplo:

A manera general podemos definir a tal como:

Matriz columna

Una matriz columna o vector columna es una matriz construida por una sola columna, por ejemplo:

A manera general podemos definir a tal como:

Matriz rectangular

Una matriz rectangular es una matriz que posee un número distinto de filas que de columnas, teniendo por consecuencia una dimensión (m x n). Por ejemplo la siguiente matriz con dimensiones 2 x 3:

A manera general podemos definir a tal como:

Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada es una matriz que posee el mismo número de filas que de columnas, teniendo por consecuencia un orden (n). Por ejemplo la siguiente matriz con orden 2:

A manera general podemos definir a tal de la misma forma que a la matriz rectangular, destacando un detalle en lo que respecta a aquella igualdad entre columnas y renglones que distingue a dichas matrices de las rectangulares. Tal tipo de matrices trae consigo una serie de conceptos que involucran sus elementos internos.

Como pueden ser: la diagonal principal y la diagonal secundaria, por ejemplo.

La diagonal principal es constituida por todos aquellos elementos dados por la secuencia: y la diagonal secundaria es constituida por todos aquellos elementos dados por la secuencia:

Matriz nula

Una matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos ceros, como se muestra:

A manera general tendemos a definir así misma mediante la siguiente igualdad: , donde 0 representa la matriz nula y no el cero convencional.

Matriz triangular superior

Una matriz triangular superior es una matriz en la cual todo elemento ubicado debajo de la diagonal principal es igual a cero, por ejemplo:

Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es una matriz en la cual todo elemento ubicado arriba de la diagonal principal es igual a cero, por ejemplo:

Matriz diagonal

Una matriz diagonal es una matriz en la cual todo elemento ubicado por debajo y por arriba de la diagonal principal son ceros a excepción de la diagonal, por ejemplo:

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal guardan una equivalencia (son iguales) con respecto a un escalar, por ejemplo:

, teniendo como escalar justamente el valor de tres (3).

Matriz identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno (1), por ejemplo:

Matriz transpuesta

Una matriz transpuesta es una matriz en la cual se hace un intercambio ordenado entre filas y columnas de los elementos existentes en la matriz, por ejemplo:

A manera general tendemos a denotar la matriz transpuesta mediante la siguiente notación: .

Matriz regular (no singular)

Una matriz regular es una matriz cuadrada que posee una inversa, por ejemplo:

Matriz singular

Una matriz singular es una matriz que como tal no posee una inversa, por ejemplo:

Matriz idempotente

Una matriz indempotente es una matriz que como tal cumple con la siguiente igualdad:

Es decir, es una matriz que multiplicada por sí misma retorna a su estado original prevaleciendo en cierto sentido una invariancia en su estado.

Matriz involutiva

Una matriz involutiva es una matriz que como tal cumple con la siguiente igualdad:

Es decir, es una matriz que multiplicada por sí misma retorna a una matriz identidad como resultado.

Matriz simétrica

Es una matriz cuadrada que verifica y cumple la igualdad impuesta por la transposición de una matriz:

Matriz antisimétrica

Es una matriz cuadrada que verifica y cumple la igualdad impuesta por la negación de la transposición de una matriz:

Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es aquella matriz que multiplicada por su transpuesta produce como resultado una matriz identidad debido a que la matriz inversa coincide con la matriz transpuesta, logrando verificar la siguiente igualdad:

Cabe anexar que cada uno de estos tipos de matrices pueden poseer sus propiedades en particular, más aún todas en común comparten al menos una propiedad... Por lo cual el estudio de las matrices en el álgebra lineal generalmente se refiere aquel tipo de matrices que en cierta manera sus propiedades son aplicables a un gran número de tipos de matrices.

Pues de lo contrario, el campo de estudio fuera inmenso y el simple dominio de un tipo de matriz supondría un gran esfuerzo humano. El tener la capacidad de identificar y reconocer los distintos tipos de matrices nos da la capacidad de lograr efectuar técnicas y métodos que requieren un cierto tipo de matrices (Como es el caso de algunos métodos de solución de "sistemas de ecuaciones lineales" y "transformaciones lineales").

Motivo por el cual es importante tener presente los tipos de matrices al momento de efectuar algún problema de álgebra lineal o en otras áreas, en está ocasión no abordamos el concepto de matriz inversa aun cuando se citó a lo largo del tema (2.3)... Por la razón de que más adelante hablaremos de ello en el tema (2.5).

2.4.- Transformaciones elementales por renglón, Escalonamiento de una matriz y Rango de una matriz

Dicho tema siguiente constituye una preparación para el siguiente capítulo ya que nos introduce en la cuestión del ¿por qué? las matrices son un elemento indispensable para la manipulación y la utilización correcta de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL).

Por consiguiente en lo que conforma éste tema y siguientes se abordarán los conceptos haciendo hincapié en los sistemas de ecuaciones lineales bajo el acrónimo SEL.

Transformaciones elementales por renglón

Las transformaciones elementales por renglón o fila constituyen lo que comúnmente conocemos como operaciones elementales por renglones o por filas dentro de la temática de las matrices.

Estas nos permiten ejercer una serie de operaciones matemáticas como son la: suma, resta, multiplicación y división entre los diversos elementos conformantes de una matriz por renglones, pudiendo definir tres casos posibles en lo que respecta a estas operaciones elementales:

Multiplicar o dividir una determinada fila por un número distinto de cero (aplicar un escalar).

Sumar o restar algún múltiplo de una fila a otra fila.

Intercambiar filas.

El hecho de aplicar esto sobre una matriz nos conduce a la simplificación de la misma permitiendo una reducción por filas.

Simplificar es útil cuando se desea la solución a un cierto SEL, pues resulta ser que al aplicar un cambio a una cierta matriz bajo las transformaciones elementales por renglón se produce una nueva matriz que a medida que se sigue alterando o transformando por otras transformaciones elementales se va preservando una cierta relación geométrica e igualdad entre las matrices y sus propiedades.

De tal manera que se nos permite asociar el escalonamiento de una matriz con aquella solución presentada por una matriz dada.

Es como si tuviéramos por ejemplo un cuadrado y a su vez una matriz que abstraiga y represente dicho cuadrado, y al sufrir cambios en sus elementos por motivo de las transformaciones elementales por renglón. Estos cambios provocarán que las dimensiones del cuadrado fueran alteradas o bien se deformarán existiendo siempre una relación admisible, pues es posible a base de unas transformaciones elementales inversas volver al estado original.

Por ello no importa en cierto sentido si el cuadrado se encuentra o no en la misma condición después de una transformación elemental, pues existen propiedades dentro del mismo que permanecen invariantes durante y después de las transformaciones que nos permiten asociar el cuadrado original y el transformado.

Pudiendo así encontrar características o elementos deseados del original en el transformado (como podría ser la solución a un SEL).

Representación gráfica del panorama de las transformaciones elementales por renglón mediante la analogía del cuadrado

Algunos autores asocian el término de matrices elementales aquellas matrices resultado de una transformación elemental por renglón, así mismo como base a la matriz original que pudiéramos obtener de algún desarrollo algebraico o un problema.

Escalonamiento de una matriz

El escalonamiento de una matriz consiste en transformar una matriz convencional (regular) a un tipo en particular de matriz llamada: escalonada.

Una matriz escalonada es aquella que tiene principalmente las siguientes tres propiedades:

Todas las filas nulas de existir se ubican en la parte inferior de la matriz.

El primer elemento de cada una de las filas no nulas se ubica estrictamente más a la derecha que el primer elemento de la fila de encima.

El primer elemento distinto de cero (comenzando de izquierda a derecha) en cualesquier fila cuyos elementos de la misma no todos son igual a cero entonces ese primer elemento es igual a 1.

Es decir, una matriz escalonada es definida mediante la propiedad 2 generalmente. Definiéndola en algunos casos como:

Una matriz en la cual el primer elemento no nulo de cada fila o renglón aparece a la derecha del primer elemento no nulo de la fila inmediata superior.

Tal definición puede resultar algo trivial en primera instancia, pues resulta que el concepto clave se autodefine en base a las mismas propiedades de éste tipo de matriz.

Complementando ya en la definición las propiedades restantes (1 y 3), pues de ahí el concepto de escalonada.

Nota: Cuando se menciona el concepto de "no nulo" se hace referencia a la noción de un elemento distinto del cero convencional.

Ejemplos de matrices escalonadas:

Tal tipo de escalonamiento de una matriz, posee otro enfoque considerado como escalonamiento reducido de una matriz que se traduce en una matriz escalonada reducida.

Dicha matriz es una variante de la matriz escalonada, con el detalle que posee una propiedad más la número 4:

4. Cualquier columna que contiene un primer uno (1) en un renglón y los demás elementos restantes en el mismo. A tal primer 1, generalmente se le conoce como pivote de existir.

Ejemplos de matrices escalonadas reducidas:

¿Por qué es importante está cuestión del escalonamiento de una matriz?

Porque resulta que para poder aplicar ciertos métodos o procedimientos en el proceso de la búsqueda de una solución a un cierto problema dentro del álgebra lineal o no, en muchas ocasiones es necesario tener como paso inicial una matriz escalonada.

Debido a que tal tipo nos proporciona un escenario simplificado de un panorama dado, como podría ser en el caso de la eliminación gaussiana; por ejemplo.

Donde dicho método constituye ser uno de los más efectivos para la búsqueda de soluciones en un SEL con distinto número de incógnitas que de ecuaciones.

Para poder llegar a efectuar correctamente tal método, es necesario previamente en el método haber llegado al punto de la construcción de una matriz escalonada... Pues dicha matriz nos permite continuar y completar el método de cierta manera (para ver el método más a fondo ver tema).

Por esta y muchas razones más es importante tener presente lo que el escalonamiento de una matriz representa.

Ahora bien, ¿Cómo es que aplicamos el escalonamiento de una matriz?

La respuesta a esta pregunta la encontramos en las transformaciones elementales por renglones.

Es decir, las operaciones elementales por renglones nos permiten tener la posibilidad de cumplir la serie de propiedades que caracterizan a tal tipo de matrices convirtiendo una matriz no escalonada en escalona o escalonada reducida.

Por ejemplo dada la siguiente matriz no escalonada convertirla a una matriz escalonada:

Nota: Utilizamos F₁, F₂ o F₃ para referirnos a las distintas filas o renglones en que se está ejerciendo alguna operación.

Importante: Las operaciones elementales que implican las transformaciones por renglones, no fueron colocadas explícitamente debido a la cantidad de espacio necesario... Además porque consideramos que el lector comprende tal cosa al observar la transición de una matriz con respecto a otras matrices, es decir cómo se van afectando lo diversos elementos conformantes.

Como puede percibirse en base al desarrollo anterior la aplicabilidad en cierto sentido de las transformaciones elementales por filas o renglones se ve reflejada claramente en el proceso o la transición de una matriz a otra iniciando de la matriz (1) hasta llegar a la matriz (6) o

Así mismo, si deseáramos transformar dicha matriz en este punto a una matriz escalonada reducida continuaríamos con el mismo proceso de las transformaciones elementales hasta cumplir con todas las propiedades previamente citadas. Lo mismo ocurriría para otra matriz cualesquiera que no estuviera escalona y deseáramos aplicar el escalonamiento, teniendo como cuerpo en los elementos los números reales.

Generalmente se asume que el cuerpo o el conjunto de procedencia de los elementos conformantes de una matriz cualesquiera se ubica en los números reales, más aún los conceptos vistos hasta el momento es posible aplicarlos a otros conjuntos como podría ser el caso de los complejos. Teniendo como requisito a cumplir únicamente que se respeten las propiedades y la manera de ejercer operaciones sobre tales.

Como consecuencia de todo esto en el escalonamiento de una matriz, podemos encontrar una serie de teoremas los cuales nos afirman que en cierto modo es posible transformar una matriz cualquiera a una matriz escalonada si el cuerpo y el campo de los elementos son los adecuados.

Así mismo es posible encontrar otro teorema el cual nos afirma que a través de un número finito de transformaciones lineales podemos llegar a una matriz escalonada, como logramos comprobar con el ejemplo anterior.

A tales teoremas típicamente se les asocia con el matemático Sylvester, como podría ser el caso del siguiente teorema:

Toda matriz de dimensiones (m x n) es equivalente por filas en cierto modo a otra matriz (m x n) reducida por filas.

Con ello destacamos en todo momento la importancia del concepto clave de una transformación por renglón y su equivalencia.

Rango de una matriz

Consideramos como rango de una matriz aquel máximo número de vectores columna o vectores fila que guardan como propiedad una independencia lineal, es decir que son linealmente independientes.

¿Qué significa esto de la independencia lineal en un conjunto de vectores?

En términos del tema, significa que todos aquellos vectores que podamos construir de una cierta matriz no guardan una relación en sentido o dirección uno respecto a otro implícito, pues todos los vectores en cierta manera no pueden deducirse entre ellos ya sea por medio de una combinación lineal de un sólo vector, la suma de ellos, etc.

Por ejemplo:

Si tenemos la siguiente matriz:

Y descomponemos en tres vectores columna dicha matriz, obtenemos lo siguiente:

Por consiguiente creamos alguna combinación lineal con el primer vector u otros de los demás vectores, por ejemplo: , de tal manera que debe de ser posible a base de dicha combinación o no... Poder expresar por medio de la asignación de constantes (beta, alfa y gamma) o la misma combinación el vector siguiente V₂ , V₃.

Si de alguna manera es posible expresar todos los vectores a base de esto, se dicen de cierta manera que son vectores linealmente dependientes, por el contrario si no es así se dicen que son linealmente independientes.

A nivel geométrico esto podría verse reflejado como unos segmentos de recta (vectores) que posee una misma dirección y un mismo sentido, es decir apuntan a donde mismo y tienen el mismo camino en el caso de los vectores linealmente dependientes.

Por otro lado en el caso de los vectores linealmente independientes estos podrían visualizarse gráficamente como segmentos de recta paralelos, es decir que no guardan una relación.

Como la siguiente imagen lo puede ejemplificar:

Existen varias maneras de definir el rango de una matriz, una de ellas es mediante los valores de las dimensiones de la matriz. Si una determinada matriz tiene un número "m" de filas y un número "n" de columnas, el rango vendría a ser como máximo aquel número menor de estos dos.

Así mismo podemos definir también el rango de una matriz como aquel número de filas distintas de cero en una matriz, una vez que está ha sido transformada o convertida a lo que se conoce como una matriz triangular bajo algún método como lo es el método de Gauss.

Por otro lado existen métodos alternativos que nos permiten calcular el rango de una matriz uno de ellos es el determinante. Pues resulta que comúnmente es uno de los más utilizados debido a su conexión directa con las matrices cuadradas, por lo pronto no hablaremos de todo lo que subyace a éste concepto pues es lo que sigue.

Tendemos a representar el rango de una matriz bajo las siguientes notaciones:

Cálculo del rango de una matriz a base del método de Gauss

Para poder emplear con éxito el método de Gauss existen una serie de criterios que podemos utilizar a fin de facilitar la aplicación del mismo.

Pues recordemos que dicho método en cierto sentido se encuentra fundamentado bajo las transformaciones elementales por renglones.

Esta serie de criterios son entorno a las filas o a las columnas llamadas también líneas generalmente a la invalidez o validez posible de las mismas permitiendo poder descartarlas en el proceso de la determinación del rango de una matriz.

Podemos descartar o eliminar una línea de manera concreta si se cumplen algunos de los siguientes criterios:

Hay dos líneas iguales

Todos los coeficientes de una línea son ceros

Una línea es proporcional con respecto a otra

Una línea es resultado de una combinación lineal de otras líneas

Entre otros, mencionamos únicamente cuatro criterios ya que se consideran los más transcendentales.

Ejemplos de cálculo del rango a base del método de Gauss

Calcular el rango de las siguientes matrices cuadradas:

Ejemplo 1

Debido a que las filas 2 y 4 son eliminadas por aquellos de los criterios tenemos que el rango de dicha matriz es igual a 2.

Ejemplo 2

Debido a que la columna 3 es proporcional con respecto a la columna 1 tenemos que el rango de dicha matriz es igual a 2.

Nota: Es importante reconocer la transcendencia de los criterios en cuestión de las líneas, es decir si son filas o columnas pues existen situaciones donde en ambas contrapartes se puede efectuar el proceso de descartación de líneas a fin de encontrar el rango de una matriz, como es el caso del ejemplo anterior.

Se resalta tal cosa por el concepto que al tomar las columnas como foco de atención nos concentramos sobre un espacio de columnas por el contrario si lo estuviéramos realizando por el lado de las filas nos concentraríamos sobre un espacio de filas. Al igual la forma en que se aborde dicho proceso ya sea por filas o por columnas es independiente a aquel valor que podría tener el rango, es decir no lo hace variar.

A manera de panorama es difícil precisar en cierto sentido unas normas universales para el cálculo del rango de cualesquier matriz. Debido a que cada matriz es una situación diferente más aun considerando si poseen elementos muy variados (es decir son: Reales, Complejos, Quaternios, etc).

¿Por qué es importante el cálculo del rango de una matriz?

Porque provee información necesaria generalmente en el estudio de la teoría de matrices. Más concretamente en lo referente a los teoremas de dimensión.

Pues existen igualdades entre lo que se conoce como rango y nulidad que permiten por completo definir las dimensiones de una matriz, tal como la siguiente expresión lo demuestra: ran(A) + nul(A) = n.

Motivo por el cual anteriormente mencionábamos que era admisible calcular el rango de una matriz en cierto modo a base de las mismas dimensiones de estas, pues es posible despejar la expresión anterior de acuerdo a lo requerido. En lo cotidiano y práctico resulta ser útil pues nos proporciona información acerca del grado de solución de un determinado SEL debido a que tales pueden ser expresados bajo el marco de las matrices.

¿Cuál método se utiliza dependiendo del tipo de matriz cuadrada o rectangular?

Si la matriz a la cual se va le calcular el rango es cuadrada comúnmente se opta por el método de los determinantes por su cercanía con dicho tipo de matriz. Por otro lado, si la matriz no es cuadrada se acude a una técnica un poco más sofisticada en la cual se van rolando ciertos menores de la matriz y se va resumiendo en cierto sentido la misma.

Dicho último método a nivel de trabajo puede representar un gran esfuerzo debido a la cantidad de operaciones que son posibles que se realicen... Por ello es común que se le asocie como un método numérico.

Nota: Si en este punto el lector no entiende en que consiste un determinante, un menor, etc. no se preocupe ya que más adelante se lo explicaremos, por lo tanto no se esfuerce de más por entender esto en su totalidad.

2.5.- Cálculo de la inversa de una matriz

Hemos llegado a una parte crucial de nuestro enfoque de introducción al álgebra lineal, es decir al conocimiento de una matriz en particular asociada a una matriz regular bajo una propiedad innegable.

A manera general podría decirse que tal cosa contextualiza lo que una matriz inversa representa en cierto modo, pues nos da a conocer aquel vínculo que existe entre dicha matriz y una matriz regular.

¿Qué es la matriz inversa?

La matriz inversa es un elemento propiamente del álgebra lineal específicamente de la teoría de matrices que nos permite establecer y construir la lógica que subyace a la siguiente igualdad:

Siendo A una matriz regular por medio de lo que se conoce de la multiplicación de matrices.

Cabe recordar que la multiplicación de matrices se encuentra fundamentada en la operación producto punto existente en lo que respecta a los vectores o propiamente el álgebra de vectores.

¿Por qué se habla de la matriz inversa?

Después de haber abordado la noción de las transformaciones elementales por renglón, es común en él lector preguntarse así mismo está cuestión.

La respuesta a ello puede encontrarla en la razón de que las transformaciones elementales son utilizadas como un medio para lograr calcular con eficiencia la matriz inversa de una determinada matriz regular.

Es decir, aprovechamos el núcleo del asunto de las transformaciones y lo reutilizamos para encontrar justamente está matriz que a primer instancia puede no parecer de utilidad pero una vez que se analiza a fondo las circunstancias de un determinado problema o ejercicio puede aportarnos información o elementos clave para la misma solución, como en el caso de los (SEL).

Ya referente al tema (2.4), lo que tratamos de ilustrar es el sentido de las transformaciones elementales por renglones que se refleja en un escalonamiento de una matriz y la determinación de un nuevo tipo de matriz.

Ejemplo

Supongamos que tenemos la matriz siguiente:

Rápidamente ubicamos que está matriz será nuestro punto de partida, es decir la matriz regular. Una vez que entendemos tal cosa adoptamos una postura a base del siguiente panorama:

Del lado izquierdo la matriz regular y del lado derecho una matriz identidad de acuerdo al orden de la matriz regular, en este caso de orden 2 debido a las dimensiones (2 x 2) teniendo como resultado lo siguiente:

Ya en este punto comenzamos a aplicar las transformaciones elementales por renglones en la matriz regular ejerciendo en cierta manera el escalonamiento de tal al grado de llegar a reducir la matriz. Es decir lograr convertirla en una matriz escalonada reducida.

A su vez afectando a la matriz identidad, pues aquellas transformaciones aplicadas afectarán también a la matriz identidad logrando tener el panorama siguiente al final:

La matriz identidad del lado izquierdo y la matriz inversa del lado derecho calculando de esta forma la inversa de la matriz regular dada.

Proceso de escalonamiento en base al ejemplo dado:

Como resultado tenemos que la matriz inversa perteneciente a la matriz regular original es:

El medio para verificar sí es correcta tal suposición lo encontramos en la igualdad que define la noción de existencia de una matriz inversa al principio del tema. Para lograr verificar, basta con tan sólo ejercer el producto posible entre la matriz regular y la matriz inversa tal como se puede observar a continuación.

Visualizar tal hecho nos hace comprender la importancia de los temas pasados, así mismo la forma en que se tienden a ejercer las operaciones. Ya que es necesario para lograr efectuar o comprobar ciertas cuestiones conocer detalles no solamente de las matrices sino de cómo operar con ellas así mismo de sus elementos.

2.6.- Definición de determinante de una matriz

Consideramos como determinante aquel elemento indispensable y único dentro del núcleo del álgebra lineal, su definición en concreto no es tan sencilla como pudiera parecerlo.

Debido a que tal elemento posee una fuerte base sustentada en otras áreas de las matemáticas, como pudiera ser la combinatoria, el análisis real, etc. por tan solo mencionar algunas.

Este tipo de características propician que se tenga que definir así mismo bajo una aproximación muy buena en teoría y práctica. Logrando definir al determinante de varias maneras:

El determinante es aquel número asociado a una matriz regular que permite conocer si tal es una matriz singular o no, dicho de otro modo invertible o no. Así mismo permite conocer aquel factor o escalar principal que logra fundamentar la matriz inversa que podría tener la matriz regular (véase inversa a través de la adjunta).

El determinante es aquel número construido en base a una expresión que contempla todos los productos posibles implícitos dentro de una matriz regular, de tal manera que está es construida tomando un elemento de cada fila y columna sin repetirlos. Dicha contemplación se hace a través de lo que se conoce como matrices elementales.

Básicamente el determinante de una matriz vendría a ser una función que toma como valor de entrada una matriz y retorna como resultado un valor numérico.

Tendemos a representar dicho elemento mediante las siguientes notaciones:

A manera general es complicado definir el determinante para una matriz de orden n-enésimo, por lo cual generalmente comenzamos a definirlo a partir de un orden 2 pues un determinante con un orden 1 no es ni considerado por tener el mismo valor de entrada que de salida en la función.

Tal como la siguiente definición lo demuestra:

Sea la matriz: , definimos el determinante como:

Nota: En lo que se refiere a la notación del mismo determinante en el caso de las barras es muy común confundirlo con el valor absoluto de un número real aun cuando utilicen una notación parecida son elementos completamente distintos ya que por un lado se trabaja con matrices y por el otro con números.

Ahora bien conociendo como se define el determinante para un orden 2, ¿En qué se basa el sentido de los signos para conocer que producto es positivo o negativo en la expresión que podría representar el determinante?

Dicho fundamento lo podemos ubicar en la cuestión de aquellos números que identifican un elemento respecto a una columna y fila, como podemos observarlos en la anterior matriz como subíndices siendo el primer subíndice para las filas y el segundo para las columnas. Lo que se hace es analizar el sentido de estos, es decir comparar el subíndice de la fila con el de la columna a fin de verificar si existe un número de permutaciones o inversión en ellos, deduciendo de esta manera si el producto posee un signo negativo o positivo.

Por ejemplo, en el caso del determinante de la matriz anterior tenemos que el producto con signo positivo es: y el producto con signo negativo es: .

Tal cosa se definió por el concepto de que otorgamos un signo positivo aquellos productos que tengan un número par de inversiones en sus subíndices y un signo negativo aquellos productos que tengan un número impar de inversiones en sus subíndices.

Como puede observarse con , que no posee ninguna inversión en sus subíndices y por consenso se acepta que 0 inversiones es igual a un número par de inversiones por tanto denotamos con un signo positivo el producto, contrariamente a lo que podríamos encontrar en donde 1 con 2 no tiene una inversión pero 2 con 1 si tiene una inversión ya que es primero el 1 antes del 2, por lo cual decimos que tenemos una inversión y como en el producto sólo hay una entonces tenemos un número impar de inversiones lo cual nos lleva a denotar con un signo negativo al producto.

Formalmente definimos una permutación o inversión de aquellos enteros que podría representar los subíndices (1, 2, ... , n), como una ordenación de estos n enteros. Por ello si solo tenemos dos números posibles por aquello del orden de una matriz tendremos 2 posibles combinaciones motivo de que el total de permutaciones está dado por n! y por tanto tendremos n posibles términos, esto repercute en que al tener un determinante de una matriz de orden 4 tendremos una expresión conformada de 4! términos para lograr calcular dicho determinante.

Lo cual repercute en aquella eficiencia o rapidez que podríamos tener al momento de calcular él mismo, pues a medida que crecen las dimensiones de la matriz regular crece el número de términos necesarios para calcular dicho determinante.

De manera general el determinante de una matriz de orden n-enésimo queda situado bajo una expresión construida por un función de valor y una serie de productos. Tal como se muestra a continuación:

En donde la expresión en sí es la suma de los n términos y la función de valor es la siguiente:

Así mismo la serie de productos es: , misma la cual algunos autores asocian el nombre del símbolo de Levi-Civita para referirse a la función de valor previamente citada.

Nota: Aquel lector que desee conocer más a fondo está cuestión de la función de valor puede buscar el símbolo de Levi-Civita o Levi-Civita symbol he inmediatamente encontrar más información al respecto en la Web.

¿De dónde viene está cuestión del determinante de una matriz?

A las conclusiones que hemos llegado ambos autores después de indagar mucho al respecto... Es que tal origen es posible que se encuentre justamente ubicado en los métodos de solución algebraicos a un SEL.

Más precisamente en el método conocido como sumas y restas, pues cuando dicho método se emplea para dar solución a un determinado SEL después de ejercer el proceso correspondiente mediante la cancelación de una incógnita se produce una alteración o variación en el propio cuerpo del SEL siendo el determinante aquel elemento que permite que el SEL por sí solo logre tener una solución (véase regla de Cramer)

El ejemplo más sencillo que podemos ubicar a fin de que el lector comprenda la noción del determinante, podemos ubicarlo en el cálculo de un determinante de orden 2 y 3.

Para un determinante de orden 2 tendemos a utilizar la noción de definición del determinante, por ejemplo:

Dada la matriz , el determinante está dado por:

Por el contrario para un determinante de orden 3 tendemos a utilizar una regla típicamente conocida como la regla de sarrus, la cual puede establecerse de varias maneras. La más sencilla se ubica con respecto a la reutilización de columnas como se muestra a continuación:

Dada la matriz , el determinante a base de la regla de sarrus está dado mediante lo siguiente:

Donde claramente se puede observar que hacemos uso de las dos primeras columnas y las copiamos a un lado del determinante, creando así los productos posibles que definan dicho determinante... En este caso las diagonales de izquierda a derecha definen los productos positivos (3 primeros productos) y las diagonales de derecha a izquierda definen los productos negativos (3 segundos productos) quedando en conclusión el determinante limitado por el resultado de sumar los valores que arrojen los productos.

Esta es una manera rudimentaria de calcular el determinante de orden 3 otra es a través de ciertas fórmulas que actualmente existen, por ejemplo:

Sea una matriz , el determinante está dado por:

Dichas fórmulas se encuentran fundamentadas en lo que se conoce como cofactor y menor de una matriz. Es decir elementos existentes sobre algún sentido en técnicas y métodos referentes al cálculo de determinantes cuyo orden generalmente es mayor a 3 (n > 3).

Importante: Las reglas o métodos empleados para el cálculo de un determinante de orden 3 no son aplicables para un orden superior, ya que tales sólo se encuentran construidas para ese orden en exclusivo. Si se intenta algo similar para determinantes de orden superior no obtendremos el mismo resultado.

Menor

Sea una matriz A de dimensiones n x n o en su caso de orden n y sea Mij una matriz resultante de cancelar una fila y una columna, es decir una matriz de dimensiones (n - 1) x (n - 1). Se llama a Mij menor ij de la matriz A.

Por ejemplo, si tenemos que la matriz A es la siguiente:

Un menor podría ser:

, cancelando la primera columna y la primera fila. O bien realizando otras combinaciones de cancelaciones de filas y columnas podríamos tener como menores las siguientes matrices: en general podemos encontrar cuántos menores nos lo permita las dimensiones de una matriz lo importante no es sí los menores sino la noción de significancia del mismo.

Cofactor

Sea A una matriz de dimensiones n x n o en su caso de orden n. El cofactor ij de la matriz A está dado por Aij, así mismo está sustentado en la siguiente igualdad:

Es decir, el cofactor ij de la matriz A se deduce tomando como elemento el determinante del menor ij y multiplicándose con la expresión

Cabe destacar que la anterior expresión equivale a una forma más básica de la función de valor dada para el determinante de orden n-enésimo, como se muestra a continuación:

Por ello justamente está parte delimita aquellos signos que podrían tener los términos del determinante.

Tomamos el valor de (-1) elevado algún exponente debido al comportamiento que está potencia nos puede proporcionar al elevarse a cierta potencia n, es decir siempre es positivo o negativo el estado de salida así como de valor 1.

Lo cual se adecua perfectamente a los criterios encontrados para calcular si el término de un determinante es negativo o positivo por aquello del número de permutaciones. Motivo por el cual es común asociar a la suma (i + j) con el número de inversiones, pues al fin y al cabo nos permite conocer el estado del término dependiendo de su valor.

Para determinantes con orden superior a 3 es más práctico y humanamente posible calcularlos bajo la unión de estos dos conceptos en lo que se conoce como desarrollo de determinantes por cofactores.

Desarrollo de determinantes por cofactores

Lo que procedemos a realizar en estos casos dado una matriz cuadrada y con un orden consideradamente apropiado para el método, es lo siguiente:

Tomamos la matriz y aplicamos el concepto de menor eligiendo algún elemento de la matriz, esto en consecuencia del sentido que realizaremos (es decir si iremos tomando todos los elementos de una fila o de una columna).

Obtenemos el cofactor de la matriz con respecto al mismo elemento seleccionado logrando formular nuestro elemento Aij debido a que ya tenemos nuestro menor.

Multiplicamos nuestro cofactor por el elemento tomado, formando así el primer término de aquella expresión que contendrá el valor de nuestro determinante.

Quedándonos algo más o menos como lo siguiente:

Nota: Esto se comenta en parte debido a la influencia que ejerce sobre él método de desarrollo el escoger un elemento en concreto, motivo por el cual dejamos muy abierto el criterio de los subíndices en la expresión anterior. Así mismo queremos resaltar que el desarrollo de determinantes por cofactores no es en exclusivo de órdenes superiores, que sea más prudente aplicar en este ámbito es una cosa más no significa que sea imposible aplicarlo en ordenes inferiores como podría ser un orden 2 o 3.

Ejemplo del desarrollo de un determinante bajo el método de cofactores y menores

Desarrollar el determinante de la siguiente matriz:

Paso 1

Elegimos el sentido en que iremos tomando los elementos (columnas o filas) para el ejemplo tomamos las filas precisamente la primer fila.

Paso 2

Tomamos el primer elemento de dicha fila a fin de obtener el menor y cofactor con respecto a esa posición en la matriz.

Paso 3

Multiplicamos el cofactor bajo el elemento seleccionado en un principio, logrando consolidar lo siguiente únicamente para el primer elemento de la fila:

Estos mismos tres pasos, los ejercemos para los demás elementos de la fila obteniendo la siguiente expresión:

Dicha expresión ya en sí es lo que llaman expansión por cofactores y el resultado de desarrollar todo hasta conocer el valor de ello es ya el valor del determinante para la matriz dada.

Al observar la expresión se hace imposible no visualizar todo el trabajo que conlleva tan sólo conocer el valor del determinante, debido a los determinantes implícitos de menor orden dentro de la misma expresión... Aquí es donde ponemos en práctica las diversas reglas que pueden existir para los determinantes de un orden relativamente inferior, como es el caso de la regla de sarrus.

Nota: A lo largo del método no desarrollaremos los determinantes correspondientes a los menores, por consecuencia que asumimos que el lector ya se encuentra familiarizado con ellos y conoce como determinar su valor. Permitiéndonos centrar más en el desarrollo del determinante de orden superior del ejemplo.

En este punto podemos observar como el elemento menor y cofactor se ven complementados en el proceso, pues por un lado los menores nos permiten completar en aquello que los cofactores consisten. Al ser justamente aquellos determinantes que se encuentran multiplicados por la función de valor. Y la función y los menores en sí ya ser los cofactores.

Por tanto podemos asumir que el desarrollo adecuado de la expresión anterior para la matriz C, nos conlleva a poder definir la siguiente igualdad al grado de lograr conocer el valor en concreto del determinante:

Por esta razón y otras más se tiende a explicar en qué consiste la definición del determinante, cofactor, menor, matriz, etc. A fin de garantizar que el lector se encuentre próximo a lograr identificar y solucionar un problema presente en cuestiones de la álgebra lineal precisamente en determinantes, ahora bien ¿Cómo identificamos cuando tenemos una cierta matriz y es posible conocer su determinante sin ni siquiera proceder a calcularlo por completo debido a que ya sabemos de antemano el resultado por algún desarrollo previo?

A dicha cuestión daremos respuesta a base de lo que constituye ser las propiedades de los determinantes.

2.7.- Propiedades de los determinantes

En el estudio de la álgebra lineal más concretamente en la temática de determinantes existen momentos en los cuales el estudiante o persona se topa con problemas que teóricamente tienen alguna idea y noción de cómo resolverlos.

Así mismo conoce e identifica cuales son los métodos o técnicas más propias para lograr efectuar la solución a estos problemas, pero resuelta que el proceso que conlleva esas técnicas o métodos muchas de las veces no es del todo breve en tiempo y esfuerzo humano. Por aquello de las operaciones complicadas o bien por el número elevado de operaciones que hay que realizar para tan sólo obtener un resultado, todo este tipo de cuestiones retrasan y envuelven el proceso de solución de un problema llevándolo al grado de simplemente no estar en disposición de resolverlo o no tener la capacidad de hacerlo.

Todo este tipo de cuestiones fueron analizadas a manera indirecta diríamos por aquellas personas que en el pasado formularon las bases del álgebra lineal por medio del estudio a profundidad de cada uno de los elementos vivientes dentro de esta área (Ej. el determinante).

El haber estudiado dichos elementos a profundidad les otorgo la capacidad de ubicar cualidades o características presentes en los métodos ya conocidos en el momento acerca de cómo calcular determinantes, al grado de poder ubicar cuando se presentaría un tipo de situación en particular. Es decir, cuando el valor será negativo, cuando el valor será nulo, etc.

El producto de éste amplio análisis se observa reflejado en lo que conocemos como propiedades de los determinantes. Es decir, una serie de teoremas a base de proposiciones y fórmulas que abstraen la manera en que percibimos y calculamos los determinantes permitiéndonos utilizarlos a fin de efectuar lo complejo de una manera simple y correcta.

Siendo tal cosa el principal objetivo de las propiedades de los determinantes dentro del álgebra lineal.

¿Cuáles son los teoremas que fundamentan las propiedades de los determinantes?

Dichos teoremas son principalmente 9 (nueve) pues se consideran únicamente estos a manera básica, pudiendo existir más propiedades con el detalle de que generalmente estas pueden ser para un tipo en particular de matrices.

Caso contrario de los nueve teoremas que son aplicables a las tradicionales matrices, es decir las matrices cuyos elementos son números reales o elementos asociados a los números reales.

Aclaramos tal punto por el concepto de que dichos teoremas se sustentan en lo que se conoce de las mismas operaciones y funciones con matrices.

Nota: Para referirnos a una matriz cualesquiera en la cuestión de los teoremas, usaremos el nombre de matriz A o matriz B con el fin de evitar un sobrenombre o nombre largo en la redacción del teorema.

Teoremas

1.- Si una matriz A tiene una columna o (una fila) de ceros, el determinante de A es cero (0)

Ejemplo (en el caso de las filas):

Sea la matriz si desarrollamos por cofactores con respecto a la fila 2, podemos corroborar dicho teorema:

Ejemplo (en el caso de las columnas):

Sea la matriz si desarrollamos por cofactores con respecto a la columna 3, podemos corroborarnos de ello:

2.- El determinante de una matriz A es igual al determinante de la matriz transpuesta, es decir:

Ejemplo:

Sea la matriz y su determinante: la matriz transpuesta está dada por y su determinante: , por tanto podemos afirmar la veracidad de dicho teorema.

3.- Si se intercambian dos filas (o dos columnas) de una matriz A, entonces el determinante cambia de signo de (+ a - ) o viceversa

Ejemplo:

Sea la matriz y su determinante :, por el contrario sea la matriz en la cual se intercambió la fila 1 con la fila 2 de la matriz A, su determinante está dado por: como se puede observar la autenticidad del teorema 3 es innegable.

4.- Si una matriz A tiene dos filas o dos columnas iguales entonces el determinante de A es cero (0)

Ejemplo:

Sea la matriz que tiene en su interior la fila 1 igual a la fila 3, su determinante está dado por:

Nota: Para efecto del cálculo rápido del determinante con orden 3 en el ejemplo utilizamos la regla de sarrus aunque no colocamos explícitamente (flechas y demás); esto con el fin de mostrar una vez más su eficacia en la demostración de dicho teorema.

5.- Cuando una sola fila o una (columna) de una matriz A se multiplica por algún valor (escalar alfa) el determinante de la matriz resultante es igual a alfa veces el determinante de A

Ejemplo:

Sea la matriz y su determinante: , multiplicando el tercer renglón de la matriz por el escalar tenemos la matriz B siguiente:

cuyo determinante de acuerdo al desarrollo por cofactores en la primer columna es: o lo que es igual:

6.- Si una fila de la matriz A se multiplica por algún (escalar alfa) y se suma a otra fila, entonces el valor del determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A. Al igual manera dicho teorema se cumple para las columnas

Ejemplo:

Sea la matriz , cuyo determinante es: , si multiplicamos la tercer columna de A por un escalar y se lo sumamos a la columna 1 obtenemos la matriz siguiente:

Cuyo determinante de acuerdo al desarrollo por cofactores de la segunda columna es:

7.- Si A y B son matrices del mismo orden n x n, el determinante del multiplicación de matrices AB es igual a la multiplicación de los determinantes individuales de A y de B

Esto significa que:

Ejemplo:

Sea la matriz y la matriz con determinantes:

La multiplicación AB entre ambas matrices está dada por:

Su determinante es:

, motivo por el cual ambas maneras de expresar son totalmente equivalentes.

8.- El determinante de la matriz identidad de orden n es igual a uno (1)

Ejemplo:

Sea la matriz identidad de orden 2, su determinante queda dictaminado por:

Esto sucede debido a que la parte nula del determinante todo el tiempo posee el valor de cero, razón por la cual es común leer en algunos libros que el determinante de las matrices escalares es la multiplicación de todos los elementos de la diagonal principal.

De lo contrario intenten efectuar el determinante de la siguiente matriz bajo el desarrollo por cofactores, a ver que resulta:

9.- El determinante de una matriz singular o matriz no invertible es igual a 0 (cero)

Ejemplo:

Sea la matriz una matriz de orden 2 no invertible su determinante es igual a:

El teorema más trascendental

Dicho teorema en lo que respecta al tema siguiente es el más trascendental, ya que es aquel teorema que nos proporciona el medio para verificar sí es posible obtener la matriz inversa de una matriz dada.

Siendo tal cosa otra de las razones del por qué es importante la función determinante independientemente de lo que ya nos podría proporcionar.

Si el determinante de una matriz tienen un valor de cero 0, decimos que dicha matriz es singular o no invertible por el contrario si el determinante tiene otro valor cualesquiera decimos que dicha matriz es no singular o invertible.

Por ello podemos deducir que dicha función evita en cierta manera un esfuerzo o trabajo innecesario que podría lograrse cometer al no tener un medio de verificación. Concluyendo que la propiedades de los determinantes son una consecuencia inmediata de los teoremas.

Es decir son una prueba absoluta y concluyente de que las proposiciones de los teoremas se cumplen, he aquí la importancia de las propiedades de los determinantes... Cotidianamente podría decirse que es la evidencia de los hechos.

2.8.- Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

El tener un conocimiento acerca del determinante de una matriz, no es por la razón de que simplemente sea un medio de verificación para las matrices o bien sea incluido en el programa de álgebra lineal en las escuelas por simple relleno como dirían más de un estudiante actualmente.

Si no por la razón de que dicho elemento posee una conexión directa con expresiones que a su vez nos permiten definir o establecer una igualdad entre el mismo determinante y otro elemento, como es el caso de la siguiente igualdad:

Donde (A*)t establece la matriz adjunta y |A| el determinante, ambos elementos de una matriz previamente dada.

Dicha fórmula constituye la posibilidad a partir del determinante de una matriz de construir la matriz inversa fungiendo precisamente en esta ocasión el determinante como una especie de constructor en unión con otro tipo de matriz.

Este tipo de matriz es lo que conocemos como: adjunta o matriz de cofactores.

Tal matriz es construida por medio de lo que se conoce de los cofactores y la transpuesta de una matriz, es decir los cofactores en unión con el determinante producen los elementos internos así como la matriz transpuesta los termina de establecer. A manera general podríamos decir, que es una matriz cuyos elementos son conformados por cofactores para finalmente ser transpuestos tal como se muestra más adelante.

Ejemplo:

Sea la matriz tenemos que su matriz de cofactores está dada por:

Y su adjunta está construida por la transpuesta de la matriz anterior, tal como se muestra:

Donde cada A*ij es un elemento de la matriz de cofactores.

Colocamos de esta manera los elementos con el fin de resumir un poco todo el proceso que se involucra implícitamente del lado izquierdo de la ecuación.

El tener está matriz como elemento es en cierta manera una ventaja pues ya se tienen la mitad del trabajo necesario para lograr calcular la matriz inversa en base al determinante. El resto del trabajo es completado mediante la aplicación de un escalar o visto de otro modo mediante la división de la matriz adjunta sobre el determinante.

Nota: Se menciona el concepto de la aplicación de un escalar por el hecho de que la división convencional puede ser vista o expresada como la multiplicación de algún valor en forma fraccionaria sobre algún concepto (Ej. un número, una función, una matriz, etc.).

¿Por qué resulta importante tal forma de calcular la inversa de una matriz?

Por la sencilla razón de que es útil y práctico para matrices cuyo orden es relativamente menor a 3, contrariamente a los métodos que hacen uso de las transformaciones elementales por renglones que pueden requerir un tanto más esfuerzo y más operaciones para lograr conseguir el mismo resultado.

Así mismo es en está forma donde se logra percibir por completo un sustento sobre el álgebra de matrices del cálculo de la inversa, afirmándonos que todo proceso realizado fuera de los márgenes de este método en favor de la inversa son un tanto equivalentes.

Es decir, ya sea que optemos por las transformaciones elementales por renglones o no, todo proceso en su interior subyace a aquel que nos podría proporcionar la fórmula anterior para el cálculo de la inversa.

¿Qué razón de significancia podríamos encontrar en la matriz adjunta, fuera de complementar en el establecimiento de la matriz inversa?

La significancia la podemos encontrar al ilustrarse uno de los objetivos principales de la matriz adjunta.

Cabe recordar que dentro del álgebra de matrices existen matrices mínimas (menores) ubicadas en cierto sentido como vectores, a tal tipo de matrices hemos asociado la operación de producto punto.

Una de las principales aplicaciones de dicho producto debido a la noción de su definición la encontramos al mostrarnos aquella tendencia de apuntar en una misma dirección un par de vectores mediante un valor escalar.

Si analizamos está operación desde el enfoque de sus proyecciones sobre los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares nos percataremos que tal producto justamente puede ser definido como:

, en donde theta representa el ángulo entre el par de vectores.

Ahora si analizamos los signos que posee una matriz de cofactores de orden 2 por ejemplo:

Tenemos que de acuerdo a como construimos cada uno de los elementos (desarrollo de sus cofactores), observamos que por un lado los determinantes de los menores (vectores) implícitos en la matriz nos proveen en cierto sentido de un vector base debido a la interpretación geométrica que tiene el determinante como el área de un paralelogramo construido por dos vectores, tal como se muestra en la imagen siguiente:

Esa área entre aquellos vectores que podrían conformar los menores nos sirve de pilar o medida de tendencia con la cual nos podemos basar para multiplicar la función de valor para cada elemento (aij) con el determinante del menor obteniendo lo siguiente:

Dicha percepción que podríamos asociar a una matriz de cofactores es muy poderosa pues nos dice que tal matriz posee en su interior valores que a su vez representan todas las tendencias que podrían tener los vectores conformantes de la matriz con respecto a otros vectores en todos los sentidos posibles de representación.

Lo cual vuelve a la matriz de cofactores en cierta forma una matriz de transformaciones geométricas, de tal manera que el determinante es un escalar que se encarga finalmente de ajustar las dimensiones de los vectores resultantes (vectores de la matriz de cofactores) al grado de que se cumpla el criterio de ortogonalidad, es decir:

Debido a que los vectores de una y otra matriz pueden apuntar o no en la misma dirección esto lo podemos ver reflejado en los valores de una matriz identidad de orden n siendo:

El valor 0 (cero) para aquellos vectores que multiplicados son mutuamente ortogonales, por el contrario del valor 1 (uno) para aquellos vectores que multiplicados son mutuamente paralelos o tienen la misma dirección.

Ejemplo del cálculo de la matriz inversa mediante la adjunta

Sea la matriz:

Como primera instancia verificamos si dicha matriz es invertible o no por medio del determinante del mismo, como se muestra:

Ya que conocemos que no es así, procedemos ahora a calcular la matriz adjunta o matriz de cofactores mediante lo siguiente:

Por último procedemos a multiplicar el valor recíproco del determinante sobre cada uno de los elementos de la matriz adjunta, tal como se muestra a continuación:

Nota: Hablamos del concepto del valor recíproco del determinante por el hecho de que el valor en sí no se multiplica directamente sino la inversión del mismo:

La comprobación de si es correcta nuestra matriz inversa podemos ubicarla en la multiplicación de la matriz originalmente dada y la matriz inversa calculada:

Con esto queda establecido que nuestra matriz inversa es correcta con respecto a la matriz original.

Anexo: Existen ocasiones donde los autores utilizan la notación de para referirse a la matriz identidad de un cierto orden siendo "n" precisamente el valor del orden... Motivo por el cual no es raro encontrar dicha notación en los libros de álgebra lineal (ya que es por simple comodidad la notación).

2.9.- Aplicaciones de las matrices y los determinantes

Dicho tema constituye una de las temáticas probablemente más amplias de todo el capítulo, pues el margen de las posibles aplicaciones de las matrices es ilimitado.

Sus aplicaciones prácticamente abarcan cualquier sector de la vida cotidiana donde sea necesario emplear datos de una manera correcta y ordenada, por ejemplo: ciencias sociales, economía, biología, administración, física, geografía, etc.

Así mismo la aplicación de los determinantes acompaña a las matrices ya que donde existen matrices de carácter simétrico (cuadradas) coexisten los determinantes. Siendo estos generalmente una función aliada en el proceso de la aplicación de aquellos métodos del álgebra lineal que sean necesarios o prudentes aplicar a un cierto problema.

Obviamente en este libro no abordaremos todas las posibles aplicaciones debido a que sería imposible, pues todo el tiempo el hombre se encuentra buscando nuevas aplicaciones para lo ya existente. Por ello únicamente abordaremos aquellas aplicaciones que se consideren relativamente importantes y útiles para un público en general así como para la misma álgebra.

Como pueden ser:

Cálculo del rango de una matriz

Representación de gráficas o figuras

Búsqueda de soluciones a sistemas de ecuaciones lineales

Procesos de Markov (cadenas de Markov)

De las cuatro propuestas, la tercera es considerada la más relevante de todas aquellas aplicaciones que pudieran existir. Ya que la mera existencia de las matrices en primer instancia se debe a lo que conocemos de los sistemas de ecuaciones lineales. Es bien conocido en la actualidad que su estudio y origen fue lo que condujo a la creación del concepto de matriz, aun así no vamos a abordar está aplicación por el hecho de que más adelante en un capítulo entero mostraremos prácticamente dicha noción de aplicación así como la idea central de estos sistemas.

Nota: La típica aplicación de la Ley de corrientes de Kirchhoff que generalmente tiende a abordarse en las aplicaciones de las matrices será abordada en el capítulo tres (3).

Cálculo del rango de una matriz

Como ya mencionamos previamente a lo largo del capítulo que significa en sí la cuestión del rango de una matriz así como aquel proceso que podríamos seguir a fin de lograr determinar el mismo.

Mencionamos ahora una técnica o método alternativo basado en los determinantes que nos permite calcular exactamente lo mismo con una mayor facilidad y comodidad para matrices de orden relativamente superior contrariamente a lo que nos podría proporcionar el método de Gauss.

Dicho método consiste es utilizar el determinante como un medio para verificar si la matriz es posible que tenga un valor inferior o superior en cuestiones del rango.

Al igual utilizamos la serie de criterios citados en el tema 2.5 del presente capítulo como primer recurso, una vez que hemos revisado que en toda la matriz se cumple o no alguno de los criterios ahora usamos la función del determinante para verificar mediante el análisis de un orden 1 hasta un orden n si el rango de la matriz puede ser 1,2,3,4,..,n.

Es decir, comprobamos si tiene un rango 1 solo sí para ello existe al menos un elemento de la matriz no nulo en el cual su determinante no tenga el valor de cero (0).

De no existir tal cosa, pasamos a analizar si la matriz tiene un rango 2 para ello tendrá un rango 2 solo sí existe una submatriz cuadrada (menor) de orden 2 tal que su determinante no tenga el valor de cero (0).

Por otro lado, la matriz tendrá un rango 3 solo sí existe una submatriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante no tenga el valor de cero (0)... Si la matriz tiene rango 3 y por alguna razón es posible formar una submatriz de orden 4 cuyo determinante no tenga valor cero (0) la matriz tendrá un rango 4.

Así sucesivamente hasta que obtengamos que el valor del determinante es cero y por consecuencia el rango será menor al orden del determinante utilizado para verificar el rango de la matriz en el momento.

Ejemplo

Dada la siguiente matriz, calcular su rango mediante el uso de los determinantes:

En primera instancia analizamos si dicha matriz cumple con algunos de los criterios a fin de descartar alguna línea de la misma, he inmediatamente nos percatamos que la columna 4 está conformada por la suma de la columna 1 y la columna 3, es decir:

Para lo cual nuestra matriz se ve simplificada de la siguiente forma:

Una vez revisado cada uno de los criterios y conociendo que no es posible descartar ninguna línea más, procedemos a revisar si la matriz tiene un rango 1 ubicando si existe al menos un elemento dentro de la misma no nulo en el cual su determinante no tenga el valor de cero.

Debido a que existe un elemento nulo su rango no es 1 por , motivo por la cual pasamos a analizar si la matriz tiene un rango 2 por el hecho de que es posible formar submatrices de orden 2.

Nota: La elección del elemento no nulo que cumpla con esta condición comúnmente se hace con el primer elemento de la diagonal principal más aún se puede realizar con cualquier otro elemento de la matriz.

Esta tendrá un rango 2 sí alguno de los determinantes de las submatrices posibles no tiene el valor de cero, tal como podemos observar:

Posibles determinantes de las submatrices de orden 2 a formar:

Esta tendrá un rango 3 sí algunos de los determinantes de las submatrices posibles no tiene el valor de cero, tal como podemos observar:

Como no es posible formar submatrices de orden 4 aquí detenemos nuestro análisis. Ahora bien teniendo en cuenta que para la matriz dada hemos podido corroborar que existen submatrices que pueden afirmar que la matriz tiene un rango 2 o 3.

El rango de una matriz formalmente será el tamaño del mayor menor (submatriz que es posible formar) en el cual su determinante sea no nulo.

Para nuestro caso el mayor menor son las submatrices de orden 3 que son posibles formar mismas en las cuales sus determinantes no tienen el valor de cero y por ende podemos afirmar que:

De esta manera es como podría visualizarse principalmente la utilidad de las matrices y los determinantes en cuestión del rango de una matriz.

Representación de gráficas o figuras

Dicha aplicación constituye ser muy útil ya que abstrae toda aquella posible información que puede acarrear consigo una determinada gráfica con el objetivo de ponerla en términos sencillos para después lograr disponer de suso dicha información en algún otro proceso que sea necesario.

Tal como puede ser: el cálculo de la longitud entre vértices o puntos, la cantidad de vértices, el costo por trayectoria, etc.

Debido a lo que conocemos de una gráfica no necesariamente puede representar algún objeto de carácter exclusivamente matemático sino que puede representar situaciones que en la vida cotidiana se nos pueden presentar más a menudo tales como: la planeación de la ruta más corta a fin de ahorrar combustible en un viaje, el esquema necesario para realizar la instalación de una red eléctrica, el esquema de mediciones de un terreno, etc.

Todas estas situaciones que en lo práctico el no tener todo lo que conlleva su control puede influenciar en simplemente llevar o no llevar a cabo una determinada tarea.

Motivo por el cual el núcleo de lo que representa una matriz resulta del todo eficaz para este tipo de cuestiones, ya que además de abstraer la información de una gráfica nos da puerta a poder aprovechar los conceptos y operaciones existentes dentro del álgebra lineal a fin de resolver una necesidad.

Tal como puede reflejarse en el siguiente ejemplo...

Supongamos que tenemos la figura de un terreno en el cual existen 6 postes dispersos a lo largo del mismo, interconectados a un poste en común a través de un cable así mismo esas conexiones tienen sus respectivas medidas que ilustran los metros de cable utilizados para interconectar de alguna forma los postes dependiendo de su distancia, como se muestra en la imagen siguiente:

La primera acción que probablemente una persona tomaría al no familiarizada con la utilización de las matrices para una aplicación como está sería la tratar de memorizar toda la información implícita dentro de la figura. Más aun para la gran mayoría de las personas esto no es una opción válida debido a la mala memoria que podrían llegar a tener, razón por la cual las matrices resultan ser una herramienta ideal y eficaz para la recopilación de toda aquella información dentro de una figura.

¿Cómo es que utilizamos las matrices para almacenar toda la información contenida en la figura?

Tendemos a iniciar el proceso de su utilización mediante la construcción de una tabla que en cierto sentido abstraiga la noción base de la figura presente, identificando los elementos principales como son: vértices (postes), aristas, distancias entre los vértices, identificadores de los vértices, etc.

Como podemos visualizar en la siguiente tabla:

Cada uno de los campos de dicha tabla tiene como propósito dar a conocer las distancias en metros de cable entre un poste y otro, es decir nos muestran aquella distancia que pudiera necesitar un poste para conectar el mismo con respecto a otro. Los postes son denotados por medio de las letras (A, B, C, D, E, F) que vienen a ser precisamente los vértices existentes en la imagen.

El tener un panorama ya como esté se considera uno simplificado pues te permite rápidamente explorar toda información de la figura en tan solo unos segundos sin tener que perder tiempo en otros detalles irrelevantes para la resolución de un cierto problema.

En términos de una matriz lo más importante se centra en los números de la tabla, por lo cual extraemos únicamente tal cosa y los asociamos a una matriz, como puede ser:

Ya en este punto podemos afirmar que la representación gráfica mediante una matriz se ha realizado y con ello podemos disponer a ejercer los conceptos y operaciones que hemos estado abordando a lo largo del capítulo.

Procesos de Markov (cadenas de Markov)

Consideramos como procesos de Markov aquellas acciones o tareas que justamente constituyen un modelo probabilístico para realizar alguna predicción sobre el comportamiento futuro de un sistema. Con dicho modelo es posible predecir con una aproximación impresionante el comportamiento de un sistema durante un período de tiempo futuro, en base a lo que se conoce del comportamiento del sistema en el pasado.

Así mismo si el sistema a analizar tuviera un período en el cual el mismo entrará en una especie de equilibrio sería posible determinar en qué nivel en el sistema podría ocurrir un evento, debido al mismo seguimiento que va otorgando el método en lo que se refiere al tiempo y la evolución del sistema.

Dicha aplicación puede implicar un gran aporte en cuanto a la información para aquel lector o persona que estudie lo sistemas de manera concreta, por ejemplo: sistemas biológicos, sistemas de prevención y corrección, sistema de control, sistema de ventas, sistemas sociales, etc. Ya que generalmente todo estudio acerca de un sistema involucra la realización de metas a costa de ciertos recursos, la pregunta es ¿Cuan eficiente se puede llegar en un futuro a esas metas en base a los recursos con que se cuente?

Tal forma de percibir este asunto de los procesos de Markov hace que ciertas profesiones en la actualidad simplemente existan debido a que la fuente de su área se encuentra probablemente fundamentada en lo que se conoce de ellos. Como podría ser el caso de los sistemas económicos y los sistemas administrativos de recursos.

Al emplear el modelo conocido como cadenas de Markov para un problema en particular, se asume que el sistema con el cual se va trabajar es posible analizarlo entorno a una condición o variable importante con respecto a todas aquellas que podría tener el sistema en su totalidad.

Determinando el valor de dicha variable conforme a la observación del sistema bajo un cierto período de tiempo (intervalo de tiempo). Los resultados de esas observaciones es lo que denominamos muchas veces como estados del sistema, si el estudio de un sistema en particular lo iniciáramos en un cierto estado del período de observación y así mismo tuviéramos la capacidad de determinar las probabilidades de pasar por ese estado hacia cualesquier otro estado durante el período de análisis sería posible determinar aquellos caminos que pueda tomar el sistema y la probabilidad con que opte por un cierto camino a lo largo de la evolución de los estados durante la inspección del mismo.

Teóricamente tal cosa de acuerdo a los fundamentos de los procesos de Markov y a sus supuestos básicos admisibles para esta clase de análisis es posible.

Supuestos básicos

Tanto en los primeros semestres de bachillerato como en la universidad comúnmente se instruyen tres supuestos básicos:

La probabilidad de que el sistema se encuentre con uno de sus determinados estados depende únicamente del estado que le sigue en el tiempo.

Las probabilidades de una transición de un estado respecto a otro se mantienen invariantes a través de la evolución del tiempo.

En sistemas de carácter social es posible aun con lo complejo que puede representar, determinar aquel número finito de estados posibles en el sistema.

Aun cuando puedan existir más supuestos, debido a que tales presentan una transcendencia que impacta en todo aquel sentido utilizado para percibir los estados, la transición y la evolución de un sistema donde sea posible aplicar el modelo de las cadenas de Markov.

En la actualidad es muy probable que la aplicación más común que podemos encontrar para esta clase de procesos se ubique en torno a la predicción posible del clima para una determinada zona en base al análisis de sus condiciones.

Más aun los autores como ingenieros han comprendido la importancia de esta clase de recursos hacía la información, pues la creación de la investigación de operaciones lo ha logrado dar a conocer utilizando cada vez más procesos que antes eran exclusivos del álgebra lineal o la mecánica estadística para el uso y distribución de la información sobre los medios de comunicaciones actuales.

En el estudio de dicho tema para la visualización de los estados y la transición misma del sistema durante su observación tendemos a utilizar lo que conocemos como una gráfica o grafo. Tal cosa además de mostrarnos lo comentado nos proporciona un marco en el cual podemos observar las conexiones que muchas veces no son posibles percibir a simple vista en un medio analítico (matrices).

Es justamente aquí donde se ve reflejado el gran esfuerzo que brinda las matrices al lograr ser empleadas como una herramienta para abstraer toda la información de una gráfica y representar de manera compacta y consista está. Razón por la cual previamente abordamos la cuestión de la representación de gráficas mediante matrices pues conocíamos su utilidad.

Ejemplo de la aplicación de una cadena de Markov

Supongamos que tenemos la cuestión de que hoy el día se encuentra despejado y queremos conocer cuál es la probabilidad al igual después de 3 días que sea un día despejado, un día nublado o un día con lluvia. Por cuestiones de unos medios de información noticieros, periódicos, estadísticas, etc. conocemos que las probabilidades de que ocurran tales estados para mañana se encuentran dadas.

Para ello a fin de llevar un mejor control de nuestra información hasta el momento elaboramos una gráfica ilustrando los estados del sistema, sus transiciones y probabilidades, tal como se muestra a continuación:

Dentro del margen en que puede suceder un cierto estado en el sistema cada estado debe sumar en total en sus probabilidades de transición el valor de uno (1), pues de acuerdo a los fundamentos de la probabilidad esté es el grado de seguridad (probabilidad) en que puede suceder dicho estado en el sistema.

En otras palabras puede suceder (valor = 1) o puede no suceder (valor = 0), una vez identificados los estados y las probabilidades de transición construimos una matriz T que abstraiga las transiciones de un estado a otro, por ejemplo (Despejado -> Nublado, Nublado -> Con lluvia, etc.).

Esta matriz a construir queda sustentada en lo que se conoce de la representación de gráficas a base de matrices y se le conoce como matriz de transición.

Así mismo en la solución a nuestro problema asumimos que dichas probabilidades de transición no cambian de un día para otro. Por tanto cada elemento Tij = a una probabilidad de ir de un día i a un día j, siendo i = 1=D, 2=N, 3=L igualmente j.

Iniciamos la observación del sistema durante un período de tiempo mediante un estado inicial dado por el vector p:

Donde dicho vector nos afirma que el estado inicial del sistema es "Despejado" razón por la cual tenemos 1 en i=1, así mismo conocemos que aquella probabilidad que deseamos calcular está sujeta a un período de 3 días. Debido a que nuestra matriz de transición es invariante a lo largo de un estado y otro, tenemos que la probabilidad futura para los tres casos se encuentra dada mediante la siguiente expresión.

Concluyendo que la probabilidad que suceda un día despejado dentro de tres días en base al estado inicial y a la matriz de transición dada es de: 61/192, para el caso de un día nublado nos encontramos con una probabilidad de 59/144 y por último para un día con lluvia de 157/576.

Por lo cual dada las condiciones iniciales es muy probable que el tercer día éste nublado. Como se puede observar la suma de todas las probabilidades en el vector p₃ correspondiente al período 3 (día 3) conforman el valor 1, corroborando de esta forma que sólo puede suceder un estado independientemente cual sea de los 3.

Es muy común en esta actualidad encontrar en la Web diferentes tipos de problemas y métodos de solución respecto a la temática de las cadenas de Markov, lo que distingue un tipo de problemas de otro es más que nada el enfoque de observación que se le realiza al sistema así como al período de observación del mismo.

Pues por un lado en el ejemplo anterior analizamos la probabilidad de que suceda un cierto estado bajo un cambio en los períodos de tiempo (análisis de períodos), al igual es común que se analicen los estados mediante una perspectiva estacionaría, absorbente, transitoria, etc. es lo que se conoce informalmente como el análisis de las condiciones de los estados... El proceso de solución para este tipo de problemas puede ser muy similar más aún tienen sus características ya que puede verse afectado por algún otro proceso la matriz de transición o el vector de probabilidades iniciales, sólo es cuestión de realizar un enfoque y elección del método adecuado.

En lo que respecta a dichas temáticas no serán abordadas en tal publicación ya que corresponden generalmente a otro tipo áreas de las matemáticas aun cuando utilizan métodos propios del álgebra lineal, incluimos el tema anterior con el objetivo de ilustrar de manera más variada la clase de aplicaciones que podrían tener las matrices.

3.- Sistemas de ecuaciones lineales

En este capítulo comprenderemos la importancia del capítulo pasado, así mismo estudiaremos los sistemas de ecuaciones que incluyen ecuaciones algebraicas lineales. 

Tanto el número de incógnitas como el número de ecuaciones son aspectos tomados con cuidado al momento de abordar los métodos de solución para dicho tipo de sistemas. Como el lector podrá comprobar a lo largo del contenido.

Percatándose de la transcendecia de estos sistemas en aquellos procesos que en lo cotidiano son efectuados sin la menor dificultad, más aun existe un mundo que comprende a dichos procesos permitiendo que estos fluyan naturalmente.

3.1.- Definición de un sistema de ecuaciones lineales

A lo largo del capítulo anterior hemos tenido la oportunidad de mencionar en reiteradas ocasiones el concepto de sistema de ecuaciones lineales más aun hemos pospuesto una definición en concreto por cuestiones de la organización del contenido en razón de un temario hasta este momento.

Definición

Básicamente definimos como un sistema de ecuaciones lineales o SEL a un conjunto de ecuaciones lineales definidas sobre un cierto cuerpo.

Dichas ecuaciones lineales constituyen ser ecuaciones algebraicas de primer grado tal como las que podemos observar en el álgebra elemental.

Nos referimos a que tales ecuaciones son definidas sobre un cierto cuerpo por la razón de que la palabra cuerpo dentro del álgebra lineal tiene un significado muy especial. Ya que representa de una manera abstracta todo el comprendió de operaciones y propiedades que puede tener un objeto matemático asociadas (Ej. una ecuación) respecto a un conjunto de números como pueden ser los números reales, los números complejos, etc.

Es por ello que hablamos de una estructura algebraica dotada de una serie de operaciones (suma y multiplicación) prácticamente.

De manera general tendemos a expresar o denotar un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente forma:

Donde cada amn representa un coeficiente numérico de una ecuación, xmn representa la incógnita de una ecuación y finalmente cada bm el término independiente de una ecuación.

Como puede percibirse en los subíndices de la imagen anterior tendemos aprovechar la misma idea de una matriz en cuestión de los sistemas de ecuaciones lineales a fin de lograr llevar un mejor control de cada uno de los elementos de las ecuaciones, con el objetivo de más tarde lograr efectuar con eficacia operaciones o propiedades dentro del mismo sistema.

Motivo por el cual todos aquellos conceptos vistos en la capítulo pasado son completamente reutilizables para el hecho de los SEL simplificando de esta manera todas aquellas actividades que pudieran presentársenos.

Ejemplos de (sistemas ecuaciones lineales)

SEL de (3 ecuaciones con 3 incógnitas)

SEL de (2 ecuaciones con 2 incógnitas)

SEL de (3 ecuaciones con 2 incógnitas)

¿Cuál es el objetivo de los SEL?

La respuesta a esta interrogante la podemos encontrar en lo conocemos de la esencia principal de una ecuación algebraica. Es decir, la búsqueda de aquellas incógnita(s) que puede contener una ecuación mediante algún proceso algebraico.

En lo que se refiere a los SEL el objetivo es justamente el mismo sólo que como detalle tenemos que en un SEL no buscamos las incógnitas de una sola ecuación sino de "m" cantidad de ecuaciones razón por el cual el proceso generalmente se vuelve complicado y tedioso.

Cuando nos referimos al valor que podría tener la incógnita de una ecuación solemos decir la solución, contrariamente a lo podemos ubicar en un SEL ya que aquí no mencionamos o solemos decir que tenemos solución sino un vector de soluciones ya que tenemos muchas soluciones.

Ahora bien, ¿Cuál es el motivo que teniendo muchas soluciones posibles podamos ubicar justamente un vector solución para todas las ecuaciones de un sistema?

Esto se debe a que todo el entorno de las soluciones posibles de un SEL se centra en la palabra común. Es decir, si todas las ecuaciones no tienen en concreto una solución común difícilmente va a ser posible determinar todos aquellos valores que den solución dicho de otro modo el vector solución.

Ya que se estaría trabajando de manera independiente a cada una de las ecuaciones lineales y pues no tendría sentido alguno llamar a esto como un sistema cuando no lo es. Por ello la idea clave que logra que toda está idea de los sistemas de ecuaciones lineales funcione es sistema.

¿Todo SEL tiene una solución?

Dicha interrogante constituye ser una parte muy importante de los temas siguientes pues su entendimiento del ¿por qué? no todo SEL planteado tiene una solución en concreto se debe a ello.

Así mismo la respuesta a esto trae consigo una manera de clasificar los SEL ya que tendemos a clasificarlos de acuerdo al grado de su solución.

¿Por qué los SEL son considerados tan importantes para las cuestiones de lo cotidiano y lo profesional?

La respuesta a tal porque podemos ubicarla en los diferentes fenómenos que existen hoy en día... Fenómenos que generalmente son de tendencia cambiable (diferenciable) más aún existe la posibilidad de efectuar una muy buena aproximación por medio de lo que se conoce de los principios del álgebra lineal.

Motivo por el cual no es del todo raro encontrar SEL en problemas cuya índole está muy ligada con sectores como las finanzas, la sociedad, la informática, etc... Aprovechando de esta forma todas aquellas cuestiones que dentro del álgebra lineal ya existen pero en términos de otras áreas toman un sentido completamente distinto al que generalmente estamos acostumbrados a observar.

Hecho el cual no deja de impactar día con día a aquellas personas que deciden dedicarse a la especialización de la matemática e investigación.

3.2.- Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales

Aprovechar la noción de una matriz en lo que se refiere a los SEL trae consigo una nueva manera de pensar en base a su posible clasificación.

Debido a que podemos hacer un tipo de distinción entre sistemas considerados como simétricos de acuerdo a la forma en cómo están dados y sistemas no simétricos. Reflejándose principalmente está simetría en la cuestión de sus dimensiones, por ejemplo: un SEL con 4 ecuaciones y 2 incógnitas, un SEL con 3 ecuaciones y 3 incógnitas, etc.

Pues recordemos que al igual dicha distinción existe en lo que se refiere a la matrices clasificando a estas como matrices cuadradas y matrices rectangulares. En los SEL utilizamos las matrices cuadradas para sistemas como: 3 ecuaciones y 3 incógnitas; y las matrices rectangulares para sistemas como: 4 ecuaciones y 2 incógnitas; por aquello de las dimensiones.

¿Por qué es importante dicha distinción?

Por la razón de que existen una serie de procedimientos y técnicas que pueden ser aplicables en lo que se refiere a los SEL simétricos como es el caso de la función determinante, más no en todo tipo de sistemas.

Dicha condición nos permite poder clasificar formalmente a los SEL mediante la posibilidad de tener una solución, infinitas soluciones o ninguna solución, tal como se muestra en el esquema siguiente:

SEL compatible determinado

Consideramos como sistema de ecuaciones lineales compatible determinado aquel sistema el cual únicamente posee una solución en común, siendo tal precisamente lo que conocemos como vector solución.

Ejemplo

Dado el siguiente SEL:

Tenemos como solución única el vector:

A fin de comprobar que el vector si es la solución del sistema lo que hacemos es simplemente reemplazar cada uno de los valores (x₁,x₂) en los respectivos campos y ejercer las operaciones necesarias tal como se muestra:

SEL compatible indeterminado

Consideramos como sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado aquel sistema el cual puede poseer infinitas soluciones o un número infinito de soluciones en común.

Siendo tales precisamente lo que conocemos como vectores de solución.

Ejemplo

Dado el siguiente SEL:

Tenemos como soluciones aquellos vectores deducidos de la expresión:

A fin de comprobar la expresión de soluciones, es necesario construir un vector en base a la asignación de un valor x₁ seguido de calcular x₂ para finalmente reemplazar ambos valores en los respectivos campos del sistema.

¿Por qué sucede que un SEL pueda tener infinitas soluciones?

La respuesta a tal cosa, la encontramos en que estamos tratando en un SEL como una entidad de varias ecuaciones independientes (es decir sin una relación mutua con otra ecuación) cuando en realidad sólo tenemos la ecuación totalmente independiente y la segunda ecuación sólo es el resultado de multiplicar por el factor (2) ambos lados de la misma, como podemos observar:

Esto repercute fuera de tener un sistema del tipo dado en su lugar tenemos una ecuación con dos incógnitas solamente:

En términos de la matemática esto representa un típico problema de independencia y dependencia lineal en las ecuaciones.

Siendo una ecuación linealmente independiente cuando no es posible ser deducida por cualesquier otra ecuación del sistema, ya sea por medio de la multiplicación de algún (factor o escalar) o bien mediante la combinación lineal de otras.

Contrariamente, una ecuación es linealmente dependiente si la misma puede ser deducida por cualesquier otra ecuación del sistema, ya sea por medio de la multiplicación de algún (factor o escalar) o bien mediante la combinación lineal de otras.

Motivo por el cual podemos expresar el SEL dado en el ejemplo anterior en términos de una ecuación.

¿Cómo entra en juego la expresión generadora de los vectores de solución?

Debido a que ninguna de las dos incógnitas de la ecuación no dependiente del ejemplo anterior puede en cierto modo ser anulada de tal manera que permita la determinación de cualesquier incógnita, expresamos que la definición de ambas incógnitas se realiza una respecto a la otra...

Permitiéndonos autodefinir las soluciones (x₁,x₂) mediante una expresión, como se observó previamente.

SEL incompatible

Consideramos como sistema de ecuaciones lineales incompatible aquel sistema el cual no posee ninguna solución.

Ejemplos

En este caso no tenemos como solución ningún vector, tal como un desarrollo algebraico pudiera verificarlo.

Nota: Más adelante en el tema 3.4 del presente capítulo mostraremos cómo es que se llegó a la determinación del vector solución para aquel SEL con solución única mediante lo conocemos de los métodos de solución.

¿Cómo es que logramos llegar a la conclusión independientemente si encontramos una solución o no a un SEL, que sólo posee un número específico de soluciones?

La respuesta a dicha interrogante la podemos ubicar en lo que respecta a la función determinante para los SEL simétricos. Por otro lado podemos ubicar tal cosa para los SEL no simétricos al igual mediante lo que conocemos de los métodos de solución algebraicos o lineales.

En este punto es donde podemos observar que la aplicación de las matrices en cuestión de los SEL se hace más presente ya que construimos una matriz en base a todos los coeficientes de las ecuaciones de un sistema, denominándola como matriz de coeficientes.

Dicha matriz nos permite conocer todos aquellos aspectos que involucran a un SEL tales como: su posible solución, su posible SEL asociado, su posible descomposición, etc.

Logrando de esta manera trabajar con el SEL sin la necesidad de acarrear consigo toda la expresión que pudiera involucrar cada ecuación por tanto el núcleo de un sistema de ecuaciones lineales gira respecto a lo que conocemos de sus coeficientes.

Por ello podemos utilizar la matriz de coeficientes y someterla a fin de conocer su determinante, como es posible observar en el siguiente ejemplo:

Ejemplo.

Dado el siguiente SEL:

Construimos la matriz de coeficientes denominándola como:

Seguido calculamos la función determinante para la matriz de coeficientes, obteniendo:

El conocer el valor del determinante nos proporciona una especie de medida a fin de verificar si un determinado SEL posee un número de soluciones pudiendo afirmar si un sistema posee una, varias o ninguna solución.

A lo cual decimos que un SEL es compatible determinado o tiene una solución única solo sí tenemos que el valor del determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, es decir: . Por otro lado decimos que un SEL es compatible indeterminado o incompatible solo sí tenemos que el valor del determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, es decir:

Lo que define en completo si un sistema es compatible indeterminado o incompatible en esta última instancia es prácticamente lo que pudiéramos conocer de cada uno de los valores del posible vector solución (es decir x1,x₂). Como más adelante tendremos la oportunidad de observar en el tema 3.4, precisamente en la regla de Cramer.

Ahora bien está misma cuestión de la verificación en lo que respecta a los SEL no simétricos, se realiza en muchas de las ocasiones al aplicar algunos de los métodos de solución como pudieran ser: método de Gauss, algoritmos numéricos, descomposición de matrices, etc. Encontrando en el proceso de su ejecución si es un SEL compatible determinado, compatible indeterminado o simplemente incompatible.

En lo que respecta a los textos de álgebra lineal tradicionales y modernos generalmente el estudio se centra en los SEL simétricos por la razón de que en ellos viven o tienen existencia una serie de conceptos exclusivos del álgebra lineal, los cuales son muy necesarios para lograr explicar con claridad otros conceptos a medida que se vayan presentando. Tales como pudieran ser: cofactor, menor, matriz inversa, método de Gauss-Jordan, determinante, etc.

El tener una clasificación en lo que se refiere a las condiciones de solución de un SEL (número de soluciones) nos hace replantear un escenario gráfico posible que ilustre la situación que puede presentársenos al analizar un sistema que posea solución, que no posea, etc.

Como podemos observarlo en el siguiente tema...

3.3.- Interpretación geométrica de las soluciones

Desde la antigüedad el ser humano conocía la importancia de una perspectiva gráfica acerca de un problema determinado, ya que nos permite estudiar y comprender si mismo desde otro punto de vista independientemente al que nos podría proporcionar un medio analítico (fórmulas).

Razón por la cual hubo un gran esfuerzo de parte de muchas personas por definir lo que hoy en día un sistema de coordenadas logra efectuar. Permitiéndonos de esta manera asociar a las distintas ecuaciones que se nos podrían presentar una predisposición gráfica o interpretación geométrica.

Como es el caso de la ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado implícitas en un SEL, en donde asociamos una recta como aquella interpretación geométrica posible de dicho tipo de ecuaciones de ahí el concepto lineal.

¿Por qué una recta y no otro elemento de la geometría?

Por el motivo de que en el estudio de la geometría analítica (otra área de las matemáticas) se observó y se analizó cada uno de los componentes existentes en una ecuación de primer grado. Ya sea en cualesquier modalidad de representación que se encuentre: manera explícita o manera implícita.

Percatándose de que existían componentes como: la pendiente (razón de cambio) y el término independiente. Qué en cierto sentido siempre mostraban una especie de constante a lo largo de la evolución de sus valores, lo cual llevo a replantear que tal tipo de ecuación sin importar que valores pudiese tomar o arrogar como función siempre preservaría una relación lineal. Tal cosa fue posible observarse ya en concreto en la representación gráfica de sí misma mediante el concepto de coordenada rectangular.

Nota: A lo largo de la publicación empleamos x1,x₂ o x₃ para expresar las diversas incógnitas que en otras publicaciones podrían estar denotadas respectivamente como: x, y, z. Ambas maneras son totalmente equivalentes sólo es otra forma de expresar lo ya tradicional en términos de otras literales.

Interpretación geométrica de una ecuación lineal mediante un sistema de coordenadas rectangular

Como podemos observar ambas maneras de representación en lo que se refiere a las ecuaciones nos conducen al mismo enfoque (una línea recta).

Anexo: El lector que desee experimentar más con esta cuestión puede ingresar al archivo Ejemplo_3_Rectas.ggb ubicado dentro del archivo comprimido a disposición en los agradecimientos de la publicación.

Ahora que ya conocemos cual es la interpretación geométrica que podría tener una ecuación lineal asociada podemos encontrar un sentido al hecho de la solución de un SEL o a sus posibles estados.

Ya que cuando nos disponemos a buscar la solución a un sistema de algún modo estamos estudiando al igual su representación gráfica, por ello podemos asociar como una solución al sistema aquella intersección posible entre el número de rectas que pudiesen generar el número de ecuaciones.

Lo cual nos da la oportunidad de poder especificar cuando un SEL tiene solución mediante la siguiente clasificación:

Clasificación de la solución a un SEL mediante su interpretación geométrica

Rectas con un punto de intersección >> solución única

Rectas paralelas (ningún punto de intersección) >> ninguna solución

Rectas coincidentes (número infinito de intersecciones posibles) >> infinitas soluciones

3.4.- Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

Consideramos como métodos de solución aquel conjunto de procedimientos y técnicas utilizadas a fin de conocer el vector o vectores de solución que podrían tener un cierto SEL.

Dichos métodos los tendemos a clasificar de manera más general de la siguiente forma:

Métodos algebraicos

Métodos lineales

Ambos tipos de métodos tienen el objetivo de proporcionar una posible solución a un SEL. Más aun la manipulación o proceso involucrado en un cierto tipo puede ser un poco más complicado y laborioso con respecto a otro, como podría observar en los métodos algebraicos.

Así mismo dichos tipos de métodos lo subclasificamos básicamente en lo que se conoce como:

Métodos algebraicos

Sustitución

Igualación

Sumas y restas (reducción)

Métodos lineales

Regla de Cramer

Método de Gauss

Método de (Gauss-Jordan)

Método de la inversa

Toda esta clasificación será abordada en lo que respecta a éste tema con el objetivo de mostrar la efectividad y eficacia prestada por parte de los métodos lineales sobre los métodos algebraicos (es decir la transición métodos).

Métodos algebraicos

Sustitución

Dicho método consiste en aprovechar aquella lógica que nos puede proporcionar una incógnita de una ecuación al ser puesta en función de otra ecuación.

Básicamente lo que hacemos es colocar en función una incógnita obtenida en base al despeje de una ecuación sobre otra ecuación en el sistema, esto con el objetivo de anular una incógnita y así poder ir determinando una a una las posibles incógnitas del sistema.

Ejemplo

Dado el siguiente SEL:

Realizamos el despeje de una incógnita de cualquiera de las dos ecuaciones para nuestro ejemplo utilizamos la primera ecuación despejando x₂, tal como puede observarse:

Seguido colocamos en función la incógnita despejada en otra ecuación del sistema para nuestro en la segunda ecuación de la siguiente manera:

Ya en este punto tenemos la mitad del trabajo necesario para la búsqueda de una solución al SEL propuesto, lo único que queda por hacer es poner en función (sustituir) el valor de la incógnita conocida sobre una ecuación y conocer el valor restante de la incógnita faltante por conocer a fin de completar la solución al sistema.

Dicha sustitución para nuestro ejemplo la efectuamos en la primera ecuación, tal como se muestra:

Con esto concluimos la aplicación del método algebraico de la sustitución, teniendo como solución al SEL los valores siguientes:

Para comprobar si dichos valores son correctos simplemente los ponemos en función (sustitución) en el sistema y comprobamos que se verifiquen las igualdades de las ecuaciones del sistema, como es posible observar a continuación:

Igualación

Dicho método se podría decir que es una variante del "método de sustitución", pues en tal método se realiza prácticamente lo mismo a excepción de que se efectúa en todos los elementos del SEL. Obteniendo de esta manera una ecuación madre o ecuación principal de la cual se va generando poco a poco la solución del sistema.

Ejemplo

Dado el siguiente SEL:

Realizamos el despeje de cada una de las ecuaciones del sistema con respecto a una de las incógnitas que puedan existir para nuestro caso utilizaremos la incógnita x₂, tal como puede observarse:

Primera ecuación

Segunda ecuación

Seguido establecemos que ambos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes en cierto sentido más allá de la posible representación de las ecuaciones, teniendo como igualdad lo siguiente:

Entendido el concepto de sistemas equivalentes, debido a que tenemos las ecuaciones del SEL del lado derecho como funciones lineales podemos establecer una ecuación principal que involucra a la incógnita x₂ como es posible observar a continuación:

Ecuación principal

En este punto en base a la igualdad anterior buscamos conocer el valor de la incógnita x₁ a fin de tener la mitad del proceso necesario para la búsqueda de la solución al SEL.

Por último ponemos en función el valor de la incógnita conocida sobre alguna ecuación en cualesquiera de los sistemas equivalentes (para nuestro caso lo sustituimos en la segunda ecuación del SEL dado), tal como se muestra a continuación:

En conclusión tendríamos que la solución al SEL propuesto originalmente está dada por los valores siguientes: .

Para comprobar si dichos valores son correctos simplemente los ponemos en función (sustitución) en el sistema y comprobamos que se verifiquen las igualdades de las ecuaciones del sistema, como es posible observar a continuación:

¿Será posible que un SEL con más de 2 incógnitas sea posible solucionar por el método de la igualación?

Sí, con el detalle que la complejidad de los procesos algebraicos puede llegar a ser muy alta de tal manera que podría prácticamente ser imposible calcular la solución, razón por la cual generalmente los métodos algebraicos no son utilizados para sistemas de ecuaciones lineales de dimensiones mayores.

Sumas y restas

Consideramos como método (sumas y restas) o reducción aquel método el cual emplea el concepto de la multiplicación de una ecuación por un (escalar o factor) para después utilizarla como elemento a sumar o restar permitiendo la cancelación de una incógnita a fin de conocer el valor de una incógnita restante.

Y poder de esta manera encontrar la solución completa a un SEL debido al hecho de que ya se tiene la mitad del proceso necesario y sólo se requiere conocer el valor de la otra incógnita.

Como ya conocemos dicho método constituye uno de los orígenes de la función determinante, misma función la cual es muy importante dentro del álgebra lineal como ya mencionamos en la definición del determinante.

En términos de definición cuando aplicamos tal método aplicamos el siguiente desarrollo algebraico...

Supongamos que tenemos el SEL siguiente:

SEL generalizado (ninguno de sus coeficientes es nulo)

Y en primera instancia aplicamos como factor o escalar a las ecuaciones algún coeficiente del sistema (para nuestro caso b₂ en la primera ecuación y b₁ en la segunda ecuación del sistema), tal como se muestra:

En este punto después de aplicar un escalar a cada una de las ecuaciones podemos observar que tanto la ecuación 1 como la ecuación 2 poseen en común el término , por lo cual lo que hacemos es formular una especie de suma o resta dependiendo del signo de aquel término en común con las ecuaciones de tal manera que sea posible anular dicho término en común, a fin de cancelar la incógnita x₂ y poder determinar el valor de la incógnita x₁.

Nota: La suma o resta a efectuar se realiza en ambos lados de las ecuaciones de tal manera que tenemos un escenario como el siguiente:

Donde x₁ existe sólo sí esto por el lado de dicha incógnita. Por otro lado en términos de x₂ tenemos un escenario más o menos similar de tal manera que definimos a dicha incógnita como:

Donde x₂ al igual existe sólo sí la expresión: . Como podemos percibir dicha expresión constituye ser el determinante de la matriz de coeficientes formada con el anterior SEL en donde su inexistencia corroborá si el sistema tiene una solución o no (véase definición del determinante).

Por último ponemos en función el valor de la incógnita conocida sobre alguna ecuación del sistema a fin de conocer el valor de la incógnita restante y por tanto la solución completa (x₁,x₂) esto dependerá en gran medida sobre que incógnita hayamos cancelado con alguno de los desarrollos algebraicos anteriores.

Básicamente el método sumas y restas consiste en el desarrollo algebraico anterior, en términos de un ejemplo esto ya puede verse un poco más simplificado pues no posee toda la terminología del álgebra que podría confundir al estudiante o lector.

Ejemplo

Dado el siguiente SEL encontrar la solución mediante el método sumas y restas (reducción):

En primera instancia aplicamos como factor o escalar a las ecuaciones algún coeficiente del sistema para nuestro caso (5) en la primera ecuación y (3) en la segunda ecuación del sistema, tal como se muestra:

En este punto después de aplicar un escalar a cada una de las ecuaciones podemos observar que tanto la ecuación 1 como la ecuación 2 poseen en común el término 15x₂, por lo cual lo que hacemos es un formular una especie de suma o resta con las ecuaciones de tal modo que sea posible anular dicho término en común, a fin de cancelar la incógnita x₂ y poder determinar el valor de la incógnita x₁.

Por último ponemos en función el valor de la incógnita conocida sobre alguna ecuación del sistema a fin de conocer el valor de la incógnita restante para nuestro caso elegimos la primera ecuación del sistema, tal como es posible observar:

Con esto tenemos que la solución a nuestro SEL está dada por los valores siguientes:

Para comprobar si dichos valores son correctos simplemente los ponemos en función en el sistema y comprobamos que se verifiquen las igualdades de las ecuaciones del sistema en esta ocasión lo reservamos al lector o al estudiante la comprobación.

Métodos lineales

Regla de Cramer

Es en estos métodos donde la utilidad en su totalidad del álgebra lineal a través del concepto de matriz y función determinante se refleja de una manera más clara y concisa.

Pues utilizamos la matriz de coeficientes del respectivo SEL para determinar su solución.

La regla de Cramer básicamente se trata acerca de construir los valores de una posible solución mediante el determinante de aquella matriz resultado de la sustitución de un vector columna construido de los términos independientes sobre cada una de las columnas de la matriz de coeficientes principal.

Estas soluciones poseen dos partes o mejor dicho se encuentran de forma fraccionaría, en donde la parte del numerador es formada precisamente por el determinante de la sustitución y la parte del denominador por el determinante de la matriz de coeficientes del sistema.

Por ello los valores de la solución a un sistema de acuerdo a esta regla quedan dictaminados por la siguiente expresión:

Donde cada xi es un valor de la solución y cada Ai es una matriz en la cual se sustituyó un vector columna sobre la matriz de coeficientes en una cierta columna. Es necesario para que un sistema tenga una solución que el determinante al igual sea distinto de cero.

Ejemplo de la regla de Cramer

Dado el siguiente SEL:

Construimos su matriz de coeficientes obteniendo lo siguiente:

Nota: A fin de no realizar todo el proceso siguiente, se asume que la primera acción del estudiante o lector después de haber construido la matriz de coeficientes es verificar las condiciones de solución bajo el determinante de la matriz. Claro está siempre que pueda aplicarse, de no tener solución el sistema por lo que conocemos hasta este momento nos detenemos en la búsqueda de una solución de lo contrario continuamos con el siguiente proceso.

Identificamos cuales son los elementos del vector columna a base de los términos independientes de las ecuaciones y formamos el siguiente vector:

Ahora sustituimos los valores de dicho vector sobre cada una de las columnas de la matriz de coeficientes sin repetir alguna, conformando las matrices siguientes:

Por último calculamos los elementos de los numeradores y el denominador mediante la función determinante y construimos las fracciones que comprenderán cada valor de la solución del SEL, tal como podemos observar a continuación:

Nota: Se simplificaron las fracciones por el hecho de que su máximo común divisor es 4.

Ya en este punto podemos afirmar que la solución al sistema está conformada por el vector solución:

La comprobación a esto al igual que los métodos algebraicos podemos ubicarla respecto a la sustitución de los valores (x₁,x₂,x₃) en el correspondiente sistema, tal como se muestra a continuación:

Nota: Solemos hablar de la solución en términos de un vector en lo que se refiere a los métodos lineales, por el contrario solemos hablar en términos de una posición o punto cuando nos referimos a los métodos algebraicos. Más aun ambas maneras de asociar a la solución de un SEL son totalmente equivalentes, la razón del porqué en unos métodos llamamos de una forma u otra a la solución tiene que ver en parte al enfoque de la álgebra lineal ya que en su mayoría estamos tratando con matrices (siendo el vector un tipo de matriz precisamente).

Método de Gauss

Consideramos como método de Gauss aquel método que hace uso de las transformaciones elementales por renglones para lograr convertir una matriz de coeficientes dada en una matriz triangular superior o mejor aún en una matriz escalonada.

¿Por qué es relevante tener una matriz escalonada de una matriz de coeficientes?

Por el motivo de que una matriz escalonada de una matriz de coeficientes nos proporciona un panorama simplificado. Es decir, nos proporciona una matriz en cierto sentido equivalente a la original pero que en términos algebraicos posee una cancelación de incógnitas lo cual se traduce en un menor trabajo al tratar de conocer la solución de un SEL.

Permitiéndonos lograr conocer cada uno de los valores posibles de la solución mediante el despeje de una serie de ecuaciones desde el último elemento de la diagonal principal hacia el primero.

Teniendo en cuenta un escenario como el siguiente:

Matriz de coeficientes

Donde la matriz anterior representa una matriz de coeficientes en forma de matriz escalonada o matriz triangular superior debido a unas transformaciones elementales por renglones aplicadas. Y cada aij de la matriz representa el valor de 1.

Nota: Es común asociar a la matriz escalonada al igual como una matriz triangular superior pues al fin y al cabo es exactamente lo mismo con la única diferencia de poseer en la diagonal puros elementos igual a uno (1). Por ello no existe una gran distinción si se le llama escalonada o triangular superior a la matriz del proceso.

Ahora bien para la ejecución de este método no solo trabajamos con la matriz de coeficientes sino que dicho proceso de aplicar las transformaciones y convertir una matriz a una forma escalonada se realiza en lo que conocemos como el tipo de matriz aumentada.

Tal tipo constituye ser una matriz de coeficientes de un SEL sólo que ahora anexamos también los términos independientes del sistema (es decir los términos del lado derecho de cada ecuación) por lo que básicamente tenemos un vector columna de los términos independientes en unión con la matriz de coeficientes, como se muestra a continuación:

O lo que es igual:

Ya en una parte del proceso de las transformaciones elementales por renglones logramos tener una matriz aumentada como la siguiente:

O lo que es igual:

En donde la matriz A* justamente es la matriz escalonada de la matriz de coeficientes dada y el vector columna b* es el vector de los términos independientes después de las transformaciones.

Por ello las transformaciones elementales por renglones no sólo serán aplicadas a la matriz de coeficientes sino que también serán aplicadas al vector columna anexado en la matriz aumentada. Convirtiendo la matriz de coeficientes y el vector columna en otros elementos equivalentes en cierto sentido.

Nota: Cabe destacar que la notación que pudiéramos utilizar para referirnos a una cierta matriz es solamente un medio el cual puede ser utilizado para expresar otros elementos. Así mismo esto no significa que forzosamente tenga que expresar un cierto elemento sólo es cuestión de una notación como podría observarse en la notación que asociamos a la matriz escalonada anterior y a la adjunta de una matriz a lo largo de la misma publicación.

¿Cómo es que se construye la serie de ecuaciones que nos permite ir conociendo poco a poco los valores de aquella solución a un sistema?

La respuesta a ello la podemos ubicar en el hecho de la eliminación de abajo hacia arriba de cada una de las incógnitas. De modo que cuando pasemos al siguiente elemento de la diagonal principal ya debemos conocer los anteriores valores de las incógnitas.

Logrando que cada ecuación nos vaya proporcionando el valor de una incógnita en base a que ya sabemos de las incógnitas necesarias para conocer esta última.

Autodefiniéndose de esta forma la solución al SEL planteado.

Ejemplo del método Gauss

Dado el siguiente SEL:

Construimos su matriz aumentada obteniendo lo siguiente:

Mediante la matriz de coeficientes A y el vector columna b:

Seguido aplicamos las transformaciones elementales por renglones a la matriz aumentada a fin de tener A* del lado derecho (es decir la matriz escalonada) con el objetivo de poder aplicar el concepto de la serie de ecuaciones en unión con el vector columna b* que resulte de las transformaciones, tal como se muestra:

Ya en este punto lo único que nos queda por hacer a fin de conocer la solución del sistema en su totalidad, es construir la serie de ecuaciones empezando por x₃ que nos permitirán conocer cada uno de los valores de las incógnitas que conforman a tal.

Mediante la sustitución de las incógnitas ya conocidas, tal como se muestra a continuación:

Teniendo como conclusión que la solución al SEL se ubica en el vector solución:

La comprobación al igual que los métodos algebraicos podemos ubicarla respecto a la sustitución de los valores (x₁,x₂,x₃) en el correspondiente sistema, como puede observarse:

Método de Gauss-Jordan

Dicho método constituye ser una variante del método de Gauss con la diferencia de que aquí no se busca tener una matriz escalonada sino una matriz escalonada reducida.

Razón por la cual aquel proceso que pudiésemos haber seguido al resolver el ejemplo del método anterior es igual con el detalle de que continuamos aplicando las transformaciones elementales por renglones hasta tener la matriz escalonada reducida o dicho de otro modo la matriz identidad de un lado.

Ejemplo del método de Gauss-Jordan

Dado el mismo SEL utilizado en el método de Gauss:

Construimos su matriz aumentada obteniendo lo siguiente:

Mediante la matriz de coeficientes A y el vector columna b:

Seguido aplicamos las transformaciones elementales por renglones a la matriz aumentada a fin de tener A* del lado derecho que en está ocasión representa una matriz escalonada reducida, con el objetivo de poder tener de una manera directa los valores de la solución sin acudir a la serie de ecuaciones utilizadas en el método anterior, tal como se muestra:

Teniendo como conclusión que la solución al SEL se ubica en el vector solución:

Cabe destacar que en los métodos lineales en cuestión de la comprobación de la solución se habla más en términos de un vector columna por el concepto de que se utiliza las operaciones con matrices.

Por ejemplo, dado el anterior SEL conocemos que es posible extraer su matriz de coeficientes y su vector solución más aun esto es posible gracias a los fundamentos de la multiplicación de matrices los cuales nos permiten establecer una ecuación del tipo:

Donde A es la matriz de coeficientes del sistema, b es el vector columna de los términos independientes y x es el vector solución del sistema. Siendo la multiplicación de matrices entre A y x el resultado del SEL, en donde al efectuar dicho producto podemos reiterar que tenemos la solución adecuada a nuestro vector de términos independientes:

¿Por qué es útil tener en cuenta la representación de un SEL a base de una ecuación de matrices?

Por el concepto de que nos permite entender a pocos rasgos el rol de una solución en lo que respecta a una cierta matriz de coeficientes. A base de la comprensión de que la solución al SEL se encuentra ligada por una simple composición de vectores tal como se muestra en el ejemplo anterior.

Método de la inversa

Denominamos como método de la inversa aquel método lineal cuya búsqueda de solución a un SEL se basa en lo que conocemos acerca de la manera de ejercer operaciones con las matrices, así mismo como expresarlas en una ecuación.

De tal manera que aprovechamos la notación especificada en el método de Gauss-Jordan:

Donde A es la matriz de coeficientes del sistema, b es el vector columna de los términos independientes y x es el vector solución del sistema. Esto con el objetivo de tener un marco de referencia definido en el cual visualizar el posible despeje (por así decirlo) del vector solución más fácil.

Lo cual nos permite poder entender con claridad lo que un despeje en una ecuación de matrices representa, debido a que ya conocemos las reglas de transposición de términos en ecuaciones tradicionales pero en el caso de las matrices estas no son del todo aplicables. Por el hecho de que la multiplicación de matrices no es el mismo sentido que la multiplicación común, hecho el cual cambia por completo el panorama al ejercer operaciones sobre una ecuación de matrices.

De tal manera que sí quisiéramos despejar (x) y encontrar la solución al SEL tendríamos que efectuar las siguientes operaciones con matrices:

En donde b* representaría ya el vector solución (x) y (I) la matriz identidad con respecto al orden del SEL. Como puede percibirse el sentido en que antepongamos los términos del lado izquierdo en el caso de la inversa no afecta la solución debido a que dicha matriz es admisible a multiplicarse de las dos maneras con la matriz de coeficientes por aquello del criterio de las dimensiones contrariamente a lo que podemos ubicar del lado derecho de la ecuación en donde el vector columna b en unión con la inversa de A no puede efectuarse en otro sentido.

Nota: Cabe destacar que los elementos que se manipulan en la ecuación anterior tienen dimensiones acorde al orden del SEL, por ello la matriz A posee un orden n al igual que la matriz A⁻¹; con la diferencia de que el vector columna x y b poseen unas dimensiones (n x 1).

Básicamente la noción del método es aprovechar lo que el álgebra de matrices nos ofrece a través de sus operaciones y propiedades logrando manipular una ecuación de matrices hasta encontrar el vector solución al sistema propuesto.

Ejemplo

Dado el mismo SEL utilizado en el método de Gauss y Gauss-Jordan:

Construimos los elementos necesarios a fin de establecer la ecuación de matrices que nos permita conocer la solución al sistema, tal como se muestra:

Seguido establecemos la ecuación:

Ahora bien, lo que queda por calcular es prácticamente la matriz inversa de la matriz de coeficientes A... Esto lo podemos efectuar en base a los métodos que ya conocemos para calcular la matriz inversa (ya sea por medio de la adjunta o por medio de las transformaciones elementales por renglones).

Más aun no efectuaremos tal cosa a través de estos métodos sino que tal será calculada mediante la aplicación de la regla de Cramer para ello, tal como podemos observar a continuación:

En primer instancia lo que hacemos es formular un SEL semejante al dado pero con la diferencia de poseer en sus términos independientes (variables) por ello ahora no tenemos términos constantes como términos independientes sino variables, como se puede observar:

Nota: La utilización de lambda como variable es alternativa sólo es un medio utilizado por los autores para expresar el concepto de variable precisamente en esa ubicación.

Una vez entendido la idea clave aplicamos exactamente el mismo proceso que podemos encontrar en la regla de Cramer para un SEL común, es decir construimos la matriz de coeficientes, el vector columna de términos independientes así como las matrices que resulten de la sustitución de éste último vector sobre cada una de las columnas de la matriz de coeficientes.

Debido a que ya tenemos la matriz de coeficientes y el vector columna lo que hacemos es calcular lo restante, como es posible observar a continuación:

Por último calculamos los elementos de los numeradores y el denominador mediante la función determinante y construimos las fracciones que comprenderán cada valor de la solución al SEL, tal como podemos observar a continuación:

Con el detalle que al tener un SEL con un vector de términos independientes que son variables la solución no se encuentra definida en concreto por un valor sino por unas funciones lineales de (lambda-variables) en donde cada valor por así decirlo constituye una fila de la matriz inversa.

De modo que si formamos una matriz de coeficientes con estas funciones lineales obtenemos la matriz inversa de la matriz de coeficientes originalmente dada, es decir los coeficientes numéricos de las funciones lineales son los elementos de la matriz inversa.

Tal como se muestra a base del criterio de comprobación siguiente:

Nota: Cabe destacar que en este punto en donde tenemos que la matriz inversa en realidad es una parte de las funciones lineales que definen todo el margen de soluciones posibles para un SEL originalmente dado, sabemos que si conocemos los valores del vector columna de términos independientes (es decir los valores de lambda) únicamente los sustituimos sobre las funciones lineales he inmediatamente podemos conocer la solución al SEL para un cierto vector. La utilidad en completo se ubica en que estas funciones lineales precisamente nos sirven como solución total y elementos conformadores de la inversa.

En está ocasión no optaremos por poner en función los valores de lambda conocidos, ya que no es el caso del método sino que únicamente se incluyó éste medio de calcular la inversa a fin de expandir el margen de medios posibles para calcular la matriz inversa de una matriz dada.

Ahora que ya poseemos la matriz inversa de la matriz de coeficientes dada, lo que hacemos es continuar con el desarrollo del método de la inversa:

En donde multiplicamos en ambos lados de la ecuación la matriz inversa a fin de conocer el vector solución del SEL dado.

Como es posible observar en la siguiente imagen:

Existe una parte en el desarrollo anterior en el cual se muestra la relación directa de un SEL asociado mediante el vínculo de una matriz inversa, en donde el sistema asociado con una solución basada en el vector columna de términos independientes del original SEL es precisamente la solución al primer SEL planteado. Tal como se muestra en la expresión de la ecuación:

Esto quiere decir que la solución a un SEL planteado se ubica respecto al SEL construido con la matriz inversa y con solución igual al vector de términos independientes. Por ello la matriz inversa de una matriz dada define la solución al SEL originalmente otorgado y una matriz dada define la solución al SEL construido con su matriz inversa.

He aquí reflejada la utilidad del método de la inversa sobre otros métodos lineales para la determinación de la solución posible de un SEL.

3.5.- Aplicaciones

Dicho tema complementa aquellas aplicaciones de las matrices y determinantes proporcionadas a lo largo del capítulo anterior, ya que el margen de las posibles aplicaciones de los SEL es al igual ilimitado.

Sus aplicaciones prácticamente abarcan cualquier sector de la vida cotidiana donde sea necesario emplear datos de una manera correcta y ordenada, por ejemplo: ciencias sociales, economía, biología, administración, física, geografía, etc.

Así mismo la aplicación de los SEL acompaña a las matrices ya que donde existe la posibilidad de formular una matriz generalmente existe la posibilidad de formular un sistema de ecuaciones lineales sea o no (simétrico) en cuestiones de sus dimensiones.

Por obvias razones en está publicación no abordaremos todas las posibles aplicaciones debido a que sería imposible, pues todo el tiempo el hombre se encuentra buscando nuevas aplicaciones para lo ya existente. Por ello únicamente abordaremos aquellas aplicaciones que se consideren relativamente básicas e importantes para un público en general así como para la misma álgebra lineal.

Como pueden ser:

Determinación de fracciones parciales

Transferencia de calor

Ley de corrientes de Kirchhoff

Aplicación en procesos de manufactura

Determinación de fracciones parciales

Consideramos como determinación de fracciones parciales aquella aplicación que hace uso del conjunto de métodos y técnicas para dar solución a SEL a fin de tener los elementos necesarios (numeradores) para lograr construir una serie de fracciones parciales.

La utilidad de tal aplicación se ve reflejada al momento de abordar cuestiones de otras áreas de las matemáticas como podría representar el cálculo integral a través de la determinación de alguna integral o bien ecuaciones diferenciales a través de la transformada de Laplace, por mencionar sólo algunas áreas.

El hecho está en que existen procesos en matemáticas que requieren descomponerse con el objetivo de poder determinar su solución de una manera más sencilla o bien por otros motivos de alguna indeterminación por parte de las operaciones implícitas.

Momento en el cual entran en juego las fracciones parciales ya que estas son un medio para lograr expresar una cierta fracción algebraica (función racional) mediante el uso de otras fracciones más simples, dichas fracciones son aquellas denominadas como fracciones parciales.

Básicamente es tomar una fracción consideradamente compleja o dificultosa y expresarla en términos de otras más sencillas.

¿Cómo es que entran en juego los SEL en dicho proceso?

Estos nos ayudan a lograr construir dichas fracciones más sencillas a través de la determinación de los numeradores de tales. Ya que generalmente conocemos los denominadores de las fracciones parciales pero no conocemos los numeradores sino que el valor de estos se encuentra implícito en una serie de operaciones que nos conllevan a un SEL.

Motivo por el cual acudimos al álgebra lineal en busca de una solución.

¿Cómo es que se construye el SEL que nos permita conocer los numeradores de las fracciones parciales?

Para ello utilizamos la técnica empleada para resolver fracciones con distinto denominador, ya que por lo general las fracciones parciales no poseen igual denominador lo cual hace necesario recurrir a éste tipo de técnicas.

En donde el producto cruzado es lo que nos construye el SEL precisamente, tal como observar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Dada la función racional siguiente:

Lo que hacemos es expresarla en términos de unas fracciones más simples (parciales) por medio de la factorización posible de su denominador, teniendo como resultado lo siguiente:

Seguido aplicamos el producto cruzado a fin de determinar una expresión equivalente en cierto sentido al numerador de la función racional original dicho de otra manera tal producto cruzado consiste en el proceso utilizado para sumar dos fracciones con distinto denominador, como se muestra:

Ahora agrupamos los términos del lado derecho de manera que separamos lo términos que coinciden con una incógnita o sin una incógnita del lado izquierdo de la ecuación. Pues está agrupación dictaminará cual será los valores del vector de términos independientes en el SEL a formar por medio de sus coeficientes.

En donde el SEL tendrá como ecuaciones las agrupaciones de acuerdo a cada tipo de término del lado izquierdo, como se observa:

Razón por la cual especificamos el coeficiente numérico del término con una incógnita aunque por defecto conozcamos que originalmente no está dado en la función.

Como último paso para lograr expresar la función racional dada en términos de las fracciones parciales, resolvemos el SEL construido con el fin de conocer A y B numeradores de las fracciones parciales.

Nota: Esto lo hacemos a través del uso de la regla de Cramer debido al análísis de las dimensiones del sistema.

Ya en este punto lo único que hacemos es sustituir los valores de A y B en las fracciones parciales igualadas verificando que se cumpla una equivalencia entre tales y la función racional originalmente dada, tal como se muestra:

Cabe destacar que el mismo procedimiento realizado a lo largo de la determinación de las fracciones parciales para éste ejemplo, es el mismo utilizado para cualesquier otro tipo de expresión de fracciones parciales. El factor clave se encuentra en la agrupación de términos y el reconocimiento de los valores del vector de términos independientes del SEL a construir.

Con la diferencia de que los SEL que pueden englobar implícitamente los valores de los numeradores no necesariamente pueden corresponder a SEL lineales sino que pueden ser sistemas de ecuaciones cuadráticas, cúbicas, etc. Eso dependerá en gran medida de la complejidad que pueda tener una función racional (fracción algebraica) teniendo como opción a estos casos otros métodos de expresión.

Incluimos tal aplicación por el concepto de la necesidad que puede acarrear el abordar un problema de cálculo integral o ecuaciones diferenciales en estudios superiores.

Transferencia de calor

Dicha aplicación de transferencia de calor consiste en calcular el valor de la temperatura en un sistema en estado estable entorno al conocimiento de las temperaturas de alrededor para nuestro caso empleamos una placa como aquel sistema en el cual actuarán múltiples temperaturas en específico.

¿Cómo es que utilizamos los SEL para esto?

Los utilizamos con el objetivo de determinar aquellas temperaturas de alrededor conociendo que estás obedecen a una temperatura promedio dictaminada por una región tomada de la placa esto como consecuencia de una transferencia de calor. La cual puede variar dependiendo de que nodos sean tomados.

Ejemplo

Supongamos que tenemos una placa la cual representa una sección transversal perpendicular a otra placa y está posee cuatro temperaturas conocidas en el sentido de la brújula (TN,TS,TO,TE), de tal manera que la placa se encuentra segmentada en 12 regiones cuadradas por tres líneas verticales base y dos líneas horizontales.

Tal como se muestra:

En donde deseamos calcular cual es la temperatura promedio de los nodos (T₁,T₂,T₃,T₄,T₅T₆).

Nota: Las líneas base tanto verticales como horizontales son un medio para ilustrar básicamente en aquellos puntos donde una temperatura norte, sur, etc. afecta una cierta región de la placa a fin de conocer una temperatura en concreto.

Lo que hacemos en primera instancia es identificar cuáles son las temperaturas conocidas, es decir:

Estas generalmente son dadas o conocidas por la descripción de un problema ya que son el sustento por la cual se parte para tratar de dar solución a un problema.

Conocidas tales, ahora tomamos en consideración que la temperatura promedio de un cierto nodo estará dictaminada bajo una región de (4 nodos) elegidos de una manera (N,S,O,E) más próxima a la temperatura del nodo deseado. Pudiendo establecer por ejemplo para el nodo 1 (T₁) la siguiente expresión:

Y para los demás nodos lo siguiente:

Dividimos sobre 4 a fin de preservar una cierta equivalencia en lo respecta a los cuatro nodos de la región tomada para determinar la posible temperatura promedio.

Ya que establecimos las ecuaciones que vinculan a cada uno de los nodos podemos afirmar que poseemos un SEL como el siguiente:

Nota: Debido al medio en cómo fueron constituidas cada una de las temperaturas de los nodos a determinar, es prudente multiplicar dichas ecuaciones por el factor (4) con el objetivo de simplificar en cierto sentido el trabajo aritmético.

En donde utilizando las temperaturas de los sentidos (costados de la placa) es cómo fue posible definirlo.

Más aún es posible definir un SEL de 6 ecuaciones por 6 incógnitas si comprendemos que las temperaturas no tomadas están presentes aun cuando típicamente no se representen por el hecho de no producir ningún cambio en la temperatura a determinar.

Razón por la cual podemos observar el SEL anterior modelado en la matriz aumentada siguiente:

Para ejemplo de la búsqueda de solución al SEL construido emplearemos el método Gauss-Jordan llamado también rref por algunos software o sitios web especializados, con el detalle de que no especificaremos las operaciones ejercidas por el concepto del margen de operaciones (son muchas) más aun el lector o el alumno que desee comprobar la veracidad de esta solución puede copiar el siguiente código en el sitio web: wolframalpha.com

Código (Wolfram-Alpha)

Rowreduce{{4,-1,0,-1,0,0,49},{-1,4,-1,0,-1,0,34},{0,-1,4,0,0,-1,64},{-1,0,0,4,-1,0,41},{0,-1,0,-1,4,-1,26},{0,0,-1,0,-1,4,56}}

O bien puede observarla en la siguiente imagen:

En donde el vector columna b* anexado a la matriz de coeficientes del sistema contiene ya los valores definitivos de las temperaturas de los nodos de acuerdo a las condiciones impuestas en el problema, tal como se muestra:

Con esto damos por expresada aquella utilidad que podría brindarnos el álgebra lineal en lo que se refiere a un problema de transferencia de calor básico.

Ley de corrientes de Kirchhoff

Consideramos como ley de corrientes de Kirchhoff aquella aplicación que basa su noción en lo que conocemos de una de las leyes de Kirchhoff.

La cual nos dice que:

En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran en ese nodo es igual a la suma de las corrientes que salen. De forma equivalente, la suma de todas las corrientes que pasan por el nodo es igual a cero.

Hablamos de nodo, debido a que dicha ley es aplicable al estudio de la transferencia de corriente eléctrica a través de un circuito eléctrico mediante lo que conocemos de un análisis por malla.

En donde dado un circuito eléctrico analizamos cada uno de los nodos de éste o bien cada uno de los componentes que podrían existir (resistencias, bobinas, etc.) y en base a la corriente eléctrica entrante o saliente utilizamos la ley de corrientes de Kirchhoff para establecer una ecuación lineal que abstraiga la situación de una corriente entrante o saliente, de tal modo que sea posible determinar el valor final de estas corrientes.

Aplicando tal cosa en lo que se refiere a todo el circuito en general, de manera informal en caso de analizar la distribución de corriente por medio de nodos podemos decir que las corrientes que entran hacia un nodo tienen un sentido positivo y las corrientes que salen de un nodo tienen un sentido negativo.

Por otro lado en el caso de tener otros componentes eléctricos, lo que hacemos es verificar si la distribución de una cierta corriente comparte alguna rama de la malla de tal modo que afecte nuestra corriente a determinar.

Nota: Puede que no conozcamos el valor de una corriente eléctrica inicial, pero conozcamos características o propiedades que de antemano nos permitan establecer una ecuación en la cual pueda determinarse está de manera final o bien puede que conozcamos el valor inicial de la corriente pero no conozcamos el valor final de tal al pasar a lo largo del circuito. En ambas formas un SEL es útil ya nos permite emplear los conceptos del álgebra lineal en unión con los conceptos de la física en general, a fin de conocer un cierto valor o elemento necesario para resolver un problema.

¿Cómo es que utilizamos los SEL para esto?

Tomamos las ecuaciones lineales que hayan logrado construirse en base a lo que se conoce de la ley de Kirchhoff seguido formamos un SEL y finalmente al resolverlo conocemos aquellos valores en conclusión de múltiples corrientes o una sola después de haber recorrido el circuito eléctrico tomando en consideración una distribución muy variada o una serie de componentes eléctricos.

Tal como se muestra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo

Dado el siguiente circuito eléctrico:

Lo que hacemos es efectuar un análisis por mallas, es decir estudiamos la distribución de la corriente eléctrica I₁ a través de la malla 1 (el primer cuadro por así decirlo) estableciendo una ecuación lineal en base al elemento a determinar y los valores de los componentes eléctricos encontrados a lo largo del recorrido de la corriente por la malla 1.

Para este caso resistencias eléctricas, los valores de dichas resistencias nos servirán de referencia para definir en concreto la primer ecuación que contempla a la corriente I₁ de manera que cada valor de cada resistencia a su paso afectará como coeficiente al elemento a determinar.

Por ejemplo, en la corriente I₁ tenemos:

Como se puede percibir tomamos en consideración la corriente I₂ que viene de la malla 2 pues la malla 1 y la malla 2 comparten una rama en común, dicha rama afecta en un sentido negativo a nuestra corriente a determinar. Motivo por el cual es por ello que es incluida en la ecuación que abstraer la malla1 o bien nuestra corriente I₁.

Para las otras dos mallas restantes tenemos una situación similar en donde sus corrientes obedecen a las ecuaciones lineales:

Tomando en consideración al igual las posibles ramas compartidas en común y las corrientes que afectan a tales.

Ahora conociendo que existen 3 ecuaciones y 3 tipos de incógnitas podemos establecer que tenemos un SEL de (3 x 3) aun cuando no en todas las ecuaciones existan los 3 tipos de incógnitas, ya que no intervienen o afectan en todas las mallas que se encuentran presentes en el circuito.

Y lo que precisamente estamos tratando de efectuar al colocarlas en un SEL, es determinar y trabajar con los valores que no conocemos (incógnitas) como un sistema en conjunto. Razón por la cual está justificado que incluyamos todas las incógnitas en el SEL a construir.

Teniendo como consecuencia un SEL como el siguiente:

Nota: Debido a que en el proceso de solución del SEL no es necesario contar con la nomenclatura o unidades que puedan tener los valores de los componentes eléctricos o el voltaje de entrada tendemos a prescindir de esto únicamente dejando los valores numéricos, tal como puede observarse en la anterior imagen.

Por último lo que resta por hacer después de haber construido el SEL, es utilizar alguno de los métodos de solución que ya conocemos lineales o algebraicos a fin de conocer la solución del mismo.

Para ejemplo de la solución del SEL emplearemos el método de Gauss, tal como se muestra:

En este punto podemos afirmar que el método de Gauss, ha sido efectivo pues ya conocemos el valor de la incógnita (I₂) y con ello podemos determinar las otras incógnitas restantes, ya sea que pongamos en función dicho valor en la ecuación perteneciente a la malla 1 o a la malla 3. Esto dependerá en gran medida de que valor deseamos conocer primero de tal modo que podemos sustituir en ambas ecuaciones y obtener el vector solución al SEL en su totalidad, como es posible observar a continuación:

Si hubiéramos decido haber continuado con las transformaciones elementales en el proceso del método de Gauss prácticamente habríamos realizado el método de Gauss-Jordan y al igual obtendríamos la misma solución, tal como se muestra:

El lector o el estudiante que deseemos comprobar tal continuación puede seguir las transformaciones elementales indicadas en la transición de una matriz a otra y comprobar la veracidad de la solución presentada.

Aplicación en procesos de manufactura

Consideramos como aplicación en procesos de manufactura aquella aplicación de los SEL que nos permite conocer dadas unas condiciones iniciales el valor aproximado de elementos a ocupar a lo largo de un tiempo de producción.

Por ejemplo: un número de autos, un número de computadoras, un número de envases, etc. Tal clase de aplicaciones son comunes de observar en lo respecta a áreas de investigación de operaciones y administración de recursos.

Debido al vínculo tan cercano con los procesos de manufactura y logística los cuales son indispensables para la industria tan demandante de hoy en día. Las condiciones iniciales necesarias para lograr conocer en un SEL el valor de algún elemento a producir generalmente son otorgadas por los criterios de un problema y una serie de etapas.

Como es posible observar en el ejemplo siguiente...

Ejemplo

Autos Baja California fabrica tres modelos de autos: Sedan, SVU, Pick-Up. Para fabricar el Sedan requiere 11 horas de fabricación,4 horas para probarlo y 2 horas más para instalar componentes eléctricos adicionales al auto. Para un SVU requiere 9 horas de fabricación, 3.5 horas para probarlo y 1.5 horas más para instalar componentes adicionales. Y por último para un Pick-Up requiere 8 horas de fabricación, 3 horas para probarlo y 1 hora más para instalar componentes adicionales. Si la fábrica dispone en horas por mes de 600 para fabricación, 200 para pruebas y 100 horas para instalación de componentes eléctricos adicionales. ¿Cuántos autos se pueden producir en el lapso de un mes?

En primer instancia a fin de lograr la solución al problema identificamos aquellos elementos del mismo que deseamos conocer, tal como se muestra:

x₁ = Número de autos Sedan

x2 = Número de autos SVU

x₃ = Número de autos Pick-Up

Comprendido tal cosa ahora establecemos ecuaciones lineales individuales de cada una de las etapas necesarias para producir un auto. Involucrando cada uno de los modelos de tal manera que en las ecuaciones se comprenda la fabricación, pruebas e instalación de componentes adicionales.

Motivo por el cual logramos establecer precisamente un SEL de tres ecuaciones con tres incógnitas, como es posible observar:

En donde cada una de las ecuaciones engloba un proceso de la producción, es por ello que podemos igualar cada una de las incógnitas. Es decir, la cantidad de un cierto tipo de modelo de autos a un valor en concreto.

Fabricación

Pruebas

Instalación de componentes adicionales

Una vez identificadas las incógnitas y construido el SEL en base a las condiciones dadas por el problema. Elegimos uno de los métodos de solución abordados a lo largo del presente capítulo.

Para ejemplo del problema utilizaremos el método de la inversa como un medio para lograr la solución, así mismo para la determinación de la matriz inversa emplearemos el concepto de la aplicación de la función determinante a fin de calcular la matriz inversa de una matriz de coeficientes construida.

Llegando a obtener como resultado de tal proceso lo siguiente:

Ahora que ya tenemos la matriz inversa de la matriz de coeficientes del SEL simplemente construimos la ecuación (Ax=b) que se utiliza en el método de la inversa y multiplicamos en ambos lados de la misma dicha matriz obtenida, tal como se muestra:

Obteniendo de esta manera finalmente la solución al SEL propuesto por las condiciones del problema.

En lo que se refiere a la interpretación de los resultados (un valor negativo) nos dice que si seguimos con las mismas condiciones laborales dadas por el problema al cabo de un mes tendremos una perdida debido a la etapa de pruebas por 100 autos fabricados. Hecho el cual nos replantear si realmente las condiciones en las cuales se está laborando en la empresa son las adecuadas.

Concluyendo de esta forma la primera parte de dos publicaciones referentes a los fundamentos del álgebra lineal y obteniendo como reflexión que los SEL además de proporcionarnos la solución a un problema en manufactura y logística nos pueden otorgar un margen de verificación, a fin de ubicar si nuestras condiciones de laborar son o no las más apropiadas en base a la demanda actual.

Autores

Profesor (Lauro Enrique Soto Landeros) - A la izquierda, Raúl Antonio Zavala López - En medio y Roberto Llamas Avalos - A la derecha.

Raúl Antonio Zavala López.

Nací en Tijuana, Baja California Norte.

Actualmente soy estudiante del I.T.T (Instituto Tecnológico de Tijuana) es decir: futuro aspirante a (Ing. en Sistemas Computacionales).

Me considero una persona apasionada de las ciencias exactas, más específicamente de la (matemáticas y la programación en general), pues considero que tales nos permiten expresar fenómenos tan complejos con una simplicidad considerable... Tomando como criterio aquel mundo tan caótico donde vivimos actualmente.

La experiencia como estudiante así mismo como instructor de asesorías impartidas a alumnos del I.T.T, ha logrado consolidarme a tal grado de poder contextualizar todos aquellos problemas generalmente presentados como estudiante al momento de cursar un ambiente media-superior. Teniendo como producto algunas publicaciones principalmente destinadas a compartir un poco de mis conocimientos a todos aquellos estudiantes que lo requieran. Esto y muchas otras cosas más es lo que soy...

Twitter:@RauZaLo

Sitio web: raulzavala.com

Roberto Llamas Avalos. 

Nací el 8 de junio en Tijuana Baja California México, hijo de dos excepcionales personas, actualmente estudio en el Instituto Tecnológico de Tijuana (I.T.T) la carrera de Ingeniería en sistemas computacionales aunque previamente obtuve el título de técnico en electrónica.

Me interesan las matemáticas (se podría decir las ciencias exactas), al igual que su relación con la programación, debido a que esto es base para la creación de videojuegos. De igual manera me apasiona la física más precisamente la mecánica cuántica (aunque se fundamenta en la probabilidad), la existencia de fenómenos, eventos que ocurren en la naturaleza los cuales tratan de ser descritos matemáticamente por esta rama me intriga, otro aspecto que me cautiva de la mecánica cuántica es la computación cuántica y como revolucionará la computación y la programación, dando un cambio radical a lo que se conoce actualmente.

Tome la decisión de convertirme en autor de libros matemáticos y tratar de que estos sean lo más simples y sencillos posibles, debido a que pienso que las matemáticas deben ser simples y elegantes y no temidas por el estudiante promedio (sin generalizar), al ser estudiante e instructor de asesorías a colegas (alumnos), he podido comprender como y de qué forma se pueden abordar temas tan básicos que pueden tornarse complicados si estos no son comprendidos correctamente o temas tan complicados que pueden llegar a aterrar a los alumnos.

Twitter: @RobertoLlamasAv

Sitio web: robertollamasavalos.wix.com

 Bibliografía

Profesor Lauro Soto, prepafacil.com, 2010

Capítulo 1: 

Definición y origen

Operaciones fundamentales

Teorema de De Moivre

Ecuaciones polinómicas

Capítulo 2: 

Definición

Operaciones con matrices

Transformaciones elementales por renglón

Definición de determinante

Inversa de una matriz y adjunta

Capítulo 3: 

Ecuaciones de primer grado

Relación lineal

Métodos algebraicos

Método suma y resta

Método de sustitución

Método de igualación

Método de determinantes

Interpretación gráfica de sistemas lineales