Al igual que, siglos atrás, la física realizó grandes avances gracias a que científicos como Galileo, Kepler o Newton se atrevieron a buscar las estructuras matemáticas que subyacen a la realidad, en Demostrado a Darwin, el autor aspira a descubrir las estructuras algorítmicas de la biología.

De este modo, Gregory Chaitin nos introduce en la metabiología, una disciplina relativamente nueva en la que las matemáticas se convierten en un valioso aliado de la biología. Chaitin recurre a los primeros teóricos de la computación, como John von Neumann, Alan Turing o Kurt Gödel —cuyos trabajos dieron pie, a mediados del siglo XX, a la noción de software y a la creación de los primeros ordenadores—, y presenta un modelo matemático que demuestra uno de los postulados fundamentales de la teoría darwinista de la evolución: la selección natural de las especies a través de las mutaciones azarosas. Al equiparar el ADN con un software natural, Chaitin no sólo inaugura un debate científico fascinante, sino que nos obliga a mirar de modo muy novedoso tanto la biología como las matemáticas.

Gregory Chaitin

Demostrando a Darwin

La biología en clave matemática

Metatemas: 124

ePub r1.0

Rob_Cole 13.02.2017

Título original: Proving Darwin. Making Biology Mathematical

Gregory Chaitin, 2012

Traducción: Dulcinea Otero-Piñeiro

Retoque de cubierta: Rob_Cole

Editor digital: Rob_Cole

ePub base r1.2

Dedicado a John von Neumann (1903-1957),
matemático excepcional

Una parábola

Un joven estudiante rabínico acudió una vez a oír tres conferencias de un rabino de renombre. Después contó lo siguiente a sus amistades: «La primera charla fue brillante: clara y simple. Entendí cada palabra. La segunda fue aún mejor: profunda y sutil. No entendí mucho, pero el rabino lo entendió todo. La tercera fue con gran diferencia la más excelsa: una experiencia fabulosa e inolvidable. No entendí nada y tampoco el rabino entendió gran cosa».

Niels Bohr, extraído de Niels Bohr’s Times, de Abraham Pais

¿Citas contradictorias?

La posibilidad de que las formas de vida más complejas surgieran de este modo [por evolución darwiniana] es comparable a la probabilidad de que un tornado pasara por un desguace y ensamblara un Boeing 747 con los materiales que allí hubiera.

Fred Hoyle, El universo inteligente, 1983.

En mi opinión, si la teoría de Darwin es tan simple, fundamental y básica como creen sus adeptos, entonces tendría que existir una teoría matemática sobre ello igualmente fundamental y que expresara estas ideas con la generalidad, la precisión y el grado de abstracción que acostumbramos exigirle a las matemáticas puras.

Gregory Chaitin, «Speculations on Biology, Information and Complexity», EATCS Bulletin, febrero de 2007.

Las matemáticas son capaces de tratar con éxito únicamente las situaciones más simples o, por decirlo con más precisión, sirven para tratar las situaciones complejas tan sólo cuando una rara buena fortuna hace que esa situación compleja dependa de unos pocos factores dominantes simples. Fuera de la senda bien trazada, las matemáticas se pierden en una jungla de funciones especiales sin nombre y de particularidades combinatorias impenetrables. De modo que la técnica matemática sólo puede llegar lejos si parte de un punto cercano a los elementos esenciales de un problema que posea tales elementos esenciales. Una forma de conocimiento que se oponga a la idea única y fija, es decir, la capacidad de manejar al mismo tiempo muchos hilos, de derivar un razonamiento a partir de muchas fuentes dispares, es bastante ajena a las matemáticas.

Jacob T. Schwartz, «The Pernicious Influence of Mathematics on Science» (1960), en Discrete Thoughts: Essays on Mathematics, Science, and Philosophy, edición de Mark Kac, Gian-Carlo Rota y Jacob T. Schwartz, 1992.

Resolver problemas y teorizar sobre ellos
Gian-Carlo Rota[1]

Los matemáticos se pueden dividir en dos clases: los que resuelven problemas y los que teorizan sobre ellos. La mayoría de los matemáticos es una mezcla de ambos tipos.

Para quienes resuelven problemas, el mayor logro matemático consiste en solucionar un problema que se haya dado por imposible. Poco importa si se trata de una solución chapucera; lo único que cuenta es que pueda ser la primera y que la demostración sea correcta. Cuando el resolvente de problemas da con la solución, pierde para siempre el interés por ella y oirá otras demostraciones nuevas y más simples con aires de condescendencia teñidos de aburrimiento.

Quien se dedica a resolver problemas es, en el fondo, un conservador. Para él las matemáticas consisten en una sucesión de retos a los que enfrentarse, una carrera de obstáculos consistentes en problemas. Los conceptos matemáticos necesarios para formular problemas matemáticos se aceptan tácitamente como eternos e inmutables.

La exposición matemática se considera una tarea inferior. Las teorías nuevas se reciben con grandes recelos, como intrusos que deben demostrar su valía planteando problemas provocadores antes de merecer atención. Al resolvente de problemas le molestan las generalizaciones, en especial aquellas cuyo triunfo pudiera trivializar la solución de uno de sus problemas.

Quienes resuelven problemas son un modelo que anhelan imitar los jóvenes matemáticos en ciernes. Cuando exponemos ante el público las conquistas de las matemáticas, nuestros flamantes héroes son los que resuelven problemas.

Para el teórico, el logro supremo de las matemáticas estriba en una teoría que de repente arroje luz sobre algunos fenómenos incomprensibles. El triunfo de las matemáticas no consiste en resolver problemas, sino en trivializarlos. El instante de gloria llega con el descubrimiento de una teoría nueva que, sin resolver ninguno de los viejos problemas, los convierta en irrelevantes.

El teórico es, en el fondo, un revolucionario. Los conceptos matemáticos heredados del pasado se contemplan como ejemplos imperfectos de otros más generales pero aún por descubrir. La exposición matemática se considera un cometido más difícil que la investigación matemática.

Para el teórico, las únicas matemáticas que sobrevivirán son las definiciones. Las grandes definiciones constituyen la aportación de las matemáticas al mundo. Los teoremas se toleran como un mal necesario porque desempeñan un papel de apoyo (o más bien, tal como admitiría a regañadientes un teórico, un papel esencial) para comprender las definiciones.

Es habitual que a los teóricos les cueste conseguir el reconocimiento de la comunidad matemática. Su consuelo reside en la certeza, confirmada o no por la historia, de que sus teorías perdurarán mucho tiempo después de que los problemas del día hayan caído en el olvido.

Si fuera ingeniero espacial y buscara un matemático para enviar un cohete al espacio, elegiría un resolvente de problemas. Pero si buscara un matemático para darle una buena formación a un hijo, optaría sin dudarlo por un teórico.

Prólogo

Este libro pretende desvelar la estructura matemática que subyace en lo más hondo de la biología para mostrar las ocultas entrañas matemáticas de la vida. Esta disciplina nueva, que yo llamo metabiología, sólo tiene tres años. Queda mucho por hacer. Por ejemplo, saber qué relevancia tendrá este trabajo teórico para la biología real. Sin embargo, creo que ha llegado el momento de presentar al mundo esta nueva forma de pensar la biología.

La creación de la metabiología vino provocada por la fascinante polémica que despertó el libro The Devil’s Delusion (El delirio del diablo), en el que mi amigo David Berlinski presenta una crítica mordaz del darwinismo y una comparación demoledora de la teoría biológica con la física teórica. El presente libro es mi respuesta a David; mi tentativa para encontrar un remedio.

Demostrando a Darwin es en realidad el curso «Metabiología: la vida como un software en evolución» que impartí entre abril y junio de 2011 en la Universidad Federal de Río de Janeiro, dentro del magnífico programa de epistemología e historia de la ciencia y la tecnología que dirige mi amigo matemático-poeta Ricardo Kubrusly. No es un curso de matemáticas, sino más bien un recorrido por la filosofía e historia de las ideas sobre cómo y por qué abordar la biología desde una perspectiva matemática.

Espero que disfrute leyendo este libro tanto como he disfrutado yo impartiendo aquellas clases. El curso me hizo reparar en muchas cuestiones y al final todo encajó en su lugar.

Esta investigación está recibiendo financiación en Brasil por parte del director de COPPE/UFRJ, el profesor Luiz Pinguelli Rosa, y por parte del Programa de Profesores Visitantes Extranjeros de la CAPES de Brasilia.

Quisiera manifestar mi agradecimiento a la Universidad de Buenos Aires y al Instituto de Sistemas Complejos de Valparaíso, el cual visité con frecuencia y donde pronuncié conferencias sobre estas ideas nuevas, lo que me sirvió de gran ayuda. Muchas otras instituciones también me han invitado a hablar sobre metabiología: me siento especialmente en deuda con el profesor Ilias Kotsireas por organizar una serie de conferencias tituladas «Chaitin en Ontario»; con la Universidad de Haifa por nombrarme Conferenciante Distinguido del Instituto Rothschild de Cesarea, y con Jim Crutchfield y Jon Machta por invitarme a un encuentro en el Instituto de Santa Fe que supuso algo así como el «debut oficial» de la metabiología. La conferencia que impartí en Santa Fe constituye el capítulo 5 de Demostrando a Darwin.

Asimismo agradezco a Ana Bazzan y a Silvio Dahmen que me invitaran a visitar la Universidad Federal de Rio Grande do Sul, donde impartí tres charlas sobre metabiología mientras trabajaba en este libro, lo cual me resultó muy estimulante.

Es más, la metabiología, la cual defino como una materia paralela a la biología que hace referencia a la evolución aleatoria del software artificial (programas informáticos) en lugar del software natural (ADN), nunca habría visto la luz sin mi esposa, Virginia Maria Fontes Gonçalves Chaitin. En gran medida es fruto de un esfuerzo conjunto; como un hijo en común de tres años de edad. La especialidad de Virginia es la filosofía.

Sin embargo, este libro está dedicado a John von Neumann, algo un tanto inesperado. Mientras confeccionaba la obra empecé a sentir cada vez con más intensidad que lo tenía junto a mi hombro. En breve el lector verá por qué.

Von Neumann era húngaro, pero algunas personas pensaban que en realidad era un extraterrestre que simulaba ser humano, alguien tan astuto que había estudiado a los humanos con suma atención y ¡era capaz de imitarlos bastante bien!

Las preciosas ilustraciones que abren cada capítulo proceden en su totalidad de la obra Kunstformen der Natur (Formas artísticas de la naturaleza) de Ernst Haeckel, y revelan la exuberante creatividad de la naturaleza, para cuya explicación este libro intenta ofrecer una vía. En lo más hondo, visto desde una distancia enorme, no es más que un corolario del famoso teorema de incompletitud de Kurt Gödel; se trata de un aspecto positivo de lo que quizá parezca un teorema extremadamente negativo.

La creatividad biológica y la creatividad matemática no son tan distintas. ¡Lea este libro y descubra por qué!

Universidad Federal de Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brasil, 29 de abril de 2011.

1
Introducción
Idea general de Demostrando a Darwin

Al igual que a muchos matemáticos puros, me encanta dar charlas «de pizarra»: charlas improvisadas recurriendo a una pizarra de tiza o rotulador y utilizando el mínimo de instrumentos tecnológicos. Otra de mis estrategias consiste en llenar la pizarra con lo que pretendo decir justo antes de comenzar la conferencia, mientras la gente aún está entrando, de forma que acceda a todas las ideas esenciales con un solo golpe de vista. Sin embargo, con grandes auditorios es necesario un proyector, o nadie vería nada.

En la página contigua aparezco presentando este libro a grandes rasgos ante un público amplio en la Universidad Federal de Rio Grande do Sul, en el sur de Brasil. Las cuatro diapositivas que preparé figuran en las páginas 25 y 27. Resumen los capítulos 2, 3 y 4, donde perfilo mi estrategia para matematizar la biología. Vuelva a mirar las diapositivas cuando termine de leer esos capítulos. Cobrarán más sentido.

¿Ha oído usted a alguien referirse al ADN como un programa informático? Pues bien, en eso consiste toda la idea: en convertir esa metáfora en una teoría matemática de la evolución. De hecho, resulta que las herramientas matemáticas para lograrlo ya existían en la década de 1970. Concretando aún más, trataremos la evolución como un paseo aleatorio por el espacio del software. Los paseos aleatorios son una idea con la que los matemáticos se sienten cómodos, aunque el espacio en el que nos vamos a mover aleatoriamente sea en este caso mayor de lo habitual.

Yo llamo «metabiología» a esta nueva disciplina que propongo porque constituye una versión muy simplificada de la biología real (de otro modo, no conseguiría demostrar ninguno de los teoremas). Dichos teoremas se presentan en el capítulo 5, que es el clímax del libro, y que se corresponde con una charla que impartí en el Instituto de Santa Fe. Los capítulos 6, 7 y 8 versan sobre el significado más amplio de la metabiología: teológico, político y epistemológico. Y, a continuación, añado dos anexos.

En el primero de ellos, el lector podrá leer el apartado crucial sobre autómatas autorreplicantes del clarividente artículo de John von Neumann titulado «ADN = Software», que influyó en Sydney Brenner, quien a su vez repercutió en Francis Crick (un hecho extraordinario que descubrí mientras trabajaba en este libro). El segundo anexo aporta algunos detalles matemáticos adicionales que tal vez interesen a los expertos.

Por último, incluyo una pequeña lista de otras lecturas recomendadas: varios libros y unos pocos artículos especializados relevantes si de verdad quiere usted entender la metabiología. Se trata de libros y artículos que me ayudaron enormemente a encontrar una estrategia para matematizar la biología, además de unos cuantos títulos relacionados que añadí por darme el gusto. ¡Disfrútelos!

LA VIDA COMO SOFTWARE EN EVOLUCIÓN

Software artificial digital

Lenguajes de programación informática, 50-60 años de antigüedad

Software natural digital

ADN, 3-4 × 10⁹ años de antigüedad

ADN = lenguaje de programación universal

Vida = software en evolución

Biología = arqueología de software (¡evo-devo!)

Origen de la vida = origen del software

Creatividad biológica = creatividad matemática

Incompletitud de Gödel → Evolución infinita

EL DESCUBRIMIENTO DEL SOFTWARE POR LOS HUMANOS

Historia de la biología molecular

Schrödinger, ¿Qué es la vida?[2]

Descubrimiento del software: Turing / Von Neumann, 1936/1951

Alan Turing → John von Neumann → Sydney Brenner → Francis Crick

Historia de la metabiología

Definición de la vida como algo que evoluciona (John Maynard Smith, 1986)

Demostración matemática de la existencia de algo que cumple la definición (2010)

Usa matemáticas posmodernas (posgödelianas)

Teoría algorítmica de la información, teoría de la computabilidad, teoría de la complejidad, ciencias de la computación

LAS MATEMÁTICAS DE LA METABIOLOGÍA (1.a PARTE)

Nuestro modelo simplificado de la evolución

Un organismo de software de mutación única calcula un único entero y se detiene

Idoneidad de un organismo = el entero que calcula

Requiere creatividad = N → N + N → N × N → NN → NNN N veces, etcétera

Evolución = escalada mediante paseo aleatorio en el espacio del software (capacidad adaptativa creciente)

Intenta la mutación algorítmica de K bits, M, a partir de A hacia A’ = M(A) con una probabilidad 2−K

La mutación M sólo funciona si A’ = M(A) está mejor adaptado que el organismo A original

Se necesita un oráculo que elimine mutaciones que no den lugar a ningún A’, o que conduzcan a un A’ que no se detenga

La distancia mutacional entre A y B = −log₂ (probabilidad de ir de A a B con una única mutación)

= tamaño en bits del programa más pequeño M que dé B = M(A)

LAS MATEMÁTICAS DE LA METABIOLOGÍA (2.a PARTE)

Para medir la velocidad/ritmo de creatividad biológica usamos

BB(N) = función del castor hacendoso de N

= la mayor capacidad adaptativa de cualquier programa con un número de bits ≤ N

Calcular BB(N) requiere N bits de inspiración

BB(N) crece más deprisa que cualquier función computable

Distintos regímenes evolutivos

La «búsqueda exhaustiva» alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo 2N

El «diseño inteligente» alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo N

La evolución aleatoria alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en algún instante intermedio entre N² y N³

Nota: si los organismos se perfeccionan mecánicamente, de manera algorítmica, es decir, si la secuencia A, A’, A’’… es computable, entonces la capacidad adaptativa sólo puede aumentar como una función computable

2
La vida como software en evolución
La evolución como software mutante

Mire por la ventana cualquier día de verano. ¿Qué ve? Matorrales, árboles, flores, pájaros, insectos… una variedad formidable de seres vivos. La diversidad y la riqueza de la naturaleza son bastante abrumadoras… ¿Puede explicarse toda esta exuberancia de creatividad con la teoría de la evolución de Darwin? Los biólogos están convencidos de que sí. Pero si comparamos el concepto de teoría en biología con el que impera en física, y contemplamos la biología como matemáticos, las cosas no resultan tan convincentes. Hay indicios empíricos favorables a la teoría de Darwin, pero no existe ninguna demostración matemática.

Recordemos aquella comida en el Instituto de Estudios Avanzados en la que un joven astrofísico describió con orgullo a Kurt Gödel su último descubrimiento y recibió como respuesta: «No creo en la ciencia empírica; ¡sólo creo en verdades a priori!». Bueno, Gödel tenía cierta razón. Si la teoría de Darwin es tan fundamental como creen los biólogos, entonces tiene que haber una teoría matemática de la evolución, general y abstracta, que capte la esencia de la teoría de Darwin y que la desarrolle en el plano matemático.

Y esto es lo que nos proponemos lograr aquí. ¿Recuerdan las obras Harmonices mundi, de Kepler, Philosophiae naturalis principia mathematica, de Newton, y Exposition du système du monde, de Laplace, las cuales revelaron por primera vez la estructura matemática que subyace al mundo físico? (tengo la fortuna de disponer de un ejemplar de doscientos años de antigüedad del libro de Laplace). ¿Cómo hacer eso mismo con la biología, una ciencia tan diferente de la física?

¡Desde luego, no utilizando las ecuaciones diferenciales de la física teórica! Para desarrollar una física teórica para la biología, una teoría matemática fundamental para la biología, debemos usar una clase distinta de matemáticas. Las ecuaciones diferenciales no nos servirán en absoluto.

¿Sobre qué trata la biología en realidad? Trata sobre información. Hasta la física teórica y hasta la mecánica cuántica empiezan a versar ya sobre información: qubits. Pero la biología se ocupa de una clase distinta de información: información algorítmica. Cuando se afirma que el ADN es como un programa informático, cuando la biología evolutiva del desarrollo (llamada evo-devo) describe el programa que sigue el ADN para desarrollar un embrión, se habla de información algorítmica. Y éste es el tipo de información que tenemos que introducir en una variedad nueva de física teórica, una aplicable a los sistemas biológicos, a los seres vivos.

Incluso después de Kepler, Newton y Laplace, algunas personas opinaban que la biología era distinta, que los seres vivos tenían una chispa divina. Pues bien, según Darwin, no tenemos ninguna chispa divina. De hecho, el mundo entero es divino, creativo. La vida aparece por sí sola por casualidad, no como resultado de un diseño. En este libro proponemos una teoría matemática para esto, lo que yo llamo «metabiología».

La distancia entre la metabiología y la biología real es mayor que la que media entre la física teórica, con su uso de ecuaciones diferenciales, y la física, porque la estructura matemática de la biología es más difícil de ver. En principio, la biología es demasiado complicada y presenta demasiadas excepciones para que exista una biología teórica profundamente matemática similar a la física teórica, mientras que el mundo físico consiste, por así decirlo, directamente en matemáticas.

La metabiología trata sobre software; la información genética, es decir, el ADN, es justo eso. Échele una buena ojeada al precioso libro que escribió Neil Shubin sobre biología evolutiva del desarrollo: Your Inner Fish (Tu pez interior). El cuerpo humano está lleno de software, un software antiquísimo. Tenemos subrutinas procedentes de las esponjas, de los anfibios, de los peces. Existe una fase durante el periodo de gestación en la que el embrión humano ¡tiene agallas! Cada célula porta una copia íntegra de este software de ADN y, de hecho, contiene toda la historia del organismo porque la evolución realiza variaciones mínimas, intenta cambiar lo menos posible, igual que les sucede a los grandes proyectos de software humanos. No puedes volver a empezar de cero, tienes que arreglártelas lo mejor que puedas con lo que tienes. Tal como afirmó Jacques Monod, la naturaleza es un bricoleur, un manitas, un mecánico. Te apañas con cosas viejas, las recompones, las adaptas para reutilizarlas.

De hecho, es como si fuera arqueología. Eso es en realidad la biología, ¡una especie de arqueología de software! De modo que existe el software artificial, los programas informáticos, y existe el software natural, el ADN. La naturaleza inventó el software antes que nosotros, mucho antes. Y el origen de la vida se corresponde en realidad con el origen del software, el origen del ADN, un lenguaje de programación universal presente en cada célula. Un poderoso lenguaje de programación, uno que presuntamente es capaz de expresar cualquier algoritmo posible, cualquier conjunto de instrucciones para confeccionar y poner en marcha un organismo. Es un lenguaje de programación que estamos empezando a entender, un lenguaje de programación muy complejo, uno que ha ido creciendo por acumulación a lo largo de milenios, como esos templos hindúes excavados en la roca maciza con dioses encima de otros dioses encima de otros dioses… Como botellas de vino empleadas durante muchos años como palmatorias sin que nadie haya ido retirando de ellas la cera derretida…

Nuestro software artificial o nuestros lenguajes de programación son mucho más simples que el ADN, y sabemos cómo funcionan porque los hemos diseñado nosotros y sólo datan de hace un siglo, no de hace miles de millones de años. Así que, en lugar de estudiar el software natural surgido de una evolución aleatoria, el ADN, desarrollaremos una teoría paralela, una teoría de un software artificial de evolución aleatoria, de programas informáticos de evolución aleatoria. Ésta es la cuestión que aborda la metabiología. Algo mucho más simple que la evolución real, con suerte lo bastante simple para permitimos demostrar teoremas sobre ella. Con suerte, lo bastante simple para que nos permita entender qué está pasando exactamente, cómo funciona exactamente.

De hecho, la noción de que el mundo está hecho de matemáticas no empieza con Kepler, Newton y Laplace, empieza con Pitágoras. Y la metabiología es una especie de biología pitagórica. Los griegos de la Antigüedad partieron de un mundo, de una mitología, donde todo está vivo: los caprichosos dioses, el Sol, el viento, los ríos, los árboles… Más tarde, los griegos se pasaron al logos, a la creencia de que el universo está gobernado por leyes.

Para Pitágoras, no sólo las leyes de la naturaleza son matemáticas, sino que también es matemática la ontología fundamental del mundo, el mundo está hecho de matemáticas. La física teórica moderna sigue a Pitágoras. Para Platón, el mundo de las ideas (matemáticas) es más real que el mundo real. El mundo de las ideas es estático, eterno, perfecto; el mundo real, el mundo aparente, es efímero. Pero la vida es plástica, ¡creativa! ¿Cómo se puede crear a partir de unas matemáticas estáticas, eternas, perfectas?

La misma tensión continúa durante la Ilustración, que precedió a la Revolución francesa, la cual rechazaba la religión tanto como rechazaba la monarquía. Negando que la vida esté dotada de una chispa divina, La Mettrie escribió su conocido opúsculo El hombre máquina en 1748. La Mettrie fue un cirujano que abrió cuerpos humanos para ver cómo funcionaban: una máquina extremadamente compleja, pero nada más que una máquina.

Nosotros hemos llegado un poco más lejos que La Mettrie. Ahora lo sabemos todo sobre computadoras y sobre la diferencia entre hardware y software. Sí, los seres humanos somos máquinas pero, si queremos descifrar la evolución, debemos concentrarnos en el software, que es lo que evoluciona y altera el hardware. El software es más importante que el hardware. Así que de eso trata este libro: de l’homme software, no de l’homme machine.

En las películas francesas de Marcel Pagnol de la década de 1930, el cura y el maestro del pueblo eran muy buenos amigos aunque uno fuera creyente y el otro ateo. Siempre bromeaban el uno con el otro sobre ello. Y la misma tensión continúa en Estados Unidos en la actualidad en los enfrentamientos políticos entre creacionistas y biólogos más convencionales.

Incluso ahora, los biólogos convencionales se sorprenden de que la vida unicelular carente de núcleo apareciera en la Tierra en tan sólo 200 millones de años, cuando las células con núcleo tardaron 2000 millones de años en desarrollarse, y sospechan que la vida en la Tierra o bien se sembró por accidente, lo que se denomina panspermia, o bien se plantó deliberadamente, la llamada panspermia dirigida. En concreto, esto lo encontramos en la obra La vida misma, de Francis Crick, en El universo inteligente de Fred Hoyle, y en Supercooperators (Supercooperadores), de Martin Nowak, así que es indudable que no se trata de una concepción extremadamente minoritaria. El clarividente libro de Hoyle llega incluso a comparar la biología con un programa informático muy deteriorado que él desarrolló mediante añadidos sucesivos para simular supernovas, en gran medida un tema crucial de la metabiología y de la biología evolutiva del desarrollo tal como la explicaba Shubin en Your Inner Fish.

Vuelvo a repetir: la vida es plástica, ¡creativa! ¿Cómo construirla a partir de unas matemáticas estáticas, eternas, perfectas? Usaremos unas matemáticas posmodernas, las matemáticas que aparecieron después de que Gödel, en 1931, y Turing, en 1936, inauguraran las matemáticas no cerradas; en realidad, las matemáticas de la creatividad.

Necesitamos unas matemáticas abiertas, no reduccionistas, porque la creatividad de la biosfera es una cuestión clave. La creatividad biológica (la inventiva, la riqueza y la diversidad biológicas) se ha perdido en cierto modo en las descripciones habituales de la evolución. Pero no ocurría así en la obra de Ernst Haeckel, el Darwin del mundo de habla alemana. Haeckel se enriqueció presentando su propia versión de la teoría de Darwin en el mundo germánico. Sus libros se convirtieron en supervenías, y su inmensa casa es ahora un museo de biología. Una de las pruebas de la evolución que aportó Haeckel fue su afamada (o infame) doctrina de que la ontogénesis recapitula la filogénesis, lo que significa que, durante el desarrollo, el embrión reproduce de manera aproximada toda la historia evolutiva de ese organismo, una idea que ahora ha retomado de manera más amplia y corregida la biología evolutiva del desarrollo.

La fotografía de la página 37 la tomó mi esposa, Virginia, en la casa que habitó Haeckel en Jena y que ahora es un museo. ¡Nótese el árbol de la vida que aparece en la fachada; en sus ramas están inscritas las palabras ontogenie y phylogenie!

Quien se interese por la creatividad biológica debería contemplar los dos libros de Haeckel en inglés que incluyen magníficos dibujos de una variedad increíble de formas de vida: Art Forms from the Ocean y Art Forms in Nature (Kunstformen der Natur), ambos publicados por Prestel en 2009 y 2010 con comentarios históricos adicionales.

La vida maravillosa, de Stephen Gould, estudia la explosión cámbrica y una plétora de asombrosos ensayos de formas corporales que la naturaleza probó durante un breve periodo, una explosión de combinaciones que exploró todas las posibilidades simples; de hecho, todos los programas simples. Esto es lo que Stephen Wolfram denomina «minería del universo computacional» y que consiste en probar todos los programas simples posibles para llegar a algo, lo que él aprovecha con frecuencia como una estrategia de diseño (véase su libro A New Kind of Science [Una nueva clase de ciencia]).

De modo que la naturaleza es tremendamente creativa, tremendamente inventiva. Consideremos un enfoque matemático de la biología muy usado, la genética de poblaciones, desarrollado por Fisher, Wright, Haldane, Hamilton, Maynard Smith, Dawkins, Nowak y otros, una disciplina preciosa. Por desgracia, la genética de poblaciones define la evolución como variaciones en la frecuencia de los genes dentro de una población debido a la competencia o a presiones selectivas generadas por el entorno. El acervo genético finito es fijo y, por tanto, no hay creatividad. En cambio, la metabiología trabaja con un espacio de posibilidades muy rico, un espacio de software que nos brinda una vía para hablar sobre el lugar del que provienen los genes nuevos. En realidad, ésta es la idea central de la metabiología. Pero la metabiología no presta mucha atención a las poblaciones, a la competencia o al entorno. Así que la genética de poblaciones y la metabiología se complementan, se ocupan de cuestiones distintas.

Repitámoslo una vez más: ¡la vida es plástica, creativa! ¿Cómo construirla a partir de unas matemáticas estáticas, eternas, perfectas? He aquí la respuesta: ¡la vida es software creativo, plástico; la física es hardware rígido, mecánico!

La biosfera está repleta de software, cada célula está gobernada por software, un software de entre 3 y 4 mil millones de años de antigüedad. Nuestro software artificial sólo existe desde hace unos cincuenta años. Pero no pudimos reparar en que el mundo natural está lleno de software, no pudimos notarlo, hasta que inventamos los lenguajes de programación informática humanos. ¡El mundo estaba lleno de software incluso antes de que supiéramos qué era eso! El software es la razón de la plasticidad de la biosfera, las máquinas normales son rígidas, mecánicas, inertes. ¡El software está vivo!

Es más, el origen de la vida es el origen del software, la aparición espontánea de entidades gobernadas por software (células), y del lenguaje del ADN para ese software. Cada célula de nuestro cuerpo porta el ADN íntegro de todo un ser humano completo, aunque cada tejido emplee tan sólo una parte de ese software. Y cada organismo viviente de la Tierra usa esencialmente el mismo lenguaje de ADN: de momento no existe ningún indicio de que hubiera creaciones independientes de la vida, distintos orígenes independientes de la vida.

El premio Nobel Sydney Brenner compartió despacho con Watson y Crick. La mayoría de los biólogos moleculares de su generación reconocen que el libro de Schrödinger titulado ¿Qué es la vida? les sirvió de inspiración. En su autobiografía titulada Mi vida en la ciencia, Brenner valora la obra que Von Neumann dedicó a los autómatas autorreplicantes. El artículo científico que Von Neumann presentó en el Simposio de Hixon, titulado «The General and Logical Theory of Automata» (Teoría general y lógica de los dispositivos automáticos), y que inspiró a Brenner, contiene muchas ideas biológicas esenciales, desarrolladas incluso antes de que Watson y Crick descubrieran el ADN, lo que en opinión de Brenner constituyó una anticipación matemática realmente excepcional.

Hace muchos años tuve el privilegio de coincidir con Brenner en un encuentro del Instituto Tecnológico de Massachusetts sobre física de la computación organizado por Rolf Landauer y Edward Fredkin. Brenner dio una conferencia fabulosa sobre biología molecular y se mostró interesado en ver cómo había seguido desarrollándose la teoría de autómatas después de Von Neumann.

Tal como descubrí en mi época de estudiante, cuando leí el artículo «Teoría general y lógica de los dispositivos automáticos», fue el artículo de Turing de 1936 titulado «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem» (Sobre números computables con una aplicación para el Entscheidungsproblem) lo que creó la idea de las máquinas flexibles, las máquinas universales, la computadora de propósito general, y la distinción entre el software y el hardware. Se supone que el ADN es un lenguaje de programación universal, un lenguaje lo bastante eficaz para expresar cualquier algoritmo. Brenner atribuye a Von Neumann la idea de que el ADN contiene el software necesario para confeccionar (y hacer funcionar) el organismo, una idea muy aceptada en la actualidad debido a la evo-devo, a la biología evolutiva del desarrollo, la cual estudia cómo se desarrolla la formación del embrión.

Como ya he señalado con anterioridad, esto resulta muy evidente en el libro de Shubin, el cual revela que conservamos subrutinas de esponjas, peces y anfibios. Para entender algunas rarezas del cuerpo humano, algunos rasgos extraños de su diseño, debemos compararlo con la manera en que se forman los peces. ¡Para convertir peces en mamíferos se efectuaron cambios mínimos!

Retomemos ahora el interrogante que planteó Erwin Schrödinger en 1944: «¿Qué es la vida?». En su libro de 1986 titulado Los problemas de la biología, John Maynard Smith (con quien coincidí en un encuentro al norte del Círculo Polar Ártico, en Abisko, Suecia) dedica un capítulo a esta cuestión. Las llamas tienen metabolismo: toman material y expulsan material al tiempo que conservan su forma y hasta se reproducen, pero no tienen herencia, ni mutaciones, ni evolucionan. Según Maynard Smith, la vida es lo que evoluciona, lo plástico, lo creativo.

Mi biología pitagórica es una demostración matemática de que la vida existe. Es decir, construyo formas de vida matemáticas artificiales. Tengo un modelo mínimo de biología, un modelo simplificado, todos los conceptos y rasgos esenciales, porque puedo demostrar que evoluciona siguiendo la teoría darwiniana. En el mundo pitagórico de las matemáticas puras he encontrado ¡una forma de vida que evoluciona!

Mis organismos carecen de metabolismo, de cuerpo, tan sólo poseen ADN; ningún hardware, únicamente software. Yo estudio la evolución del software mutante, en realidad de un solo organismo mutante que me brinda un paseo aleatorio por el espacio del software. El espacio de todos los programas informáticos posibles es un espacio lo bastante rico para servir de modelo a todos los diseños posibles de organismo.

¿Es esto demasiado simple? ¡No, si consigo que la vida evolucione! Los físicos se sienten muy cómodos con lo que ellos denominan, admirados, «modelos simplificados». Picasso dijo que «el arte es una mentira que nos ayuda a ver la verdad». De manera similar, las teorías son mentiras que nos ayudan a ver la verdad. Pero los biólogos creen que todos los detalles cuentan, no diferencian entre lo fundamental y lo secundario. No en vano dedicaron mucho esfuerzo a descubrir tantas cosas. En cambio, tal como recalca Brenner en su autobiografía (y esto aparece citado en la obra de James Gleick titulada La información), la energética, el metabolismo de los organismos vivos es irrelevante, lo único que cuenta es la información, lo único que cuenta es dónde se obtienen las instrucciones para hacer algo. ¡La energía ya cuidará de sí misma!

Así que nuestro ADN es una pieza de software muy, muy antigua, tremendamente reparada, ni impecable ni elegante ni bien diseñada. Si pudiéramos recomenzar de cero y diseñar los mamíferos, lo haríamos mucho mejor. Pero no podemos empezar de nuevo, y tampoco puede hacerlo el inmenso mundo del software artificial, de la tecnología del software que hemos creado los humanos y que sólo tiene medio siglo de antigüedad, en lugar de miles de millones de años.

En concreto, nosotros y los chimpancés tenemos casi los mismos genes para codificar proteínas. Pero gran parte del ADN empleado para controlar qué genes se expresan es diferente. En otras palabras, las subrutinas de bajo nivel apenas difieren porque mucha gente depende de ellas, se usan mucho. Pero el software más nuevo, el de nivel más alto, varía con mucha más facilidad.

En tan sólo cincuenta años, el entorno de programación humano ha alcanzado un nivel extremadamente elevado: interfaces gráficas, maneras de extraer material de internet. Hoy en día nadie querría empezar de cero para programar el hardware desnudo en lenguaje ensamblador como hice yo en mis inicios para ganarme la vida. Damos por hecho que nuestros lenguajes de programación tienen un nivel extremadamente elevado. No podemos volver a empezar. Las decisiones son inamovibles en nuestra tecnología actual, como el ineficiente teclado mecanográfico «qwerty», diseñado para evitar el bloqueo de las primeras máquinas de escribir si se usaban demasiado deprisa, un problema inexistente en los teclados modernos.

Del mismo modo que las matemáticas de Von Neumann anticiparon descubrimientos biológicos logrados con posterioridad, para que las matemáticas sean elegantes, mi trabajo, la metabiología, requiere mutaciones algorítmicas, no mutaciones puntuales, precisa mutaciones de alto nivel, no mutaciones de bajo nivel. No está claro en qué medida se producen mutaciones algorítmicas en la biología. Así que, tal como me indicó mi esposa, Virginia, la metabiología plantea cómo se producen los mecanismos mutacionales de alto nivel en los organismos reales.

Así concluye este capítulo. A estas alturas usted debería haberse hecho una idea bastante buena de nuestro concepto general de la vida como software en evolución. Hemos visto que la naturaleza descubrió el software hace mucho tiempo. En el próximo capítulo estudiaremos con cierto detalle el descubrimiento bastante reciente del software por parte de los humanos, el cual tiene una historia asombrosa. Y en el capítulo que le sigue explicaré cómo abordar la idea de la vida como software en evolución y cómo convertirla en una teoría matemática que permita demostrar cosas. Entonces estaremos preparados para el capítulo 5, la conferencia que di en el Instituto de Santa Fe, el clímax de este libro.

Advertencia: la metabiología, en su forma actual, no puede tratar el pensamiento y la conciencia, por muy fascinantes que éstos sean.

3
El descubrimiento humano del software
Turing y Von Neumann como biólogos

En este capítulo presentamos una historia revisionista del descubrimiento del software y de los primeros días de la biología molecular, contemplados desde la ventajosa perspectiva de la metabiología; el presente no para de reescribir el pasado para justificarse a sí mismo. Tal como señala Jorge Luis Borges, ¡cada cual crea a sus precursores!

Como ejemplo de este proceso de reinterpretación de la historia, consideremos la imagen que creó Voltaire de Newton como científico moderno y ateo con una visión mecanicista del mundo. En el ensayo titulado «Newton, the Man» (Newton, el hombre), John Maynard Keynes describe a Newton como «el último mago, el último de los babilonios y sumerios», en absoluto como el primer científico moderno, y más próximo al doctor Fausto que a Copérnico. Newton dedicó buena parte de su tiempo a la alquimia y la teología en lugar de a las matemáticas y la física, y reunió una colección notable de libros de alquimia medievales. Mi amigo Stephen Wolfram tiene libros de teología de Newton y Leibniz (originales, no copias) de trescientos años de antigüedad, colocados unos junto a otros en un estante; los Principia de Newton son inasequibles, pero no hay tanta gente interesada por la teología.

De hecho, el pasado no sólo se reescribe en ocasiones, sino que debe reescribirse para que continúe siendo comprensible para el presente. Con respecto al tema de cómo debería escribirse la historia de la ciencia, véase la brillante Introducción a la historia de la ciencia, de Helge Kragh.

Reexaminemos ahora los inicios de la historia de la teoría de la computación y de la biología molecular a la luz de la metabiología, y veamos qué hilos conducen a la metabiología, o deberían habernos llevado hasta ella si el progreso científico fuera completamente racional.

Esta historia está llena de sorpresas, comienza con cuestiones relacionadas con la filosofía y los fundamentos de las matemáticas, e incluye la creación de una tecnología de un billón de dólares que ya está a nuestra disposición, y bien podría ocurrir que esto se viera seguido pronto por la creación de una segunda tecnología igualmente revolucionaria. Hasta existen conexiones con la magia medieval.

¿Le gustaría saber más? ¡Siga leyendo!

Poca gente recuerda el trabajo de Turing sobre formación de patrones en biología (morfogénesis), pero su célebre artículo de 1936 titulado «On Computable Numbers» (Sobre números computables) ejerció una influencia indirecta enorme en el nacimiento de la biología molecular a través del trabajo de John von Neumann sobre autómatas autorreplicantes, el cual repercutió en Sydney Brenner, quien a su vez incidió en Francis Crick, el Crick de Watson y Crick, los descubridores de la estructura molecular del ADN. Es más, la aplicación que efectuó Von Neumann de las ideas de Turing a la biología está bellamente respaldada por el trabajo reciente en biología evolutiva del desarrollo (evo-devo). La idea crucial consiste en que el ADN es un software de varios miles de millones de años de antigüedad, pero no reparamos en ello hasta la aparición del artículo de Turing en 1936, el cual, según Von Neumann, establece las nociones del hardware y el software informáticos.

Ya hablamos sobre esta idea crucial en el capítulo anterior, pero tal vez antes de continuar deberíamos resumir lo que vimos en él:

Hardware | Física | Inerte | Rígido | Cerrado | Mecánico
Software | Biología | Vivo | Plástico | Abierto | Creativo

Software natural
ADN

3-4 × 10⁹ años

de antigüedad

Software artificial

Programas

informáticos

50 años

de antigüedad

Matemáticas

newtonianas

Matemáticas continuas,

ecuaciones diferenciales

Para la física

Matemáticas

posmodernas

Discretas, combinatorias,

algorítmicas

Para la biología

Definición de vida (John Maynard Smith,

Los problemas de la biología, 1986)

Demostración matemática de la existencia de algo

que cumple la definición (2010)

¿Recuerda el bourgeois gentilhomme de Molière, que descubrió, asombrado, que durante toda su vida había estado hablando en prosa? Nosotros somos ese gentilhombre. Nuestro cuerpo rebosa software, siempre lo ha hecho, pero antes de que pudiéramos reconocer el software natural del ADN como tal, tuvimos que inventar el software artificial, los lenguajes humanos de programación informática.

El software nos rodeaba por todas partes, pero no pudimos verlo ¡hasta que inventamos un software nosotros mismos! Es más, tal como revela la evo-devo, los organismos portan su propia historia de acuerdo con Your Inner Fish, de Shubin, tu esponja interior, tu anfibio interior… La biología no es más que una clase rara de arqueología, arqueología de software.

Y la finalidad de que los humanos hagan el amor consiste en integrar el software del macho (en el esperma) con el software de la hembra (en el óvulo). Por eso se enamora la gente, por el afán de combinar sus subrutinas. Así que, en cierto sentido, Von Neumann descubrió por qué se enamora la gente.

Es más, el origen de la vida, que sigue constituyendo un profundo misterio, es el origen del software, del software natural, no del artificial. Pero la ayuda está en camino. La obra A New Kind of Science (Una nueva clase de ciencia) de Stephen Wolfram se puede reinterpretar como un libro sobre el origen de la vida. Una de las ideas clave de Stephen sostiene que es muy fácil conseguir que un sistema simbólico combinatorio se convierta en una máquina universal de Turing o en una computadora de propósito general. Es muy sencillo construir una computadora a partir de casi cualesquiera componentes matemáticos discretos. A eso se refiere él, creo yo, con la ubicuidad de la universalidad. Por tanto, desde un punto de vista filosófico esto significa que el origen de la vida no es tan asombroso en general, sino tal vez en la implementación particular que se manifiesta aquí en la Tierra. En cualquier caso, ¡gracias, Stephen!

¡Pero basta de generalidades! Permítame que le cuente ahora con más detalle cómo inventó la computadora Alan Turing (y simultáneamente también Emil Post) para facilitar el esclarecimiento de una cuestión relacionada con los fundamentos de las matemáticas: a la naturaleza, que fue la primera en inventar la computadora y el hardware/software, le importan un comino los fundamentos de las matemáticas, pero sí le importa la plasticidad.

Hablemos en primer lugar de un viejo sueño: el conocimiento fehaciente. O, tal como lo expresó el asombroso polímata Leibniz, el conocimiento mecánico, el razonamiento tan fehaciente como la aritmética, verdades tan obvias como 2 + 2 = 4. Se acabaron las disputas, decía Leibniz: ¡Caballeros, pongámonos a calcular y determinemos quién tiene la razón! ¡Qué sueño tan hermoso!

Leibniz no trabajó mucho en el desarrollo de lo que hoy se denomina lógica simbólica o lógica matemática, pero estableció el objetivo con una claridad y un convencimiento extremos, y por esta razón se lo considera el padre o el abuelo de la lógica moderna. Leibniz no pudo dedicar mucho tiempo a ningún tema concreto; era omnívoro, le interesaba todo. Por ejemplo, también inventó la aritmética binaria, y máquinas calculadoras capaces de multiplicar (la máquina calculadora original de Pascal, la Pascalina, sólo podía sumar y restar).

A lo largo de los años, muchos lógicos trabajaron en el sueño de Leibniz para conseguir un conocimiento fehaciente, un razonamiento mecánico: De Morgan, Boole, Peano, Frege, Russell, Hilbert, Gödel, Turing, Post… Pero no funcionó, resultó que no podía funcionar. En lugar del conocimiento fehaciente, mecánico, Gödel descubrió la incompletitud, y Turing descubrió la incomputabilidad. Pero, durante el proceso, Turing halló además los lenguajes de programación completos/universales, el hardware, el software y las máquinas universales.

La versión perfeccionada del sueño de Leibniz que desarrolló el matemático alemán David Hilbert fue todo un hito. Hilbert anhelaba una teoría axiomática formal para todas las matemáticas, una versión mecanizada de los Elementos de Euclides que abarcara la totalidad de las matemáticas, y no sólo la geometría. El punto clave era que sería posible comprobar mecánicamente si una demostración es o no correcta, si el razonamiento cumple o no todas las reglas. Para lograrlo había que inventar un meticuloso lenguaje artificial lo bastante poderoso para expresar todos los razonamientos matemáticos posibles, todas las demostraciones matemáticas posibles.

En 1931 Gödel evidenció que eso es un imposible: semejante lenguaje mecánico universal para razonar jamás podrá descubrirse, jamás nos permitirá probar todas las verdades matemáticas. Esto es lo que se llama incompletitud. Pero entonces, en 1936, Turing demostró que en realidad sí que hay lenguajes mecánicos completos o universales para realizar cálculos matemáticos en lugar de expresar demostraciones matemáticas. Y todo lo demás es historia: ¡había nacido la computadora moderna!

¿Cómo refutó Gödel a Hilbert y Leibniz? Construyendo un aserto matemático aritmético que afirma la imposibilidad de demostrarse a sí mismo: «Yo no soy demostrable», lo cual únicamente es demostrable si y sólo si es falso.

Turing siguió una técnica distinta, menos taimada, más profunda. Estudió lo que las máquinas podrían computar, y observó que la mayoría de los números reales son incomputables y, por tanto, poseen valores numéricos que no se pueden determinar mediante una demostración formal porque, si así fuera, podríamos repasar mecánicamente todas las demostraciones posibles para calcular de manera sistemática el valor de esos números reales incomputables.

Ésta es en realidad mi versión favorita del resultado básico de Turing. La manera habitual de explicarlo es en términos del famoso «problema de la parada». Turing demuestra que no existe ninguna manera sistemática, ningún procedimiento mecánico, ninguna teoría axiomática formal para decidir si un programa de computación autocontenido acabará deteniéndose o no. Podemos ponerlo en marcha y efectuar cálculos paso a paso, pero decidir si continúa funcionando por siempre o no es bastante imposible en el caso general.

Así obtenemos lenguajes de programación informática, lenguajes universales, lo bastante eficaces para escribir cualquier algoritmo. Pero perdemos la certidumbre, perdemos el razonamiento mecánico. Ese sueño se desvanece para siempre.

¡Sin embargo, no hay que preocuparse! Según Emil Post (menos conocido que Gödel y Turing pero a su mismo nivel, puesto que también descubrió las máquinas de Turing y también con un teorema de incompletitud que permaneció años sin publicarse), el método axiomático y, en especial, la axiomática formal de Hilbert, no era más que un terrible error, un confuso malentendido.

De acuerdo con Post, las matemáticas no pueden brindar certidumbre porque no son cerradas, mecánicas, ¡sino que son creativas, plásticas, abiertas! ¿Le suena de algo? ¡Hemos estado hablando de creatividad biológica a lo largo de todo el capítulo anterior y ahora nos encontramos con algo similar también en el ámbito de las matemáticas puras! ¡Así que las matemáticas son creativas, no mecánicas, las matemáticas son biológicas, no una máquina! Ya he comentado que la creatividad matemática y la biológica no son tan distintas, y lo veremos con un grado mayor de detalle aún mayor en el siguiente capítulo. El tema aparece especialmente bien expresado en el título de dos libros del filósofo Paul Feyerabend: Tratado contra el método y Adiós a la razón. Feyerabend aboga por la creatividad y la imaginación (en una palabra, la anarquía) en la ciencia basadas en su lectura de la historia de la ciencia y sin mencionar en ningún momento a Gödel o Turing. Pero, en mi opinión, «Tratado contra el método» sería el mejor título para un libro dedicado a la irresolubilidad del problema de la parada de Turing, y «Adiós a la razón» sería el título perfecto para un libro que versara sobre el teorema de incompletitud de Gödel. Lo que Feyerabend considera que se da en el mundo de la ciencia por razones puramente filosóficas, en el mundo de las matemáticas se corresponde en realidad con teoremas matemáticos: cabe demostrar que no hay métodos generales para resolver todos los problemas matemáticos.

No obstante, tal como señaló el matemático Gian-Carlo Rota en su ensayo titulado «The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy» (La perniciosa influencia de las matemáticas en la filosofía), la filosofía es en realidad el arte de encontrar malas razones para lo que uno cree de manera instintiva, en lo más hondo de sus entrañas. En realidad, debido a antojos emocionales subconscientes de la infancia. Rota se granjeó pocos amigos en el ámbito de la filosofía con esta suerte de comentarios inteligentes, pero yo adoro la filosofía y también creo que Rota tiene algo de razón: la filosofía no debe aspirar a emular demasiado a las matemáticas, al menos no el método axiomático formal que defendió Hilbert. Porque, tal como observa Rota, si pudiéramos definir nuestros vocablos con precisión, sería el fin de la filosofía. La axiomática formal no es creativa…

De hecho, existen distintas clases de creatividad matemática. Algunas personas (la mayoría) se interesan por la creatividad dentro de una teoría matemática axiomático-formal = encontrar una demostración pero manteniéndose dentro del paradigma vigente = la ciencia normal (Kuhn). A mí me interesa más la «creatividad salvaje» (Deleuze) = alteración de la teoría formal = nuevos axiomas, nuevos conceptos = cambio de paradigma (Kuhn) = ¡contra el método (Feyerabend)!

Y ahora pasemos a los autómatas autorreplicantes de Von Neumann. En 1951 Von Neumann toma de Gödel la idea de contar con una descripción del organismo que se halle dentro del propio organismo las instrucciones para construir el organismo = la información hereditaria = el software digital = ADN. Primero se siguen las instrucciones que porta el ADN para obtener una copia nueva del organismo, después se copia el ADN y se inserta en el nuevo organismo, después se pone en marcha el nuevo organismo, ¡sin ninguna regresión infinita, sin ningún homúnculo en el esperma!

Para ahondar en los detalles consúltese la parte principal del artículo de Von Neumann dedicada a la autorreplicación de autómatas que figura en el primer anexo al final de este libro. La lectura de este artículo animó a Sydney Brenner a acudir a Cambridge para trabajar con Francis Crick. Éste necesitaba trabajar con alguien porque Watson había regresado a Estados Unidos tras la publicación en Nature de su célebre artículo conjunto.

Crick compartió un despacho primero con Watson y después con Brenner; no podía trabajar solo, necesitaba rumiar las ideas, necesitaba tener a alguien con quien hablar durante todo el día. Francis Crick era el sumo teórico, el estratega, la persona que planeó la creación de la biología molecular. Y la mitad de Crick era Brenner. Después de que Watson y Crick descubrieran la estructura molecular del ADN, el alfabeto de cuatro bases A, C, G, T, aún no estaba claro qué estaba escrito en aquel alfabeto de cuatro símbolos, no estaba claro cómo funcionaba el ADN. Pero Crick, siguiendo a Brenner y Von Neumann, albergaba en algún rincón de su mente la noción del ADN como portador de instrucciones, como software. Y sabía que lo que contaba, lo importante, era cómo fluía aquella información por la célula, y cómo se transformaba en proteína…

¿Cómo conoció Brenner el artículo que presentó Von Neumann en el simposio de Hixon? En Sudáfrica, antes de acudir a Oxford y después a Cambridge, Brenner fue compañero de clase del científico experto en computación Seymour Papert, quien más tarde trabajaría con Marvin Minsky en el Instituto Tecnológico de Massachusetts. Y fue Papert quien llamó la atención de Brenner acerca del artículo de Von Neumann (yo jamás coincidí con Papert, pero sí conozco a Marvin).

El trabajo de Von Neumann sobre la autorreplicación no finalizó en 1951 con su denominado «modelo cinemático», que era en esencia un proyecto de dispositivo físico. Siguiendo una sugerencia de Stanis&lstrok;aw Ulam (a quien tuve el privilegio de conocer en Los Álamos), aquel modelo autorreplicante de Von Neumann se apartó entonces del mundo físico y se convirtió en un plano bidimensional en forma de papel dividido en cuadrados idénticos, cada uno de los cuales era una máquina de estados finitos, lo que se denomina un autómata celular (AC). El nuevo trabajo se publicó póstumamente.

El mundo de los autómatas celulares que utilizó Von Neumann es un mundo homogéneo, uniforme, completamente plástico, un mundo donde todo es software, información, sin hardware, un mundo donde funciona la magia: el conjuro mágico adecuado lo creará todo. En él hay un constructor universal y un computador universal. Suena bien, pero este mundo de AC también presenta algunos problemas: a los organismos les resulta más fácil reproducirse a sí mismos que moverse (traducirse a sí mismos).

El trabajo de Von Neumann sobre autorreplicación y constructores universales ha tardado más que el trabajo de Turing sobre la máquina universal en tener aplicaciones tecnológicas, pero ahora empieza a haberlas: como impresoras de objetos, impresoras tridimensionales, nueva tecnología de manufactura flexible, impresoras 3D capaces de imprimirse a sí mismas (http://reprap.org) y a la larga, tal vez, ¡la fábrica universal capaz de crearlo todo!

Así que, como puede verse, el artículo de Turing ha tenido un impacto inmenso, y podría ser aún mayor. Las computadoras no sólo son una tecnología enormemente útil, también implican una nueva clase revolucionaria de matemáticas con profundas consecuencias filosóficas. Nos desvelan un mundo nuevo.

He dedicado la mayor parte de la vida a explorar un pequeño aspecto de ese mundo nuevo: usando el tamaño de los programas informáticos como una medida de la complejidad, definiendo la aleatoriedad como una complejidad irreducible, como incompresibilidad algorítmica, y estudiando un número que yo llamo la probabilidad de detención Ω. Ω muestra de manera concisa casos concretos del problema de la parada de Turing. Si pudiéramos conocer el valor numérico de Ω con N bits de precisión, eso nos permitiría resolver el problema de la detención para todos los programas de hasta N bits de tamaño. Ω está repleto de información matemática irreducible tanto lógica como computacional.

La probabilidad de detención de un programa creado lanzando una moneda al aire es un número real paradójico: a pesar de la simplicidad de la definición de Ω, su valor numérico es absolutamente imposible de calcular, absolutamente imposible de conocer, y revela que las matemáticas puras contienen una complejidad infinitamente irreducible. Ω se puede interpretar de forma pesimista como un indicador de los límites del conocimiento humano. La interpretación optimista, mi preferida, sostiene que Ω revela que no se pueden realizar matemáticas de manera mecánica, y que la intuición y la creatividad son esenciales. De hecho, en cierto sentido, Ω es la esencia cristalizada, concentrada, de la creatividad matemática (de nuevo Emil Post).

Es más, tal como planteé por primera vez en un artículo del Bulletin of the European Association for Theoretical Computer Science (EATCS) en febrero de 2007, la infinita complejidad irreducible de la probabilidad de detención Ω muestra que las matemáticas puras son más biológicas incluso que la biología, que es muy compleja, pero se trata tan sólo de una complejidad finita. Las matemáticas puras poseen una complejidad infinita. Esta clave fue lo que me animó a intentar crear la metabiología, la cual anuncié en el Bulletin EATCS de febrero de 2009, tan sólo dos años más tarde.

De modo que Gödel, Turing, Post y Von Neumann abrieron una puerta para ir de las matemáticas a la biología; nos dotaron de las herramientas conceptuales necesarias. Necesitamos matemáticas algorítmicas discretas posmodernas para comprender la biología, no ecuaciones diferenciales, no las viejas matemáticas, no el análisis.

En las páginas 59 a 61 figura un esquema cronológico y algunas referencias a los trabajos mencionados en este capítulo. En el siguiente entraremos en detalle y veremos cómo crear una teoría matemática sobre software con mutaciones aleatorias. Siguiendo la recomendación de John Maynard Smith y Sydney Brenner, prescindiremos del cuerpo, el metabolismo y la energía, y nos centraremos en organismos consistentes en puro software. Le contaré cómo emprender la creación de una teoría matemática, algo que ya conseguí en una ocasión anterior (la teoría algorítmica de la información) y que confío en volver a lograr esta vez (la metabiología). Y, como verá, los criterios para lograrlo son mayoritariamente estéticos; las matemáticas son un arte.

Conseguiremos demostrar que la evolución de Darwin funciona en nuestro modelo simplificado y, aunque parezca sorprendente, que los organismos que evolucionan mediante selección natural van estableciendo cotas inferiores cada vez mejores de la probabilidad de detención Ω, lo cual no llegué a prever del todo y, de hecho, fue una agradable sorpresa. Aunque, en retrospectiva, no resulta nada sorprendente, tal como veremos en el capítulo 5.

Kurt Gödel, 1931[3] | Autorreferencia: «¡Esta afirmación es indemostrable!» | Incompletitud de sistemas formales para el razonamiento matemático |
Alan Turing, 1936 | Sobre números computables con una aplicación para el Entscheidungsproblem | Completitud de sistemas formales para cálculos matemáticos = Lenguajes de programación universal, máquinas universales de Turing = computadoras de propósito general | La filosofía teórica del artículo matemático crea la idea del software, ¡la industria informática de un billón de dólares (Von Neumann)!
Trabajo tardío de Turing sobre biología | Morfogénesis = Matemáticas newtonianas = Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales = ¡Obsoleto! | ¡Fue Von Neumann quien vio la manera de aplicar el trabajo de Turing a la biología, no el propio Turing! | ¡Von Neumann inaugura la biología matemática! Y con ello inicia la metabiología
John von Neumann, finales de la década de 1940 comienzos de la década de 1950 | Teoría de los autómatas autorreplicantes (¡la autorreferencia se convierte en autorreproducción!)[4] | ¡Constructores universales, impresoras de objetos, impresoras 3D, manufactura flexible, impresoras autorreplicantes! | Fábrica universal ¿¡Futuro negocio de un billón de dólares!?
Von Neumann murió joven (a los 53 años) | Falleció en 1957; el artículo de Watson y Crick sobre el ADN apareció en 1953 |  |
Sydney Brenner, finales de la década de 1950 y década de 1960[5] | Biólogo inspirado en Von Neumann, no en ¿Qué es la vida?, de Schrödinger | Influyó en Crick, compartió despacho con él; lo único que importa es la información = instrucciones para crear cosas, fabricar cosas = software algorítmico discreto | Galardonado con el Premio Nobel
Von Neumann murió joven (a los 53 años) | Falleció en 1957; el artículo de Watson y Crick sobre el ADN apareció en 1953 |  |
Stanis&lstrok;aw Ulam[6] | Mundo de autómatas celulares, 29 estados, 4 vecinos | Un mundo completamente plástico; ¡todo es software, encantamientos mágicos, información! | ¡El mundo como idea! ¡Abajo el materialismo!

4
Las matemáticas de la metabiología
Paseos aleatorios en el espacio del software

Tal como hemos visto en los dos capítulos anteriores, la vida como software en evolución es una buena metáfora. Pero ¿es un enfoque productivo desde un punto de vista matemático? He aquí la clave de la cuestión. Yo creo que lo es, porque su empleo nos permite demostrar que la evolución funciona de un modo bastante simple y natural, lo cual explicaré a continuación…

Pero antes de lanzarnos a una formulación matemática de la metabiología, quiero preparar el terreno. Quiero explicar cómo actúan las matemáticas puras, cómo funcionan, qué podemos esperar de ellas, lo que le permitirá contemplar mi modelo simplificado de la evolución con empatía en lugar de compasión.

Comenzaremos con dos citas, una de un matemático magnífico con una variedad de intereses nada habitual, mi amigo fallecido Jacob («Jack») Schwartz, y otra de un biólogo teórico, el inspirador John Maynard Smith. Para consultar el texto completo sobre las limitaciones del método matemático que extraje del sugerente ensayo de Jack titulado «The Pernicious Influence of Mathematics on Science» (La perniciosa influencia de las matemáticas en la ciencia), consúltese el apartado de las tres citas aparentemente contradictorias con que comienza este libro. Aquí basta recordar que

la técnica matemática sólo puede llegar lejos si parte de un punto cercano a los elementos esenciales de un problema que posea tales elementos esenciales (Jacob Schwartz).

Una observación elocuente, puesto que proviene de alguien que ha trabajado en numerosas áreas de las matemáticas puras y aplicadas.

Es más, he aquí lo que dice Maynard Smith sobre los modelos matemáticos en biología:

Puede parecer natural pensar que para comprender un sistema complejo debemos construir un modelo que incorpore todo lo que sabemos acerca del sistema. Por sensato que pueda parecer este procedimiento, en biología ha resultado ser, repetidas veces, un ejercicio estéril. Hay dos problemas al respecto. El primero es que el modelo acaba siendo tan complicado que no es posible comprenderlo; la gracia del modelo está en la simplificación, y no en la confusión. El segundo es que si se construye un modelo lo bastante complejo se puede conseguir que haga lo que uno quiera jugando con los parámetros; un modelo que puede predecirlo todo no predice nada (John Maynard Smith y Eörs Szathmáry, Ocho hitos de la evolución[7]).

Además, la metabiología está en ciertos aspectos más próxima a la física teórica que a las matemáticas puras. Y, en la física teórica, los denominados toy models, muy simplificados, forman parte del juego de herramientas habitual, de la metodología estándar. Se confía en que capten las características esenciales de una situación.

He aquí otro modo de expresarlo: queremos encontrar la situación más simple, la más sencilla desde un punto de vista matemático que nos permita demostrar que la vida evoluciona, el sistema mínimo que encaje con la definición de vida que se da en la obra Los problemas de la biología de John Maynard Smith. O, dicho de otro modo, ¡aspiramos a encontrar la forma de vida matemática más simple!

Y, por supuesto, no perseguimos simulaciones por ordenador de un realismo extremo, con un alto grado de detalle de los sistemas vivos, eso que se denomina «biología de sistemas» y que se ha convertido en una disciplina nueva y muy popular.

Asimismo haría algunas observaciones sobre el arte de desarrollar una teoría matemática, observaciones que tal vez no resulten absolutamente obvias a quienes no se han pasado la vida haciendo matemáticas, componiendo matemáticas, inmersos en el mundo de las ideas matemáticas…

Las matemáticas no son el arte de responder interrogantes matemáticos (la mayoría de ellos no se pueden resolver o tienen soluciones feas, embrolladas, poco interesantes). Las matemáticas son más bien el arte de formular las preguntas adecuadas, las cuestiones que tienen respuestas bellas, fértiles, sugerentes.

Y las matemáticas no son una herramienta práctica, una vía para encontrar respuestas. Para ello, use una máquina, ¡use una computadora! Las matemáticas son un arte, ¡una vía de acceso al conocimiento! El propósito de una demostración no consiste en determinar si algo es verdad, ¡sino en decimos por qué es verdad, en permitirnos saber lo que está ocurriendo, lo que está pasando!

¡Pero basta ya de consideraciones metodológicas! ¿Cómo funciona en realidad mi modelo de la evolución? A continuación indico un resumen de las ideas esenciales que ahora intentaré explicar.

IDEAS ESENCIALES DE LA METABIOLOGÍA

Vida = software en evolución aleatoria

Un solo organismo de software O, ¡un matemático!

Creatividad biológica = creatividad matemática

Capacidad adaptativa de O = problema del castor hacendoso = tamaño de la salida

Expresión de los números grandes: N, N + N, N x N, NN, NNN N veces…

Evolución = escalada a una cumbre en un paseo aleatorio O, O’, O’’ …

Mutaciones algorítmicas O’ = M₁(O), O’’ = M₂(O’)…

Probabilidad de mutación algorítmica de K bits, M = 2−K

Oráculos no algorítmicos eliminan malas mutaciones M

¡La capacidad adaptativa de O aumenta más deprisa que cualquier función computable!

¡De modo que la evolución es creativa, no mecánica!

Pasemos ahora a presentar nuestro modelo simplificado de la evolución.

He aquí la idea matemática clave: nuestros organismos son matemáticos, y nosotros detectamos la creatividad matemática y biológica. Nuestro modelo es lo bastante abstracto para que en él no haya diferencias esenciales entre la creatividad matemática y la biológica.

Para que nuestro organismo siga evolucionando, para evitar que se estanque, para impedir un punto fijo, tenemos que desafiarlo, tenemos que encomendarle una tarea difícil, algo que pueda absorber una cantidad ilimitada de creatividad matemática. Para hacerlo aprovechamos la incompletitud de Gödel (1931), en una variante relacionada con el famoso problema de la parada de Turing (1936), a saber, el problema del castor hacendoso, que es el problema relacionado con la expresión de números enteros extremadamente grandes y sin signo.

El problema del castor hacendoso lo inventó Tibor Radó a los sesenta y tantos años de edad, tal como contamos en Gödel’s Way (El estilo de Gödel), la obra que escribí junto con Da Costa y Doria. La referencia original es: T. Radó, «On Non-Computable Functions» (Sobre funciones no computables), Bell System Technical Journal, 41 (mayo de 1962), págs. 877-884.

La cuestión anterior se puede reformular de manera no técnica si se aprovecha la observación de Feyerabend en Tratado contra el método de que en ciencia no hay métodos absolutamente generales, afirmación que en matemáticas es un teorema, la refutación del sueño de Hilbert por parte de Gödel (1931) y Turing (1936). Tal como señala Feyerabend, no hay métodos generales, puesto que siempre se precisa creatividad; no existe ningún modo mecánico para hacer ciencia y en consecuencia ¡la evolución no se estancará!

Mi modelo elimina la física y elimina el cuerpo y da como resultado una formulación matemática lo bastante simple para permitimos entender qué sucede y demostrar teoremas. Asimismo, no me ocupo del origen de la vida; parto de seres vivos en pleno funcionamiento, y los hago evolucionar sin fin. También suprimo poblaciones y suprimo el sexo; ¡Sólo tengo un único organismo! ¡Y aun así evoluciona! ¡No hace falta mucho para que ocurra la evolución! Y eso es bueno porque significa que la evolución es muy básica, ¡muy robusta!

Ahora llegamos al núcleo matemático de nuestro modelo metabiológico de la evolución. Esto resultará un poco técnico, un tanto árido. Haremos una dura escalada, pero procuraré explicar lo mejor que pueda todo lo necesario y no sólo con fórmulas, sino también con palabras. Pero, si no consigue entender algo, por favor, páselo por alto y continúe adelante y ascendiendo. Limítese a contemplar la panorámica general e intente hacerse una idea global de lo que estoy haciendo.

De modo que tenemos un único organismo de software, un programa informático que llamaremos P, y lo que nos interesa es saber el número más alto que P es capaz de calcular. Cuanto mayor sea ese número, mejor adaptado está P. Vamos a hacer cambios aleatorios en P y en cada instante hay un solo organismo P, de modo que P ejecuta lo que se denomina un paseo aleatorio en espacio de software, que es el espacio de todos los organismos posibles de software, todos los programas posibles P.

Imagine a una persona ebria que deambula dando tumbos; es una manera más pintoresca de describir un paseo aleatorio, el paseo de un beodo. Pero nuestros organismos P no son borrachos, sino entregados matemáticos que trabajan con empeño en el problema del castor hacendoso, el problema de calcular un número entero muy, muy grande.

Técnicamente estamos buscando una clase especial de paseo aleatorio, uno que recibe el nombre de paseo aleatorio «en escalada». ¿Por qué? Pues porque como no deambulamos de manera completamente aleatoria, la capacidad adaptativa tiene que ir siempre en aumento. Intentamos que P mute aleatoriamente hasta que al fin calcule un número mayor. El experto estadounidense en genética de poblaciones Sewall Wright dio un nombre llamativo a esta clase de proceso: lo describió en términos del llamado paisaje adaptativo. Si pensamos en el paisaje consistente en la capacidad adaptativa de cada organismo posible, siempre estamos ascendiendo, una estrategia bien conocida en muchos algoritmos de optimización.

He aquí cómo funciona nuestro paseo aleatorio en escalada: intentamos conseguir una mutación aleatoria, la usamos para transformar nuestro organismo actual. Si el organismo resultante calcula un número más alto, si está mejor adaptado, entonces reemplaza al organismo actual. En caso contrario conservamos el organismo actual y probamos otra mutación aleatoria, y así sucesivamente.

Y la cuestión clave es la siguiente: ¿a qué velocidad crece la capacidad adaptativa (= el tamaño del número que se calcula)?

Así que éste es nuestro paseo aleatorio, y en él sólo hay un organismo en proceso de mutación. Pero no hemos terminado aún. También tengo que contarle cómo seleccionar las mutaciones y con qué probabilidades.

El paso crucial para lograr que la metabiología funcione matemáticamente consiste en permitir mutaciones algorítmicas: si una mutación M es un programa de K bits que toma el organismo original A como entrada y produce el organismo mutado A’ = M(A) como salida, entonces esta mutación M tiene una probabilidad 2−K. En otras palabras, si M es una función de K bits, una transformación que se pueda describir en K bits, entonces tiene una probabilidad de 1/2K.

Y en nuestro modelo de paseo aleatorio hay un concepto asociado de distancia, que se mide en bits. Un organismo A dista K bits de otro organismo B si la probabilidad de que nuestro paseo aleatorio nos lleve de A a B en un solo paso asciende a 1/2K. O, expresado de un modo más formal, la distancia mutacional entre los organismos A y B se define como

−log₂ de la probabilidad de ir de A a B con una única mutación.

Pues resulta que éste es también el tamaño en bits del programa M más pequeño que toma A como entrada y produce B como salida, lo que en mi especialidad anterior, la teoría algorítmica de la información, se denomina «la complejidad de longitud de programa» de la función más simple M con B = M(A), también conocido como el «contenido relativo de información» de B, dado A. Comento esto porque la equivalencia entre la manera probabilística y de longitud de programa para definir la distancia mutacional es uno de los teoremas fundamentales de mi artículo de 1975 aparecido en Journal of the Association for Computing Machinery, el cual presentó por primera vez en todo su esplendor el formalismo correcto para la teoría algorítmica de la información.

En otras palabras, la distancia mutacional es la cantidad de información algorítmica que se necesita para pasar de A a B, para obtener B a partir de A, para transformar A en B. Y nótese, por favor, que siempre es posible pasar de A a B con un solo paso. En otras palabras, la distancia mutacional siempre es finita, la probabilidad de mutar de A a B en un único paso siempre es mayor que cero.

Ahora tengo que hablarle sobre el oráculo, que es de donde procede en realidad toda la creatividad de nuestro modelo. «¿Qué oráculo?», preguntará usted. Sí, se encuentra un poco escondido, pero está en el modelo que acabo de describir.

Antes de nada debo contarle qué es un oráculo. Se trata de otra idea divertida de Alan Turing, pero no procede de su famoso artículo de 1936, sino de un artículo menos conocido de 1939. Un oráculo es un procedimiento que nos permite calcular algo que no se puede calcular usando una computadora normal. En particular, nos puede brindar un método para decidir si un programa informático se detendrá en algún momento. Esto se denomina «oráculo para el problema de la parada».

En otras palabras, es una fantasía matemática. Es una manera de imaginar computadoras más potentes de lo que podrían llegar a ser las computadoras reales.

Y ¿por qué necesitamos un oráculo para el problema de la parada?

Lo necesitamos para evitar organismos que no funcionan y mutaciones que no funcionan. Esto es, organismos que nunca producen un número entero como salida, y mutaciones M que cuando se aplican a un organismo A nunca producen un organismo mutado B = M(A). No existe ningún algoritmo para lograr esto (se trata del irresoluble problema de la parada de Turing), así que necesitamos que un oráculo nos diga cuándo saltarse una mutación o un organismo que nunca se detiene.

De modo que éstas son las reglas del juego, así es como funciona nuestro paseo aleatorio en escalada. Pero ¿con qué rapidez evoluciona?

Usaremos la denominada «función del castor hacendoso» (BB)[8] para medir el ritmo de la creatividad biológica = la velocidad de evolución. BB(N) se define como el número entero más grande que se puede expresar en N bits = el número entero más alto generado como salida por cualquier programa de longitud ≤ N bits que produzca un único entero y después se detenga = la capacidad adaptativa de nuestro organismo de software mejor adaptado y de longitud ≤ N bits.

En otras palabras, queremos conocer a qué velocidad crece la capacidad adaptativa. Y resulta que aumenta muy deprisa, de modo que tenemos que emplear algo bien conocido que crezca muy deprisa para comparar, que nos sirva como calibración. Y, tal como observó Tibor Radó, BB(N) crece más rápido que cualquier función computable de N, más deprisa que N elevado a N elevado a N, etcétera. N-factorial veces, por ejemplo. A la larga excederá cualquier función computable. A partir de cierto punto siempre será mayor. Usaremos BB(N) para caracterizar el ritmo de la creatividad biológica en nuestro modelo evolutivo.

¿Y por qué ponemos tanto énfasis en la creatividad? ¿Por qué es tan importante la creatividad? ¡Pues porque nuestros parásitos, competidores y predadores también evolucionan! Es una carrera de armamentos, tal como expresa la «hipótesis de la Reina de Corazones» de Leigh Van Valen: tienes que correr lo más deprisa que puedas para mantenerte en el mismo sitio (¡Van Valen tuvo que fundar una revista nueva para poder publicar esta hipótesis!). Los genes no quieren ser egoístas, tal como afirma Dawkins en su libro El gen egoísta; ¡quieren evolucionar! Ésta es la razón de que haya sexo, que no es egoísta en absoluto: ¡con el sexo nos desprendemos directamente de la mitad de nuestro genoma! ¿Llamarías egoísta a alguien que se desprende de la mitad de su dinero? El sexo no es egoísta; incrementa la creatividad.

Aparte de fundar una revista para poder publicar al fin su artículo más célebre, Van Valen, que falleció en 2010, también se negó a aceptar becas de investigación (para preservar su libertad y creatividad) y ¡otorgaba calificaciones más altas a los estudiantes que discrepaban de él! ¡Verdaderamente creía en la creatividad!

La «hipótesis de la Reina de Corazones» de Van Valen explica por qué hay tanta creatividad en la biosfera terrestre. Pero, en mi modelo metabiológico, ésta emerge por sí sola a partir de las reglas del juego: no hay parásitos, ni competidores, ni predadores; lo único que hay es un solo organismo cada vez.

Para ahondar en la exuberante creatividad de la naturaleza, recomiendo mirar, por supuesto, los hermosos libros de Ernst Haeckel dedicados al arte biológico. En nuestro libro exhibimos esos trabajos al comienzo de cada capítulo.

Pero sí me quedo con el énfasis que pone Dawkins en los genes. ¿Quién cuida del cuerpo? Es también la idea fundamental del análisis de la vida que realiza Maynard Smith: el fuego tiene un metabolismo y se reproduce, pero no evoluciona. La vida es un sistema con herencia y mutaciones, y evoluciona mediante selección natural. Las llamas no tienen herencia, no transmiten información genética, no recuerdan cómo empezaron a existir, de modo que no pueden evolucionar, lo cual es toda una suerte porque si no ¡nos veríamos acosados por gigantescos fuegos depredadores inteligentes! Compare usted esto con mis organismos, que tienen ADN pero no cuerpo ni metabolismo.

Nos acercamos al meollo de la cuestión. Ahora estamos en condiciones de comparar tres sistemas evolutivos radicalmente distintos: la búsqueda exhaustiva irreflexiva, la evolución aleatoria acumulativa, y lo que yo denomino el «diseño inteligente».

Para hacernos una idea de lo bien que funciona la evolución darwiniana en nuestro modelo de castor hacendoso, necesitamos acotarlo por arriba y por abajo. De ese modo veremos en qué medida real es inteligente, creativa o aleatoria la evolución.

He aquí lo que dicen las matemáticas:

• El diseño inteligente: actúa lo mejor posible seleccionando mutaciones sucesivas para proceder del mejor modo posible, no al azar; alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo N.

• La búsqueda exhaustiva irreflexiva: explora todos los organismos posibles al azar, es decir, no tiene en cuenta el organismo previo; alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo 2N; y

• La evolución aleatoria acumulativa: es la evolución darwiniana real y explora todas las mutaciones algorítmicas posibles al azar; alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo intermedio entre N² y N³.

Así que, como ve, la evolución aleatoria acumulativa se acerca mucho más al diseño inteligente que a la búsqueda exhaustiva irreflexiva, ya que N² y N³ se acercan más a N que a 2N. Éste es nuestro hauptsatz, nuestro teorema principal o fundamental, y por esta razón afirmamos que nuestro modelo evoluciona y que, por tanto, está vivo.

Tal como proclamaría orgulloso ahora un matemático puro, QED, quod erat demonstrandum, lo que se pretendía demostrar. ¡El azar es creativo! Las mutaciones aleatorias y la selección natural, ¡alcanzan una suerte de inteligencia! ¡La inteligencia surge de manera espontánea!

Más arriba hablo de tiempo, pero ¿cómo se mide éste en mi modelo? Veamos,

tiempo = número de mutaciones que se exploran = número de pasos efectuados en el paseo aleatorio.

Por supuesto, no todas esas mutaciones tienen éxito, pero las contamos todas.

¿Cómo funciona todo esto? ¿Cómo demuestro estas estimaciones? Bueno, en nuestro modelo simplificado de la evolución de castor hacendoso resulta que los organismos que evolucionan suponen aproximaciones cada vez mejores a la probabilidad de detención Ω (con cotas cada vez más bajas, de hecho), porque ésos son los organismos mejor adaptados. Y el diseño inteligente obtiene N bits de Ω en un tiempo N, que es lo mejor posible; la búsqueda exhaustiva, que se atasca intentándolo todo, obtiene N bits de Ω en un tiempo 2N y la evolución acumulativa aleatoria obtiene N bits de Ω en un tiempo situado entre N² y N³.

¿Recuerda el capítulo anterior? En él sostuve que es creatividad matemática concentrada. En otras palabras, tenemos, respectivamente, N bits de creatividad en un tiempo N, y N bits de creatividad en un tiempo 2N, y por último N bits de creatividad en un tiempo situado entre N² y N³.

No explicaré más la demostración aquí, pero sí lo haré en el próximo capítulo, que se corresponde con una conferencia que di en el Instituto de Santa Fe. El público lector con conocimientos de matemáticas o de física debería consultar también el segundo apéndice, que incluye algunos detalles adicionales.

Estas tres estimaciones quizá no le parezcan mucho a los no matemáticos. Pero he dedicado cuarenta años (desde 1969, consúltese la larga lista de mis publicaciones que hacen mención a la biología) a encontrar una manera de estudiar la evolución con este grado de generalidad matemática, y nunca había conseguido llegar ni a la primera base. Esto tal vez no parezca mucho (de hecho no es más que el primer paso hacia una teoría matemática general, abstracta, de la evolución y la creatividad biológica), pero ese primer paso suele ser el más difícil. Lo difícil es alcanzar los conceptos que establecen las cuestiones fundamentales y que se pueden tratar matemáticamente.

Así que estoy esperanzado al respecto. Sí, al principio me sentí un tanto eufórico, pero ahora el sentimiento general es de esperanza contenida. El tiempo dirá. Confieso que estos resultados me parecen un tanto extraños incluso a mí. Al fin y al cabo, son flamantes, es una disciplina nueva. Llevará algún tiempo dilucidar si estamos equivocados o si realmente hay algo ahí. Algún tipo de modelo de software en evolución tendría que funcionar, creo yo.

Ahora, quisiera preparar el ambiente para la conferencia que di en el Instituto de Santa Fe, la cual fue, por decirlo así, el debut mundial oficial de la metabiología. Fue un entorno muy estimulante. El Instituto de Santa Fe, una estructura similar a un monasterio zen de espléndidas y amplias vistas suspendida a 2000 metros de altitud sobre el nivel del mar en pleno desierto de Nuevo México y rodeada de nieve bañada por una luz solar radiante. La audiencia era perfecta: un grupo selecto de físicos, matemáticos y científicos expertos en computación interesados en sistemas complejos. He aquí lo que les conté; por cierto, esto sucedió meses atrás, cuando aún no había descubierto Los problemas de la biología, el libro que Maynard Smith publicó en 1986.

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Una teoría matemática de la evolución y la creatividad biológica[9]
(Conferencia en el Instituto de Santa Fe)

Quisiera agradecer a los organizadores su invitación. No había visitado el Instituto de Santa Fe desde hacía muchos años. Estoy encantado de volver a estar aquí y hablaré de algo radicalmente nuevo. Creo que ha llegado el momento idóneo para fundir las ciencias de la computación teórica con la biología, y para empezar a desarrollar una biología matemática teórica.

Biología teórica

Biología matemática

Creo que ya contamos con las herramientas matemáticas necesarias para empezar a desarrollar esta teoría.

Durante muchos años he pensado que es un escándalo matemático que no dispongamos de una demostración de que la evolución darwiniana funciona. Deseo encontrar el modelo más simplificado de la evolución que me permita demostrar que la evolución continuará produciéndose eternamente, sin fin. Pongo el acento en la creatividad biológica, algo que se ha perdido en cierto modo en las explicaciones habituales de la evolución darwiniana.

Soy consciente del hecho de que existe gran cantidad de bibliografía sobre biología y evolución (un buen trabajo al que no pongo ninguna objeción), pero prescindiré de la mayor parte de ella e iré en otra dirección. Les ruego que tengan paciencia conmigo.

Existe una teoría matemática de la evolución bastante interesante llamada «genética de poblaciones». Pero en la genética de poblaciones no hay creatividad por definición, porque la genética de poblaciones define la evolución como cambios en la frecuencia de genes en respuesta a presiones selectivas, y trabaja con un banco de genes fijo y finito. A mí, en cambio, me interesa saber de dónde provienen los genes nuevos, cómo se produce la creatividad.

Mi motivación también se puede explicar de este otro modo: la tecnología más avanzada del siglo pasado se basaba en el software digital, los lenguajes de programación computacional. Y la tecnología puntera de este nuevo siglo será la biotecnología, la cual se basa en un software digital natural, o sea el ADN.

Software digital artificial: lenguajes de programación

Software digital natural: ADN

Ambas tecnologías acabarán convergiendo. No es casual que la gente hable de virus informáticos y guerras cibernéticas, o de desarrollar un sistema inmunológico para proteger activos cibernéticos. Y lo que estoy diciendo es que todo eso no son simples metáforas. Podemos servimos de esta analogía para empezar a desarrollar una teoría matemática de la evolución.

Darwin comienza su libro El origen de las especies valiéndose de la analogía existente entre la selección artificial que realizaban los productores de animales y plantas, los esfuerzos fructuosos de sus acaudalados vecinos para conseguir vacas productoras de leche, caballos de carreras y rosas de campeonato, y la selección natural debida a las limitaciones malthusianas. Yo quiero emplear la analogía entre la evolución aleatoria del software natural, el ADN, y la evolución aleatoria del software artificial, los programas informáticos. He bautizado como «metabiología» esta nueva disciplina que propongo, y su objeto de estudio se centra en los paseos aleatorios por el espacio del software, los paseos aleatorios en escalada hacia la mejora de la capacidad adaptativa.

Evolución de software mutante

Paseos aleatorios por el espacio del software

Los matemáticos se sienten cómodos con la idea de los paseos aleatorios. La literatura sobre paseos aleatorios es abundante. Y yo sólo estoy proponiendo un paseo aleatorio por un espacio más rico, el espacio de todos los programas posibles dentro de un lenguaje de programación computacional determinado, el cual constituye un espacio lo bastante amplio para servir como modelo de la creatividad biológica.

Así que básicamente parto de dos observaciones. La primera es que doy por supuesto que el ADN se corresponde con lo que los científicos de la computación denominan un «lenguaje de programación universal», lo que significa que es lo bastante poderoso para expresar cualquier algoritmo (en particular, la biología evolutiva del desarrollo nos enseña a entender el ADN como un programa informático). En segundo lugar, al nivel de abstracción con que trabajo en mis modelos, no existe ninguna diferencia fundamental entre la creatividad matemática y la creatividad biológica, de modo que puedo emplear problemas matemáticos para los que no existen métodos generales con la finalidad de desafiar a mis organismos y obligarlos a seguir evolucionando.

ADN = lenguaje de programación universal

Creatividad matemática = creatividad biológica

Emil Post, un autor al que ya hemos olvidado pero cuyo trabajo está al mismo nivel que el de Kurt Gödel y Alan Turing, consideraba que lo más interesante de la incompletitud y la incomputabilidad es que desvelan la importancia crucial de la creatividad en las matemáticas. El énfasis en los métodos formales que provocó la computación anuló temporalmente el análisis de Post, pero la metabiología vuelve a levantar la antorcha de la creatividad.

Insisto, ¡la idea general es que todos somos paseos aleatorios dentro de un espacio de programación! Nuestro genoma es software digital reparado y modificado a lo largo de miles de millones de años para enfrentarse a los cambios medioambientales. De hecho, propongo concebir la vida como software en evolución y considerar la biología como una especie de arqueología de software. En lugar de L’Homme Machine (1748) de La Mettrie, ahora tenemos «el hombre software».

Para ser más precisos, estoy estudiando el siguiente modelo simplificado de la evolución. Tengo un único organismo, e intento someterlo a mutaciones aleatorias. Si el organismo resultante está mejor adaptado, entonces reemplaza al organismo original.

Permítanme ahora explicar esto con más detalle.

¿Qué son mis organismos? Bueno, en su obra El gen egoísta, Richard Dawkins nos desvela que el cuerpo no es importante, no es más que un vehículo para los genes que porta. Así que yo prescindo por completo del cuerpo y me quedo únicamente con el ADN.

Una manera más adecuada de explicarlo consiste en recordarles la definición de vida que daban John Maynard Smith y Eörs Szathmáry en las obras The Major Transitions in Evolution (Las grandes transiciones de la evolución) y Ocho hitos de la evolución. En ellas debaten sobre dos definiciones de la vida. La primera es bastante obvia. Los seres vivos conservan su estructura mientras toman materia y expulsan materia; en otras palabras, tienen metabolismo. Y además, se reproducen. Aunque esta parezca una definición natural, Maynard Smith y Eörs Szathmáry señalan que el fuego encaja en esta definición.

Sin embargo, los fuegos carecen de herencia, los fuegos no recuerdan si surgieron de una cerilla o de un mechero y, por tanto, no evolucionan.

De ahí que Maynard Smith y Szathmáry propongan una definición de vida más sofisticada. Hay vida cuando hay herencia con mutaciones y puede producirse evolución mediante selección natural.

Esto quizá suene a tautología. La teoría de Darwin también puede parecer una tautología (la supervivencia de los mejor adaptados es simplemente la mera supervivencia de los supervivientes), pero la selección natural no es una tautología. Y esta definición de la vida tampoco lo es, porque la clave está en demostrar la existencia de algo que cumple la definición. La cuestión es hallar el sistema más simple portador de herencia y mutaciones cuya capacidad para evolucionar sea demostrable.

Así que simplifiquemos las cosas al máximo, prescindamos de metabolismo, de cuerpo, y quedémonos tan sólo con el ADN. Mis organismos serán programas informáticos. Aún me falta explicar cómo ejecuto las mutaciones y cuál es mi medida de la capacidad adaptativa.

Durante dos años he trabajado en metabiología empleando lo que los biólogos llaman mutaciones puntuales: mediante el cambio / la eliminación / la adición de uno o más bits contiguos en el programa informático, la probabilidad de las mutaciones desciende exponencialmente con el número de bits. De este modo hay una probabilidad no nula de llegar desde cualquier organismo A a cualquier otro organismo B con una sola mutación pero, si se alteran todos los bits de A, esa probabilidad será infinitesimal.

Con las mutaciones puntuales conseguí empezar a trabajar, fui capaz de hacerme una idea sobre lo que sucede, pero la manera de avanzar estaba bloqueada; las cosas se complicaron, tal como suele ocurrir con los trabajos pioneros en matemáticas. Después, varios meses más tarde, en julio y agosto del verano pasado, logré un gran avance.

Me di cuenta de que, desde un punto de vista matemático, lo correcto es plantearse las mutaciones algorítmicas, donde cada mutación consiste en un programa informático en el que se introduce el organismo original A y que produce como salida el organismo mutado B. Si esta mutación algorítmica es un programa de N bits, entonces la mutación de A en B tiene una probabilidad de 2−N.

La mutación algorítmica de N bits A → B tiene una probabilidad de 2−N

Si usamos los lenguajes de programación sin prefijo de la teoría algorítmica de la información, la probabilidad total de todos los programas será inferior a uno, tal como debería ocurrir. Así se consigue lo que se denomina una «norma de medida», y se trata de una técnica bien conocida.

Ahora tenemos de nuevo una probabilidad no nula de ir de cualquier organismo A a cualquier otro organismo B con un solo paso mutacional, pero las probabilidades son muy distintas. Consideremos, por ejemplo, la mutación que invierte cada bit del programa A. Antes esta mutación era posible pero extremadamente improbable. Ahora es una mutación muy simple y, por tanto, altamente probable.

Si se eligen mutaciones al azar, cada mutación se probará con una frecuencia infinita, y esta mutación de inversión de bits se ejecutará muy a menudo, de hecho sucederá durante una proporción fija del tiempo.

Por cierto, con las mutaciones algorítmicas es posible que el programa de mutación jamás se detenga y nunca produzca el organismo mutado B. Así que en realidad no podemos simular nuestro modelo de la evolución porque, para hacerlo, hay que usar lo que los científicos de la computación denominan, siguiendo a Turing, un «oráculo» para el problema de la parada. Y también nos veremos obligados a volver a emplear oráculos más adelante, para decidir si el organismo mutado B está mejor adaptado que el organismo original A. ¿Cómo se hace esto? ¿Cuál es nuestra medida de la capacidad adaptativa, nuestro criterio de capacidad adaptativa?

Bueno, para obligar a nuestros organismos a evolucionar sin fin, debemos desafiarlos con un problema matemático que no se pueda resolver a la perfección jamás, que pueda emplear una cantidad arbitraria de creatividad matemática. Nuestros organismos son matemáticos que intentan mejorar sin fin, saber cada vez más matemáticas. ¿Qué problema matemático usaremos para obligarlos a evolucionar?

El problema más desafiante y más simple es el problema del castor hacendoso, íntimamente relacionado con el famoso problema de la parada de Turing. ¿Y qué es el problema del castor hacendoso? Pues consiste en expresar de manera concisa un entero positivo enorme, un número entero sin signo extremadamente elevado.

¿Por qué se necesita creatividad para esto? Bueno, supongamos que tenemos un número elevado N y que queremos expresar un número aún mayor. Podemos pasar de N a N + N, a N × N, a N elevado a la enésima potencia, a N elevado a la enésima potencia elevada a la enésima potencia N veces. Así que para expresar números elevados tenemos que inventar la adición, la multiplicación, la exponenciación, la hiperexponenciación, y esto requiere creatividad.

Problema del castor hacendoso:

N + N, N², NN, NNNN (N veces)

En la red existe un ensayo magnífico sobre esto, obra del teórico en complejidad computacional cuántica Scott Aaronson, titulado «Who Can Name the Biggest Number?» (¿Quién es capaz de expresar el número más alto?), un texto que recomiendo encarecidamente y que explica hasta qué punto se trata de un problema fundamental.

Así que ésta es mi medida de la capacidad adaptativa. Cada uno de mis organismos de software calcula un solo número, un único entero positivo y, cuanto mayor sea ese número, más adaptado estará el organismo. El organismo actual A tiene una capacidad adaptativa concreta N y entonces probamos una mutación aleatoria, de acuerdo con la medida de probabilidad que ya he explicado, y si el organismo resultante B calcula un número más alto, entonces sustituye a A. En caso contrario, probaremos con otra mutación de A.

Nótese que de nuevo estamos usando implícitamente un oráculo, porque la mutación aleatoria de A producirá con frecuencia un organismo B que nunca se detenga y que nunca calcule nada, de modo que no podremos determinar si B está más adaptado que A (si B produce un número mayor que el generado por A) con la mera puesta en marcha de B. Tenemos que descartar las mutaciones que producen un programa B no válido, así como las mutaciones que jamás producen un organismo B mutado.

Y para medir el progreso evolutivo, para medir la cantidad de creatividad biológica que se está produciendo, el índice de creatividad biológica, usamos la denominada función del castor hacendoso BB(N), que se define como el entero positivo más alto que se puede expresar con un programa de longitud ≤ N bits. (Se trata de una versión más refinada de la función del castor hacendoso. La función original del castor hacendoso BB(N) arrojaba el entero más grande calculado por una máquina de Turing con un número de estados ≤ N).

BB(N) = el entero positivo más grande expresado en ≤ N bits

BB(N) crece más deprisa que cualquier función computable de N porque BB(N) es esencialmente idéntico al tiempo de funcionamiento de cualquier programa de longitud ≤ N bits que acabe deteniéndose. Así que, si BB(N) fuera computable, nos brindaría una vía para resolver el problema de la parada.

Pues bien, veamos ahora qué ocurre si partimos de un organismo trivial, por ejemplo el que calcula el número 1, y llevamos a cabo ese paseo aleatorio en escalada. Aplicamos mutaciones al azar y observamos con qué rapidez crece la capacidad adaptativa. De hecho, para calibrar con qué rapidez funcionará la evolución aleatoria acumulativa, veamos en qué punto intermedio cae entre

• la búsqueda exhaustiva irreflexiva, en la que ignoramos el organismo previo A y probamos con un nuevo organismo B al azar (en otras palabras, las mutaciones se producen mediante programas elegidos al azar igual que antes, pero a los que no se les da ninguna entrada),

• y la evolución más rápida posible que se puede obtener seleccionando una secuencia computable de mutaciones de la mejor manera posible para lograr un aumento veloz de la capacidad adaptativa, lo que yo denomino «diseño inteligente».

(No podemos usar un oráculo para saltar directamente a BB(N), BB(N +1), etcétera, porque sólo estamos permitiendo un uso muy limitado de oráculos, para determinar si A → B está más adaptado que A. Y también para eliminar las mutaciones que no producen un organismo B a partir de A.)

El diseñador no es dios, sino el matemático que encuentra la mejor secuencia posible de mutaciones que probar.

He aquí lo que sucede con estos tres sistemas evolutivos diferentes:

La búsqueda exhaustiva alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo ≈ 2N

El diseño inteligente alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo N

La evolución acumulativa alcanza la capacidad adaptativa BB(N) en un tiempo situado entre N² y N³

Mi unidad temporal se corresponde con el número de mutaciones probadas. Por ejemplo, pruebo con una mutación por segundo. Nótese que la capacidad adaptativa aumenta más deprisa que cualquier función computable del tiempo, lo que revela que se está produciendo verdadera creatividad. Si los organismos se mejoraran mecánicamente, algorítmicamente, entonces la capacidad adaptativa tan sólo crecería como una función computable del tiempo. Por supuesto, la creatividad procede en realidad del uso implícito de un oráculo: cada vez que probamos una mutación y se nos comunica si el organismo B está más adaptado que el organismo original A, obtenemos un máximo de un bit más de creatividad y podemos avanzar desde BB(N) hasta BB(N +1). Esto es lo mejor que podemos hacer, y eso es lo que consigue el diseño inteligente.

La búsqueda exhaustiva aleatoria tarda un tiempo que aumenta exponencialmente con N para llegar a BB(N), porque la búsqueda exhaustiva es ergódica, explora todo el espacio de organismos posibles. Esto no es en absoluto lo que sucede en la evolución real: el genoma humano tiene 3 x 10⁹ bases, pero en 4000 millones de años la biosfera sólo ha sido capaz de probar con una fracción infinitesimal de la astronómica cifra de todas las secuencias posibles de ADN de ese tamaño, que asciende a 43 x 10⁹ evolución no es ergódica en modo alguno.

Nótese que en nuestro modelo simplificado la evolución es mucho más veloz que la búsqueda exhaustiva, y se acerca bastante al diseño inteligente. ¿Y eso? En realidad lo que sucede en este modelo de evolución aleatoria es que nuestra evolución desarrolla con rapidez cotas inferiores muy buenas para la probabilidad de detención Ω. Conocer la probabilidad de detención Ω con N bits de precisión es esencialmente lo mismo que conocer BB(N). Y las mutaciones aleatorias MK que incrementan con rapidez la capacidad adaptativa establecen una cota inferior de Ω y comprueban si pueden añadir un 1 en la posición del bit número K tras la coma decimal. En otras palabras, MK intenta comprobar si la cota inferior actual de Ω sigue siendo un minorante si le añadimos 2−K.

Mk: ¿podemos añadir 2−K a nuestra cota inferior de Ω?

Si es así añadimos 2−K a nuestra cota inferior de Ω. En caso contrario intentamos aumentar otro bit K al azar. El diseño inteligente prueba de manera sistemática con MK para K = 1, 2, 3… La evolución acumulativa no es mucho más lenta porque la mutación MK sólo necesita en esencia designar K, lo cual se puede hacer con un software sin prefijos/autodelimitante de longitud log K + 2 loglog K bits y, por tanto, tiene probabilidad ≥ 1/K(log K)² y ocurrirá en un tiempo que se espera que sea ≤ K(log K)². De modo que la evolución acumulativa intentará aumentar los bits de Ω desde K = 1 hasta N con el paso del tiempo, lo que viene a ser

ΣK≤N K(log K)² ≤ entre N² y N³

Esto es un bosquejo de la demostración de que la evolución darwiniana funciona en mi modelo. Para ahondar en los detalles, por favor, consúltese el segundo apéndice de este libro o el informe de investigación CDMTCS-391 que presenté en el Centro de Matemáticas Discretas y Ciencias de la Computación Teórica de la Universidad de Auckland en esta dirección de internet:

https://www.cs.auckland.ac.nz/research/groups/CDMTCS/

Reconozco que hasta yo mismo encuentro un tanto raro este resultado, pero creo que es un primer paso en el campo de la metabiología. Se trata del modelo más simple que se me ocurre para demostrar que la evolución funciona. Es mi tentativa para extraer la esencia matemática de la teoría de Darwin. Para mi sorpresa, los organismos que evolucionan con rapidez en este modelo brindan cotas inferiores cada vez mejores en la probabilidad de detención Ω. De hecho, las probabilidades de detención de todas las posibles máquinas universales de Turing evolucionan con rapidez en paralelo; en realidad, hay muchas probabilidades de parada, y no sólo una. Conoceremos N bits de cada Ω en un tiempo aproximado entre N al cuadrado y N al cubo.

¿Por qué es Ω el organismo que evoluciona? Pues porque un elemento clave de la teoría de Darwin es que la evolución resulta de la acumulación de pequeñas variaciones, cada una de las cuales se muestra ventajosa. Darwin temía que un ojo a medias fuera inútil y se preocupaba mucho por la inexistencia de formas intermedias. Uno de los capítulos de su libro El origen de las especies se titula «Sobre la imperfección del registro geológico». Ω está repleta de información matemática útil y podemos conocer un bit de su valor numérico en cada ocasión, de tal manera que disponer de cotas inferiores cada vez mejores de Ω nos brinda una ruta evolutiva altamente probable mediante la recapitulación de cambios pequeños pero ventajosos.

Tal como dije antes, cada mutación se prueba con una frecuencia infinita, y algunas son bastante violentas. Existe una mutación que reemplaza a un organismo con una capacidad adaptativa N mediante un programa que directamente da como salida N + 1 sin realizar ningún cómputo. Es un organismo bastante estúpido, pero aumenta la capacidad adaptativa y, por tanto, esta mutación resulta exitosa cada vez que se intenta. ¿Y cómo es que funciona la evolución aleatoria a pesar de esas violentas perturbaciones? Pues porque la memoria del sistema reside en la capacidad adaptativa, la cual siempre aumenta. Conocer un entero muy grande N nos permite calcular una cota inferior muy buena de Ω. Basta con mirar todos los programas de hasta N bits de tamaño y ponerlos en marcha durante un tiempo N para ver cuáles se detienen, y eso nos brinda una cota inferior cada vez mejor para Ω.

Así que ésta es mi mejor tentativa actual para encontrar la evolución en el mundo platónico de las ideas, el sistema más simple, más natural que manifiesta creatividad y que puedo demostrar que evoluciona mediante selección natural aleatoria. Obtenemos una evolución demostrable, lo cual es un buen primer paso y creo que valida la metabiología como un posible plan de investigación, pero no conseguimos incrementar la estructura jerárquica de nuestros organismos (que son, en esencia, meras cotas inferiores de Ω), y la estructura jerárquica es un rasgo muy evidente de los organismos naturales.

¿Y qué hay de la estructura jerárquica?

En realidad tengo otros dos modelos simplificados de la evolución que he estudiado, no sólo el que he explicado. Lo que cambia en esos modelos es la medida de la capacidad adaptativa, y también el lenguaje de programación. En mi segundo modelo uso lo que se denomina un lenguaje de programación «subrecursivo», uno que no es universal y para el que no existe el problema de la parada. No tiene el problema de la parada porque es un lenguaje parecido al FORTRAN, en el que cada vez que entras en un bucle sabes de antemano cuántas veces exactamente se ejecutará.

Y ahora, cada programa calcula una función, no un entero, y cuanto más deprisa crece la función, más adaptado está el programa.

N + N → N² → NN → NNNN (N veces)

Se sabe mucho sobre jerarquías subrecursivas (véase, por ejemplo, el libro de mi amigo Cristian Calude titulado Theories of Computational Complexity [Teorías de la complejidad computacional]), y usando todo eso es fácil mostrar que el nivel de bucles anidados de los programas tiene que crecer de manera no acotada. Así que también dispongo de un modelo simplificado de la evolución en el que emerge la estructura jerárquica de una manera demostrable.

En mi tercer modelo simplificado de la evolución los programas también son universales, no subrecursivos, y cada programa da nombre a lo que se denomina un «número ordinal constructivo de Cantor». He aquí algunos ejemplos de esos números:

1, 2, 3, ω, (ω + 1, ω + 2, 2ω, 3ω, ω², ω³, ωω, ωωω, ε₀…

En este modelo conjeturo que la búsqueda exhaustiva es la mejor que se puede emprender. En general, se espera que con los paisajes adaptativos arbitrarios se precisará una búsqueda exhaustiva y no se obtendrá evolución acumulativa. El paisaje adaptativo tiene que ser muy especial para que funcione la evolución darwiniana.

Y ¿adónde llega la metabiología partiendo de ahí? Confío en que haya un espectro de modelos posibles de programas de evolución aleatoria. Modelos más realistas limitarán el tiempo de funcionamiento de los programas y, por tanto, evitarán la necesidad de oráculos. Confío en que haya una solución de compromiso entre el realismo biológico y lo que se puede demostrar: cuanto más realista sea el modelo, más deberemos confiar en simulaciones por ordenador que en demostraciones.

¿Hay modelos más realistas?

Hay muchas posibilidades para el trabajo futuro. Además de limitar el tiempo de funcionamiento, podemos tratar de incorporar poblaciones o sexo. Queda mucho por hacer. Pero no debemos esperar que esta biología matemática teórica se vuelva algún día tan realista como la física teórica. La biología es sencillamente demasiado desordenada, está demasiado alejada de las matemáticas. Y, aunque la metabiología sea prometedora desde un punto de vista matemático, está por ver qué relevancia llegará a adquirir la metabiología para la biología real. Pero, tal como apunta mi esposa, Virginia Chaitin, la metabiología ya ha formulado un interrogante interesante a los biólogos, el que plantea hasta qué punto tienen poder los mecanismos mutacionales en los organismos reales. ¿Cuánto se acercan los organismos reales a las poderosas mutaciones algorítmicas necesarias para hacer funcionar mis modelos metabiológicos?

(De hecho, los escritos de Maurício Abdalla y Máximo Sandín me han sugerido con posterioridad que esas mutaciones algorítmicas tal vez existan en realidad: ¡son virus!).

Otra advertencia relacionada con la metabiología es que no estudia el origen de la vida ni dice nada sobre lo que sucedería si empezáramos a tomar las riendas de nuestro destino biológico por medio de la ingeniería genética y creando niños con genomas de diseño, con los mejores genes que el dinero sea capaz de comprar.

Me gustaría terminar con unas cuantas observaciones generales sobre la creatividad biológica y la evolución.

La noción convencional es que la evolución no es incesante; nos adaptamos perfectamente al entorno y, después, nos estancamos. Y se afirma que la evolución no está relacionada con el progreso. Los modelos matemáticos simples que hemos desarrollado hasta ahora, en el ámbito de la biología y de la economía, hablan de estabilidad y puntos fijos, no hablan de creatividad.

Pero ésta no es la manera correcta de pensar la biología. En biología no hay nada estático, todo es dinámico. Los virus, las bacterias y los parásitos mutan sin cesar, experimentan constantemente, no paran de buscar una vía mejor para burlar nuestras defensas, no dejan de practicar todas las combinaciones posibles. La biología es creatividad sin fin, no es estabilidad en absoluto. Es una carrera de armamentos y, tal como decía la Reina de Corazones de Lewis Carroll, tienes que correr lo más deprisa que puedas para quedarte en el mismo sitio.

(Una representación figurativa magnífica de la exuberante creatividad de la naturaleza se observa en los espléndidos libros de Ernst Haeckel Art Forms from the Ocean y Art Forms in Nature —Kunstformen der Natur—, ambos publicados en inglés por Prestel).

Esta cuestión la ilustra especialmente bien la denominada paradoja del sexo que se expone en profundidad en el apartado que Dawkins dedica a los rotíferos en El cuento del antepasado. Para la concepción estándar de la evolución darwiniana, el sexo es problemático porque se supone que los genes egoístas sólo aspiran a copiarse a sí mismos. Pero mediante el sexo nos desprendemos al instante de la mitad de nuestro genoma, lo cual no es nada egoísta (¡¿llamaríamos egoísta a una persona que se desprende de la mitad de su dinero?!). Sin embargo, hay muy pocas especies partenogenéticas y el sexo es casi universal. ¿Por qué?

¿Por qué hay sexo?

La razón es que la biología está completamente relacionada con la creatividad y el cambio constantes; nada es estable, igual que en las relaciones humanas. Y el sexo acelera enormemente la creatividad. Si se necesitan varias mutaciones, el sexo se toma el máximo tiempo que haga falta para permitir que ocurra cada una de ellas de manera aleatoria, para así tenerlas todas, mientras que partenogenéticamente se requiere la suma de todos los tiempos de mutación esperados en lugar del máximo.

En definitiva, la metabiología hace hincapié en la creatividad biológica, no en el egoísmo, y abre la puerta a una interpretación completamente nueva de la evolución darwiniana. Queda por ver hasta dónde nos llevará esta senda, pero los primeros pasos son alentadores. Ahora disponemos de las herramientas matemáticas necesarias para estudiar la evolución del software mutante. Las ciencias de la computación teórica son biología teórica.

LECTURAS ADICIONALES

Aaronson, S., http://www.scottaaronson.com/writings/bignumbers.html.

Calude, C., Theories of Computational Complexity, Elsevier, 1987.

Chaitin, G., Algorithmic Information Theory, Cambridge University Press, 1987.

—, «Evolution of Mutating Software», EATCS Bulletin, 97 (febrero de 2009), págs. 157-164.

—, «Metaphysics, Metamathematics and Metabiology», APA Newsletter on Philosophy and Computers, 10, núm. 1 (otoño de 2010), págs. 7-11. También en H. Zenil, Randomness Through Computation, World Scientific, 2011, págs. 93-103.

—, https://www.cs.auckland.ac.nz/research/groups/CDMTCS/. También en H. Zenil, A Computable Universe, World Scientific (en prensa).

Darwin, C., On the Origin of Species, John Murray, 1859 (trad. esp. de A. de Zulueta: El origen de las especies, Alianza, Madrid, 2009).

Dawkins, R., The Selfish Gene, Oxford University Press, 1976 (trad. esp. de J. Robles Suárez: El gen egoísta, Salvat, Barcelona, 2011).

—, The Ancestor’s Tale, Houghton Prestel, 2009 (trad. esp. de V. V. Úbeda: El cuento del antepasado: un viaje a los albores de la evolución, Antoni Bosch, Barcelona, 2008).

Haeckel, E., Art Forms from the Ocean, Prestel, 2009.

—, Art Forms in Nature, Prestel, 2010.

La Mettrie, J. O., El hombre máquina, Valdemar, Madrid, 2000. Trad. esp. de M. Badiola y A. Izquierdo.

Maynard Smith, John y E. Szathmáry, The Major Transitions in Evolution, Oxford University Press, 1997.

—, The Origins of Life, Oxford University Press, 1999 (trad. esp. de Joandomènec Ros: Ocho hitos de la evolución: del origen de la vida al nacimiento del lenguaje, Tusquets Editores, col. Metatemas 67, Barcelona, 2001).

6
Aspectos teológicos de la metabiología

En los capítulos anteriores nos hemos centrado en las matemáticas, pero ¿qué significa todo esto? Suponiendo que sea cierta, ¿qué nos dice la metabiología sobre la condition humaine? Los tres capítulos finales de esta obra los dedicaremos a las implicaciones teológicas, políticas y epistemológicas de la metabiología. Comencemos por la teología…

Ante todo quisiera subrayar que la metabiología no es una teoría ateísta. En mi opinión, el intento de hallar una teoría matemática hermosa para la biología nace de un impulso religioso: la teología de Leibniz por la cual las leyes del universo tienen que ser bellas porque (en palabras mías, no de Leibniz) el mundo es una obra de arte creada por un Dios matemático. Recordemos que Leibniz creó una versión de la teología compatible con la ciencia moderna y las matemáticas. Yo considero religiosa la metabiología en este sentido, en el sentido de Leibniz y Spinoza. Intento obtener un mundo plástico a partir de la ciencia y las matemáticas convencionales. Al igual que Leibniz, también quiero tener mi propio dulce y comérmelo[10].

¿Puede el Hombre comprender a Dios? Los gnósticos (término derivado de la palabra griega para conocimiento) creen que sí, los agnósticos consideran a Dios como incognoscible. Leibniz creía que se podía comprender a Dios mediante la razón omnipotente, mientras que otros pensaban que sólo se puede llegar a él a través de la fe ciega, que nunca se podría comprender por completo. La versión moderna del asunto es la siguiente: ¿podrá el Hombre llegar a comprender por completo las leyes del universo? Un vestigio de la creencia de Leibniz en la razón omnipotente es el ideario contemporáneo de que cuando algo se comprende por completo se puede expresar en términos matemáticos, que cuanto más matemática sea una ciencia, más avanzada está.

Recordemos qué decía Leibniz acerca de la simplicidad y la complejidad. Según afirmaba en los apartados V y VI del Discurso de metafísica, el mundo es menos perfecto si Dios tiene que intervenir para crear la vida. Un mundo que precise milagros es menos perfecto que uno que funciona por sí solo, porque es más complejo, porque no todo deriva de las meras leyes básicas de la naturaleza. Los milagros son como rectificaciones que deben añadirse a las leyes fundamentales del país, lo que incrementa enormemente el tamaño de la constitución. Éste es en esencia el argumento de Leibniz y Malebranche contra los milagros. (Véanse las páginas 132 y 133 de The Best of All Possible Worlds: A Story of Philosophers, God, and Evil [El mejor de los mundos posibles: una historia de filósofos, dios y el mal], de Steven Nadler. Consúltese también El hereje y el cortesano: Leibniz, Spinoza y el destino de Dios en el mundo moderno, de Matthew Stewart).

Como matemático en activo, temo no haber desarrollado una postura filosófica coherente que esté dispuesto a defender. Yo soy pitagórico en cuanto a que el mundo está construido a partir de las matemáticas, que los fundamentos ontológicos últimos del universo son matemáticos, que las matemáticas son la sustancia más sólida, nítida y más definida posible que existe, estática, eterna, perfecta. (¡Al fin y al cabo el mundo tiene que estar hecho de algo, y es indudable que no podemos usar malvaviscos!). Creo que ésta viene a ser la postura de la física teórica moderna.

Pero sospecho que no comparto la idea platónica de que este mundo no es más que una versión imperfecta del mundo de las ideas. Es más, creo que nuestro mundo está construido sobre el mundo platónico. No me considero un dualista, no creo en un mundo separado de las ideas matemáticas, un mundo al margen del nuestro. Más bien considero que este mundo físico nuestro no es más que una porción infinitesimal del mundo de las ideas matemáticas, que incluye todos los universos físicos posibles, y que es todo lo que existe, todo lo que realmente es… Pero, siguiendo a Gödel, nuestro conocimiento de ese mundo perfecto siempre es incompleto, siempre es parcial, y cambia constantemente.

En la concepción que tengo de él, el mundo platónico de las ideas matemáticas contiene de manera simultánea todos los universos físicos posibles y todos los modos posibles de hacer matemáticas. Al comienzo del último capítulo, que trata sobre los límites últimos de las matemáticas, afirmo que las matemáticas se encuentran en evolución continua; me refiero a nuestras matemáticas, las matemáticas humanas, las matemáticas con minúscula; sin embargo, siguiendo a Platón, considero las Matemáticas con mayúscula estáticas, eternas y perfectas.

Por favor, compárese lo anterior con las ideas de Max Tegmark. (Véase «Parallel Universes» [Universos paralelos], de M. Tegmark, en la obra Science and Ultimate Reality: Quantum Theory, Cosmology and Complexity [La ciencia y la realidad última: teoría cuántica, cosmología y complejidad], de J. D. Barrow, P. C. W. Davies y C. L. Harper, Cambridge University Press, 2004, págs. 459-491). Tegmark propone un multiverso extremo consistente en todas las leyes matemáticas posibles, de forma que cada una de ellas «crea» o está asociada a un universo regido por dichas leyes.

Lo último que queda de la creencia en Dios es la creencia en las teorías científicas bellas. Hace un siglo la gente instruida veneraba la Belleza, la Verdad y el Arte (y siempre iban en mayúscula). Hoy no creemos en nada. O quizá sólo en el dinero. La Ilustración ha acabado en una reductio ad absurdum.

La metabiología no es una teoría ateísta. Como la metabiología hace pitagórica la biología, se alía con la razón, con la verdad y con la belleza, pero también con el Dios de Leibniz y con el Dios de Spinoza y con el Dios de Einstein.

Además, la imagen de la naturaleza que presenta la metabiología no es mecánica y reduccionista, no es un sistema formal cerrado hilbertiano, sino que, como el Mundo Natural, crea software, se vuelve plástico, creativo y abierto; evoluciona sin fin; no se estanca jamás. Esto concuerda con La evolución creadora (1907), de Henri Bergson, con la «fuerza vital» de Bernard Shaw (véase «Don Juan en los infiernos», acto de su obra de teatro Hombre y superhombre) y con el «devenir» de Gilles Deleuze.

Una nota sobre la aleatoriedad: Darwin reemplaza a Dios por el azar. Esto tal vez parezca negativo pero en realidad el azar es creativo; es liberador; es mejor que pertenecer a un universo mecánico, determinista, que no es más que una prisión gigantesca. Un Dios caprichoso es infinitamente mejor que un tedioso Dios predecible. La creatividad es, por definición, sorprendente, caprichosa, impredecible.

7
La política de la creatividad
(darwinismo social → metabiología social)

De acuerdo con la metabiología, el propósito de la vida es la creatividad, no la conservación de los genes propios. Nada sobrevive, todo cambia sin cesar, ta panta rei, todo fluye, todo es mudanza, como sostenía Heráclito.

Consideremos estos ejemplos de creatividad extrema y enigmática: Bach, Mozart, Euler, Cantor, Ramanujan.

Leonhard Euler escribió un artículo magnífico todas las semanas de su larga vida, siempre sobre un tema diferente, incluso después de quedarse ciego. Con él la creatividad parece lograrse sin esfuerzo. Explica toda su sucesión de ideas; al leerlo da la impresión de que tú también podrías hacerlo igual de bien, pero esa ilusión sólo dura mientras lo lees. Te da la sensación de que has tenido una especie de acceso directo a la fuente de la creatividad; en él era desbordante, ningún editor era capaz de seguir su ritmo…

Georg Cantor creó una suerte de teología matemática, unas matemáticas de lo infinito, de lo trascendente, como una manera de intentar llegar a Dios en el límite. Su paradójica teoría refleja la contradicción de un ser finito que intenta comprender el infinito, del Hombre intentando comprender a un Dios superior. No obstante, se trata de una teoría sugerente que ejerció un efecto inmenso en las matemáticas del siglo XX al fomentar una idea estructural mucho más general en teoría de conjuntos…

Srinivasa Ramanujan lograba sus resultados más magníficos sin demostración, mediante una especie de discernimiento inexplicable. Él afirmaba que la diosa Namakkal (también llamada Namagiri), de la región de Tamil Nadu, le escribía las ecuaciones en la lengua mientras él dormía. Es más, declaró que ninguna ecuación es válida a menos que exprese un pensamiento de Dios…

¡Ahí queda eso, reduccionistas!

Yo propongo que deberíamos medir las naciones por su creatividad, por su producción de nuevas ideas científicas, artísticas, tecnológicas o sociales, no en términos económicos. Y ¿qué puede hacer un país para maximizar su creatividad?

Por favor, repárese en que el Tratado contra el método, de Feyerabend, es en realidad un libro sobre política. Dado que las sociedades imponen un método, imponen una rigidez. Un científico no puede ser flexible si se encuentra inmerso en una sociedad rígida…

Las naciones fenecen cuando se vuelven rígidas, cuando la burocracia lo inunda todo, cuando se estancan, cuando se vuelven inflexibles, cuando piensan demasiado en sí mismas. En un momento dado, la prosperidad puede convertirse en un problema. Haciendo un gran esfuerzo podemos superar la pobreza y prosperar, pero es casi imposible superar la opulencia excesiva.

Es más, en mi opinión los seres humanos no deberían aspirar a ser como las máquinas; las máquinas son mucho mejores que nosotros en eso. Los seres humanos destacamos por ser creativos, por diferenciamos al máximo de las máquinas.

Pensemos en lo creativa que fue la antigua Grecia, y en la tediosa estabilidad que caracterizó al antiguo Egipto. Los griegos estaban separados por islas y montañas en ciudades-estado lo bastante pequeñas para que los individuos excepcionales tuvieran repercusión, mientras que la geografía egipcia permitió ejercer un control central férreo sobre un territorio amplio que contuvo cualquier cambio.

O consideremos la Italia renacentista, tan creativa y tan dividida en pequeños ducados y principados. No le sorprenderá oír que defiendo la anarquía creativa y el control descentralizado.

Recordemos que la tecnología de ordenadores surge del deseo de Turing de concretar el alcance de las teorías axiomáticas formales de Hilbert, y que la producción universal podría surgir de la tentativa de Von Neumann para entender la autorreproducción. ¿Recibiría ahora financiación alguno de estos dos proyectos de investigación? ¿Permite el régimen actual de financiación obtener ayudas para investigaciones básicas a largo plazo con pocas perspectivas de encontrar aplicaciones prácticas?

Cuando un político le preguntó a Michael Faraday (1791-1867) por las ventajas de sus descubrimientos eléctricos, por las bondades de la electricidad, él respondió: «¿Para qué sirve un bebé? ¡Algún día podrá cobrar impuestos por ese descubrimiento!».

Cuando a Carl Jacobi (1804-1851) le preguntaron por qué se dedicaba a las matemáticas puras, respondió: «¡Para honrar al espíritu humano!».

En la actualidad tan sólo se financia y publica «ciencia normal» (Thomas Kuhn), segura, progresiva, no cambios de paradigma. La creatividad se masacra.

Un buen ejemplo de ello lo encontramos en la historia de Leigh Van Valen, descubridor de la hipótesis fundamental de la Reina de Corazones, que explica la creatividad biológica y el sexo, y cuya publicación se rechazó en numerosas ocasiones. Para conservar su libertad de actuación, Van Valen se negó a solicitar becas de investigación. ¿Se atrevería alguien a actuar así ahora?

Y ¿cómo se las apañó el autor de Demostrando a Darwin?, tal vez se pregunte el lector. Bueno, durante muchos años trabajé en ingeniería de hardware y software de ordenadores, y desarrollé mis inquietudes teóricas como una afición.

Otro ejemplo del modo en que funciona el sistema actual nos lo ofrece el destino del artículo o los artículos de Julian Schwinger sobre los mecanismos que podrían explicar los experimentos de fusión fría realizados por Pons y Fleischmann. A pesar de recibir el Premio Nobel, Schwinger no logró que aceptaran la publicación de su artículo en ninguna revista seria de física y, enojado, comentó: «¡Esta gente olvida que la física también es una ciencia experimental!», o eso mismo dicho con otras palabras.

Más recientemente, el inventor italiano Andrea Rossi se vio obligado a crear, como Van Valen, su propia revista para publicar sus trabajos sobre un instrumento práctico para lo que ahora denominamos reacciones nucleares de baja energía. Aquel aparato, que presentó ante la prensa en la Universidad de Bolonia en enero de 2011, parece fundir hidrógeno y níquel para obtener cobre y calor y, a diferencia del instrumento original de Pons y Fleischmann, da la impresión de ser barato y completamente viable, fiable y seguro. Rossi afirma que piensa despachar unidades comerciales a finales de 2011. Si así fuera, ¡vaya varapalo para la ciencia industrial!; ¡vaya varapalo para el sistema de revisión por pares y para el sistema de becas! Porque, tal como señaló Richard Feynman, la imaginación de la naturaleza supera con creces la nuestra.

El espíritu creativo sobrevivirá y la ciencia industrial no triunfará por una simple razón. Las sociedades que suprimen la creatividad consiguen incrementar temporalmente la estabilidad y el rendimiento, pero carecen de suficiente flexibilidad para enfrentarse al entorno cambiante. A la larga se quedan en el camino, como los dinosaurios quedaron reemplazados por los mamíferos, más avispados, más flexibles. Los seres humanos no somos especialmente buenos en nada en concreto, pero somos muy curiosos y enormemente adaptables. Al igual que la máquina universal de Turing, somos generalistas, no especialistas.

Las sociedades deben imponer cierta coherencia para sobrevivir, pero no demasiada, si no quieren acabar por completo con la creatividad. Deben encontrar un delicado equilibrio entre permitir que algunos individuos se salten las reglas hasta cierto punto. Claramente marchamos en la dirección equivocada en algunas sociedades actuales, donde la creatividad está microsupervisada por burocracias gigantescas.

En mi opinión, la tarea que más nos urge en la actualidad consiste en ser lo bastante creativos para diseñar una sociedad flexible, una sociedad en la que se tolere de algún modo la creatividad, no como el mundo feliz de Aldous Huxley, del que se eliminaron el arte y la inteligencia en pro de la estabilidad:

¡Debemos ser lo bastante creativos para diseñar una sociedad que permita la creatividad!

Veamos algunas observaciones relacionadas con esto procedentes de mi herencia cultural judía. El Talmud contiene infinidad de debates y razonamientos, y la autoridad de cada rabino como líder de un shtetl o comunidad se basaba únicamente en sus conocimientos e inteligencia, no era hereditaria. Se cuenta con que todos los hombres estudien; todo el mundo opina. Al igual que en la cultura hindú, no existe una autoridad central; los gurús tienen su método particular de enseñanza, y hasta su propia versión de las verdades fundamentales…

De acuerdo con esta tradición, Israel es, a mi parecer, una sociedad bastante creativa, bastante controvertida; la obliga a ser creativa el constante estado de guerra. Los militares jóvenes, tal vez procedentes del cuerpo de inteligencia, suelen abandonar el Ejército para formar startups o empresas de alta tecnología de nueva creación. La gente se mueve de startup en startup…

Permítanme concluir este capítulo con algunas citas extraídas de Apología de un matemático, de G. H. Hardy, obra que inspiró a muchos estudiantes de matemáticas como yo mismo:

Nunca ha sido de gran valor que un hombre de primera clase exprese una opinión mayoritaria. Por definición, hay mucha más gente para hacer eso.

[…]

Los matemáticos, como los pintores o poetas, son creadores de modelos. Si sus modelos son más permanentes que los de éstos es porque consisten en ideas.

[…]

Nada de lo que he hecho jamás tiene la más mínima utilidad práctica.

8
¿Qué pueden conseguir en última instancia las matemáticas?
La metabiología y más allá

¡Es sorprendente que hayamos podido perfilar una teoría matemática fundamental para la biología! Hace unos pocos años lo habría considerado imposible, un sueño loco, un proyecto de trescientos años. Pero, en lugar de eso, con un poco de inspiración, con tan sólo unas cuantas buenas ideas, resultó ser un proyecto de tres años. En primer lugar, ¿qué posibles direcciones futuras existen para la metabiología? Pero, sobre todo, ¿qué acabarán consiguiendo a la larga las matemáticas que ahora nos parezca totalmente inalcanzable?

Las matemáticas en sí evolucionan, son completamente orgánicas. No me refiero a los posibles logros de las matemáticas newtonianas, ni a los de la axiomática formal hilbertiana moderna (véase Plato’s Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics [El espíritu de Platón: la transformación moderna de las matemáticas], de Jeremy Gray), ni tan siquiera a lo que tal vez lleguen a conseguir nuestras matemáticas posmodernas actuales. Las matemáticas se transforman cada vez que se enfrentan a un cambio significativo. Los cambios de paradigma kuhnianos no se restringen a las ciencias experimentales, también se producen en las matemáticas, una disciplina supuestamente apriorística, una herramienta de pensamiento necesaria.

Y, tal como dijo Max Planck, la ciencia avanza de funeral en funeral. Más exactamente, afirmó que las nuevas ideas científicas nunca logran la aceptación de sus detractores. En lugar de eso, lo que sucede es que la siguiente generación crece con las nuevas ideas y más tarde las da por sentadas. He aquí la verdadera cita extraída de la autobiografía científica de Planck: «Una nueva verdad científica no triunfa por medio del convencimiento de sus oponentes, haciéndoles ver la luz, sino más bien porque dichos oponentes llegan a morir y crece una nueva generación que se familiariza con ella» (citado en La estructura de las revoluciones científicas, de Thomas Kuhn).

Así que las matemáticas cambian sin cesar. Lo que se considera una demostración válida cambia constantemente. Hasta existen unas matemáticas empíricas basadas en indicios computacionales, y no en demostraciones (Jonathan Borwein y Keith Devlin en The Computer as Crucible: An Introduction to Experimental Mathematics [El ordenador como crisol: una introducción a las matemáticas experimentales]), unas matemáticas que, de acuerdo con Richard Feynman, podrían describirse como babilónicas más que griegas en cuanto a estilo (Feynman, El carácter de la ley física[11].

De modo que las matemáticas del futuro tal vez sean irreconocibles. ¿Y la metabiología? Consideremos el futuro de la metabiología y los posibles temas y proyectos de la investigación en esta materia.

Tenemos una definición de la vida (Maynard Smith, 1986) y una demostración matemática de la existencia de algo que cumple la definición (2010). Esto es elegante, pero parece muy alejado de la biología convencional. ¿Podemos mejorarlo?

Una posibilidad consiste en realizar experimentos en ordenadores en lugar de demostrar teoremas: metabiología experimental, experimentos con ordenadores realizados en clústeres de máquinas. Para que este enfoque experimental funcione hay que limitar los tiempos de ejecución de los programas, de modo que no se necesiten oráculos.

También podemos probar a utilizar lenguajes de programación no universales para nuestros organismos de software, lenguajes de programación limitados que estén libres del problema de la parada.

O quizá podamos intentar usar lenguajes de programación informáticos con un sabor más biológico, lenguajes que, por ejemplo, permitan reconocimiento de patrones en paralelo. Y ¿qué tal el estudio de mutaciones inspiradas en la biología, como la duplicación de una subrutina, algo que sucede con los genes? Una vez copiado un gen importante, las mutaciones en una de las copias son llevaderas, no se pierde nada esencial.

¿Y si complicamos nuestro modelo de paseo aleatorio con poblaciones o sexo? ¿Cuál es la mejor manera de introducirlos en nuestro formalismo actual?

Regresemos a la metabiología teórica, es decir, a la demostración de teoremas. La versión actual de la metabiología se basa en la teoría de la computabilidad y en la distinción entre lo computable y lo no computable. El oráculo proporciona la «inspiración divina» no computable que permite a nuestros organismos matemáticos evolucionar, mejorar, volverse mucho más avispados. Confío en que podamos emplear incluso la «teoría de la complejidad temporal». En lugar de diferenciar entre lo computable y lo no computable, la teoría de la complejidad temporal diferencia entre lo que se puede computar con rapidez, y lo que requiere una cantidad de tiempo considerablemente mayor.

Supongo que habrá que llegar a soluciones de compromiso: cuanto más realista sea una versión de la metabiología, menos capaces seremos de demostrarla.

Por tanto, retomando los modelos metabiológicos más prácticos, esos que yo creo que deberán explorarse de manera experimental en lugar de teórica, he aquí algunas ideas sobre cómo volver más práctica la recopilación de datos empíricos sobre software en evolución aleatoria:

• En primer lugar, para acelerar los experimentos evolutivos es importante evitar la consideración de mutaciones que generen programas con errores obvios o claramente equivalentes entre sí.

• En segundo lugar, podemos sacar ventaja de la práctica de ingeniería de software. En grandes proyectos de software se suelen emplear técnicas como la programación orientada a objeto con encapsulamiento y niveles de abstracción, para producir un código mantenible y conservarlo así a pesar de las actualizaciones constantes. Estas técnicas evitan el código espagueti y mantienen localizados los cambios necesarios para corregir errores o mejorar el funcionamiento. Es mucho mejor poder realizar un cambio en un punto que necesitar actualizaciones simultáneas diseminadas por todo el código. Esto también resulta útil si el código evoluciona por mutación aleatoria y no por intervención humana. Incrementa la probabilidad de que una mutación aleatoria sea útil.

Técnicas semejantes permitirán que los experimentos mediante ordenador sean más productivos al incrementar el ritmo del avance evolutivo. Con un poco de suerte, la metabiología se desarrollará teórica y experimentalmente al mismo tiempo.

Pero tratemos ahora otra cuestión.

Si la gente no cree que las matemáticas son sencillas se debe únicamente a que no repara en lo complicada que es la vida (John von Neumann).

He dedicado este libro a Von Neumann porque el artículo que presentó para el Simposio de Hixon fundó en cierto modo la metabiología y me sirvió de inspiración durante mi época de estudiante. Leí todo lo que conseguí que llegara a mis manos escrito por él, sobre todo dos ensayos brillantes extraídos de la fabulosa antología en varios volúmenes de James R. Newman titulada The World of Mathematics (El mundo de las matemáticas) (1956). Gracias a Von Neumann supe que el artículo de 1936 de Turing creó el hardware y el software informáticos, al menos como conceptos matemáticos.

A través de Von Neumann entendí que las matemáticas podrían aplicarse en todas partes, que las matemáticas se usan para todo: en teoría de juegos, teoría de autómatas, el formalismo espacial de Hilbert para la mecánica cuántica… Von Neumann podría haber creado una disciplina matemática nueva a diario antes de desayunar, o eso me parecía a mí. Hacía que pareciera fácil.

Y durante varios años la sólida y brillante obra Theory of Games and Economic Behavior (Teoría de juegos y comportamiento económico) (1944), de Von Neumann y Morgenstem, me acompañó con frecuencia. En ese libro asombroso Von Neumann expone toda su línea de pensamiento, nos desvela cómo crear una disciplina nueva.

La teoría de juegos se puede contemplar incluso como una teoría matemática de ética y moral, o al menos apunta en esa dirección. Lo vi con claridad muchos años atrás, aunque jamás trabajé en el tema, y este punto de vista aparece ampliamente explicado en el reciente libro de Martin Nowak titulado Supercooperadores. De modo que, ¿por qué no una teoría matemática de la belleza, del pensamiento, de la consciencia, de la psicología, de la antropología (posibles ordenaciones sociales, posibles estructuras sociales), de dinámica histórica (recordemos la Trilogía de la fundación de Isaac Asimov, 1951-1953)? Durante la adolescencia me puse a trabajar de inmediato para crear una teoría matemática del azar considerado como carencia de estructura, como incompresibilidad.

La causa inmediata, la chispa, fue la lectura de una nota al pie en la obra de Von Neumann y Morgenstem sobre el hecho de que la aleatoriedad de la mecánica cuántica era necesaria para formular una teoría de juegos de suma cero sin puntos de silla. Me extrañó que semejante teoría no fuera posible en un mundo clásico, determinista. Así que recordé una idea que se me había ocurrido con anterioridad en relación con la definición de secuencias binarias carentes de toda estructura, y me dediqué a desarrollarla. Esas secuencias, razoné, sin duda funcionarían para practicar juegos de suma cero como el de «pares y nones» aunque no estuvieran producidos por un sistema mecánico cuántico…

Un ensayo reciente aparecido en arxiv.org propone que los conjuntos que pueden ser miembros de sí mismos, los conjuntos reflexivos x que cumplen x ∈ x, conjuntos no bien fundados, guardan alguna relación con la naturaleza autorreferencial de la consciencia. Sospecho que esta idea no es lo bastante profunda, lo bastante revolucionaria, pero es algo. Véase el artículo de Willard Miranker y Gregg Zuckerman titulado «Mathematical Foundations of Consciousness» [Fundamentos matemáticos de la conciencia] (https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0810/0810.4339.pdf), y la preciosa reseña de Martin Gardner «Do Loops Explain Consciousness?» [¿Explican los bucles la conciencia?] (AMS Notices, núm. 54 (2007), págs. 852-854).

Es más, un juego muy simple, el dilema del prisionero iterado, se ha empleado con excelentes resultados para estudiar la evolución de la cooperación. Mucha gente ha trabajado en este asunto: Anatol Rapoport, Robert Axelrod, Karl Sigmund, Martin Nowak… Este juego tiene el siguiente esquema de resultados:

(Resultado para A, para B) | Prisionero B coopera | Prisionero B traiciona
Prisionero A coopera | (−2, −2) | (−4, −1)
Prisionero A traiciona | (−1, −4) | (−3, −3)

La unidad de medida de esos resultados se corresponde con los años en prisión (un resultado negativo). A y B practican este juego repetidas veces. Una estrategia sencilla es el «ojo por ojo». Hacer lo mismo que tu oponente la vez anterior. Si tu oponente cooperó, tú cooperas; si no lo hizo, tú tampoco. Otra estrategia, comentada ampliamente por Nowak, consiste en «si ganas repites, si pierdes cambias». Si te salió bien la partida anterior, repites la misma opción, si no, la cambias. Para ser más exactos… pero quizá debería conocer usted los detalles a través de la propia obra de Nowak y Highfield: Supercooperadores.

El universo no sólo es más raro de lo que imaginamos, es más raro de lo que podemos imaginar (Haldane).

(Como suele suceder, ésta es una versión simplificada del original: «No me cabe la menor duda de que en realidad el futuro será muchísimo más sorprendente que cualquier cosa que yo pueda imaginar. Ahora tengo la sospecha de que el universo no sólo es más raro de lo que suponemos, es más raro de lo que alcanzamos a suponer», J. B. S. Haldane, Mundos posibles).

Y ¿qué hay del futuro último de la ciencia y las matemáticas? Permítame brindarle lo que denomino mi «principio copernicano ampliado»: la Tierra no es el centro del universo, nosotros no ocupamos una posición única en el espacio y, por tanto, tampoco ocupamos una posición única en el tiempo. No veo ninguna razón para que nuestra ciencia actual tenga que estar cerca del final, por la que nuestra ontología científica actual tenga que perdurar. Tal vez, empleando la elocuente descalificación de Wolfgang Pauli, ni siquiera sea errónea.

En lugar de pensar que la ciencia actual de la humanidad ha llegado esencialmente a su fin, prefiero recurrir a la extrapolación lineal: hace un siglo no había electrones; cincuenta años atrás no había ordenadores. ¿Quién sabe lo que sabremos dentro de cincuenta o cien años? Cuatrocientos años atrás aún no había nacido Newton, y dentro de cuatrocientos años la ciencia moderna tendrá el doble de edad y de sabiduría que ahora. Tal vez entonces incluya la «psicología electrónica», un concepto sugerente que encontré en un precioso relato de ciencia ficción de A. E. Van Vogt que leí de niño.

Creo que la ciencia y la magia no son tan diferentes. Ambas creen en una realidad oculta tras las apariencias cotidianas. En cualquier caso, tal como aseguró Arthur C. Clarke, cualquier tecnología lo bastante avanzada es indistinguible de la magia.

Es más, en mi opinión, la mecánica cuántica y la teoría de la información cuántica no son materialistas, sino que ya representan un cambio completo de paradigma: el mundo como idea, como información, no como materia. No habrá que esperar durante mucho tiempo la aparición de una ontología completamente nueva: ya ha ocurrido.

Permítame concluir con la fabulosa cita que abre la obra La lógica de la investigación científica, de Karl Popper.

Las teorías son redes: sólo pescará quien las lance (Novalis).

Los detalles de la evolución particular de los modelos de «software mutante» que se presentan en este libro no son tan relevantes. He oído decir a un biólogo que son erróneos todos los detalles de la obra de Schrödinger ¿Qué es la vida?: El aspecto físico de la célula viva. Sin embargo, ¿Qué es la vida? planteó la cuestión, indicó a mucha gente que había llegado el momento de crear la biología molecular. No puedo imaginar un destino mejor para este libro. Aunque casi todo lo que figura en este volumen esté equivocado, confío en que Demostrando a Darwin espolee el trabajo en teorías matemáticas sobre la evolución y la creatividad biológica. Es el momento de crear esa teoría.

Anexo 1
El artículo de Von Neumann que establece la igualdad «ADN = software»[12]

EL CONCEPTO DE COMPLICACIÓN; AUTORREPRODUCCIÓN

El concepto de complicación

Hasta ahora las exposiciones previas han evidenciado que la complejidad elevada tiene gran relevancia en cualquier esfuerzo teórico relacionado con autómatas y que, a pesar del carácter cuantitativo que parece tener a primera vista, este concepto puede consistir en realidad en algo cualitativo, en una cuestión de principio. En el resto de mi exposición abordaré una implicación más remota de este concepto, implicación que toma aún más explícito uno de los aspectos cualitativos de su naturaleza.

La naturaleza presenta una característica muy obvia, una especie de «círculo vicioso», cuya expresión más simple es que los organismos muy complejos son capaces de reproducirse a sí mismos.

Todos tendemos a sospechar vagamente la existencia de un concepto de complicación. Este concepto y sus propiedades potenciales nunca se han formulado con claridad. Sin embargo, siempre estamos tentados a aceptar que funciona del siguiente modo. Cuando un autómata realiza determinadas operaciones, contamos con que tienen un grado de complicación menor que el autómata en sí. En concreto, si un autómata posee la capacidad de construir otro, debe producirse un descenso de la complicación, puesto que vamos de la matriz hacia la construcción. Es decir, si A puede producir B, entonces A tendría que contener de alguna manera una descripción completa de B. Además, para que suceda con eficacia, debe haber varias disposiciones en A para comprobar que se interpreta esa descripción y que se realizan las operaciones de construcción que desencadena. Por tanto, en este sentido parece esperable alguna tendencia degenerativa, algún descenso en la complejidad a medida que un autómata construye otro autómata.

Aunque haya cierta verosimilitud indefinida en todo esto, está en clara contradicción con los hechos más obvios que acaecen en la naturaleza. Los organismos se reproducen a sí mismos, es decir, crean organismos nuevos sin ningún descenso de la complejidad. Es más, hay largos periodos evolutivos en los que la complejidad incluso aumenta. Los organismos derivan indirectamente de otros menos complejos.

De modo que, cuando menos, existe una contradicción aparente entre lo verosímil y lo manifiesto. En vista de esto, vale la pena considerar si en todo ello interviene algo que admita una formulación rigurosa.

Hasta aquí he sido más bien impreciso y difuso, y no por azar. Me parece imposible transmitir una idea clara de la situación que se da aquí de otro modo. Permítanme que ahora intente ser preciso.

La teoría de calculadoras automáticas de Turing

El lógico inglés Turing abordó el siguiente problema unos doce años atrás.

Quería dar una definición general de lo que significa una calculadora automática. La definición formal que desarrolló fue la siguiente:

Un autómata es una «caja negra» que no se describirá en detalle pero que se espera que tenga los siguientes atributos. Posee un número finito de estados, que deben caracterizarse a primera vista únicamente consignando su número, digamos n, y enumerándolos en concordancia: 1, 2…., n. La característica operativa esencial del autómata consiste en describir cómo se provoca que cambie de estado, es decir, que pase de un estado i a un estado j. Dicho cambio exige alguna interacción con el mundo exterior, el cual se especificará del siguiente modo. En lo que se refiere a la máquina, digamos que todo el mundo exterior consiste en una cinta larga de papel. Pongamos que la cinta mide 1 pulgada[13] de ancho, y que la subdividimos en campos (cuadrados) de 1 pulgada de largo. En cada campo de esta banda podemos poner o no una señal, por ejemplo, un punto, y contamos con que es posible tanto borrar como poner dicho punto. Cada campo marcado con un punto se llamará «1», los campos no marcados con un punto se llamarán «0». (Podrían admitirse otras maneras de marcar los campos, pero Turing demostró que esta cuestión es irrelevante y que no conduce a ninguna ganancia significativa en cuanto a generalidad). Para describir la posición de la cinta en relación con el autómata se da por supuesto que un campo particular de la cinta está bajo el control directo del autómata, y que el autómata tiene la capacidad de desplazar la cinta hacia delante y hacia atrás, pongamos, un campo cada vez. Para especificar esto, situaremos el autómata en el estado i (= 1…., n), y haremos que en la cinta se vea una e (= 0, 1). Entonces el autómata pasará al estado j (= 0, 1…., n), y moverá la cinta p campos (p = 0, +1, −1; +1 es un movimiento hacia delante, −1 es un movimiento hacia atrás), e inscribe el nuevo campo que ve f (= 0, 1; inscribir 0 significa borrar; inscribir 1 significa poner un punto). Entonces, la especificación de j, p, f, como funciones de i, e, constituye la definición completa del funcionamiento de dicho autómata.

Turing realizó un análisis cuidadoso de qué procesos matemáticos pueden efectuarse con autómatas de este tipo. En el curso de esta labor demostró varios teoremas relacionados con el clásico «problema de la decisión» en lógica, pero no entraré en esas cuestiones aquí. Sin embargo, también introdujo y analizó el concepto de un «autómata universal», y esto forma parte de lo relevante en el presente contexto.

Una serie infinita de dígitos e (= 0, 1) es una de las entidades básicas de las matemáticas. Contemplada como una sucesión binaria, equivale en esencia al concepto de número real. De modo que Turing basó su razonamiento en estas sucesiones.

Estudió la cuestión de qué autómatas serían capaces de construir determinadas sucesiones. Es decir, dada una ley definida para la formación de una sucesión específica, él se planteó qué autómatas pueden emplearse para formar la sucesión sobre la base de dicha ley. El proceso de «formación» de una sucesión se interpreta de este modo. Un autómata es capaz de «formar» una sucesión determinada si es posible especificar una longitud finita de cinta adecuadamente marcada de manera que, al introducir esa cinta en el autómata en cuestión, éste escribirá a continuación la sucesión en la porción vacía (infinita) que queda de la cinta. Este proceso de escritura de la sucesión infinita se prolonga, por supuesto, de manera indefinida. Es decir, el autómata seguirá operando indefinidamente y, si dispone de un tiempo lo bastante largo, grabará cualquier porción deseada (aunque, por supuesto, finita) de la sucesión (infinita). La porción finita, previamente marcada, de la cinta constituye la «instrucción» del autómata para este problema.

Un autómata es «universal» si es capaz de resolver cualquier sucesión producida por cualquier otro autómata. Desde luego, en general precisará una instrucción diferente para este propósito.

El resultado principal de la teoría de Turing

A priori cabría esperar que esto fuera imposible. ¿Cómo puede haber un autómata al menos tan efectivo como cualquier otro autómata imaginable, incluyendo, por ejemplo, uno con el doble de su tamaño y complejidad?

Turing, sin embargo, demostró que es posible. Aunque su construcción sea bastante compleja, el principio subyacente es de lo más simple. Turing observó que una descripción completamente general de cualquier autómata concebible puede expresarse (de acuerdo con la definición anterior) mediante una cantidad finita de palabras. Esta descripción contendrá ciertos pasajes vacíos (los referentes a las funciones mencionadas con anterioridad: j, p, f en términos de i, e), los que especifican el verdadero funcionamiento del autómata. Cuando esos pasajes vacíos se rellenan, nos encontramos ante un autómata específico. Mientras permanecen vacíos, este esquema representa la definición general del autómata general. Ahora se toma posible describir un autómata con la capacidad de interpretar tal definición o, en otras palabras, uno tal que, al introducirle las funciones que definen un autómata específico en el sentido descrito más arriba, pasará a funcionar como el objeto descrito. La capacidad de hacer esto no es más misteriosa que la capacidad de leer un diccionario y una gramática y seguir sus instrucciones en relación con los usos y principios para combinar palabras. Este autómata, construido para leer una descripción e imitar el objeto descrito, es pues el autómata universal en el sentido que le dio Turing. Para lograr que duplique cualquier operación que cualquier otro autómata sea capaz de efectuar, basta con proporcionarle una descripción del autómata en cuestión y, además, las instrucciones que necesitaría ese dispositivo para la operación contemplada.

Ampliación del programa para tratar con autómatas que producen autómatas

Para la cuestión que me concierne a mí aquí, la «autorreproducción» de autómatas, el procedimiento de Turing resulta excesivamente limitado en un solo aspecto. Sus autómatas son meras máquinas de computación. Su salida es un trozo de cinta provista de ceros y unos. Lo que se necesita para la construcción de lo que yo he comentado es un autómata cuya salida sea otro autómata. Pero no existe ninguna dificultad de principio para tratar con este concepto más amplio y para obtener a partir de él el equivalente del resultado de Turing.

Las definiciones básicas

Como en el ejemplo anterior, vuelve a ser crucial la aportación de una definición rigurosa de lo que constituye un autómata para el objeto de la investigación. En primer lugar, hay que confeccionar una lista completa de las partes elementales que se emplearán. Este listado debe contener no sólo una enumeración completa, sino también una definición operativa completa de cada parte elemental. Es bastante sencillo elaborar una lista así, es decir, escribir un catálogo de las «partes de la máquina» lo bastante amplio para permitir la construcción de la inmensa variedad de mecanismos aquí requeridos, y con el rigor axiomático necesario para esta clase de consideración. La lista tampoco precisa ser muy larga. Puede, por supuesto, hacerse arbitrariamente larga o corta. Puede ampliarse incluyendo en ella, como partes elementales, cosas que pudieran conseguirse mediante la combinación de otras. Se puede hacer corta (de hecho, puede hacerse de manera que consista en una sola unidad) dotando cada parte elemental de una multiplicidad de atributos y funciones. Cualquier afirmación sobre el número de partes elementales necesarias representará, por tanto, un compromiso de sentido común, en donde no se espera nada demasiado complicado de cualquier parte elemental, y ninguna parte elemental está concebida para realizar varias funciones claramente separadas. En este sentido, se puede demostrar que basta alrededor de una docena de partes elementales. Así que cabría plantear el problema de la autorreproducción del siguiente modo: ¿se puede construir un conjunto a partir de esos elementos de tal manera que si se pone en un almacén donde floten todos estos elementos en gran número, empiece a construir otros conjuntos, cada uno de los cuales resulte ser al final otro autómata exactamente igual al original? Esto es factible, y el principio en el que se basa está íntimamente relacionado con el principio de Turing explicado con anterioridad.

Esquema de la deducción del teorema acerca de la autorreproducción

En primer lugar, es posible dar una descripción completa de todo lo que es un autómata en el sentido contemplado aquí. Esta descripción debe concebirse de manera general, es decir, una que de nuevo contenga espacios vacíos. Estos espacios vacíos deben llenarse con las funciones que describan la estructura real de un autómata. Al igual que antes, la diferencia entre esos espacios llenos y vacíos es la diferencia entre la descripción de un autómata específico y la descripción general de un autómata general. No existe ninguna dificultad de principio para describir los siguientes autómatas.

(a) El autómata A, que al proporcionarle la descripción de cualquier otro autómata en términos de las funciones adecuadas, construirá ese ente. La descripción no se dará en este caso en forma de una cinta marcada, como en el caso de Turing, porque normalmente no elegiremos una cinta como elemento estructural. Sin embargo, es bastante sencillo describir combinaciones de elementos estructurales que posean todas las propiedades de registro de una cinta con campos que se puedan marcar. Una descripción de este tipo se denominará una instrucción y se designará mediante una letra I.

El término construir debe entenderse en el mismo sentido que antes. Se supone que el autómata constructor se encuentra en un almacén donde flotan todos los componentes elementales en gran número, y realizará su construcción en ese medio. No hay que preocuparse por el modo en que un autómata concreto de este tipo será capaz de crear otros más grandes y más complejos que él. En este caso, el mayor tamaño y complejidad del objeto que se quiera construir estarán reflejados en un tamaño supuestamente mayor de las instrucciones I que deberán proporcionarse. Tal como he comentado, estas instrucciones deberán consistir en conjuntos de partes elementales. Desde luego, en este sentido, un ente iniciará un proceso cuyo tamaño y complejidad estén determinados por el tamaño y la complejidad del objeto que haya que construir.

En adelante, todos los autómatas para cuya construcción se emplee el dispositivo A, compartirán con A esta propiedad. Todos ellos tendrán sitio para una instrucción I, es decir, un lugar donde se pueda insertar esa instrucción. Al describir un autómata tal (como, por ejemplo, mediante una instrucción adecuada), la especificación del lugar donde insertar una instrucción I en el sentido anterior se entiende como parte de la descripción. Por tanto, podemos hablar de «insertar una instrucción I dada en un autómata dado», sin ninguna otra explicación adicional.

(b) El autómata B, capacitado para hacer una copia de cualquier instrucción I que se le proporcione. I consiste en un conjunto de partes elementales en el sentido explicado en (a), y no en una cinta. Este dispositivo se empleará cuando I proporcione una descripción de otro autómata. En otras palabras, este autómata no es nada más sutil que un «reproductor» (la máquina capaz de leer una cinta perforada y crear una segunda cinta perforada idéntica a la primera). Nótese que este autómata también es capaz de producir objetos más grandes y más complejos que él mismo. Repárese, además, en que esto no tiene nada de sorprendente. Como sólo puede copiar, será necesario proporcionarle como entrada un objeto de tamaño y complejidad idénticos a los de la salida.

Después de este preámbulo, podemos proceder al paso decisivo.

(c) Combinemos los autómatas A y B entre sí y con un mecanismo de control C que haga lo siguiente. Dotemos a A con una instrucción I (nuevamente en el sentido de [a] y [b]). Entonces C provocará en primer lugar que A construya el autómata descrito mediante esa instrucción I. Después C hará que B copie la instrucción I a la que acabamos de aludir, e inserte la copia dentro del autómata mencionado más arriba, el recién construido por A. Por último, C separará esta construcción del sistema A + B + C, y la «dejará libre» como entidad independiente.

(d) Denominemos D al conjunto global A + B + C.

(e) Para funcionar, el conjunto D = A + B + C debe dotarse de una instrucción I, como la descrita más arriba. Tal como acabamos de señalar, esta instrucción debe insertarse en A. Formemos ahora una instrucción ID que describa este autómata D, e insertémosla en A dentro de D. Denominemos E al conjunto resultante.

E es claramente autorreplicante. Nótese que no interviene ningún círculo vicioso. El paso decisivo se produce en E, cuando se construye la instrucción ID, la que describe D, y se incorpora a D. Cuando se solicita la construcción (la copia) de ID, D ya existe, y no se ve modificada en modo alguno por la construcción de ID. ID se añade sencillamente para formar E. Por tanto, existe un orden definido cronológico y lógico para que se formen D e ID, y se sigue un proceso legítimo y correcto de acuerdo con las reglas de la lógica.

Interpretación de este resultado y de sus ampliaciones inmediatas

La descripción de este autómata E tiene algunos aspectos atractivos adicionales en los que no me extenderé demasiado en esta ocasión. Por ejemplo, es bastante evidente que la instrucción ID desempeña de manera aproximada las funciones de un gen. También está claro que el mecanismo de copiado B realiza el acto fundamental de la reproducción, la duplicación del material genético, que es claramente la operación fundamental en la multiplicación de las células vivas. También se ve con facilidad que las alteraciones arbitrarias del sistema E, y en particular de ID, pueden exhibir ciertos rasgos típicos que aparecen en conexión con la mutación, que son letales normalmente, pero con la posibilidad de proseguir con la reproducción con una modificación de los rasgos. Por supuesto, también está claro en qué punto deja de ser válida la analogía. Es probable que el gen natural no contenga una descripción completa del objeto cuya construcción estimula con su presencia. Probablemente sólo contenga indicaciones generales, señales generales. No intentamos incorporar esta simplificación dentro del marco tan general en el que se desarrolla nuestro discurso. No obstante, está claro que esta simplificación y otras similares son en sí mismas de una relevancia enorme y cualitativa. Estaremos muy lejos de una comprensión real de los procesos naturales si no intentamos ahondar en estos principios simplificadores.

Pequeñas variaciones del esquema anterior también permiten construir autómatas capaces de reproducirse a sí mismos y, además, de construir otros. (Tales autómatas realizan de forma más específica lo que probablemente sea una —cuando no la— función típica de los genes, la autorreproducción junto con la producción —o el estímulo para la producción— de ciertas enzimas específicas). De hecho, basta con sustituir la ID por una instrucción ID+F que describa el autómata D y otro autómata dado, F. Denominemos EF al autómata D dotado de ID+F insertado en el A que porta en su interior. Este EF posee claramente la propiedad recién descrita. Se reproducirá a sí mismo y, además, construirá F.

Nótese que una «mutación» de EF que se produzca dentro de la parte correspondiente a F en ID+F dentro de EF no será letal. Si sustituye F por F’ se pasa de EF, a EF’, es decir, el «mutante» sigue siendo autorreplicante, sólo que el subproducto ha cambiado a F’ en lugar de F. Se trata, por supuesto, del típico mutante no letal.

Todos éstos son pasos muy rudimentarios hacia una teoría sistemática de autómatas. Además, tan sólo representan una dirección concreta. Lo que acabo de exponer, tal como señalé con anterioridad, es la dirección hacia el desarrollo de un concepto riguroso de lo que constituye la «complicación». Son la ilustración de que, en sus niveles más bajos, la «complicación» es probablemente degenerativa, es decir, que todo autómata capaz de producir otro autómata sólo será capaz de generar otros menos complicados. Sin embargo, existe cierto umbral mínimo en el que esta característica degenerativa deja de ser universal. En ese punto se toman posibles los autómatas capaces de reproducirse a sí mismos, o incluso de construir entes superiores. Es evidente que este hecho (que la complicación, así como la organización, por debajo de cierto umbral mínimo sean degenerativas, y por encima de ese nivel se puedan volver autónomas y hasta crecientes) desempeñará un papel relevante en cualquier teoría futura sobre esta materia.

Anexo 2
La esencia de la demostración

El capítulo 5 esboza la demostración de que la evolución darwiniana funciona en nuestro modelo simplificado, pero omite ciertos detalles cruciales porque la mayoría de la gente tendrá suficiente con una idea aproximada de la demostración. Para quienes quieran saber más, brindamos a continuación esos detalles cruciales que faltan. Se trata nuevamente de un esbozo de la prueba, pero esta vez es lo bastante detallado para que a las personas con conocimientos amplios sobre teoría algorítmica de la información les resulte sencillo completarla.

Esto se denomina «presentación de una demostración mediante aproximaciones sucesivas» y, en mi opinión, es mejor que el lanzamiento de todos los detalles a la vez. Este método también se acerca más al modo en que se llega a una demostración al realizar investigaciones matemáticas.

La probabilidad de detención se define del siguiente modo. Cada programa de K bits que se detiene aporta 1/2K a la probabilidad de detención:

Ω = Σel programa P se detiene 2−(el tamaño en bits de P)

Para que esta suma sea < 1 en lugar de divergir hasta el infinito, los programas P deben ser «autodelimitadores», de forma que ninguna ampliación de un programa P válido sea un programa válido.

A continuación definimos que ΩK sea esa parte de la suma definitoria de Ω que incluye tan sólo aquellos programas con un tamaño máximo de K bits que se detienen dentro de un tiempo K:

Ω = Σel programa P mide ≤ K bits y se detiene en un tiempo ≤ K 2−(el tamaño en bits de P)

ΩK es una función computable de K que converge (muy despacio) hacia Ω en el límite, desde abajo. Es más,

ΩK ≤ ΩK + 1

ΩK es una función «monótona creciente» (es decir, no decreciente) de K.

Nótese que conocer un entero muy elevado equivale a conocer una cota inferior muy buena de Ω:

Si se nos da un N extremadamente grande podemos hallar una cota inferior buena de Ω; llamémosla ΩN.

A la inversa, dado un número β < Ω mayor que cero y que cuenta con una representación finita en base dos (éstas se denominan fracciones diádicas), podemos convertir β en un entero N extremadamente grande hallando el primer N que hace que Ωn ≥ β. Este proceso nunca se detendrá si β > Ω. (Es imposible que β iguale a Ω porque se puede demostrar que Ω es irracional.)

De este modo se ve (omitimos los detalles) que conocer el entero extremadamente elevado BB(N) equivale más o menos a conocer N bits de Ω.

Aquí terminan los preliminares.

La esencia de la demostración estriba en considerar las mutaciones MK a las que se les proporciona, en efecto, una cota inferior de Ω y que intentan mejorarla (acercarla más a Ω sin sobrepasar el valor de Ω) añadiéndole 1/2K.

Señalemos ahora la capacidad adaptativa de un organismo / programa arbitrario A mediante φA: éste es el entero positivo que A calcula antes de detenerse. Veamos ahora una explicación completa de cómo funciona MK.

La mutación MK, dado el organismo A con una capacidad adaptativa φA, pondrá en marcha en primer lugar el programa A para calcular su capacidad adaptativa φA, y después usará ese entero muy elevado para calcular una cota inferior ΩφA, de Ω. Entonces MK añade 1/2K a esta cota inferior de Ω y se obtiene

β = ΩφA + 1/2K

lo que puede tener un valor inferior o superior al de Ω. En cualquier caso, la mutación MK convierte A en el programa mutado

A’ = (el prefijo π concatenado con β)= πβ.

El prefijo autodelimitador π convierte β en un entero positivo elevado hallando el primer N para el que

ΩN ≥ β

entonces π da como salida el entero N y se detiene.

¿Por qué son tan útiles estas mutaciones MK?

En primer lugar, nótese que si β es menor que Ω, entonces la capacidad adaptativa de A’ será mayor que la de A. Por otro lado, si β supera el valor de Ω, entonces el organismo mutado A’ no se detendrá.

Estas mutaciones Mk se pueden emplear para converger con rapidez hacia el valor correcto de Ω. Si partimos de A = πβ, donde β tiene un valor cero, y probamos la mutación MK para K = 1, 2, 3… obtendremos un nuevo bit de Ω en cada paso, un bit por cada mutación probada. Porque, si MK funciona, entonces el bit K-ésimo de Ω es un 1; mientras que si MK no funciona, entonces el bit K-ésimo de Ω es un 0.

De modo que la β del programa πβ tendrá N bits de Ω correctos tras probar cada MK con K = 1, 2, 3…. N. Además, después de explorar estas N mutaciones, la capacidad adaptativa del programa πβ será aproximadamente BB(N), lo que crece a una velocidad extrema. De hecho no es difícil ver que éste es esencialmente el mejor rendimiento que se puede alcanzar tras ensayar N mutaciones.

Esto es lo que denominamos «diseño inteligente», porque permite elegir qué mutaciones probar, y podemos hacerlo en el mejor orden posible…

Pero ¿qué sucede si las mutaciones se eligen al azar? Entonces todas las mutaciones posibles se intentarán con una frecuencia infinita, incluidas las mutaciones MK con cada K posible. La presencia de otras mutaciones no representa ningún perjuicio; en cuanto hayamos probado MK con K = 1,2, 3… N por orden, la capacidad adaptativa alcanzará BB(N) igual que antes. Y, tal como señalamos en el capítulo 5, esto sucederá cuando hayamos explorado un número de mutaciones aleatorias en algún punto intermedio entre N² y N³, QED: quod erat demonstrandum.

Bibliografía complementaria

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GREGORY CHAITIN (Nueva York, EE. UU., 1947). Matemático de fama mundial y especialista en algoritmia y teoría de la información, es conocido sobre todo por su descubrimiento del número Omega (o constante de Chaitin). Profesor honorario de la Universidad de Buenos Aires, es en la actualidad profesor en la Universidad Federal de Río de Janeiro en Brasil. Ha trabajado en el IBM Watson Research Center de Nueva York.

Es autor, entre otros títulos, de Meta Math! The Quest for Omega (2005) y Matemáticas, complejidad y filosofía (2011).

Notas

[1] Extraído de Indiscrete Thoughts (Pensamientos indiscretos), de Gian-Carlo Rota, Birkhäuser, Boston, 1997, págs. 45-46. (N. del A.). <<

[2] Publicado en Tusquets Editores, col. Metatemas 1, Barcelona, 1983 y 2011. (N. del E.). <<

[3] Martin Davis, The Undecidable: Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems and Computable Functions (Lo indecidible: escritos básicos sobre proposiciones indecidibles, problemas irresolubles y funciones computables), Dover, 2004. (N. del A.). <<

[4] Cerebral Mechanisms in Behavior: The Hixon Symposium, John Wiley and Sons, Nueva York, 1951, págs. 1-41; John Kemeny, «Man Viewed as a Machine» (El hombre visto como máquina), Scientific American, 192 (abril de 1955), págs. 58-76 (describe los autómatas autorreplicantes de Von Neumann); E. F. Moore, «Artificial Living Plants» (Plantas artificiales vivientes), Scientific American, 195 (octubre de 1956), págs. 118-126 (otra reacción a Von Neumann); John von Neumann, Theory of Self-Reproducing Autómata (Teoría de autómatas autorreplicantes), University of Illinois Press, Urbana, 1966 (obra póstuma; editada y completada por A. W. Burks). (N. del A.). <<

[5] Mi vida en la ciencia, Publicaciones de la Universidad de Valencia, Valencia, 2006; Matt Ridley, Francis Crick, Eminent Lives, 2006. (N. del A.). <<

[6] Stanis&lstrok;aw Ulam, Aventuras de un matemático, Nivola, Madrid, 2002. Véase además Konrad Zuse, Rechnender Raum (Espacio de cálculo), Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1969. Aparecerá una traducción al inglés dentro de la obra de Hector Zenil titulada A Computable Universe (Un universo computable), World Scientific, Singapur, 2012.

Sobre la plasticidad del mundo, véase la idea de Freeman Dyson de una tecnología completamente ecológica en El Sol, el genoma e internet, Debate, Madrid, 2000: semillas que salen de las casas y no de los árboles, niños que practican ingeniería genética para diseñar flores nuevas, etcétera. Véase además la obra de Alison Coudert titulada Leibniz and the Kabbalah (Leibniz y la cábala) y la obra de Umberto Eco La búsqueda de la lengua perfecta, sobre la lengua adámica que empleó Dios para crear el mundo y cuya estructura es un reflejo directo de la estructura interna esencial del mundo. El conocimiento de esta lengua nos dotaría de poderes divinos (como en el cuento «La rosa de Paracelso» de Jorge Luis Borges). (N. del A.). <<

[7] Publicado en Tusquets Editores, col. Metatemas 67, Barcelona, mayo de 2001, págs. 224-225. (N. del E.). <<

[8] Busy Beaver, en inglés, «castor hacendoso». (N. de la T.). <<

[9] Conferencia pronunciada el lunes 10 de enero de 2011 dentro del taller titulado «Randomness, Structure and Causality: Measures of Complexity from Theory to Applications» (Aleatoriedad, estructura y causalidad: medidas de la complejidad desde la teoría a sus aplicaciones), y organizado por Jim Crutchfield y Jon Machta en el Instituto de Santa Fe de Nuevo México. Los fragmentos en negrita son los que se escribieron en la pizarra. (N. del A.). <<

[10] El autor se refiere a la marca de dulces y chocolatinas Leibniz, productora de los populares Leibniz-Keks. (N. de la T.). <<

[11] Publicado por Tusquets Editores, col. Metatemas 65, Barcelona, 2000. (N. del E.). <<

[12] Extraído del artículo «The General Logical Theory of Automata», en Lloyd Jeffress, Cerebral Mechanisms in Behavior: The Hixon Symposium, John Wiley and Sons, 1951, págs. 1-41. (N. del A.). <<

[13] Una pulgada equivale a 2,54 cm. (N. de la T.). <<