Luis Balbuena

Cuentos del cero

Érase una vez un cuerdo profesor de matemáticas que anhelaba captar el interés de sus alumnos y motivarles para que les resultara más fácil el aprendizaje de su disciplina. Se involucró en múltiples experiencias de innovación educativa allá por donde pasó: Huelva, Tejina y, finalmente, en su ÍES Viera y Clavijo de La Laguna y también en países lejanos, allá donde van las golondrinas.

Con el paso del tiempo descubrió que no existen varitas mágicas ni pócimas milagrosas capaces de sustituir el esfuerzo que un estudiante debe hacer para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado o para sumar un par de fracciones. Pero de algo sí que estaba seguro: hay innumerables formas y caminos para subir al árbol de la Sabiduría y, además, cada persona tiene que hacerlo por sus propios medios, a su ritmo, según sus inquietudes e intereses pero todos deben ser motivados, estimulados y ayudados a subir por alguien que ya esté en lo alto, por un Maestro.

Dicen que los buenos cuentos son un reflejo de la realidad, pero, ¿qué es realmente un cuento? ¿Cuántas veces nuestros padres o abuelos nos habrán contado uno? Seguro que muchas y siempre que lo hacían captaban nuestra atención. ¿Lo hacían sólo para divertirnos y entretenernos? La verdad es que aprendíamos muchas cosas que, a pesar de tenerlas ante nuestros ojos, nos pasaban desapercibidas.

Los cuentos nos descubrían nuevos mundos de los que luego queríamos saber más y más y, sobre todo, nos ayudaban a superar nuestros miedos a lo desconocido o a sobrellevar los malos ratos, porque esperábamos un final feliz.

Así que los cuentos son un quitamiedos y, ¿no tienen muchos de nuestros alumnos un miedo atroz a las matemáticas? Los seres que pueblan los cuentos son misteriosos y a veces incomprensibles -duendes, hadas, brujas y hechiceros y, ¿qué piensan ellos de los entes matemáticos?

Luis Balbuena se define como un didacta ecléctico y los que lo conocemos sabemos que ha utilizado recursos inimaginables para enseñar, y no sólo matemáticas, dentro y fuera del aula. Sus alumnos han aprendido mirando al inmenso cielo o un minúsculo guisante mágico; en la ciudad que transitan todos los días descubriendo tesoros ocultos; en las banderas, en las cruces, en los libros, en la radio y la televisión y siempre, siempre, descubriendo matemáticas en todos ellos.

Desde hace muchos años, tenemos la suerte de contar entre nuestros amigos con este profesor de aula, Luis Balbuena Castellano; sabemos de sus inquietudes, del entusiasmo que pone en todas sus acciones y de su interes por que las buenas experiencias docentes se transmitan para que pueda beneficiarse de ellas toda la comunidad educativa. En esa línea toma sentido el presente libro que hace valer el recurso del cuento como herramienta didáctica.

En Yo soy el cero recrea la historia y la importancia de nuestro sistema de numeración. Para adentrarnos en los razonamientos lógicos nos sorprende llevándonos de la mano de dioses mitológicos en El rescate; o de un hidalgo que sabe enseñar, en De lo que aconteció a Don Quijote… Las puertas de la geometría las abre con rectas, triángulos y esferas; la paridad y la teoría de números dan paso a un romance eterno.

No desvelaremos sus misterios, eso queda para el lector, pero es de agradecer que con cada cuento despierte la curiosidad y dé paso a un sinfín de preguntas; el docente pondrá una apropiada metodología y ningún límite al pensamiento.

Que vuelen lejos y altas las perdices si todo este derroche de imaginación sirve para que un estudiante se acerque a las matemáticas sin infundada aprensión, condición imprescindible para que pueda tener éxito en su aprendizaje.

Lola de la Coba García Luis Cutillas Fernández

A mis alumnas de Huelva

YO SOY EL CERO

Gracias a la actual tecnología puedo, al fin, expresarme como humano y contarles así parte de mi apasionante historia. Comprenderán que no es sencillo, ya que me han ocurrido infinidad de cosas, aparte de todo lo que sé. Si algún día me decido a escribir mis memorias, conocerán ustedes detalles buenos y malos de muchos personajes de la historia. Pero no es este mi objetivo ahora. Me propongo contarles, a grandes rasgos, los momentos más importantes de mi vida.

Nací en la India hace muchos siglos. No recuerdo la fecha exacta y tampoco en aquella época se registraba este tipo de cosas. ¡Fíjense qué atraso!, un acontecimiento tan importante como mi nacimiento que no haya sido registrado por nadie… Lo que sí recuerdo es que fue un anciano venerable, delgado, con larga barba blanca, que hablaba con gran serenidad. Vivía con un grupo de discípulos a los que hablaba de cosas muy bellas. Éstos le llamaban Maestro. Uno de los temas favoritos de sus conversaciones y discusiones éramos nosotros, los números. Mis hermanos Uno, Dos, Tres, Cuatro, Cinco, Seis, Siete, Ocho y Nueve nacieron antes que yo y, según me enteré después, sin mayor dificultad. Cuando el Maestro recorría los dedos de su mano, uno a uno y llegaba al último, hacía un contenido gesto de rabia porque no sabía cómo designarlo. Todos los demás tenían nombre menos el último. Yo me desesperaba, pues conocía la solución y no podía comunicársela. El ignorarme era lo que le producía todos esos problemas.

El sabio maestro llevaba un tiempo sobre la pista correcta para resolverlo. Él había llegado a la conclusión de que todos los dedos formaban una unidad de orden superior a la formada por un solo dedo, pero no daba con la forma de expresarlo ni con el símbolo adecuado.

Un día de primavera, después de tomar su ración cotidiana de bambúes y saltamontes, se recostó bajo la sombra de un hermoso árbol que había cerca de su cabaña. Su mente continuaba dando vueltas insistentemente al mismo problema. Sabía que no tardaría mucho en llegar a solucionarlo. Estaba seguro de ello y por esto su ansiedad crecía día a día. En medio de estas reflexiones, de repente, se levantó sobresaltado. Con un paso nervioso y ligero dio varias vueltas al árbol mientras su mano recorría insistentemente la barba de arriba abajo diciéndose una y otra vez:

- No puede ser, no puede ser.

- ¡Menos mal! -me dije yo, ¡al fin se daba cuenta de mi existencia!

Ya podrán comprender lo contento que me puse. Cuando me vieron mis hermanos, me felicitaban con efusión, porque también ellos comprendieron que acababa de darse un paso trascendental que afectaría a sus vidas y a sus valores.

El Maestro convocó a sus discípulos. Éstos observaban con inquietud y expectación aquella extraña luminosidad en su rostro que ya conocían de otras veces. Cayeron en la cuenta de que algo extraordinario tenía que haber ocurrido. Con mucha solemnidad y lentitud, el Maestro empezó a hablar relatando su hallazgo. Si me colocaba a mí, decía, a la derecha de Uno, entonces aparecía la ansiada unidad de orden superior que tanto habían buscado; de esta manera, a través de ese nuevo ser que llamaron Diez o Decena, nací yo. Los discípulos admiraron profundamente aquel magno descubrimiento felicitando entusiasmados al Maestro por haber dado con la solución del problema que tanto le preocupó en los últimos tiempos.

Durante los días que siguieron la actividad de aquel interesante grupo de hombres fue muy intensa. Tenían aún que resolver los pequeños problemas que quedaban planteados. Así, por ejemplo, cuando tenían diez unidades de este orden que acababa de descubrir el Maestro, ¿cómo representar esa cantidad? Al principio hubo un poco de desánimo. El Maestro, sin embargo, estaba tranquilo porque era consciente de que este problema era ya de menor envergadura. Y, en efecto, no tardó en dar con la solución: me colocaron dos veces a la derecha de Uno. Le dieron por nombre Cien o Centena. Esto ya era demasiado para mí. De ser un auténtico desconocido, me convertí en la pieza más importante de aquel rompecabezas.

Durante mucho tiempo no me moví de la India. El descubrimiento del Maestro se había extendido por todos los países que conformaban la India con gran celeridad gracias a la difusión que le dieron sus fieles discípulos. A la cabaña del Maestro llegaban cada día grupos de sabios de todos los lugares. Venían a felicitarlo y a plantearle dudas que querían resolver. A todos trataba con su ya legendaria amabilidad y sabiduría.

Así transcurrieron varios siglos. Allá por el siglo VII (u VIII, no estoy muy seguro), empezaron a llegar a la India desde el poniente unos individuos que, según decían, venían de muy lejos, en camellos y en busca de no sé qué productos que llevaban a sus tierras, donde eran muy apreciados. Tanto mis hermanos como yo fuimos dados a conocer a esta extraña gente aunque al principio parece que no les impresionamos demasiado. Pero uno de ellos nos llevó con él. Estuve mucho tiempo atravesando desiertos, avanzando siempre al poniente, allá por donde se oculta el que luego sería mi primo por el parecido que tenemos. Después de este fatigoso viaje (quizá el peor de los que he hecho), metido y olvidado casi, en una bolsa que además apestaba a piel curtida que daba náuseas, llegué a una ciudad que, apenas la vi, quedé prendado de ella, pues era ciertamente bella. Había un constante movimiento de humanos y camellos sobre todo. Aquéllos vestían una túnica larga y usaban turbante en la cabeza, igual que el que nos trajo hasta allí. Supe que les llamaban árabes. Todo era color, esplendor y riqueza.

Pero nuestro hombre nos había olvidado a mí y a mis hermanos. Le interesaban más otras cuestiones relacionadas con las otras cosas que había traído. Yo creo, entre nosotros, que el pobre no era capaz de captar del todo nuestro valor. Una tarde fue a ver a un amigo que luego comprobé que era mucho más instruido que él. Hablaron de cosas referentes al viaje, de lo que había visto a lo largo del trayecto, de las rutas que había para llegar a donde ellos llamaban el naciente y de lo que encontró en mi tierra, la India. Afortunadamente llevaba la bolsa en la que estábamos nosotros. Se acordó de las cosas que llevaba allí y se las mostró a su amigo. Allí estábamos, al fin, junto a otros objetos: un trozo de tela de no sé qué tipo que al parecer le encargó antes de emprender el viaje y una joya muy llamativa. Estas cosas le interesaron más. De nuevo seguíamos marginados.

Cuando los temas de conversación parecieron agotados, nos miró atentamente y le pidió a su amigo el mercader que le explicara qué significaban aquellos garabatos que aparecían pintados en el trozo de piel. Ahí estaba yo, atento a lo que estaba ocurriendo. El mercader lo hizo fatal y temí que su amigo no le entendiese. Pero ya les dije que era un hombre inteligente y enseguida se dio cuenta. Me miraba a mí de una manera especial y sin poder contener su asombro, empezó a exclamar:

- ¡Claro, claro, esa es la solución!

Trató de hacer ver a su amigo que yo era muchísimo más importante que toda la carga que había traído, cosa que el mercader no comprendió porque no recibió ni una sola moneda a cambio.

Me puse muy contento. Este hombre fue nuestra salvación. Desde ese día, no hicimos más que viajar de una ciudad a otra, siempre en medio de hombres con túnicas y turbantes y de mujeres con la cara tapada que veíamos sólo de vez en cuando. Aunque al principio sólo me movía entre hombres sabios y estudiosos (llamaba la atención allí a donde llegaba), pronto los propios mercaderes y muchas más personas se dieron cuenta de la utilidad que yo representaba, junto con mis hermanos, claro, para poder controlar los negocios, las edificaciones, los dineros de las casas, etc.

Un día sucedió algo inesperado que ha causado muchos problemas y, sobre todo, me ha traído muchas enemistades. Resulta que, por un error supongo que involuntario, me colocaron a la izquierda de Uno y a un maldito humano, cuyo nombre he olvidado, se le ocurrió decir que yo, en aquel lugar no valía nada. Realmente ellos se alegraron mucho porque al fin encontraron el símbolo adecuado para nada; es decir, que si a una persona le quitan las monedas que tiene, me toman a mí para indicar que no le queda ninguna. Esto me sentó fatal. Piensen que, hasta ahora, siempre me colocaban a la derecha de mis hermanos y por esto era muy apreciado pues ellos aumentaban su valor de una forma extraordinaria. A partir de la apreciación de aquel individuo, me dejaron solo y con un significado bastante triste. Me resultó curioso que alguno de aquellos sabios se lamentara de lo tarde que habían empezado a utilizarme solo. Al final comprendí que eso era parte de mi sino y lo acepté.

Pero no todo fue malo. Allá por el siglo XIII de la era cristiana me sucedió algo nuevo, pero esta vez sí que fue trascendental en mi vida pues marcó un antes y un después. Por aquellos sitios por donde yo transitaba llegó un mercader italiano que tenía un hijo llamado Leonardo de Pisa (que es una ciudad italiana de donde parece que era este personaje). Lo recuerdo bien porque, como les he dicho, él significó mucho en mi futuro a partir de aquel instante. Su manejo de la aritmética se basaba en unos extraños símbolos que usaban los romanos y que yo nunca llegué a entender. Además, para hacer operaciones usaba un aparato a base de piedras pequeñas (cálculos les llamaba él) que su padre llevaba a todas partes como quien lleva la nariz. Cuando Leonardo acudió a casa de un amigo para que le enseñara cosas del saber y el sabio nos mostró a nosotros, ¡había que ver la cara de aquel muchacho cuando nos descubrió! Y sobre todo a mí. Es inenarrable. Y no me extraña después de ver, como les he dicho, cómo contaba y operaba él. Cuando me llevó a su Italia natal lo comprendí mejor. Escribían los números a base de unos palos, equis y otras letras. Un medio rollo. Lo grave de aquel sistema, que a pesar de todo pervive, es que los números no tienen valor relativo y para escribirlos tienes que saber sumar porque los valores se van acumulando como si fuera una colección. Y lo peor se presentaba al sumar porque LIX y CXVIII son dos cantidades escritas en ese sistema, ¿quién es capaz de sumarlos? ¡Imposible! Entonces es cuando usaban aquellos aparatos con piedritas, que ahora me acuerdo que les llamaban ábacos, y claro, no todo el mundo sabía las cuatro reglas.

Pues bien, precisamente conmigo y con mis hermanos (nos pusieron el nombre de dígitos por eso de que somos diez, como los dedos), consiguieron resolver no sólo el problema de la escritura de los números sino también lo de las cuatro reglas. Esto, como les he dicho, los indios y los árabes ya lo tenían resuelto hacía tiempo. Su asombro fue impresionante cuando descubrieron que con este sistema que les trajo Leonardo, los dígitos podemos tener dos valores al mismo tiempo: uno absoluto, esto es, el que valemos por nosotros mismos y otro relativo que depende del lugar que ocupemos en el número que se escriba cuando nos reunimos más de uno. Así, por ejemplo, para escribir el mil tres, basta con ponerme a mí dos veces entre el Uno y el Tres (estos son sus valores absolutos), de forma que el Uno representa en ese caso las unidades de mil (este es su valor relativo) y el Tres coincide con las unidades simples. Como en este caso no hay ni decenas ni centenas, se me coloca a mí para indicarlo (esto es, precisamente, parte de mi gran valía). Vieron, pues, cómo escribir cantidades se convirtió en algo sencillísimo, que cualquier persona podría dominar con pocas explicaciones. Tanto fue así que llegó un momento en que este mecanismo se explicó en las escuelas a los niños y hoy, en la mayoría de los países, rara es la persona que no nos conoce y utiliza en su vida cotidiana.

Pero volviendo a mi amigo Leonardo, si su admiración fue enorme cuando se enteró de cómo escribir cantidades, imagínense cómo quedaría cuando aprendió a sumar… Ahora, decía, todo es más claro. Para hacerlo bastaba con colocar las cantidades a sumar unas debajo de otras, con la única precaución de que los dígitos que ocuparan la misma posición relativa estuvieran en la misma columna; es decir, las unidades a la derecha del todo, luego las decenas, después las centenas y así sucesivamente. En fin, qué les voy a decir a ustedes. Seguro que lo saben hacer de maravilla desde la más tierna infancia.

Por cierto, que recuerdo que mi asombrado amigo se pasó todo el viaje de África hasta Italia sin salir de su camarote casi ni para comer, de manera que al llegar dominaba la técnica perfectamente. Escribió más tarde un libro de mucho éxito donde lo explicaba todo. Lo tituló El libro del ábaco.

Si se tiene en cuenta que la suma es la base de casi toda la matemática, se imaginarán lo que sucedió después. Recorrimos todos los países en muy poco tiempo y en los distintos sitios nos recibían triunfal mente aunque, modestia aparte, yo era el más admirado, pues como decían algunos, sin valer nada, podía llegar a valer mucho. Se habían creado unos centros de saber que llamaban universidades y allí es donde éramos especialmente apreciados. Pero lo más bonito fue el ver cómo cada vez nos utilizaba más gente. Ya no eran sólo los venerables sabios, sino que, como sucedió antes con los árabes, era el pueblo llano el que nos conocía y utilizaba casi a diario para resolver un sinfín de problemas.

A partir de mi llegada a Italia mi vida se hizo muy ajetreada. Cada día me utilizaban para cosas nuevas y hasta yo mismo me asombraba de ver por dónde me metían. Esta gente de la llamada civilización occidental comprendió ahora por qué su matemática se les había quedado estancada. Los griegos de la época clásica, que según los datos que tengo, eran unos tipos listos, no llegaron a conocernos. Descubrieron y estudiaron muchas cosas, pero su complicado sistema de numeración les frenó considerablemente. Por eso se desviaron tanto hacia la geometría, llegando lejos en sus aportaciones. ¿Os imagináis qué habría pasado si nos hubiesen conocido personajes como Pitágoras o Euclides? Posiblemente habríamos llegado mucho antes a la Luna (aunque hay quien sigue empeñado en que no se ha llegado aún, si bien a mí me importa poco eso).

De todos modos, no crean que todos me aceptaron sin más. Hubo alguna gente que me miraba mal, con argumentos tan peregrinos como los de unos a los que llamaban cartujos (no sé si existen aún), que no me aceptaban porque decían que yo era la nada y la nada no existe… ¡Toma ya!

Pero volviendo a mi historia buena, como ya les he indicado, me convertí en algo imprescindible para la vida. Soy el punto de partida de todas las escalas, de todas las redes de comunicación, de los días; incluso en la física me dan un nombre que se aplicó a los reyes: el absoluto. Ya sé que a los estudiantes no les caigo especialmente simpático, pero bueno, algún defecto habría que tener…

Todos mis méritos se me han ido reconociendo poco a poco. Lo que más me ha emocionado en este sentido ocurrió en París, en una exposición internacional que se celebró en 1937. En el pabellón de la matemática había un enorme rótulo que presidía la entrada. En él estábamos escritos los cinco números más importantes sintetizados en una fórmula que, aunque yo no la entiendo mucho tampoco, no me resisto a escribirla para que vean qué bien he quedado en ella. Es esta:

Por cierto que en esa exposición compartí los honores con un enorme cuadro que pintó un español llamado Picasso y que tituló Guernica. No sé si lo conocen…

Y ya por último fíjense qué poesía tan bonita me han dedicado, junto a dos de mis hermanos:

EL CERO, EL UNO Y EL DOS

Graves autores contaron

que en el país de los ceros

el uno y el dos entraron

y, desde luego trataron,

de medrar y hacer dinero.

Pronto el uno hizo cosecha,

pues a los ceros honraba

con amistad muy estrecha,

y, dándoles la derecha,

así el valor aumentaba.

Pero el dos tiene otra cuerda:

¡Todo es orgullo maldito

y con táctica tan lerda

los ceros pone a la izquierda

y así no medra un pito.

En suma: el humilde uno

llegó" a hacerse millonario

mientras el dos importuno,

por su orgullo cual ninguno

No pasó de perdulario.

Al Grupo Relojes

SINETA Y LA HIDRA

Tras su aparición en el Olimpo, un halo de misterio la había rodeado durante mucho tiempo. Su figura, ágil y menuda, y su sonrisa fácil y sincera le granjearon la simpatía de todos desde el principio. El propio Zeus nunca lo ocultó. Y más cuando al fin supo que Sineta, que así se llamaba la joven, ¡era hija de Atenea!

- ¡Esto es imposible! -dijeron muchos al enterarse. Y es que de todos era conocida la actitud fría y distante que la respetada diosa mantenía en su relación con los hombres.

Pero era así. Sineta, además, pronto se distinguió por su mente clara; no heredó, en cambio, el gusto de su madre por lo bélico. Es más, Zeus la reservó para misiones en las que fuese necesaria una actitud pacífica y conciliadora. Por eso, encargó a Hefesto, el divino tallador, una filigrana de oro que Sineta colgaría de su cuello para persuadir a cuantos intentasen usar la violencia contra ella.

- Acércate -le dijo Zeus una mañana-. Debes ir a Lerna y calmar a una horrible bestia que tiene atemorizadas a cuantas criaturas viven a su alrededor. Sólo tú podrás realizar esta misión pues deseo que no haya violencia.

Sineta se dirigió hacia aquel lugar situado al norte del Peloponeso y desde muy lejos escuchó extraños rugidos.

- ¡No te acerques a la bestia! -le decían una y otra vez.

- ¿Por qué?, ¿cómo es? -preguntó Sineta a un anciano que también le aconsejaba regresar a su tierra.

- ¡Es horrible!, mi tierna amiga. Su cuerpo es parecido al de un perro pero tiene nueve cuellos largos y escamosos que acaban en feroces cabezas de serpiente. Gritan a todas horas y dicen que son tan venenosas que con sólo el aliento causan la muerte. ¡Huye que aún estás a tiempo!

- ¿Sabrías decirme, venerable anciano, si ese fiero monstruo tiene capacidad para razonar? -preguntó Sineta.

- Según he oído -le contestó el anciano- una de las nueve cabezas es inmortal, habla y razona. Las otras hacen lo que ésta dicta.

Sineta, aunque preocupada, sabía que si el monstruo razonaba tenía posibilidades de salir triunfante de su misión. Se dirigió entonces con decisión hacia el lugar de donde provenían los rugidos que no cesaban.

Por el camino comprobó cuanto le habían dicho: sólo veía desolación y soledad.

A Sineta le salvó el talismán de su pecho pues al verlo, la hidra aplacó su fiereza. La cabeza pensante se dirigió a ella preguntándole quién era y qué quería.

- Soy Sineta, hija de Atenea y vengo para hablar contigo y no para luchar -le contestó con calma.

- No hablo con nadie que no me demuestre ser merecedor de ello -le indicó la hidra con brusquedad.

- ¿Qué debo hacer? -preguntó Sineta.

- Escucha, joven intrusa: te propondré un enigma. Si pasado un día no lo resuelves no dudaré en devorarte. Atiende:

Cuatro paredes, sin puertas

con seis filos las harás

y ten además en cuenta

que el más sencillo de cinco es.

Retírate y vuelve mañana.

Sineta se alejó pensativa. Las horas pasaban y no lograba desentrañar el enigma. Logró dormirse con un alto grado de excitación. En medio de un sueño vio acercarse a la figura solemne de su madre. Cuando se acercaba a ella sacó algo que traía oculto bajo su purpúrea capa y, antes de desaparecer, hizo un guiño a su hija.

Cuando Sineta despertó se acercó al sitio donde había visto a su madre y encontró un perfecto tetraedro hecho con seis alambres de oro. Mirando al Olimpo, guiñó el ojo y corrió en busca de la hidra.

- Veo que mereces ser escuchada -le dijo al ver en su mano la figura.

- Atiende ahora tú -le indicó Sineta-. Tienes atemorizadas a todas las criaturas: perros, pájaros… hasta los peces han huido. Te dejaré una prueba y permanecerás en tu guarida hasta que la resuelvas. Escucha:

Nueve copas dejaré

cinco boca arriba están

las restantes al revés.

Dos cada vez cogerás

y la vuelta les darás.

Tu mente quiero retar

pues el juego acabarás

si consiguieras pensar

cómo cuatro boca arriba

terminaras por dejar.

Y para que dispongas de tiempo para pensar, te impongo una condición más: sólo moverás las copas una vez al día: justo cuando Helio con su gran carro cruce la cuarta esfera y se oculte por el poniente.

Sineta se alejó de aquel desolador lugar pero permaneció con el anciano para comprobar que la hidra dejaba de gritar y atemorizar. Las flores, asustadas hasta entonces, surgieron por doquier; los pájaros animaron de nuevo con sus trinos y sus colores. La comarca recuperó su pulso perdido.

Sineta, la hija secreta de Atenea, había hecho sólo lo que los dioses le reservaron como destino.

A mis alumnos y alumnas de Tejina

¡TENIA QUE HACERLO!

- ¡Tenía que hacerlo! ¡Tenía que hacerlo!… -repetía una y otra vez el anciano Pitágoras cuando Sineta, la de la mente clara, vino a visitarle.

- De acuerdo, ¡Oh venerable anciano! pero has de saber que los dioses están furiosos contigo -le indicaba Sineta.

- Es igual, aceptaré el castigo que crean que merezco, pues ¡tenía que hacerlo! -insistía Pitágoras.

- Pero, ¿por qué lo hiciste?, ¿por qué osaste atravesar lo que está reservado sólo a los dioses?

- Durante toda mi vida -explicó el anciano de noble figura- he pensado que las cosas podían explicarse a través de los números. "El número es todo", ha sido siempre el lema de mi escuela. Y todo parecía funcionar. Hemos encontrado la belleza y la proporción en los números. La música, ¡arte sublime donde los haya!, también está regida por relaciones entre números enteros.

Sineta escuchaba sin perder palabra; había oído hablar mucho del anciano que estaba ante ella, de sus teorías y de su misteriosa escuela.

- Un buen día -prosiguió el anciano reflejando ansiedad en su rostro- nos tropezamos con algo que, al principio, tratamos de explicar con los mismos procedimientos que habíamos utilizado hasta ahora: buscando relaciones entre números enteros que nos lo explicaran. Poco a poco me fui dando cuenta de que eso era imposible. Se produjo en mi espíritu una gran zozobra y durante días pensé y pensé hasta el punto de creer que perdería la razón. Una mañana decidí dar el paso: reuní a todos los miembros de mi escuela y les comuniqué mi descubrimiento. Hubo un gran revuelo. Opiniones de todo tipo. Desde entonces he estado sometido a muchas presiones, a persecuciones diabólicas que no me dejan tranquilo, pero ¡tenía que hacerlo!

El anciano concluyó con un resignado suspiro.

- Te veo muy abatido -comentó Sineta. Tratando de ayudar a tan venerable figura y queriendo indagar cuál era el fondo de tan terrible descubrimiento le dijo con voz suave:

- Comprendo, excelso maestro, que si durante tanto tiempo pensabas que la naturaleza era de una forma aparentemente definitiva y ahora descubres que no, percibes que ha surgido una grieta imposible de contener, parece lógico que tu mundo se destruya.

- En cualquier caso -prosiguió Sineta- he de comentarte que los dioses siempre han visto tu trabajo con un cierto recelo, como si temieran que algún día fueras a sobrepasar la barrera de pensamiento que Zeus ha concebido para el hombre y te acercaras osadamente a la zona exclusiva de los dioses…

- ¡Yo no tengo la culpa! -interrumpió brusca y nerviosamente Pitágoras-. Cuando Zeus permite que se nos ponga en la Tierra y nos concede la capacidad de razonar, nosotros estamos obligados a llegar hasta donde podamos. Él no puede limitar mi pensamiento. Y si así lo piensa, que nos destruya y se quede sólo con los que no piensan.

- Tranquilízate, ¡oh venerable anciano! -le indicó Sineta con suavidad y dulzura-. Estoy aquí para tratar de ayudarte a resolver el conflicto. Mi doble condición de hija de la diosa Atenea por una parte y de humana por otra, me ayudará a comprender tu situación. Quisiera, ¡oh gran maestro!, que me explicaras en qué consiste tu descubrimiento.

El anciano recobró la tranquilidad y mirando fijamente a la joven le dijo:

- Para que te sea más comprensible, te lo explicaré con unos ejemplos.

Hasta ahora, si tenemos dos números enteros (o cuantos quisieras…) por ejemplo el 8 y el 30, podemos encontrar otro número entero, el 120 en este caso, que contiene a ambos un número entero de veces. Observa:

•El 8 está contenido 15 veces en el 120

•El 30 está contenido 4 veces en el 120

[1]

Pero no sólo eso, si quisiéramos medir magnitudes de longitudes 8 y 30, podrías tomar una unidad de tamaño 2 [2]y entonces con cuatro de ellas cubrirías el 8 y con 15 de ellas cubrirías el 30, es decir:

•4 veces esa unidad (el 2) es el 8.

• 15 veces esa unidad (el 2) es el 30.

Ya ves, todos los números son enteros. Con ellos todo va muy bien.

- ¿Y qué es lo que pasó entonces?

- Pues algo tan fuerte y fuera de lo que ha sido normal como lo siguiente:

Considera un cuadrado.

Ahora fíjate en su lado y en su diagonal.

Evidentemente, son dos magnitudes.

Hasta aquí todo va normal. El problema surge cuando ahora quieres hacer con estas magnitudes lo mismo que hice antes con el 8 y el 30.

¡Es imposible!

No podremos encontrar ninguna cantidad entera que contenga a esas magnitudes un número también entero de veces.

Son por tanto números ininteligibles para nosotros. Nunca habíamos visto nada igual.

- Pero ¿lo has intentado de todas las formas posibles? -le preguntó Sineta.

- Sí. Esto fue lo que comuniqué a mis discípulos: he llegado a la conclusión de que la diagonal del cuadrado no es conmensurable con el lado. Es decir, ningún número entero de veces la diagonal es igual a algún número entero de veces el lado.

- ¿Quiere ello decir que, además de los números enteros y de los fraccionarios, los hay de otro tipo? -preguntó Sineta, que había entendido a Pitágoras.

- En efecto, mi joven amiga -contestó el anciano con voz relajada-. Y ese es el motivo del enojo de los dioses. Al parecer ese nuevo número lo querían ellos en exclusiva.

- La situación es preocupante -señaló Sineta-. No resulta fácil prever qué va a pasar pues ya sabes, ¡oh docto anciano!, cómo reaccionan los dioses cuando se les desobedece o los humanos intentan invadir lo que ellos consideran que es suyo en exclusiva.

- ¡Alto ahí!, mi tierna amiga -cortó Pitágoras con energía-. Nadie me había dicho que no debía entrar en ese campo. Nadie ha puesto límite a mi capacidad de razonamiento.

- Está bien -le calmó Sineta-. Eso que dices es cierto. ¿Qué piensas hacer con tu descubrimiento? ¿Seguirás avanzando en ese abismo que has empezado?

- De momento he indicado a todos los miembros de mi escuela que no lo divulguen. Trataremos de mantenerlo en secreto.

- ¡Mucho me ha impresionado tu relato! -le dijo Sineta admirada por lo que había oído-. Trataré de hablar y convencer de la bondad de tus intenciones a mi excelsa madre, Atenea. De que no has penetrado en su mundo como consecuencia de un acto de soberbia sino como consecuencia de la perfección que Zeus dio a lo que hizo en su día.

Sineta, la de la mente clara, estuvo varios días escuchando las discusiones de los miembros de la Escuela. Ellos la admitían como a uno más y escuchaban con respeto las intervenciones de la joven.

A Sineta le parecía que sería sencilla su labor mediadora entre Pitágoras y los dioses.

- ¿Por qué los dioses se han irritado tanto? -se preguntaba una y otra vez. No entendía del todo dónde podía estar la gravedad del paso dado por el anciano.

El día que fue a despedirse, le planteó esa duda a Pitágoras y esto fue lo que le dijo:

- Claro, ¡oh joven de mente despierta! Mi descubrimiento no es como los que el hombre ha hecho hasta ahora. En mi juventud estuve en Egipto. Allí conocí a muchos sabios. Todo lo aprendían a base de experimentación. Es la naturaleza la que les marca las pautas del saber. Pero mi descubrimiento da un salto de lo tangible a lo mental, de lo empírico a la abstracción: ¡Es sólo mi mente la que interviene! Esto es lo que parece que enoja a los dioses.

No conciben que nosotros, los mortales hijos de Prometeo, podamos llegar al conocimiento, a la sabiduría, ¡a través de la razón! Ya te lo he dicho muchas veces y seguiré diciéndolo a pesar de los dioses:

¡Tenía que hacerlo!

A Ángeles de la Concha, mítica

EL RESCATE

Había oído hablar a su divina madre Atenea de la tragedia de Orfeo, el celestial músico. Desde que Sineta conoció la historia, sintió deseos de ir en busca de su protagonista para escucharla de su propia voz.

"Las tragedias sólo las cuenta bien el que las sufre", oyó decir en más de una ocasión a su maestro Quirón, aquel famoso centauro que renunció a la inmortalidad.

Sineta sabía que iba a encontrarse con alguien pacífico como ella y amante de la música. También sabía que el camino hasta la Tracia estaba plagado de peligros. Pero para ser fiel a su destino, tenía que ir. Por eso colgó de su cuello el talismán que le había fabricado su tío Hefesto, el cojo prodigioso y orfebre insuperable. El talismán ahuyentaría a todos los que intentaran agredirla o tratarla con violencia durante el largo viaje que le esperaba.

Y la protección de los dioses -en especial la de su abuelo Zeus, que contemplaba gozoso todas sus aventuras- surtió efecto.

Llegó a la lejana Tracia y no tardó en localizar a Orfeo. Tal era la fama que había adquirido en toda la comarca.

Después de su desgarradora separación de Eurídice, se había convertido en una especie de monje al servicio de Zeus y de Dionisos, el más alegre de los dioses, quizá buscando así equilibrar su tristeza.

Vestía con una túnica de un blanco inmaculado. Hablaba reposadamente. Sus mensajes eran profundos y escuchados. Pero, sin duda, lo que más cautivaba de este personaje seguía siendo la música que salía de la famosa lira de siete cuerdas, regalo de Apolo, el del Oráculo de Delfos. Todos cuantos le oían recordarían para siempre la armonía de sus sonidos y la melancolía que su espíritu transmitía ahora a través de la música.

Cuando llegó hasta donde él estaba y le vio por primera vez, lo encontró rodeado de un grupo de jóvenes a los que decía:

- La felicidad del hombre no la encontraréis en esta vida. No creáis que la felicidad se obtiene con el goce del cuerpo. Debéis tener claro que todos estamos poseídos de un halo divino, puro como todo lo divino e inmortal como ellos. Este halo se sustenta en un cuerpo material, terrenal, impuro y, sobre todo, perecedero. Yo os digo que la felicidad llegará cuando nos unamos al gran halo divino más allá de la muerte. He tenido ocasión de contemplarlo.

Sineta, la de la mente clara, quedó impresionada tanto por lo que acababa de oír como por la sublime sensación que le produjo la figura de Orfeo. No pensó que existieran humanos capaces de defender ideas como aquellas y sintió deseos de conocerlas más profundamente.

Tímidamente se acercó a aquella figura resplandeciente como la luz del alba y le dijo:

- ¡Oh, gran Orfeo!, soy Sineta, hija de Atenea. Tus palabras me han impresionado y lo que sé de tu historia me conmueve. Pero quisiera oírla contar de tu voz.

- ¡Oh, joven Sineta!, traes un rayo de alegría a mi apesadumbrado corazón y a mi desesperada existencia. No soy merecedor de que una enviada divina como tú, escuche mi larga y densa historia, de final tan desdichado.

- He venido para eso -le contestó Sineta- quiero oír tus glorias y tus tristezas.

- Sea -empezó Orfeo-. He vivido intensamente episodios importantes. Los dioses me dotaron de una especial habilidad para la música, para la armonía y para el disfrute de la belleza. Apolo, el de la equilibrada hermosura, cuando conoció mis virtudes me regaló esta lira de siete cuerdas que se afina sola, a la que yo he añadido dos cuerdas más y de la que no me he separado desde entonces. Ha sido mi mejor amiga. Nunca me ha fallado. Ni siquiera cuando tuve que enfrentarme a monstruos tan horribles como aquel pestilente dragón que custodiaba el Vellocino de Oro, allá, en la recóndita Cólquide. Fueron momentos de gloria.

Pero seguro que has escuchado de los dioses que desde hace algún tiempo mi vida está sumida en una insuperable tristeza que se refleja también en las notas de mi lira. Mis dedos no pueden deslizarse por notas alegres mientras en mi corazón se albergue la tristeza.

Cuando regresé de ese memorable viaje con Jasón y los demás argonautas, me casé con la más hermosa de todas las ninfas: Eurídice, ese era su nombre. Su presencia llenaba toda mi vida.

La lira participaba de esa alegría. Animales, rocas, árboles y ríos venían junto a nosotros para escucharla y compartir nuestra felicidad.

Pero un aciago día la mordió una vil serpiente venenosa. Su agonía fue horrible y todo lo que hice para salvarla fue inútil. Recurrí a todos los sabios médicos. Rogué a los dioses. Hice sacrificios. Todo fue inútil. Se acabó. Murió en mis brazos impotentes.

Mi dolor y el estado de desesperación fueron tales que me atreví a pedir, a suplicar al magnánimo Zeus que me permitiera bajar al tenebroso mundo de Hades para rescatarla y traerla de nuevo conmigo. Su muerte tenía que ser un error del destino.

Y Zeus, infinitamente bondadoso, me lo concedió.

Aquí empezó, ¡oh joven protegida de los dioses!, mi experiencia más trágica.

Acompañado de mi inseparable lira seguí el sendero que me iban marcando.

Caronte me cruzó en su odiosa barca por la fatídica laguna Estigia hasta llegar a las puertas de las eternas tinieblas donde el fiero y famoso perro de Hades, Cerbero, me esperaba. Ya puedes imaginar, ¡oh Sineta!, mi espanto ante ese monstruo de tres horribles cabezas. Había oído hablar de él, pero jamás pensé que el horror pudiese llegar a tal grado.

Había cruzado la laguna de Estigia pulsando las cuerdas de mi lira con la mayor suavidad que podía. Mi voz aunque temblorosa era clara y melodiosa.

Cuando llegué a la orilla, vi cómo las cabezas de Cerbero se estiraron bruscamente. Las serpientes que bullen en su cuello quedaron quietas y yo, sin parar de tocar y cantar, pasé junto a él.

Seguí caminando hacia la puerta de los infiernos, la que se cruza para no volver y noté que, aunque Cerbero me seguía, no tenía intención de impedirme el paso.

Pero si mi alma estaba encogida por el detestable perro, cuando atravesé la puerta, el escalofrío fue irresistible. Vi sombras que vagaban desordenadamente. Algunas se acercaban a mí y parecía que querían impedirme avanzar. Mi canto y mi música se habían parado por el espanto. No me era posible emitir una nota ante espectáculo tan sobrecogedor.

Intentaba, no obstante, mantener la calma mientras miraba a todos lados buscando ansiosamente la sombra de mi amada, que sin duda, estaba allí. Tan fuerte era la impresión que casi me arrepiento de haber tomado aquella desesperada decisión.

Y en esa situación tan dramática, vi, de repente, que una brillante luz se situó frente a mí. Me sentí deslumbrado y tapé mis ojos con la mano.

- No te asustes, Orfeo, me dijo una femenina y apaciguadora voz, soy Perséfone, esposa de Hades. Tu historia me conmueve y más aún tu valentía al venir hasta aquí. Mereces mi ayuda. Te guiaré ante mi esposo e intercederé por ti.

Como puedes suponer, aquella aparición me causó una profunda alegría y compensó todos los peligros y miedos que había pasado hasta llegar allí. Aquella voz amiga y comprensiva en aquel lugar tan horroroso era lo mejor que me podía ocurrir.

Y así fue. Hades escuchó a su esposa y el resto de la historia ya lo conoces.

Jamás olvidaré cómo se alejó de mí la sombra de Eurídice cuando, sólo a un paso del final tuve la debilidad de mirar hacia atrás para ver si me seguía. Ese ha sido el momento más trágico de mi vida y el que ha marcado mi existencia desde entonces. ¡Imagínate querer abrazar a tu amada para que no se escape y que ésta se convierta de repente en una niebla que irremisiblemente se disipa!

Sineta, la hija de Atenea, había escuchado el relato con gran atención y emoción. En efecto, le había impresionado oír contar a Orfeo su propia tragedia. Estar a punto de recuperar al ser amado y perderlo para siempre por algo tan intrascendente como mirar hacia atrás tenía que ser un tremendo golpe para un espíritu tan sensible como el que Orfeo había demostrado tener.

Sineta continuó en Tracia junto a Orfeo algunos días más. Ello le permitió tener un mayor conocimiento de las teorías que Orfeo predicaba a quienes le querían escuchar. Contemplar el arpa de Orfeo fue ocasión propicia para recordar lo que había aprendido de su maestro Quirón: la relación casi mágica que existe entre la música y los números.

- El arpa de Apolo -me dijo- tiene sólo siete cuerdas. Por tanto, hay que elegir siete sonidos que sean melodiosos (es decir, que al hacerlos sonar uno tras otro, resulte agradable) y armoniosos (esto es, que al hacer sonar varios a la vez produzcan un sonido que no lo rechace tu oído).

¿Cuáles son por tanto esos sonidos? Sineta había experimentado con su maestro cómo tomando una cuerda y mediante proporciones sencillas de la cuerda (mitad, terceras partes…) se generaban, tensándolas, sonidos melodiosos y armónicamente superponibles.

Cuando se despidió, sin decirle nada a él, tomó la decisión de interceder ante los dioses para ir a los infiernos en busca de Eurídice. Tenía que intentarlo. Era parte de su destino.

No le fue difícil conseguir el permiso de su abuelo Zeus; al fin y al cabo era su nieta preferida y a él le gustaba el interés de Sineta por este tipo de misiones. También su complacida madre Atenea, aunque no mantenía buenas relaciones con Hades, le prometió protección.

El sagrado talismán de su pecho le ayudó a abrir caminos y puertas.

Cuando estuvo en presencia de Hades y tras reconocerle le dijo:

- Conozco tus propósitos, Sineta, prodigiosa hija de Atenea y trataré de ayudarte. Pero he de decirte que la sombra de Eurídice desde que le sucedió aquella desgracia vaga incansable, sin rumbo y sin importarle nada de lo que acontezca.

- Gracias, ¡oh Hades, esposo de Perséfone! Si mi opinión puede servir, sugiero que probemos su capacidad para razonar. Si tuviese alguna, encontrarse de nuevo con Orfeo la curaría, pues su mal le proviene del amor. Es su sentimiento el que está enfermo.

- Sea. Proponme la forma de hacerlo -le respondió Hades.

- Te ruego que me des algún tiempo para pensar cómo hacer esta comprometida comprobación.

- De acuerdo. Pasa a los Campos Elíseos y tómate el tiempo que necesites, pero recuerda la implacable ley del destino: no debes probar nada, pues de lo contrario quedarás aquí para siempre.

Sineta meditó profundamente para tratar de construir una prueba acorde con la situación; tenía que hacer el esfuerzo necesario pues Orfeo y su sublime amor merecían esta ayuda. Pasado un día se acercó a Hades y le dijo:

- ¡Oh, soberano de las profundidades! Tu divina generosidad concediéndome este tiempo de reflexión me ha permitido encontrar la prueba que nos indicará lo que necesitamos.

- Me alegra oír lo que dices -le comentó Hades-cuéntamela.

- Necesito tres manzanas de oro y dos de plata.

Hades ordenó que las trajeran al instante.

- Ahora, ¡oh, divino Hades!, necesito que utilices tus poderes para que traigas a nuestra presencia a Cerbero, el guardián de tu puerta. Después instalarás la sombra de Eurídice en una de sus cabezas, la de Ulises en otra y la de Aquiles en la tercera.

Así lo hizo Hades.

La expectación había crecido. Perséfone y Hades no ocultaban su ansiedad por conocer el desenlace de lo que allí estaba ocurriendo.

Una vez que las sombras indicadas ocuparon las cabezas del can, Sineta, con gran seguridad, se acercó a la ahora dócil fiera y dijo:

- Esta bolsa que llevo contiene cinco manzanas; tres son de oro y dos de plata. Voy a colocar una sobre cada cabeza.

Extrajo una manzana de la bolsa y asegurándose de que Eurídice no la viese la colocó sobre la cabeza que ocupaba. Hizo lo mismo con Ulises y lo mismo con Aquiles. Al final, cada cabeza tenía encima una manzana que no había visto aunque sí podía ver las manzanas que estaban encima de las otras dos cabezas.

- Y ahora -dijo Sineta, la de la mente clara, con gran solemnidad y rompiendo el espeso silencio que allí existía- ha llegado el momento trascendental: quiero que me diga cada uno de qué es la manzana que lleva sobre su cabeza: de oro o de plata.

De nuevo se reanuda el silencio angustioso. Todas las sombras se habían parado. El matrimonio de las Tinieblas miraba fijamente la cabeza de Eurídice. Ésta, en poco tiempo hizo mover la boca del monstruoso can para articular esta frase:

- Hay una manzana de oro sobre la cabeza que ocupo.

Un prolongado ¡oh! resonó en todo el Hades. ¡Era cierto!, ¡su manzana era de oro!

Hades ordenó a la sombra de Eurídice que se situase junto a él.

- Quiero que me expliques cómo has sabido que tu manzana era de oro.

La voz de Eurídice sonó suave y segura. Esto fue lo que le dijo:

- Es claro que no hay dos manzanas de plata sobre nuestras cabezas porque si fuese así, la cabeza que las viese sabría inmediatamente que la suya era de oro y esto no lo ha dicho ninguna de las otras dos cabezas. Por tanto tan sólo podría haber una de plata. Si la mía fuese de plata, cualquiera de ellos al ver una de oro y otra de plata (la mía), sabría que la suya es de oro porque si también fuese de plata la cabeza que tiene la manzana de oro habría hablado inmediatamente y esto no ocurrió. Como ninguna de las otras cabezas habló, he deducido que la que corresponde a la mía es de oro.

Hades y Perséfone no pudieron ocultar su alegría por lo acontecido e inmediatamente dieron órdenes para que ambas, Sineta y Eurídice, pudieran abandonar su tenebroso reino y así Eurídice volviese junto a su amado Orfeo.

Y Sineta continuó en los brazos de su destino.

A Emma García Mora, curiosa, viajera y amiga

EL TRIANGULO SOY YO

¡Hola! Cuando te diga quién soy, sé que vas a decir que me conoces de casi toda la vida, que me has tratado en muchas ocasiones. Pero yo no estoy tan seguro de que realmente sepas mucho sobre mí aunque te pueda dar esa impresión. Soy el triángulo; sí, en efecto, esa figura plana de tres lados que entró en tu vida hace muchos años… Primero me conociste "de vista" pues jugabas conmigo cuando eras pequeño pero no supiste mi nombre hasta que fuiste a la escuela y allí te lo dijeron. ¿O quizás fueron tus padres?

¿Te has preguntado alguna vez por qué me dedican tanto espacio en los libros? Haz un poco de memoria y recuerda que de las demás figuras casi no se decía nada y sin embargo de mí había páginas y páginas. Eso quiere decir, sencillamente, que soy importante pero ¿tú sabes por qué?

Por si acaso no lo sabes, trataré de explicártelo dándote algunos datos de mi vida. No te los daré todos porque no deseo cansarte con mis cosas aunque quiero que sepas que mi vida es larga en el tiempo y que está llena de muchos episodios, tantos que si algún día me decido a escribir mis memorias tendré para una larga obra. Quiero que compruebes si lo que te voy a contar ya lo sabías o sólo tenías alguna vaga idea.

Mi partida de nacimiento no existe porque cuando nací no se hacía ese tipo de registros, y además la época es tan remota que dudo mucho de que el dato se haya conservado hasta hoy.

De mi infancia más tierna conservo algunos recuerdos. Así, por ejemplo, en el Egipto de los faraones conocí a un escriba que se llamaba Ahmes (o Ahmosis, no recuerdo bien). Era un tipo realmente curioso. Le gustaba hablar con los mayores a los que escuchaba con respeto. Precisamente de uno de ellos recibió unas enseñanzas que a su vez había oído a sus antecesores. Ahmes, en los ratos libres que le dejaba su trabajo como agrimensor del faraón, fue pasando aquellas ideas a un papiro. Como sabes, este era un material sobre el que se escribía en Egipto. No era malo y además éste del que te hablo ha llegado hasta hoy y se le conoce como el papiro de Rhind, se conserva en el Museo Británico. En él verás que Ahmes me hizo varios retratos, muy buenos por cierto, lo cual no es de extrañar teniendo en cuenta lo curioso que era.

Como bien conoces, dispongo de una gama infinita de trajes. A mí me gustan todos por igual pero reconozco que hay modelos que algunos prefieren por encima de otros.

En una ocasión me vi sorprendido porque nada menos que Dios me escogió vestido de equilátero, puso su ojo dentro y me utilizó a partir de entonces como uno de sus símbolos. Desde luego es un traje que me queda muy bien. Resulta equilibrado con los tres ángulos y los tres lados iguales. Con ese traje me puedes ver en la bandera de Nicaragua.

También debes saber que soy de los pocos polígonos regulares que teselamos el suelo, es decir, que utilizándome de forma reiterada soy capaz de recubrir cualquier superficie porque, como mi ángulo vale 60º, si nos reunimos seis conseguimos los 360º y no dejamos huecos libres. Esto lo pueden hacer también el cuadrado y el hexágono regular pero ningún polígono más de los llamados regulares.

Conocido traje mío es el rectángulo. No creo que haya estudiante, por flojo que sea, que no me conozca con este modelo. Y es que estoy relacionado con el, posiblemente, más popular de los teoremas; el teorema de Pitágoras que dice aquello de: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". Ten cuidado, porque

algunos dicen "es igual a la suma de los catetos al cuadrado", y esto es otra cosa, ¿no?

Uno de los mayores éxitos de mi vida lo obtuve cuando alguien -nunca he podido saber quién fue- se dio cuenta de que soy el polígono más estable. Me explico. Si con algún tipo de varilla construyes un polígono cualquiera que no sea como yo, podrás comprobar con facilidad que es una forma endeble. Si empujas un poco por algún vértice se deforma. Sin embargo, conmigo eso no ocurre porque mi estructura es firme como un roble. Tengo tanta personalidad que para cambiarme tienen que destruirme. Por esta razón, cuando a un cuadrado o a cualquier otra estructura se le quiere hacer fuerte y segura, acuden a mí para conseguirlo. Fíjate, por ejemplo, en los torreones de la luz. Son una auténtica sinfonía de triángulos.

Si a partir de ahora te fijas un poco, me verás en casi todas partes.

Pero, donde realmente se nota mi valía, es en la medida de la superficie de las áreas poligonales. Todo empezó cuando en la antigua Grecia un hombre, que recuerdo bien y al que nunca podré agradecer suficientemente su descubrimiento, obtuvo una fórmula que permite conocer el valor de mi área sabiendo cuánto miden mis lados. La fórmula lleva el nombre de ese ilustre griego: Herón. Es muy sencilla, sobre todo hoy con la ayuda de las calculadoras. Te la voy a explicar:

Si mis lados miden a, b y c unidades, sabes que entonces mi perímetro es P = a + b + c. Pues bien, la mitad de P es mi semiperímetro, p = (a + b + c)/2 y la fórmula de Herón establece que mi área es:

así que todo se reduce a sencillas operaciones.

Fíjate ahora qué aplicaciones más interesantes e importantes se logran con eso. Considerando un polígono cualquiera, te puedes colocar en un vértice M y desde allí divides el polígono en triángulos (es lo que se llama proceso de triangulación) y basta con ir midiendo

las longitudes de los distintos lados de los triángulos que resulten y aplicar la fórmula de Herón para calcular su área en cada caso. Cuando las sumes todas tendrás el valor más o menos exacto (depende de lo que te hayas esmerado) del área del polígono.

Ten en cuenta que prácticamente todos los terrenos, solares, fincas, parcelas… tienen formas poligonales con lo que ya puedes percatarte de mi importancia en estos negocios inmobiliarios…

Claro que tal vez tú conozcas otra fórmula para calcular mi área: aquella de base por altura partido por dos.

Es la que se suele explicar a los estudiantes. Surge de los hechos siguientes:

1) El área de un paralelogramo cualquiera es base por altura.

2) Un triángulo es siempre la mitad de un paralelogramo. Esta segunda propiedad es muy fácil de comprobar.

Teniendo en cuenta las dos propiedades, surge esta popular fórmula:

At=b.a/2

De todos modos, conviene que sepas que la de Herón es más útil y no entiendo bien por qué ya casi ni aparece en los libros de matemáticas.

En fin, si quieres saber algo más de mi vida puedes preguntar a tu profesor o profesora de matemáticas. Seguro que gustosamente te contará muchas más cosas sobre mí.

Un fuerte abrazo,

El Triángulo

A Ricardo Lorenzo, maestro de vocación que se fue demasiado pronto

¡ HOLA!, SOY LA ESFERA!

Parece mentira que viviendo los terrícolas en una esfera (bueno, casi), sin embargo, me conozcan tan poco. Aún no he llegado a entender bien por qué Euclides, tan sabio como fue, dedicó tanto esfuerzo a que la gente conociera la geometría plana y abandonara a mi familia, las esferas.

Es posible que no tuviera asumido del todo que él vivía en una esfera, lo cual resulta un poco raro puesto que vivió en el siglo III a.C. y en esa época ya éramos conocidas pues Aristóteles hizo un modelo de Universo con esferas y más esferas.

Lo cierto es que Euclides consiguió con su famosa obra conocida como los Elementos que la mente de las personas se cuadriculara de tal forma que la mayoría no ve más allá de lo que ocurre en el plano. No conciben, por ejemplo, que puedan existir modelos de geometrías en las que se puedan construir triángulos tales que si se suma el valor de sus ángulos el resultado no sea 180º. Y no digamos nada si se les dice que esa suma ni siquiera tiene un valor fijo sino que oscila entre dos valores.

Pues bien, si quieres hacer una pequeña incursión por ese aparentemente extraño mundo y conocer una geometría distinta de la que conoces de toda la vida, sigue leyendo y espero que sepas sorprenderte por lo que te voy a contar de mí, la esfera.

Con el fin de entendernos mejor, te recordaré lo que conoces del plano y trataré de explicarte cómo se traduce ese concepto sobre mi superficie.

En la figura 1 te muestro que en el plano la distancia más corta entre dos puntos A y B la marca el trozo de recta que pasa por ellos que, como sabes, es lo que se denomina segmento AB. Pues bien, sobre mí no existen trozos rectos ya que todos son curvos. ¡Primera gran diferencia!

Ahora fijemos la atención en dos puntos P y Q sobre mi superficie. Como puedes ver en la figura 2, para ir de uno a otro tengo muchas posibilidades pero ¿cuál es la línea que da la mínima distancia?

Figura 2

Imagínate que haces pasar un elástico por P y luego, una vez que lo tensas, lo haces pasar por Q. La línea que buscamos es la que forma el elástico. Por lo tanto, ese trozo de línea curva que va de P a Q es equivalente a lo que Euclides llama segmento en el plano. Sobre mi superficie lo llamamos segmento esférico.

Pero si deseamos mantener la traducción, la línea que marca el elástico en la figura 3, que es sobre la que se encuentra el segmento esférico, es la equivalente a la recta euclídea, así que la llamaremos recta esférica. Y una pregunta fundamental surge en este momento: ¿cómo es la recta esférica?

Existen muchos modos de ir de P a Q.

Figura 3

Ya ves que se construye prolongando a un lado y a otro el segmento esférico PQ. Si lo haces con el elástico sobre una esfera comprobarás que la recta esférica es lo que muchos de mis biógrafos llaman circunferencia máxima porque, en efecto, se trata de la mayor circunferencia que se puede trazar sobre mi

superficie, bueno, una de las infinitas que hay. Como ves se trata de algo interesante y que va a jugar un papel importante en lo que te contaré a continuación. Por eso lo destaco: las circunferencias máximas en la esfera hacen las veces de las rectas en el plano.

Por si acaso puede parecerte que falta algo así como una definición de circunferencia máxima, te propongo la siguiente: llamaremos circunferencia máxima a la línea que resulta de la intersección de la superficie esférica con un plano que pasa por el centro de la esfera.

Te será fácil comprobar que por dos puntos cualesquiera de mi superficie pasa una y sólo una circunferencia máxima, resultado equivalente al que en el plano dice que por dos puntos cualesquiera pasa una y sólo una recta.

Para continuar, te recuerdo la idea de rectas paralelas en el plano. Lo son cuando por mucho que se prolonguen nunca llegan a encontrarse.

En la geometría euclídea existe un famoso postulado (el V) que dice, en esencia, que por un punto exterior a una recta r pasa una y sólo una paralela a r. ¿Quién se atreve a discutirlo? Dibuja tú mismo una recta y un punto que no esté sobre ella y comprobarás fácilmente que Euclides tiene razón.

Pero ahora aparezco yo y te planteo el problema en la figura 4: observa que el punto P no está sobre la circunferencia máxima y surge la inquietante pregunta: ¿se mantiene que por P pasa una y sólo una paralela a esa circunferencia máxima? Tómate un tiempo para pensarlo.

Por un punto exterior a una recta esférica, ¿cuántas paralelas pasan?

No te esfuerces más porque la respuesta es: no pasa ninguna. Por mucho que lo intentes, comprobarás que esté donde esté el punto P, cualquier circunferencia máxima que pase por P cortará a la representada por el elástico en la figura 4 y, por tanto, no son paralelas según la definición de paralelismo que hemos admitido. Es un sorprendente resultado que a veces cuesta entender porque no estamos acostumbrados a que sucedan estas cosas en la geometría euclídea.

En la figura 5 se plantea y resuelve un sencillo problema euclídeo: dada la recta r, se trazan dos perpendiculares s y t. ¿Qué se puede decir de las rectas s y t? Efectivamente, que son paralelas, de ahí el dicho: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. ¿Te atreverías a afirmar que algo parecido ocurre sobre la superficie esférica? Supongo que a estas alturas al menos tendrás un cierto grado de desconfianza de que eso pueda suceder.

Pero antes de analizar la situación creo que es necesario que diga cómo se mide el ángulo que forman dos líneas sobre mi superficie. Esas dos líneas se cortan en un punto y cada una de ellas tiene una recta tangente en ese punto (en este caso las rectas que nombro son euclídeas). Pues bien, el ángulo que forman esas rectas es el que forman las líneas sobre mi superficie. Es como si le pidiera prestado esto a Euclides… Según esta definición, dos circunferencias máximas serán perpendiculares cuando el ángulo que formen las tangentes en el punto de intersección sea de 90º. Con el ejemplo que te propongo ahora espero que quede clara esta idea: si se considera como circunferencia máxima el ecuador de la Tierra, cualquier circunferencia máxima que pase por los polos formará un ángulo recto en el punto en el que corte al ecuador, como puedes apreciar en la figura 6.

Ecuador cortado por una circunferencia máxima que pasa por los polos N y S.

Volvamos al problema planteado: ¿se cumple sobre la esfera que dos perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí? La figura 7 pone de manifiesto que un resultado tan evidente en el plano euclídeo no se verifica sobre la superficie esférica ya que las rectas d y f que son perpendiculares a c no son paralelas.

Pero las sorpresas mayores están aún por llegar. ¿Qué mentalidad euclídea no se escandalizaría si oyera hablar de un biángulo? ¡Eso es imposible!, dirá. Y lo cierto es que en su geometría lo es, ya que no es posible dibujar una figura cerrada que sólo tenga dos lados; cualquier trozo del plano limitado por segmentos ha de tener como mínimo tres lados. En mi superficie, en cambio, es bien sencillo formar un biángulo y espero que no te escandalices por la existencia de esa extraña posibilidad. La figura 8 representa un biángulo y si deseas entretenerte te propongo que trates de averiguar cuánto vale la suma de los ángulos de una de estas figuras.

En la figura 9 está reproducida la venerada demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo plano es igual a 180º. Es una bella demostración visual imposible de rebatir.

En la figura 10 se presenta un triángulo esférico. Tiene un vértice en el polo y los otros dos en el ecuador. Si lo observas con atención comprobarás enseguida que es un triángulo birrectángulo, pues los dos ángulos señalados son rectos. Si ahora te pregunto: ¿suman 180º los ángulos de este triángulo?, la respuesta es inmediata: no. Sólo los dos ángulos rectos ya suman esa cantidad. Por tanto, la suma de los ángulos de un triángulo esférico no es 180º. Y ahora una pregunta más fuerte aún: ¿cuánto suman? La respuesta no es inmediata porque supongo que te darás cuenta de que no es una cantidad fija sino que oscila entre dos valores que debes averiguar. Lo importante de esta situación es que una vez más se vulnera un principio inquebrantable de la geometría euclídea: la suma de los ángulos de un triángulo puede no ser igual a 180º.

Triángulo birrectángulo

Veamos una singularidad más y ya acabo porque creo que me estoy poniendo un poco pesada con mis cosas. Tú sabes que en el plano euclídeo, por dos puntos pasa una y sólo una recta. Pero fíjate en la figura 11. Si sobre mi superficie considero dos puntos diametral-mente opuestos (por ejemplo los polos Norte y Sur de la Tierra), comprobarás fácilmente que por esos dos puntos pasan ¡infinitas circunferencias máximas! Y, por lo tanto, de nuevo se rompe el férreo esquema euclídeo.

Infinitas circunferencias máximas

Creo que con lo que te he relatado es suficiente para que puedas llegar a la conclusión de que la geometría guarda muchas sorpresas. En este caso has podido comprobar que existen geometrías distintas de la que se maneja y estudia habitualmente.

Son las llamadas geometrías no euclídeas, de las que se habló por primera vez 2000 años después de Euclides. Lo hizo en 1733 el jesuita Girolamo Saccheri, en una obra titulada Euclides ab omni naevo vindicatus. Sin embargo, el mérito del descubrimiento se suele adjudicar ex aequo al ruso Lobachevski, al húngaro Bolyai y al alemán Gauss.

Te propongo a continuación dos curiosos problemas para que te entretengas resolviéndolos y comprobando, una vez más, las singularidades de mi superficie.

1.- Una persona sale de su casa y se traslada 200 km hacia el Sur. En ese momento cambia el rumbo y se desplaza 200 km hacia el Este. Llegado a este lugar, cambia de nuevo el rumbo y se dirige hacia el Norte. Cuando recorre 200 km en esta dirección observa que llega de nuevo a su casa. La desconcertante pregunta del problema es: ¿cuál puede ser la singular situación de esa casa? Por si acaso das con una solución, te diré que realmente puede estar en infinitos puntos de la Tierra. Tú debes localizarlos.

2.- Seguimos con desplazamientos. Un avión sale del aeropuerto de Tenerife-Norte y recorre 3000 km hacia el Norte. Allí cambia el rumbo y hace 3000 km hacia el Este. Ahora se dirige hacia el Sur y vuela otros 3000 Km. Finalmente cambia de nuevo el rumbo, ahora hacia el Oeste y recorre 3000 Km. Tras ese largo viaje, se pregunta. ¿Llegará de nuevo al aeropuerto de Tenerife-Norte? Te sugiero que hagas un simulacro en alguna esfera que tengas a mano y así podrás dar una primera respuesta visual al problema. Si deseas entretenerte un poco más, trata de demostrarlo numéricamente. Por si necesitas el dato, te diré que el aeropuerto mencionado está a 28s de latitud Norte.

Y ahora sí que me despido con la esperanza de que estos retazos que te he contado de mi vida hayan sido bien transcritos por mi biógrafo, el profesor…

A mis alumnas y alumnos del "Viera"

ROMANCE DE LA DERIVADA CON EL ARCO TANGENTE

Lo que voy a relatarles es un Romance. Pero no de aquellos que escribían los trovadores en verso y cantaban de pueblo en pueblo. Es un Romance porque se trata de una historia de amor. Un romance apasionado entre dos entes, digno de figurar entre las grandes historias de amor como son las de Romeo y Julieta o Eurí-dice y Orfeo.

Todo empezó allá en Alemania, hace muchos años. Dicen que fue en 1684 cuando la Derivada nació, después de un largo y doloroso embarazo. Lo hizo en el seno de una familia humilde que, desde luego, no podía prever la importancia que llegaría a alcanzar aquella tierna criatura. Su infancia fue normal. Sin grandes sobresaltos. Poco a poco fue creciendo y siendo conocida cada vez por más gente. Alguno de ellos empezó a vislumbrar la grandeza que llegaría a alcanzar. Por eso se preocuparon de dotarla de buenos y distinguidos vestidos, trataron de buscar un símbolo fácil de recordar y que sirviera para identificarla en cualquier lugar de la Tierra y, sobre todo, empezaron a escribir relatos sobre sus extraordinarias virtudes con el fin de darlas a conocer a todas las personas, especialmente a los estudiosos de la ciencia y la tecnología.

Cuando llegó a la edad adecuada y se convirtió en una moza de espléndida presencia, sucedió lo que tenía que suceder. Un buen día conoció a un muchacho que, aunque algo más viejo que ella, había adquirido hacía poco una magnífica representación gráfica que le daba una belleza tal, que atrajo la mirada curiosa de la Derivada. Tan buena moza tampoco le pasó desapercibida al Arco Tangente, que así se llamaba el galán.

Ese inicial amor platónico se convirtió al poco tiempo en un amor apasionado. Pronto notaron que la atracción mutua se debía a coincidencias que van más allá de las casualidades y que son capaces de ligar a dos seres para siempre.

La primera prueba de ello la tuvieron cuando se citaron en el punto (x₀, y₀ de la curva y = f(x) (figura 1). Cuando la Derivada f'(x) llegó al punto no pudo contener su emoción al comprobar su sintonía con Arco Tangente. Para comprobar que no era una casualidad, cambiaron varias veces el lugar de la cita y la sintonía continuaba, lo que acentuaba el atractivo.

Mientras iban de un punto a otro, Cupido completó su faena y enseguida empezaron a prometerse fidelidad eterna al tiempo que se intercambiaban mil y un teoremas de apasionado amor. Así, por ejemplo, comprobaron que ambos se anulaban en puntos de la curva como (x₁,f(x₁)) o (x₂, f(x₂)) de la figura 2.

También sirvió para acrecentar su atracción el comprobar que cuando Derivada crecía al pasar del punto (x₃, f(x₃) al (x₄, f(x₄), entonces Arco Tangente experimentaba asimismo un evidente crecimiento.

Todos se alegraban de aquel romance que prometía ser largo y profundo. De amor tan puro tendrían que nacer frutos hermosos. Y así fue.

Un día les invitaron a dar un largo paseo. Era el más largo que jamás habían hecho (figura 3). Cogidos amorosamente de la mano aceptaron la invitación y caminaron hacia arriba por una curva que, sin mala intención, habían preparado los hermanos Ejes Cartesianos (de nombres Horizontal y Vertical, aunque hay quien les llama también Abscisa y Ordenada), recientes amigos de nuestra enamorada pareja.

Pronto se dieron cuenta de que algo extraño sucedía. Al alejarse del Hermano Horizontal notaron que, mientras la Derivada sufría un exagerado crecimiento, Arco Tangente lo hacía lentamente acercándose a 90º. Valor que, tras ese paseo, descubrieron que no era propicio a su relación. Por eso, a partir de ese momento, trataron de evitar esos asintóticos paseos.

Tampoco lo pasaron bien otro día que sus amigos los Ejes Cartesianos les invitaron a pasear por otra curva (figura 4).

Al principio, cuando Vertical los despidió, todo transcurrió como siempre. Cogidos por la cintura caminaban embebidos en su compenetración, nada les perturbaba cuando, de repente, al llegar a cierto punto x₀, perdieron el equilibrio y quedaron totalmente desorientados. Se llevaron un susto de muerte pues, aunque sólo fue un punto, a ellos, enamorados como estaban, les pareció una eternidad. Tan pronto salieron de él, volvieron a encontrarse y abrazarse como si salieran de una desagradable pesadilla. Su amigo Horizontal les dijo que aquellos puntos, llamados de retroceso, eran muy raros, que ahora les llaman disruptivos y que también causaban problemas a otros entes. Los enamorados trataron de evitarlos a partir de entonces.

Sin embargo la vida les fue dando más y más alegrías. Allá donde hubiese alguna cosa que variase en función de otra, allí estaban ellos para tratar de explicarlo todo: crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidades, etc. La ilustre pareja es invitada con mucha frecuencia a fiestas que organizan casi todas las funciones conocidas como la extensa tribu de Polinómicas, la altanera familia de las Racionales que más de un susto proporcionó a nuestros enamorados, la corta pero prolija familia de las Trigonométricas cuyos miembros son parientes cercanos del novio, las humildes Exponenciales y también sus primos los Logaritmos. Aprovechando esos encuentros se dedican, entre otras cosas, a buscar los puntos singulares de la función. Cuando los tienen, empiezan a trabajar todos y pueden llegar con facilidad a construirse una casa-gráfica en la interminable finca de los hermanos Ejes Cartesianos (figura 5).

Cierto día ella sintió un poco de angustia e inquietud ante la posibilidad de que él pudiese desaparecer, tal y como alguna vez había pensado que había. Él la tranquilizó. Le dijo que ahora tenía un domicilio que le gustaba y del que sólo salía cuando le llamaban. Le tomó delicadamente su mano, escribió en la palma su actual dirección donde, según le dijo, le podría encontrar siempre: shift tan¹.

Tras ese noviazgo más o menos largo y seguros como estaban de lo sólido de su amor, decidieron casarse. Si el destino les deparaba alguna desgracia posterior, querrían vivirla juntos. Comunicaron su deseo y todas las familias recibieron la noticia con gran regocijo. Para el día que decidieran celebrar la boda, los hermanos Ejes Cartesianos les ofrecieron su único punto común, el Origen, para celebrar la ceremonia. La pareja aceptó el ofrecimiento por considerarlo un lugar que todos conocían. No pusieron lista de bodas pero las distintas familias les ofrecieron originales regalos de bodas. Así, la función y = sen x, pariente del novio, se ofreció a llevarles hasta el lugar elegido a través de un recorrido lleno de suaves ondulaciones. También lo ofrecieron sus hermanas y = sen(x/2) e y = sen(x/3). Con ellas las ondulaciones serían aún más suaves.

Cuando llegaron, se encontraron que el punto estaba lleno de curiosos. Todas las funciones polinómicas se desprendieron ese día de su término independiente para no perderse lo que allí iba a acontecer. Otras, como la noble función y = ex, se habían puesto a régimen para restarse un kilo y así poder pasar ese día por el origen como las otras funciones. Todas las que pudieron adelgazaron para no faltar a la cita. Es lo que hizo, por ejemplo, otra pariente del novio, y = cos x que toda la vida había visto el origen allá a lo lejos, a un kilómetro de distancia y ahora se estaba sometiendo a un régimen que le permitiera estar ese día en el punto escogido.

Los Ejes Cartesianos actuaron en esta historia como organizadores del evento. Enviaron sendas tarjetas de boda a los padres de la novia, Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. No podían faltar. Los hermanos no pudieron evitar la tentación de invitar también a René Descartes, su padre; al fin y al cabo, gracias a él fue como se conoció la pareja.

Cuando todo estuvo dispuesto, se celebró el magno acontecimiento; la amplia familia matemática no lo olvidará. Los frutos de ese matrimonio han sido tantos que posiblemente sea uno de los matrimonios más felices de cuantos existen.

A Claudi Alsina, repartidor de ilusiones y esperanzas

DOS PUNTOS Y ¿UN DESTINO?

b: ¡Pss! ¡Hola! ¿Cómo te llamas?

a: Yo me llamo a, ¿y tú?

b: Pues yo me llamo b.

a: Hace tiempo que estoy queriendo hablar con alguien semejante a mí, y me parece que por fin lo he conseguido. Gracias por llamarme.

b: Yo también tenía ese deseo. Hay cosas que me gustaría que alguien me las aclarase y tal vez tú puedas. Tienes aspecto de punto listo…

a: Depende de lo que me preguntes. Yo también tengo dudas y preguntas sin respuesta.

b: ¿Tú puedes salirte alguna vez del sitio en el que te mueves? Yo tendría unas ganas locas de salir de esta recta que me limita muchísimo los movimientos.

a: ¡No!, b, ¡ni lo intentes! Esta es una cuestión que tengo clara, sólo nos podemos mover en dos sentidos y siempre sobre la recta en la que estamos. Si te estás moviendo en uno de los sentidos, sólo te caben dos posibilidades más: pararte o moverte en el sentido contrario.

b: Yo he oído alguna vez que sólo existe la dirección, y que uno se mueve en una dirección o en la contraria.

a: Yo también lo he oído y creo que deberíamos clarificarlo. La dirección es el lugar donde nosotros vivimos y nos movemos, es decir, la recta que nos cobija. Resulta raro hablar de "recta contraria" pues eso sería lo que, en definitiva, significa "dirección contraria". Otra cosa son los sentidos sobre esta recta en la que vivimos. Tanto tú como yo tenemos la posibilidad de movernos en dos sentidos, como ya te dije; si te mueves en uno de los sentidos, puedes parar y a continuación moverte en el contrario.

b: ¡Ah!, así que la dirección la marca la recta en la que vivo y en cada recta hay dos sentidos. Está bien.

a: Pero todavía hay más: ¿en tu recta no existe un punto que está fijo que se toma como referencia? En la mía hay un punto, al que llamamos O, que tiene una vida bastante aburrida y sedentaria, ya que nunca se mueve; pero es un punto respetado y todos nos referimos a O indicando si estamos a un lado o al otro de él.

b: No me he tropezado nunca con un punto así.

a: Entonces es que siempre te has movido por uno de sus lados.

b: ¿Y qué podría hacer para ir a saludarlo?

a: Es difícil decirlo con certeza. Si te mueves en un sentido y está en el otro, jamás te tropezarás con él.

b: ¿Por qué no te vienes a mi recta?

a: Eso es imposible.

b: No lo veo yo tan imposible; mira en el mismo sentido que yo, ¿no ves más allá, al final, que nuestras rectas se unen?

a: Yo no lo he hecho nunca, pero he oído que si nos moviésemos hacia allá, esa es siempre la impresión, pero nunca jamás nos llegaremos a unir.

b: Me parece un poco raro eso, ¿por qué no lo intentamos?

a: Bien; yo tampoco tengo nada que hacer, pero antes de partir se me ocurre una idea: vamos a medir la distancia a la que estamos tú y yo. De vez en cuando nos pararemos y comprobaremos si esa distancia ha sufrido alguna variación. Creo que esta es una buena pista para confirmar si nos uniremos o no "allá, lejos" como tú dices.

b: De acuerdo. ¿Dónde me coloco para medir esa distancia?

a: Tendrá que ser donde sea menor. Voy a mirar hacia tu recta perpendicularmente. Muévete hasta que yo te avise, pues mientras no te coloques en ese punto preciso no tendremos la menor distancia entre nuestras rectas. ¡Ya está!

b: Ahora que ya sabemos a qué distancia estamos, vámonos.

a: Ya ha pasado un rato. Párate y midamos de nuevo la distancia entre nosotros.

b: ¡Es la misma! ¡Y mira que nos hemos movido una buena distancia de donde partimos!

a: ¡Claro! Eso sucede porque nos movimos en dos rectas que son paralelas. Si esa distancia hubiese disminuido, aunque fuese un pelín, seguro que nos encontraríamos alguna vez; pero mientras estemos en estas rectas, por mucho que nos movamos a un lado o a otro seguiremos a la misma distancia.

b: No sé. Yo quisiera seguir un poco más, pues a mí me sigue pareciendo que nos hemos de encontrar.

a: Bueno, b, ¡espera!; estoy viendo a otro punto. ¡Psst! Oye, ¿cómo te llamas?

c: Me llamo c.

b: Mi amigo a y yo estamos moviéndonos hacia allá, ¿por qué no te vienes con nosotros?

c: No tengo dónde moverme, ¿no ves que estoy aquí aislado?

b: Espérate que voy a consultar con a. Es un punto que sabe mucho, él no te puede ver porque está mi recta en medio. ¡Oye, a!, ¿cómo podemos hacer para que c nos acompañe en el viaje?

a: Es muy fácil, dile a ese punto c que se fije en las infinitas rectas que pasan por él. Pues bien, que escoja la única que es paralela a las nuestras. No tiene pérdida. Avísame cuando la haya localizado.

c: Ya está.

b: ¡Oh! ¡Fíjate!, ahora estoy más convencido que antes de que nos encontraremos, pues me parece que las tres rectas se unen allá lejos.

a: ¡Eres un poco cabezota! Vamos, dile a c que nos acompañe y caminemos hacia dónde dices.

b: Espera un poco y aclárame otra cuestión. Dices que tu recta y la mía son paralelas porque permanecen siempre a la misma distancia. Si ahora la de c es paralela a la mía, ¿es también paralela a la tuya?

a: ¡Claro, punto b! ¿No has oído nunca lo que dice el refrán?: "dos paralelas a una tercera lo son entre sí". Y además, se puede aplicar a más de tres rectas paralelas.

b: ¡Qué interesante y cuánto sabes!, yo siempre moviéndome en una recta y sin saber esas propiedades de las que son paralelas a la mía.

a: ¿Nos podemos ir ya?

b: Sí, pero a partir de ahora no hablaré, y caminaré sin parar hasta que nos encontremos.

a: ¡Vas listo!…

A Da Nelly Vázquez de Tapia, de La Mancha a La Pampa venciendo a los mismos gigantes

DE LO QUE ACONTECIÓ A DON QUIJOTE CON EL JOVEN GONDOMAR Y SU JUSTICIA NUMÉRICAMENTE CORRECTA

Cuando don Quijote y Sancho llegaron, oyeron voces altas en medio de una discusión. No podían distinguir de qué se trataba porque todos hablaban al mismo tiempo.

- Escucha, Sancho; he aquí un ejemplo de lo que te he dicho que no se debe hacer. No es bueno que todos hablen alto y, además, al mismo tiempo porque todos hablan y ninguno escucha y sin escuchar no se puede responder. Sin duda alguna estamos ante una aventura; a los caballeros nos está encomendado poner paz donde reine la diabólica Discordia.

- Es cierto, señor, mas espero que de esta nueva aventura no acabe molido y con alguna costilla astillada como suele ser costumbre -respondió Sancho.

Se acercaron a donde estaba el grupo y vieron que eran tres. Dos llevaban ropas de pastor mientras que el tercero, el más joven, quizá de menos de veinte, parecía de alta condición. Don Quijote se colocó en medio y les dijo alzando la voz:

- ¿Qué es lo que os hace discutir con tanto acaloramiento? Os ruego que me expliquéis las razones para dar la solución que me inspire la Ley de la Caballería que profeso.

- Honorable caballero -contestó el joven-, me llamo Gondomar de Sotomayor, hijo del conde del Encinar. Ayer salí de cacería con mis amigos. Al atardecer divisé el más hermoso ejemplar de jabalí que jamás había visto. No me lo pensé dos veces y salí tras de él, solo y con el deseo de darle pronta cacería. Pero el animal desapareció a pesar de mi frenética persecución. Me di por vencido y decidí regresar. Ya era tarde y el negro manto de la noche tapaba hasta los árboles que estaban cerca porque la Luna no le acompañaba. Estuve vagando toda la noche dando gritos por si me escuchaba alguien. Todo en vano. En algún momento debí de quedarme dormido porque lo siguiente que recuerdo es el instante en que estos dos pastores me despertaron bien entrada la mañana.

- ¡Señor Sotomayor! -le interrumpió don Quijote-, ahórrese tantas explicaciones y dígame cuál es el motivo por el que antes chillaban, para yo poder actuar.

- A eso iba ahora y espero que vuestra merced me ayude a traer la paz que existía entre estos dos hermanos, y que, al parecer, yo he interrumpido. Les pregunté dónde estaba y qué tendría que hacer para volver a mi casa. Me dijeron que estaba muy lejos, que tardaría mucho tiempo en regresar y me aconsejaron que permaneciese con ellos hoy y que mañana, al alba, partiera hacia el castillo de mi padre que ellos conocen.

- Le insisto: abrevie y cuente la razón de la disputa -reclamó don Quijote ligeramente molesto por tantas explicaciones que él consideraba innecesarias.

Sancho seguía el relato con interés e intrigado por conocer también qué había pasado allí. El joven continuó:

- Voy a explicárselo a usted inmediatamente, mi improvisado juez. Es el caso que pedí a los hermanos algo para comer porque estaba ciertamente hambriento con tantas horas sin llevarme nada a la boca. Uno de ellos, Mercenio, me dijo, después de mirar su morral, que le quedaban cinco panes y el otro, Blasón, que tres. Estupendo, les dije, hay suficiente para todos. Se pusieron los panes sobre una piel de cordero y empezamos a comer mientras yo les contaba lo que me había pasado. Cuando acabamos me di cuenta de que debía ser generoso con estos hermanos que tan bien me habían acogido y les dije:

- Amigos, no he puesto nada para comer y como me siento tan agradecido, voy a repartir entre ustedes los ocho escudos que llevo en mi bolsa.

Y así lo hice, a Blasón le di un escudo y a Mercenio, siete.

- ¡Pero eso es una barbaridad y una injusticia! -interrumpió Sancho de manera impulsiva y acalorada-. ¡Menos mal que mi señor intervendrá! Yo no sé leer ni mucho de cuentas pero es evidente que si Mercenio puso cinco panes, entonces le corresponden cinco escudos, mientras que a Blasón le debe dar vuestra merced los tres escudos restantes porque ese es el número de panes que aportó a la comida. ¿Cómo se le ocurre ese reparto tan injusto?

- Esa es, señor escudero y señor caballero -dijo Gon-domar- la razón de esta discusión que manteníamos porque no consideran justo este criterio mío de reparto.

- Sancho, amigo -intervino don Quijote-, la justicia está muy relacionada con los números. Has de saber que un reparto equitativo siempre será justo porque la equidad es una base de la justicia. Son los hombres que hacen las leyes los que a veces favorecen a quien no deben porque olvidan ese principio. Si un reparto se hace de acuerdo con las leyes que emanan de los números, ningún juez debe violentarlo porque no hará justicia. Creo que debemos escuchar a este joven para que nos explique cuál es la suprema razón que le ha llevado a hacer este reparto tan descompensado en apariencia antes de yo decidir si debo apoyar o no su decisión.

- Con mucho gusto -empezó Gondomar- y agradezco a vuestra merced que me escuche antes de actuar porque es de juez sabio y equilibrado obrar así. Imaginen ustedes que los ocho panes los dividimos en tres trozos iguales cada uno. ¿Cuántos trozos son en total?

- Son veinticuatro -contestó rápidamente Sancho.

- Para no saber de cuentas, señor escudero -dijo Gondomar-, habéis contestado muy rápido. Pues bien, ¿cuántos trozos de esos veinticuatro nos hemos comido cada uno?

- Ocho -volvió a contestar Sancho con la misma rapidez, al tiempo que don Quijote se asombraba de la habilidad de su escudero, al que tenía por más cerrado de mollera.

- En efecto, ocho comió Mercenio, ocho comió Blasón y ocho comí yo. Pero contésteme, señor escudero, y no yerre la respuesta porque es muy importante: ¿cuántos trozos de esos veinticuatro puso Mercenio y cuántos puso Blasón?

Sancho se llevó una mano a la barbilla mientras con la otra se rascaba sus revueltos pelos de la cabeza en un ademán de gran concentración. Don Quijote sabía la respuesta pero esperaba a ver qué decía su escudero.

- ¡Ya lo tengo! -contestó al fin con gran seguridad-quince puso Mercenio y nueve Blasón.

- Ha dado una respuesta correcta -le dijo Gondomar-. Y dígame ahora, y esté atento a la respuesta: ¿cuántos trozos me dio Mercenio para yo comer y cuántos me dio Blasón?

Sancho volvió a su posición típica de esfuerzo intelectual aunque esta vez las manos las utilizaba para hacer unas cuentas que ya le parecían más difíciles. Por eso miraba a su señor como pidiendo ayuda. Pero don Quijote no quería hacerlo y le contestaba con una leve sonrisa. Finalmente, Sancho se decidió a hacer público su razonamiento ante la expectación de los dos pastores que, igual que él, sabían poco de cuentas, y sin dejar de mirar a don Quijote esperando su aprobación, les dijo:

- Creo, señor Gondomar, que si no me he equivocado en el manejo de estos dedos míos, Mercenio le dio a vuestra merced siete trozos de los quince que tenía mientras que Blasón, que tenía nueve, le pasó sólo uno.

- Has razonado con inteligencia, Sancho -dijo don Quijote con una larga sonrisa de satisfacción- pues ese es el reparto que aquí se ha hecho de los panes: siete trozos aportó Mercenio y sólo uno Blasón y justo es que esa sea la forma de distribuir los ocho escudos de Gondomar: siete para Mercenio y uno para Blasón. Fíjate, ¡oh sagaz escudero!, que son las leyes de los números las que han sentenciado este espinoso asunto y nos han marcado cuál es aquí el reparto justo. Un caballero andante como yo, puesto por Dios en el mundo para evitar las injusticias, bendice el reparto hecho por este joven e insta a los dos hermanos a que así lo reconozcan.

No tuvieron inconveniente los dos hermanos en aceptar el veredicto dado por don Quijote y se repartieron los escudos según la sentencia dictada.

Restablecida la paz entre los tres protagonistas de esta historia sin molimientos esta vez para Sancho, don Quijote decidió seguir su camino, por el que se fue también su escudero pero después de pedir a los pastores que le diesen, al menos, un queso por la acertada intervención de la autoridad de su señor.

[1] 120 es el menor múltiplo común de 8 y 30; es decir: Múltiplos de 8:

8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128… Múltiplos de 30: 30, 60, 90,120, 150…

Obsérvese que 120 es el primero y más pequeño de los múltiplos de ambos.

[2] 2 es el mayor divisor común de 8 y 30. Es decir: Divisores de 8: 1,2,4,8

Divisores de 30: 1,2,3,5,6,10,15,30

El 2 es, como puede observarse, el mayor de los divisores comunes.

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17/08/2010