Este libro contiene un sinfín de divertidos y ocurrentes acertijos y adivinanzas. Para todo aquel que busque entretenimiento y que desee desarrollar su intelecto con un poco de gimnasia mental.

Puede disfrutarlo uno sólo o en compañía, exponiendo los acertijos y averiguando quién es capaz de acertar o quién lo consigue en menos tiempo.

Bien estructurado, ameno y con las soluciones perfectamente explicadas, es ideal para todos aquellos amantes de pasatiempos y acertijos lógicos.

Raymond M. Smullyan

¿Cómo se llama este libro?

El enigma de Drácula y otros pasatiempos lógicos

ePub r1.0

Macronoid 03.08.13

Título original: What is the name of this Book?

Raymond M. Smullyan, 1978

Traducción: Carmen García Trevijano & Luis M. Valdés Villanueva & Consuelo Vázquez de Parga

Retoque de portada: Macronoid

Editor digital: Macronoid

Editor original: geromar (EPG)

ePub base r1.0

Dedicado a

Linda Wetzel y Joseph Bevando,

cuyos consejos han sido inapreciables.

DOY GRACIAS A

Ante todo quiero dar las gracias a mis amigos Robert e Ilse Cowen y su hija–de–diez–años Leonore, que leyeron juntos mi manuscrito y me sugirieron muchas cosas importantes. (Leonore, dicho sea de paso, sospechó desde el principio la respuesta correcta para la pregunta clave del capitulo 4: ¿Existe en verdad Tweedledoo o es una mera invención de Humpty Dumpty?)

Estoy muy agradecido a Greer y Melvin Fitting (autores de un libro encantador y útil, In Praise of Simple Things) por su interés por mi obra y por habérsela hecho ver a Oscar Collier de Prentice–Hall. También tengo que agradecerle a Melvin el que salga en este libro (¡refutando, por tanto, mi demostración de que no podía salir!).

Ha sido para mi un placer trabajar con Oscar Collier y demás de Prentice–Hall: Ilene McGrath, que primero preparó el texto para producción, me hizo muchas sugerencias que acepté y agradezco; Dorothy Lachman a quien agradezco también su mucha experiencia en los diversos estadios de producción.

Quiero volver a mencionar a las dos personas que aparecen en la dedicatoria. Joseph Bevando y Linda Wetzel, uña y carne de este libro desde su más remoto comienzo.

Mi querida esposa, Blanche, me ha resuelto muchas dudas. Tengo la esperanza de que este volumen le permita averiguar si su marido es un caballero o un escudero.

PARTE PRIMERA

Acertijos lógicos

1- ¿TOMADURA DE PELO?

1. ¿ME DIERON LA INOCENTADA?

Conocí la lógica por primera vez a los seis años, y fue así: el 1 de abril[1] de 1925, estaba en cama con catarro, o gripe, o algo por el estilo. Por la mañana, mi hermano Emilio —que era diez años mayor que yo— vino a mi cuarto y me dijo: «Sabes, Raymond, hoy es el día de los Inocentes y te voy a dar una inocentada mejor que todas las que te hayan dado nunca.»

Me pasé el día esperándola, pero nada. Por la noche, ya tarde, mi madre me preguntó por qué no me había dormido aún y le contesté: «Estoy esperando a que Emilio me dé la inocentada.»

Mi madre llamó a Emilio: «Emilio, haz el favor de darle la inocentada al niño.» Entonces Emilio vino a mi cama y sostuvimos el siguiente diálogo:

Emilio: Así es que esperabas que te diera una inocentada, ¿verdad?

Raymond: Sí.

Emilio: Y yo no te la he dado, ¿no?

Raymond: No.

Emilio: Pero tú creías que te la iba a dar ¿o no?

Raymond: Sí.

Emilio: Entonces, te la di, ¿a que sí?

Pues bien, me quedé despierto hasta mucho después de que apagaran todas las luces, dándole vueltas a si me la había dado o no. Por un lado, si no me la había dado, no habría tenido lo que yo esperaba, y por tanto me la habían dado. (Este era el argumento de Emilio.) Pero igualmente podía decirse que si me la habían dado yo había tenido lo que esperaba, y entonces, en qué sentido me la habían dado. ¿Me habían tomado el pelo o no me lo habían tomado?

No contestaré este acertijo ahora; volveremos a él de una forma u otra varias veces a lo largo de este libro. Contiene un sutil principio que será uno de nuestros temas principales.

2. ¿MENTÍA?

Un incidente relacionado con lo anterior me ocurrió muchos años después cuando estaba haciendo el doctorado en la Universidad de Chicago. Por aquel entonces me ganaba la vida como mago profesional, pero mi negocio de magia pasó por un mal momento y me vi obligado a ganar dinero por otro lado. Decidí intentar conseguir un trabajo de vendedor, y escribí a una compañía de aspiradores que me obligó a pasar un test de aptitud. Una de las preguntas decía: «¿Está usted en contra de decir una mentirijilla de vez en cuando?» En aquella época yo sí estaba claramente en contra y, especialmente, en contra de los vendedores que mentían y representaban mal sus productos. Sin embargo, me dije que si era sincero y expresaba mi forma de sentir, no conseguiría el trabajo; así es que mentí y escribí «No».

Al volver a casa tras la interviú iba pensando si estaba o no en contra de la mentira que les había dicho a los de la compañía. Decidí que no lo estaba. Pero entonces, dado que no estaba en contra de esa determinada mentira, tendría que sacar la conclusión de que no estaba en contra de todas las mentiras, y por tanto mi contestación «No» del test no era una mentira, sino la verdad.

Y aún hoy no sé del todo bien si estaba mintiendo o no. Tengo la impresión de que la lógica me exige decir que dije la verdad, ya que la idea de que estuviera mintiendo me lleva a una contradicción. Así pues, la lógica me hace creer que decía la verdad, pero en aquella época yo sí sentía que estaba diciendo una mentira.

Y hablando de mentir voy a contaros una historia de Bertrand Russell y el filósofo G. E. Moore. Russell describía a Moore como una de las personas más honestas que había conocido nunca, y un día le preguntó si había dicho alguna vez una mentira a lo que Moore contestó afirmativamente. Hablando de esto Russell escribió: «Creo que ésta es la única mentira que Moore dijo en toda su vida.»

Mi historia de vendedor de aspiradores hace surgir el tema de si es posible que una persona mienta sin saberlo; yo diría que no. Para mí mentir es enunciar algo no que sea falso, sino que uno cree que es falso. Por supuesto si una persona dice algo que resulta ser verdad pero que él creía que no lo era, yo diría que estaba mintiendo.

Y, a propósito de mentir, leí lo siguiente en un libro de texto de psicología anormal. Los médicos de un manicomio estaban viendo si podían dejar salir a un determinado paciente esquizofrénico y decidieron hacerle un test con el detector de mentiras. Una de las preguntas que le hicieron fue si era Napoleón. Contestó que no, pero la máquina demostró que estaba mintiendo.

También leí en otro sitio la siguiente historia que demuestra cómo los animales a veces pueden disimular. Se estaba haciendo un experimento con un chimpancé encerrado en una habitación en que había un plátano colgado del centro del techo por una cuerda, pero estaba demasiado alto para cogerlo. En la habitación no había más que el mono, el experimentador, el plátano y la cuerda, y unas cuantas cajas de madera de diferentes tamaños. El objeto del experimento era determinar si el chimpancé era suficientemente listo para hacer una pila con las cajas, subirse encima y coger el plátano, pero lo que en realidad pasó fue lo siguiente: el experimentador estaba en una esquina de la habitación para ir observándolo todo; el mono fue hasta la esquina y empezó a tirarle de la manga haciéndole ver que quería que se moviera. El experimentador fue siguiendo despacio al mono; cuando estaban más o menos en el centro de la habitación el chimpancé le saltó de pronto sobre los hombros y cogió el plátano.

3. EL BURLADOR BURLADO

Un compañero mío de la Universidad de Chicago tenía dos hermanos, uno de seis y otro de ocho años. Yo iba frecuentemente por su casa y muchas veces les hacía juegos de magia a los niños. Un día llegué y les dije: «Tengo un truco con el que os puedo convertir a los dos en leones.» Con gran sorpresa por mi parte uno de ellos saltó: «Vale, conviértenos en leones.» «Bueno, es que, la verdad…, es que…, bueno, no lo puedo hacer porque luego no podría volver a convertiros en niños.» Pero el pequeño me contestó: «Qué más da, quiero que nos conviertas en leones de todas formas.» «No, de verdad que no hay ninguna forma de desconvertiros después.» El mayor me gritó: «¡Quiero que nos conviertas en leones!» a la vez que el pequeño me preguntaba: «¿Y cómo haces para convertirnos en leones?» «Ah, pues, pronunciando las palabras mágicas.» «¿Y cuáles son? Dínoslas.» «Para decíroslas tendría que pronunciarlas y entonces os convertiríais en leones.» Se quedaron pensando un momento, y luego uno de ellos me preguntó: «Pero ¿no hay otras palabras mágicas que sirvan para desconvertir?» «Sí, claro que las hay, pero lo que pasa es que si digo las primeras palabras mágicas, os convertiríais en leones, pero no sólo vosotros sino todo el mundo, incluido yo, y como los leones no saben hablar, no quedaría nadie en el mundo que pudiera decir las otras palabras mágicas para desconvertirnos.» El mayor dijo rápidamente: «Pues escríbelas.» Pero el pequeño dijo: «Jo, yo no sé leer.» «No, no, lo de escribirlas es totalmente imposible, porque incluso escritas convertirían a todo el mundo en león.» Me miraron y dijeron: «Ah.»

Una semana después me encontré con el de ocho años y me dijo: «Smullyan, ¿sabes qué? Quiero preguntarte una cosa que estoy pensando hace mucho tiempo.» «¿El qué?», le dije. «¿Oye, y cómo hiciste tú para aprender las palabras mágicas?»

2- ¿ADIVINANZAS Y MONERÍAS?

A. UNAS CUANTAS DE LAS MÁS VIEJAS

Vamos a empezar con unas cuantas adivinanzas muy antiguas que han divertido a muchas generaciones. Algunas las conoceréis ya pero, incluso para aquellos que se las saben, tengo unas cuantas nuevas.

4. ¿DE QUIÉN ES EL RETRATO QUE ESTOY MIRANDO?

Esta adivinanza era enormemente popular cuando yo era pequeño, pero hoy parece menos conocida. Lo divertido de ella es que casi todo el mundo da la solución equivocada, pero insiste —a pesar de todos los argumentos que se le den— en que tiene razón. Me acuerdo de una vez, hace ya casi cincuenta años; que teníamos invitados en casa y alguien la contó y empezaron a discutirla horas y horas; los que habían contestado bien no podían convencer a los otros de que no tenían razón. El problema es el siguiente:

Un hombre estaba mirando un retrato y alguien le preguntó: «¿De quién es esa fotografía?», a lo que él contestó, «Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre». («El padre de este hombre» quiere decir, claro, el padre del que está en la fotografía.)

¿De quién era la fotografía que estaba mirando el hombre?

–SOLUCIÓN–

5.

Supongamos que, en esa misma situación, el hombre hubiera contestado: «Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre.» ¿De quién sería la fotografía?

–SOLUCIÓN–

6. ¿QUÉ PASARÍA SI UN OBÚS IRRESISTIBLE CAYERA SOBRE UNA GUARNICIÓN INDESTRUCTIBLE?

Este es otro de los problemas de mi niñez que más me gustan. Por un obús irresistible se entiende un proyectil que siempre da en el blanco y lo destruye, y por una guarnición indestructible entendemos un puesto que nada ni nadie pueden destruir de ninguna manera. Así que, ¿qué pasaría si un obús que siempre da en el blanco y lo destruye tocara una guarnición indestructible?

–SOLUCIÓN–

7.

Este es un problema muy sencillo que muchos de vosotros conoceréis. En un cajón dentro de un cuarto oscuro hay 24 calcetines colorados y 24 azules. ¿Cuál es el número menor de calcetines que tengo que sacar del cajón para estar seguro de que saco, por lo menos, dos del mismo color?

–SOLUCIÓN–

8.

El mismo pero diferente: En un cajón hay la misma cantidad de calcetines rojos que de azules. Supongamos que resulta que el número más pequeño de calcetines que tengo que coger para estar seguro de que saco, por lo menos, un par del mismo color, es el mismo que tengo que coger para sacar, por lo menos, dos calcetines de diferente color. ¿Cuántos calcetines hay en el cajón?

–SOLUCIÓN–

9.

He aquí una famosa adivinanza lógica: Dado que en Nueva York hay más habitantes que pelos en la cabeza de cualquiera de sus habitantes y que ninguno de ellos es totalmente calvo, ¿hemos de sacar la conclusión de que tendrá que haber por lo menos dos habitantes que tengan exactamente el mismo número de pelos?

Y he aquí una pequeña variante del mismo problema: En Podunk estas tres cosas son verdad:

(1) Ninguno de sus habitantes tiene exactamente el mismo número de pelos.

(2) Ninguno de ellos tiene exactamente 518 pelos.

(3) Hay más habitantes que pelos en la cabeza de cualquiera de ellos.

¿Cuál es el mayor número posible de habitantes de Podunk?

–SOLUCIÓN–

10. ¿QUIÉN ERA EL ASESINO?

Esta historia trata de una caravana que cruzaba el desierto del Sahara y una noche montó su campamento. Los personajes que nos interesan son tres, a los que llamaremos A, B y C. A odia a C y decide matarle echando un veneno en el agua de su cantimplora (por supuesto, C no podrá beber más agua que la de su cantimplora). Por otro lado, B también decide matar a C y, sin saber que el agua de C ya está envenenada, le hace un agujerito en la cantimplora para que el agua se vaya saliendo lentamente. Como resultado de ello, unos días después C muere de sed. ¿Quién es el asesino A o B? Según unos el asesino fue B ya que C nunca llegó a beber el veneno que le puso A, de manera que se habría muerto aunque A no le hubiera envenenado el agua. Según otros el verdadero asesino fue A ya que lo que hiciera B no afectaba para nada el resultado; una vez que A había envenenado el agua, C estaba envenenado, de manera que habría muerto aun cuando B no le hubiera agujereado la cantimplora.

A propósito de esto, voy a contaros el cuento del leñador del Medio Este que llegó a un bosque en tala pidiendo trabajo, y el capataz le dijo, «No sé si éste será un buen trabajo para ti; aquí lo que hacemos es cortar árboles». «Pues eso es precisamente lo que yo hago», le respondió el leñador. «Vale, toma el hacha; vamos a ver cuánto tardas en cortar este árbol.» El leñador se acercó al árbol y lo tumbó de un solo hachazo. El capataz, asombrado, le dijo, «Muy bien, pero vamos a ver con ese otro grande de allí». El leñador se acercó al árbol y —¡Pom!, ¡Pom!— en dos hachazos lo había tirado, «¡Bárbaro, estupendo! ¡Claro que tienes el trabajo!, ¿pero cómo has aprendido a cortar así?». «¡Uff! Tengo cantidad de práctica, corté muchísimos en el bosque del Sahara.» El capataz se quedó pensando un instante: «El desierto del Sahara, querrás decir.» «Bueno, sí —respondió el leñador— ahora lo es.»

–SOLUCIÓN–

11. ESTE VA DE LEYES

Se está viendo el proceso de dos hombres acusados de asesinato. El jurado declara culpable al uno e inocente al otro. El juez se dirige al culpable y le dice: «¡Este es el caso más extraño que he visto en mi vida! Aunque su culpabilidad está probada y más que probada, la ley me obliga a ponerle en libertad.» ¿Cómo te explicas esto?

–SOLUCIÓN–

12. Y ESTE DE INDIOS

Dos indios americanos, uno niño y otro adulto, están sentados en un tronco, el indiecito es hijo del adulto pero el adulto no es padre del indio pequeño. ¿Cómo es posible?

–SOLUCIÓN–

13. EL RELOJ QUE SE PARABA

He aquí una antigua adivinanza muy bonita y sencilla: Había una vez un hombre que no tenía reloj ni de pulsera ni de bolsillo, pero tenía un reloj de pared muy exacto que sólo se paraba cuando se olvidaba de darle cuerda. Cuando esto ocurría, iba a casa de un amigo suyo, pasaba la tarde con él y al volver a casa ponía el reloj en hora. ¿Cómo es posible esto sin saber de antemano el tiempo que tardaba en el camino?

–SOLUCIÓN–

14. EL PROBLEMA DEL OSO

Lo divertido de este problema es que muchos lo han oído y saben la solución pero no tienen suficientes razones para demostrar que esa es la solución, así es que, aunque la sepas, búscala más adelante para ver si la sabías del todo.

Un hombre está cien metros al sur de un oso; anda cien metros en dirección este, luego se vuelve hacia el norte, dispara su fusil en esa dirección y le da al oso.

¿De qué color era? (El oso, claro.)

–SOLUCIÓN–

B. MONERÍAS

Al principio no sabía qué titulo ponerle a este libro, se me ocurrían cosas como «Lógica recreativa», «Diversiones y juegos lógicos» y otras cosas por el estilo que no me convencían del todo; un día cogí el Roget’s Thesaurus[2] y busqué en el índice la palabra «Pasatiempos» que me mandaba a la voz 840 titulada «Diversión»; allí encontré cosas tan variadas como «Chunga», «Travesura», «Fiesta», «Broma», «Colmo», «Jocosidad», «Quisicosa», «Bufonada», «Mentecatada», «Chiste» y «Juerga». En el siguiente párrafo encontré, «Juego», «Jugar a», «Juguetear», «Travesura», «Locura», «Saltimbanqui», «Calaverada», «Monería»[3]. Me eché a reír y le dije a mi mujer que iba a titular mi libro «Monerías». Aunque el título me parecía delicioso, no respondía al contenido del libro, ya que la mayor parte de él difícilmente encaja dentro de lo que puede entenderse por «monería»; pero en cambio vale perfectamente como subtítulo de esta parte del libro, como el lector podrá comprobar a continuación.

15. PROBLEMA DE LAS DOS MONEDAS

Dos monedas suman treinta pesetas y, sin embargo, una de ellas no es un duro. ¿Qué monedas son?

–SOLUCIÓN–

16.

Aquellos de vosotros que sepáis algo de catolicismo, ¿sabéis si la iglesia católica permite que un hombre se case con la hermana de su viuda?

–SOLUCIÓN–

17.

Un hombre vive en el piso veinticinco de una casa que tiene treinta pisos. Todas las mañanas, menos los sábados y domingos, se mete en el ascensor, baja a la planta de calle y se va a su trabajo. Por las tardes, llega a casa, toma el ascensor, se baja en el piso veinticuatro y sube un piso andando.

¿Por qué se baja en el veinticuatro en vez de bajarse en el veinticinco?

–SOLUCIÓN–

18. UNO DE GRAMÁTICA

Para aquellos de vosotros que os importa hablar correctamente, ¿cómo se debe decir, la yema es blanca o las yemas son blancas?

–SOLUCIÓN–

19. UN PROBLEMA DE TIEMPO

Un tren sale de Boston para Nueva York. Una hora después otro tren sale de Nueva York para Boston. Los dos trenes van exactamente a la misma velocidad. ¿Cuál de los dos estará más cerca de Boston cuando se encuentren?

–SOLUCIÓN–

20. UNA CUESTIÓN DE PENDIENTE

En una determinada casa las dos alas del tejado tienen diferente inclinación; un ala tiene una inclinación de 60° y la otra de 70°. Supongamos que un gallo pone un huevo exactamente en la cumbre. ¿Hacia qué lado del tejado caería el huevo?

–SOLUCIÓN–

21. ¿CUÁNTOS NUEVES?

En una calle hay cien edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga número a todas las casas del uno al cien; este tendrá que encargar los números para hacer su trabajo. Sin un papel y un lápiz, ¿puedes calcular mentalmente cuántos nueves necesitará?

–SOLUCIÓN–

22.

Un caracol tarda una hora y media en recorrer un circuito en sentido horario, pero cuando hace ese mismo camino en sentido contrario sólo tarda 90 minutos. ¿A qué se debe esa diferencia?

–SOLUCIÓN–

23. UNA CUESTIÓN DE DERECHO INTERNACIONAL

Si un avión se estrella en la frontera entre Estados Unidos y Canadá, ¿en qué país habrá que enterrar a los supervivientes?

–SOLUCIÓN–

24. ¿CÓMO TE EXPLICAS ESTO?

El señor Smith y su hijo Arturo iban en un coche. Tuvieron un accidente. El padre murió en el acto y el hijo quedó herido de gravedad y lo ingresaron en el hospital. Al verlo, el jefe del departamento de cirugía dijo: «Yo no le puedo operar. ¡Si es mi hijo Arturo!» ¿Cómo te explicas esto?

–SOLUCIÓN–

25. ¡Y AHORA… ¿CÓMO SE LLAMA ESTE LIBRO?!

¿Cómo se llama este libro?

–SOLUCIÓN–

3- CABALLEROS Y ESCUDEROS

A. LA ISLA DE LOS CABALLEROS Y LOS ESCUDEROS

Hay una amplia variedad de adivinanzas relativas a una isla en la que ciertos habitantes llamados «caballeros» dicen siempre la verdad, y otros llamados «escuderos» mienten siempre. Se supone que todo habitante de la isla es o caballero o escudero. Empezaré con una adivinanza de este tipo que es muy conocida, para luego seguir con otras varias de mi propia cosecha.

26.

Según este viejo problema, tres de los habitantes —A, B y C— se encontraban en un jardín. Un extranjero pasó por allí y le preguntó a A, «¿Eres caballero o escudero?». A respondió, pero tan confusamente, que el extranjero no pudo enterarse de lo que decía. Entonces el extranjero preguntó a B, «¿Qué ha dicho A?». Y B le respondió: «A ha dicho que es escudero.» Pero en ese instante el tercer hombre, C, dijo, «¡No creas a B, que está mintiendo!».

La pregunta es, ¿qué son B y C?

–SOLUCIÓN–

27.

Al abordar el anterior problema, al punto me llamó la atención que, en realidad, C no cumplía ninguna función esencial; era una especie de apéndice. Es decir, desde el momento en que habló B, uno podría decir sin el testimonio de C que B estaba mintiendo (véase la solución). La siguiente variante del problema elimina ese aspecto.

Supóngase que el extranjero, en lugar de preguntarle a A por lo que éste era, le dijese: «¿Cuántos caballeros hay entre vosotros?» De nuevo, la respuesta de A es ininteligible. Entonces el extranjero pregunta a B, «¿Qué ha dicho A?». Y B replica, «A ha dicho que hay un caballero entre nosotros». Y C por su parte dice, «¡No creas a B, que está mintiendo!».

Ahora, ¿qué son B y C?

–SOLUCIÓN–

28.

En este problema hay sólo dos individuos, A y B, cada uno de los cuales es o caballero o escudero. A dice: «Uno al menos de nosotros es escudero.»

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

29.

Supóngase que A dice, «O yo soy un escudero o B es un caballero».

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

30.

Supóngase que A dice, «O yo soy un escudero o en caso contrario dos más dos es igual a cinco».

¿Qué concluirías?

–SOLUCIÓN–

31.

Nuevamente tenemos tres personas, A, B, C, cada una de las cuales es o caballero o escudero. A y B dicen lo siguiente:

A: Todos nosotros somos escuderos.

B: Uno de nosotros, y sólo uno es un caballero.

¿Qué son A, B, C?

–SOLUCIÓN–

32.

Supóngase ahora que A y B dicen lo siguiente:

A: Todos nosotros somos escuderos.

B: Uno de nosotros, y sólo uno, es un escudero.

¿Puede determinarse lo que es B? ¿Puede determinarse lo que es C?

–SOLUCIÓN–

33.

Supóngase que A dice, «Yo soy escudero, pero B no lo es».

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

34.

Volvemos a tener tres habitantes, A, B y C, cada uno de los cuales es o caballero o escudero. Se dice que dos personas son del mismo tipo si son ambos caballeros o ambos escuderos. A y B dicen lo siguiente:

A: B es un escudero.

B: A y C son del mismo tipo.

¿Qué es C?

–SOLUCIÓN–

35.

De nuevo hay tres personas, A, B y C. A dice, «B y C son del mismo tipo». Alguien pregunta entonces a C, «¿Son A y B del mismo tipo?».

¿Qué responde C?

–SOLUCIÓN–

36. UNA AVENTURA PERSONAL

He aquí una adivinanza poco frecuente; además está tomada de la vida real. Una vez, cuando visité la isla de los caballeros y escuderos, encontré a dos habitantes descansando bajo un árbol. Le pregunté a uno de ellos, «¿Es alguno de vosotros un caballero?». Él me respondió, y con su respuesta pude saber la solución a mi pregunta.

¿Qué es la persona a la que dirigí mi pregunta, caballero o escudero?; y, ¿qué es el otro? Puedo asegurar que he suministrado información suficiente para resolver este problema.

–SOLUCIÓN–

37.

Suponte que eres tú, lector, quien visita la isla de los caballeros y escuderos. Allí encuentras a dos habitantes que están perezosamente recostados al sol. Le preguntas a uno de ellos si el otro es un caballero, y obtienes una respuesta del tipo sí–o–no. Entonces le preguntas al segundo si el primero es un caballero. Y obtienes una respuesta del tipo sí–o–no.

¿Son las dos respuestas necesariamente las mismas?

–SOLUCIÓN–

38. ¿EDUARDO O ENRIQUE?

Esta vez te topas con uno solo de los habitantes de la isla que simula estar perezosamente recostado al sol. Recuerdas que el nombre de pila de éste es o Enrique o Eduardo, pero no puedes recordar cuál de ellos es. Así pues, le preguntas por su nombre de pila y éste responde «Eduardo».

¿Cuál es su nombre de pila?

–SOLUCIÓN–

B. CABALLEROS, ESCUDEROS Y NORMALES

Una clase de problemas igualmente fascinante trata de tres tipos de personas: caballeros, que siempre dicen la verdad; escuderos, que siempre mienten, y personas normales, que a veces mienten y a veces dicen la verdad. He aquí algunas adivinanzas de mi propia cosecha sobre caballeros, escuderos y normales.

39.

Estamos ante tres personas, A, B, C, una de las cuales es caballero, otra escudero, y otra normal (aunque no necesariamente en este orden). Dicen lo siguiente:

A: Yo soy normal.

B: Eso es verdad.

C: Yo no soy normal.

¿Qué son A, B y C?

–SOLUCIÓN–

40.

Esta es una adivinanza poco común: Dos personas, A y B, cada una de las cuales es o caballero, o escudero, o normal, dicen:

A: B es un caballero.

B: A no es un caballero.

Demuéstrese que al menos una de ellas está diciendo la verdad, pero no es un caballero.

–SOLUCIÓN–

41.

Esta vez A y B dicen lo siguiente:

A: B es un caballero.

B: A es un escudero.

Demuéstrese que o bien uno de los dos está diciendo la verdad pero no es caballero, o bien uno de ellos está mintiendo pero no es un escudero.

–SOLUCIÓN–

42. UNA CUESTIÓN DE RANGO

En esta isla de caballeros, escuderos y normales, se dice que los escuderos son de rango inferior, los normales de rango medio, y los caballeros de rango superior.

Siento particular predilección por el siguiente problema: Dadas dos personas. A, B, cada una de las cuales es caballero, escudero, o normal, dicen lo siguiente:

A: Yo soy de rango más bajo que B.

B: ¡Eso no es verdad!

¿Pueden determinarse los rangos de A o de B? ¿Puede determinarse de uno u otro de estos enunciados si es verdadero o falso?

–SOLUCIÓN–

43.

Dadas tres personas A, B, C, una de las cuales es caballero, otra escudero, y otra normal, A y B dicen:

A: B es de rango más alto que C.

B: C es de rango más alto que A.

Entonces se le pregunta a C: «¿Quién es de rango más alto, A o B?» ¿Qué responde C?

–SOLUCIÓN–

C. LA ISLA DE BAHAVA

La isla de Bahava es una isla de feministas; de ahí que a las mujeres se las llame también caballeros, escuderos, o normales. En cierta ocasión una antigua emperatriz de Bahava, en un momento de humor, promulgó un curioso decreto según el cual un caballero sólo podría casarse con un escudero y un escudero sólo podría casarse con un caballero. (Por tanto un normal sólo puede casarse con un normal.) Así, dado un matrimonio cualquiera, o bien ambos son normales, o bien uno de los componentes es caballero y el otro escudero.

Las tres historias que siguen tienen todas lugar en la isla de Bahava.

44.

Consideremos primero un matrimonio; el señor y la señora A, que dicen:

Señor A: Mi mujer no es normal.

Señora A: Mi marido no es normal.

¿Qué son el señor y la señora A?

–SOLUCIÓN–

45.

Supóngase, en lugar de ello, que hubieran dicho:

Señor A: Mi mujer es normal.

Señora A: Mi marido es normal.

¿Habría sido diferente la respuesta?

–SOLUCIÓN–

46.

Este problema se refiere a dos matrimonios en la isla de Bahava, el señor y la señora A, y el señor y la señora B. Se les está haciendo una entrevista, y tres de estas cuatro personas dan el siguiente testimonio:

Señor A: El señor B es un caballero.

Señora A: Mi marido tiene razón; el señor B es un caballero.

Señora B: Eso es verdad. Mi marido es ciertamente un caballero.

¿Qué son cada una de estas cuatro personas, y cuáles de los tres enunciados son verdaderos?

–SOLUCIÓN–

4- ALICIA EN EL BOSQUE DEL OLVIDO

A. EL LEÓN Y EL UNICORNIO

Cuando Alicia entró en el Bosque del Olvido no lo olvidó todo, solamente ciertas cosas. A menudo olvidaba su nombre, y una de las cosas que más disposición tenía a olvidar era el día de la semana. Ahora bien, el León y el Unicornio visitaban frecuentemente el bosque. Los dos eran criaturas extrañas. El León mentía los lunes, martes y miércoles y decía la verdad los otros días de la semana. El Unicornio, por otra parte, mentía los jueves, viernes y sábados, pero decía la verdad los restantes días de la semana.

47.

Un día Alicia se encontró con el León y el Unicornio que Descansaban bajo un árbol. Ellos dijeron lo siguiente:

León: Ayer fue uno de los días en los que me tocaba mentir.

Unicornio: Ayer fue también uno de los días en los que me tocaba mentir.

A partir de estos dos enunciados Alicia (que era una chica muy lista) fue capaz de deducir el día de la semana. ¿Qué día era este?

–SOLUCIÓN–

48.

En otra ocasión Alicia encontró al león solo. Este dijo:

(1) Ayer mentí.

(2) Mentiré de nuevo dentro de tres días.

¿En qué día de la semana sucedía esto?

–SOLUCIÓN–

49.

En qué días de la semana le es posible al León hacer los dos enunciados siguientes:

(1) Ayer mentí.

(2) Mañana mentiré de nuevo.

–SOLUCIÓN–

50.

En qué días de la semana le es posible al León decir: «Ayer mentí y mañana mentiré de nuevo.» Aviso. La respuesta no es la misma que la del problema anterior.

–SOLUCIÓN–

B. TWEEDLEDUM Y TWEEDLEDEE

Durante un mes el León y el Unicornio se ausentaron del Bosque del Olvido. Estaban en otra parte luchando afanosamente por la corona.

Sin embargo, Tweedledum y Tweedledee visitaban frecuentemente el bosque. Ahora bien, uno de los dos es como el León: miente los lunes, martes y miércoles y dice la verdad los restantes días de la semana. El otro es como el Unicornio: miente los jueves, viernes y sábados y dice la verdad los restantes días de la semana. Alicia no sabía que uno era como el León y que otro era como el Unicornio. Para terminar de arreglarlo, los hermanos se parecían tanto que Alicia no podía ni siquiera distinguirlos (excepto cuando llevaban sus cuellos bordados, cosa que raramente hacían). Así pues, la pobre Alicia se encontró realmente en una situación muy confusa. He aquí ahora alguna de las aventuras de Alicia con Tweedledum y Tweedledee.

51.

Un día Alicia se encontró a los hermanos juntos que le hablaron así:

El primero de ellos dijo: Yo soy Tweedledum.

El segundo dijo: Yo soy Tweedledee.

¿Cuál de ellos era realmente Tweedledum y cuál de ellos Tweedledee?

–SOLUCIÓN–

52.

Otro día de la misma semana los dos hermanos dijeron lo siguiente:

El primero de ellos dijo: Yo soy Tweedledum.

El segundo dijo: Si esto es realmente verdad, entonces yo soy Tweedledee.

¿Quién era quién?

–SOLUCIÓN–

53.

En otra ocasión, Alicia encontró a los dos hermanos y preguntó a uno de ellos: «¿Mientes los domingos?» Él respondió: «Sí.» A continuación ella planteó al otro la misma pregunta. ¿Qué le respondió este último?

–SOLUCIÓN–

54.

En otra ocasión los hermanos hablaron así:

El primero de ellos dijo:

(1) Los sábados miento.

(2) Los domingos miento.

El segundo dijo:

Mentiré mañana.

¿Qué día de la semana era?

–SOLUCIÓN–

55.

Un día Alicia se encontró con uno de los hermanos. Este le dijo: «Hoy, miento y soy Tweedledee.»

¿Quién estaba hablando?

–SOLUCIÓN–

56.

Supóngase que, en lugar de eso, él hubiera dicho: «Hoy miento o soy Tweedledee.» ¿Sería posible determinar quién era?

–SOLUCIÓN–

57.

Un día Alicia se encontró con los dos hermanos que le dijeron:

El primero de ellos dijo: Si yo soy Tweedledum entonces él es Tweedledee.

El segundo dijo: Si él es Tweedledee, entonces yo soy Tweedledum.

¿Es posible determinar quién es quién? ¿Es posible determinar el día de la semana?

–SOLUCIÓN–

58.

En esta gran ocasión, Alicia resolvió tres grandes misterios. Se encontró con los dos hermanos que sonreían maliciosamente bajo un árbol. Ella esperaba que en este encuentro averiguaría tres cosas: (1) el día de la semana; (2) cuál de los dos era Tweedledum; (3) (un hecho que ella había deseado conocer durante largo tiempo) si Tweedledum era como el León o como el Unicornio, por lo que a sus hábitos de mentir respecta. Bien, los dos hermanos hablaron así:

El primero de ellos dijo: Hoy no es domingo.

El segundo dijo: De hecho, hoy es lunes.

El primero de ellos dijo: Mañana es uno de los días en los que le toca mentir a Tweedledee.

El segundo dijo: El León mintió ayer.

Alicia palmoteo de alegría. El problema estaba ahora completamente resuelto. ¿Cuál es la solución?

–SOLUCIÓN–

C. ¿DE QUIÉN ES EL SONAJERO?

Tweedledum y Tweedledee

se pusieron a pelear;

Pues Tweedledum dijo que Tweedledee

había roto su bonito y nuevo sonajero.

Posóse justamente entonces una monstruosa corneja

tan negra como un barril de alquitrán.

la cual asustó a los dos héroes de tal manera

que olvidaron completamente su disputa.

Antigua canción infantil

«Bien, bien», exclamó triunfantemente el Rey Blanco un buen día a Alicia, «he encontrado el sonajero, y he hecho que lo reparasen. ¿No tiene un aspecto tan bueno como cuando era nuevo?».

«Sí», replicó Alicia con admiración, «realmente tiene tan buen aspecto como el día en que fue hecho. Incluso un bebé no encontraría la diferencia».

«¿Qué quieres decir con incluso un bebé?», gritó el Rey Blanco con severidad. «Eso no es muy lógico, tú lo sabes. Desde luego un bebé no podría encontrar la diferencia —¡difícilmente se esperaría que un bebé hiciese eso!»

«Lo que deberías haber dicho», continuó el Rey, un poco más gentilmente, «es que incluso un adulto no encontraría la diferencia —ni incluso el mayor experto del mundo en sonajeros».

«En cualquier caso», continuó el Rey, «imaginaremos que lo has dicho. Lo importante es devolver el sonajero a su legítimo propietario. ¿Me harías el favor de hacerlo?».

«¿Quién es el legítimo propietario?», preguntó Alicia.

«No tengo por qué decirte eso», gritó el Rey con impaciencia.

«¿Por qué no?», preguntó Alicia.

«Porque se dice de manera completamente explícita en la canción —que estoy seguro que tú sabes— que Tweedledum dijo que Tweedledee había roto su bonito y nuevo sonajero; de modo que el sonajero pertenece a Tweedledum, naturalmente.»

«No necesariamente», replicó Alicia, que estaba en vena para hacer una pequeña argumentación, «conozco perfectamente la canción, y creo lo que dice».

«Entonces, ¿cuál es el problema?», gritó el Rey más perplejo que nunca.

«Realmente, muy simple», explicó Alicia. «Doy por sentado que lo que dice la canción es verdadero. Por lo tanto Tweedledum dijo efectivamente que Tweedledee había roto su sonajero. Pero el hecho de que Tweedledum lo dijese no significa que esto sea necesariamente verdadero. Quizás Tweedledum lo dijo en uno de los días en los que le tocaba mentir. Es más, según todo lo que sé, podría considerarse la otra posibilidad, podría ser que fuese Tweedledum el que rompió el nuevo sonajero de Tweedledee.»

«Oh, querida», replicó el Rey desconsoladamente, «jamás pensé en eso. Ahora todas mis buenas intenciones resultan inútiles».

El pobre rey tenía un aspecto tan abatido, que Alicia pensó que se iba a poner a llorar. «No te preocupes más», dijo Alicia con un tono lo más consolador que pudo. Dame el sonajero y yo intentaré encontrar cuál es el verdadero propietario. He tenido alguna experiencia con personas mentirosas y veraces y he adquirido algunas mañas para tratar con ellos.

«Así lo espero», respondió el Rey lleno de tristeza.

Contaré ahora alguna de las aventuras de Alicia con el sonajero.

59.

Alicia cogió el sonajero y se internó en el Bosque del Olvido, esperando encontrar al menos a uno de los hermanos. Con gran deleite suyo se encontró súbitamente con los dos que, bajo un árbol, sonreían burlonamente. Fue hacia el primero y le espetó: «¡Quiero saber ahora mismo la verdad! ¿De quién es realmente el sonajero?» Él replicó: «El sonajero es de Tweedledee.» Ella pensó durante un momento y preguntó al segundo: «¿Quién eres tú?» Él replicó: «Tweedledee.»

Ahora bien, Alicia no recordaba el día de la semana, pero estaba segura de que no era Domingo.

¿A quién debería entregar Alicia el sonajero?

–SOLUCIÓN–

60.

Alicia restituyó el sonajero a su legítimo propietario. Algunos días más tarde el otro hermano rompió de nuevo el sonajero. Esta vez no apareció ninguna corneja negra que asustase a los hermanos, de modo que comenzaron a insultarse y pelearse el uno con el otro.

Alicia recogió el sonajero roto y salió corriendo del bosque tan rápidamente como pudo.

Algún tiempo después, Alicia se encontró de nuevo con el Rey Blanco. Ella le explicó minuciosamente la situación.

«Muy interesante», replicó el Rey. «La parte más destacable es que aunque sabes a quién dárselo, no sabes aún si el sonajero es de Tweedledee o de Tweedledum.»

«Ciertamente», replicó Alicia, «pero ¿qué hago yo ahora?».

«No hay ningún problema», replicó el Rey, «yo puedo fácilmente arreglar de nuevo el sonajero».

Haciendo honor a su palabra, el Rey Blanco restauró perfectamente el sonajero y se lo dio a Alicia unos días más tarde. Alicia se internó temblorosamente en el bosque, temiendo que la pelea pudiese continuar todavía. De hecho, los hermanos habían acordado una tregua temporal y Alicia se encontró precisamente con uno de ellos que, fatigado, descansaba bajo un árbol. Alicia lo miró de arriba a abajo y le preguntó: «¿De quién es realmente este sonajero?» Él respondió burlonamente: «Al verdadero propietario de este sonajero le toca hoy mentir.»

¿Cuáles son las posibilidades de que el sonajero sea del hablante?

–SOLUCIÓN–

61.

Algunos días más tarde Alicia se encontró de nuevo con uno de los hermanos que estaba tumbado bajo un árbol. Le hizo la misma pregunta, y la respuesta fue: «Al propietario de este sonajero le toca hoy decir la verdad.»

Alicia meditó sobre esto; precisamente se preguntaba cuáles eran las posibilidades de que el hablante fuese el propietario del sonajero.

«Sé lo que estás pensando», dijo Humpty Dumpty, que circunstancialmente estaba por allí cerca, «y las posibilidades son exactamente trece sobre catorce».

¿Cómo llegó Humpty Dumpty a esos números?

–SOLUCIÓN–

62.

Esta vez Alicia se encontró con los dos hermanos junios. Alicia le preguntó al primero: «¿Es tuyo este sonajero?» Él respondió: «Sí.» Entonces Alicia preguntó al segundo: «¿Es tuyo este sonajero?» El segundo respondió, y Alicia dio a uno de ellos el sonajero.

¿Dio Alicia el sonajero al primero o al segundo?

–SOLUCIÓN–

D. DE BOCA DEL JABBERWOCKY

De todas las aventuras que Alicia tuvo con los hermanos Tweedle en el Bosque del Olvido, la que voy a relatar ahora fue la más misteriosa, y la que Alicia recordaba más vívidamente.

Comenzó de esta manera; un día Humpty Dumpty se encontró con Alicia y le dijo: «Niña, quiero contarte un gran secreto. Mucha gente no lo sabe, pero Tweedledee y Tweedledum tienen en realidad un tercer hermano —su nombre es Tweedledoo. Vive en un país lejano pero ocasionalmente se da una vuelta por estos lugares. Es tan parecido a Tweedledee y Tweedledum como Tweedledee y Tweedledum se parecen entre sí.»

Esta información inquietó a Alicia terriblemente. En principio, la posibilidad de que hubiese realmente un tercero significaría que todas sus inferencias pasadas resultarían inválidas, y que podría no haber calculado el día de la semana cuando realmente pensaba haberlo hecho. Después de todo —y esto era incluso de mayor importancia práctica— podría no haber restituido el sonajero a su legítimo propietario.

Alicia meditó profundamente sobre estos turbadores pensamientos. Finalmente planteó a Humpty Dumpty una razonable pregunta.

«¿Qué días le toca mentir a Tweedledoo?»

«Tweedledoo miente siempre», replicó Humpty Dumpty.

Alicia se marchó silenciosa y apenada. «Quizás todo el asunto sea solamente una invención de Humpty Dumpty», pensó Alicia para si. «Ciertamente, esto me parece una fábula muy inverosímil.» Con todo. Alicia se veía asaltada una y otra vez por el pensamiento de que aquello podría ser verdad.

Existen cuatro versiones diferentes de lo que sucedió a continuación y te las voy a contar todas. Pido que supongas dos cosas: (1) si existe realmente un individuo distinto de Tweedledee o Tweedledum que tenga una apariencia indistinguible de ellos, entonces su nombre es realmente Tweedledoo; (2) si tal individuo existe, entonces, en realidad, miente siempre. Podría destacar que la segunda suposición no es necesaria para la solución del siguiente misterio, pero lo es para los dos que siguen después de este.

63. LA PRIMERA VERSIÓN

Alicia se encontró con uno solo de los hermanos en el bosque. Al menos, él parecía Tweedledee o Tweedledum. Alicia le contó la historia de Humpty Dumpty, y le preguntó: «¿Quién eres tú realmente?» Él le dio una respuesta enigmática: «Yo soy o Tweedledee o Tweedledum, y hoy es uno de los días en los que me toca mentir.»

La pregunta es: ¿existe realmente Tweedledoo, o se trata de una invención de Humpty Dumpty?

–SOLUCIÓN–

64. LA SEGUNDA VERSIÓN

De acuerdo con esta versión, Alicia se encontró con (lo que parecían ser) los dos hermanos. Le preguntó al primero: «¿Quién eres tú realmente?» Obtuvo las respuestas siguientes:

El primero de ellos dijo: «Yo soy Tweedledoo.»

El segundo dijo: «Sí, él es.»

¿Qué dirías de esta versión?

–SOLUCIÓN–

65. LA TERCERA VERSIÓN

De acuerdo con esta versión. Alicia se encontró solamente con uno de ellos, que dijo lo siguiente: «Hoy es uno de los días en los que me toca mentir.»

¿Qué dirías de esta versión?

–SOLUCIÓN–

66. LA CUARTA VERSIÓN

De acuerdo con esta versión Alicia se encontró con (lo que parecían ser) ambos hermanos un día laborable. Ella preguntó: «¿Existe realmente Tweedledoo?» Ella obtuvo las respuestas siguientes:

El primero de ellos dijo: Tweedledoo existe.

El segundo dijo: Yo existo.

¿Qué dirías de esta versión?

–SOLUCIÓN–

EPÍLOGO

Ahora bien, ¿cuál es la verdad real del asunto? ¿Existe realmente Tweedledoo o no? Bien, te he dado cuatro Misiones en conflicto sobre lo que realmente sucedió. ¿Cómo se llegó a las cuatro versiones? Bien, para decir la verdad, yo no inventé esas historias por mí mismo; las oí todas de boca del Jabberwocky. Ahora bien, la conversación entre Alicia y Humpty Dumpty sucedió realmente: Alicia me lo dijo personalmente y Alicia dice siempre la verdad. Pero las cuatro versiones de lo que sucedió después de esto me las contó en su totalidad el Jabberwocky. Yo sé que el Jabberwocky miente los mismos días que el León (lunes, martes y miércoles) y él me contó esas historias en cuatro días laborables consecutivos. (Sé que eran días laborables porque soy un perezoso y los sábados y domingos duermo todo el día.) Me fueron contadas en el mismo orden en que yo las he vuelto a contar.

A partir de esta información, no deberías tener ninguna dificultad para averiguar si Tweedledoo existe realmente, o si Humpty Dumpty estaba mintiendo. ¿Sabe Alicia si Tweedledoo existe?

–SOLUCIÓN–

PARTE SEGUNDA

Los cofres de Porcia y otros misterios

5- EL MISTERIO DE LOS COFRES DE PORCIA

A. LA PRIMERA HISTORIA

67A.

En El mercader de Venecia, de Shakespeare, Porcia tenía tres cofres —uno de oro, otro de plata y otro de plomo—, dentro de uno de los cuales estaba el retrato de Porcia. El pretendiente tenía que elegir uno de los cofres y si tenía suerte (o inteligencia) elegiría el que tenía el retrato, pudiendo así pedir a Porcia por esposa. En la tapa de cada cofre había una inscripción para ayudar al pretendiente a elegir sabiamente.

Pero supongamos que Porcia quisiera elegir marido, no por su bondad, sino por su inteligencia. Tendría las siguientes inscripciones en los cofres:

Oro

EL RETRATO ESTÁ EN ESTE COFRE

Plata

EL RETRATO NO ESTÁ AQUÍ

Plomo

EL RETRATO NO ESTÁ EN EL COFRE DE ORO

Porcia explicó al pretendiente que de los tres enunciados, a lo sumo uno era verdad. ¿Cuál cofre debe de elegir el pretendiente?

–SOLUCIÓN–

67B.

El pretendiente eligió correctamente, así que se casaron y vivieron bastante felices… por lo menos durante algún tiempo. Pero un día Porcia pensó: «Aunque mi marido demostró una cierta inteligencia al elegir el cofre bueno, en realidad el problema no era tan difícil. Sin duda podía haber puesto un problema más difícil y haber conseguido un marido realmente inteligente.» Así pues se divorció inmediatamente de su marido decidida a casarse con otro más listo.

Esta vez en los tres consabidos cofres aparecían las siguientes inscripciones:

Oro

EL RETRATO NO ESTÁ EN EL COFRE DE PLATA

Plata

EL RETRATO NO ESTÁ EN ESTE COFRE

Plomo

EL RETRATO ESTÁ EN ESTE COFRE

Porcia explicó al pretendiente que por lo menos uno de los tres enunciados era verdadero y que por lo menos otro era falso.

¿En cuál de los cofres está el retrato?

–SOLUCIÓN–

EPÍLOGO

Y, oh destino, el primero que se presentó resultó ser el exmarido de Porcia, que también esta vez demostró ser lo suficientemente inteligente como para resolver el problema. De manera que se volvieron a casar. El marido llevó a Porcia a casa, la puso boca abajo sobre sus rodillas, y le dio una buena azotaina, y Porcia no volvió a tener pensamientos estrafalarios.

B. LA SEGUNDA HISTORIA

Porcia y su marido vivieron felices a partir de ese momento, y tuvieron una hija, Porcia II, a la que de aquí en iniciante llamaremos también Porcia.

Cuando la joven Porcia se convirtió en mujer, también era inteligente y bella, exactamente igual que su mamá. Y también decidió elegir un marido por el método del cofre. El pretendiente tendría que pasar dos pruebas para conseguirla.

68A. PRIMERA PRUEBA

En ésta las tapas de los cofres tenían dos enunciados, y Porcia explicó que ninguna de ellas tenía más que un enunciado falso.

Oro

(1) EL RETRATO NO ESTÁ AQUÍ

(2) EL ARTISTA QUE HIZO EL RETRATO ES VENECIANO

Plata

(1) EL RETRATO NO ESTÁ EN EL DE ORO

(2) EL ARTISTA QUE HIZO EL RETRATO SÍ ES FLORENTINO

Plomo

(1) EL RETRATO NO ESTÁ AQUÍ

(2) EL RETRATO SÍ QUE ESTÁ EN EL COFRE DE PLATA

¿En qué cofre está el retrato?

–SOLUCIÓN–

68B. SEGUNDA PRUEBA

Si el pretendiente pasaba la primera prueba era conducido a otra habitación en la cual había otros tres cofres, que también tenían dos inscripciones en la tapa. Porcia explicó que en una de las tapas los dos enunciados eran verdaderos; en otra ambos eran falsos, y en la tercera uno era verdadero y otro falso:

Oro

(1) EL RETRATO NO ESTÁ EN ESTE COFRE

(2) ESTÁ EN EL DE PLATA

Plata

(1) EL RETRATO NO ESTÁ EN EL DE ORO

(2) ESTÁ EN EL DE PLOMO

Plomo

(1) EL RETRATO NO ESTÁ EN ESTE COFRE

(2) ESTÁ EN EL DE ORO

¿En qué cofre estaba el retrato?

–SOLUCIÓN–

C. PRESENTAMOS A BELLINI Y CELLINI

El pretendiente del cuento anterior pasó ambas pruebas y, muy contento, pidió a Porcia por esposa. Se casaron, vivieron felices y tuvieron una bellísima hija. Porcia III, a la que de aquí en adelante llamaremos simplemente Porcia. Esta creció hasta convertirse en una bella e inteligente jovencita, exactamente igual que su mamá y que su abuelita, y que también decidió elegir marido por el método del cofre. ¡El enamorado tendría que pasar tres pruebas para conseguir su mano! Las tales pruebas eran bastante ingeniosas. Volvió a la técnica de su abuela de poner una sola inscripción en cada cofre, pero añadió un nuevo truco: explicaba al pretendiente que cada uno de los cofres lo había hecho uno de dos afamados artistas florentinos —o Cellini o Bellini. Todos los cofres de Cellini tenían inscripción falsa mientras que Bellini siempre les ponía una inscripción verdadera.

69A. PRIMERA PRUEBA

En esta original prueba, el pretendiente (si contestaba a ciegas) tendría dos posibilidades sobre tres de acertar, en vez de una sobre tres. En vez de un retrato, Porcia metía una daga en uno de los cofres y dejaba los otros dos vacíos. Si el pretendiente conseguía evitar el cofre de la daga, podía pasar a la prueba siguiente. Las inscripciones rezaban así:

Oro

LA DAGA ESTÁ AQUÍ

Plata

ESTE COFRE ESTÁ VACÍO

Plomo

TODO LO MÁS UNO DE ESTOS COFRES LO HIZO BELLINI

¿Qué cofre tenía que elegir?

–SOLUCIÓN–

69B. SEGUNDA PRUEBA

En ésta el pretendiente (si contestara sin pensar) tendría un cincuenta por ciento de posibilidades de acertar. Porcia le ponía sólo dos cofres, el de oro y el de plata; uno de ellos contenía su retrato (en esta prueba no utilizaba daga). Los cofres eran obra o de Cellini o de Bellini y en ellos se leía:

Oro

EL RETRATO NO ESTÁ AQUÍ

Plata

UNO Y NADA MÁS QUE UNO DE ESTOS DOS COFRES ES OBRA DE BELLINI

¿Cuál tenía que elegir el pretendiente para hallar el retrato?

–SOLUCIÓN–

69C. TERCERA PRUEBA

Suponiendo que el pretendiente pasara las dos primeras pruebas, se le conducía a otra habitación en la que había de nuevo tres cofres, uno de oro, otro de plata y otro de plomo, hechos también o por Bellini o por Cellini. En esta prueba las oportunidades de acertar del pretendiente (en caso de que contestara a ciegas) eran una de cada tres. Porcia colocaba su retrato en uno de los tres y el pretendiente había de (1) elegir el cofre que tuviera el retrato y (2) adivinar el autor de cada uno de los cofres. Las inscripciones decían:

Oro

EL RETRATO ESTÁ AQUÍ

Plata

EL RETRATO ESTÁ AQUÍ

Plomo

POR LO MENOS DOS DE ESTOS TRES COFRES SON OBRA DE CELLINI

¿Cuál es la solución?

–SOLUCIÓN–

D. EL MISTERIO: ¿QUÉ ESTABA MAL?

70.

La cuarta y última historia es la más asombrosa de todas, e ilustra un principio lógico de primordial importancia.

El pretendiente de la historia anterior pasó todas las pruebas y se casó con Porcia III; tuvieron muchos hijos, nietos, etc.

Varias generaciones después nació en América una descendiente que se parecía tanto a los retratos de sus antepasadas que le pusieron de nombre Porcia N–ésima y a la que aquí llamaremos simplemente Porcia— la cual fue creciendo hasta convertirse en una joven tan bella e inteligente como las anteriores Porcias; además era alegre y divertida, y hasta un poco perversa, y también ella decidió elegir marido por el método de los cofres (lo que era un tanto fuera de lugar en la moderna ciudad de Nueva York, pero corramos un tupido velo), la prueba que inventó parecía de lo más simple; tenía solo dos cofres, uno de plata y otro de oro, y en uno de ellos se ocultaba su retrato. Las tapas de los cofres tenían las siguientes inscripciones:

Oro

EL RETRATO NO ESTÁ AQUÍ

Plata

UNO Y NADA MÁS QUE UNO DE ESTOS DOS ENUNCIADOS ES VERDAD

¿Qué cofre elegir? Pues bien, el pretendiente razonó así: si la inscripción del cofre de plata es verdad, se da el caso de que uno y sólo uno de los dos enunciados es verdadero, lo que quiere decir que el enunciado del cofre de oro debe de ser falso. Por otro lado, supongamos que el enunciado del cofre de plata es falso, entonces no se dará el caso de que uno y sólo uno de los dos enunciados sea verdad sino que ambos enunciados podrían ser o ambos verdaderos o ambos falsos, pero los dos no pueden ser verdad (ya que asumimos que el segundo es falso), de aquí que ambos sean falsos. Así pues, de nuevo tenemos que el enunciado del cofre de oro es falso, lo que quiere decir que lo mismo da que sea verdadero que falso el enunciado del cofre de plata, el del cofre de oro tiene que ser falso, de manera que el retrato tiene que estar en el cofre de oro.

Tras razonar así, el pretendiente exclamó triunfante: «El retrato tiene que estar en el cofre de oro», y lo abrió para comprobar horrorizado que estaba vacío. Sin poder comprenderlo insistía en que Porcia le había engañado. Pero Porcia se reía y mientras decía «Yo no me rebajo a engañar a nadie», abrió el cofre de plata con aire triunfante y desdeñoso. Evidentemente, el retrato estaba dentro.

Bien, ¿dónde demonios se había equivocado el pretendiente en su razonamiento?

«Muy bien, muy bien —dijo Porcia evidentemente divertida— de manera que tu razonamiento no te sirvió demasiado, ¿no? Pero, como me pareces un tanto atractivo, te voy a dar otra oportunidad. La verdad es que no debería hacerlo, pero no importa; olvidamos la primera prueba y te pongo otra más fácil en que, en vez de una de cada dos probabilidades de ganar, tendrás dos de cada tres. Se parece a una de las de mi antepasada Porcia III. ¡Esta vez seguro que la pasas!»

Y condujo al pretendiente a otra habitación en que había tres cofres, uno de oro, otro de plata y otro de plomo; y le dijo que uno tenía una daga y los otros estaban vacíos. Para alcanzar su mano, no tenía más que escoger uno de los vacíos. Las inscripciones de los cofres eran las siguientes:

Oro

LA DAGA ESTÁ EN ESTE COFRE

Plata

ESTE COFRE ESTÁ VACÍO

Plomo

TODO LO MÁS UNO DE ESTOS TRES ENUNCIADOS ES VERDADERO

(Y, ahora, comparen este problema con la primera prueba de la tal Porcia III. ¿No parecen exactamente iguales?)

Pues bien, el pretendiente razonó con todo cuidado de la siguiente manera: suponiendo que el tercer enunciado sea verdadero, los otros dos tendrán que ser falsos; así pues el segundo enunciado es falso, luego la daga está en el cofre de plata. Por otro lado, si el tercer enunciado fuera falso, tendría que haber por lo menos los enunciados verdaderos y el primero sería uno de ellos, luego la daga está en el cofre de oro. En uno u otro caso, el cofre de plata está vacío.

El pretendiente eligió el cofre de plomo, lo abrió y horrorizado, vio que tenía la daga dentro. Muerta de risa Porcia abrió los otros dos cofres, que estaban vacíos.

Estoy seguro de que al lector le alegrará saber que aun así Porcia se casó con su pretendiente. (Lo había decidido mucho antes de hacerle las pruebas, pero se las había hecho para tomarle un poco el pelo.) Pero esto no responde a nuestra pregunta: ¿Cuál era la equivocación del razonamiento del pretendiente?

–SOLUCIÓN–

6- DE LOS ARCHIVOS DEL INSPECTOR CRAIG

A. DE LOS ARCHIVOS DEL INSPECTOR CRAIG

El Inspector Leslie Craig de Scotland Yard ha consentido amablemente en dar a conocer algunas historias de sus casos para beneficio de aquellos que estén interesados en la aplicación de la lógica a la solución de casos criminales.

71.

Empezaremos con un caso simple. Un enorme botín ha sido robado de un almacén. El delincuente (o delincuentes) ha(n) transportado los géneros robados en un coche. Tres famosos delincuentes. A, B, C, fueron conducidos a Scotland Yard para ser interrogados. Se establecieron los siguientes hechos:

(1) Ninguna otra persona distinta de A, B, C, estaba implicada en el robo.

(2) C no se embarca nunca en un asunto sin utilizar a A (y posiblemente a otros) como cómplice.

(3) B no sabe conducir.

¿Es A inocente o culpable?

–SOLUCIÓN–

72.

Otro caso simple, nuevamente de robo: A, B, C, fueron conducidos a interrogatorio y se establecieron los siguientes hechos:

(1) Nadie fuera de A, B, C, está implicado.

(2) A no trabaja nunca sin contar al menos con un cómplice.

(3) C es inocente.

¿Es B inocente o culpable?

–SOLUCIÓN–

73. EL CASO DE LOS GEMELOS IDÉNTICOS

En este caso, que ofrece mayor interés, el robo ocurrió en Londres. La policía atrapó para su interrogatorio a tres famosos delincuentes A, B, C. Ahora bien, sucedía que A y C eran gemelos idénticos y pocas personas podían distinguirlos. Se disponía de ficheros muy completos de los tres sospechosos y se conocía una gran cantidad de datos acerca de sus personalidades y hábitos. En concreto, los gemelos eran bastante tímidos, y nunca se embarcaban en una empresa sin contar con un cómplice. B, por otro lado, era bastante audaz y desdeñaba siempre el utilizar un cómplice. Asimismo, varios testigos manifestaron que en el momento del robo uno de los gemelos fue visto bebiendo en un bar de Dover, aunque no se sabía de cuál de ellos se trataba.

Nuevamente, asumiendo que nadie distinto a A, B, C, estaba implicado en el robo, ¿cuáles son inocentes y cuáles culpables?

–SOLUCIÓN–

74.

«¿Qué haría usted con estos hechos?», preguntó el Inspector Craig al Sargento McPherson.

(1) Si A es culpable y B inocente, entonces C es culpable.

(2) C no trabaja nunca solo.

(3) A no trabaja nunca con C.

(4) Nadie distinto a A, B, C, estaba implicado, y al menos uno de éstos es culpable.

El Sargento se rascó la cabeza y dijo, «Me temo que no mucho, señor. ¿Puede usted inferir a partir de estos hechos quiénes son inocentes y cuáles culpables?».

«No», respondió Craig, «pero hay suficiente material aquí para inculpar definitivamente a uno de ellos».

¿Quién de ellos es necesariamente culpable?

–SOLUCIÓN–

75. EL CASO DE LA TIENDA DE MCGREGOR.

El Sr. McGregor, un comerciante londinense, telefoneó a Scotland Yard para decir que su tienda había sido robada. Se capturaron tres sospechosos. A, B, C, para su interrogatorio. Se establecieron los siguientes hechos:

(1) Cada uno de los tres hombres. A, B, C había estado en la tienda el día del robo, y nadie más había estado en ella ese día.

(2) Si A era culpable, entonces tenía un cómplice, y sólo uno.

(3) Si B es inocente, también lo es C.

(4) Si dos y sólo dos son culpables, entonces A es uno de ellos.

(5) Si C es inocente, también lo es B.

¿A quién inculpó el Inspector Craig?

–SOLUCIÓN–

76. EL CASO DE LOS CUATRO.

Esta vez cuatro sospechosos, A, B, C, D, fueron capturados para ser interrogados respecto a un robo. Se sabía con seguridad que al menos uno de ellos era culpable y que nadie distinto a estos cuatro estaba implicado. Del interrogatorio resultaron los siguientes hechos:

(1) A era definitivamente inocente.

(2) Si B era culpable, entonces tenía un cómplice, y sólo uno.

(3) Si C era culpable, entonces tenía dos cómplices, y sólo dos.

El Inspector Craig estaba especialmente interesado en saber si D era inocente o culpable, ya que D era un delincuente particularmente peligroso. Por fortuna, los hechos anteriores son suficientes para determinar esta cuestión. ¿Es D culpable o no?

–SOLUCIÓN–

B. ¿PUEDE USTED ADIVINARLO?

El Inspector Craig solía ir con frecuencia a la sala de audiencias para observar los juicios —incluso en aquellos casos que no le concernían directamente. Lo hacía como ejercicio de lógica —para ver qué casos hubiera podido él resolver. He aquí algunos de los juicios observados.

77. EL CASO DEL ABOGADO DEFENSOR TONTO

Un hombre estaba siendo juzgado por participación en un robo. El fiscal y el abogado defensor dijeron lo siguiente:

Fiscal: Si el acusado es culpable, entonces tenía un cómplice.

Abogado defensor: ¡Eso no es cierto!

¿Por qué era esto lo peor que el abogado defensor podía haber dicho?

–SOLUCIÓN–

78.

Este caso y el siguiente hacen referencia al juicio de tres hombres, A, B, C, por participación en un robo.

En el caso presente, se establecieron los dos hechos siguientes:

(1) Si A es inocente o B es culpable, entonces C es culpable.

(2) Si A es inocente, entonces C es inocente.

¿Puede establecerse la culpabilidad de uno cualquiera de ellos en particular?

–SOLUCIÓN–

79.

En este caso se establecieron los siguientes hechos:

(1) Al menos uno de los tres es culpable.

(2) Si A es culpable y B inocente, entonces C es culpable.

Esta evidencia es insuficiente para condenar a ninguno de los tres, pero apunta a dos de ellos de modo tal que uno de esos dos tiene que ser culpable. ¿Quiénes son esos dos?

–SOLUCIÓN–

80.

En este caso, más interesante, estaban implicados cuatro acusados A, B, C, D, y fueron establecidos los cuatro hechos siguientes:

(1) Si tanto A como B son culpables, entonces C era cómplice.

(2) Si A es culpable, entonces al menos uno de los dos, B o C, era cómplice.

(3) Si C es culpable, entonces D era cómplice.

(4) Si A es inocente entonces D es culpable.

¿Quiénes son definitivamente culpables y cuáles son dudosos?

–SOLUCIÓN–

81.

De nuevo tenemos cuatro acusados, A, B, C, D. Se establecieron los siguientes hechos:

(1) Si A es culpable, entonces B era cómplice.

(2) Si B es culpable entonces o bien C era cómplice o bien A es inocente.

(3) Si D es inocente entonces A es culpable y C inocente.

(4) Si D es culpable, también lo es A.

¿Quiénes son inocentes y quiénes culpables?

–SOLUCIÓN–

C. SEIS CASOS EXÓTICOS

82. ¿FUE PRUDENTE DECIRLO?

En una pequeña isla se estaba juzgando a un hombre por un delito. Ahora bien, el tribunal sabía que el acusado había nacido y crecido en la vecina isla de los caballeros y los escuderos. (Recuérdese que los caballeros dicen siempre la verdad y que los escuderos mienten siempre.) Al acusado le estaba permitido pronunciar un único enunciado en su propia defensa. Así pues, meditó durante un rato y luego dijo esta frase: «La persona que realmente cometió este delito es escudero.»

¿Fue prudente para él haber dicho eso? ¿Mejoró o empeoró su situación con ello? ¿O no introdujo ninguna diferencia?

–SOLUCIÓN–

83. EL CASO DEL FISCAL AMBIGUO

En otra ocasión, dos hombres X, Y, estaban siendo juzgados en esta isla por un delito. Pero el aspecto más curioso de este caso es que se sabía que el fiscal acusador era o caballero o escudero. El fiscal pronunció ante el tribunal los dos siguientes enunciados:

(1) X es culpable.

(2) X e Y no son ambos culpables.

De formar parte del jurado, ¿qué habríamos hecho con estas afirmaciones? ¿Se podría haber sacado alguna conclusión sobre la culpabilidad de X o de Y? ¿Cuál es tu opinión acerca de la veracidad del fiscal?

–SOLUCIÓN–

84.

En la situación anterior, supóngase ahora que el fiscal ha dicho lo siguiente:

(1) O X o Y es culpable.

(2) X no es culpable.

¿Qué concluirías?

–SOLUCIÓN–

85.

En la misma situación supóngase, en cambio, que el fiscal ha dicho:

(1) O X es inocente o Y es culpable.

(2) X es culpable.

¿Qué concluirías?

–SOLUCIÓN–

86.

Este caso tuvo lugar en la isla de caballeros, escuderos y normales. Recuérdese que los caballeros dicen siempre la verdad, los escuderos mienten siempre y los normales a veces mienten y a veces dicen la verdad.

Tres habitantes de la isla, A, B, y C, estaban siendo juzgados por un delito. Se sabía que ese delito había sido cometido por solamente uno de ellos. Se sabía también que el que cometió el delito era caballero, y que era el único caballero entre los sospechosos. Los tres acusados dijeron:

A: Soy inocente.

B: Eso es cierto.

C: B no es normal.

¿Cuál de ellos es culpable?

–SOLUCIÓN–

87.

Este caso, el más interesante de todos, guarda una similitud superficial con el anterior pero realmente es bastante diferente. También tuvo lugar en la isla de caballeros, escuderos y normales.

Los actores principales en este caso eran el acusado, el fiscal, y el abogado defensor. La primera complicación es que se sabía que uno de ellos era caballero, otro escudero y el otro normal, aunque no se sabía quién era quién. Y, cosa más extraña aún, el tribunal sabía que si el acusado no era culpable, entonces el culpable era o bien el abogado defensor o bien el fiscal. Se sabía también que el culpable no era escudero. Los tres dijeron lo siguiente en el juicio:

Acusado: Yo soy inocente.

Abogado defensor: Mi cliente es ciertamente inocente.

Fiscal: No es cierto, el acusado es culpable.

Estos enunciados parecían sin duda bastante naturales. El jurado se retiró a deliberar, pero no pudo llegar a ninguna decisión; la evidencia anterior era insuficiente. Ahora bien, la isla era una posesión británica por aquel entonces, así pues el gobierno telegrafió a Scotland Yard preguntando si podían enviar al Inspector Craig para que ayudase a resolver el caso.

Varias semanas más tarde llegó el Inspector Craig y se reanudó el juicio. Craig se decía a sí mismo, «¡Deseo llegar hasta el fondo de este asunto!». Quería saber no sólo quién era el culpable, sino también quién era caballero, quién escudero y quién normal. Por ello decidió hacer justamente las preguntas necesarias para esclarecer estos hechos. Primeramente preguntó al fiscal, «¿Es, usted, por casualidad, el culpable?». El fiscal le respondió. El Inspector Craig meditó unos instantes y luego preguntó al acusado, «¿Es culpable el fiscal?». Cuando el acusado respondió, al Inspector Craig se le aclaró todo el asunto.

¿Quién era culpable, quién era normal, quién era caballero, y quién era escudero?

–SOLUCIÓN–

7- CÓMO EVITAR A LOS HOMBRES LOBOS… Y OTROS BREVES CONSEJOS PRÁCTICOS

Este capítulo tiene que ver más con los aspectos prácticos que con los aspectos recreativos de la lógica. Hay muchas situaciones en la vida en las que es bueno saber lo que uno puede dar de sí. Por esta razón te brindaré ahora instrucciones pormenorizadas que te enseñarán: (A) cómo evitar a los hombres lobos en el bosque; (B) cómo elegir una novia; (C) cómo conducir la defensa de uno mismo ante un tribunal; (D) cómo casarse con la hija de un rey.

Por supuesto, yo no puedo garantizar de una manera absoluta que vayas a afrontar de hecho ninguna de estas situaciones, pero, como sabiamente le explicó a Alicia el Conejo Blanco, es bueno estar preparado para todo.

A. QUÉ HACER EN EL BOSQUE DE LOS HOMBRES LOBOS

Supón que visitas un bosque en el que todo habitante es o caballero o escudero. (Recordemos que los caballeros dicen siempre la verdad y los escuderos mienten siempre.) Además, algunos de los habitantes son hombres lobos y tienen la fea costumbre de convertirse a veces por la noche en lobos y devorar a la gente. Un hombre lobo puede ser o caballero o escudero.

88.

Allí entrevistas a tres habitantes. A, B y C, y se sabe que uno de ellos, y sólo uno, es hombre lobo. Cada uno dice lo siguiente:

A: C es hombre lobo.

B: Yo no soy hombre lobo.

C: Al menos dos de nosotros son escuderos.

Nuestro problema tiene dos partes:

(a) ¿Es el hombre lobo caballero o escudero?

(b) Si tuvieras que aceptar a uno de ellos como compañero de viaje, y es preferible que no sea hombre lobo a que no sea escudero, ¿a cuál elegirías?

–SOLUCIÓN–

89.

De nuevo, cada uno de los tres, A, B, C, es caballero o escudero y uno de ellos, y sólo uno, es hombre lobo. Dichos habitantes dicen:

A: Yo soy hombre lobo.

B: Yo soy hombre lobo.

C: Todo lo más uno de nosotros es caballero.

Dar una clasificación completa de A, B y C.

–SOLUCIÓN–

90.

En este problema, y en los dos siguientes, vuelve a haber tres habitantes. A, B, C, cada uno de los cuales es o caballero o escudero. Sin embargo sólo hablan dos de ellos, A, B. Pero cuando hablan la palabra «nosotros» se refiere a las tres personas A, B, C —y no solamente a A y B.

Supóngase que A y B dicen lo siguiente:

A: Al menos uno de nosotros tres es caballero.

B: Al menos uno de nosotros tres es escudero.

Dado que al menos uno de ellos es hombre lobo, y que ninguno de ellos es a la vez caballero y hombre lobo, ¿quiénes son hombres lobos?

–SOLUCIÓN–

91.

Esta vez obtenemos los siguientes enunciados:

A: Al menos uno de nosotros tres es escudero.

B: C es caballero.

Dado que hay exactamente un hombre lobo y que éste es caballero, ¿quién es el hombre lobo?

–SOLUCIÓN–

92.

En este problema obtenemos los dos enunciados siguientes:

A: Al menos uno de nosotros tres es escudero.

B: C es hombre lobo.

De nuevo, hay exactamente un hombre lobo y es caballero. ¿Quién es?

–SOLUCIÓN–

93.

En este problema tenemos que hay exactamente un hombre lobo y que es caballero, y que los otros dos son escuderos. Sólo uno de ellos, B, dice: «C es un hombre lobo.»

¿Quién es el hombre lobo?

–SOLUCIÓN–

94.

Este es un problema sencillo y elegante que requiere la presencia de sólo dos habitantes, A y B. Uno de ellos, y sólo uno, es un hombre lobo. Los enunciados que pronuncian son los siguientes:

A: El hombre lobo es caballero.

B: El hombre lobo es escudero.

¿A quién escogerías como compañero de viaje?

–SOLUCIÓN–

B. CÓMO GANAR O ELEGIR UNA NOVIA

95. ¿CÓMO CONVENCERLA?

Supón que eres un habitante de la isla de caballeros y escuderos. Allí te enamoras de una joven y deseas casarte con ella. Sin embargo, esta joven tiene gustos extraños; por alguna incomprensible razón no desea casarse con un caballero; desea casarse sólo con un escudero. Pero desea un escudero rico, no un escudero pobre. (Por conveniencia, damos por supuesto que todo habitante de la isla es allí clasificado o como rico o como pobre.) Y supón además que, de hecho, eres un escudero rico. Sólo te está permitido formular a esa joven un enunciado. ¿Cómo, con un solo enunciado, puedes convencer a la joven de que eres un escudero rico?

–SOLUCIÓN–

96.

Supón ahora que, en lugar de ello, la joven a la que amas desea casarse sólo con un caballero rico. ¿Cómo, con un enunciado, podrías convencerla de que eres un caballero rico?

–SOLUCIÓN–

97. CÓMO ELEGIR UNA NOVIA

Esta vez eres un viajero que visita la isla de caballeros y escuderos. Toda mujer de esa isla es o caballero o escudero. En esta isla te enamoras de una de esas mujeres —una joven llamada Isabel— y piensas en casarte con ella. Sin embargo, deseas saber qué es lo que vas a obtener; pues no quisieras casarte con una mujer escudero. Si se te permitiera interrogarla, no habría problema alguno, pero un antiguo tabú de la isla prohíbe que un hombre dirija la palabra a una mujer a menos que esté ya casado con ella. Ahora bien, Isabel tiene un hermano, Arturo, que es asimismo caballero o escudero (aunque no necesariamente lo mismo que su hermana). Te está permitido formularle sólo una pregunta al hermano, pero esa pregunta tiene que ser susceptible de ser respondida con un «Sí» o un «No».

El problema que se te plantea consiste en diseñar una pregunta tal que al escuchar la respuesta puedas saber con seguridad si Isabel es caballero o escudero. ¿Qué pregunta harías?

–SOLUCIÓN–

98. CÓMO ELEGIR UNA NOVIA EN LA ISLA DE BAHAVA

Esta vez eres un viajero que visita la isla de Bahava, en la que hay caballeros que dicen siempre la verdad, escuderos, que mienten siempre, y normales, que unas veces mienten y otras dicen la verdad. Bahava, recordémoslo, es una isla de feministas, y de ahí que las mujeres en ella sean también llamadas caballeros, escuderos, o normales. Puesto que eres forastero, no estás sujeto al precepto de que un caballero sólo puede contraer matrimonio con un caballero y un escudero sólo con un escudero, de suerte que estás libre para casarte con la mujer de tu elección.

Supón ahora que has de elegir una novia de entre tres hermanos. A, B, C. Se sabe que una de ellas es caballero, otra escudero, y la otra normal. Pero también se sabe (para espanto tuyo) que la normal es hombre lobo, aunque las otras dos no lo son. Supón además que no tienes reparo en casarte con un escudero (o con un caballero), ¡pero casarte con un hombre lobo es algo que va mucho más allá de lo deseable! Te está permitido hacer una sola pregunta de tu elección a cualquiera, también a tu elección, de las tres hermanas, pero de nuevo la pregunta ha de tener por respuesta un «Sí» o un «No».

¿Qué pregunta harías?

–SOLUCIÓN–

C. SÍ, ERES INOCENTE. PERO ¿PUEDES DEMOSTRARLO?

Pasamos ahora a un grupo de adivinanzas particularmente cautivadoras. Todas ellas tienen lugar en la isla de caballeros, escuderos y normales. Tú mismo eres ahora uno de los habitantes de la isla.

Se ha cometido en la isla un crimen, y por alguna extraña razón se sospecha que tú eres el criminal y te conducen ante un tribunal para que seas juzgado. Te está permitido formular solamente un enunciado en tu defensa. Tu propósito es convencer al jurado de que eres inocente.

99.

Supóngase que se sabe que el criminal es escudero. Supongamos también que tú eres escudero (aunque esto no lo sepa el tribunal), pero que, no obstante, eres inocente de este crimen. Te está permitido formular solamente un enunciado. Y tu propósito no es convencer al jurado de que no eres escudero, sino sólo de que eres inocente del crimen. ¿Qué dirías?

–SOLUCIÓN–

100.

Supón que te encuentras en la misma situación con la única diferencia de que ahora eres culpable. ¿Qué enunciado formularías que convenciese al jurado (suponiendo que estuviese integrado por seres racionales) de tu inocencia?

–SOLUCIÓN–

101.

En este problema, supóngase que se sabe que el criminal es un caballero (esto no es ninguna contradicción; no es necesario que una persona tenga que mentir para cometer un crimen). Supóngase también que tú eres caballero (circunstancia que el jurado desconoce) pero inocente del crimen. ¿Qué enunciado formularías?

–SOLUCIÓN–

102.

Aquí la dificultad es mayor. Supóngase que en este problema se sabe que el criminal no es normal —es caballero o escudero. Por tu parte, tú eres inocente. ¿Qué enunciado formularías que pudiera ser emitido por un caballero, o por un escudero, o por un normal, que se encontrase en posición idéntica a la tuya, para convencer al jurado de tu inocencia?

–SOLUCIÓN–

103.

Este problema es mucho más fácil. De nuevo, se sabe que el criminal no es normal. De nuevo, tú no eres el criminal, pero eres normal. ¿Qué enunciado formularías, que ni un caballero ni un escudero inocente podrían emitir, para convencer al jurado de tu inocencia?

–SOLUCIÓN–

104.

Este problema es más interesante. De nuevo, se sabe que el criminal no es normal. Supóngase que (1) tú eres inocente; (2) no eres escudero.

¿Existe un solo enunciado que pudieras formular para convencer simultáneamente al jurado de estos dos hechos?

–SOLUCIÓN–

105.

Una especie de «dual» del problema anterior es este: Supóngase que, de nuevo, el culpable no es normal y que tú eres inocente pero no un caballero. Supóngase que, por alguna insensata razón, no te importa ganarte la reputación de ser escudero o normal, pero desdeñas a los caballeros. ¿Podrías, con un solo enunciado, convencer al jurado de que eres inocente pero no un caballero?

–SOLUCIÓN–

D. CÓMO CASARSE CON LA HIJA DE UN REY

¡Y ahora llegamos al asunto que, estoy seguro, esperabas con ansiedad!

106.

Eres un habitante de la isla de caballeros, escuderos y normales. Te has enamorado de Margozita, la hija del rey, y deseas casarte con ella. Ahora bien, el rey no desea que su hija se case con un normal. Y le dice: «Querida mía, conviene que sepas que en realidad no deberías casarte con un normal. Los normales son caprichosos, aleatorios y absolutamente nada fiables. Con un normal nunca sabes dónde estás; un día te está diciendo la verdad, y al siguiente día te está engañando. ¿Hay algo de bueno en esto? Ahora bien, un caballero es completamente fiable, y con él sabes siempre donde estás. Y en realidad un escudero es igualmente apetecible, porque diga lo que diga, todo lo que tienes que hacer es creer lo opuesto, y por tanto también con él sabes realmente a qué atenerte. Te añadiré que yo creo que un hombre debería aferrarse a sus principios. Si un hombre cree que hay que decir la verdad, entonces dejémosle que diga siempre la verdad. Si cree que hay que mentir, dejémosle al menos que sea consistente con ello. Pero estos normales burgueses que no son ni lo uno ni lo otro… ¡éstos no querida mía, no son para ti!».

Bien, ahora supón que, de hecho, no eres normal, de modo que tienes una oportunidad. Sin embargo, tienes que convencer al rey de que no eres normal, pues de otro modo el monarca no accedería a que te casaras con su hija. Se te ha concedido una audiencia con el rey y te está permitido dirigirle todos los enunciados que quieras. Este problema tiene dos partes.

(a) ¿Cuál es el mínimo número de enunciados verdaderos que puedes formular para convencer al rey de que no eres normal?

(b) ¿Cuál es el mínimo número de enunciados falsos que puedes formular para convencer al rey de que no eres normal?

–SOLUCIÓN–

107.

En otra isla de caballeros, escuderos y normales, el rey tiene la filosofía opuesta. Le dice a su hija: «Querida, no desees casarte con un caballero o un escudero; yo deseo que te cases con un buen y sólido normal. No desees casarte con un caballero, porque los caballeros son demasiado puritanos. No desees casarte con un escudero, porque los escuderos son demasiado trapaceros. ¡No, querida mía, un buen normal, convencional y burgués es justamente lo que te conviene!»

Supón que eres normal en esta isla. Tu tarea consiste en convencer al rey de que eres normal.

(a) ¿Cuál es el mínimo número de enunciados verdaderos que tendrías que formular para convencer al rey de que eres normal?

(b) ¿Cuál es el mínimo número de enunciados falsos que tendrías que formular para convencer al rey de que eres normal?

–SOLUCIÓN–

108.

He aquí una versión más difícil del problema anterior. La solución requerida constituye una solución alternativa (aun cuando innecesariamente complicada) del problema precedente, pero la solución que se dio para este último no será suficiente para el que ahora vamos a abordar.

De nuevo eres normal en una isla de caballeros, escuderos y normales. De nuevo el rey desea que su hija se case sólo con un normal, pero exige además la prueba de que se posee un ingenio y una inteligencia excepcionales; por lo tanto, para ganar a la hija del rey, tienes que formular, en presencia del monarca, un solo enunciado que satisfaga simultáneamente los dos requisitos que siguen:

(1) El enunciado tiene que convencer al rey de que eres normal.

(2) Tiene que resultarle imposible al rey saber si ese enunciado es verdadero o falso.

¿Cómo puede lograrse esto?

–SOLUCIÓN–

8- ADIVINANZAS LÓGICAS

PREÁMBULO

Muchas de las adivinanzas lógicas de este capítulo tratan de los llamados enunciados condicionales: enunciados de la forma «Si P es verdadero entonces Q es verdadero», donde P, Q son los enunciados sujetos a consideración. Antes de abordar las adivinanzas de este tipo, hemos de clarificar cuidadosamente algunas de las ambigüedades que podrían surgir. Hay ciertos hechos relativos a estos enunciados sobre los que todo el mundo está de acuerdo, pero hay otros sobre los cuales parece existir un desacuerdo considerable.

Tomemos un ejemplo concreto. Considérese el enunciado siguiente:

(1) Si Juan es culpable, entonces su esposa es culpable.

Todo el mundo admitirá que si Juan es culpable y si el enunciado (1) es verdadero, entonces su esposa es también culpable.

Todo el mundo admitirá también que si Juan es culpable y su esposa es inocente, entonces el enunciado (1) ha de ser falso.

Ahora bien, supóngase que se sabe que su esposa es culpable, pero que no se sabe si Juan es culpable o inocente. ¿Diríamos entonces que el enunciado (1) es verdadero, o no? ¿No diríamos que tanto si Juan es culpable o inocente, su esposa es culpable en cualquier caso? O, ¿no diríamos acaso: Si Juan es culpable entonces su esposa es culpable, y si Juan es inocente entonces su esposa es culpable?

Ilustraciones de este uso del lenguaje abundan en la literatura: En el cuento de Rudyard Kipling Riki–Tiki–Tavi, la cobra dice a la aterrorizada familia, «Si os movéis atacaré, y si no os movéis atacaré». Lo cual significa ni más ni menos que: «Atacaré.» Está también la historia del maestro del Zen Tokusan, quien solía responder a todas las preguntas, como también a las no–preguntas, a bastonazos. Su famosa frase es: «Treinta bastonazos cuando tengas algo que decir; treinta bastonazos igualmente cuando no tengas nada que decir.»

El resultado es que si un enunciado Q es claramente verdadero, entonces lo es el enunciado «Si P entonces Q» (como también el enunciado «Si no P, entonces Q»).

El caso más controvertido de todos es este: Supóngase que P, Q son ambos falsos. Entonces, ¿es el enunciado «Si P entonces Q» verdadero o falso? ¿O depende de qué sean P y Q? Volviendo a nuestro ejemplo, si Juan y su esposa son ambos inocentes, entonces, ¿habría que decir que el enunciado (1) es verdadero o no? Tornaremos en breve a esta vital cuestión.

Otra cuestión relacionada con lo anterior es esta: Hemos convenido ya en que si Juan es culpable y su esposa inocente, entonces el enunciado (1) ha de ser falso. ¿Es verdadera la conversa? Esto es, si el enunciado (1) es falso, ¿se sigue de ahí que Juan ha de ser culpable y su esposa inocente? Dicho de otro modo, ¿es el caso que el único modo de que (1) pueda ser falso consiste en que Juan sea culpable y su esposa inocente? Bien, de acuerdo con la manera en que la mayoría de los lógicos, matemáticos y científicos usan las palabras «si… entonces», la respuesta es «sí», y esta es la convención que nosotros adoptaremos. En otras palabras, dados dos enunciados cualesquiera P y Q, siempre que yo escriba «Si P entonces Q» querré decir ni más ni menos que «No es el caso que P sea verdadero y Q sea falso».

En particular, esto significa que si Juan y su esposa son ambos inocentes, entonces el enunciado (1) ha de ser considerado como verdadero. Porque el único modo de que el enunciado pueda ser falso es que Juan sea culpable y su esposa sea inocente, y este estado de cosas deja de ser tal si Juan y su esposa son ambos inocentes. Establecido de manera distinta, si Juan y su esposa son ambos inocentes, entonces ciertamente no es el caso que Juan sea culpable y su esposa sea inocente, por tanto el enunciado no puede ser falso.

El siguiente ejemplo es aún más extraño:

(2) Si Confucio nació en Texas, entonces yo soy Drácula.

Todo lo que el enunciado (2) pretende significar es que no es el caso que Confucio nació en Texas y que yo soy Drácula. Lo cual es ciertamente así, puesto que Confucio no nació en Texas. Por lo tanto el enunciado (2) ha de ser considerado como verdadero.

Otra manera de abordar el ejemplo consiste en considerar que el único modo en que (2) pueda ser falso es si Confucio nació en Texas y yo no soy Drácula. Bien, puesto que Confucio no nació en Texas, entonces no puede ser el caso que Confucio nació en Texas y que yo no soy Drácula. En otras palabras, (2) no puede ser falso, así pues ha de ser verdadero.

Consideremos ahora dos enunciados arbitrarios, P, Q, y el siguiente enunciado formado con ellos:

(3) Si P entonces Q.

Este enunciado se simboliza: P → Q, y alternativamente se lee: «P implica Q». El uso de la palabra «implica» tal vez no sea muy feliz, pero se ha impuesto en la literatura en este sentido. Todo lo que este enunciado significa, como hemos visto, es que no es el caso que P sea verdadero y Q sea falso. Así tenemos los hechos siguientes:

Hecho 1 Si P es falso, entonces P → Q es automáticamente verdadero.

Hecho 2: Si Q es verdadero, entonces P → Q es automáticamente verdadero.

Hecho 3: El solo y único modo en que P → Q sea falso es que P sea verdadero y Q falso.

El Hecho 1 se parafrasea a veces: «Una proposición falsa implica cualquier proposición.» Este enunciado le resulta chocante a muchos filósofos (véase capítulo 14, número 244, para una discusión más amplia). El Hecho 2 se parafrasea a veces: «Una proposición verdadera es implicada por cualquier proposición.»

RESUMEN EN LA TABLA DE VERDAD

Dados dos enunciados cualesquiera P, Q, hay siempre exactamente cuatro posibilidades:

(1) P, Q son ambos verdaderos;

(2) P es verdadero y Q es falso;

(3) P es falso y Q es verdadero;

(4) P, Q son ambos falsos.

Una y sólo una de estas posibilidades debe ser válida. Ahora bien, consideremos el enunciado, «Si P entonces Q» (simbolizado: P → Q). ¿Puede ser determinado en cuál de los cuatro casos es válido y en cuáles no lo es? Sí, puede hacerse, por el siguiente análisis:

Caso 1: P y Q son ambos verdaderos. En este caso Q es verdadero, de ahí que P → Q sea verdadero por el Hecho 2.

Caso 2: P es verdadero y Q es falso. En este caso P → Q es falso por el Hecho 3.

Caso 3: P es falso y Q es verdadero. Entonces P → Q es verdadero por el Hecho 1 (también por el Hecho 2).

Caso 4: P es falso y Q es falso. Entonces P → Q es verdadero por el Hecho 1.

Estos cuatro casos están todos resumidos en la siguiente tabla, denominada la tabla de verdad para la implicación.

P | Q | P→Q
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V

La primera fila, V, V, V (verdadero, verdadero, verdadero), significa que cuando P es verdadero y Q es verdadero, P → Q es verdadero. La segunda fila, V, F, F, significa que cuando P es verdadero y Q falso entonces P → Q es falso. La tercera fila dice que cuando P es falso y Q es verdadero, P → Q es verdadero, y la cuarta fila dice que cuando P es falso y Q es falso, entonces P → Q es verdadero.

Observamos que P → Q es verdadero en tres de los cuatro casos; sólo en el segundo es falso.

Otra propiedad de la implicación. Otra importante propiedad de la implicación es la siguiente: Para mostrar que un enunciado «Si P entonces Q» es válido, basta asumir P como premisa y luego mostrar que ha de seguirse Q. En otras palabras, si la asunción de P conduce a Q como conclusión, entonces el enunciado «Si P entonces Q» ha quedado establecido.

De aquí en adelante nos referiremos a este hecho como Hecho 4.

A. APLICACIÓN A CABALLEROS Y ESCUDEROS

109.

Tenemos dos personas A, B, cada una de las cuales es o caballero o escudero. Supóngase que A emite el siguiente enunciado: «Si yo soy un caballero, entonces lo es B.»

¿Puede determinarse qué son A y B?

–SOLUCIÓN EN 112–

110.

Alguien pregunta a A, «¿Es usted caballero?». Él replica, «Si yo soy caballero, entonces me comeré mi sombrero».

Pruébese que A tiene que comerse su sombrero.

–SOLUCIÓN EN 112–

111.

A dice, «Si yo soy caballero, entonces dos más dos es igual a cuatro». ¿Es A caballero o escudero?

–SOLUCIÓN EN 112–

112.

A dice, «Si yo soy un caballero, entonces dos más dos es igual a cinco». ¿Qué concluiría el lector?

–SOLUCIÓN–

113.

Dadas dos personas, A, B, y siendo ambas o caballeros o escuderos, A dice, «Si B es caballero entonces yo soy escudero».

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

114.

Dos individuos, X e Y, estaban siendo juzgados por participar en un robo. A y B eran testigos en el juicio, y cada uno de ellos, A, B, es o caballero o escudero. Los testigos emitieron los siguientes enunciados:

A: Si X es culpable, igualmente lo es Y.

B: O X es inocente o Y es culpable.

¿Son A y B necesariamente del mismo tipo? (Recuérdese que dos personas de la isla de los caballeros y escuderos se dice que son del mismo tipo si son o ambos caballeros o ambos escuderos.)

–SOLUCIÓN–

115.

En la isla de caballeros y escuderos, tres habitantes A, B, C están siendo entrevistados, A y B dicen lo siguiente:

A: B es caballero.

B: Si A es caballero, también lo es C.

¿Puede determinarse qué son A, B y C?

B. AMOR Y LÓGICA

–SOLUCIÓN–

116.

Supóngase que los dos enunciados siguientes son verdaderos:

(1) Amo a Isabel o amo a María.

(2) Si amo a Isabel entonces amo a María.

¿Se sigue necesariamente que amo a Isabel? ¿Se sigue necesariamente que amo a María?

–SOLUCIÓN–

117.

Supóngase que alguien me pregunta, «¿Es realmente verdadero que si amas a Isabel entonces también amas a María?». Yo respondo, «Si eso es verdadero, entonces amo a Isabel».

¿Se sigue que amo a Isabel? ¿Se sigue que amo a María?

–SOLUCIÓN–

118.

Esta vez tenemos dos chicas, Eva y Margarita. Alguien me pregunta, «¿Es realmente verdadero que si amas a Eva entonces amas también a Margarita?» Yo respondo, «Si eso es verdadero, entonces amo a Eva, y si amo a Eva, entonces eso es verdadero». ¿A qué chica amo necesariamente?

–SOLUCIÓN–

119.

Ahora se trata de tres chicas, Ana, Luisa y Diana. Supóngase que se dan los siguientes hechos:

(1) Amo al menos a una de las tres chicas.

(2) Si amo a Ana pero no a Diana, entonces amo también a Luisa.

(3) O bien amo a Diana y a Luisa o bien no amo a ninguna.

(4) Si amo a Diana, entonces amo también a Ana.

¿A cuál de las chicas amo?

Discusión. ¿No son los lógicos un tanto estúpidos? ¿Acaso no sabré yo si amo o no amo a Isabel, María, Eva, Margarita, Ana, Luisa, Diana, etc., sin necesidad de tener que sentarme y anotarlo cuidadosamente? ¿No sería cómico si una esposa preguntase a su académico marido, «¿Me amas?» y él le respondiera, ¡Un minuto, querida!, y se sentara durante media hora, calculase con papel y lápiz, y luego le respondiese, «Sí, resulta que sí te amo»?.

Me viene a la mente la presuntamente verdadera historia del filósofo Leibniz, quien una vez estuvo dudando si casarse o no con cierta dama. Se sentó armado de papel y lápiz y confeccionó dos listas, una lista de ventajas y otra de inconvenientes. Resultó que la segunda lista era más larga, así pues decidió no casarse con la dama.

–SOLUCIÓN–

120.

Este problema, aunque simple, es un tanto sorprendente.

Supóngase que sucede que yo soy o caballero o escudero. Yo emito los dos enunciados siguientes:

(1) Amo a Linda.

(2) Si amo a Linda entonces yo amo a Cecilia.

¿Soy un caballero o un escudero?

–SOLUCIÓN–

121. UNA VARIANTE DE UN VIEJO PROVERBIO

Un viejo proverbio dice: «Una tetera vigilada nunca hierve.» Ahora bien, ocurre que yo sé que eso es falso; una vez vigilé una tetera colocada sobre el fuego, y con toda seguridad hirvió finalmente. Pero ¿qué decir del siguiente proverbio?

«Una tetera vigilada nunca hierve a menos que se la vigile.» Establecido de modo más preciso, «Una tetera vigilada nunca hierve a menos que esté vigilada».

¿Es este proverbio verdadero o falso?

–SOLUCIÓN–

C. ¿HAY ORO EN ESTA ISLA?

Las adivinanzas de los dos últimos grupos se ocupaban por extenso de los enunciados condicionales —enunciados de la forma «Si P es verdadero, también lo es» «2». Las adivinanzas de este grupo tratarán por extenso de los llamados enunciados bicondicionales —enunciados de la forma «P es verdadero si y sólo si Q es verdadero». Este enunciado significa que si P es verdadero entonces también lo es Q, y si Q es verdadero entonces también lo es P. En otras palabras, dicho enunciado dice que si uno de los dos, P y Q, es verdadero entonces también lo es el otro. Dice también que P y Q son o ambos verdaderos o ambos falsos. El enunciado «P si y sólo si Q» se escribe de manera simbólica: «P ↔ Q». La tabla de verdad para P ↔ Q es esta:

P | Q | P↔Q
V | V | V
V | F | F
F | V | V
F | F | V

El enunciado «P si y sólo si Q» se lee a veces: «P es equivalente a Q» o «P y Q son equivalentes». Obsérvense los dos siguientes hechos:

H1: Cualquier proposición que sea equivalente a una proposición verdadera es verdadera.

H2: Cualquier proposición que sea equivalente a una proposición falsa es falsa.

122. ¿HAY ORO EN ESTA ISLA?

En una cierta isla de caballeros y escuderos corre el rumor de que hay oro enterrado en la isla. El lector llega a la isla y pregunta a uno de los nativos, A, si hay oro en esa isla. El nativo da la siguiente respuesta: «Hay oro en esta isla si y sólo si yo soy un caballero.» Nuestro problema tiene dos partes:

(a) ¿Puede determinarse si A es un caballero o un escudero?

(b) ¿Puede determinarse si hay oro en la isla?

–SOLUCIÓN–

123.

Supóngase que, en lugar de que A hubiese dado voluntariamente esta información, se le hubiese preguntado a este mismo A, «¿Es la afirmación de que eres caballero equivalente a la afirmación de que hay oro en esta isla?». De haber respondido «Sí», el problema habría quedado reducido al problema anterior. Supóngase que hubiese respondido «No». ¿Podría establecerse si hay o no hay oro en la isla?

–SOLUCIÓN–

124. CÓMO ME HICE RICO

Por desgracia, esta historia no es verdadera. Pero es interesante y por ello voy a contártela.

Yo deseaba obtener información acerca de las tres islas vecinas, A, B y C. Sabía que había oro enterrado en al menos una de las tres, pero no sabía en cuál de ellas. Las islas B y C estaban deshabitadas; la isla A estaba habitada por caballeros y escuderos, y había una posibilidad de que hubiera en la isla algunos normales, aunque yo no sabía si había o no normales en ella.

Tuve la fortuna de hallar el mapa de las islas dejado por el famoso, aunque caprichoso Capitán Marston —el pirata que había enterrado el oro. El mensaje, por supuesto, estaba en clave. Una vez que fue descifrado, se comprobó que constaba de dos oraciones. He aquí la transcripción:

(1) NO HAY ORO EN LA ISLA A

(2) SI HAY NORMALES EN LA ISLA A, ENTONCES HAY ORO EN DOS DE LAS ISLAS.

Bien, yo me precipité a la isla A; sabía que los nativos estaban perfectamente informados sobre la situación del oro. El rey de la isla adivinó cuáles eran mis intenciones y me dijo en términos perfectamente claros que se me permitiría hacer solamente una pregunta a cualquier nativo que yo eligiese al azar. Yo no tendría medio de saber si el nativo era caballero, escudero, o normal.

Mi problema consistía en idear una pregunta tal que tras escuchar la respuesta, pudiese dirigirme a una de las islas con la seguridad de que había oro en ella. ¿Qué pregunta debería hacer?

–SOLUCIÓN–

125.

En otra ocasión me encontraba visitando otra isla de caballeros, escuderos y normales. Corría el rumor de que había oro en esa isla, y yo deseaba informarme de dónde se encontraba. El rey, que era caballero, me presentó graciosamente a tres de los nativos. A, B, C, y me dijo que al menos uno de ellos era normal. Se me permitía proponer dos preguntas del tipo sí–no a cualquiera de los tres que yo eligiera.

¿Hay algún modo de averiguar con dos preguntas si hay oro en la isla?

–SOLUCIÓN–

126. UNA ADIVINANZA INFERENCIAL.

Supóngase que hay dos islas vecinas, habitadas exclusivamente cada una de ellas por caballeros y escuderos (no hay normales). Se te informa de que en una de las dos islas hay un número par de caballeros y en la otra un número impar. Se te informa también de que hay oro en la isla que contiene al número par de caballeros, pero que no hay oro en la otra isla.

Eliges al azar una de las dos islas y vas a visitarla. Todos los nativos saben cuántos caballeros y cuántos escuderos viven en la isla. Interrogas a tres habitantes y obtienes las siguientes respuestas:

A: Hay un número par de escuderos en esta isla.

B: Ahora mismo hay un número impar de personas en la isla.

C: Yo soy un caballero si y sólo si A y B son del mismo tipo.

Suponiendo que tú no eres ni caballero ni escudero, y que en ese momento eres el único visitante que hay en la isla, ¿hay oro en la isla o no?

–SOLUCIÓN–

9- ¿BELLINI O CELLINI?

Continuamos aquí con la historia de los cofres de Porcia. Recordamos que Bellini siempre ponía a sus cofres inscripciones verdaderas, mientras que Cellini siempre les ponía inscripciones falsas. Pues bien, uno y otro tuvieron hijos que, como sus padres, se dedicaron a hacer cofres; continuando la tradición paterna, los hijos de Bellini inscribieron sólo enunciados verdaderos en sus obras, y los de Cellini sólo enunciados falsos en las suyas.

Demos por hecho que estas dos familias eran las únicas que se dedicaron a la fabricación de cofres en la Italia del Renacimiento, de manera que todo cofre era obra de Bellini, de Cellini, de un hijo de Bellini o de un hijo de Cellini. Si, por casualidad os encontráis algún cofre de estos, os advierto que son muy valiosos, sobre todo los de Bellini y Cellini padres.

A. ¿DE QUIÉN ES EL COFRE?

127.

Un día encontré un cofre con la siguiente inscripción:

ESTE COFRE NO LO HA HECHO NINGÚN HIJO DE BELLINI

¿Quién lo había hecho? ¿Bellini, Cellini o alguno de sus respectivos hijos?

–SOLUCIÓN–

128.

Otro día me topé un cofre cuya inscripción me permitió sacar la conclusión de que tenía que haberlo hecho Cellini.

¿Podéis decirme cuál podría ser su inscripción?

–SOLUCIÓN–

129.

Los más valiosos de todos son aquellos cuya inscripción permite deducir que el cofre tiene que ser obra de Bellini o de Cellini, pero no se puede saber de cuál de los dos. Una vez tuve la suerte de encontrarme uno de estos. ¿Podéis imaginaros cuál sería la inscripción?

–SOLUCIÓN–

130. DE LO SUBLIME A LO RIDÍCULO

Supongamos que os encontráis un cofre con la siguiente inscripción:

ESTE ESTÁ HECHO POR MÍ

¿Qué conclusión sacáis?

–SOLUCIÓN–

131. DEL NOBLE FLORENTINO

Un conocido noble florentino daba unas fiestas fastuosas cuyo punto cumbre era un juego cuyo premio consistía en una valiosa joya. El tal noble conocía la historia de Porcia y sus cofres y montó su juego sobre ella; cogió tres cofres, uno de oro, otro de plata y otro de plomo, y uno de los tres escondía la joya. Luego explicaba a sus invitados que los cofres los había hecho Bellini o Cellini (pero no sus hijos), y que la primera persona que adivinara en qué cofre estaba la joya y que pudiera demostrar que su adivinación era correcta, obtendría la joya como premio. He aquí las inscripciones:

Oro

SI LA JOYA ESTA EN EL COFRE DE PLATA, EL COFRE DE PLATA SERÁ OBRA DE BELLINI

Plata

SI LA JOYA ESTA EN ESTE COFRE, EL COFRE DE ORO ES OBRA DE CELLINI

Plomo

EL COFRE QUE DE VERDAD CONTIENE LA JOYA ES OBRA DE CELLINI

¿En cuál de los tres está la joya?

–SOLUCIÓN–

B. PAREJAS DE COFRES

En algunos museos podemos ver parejas de cofres —uno de oro y otro de plata— que en un principio se hicieron y se vendieron como juego. La verdad es que la familia Bellini y la Cellini eran íntimas y que a veces colaboraban en algunas de estas parejas; aunque cada cofre lo hiciera siempre una sola persona, dentro de la pareja un cofre podía hacerlo uno y el otro otro diferente. Ambas familias se divertían muchísimo haciendo estas parejas de manera que la inteligente posteridad pudiera adivinar —o adivinar parcialmente— quiénes habían sido los autores. Dada una pareja concreta, hay dieciséis posibilidades: el cofre de oro podría ser de Bellini, un hijo de Bellini, Cellini o un hijo de Cellini, y con cada una de estas cuatro posibilidades había cuatro posibilidades para el autor del cofre de plata.

132.

Un día me encontré la siguiente pareja:

Oro

LOS DOS COFRES DE ESTE JUEGO SON OBRA DE LA FAMILA CELLINI

Plata

NINGUNO DE ESTOS DOS COFRES ES OBRA NI DE UN HIJO DE BELLINI NI DE UN HIJO DE CELLINI

¿Quién los había hecho?

–SOLUCIÓN–

133.

Otro día la pareja decía:

Oro

SI ESTE COFRE ES OBRA DE ALGÚN BELLINI, EL COFRE DE PLATA ES OBRA DE CELLINI

Plata

EL COFRE DE ORO ES OBRA DE UN HIJO DE BELLINI

¿Quién hizo cada cofre?

–SOLUCIÓN–

134.

Consideremos la pareja siguiente:

Oro

EL COFRE DE PLATA ES OBRA DE UN HIJO DE BELLINI

Plata

EL COFRE DE ORO NO ES OBRA DE UN HIJO DE BELLINI

Demostradme que por lo menos uno lo hizo Bellini.

–SOLUCIÓN–

135.

Consideremos ahora esta otra pareja:

Oro

EL COFRE DE PLATA ES OBRA DE CELLINI

Plata

EL COFRE DE ORO NO ES OBRA DE CELLINI

Demostradme que por lo menos uno era obra de un hijo de Cellini.

–SOLUCIÓN–

136.

Oro

EL COFRE DE PLATA ES OBRA DE UN HIJO DE BELLINI

Plata

EL COFRE DE ORO ES OBRA DE UN HIJO DE CELLINI

Demostradme ahora que por lo menos uno de estos cofres lo hizo o Bellini o Cellini.

–SOLUCIÓN–

137.

La siguiente aventura en que me vi envuelto fue especialmente interesante. Me encontré una pareja de cofres y quería saber si por lo menos uno de ellos era de Bellini. Leí la inscripción de uno de ellos, pero no contestaba a mi pregunta. Miré la otra y, para mi asombro, vi que decía lo mismo que la primera y, para mi mayor asombro, pude averiguar así que los dos cofres eran obra de Bellini.

¿Podéis averiguar qué decían las inscripciones?

–SOLUCIÓN–

138.

Otra vez me topé otra pareja de cofres con inscripciones idénticas de las que pude sacar la conclusión de que los dos cofres eran obra de Cellini, pero de ninguna de las dos por separado podría haber averiguado que ni siquiera uno de los dos era obra de Cellini.

¿Podríais darme la inscripción?

–SOLUCIÓN–

139.

Otro día me encontré otra pareja que también tenía inscripciones idénticas con las que me fue posible llegar a la conclusión de que o ambos eran de Bellini o ambos de Cellini, pero lo que no podía averiguar era de cuál de los dos. Además con ninguno de los dos cofres por separado podría haber deducido tal cosa.

¿Podríais darme la inscripción?

–SOLUCIÓN–

140.

La más valiosa de todas las parejas que podamos encontrarnos es una que cumpla las siguientes condiciones:

(1) Que de las inscripciones pueda deducirse que uno lo hizo Bellini y el otro Cellini, pero no se pueda averiguar cuál hizo quién.

(2) Que ni del uno ni del otro separadamente pueda deducirse que la pareja es un Bellini–Cellini.

Una vez tuve la suerte de encontrarme una de estas parejas —y creo que es la única pareja de este tipo que se hizo. ¿Podrían ustedes darme ese par de inscripciones?

–SOLUCIÓN–

141. UNA AVENTURA MARAVILLOSA

De soltero estaba yo una vez en Florencia y vi el siguiente anuncio en periódico: SE BUSCA UN LÓGICO. (Afortunadamente el anuncio estaba en inglés; yo no sé italiano.) Pues bien, me encaminé hacia el museo que había puesto el anuncio y me dijeron que necesitaban un lógico para ayudar a esclarecer un misterio.

Habían aparecido cuatro cofres, dos de oro y dos de plata; se sabía que constituían dos juegos, pero se habían mezclado y ahora no se sabía qué cofre de oro y qué cofre de plata formaban pareja. Me los enseñaron y pronto pude resolver el problema por lo que recibí unos excelentes honorarios. Pero además pude establecer también quién había hecho cada cofre, por lo que recibí un extra (que consistía, entre otras cosas, en una excelente caja de botellas de Chianti) y un beso de una de las florentinas más maravillosas que haya existido nunca[8].

He aquí los cuatro cofres:

Cofre A (Oro)

EL COFRE DE PLATA ES OBRA DE UN CELLINI

Cofre B (Plata)

EL COFRE DE PLATA O ES OBRA DE UN CELLINI O LOS DOS COFRES SON DE BELLINI

Cofre C (Oro)

EL COFRE DE ORO ES OBRA DE UN BELLINI

Cofre D (Plata)

EL COFRE DE ORO ES OBRA DE UN BELLINI Y POR LO MENOS UNO DE ESTOS COFRES ES OBRA DE UN HIJO O DE BELLINI O CELLINI

Tenemos ahora dos problemas:

(a) ¿A formará pareja con C o con D?

(b) ¿Quién hizo cada uno de los cofres?

–SOLUCIÓN–

PARTE TERCERA

Cuentos extraordinarios

10- LA ISLA DE BAAL

A. EN BUSCA DE LO ABSOLUTO

He leído, en algún libro de texto filosófico, lo siguiente: «El verdadero filósofo es como una pequeña de nueve años que está mirando por la ventana y, de repente, se vuelve hacia su madre y dice: “¡Pero madre, lo que a mí me intriga es el que haya algo!”»

Este problema ha desconcertado a más de un filósofo; es más, algunos filósofos han considerado esto como el problema filosófico fundamental. Estos últimos lo formulan así: «¿por qué hay algo en lugar de nada?».

Cuando uno se para a pensar en esto, se da cuenta de que realmente se trata de una buena pregunta, ¿no es cierto? Efectivamente, ¿por qué hay algo en lugar de nada? Bien, érase una vez un cierto filósofo que decidió convertir en el principal proyecto de su vida el averiguar por qué hay algo en lugar de nada. En primer lugar leyó todos los libros de filosofía, pero ninguno de ellos podía decirle la razón real de por qué hay algo en lugar de nada. Preguntó a todos los doctos rabinos, sacerdotes, obispos, ministros y demás jefes religiosos, pero ninguno de ellos pudo explicarle satisfactoriamente por qué hay algo en lugar de nada. Entonces se volvió hacia la filosofía oriental; anduvo errante durante doce años por la India y el Tíbet, se entrevistó con varios gurús, pero ninguno de ellos sabía por qué hay algo en lugar de nada. A continuación pasó otros doce años en China y Japón entrevistando a varios taoístas y maestros de Zen. Finalmente encontró un sabio que estaba en su lecho de muerte y que le dijo:

«No, hijo mío, yo mismo no sé por qué hay algo en lugar de nada. El único lugar de este planeta donde se sabe la respuesta es en la isla de Baal. Uno de los sacerdotes principales del Templo de Baal sabe la verdadera respuesta.»

«¿Y dónde está la isla de Baal?», preguntó el filósofo con avidez.

«Ah», respondió el sabio, «en realidad no he conocido jamás a nadie que haya encontrado efectivamente el camino que lleva a Baal. Todo lo que sé sobre el particular es la situación de un cierto grupo de islas, no consignadas en ninguna carta de navegación, en una de las cuales hay un mapa y un conjunto completo de instrucciones para llegar a la isla de Baal. No sé en qué isla del grupo puede hallarse el mapa; todo lo que sé es que se trata de una de ellas y que su nombre es “Maya”. Sin embargo, todas esas islas están habitadas exclusivamente por caballeros, que dicen siempre la verdad, y escuderos, que mienten siempre. Hay que ser, por lo tanto, muy cauteloso».

Estas eran las noticias más prometedoras que el filósofo había oído en veinticuatro años. Pues bien, encontró sin dificultad el camino hacia ese grupo de islas y empezó a investigar sistemáticamente una isla tras otra, esperando averiguar cuál era la isla de Maya.

142. LA PRIMERA ISLA

En la primera isla en la que investigó, se encontró con dos nativos A y B, que dijeron:

A: B es caballero y ésta es la isla de Maya.

B: A es escudero y ésta es la isla de Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–

143. LA SEGUNDA ISLA

En esta isla, dos nativos A y B, dijeron:

A: Nosotros dos somos escuderos, y ésta es la isla de Maya.

B: Esto es verdadero.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–

144. LA TERCERA ISLA

En esta isla A y B dijeron:

A: Al menos uno de nosotros es un escudero, y ésta es la isla de Maya.

B: Esto es verdadero.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–

145. LA CUARTA ISLA

En esta isla, dos nativos, A y B, dijeron:

A: Nosotros dos somos escuderos, y ésta es la isla de Maya.

B: Al menos uno de nosotros es escudero, y ésta no es la isla de Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–

146. LA QUINTA ISLA

Dos de los nativos de esta isla, A y B, dijeron:

A: Nosotros dos somos escuderos, y ésta es la isla de Maya.

B: Al menos uno de nosotros es caballero, y ésta no es la isla de Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–

147. LA SEXTA ISLA

En esta isla, dos de los nativos, A y B, dijeron lo siguiente:

A: O B es un caballero, o ésta es la isla de Maya.

B: O A es un escudero, o ésta es la isla de Maya.

¿Es ésta la isla de Maya?

–SOLUCIÓN–

148. EL MAPA DE BAAL

Bien, nuestro filósofo encontró la isla de Maya. Sin embargo, la tarea de encontrar el mapa y las instrucciones para llegar a la isla de Baal no fue tan fácil como él había previsto. Tuvo que visitar al Sumo Sacerdote de Maya. El sacerdote le condujo al interior de una estancia en la que había tres mapas X, Y, Z, desplegados sobre una mesa. El sacerdote le explicó que solamente uno de los mapas era el verdadero mapa de Baal; los otros dos mapas señalaban la ruta hacia una isla de demonios, y si alguien desembarcaba en una isla de demonios, sería aniquilado instantáneamente. El filósofo tenía que escoger uno de los tres mapas.

Pues bien, en la estancia había cinco hechiceros, A, B, C, D y E. Cada hechicero era o caballero o escudero. Le dieron a nuestro filósofo las informaciones siguientes:

A: X es el mapa correcto.

B: Y es el mapa correcto.

C: A y B no son escuderos.

D: O A es un escudero o B es un caballero.

E: O yo soy un escudero o C y D son del mismo tipo (los dos caballeros o los dos escuderos).

¿Cuál de los mapas X, Y, Z es el correcto?

–SOLUCIÓN–

B. LA ISLA DE BAAL

De todas las islas de caballeros y escuderos, la isla de Baal es la más extraña y notable. Esta isla está habitada exclusivamente por humanos y monos. Los monos son tan altos como los humanos y hablan de manera tan fluida como ellos. Todo mono, lo mismo que todo humano, es o caballero o escudero.

En el centro de esta isla está el Templo de Baal, uno de los templos más notables de todo el universo. Los sacerdotes principales son metafísicos y en el Santuario Interior del templo se encuentra un sacerdote del que se rumorea que sabe la respuesta al misterio último del universo: por qué existe algo en lugar de nada.

A los aspirantes al Conocimiento Sagrado se les permite visitar el Santuario Interior, una vez que se muestran dignos de ello al haber pasado tres series de pruebas. Yo me enteré de todos estos secretos, dicho sea de paso, ocultamente: tuve que entrar al templo disfrazado de mono. Hice esto con un gran riesgo personal. Si hubiera sido descubierto, el castigo habría sido inimaginable. ¡En lugar de limitarse a aniquilarme, los sacerdotes habrían cambiado las mismas leyes del universo de tal manera que no hubiera podido nacer jamás!

Pues bien, nuestro filósofo escogió el mapa correcto, llegó sin novedad a la isla de Baal y convino en someterse a las pruebas. La primera serie tuvo lugar en una enorme estancia denominada Santuario Exterior durante tres días consecutivos. En el centro de la estancia una figura encapuchada se sentaba en un trono dorado. Era humano o mono y, también, caballero o escudero. La figura dijo una oración sagrada, y el filósofo tuvo que deducir de esta oración lo que ella era: si caballero o escudero, y si humano o mono.

149. LA PRIMERA PRUEBA

El hablante dijo: «Soy o escudero o mono.»

¿Qué era exactamente?

–SOLUCIÓN–

150. LA SEGUNDA PRUEBA

El hablante dijo: «Soy escudero y mono.»

¿Qué era exactamente?

–SOLUCIÓN–

151. LA TERCERA PRUEBA

El hablante dijo: «No soy mono y caballero.»

¿Qué es?

El filósofo pasó estas tres pruebas, de modo que se le permitió someterse a la segunda serie, que tuvo también lugar durante tres días consecutivos y en otra gran estancia conocida como Santuario Medio. En esta estancia había dos figuras encapuchadas que estaban sentadas en tronos de platino. Las figuras dijeron unas oraciones sagradas, y el filósofo tuvo que dar entonces una descripción completa de cada hablante. Llamaremos a los hablantes A y B.

–SOLUCIÓN–

152. LA CUARTA PRUEBA

A: Al menos uno de nosotros es mono.

B: Al menos uno de nosotros es escudero.

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

153. LA QUINTA PRUEBA

A: Nosotros dos somos monos.

B: Nosotros dos somos escuderos.

¿Qué son A y B?

–SOLUCIÓN–

154. LA SEXTA PRUEBA

A: B es escudero y mono. Yo soy humano.

B: A es un caballero.

¿Qué son A y B?

El filósofo pasó la segunda serie de pruebas y se dispuso a someterse a la tercera que consistía solamente en una prueba, aunque era una prueba complicada.

–SOLUCIÓN–

155.

Hay cuatro puertas X, Y, Z, W que conducen fuera del Santuario Medio. Al menos una de ellas lleva al Santuario Interior. Si alguien entra por una puerta equivocada, será devorado por un feroz dragón.

Pues bien, había allí ocho sacerdotes: A, B, C, D, E, F, G, H, cada uno de los cuales es o caballero o escudero. Ellos hicieron al filósofo los enunciados siguientes:

A: X es la puerta buena.

B: Al menos una de las puertas Y, Z es buena.

C: A y B son caballeros.

D: X e Y son puertas buenas.

E: X y Z son puertas buenas.

F: O D o E son caballeros.

G: Si C es caballero, entonces F lo es.

H: Si G y yo somos caballeros, entonces A lo es.

¿Qué puerta debería escoger el filósofo?

–SOLUCIÓN–

156. EN EL SANTUARIO INTERIOR

El filósofo escogió la puerta correcta y penetró sin novedad en el Santuario Interior. Estaban allí, sentados en dos tronos de diamantes, los dos sacerdotes más importantes de todo el universo. Es posible que al menos uno de ellos supiese la respuesta a la Gran Pregunta: «¿Por qué hay algo en lugar de nada?»

Naturalmente, cada uno de los dos grandes sacerdotes era o caballero o escudero. (La cuestión de si eran humanos o monos no es relevante.) Así pues, no sabemos de ninguno de ellos si es caballero o escudero, o si sabe la respuesta a la Gran Pregunta. Los dos sacerdotes hicieron los enunciados siguientes:

Primer Sacerdote: Soy escudero y no sé por qué hay algo en lugar de nada.

Segundo Sacerdote: Soy caballero y no sé por qué hay algo en lugar de nada.

¿Sabe realmente alguno de los sacerdotes por qué hay algo en lugar de nada?

–SOLUCIÓN–

157. LA RESPUESTA

¡Y ahora estás a punto de averiguar la verdadera respuesta a la Gran Pregunta de por qué hay algo en lugar de nada!

Pues bien, uno de los dos sacerdotes, que conocía efectivamente la respuesta a la Gran Pregunta, dio la respuesta siguiente cuando el filósofo le preguntó: «¿Por qué hay algo en lugar de nada?»

«Hay algo en lugar de nada.»

¿Qué conclusión drástica se sigue de todo esto?

–SOLUCIÓN–

11- LA ISLA DE LOS ZOMBIS

A. «BAL» Y «DA»

En una cierta isla cercana a Haití, la mitad de los habitantes han sido embrujados por magia vudú y trocados en zombis. Los zombis de esta isla no se comportan de acuerdo con el concepto convencional: no son silenciosos ni parecidos a los muertos —se mueven y charlan con la misma vivacidad que los humanos. Sólo que los zombis de esta isla mienten siempre y los humanos de esta isla dicen siempre la verdad.

Pero, se dirá, esto suena a algo parecido a otra situación de caballeros y escuderos con diferente ropaje, ¿no es así? ¡Pues no lo es! La situación es enormemente complicada por el hecho de que, si bien todos los nativos entienden perfectamente el castellano, un antiguo tabú de la isla les prohíbe usar jamás en su discurso palabras no–nativas. De ahí que cuando se les haga una pregunta cuya respuesta sea sí o no, ellos contesten «Bal» o «Da». Una de estas palabras significa sí y la otra no. La dificultad está en que no sabemos cuál de ellas, «Bal» o «Da», significa sí y cuál significa no.

158.

Una vez me encontré con un nativo de esta isla y le pregunté, «¿Es que “Bal” significa sí?». Él replicó, «Bal».

(a) ¿Es posible inferir qué significa «Bal»?

(b) ¿Es posible inferir si el nativo es un humano o un zombi?

–SOLUCIÓN–

159.

Si uno se encuentra con un nativo de esta isla, ¿es posible averiguar con sólo una pregunta qué significa «Bal»? (Recuérdese que su respuesta será «Bal» o «Da».)

–SOLUCIÓN–

160.

Supóngase que uno no está interesado en saber lo que signifique «Bal», sino sólo en si el interlocutor es zombi. ¿Cómo averiguar esto en una sola pregunta? (De nuevo, la respuesta del nativo será «Bal» o «Da».)

–SOLUCIÓN–

161. CONSEGUIR QUE EL CURANDERO DIGA «BAL»

Tú te encuentras en esta misma isla y deseas casarte con la hija del rey. El rey quiere que su hija se case sólo con alguien que sea muy inteligente, y de ahí que hayas de pasar por una prueba.

La prueba consiste en que hagas al curandero la pregunta que quieras. Si éste responde «Bal», entonces puedes casarte con la hija del rey; si responde «Da», entonces no puedes hacerlo.

El problema estriba en idear una pregunta tal que, independientemente de si el curandero es hombre o zombi e independientemente de si «Bal» significa sí o no, el curandero tenga que responder «Bal».

–SOLUCIÓN–

162.

He aquí un problema más difícil. Corre un rumor de que en esta isla hay oro. Llegas a la isla, y antes de empezar a excavar, quieres saber si realmente hay oro o no. Todos los nativos saben si lo hay o no lo hay. ¿Cómo en una sola pregunta dirigida a cualquiera de los nativos, puedes averiguarlo? Recuérdese que el nativo interrogado responderá «Bal» o «Da», y que partiendo de esta respuesta has de saber si hay oro, independientemente de lo que en realidad signifiquen «Bal» y «Da».

–SOLUCIÓN–

B. ENTRA EL INSPECTOR CRAIG

163. UN JUICIO

En una isla vecina de humanos y zombis «Bal» y «Da» son de nuevo las palabras nativas para sí y no, aun cuando no necesariamente en este orden. Algunos de los nativos responden a las preguntas con «Bal» y «Da», pero otros han vulnerado el tabú y responden con las palabras castellanas «Sí» y «No».

Por alguna extraña razón, dada cualquier familia de esta isla, todos sus miembros son del mismo tipo. En particular, dado cualquier par de hermanos, o ambos son humanos o ambos zombis.

Un nativo era sospechoso de alta traición. El caso fue tan importante, que hubo que hacer venir de Londres al inspector Craig. Los tres testigos decisivos eran A, B y C —todos nativos de la isla. La siguiente transcripción está tomada de las actas del juicio: el Inspector Craig hizo las preguntas.

Pregunta (a A): ¿Es inocente el acusado?

Respuesta de A: «Bal.»

Pregunta (a B): ¿Qué significa «Bal»?

Respuesta de B: «Bal» significa sí.

Pregunta (a C): ¿Son hermanos A y B?

Respuesta de C: No.

Segunda pregunta a C: ¿Es inocente el acusado?

Respuesta de C: Sí.

¿Es el acusado inocente o culpable?

–SOLUCIÓN–

164.

En el anterior problema, ¿puede determinarse si A y B son del mismo tipo?

–SOLUCIÓN–

165. SEMI-ZOMBIS

Después del juicio, el Inspector Craig giró una visita a una curiosa isla vecina: Algunos de los nativos eran humanos, algunos eran zombis, y los restantes eran lo que se conoce como semi–zombis. Estos semi–zombis han sido sujetos a magia vudú, pero los hechizos mágicos obtuvieron sólo un éxito parcial. Como resultado, los semi–zombis a veces mienten y a veces dicen la verdad. De nuevo, las palabras nativas para sí y no son «Bal» y «Da» (aunque no es necesario que lo sean respectivamente). Los nativos a veces responden a las cuestiones de si o no en castellano y a veces con «Bal» y «Da».

El Inspector Craig encontró a uno de los nativos y le hizo la siguiente pregunta: «Cuando alguien te pregunta si “Bal” significa sí, y respondes en tu lengua nativa, ¿respondes “Bal”?»

El nativo respondió, pero el Inspector Craig descuidó anotar la respuesta, ni tampoco anotó si fue dada en castellano o en la lengua nativa. Todo lo que el Inspector Craig anotó fue que, partiendo de la respuesta, él fue capaz de deducir si su interlocutor era un humano, un zombi, o un semi–zombi.

¿Qué respuesta le dio el interlocutor? ¿Y fue en castellano o en su lengua nativa?

–SOLUCIÓN–

166. ¿QUÉ?

Otra vez en la misma isla, el Inspector Craig le hizo a otro nativo la siguiente pregunta: «Cuando alguien te pregunta si dos más dos es igual a cuatro, y respondes en tu lengua nativa, ¿respondes “Bal”?»

De nuevo, el inspector Craig dejó de anotar si la respuesta fue «Bal», «Da», «Sí» o «No», pero de nuevo pudo deducir si su interlocutor era un humano, un zombi o un semi–zombi.

¿Qué respuesta obtuvo?

–SOLUCIÓN–

12- ¿VIVE AÚN DRÁCULA?

A. EN TRANSILVANIA

A pesar de lo que Bram Stoker nos ha contado, tengo graves razones para dudar de que el Conde Drácula hubiese sido alguna vez efectivamente aniquilado. Por lo tanto decidí ir a Transilvania para investigar la verdad por mí mismo. Mis propósitos eran: (1) averiguar si el Conde Drácula vivía aún; (2) en el caso de que hubiera sido aniquilado deseaba ver sus verdaderos restos; (3) en el caso de que viviese aún, deseaba tener un encuentro con él.

En la época en que estuve en Transilvania aproximadamente la mitad de sus habitantes eran humanos y la mitad eran vampiros. Los humanos y los vampiros son indistinguibles en su apariencia externa, pero los humanos (al menos en Transilvania) dicen siempre la verdad, mientras que los vampiros mienten siempre. Lo que complica enormemente la situación es que la mitad de los habitantes de Transilvania están totalmente locos y completamente engañados por lo que respecta a sus creencias —creen que todas las proposiciones verdaderas son falsas y que todas las proposiciones falsas son verdaderas. La otra mitad está completamente cuerda y sabe qué proposiciones son verdaderas y qué proposiciones son falsas. Así pues, los habitantes de Transilvania son de cuatro tipos: (1) humanos cuerdos; (2) humanos locos; (3) vampiros cuerdos, y (4) vampiros locos. Todo lo que un humano cuerdo dice es verdadero; todo lo que un humano loco dice es falso; todo lo que un vampiro cuerdo dice es falso, y todo lo que un vampiro loco dice es verdadero. Por ejemplo, un humano cuerdo dirá que dos más dos es igual a cuatro; un humano loco dirá que no es igual a cuatro (puesto que él cree realmente que no lo es); un vampiro cuerdo dirá también que no es igual a cuatro (puesto que él sabe que es igual a cuatro y por tanto miente), y un vampiro loco dirá que es igual a cuatro (puesto que él cree que no es igual a cuatro y, por lo tanto, miente sobre lo que él cree).

167.

Me encontré un día con un transilvano que dijo: «Soy humano o estoy cuerdo.»

¿De qué tipo era exactamente?

–SOLUCIÓN–

168.

Otro habitante dijo: «No soy un humano cuerdo.»

¿De qué tipo era?

–SOLUCIÓN–

169.

Otro habitante dijo: «Soy un humano loco.»

¿Es éste del mismo tipo que el anterior habitante?

–SOLUCIÓN–

170.

Me encontré una vez un habitante y le pregunté: «¿Eres un vampiro loco?» Él respondió: «Sí» o «No», y supe de qué tipo era.

¿De qué tipo era?

–SOLUCIÓN–

171.

Me encontré una vez un transilvano que dijo: «Soy un vampiro.»

¿Puede inferirse si es humano o vampiro? ¿Puede inferirse si está cuerdo?

–SOLUCIÓN–

172.

Supóngase que un transilvano dice: «Estoy loco.»

(a) ¿Puede inferirse si está cuerdo?

(b) ¿Puede inferirse si es humano o vampiro?

–SOLUCIÓN–

173.

La inversa de un enunciado: «Si P entonces Q» es el enunciado «Si Q entonces P». Ahora bien, existen dos enunciados X e Y que son inversos mutuamente y tales que:

(1) Ninguno de los dos enunciados es deducible del otro.

(2) Si un transilvano hace cualquiera de los dos enunciados se sigue que el otro debe ser verdadero.

¿Puedes proporcionar estos dos enunciados?

–SOLUCIÓN–

174.

Dado un enunciado X, supóngase que un transilvano cree que él cree X. ¿Se sigue que X ha de ser verdadero? Supóngase que él no cree que cree X. ¿Se sigue que X ha de ser falso?

–SOLUCIÓN–

175.

Supóngase que un transilvano dice: «Yo creo X.» Si es humano, ¿se sigue que X tiene que ser verdadero? Si es vampiro, ¿se sigue que X tiene que ser falso?

¡La respuesta a este problema constituye un principio general importante!

–SOLUCIÓN–

176.

Me encontré una vez con dos transilvanos, A y B. Pregunté a A: «¿Es B humano?» A replicó: «Eso creo.» Entonces pregunté a B: «¿Crees que A es humano?» ¿Qué respuesta dio B (suponiendo que respondió «Sí» o «No»)?

–SOLUCIÓN–

177.

Definamos a un transilvano como formal si es humano cuerdo o un vampiro loco y como informal si es un humano loco o un vampiro cuerdo. La gente formal es aquella que hace enunciados verdaderos; la gente informal es aquella que hace enunciados falsos (ya sea sin malicia o por engaño).

Supongamos que preguntas a un transilvano: «¿Eres formal?» y él te da un «Sí» o un «No» como respuesta. ¿Puedes determinar a partir de esta respuesta si él es o no un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?

–SOLUCIÓN–

178.

Supongamos, en lugar de eso, que le preguntas: «¿Crees que eres formal?» El te da un «Sí» o un «No» como respuesta. ¿Puedes determinar ahora si él es un vampiro? ¿Puedes determinar si él está cuerdo?

–SOLUCIÓN–

B. ¿VIVE AÚN EL CONDE DRÁCULA?

179.

Recordemos que la primera cuestión importante que deseaba resolver era la de si el Conde Drácula vivía aún. Bien, pregunté a un transilvano sobre el asunto v dijo: «Si yo soy humano, entonces el Conde Drácula vive aún.»

¿Puede determinarse si Drácula vive aún?

–SOLUCIÓN–

180.

Otro transilvano dijo: «Si estoy cuerdo, entonces el Conde Drácula vive aún.» ¿Puede determinarse si Drácula vive aún?

–SOLUCIÓN–

181.

Otro dijo: «Si soy un humano cuerdo, entonces el Conde Drácula vive aún»

¿Puede determinarse si Drácula vive?

–SOLUCIÓN–

182.

Supóngase que un transilvano ha dicho: «Si yo soy un humano cuerdo o un vampiro loco, entonces el Conde Drácula vive aún.»

¿Podría determinarse entonces si Drácula vive aún?

–SOLUCIÓN–

183.

¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, y que te convenciese de que Drácula vive aún y también de que el enunciado es falso?

–SOLUCIÓN–

184.

¿Hay algún enunciado, que un transilvano pudiera hacer, tal que te convenciese de que Drácula vive aún y del cual no pudieses decir si el enunciado es verdadero o falso?

–SOLUCIÓN–

185.

Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes:

(1) Estoy cuerdo.

(2) Creo que el Conde Drácula está muerto.

¿Podría inferirse si Drácula vive?

–SOLUCIÓN–

186.

Supóngase que un transilvano hace los dos enunciados siguientes:

(1) Soy humano.

(2) Si soy humano, entonces el Conde Drácula vive aún.

¿Podría determinarse si Drácula vive aún?

–SOLUCIÓN–

C. ¿QUÉ PREGUNTA DEBE HACERSE?

187.

¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él es o no un vampiro?

–SOLUCIÓN–

188.

¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si él está o no cuerdo?

–SOLUCIÓN–

189.

¿Qué pregunta podrías hacerle a un transilvano que le forzase a responder «Sí», independientemente de a cuál de los cuatro tipos pertenezca?

–SOLUCIÓN–

190.

¿Puedes con una pregunta obtener información de un transilvano sobre si el Conde Drácula vive aún?

–SOLUCIÓN–

D. EN EL CASTILLO DE DRÁCULA

Si hubiera tenido ojo y me hubiera dado cuenta de la respuesta al último problema me hubiera evitado un sinfín de desgracias. Pero estaba entonces tan aturullado, tan aturdido por esta clasificación entrecruzada de cuerdos y locos sobrepuesta a la de los que mienten y dicen verdad, que no podía pensar correctamente. Además, estaba un poco nervioso al estar en compañía de transilvanos, algunos de los cuales eran vampiros. ¡Y, con todo, me esperaba aún una situación más desconcertante!

Aún no sabía si el Conde Drácula estaba vivo. Me parecía que solamente podría encontrar la respuesta si podía llegar al Castillo de Drácula. Por aquel entonces bien poco me daba cuenta de que esto, por razones que más adelante descubrirás, solamente complicaría el asunto. Sabía perfectamente dónde esta el Castillo de Drácula y sabía que allí había mucha actividad. Sabía también que el castillo tenía un anfitrión, pero no sabía si este anfitrión era el Conde Drácula (dejando de lado la cuestión de si Drácula estaba aún vivo). Ahora bien, la admisión en el Castillo de Drácula era solamente mediante invitación, y las invitaciones se daban solamente a la flor y nata de la sociedad transilvana. Por lo tanto tuve que invertir varios meses de ardua escalada social antes de que me encontrase en una posición lo suficientemente elevada para ser invitado. El día llegó finalmente y recibí una invitación para asistir a una fiesta de varios días y noches de duración en el Castillo de Drácula.

Fui con grandes esperanzas y en seguida recibí mi primer chasco. Poco tiempo después de entrar en el castillo, me di cuenta de que había olvidado coger, en medio de mi apresuramiento, mi cepillo de dientes, un ajedrez de bolsillo y algún material de lectura. Así pues, me dispuse a dirigirme hacia la puerta para volver a mi hotel, pero fui interceptado por un transilvano fortachón y de aspecto brutal que me dijo educadamente, pero con gran firmeza, que una vez que una persona entra en el Castillo de Drácula, no puede en ningún caso abandonarlo sin permiso del anfitrión. «Entonces», dije yo, «me gustaría hablar con el anfitrión». «Por ahora esto es, absolutamente imposible», me informó, «pero yo puedo recoger un mensaje para él, si usted quiere». Bien, envié al anfitrión un mensaje preguntándole si podía abandonar el castillo durante un momento. La respuesta llegó rápidamente; era breve y además nada tranquilizadora. Decía: «Naturalmente, no.»

En consecuencia, estaba prisionero en el Castillo del Conde Drácula. Bien, ¿qué podría hacer yo? Obviamente, por el momento nada; así, a la manera realmente propia del Zen, decidí disfrutar de la noche en aquello que merecía la pena y entrar en acción en cuanto la primera oportunidad se presentase.

El baile de aquella noche fue lo más magnífico que haya visto o leído alguna vez. Hacia las dos de la mañana decidí retirarme y se me mostró mi habitación. Asombrosamente, a pesar del infinito peligro en el que estaba, dormí profundamente. Me desperté hacia el mediodía del día siguiente y, después de una buena comida, me mezclé con los huéspedes, esperando obtener más información. Entonces recibí mi segunda sorpresa. Toda la gente (excepto yo mismo) pertenecía a un pequeño subgrupo de transilvanos de élite que en lugar de usar las palabras «Sí» y «No», usaban las palabras «Bal» v «Da» —¡precisamente del mismo modo que en la isla de los zombis! Así pues, me encontraba metido en una situación rodeado de los denominados «transilvanos de élite», cada uno de los cuales era o humano o vampiro, estaba loco o estaba cuerdo y, para remachar todo esto, no sabía lo que significaban las palabras «Bal» y «Da». De este modo las complejidades de los primeros transilvanos no pertenecientes a la «élite» a los que había interrogado fuera del castillo se combinaban con las complejidades de la isla de los zombis. Parecía que con mi llegada al castillo había pasado de Guatemala a Guatapeor.

Bien, al darme cuenta de esto, temo que perdí toda mi compostura propia del Zen y estuve absolutamente deprimido durante el resto del día. Me retiré temprano, sin preocuparme tan siquiera por ver la segunda noche de fiestas. Me encontraba rendido, incapaz de dormir o de pensar. Entonces, de repente, me sobresalté. Me di cuenta de que las nuevas complicaciones Bal–Da eran en realidad fácilmente manejables. Emocionadamente, tomé mi pluma y mi cuaderno de notas y comencé de inmediato a resolver los problemas siguientes:

191.

Con una pregunta (susceptible de ser respondida por «Bal» o «Da») podía averiguar de alguien del castillo si era o no vampiro.

–SOLUCIÓN–

192.

Con una pregunta podía averiguar si estaba cuerdo.

–SOLUCIÓN–

193.

Con una pregunta podía averiguar lo que significaba «Bal».

–SOLUCIÓN–

194.

Si lo desease podría plantear a cualquiera del castillo una pregunta tal que le forzase a responder «Bal».

–SOLUCIÓN–

195.

¡Con una pregunta podía averiguar si Drácula vive! ¿Cuáles son esas preguntas?

–SOLUCIÓN–

E. EL ENIGMA DE DRÁCULA

¡Llegamos ahora al punto culminante! Al día siguiente obtuve toda la información que deseaba. Drácula estaba realmente vivo y era, de hecho, mi anfitrión. Ante mi sorpresa, averigüé también que Drácula era un vampiro loco y, por lo tanto, todo enunciado que él hacía era verdadero.

Pero ¿de qué me servía saber esto, ahora que estaba a merced del destino y corría el riesgo de ser convertido en un vampiro y perder mi alma para siempre? Después de algunos días concluyeron los festejos y se permitió marchar a todos los huéspedes excepto a mí. De modo que, virtualmente solo en lo que ahora era un lúgubre y macabro castillo, era prisionero de un anfitrión con el que hasta ahora no había tenido ningún contacto.

No tuve que esperar mucho tiempo. Poco antes de medianoche se me sacó groseramente de un sueño profundo y fui escoltado, de manera educada pero firme, a las habitaciones privadas del Conde Drácula que, evidentemente, había solicitado tener una entrevista conmigo. Mi guía marchó y he aquí que me encontré frente al mismísimo Conde Drácula. Después de lo que me pareció una eternidad de silencio, Drácula dijo: «¿Sabe usted que yo siempre doy a mis víctimas alguna posibilidad de escapar?»

«No», respondí sinceramente, «no sabía esto».

«Oh», replicó Drácula, «realmente no podría pensar en privarme de este gran placer».

Por alguna razón, no acabó de gustarme el tono de voz con el que dijo esto: tenía un cierto sabor a arrogancia.

«Usted verá», continuó Drácula, «yo le planteo a mi víctima un enigma. Si en un cuarto de hora adivina correctamente la respuesta, lo dejo en libertad. Si no logra adivinarla, o si la adivina mal, le ataco y se convierte en un vampiro para siempre».

«¿En un vampiro cuerdo o en uno loco?», pregunté yo inocentemente.

Drácula se volvió lívido de rabia. «Sus chistes no tienen ninguna gracia», gritó. «¿Se da usted cuenta completamente de la gravedad de la situación? No suelo estar de humor para bromas frívolas. Alguna cosa más de este tipo y no le daré ni siquiera la oportunidad usual.»

Asustado a medida que iba diciendo todo esto, mi reacción inmediata fue ante todo de curiosidad respecto al hecho de por qué Drácula estaría dispuesto a arriesgarse a perder una víctima. «¿Qué es lo que le mueve a esta generosidad deportiva?», le pregunté.

«¿Generosidad?», dijo Drácula con un aire desdeñoso. «No tengo ni un solo átomo de generosidad en mi cuerpo. Se trata solamente de que el enorme placer sádico que obtengo al observar a mi víctima retorcerse, escribir, convulsionarse bajo esta angustiosa gimnasia mental».

Compensa con creces la posibilidad infinitesimal de que la pierda.

Esta palabra «infinitesimal» no era demasiado consoladora, que digamos.

«Oh sí», continuó Drácula, «jamás hasta ahora he perdido una víctima; como usted verá, no estoy corriendo demasiado riesgo».

«Muy bien», dije, dándome a mi mismo ánimos de la mejor manera que pude, «¿en qué consiste el enigma?».

196.

Drácula me miró examinándome durante algún tiempo. «Sus preguntas a mis huéspedes eran muy inteligentes —sí, sí, lo sé todo sobre ellas. Realmente eran muy inteligentes, pero no tan inteligentes como usted podría pensar. Usted tenía que haber diseñado una pregunta separada para cada fragmento de información que deseaba obtener; usted no dio nunca con un principio simple y unificador que le hubiera evitado a usted mucho trabajo mental. Existe una oración O que tiene la propiedad casi mágica de que, dada cualquier información que usted desee saber, dada cualquier oración X cuya verdad usted desee averiguar, todo lo que usted tiene que hacer es preguntar a cualquiera que esté en este castillo: “¿Es O equivalente a X?”. Si usted obtiene como respuesta “Bal”, X tiene que ser verdadera; si usted obtiene “Da” como respuesta, X tiene que ser falsa. Así, por ejemplo, si usted desease averiguar si el hablante es un vampiro, tendría que preguntar: “¿Es O verdadera si y sólo si usted es un vampiro?” Si usted desease averiguar si está cuerdo, no tendría que preguntar más que: “¿Es O verdadera si y sólo si usted está cuerdo?” Para haber averiguado lo que significa “Bal”, usted sólo habrá tenido que preguntar: “¿Es O verdadera si y sólo si ‘Bal’ significa sí?” Para averiguar si yo vivía aún, usted podría haber preguntado: “¿Es O verdadera si y sólo si Drácula vive aún?”, etc.»

«¿Cuál es esa oración O?», pregunté yo con enorme curiosidad. «Ah», replicó Drácula. «Es asunto suyo el averiguarlo. ¡Este es su enigma!».

Al decir esto Drácula se puso en pie para abandonar la habitación. «Tiene usted quince minutos. Haría bien en discurrir con ahínco. Los riesgos son muy elevados.»

¡Verdaderamente eran muy elevados! Aquellos fueron los quince minutos más penosos de mi vida. Estaba tan paralizado por el miedo que tenía la mente en blanco. Estaba seguro de que Drácula me estaba observando secretamente desde algún lugar oculto.

Cuando habían transcurrido los quince minutos Drácula volvió triunfantemente y comenzó a revolotear a un alrededor con los colmillos hechos agua. Se me fue acercando más y más, hasta que le tuve prácticamente encima. Entonces de repente levanté la mano y grité: «Naturalmente, la oración O es…»

¿Cuál es la oración O que me salvó?

EPÍLOGO DE 196.

El shock recibido por el pobre Drácula ante el hecho de que yo hubiese resuelto su enigma fue tan grande que pereció en el acto, y pocos minutos después se desintegró convertido en ceniza. Ahora cuando alguien me pregunta. «¿Vive aún el Conde Drácula?», puedo responder veraz y adecuadamente: «Bal.»

–SOLUCIÓN–

197.

Existen cuatro inconsistencias menores en esta historia. ¿Podrías detectarlas?

–SOLUCIÓN–

PARTE CUARTA

La lógica es una cosa maravillosa

13- LA LÓGICA Y LA VIDA

A. ALGUNAS CARACTERIZACIONES DE LA LÓGICA

198. LA CARACTERIZACIÓN DE LA LÓGICA DE TWEEDLEDUM

Me encanta la siguiente caracterización de la lógica que da Tweedledee.

Tweedledee (a Alicia): Sé lo que estás pensando, pero no es así de todas formas.

Tweedledum: Al contrario, si fue así, podría ser; y si fuera así, sería; pero como no es, no es. La lógica es así.

199. LA CARACTERIZACIÓN DE THURBER

En Las trece chimeneas Thurber da una caracterización de la lógica que dice más o menos así: Dado que se puede tocar un reloj sin pararlo, será posible ponerlo en marcha sin tocarlo.

Así es cómo yo veo y entiendo la lógica.

200.

La caracterización de Thurber me recuerda algo mi silogismo favorito: Algunos coches ratean. Mi coche es algún coche. ¡Luego no es raro que mi coche ratee!

201. OTRA CARACTERIZACIÓN DE LA LÓGICA

Un amigo mío —ex–oficial de policía, cuando se enteró que mi profesión era la de lógico, me dijo: «Déjame que te explique cómo veo yo la lógica. El otro día estábamos mi mujer y yo en una reunión y la señora de la casa nos ofreció tarta. En la bandeja había sólo dos trozos, uno mayor que otro. Me quedé un momento pensando y cogí el mayor. Mi razonamiento fue el siguiente: Sé que a mi mujer le gustan las tartas y sé que ella sabe que a mí también me gustan. También sé que ella me quiere y desea todo lo mejor para mí, de manera que ella habría querido que cogiera el trozo más grande. Por eso lo cogí.»

202.

Lo anterior me recuerda la historia de dos señores que estaban en un restaurante y pidieron pescado. El camarero trajo una fuente con dos peces, uno mayor que el otro. Uno de nuestros señores le dijo al otro: «Sírvete, por favor», y el otro se sirvió el pez grande. Tras un tenso momento de silencio, el primero dijo: «La verdad que si yo me hubiera servido antes que tú, me habría puesto el pequeño.» Y el otro le contesto: «¿De qué te quejas? Ahí lo tienes, ¿no?»

203.

Lo que también me trae a la mente la historia de aquella señora que fue a un banquete y, cuando le llegó la bandeja de plata con los espárragos, cortó todas las puntas, se las sirvió y le pasó la bandeja a su vecino. «¿Pero cómo hace usted una cosa semejante?, ¿por qué se coge todas las puntas y me pasa los tallos?» «Es que las puntas son mejores, ¿no lo sabía usted?»

204.

Una vez vi este chiste en un periódico: Un niño y una niña van andando por una acera. El niño va por la parte de dentro. Pasa un camión por la calle, que está toda embarrada y pone perdida a la niña. El niño la mira y le dice: «¿Te das cuenta ahora por qué yo no voy por el lado de fuera como un caballero?»

205.

También me gusta esta caracterización de la ética. Un niño le pregunta a su padre: «Papá, ¿qué es la ética?» «Te lo voy a explicar, hijo mío. El otro día entró una señora en la tienda y me dio un billete de 5000 creyendo que eran 1000. Yo tampoco me di cuenta y le di la vuelta de las 1000. Horas después vi allí el billete y me di cuenta de lo que había pasado. La ética, hijo mío, es el preguntarme: “¿Tengo que decírselo a mi compañero (y repartir)?”»

206.

Un día fui a un restaurante chino con un amigo que es matemático. El menú tenía una advertencia que decía: «Precio extra por todo servicio extra.» Mi amigo señaló: «Realmente, podían haber quitado la segunda y la última palabra.»

207.

Una vez vi el siguiente cartel en un restaurante:

LA BUENA COMIDA NO ES BARATA

LA COMIDA BARATA NO ES BUENA

¿Estas dos oraciones dicen o no dicen lo mismo? La respuesta sería que, hablando lógicamente, dicen exactamente lo mismo; ambas son equivalentes al enunciado de que no hay comida a la vez buena y barata. Pero, aunque ambos enunciados sean lógicamente equivalentes, psicológicamente sugieren cosas diferentes: al leer la primera fase, me imagino unos platos muy refinados y caros pero, cuando leo la segunda, lo primero que veo es una comida barata y podrida. Y no creo que mi reacción sea atípica.

B. ¿ES USTED FÍSICO O MATEMÁTICO?

208.

Hay un problema muy famoso sobre dos garrafas que una tiene 10 litros de agua y la otra 10 litros de vino. Se echa tres litros de agua en la garrafa del vino y, tras revolverlo todo, se vuelven a echar tres litros de la mezcla en el recipiente del agua. Después de los trasiegos ¿qué habrá, más agua en la garrafa del vino o más vino en la garrafa del agua?

Hay dos maneras de resolver el problema, una aritmética y otra de sentido común. De las dos prefiero con mucho la última. La solución por el método aritmético es la siguiente: Después de echados 3 litros de agua en el recipiente del vino, tendremos en éste 13 litros de mezcla consistente en 3/13 de agua y 10/13 de vino. Tras echar 3 litros de la mezcla de vuelta en la garrafa del agua, habré echado 3 x 10/13 = 30/13 litros de vino al agua, de forma que el recipiente del agua contendrá ahora 10/13 litros de vino. Ahora, antes del segundo trasiego la garrafa del vino contenía 3 litros de agua y, de la mezcla, se había devuelto al recipiente del agua 3 x 3/13. Así pues la garrafa del vino tiene ahora 3 – 9/13 litros; pero 3 – 9/13 = 39/13 – 9/13 = 30/13, de manera que la garrafa del vino tiene exactamente la misma cantidad (30/13) de agua que la garrafa de agua tiene de vino.

La solución por el método del sentido común es mucho más rápida y, también, nos hace pensar en algo mucho más general: Dado que las cantidades de líquido de ambos recipientes sigue siendo la misma, es evidente que cualquiera que sea el agua que falte de la garrafa del agua ha sido reemplazada por el mismo volumen de vino. Y con esto se resuelve el problema. Evidentemente, esta solución de «sentido común» no te da el volumen, mientras que la solución aritmética te dice que es 30/13. Pero, en cambio, la solución de «sentido común» se puede aplicar igualmente al siguiente problema más general (que el método aritmético no puede resolver).

Para empezar, tenemos los mismos recipientes que antes y echamos el líquido del uno en el otro repetidas veces sin especificar cuántas veces ni qué cantidad de liquido, ni tampoco es necesario que se eche la misma cantidad cada vez pero, terminados los trasiegos, tendremos 10 litros en cada recipiente. ¿Qué habrá, más agua en el del vino o más vino en el del agua?

Por el mismo razonamiento de sentido común, las cantidades tendrán que ser las mismas, pero ahora sí que no podremos saber el volumen exacto.

209.

Cuando me pusieron el problema anterior, se me ocurrió inmediatamente la pregunta siguiente: Empezamos de nuevo con la garrafa de los 10 litros de agua. A, y la segunda garrafa de los 10 litros de vino, B. Pasamos 3 litros de uno a otro cualquier número finito de veces, ¿cuál será el menor número de trasiegos necesarios para que la mezcla tenga el mismo porcentaje de vino en uno y otro?

La solución que se me ocurría es que era imposible lograr esto en un número finito de pasos. Independientemente de cuánto vino haya en una garrafa y cuánta agua en la otra, e independientemente de cuánto líquido se trasiegue cada vez (y siempre que nunca llegue a vaciarse una garrafa dentro de la otra), la concentración de vino de B siempre será mayor que la de A, lo que puede demostrarse por un sencillo argumento de inducción matemática. En un principio, la concentración de vino de B es, evidentemente, superior a la de A. Supongamos, llegado un cierto punto, que B sigue estando más concentrada que A. Si echamos una cantidad de B en A, habremos echado una mezcla más fuerte en otra más diluida y, por tanto, B seguirá siendo más fuerte que A. Si echamos de A en B, B seguirá siendo más fuerte que A. Como todos los trasiegos que hagamos responderán a uno de estos dos tipos, es evidente que B siempre tendrá una mayor concentración que A. La única manera de igualar la mezcla es vaciar un jarro en el otro.

Ahora bien, visto el problema como puramente matemático, mi razonamiento es impecable. Sin embargo, visto como algo del mundo físico real, mi razonamiento es un tanto equívoco, pues da por hecho que los líquidos son infinitamente divisibles, cuando en realidad están compuestos de moléculas, detalle que le hizo observar Argyle (Royal Oak, British Columbia) a Martin Gardner. Argyle calculó que después de 47 dobles intercambios, la posibilidad sería alta de que la concentración fuera la misma en uno y otro recipiente[10].

No sé si la solución de Argyle es correcta si el número de moléculas del recipiente del vino es impar en vez de par. En cualquier caso, a mí este problema jamás en un millón de años se me habría ocurrido verlo como físico en vez de matemático.

210. PRUEBA DEL IMÁN

Martin Gardner da el siguiente problema[11]: Nos encontramos en una habitación en que no hay ningún metal de ningún tipo excepto dos barras de hierro, la una está imantada y la otra no. Podremos saber cuál es el imán atándoles un cordón a cada una en el centro y colgándolas. La que apunte hacia el Norte será el imán. Pero ¿hay otro método más sencillo de averiguarlo?

La solución dada era la de coger una de las barras y tocar con su extremo el centro de la otra. Si la atrae tendremos en la mano el imán, si no es que el imán es la otra barra.

Esta solución «del físico» es completamente «lógica» y es mucho más sencilla que atarlas, colgarlas, etc. Pero a mí, que soy fundamentalmente lógico y no físico, se me ocurrió otro procedimiento que está a mitad de camino entre los dos. En lugar de atar las dos barras y colgarlas, atar sólo una y ver si apunta o no al Norte.

211. ¿Y TÚ QUÉ?

¿Eres del tipo matemático o del físico? Para averiguarlo hay una prueba deliciosa: Supongamos que estás en un refugio de montaña en que hay una cocina apagada, una caja de cerillas, un grifo con agua fría corriente y un cazo vacío. ¿Cómo harías para tener un cazo de agua caliente? Evidentemente contestarías que llenarías el cazo de agua fría, encenderías la cocina, y pondrías el cazo al fuego hasta que el agua estuviera caliente. A lo que te respondo, «Bien, hasta aquí no hay diferencia alguna entre el matemático y el físico, pero el problema siguiente ya delimita los campos».

En este problema, estamos de nuevo en un refugio de montaña en que hay una cocina apagada, una caja de cerillas, un grifo con agua fría corriente y un cazo lleno de agua fría. ¿Cómo harías para tener un cazo de agua caliente? La mayoría contesta: «Pues encendería la cocina y pondría el cazo con el agua fría al fuego», a lo que respondo «¡Entonces eres físico! El matemático habría tirado el agua fría del cazo, reduciendo el caso al problema anterior que ya está resuelto».

Pero vamos un paso más allá, y tenemos que el cazo de agua fría está ya al fuego, ¿cómo tendremos agua caliente? El físico simplemente espera a que se caliente; el matemático apaga la hornilla, tira el agua fría y reduce el caso al primer problema (o sólo apaga la cocina y lo reduce al segundo).

Una variante todavía más dramática es esta: Una casa en llamas, una boca de riego y una manguera desconectada, ¿cómo se apaga el fuego? Primero se enchufa la manguera a la boca de riego y luego se riega el edificio. Pero supongamos ahora que tenemos la boca de riego, la manguera desconectada y una casa que no está en llamas, ¿cómo apagarías el fuego? El matemático prendería fuego a la casa reduciendo así el problema al primer caso.

212. VON NEUMANN Y EL PROBLEMA DE LA MOSCA

Este problema se puede resolver por el método «difícil» o por el «fácil».

Dos trenes, que van en la misma dirección y sentido contrario, están a 200 kilómetros el uno del otro; los dos unían a 50 kilómetros por hora. Una mosca empieza a volar del uno al otro —empezando por la parte delantera de uno de ellos— a una velocidad de 75 kilómetros la hora. Los trenes chocan y la mosca muere aplastada. ¿Cuántos kilómetros de vuelo hizo?

La mosca tocará cada tren un número infinito de veces untes de que la aplasten, y el problema se podría resolver sumando una serie infinita de distancia (cada vez más cortas, claro está, que convergen en una cantidad finita determinada) —éste sería el método «difícil», y habría que hacerlo con papel y lápiz. El camino «fácil» sería el siguiente: si los trenes están a 200 kilómetros uno de otro y los dos van a 50 kilómetros por hora, los trenes tardarán en chocar dos horas, y, por tanto, la mosca habrá estado volando dos horas; como volaba a 75 kilómetros por hora, habrá volado 150 kilómetros. ¡Y ya está resuelto!

Pues bien, al gran matemático Von Neumann le dieron este problema, pensó unos segundos y dijo «¡Ah, claro, 150 kilómetros!». «Muy bien, ¿cómo lo hiciste?» «Sumé la serie», dijo Von Neumann.

213.

Y ahora un chiste sobre Von Neumann: Un grupo que estaba construyendo una nave espacial le hizo una consulta. Cuando éste vio aquella estructura acabada les preguntó de dónde habían sacado los planos para la nave. «Tenemos nuestro equipo de ingenieros.» «¡Ingenieros! Tengo pergeñada toda la teoría matemática de los cohetes espaciales. Léanse mi articulo de 1952.» El grupo se estudió el artículo, deshizo totalmente su estructura de 10 millones de dólares e hizo un nuevo cohete siguiendo exactamente el proyecto de Von Neumann. El cohete explotó en el momento mismo del lanzamiento y los componentes del grupo llamaron furiosos a Von Neumann para pedirle cuentas: «Seguimos sus instrucciones al pie de la letra. ¡Y cuando lo pusimos en marcha, estalló!» «¿Qué? —dijo— ¡Ay, sí!, ese es conocido técnicamente como el problema de la explosión, hablo de él en mi articulo de 1954.»

214.

Hay una historia, que dicen que es verdad, de una niña que vivía en Princeton. Nueva Jersey, que iba mal en matemáticas. De pronto, en dos meses y sin que se supiera por qué, adelantó de manera impresionante. Un día su padre le preguntó si sabía a qué se debía aquello. «Me dijeron que había un profesor aquí que era de verdad bueno en matemáticas. Me fui a su casa, llamé a la puerta y desde entonces voy todos los días a que me explique. ¡De verdad que enseña bien!» La madre, sorprendidísima, le preguntó si sabía cómo se llamaba, pero la niña le dijo que no, que «algo como Einstein».

215.

Y otra, también de Einstein, de que un día le dijo a un colega que a él no le gustaba enseñar en sitios de coeducación porque con todas las chicas guapas que había en las clases los chicos no atendían a las matemáticas ni a la física. Y los amigos le dijeron: «Vamos, déjate de tonterías. Albert, los chicos claro que escuchan lo que tú dices.» «Bah, a esos no merece la pena enseñarles nada.»

216.

El siguiente chiste ilustra perfectamente la diferencia entre el físico y el matemático:

Un físico y un matemático van en avión de California a Washington, D. C. Cuando sobrevuelan Kansas ven una oveja negra. El físico dirá que «en Kansas hay una oveja negra». El matemático que «en un punto del Medio Oeste… existe… una oveja… con la parte de arriba negra».

C. GENTES DE VERMONT

217.

La historia anterior me recuerda lo que se contaba de Calvin Coolidge cuando fue de visita a una granja con unos amigos. Estando allí vieron un rebaño de ovejas y uno de los amigos dijo «Se ve que acaban de esquilar a las ovejas». «De este lado parece que si», comentó Coolidge.

218.

Cuando le iban a presentar al humorista Will Rogers al Presidente Coolidge, le dijeron, «ya sabes que a Coolidge no hay quien le haga reír». Rogers aseguró que él si que le iba a hacer reír y ¡efectivamente lo consiguió! En el momento de la presentación, y al oír las palabras de ritual «Sr. Rogers, tengo el gusto de presentarle al Presidente Coolidge», Rogers miró al Presidente y dijo «Perdón; no he entendido bien su nombre».

219.

Como todos saben, Calvin Coolidge era de Vermont y a mi me encantan las historias de la gente de Vermont. Hay una de un hombre que pasó por delante de una casa en que estaba un granjero de Vermont meciéndose en su mecedora en el porche. «¿Qué, ahí meciéndote toda la vida?» «No, aún no», replicó el granjero.

220.

Típico de los de Vermont —o por lo menos de cómo los pintan en los chistes— es que cuando se les pregunta algo, contestan con toda precisión, pero casi siempre se les olvida decir lo más importante, como por ejemplo en este chiste: Un granjero de Vermont va a la granja de su vecino y le pregunta: «Lem, ¿qué le diste al caballo el año pasado cuando tuvo el cólico?» «Salvado y melaza.» El granjero se fue a su casa y una semana después volvió a ver a su vecino, «Lem, le di salvado y melaza a mi caballo y se murió». «Lo mismo que el mío.»

221.

Pero mi preferido es el del turista que está viajando por Vermont y llega a un cruce de carreteras: en una de ellas hay una señal que dice: «A White River Junction» y en la otra señal que dice exactamente lo mismo. El turista se rasca la cabeza sin comprender nada, pero en esto ve a uno de allí que llega al cruce y le pregunta: «¿Da lo mismo si voy por una carretera o por la otra?» «A mí sí», le contesta el de Vermont.

D. ¿EVIDENTE?

222.

Esta anécdota se les ha atribuido a muchos matemáticos diferentes: Un profesor de matemáticas durante una clase da un enunciado y luego dice «Esto es evidente». Un alumno levanta la mano y pregunta «¿Por qué es evidente?». El profesor se queda pensando un momento, sale de la clase, y a los veinte minutos vuelve y dice «¡Sí, es evidente!» y continúa su clase.

223.

Hay otra historia de un profesor que se encuentra a un alumno en el pasillo inmediatamente después de acallada la clase y éste le dice «Profesor, no he entendido bien la demostración que hizo usted del Teorema 2. ¿Me lo puede volver a explicar?». El profesor se quedó un rato como en trance y de repente volviendo a la tierra le dijo: «Sí, luego así queda demostrado.» «Pero ¿cómo se demuestra?» El profesor volvió a quedarse en trance, y después de unos minutos dijo: «… luego la demostración es correcta». «Seguro —dijo el alumno —pero aún no me ha dicho usted cuál es la demostración.» «Bueno, te lo demostraré por otro procedimiento», dijo el profesor y volvió a su estado de trance, del que salió diciendo «que igualmente lo demuestra». El pobre alumno se le quedó mirando más asombrado todavía que las otras dos veces. «Mira, te he hecho ya tres demostraciones, si ninguna de ellas la entiendes, creo que no hay nada que hacer», y se fue.

224.

Se cuenta que un famoso físico dio una conferencia a un grupo de especialistas y al acabar dijo que le podían hacer las preguntas que quisieran. Uno de los del público levantó la mano, «No he entendido su demostración del Teorema B». A lo que el físico contestó: «Eso no es ninguna pregunta.»

225.

Cuando yo estaba haciendo el doctorado en Princeton, corría por allí la siguiente explicación del significado de la palabra «evidente» según quien fuera el profesor del departamento de matemáticas que la utilizara. (En vez de los nombres, usaré letras.) Cuando el Profesor A dice que algo es evidente, quiere decir que si te vas a casa y te quedas dándole vueltas dos semanas, al final verás que es verdad.

Cuando el Profesor L dice que algo es evidente, quiere decir que te vas a tu casa, te lo piensas el resto de la vida y a lo mejor un día lo ves.

Cuando el Profesor C dice que algo es evidente quiere decir que toda la clase lo sabía ya desde hacia dos semanas.

Cuando el Profesor F dice que algo es evidente quiere decirse que probablemente sea falso.

E. PROFESORES DISTRAÍDOS

226.

Hay una historia de un alumno que se encuentra a un profesor en el pasillo y le pregunta «¿Ha comido usted ya?». El profesor se queda pensando y luego le dice: «Dígame, ¿hacia dónde iba yo cuando me paró usted?»

227.

Una vez me contaron una anécdota del matemático David Hilbert y yo se la conté a un físico qué me dijo que a él le habían contado lo mismo de Ampere. Lo que a mí me contaron era esto: El Profesor Hilbert y su mujer dieron una fiesta. Al llegar un invitado la mujer llevó al profesor a una esquina y le dijo: «David, sube y cámbiate la corbata.» Hilbert subió y al cabo de una hora aún no había bajado. Su mujer, muy preocupada, subió al dormitorio y se encontró a Hilbert en su cama dormido. Le despertó y ¿qué había pasado?, que una vez quitada la corbata, mecánicamente se había seguido desnudando y se había metido en la cama sin darse cuenta.

228.

Pero la historia de sabios distraídos que más me gusta es la que se cuenta de Norbert Wiener. No tengo ni idea de si es verdad o no (aunque sí podría serlo porque Wiener, en sus últimos años, estaba casi ciego); sea como fuere, la historia es así:

Los Wiener se iban a mudar de un barrio de Cambridge a otro. La Sra. Wiener que conocía el despiste de su marido, decidió metérselo en la cabeza y, un mes antes de la mudanza, por la mañana antes de que saliera para clase, le dijo: «Norbert, dentro de treinta días nos mudamos, acuérdate que entonces, a la salida de clase, tendrás que coger el autobús B en vez del A.» «Sí, querida.» A la mañana siguiente la Sra. Wiener le dijo a su marido: «Norbert, dentro de veintinueve días nos mudamos. Acuérdate que a la salida de clase tendrás que tomar el autobús B en vez del A.» «Sí, querida.» Y así todos los días hasta que llegó el día de la mudanza y la señora Wiener dijo: «Hoy es el día, Norbert; cuando salgas de clase toma el autobús B en lugar del A.» «Sí, querida, sí.» Pero, claro está, al salir de clase tomó el autobús A y se fue a la casa antigua; al llegar y verla vacía volvió a tomar el autobús A hasta Harvard Square, allí tomó el B, se bajó en la parada que tenía que bajarse y una vez en la acera se dio cuenta que se le habían olvidado las señas. Dio unas cuantas vueltas alrededor hasta que empezó a hacerse de noche. En esto vio una niña, se acercó a ella y le dijo: «Perdona, ¿no sabrás, por casualidad, dónde viven los Wiener?» «Venga, papá, que te llevo a casa.»

F. MÚSICOS

229.

El compositor Robert Schumann escribió al principio de una de sus composiciones: «Para tocar todo lo deprisa que se pueda.» Meses después escribía «Más deprisa».

230.

Se cuenta que Richard Wagner iba un día por una calle de Berlín y se tropezó con un organillero que estaba tocando la obertura de Tannhauser. Wagner se paró y le dijo: «La verdad es que lo toca usted un poco demasiado deprisa.» El organillero le reconoció inmediatamente y, llevándose la mano a la gorra, le dijo: «¡Uy, muchas gracias Herr Wagner, muchísimas gracias!»

Al día siguiente Wagner volvió a la misma esquina y se encontró con el organillero que estaba tocando la obertura tal como debía ser. Detrás llevaba un cartel que decía Alumno de Richard Wagner.

231.

Hay una anécdota de cuatro músicos de la orquesta sinfónica de Boston que habían ido a remar. Uno de ellos se cayó al agua y gritó: «¡Socorro! No sé nadar.» Uno de los otros dijo «Finge que lo haces».

232. BRAHMS Y EL CUARTETO DE CUERDA AMATEUR

Se cuenta que el compositor Johannes Brahms tenía cuatro amigos que tocaban instrumentos de cuerda, y que eran malos músicos, pero tan simpáticos que a Brahms le gustaba andar con ellos. Un día decidieron darle una sorpresa a Brahms y se pasaron seis meses ensayando asiduamente el último cuarteto suyo. Un día, en una fiesta, le llevaron a un rincón y el primer violín le dijo: «Johannes, tenemos una sorpresa para ti. Ven con nosotros a esa otra habitación.» Brahms les siguió a la otra habitación, ellos sacaron sus instrumentos y comenzaron a tocar el cuarteto tan mal que, al final del primer tiempo, Brahms se levantó, sonrió amablemente aunque con dificultad y se encaminó hacia la puerta. El primer violín salió corriendo detrás de él diciendo: «Johannes, ¿qué tal lo hemos hecho?, ¿estaba bien el tempo?» «Vuestros tempos estaban bien; creo que me gustó más el tuyo», contestó Brahms.

G. COMPUTADORES

233.

Se han llevado a cabo muchos experimentos en que se da a traducir al ruso a un computador una oración inglesa —preferentemente una frase hecha— y el resultado se le da a otro computador para que lo traduzca de nuevo al inglés. El objetivo es comprobar el grado de distorsión resultante.

En una ocasión lo hicieron con el dicho de que «el espíritu es fuerte, pero la carne es débil», que se convirtió en «el vodka es bueno, pero la carne está estropeada».

234.

Otra vez le tocó al dicho «ojos que no ven, corazón que no siente», que dio «estúpido cegato».

235.

Hay un chiste de un vendedor de IBM que quería vender un computador que «lo sabía todo»; le dijo a un cliente: «Pregúntele lo que quiera, que le contestará.» «Vale, ¿dónde está mi padre?» La máquina pensó unos instantes y le salió una tarjeta que decía: «Su padre está pescando en Canadá.» «Ja, dijo el cliente, esta máquina no vale para nada, mi padre se ha muerto hace unos años.» A lo que el vendedor replicó que había que hacerle las preguntas en un lenguaje más preciso y, acercándose al computador le preguntó: «Este hombre está delante de ti: ¿dónde está el marido de su madre?» El computador pensó un momento y le salió otra tarjeta: «El marido de su madre murió hace años. Su padre está ahora pescando en Canadá.»

236.

La primera vez que un avión automatizado despegó los pasajeros estaban algo preocupados. En esto la voz arrulladora y tranquilizante del computador se oyó por los altavoces: «Señoras y caballeros tienen ustedes el privilegio de estar volando en el primer avión totalmente automático. Nada de pilotos con sus fallos humanos, están siendo conducidos por computadores infalibles. Atenderemos todas sus necesidades. No tienen que preocuparse de nada… preocuparse de nada… preocuparse de nada… preocuparse de nada…»

237. EL COMPUTADOR MILITAR

El chiste de computadores que más me gusta es el del computador militar. El ejército acaba de enviar un cohete a la luna. El coronel programó dos preguntas para el computador (1) ¿Va a llegar el cohete a la luna? (2) ¿Va a volver a la tierra? El ordenador pensó un momento y salió una tarjeta que decía «Sí». El coronel, furioso porque no sabía si el «sí» contestaba a la primera pregunta o a la segunda o a las dos juntas, programó un «sí, ¿qué?». Tras pensarlo un momento salió otra tarjeta que decía «Sí, señor».

14- CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA

Creo que una buena caracterización de un matemático borracho la proporciona el que dice: «Puedo demostrarlo todo.»

En el Eutidemo de Platón, Sócrates, al describir a Critón los sorprendentes talentos dialécticos de los dos sofistas hermanos Eutidemo y Dionisodoro, dice: «Tan grande es su destreza que pueden refutar cualquier proposición ya sea verdadera o falsa.» Más avanzado el diálogo Sócrates describe cómo Dionisodoro demuestra a uno de sus oyentes, Ctesipo, que el padre de Ctesipo es un perro. La argumentación procede de la siguiente manera:

Dion: Dime, ¿tienes un perro?

Cíes: Sí, y muy malo por cierto.

Dion: ¿Y tiene cachorros?

Cíes: Sí, y son idénticos a él.

Dion: ¿Y es el perro el padre de ellos?

Cíes: Sí. Yo lo vi con mis propios ojos cubrir a la madre de los cachorros.

Dion: ¿Y no es tuyo el perro?

Cíes: Ciertamente lo es.

Dion: Entonces es padre y es tuyo; ergo, él es tu padre, y los cachorros son tus hermanos.

Inspirado por el ejemplo de esos grandes sofistas, le demostraré en este capítulo muchas cosas extrañas y maravillosas.

A. DEMOSTRACIÓN DE QUE O TWEEDLEDUM O TWEEDLEDEE EXISTEN

238. DEMOSTRACIÓN DE QUE O TWEEDLEDUM O TWEEDLEDEE EXISTEN

Esta demostración no mostrará que los dos hermanos Tweedledum y Tweedledee existen; sólo mostrará que existe al menos uno de los dos. Sin embargo, será imposible decir a partir de la demostración cuál de los dos existe realmente.

Tenemos un recuadro en el que están escritas las siguientes tres oraciones:

(1) TWEEDLEDUM NO EXISTE

(2) TWEEDLEDEE NO EXISTE

(3) AL MENOS UNA ORACIÓN DE ESTE RECUADRO ES FALSA

Considérese la oración (3). Si es falsa, entonces no es el caso que al menos una de las tres oraciones sea falsa, lo que significa que las tres oraciones son verdaderas, lo que significa que la oración (3) es verdadera, y esto es una contradicción. Por lo tanto, la oración (3) no puede ser falsa; tiene que ser verdadera. Entonces, al menos una de las tres oraciones es realmente falsa, pero la oración (3) no puede ser la que es falsa, por lo tanto o la oración (1) es falsa o la oración (2) es falsa. Si la oración (1) es falsa, entonces Tweedledum existe. Por consiguiente, o existe Tweedledum o existe Tweedledee.

En una ocasión di una charla sobre mis acertijos lógicos en un club de estudiantes de matemáticas. Fui presentado por el lógico Melvin Fitting (un antiguo alumno mío que me conoce extraordinariamente bien). ¡Su introducción captó realmente el espíritu de este libro casi mejor que el libro mismo! Dijo: «Les presento ahora al Profesor Smullyan que les demostrará o que él no existe o que ustedes no existen, pero ustedes no llegarán a saber quién es el que no existe.»

239. DEMOSTRACIÓN DE QUE TWEEDLEDOO EXISTE

(1) TWEEDLEDOO EXISTE

(2) LAS DOS ORACIONES DE ESTE RECUADRO SON FALSAS

Echemos un vistazo a la oración (2). Si fuese verdadera, entonces ambas oraciones serían falsas; por lo tanto la oración (2) sería falsa, lo cual es una contradicción. Por consiguiente, la oración (2) es falsa. Ya que no es el caso que ambas oraciones sean falsas, entonces al menos una de ellas es verdadera. Puesto que la oración (2) no es verdadera, tiene que ser la oración (1) la que es verdadera. Por lo tanto Tweedledoo existe.

240. ¿Y QUÉ SUCEDE CON SANTA CLAUS?

Parece haber bastante escepticismo sobre la existencia de Santa Claus. Por ejemplo, en la película de los hermanos Marx Una noche en la Ópera, Groucho está examinando un contrato en compañía de Chico y llegan a una cláusula que enuncia que si se mostrase que alguna de las partes que participan en el contrato no está en su sano juicio, el acuerdo completo se anula automáticamente —esta cláusula se conoce como sanity clause—. Chico dice: «No me tomes el pelo, there ain’t Sanity Clause[12]!»

Recuerdo también que en mi época de la escuela secundaria circulaba un chiste sobre Mae West: ¿Por qué no puede estar Mae West con Santa Claus en la misma cabina telefónica? Respuesta: Porque Santa Claus no existe. (Esto podría adecuadamente llamarse chiste «ontológico».)

Bien, a pesar de este escepticismo moderno, daré ahora tres demostraciones que establecerán más allá de cualquier posibilidad razonable de duda que Santa Claus existe y tiene que existir. Esas demostraciones son variantes de un método, originalmente de J. Barkley Rosser, de demostrar cualquier cosa.

Demostración uno: Presentaremos esta demostración en forma de dialogo.

Lógico primero: Santa Claus existe, si yo no estoy equivocado.

Lógico segundo: Bien, desde luego Santa Claus existe, si tú no estás equivocado.

Lógico primero: Por lo tanto mi enunciado es verdadero.

Lógico segundo: ¡Desde luego!

Lógico primero: Entonces yo no estaba equivocado —y tú admitiste que si yo no estaba equivocado, entonces Santa Claus existe. Por lo tanto, Santa Claus existe.

Demostración dos: La demostración anterior no es más que una elaboración literaria de la demostración siguiente debida a J. Barkley Rosser.

SI ESTA ORACIÓN ES VERDADERA ENTONCES SANTA CLAUS EXISTE

La idea que subyace a esta demostración es la misma que la de la demostración de que cuando un habitante de la isla de caballeros y escuderos dice: «Si yo soy un “caballero entonces tal–y–tal”, entonces él tiene que ser un caballero y el tal–y–tal tiene que ser verdadero».

Si la oración es verdadera, entonces seguramente Santa Claus existe (puesto que si la oración es verdadera entonces tiene también que ser verdadero que si la oración es verdadera entonces Santa Claus existe, de donde se sigue que Santa Claus existe); por tanto, lo que la oración dice es el caso, de modo que la oración es verdadera. Por consiguiente, la oración es verdadera y si la oración es verdadera entonces Santa Claus existe. De esto se sigue que Santa Claus existe.

Pregunta: Supongamos que un habitante de una isla de caballeros y escuderos ha dicho: «Si yo soy un caballero, entonces Santa Claus existe.» ¿Demostraría esto que Santa Claus existe?

Respuesta: Ciertamente lo demostraría. Desde el momento en que, sin embargo. Santa Claus no existiese, entonces ni un caballero ni un escudero podría hacer un enunciado de este tipo.

Demostración tres:

ESTA ORACIÓN ES FALSA Y SANTA CLAUS NO EXISTE

Dejo los detalles al lector.

Discusión. ¿Qué es lo que hay de erróneo en estas demostraciones? Bien, la falacia subyacente es exactamente la misma que la que aparece en el razonamiento del pretendiente de Porcia N–ésima: algunas de las oraciones incluidas en el razonamiento no son significativas (véase la discusión en el capitulo 15) y, por lo tanto, no debe suponerse que sean verdaderas o falsas.

La demostración siguiente que vamos a considerar se basa en un principio totalmente diferente.

241. DEMOSTRACIÓN DE QUE EXISTEN UNICORNIOS

Quiero demostrar que existe un unicornio. Para hacer esto basta, obviamente, con demostrar el enunciado (posiblemente) más fuerte de que existe un unicornio existente. (Con lo de un unicornio existente me refiero, desde luego, a un unicornio que existe.) Seguramente, si existe un unicornio existente, entonces tiene que existir un unicornio. Así, todo lo que tengo que demostrar es que existe un unicornio existente. Bien, hay exactamente dos posibilidades:

(1) Existe un unicornio existente.

(2) No existe un unicornio existente.

La posibilidad (2) es claramente contradictoria. ¿Cómo podría un unicornio existente no existir? Lo mismo que es verdadero que un unicornio azul es necesariamente azul, un unicornio existente tiene que ser necesariamente existente.

Discusión. ¿Qué es lo que tiene de erróneo esta demostración? Esta demostración no es nada más que la esencia destilada de la famosa prueba ontológica de la existencia de Dios de Descartes. Descartes define a Dios como un ser que tiene todas las propiedades. Por lo tanto, Dios tiene que tener también, por definición, la propiedad de existencia. Por consiguiente Dios existe.

Immanuel Kant afirmó que el argumento de Descartes no era válido, sobre la base de que la existencia no es una propiedad. Creo que en la demostración existe un error mucho más significativo. No voy a argumentar aquí la cuestión de si la existencia es o no es una propiedad; lo que quiero poner aquí de manifiesto es que incluso si la existencia es una propiedad, la demostración no es, con todo, buena.

Consideremos en primer lugar mi demostración (sic) de la existencia de un unicornio. Tal como yo lo veo, la verdadera falacia reside en el doble significado de la palabra «un» que en algunos contextos significa «todos» y en otros contextos significa «al menos uno». Por ejemplo, si digo: «Un búho tiene ojos grandes», lo que se quiere decir es que los búhos tienen ojos grandes, o que todos los búhos tienen ojos grandes, o que todo búho tiene ojos grandes. Pero si digo «Un búho está en la casa», no quiero decir ciertamente que todos los búhos estén en esta casa, sino solamente que existe un búho que está en esta casa. Así, cuando digo «existe un unicornio existente», no está claro si lo que quiero decir es que todos los unicornios existentes existen o que existe un unicornio existente. Si lo que quiero decir es lo primero, entonces es verdadero —desde luego todos los unicornios existentes existen; ¿cómo podría haber un unicornio existente que no existiese? Pero esto no significa que el enunciado sea verdadero en el segundo sentido, esto es, que tenga que existir un unicornio existente.

Lo mismo sucede con la demostración de Descartes; todo lo que se sigue propiamente es que todos los Dioses existen, esto es, que cualquier cosa que satisfaga la definición cartesiana de Dios tiene también que tener la propiedad de existencia. Pero esto no significa que exista necesariamente un Dios.

242. DEMOSTRACIÓN POR COERCIÓN

Hay una famosa anécdota sobre Diderot acaecida al girar éste una visita a la Corte rusa por invitación de la Emperatriz. Diderot comentaba sin ningún tipo de precauciones sus puntos de vista sobre el ateísmo. La propia Emperatriz se divertía grandemente, pero uno de sus consejeros le sugirió que sería deseable poner fin a aquellas exposiciones de doctrina. Entonces se pusieron de acuerdo con el matemático Euler, que estaba presente en aquella ocasión y que era creyente. Euler anunció que tenía una demostración de la existencia de Dios que expondría ante toda la corte, si Diderot deseaba oírla. Diderot asintió gustosamente. Pues bien, Euler, aprovechándose de la falta de conocimiento de las matemáticas por parte de Diderot, se adelantó hacia él y dijo con voz solemne: «A cuadrado menos B cuadrado igual a A menos B por A más B — por lo tanto Dios existe. ¡Conteste!» Diderot quedó azorado y desconcertado mientras que las carcajadas salían de todos lados. Pidió permiso para volver en seguida a Francia, y le fue concedido.

243. UNA DEMOSTRACIÓN DE QUE ERES O INCONSISTENTE O FATUO

He pensado en esta demostración desde hace unos treinta años y se la he contado a diversos estudiantes y matemáticos. Hace algunos años alguien me dijo que la había leído en alguna revista filosófica, pero que no podía recordar el autor. De cualquier manera he aquí la demostración.

Un cerebro humano no es más que una máquina finita; por lo tanto solamente puedes creer en un número finito de proposiciones. Denominemos a esas proposiciones p1, p2,…, pn, donde n es el número de proposiciones que crees. De este modo, tú crees cada una de las proposiciones p1, p2, …, pn. Ahora bien, a menos que seas un fatuo, tú sabes que algunas veces cometes errores, puesto que no todo lo que crees es verdadero. Por tanto, si no eres un fatuo, sabes que al menos una de las proposiciones, p1, p2, …, pn es falsa. Pero con todo crees cada una de las proposiciones p1, p2, …, pn. Esto es una perfecta inconsistencia.

Discusión. ¿Cuál es la falacia de este argumento? En mi opinión, ninguna. Pienso realmente que una persona razonablemente modesta ha de ser inconsistente.

B. MÁS MONERÍAS

244. RUSSELL Y EL PAPA

Un filósofo se asombró cuando Russell le dijo que una proposición falsa implica cualquier proposición. Le dijo: «¿Quieres decir que del enunciado de que dos más dos es igual a cinco se sigue que tú eres el Papa?» Russell respondió: «Sí.» El filósofo preguntó: «¿Puedes demostrar esto?» Russell respondió: «Ciertamente», e inventó en el acto la demostración siguiente:

(1) Supón que 2 + 2 = 5.

(2) Sustrayendo dos de ambos lados de la ecuación obtenemos 2 = 3.

(3) Transponiendo, obtenemos 3 = 2.

(4) Sustrayendo uno de ambos lados, obtenemos 2 = 1.

Ahora bien, el Papa y yo somos dos. Puesto que dos es igual a uno, entonces el Papa y yo somos uno. Por consiguiente yo soy el Papa.

245. ¿QUÉ ES MEJOR?

¿Qué es mejor, la felicidad eterna o un sandwich de jamón? Podría parecer que la felicidad eterna es mejor, ¡pero esto no es realmente así! Después de todo, nada es mejor que la felicidad eterna, y un sandwich de jamón es ciertamente mejor que nada. Por lo tanto un sandwich de jamón es mejor que la felicidad eterna.

246. ¿QUÉ RELOJ ES MEJOR?

Lo que sigue se debe a Lewis Carroll. ¿Qué es mejor, un reloj que atrasa un minuto cada día o un reloj que no funciona en absoluto? De acuerdo con Lewis Carroll el reloj que no funciona en absoluto es mejor puesto que marca la hora exacta dos veces al día, mientras que el otro marca la hora exacta solamente una vez cada dos años. «Pero», podrías preguntar, «¿de qué sirve que marque la hora exacta dos veces al día si no puede decirse cuándo llega la hora?». Bien, supón que el reloj señala las ocho en punto. Entonces cuando dan las ocho el reloj marca la hora exacta. «Pero», continúas, «¿cómo se sabe cuándo son las ocho en punto?». La respuesta es muy simple. Todo lo que tienes que hacer es mantener muy cuidadosamente los ojos fijos en el reloj y en el preciso momento en que tenga que ser serán las ocho en punto.

247. DEMOSTRACIÓN DE QUE EXISTE UN CABALLO CON TRECE PATAS

Esta demostración no es original; forma parte del folklore de los matemáticos.

Queremos demostrar que existe al menos un caballo que tiene exactamente trece patas. Bien, pintas todos los caballos del universo de azul o de rojo, de acuerdo con el siguiente esquema: antes de pintar el caballo, cuenta el número de sus patas. Si tiene exactamente trece patas, entonces píntalo de azul; si tiene menos o más de trece patas, píntalo de rojo. Ahora has pintado todos los caballos del universo; los azules tienen trece patas y los rojos no. Bien, selecciona un caballo al azar. Si es azul, entonces mi aserción ha sido demostrada. Si es rojo, escoge un segundo caballo al azar. Si sale azul, mi aserción ha sido demostrada. Pero supongamos que el segundo caballo es rojo. Ah, that would be a horse of a different color! But that’s a contradiction, since the horse would be of the same color![13]

248.

Voy a recordar ahora una adivinanza propuesta por Abraham Lincoln: Si el rabo de un perro se llamase pata, ¿cuántas patas tendría un perro? La respuesta de Lincoln fue: «Cuatro; el llamar rabo a la pata no significa que lo sea.»

249. MI MÉTODO FAVORITO PARA TODO

Esta es la mejor monería que conozco. Se trata de un método absolutamente inexpugnable para demostrar cualquier cosa. Su único inconveniente es que solamente un mago puede presentarlo.

He aquí lo que hago. Supóngase que quiero demostrar a alguien que yo soy Drácula. Digo: «La única lógica que usted ha de conocer es que, dadas cualesquiera dos proposiciones p y q, si p es verdadera, entonces al menos una de las dos proposiciones p, q es verdadera.» Todo el mundo asentirá virtualmente a esto. «Muy bien», digo mientras saco un mazo de cartas de mi bolso, «como usted puede ver esta carta es roja». A continuación coloco la carta roja boca abajo en la palma de la mano izquierda de la «víctima» y le hago cubrir el dorso de la carta con su mano derecha. Continúo: «Sea p la proposición de que la carta que usted tiene es roja; sea q la proposición de que yo soy Drácula. Puesto que p es verdadera, ¿admite usted que o p o q es verdadera?» El asiente. «Bien, ahora», continúo yo, «p es obviamente falsa; dé la vuelta ahora a la carta». Él lo hace y, ante su sorpresa la carta es negra. «Por consiguiente», concluyo triunfalmente, «q es verdadera, de modo que yo soy Drácula».

C. ALGUNAS CURIOSIDADES LÓGICAS

En las dos últimas secciones hemos considerado diversos argumentos inválidos que, a primera vista, parecían ser válidos. Ahora haremos justamente lo contrario: consideraremos algunos principios que a primera vista parecen absolutamente disparatados pero que, después de todo, resultan ser válidos.

250. EL PRINCIPIO DEL TRAGO

Existe un determinado principio que juega un papel muy importante en la lógica moderna y que algunos de mis estudiantes de licenciatura han apodado cariñosamente «El Principio del Trago». La razón por la que ha recibido este nombre quizás resida en el hecho de que, siempre que doy comienzo al estudio de este principio, cuento, a modo de prólogo, el siguiente chiste.

Un hombre está en un bar. De repente da un puñetazo y dice: «Bomme unaopa y bommle a dodo el mundo unaopa, borque cuando yo bebo todo el mundo bebe.» De esta manera las copas son distribuidas alegremente por todo el local. Algún tiempo después, el hombre dice: «Bomme otraopa y bommle a dodo el mundo otraopa, borque uando yo bebo otraopa dodo el mundo doma otraopa.» De este modo la segunda copa se distribuye alegremente por todo el local. Poco tiempo después el hombre arroja algún dinero sobre el mostrador y dice: «Y uando yo bago dodo el mundo baga.»

Así acaba el chiste. El problema ahora es este: ¿Existe realmente alguien tal que si él bebe todo el mundo bebe? La respuesta sorprenderá a muchos de vosotros. Una versión más dramática de este problema, surgida en una conversación que tuve con el filósofo John Bacon es esta: Demostrar que existe una mujer en la tierra tal que si ella se vuelve estéril, entonces toda la especie humana desaparecerá.

Otra versión dual del Principio del Trago es esta: Demostrar que existe al menos una persona tal que si alguien bebe, entonces ella bebe.

Solución. Sí, es realmente verdadero que existe alguien tal que siempre que él (o ella) bebe, todo el mundo bebe. Proviene en última instancia del extraño principio según el cual una proposición falsa implica cualquier proposición.

Consideremos la cuestión de la manera siguiente: O es verdadero que todo el mundo bebe o no lo es. Supongamos que es verdad que todo el mundo bebe. Tomemos entonces cualquier persona; llamémosla Juan. Puesto que todo el mundo bebe y Juan bebe, entonces es verdad que si Juan bebe todo el mundo bebe. De este modo existe al menos una persona a saber Juan— tal que si él bebe entonces todo el mundo bebe.

Supongamos, sin embargo, que no es verdadero que todo el mundo bebe; ¿qué sucede entonces? Bien, en ese caso existe al menos una persona —llamémosla Juan— que no bebe. Puesto que es falso que Juan bebe, entonces es verdadero que si Juan bebe, entonces todo el mundo bebe. Por consiguiente existe una persona otra vez —a saber Juan— tal que si ella bebe, entonces todo el mundo bebe.

Para resumir, digamos que una persona es «misteriosa» si tiene la extraña propiedad de que el hecho de que ella beba implica que todo el mundo bebe. El resultado de todo esto es que si todo el mundo bebe, entonces todo el mundo puede servir como persona misteriosa, y si no es el caso que toda persona bebe, entonces cualquier no bebedor puede servir como persona misteriosa.

Por lo que respecta a la versión más dramática, se sigue, utilizando la misma lógica que en el caso anterior, que existe al menos una mujer tal que si se vuelve estéril, todas las mujeres se volverán estériles (a saber: cualquier mujer, si todas las mujeres se vuelven estériles, y otra mujer que no se vuelva estéril, si no todas las mujeres se vuelven estériles). Y, desde luego, si todas las mujeres se vuelven estériles, la especie humana desaparecerá.

Por lo que respecta a la versión «dual», esto es: que existe alguien tal que si alguien bebe, entonces él bebe —o existe al menos una persona que bebe o no existe. Si no existe tomemos entonces cualquier persona —llamémosla Juan. Puesto que es falso que alguien bebe, entonces es verdadero que si alguien bebe entonces Juan bebe. Por otra parte, si existe alguien que bebe, tomemos entonces cualquier persona que beba llamémosla Juan. Entonces es verdadero que alguien bebe y es verdadero que Juan bebe; por consiguiente es verdadero que si alguien bebe entonces Juan bebe.

EPÍLOGO

Cuando les conté el Principio del Trago a mis alumnos Linda Wetzel y Joseph Bevando, ambos quedaron encantados. Poco tiempo después me escribieron una tarjeta de felicitación navideña en la que habían inventado la siguiente conversación imaginaria (pretendidamente mantenida durante la sobremesa en la cafetería).

Lógico: Conozco un compañero tal que siempre que él bebe todos beben.

Estudiante: No acabo de entender. ¿Quieres decir todo el mundo?

Lógico: Sí, naturalmente.

Estudiante: Eso parece disparatado. ¿Quieres decir que tan pronto como él bebe, en ese preciso momento, todo el mundo bebe?

Lógico: Desde luego.

Estudiante: Pero esto implica que en alguna ocasión todo el mundo estaba bebiendo a la vez. Seguramente que eso jamás ha sucedido.

Lógico: No has oído lo que he dicho.

Estudiante: Ciertamente lo he oído y, lo que es más, he refutado tu lógica.

Lógico: Eso es imposible. La lógica no puede refutarse.

Estudiante: Entonces, ¿cómo es que acabo de hacerlo?

Lógico: ¿No me has dicho que jamás bebes?

Estudiante: Oh… sí, supongo que es mejor que cambiemos de tema.

251. ¿ES VÁLIDO ESTE ARGUMENTO?

He visto en mi vida muchos argumentos que parecen válidos pero que son inválidos. Sólo recientemente me encontré con un argumento que a primera vista parece inválido (de hecho parece que es un chiste) pero que resulta ser válido.

Por argumento válido se entiende, dicho sea incidentalmente, un argumento cuya conclusión se sigue necesariamente de las premisas; no es necesario que las premisas sean verdaderas.

He aquí el argumento[14]:

(1) Todo el mundo le tiene miedo a Drácula.

(2) Drácula solamente me tiene miedo a mí.

Por lo tanto yo soy Drácula.

¿No parece este argumento un simple chiste? Bien, no lo es; se trata de un argumento válido, puesto que si todo el mundo tiene miedo a Drácula, entonces Drácula tiene miedo de Drácula. Así, Drácula tiene miedo de Drácula, pero también no tiene miedo de nadie más que de mí. Por lo tanto yo tengo que ser Drácula.

Así pues, este es un argumento que parece ser un chiste, pero que resulta no serlo —ésta es su parte más divertida.

15- DE LA PARADOJA A LA VERDAD

A. PARADOJAS

252. LA PARADOJA DE PROTÁGORAS

Acaso una de las más primitivas paradojas conocidas sea la del profesor de leyes griego Protágoras, quien aceptó a un estudiante pobre pero de talento y convino con él en impartirle enseñanza sin cobrarle, a condición de que una vez que el estudiante hubiese completado sus estudios y ganara su primer caso ante los Tribunales, le pagaría a Protágoras una cierta suma. El estudiante se avino a esta condición. Ahora bien, tras completar sus estudios no emprendió ningún caso legal. Transcurrido un cierto tiempo, Protágoras demandó al estudiante en reclamación de esa suma. He aquí los argumentos que ambos alegaron ante el Tribunal.

Estudiante: Si yo gano el caso, entonces, por definición, no tengo que pagar. Si lo pierdo, entonces no habré ganado mi primer caso, y yo no he contraído la obligación de pagar a Protágoras si no es hasta después de haber ganado mi primer caso. Así pues, sea que yo gane o que pierda el caso, no tengo que pagar.

Protágoras: Si él pierde el caso, entonces, por definición, tiene que pagarme (después de todo, eso es lo que se ventila en este caso). Si lo gana, entonces habrá ganado su primer caso, y por tanto tiene que pagarme. En uno u otro caso, tiene que pagarme.

¿Quién tenía razón?

Discusión. No estoy seguro de conocer realmente la respuesta a este dilema. La adivinanza en cuestión (al igual que la primera de este libro, referente a si me dieron la inocentada) es un buen prototipo de toda una familia de paradojas. La mejor solución que he escuchado fue la de un abogado a quien planteé el problema. Este abogado dijo: «El Tribunal debería fallar el caso a favor del estudiante —éste no tendría que pagar, puesto que aún no había ganado su primer caso. Una vez terminado el juicio, entonces el estudiante debe ya el dinero a Protágoras, de modo que éste puede volver a litigar y demandar por segunda vez al estudiante. Esta vez, el Tribunal debería fallar el caso a favor de Protágoras, puesto que el estudiante ha ganado ya su primer caso.»

253. LA PARADOJA DEL MENTIROSO

La llamada «Paradoja del Mentiroso», o «Paradoja de Epiménides», es realmente la piedra angular de una familia entera de paradojas del tipo conocido como «paradojas del mentiroso». (Esto suena un poco a círculo vicioso, ¿no, amigo?) Bien, la forma original de la paradoja versaba sobre un cierto cretense llamado Epiménides, que dijo, «Todos los cretenses son mentirosos».

En esta forma, realmente, no resulta en absoluto una paradoja —no más de lo que resulta una paradoja a partir de la aserción de que un habitante de una isla de caballeros y escuderos emite el enunciado «Todos los individuos de esta isla son escuderos». Lo que propiamente se sigue es: (1) el que habla es escudero; (2) hay al menos un caballero en la isla. Similarmente, con la anterior versión de la paradoja de Epiménides todo lo que se sigue es que Epiménides es un mentiroso y que al menos un cretense es veraz. Esto no es ninguna paradoja.

Ahora bien, si Epiménides fuera el único cretense, entonces tendríamos ciertamente una paradoja, igual que la tendríamos si un habitante único de una isla de caballeros y escuderos dijera que todos los habitantes de la isla son escuderos (lo cual vendría a ser tanto como decir que él es escudero, lo que es imposible).

Una versión mejor de la paradoja es la de una persona que dice, «Yo estoy mintiendo ahora». ¿Está mintiendo o no?

A la siguiente versión es a la que nos referiremos como a la paradoja del mentiroso. Considérese el enunciado del recuadro que viene a continuación:

ESTA ORACIÓN ES FALSA

¿Es esta oración verdadera o falsa? Si es falsa entonces es verdadera, y si es verdadera entonces es falsa.

Un poco más adelante discutiremos la resolución de esta paradoja.

254. UNA VERSIÓN DOBLE DE LA PARADOJA DEL MENTIROSO

La siguiente versión de la paradoja del mentiroso fue primeramente propuesta por el matemático inglés P. E. B. Jourdain en 1913. A veces es citada como la «Paradoja de la Tarjeta de Jourdain». Tenemos una tarjeta en uno de cuyos lados está escrito:

(1) LA ORACIÓN DEL OTRO LADO DE ESTA TARJETA ES VERDADERA

Entonces uno vuelve la tarjeta, y al otro lado está escrito:

(2) LA ORACIÓN DEL OTRO LADO DE ESTA TARJETA ES FALSA

La paradoja radica en lo que sigue: Si la primera oración es verdadera, entonces la segunda oración es verdadera (porque la primera dice que lo es) y, por tanto, la primera oración es falsa (porque la segunda dice que lo es). Si la primera oración es falsa, entonces la segunda oración es falsa y, por tanto, la primera oración no es falsa sino verdadera. Así pues, la primera oración es verdadera si y sólo si es falsa, lo cual es imposible.

255. OTRA VERSIÓN

Otra popular versión de la paradoja del mentiroso está dada por las tres siguientes oraciones escritas en una tarjeta.

(1) ESTA ORACIÓN CONTIENE CINCO PALABRAS

(2) ESTA ORACIÓN CONTIENE OCHO PALABRAS

(3) UNA DE LAS ORACIONES DE ESTA TARJETA ES VERDADERA, Y SÓLO UNA

La oración (1) es claramente verdadera, y la oración (2) es claramente falsa. El problema surge con la oración (3). Si la oración (3) es verdadera, entonces hay dos oraciones verdaderas —a saber. (3) y (1)—, lo cual es contrario a lo que dice la oración (3) y, por tanto, la oración (3) tendría que ser falsa. Por otro lado, si la oración (3) es falsa, entonces la oración (1) es la única verdadera, ¡lo cual quiere decir que la oración (3) tiene que ser verdadera! Así pues, la oración (3) es verdadera si y sólo si es falsa.

Discusión. Veamos ahora, ¿cuál es el defecto del razonamiento en estas paradojas? Bueno, la cuestión es sutil y un tanto controvertida. Hay algunos (filósofos, cosa harto interesante, más que matemáticos) que excluyen del ámbito de lo legítimo cualquier oración que se refiera a sí misma. Francamente, en mi opinión este punto de vista es un puro disparate. En una oración auto–referencial tal como «Esta oración tiene cinco palabras», el significado parece que no puede ser más claro e inequívoco; basta contar las palabras para advertir que tal oración ha de ser verdadera. Asimismo, la oración «Esta oración tiene seis palabras», aun cuando sea falsa, es perfectamente clara en cuanto a su sentido establece que tiene seis palabras, lo cual es algo que, de hecho, no tiene. Pero no hay duda alguna acerca de lo que esta oración dice.

Por otra parte, considérese la siguiente oración:

(1) ESTA ORACIÓN ES VERDADERA

Ahora bien, la anterior oración no da lugar a paradoja alguna; ninguna contradicción lógica resulta ni de suponer que la oración sea verdadera ni de suponer que sea falsa. No obstante, esa oración no tiene significado alguno por las siguientes razones:

Nuestro principio guía es que para entender qué significa el que una oración sea verdadera, tenemos que entender primero el significado de la oración misma. Por ejemplo, sea X la oración: Dos más dos es igual a cuatro. Antes de que yo pueda entender qué significa el que X sea verdadera, tengo que entender el significado de toda palabra que intervenga en X, y tengo que saber precisamente qué es lo que X asevera. En este caso, yo sé el significado de todas las palabras de X, y sé que X significa que dos más dos es igual a cuatro. Y como sé que dos más dos es igual a cuatro, entonces sé que X tiene que ser verdadera. Pero yo no podría saber que X fuese verdadera si no supiera primero que dos más dos es igual a cuatro. Y ciertamente, yo no podría saber nunca qué significa el que X sea verdadera si no supiera primero que significa que dos más dos es igual a cuatro. Esto ilustra lo que quiero decir cuando digo que el significado de la verdad de una oración X depende de lo que signifique el que X sea verdadera. Si X fuese de un carácter tan peculiar que el significado mismo de la oración X dependiese de lo que signifique el que X sea verdadera, entonces tendríamos un punto muerto genuinamente circular.

Tal es exactamente el caso de la oración que figura en el anterior recuadro. Antes de que yo pueda saber qué significa la verdad de la oración, tengo que entender primero el significado de la oración misma. Pero ¿cuál es el significado de la oración misma?, ¿qué dice esta oración? Meramente que la oración es verdadera, y yo no sé todavía qué significa la verdad de esta oración. Dicho brevemente, yo no puedo entender qué significa el que esta oración sea verdadera (y menos aún si es verdadera o no) hasta que no entienda primero el significado de la oración, y no puedo entender el significado de la oración hasta que no entienda primero qué significa el que la oración sea verdadera. Por consiguiente, la oración no transmite información alguna. A las oraciones que presentan este aspecto se las conoce técnicamente como oraciones que no están bien–fundadas.

La paradoja del mentiroso (y todas sus variantes) estriba en el uso de oraciones no–fundadas. (Empleo «no–fundadas» como abreviatura de «no bien–fundadas».) En el número 253, la expresión «Esta oración es falsa» no es bien–fundada. En el número 254, ninguna oración de las que figuran a ambos lados de la tarjeta es bien–fundada. En el número 255, las primeras dos oraciones son bien–fundadas, pero la tercera no lo es.

Incidentalmente, ahora podemos decir más acerca de cómo el pretendiente de la N–ésima Porcia cayó en dificultades de razonamiento (véase capítulo 5 sobre los cofres de Porcia). Todas las Porcias anteriores utilizaron sólo acciones que eran bien–fundadas, pero la N–ésima Porcia hizo un hábil uso de oraciones no fundadas para confundir a su pretendiente. La misma falacia ocurre en las primeras cinco pruebas del último capítulo.

256. ¿Y QUÉ DECIR DE ÉSTE?

Volvamos a nuestros amigos Bellini y Cellini, de la historia de los cofres de Porcia. Estos dos artesanos no solamente hacían cofres, sino también signos. Al igual que con los cofres, siempre que Cellini confeccionaba un signo, inscribía un enunciado falso sobre él y siempre que Bellini confeccionaba un signo inscribía un enunciado verdadero sobre él. Asimismo, daremos por supuesto que Cellini y Bellini eran los únicos confeccionadores–de–signos de su tiempo (sus hijos hacían sólo cofres, no signos).

Tú te encuentras con el siguiente signo:

ESTE SIGNO FUE HECHO POR CELLINI

¿Quién hizo este signo? Si lo hizo Cellini, entonces escribió una oración verdadera sobre él —lo cual es imposible. Si lo hizo Bellini, entonces la oración sobre el signo es falsa —lo cual es de nuevo imposible. Así pues, ¿quién lo hizo?

¡Advierte que no puedes salir de este atolladero diciendo que la oración sobre el signo no es bien–fundada! Pues ciertamente es bien–fundada; establece el hecho histórico de que el signo fue hecho por Cellini; si fue hecho por Cellini entonces el signo es verdadero, y si no lo fue, el signo es falso. Así pues, ¿cuál es la solución?

La solución, por supuesto, es que yo he dado información contradictoria. Si te toparas de hecho con el signo anterior, ello significaría o bien que Cellini escribía a veces inscripciones verdaderas sobre los signos (contrariamente a lo que yo dije) o bien que al menos uno de los otros fabricantes de signos escribían enunciados falsos sobre los signos (nuevamente en contra de lo que yo dije). Así pues, esto no es realmente una paradoja sino un timo.

A propósito, ¿has descifrado ya el sentido del título de este libro?

257. ¿AHORCADO O AHOGADO?

En esta popular adivinanza, un hombre ha cometido un delito castigado con la muerte. El hombre tiene que emitir un enunciado. Si el enunciado es verdadero será ahogado; si el enunciado es falso será ahorcado. ¿Qué enunciado emitiría para confundir a sus verdugos?

–SOLUCIÓN–

258. LA PARADOJA DEL BARBERO.

Esta es otra adivinanza muy conocida. Es el caso que un barbero de una cierta pequeña ciudad afeitaba a todos los vecinos de la villa que no se afeitaban a si mismos, y nunca afeitó a ningún vecino que se afeitaba a si mismo. La cuestión es si el barbero se afeita o no a sí mismo. Si lo hace entonces viola la regla, puesto que afeita a alguien que se afeita a sí mismo. Si no lo hace, entonces de nuevo viola la regla, puesto que deja de afeitar a alguien que no se afeita a sí mismo. Así pues, ¿qué debería hacer el barbero?

–SOLUCIÓN–

259. ¿Y QUÉ ACERCA DE ÉSTE?

En una isla de caballeros y escuderos dos nativos, A y B, dicen:

A: B es escudero.

B: A es caballero.

¿Dirías que A es un caballero o un escudero? ¿Qué dirías respecto de B?

–SOLUCIÓN–

B. LA PARADOJA A LA VERDAD

Alguien definió una vez una paradoja como una verdad que está puesta cabeza abajo. Es ciertamente el caso que muchas paradojas contienen una idea que con una pequeña modificación conduce a un nuevo descubrimiento importante. Las tres adivinanzas que siguen proporcionan una buena ilustración de este principio.

260. ¿QUÉ HAY DE ERRÓNEO EN ESTA HISTORIA?

El Inspector Craig visitó una vez una comunidad y mantuvo una conversación con uno de los habitantes, un sociólogo llamado McSnurd. El Profesor McSnurd le dio a Craig la siguiente explicación sociológica:

«Los habitantes de esta comunidad han formado varios clubs. Un habitante puede pertenecer a más de un club. Cada club recibe su nombre de un habitante; no hay dos clubs diferentes que reciban su nombre del mismo habitante, y todo habitante tiene un club que ha recibido su nombre. No es necesario que una persona sea miembro del club que haya recibido su nombre; si lo es, entonces se la denomina sociable; si no lo es, entonces se la denomina insociable. Y lo interesante de esta comunidad es que el conjunto de todos los habitantes insociables forman un club.»

El inspector Craig meditó unos instantes sobre este relato, y al punto se percató de que McSnurd no podría haber sido un sociólogo muy bueno; sencillamente, su historia no se tenía en pie. ¿Por qué?

Solución. Esta es realmente la Paradoja del Barbero con nueva vestimenta.

Supóngase que la historia relatada por McSnurd fuera cierta. Entonces el club de todos los habitantes insociables recibe su nombre de alguna persona —por ejemplo, de Jacobo—. Así pues, llamaremos a este club el «Club de Jacobo». Ahora bien, Jacobo es o sociable o insociable, y en uno u otro caso tenemos una contradicción: Supóngase que Jacobo es sociable. Entonces Jacobo pertenece al club de Jacobo, pero sólo personas insociables pertenecen a dicho club, y por tanto eso no es posible.

Por otra parte, si Jacobo es insociable, entonces pertenece al club de la gente insociable, lo cual quiere decir que Jacobo pertenece al club de Jacobo (que es el club de la gente insociable), y ello hace a Jacobo sociable. Así pues, en uno u otro caso tenemos una contradicción.

261. ¿HAY UN ESPÍA EN LA COMUNIDAD?

El Inspector Craig visitó una vez una segunda comunidad y habló con un antiguo amigo suyo, un sociólogo llamado McSnuff. Craig y McSnuff habían sido compañeros en Oxford, y Craig sabía que McSnuff era un hombre de impecable juicio. McSnuff dio a Craig la siguiente explicación de esta comunidad:

«Al igual que la otra comunidad, nosotros tenemos clubs, y cada habitante tiene exactamente un club que ha recibido de él su nombre, y todo club ha recibido su nombre de algún habitante. En esta comunidad, sin embargo, si una persona es miembro de un club, puede serlo o secreta o abiertamente. Todo aquel que no sea abiertamente miembro del club que haya recibido de él su nombre, es llamado sospechoso. Si se supiera de alguien que pertenece secretamente al club que haya recibido de él su nombre, se le llamaría un espía. Ahora bien, lo curioso de esta comunidad es que el conjunto de todas las personas sospechosas forma un club.»

El Inspector Craig meditó por unos instantes sobre este relato, y se percató de que, a diferencia del relato anterior, éste era perfectamente consistente. Además da lugar a un interesante resultado —a saber, que es posible deducir si hay o no hay espías reales en la comunidad.

¿Los hay?

Solución. El club de todas las personas sospechosas recibe su nombre de alguna —llamémosle Juan—. Así pues llamaremos a este club el «Club de Juan».

Ahora bien, o el propio Juan es miembro del club de Juan o no lo es. Supóngase que no lo es. Entonces no puede ser sospechoso (porque toda persona sospechosa es miembro del club de Juan). Esto quiere decir que Juan es abiertamente un miembro del club de Juan. Así, si Juan no es miembro del club de Juan, entonces Juan es abiertamente miembro del club de Juan, lo cual es absurdo. Por lo tanto Juan tiene que ser miembro del club de Juan. Puesto que todo miembro del club es sospechoso, entonces Juan tiene que ser sospechoso. Así pues Juan no es abiertamente miembro del club de Juan, y sin embargo es miembro suyo, de modo que es secretamente miembro —en otras palabras, ¡Juan es un espía!

Podemos advertir que habiendo resuelto el precedente problema, número 260. hay un modo más simple de solucionar el presente, a saber: observar que si no hubiera espías en la comunidad, entonces ser sospechoso no sería diferente de ser insociable, de donde el conjunto de todos los caracteres sospechosos sería el mismo que el conjunto de las personas insociables, lo cual querría decir que el conjunto de todas las personas insociables forma un club. Pero hemos demostrado en el problema 260 que el conjunto de todas las personas insociables no puede formar un club. Por lo tanto, la suposición de que no hay espías en la comunidad conduce a una contradicción, de donde se sigue que tiene que haber un espía en la comunidad (aunque en esta demostración no tenemos idea de quién lo sea).

Estas dos demostraciones suministran una perfecta ilustración de lo que los matemáticos quieren decir con los términos «demostración constructiva» y «demostración no constructiva». La segunda demostración es no constructiva en el sentido de que aun cuando muestre que no podría ser el caso de que no haya espías, no exhibe ningún espía real. En contraste, la primera demostración es denominada constructiva por cuanto exhibe realmente un espía —a saber, la persona (a la que hemos llamado «Juan») de la cual el club de caracteres sospechosos ha recibido su nombre.

262. PROBLEMA DEL UNIVERSO

Hay un cierto Universo en el que todo conjunto de habitantes forma un club. El Registrador de este Universo quisiera dar a cada club el nombre de un habitante de manera tal que no hubiera dos clubs que recibiesen el nombre del mismo habitante y cada habitante tuviera un club que recibiera de él su nombre.

Ahora bien, sí este Universo tuviera sólo un número finito de habitantes, el esquema sería imposible (puesto que habría más clubs que habitantes —por ejemplo, si hubiera justamente 5 habitantes, habría 32 clubs (incluyendo el conjunto vacío); si hubiera 6 habitantes, habría 64 clubs y, en general, si hay n habitantes, tiene que haber 2n clubs). Sin embargo, sucede que este particular Universo contiene infinitos habitantes y, por tanto el Registrador no ve razón de por qué su esquema no sería viable. A lo largo de billones de años ha estado tratando de construir un tal esquema, pero hasta el presente todo intento ha fracasado. ¿Es debido el fracaso a una falta de ingenio por parte del Registrador, o es que éste está intentando hacer algo inherentemente imposible?

Solución. Está intentando lo imposible: este famoso hecho fue descubierto por el matemático Georg Cantor. Supóngase que el Registrador llegase a tener éxito en la tarea de dar sus nombres respectivos a todos los clubs tomando dichos nombres de todos los habitantes de una manera tal que no hubiera dos clubs diferentes que recibieran su nombre del mismo habitante. De nuevo, llamemos a un habitante insociable si no es miembro del club que recibe de él su nombre. La colección de todos los habitantes insociables de este Universo constituye ciertamente un conjunto bien definido, y está dado que todo conjunto de habitantes forma un club. Por lo tanto tenemos el imposible club de todos los habitantes insociables —imposible por la misma razón que la del problema 260 (este club tiene que recibir su nombre de alguien, y este alguien no puede ser ni sociable ni insociable sin entrañar una contradicción).

263. PROBLEMA DE LOS CONJUNTOS CONSIGNADOS

He aquí el mismo problema con diferente ropaje; algunas de las nociones que comporta volverán a aparecer en el próximo capítulo.

Un cierto matemático lleva un libro llamado El Libro de los Conjuntos. En cada página hay escrita una descripción de un conjunto de números. Usamos la palabra «números» para significar los números enteros positivos 1, 2, 3, …, n, … Cualquier conjunto que esté consignado en cualquier página se denomina un conjunto consignado. Las páginas están numeradas consecutivamente.

El problema está en describir un conjunto que no esté consignado en ninguna página del libro.

Solución. Dado cualquier número n, llamemos a n número extraordinario si n pertenece al conjunto consignado en la página n; llamemos a n número ordinario si n no pertenece al conjunto consignado en la página n.

No hay posibilidad de que el conjunto de números ordinarios pueda ser consignado; si lo fuera, el número de la página en que estuviese consignado no podría ser o bien ordinario o bien extraordinario sin entrañar una contradicción.

16- EL DESCUBRIMIENTO DE GÖDEL

A. ISLAS GÖDELIANAS

Los enigmas de esta sección son adaptaciones de un famoso principio descubierto por el lógico matemático Kurt Gödel, que discutimos al final del capítulo.

264. LA ISLA G

Una cierta isla G está habitada exclusivamente por caballeros que dicen siempre la verdad y escuderos que mienten siempre. Por añadidura, algunos de los caballeros reciben el nombre de «caballeros establecidos» (estos son caballeros que en un cierto sentido se han demostrado a sí mismos), y ciertos escuderos reciben el nombre de «escuderos establecidos». Ahora bien, los habitantes de esta isla han formado varios clubs. Es posible que un habitante pueda pertenecer a más de un club. Dados cualquier habitante X y cualquier club C, o bien X afirma que es un miembro de C o bien afirma que no es un miembro de C.

Está dado que se cumplen las cuatro condiciones siguientes, E1, E2, C, G.

E1: El conjunto de todos los caballeros establecidos forma un club.

E2: El conjunto de todos los escuderos establecidos forma un club.

C (La Condición de Complementación): Dado cualquier club C, el conjunto de todos los habitantes de la isla que no son miembros de C forman un club de su exclusividad. (Este club es denominado el complemento de C y es denotado por C’.)

G (La Condición Gödeliana): Dado cualquier club C, hay al menos un habitante de la isla que afirma que es un miembro de C. (Naturalmente su afirmación pudiera ser falsa: podría ser un escudero.)

264A.

(De acuerdo con Gödel)

(i) Demostrar que hay al menos un caballero no establecido en la isla.

(ii) Demostrar que hay al menos un escudero no establecido en la isla.

–SOLUCIÓN–

264B.

(De acuerdo con Tarski)

(i) ¿Forma un club el conjunto de todos los escuderos de la isla?

(ii) ¿Forma un club el conjunto de todos los caballeros de la isla?

–SOLUCIÓN–

265. ISLAS GÖDELIANAS EN GENERAL

Considérese ahora una isla caballero–escuderil cualquiera con clubs. (Por una isla caballero–escuderil queremos significar, por supuesto, una isla habitada exclusivamente por caballeros y escuderos.) Llamaremos a esa isla una isla gödeliana si se cumple la condición G, esto es, que para todo club C hay al menos un habitante que afirma ser miembro del club.

El Inspector Craig visitó una vez una isla caballero–escuderil que tenía clubs. Craig (quien, dicho sea incidentalmente, era un señor muy culto cuyos intereses teóricos eran tan portentosos como sus intereses prácticos) sintió curiosidad por saber si estaba o no en una isla gödeliana. Obtuvo la siguiente información.

Cada club recibe su nombre de un habitante y cada habitante tiene un club que ha recibido su nombre de él. Un habitante no es necesariamente miembro del club que ha recibido de él su nombre; si lo es, es llamado sociable, y si no lo es, es llamado insociable. Un habitante X es llamado un amigo de un habitante Y si X testifica que Y es sociable.

Craig no sabía aún si estaba o no en una isla gödeliana, hasta que averiguó que la isla satisfacía la siguiente condición, a la que llamaremos condición H.

H: Para cualquier club C, hay otro club D tal que todo miembro de D tiene al menos un amigo en C, y todo no miembro de D tiene al menos un amigo que no es un miembro de C.

De esta condición H, Craig pudo deducir si la isla era gödeliana.

¿Lo es?

Solución. Sí, lo es. Tómese cualquier club C. Sea D un club dado por la condición H. Este club D ha recibido ni nombre de alguien —digamos de Juan. O Juan pertenece al club D o no pertenece a él.

Supóngase que pertenece. Entonces tiene un amigo —llamémosle Jacobo— en el club C que testifica que Juan es sociable. Puesto que Juan pertenece a D, entonces Juan es realmente sociable, de donde se sigue que Jacobo es un caballero. Así pues, Jacobo es un caballero que pertenece al club C, y así Jacobo afirmará que pertenece al club C.

Supóngase que Juan no pertenece al club D. Entonces Juan tiene un amigo —llamémosle Jaime— que no es miembro de C, y Jaime afirma que Juan es sociable. Puesto que Juan no es un miembro del club D, entonces Juan es realmente insociable, de donde se sigue que Jaime es un escudero. Así, Jaime es un escudero que no pertenece al club C, de donde se sigue que Jaime mentiría y afirmaría pertenecer al club C. Así pues, sea que Juan pertenezca al club D o que no pertenezca al club D, hay un habitante que afirma pertenecer al club C.

Observaciones. Combinando los resultados de 264 y 265, vemos que dada cualquier isla que satisfaga las condiciones E1, E2, C y H, tiene que haber en la isla tanto un caballero no establecido como un escudero no establecido. Este resultado es realmente una forma disfrazada del famoso teorema de incompletud de Gödel, que consideraremos de nuevo en la Sección C de este capítulo.

Incidentalmente, si quieres plantear un problema realmente arduo a uno de tus amigos, dale a ese amigo una isla con las condiciones E1, E2, C y H (sin mencionar G), y proponle el problema 264. Sería interesante ver si llega por sí mismo a la condición G.

B. ISLAS DOBLEMENTE GÖDELIANAS

Los enigmas de esta sección son de interés más especializado y pueden ser pospuestos para después de la lectura de la sección C.

Por una «isla doblemente gödeliana» entenderemos una isla caballero–escuderil con clubs tal que se satisface la siguiente condición GG:

GG: Dados dos clubs cualesquiera C1 y C2, hay habitantes A, B tales que A afirma que B es un miembro de C1, y B afirma que A es un miembro de C2.

Hasta donde a mí se me alcanza, la condición GG no implica la condición G, ni la condición G implica la condición GG; parecen ser completamente independientes. Así pues (hasta donde a mí se me alcanza), una isla doblemente gödeliana no es necesariamente una isla gödeliana.

El tema de las islas doblemente gödelianas es uno de mis pasatiempos favoritos. Las adivinanzas a que da lugar guardan el mismo tipo de relación con la Paradoja de la Doble Tarjeta de Jourdain (véase problema 254 del capítulo precedente) que la que guarda la adivinanza de las islas gödelianas con la paradoja del mentiroso.

266. LA ISLA DOBLEMENTE GÖDELIANAS

Una vez tuve la buena fortuna de descubrir una isla doblemente gödeliana S en la que se cumplen todas las condiciones E1, E2 y C de la isla G.

(a) ¿Puede determinarse si hay un caballero no establecido en S? ¿Y qué decir acerca de un escudero no establecido?

(b) ¿Puede determinarse si los caballeros de la isla S forman un club? ¿Y qué decir acerca del conjunto de escuderos?

Solución. Consideremos primero la parte (b). Si el conjunto de los caballeros forma un club, entonces lo forma también el conjunto de los escuderos (por la condición C), y si el conjunto de los escuderos forma un club, también lo forma el conjunto de los caballeros (de nuevo por la condición C). Así, si uno u otro de estos dos conjuntos formara un club, ambos lo formarían. Bien, supóngase que ambos lo forman. Entonces, por la condición GG, tiene que haber habitantes A, B, que hacen las siguientes afirmaciones:

A: B es un escudero.

B: A es un caballero.

Esta es una situación imposible, como mostramos en la solución del problema 259 del último capítulo. La conclusión, por lo tanto, es que ni el conjunto de los caballeros ni el conjunto de los escuderos puede formar un club.

En cuanto a la parte (a), podemos ahora resolverla por uno u otro de dos métodos; el primero es más sencillo, habiendo resuelto nosotros la parte (b), pero el segundo es más instructivo.

Método 1: Puesto que el conjunto de los caballeros no forma un club y el conjunto de los caballeros establecidos lo forma, entonces los dos conjuntos son diferentes y, por tanto, no todos los caballeros son establecidos. Similarmente con «escuderos».

Método 2: Puesto que el conjunto de los caballeros establecidos forma un club, lo forma asimismo el conjunto de todos los habitantes que no son caballeros establecidos. Tomando estos dos clubs como C1, C2, tenemos (por la condición GG) habitantes A, B, que hacen las siguientes afirmaciones:

A: B es un caballero establecido.

B: A no es un caballero establecido.

Dejamos al lector que verifique que al menos uno de los dos hablantes A, B, tiene que ser un caballero no establecido (más específicamente, si A es un caballero entonces no es un caballero establecido), y si A es un escudero entonces B tiene que ser un caballero no establecido). Lo interesante aquí es que aun cuando sabemos que uno de los dos A, B es un caballero no establecido, no tenemos idea de cuál es. Esta situación es exactamente igual a la del problema 134, el problema del doble cofre de Bellini y Cellini; uno de los cofres tiene que ser un Bellini, pero no hay modo de decir cuál.

Similarmente, puesto que los escuderos establecidos forman un club, asimismo lo forma el conjunto de todos los habitantes que no son escuderos establecidos. Por lo tanto (de nuevo por GG) tiene que haber dos hablantes A. B que dicen:

A: B es un escudero establecido.

B: A no es un escudero establecido.

De aquí se sigue que si B es un escudero entonces es un escudero no establecido, y si B es un caballero entonces A es un escudero no establecido (de nuevo, dejamos la demostración de esto al lector), y así, en uno u otro caso, o A o B es un escudero no establecido, pero no sabemos cuál. (Este problema es realmente el mismo que el problema 135 del doble cofre de Bellini y Cellini.)

267. LA ISLA S1

Una vez descubrí otra isla doblemente gödeliana S1 que me intrigó todavía más. Las condiciones E1, E2, se cumplen ambas en esta isla, pero no se sabe si se cumple o no la condición C. (Recordemos que la condición C es que para cualquier club C, el conjunto de personas que no estén en C forma un club.)

Parece imposible demostrar que hay un caballero no establecido en la isla S1, o demostrar que hay un escudero no establecido. También parece imposible demostrar que los caballeros no forman un club, o demostrar que los escuderos no forman un club. Sin embargo, puede demostrarse lo siguiente:

(a) Demostrar que o hay un caballero no establecido o un escudero no establecido en esta isla.

(b) Demostrar que es imposible que los caballeros formen un club y también los escuderos formen un club.

Solución. Realizaremos primero (b). Supóngase que los caballeros formaran un club y los escuderos formaran un club. Entonces habría habitantes A, B tales que A afirma que B es escudero y B afirma que A es caballero, lo cual sabemos que es imposible (véase el problema precedente, o el problema 259 del último capítulo). Así pues, no puede ser que los caballeros formen un club y también que los escuderos formen un club; o los caballeros no forman un club o los escuderos no forman un club. Si los caballeros no forman un club, entonces tiene que haber un caballero no establecido (puesto que los caballeros establecidos si forman un club); si los escuderos forman un club, entonces tiene que haber un escudero no establecido. Pero no podemos decir cuál. Esto entonces demuestra también (a).

Un método alternativo (y más interesante) de demostrar que hay o un caballero no establecido o un escudero no establecido es este:

Puesto que los caballeros establecidos forman un club y los escuderos establecidos forman un club, entonces hay habitantes A, B que dicen:

A: B es un escudero establecido.

B: A es un caballero establecido.

Supóngase que A es caballero. Entonces su enunciado es verdadero, de donde se sigue que B es un escudero establecido, y así el enunciado de B es falso, de donde se sigue que A no es un caballero establecido. Así, en este caso, A es un caballero no establecido. Si A es escudero, entonces el enunciado de B es falso, de modo que B es un escudero. También el enunciado de A es falso, de modo que B no es un escudero establecido. Así, en este caso, B es un escudero no establecido.

Por lo tanto, o A es un caballero no establecido o B es un escudero no establecido (pero, de nuevo, no sabemos cuál es).

De nuevo este problema es semejante a uno de los problemas del doble cofre (número 136 del capítulo 9), en donde uno de los dos cofres (no sabemos cuál) fue hecho o por Bellini o por Cellini (pero de nuevo no sabemos cuál).

268. ALGUNOS PROBLEMAS NO RESUELTOS

Tengo en mente unos cuantos problemas concernientes a las islas gödelianas y doblemente gödelianas que yo no he tratado de resolver; pero me parece que puede ser divertido para el lector poner a prueba su imaginación ideando alguna tarea original.

268A.

He establecido que hasta donde a mí se me alcanza, ninguna de las condiciones G, GG, implica a la otra. ¿Puedes demostrar que mi conjetura es correcta? (O acaso refutarla, aunque pienso que eso es altamente improbable.) Para hacerlo tienes que construir una isla en la que se cumpla G pero no se cumpla GG, y construir una isla en la que se cumpla GG pero no se cumpla G. Por construir una isla entiendo que se especifiquen todos los habitantes, y que luego se especifique cuáles son caballeros y cuáles escuderos y qué conjuntos de personas forman clubs y qué conjuntos no los forman (qué caballeros y escuderos son establecidos es algo no relevante en este problema).

268B.

¿Puedes demostrar (o refutar) mi conjetura de que en la isla S no es necesario que haya un caballero no establecido y no es necesario que haya un escudero no establecido (aunque, sin duda, tiene que darse el uno o el otro)? Esto es, ¿puedes construir una isla que satisfaga E1, E2 y GG en la que hay caballeros, pero no caballeros establecidos? ¿Puedes construir una isla en la que haya escuderos, pero no escuderos establecidos? (Esta vez, al construir tales islas, tienes que especificar no sólo los caballeros, los escuderos y los clubs, sino también qué caballeros y escuderos son establecidos.)

268C.

Suponiendo que todas estas islas puedan ser construidas (y yo estoy moralmente cierto de que tal es el caso, aun cuando no lo he verificado), ¿cuál es en cada caso el mínimo número de habitantes que tiene que tener la isla? ¿Puedes demostrar en cada caso que ningún número menor sería suficiente?

C. TEOREMA DE GÖDEL

269. ¿ES ESTE SISTEMA COMPLETO?

Un cierto lógico lleva un libro llamado El Libro de las Oraciones. Las páginas de este libro están numeradas consecutivamente, y cada página tiene exactamente una oración escrita en ella. Ninguna oración aparece en más de una página. Dada cualquier oración X el número de la página en la que ésta está escrita es llamado el número de página de X.

Toda oración del libro es, por supuesto, verdadera o falsa. Algunas de las oraciones verdaderas son bastante auto–evidentes para este lógico, y por ello ha tomado estas verdades auto–evidentes como axiomas de su sistema de lógica. Este sistema contiene también ciertas reglas de razonamiento que lo capacitan para demostrar varias oraciones verdaderas a partir de los axiomas, y para refutar algunas falsas. Nuestro lógico confía bastante en que su sistema es correcto, en el sentido de que toda oración que es demostrable en el sistema es ciertamente una oración verdadera, y toda oración que es refutable en el sistema es falsa, pero no está seguro de si su sistema es completo en el sentido de que todas las oraciones verdaderas son demostrables y todas las falsas refutables. ¿Son todas las oraciones verdaderas demostrables en su sistema? ¿Son todas las oraciones falsas refutables en el sistema? Estas son las cuestiones para las cuales nuestro lógico querría disponer de una respuesta.

Bien, el mencionado lógico tiene también un segundo libro llamado El Libro de los Conjuntos. Este libro tiene igualmente todas sus páginas numeradas consecutivamente, y cada página contiene una descripción de un conjunto de números. (Usamos aquí la palabra «números» con el significado de los números enteros positivos 1, 2, 3,… , n, …) A cualquier conjunto de números descrito en cualquier parte de este libro lo llamaremos un conjunto consignado.

Dado cualquier número n, puede ocurrir que el conjunto consignado en la página n (de El Libro de los Conjuntos) contenga como miembro al propio n; si esto ocurre, llamaremos a n un número extraordinario. Asimismo, dados cualesquiera números n, h, llamaremos a h un asociado de n si la oración de la página h (de El Libro de las Oraciones) afirma que n es extraordinario.

Se nos dice que las cuatro condiciones siguientes son válidas:

E1: El conjunto de números de página de todas las oraciones demostrables es un conjunto consignado.

E2: El conjunto de números de página de todas las oraciones refutables es un conjunto consignado.

C: Para cualquier conjunto consignado A, el conjunto A’ de todos los números que no estén en A es un conjunto consignado.

H: Dado cualquier conjunto consignado A, hay otro conjunto consignado B tal que todo número de B tiene un asociado en A, y todo número que esté fuera de B tiene un asociado fuera de A.

Estas cuatro condiciones son suficientes para responder a las cuestiones del lógico: ¿Es toda oración verdadera demostrable en el sistema? ¿Es toda oración falsa refutable en el sistema? También puede determinarse si el conjunto de los números de página de todas las oraciones verdaderas es o no un conjunto consignado, y si el conjunto de los números de página de todas las oraciones falsas es o no un conjunto consignado.

¿Cómo puede realizarse?

Solución. Esto no es más que las adivinanzas de la isla gödeliana de la Sección A presentadas con diferente ropaje. En nuestra presentación actual, los números de página de las oraciones verdaderas juegan el papel de los caballeros; los de las oraciones falsas, el de los escuderos; los de las oraciones demostrables, el de los caballeros establecidos; y los de las oraciones refutables, el de los escuderos establecidos. Los conjuntos consignados juegan el papel de los clubs. La noción de conjunto consignado en una página que tiene un número dado, hace el papel de un club que lleva el nombre de un habitante dado; de aquí que los números extraordinarios hagan el papel de las personas sociables, y la noción de «asociado» haga las veces de «amigo».

Lo primero que hemos de hacer para resolver el problema que nos ocupa es demostrar el análogo de la condición G, que es:

Condición G. Para cualquier conjunto consignado A, hay una oración que es verdadera si y sólo si su propio número de página está en A.

Para demostrar la condición G, tómese cualquier conjunto consignado A. Sea B un conjunto dado por la condición H; sea n el número de una página en la que B esté consignado. Por la condición H, si n está en B, entonces n tiene un asociado h en A; si n está fuera de B, entonces n tiene un asociado h fuera de A. Afirmamos que la oración X de la página h es la oración que buscamos.

La oración X dice que n es extraordinario —en otras palabras, que n está en B (puesto que B es el conjunto consignado en la página n). Si X es verdadera, entonces n está realmente en B, de lo cual se sigue que h está en A.

Así pues, si X es verdadera, entonces su número de página h está en A. Supóngase que X es falsa. Entonces n no está en B, de lo que se sigue que h está fuera de A. Por tanto X es verdadera si y sólo si su número de página está en A.

Una vez que ha sido demostrada la condición G, resulta fácil responder a las cuestiones del lógico: Se nos ha dado que el conjunto A de números de página de todas las oraciones demostrables es un conjunto consignado, de lo cual se sigue, por la condición C, que también lo es el conjunto A de todos los números que no sean números de página de oraciones demostrables; por tanto (por la condición G), hay una oración X que es verdadera si y solamente si el número de página de X pertenece a A. Ahora bien, decir que el número de página de X pertenece a A es igual que decir que el número de página de X no pertenece a A, lo que viene a decir que X no es demostrable (ya que A consta de los números de página de aquellas oraciones que son demostrables). Así X es verdadera si y sólo si X no es demostrable. Y esto significa que o bien X es verdadera y no demostrable, o bien que X es falsa pero demostrable. Pero se nos ha dado que ninguna oración falsa es demostrable en el sistema, de aquí que X haya de ser verdadera pero no demostrable en el sistema.

Para obtener una oración falsa que no sea refutable, tomamos ahora a A como el conjunto de los números de página de todas las oraciones que sean refutables. Aplicando la condición G, obtenemos una oración Y que es verdadera si y sólo si su número de página es el numero de página de una oración refutable —en otras palabras, Y es verdadera si y solamente si Y es refutable. Lo cual significa que Y es o verdadera y refutable o falsa y no refutable. La primera posibilidad queda descartada, puesto que ninguna oración refutable es verdadera, por lo cual y debe ser falsa pero no refutable en el sistema.

En lo que se refiere a las otras cuestiones, si el conjunto de los números de página de todas las oraciones falsas fuera un conjunto consignado, entonces habría una oración Z que es verdadera sí y sólo si su número de página es el número de página de una oración falsa —en otras palabras, Z sería verdadera si y sólo si Z es falsa, lo cual es imposible. (Sería algo como la oración: «Esta oración es falsa.») Por lo tanto, el conjunto de los números de página de todas las oraciones falsas no es un conjunto consignado. Entonces, por la condición C, el conjunto de los números de página de las oraciones verdaderas no es tampoco un conjunto consignado.

270. EL TEOREMA DE GÖDEL

La adivinanza anterior es realmente una forma del famoso Teorema de Incompletud de Gödel.

En 1931 Kurt Gödel se dio a conocer con el asombroso descubrimiento de que en un cierto sentido las verdades matemáticas no pueden ser completamente formalizadas. Gödel mostró que para una amplia variedad de sistemas matemáticos —sistemas que cumplen ciertas condiciones muy razonables— tiene que haber siempre oraciones que, aunque verdaderas, ¡no pueden ser demostradas a partir de los axiomas de ese sistema! Así pues, ningún sistema axiomático formal, por ingeniosamente construido que pueda estar, es adecuado para demostrar todas las verdades matemáticas. Gödel demostró primeramente este resultado para el célebre sistema de los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, pero, como ya dije, la prueba es aplicable a muchos sistemas diferentes. En todos estos sistemas hay un conjunto bien definido de expresiones llamadas oraciones y una clasificación de todas las oraciones en oraciones verdaderas y oraciones falsas. Ciertas oraciones verdaderas son tomadas como axiomas del sistema, y se dan reglas de inferencia precisas que nos capacitan para demostrar ciertas oraciones y refutar otras. Además de las oraciones, el sistema contiene nombres de diversos conjuntos de números (positivos, enteros). A cualquier conjunto de números que tenga un nombre en el sistema podríamos llamarlo conjunto nombrable o definible del sistema (tales son los conjuntos a los que hemos llamado conjuntos «consignados» en la adivinanza anterior). Ahora bien, la cuestión es que es posible numerar todas las oraciones y consignar todos los conjuntos definibles en un orden tal que sean válidas las condiciones E1, E2, C, y H, de nuestra adivinanza. (El número asignado a cada oración, al que llamamos el «número de página», es llamado técnicamente el número de Gödel de la oración.) Establecer las condiciones C y H es realmente un asunto muy simple, pero establecer las condiciones E1 y E2, es tarea bastante laboriosa, aunque elemental en principio[15]. De cualquier modo, una vez que se han establecido, estas cuatro condiciones nos llevan a la construcción de una oración que es verdadera pero no demostrable en el sistema.

La oración X en cuestión podría ser concebida como algo que afirmase su propia indemostrabilidad; una oración tal ha de ser, de hecho, verdadera pero no demostrable (del mismo modo que una persona de la isla G que afirme que no es un caballero establecido tiene que ser, de hecho, un caballero, aunque no uno establecido).

Podría plantearse la siguiente pregunta: puesto que se sabe que la oración de Gödel X (que afirma su propia indemostrabilidad) es verdadera, ¿por qué no añadirla como axioma adicional al sistema? Bien, por supuesto puede hacerse, pero entonces el sistema ampliado resultante satisface asimismo las condiciones E1, E2, C, y H, por lo cual se puede obtener otra oración X1 que es a la vez verdadera pero indemostrable en el sistema ampliado. Así, en este sistema ampliado, pueden demostrarse más oraciones verdaderas que en el anterior, pero aún no pueden demostrarse todas las oraciones verdaderas.

Debería señalar que mi exposición del método de Gödel se separa un tanto de la versión original del propio Gödel —primariamente en que yo empleo la noción de verdad, cosa que Gödel no hizo. Además, el teorema de Gödel en su forma original no decía que había una oración que es verdadera pero no demostrable, sino más bien que bajo una cierta suposición razonable acerca del sistema, tiene que haber una oración (que Gödel de hecho exhibía) que no es demostrable ni refutable en el sistema.

Una formalización estricta de la noción de verdad fue realizada por el lógico Alfred Tarski, y fue Tarski quien mostró que para estos sistemas el conjunto de números de Gödel de las oraciones verdaderas no es definible en el sistema. Lo cual se parafrasea a veces: «Para sistemas de suficiente rigor, la verdad de las oraciones del sistema no es definible dentro del sistema.»

271. PALABRAS FINALES

Considérese la siguiente paradoja:

ESTA ORACIÓN NUNCA PUEDE SER DEMOSTRADA

La paradoja consiste en esto: si la oración es falsa, entonces es falso que nunca pueda ser demostrada, de lo que se sigue que puede ser demostrada, lo cual significa que ha de ser verdadera. Así, si la oración es falsa, tenemos una contradicción, y por tanto debe ser verdadera.

Ahora bien, acabo de demostrar que la oración es verdadera. Puesto que es verdadera, lo que dice es realmente el caso, lo cual significa que la oración nunca puede ser demostrada. Entonces, ¿cómo he podido demostrarla? ¿Cuál es la falacia en el razonamiento anterior? La falacia está en que la noción de demostrable no está bien definida. Una importante finalidad del campo conocido como «Lógica matemática» es hacer de la noción de demostración una noción precisa. Sin embargo, todavía no se ha dado una noción totalmente rigurosa de demostración en un sentido absoluto; se habla más bien de demostrabilidad dentro de un sistema dado. Ahora bien, supóngase que tenemos un sistema —llamémosle sistema S— en el que la noción de demostrabilidad dentro del sistema S esté claramente definida. Supóngase también que el sistema S es correcto en el sentido de que todo lo que sea demostrable en el sistema es realmente verdadero. Considérese ahora la siguiente oración:

ESTA ORACIÓN NO ES DEMOSTRABLE EN EL SISTEMA S

Ahora no tenemos paradoja alguna, sino en lugar de ello una interesante verdad. Esta interesante verdad es que la oración anterior ha de ser una oración verdadera que no es demostrable en el sistema S. De hecho, se trata de una tosca formulación de la oración X de Gödel, que puede ser considerada como afirmando su propia indemostrabilidad, no en un sentido absoluto, sino sólo dentro del sistema dado.

También debería decir algo sobre la condición «doblemente gödeliana» analizada en la Sección B. El hecho es que los diversos sistemas a los cuales es aplicable el resultado de Gödel son no solamente «gödelianos», en el sentido de que dado cualquier conjunto definible A, hay una oración que es verdadera si y sólo si su número de Gödel está en A, sino que esos sistemas son lo que yo llamaría «doblemente gödelianos», con lo cual quiero decir que dados dos conjuntos definibles cualesquiera A, B, hay oraciones X, Y tales que X es verdadera si y solamente si el número de Gödel de Y está en A, y tales que Y es verdadera si y solamente si el número de Gödel de X está en B. A partir de esto (usando las condiciones E1, E2 y C) puede construirse un par X, Y tal que X afirma que Y es demostrable (con lo cual quiero decir que X es verdadera si y solamente si Y es demostrable) e Y afirma que X no es demostrable; una de ellas (no sabemos cuál) tiene que ser verdadera pero no demostrable. O podemos construir un par X, Y tal que X afirma que Y es refutable e Y afirma que X no es refutable —de lo cual se sigue que al menos una de ellas (no sabemos cuál) tiene que ser falsa pero no refutable. O también (sin usar incluso la condición C) podemos construir un par X, Y tal que X afirma que Y es demostrable e Y afirma que X es refutable; una de ellas (no sabemos cuál) es o verdadera pero no demostrable, o falsa pero no refutable (aunque una vez más no sabemos cuál).

¡Ah!, una última cosa, antes que se me olvide: ¿Cómo se llama este libro? Bien, este libro se llama: ¿Cómo se llama este libro?

SOLUCIONES

SOLUCIONES DE ADIVINANZAS Y MONERÍAS

4.

Muchísima gente llega a la conclusión equivocada de que el hombre está mirando su propia fotografía porque se ponen en el lugar del hombre que está mirando la fotografía y razonan de esta manera: «Ya que no tengo ni hermanos ni hermanas, el hijo de mi padre tengo que ser yo. Por tanto estoy mirando mi fotografía.»

La primera parte de este razonamiento es totalmente correcta; si no tengo ni hermanas ni hermanos el hijo de mi padre tengo que ser yo. Pero no se puede decir que «Yo» sea la solución del problema. Si la segunda parte del problema hubiera dicho «Este hombre es el hijo de mi padre», la solución del problema hubiera sido «Yo». Pero el problema no decía eso sino que decía «El padre de este hombre es el hijo de mi padre». De lo que se deduce que el padre de este hombre soy yo, yo soy el padre de este hombre, de aquí que este hombre tenga que ser mi hijo. Por tanto, la solución correcta a este problema es que el hombre está mirando una fotografía de su hijo.

Al lector escéptico que aún no se haya convencido (y estoy seguro de que muchos no lo están) quizás le ayude ver las cosas un poco más gráficamente:

(1) El padre de este hombre es el padre de mi hijo.

Al sustituir la complicada frase «el padre de mi hijo» por la palabra «yo» nos queda:

(2) El padre de este hombre soy yo.

¿Te has convencido ya?

5.

La solución del segundo problema: «Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre» es que el hombre está mirando una fotografía de su padre.

6.

Las condiciones de este problema son lógicamente contradictorias. Es lógicamente imposible que puedan existir a la vez un obús que siempre da en el blanco y una guarnición indestructible. Si existiera ese obús que siempre da en el blanco, por definición tendría que destruir cualquier guarnición que se encontrara a su paso y, por tanto, no habría para él ninguna guarnición indestructible. Por otro lado, si hubiera una guarnición indestructible por definición no podría haber ningún obús que la destruyera y, por tanto, no existiría ese obús que siempre da en el blanco y lo destruye. Así pues, la existencia de un obús que siempre da en el blanco destruyéndolo no es lógicamente contradictoria en sí, como tampoco es contradictoria en sí misma la existencia de una guarnición indestructible; pero afirmar que ambas existen es enunciar una contradicción.

La situación es muy parecida a la siguiente, supongamos que te digo: «Hay dos señores, Pedro y Juan, Pedro es más alto que Juan y Juan es más alto que Pedro. ¿Cómo te explicas eso?» La contestación mejor sería: «O estás mintiendo o estás equivocado.»

7.

La respuesta —equivocada— más corriente es «25». Si la pregunta hubiera sido: «Cuál es el número menor de calcetines que tengo que sacar para que me salgan por lo menos dos calcetines de diferente color», la respuesta correcta habría sido veinticinco; pero el problema lo que decía era «por lo menos dos calcetines del mismo color»; y, por tanto, la respuesta correcta es «tres». Si cojo tres calcetines, o serán todos del mismo color (en cuyo caso ya tengo por lo menos dos del mismo color) o si no dos serán de un color y uno del otro y, por tanto, habré sacado dos del mismo color.

8.

La respuesta es cuatro.

9.

La solución del primer problema es «sí». Para mayor claridad daremos por hecho que en Nueva York hay exactamente 8 millones de habitantes. Si cada habitante tuviera diferente número de pelos, tendría que haber ocho millones de números enteros positivos diferentes, cada uno de ellos menor de ocho millones. ¡Y eso es completamente imposible!

La solución del segundo problema es 518. Para verlo mejor, supongamos que hubiera más de 518 habitantes, por ejemplo 520. Entonces tendría que haber 520 números distintos todos menores de 520 ninguno de ellos igual a 518. Esto es imposible; hay exactamente 520 números distintos (incluido el 0) menores de 520, por tanto sólo hay 519 números que no sean el 518 que sean menores de 520.

A propósito, uno de los habitantes de Podunk tiene que ser calvo, ¿por qué?

10.

Dudo que no haya una solución que se pueda decir correcta o incorrecta. Me temo que en un problema de este tipo la opinión de uno es tan buena como la del otro. Personalmente yo creo que si alguien es responsable de la muerte de C sería A. Ahora bien, si yo fuera el abogado defensor de B habría hecho notar dos cosas: 1) El quitarle el agua envenenada a un hombre no es de ninguna manera matarle; 2) En cualquier caso el acto de B solamente habría servido para prolongar la vida de C (aun cuando esta no fuera en absoluto su intención), puesto que la muerte por envenenamiento es generalmente más rápida que la muerte por deshidratación.

Pero el defensor de A me replicaría: «¿Cómo puede nadie que esté en sus cabales culpar a A de un crimen por envenenamiento cuando en realidad C no llegó a probar el veneno?» Este problema es un verdadero enigma. Lo complicado es que se puede ver desde tres puntos de vista, uno moral, otro legal y otro puramente científico en que entra la idea de causa. Desde el punto de vista moral evidentemente los dos eran culpables de intento de asesinato, pero la sentencia de asesinato real es mucho más drástica. Desde el punto de vista legal, yo no sé qué decidiría la ley; quizás jurados diferentes dieran veredictos diferentes. Desde el punto de vista científico la idea de causalidad presenta muchos problemas y creo que se podría escribir todo un libro sobre este acertijo.

11.

Los dos acusados eran siameses.

12.

El indio adulto era la madre del indiecito.

13.

Al salir de su casa el hombre dio cuerda al reloj, y escribió la hora en un papel. Cuando llegó a casa de su amigo apuntó la hora que era en ese momento y cuando se fue volvió a apuntarla. Cuando llegó a su casa miró el reloj y así pudo saber cuánto tiempo había estado fuera de casa. Restando de eso el tiempo que había estado en casa de su amigo pudo calcular lo que había tardado en ir y venir; sumando la mitad de ese tiempo a la hora que era cuando salió de casa de su amigo, pudo averiguar la hora que era en aquel momento.

14.

El oso tenía que ser blanco; un oso polar. La razón que se da normalmente es que el oso tenía que estar justo en el Polo Norte. Pues bien ésta es una de las posibilidades, pero no la única. Desde el Polo Norte, todas las direcciones son sur, así es que si el oso estaba justo en el Polo Norte y el hombre estaba 100 metros al sur de él y andaba 100 metros en dirección este, y una vez allí se colocaba en dirección norte, estaría de nuevo mirando hacia el Polo Norte. Pero como dije, ésta no es la única solución; la verdad es que hay infinitas soluciones. Podría ocurrir, por ejemplo, que el hombre estuviera muy cerca del Polo Sur, en un punto en el que el círculo polar que pasa por allí es una circunferencia de justamente 100 metros, y que el oso estuviera 100 metros al norte de él. En este caso, si el hombre anduviera 100 metros en dirección este, estaría andando justo alrededor del círculo y, tras andar 100 metros habría vuelto al mismo punto donde había comenzado. Y aquí tenéis, pues, la segunda solución. Pero además, el tipo podía estar todavía un poco más cerca del Polo Sur, en el círculo polar que es una circunferencia de 50 metros exactos, de manera que si anduviera 100 metros en dirección este habría dado la vuelta dos veces a ese círculo y estaría de nuevo en el punto de partida. O podía estar un poco más cerca del Polo Sur, en un punto en el que la circunferencia y el círculo polar es la tercera parte de cien metros y haber dado la vuelta al circulo tres veces y estar de nuevo en el punto de partida, y así, hasta cualquier número positivo n. Así pues, hay en realidad un número infinito de lugares en la tierra donde las condiciones dadas se cumplen; evidentemente, en cualquiera de esas soluciones, el oso estaría suficientemente cerca o del Polo Norte o del Polo Sur como para que fuera un oso polar. Hay, claro está, la remota posibilidad de que un malvado ser humano hubiera transportado deliberadamente un oso pardo hasta el Polo Norte sólo para dejar mal al autor de este problema.

15.

La respuesta es una moneda de veinticinco pesetas y otra de un duro. Una de ellas (la de veinticinco) no es un duro.

16.

¿Cómo es posible que se case un muerto?

17.

Era un enano que no llegaba hasta el botón del piso veinticinco del ascensor.

Un tipo que yo conozco (que evidentemente no era ninguna maravilla contando chistes) contó una vez este chiste en una fiesta en la que yo estaba, y empezó así: «En el piso veinticinco de una torre vivía un enano…»

18.

En realidad, las yemas son amarillas.

19.

Evidentemente los dos trenes estarán a la misma distancia de Boston cuando se encuentren.

20.

Los gallos no ponen huevos.

21.

Veinte.

22.

No hay diferencia alguna, una hora y media es igual a noventa minutos.

23.

Difícilmente querrá nadie enterrar a los supervivientes.

24.

El cirujano era la madre de Arturo Smith.

25.

Desgraciadamente no me puedo acordar en este momento de cómo se llama este libro, pero no os preocupéis, estoy seguro que me viene de un momento a otro.

SOLUCIONES DE CABALLEROS Y ESCUDEROS

26.

Es imposible que un caballero o un escudero digan: «Yo soy escudero», porque un caballero emitiría el enunciado falso de que él es escudero, y un escudero no emitiría el enunciado verdadero de que él es escudero. Por lo tanto, A nunca diría que era un escudero. Así, B mentía cuando dijo que A había dicho que él era escudero. Por lo tanto B es escudero. Puesto que C dijo que B estaba mintiendo, y B estaba ciertamente mintiendo, C dijo la verdad, de aquí que se tratara de un caballero. Así pues, B es un escudero y C un caballero. (Es imposible saber lo que es A.)

27.

La respuesta es la misma que la del problema anterior, aunque el razonamiento es un tanto diferente.

Lo primero que hay que observar es que B y C deben ser de tipos opuestos, puesto que B contradice a C. Así pues, de entre los dos, uno es un caballero y el otro un escudero. Ahora bien, si A fuera caballero, entonces habría presentes dos caballeros, y por tanto A no hubiese mentido diciendo que había solamente uno. Por otra parte, si A fuera escudero, entonces sería cierto que había presente solamente un caballero; pero entonces A, siendo escudero, no podría haber emitido ese enunciado verdadero. Por lo tanto, A no pudo haber dicho que sólo había un caballero entre ellos. Así B transmitió falsamente el enunciado de A, y de este modo B es escudero y C caballero.

28.

Supóngase que A fuera escudero. Entonces el enunciado «Al menos uno de nosotros es un escudero» sería falso (puesto que los escuderos emiten enunciados falsos); de donde se sigue que ambos serían caballeros. Así, si A fuera escudero, tendría que ser también caballero, lo que es imposible. Por tanto A no es un escudero; es un caballero. Y por ello su enunciado debe ser verdadero; así, al menos uno de ellos es realmente un escudero. Puesto que A es caballero, entonces B debe ser el escudero. Así pues, A es caballero y B es escudero.

29.

Este problema es una buena introducción a la lógica de la disyunción. Dados dos enunciados cualesquiera, p, q, el enunciado «o p o q» significa que al menos uno de los enunciados (y posiblemente ambos) es verdadero. Si el enunciado «o p o q» fuera falso, entonces ambos enunciados p, q, son falsos. Por ejemplo, si yo dijera, «O está lloviendo o está nevando», entonces si mi enunciado es incorrecto, es falso que está lloviendo y es falso también que está nevando.

Este es el modo en que «o/o» se usa en lógica, y es el modo en que será usado a lo largo de este libro. En la vida diaria se usa a veces de este modo (permitiéndose la posibilidad de que ambas alternativas se den), y a veces en el sentido llamado «exclusivo» —que se da una y solamente una de las condiciones. Como ejemplo del uso exclusivo, si yo digo «Me casaré con Isabel o me casaré con Juana», se entiende que las dos posibilidades son mutuamente exclusivas —esto es, que no me casaré con las dos. Por otra parte, si el reglamento de un colegio establece que para el estudiante que haya de entrar se requiere que haya cursado o un año de matemáticas o un año de lengua extranjera, es seguro que el colegio no va a excluir a nadie porque cumpla ambas condiciones. Este es el uso inclusivo de «o/o» y es el que emplearemos constantemente.

Otra importante propiedad de la relación de disyunción «o esto o aquello» es la siguiente. Considérese el enunciado «p o q» (que es una abreviatura de «o p o q»). Supóngase que sucede que el enunciado sea verdadero. Entonces si p es falso, q tiene que ser verdadero (porque al menos uno de ellos es verdadero, y por tanto si p es falso, q tiene que ser verdadero). Por ejemplo, supóngase que es verdad que o está lloviendo o está nevando, pero es falso que está lloviendo. Entonces tiene que ser verdad que está nevando.

Estos dos principios los aplicamos como sigue. A emite un enunciado del tipo disyuntivo: «O yo soy un escudero o B es un caballero.» Supóngase que A es escudero. Entonces el anterior enunciado tiene que ser falso. Esto quiere decir que ni es verdadero que A sea escudero ni es verdadero que B sea caballero. Así pues si A fuera escudero, entonces se seguiría que no es escudero —lo cual sería una contradicción. Por tanto A tiene que ser caballero.

Así pues, hemos establecido que A es caballero. Por tanto es verdadero su enunciado, según el cual se cumple al menos una de las posibilidades: 1) A es escudero; 2) B es caballero. Dado que la posibilidad 1) es falsa (puesto que A es un caballero), entonces la posibilidad 2) tiene que ser la correcta, es decir, B es un caballero. De lo que sigue que A y B son ambos caballeros.

30.

La única conclusión válida es que el autor de este problema no es un caballero. El hecho es que ni un caballero ni un escudero podrían emitir semejante enunciado. Si A fuera caballero, entonces el enunciado de que o A es escudero o si no dos más dos es igual a cinco sería falso, puesto que ni es el caso de que A sea escudero ni de que dos más dos sea igual a cinco. En tal caso A, un caballero, habría emitido un enunciado falso, lo cual es imposible. Por otra parte, si A fuera escudero, entonces el enunciado de que o A es escudero o si no dos más dos es igual a cinco sería verdadero, puesto que la primera cláusula según la cual A es escudero es verdadera. En tal caso A, un escudero, habría emitido un enunciado verdadero, lo cual es igualmente imposible.

Por tanto, las condiciones del problema son contradictorias (exactamente igual que el problema del obús que siempre da en el blanco y lo destruye, y la guarnición indestructible). Por tanto, yo, el autor del problema, o estaba equivocado o mentía. Puedo asegurar que no estaba equivocado. De donde se sigue que no soy un caballero.

Para que conste, desearía testificar que he dicho la verdad al menos una vez en mi vida, de donde se sigue que tampoco soy un escudero.

31.

Para empezar, A tiene que ser escudero, porque si fuera caballero tendría que ser verdad que los tres son escuderos y, por tanto, que también A es escudero. Si A fuera caballero, tendría que ser escudero, lo cual es imposible. Así pues A es escudero. De donde se sigue que su enunciado era falso, y así hay de hecho al menos un caballero entre ellos.

Ahora, supóngase que B fuera escudero. Entonces A y B serían ambos escuderos, y así C sería caballero (porque hay al menos un caballero entre ellos). Esto querría decir que había exactamente un caballero entre ellos, y por tanto que el enunciado de B sería verdadero. Así pues, tendríamos la imposibilidad de un escudero emitiendo un enunciado verdadero. Por tanto, B tiene que ser caballero.

Ahora sabemos que A es escudero y que B es caballero. Puesto que B es caballero, su enunciado es verdadero, así hay exactamente un caballero entre ellos. Este caballero ha de ser B, de aquí que C haya de ser escudero. Por tanto, la respuesta es que A es escudero, B caballero y C escudero.

32.

No puede determinarse lo que es B, pero puede probarse que C es caballero.

Para empezar, A tiene que ser escudero por las mismas razones expuestas en el problema anterior; de aquí que también hay al menos un caballero entre ellos. Ahora bien, o B es caballero o escudero. Supóngase que es caballero. Entonces es verdadero que exactamente uno de ellos es un escudero. Este único escudero tiene que ser A, así C sería un caballero. De esta manera, si B es caballero, también lo es C. Por otra parte, si B es escudero, entonces C tiene que ser caballero, puesto que los tres no pueden ser escuderos (como hemos visto). Así pues, en uno y otro caso, C tiene que ser caballero.

33.

Para empezar, A no puede ser caballero pues entonces su enunciado sería verdadero, en cuyo caso él tendría que ser escudero. Por tanto, A es escudero. De aquí también que su enunciado sea falso. Si B fuera caballero, entonces el enunciado de A sería verdadero. De lo que se sigue que B es también escudero. Así pues, A y B son los dos escuderos.

34.

Supóngase que A es caballero. Entonces su afirmación de que B es escudero ha de ser verdadera, así B es entonces escudero. De lo que se sigue que la afirmación de B de que A y C son del mismo tipo es falsa, por tanto A y C son de tipos diferentes. Y de ello se sigue que C tiene que ser escudero (puesto que A es caballero). Así, si A es caballero, entonces C es escudero.

Por otra parte, supóngase que A es escudero. Entonces su afirmación de que B es escudero es falsa, de aquí que B sea caballero. Y de ello se sigue que la afirmación de B de que A y C son del mismo tipo es verdadera. Lo cual significa que C tiene que ser escudero (puesto que A lo es).

Hemos mostrado que independientemente de que A sea caballero o escudero, C tiene que ser escudero. Por lo tanto C es escudero.

35.

Me temo que este problema sólo puede ser resuelto por análisis de casos.

Caso Uno: A es caballero. Entonces B, C son realmente del mismo tipo. Si C es caballero, entonces B es también caballero, de aquí que sea del mismo tipo que A, así C al ser veraz debe responder «Sí». Si C es escudero, entonces B es también escudero (puesto que es del mismo tipo que C), de lo que se sigue que es de un tipo diferente al de A. Por lo tanto C, al ser escudero, debe mentir y decir «Sí».

Caso Dos: A es escudero. Entonces B, C son de tipos diferentes. Si C es caballero, entonces B es escudero, de aquí que sea del mismo tipo que A. Así C, al ser caballero, debe responder «Sí». Si C es escudero, entonces B, al ser de un tipo diferente al de C, es caballero, y por lo tanto de un tipo diferente al de A. Entonces C, siendo escudero, debe mentir cuando se le pregunta si A y B son de tipos diferentes, y por ello responderá «Sí».

Así, en ambos casos C responde «Sí».

36.

Para resolver este problema tendrás que utilizar la información que di de que tras la respuesta de mi interlocutor, yo sabía la verdadera solución a mi pregunta.

Supóngase que mi interlocutor —llamémosle A— hubiera respondido «Sí». ¿Podría haber sabido yo entonces si al menos uno de ellos era un caballero? Ciertamente no. Porque pudiera ser que A era caballero y que hubiera respondido verazmente «Sí» (lo cual sería verdadero, puesto que al menos uno —a saber A— era un caballero), o pudiera ser que los dos fueran escuderos, en cuyo caso A hubiera respondido falsamente «Sí» (lo cual ciertamente sería falso, puesto que ninguno era un caballero). Así si A hubiese respondido «Sí», yo no hubiera tenido medio de saber cuál era la solución. Pero yo dije que la sabía tras la respuesta de A. Por lo tanto, A tuvo que haber respondido «No».

Ahora puedes ver fácilmente lo que deben ser A y el otro —llamémosle B: Si A fuera caballero, no podía haber respondido verazmente «No», así pues A es escudero. Puesto que su respuesta «No» es falsa, entonces hay presente al menos un caballero. Por lo tanto, A es escudero y B caballero.

37.

Sí, lo son. Si los dos son caballeros, entonces ambos responderán «Sí». Si los dos son escuderos, entonces nuevamente ambos responderán «Sí». Si uno es caballero y el otro escudero, entonces el caballero responderá «No», y el escudero responderá también «No».

38.

Me he permitido, ocasionalmente, una pequeña broma. La clave que brindé era que el hombre en cuestión simulaba estar perezosamente recostado al sol. De aquí se sigue que simulaba estar recostado al sol. Y de aquí se sigue que simulaba y, por tanto, que es escudero. Así pues, su nombre es Enrique.

39.

Para empezar, A no puede ser caballero, porque un caballero jamás diría que él es normal. Así, A es escudero o normal. Supóngase que A fuera normal. Entonces el enunciado de B sería verdadero, de donde se sigue que B es caballero o normal, pero B no puede ser normal (puesto que A lo es), de modo que B es caballero. Queda pues que C sea escudero. Pero un escudero no puede decir que él no es normal (porque un escudero realmente no es normal), y así tenemos una contradicción. Por lo tanto, A no puede ser normal. De donde se sigue que A es escudero. Entonces el enunciado de B es falso, de modo que B tiene que ser normal (no puede ser un escudero puesto que A lo es). Así pues, A es el escudero y B es el normal, por tanto C es el caballero.

40.

Lo interesante de este problema es que es imposible saber si es A quien está diciendo la verdad pero no es caballero, o si es B quien está diciendo la verdad pero no es caballero; todo lo que podemos demostrar es que al menos uno de ellos tiene esa propiedad.

O A está diciendo la verdad o no lo está. Demostraremos: (1) Si lo está, entonces A está diciendo la verdad pero no es caballero; (2) Si no lo está, entonces B está diciendo la verdad pero no es caballero.

(1) Supóngase que A está diciendo la verdad. Entonces B es realmente caballero. De aquí se sigue que B está diciendo la verdad, de modo que A no es caballero. Así pues, si A está diciendo la verdad entonces A es una persona que está diciendo la verdad pero no es caballero.

(2) Supóngase que A no está diciendo la verdad. Entonces B no es caballero. Pero B tiene que estar diciendo la verdad, puesto que A no puede ser caballero (ya que A no está diciendo la verdad). Así pues, en este caso B está diciendo la verdad pero no es caballero.

41.

Mostraremos que si B está diciendo la verdad entonces no es caballero, y que si no está diciendo la verdad entonces A está mintiendo pero no es escudero.

(1) Supóngase que B está diciendo la verdad. Entonces A es escudero, de donde se sigue que A ciertamente no está diciendo la verdad, y de ello se sigue a su vez que B no es caballero. Así pues, en este caso B está diciendo la verdad pero no es caballero.

(2) Supóngase que B no está diciendo la verdad. Entonces A no es realmente escudero. Pero está ciertamente mintiendo sobre B, puesto que B no puede ser caballero si no está diciendo la verdad. Así pues en este caso A está mintiendo pero no es escudero.

42.

Para empezar, A no puede ser caballero, porque no puede ser verdad que un caballero sea de rango inferior a ningún otro. Ahora bien, supóngase que A es escudero. Entonces su enunciado es falso, de donde se sigue que no es de rango inferior a B. Luego B tiene que ser también escudero (porque si no lo fuera, entonces A sería de rango inferior a B). Así pues, si A es escudero, también lo es B. Pero esto es imposible, porque B está contradiciendo a A, y dos afirmaciones contradictorias no pueden ser ambas falsas. Por lo tanto, la suposición de que A es escudero conduce a una contradicción. De aquí que A no sea escudero. De donde se sigue que A tiene que ser normal.

Y ahora, ¿qué decir acerca de B? Bien, si fuera caballero, entonces A (al ser normal) sería efectivamente de rango inferior a B, de lo que se sigue que el enunciado de A sería verdadero, de lo cual se sigue a su vez que el enunciado de B sería falso, y tendríamos que enfrentarnos con la imposibilidad de que un caballero emita un enunciado falso. Así pues, B no es caballero. Supóngase que B fuera escudero. Entonces el enunciado de A sería falso, de donde se sigue que el enunciado de B sería verdadero, y tendríamos un escudero formulando un enunciado verdadero. Por lo tanto B tampoco puede ser escudero. De donde se sigue que B es normal.

Así pues, A y B son ambos normales. Y así también, el enunciado de A es falso y el enunciado de B es verdadero. De este modo el problema admite una solución completa.

43.

Paso 1: Mostramos primeramente que del enunciado de A se sigue que C no puede ser normal. Bien, si A es un caballero entonces B es realmente de rango superior a C, por tanto B tiene que ser normal y C tiene que ser escudero. Así pues en este caso, C no es normal. Supóngase que A es escudero. Entonces B no es realmente de rango superior a C, de donde se sigue que B es de rango inferior, y por tanto B tiene que ser normal y C tiene que ser caballero. Así pues, tampoco en este caso es C normal. El tercer caso posible es que A sea normal, en cuyo caso C ciertamente no lo es (puesto que sólo uno de los tres, A, B, C, es normal). Así pues, C no es normal.

Paso 2: Por un razonamiento similar, del enunciado de B se sigue que A no es normal. Así pues, ni A ni C son normales. Por lo tanto B es normal.

Paso 3: Puesto que C no es normal, entonces es caballero o escudero. Supóngase que es caballero. Entonces A es escudero (puesto que B es normal), de donde se sigue que B es de rango superior a A. Así C, al ser caballero, respondería verazmente «B es de rango superior». Por otra parte, supóngase que C es escudero. Entonces A tiene que ser caballero, y así B no es de rango superior a A. Entonces C, al ser escudero, mentiría diciendo, «B es de rango superior a A». Así pues, independientemente de que C sea caballero o escudero, responde que B es de rango superior a A.

44.

El señor A no puede ser escudero, porque entonces su mujer sería caballero y por tanto no normal, de modo que el enunciado del señor A tendría que haber sido verdadero. Similarmente, la señora A no puede ser escudero. Por lo tanto, ninguno de los dos es tampoco caballero (o la esposa tendría que ser entonces escudero), de modo que ambos son normales (y ambos mienten).

45.

Para el segundo problema, la respuesta es la misma. ¿Por qué?

46.

Resulta que los cuatro son normales, y que los tres enunciados son mentira.

Ante todo, la señora B tiene que ser normal, porque si fuera caballero su marido sería escudero, de donde se sigue que ella no habría mentido diciendo que él era caballero. Si ella fuera escudero, su marido sería caballero, pero entonces ella no habría dicho la verdad a este respecto. Por lo tanto, la señora B es normal. De aquí se sigue que también el señor B es normal. Esto significa que el señor y la señora A estaban los dos mintiendo. Por lo tanto, ninguno de ellos es caballero, y no pueden ser ambos escuderos, de modo que los dos son normales.

SOLUCIONES DE ALICIA EN EL BOSQUE DEL OLVIDO

47.

Los únicos días que el León puede decir «Ayer mentí» son los lunes y jueves. Los únicos días que el Unicornio puede decir «Ayer mentí» son los jueves y domingos. Por lo tanto, el único día en el que ambos pueden decir esto es el jueves.

48.

El primer enunciado del león implica que es lunes o jueves. El segundo enunciado implica que no es jueves. Por lo tanto es lunes.

49.

¡En ningún día de la semana es esto posible! Solamente podría hacer el primer enunciado los lunes y los jueves; solamente podría hacer el segundo los miércoles y los domingos. Así pues, no hay ningún día en el que el León pueda hacer ambos enunciados.

50.

¡Esta es una situación muy diferente! Ilustra estupendamente la diferencia entre hacer dos enunciados separadamente y hacer un enunciado que sea la conjunción de los dos. En efecto, dados cualesquiera dos enunciados X e Y si el enunciado «X e Y» es verdadero, entonces se sigue, desde luego, que X e Y son verdaderos separadamente; pero si la conjunción «X e Y» es falsa, entonces solamente se sigue que al menos uno de ellos es falso.

Ahora bien, el único día de la semana en el que podría ser verdadero que el León mintió ayer y que mentirá mañana de nuevo es el martes (es éste el único día que hay entre dos de los días en los que al León le toca mentir). Así, el día en que el León dijo esto no podría ser martes, pues los martes ese enunciado es verdadero, pero el León no hace enunciados verdaderos los martes. Por lo tanto no es martes, pues el enunciado del León sería falso, ya que el León está mintiendo. Por lo tanto el día tiene que ser o lunes o miércoles.

51.

Si el primer enunciado es verdadero, entonces el primero de los hermanos es en realidad Tweedledum y, por consiguiente, el segundo es Tweedledee y el segundo enunciado es también verdadero. Si el primer enunciado es falso, entonces el primero de los hermanos es efectivamente Tweedledee y el segundo es Tweedledum y, por consiguiente, el segundo enunciado es también falso. Por lo tanto, o ambos enunciados son verdaderos, o ambos enunciados son falsos. No pueden ser los dos falsos puesto que los hermanos jamás mienten el mismo día. Por lo tanto, ambos enunciados tienen que ser verdaderos. Así, el primero de los hermanos es Tweedledum y el segundo es Tweedledee. Además, el día del encuentro tiene que ser domingo.

52.

¡Esto ya es harina de otro costal! El segundo enunciado es ciertamente verdadero. Ahora bien, se nos dice que el día de la semana no es el mismo que el del problema anterior, de modo que se trata de un día laborable. Por consiguiente, no puede ser que ambos enunciados sean verdaderos, de modo que el primero tiene que ser falso. Por lo tanto, el primero de ellos es Tweedledee y el segundo Tweedledum.

53.

La primera respuesta era claramente una mentira, puesto que el encuentro tuvo que haber tenido lugar un día laborable. Por lo tanto el otro tuvo que haber respondido verazmente y dijo «No».

54.

El enunciado (2) del primero de los hermanos es claramente falso; por lo tanto, el enunciado (1) es también falso (puesto que se emite el mismo día). Por consiguiente, el primero de los hermanos no miente los sábados, de modo que el segundo miente los sábados. El segundo de los hermanos dice la verdad este día (puesto que el primero de ellos miente), de modo que ahora es lunes, martes o miércoles. El único de entre estos días en el que es verdad que mentirá mañana es el miércoles. Así pues, el día es miércoles.

55.

Su enunciado es ciertamente falso (pues si fuese verdadero, entonces hoy mentiría, lo cual es una contradicción). Por lo tanto, al menos una de las dos cláusulas «Hoy miento», «Soy Tweedledee» tiene que ser falsa. La primera cláusula («Hoy miento») es verdadera, por lo tanto la segunda cláusula tiene que ser falsa. Por consiguiente, se trata de Tweedledum.

56.

Sí lo sería. Si él mintiese hoy, entonces la primera cláusula de la disyunción sería verdadera y, por lo tanto, todo el enunciado sería verdadero, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, él dice hoy la verdad. De este modo su enunciado es verdadero: o él miente hoy o es Tweedledee. Puesto que hoy no miente, entonces él es Tweedledee.

57.

Ambos enunciados son obviamente verdaderos, de modo que es domingo. No es posible determinar quién es quién.

58.

Para comenzar, es imposible que, en domingo, cualquiera de los dos hermanos mienta y diga que no es domingo. Por lo tanto, hoy no puede ser domingo. De este modo, el primero está diciendo la verdad, y (puesto que no es domingo) el segundo está, consiguientemente, mintiendo hoy. El segundo de los hermanos dice que hoy es lunes, pero está mintiendo, de modo que hoy tampoco es lunes.

Ahora bien, el segundo ha dicho también la mentira de que el León mintió ayer; por lo tanto, ayer era en realidad uno de los días en los que el León dice la verdad. Esto significa que ayer era jueves, viernes, sábado o domingo, de modo que hoy es viernes, sábado, domingo o lunes. Hemos eliminado ya domingo y lunes, de modo que hoy tiene que ser viernes o sábado.

A continuación observamos que mañana es uno de los días en los que le toca mentir a Tweedledee (puesto que el primero de los hermanos, que dice la verdad, así lo dijo). Por lo tanto, hoy no puede ser sábado. Consecuentemente, hoy es viernes.

De esto se sigue además que Tweedledee miente los sábados y, por tanto, que es como el Unicornio. Además, el primero de los hermanos dice hoy, que es viernes, la verdad; por lo tanto se trata de Tweedledum. Esto lo demuestra todo.

59.

Supongamos que el primero de los hermanos dijo la verdad. Entonces el sonajero pertenece a Tweedledee. El segundo hablante tiene que estar mintiendo (puesto que no es domingo), por lo tanto su nombre no es realmente Tweedledee; es Tweedledum. Por lo tanto, el primer hablante es Tweedledee y debería recibir el sonajero.

Supongamos que el primero de los hermanos mintió. Entonces el sonajero pertenece a Tweedledum. Entonces el segundo de los hermanos dijo la verdad, de modo que es en realidad Tweedledee. Pero entonces el sonajero pertenece otra vez al primero de los hermanos. Así, en cualquier caso, el sonajero pertenece al primer hablante.

60.

Las posibilidades son cero. Supongamos que su enunciado es verdadero. Entonces el propietario del sonajero miente hoy y, por lo tanto, no puede ser el hablante. Supongamos por otra parte que su enunciado es falso. Entonces el propietario del sonajero dice hoy la verdad y por lo tanto, no puede ser, nuevamente, el hablante.

61.

Humpty Dumpty tenía razón. Supongamos que el hablante miente. Entonces al propietario del sonajero no le toca hoy decir la verdad, hoy le toca mentir; por consiguiente el propietario ha de ser el hablante. Pero supongamos que el hablante está diciendo la verdad. Entonces al propietario del sonajero le toca, efectivamente, decir hoy la verdad. Si es un día laborable, entonces el propietario tiene que ser él, pero si se trata de un domingo, entonces a ambos hermanos les toca hoy decir la verdad, de modo que cualquiera de los dos puede ser el propietario.

En resumen, si se trata de un día laborable, entonces el propietario es, definitivamente, el hablante. Si se trata de un domingo, entonces las posibilidades de que él sea el propietario están igualadas. Por lo tanto, las posibilidades de que él sea el propietario son 6 ½ sobre 7, o 13 sobre 14.

62.

La clave es aquí que Alicia supo a quién dárselo. Si el segundo de los hermanos hubiese respondido «Sí», entonces uno de ellos habría estado diciendo la verdad y el otro mintiendo y, por lo tanto, Alicia no hubiera tenido manera de saber a quién pertenecía el sonajero. Pero he dicho que ella lo supo, ya que el segundo de los hermanos no respondió «Sí». Por consiguiente, o ambos estaban mintiendo o ambos estaban diciendo la verdad. Esto significa que ambos estaban diciendo la verdad y que tenía que haber sido domingo. Así pues, Alicia se lo dio al primero de los hermanos.

63.

Sí, Tweedledoo tiene que existir; Alicia estaba hablándole precisamente a él.

El hablante afirmó que los siguientes enunciados eran ambos verdaderos:

(1) Él es o Tweedledee o Tweedledum.

(2) A él le toca mentir hoy.

Si esta afirmación fuera verdadera, entonces (1) y (2) serían ambos verdaderos; por lo tanto (2) sería verdadero, lo cual es una contradicción. Por consiguiente su afirmación es falsa, de modo que (1) y (2) no pueden ser a la vez verdaderos. Ahora bien. (2) es verdadero (puesto que su afirmación en este día es falsa), de modo que tiene que ser (1) lo que no es verdadero. Por consiguiente él no es ni Tweedledum ni Tweedledee, de modo que tiene que ser Tweedledoo.

64.

El primero de ellos no puede ser en realidad Tweedledoo (puesto que Tweedledoo miente siempre), de modo que es Tweedledee o Tweedledum, pero está mintiendo. Entonces el segundo también está mintiendo. Si el segundo fuese Tweedledee o Tweedledum, entonces Tweedledee y Tweedledum mentirían el mismo día, lo cual es imposible. Por lo tanto el segundo tiene que ser Tweedledoo.

65.

Esta versión es pura y simplemente, falsa.

66.

Quienquiera que sea el segundo de los hermanos, su enunciado es ciertamente verdadero. (Creo que Descartes señaló que cualquiera que dice que existe está haciendo un enunciado verdadero; ciertamente jamás me he encontrado con alguien que no exista.) Puesto que el segundo enunciado es verdadero y no es domingo, entonces el primer enunciado tiene que ser falso. Así, si esta versión de la narración es correcta, Tweedledoo no existe.

SOLUCIÓN AL EPÍLOGO

La tercera versión de la narración es definitivamente falsa. Además, ninguna de las narraciones fue contada en sábado o en domingo. La única manera de que esas cuatro narraciones puedan encajar en cuatro días consecutivos que satisfagan esas condiciones es que la tercera versión fuese contada en un miércoles. De este modo la última versión fue contada un jueves y, por lo tanto, debe ser verdadera. Así pues, Tweedledoo no existe en realidad. (Estoy completamente seguro, dicho sea de paso, que si Tweedledoo hubiese existido realmente, Lewis Carroll lo hubiera sabido).

Por lo que respecta a Alicia, puesto que la cuarta versión es la única realmente verificada, no tiene por qué tener ninguna dificultad para darse cuenta de que todos esos «temores de Tweedledoo» carecían de fundamento.

SOLUCIONES DE EL MISTERIO DE LOS COFRES DE PORCIA

67A.

El enunciado del cofre de oro y el del de plomo dicen lo contrario, luego uno debe de ser cierto. Si a lo sumo uno de los tres enunciados es verdadero, el del cofre de plata es falso y por tanto es éste el que tiene el retrato.

Este problema también se puede resolver de la siguiente forma: si el retrato estuviera en el cofre de oro, tendríamos dos enunciados verdaderos (el del cofre de oro y el del de plomo), lo que es contrario a los datos que se nos dan. Si el retrato estuviera en el cofre de plomo, volveríamos a tener dos enunciados verdaderos (esta vez en el cofre de plomo y en el de plata). De manera que el retrato tiene que estar en el cofre de plata.

Ambos caminos son correctos, lo que es una muestra más de cómo en muchos problemas existen diferentes formas correctas de llegar a la misma conclusión.

67B.

Si el retrato estuviera en el cofre de plomo, los tres enunciados serían verdaderos, lo que se opone a los datos que se nos dan. Si el retrato estuviera en el cofre de plata, los tres enunciados serían falsos, lo que también es contrario a los datos dados. Así pues, el retrato tiene que estar en el cofre de oro (y tendremos que los dos primeros enunciados son ciertos y el tercero es falso, lo que está de acuerdo con los datos que se nos han dado).

68A.

De entrada podemos descartar el cofre de plomo porque, si el retrato estuviera en él, sus dos enunciados serían falsos, de manera que el retrato tiene que estar o en el de oro o en el de plata. El primer enunciado del cofre de oro y el del de plata concuerdan, luego ambos serán verdaderos o falsos. Si los dos son falsos, los segundos enunciados serían verdaderos, pero no pueden serlo porque son contradictorios. Así pues, los primeros enunciados son los dos verdaderos, de manera que el retrato no puede estar en el cofre de oro, lo que prueba que el retrato está en el cofre de plata.

68B.

Si el retrato estuviera en el cofre de oro, éste y el de plata tendrían dos enunciados falsos cada uno. Si estuviera en el de plata, éste y el de plomo tendrían un enunciado falso y un enunciado verdadero cada uno. De manera que el retrato está en el cofre de plomo (y los enunciados del cofre de plata son los dos verdaderos, los del de plomo, ambos falsos y los del de oro, uno verdadero y otro falso).

69A.

Supongamos que el cofre de plomo fuera obra de Bellini, entonces el enunciado sería verdadero, así que los otros dos cofres tendrían que ser obra de Cellini, lo que querría decir que sus enunciados serían ambos falsos: el enunciado del cofre de plata es falso, luego la daga está en el cofre de plata. Así pues, si el cofre de plomo es obra de Bellini, la daga está en el cofre de plata.

Supongamos ahora que el cofre de plomo fuera obra de Cellini, su inscripción sería falsa y, por tanto, por lo menos dos cofres serían obra de Bellini, lo que querría decir que tanto el cofre de oro como el de plata serian obra de Bellini (ya que el de plomo suponemos que es de Cellini). Luego los enunciados del cofre de oro y del de plata serán verdaderos y, por tanto, si el del cofre de oro es verdadero, el puñal estará en el de oro.

Donde no podrá estar ni en uno ni en otro caso es en el de plomo, que es el que deberá elegir el pretendiente.

69B.

Si el cofre de plata es obra de Bellini, el enunciado será verdadero, en cuyo caso el cofre de oro será obra de Cellini. Supongamos ahora que el cofre de plata fuera de Cellini, no sería verdad que uno y nada más que uno de los cofres fuera un Bellini, lo que quiere decir que el cofre de oro es un Cellini (porque si fuera un Bellini, entonces sí sería verdad que uno y nada más que uno era obra de Bellini). Así pues, sea el de plata de Bellini o de Cellini, lo que sí es seguro es que el de oro es de Cellini y, por tanto, el enunciado del cofre de oro es falso, luego el retrato está en el cofre de oro.

69C.

Demostraremos primero que el cofre de plomo tiene que ser de Bellini. Supongamos que fuera un Cellini; mi enunciado será falso, lo que querría decir que tendría que haber por lo menos dos Bellinis, el de plata y el de oro, pero esto es imposible ya que el retrato no puede estar a la vez en el cofre de plata y en el de oro. Así pues, el de plomo es en realidad el Bellini y, por tanto, su enunciado es verdadero, por lo que hay, por lo menos, dos Cellinis. Esto quiere decir que el cofre de oro y el de plata son Cellinis y, por tanto, los enunciados de uno y otro son falsos, lo que quiere decir que el retrato no está ni en el cofre de oro ni en el de plata. Está en el de plomo. Hemos demostrado también que el cofre de plomo es un Bellini y que los otros dos son Cellinis, lo que contesta la segunda pregunta.

70.

El pretendiente tendría que haberse dado cuenta que sin ninguna información sobre la verdad o falsedad de cualquiera de las oraciones, y sin ninguna información sobre la relación de sus valores de verdad, éstas pueden decir cualquier cosa y el objeto (el retrato o la daga) puede estar en cualquier lado.

¡Bendito sea Dios!, puedo coger cuantos cofres quiera y meter un objeto en uno de ellos y luego poner las inscripciones que se me ocurran en las tapas; tales inscripciones no proporcionan ninguna información. Así es que Porcia efectivamente no mentía, se limitó a decir que el objeto en cuestión estaba en una de las cajas y eso era verdad.

La situación habría sido muy diferente en cualquiera de las historias de las otras Porcias, si el objeto no hubiera estado donde el pretendiente imaginaba; en ese caso las Porcias habrían metido un enunciado falso en algún punto (como en seguida veremos).

Otra manera de enfocar la cuestión es que el error del pretendiente fuera el suponer que cada uno de los enunciados era o verdadero o falso. Veamos más despacio la primera prueba de Porcia N–ésima con los dos cofres: La inscripción del cofre de oro —«El retrato no está aquí»— es efectivamente o verdadera o falsa, ya que el retrato o está o no está en el cofre de oro; y resultó ser verdadera ya que Porcia había metido el retrato en el cofre de plata. Ahora bien, dado que Porcia había metido el retrato en el cofre de plata, ¿el enunciado de tal cofre era verdadero o falso? No podía ser ni lo uno ni lo otro sin caer en la paradoja. Supongamos que fuera verdad, entonces uno y nada más que uno de los enunciados sería verdadero pero, dado que el primer enunciado (el del cofre de oro) es verdadero, este enunciado ha de ser falso. Así pues, si es verdadero, es falso. Por otro lado, supongamos que el enunciado del cofre de plata fuera falso, entonces el primero sería verdad, el segundo falso, lo que significa que uno y nada más que uno de los enunciados es verdadero, que es lo que afirma esta inscripción y, por tanto, ¡tendría que ser verdadera! Vemos, pues, que tanto una asunción como la otra nos llevan a una contradicción.

Será de provecho comparar esta prueba con la segunda de Porcia III, en la que también empleaba sólo dos cofres. El cofre de oro decía lo mismo que el de oro de nuestra Porcia —«El retrato no está aquí», pero el de plata, en vez de decir «Uno y nada más que uno de estos dos enunciados es verdad», decía «Uno y nada más que uno de estos dos cofres es obra de Bellini». El lector quizás se pregunte qué importante diferencia hay entre estos dos enunciados, dado que Bellini hacía sólo inscripciones verdaderas y Cellini sólo falsas. Pues bien, la diferencia, aunque sutil, es básica. El enunciado «Uno y nada más que uno de estos dos cofres es obra de Bellini» ha de ser verdadero o falso: es una proposición histórica sobre el mundo físico —o es o no es verdad que Bellini hizo uno y nada masque uno de los dos cofres. Supongamos, en el problema de Porcia III, que el retrato hubiera aparecido en el cofre de plata en lugar de en el de oro, ¿qué conclusión sacaríamos?, ¿que el enunciado del cofre de plata no era ni verdadero ni falso? ¡Esa sería la conclusión equivocada! El enunciado, como he señalado, es o verdadero o falso. Lo correcto sería concluir que si el retrato hubiera estado en el cofre de plata, Porcia III habría mentido al decir lo que dijo de Bellini y Cellini. En cambio, la Porcia moderna podía poner el retrato en el cofre de plata sin mentir ya que no había dicho nada de los valores de verdad de los enunciados.

Toda la cuestión de los valores de verdad de enunciados que se refieren a sus propios valores de verdad es un aspecto muy sutil y básico de la lógica moderna del que trataremos en otros capítulos.

SOLUCIONES DE LOS ARCHIVOS DEL INSPECTOR CRAIG

71.

Primeramente mostraré que al menos uno de los dos, A y C, es culpable. Si B es inocente, entonces es obvio que A y/o C es culpable —puesto que por (1), nadie fuera de A, B, C es culpable. Si B es culpable, entonces tiene que haber contado con un cómplice (ya que no sabe conducir), así nuevamente A o C han de ser culpables. Por tanto, A o C (o ambos) son culpables. Si C es inocente, entonces A ha de ser el culpable. Por otra parte, si C es culpable, entonces, por el enunciado (2), A es también culpable. Por consiguiente, A es culpable.

72.

Esta solución es aún más simple. Si A es inocente, entonces, puesto que C es inocente, B ha de ser culpable —por (1). Si A es culpable, entonces, por (2) tenía un cómplice, que no podía ser C —por (3)—, de aquí que tuviera que ser B. Así, en uno y otro caso, B es culpable.

73.

Supóngase que B fuera inocente. Entonces uno de los gemelos ha de ser culpable. Este gemelo tuvo que haber contado con un cómplice, que no podía ser B; de ahí que tuvo que haber sido el otro gemelo. Pero esto es imposible, puesto que uno de los gemelos estaba en Dover en ese tiempo. Por tanto B es culpable. Y como B trabaja solo siempre, los dos gemelos son inocentes.

74.

B ha de ser culpable. Esto puede ser mostrado por cualquiera de los argumentos siguientes.

Argumento Uno: Supóngase que B fuera inocente. Entonces si A fuera culpable, C sería también culpable —por el enunciado (1)—, pero esto significaría que A trabajaba con C, lo cual contradice al enunciado (3). Por tanto A debe ser inocente. Entonces C es el único culpable, lo que contradice al enunciado (2). Por consiguiente B es culpable.

Argumento Dos: Un argumento más directo es este: (a) Supóngase que A es culpable. Entonces por (1), B y C no pueden ser los dos inocentes, de aquí que A deba haber tenido un cómplice. Este cómplice no pudo haber sido C —por (3)—, de ahí que debe haber sido B. Así si A es culpable, B es también culpable, (b) Supóngase que C es culpable. Entonces tenía un cómplice —por (2)— que no podía ser A —por (3)—, de aquí que de nuevo deba ser B. (c) Si ni A ni C son culpables, ¡entonces ciertamente lo es B!

75.

El Inspector Craig acusó al Sr. McGregor de mantener falsamente que hubo un robo, ¡cuando de hecho no pudo haber habido ninguno! Su razonamiento fue como sigue.

Paso Uno: Supóngase que A fuera culpable. Entonces tenía exactamente un cómplice —por (2). Entonces uno de los dos, B o C, es culpable y el otro inocente. Esto contradice a (3) y (5), que conjuntamente implican que B y C son o ambos inocentes o ambos culpables. Por lo tanto A debe ser inocente.

Paso Dos: Nuevamente, por (3) y (5), B y C son ambos culpables o ambos inocentes. Si los dos fueran culpables, entonces serían los únicos culpables (puesto que A es inocente). Entonces habría exactamente dos culpables, lo cual, por el enunciado (4) implicaría que A es culpable. Ello es una contradicción, puesto que A es inocente. Por tanto B, C, son ambos inocentes.

Paso Tres: Ahora se establece que A, B, C son todos inocentes. Pero, por el enunciado (1) nadie distinto de A, B, C, ha estado en la tienda el día del robo y no ha podido cometer el delito. Ergo, no hubo robo y McGregor estaba mintiendo.

EPÍLOGO NOTA 75.

Enfrentado a la irrefutable lógica de Craig, McGregor se deshizo y confesó que ciertamente había mentido y que estaba tratando de cobrar el seguro.

76.

Si B era culpable, entonces por (2) habría exactamente dos personas implicadas; si C era culpable, entonces por (3) habría exactamente tres personas implicadas. Pero ambas consecuencias no pueden darse simultáneamente, por ello al menos una de las dos personas, B o C, es inocente. A es también inocente, así hay a lo más dos culpables. Por tanto, C no pudo tener exactamente dos cómplices, así por (3) C debe ser inocente. Si B es culpable, entonces tiene exactamente un cómplice, que debe haber sido D (ya que A, C son ambos inocentes). Si B es inocente, entonces A, B, C son los tres inocentes, en cuyo caso D debe ser culpable. Así, independientemente de que B sea culpable o inocente, D debe ser culpable. Por tanto D es culpable.

77.

El fiscal dijo, en efecto, que el acusado no pudo cometer el delito en solitario. El abogado defensor negó esto, lo que es tanto como decir que el acusado cometió el delito en solitario.

78.

Este caso es extremadamente simple. Por (1), si A es inocente, entonces C es culpable (porque si A es inocente entonces el enunciado, «o A es inocente o B es culpable» es verdadero). Por (2), si A es inocente entonces C es inocente. Por tanto si A es inocente, entonces C es a la vez culpable e inocente, lo cual es imposible. Por tanto A debe ser culpable.

79.

Los dos son B y C; al menos uno de ellos ha de ser culpable. Pues supóngase que A es inocente. Entonces B o C deben ser culpables por (1). Por otra parte supóngase que A es culpable. Si B es culpable, entonces ciertamente uno al menos de entre B y C es culpable. Pero supóngase que B es inocente. Entonces A es culpable y B inocente, de donde por (2), C debe ser culpable; así nuevamente o B o C son culpables.

80.

Mostramos primeramente que si A es culpable, también lo es C. Bien, supóngase que A es culpable. Entonces por (2), o B o C son culpables. Si B es inocente, entonces ha de ser C el culpable. Pero supóngase que B es culpable. Entonces A y B son ambos culpables, de ahí que por (1) C sea culpable también. Esto prueba que si A es culpable, también lo es C. Por tanto, por (3), si C es culpable también lo es D. Combinando estos dos hechos, vemos que si A es culpable, también lo es D. Pero por (4), si A es inocente, también lo es D. Por consiguiente, con independencia de que A sea culpable o inocente, D tiene que ser culpable. Así D es claramente culpable. Todos los restantes son dudosos.

81.

La respuesta es que todos son culpables. Por (3), si D es inocente entonces A es culpable. Por (4), si D es culpable, entonces A es culpable. Así, tanto si D es inocente o culpable, A debe ser culpable. De ahí que por (1), B sea también culpable. Por tanto, por (2), o C es culpable o A es inocente. Pero sabemos ya que A no es inocente, por consiguiente C debe ser culpable. Finalmente, por (3), si D es inocente entonces C es inocente. Pero hemos probado que C no es inocente, por lo tanto D debe ser culpable. Así todos ellos son culpables.

82.

Sí, fue prudente; eso lo exculpó. Porque supóngase que el acusado es caballero. Entonces su enunciado es verdadero, de ahí que el culpable sea un escudero, y de ahí que el acusado deba ser inocente. Por otra parte supóngase que el acusado es escudero. Entonces su enunciado es falso, así el delincuente es de hecho un caballero, y de ahí una vez más que el acusado sea inocente.

83.

Supóngase que el fiscal era escudero. Entonces (1) y (2) serían ambos falsos. Puesto que (1) es falso, entonces X es inocente. Puesto que (2) es falso, entonces X e Y son ambos culpables —de aquí que X sea culpable. Esto es una contradicción. Así pues, el fiscal debe ser caballero. De aquí que X sea realmente culpable, y puesto que ambos no son culpables, Y debe ser inocente. Por consiguiente X es culpable, Y es inocente, y el fiscal es caballero.

84.

Si el fiscal fuera escudero, entonces sería el caso que (1) X e Y son ambos inocentes; (2) X es culpable. Nuevamente esto es una contradicción, así pues el fiscal es caballero, X es inocente, e Y es culpable.

85.

Una vez más, supóngase que el fiscal era escudero. Entonces (1) es falso, por lo cual X es culpable e Y es inocente. De ahí que X sea culpable. Pero (2) es asimismo falso, de ahí que X sea inocente; otra contradicción. Y de ahí que el fiscal sea otra vez un caballero. Por consiguiente, por (2), X es culpable. Entonces por (1) (puesto que X no es inocente), Y ha de ser culpable. Así pues, esta vez X e Y son ambos culpables.

86.

A no puede ser caballero, porque si lo fuera sería culpable y no hubiera mentido diciendo que era inocente. Tampoco A puede ser escudero, porque si lo fuera, su enunciado sería falso, con lo cual sería culpable y también caballero. Por consiguiente A es normal, y de aquí inocente también. Puesto que A es inocente, el enunciado de B es verdadero. Por lo tanto B no es escudero; es caballero o normal. Supóngase que B fuera normal. Entonces el enunciado de C sería falso, de aquí que C tuviera que ser escudero o normal. Esto significaría que ni A, ni B, ni C son un caballero, de ahí que ninguno de ellos sería culpable, contrariamente a lo que se había establecido. Por consiguiente, B no puede ser normal, debe ser caballero y, por tanto, culpable.

87.

Antes de la llegada de Craig: Para empezar[4], A no puede ser escudero, porque si lo fuera su enunciado sería falso, de ahí que fuera culpable, contrariamente a la condición dada de que el escudero no es culpable. Por consiguiente A es o caballero o normal.

Posibilidad Una: A es caballero: Entonces su enunciado es verdadero, de ahí que sea inocente. Entonces el enunciado de B es también verdadero, de ahí que B sea caballero o normal. Pero A es el caballero, así pues B es normal. Esto deja a C como el escudero. Por ello, puesto que se sabe que el escudero no es culpable, B es el culpable.

Posibilidad Dos: A es normal e inocente: Entonces el enunciado de B es nuevamente verdadero, de aquí que B sea el caballero (puesto que A es el normal). Así, puesto que A es inocente, y C, siendo el escudero, es inocente, el culpable es B.

Posibilidad Tres: A es normal y culpable: Entonces el enunciado del fiscal era verdadero, así el fiscal debe ser caballero (nuevamente, éste no puede ser normal, puesto que lo es A). Esto deja a B como el escudero.

Resumamos las tres posibilidades:

Acusado | Abogado defensor | Fiscal
Caballero inocente | Normal culpable | Escudero inocente
Normal inocente | Caballero culpable | Escudero inocente
Normal culpable | Escudero inocente | Caballero inocente

Las tres posibilidades están de acuerdo con los enunciados emitidos antes de la llegada de Craig.

Después de la llegada de Craig: Craig preguntó al fiscal si era culpable. Ahora bien, Craig ya sabía que era inocente (porque en las tres posibilidades anteriores, el fiscal es inocente); así pues la respuesta del fiscal sólo le servía a Craig para saber si éste era caballero o escudero. Si hubiera respondido con verdad «No», revelándose como caballero, entonces Craig hubiera sabido que la posibilidad (3) era de hecho la única, de aquí que no hubiera tenido que hacer más preguntas.

Pero tras la respuesta del fiscal, Craig hizo más preguntas. Por consiguiente, el fiscal tenía que haber sido escudero y haber respondido «Sí». Así ahora Craig (como también tú) sabe que la posibilidad (3) está descartada, lo cual deja a (1) y (2). Esto significa que el abogado defensor es de hecho el culpable, pero queda aún por saber, de entre el acusado y el abogado defensor, cuál es el caballero y cuál es el normal. Craig preguntó entonces al acusado si el fiscal era culpable, y cuando le fue dada la respuesta, conoció ya la situación total. Bien, un caballero hubiera tenido que responder «No» a esta cuestión, mientras que un normal podía haber respondido o «Sí» o «No». Si la respuesta hubiera sido «No», Craig no hubiera tenido medio de saber si el acusado era caballero o normal. Pero Craig lo sabía, por consiguiente tuvo que obtener como respuesta un «Sí». Por todo ello, el acusado es normal y el abogado defensor es caballero (aunque culpable).

SOLUCIONES DE CÓMO EVITAR A LOS HOMBRES LOBO…

88.

C es o caballero o escudero. Supóngase que es caballero. Entonces hay realmente al menos dos escuderos, de donde se sigue que tienen que ser A y B. Entonces B tiene que ser hombre lobo (puesto que dice que no lo es, sino que es escudero). Así, si C es caballero, entonces el hombre lobo es escudero (puesto que tiene que ser B). Por otra parte, supóngase que C es escudero. Entonces no es verdad que al menos dos de ellos son escuderos, de modo que hay a lo sumo un escudero. Este escudero tiene que ser C, de donde se sigue que A y B son ambos caballeros. Puesto que A es un caballero y afirma que C es hombre lobo, entonces C es realmente un hombre lobo. Así, pues, en este caso, el hombre lobo es de nuevo un escudero —a saber, es C.

Por lo tanto, independientemente de si C es caballero o escudero, el hombre lobo es un escudero (aunque una persona diferente en cada caso). Así, la respuesta a la primera cuestión es que el hombre lobo es un escudero. Asimismo, hemos demostrado que el hombre lobo es o B o C; de donde se sigue que si deseas elegir a alguien que precisamente no sea hombre lobo, entonces elige a A.

89.

Primero mostramos que C es caballero. Supóngase que fuera escudero. Entonces su enunciado sería falso, de donde se sigue que habría al menos dos caballeros. Entonces A y B tendrían que ser ambos caballeros (puesto que se da por supuesto que C es escudero), lo cual significaría que sus enunciados serían verdaderos y que ambos serían hombres lobos, lo que contradice las condiciones dadas del problema. Por lo tanto C es caballero. Luego, hay realmente dos escuderos; éstos tienen que ser A y B. Entonces, puesto que sus enunciados son falsos, ni A ni B son hombres lobos, de modo que el hombre lobo tiene que ser C. Así pues, C es caballero y hombre lobo; A y B son escuderos y ninguno de ellos es hombre lobo.

90.

Si B fuera escudero, entonces habría ciertamente al menos un escudero entre ellos, de donde se sigue que su enunciado sería verdadero, pero los escuderos no emiten enunciados verdaderos. Por lo tanto B es un caballero. Entonces el enunciado de A es verdadero, de modo que A es también caballero. Así, A y B son ambos caballeros. Puesto que B es caballero, su enunciado es verdadero, de modo que hay al menos un escudero. Este escudero tiene que ser C. De donde se sigue que el único hombre lobo es C.

91.

A tiene que ser caballero por las mismas razones por las que B era caballero en el último problema, a saber: porque si A fuera escudero, sería verdad que al menos uno de los tres era un escudero, y tendríamos un escudero formulando un enunciado verdadero. Puesto que A es caballero, su enunciado es verdadero, de modo que hay realmente al menos un escudero presente. Si B fuera caballero, entonces C también lo sería (por el enunciado de B) y tendríamos tres caballeros. Pero A dice verazmente que hay al menos un escudero. Por lo tanto B tiene que ser escudero. Y puesto que B dice que C es caballero, C es realmente escudero. Así pues A es el único caballero, y por tanto A es el hombre lobo.

92.

De nuevo, por el enunciado de A, A tiene que ser caballero y tiene que haber al menos un escudero. Si B fuera caballero, entonces C sería un hombre lobo, y por ello también caballero, y tendríamos tres caballeros. Por lo tanto B es escudero. De aquí se sigue que C no es hombre lobo. Asimismo, B no puede ser hombre lobo (puesto que se nos ha dado que el hombre lobo es un caballero). Así pues, de nuevo A es el hombre lobo.

93.

Si B fuera caballero, entonces C sería un hombre lobo y también caballero, y tendríamos dos caballeros. Así, B es escudero. De aquí se sigue que C no es hombre lobo. Por otro lado B, al ser escudero, no es un hombre lobo. Así pues, de nuevo A es el hombre lobo.

94.

El lector debería escoger a B. Supóngase que B es caballero. Entonces su enunciado es verdadero, y por tanto el hombre lobo es un escudero, por lo que no puede ser B. Supóngase que B es escudero. Entonces su enunciado es falso, lo cual significa que el hombre lobo es realmente un caballero, de donde se sigue de nuevo que no puede ser B.

95.

Todo lo que tienes que decir es «Yo soy escudero pobre». Ella advertirá inmediatamente que no puedes ser caballero (puesto que un caballero jamás mentiría diciendo que es escudero pobre), de donde se sigue que tienes que ser escudero. De aquí se sigue también que tu enunciado es falso y, por tanto, que no puedes ser un escudero pobre. Pero eres escudero y, por consiguiente, tienes que ser un escudero rico.

96.

Di simplemente «Yo no soy un caballero pobre». Ella razonaría que si fueras escudero, no serías ciertamente un caballero pobre, de donde se sigue que tu enunciado sería verdadero, y de aquí que tú —un escudero— estarías formulando un enunciado verdadero. Por tanto, tú eres un caballero. De aquí se sigue que tu enunciado es verdadero y, por tanto, que no eres un caballero pobre. Pero eres caballero, de donde se sigue que tienes que ser un caballero rico.

97.

Este problema tiene varias soluciones. La más simple que se me ocurre es que preguntes «¿Sois tú e Isabel del mismo tipo?». Lo interesante es que si él responde «Sí», entonces Isabel tiene que ser caballero, con independencia de si su hermano es caballero o escudero, y si el hermano responde «No» entonces Isabel tiene que ser escudero con independencia de lo que sea su hermano. Vamos a demostrarlo.

Supóngase que él responde «Sí». Ahora bien, el hermano es o caballero o escudero. Si es caballero, entonces su enunciado de que Isabel es del mismo tipo es verdadero, de donde se sigue que Isabel tiene que ser también caballero. Si él es escudero, entonces su enunciado es falso, de donde se sigue que el hermano e Isabel son de tipos diferentes, lo cual significa que Isabel es de nuevo caballero. Así pues, si Arturo responde «Sí», Isabel es caballero.

Supóngase que Arturo responde «No». Si es caballero, entonces está diciendo la verdad, de donde se sigue que él e Isabel son de tipos diferentes y, por tanto, que Isabel tiene que ser escudero. Si él es escudero, entonces su enunciado es falso, de donde se sigue que Isabel es realmente del mismo tipo y, por tanto, que tiene que ser de nuevo escudero. Así pues, si él responde «No», entonces Isabel es escudero.

98.

Nuevamente, hay varios modos de resolver este problema. La solución más sencilla y más elegante que conozco es escoger a una de las hermanas —por ejemplo A— y preguntarle, «¿es B de rango inferior a C?»[5].

Supóngase que A responde «Sí». Entonces elegirías por novia a B por las siguientes razones: Supóngase que A es caballero. Entonces B es realmente de rango inferior a C, de donde se sigue que B es escudero y C es normal. En este caso, B no es el hombre lobo (puesto que lo es C). Supóngase que A es escudero. Entonces B es realmente de rango superior a C, lo cual significa que B es caballero y C normal, y así, de nuevo, B no es un hombre lobo. Si A es normal, entonces B ciertamente no es el hombre lobo, puesto que lo es A. Así pues, con independencia de si A es caballero, escudero o normal, si A responde «Sí» a tu pregunta, entonces deberías elegir por novia a B.

Si A respondiera «No», entonces esto es lo mismo que si afirmara que C es de rango inferior a B, en lugar de decir que B es de rango inferior a C, y entonces, en este caso, elige por novia a C.

99.

Un enunciado que podría exculparte sería «Yo soy culpable». Al ser un escudero, puedes efectivamente pronunciarlo, ya que es falso, y ciertamente te garantizará un dictamen favorable, pues el jurado razonará correctamente así: Si tú fueras realmente culpable, entonces serías escudero (puesto que está dado que se sabe que el criminal es un escudero), pero entonces tú, que eres escudero, pronunciarías un enunciado verdadero. Así pues, la suposición de que eres culpable conduce a una contradicción, y por tanto eres inocente.

El anterior razonamiento es un ejemplo de un argumento de reductio ad absurdum (demostración de la falsedad de un enunciado por el procedimiento de reducirlo a un absurdo). Un argumento más directo que pudiera haber usado el jurado es este: O eres escudero o no lo eres (recuérdese que el jurado no sabe si eres o no un escudero). Si eres escudero, entonces tu enunciado es falso y, por tanto, eres inocente. Si no eres escudero, entonces ciertamente eres inocente, puesto que el culpable es un escudero.

100.

Ningún enunciado tal es posible. Si, después de haber pronunciado un enunciado, el jurado pudiera deducir racionalmente tu inocencia, entonces, puesto que los componentes del jurado son racionales y han usado un razonamiento correcto, tiene que darse el caso de que seas realmente inocente. Pero esto es contrario a la suposición de que eres culpable.

101.

Este problema es una especie de «dual» del problema 99, y, si acaso, incluso más sencillo. Todo lo que necesitas decir es «Yo soy inocente». El jurado razonará que si eres un caballero (lo que desconoce), entonces tu enunciado es verdadero, y por tanto eres inocente, y si no eres caballero, entonces de nuevo eres inocente, puesto que se sabe que el culpable es un caballero.

102.

Una solución es decir: «O soy caballero e inocente, o soy escudero y culpable.» Una formulación algo más sencilla de esta frase sería: «O soy un caballero inocente o un escudero culpable.» El jurado razonaría entonces como sigue:

Paso Uno: Supongamos que es caballero. Entonces su enunciado es verdadero y, por tanto, él es o un caballero inocente o un escudero culpable. No puede ser un escudero culpable, puesto que no es escudero, de donde se sigue que es un caballero inocente. Por tanto, es inocente.

Paso Dos: Supongamos que es escudero. Entonces su enunciado es falso y, por tanto, él no es ni un caballero inocente ni un escudero culpable. En particular, no es un escudero culpable. Pero es escudero. Entonces tiene que ser un escudero inocente y, por tanto, inocente.

Paso Tres: Si es normal, entonces es ciertamente inocente, puesto que el culpable no es normal.

103.

Este problema es muy sencillo. Todo lo que necesitas decir es «Yo soy escudero». Ni un caballero ni un escudero podrían decir eso; por tanto, tienes que ser normal y, por tanto, también inocente.

104.

Sí, podrías decir «Yo no soy un caballero culpable». El jurado razonaría de este modo:

Paso Uno: Supongamos que él (es decir, «tú») fuera escudero. Entonces no es caballero, de donde se sigue ciertamente que no es un caballero culpable, de modo que su enunciado sería verdadero. Esto es imposible, puesto que los escuderos no emiten enunciados verdaderos. Por lo tanto no puede ser escudero.

Paso Dos: Ahora sabemos que es o caballero o normal. Si es normal, es inocente. Supóngase que es caballero. Entonces su enunciado es verdadero. Por lo tanto no es un caballero culpable. Pero es caballero. De aquí se sigue que tiene que ser un caballero inocente.

Convendría observar que, alternativamente, podrías haber dicho «O no soy caballero o soy inocente», o podrías haber dicho «Si soy caballero entonces soy inocente».

105.

Sí, podrías decir «Yo soy escudero culpable». El jurado razonaría de este modo: «Obviamente no es caballero. Así pues es normal o escudero. Si es normal, es inocente. Supóngase que es escudero. Entonces su enunciado es falso, de modo que no es un escudero culpable. Por tanto es un escudero inocente.»

106.

Por muy numerosos que fuesen los enunciados no sería posible conseguirlo. Dado cualquier conjunto de enunciados que formulases, una persona normal podría formular esos mismos enunciados, puesto que una persona normal puede decir cualquier cosa. Así pues, no hay modo de que puedas casarte con esta hija del rey. ¡Lo siento! ¡Que haya más suerte en la próxima isla!

107.

En ambos casos un solo enunciado es suficiente. Un enunciado verdadero que convencería al rey es: «Yo no soy caballero.» (Ni un caballero ni un escudero podrían decir esto.) Un enunciado falso que cumpliría tal cometido es: «Yo soy escudero.»

Deseo hacer notar (en relación con el siguiente problema) que si pronuncias el primer enunciado, entonces el rey sabrá que aunque seas normal, has pronunciado precisamente un enunciado verdadero; y si pronuncias el segundo enunciado, el rey sabrá que aun cuando seas normal, has pronunciado precisamente un enunciado falso.

108.

Tómese cualquier proposición cuya verdad o falsedad sea desconocida para el rey —por ejemplo, que llevas ahora en tu bolsillo exactamente novecientas pesetas. Entonces un enunciado que podrías formular es: «O yo soy normal y ahora llevo en mi bolsillo exactamente novecientas pesetas, o si no soy escudero.»

Un escudero nunca podría emitir este enunciado (porque es verdad que un escudero es o un normal que lleva novecientas pesetas o un escudero). Un caballero tampoco podría emitir ese enunciado (porque un caballero ni es un normal que lleve novecientas pesetas ni un escudero). Por lo tanto el rey sabrá que eres normal, pero no puede saber si tu enunciado es verdadero o falso sin saber cuánto dinero llevas.

SOLUCIONES DE ADIVINANZAS LÓGICAS

109-112.

Estos cuatro problemas encierran todos las mismas ideas básicas, a saber, que dada cualquier proposición P, si una persona A de la isla de caballeros y escuderos dice, «Si yo soy caballero entonces P», entonces ¡el que habla ha de ser caballero y P tiene que ser verdadera! Esto resulta bastante sorprendente, y podemos probarlo de dos modos:

(1) Supóngase que A es caballero. Entonces el enunciado «Si A es caballero entonces P» tiene que ser un enunciado verdadero (puesto que los caballeros dicen siempre la verdad). Así A es caballero y es verdadero que si A es caballero entonces P. De estos dos hechos se sigue que P ha de ser verdadera. De este modo la suposición de que A es caballero conduce a P como conclusión. Por lo tanto (recuérdese el Hecho 4 de la implicación), hemos probado que si A es caballero entonces P. Pero ¡esto es precisamente lo que A afirmaba! Por consiguiente, A debe ser caballero. Y puesto que acabamos de probar que si A es caballero entonces P, se sigue pues que P debe ser verdadera.

(2) Una manera alternativa de abordar el problema es la siguiente. Recordemos que una proposición falsa implica cualquier proposición. Por tanto, si A no es caballero, entonces el enunciado, «Si A es caballero entonces P» es automáticamente un enunciado verdadero. De aquí que un escudero no hubiera proferido nunca un tal enunciado. Así, si una persona que es o caballero o escudero profiere un enunciado tal, sólo puede ser un caballero y P tiene que ser verdadera.

Apliquemos este principio a nuestras adivinanzas. En lo que respecta a 109, si asumimos que P es la proposición que dice que B es caballero, entonces podemos ver que A debe ser caballero y que su enunciado es verdadero, de lo cual se sigue que B es caballero. Así pues, la respuesta a 109 es que A y B son los dos caballeros.

Para 110 asumimos que P es la proposición que dice que A se comerá su sombrero. Vemos que A debe ser caballero y que habrá de comerse su sombrero. (Lo cual prueba, incidentalmente, que los caballeros, aunque virtuosos y honorables sin duda alguna, pueden a veces ser un tanto estúpidos.)

En 111 la respuesta de nuevo es que A es caballero.

Y para 112, la conclusión correcta es que el autor está otra vez bromeando. El problema es una paradoja; ningún caballero podría pronunciar un enunciado tal, ni tampoco podría emitirlo un escudero.

113.

A tiene que ser caballero y B ha de ser escudero. Para probar esto hemos de probar primeramente que sólo un caballero puede proferir un enunciado de la forma. «Si P, entonces yo soy escudero.» Recordemos que una proposición verdadera es implicada por cualquier proposición; de ahí que si el enunciado «Yo soy escudero» es verdadero, entonces también lo es el enunciado completo «Si P, entonces yo soy escudero». Pero si yo soy escudero nunca podría haber proferido ese enunciado verdadero. Por lo tanto si digo, «Si P, entonces yo soy escudero», entonces yo debo ser caballero.

Por consiguiente A tiene que ser caballero. De donde también es verdadero que si B es caballero entonces A es escudero (porque A dice que es verdad). Luego B no puede ser caballero, ya que esto implicaría que A es un escudero, lo cual no es[6]. De lo que se sigue que B es escudero.

114.

A está diciendo, en efecto, que no es el caso que X sea culpable e Y inocente. Pero esto no es sino otro modo de decir que o X es inocente o Y es culpable, y así A y B están realmente diciendo lo mismo con diferentes palabras. Por lo tanto los dos enunciados son o ambos verdaderos o ambos falsos, por lo que A y B han de ser del mismo tipo.

115.

Supóngase que A es caballero. Entonces también lo es B (puesto que A dice que lo es). Entonces el enunciado de B —«Si A es caballero, también lo es C»— es verdadero. Pero A es caballero (por suposición), por tanto C es caballero (bajo el supuesto de que A lo sea).

Hemos acabado de mostrar que si A es caballero, también lo es C[7]. Bien, B dijo justamente eso, de ahí que B sea caballero. Entonces la afirmación que hace A de que B es caballero es verdadera, por lo tanto A es también caballero. Y hemos mostrado que si A es un caballero también lo es C. Por lo tanto C es asimismo caballero. Así pues, los tres son caballeros.

116.

No se sigue que ame a Isabel pero se sigue que amo a María. Para verificar que amo a María razonamos como sigue.

O amo a Isabel o no la amo. Si no amo a Isabel entonces, por la condición (1), tiene que ser María a la que yo amo (puesto que se establece que yo amo al menos a una de ellas). Por otra parte, si amo a Isabel, entonces por la condición (2) debo amar también a María. Así en uno y otro caso (bien ame a Isabel o bien no la ame), se sigue que amo a María.

Incidentalmente, la lectora que lleve el nombre de «Isabel» no tendrá por qué preocuparse; justamente porque no se sigue de las condiciones dadas que yo ame a Isabel, ello no quiere decir que se siga que no ame a Isabel. Es muy posible que también la ame —tal vez más que a María.

117.

Esta vez se sigue no que yo ame a María, sino que amo a Isabel. Pues supóngase que no amo a Isabel. Entonces el enunciado «Si amo a Isabel entonces amo a María» debe ser un enunciado verdadero (puesto que una proposición falsa implica cualquier proposición). Pero ocurre que si ese enunciado es verdadero entonces debo amar a Isabel. Por tanto, si no amo a Isabel se sigue que amo a Isabel, lo cual es una contradicción. El único medio de escapar a la contradicción es que ame a Isabel.

No se puede determinar si amo o no a María.

118.

Se sigue que tengo que amar a las dos chicas. Sea P el enunciado «Si amo a Eva entonces amo también a Margarita». Se nos da:

(1) Si P es verdadero entonces amo a Eva.

(2) Si amo a Eva entonces P es verdadero.

Hemos visto en la solución del problema precedente que de (1) se sigue que amo a Eva. Por tanto amo a Eva.

Por consiguiente, por (2) P tiene que ser verdadero —esto es, es verdadero que si amo a Eva amo también a Margarita. Pero amo a Eva. Por tanto, amo también a Margarita.

119.

Debo amar a las tres chicas. Hay varios modos de probarlo; he aquí uno de ellos:

Por (3), o bien amo a Diana y a Luisa o bien no amo a ninguna. Supóngase que no amo a ninguna. Entonces, por (1) debo amar a Ana. Así pues, amo a Ana pero no a Diana, y no amo a Luisa. Esto contradice al enunciado (2). Por lo tanto no es el caso que no ame ni a Diana ni a Luisa, de donde se sigue que amo a las dos. Puesto que amo a Diana, entonces por (4) amo también a Ana. De este modo, amo a las tres.

120.

Yo debo ser caballero. Si fuera escudero, entonces tanto (1) como (2) tendrían que ser falsos. Supóngase que (2) fuera falso. Entonces tendría que amar a Linda pero no a Cecilia, de aquí que yo amaría a Linda. Esto significa que (1) sería verdadero. Así pues es imposible que (1) y (2) sean ambos falsos, y de ahí que yo no pueda ser escudero.

121.

Decir «P es falso a menos que Q» no es sino otra manera de decir «Si P entonces Q». (Por ejemplo, decir «No quiero ir al cine a menos que tú vengas conmigo» es equivalente a decir «Si yo voy al cine, entonces tú vendrás conmigo».) Así, el enunciado «Una tetera vigilada nunca hierve a menos que esté vigilada» no es sino otra manera de decir «Si una tetera vigilada hierve, entonces está vigilada». Lo cual, por supuesto es verdadero, ya que una tetera vigilada está ciertamente vigilada, sea que hierva o que no hierva.

122.

No es posible determinar si el que habla es caballero o escudero; no obstante debe haber oro en la isla.

En lo que respecta a este problema y a los otros de esta sección, establezcamos de una vez por todas el siguiente principio básico: Si un nativo (que es o caballero o escudero) emite el enunciado, «Yo soy un caballero si y sólo si P», entonces P debe ser verdadero (con independencia de que el que habla sea caballero o escudero).

Para comprobar esta afirmación, sea K la proposición que dice que el nativo es caballero. Este dice que K es equivalente a P. Supóngase que el nativo es ciertamente caballero. Entonces K es realmente equivalente a P, y también K es verdadera. De este modo P es equivalente a un enunciado verdadero, de aquí que P deba ser verdadero. Por otra parte, supóngase que el nativo es escudero. Entonces su enunciado es falso, de suerte que P no es equivalente a K. Igualmente, puesto que el que habla es escudero, K es falsa. Puesto que P no es equivalente a la proposición falsa K, P debe ser entonces verdadero (porque si fuera falso, tendría que ser equivalente a K). Así, tanto si el nativo es caballero o escudero, P debe ser verdadero.

Es interesante comparar lo anterior con un principio establecido en la última sección: Si un caballero o un escudero dice, «Si yo soy caballero entonces P», podemos concluir que el que habla es caballero y que P es verdadero. Pero si un caballero o un escudero dice, «Yo soy caballero si y sólo si P», entonces podemos concluir que P es verdadero, pero no podemos determinar si se trata o no de un caballero.

123.

Sí, podría establecerse; en este caso no hay oro en la isla.

Sea G el enunciado que dice que hay oro en la isla, y sea nuevamente K el enunciado que dice que el que habla es un caballero. El que habla, al responder «No», está afirmando que G no es equivalente a K. Bien, supóngase que el que habla es un caballero. Entonces realmente es el caso que G no es equivalente a K. Ahora bien, puesto que se trata de un caballero, K es verdadero. Por lo tanto G, dado que no es equivalente a la proposición verdadera K, ha de ser falso. Por otra parte, supóngase que el que habla es un escudero. Entonces G es de hecho equivalente a K (puesto que el escudero dijo que no eran equivalentes). Pero K es falsa (ya que el que habla es un escudero). Así G, siendo equivalente a la proposición falsa K, tiene que ser falso. De manera que, tanto si el que habla es caballero o escudero, el responder con «No» a nuestra cuestión indica que G es falso. Así pues, no hay oro en la isla.

Discusión. Estos dos últimos problemas implican conjuntamente un principio muy importante bien conocido por los expertos en «caballeros y escuderos». Como se ha visto en las soluciones de estos dos últimos problemas, si P es un enunciado cualquiera, cuya verdad o falsedad el lector desea verificar, si una persona de la que se sabe que es caballero o escudero conoce la respuesta a P, entonces puede extraerse de ella con una sola pregunta si P es verdadero o falso. No hay más que preguntarle, «¿Es el enunciado de que eres un caballero equivalente al enunciado de que P es verdadero?». Si responde «Sí», entonces se sabe que P es verdadero; si responde «No», entonces se sabe que P es falso.

Este principio será utilizado en la solución de los tres problemas restantes; nos referiremos a él con el nombre de principio fundamental.

124.

Sabemos de antemano que no hay oro en la isla A, que hay oro en la isla B o en la isla C, y que si alguien en la isla A es normal, entonces hay oro tanto en la isla B como en la isla C.

Bien, la pregunta que le hice al nativo era: «¿Es el enunciado de que eres un caballero equivalente al enunciado de que hay oro en la isla B?»

Supóngase que responde «Sí». Si es caballero o escudero, entonces hay oro en la isla B (por el principio fundamental establecido en la solución del problema precedente). Si es normal, entonces nuevamente hay oro en las islas B y C, de suerte que ciertamente hay oro en la isla B. Así, una respuesta «Sí» significa que hay oro en la isla B.

Supóngase que responde «No». Si es caballero o escudero, entonces no hay oro en la isla B (nuevamente por el principio fundamental). Lo cual significa que debe haber oro en la isla C. Por otra parte, si es normal, entonces hay oro tanto en la isla B como en la isla C, de manera que hay oro en la isla C. Así, una respuesta «No» significa que hay oro en la isla C.

125.

Este problema se resuelve mediante dos utilizaciones del principio fundamental (véase la solución del problema 123 para una explicación del principio fundamental).

Con una sola pregunta es posible localizar a uno de los tres del cual se sepa que es definitivamente no normal. Ello se consigue preguntándole a A «¿Es el enunciado de que eres un caballero equivalente al enunciado de que B es normal?». Supóngase que responde «Sí». Si A es caballero o escudero, entonces B tiene que ser normal (por el principio fundamental). Lo cual significa que C no es normal. Si A no es caballero o escudero, entonces tiene que ser normal, así nuevamente C no puede ser normal. De este modo, una respuesta «Sí» significa que C no es normal.

Supóngase que A responde «No». Si es caballero o escudero, entonces B no es normal (de nuevo por el principio fundamental). Si A no es caballero o escudero, entonces nuevamente B no es normal, porque lo es A. Así, una respuesta «No» significa que B no es normal.

De esta suerte, si se obtiene de A una respuesta «Sí», entonces se elige a C para plantearle la segunda cuestión; si se obtiene una respuesta «No», entonces se elige a B. De esta forma se sabe que se le está preguntando a alguien que es o caballero o escudero. Luego se le plantea la misma pregunta que en el problema 122, a saber, si el enunciado de que él es un caballero es equivalente al enunciado de que hay oro en la isla. Una respuesta «Sí» significa que hay oro; una respuesta «No» significa que no lo hay.

126.

De no conocer el principio fundamental, este problema resultaría dificilísimo. Pero ahora que conocemos este principio (véase la solución al problema 123), el problema es bastante fácil. Doy por sentado que sabes que la suma de dos números enteros pares es un número par, y que la suma de dos números impares es también par. Ello significa que si se sustrae un número par de un número par se obtiene un número par, y que si se sustrae un número impar de un número impar se obtiene asimismo un número par (por ejemplo, 12 – 8 = 4; 13 – 7 = 6).

Del enunciado de C se sigue (por el principio fundamental) que A y B son realmente del mismo tipo, esto es, ambos son caballeros o ambos escuderos. Así, sus enunciados son o ambos verdaderos o ambos falsos. Supóngase que ambos son verdaderos. Entonces, por el enunciado de A hay un número par de escuderos en la isla. Por el enunciado de B hay un número impar de personas incluyendo al propio lector. Pero el lector no es ni caballero ni escudero, y además es el único visitante en la isla, de lo que se sigue que hay un número par de nativos en la isla. De este modo, sustrayendo el número par de escuderos del número par de caballeros y escuderos se obtiene un número par de caballeros. Así en este caso hay oro en la isla. Por otra parte, supóngase que ambos enunciados son falsos. Esto significa que hay un número impar de escuderos en la isla y un número impar de caballeros y escuderos (un número par de personas, incluyéndote a ti). Entonces, nuevamente ha de haber un número par de caballeros, y de nuevo hay oro en la isla.

SOLUCIONES DE ¿BELLINI O CELLINI?

127.

Lo hizo Bellini. Si lo hubiera hecho un hijo de Bellini, el enunciado sería falso, lo que es imposible. Si lo hubieran hecho Cellini o un hijo de Cellini, el enunciado será verdadero, lo que es imposible. Así pues, es obra de Bellini.

128.

Una inscripción que valdría sería esta: «Este cofre es obra de un hijo de Cellini.»

129.

«Este cofre es obra de Bellini o de un hijo de Cellini.»

130.

El enunciado es evidentemente verdadero, de aquí que el cofre ha de ser obra de Bellini o de unos de sus hijos.

131.

Primer paso: Supongamos que el cofre de plomo fuera de Bellini; su enunciado sería verdadero y, por tanto la joya estaría en un cofre hecho por Cellini, de manera que no puede estar en el de plomo. Por otro lado, supongamos que el cofre de plomo fuera de Cellini; su enunciado tendría que ser falso y, por tanto, la joya estaría en el cofre de Bellini, de manera que —de nuevo— no podría estar en el cofre de plomo. Lo que demuestra que la joya no está en el cofre de plomo.

Segundo paso: Veamos ahora que la joya no puede estar en el cofre de plata. Si estuviera, caería en la siguiente contradicción:

Supongamos que la joya está en el cofre de plata; primero, supongamos que el cofre de oro es obra de Bellini, luego su inscripción es verdadera y, como la joya está en el cofre de plata (por suposición), el cofre de plata será de Bellini. Y de aquí deducimos que el de oro será de Cellini. De manera que si el de oro es un Bellini, será un Cellini.

Por otro lado, supongamos que el cofre de oro es un Cellini; su enunciado será falso, de lo que deducimos que el cofre de plata sea falso, de lo que se deduce que el cofre de oro es un Bellini. Así pues, si el cofre de oro es un Cellini, será un Bellini, lo que es imposible. Esto demuestra que la joya no puede estar en el cofre de plata. De aquí que esté en el cofre de oro.

132.

Está claro que el enunciado del cofre de oro no puede ser verdadero, o caeríamos en una contradicción. Así pues, el cofre de oro está hecho por alguien de la familia Cellini. Dado que el enunciado es falso, no es verdad que los dos cofres sean obra de alguien de la familia Cellini, de aquí que el cofre de plata sea de algún Bellini. Así pues, el enunciado del cofre de plata es verdadero y, por tanto, ni un cofre ni el otro son obra de ningún hijo. De manera que el cofre de oro lo hizo Cellini y el de plata Bellini.

133.

Recordemos que cuando un habitante de la isla de los caballeros y los escuderos dice «Si soy caballero, tal y cual son verdad», el tal habitante tiene que ser un caballero y el tal y cual tienen que ser verdad. Con un razonamiento parecido, vamos a demostrar ahora que el enunciado del cofre de oro es verdadero.

Supongamos que el cofre de oro lo hubiera hecho un miembro de la familia Bellini; su inscripción sería verdadera: «Si el cofre de oro es obra de algún Bellini, el de plata será de Cellini.» Pero el cofre de oro es de un Bellini (porque así lo asumimos), luego el cofre de plata es de Cellini. Hemos demostrado así que si el cofre de oro era obra de un Bellini, el de plata era de Cellini[9]. En otras palabras, hemos demostrado que la inscripción del cofre de oro es verdadera; por lo que el cofre de oro es realmente obra de un Bellini. Esto, junto con lo ya establecido de que si el cofre de oro era de un Bellini, el cofre de plata era de Cellini, demuestra que el cofre de plata es un Cellini y, por tanto, su inscripción es falsa, de manera que el cofre de oro no lo hizo un hijo de Bellini, pero sí alguien de la familia Bellini, luego lo hizo el propio Bellini. Así pues, el cofre de oro es de Bellini y el de plata de Cellini.

134.

Supongamos que el enunciado del cofre de oro es verdadero; entonces el cofre de plata sería obra de un hijo de Bellini, y, por tanto, su enunciado sería verdadero, lo que demuestra que el cofre de oro no es obra de un hijo de Bellini, pero como el enunciado del cofre de oro es verdadero, éste tiene que ser de Bellini.

Supongamos que el enunciado del cofre de oro fuera falso; el cofre de plata no sería obra de un hijo de Bellini. Sin embargo, el enunciado del cofre de plata tiene que ser verdadero (ya que el enunciado falso del cofre de oro no podía ser de un hijo de Bellini). Luego el cofre de plata es de Bellini.

Resumiendo, si el enunciado del cofre de oro es verdadero, el cofre de oro será de Bellini. Si el enunciado del cofre de oro es falso, el cofre de plata es de Bellini.

135.

Supongamos que el enunciado del cofre de plata es verdad. Dado que es un enunciado verdadero, el cofre de plata lo habrá hecho alguien de la familia Bellini, luego el enunciado del cofre de oro —«el cofre de plata es obra de Cellini»— ha de ser falso. Pero dado que el enunciado del cofre de plata es verdadero (por asunción), el cofre de oro no es de Cellini. Así pues, el cofre de oro tiene una inscripción falsa, pero no lo hizo Cellini, luego lo tuvo que hacer un hijo de Cellini.

Por otro lado, supongamos que el enunciado del cofre de plata fuera falso; el cofre de oro sería obra de Cellini y, por tanto, su enunciado sería falso, de manera que el cofre de plata no sería de Cellini.

Así pues, el cofre de plata tiene una inscripción falsa pero no es de Cellini, luego es de un hijo de Cellini.

136.

Supongamos que la inscripción del cofre de oro fuera verdadera; la del cofre de plata también tendría que ser verdadera, lo que significaría que la del de oro era falsa. Esto es contradictorio, luego la inscripción del cofre de oro es falsa, lo que también significa que el cofre de plata no es obra de un hijo de Bellini. Así pues, si la inscripción del de plata es verdadera, el cofre de plata es obra de Bellini. Si es falsa, el cofre de oro no será de un hijo de Cellini, pero dado que la inscripción de éste es falsa, el cofre de oro es de Cellini.

Resumiendo, si la inscripción del de plata es verdadera, el cofre de plata es de Bellini, si la inscripción del de plata es falsa, el cofre de oro es obra de Cellini. Así pues, o el cofre de plata es de Bellini, o el de oro de Cellini.

137.

Hay muchas soluciones posibles para éste y los tres problemas siguientes. Para este, una es que ambos cofres tuvieran la inscripción: «O los dos cofres son obra de Bellini, o por lo menos uno es de un Cellini.»

Ningún Cellini podía haber hecho ni uno ni otro cofre, porque el enunciado sería entonces verdadero. Así que los dos cofres son obra de los Bellini. Por tanto los enunciados son verdaderos, de manera que o los dos cofres los hizo Bellini, o por lo menos uno lo hizo alguien de la familia Cellini. Esta última alternativa es falsa, luego ambos cofres son de Bellini.

138.

Una solución sería que las dos inscripciones dijeran: «Por lo menos uno de estos cofres es obra de un hijo de Cellini.» Si los enunciados fueran verdaderos, por lo menos uno de los cofres sería de un hijo de Cellini, pero dado que no es posible que un Cellini haga un enunciado verdadero, los enunciados tienen que ser falsos, lo que quiere decir que ni uno ni otro cofre los hizo un hijo de Cellini, luego ambos son de Cellini padre.

139.

Una inscripción válida sería: «O ambos cofres son de Bellini, o por lo menos uno lo hizo un hijo de Cellini.»

Demostraremos que si las inscripciones son verdaderas, los dos cofres serán obra de Bellini, y si las inscripciones son falsas, ambos serán obra de Cellini.

Supongamos que las inscripciones fueran verdaderas. Se daría precisamente el caso de que o los dos cofres son de Bellini, o que por lo menos uno es obra de un hijo de Cellini. Esta última alternativa no es posible (dado que un hijo de Cellini no puede hacer una inscripción verdadera), luego ambos cofres tienen que ser obra de Bellini.

Supongamos que las inscripciones fueran falsas. Ambas alternativas de la disyunción serían falsas —específicamente la segunda (que por lo menos uno sea obra de un hijo de Cellini) sería falsa, lo que querría decir que ni uno ni otro cofre eran obra de un hijo de Cellini. Sin embargo, ambas inscripciones son falsas, luego los hizo Cellini.

140.

Una solución es la siguiente:

Oro: «Estos cofres son obra de Bellini y Cellini si y sólo si el cofre de plata es de alguien de la familia Cellini.»

Plata: «El cofre de oro es obra de alguien de la familia Cellini.»

Llamemos P a la proposición de que los cofres sean de Bellini y Cellini y Q a la proposición de que el cofre de plata es obra de alguien de la familia Cellini. La inscripción del cofre de oro dice que P es equivalente a Q: la inscripción del cofre de plata dice que la del cofre de oro la hizo un mentiroso, lo que en realidad quiere decir que la inscripción del cofre de oro es falsa. Ello quiere decir que una de las dos inscripciones es falsa y la otra verdadera.

Supongamos que la del cofre de oro es verdadera; luego (dado que hemos demostrado que una inscripción es falsa y la otra verdadera), la del cofre de plata tiene que ser falsa y, por tanto, ser de un Cellini; luego Q es verdadera. Además, dado que la inscripción del cofre de oro es verdadera, P sí es equivalente a Q. Luego (dado que Q es verdadera) P tiene que ser verdadera.

Supongamos que la inscripción del cofre de oro es falsa; la inscripción del cofre de plata será verdadera, por tanto, no es de ningún Cellini, luego Q tiene que ser falsa, y además P no es equivalente a Q. Así pues, de nuevo P es verdadera.

Vemos que en uno y otro caso, P tiene que ser verdadera, esto es, uno de los cofres es obra de Bellini y el otro de Cellini.

141.

El cofre A ha de formar pareja con el D, porque si se emparejara con el C caeríamos en la siguiente contradicción:

Supongamos que A se emparejara con C. Supongamos que la inscripción de A es verdadera; la inscripción de C sería falsa. Lo que querría decir que la inscripción de A sería falsa, lo que supone una contradicción. Por otro lado, supongamos que la inscripción de A es falsa, la de C sería verdadera. Lo que quiere decir que la inscripción de A sería verdadera —de nuevo la contradicción. Así pues, A no forma pareja con C, lo que resuelve la primera parte del problema.

Consideremos ahora la pareja B–C. Supongamos que el enunciado de C es falso; B sería obra de alguien de la familia Cellini y, por tanto, su inscripción sería falsa. Esto querría decir que ninguna de las dos alternativas del enunciado son verdaderas, luego la primera es falsa, lo que significa que C es obra de algún Bellini. Luego si el enunciado de C es falso C es obra de algún Bellini, lo que es imposible. Luego el enunciado de C es verdadero. Así pues, el enunciado de B es también verdadero (porque dice en C que B es obra de algún Bellini).

Ahora bien, la primera alternativa del enunciado de B no puede ser verdadera, luego la segunda lo es. Así pues los cofres B y C son ambos Bellinis.

Consideremos ahora la pareja A–D. Supongamos que la inscripción de A sea falsa, luego D sería obra de algún Bellini y, por tanto, su inscripción sería verdadera. Esto querría decir que A lo hizo alguien de la familia Bellini, luego caeríamos en una contradicción. Así pues, la inscripción de A es verdadera, lo que además implica que la inscripción de D es falsa. De aquí que por lo menos una de las dos alternativas sea falsa; la primera es verdadera (dado que el enunciado de A es verdadero), luego la segunda es falsa. Esto quiere decir que ni uno ni otro cofre son obra de un hijo de Bellini o de Cellini. Luego A es de Bellini y D es de Cellini.

SOLUCIONES DE LA ISLA DE BAAL

142.

Supongamos que B es caballero. Entonces ésta es la isla de Maya y A es escudero. Por consiguiente, el enunciado de A es falso, de modo que no es verdad que B sea un caballero y que ésta sea la isla de Maya. Sin embargo B es, por suposición, un caballero. De aquí se sigue que la primera parte del enunciado es verdadera; por lo tanto la segunda parte del enunciado es falsa, puesto que ésta no es la isla de Maya. Así, si B es caballero, se sigue que esta isla es y no es la isla de Maya. Por lo tanto B tiene que ser un escudero.

Puesto que B es un escudero, se sigue que A es también un escudero (puesto que A afirma que B es un caballero). Puesto que B es un escudero, su enunciado es falso, por lo tanto no es verdad que A sea un escudero y que ésta sea la isla de Maya. Pero la primera parte del enunciado es verdadera (puesto que A es un escudero), por lo tanto la segunda parte tiene que ser falsa; por consiguiente, ésta no es la isla de Maya.

143.

Obviamente A es escudero (un caballero no podría jamás hacer el enunciado de A). Puesto que B concuerda con A, entonces B es también escudero. Puesto que el enunciado de A es falso, entonces no es verdad que (1) ambos sean escuderos y (2) que ésta sea la isla de Maya. Sin embargo, (1) es verdadero, de modo que (2) tiene que ser falso. Por consiguiente, esta isla no es la isla de Maya.

144.

Puesto que B está de acuerdo con A, entonces o ambos son caballeros o ambos son escuderos. Si ambos fuesen caballeros, entonces no sería el caso que al menos uno de ellos es un escudero, ya que el enunciado de A sería falso, lo cual es imposible puesto que A sería un caballero. Por lo tanto los dos son escuderos. Esto significa que el enunciado de A es falso. Pero la primera cláusula del enunciado de A tiene que ser verdadera (los dos son escuderos, de modo que al menos uno de ellos es un escudero), de donde se sigue que la segunda cláusula tiene que ser falsa. Por lo tanto ésta no es la isla de Maya.

145.

A es ciertamente un escudero, puesto que un caballero no podría hacer ese enunciado. Si B es un caballero entonces, a tenor de su enunciado, ésta no es la isla de Maya. Si B es un escudero, entonces la primera cláusula del enunciado de A es verdadera; pero el enunciado de A es falso, puesto que A es un escudero; por lo tanto, la segunda cláusula tiene que ser falsa. De este modo, ésta no es tampoco la isla de Maya.

146.

De nuevo, A tiene que ser escudero; B puede ser o caballero o escudero pero, en cualquier caso, ésta no es la isla de Maya.

147.

Si A fuese escudero, entonces las dos cláusulas de este enunciado disyuntivo serían falsas, lo que significaría que B era escudero. Esto significaría que las dos cláusulas del enunciado disyuntivo de B serían falsas, de modo que A sería un caballero. Esto es una contradicción; por lo tanto A es un caballero. Si esto es así su enunciado es verdadero y, por consiguiente, o B es caballero o ésta es la isla de Maya. Si es verdadera la segunda alternativa entonces, naturalmente, ésta es la isla de Maya. Supongamos que es verdadera la primera alternativa, esto es, supongamos que B es un caballero. Entonces el enunciado de B: «O A es un escudero o ésta es la isla de Maya» es verdadero. Pero A no es un escudero, de modo que la primer alternativa es falsa. Por lo tanto, la segunda alternativa es verdadera, de modo que ésta es la isla de Maya.

Repitamos parte de esta argumentación: hemos visto que o B es un caballero o ésta es la isla de Maya. Pero además, si B es un caballero, entonces, de nuevo, ésta es la isla de Maya. Por lo tanto, ésta es la isla de Maya.

Así pues, hemos encontrado, por fin, la isla de Maya.

148.

Si E fuese un escudero, entonces sería verdadero que o E es un escudero o C y D son del mismo tipo. Esto significaría que un escudero hace un enunciado verdadero, lo cual es imposible. Por lo tanto E es un caballero. Puesto que su enunciado es verdadero, entonces o él es un escudero o C y D son del mismo tipo. Pero él no es un escudero, por lo tanto C y D son del mismo tipo.

Supongamos que C fuese un escudero. Entonces A y B serían ambos escuderos. Entonces el enunciado de D sería verdadero, con lo que D sería un caballero. C sería un escudero y D un caballero, lo cual está en contradicción con el hecho de que C y D son del mismo tipo. Por lo tanto C tiene que ser un caballero; de donde se sigue que D es también un caballero. Puesto que C es un caballero, entonces A y B no son, los dos, escuderos y, por consiguiente, o X o Y es el mapa correcto. Supongamos que X fuese el mapa correcto. Entonces A es un caballero y B un escudero, contrariamente al enunciado verdadero de D de que o A es un escudero o B es un caballero. De este modo X no puede ser el mapa correcto; así pues el mapa correcto tiene que ser Y.

149.

Si el hablante fuese escudero, entonces sería o escudero o mono y su enunciado sería verdadero, lo que está en contradicción con el hecho de que sea un escudero. Por lo tanto es un caballero. Esto significa que su enunciado es verdadero, puesto que es o escudero o mono. No es un escudero, por lo tanto es un mono. Así pues, es un mono que es caballero.

150.

Claramente el hablante no es caballero; por lo tanto es escudero y su enunciado es falso. Por consiguiente es o caballero o humano. No es un caballero, por lo tanto es un humano. Por consiguiente es un humano que es escudero.

151.

Supongamos que el hablante fuese escudero. Entonces sería verdadero que no es mono y caballero; por tanto, su enunciado sería verdadero y entonces tendríamos un escudero que hace un enunciado verdadero. Por consiguiente, el hablante es un caballero. Por consiguiente, es verdadero que no es mono y caballero. Si fuese un mono, entonces sería mono y caballero. Por consiguiente, es humano. Así pues, es un humano que es caballero.

152.

B no puede ser un escudero: en ese caso su enunciado sería verdadero. Por lo tanto B es un caballero. De esto se sigue que su enunciado es verdadero, de modo que A tiene que ser un escudero. Entonces el enunciado de A es falso, de modo que ambos son humanos. Por lo tanto, A es un humano que es escudero y B un humano que es caballero.

153.

B tiene que ser un escudero, puesto que un caballero no podría hacer ese enunciado. Por lo tanto, A y B no son ambos escuderos, de modo que A es un caballero. Puesto que el enunciado de A es verdadero, entonces los dos son monos. Por consiguiente A es un mono que es caballero y B un mono que es escudero.

154.

Supongamos que B sea un caballero. Entonces A sería un caballero (puesto que B dice que lo es) y, por consiguiente. B tendría que ser escudero y mono, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, B es un escudero. Además, a tenor del enunciado de B, A es también un escudero. Puesto que el primer enunciado de A es falso, B no es escudero y mono. Pero B es un escudero, de modo que tiene que ser falso que B sea un mono. Así pues, B es un humano escudero. Del segundo enunciado de A se sigue que A es un mono. Así pues A es un mono que es escudero.

155.

Mostraremos en primer lugar que G es un caballero. Para mostrar esto basta mostrar que su enunciado es verdadero. Así, debemos mostrar que si C es un caballero, entonces F lo es. Hacemos esto suponiendo que C es un caballero, y mostrando a continuación que F es también un caballero.

Bien, supongamos que C es un caballero. Entonces A y B son, los dos, caballeros. Por lo tanto X es una puerta buena y o Y o Z es una puerta buena.

Caso uno: Y es buena. Entonces X, Y son, las dos, buenas. En este caso D es un caballero.

Caso dos: Z es buena. Entonces X, Z son, las dos, buenas. En este caso, E es un caballero.

Por lo tanto, o D o E tienen que ser un caballero. Por consiguiente, el enunciado de F es verdadero, de modo que F es un caballero.

Nuestra suposición de que C es un caballero lleva a la conclusión de que F es un caballero. Por lo tanto, es verdadero que si C es un caballero, entonces F lo es. Esto es lo que G dijo, por lo tanto G es un caballero.

Demostraremos ahora que el enunciado de H es verdadero. H dijo que si G y H eran, los dos, caballeros, entonces A lo era. Supongamos que H es un caballero. Entonces G y H son, los dos, caballeros. También es verdadero que si G y H son ambos caballeros, entonces lo es A (puesto que H dijo que lo era, y estamos suponiendo que H es un caballero). Por lo tanto, si H es un caballero, entonces (1) G y H son, los dos, caballeros; (2) Si G y H son ambos caballeros, entonces A lo es. De (1) y (2) se sigue que A es un caballero. Así pues, si H es un caballero, entonces A lo es. Esto es lo que dijo H, de modo que H tiene que ser un caballero. Por lo tanto, su enunciado es verdadero y puesto que G y H son, los dos, caballeros, A es un caballero.

Ahora sabemos que A es un caballero. Por lo tanto, X es realmente una puerta buena. De este modo, el filósofo debería escoger la puerta X.

156.

El primer sacerdote no podría ser un caballero; tiene que ser un escudero. Por consiguiente su enunciado es falso, lo cual significa que no es verdadero que él sea un escudero y que no sepa la respuesta a la Gran Pregunta. Pero es un escudero, de modo que la primera parte de su enunciado es verdadera. Por lo tanto, la segunda parte del enunciado tiene que ser falsa, de modo que él sabe la respuesta. Por consiguiente, el primer sacerdote es escudero y sabe la respuesta.

Por lo que respecta al segundo sacerdote, es indeterminado; o es un caballero que no sabe la respuesta o es un escudero. En cualquier caso (y esto es crucial para el problema siguiente) si sabe la respuesta, entonces es un escudero.

157.

Hemos visto que el primer sacerdote sabe la respuesta a la pregunta y es un escudero, y el segundo sacerdote, si sabe la respuesta, entonces es un escudero. Se nos ha informado de que el sacerdote que dijo «Hay algo en lugar de nada» sabía la respuesta. Puesto que el que dijo esto es un escudero, el enunciado «Hay algo en lugar de nada» tiene que ser falso. ¡Esto significa que nada existe!

Así pues, parece que la respuesta a la búsqueda que había ocupado toda la vida del filósofo es que, después de todo, nada existe realmente. Sin embargo, hay algo aquí que no cuadra; si no existe nada ¿cómo es que había un sacerdote que hizo el enunciado?

Lo que se sigue propiamente es, por lo tanto, que la isla de Baal, tal como la he descrito, no puede existir. No se trata de que sea meramente el caso de que no exista (lo cual es altamente probable desde el comienzo de la narración), sino que es lógicamente cierto que la isla no puede existir. Pues si existiese, y mi narración fuese verdadera, entonces se seguiría (como he mostrado) que nada existe y, por lo tanto, la isla de Baal no existiría. Esto es una contradicción y por consiguiente la isla de Baal no puede existir.

Lo curioso es que hasta la última de las historietas (problema 157) todo lo que te he contado, por improbable que pueda haber parecido, era lógicamente posible. Pero la última historieta fue la gota que colmó el vaso.

SOLUCIONES DE LA ISLA DE LOS ZOMBIS

158.

No es posible decir lo que significa «Bal», pero podemos decir que el que habló tenía que ser humano.

Supóngase que «Bal» significa sí. Entonces «Bal» es la respuesta veraz a la pregunta de si «Bal» significa sí. Así pues, en este caso el que hablaba era humano.

Supóngase que «Bal» significa no. Entonces «No» es la respuesta castellana veraz a la pregunta de si «Bal» significa sí, por tanto «Bal» es la respuesta veraz en lenguaje del nativo a la pregunta. Así nuevamente, el que habla es humano. De este modo, y con independencia de que «Bal» signifique si o no, el que habla es humano.

159.

Todo lo que hay que preguntarle es si él es humano. Todos los nativos de esta isla declaran ser humanos, por ello un humano y un zombi responderán afirmativamente. Así, si el nativo responde «Bal», entonces «Bal» significa sí; si responde «Da», entonces «Da» significa sí (y «Bal» significa no).

160.

La pregunta del problema 158 cumple esta tarea; pregúntesele simplemente si «Bal» significa sí. Si «Bal» significa sí, entonces «Bal» es la respuesta correcta a la cuestión, por tanto un humano dirá «Bal» y un zombi dirá «Da». Si «Bal» no significa sí, entonces nuevamente «Bal» es la respuesta correcta a la cuestión, de manera que también en este caso un humano dirá «Bal» y un zombi dirá «Da».

161.

Son varios los modos de conseguirlo. Uno de ellos consiste en preguntar al curandero si «Bal» es la respuesta verdadera a la cuestión de si él es un humano. Podremos probar que el curandero tiene que responder «Bal». Al objeto de simplificar un tanto la exposición, sea H la pregunta «¿Eres humano?». Recuérdese que no se está preguntando si H es verdadera o falsa, sino si «Bal» es la respuesta correcta a H.

Caso uno: El curandero es humano. Si «Bal» significa sí, entonces «Bal» es la respuesta correcta a H, y puesto que el curandero es humano responderá con verdad que lo es, y por tanto dirá «Bal». Si «Bal» significa no, entonces «Bal» no es la respuesta correcta a H, de aquí que responderá con verdad que no lo es y, por tanto, dirá «Bal» (cuyo significado es no). Así pues, un humano responderá «Bal» independientemente de que «Bal» signifique sí o no.

Caso Dos: El curandero es zombi. Si «Bal» significa sí entonces «Bal» no es la respuesta correcta a H, pero puesto que se trata de un zombi, éste mentirá y dirá que es la respuesta correcta, por tanto dirá «Bal» (con el significado de «Sí, es la respuesta correcta», lo cual por supuesto es una mentira). Si «Bal» significa no, entonces «Bal» es la respuesta correcta a H, por lo tanto el curandero mentirá y responderá que no es la respuesta correcta, y por ello dirá «Bal» (que significa no). Así pues, un zombi dirá «Bal» independientemente de que «Bal» signifique sí o no.

Hay otras preguntas que podrían alcanzar igualmente el mismo resultado. He aquí algunas:

(1) ¿Es el caso que o bien tú eres humano y «Bal» significa sí, o bien tú eres zombi y «Bal» significa no?

(2) ¿Es el caso que tú eres humano si y sólo si «Bal» significa sí?

162.

Nuevamente, hay varios modos de lograrlo. Uno de ellos es preguntar, «Si alguien te preguntase si hay oro en esta isla, ¿responderías “Bal”?». Como vamos a mostrar, si hay oro en la isla, entonces responderá «Bal», y si no lo hay responderá «Da», independientemente de que sea humano o zombi e independientemente de lo que «Bal» y «Da» signifiquen realmente. Sea G la pregunta «¿Hay oro en esta isla?».

Caso Uno: El nativo es humano y «Bal» significa sí. Supóngase que hay oro en la isla. Entonces respondería «Bal» a la pregunta G. Siendo humano, diría verazmente que él respondería «Bal», así pues el nativo responde «Bal» a la cuestión que se le ha propuesto. Supóngase que no hay oro en la isla. Entonces no respondería «Bal» a la pregunta G, y puesto que es humano diría que no respondería «Bal», así pues respondería «Da» a nuestra pregunta.

Caso Dos: El nativo es zombi y «Bal» significa sí. Supóngase que hay oro en la isla. Entonces «Bal» es nuevamente la respuesta verdadera a G, así él, siendo un zombi, no respondería «Bal» a G. Pero entonces el nativo mentiría y diría al lector que él respondería «Bal» a G. Así su respuesta es «Bal». Supóngase que no hay oro en la isla. Entonces «Bal» es una respuesta falsa a G, por tanto el nativo daría de hecho esa respuesta a G. Pero entonces mentiría al lector y mantendría que él no diría «Bal», por tanto respondería con «Da» a nuestra pregunta.

Caso Tres: El nativo es humano y «Bal» significa no. Supóngase que hay oro en la isla. Entonces «Bal» es la respuesta falsa a G, por ello un humano no la daría. Entonces respondería verazmente al lector que él no diría «Bal», por tanto responde a nuestra pregunta inicial con «Bal». Si no hay oro en la isla, entonces «Bal» es la respuesta verdadera a G, y por ello esta es la respuesta que el humano daría de hecho a G. Así pues, el nativo responde a nuestra pregunta con «Da» (con el significado de «Sí, yo respondería “Bal” a (7»).

Caso Cuatro: El nativo es zombi y «Bal» significa no. Supóngase que hay oro en la isla. Entonces el nativo respondería de hecho con «Bal» a G, pero nos diría que no lo haría, por tanto responderá con «Bal» a nuestra pregunta. Supóngase que no hay oro en la isla. Entonces respondería de hecho con «Da» a G; no respondería «Bal» a G, pero nos diría que sí lo haría. Por lo cual, responde «Da» a nuestra pregunta.

En resumen, si hay oro en la isla, entonces en cada uno de los cuatro casos obtendremos «Bal» como respuesta; si no hay oro, obtendremos «Da».

Otra pregunta que produciría el mismo resultado es esta: «¿Es el caso que tú eres humano si y sólo si “Bal” es la respuesta verdadera a la pregunta de si hay oro en esta isla?»

163.

Probaré primero que C no puede ser zombi. Bien, supóngase que lo fuera. Entonces A y B tienen que ser hermanos y, por tanto, ambos son humanos o ambos son zombis. Supóngase que ambos son humanos. Entonces «Bal» significa realmente sí, de donde se sigue que A respondió en efecto con sí cuando se le preguntó si el acusado era inocente, por tanto el acusado es inocente. Supóngase que A y B son ambos zombis. Entonces «Bal» significa realmente no, y puesto que A es un zombi y respondió no cuando se le preguntó si el acusado era inocente, se sigue que el acusado es inocente. Así pues, si C es un zombi entonces el acusado es inocente (con independencia de que A y B sean ambos humanos o ambos zombis). Por otra parte, si C es un zombi entonces el acusado ha de ser culpable, puesto que C dice que es inocente. Ello es una contradicción; por lo tanto, C no puede ser un zombi, así pues es humano. Y dado que C dice que el acusado es inocente, el acusado es realmente inocente.

164.

Puesto que C es humano, A y B no son hermanos. Lo cual no significa, necesariamente, por supuesto, que sean de tipos diferentes; pueden ser del mismo tipo aun cuando no sean hermanos. De hecho, deben ser del mismo tipo, porque si fueran diferentes, entonces el acusado tendría que ser culpable. El lector debería ser capaz de probar fácilmente por sí mismo esta argumentación.

165.

De las cuatro respuestas posibles «Bal», «Da», «Sí», «No»— la única que ni un humano ni un zombi podría dar es «No». De manera más específica, si el nativo hubiera sido un humano o un zombi, de haber respondido en castellano, su respuesta hubiera sido «Sí»; si hubiera respondido en su lengua nativa, entonces si «Bal» significa sí, hubiera respondido «Bal» (con independencia de que fuera humano o zombi), y si «Bal» significa no, hubiera respondido «Da». (Dejo al lector la prueba de estos hechos.) Por lo tanto, si Craig hubiera obtenido cualquier otra respuesta distinta a «No», le hubiera sido imposible saber a qué tipo pertenecía el que hablaba. Pero Craig lo sabía, por consiguiente obtuvo la respuesta «No» y el que hablaba era un semi–zombi.

166.

Aquí también el que habla tiene que ser un semi–zombi, y el único medio por el que Craig podía saber el tipo al que pertenecía el que hablaba era obteniendo la respuesta «Da». Si el nativo hubiese respondido en castellano, el inspector no hubiera podido saberlo, porque tanto un humano como un zombi hubieran respondido «Sí» si «Bal» significa sí, y «No» si «Bal» significa no. De haber respondido «Bal», el nativo podía haber sido humano, zombi o semi–zombi.

SOLUCIONES DE ¿VIVE AÚN DRÁCULA?

167.

Su enunciado es o verdadero o falso. Supongamos que es falso. Entonces no es ni humano ni está cuerdo; por lo tanto tiene que ser un vampiro loco. Pero los vampiros locos hacen solamente enunciados verdaderos, y tenemos una contradicción. Por lo tanto, su enunciado es verdadero. Los únicos que hacen enunciados verdaderos son los humanos cuerdos o los vampiros locos. Si él fuese un vampiro loco, entonces tendría que ser o humano o cuerdo, y su enunciado sería falso. Pero sabemos que el enunciado es verdadero. Por lo tanto tiene que ser un humano cuerdo.

168.

Tiene que ser un vampiro loco.

169.

No, esta vez es un vampiro cuerdo.

170.

Un humano cuerdo respondería «No» a esta pregunta, y cualquiera de los otros tres tipos respondería «Sí». Si hubiese obtenido como respuesta «Sí», no sabría de qué tipo era. Pero he dicho que lo supe, por lo tanto no respondió «Sí». De este modo él respondió «No», de donde se sigue que tiene que ser un humano sano.

171.

No puede inferirse si es humano o vampiro, pero se sigue que está loco. Un humano cuerdo no diría que es un vampiro y un vampiro cuerdo sabría que es un vampiro y entonces mentiría y diría que es humano. Por otra parte, un humano loco creería, y por lo tanto diría, que es un vampiro, y un vampiro loco creería que era humano y entonces diría que es un vampiro.

172.

Esta vez todo lo que se sigue es que él es un vampiro. Un humano cuerdo no podría decir que está loco, y un humano loco creería que está cuerdo y, al ser humano, no podría decir que está loco.

173.

Estoy seguro de que pueden encontrarse muchos pares de enunciados de este tipo; el par que tengo presente es este:

X: Si estoy cuerdo, entonces soy humano.

Y: Si soy humano, entonces estoy cuerdo.

Supongamos que el hablante asevera X. Demostraremos que Y tiene que ser verdadero, esto es, que si es humano, entonces está cuerdo. Bien, supongamos que es humano. Entonces es verdad que si está cuerdo entonces es humano (puesto que es humano, punto). Esto significa que X es verdadero. Entonces el hablante ha de estar cuerdo, puesto que los humanos locos no hacen enunciados verdaderos. Por lo tanto, si es humano, está cuerdo; de donde Y es verdadero.

Inversamente, supongamos que el hablante asevera Y. Hemos de mostrar que X es verdadero. Bien, supongamos que está cuerdo. Entonces Y ha de ser verdadero. De aquí se sigue que el hablante es humano (puesto que los vampiros cuerdos no hacen enunciados verdaderos). De este modo, es humano (bajo la suposición de que está cuerdo). Por lo tanto si está cuerdo entonces es humano y así el enunciado X es verdadero.

174.

La respuesta a ambas preguntas es «Sí». Supongamos que un transilvano cree un cierto enunciado X. Entonces, desde luego, no se sigue que X tenga que ser verdadero, puesto que puede estar loco. Pero si cree que cree X, entonces X tiene que ser verdadero. Pues supongamos por un lado que está cuerdo. Puesto que cree el enunciado de que cree que X, entonces el enunciado de que cree que X tiene que ser verdadero. Por lo tanto cree de hecho que X; y, puesto que está cuerdo, X tiene que ser verdadero. Supongamos por otro lado que él está loco. Puesto que él cree el enunciado de que él cree que X, entonces el enunciado de que él cree que X tiene que ser falso. Por lo tanto no cree realmente que X (solamente piensa que lo cree). Puesto que no cree que X, y está loco, entonces de nuevo X tiene que ser verdadero.

Así pues, hemos mostrado que si un transilvano cree que cree X, entonces X tiene que ser verdadero independientemente de si está cuerdo o loco. Similarmente puede mostrarse que si no cree que él cree que X, entonces X tiene que ser falso. Dejamos esto para el lector.

175.

De nuevo ambas respuestas son «Sí» —esto es un corolario de la solución al problema precedente.

Supongamos que A asevera que cree que X. Supongamos que A es humano. Entonces cree lo que asevera, de modo que cree que X. Entonces, como hemos visto en la solución al problema 174, A tiene que ser verdadero, esté A cuerdo o loco. Similarmente, supongamos que A es un vampiro. Entonces no cree lo que asevera, de modo que no cree que cree que X. Así, X tiene que ser falso, esté A cuerdo o loco.

176.

A asevera que cree que B es humano. B asevera o que cree que A es humano, o asevera que cree que A no es humano. Si lo último fuera el caso, obtendríamos la contradicción siguiente. Tenemos:

(1) A dice que cree que B es humano.

(2) B dice que cree que A no es humano.

Supongamos que A es humano. Entonces por (1) se sigue, por el principio del problema 175, que B es humano. Entonces por (2) se sigue (por el mismo principio) que A no es humano. Por lo tanto es una contradicción el que A es humano.

Supongamos que A es un vampiro. Entonces a partir de (1), B no es humano (por el mismo principio), de modo que B es un vampiro. Entonces a partir de (2) se sigue (por el mismo principio) que A es humano. Esto es de nuevo una contradicción. Por lo tanto, si B hubiese respondido «No» tendríamos una contradicción. Por lo tanto B respondió «Sí».

177.

No puede inferirse nada en absoluto, puesto que todos los transilvanos responderán «Sí» a esta pregunta. El lector puede comprobar esto por sí mismo.

178.

Este es un caso diferente; a partir de la respuesta no puede inferirse si el hablante es humano o vampiro, pero puede inferirse si está cuerdo. Si está cuerdo, entonces responderá «Sí»; si está loco entonces responderá «No». Dejamos la demostración al lector.

179.

No, no puede determinarse. Podría suceder que él fuese un humano cuerdo y que Drácula viviese, o podría suceder que fuese un vampiro loco y Drácula estuviese muerto. (De hecho, si es un vampiro loco, entonces Drácula podría estar vivo o muerto.)

180.

De nuevo la respuesta es «No».

181.

La respuesta es todavía «No». Él podría ser, por ejemplo, un vampiro loco, en cuyo caso Drácula podría estar o no vivo.

182.

Sí, esta vez se seguiría que Drácula está vivo.

Usemos la terminología del problema 177 y reformulemos el enunciado del nativo de la siguiente manera: «Si soy formal entonces Drácula vive.»

Hemos demostrado en el capítulo 8 (véanse las soluciones a los problemas 109–112) que si un nativo de una isla de caballeros y escuderos dice: «Si yo soy un caballero entonces tal y tal», entonces el hablante tiene que ser un caballero y el tal y tal tiene que ser verdadero. Similarmente, si un habitante de Transilvania dice, «Si yo soy formal entonces tal y tal», entonces tiene que ser formal y el tal y tal tiene que ser verdadero. La demostración es realmente la misma —solamente hay que sustituir la expresión «un caballero» por «formal».

183.

Un enunciado que funcionaría es: «Yo soy informal y Drácula está muerto.» Dejamos la demostración al lector. (Consejo: poner primero de manifiesto que el hablante no es formal.)

184.

Una oración que hace esto es la siguiente: «Yo soy formal si y sólo si Drácula vive aún.»

En la solución al problema 122 del capítulo 8 demostramos que si un habitante de una isla de caballeros y escuderos dice: «Yo soy un caballero si y sólo si tal–y–tal», entonces el tal–y–tal tiene que ser verdadero (pero no es posible decir si el hablante es caballero o escudero). Similarmente, si un transilvano dice: «Yo soy formal si y sólo si tal–y–tal», entonces el tal–y–tal tiene que ser verdadero independientemente de si el hablante es formal o no. La demostración es realmente la misma —solamente hay que sustituir «caballero» por «formal». Existen varios enunciados distintos que también funcionarían. Por ejemplo: «Creo que el enunciado de que Drácula vive es equivalente al enunciado de que yo soy humano.» Otro ejemplo, más bien divertido sería: «Creo que si alguien me preguntase si Drácula vive aún, entonces respondería “Sí”.»

185.

Sí, se seguiría que Drácula tiene que estar muerto.

A partir de (1) podemos inferir que el hablante es humano, puesto que un vampiro cuerdo sabría que está cuerdo y por lo tanto dice que está loco, y un vampiro loco creería que está cuerdo y entonces diría que está loco. Por lo tanto el hablante es humano.

Recordemos el principio establecido en el problema 175: cuando un humano dice que él cree algo, entonces ese algo tiene que ser verdadero (independientemente de si está cuerdo o está loco). Bien, nosotros sabemos que el hablante es humano y que dice que cree que Drácula está muerto. Por lo tanto el Conde Drácula tiene que estar muerto.

186.

A partir de su primer enunciado «Yo soy humano», se sigue, no que él sea humano, sino que tiene que estar cuerdo. (Un humano loco no sabría que él era humano, y un vampiro loco pensaría que es humano y, por lo tanto, diría que es un vampiro.) Ahora que sabemos que está cuerdo, vamos a demostrar que es humano. Supongamos que él fuese un vampiro. Entonces es falso que es un humano, y puesto que un enunciado falso implica cualquier enunciado, entonces su segundo enunciado —«Si soy humano entonces Drácula vive aún»— tendrá que ser verdadero.

Pero un vampiro cuerdo no puede hacer enunciados verdaderos, de modo que tenemos una contradicción. Por lo tanto no puede ser un vampiro; tiene que ser un humano.

Ahora sabemos que él es, a la vez, humano y cuerdo, de modo que hace enunciados verdaderos. Por lo tanto, su segundo enunciado, a saber: que si él es humano entonces el Conde Drácula vive aún, tiene que ser verdadero. Pero él es humano. Por lo tanto Drácula vive aún.

187.

Pregúntale solamente si está cuerdo. Un humano (esté cuerdo o no) responderá «Sí» y un vampiro respondería «No».

188.

Pregúntale solamente si es humano. Un transilvano sano (sea humano o vampiro) dirá «Sí» y un transilvano loco dirá «No».

Para el puñado de problemas siguientes diré sólo cuáles son las preguntas. En este momento debes tener la suficiente experiencia para ser capaz de demostrar por ti mismo que esas preguntas valen para tus propósitos.

189.

Una pregunta que vale es: «¿Cree usted que es humano»? Todos los transilvanos tienen que responder «Sí» a esta pregunta. No se trata de que todos ellos crean que son humanos (sólo los humanos cuerdos y los vampiros locos creen esto), sino que todos los nativos dirán que lo creen.

Otra pregunta que valdría es: «¿Es usted formal?» Todos los transilvanos afirmarían que son formales.

190.

Cualquiera de estas dos preguntas valdría:

(1) «¿El enunciado de que usted es formal es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?»

(2) «¿Cree usted que el enunciado de que usted es humano es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?»

191.

Pregúntale: «¿La respuesta correcta a la pregunta de si usted está cuerdo es “Bal”?» Si contesta «Bal» entonces es humano; si responde «Da», entonces es vampiro.

192.

Pregúntale: «¿La respuesta correcta a la pregunta sobre si usted es humano es “Bal”?» Si él responde «Bal», entonces está cuerdo; si responde «Da», entonces está loco.

193.

Pregúntale: «¿Cree usted que es humano?» Sea cual sea la palabra que él responda tiene que significar sí. Alternativamente, pregúntale: «¿Es usted formal?»

194.

Una pregunta que funcionaría es: «¿Es “Bal” la respuesta correcta a la pregunta de si usted es formal?» (Recuerdo que ser formal significa ser o un humano sano o un vampiro loco.)

Otra pregunta que funciona: «¿Es usted formal si y sólo si “Bal” significa sí?»

Cualquiera de estas preguntas forzará a responder con un «Bal», como puede demostrarse esencialmente de la misma manera que en el problema 161 del capítulo 11 (excepto en que ser formal juega ahora el papel jugado por ser humano).

195.

Cualquiera de las siguientes preguntas realizarán la tarea.

(1) ¿Cree usted que «Bal» es la respuesta correcta a la pregunta de si el enunciado de que usted es humano es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?

(2) ¿Es «Bal» la respuesta correcta a la pregunta de si el enunciado de que usted es formal es equivalente al enunciado de que Drácula está vivo?

Una solución mucho más simple y más elegante es la proporcionada por el principio unificador que se explica en el número 196.

196.

Definamos un transilvano de élite de tal modo que sea del tipo 1 si responde «Bal» a la pregunta: «¿Es 2 más 2 igual a 4?» Esto significa, naturalmente, que dada cualquier otra pregunta cuya respuesta correcta sea «Sí», un transilvano del tipo 1 responderá «Bal» a esta pregunta. Definiremos un transilvano de élite de tal modo que sea del tipo 2 si no es del tipo 1. Esto significa que dado cualquier enunciado verdadero X (como 2 más 2 igual a cuatro), si se le pregunta a un transilvano del tipo 2 si X es verdadero, éste responderá «Da».

Observemos inmediatamente que si «Bal» significa sí, entonces las personas del tipo 1 son aquellas que son formales, y las personas del tipo 2 son aquellas que son informales. Si «Bal» significa no, entonces tenemos lo contrario (tipo 1 = informal y tipo 2 = formal).

Ahora bien, el principio unificador es este: para averiguar respecto de un enunciado X dado si X es verdadero, sólo tienes que preguntar a un transilvano de élite si X es equivalente al enunciado de que él (el transilvano al que le preguntas) es del tipo 1. Puedes parafrasear tu pregunta de la siguiente manera: «¿Es X verdadero si y sólo si usted es del tipo 1?» Demostraremos que si él responde «Bal», entonces X tiene que ser verdadero, y que si él responde «Da», entonces X tiene que ser falso. Así la oración «mágica» O es: «Usted es del tipo 1» (O «Usted responde “Bal” a la pregunta de si 2 + 2 = 4»).

Demostración: O es la oración: «Usted es del tipo 1»; X es la oración cuya verdad tú deseas averiguar. La pregunta que tú planteas es si O es equivalente a X. Supongamos que tú obtienes la respuesta «Bal». Hemos de demostrar que entonces X tiene que ser verdadera.

Caso uno: «Bal» significa sí. En este caso sabemos dos cosas: (i) tipo 1 = formal; (ii) el hablante, al decir «Bal», está aseverando que O es equivalente a X.

Subcaso 1a: El hablante es del tipo 1. Entonces el hablante es formal y hace enunciados verdaderos. Entonces O es realmente equivalente a X y1 O es también verdadera (puesto que el hablante es del tipo 1). Por lo tanto X es verdadera.

Subcaso 1b: El hablante es del tipo 2. Entonces es informal y hace enunciados falsos. Puesto que asevera que O es equivalente a X, entonces O no es equivalente a X. Pero O es falsa (puesto que el hablante no es del tipo 1), y X no es equivalente a O, de modo que X es verdadera.

Caso dos: «Bal» significa no. En este caso sabemos dos cosas: (i) tipo 1 = informal; (ii) el hablante está aseverando que O no es equivalente a X.

Subcaso 2a: El hablante es del tipo 1. Entonces es informal y hace enunciados falsos. Asevera falsamente que O no es equivalente a X: por lo tanto O es realmente equivalente a X puesto que O es verdadera. Por consiguiente X es verdadera.

Subcaso 2b: El hablante es del tipo 2. Entonces es formal y hace enunciados verdaderos. Por lo tanto O no es equivalente a X (puesto que el hablante asevera que no lo es), sino que O es falsa; por consiguiente X tiene que ser de nuevo verdadera.

Hemos mostrado que una respuesta «Bal» significa que X es verdadera. Podríamos llevar a cabo una ronda similar de razonamiento para demostrar que una respuesta «Da» significa que X es falsa. Sin embargo, podemos tomar el atajo siguiente:

Supóngase que el transilvano en cuestión responde «Da». Ahora bien, responder «Da» a esta pregunta es realmente lo mismo que responder «Bal» a la pregunta: «¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X es falsa?» (Puesto que para cualesquiera dos enunciados Y y Z, el enunciado de que Y es equivalente a Z es precisamente lo contrario del enunciado de que Y es equivalente a no Z). Así él habría respondido «Bal» si le hubieses preguntado: «¿Es usted del tipo 1 si y sólo si X es falsa?» Puesto que él habría respondido «Bal» a esto, entonces se sigue (por la demostración anterior) que X es realmente falsa.

197.

(1) y (2) En dos ocasiones Drácula dijo: «Oh, sí.» Un transilvano de élite no usa nunca la palabra «Sí».

(3) Cuando el transilvano fortachón y de aspecto brutal me dijo que no podía abandonar el castillo sin permiso del anfitrión, ¿por qué tenía que haberlo creído?

(4) Cuando el anfitrión me envió el mensaje «Naturalmente, no», ¿por qué tenía que haberlo creído? No sabía aún que el anfitrión era un vampiro loco y que hacía enunciados correctos.

SOLUCIONES DE LA PARADOJA A LA VERDAD

257.

Todo lo que tiene que decir es «Seré ahorcado».

258.

La respuesta es que es lógicamente imposible que exista un barbero tal.

259.

Lo que deberías decir es que el autor está mintiendo de nuevo. La situación que yo he descrito es bastante imitable, se trata realmente de la Paradoja de la Doble tarjeta de Jourdain con un ropaje ligeramente diferente (véase el problema 254).

Si A es un caballero entonces B es realmente un escudero, por lo cual ¡A no es realmente un caballero! Si A es un escudero, entonces B no es realmente un escudero, es un caballero y por tanto su enunciado es verdadero, lo cual hace que A sea un caballero. De donde se sigue que A no puede ser un caballero o un escudero sin caer en contradicción.

SOLUCIONES DE EL DESCUBRIMIENTO DE GÖDEL

264a.

Por la condición E1, el conjunto E de todos los caballeros establecidos forma un club. De aquí se sigue que, por la condición C, el conjunto E’ de todas las personas de la isla que no son caballeros establecidos forma también un club. Entonces, por la condición G, hay al menos una persona en la isla que afirma ser un miembro del club E —en otras palabras, afirma que no es un caballero establecido.

Ahora bien, no es posible que un escudero pudiera afirmar que no es un caballero establecido (porque es verdad que un escudero no es un caballero establecido), de donde se sigue que el que tal afirma tiene que ser un caballero. Puesto que es un caballero, entonces lo que dice es verdad, por lo que no es un caballero establecido. Por lo tanto, el que tal afirma es un caballero, pero no un caballero establecido.

Por la condición E2, el conjunto de los escuderos establecidos forma un club. Por lo tanto (por la condición G), hay al menos una persona en la isla que afirma ser un escudero establecido (afirma ser un miembro del club de los escuderos establecidos). Esta persona no puede ser un caballero (puesto que ningún caballero afirmaría ser escudero de ningún género), de donde se sigue que es un escudero. Por lo tanto su enunciado es falso, de suerte que no es un escudero establecido. Esto quiere decir que es un escudero, pero no un escudero establecido.

264b.

Si el conjunto de los escuderos formara un club, entonces al menos un habitante afirmaría ser un escudero, lo cual es algo que ni un caballero ni un escudero podrían hacer. Por lo tanto, el conjunto de los escuderos no forma un club.

Si el conjunto de los caballeros formara un club, entonces el conjunto de los escuderos también lo formaría (por la condición C), de donde se sigue que los caballeros tampoco forman un club.

Observaciones. (1) El problema 264b proporciona una solución alternativa al problema 264a, la cual, aun cuando sea no constructiva, puede ser algo más simple.

Si todo caballero fuera establecido, entonces el conjunto de los caballeros sería el mismo que el conjunto de los caballeros establecidos; pero esto es imposible, porque el conjunto de los caballeros establecidos forma un club (por la condición E1), pero el conjunto de los caballeros no lo forma (por el problema 264b). Así pues, la suposición de que todos los caballeros son establecidos conduce a una contradicción, de donde se sigue que tiene que haber al menos un caballero no establecido. Similarmente, si todo escudero fuera establecido, entonces el conjunto de los escuderos establecidos sería el mismo que el conjunto de los escuderos, lo cual no puede ser, puesto que el conjunto de los escuderos establecidos forma un club, mientras que el conjunto de los escuderos no lo forma.

Por contraste con esta segunda demostración, la primera que más arriba hemos efectuado nos informa específicamente que todo el que afirme ser un caballero no establecido tiene que ser un caballero no establecido, y que todo el que afirme ser un escudero establecido tiene que ser un escudero no establecido.

(2) Nuestra demostración de que el conjunto de los escuderos no forma un club utilizó solamente la condición G; las condiciones E1, E2 y C no fueron necesitadas para ello. Así pues, la condición G sola implica que los escuderos no forman un club. De hecho, la condición G es equivalente al enunciado de que los escuderos no forman un club, porque si se supone que se nos da que el conjunto de los escuderos no forma un club, podemos derivar la condición G como sigue.

Tómese cualquier club C. Puesto que el conjunto de los escuderos no es un club, entonces C no es el conjunto de todos los escuderos. De donde se sigue que o algún caballero pertenece a C o algún escudero no pertenece a C. Si algún caballero pertenece a C, ciertamente afirmaría pertenecer a C (puesto que él es veraz). Si algún escudero no perteneciera a C, afirmaría asimismo pertenecer a C (puesto que miente). Así, en uno u otro caso, alguien afirma pertenecer a C.

NOTAS

[1] El 1 de abril es el equivalente anglosajón de nuestros Inocentes. (N. de la T.) <<

[2] Roget’s Thesaurus, famoso diccionario de sinónimos norteamericanos. (N. de la T.) <<

[3] El subrayado es mío. (N. del A.) <<

[4] Estamos llamando A al acusado, B al abogado defensor y C al fiscal. <<

[5] Conviene recordar que los caballeros son del rango superior, los normales del rango medio, y los escuderos del rango inferior. <<

[6] Una proposición que implica una proposición falsa ha de ser falsa, puesto que una proposición verdadera no puede implicar nunca una proposición falsa. En el caso que nos ocupa, la proposición de que B es caballero implica la proposición falsa de que A es escudero, de ahí que deba ser falso el que B sea caballero. Estamos ante otro caso de reductio ad absurdum. <<

[7] Llegamos a ello asumiendo como premisa que A es caballero y sacando como conclusión que C es caballero. Por el hecho 4 de la implicación se sigue que si A es caballero entonces C es caballero. <<

[8] Ya que Benvenuto Cellini era un tanto fanfarrón, ¿por qué no seguir sus pasos? <<

[9] Porque la premisa de que el cofre de oro fuera obra de un Bellini nos lleva a la conclusión de que el de plata es de Cellini. Hemos vuelto a hacer uso del Hecho 4 de la implicación (véase el último párrafo del preámbulo al capitulo "Adivinanzas lógicas"). <<

[10] Para más detalles, véase Martin Gardner, The Second Scientific American Book of Puzzles and Diversions, Nueva York, Simon and Schuster, 1961. <<

[11] Martin Gardner. Mathematical Carnival, Nueva York. Vintage Hooks. 1979. Ed. esp., Carnaval matematico. Madrid. Alianza Editorial, 1980. <<

[12] Dado que la traducción castellana de sanity clause (cláusula de cordura) no conservaría el juego de palabras Santa Claus / Sanity Clause, he optado por conservar las expresiones originales. <<

[13] La traducción castellana sería «Ah, ¡eso sería harina de otro costal! ¡Pero eso sería una contradicción, puesto que el caballo sería de otro color!» Las razones para reproducir el original son obviamente las mismas que en el caso de Santa Claus antes considerado. <<

[14] Me lo ha proporcionado el filósofo Richard Cartwright. <<

[15] Respecto a la condición H, para cada número n hay una oración que afirma que n es extraordinario; esta oración (al igual que cualquier otra oración) tiene un número de Gödel —llamemos n* a este número. Bien, ocurre que para cualquier conjunto definible A, el conjunto de todos los números n tales que n* está en A es un conjunto B que es también definible. Puesto que n* es un asociado de n, la condición H queda satisfecha. <<