En uno de sus relatos más conocidos, Borges dice que la metafísica es una rama de la literatura fantástica: el discurso de la verdad y el de la ficción no serían sino dos caras de una misma moneda. Acaso haciéndose eco de esta singular hipótesis, Alberto Rojo aventura en este libro la provocadora idea de que la ciencia (discurso metafísico por excelencia) tal vez no esté del todo divorciada del arte. Tanto una, con su inteligencia razonada, como el otro, con sus juegos de la imaginación, se complementan y confunden para llevar el conocimiento humano —siempre parcial y limitado— un paso más allá.

Muestra de ello es el propio Borges, quien —sin saber de física, según él mismo bromeaba, más que el funcionamiento del barómetro— anticipó en sus ficciones las modernas teorías de la mecánica cuántica. Así, los ensayos aquí reunidos nos proponen un recorrido audaz y personalísimo por este territorio de convergencia: de la teoría de la relatividad a la antimateria, de la serie de Fibonacci a las partículas elementales, de Galileo a Einstein, y por supuesto, de Borges a Borges (tema recurrente a lo largo de estas páginas), Rojo nos explica con simpleza las complejidades del universo y nos revela cuánto hay de poesía en la ciencia y cuánto de ciencia en la poesía.

Una vez más, Alberto Rojo da muestras de su talento para conjugar rigurosidad, claridad y sensibilidad estética, con el propósito de acercar al lector a las sutilezas del arte y de la física moderna, y brindarle una original mirada sobre ambas.

Alberto Rojo

Borges y la física cuántica

Un científico en la biblioteca infinita

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Titivillus 31.01.2020

Alberto Rojo, 2013

Editor digital: Titivillus

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Prólogo

Hay una región donde conviven el qué con el cómo, lo real con lo imaginario, el arte con la ciencia. No la entiendo como una región de antagonismos sino como un abrevadero común, una zona franca, un territorio de intercambios conceptuales, de mutua fertilización. Y hablo de antagonismos porque se dice y se escucha que el arte y la ciencia son alternativas antagónicas en la búsqueda de la verdad, que la ciencia y la literatura —la forma del arte que más me ocupa en estos textos— sirven a dos divinidades contrarias: la inteligencia y las emociones. El fundamento: el escritor se ocupa de conmovernos con sus mundos imaginados; el científico, de descifrar el mundo real. Sin embargo, las grandes obras literarias no son sino miradas profundas sobre la realidad y los grandes avances científicos redefinen los límites de la imaginación. Y en ese entrejuego creativo se complementan y se encuentran.

Los textos que siguen, algunos adaptados de publicaciones en medios gráficos, otros inéditos, visitan, algunos más que otros, ese territorio de convivencia; ejemplos de obras literarias que contienen —o inspiraron— soluciones a problemas científicos, instancias en que el criterio estético interviene en un avance científico, o donde la metáfora deja de ser una intuición de similitud entre lo disímil para constituirse en argumento sobre la naturaleza de lo real: momentos en que el poeta se vuelve científico y el científico, poeta.

El primer gran poeta de la ciencia es Galileo Galilei, la figura central en la creación del método científico. Según Italo Calvino (como refiero en «Acuarelas de Galileo»), Galileo es el más grande escritor en prosa de la lengua italiana y merecería igual fama como «inventor de fantasiosas metáforas» que como científico. Y su metáfora más gloriosa es también la más infausta: el universo como un libro. Si bien la idea del libro de la naturaleza no es suya, Galileo la perfecciona y, al hacerlo, complica su diálogo con el clero.

Para la doctrina cristiana de entonces, el mundo contenía dos libros fundamentales y complementarios: la Naturaleza por un lado, la Biblia por el otro. Leer la Biblia era una manera de estudiar la naturaleza, compatible con la ciencia. Hasta que Galileo postula que el libro de la naturaleza, de origen divino,

está escrito en lenguaje matemático, y sus caracteres son triángulos, círcul os y otras figuras geométricas, sin los cuales es humanamente imposible entender una sola palabra; sin ellos uno deambula en un oscuro laberinto.

Los detalles de la gran obra de Dios están vedados, insinúa Galileo, a aquellos que desconocen las matemáticas. Su visión era compatible con la teología, pero la metáfora eleva el libro de la naturaleza a una categoría de texto fundamental, de lenguaje técnico; la Biblia pasa a ser un texto auxiliar, de lenguaje popular, y de ese modo los científicos quedan en una suerte de pie de igualdad con los clérigos.

La metáfora no acortó la ruta de tormento hacia los tribunales de la Inquisición, pero el gran Galileo sigue vivo en el punto de encuentro entre la literatura y la ciencia: si el método científico es el de la comprensión del libro del universo, entonces el comienzo mismo de la física es un hecho literario.

Me interesa la literatura en su rol de ingenua provocadora de preguntas penetrantes; me gusta cuando la ficción es la puerta hacia la libertad para una imaginación acorralada por los límites del conocimiento parcial. Y celebro cuando esa libertad permite anticipar preguntas y respuestas científicas. En 1823, el físico alemán Heinrich Wilhelm Olbers planteó la siguiente paradoja (me ocupo del tema en «Física en los tangos»): si el tamaño del universo es infinito y las estrellas están distribuidas por todo el universo, entonces deberíamos ver una estrella en cualquier dirección que miremos y el cielo nocturno debería ser brillante. Sin embargo, el cielo es oscuro. ¿Por qué? Si bien no existe una respuesta satisfactoria, la mejor solución hasta el momento supone que el universo no existe desde tiempo indefinido sino que tuvo un comienzo. Por lo tanto, nuestra visión del cielo solo abarca la distancia que la luz recorre en un tiempo igual a la edad del universo. No vemos las estrellas que están más allá de esa distancia porque la luz que empezaron a emitir en el momento de originarse todavía no llegó a la Tierra. La extensión del universo es infinita o, si no infinita, por lo menos de una vastedad más allá de toda mesura; sin embargo, el universo visible es comparativamente pequeño y no alcanza a cubrir el cielo de estrellas. El primero en imaginar esta solución (de manera cualitativa pero correcta) no fue un físico ni un astrónomo sino un escritor: Edgar Allan Poe, que en Eureka: un poema en prosa, publicado en 1848, dice:

La única forma [… ] de entender los huecos [voids] que nuestros telescopios encuentran en innumerables direcciones sería suponiendo una distancia de fondo [background] invisible tan inmensa que ningún rayo proveniente de allí fue todavía capaz de alcanzarnos.

Ernesto Cardenal, muchos años después, lo cita en «La música de las esferas»: «Pero es oscura la noche, y el universo ni infinito ni eterno».

Antes de Poe, Dante, en la Divina comedia, anticipa una noción que la física solo admitirá en el siglo XX: la curvatura del espacio. Y sobre los refinamientos geométricos de la cosmología dantesca trata, en parte, el capítulo «Relatividad para borgeanos»: en el Paraíso, Dante y su amada Beatriz ascienden a los cielos y van cruzando, una por una, las concéntricas esferas celestes: la de la luna, la de los planetas, la de las estrellas (la octava esfera) hasta llegar al Primum mobile [Primer móvil]: la novena esfera, el límite del universo aristotélico. Y aquí, como describe el físico Mark Peterson en su libro Galileo’s Muse [La musa de Galileo], el poeta tiene un problema. Más allá del Primer móvil está el Empíreo, la morada de Dios y los ángeles, pero nadie hasta entonces había descrito la estructura del Empíreo. Y Dante lo hace, con precisión geométrica: parado en el Primer móvil, Dante ve, hacia abajo, las esferas concéntricas cuyo centro es la Tierra; pero lo sorprendente es que, al comienzo del canto XXVII, mira hacia arriba y ve la misma estructura geométrica: un punto brillante (Dios) rodeado de esferas concéntricas, del mismo modo que las esferas celestes rodean a la Tierra: un universo simétrico. Así como la superficie curva de la Tierra puede dividirse en dos hemisferios y, parados en el Ecuador, veríamos a cada lado el Polo Norte y el Polo Sur como puntos rodeados de círculos concéntricos (los paralelos), el Paraíso de Dante es un espacio tridimensional curvo y a cada lado del Primer móvil el poeta ve los «paralelos», ya no como círculos concéntricos en un espacio de dos dimensiones curvo (la superficie de la Tierra) sino como esferas concéntricas en un espacio curvo de tres dimensiones, una noción que tuvo que esperar a Einstein para obtener sus credenciales de ingreso en el mundo real.

El caso más llamativo de anticipo literario de una idea científica es el cuento «El jardín de senderos que se bifurcan», donde Borges se anticipa a una teoría de la física de un modo tan literal que no deja de asombrarme. Según la teoría de la mecánica cuántica (junto con la relatividad, una de las teorías más revolucionarias del siglo XX), las partículas microscópicas adolecen de una llamativa esquizofrenia: pueden estar simultáneamente en varios lugares y solo pasan a estar en un lugar definido cuando se las observa con algún detector. La teoría (extensamente confirmada por el experimento) anticipa la probabilidad de encontrar la partícula en un lugar dado. Ahora bien, ¿mediante qué mecanismo la partícula «elige» el lugar donde será detectada? Esta pregunta resume el llamado «problema de la medición», irresuelto hasta hoy. La única salida coherente —aunque extravagante para muchos— es la llamada «Interpretación de los muchos mundos», que el físico Hugh Everett III publicó (con otro nombre) en 1957. Según esta teoría, en el momento mismo de la medición el universo se divide y se multiplica en varias copias, una por cada resultado posible. Pero el primero en concebir universos paralelos que se multiplican no fue Everett sino Borges. En «El jardín…», publicado en 1942, propone un laberinto temporal en el que, cada vez que uno se enfrenta con varias alternativas, en vez de optar por una y eliminar otras, «opta —simultáneamente— por todas. Crea así diversos porvenires, diversos tiempos, que también proliferan y se bifurcan». La llamativa similitud entre el cuento de Borges y el trabajo de Everett —que llega a lo botánico, ya que Borges habla de un jardín de senderos y Everett, de un árbol ramificado— es el tema del primer capítulo de este libro.

Jorge Luis Borges, el poeta más citado por científicos y el escritor que más tocó mi vida, aparece con obstinación en estas páginas. Incluso de maneras satíricamente mágicas, como si su literatura hubiera dado en una clave que la ciencia aún no descifró, o como si los guiños de su ficción habitaran nuestra realidad. En «Tertium organum» hablo de un soneto inédito que encontré (y destruí) el 21 de mayo de 2008, cuando visité la Biblioteca Nacional Argentina en busca de anotaciones en libros que Borges había leído allí. Carlos Balseiro y Guillermo Martínez interpretaron mi acto como un gesto de lealtad borgeana: el soneto, que nadie conoció, era malo. Más tarde, el 18 de agosto de 2010, recibí un correo electrónico de Germán Álvarez desde la Sala del Tesoro de la Biblioteca Nacional. Álvarez, junto con Laura Rosato, había compilado anotaciones de Borges en libros donados a la biblioteca por el escritor en 1973. Y en la guarda posterior del volumen 11 del Compendio de disputas religiosas de Christian Wilhelm Franz Walchs, de 1773, había aparecido un poema desconocido, y bastante malo, de Borges.

Así como hay ciencia en la ficción, hay ficción en la ciencia. De esto me ocupo en «Einstein, 1905: la ficción hecha ciencia», donde argumento que, en los cuatro trabajos de 1905, su «año milagroso», Einstein procedió en gran medida como un artista, tomando ideas que eran consideradas ficciones matemáticas por los científicos prominentes del momento y aceptándolas como parte del mundo real.

Esa aceptación es, paradójicamente, una versión del «suspenso de la incredulidad» del que habla Samuel Taylor Coleridge en su texto «Definiciones de poesía». Y digo paradójicamente porque Coleridge, a contrapelo de las ideas presentadas en este libro, aduce que la poesía es «opuesta a la ciencia», dado que el propósito de la ciencia es «adquirir o comunicar la verdad», mientras que el de la poesía es comunicar «placer inmediato».

Varios de los capítulos aquí incluidos son adaptaciones o reescrituras de artículos publicados en el diario Crítica de la Argentina, fundado por Jorge Lanata en 2008. A fines de 2007, antes del lanzamiento del diario, le propuse a Jorge escribir una columna periódica, y aceptó. La experiencia, periodística en parte, fue un ejercicio inusitado para mí, sobre todo por los comentarios online de los lectores, que fueron orientando mi prosa hacia un lenguaje divulgativo y hacia temas de interés cotidiano. De ese ida y vuelta resultaron artículos como «Dilución o ilusión», donde argumento que la homeopatía no tiene sustento científico; «Sanación cuántica», donde comento las aplicaciones seudocientíficas de la física cuántica, o «Lo que diga el GPS», donde me explayo sobre una de las aplicaciones cotidianas de la teoría general de la relatividad de Albert Einstein.

Se dice y se escucha que el arte es más «humano» que la ciencia, como si quien saliera del laboratorio para ir al cine estuviera emancipándose del ambiente automatizado y aburrido del método científico para entrar en la fascinante y enigmática tibieza del mundo emotivo. Pero la realidad es, en gran medida, al revés. Quizás decir que los animales tienen emociones sea cometer un antropomorfismo, pero la evidencia apunta a que eso que llamamos emociones no requiere de altas funciones cognitivas, que así como un chimpancé siente hambre y dolor bien podría, como dice la etóloga Jane Goodall, sentir tristeza o felicidad. En cambio, ningún otro animal es capaz de pensamiento lógico, al menos no con el grado de elaboración humana. Para mal o para bien, tanto el arte como la ciencia son exclusividades del Homo Sapiens. El científico es tan «humano» como el artista, y es mucho más «humano» entender que sentir. Dice Borges en «La escritura del Dios»: «¡Oh dicha de entender, mayor que la de imaginar o la de sentir!».

Por un lado, el arte es el arte y la ciencia es la ciencia; una teoría bella carece de valor si no funciona, si sus predicciones y explicaciones no armonizan con el experimento. Por otro, la «elegancia» y la «simplicidad» son requisitos de residencia para toda buena teoría. «En la ciencia, y aún más en el arte», dice el físico Philip W. Anderson en su ensayo «Algunas ideas sobre la estética en la ciencia», «hay una necesidad de alcanzar la máxima simplicidad, no solo una preferencia estética». Pero la simplicidad es también un criterio arbitrario, una preferencia de la mente; en cierto modo, un prejuicio estético. Y, en tanto criterio informal de búsqueda, funciona. La secular navaja simplificadora va abriendo el camino de creación colectiva de las teorías: a mayor simplicidad, mayor consenso, hasta llegar a eso que Anderson llama «la paradójica simpleza impuesta en toda complejidad».

En un ensayo de 1959, C. P. Snow, un científico convertido a la literatura, enarbola casi en tono de diatriba la idea de que los científicos y los humanistas pertenecen a «dos culturas» que se ignoran. Y Roland Barthes, en su ensayo «Literatura versus ciencia», sostiene que la diferencia está en el lenguaje: mientras para la literatura el lenguaje es su mundo mismo, para la ciencia es un simple instrumento.

Pero la metáfora está presente en la física. Además del universo como libro de Galileo o el árbol que se ramifica de Everett, me gusta la «flecha del tiempo» acuñada por el físico Arthur Eddington en su libro La naturaleza del mundo físico. Eddington la concibe para describir la curiosa asimetría de un mundo macroscópico que diferencia claramente el pasado del futuro, pero en cuyas entrañas microscópicas conviven, en armónica simetría, el pasado y el futuro. En el mapa relativista del mundo, el mapa cuatridimensional que comento en «Aniversarios del espacio», el espacio y el tiempo son en cierta medida intercambiables; pero si uno dibujara, dice Eddington, ese mapa en «un bloque sólido de papel», el tiempo progresaría en un sentido preferencial. Entonces elige la metáfora «flecha del tiempo» para «expresar esta propiedad direccional del tiempo que no tiene su contraparte en el espacio».

Otro concepto de contenido poético esbozado por un científico es el de Werner Heisenberg, uno de los inventores de la teoría cuántica: «Luz y materia son ambas entidades individuales, y la aparente dualidad emerge de las limitaciones de nuestro lenguaje». La cita corresponde a la introducción a «Los principios físicos de la teoría cuántica», donde Heisenberg despliega su teoría con un rigor matemático dictatorial. No van a encontrarla en afiches de atardeceres ni en señaladores púrpura, pero esa frase refleja la esencia del diálogo entre física y poesía: la limitación del lenguaje. La poesía existe porque el lenguaje es limitado, porque las palabras cuadriculan una realidad continua e infinita. Para ir más allá de ese cuadriculado, para expresar lo inexpresable, es necesario recurrir a permutaciones que prolonguen el alcance de la inteligencia.

De esas permutaciones emergen las microrrevelaciones de la experiencia estética y —acaso sean lo mismo— las claves inesperadas para entender el universo. Por eso, aquello que más de una vez empezó como artificio de la imaginación poética, como un protoplasma verbal donde el pensar y el sentir se confunden, germinó luego en una síntesis científica de la realidad. Quizá porque, refractados por cristales diferentes, los grandes misterios convergen en el mismo foco; quizás porque, en definitiva, todo lenguaje es metafórico.

El jardín de los mundos
que se ramifican:
Borges y la mecánica cuántica

Entrada al laberinto

El 9 de julio de 1985, por pura casualidad, crucé unas palabras con Borges. Recuerdo la fecha porque era el día después de mi casamiento: antes de partir a nuestra luna de miel, mi mujer y yo fuimos a saludar a mis padres que se alojaban en el hotel Dorá, en la calle Maipú al novecientos. Mi madre me tomó del brazo y me acercó al comedor. Las mesas estaban vacías, salvo una, y ahí estaba Borges, sentado junto a una mujer (posiblemente Estela Canto), con quien hablaba por momentos en inglés y por momentos en castellano. Diría que me sentí frente a un personaje de ficción; paralizado por la fascinación de comprobar que su figura se correspondía con las fotografías que había visto publicadas en distintos medios gráficos, lo examiné como se mira a las estatuas, que no pueden devolvernos la mirada. Llevaba un traje oscuro, una corbata prolija, y en su plato había una austera porción de arroz blanco. Mi padre me convenció de que nos acercáramos a charlar con él. Esperamos que terminara de almorzar y cuando el mozo, que lo trataba de «maestro», le trajo una taza con un saquito de té, fuimos hasta su mesa. Mi padre inició el diálogo y Borges, que se mostró encantado con la idea de conversar, nos regaló algunas fábulas de su erudición. Habló de Dios, del Minotauro, y criticó duramente a Ortega y Gasset («Lo conocí en su visita a la Argentina y me pareció cero»).

Mi única intervención en la charla fue comentarle que algunos textos de física hacían referencia a su obra. Por entonces yo finalizaba mi licenciatura en el Instituto Balseiro, y en esa ocasión aludí a las citas a «La lotería en Babilonia», cuento en el que el autor reflexiona sobre el azar y el determinismo. Borges me habló de su ignorancia en materia de física con una respuesta desconcertante que yo habría de mencionar luego hasta el cansancio en conversaciones informales con colegas.

Una anécdota personal con Borges es una gran excusa para la humana vanidad, puesto que, como todos sabemos, su fama es un universo en constante expansión. Por ejemplo, la biblioteca de la Universidad de Michigan tiene más de quinientos libros sobre él, pero pocos saben que era un hombre accesible, que hablaba igual con un notable como con un desconocido.

Desde ese día, para mí revelador y venturoso, me he encontrado con varias citas de Borges en textos científicos y de divulgación científica: menciones a «La biblioteca de Babel» para ilustrar las paradojas de los conjuntos infinitos y la geometría fractal, referencias a la taxonomía fantástica del doctor Franz Kuhn en «El idioma analítico de John Wilkins» (un favorito de neurocientíficos y lingüistas), invocaciones a «Funes el memorioso» para presentar sistemas de numeración, y hasta una cita de «El libro de arena» en un artículo bastante reciente sobre la segregación de mezclas granulares.

En todos estos casos las citas y referencias funcionan como ejemplos metafóricos que dan brillo a la prosa opaca de las explicaciones técnicas. Sin embargo, «El jardín de senderos que se bifurcan» es una deslumbrante excepción a esa regla, ya que allí Borges propone sin saberlo (no podría haberlo sabido) una solución a un problema de la física cuántica todavía no resuelto. Publicado en 1941, «El jardín…» se anticipa de manera prácticamente literal a la tesis de doctorado de Hugh Everett III, dada a conocer en 1957 con el título «Relative State Formulation of Quantum Mechanics», a la que Bryce DeWitt habría de popularizar como «La interpretación de los muchos mundos de la mecánica cuántica» («The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics»). Intentaré algunas reflexiones sobre la curiosa correspondencia entre un cuento y un trabajo de física.

Los senderos cuánticos

Las leyes de la mecánica cuántica describen el comportamiento del mundo microscópico: un mundo en el que los objetos son tan livianos que la presión de un rayo de luz, por tenue que sea, puede ocasionar desplazamientos bruscos. Esos objetos —átomos y moléculas invisibles al ojo humano— se mueven e interactúan unos con otros de una manera cualitativamente distinta de como lo hacen las pelotas de tenis, los automóviles, los planetas y el resto de la fauna del mundo visible. Veamos cómo.

Tanto en la descripción del mundo microscópico como en la del macroscópico es útil y pertinente hablar del estado de un objeto. Un estado posible de una pelota de tenis es: en reposo al lado de la red. Otro estado posible es: a un metro del suelo y moviéndose hacia arriba a una velocidad de un metro por segundo. En este lenguaje, especificar el estado de la pelota de tenis en un momento dado equivale a indicar su posición y su velocidad en ese momento. Las leyes de la mecánica clásica enunciadas por Isaac Newton permiten predecir, a partir del estado de la pelota de tenis en un instante inicial, su estado en todo instante posterior. La secuencia de estados no es sino la trayectoria de la pelota de tenis. En mecánica cuántica, esta descripción no funciona ni se aplica. Los átomos y otras partículas microscópicas no admiten una descripción en la que indicar el estado de la partícula en un momento equivalga a indicar su velocidad y su posición: en mecánica cuántica, especificar el estado de una partícula en un momento dado es indicar una función que conlleva la probabilidad de que esa partícula esté en un cierto lugar a una cierta velocidad. Las leyes de la mecánica cuántica, enunciadas por Erwin Schrödinger y Werner Heisenberg, permiten calcular los cambios temporales de esa función de probabilidad (o bien, en términos más técnicos, de la función de onda). Los cambios de estado no son cambios de posición sino cambios de la función de onda. Nos encontramos así con una de las revoluciones conceptuales de la mecánica cuántica: el reemplazo de la idea de trayectoria por una descripción de las probabilidades de las trayectorias.

Pero la historia no termina ahí. Al fin y al cabo, en nuestro mundo cotidiano a menudo enfrentamos situaciones en las que el azar juega un papel crucial y cuya descripción requiere un lenguaje probabilístico. Así, con el objeto de comparar dos visiones probabilísticas —la clásica y la cuántica— consideraremos el más simple de los experimentos aleatorios del mundo macroscópico: Alicia tira al aire una moneda y la retiene en su mano cerrada. María debe predecir si la moneda que Alicia oculta en su mano cayó cara o cruz. Desde el punto de vista de María, el estado de la moneda (olvidémonos por el momento de su velocidad) podría describirse por una función probabilística (clásica) que indica que cada uno de los estados posibles, cara o cruz, tiene una probabilidad del 50%. Si bien María tendrá que esperar que Alicia abra la mano para saber si la moneda cayó cara o cruz, es «obvio» que la moneda cayó en una, y solo una, de las dos posibilidades y que la descripción probabilística en este caso cuantifica la ignorancia de María respecto del estado o de la posición de la moneda. Cuando Alicia abre la mano, María comprueba que cayó cruz. Por un lado, podemos hablar del cambio de estado de la memoria de María, que pasó de ignorar en qué posición cayó la moneda a saber que cayó cruz. Por otro, el estado de la moneda no cambió durante el proceso de observación: la moneda había caído cruz y lo único que hizo la observación fue develar un resultado que existía de antemano. Comparemos este experimento con su equivalente microscópico. Si bien no existen monedas microscópicas, existen sistemas (átomos) que pueden hallarse en uno de dos estados mutuamente excluyentes. El lector experto reconocerá la alusión al «espín» del átomo, que puede tomar dos valores: «arriba» y «abajo». Digamos que tenemos un átomo en una «caja» cerrada (que desempeña el papel de la mano de Alicia) y que sabemos que la función de onda del átomo corresponde un 50% hacia arriba y un 50% hacia abajo. En analogía con la moneda de Alicia, si abrimos la caja veremos el átomo en una de las dos posibilidades; si repetimos muchas veces el experimento siempre disponiendo el átomo en el mismo estado inicial, comprobaremos que aproximadamente la mitad de las veces el espín está hacia arriba y casi la mitad de las veces, hacia abajo. Hasta aquí, las dos visiones probabilísticas coinciden. Sin embargo, la mecánica cuántica admite la posibilidad de que el átomo se encuentre en una superposición de estados antes de ser observado y en un estado definido después de ser observado. Digamos que María tiene ahora un detector que puede abrir la caja y observar el espín del átomo. Después del proceso de medición no solo cambia la memoria de María sino que también cambia el estado del átomo. La diferencia crucial estriba en que, antes de que María lo observara, el átomo se encontraba en una superposición de los dos estados, por lo que no tiene sentido decir que estaba hacia arriba o hacia abajo, ya que estaba simultáneamente en los dos estados. Esta peculiar característica, que no tiene cabida en nuestra intuición, nos deja frente a otra de las revoluciones conceptuales de la mecánica cuántica: la pérdida de la existencia de una realidad objetiva en favor de varias realidades que existen simultáneamente. Para Niels Bohr, cuya visión conocemos como «la interpretación de Copenhague» y representa la ortodoxia dominante, las entidades microscópicas difieren de las macroscópicas en su estatus ontológico y el problema filosófico comienza y termina allí. En otras palabras, solo tiene sentido hablar del estado de una partícula microscópica una vez que esta ha interactuado con un aparato (macroscópico) de medición. Pero entonces la dificultad se agrava, porque la teoría cuántica pretende ser una teoría del mundo completa y unificada; y elementos alarmantes que desafían la intuición en un nivel microscópico, no existe una manera de prevenir que estos efectos propaguen su infección al mundo macroscópico.

La pregunta central —que resume el problema de la medición, todavía hoy sin resolver— podría formularse en el contexto de nuestro ejemplo de la siguiente manera: si tanto María como el átomo están «sometidos» a las leyes cuánticas, y si el átomo se encuentra en una superposición de estados antes de la medición y en un estado bien definido después de ella, ¿a través de qué mecanismo el átomo «elige» un estado y no otro? El consenso generalizado supone que la solución de este dilema excede a la mecánica cuántica y desborda una de las teorías de la física dotada de mayor poder explicativo y de predicción. Por el contrario, en el experimento clásico de Alicia y María, las leyes de Newton pueden predecir la trayectoria de la moneda desde el momento en que esta sale de la mano de Alicia hasta el momento en que cae: si bien es un problema muy difícil, si conociéramos con absoluta precisión (la mecánica newtoniana no impone restricciones a la precisión con la que están determinadas las variables iniciales) el ángulo y la velocidad con que sale la moneda, y las posiciones y velocidades de las moléculas de aire que chocarán con ella, podríamos predecir si caerá cara o cruz.

La única «solución» a esta paradoja podría estar contenida en la teoría de Everett, que, si bien propone una respuesta coherente, resulta demasiado rebuscada para el gusto de algunos físicos que la acusan de «placebo verbal», de «extravagante» y de acarrear «demasiado equipaje metafísico». Llegamos así a la encrucijada central del laberinto: o aceptamos que la mecánica cuántica es incompleta o damos nuestro visto bueno a la resistida teoría de los mundos paralelos de Everett y DeWitt, caso en el cual el mundo sería precisamente el laberinto de Ts’ui Pên, quien:

creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos [destacado en el original].

Las bifurcaciones de Ts’ui Pên
y las ramificaciones de Hugh Everett III

En el prólogo de Ficciones, Borges advierte que «El jardín de senderos que se bifurcan» es una pieza policial. Yu Tsun, espía y protagonista del relato, debe comunicar el nombre de una ciudad a los oficiales alemanes. Acosado por el implacable capitán Richard Madden, decide transmitir su mensaje matando al sabio sinólogo Stephen Albert, cuyo apellido es igual al nombre de la ciudad que los alemanes deben atacar. Así, cuando los diarios británicos publiquen la noticia del asesinato de Albert perpetrado por un desconocido, los alemanes recibirán el mensaje. Yu Tsun encuentra la dirección de la casa de Albert en la guía telefónica. Una vez allí, por obra de una inefable coincidencia borgeana, el sabio reconoce en él al bisnieto de Ts’ui Pên, un astrólogo chino que ha escrito un libro extraordinario: El jardín de senderos que se bifurcan. Ts’ui Pên se había propuesto dos tareas inconcebibles: construir un laberinto infinitamente complejo y escribir una novela interminable. Después de su muerte se pensó que había fracasado, porque la existencia del laberinto era un enigma y la novela no solo estaba incompleta sino que resultaba absurda e incoherente (por ejemplo, algunos personajes morían y luego reaparecían en capítulos posteriores). Para sorpresa de Yu Tsun, Albert le revela que ha descubierto el secreto de la misteriosa novela: el libro es el laberinto, y el laberinto no es espacial sino temporal. El jardín… es la imagen del universo tal como lo concebía Ts’ui Pên. Y si aceptamos la hipótesis de Everett, el mundo es un jardín de senderos que se bifurcan.

Volvamos ahora al experimento de María y el átomo. Según la teoría de los muchos mundos, cuando María toma conciencia de que el átomo se halla en un estado definido, el universo se divide en dos copias casi idénticas: en una de ellas el espín apunta hacia arriba y en la otra, hacia abajo. El universo se ramifica en cada medición cuántica con un componente por cada resultado posible del experimento. En uno de los universos, la memoria de María se corresponde con el espín hacia arriba; en el otro, con el espín hacia abajo. La secuencia de las configuraciones de la memoria de María, o la «trayectoria» de las memorias, es diferente en cada uno de los universos.

Los dos autores presentan la idea central de maneras llamativamente parecidas. En la sección 5 del artículo original, Everett sostiene:

La «trayectoria» de las configuraciones de la memoria de un observador que realiza una serie de mediciones no es una secuencia lineal de configuraciones de la memoria sino un árbol que se ramifica [a branching tree], con todos los resultados posibles que existen simultáneamente [la traducción me pertenece].

Y en «El jardín…», Borges dice:

En todas las ficciones, cada vez que un hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la del casi inextricable Ts’ui Pên, opta —simultáneamente— por todas. Crea, así, diversos porvenires, diversos tiempos, que también proliferan y se bifurcan [destacado en el original].

Ahora bien, ¿dónde están todos estos universos? Una de las respuestas posibles es que pueden estar «aquí», donde está «nuestro» universo. Según la teoría, esos universos no interactúan, por lo que no hay razón para excluir la posibilidad de que ocupen un mismo espacio. Otra respuesta, como la que sugiere J. W. Dunne, sería que los universos se encuentran «apilados» en una dimensión adicional de la que nada sabemos. Esta posibilidad debe distinguirse de las «infinitas dimensiones de tiempo» de las que habla Borges en su ensayo sobre J. W. Dunne, en Otras inquisiciones. Según el ingeniero irlandés, cuyos escritos tal vez inspiraron la idea de que el tiempo se bifurca, esas dimensiones son espaciales; e incluso menciona la probabilidad de que exista un tiempo perpendicular a otro. Esa «geometrización» no tiene cabida en la teoría de los muchos mundos, y es por cierto distinta del tiempo ramificado de Ts’ui Pên. Encontramos otro anticipo pertinente, aunque más lejano en términos históricos que «El jardín…»; me refiero a L’Éternité par les astres [La eternidad a través de los astros] (1872), de Louis-Auguste Blanqui, que Borges cita en el prólogo de La invención de Morel y en su reseña de la biografía de Blanqui escrita por Neil Stewart:

Blanqui abarrota de infinitas repeticiones, no solo el tiempo sino el espacio infinito. Imagina que hay en el universo un infinito número de facsímiles del planeta, y en todas sus variantes posibles. Cada individuo existe igualmente en infinito número de ejemplares, con y sin variaciones. «Todo lo que se hubiera podido ser en la Tierra», afirma Blanqui, «se es en alguna parte».

Un anticipo acaso desconocido por Borges pero anterior a «El jardín…» proviene de un cuento casi olvidado: «The Legion of Time», del escritor de ciencia ficción Jack Williamson, publicado en 1938. Allí se dice que «las geodésicas tienen una proliferación infinita de ramas posibles, al capricho del indeterminismo subatómico».

Borges parece ser el primero en formular una alternativa al tiempo lineal, o al menos la más aproximada a la teoría de Everett. La otra posibilidad, la de un tiempo cíclico, tiene numerosos antecedentes en culturas arcaicas y en literaturas a las que Borges hace detallada referencia en varios escritos. Con los tiempos múltiples, la historia es diferente. Como refiere en «Nueva refutación del tiempo», incluido en Otras inquisiciones: «Hume ha negado la existencia de un espacio absoluto, en el que tiene lugar cada cosa; yo, la de un solo tiempo, en el que se eslabonan todos los hechos. Negar la coexistencia no es menos arduo que negar la sucesión» (el destacado me pertenece).

Mientras compilaba el material para este ensayo le pregunté a Bryce DeWitt, quien entonces dictaba clases en la Universidad de Texas, si tenía conocimiento de «El jardín de senderos que se bifurcan» cuando escribió el artículo de 1971 donde acuña el término «muchos mundos». Me contestó que no, que se había enterado de la existencia del cuento un año después gracias a la oportuna mediación de Lane Hughston, un físico de la Universidad de Oxford. En efecto, en una compilación editada por DeWitt y publicada en 1972 que incluye una versión ampliada del trabajo original de Everett, hay una referencia a «El jardín…». En el epígrafe también se menciona a William James, a quien Borges leyó por influjo paterno; la cita de James, extraída del ensayo «El dilema del indeterminismo», tiene resonancias blanquianas: «Las realidades parecen flotar en un mar de posibilidades más ancho que aquel de donde fueron escogidas; y en algún lugar, dice el indeterminismo, esas posibilidades existen y forman una parte de la verdad» (la traducción me pertenece).

En última instancia, ¿qué nos enseña este asombroso paralelismo? Al fin y al cabo, las coincidencias existen y a veces nos inducen a confundir correlación con causa y efecto, o similitud con representación[1]. En mi opinión, el innegable y extraordinario parecido entre los dos textos nos muestra que la mente de Borges estaba inmersa en el entramado cultural del siglo XX, en esa complejísima red cuyos componentes secretos se ramifican más allá de los límites clasificatorios de cada disciplina. La estructura de ficción razonada de los cuentos de Borges, que a veces parecen teoremas con hipótesis fantásticas, destila ideas en proceso de gestación que —antes de convertirse en teorías— hacen una bienvenida escala en la literatura. Y así como las ideas de Everett y DeWitt pueden leerse como ciencia ficción, en «El jardín de los senderos que se bifurcan» la ficción puede leerse como ciencia.

Si en aquella mañana de julio me desconcertó la respuesta de Borges, hoy la entiendo como una metáfora reveladora de lo que podemos saber sin saber que lo sabemos. Recuerdo que dijo:

¡No me diga! Fíjese qué curioso, porque lo único que yo sé de física viene de mi padre, que me enseñó cómo funcionaba el barómetro.

Lo dijo con una modestia casi oriental, moviendo las manos como si tratara de dibujar ese aparato en el aire. Y luego agregó:

¡Qué imaginativos son los físicos!

Borges y el dólar

Hay un pasaje de «El otro» que me intrigó durante décadas. Aún recuerdo la respuesta que me dio Gustavo Bravo Figueroa, mi profesor de Literatura del secundario, cuando le consulté mi duda: «Con la situación del hambre en el mundo y la posición de Independiente en la tabla, usted se preocupa por esas extravagancias, Rojo».

Sé que su frase no fue de desdén sino de estímulo, don Gustavo. Usted murió hace ya muchos años, pero seguramente le interesaría saber que hoy tengo en mis manos la respuesta.

Como todo lo que escribió Borges, el cuento no tiene un solo tema sino muchos. Tantos —y quizá sea esa la clave de su fascinación— como lectores y críticos. Para Fernando Savater, es el desdoblamiento del yo; para Emir Rodríguez Monegal, la aversión sexual; para Ezequiel de Olaso, el idealismo de Berkeley; para Helen Calaf de Agüera, lo ilusorio de la existencia; para Julie James, la memoria. A mí me gusta la idea del viaje en el tiempo.

En el cuento, dos Borges se encuentran en un banco al borde de un río. Uno cree estar a orillas del Ródano, en Ginebra, en 1918. El otro imagina hallarse sobre las márgenes del río Charles, en Cambridge, en 1969. Una discrepancia en el «ahora» y el «aquí» de cincuenta y un años y 6000 kilómetros. En el transcurso de la conversación, los dos Borges intentan dilucidar cuál es el verdadero. El más joven se pregunta cómo es posible que el más viejo no recuerde ese encuentro, y mediante esa estrategia discursiva formula la paradoja central del viaje en el tiempo.

Esa misma paradoja aparece en varios cuentos de ciencia ficción y es muy clara: supongamos que un hombre viaja hacia atrás en el tiempo y mata a su padre antes de que este conozca a su madre. En ese caso, el hombre no podría haber nacido y obviamente tampoco podría haber viajado hacia atrás en el tiempo. Si el hombre en cuestión no viaja en el tiempo, eso quiere decir que su padre «está» vivo en el pasado y que él puede nacer y efectivamente viajar en el tiempo y matar a su padre. La paradoja lógica radica, precisamente, en que cada posibilidad conlleva su propia negación. Viajar al pasado y modificarlo es alterar la red de causas y efectos. Acerca de esa contradicción, dice Borges en «La otra muerte»:

En la Suma Teológica se niega que Dios pueda hacer que lo pasado no haya sido, pero nada se dice de la intrincada concatenación de causas y efectos, que es tan vasta y tan íntima que acaso no cabría anular un solo hecho remoto, por insignificante que fuera, sin invalidar el presente. Modificar el pasado no es modificar un solo hecho; es anular sus consecuencias, que tienden a ser infinitas. Dicho sea con otras palabras: es crear dos historias universales.

¿Es, entonces, completamente imposible el viaje en el tiempo? La cosa no está tan clara. Esa pregunta siempre inquietó a Einstein, ya que la teoría de la relatividad admite ciertas soluciones donde la distinción entre el «antes» y el «después» se desdibuja en puntos muy lejanos del espacio y del tiempo. El primero en mostrarlo matemáticamente fue el lógico Kurt Gödel en 1949, aunque su solución corresponde a un universo rotante que no es el que habitamos. En 1986 Carl Sagan publicó Contact, una novela de ciencia ficción en la que describe un «agujero de gusano» [wormhole] (una de las soluciones de las ecuaciones de Einstein que conectan puntos lejanos de un mismo universo) construido por una civilización antigua para realizar viajes súperrápidos. Un año antes, Sagan, que quería mantener la física del asunto lo más rigurosa posible, había mandado un borrador de la novela a los cosmólogos Michael Morris y Kip Thorne para pedirles supervisión técnica. Incitados por la obra, Morris y Thorne encontraron los agujeros de gusano, soluciones a las ecuaciones de la relatividad que, en sus propias palabras, «son tan sencillas que nos cuesta creer que no hayan sido encontradas antes; sin embargo, no conocemos estudios previos». En respuesta a estos hallazgos, Sagan incorporó los agujeros de gusano en las pruebas de galera de la novela. Unos años después, Michael Morris, Kip Thorne y Ulvi Yurtsever publicaron un artículo en el que especulaban que, si se tenían en cuenta los postulados de la física cuántica, el viaje en el tiempo a través de los agujeros de gusano era posible, aun cuando sus implicaciones —el autoinfanticidio por ejemplo— fueran absurdas. En un trabajo de 1991, Stephen Hawking conjetura lo contrario al proponer un mecanismo al que denomina «protección cronológica», cuya función es imposibilitar el viaje en el tiempo. En el último párrafo afirma: «Hay evidencia experimental a favor de esta conjetura en el hecho de que hoy no estemos invadidos por hordas de turistas del futuro».

Otro trabajo, también de 1991, esta vez del físico David Deutsch, sugiere que sí es posible el viaje en el tiempo y, sin decirlo, lo propone dentro de la teoría de los muchos mundos de la física cuántica, la idea borgeana del ensayo anterior: en cada decisión el mundo se ramifica y en cada ramificación existimos con una historia personal diferente. Entonces, según Deutsch, el viajero podría ir hacia atrás en el tiempo y llegar a una rama de la historia distinta de aquella en la que inició su viaje. Carl Sagan es más audaz todavía y aduce que quizás los turistas del futuro de Hawking existen: que ya están entre nosotros, pero no los reconocemos.

Extrapolo esta idea y me pregunto: ¿Jorge Luis Borges, el escritor que mejor escribió sobre el tiempo, pudo haber sido un viajero del futuro? El encuentro entre los dos Borges, ¿pudo haber sido verídico? Borges se defiende de esta supuesta excentricidad en «El otro» cuando propone decidir cuál de los dos es un sueño mediante un artilugio inspirado en Coleridge («Alguien sueña que cruza el paraíso y le dan como prueba una flor. Al despertarse, ahí está la flor»). El Borges adulto le da al Borges joven un «billete americano», y el joven, un escudo de plata. «No puede ser», grita el joven, «lleva la fecha de mil novecientos sesenta y cuatro». Y luego el Borges viejo aclara que alguien, meses después, le dijo que «los billetes de banco no llevan fecha». Esa fue la pregunta que le hice a Bravo Figueroa y que siempre he querido responder.

Dado que hoy todos los billetes de dólar tienen fecha, para aclarar mi duda de una buena vez decidí contactarme con la American Numismatic Association y conseguir un billete con fecha de 1964. El trámite demoró más de un año. Fui pasando de un coleccionista a otro, hasta que por fin di con el correo electrónico de un tal Dugas Kline y compré el tan buscado billete por PayPal, a un precio bastante exorbitante. En el ínterin encontré una entrevista de Marcos Benatán en un libro de 1978, donde Borges reconoce que los dólares tienen fecha y agrega que «alguien» le había dicho que no. Pregunté mucho, pero no pude averiguar de quién se trataba. Ahora bien, como puntualiza Julie James en un artículo de 1999, en la primera edición del cuento el billete tiene fecha de 1964, pero en algunas ediciones siguientes aparece fechado en 1974. En la primera edición inglesa de «El otro», publicada en la revista Playboy en mayo de 1977, el año mencionado es 1964, y la frase «los billetes de banco no llevan fecha» está omitida.

¿Por qué Borges no cambió la frase si sabía que los billetes tienen fecha? ¿Por qué hay un cambio de fechas en las distintas ediciones? Cuando finalmente el cartero me trajo el sobre pensé que por fin aclararía mi duda. Pero sentí cierto temor, seguramente infundado, al ver que el domicilio del remitente se encontraba en la calle Endicott, en Cambridge, a metros de donde hay un banco al borde del río Charles. Palpé el sobre y pude sentir que contenía una moneda. Todavía no lo abrí.

Einstein, 1905: la ficción hecha ciencia

La verdad es siempre extraña; más extraña que la ficción.

Lord Byron

La teoría de la relatividad se aplica en su totalidad al universo de la ficción.

Jean Paul Sartre

Antes de abocarme a Einstein, haré algunos breves comentarios sobre la intersección entre el arte y la ciencia. Tomé la decisión de hacerlo porque, a mi entender, los aportes monumentales de Einstein de 1905 constituyen el foco de convergencia entre el arte y la ciencia, entre la ficción y la realidad. En particular quisiera argumentar que, en 1905, Einstein procedió en gran medida como un artista al incorporar elementos estéticos a su razonamiento, y capturar ideas que eran consideradas ficciones matemáticas por los científicos prominentes del momento (Poincaré, Lorentz, Planck), y al aceptarlas como parte del mundo real.

El concepto de «belleza» era muy importante para Einstein. Según afirmara su hijo Hans (que en 1905 era un bebé), Einstein tenía el carácter de un artista más que el de un científico en el sentido usual. Por ejemplo, su valoración de una teoría no dependía tanto de si era correcta o no como de que fuera bella. El criterio de belleza de una teoría está presente en los trabajos de muchos físicos, para quienes, en el fondo, la búsqueda de la verdad es en sí misma la búsqueda de la belleza. El astrofísico S. (Subrahmanyan) Chandrasekhar señala lo que a su entender es un hecho increíble: aquello que la mente humana, en lo más profundo, percibe como bello, encuentra su realización en el mundo externo. Paul Dirac es todavía más enfático: la belleza matemática como criterio de validez de una teoría fue para él «un tipo de religión». En el transcurso de un seminario ofrecido en Moscú en 1955, cuando le pidieron que resumiese su filosofía de la física, escribió en el pizarrón con mayúsculas: «LAS LEYES DE LA FÍSICA DEBEN TENER BELLEZA MATEMÁTICA». Esa parte del pizarrón esta todavía en exhibición en la Universidad de Moscú.

Estas observaciones inevitablemente suscitan la objeción de que la belleza es subjetiva, mientras que el criterio de validez de una teoría física radica en su acuerdo objetivo con el experimento. De hecho, algunas teorías de las partículas subnucleares de los años sesenta —a pesar de su atractivo estético superficial— resultaron tener muy poco en común con la realidad. El propio Einstein, en su libro Cómo veo el mundo (publicado en 1920), señaló que el experimento es «el único criterio de utilidad física de una construcción matemática». En otras palabras, una teoría puede ser muy elegante o sofisticada, pero si no hay un experimento que la verifique, no será aceptada. En el extremo opuesto de este contrapunto se encuentra la denominada «teoría de medida» de la gravitación, del físico Hermann Weyl. Poco después de presentarla, Weyl tuvo la irrefutable certeza de que su idea era incorrecta como teoría de la gravitación, pero como era tan bella no estaba dispuesto a abandonarla. El físico Freeman Dyson cuenta que, años después, Weyl le dijo: «en mi trabajo siempre traté de unir lo bello con lo verdadero; pero cuando tuve que elegir entre uno y otro, siempre elegí lo bello». El ejemplo de la teoría de medida (o invariancia de medida) es peculiarmente esclarecedor porque, mucho después, la intuición de Weyl resultó correcta y su teoría fue incorporada en la electrodinámica cuántica.

La ciencia y el arte, la física y la poesía sirven a una misma divinidad, e íntimamente persiguen un mismo propósito: la fe en las verdades de la naturaleza. Para Coleridge, esa fe poética se constituye en el «suspenso de la incredulidad», ese instante privilegiado en que el espectador acepta la ficción como realidad. Nuestra incredulidad está en suspenso cuando nos conmueve una música, un poema o una película. Si nos aterroriza una escena de Drácula o lloramos la muerte de Jean Valjean en Los miserables, es porque nos entregamos al mundo ilusorio de la ficción y lo aceptamos como una realidad. Y este es, precisamente, el punto de intersección entre el arte y la ciencia en el que quisiera detenerme: el del encuentro entre la ficción y la realidad, y su corporización en los trabajos de Einstein de 1905.

En el primero de los trabajos, titulado «Un punto de vista heurístico sobre la producción y la transformación de la luz» y enviado en marzo a la revista Annalen der Physik, Einstein propone una nueva visión sobre la estructura de la luz. Es interesante que lo defina como heurístico, puesto que la heurística es el arte de inventar y etimológicamente deriva de euriskein, cuyo pretérito perfecto es eureka. En este trabajo —el único al que, con júbilo pero sin la euforia de Arquímedes, consideró revolucionario— Einstein propuso dos nuevos elementos. En primer lugar, la hipótesis de la «luz cuántica», según la cual la luz tiene una estructura granular en la que los «granos» no serían municiones de materia en el sentido usual, sino entidades que él llama «cuantos»: paquetes con cantidades fijas de energía que luego serían denominados «fotones». El segundo punto, el gran paso revolucionario que Einstein consideró heurístico, consiste en estimar que cuando la luz se emite o se absorbe lo hace en cantidades fijas, del mismo modo que los automóviles salen de a uno de la planta de fabricación y llegan de a uno a los concesionarios de venta, pero nunca llegan o salen en fracciones de automóvil. El trabajo contiene varias predicciones, entre ellas la ley del efecto fotoeléctrico, confirmada por experimentos posteriores.

Un rasgo curioso de la visión del gran Albert es que la energía de esas municiones depende del color o de la frecuencia de la luz. Un fotón de luz azul tiene más energía que uno de luz roja y mucho menos que uno de rayos X, que es luz invisible de alta energía y que a su vez tiene mucha menos energía que un fotón de un rayo gamma. Y aquí aparece un mecanismo de interacción entre la luz y la materia que no figuraba en el manual de instrucciones de la luz antes de Einstein. Para arrancar un electrón de un átomo, como quien corta una naranja de un árbol, se necesita un fotón ultravioleta. El átomo es inmune a los fotones de menor energía: directamente no los absorbe. Y en esto radica la clave cuántica de la absorción: un solo fotón ultravioleta puede arrancar una naranja (un electrón) de un bosque de naranjos (átomos), mientras que millones de fotones infrarrojos —los de más baja energía— jamás lograrán equiparar esa hazaña. Cuarenta alumnos de jardín de infantes arrojan piedras al río, pero ninguno logra hacer caer la suya en la otra orilla. La maestra, que además es buena lanzadora de jabalina, arroja su piedra por primera y única vez, y la piedra cruza grácilmente el río para aterrizar en la margen opuesta. La física de los fotones es el contraejemplo microscópico del famoso lema «la unión hace la fuerza»; en este caso emblemático, lo que no puede un fotón tampoco lo pueden muchos.

Ahora bien, la idea de la división de la energía de la luz en cantidades fijas de energía es anterior a Einstein. En 1900, Max Planck, estudiando la distribución de energía entre los distintos colores emitidos por un cuerpo incandescente, propuso dividir la energía irradiada en cantidades enteras. Bajo esta suposición llegó a una fórmula que se ajustaba perfectamente al experimento. Sin embargo, para Planck, la interpretación de esas cantidades enteras no estaba clara. La introducción de esas cantidades (los cuantos) fue, en sus propias palabras, un «acto de desesperación» y trató de acomodarlos repetidas veces y hasta con obstinación dentro de la física clásica. Fracasó en el intento. Dentro de la física clásica no hay manera de incorporar este pixelamiento de la energía: no hay ninguna razón para que una persona que se hamaca en un columpio solo pueda aumentar la amplitud de su oscilación de a saltos. En su discurso de aceptación del Premio Nobel, que le fuera otorgado en 1918, Planck afirmó con elocuencia:

El fracaso de este intento me enfrentó a un dilema: o los cuantos eran magnitudes ficticias y, por lo tanto, la deducción de la ley de la radiación era ilusoria y un simple juego con las fórmulas, o en el fondo de este método hay un verdadero concepto físico. [… ] La experiencia decidió por la segunda alternativa. [… ] El primer avance en este campo fue hecho por Albert Einstein [los destacados me pertenecen].

Con refinamiento conceptual, Einstein propuso los cuantos —que hasta entonces existían en forma de ficciones matemáticas— y los aceptó como parte del mundo real.

El segundo trabajo versa sobre el llamado movimiento browniano. El fenómeno al que refiere es el movimiento errático de partículas pequeñas pero perceptibles a simple vista. En el caso de las primeras observaciones de partículas orgánicas suspendidas en líquidos que se movían repentina e impredeciblemente de un lado a otro se pensó en algún tipo de fuerza vital. Pero en 1827 el botánico Robert Brown (y el fisiólogo holandés Jan Ingenhousz antes que él) observó el mismo movimento en partículas inorgánicas y empezó a imponerse la idea de que ese discurrir azaroso se debía al choque constante con partículas mucho más pequeñas, átomos y moléculas invisibles. Claro que Brown no fue el primero en plantear la hipótesis de la consecuencia visible de una causa invisible. Siglos antes Lucrecio, en Sobre la naturaleza de las cosas (De rerum natura), al describir el movimiento de las partículas de polvo que se ven cuando el sol entra en una habitación había hablado de átomos y había propuesto: «Su baile es un indicio de movimientos subyacentes de materia escondidos de nuestra vista» —el movimiento browniano debería llamarse, colijo, movimiento lucreciano—. Sin embargo, aun en tiempos de Einstein, los átomos no tenían carnet de identidad en el mundo real. Para figuras como el filósofo Ernest Mach y el químico Wilhem Ostwald, los átomos no eran sino entidades ficticias. «Si la creencia en la realidad de los átomos es tan importante para ustedes», dice Mach, «entonces me desvinculo del modo de pensar de los físicos». Y Ostwald, por su parte, habla de la hipótesis atómica como «apenas un medio para describir lo que sabemos de las sustancias. Pero, de la naturaleza “real” de la materia, somos completamente ignorantes». Esto fue así hasta que Einstein publicó su trabajo con predicciones muy precisas del movimiento browniano —una especie de «dime cómo te mueves y te diré cómo te empujan»— y terminó convenciéndolos a todos de la visión atomística. Poincaré, uno de los escépticos notables, capituló en 1908: «Los átomos han dejado de ser una mera ficción útil; ahora podemos decir que los vemos porque podemos contarlos».

El tercer trabajo, publicado en junio de 1905, se ocupa de la teoría de la relatividad, con la que el público masivo asocia a Einstein. El artículo, uno de los logros intelectuales más importantes de la humanidad, comienza con una frase de contundente impronta estética:

La electrodinámica de Maxwell, aplicada a cuerpos en movimiento, conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes al fenómeno.

No la verán en señaladores de libros color púrpura ni en afiches con atardeceres impresos, pero su contenido estético refleja la preocupación de Einstein por la falta de simetría de la teoría de Maxwell. La preferencia por la simetría es de carácter estético. En principio, no hay ninguna razón para que las teorías válidas tengan una propiedad —la simetría— que nos resulte agradable: ese planteo habita la intersección misma del arte con la ciencia.

La asimetría a la que alude la frase puede ilustrarse con un simple experimento, que Einstein describe en el párrafo siguiente del artículo.

Allí nos recuerda que, en la visión del espacio que se aceptaba en aquellos días, existía algo llamado éter, una especie de sustancia invisible que poblaba el espacio: el vacío no era vacío sino que estaba lleno de éter. Y las vibraciones de esa sustancia eran la luz. Pero lo importante de este postulado es que, al haber una sustancia de referencia, puede hablarse de reposo absoluto de un objeto: algo está verdaderamente quieto si no se mueve respecto del éter, y está en movimiento si se desplaza respecto del éter. El experimento que propone Einstein es mover un imán cerca de un lazo de alambre quieto —quieto respecto del éter—. Resultado: se genera una corriente en el lazo de alambre. Si, en cambio, el imán esta quieto (quieto respecto del éter) y el lazo de alambre está en movimiento, la misma corriente circula por el alambre. Según la teoría de Maxwell, estos dos fenómenos son físicamente distintos; en uno el imán está en reposo y en el otro el imán está en movimiento respecto del éter. En la teoría de Maxwell, «coincidentemente», ambos fenómenos corresponden al mismo valor de la corriente pero se usan explicaciones y ecuaciones diferentes. Para Einstein esta asimetría —dos ecuaciones distintas que dan un mismo resultado— era inaceptable: si la corriente es la misma en ambos casos, entonces debe tratarse del mismo fenómeno visto desde perspectivas diferentes, desde distintos sistemas de referencia, y la idea del éter es superflua. Si el éter no existe, no existe el reposo absoluto; al fin y al cabo, si algo está quieto, debemos decir en relación con qué está quieto. Todos los sistemas de referencia que se mueven a velocidad constante uno respecto del otro, prosigue Einstein, son entonces equivalentes. Luego agrega un segundo postulado: la velocidad de la luz es la misma, independientemente de la velocidad de la fuente que la emite. A partir de dos enunciados, tan sencillos como audaces, Einstein nos conduce por un camino de lógica impecable hasta llegar a la conclusión de que el tiempo, el tictac del reloj, no es un fenómeno absoluto: si Alicia y María tienen relojes idénticos y Alicia pasa en bicicleta muy rápido cerca de María, María ve que el tictac de su reloj es más rápido que el de Alicia, y Alicia ve que el tictac de su reloj es más rápido que el de María.

Pero ¿cuánto más rápido? Einstein deduce las ecuaciones, que indican que para que la diferencia sea perceptible Alicia tiene que moverse a una velocidad cercana a la de la luz. Lo llamativo es que esas ecuaciones existían antes del trabajo de Einstein, lo cual nos conduce de nuevo a la intersección entre ficción y realidad. En 1895, el físico holandés Hendrik A. Lorentz, con el objeto de explicar unos experimentos de Michelson y Morley, dedujo unas ecuaciones (idénticas a las de Einstein) en las que el tiempo aparecía como una variable matemática que dependía de la velocidad y la posición. Lorentz distinguía entre un «tiempo verdadero» (el que mide un reloj en reposo en el éter) y un «tiempo local», que depende del lugar donde ocurre un evento. El punto crucial radica en que, para Lorentz, el tiempo local era una especie de ficción matemática sin realidad física, algo cercano a la idea que Mach y Ostwald tenían de los átomos. Para Lorentz, el tiempo es el tiempo, y no puede correr más rápido o más lento según el lugar donde uno esté o cuán rápido se mueva. Einstein, en cambio, acepta esa ficción como realidad y la incorpora a su universo relativista: el tiempo depende del estado de movimiento.

El cuarto trabajo, escrito en setiembre, contiene la ecuación más famosa de la historia de la ciencia: en ella Einstein propone la equivalencia entre la inercia (o la masa M de un cuerpo) y su contenido de energía E. De nuevo, Einstein no es el primero en anotar esta ecuación. En 1900 Poincaré había publicado un trabajo no muy conocido donde había escrito la célebre ecuación partiendo del hecho de que la luz ejerce presión sobre los objetos. Una vez más aparece, textualmente, la idea de ficción. Dice Poincaré: «Podemos considerar a la energía electromagnética como un fluido ficticio [fluide fictif]» con una masa y una energía propias, de tal modo que la energía es igual a la masa por la velocidad de la luz al cuadrado. Para Einstein esa ecuación deja de ser ficticia: la incorpora, la admite en el mundo real y descifra así un acertijo de la naturaleza; devela una clave que, en aquel momento, llevó al descubrimiento de las transmutaciones nucleares y cuarenta años después condujo a una trágica aplicación práctica.

En los trabajos más importantes del año admirable de Einstein confluyen la realidad y la ficción de un modo que no tiene precedentes en la historia del conocimiento. Esa confluencia solo es posible cuando la imaginación desdibuja los límites entre disciplinas como la ciencia, la filosofía y el arte, y cuando el pensamiento y la búsqueda de la verdad se conciben como una actitud única. ¿Por qué razón la simplicidad, la simetría y la belleza son cualidades que caraterizan a las teorías correctas? Ese es un gran misterio en cuya solución quizás haya ecos de la «Oda a una urna griega» de John Keats, que, en traducción de Julio Cortázar, dice:

«La belleza es verdad y la verdad belleza»…

Nada más

se sabe en esta tierra,

y no más hace falta.

Tertium organum

Entré en la Biblioteca Nacional buscando una clave y me fui con muchísimo más. Mi intención era rastrear anotaciones de Borges en los libros que posiblemente leyó mientras era bibliotecario. José Edmundo Clemente había intentado disuadirme insistiendo en que Borges jamás anotaba sus reflexiones en libros que fueran propiedad de la Biblioteca. De modo que decidí convencerme por mí mismo. O quizás refutarlo descubriendo algún comentario o nuevo indicio de influencias y llegando así a saber (por un momento al menos) algo sobre Borges que nadie sepa. Me impulsó además el vago recuerdo de un comentario de Alejandro Vaccaro sobre un proyecto de estudio sobre libros con anotaciones de Borges.

Me interesaba en particular el Tertium organum, de Peter D. Ouspensky, cuyo esoterismo es el germen de numerosas alusiones científicas borgeanas y, quizás, de su defensa de conjeturas insostenibles. Busqué en las computadoras del quinto piso (de las ocho, solo funcionaban cuatro) y se me aceleró un poco el pulso al comprobar que, entre varias ediciones en castellano relativamente recientes, se encontraba la traducción al inglés —publicada en 1939— de Claude Bragdon. Bragdon es el autor de ABC de la cuarta dimensión, que comienza diciendo: «La línea [… ] producida por la traslación de un punto, contiene un número infinito de puntos. El cuadrado [… ] producido por la traslación de una línea [… ] contiene un número infinito de líneas». El comienzo —coma más, coma menos— es casi idéntico al de «El libro de arena». Pero Borges le debe algunas cosas más a Ouspensky.

Anoté mi pedido y esperé unos minutos hasta que mi nombre apareció en unos televisores, lo que indicaba que el libro me esperaba en el mostrador. Dejé mi mochila en un casillero y entré en la sala de lectura con mi laptop y mi libreta. Sobre una de las mesas, cerca de los grandes ventanales, deslicé el libro bajo el círculo de luz que proyectaba una de las tantas «lámparas estudiosas». Lo abrí con cuidado. Tenía un sello rojo, circular: «Biblioteca Nacional, Buenos Aires, 20 de marzo de 1941». Lo fui recorriendo, hoja por hoja, prestando atención en los lugares clave. El libro estaba en perfecto estado de conservación.

Página 108, segundo párrafo: «El animal no está en una posición para entender que el sol es el mismo ayer que hoy». Compárese con «Funes el memorioso» (publicado en 1942), a quien «le molestaba que el perro de las tres y catorce (visto de perfil) tuviera el mismo nombre que el perro de las tres y cuarto (visto de frente)». Pero no había anotaciones que permitieran rastrear las lecturas de Borges.

Página 122: «Nuestro lenguaje es absolutamente inadecuado para la expresión espacial de las relaciones temporales. [… ] El lenguaje para la transmisión de las nuevas relaciones temporales debe ser un lenguaje sin verbos». Y en «Tlön, Uqbar, Orbis Tertius» (cuyo título alude al de Ouspensky), el mundo «no es un concurso de objetos en el espacio [… ]. Es sucesivo, temporal, no espacial». En el hemisferio sur no hay sustantivos. En el hemisferio norte, «la célula primordial no es el verbo, sino el adjetivo monosilábico». Una vez más, las anotaciones brillaban por su ausencia.

Pero más adelante, antes de llegar al momento en que Ouspensky habla de objetos que pueden existir fuera del tiempo y del espacio y, a raíz de ello, ocupar el mismo lugar y existir simultáneamente (la idea aparece claramente reflejada en «El jardín de senderos que se bifurcan», en «El Aleph», en los ya míticos tigres borgeanos que son a un mismo tiempo todos los tigres, y luego en la física cuántica), se produjo el milagro: casi adherida a la página, una hoja de cuaderno, de papel cuadriculado, con la caligrafía de Borges. Sentí que me faltaba el aire. Miré a mi alrededor. Nadie me miraba. Era un soneto perfecto, inolvidable, sobre el amor, el tiempo y la memoria, con la precisión y la música del mejor Borges. ¿Y ahora qué hago?, me dije. ¿Cuántas hectáreas de soja puede valer en Christie’s un manuscrito inédito de Borges? ¿Lo publico como propio? ¿Lo conservo como herencia ilícita para mis nietos? Releí el soneto hasta memorizarlo. Lo despegué con furtiva cautela y lo metí dentro de mi libreta.

«¿Quién fue el último en consultar este libro?», pregunté en el mostrador. «No guardamos esa información», contestó el empleado. Saqué la mochila del casillero y bajé las escaleras en un estado casi alucinatorio. En el Café del Lector, donde hay Wi-Fi, introduje el texto en Google y en la base de datos de mi universidad. El poema no existía. Pedí un café cortado y, en el preciso instante en que la moza apoyó el pocillo sobre la mesa, empezó a diluviar en Buenos Aires. Era el miércoles 21 de mayo de 2008.

Miré la lluvia mientras repetía el soneto en voz baja, degustándolo, haciéndolo mío. Entonces descarté lo obvio y elegí el más egoísta y simple de los caminos de posesión: la exclusividad de la memoria. Saqué el soneto oculto entre las páginas de mi libreta, lo apoyé sobre la palma de mi mano, salí a la plaza que circunda la Biblioteca Nacional y lo expuse a la lluvia. La tinta se desdibujó rápidamente y el papel, ya frágil y quebradizo, se disolvió bajo el agua.

Epílogo, 2011

Mis amigos Carlos Balseiro y Guillermo Martínez intentaron explicar mi acaso desatinada acción como un gesto de lealtad borgeana, diciendo que el soneto, que nadie conoció, era malo. Más tarde, el 18 de agosto de 2010, recibí un correo electrónico de Germán Álvarez desde la Sala del Tesoro de la Biblioteca Nacional. En el mismo momento en que yo indagaba el Tertium organum, en otro piso de la Biblioteca, Álvarez y Laura Rosato compilaban anotaciones de Borges en libros donados por él en 1973. En la guarda posterior del volumen 11 del Compendio de disputas religiosas, de Christian Wilhelm Franz Walchs, de 1773, habían encontrado un poema desconocido de Borges. Los primeros versos, de dudoso valor, dicen:

La esperanza

como un cuerpo de niña

aún misterioso y tácito.

El castigo en el cielo

La mordedura en el círculo blanco de la Luna empezó a definirse a eso de las 4:55, hora de Michigan. El despertador de mi lado de la cama había sonado a las 4:45 y lo había apagado de inmediato para no despertar a Andrea. En cambio desperté a mi hijo Fernando, de 11 años, para que juntos viéramos el eclipse.

Nos sentamos en sillas de mimbre en la vereda y, hablando bajito para no molestar a los vecinos, acomodamos sobre el pasto un trípode y una cámara Kodak familiar, más apropiada para registrar cumpleaños que para eventos astronómicos. A eso de las 5:20, la mordedura ya había bajado y era un arco de círculo que dividía el disco de la Luna: la parte inferior iluminada, la superior completamente a oscuras. Fernando y yo ya habíamos sacado las primeras fotos. Y cada tanto Fer —preocupado por el buen descanso de los vecinos— me indicaba que bajara la voz, sobre todo cuando le explicaba por qué la mordedura tiene forma circular: porque es la sombra que la Tierra proyecta sobre la Luna. En un hipotético mundo en que la Tierra fuera plana, la Luna eclipsada, cortada por una línea recta, se parecería a un cuenco que derrama un líquido iluminado.

Acto seguido, le mostré cómo prolongar el arco de sombra hasta completar un círculo cuyo radio es unas tres veces más grande que el de la Luna. En realidad, la Tierra es unas tres veces y media más grande que la Luna; la discrepancia se debe a que la sombra es levemente cónica y no cilíndrica. ¿?, me interrogó Fer con la mirada. Entonces le propuse que imaginara un cono, un cucurucho de helado. Y que pusiera una uva dentro del cucurucho. Fuera de escala, la uva sería la Tierra. Luego había que poner una pelota de golf, que sería el Sol. La región dentro del cucurucho, entre la uva y el vértice del cono, sería la sombra de la Tierra. Si la Luna fuera un arándano que gira alrededor de la uva, en el momento en que el arándano tocara el cucurucho (y lo atravesara) empezaría el eclipse.

Lo importante es que la forma de la sombra indica algo que Aristóteles anotó en De caelo y que José Arcadio Buendía descifró gracias a los enigmáticos instrumentos de Melquíades en Cien años de soledad: la Tierra es redonda como una naranja. Fer se sorprendió un poco. Algo había escuchado decir acerca de Colón y la redondez de la Tierra. Aproveché para señalar que, en tiempos de Colón, toda persona medianamente cultivada sabía que la Tierra era redonda. El consenso entre los historiadores es que Colón se equivocó al interpretar mediciones antiguas del radio de la Tierra, pero que no tenía dudas sobre su esfericidad.

En su cuarto viaje, con su barco averiado, Colón llevaba más de un año varado en el territorio que luego sería Jamaica. Tiempo suficiente para que los nativos, amotinados debido a los abusos de los tripulantes españoles, se negaran a traerles comida. Con astucia, Colón recurrió a la erudición de sus almanaques: el 29 de febrero de 1504 habría un eclipse de Luna. Un día antes reunió a los caciques y, a través de un indio «ladino en nuestra lengua», les comunicó su mensaje: Dios estaba enojado con ellos, y Colón y sus tripulantes habían llegado mandados por Él, puesto que quería —refiere Bartolomé de las Casas— que viesen «de su castigo en el cielo cierta señal». Esa noche verían salir la Luna «muy enojada y de color de sangre». Una vez finalizado el sermón, algunos se retiraron con temor, otros burlándose. Pero al comenzar el eclipse el miedo los ganó y volvieron dando gritos, cargados de comida, «rogando al Almirante que rogase a su Dios que no estuviese contra ellos enojado». Un circunspecto Colón les respondió que necesitaba hablar con Dios y se encerró en sus habitaciones mientras la Luna se oscurecía. Sabía que el eclipse duraría dos horas y media (el equivalente a cinco «ampolletas» del reloj de arena). Cuando la creciente empezó a menguar, Colón salió de sus aposentos diciendo que Dios los perdonaba y que, en señal de ello, verían que se iba quitando «el enojo de la Luna».

Augusto Monterroso adaptó este episodio en su cuento «El eclipse»: cambió el final y trasladó la acción a Guatemala, donde los mayas, a diferencia de los habitantes de Jamaica, tenían profundos conocimientos de astronomía. El protagonista, fray Bartolomé Aráosla, condenado por los indios, pretende engañarlos diciendo que si lo matan se oscurecerá el cielo (anticipando en este caso un eclipse de sol). Aráosla es ejecutado mientras los indígenas repiten las fechas de los eclipses que los astrónomos mayas habían «anotado en sus códices sin la valiosa ayuda de Aristóteles».

Los dos eclipses expresan dos caras dramáticas de la luz y de la oscuridad. Dentro de la sombra, los rayos del Sol, refractados por la atmósfera terrestre, proyectan sobre el disco de la Luna la luz tenue de un atardecer rojizo: «el color de sangre» que menciona De las Casas. Incluso, como pudimos ver con mi hijo aun antes del eclipse total, si nos movíamos de modo que las hojas de los árboles taparan parte del área iluminada, se apreciaba el color rojizo de la zona oscura.

En el eclipse de Sol, el cielo se oscurece porque la Luna se interpone entre el Sol y la Tierra. Pero como la Luna es más pequeña que la Tierra, la sombra que proyecta no alcanza a tapar a esta última por completo. Más aún, así como la sombra de la Tierra sobre la Luna es más pequeña que la Tierra, la sombra que la Luna proyecta sobre la Tierra es de apenas unos 270 kilómetros. Por eso los eclipses de Sol —a diferencia de los de Luna, que se ven en todo el planeta— solo se ven en algunos lugares. Y por eso duran apenas unos pocos minutos. Algunos días antes, los argentinos habían visto un eclipse parcial de Sol que no fue visible en el hemisferio norte. «Qué suerte tienen», dijo Fer.

A eso de las 6:00, mi hijo volvió a la cama y yo me quedé escuchando el informativo argentino por internet. A la hora del desayuno, Andrea se quejó: «Cómo tardaron anoche…». Y enseguida preguntó: «Los eclipses de Sol son más cortos ¿no?». Cuando quise explicarle el porqué, Fer me amonestó con un gesto inequívoco que imploraba: «¡No empieces, papi!».

Teletransporte

—Una grande de mozarella y seis empanadas de pollo, Marquitos.

—Cómo no, señora. ¿Delivery común o teletransporte?

—Común, común. El teletransporter me anda fallando,

¿sabés? Voy a tener que comprarme el importado.

La escena, obviamente ilusoria, transcurre en un futuro hipotético en el que una tecnología improbable, el teletransporte, es de uso cotidiano. Improbable pero —ahora lo sabemos— no imposible. Los que han tenido ocasión de ver La mosca (en cualquiera de sus dos versiones) o recuerdan al capitán Kirk en Viaje a las estrellas ordenando «Energize» y activando así el transporter (la máquina de teletransporte a bordo del USS Enterprise) reconocen la idea: un cuerpo desaparece en un lugar y reaparece en otro. Es el tema central de Jumper, dirigida por Doug Liman, en la que David (Hayden Christensen), el superhéroe de la película, adolece de una fascinante anomalía genética: con solo pensarlo puede transportarse instantáneamente de un lugar a otro.

A pesar de que las críticas fueron poco generosas con ella, me interesé por la película: por un lado, porque algunas escenas están filmadas en Gallup Park, un parque a orillas del río Huron, a una distancia fácil de cubrir caminando desde mi casa en Ann Arbor. Pero sobre todo, después de haber leído un artículo en el New York Times sobre el preestreno en un salón del Massachussets Institute of Technology (MIT) y haber asistido al debate que tuvo como protagonistas a Liman, Christensen y los físicos Edward Farhi y Max Tegmark, ambos expertos en aquellas ramas de la física supuestamente relevantes para la trama. En la función estaba también Warren Betts, el publicista que respaldaba el proyecto, quien refirió su entusiasmo por la idea después de que un físico del California Institute of Technology le dijera que el teletransporte era una realidad en el enigmático mundo de la mecánica cuántica.

La esperable conclusión del encuentro fue que el teletransporte, en su versión actual, tiene poco que ver con la película. En cambio, hubo acuerdo entre los físicos respecto de que las buenas ficciones son invitaciones a la imaginación científica y a la reflexión sobre la verdadera imposibilidad de ciertas propuestas fantásticas. Me vino a la memoria un ensayo que me cautivó en la adolescencia, «Contracción increíble», en el que Isaac Asimov desmenuza las imprecisiones científicas de la película Viaje fantástico. Un diplomático está a punto de ser asesinado. Para salvarlo, se reduce un submarino a tamaño microscópico. El submarino así contraído es inyectado en el flujo sanguíneo del diplomático con toda su tripulación a bordo —uno de cuyos integrantes es, nada menos, Raquel Welch—. En un entretenido análisis Asimov muestra la imposibilidad de esa contracción, entre otras cosas, porque el submarino estaría sujeto al bombardeo errático de átomos de tamaño comparable al submarino mismo (en el capítulo «Einstein 1905, la ficción hecha ciencia», explico el movimiento browniano). Con el teletransporte la situación es distinta: se trata antes de una improbabilidad que de una imposibilidad, y por lo tanto insinúa un pasaje comunicante bajo la divisoria de aguas entre la ciencia y la ficción.

La tecnología nos invita a extrapolar realidades. Si hoy somos capaces de mandar un fax o escanear una foto y «teletransportarla» por correo electrónico a otro lugar casi al instante, ¿llegará el día en que podamos hacer lo mismo con una persona o una porción de pizza? Observemos la situación con mayor detenimiento. Cuando enviamos un fax, lo que mandamos es una copia, un facsímil, y nos quedamos con el original. Con el teletransporte, tal como ocurre en Jumper u otras variantes de ciencia ficción, la intención es teletransportar el original. El transporter, a la manera de algunos episodios de Viaje a las estrellas, por ejemplo, sería una especie de escáner en el que el original desaparece y se convierte en energía. Esa energía es enviada, de algún modo, a otro lugar, donde se reconstruye en materia para conformar una copia idéntica, átomo por átomo, del original. Y aquí aparecen varias objeciones.

La primera, bajo el cartel más luminoso de la física: E = mc². En este caso, lo que la fórmula está diciendo es que al convertir a un ser humano de 70 kilogramos de peso en energía se liberaría un equivalente a miles de bombas de hidrógeno: no olvidemos que menos de un gramo de materia convertida en energía destruyó la ciudad japonesa de Hiroshima. En otras palabras, esa versión del transporter es impracticable.

La segunda alternativa sería, a la manera del fax, transportar la información de la configuración atómica precisa de un ser humano determinado e idear algún método que permita reconstruirlo físicamente en otro lugar. Esta alternativa está expuesta a dos objeciones. La primera es de orden cuantitativo y la segunda atañe a algo más fundamental. En su libro La física de «Viaje a las estrellas», Lawrence Krauss estimó el número de discos rígidos (de mil gigabytes) necesarios para codificar a un ser humano y obtuvo una pila de 100 años luz de altura. Varios lectores objetaron su estimación, pero sin reducir la altura de esa pila a algo práctico. La segunda objeción tiene que ver con la llamada mecánica cuántica: a nivel microscópico, es imposible extraer información del estado de los componentes atómicos sin alterar su estado. Pero lo más interesante de esta historia es que en 1993 un grupo de físicos teóricos del laboratorio de IBM encontró un vericueto cuántico que, «destruyendo» la información del original, permite teletransportar la información completa hacia una partícula microscópica. La limitación del teletransporte sería entonces cuantitativa y no fundamental.

Supongamos un futuro en el que la información completa de Carolina X es enviada casi instantáneamente de la zona de Tribunales al barrio de Palermo, donde es reconstruida, átomo por átomo, a su configuración original. ¿Se trata de la misma Carolina X o de una mera reproducción? ¿Está toda la identidad de Carolina X contenida en sus átomos? Antes de empezar a escribir este artículo intercambié unos mensajes con Juan Pablo Paz, físico de la UBA con reputación internacional en información cuántica. Juan Pablo me refirió una anécdota de un seminario de Asher Peres, uno de los autores del famoso trabajo del grupo de IBM. Alguien del público le preguntó si había alguna esperanza de teletransportar «el alma» además del cuerpo. Asher respondió con una ironía: «Nosotros solamente teletransportamos el alma, al cuerpo simplemente lo transportamos». Lo que Asher estaba insinuando es que el método de teletransporte cuántico involucra el envío de información, no de materia. En nuestro ejemplo, esa información se usaría para reconstruir a Carolina X en el barrio de Palermo con átomos distintos de los que la constituían en la zona de Tribunales. Nuestra identidad está en el orden, en la configuración de la materia que nos constituye, y no en la materia misma.

En la leyenda griega, después de matar al Minotauro, Teseo vuelve a Atenas en un barco que los atenienses preservaron durante mucho tiempo después de su muerte. A medida que el barco se deterioraba, reemplazaban el entablado, siempre procurando que su aspecto fuera indistinguible del original. Al cabo de los años, cada componente del barco era distinto del inicial. ¿Era el mismo barco?, se preguntaron los filósofos. Para unos, la identidad del barco estaba en su forma; para otros, en su materia —palabra cuya etimología proviene, justamente, de «madera»—. Si pensáramos en un barco en el que se reemplazó cada componente, átomo por átomo, diríamos, en lenguaje actual, que la identidad está en la forma. Nuestro cuerpo, como el barco de Teseo, es una estructura de células que se descartan y reemplazan. Creamos una nueva piel cada dos semanas, un hígado cada año y medio, y nuestro esqueleto se renueva cada diez años. Si bien con las neuronas el tema se vuelve controvertido, es lícito afirmar que al momento de morir seamos reproducciones de nosotros mismos en la juventud.

La cuestión de la identidad es más que filosófica; es uno de los ejes de la mecánica cuántica: las partículas elementales —los constituyentes de los átomos— son absolutamente indistinguibles una de otra. Cada átomo de carbono del lector es idéntico a cada uno de los míos; cada electrón carece de individualidad. Todavía más: en el mundo cuántico cada partícula microscópica no solo es indistinguible de las demás sino que, de un modo peculiar, es indistinguible de sí misma. Un electrón dentro de un átomo existe simultáneamente en infinitos lugares cerca del núcleo atómico, y esos infinitos mellizos, al ser detectados, es decir, observados, se constituyen en uno solo. Esta propiedad enigmática ha sido caricaturizada en la siguiente alegoría, en la que en lugar de infinitas posibilidades para la ubicación del electrón, un cubo está a la vez en dos estados posibles: A y B.

Después de un momento, nuestra mente se «engancha» con una de las dos perspectivas del cubo, A o B. Ese «engancharse» sería, a grandes rasgos, la detección, la transición desde la multiplicidad (dos en este caso) hacia un estado definido.

Ahora tomemos dos cubos de tal modo que, si bien antes de la medición ignoramos la perspectiva de cada uno, no obstante sabemos que tienen perspectivas opuestas:

Antes de la medición, los cubos 1 y 2 se encuentran «entrelazados»; en otras palabras, están simultáneamente en las dos posibilidades, en sus dos identidades, pero cada uno está en la posibilidad/identidad opuesta respecto del otro. Y si medimos el estado de uno de ellos, de inmediato conoceremos el estado del otro. El entrelazamiento cuántico es un concepto que no tiene equivalente en nuestra intuición cotidiana, y es lo que diferencia la física cuántica de la clásica: en la física de Newton no hay entrelazamiento: cada cubo está o en A o en B, no en ambas perspectivas a la vez.

El primer experimento de teletransporte cuántico, realizado en 1997 y basado en la idea del grupo de IBM, recurre al entrelazamiento para teletransportar, no un cubo, sino un fotón: un átomo de luz que, al igual que el cubo, puede hallarse en dos «perspectivas» mutuamente excluyentes; esa propiedad se conoce como polarización de la luz.

Digamos que queremos teletransportar un cubo (un fotón) que se encuentra en la zona de Tribunales mandando la información de su estado al porteño barrio de Palermo. El estado del cubo (llamémosle cubo X) en Tribunales es una superposición de A y B, digamos, 30% de A y 70% de B. Pero nosotros ignoramos la información de esos porcentajes; si lo midiéramos, el cubo pasaría a estar o en A o en B y de ese modo destruiríamos la información. La única solución radica en recurrir a otros dos cubos: llamémoslos T y P. Lo primero es prepararlos en un estado de entrelazamiento, como en el caso de los dos cubos que debatimos antes, y transportar (no teletransoportar) el cubo P al barrio de Palermo preservando su entrelazamiento con T. Aunque parezca mentira, es posible tener dos fotones entrelazados a distancias grandes. En un experimento de teletransporte realizado en Viena en 2004 se usaron fotones entrelazados a 600 metros de distancia mediante una fibra óptica tendida por debajo del río Danubio. El segundo «pase mágico» consiste en entrelazar el cubo X con el T, los dos en la zona de Tribunales. Como resultado de ese nuevo entrelazamiento, el estado del cubo que se encuentra en Palermo cambia instantáneamente. En el tercer paso, un observador realiza una medición sobre el estado entrelazado de X y T en Tribunales y le comunica el resultado de esa medición, por teléfono, a un observador en Palermo. El estado de X se destruye en el proceso, pero munido de esa información el observador situado en Palermo estará en condiciones de hacer una operación sobre el cubo P, sin medirlo: por ejemplo, rotarlo sobre su eje de modo tal que el cubo localizado en Palermo pasa a encontrarse en exactamente el mismo estado cuántico en que se encontraba el cubo X: en otras palabras, se completó el teletransporte.

¿Sería posible extender esto a la enormidad de átomos que componen a Carolina X o a una porción de pizza? Para teletransportar una pizza a la manera del grupo de IBM es necesario, en primer lugar, tener los átomos necesarios en casa y que esos átomos estén cuánticamente entrelazados con sus correspondientes átomos en la pizzería: algo por demás improbable. En el año 2001 la Fuerza Aérea estadounidense le encargó a Eric Davis, de la empresa Warp Drive Metrics, un estudio de aplicabilidad (con un presupuesto relativamente modesto de 25 000 dólares) del teletransporte a objetos macroscópicos. La conclusión fue negativa.

Sin embargo, el interés en el entrelazamiento y el teletransporte cuántico es fundamental para otras potenciales aplicaciones prácticas de la mecánica cuántica. Juan Pablo me comentó, por ejemplo, que, junto con sus colaboradores en el Instituto de Investigaciones Científicas y Técnicas de la ciudad de Buenos Aires, está terminando de armar un laboratorio que permitirá trabajar con fotones entrelazados. Pero, por ahora, delivery común; y, de Tribunales a Palermo, el subte.

Aniversario del espacio

Ves, hijo mío, aquí el tiempo se vuelve espacio.

Wagner, Parsifal

¿De dónde saca Wagner la idea de que el tiempo puede volverse espacio?

Philip K. Dick, Valis

En los aniversarios celebramos la ilusión de un nuevo comienzo, la fantasía de una trama que se repite en el fluir unidireccional de la vida. Nos engaña la recurrencia de los días y de las estaciones y conmemoramos el pasado en lustros, en décadas, en siglos, como si los años fueran pasos que nos distancian de lo celebrado, como si nos alejáramos de un lugar al que podríamos volver, como si el tiempo fuera el espacio. «Como si hubiera una región», diría Borges, «en que el ayer pudiera ser el hoy, el aún y el todavía».

Un centenario que pasó inadvertido en 2008 fue justamente el del matrimonio entre el espacio y el tiempo, consagrado en 1908 en las catedrales de la física, legitimando así una unión subrepticia que existía de hecho en la intuición colectiva, en el esoterismo y en una literatura que por entonces todavía no se llamaba ciencia ficción.

Tres años antes, en 1905, Einstein había inaugurado una nueva realidad al deducir, partiendo de postulados inocentes, que el tiempo era un fenómeno relativo: si estoy parado en el andén de la estación de subterráneo Callao, los que pasan en el vagón en movimiento perciben que mi tiempo, el tictac de mi reloj pulsera, transcurre más lento que el suyo. Y yo percibo lo inverso. En la práctica no advertimos el efecto porque la velocidad del subterráneo respecto del andén es muchísimo menor que la velocidad de la luz. De otro modo (esto es, si la velocidad de la luz fuera comparable a la de nuestros movimientos) el efecto se habría descubierto mucho antes y nuestra noción del tiempo sería distinta. Por ejemplo, estoy con Alicia en un café de un mundo hipotético donde la velocidad de la luz es —digamos— 30 kilómetros por hora. A las 12 del mediodía (según nuestros mutuos relojes, el de Alicia y el mío, que sincronizamos poniendo uno junto al otro) digo: «Voy corriendo al banco, vuelvo en veinte». Cuando por fin regreso, Alicia me reta porque llegué tarde, a las 12:30, pero en realidad mi reloj marca las 12:20. De estas excentricidades de la naturaleza se desprende la lección más importante de la llamada teoría de la relatividad: la simultaneidad de dos eventos distantes es también relativa y depende del estado de movimiento de quien los observa. Alicia y yo salimos del café y vamos a la estación de subterráneo Callao. Sigue ofendida porque llegué tarde, y subimos a vagones diferentes: yo a uno de los primeros y ella a uno de los últimos. En la estación Tribunales, a las 13:15 (según los relojes sincronizados dentro de mi vagón y del suyo) bajamos apoyando el pie derecho sobre el andén exactamente al mismo tiempo, simultáneamente. Ese «al mismo tiempo» es relativo: para los que van en los vagones en movimiento del lado opuesto del andén, en dirección Tribunales-Callao, Alicia apoyó el pie antes que yo. Dos eventos simultáneos en un «sistema de referencia» (el andén de Tribunales) no lo son en otro sistema de referencia (el tren subterráneo que va a Callao). Esta revolución en la concepción del tiempo y su relatividad con respecto al movimiento cumplió su merecido centenario en 2005, cuando se invocó el año milagroso (annus mirabilis) que ya comenté en el capítulo «Einstein, 1905: la ficción hecha ciencia».

Tiempo después de ese año glorioso, en 1908, Hermann Minkowski, matemático alemán que había sido profesor de Einstein en Zurich, dictó una conferencia titulada «Espacio y tiempo», cuyo texto figura en las antologías de la relatividad. En la conferencia, Minkowski presentó una interpretación geométrica de las ideas de Einstein. El contenido técnico de la conferencia es mínimo y puede seguirse con conocimientos de geometría de secundario. Pero su profundidad y su refinamiento literario son impresionantes.

La tercera frase del artículo proclama que el tiempo y el espacio por sí solos «están condenados a desvanecerse en meras sombras, y tan solo una especie de unión entre ambos preservará una realidad independiente». Para Einstein estaba claro que el tiempo cambia con el sistema de referencia; el mérito de Minkowski ha sido interpretar esas ecuaciones como una propiedad geométrica, una abstracción matemática en la que el tiempo pierde su independencia respecto del espacio y se incorpora a la activa coreografía del largo, el ancho y el alto de nuestro mundo tridimensional. Minkowski concluye, siempre con lirismo, que la geometría tridimensional ha devenido en «un capítulo en la física de cuatro dimensiones». Las cuatro dimensiones del espacio-tiempo.

Pero al leer el trabajo de Minkowski, Einstein no opinó lo mismo. Según cuenta Abraham Pais en Sutil es el señor: la ciencia y la vida de Albert Einstein, una de las pocas biografías que usa fuentes directas, Einstein consideró el trabajo de Minkowski como una abstracción matemática innecesaria y lo calificó de «erudición superflua». Pero su visión cambió poco tiempo después, cuando la interpretación de sus ecuaciones en términos de un espacio-tiempo de cuatro dimensiones se volvió indispensable para generalizar su teoría de la relatividad a la física de la gravitación.

Minkowski concluye su artículo de 1908 anticipando la confirmación experimental de su visión de un mundo cuatridimensional y, con un giro filosófico, casi místico, remata invocando «la armonía preestablecida entre la matemática y la física».

Lo que Minkowski desconocía eran ciertos anticipos literarios que acaso expresan intuiciones de esa armonía preestablecida. En las primeras páginas de La máquina del tiempo (1895), H. G. Wells dice que «todo cuerpo real debe tener una extensión en cuatro direcciones: debe tener Largo, Ancho, Espesor y Duración». Más adelante agrega: «Estuve trabajando en esta geometría de cuatro dimensiones por algún tiempo». Y al describir el rostro de un hombre a los ocho años y luego más viejo, los interpreta como «disecciones, como si fueran representaciones tridimensionales de un ser en cuatro dimensiones». Comparo el texto de Wells con Minkowski, quien en su «Espacio y tiempo» diría que en el mundo ya no hay que hablar de espacio sino de un «número infinito de espacios, del mismo modo que en el espacio tridimensional hay un número infinito de planos». Wells se pregunta: «¿Puede existir un cubo instantáneo? [… ] ¿Puede un cubo que no dura tiempo alguno tener una existencia real?». Y Minkowski parece responderle: «Los objetos de nuestra experiencia incluyen lugares y tiempos en combinación. Nadie jamás advirtió un lugar excepto en cierto instante, o un tiempo excepto en algún lugar». Menos conocida es Los argonautas crónicos (1888), una obra de juventud en la que Wells anticipa las ideas de La máquina del tiempo. El Chronic Argo es un barco que navega en el tiempo como si se moviera en una dimensión espacial. Y Wells ya habla de un mundo de cuatro dimensiones: «Lo que se antepuso entre la humanidad y la geometría de cuatro dimensiones —longitud, ancho, espesor y duración— es la inercia de opinión, el impulso de los filósofos de la edad de bronce». Ambos mundos, el de Wells y el de Minkowski, tienen cuatro dimensiones donde el tiempo es parte de la geometría. En ambos mundos, por otra parte, el tiempo conserva un significado independiente, y para Wells el tiempo es la dimensión donde viaja la conciencia. Una de las alusiones más recientes a esta idea se encuentra en George Minkowski, el personaje de la serie televisiva Lost, cuya conciencia va y vuelve del futuro. Según averigüé, no hay evidencia alguna de que H. Minkowski, y tampoco Einstein, hayan leído a Wells.

La ciencia y la ficción suelen superponerse, al punto de presentar ciertos anticipos literarios como profecías científicas. Lo cierto es que la misma imaginación que crea el arte, la literatura y las religiones crea la ciencia. La idea de una cuarta dimensión resulta de esos juegos de la imaginación, de un sudoku de extrapolaciones y permutaciones de la realidad (o de lo que creemos realidad): el mismo tipo de juego que inventa minotauros, cíclopes y a la difunta Correa.

De ese menú de mundos imaginarios, la ciencia antologiza algunos y descarta otros. (Algunas alternativas son tan cautivantes que la imaginación popular se resiste a abandonarlas, aferrándose a las causalidades espurias de la astrología, la homeopatía o la acupuntura).

La idea de una cuarta dimensión espacial —además de la longitud, el ancho y la altura— ya aparece en algunos textos antiguos. El místico del siglo XVII Henry More habla del «espesor» (spissitude) en una cuarta dimensión donde se extiende el mundo espiritual. En la Biblia (Efesios 3:18) se menciona «la anchura, la longitud, la profundidad y la altura» del amor de Cristo: esto es, cuatro y no tres dimensiones espaciales. Con cierta licencia, la cita podría considerarse compatible con las ideas de More.

Leo en un texto de álgebra de John Wallis que data de 1685: «Una línea desplazada sobre una línea forma un plano; este, desplazado sobre una línea, genera un cuerpo: pero si este sólido se desplaza sobre una línea, ¿qué formará? Un monstruo de la Naturaleza, menos posible que las quimeras y el centauro». Desconozco si Borges leyó a Wallis, pero el parecido con el comienzo del cuento «El libro de arena» es incuestionable: «La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen, de un número infinito de planos; el hipervolumen, de un número infinito de volúmenes». En su breve escrito «La cuarta dimensión» —publicado en 1934 en la Revista Multicolor de los Sábados (suplemento del diario Crítica) y desde entonces inédito hasta 1999— Borges menciona a More, a Einstein y, varias veces, a Howard Hinton. En «There are more things», Borges dice: «Años después [mi tío] me prestaría los trabajos de Hinton, que quiere demostrar la realidad de la cuarta dimensión del espacio, que el lector puede intuir mediante complicados ejercicios con cubos de colores». Borges se está refiriendo aquí al libro La cuarta dimensión (1906), de Howard Hinton, donde en efecto hay diagramas con cubos con colores indicados en los lados.

Similar a los cubos de Hinton es la cruz tridimensional de ocho cubos en la que está crucificado el Cristo que Dalí pintó en 1954, acaso postulando que la figura terrena de Jesús es solo la proyección en nuestro mundo de un ser que existe en otras dimensiones. Si tomo un cubo de papel y lo despliego en dos dimensiones sobre una mesa, se convierte en una figura plana formada por seis cuadrados. Si en un ejercicio de abstracción hiciéramos lo mismo con un hipercubo —vale decir, un cubo de cuatro dimensiones— y lo desplegáramos en el espacio tridimensional, quedarían los ocho cubos de Dalí.

Pero el espacio-tiempo de Minkowski, aunque emparentado con las geometrías de Wallis y de Hinton, no refiere a cuatro dimensiones espaciales sino a una realidad de cuatro dimensiones en la que tres de ellas son espaciales y la cuarta es el tiempo. Un tiempo que se mezcla con el espacio y depende del ya proverbial «sistema de referencia».

La dependencia de las ubicaciones espaciales respecto del sistema de referencia es más o menos obvia. Por ejemplo, izquierda y derecha no tienen un significado absoluto: dependen de la ubicación desde la cual se mire (y no solo en la política); si estoy acostado en el piso, mi arriba y mi abajo serán la izquierda y la derecha de alguien que esté parado. Del mismo modo, cada sistema de referencia tiene su propio tiempo. A menos que conozcamos el sistema de referencia utilizado, no tiene sentido hablar del tiempo de un acontecimiento. De eso se trata el espacio-tiempo de Minkowski.

En nuestra vida cotidiana nos movemos unos respecto de otros con mucha lentitud, en comparación con la velocidad de la luz. Comparados con sus espeluznantes 300 000 kilómetros por segundo, estamos todos perfectamente inmóviles y no advertimos los efectos de la geometría del espacio-tiempo. Del mismo modo, la llanura pampeana con su vértigo horizontal nos parece absolutamente plana y por lo tanto no advertimos allí la curvatura de la Tierra. Para discernir la esfericidad de la Tierra hay que mirarla desde lejos. Para advertir la geometría del espacio-tiempo hay que moverse rápido. O la gravedad tiene que ser muy fuerte.

Celebrar el centenario del espacio-tiempo es celebrar el hecho de que, para el hipotético argonauta que saludó a Minkowski en 1908 y se alejó hacia el cosmos en una nave que viajaba casi a la velocidad de la luz, al regresar a 2008 su reloj habrá avanzado solo un segundo.

En un reportaje que le hicieron en 1974, Borges cuenta que, conversando sobre el tiempo con un filósofo argentino «muy conocido», este le dijo «en cuanto a esto, se hicieron muchos progresos en los últimos años». «Yo pensé», dijo Borges con inveterada ironía, «que si le hubiera preguntado sobre el espacio él me habría respondido “en cuanto a esto, se hicieron muchos progresos en estos últimos 100 metros”».

Relatividad para borgeanos

La luz, dice Einstein, no necesita de un medio para propagarse: la luz es capaz de propagarse en el vacío. El éter es superfluo, dice con audacia, y declara que la luz se propaga a la misma velocidad sin importar el estado de movimiento: aunque intentemos alcanzarla, la luz siempre se aleja a la misma velocidad. Esa peculiaridad, que sacude nuestra intuición cotidiana, tiene consecuencias fantásticas para nuestra concepción del tiempo.

Observémoslo en un «experimento mental»: una idea que suena a broma inventada por Einstein. Un experimento mental, en todo caso, es un razonamiento; un experimento real requiere objetos externos a la mente. Pero Einstein, con este estilo de razonamiento, es capaz de adivinarle los trucos a Dios.

Imaginemos que Alicia se encuentra en una nave en el medio del espacio y que por su ventana ve un rayo de luz que pasa. La luz se aleja de ella a una gran velocidad: 300 000 kilómetros por segundo.

Ahora bien, como el espacio no tiene éter, si Alicia sacara la mano por la ventana no sentiría ningún «viento» golpeándola simplemente porque afuera no solo no hay aire, sino tampoco ninguna otra sustancia. Entonces Alicia dice, correctamente: «Mi nave está quieta y un rayo de luz se aleja de mí a 300 000 kilómetros por segundo». «Además», piensa, «todos los objetos de mi nave están quietos: mi mesa, mi silla, mi taza de café».

El rayo de luz sigue su curso por el espacio y luego pasa cerca de otra nave, tripulada por Jorge. Jorge razona igual que Alicia y dice: «Mi nave está quieta y un rayo de luz se aleja de mí a 300 000 kilómetros por segundo».

Hasta este momento Alicia y Jorge no se habían visto. Pero Alicia mira por la ventana y ve que la nave de Jorge se acerca hacia ella a una velocidad de 50 kilómetros por hora.

Y Jorge también mira hacia afuera y ve que la nave de Alicia se acerca a la suya a la misma velocidad.

En resumen, tanto Alicia como Jorge piensan que están quietos, ambos ven al otro acercarse a una velocidad de 50 kilómetros por hora, y ambos ven un rayo de luz que se aleja de ellos a 300 000 kilómetros por segundo.

¿Cuál de los dos tiene razón? Los dos. Como no hay un éter, estar quieto o en movimiento a velocidad constante es exactamente lo mismo; de modo que, desde el punto de vista de Alicia (o desde el «sistema de referencia» de Alicia) ella está quieta y Jorge se mueve, y desde el punto de vista de Jorge, él está quieto y es Alicia la que se mueve. Y, desde nuestro punto de vista, el de un tercer observador, Alicia y Jorge están moviéndose uno respecto del otro, acercándose uno al otro.

Lo más interesante de todo es que ambos ven el rayo de luz alejándose ¡a la misma velocidad! Y aparece aquí uno de los elementos curiosos de la teoría de Einstein: La velocidad de la luz es independiente del movimiento de quien la mide. Por más rápido que corramos, el rayo siempre se aleja o se acerca a nosotros a la misma velocidad.

Y este resultado curioso también implica que el tiempo, el tictac del reloj, puede cambiar con el movimiento. Esto era impensable antes de Einstein, pero surge como consecuencia de que la velocidad de la luz es siempre la misma. Veamos cómo.

En su nave, Alicia fabrica un reloj que funciona con dos espejos: uno ubicado en el piso y otro en el techo. El «tictac» de su reloj es el tiempo que tarda la luz en viajar desde el piso al techo. Como la luz va muy rápido, es un reloj muy preciso.

Queda claro que los rayos de luz se mueven verticalmente en el sistema de referencia de Alicia.

Y ahora la pregunta más interesante: ¿cómo ve Jorge el tictac del reloj de Alicia? Antes de adentrarnos en el tiempo einsteniano, y para enfatizar la diferencia, les propongo pensar en un reloj galileano, con el mismo diseño que el einsteinano pero con una leve diferencia: el reloj funciona con sonido. El tictac del reloj galileano es el tiempo que tarda el sonido en viajar del piso al techo. Fiel al espíritu de los trabajos originales de Einstein, el «experimento mental» utiliza tres relojes: dos de ellos (A y B) están quietos uno respecto del otro, y el tercero, el C, está en movimiento respecto de los otros dos.

Digamos que el «tic» de los tres relojes ocurre cuando el reloj C pasa por la posición del reloj A. Y el «tac» ocurre cuando el reloj C pasa por la posición del reloj B: el sonido llega al techo en el mismo momento para los tres relojes. Desde la perspectiva (o desde el sistema de referencia) de A y de B, el sonido recorrió una distancia mayor a la distancia entre el piso y el techo. Sin embargo, llegó al techo al mismo tiempo. ¿Por qué? Porque, desde A y desde B, la velocidad del sonido en C se ve mayor, ya que es la composición entre la velocidad vertical del sonido mismo y la velocidad horizontal del reloj C. Entonces, los relojes galileanos de este tipo se mantienen sincronizados aun cuando uno de ellos esté en movimiento respecto del otro. Y a esto estamos habituados en nuestra experiencia cotidiana. El viajero no piensa que su reloj se adelantará o se retrasará respecto de los que se quedan. Pero ese hábito resulta de un hecho por demás simple: siempre viajamos a velocidades muchísimo menores que la de la luz. Ahora bien: me olvido del reloj galileano y propongo un reloj einsteniano, donde el tiempo entre el «tic» y el «tac» es el tiempo que le toma a un pulso de luz (como si fuera una munición de luz) ir desde el piso hasta el techo. Y puesto que la luz se mueve mucho más rápido que el sonido, hago fabricar unos relojes más alargados.

En este caso particular, para exagerar el efecto, el reloj C se mueve de izquierda a derecha a la mitad de la velocidad de la luz, una velocidad que por supuesto nunca vemos en la vida cotidiana. Y ubico los relojes fijos en la plataforma a una distancia igual a la mitad de la altura de los relojes. De ese modo, en el tiempo que la luz llega de abajo a arriba (¡en los relojes quietos!) el reloj C se desplazó exactamente desde A hasta B. La pregunta fundamental ahora es, visto desde el sistema de referencia quieto, ¿en qué posición del reloj C está el pulso de luz cuando se produce el «tac» de los relojes quietos? Y la respuesta ahora es que no puede estar en la posición de «tac» porque, en ese caso, tendría que haber recorrido una distancia mayor (como en el reloj galileano), y si recorrió una distancia mayor quiere decir que ese pulso de luz, visto desde A y desde B, se movió más rápido que la luz. Y eso, dice Einstein, no es posible. Entonces, la distancia recorrida por el rayo de luz tiene que ser la misma para los tres relojes: el largo de las flechas de las figuras (las dos verticales y la inclinada) tiene que ser el mismo. Y como una de las flechas está inclinada, el pulso de luz del reloj C todavía no habrá llegado al techo cuando se produzca el «tac» en los otros dos relojes. Estará, en cambio en el punto P del reloj C. ¡El reloj C retrasa respecto de los relojes fijos! Esa es una de las grandes revoluciones conceptuales del siglo XX: la relatividad del tiempo. Una relatividad es apreciable solo cuando las cosas se están moviendo a velocidades cercanas a la de la luz. En nuestra experiencia diaria, la velocidad más grande es de, digamos, 1000 kilómetros por hora si viajamos en avión, y a esa velocidad, el largo de las tres flechas es prácticamente idéntico y los tiempos en ambos sistemas de referencia son iguales.

Para apreciar lo dramático de la relatividad del tiempo, digamos que ahora el reloj C se mueve a la velocidad de la luz. Y pongamos los relojes fijos a una distancia uno del otro exactamente igual a su altura. Estamos jugando con la distancia entre los relojes fijos, colocándolos a distancias diferentes entre sí para que el efecto sea más evidente. En sus experimentos mentales, Einstein imagina el espacio sembrado de relojes y muestra que van retrasándose uno respecto del otro. Nosotros dibujaremos solo tres relojes para que el efecto sea más visible.

Lo escalofriante ahora es que, si el reloj C se moviera a la velocidad de la luz, dado que los largos de las flechas (las distancias recorridas por la luz) tienen que ser las mismas en todos los sistemas de referencia, entonces, desde el sistema de referencia de los relojes A y B se ve que, en el reloj C, ¡el tiempo se detuvo!

Y esta idea aparece en las ficciones de Borges. En «El milagro secreto», el condenado le pide a Dios que le otorgue tiempo para componer su poema. Y Dios se lo concede:

El universo físico se detuvo.

Las armas convergían sobre Hladík, pero los hombres que iban a matarlo estaban inmóviles. El brazo del sargento eternizaba un ademán inconcluso. En una baldosa del patio una abeja proyectaba una sombra fija. El viento había cesado, como en un cuadro. Hladík ensayó un grito, una sílaba, la torsión de una mano. Comprendió que estaba paralizado. No le llegaba ni el más tenue rumor del impedido mundo. Pensó estoy en el infierno, estoy muerto. Pensó estoy loco. Pensó el tiempo se ha detenido [el destacado en negrita me pertenece].

Hladík tiene un tiempo distinto al del resto del universo, ya que su propio tiempo es el de su conciencia, su corazón sigue latiendo, sus ojos siguen parpadeando. La diferencia técnica con el caso de los relojes del ejemplo anterior radica en que los relojes están moviéndose. Pero esa extravagancia de líneas temporales no sincrónicas es posible aun cuando los relojes no se mueven uno respecto del otro.

La idea de tiempos que transcurren a distinta medida para distintos individuos tiene una larga trayectoria previa en la literatura y en el folclore universal. Borges la comenta en varios lugares. En el epígrafe de «El milagro secreto» cita el Corán (II, 261):

Y Dios lo hizo morir durante cien años y luego lo animó y le dijo:

—¿Cuánto tiempo has estado aquí?

—Un día o parte de un día —respondió.

En «La busca de Averroes» refiere la historia de los siete cristianos de Efeso:

Los vemos retirarse a la caverna, los vemos orar y dormir, [… ] los vemos despertar a la vuelta de trescientos nueve años.

La idea de alguien que entra en una caverna y regresa a un tiempo distinto del propio aparece también en Cervantes (creo que Borges no cita este episodio) cuando el Quijote entra a la cueva de Montesinos, cuenta tres días allí adentro y al salir, en el exterior solo ha transcurrido una hora.

Con Einstein, el tiempo ingresa en la coreografía del espacio. Si el tiempo ya no es absoluto y depende de la velocidad de quien lo mida, entonces el espacio también es relativo.

Siguiendo con la noción de experimentos mentales y de relojes que retrasan, imaginemos que Einstein pasa con un reloj en un avión cerca de dos relojes que están separados, digamos, por una distancia de 20 metros. Einstein se mueve a 20 metros por segundo y pasa junto a uno de los relojes cuando los tres marcan las 15 en punto:

Desde la perspectiva del sistema fijo, el reloj de Einstein retrasa y marca un tiempo transcurrido menor a un segundo al pasar junto al segundo reloj.

Desde el punto de vista de Einstein, en cambio, él está quieto y los que se mueven son los relojes, a 20 metros por segundo. Sin embargo, su propio reloj marca, como ya dijimos, menos de un segundo. Suena contradictorio a menos que, así como el tiempo cambia, el espacio también cambie.

Einstein ve relojes que se mueven a 20 metros por segundo, pero también ve comprimida la distancia entre los relojes, y además, comprimida en el mismo factor en que se dilató su tiempo. De ese modo se mantiene la simetría de las velocidades (tanto él como un observador fijo se ven moviéndose a 20 metros por segundo) y se reconcilia el hecho de que el tiempo transcurrido para Einstein es más corto que el transcurrido para los relojes fijos.

Luego de escribir su teoría sobre el tiempo, Einstein se interesó por la teoría de la gravedad. Y se preocupó por un motivo que para él era evidente. En la teoría de Newton, la fuerza de gravedad se propaga instantáneamente. Es decir, si un planeta lejano de pronto se moviera 10 kilómetros, la fuerza que ejerce ese planeta sobre la Tierra cambiaría instantáneamente. Pero, según Einstein, ninguna información (el movimiento del planeta lejano en este caso) puede viajar más rápido que la luz: por lo tanto, la teoría newtoniana es incompatible con la relatividad.

El primer paso en su camino de reconciliación entre la gravedad y la relatividad fue una idea a la que llamó «el pensamiento más feliz de mi vida». Según la segunda ley de Newton, las fuerzas causan aceleraciones. Ahora bien, si empujamos con la misma fuerza un piano y una manzana, la aceleración del piano será menor. El piano es más «masivo» que la manzana y se resiste más a ser acelerado. Esa resistencia a ser acelerado es la «masa inercial» del piano: a igualdad de fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, cuanto mayor sea la masa inercial, menor será la aceleración. Por otra parte, la fuerza gravitatoria —la atracción que la Tierra ejerce sobre objetos como la manzana y el piano— es mayor cuanto más masivo es el objeto. Pero cuando decimos «masivo» no nos estamos refiriendo a la masa inercial. Esa cualidad, que determina la fuerza de atracción de los cuerpos hacia la Tierra, es la «masa gravitatoria». Cuanto mayor sea la masa gravitatoria de un objeto, mayor será su atracción hacia la Tierra o hacia cualquier otro objeto masivo. En la teoría de Newton esas dos masas, la gravitatoria y la inercial, son propiedades independientes de cada cuerpo y no tienen por qué ser iguales. Pero resulta que lo son. Todos los experimentos (el propio Newton hizo algunos con distintos materiales) indican que la masa inercial y la masa gravitatoria son iguales. Si las dos masas son iguales, todos los cuerpos caerán con la misma aceleración. ¿Por qué? Porque, por un lado, la fuerza gravitatoria es mayor cuanto mayor es la masa. Y por otro, para esa misma fuerza la aceleración es menor (en la misma proporción) cuanto mayor es la masa. Los efectos se cancelan y la aceleración gravitatoria es independiente de la masa. Esa «casualidad» (la equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria) es la que inspira el pensamiento feliz de Einstein. Si todos los cuerpos caen con la misma aceleración, entonces un piano y una manzana caerán del mismo modo en una habitación cerrada en un edificio localizado sobre la Tierra que en una habitación cerrada en el espacio, sin Tierra a la vista, pero acelerándose hacia arriba con la misma aceleración que tendrían en la Tierra. El pensamiento feliz de Einstein es la equivalencia entre gravedad y aceleración. Y tiene nuevas consecuencias para el espacio y para el tiempo.

El juego sigue con relojes, ahora colocados en un ascensor acelerado hacia arriba: uno en el techo, el reloj A, otro en el piso, el reloj B; hay otro reloj afuera, el C, que es de referencia y permanece quieto en el espacio.

Cuando el techo del ascensor pasa por la posición del reloj C, el ascensor se está moviendo a una velocidad V₁. Al estar en movimiento, el reloj A retrasa respecto del C. Cuando el piso del ascensor pasa por el reloj C, se está moviendo más rápido que antes (no olvidemos que el ascensor está acelerado y que por lo tanto su velocidad aumenta constantemente), de modo que el reloj B retrasa más que el A. Olvidándonos del reloj C podemos concluir que los relojes A y B, si bien están quietos uno respecto del otro, retrasan porque se encuentran colocados en un habitáculo acelerado. Pero como la aceleración es equivalente a la gravedad, entonces dos relojes a distintas alturas de la Tierra, o en puntos donde la atracción gravitatoria es diferente, van a adelantar o a retrasar, según corresponda.

Un reloj en la cima de la torre Eiffel adelanta respecto del que está en el suelo. El efecto por cierto es mínimo ya que la variación de la gravedad es ínfima, pero han podido medirlo con experimentos muy precisos usando relojes atómicos. Y si el tiempo cambia, retomando el argumento del Einstein viajero, si en vez de relojes lleváramos reglas en el ascensor, se demo straría que el espacio también cambia con la gravedad.

El largo de una regla para medir longitudes cambia según la atracción gravitatoria. Y esto, curiosamente, implica que la gravedad curva el espacio.

Por ejemplo, si dibujamos un círculo en el plano (en un papel desplegado sobre la mesa) y medimos con una regla el radio del círculo y luego medimos con la misma regla el perímetro del círculo obtendremos la famosa relación: «el perímetro es dos pi por el radio».

Si en cambio midiéramos con una regla el radio de un círculo que va desde el centro de la Tierra (es un experimento mental, por supuesto) hasta una altura cualquiera, y luego midiésemos el perímetro de ese círculo, comprobaríamos que la famosa relación «el perímetro es dos pi por el radio» no se cumple. Y esto ocurre porque la gravedad cambia el largo de las reglas, del mismo modo que cambia el tiempo de los relojes. En este caso, el perímetro es un poco menor que dos pi por el radio, y esa es la evidencia de la curvatura del espacio. No es la curvatura de la Tierra la que afecta el largo de las reglas, sino la gravedad; y lo que está curvado es el espacio mismo.

A eso se refiere Borges en «Tlön, Uqbar, Orbis Tertius» cuando dice:

La geometría de Tlön comprende dos disciplinas algo distintas: la visual y la táctil. La última corresponde a la nuestra y la subordinan a la primera. La base de la geometría visual es la superficie, no el punto. Esta geometría desconoce las paralelas y declara que el hombre que se desplaza modifica las formas que lo circundan [el destacado me pertenece].

El hombre que se desplaza y modifica las formas alude a la gravedad que modifica la curvatura del espacio. Y la geometría sin paralelas alude al espacio curvo.

La curvatura del espacio es una noción difícil de digerir. Estamos acostumbrados a superficies curvas (la de la Tierra, por ejemplo) en un espacio tridimensional, un espacio vacío sin estructura, algo que está ahí solo para ser ocupado por objetos. Una hormiga que vive en una superficie esférica como la de la Tierra «sin saber» que esa superficie está incrustada en un espacio tridimensional es, sin embargo, capaz de saber que esa superficie es curva. Le basta con medir primero la distancia desde el Polo Norte hasta un paralelo cualquiera caminando por algún meridiano (esa distancia sería el radio), luego medir el perímetro del paralelo y compararlo con dos pi por el radio medido. Y, al comprobar que son distintos, sabrá que vive en un espacio curvo. El primero en pensar en estas cosas, en demostrar que es posible saber si estamos sobre una superficie curva sin «mirar afuera» de esa superficie fue el célebre matemático Carl Gauss, y le gustó tanto su resultado que lo llamó «teorema egregio».

Pero la primera alusión a un espacio curvo es anterior a Gauss y es posible que su primera anticipación literaria haya sido obra de Dante. La cosmología de Dante es geométricamente compleja y pareciera anticiparse a lo que hoy llamamos un universo «cerrado», un espacio curvo que se cierra sobre sí mismo. En el Paraíso, Dante se acerca implícitamente a una pregunta que suelen formular todos los niños: ¿el universo tiene «bordes»? Dante describe su ascenso, esfera por esfera, al Primum mobile, más allá del Empíreo, morada de Dios y los ángeles. Cada semiuniverso, a ambos lados del Primum mobile, está compuesto de nueve esferas concéntricas que primero incrementan su diámetro y luego lo disminuyen. Dante se muestra confundido ante esto y Beatriz se lo explica en el canto 28. Pero pensemos ahora en la curvatura de la superficie de la Tierra e imaginemos que vamos desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, un viaje durante el cual cruzaremos círculos concéntricos (los paralelos) que aumentan de tamaño hasta llegar a la línea del Ecuador, y a partir de allí comienzan a disminuir de tamaño. El mundo de Dante es, sin embargo, tridimensional, y en vez de cruzar círculos cruza esferas. Es fácil concebir una superficie curva bidimensional como la superficie de la Tierra incrustada en un mundo en tres dimensiones. Una superficie en el espacio tridimensional es similar por extensión: mientras que los paralelos son la intersección de la esfera con planos horizontales (de coordenada constante alrededor del centro de la Tierra), las superficies esféricas que cruza Dante son las intersecciones de una hiperesfera de cuatro dimensiones con «planos» de coordenadas constantes alrededor de un eje. El resultado: superficies esféricas concéntricas que aumentan y disminuyen de diámetro. Beatriz le explica a Dante que las esferas tienen una clasificación, una «grandeza» que no se corresponde con su tamaño, sino que es indicada por su velocidad. Si bien los diámetros aumentan y luego disminuyen, la velocidad de rotación de las esferas aumenta constantemente a medida que se cruza el Primum mobile. La velocidad, que sigue aumentando aun cuando los diámetros de las esferas aumentan y luego disminuyen, indica una medida de distancia al «Polo Norte», o al centro de las esferas. Dante siempre se aleja del centro, pero los diámetros, así como los paralelos en la superficie de la Tierra, aumentan y luego disminuyen de tamaño. La topología de la Divina comedia de Dante corresponde, por lo tanto, a un espacio curvo, una idea que debió esperar la llegada de Einstein para ingresar por la puerta grande en el mundo de la ciencia.

Y lo interesante es que, si el espacio es curvo, puede cerrarse sobre sí, puede expandirse sin un centro; todos los puntos son el centro y ninguno lo es, a la manera de la esfera de Pascal, «cuyo centro está en todas partes y su circunferencia, en ninguna».

Retorno al oscurantismo
Escrito en colaboración con Alejandro García.

En el rito cristiano de la eucaristía, un trozo de pan se convierte en el cuerpo de Cristo, y el vino del cáliz, en su sangre. Los fieles siguen viendo pan y vino, pero deben aceptar que, a pesar de una apariencia externa inalterada, algo misterioso ha ocurrido: que la «sustancia» del pan y del vino ha cambiado. El grado de misterio de esta «transustanciación» dependerá del concepto que se tenga de «sustancia». Si se la piensa como algo físico, como la materia de la que están hechos el pan y el vino, la idea resulta poco digerible para un estómago racional. Pero la cosa cambia si se piensa la sustancia como algo más allá de lo físico, algo metafísico, más o menos como la presentan los teólogos actuales. Sin embargo en el Medioevo, cuando la ciencia estaba mucho menos difundida que hoy, la línea demarcatoria entre lo físico y lo metafísico era difusa. No se sabía si la materia era algo continuo e infinitamente divisible, como decía Aristóteles, o era discreta y granular, hecha de átomos que existían en un espacio vacío. El hecho de que la transustanciación fuera una idea algo ambigua y a la vez fuertemente defendida por la Iglesia legitimó la alquimia: la posibilidad de convertir, mediante el movimiento sutil de una mano, el pronunciamiento de palabras especiales o la mezcla de elementos pertinentes, un material común en un metal precioso. Esta legitimación fue puesta de relieve en la piedra de las paredes y en los pórticos de la Catedral de Notre Dame en París, cubiertos de jeroglíficos, alegorías y emblemas alquímicos.

Tuvieron que pasar muchos siglos de ardua y gradual acumulación de consenso científico para que algunos de los secretos de la materia nos fueran develados. O quizás lo que en realidad se develó fueron los contornos precisos de un mapa erróneo de la realidad. Porque lo cierto es que hoy, en la era de la nanotecnología y de los GPS con relojes atómicos, el enigma irresuelto más importante de la física se resume en cuatro palabras: ¿qué es la materia?

Se sabe muchísimo, de eso no hay duda. Sobre todo a partir de principios del siglo XX, cuando empezó a develarse el misterio de la transmutación (digamos transmutación en vez de transustanciación para enfatizar el cambio físico, y no metafísico, de un elemento a otro). El secreto es que todos los elementos están hechos de átomos y que esos átomos están hechos de tres, y solo tres, partículas microscópicas: protones, electrones y neutrones. La diferencia entre Britney Spears y una carretilla de ripio del mismo peso es la manera en que están distribuidos esos protones, neutrones y electrones. La «sustancia» está en el ordenamiento de ese «rasti» microscópico que solo tiene tres tipos de piezas, con carga eléctrica de distinto signo: protones positivos y neutrones sin carga en el núcleo y, orbitando alrededor del núcleo, electrones negativos. Todos los elementos, desde el hidrógeno (el «H» del H₂O del agua) hasta el uranio de la bomba de Hiroshima deben sus propiedades químicas a los electrones que orbitan alrededor de los núcleos. Como estos constituyentes básicos se encuentran en cualquier elemento, en principio puede obtenerse oro reacomodando las partículas de una bolsa de harina, y puede recuperarse al desdichado Gregorio Samsa reacomodando las del monstruoso insecto. Sería difícil hacerlo en la cocina de mi casa o en una habitación de Praga de principios del siglo XX, pero el proceso no viola ninguna ley de la física y hoy la transmutación de algunos elementos es un procedimiento rutinario en laboratorios sofisticados. En la práctica no resulta económico ni vale la pena el esfuerzo, pero las herramientas para hacerlo existen.

Sabemos también que la materia universal fue transmutando a lo largo del tiempo. Después de sus primeros pocos minutos de existencia, el universo estaba hecho casi todo de hidrógeno y de helio (de dos protones y dos neutrones): el resto de los elementos, incluidos los átomos de carbono de nuestro cerebro y del bife de chorizo, fueron cocinados tiempo después en un fuego intenso de transmutaciones nucleares dentro de las estrellas.

Los neutrones y los protones tienen más o menos el mismo peso. Los electrones son mucho más livianos, de modo que el peso de un átomo está determinado por sus protones y sus neutrones. Un átomo de oro, con sus 79 protones y 118 neutrones, es unas 197 veces más pesado que un átomo de hidrógeno, que tiene un solo protón. Dada esa diferencia de peso con el electrón, a los protones y neutrones se los llama «bariones» (de la palabra griega barys, que significa «pesado»; la misma raíz que «barítono» y «barómetro»). Toda la materia de la Tierra, las montañas, los objetos, los ríos y los mares, está hecha de bariones; no conocemos otra materia que no sea materia bariónica. Nunca estuvimos en el Sol, pero conocemos su constitución por la composición de la luz que emiten sus átomos: cada átomo tiene «un timbre de voz» preciso y diferenciable toda vez que emite luz. Así sabemos que no solo el Sol y la Tierra sino todos los planetas y las estrellas están hechos de protones y neutrones: de materia bariónica.

Entendemos el giro de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra porque sabemos que los objetos hechos de materia bariónica se atraen entre sí; y entendemos con refinado detalle esa atracción gravitatoria descifrada primero por Isaac Newton y luego perfeccionada por Albert Einstein. Según esa teoría de la gravedad, las mismas fuerzas que dan forma a la parábola del chorro de agua de la manguera del jardín son las que dibujan las elipses de las órbitas planetarias y las espirales de las galaxias.

Gracias a ese conocimiento se descubrieron nuevos planetas, se predijeron y se encontraron agujeros negros, y se explicó la expansión del universo.

Sin embargo, en 1933 apareció una pieza que no encajaba en el rompecabezas y la comunidad científica reaccionó como suele hacerlo en estos casos: ignorándola. El incómodo descubrimiento fue obra de Fritz Zwicky, quien midió las velocidades de rotación de galaxias agrupadas en el llamado cúmulo de galaxias Coma y advirtió que rotaban mucho más rápido de lo esperado. Por ejemplo, conocemos el «peso» de la Luna y de la Tierra y por lo tanto su mutua atracción gravitatoria. Ahora bien, si la Tierra fuera cuatro veces más pesada, la Luna debería moverse el doble de rápido para poder conservar la misma distancia y no «caer» sobre la Tierra. Así como la atracción de la Tierra mantiene a la Luna girando, la atracción de las galaxias internas del cúmulo mantiene girando a las galaxias externas. Pero lo que Zwicky midió es que las estrellas giran como si fueran empujadas hacia el centro por un peso unas cien veces mayor al de las estrellas internas. Zwicky bautizó «materia oscura» a esa masa invisible. Pero el problema no parecía demasiado interesante entonces. Simplemente se pensó que había grandes cantidades de materia no luminosa dispersa entre las estrellas, por ejemplo, nubes de hidrógeno y de helio. Al fin y al cabo, había antecedentes astronómicos de materia no luminosa que afecta el movimiento de astros visibles: ya en 1846 Urbain Le Verrier había predicho la existencia de un nuevo planeta, Neptuno, a partir de desviaciones hasta entonces inexplicadas de la órbita de Urano. En otras palabras, no todo lo que pesa brilla, podría haber dicho Zwicky.

En las décadas que siguieron, nuestra comprensión del universo se perfeccionó, pero el descubrimiento de Zwicky sigue siendo un enigma. Hoy sabemos que el universo comenzó como una gran explosión, el famoso big bang, que al principio todo era una «sopa caliente» y que luego fue enfriándose.

En los años setenta, el astrofísico David Schramm usó el modelo de enfriamiento del universo, que había sido ya corroborado por muchas observaciones (y que hoy está mucho más establecido), para calcular cuánta materia podría haberse formado en los primeros minutos de enfriamiento de esa sopa caliente. Su conclusión: si calculo toda la materia que se formó en el big bang (usando modelos aceptados hoy), concluyo que es muchísimo menor que la materia oscura que rige el movimiento de las estrellas. Pero en todo esto hay algo que no cierra y es lo que condujo a la Gran Pregunta: si es cierto que existe materia invisible entre las estrellas, y que tampoco es del tipo de la que conocemos (materia bariónica), entonces ¿qué es?

Desde aquel momento, la pregunta y los argumentos que llevaron a establecerla se han revisado muchas veces. Se hicieron mediciones con mejores instrumentos y se llegó a dos nuevas determinaciones que corroboran la existencia de la materia oscura. Una está asociada a la teoría de la relatividad: la materia no solo atrae y desvía a la materia (como el Sol atrae a la Tierra) sino que también desvía a la luz. La luz que proviene de las galaxias lejanas puede observarse distorsionada al atravesar materia oscura, y su cantidad y distribución coinciden con las otras mediciones. El segundo tipo de determinación proviene de observaciones muy precisas de la temperatura de la «luz» emitida cuando el universo tenía «solo» unos 400 00 años —una luz de naturaleza idéntica a la que emite una estufa eléctrica o un hierro caliente—. Antes de esos tiempos, el universo era una especie de masa opaca, un «plasma» que no dejaba escapar la luz. Luego la temperatura bajó lo suficiente como para que se formaran átomos, aparecieron huecos por los que podía pasar la luz y el universo se hizo transparente: la luz podía propagarse entre esos átomos. Hoy, con telescopios apuntados al espacio puede verse esa «luz» emitida en tiempos primigenios y, a partir de su color, puede determinarse cómo estaba distribuida la temperatura del universo en sus comienzos; como un lago que se congela tiene partes más frías que otras, así el universo tenía partes más frías que otras. Si bien la temperatura es muy parecida de un punto a otro, existen pequeñas diferencias, zonas más densas y calientes, que permiten comprobar el efecto de la materia oscura sobre la evolución del universo. Todo conduce a corroborar la existencia de cierto tipo de materia que se comporta tal como la materia normal con respecto a la fuerza gravitatoria, pero que no parece responder a los cánones de la materia bariónica.

La materia oscura aparece agrupada en halos esféricos alrededor de los centros de las galaxias, en lugar de tomar la forma de disco que es común en la distribución de estrellas. Curiosamente, la Noche estrellada —el cuadro que Van Gogh pintó en un asilo de Saint-Remy en 1889—, con sus bucles luminosos que parecen invocar galaxias espirales, es una ilustración muy próxima a la de un cielo hipotético donde los halos de materia oscura son visibles.

Llegamos así al oscurantismo presente: a partir del movimiento de las galaxias concluimos que la materia más abundante del universo es oscura, una mayoría silenciosa de origen desconocido. Desconocemos su «sustancia», no sabemos si es continua o si está hecha de átomos. Desconocemos si existe una «eucaristía» que la transmute en materia bariónica, aquella que constituye todo lo que nos rodea, incluidos nosotros. Es el enigma más importante de la física actual. Ojalá no tengamos que esperar 500 años de ciencia hasta el próximo renacimiento y vivamos para conocer la explicación de esta oscuridad.

La segunda oscuridad

Además del misterio de la materia oscura, hay otro relacionado: el de la energía oscura. El misterio aparece al analizar un fenómeno hoy muy conocido que deprimía a Alvy Singer (Woody Allen en Annie Hall) de niño: el universo se está expandiendo. Un proyectil lanzado desde la Tierra se frena a medida que se eleva y luego se acelera a medida que cae. La teoría de la relatividad predice que el universo se comporta de manera similar; es decir, que el universo tendría que frenar en su expansión a medida que transcurre el tiempo. Pero el universo, en vez de frenarse, está acelerándose: cada vez se expande más rápido. Esta aceleración de la expansión solo puede explicarse postulando que el universo está permeado por una sustancia que genera un efecto opuesto a la atracción gravitatoria: la energía oscura, cuyo origen es también enigmático. Las teorías de Einstein postulan la equivalencia entre la energía y la masa a través del famoso «E es igual a m por c al cuadrado». Eso quiere decir que, en la alquimia relativista, la energía puede transmutar en masa y viceversa. Se podría hablar, entonces, del «peso» de la energía oscura o de la energía de la materia oscura. De acuerdo con ese juego de transmutaciones, lo que más abunda en el universo es energía oscura (un 73%), seguida por la materia oscura (un 23%) y en último lugar, apenas contaminando el ambiente universal, por la materia bariónica.

Acuarelas de Galileo

«Está limpita la Luna», comentó el taxista. No había nubes y una Luna intermitente nos seguía entre los edificios de la avenida del Libertador. Anoté la frase y no me atreví a preguntarle si estaba citando el Paraíso de Dante (luna pulita) o la luna pulchra del Cantar de los cantares; lo más probable es que, en ese momento, el taxista fuera el poeta que somos todos cuando permitimos que algo nos entibie el alma.

En noviembre de 1609, Galileo apuntó al cielo de Padua un telescopio que él mismo había fabricado y, por primera vez, vio esa misma luna veinte veces más grande. Y fue poeta. En conmemoración de los 400 años de ese evento, la Unión Astronómica Internacional y las Naciones Unidas declararon a 2009 el Año Internacional de la Astronomía.

Desde un punto de vista estrictamente científico, más importante que sus observaciones de la Luna fue su descubrimiento de los satélites de Júpiter y de las fases de Venus; pero lo que dijo sobre la Luna fue más resistido en su momento. Además, a Júpiter y a Venus los vio en 1610, de modo que, en rigor, no participan del aniversario.

Minucias cronológicas aparte, lo deslumbrante de la historia de Galileo y la Luna es que se trata de un caso en que el arte influye en la ciencia, y luego, en que la ciencia gravita sobre el arte.

Galileo no fue el primero en ver la Luna a través de un telescopio. El primero había sido el inglés Thomas Harriot, en julio de 1609. En su dibujo del satélite, el borde curvo que separa la parte iluminada de la sombra es irregular y sinuoso. Pero Harriot no nos dice por qué. Bien podría tratarse de una imperfección de la imagen, ya que las lentes eran todavía rudimentarias. Galileo, en cambio, vio otra cosa, y lo pintó en siete imágenes en sepia (que, según estudios recientes, corresponden a siete días consecutivos) con la maestría de un acuarelista profesional. Pero lo más importante no es la belleza de las imágenes sino el hecho de que su entrenamiento en visualización y su familiaridad con la perspectiva y el arte del claroscuro, ya muy avanzado en Italia, le permitieron descifrar el origen de las sinuosidades: son las sombras del bajorrelieve lunar. En Inglaterra, en cambio, mientras en la literatura descollaban Milton y Shakespeare, la pintura aún no había superado el estilo gótico y la perspectiva prácticamente no se usaba.

Una clave importante, anota Galileo en su libro El mensajero sideral (Siderus nuncius), son algunas áreas claras en la parte oscura de la Luna y áreas oscuras en la parte clara. A medida que el ángulo de Sol cambia, «después de un cierto tiempo, las áreas claras aumentan de tamaño y brillo y luego de una o dos horas se unen a la parte iluminada». Galileo llega así a la asombrosa conclusión de que esas partes claras y oscuras son prominencias y cavidades. Incluso, usando el tamaño de la sombra y la distancia que la separa del borde de la parte iluminada, llega a estimar que algunas de las montañas lunares son tan altas como los Alpes.

¿Por qué es asombroso que la Luna tenga montañas? Porque, siguiendo a Aristóteles, los europeos del Medioevo y del Renacimiento creían que la Luna era una esfera perfecta. Y los cristianos habían adoptado el prototipo esférico al asociar a la Luna con la Inmaculada Concepción; «pura como la Luna» era un símil frecuente. Para los pintores del Renacimiento, la Virgen María estaba parada en una luna translúcida y perfectamente esférica. Sobre las manchas que se ven a simple vista (Galileo las llama manchas «antiguas») había muchas teorías. En el Paraíso, Beatriz calma a Dante —que está preocupado por esas «máscaras negruzcas»— con una detallada lección de óptica y les atribuye un origen más metafísico que físico (las misiones Apolo muestran que son enormes cuencas, formadas por impactos externos, que luego se rellenaron de lava). Pero la esfericidad de la Luna, hasta Galileo, era incuestionable.

En 1612, el artista Ludovico Cardi (alias «Cigoli»), amigo de Galileo, recibió el encargo de pintar un fresco en la Basílica de Santa María Maggiore, en Roma. La Iglesia le permitió pintar una Virgen María parada en una luna «maculada», con cráteres, inobjetablemente tomada de los dibujos de Galileo.

El mensajero sideral, publicado en 1610 y donde Galileo cuenta lo que vio por el telescopio, es un clásico de la literatura. Según Italo Calvino, Galileo es el mayor escritor en prosa de la lengua italiana, y merecería igual fama como «inventor de fantasiosas metáforas» que como científico.

A pesar de todo, el nombre oficial del fresco de Cigoli no es Inmaculada, sino Asunción de la Virgen. Y en España, mucho después de 1610, las Inmaculadas de Velázquez y Murillo continúan de pie sobre una Luna esférica y translúcida, una «luna limpita».

El triunfo de la luz
Escrito en colaboración con Eric Rabkin.

Alberto se sentó en la explanada de la pirámide de Chichen-Itzá a esperar el descenso de la serpiente de Kukulcán, el dios maya.

Los locales lo llaman «el fenómeno». Es un evento turístico multitudinario. Ocurre dos veces al año, durante el equinoccio, el instante de simetría cósmica entre la luz y la oscuridad, cuando el día dura lo mismo (equi) que la noche (nox). A medida que pasan las horas, una de las aristas zigzagueantes de la pirámide va definiendo sobre el pretil una sombra que, en el momento culminante, ondula desde la cúspide hasta la cabeza de piedra de Kukulcán.

Desde la ventana de su estudio en Michigan, año tras año, Eric sigue el progreso del Sol que cada día se pone más al sur, hasta que, en diciembre, llega el día más corto —y la noche más larga— del año: el solsticio, que significa «cuando el sol queda quieto». Entonces, al día siguiente, llega el confiable milagro. El Sol empieza a elevarse a su renovación, poniéndose cada tarde más al norte, alargando visiblemente los días al retirarse del árbol sin hojas que marca su visión del solsticio. Sin embargo, Eric sabe que el momento del solsticio es solo el principio del invierno. El elevarse del Sol no es sino una promesa ya que los días, incluso los meses que siguen, son más fríos que los de fines de diciembre.

Hay cuatro puntos cardinales en la ruta anual del Sol, dos solsticios y dos equinoccios. Los solsticios son fáciles de ver, señalados por los accidentes del horizonte: un árbol alto, un pico de montaña, el poste de un vecino. Pero advertir un equinoccio requiere más trabajo. En el caso de los mayas, este esfuerzo tenía una justificación universal, ya que para ellos la serpiente es una metáfora de la Creación, y que hayan elegido el equinoccio para glorificarla acentúa el estatus supremo de la luz en nuestra concepción del mundo. En el Génesis, Dios crea la luz y la separa de las tinieblas; no crea el sonido y lo separa del silencio —decimos esto para enfatizar el rol especial que desempeña la luz en nuestra intuición—. Una intuición que alcanza su clímax en 1905, cuando Albert Einstein identifica la luz como encarnación del absoluto en la realidad científica. Nada es más veloz que la luz; por más que corramos y tratemos de alcanzarla, siempre se alejará a la misma velocidad. Einstein destierra la noción de un espacio absoluto y de un tiempo absoluto. El tiempo y el espacio son nociones relativas al estado de movimiento. La luz, en cambio, sobrevive a esta degradación relativista y se preserva absoluta e invariable. El propio Einstein, poco después de publicar sus trabajos de 1905, llamaba «teoría de la invariancia» a la que luego se impuso bajo el nombre de «teoría de la relatividad». Y, como si se tratara de una ironía divina, la misma luz que Dios creó en el principio de los tiempos es crucial en dicha teoría para la definición del tiempo y de la simultaneidad. ¿Será una coincidencia?

Para Eric, la respuesta consiste en que somos seres visuales por excelencia: somos incapaces de discernir un susurro a pocos metros, pero distinguimos matices gestuales ínfimos a la distancia. La luz es sabiduría. «Dar a luz» es dar vida, «imaginar» es pensar visualmente; «perspicaz» —cuya raíz es la misma que «perspectiva»— es el individuo dotado de vista penetrante. Y en el equinoccio celebramos la luz, el momento que marca el inicio de los días más largos que las noches. Quizás no tanto el comienzo de la primavera o el otoño. En Los trabajos y los días, Hesíodo incluye información astronómica de utilidad para los agricultores: menciona los solsticios pero omite los equinoccios. Al fin y al cabo, en Italia y en España algunas plantas crecen ya con vigor el 21 de marzo. La Tierra es un trompo gigante que gira sobre una mesa invisible. Gira alrededor de su eje y gira alrededor del Sol. El eje de giro va del Polo Norte al Polo Sur y está inclinado respecto de la mesa. Del 22 de setiembre al 20 de marzo el hemisferio sur está más cerca del Sol; en la otra mitad del año le cede el privilegio al hemisferio norte. El punto de transición es el equinoccio: el equilibrio entre la luz y la oscuridad.

A medida que la serpiente de luz emergía, una creciente multitud de turistas de todo el planeta le iba quitando visibilidad. Alberto consiguió acercarse y sacarle unas fotos. En el momento culminante, todos empezaron a aplaudir. Estaban celebrando el triunfo de la luz.

La parte y el todo

Uno se acerca a un cuadro de Georges Seurat o a uno de los retratos descomunales de Chuck Close y solo ve puntitos de colores o círculos grises, mudos de significado, y entiende visceralmente aquello de que «el todo es mayor que la suma de las partes». Uno se aleja, retrocede unos pasos y, de pronto, como un milagro de la percepción, resurge la escena de un domingo en el parque o la cara de Philip Glass. ¿Qué pasó en el medio? ¿De qué manera extraña se integraron esos átomos inertes para configurar una imagen viva? La pregunta apunta a lo que la ciencia interdisciplinaria del momento —una especie de orgía intelectual entre la física, la economía y la neurociencia— llama «emergencia»: el estudio de propiedades del conjunto que no existen en el individuo. En la física hay ejemplos —rudimentarios para las ciencias sociales, pero relevantes para las ciencias «duras»— de emergencia. Meter la cubetera en el freezer es uno. Las moléculas del agua que sale de la canilla (las proverbiales H₂O) son una muchedumbre apretujada en constante movimiento en la que cada molécula solo «sabe» de las que están en contacto directo con ella. Al entrar a la heladera la temperatura empieza a bajar, la agitación disminuye y, de pronto, bruscamente, la muchedumbre caótica se coordina y emerge un orden tridimensional casi perfecto de moléculas, motivo que se repite en el espacio en todas las direcciones: se formó el hielo, el cristal de agua, el cubito. Lo importante de este ejemplo casero es que el congelamiento es un fenómeno cooperativo: para entenderlo no basta con saber cómo una molécula «se habla» con su vecina, sino que es indispensable entender de qué modo esos «mensajes» individuales se suman para generar un orden global. El agua congelada es un conjunto preciso y ordenado de moléculas de agua, como un gran ejército microscópico. El agua en su estado líquido es una muchedumbre desordenada de moléculas sin orden espacial.

Dentro del congelamiento, un ejemplo quizá más elocuente sea el de los copos de nieve que se forman cuando las moléculas van agregándose de a una sobre un núcleo microscópico de hielo en una atmósfera muy fría. El resultado es una estrella de seis brazos cuya forma depende de las irregularidades de su paseo por la atmósfera. Lo interesante es que si los observáramos de cerca, de muy muy cerca, veríamos que las moléculas son todas iguales, pero los copos son todos distintos. Quizás el problema más importante de la ciencia sea la contraparte de este tipo de fenómenos en la materia viva: una neurona, vista por sí sola, no es más que un elemento de un circuito eléctrico. Juntas, se enamoran.

Un esfuerzo muy sugerente en esta línea de estudio es el de Andrea Cavagna y sus colaboradores en la Universidad de Roma. Andrea es un físico especialista en líquidos y fenómenos similares al congelamiento del agua que hace pocos años se interesó por las bandadas de estorninos, unos pájaros que viven la mayor parte del año en el norte de Europa y pasan el invierno en Italia. Puso el foco en la danza colectiva de miles de «partículas» sobrevolando el atardecer de Roma, un cardumen aéreo que se desplaza y gira como un todo, a veces se separa en dos grupos que luego se reúnen e incluso, ante el eventual ataque de un halcón, reacciona conjuntamente, como si hubiera una «conciencia» colectiva (la metáfora es mía) que protege al conjunto más que al individuo. Andrea decidió estudiar las bandadas usando la misma metodología que se aplica a las moléculas de un líquido. Con su grupo instaló varias cámaras de alta resolución en el techo del palacio Massimo, cerca de la estación Termini, y tras unos meses de análisis pudo reconstruir la ubicación tridimensional (o «estereoscópica») de cada pájaro de la bandada. «Si bien hay miles de modelos sobre bandadas y cardúmenes, esto es algo que no se había hecho antes», me cuenta Andrea con el sosiego característico de quien ya dio muchas entrevistas sobre el tema. Lo llamativo de sus resultados es que cada pájaro se coordina con un número fijo de vecinos (alrededor de quince), independientemente de cuán lejos esté cada vecino. Como si los pájaros tuvieran una conciencia prenumérica, al igual que los bebés, que son capaces de distinguir entre uno y muchos o discernir un triángulo de un cuadrilátero sin contar los lados. Y lo más interesante todavía es que esa interacción provoca la cohesión de la bandada, que reacciona, a falta de líder, protegiendo al conjunto.

En 2004, el periodista James Surowiecki publicó La sabiduría de las multitudes (The Wisdom of Crowds), un libro liviano pero interesante, cuyo título alude a manera de vago homenaje a Delirios multitudinarios, del escocés Charles Mackay, publicado en 1841. Surowiecki cita un experimento que vale la pena probar: poner muchas bolitas (varios cientos) en una jarra y pedirle a cada miembro de una audiencia de unas 100 personas que adivine cuántas bolitas hay en la jarra. Como es de esperar, nadie acierta exactamente la cantidad, pero el promedio es mucho más cercano al número verdadero que cualquier adivinanza individual. En este caso, la «mente colectiva» es más eficiente que el individuo.

Los trabajos de Cavagna constituyen un progreso digno de nota, pero todavía no se conoce la lógica que rige las formas que los estorninos describen en el cielo y las leyes de emergencia de una inteligencia colectiva. Quizás se necesite un lenguaje distinto para describirlas, otros símbolos, a la manera de «Las golondrinas», de Jaime Dávalos: esos puntos oscuros en el cielo que «como sílabas negras, [… ] dicen adiós».

Humildad astronómica
Escrito en colaboración con Eric Rabkin.

Lo astronómico nos hace diminutos. Pequeños en tamaño y en nuestro potencial para alterar y controlar el universo. Mientras la química y la física son intentos por descifrar pero también por controlar las reglas del movimiento y del cambio —la órbita de un cohete, la ligadura de los elementos—, la jurisdicción de la astronomía está limitada a describir y a predecir; nos es imposible (al menos hasta ahora) alterar la órbita de Júpiter o el pasaje de la constelación de Aries en el cielo.

Mientras la física y la química no solo van a la cacería de conocimiento inédito sino que buscan crear algo que no existía antes —nuevos compuestos, satélites, celulares—, la astronomía se define por la comprensión de lo que ya existe. Las antiguas predicciones astronómicas del movimiento y de las posiciones de los objetos celestes apuntaban a relacionar las configuraciones de estrellas con fenómenos terrestres: con las estaciones, las cosechas, las mareas, el mejor momento para casarse. Pero a la mente humana le gustan los motivos y las extrapolaciones, y a partir de las relaciones verdaderas entre lo celestial y lo terreno —las estaciones son de hecho un reflejo de la posición de la Tierra respecto del Sol— imaginó una relación ficticia entre la posición de las estrellas y el destino humano: la astrología. Incluso hoy, la creencia popular favorece la astrología sobre la astronomía. En su libro La sociedad madura (1972), Dennis Gabor, el físico que recibió el Premio Nobel por inventar la holografía, puntualiza que en los Estados Unidos «10 000 personas se ganan la vida con la astrología y 2000 con la astronomía».

Nuestro impulso innato por descubrir las regularidades de la naturaleza y nuestra inveterada propensión hacia el pensamiento mágico hacen de la astronomía y de la astrología la intersección por excelencia entre la ciencia y la ficción. La coincidencia entre la aparición de cometas en el cielo y algunos eventos desastrosos en tiempos del Imperio Romano eran suficientes para atribuir a los cometas una naturaleza diabólica. Etimológicamente, «desastre» proviene de «mala estrella». Y, por supuesto, la posición de las estrellas en el ecuador celeste en el momento del nacimiento se suponía (y muchos siguen suponiéndola) determinante de nuestro destino.

Lo interesante para nosotros es que uno de los grandes preceptos astrológicos está sintetizado en la frase del astrónomo Tycho Brahe: «Al mirar arriba veo hacia abajo». Si fuéramos capaces de ver hacia abajo desde el cielo, desde la escala extraordinaria de los objetos astronómicos, internalizaríamos lo increíblemente diminutos que somos en el cosmos. Ese sentido de humildad implícito en la astrología está, quizás, detrás de la historia de la estrella de Belén.

El pasaje bíblico (Mateo 2:1-16) que describe a los Magos siguiendo una estrella que se detiene y queda fija en el lugar donde ha nacido el Niño fue analizado en muchísimos artículos como un evento astronómico verdadero. La idea de que podría haber sido un cometa fue considerada y descartada, no solo por su atributo «maléfico» sino porque no hubo cometas en los tiempos —o los supuestos tiempos— del nacimiento de Jesús. También fueron descartadas la conjunción planetaria (cuando dos o más planetas están situados muy cerca en el cielo) entre Júpiter y Saturno y la posibilidad de una supernova (una explosión estelar).

La estrella de Belén no puede analizarse entonces como un evento astronómico sino como un evento conceptual (o milagroso para el creyente), un evento astrológico. Y la elección de una estrella implica para nosotros una lección de humildad en tiempo de Navidad: una estrella señala la ubicación de un bebé, no del hacedor de milagros que luego sería Jesús; un bebé con un universo de potencialidades, pero al fin y al cabo, «solo» un bebé. Una estrella asociada con un Jesús humilde se encuentra en consonancia con la humildad astronómica, con nuestra insignificancia en el universo.

Dos grandes cuentos de ciencia ficción orbitan alrededor de esta idea. Y los dos se llaman «La estrella».

El primero, de 1897, de H. G. Wells, es el relato de un planeta que casi destruye el mundo antes de estrellarse contra el Sol. Wells, por cierto, sabía que los planetas no son estrellas, pero de todos modos lo titula «La estrella», acaso en homenaje al pasaje bíblico. La historia está narrada por alguien en la Tierra hasta que, en el último párrafo, aparece una referencia a los astrónomos de Marte, y el punto de vista de la narración pasa a ser el de alguien con una visión global de los planetas, del universo, alguien que puede ver «la estrella» chocar con el Sol desde lejos.

El segundo cuento es de Arthur C. Clarke y fue publicado en 1955, con el título «La estrella de Belén». En el comienzo Clarke despliega el lenguaje numérico afín al lector de ciencia ficción: «Estamos a tres mil años luz del Vaticano». Y la trama podría resumirse más o menos así: un grupo de exploradores espaciales regresa de un sistema estelar lejano donde descubrió una civilización más antigua y superior a la nuestra, tanto en lo estético como en lo moral, una civilización destruida por la explosión de su sol al convertirse en supernova. El astrónomo en jefe, un monje jesuita, sufre una crisis de fe. A partir de los restos de roca del planeta sobreviviente, el narrador reconoce el momento de la explosión y sabe a ciencia cierta en qué momento llegó a la Tierra la luz de esa conflagración. Y ese momento se corresponde con el nacimiento de Cristo. La crisis de fe del narrador deriva del capricho de Dios, que eligió como estrella de Belén justamente aquella que había sido el sol de una civilización «mejor» que la nuestra.

Ambos cuentos, y acaso la historia bíblica, son un paseo por la modestia astronómica. Clarke sugiere, en su contemplación de «la estrella», que aun creyendo en Dios debemos reconocer —como dice Wells en la última frase de su cuento— «cuán pequeña se ve la vastedad de las catástrofes humanas desde una distancia de unos millones de millas».

Deshojando margaritas

«Me quiere, no me quiere… mucho, poquito, nada» alude a un juego que homologa el amor con los múltiplos de cinco: me quiere si al último pétalo le antecedió el quinto, o el décimo, o el decimoquinto, etc. Dicho de otro modo: las margaritas del amor correspondido tienen un número de pétalos igual a 6, 11, 16, 21, etc. Ahora bien, ¿cuántos pétalos tiene una margarita verdadera? La respuesta invoca el origen del orden geométrico en la naturaleza y reúne la botánica con la matemática y la física; la naturaleza, al fin y al cabo, no se organiza como las universidades.

El tratamiento matemático de estos motivos naturales fue iniciado en 1837 por los hermanos Bravais, uno de ellos botánico y el otro físico, e inspiró a Auguste —el físico del dúo— su concepción de los motivos invisibles de los cristales: un ejército microscópico de átomos formando filas en posiciones regulares en tres dimensiones; una historia que ilustra el modo en que el mundo animado y el inanimado se iluminan mutuamente.

Los números de pétalos de la margarita se corresponden con los llamados «números de Fibonacci»: una secuencia de enteros que empieza con el uno, sigue con el uno y continúa de tal forma que cada número siguiente sea la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Las margaritas de Tafí del Valle, que en noviembre están en su esplendor, tienen 21 pétalos (como muestra la foto que me mandó mi amigo Freddy Powell). La margarita africana, la que Joe (Woody Allen) le regala a Von (Julia Roberts) en un canal de Venecia, tiene 55. Le pedí a Claudia López Aragón que lo verificara con una de su propia florería en Buenos Aires y contó 56.

La secuencia de Fibonacci tiene propiedades interesantes. Esta se destaca: el cociente entre un número y el anterior a él se aproxima gradualmente a la llamada «razón áurea» (el largo de la diagonal de un pentágono cuyo lado mide uno). Por ejemplo 55/34 = 1,6176; y a pesar de que los números se van tornando enormes, el cociente entre consecutivos se va acercando a un número que comienza con 1,61803399 y continúa con infinitas cifras «desordenadas» después del decimal, sin motivos numéricos que se repitan: la razón áurea es un número «irracional». El adjetivo «áureo» se origina en la observación —debatible— de que la proporción 1,618… es agradable a la vista: el cociente entre el ancho y el alto del Partenón, de los cuadros del Renacimiento y de otros rectángulos artificiales es aproximadamente la razón áurea. Aunque estudios detallados desacreditan la observación. (Por ejemplo, una estadística realizada entre 565 cuadros de pintores famosos publicada en 1999 por Agata Olariu da un cociente promedio de ancho y alto de 1,34, sustancialmente distinto de 1,61).

Pero en las plantas y las flores, por una razón de eficiencia, la razón áurea y los números de Fibonacci aparecen sin ambigüedades. Digamos que quiero construir una escalera caracol —que representa una planta— cuyos peldaños sucesivos —las hojas— estén separados por la misma altura y el mismo ángulo. Pregunta: ¿cuál es el ángulo óptimo entre escalones contiguos de manera que reciban —verticalmente— la mayor cantidad de luz solar? Pruebo con un cuarto de vuelta, esto es, un peldaño y el siguiente forman un ángulo de 90 grados. No es una buena elección: desde arriba se verá una cruz y la mayoría de los peldaños quedarán en la sombra. Con un quinto de vuelta, desde arriba se verá una especie de estrella de mar de cinco puntas. Tampoco es una buena elección. Lo mismo ocurre con tres cuartos de vuelta: se seguirá viendo una cruz. Lo mejor, entonces, es elegir una fracción «irracional» de vuelta: un número que no sea el cociente entre enteros. ¿Cuál número irracional? Curiosamente, la irracionalidad de un número puede cuantificarse y la razón áurea es el «más irracional de todos»: es el más difícil de aproximar por un cociente de enteros. Conviene, entonces, disponer los escalones separados por un ángulo de 0,618 vueltas, o 219, 6 grados: el «ángulo áureo» (dar 1,618 vueltas es lo mismo que dar 0,618 vueltas). Así están dispuestas las hojas del rododendro: una hélice con las hojas en un ángulo cercano al áureo.

Con la margarita —y también con las semillas del girasol, las piñas de pino y los hexágonos de la cáscara del ananá— pasa algo similar. Por ejemplo, pongamos una moneda —que representa la inflorescencia de la parte amarilla de la margarita— sobre la mesa y vayamos agregando otras a su alrededor, una por una, agrupándolas de la manera más compacta posible. Si las monedas son del mismo tamaño, el resultado será un arreglo regular, como el de las naranjas de la verdulería, que aparece en la naturaleza en los panales de abeja y en el ojo de la mosca. Pero para simular la situación botánica es necesario ir agregando monedas cada vez más grandes, porque las inflorescencias crecen. Lo mejor es agregarlas de tal modo que cada moneda forme un ángulo áureo con la anterior, y el resultado sea un apilamiento donde se distingan dos grupos de espirales girando en sentidos contrarios. Y no un número cualquiera de espirales sino números consecutivos de Fibonacci, que se aproximan a la razón áurea. Los pétalos emergen en los extremos del grupo de espirales, y de ahí el número de pétalos.

En su versión original francesa —y en la mayoría de los idiomas, incluso en España— el juego es binario: «Me quiere, no me quiere». Desconozco si la versión de cinco variantes, que tiene algo de solitario, es un invento argentino. Yo la simplificaría por el: «Me quiere, me quiere…».

Física en los tangos

Estoy en el café Tortoni, famoso, al decir de Octavio Paz, por «sus espejos, sus doradas molduras, sus grandes tazas de chocolate y sus fantasmas literarios». A mis espaldas suena una conversación que parece llevar horas, en varios idiomas, entre personajes de otro tiempo. Están discutiendo letras de tango, defendiendo versos predilectos.

—Así que usted se inclina por «Parece un pozo de sombras la noche», doctor Olbers —escucho que dice una voz grave con acento inglés monárquico—; mi preferida, en cambio, es «Yo adivino el parpadeo de las luces que a lo lejos van marcando mi retorno».

—El parpadeo de las luces lejanas se debe a que los rayos de luz se quiebran y desvían al atravesar zonas donde la densidad del aire varía. Por eso titilan las estrellas, por eso se ve el espejismo, por eso es ovalado el Sol del atardecer. Sabrán que yo fui el primero en explicar cómo el aire afecta la luz en mis trabajos de 1871 —el que habla ahora es lord Rayleigh, me digo, sin preguntarme cómo podría haber llegado tan egregio personaje a la Buenos Aires actual. Al parecer se está dirigiendo a Heinrich Olbers, quien en 1823 postuló la siguiente paradoja: si el tamaño del universo es infinito y las estrellas están distribuidas por todo el universo, deberíamos ver estrellas en todas las direcciones y el cielo nocturno debería ser brillante. Sin embargo, es oscuro, como el de «Garúa». ¿Por qué? Porque el universo no existió desde siempre, sino que tuvo un comienzo. Por lo tanto, nuestra visión del cielo solo se extiende hasta la distancia que la luz recorre —desde el pozo de sombras— en un tiempo igual a la edad del universo.

—Yo fui plagiado en muchos tangos —interrumpe una voz a todo volumen, en un inglés con acento alemán de parodia. Ya escuché esa voz en videos de YouTube: Albert Einstein, inconfundible—. Bueno, quizás citado y no plagiado —agrega riendo—. Y mi preferida es «pasan las horas y el minutero muele la pesadilla de su lento tictac».

El gran Albert se está refiriendo a que el concepto de tiempo, tan cortejado por los filósofos, en su teoría se define «simplemente» como lo que marcan los relojes mediante la posición de sus agujas.

—Y del mismo tango —prosigue, sin abandonar el concepto— rescato: «En la plateada esfera del reloj, las horas que agonizan se niegan a pasar». ¿No le parece, Minkowski?

Albert se está dirigiendo a Hermann Minkowski que, alcanzo a ver de reojo, degusta una leche merengada con mucha azúcar. Minkowski había sido su profesor en Zurich y en 1908 reinterpretó la teoría de Einstein proponiendo el concepto de «espacio-tiempo», la idea de que el tiempo se suma al espacio: en la relatividad el dónde y el cuándo se entrelazan. Por eso no me sorprende que, mientras afila la punta de su bigote alfredopalaciesco, Minkowski le responda aludiendo a los versos de «Tinta roja»:

—Estoy de acuerdo, mi amigo, pero mis favoritos son: «¿Dónde estará mi arrabal? ¿En qué rincón, luna mía, volcás como entonces tu clara alegría?».

Los genios fuman. El mozo se acerca a la mesa con intención de amonestarlos y ya está por decir «no smoking» cuando advierte que el humo no tiene olor. Los estudia con desconfianza, quizá pensando que son de utilería. Mira las estatuas de cera, luego la de Borges, buscando aclarar su desconcierto. Borges, siempre quieto, le devuelve una mirada con doble ceguera de estatua y de ciego. El mozo regresa al mostrador.

—Si me permiten citar una milonga campera —irrumpe una voz de acento británico— quiero destacar —y procede con cadencia yupanquiana—: «Porque no engraso los ejes, me llaman abandonao; si a mí me gusta que suenen, pa’ qué los quiero engrasaos».

Trato de distinguir su rostro, que veo apenas reflejado en un espejo. Por sus rasgos afilados sospecho que se trata de Osborne Reynolds, quien en 1886 publicó su famosa ecuación de la lubricación usando fluidos (grasa animal en el caso de «Los ejes de mi carreta»). El comentario desata un rumor de conversaciones simultáneas entre los físicos. Alcanzo a descifrar que aluden a un sobrerrelieve egipcio del año 1800 antes de Cristo que muestra el primer caso documentado de lubricación: un obrero —siempre de perfil— echa un lubricante entre el pedestal y el piso, reduciendo así la fricción y facilitando el traslado de la estatua de piedra de la reina Ti.

—De este cambalache de ideas, distinguidos colegas —dice uno con acento de lord inglés—, quiero rescatar el argentinísimo «ves llorar la Biblia junto al calefón». No olviden que yo, partiendo de que la Tierra se originó como una esfera incandescente, calculé que tardaría en enfriarse (hasta la temperatura actual) unos 30 millones de años, muchísimos más de los que postulaban los literalistas bíblicos (en 1650, el arzobispo irlandés James Usher concluyó que la Tierra había sido creada el 26 de octubre de 4004 antes de Cristo, a las nueve de la mañana).

El que habla es lord Kelvin. La idea de su cálculo es correcta, pero subestima la edad de la Tierra (unos 4500 millones de años). La discrepancia es producto de que la Tierra tiene un «calentador» interno que funciona con radioactividad, fenómeno que Kelvin —fallecido en 1907— obviamente desconocía.

La alusión bíblica pone incómodo a Minkowski y la charla se desordena.

Me levanto, decidido a pedirles que me aclaren las innumerables dudas que me quedaron después de estudiar sus trabajos, pero los genios se desvanecen en el aire. Me pregunto si en verdad estuvieron allí, en una mesa del café Tortoni o es que el tango, una vez más, creó un «turbio pasado irreal que de algún modo es cierto».

Física en la Biblia

Soy agnóstico. Leo la Biblia como una magnífica catedral literaria y no como la palabra de Dios. Me fascinan (las que para mí son) sus metáforas: su Sol que se detiene, su mar que se divide, sus panes que se multiplican.

Con el tiempo fui anotando citas que quizá no sean metafóricas y expresen el conocimiento científico del momento o aludan de algún modo a la física. En Apocalipsis 21:18, por ejemplo, la ciudad es de oro transparente. El oro, como todos los metales, refleja la luz y por lo tanto es opaco. Sin embargo, la luz puede penetrar un poco dentro del metal, de modo que una película de oro de unos 100 átomos de espesor puede ser transparente.

En Reyes I 7:23, Salomón hace fundir un mar perfectamente redondo, de diez «codos» de diámetro y «a su alrededor un cordón de treinta codos». Hoy sabemos que el cociente entre el perímetro y el diámetro del círculo, el famoso «pi», es un número cercano a 3, con infinitas cifras azarosas después de la coma (3,141592…). Reemplazarlo por 3, como se hizo en el Antiguo Testamento, puede ser una útil aproximación práctica, pero es un error y hay quienes ridiculizan a la Biblia por esta imprecisión.

En Mateo 16:2, Jesús dice, con cierta validez científica: «Cuando anochece decís “Hará buen tiempo porque el cielo está rojo”». Por un lado, en latitudes intermedias las tormentas (en general, no siempre) van de oeste a este. Por otro, debido a la dispersión de la luz en la atmósfera, el sol se ve rojo en los atardeceres. El cielo será rojo en el atardecer si hay nubes al este, y la presencia de nubes al este indica que la tormenta se está yendo: habrá buen tiempo.

Le comenté mi lista a Donald Page, físico católico de la Universidad de Alberta en Canadá y autor de famosos trabajos escritos en coautoría con el mítico Stephen Hawking (Donald aparece en la película basada en La breve historia del tiempo). Conocía mis ejemplos. De inmediato mencionó Efesios 3:18, donde se habla de «la anchura, la longitud, la profundidad y la altura» (¡cuatro dimensiones!, esas que ya comentamos en el capítulo «Aniversario del espacio») del amor de Cristo, lo que podría tomarse como una indicación de un espacio-tiempo, aunque Pablo bien podría estar enfatizando el amor de Cristo por medio del agregado de una dimensión al espacio pero sin tener en mente al tiempo como la cuarta. En clara referencia a esta cita bíblica, en su cuadro «Crucifixión» (véase p. 69) Salvador Dalí muestra un Cristo sin sangre, levitando en una cruz hecha de cubos que a su vez son la proyección tridimensinal de un hipercubo —un cubo de cuatro dimensiones—: si desplegamos las «caras» de un cuadrado (figura de dos dimensiones) en una línea, obtenemos cuatro segmentos. Si desplegamos las caras de un cubo (figura de tres dimensiones) en un plano, obtenemos seis cuadrados. Y si, en una audaz generalización, desplegamos un hipercubo (figura de cuatro dimensiones) en un volumen, obtenemos los ocho cubos de la, precisamente por esto, extraordinaria pintura de Dalí.

La alegoría de las cuatro dimensiones podría incluso enmarcar las ocasionales desapariciones o apariciones bíblicas: son «escapadas» a otra dimensión. Por ejemplo, en Juan 10:39, Jesús desaparece de las manos de sus captores; en Lucas 24:31, desaparece de la vista durante la cena en la casa de Cleofás, y en Juan 20:19 (e incluso en Juan 20:26), aparece de repente en una habitación cerrada. Si bien lo más apropiado sería decir que las de Jesús son desapariciones mágicas, es interesante que un objeto que «vive» en una dimensión mayor (digamos, cuatro dimensiones) pueda aparecer y desaparecer al proyectarse en un espacio tridimensional. Esa situación está representada en la siguiente figura, donde la proyección —o la intersección, que en este caso es lo mismo— de una esfera que viaja por un espacio de tres dimensiones con un plano de dos dimensiones produce una figura que aparece y desaparece.

Un habitante de Planilandia (como en el clásico epónimo de Edwin Abbott), encerrado en una habitación de dos dimensiones (una habitación cuadrada, por ejemplo) y sin acceso a la tercera dimensión, vería un círculo que aparece y desaparece dentro de una habitación cerrada. En esta alegoría geométrica, Jesús sería una entidad que existe en cuatro dimensiones de la que solo vemos una proyección sobre nuestro mundo tridimensional y que puede aparecer y desaparecer, como la esfera proyectada del dibujo.

Sobre los ataques contra la Biblia a raíz de pi = 3, Page acota que, al dividir el perímetro por el diámetro de un círculo, el resultado es 3,1415… solo cuando el círculo está dibujado en un plano. Pero en una superficie curva (o en un espacio curvo) no es así. Por ejemplo, digamos que vamos (como en el infierno de Dante del capítulo «Relatividad para borgeanos») desde un punto de un círculo trazado en la Tierra (un paralelo) hacia su centro (el Polo Norte). El camino más directo (el radio) es seguir un meridiano, pero no obstante es más largo que el radio del mismo círculo dibujado en un plano. ¿Acaso la Biblia refiere a un mar en un espacio curvo? «Matemáticamente» posible, pero dudoso. Lo más sensato: la imprecisión es un error de redondeo.

En Eclesiastés 1:7, también parece haber algo de física: «Todos los ríos van al mar, pero el mar no se llena. Al lugar de donde los ríos vinieron, allí vuelven para correr de nuevo». Un mar que no se llena con el flujo constante de los ríos sugiere cierta comprensión del ciclo del agua: la lluvia era obviamente conocida y la evaporación era algo seguramente observado en las vasijas donde se juntaba el agua, de modo que la cita insinuaría que el agua evaporada vuelve en forma de lluvia. Desconozco si en tiempos bíblicos se sabía que el agua evaporada no «desaparece» sino que sigue existiendo, pero la alusión no deja de ser llamativa.

Y pasando del agua al vino, Proverbios 23:31 podría interpretarse como una alusión a la tensión superficial: «No mires al vino cuando rojea, cuando resplandece su color en el vaso: entrase suavemente». La tensión superficial es una peculiaridad de todo líquido; su superficie se comporta como una membrana tensa, como la superficie de un globo inflado, y la tensión superficial del agua baja al mezclarla con alcohol. El alcohol del vino que moja las paredes de la copa se evapora rápido (más rápido que el agua), lo que hace que esa película sea más tensa que la superficie del vino. Al ser más tensa, arrastra el vino de la copa hacia arriba, y ese vino forma unas gotas que luego caen sobre la superficie de la copa y forman las proverbiales lágrimas del vino.

Algunas alusiones bíblicas pueden leerse —y así las leo— como invitaciones al método científico. En Proverbios 25:5, Salomón dice: «Gloria de Dios es encubrir un asunto, pero honra del rey es investigarlo», como en una especie de llamado a estudiar la naturaleza. Pero luego, algo enigmáticamente, agrega: «Para la altura de los cielos, para la profundidad de la tierra y para el corazón de los reyes, no hay investigación». La experimentación como método para descifrar las regularidades de la naturaleza ingresa en la cultura recién con Galileo. No obstante (y para reaseguro de los vegetarianos), en Daniel 1:12-14 hay un experimento controlado para demostrar las virtudes de una dieta de legumbres y agua contra la usual «comida del rey». Al cabo de diez días, Daniel, Ananías, Misael y Azarías, que comieron vegetales, tienen mejor cara que la de «los otros muchachos que comían la porción de la comida del rey».

El poder de la evidencia —crucial en la física— aparece en Juan 20:24-26, cuando Tomás, incrédulo, se resiste a aceptar sin evidencia la resurrección de Jesús: «Si no veo en sus manos la señal de los clavos», dice, «y meto mi dedo en el lugar de los clavos, y meto mi mano en su costado, no creeré». Luego Jesús resucita y Tomás cree, pero Jesús bendice a los que creyeron sin ver. Para Richard Dawkins, uno de los campeones del nuevo ateísmo, Tomás es el único admirable de los doce apóstoles por su demanda científica de evidencia empírica.

Y por último, el principio. De acuerdo con los modelos aceptados hoy, el universo tuvo un comienzo, el llamado big bang, que ocurrió al menos hace 10 000 millones de años. El hecho de que haya habido un comienzo, de que el mundo no haya existido desde siempre, es compatible con la Biblia. Esto es algo que conversé con Page. Para él, la frase «La tierra estaba desordenada y vacía» de Génesis 1:2 podría interpretarse como el «preespacio» sin geometría de las teorías actuales de gravedad y cosmología cuántica. Y «Sea la luz» de Génesis 1:3 podría identificarse con la formación del fondo de microondas cósmico (una de las evidencias del big bang). Y el hecho de que los astros «sirvan de señales para las estaciones, los días y los años» de Génesis 1:14 se podría considerar una ilustración de que el tiempo está mal definido en la gravedad cuántica y solo está dado por el movimiento de entidades físicas (sin movimiento de objetos no hay sentido del tiempo). Pero quizás estemos estirando demasiado las cosas al leer un texto antiguo con los anteojos de la ciencia actual, y el propio Page es escéptico respecto de sus enunciados. Lo cierto es que para la visión actual, con el big bang no solo comienza el universo sino que empieza el tiempo. La pregunta «¿qué hubo antes del big bang?» presupone que hubo un antes, pero sin tiempo no hay «antes». Entender ese concepto es difícil, acaso imposible, tanto como imaginar un mundo de cuatro dimensiones. Esa es, claramente, una limitación de mi mente y de la mayoría de las mentes que fueron diseñadas para lidiar con objetos que se mueven con parsimonia en las sabanas africanas, donde las cosas ocurren de manera secuencial, donde todo después tiene su antes. Un evento sin un «antes» es un concepto que transgrede los límites de nuestra imaginación, algo que quizás solo podremos apreciar metafóricamente, como todo aquello que, al decir de Pablo, entendemos en parte.

¿Dilución o ilusión?

De lo dicho y recomendado sobre la gripe A destaco un rasgo de sensatez colectiva: la omisión casi total de los remedios homeopáticos, algo llamativo si se tiene en cuenta que, según una encuesta de TGI (Target Group Index, una compañía inglesa de investigaciones de mercado), el 25% de los argentinos residentes en áreas urbanas confía en la homeopatía.

En la genealogía seudocientífica, la homeopatía ostenta un aura de legitimidad sobre sus parientes cercanos, la astrología o la numerología. Pero, a pesar de esa diferencia de prestigio, todas comparten un atributo: el uso de conocimiento científico establecido como trampolín de salto hacia un territorio mágico fuera de la lógica científica.

La homeopatía se basa en dos principios propuestos por el médico alemán Samuel Hahnemann en 1810 en su Organon de medicina homeopática: la «ley de los similares (homeo)» y la «ley de los infinitesimales». Según la primera, una sustancia que causa ciertos síntomas en un individuo sano cura al paciente enfermo (pathos) con los mismos síntomas. Según la segunda —una especie de «menos es más»—, un remedio se vuelve más efectivo al diluirse, de modo que los más potentes son aquellos diluidos al punto de no contener una sola molécula de la sustancia activa.

Si bien en 1810 la idea de las moléculas ya andaba dando vueltas (Amadeo Avogadro publicaría su hipótesis molecular al año siguiente), todavía no había certeza de su existencia, de modo que sería injusto cuestionar por esto a Hahnemann. Pero hoy sabemos mucho más y esas «leyes» contradicen el conocimiento científico acumulado entre tanto.

El trampolín de apoyo de la homeopatía es, por un lado, la analogía de la ley de los similares con el funcionamiento de las vacunas y, por otro, un atisbo de asidero de la doctrina de los infinitesimales, ya que algunas drogas son más eficaces en diluciones pequeñas. «El error homeopático —dice Martin Gardner en su clásico Fraudes y falacias en nombre de la ciencia— fue tomar estas verdades parciales, extrapolarlas al límite del absurdo y aplicarlas universalmente a todos los medicamentos».

Parte del prestigio de la homeopatía frente a otras seudociencias se basa en que el conocimiento médico actual es comparativamente inferior al de las matemáticas y la astronomía. Al fin y al cabo, la complejidad de la vida es superior a la del cosmos. En medicina quedan profundas incógnitas por explorar y existen numerosas terapias cuyo funcionamiento no se comprende del todo bien. Pero con la homeopatía la situación es diferente: es fácil comprender por qué no puede funcionar.

Para ilustrar su grado de extravagancia (desde el punto de vista físico), consideraremos la preparación homeopática más famosa para los síntomas de la gripe: el Oscillococcinum (marca registrada de la compañía francesa Boiron), que se consigue en los supermercados de Estados Unidos a unos 8 dólares el paquete de tres comprimidos. En la cajita puede leerse el símbolo «200CK». Esto significa que la sustancia activa (derivada del hígado de pato) es primero diluida al 1%: es decir que se agrega una gota en un frasco que contiene 99 gotas de agua. Se agita el frasco y luego se agrega una gota de la mezcla resultante en un segundo frasco, que a su vez contiene otras 99 gotas de agua. Y el procedimiento se repite 200 veces. El resultado es que la mezcla final contendrá una fracción de gota activa equivalente a una parte en 100 elevada a la potencia 200 (o, lo que es lo mismo, uno seguido de 400 ceros). Compárese con el número de átomos de todo el universo, que es «apenas» uno seguido de 100 ceros (el proverbial «googol»), y se llegará a la conclusión de que, aun ingiriendo galaxias y galaxias de píldoras homeopáticas, no podría garantizarse que hayamos ingerido ni siquiera una molécula de la sustancia activa. La escuela homeopática dice que esa dilución casi absoluta —dilución que está al límite de la ilusión— no importa, ya que el agua puede «recordar» que la sustancia estuvo ahí alguna vez.

A manera de argumento citan un artículo, publicado en la revista Nature en 1988, donde el inmunólogo francés Jacques Benveniste afirmaba tener evidencia (que nunca fue reproducida y hoy está completamente desacreditada) de la «memoria del agua».

¿Cómo se explica, entonces, la popularidad de la homeopatía? El abanico de razones incluye el desencanto del público con la medicina tradicional alopática, el hecho de que ciertas enfermedades sigan sin tener cura, el miedo a los efectos secundarios de las drogas convencionales y la comprensión errónea (arraigada en las creencias supersticiosas) de la diferencia entre correlación y causa y efecto. Por ejemplo, una alta proporción de obesos toma bebidas gaseosas light, pero eso obviamente no implica que la gaseosa light cause obesidad. Discernir una relación de causalidad requiere aislar los factores que puedan actuar simultáneamente, y la cosa se complica cuando intervienen experiencias personales que dificultan identificar qué es causa y qué es efecto.

Para Edzard Ernst, profesor de medicina complementaria en la Universidad de Exeter y autor de más de setecientos artículos serios sobre el tema, la mejoría de un paciente que consulta a un homeópata no implica que esta se deba al medicamento. La primera consulta puede durar casi una hora, lo suficiente para generar empatías y «aumentar las expectativas del paciente». «El remedio podría ser un placebo», nos dice, «y el encuentro, terapéutico».

Los efectos de la homeopatía son más cercanos a la sugestión que a la acción química de un compuesto. Pero las fantasías pueden ser reconfortantes y, mientras resulten inofensivas, no sería sensato censurarlas. Al menos no a la manera de sarcasmos como el del astrónomo Philip Plait: «Si la homeopatía funciona, entonces obviamente es más fuerte cuanto menos se use. Por lo tanto, la mejor forma de aplicarla es directamente no usarla».

Sanación cuántica

A principios del siglo XX la física se quedó sin palabras. Los nuevos experimentos requerían una nueva teoría del mundo microscópico: nuevos conceptos que estaban (están) fuera del lenguaje corriente. La teoría creció gradualmente y tomó forma a fines de la década del veinte. Un conjunto preciso de fórmulas permitía explicar los experimentos y predecir nuevos escenarios. Pero su eficacia marcaba un inusitado contraste con su significado. No era claro cómo había que interpretarlas, y eso no había pasado antes con la física.

Los creadores de la teoría eran expertos en la física de Newton —que explicó el movimiento planetario—, en las teorías de la luz, de las ondas de sonido, de las ondas en la superficie del agua. En cada uno de los casos, la interpretación de las fórmulas era clara: una onda es una perturbación que se propaga y posee una representación matemática precisa; un planeta es una «partícula», un cuerpo que se mueve, y su movimiento tiene también su representación matemática sin ambigüedades interpretativas. Con la nueva física ocurre algo muy interesante: la descripción matemática del mundo microscópico es un híbrido de las descripciones ondulatoria y corpuscular. Funciona a la perfección, pero no está claro qué representa. Según esta «nueva física», la así llamada física cuántica —los habitantes del mundo microscópico, los electrones, los protones, las entidades que componen nuestros cuerpos— adolecen de una enigmática esquizofrenia: son, a la vez, onda y partícula. O, quizás más precisamente, su descripción es esquiva a la red de conceptos de nuestro lenguaje, inventado a lo largo de milenios para describir nuestras experiencias cotidianas. Hablar de ondas y partículas para el mundo cuántico es usar analogías de la experiencia cotidiana para describir el mundo microscópico. El electrón no es ni onda ni partícula, es algo distinto; y si insistimos en que sea una partícula, aparecen nociones nuevas: tenemos que admitir la posibilidad de que ese electrón pueda estar simultáneamente en muchos lugares. En infinitos lugares. Eso no existe en nuestra intuición. Y aquí surge un aspecto muy interesante de la física cuántica, que todavía hoy sigue siendo tema de debate. Una vez que ese electrón entra en contacto con una entidad macroscópica (un aparato de laboratorio con agujas e indicadores visibles, o la mente del observador que registra el resultado del aparato) deja de estar en muchas partes a la vez para estar en una ubicación precisa y definida. El objeto macroscópico cambia el estado del objeto microscópico, lo «obliga» a pasar de su existencia simultánea en varias copias de sí mismo a la unicidad mundana del existir en un solo lugar definido. Hasta aquí la física cuántica, inevitablemente presentada con analogías y metáforas.

Pero la tentación de estirar las analogías hasta extrapolarlas a una tierra de nadie conceptual es también inevitable. Decir que una medición, o una detección, altera el estado del electrón no es lo mismo que decir que nuestra mente es capaz de alterar la realidad del mundo cotidiano. Quizás lo sea, pero no mediante los mecanismos de la física cuántica. La física cuántica es enigmática, no hay duda, pero (hasta hoy) no tiene nada que decir sobre la interacción cuerpo-mente ni sobre nuestra capacidad de afectar el mundo que nos rodea. A pesar de eso, el uso indiscriminado y torpe de esas analogías se ha convertido en una industria. Los casos más prominentes son Deepak Chopra, con su sanación cuántica y sus alternativas cuánticas al envejecimiento, y la película ¡¿Y tú qué sabes?!

Al comienzo de la película se ilustran los principios de la física cuántica con una pelota de básquet que puede estar en muchos lugares a la vez. La ilustración es válida como analogía, ya que todo espectador la reconocerá como una exageración pedagógica. Pero luego las ideas van transmutando hasta que una mujer, motivada por revelaciones cuánticas, tira a la basura su medicación antidepresiva. Dejar un antidepresivo no tiene nada de criticable, pero justificarlo desde la física cuántica es un disparate. Entre los propulsores de este docudrama está Judy Zebra Knight, la maestra mística que sostiene que Ramtha, el guerrero espiritual de 35 000 años de edad, se le apareció en su cocina en Tacoma (Washington) y ahora ella «es» Ramtha. Uno de sus discípulos es el principal inversor de la película. Para Knight, «el espíritu de la conciencia puede absorberse en el cerebro y esos pensamientos pueden cambiar tu vida». Es posible que sea cierto, pero su conexión con la física cuántica es nula. Chopra tiene una prosa poética y un estilo capaz de provocar una legítima paz interior. Pero invocar sustento científico para sus argumentos es deshonesto.

Claro que no todo es culpa suya. El lenguaje de la física es vulnerable al uso ambiguo ya que —a diferencia de otras disciplinas— su jerga está compuesta de términos cotidianos. Mientras la biología y la medicina inventan términos nuevos (apelando al griego y al latín) para redefinir conceptos conocidos, la física sigue usando palabras conocidas para designar conceptos nuevos. Las palabras de la física (quizás con la excepción de algo llamado «entropía») son comunes: trabajo, energía, fuerza, onda, temperatura. «Fuerza» y «energía» significan algo muy específico dentro de la física, en general distinto del uso corriente, en el que tienen incluso más de un significado. Y seguimos utilizando «onda» y «partícula» para describir un mundo microscópico que no entendemos del todo.

Esa vulnerabilidad permite a los gurúes de la New Age hipnotizarnos con una pirotecnia de términos cuánticos que no son otra cosa que artificios fonéticos.

Lo que diga el GPS

El cabo López analiza el video que los secuestradores mandaron como prueba de vida. En una esquina de la pantalla, un reloj digital muestra el tiempo de la grabación. De pronto, detrás de la voz de la secuestrada, en el video suena un campanario que da las cinco en punto de la mañana. López tiene buen oído y reconoce el sonido del campanario de la iglesia A. Ahora bien, simultáneamente con el sonido del campanario, el reloj de la pantalla muestra las cinco y dos segundos. Una diferencia sutil: López sabe que el campanario es puntualísimo. Pasan dos segundos más (el reloj muestra las 5 y cuatro segundos) y en el video suena el campanario de la iglesia B, dando también las 5 en punto. López sabe que el sonido recorre 340 metros por segundo y concluye que la secuestrada está a 680 metros de la iglesia A y a 1360 metros de la iglesia B. En un mapa de la zona traza dos círculos, uno de 680 metros de radio centrado en A, y otro de 1360 metros de radio centrado en B. Los círculos se intersectan en dos puntos. Uno es un lago, y López lo descarta. El otro es la ubicación buscada.

Así funciona el GPS, acrónimo de Global Positioning System (sistema de posicionamiento global) y sinónimo de un aparato cada vez más popular que causó una revolución en la navegación y en la cartografía, y cuya popularidad va en aumento en la Argentina. Algunos taxis de la ciudad de Buenos Aires ya lo tienen.

En el funcionamiento del GPS, el rol de los campanarios es desempeñado por una constelación de veinticuatro satélites que orbitan la Tierra a unos 20 000 kilómetros de altura y que transmiten la hora constantemente. El rol de las campanas queda a cargo de relojes atómicos de altísima precisión. El rol del sonido es jugado por las ondas de radio que viajan a la velocidad de la luz. El del reloj digital en la pantalla del cabo López es desempeñado por un reloj preciso ubicado dentro del GPS, y el del cabo López, por una computadora en el GPS que, sobre la base del retraso del reloj del GPS con respecto a los tiempos provenientes de los satélites, computa la ubicación.

La velocidad de la luz (300 000 kilómetros por segundo) es muchísimo mayor que la del sonido, claro. Pero no es infinita; de modo que cuando vemos algo, estamos viendo el pasado. A modo de ejemplo sugiero un posible tema para un cuento: un astrónomo aficionado de 35 años, desde el jardín de su casa, apunta un telescopio último modelo a un planeta que está a 15 años luz (la distancia que recorre la luz en 15 años). Descubre, en el planeta, un espejo. Logra enfocar la imagen y ve el jardín de su propia casa. Logra discernir el Renault modelo 78, recién salido de la fábrica, de su padre y a un niño de cinco años que juega en el pasto. Es él mismo 30 años atrás.

Para distancias más pequeñas, los tiempos son por cierto más breves: cuando nos vemos en el espejo del baño nos vemos 0,000000003 segundos más jóvenes; un efecto rejuvenecedor casi despreciable para nuestra percepción, pero no para el GPS. Para saber si estamos en la avenida Corrientes al 500 o al 600, el GPS debe discernir retrasos de fracciones ínfimas de segundo.

El funcionamiento del GPS resulta de la unión matrimonial entre el espacio y el tiempo: la medición muy precisa de retrasos de relojes sincronizados nos permite ubicarnos en el espacio. Y lo más fascinante para mí es que la precisión requerida convierte al GPS en una realización de las ideas de Einstein sobre el espacio y el tiempo, ideas que cuando era estudiante me parecían ciencia ficción, pero que aquí se vuelven cruciales. Como ya vimos en el capítulo «Relatividad para borgeanos», en la teoría de la relatividad, el tiempo, el tictac de un reloj, no es un fenómeno absoluto sino relativo: si Alicia y María tienen relojes idénticos y Alicia pasa en bicicleta muy rápido cerca de María, María percibe que el tictac de su reloj es más rápido que el de Alicia. A su vez ¡Alicia percibe que su reloj es el que va más rápido! ¿Cuánto más rápido? Según Einstein, para que la diferencia sea realmente «perceptible» Alicia tiene que moverse a una velocidad cercana a la de la luz. Los satélites del GPS se mueven a unos 4 kilómetros por segundo (14 400 kilómetros por hora), mucho más lento que la luz, por cierto; pero aun así el efecto relativista es crucial. Einstein también predijo que el tiempo depende de la gravedad: si pasáramos un año entero en una estación localizada a la altura de los satélites de GPS volveríamos unas milésimas de segundo más viejos que si hubiéramos permenecido en la Tierra. Si el GPS no tuviera en cuenta estos pequeños efectos einstenianos, el error sería acumulativo, aumentando a razón de 11 kilómetros por día; el sistema se desbarataría y sería imposible ubicarnos. Finalmente, para guiar a una persona desde su casa hasta el club, el GPS tiene que «conocer», además de la ubicación en la Tierra, el plano de la ciudad.

Gracias al GPS llegará un buen día en que sabremos dónde están todas nuestras cosas y nuestros amigos y habrá autos que se manejen solos. Yo celebro la proximidad del momento en que me suba a un taxi en la estación Retiro, diga «A Cabildo y Juramento por favor» con mi tonada tucumana transparentando el miedo a que me paseen, el taxista me apunte con su «¿Por dónde quiere ir?» calibre 45, y yo desenfunde un neutralizante «Por donde diga el GPS».

La parábola del chorro de agua

Usted abre la canilla. Un cardumen innumerable de moléculas de agua se abre paso por las curvas de la manguera. Llegan al extremo y salen despedidas al cosmos del jardín. Dos fuerzas moldean la breve órbita de esas naves microscópicas: la gravedad, que quiere acercarlas al centro de la Tierra, y la electricidad, que las atrae unas a otras. Por eso, al salir de la manguera, el cilindro de agua se deforma. La gravedad lo curva hacia el suelo y el chorro define su parábola. A su vez, la fuerza de atracción eléctrica entre las moléculas lo convierte en un collar invertido de gotas esféricas. Es que las moléculas prefieren rodearse con los de su propia especie. Una molécula en la superficie está inquieta: por un lado están sus parientes y amigos, y por otro, el espacio vacío. Para atenuar este conflicto, la superficie del chorro se distorsiona hacia la forma que expone la menor fracción de un grupo de moléculas a la superficie: la gota esférica. La esfera, sinónimo de perfección —el filósofo griego Jenófanes atribuía a Dios la forma esférica—, tiene esa llamativa propiedad, sospechada por siglos y demostrada en 1882 por el matemático Hermann Schwarz: de todas las formas con volumen fijo, la que tiene menor superficie es la esfera. Imagínense jugando con una bolsa elástica llena de agua, cambiándole su forma. ¿Cuál de todas esas formas corresponde a la menor área de la bolsa? La esfera. Ese atributo de minimización de la esfera es la razón última por la que no solo las gotas de agua, sino también las pompas de jabón y los planetas son esféricos. La devoción de los griegos por las formas perfectas de la geometría, el círculo y la esfera, los llevó a pensar que los planetas describen círculos, órbitas puras y simétricas en un cielo disociado de las fuerzas imperfectas de nuestra realidad terrena. Esta visión cambió por completo cuando Isaac Newton, la figura más prominente de la historia de la física, demostró que la misma fuerza que nos mantiene unidos a la Tierra y que hace caer la lluvia y deslizarse en pendiente los carritos de la montaña rusa es la que dicta el movimiento de los planetas alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra. Y, en realidad, las órbitas de los planetas no son círculos sino elipses. Imaginemos un círculo dibujado sobre una hoja cuadrada de papel. Supongamos que el papel es elástico y estirémoslo verticalmente hasta convertirlo en un rectángulo. El círculo, al acompañar la deformación del papel, se convertirá en una elipse. Hagamos zoom sobre el extremo superior de la elipse: ese fragmento de curva es una parábola, idéntica a la del chorro de agua. Si de pronto la masa de la Tierra se concentrase en su centro, el chorro de agua prolongaría su parábola para describir una órbita elíptica similar a la de Mercurio alrededor del Sol, aunque más achatada. Pero las gotas llegan al suelo y se evaporan. Así concluyen los giros de una coreografía de fuerzas y formas que contiene, como todo lo que se mira con cuidado, sutiles secretos del mundo.

Quince coincidencias

El propósito de la física es descifrar —acaso imponer— un esqueleto causal en las regularidades de la Naturaleza. Pero los senderos de esa búsqueda están sembrados de coincidencias fortuitas, pistas falsas que constituyen un suelo fértil para lo esotérico y lo seudocientífico. La historia de la ciencia nos enseña que, aun cuando no contemos con un procedimiento establecido para discernir las pistas falsas de las verdaderas, toda coincidencia es una invitación a descifrar claves que muchas veces nos llevan por mal camino y que, de tanto en tanto, nos conducen a grandes descubrimientos. En una coincidencia fortuita, la coexistencia de dos fenómenos sugiere un víncu lo causal entre ellos que de hecho no existe. Una buena caricatura de esta falacia es la historia, contada por Edmond Rostand (autor del famoso Cyrano de Bergerac) en su comedia satírica Chantecler, del gallo que cree que su canto hace que salga el sol.

Otra coincidencia, aunque menos frívola, es que, desde la Tierra, el disco de la Luna y el del Sol se ven del mismo tamaño en el cielo: la Luna es cuatrocientas veces más pequeña que el Sol pero está cuatrocientas veces más cerca de la Tierra. Gracias a esta bella coincidencia, la Luna cubre por completo el Sol durante un eclipse. La segunda coincidencia lunar es significativa: su período de rotación alrededor de su eje es igual a su período de revolución alrededor de la Tierra. Esto se debe a las fuerzas de las mareas, que tienden a alinear la Luna, ligeramente oblonga, en una dirección orientada hacia la Tierra. Como resultado de este tironeo gravitatorio, la Luna siempre nos muestra la misma cara. La tercera coincidencia refiere a la correspondencia entre los ciclos menstruales humanos y el mes lunar: ambos tienen aproximadamente 28 días. El término menstruación proviene del latín mensis (mes), que a su vez refiere a la palabra griega mene (luna). Pero dado que los períodos menstruales de otros primates no responden en absoluto al ciclo lunar, la coincidencia parece ser meramente accidental.

Cedo a la tentación de mencionar una antigua coincidencia entre la Luna y la locura, hoy considerada una insensatez pero no obstante consagrada por la palabra «lunático».

Una coincidencia intrigante, acerca de la cual escuché hablar durante un almuerzo en una conferencia interdisciplinaria, refiere al número de neuronas existentes en una colonia de hormigas: es aproximadamente el mismo que en el cerebro humano. Consulté a Deborah Gordon, una experta en hormigas de Stanford, y me contestó que existen 12 000 especies de hormigas, y que las colonias de las diferentes especies varían en tamaño poblacional de 10 a muchos millones de individuos. Eso significaría que no existe un número similar al número de neuronas en el cerebro de una hormiga o al número de hormigas por colonia. Pero cuando le pregunté a Gordon si las hormigas más «complejas» (con más neuronas) forman colonias más pequeñas, respondió con elegancia: «Buena pregunta, nadie lo sabe».

La siguiente coincidencia se la escuché a Marc Ross, un experto en investigar la eficiencia con que cada sociedad utiliza la energía: la cantidad de vueltas que da el motor de un automóvil durante su vida útil es aproximadamente la misma que la cantidad total de latidos cardíacos de un mamífero. Hice el cálcu lo y efectivamente coinciden, pero no hay ningún motivo profundo detrás de la coincidencia.

Otra coincidencia fortuita, muy celebrada, refiere a lo que el astrónomo Johannes Kepler llamó «misterio cósmico». En 1595 Kepler estaba obsesionado con una pregunta que consideraba esencial: ¿por qué hay seis planetas? Logró responderla siguiendo la premisa de que Dios es geómetra e invocando la correspondencia entre los sólidos regulares (o sólidos platónicos) y las órbitas planetarias. Los sólidos regulares (por ejemplo, el cubo) son cuerpos cuyas caras, todas idénticas, son polígonos de lados iguales pasibles de ser circunscriptos por un círcu lo (los así llamados polígonos regulares: el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono, etc.). Curiosamente, si bien hay infinitos polígonos regulares, solo existen cinco sólidos regulares: el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, además del ya mencionado cubo —los sólidos platónicos—. Para Kepler, estos sólidos regulares correspondían a los espacios entre planetas, y por eso había solo seis. El astrónomo forzó su hipótesis al extremo de proclamar que explicaba el tamaño de las órbitas. Para Kepler, si tomamos una esfera cuyo radio sea el de la órbita de la Tierra, luego colocamos un dodecaedro en torno a ella y por último ponemos una esfera encima, obtendremos la órbita de Marte. Si repetimos el procedimiento con un tetraedro, obtendremos la de Júpiter. Utilizando un cubo, conoceremos la órbita de Saturno.

Continuando en la misma línea, Kepler colocó un icosaedro dentro de la Tierra para obtener la órbita de Venus. Y luego colocó un octaedro dentro de Venus para obtener la de Mercurio. Lo más asombroso de esta historia es que las proporciones de los diamétros de las órbitas concordaban casi completamente (aunque no del todo) con las reales. Hoy sabemos que existen más de seis planetas y que aquella correspondencia era meramente accidental. Sin embargo, como enfatiza el físico Steven Weinberg en «El sueño de una teoría final», el procedimiento de Kepler, su exploración especulativa de regularidades, no es muy distinto del que usan los físicos de partículas elementales; no usan sólidos platónicos, pero creen, por ejemplo, en una correspondencia entre las fuerzas fundamentales de la naturaleza y diferentes miembros del catálogo de simetrías matemáticas. En todo caso, el error de Kepler no está en el procedimiento sino en suponer que la distancia entre planetas es algo fundamental. Los planetas son importantes, por supuesto, pero «no existe ningua razón», dice Weinberg, «para esperar alguna relación entre las dimensiones de sus órbitas que fuese matemáticamente simple y bella».

Otra coincidencia que distrajo a Kepler es el víncul o entre las consonancias musicales y el movimiento planetario. Milenios antes, Pitágoras había identificado relaciones aritméticas precisas entre los intervalos musicales que hoy llamaríamos agradables, o cantables. Por ejemplo, dos cuerdas idénticas de guitarra, a la misma tensión, suenan al unísono si tienen el mismo largo, pero si una es la mitad del largo de la otra, suena una octava más aguda. La octava es la consonancia musical por excelencia, un intervalo cantable. Y, si los largos en lugar de estar —como en la octava— en relación 2/1 estuvieran en relación 3/2, el intervalo resultante (lo que hoy llamamos la «quinta») es también agradable. Estos cocientes sugieren un procedimiento aritmético para generar intervalos consonantes. La receta pitagórica es: multiplicar por 3/2, y si el largo de la cuerda que resulta es mayor al doble de la cuerda inicial, dividir por dos. Los primeros tres largos serían 1, 3/2, 9/8. Al repetir este proceso siete veces, generando así un harpa de siete cuerdas de largos distintos, emerge una simetría notable: cinco intervalos iguales (el tono, «T») y dos intervalos distintos (el semitono, «s»). El piano tiene siete teclas blancas justamente por esta simetría emergente, que da lugar a la secuencia TTTsTTs.

La conexión con la astronomía está en la visión antigua de los cielos: la Tierra en el centro de siete esferas concéntricas, cristalinas, en las que giran el Sol, la Luna y los planetas. ¿Por qué siete? Por razones musicales, de ahí el término «música de las esferas», que expresa la convicción de un víncul o íntimo entre la música y el cosmos, y de entender, a través de la astronomía, el efecto de la música en el alma humana. Hoy nuesta descripción astronómica es distinta; esta coincidencia numérica es fortuita, pero marca el inicio de una búsqueda de racionalidad cósmica, el anticipo de lo que los físicos hoy llaman mecánica racional.

Otra coincidencia planetaria relacionada con las anteriores es la «ley» de Titius-Bode. Postulada por primera vez en 1766 por el astrónomo alemán Johan Daniel Titius, fue popularizada a partir de 1772 por su compatriota Johann Bode. Titius diseñó una secuencia numérica a la que respondían las distancias de los planetas respecto del Sol. Comenzó con la secuencia 0, 3, 6, 12, 24, en la que cada número después del 3 es dos veces el anterior. A cada número le sumó 4 y dividió cada resultado por 10. De las primeras siete respuestas —0, 4, 0, 7, 1, 0, 1, 6, 2, 8, 5, 2, 10, 0–, seis (2, 8 es la excepción) se aproximan bastante a las distancias respecto del Sol, expresadas en unidades astronómicas (UA es la distancia entre el Sol y la Tierra), de los seis planetas conocidos cuando Titius diseñó la regla: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno.

Lo más interesante de todo esto es que la excepción (2,8) fue identificada en 1801 como Ceres y una serie de asteroides situados a aproximadamente esa misma distancia respecto del Sol. Y, lo que es más sorprendente aún, si la ley se extrapola a un octavo planeta predice una distancia de 19,6 UA: casi exactamente la distancia que separa al Sol de Urano, planeta descubierto en 1781. Según la última edición de la Encyclopedia Britannica, la ley de Bode es hoy considerada una curiosidad numerológica sin justificación plausible. Sin embargo, Fred Adams, astrofísico de la Universidad de Michigan, me afirmó que el espíritu de la ley de Bode no solo es útil sino también correcto. Las simulaciones numéricas (y algunos argumentos cualitativos) de su equipo muestran algo similar a la ley de Bode; es decir, una especie de «factor de dilatación» constante entre órbitas sucesivas. Por lo tanto, podríamos decir que la ley de Titius-Bode es una coincidencia significativa.

Volviendo a la física, una coincidencia profunda se relaciona con dos definiciones de la masa. En nuestra experiencia cotidiana pensamos la masa como algo que podemos pesar; eso responde a una de las dos definiciones, la de la masa gravitacional. Cuanto más grande sea la masa gravitacional de un objeto, más grande será su atracción hacia la Tierra: un elefante pesa más que una ardilla. Newton descubrió la ley que relaciona la fuerza de la atracción gravitacional entre dos cuerpos con la masa: la magnitud de la fuerza es proporcional al producto de las masas gravitacionales.

La segunda definición se relaciona con la resistencia de un cuerpo a ser acelerado —la inercia—. Traten de empujar un elefante y de inmediato advertirán la magnitud de su «masa inerte», o masa inercial. Newton descubrió otra ley (su famosa «segunda ley») que relaciona la fuerza de un objeto con su aceleración: son proporcionales, y la constante de la proporcionalidad es la masa inercial. La masa de un objeto puede por lo tanto medirse de dos maneras: pesándola y usando la ley de la gravedad universal de Newton, o bien midiendo su resistencia a la aceleración y utilizando la segunda ley newtoniana.

Se realizaron muchos experimentos de este tipo para medir masas y todos llegaron a la misma conclusión: la masa inercial es igual a la masa gravitacional. El propio Newton comprendió que la igualdad de las dos masas era algo que su teoría no podía explicar y consideró ese resultado como una simple coincidencia. En el caso de la gravedad newtoniana, la igualdad de esas dos masas es un hecho accidental, a diferencia de la identidad entre la masa inercial y la masa gravitacional, que es un rasgo necesario e inevitable de cualquier teoría (como la de la relatividad) que conciba el movimiento gravitacional como un movimiento de «caída libre» en el espacio-tiempo curvo. Para esas teorías, la masa inerte y la masa gravitacional no son numéricamente iguales por mero accidente: son ontológicamente idénticas. En este caso la coincidencia señala una ley verdadera.

Hay otra coincidencia newtoniana, que sigue suscitando controversias. Digamos que queremos medir la rotación de la Tierra, averiguar a qué velocidad está rotando. Uno de los métodos es usar el famoso péndulo de Foucault, cuyo plano de oscilación cambia a medida que la Tierra gira (en el Polo Norte da un giro completo en un día). Otra manera es mirar a las «estrellas fijas en el cielo» que, vistas desde la Tierra, giran exactamente a la misma velocidad que el plano del péndulo de Foucault. ¿Por qué razón ambos, péndulo y estrellas, giran a la misma velocidad? Al fin y al cabo uno podría pensar que las estrellas no están fijas y tienen ellas mismas una velocidad de rotación distinta que la de la Tierra. El físico y filósofo Ernst Mach es el primero en enunciar que esta coincidencia es significativa, y por detrás de ella hay un principio físico: el principio de Mach. El hecho de que las estrellas nos parezcan fijas —o que le parezcan fijas a un astronauta que se siente en reposo, en medio del espacio, en un así llamado «sistema inercial»—, para Mach no es una coincidencia. Lo era para Newton, que creía en un espacio absoluto. Mach en cambio, propone una especie de holismo, en el que el movimiento de la Tierra está afectado, incluso de algún modo determinado, por la presencia del resto del universo, por las estrellas lejanas. Estar en resposo es estar en reposo con respecto a esas estrellas fijas. Más aún, la masa inercial, dice Mach, está determinada por la masa del resto del universo. A diferencia de la coincidencia entre masa inercial y masa gravitatoria, resuelta por la teoría de Einstein, el principio de Mach persiste como coincidencia (acaso significativa) dentro de las teorías actuales.

La siguiente es una coincidencia de menos controversia filosófica. La ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza entre dos masas disminuye inversamente al cuadrado de la distancia que las separa: si pudiéramos duplicar la distancia de la Tierra al Sol, la fuerza de atracción sería cuatro veces menor. La misma ley se aplica a la atracción (y repulsión) entre cargas eléctricas. Y existe otra situación en la que se aplica la ley del cuadrado inverso.

Pensemos en la lamparita del comedor de casa. Irradia energía en todas direcciones. Tracemos una superficie esférica imaginaria, cuyo centro es la lamparita, de unos treinta centímetros de diámetro. Toda la energía emitida por la lamparita fluye a través de esa superficie imaginaria. Ahora pensemos en una segunda esfera, similar a la primera pero con dos veces su diámetro, a través de la cual fluye toda la energía irradiada por la lamparita. La superficie de la nueva esfera es cuatro veces más grande que la de la primera (la superficie de una esfera es proporcional al cuadrado de su diámetro). Esto significa que el flujo de energía disminuye según disminuye el cuadrado de la distancia desde la lamparita: es decir, que la misma ley se aplica a la gravedad y a la electricidad. ¿Se trata de una coincidencia? Sí y no.

La ley del cuadrado inverso, en el caso de la lamparita, es consecuencia directa del hecho de que el espacio sea tridimensional. Y la tridimensionalidad del espacio también es un determinante crucial para la ley de la gravedad y la electricidad. Según la descripción del universo que postula la mecánica cuántica moderna, las fuerzas resultan del intercambio de partículas: cuando una carga atrae a otra, una miríada de partículas cuánticas invisibles circula constantemente entre las cargas. La sutileza de la coincidencia se hace patente cuando notamos que las partículas intercambiadas en la electricidad y la gravedad tienen masa cero. En la electricidad, la partícula es el fotón. Y la lamparita emite fotones cuando está encendida. Pero hay otras fuerzas en la Naturaleza, las llamadas fuerza débil y fuerza fuerte, ambas relevantes a escala nuclear, en las que la atracción no disminuye según la ley del cuadrado inverso. Así como la gravedad y la electricidad son «mediadas» por partículas sin masa, las mediadoras de las fuerzas débil y fuerte son masivas, y el resultado es otra ley de atracción. Pero si una «lamparita» nuclear emitiera partículas hacia el exterior del núcleo (no fotones sino neutrinos, que tienen masa), su intensidad disminuiría según la ley del cuadrado inverso. En suma, la ley del cuadrado inverso encarna una delicada coincidencia.

Mi coincidencia favorita proviene del científico escocés James Clerk Maxwell, quien en 1864 descubrió que la luz es al mismo tiempo un fenómeno eléctrico y un fenómeno magnético.

Hacia 1850 se sabía que el magnetismo era electricidad en movimiento: la fuerza de atracción y de repulsión entre imanes se debe al movimiento de las cargas eléctricas en su interior. Pocos años antes de Maxwell, el físico alemán Wilhelm Weber se había preguntado cómo comparar la magnitud de la fuerza entre cargas en movimiento con la magnitud de la fuerza entre cargas en reposo. En otras palabras, ¿cuán rápido deben moverse dos cargas para que la fuerza magnética y la fuerza eléctrica sean iguales? Weber diseñó un experimento y descubrió que la velocidad era muy cercana a los trescientos mil kilómetros por segundo; es decir, idéntica a la velocidad de la luz. Hasta entonces, no había razones para pensar en un víncu lo entre luz y electricidad. En 1885 escribió: «No deberíamos abrigar grandes expectativas respecto de establecer una conexión interna entre la óptica y la electricidad a través de esta coincidencia numérica». Le pregunté al biógrafo de Maxwell, Francis Everitt, qué se pensaba sobre esta coincidencia antes del hallazgo de Maxwell. Según él, Weber no había ofrecido una interpretación física de esa velocidad.

En 1860 otro físico alemán —Gustav Robert Kirchhoff — hizo un cálcu lo a partir de la teoría de Weber sobre la propagación de las señales a través de una línea telegráfica ideal hecha de alambres sin resistencia eléctrica. La velocidad resultó ser casi idéntica a la velocidad de la luz. Pero Kirchhoff tampoco parece haber sacado conclusiones demasiado preclaras al respecto, como podríamos esperar en retrospectiva. Everitt me hizo conocer un largo artícul o de William Thomson (el futuro Lord Kelvin) también escrito en 1860, La velocidad de la electricidad. Es fascinante leer el artícul o de Kelvin y verlo dar rodeos en torno a la pregunta que a nuestro entender debería haber formulado y jamás llegó a formular. Cuando Maxwell escribió su ensayo en cuatro partes Sobre las líneas físicas de fuerza, entre 1860 y 1861, descubrió la emergencia de una velocidad de propagación para las señales eléctricas a través del espacio. Pero ese ensayo lo escribió en su finca en Escocia, donde no tenía acceso al trabajo de Weber. Cuando regresó a Londres y calculó las cifras, quedó pasmado al descubrir que, con sus supuestos y sus cálcu los, esa velocidad resultaba exactamente igual a la velocidad de la luz. Todo indicaría, aunque Everett no se aventuraría a afirmarlo, que Maxwell ignoraba los resultados de Kirchhoff. Maxwell llegó a la siguiente conclusión en 1861:

Esta coincidencia no es meramente numérica [… ] y pienso que ahora tenemos poderosas razones para creer, independientemente de que mi teoría sea un hecho o no lo sea, que el medio luminófero y el medio electromagnético son uno y el mismo.

Por último la gran coincidencia: el hecho de que ustedes y yo existamos en el universo. Somos una miríada de cargas eléctricas (protones, electrones) atraídas por la gravedad hacia la Tierra. Tomemos dos de las partículas íntimas que forman los átomos que nos constituyen, dos protones, por ejemplo. Imaginemos que los ponemos a un milímetro de distancia. Los protones, como tienen masa, se atraen por la fuerza de gravedad y, como tienen carga, se repelen por la fuerza eléctrica. Ahora bien, la fuerza eléctrica se impone a la gravitatoria por mucho y, no se sabe por qué, pero resulta que no es ni cien ni mil veces mayor, sino diez seguido de treinta y nueve ceros más grande: un número gigantesco. Y resulta que si la fuerza gravitatoria no fuera pequeñísima respecto de la electricidad, las estrellas habrían colapsado mucho antes de que la vida comenzara a evolucionar.

Esta es una entre tantas coincidencias numéricas de la naturaleza, llamadas «antrópicas», conexiones entre constantes físicas que tienen los valores precisos para la existencia de la vida. El debate sobre si estas coincidencias son fortuitas o significativas transcurre en el marco de lo que se denomina «principio antrópico», conectado a las miradas actuales de la física cuántica: nuestro universo constituye una parte de un gran número de universos dentro de un superuniverso: el «multiverso». Según esta visión, los valores de las constantes físicas estarían distribuidos al azar en esos universos, y resulta que nosotros vivimos en uno cuyas constantes son propicias para la existencia de la vida. Un concepto muy borgeano.

Fuentes de los textos

El jardín de los mundos que se ramifican: Borges y la mecánica cuántica. Fundación El Libro, Buenos Aires, 1999.

Borges y el dólar. Crítica, Buenos Aires, 9 de febrero de 2010.

Einstein, 1905: la ficción hecha ciencia. Leído en el panel «Las certidumbres de la teoría de la relatividad: homenaje a Albert Einstein, 100 años», Feria del Libro, Buenos Aires, 27 de abril de 2005.

Tertium organum. Crítica, Buenos Aires, 4 de junio de 2008.

El castigo en el cielo. La Gaceta, Tucumán, 28 de octubre de 2007.

Teletransporte. Crítica, Buenos Aires, 10 de marzo de 2008.

Aniversario del espacio. Crítica, Buenos Aires, 30 de diciembre de 2008.

Relatividad para borgeanos. Inédito.

Retorno al oscurantismo. Crítica, Buenos Aires, 3 de enero de 2009.

Acuarelas de Galileo. Crítica, Buenos Aires, 17 de febrero de 2009.

El triunfo de la luz. Crítica, Buenos Aires, 23 de marzo de 2009.

La parte y el todo. Crítica, Buenos Aires, 29 de diciembre de 2009.

Humildad astronómica. Crítica, Buenos Aires, 15 de diciembre de 2009.

Deshojando margaritas. Crítica, Buenos Aires, 17 de noviembre de 2009.

Física en los tangos. Crítica, Buenos Aires, 3 de noviembre de 2009.

Física en la Biblia. Crítica, Buenos Aires, 8 de julio de 2008.

¿Dilución o ilusión? Crítica, Buenos Aires, 25 de agosto de 2009.

Sanación cuántica. Crítica, Buenos Aires, 29 de setiembre de 2008.

Lo que diga el GPS. Crítica, Buenos Aires, 8 de setiembre de 2008.

La parábola del chorro de agua. First, Buenos Aires, marzo de 2006.

Quince coincidencias. Oakland Journal, invierno de 2007.

ALBERTO G. ROJO (Tucumán, Argentina, 1960) es un músico, escritor, y físico argentino.

Estudió en el Instituto Balseiro (Bariloche, en Argentina) —perteneciente a la Universidad Nacional de Cuyo—, donde obtuvo una licenciatura y un doctorado en física.

Ha sido becario del CONICET, profesor visitante en la Universidad de Buenos Aires y del Oak Ridge National Laboratory.

Entre 1992 y 1994 fue investigador posdoctoral en la Universidad de Chicago.

Entre 1994 y 2002 fue profesor adjunto en la Universidad de Míchigan.

Actualmente es profesor del Departamento de Física​ de la Universidad de Oakland, en Rochester (Estado de Míchigan).

Tiene cerca de noventa trabajos publicados en temas de física en revistas de circulación internacional y ha dictado conferencias en diversas reuniones internacionales. Publicó en coautoría​ con Anthony James Leggett (premio nobel de Física de 2003). Es un apasionado y prolífico divulgador de la ciencia.

Notas

[1] En su famoso libro The Tao of Physics, publicado en 1975, F. Capra cae en esa trampa, a mi juicio, al sacar conclusiones a partir de ciertos «paralelos» entre la física moderna y antiguos misticismos. <<