Desde las antiguas interpretaciones al analizar vísceras de animales sacrificados hasta la más cercana experiencia de la lotería nacional, la humanidad siempre ha dependido del azar, en nuestro mundo moderno, la vida misma puede llegar a estar en juego cuando las probabilidades hacen acto de presencia: en la probabilidad de un falso negativo en un análisis médico, en la fiabilidad de una prueba de ADN como prueba pericial legal, o en la probabilidad de sufrir una enfermedad mortal congénita.

La obra aleatoriedad propones desvelar cómo ha evolucionado la comprensión de algunas cuestiones de probabilidad a lo largo de las distintas épocas, tanto para la mayor parte de la gente como para los más brillantes matemáticos.

Deborah J. Bennett

Aleatoriedad

ePub r1.0

Titivillus 02.06.2023

Título original: Randomness

Deborah J. Bennett, 1998

Traducción: Fernando González-Fierro Marcilla

Editor digital: Titivillus

ePub base r2.1

Agradecimientos

Agradezco profundamente la ayuda recibida de las bibliotecas y bibliotecarios de la New York University Bobst Library, la New York City Public Library y la Jersey City State College Forrest A. Irwin Library.

La concesión de una beca individual de investigación del Jersey City State College me permitió disponer del tiempo necesario para poder acometer este proyecto. Quisiera dar las gracias a Kenneth Goldberg de la New York University, a George Cauthen del Centers for Disease Control and Prevention, a J. Laurie Snell, editor de Chance News, y a Chris Wessman del Jersey City State College. Gracias también a Susan Wallace Boehmer por ayudarme a dar forma a este libro, y vaya un agradecimiento especial a mi hermano, Clay Bennett, por sus fabulosas ilustraciones de las figuras 3, 4, 6, 9, 11, 17 y 18.

Estoy en deuda con mi editor, Michael Fisher, por su guía constante y su apoyo entusiasta durante todo el proceso de redacción.

Por último, le estoy particularmente agradecida a mi marido, Michael Hirsch, sin cuya ayuda no hubiera podido afrontar todo este esfuerzo. Su paciencia, su amor y su comprensión me han sostenido en todo momento.

1. Encuentros al azar

Nuestros cerebros no están precisamente preparados para resolver adecuadamente problemas de probabilidad.

Persi DIACONJS, 1989

Todo el mundo se ha enfrentado de alguna manera a las leyes del azar. Desde barajar unas cartas antes de una partida de naipes, lanzar una moneda antes de un encuentro deportivo o esperar los resultados del sorteo de reclutamiento para el servicio militar, hasta la evaluación de riesgos y beneficios ante una intervención quirúrgica en la rodilla, la mayoría de la gente, se topa con el azar cada día. Las estadísticas que describen nuestro mundo probabilístico surgen por todas partes: un tercio de los afectados no sobreviven a su primer ataque cardíaco, la probabilidad de una combinación concreta de ADN es de una entre cien mil millones, cuatro de cada diez matrimonios en Estados Unidos acaban en divorcio… El promedio de puntos anotados en un encuentro de baloncesto, las encuestas políticas o los pronósticos del tiempo están en boca de todos y, sin embargo, la comprensión adecuada de los conceptos subyacentes a todas estas estadísticas y probabilidades no es muy común.

Las concepciones erróneas abundan y ciertos conceptos parecen ser particularmente problemáticos. Incluso para los matemáticamente instruidos, algunos aspectos de la probabilidad no resultan nada intuitivos. A pesar de la reforma del currículo escolar y de su mayor énfasis en la enseñanza de la probabilidad en la escuela, casi con toda seguridad que los profesores con más experiencia darían la razón al profesor de matemáticas que afirmara: «la enseñanza de la estadística y de la probabilidad no es nada fácil[1]».

Incluso ante una situación grave, como es la de pronunciarse sobre la culpabilidad o inocencia de un acusado en un juicio, la mayoría de la gente no termina de evaluar adecuadamente las probabilidades objetivas. Los psicólogos Daniel Kahneman y Amos Tversky ilustran este hecho con el siguiente ejemplo empleado en sus investigaciones:

Un taxi se ve envuelto en un atropello nocturno y se da a la fuga. En la ciudad en cuestión operan dos compañías de taxi, la Verde y la Azul. Le proporcionan a usted los siguientes datos:

a) El 85% de los taxis de la ciudad son verdes y el 15% azules.

b) Un testigo identificó el taxi como azul. El tribunal realizó una prueba pericial para ver la fiabilidad del testigo bajo las mismas circunstancias que existían la noche del accidente, y concluyó que el testigo identificaba correctamente el color de los taxis en el 80% de los casos y que erraba en un 20% de los mismos.

¿Qué probabilidad hay de que el taxi dado a la fuga fuera azul en lugar de verde[2]?

Una respuesta típica es: alrededor del 80 por ciento. La respuesta correcta es «casi un 41 por ciento». De hecho, es más probable que el taxi dado a la fuga fuera verde que azul.

Kahneman y Tversky creen que la gente se equivoca en el problema del atropello con fuga porque consideran que el porcentaje base de taxis en la ciudad es algo casi secundario, cuando en realidad es un factor de primer orden. Como otros expertos han señalado, las personas tienden a ignorar o al menos no captan suficientemente la importancia de la información que supone la tasa base porque les resulta «vaga, imprecisa y abstracta», mientras que la información objetiva es «gráfica, apremiante y concreta[3]». Al evaluar la agudeza visual del testigo, los «miembros del jurado» parecen sobrestimar la capacidad del testigo para acertar en su percepción de la fuga del automóvil, al tiempo que infravaloran la probabilidad más general de la tasa base de taxis en la ciudad por resultarles esta última información algo ambigua.

La incomprensión de dicha tasa o proporción base no se ve limitada a personas sin una formación matemática avanzada. También las personas con un buen nivel de educación incurren en los mismos errores y respuestas sesgadas cuando contestan de forma intuitiva. En un estudio en una prestigiosa facultad de medicina se realizó la siguiente pregunta a un colectivo de médicos especialistas, médicos interinos residentes y estudiantes de medicina de cuarto curso:

Un test médico para detectar una enfermedad con una incidencia en la población de un uno por mil presenta una tasa base de falsos positivos de un 5%, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que dé positivo en el test tenga realmente la enfermedad, suponiendo que usted no sepa nada sobre los síntomas de la persona[4]?

Casi la mitad de los encuestados respondieron que un 95 por ciento. Sólo el 18 por ciento del grupo dio con la respuesta correcta: en torno a un 2 por ciento. Los que contestaron incorrectamente volvieron a ignorar la importancia de la información de la tasa base, es decir, que sólo una de cada mil personas sometidas al test tendrían la enfermedad.

El razonamiento matemático correcto en dicho problema es el siguiente: sólo una persona de cada mil tiene la enfermedad, mientras que cincuenta de cada cien arrojan un resultado de falso positivo (5% de 999). Por tanto, es mucho más probable que cualquier persona con un resultado positivo en el test sea una de las 50 con un falso positivo en lugar de ser la única con un verdadero positivo. De hecho, la probabilidad de que cualquier persona con resultado positivo en el test tenga en realidad la enfermedad es de 1 entre 51, o lo que es lo mismo, casi un 2 por ciento de probabilidad, a pesar del resultado positivo del test.

Otra manera de plantear la cuestión es ver que la probabilidad de tener la enfermedad varía entre un 1 por 1.000 cuando uno se somete al test, y un 1 por 51 si la persona tiene un resultado positivo. Éste es un intervalo de riesgo demasiado amplio como para estar seguros, pero aun así es bastante diferente a decir, como mucha gente creería erróneamente, que hay un 95 por ciento de probabilidades tras dar positivo en el test.

Los falsos positivos no son errores humanos o de laboratorio. Éstos resultan del propio diseño de los test clínicos, más sensibles en la discriminación de las personas con valores fisiológicos desviados de la media, aunque se incluya entre ellas a personas que no presentan la enfermedad en cuestión. Para detectar con sensibilidad suficiente a la mayoría de personas afectadas de tuberculosis, por ejemplo, mediante un análisis cutáneo, los resultados del test siempre arrojarán un resultado positivo de alrededor de un 8 por ciento de personas que en realidad no tienen la enfermedad, pero entre las que hay otras causas para que presenten una reacción positiva al test médico. Si, por ejemplo, 145 personas se sometieran a dicho test, aproximadamente 20 darían un resultado positivo. Pero sólo 9 de esas 20 tendrán realmente una infección de tuberculosis[5].

La tasa de falsos positivos se puede reducir diseñando un test menos sensible, aunque ello a menudo sólo sirve para incrementar el porcentaje de falsos negativos. Un falso negativo es un resultado de test que indica que no hay enfermedad en una persona que realmente está enferma. Como los falsos negativos se consideran mucho más indeseables que los falsos positivos dado que una persona con un falso negativo no recibirá un tratamiento temprano inmediato, los médicos que diseñan dichos análisis optan por un compromiso intermedio: prefieren un pequeño porcentaje de falsos negativos a costa de un porcentaje algo mayor de falsos positivos de los que serían deseables. En el caso de la tuberculosis, mientras que aproximadamente el 7,5 por ciento de las personas sometidas al test médico darán un resultado positivo falso, sólo el 0,69 por ciento (en torno a una persona de cada 145 sometidas al análisis) darán un resultado negativo falso. En otras palabras, de cada 145 personas sometidas al test de la tuberculosis empleando este método, 9 casos de la enfermedad serán detectados y 1 caso quedará sin detectar (véase la figura 1).

Figura 1. ¿Realmente sano o realmente enfermo? Si una persona se somete a un test rutinario de detección de tullenulosis, tendrá una probabilidad de 10 entre 145 (casi un 7%) de estar infectada en el momento de someterse al test. Si el resultado resulta positivo, las probabilidades de la persona de tener tuberculosis ascienden a 9 entre 20 (45%). Si el resultado resulta negativo, aún tendrá una probabilidad de 1 entre 125 de tener la enfermedad (0,8%); el riesgo original se ve disminuido drásticamente, pero no está descartado del todo a pesar de las tranquilizadoras «buenas noticias» que le comunica su médico.

Considerando que incluso el personal médico con elevada formación puede incurrir en errores de comprensión de los datos probabilísticos de este tipo, no deberíamos sorprendernos en absoluto de que la probabilidad a menudo parezca estar en abierto desacuerdo con los juicios intuitivos de los pacientes o del común de la gente.

Además de las ideas erróneas sobre la información de la tasa base, los psicólogos han descubierto que las personas están sujetas a otras falacias rutinarias en la evaluación de probabilidades, tales como exagerar la variabilidad de la probabilidad o sobrevalorar las rachas de suerte a corto plazo frente a la probabilidad a largo plazo[6]. Por ejemplo, la noción comúnmente defendida de que al lanzar varias veces una moneda al aire, tras varias caras va aumentando la probabilidad de que salga una cruz, es errónea. Los niños parecen ser especialmente susceptibles a esta falacia. Jean Piaget y Barbel Inhelder, autores que estudiaron el desarrollo del pensamiento matemático en los niños y cuyo trabajo se vuelve a citar en algún capítulo posterior, señalaban que «en contraste con las operaciones lógicas y aritméticas, el azar se va descubriendo gradualmente[7]».

Se podría pensar que las experiencias adquiridas a lo largo de toda la vida deberían asentar algunas intuiciones correctas sobre lo estadístico y la probabilidad. Las ideas intuitivas sobre el azar pueden preceder a las ideas formales, y si son correctas, pueden ser de gran ayuda en el aprendizaje; pero en caso contrario, pueden llegar a dificultar la correcta comprensión de los conceptos probabilísticos. Kahneman y Tversky han concluido que los principios estadísticos no se aprenden de la experiencia cotidiana porque los individuos no atienden con el suficiente detalle como para adquirir dicho conocimiento[8].

No resulta sorprendente que en el curso de la historia de nuestra especie la adquisición de una comprensión sobre lo azaroso o casual haya sido extremadamente lenta, al tiempo que cierta forma de comprensión de lo aleatorio y de la probabilidad se desarrollaba en el individuo en caso de que ésta se llegara a desarrollar. Nuestro trato con el azar comenzó ya en la antigüedad, como veremos en los capítulos 2 y 3. Los arqueólogos han encontrado dados o huesos en forma de dados entre los objetos de muchas civilizaciones tempranas. La práctica de echar algo a suertes ya era descrita en las escrituras de las religiones antiguas, y sacerdotes y oráculos predecían el futuro «lanzando unos huesos» o determinando si durante la ceremonia el número resultante de guijarros, nueces o semillas era par o impar. Se ha descubierto que ya se empleaban mecanismos aleatorios con fines adivinatorios de orientación divina, para tomar decisiones o en juegos de azar en Mesopotamia, en el valle del Indo, en Egipto, en Grecia y en el Imperio Romano. Sin embargo, la base de la comprensión de la probabilidad no aparece hasta mediados del siglo XVI, y el tema no se discute con profundidad hasta casi un siglo después. Los historiadores se preguntan por qué el progreso mental en este campo fue tan lento, dado que los seres humanos se han visto confrontados con el azar una y otra vez desde los primeros tiempos.

La clave parece ser la dificultad de comprender la aleatoriedad. La probabilidad se basa en el concepto de suceso aleatorio, y la inferencia estadística está basada en la distribución de muestras aleatorias. A menudo asumimos que el concepto de aleatoriedad es obvio, cuando en realidad, incluso los expertos actuales sostienen puntos de vista marcadamente diferentes entre sí.

Este libro pretende examinar la aleatoriedad y una serie de nociones afines que han resultado críticas en el desarrollo histórico del pensamiento probabilístico, nociones fundamentales para la comprensión o confusión por parte de cualquier individuo de las leyes del azar. Para ello formularemos una serie de cuestiones a lo largo de los siguientes capítulos, como por ejemplo: ► ¿por qué las personas han recurrido al azar en la toma de decisiones desde los tiempos antiguos hasta nuestros días? ► ¿Resulta adecuada una decisión tomada por medios aleatorios? ► ¿Qué papel han desempeñado los juegos de azar en nuestra comprensión de lo aleatorio? ► ¿Son probabilísticamcnte posibles las rachas encadenadas de sucesos extremadamente raros? ► ¿Por qué algunas sociedades e individuos rechazan la aleatoriedad? ► ¿Existe realmente la aleatoriedad? ► ¿Cómo han contribuido las computadoras al pensamiento probabilístico moderno? ► ¿Por qué incluso los expertos están en desacuerdo sobre los muchos significados de la aleatoriedad? ► ¿Por qué la probabilidad resulta tan poco intuitiva?

Todos nosotros tenemos alguna noción sobre la «probabilidad» de que ocurra un suceso. Al reflexionar sobre el tema de la probabilidad tenemos cierta intuición sobre el asunto. Sin embargo, como el insigne matemático del siglo XVIII Abraham De Moivre expuso hace tiempo, los problemas que tienen que ver con el azar nos suelen parecer simples y fáciles de solucionar aplicando cierto sentido común, hasta que finalmente descubrimos que no es así[9].

2. ¿Por qué recurrir al azar?

«¡No es posible!, ¡no es justo!», gritó la señora Hutchinson. Entonces se abalanzaron sobre ella.

Shirley JACKSON, The Lottery

Los mecanismos aleatorios cotidianos no son sofisticados. Por ejemplo, para resolver una disputa sobre qué hijo irá en el coche en el asiento junto al conductor, un padre puede recurrir a ver cuál de los hijos saca la «pajita más corta». Manteniendo en la mano dos pajitas de distinta longitud y con los extremos visibles igualados, cada hijo extrae una. El que saque la pajita más corta gana. Muchos entretenimientos para adultos —desde una partida de bingo un viernes por la noche hasta una rifa escolar o las máquinas de monedas— se basan en simples loterías. Los niños suelen jugar con perinolas o ruletas de números o colores, los jóvenes y adolescentes juegan a la botella y los adultos se entretienen en los casinos. Los dados, uno de los mecanismos aleatorios más antiguos que se conocen, siguen siendo muy populares entre personas de todas las edades y grupos étnicos.

Aunque los juegos con dedos de la mano, prendas, dados, monedas y cartas no son elementos demasiado complicados, nuestras actitudes sobre su uso sí que resultan algo más complejas. Cuando las sociedades primitivas necesitaban hacer una selección de algún tipo, solían recurrir al azar por tres razones básicas: para lograr cierta imparcialidad, para evitar discusiones y para obtener consejo divino. Las ideas modernas sobre el empleo del azar para tomar decisiones también evoca aspectos de imparcialidad, de solución de disputas e incluso de una intervención sobrenatural, aunque el pensamiento actual sobre estas cuestiones sea algo diferente al de los hombres antiguos.

Curiosamente, estas tres razones son exactamente las esgrimidas por los niños cuando los psicólogos les preguntan por qué emplean métodos de selección de los compañeros como el conocido «oro-plata». El 90 por ciento de las veces los niños responden que ello permite cierta igualdad a la hora de ser elegidos. Otras razones dadas son evitar enfados y permitir una intervención sobrenatural o mágica de algún tipo[1]. Está claro que la idea de imparcialidad y justicia es un elemento intuitivo en la noción que el niño tiene sobre la aleatoriedad. Por supuesto que los niños terminan descubriendo que estos métodos no son realmente imparciales: la elección puede ser manipulada alargando o acortando los pasos o anticipando un punto de salida ventajoso. Una vez que asumen esto, los niños por lo general buscan otros métodos más aleatorios.

Cuando el azar determina realmente los resultados, ningún grado de inteligencia, habilidad, fuerza, conocimiento o experiencia pueden servir de ventaja a ningún jugador, emergiendo así la «suerte» como una fuerza equilibradora. El azar es una forma justa de determinar los movimientos en algunos juegos y en ciertas situaciones de la vida real; el elemento aleatorio permite a cada participante llegar a pensar para sí: «tengo las mismas oportunidades que mi oponente».

Algunas de estas situaciones entran propiamente dentro de la categoría de «análisis y solución de problemas». Si somos ambiguos sobre las alternativas y no nos preocupa realmente la decisión adoptada, pero aun así debe tomarse una, el simple hecho de lanzar una moneda al aire nos eximirá de responsabilidades, nos ahorrará tiempo y nos liberará del proceso mental necesario para analizar las alternativas.

O quizá nos preocupa la decisión a adoptar pero nos encontramos indecisos —como en el caso de si una jugada particular es legal o ilegal en un partido de baloncesto. Si ambas partes se mantuvieran en sus trece, el juego no se podría reanudar nunca. Aunque el hecho de lanzar el balón al aire para resolver la cuestión puede que no sea justo en el sentido de que no determina quién tiene razón y quién no, el mero hecho de que los dos contrincantes tengan la misma probabilidad de ganarlo es mejor solución que no adoptar decisión alguna. Por tanto, vemos que una segunda razón de peso es la de recurrir al azar para evitar disputas y zanjar la cuestión sin más teatros.

Dado que los niños tienen un sentido de la justicia tan marcado, su exploración del concepto de azar a menudo les lleva a plantearse la pregunta de si es imparcial el azar. Y en algunas situaciones, como los niños no tardan en descubrir, el azar no es nada imparcial. En numerosas ocasiones «elegir o jugar por turnos» podría ser una forma más imparcial de resolver un conflicto o de adoptar una decisión, mientras que una selección al azar podría llegar a resultar injusta.

Por ejemplo, la concesión al azar de un honor o privilegio diario o semanal en la escuela a un determinado alumno, puede imprimir en la joven mente una primera sensación de imparcialidad, pero es posible que uno o más de los niños sean elegidos varias veces, mientras que otros no sean elegidos nunca. De hecho, como veremos más adelante, cualquier resultado es posible por medio de una selección aleatoria. Lo que ya ha sucedido no influye para nada en las probabilidades de que un resultado determinado se vuelva a repetir; ¡Que salgan cuatro caras seguidas al lanzar una moneda al aire no aumenta la probabilidad de que a continuación salga una cruz! Para los niños más mayores capaces de entender esta cuestión, la selección aleatoria puede resultar poco o nada imparcial —o menos imparcial que elegir por turnos. Para los no elegidos, no sirve de consuelo saber que si la «racha» durara lo suficiente, podrían llegar a ser elegidos con igualdad de oportunidades.

Cuando se trata de asignar una culpa o un castigo o una deuda grave, las elecciones realizadas al azar pueden ser absolutamente injustas. En una narración que escuché hace varios años en la radio sobre lo injusto del azar, una escritora relataba su experiencia como niña en un colegio católico. Durante la cuaresma —un tiempo de ayuno y penitencia—, muchos cristianos a menudo renuncian a algún lujo o vicio al tiempo que reflexionan sobre ciertas actitudes que quisieran enmendar. En el colegio católico al que asistía la escritora en cuestión se celebró una especie de lotería para determinar a qué lujo renunciaría cada niña durante los 40 días de duración de la Cuaresma.

En forma vacilante, todas las niñas escribieron en una hojita de papel el lujo al que renunciarían durante más de un mes —helados, caramelos, tebeos, etc.— y doblaron y echaron todos los papeles en una bolsa. Cuando le llegó el turno a la futura escritora de elegir al azar uno de los papelitos escritos, su suerte quedó echada. Tras leer la palabra escrita en el papel se oyó un gran suspiro, haciéndose a continuación un silencio sepulcral en el aula: televisión. En una lotería donde todos los premios eran malos, ¡aquél era el peor! Aquel castigo impuesto al azar no parecía nada imparcial.

La breve narración de Shirley Jackson titulada La lotería tuvo un profundo efecto sobre mí cuando la leí en mi juventud. La historia tiene lugar en el día en que se celebra un sorteo anual en una pequeña ciudad de Nueva Inglaterra. El drama alcanza su clímax cuando todos los habitantes de la población echan a suertes la elección de lo que ya no es sino una tradición arcaica abandonada por el resto de pueblos y ciudades del entorno. Gradualmente el lector intuye que nadie quiere ser el beneficiario del sorteo. Y por fin se comprende por qué, al desvelarse la suerte corrida por la señora Hutchinson: ha sido elegida para la lapidación ritual del municipio[2].

Una referencia interesante sobre lo injusto de una única decisión tomada en virtud de un sorteo se puede encontrar en el Talmud. La noción hebrea, raramente cuestionada, de que todo sucede bajo el mandato de Dios, parece encontrar una excepción en la historia de Acán. Para determinar el culpable de una particular ofensa, Josué echa la cuestión a suertes, recayendo sobre Acán la suerte de ser culpable, quien se revela diciendo: «Josué, ¿acaso me condenarás por la mera suerte? Eleazar, el Sacerdote, y Tú, sois los dos hombres más justos de nuestra generación, y aun siendo así, si yo hubiera de echar algo a suertes entre vosotros dos, la suerte siempre recaería sobre alguno de los dos». Así objetaba Acán que su culpa había sido determinada por un sorteo, manifestando que, culpable o inocente, la suerte siempre había de señalar a alguno.

Pero Acán se encontraba sólo en su inquietud sobre el uso de un mecanismo aleatorio para una determinación tan importante. Para todos los demás era obvio que Dios, y no el ciego azar, manifestaba su juicio a través de la suerte. La intervención divina había identificado correctamente al culpable. Acán termina finalmente confesando su culpa y es conminado a dejar de rebatir de forma irreverente el uso de la suerte. Los jefes que decidieron su culpabilidad echándola a suertes tenían de su parte la fuerza psicológica suficiente como para violentar al sospechoso hasta hacerle confesar su pecado ¡quizá hasta el grado de que confesara un pecado que no había cometido[3]!

Las decisiones importantes, como modernamente solemos pensar, deben ser juiciosas y basarse en la lógica más que en el azar. Cuando los resultados de la decisión apenas tienen consecuencias o nos encontramos en una situación en la que nos vemos incapaces de elegir entre varias alternativas, entonces y sólo entonces estamos dispuestos a dejar la decisión en manos del azar.

Sin embargo, no siempre ha sido así. En el pasado, los métodos aleatorios que descartaban cualquier elemento lógico o de habilidad desempeñaban un papel fundamental en los juegos y en las decisiones importantes de la vida cotidiana.

Antiguos mecanismos aleatorios en los juegos de azar

Aunque no siempre admitidos y reconocidos como tales, los mecanismos aleatorios han sido empleados desde la antigüedad: para dividir propiedades, para delegar responsabilidades o privilegios civiles, para dirimir disputas entre vecinos, para elegir la estrategia a seguir en el curso de una batalla o para regir los juegos de azar.

En excavaciones arqueológicas en Ur fueron descubiertos cierto tipo de tableros de juego originarios de la antigua Babilonia. Uno de ellos que data aproximadamente del 2700 a. C., fue hallado completo con todas sus piezas o «peones» de juego. Se cree que el juego se regía por algún elemento del tipo de un dado, aunque éste no ha sido hallado. En el emplazamiento del palacio de Knosos, en Creta, se encontró un tablero de juego con complicadas incrustaciones, supuestamente perteneciente a la civilización de Minoa (2400-2100 a. C.). Aunque no fueron halladas piezas ni dados, se cree que el juego era relativamente similar al backgammon[4].

Los tableros encontrados en la baja Babilonia, Asiria, Palestina y otros lugares, recuerdan a un juego originario del Antiguo Egipto y tienen bastante en común con algunos juegos de naipes modernos. Unas clavijas o piezas que encajan en orificios practicados en el tablero marcan el recorrido alrededor del mismo. Un juego de tablero similar al juego de la oca o a una forma primitiva de backgammon, datado entre 1878 y 1786 a. C., fue encontrado en una tumba egipcia en Tebas, junto con las piezas del juego en forma de perros de presa y chacales de marfil[5].

¿Por qué tantos tableros antiguos han sido encontrados sin unos dados acompañantes? Quizá porque se empleaban otros utensilios de mayor antigüedad que los expertos no han podido reconocer como tales. Si las conchas o guijarros u otros objetos comunes en la naturaleza eran empleados como dados, los arqueólogos no podrían establecer dicha conexión. O quizá los dados eran elaborados con materiales como la madera u otras materias vegetales, de modo que se han descompuesto con el paso del tiempo. Otra posibilidad es que se emplearan los dedos de la mano para determinar el número que regía el juego. En tal caso, no podrían encontrarse objetos identificables como mecanismos determinantes del azar.

Los primeros dados de seis caras conocidos proceden de Oriente. En una excavación de la antigua Mesopotamia en el norte de Irak, en Tepe Gawra, se halló un dado hecho de barro cocido, datado hacia el 2750 a. C. En el valle del Indo, en los yacimientos de Mohenjo-Daro, se encontraron dados del mismo material y aproximadamente del mismo periodo en todos los estratos de la excavación incluyendo dados prismáticos rectangulares y triangulares, y dados cúbicos (véase la figura 2). Todas las caras de los dados cúbicos estaban marcadas con puntos (orificios). En aquellos tiempos los puntos probablemente se usaban ante la falta de otro método de notación numérica, pero la tradición de usar puntos en lugar de números ha persistido hasta la actualidad en la mayoría de los dados modernos[6].

2. Antiguos dados prismáticos rectangulares, triangulares y cúbicos.

En diversas excavaciones de Egipto se han hallado dados cúbicos de seis caras de datados en el 1320 a. C., aunque en numerosos yacimientos egipcios de mayor antigüedad se han encontrado huesos que semejan dados, quizás empleados con un fin parecido. Estos mismos tipos de huesos, denominados tali (latín) o astragali (griego), también han sido encontrados en yacimientos de la antigua Grecia y Roma; son los conocidos astrágalos o tabas, huesos del talón de animales ungulados tales como ciervos, terneros, ovejas y cabras. Los astrágalos o tabas tienen cuatro largas caras planas marcadamente diferentes, sobre las cuales puede descansar el hueso, y dos pequeños extremos redondeados. De las cuatro caras planas, dos son estrechas y aplanadas y dos anchas, una de ellas ligeramente cóncava y la otra ligeramente convexa. Como cada cara del hueso es diferente a las otras (véase la figura 3), no es necesario marcar las caras. En caso de marcarse con puntos, corresponderían a las puntuaciones 1, 3, 4 y 6.

Los juegos de azar de griegos y romanos se jugaban con cuatro tabas. La tirada más baja, conocida como «los perros», resultaba cuando se lanzaban las cuatro tabas. La tirada más alta, llamada la jugada «de Venus», se obtenía si las cuatro caras eran diferentes. Las tabas fueron imitadas en marfil, bronce, vidrio y ágata, y se empleaban tanto en juegos como en ceremonias religiosas. La palabra griega para dado o cubo es kubos, de la cual deriva la palabra talmúdica para dado, kubya, y la palabra española ‘cubo’. La palabra árabe para nombrar el astrágalo, así como para el dado cúbico, es kab, y significa tobillo. Algunos expertos han concluido que ello implicaría que las tabas serían el antecesor de los dados cúbicos, aunque no se ha podido alcanzar ninguna demostración concluyente[7].

3. Tabas o astrágalos y sus cuatro caras diferentes.

4. Duelas o varillas de dos caras del tipo de las encontradas en yacimientos arqueológicos en Tebas, del 3000 a. C.

En un buen número de las excavaciones realizadas en el Antiguo Egipto se han encontrado tableros, fichas de juego y tabas, por ejemplo en una cámara funeraria en Tebas (2040-1482 a. C., aprox.), o en la tumba de la reina Hatasu (1600 a. C.). En la tumba de Tutankamón (nacido hacia el 1358 a. C.) los arqueólogos hallaron un tablero de juego junto con las piezas, unas tabas de marfil y dos varillas de dos caras con función de dados, pintadas de negro en una cara y de blanco en la otra[8].

Los primeros instrumentos hallados en Egipto podrían haber sido mucho más sencillos que las tabas de cuatro caras. Ilustradas en una tumba de la III Dinastía (2800 a. C., aprox.) y visibles una junto a otra al lado de un tablero de juego, se trata de unas duelas o varillas con una cara convexa y otra cóncava, las cuales probablemente eran lanzadas a la manera de una moneda, con su cara y su cruz, para determinar los movimientos sobre el tablero. En yacimientos cercanos a Tebas fueron halladas unas duelas de marfil (datadas hacia el 3000 a. C.), marcadas en una cara y sin identificación alguna en la otra, junto con las fichas de juego y unas varillas aparentemente empleadas para llevar la puntuación del juego (véase la figura 4). El Metropolitan Museum of Art de Nueva York tiene expuestas en una vitrina unas duelas o varillas de juego procedentes de Tebas y datadas del 1420 a. C. Acompañando al tablero y a las fichas de juego hay nueve varillas, pintadas de rojo por una cara, las cuales aparentemente servían para ser lanzadas y determinar los movimientos de las fichas sobre el tablero. Algunos arqueólogos piensan que también ciertos abalorios con grabados en una cara podrían haber servido como dados de dos caras[9].

5. Juegos de morra y «pares y nones». Dibujados en las paredes de la tumba de Beni Hassan, 2000 a. C., tal como fue documentado por el historiador griego Heródoto, hacia el 450 a. C.

En las paredes de las tumbas del Antiguo Egipto de Beni Hassan (2000 a. C.) ya existe una representación del juego de morra y de «pares y nones» (véase la figura 5). El primero, que se juega con los dedos de una mano, aún es muy popular en Italia; era llamado micare digitis por los antiguos romanos. En dicho juego dos personas sacan simultáneamente su mano derecha mostrando uno, varios o ningún dedo de la mano, al tiempo que dicen en alta voz la suma prevista de los dedos de ambos. En Las vidas de los Césares, Suetonio describe un incidente durante el cual el cruel emperador Augusto llamó ante su presencia a un padre y a su hijo para que se jugaran a este juego la vida de uno de ellos[10].

El emperador Augusto consagró su vida al juego e incluso proveía a sus invitados de una pequeña suma de dinero «para el caso de que quisieran jugar a los dados tali o a pares y nones con él durante la cena». Pares y nones era uno de los juegos favoritos de griegos y romanos, el cual denominaban en latín par impar ludere. Un jugador mantenía un número de garbanzos, nueces, monedas o tabas en su mano cerrada, y la apuesta se ganaba si el oponente adivinaba si el número de objetos era par o impar[11].

Uno de los primeros documentos escritos sobre los dispositivos aleatorios en los juegos se encuentra entre los poemas védicos del Rigveda Samhita[12]. Escrito en sánscrito alrededor del 1000 a. C., este poema o canción, llamada el «Lamento del jugador», es un monólogo de un jugador cuya obsesión por el juego le lleva a perder su casa y a su devota mujer. El jugador atribuye su desgracia a la mala suerte no al destino o a los dioses, pero culpa de su obsesión a la magia de los dados.

El juego es la actividad sobre la que se centra un libro entero de la gran épica Veda El Mahabharata. Los sucesos principales narrados en El Mahabharata tuvieron lugar entre el 850 y el 650 a. C., aunque algunas historias se remontan a la India prevédica. Algunos pasajes de la epopeya ya fueron escritos hacia el 400 a. C. y otros no lo fueron hasta el 400 d. C[13]. Por El Mahabharata sabemos que los dados ya se lanzaban sobre un tablero y que dichos dados se hacían con una especie de nueces oscuras, probablemente de los frutos del árbol vibhitaka. Dichas nueces eran casi redondas, con cinco caras ligeramente planas; debían ser del tamaño aproximado de una avellana o de una nuez moscada. Parece que el juego se basaba en una simple apuesta de «pares y nones» y no tenía nada que ver con el hecho de que las nueces tuvieran cinco caras. Sobre un tapete de jugar se lanzaba una elevada cantidad de dados (nueces). Éstos no estaban marcados, o en caso de estarlo, ello no influía sobre el desarrollo del juego. Los dos jugadores enfrentados acordaban el número de jugadas a realizar y las cantidades apostadas. El primer jugador declaraba pares o nones y tomaba un puñado de dados, lanzándolos y contándolos a continuación. Si el otro jugador acertaba, ganaba la apuesta y dicha ronda terminaba. Si no, perdía su apuesta y era el turno del otro para jugar[l4].

En un pasaje del poema épico (la historia de Nala) parece manifiesto que la pericia en el juego del vibhitaka tenía algo que ver con la habilidad de estimar o contar rápidamente un gran número de nueces. En dicho cuento, un hombre llamado Nala llega a ser el empleado de un rey que declara «Has de saber que conozco el secreto de los dados y que soy un experto contador[15]». Para demostrar su talento haciendo cuentas, el rey pasa a contar el número de nueces en dos grandes ramas de un árbol vibhitaka. Su método de «cuenta» consiste, en primer lugar, en estimar el número de hojas y nueces caídas en el suelo. Finalmente, y estimando el número de hojas en las dos ramas, el rey se atreve a afirmar que hay 2.195 nueces en las dos ramas. Cuando, efectivamente, se contabilizan una a una las nueces, resulta que el número dado por el rey es exacto.

En teoría, esta cuenta instantánea implicaba ser un experto en el juego de pares y nones del vibhitaka, pero algunos estudiosos creen que la historia de Nala no es más que una idealización: tal capacidad no sería realmente posible y se trataría de un mero juego de azar[l6]. Otros autores, sin embargo, han apuntado que en la India moderna existen ciertos tasadores profesionales, llamados kaniya, que estiman los rendimientos de los cultivos con una precisión asombrosa. Dada su fiabilidad ganada año tras año, sus resultados raramente son cuestionados.

Si tales habilidades estimativas son posibles o no, considerando la antigüedad de El Mahabharata me siento inclinada a coincidir con Ian Hacking cuando dice que la historia de Nala aporta una «curiosa comprensión sobre la relación entre jugar a los dados y realizar muestreos[17]».

Otro antiguo juego hindú se jugaba con unos dados de madera o de marfil denominados pasakas, unos prismas rectangulares con cuatro caras alargadas marcadas con puntos. De hecho, se conocen numerosos tipos de dados de la antigua India: fichas de madera, monedas y conchas de dos caras, nueces de cinco caras, pasakas de cuatro caras y dados cúbicos de seis caras. Los diferentes tipos de dados pueden haber coexistido en el tiempo, sin saberse cuál de los tipos apareció en primer lugar. Un estudioso ha especulado que los puntos en los pasakas son una representación simbólica de las nueces mismas de vibhitaka, y que como tales ilustran la evolución de los dados a partir de los utensilios más antiguos que sirven para crear azar[18].

Entre los indios americanos también se encuentra una amplia gama de dispositivos generadores de azar usados en distintos juegos. Dichos juegos difieren principalmente en la elección de los propios dados, pues las tribus estaban sujetas a la limitación de los materiales disponibles. Con pocas excepciones, los dados tenían dos caras —⁠una cóncava y otra convexa, o una cara marcada o pintada de alguna forma característica y la otra no. Los dispositivos de dos caras estaban hechos de hueso, madera, semillas, dientes de castor o de marmota, de cáscaras de nuez, duelas de nogal, garras de cuervo o huesos de ciruela. Los esquimales empleaban dados de seis caras de marfil y madera con forma de silla y en los cuales sólo tres caras contaban. Entre los indios papago se empleaban como dados los astrágalos de los bisontes, contando sólo dos caras de los mismos[19].

La amplia distribución de tales juegos en el Nuevo Mundo parece apoyar la teoría de que dichos dados deben ser muy antiguos, precolombinos y no importados por los conquistadores[20]. El juego de adivinación de pares y nones, a menudo jugado con palitos o varillas, también parece ser propio de los indios americanos aborígenes.

Desde los primeros tiempos de la civilización los seres humanos han ideado mecanismos simples con el fin de excluir del juego y de la toma de decisiones serias la voluntad, la habilidad y la inteligencia humanas. Sin embargo y paradójicamente, como veremos en el capítulo 3, los antiguos generalmente creían que los resultados de los sucesos eran controlados en último término por la deidad y no por el azar. El empleo de los mecanismos aleatorios para solicitar el consejo divino se denomina adivinación, y los pasos dados para asegurar la aleatoriedad se concebían simplemente para eliminar la posibilidad de una interferencia humana, con el fin de poder discernir la voluntad divina.

3. Cuando los dioses jugaban a los dados

La ley fundamental de los dados era que los dioses… siempre [dejaban] ganar al hombre a quien menos importara esto. Así pues, la única forma de ganar a los dados era cultivar un genuino deseo de perder.

Robert GRAVES, Yo, Claudio

En la antigüedad, tanto si los dispositivos aleatorios eran empleados para tomar una decisión seria como para llevar a cabo juegos de azar, existía una creencia consolidada de que los dioses controlaban los resultados. El propósito de mecanismos aleatorios, tales como los dados u otros, era descartar la posibilidad de una manipulación humana y con ello proporcionar a los dioses un canal claro a través del cual manifestar su deseo divino. Incluso hoy en día, algunas personas ven tras un resultado aleatorio la mano del destino o de los hados, el cual «tenía que ser».

Los métodos para asegurar la aleatoriedad de un sorteo son mencionados ya por Homero (hacia el 850 a. C.). En la Ilíada, en la cual se relatan las aventuras de los griegos durante la guerra de Troya (supuestamente en el siglo XII a. C.), se realiza un sorteo para decidir quién debería arrojar su lanza el primero en un duelo entre Menelao y Paris. La seducción de la mujer de Menelao, Helena, por parte de Paris, había precipitado a los griegos al asalto de Troya, aunque en el momento del duelo la ciudad aún no había sido tomada por los griegos. Las prendas que decidirían la suerte de cada uno de los hombres fueron introducidas en un yelmo (probablemente marcadas de alguna forma particular) y agitadas dentro del mismo, mientras las personas presentes rogaban a los dioses. El guerrero cuya prenda fuera extraída en primer lugar por Héctor —comandante del ejército troyano—, sería el elegido para arrojar su lanza antes que el otro.

Aunque Homero deja claro durante toda la Ilíada que los dioses tienen poder absoluto para manipular los sucesos, se puede ver que los griegos han establecido ya algunos procedimientos para imponer la imparcialidad en los sorteos. En el pasaje «Héctor, el del yelmo fulgurante, agitó las prendas mirando hacia atrás y en cosa de un momento, surgió la de Paris», observamos dos ideas interesantes[1]. En primer lugar, las prendas deben ser agitadas, ello parece indicar que incluso con la intervención divina había que adoptar medidas para prevenir la interferencia humana. Y en segundo lugar, Héctor mira hacia atrás, como alguien que cerrara los ojos para ser imparcial en la elección.

En un pasaje posterior de la Ilíada otro sorteo determina quién de los soldados griegos se enfrentará al mismo Héctor. Cada soldado «marcó una prenda como la suya propia»; éstas fueron introducidas en un yelmo, mientras se rogaba a los dioses y se agitaba el yelmo, «y una de las prendas saltó del yelmo[2]». Sólo aquel que hubiera marcado la prenda la reconocería como suya —⁠nada sorprendente, dado que el alfabeto griego comenzó a utilizarse tras la guerra de Troya.

No es fiada raro encontrar en la literatura antigua continuas referencias a los dispositivos aleatorios dotándolos de cualidades animadas saltando desde el yelmo en este caso. Piaget e Inhelder, en sus trabajos acerca de las nociones de los niños sobre el azar, describen respuestas similares en la forma en la que los niños expresan sus pensamientos. Cuando se les pregunta qué patrón de color tendría un conjunto de globos de colores mezclados al azar, los niños más pequeños señalan: «nadie puede estar seguro porque no somos globos», o «ellos saben cómo ponerse porque ellos son los que tienen que hacerlo[3]».

Muchos siglos después de Homero, alrededor del 98 d. C., el historiador romano Tácito describe el método teutónico de adivinación por suertes:

Con los augurios y artes de echar a suertes tienen el máximo cuidado. Su procedimiento para echar algo a suertes es siempre el mismo. Arrancan una rama de un árbol lleno de frutos y la cortan en trozos; marcan éstos con diferentes signos y los arrojan completamente al azar sobre un paño blanco. Entonces el sacerdote del lugar, si se trata de una vista pública, o el patriarca de la familia si la consulta es privada, eleva su ruego a los dioses, y alzando su vista al cielo toma tres trozos de rama, uno por vez, leyendo su significado a partir de los signos anotados sobre los mismos[4].

La referencia de mirar al cielo antes de seleccionar los fragmentos de rama ofrece varias interpretaciones. El sacerdote podría así tratar de asegurar a los asistentes su no interferencia con la suerte, tal y como Héctor hace al mirar hacia atrás. O por el contrario, del mismo modo que un mago distrae a su audiencia con algún movimiento para que nadie perciba sus juegos de manos, el adivino podría desviar la atención sobre algún tipo de manipulación. O bien, reforzando el poder de la oración, al mirar al cielo trata de reclamar una atención especial de los dioses.

Además de agitar las prendas y mirar hacia atrás, a veces se elegía a un niño para que extrajera la prenda que determinaba la suerte. Cicerón relata que las prendas en Praeneste, en el templo de la diosa Fortuna, eran manipuladas sólo bajo la dirección de la diosa, siendo removidas y extraídas por un niño. La pureza de los niños les hacía ser medios aptos para la voluntad divina, pues se suponía que eran inmunes a las manipulaciones intencionadas[5].

Los comentarios hebreos de la Edad Media aún sugieren otras medidas que podrían adoptarse para lograr resultados aleatorios en tales suertes. Respecto a la selección de las prendas para el sacrificio de un chivo expiatorio en el Día del Sacrificio, Maimónides escribe:

En lo concerniente a las dos prendas: en una se escribía «por el Señor», y en la otra «por Azazel». Dichas prendas podían ser de distintos materiales: madera, piedra o metal. Sin embargo, una de ellas no podía ser grande y la otra pequeña, o bien una de plata y la otra de oro. Si no que preferiblemente ambas debían ser semejantes… Ambas prendas eran introducidas en una vasija que pudiera albergar las dos manos, de modo que se pudiera tomar en cada mano una de ellas sin tratar de alcanzar intencionadamente alguna de las prendas en particular… El Sumo Sacerdote removía la urna y extraía en sus dos manos las dos prendas por cada uno de los dos chivos.

En la tradición hebrea, se consideraba un buen augurio que la prenda «por el Señor» saliera en la mano derecha[6].

En el Antiguo Testamento las prendas eran echadas a suertes para elegir el chivo expiatorio para su sacrificio, para elegir el día concreto del sacrificio, para delegar una autoridad, para asignar una responsabilidad, para elegir a los residentes de Jerusalén o para identificar al culpable de alguna ofensa. Cuando había que elegir a un individuo de entre un grupo numeroso, ello se consumaba a través de varias etapas de selección de forma equivalente a como haríamos en la actualidad en el denominado «muestreo por conglomerados». En primer lugar, se elegía una tribu de entre todas las habidas, a continuación una familia de la tribu, y finalmente se seleccionaba a un individuo de la familia. En estos casos las prendas representaban a los individuos, a las familias o a las tribus[7].

El uso más frecuente de prendas en el Antiguo Testamento para echar algo a suertes se daba para dividir una herencia consistente en propiedades o tierras conquistadas o en algún botín de guerra. Una vez medida y realizada la partición de la propiedad, las prendas probablemente eran marcadas para representar las parcelas concretas de la tierra[8]. De esta manera las palabras para denotar la «suerte» adquirieron otros significados, tales como una parcela de tierra, una función asignada o el destino de una persona. En el Diccionario Asirio se define la palabra isqu (suerte) como lo que designa un «sorteo (un medio de determinar una elección)» pero también una «heredad (una porción de tierra, unas rentas, propiedades o botines… adquiridos por la extracción de una prenda echada a suertes)», o incluso «la fortuna, el destino o los hados[9]».

Las referencias del Talmud indican que en algunos casos se empleaban dos urnas para echar algo a suertes. En una de las urnas se introducían las prendas de los participantes y en la otra las prendas que representaban las tierras. Así, al extraer una prenda de cada urna la propiedad concreta era asignada[10]. Ello podría ser una forma mejorada de aleatoriedad frente al empleo de una sola urna. En los resultados del sorteo de 1970 del Servicio Selectivo de reclutamiento de los Estados Unidos, se comprobó que la selección de los quintos en función de su fecha de nacimiento mediante un solo bombo de sorteo, no garantizaba una aleatoriedad suficiente. Algunas fechas tenían una probabilidad mayor de salir que otras, y por tanto se obtenía un mayor número de reclutas nacidos en unos determinados meses (favoreciéndose así su reclutamiento) y otras no salían con tanta probabilidad hasta el final, aumentando la probabilidad de que los quintos resultaran excedentes de cupo.

Ello se debió a que antes del sorteo las bolas habían sido introducidas en el bombo comenzándose por las del mes de enero y terminando por las de diciembre del mismo año. La mezcla insuficiente de las bolas significó que las introducidas al final tuvieran una probabilidad mayor de salir. Cuando se descubrió el sesgo en el mecanismo de agitación de las bolas se desarrolló un nuevo plan basado en el empleo de dos bombos, uno que contuviera los 365 días del año y otro con 365 números de reclutamiento. La combinación de dos bolas, una de cada bombo, determinaba la asignación del número de reclutamiento a una determinada fecha de nacimiento[11].

En el año 73 d. C. los judíos defensores de Masada, antes de morir a manos de sus enemigos una vez perdida la batalla, echaron a suertes quién llevaría a cabo su matanza o suicidio colectivo. En restos arqueológicos se han encontrado fragmentos con los nombres inscritos de los hombres que supuestamente lo perpetraron. Por lo que parece, diez hombres fueron elegidos por sorteo para ser los verdugos. Después de que la ejecución se llevó a cabo, uno de los diez fue elegido, también por sorteo, para matar a los otros nueve verdugos, tras lo cual él mismo se suicidaría[12]. ¿Podría haberse dado un sorteo semejante en el suicidio en masa acontecido en el sur de California en marzo de 1977 por parte de los seguidores de la secta de la Puerta del Cielo? ¡Probablemente no lo sepamos nunca!

El Antiguo Testamento aduce dos razones por las que un dispositivo aleatorio, tal como un sorteo, podría ser empleado para dilucidar decisiones a vida o muerte. En Proverbios 16, 33, podemos leer: «En el seno se echan las suertes, pero la decisión depende de Yavé»; según esto, sería la voluntad divina la que decide sobre el resultado. Antiguamente, ésta era una noción raramente cuestionada. Otra razón práctica para adoptar decisiones por medio de un sorteo, manifestada por el rey Salomón en Proverbios 18, 18, expone: «La suerte pone fin a los litigios y decide entre los poderosos». En los tiempos bíblicos la recurrencia al azar era una forma acordada de tomar decisiones, dado que permitía zanjar discusiones entre las partes enfrentadas, a menudo poderosas. Los rabinos conflictivos y recalcitrantes, por ejemplo, frecuentemente empleaban una forma de sorteo para asignar deberes diarios en el templo[13].

En Mesopotamia, el empleo de prendas en un sorteo para tomar decisiones se utilizaba en la creencia de que la deidad afectaba y de hecho manipulaba las prendas. En la antigua Asiria, el epónimo del año era determinado en un sorteo. El rey dio su propio nombre al primer año de su reinado, y cada año posterior recibía el nombre de un oficial del reino elegido mediante sorteo. En una de las prendas de dichos sorteos, un dado de barro que data del año 833 a. C., consta una invocación ferviente a los dioses para que determinen el resultado de la elección. En el dado se puede leer: «¡Oh, gran Señor, Assur! ¡Oh, gran Señor, Adad! Ésta es la prenda de Jahali, el intendente jefe de Shalmaneser, rey de Asiria, gobernador de la ciudad de Kipsuni, de los países…, director del puerto; ¡haced prósperas las cosechas de Asiría y que éstas sean pródigas en el epónimo establecido por su suerte! ¡Que su prenda sea la elegida[14]!».

Los participantes en las primeras loterías europeas, como antes hicieran los pueblos de la antigua Mesopotamia, a menudo invocaban a Dios y a los santos para que les dieran suerte. A comienzos del siglo XVI parece que una forma de lotería se puso de moda y se extendió entre la población. Durante los siglos XVII y XVIII las loterías siguieron floreciendo. En esta época la costumbre era que un niño (probablemente con los ojos vendados) extrajera una tira de papel de una urna o de una rueda de la fortuna, o incluso una bola de un bombo rotatorio. La lotería era considerada por pobres y ricos como una fuerza de compensación, dado que el dinero del premio estaba al alcance de todo aquel que jugaba[15].

El azar y el Libro de las Mutaciones

El I Ching, o Libro de las Mutaciones, extensamente consultado por los chinos de hoy en día, comenzó como un oráculo que incluía dispositivos sujetos al azar. De acuerdo con la tradición china, el I Ching era uno de los cinco libros escritos o compilados por Confucio en el siglo V o VI a. C[16]. El libro describe 64 hexagramas (figuras con seis líneas) y sus interpretaciones asociadas. Mediante el empleo de algún mecanismo aleatorio, se llega finalmente a dos de dichos hexagramas para predecir una suerte particular. Son necesarios dos hexagramas por consulta porque el Libro de las Mutaciones remite al cambio verificado al pasar de un hexagrama a otro.

Cada hexagrama se compone de seis líneas, en cada una de las cuales puede darse uno de los dos símbolos básicos (véase la figura 6). Originalmente estos dos símbolos eran conocidos como la luz y la oscuridad, pero más tarde pasaron a denominarse yin y yang[17]. Dado que cada una de las seis líneas puede aparecer en una de las dos formas (yin o yzzzzg), en total son posibles 64 hexagramas diferentes: 2 en la primera línea, 2 × 2 en las dos primeras líneas, 2 × 2 × 2 en las tres primeras líneas, y así hasta alcanzar 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64.

Los especialistas en el I Ching creen que el hexagrama evolucionó al juntar dos trigramas. Con toda probabilidad, el sistema se desarrolló a partir de un primitivo tipo de oráculo basado en respuestas «sí/no», que más tarde se volvería más sofisticado con la disposición primero de tres, y más tarde de seis posibilidades del mismo tipo. De este modo resulta posible llegar a un hexagrama concreto empleando algún tipo de mecanismo aleatorio que produzca dos resultados posibles, al lanzarlo seis veces. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda caras para el yin y cruces para el yang podrían determinar una línea del hexagrama. Con cinco lanzamientos más se obtendría un símbolo completo del hexagrama. En la práctica actual, las técnicas empleadas son mucho más complejas[18].

Figura 6. Consulta del I Ching.

Los métodos de consulta del oráculo implican o bien el uso de 50 tallos de milenrama o bien el lanzamiento de 3 monedas. En el método de los tallos de milenrama, se separa uno de los tallos, el cual no llega a emplearse. Los restantes 49 tallos primero se dividen al azar en dos haces. A continuación se cuentan de cuatro en cuatro los tallos en el haz de la mano izquierda y se anota el número de los últimos restantes; después de quitar un tallo del haz de la mano derecha, se procede a realizar la misma operación. Los dos grupos de tallos restantes se suman y se obtiene un valor numérico. A continuación se vuelve a realizar la operación con los haces originales una vez quitados los tallos restantes contados en la operación anterior, y se procede del modo ya descrito. Finalmente se realiza el proceso una tercera vez. Los tres valores numéricos se suman y dicha suma total aporta el yin o el yang que determina una línea del hexagrama. Dicho procedimiento debe repetirse seis veces para llegar al hexagrama completo de seis líneas. Aunque dicho método de sumar los tallos restantes es altamente sofisticado, se ha visto que las probabilidades de obtener un yin o un yang son iguales[19].

El método chino de obtener un oráculo empleando monedas es mucho más simple que el de los tallos de milenrama, aunque no tan simple como el de pares y nones o cara y cruz. En dicho método se lanzan al tiempo tres antiguas monedas chinas de bronce, con un agujero en el centro e inscripciones en una cara. En función de si las caras con las inscripciones quedan boca arriba o no, se asigna un valor numérico a la moneda, sumándose los valores de las tres monedas. Dicha suma proporciona la primera línea del hexagrama, procediéndose a lanzar otras cinco veces las monedas para obtener el hexagrama completo[20]. Tal complejidad en el procedimiento para llegar a un simple yin o yang puede llegar a sorprendernos, pero es posible que el proceso fuera larguísimo e interminable con el fin de imprimir en los participantes un sentimiento de ceremoniosidad y seriedad.

El oráculo o la buenaventura a la que se llegaba mediante el I Ching, se considera basado en una asociación entre lo humano y lo divino. Una referencia a la adivinación mediante los tallos de milenrama, escrito por el poeta chino Su Hsun en el siglo XI d. C., revela la siguiente creencia:

Y se toma la milenrama. Pero para obtener un haz par o impar de tallos de milenrama, la propia persona dividirá el haz entero de tallos en dos […]. A continuación contamos los tallos de cuatro en cuatro, conscientes de contar por tétradas; tomamos los restantes entre los dedos y sabemos que a la izquierda hay uno o dos o tres o cuatro, y los elegimos. Éstos son cosa del hombre. Pero dividiendo todos los tallos en dos partes, no sabemos aún cuántos tallos hay en cada uno de ellos. Éstos son cosa del cielo[21].

Mediante la manipulación de los tallos, el hombre pasa inconscientemente a ser un agente activo en el oráculo. Esta filosofía, al menos en el siglo XI d. C., cuando el confucionismo estaba experimentando una revitalización entre los intelectuales chinos, sugiere que el hombre influía en la adivinación mediante su participación, mientras que el componente azaroso («no sabemos cuántos tallos hay en cada uno de ellos») era determinado por la intervención divina.

Un interesante pasaje en otro tratado confuciano, el Shu Ching Libro de la Historia o Libro de los Documentos, del siglo VI a. C.), sugiere la conveniencia de emplear el juicio propio para decidir si se sigue un oráculo o no, algo sin parangón en ninguna otra obra. El texto explica cómo se puede buscar una guía mediante la adivinación usando tallos de milenrama, o incluso mediante un método más antiguo, empleando caparazones de tortuga: «Hay en total siete formas de adivinación, cinco de las cuales conllevan el uso de caparazones de tortuga y dos de ellas tallos de milenrama. Esto es así para admitir posibles incertidumbres. Y designad a dichas personas y dejadlas predecir (con los caparazones) y adivinar (con la milenrama). Y una vez los tres hayan hecho su adivinación, seguid la respuesta de al menos los dos que estén más de acuerdo[22]».

Estas instrucciones son muy interesantes, pues admiten la posibilidad de un error o del azar, o al menos de la probabilidad de que puedan darse diferentes respuestas. Y, por tanto, aconsejan la búsqueda de una segunda (y hasta una tercera) opinión. Dichos métodos no muestran la divina infalibilidad de una suerte simple como la considerada en muchas otras culturas. De hecho, se aconseja al que pregunta por su suerte que no se base en un solo adivino o en un único sistema de adivinación, sino más bien que siga la opinión mayoritaria. Incluso después de que los adivinos hayan llegado a sus predicciones, el tratado continúa admitiendo ciertas incertidumbres y aconseja adoptar un juicio propio: «Pero si albergas grandes dudas, entonces delibera sobre ello, y vuélvete hacia tu propio corazón; delibera, y vuélvete hacia los tuyos; delibera y vuélvete a la gente común; delibera y vuélvete a la gente que predice y adivina».

Estas implicaciones de una obligación moral de deliberar sobre los resultados del oráculo, en lugar de aceptarlo como un valor absoluto, distingue al I Ching de otras formas de adivinación. Es precisamente esta característica de obligación moral la que gradualmente fue convirtiendo el documento originalmente adivinatorio en un texto filosófico. En la introducción a su traducción del I Ching, Richard Wilhelm declara que aunque el I Ching podría haber sido originariamente el tipo de oráculo que predecía el destino de una persona, la primera vez que un hombre rehusó aceptar sin más la carga de su destino y se preguntó: «¿Cómo puedo cambiarlo?», el libro adquirió la categoría de un libro de sabiduría[23].

Emplear el azar para llegar a un pasaje concreto del I Ching constituye una forma de rapsodomancia: la búsqueda de una guía mediante la selección aleatoria de un pasaje de una obra literaria. Otra forma temprana de rapsodomancia es la representada por los textos sibilinos. Éstos fueron actualizados en el siglo VI d. C., aunque los primeros probablemente fueron escritos alrededor del siglo VI a. C., cuando los oráculos griegos gozaban del máximo de popularidad. Según la leyenda, hubo varias sibilas, la primera de las cuales procedía de Persia; otra era una judía se afirma que la hija de Noé procedente de Babilonia o de Egipto. Los textos sibilinos eran oráculos en verso, supuestamente pronunciados por las sibilas en sus trances proféticos[24].

Los libros eran objeto de un gran culto y se guardaban en el templo de Júpiter en Roma, hasta que ardieron en un incendio en el año 83 a. C. En el 76 a. C. se compiló una nueva colección de versos oraculares, pero también éstos fueron destruidos por el fuego en el 405 d. C. De esta segunda colección hay constancia de que estaba escrita en hexámetros griegos, y Cicerón, en un escrito de aproximadamente el 44 a. C., afirma que algunos de los versos se hallaban en forma de acrósticos. Otros autores antiguos han sugerido que los versos originales fueron escritos en forma de jeroglíficos, mencionando también el código acróstico[25].

Cómo eran los libros y de qué forma eran empleados es un misterio que nunca tendrá respuesta; se cree que se trataba de pergaminos que eran desenrrollados al azar para leer un pasaje cualquiera, o quizás el pasaje era sometido a la elección de los intérpretes. Dichos oráculos, como muchos otros, podrían haber sido escritos sobre hojas sueltas (o en finas láminas de madera) que podrían ser barajadas, eligiéndose un pasaje al azar. El hecho de que los oráculos fueran vagos y ambiguos, aptos para aplicar a gran número de situaciones, concede cierto crédito a dicha teoría.

Pero no todas las personas se encontraban cómodas con tales métodos aleatorios o al azar. El heleno Virgilio, advertía a Eneas sobre lo caprichoso del método de la sibila:

Encontrarás a una extática y profética mujer, cuya apuesta es comunicar el

Destino, consignando por escrito sus místicos mensajes.

Sean cuales sean los símbolos que esa virgen escribe en sus hojas

Ella se retira a su caverna, con todo bien ordenado.

Allí queda todo intacto, mientras está bien guardado:

Pero supón que los goznes se abren y una ligera brisa penetra a través del marco de la puerta,

Ella remueve las frágiles hojas y las baraja, sin poner gran cuidado desde ese momento

En prenderlas, mientras revolotean por la caverna, para restaurar

Su posición inicial o reordenar sus augurios: es así como los hombres que van a

Consultar a la sibila no parten de allí más sabios, sino odiando el lugar[26].

A lo largo de todo el Oriente Medio, de Europa y de Asia, las civilizaciones antiguas recurrían a los dispositivos aleatorios para revelar la voluntad de los dioses, tomando elaboradas precauciones para asegurarse de que los participantes humanos no pudieran influir en los resultados. Pero sólo por que el destino de la persona dependiera de los dioses, ello no implicaba justicia o imparcialidad. Este aspecto cínico de la psique humana fue representado entre los diosas romanas por Fortuna, la diosa del destino. Fortuna era una personificación de la veleidad, que no mostraba signos de parcialidad, así como tampoco recompensaba la virtud o castigaba el vicio. La popularidad de Fortuna experimentó un resurgimiento en Europa durante la Edad Media y el Renacimiento, apareciendo citada la diosa en las obras de Boecio, Dante, Boccaccio, Chauter y Maquiavelo, entre otros[27].

Las referencias literarias y artísticas a Fortuna a veces la representan ciega o con los ojos vendados, mostrando una indiferencia absoluta por el virtuoso, el rico o el poderoso. El poeta inglés William Blake, en una nota sobre sus ilustraciones a Dante, escribió: «La Diosa Fortuna es la sierva del diablo, dispuesta a besar el trasero de cualquiera». Así es descrita siendo tanto imparcial como injusta, a veces se la representa con muchas manos, por quitar los bienes con tanta facilidad como los otorga. O sus manos derecha e izquierda pueden representar la fortuna de dios y del diablo, respectivamente. A veces tiene alas, por lo efímero de la fortuna. Ha sido retratada de pie sobre una bola o un globo, o haciendo girar una rueda. En la tradición romana, Fortuna jugaba a los dados con las vidas de los hombres, siendo el destino de éstos determinado por el resultado del juego[28].

4. Cálculo de probabilidades

El azar sólo ayuda a la mente dispuesta.

Louis PASTEUR, 1854

Muchos adultos y niños de mayor edad pueden llegar a comprender el hecho de que al lanzar una moneda al aire, la probabilidad de que salga cara es igual a la de que salga cruz. Entendemos bien que la probabilidad de ganar una apuesta a cara o cruz es 1 de 2, o ½, no importa cómo la nombremos. De forma similar, sabemos que las probabilidades de obtener un determinado número al lanzar un dado es de 1 entre 6, y que las probabilidades no cambian, sea un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 o un 6 el número en cuestión.

Sin embargo, cuando se trata de calcular la probabilidad de obtener una determinada suma de puntuaciones al lanzar dos dados, muchas personas no saben qué contestar. Y estimar las probabilidades de obtener un full o una escalera de color al jugar al póquer, parece superar la capacidad de la mayoría de la gente. No es tan fácil estimar la probabilidad de un determinado resultado cuando todos los resultados posibles no son igualmente probables.

El tipo más sencillo de suceso aleatorio es aquél cuyos resultados son igualmente probables —simplemente no existe forma alguna de anticipar con seguridad cuál de los resultados podría suceder. El concepto «igualmente probable» indudablemente resultaba difícil de comprender en épocas antiguas, en gran parte porque los dados y las monedas normalmente no eran perfectamente simétricos. Con certeza, los antiguos deben haber comprendido que las caras de una taba no son equiprobables, pues dos caras son estrechas y planas, y las otras dos anchas, una de ellas convexa y la otra cóncava. Pero la capacidad de estimar la probabilidad de salir de cada cara, seguramente era algo imposible para la mentalidad de entonces.

En época reciente se ha demostrado que la probabilidad de cada cara de una taba de salir es de aproximadamente un 10 por ciento para cada cara estrecha y de un 40 por ciento para cada cara ancha. Pero como Florence Nightingale David, la persona que dirigió los experimentos que sirvieron de base a dichas estimaciones, advierte, las probabilidades «indudablemente se verían afectadas por el tipo de animal del que se tomaba el hueso, el porcentaje osificado de tendones en cada taba, [y] por el peso del hueso[1]».

A comienzos del siglo XVII, Galileo tenía ya una idea clara de lo que hoy podríamos llamar unos «dados limpios», entendiendo por ello, aquéllos con igual probabilidad de que salga cualquiera de sus seis caras. Como él mismo describió, un dado limpio «tiene seis caras, y cuando es lanzado cualquiera de ellas tiene la misma probabilidad de salir[2]». Para tener un idea adecuada de la diferencia entre una probabilidad igual o desigual, consideremos en primer lugar un experimento con resultados igualmente probables: el lanzamiento de un dado limpio de seis caras. Dado que el dado ha sido construido de forma simétrica y equilibrada para asegurar su uniformidad, cada uno de los números tiene la misma probabilidad de salir al ser lanzado. En un lanzamiento simple, el número de puntos mostrado en la cara de arriba puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Dicho formalmente, podríamos decir que el espacio muestral con igual probabilidad consiste en los números 1 a 6 —la lista de todos los posibles resultados.

Si tratáramos de adivinar qué número va a salir en un lanzamiento, tendríamos una probabilidad de acertar de 1 entre 6 (véase la figura 7, arriba). La probabilidad de acertar se expresa como 1⁄6. Como la probabilidad de que salga una determinada cara es uniformemente la misma entre todos los números del 1 al 6, la distribución de las probabilidades para un dado ‘limpio’ resulta uniforme. Ello se expresa como un espacio muestral con igual probabilidad.

Figura 7.Probabilidades de todos los resultados posibles al Lanzar un dado, un dado modificado o dos dados. El lanzamiento de un dado (arriba) constituye un suceso simple, y sus probabilidades son uniformes. El lanzamiento de dos dados (abajo) es un suceso compuesto, y sus probabilidades no son uniformes. El lanzamiento de un dado modificado (centro) es un suceso simple, pero cuyas probabilidades no son uniformes.

Si modificáramos dicho dado pintando un punto sobre una de las caras, tendremos un ejemplo de un experimento con resultados con probabilidad desigual. Supongamos que pintamos el punto en la cara del 1 —tenemos así una segunda cara con 2 puntos— de modo que las puntuaciones resultantes posibles vayan del 2 al 6. Aunque el dado siga siendo ‘limpio’ —con igual probabilidad de salir cualquiera de las seis caras—, la probabilidad de obtener un determinado resultado no sería igual en todos los casos, y la distribución de las probabilidades no sería uniforme. Mientras que las probabilidades de que salga 3, 4, 5 o 6 siguen siendo de 1⁄6, la probabilidad de que salga un 2 es de 2⁄6, o 1⁄3, y la probabilidad de que salga 1 es de cero (véase la figura 7, centro).

Al tratar de explicar en el siglo XVIII las probabilidades no uniformes a sus lectores, Abraham De Moivre, quien escribió el primer libro moderno sobre probabilidad en 1756, planteaba un juego en el cual cinco jugadores tenían cada uno de ellos una oportunidad de entre 5 de ganar, o una probabilidad de 1⁄5[3]. La distribución de las probabilidades resulta en tal caso uniforme. De Moivre sugería a continuación que si dos de los jugadores abandonaban el juego delegando sus posibilidades en uno de los tres jugadores restantes, el jugador beneficiario de la suerte de los otros dos tendría 3 posibilidades de entre 5 de ganar, o una probabilidad de 3⁄5.

En experimentos como éste, un suceso constituye uno o más de los resultados posibles del espacio muestral o serie de resultados posibles. Un suceso simple es exactamente un resultado en el espacio muestral. Por ejemplo, una determinada cara en el lanzamiento de un único dado que tiene seis caras con probabilidades iguales de salir, constituiría un suceso simple. La probabilidad de salir una determinada cara en el dado marcado con el punto anteriormente descrito —con cinco resultados posibles, desigualmente probables— también sería un ejemplo de suceso simple. Sin embargo, una determinada suma de las caras resultantes al lanzar dos o más dados, sería un ejemplo de suceso compuesto, y el cálculo de probabilidades para dichos sucesos resulta mucho más complejo.

Un suceso compuesto es un suceso que implica dos o más sucesos simples. Comparemos el suceso simple de anotar el número total de puntos en el lanzamiento de un dado con el suceso compuesto de anotar el número total de puntos obtenidos al lanzar dos dados. En el lanzamiento de un dado homogéneo de seis caras, el número de puntos en la cara superior puede variar entre 1 y 6, siendo cada puntuación igualmente probable. Al lanzar dos dados, la suma de los puntos en las caras superiores varía entre 2 y 12, pero las sumas posibles no presentan la misma probabilidad (véase la figura 7, abajo).

Para comprender por qué, imaginemos el uso de unos dados de colores, uno rojo y otro verde. Por cada uno de los 6 resultados diferentes posibles en el dado rojo, se dan otros 6 en el dado verde, lo que proporciona un total de 6 × 6 = 36 resultados igualmente posibles. Pero muchos de estos lanzamientos proporcionan la misma suma. Para complicar las cosas un poco más, los diferentes resultados pueden darse con los dos mismos números. Por ejemplo, una suma de 3 puede darse con un 1 en el dado rojo y un 2 en el verde, o con un 2 en el rojo y un 1 en el verde. Ello implica que la probabilidad de obtener una suma de 3 resulta de 2 posibilidades entre 36, es decir 2⁄36. Una suma de 7, por otro lado, puede obtenerse de 6 formas distintas: 1 en el rojo y 6 en el verde, 6 en el rojo y 1 en el verde, 2 en el rojo y 5 en el verde, 5 en el rojo y 2 en el verde, 3 en el rojo y 4 en el verde, y 4 en el rojo y 3 en el verde (véase la figura 8, arriba). Por tanto, hay una probabilidad de sumar 7 de 6⁄36.

El hecho de que la suma de las caras de dos dados no sea igualmente probable, no resulta tan clara debido a la naturaleza del suceso un dado y otro dado. Ello puede resultar más fácil de comprender si uno imagina dos lanzamientos consecutivos del mismo dado (más fácilmente que dos dados al mismo tiempo) y suma ambos resultados. Las posibles sumas de dos lanzamientos de un mismo dado son exactamente las mismas que en el caso descrito anteriormente con dos dados lanzados simultáneamente (véase la figura 8, abajo). Por tanto, la distribución de probabilidades en el caso de dos dados lanzados al tiempo es idéntica que la de un dado lanzado dos veces consecutivas. Frecuentemente, un suceso compuesto puede ser modelizado por una secuencia de sucesos simples. Un dado lanzado N veces puede ser más fácil de visualizar que N dados lanzados al mismo tiempo.

Figura 8. Sumas posibles en el lanzamiento de dos dados (uno verde y uno rojo; arriba), comparadas con las sumas posibles de dos lanzamientos consecutivos de un mismo dado (abajo).

Por poner otro ejemplo, imaginemos una habitación en penumbra en la cual no se distinguen bien los colores. Si en un cajón tenemos dos calcetines sueltos, idénticos excepto en el color —uno rojo y otro azul—, al sacar un calcetín del cajón, ¿es más probable que saquemos uno de un color o del otro? En este sencillo ejemplo podemos ver que la probabilidad de sacar el calcetín rojo o el azul es la misma. Los resultados en la selección de uno u otro son igualmente probables.

Pero compliquemos un poco más el asunto poniendo tres calcetines en el cajón —dos azules y uno rojo, idénticos excepto en el color. Si sacamos dos calcetines, ¿es más probable que saquemos una pareja del mismo color o que éstos resulten desparejados (uno azul y otro rojo)? De hecho, la probabilidad de sacar uno de cada color es el doble que la de sacar los dos azules. Pero este hecho no resulta tan obvio. El suceso de sacar uno de cada color puede transcurrir de dos formas: el rojo puede emparejarse con cualquiera de los dos azules.

Pero sólo hay una forma de que salgan los dos del mismo color: uno de los azules sólo puede emparejarse con el otro azul.

Imaginemos el proceso completo a cámara lenta. Cuando metemos la mano en el cajón para elegir los dos calcetines, tomamos uno de los tres (el elegido) en primer lugar y a continuación extraemos el otro (véase la figura 9). Supongamos que uno de los azules es seleccionado en primer lugar: ello cuenta con el doble de probabilidades que de sacar el rojo en primer lugar. Una vez extraído el azul, hay la misma probabilidad de sacar uno del mismo color que el de color distinto. Supongamos ahora que sacamos el rojo en primer lugar. En este caso tenemos podemos descartar con total seguridad la posibilidad de tener dos calcetines del mismo color, puesto que en el cajón sólo quedan dos calcetines azules.

Este problema típico del emparejamiento de calcetines es un ejemplo de la importancia de la secuencia u orden en las elecciones al azar. Incluso aunque la cuestión original se planteara como un problema consistente en la extracción de dos calcetines al mismo tiempo, el suceso es más fácil de analizar en la forma de dos calcetines extraídos en forma secuencial: primero uno y después el otro. En la evolución de la teoría de la probabilidad, la incapacidad de reconocer la naturaleza secuencial de los resultados aleatorios ha sido una dificultad fundamental, hecho que sigue atormentando a los estudiantes que se acercan por primera vez a la materia, incluso en la actualidad.

Figura 9. Si en un cajón hay dos calcetines azules y uno rojo, y se sacan dos a ciegas, ¿es más probable sacar una pareja del mismo color o los dos distintos?

Serie frente a secuencia

El objetivo de muchos juegos con dos dados es lograr una suma determinada de puntuaciones al lanzar los dos dados. Pero muchos juegos de dados en la antigua Europa se jugaban con tres dados[4]. Cuando se lanzan tres dados y se suma el número de puntos de sus caras superiores, se pueden alcanzar valores comprendidos entre 3 y 18. Sin embargo, dichas sumas pueden resultar de 216 (6 × 6 × 6) formas diferentes. En otras palabras, el espacio muestral con igual probabilidad consiste en 216 resultados.

Parece ser que durante siglos, los hombres cultos creyeron que sólo había 56 resultados posibles en lugar de los 216, al lanzar tres dados y sumar sus puntuaciones. Lo que no llegaron a comprender era la diferencia entre una serie o conjunto y una secuencia. Como resultado de este error, se tomaban en cuenta series en lugar de haber constatado la existencia de secuencias.

La serie {1, 2, 3} es idéntica a la serie {3, 2, 1}; el orden de, los elementos es irrelevante. Por otra parte, son los elementos y el orden los que determinan la secuencia (1, 2, 3). De hecho, esta secuencia no es la misma que la secuencia (3, 2, 1) o que cualquier otra ordenación diferente de los números 1, 2 y 3. Cuando se lanzan tres dados al tiempo, lo único que podemos observar es la serie final de números, la secuencia particular que provocaría dicha serie queda encubierta por el hecho de que los tres dados son físicamente iguales. Cuando sólo nos interesa el resultado final, no parece relevante cómo se ha obtenido éste. Pero si queremos estimar la probabilidad, resulta esencial saber el número de formas igualmente probables de que un resultado tenga lugar.

Supongamos que tras lanzar tres dados se obtiene un resultado de 1, 1, 2; en otras palabras, que la serie resultante es {1, 1, 2}. De hecho hay tres formas de que salga dicho resultado obteniendo la secuencia (1, 1, 2), la secuencia (1, 2, 1) o la secuencia (2, 1, 1). En contraste con ello, en el resultado de 1, 2, 3, o serie resultante {1, 2, 3}, se pueden contar hasta 6 secuencias igualmente probables: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) o (3, 2, 1). La probabilidad de obtener un resultado final de dos 1 y un 2 es de 3 entre 216, o 3⁄216. La probabilidad de obtener un resultado final de un 1, un 2 y un 3 es de 6 entre 216, o 6⁄216. Si los tres dados se tiran al tiempo, la idea de que un resultado concreto podría salir de varias formas no resulta perceptible. Es decir, que la naturaleza secuencial de dicho suceso aleatorio es difícil de entender, pero su comprensión es esencial para estimar con precisión las distintas probabilidades.

Figura 10. Tabla del siglo XIII de Richard de Fournival. Resume las 216 secuencias posibles de los resultados obtenibles al lanzar tres dados.

Los juegos que implican el empleo de tres dados han sido muy populares desde la época del Imperio Romano; sin embargo, apenas hay constancia de que entonces se diera una comprensión de la importancia de la naturaleza secuencial del fenómeno. La primera enumeración correcta conocida de lanzamientos equiprobables de tres dados se atribuye a Richard de Fournival en su poema De vetula, escrito presumiblemente entre 1220 y 1250[5]. De Fournival describía en él las 216 formas en que tres dados podían salir incluyendo las distintas secuencias o permutaciones. Además, de Fournival resumió en una tabla el número de series de tres dados que totalizaban las sumas posibles comprendidas entre los valores 3 y 18 y las correspondientes secuencias numéricas de los tres dados que pueden proporcionar dichos resultados (véase la figura 10). Las sumas posibles se leen en las columnas a la izquierda del todo. Por ejemplo, la primera fila informa sobre las sumas de 3 y 18, mientras que la segunda lo hace sobre las sumas de 4 y 17. La columna de cifras central proporciona un listado del número de resultados aparentes (series) que pueden proporcionar dichas sumas, y la columna de cifras final indica el número de secuencias que podrían haber proporcionado dichas sumas.

Una suma de 3 o de 18 puede resultar de una sola manera: (1, 1, 1) o (6, 6, 6). Por tanto, la primera línea de la tabla de De Fournival indica que la suma de 3 o 18 puede resultar únicamente de una serie y una sola secuencia. Una suma de 4 o de 17 tiene un solo resultado aparente, pero dicho resultado podría obtenerse a partir de tres secuencias diferentes igualmente probables. Por ejemplo, una suma de 4 se obtiene de un resultado del tipo dos/uno/uno, el cual puede resultar de las secuencias (2, 1, 1), (1, 2, 1) o (1, 1, 2). La suma de 17 se logra cuando el resultado es del tipo cinco/seis/seis, proporcionado por las secuencias (5, 6, 6), (6, 5, 6) o (6, 6, 5). En la segunda fila de la tabla de De Fournival vemos que la suma 4 o 17 puede obtenerse a partir de una serie producida por cualquiera de las tres secuencias posibles. La suma de 5 o de 16 se obtiene de dos resultados aparentes distintos, cada uno de los cuales puede obtenerse por tres secuencias con igual probabilidad (para un total de seis secuencias), etc.

Si añadimos a la tabla una fila de totales sumando el número de series de la columna central, obtenemos el número 28. Como cada fila de la tabla representa dos sumas diferentes analizables del mismo modo, el número total de series resultantes es de 28 × 2; es decir, 56. Si añadimos el número de secuencias con igual probabilidad a la columna final, obtenemos el valor 108. Pero como hay dos sumas por fila, el número total de secuencias posibles es de 108 × 2; es decir, 216.

La percepción que permitió pasar de los 56 resultados aparentes en el lanzamiento de tres dados a las 216 secuencias diferentes, fue decisivo en el desarrollo de la comprensión matemática de la probabilidad. Sin embargo, el concepto no fue comprendido de forma general, y la teoría de la probabilidad no pudo ver la luz hasta algún tiempo después. La enumeración de De Fournival o fue rechazada o bien ignorada por la gente de su época.

Aunque la adivinación mediante el empleo de dados en la Iglesia cristiana apenas se dio, Wibold, el obispo de Cambray en torno al 960 d. C. describía 56 virtudes cristianas, cifra que ha sido interpretada por algunos estudiosos como correspondiente a los resultados aparentes en el lanzamiento de tres dados[6]. Según esta teoría, el lanzamiento de los tres dados podría haberse empleado para que los monjes practicaran alguna de las 56 virtudes durante un cierto periodo de tiempo.

Una enumeración bien conocida de los resultados aparentes en el lanzamiento de tres dados, la Chaunce of the Dyse[*], escrita a comienzos del siglo XV, es un poema medieval con 56 versos. Cada verso es una buenaventura que corresponde a cada una de las 56 series (no las 216 secuencias) de posibles lanzamientos de tres dados. Se piensa que los poemas de este tipo se empleaban como buenaventuras informales, determinando cada serie de tres dados la suerte particular del que lanzaba los dados. De nuevo, sólo contaba el resultado —⁠la serie final de números en los tres dados.

Un ejemplo de un verso de este tipo para el caso de obtener la serie 6, 5, 3 al lanzar tres dados es el siguiente:

Mercurio, quien otorga la elocuencia

A tu nacimiento fuera tan inclinado

Que te diera gran participación de ciencia

Permitiéndote el corazón de los comunes doblegar

Y algunas otras cuestiones igualmente explicar

De modo que las palabras con la mayor sabiduría gobernares

Que con el corazón sintieres o con la lengua alcanzares[7].

Este verso recuerda algo a la forma de los horóscopos modernos que aparecen en los periódicos: «Has nacido con el don de la retórica. Tienes un buen conocimiento y gran facultad de discurso y de expresión. Destacas entre los demás en el arte de la oratoria, de la argumentación y del razonamiento. Debates con elocuencia y tienes gran capacidad de persuasión».

La primera evidencia de un estudio matemático sobre el azar, Liber de ludo aleae (El libro de los juegos de azar), fue escrito por Girolamo Cardano alrededor de 1564, aunque no fue publicado hasta casi cien años más tarde. A menudo descrito como un excéntrico, Cardano fue médico, profesor de matemáticas, ocultista, jugador supersticioso y un autor prolífico que llegó a escribir más de doscientos libros y manuscritos[8]. En su libro sobre los juegos de azar, Cardano computó correctamente las 36 secuencias posibles al lanzar dos dados y las 216 habidas con tres dados. Ello le permitió hacer cálculos probabilísticos precisos y determinar muchas otras cuestiones.

Girolamo Cardano no fue el único italiano del Renacimiento en mostrar una comprensión clara de las secuencias aleatorias. En un breve ensayo titulado Pensamientos sobre los juegos de dados, escrito entre 1613 y 1623, Galileo explicó por qué hay 216 resultados equiprobables en el lanzamiento de tres dados. Comienza el ensayo declarando cómo se le había pedido que explicara por qué ciertas sumas con tres dados parecían tener la misma probabilidad de salir y sin embargo los jugadores de dados creían que no todas eran igualmente probables. En particular observó que aunque las sumas de 9 y 10 pueden darse con «una diversidad igual de números», los jugadores sabían que la suma de 10 resultaba más ventajosa[9].

Por supuesto, a lo que se refiere es al hecho de que la suma de 9 y de 10 presentan un número igual de series resultantes, aunque las dos sumas no tienen la misma probabilidad. Galileo explicó por qué la intuición de los jugadores tenía una base matemática, al demostrar que las seis series de resultados que suman 9 pueden darse en 25 secuencias diferentes, mientras que las seis series de resultados que dan la suma de 10 pueden salir en 27 secuencias diferentes. Resulta difícil creer que algún jugador, por inteligente que fuera, pudiera notar la sutil diferencia entre 25 posibilidades por 216 frente a 27 por 216. Una explicación mucho más probable es que dicho conocimiento fuera parte del bagaje popular del juego, acumulado por la suma de experiencias y transmitido de jugador a jugador a lo largo de los siglos.

Sin un gran cúmulo de experiencias o una intuición especialmente fina, resulta extremadamente difícil identificar los resultados con igual probabilidad de un suceso compuesto como el lanzamiento de dos dados, y aún más difícil, de tres. Para poder estimar las probabilidades correctamente, hay que ser capaz de medir o contar todas las posibilidades favorables o desfavorables con igual probabilidad. Pero muchas situaciones son demasiado complejas para poder estimar todas las posibilidades involucradas.

Trate de estimar todas las manos de póquer posibles con cinco cartas. ¡Hay 2.598.960 diferentes! ¡Y hay más de 600.000.000.000 de combinaciones posibles de trece cartas en una mano de bridge! Si bien en ciertas situaciones que requieran cálculos de probabilidades puede ayudamos el hecho de reconocer la naturaleza secuencial y de suceso compuesto, en otros casos ello resulta claramente una tarea desoladora e imposible.

5. Juegos psicológicos para jugadores empedernidos

Dicho fruto resulta de esos dos dados echados a perder.

Geoffrey CHAUCER, The Pardoner’s Tale

Supongamos que Juan, propone un juego a Andrés y a Raúl consistente en lanzar dos monedas simultáneamente. Dos caras implican que Raúl gana, dos cruces que gana Andrés, y una cara y una cruz, que gana Juan. Aunque en principio pudieran parecerles a Andrés y a Raúl las reglas de un juego justo, si lanzaran las monedas en una larga secuencia y observaran los resultados después de cada lanzamiento, se darían cuenta de que los tres jugadores no tienen las mismas oportunidades de ganar. Después de cada primer lanzamiento, o bien Andrés o bien Raúl serían eliminados, mientras que Juan seguiría siempre en juego.

Para comprender por qué este juego no es justo, lancemos las monedas secuencialmente y planteemos tres cuestiones diferentes:

► ¿Qué resultado tiene más probabilidad de salir: dos caras, dos cruces o una cara y una cruz o viceversa? ► ¿Qué tiene más probabilidades de salir, una cara y una cruz o viceversa (las dos distintas), o dos caras o dos cruces (las dos iguales)? ►; ¿Qué tiene más probabilidad de salir, una cara seguida por otra cara, o una cara seguida por una cruz?

Al plantearle la primera cuestión, mucha gente podría, pensar (incorrectamente) que los tres resultados son igualmente probables —cada uno de ellos con una probabilidad de ⅓. El insigne matemático del siglo XVIII Jean Le Rond d’Alembert, uno de los científicos más influyentes de su época en Francia, argumentaba que las probabilidades de obtener una cara en dos lanzamientos era de ⅔[1]. D’Alembert pensaba que los resultados igualmente probables eran una cara en el primer lanzamiento, una cruz seguida por una cara, o una cruz seguida por una cruz. Como dos de los tres resultados contenían una cara, llegó a la conclusión incorrecta de que la probabilidad de una cara en dos lanzamientos era de ⅔.

Muchas personas, incluso razonando incorrectamente, darían con la respuesta correcta: ½ o 50 por ciento. Dichas personas creen que un resultado alterno refleja con mayor precisión el comportamiento a largo plazo de las dos monedas[2]. El error en su razonamiento se pone de manifiesto cuando planteamos la segunda cuestión antes mencionada: ¿Es más probable que salgan las dos distintas, o las dos iguales? Creyendo que las caras y las cruces deberían de salir con igual frecuencia en una serie de pocos lanzamientos, mucha gente contesta que en dos lanzamientos de una moneda es más probable que salgan dos resultados distintos antes de que salgan los dos iguales (pareja de cruces o de caras). Sin embargo, ello no es así.

La misma falacia resulta al plantear la tercera pregunta. En el lanzamiento secuencial de dos monedas, ¿es más probable obtener una cara seguida de una cara, o un cara seguida de una cruz? Las personas que piensan que hay una probabilidad mayor de que salga una cara seguida de una cruz, creen que es más probable que los resultados alternen de lanzamiento en lanzamiento. Pero no es el caso; la respuesta correcta es que ambas situaciones son igualmente probables. Las tres respuestas pueden ser contestadas acertadamente si reconocemos las cuatro secuencias aleatorias con igual probabilidad de salir: cara/cara, cara/cruz, cruz/cara y cruz/cruz. Sin tener delante la lista de resultados con igual probabilidad, resulta difícil contestar cualquier pregunta sobre probabilidad.

Volviendo a la primera pregunta —¿qué es más probable, obtener dos caras, dos cruces o dos resultados diferentes?— vemos que obtener dos resultados diferentes es más probable. Aunque sólo podemos ver tres resultados diferentes (dos caras, dos cruces, o dos resultados diferentes), éstos presentan probabilidades diferentes de salir. Cara/cruz y cruz/cara son dos casos de obtener «dos resultados diferentes» por cada 4 resultados igualmente probables (cara/cara, cara/cruz, cruz/cara y cruz/cruz). Existen 2 posibilidades por cada 4 resultados posibles de tener resultados diferentes, es decir 2⁄4 o 1⁄2, mientras que las dos caras (cara/cara) y las dos cruces (cruz/cruz) tienen cada una ¼ de probabilidad de salir.

En la segunda pregunta —¿es más probable que salgan dos resultados diferentes (alternos) o sacar dos iguales (ambas cara o ambas cruz)?—, ninguna es más probable que la otra, pues tienen la misma probabilidad de salir. La probabilidad de sacar las dos alternas (cara/cruz o cruz/cara) es 2⁄4 o 1⁄2. La probabilidad de obtener los dos resultados iguales (cara/cara o cruz/cruz) es también de 2⁄4 o 1⁄2.

En la tercera cuestión —¿es más probable obtener una cara seguida por una cara o una cara seguida por una cruz?—, las probabilidades son las mismas. Una cara seguida por una cara (cara/cara) o un cara seguida por una cruz (cara/cruz) implican una secuencia, y cada una representa exactamente uno de los cuatro sucesos posibles con igual probabilidad de salir. Por tanto, cada uno de estos dos resultados presenta una probabilidad de 1 entre 4 (probabilidad de 1⁄4) de salir.

Un juego justo (diferente al que Juan propusiera a Andrés y a Raúl) sería aquél en el que los tres jugadores tuvieran las mismas oportunidades de ganar por igual. Por ejemplo, supongamos que dos jugadores hacen una apuesta consistente en si en un solo lanzamiento de una moneda sale cara o no. Si cada uno de los jugadores apuesta 5 dólares (en otras palabras, cada uno pone 5 dólares por el privilegio de jugar) y el ganador obtiene los 10 dólares jugados, entonces cada jugador tiene las mismas posibilidades de ganar 5 dólares (recordemos que cada uno pone 5 dólares al comienzo del juego). Si juegan a dicho juego en varias ocasiones, cabría esperar que cada jugador perdiera 5 dólares la mitad de las veces y ganara la misma suma en la otra mitad de los lances.

Si los jugadores tuvieran probabilidades desiguales de ganar una suma, sin embargo, la apuesta debería ser entonces ajustada con el fin de que el juego fuera justo. Aún es posible ver hoy en día dicho tipo de apuestas vinculadas a los encuentros deportivos. Si los apostantes están de acuerdo en que dos equipos tienen la misma capacidad (y, por tanto, iguales oportunidades de ganar), entonces apostarán las mismas cantidades o el «mismo dinero». Si los apostantes creyeran que uno de los equipos tiene ventaja, la apuesta debería ser ajustada. El apostante a favor del equipo favorito debería jugar algo de dinero extra (o percibir menos) por el privilegio de dicha ventaja (una elevada probabilidad de ganar la suma apostada).

Supongamos que dos jugadoras, Ana y Marta, quisieran jugar a un juego que proporcionara a Ana una probabilidad de ganar de 7⁄10 y a Marta de sólo 3⁄10. Claramente, si apuestan la misma cantidad no estaríamos ante un juego justo. Para que éste lo fuera, Ana debería pagar más por el privilegio de su ventaja, pues tiene una mayor probabilidad de ganar. Si Ana pone 7 dólares por jugar y Marta, 3, entonces el juego sería justo para ambas. Tres de cada diez veces Ana perdería 7 dólares, y siete de cada diez ganaría 3 dólares. Dado que tiene más probabilidad de ganar, como mecanismo de ajuste Ana no debería poder ganar tanto como Marta. De forma inversa, las opciones de ganancias y pérdidas se compensarían en el caso de Marta.

Pero supongamos que los jugadores no tienen un conocimiento tan bueno sobre el juego en cuestión y que determinan sus propias apuestas. Marta desea jugar con una apuesta de 10 dólares si Ana se juega 20 dólares. Si jugaran muchas veces, ¿cuánto dinero ganaría Ana? Estimemos el promedio que Ana espera ganar (ganancias esperadas por lance del juego). Dado que en 3 ocasiones de cada 10 perdería 20 dólares y que en 7 de cada 10 ganaría 10 dólares, sus ganancias previsibles por juego serían (3⁄10 (−20$)) + (7⁄10 (10$)) = + 1$. Si jugaran muchas veces, Ana podría esperar ganar un promedio de 1 dólar por juego y Marta tendría unas pérdidas medias de 1 dólar por lance. De este modo, bastaría con que la apuesta fuera ajustada en un dólar —Ana debería jugarse 21 dólares y Marta 9— para que el juego resultara justo.

La pregunta de cuánto dinero deberían poner los jugadores para jugar a un determinado juego de apuestas ha sido una cuestión típica de probabilidad desde los tiempos antiguos. El naturalista francés George-Louis Leclerc de Buffon, un pionero en el campo de la experimentación para resolver problemas de probabilidad, describía en 1777 en su Ensayo de aritmética moral un experimento que implicaba una prueba empírica del problema de Petersburg —⁠una paradoja referente a un juego que fue ampliamente discutida por los matemáticos del siglo XVIII[3]. Éste es el problema de Petersburg:

Pedro y Pablo deciden jugar a un juego basado en el lanzamiento de una moneda. Si se obtiene una cara en el primer lanzamiento (probabilidad = 1⁄2), Pablo pagará a Pedro un chelín y el juego habrá terminado. Si el primer lanzamiento es una cruz pero el segundo una cara (probabilidad 1⁄2 × 1⁄2, o 1⁄4), Pablo pagará a Pedro dos chelines y el juego habrá acabado. Si la primera cara aparece en el tercer lanzamiento (probabilidad = 1⁄2 × 1⁄2 × 1⁄2 = 1⁄8), Pablo pagará a Pedro 8 chelines, y así sucesivamente. Cada vez que la cara no aparece en un lanzamiento, la apuesta a pagar se ve doblada. Una vez que la cara aparece, el juego termina y la cuenta es saldada. La probabilidad de ganar el juego en el lanzamiento enésimo es 1⁄2 × 1⁄2 ×… × 1⁄2, multiplicado n veces, o (1⁄2)n. Pedro es el único jugador que puede ganar, de modo que debe pagar por el privilegio de jugar. La pregunta es: ¿cuánto debería pagar Pedro a Pablo por el privilegio de jugar este juego[4]?

Si descubrimos que sus beneficios previsibles no estuvieran relacionados con su apuesta, entonces ésta sería la cantidad que Pedro debería pagar a Pablo para que el juego fuera justo. Como Pedro puede ganar 1 chelín la mitad de las veces, 2 chelines la cuarta parte de las veces, 4 chelines la octava parte de las veces, 8 chelines la dieciseisava parte de las veces, y así sucesivamente, podemos estimar las ganancias previsibles como:

(1 × ½) + (2 × ¼) + (4 × ⅛) + (8 × 1⁄16) + …

= (½) + (2⁄4) + (4⁄8) + (8⁄16) + …

= (½) + (½) + (½) + (½) +…

Si sumamos 1⁄2 un número infinito de veces, ello supondría un número infinito de chelines. Como las ganancias previstas por Pedro son un número infinito de chelines, Pedro debería pagar a Pablo dicha cantidad para jugar, algo absurdo. La paradoja es, pues, que Pedro probablemente no ganaría nunca un número infinito de chelines, sino una cantidad bastante inferior.

La paradoja de Petersburg propone un juego sencillo de caras y cruces en el cual se estima que las ganancias de uno de los jugadores, calculadas por procedimiento matemático, resultaría infinito —sin embargo, el sentido común de la época exigía un pago más modesto del derecho a jugar. Por ejemplo, la probabilidad de que una sola ronda pudiera superar el número de 10 lanzamientos de la moneda (con unas ganancias en tal caso de 1.024 chelines o más) es de aproximadamente 0,000977, es decir, menos de la décima parte del 1 por ciento.

En un intento por reconciliar el dilema establecido en el problema de Petersburg, Buffon informaba de que había llevado a cabo un experimento sobre dicho juego entre Pedro y Pablo. Empleando a un niño para que lanzara una moneda, llegó a documentar el resultado de 2.048 jugadas. Buffon encontró que las ganancias medias eran de 5 chelines por jugada una modesta suma. Aunque las ganancias previsibles por jugada aumentaban si se jugaba más de 2.048 veces, Buffon señaló que para aumentar el promedio de ganancias hasta 10 chelines por jugada, ¡el juego debería seguir jugándose durante unos 13 años[5]!

La paradoja puede resolverse si el juego no tuviera un punto final indeterminado. El juego termina cuando sale una cara, por lo que teóricamente el juego podría continuar eternamente en caso de que nunca saliera una cara. Ello implicaría unas expectativas de ganancias infinitas. Otros podrían objetar que Pablo es insolvente para pagar la deuda generable, pues su compromiso de pagar la apuesta no podría cubrir una cantidad infinita, incluso aunque Pedro tuviera dicha cantidad para cubrir su derecho al juego[6].

Pablo sería la «banca» y debería asegurar el pago de la apuesta, sin importar el número de veces que éste durara. Supongamos que Pablo tuviera una enorme cantidad de dinero, de forma que la apuesta a pagar a Pedro pudiera ser cubierta con dicha cantidad. Si Pablo tuviera un billón de dólares —10¹² dólares— ¿cuántos lanzamientos seguidos sin sacar cara serían necesarios para saltar la banca? Ya con 40 lanzamientos casi se alcanzaría dicha cifra (unos 99.000 millones). Dicho resultado es el que cabría esperar a Pedro en el juego si pudiera jugar un máximo de 40 lanzamientos (en otras palabras, Pablo debería pagar a Pedro el billón de dólares si alcanzara 40 lanzamientos sin obtener una cara y el juego terminara a continuación). Conforme a nuestra fórmula anterior, tendríamos:

(½) + (½) + (½) + (½) +… + (½) (hasta 40 veces)

o 40 × ½. De este modo, Pedro debería pagar 20 dólares por su derecho al juego, Pablo debería tener un billón de dólares para cubrir la apuesta —eso en el caso de que el juego llegara a 40 lanzamientos sin salir cara— y aun así existiría un 97 por ciento de probabilidad de que pedro ganara menos de 20 dólares.

Igual probabilidad a largo plazo

El titular de un artículo del New York Times de 1990 rezaba: «Una coincidencia entre un billón, ¿no le parece? En realidad no, opinan los expertos[7]». El artículo informaba de una coincidencia aparentemente increíble, según la cual a una mujer le había tocado la lotería en Nueva Jersey dos veces seguidas en cuatro meses, una proeza considerada originalmente como bastante remota, con una probabilidad de 1 entre 17 billones. Las investigaciones sobre coincidencias de este tipo llevadas a cabo por dos especialistas en estadística de Harvard revelaron, sin embargo, que la probabilidad de que algo así le sucediera a alguna persona que viviera en alguna parte de Estados Unidos, era de más de 1 entre 30, algo menos increíble, después de todo. En sus explicaciones afirmaban que éste era un ejemplo típico de las leyes que afectaban a los grandes números: «Con una muestra suficientemente grande, cualquier suceso remoto adquiere mayor probabilidad de suceder[8]». Entre los millones de personas que regularmente juegan a la lotería en Estados Unidos, resultaría relativamente razonable que a alguien le pudiera tocar la lotería dos veces en un periodo corto.

Otro artículo en el New York Times de septiembre de 1996, esta vez en referencia al trágico accidente aéreo del vuelo 800 de la TWA del 17 de julio de aquel año, informaba que «más de una vez, los investigadores de alto nivel encargados de evaluar las causas de las catástrofes aéreas, han tratado de poner fin a las especulaciones equiparando la posibilidad de que el avión hubiera caído debido al denominado fuego amigo, a la de que un meteorito hubiera destruido la aeronave». En una carta al editor del 19 de septiembre del mismo año, Charles Hailey y David Helfand escribían: «La probabilidad de que un meteorito hubiera derribado al avión de la TWA o a cualquier otro es realmente reducida. Sin embargo, los cálculos pertinentes no se refieren a la probabilidad de que una determinada aeronave fuera alcanzada, sino a la probabilidad de que un avión comercial que llevara volando los últimos 30 años con un elevado tráfico aéreo, se hubiera visto afectado por el impacto de un meteorito con suficiente energía como para destruir el fuselaje o causar su explosión». Teniendo en cuenta que cada día unos 3.000 meteoritos con una masa suficiente para ocasionar tal efecto atraviesan la atmósfera terrestre, y que unos 50.000 vuelos comerciales transitan por el espacio aéreo mundial, y suponiendo una duración promedio del vuelo de 2 horas diarias, implicando que en cada momento unos 3.500 aviones se encuentran en el aire, y estimando que dichos aviones podrían cubrir aproximadamente dos mil millonésimas partes de la superficie terrestre, los autores concluían que en más de 30 años de tráfico aéreo, la probabilidad de que un avión comercial fuera alcanzado en pleno vuelo por el impacto de un meteorito con energía suficiente como para derribarlo sería de 1 entre 10. Si sus suposiciones y cálculos eran precisos, el accidente podría haber sido otro ejemplo de la ley de los grandes números.

En el caso del problema de Petersburg, las posibilidades de que Pedro lanzara 40 cruces seguidas en el juego ya descrito eran excepcionalmente bajas. Pero si se juegan suficientes partidas, finalmente alguien sería capaz de ganar el billón de dólares. En un plazo suficientemente largo, incluso las cosas más improbables pueden llegar a suceder.

Cicerón, quien tenía una comprensión sorprendentemente moderna de la probabilidad, comprendió bien este hecho en el siglo I a. C. Confrontado con la afirmación de que 100 lanzamientos de la jugada conocida como Venus no podían suceder simplemente por azar, Cicerón disentía:

Dices, por ejemplo, que «si saliera la jugada de Venus en el lanzamiento de cuatro dados talis ello se debería al azar; pero que si salieran 100 jugadas de Venus seguidas ello no sería causado por el azar». En primer lugar, no veo por qué no sería posible… Nada es tan incierto como el lanzamiento de los dados y sin embargo nadie hay que juegue a menudo a los dados que no obtenga una jugada de Venus e incluso ocasionalmente dos o tres seguidas. ¿Preferiremos entonces decir, como los locos, que ello ha sucedido bajo la guía de Venus en lugar de, por causa del azar[9]?

Disintiendo de sus contemporáneos, quienes pensaban que estas cosas ocurrían bajo los designios de los dioses, la visión más madura de Cicerón admitía que cualquier lanzamiento, y cualquier secuencia de lanzamientos, podría ser atribuida al azar. Cicerón sabía que en una racha suficientemente larga, y permitido un número suficiente de oportunidades, el suceso más raro podía llegar a ocurrir. Incluso hoy, esta perspicaz observación no resulta nada obvia para el común de la gente.

El rabino Isaac ben Mosheh Aramah, en el siglo XV defendía en sus escritos un punto de vista bien distinto sobre un suceso que pudiera repetirse un elevado número de veces de una determinada forma. Dicho autor consideraba ese suceso como algo milagroso. En un comentario sobre un pasaje de las Escrituras en el que se echa varias veces a suertes una prenda para identificar la culpabilidad de Jonás como causante de una gran tormenta, observa:

Es imposible que no sea de otro modo, sino que la suerte pueda caer de cualquier lado por azar… Sin embargo, el significado de la afirmación «echémoslo a suertes» significa exactamente varias veces. Por tanto, el plural —suertes— se emplea con preferencia más que el singular… Así lo hicieron y lo echaron a suertes varias veces y cada vez la suerte caía del lado de Jonás y consecuentemente la cuestión era verificada de esta manera. De ello se deduce que echarlo a una única suerte implica principalmente una referencia al azar[10].

Echar algo a suertes una sola vez es considerado como debido al azar, mientras que hacerlo repetidas veces es considerado como un signo de Dios y no como causa del azar. De forma similar, el rabino resalta el papel del azar en la selección de las prendas de los chivos expiatorios, haciendo hincapié de nuevo en que la consecución de los buenos augurios al sacar la prenda «por el Señor» en la mano derecha, debería ser considerada un milagro sólo si ocurriera muchas veces seguidas.

El rabino Aramah señala que las suertes ordinarias (como opuestas a las obtenidas como dirigidas por la influencia divina) no tienen una tendencia definida; en otras palabras, cada prenda echada a suertes tiene las mismas posibilidades de salir. Su definición de un milagro o un «signo» excluye cualquier suceso que ocurra una sola vez, el cual podría suceder por azar. Sin embargo, una serie de sucesos repetidos podrían calificarse de milagrosos, pues tales repeticiones, supone, no podrían deberse al azar. Cicerón, desde luego, disentiría de él.

En un escrito de hacia 1564, Girolamo Cardano se refiere a una incierta jugada de dados, asegurando que «aun así, en un número infinito de lanzamientos, casi de forma necesaria éste tendría lugar». Cardano llama la atención que en muchos intentos, el número de veces que un determinado resultado puede darse se acerca a la suposición o a la expectativa matemática. Y ello se cumple incluso con los sucesos más improbables; si es posible que ello ocurra, permitida un número suficiente de oportunidades, finalmente se producirá, de acuerdo con las leyes de la probabilidad.

Cardano, como Cicerón, comprendió que el suceso poco frecuente podía suceder en un plazo suficientemente largo. En su Libro de los juegos de azar, Cardano afirma: «El principio más fundamental de todo en el juego es simplemente que se den condiciones equitativas, v.  gr. de rivales, de espectadores, de dinero, de la situación, del cubilete de dados, y de los dados mismos… Para jugar con dados no hay ningún signo cierto, pues todo depende enteramente del puro azar, siempre que los dados no sean falsos. Haya lo que haya más allá de las conjeturas infundadas y de los argumentos alegados, ello está sometido al ciego azar». Con ello, Cardano define las bases fundamentales del juego y del azar en sus requerimientos de condiciones equitativas[11].

Cardano prosigue exhibiendo su gran comprensión de las alternativas equiprobables, poniendo énfasis en la diferencia entre un determinado suceso aleatorio y lo que experimentaríamos durante un largo periodo de tiempo: «La taba tiene cuatro caras, y, por tanto, cuatro puntuaciones, pero el dado tiene seis. En seis, lanzamientos cada puntuación debería aparecer una vez; pero como algunas pueden repetirse, podemos concluir que en seis lanzamientos alguna puntuación no llegará a salir». Para ilustrar la naturaleza azarosa de los sucesos aleatorios, Cardano expresa que en seis lanzamientos de un dado, una determinada cara podría salir o no, pero que en un número suficientemente elevado de intentos, cada cara saldría una de cada seis veces[12].

Por ejemplo, en 300 lanzamientos de un único dado podemos esperar que el 1 salga unas 50 veces, ya que 50 de 300 equivale a decir una de cada seis nuestra expectativa matemática. En 30 lanzamientos cabría esperar que el 1 saliera 5 veces. Cada expectativa se basa en la probabilidad de obtener un 1 una vez de cada 6, o 1⁄6 de las veces. En realidad, podremos obtener o no dicho resultado 1 de cada 6 veces, pero cuanto mayor sea el número de intentos, más se acercará la proporción de ‘unos’ a 1⁄6.

En 10.000 lanzamientos de un dado, la expectativa matemática nos dice que el 1 debería aparecer aproximadamente 1.667 veces, pues 1.667 es aproximadamente 1⁄6 de 10.000. Podríamos obtener en realidad 1.660 ‘unos’, o 1.690 o 1.700, pero la proporción —1.660 de 10.000, 1.690 de 10.000 y 1.700 de 10.000— se acerca mucho a 1.667 entre 10.000. En porcentajes, estas cifras arrojan los valores 16,6, 16,9 y 17,0 por ciento, respectivamente, los cuales están muy próximos al 16,7 por ciento previsto por la probabilidad matemática. En 100.000 lanzamientos de un dado, aunque llegáramos a obtener 500 ‘unos’ por encima o por debajo de la predicción matemática, aun así el porcentaje sólo se vería desviado en menos de la mitad del 0,1 por ciento.

En edades comprendidas entre los 7 y los 11 años, los niños observan que cuanto mayor es el número de intentos, más tienden los resultados a las previsiones matemáticas. En edades entre 11 y 12 años, su intuición ya se consolida en una comprensión de la probabilidad basada en las frecuencias obtenidas en un plazo largo. A edades tempranas, los niños no comprenden aún este mismo concepto. Parte del problema es que los niños pequeños no aceptan la noción de aleatoriedad, la cual supone el núcleo central de cualquier comprensión de la probabilidad. Piaget e Inhelder encontraron que los niños pequeños conciben los resultados aleatorios como manifiestamente regulados, aunque por algún tipo de reglas ocultas. Cuando se les pedía que predijeran en qué color se detendría un tipo de ruleta de colores, daban recurrentemente dos tipos de respuestas: o bien la ruleta debía detenerse en el mismo color que en la tirada anterior, o —⁠justo lo contrario— se detendría en algún otro color que aún no hubiera salido[l3].

No obstante, las opiniones que muchos adultos expresan delante de un tablero de juego resultan bastante similares a las dadas por los niños pequeños. Después de una serie de veces ganadas, es posible escuchar, «Está de racha, apuesta por él», o bien, tras una racha perdiendo, «Ahora le toca ganar, apuesta por él».

Después de una larga racha de pérdidas, los jugadores suelen pensar, «mi suerte tiene que cambiar» o «dentro de poco las probabilidades estarán de mi parte». Los psicólogos Daniel Kahneman y Amos Tversky han señalado que tras la falacia del jugador hay una idea errónea sobre la imparcialidad de las leyes del azar. Solemos creer que el azar es un proceso autocorrector en el cual las desviaciones en una dirección terminan siendo compensadas por desviaciones en la otra dirección. Pero, de hecho, las desviaciones en una racha corta no resultan corregidas; simplemente se diluyen en la tendencia a largo plazo, como Tversky y Kahneman apuntan[l4].

En su columna semanal del Parade Magazine, Marilyn vos Savant, citada por el Libro Guinnes de los Records como la persona con el coeficiente intelectual más alto del mundo, contestaba a un lector suyo que le planteaba la siguiente cuestión: «Si de algún modo se superan las expectativas más probables y se logran obtener 100 caras consecutivas al lanzar una moneda, ¿no sería la probabilidad dé obtener de nuevo una cara en un nuevo lanzamiento inferior al 50 por ciento[15]?».

El caso es que muchas personas piensan lo mismo que dicho lector, que 100 caras terminarán siendo compensadas por una cruz.

Pero como el propio lector señala, una persona que lanzara 100 caras seguidas ya habría sobrepasado ampliamente las probabilidades para llegar a donde ha llegado (figura 11). La cuestión ahora se refiere a un solo lanzamiento. Si la moneda no está trucada, las posibilidades de que salga otra vez cara son del 50 por ciento, lo mismo que en el primer lanzamiento. Pero quizá los 100 lanzamientos anteriores indiquen una cierta evidencia de que la moneda esté trucada, bien podría estar más lastrada del lado de la cara. En tal caso, las probabilidades de que salga cara de nuevo serían mayores del 50 por ciento.

11. Cien caras obtenidas de forma seguida. ¿Mera suerte? ¿Algo milagroso? ¿Está trucada la moneda? ¿O se está de racha?

Los juegos en los que se emplean dados, monedas y otros mecanismos aleatorios, han tenido gran popularidad en Europa desde hace 2.000 años. Sin embargo, no fue hasta finales del siglo XVI y comienzos del XVII que en Italia se comenzó a desarrollar por parte de algunas personas cultas un juicio más sólido sobre las leyes de la probabilidad. Mientras que los jugadores de la época habían llegado a alcanzar una considerable habilidad en los juegos de azar, sólo los escritos de Cardano y Galileo parecían mostrar una comprensión más profunda de la probabilidad matemática.

Resulta irónico, si no sorprendente, que los primeros escritos matemáticos sobre el azar fueran motivados por las personas que mayor experiencia tenían observando el azar y la «suerte», es decir, los jugadores de dados. Cardano, que llegó a alcanzar una sorprendente comprensión de la probabilidad para la época en la que vivía, fue a su vez un jugador supersticioso, e incluso el menor aunque importante tratado breve de Galileo Pensamientos sobre los juegos de dados, fue escrito para los jugadores de la nobleza de la corte de Florencia[16].

El origen de los estudios serios sobre la probabilidad se suele atribuir a la correspondencia entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat, la cual comenzó alrededor de 1654. Dicha correspondencia se vio originada a su vez por un problema de juego, referido a Pascal por su amigo el Caballero de Mere, prominente figura en la corte de París y jugador aficionado[17]. Afortunadamente, dado que Pascal y Fermat eran considerados matemáticos de gran categoría, su interés por la probabilidad atrajo la atención de otros matemáticos y filósofos de la época hacia el estudio concienzudo de las leyes del azar.

6. ¿Azar o necesidad?

¿No estará escuchando el teorema central del límite al oír saltar las palomitas de maíz?

WILLIAM A. MASSEY, 1996

¿No estará completamente determinado un resultado aleatorio, y será azaroso sólo en virtud de nuestra ignorancia sobre los más mínimos factores influyentes? ¿O son los factores determinantes incognoscibles, y por tanto ello hace aleatorio un resultado que nunca podrá ser determinado? ¿Son los sucesos aparentemente aleatorios meramente el resultado de unas fluctuaciones superpuestas en un determinado sistema, los cuales enmascaran su predecibilidad, o hay algún desorden dentro del sistema mismo?

La cuestión filosófica del azar frente a la necesidad ya fue planteada en tiempo de los griegos, y su debate aún continúa hoy. El primer atomista, Leucipo (hacia el 450 a. C.), afirmó: «Nada ocurre por azar; todo sucede debido a una razón y por necesidad». La escuela atomista sostenía que el azar no podía implicar algo sin causa, pues todo estaría causado por algo. El azar supondría, por el contrario, la existencia de una causa oculta. Este punto de vista fue defendido por el sucesor de Leucipo, Demócrito (en torno al 460-370 a. C.), para quien azar significaba ignorancia de la causa determinante[1].

En siglos posteriores, los estoicos también rechazaron los sucesos sin causa definida. Se dice que Crisipo (280-207 a. C.) afirmó: «En ello no hay algo como una ausencia de causa o espontaneidad. En los denominados impulsos accidentales que alguien ha dado en inventar, hay causas ocultas a nuestra vista que determinan el impulso en una dirección determinada[2]». La referencia a los llamados impulsos accidentales es más que probablemente una alusión a la filosofía contraria de Epicuro (341-270 a. C.) y sus discípulos.

Los epicúreos sostenían que la creencia en la necesidad —es decir, en que los sucesos están predeterminados— y la supresión de los sucesos sin causa eran incompatibles con el concepto de libre albedrío. Epicuro aceptó la teoría básica de los atomistas, pero se apartó de ella al creer en un cambio espontáneo y sin causa real en la dirección de los átomos, lo cual les llevaba a colisionar entre sí, y dado que la incertidumbre del cambio de dirección de éstos admitía el elemento del libre albedrío. La filosofía epicúrea está mejor documentada por Lucrecio, poeta romano que vivió del 96 al 55 a. C., en su poema De rerum natura. Mientras que el azar para los atomistas Leucipo y Demócrito significaba ignorancia de la causa, para Epicuro y Lucrecio el concepto de azar abarcaba el elemento indeterminista.

Una cosmovisión determinista fue predominante durante la Edad Media en Europa, estimulada por la creencia de la primitiva Iglesia cristiana de que todo sucedía a instancias del Creador. El filósofo inglés Thomas Hobbes (1588-1679) defendía que todos los sucesos estaban determinados por Dios o por causas extrínsecas determinadas a su vez por Dios. En su universo no había lugar para el azar; todo era resultado de la necesidad. En un debate entre Hobbes y el Dr. Bramhall, obispo de Derry, documentado en torno a 1646, Hobbes afirmaba que es la ignorancia de dichas causas, lo que evita que los hombres perciban la necesidad de los sucesos y los atribuyan en su lugar al azar[3].

El obispo, sin embargo, tenía una idea diferente. Mientras que raramente usaba la palabra azar en su intento de argumentar que el hombre tiene libre albedrío, admitía una indeterminación en los sucesos que denominaba contingentes. Los sucesos contingentes son sucesos que pueden suceder o no, o que podrían suceder de alguna otra forma. Como ejemplo, el obispo empleaba el lanzamiento de dos dados para obtener una pareja de unos (jugada conocida entonces como «ojos de la serpiente»):

Considerando la posición de la mano de aquel que lanza los dados, considerando el tamaño de la mesa y de los mismos dados, considerando la medición de la fuerza aplicada, y considerando todas las demás cuestiones que afectan al lanzamiento, para que sean tal y como serían, no hay duda alguna de que en este caso el lanzamiento resulta necesario. Pero aún todo ello no es sino una necesidad de suposición; pues si todas estas causas concurrentes, o algunas de ellas, fueran contingentes o libres, entonces el lanzamiento no sería totalmente necesario. Por empezar con aquel que lanzó los dados: podría haber renunciado a su concurrencia, y no haber lanzado éstos en absoluto; podría haber retardado su concurrencia, y no haber hecho el lanzamiento tan pronto; podría haber duplicado o disminuido la fuerza del lanzamiento, si ello hubiera sido de su agrado; podría haber lanzado los dados en otra mesa. En todos estos casos, ¿qué determina la obtención de una pareja de unos? Las mismas incertidumbres afectan al constructor de las mesas, y al de los dados, y a aquel que mantiene y guarda las mesas, y al tipo de madera, y quién sabe a cuántas circunstancias más.

El obispo señalaba de este modo que, aunque cualquier lanzamiento particular está determinado por las leyes físicas, hay tantos aspectos inciertos en el sistema que el resultado se ve indeterminado[4].

Hobbes respondió a esto que si un simple aspecto del sistema era alterado, necesariamente era determinado un lanzamiento diferente, y que la indeterminación simplemente significaba que no teníamos conocimiento de qué necesidad concurría. El obispo replicó a su vez que el efecto es necesario «cuando los dados han sido lanzados; pero no antes del lanzamiento». El obispo estaba introduciendo una distinción de lo más perspicaz: la física del sistema aleatorio es determinista cuando ello sucede, pero es indeterminista antes de que tenga lugar. Y este punto de vista no gozaba de una aceptación general en aquella época[5].

Si fueran conocidas todas las condiciones iniciales, ¿sería el lanzamiento de unos dados cosa del azar? El obispo de Derry, hacia 1646, probablemente hubiera afirmado que si las condiciones iniciales pudieran ser completamente conocidas o controladas, entonces el lanzamiento de los dados no caería dentro del campo de los sucesos aleatorios. Si se pudiera construir una máquina que fuera capaz de provocar un lanzamiento de dados en el que se tuviera un 99 por ciento de precisión en la determinación del resultado, entonces el obispo probablemente habría dicho que éste era un 1 por ciento contingente.

Hoy en día podríamos aceptar que el lanzamiento con dicha máquina sería un fenómeno aleatorio; sólo que los resultados no serían igualmente probables. E incluso aunque pudiéramos aumentar la precisión de la máquina hasta el 99,9 por ciento, aún consideraríamos los lanzamientos como algo aleatorio —cada uno con una cierta probabilidad de suceder. Pero una vez que lográramos el 100 por ciento, o el resultado fuera seguro, el suceso sería puro determinismo y no habría incertidumbre alguna implicada. Sin incertidumbre, no hay aleatoriedad o azar.

Poco tiempo después de aquella discusión filosófica entre el obispo de Derry y Thomas Hobbes fue un descubrimiento científico, por extraño que parezca, lo que apoyó al determinismo cristiano y, durante los siguientes dos siglos, inclinó el debate a favor de la necesidad por encima del azar. Dicho descubrimiento fue el de la física newtoniana un sistema de pensamiento que representaba el máximo florecimiento de la revolución científica de finales del siglo XVII. Basado en la obra de Newton y de otros muchos, se estableció entre los científicos la creencia de que todas las cosas del mundo natural podían ser conocidas a través de las matemáticas. Y si todo estaba de acuerdo con un plan matemático, entonces debía existir un Gran Diseñador de dicho plan. Así, no había lugar para el puro azar o la aleatoriedad en este sistema filosófico.

Este determinismo puede ser claramente percibido en el prefacio de 1692 de John Arbuthnot a la traducción de la obra de Christiaan Huygens De retiociniis in ludo alea (Estimaciones en los juegos de azar), primer texto impreso sobre la teoría de la probabilidad. Arbuthnot afirma: «Existen muy pocas cosas que conozcamos, que no sean susceptibles de ser reducidas a un razonamiento matemático, y cuando ello no es posible, es signo de que nuestro conocimiento del asunto es muy reducido y confuso».

Y respecto al azar dice: «Resulta imposible para un dado, con su fuerza y dirección determinadas, no caer en dicha cara determinada; simplemente desconozco la fuerza y la dirección que lo hace caer sobre dicha cara determinada, y por tanto digo que este Azar no es sino una ausencia de Arte[6]».

Cuando durante la revolución científica los científicos se pusieron a investigar sistemáticamente la Tierra y los cielos alrededor de ésta, trataron de reducir cada fenómeno a leyes matemáticas. En la ferviente creencia de que un análisis numérico exacto conduciría a descubrir las leyes universales, midieron las distancias sobre la Tierra, las distancias en el espacio, las órbitas y las mareas —todo, parecía, era susceptible de ser medido, contado y calculado por el hombre[7].

Pero a pesar de los más finos instrumentos y métodos, los científicos continuamente obtenían diferentes mediciones al medir la misma entidad. Incluso un mismo científico, si llevaba a cabo más de una medición de la misma cosa, podía llegar a diferentes resultados. El error aleatorio estaba aflorando, bastante inesperadamente, en el intento de los investigadores de las ciencias naturales por obtener los datos sobre los fenómenos exactos, tales como las distancias astronómicas y órbitas planetarias, fenómenos que parecían representar la antítesis del azar.

Teoría de los errores

Los científicos formados en las disciplinas de la astronomía y la geodesia (estudio de la magnitud y forma de la Tierra) se vieron confrontados con el problema de cómo trabajar con mediciones discrepantes de un fenómeno dado que se presuponía constante. Así surgió una gran discusión sobre cómo acometer las discrepancias originadas por la imperfección de los instrumentos o por los errores del que efectuaba la medición. Si todas las mediciones arrojaban ligeras diferencias, ¿cuál de las mediciones era la correcta? ¿Hasta qué magnitud podía considerarse una diferencia «ligera»? Si se llevaba a cabo una nueva medición —una para la cual no se dispusiera de otras mediciones comparables—, ¿qué probabilidad había de que estuviera equivocada en una magnitud grande o pequeña? La magnitud a que ascendía la desviación de la observación individual de la medida correcta (la diferencia entre las dos observaciones) fue denominada error de la observación o error de medida[8].

A finales del siglo XVII, el astrónomo danés Tycho Brahe figuraba entre los investigadores que trataban de descartar los errores aleatorios en aras de alcanzar la exactitud total en la medición científica. En 1632 Galileo había formulado algunas proposiciones sobre los errores de observación: 1) que los errores son inevitables, 2) que los pequeños errores son más probables que los grandes, 3) que los errores de medición son simétricos (igualmente inclinados a la sobrestimación que a la infraestimación), y 4) que el valor verdadero de la constante observada se encuentra en la proximidad de la mayor concentración de mediciones[9].

Como toda observación estaba sujeta a errores aleatorios de medición, en el siglo XVIII los científicos estaban muy interesados en dar con una combinación satisfactoria de las diferentes observaciones. Una forma de combinar las observaciones es promediar sus valores. De hecho, en la primera mitad del siglo XVIII la mayoría de los investigadores consideraba la media aritmética como la representación más precisa del valor «verdadero» del que discrepaban las mediciones[10]. La media o promedio no era tan precisa como la mejor medición, pero tampoco era tan imprecisa como la peor de ellas.

Y dado que nadie podía saber cuál era la mejor y cuál la peor, la media resultaba una elección segura.

La elección del promedio de varias observaciones fue concebida como una estimación razonable del valor exacto medido. Por ejemplo, supongamos que medimos la longitud de una hoja de papel con un instrumento de medición altamente sofisticado y obtenemos cinco resultados diferentes: 29,83, 29,94, 29,59, 29,73 y 29,65 centímetros. Cualquiera de ellos podría ser el valor correcto, o por el contrario, ninguno de ellos serlo. Ciertamente uno de ellos es el más preciso (o más de uno en caso de que se repitiera dicho valor), y uno de ellos (o más) es el menos preciso. Si necesitamos asignar un número a la longitud, parece razonable elegir un número que pueda representar el valor medio de dicho grupo de números, pues éste no será tan extremo como la observación superior o inferior.

En un ensayo escrito en 1756, Thomas Simpson trató de demostrar la ventaja de emplear en astronomía la media de varias observaciones en lugar de una observación simple. En él demostraba que las posibilidades de que la media fuera errónea en una cierta magnitud era menor que las posibilidades de que una observación simple fuera errónea en igual grado. Simpson comparó los errores aleatorios de las mediciones con el lanzamiento de dados, importante intuición que le valió ser considerado por muchos científicos como la primera persona que relacionó la distribución de errores con los sucesos aleatorios[11].

En su análisis, Simpson suponía que la distribución probabilística de errores en una observación simple era análoga a la distribución probabilística de las sumas de los lanzamientos de varios dados. Examinemos cómo pudo llegar a esta suposición. Si una observación tiene igual probabilidad de ser un número cualquiera dentro de un intervalo razonable de medición cercano al valor verdadero, entonces las probabilidades de cualquier observación simple presentarán una distribución uniforme. Las probabilidades de un determinado error de cierta magnitud (la diferencia entre la observación real y la medida verdadera) también presentarían una distribución uniforme —como ocurre con las probabilidades de un valor obtenido en el lanzamiento de un único dado (véase la figura 12, arriba).

Pero si observamos la forma en que un grupo de errores se distribuyen, no hallaremos probabilidades uniformes. Habrá más errores agrupados cerca del valor medio del grupo, con el número de errores reduciéndose conforme la magnitud del error se aleja del valor medio, hasta llegar a sólo unos pocos valores en los extremos (figura 13, arriba). Cabe destacar la similitud entre la distribución de Simpson y la distribución de probabilidades de las sumas de los dados cuando se lanza más de un dado (figura 12, abajo). En ésta, la probabilidad de las sumas cercanas al valor medio es grande, disminuyendo la probabilidad de sumas al alejamos de dicho valor medio.

Simpson propuso la hipótesis de que las probabilidades de los errores de observación en astronomía eran proporcionales a su magnitud y que, por tanto, se comportarían de un modo similar a las probabilidades de las sumas de los dados. De este modo llegó a una forma triangular para representar la distribución probabilística de los errores de observación en astronomía.

Figura 12. Distribución de la probabilidad de los resultados posibles en el lanzamiento de un dado (arriba), comparada con la distribución de la probabilidad de los resultados o sumas de valores en el lanzamiento de dos dados (abajo).

La principal diferencia en la apariencia de la gráfica de probabilidad de Simpson y la del diagrama de probabilidad para las sumas de dos dados se puede atribuir a la diferencia entre los tipos de variables medidas. La suma de valores de dos dados sólo puede alcanzar los valores 2, 3, 4, 5, etc., hasta 12. La suma se denomina variable aleatoria discreta, pues sólo puede variar (al azar) entre once resultados específicos. En cambio, los errores de Simpson pueden alcanzar cualquier valor comprendido entre −5” y +5” —por ejemplo, el error puede ser 1,5”, 1,51”, 1,501”, o cualquier otro valor en segundos. Los errores de observación son ejemplos de una variable aleatoria continua, pues cada observación puede variar (al azar) entre cualquiera de los valores del intervalo continuo comprendido entre −5” y +5”.

Figura 13. En 1756 Thomas Simpson propuso esta gráfica de la probabilidad para errores de medición en astronomía (arriba), y sugirió que la probabilidad de un error comprendido entre 1” y +1” podía hallarse calculando el área sombreada bajo la gráfica de la probabilidad (abajo).

La probabilidad de una cierta suma de valores de dos dados puede leerse directamente en el diagrama de probabilidad observando la altura de cada valor. Por ejemplo, en el diagrama de barras que representa las probabilidades de las sumas de valores de dos dados, la altura sobre el valor 7 alcanza un valor de 6⁄36 o 1⁄6. Ello indica que la probabilidad de obtener una suma de 7 al lanzar dos dados es de 1⁄6. En este diagrama también puede leerse la probabilidad de obtener una o más sumas. Por ejemplo, la probabilidad de obtener 6, 7 u 8 se calcula sumando las alturas de las barras sobre los valores 6, 7 y 8, en este caso 5⁄36 + 6⁄36 + 5⁄36 = 16⁄36 = 4⁄9.

Por el contrario, en el diagrama de Simpson no podemos leer directamente las probabilidades de los errores de diferente magnitud. Las probabilidades de los errores (y de cualquier variable continua) se leen calculando las áreas bajo la gráfica de la probabilidad. Por ejemplo, el cálculo de la probabilidad de un error comprendido en el intervalo de más/menos un segundo de la medición verdadera, implica el cálculo de la probabilidad de todos los posibles errores desde −1” hasta +1” (región sombreada en la figura 13, abajo). Simpson calculó esta probabilidad, obteniendo un valor aproximado de 0,44. Cabe observar que el área realmente calculada no es la comprendida entre −1” y +1”, sino más bien entre −1,5” y +1,5”. Esto es así porque Simpson presuponía los errores en las observaciones más cercanos al segundo, por lo que un valor de medición de 1,47”, por ejemplo, debía ser redondeado hasta 1”.

En un ensayo escrito en 1777, Daniel Bernoulli se mostró disconforme con la idea de que todos los errores fueran igualmente probables. Bernoulli comparó los errores aleatorios de las observaciones astronómicas con las desviaciones en la puntería de un arquero[12]. Al describir las desviaciones respecto del blanco a lo largo de una línea vertical, comentaba: «Todos los errores son tales que tanto se pueden desviar en una dirección como en la otra, por lo que su resultado es bastante incierto, siendo determinado sólo por una suerte de azar inevitable». Pero añadía: «¿No es evidente que los blancos tendrían que agruparse y ser más numerosos en una franja dada cuanto más cerca esté ésta del centro de la diana»?

Bernoulli ilustró su razonamiento señalando la diferencia en la elección del lanzamiento «más probable» de entre varios lanzamientos de dados igualmente probables, en contraste con la elección del lanzamiento «más probable» cuando los lanzamientos de los dados son desigualmente probables. Daniel Bernoulli intuyó claramente la naturaleza aleatoria de los errores en las mediciones astronómicas, añadiendo que «todo el complejo de observaciones es simplemente un suceso aleatorio». Pero también pensó que la curva de probabilidad de los errores de observación podría ser semicircular, correspondiendo la longitud del radio al mayor error probablemente factible (véase la figura 14, arriba).

Origen de la campana de frecuencias

En una memoria escrita en 1778, Pierre-Simon, marqués de Laplace, descubrió una curva de probabilidades para sumas o medias que terminaría convirtiéndose en la curva de errores de observación (véase la figura 14, abajo). Más tarde, en 1808, la curva normal de distribución de errores aleatorios, como se suele describir formalmente esta curva campaniforme, fue desarrollada de forma independiente por un americano poco conocido, Robert Adrian, y un año más tarde por el famoso matemático, físico y astrónomo alemán Carl Friedrich Gauss. Adrian empleó la fórmula de la curva normal como una curva de probabilidad para diferentes errores de observación en navegación, astronomía y en mediciones geodésicas. Gauss aplicó la curva normal como la ley que describía la probabilidad de errores en observaciones astronómicas en un estudio sobre los movimientos de los cuerpos celestes. De hecho, hoy en día la distribución normal de errores a veces se nombra como distribución o campana de Gauss[13].

En una memoria leída en la Academia de París en 1810, Laplace presentó lo que sería su principal postulado en la teoría de la probabilidad, actualmente conocido como «teorema central del límite». En 1812 su teorema fue desarrollado del todo cuando Laplace logró establecer la conexión entre el trabajo de Gauss empleando la curva normal como curva de distribución de errores y su propio descubrimiento de la distribución normal para sumas o medias de sucesos aleatorios. El teorema central del límite probaba que la suma o la media de un gran número de errores seguía una distribución aproximadamente normal[14]. Como se suponía que los errores de observación se comportaban como sucesos aleatorios simples, podemos reformular el teorema diciendo que la suma o la media de un gran número de observaciones aleatorias independientes sigue una distribución aproximadamente normal.

Figura 14. En 1777, Daniel Bernoulli propuso una forma semicircular para la curva de probabilidad para errores de medición en astronomía. Un año más tarde, la curva normal de probabilidad para errores de observación, o campana de distribución (abajo) fue propuesta por Pierre-Simon de Laplace.

La síntesis de los trabajos de Laplace/Gauss postulaba la idea de que como ciertos fenómenos, tales como los errores, se comportaban como sucesos aleatorios, éstos podrían ser descritos predeciblemente mediante distribuciones de probabilidad —particularmente mediante la distribución normal o con forma de campana[15]. Por otra parte, no sólo las frecuencias de ciertos datos, como los errores aleatorios, siguen una distribución normal, sino que la distribución de la probabilidad de la suma o de la media de cualquiera de dichos datos también es aproximadamente normal.

De este modo, la curva de distribución normal comenzó como una teoría de los errores en disciplinas en las que se creía que los errores en las mediciones o las fluctuaciones naturales se comportaban aleatoriamente. Durante los siguientes diez a veinte años, en estudios de astronomía, física, e incluso de balística, el teorema central del límite llegó a ser considerado como una ley universal —la ley normal de los errores aleatorios[16].

Previamente al descubrimiento de la campana de distribución como curva de probabilidad de los errores en las mediciones, su fórmula fue empleada por Abraham De Moivre para un propósito completamente diferente: estimar probabilidades discretas, particularmente las relacionadas con cálculos de laboratorio. Su descubrimiento fue publicado en un suplemento de la edición de 1733 de La doctrina de las probabilidades[17]. De Moivre estaba trabajando sobre sucesos que tenían la misma probabilidad de suceder o no —similares al lanzamiento de una moneda, en el cual hay la misma probabilidad de que salga cara o de que no. Considerando un gran número de tales sucesos, De Moivre estaba interesado en estimar las probabilidades del número total de ocurrencias de un resultado particular. Por ejemplo, la cuestión podría implicar la evaluación de las probabilidades del número total de caras en varios lanzamientos de una moneda. Examinemos la cuestión y veamos qué sucede conforme el número de intentos va aumentando.

En un lanzamiento de una moneda sabemos que podemos obtener 0 caras (cuando la cara queda boca arriba) o 1 cara. Como los resultados de 0 caras o de 1 cara son igualmente probables, el diagrama probabilístico de barras presenta los extremos superiores de las barras a igual altura, indicando ello una probabilidad uniforme. Si lanzamos la moneda dos veces, podemos obtener un total de 0 caras, de 1 cara o de 2 caras. La probabilidad de que salga 1 cara es el doble que para 0 caras o para 2 caras (véase la figura 15).

Figura 15. Diagramas probabilísticos del número total de caras posibles al lanzar una moneda una, dos, tres, cuatro, cinco y veinticinco veces.

Conforme el número de lanzamientos aumenta, la forma global de la correspondiente distribución de probabilidades varía. Al haber más resultados posibles, las probabilidades no son tan grandes para cada resultado particular, y por tanto los extremos superiores de las barras pierden altura. Si todavía consideramos más lanzamientos, la forma sigue cambiando. Consecuentemente, aumenta el número de resultados posibles e incluso la barra con mayor altura es cada vez más baja. Con 25 lanzamientos la barra con una altura mayor indica una probabilidad menor de 0,155.

Figura 16. Diagramas probabilísticos de las sumas posibles en el lanzamiento de uno, dos, tres y cuatro dados.

A pesar de que en la época de De Moivre ya se sabía cómo estimar dichas probabilidades, los cálculos a mano resultaban muy tediosos. De Moivre descubrió que se podía obtener una aproximación bastante buena de dichas probabilidades empleando un método completamente diferente: calculando las áreas bajo lo que hoy se considera la curva normal. De Moivre merece el reconocimiento de haber sido el primero en descubrir la fórmula de la curva normal, aunque la desarrolló como una forma de estimar probabilidades discretas y no como una forma de hacer frente a los errores en las mediciones[18].

Consideremos ahora otro ejemplo que pone de relieve la conexión entre los trabajos de De Moivre y el descubrimiento de Laplace sobre la distribución normal de la probabilidad de sumas a medida que el número de observaciones aumenta. Cuando se lanza un dado, las probabilidades de los seis resultados (de 1 a 6) son iguales, y el diagrama de barras de dichas probabilidades muestra una altura uniforme de las barras (véase la figura 16). Si se lanzan dos dados, el diagrama de probabilidades de las once sumas posibles (de 2 a 12) muestra cómo las barras adoptan una forma triangular. Cuando se lanzan tres dados, las dieciséis posibles sumas van de 3 a 18, y la figura formada por las barras vuelve a modificarse. Con cada incremento en el número de dados lanzados, la escala vertical (la probabilidad) se acorta y la horizontal (las sumas posibles) se ensancha. Cuando se lanzan cuatro dados, son posibles 21 sumas (de 4 a 24), y la forma de la distribución de las sumas comienza a parecerse a la conocida campana de Gauss.

En 1873-1874 sir Francis Galton (primo de Charles Darwin) diseñó un aparato al que posteriormente denominó quincunx[19]. Esta máquina era un ingenioso modelo físico de la teoría de los errores, la cual creía aplicable a muchos fenómenos tanto biológicos como físicos. Protegida tras un cristal, había una sección transversal de un embudo abierto sobre una pirámide de clavijas espaciadas regularmente, con unos compartimentos verticales por debajo de las clavijas. Unas bolas liberadas desde el embudo caían rebotando en forma aleatoria, a derechas o izquierdas, contra las clavijas (representando, según la teoría de Galton, las alteraciones aleatorias independientes propias de la naturaleza), para finalmente juntarse en los compartimentos inferiores en montones que adoptaban la apariencia final de una curva normal (véase la figura 17). Galton llamó a este fenómeno ‘ley de la desviación’. Galton creía que las importantes influencias que incidían sobre los caracteres hereditarios, como por ejemplo la altura, eran una «fuente de influencias insignificantes de alteración» (representadas por las clavijas) y que la ley de la desviación genética era puramente numérica, siguiendo de forma universal la sencilla ley de la distribución normal. En algunos museos de ciencias naturales pueden verse dispositivos similares al descrito, algunos de ellos enormes, con pelotas de tenis reproduciendo las bolas del quincunx original.

En 1877, mientras preparaba una conferencia, Galton modificó el quincunx para representar un corolario de su teoría: en concreto, que la variabilidad en los caracteres heredados es compensado por la reversión al valor medio. Los dos factores de la variabilidad y la reversión, tomados en conjunto, tienden a producir una generación que se asemeja a la generación previa. Para ilustrar estos efectos dentro de los caracteres hereditarios de las familias, Galton añadió un segundo nivel inferior al quincunx, el cual representaba la generación de la descendencia (véase la figura 18). Una vez que las bolas descansaban en los compartimentos en montones, con la apariencia de una distribución normal, una trampilla bajo uno de los compartimentos se podía abrir permitiendo que las bolas prosiguieran en su caída a través de un segundo laberinto de clavijas espaciadas regularmente. Estas bolas aterrizaban formando un pequeño montón, asemejando a su vez una distribución normal. Si se abría cada trampilla de los compartimentos superiores, se iban formando muchos pequeños montones, obteniéndose una distribución final semejante a la del nivel superior —⁠lo que pretendía demostrar la forma en que las generaciones de descendientes se asemejaba a la generación de los padres[20].

Figura 17. Modelo del primer quincunx de Francis Galton.

En los siglos XVII y XVIII, a medida que la teoría de la probabilidad evolucionaba lentamente a partir de los juegos de azar e iba ganando impulso entre los matemáticos cuyo interés iba siendo despertado por los problemas en el juego, el campo de la estadística fue avanzando en todo un frente de disciplinas aparentemente sin relación en la astronomía y la geodesia, en biología, y en la función actuarial. Conforme se afianzaba la aplicación de la estadística a las ciencias naturales, tanto los físicos como los biólogos adoptaron la teoría de los errores de los astrónomos como la suya propia.

Figura 18. Modelo del quincunx de Galton de 1877.

Durante el siglo XIX se descubrió que un ingente número de fenómenos naturales dentro de las ciencias biológicas, así como dentro de la física, seguían la distribución normal propia de los errores aleatorios. Si los errores de medición de la posición de una estrella eran aleatorios, también lo eran los de la medición de la posición de una molécula. Los biólogos comenzaron a seguir el ejemplo del científico belga Adolphe Quételet, quien estableció que las desviaciones estadísticas del promedio en los caracteres humanos tales como la altura, el peso, la fuerza, etc., podían ser tratados en forma análoga a los errores.

Sin embargo, pocos autores disintieron del aún sólidamente afianzado determinismo newtoniano, una especie de regresión a la filosofía de los antiguos griegos: Esta cosmovisión seguía viendo precisión, orden, leyes, un plan universal y necesidad en la ordenación del universo, y equiparaba el azar con la ignorancia. Conforme la teoría estadística iba conquistando nuevos campos de aplicación en el siglo XIX, la campana de Gauss comenzó a ser aplicada, al igual que la física newtoniana, como si fuera una ley universal.

7. Orden en el caos aparente

Desde donde nos encontramos la lluvia parece deberse al azar. Pero si pudiéramos contemplarla desde otro lugar, veríamos el orden implícito en ella.

Tony HILLERMAN, Coyote Waits

Si elaboráramos una lista al azar con las edades de un grupo de niños que asisten a un día de acampada, podríamos obtener una lista semejante a ésta: 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 5, 6, 7. Dado que ninguna regla puede determinar el siguiente número en esta secuencia, dicha secuencia podría considerarse tan aleatoria como el lanzamiento de una moneda. Sin embargo, las leyes de la probabilidad nos muestran que la distribución de sumas o valores medios de muestras tomadas al azar de una secuencia larga como la de nuestro ejemplo inicial tienden a formar la familiar campana de Gauss. La idea de que una secuencia no sistemática e indeterminística tal pueda arrojar resultados predecibles, resulta bastante sugerente. De hecho, en el siglo posterior al descubrimiento del teorema central del límite por Laplace y Gauss, los científicos comenzaron a usar (y a pervertir también) esta idea, aplicando los resultados en un gran número de campos.

Lo verdaderamente importante del descubrimiento de Laplace y Gauss es que de los datos pueden sacarse conclusiones, pero sólo si los datos se comparan con algo y este «algo» suele ser el comportamiento de los datos aleatorios. La única forma en la que podemos considerar o comparar legítimamente el valor de una estadística de muestras observadas, tal como las medias o las sumas dentro de una distribución del muestreo de la hipótesis de partida, es seleccionar una muestra al azar.

Al tratar de hacer una proyección del número anual de nacimientos en Francia a partir de una muestra de datos, Laplace parece haber ignorado el concepto de muestra aleatoria, a pesar de la afirmación de que sus datos habían sido elegidos «para lograr que el resultado general fuera independiente de las circunstancias locales». Laplace y muchos otros ert seguirle trataron sus datos como si todos tuvieran la categoría de sucesos aleatorios; simplemente se daba por supuesto la naturaleza aleatoria de sus muestras. Aunque la base del teorema central del límite es que las observaciones deben ser elegidas al azar, en la práctica este aspecto fue ampliamente ignorado no sólo por aquellos que aplicaban la probabilidad y la teoría estadística, sino también por aquellos que trataban de ampliar y extender la teoría. Hasta poco antes de 1920, la mayoría de los impulsores de la teoría estadística se mostraron ansiosos por emplear cualquier dato que cayera en sus manos, dando por supuesto que cualquier conjunto de datos representaba un fracción de una gran población. Lo que parecen haber ignorado todos ellos es que aunque los errores sean independientes y aleatorios, no todos los datos lo son[1].

A medida que el moderno campo de la estadística matemática se desarrollaba, la mayoría de los investigadores de las ciencias naturales y sociales continuaron aplicando los principios estadísticos a cualquier cantidad suficientemente grande de datos. La mayoría eran escépticos ante los muestreos aleatorios, quizá debido a una comprensión incompleta de que ello podía ser beneficioso y nada perjudicial con vistas a realizar inferencias estadísticas. Unos pocos, sin embargo, habían comenzado a trabajar con lo que finalmente sería el procedimiento estándar en la experimentación estadística —muestreos al azar, o generación de datos aleatorios—. Los experimentos iniciales implicaban el empleo de dados, fichas o cartas: unas veces para proponer o confirmar una nueva teoría, en otras ocasiones para ilustrar una teoría ya existente a sus colegas, y en otras para explicar los conceptos estadísticos a un amplio auditorio.

Uno de los relativamente pocos que impulsó el uso de la teoría estadística empleando muestras aleatorias fue Gustav Theodor Fechner, quién comenzó sus trabajos sobre probabilidad y estadística en Alemania poco después de 1852[2]. Considerado como el fundador de la psicofísica y el primer indeterminista universal, Fechner desarrolló varios tipos de test mediante los cuales podía detectarse la variación debida a factores distintos al azar, comparando los datos bajo la consideración de una secuencia aleatoria.

Para obtener una secuencia aleatoria, Fechner obtuvo los números que habían salido durante diez años en las loterías de Sajorna, desde 1843 hasta 1852 (32.000 a 34.000 números por año), números que empleó en el mismo orden en que éstos habían salido. Con estas secuencias de dígitos de la lotería comparó datos meteorológicos, de nacimientos, de muertes y de suicidios en diferentes estaciones, de nacimientos de varones y hembras, y del número de tormentas eléctricas en distintos lugares, para determinar si las fluctuaciones en tales conjuntos de datos podían ser atribuidos a las circunstancias locales o al mero azar[3].

En el caso de los datos meteorológicos, Fechner llegó a la conclusión de que ciertos patrones climáticos ciertamente dependían de los datos originales, y por tanto las leyes del azar se veían «alteradas» por las leyes de la naturaleza. Aunque el trabajo de Fechner fue excepcional, cayó en el olvido hasta aproximadamente 1908, momento en que pareció que el mundo estaba preparado para aceptar sus aspectos indeterministas.

Otro caso del siglo XIX en el empleo de una muestra elegida al azar para estudiar la teoría de la distribución es el estudio de 1856 de un americano, Erastus L. DeForest. Este investigador trabajaba para una compañía de seguros y gran parte de sus análisis estadísticos fueron desarrollados para el campo actuarial. En un intento de confirmar si ciertas fórmulas algebraicas (funciones) eran capaces de modelizar una curva de mortalidad, DeForest diseñó un método de ajuste de los datos que daba cuenta de los errores de observación. En el proceso de comprobación de su método, llevó a cabo una primera simulación empleando lo que hoy en día llamaríamos datos aleatorios artificiales[4].

DeForest ideó un sofisticado método similar a una lotería para obtener datos que representaran errores aleatorios. Para ello transcribió 100 valores de una tabla de una curva normal (con probabilidades igualmente distribuidas) y copió dichos valores sobre unas tarjetas de cartulina de tamaño uniforme. Éstas eran mezcladas en una urna y extraídas una a una, registrándose su valor en el orden exacto en el que salían. Las tarjetas volvían a ser introducidas, mezcladas en la urna, y vueltas a extraer, copiándose sus valores de nuevo y llevándose a cabo la simulación varias veces. Los valores medios de los errores esperados de muestras de diferentes tamaños eran comparados a continuación con las medias de los errores observados cuando se empleaba la fórmula en cuestión. A pesar de ello, el trabajo de DeForest no alcanzó demasiada difusión entre los estadísticos de la época, y sus intentos por garantizar la aleatoriedad en la aplicación a los datos de la teoría estadística y de la probabilidad fueron ampliamente ignorados.

Además de Fechner y DeForest, unos pocos investigadores más trataron ocasionalmente de generar y aplicar muestras aleatorias. En 1877, George Darwin, hijo de Charles Darwin y primo de Francis Galton, diseñó un tipo de peonza prismática o perinola para generar «errores» en el ajuste de datos meteorológicos. El mismo Galton ideó en 1890 un conjunto de tres dados que servían para generar valores al azar a partir de una distribución normal. Galton declaró que su método podía ser empleado por los estadísticos para probar el valor práctico de algunos procesos como el ajuste u «homogeneización» de datos[5]. Entre 1883 y 1884, Charles S. Peirce y Joseph Jastrow introdujeron un elemento aleatorio en el diseño de un experimento de psicología sobre percepción sensorial. En él, un colaborador elegía una carta de un mazo de cartas barajadas, la cual determinaba si debía reducirse o aumentarse el estímulo aplicado al voluntario sometido al experimento. Peirce y Jastrow indicaron que con la elección de una carta al azar se buscaba suprimir la arbitrariedad del colaborador. Así pensaban que podían eliminar el sesgo involuntario inducido por el colaborador o por el voluntario[6].

Uno de los primeros experimentos con muestreos al azar en la literatura estadística, realizado en 1885, se debe a Francis Ysidro Edgeworth[7]. El trabajo de Edgeworth consistió en una serie de test estadísticos para determinar si la diferencia entre dos medias era o no accidental —es decir, si la diferencia entre dos valores medios se debía a la aleatoriedad o era indicativa de algún patrón diferente. Empleando muestras que según los estrictos estándares actuales no serían consideradas precisamente aleatorias, comparó la altura media de una población general con la de dos grupos de criminales y de enfermos mentales, la altura media de chicos de una población de clase media alta con la de otros de clase trabajadora, la altura media de estudiantes de escuelas públicas con la de chicos artesanos, la altura media de hombres de 25-29 años con la de hombres de 30-40 años, y la altura media de los miembros de la Royal Society con la de los miembros de la sociedad 100 Sheffield. En cada uno de estos ejemplos, Edgeworth concluyó que las diferencias observadas en las alturas medias no eran accidentales, sino que indicaban diferencias que denominó «significativas» o «relevantes». De hecho, en la actualidad denominamos test de significación a un test que sirva para determinar si la diferencia entre dos valores medios es significativa o simplemente resultado del azar.

En otras series de análisis de significación, Edgeworth comparó la proporción de nacimientos de hembras con la de varones. Estas comparaciones fueron realizadas en función de la edad y la ocupación del padre, así como del lugar, año y estación de nacimiento. De este modo encontró que las variaciones en la relación de sexos debida a la edad de los padres, la ocupación y el año de nacimiento no eran nada significativas —de hecho, sus test estadísticos indicaban que podían ser resultado del azar. La estación y el lugar de nacimiento, sin embargo, eran factores que parecían significativos en términos de afectar a las variaciones en la proporción de los sexos.

Edgeworth también examinó las tasas de mortalidad de los varones ingleses. Comparó la tasa de mortalidad de aquéllos en función de las diferentes ocupaciones, la tasa de mortalidad de los alcohólicos con la población general y la tasa de mortalidad en Inglaterra durante una serie de periodos de tiempo. Sus análisis estadísticos confirmaron que mientras que las diferencias de mortalidad en el grupo de alcohólicos y entre las distintas ocupaciones eran significativos, no había diferencia significativa en las tasas de mortalidad a lo largo de los distintos periodos de tiempo. A pesar de que Edgeworth no puso demasiado cuidado en garantizar que sus muestras de datos fueran aleatorias, afirmó, en el caso de los datos sobre la mortalidad: «He hallado en muchos casos que las muertes a ciertas edades fluctuaban como ya he dicho, y se distribuyen del mismo modo que si hubieran sido extraídas de una urna unas suertes condenatorias al azar[8]».

Edgeworth prosiguió con sus pruebas estadísticas examinando las diferencias medias de bancarrotas en diferentes trimestres del año (los test demostraban que las diferencias eran significativas), las diferencias medias en las cantidades trimestrales de cambios bancarios (las diferencias no eran significativas), las diferencias en el número medio de avispas que entraban o salían del avispero durante las diferentes horas del día (las diferencias no eran significativas; hoy en día un estadístico diría que eran «no significativas»), y las diferencias en la asistencia media a un club social de Londres en distintos días de la semana (las diferencias eran «relevantes»). En todos estos ejemplos, Edgeworth simplemente suponía que sus muestras eran aleatorias, pues no le parecía que hubiera sesgo alguno en la forrea en que había reunido los datos. En la actualidad sabemos que esta suposición no es una precaución suficiente.

En un ejemplo final, Edgeworth ideó un test para discriminar el estilo de Virgilio mediante diferencias en el número medio de versos dactílicos en el hexámetro. Empleando muestras de líneas de la Eneida, realizó test estadísticos que confirmaran que los pasajes concordaban en el estilo y que diferenciaban el hexámetro de Virgilio del de Ovidio. En un segundo artículo publicado en 1885, Edgeworth indicaba que las muestras de hexámetros de la Eneida habían sido elegidas empleando valores numéricos extraídos de una tabla de tasas de mortalidad. Ello podría constituir la primera mención del uso de una tabla de números aleatorios[9].

Edgeworth quizás estaba más decidido a esclarecer la teoría estadística y a demostrar sus amplias posibilidades de aplicación que a hacer grandes avances en la teoría misma. De hecho, una de sus contribuciones más extraordinarias fue la de demostrar a sus seguidores que la teoría estadística tenía aplicaciones económicas y sociales que superaban ampliamente los usos para los que en principio había sido concebida.

En 1905 Walter F. R. Weldon, un zoólogo de la Universidad de Cambridge, pronunció una serie de conferencias ideadas para demostrar las leyes de la probabilidad aplicadas a la teoría de Darwin de la selección natural de los factores hereditarios en animales y plantas. En dichas conferencias expuso una gran cantidad de datos de experimentos consistentes en lanzamientos de dados realizados por él y por su mujer a lo largo de varios años[10]. En su experimento inicial, Weldon demostró la gran precisión con la que los resultados experimentales del tipo de los lanzamientos de dados podían predecirse conforme a las leyes de la probabilidad. En tres series independientes de 4.096 lanzamientos de doce dados, Weldon comparó la distribución del número de dados que mostraban cuatro o más puntos en su cara superior, con los resultados predichos por las leyes de la probabilidad. La probabilidad de obtener cuatro o más puntos en un lanzamiento simple es 0,5, la misma que la probabilidad de tres o menos puntos.

Pero ¿por qué 4.096 lanzamientos? Éste es el menor número de lanzamientos de doce dados para el cual puede esperarse que cada posible resultado, sin importar lo extremo de éste, ocurra al menos una vez. Por ejemplo, en 4.096 lanzamientos de doce dados, podemos esperar (matemáticamente) un lanzamiento en el que los doce dados exhiban cuatro o más puntos cada uno.

En este experimento, Weldon no empleó el valor 0,5 para calcular la probabilidad de lanzar un único dado que exhibiera cuatro o más puntos en su cara superior. Afirmaba que como los dados no eran simétricos, había basado la probabilidad de éxito de un lanzamiento simple (0,509) en las frecuencias reales que había observado en esta primera experiencia.

En un segundo experimento, Weldon ilustró los patrones hereditarios entre generaciones sucesivas empleando la correlación entre el primero y el segundo lanzamiento de varios dados. En la herencia genética, cada descendiente recibe la mitad de los caracteres de cada uno de los padres. Weldon creía que si el conjunto de caracteres que el niño recibe de uno de los padres es aleatorio, podría modelizar los patrones hereditarios de éste mediante un experimento con dados. En un primer lanzamiento de doce dados —seis pintados de rojo y seis de blanco— Weldon registró el número total de dados con cuatro o más puntos en su cara superior. A continuación dejó los seis dados rojos en la mesa, y lanzó los seis blancos por segunda vez. De nuevo anotó el número total de dados con cuatro o más puntos, incluyendo los que hubiera entre los dados rojos del primer lanzamiento, dejados sobre la mesa.

Figura 19Experimento de 1905 de Walter F. R. Weldon con dados para ilustrar la correlación entre los lanzamientos consecutivos de doce dados.

Una pareja de números (el número de dados con cuatro o más puntos obtenido en el primer lanzamiento y el número de dados con cuatro o más puntos en el segundo lanzamiento) constituían un ensayo del experimento. El experimento entero consistió en 4.096 ensayos con dos lanzamientos de doce dados cada uno, teniendo en cuenta que en el segundo lanzamiento los seis dados rojos quedaban sin lanzar pero su resultado también se contabilizaba en el segundo lanzamiento. Como el número de dados que mostraban cuatro o más puntos en el segundo lanzamiento no era independiente del primer lanzamiento, Weldon pensó que su experimento ilustraba bien la correlación entre los caracteres hereditarios de un descendiente y de uno de sus padres.

Weldon empleó estos datos artificiales como una herramienta didáctica, dada la facilidad con que el público de sus conferencias podía percibir el patrón resultante de datos aleatorios tales como el lanzamiento de unos dados. La figura 19 recoge los resultados del experimento de Weldon. Las columnas con los números 0 a 12 indican los resultados posibles en el primer lanzamiento, y las filas con los números 12 a 0, los resultados posibles en el segundo lanzamiento. Las cifras dentro de las celdas de la tabla representan el total de resultados en el primer y segundo lanzamientos. Podemos distinguir claramente el marcado patrón que presentan estos datos. Cuando el número de dados con cuatro o más puntos en el primer lanzamiento es reducido, el número de dados con cuatro o más puntos en el segundo lanzamiento también tiende a ser reducido; cuando el número de dados con cuatro o más puntos en el primer lanzamiento es elevado, también lo es la tendencia en el número de dados en el segundo lanzamiento. Esta correlación explica el patrón que observamos en la tabla: la mayor cantidad de ensayos parece agruparse en diagonal desde la parte inferior a la izquierda de la tabla hacia la parte superior derecha de la misma.

En 1907 A. D. Darbishire llevó a cabo una interesante serie de experimentos en un «intento de aclarar el fenómeno de la correlación a un auditorio nada familiarizado anteriormente con el tema[11]». Darbishire profundizó en el experimento de Weldon con el fin de diferenciar hasta trece niveles distintos de correlación. Al igual que había hecho Weldon, Darbishire lanzó doce dados y anotó el número de dados con cuatro o más puntos. Algunos de los dados volvían a ser lanzados y junto con los dejados sobre la mesa sin lanzar una segunda vez, constituían el segundo lanzamiento, anotándose de nuevo el número de dados con cuatro o más puntos. Como en el experimento de Weldon, los lanzamientos primero y segundo estaban correlacionados, pues los dados dejados sobre la mesa eran parte de ambos lanzamientos.

Darbishire explicó que un número denominado coeficiente de correlación, medía el grado de relación entre el primero y el segundo de los lanzamientos. Mientras que en la demostración de Weldon, éste había dejado cada vez seis dados sobre la tabla tras el primer lanzamiento, Darbishire llevó a cabo trece pruebas distintas con los doce dados. En cada una de ellas, tras el lanzamiento inicial de los doce dados, dejaba un número diferente de dados sin lanzar, lanzando una segunda vez los restantes. Antes de comenzar los experimentos, marcaba los dados que debía dejar sobre la mesa con un color diferente. El primer experimento implicaba el no dejar ningún dado sobre la mesa (lanzando de nuevo los doce en el segundo lanzamiento); en el segundo dejaba un dado sobre la mesa y lanzaba de nuevo los once restantes. Y así sucesivamente, de modo que en el experimento decimotercero dejaba sobre la mesa los doce dados y no lanzaba ninguno por segunda vez.

En el caso de lanzar todos por segunda vez y no dejar ninguno sobre la mesa, no había relación alguna entre el primer y el segundo lanzamientos, siendo el coeficiente de correlación igual a 0. Cuando dejaba seis dados sobre la mesa (los cuales constituían parte del resultado del segundo lanzamiento, como en la experiencia de Weldon), el coeficiente de correlación era 0,5. Y si los valores de los doce dados del primer lanzamiento eran los anotados en el segundo (sin lanzar ningún dado), los lanzamientos presentaban una correlación perfecta, con un coeficiente de correlación de 1. Cada uno de los trece experimentos de Darbishire supuso 500 anotaciones de los números de dados con cuatro puntos o más en su cara superior en el primer y segundo lanzamientos. Sus resultados fueron recogidos en trece tablas de primeros lanzamientos frente a segundos lanzamientos, similar a la tabla de Weldon, en la cual se mostraban 13 grados de correlación: desde la ausencia de correlación hasta la correlación completa.

Chi-cuadrado y distribución-t

Uno de los primeros estadísticos más influyentes en Gran Bretaña fue Karl Pearson, colega de Edgeworth y discípulo de Galton. Pearson ya había diseñado en 1895 un instrumento similar al quincunx de Galton, pero en su obra no parece haber mención alguna a experimentos con muéstreos al azar anteriores a 1900. En este mismo año, Pearson publicó su influyente test de la bondad del ajuste del chi-cuadrado, un test estadístico mediante el cual se examina un conjunto de datos para confirmar si su distribución se ajusta realmente a la distribución supuesta en la hipótesis de partida. El test de Pearson permitía comparar cualquier conjunto de datos con una distribución hipotética para determinar la bondad en el ajuste de dicha distribución. Pearson observó que si la desviación de la distribución hipotética era pequeña, «puede ser razonable suponer que ha sido obtenida de un muestreo al azar[12]».

Para ilustrar su nuevo método del chi-cuadrado, Pearson demostró que las secuencias de resultados en la ruleta de Montecarlo en julio de 1892 no parecían obedecer a una distribución de resultados debidos al mero azar. Pearson llegó a comentar que las probabilidades eran de al menos 1 contra 1.000 millones de que tales resultados salieran en una verdadera ruleta. En otras palabras, ¡con toda probabilidad el juego estaba amañado!

En otro ejemplo, Pearson comparó 26.306 lanzamientos de doce dados con la distribución esperada si los dados no estuvieran trucados y los resultados fueran verdaderamente aleatorios. Los datos sometidos al test fueron el número de dados que en cada lanzamiento arrojaran una puntuación de cinco o seis. Pearson llegó a la conclusión de que la probabilidad de que los resultados se debieran al azar era extremadamente remota: los datos arrojaban más cincos y seises de los que cabía esperar en un experimento aleatorio. Pearson había obtenido los datos de los lanzamientos de Walter F. R. Weldon. Si los datos fueron en efecto no aleatorios, pudo deberse a la tendencia en todas las observaciones, científicas y de otro tipo, de registrar con mayor frecuencia lo que se trataba de obtener (en este caso los cincos y seises) que lo que realmente aparecía.

Weldon, quien probablemente sintió que dicha conclusión no reflejaba el cuidado y esmero con que había realizado sus experimentos, sugirió que Pearson no debía haber empleado la probabilidad teórica de obtener un cinco o un seis en un único lanzamiento (probabilidad = 1⁄3), sino más bien la frecuencia relativa que él había observado en su experimento, que era 0,3377, dado que los dados podían no ser simétricos. Como concesión a Weldon, Pearson sometió de nuevo los datos al test del chi-cuadrado empleando el valor 0,3377 y concluyó que los datos de Wcldon eran coherentes con un experimento al azar en el cual la probabilidad de sacar un cinco o un seis fuera de un 0,3377 pero en el que no todas las caras tenían la misma probabilidad de salir. Un comentario al margen sobre este episodio es que Pearson se equivocó inadvertidamente a favor de Weldon en la ejecución de este segundo test.

Para una ilustración más amplia de su nuevo test de la bondad del ajuste de los datos, Pearson examinó varios conjuntos de datos que presumiblemente seguían una distribución normal. La mayoría de los datos no superaron el test. Un conjunto de datos que él mismo había desarrollado —errores al dividir, a ojo, segmentos en dos partes iguales— estaba de acuerdo con la ley normal. Así concluyó «que la curva normal no presenta una aptitud especial para describir errores o desviaciones como las que surgen en la práctica de la observación o en la naturaleza[13]».

En su artículo de 1900, de extraordinaria trascendencia, Pearson criticaba severamente a los primeros científicos por haber dado por supuesto que hubieran trabajado con datos distribuidos normalmente sin haber verificado científicamente tal supuesto de antemano. De acuerdo con Pearson, la teoría de los errores, o de la distribución normal, no era una ley universal de la naturaleza. De hecho, tan sólo unas pocas muestras supuestamente normales resultaban seguir una distribución normal al aplicar el test del chi-cuadrado. Incluso los lanzamientos de dados, como había demostrado, podían no ser aleatorios del todo.

Los estadísticos ingleses que trabajaban en el entorno de Pearson en la universidad debieron ser especialmente receptivos a este mensaje, pues dejaron de emplear simplemente muestras supuestamente normales y aleatorias, y comenzaron a crear sus propias muestras aleatorias.

El caso mejor conocido de un experimento con un muestreo al azar fue llevado a cabo por William Sealy Gosset, investigador químico que trabajaba para la compañía cervecera Arthur Guinness Son de Dublin[14]. Gosset se encontraba estudiando la relación entre la calidad de la cerveza Guinness y varios factores influyentes en la producción de la cerveza. En la cervecería continuamente se realizaban experimentos sobre las condiciones del suelo y las variedades de cebada que podían permitir aumentar el rendimiento del cultivo, y Gosset se había propuesto aplicar las ventajas de la estadística a los experimentos agrícolas desarrollados en la fábrica de cerveza.

Como la mayoría de los terrenos disponibles se dedicaban a la producción de lúpulo, los experimentos desarrollados necesariamente se efectuaban a pequeña escala. Como resultado de ello, las muestras de Gosset consistían tan sólo en unos pocos datos —⁠a veces limitados a ocho o diez observaciones. Hasta aquel momento, la mayoría de los resultados en estadística eran aplicables a grandes muestras de datos pero no servían para muestras pequeñas a menos que se tuviera un buen conocimiento sobre la población de la cual procedían dichas muestras. Gosset se dio cuenta de que necesitaba estadísticas que fueran válidas cuando la población no estuviera bien caracterizada y sólo se dispusiera de unas pocas muestras. Gosset pensó que otros como él que estuvieran llevando a cabo experimentos químicos, biológicos, agronómicos y a gran escala de otro tipo con la limitación de un bajo tamaño muestral, podrían encontrar útiles sus resultados. Consciente, no obstante de que Guinness no permitía a sus empleados publicar datos para evitar divulgar a la competencia secretos de la compañía, publicó sus hallazgos con el pseudónimo de Student. Es por ello que su descubrimiento estadístico, la distribución-t, es conocida actualmente como t de Student.

El artículo más conocido de Gosset, escrito en 1908, describía la t de Student, la cual se define como la distribución de medias en muestras pequeñas[15]. Como los métodos existentes para analizar los valores medios (es decir, la curva normal y el teorema central del límite) sólo podían emplearse con muestras grandes, uno de los objetivos del artículo era el de definir el concepto «grande». Una segunda finalidad era la de lograr un método estadístico que pudiera ser empleado por investigadores que debieran basarse en muestras reducidas de poblaciones normales de las cuales se tuvieran pocos datos.

Con el fin de examinar la distribución de las medias de muestras de tamaño reducido, Gosset obtuvo 750 muestras aleatorias, cada una consistente en cuatro observaciones. Lógicamente, Gosset no podía arriesgarse a emplear ningún dato agronómico secreto de Guinness, y los datos que eligió para su experimento no fueron nada usuales: ¡la altura y longitud de los dedos de la mano de una serie de criminales[16]! Sus muestras las obtuvo escribiendo en pequeñas tarjetas la altura y la longitud del dedo medio de la mano izquierda de 3.000 criminales, mezclando a continuación las tarjetas y extrayendo al azar 750 muestras de cuatro observaciones cada una. Con este experimento, que implicaba el dato de la longitud del dedo medio de los criminales, Gosset logró un importante avance al aplicar la estadística a áreas sobre las que se tenía un conocimiento limitado de la población investigada.

Al aplicar el teorema central del límite a los valores medios de incluso muestras de gran tamaño, un valor necesario para los cálculos es la desviación estándar, la cual mide la variabilidad de la población estudiada. Gosset descubrió la distribución de las medias de muestras cuando la desviación estándar se obtenía de la propia muestra en lugar de a partir de la población como conjunto. Por esta razón, la distribución-t de Student podía ser empleada cuando la desviación estándar en la población total era desconocida, incluso cuando las muestras eran muy pequeñas.

La figura 20 representa una gráfica con la t de Student superpuesta a la curva normal para medias obtenidas de muestras con sólo diez valores. En ambos casos las probabilidades se miden calculando el área bajo la curva. Cabe destacar la similitud entre ambas curvas. El eje horizontal mide las desviaciones de la media. Si se dispone de este dato, este valor se calcula empleando la magnitud de la desviación estándar de la población, donde la media de la muestra seguirá la distribución normal. Pero si no se dispone del dato de la desviación estándar de la población, el valor de dicha desviación estándar deberá ser estimado de la muestra misma. Dado que las muestras pequeñas son altamente variables, cuando esta estadística se emplea en test estadísticos que presupongan una distribución normal, los resultados pueden inducir al error, y las conclusiones pueden ser exageradas e injustificadas.

Desviaciones de la media muestral respecto a la media verdadera

Figura 20. Distribución t de Student, comparada con la curva normal.

Gosset descubrió que las medias de muestras pequeñas seguían más el patrón de su distribución-t que el de una distribución normal. Para el ojo poco adiestrado estas dos curvas pueden parecer bastante similares, y de hecho cuanto mayor es la muestra, más se parecerán ambas curvas. Sin embargo, cuando los tamaños de las muestras son pequeños, las diferencias resultan críticas para llegar a conclusiones estadísticas precisas.

En otro artículo en la misma publicación, Gosset prosiguió con su investigación sobre la correlación en pequeñas muestras empleando la altura y la longitud de los dedos del grupo de criminales. Gosset afirma en dicho artículo que pretende «arrojar alguna luz mediante métodos empíricos» sobre la dificultad de usar un coeficiente de correlación derivado de muestras pequeñas. Sus resultados no llegaron a ser concluyentes y presentaba éstos ante aquellos matemáticos interesados en solucionar finalmente el problema[17].

Gosset fue extraordinariamente influyente, como puede verse en el trabajo de J. W. Bispham (en aquella época capitán J. W. Bispham), por tomar un solo ejemplo. En 1914 Bispham comenzó una investigación sobre correlación en pequeñas muestras, el cual tuvo que abandonar temporalmente a causa de la Primera Guerra Mundial. Finalmente presentó sus hallazgos en 1920 y 1923, haciendo hincapié en que su investigación experimental con muestras de tamaño reducido había sido acometida para examinar la correlación en índices tales como los empleados en los estudios de tasas de mortalidad. Sus conclusiones indicaban que al emplear una estadística alternativa al coeficiente de correlación no resultaban graves diferencias aunque fuera con muestras pequeñas.

Más interesante que sus conclusiones es la asombrosa cantidad de trabajo que le llevó generar las muestras aleatorias para sus experimentos. Bispham obtuvo sus datos con la ayuda de escolares que extraían unas fichas discoidales o «contadores» de un recipiente. En un primer estudio, los chicos realizaron tres diferentes extracciones de 30 contadores hasta unas 1.000 extracciones diferentes. En el segundo estudio se sacaron 10 contadores y se sumaron 3.000 veces, se sacaron 30 contadores y se sumaron 6.000 veces y se sacaron 60 contadores y se sumaron 3.000 veces.

Bispham observaba en su artículo: «El trabajo aritmético preliminar ha sido extremadamente laborioso. Éste ha supuesto la manipulación de ‘contadores’ individuales del orden de medio millón de veces, con las subsiguientes sumas en grupos de diez, treinta o sesenta[18]». Crear muestras de datos genuinamente aleatorios para la experimentación comenzaba a resultar algo bastante penoso y empezaba a percibirse claramente la necesidad de disponer de algún nuevo método de generar muestras aleatorias.

Ya entrado el siglo XX, la experimentación estadística había ganado cierta aceptación y status, en gran parte debido a los métodos más precisos de muestreo al azar y a la creación y uso de datos aleatorios artificiales. El trabajo de Gosset fue bastante conocido y respetado, y su experimento para obtener muestreos al azar fue rápidamente emulado. Un espíritu de experimentación empírica y demostración estaba emergiendo, a pesar de que la tarea de generar muestras genuinamente aleatorias con dados, contadores y tarjetas, resultaba cada vez más ardua y penosa.

Por otra parte, en las primeras décadas del siglo XX, la misma noción de aleatoriedad había empezado a experimentar cambios. Selección aleatoria no podía seguir significando selección caprichosa o al azar. Aunque no había una definición sencilla aceptada, la aleatoriedad (o la falta de ésta) por fin podía ser medida.

8. ¡En busca de números aleatorios!

La generación de números aleatorios es demasiado importante como para dejarla al azar.

Robert R. COVEYOU

En la segunda década del siglo XX, Leonard H. C. Tippett, en el curso de una demostración de una nueva idea estadística, necesitó una gran cantidad de datos aleatorios. En un primer momento trató de generar 5.000 números aleatorios mezclando y sacando al azar de una bolsa pequeñas tarjetas numeradas. Este método resultó pesado y difícil de manejar, y además la mezcla de las cartas no aseguraba una aleatoriedad suficiente.

A continuación, Tippett desarrolló datos para su demostración, llegando a 40.000 dígitos «obtenidos de forma aleatoria» a partir de distintos censos de población locales. En su comunicación de 1925, describiendo su trabajo, Tippett afirmaba que dichas cifras podían ser empleadas para obtener muestras aleatorias de cualquier población y manifestaba su esperanza de que alguien las publicara[1].

0153

7051

2272

1359

3328

0014

6773

1278

6282

1805

5034

6723

3835

6978

7084

3992

7542

2529

0311

2979

0095

2647

8299

5163

7757

5430

4866

6497

4138

8144

0294

2906

4151

3879

3062

7604

8137

4575

2245

6309

0764

9357

2633

8605

2064

0736

3046

0612

4691

3656

9675

0286

6825

7823

5778

2680

4057

0762

6469

2735

5082

3852

7457

5729

5484

0770

7222

4912

0062

0609

9291

4056

0125

9592

3729

7858

5153

7200

1308

9638

5587

2698

2748

0458

0122

4721

3963

2916

7963

1937

6002

4490

5494

2817

6818

7120

8894

0546

6771

8401

1359

9935

8594

7513

9090

2972

0932

3907

6077

7374

0992

8951

7986

0132

8683

8568

2374

4215

3574

4177

Figura 21. Fragmento de la tabla de cifras aleatorias de Leonard H. C. Tippett de 1927. (Reproducido con autorización de Cambridge University Press.)

Como Alfred Bork destacara: «Un ser racional del siglo XIX hubiera considerado el colmo de la locura editar un libro que sólo contuviera números aleatorios». No obstante, en 1927 la Cambridge University Press publicó de hecho una tabla con 41.600 números que habían sido ordenados al azar por Tippett (véase la figura 21)[2]. Como ya afirmara el maestro de Tippett, Karl Pearson, en el prefacio, «en los últimos años se ha ahorrado una ingente cantidad de trabajo en la comprobación de varias teorías estadísticas con ayuda de las muestras aleatorias artificiales». Al tiempo que rechazaba la efectividad de medios tales como cartas, tarjetas, bolas, dados, etc., Pearson sostenía que los experimentadores estadísticos «que han tenido que enfrentarse a los problemas del muestreo aleatorio» podrían beneficiarse por «un simple sistema de números». La tabla, que ya había sido utilizada intensivamente en el Departamento de Estadística Aplicada de la Universidad de Londres, donde Tippett estudiaba, llegó a ser conocida como ‘Números aleatorios de muestreo de Tippett’. Se trata de la primera tabla publicada de cifras aleatorias.

Sólo diez años después de su publicación, la tabla de Tippett —con más de 40.000 números aleatorios— fue considerada insuficiente para los experimentos de muestreo a gran escala. En 1938 los matemáticos R. A. Fisher y F. Yates publicaron 15.000 cifras aleatorias adicionales, seleccionadas de entre los decimales decimoquinto y decimonoveno de los desarrollos de diversos valores logarítmicos. Las cifras fueron obtenidas mediante un procedimiento que implicaba el empleo de dos mazos de cartas. En 1939 M. G. Kendall y B. Babington-Smith publicaron una tabla de 100.000 cifras obtenidas aleatoriamente por una máquina constituida por un disco rotativo. El disco estaba dividido en diez sectores, y conforme el disco rotaba, uno de los diez sectores era iluminado momentáneamente por el destello de una lámpara de neón. En 1942 J. G. Peatman y R. Shafer publicaron 1.600 números aleatorios obtenidos del Servicio Selectivo norteamericano de reclutamiento[3].

En 1949 la Comisión Interestatal de Comercio (ICC) publicó una tabla de 105.000 cifras aleatorias, generadas por un proceso llamado aleatorización compuesta. H. Burke Horton afirmaba, en su informe a dicha comisión, que los números inicialmente obtenidos por Tippett habían sufrido el mismo sesgo que los dispositivos mecánicos o eléctricos de trabajo en una sola etapa que los habían generado. En un intento por eliminar dicho sesgo, Horton demostró que los números aleatorios podían obtenerse realizando sumas de otras cifras aleatorias y que el proceso de aleatorización compuesta creaba una secuencia con menos sesgo que las secuencias originales[4].

Por ejemplo, tomemos dos secuencias aleatorias (de ceros y unos) de la misma longitud, en la que cada dígito sea igualmente probable, por ejemplo 0111101100 … 1 y 1011111100 … 0. A continuación sumamos ambas secuencias de acuerdo con las siguientes reglas: 0 más 0 igual a 0; 1 más 0 igual a 1; 0 más 1 igual a 1; y 1 más 1 igual a 0. Esta suma proporciona una nueva secuencia de ceros y unos. En cada posición de la nueva secuencia existe la misma probabilidad de que aparezca un 0 o un 1 (hay cuatro sumas posibles, dos para dar 0 y dos para dar 1). Horton observó que la nueva secuencia, 110001000 … 1, resultaba «más aleatoria» que las dos de partida.

En 1955 la RAND Corporation publicó un documento titulado Un millón de dígitos aleatorios con 100.000 desviantes normales. Este documento fue desarrollado mediante una nueva aleatorización de una tabla de dígitos obtenidos mediante pulsaciones frecuenciales aleatorias de una rueda rotatoria o ruleta electrónica. Los responsables de dicho trabajo afirmaron que el propósito de producir tablas tan grandes era cubrir las expectativas de crecimiento de los números aleatorios requeridos para resolver problemas mediante procedimientos probabilísticos experimentales[5].

Parece que había quedado claro que las tablas de dígitos aleatorios producidos hasta entonces no eran lo bastante grandes como para satisfacer el gran número de aplicaciones que estaban surgiendo. La enorme tabla antes mencionada había previsto la necesidad de tablas aún mayores conforme los nuevos métodos de modelización y simulación iban desarrollándose. También empezaban a considerarse otras fuentes de números aleatorios diferentes a los de las tablas publicadas que fueran fácilmente disponibles para los científicos a medida que aumentaba su demanda. Por ejemplo, un proceso físico como los impulsos electrónicos de una computadora o el desarrollo decimal de ciertos números irracionales podían producir una fuente inagotable de cifras aleatorias.

Con la disponibilidad de las computadoras y ordenadores digitales, se requerían más y más números aleatorios, no sólo en el muestreo —lo que ya se había convertido en una parte integral del diseño del experimento—, sino también en los modelos que predecían las complejas tendencias. La teoría de la probabilidad se estaba empleando para modelizar cuestiones de incertidumbre en campos como las previsiones económicas, la teoría de la toma de decisiones, la teoría de los inventarios y del tráfico, y en el campo biológico, sociológico y físico. Además, los métodos experimentales probabilísticos también se estaban diseñando para resolver problemas determinísticos difíciles (no-probabilísticos) empleando un procedimiento denominado método de Monte Cario.

El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a problemas considerados demasiado difíciles como para ser resueltos directamente. Dicho método resuelve una problema probabilístico de forma similar a uno no-probabilístico mediante una serie de ensayos experimentales. El método de Monte Cario se remonta a Buffon, quien en su Essai de 1777 había descrito un experimento sobre probabilidad geométrica que pasó a denominarse ‘problema de la aguja de Buffon’. Tras trazar dos líneas paralelas sobre una superficie plana como la de una mesa, el problema consiste en determinar la probabilidad de que una aguja lanzada al azar sobre la superficie cruce una de las líneas. En 1820 Laplace despertó de nuevo el interés por este problema —llegando a sugerir que con un número elevado de lanzamientos, se podía estimar el valor de 2π empleando la probabilidad teórica y los resultados experimentales[6].

No parece haber constancia alguna de que Buffon o Laplace trataran realmente de llevar a cabo el experimento, pero ambos son considerados responsables de haber propuesto lo que hoy denominaríamos un experimento de Monte Cario —un método de estimación de una cantidad constante como tt mediante procedimientos probabilísticos y pruebas experimentales que arrojen resultados aleatorios[7]. La primera evidencia de una investigación real de dicho tipo se obtuvo cuando Richard Wolf llevó a cabo el experimento de Buffon en 1850 con 5.000 lanzamientos de una aguja. Al poco tiempo se realizaron nuevos experimentos similares: Ambrose Smith en 1855 con 3.204 lanzamientos, el estudiante Augustus De Morgan hacia 1860 con 600 lanzamientos, el capitán Fox en 1864 con 500, 530 y 590, y Mario Lazzerini en 1901 con 3.048 (empleando un dispositivo mecanizado del lanzamiento de la aguja), y Reina en 1925 con 2.520 lanzamientos. Algún autor ha señalado que sus estimaciones son «absurdamente precisas», si tenemos en cuenta el número de intentos que se llevaron a cabo. Entre 1933 y 1937, A. L. Clark se sirvió de la ayuda de estudiantes para llevar a cabo 500.000 intentos en un experimento para estimar dejando caer una serie de bolas a través de un orificio circular. Clark estaba convencido de que los primeros experimentadores habían decidido de forma arbitraria el final de sus experimentos, dependiendo de lo buena que fuera la estimación[8].

El método de Monte Carlo no adquirió una gran difusión hasta la llegada de las computadoras, dado que éstas podían simular un gran número de pruebas experimentales con resultados aleatorios. Mientras trabajaba en Los Álamos en la bomba de hidrógeno, el matemático y pionero en computadoras John von Neumann, junto con Stanislaw Ulam, perfeccionó el método de Monte Carlo de modo original para determinar estadísticamente los muchos componentes aleatorios en cada etapa del proceso de fisión[9].

Supongamos que necesitamos resolver un complejo problema matemático, tal como el de hallar el área que queda bajo una curva irregular. A veces este tipo de problemas pueden resolverse haciendo uso del cálculo matemático, pero si el problema resulta intratable incluso con los métodos matemáticos más complejos, puede resolverse de forma aproximada con ayuda de otras técnicas, incluyendo el método de Monte Carlo. Un aspecto original de este método de resolución de problemas es que, mientras que el problema requiere una solución exacta —el área es fija, y no tiene nada que ver con la probabilidad— el método de Monte Cario se basa en la aleatoriedad.

Por ejemplo, para hallar el área bajo una curva irregular, rodeamos el área con un rectángulo y damos instrucciones al ordenador para que genere un gran número de puntos en posiciones al azar dentro del rectángulo trazado (véase la figura 22). A continuación contamos el número de puntos que quedan dentro de los límites de la curva irregular y los dividimos por el número total de puntos generados dentro del rectángulo. Ello nos da la proporción de puntos que hay en la región que nos interesa. Como el cálculo del área rectangular es fácil (base × altura), multiplicando la proporción por el área total obtenemos el área aproximada bajo la curva. Para una mayor fiabilidad en la aproximación podemos generar un número mayor de puntos aleatorios.

A medida que se iban necesitando tablas mayores de cifras aleatorias en los modelos informáticos para resolver problemas no-probabilísticos —por no mencionar la amplia variedad de aplicaciones probabilísticas—, el almacenamiento de las tablas de números aleatorios comenzaba a consumir demasiada memoria. El empleo de una fórmula preprogramada que permitiera al ordenador generar de forma instantánea un número aleatorio necesario para el cálculo parecía ser la solución ideal.

Conceptualmente, la idea de un número aleatorio determinado aritméticamente resultaba deseable e indeseable a un tiempo. La repetibilidad de las secuencias de números permitía algún control de la modelización —⁠el modelizador podía variar los parámetros mientras reproducía fielmente el resto de la simulación, empleando la misma secuencia de números aleatorios. En otras palabras, si sabemos cómo obtener la secuencia aleatoria idéntica en cada momento de la simulación, podemos determinar el efecto del cambio de ciertos parámetros sin preocuparnos por la interferencia debida a los cambios en nuestra secuencia aleatoria[10]. El aspecto indeseable de los números generados por un ordenador, en cambio, reside en la naturaleza determinista del proceso.

Se disponen puntos aleatoriamente en el rectángulo y a continuación se cuenta el número de puntos bajo la curva

Figura 22. Empleo del método de Monte Cario para calcular el área bajo una curva irregular.

Dentro de una secuencia generada por computadora mediante un algoritmo o fórmula programada, el número siguiente es una elección completamente determinista, y no aleatoria en el mismo sentido que lo puedan ser el lanzamiento de unos dados, un disco giratorio, una pulsación electrónica o incluso los dígitos infinitos del misterioso número ir. La misma noción de que una fórmula determinista podía generar una secuencia aleatoria parecía una contradicción. Incluso Von Neumann admitió este extremo, haciendo la siguiente observación: «Cualquiera que considere los métodos aritméticos para producir números aleatorios está, desde luego, en estado de pecado». Sin embargo, éste fue precisamente su pecado, cuando en 1946 sugirió por vez primera el empleo de las operaciones aritméticas con una computadora para producir números aleatorios[11].

Posteriormente, en 1951, Von Neumann propuso un procedimiento aritmético para generar números aleatorios: un algoritmo conocido como método del cuadrado-medio, el cual genera grupos de n cifras aleatorias comenzando por un número de n dígitos, elevándolo al cuadrado, y tomando los n o n + 1 números medios o centrales para el primer grupo, elevando este número al cuadrado y tomando los n o n + 1 números centrales para el segundo grupo, y así sucesivamente[12]. Por ejemplo, el número de tres dígitos 123, elevado al cuadrado, proporciona el 15.129. Los tres dígitos centrales de 15.129 son 5-1-2. Si se eleva 512 al cuadrado, se obtiene el 262.144. Las cuatro cifras centrales dan el 6.214, número que elevado al cuadrado proporciona el 38.613.796, cuyas cuatro cifras centrales son 6.137, y así podemos seguir sucesivamente. Nuestra secuencia «aleatoria», pues, comienza así: 512|6214|6137.

Desgraciadamente, este método ha resultado ser una fuente escasa de números aleatorios, fallida por la elección inadecuada del número original de n dígitos. Por ejemplo, si comenzamos con el 3.792 y lo elevamos al cuadrado, obtenemos el 14.379.264, cuyas cifras centrales son 3.792, ¡el mismo número de inicio[13]! De este modo comenzó la búsqueda de algoritmos que pudieran ser codificados en los programas de las computadoras para generar números aleatorios. Los números fueron llamados pseudo-aleatorios, y las fórmulas programadas o algoritmos pasaron a denominarse generadores de números pseudo-aleatorios, puesto que, ¿cómo podrían una máquina y una fórmula generar números verdaderamente aleatorios?

La mayoría de los generadores empleaban una fórmula recurrente, en la que cada nuevo número generado estaba basado en cierta forma en el inmediatamente anterior. Así, partiendo de un número inicial (cifra germen), la fórmula creaba una secuencia de dígitos en aparente orden aleatorio. Finalmente, la secuencia de dígitos volvía a empezar y la lista se repetía de nuevo, resultando una secuencia cíclica. La longitud del ciclo o número de cifras en la secuencia hasta la repetición de la misma se denomina periodo. Y cuanto mayor sea el periodo, mejor será el rendimiento del generador. (Si necesitamos muchos números aleatorios, no queremos que éstos se repitan continuamente).

Actualmente se emplean tres tipos principales de generadores: 1) generadores congruentes, basados en la aritmética modular o de restos tras una división, 2) generadores que emplean la estructura binaria (bit) de la información almacenada en un ordenador o computadora, y 3) generadores basados en la teoría numérica[14].

Los generadores congruentes emplean la aritmética modular, o de restos tras una división, como el nuevo número en la secuencia. Por ejemplo, un número modulado por 7 (mod 7) es reemplazado por el resto que queda tras dividir el número por 7; 15 módulo 7 (o 15 mod 7) es sustituido por 1, ya que cuando dividimos 15 entre 7 (el llamado módulo), el resto es 1; 18 mod 7 nos da el número 4, pues 4 es el resto que queda tras dividir 18 entre 7; 30 mod 7 nos da 2; y así sucesivamente. Los generadores que emplean este método fueron propuestos por vez primera por D. H. Lehmer en 1949. Si Z representa uno de los dígitos 0 al 9, Z₁|Z₂|Z₃| … |Zn representa una secuencia de números de n dígitos. Para producir la secuencia aleatoria de los números Z₁|Z₂|Z₃| … |Zn, el generador congruente emplea la aritmética modular y la fórmula Zn+1 = αZn módulo m, donde el módulo m determina la longitud máxima del periodo. En realidad, m debe ser un número primo muy alto para que resulte un generador con un periodo largo Lehmer sugirió el número 2.147.483.647 como módulo. El factor de multiplicación a (para un módulo m dado) influye en la longitud real del periodo, en la aparente aleatoriedad de la secuencia y en la facilidad de ejecución por parte del ordenador[15].

Veamos qué secuencia produciría el generador de Lehmer con el 7 como módulo y el 3 como factor multiplicador (véase la figura 23). Como estamos empleando un número bajo como módulo con el fin de ilustrar el procedimiento, el periodo resultante será corto; no será más largo de 7. Con este módulo y este factor multiplicador, nuestro generador consistirá en la fórmula Zn+1 = αZn módulo 7. Si elegimos el 127 como germen inicial, Z₀, el primer número aleatorio, Z₁, es el resultante de Z₁ = 3(127) mod 7, o 381 módulo 7. Cuando 381 se divide por 7, el resto es 3. Por tanto, Z₁ es 3. Al igual que el germen, Z₀, se ha empleado para obtener Z₁, Z₁ se emplea para obtener el siguiente número, Z₂ · Z₂ = 3(Z₁) mod 7 = 3(3) mod 7 = 9 mod 7, y por tanto Z₂ es igual a 2 (pues 9 dividido entre 7 deja un resto de 2). Como cada nuevo número se basa en el anterior, este tipo de fórmula se denomina fórmula de recurrencia. Nuestra fórmula produce la secuencia 3|2|6|4|5|1, la cual se vuelve a repetir en un ciclo continuo.

Z₀

=
127

Z₁

=
3Z₀ mod 7
=

3(127) mod 7

=

381 mod 7

=
3

Z₂

=
3Z₁ mod 7
=

3(3) mod 7

=

9 mod 7

=
2

Z₃

=
3Z₂ mod 7
=

3(2) mod 7

=

6 mod 7

=
6

Z₄

=
3Z₃ mod 7
=

3(6) mod 7

=

18 mod 7

=
4

Z₅

=
3Z₄ mod 7
=

3(4) mod 7

=

12 mod 7

=
5

Z₆

=
3Z₅ mod 7
=

3(5) mod 7

=

15 mod 7

=
1

Z₇

=
3Z₀ mod 7
=

3(1) mod 7

=

3 mod 7

=
3

El ciclo comienza de nuevo.

Secuencia de dígitos: 3|2|6|4|5|1

Figura 23. Empleo de un generador congruente para generar la secuencia de dígitos aleatorios 326451.

Una nueva clase de generadores teóricos de números ha sido desarrollada recientemente por George Marsaglia y Arif Zaman. Haciendo hincapié en la simplicidad de la aritmética de los ordenadores y en los modestos requerimientos de memoria de estos nuevos generadores, estos investigadores creen que su procedimiento de generación de números aleatorios merece una mayor consideración en trabajos basados en el método de Monte Carlo[16]. Llamados generadores de ‘suma con arrastre de unidades’ y ‘resta con arrastre negativo’, su técnica se basa en la secuencia de Fibonacci y en la denominada secuencia de retardo o desfase de Fibonacci, ambas nombradas en honor de Leonardo Fibonacci, matemático italiano del siglo XII que entre otras cosas abogó por la adopción del sistema de números arábigos.

La secuencia de Fibonacci consiste en los números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc., donde cada número excepto los dos primeros (0 y 1) se obtienen sumando los dos números precedentes. Un generador de dígitos basado en esta secuencia emplearía sólo los dígitos situados a la derecha del todo, obteniéndose 0|l|1|2|3|5|8|3|1|4|5, etc[17]. Una secuencia retardada de Fibonacci comienza con dos números iniciales o gérmenes increíblemente grandes, en lugar de 0 y 1. El método de Marsaglia y Zaman de ‘suma y arrastre de unidades’ es similar a éstos con una modificación, llamada ‘unidad de arrastre’, suficientemente sencillo como para ser calculado con una calculadora de bolsillo o a mano. Como en el caso de la suma normal, siempre que una suma es mayor de 9, ‘arrastramos’ o nos llevamos el 1.

Como en la secuencia de Fibonacci, en el método de suma y arrastre de unidades cada nuevo número se obtiene sumando los dos números que le anteceden. Si la suma es 10 o más, se emplea sólo el dígito a la derecha y el de las decenas se arrastra a la siguiente suma (para obtener el siguiente número). Así, cada nuevo dígito en la secuencia surge de la suma de los dos dígitos previos más un 1 en caso de arrastre de la suma anterior. Por ejemplo, si empezamos con los dos números gérmenes 0 y 1 (véase la figura 24), obtenemos la misma secuencia de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, hasta llegar al 13. En este punto empleamos el 3 y arrastramos el 1. El siguiente número en la secuencia se obtiene sumando los dos anteriores, 8 y 3, y arrastramos el 1; 8 + 3 + 1 es 12, así que empleamos el 2 y nos llevamos el 1; 3 + 2 + 1 es 6, cifra que constituye el siguiente dígito de la secuencia, y como 6 es menor de 10, no se arrastra unidad adicional alguna.

Como el objetivo al emplear un programa informático para generar los dígitos de una secuencia aleatoria es evitar el tener que almacenar una gran tabla de números, desde el punto de vista de un científico informático, cuanto más reducido sea el programa mejor. En la actualidad continúa la búsqueda para hallar generadores mejores, más rápidos y con periodos más largos. Como Donald Knuth expresara: «Los números aleatorios no deberían ser generados por un método elegido aleatoriamente[18]».

Suma de los dos números anteriores

+

unidad arrastrada?

=

suma,

dígito

0 + 1

=

1,

1

1 + 1

=

2,

2

1 + 2

=

3,

3

2 + 3

=

5,

5

3 + 5

=

8,

8

5 + 8

=

13,

3*

8 + 3

+

1

=

12,

2*

3 + 2

+

1

=

6,

6

2 + 6

=

8,

8

6 + 8

=

14,

4*

8 + 4

+

1

=

13,

3*

4 + 3

1

=

8,

8

3 + 8

=

11,

1*

8 + 1

+

1

=

10,

0*

Y así sucesivamente.

La secuencia de dígitos hasta aquí es 1|2|3|5|8|3|2|6|8|4|3|8|1|0.

* arrastramos el 1

Figura 24. Empleo del generador de suma y arrastre de unidades para generar la secuencia de dígitos aleatorios 12358326843810.

1. Nuevos usos para los dígitos aleatorios

Al tiempo que la potencia de las computadoras ha posibilitado la generación de más y más números aleatorios, también ha surgido una necesidad insaciable de éstos. Por ejemplo, los métodos de simulación computerizada de bases de datos con fines de inferencia estadística, conocidos como técnicas de muestreo repetido, han generado una enorme demanda de cifras aleatorias. Un procedimiento de muestreos repetidos de este tipo, conocido como autoinducción de secuencias (en inglés bootstrapping), fue introducido en 1979 por Bradley Efron. Dicho procedimiento, perfeccionado y discutido por los estadísticos teóricos durante más de quince años, podría llegar a sustituir al método tradicional de inferencia que compara una muestra aleatoria simple con las muestras teóricas de la hipótesis. La autoinducción de secuencias no se basa en el conocimiento de las propiedades teóricas de las mediciones estadísticas, sino en la potencia de los procesos informáticos digitales de alta velocidad.

En la estadística inferencial tradicional, tras estimar una medición estadística de la muestra extraída aleatoriamente, su fiabilidad se calcula basándose en la distribución teórica de la estadística, una distribución como la distribución normal o la t de Student. En el procedimiento de la autoinducción de secuencias, tras estimar una medición estadística de Una muestra obtenida de forma aleatoria, su fiabilidad se basa en las miles de muestras reales generadas por el ordenador. Las nuevas muestras, o muestras autoinducidas, se obtienen de una muestra original que ha sido ‘mezclada’, y conforme cada dato es seleccionado, éste es repuesto, siendo susceptible de volver a ser elegido. La medición estadística estimada se calcula para cada muestra autoinducida, sirviendo éstas del mismo modo que la distribución teórica en la estadística inferencial para estimar la fiabilidad de la estimación original[19].

Algunos novedosos procedimientos para mantener códigos secretos, con importantes aplicaciones en la seguridad nacional y en los sistemas electrónicos de información, requieren muchos elementos aleatorios. Estos métodos de criptografía, a veces conocidos como claves públicas, requieren la selección aleatoria de 100 o 200 números primos. La impredecibilidad de los números escogidos, unida al hecho de que algunas operaciones aritméticas son muy difíciles de invertir, garantizan que el código resulte extremadamente difícil de descifrar en un periodo de tiempo razonable. Un nuevo método de «prueba» denominado conocimiento-cero o prueba interactiva, que permite que toda la información se mantenga en secreto, requiere la selección aleatoria de una serie de informaciones por parte de quienes pretendan acceder a ella. La habilidad de la «prueba» para mantener el secreto se basa en la probabilidad de que la información requerida aleatoriamente sea denegada a menos que se conozca la prueba completa[20].

La teoría del caos, que predice que el estado futuro de la mayoría de los sistemas es impredecible debido a la mínima incertidumbre inicial, implica un nuevo significado de la noción de aleatoriedad, y la simulación de dichos sistemas precisa una enorme cantidad de dígitos aleatorios. Se ha demostrado que incluso con los sistemas deterministas más pequeños, el error de observación inicial y las alteraciones más insignificantes crecen exponencialmente, originando problemas cuya predecibilidad no se da sino a largo plazo[21].

Prácticamente desde que surgió la idea de mantener una reserva de números aleatorios, los científicos han estado ideando más y mejores formas de aplicar éstos. Actualmente, los números aleatorios son necesarios para los modelos económicos (en la predicción de la evolución del mercado de bonos y obligaciones) o del tráfico (en predicciones sobre el momento en que un automóvil llegará a un cruce o a un semáforo en rojo).

También los modelos informáticos que simulan los movimientos de las moléculas o el comportamiento de las galaxias requieren ingentes cantidades de números aleatorios.

Los ordenadores con microprocesadores de alta velocidad han originado tanto una necesidad de cifras aleatorias disponibles inmediatamente como un método mediante el cual producir dichos números por medio de generadores algorítmicos. Estos generadores, si son fiables, garantizan que los dígitos sean realmente aleatorios y la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma para todos. Sin embargo, todavía la mera idea de que una máquina y una fórmula programada puedan crear datos aleatorios incomoda en gran medida a algunos matemáticos.

9. La aleatoriedad como incertidumbre

A largo plazo, todos habremos muerto.

JOHN MAYNARD KEYNES

En la salida para comenzar una partida de billar se golpea una bola que choca contra las otras y rebota en las bandas hasta que finalmente se detienen todas formando una figura que, podría parecer, sigue un patrón aleatorio. Sin embargo, las leyes físicas pueden predecir la trayectoria de una bola para chocar con otra, rebotar en la banda, seguir rodando por la mesa, rodar sobre un punto concreto de ésta, o incluso rodar en condiciones de humedad o con polvo sobre el tapete. Conocidas las condiciones iniciales concretas y todos los hechos implicados, dichas trayectorias y posiciones finales pueden ser determinadas matemáticamente.

¿Quiere ello decir que la distribución de las bolas de billar, una vez detenidas, no es aleatoria? ¿Puede resultar la aleatoriedad de situaciones no aleatorias? ¿Es tan sólo la aleatoriedad la incapacidad humana de reconocer un patrón que de hecho podría existir? O ¿es la aleatoriedad una función de nuestra falta de capacidad, en cualquier momento y lugar, de predecir el resultado?

Cicerón observó que la característica principal de la suerte o del azar es la incertidumbre. «Pues no aplicamos las palabras ‘azar’, ‘suerte’, ‘accidente’ o ‘casualidad’ excepto en el caso de un suceso que o bien no se haya dado en absoluto o que pudiera suceder de cualquier otra forma. Pues, si una cosa que va a suceder puede ocurrir indiferentemente de una forma o de otra, el azar es predominante; pero las cosas que ocurren por azar no pueden ser seguras[1]». Cicerón caracterizaba los sucesos al azar como sucesos que podían ocurrir de forma insegura —sucesos que podían tener lugar o no, o que podían suceder de otra forma distinta.

Este punto de vista más bien «moderno» no era típico antes del siglo XX. La creencia más extendida era que el llamado azar era la pura ignorancia de las condiciones iniciales. La popularidad de esta interpretación determinista no es sorprendente si consideramos que el estudio de la variación aleatoria fue motivada por la teoría de los errores: las diferencias en la observación o medición de una cantidad simple fija, tal como la distancia a una estrella o a una distancia específica sobre la Tierra, eran meros errores. En estos casos los científicos empleaban el promedio de las mediciones como la distancia «verdadera», y la variación entre las mediciones individuales era considerada como el resultado de las deficiencias debidas a los propios investigadores o a los equipos de medición.

Cuando este punto de vista se aplicó a los juegos de azar, la variación entre los distintos intentos o lanzamientos fue considerada como una indicación de las limitaciones del conocimiento humano. Aplicado a los fenómenos sociales, el concepto de variación aleatoria como ignorancia o error debió resultar más difícil de justificar, pero los investigadores aún consideraban la medición promedio como la «ideal» y la variación como desviaciones de dicha medición ideal.

En su trabajo de 1739, Tratado de la comprensión humana, el filósofo escocés David Hume discutió la cuestión del azar desde una perspectiva diferente: su efecto sobre la mente. Así, afirmó que el azar deja la conciencia «en su ingenua situación de indiferencia». Es decir, un conjunto de resultados con igual probabilidad de salir producen un estado mental de indiferencia entre varias alternativas, sin razón para preferir un resultado antes que otro[2]. La creencia en que el azar representa un conocimiento insuficiente o bien una forma de indiferencia, a veces es referida como definición subjetiva de aleatoriedad: según ésta, la aleatoriedad sólo existe en la mente de los individuos y no en el mundo objetivo.

En la obra Un sistema lógico, publicada en 1843, John Stuart Mill discrepaba de la teoría de la probabilidad basada en un equilibrio de ignorancia o indiferencia. Mill, de hecho, encontraba extraño que la ignorancia y subjetividad pudieran ser la base de una «ciencia», y pensaba que la probabilidad de un suceso debía basarse más bien en nuestro conocimiento y en la experiencia de su frecuencia. Insistía en que «para ser capaz de afirmar que dos sucesos son igualmente probables, no es suficiente que sepamos si uno u otro pueden suceder, no debiendo haber en ello lugar para las conjeturas. Es la experiencia la que debe demostrar que los dos sucesos tienen la misma ocurrencia[3]».

John Venn, matemático y lógico inglés a quien se deben los conocidos diagramas de Venn (utilizados para representar pictóricamente distintos conjuntos), era un admirador del trabajo de Mill, del que decía que su propia filosofía era similar, al «tomar conciencia sobre las leyes de las cosas y no sobre las leyes de nuestras propias mentes que rigen lo que pensamos de las cosas». Venn amplió el concepto de frecuencia de la experiencia pasada hasta la frecuencia futura (a largo plazo), mientras desarrollaba la hipótesis de que un proceso de selección aleatoria implica que, a largo plazo, cada miembro del universo presenta la misma probabilidad de ser seleccionado. Las secuencias aleatorias a menudo son aquéllas cuyos elementos son igualmente probables, y Venn afirmaba que un ordenamiento debería ser juzgado como aleatorio o no, atendiendo a «lo que podemos concluir que observaríamos si pudiéramos continuar nuestra observación durante un periodo mucho más prolongado[4]».

En la misma línea, en 1896 Charles Sanders Peirce, físico y filósofo norteamericano, ofreció una definición de muestra aleatoria como aquella «tomada conforme al precepto o método que, siendo aplicado una y otra vez indefinidamente, supondría a largo plazo la consecución de uno de los conjuntos de casos con tanta frecuencia como cualquiera de los otros conjuntos del mismo grupo[5]».

Algunos filósofos, como John Maynard Keynes, rechazaban la teoría de la frecuencia de forma categórica, alegando que una definición de selección aleatoria debía ser más útil y práctica. Keynes objetaba que la expresión «a largo plazo» implicaba un conocimiento demasiado exhaustivo[6].

Reflejando esta controversia, la edición de 1902 de la Enciclopedia Británica presentaba tanto la interpretación subjetiva como la interpretación de la frecuencia de una distribución con igual probabilidad[7]. Un único lanzamiento de una moneda no trucada ilustra las diferencias entre ambas interpretaciones. Una interpretación física de la razón de que la probabilidad de una cara es 1⁄2 es que hay dos lados, que la moneda está compensada, y que las leyes físicas permiten que la moneda caiga con igual probabilidad de cada lado. Pero esto plantea la cuestión de cómo podemos saber que puede caer con igual probabilidad de cada lado. De acuerdo con el punto de vista subjetivo, dado que no conocemos cuál de los dos lados quedará boca arriba y que permanecemos igualmente indiferentes ante las dos posibilidades, antes de lanzar la moneda la probabilidad de cada resultado es igual a 1⁄2. El frecuencista, disconforme con basar la probabilidad matemática en la ignorancia o en el estado de ánimo, diría que la probabilidad es 1⁄2 porque la experiencia ha mostrado que durante un periodo largo de tiempo tanto la cara como la cruz han salido aproximadamente la mitad de las veces.

En la edición de 1888 de Lógica del azar, Venn trataba de ilustrar gráficamente el concepto de aleatoriedad mediante una gráfica generada aleatoriamente. Cada paso de su «trayectoria aleatoria» era determinado por la elección elegida aleatoriamente de una de ocho direcciones (las ocho posiciones básicas de la aguja de una brújula; véase la figura 25, izquierda).

La dirección del movimiento en cada paso a lo largo de la trayectoria estaba determinado por los decimales de ir, una secuencia de dígitos que Venn consideró aleatoria. Los primeros 707 decimales de π, fueron usados en su mismo orden de aparición, el 0 generaba un paso en dirección al norte; el 1, al noreste; el 2, al este; y así sucesivamente, con los números 3 al 7 indicando las restantes direcciones conforme al sentido de las agujas del reloj en correspondencia con las direcciones indicadas por la brújula.

Figura 25. Tras asignar una dirección de movimiento a los dígitos del 0 al 7, John Venn determinó cada paso a lo largo de esta trayectoria aleatoria empleando los primeros decimales de π.

Podemos ver fácilmente cómo comenzó su trayectoria conforme a los primeros decimales de la secuencia (figura 25, derecha). Por ejemplo, si tomamos π = 3,1415926535…, seguiremos el movimiento en las direcciones de la brújula determinados por los números 141526535. Venn desechó el 3 inicial y todos los ochos y nueves. Convencido de la falta de un patrón determinado en una inspección visual, Venn concluyó que el gráfico de la trayectoria generada por dichos dígitos permitiría al lector comprender gráficamente la idea de una ordenación al azar (véase la figura 26). Venn indicó que había obtenido trayectorias similares empleando dígitos a partir de tablas logarítmicas[8].

Se desconoce si los dígitos del desarrollo decimal de números como π, e y √¯2 se ordenan aleatoriamente, pero el intento de verificar o rechazar esta idea sigue vigente en la actualidad. Otros autores han seguido el ejemplo de Venn en su creencia de que el desarrollo decimal de ciertos números irracionales podría proporcionar una fuente inagotable de dígitos aleatorios. En 1950 N. C. Metropolis, G. Reitwiesner y J. von Neumann publicaron los resultados de un test estadístico de aleatoriedad realizado sobre 2.000 decimales de π y 2.500 de e. Sus test concluían que mientras que parecía no desviarse de la aleatoriedad, e revelaba serias desviaciones[9].

Figura 26. Representación gráfica de aleatoriedad (1888) generada a partir de los primeros 707 decimales de π.

En el mismo año, C. Eisenhart y L. S. Deming llegaron a conclusiones similares, analizando 2.000 decimales de π y e. En 1951 Horace S. Uhler hizo un test similar con 1.545 decimales de √¯2 y ⅟√¯2 y sus resultados indicaron que no había desviaciones respecto a un grupo de números puramente aleatorios. En 1955 Robert E. Greenwood hizo un test con 2.035 decimales de π y 2.486 de e, llegando a la conclusión de que su test no mostraba desviaciones de lo considerable como aleatorio. En 1960 J. W. Wrench determinó que no había «comportamiento anormal» el analizar la distribución de 16.000 decimales de π. En 1961 R. K. Pathria examinó los primeros 2.500 decimales de e y encontró que satisfacían la hipótesis de aleatoriedad de los mismos. En 1962 Pathria analizó los primeros 10.000 decimales de π y no encontró desviaciones significativas en ellos. En 1965 R. G. Stoneham informó de que los patrones detectados por Metropolis y sus colegas en los decimales de e, no se repetían a partir de los primeros 2.500 (hasta los 60.000 primeros decimales). Stoneham analizó 60.000 decimales de e alegando que los dígitos se adecuaban bastante a resultados aleatorios (¡si se exceptuaba un porcentaje quizás algo elevado de seises!). En 1989 Gregory V. Chudnovsky y David V. Chudnovsky, empleando una supercomputadora construida a base de piezas de repuesto en su apartamento de Nueva York, ampliaron el desarrollo de los decimales de hasta mil millones de dígitos, sugiriendo su sofisticado test de aleatoriedad que los mil millones de dígitos efectivamente eran aleatorios[10].

No obstante, existe un aspecto que hace incómoda la idea de aceptar que los decimales de π sean aleatorios. Al disponernos a lanzar una moneda o un dado, o al medir los intervalos entre los «clicks» de un contador Geiger o de varias pulsaciones electrónicas, nos satisface pensar que el resultado aleatorio implique una cierta incertidumbre. Nadie puede saber lo que saldrá o sucederá anticipadamente. La idea de aleatoriedad está unida a nuestra noción de que el futuro es incierto. Los decimales de π, sin embargo, son algo diferente. A pesar de que un determinado individuo desconozca, por ejemplo, el octagésimo primer decimal de π, es posible que alguien sepa cuál es éste, porque estos dígitos no cambian, son algo fijo. Estos decimales siempre están ahí, quizás esperando ser observados aunque no esperando suceder[11].

1. Criterios de aleatoriedad

Hubo que esperar hasta el siglo XX para que las definiciones matemáticas de aleatoriedad comenzaran a emerger. Empezando con una serie de conferencias en 1919 y culminando en su libro de referencia de 1928 sobre teoría probabilística, Richard von Mises intentó dar con una definición intuitivamente satisfactoria de la probabilidad basada en una mejor comprensión de la aleatoriedad.

Von Mises definió la aleatoriedad en una secuencia de observaciones en términos de la incapacidad de concebir un sistema de predicción de dónde tendrá lugar una observación particular en una secuencia si no se conoce previamente dicha secuencia. Esta definición es similar a la imposibilidad de un sistema injusto de apuestas: aunque un jugador pueda seguir unas reglas propias sobre cuándo y cuánto apostar, no existe sistema alguno de predicción que posibilite al jugador apostar de forma que pueda alterar la frecuencia relativa de éxitos a que está sometido a largo plazo. La incapacidad de jugar siempre con éxito supone un rasgo intuitivamente deseable de una secuencia aleatoria, precisamente su impredecibilidad. Esta incapacidad de predicción fue denominada por Von Misses «la imposibilidad de un sistema de juego al azar». La aleatoriedad garantiza que no existe sistema de juego, fórmula o regla alguna capaz de identificar un determinado elemento en la secuencia[12].

Como cabría esperar, la nueva teoría de la probabilidad de Von Mises dio lugar a una discusión más bien acalorada sobre la misma. Algunos filósofos rechazaron de forma categórica su teoría de la frecuencia a largo plazo y trataron de precisar algo más el punto de vista «del sentido común» sobre la probabilidad subjetiva. Así, expusieron una noción de probabilidad basada en nuestro grado de conocimiento o indiferencia, más que en las frecuencias a largo plazo. Otros autores, a los que Von Mises se refiere como «nihilistas», argumentaron que dichas definiciones de probabilidad y de aleatoriedad eran innecesarias, insistiendo en que estos conceptos deberían ser aceptados en términos matemáticos comprensibles, aunque indefinibles. Curiosamente, el grupo que más crítico se mostró con Von Mises fue el de los propios frecuencistas[13].

Von Mises encaró dichas críticas en la edición de 1939 de Probabilidad, estadística y verdad. La mayor crítica objetiva a su nueva teoría consistía en una objeción a su definición de aleatoriedad. Que la predicción de los elementos en una secuencia aleatoria sea imposible mediante cualquier sistema posible, fórmula o regla, quiere decir que no es posible ninguna regla que pueda predecir cualquier fracción sustancial de la secuencia. Sin embargo, claro que cada secuencia obedece a alguna regla, simplemente puede que ignoremos la regla que prevea ésta. Si cada secuencia se adecúa a alguna regla, una secuencia que no obedezca a ninguna regla simplemente no podría existir. Y si, aunque sea por accidente, descubriéramos dicha regla o sistema, podríamos alterar nuestra probabilidad de acierto en la predicción. Para mejorar la definición de Von Mises de secuencia aleatoria se han realizado varios intentos tratando de minimizar la condición de todas las posibles reglas[14].

En un artículo de 1963, Andrei Kolmogorov logró demostrar que con sólo admitir fórmulas, reglas, o leyes simples de predicción, entonces las secuencias del tipo de las definidas por Von Mises existirían. Kolmogorov planteaba como hipótesis que «no puede haber un número muy grande de algoritmos simples». En 1965 Kolmogorov definió lo que consideraba una ley o fórmula «simple» y publicó una nueva medición cuantitativa de la «información». En otras palabras, en lugar de que la aleatoriedad de una secuencia sea juzgada por su absoluta impredecibilidad, Kolmogorov sólo requería la impredecibilidad de un pequeño conjunto de reglas simples[15].

Trabajando en el campo de la teoría de la información, Kolmogorov realizó más incursiones en la medición del desorden al idear un método para cuantificar la complejidad de un cómputo de información mediante la fórmula más corta que pudiera generarla. Las modernas definiciones matemáticas de secuencias aleatorias se han construido basándose en la definición de Kolmogorov de complejidad en la teoría de la información: una secuencia aleatoria es aquélla con una complejidad máxima. En otras palabras, una secuencia es aleatoria si la fórmula más corta que la genera es extremadamente larga[16].

Su definición es muy sugerente desde el punto de vista intuitivo, pues transmite la idea de que una secuencia aleatoria no puede ser descrita de una forma concisa; es decir, que no hay una ley simple que pueda describir la secuencia. Muchas secuencias que son periódicas pueden ser descritas concisamente, y Kolmogorov propuso que la ausencia de periodicidad es, de acuerdo con el sentido común, un rasgo de la aleatoriedad. La secuencia aleatoria máxima sería, en términos de esta medida de la complejidad, aquella que pudiera ser descrita sólo nombrando la secuencia misma, elemento a elemento; no se podría desarrollar ninguna fórmula que fuera más corta que la propia extensión de la secuencia[17].

Como esta definición basada en la complejidad de la información mide el grado de desorden, quizá diferentes secuencias podrían presentar distintos grados de aleatoriedad. De hecho, Gregory Chaitin ha señalado que esta nueva definición establece una jerarquía de grados de aleatoriedad. Si la aleatoriedad se concibe como un absoluto, cuanto más larga sea la fórmula con la mínima extensión que genere la secuencia aleatoria, más aleatoria será ésta. El problema es ¿cómo llegar a saber si hemos dado con la fórmula más corta[18]?

Estas tres posiciones sobre el significado de la aleatoriedad —es decir, una función de la frecuencia a largo plazo, una función de nuestra ignorancia, o una función de la extensión de la fórmula que la origina— no son irreconciliables. En un análisis más detallado, encontramos un elemento común, aunque nada sorprendente. Estos tres puntos de vista tienen en común el reconocimiento de la impredecibilidad de los sucesos en el futuro a partir de los sucesos del pasado.

Von Mises, como frecuencista que era, describía la aleatoriedad en una secuencia como responsable de la imposibilidad de un esquema de juego parcial o ventajoso —nadie sabe lo que va a resultar—. La aleatoriedad definida como una expresión de la ignorancia o la indiferencia de la persona, ciertamente engloba nuestra incapacidad para predecir a pesar del conocimiento pasado. La aleatoriedad definida en términos de complejidad o como la extensión del programa de instrucciones más corto que puede describir ésta, asegura que los elementos en una secuencia aleatoria no puede ser predicha de una forma concisa. Así pues, la aleatoriedad nos garantiza que no se puede concebir ningún esquema que permita aumentar la probabilidad de «conocer» el resultado.

En cuestiones de aleatoriedad física, tales como la posición final en la mesa de unas bolas de billar, sea que haya alguna incertidumbre intrínseca o sólo ignorancia de las complicadas y confusas condiciones existentes, el resultado aleatorio es desconocido e incognoscible. Gustav Fechner creía que era lo novedoso de cada suceso —el hecho de que ningún momento o suceso es una reproducción exacta de otro— lo que introduce una cantidad de indeterminismo en cada nueva situación[19].

Aún continúa viva la controversia sobre si es el resultado o el proceso lo que determina la aleatoriedad, es decir, si la aleatoriedad es una característica de la propia ordenación o el proceso mediante el cual dicha ordenación ha sido creada, o ambas cosas. En La lógica del azar, Venn dice que es «la naturaleza de una determinada ordenación final», y no «la forma particular en que ésta es producida», la que debería ser considerada al juzgar una ordenación aleatoria, debiendo ser juzgada la ordenación en función de lo que observaríamos a largo plazo. Básicamente, Venn parece querer caracterizar la aleatoriedad en términos de la irregularidad de la ordenación misma, y no del proceso que la genera. Pero más adelante llega a decir que si la ordenación es demasiado pequeña, deberíamos evaluar la naturaleza del agente que la ha originado, y a menudo el agente debe ser juzgado a partir de los mismos sucesos[20].

Otros autores, en el pasado y en el presente, han defendido que «la aleatoriedad es una propiedad, no de una muestra particular, sino del proceso de muestreo», por lo que mediante un proceso aleatorio pueden generarse secuencias no aleatorias. Ian Hacking sostiene que «las muestras aleatorias se definen enteramente en función del mecanismo de muestreo». Peter Kirschenmann cree que se debería hacer una distinción clara sobre si se está hablando de una ordenación aleatoria o de una generación aleatoria; en otras palabras, de la información de salida o del proceso. De forma similar, G.  B. Keene diferencia entre una secuencia aleatoria y una secuencia elegida de forma aleatoria. Nicholas Rescher hace hincapié en que «la aleatoriedad propiamente dicha caracteriza las secuencias y los procesos de selección mediante los cuales se obtienen dichas secuencias[21]».

Ciertos autores han señalado que una secuencia obtenida mediante un proceso perfecto de selección aleatoria podría resultar bastante poco aleatorio en apariencia; como Cicerón ya expresara hace mucho tiempo, incluso el suceso improbable tiene una posibilidad de ocurrir, y ocurrirá a largo plazo. Ello podría resultar de lo menos práctico para algunas aplicaciones de selección aleatoria. Por ejemplo, Hacking señala que una tabla enormemente grande de dígitos aleatorios podría contener una extensa sucesión de ceros. Si no contuviera éstos, la aleatoriedad de la tabla podría ponerse en duda. Sin embargo, si la tabla contuviera dicha sucesión de ceros, este fragmento de la tabla podría resultar poco apropiado para pequeñas muestras de números. Hacking afirma que no estaría de acuerdo en excluir dicha sucesión, pues se le podría acusar de manipular arbitrariamente la aleatoriedad de la tabla. Pero, por otra parte, también se resistiría a incluir la misma sucesión, pues su empleo podría resultar poco adecuado para muchos propósitos[22].

G. Spencer Brown ilustra esta paradoja con secuencias de lanzamientos de una moneda. Así, sería partidario de rechazar ciertas secuencias, por ejemplo, todas las caras o todas las cruces, alternando caras y cruces todo el tiempo por no ser suficientemente irregulares. Spencer Brown no es, en todo caso, el único partidario de suprimir fragmentos de secuencias generadas de forma aleatoria que parezcan mostrar una falta de aleatoriedad. No obstante, la justificación más razonable para tal supresión se basa en la utilidad de subsucesiones en aplicaciones prácticas y no en el grado de ordenación que éstas pudieran mostrar. Este autor defiende además que no es ni la secuencia ni el proceso lo que define la aleatoriedad, sino que más bien lo hace la percepción de la irregularidad del observador: no podemos conocer el resto de la secuencia basándonos en lo que ya hemos observado. Spencer Brown afirma: «Nuestro concepto de aleatoriedad es simplemente un intento por caracterizar y diferenciar el tipo de sucesiones que confunden a la mayoría de la gente… Resulta, por tanto, irrelevante si una sucesión ha sido obtenida con ayuda de un penique, de una calculadora, de un contador Geiger o proporcionada por un bromista. Lo que importa es su efecto sobre los que la observan, y no cómo ésta ha sido obtenida[23]».

Las secuencias aleatorias son comúnmente percibidas como aquellas que no muestran ningún orden particular. Venn observó que más que el estado de ánimo del observador responsable de la apariencia desordenada de una ordenación aleatoria, es el posterior desorden de la ordenación misma lo que nos hace sentir la incertidumbre[24]. Parte del problema al encarar la cuestión de si existe o no una aleatoriedad absoluta procede de los muchos intentos por reconciliar la noción científica con la noción común de desorden o irregularidad.

Los niños tienen dificultades en aceptar que en un experimento al azar, una secuencia aparentemente regular tenga la misma probabilidad que una secuencia aparentemente irregular. Pero la edad no parece acabar con este problema. De hecho, muchos estudios han mostrado que las afirmaciones ingenuas ante situaciones tanto aleatorias como no aleatorias son erróneas a menudo; incluso los adultos tienen nociones equivocadas sobre lo que conciben como aleatoriedad. Las personas con menor formación matemática creen que los resultados aleatorios deberían mostrar cierta variabilidad entre varios intentos —probablemente indicando una expectativa de irregularidad—. Pero incluso entre personas más cultas, los investigadores han hallado percepciones erróneas de lo que se concibe como aleatorio al esperar una irregularidad injustificada[25].

Las definiciones prácticas de aleatoriedad —una secuencia es aleatoria en función del número de análisis estadísticos que satisface o una secuencia es aleatoria en virtud de la extensión del algoritmo necesario para describirla— no está libre de imperfecciones. Los test estadísticos de aleatoriedad siempre implicarán un grado de error. El error supone que el test estadístico rechace algunas secuencias como no aleatorias aunque de hecho sí lo sean, y por aleatorias otras que no lo son. El nivel de significación del test empleado podrá controlar la probabilidad y el porcentaje de error, pero el error nunca se verá reducido a cero, pues es inherente al cálculo de probabilidades.

Por ejemplo, podemos hallar que hay 1 probabilidad entre 1.000 de que nuestra secuencia no exhiba un comportamiento específico (no aleatorio) al ser sometido a un test. Ello no significa que el comportamiento no aleatorio no se dé; significa que es altamente improbable que exista. A largo plazo, nuestra esperanza de errar es de un 1 por 1.000. El nivel de significación del test es de 1 entre 1.000, y la probabilidad de que nos equivoquemos al juzgar nuestra secuencia al someterla al test es de un 1 por 1.000. Además, este error nunca puede reducirse a 0 porque, a largo plazo, incluso lo más improbable sucederá. Si una secuencia supera todos los test disponibles, ello sólo puede significar que los test empleados no son sensibles a la regularidad particular existente en la muestra. Karl Popper dijo que no tenemos ningún test que determine la presencia de toda regularidad posible, sino sólo algunos para «alguna regularidad determinada o específica[26]».

Una complicación similar reside en el nivel umbral de complejidad a partir del cual una secuencia debe ser considerada aleatoria, supeditado a la extensión del agente que la produce (algoritmo). La extensión más corta del programa que puede producir una secuencia compleja de un grado máximo es igual a la extensión de la secuencia misma. En lugar de requerir la complejidad máxima, si la secuencia es suficientemente compleja, puede que tengamos que juzgar la secuencia como suficientemente aleatoria.

También existen otras posiciones opuestas sobre si es posible la aleatoriedad absoluta y si puede haber distintos grados de aleatoriedad. Algunos autores conciben la aleatoriedad absoluta como un concepto limitado; la aleatoriedad absoluta es un ideal, probablemente inalcanzable[27]. Otros autores declaran que no hay una aleatoriedad absoluta, sino sólo una aleatoriedad relativa.

Kendall y Babington-Smith, por ejemplo, han defendido una aleatoriedad local y han propuesto cuatro tipos de análisis para evaluarla: el test frecuencial, el test serial, el test del póquer y el test de discontinuidad. El test frecuencial es un tipo de análisis de la ocurrencia uniforme de cada uno de los diez dígitos del 0 al 9 nuestra expectativa es que cada dígito aparezca un número igual de veces, aproximadamente una de cada diez.

El test serial es un análisis de la ocurrencia uniforme de pares de dos dígitos; contamos con que cada posible par de dígitos aparezca el mismo número de veces, aproximadamente una de cada cien. ¿Por qué deberíamos comprobar si cada dígito aparece la décima parte de las veces y cada par de dígitos una de cada cien? Consideremos la secuencia 01234567890123… Aunque no parece una secuencia aleatoria, cada dígito aparecerá una de cada diez veces (dependiendo de cuándo detengamos la secuencia). Sin embargo, si se consideran los dígitos pareados de dos en dos —01 23 45 67 89 01 23…—, el patrón queda manifiesto, pues sólo 5 pares de los 100 posibles aparecerán en alguna ocasión[28].

El test del póquer compara cinco bloques de dígitos frente a la ocurrencia esperada de cinco cartas en un juego de póquer: cinco iguales, cuatro iguales y una distinta, tres iguales y dos distintas, dos parejas, una pareja, y todos los dígitos diferentes. El test de discontinuidad examina el número de dígitos (o extensión de discontinuidad) entre las ocurrencias del dígito 0. Por ejemplo, la secuencia 0|12|0|0|924789|0 presenta discontinuidades de extensión 2, 0 y 6, respectivamente. Las frecuencias de las extensiones de las discontinuidades entre los sucesivos ceros en la secuencia se comparan con las que cabría esperar en dígitos seleccionados al azar[29].

Dichos test se encaminaban claramente a determinar la utilidad para un muestreo de una secuencia particular de números aleatorios. Y mientras que una secuencia podría resultar ser útil para un determinado propósito, podría no serlo para otro. En particular, cuanto más larga sea la frecuencia, más probable es la ocurrencia de una racha extraña que podría no ser localmente aleatoria en sí misma.

Algún autor ha señalado que podemos tener una aleatoriedad relativa del mismo modo que podemos tener una medición relativamente precisa sin tener un conocimiento de la precisión absoluta de la medición[30]. Por ejemplo, supongamos que con mecanismos de medida progresivamente más sofisticados pudiéramos medir la anchura de una hoja de papel (en centímetros), obteniendo los valores 21,6, 21,592, 21,59414, etc. ¿En qué punto deberíamos detenernos en la medición para afirmar cuál es la medición correcta? Quizá nunca pudiéramos disponer de la medición exacta, pero en algún punto debemos considerar la precisión como suficientemente próxima.

¿Es suficiente con un grado aproximado de aleatoriedad? Kolmogorov pensaba que sólo una aleatoriedad aproximada era aplicable a las poblaciones finitas[31]. Una secuencia perfectamente aleatoria podría no ser más que una mera abstracción, pero una aleatoriedad aproximada podría ser suficientemente satisfactoria. Desde luego, debemos añadir aquí que el concepto «suficientemente satisfactoria» dependerá de la situación. La mezcla caprichosa de unos boletos en una tómbola escolar puede ser suficientemente aleatoria, pero al mezclar los números responsables de la suerte de los reclutas ante el servicio militar, cabe exigir una mayor aleatoriedad.

Conforme el uso del muestreo aleatorio en la experimentación estadística se convirtió en la norma, cada vez eran generadas más tablas y se desarrollaban más test estadísticos. Sin embargo, desde que se publicó la primera tabla de números aleatorios —⁠la de L. H. C. Tippett en 1927—, ha existido una continua controversia sobre cómo obtener dichas secuencias aleatorias de dígitos y cómo analizar la verdadera aleatoriedad de las secuencias. Se han diseñado test estadísticos para confirmar (o rechazar) la aleatoriedad de una secuencia, y no parece haber límite para el número de análisis susceptibles de ser concebidos[32].

Aunque algunos de estos test se han convertido en el estándar, siempre subyace la cuestión de cuáles de ellos y cuántos debe satisfacer una secuencia para que se acepte su condición de aleatoriedad. John von Neumann afirmaba que, según su experiencia, era más problemático analizar las secuencias aleatorias que generarlas[33].

10. Paradojas de la probabilidad

Son comunes las leyendas sobre predicciones en todos los dominios del Hombre. Dios habla, los espíritus hablan, los ordenadores hablan. La ambigüedad de los oráculos o la probabilidad estadística exhiben carencias, zanjándose las discrepancias por medio de la Fe.

Ursula K. LE GUIN, La mano izquierda de la oscuridad

Las paradojas se presentan por doquier en el campo de las matemáticas, pero se dan con mayor frecuencia en niveles más bien elevados. En el dominio de la probabilidad, sin embargo, las paradojas y las situaciones opuestas a la intuición se dan a un nivel comparativamente sencillo. Quizás ésta sea una de las razones por las que la intuición de la gente ante la probabilidad no sea tan aguda como su intuición para la geometría o la aritmética. El célebre investigador de la pedagogía de las matemáticas George Polya ha señalado que la intuición nos resulta natural, y que los argumentos formales (matemáticos) deberían legitimizar esta intuición. Pero los pedagogos que han estudiado la dificultad de enseñar probabilidad, señalan lo poco intuitiva que incluso la probabilidad más sencilla puede llegar a resultar[1].

Por poner un ejemplo, la mayoría de nosotros consideraríamos bastante extraordinario conocer a alguien que cumpliera años el mismo día que nosotros. Sin embargo, en un grupo de al menos 25 personas, las probabilidades de que dos personas cumplan años el mismo día es superior al 50 por ciento.

La razón de que este hecho nos resulte tan sorprendente se debe a que tendemos a fijarnos en una fecha de cumpleaños particular (normalmente el nuestro). Nuestro esquema mental suele ser el siguiente: ¿cuál es la probabilidad de que una o más personas en el citado grupo cumplan años el mismo día que yo? En realidad la probabilidad de que ello ocurra (con 25 personas en el grupo) es aproximadamente del 0,064, algo menor del 7 por ciento nada cercana al 50 por ciento. Pero la cuestión no es la coincidencia con una única persona o fecha particular de cumpleaños, sino que al menos coincidan dos cualesquiera de ellas entre las 25, lo cual que sí presenta una probabilidad mayor del 50 por ciento.

Otra paradoja típica de la probabilidad se suele enunciar de la forma siguiente[2]:

Si una familia tiene dos hijos y al menos uno de ellos es niña, ¿cuál es la probabilidad de que la familia tenga dos niñas?

La suposición común es que en el nacimiento de cualquier bebé, las probabilidades de que sea niño o niña son las mismas (1⁄2). Sin embargo, este problema concreto es paradójico, porque la situación puede enunciarse de forma diferente, pareciendo cambiar nuestro conocimiento un poco, al cambiar la respuesta de la cuestión completamente. Consideremos el problema si se expresa de este otro modo:

1) Conocemos a una persona y le preguntamos si tiene hijos. Nos contesta afirmativamente que dos. «¿Alguna niña?», inquirimos. «Sí», nos contesta.

¿Cuál será entonces la probabilidad de que ambas sean niñas? Respuesta: un tercio.

Como en el lanzamiento de dos monedas que pueden presentar cuatro resultados igualmente probables (cara/cara, cara/cruz, cruz/cara, cruz/cruz), el nacimiento de dos niños puede presentar los resultados niña/niña, niña/niño, niño/niña, niño/niño. Como sabemos que al menos hay una niña, la última situación (niño/niño) es imposible. De este modo, niña/niña (ambas niñas) es un resultado de los tres posibles con igual probabilidad de suceder; así, la probabilidad es 1⁄3.

Consideremos ahora el mismo problema con el enunciado planteado de otra manera:

2) Conocemos a una persona, y le preguntamos si tiene hijos. «Sí, dos, de 6 y 10 años», nos contesta. «¿El mayor es una niña?», preguntamos; «Sí», es la respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de dos niñas? Respuesta: un medio.

La cuestión ahora es la siguiente: si el primer hijo es niña, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo sea también una niña? Dicha probabilidad es la misma que la del nacimiento de una niña, es decir, 1⁄2. Considerándolo de otra forma, de los posibles resultados en el nacimiento de dos hijos, según el orden de nacimiento, sólo dos resultados son ahora posibles, niña/niña o niña/niño, ambos con igual probabilidad de darse antes de conocer el dato adicional del sexo del mayor. Pero conocido éste, las probabilidades siguen siendo iguales para ambos resultados. Como niña/niña es un caso de los dos posibles, ambos igualmente probables, la probabilidad de dos niñas es del 50 por ciento.

Y por último, consideremos la siguiente interpretación del problema:

3) Conocemos a una persona, y le preguntamos si tiene hijos. «Sí, dos», contesta.

«¿Alguna niña?», es nuestra segunda pregunta. «Sí», es la escueta respuesta. Al día siguiente encontramos a dicha persona paseando con una niña pequeña. «¿Es tu hija?», preguntamos. De nuevo la respuesta es «sí». ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hijos sean niñas? Respuesta: un medio.

Esto resulta algo curioso, pues no parece que tengamos más información que la que teníamos en el primer ejemplo, aunque la probabilidad es ahora diferente. Antes de que viéramos a dicha persona antes de la segunda vez, ya sabíamos que uno de sus hijos era una niña, y en el segundo encuentro no descubrimos nada acerca del orden de nacimiento. Pero de nuevo la cuestión ha cambiado. La pregunta ahora es: ¿cuál es la probabilidad de que el otro hijo sea una niña? Y la probabilidad es la misma del nacimiento de una niña, es decir, 1⁄2. Dicho con otras palabras, los posibles resultados son que estamos viendo a una niña y no vemos a la otra (niña/niña), o que vemos a una niña y no vemos al otro hijo, varón (niña/niño). Como dos niñas es uno de los dos resultados posibles, la probabilidad de que tengan dos niñas es 1⁄2. La respuesta que demos dependerá de los datos recibidos, es decir, de cómo hemos llegado a saber que al menos uno de los hijos era una niña. Teniendo en cuenta lo mucho que la forma de expresar el problema afecta a la respuesta en este sencillo ejemplo, no resulta sorprendente que la probabilidad sea una ciencia paradójica para mucha gente.

Consideremos ahora la paradoja del carcelero[3]:

Alberto, Ramón y Carlos están presos en una cárcel. El carcelero es el único que conoce quién de los tres ha sido condenado a cadena perpetua y los nombres de los dos presos que serán puestos en libertad. Alberto, que tiene una probabilidad de 1⁄3 de ser el preso condenado a cadena perpetua, ha escrito una carta para su madre y quiere que o Ramón o Carlos se la entreguen en persona, sea quien sea el liberado. Cuando Alberto pregunta al carcelero si debería dar su carta a Ramón o a Carlos, el carcelero siente que se encuentra frente a un dilema. Si le dice a Alberto el nombre del que quedará en libertad, cree que aumentará la probabilidad de Alberto hasta 1⁄2 de que haya sido él el condenado a cadena perpetua, pues o bien Alberto o bien el otro prisionero sería el condenado. Si no revela la información, las probabilidades de Alberto seguirían siendo de 1⁄3. Como Alberto ya sabe que al menos uno de los otros dos encarcelados será liberado, ¿cómo puede verse afectada la probabilidad de ser él el condenado a cadena perpetua por el hecho de saber el nombre de uno de los dos prisioneros que serán liberados?

La respuesta más breve es que las probabilidades de Alberto no se ven alteradas en absoluto, y que el carcelero se preocupa infundadamente. Incluso si le dice a Alberto el nombre de uno de los otros dos prisioneros que será liberado, Alberto seguirá teniendo una probabilidad de 1⁄3 de haber sido el condenado a cadena perpetua. El nombre de uno de sus compañeros que no ha sido revelado, sin embargo, ¡ahora cuenta con una probabilidad de 2⁄3 de ser el condenado a cadena perpetua! ¿Cómo es posible?

Perspectiva

Destino del prisionero

El carcelero dice que este prisionero será liberado
Probabilidad de que esta perspectiva se cumpla

Alberto

Ramón
Carlos

1a

Ramón

1⁄6

1b

figura27pt
figura27pt
Carlos

1⁄3

2

figura27pt
Carlos

1⁄3

3

Ramón

1⁄3

Figura 27. Paradoja del carcelero. Si desvela el nombre de uno de los dos prisioneros que serán puestos en libertad, ¿cambiará la probabilidad de la condena sobre alguno de los otros dos prisioneros? (El símbolo de la soga representa la condena a cadena perpetua).

Inicialmente, cada una de las perspectivas posibles, 1, 2 o 3, cuentan con la misma probabilidad de 1⁄3 (véase la figura 27). Si 1 es la perspectiva real (es decir, que Alberto sea el condenado), entonces 1a y 1b son igualmente probables, pues el carcelero tiene ante sí la elección de nombrar a Ramón o a Carlos. Existe la mitad de probabilidad de que el carcelero nombre a Ramón, y otra mitad de que nombre a Carlos. Como la situación 1 tiene una probabilidad de ⅓ en su conjunto y la, por ejemplo, sólo la mitad de esa probabilidad, entonces la probabilidad de 1a es ½ de ⅓, o 1⁄6. Un análisis similar sirve para describir las probabilidades de 1b.

Ahora bien, si el carcelero le dice a Alberto que Ramón será puesto en libertad, sólo se puede cumplir o la perspectiva 1a o la 3: o bien Alberto es el condenado, o bien lo es Carlos. Originalmente, el resultado 3 tenía el doble de probabilidades que 1a, con una probabilidad de ⅓ frente a 1⁄6, y 3 ahora sigue presentando el doble de probabilidades que la. Así, Alberto tiene el doble de probabilidades de salir él que de ser el condenado a cadena perpetua. Tiene dos oportunidades de tres de salir y sólo una de tres de quedar en prisión. Cabe observar, en el caso de que Ramón sea el nombrado, que Carlos tiene el doble de probabilidades de ser el condenado.

Ante las expectativas de las situaciones 2 y 3, el carcelero no puede elegir a quién nombrar. Este fenómeno es conocido como ‘elección restringida’, algo bien conocido para los jugadores de bridge. Una elección restringida típica es la descrita como «Problema de Monty Hall» en la columna de Marylin vos Savant, que apareció en septiembre de 1990 en la revista Parade. El problema recibió ese nombre en referencia al presentador del concurso Hagamos un trato, Monty Hall. La autora de la columna había recibido una carta con la siguiente cuestión planteada por un lector de la revista:

Supongamos que en un concurso de televisión, a un concursante le dan a elegir entre tres puertas: detrás de una hay un coche como premio; y detrás de las otras dos hay sendas cabras. Si se elige una puerta, por ejemplo, la número 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las otras, abre una de ellas, por ejemplo, la número 3, tras la que se ve una cabra, y ofrece al concursante poder cambiar su elección inicial por la puerta número 2, ¿sería una ventaja ahora aceptar el cambio de puerta propuesto?

Respuesta: debería aceptarse el cambio. De acuerdo con el New York Times, el problema y su solución llegaron a ser «debatidos en los pasillos de la C. I. A. y en los barracones de los pilotos americanos en el Golfo Pérsico», y «analizados por matemáticos del Instituto de Tecnología de Massachusetts y por programadores informáticos del Laboratorio Nacional de Los Alamos, en Nuevo México[4]».

Como el carcelero, Monty (en el problema tal y como se ha expuesto) tenía ante sí una elección restringida bajo ciertas situaciones (véase la figura 28). Originalmente, las probabilidades de elegir la puerta con el coche escondido tras ella era de una entre tres, o sea, ⅓. Al igual que las probabilidades de la condena de Alberto no cambiaban por el hecho de ser informado sobre el nombre de uno de los otros dos presos que serian puestos en libertad, la probabilidad de elegir la puerta con el coche no cambia por el hecho de haber visto una cabra en una de las otras puertas. Por tanto, si se persiste en la elección de la puerta inicial, la probabilidad de ganar el coche es de ⅓, mientras que si se opta por cambiar de elección tras la eliminación de una de las dos puertas, las probabilidades de obtener el coche son de 2⁄3.

Perspectiva

Puerta

El presentador muestra una cabra detrás de esta puerta
Probabilidad de que esta perspectiva se cumpla

1a
figura28_pt4

1⁄6

1b
figura28_pt4

1⁄6

2

1⁄3

3

1⁄3

Figura 28. Problema de Monty Hall. Tras haber mostrado una cabra detrás de una de las dos puertas no escogidas, ¿debería el concursante perseverar en su elección inicial o aceptar un cambio de elección?

La siguiente paradoja es el caso de las perinolas o peonzas con relación intransitiva[5]. Imaginemos un juego entre dos jugadores, cada uno con una pequeña perinola de números que se hace girar y que puede detenerse en un número de los dos posibles que tienen la misma probabilidad; el jugador que obtiene el número mayor gana. Hay tres jugadoras: Ana, con una perinola con los números 8 y  4; Alicia, con una perinola con los números 10 y 0; y Rosa, con una perinola con los números 6 y 2 (véase la figura 29).

Si Ana juega con Alicia, cada una tiene una probabilidad de ½ de ganar, pues Alicia siempre perderá en caso de sacar un 0 y ganará con un 10. La perinola de Ana puede detenerse en el 4 o en el 8, pero ello da igual. Lo que importa es el resultado de la de Alicia. Si Alicia juega con Rosa, cuya perinola puede pararse en el 2 o en el 6, cada una tiene una probabilidad de ½ de ganar; de nuevo, Alicia siempre pierde si saca el 0 y siempre gana si sale el 10. Ana y Alicia tienen las mismas probabilidades de ganar, y Alicia y Rosa también. ¿Podemos concluir entonces que Ana y Rosa también tienen las mismas probabilidades?

Figura 29. Problema de las perinolas con relación intransitiva. Si Ana y Alicia tienen la misma probabilidad de ganar, y Alicia y Rosa también, ¿significa ello que Ana y Rosa también la tendrán?

De forma intuitiva podemos creer que la respuesta correcta es sí. Pero en realidad la respuesta es negativa. Si Ana juega con Rosa, hay cuatro resultados posibles igualmente probables. Si éstos son 8 y 6, gana Ana; 8 y 2, gana también Ana; 4 y 2, vuelve a ganar Ana; y con 4 y 6, gana Rosa. Rosa puede ganar sólo si obtiene un 6 y Ana saca un 4. Así que la probabilidad de que Ana derrote a Rosa es de 3⁄4. Ana y Rosa no tienen, pues, las mismas probabilidades.

Un último ejemplo sobre la naturaleza nada intuitiva de la probabilidad se conoce como paradoja de Simpson[6]. En una Facultad de una universidad se descubrió que la tasa de admisión de mujeres era inferior a la de hombres. Los administradores querían saber si había algún departamento responsable de la discriminación estadística. En el curso de sus investigaciones se reunieron datos sobre la admisión en los distintos departamentos de la Facultad. Aunque se esperaba encontrar al departamento responsable de estar perjudicando la imagen del centro, en su lugar se descubrió que en cada departamento por separado la tasa de admisión para las mujeres era mayor que la de los hombres. Se pensó entonces que se habría perdido o mal interpretado alguna información. Si los datos de cada departamento se cuentan una única vez por separado y no hay ningún solape de la información, ¿cómo es posible tener una tasa superior de admisión de mujeres en cada departamento particular y una tasa global inferior?

Departamento

♀

♂

Solicitudes

Admisiones

Solicitudes

Admisiones

1

50

20 (40%)

30

10 (33%)

2

40

30 (75%)

70

50 (71%)

Total universitario

90

50 (56%)

100

60 (60%)

Figura 30. Paradoja de Simpson. Si la tasa de admisión de mujeres es más elevada que la de admisión de hombres en cada departamento de la universidad, ¿cómo puede ser más baja en conjunto la tasa definitiva de admisión de mujeres que la de hombres?

Supongamos que la Facultad tiene una tasa de admisión de mujeres de 50⁄90, o de casi el 56 por ciento, comparado con un 60⁄100 o 60 por ciento de hombres y hay dos departamentos (véase la figura 30). En el primer departamento 50 mujeres y 30 hombres hicieron la solicitud, siendo admitidos 20 mujeres y 10 hombres. La tasa de admisión de mujeres de 20⁄50 o del 40 por ciento resulta bastante favorable frente a la de hombres, de 10⁄30 o del 33 por ciento. En el segundo departamento, 40 mujeres y 70 hombres solicitaron el ingreso, y 30 mujeres y 50 hombres fueron aceptados. La tasa de admisión de mujeres es 30⁄40 o 75 por ciento, frente a la de hombres de 50⁄70 o 71 por ciento. Sin embargo, cuando los dos conjuntos de tasas eran combinados, la admisión global de mujeres en la Facultad alcanzaba un 50⁄90, menor que el 60⁄100 de los hombres.

Parece que el impedimento mayor para el desarrollo de la probabilidad ha sido la falta de comprensión de los resultados con igual probabilidad excepto en el caso de los sucesos más simples, combinado con una creencia supersticiosa en la fortuna o en la suerte. Hay evidencias de que en un simple sorteo o en un lanzamiento de un único dado, aunque tenga muchas caras, la noción de equiprobabilidad fue bien comprendida desde los tiempos remotos. En el caso de las tabas, sin embargo, por no tener todas las caras iguales, y en los juegos en que se emplean dos o más dados, el concepto de resultados equiprobables fue bastante peor comprendido. Aunque algunos dados antiguos estaban bastante bien construidos y eran bastante homogéneos, sin una gran experiencia o una intuición bastante aguda resultaba extremadamente difícil identificar los resultados con igual probabilidad de salir en el caso de sucesos compuestos como el lanzamiento de dos o tres dados de seis caras.

Este malentendido, unido a la concepción errónea sobre la probabilidad a corto plazo frente a la misma a largo plazo, estimuló la creencia en las rachas de buena y mala suerte, posiblemente provocadas por influencia divina. Los antiguos griegos parecen haber llegado a la conclusión en lo referente a su confrontación con el azar de que la precisión y la ley quedaban dentro de la esfera de los dioses, y que el caos y la irregularidad caracterizaban el mundo humano. Incapaces de reconciliar sus concepciones idealizadas de la ley natural con la evidencia de un mundo físico imperfecto, no lograron desarrollar una ciencia de la probabilidad[7].

Pero durante la Edad Media, a pesar de que las ideas sobre el azar distaban aún de ser precisas, algunas nociones correctas sobre la probabilidad sí pudieron desarrollarse en la mente medieval. El historiador Edmund Byrne ha señalado que la población de la Edad Media, al igual que nosotros, «se veía confrontada a diario con las desconcertantes incertidumbres de lo contingente, lo accidental y el suceso azaroso[8]». Entonces, ¿por qué las teorías sobre los juegos de azar, las frecuencias, la aleatoriedad y la probabilidad no aparecieron hasta mucho más tarde?

Numerosas explicaciones sobre esta lenta evolución han sido dadas por unos y refutadas por otros. Éstas incluyen la tentación de achacar el azar a las decisiones divinas, la obsesión por el determinismo y la necesidad, la falta de casos empíricos con alternativas equiprobables, la ausencia de planteamientos económicos que pudieran ser satisfechos por una ciencia de la probabilidad, la ausencia de un sistema de notación numérica adecuado, la carencia del álgebra de la combinatoria, la superstición de los jugadores de juegos de azar, y las barreras morales o religiosas, particularmente en la Iglesia cristiana, en la que se pensaba que todo, por pequeño que fuera, sucedía bajo la guía de Dios —⁠«pues que incluso los cabellos en la cabeza de un hombre están contados, y ni la muerte de un solo gorrión escapa al conocimiento de Dios[9]».

M. G. Kendall señala que «parece haber llevado a la humanidad cientos de años habituarse a un mundo en el que algunos sucesos parecían no tener causa alguna, o al menos, en el que los amplios dominios de los sucesos eran determinados por una causalidad tan remota que podían ser representados con precisión por un modelo no causal. E incluso hoy en día, la humanidad como conjunto no se ha acostumbrado aún a la idea. El hombre aún en su niñez siente temor ante la oscuridad, y pocas perspectivas son más oscuras que el futuro de un universo sujeto sólo a las leyes mecanicistas y al ciego azar[10]».

A corto plazo, el azar puede parecer imprevisible e injusto. Y mientras que la experiencia con frecuencias a largo plazo pueden ayudar a modificar algunos de nuestros comportamientos inadaptados basados en una tergiversación de la aleatoriedad y probabilidad, aún podríamos requerir un plazo mucho más largo. Tomando en cuenta las concepciones erróneas, las contradicciones, las paradojas y los aspectos en conflicto con la intuición, no debería sorprendemos que como civilización, nos lleve un largo periodo desarrollar unas intuiciones aún más correctas. De hecho, cada día podemos evidenciar que la especie humana no ha desarrollado todavía un sentido de la probabilidad muy agudo. Quizá, a corto plazo deberíamos encarar el azar con cierta prudencia.

Materiales

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Índice analítico y onomástico

Acán

adivinación: en la antigüedad

en China

en la Iglesia cristiana

mediante prendas y suertes

Adrian, Robert

aleatoriedad: definición de

test de

aleatorización compuesta

Antiguo Testamento

antigüedad

e I Ching

y adivinación

y juegos de azar

y textos de las Sibilas

Aramah, Rabino Isaac ben Mosheh

Arbuthnot, John

Asiría

atomistas

Augusto (emperador de Roma)

autoinducción de secuencias

Babilonia

Babington-Smith, B.

Beni Hassan

Bernoulli, Daniel

Bispham, J. W.

Blake, William

Boccaccio

Boecio

Bork, Alfred

Brache, Tycho

Bramhall, Dr. (obispo de Derry)

Buffon, Georges Louis Leclerc de

Byrne, Edmund

Cardano, Girolamo

Chaitin, Gregory

Chaucer, Geoffrey

Chaunce of the Dyse

chi-cuadrado

China

Chudnovsky, David V.

Chudnovsky, Gregory V.

Cicerón

Clark, A. L.

Comisión Interestatal de Comercio (de EE.UU.)

computadoras

confucianismo

Confucio

correlación

coeficiente de correlación

Crisipo

curva de Gauss, Véase también curva normal

curva normal

d’Alembert, Jean Le Rond

dados: en la antigüedad

distribución de sumas de

no trucados

palabra para

y azar frente a determinismo

y estudio de Pearson

y experimentos de Weldon y Darbishire

y papel de los dioses

y resultados de tres dados

y resultados igualmente probables

y sucesos simples y compuestos

Dante

Darbishire, A. D.

Darwin, Charles

Darwin, George

datos aleatorios artificiales

David, Florence Nightingale

de Foumival, Richard

de Mere, Caballero

De Moivre, Abraham

De Morgan, Augustus

DeForest, Erastus L.

Deming, L. S.

Demócrito

desorden, aleatoriedad como

desviación: del azar

estadística

estándar

ley de la

desviación estándar

determinismo

Dios/dioses: como determinantes de los sucesos

y suertes manifestando el deseo divino

distribución de Gauss

distribución t de Student

distribución uniforme de probabilidades

Edad Media

Edgeworth, Francis Ysidro

Efron, Bradley

Egipto

Eisenhart, C.

elección restringida

Eneas

Eneida

Epicuro

errores: y falsos positivos

de observación

distribución de

esquimales

estoicos

falacia del jugador

falsos negativos

falsos positivos

Fechner, Gustav Theodor

Fermat, Pierre de

Fibonacci, Leonardo

Fisher, R. A.

Fortuna (diosa)

Fox, capitán

frecuencistas

Galileo

Galton, Francis

Gauss, Carl Friedrich

generadores, de números aleatorios:

congruentes

de números teóricos

de suma y arrastre de unidades

estructura binaria de

mediante computadoras

método del cuadrado-medio

Gosset, William Sealy

Grecia: y los juegos de azar

filosofía de

y la adivinación

y la Guerra de Troya

Greenwood, Robert E.

Guerra de Troya

Guinness (compañía cervecera)

Hacking, Ian

Hailey, Charles

Hatasu (reina de Egipto)

Helena (de Troya)

heleno

Helfand, David

Héctor

Hobbes, Thomas

Homero

Horton, H. Burke

Hume, David

Huygens, Christiaan

I Ching

con caparazones de tortuga

con monedas

con tallos de milenrama

Iglesia cristiana

«igual probabilidad»

a largo plazo

y punto de vista frecuencista

y secuencias

y sucesos compuestos

imparcialidad y justicia

Véase también juego justo; loterías

indeterminismo

India

indiferencia, principio de

Indios americanos

Indios Papago

inferencia estadística

información de la tasa base

Inhelder, Barbel

intuición

Jackson, Shirley

Jastrow, Joseph

Jonás

Josué

juego; en la antigüedad

amañado

e intuición

problema de Petersburg

y leyes del azar

y matemáticos

y sistema injusto de apuestas

juego justo

Kahneman, Daniel

Keene, G. B.

Kendall, M. G.

Keynes, John Maynard

Kirschenmann, Peter

Knuth, Donald

Kolmogorov, Andrei

lanzamiento de Venus

Laplace, Pierre-Simon de

Lazzerini, Mario

Lehmer, D. H.

Leucipo

Liber de ludo aleae (El libro de los juegos de azar)

loterías: y servicio militar

como expresión del deseo divino

en la antigüedad

imparcialidad en

Lucrecio

Mahabharata

Maimonides, Moses, Maquiavelo

Marsaglia, George

media (aritmética)

Menalao

Mesopotamia Véase también Babilonia

Metropolis, N. C.

método de Monte Carlo

Mill, John Stuart

morra

módulo

muestra aleatoria

definición de Pierce de

uso temprano de

Véase también números aleatorios.

y chi-cuadrado

y distribución de t

y estudio de Bispham

Nala, historia de

Newton, Isaac

física newtoniana

niños: y concepción del azar

pureza de los

Noé

números aleatorios:

generación de, generados por computadoras

periodo de

usos de

números aleatorios de muestreo de Tippett

números irracionales:

e

π

√¯2

Ovidio

Palestina

paradoja de la fecha de cumpleaños

paradoja de las perinolas con relación intransitiva

paradoja de Simpson, paradoja del carcelero

pares y nones, juego de

París

pasakas

Pascal, Blaise

Pathria, R. K.

Pearson, Karl

Peatman, J. G.

Peirce, Charles Sanders

Persia

pi. Véase Números irracionales

Piaget, Jean

Polya, George

Popper, Karl

problema de la aguja de Buffon

problema de Monty Hall

problema de Petersburg

prueba del conocimiento-cero

Quetelet, Adolphe

quincunx,

rapsodomancia

Reina

Reitwiesner, G.

Renacimiento

Rescher, Nicholas

Revolución Científica

Rigveda Samhita (Lamento del jugador)

Roma:

y el papel de los dioses

y juegos de azar

y los textos sibilinos

Salomón

secuencia de Fibonacci

secuencias

selección aleatoria

series

Shafer, R.

Shu Ching,

significación, test de

Simpson, Thomas

sin trucar, dados

Smith, Ambrose

sorteo de alistamiento de reclutas

Spencer Brown, G.

Stoneham, R. G.

Su Hsun

sucesos

al azar

compuestos

contingentes

igualmente probables

simples

sin causa

suerte, significado de la palabra, Véase también loterías

Suetonio

tabas (astrágalo)

tableros de juego

Talmud

Tácito

Tebas

teorema central del límite

teoría de las frecuencias

teoría del caos

textos sibilinos

técnicas de muestreo repetido

Tippett, Leonard H. C.

Tutankamon

Tversky, Amos

Uhler, Horace S.

Ulam, Stanislaw

valle del Indo

variables aleatorias: discretas

continuas

Venn, John

Virgilio

von Mises, Richard

von Neumann, John

vos Savant, Marilyn

Weldon, Walter F. R.

Wilhelm, Richard

Witold (obispo de Cambray)

Wolf, Richard

Wrench, J. W

Yates, E

Zaman, Arif

DEBORAH J. BENNETT (Tuscaloosa, Alabama, Estados Unidos, 1950). Profesora de matemáticas en el Jersey City State de Nueva Jersey, Estados Unidos.

Obras: Algebra for All, 1997; Randomness, 1998: Logic Made Easy: How to Know When Language Deceives You, 2004.

Notas

CAPÍTULO 1

[1] Burrill, 1990, p. 117. <<

[2] Tversky y Kahneman, 1982, p. 156. <<

[3] Nisbett, Borgida, Crandell y Reed, 1982, p. 111. <<

[4] Cassells, Schoenberger y Grayboys, 1978, p. 999. En este caso suponemos que el test proporciona un diagnóstico correcto de la enfermedad en toda ocasión; es decir, no se dan falsos negativos. <<

[5] Los valores indicados sobre la precisión del test de la piel de Mantoux varían con la incidencia de la tuberculosis en la población sometida al test. Éstos son estimaciones con propósitos ilustrativos y se basan en datos de Remington y Hollingworth (1995) y de la American Academy of Pediatrics Commitee on Infectious Diseases (1994). Las estimaciones de incidencia de tuberculosis en la población se basan en consultas mantenidas con epidemiólogos en el Center for Disease Control and Prevention de Estados Unidos. <<

[6] Kahneman y Tversky, 1982, p. 32. <<

[7] Piaget e Inhelder, 1975, p. 212. <<

[8] Tversky y Kahneman, 1974, p. 1130. <<

[9] Abraham De Moivre, 1756. <<

CAPÍTULO 2

[1] Goldstein, 1971, p. 172. Goldstein parafraseó las distintas respuestas y observó que los porcentajes sumaban más del 100%, debido a la existencia de respuestas múltiples. <<

[2] Jackson, 1948. <<

[3] Sanhedrin 43b, en Epstein, 1935. Véase Hasofer, 1967. <<

[4] La historia de las excavaciones en Ur puede consultarse en Wolley (sin fecha) y en Wolley, 1928. Una descripción de los yacimientos arqueológicos puede hallarse también en «Ancient die», 1931. Evans, 1964, describe los hallazgos en Knosos. <<

[5] Véase Carnarvon y Carter, 1912; Petrie y Brunton, 1924; y Gadd, 1934, para descripciones de los tableros encontrados en Babilonia, Asiria, Palestina y otros lugares. Un tablero de juego hallado en una tumba egipcia en Tebas se encuentra permanentemente expuesto en el Metropolitan Museum of Art de Nueva York; su excavación se describe en Carnarvon y Carter, 1912. <<

[6] El dado hallado en las excavaciones en el norte de Irak es descrito en «Ancient die», 1931. Véase también Mackay, 1976, y Bhatta, 1985. La sugerencia del empleo de puntos debido a la falta de un sistema de notación numérica es de Davidson, 1949, y David, 1962. <<

[7] Véase Smith, Wayte y Marindin, 1901; Pease, 1920; David, 1962; Hasofer, 1967; Oxford English Dictionary (OED), 1989; Culin, 1896. <<

[8] «News and views», 1929; Falkener, 1892. <<

[9] Véase Quibell, 1913; Evans, 1964; Petrie y Quibell, 1896. Culin (1896 y 1907) daba testimonio de «dados» de dos caras, hechos de abalorios o conchas empleados por los nativos americanos y africanos como mecanismos aleatorios empleados en prácticas de adivinación y juegos de azar. <<

[10] Smith, Wayte, y Marindin, 1901; Pease, 1920; Suetonio, Aug. 13. <<

[11] Suetonio, Aug. 71. Véase Smith, Wayte, y Marindin, 1901. <<

[12] Winternitz, 1981, p. 103, cita una traducción de A. A. Macdonell, Hymns from the Rgveda., pp. 88 y sigs. <<

[13] Véase B. Walker, 1968; Hacking, 1975; Van Buitenen, 1975. <<

[14] Véase Tylor, 1879; B. Walker, 1968. De Vreese, 1948, analiza las reglas del juego vibhitaka. <<

[15] Mahabharata 3(32)70.23, traduce, de van Buitenen, 1975. Hacking, 1975, p. 7, refiere una traducción diferente, de H. H. Milman, «Yo, de los dados poseo la ciencia y es así que en los números soy diestro». <<

[16] De Vreese, 1948. <<

[17] Grierson, 1904; Hacking, 1975, p. 7. <<

[18] Propuesto por De Vreese, 1948, p. 362. Véase también Tylor, 1873; Held, 1935. <<

[19] Culin, 1907, p. 45. <<

[20] Tylor, 1896; Culin, 1896, 1903, 1907; Erasmus, 1971. <<

CAPÍTULO 3

[1] Homero, Ilíada, 3314 y sigs. <<

[2] Ibid., 7171 y sigs. <<

[3] Piaget e Inhelder, 1975, p. 7. <<

[4] Tácito, Germania, 10. <<

[5] Cicerón, De div. 2.51.8587. Véase Pease, 1920. <<

[6] La cita de Maimónides es de Hasofer, 1967, p. 40; véase también Rabinovitch, 1973. <<

[7] Las referencias bíblicas proceden de la Biblia: Levítico 16, 8; Ester 3, 7, 9, 24 y sigs.; I Samuel 10, 20; 1 Crónicas 24, 5 y sigs., 25, 8 y sigs., 26, 13 y sigs.; Jueces 20, 9; Nehemías 10, 34, 11, 1; I Samuel 14, 41 y sigs.; Jonás 1, 7; Josué 7, 16 y sigs.; I Samuel 10, 20 y sigs.; Josué 7, 16 y sigs. <<

[8] Véase Números 26, 53 y sigs., 33, 54, 34, 13, 36, 2; Josué 14, 2, 15, 1, 16:1, 17, 1 y sigs., 18, 6 y sigs., 19, 1, 10, 17; 21,4 y sigs.; I Crónicas 6, 39 y sigs.; Joel 3, 3; Nahum 3, 10; Neh. 3, 10; Salmos 22, 19. <<

[9] Lichtenstein y Rabinovitz, 1972; Oppenheim, Gelb y Landsberger, 1960. <<

[10] Hasofer, 1967. <<

[11] Para una descripción completa, véase Fienberg, 1971. Había 365, y no 366 fechas de nacimiento en 1951, año de nacimiento de los hombres en el segundo sorteo. <<

[12] Lichtenstein y Rabinowitz, 1972. <<

[13] Hasofer, 1967. <<

[14] Oppenheim, 1970. <<

[15] Véase, por ejemplo, Ashton, 1893; Ewin, 1972, Sullivan, 1972; Daston, 1988. <<

[16] La redacción del texto básico del I Ching, no fue completada antes del siglo vil a. C. (algunos autores atribuyen su inicio al 3000 a. C., en tanto que otros al 1140 a. C.), probablemente precedida por un sistema de adivinación a partir del cual el texto adquirió su forma original en base a una tradición oral del folclore agrícola, de acuerdo con Shchutskii, 1979, y Clearly, 1986. <<

[17] Fisher-Schreiber et al., 1989. <<

[18] Wilhelm, 1950, opina que durante la dinastía Hsia (2205-1766 a. C.) ya existía un Libro de las Mutaciones basado en trigramas, y otro texto semejante es citado por Confúcio como existente en la dinastía Shang (1766-1150 a. C.). De hecho, los budistas tibetanos emplean trigramas, y no hexagramas, en prácticas adivinatorias, de acuerdo con Hastings, 1912, y Waddell, 1939. Véase también Shchutskii, 1979, y Fisher-Schreiber et al., 1989. <<

[19] Para una descripción exhaustiva de los métodos de echar a suertes un oráculo, la traducción de Wilhelm de 1950 es una de las mejores, según Shchutskii, 1979, y Fisher-Schreiber et al., 1989. La de Wilhelm es una presentación clara de los dos métodos para echar a suertes el oráculo. <<

[20] Wilhelm, 1950. <<

[21] Shchutskii, 1979, pp. 57, 232-233. <<

[22] Ibid. <<

[23] Wilhelm, 1950. <<

[24] Cicerón, De div. 2.110. <<

[25] Para una discusión, véase Parke, 1988. Virgilio describe los oráculos de la Sibila como «los caracteres místicos por ti manifestados» (Eneida 6.72). Cicerón, al describir el oráculo en Praeneste (que no era una de las Sibilas), menciona oráculos escritos en «caracteres antiguos» (De div. 2.85). <<

[26] Eneida 3.441-452. <<

[27] La manifestación griega era Tique y la diosa de Asiria y Babilonia era Ishtar (Oppenheim, 1970; Langdon, 1930, 1931). Para un tratamiento exhaustivo de Fortuna, véase Patch, 1927. <<

[28] Pease, 1920, p. 373; Chaucer, 1949, pp. 86, 93; William Blake, 1825-1827. <<

CAPÍTULO 4

[1] David, 1962, p. 22. Las probabilidades también podrían verse afectadas por la superficie sobre la que fueran lanzados los huesos. <<

[2] Galileo, 1623. <<

[3] De Moivre, 1756, p. 3. <<

[4] Kendall, 1956; David, 1962. <<

[5] Kendall, 1956. <<

[6] De acuerdo con Kendall, 1956, este trabajo fue descrito por Balderico en el siglo VI y no se publicó hasta 1615. <<

[*] Forma antigua de chance of the Dice o la probabilidad de los dados. (N. del T.) <<

[7] Kendall, 1956. <<

[8] Cardano, 1564; Ore, 1953; David, 1962. <<

[9] Galileo, 1623. <<

CAPÍTULO 5

[1] Todhunter, 1865; Kapadia y Borovcnik, 1991. <<

[2] Los psicólogos Tversky y Kahneman (1971) califican esta idea errónea como «creencia en la ley de los pequeños números» y afirman que dicha creencia origina una «fe exagerada en la estabilidad de los resultados observados en muestras reducidas». <<

[3] El ensayo de Buffon (1777) era un apéndice a su Histoire naturelle. La paradoja llegó a oídos de los matemáticos a través de Nicolas Bernouille y su hermano, Daniel, quien desempeñó un cargo en la Petersburg Academy. <<

[4] Boyer, 1968, planteó el problema de Petersburg como el juego de «Pedro y Pablo». <<

[5] Buffon, 1777; Todhunter, 1865. <<

[6] Weaver, 1963; Tversky y Bar-Hillel, 1983. <<

[7] Kolata, 1990. <<

[8] Diaconis y Mosteller, 1989, p. 859. <<

[9] Cicerón, De div. 2.21.480, 2.59.121. <<

[10] Jonás 1, 7. Véase Rabinovitch, 1973, p. 28. <<

[11] Cardano, 1564, pp. 189, 204, 223. <<

[12] Ibid., pp. 192, 196. Shafer, 1978, señala que la comprensión de Cardano sobre los resultados con igual probabilidad es llevada al extremo cuando calcula las probabilidades de las distintas caras de una taba, como si cada una de sus caras asimétricas tuvieran igual probabilidad de salir. Véase también Ore, 1953; Hacking, 1975. <<

[13] Piaget e Inhelder, 1975, p. 77. <<

[14] Tversky y Kahneman, 1974, p. 1125. <<

[15] Vos Savant, 26 de diciembre de 1993, p. 3, citado en la página web chance. <<

[16] Ore, 1953; Galileo, 1623. <<

[17] Ore, 1960; Boyer, 1968. <<

CAPÍTULO 6

[1] Fragmento de Leucipo (67.B.2) de H. Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker, 6.a ed. (Berlín, 1951), citado en Sambursky, 1959a, p. 50. Sobre Demócrito véase Cioffari, 1935, y Sambursky, 1959b. <<

[2] Citado por Plutarco, De Stoic, repugn. 1045c; véase Sambursky, 1959a, p. 56. <<

[3] Hobbes, 1841; Sheynin, 1974. <<

[4] Hobbes, 1841, pp. 41-42. <<

[5] Ibid., p. 413. <<

[6] Arbuthnot, 1714. <<

[7] Porter, 1986, p. 233. <<

[8] Véase Simpson, 1756; Sheynin, 1971. El problema de los errores personales de observación en los cuales un observador puede apreciar sistemáticamente estimaciones por encima o por debajo (más rápidas o más lentas) de las de otro, queda documentado en la historia de Nevil Maskelyne, quinto astrónomo real, y de su desafortunado ayudante, David Kinnebrook. Maskelyne, quien dirigió el Royal Observatory durante 46 años, terminó por despedir a Kinnebrook por creerle vago e incompetente. Ronan, en 1967, en Astronomers Royal, comenta que Kinnebrook fue injustamente culpado, sin que fuera una negligencia suya, por apreciar el tránsito de una estrella sistemáticamente más tarde que el propio Maskelyne. <<

[9] Galileo, 1632. Véase Maistrov, 1974. <<

[10] Kendall, 1961; Maistrov, 1974. <<

[11] Simpson, 1756; H. Walker, 1929; Kendall, 1961. <<

[12] D. Bernoulli, 1777, pp. 158, 165. Encuentro el ejemplo de la desviación al azar en la puntería de un arquero sumamente interesante. Según el Oxford English Dictionary (OED, 1989), el vocablo moderno «estocástico» (que significa «determinado aleatoriamente; que sigue alguna distribución o patrón probabilístico aleatorio, de forma que su comportamiento puede ser analizado estadísticamente pero no predicho con precisión») deriva del griego stochastikos, que significaría «habilidoso al apuntar, que marcha con acierto», derivado de stochos, de significado «puntería, tino». <<

[13] Sobre Laplace, véase H. Walker, 1929; Stigler, 1978. Véase también Adrian, 1808; Gauss, 1809. <<

[14] Laplace, 1886. <<

[15] Stigler, 1986. <<

[16] Weldon, 1906; Porter, 1986; H. Walker, 1929. <<

[17] K. Pearson, 1924; De Moivre, 1756. <<

[18] K. Pearson, 1924; H. Walker, 1929. <<

[19] Un quincunx consiste en una ordenación de cinco objetos, uno en cada una de las cuatro esquinas de un rectángulo y otro en el centro. Basado en el diseño de la cara de una antigua moneda romana, se trataba de una ordenación empleada en plantaciones de árboles. Véase Stigler, 1989. <<

[20] Ibid. Es interesante destacar que Galton empleaba la expresión «desviado normalmente a cada lado de la propia media», p. 513. Ésta es la primera ocasión en la que he dado con el uso de la palabra «normal» en una referencia a la ley de los errores. Stigler, 1989, opina que Galton nunca llegó a construir el segundo quincunx, sino que éste fue algo meramente conceptual. <<

CAPÍTULO 7

[1] Laplace, 1814, p. 66. Citado en Stigler, 1986. Véase también Kruskal y Mosteller, 1980; Kendall, 1941. <<

[2] Los trabajos de Fechner culminaron en el manuscrito Kollektivmasslehre, que era una teoría sobre distribuciones de frecuencias. Según Michael Heidelberger, 1987, p. 139, responsable de sacar a la luz dicha obra, Fechner fue el primero en acuñar el concepto de un «objeto colectivo», definiendo un colectivo como una secuencia de especímenes que variaban de forma aleatoria conforme a leyes del azar, independientemente de cualquier ley de la naturaleza. <<

[3] Heidelberger, 1987, pp. 136, 141. <<

[4] DeForest, 1876; Stigler, 1978, 1991. <<

[5] Galton, 1890b. Véase también Stigler, 1978, 1980. <<

[6] Peirce y Jastrow, 1884. <<

[7] E. Pearson, 1967, p. 344. Edgeworth, 1885a, afirma haber calculado 280 sumas de 10 dígitos tomados aleatoriamente de tablas matemáticas o estadísticas, aunque no las terminó de elaborar. <<

[8] Edgeworth, 1885a, p. 205. <<

[9] Ibíd., 1885b, p. 637. <<

[10] Weldon, 1906. <<

[11] Darbishire, 1907, p. 13. <<

[12] K. Pearson, 1895. Su hijo, Egon S. Pearson, 1965, afirmó que el instrumento lo construyó posiblemente para ilustrar una serie de conferencias celebradas en 1893 en el Gresham College. Véase K. Pearson, 1900, p. 157. <<

[13] K. Pearson, 1900, p. 174. <<

[14] Gosset necesitaba datos que exhibieran una distribución y correlación aproximadamente natural. En un artículo escrito en 1890 Galton había afirmado: «Así podemos hablar de la longitud del dedo medio y de la estatura, estando ambas correlacionadas, lo que permite una comprensión clara de que las variaciones son cuasi-normales.» Véase Galton, 1890a, p. 84. <<

[15] Student, 1908a. <<

[16] Gosset necesitaba datos que estuvieran distribuidos normalmente y que además estuvieran relacionados. En un artículo escrito en 1890, Galton afirmaba: «Teniendo en cuenta que la longitud del dedo corazón está relacionada con la estatura del individuo, las variaciones son casi normales», véase Galton, 1980a, p. 84. <<

[17] Student, 1908b. <<

[18] Bispham, 1923, p. 693. Los dos experimentos de Bispham fueron diseñados para investigar la dispersión de los coeficientes parciales de correlación en muestras (con 30 datos por muestra) de una población sin correlación y en muestras (con 10, 30 y 60 datos) de una población que mostraba una elevada correlación. En el primer estudio los lanzamientos fueron independientes (y teóricamente sin correlación), y en el segundo las sumas no resultaron independientes (estando así teóricamente correlacionadas). <<

CAPÍTULO 8

[1] Tippett, 1925, describe estos números como «obtenidos aleatoriamente» de los dígitos centrales de los informes censales de los distritos. En 1927, cuando los dígitos fueron publicados en una tabla, Karl Pearson también describió los números como «obtenidos aleatoriamente» (Tippett, 1927). Ninguno de, ellos describió con precisión el procedimiento empleado que permitiera tal aleatoriedad. <<

[2] Bork, 1967; Tippett, 1927, pp. iii-iv. <<

[3] Fisher y Yates describen su elaborado procedimiento sólo en la primera edición de Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research, 1938. Según Kendall y Babington-Smith, 1939a, Fisher y Yates aparentemente aplicaron ciertos test a sus datos y, ante el descubrimiento de un exceso de seises, eliminaron algunos de ellos, reemplazándolos con otros dígitos. Precisamente Kendall y Babington-Smith habían intentado emplear con anterioridad la guía telefónica de Londres como una fuente de números aleatorios. Sin embargo, tras haber seleccionado 10.000 números de teléfono, poniendo especial cuidado en eliminar sesgos de cualquier tipo, comprobaron que había un déficit de números acabados en 5 y en 9. De este modo, la guía telefónica no podía servir como fuente de dígitos aleatorios. Véase Kendall y Babington-Smith, 1938, 1939a, 1939b; Peatman y Shafer, 1942; Vickery, 1939. <<

[4] Horton, 1948. Su método en realidad implicaba la obtención de números aleatorios, pero en un artículo posterior (Horton y Smith, 1949) resultó que éste era equivalente a una suma de módulo 2, generalizable para cualquier base. Módulo 2 significa que cada número es sustituido por su resto después de dividir por 2. Por ejemplo, como el 3 tiene un resto de 1 al dividirlo por 2, se sustituye el 3 por el 1 (módulo 2); el 4 es sustituido por 0 (módulo 2); el 5 se sustituye por el 1 (módulo 2), etc. Los dígitos del ICC fueron obtenidos a partir de una secuencia de números aleatorios mediante sumas de módulo 10, llevando dichos valores a unas tarjetas perforadas empleadas con las primeras computadoras. <<

[5] RAND Corporation, 1955. <<

[6] Buffon, 1777; Laplace, 1886. Véase también Maistrov, 1974; Boyer, 1968. <<

[7] Meyer, 1956. <<

[8] Véase Hall, 1873; Gridgeman, 1960; De Morgan, 1912; Clark, 1933, 1937. Otros autores han indicado que podría haber habido una clara manipulación de los datos. <<

[9] Según Rhodes, 1995, Ulam afirma que concibió esta idea mientras jugaba en solitario durante un periodo de convalecencia tras una grave enfermedad. Ulam encontró que podía estimar el resultado del juego examinando el éxito obtenido con unas pocas cartas de prueba. En el sentido original de von Neumann-Ulam, el método de Monte Cario fue empleado en modelos de situaciones risicas para resolver cuestiones determinísticas (como soluciones a ecuaciones numéricas con integrales) dando con analogías probabilísticas y obteniendo respuestas aproximadas al problema análogo mediante algún procedimiento experimental de muestreo aleatorio. Véase Meyer, 1956; Informe del segundo Simposium NBSINA, 1948. <<

[10] Por esta misma razón, la generación de dígitos mediante algún proceso aleatorio físico que no pudiera ser reproducido fue considerada insatisfactoria, según Von Neumann, 1951. <<

[11] Von Neumann, 1951, p. 768; Knuth, 1981. <<

[12] Ibid., 1951. <<

[13] Gardner, 1975, p. 169; Knuth, 1981. <<

[14] Los generadores que emplean la estructura de las unidades (bits) de la información almacenada en las computadoras se denominan generadores de registro variable; éstos han sido criticados por la carga que supone manipular largas series de dígitos dentro de un algoritmo. Véase Marsaglia y Zaman, 1991. <<

[15] El número 2.147.483.647 es el número de Mersenne 2³¹ − 1. Park y Miller, 1988, han afirmado que es conocido el hecho de que los generadores congruentes presentan la deficiencia de que si los dígitos (Zn, Zn+1, Zn+2) se representan como puntos en las tres dimensiones del espacio, éstos se distribuyen en un número finito y posiblemente reducido de planos paralelos en lugar de hacerlo de manera uniforme siguiendo un patrón en apariencia aleatorio. Ello no es un problema en la mayoría de las aplicaciones, pero en caso necesario, un test suficientemente potente —⁠el test espectral, formulado por R. R. Coveyou y R. D. MacP-herson en 1967— puede detectar deficiencias con dimensiones mayores; véase Knuth, 1981. Marsaglia y Zaman, 1991, también han objetado el elevado coste del módulo aritmético de un número primo en los generadores congruentes. <<

[16] Marsaglia y Zaman, 1991, han podido demostrar que sus generadores presentan periodos tremendamente largos; es decir, que el ciclo de dígitos es muy largo. Véase Peterson, 1991b. <<

[17] El problema obvio con este generador es que a dos números impares siempre sucede uno par (la suma de dos números impares es uno par) y que a uno par y uno impar siempre sucede un número impar (la suma de un par y un impar es siempre impar). <<

[18] Knuth, 1981, p. 5; este extenso estudio de generadores y test es ya un trabajo clásico. Véase también Coveyou y MacPherson, 1967; L’Ecuyer, 1988, Park y Miller, 1988. <<

[19] Diaconis y Efron, 1983; Kolata, 1988; Peterson, 1991a; Efron y Tibshirani, 1993. <<

[20] Browne, 1988; Oser, 1988; Peterson, 1988, pp. 38-43, 214-217; Gleick, 1987a; Cipra, 1990. <<

[21] Ford, 1983; Crutchfield et al., 1986; Gleick, 1987b. <<

CAPÍTULO 9

[1] Cicerón, De div. 2.6.15, 2.9.24. <<

[2] Hume, 1739, pp. 125, 132, 135. <<

[3] Mill, 1843, p. 71. En posteriores ediciones, Mill se retractó de una afirmación tan precipitada. <<

[4] Venn, 1866, 3.a ed., pp. xiii, 109. <<

[5] Peirce, 1932, p. 726. <<

[6] Keynes, 1929, p. 290. <<

[7] El autor del término «Ley del error» no fue otro que F. Y. Edgeworth, quien afirmó: «Esta probabilidad a priori a veces se basa en nuestra ignorancia; según otro punto de vista, el procedimiento se justifica mediante un conocimiento general aproximado de que a lo largo de ciertos valores de x, para los cuales P es sensible, un valor de x sucede con tanta frecuencia como cualquier otro.» Edgeworth, 1902, p. 286. <<

[8] Venn, 1866, 3.a ed., p. 118. <<

[9] Metropolis, Reitwiesner y Von Neumann, 1950. <<

[10] Sobre Eisenhart y Deming véase Teichroew, 1965. Véase también Uhler, 1951; R. Greenwood, 1955; Wrench, 1960; Pathria, 1961, 1962, p. 189); Stoneham, 1965. Sobre Chudnovsky y Chudnovsky véase MAA, 1989; Preston, 1992. <<

[11] Los decimales de π tienen cierta importancia en la novela de ciencia ficción de Carl Sagan Contacto, que describe unos mensajes recibidos en la Tierra por formas de vida extraterrestres. <<

[12] Von Mises, 1939, pp. 20, 29, 30, denominó esta secuencia aleatoria ‘colectivo’, definiendo este término como «una larga serie de observaciones para las cuales hay suficientes razones como para admitir la hipótesis de que la frecuencia relativa de un atributo tendería a un límite fijo si continuara indefinidamente». También denominó a este límite fijo ‘probabilidad del atributo’. Von Mises llamaba a los sistemas de juego «selecciones de posición» o «reglas de selección de la posición», pues las reglas de la predicción podían incorporar la posición o el lugar de observación. Las secuencias con un cierto patrón (no aleatorias) a menudo son descritas en función del lugar o posición ocupados; por ejemplo, en la secuencia 0010010001001…, cada tercer dígito es un 1, y todos los demás son 0. En las secuencias aleatorias lógicamente son imposibles las reglas de selección de la posición. <<

[13] Keynes, 1929, p. 290; Jeffreys, 1948, 1957. Pueden encontrarse excelentes discusiones sobre estas objeciones y sus implicaciones en Von Mises, 1939; Popper, 1959; Loveland, 1966; Martin-Löf, 1969. <<

[14] Von Mises, 1939, p. 128; Reichenbach, 1949; Loveland, 1966; Martin-Löf, 1969. <<

[15] Kolmogorov, 1963, p. 369). La «ley» o «algoritmo» apto para la predicción referido por Kolmogorov se corresponde con las reglas de la selección de la posición de Von Mises. Véase Sheynin, 1974. <<

[16] Mejor que la palabra «fórmula», Kolmogorov, 1965, emplea la palabra «programa». «Programa» significaría «código de computadora», en dígitos binarios, en una computadora ideal. Sin embargo, sin llegar a perder precisión, se podrían sustituir las palabras «fórmula matemática» o «algoritmo» por «programa». Aunque Solomonoff, 1964, había descrito anteriormente medidas similares para cuantificar la simplicidad de las hipótesis en modelos de inducción, la definición de una secuencia aleatoria en términos de complejidad de la información se debe por separado tanto a Kolmogorov, 1965, 1968, como a Gregory J. Chaitin, 1966, 1975. <<

[17] Al definir una secuencia aleatoria en función de su complejidad se eliminan las secuencias periódicas predecibles del dominio de la aleatoriedad. Sin embargo, esta definición podría eliminar también ciertas secuencias no periódicas que podrían ser descritas concisamente, como por ejemplo el desarrollo decimal de ciertos números irracionales como ir. <<

[18] Según Chaitin, 1975, p. 48, «Una serie de números es aleatoria si el menor algoritmo capaz de especificarla en una computadora tiene aproximadamente el mismo número de bits de información que la propia serie». Es decir, la fórmula más corta que puede especificar una secuencia aleatoria es casi tan larga como la secuencia misma. Este umbral de complejidad por debajo del cual una secuencia no podría ser considerada aleatoria sigue siendo arbitrario, y Chaitin demostró que incluso si para dicho umbral se adoptara un valor suficientemente elevado, «casi todas» las secuencias de una longitud finita serían aleatorias. Aunque pudiera resultar relativamente fácil encontrar una secuencia aleatoria en caso de haber tantas, Chaitin afirma que conforme a la estricta definición de complejidad de la información, tal cosa resulta imposible. <<

[19] Heidelberger, 1987. <<

[20] Venn, 1866, 3.a ed., p. 108. <<

[21] Véase Wallis y Roberts, 1962; Hacking, 1965, p. 123; Kirschenmann, 1972; Keene, 1957; Rescher, 1961, p. 5. <<

[22] Hacking, 1965. <<

[23] Spencer Brown, 1957, p. 149. Véase también Keene, 1957. <<

[24] En el sentido popular, «sin orden particular» significa «desorden». Matemáticamente hablando, cada secuencia tiene «orden» al haber un primer término, seguido por un segundo, por un tercero, etc. Véase Venn, 1866, 1.a ed., p. 6. <<

[25] Fischbein y Gazit, 1984, p. 17, López, 1982; Kahneman y Tversky, 1982; Tversky y Kahneman, 1982, 1971. <<

[26] Gage, 1943; Stoneham, 1965; Popper, 1959. <<

[27] Humphreys, 1976; Von Mises, 1939. <<

[28] Kendall y Babington-Smith, 1938; Kendall, 1941; Keene, 1957. <<

[29] Kendall y Babington-Smith, 1938, 1939a, 1939b. <<

[30] Keene, 1957, p. 157. <<

[31] Kolmogorov, 1963. <<

[32] Knuth, 1981. <<

[33] Von Neumann, 1951, p. 769. <<

CAPÍTULO 10

[1] Polya, 1962; Kapadia y Borovcnik, 1991, p. 2; Hawkins y Kapadia, 1984, p. 359. <<

[2] Este problema a menudo es nombrado como «Mr. Smith y su hijo» o «Mr. Smith y sus dos hijos». Para una excelente argumentación, véase Bar-Hillel y Falk, 1982. <<

[3] También conocida como la paradoja del prisionero (no confundir con el dilema del prisionero). Esta versión del problema ha sido adaptada de Ghahramani, 1996, pp. 95-96. <<

[4] Tierney, 1991, p. Al. <<

[5] Véase Shultz y Leonard, 1989; Kapadia y Borovcnik, 1991. <<

[6] Adaptación del ejemplo de Borovcnik, Bentz y Kapadia, 1991, pp. 66-67. <<

[7] David, 1962; Sambursky, 1956. <<

[8] Byrne, 1968, p. 5. <<

[9] Véase Kendall, 1956; David, 1962; Maistrov, 1974; Hacking, 1975; Daston, 1988; Patch, 1927, p. 27. <<

[10] Kendall, 1956, p. 32. <<