Caos y complejidad

Caos y complejidad

El mundo es un caleidoscopio

Sergio de Régules

Caos y complejidad

© 2019, Sergio de Régules

© 2019, de esta edición, Shackleton Books, S.L.

Realización editorial: Bonalletra Alcompas, S.L.

Diseño de cubierta: Pau Taverna

Diseño de tripa y maquetación: Kira Riera

Composición ebook: Víctor Sabaté (Iglú de libros)

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ISBN: 978-84-17822-69-9

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento y su distribución mediante alquiler o préstamo públicos.

Prólogo

Imaginen un libro que empieza como una buena novela: les sitúa en un escenario imponente, pongamos una catedral, y les presenta a un joven artista, músico para ser exactos, intrigado por un candil que se mueve. Pronto es revelada su curiosidad, sus habilidades para la observación meticulosa, su pericia como fabricante e intérprete de instrumentos y su capacidad de interrogarse y razonar (¿será detective?). Enseguida se manifiestan el amor y la pasión del protagonista que, por si fuera poco, es un tipo creativo, con una imaginación desbordante. Esto se pone interesante.

Figúrense que, de repente, se produce un cambio de época y de contexto: un escritor y una marquesa dialogan con aire trascendental (¿qué relación tendrán con el individuo del principio?) y surge así una nueva historia dentro de la historia principal (¡vaya, el argumento se complica!). Y supongan que, un poco más adelante, el autor se aventura a escribir nada menos que sobre el universo y el asombro (¡bravo!, sin miedo a la inmensidad), y reflexiona sobre la ilusión de comprender y la aspiración de anticipar, sobre la honestidad de reconocer los errores y el coraje de seguir intentándolo (quizá sea una novela psicológica que sondea las profundidades de la mente de sus personajes).

¿No sentirían un deseo incontenible de seguir leyendo?

¿Y si el autor fuera un mago de los títulos y un malabarista del humor que, además, salpica sus textos con alusiones al cine, la literatura y la pintura, siempre con excelente puntería? Se toparían con secciones llamadas «Donde viven los monstruos», «El jardín de los senderos que se bifurcan», «Cariño, me he comido a los niños», «Especies al borde de un ataque de caos» o «Solo se puede vivir en Lutecia». ¿Y si también fuera un poco poeta? Podrían leer frases tan hermosas como «el ritmo del corazón en un individuo sano no era una recta horizontal y rígida de una sola frecuencia, sino un plácido revolotear, como si el corazón y sus sistemas de control patrullasen el territorio de sus posibilidades, por si acaso», o «enjambres de algunas especies de luciérnaga que protagonizan un espectáculo de belleza espectral cuando destellan al unísono en temporada de apareamiento, como si la oscuridad del bosque respirase en silencio».

Como habrán sospechado, lo que les he contado es real y lo encontrarán en este libro.

Ahora, por favor, les pido que lean des-pa-ci-to, degustándolas, algunas palabras clave que antes he citado textual o indirectamente: curiosidad, arte, observación, medida, pregunta, pasión, creatividad, imaginación, asombro, tensión, realidad, humor, poesía, honestidad, humildad. Quiero completarlas con algo extraído de los siguientes capítulos, pero no teman, no pienso desvelar la trama: solo les adelanto que, con el mismo estilo novelesco, se hablará de «la precisión de las medidas», «el valor de las soluciones aproximadas», «los modelos» y «las publicaciones», de «inventar frente a descubrir», de «la desmitificación del científico», «la colectividad», «la interdisciplinariedad», «el uso del conocimiento anterior» y «el trabajo en equipo».

Si esta larga lista de conceptos, emociones y recursos no describe las señas de identidad de la ciencia y de su divulgación, que venga Carl Sagan y lo vea. Porque Sergio de Régules es, a partes iguales, un escritor delicioso, un científico muy serio (en absoluto aburrido) que sabe de lo que habla y un deslumbrante divulgador. Su estilo es ágil, bello, comprensible y atractivo desde el primer párrafo. Usa con maestría el humor, las anécdotas, la provocación y el cotilleo; es decir, humaniza todo lo que cuenta. Combina un amplio abanico de referencias culturales, lo que facilita la lectura y acerca los contenidos científicos al público no especializado. Y, al mismo tiempo, transmite con precisión y claridad los conceptos más difíciles (en este libro, los de las ciencias del caos y la complejidad) y es riguroso sin pretender ser exhaustivo ni profundizar al máximo. En definitiva, logra entretener, interesar, informar, enseñar, seducir y emocionar. ¿No vuelven a sentir ese incontenible deseo de seguir leyendo?

Con solo hojear este libro, estaba claro que era «comilfó», con su título preciso y su subtítulo poético, su índice (al principio, como a mí me gusta), su introducción, sus capítulos de cómoda extensión y divididos en secciones, sus destacados, sus citas siempre justificadas y su epílogo. Al parecer, el autor pensó que solo le faltaba el prólogo y se le ocurrió encargármelo a mí. Espero no haber conseguido que se arrepienta para siempre, y en cuanto a ustedes, confío en no haber desviado su atención de lo realmente interesante, que empieza a continuación.

P. S. Por cierto, aunque parezca increíble, Sergio puede escribir con todo el arte y la gracia antes expuestos sobre «teorías del caos y la complejidad». ¡Ahí es nada!

Enero de 2019

Inés Rodríguez Hidalgo

Doctora en Astrofísica

Directora del Museo de la Ciencia de Valladolid

Introducción
Menos es más

De una cadena larguísima en la catedral de Pisa cuelga una pesada lámpara de araña. Hace muchos años, su imponente vaivén le llamó la atención a un chico de dieciocho años que estaba estudiando medicina en la Universidad de Pisa. Se cuenta que la lámpara se mecía en la brisa, pero hoy, cuando uno la mira, cuesta imaginarse que se pueda mover con el viento, así que el vaivén que cautivó al chico debió de tener otra causa. Hay quien sugiere que en 1582, cuando el joven Galileo Galilei se quedó embelesado con sus oscilaciones, había un mecanismo de poleas que permitía bajarla para encender o apagar las velas. Al volver a izarla, la lámpara debía de mecerse durante unos minutos hasta que la resistencia del aire amortiguaba el movimiento.

Galileo era hijo de músico y poseía él mismo habilidades musicales. Quizá por eso se interesó en el ritmo, o el período, del péndulo: ¿cuánto tiempo tardaba en completar un vaivén? En esa época no había relojes de pulsera, pero Galileo se las apañó con su propio pulso. La lámpara iba hacia un lado, se detenía y partía en sentido inverso, primero más rápido y luego más despacio, hasta detenerse del otro lado. Y venga otra vez a desplazarse, ida y vuelta, ida y vuelta. Eso sí: con cada vaivén, la separación entre los dos extremos de la oscilación se iba reduciendo. ¿También se reducía el período del péndulo? ¿Tardaba menos en ir y volver cuando el vaivén se amortiguaba? Galileo observó con asombro que no: el período se mantenía constante aunque la amplitud del movimiento disminuyese. Fue una revelación. Ese día el mundo renacentista perdió un médico pero ganó un físico extraordinario. Galileo se enamoró de la regularidad oculta en la complejidad del mundo y dedicó su vida a reducir la naturaleza a principios matemáticos simples. Su último discípulo y primer biógrafo, Vincenzo Viviani, tras narrar esta anécdota en su Vida de Galileo, añadió: «A partir de esto se dio cuenta de que el filósofo no debe menospreciar jamás los efectos de la naturaleza, por más que parezcan mínimos e inobservables, sino valorarlos todos igualmente».

El péndulo y sus vaivenes regulares y predecibles le sugirieron a Galileo una buena manera de cuantificar el paso del tiempo: primero, para tomar el pulso de sus futuros pacientes; luego, cuando ya estaba claro que no sería médico, para aplicarlo a sus observaciones celestes, lo que habría de ser de gran provecho para la astronomía y la geografía.

Galileo se volvió un hábil fabricante de instrumentos para la ciencia. Diseñó un «compás militar» (una regla de cálculo) que vendía para complementar su salario. En 1609 construyó varios «anteojos» que consistían en tubos con lentes en los extremos ingeniosamente dispuestas para amplificar imágenes de objetos lejanos. En enero de 1610, con uno de estos anteojos, Galileo encontró en el cielo otro reloj natural: cuatro lucecitas que se veían en la vecindad de Júpiter. Tras observarlas durante varias semanas y convencerse de que no eran estrellas fijas, sino que giraban alrededor del planeta, Galileo las llamó «planetas medíceos» en honor a su mecenas Cósimo de Medici, gran duque de Toscana. Los movimientos de los planetas medíceos (hoy llamados «satélites galileanos») eran tan regulares y predecibles, que Galileo ideó una manera de usarlos para saber la hora en altamar y, a partir de esta medida, deducir la posición geográfica de un navío.

La regularidad metronómica del péndulo, de los satélites de Júpiter y de otros astros dio lugar, tiempo después, a una concepción del universo que se expresa en uno de los primeros libros de divulgación de la ciencia de la Época Moderna: Conversaciones sobre la pluralidad de los mundos, una especie de best seller publicado en 1686 por el escritor francés Bernard Le Bovier de Fontenelle. En el libro se narran las conversaciones que durante varias noches sostuvieron el narrador y la marquesa de G***, amiga suya, en cuya residencia campestre el narrador se dispone a pasar una temporada. Una noche, en el parque de la residencia, el narrador consigue interesar a la noble dama en la astronomía, y, particularmente, en una idea muy reciente: que los planetas son otros mundos y podrían estar habitados. Pero, para empezar, el narrador le explica a su amiga la nueva forma de proceder de los filósofos naturales, que ya no buscan entender el mundo en términos de cualidades metafísicas, sino de causas y efectos cuantificables.

El narrador lo ilustra con el ejemplo de una representación teatral, aprovechando que por aquella época la nueva ópera Faetón, de Jean-Baptiste Lully, causaba furor en París por sus efectos especiales. En el momento culminante del drama, Faetón coge sin permiso el coche volador de su padre, Apolo, y se eleva hacia los cielos para demostrar su linaje divino. El público de la representación se maravilla con el vuelo de Faetón sin preguntarse sus causas, explica el narrador, pero un verdadero filósofo, impulsado por la curiosidad, irá a mirar detrás de bastidores, donde descubrirá que el personaje sube «porque es tirado por cuerdas, y porque baja una masa más pesada que él. Y así ya no se cree que un cuerpo se remueva si no es tirado, o más bien arrojado, por otro cuerpo. Ya no se cree tampoco que suba o baje, si no le obliga un contrapeso, o un resorte».

«Según eso», dice la marquesa, «¿la filosofía ha llegado ya a ser muy mecánica?». A lo que el narrador contesta: «Tan mecánica, que es de temer no se avergüencen de ello los hombres. Ya quieren que el Universo sea en grande, lo que es un reloj en pequeño; conduciéndose todo en él por movimientos arreglados que dependen de la disposición de las partes».

«Confesad la verdad», añade el narrador, «¿no teníais una idea más sublime del Universo, haciéndole más honor que el que se merece? Yo he visto gentes que le estimaban menos después que le conocieron». La respuesta de la marquesa es un preanuncio de la opinión que cundió durante el Siglo de las Luces: «Pues yo lo estimo más desde que sé que se parece a un reloj. Es de maravillar que siendo tan admirable el orden de la naturaleza, estribe en unos fundamentos tan simples».

El universo-reloj, que se conduce por movimientos arreglados que dependen de la disposición de las partes, es el universo de Galileo y de su sucesor Isaac Newton, contemporáneo de Fontenelle. Es un universo en el que todo lo que pasa sigue pautas matemáticas que podemos conocer y en el que se puede predecir el comportamiento de las cosas (o de los «sistemas», como llaman los científicos a cualquier trozo del universo en el que hayan decidido fijarse: desde un péndulo y su entorno inmediato hasta una ciudad, e incluso una galaxia), porque lo que haga el sistema en este instante es consecuencia inevitable de lo que hizo en el instante anterior, y esto, a su vez, de lo que hizo en el instante anterior: un universo determinista y determinado, sin caprichos ni veleidades.

Este universo conserva la capacidad de asombrarnos y tomarnos por sorpresa porque hay fenómenos que dependen de un número de variables tan grande que resulta engorroso, como, por ejemplo, el estado del tiempo, o bien de causas incontrolables, como los saltos de la bolita de la ruleta que decidirán si ganamos una fortuna en el casino. Estos fenómenos requieren las técnicas de las probabilidades, una manera de pasar por encima de los detalles y hacerse una idea general de las cosas, pero en el fondo incluso ellos podrían ser tan predecibles como los movimientos de la lámpara de la catedral de Pisa y de los satélites de Júpiter.

Esta visión tranquilizadora del cosmos y de nuestra capacidad de reducirlo a reglas simples habría de reinar durante tres siglos. La ciencia y la tecnología modernas son sus hijas, o más bien su encarnación: cada ordenador, cada teléfono inteligente, cada avión y cada satélite artificial predica la doctrina de los ciclos, las repeticiones, los patrones; una doctrina de leyes de la naturaleza que toman la forma más simple, y, sobre todo, de causas y efectos que se corresponden en magnitud: los grandes efectos vienen de grandes causas y, recíprocamente, las causas más pequeñas tienen efectos pequeños. Este libro trata sobre el ocaso de esta ilusión.

Nuestra idea de la ciencia se basa en la posibilidad de anticipar. Esta depende de que consigamos identificar patrones en el funcionamiento de la naturaleza, ya sea que encontremos empíricamente repeticiones en los fenómenos que nos interesan, o que infiramos leyes generales que se aplican a una amplia variedad de fenómenos. Una vez que tenemos leyes de la naturaleza como las de la física, para predecir el comportamiento de un pedazo del universo por lo general necesitamos determinar, por medición, unas condiciones iniciales. La bala de cañón tiene una trayectoria fatídicamente determinada por su velocidad inicial y la inclinación del cañón. Durante mucho tiempo dimos por sentado que una pequeña diferencia en las condiciones iniciales engendra una pequeña diferencia en el comportamiento resultante: la bala de cañón ligeramente más rápida o más lenta, o aquella que sale de un cañón un poco menos inclinado, termina por caer cerca de donde cayó la bala original. Así pues, no se requería una gran precisión al medir las condiciones iniciales para poder predecir el comportamiento del sistema.

En el siglo xix aparecieron fenómenos gobernados por ecuaciones simples que, sin embargo, no son predecibles a largo plazo porque su comportamiento depende muy sensiblemente de las condiciones iniciales: una diferencia muy pequeña conduce en poco tiempo a diferencias de comportamiento tan grandes que, a menos que conozcamos las condiciones iniciales con cientos de cifras decimales de precisión, no podremos predecir el comportamiento más allá de unos cuantos ciclos. A finales del siglo xx se le dio el nombre de «caos determinista» a esta complejidad irreducible que acechaba detrás de las ecuaciones simples.

La ciencia del caos nos ha revelado que los fenómenos regulares y predecibles son un puñado entre una infinidad de problemas que se resisten a un análisis cabal. Uno podría pensar que ya lo sabíamos, que todos esos fenómenos que, por complejos, nos obligan a recurrir a las probabilidades son ejemplos de lo anterior, en cuyo caso la ciencia del caos no habría aportado mucho a nuestra visión del mundo. La mala noticia (¿o será buena?) es que no: hemos encontrado comportamientos impredecibles incluso en fenómenos en principio muy simples, como tres cuerpos que se mueven en el espacio bajo la influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales. Si en la vida cotidiana dos es compañía y tres es multitud, en la física la diferencia entre dos y tres es mucho más profunda: dos es orden y predictibilidad, y tres es el derrumbe de nuestras ilusiones de controlar y entender a fondo el universo.

Descubrirlo fue como toparse con la serpiente en el paraíso, pero estamos aprendiendo a vivir en esta época postedénica en la que ya no podemos suponer que menos es más. Y, contra lo que cabía esperar, no se está tan mal. Hemos encontrado el caos oculto en una gran variedad de circunstancias: en la atmósfera y en los fenómenos meteorológicos, en el ascenso y caída de poblaciones animales y de civilizaciones, en la economía mundial, en los huracanes y en los ritmos fisiológicos. El caos asoma la nariz en las palpitaciones del corazón y la respuesta del sistema inmunitario a los patógenos que nos asedian. Pero el caos, en el sentido científico, no es el pandemónium total: oculta patrones, regularidades de un orden superior que se pueden entender. Incluso hemos hallado reglas universales, las mismas exactamente para la atmósfera, las poblaciones, la economía, las tormentas, el corazón o los anticuerpos, gracias a lo cual la ciencia del caos ha sido fructífera.

La sorpresa del caos determinista ha perdido algo del impacto inicial que hizo que algunos clamaran, en los años ochenta, que nos encontrábamos ante la tercera gran revolución de la ciencia del siglo xx (después de la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica). El caos no desencadenó la revolución que se esperaba; más bien se ha integrado al arsenal intelectual del científico del siglo xxi. En los últimos treinta años los caminos que abrió han confluido en una gran avenida. Más que una nueva teoría (o, quizá, menos que una nueva teoría), es un nuevo movimiento cultural científico, que se llama «ciencia de la complejidad».

Este libro no es una cronología del caos y la complejidad. Más bien es un catálogo comentado de los sucesos más importantes y los conceptos que han ido emergiendo de ellos, con muchos ejemplos que me parecen interesantes. Considérenlo una guía para encauzar la curiosidad. En el capítulo «Físicos en el paraíso» surge la doctrina del universo-reloj, determinista y predecible. Con esta visión de la ciencia incluso se descubre un nuevo planeta. El capítulo «Donde viven los monstruos» narra la historia de dos problemas caóticos clásicos y explica su relación con los límites de nuestra capacidad de calcular y predecir, incluso con ordenadores. En el capítulo «Pandemónium: el caos determinista» cunde el caos, o al menos la popularidad de la palabreja. Se describen los métodos matemáticos que se emplean para domesticar el caos y hacen su aparición los fractales, inquietantes figuras geométricas que van de la mano de lo caótico. Durante un par de décadas la visión caótica sirvió para hincarles el diente a montones de problemas que se resistían al tratamiento reduccionista habitual. De eso trata el capítulo «Los años caóticos». El capítulo «Donde las vacas esféricas no se aventuran: del caos a la complejidad» culmina en una manera menos reduccionista y más mutidisciplinaria de hacer ciencia. Si todo sale como yo desearía, este libro les dará una buena idea del panorama general de la teoría del caos y su fruto más suculento, las ciencias de la complejidad.

Físicos en el paraíso

La Cabaña del Tío Chueco

La primera vez que entré en la Cabaña del Tío Chueco tenía diecisiete años. La cabaña está en un parque de atracciones de la Ciudad de México y a lo largo de los años la he visitado un par de veces más (la última, con mi hija), pero la primera visita fue la más memorable.

La cabaña está construida para confundir el sentido de verticalidad: las paredes y los muebles sugieren a la vista una dirección vertical que no coincide con la que detecta el sentido del equilibrio. Cuando uno entra, siente que la fuerza de gravedad se ha desquiciado: la gente que está de pie se ve inclinada, parece que vayan a caerse de espaldas o de bruces, y los objetos resbalan hacia arriba por superficies inclinadas.

Uno de los puntos culminantes de la visita a la Cabaña del Tío Chueco era el comportamiento de una bola de billar que el anfitrión ponía en lo que parecía la parte baja de una rampa ascendente. Cuando el anfitrión la soltaba, la bola echaba a rodar «hacia arriba», tomando velocidad, y al terminarse la rampa, se lanzaba al espacio, describía una hermosa parábola e iba a encajarse limpiamente en una cesta con un agujero apenas más ancho que la bola.

El truco nunca fallaba. Mientras no se le diese a la bola un impulso inicial imposible de controlar, caía en la cesta. Dicho de otro modo, si la bola parte del mismo sitio, va a dar al mismo sitio, indefectiblemente. Dado el estado inicial, el estado final es impepinable. Pero no solo eso: dada una pequeña variación del estado inicial (el anfitrión es humano y puede errar por unos milímetros al colocar la bola al pie de la rampa), la diferencia en el estado final también es pequeña. Los constructores de la Cabaña del Tío Chueco tenían una confianza suprema en esto.

No se puede construir la Cabaña del Tío Chueco sin confiar en el determinismo de las leyes del movimiento de Isaac Newton. En el siglo xvii, Newton ideó una maquinaria matemática para describir todos los movimientos posibles. Con la mecánica newtoniana es fácil calcular la trayectoria de la bola de la Cabaña del Tío Chueco: basta saber la inclinación de la rampa y la velocidad inicial, que en este caso debe ser igual a cero. Establecidas estas condiciones iniciales, y sabiendo que la bola está sujeta únicamente a la fuerza de gravedad, su comportamiento viene determinado sin remedio. En general, el aparato newtoniano señala el destino inamovible de proyectiles, planetas y péndulos, y en principio también el de dados, ruletas, nubes o lo que sea. Es una especie de bola de cristal para ver el futuro.

Los constructores de la Cabaña del Tío Chueco sabían que no importaba demasiado si el anfitrión hacía variar un poquito la posición inicial de la bola, por ejemplo, poniéndola uno o dos milímetros más adelante o más atrás. Una variación pequeña en las condiciones iniciales conlleva una variación pequeña en la trayectoria. Jamás sucederá que la bola no llegue a la parte alta de la rampa (que en realidad era la parte baja, pero en la cabaña se trastocaban los sentidos), ni que salga disparada y se ponga en órbita alrededor de la Luna. Siempre caerá en el agujero de la cesta.

Y qué suerte, porque las mismas ecuaciones que guían a la bola de la Cabaña del Tío Chueco gobiernan el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Si estos llevan miles de millones de años girando fielmente en la misma órbita (o en una órbita que cambia muy poco a poco), se lo debemos al determinismo y a la regularidad de las leyes de la mecánica de Newton. La Cabaña del Tío Chueco era para mí una metáfora de la estabilidad del mundo newtoniano: la bola cae en la cesta y la Tierra se mantiene estable en su órbita. Podemos dormir tranquilos.

Unos ciento treinta años después de Newton, el matemático francés Pierre-Simon de Laplace, en un rapto de euforia newtoniana y determinista, se imaginó un ser maravilloso, de memoria y capacidad de cálculo infinitas, una especie de demonio matemático con más paciencia que el santo Job. Si ese ser conociese las posiciones y las velocidades de todas las cosas del universo en un instante dado, en principio podría calcular el futuro. El porvenir del cosmos, desde los movimientos de los grandes planetas hasta el del más diminuto grano de arena, se extendería como un libro abierto ante esta inteligencia newtoniana infinita.

Suena maravilloso... hasta que uno cambia ligeramente de punto de vista. Para el demonio de Laplace, ni nuestros pensamientos ni nuestras decisiones serían un secreto. Es más, podría calcular todas nuestras acciones antes de que las llevásemos a cabo, o peor aún, incluso antes de que naciésemos, porque en este mundo mecánico todo está determinado por las condiciones iniciales, como la trayectoria de la bola de la Cabaña del Tío Chueco. El presente es una consecuencia necesaria e inevitable del pasado. ¿Dónde quedaba, entonces, el libre albedrío, esa sensación que tiene uno de que conduce su vida como le place? El asunto es importante, porque sin libre albedrío no puede hablarse de responsabilidad, de culpa, de mérito ni de pecado. En efecto, si mis acciones y decisiones están rígidamente determinadas por el pasado del universo, yo no soy responsable y, por lo tanto, no se me puede ni condenar ni enviar al infierno (tampoco alabar ni premiar).

A Laplace quizá no le preocupara mucho este concepto más bien teológico, y hay una anécdota bien conocida que demuestra por qué: se cuenta que cuando Napoleón hojeó un volumen de la obra maestra de Laplace sobre los movimientos del sistema solar (el Tratado de mecánica celeste) y le preguntó por qué no había mencionado a Dios ni una sola vez en su libro, Laplace contestó: «Sire, no tuve necesidad de esa hipótesis».

Newton al volante

El astronauta Bill Anders iba camino de la Luna en el Apolo 8 cuando, en una comunicación por radio, su hijo pequeño le preguntó quién conducía la nave. «Isaac Newton», replicó Anders, con lo que quiso decir que no hay necesidad de conducir una nave espacial como se conduce un coche, continuamente, sin quitar la vista del camino, corrigiendo el rumbo con ligeros golpes de volante, de acelerador y de freno. Tras el lanzamiento, una vez fuera de la atmósfera, la nave queda a merced de la fuerza de gravedad, como cualquier objeto en el espacio. Si las cosas están bien calculadas (si se han sabido ajustar las condiciones iniciales), sucede lo que dice el capitán Haddock cuando el profesor Tornasol le pregunta retóricamente qué cree que ocurrirá si el cohete en el que viajan sigue avanzando en dirección a la Luna: «Acabaríamos por llegar, supongo».

Varios decenios antes de Newton, el astrónomo Johannes Kepler realizó las mejores observaciones astronómicas de su época (las del astrónomo danés Tycho Brahe) y, con mucho trabajo, extrajo de ellas tres regularidades del movimiento de los planetas. La primera dice que las órbitas de los planetas tienen forma de elipse, con el Sol en uno de los focos; la segunda describe cómo cambia la velocidad de un planeta al acercarse y alejarse del Sol en su órbita elíptica, y la tercera relaciona la distancia al Sol con el tiempo que tarda el planeta en completar una órbita. Pero Kepler no explicó de dónde salen estas regularidades. Eso lo hizo Isaac Newton durante la epidemia de peste que asoló la ciudad de Cambridge entre 1665 y 1667. Con la universidad cerrada, el joven Isaac no tuvo más remedio que volver a la granja de su madre y dedicarse a pensar (nadie en su sano juicio le hubiese pedido que echase una mano en las labores de la granja: pese a su considerable habilidad manual, era distraído y un completo inútil para aquellas actividades que no le interesaban). En ese período de vacaciones forzadas, Isaac Newton inventó las matemáticas del cambio y el movimiento, que él llamaba «fluxiones» y hoy conocemos como «cálculo». Con su juguete nuevo, tomó las leyes de Kepler y descubrió un gran secreto.

Newton (1642-1727) inventó las matemáticas del cambio y el movimiento, y con este descubrimiento se dispuso a elaborar una teoría matemática general del movimiento.

Otras personas, cuando resuelven enigmas de la naturaleza que han estado ocultos desde el origen del mundo, lo anuncian a los cuatro vientos, como Galileo y Kepler, pero Isaac Newton guardó sus cálculos en una gaveta y no dijo ni pío. Quién sabe qué habría sido de la física si en 1684 no se le hubiese ocurrido a sir Christopher Wren, astrónomo y arquitecto (su obra más conocida es la catedral de San Pablo, en Londres), proponerles una apuesta a sus amigos Robert Hooke y Edmond Halley. Durante una tertulia en una taberna londinense, los amigos abordaron el tema del movimiento de los planetas (vamos, como le ocurre a cualquiera...). Kepler demostró que las órbitas son elipses pero no supo por qué. Halley y Hooke habían llegado a la misma conclusión independientemente: era posible explicar la forma de las órbitas si se suponía que la fuerza de gravitación entre el Sol y los planetas disminuye en razón inversa al cuadrado de la distancia, o dicho de otro modo, si al doble de distancia corresponde la cuarta parte de la fuerza, al triple la novena, etcétera. Halley confesó que había tratado de demostrarlo matemáticamente, pero en vano. Hooke se hizo el interesante cuando afirmó que él sí lo había demostrado pero que prefería no revelar la demostración por el momento. ¿Se lo creyeron sus amigos? Posiblemente no. En cualquier caso, Wren ofreció un premio al que encontrase la demostración en el lapso de dos meses. El premio quedó desierto, porque ni Hooke ni Halley pudieron demostrar lo que sospechaban.

Halley, no obstante, siguió pensando en el asunto y un día se fue a visitar a Isaac Newton, que para entonces era titular de la cátedra lucasiana de matemáticas en la Universidad de Cambridge. Newton no tenía amigos porque era una persona muy difícil, pero unos años antes Halley se había encontrado con él y la interacción no había sido demasiado desagradable para ninguno de los dos; de modo que Halley, quizá considerándose como una especie de amigo del recluso y huraño profesor lucasiano, se presentó en casa de Newton y a quemarropa le preguntó qué forma tendría la órbita de los planetas si la fuerza de gravedad decreciese como el cuadrado de la distancia, a lo que Newton contestó sin chistar que sería una elipse. Encantado, Halley inquirió cómo lo sabía. «Porque lo he calculado», dijo Newton. En efecto, lo había calculado cinco años antes; sin embargo, cuando Halley le pidió ver los cálculos, Newton no los pudo encontrar, pero se ofreció a repetirlos y enviárselos al astrónomo. Tres meses después, Edmond Halley recibió un legajo en el que, partiendo de una fuerza de gravedad que decrece como el cuadrado de la distancia, Newton deducía no solo la forma elíptica de las órbitas, sino también las tres leyes que Johannes Kepler había enunciado a partir de datos empíricos. Kepler había encontrado tres regularidades matemáticas del movimiento planetario; Newton descubrió el principio oculto, una armonía matemática más profunda que las unifica. Edmond Halley quedó tan impresionado, que de inmediato se fue a Cambridge a suplicarle a Newton que escribiera un libro sobre la gravitación y el movimiento del sistema solar.

Réplica de un telescopio construido por Newton. Él mismo lo presentó a la Royal Society en 1672.

Isaac Newton se puso a trabajar. Por espacio de dieciocho meses batalló con el encargo de Halley. Su amanuense, en sus notas sobre este período de la vida del patrón, relata que Newton no dormía y a menudo olvidaba incluso comer. Se paseaba por los jardines trazando figuras geométricas con una vara en la grava, y cuando lo asaltaba una idea repentina, corría hasta su escritorio y, sin darse el tiempo siquiera para sentarse, se ponía a garabatear furiosamente. En abril de 1686, Edmond Halley recibió el manuscrito de Principios matemáticos de la filosofía natural, que iba a ser el libro más influyente de la historia de la ciencia. En él Isaac Newton va más allá de la dinámica del sistema solar que le había solicitado Halley y elabora una teoría matemática general del movimiento (cualquier movimiento, no solo el de los planetas sujetos a la fuerza de gravedad).

Newton siempre fue un tacaño. Halley, en cambio, pecaba de generoso. Cuando la Real Sociedad británica retiró su ofrecimiento de publicar el libro de Newton por falta de fondos, Halley se hizo cargo de los gastos de edición e impresión.

Los beneficios no se hicieron esperar (beneficios para la ciencia, se entiende, no para Halley). Además de los detalles de los movimientos planetarios, con su nuevo aparato matemático Newton pudo explicar el origen de las mareas (debidas a la atracción gravitacional de la Luna). También demostró que la Tierra no podía ser una esfera perfecta. Su movimiento de rotación la ensanchaba por el ecuador, como habrían de demostrar empíricamente los exploradores franceses del siglo siguiente. De paso, las leyes de Newton también determinaban el movimiento de los proyectiles, lo que era muy útil para la guerra. Newton se puso de moda. La doctrina mecánica que intuyó la marquesa de G*** en el libro de Bernard Le Bovier de Fontenelle se discutía hasta en las fiestas de sociedad de París, y la primera y única traducción francesa del libro de Newton la llevó a cabo una dama de sociedad: la marquesa Émilie du Châtelet, cuyo amante, Voltaire, era otro fanático newtoniano. Tres siglos después, Newton condujo a los astronautas a la Luna y de regreso a la Tierra. Hoy en día sigue siendo el capitán de las misiones espaciales que han puesto robots en Marte, aparcado sondas en un cometa y visitado Plutón.

Pese a todo, el propio Newton intuyó las limitaciones de su teoría: «La órbita de un planeta cualquiera depende de la combinación de los movimientos de todos los planetas, por no hablar de la acción de todos en cada uno», escribió. «Pero tomar en cuenta al mismo tiempo todas estas causas de movimiento y definir estos movimientos por medio de leyes exactas que permitan un cálculo convencional supera, si no me equivoco, la fuerza total del intelecto humano.» Y no se equivocaba, en efecto, pero el verdadero significado de esta observación no se manifestó hasta finales del siglo xix.

Mecánica celeste

Entre tanto, Pierre-Simon de Laplace no se amilanó cuando acometió el cálculo de los movimientos de todos los cuerpos del sistema solar pese al recelo de Newton cien años antes. Los cinco volúmenes de su Tratado de mecánica celeste se publicaron entre 1799 y 1825. Hoy uno puede hacerse con sus libros con solo dos o tres clics del ordenador. Me consta.

Hojear la Mecánica celeste de Laplace es como andar descalzo sobre vidrios rotos. No hay casi página que no esté erizada de ecuaciones y demostraciones; los remansos de texto continuo son escasos y rara vez rebasan unas cuantas líneas. Los ojos no tienen dónde posarse para descansar. Me pregunto qué pudo haber entendido Napoleón de esta obra superespecializada y cómo supo que Laplace no mencionaba para nada a Dios. ¿A qué hora se dio tiempo para buscar el nombre del Creador entre tantas matemáticas?

A pesar de sus pantanos de ecuaciones interminables, el procedimiento de Laplace tiene un trasfondo simple. El marqués recurrió a un método muy socorrido entre los físicos ya desde entonces llamado «teoría de perturbaciones», que consiste en reducir el problema a uno más sencillo que se puede resolver y luego introducir las complejidades poco a poco, por pasos, como a hurtadillas para no alterar el equilibrio y la estabilidad de la solución. Es lo que se hace en los cursos de física elemental con el péndulo. Un péndulo en general es una cosa compleja: su longitud puede cambiar por muchos motivos (por ejemplo, por cambios de temperatura), la fricción va reduciendo la amplitud y cualquier sacudida a medio camino altera todo. Por eso en los cursos elementales se empieza así: «Sea un péndulo sin fricción sujeto a una varilla de masa igual a cero y longitud invariable...». Este problema es muy fácil de resolver. Lo malo es que el péndulo que describe no existe, como tampoco existen entes geométricos ideales como rectas, planos, círculos y esferas. Para estudiar el movimiento de los planetas y los cometas en el sistema solar, Laplace no se complicó la vida y supuso que en el universo solo existen dos cuerpos: el planeta y el Sol (o el planeta y el satélite que lo ronda), de modo que solo hay que tomar en cuenta la atracción gravitacional principal que mantiene al cuerpo en su órbita. Los posibles efectos de los otros planetas que tanto inquietaban a Newton no se tomaron en consideración en el primer tratamiento. A continuación, Laplace desarrolló métodos para introducir la temible influencia de los otros cuerpos, pero suponiendo que esta influencia es muy pequeña y que sus efectos también lo son.

Entre físicos se cuenta una anécdota que hace mofa de esta actitud reduccionista tan común en el gremio desde los tiempos de Laplace. Un agricultor llamó a un agrónomo y a un físico para que le ayudaran a aumentar la producción de sus vacas lecheras. El agrónomo fue a ver de inmediato a los animales; los pesó, los midió, estudió su dieta y observó sus costumbres durante cierto tiempo. El físico, en cambio, sacó lápiz y papel y se puso a garabatear. Al cabo del tiempo, el agrónomo presentó gráficas, proyecciones, datos y sugerencias. Cuando le llegó el turno al físico, este se puso en pie y dijo: «Consideremos, en primer lugar, una vaca esférica de densidad homogénea...».

Con todo, el reduccionismo de la vaca esférica ha funcionado muy bien. Newton expresó la sospecha de que para estabilizar un sistema tan complicado como la familia planetaria del Sol, con tantos cuerpos dándose tirones gravitacionales al mismo tiempo, hacía falta la intervención de Dios. Al marqués de Laplace le bastó la física, para disgusto de Napoleón. Era un triunfo de la ciencia y la razón sobre el misterio, y del reduccionismo sobre la complejidad del mundo.

No mucho después de que saliera a la luz el último volumen del Tratado de mecánica celeste, el astrónomo francés Urbain Jean Joseph Le Verrier salvó a la física newtoniana de lo que pudo haber sido su primera crisis. El problema era el movimiento del planeta Urano, el primer planeta descubierto desde la Antigüedad. Lo había encontrado en 1781 el astrónomo y músico alemán radicado en Inglaterra William Herschel con su telescopio gigante, el más grande del mundo, que él mismo había construido. Unos años después del descubrimiento, los astrónomos se dieron cuenta de que en realidad Urano había sido avistado muchas veces antes, posiblemente desde 1690; es lo que hoy se conoce como «predescubrimiento». Y he ahí el problema: los cálculos del movimiento del planeta con los métodos de Laplace y las posiciones observadas tanto antes como después del descubrimiento oficial discordaban. A veces Urano se adelantaba un poco, a veces se atrasaba. Era la primera disonancia en la armonía newtoniana, y como ha ocurrido a partir de entonces cada vez que surge una anomalía en la física, se consideraron dos posibilidades: 1) que la teoría requiriese una modificación, o 2) que existiesen nuevas entidades físicas que no se habían tomado en cuenta. En el caso de Urano, las posibilidades también eran dos: 1) que a la enorme distancia a la que se encontraba el planeta la ley de la gravitación universal ya no funcionase como decía Newton, o bien 2) que la ley de la gravitación funcionase perfectamente y la anomalía del movimiento de Urano se debiera a los tirones gravitacionales de un planeta desconocido. A principios del siglo xix, la confianza en Newton y su universo mecánico y predecible era casi total, así que la primera alternativa nunca fue muy popular.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), uno de los impulsores de la hipótesis de la reducción frente a la complejidad del mundo.

Para explorar la segunda había que aplicar el método de perturbaciones que usó Laplace, pero al revés: en lugar de usar las posiciones y movimientos de los otros cuerpos del sistema solar para calcular las pequeñas perturbaciones que estos causan en el movimiento de un planeta, había que tomar las perturbaciones observadas en el movimiento de Urano y deducir la posición y el movimiento del posible intruso furtivo. Era un problema más difícil, pero Le Verrier lo resolvió y en 1846 publicó un artículo en el que daba la posible posición del planeta misterioso. En Inglaterra, el joven astrónomo John Couch Adams, una especie de autista matemático, hizo los cálculos antes que Le Verrier, pero por razones complejas los astrónomos ingleses no acometieron la búsqueda del planeta hasta que fue demasiado tarde. El 23 de septiembre de 1846, los astrónomos alemanes Johann Gottfried Galle y Heinrich Louis d’Arrest, del Observatorio de Berlín, encontraron el planeta Neptuno muy cerca de donde lo había situado Le Verrier y los ingleses se quedaron con un palmo de narices (esto causó una retahíla de recriminaciones y animadversión que habría de durar hasta bien entrado el siglo xx).

Para finales del xix parecía que Fontenelle y su marquesa ficticia habían estado en lo cierto: el mundo es mecánico y funciona como un reloj. «Dadme las condiciones iniciales y os diré vuestra trayectoria», dijo Newton. Laplace, Le Verrier (y el pobre de John Adams) lo confirmaron. Si el método newtoniano, mejorado por los matemáticos del siglo xviii, permitía incluso encontrar nuevos planetas, ni siquiera el cielo era el límite.

En otros ámbitos de la actividad humana, la ciencia de inspiración newtoniana había transformado la industria y la economía (para bien y para mal). La máquina de vapor, ejemplo del imperio de la técnica sobre la naturaleza desbocada, aceleró la producción, hizo desaparecer unos oficios y creó otros y encauzó migraciones del campo a las ciudades. La navegación se benefició de los nuevos cronómetros marinos, relojes tan precisos como el movimiento de los planetas, que permitían determinar la posición de un barco en el mar con más exactitud y rapidez que los satélites de Júpiter, y que en poco tiempo empezaron a fabricarse en serie. Cada reloj suponía una encarnación de la ciencia y la tecnología del determinismo y la predicción.

Donde viven los monstruos

Tres es multitud

En 1885 Suecia se preparaba para festejar el sesenta cumpleaños del rey Óscar II. El monarca era músico y literato, y estaba interesado en las ciencias. Por recomendación del matemático Gösta Mittag-Leffler, el soberano ofreció un premio parecido al que prometió Christopher Wren a sus amigos en aquella taberna londinense dos siglos antes (aunque quizá el rey desconociera esta coincidencia): 2500 coronas para quien respondiera esta pregunta: ¿es estable el sistema solar? El problema se enunció de otra manera, pero equivalía al que he expuesto. En caso de que no se pudiera resolver, se consideraría la posibilidad de otorgar el premio por contribuciones significativas a la física clásica. Por lo visto, el rey y su matemático de cabecera no se hacían ilusiones.

El problema no es solo académico. Si el sistema solar no es estable, un día la Tierra podría salir expulsada del cobijo gravitacional del Sol, o, por el contrario, precipitarse hacia el horno central de nuestra estrella. El análisis de Laplace no había zanjado la cuestión. Para ello había que llevar las cosas más allá del ámbito de la teoría de perturbaciones. Laplace redujo el universo a dos cuerpos que se orbitan bajo la influencia única de la gravedad (el «problema de dos cuerpos», cuya solución da órbitas elípticas en general, como había demostrado el matemático Johann Bernoulli desde 1710) y supuso que cualquier efecto de un tercero en discordia sería tan pequeño que podría compararse al efecto que tendría sobre una bala de cañón chocar con un insecto a su paso. Con esta suposición, Laplace consiguió describir detalles del movimiento de la Luna debidos a la gravedad del Sol que habían enloquecido a Newton, así como otras minucias de los movimientos planetarios que se desviaban ligeramente de las órbitas elípticas cerradas y eternas que les prescribe el problema de dos cuerpos.

Para resolver la pregunta del rey Óscar II había que atacar sin reparos el problema de los tres cuerpos, es decir, establecer y resolver las ecuaciones del movimiento de tres cuerpos sujetos a sus mutuas atracciones gravitacionales sin suponer que ningún efecto es pequeño (el enunciado original solicitaba soluciones al problema de un número cualquiera, n, de cuerpos, pero había que empezar por el primer número «cualquiera» mayor que dos, o sea, tres). Podría pensarse que el problema de tres cuerpos sería solo un poco más difícil de resolver que el de dos, pero no. Como descubrió el matemático francés Henri Poincaré tras aceptar el desafío del rey de Suecia, el problema simplemente no se puede resolver de la manera que se proponía en el anuncio del premio. Así que Poincaré se vio reducido a hacer vacas esféricas, aunque no las mismas que Laplace. «He estudiado un caso particular del problema de los tres cuerpos: el caso en el que una de las masas es nula y el movimiento de las otras dos es circular», escribió Poincaré. Este podría ser el caso —al menos de forma aproximada— de la Tierra sujeta a las atracciones de Júpiter y el Sol, por ejemplo. La masa de la Tierra no es nula, pero, comparada con la de los pesos pesados del sistema solar, es muy pequeña: la masa de Júpiter es 318 veces más grande y la del Sol, la friolera de 332 946 veces mayor que la de la Tierra.

En este sistema especial de dos matones que se rondan como si estuviesen buscando pelea y un alfeñique que se agita alrededor de ambos sin conseguir llamarles la atención lo interesante es, precisamente, el movimiento del alfeñique (por definición del problema especial, los matones se mueven en órbitas circulares inalterables y aburridas). Poincaré no tardó en darse cuenta de que el movimiento del tercer cuerpo era muy complicado y se concentró en tratar de demostrar que por lo menos era estable. ¿Qué significa estable? Significa lo que ocurre en la Cabaña del Tío Chueco con la bola que rueda por la rampa y cae en el agujero: una pequeña alteración de las condiciones iniciales conduce a una alteración pequeña en comparación del resultado final. Poincaré demostró…, corrijo, creyó demostrar (como veremos en breve) que la órbita del alfeñique gravitacional nunca se apartaba mucho de los dos matones y que, dado el tiempo suficiente, siempre acababa por volver a cualquier posición que hubiese ocupado en el pasado, si no exactamente, por lo menos «arbitrariamente» cerca, con lo cual su movimiento casi se repetiría. ¡Estabilidad!

Los jueces del concurso (el propio Mittag-Leffler, junto al matemático francés Charles Hermite y el alemán Karl Weierstrass) recibieron doce trabajos, cinco de los cuales trataban directamente el problema de n cuerpos, pero ninguno resolvía el problema concreto de encontrar una expresión matemática para calcular la posición de todos los cuerpos para toda la eternidad con toda precisión. Los jueces, empero, decidieron otorgarle el premio a Henri Poincaré porque su trabajo era una contribución importante a la comprensión de las ecuaciones de la dinámica. El resultado se anunció el 21 de enero de 1889, el día que cumplía años el rey. El artículo correspondiente se publicaría en la revista Acta Mathematica en enero de 1890. Poincaré y los editores se pusieron a trabajar.

Edvard Phragmén, editor adjunto de la revista (Mittag-Leffler era el editor principal), no lograba desenmarañar las ideas de Poincaré, quien, por lo visto, tenía una imaginación matemática desbordante y plasmaba ideas en el papel más rápido de lo que las podía explicar. Phragmén acribilló a preguntas a Poincaré. Tratando de dar respuesta a las aclaraciones que le pedía el editor adjunto, el matemático se dio cuenta de que había cometido un error: el movimiento del cuerpo pequeño nunca se repetía aunque volviese a pasar muy cerca de una posición previa. Contra lo que había creído Poincaré, la más pequeña alteración de las condiciones iniciales conducía a grandes diferencias en el movimiento resultante. Imagínense que en la Cabaña del Tío Chueco situar la bola inicialmente medio milímetro más adelante tuviese el efecto de ponerla en órbita alrededor de la Luna en vez de caer en la cesta. En su análisis de órbitas inestables y órbitas estables, Poincaré encontró que, lejos de estar bien separadas unas de otras, las curvas se cruzan y se vuelven a cruzar un número infinito de veces.

Cuando Poincaré se dio cuenta de su error, la revista ya había salido para la imprenta e incluso se habían entregado algunos ejemplares a los abonados. Mittag-Leffler decidió recoger todo el tiraje y repetirlo y Poincaré ofreció pagar los gastos de reimpresión: 3585 coronas, o sea, más de 1000 coronas más de las que había ganado con el premio. El artículo salió en Acta Mathematica en enero de 1890. Unos años después, el matemático elaboró sus ideas en tres volúmenes titulados Nuevos métodos de la mecánica celeste. En el volumen 3 Poincaré escribió:

Si uno trata de visualizar el patrón que forman estas dos curvas y sus infinitas intersecciones... estas forman una especie de red, un entramado, una cota de malla de retícula infinitamente fina; una curva no se puede cruzar consigo misma, sino que debe plegarse sobre sí misma de una manera muy complicada para poder cruzar todos los eslabones de la cota de malla un número infinito de veces... Es asombrosa la complejidad de esta figura, la cual no haré el menor intento de trazar. Nada puede darnos con más claridad la idea de lo intrincado del problema de los tres cuerpos, y de todos los problemas de la dinámica en general. (Tomado de David Nolte, «The tangled tale of phase space», Physics Today, abril de 2010.)

Y también: «La solución completa, si algún día se puede encontrar, exigirá instrumentos analíticos absolutamente diferentes de los que poseemos e infinitamente más complicados...».

«Puede suceder», concluyó, «que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales engendren diferencias muy grandes en los fenómenos finales; un error pequeño en las primeras producirá un error enorme en los últimos. La predicción entonces se vuelve imposible». Poincaré había descubierto sin saberlo lo que más tarde se llamaría el «efecto mariposa», y jamás se imaginó la manera en que se materializarían, siete décadas más tarde, los métodos e instrumentos analíticos que vislumbró a finales del siglo xix, pues estos no habrían de llegar solo en forma de nuevos teoremas matemáticos, sino, sobre todo, de una máquina: el ordenador digital.

Números monstruosos

Cuando a la gente normal se le pide que escoja un número entre 1 y 10, dice 9, o 4, o 10. Un original o un gracioso podrían decir 3,5 y la originalidad consistirá en darse cuenta de que no solo los números naturales tienen derecho a considerarse como números. También lo tienen los números fraccionarios como 3,5, que se puede escribir así: 7/2. Escoger números naturales es solo un prejuicio, seguramente basado en que los primeros números que aprendemos son los números para contar y que estos adquieren así una especie de primacía sobre los demás. Los naturales son los números por antonomasia, pero la vida es más compleja: también existen los números racionales (como 3,5), así llamados porque se pueden escribir como una razón, o cociente, de dos números enteros (3,5 = 7/2).

Si uno quiere ser verdaderamente original, puede recurrir a otra clase de números irreducibles a un cociente de dos enteros: los números llamados «irracionales» porque no se pueden expresar como una razón. La razón de esta sinrazón empezó con un plácido paseo en bote, hace mucho tiempo.

La hermandad pitagórica era una especie de comunidad de hippies del siglo vi a.C. que se congregaban en torno a la figura del matemático Pitágoras. Como todo el mundo, los pitagóricos tenían prejuicios numéricos: les encantaban los enteros y los racionales, y pensaban que todas las cosas se podían explicar en términos de estos números. Las notas de la música griega se obtenían de dividir cuerdas tensas en proporciones racionales y de estas cuerdas surgía una armonía hermosa, como la armonía del cosmos. Los números racionales eran la esencia misma de la divinidad manifiesta en el mundo.

Por eso los pitagóricos se lo tomaron muy mal cuando, durante un paseo en bote, uno de los hermanos, llamado Hipaso de Metaponto, demostró (quizá por accidente) que la diagonal de un cuadrado no puede ser un número racional. Para mayor agravio, lo demostró usando el resultado matemático más famoso del maestro: el teorema de Pitágoras. Aquello era demasiado. Los hermanos pitagóricos cogieron a Hipaso y lo echaron por la borda. De vuelta en tierra, dijeron que Hipaso se había ahogado (¡qué pena!) y juraron callar la existencia de los números irracionales. En la ciencia moderna se trabaja bajo la consigna «publicar o perecer». Según el matemático Morris Kline, Hipaso tuvo la desgracia de convertirse en el primer caso de «publicar y perecer».

Al cabo del tiempo, otros redescubrieron los irracionales sin padecer la suerte de Hipaso, pero sin perderles el miedo. Estos números tienen dos propiedades inquietantes. Imagínense un número perfectamente racional, por ejemplo, 1/2. Está expresado como una división, que podemos desarrollar en forma decimal efectuando la operación con lápiz y papel. Si llevamos a cabo esta división, obtenemos 0,5, una expresión muy breve. Ahora probemos con 1/3; si efectuamos esta operación, es fácil darse cuenta de que la forma decimal de esta fracción tiene un número infinito de cifras iguales: 1/3 = 0,3333333333...

He aquí otro número racional: 8/7. Su expresión decimal empieza con un 1 antes de la coma decimal (háganlo y verán) y, a continuación, empiezan a aparecer cifras decimales sin ton ni son: 1, 4, 2, 8... Parece que la serie no va a terminar, pero al cabo de unas cuantas operaciones, las cifras empiezan a repetirse y vemos claramente que esto va a seguir sucediendo para siempre. El número racional 8/7 tiene un desarrollo decimal de un número infinito de cifras, pero estas cifras forman un patrón repetitivo.

Así pues, los números racionales tienen expansiones decimales finitas, aunque puedan ser más o menos largas, o infinitas, pero repetitivas. Quedan completamente determinados por medio de frases muy breves, como por ejemplo, «repetir la cifra 3 infinitas veces», «repetir la secuencia 1248 hasta el infinito», o bien, sencillamente, «0,5».

Los irracionales, en cambio, tienen la inquietante propiedad de que sus expresiones decimales contienen un número infinito de cifras que no forman bloques repetitivos. Calcular el valor de un número irracional con toda precisión exige un tiempo infinito, incluso si lo calculamos con el ordenador más potente del mundo. Las cifras decimales de un número irracional se comportan como series de números al azar. Esas series son imposibles de comprimir en instrucciones sencillas como «repetir 3 infinitas veces». La forma más breve posible de caracterizar una serie de números al azar es la misma serie de números al azar. Estos números son incompresibles. Los pitagóricos, deseosos de un mundo ordenado y reducible a reglas simples, habrían preferido que los irracionales fuesen casos insólitos, accidentes que ocurren una vez en un millón de años. Aquel encuentro con la diagonal del cuadrado (es decir, con el número irracional √2) fue como la aparición súbita del mal en la vida cotidiana y lo despacharon como correspondía: eliminando, si no al mal propiamente dicho, a su mensajero. ¿No harían ustedes lo mismo?

«0.0.0.0.0.0.0.0.»

El demonio de Laplace conocía con toda precisión las posiciones y velocidades de todas las partículas del universo, así como las ecuaciones que rigen sus movimientos, y poseía una paciencia infinita para hacer cálculos repetitivos. Hoy en día, lo más aproximado al demonio de Laplace que hemos creado es el ordenador digital. El ordenador no conoce con toda precisión las posiciones y las velocidades de todas las partículas del universo —para conocer un solo número con todas sus cifras debería contar con una memoria infinita—, pero sí puede conocer con suficiente precisión las condiciones iniciales de una porción de universo adecuadamente seleccionada por un investigador. Una vez seleccionada esta porción de universo, el investigador puede enseñar al ordenador las ecuaciones que rigen lo que allí sucede; de este modo, el ordenador posee, al menos parcialmente, dos de las cualidades del demonio de Laplace. La tercera la posee por completo: una paciencia tan larga como se pueda desear. Un ordenador no se cansa ni protesta; eso sí, la velocidad con la que hace los cálculos está limitada.

Hoy cualquier teléfono inteligente (o smartphone) lleva dentro un ordenador millones de veces más rápido y capaz que los «cerebros gigantes» que se construyeron en los años cuarenta del siglo pasado para uso del ejército estadounidense, pero incluso los ordenadores actuales tienen sus limitaciones. Para ilustrar la que más nos interesa aquí, pensemos en una simple calculadora, un aparato que acepta números introducidos por el usuario y ejecuta una serie de operaciones según las instrucciones que se le den. El resultado es otro número. El problema es que los números que acepta y devuelve la calculadora tienen un número finito de cifras decimales, y esto nos limita a trabajar con números racionales. No es una limitación muy grave. Aunque se puede demostrar que los irracionales son abrumadoramente más numerosos, siempre hay algún número racional que se acerca tanto como queramos a un irracional dado.

Tengo junto a mí una calculadora que me ha acompañado desde que tenía quince años. Es una Sharp Elsi Mate EL-502 de los años setenta. Mi Elsi Mate tiene ocho cifras, lo que significa: 1) que todo número que manipule tiene que ser múltiplo de 0,0000001, y 2) que cualquier número menor que 0,0000001 lo considera como cero. No parece muy grave. Sin embargo, basta una operación sencilla para darse cuenta de que esto puede causar dificultades. Si elevamos 1/2 al cuadrado, obtenemos 1/4, o, en la lengua decimal de mi calculadora, 0,25; si vuelvo a elevar al cuadrado, obtengo 1/16, o 0,0625, y está claro que si sigo repitiendo esta operación, usando a cada paso como entrada el resultado del paso anterior, iré obteniendo números cada vez más pequeños: 1/256, 1/65.536, etcétera. En teoría, estos números se irán aproximando cada vez más a cero, pero nunca llegarán a ese valor. No obstante, si repito la operación con mi Elsi Mate, al cabo de nueve pasos obtengo un error: la calculadora no tiene capacidad para representar el pequeñísimo número que corresponde y me sale «0.0.0.0.0.0.0.0». Otro ejemplo: calculemos reiteradamente raíces cuadradas empezando, por ejemplo, por √2. Para este número, el irracional que mató a Hipaso, mi calculadora da 1,4142135. Sabemos que no es exacto: falta una retahíla infinita de cifras que mi calculadora simplemente desprecia. Si ahora saco la raíz de este número y luego la raíz de lo que salga, y así sucesivamente, voy obteniendo números cada vez más cercanos a 1 (el paso número ocho, por ejemplo, da 1,0027112 y el paso once da 1,0003385). En teoría nunca debería llegar a 1, pero mi calculadora, a los 23 pasos, ya no sabe distinguir entre el número obtenido y 1.

Las cosas mejoran con la calculadora de mi iPhone, que tiene 16 cifras, pero no mucho más: en 50 repeticiones de la operación «sacar raíz cuadrada» ya no distingue el resultado de 1. ¿Tiene importancia? ¿Hay cálculos reales y prácticos que requieran saber las cosas con más de 16 cifras decimales? Parecería que no: 16 cifras decimales nos dan las magnitudes de las cosas con una precisión de una parte en 10 000 billones. ¡Redondear la decimosexta cifra decimal no puede tener importancia en ningún problema práctico!

En cuanto nos decimos esto se nos aparece el fantasma de Henri Poincaré, quien, con voz estentórea, clama por todos los rincones del espacio y del tiempo:

Puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales engendren diferencias muy grandes en los fenómenos finales; un error pequeño en las primeras producirá un error enorme en los últimos. La predicción entonces se vuelve imposible.

La predicción entonces se vuelve imposible...

... imposible...

... imposible...

La fábrica de pronósticos

Mucho antes de los asombrosos ordenadores de hoy, antes incluso de nuestros Mac y PC y de nuestros teléfonos móviles multiusos, existió el Royal McBee LGP-30. El LGP-30 se vendía como ordenador de escritorio, pero no, como podría pensarse hoy, porque se pudiera poner encima de un escritorio, sino porque tenía su mismo tamaño: medía 80 centímetros de alto por 110 de largo y 70 de profundidad y pesaba 360 kilos. Se lanzó al mercado en 1956 y costaba 40 000 dólares. No era lo que se dice un ordenador personal en el sentido contemporáneo, pero el meteorólogo Edward Lorenz se las había arreglado para procurarse uno.

Lorenz era un meteorólogo insólito. Originalmente había estudiado matemáticas, pero durante la Segunda Guerra Mundial prestó servicio como hombre del tiempo para las fuerzas aéreas. Tras la guerra decidió estudiar meteorología formalmente. Obtuvo su doctorado en 1948 e ingresó en el departamento de meteorología del Instituto Tecnológico de Massachusetts unos años después.

Los partes del tiempo que constituyeron su ocupación principal durante la guerra se hacían con escasa ayuda de la física. Más bien se consultaba un catálogo de mapas meteorológicos del pasado ordenados por categorías. El pronosticador buscaba mapas que mostraran condiciones parecidas a las del presente (presiones, temperaturas, humedades y velocidades del viento similares). Luego analizaba lo que había ocurrido en aquella ocasión y determinaba las probabilidades de que se repitiera, lo que tenía mucho de subjetivo y de intuitivo. El pronóstico se basaba en suponer que el pasado de la atmósfera es un buen modelo de su presente. Los resultados, claro, eran catastróficos. Nadie confiaba en el pronóstico del tiempo: «Si los meteorólogos pronostican sol, no olvides tu paraguas», se decía en broma, pero no tan en broma.

Los vikingos en Groenlandia

Groenlandia, cuyo nombre significa «Tierra Verde», quizá nunca fue el paraíso, pero a los 700 vikingos que llegaron en 25 barcos bajo el mando de Erik el Rojo en el año 985 d. C. para colonizar esas tierras más les valía pensar que el nombre que escogió su jefe, con su promesa de fertilidad y climas benignos, podía tener algo de verdad. Los nuevos habitantes construyeron dos asentamientos y durante cinco siglos se las arreglaron para sobrevivir de la caza, la pesca y la agricultura. Luego, a principios del siglo xv, los asentamientos vikingos fueron abruptamente abandonados. Para mayor dramatismo, el último documento oficial que se conoce de esa época es un acta de matrimonio. La boda de Thorstein Ólafsson y Sigrídur Björnsdóttir se celebró un domingo del otoño de 1408. Luego los novios y todo su clan tuvieron que huir de la isla.

Lo que sí sabemos es que fue el clima lo que echó a los vikingos. Hoy, en el centro de Groenlandia hay una estación de investigación glaciológica construida en pleno glaciar groenlandés. Bajo la estación se extiende una capa de hielos antiguos de unos tres kilómetros de espesor. Entre 1999 y 2003, en la estación North GRIP se extrajeron muestras cilíndricas de esta capa de hielo. Estos cilindros contienen burbujas de aire, que son pequeñas muestras de la atmósfera del pasado. Cuanto más se profundiza en el hielo, más antigua es la muestra, y los glaciólogos han podido remontarse de esta manera hasta poco más de 100 000 años en el pasado.

En estos registros helados se puede leer la temperatura media del entorno en la época en la que se depositó cada capa de hielo. A principios de la década de 1960, el químico danés Willi Dansgaard demostró que hay una relación entre la temperatura y la composición del hielo. Los átomos de oxígeno normalmente tienen ocho protones y ocho neutrones en el núcleo, pero hay una variante poco frecuente con dos neutrones más. Estas dos variedades se conocen como oxígeno 16 y oxígeno 18. El oxígeno 16 es con mucho el más abundante tanto en el aire como en el agua, hecha de dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. En toda muestra de hielo hay cierta proporción de moléculas de agua que contienen oxígeno 18 en vez de oxígeno 16. Dansgaard demostró que esta proporción está relacionada con la temperatura. Con esta relación, los glaciólogos han reconstruido las variaciones de la temperatura de Groenlandia en el pasado.

Los últimos 15 000 años son un período especialmente interesante para la humanidad. Pese a que nuestros antepasados tenían la misma capacidad craneana que nosotros desde hace más de 100 000 años, es solo en los últimos 10 000 cuando surgieron las grandes civilizaciones. ¿Qué lo había impedido antes? La respuesta más sencilla es el último período glacial. Hoy sabemos que la temperatura media del planeta ha variado en grandes ciclos de 90 000 años de glaciación y 10 000 de climas más benignos. Es apenas en el último período glacial cuando surgió nuestra especie, y solo cuando terminó la Edad de Hielo el clima permitió a nuestros antepasados ocuparse de otra cosa que no fuese la supervivencia inmediata, y así pudieron desarrollar la agricultura y luego la civilización.

Restos de una construcción vikinga en Groenlandia.

En los últimos mil años se puede leer claramente en el hielo de North GRIP un ligero aumento de la temperatura ocurrido en la Edad Media. Fue en esa época cuando los vikingos colonizaron Groenlandia. En Inglaterra se cultivaba la vid. Luego empezó lo que hoy se conoce como la «Pequeña Glaciación», un período de temperaturas bajas que duró aproximadamente de 1300 a 1850. Pero entre el veranillo indio medieval y la Pequeña Glaciación, la temperatura media varió apenas unos cuantos grados. La mala noticia es que, recién terminado el último período glacial, cuando se esperaría que la temperatura media mostrara un aumento paulatino desde niveles gélidos hasta temperaturas más propicias para los humanos, lo que se observa, en cambio, es una alarmante inestabilidad. Hace unos 15 000 años el hielo registra un aumento de 16 grados en el lapso de cincuenta años y más tarde, hace unos 12 000, un incremento aproximadamente de la misma magnitud, pero en solo diez años. Para los paleoclimatólogos ha sido una sorpresa descubrir que entre 100 000 y 10 000 años atrás la norma, en lo tocante a temperaturas, ha sido una variabilidad violenta que en nada se parece a la relativa estabilidad de los últimos 10 000 años, lo que da motivos para inquietarse. En efecto, si este lapso ha sido especial y lo normal son los cambios abruptos de 10 o 20 grados en menos de un siglo, en cualquier momento puede volver la inestabilidad (y, desde luego, no es nada bueno estar forzando con nuestros gases de efecto invernadero a una naturaleza de suyo voluble). Los vikingos tuvieron que abandonar Groenlandia por un cambio de temperatura mucho menor que los que, al parecer, son la norma.

Sin embargo, la atmósfera es un fluido en movimiento y las ecuaciones de los fluidos en movimiento se conocían desde el siglo xix. En 1890 el meteorólogo estadounidense Cleveland Abbe vislumbró claramente que «la meteorología es, en esencia, la aplicación a la atmósfera de la hidrodinámica y la termodinámica», y por lo tanto debería ser posible establecer ecuaciones concretas y resolverlas. Al poco tiempo, el meteorólogo noruego Vilhelm Bjerknes enunció un programa general para pronosticar el tiempo a partir de las leyes de la física. El programa tenía dos etapas: 1) la etapa de diagnóstico, que consistiría en determinar el estado de la atmósfera en un instante dado por medio de observaciones meteorológicas, y 2) la etapa de pronóstico, en la cual se usaría este estado inicial de la atmósfera para calcular el estado futuro a partir de las ecuaciones de movimiento. El programa de Bjerknes define una especie de máquina de predicción muy parecida a una calculadora o a un ordenador: se introducen los datos iniciales, se aplican ciertas operaciones matemáticas y se obtiene un nuevo conjunto de números; en este caso, el estado de la atmósfera que se espera al cabo de cierto tiempo. Con otra vuelta de la manivela los resultados se reintroducen como condiciones iniciales y se obtiene una nueva proyección del comportamiento de la atmósfera para un tiempo posterior.

Bjerknes enumeró las variables que, según creía, bastarían para describir el estado de la atmósfera: presión, temperatura, densidad, humedad y velocidades horizontales y verticales, e identificó siete ecuaciones independientes para describir sus evoluciones. Lo malo era que en su época escaseaban los datos meteorológicos para alimentar el modelo de siete ecuaciones. No había manera de tomar mediciones ni en las partes altas de la atmósfera ni sobre los océanos, y las estaciones terrestres tampoco eran muy numerosas. Por si fuera poco, resolver las ecuaciones, incluso con los datos necesarios en la mano, suponía una labor titánica que difícilmente se podría llevar a cabo en un lapso suficientemente breve para que los cálculos fueran útiles; dicho de otro modo, pronosticar el tiempo 24 horas en el futuro llevaría mucho más de 24 horas, lo que no arredró al científico noruego. Bjerknes se imaginaba que los datos iniciales se podían representar como una serie de tablas de números, correspondientes a los valores de las variables pertinentes a distintas altitudes. Tras varias vueltas de la manivela matemática, se obtendrían otras tablas, que describirían el estado de la atmósfera unas horas o unos días después.

La meteorología científica de Bjerknes era una fantasía y lo seguiría siendo por mucho tiempo. En los años veinte, el meteorólogo inglés Lewis Fry Richardson la convirtió en una fantasía más concreta. Ni Bjerknes ni Richardson veían razón alguna para que la meteorología no pudiera ser una ciencia tan exacta como la astronomía, la cual, como observó Richardson, no se basa en el principio de que las posiciones de los planetas se repiten. Es más, «se puede decir que una configuración dada de las estrellas, los planetas y las lunas no se repite jamás. ¿Por qué habría que pensar que el mapa meteorológico del presente estará representado en el catálogo de los mapas del pasado?». El argumento es bueno: la atmósfera obedece a ecuaciones tan precisas y deterministas como los planetas, cuyas posiciones exactas se pueden predecir con siglos de anticipación. Lo único que hace falta es... el demonio de Laplace, o algo parecido.

En un libro que publicó en 1922, Richardson se imaginó una fábrica en la que miles de «computadores» (computers, escribe el meteorólogo inglés, pero referido a personas que llevan a cabo operaciones matemáticas, no a ordenadores digitales, naturalmente) calculaban cada uno un pedacito de tiempo atmosférico. Cada uno de estos umpa lumpas matemáticos recibía los datos que necesitaba para calcular el tiempo en una parcela de atmósfera y luego pasaba sus resultados al computador de al lado, que calculaba la parcela adyacente. En lo alto de una columna, donde todos pudieran verlo, había una especie de director de orquesta matemático que iba moderando el ritmo de cálculo de toda la fábrica para homogeneizarlo. Si una región iba retrasada, la iluminaba con una lámpara azul; si iba adelantada, se lo indicaba con una luz roja para que los computadores redujeran la velocidad. Richardson incluso calculó que se necesitarían 64 000 computadores para que su fábrica de pronósticos pudiese seguirle el paso a la atmósfera real.

La fantasía de Richardson cayó en oídos sordos. A principios de los años veinte, su fábrica de pronósticos sonaba más parecida a una película de Georges Méliès, con sabios de peluca blanca, toga y cucurucho en la cabeza, que a una realidad científica, pero menos de treinta años después el sueño de Richardson se materializó cuando el ENIAC, el primer ordenador electrónico, consiguió pronosticar razonablemente el tiempo por medio de un modelo matemático simplificado de los movimientos de la atmósfera. Como para hacer las cosas más dramáticas, cada pronóstico de 24 horas le llevaba al ENIAC unas 24 horas, lo mismo que en la fábrica de 64 000 trabajadores de Richardson. Unos años después, en una reunión de la Real Sociedad de Meteorología del Reino Unido, Jule Charney, responsable del programa meteorológico del equipo del ENIAC, dijo que el valor principal de su trabajo era haber reivindicado la visión de Lewis Fry Richardson, a quien Charney envió sus artículos. «Un gran adelanto científico», dijo Richardson, satisfecho.

Un gran adelanto, quizá, pero insuficiente. Para ser útil, el pronóstico del tiempo tiene que adelantarse al tiempo, naturalmente (si no, es un retronóstico). De eso se ocupaba Edward Lorenz cuando compró su Royal McBee LGP-30 alrededor de 1958.

Mundo de juguete

Para poner en práctica el programa de Bjerknes, Lorenz necesitaba ecuaciones de movimiento: un conjunto de ecuaciones que, como las reglas del ajedrez, indicaran al ordenador cómo habían de evolucionar las variables. Para simplificar el problema, la atmósfera se dividía en celdas o parcelas parecidas a los escaques del tablero de ajedrez, pero en tres dimensiones en vez de dos.

Las ecuaciones de la geometría analítica son como un lazo de amor entre dos variables, x e y. En una ecuación muy simple, por ejemplo, y = x, la variable y sigue a x incondicionalmente. Lo que haga x, eso mismo hará y. Esta enfermiza relación de codependencia corresponde a una recta en el plano.

En muchos casos, además de las variables, es importante tomar en cuenta las velocidades con las que estas varían, es decir, sus tasas de cambio. La tasa de cambio de una variable se determina calculando la diferencia de los valores que toma la variable en dos instantes muy cercanos. Y cuanto más cercanos, mejor; en el caso ideal, se usan intervalos infinitamente próximos y entonces la tasa de cambio se conoce como «derivada de la variable».

Una ecuación en la que figuran las derivadas de las variables se llama «ecuación diferencial». Si la suma de dos soluciones de la ecuación también es solución de la ecuación, esta es lineal. Las ecuaciones diferenciales lineales tienen otras propiedades muy agradables además de esta, una de las cuales es que son relativamente fáciles de resolver. Las ecuaciones se vuelven no lineales cuando la relación entre las variables y sus derivadas se enreda; por ejemplo, la velocidad de un paracaídas depende de la resistencia del aire, pero esta, a su vez, depende de la velocidad del paracaídas. La población de un insecto y la de la especie que lo depreda también están entrelazadas: la una impulsa a la otra y también la arrastra cuando se desploma. Las variables y las derivadas dependen las unas de las otras y no hay forma de darle valor a la una sin dárselo también a la otra, y esto no se puede conseguir sin darle valor a la primera. Es como las manos que se dibujan una a la otra en el célebre grabado de M. C. Escher.

Las ecuaciones no lineales no se pueden resolver de la manera tradicional, es decir, encontrando una función concreta que las satisfaga. En la mayoría de los casos, no queda más remedio que usar la fuerza bruta y construir tablas de números que satisfacen la ecuación punto por punto, pero que no se pueden reducir a una fórmula (en cuyo caso se habla de una «solución numérica»). En ciertos casos se puede obtener información útil sin resolver la ecuación, pero en su mayor parte son tan poco dóciles como un tiranosaurio a régimen de ensalada.

Lorenz escogió un modelo de 12 variables con sus correspondientes ecuaciones diferenciales no lineales y creó un mundo extraño en los circuitos de su ordenador: la tierra era una esfera perfectamente lisa, no había océanos ni nubes, jamás llovía y el sol brillaba continuamente. Solo circu-laba el viento impulsado por el calor del sol. La máquina daba sus resultados, como se había imaginado Bjerknes, en forma de tablas de números correspondientes a los valores de las variables a cada vuelta de la manivela matemática, o a cada iteración, como se dice en lenguaje técnico. Con este modelo simplificado Lorenz podía simular en una hora alrededor de dos meses de movimientos atmosféricos.

Un día Lorenz quiso extender una simulación. Para no tener que esperar a que el ordenador ejecutase la proyección desde el principio, tomó los números que había generado la máquina a la mitad de la simulación anterior, los introdujo como condiciones iniciales de una nueva ronda y fue a tomarse un café. Lorenz esperaba que la segunda mitad de la primera simulación y la primera de la segunda coincidieran exactamente, y, en efecto, así fue durante cierto lapso, pero luego empezaron a diferir, primero en la última cifra decimal, luego en la penúltima, después en la anterior. La diferencia se duplicaba cada cuatro días de simulación, hasta que, al cabo de un lapso no demasiado largo, las dos simulaciones ya no se parecían ni remotamente. Lorenz pensó que la máquina estaba fallando, como sucedía aproximadamente cada semana, pero antes de llamar al técnico quiso tratar de entender el problema. «Los números (que usé como condiciones iniciales de la segunda simulación) no eran exactamente los que había calculado la máquina, sino valores redondeados», escribió Lorenz más tarde. En efecto, el ordenador operaba con seis cifras decimales, pero al transcribir los datos para reintroducirlos en la máquina, Lorenz pensó que bastaba con dar tres cifras. Una diferencia al nivel de milésimas en los valores iniciales no podía tener mucha importancia; sin embargo, «el error por redondeo se iba amplificando continuamente hasta que dominaba la solución». Era como si el fantasma de Poincaré se hubiese metido en el ordenador de Lorenz. Una diferencia pequeñísima de condiciones iniciales conducía en relativamente poco tiempo a una gran diferencia en pronósticos. Si la atmósfera se comportaba de esa manera, se dijo Lorenz, pronosticar el tiempo a largo plazo no solo era muy difícil, sino imposible («... imposible..., imposible...»).

Años más tarde, en una reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, Lorenz presentó una charla titulada «Predictibilidad: ¿Puede el batir de las alas de una mariposa en Brasil causar un tornado en Texas?». El artículo original que Lorenz publicó en 1963 no había despertado el menor interés. Equipado con una buena metáfora, el artículo adquirió alas. Parece que al principio Lorenz se había imaginado más bien una gaviota que, con sus aleteos, altera ligerísimamente las condiciones de una pequeña parcela de atmósfera, alteración que se propaga y crece de forma desproporcionada hasta que engendra un tornado que no habría sucedido sin el aleteo de la gaviota. Después cambió la gaviota por la mariposa, quizá porque así la metáfora resultaba más convincente: el aleteo de una mariposa es más sutil y, en efecto, las ecuaciones simplificadas de Lorenz podían responder con huracanes al más leve soplo inicial. Hoy esta hipersensibilidad a las variaciones en las condiciones iniciales se conoce informalmente como «efecto mariposa».

¿Y qué?, preguntarán algunos. El problema es el siguiente: en meteorología, como en astronomía, las condiciones iniciales se conocen por medio de algún tipo de observación o medición. La precisión de estas siempre tiene límites, es una realidad impepinable. No podemos medir con un número infinito de cifras decimales. Si el fenómeno es el movimiento de un cometa, o el de la bola de la Cabaña del Tío Chueco, estos errores de medición no tienen un gran efecto. Al cabo de setenta años el cometa no se habrá desviado demasiado de la trayectoria que calculamos a partir de nuestras mediciones imprecisas. Su movimiento es predecible (o, dicho de otro modo, nuestros pronósticos acerca de su movimiento son exactos). Pero si el fenómeno tiene mariposas en las condiciones iniciales, como la atmósfera de juguete de Lorenz o la bolita de la ruleta, entonces la imprecisión de las mediciones iniciales tiene efectos importantes: nuestros pronósticos coinciden con la realidad un rato, pero en poco tiempo difieren de manera notable. El fenómeno está perfectamente determinado por las ecuaciones de movimiento y las condiciones iniciales, pero estas son imposibles de medir con exactitud, por lo que, para todo fin práctico, el fenómeno es impredecible. El efecto mariposa intuido por Poincaré e identificado por Lorenz puso de manifiesto una distinción que a nadie se le había ocurrido hacer: determinista y predecible son dos cosas distintas. Aun si el universo fuese tan mecánico como pretendía el narrador de Fontenelle en 1686, no por ello podríamos anticipar lo que va a hacer.

Causal, determinista, predecible

Una teoría es «causal» cuando los fenómenos que explica ocurren como consecuencia de otros fenómenos que vienen antes: todo acontecimiento supone un acontecimiento anterior que lo causa. Si en la teoría el estado de un sistema en un instante cualquiera determina sin remedio su comportamiento futuro, la teoría es también «determinista».

Lo causal y lo determinista son cualidades metafísicas de las teorías y del mundo que describen. No hace falta que nadie conozca el estado del sistema ni en el pasado ni en el futuro para que se cumpla el determinismo (si acaso se cumple). Digamos que la teoría es determinista aunque nadie sepa qué determina. Para saberlo en la práctica habría que medir estados presentes y calcular lo que tiene que suceder. Si el cálculo concuerda razonablemente bien con lo que, de hecho, sucede, podemos hablar de predicción.

Sin embargo, la medición del estado inicial está plagada de las imperfecciones de nuestros aparatos de medir y de nuestros sentidos: no podemos medir el estado del sistema con exactitud infinita. Siempre habrá una diferencia entre lo que medimos y lo que es. En los fenómenos caóticos, esta diferencia inicial entre la medición y la realidad conduce a grandes diferencias entre el cálculo y el comportamiento real del sistema. Para todo fin práctico, predecir es imposible, por determinista que sea la teoría.

En un artículo de 1964, Edward Lorenz rindió homenaje a su Royal McBee LGP-30, sin cuya infinita paciencia habría sido imposible descubrir la sensibilidad de sus ecuaciones a los cambios más diminutos de condiciones iniciales:

Vemos que una máquina de calcular puede desempeñar un papel importante, más allá de solo calcular laboriosamente soluciones numéricas. La máquina es incapaz de demostrar teoremas, pero sí puede sugerir proposiciones para ponerlas a prueba. Las proposiciones luego pueden demostrarse y establecerse como teoremas por métodos analíticos, pero la existencia misma del teorema jamás se habría sospechado sin ayuda de la máquina.

El ordenador fue para Lorenz lo que el telescopio para Galileo: el instrumento esencial para ver lo que nadie había visto.

Pandemónium: el caos determinista

Esto es el caos

La historia de la ciencia se suele narrar como el paso por la región terrenal de una sucesión de genios cuyos inspirados vuelos de intuición y epifanías van disipando nuestra agreste ignorancia. Según esta visión, al genio las ideas le vienen por inspiración divina (en todo caso, por mecanismos inescrutables) y no vale la pena indagar sobre la creatividad del genio científico, ese ser casi divino que vive aislado en una torre de marfil para pensar mejor.

La cosa no es así. Ya en el siglo xvii, los sabios y filósofos naturales (como se llamaba entonces a los científicos; la palabra «científico» data apenas del xix) se comunicaban por medio de cartas y publicaciones especializadas y se reunían en universidades, academias y sociedades científicas nacionales. Un sabio nunca trabajaba aislado. Galileo y Kepler estaban enterados de los problemas prácticos y las polémicas intelectuales y religiosas de su época. También lo estaban sus predecesores medievales, sobre cuyos hombros Kepler, Galileo y más tarde Newton habrían de pararse para ver más lejos. Las ideas científicas emergen de la colectividad.

Durante el siglo xix, la ciencia se decantó en las disciplinas separadas que conocemos —física, química, biología y demás— y los practicantes de estas disciplinas construyeron barreras para delimitar sus territorios. Se desarrollaron las jergas técnicas; estas servían para comunicarse con menos palabras y más precisión con los colegas, pero inevitablemente limitaron la comunicación con científicos de otras disciplinas. Los físicos no hablaban con los biólogos ni los geólogos con los astrónomos. Un químico no tenía nada que decirle a un matemático, ni este a un anatomista. Al llegar el siglo xx, la ciencia era un vasto territorio dividido por fronteras casi herméticas. En tales condiciones, un individuo híbrido como el matemático-meteorólogo Edward Lorenz vivía entre dos universos separados. El asunto tuvo consecuencias prácticas, porque Lorenz acudió a una revista de meteorología para que le publicase un artículo que habría sido de mucho más interés para matemáticos, físicos y biólogos, los cuales por la misma época estaban descubriendo por su cuenta que hasta las ecuaciones más sencillas pueden esconder comportamientos asombrosamente enredados. La semilla original de Lorenz languideció en el olvido por mucho tiempo, antes de la charla en la que el científico presentó el efecto mariposa. En doce años, el artículo de 1963 acumuló apenas veinte citas. Quizá era inevitable que, en el vendaval turbulento de las ideas, tan complejo como el comportamiento del modelo de Lorenz, la semilla acabara por caer en suelo fértil.

El complejo y turbulento vendaval tuvo el tino de llevar el artículo de Lorenz al Instituto de Ciencias Físicas y Tecnología de la Universidad de Maryland, un centro de investigación interdisciplinario, lo que era una rareza a principios de los años setenta. Allí, cierto científico experto en dinámica de fluidos quedó tan encantado con las ideas de Lorenz, que repartía copias del artículo a diestra y siniestra, y una de estas copias cayó en manos del matemático James Yorke. Yorke, como Lorenz, también tenía un pie en una disciplina académica y el otro en otra, pues, además de en las matemáticas, estaba interesado en la física. El artículo de Lorenz fue como una revelación que iba a permitir a Yorke mostrarles a sus vecinos físicos que las vacas esféricas no existen. Al poco tiempo, Yorke y su colaborador Tien-Yien Li escribieron un artículo hoy famoso por ser el primero en el que la nueva forma de desorden que acecha hasta en las ecuaciones más simples y deterministas recibió el nombre con el que la conocemos hoy: caos.

En el lenguaje cotidiano «caos» es cualquier desbarajuste; por ejemplo, el pandemónium que se debe a las veleidades del azar, al ruido, a la ausencia de reglas, pero en el contexto del artículo de Yorke y Li, «caos» adquiere un nuevo significado, como tantos vocablos secuestrados por la ciencia. El caos en el sentido físico y matemático (el caos determinista) no es un desorden total ni se debe a la ausencia de reglas. Antes al contrario, lo que sorprendió a Lorenz y a los demás en este tipo de caos es, precisamente, que se ciñe a reglas. Siempre hay un poco de confusión cuando el significado científico se mezcla con el sentido cotidiano de las palabras, por lo que hay que andar con tiento. Lo interesante del caos determinista es que se trata de un desorden ordenado; un determinismo disfrazado de azar. En el caos determinista el destino está escrito, pero la escritura es ilegible.

Sorpresas de un bichólogo

Para 1974, cuando Yorke y Li bautizaron el caos, la misteriosa sensibilidad a las condiciones iniciales ya se había observado en ámbitos muy apartados de la dinámica de fluidos y la meteorología, pero tan plagados de ecuaciones no lineales como estas disciplinas. Al igual que Lorenz y Yorke, Robert May era un bicho raro (y nunca mejor dicho en su caso, como se verá). Estudió física en su Australia natal y luego se especializó en matemáticas aplicadas en la Universidad de Harvard, pero al final se interesó más por la biología, y, particularmente, por los cambios anuales de las poblaciones de especies diversas: plantas, animales, microorganismos.

Para predecir el número de individuos de una especie a lo largo del tiempo, los biólogos echan mano de modelos matemáticos. Un modelo es un mundo de juguete gobernado por una ecuación (o una familia de ecuaciones) que relaciona el número de individuos en una generación con el número de individuos en la anterior. El modelo más sencillo e ingenuo podría consistir en imaginarse solamente que los bichos se reproducen, y que cuantos más haya, más rápido aumentará la población. La ecuación que describe esto es una muy sencilla y poco realista, porque predice una población que aumenta sin cesar, y, peor aún, cuya tasa de crecimiento aumenta con la propia población: un crecimiento exponencial desbocado que dispararía la población al infinito. Es evidente que esto no puede ser. El mundo no tardaría en convertirse en una bola de bichos del tamaño del sistema solar que crece a la velocidad de la luz. La imagen es poética, pero se aparta demasiado de lo posible.

En la vida silvestre lo normal es que las poblaciones no crezcan exponencialmente porque hay factores que tienden a moderarla: depredadores, espacio y alimento limitados, fenómenos meteorológicos, tasas de nacimiento y mortalidad, entre otros. Imagínense una población de ardillas en un parque. Si son pocas y abunda el sustento (nunca faltan los humanos dispuestos a darles de comer gratis), la población aumentará. Pero si además de los humanos introducimos gatos, o un buen virus ardillicida, las cosas se tornan más interesantes, al menos para el ecólogo, si no para las ardillas. Así pues, en una población de verdad habrá factores que favorezcan el crecimiento y factores que lo limiten.

Un modelo más realista sería algo parecido a un termostato. Un termostato enciende la climatización cuando la habitación se calienta demasiado y la apaga cuando se enfría demasiado, manteniendo la temperatura en un intervalo de equilibrio. Un termostato poblacional mantendría la población en cierto nivel determinado por las características del ecosistema: si la población rebasa ese nivel, el alimento o el espacio escasearán y la población decrecerá; en cambio, si la población cae por debajo de ese nivel, abundará el sustento y la población aumentará. El modelo matemático correspondiente ha de tomar en cuenta que la tasa de crecimiento de la población será mayor cuanto mayor sea la población, pero menor cuando esta se aproxime al nivel de saturación del ecosistema. La ecuación que se obtiene no es lineal, o para decirlo como los físicos y los matemáticos, es «no lineal».

Hace unos años los habitantes de la Ciudad de México vimos aparecer por todas partes unos insectos negros y alargados, con bonitos ribetes entre naranja y amarillo, que se pasaban el día copulando. No sé por qué todo el mundo convino en llamarlos «willis», o bien otro nombre relacionado con su incontinencia sexual que no puedo repetir aquí. Eran bichos entrañables porque, aparte de estar por doquier, no hacían daño ni eran sucios. A los niños les encantaban. Los willis se integraron a la cultura de la ciudad, una especie de moda pasajera que, pensaba yo, nos daba algo así como una distinción local a los chilangos, que es como se llama a los habitantes de la Ciudad de México. Pero tan rápido como proliferaron, hicieron mutis y no recuerdo haber visto ni uno solo desde hace varios años. Los willis tuvieron su momento de eclosión demográfica, como los humanos, y luego la población se desplomó.

¿Qué habrá sido de los otrora florecientes willis? He buscado estudios sobre estos insectos y ahora sé que el nombre científico de la especie es Stenomacra marginella, pero ninguno de estos estudios se refiere a su ecología, de modo que recurrí a una fuente inagotable de conocimiento científico: Facebook. Mis informantes me comunican que los willis se han replegado a los parques y a la corteza de los árboles donde, al parecer, siempre habían vivido discreta y anónimamente antes de que su número los alzara a la fama, y también me informan de que hay willis en toda la región central del país y también en Costa Rica; por lo tanto, de distinción chilanga, nada. Así que la población quizá simplemente volvió a su estado de equilibrio, pero también podría ser que se encuentre en la parte baja de un ciclo. O quizá haya entrado en régimen caótico.

Ejemplar de Stenomacra marginella, insecto conocido popularmente como «willi».

Para describir los cambios de una población como la humana hay que emplear ecuaciones diferenciales. Estas constituyen el lenguaje matemático natural de las cantidades que cambian de manera suave: a los cambios pequeños en el tiempo les corresponden cambios pequeños en la cantidad, y el tiempo se puede subdividir en intervalos tan pequeños como sea necesario. Es como subir por una rampa o tocar una cuerda del violín deslizando el dedo por el diapasón. Pero ciertos organismos se reproducen por temporadas (por ejemplo, en ciclos anuales, o incluso ciclos de diecisiete años) y en ese caso es más práctico usar una variedad de ecuaciones que, en lugar de deslizarse continuamente, avanzan a saltos, como si la rampa se hubiese convertido en una escalera y el violín en un piano. Estas ecuaciones se llaman «ecuaciones de diferencias» o «relaciones de recurrencia». En las relaciones de recurrencia el tiempo avanza a tirones, como el segundero de un reloj. Cada tirón marca una nueva generación.

Con la relación de recurrencia en la mano se puede calcular la población correspondiente a un año dado a partir de la población del año anterior. Si x es la población, entonces xeste año = F(xaño pasado). F representa todas las operaciones matemáticas que hay que hacer para tomar en cuenta los factores que favorecen el crecimiento de la población y los que lo obstruyen. En el caso de nuestras ardillas, F debería contener el efecto de los humanos que las alimentan, los gatos que se las comen, el virus que las diezma, así como el número máximo de ardillas que puede sustentar el parque. Una vez que hemos construido la relación F (con mucho trabajo de campo), podemos hacer como Lorenz con sus ecuaciones: calcular poblaciones para años sucesivos dando vuelta a la manivela de la relación de recurrencia: cran, un año y un número de individuos; cran, otro año y otro número; cran, cran, cran, cran... Una gráfica nos puede dar una buena idea del comportamiento general de nuestra población, sea de ardillas o de mosquitos transmisores de enfermedades.

Pero volvamos con Robert May... a quien encontramos aplicando relaciones de recurrencia no lineales a las poblaciones con la esperanza de reproducir por medio de modelos matemáticos lo que se esperaba que hiciese una población, a saber, crecer hasta alcanzar un punto de equilibrio y decrecer cuando se rebasa ese punto de equilibrio. Lo que encontró, empero, es que sus poblaciones artificiales podían variar de maneras complicadas de un año al siguiente pese a que las ecuaciones eran de categoría vaca esférica (May analizó especialmente el caso de una relación de recurrencia que se conoce como «aplicación logística»). La ecuación contenía un parámetro que representaba la tasa de crecimiento y otras características de la población, parámetro que May podía ajustar como se ajusta un botón. El investigador daba al parámetro un valor bajo y hacía girar la manivela iterativa: cran, cran, cran, cran... La población alcanzaba un nivel de equilibrio y allí permanecía por el resto de la eternidad. Cuando May incrementaba el parámetro, sus bichos se reproducían como conejos desenfrenados, la población rebasaba el punto de equilibrio, luego se desplomaba, luego volvía a subir, y así seguía, variando con un ritmo machacón entre dos valores, un equilibrio dinámico. May observó que otro incremento de la tasa de crecimiento resultaba en equilibrios dinámicos cada vez más complicados, con cuatro valores de la población, luego ocho, hasta que, a partir de un umbral en el valor del parámetro, las bifurcaciones daban lugar a un comportamiento desquiciado: ya no había valores repetidos y los números sucesivos que se obtenían parecían variaciones totalmente aleatorias: el caos poblacional.

May se quedó atónito, y esto se nota en sus artículos de 1974. En un trabajo publicado en la revista Science en noviembre de ese año, el investigador escribió que hasta

las más simples ecuaciones no lineales para describir poblaciones presentan una gama de comportamientos dinámicos que, al aumentar el valor del parámetro, pasan de un punto de equilibrio estable a oscilaciones cíclicas estables entre dos puntos, a ciclos estables de cuatro puntos, luego de ocho, y así sucesivamente, hasta llegar a un régimen que solo se puede describir como caótico (término acuñado por J. A. Yorke).

Y más adelante: «Esta rica estructura dinámica, y en particular el régimen de caos, […] es un hecho de considerable interés matemático y ecológico, que merece apreciarse más», especialmente porque este sorprendente comportamiento de los modelos más simples tiene implicaciones prácticas: «aunque la naturaleza fuese cien por cien predecible», escribió May, «las variaciones de la población pueden, en ciertas circunstancias, ser indistinguibles del azar». Moraleja: no todo lo que parece un galimatías lo es.

«Tal comportamiento ya se había observado en un contexto meteorológico», escribió May en una clara, aunque indirecta, alusión al trabajo de Edward Lorenz, «y seguramente tiene otras aplicaciones».

El evangelio según May

Deslumbrado con el tesoro de joyas rutilantes que encontró en las relaciones de recurrencia más simples, Robert May se transformó en uno de los evangelistas del caos de los años setenta. En 1976 publicó en la revista Nature un extenso catálogo de modelos poblacionales y sus equilibrios, ciclos, bifurcaciones y ataques de caos, y señaló con asombro que estas ecuaciones también servían para describir «muchas situaciones, en muchas disciplinas» (apuntando en particular a la economía y las ciencias sociales). El mundo no es como nos lo habíamos imaginado, parece decir May: ¡esto hay que anunciarlo a los cuatro vientos! El investigador clama por que no se retrase la inclusión de las matemáticas de las ecuaciones no lineales en los programas de estudio de las carreras científicas y, de ser posible, en los cursos de matemáticas elementales. «Mi artículo evangélico», llamaba May a su publicación de 1976.

Hacia el final del artículo, el evangelista del caos vuelve al asunto de las cosas que parecen ruido sin serlo. Esto «tiene inquietantes implicaciones prácticas. Significa, por ejemplo, que las fluctuaciones aparentemente erráticas [de una población] no provienen por fuerza de las veleidades de un entorno impredecible ni de posibles errores de muestreo», como se podría pensar, sino que pueden deberse a un proceso de crecimiento tan simple y determinista como el que más. Luego May extiende el análisis al caso en que, en vez de una sola especie, hay dos o más. Cada especie cambia según su propia ecuación, pero como las especies compiten entre sí, el tamaño de la población de la una tendrá efectos sobre las otras. La solución de una depende de las otras; las ecuaciones se entrelazan, las soluciones son caóticas.

Para una o dos especies el comportamiento será sencillo y tenderá a algún punto de equilibrio. Hay dos tipos de equilibrio posibles: 1) las especies coexisten en relativa paz, o 2) una o ambas se extinguen. Pero cuando hay tres especies o más puede suceder lo que vislumbró Henri Poincaré casi un siglo antes que May y en un ámbito muy diferente, el de las trayectorias de los cuerpos celestes sujetos a la gravedad. Con dos cuerpos era posible encontrar soluciones sencillas y estables (órbitas elípticas que duran una eternidad si nada interviene para alterarlas), pero con tres, solo hay un puñado de soluciones sencillas, estables y predecibles, y en cambio la gran mayoría son caóticas. Pues lo mismo sucede en el caso de las poblaciones: con tres especies las ecuaciones contienen una rica variedad de comportamientos (equilibrios, ciclos, bifurcaciones y caos). Al parecer, tres es el número mágico tanto en mecánica celeste como en ecología. A partir de tres elementos, abandonamos el reino encantado de las vacas esféricas y penetramos en la tupida maleza de la complejidad caótica.

El jardín de los senderos que se bifurcan

En materia de aplicaciones con valor práctico, la que sigue no es gran cosa, pero ilustra muy bien la idea de que el caos es un régimen al que se llega modificando el valor de cierto parámetro. La tomé del libro ¿Juega Dios a los dados?, del matemático británico Ian Stewart. Tiene la ventaja de que ustedes la pueden observar en casa, como hizo Stewart y como he hecho yo hace un momento. Solo hace falta un grifo y tener pulso de cirujano.

Cuando el grifo está cerrado no pasa nada; cuando está abierto, el agua fluye en un chorro continuo que parece un hilo de cristal (si el grifo no tiene una rejilla para romper el flujo en burbujas). Son dos estados de equilibrio fáciles de describir, pero los estados que nos interesan no son estos extremos, sino los intermedios que se encuentran apiñados en una región muy estrecha entre las posiciones grifo cerrado y grifo abierto: la región de grifo-abierto-apenas-lo-suficiente-para-que-salgan-unas-gotitas.

Abran el grifo apenas lo suficiente para que salgan unas gotitas. Estas caen con un ritmo continuo: drip drip drip drip... Si abren el grifo un poco más (pero solo un poco, de verdad; basta un golpecito con el dedo), el ritmo se acelera, pero sigue siendo constante. Una pizca más y pasamos de gotas individuales a grupos de dos o tres gotas al hilo, separados por pausas: drip drip drip [pausa] drip drip drip [pausa]... Si tienen suerte, quizá puedan observar bifurcaciones a periodicidades más altas: drip drip drip drip [pausa] drip drip drip drip [pausa]. Luego, sin que medie otra cosa que un levísimo incremento extra en la apertura del grifo, las gotas empiezan a salir por grupos sucesivos de tres, cinco, dos, una, nueve..., en una secuencia impredecible que recuerda las cifras decimales de los números irracionales (o las hazañas musicales de un fino batería de jazz). Henos aquí en el régimen caótico, igual que las poblaciones de Robert May. Observen que las variaciones del parámetro (o sea, el grado de apertura del grifo) son mínimas. La diferencia entre el orden repetitivo de las gotitas periódicas y el régimen caótico es un levísimo roce. El caos acecha a la vuelta de la esquina.

Este comportamiento de períodos que se multiplican hasta llegar al caos es característico de muchos fenómenos caóticos, no importa si se refieren al goteo de un grifo o a las variaciones de una población, y por ese motivo es muy interesante: se trata de una propiedad universal que quizá nos permita ir encontrándole orden al caos. Hemos visto que lo mismo ocurre con las relaciones de recurrencia de May; en particular, con la aplicación logística. Es hora de presentársela en persona:

xn+1 = rxn(1 – xn)(1)

Esta relación puede representar, por ejemplo, el número de willis en temporadas sucesivas: xn willis en un año dado y xn + 1 al año siguiente. Solo hay una sutileza: la población está expresada como una proporción del número máximo de willis que puede tolerar el ecosistema. Así, la población que satura el ecosistema es 1 y cualquier otra es una fracción de esta; por ejemplo, 0,5. Una población de 0,5 es una población igual a 50 % del número máximo posible, una de 0,2 es del 20 %.

La población xn + 1 en una temporada (un año, una generación...) depende de la población xn de la temporada anterior y de un parámetro r, que contiene información sobre el efecto del entorno en la población. Supongamos que en un año dado la población es xn = 0,5 y que el entorno queda descrito por r = 2,8. De acuerdo con la expresión general (1), la población del año siguiente será:

xn + 1 = 2,8 × 0,5 (1 – 0,5) = 0,7
(o 70% del valor de saturación)

¿Cuánto valdrá la del año siguiente? Pues basta tomar el resultado de la primera operación y ponerlo de nuevo en la ecuación como dato de entrada: xn = 0,7, y obtenemos:

xn + 1 = 2,8 × 0,7 (1 – 0,7) = 0,588

Si seguimos calculando poblaciones sucesivas a fuerza de reciclar resultados, como si hiciésemos girar la manivela de May, que a cada vuelta calcula una población, obtendremos una sucesión de números, una especie de trayectoria u órbita de la población a lo largo del tiempo. Con el parámetro y la condición inicial que estamos considerando, obtenemos la sucesión:

0,5

0,7

0,588

0,6783...

0,6109...

0,6655...

0,6232...

... (me salto algunos números, que esto nos está llevando un tiempo bárbaro)

0,6438...

0,6420...

0,6435...

0,6423...

0,6432...

Si hacemos girar la manivela muchas veces —si repetimos muchas veces la aplicación logística con este valor del parámetro y esta población inicial—, podremos observar que, al cabo del tiempo, la población se establece en un valor de alrededor de 0,64, y ahí permanece para siempre.

Cambiemos el valor de la población inicial: en vez de 0,5 que sea 0,9. Todo esto lo pueden comprobar fácilmente (con paciencia, eso sí) usando una calculadora. He aquí algunos valores que extraigo de la sucesión que obtuve con unas 50 iteraciones:

0,9

0,252

0,5277...

0,6978...

...

0,6434...

0,6423...

0,6432...

0,6425

...

Con esta nueva condición inicial, la población pasa por otros números (recorre otra trayectoria), pero al final tiende al mismo punto de equilibrio. Podemos concluir que, con r = 2,8, la aplicación logística tiende a un valor de 0,64, poco más o menos, sin importar las condiciones iniciales. Decimos que 0,64 es un atractor de la aplicación logística con r = 2,8. Es como una especie de reloj de péndulo, cuyo mecanismo de restitución de energía lo devuelve siempre a la misma frecuencia aunque el péndulo reciba una sacudida: al principio se desestabilizará, pero al cabo del tiempo regresará al mismo régimen.

Ahora cambiemos el valor del parámetro a r = 3,2. Quizá este parámetro corresponde a las ardillas de otro parque, o a los willis de Costa Rica. Tomamos una población inicial y damos vuelta a la manivela. Obtenemos una sucesión de números que depende, en sus detalles, del valor inicial de la población, pero que con el tiempo termina por alternar entre dos valores fijos: 0,513 y 0,799 (aproximadamente). Ahora hay dos atractores y la solución salta del uno al otro. Estamos en un régimen de período 2 porque las cosas se repiten cada 2 iteraciones. Decimos que se ha producido una bifurcación, o una duplicación de período. Otros valores del parámetro r producirán nuevas bifurcaciones (a períodos 4, 8, 16...) hasta que, entre r = 3,5 y r = 3,6, la población salta caóticamente sin establecerse en ningún valor.

Convirtamos todo esto en una imagen: la gráfica de los atractores (valores a largo plazo) que corresponden a cada valor del parámetro r. Hacerlo a mano sería muy tedioso. Exige repetir muchas veces (quizá miles) la aplicación logística para cada valor de r (¡y son muchísimos valores de r!), pero un ordenador tiene paciencia y lo puede hacer muy rápidamente. Lo que se obtiene es el siguiente diagrama de bifurcaciones (véase la figura 1):

Figura 1. Diagrama de bifurcaciones.

Interpretemos un poco. Cada punto de esta gráfica representa un atractor de la aplicación logística. A cada valor del parámetro r corresponde cierto número de atractores: los que se encuentran sobre una vertical trazada en ese valor de r. En el primer tramo solo hay un atractor, que luego se divide en dos, en cuatro, en ocho. El régimen ordenado se aprecia fácilmente: es la región más despejada de la gráfica. Lo caótico se ve como franjas oscuras. Observen en la figura que las bifurcaciones se suceden a valores de r cada vez más próximos entre sí y que el régimen caótico no es definitivo: en medio del caos hay intervalos de r en los que la población vuelve a ser periódica, claros de orden en el bosque del caos. En la escala de esta gráfica se aprecian claros de distintos tamaños, pero he aquí lo más asombroso: noten que cada rama del diagrama de bifurcaciones es una repetición en escala menor del diagrama completo, con sus claros de periodicidad y sus bosques de caos. Dentro de estos habrá otras ramas más pequeñas que son una copia miniaturizada del diagrama completo, con sus claros y bosques...

Obtenemos una especie de brócoli matemático: ramas de ramas de ramas —partes que son iguales al todo— en una estructura infinitamente compleja y que se ve igual en cualquier escala que la miremos. Un viajero que en lugar de viajar por el espacio se desplazase por las distintas escalas de esta figura, pronto perdería el norte y terminaría en la más miserable confusión: todo se ve igual aunque cambie la escala. Pensaría que estaba avanzando en círculos. Esta estructura que trastoca la idea de escala es un fractal.

Picos por doquier

No veía diferencia alguna entre los árboles y el brócoli. Salvo la del tamaño.

Susan Steinberg, «Lifelike», en Hydroplane (2006)

Junto a mi casa hay un montículo de arena y grava, restos de una construcción vecina. Con el paso del tiempo la pila, originalmente cónica, se ha ido asentando. La lluvia ha compactado unas partes y desgajado otras. El viento ha terminado de esculpir el montículo, dejando una imitación perfecta, pero a escala, de las laderas, riscos, peñascos, precipicios, desfiladeros y valles de una montaña de verdad. Me entran ganas de hacerle una foto sin referencia a su tamaño real y colgarla en Facebook, a ver si alguien cae y se cree que es una montaña.

Lo he llamado «Monte Sergio» en honor a su descubridor (o sea, yo, aunque no me he atrevido a escalar sus imponentes 80 centímetros de altura). El Monte Sergio tiene retoños: montículos más pequeños que se asemejan al original. Si no fuese porque los granos de arena que los forman no son infinitamente pequeños, y que a fuerza de reducirse los montículos no tardarían en llegar a la escala irreducible del grano de arena, me puedo imaginar una familia de réplicas aproximadas del Monte Sergio a escalas más pequeñas, hasta el infinito.

¿Qué distingue al Monte Sergio de una montaña de verdad? Nada. Bueno, sí que se distingue en tamaño y en masa, pero las formas son iguales. Yo frente al Everest y una hormiga ante el Monte Sergio: distinta escala, el mismo problema. Hay formas que no cambian cuando intercambiamos la izquierda por la derecha. Un cuadrado se queda igual si lo giramos 90 grados y un pentágono es indistinguible de otro girado 72 grados. Hablamos de simetría cuando ciertas propiedades de un objeto no cambian cuando lo giramos, lo trasladamos, lo doblamos. El Monte Sergio, junto con el diagrama de bifurcaciones del apartado anterior y el brócoli y la coliflor sugieren otra idea de simetría: la que deja las cosas iguales cuando las miramos a distintas escalas.

Las figuras que tienen esta insólita simetría se llaman «fractales». Se reconocen fácilmente una vez que se entiende el principio fundamental: son como esas fotos que contienen una versión más pequeña de sí mismas. El infinito llama desde las profundidades de estos cuadros y, en efecto, en un fractal matemático, la estructura anidada como de muñeca rusa se extiende estrictamente hasta escalas infinitamente pequeñas. Hay que distinguir un fractal matemático de los fractales naturales, que no pueden tener una estructura infinitamente profunda porque a una escala lo bastante pequeña nos toparemos con los átomos. Hay montañas fractales, pero el fractal natural más deslumbrante con el que me he topado era un río que vi desde un avión, sobrevolando la costa del estado de Georgia: tenía un cauce sinuoso principal del que se desprendían cauces sinuosos más pequeños con cauces sinuosos aún más pequeños, una cabellera de medusa que espejeaba al sol de la tarde y se perdía en el horizonte.

Muchos fractales son el rastro que deja un proceso caótico, pero no lo deja solo en el mundo físico. El diagrama de bifurcaciones medra en un espacio matemático abstracto. El matemático Benoît Mandelbrot se topó con sus primeros fractales en las gráficas del precio del algodón y sus variaciones a lo largo de muchos años. Estas gráficas eran una especie de electrocardiograma del mercado del algodón. Mandelbrot observó que la gráfica de un año no se distinguía esencialmente de la de un mes ni de la de un día. El matemático acuñó la palabra «fractal» a partir del vocablo fractus, cuyo significado en español no es difícil de adivinar: se refiere a lo fracturado o quebrado, y describe perfectamente estas figuras que tienen un poco del vidrio hecho añicos y del contorno abrupto de una cordillera moldeada por procesos geológicos violentos. Después de identificar fractales naturales y fractales matemáticos muy diversos, Mandelbrot escribió: «Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, los litorales no son círculos, la corteza de los árboles no es tersa y los rayos no viajan en línea recta». Los fractales eran un nuevo lenguaje geométrico para describir las formas complejas de la naturaleza y de la actividad humana. El matemático Ian Stewart dice que el caos y los fractales son primos matemáticos porque ambos tratan de la estructura de lo irregular.

Conjunto de Mandelbrot. Cada imagen es la ampliación de una sección de la fotografía anterior.

Los fractales de Mandelbrot tienen antecedentes. En 1904, el matemático sueco Helge von Koch describió en un artículo una «curva continua sin tangentes» que se podía construir con facilidad. Lo de «sin tangentes» significa, en términos matemáticos, que la curva tiene picos en todos sus puntos. Es continua, pero no es suave como una parábola o una recta. ¿Difícil de imaginar? Lo es, hasta que Koch nos explica cómo se construye. Tómese un triángulo equilátero; luego divídanse sus lados en tres, y en los segmentos centrales superpónganse sendos triángulos equiláteros de lado igual a 1/3 del original. Se obtiene la estrella de David, pero ahí no acaba el proceso (véase la figura 2). De hecho, no acaba nunca: la idea de Koch era seguir partiendo los lados en tres y añadiendo triángulos equiláteros cada vez más pequeños.

Al cabo de un número infinito de pasos se obtiene la curva de Koch, una especie de copo de nieve que tiene propiedades asombrosas, además de la falta de tangentes. Obsérvese que con cada etapa se incrementa la longitud del contorno. El perímetro de la curva final es infinito, pese a que esta cabe con holgura en un círculo circunscrito al triángulo original y pese a que encierra un área finita. De hecho, se puede calcular que el área que encierra la curva de Koch es igual a 1,6 veces la del triángulo inicial. Un área finita de perímetro infinito. Sigue siendo difícil de imaginar.

Figura 2. La curva de Koch. Arriba, los primeros cuatro pasos en la construcción de la curva de Koch. El proceso es infinito. Abajo, col romanesco y copos de nieve, dos ejemplos de fractales en la naturaleza.

Koch descubrió la curva, pero Mandelbrot le puso nombre al concepto general que encarna, y ya se sabe que a veces basta nombrar una idea para darle alas. Desde que Mandelbrot acuñó la palabra, en 1975, proliferaron los artículos científicos sobre estructuras fractales en el organismo humano, en la forma de algunas plantas, en las variables económicas, en la frecuencia de los terremotos y hasta en la música de Bach.

Extraños en el espacio

Para percibir la relación más directa entre el caos y los fractales tenemos que adentrarnos en un mundo abstracto que inventaron los científicos con el fin de comprimir la información acerca de la compleja dinámica de problemas como el de los tres cuerpos y las simulaciones de Edward Lorenz. Este mundo se llama «espacio de fases».

Una bicicleta tiene varias partes que se mueven más o menos independientemente; tiene distintos «grados de libertad», como dicen los físicos: la rueda delantera, la trasera, el manillar, el ensamblaje de los pedales y los pedales mismos. Cuando voy en bicicleta, cada una de estas partes va cambiando de posición: las ruedas continuamente, los pedales por rachas y el manillar, ora hacia un lado, ora hacia el otro. Si quisiera describir con todo detalle mi paseo, además de mostrar mi trayectoria sobre el plano de la ciudad, podría presentar gráficas del movimiento de cada uno de los grados de libertad de mi bici: seis gráficas del valor de seis variables distintas como funciones del tiempo. Muy bien. Si me da por ser aún más meticuloso, añadiré las seis gráficas de las velocidades de esas variables, pero lo que obtengo al final es una ensalada impresentable.

La idea genial de los físicos y matemáticos de principios del siglo xx fue esta: tomar todas las variables de un problema y, en lugar de representar con gráficas cada una respecto al tiempo, tomar esas gráficas, arrancarles el eje del tiempo y forjar con los ejes restantes un nuevo «espacio» en el que cada variable se convierte en una coordenada (o en una dimensión). A cada instante t las coordenadas van tomando los valores correspondientes. La información que en las gráficas separadas se extraía de seis puntos, en este nuevo espacio queda comprimida en un solo punto. Si ahora echamos a andar el tiempo, el punto que representa el estado instantáneo empieza a moverse. El movimiento de este punto no es la trayectoria de la bici en el espacio físico, sino una representación metafórica —casi poética— de su dinámica.

El espacio físico normal tiene tres dimensiones porque bastan tres números, o coordenadas, para especificar la posición de cualquier punto. El nuevo espacio abstracto que hemos construido contará con tantas dimensiones como grados de libertad tenga el sistema que describe (en el caso de mi bici, seis). Este espacio abstracto se conoce como «espacio de configuración». Demos un paso más e incluyamos las velocidades de cada variable. Esto duplica el número de dimensiones del espacio, pero el punto metafórico contiene toda la información acerca de mi paseo en bicicleta (y además, puestos a imaginarnos espacios de más de tres dimensiones, tanto dan seis como doce... o como mil). El espacio que se construye con los grados de libertad y sus velocidades es el «espacio de fases» que mencioné anteriormente.

Veamos un caso concreto, vacuno y esférico: el péndulo que vio Galileo hace ya tanto tiempo (y tantas páginas) en la catedral de Pisa. El péndulo tiene un solo grado de libertad interesante: la desviación de la verticalidad. Su estado instantáneo queda completamente descrito por medio del ángulo de desviación y la velocidad de la lámpara. El espacio de fases tendrá dos dimensiones (y, por lo tanto, se puede visualizar, a diferencia de la gran mayoría de los espacios de fases).

Cuando el péndulo está en reposo, el punto en el espacio de fases se encuentra inmóvil en la posición correspondiente a inclinación cero y velocidad cero, o sea, en el origen de coordenadas. Ahora lo apartamos de la vertical, digamos, 20 grados. El punto en el espacio de fases se desplaza a la posición 20 en el eje horizontal y se queda inmóvil, esperando a que lo soltemos. Lo soltamos. El péndulo empieza a moverse, pasa de largo por la vertical con velocidad máxima, asciende y se detiene a 20 grados en la dirección opuesta. Y otra vez de vuelta, hasta la posición original. Si no hay fricción, el péndulo sigue oscilando para siempre y el punto que lo representa en el espacio de fases traza una curva cerrada. La lámpara de Galileo, en cambio, terminaba deteniéndose por efecto de la fricción. En ese caso, la trayectoria en el espacio de fases es una espiral que converge en el origen, como muestra la figura 3.

Figura 3. Un péndulo en el espacio de fases. A) sin fricción: un ciclo de amplitud constante, y B) con fricción: la amplitud de las oscilaciones se amortigua y la espiral tiende al origen.

Abandonemos la catedral de Pisa y vayamos a la casa de Christiaan Huygens. Ahí encontraremos un péndulo conectado a un mecanismo que le restituye la energía que pierde por la fricción y que regula su amplitud: un reloj de péndulo. El punto correspondiente en el espacio de fases gira siempre en el mismo ciclo. Supongamos que un día Huygens tropieza y se da un porrazo contra el reloj: la sacudida altera el movimiento del péndulo. Por unos instantes, su representación metafórica explora la región periférica del ciclo original en el espacio de fases, pero al rato el mecanismo restituye la amplitud y la frecuencia original. El punto vuelve a la misma curva, igual que volvía al origen cuando había fricción sin restitución. El ciclo, en el reloj con restitución, y el origen en el péndulo con pérdidas por fricción ejercen una especie de atracción sobre el punto en el espacio de fases. Decimos que son «atractores» del péndulo (y recordemos que las poblaciones de bichos de Robert May también tendían hacia valores que funcionaban como atractores). Distingamos: el origen es un atractor de tipo puntual y el ciclo es un atractor de un tipo llamado «ciclo límite» (véase la figura 4).

Figura 4. Ciclos límite. Un ciclo límite atrae órbitas cercanas. El reloj de péndulo vuelve a su régimen normal después de una sacudida.

Basta de vacas esféricas. Hay dinámicas mucho más interesantes que la del péndulo, lo malo es que suceden en espacios de fases de muchas más dimensiones que no podemos visualizar. Hay una que sí, empero: el sistema de tres ecuaciones por medio del cual Edward Lorenz modelizó la atmósfera en el primer ejemplo moderno de caos. Si usamos como coordenadas las tres variables de Lorenz (que, lamentablemente, no equivalen a ninguna cantidad física cotidiana, como podrían serlo la presión, la temperatura y la humedad), cada punto de este espacio corresponderá a un estado de la atmósfera de juguete. Establecer condiciones iniciales equivaldrá a escoger un punto inicial en este espacio. Resolver las ecuaciones numéricamente equivaldrá a poner dicho punto en movimiento.

Lorenz observó que el punto en el espacio de fases empezaba a deambular, haciendo círculos amplios, luego más cerrados, ahora en un sentido, ahora en el contrario, en una secuencia imposible de predecir pese a que estaba perfectamente determinada por las condiciones iniciales, o sea, por la posición inicial del punto. Otros puntos iniciales hacían cosas parecidas, pero con otra secuencia. Y, por supuesto, dos puntos en un principio muy cercanos corrían juntos un rato, pero al cabo de un tiempo se apartaban y partían cada uno en una trayectoria completamente distinta, como dos amantes que se separan: el efecto mariposa encarnado en el espacio de fases.

Los puntos, en su ir y venir, nunca se apartaban mucho de cierta región, como las moscas en una habitación, e incluso trazaban el contorno de una extraña figura: un atractor que no era ni un punto fijo ni un ciclo límite, los únicos tipos de atractor que se conocían hasta entonces. Un punto que se deslizaba sobre este atractor podía pasar muy cerca de posiciones que había ocupado antes, pero jamás podía volver exactamente a la misma (porque si volviese, la trayectoria a partir de ahí se repetiría, lo que nunca ocurre en el modelo de Lorenz). Para que esto fuese posible, el atractor debía tener capas, como una tarta milhojas. Los atractores conocidos describían fenómenos estables o periódicos, cosas que terminan por repetirse, como las colas decimales de los números racionales. El atractor de Lorenz era un objeto nuevo, un atractor sin ninguna periodicidad y que contenía infinitas trayectorias en un volumen finito.

Figura 5. El atractor de Lorenz. Los hilos son trayectorias como los rastros de luz de los faros de los coches tomados en una foto de exposición prolongada. Por una hermosa casualidad, desde ciertas perspectivas tiene forma de mariposa, pero no hay que ver demasiado en ello.

Pongamos ahora una nube de miles de puntos muy cercanos entre sí sobre el atractor de Lorenz (basta con que los puntos estén cerca del atractor: este no tardará en atraerlos). Al discurrir el tiempo, los puntos se van moviendo por el atractor. Primero siguen muy juntos, pero al rato empezarán a diseminarse conforme cada uno siga la trayectoria particular, diferente a la de los demás, determinada por sus condiciones iniciales. Al cabo de un tiempo suficiente, los puntos estarán desparramados por todo el atractor, lo que no ocurre con los atractores tradicionales (el punto, el ciclo límite), que mantienen unido lo que empieza unido.

En 1963, años antes de que Mandelbrot popularizase los fractales, Lorentz escribía que para obtener apenas unas cuantas hebras del atractor tenía que hacer 500 cálculos distintos con su primitivo Royal McBee, que se averiaba cada tercer día. ¡Pobre Lorenz! Con todo, consiguió vislumbrar, más allá de lo que le mostraba su ordenador, la monstruosa (o hermosa) estructura en la que se transformaba su modelo en el espacio de fases. Estaba hecha de dos espirales unidas por infinitas trayectorias entretejidas (véase la figura 5); sin embargo, la estructura tenía un volumen finito. «Vemos que cada superficie es en realidad dos superficies, de tal suerte que donde parece que se juntan hay en realidad cuatro superficies», escribió Lorenz en un valiente esfuerzo de comunicar su visión. «Si seguimos este proceso a lo largo de otra vuelta, veremos que en realidad hay ocho superficies, y concluimos que hay un complejo infinito de superficies extremadamente juntas.» Lorenz no lo sabía en ese momento, pero con el ojo de su imaginación matemática estaba contemplando un fractal.

Años más tarde, cuando el trabajo de Lorenz salió a la luz y se construyeron los espacios de fases de muchos fenómenos caóticos, el matemático belga David Ruelle denominó «atractores extraños» a los atractores fractales. He aquí, por fin, el orden que se ocultaba detrás del desorden que no es desorden: los fenómenos caóticos forman atractores extraños en el espacio de fases.

James Gleick, autor del clásico Caos, la creación de una ciencia (1988), escribió:

Más tarde, la existencia de los atractores extraños impulsó la revolución del caos aportando un programa claro para los exploradores numéricos. Estos buscaron atractores extraños por todas partes, dondequiera que pareciese que la naturaleza se comportaba de manera aleatoria. Unos alegaron que el estado del tiempo podría obedecer a un atractor extraño. Otros reunieron miles de datos de precios en la bolsa de valores y se pusieron a buscarles atractores extraños, atisbando el azar a través de la lente ajustable del caos.

Pero, oigan, un momento: ¿«revolución»? Ya veremos...

Los años caóticos

Uno no ve las cosas hasta que da con una buena metáfora que le permite percibirlas.

Robert Shaw

Empresarios caóticos

Un buen día te aprendes una palabra que no habías oído en tu vida y en los días sucesivos te la encuentras varias veces. Te compras un coche de cierta marca y eso basta para que te salten a la vista todos los coches de la misma marca que ves por la calle. Esa palabra y esos coches no empezaron a existir cuando pusimos nuestra atención en ellos, es solo que antes nos pasaban inadvertidos. Se trata de un fenómeno de la percepción: resulta más fácil ver lo que ya se conoce.

Lo mismo ocurrió con el caos determinista. El término que acuñaron Yorke y Li hizo cristalizar las observaciones dispersas e imprecisas de fenómenos hipersensibles a las condiciones iniciales. Fue como un destello de claridad unificadora: estos fenómenos se reunieron en una sola categoría a la luz de la nueva definición. Tras la primera sorpresa, en las décadas de 1960 y 1970, investigadores de las disciplinas más diversas empezaron a ver caos por doquier: los mercados financieros, el ritmo del corazón, los cambios diarios en la concentración de glóbulos blancos en la sangre, el tráfico y otros sistemas tanto naturales como artificiales. Todo lo que parecía irregular, y que otrora se consideraba simplemente aleatorio, se volvió susceptible de analizarse con la lente del caos determinista.

El frenesí es comprensible. Un sistema gobernado únicamente por el azar es impredecible (salvo en sus generalidades estadísticas); un sistema caótico también es impredecible, pero solo a largo plazo. Su futuro inmediato quizá se podría leer si uno encontrase el mecanismo determinista que lo gobierna. Si los mercados financieros son caóticos en vez de simplemente aleatorios, quizá podría encontrarse la manera de anticiparse a sus ascensos y descensos aunque fuese un poco. En los mercados financieros la información fluye a la velocidad de la luz, y el tiempo transcurre a la velocidad de los ordenadores; en estas condiciones, una ventaja de pocos segundos bastaría para ganar una fortuna.

En los años noventa, los físicos Doyne Farmer y Norman Packard construyeron un sistema informático para analizar los altibajos de los mercados y aplicar técnicas derivadas del caos para pronosticarlos. Parece que a Farmer le gustaban los juegos de azar, porque unos años antes, cuando era estudiante de posgrado en el campus de Santa Cruz de la Universidad de California, fabricó un pequeño ordenador que cabía en un zapato y podía calcular la trayectoria aproximada de la bolita de una ruleta. Farmer y otros físicos jóvenes se fueron con su invento a Las Vegas, pero al poco tiempo los echaron de los casinos. Los empresarios del juego detestan a las personas que pueden fisgonear en las brumas del azar.

En pantalones cortos y sandalias, Farmer, Packard y un equipo de físicos vestidos como para ir a la playa afinaron su sistema informático alimentándolo de datos reales para que extrajese los esquivos patrones característicos de los sistemas caóticos. Sus ordenadores estaban conectados a la red de datos que ya entrelazaba universidades, instituciones militares y los centros financieros del mundo aun antes de que internet llegara a los hogares. Desde un piso sin muebles en Santa Fe (Nuevo México), los desaliñados científicos —uno de los cuales, Packard, con más de cuarenta años, jamás había tenido una casa propia— controlaban capital aportado por un banco suizo al que, contra toda expectativa, habían convencido de financiar el proyecto, llamado Prediction Company.

Las operaciones las hacían los ordenadores. El equipo de científicos podía irse tranquilamente a comer un bocadillo o a tomar una copa mientras las máquinas hacían apuestas con el dinero del banco suizo confiando en un algoritmo matemático desarrollado por personas que jamás habían invertido ni un céntimo. Peor aún, el algoritmo matemático se había diseñado originalmente para tratar problemas de dinámica de fluidos. Al cabo del tiempo, con unos cuantos años de ajustes finos, simulaciones y cambios de estrategia —además del dinero del banco suizo—, los científicos podían incluso irse de vacaciones una semana y, al volver, encontrarse con que su «portafolios» había crecido durante ese lapso.

Packard pudo por fin comprarse su casa, pero no se puede decir que los colaboradores nadasen en la abundancia, lo que puede achacarse a muchas causas; por ejemplo, a que nada impedía que otras personas desarrollasen sus propios algoritmos basados en las matemáticas del caos, y una vez que todo el mundo adopta una misma estrategia, se disipa cualquier ventaja que esta hubiese podido ofrecer cuando era exclusiva. Otra posibilidad que me parece más interesante es que los mercados financieros simplemente no sean caóticos en el sentido científico de la expresión, o que estén regidos por una combinación de caos y azar, o ruido. En ese caso, la dinámica del caos no bastaría.

Preguntas para la deidad

Fumar mata, pero las volutas del humo de un cigarrillo son un espectáculo deslumbrante. Cuando fumamos en la calle, con el ajetreo del viento y el movimiento, el humo se disipa en exhalaciones amorfas y nubecillas desgarradas. Lo aleatorio del entorno (el «ruido») se impone al orden de las moléculas de humo y las arrastra como una inundación arrastra un hormiguero. Así también una conversación en voz baja se pierde en la baraúnda de una ciudad populosa. El flujo ordenado de palabras y significados se ahoga en el incomprensible barullo colectivo de coches, gente y estruendos propios de una ciudad. Para mejorar nuestras probabilidades de hacernos entender, gritamos o nos metemos en un cafetín; el efecto es el mismo: reducir la influencia del desorden sobre el orden.

En un espacio sin «ruido», las ecuaciones de la hidrodinámica nos permiten predecir el dibujo de la columna de humo de un cigarrillo.

En un cuarto cerrado y sin corrientes de aire, el humo del cigarrillo es libre de expresar lo que tiene de ordenado y fluir según las pautas más puras de las ecuaciones de la hidrodinámica. En esas condiciones, la columna de humo empieza como un hilo ascendente, un fantasma traslúcido de millones de partículas que se abren paso contra la resistencia del aire. Con la altura, las partículas van adquiriendo velocidad y el hilo rompe en ondulaciones cada vez más rápidas hasta que, a partir de cierto umbral, se deshace en múltiples volutas. Las partículas que antes marchaban ordenadamente como una columna de soldados, ahora se dispersan como una multitud presa del pánico. Las trayectorias divergen, como en los planetas de Poincaré y las atmósferas de Lorenz. Estamos en régimen turbulento.

«Por favor, vuelvan a sus asientos y ajústense el cinturón de seguridad», dice el piloto por los altavoces del avión. «Estamos atravesando una zona de turbulencia.» El aparato se zarandea: sube, baja, parte hacia un lado y hacia el contrario, en sacudidas rápidas e impredecibles. La turbulencia aparece lo mismo en las alas de un avión que en las hélices de una embarcación, en las aguas de un torrente rápido y en el jaleo de los gases de una explosión, en el flujo de aire en nuestras vías respiratorias, en las nubes gaseosas del espacio interestelar y en el flujo de la sangre en el corazón. Lo que en el humo del pitillo es un regalo para la vista se convierte en una monserga en el túnel de viento donde se prueba un prototipo de avión o en el laboratorio donde se diseña un corazón artificial.

Leonardo da Vinci retrató la turbulencia en sus dibujos de aguas corrientes. El artista ponía mayor énfasis en los aspectos técnicos de la turbulencia que en lo que esta tiene de estético. «Obsérvese el movimiento superficial del agua», escribió Leonardo, y lo comparó con el pelo, «el cual tiene dos movimientos: uno causado por su peso y el otro por la dirección de los rizos. Así también el agua tiene remolinos en parte debidos al caudal principal, en parte a movimientos aleatorios y a contracorriente».

Los fluidos, como el hilo de humo, pueden fluir de manera ordenada (y en ese caso hablamos de flujo laminar) o desordenada (flujo turbulento). Las condiciones en las que surge la turbulencia quedan determinadas por el toma y daca entre el flujo y la resistencia que le opone el entorno. Pero ni la transición a la turbulencia ni el flujo turbulento se entienden cabalmente. Se cuenta que el físico alemán Werner Heisenberg dijo una vez que, cuando llegara al cielo, le haría a Dios dos preguntas: por qué la relatividad y por qué la turbulencia. Heisenberg pensaba que Dios podría responder a la primera; de la segunda tenía sus dudas.

Los remolinos del flujo turbulento absorben energía de la corriente principal. Es como la malversación de caudales públicos: el presupuesto debería usarse para fines útiles, pero una buena parte se va a los bolsillos de los políticos y funcionarios corruptos, los remolinos turbulentos de las finanzas públicas. En las alas del avión, en un coche en movimiento y en un oleoducto, la turbulencia genera resistencia al avance y eso siempre tiene un coste, como la corrupción. La turbulencia es un importante problema de ingeniería.

No me gusta el café con crema pero estoy dispuesto a todo en aras de la ciencia. Cojo mi taza de café, la remuevo con fuerza y mientras el líquido sigue girando vierto un hilillo de crema. Se forma una hebra que se alarga igual que el humo del cigarrillo y luego, como este, se descompone en remolinos. Dichos remolinos rotan alrededor de sí mismos al tiempo que giran con la corriente principal en torno al centro de la taza. Unos rotan en sentido horario y otros en sentido antihorario.

Cuando remuevo el café estoy inyectando energía en un fluido relativamente espeso. Las vueltas que da mi cuchara imparten un giro de baja frecuencia (lento) al café. El movimiento no dura mucho porque la viscosidad lo disipa, pero mientras dura, el giro de baja frecuencia se descompone en vorticidades más pequeñas y veloces. Esto es difícil de ver en mi taza de café, pero fácil en un torrente de agua: los remolinos generan remolinos más pequeños que a su vez generan remolinos aún más pequeños en una cacofonía de ritmos distintos que me recuerdan el brócoli matemático del diagrama de bifurcaciones. En 1941, el matemático ruso Andréi Kolmogórov propuso que en la turbulencia la energía original se distribuye en remolinos a escalas cada vez menores, hasta llegar a vórtices tan pequeños que la viscosidad los disipa sin dificultad. Para simplificar el tratamiento matemático, Kolmógorov supuso que el espacio del flujo se llena completamente de vórtices, pero en la realidad se observa otra cosa: remolinos intercalados con regiones de calma, y esto en todas las escalas. Imposible no evocar de nuevo el diagrama de bifurcaciones, con sus claros y espesuras alternados. El flujo turbulento también parece un fractal.

Atmósfera de Júpiter. Imagen tomada por la Voyager 1 que muestra la Gran Mancha Roja, el mayor vórtice anticiclónico del planeta.

El físico ruso Lev Landáu opinaba que la turbulencia surge por la acumulación de oscilaciones cada vez más rápidas. En esta visión no hay una frontera clara entre flujo laminar y turbulencia, más bien una baraúnda acumulativa que, gradual e imperceptiblemente, se transforma en pandemónium, pero nadie había hecho experimentos para comprobarlo hasta que dos físicos americanos, Harry Swinney y Jerry Gollub, se interesaron por el asunto en 1974.

Swinney y Gollub encerraron un fluido entre dos paredes cilíndricas verticales (véase la figura 6). La externa era transparente para poder apreciar el comportamiento del líquido y la interna se podía hacer girar a velocidades ajustables. Entre ambas mediaban solo unos cuantos milímetros de espesor para meter el agua. Este es un dispositivo clásico de la dinámica de fluidos experimental que se conoce como «celda de Taylor-Couette». Para medir la velocidad del fluido, Swinney y Gollub suspendieron partículas finas de aluminio en el agua. Un rayo láser atravesaba las capas del flujo, reflejándose en las partículas. Lo mismo que el radar de la policía en una autopista, a partir del reflejo del láser en distintas capas del flujo se puede extraer información acerca de la velocidad en tres dimensiones con ayuda de un ordenador.

A baja velocidad, el flujo era suave y laminar, pero conforme aumentaba la velocidad del cilindro interno y el agua era arrastrada con más energía, aparecían bandas horizontales como dónuts encimados en las que el agua, además de girar alrededor del cilindro, subía y bajaba, entraba y salía: dos movimientos periódicos superpuestos. El movimiento se hacía más y más complicado e irregular hasta que, a partir de cierto umbral, el flujo de agua se volvía turbulento.

Figura 6. Celda de Taylor-Couette, usada para medir la velocidad del flujo.

Los matemáticos tienen técnicas para extraer información clara de gráficas confusas como la velocidad de flujo en la celda de Taylor-Couette. Una muy socorrida, llamada «análisis de Fourier», tiene sobre una gráfica el mismo efecto que un prisma transparente sobre la luz: la separa en sus componentes elementales. La luz se compone de ondas de frecuencias distintas. Cada frecuencia corresponde a un color. El prisma toma luz blanca y la transforma en un arcoíris de colores distintos y bien ordenados. El análisis de Fourier toma una gráfica y la separa en funciones ondulatorias independientes de frecuencias bien definidas. El equivalente al arcoíris en el análisis de Fourier es una nueva gráfica, denominada «densidad espectral». La densidad espectral es la lista de ingredientes de la curva original. Indica qué frecuencias la componen y con qué intensidad contribuye cada una. La gráfica original puede ser una línea que sube y baja sin un orden visible, como el valor de una acción en la bolsa de valores, las ondas cerebrales o una onda sonora, mientras que la densidad espectral es una especie de histograma con picos de distintos tamaños; cada pico corresponde a una frecuencia presente en la señal y su tamaño equivale a la contribución de esa frecuencia al efecto total.

Swinney y Gollub tomaron muchas mediciones de la velocidad de flujo en la celda de Taylor-Couette para distintas velocidades de rotación del cilindro interno. Según la teoría de Landáu, al aumentar la velocidad de rotación tendrían que acumularse oscilaciones cada vez más rápidas hasta llegar a la turbulencia. La densidad espectral debería empezar con un pico, al que luego se irían sumando otros, pero Swinney y Gollub obtuvieron solo el primer pico antes de que la densidad espectral se volviese una mezcla confusa de picos mal definidos y con bases anchas, señal de que el flujo transitaba a la turbulencia por una combinación de orden y caos. De los picos progresivos de Landáu, nada.

El flujo, según Landáu, era siempre «cuasiperiódico», una superposición de movimientos de vaivén, como péndulos montados en otros péndulos; sin embargo, ya en su artículo de 1963, Lorenz había sugerido que el flujo turbulento de la atmósfera no se podía describir ni siquiera superponiendo una infinidad de períodos. No es un fenómeno cuasiperiódico, sino «aperiódico». La diferencia esencial, como señalan Swinney y Gollub en un artículo que publicaron en la revista Physics Today en 1978, es que el segundo es muy sensible a variaciones en las condiciones iniciales. Los autores escribieron: «Tien-Yien Li y James Yorke usaron el término “caos” para describir el comportamiento errático que caracteriza el régimen aperiódico de un sistema no lineal; hoy la palabra “caos” se usa ampliamente con este significado». El modelo de tres ecuaciones de Lorenz es una simplificación bestial (una vaca esférica por sí mismo) porque toma lo que en realidad debería ser un conjunto infinito de ecuaciones diferenciales acopladas y lo reduce a tres, pero el modelo demuestra que lo caótico puede provenir de ecuaciones deterministas simples. Eso es lo valioso del mundo de juguete de Lorenz, como dicen Swinney y Gollub. «El modelo brinda sustento a la hipótesis de que el complejo comportamiento dinámico llamado “turbulencia” es inherente a las ecuaciones hidrodinámicas [y deterministas]» y no le debe nada al azar. Lo más importante: no se debe a que las ecuaciones fallen en régimen turbulento, como se pensó durante mucho tiempo. Las ecuaciones de Navier-Stokes, con más de cien años encima, están en perfecto estado de salud. No les pasa nada. No obstante, lo mismo que las ecuaciones de la gravedad de Poincaré, ocultan comportamientos que nadie había sospechado.

Péndulo caótico. Imagen generada colocando un diodo láser en el extremo del brazo del péndulo que nos permite visualizar la trayectoria.

Los físicos del pasado no habían podido penetrar la transición a la turbulencia porque estaban limitados por conceptos matemáticos descaminados («algo debe de andar mal con las ecuaciones») y técnicas experimentales insuficientes (sin láser no hay forma precisa de medir la velocidad de flujo). La hipótesis de que turbulencia es caos no fue posible hasta la década de 1970. Sin ordenadores en el laboratorio no se podía distinguir entre un flujo muy complejo, pero cuasiperiódico a la Landáu, y uno propiamente caótico. Al final de su artículo, Swinney y Gollub afirman: «Quizá estas y otras herramientas teóricas y experimentales aportarán por fin una explicación por lo menos cualitativa del origen del caos en los fluidos».

Enfermos dinámicos

Una gráfica es una forma de transformar en imagen la relación abstracta entre dos o más variables. Si una de las variables es el tiempo, la gráfica es una especie de narración, el recuento histórico y ordenado de las correrías y aventuras de la otra variable; por ejemplo, la población de willis en años sucesivos, la intensidad de los latidos del corazón y el lapso entre latidos sucesivos o los altibajos de las acciones en la bolsa.

Para representar la evolución temporal de una cantidad que varía de maneras complejas se emplea un tipo de gráfica muy socorrido, llamado «serie temporal». Las gráficas que estudiaban los físicos de la Prediction Company eran series temporales, como lo son también los electrocardiogramas, los electroencefalogramas, los registros de números de manchas solares o la línea vacilante de un sismógrafo. Todo lo que tiene duración se puede representar por medio de una serie temporal —hasta la música— y a las series temporales se les puede extraer información acerca del sistema que las engendra por medio de técnicas matemáticas como el análisis de Fourier del que hablé hace unas páginas.

En los años ochenta, la década caótica, era difícil resistirse a la tentación de buscar caos en todo lo que pudiera representarse por medio de series temporales. A los investigadores se les hacía la boca agua ante una línea errabunda. Los múltiples ritmos del organismo ofrecían un vasto terreno para ensayar la nueva forma de pensar. El más evidente de todos es el ritmo cardíaco.

El ritmo del corazón parece más o menos constante cuando uno está en reposo y sin sobresaltos. Si nos dan un susto o si hacemos esfuerzo físico, el ritmo cardíaco se dispara y al poco rato vuelve a su valor normal, como un reloj de péndulo después de un terremoto. Ciertas anomalías cardíacas consisten en alteraciones de la regularidad: son las arritmias, desde la taquicardia y las palpitaciones hasta la fibrilación, que puede causar la muerte. Con esta visión, los médicos aprendieron a escuchar los latidos del corazón y deducir a partir del sonido lo que estaba ocurriendo en el tórax del paciente. A fuerza de ensayo y error, compilaron una lista de arritmias y trastornos que se podían reconocer de oído. Esta habilidad auditiva se complementaba con el trazo del electrocardiógrafo. El médico solo tenía que aprender a reconocer los patrones visuales y auditivos de las cardiopatías para dar un diagnóstico inicial.

A Leon Glass, de la Universidad McGill de Montreal, le preocupaba este automatismo del diagnóstico basado en reconocer patrones preclasificados. Diagnosticar cardiopatías era una especie de arte oscuro, más parecido a la magia que a la ciencia. En opinión de Glass, faltaba analizar los mecanismos que causaban esos patrones. El científico y sus colaboradores hicieron un experimento que hoy se considera fundamental. Tomaron células del corazón de un embrión de pollo de unos cuantos días y las pusieron en una placa de Petri (un recipiente para cultivar células). Las células se reunieron y formaron una mota diminuta que empezó a latir espontáneamente a razón de una o dos pulsaciones por segundo, un metrónomo biológico autoorganizado. Para simular la influencia externa (del entorno, del resto del organismo), los investigadores introdujeron en una de las células una cánula de vidrio delgadísima que transmitía descargas eléctricas al conglomerado de células. Ajustando el ritmo y la intensidad de este estímulo externo, Glass y sus colaboradores consiguieron inducir en las células cardíacas de pollo los comportamientos dinámicos observados en sistemas caóticos: ciclos, periodicidades que se bifurcan y caos. Luego los científicos desempolvaron electrocardiogramas archivados y los estudiaron desde la novedosa perspectiva de que el corazón es un sistema dinámico parecido a otros en los que se ha observado el caos, y por lo tanto comparte características con estos sistemas, aunque sean muy distintos físicamente.

Glass y su equipo extendieron esta nueva visión de los trastornos cardíacos al sistema respiratorio y a la composición de la sangre. En un artículo publicado en 1977, Glass y Michael Mackey escribieron:

Un gran número de enfermedades humanas se caracteriza por cambios en la dinámica cualitativa de algún sistema de control fisiológico: un sistema que normalmente oscila deja de oscilar, o empieza a hacerlo de maneras nuevas e inesperadas, o bien un sistema que normalmente no oscila, se pone a oscilar.

Los autores definían un nuevo concepto: las enfermedades dinámicas. Estas ocurren cuando «un sistema de control fisiológico intacto opera en un intervalo de valores de los parámetros de control» que produce anomalías. Estas enfermedades no son desviaciones patológicas de la periodicidad estricta, sino más bien cambios repentinos de régimen dinámico, como las bifurcaciones y transiciones al caos de las poblaciones de Robert May y el experimento del grifo que gotea.

Glass y Mackey analizaron de esta manera tres trastornos generales del sistema respiratorio: la respiración de Cheyne-Stokes (episodios de aumento y disminución de la profundidad de la respiración separados por episodios de apnea; esto se observa, por ejemplo, en pacientes obesos), la respiración de Biot (patrones alternados de respiración y apnea que ocurren comúnmente justo antes de la muerte) y la apnea infantil, relacionada con el síndrome de muerte súbita del lactante. En el caso de la sangre, los autores examinaron ciertos tipos de leucemia y variaciones en la concentración de leucocitos llamados «neutrófilos», y demostraron que ciertas características de estos trastornos se pueden describir matemáticamente por medio de ecuaciones no lineales.

El artículo terminaba en un crescendo en el que Glass y Mackey sugerían que esta clase de análisis podría arrojar luz sobre trastornos neurológicos como la depresión, la epilepsia, el insomnio y la esquizofrenia, y quizá incluso sobre el cáncer. El concepto de enfermedades dinámicas unifica así una amplia gama de trastornos que se consideraban totalmente distintos.

Ebrios de caos

Durante mucho tiempo fue natural considerar el corazón como una especie de reloj que late con regularidad de metrónomo cuando está nuevo y en buen estado, pero que, con la edad y las enfermedades, se desajusta y empieza a medir un tempo más rubato: un ritmo inestable que indicaría que algo anda mal. Las variaciones erráticas se asociaban en general con un estado patológico. En la década de 1980, la investigación a la luz del caos sugirió otra posibilidad. A partir del análisis de electrocardiogramas de pacientes con cardiopatías, los investigadores notaron que el ritmo del corazón se volvía más regular (menos caótico) en los días previos a la muerte por paro cardíaco. Así, el estado normal del ritmo del corazón en un individuo sano no era una recta horizontal y rígida de una sola frecuencia, sino un plácido revolotear, como si el corazón y sus sistemas de control patrullasen el territorio de sus posibilidades, por si acaso. Lo saludable no era el tempo estricto de una fuga de Bach, sino el flujo más libre del jazz. Pero ¿era indicio de caos, propiamente dicho? Para mediados de los años noventa mucha gente se había convencido de que sí, aunque Leon Glass tenía sus dudas.

Otros grupos de investigadores encontraron evidencia indirecta de procesos caóticos en el sistema nervioso y relacionaron la aparición de regularidades en el encefalograma con epilepsia, enfermedad de Parkinson y ciclotimia. La concentración de linfocitos en individuos saludables oscilaba caóticamente día tras día, mientras que ciertos tipos de leucemia imponían regularidades en el sistema inmunitario. El caos asomaba la nariz incluso en el funcionamiento de los relojes biológicos que gobiernan ciclos como el del sueño y la vigilia y que, cuando se desquician, producen insomnio o jet lag. Caos por doquier.

He aquí la imagen que emergió de todo esto hacia mediados de los noventa: el caos genera novedad. Un organismo que funcionase de manera perfectamente regular no tendría la flexibilidad necesaria para lidiar con situaciones de urgencia, como una infección o el ataque de un depredador. En cambio, un organismo gobernado por procesos caóticos está bien equipado para sobrevivir en un mundo lleno de sorpresas, generadas muchas de ellas por otros organismos gobernados por procesos caóticos. Si te persigue un depredador, lo mejor no es huir en zigzag, que es un movimiento predecible, sino dar «volantazos» caóticos. El caos aumenta la probabilidad de supervivencia de los organismos.

A la furia caótica se sumaron economistas y científicos sociales. Entre 1942 y 1983, Isaac Asimov había escrito una serie de novelas basadas en la idea de una ecuación maestra capaz de predecir el comportamiento global de una sociedad pangaláctica. El caos no era precisamente la «psicohistoria» de las novelas de Asimov, pero ofrecía nuevos caminos para explorar los mecanismos de las interacciones sociales y quizá encontrar maneras de intervenir para obtener resultados deseables. Eso sí, una sociedad, con sus millones de individuos que interactúan de maneras complejas, no se parece nada a los sistemas sencillos, como el modelo de tres ecuaciones de Lorenz y la aplicación logística de May, de los que nació el caos determinista. Imposible creerse que las acciones colectivas de una población humana puedan estar controladas únicamente por ecuaciones deterministas. Tiene que haber ruido, una fuente de perturbaciones fortuitas que no son caos en el sentido matemático estricto.

Yorke y Li llamaron «caos» al comportamiento complejo e inesperado que surge de las ecuaciones no lineales con sensibilidad a las condiciones iniciales. Pero las ecuaciones son perfectamente deterministas: condiciones iniciales son destino, y una vez definidas, el sistema sigue fatalmente un camino fijo, por más impredecibles que puedan ser sus recodos. Si, además de ecuaciones no lineales, se añade un poco de azar y muchos elementos en interacción, el sistema ya no es caótico en el sentido de Yorke y Li. Es otra cosa.

Cariño, me he comido a los niños

En enero de 1997, Robert Costantino, de la Universidad de Rhode Island, y sus colaboradores publicaron un estudio que llevaron a cabo a lo largo de ochenta semanas, durante las cuales se dedicaron a contar bichos. El falso gorgojo de la harina (o gorgojo castaño) es un insecto devorador de trigo y otros granos que infesta los silos de las regiones cálidas, pero también es un bicho devorador de sí mismo, o más bien de su propia especie. Como Saturno, los adultos se comen los minúsculos huevos y a las crisálidas (el estado previo a la etapa adulta). Por si fuera poco, las larvas (estado anterior al de crisálida) también se comen los huevos indefensos. La pregunta inevitable es: ¿por qué haría semejante cosa la madre naturaleza? En la vida silvestre bastante trabajo cuesta impedir que otras especies se coman a los niños como para, encima, comérselos uno mismo. ¡Pobres criaturas! ¿Cómo va a prosperar así la población? Y en los gorgojos de la harina este comportamiento ni siquiera es patológico, como lo sería en los humanos: es la norma, lo de todos los días, lo que se espera de un gorgojo decente. Hasta me lo puedo imaginar como uno de los mandamientos de la Biblia Gorgoja: «Devorarás a tus hijos y a los de tu prójimo».

Costantino y sus huestes ofrecían a sus gorgojos una especie de hotel de lujo con todo pagado: en unos recipientes de vidrio ponían harina, levadura de cerveza y bichos; era como un bufé: coma todo lo que quiera. Los bichos, claro, empezaban a atiborrarse, a reproducirse y a comerse a las crías. Pero el hotel escondía un terrible secreto. Las etapas de desarrollo de los gorgojos castaños se dividen en períodos de cerca de dos semanas, así que cada dos semanas los investigadores sacaban los recipientes de la alacena fresquita y oscura en la que los guardaban y contaban los bichos. Costantino y compañía tenían un modelo matemático consistente en tres ecuaciones entrelazadas que daban los números de adultos, de crisálidas y de larvas a partir de los números que se hubiesen obtenido en el censo inmediato anterior. Las ecuaciones incluían, en forma de parámetros, la tasa de natalidad, la de mortalidad y la de canibalismo. Los valores de estos parámetros moldean el comportamiento de la población. En la naturaleza estas cosas adquieren ciertos valores espontáneamente, pero Costantino y sus colaboradores querían manipularlos de manera artificial para ver qué sucedía con la población al cabo del tiempo.

Lo primero era saber qué preveía el modelo. Los investigadores descubrieron que cuando es grande la tasa de mortalidad de adultos, la población se vuelve muy sensible a pequeñas variaciones de la tasa de canibalismo y surge el típico comportamiento a base de transiciones, primero a valores cíclicos de la población y luego a valores caóticos impredecibles. ¿Se comportaría la realidad como preveía este modelo tan sencillo? Robert May mostró que se pueden obtener comportamientos complejos a partir de ecuaciones sencillas, pero hasta entonces no habían fructificado los intentos de encontrar caos en poblaciones reales.

Costantino y sus colaboradores seleccionaron un valor para la tasa de mortalidad de adultos y lo impusieron artificialmente. Para ello extraían o insertaban en los recipientes el número de gorgojos adultos necesario para simular dicho valor. Poco sospechaban los ocupantes del Gran Hotel Gorgojo que muchos iban a morir, y no precisamente de causas naturales. Para simular distintos valores de la tasa de canibalismo, los investigadores extraían las crisálidas que fuesen necesarias.

Ciertos valores de la tasa de canibalismo dieron poblaciones que al cabo del tiempo alcanzaban el equilibrio; otros engendraron poblaciones que iban variando cíclicamente entre dos o tres valores, y lo que esperaban los investigadores: a ciertos valores de la tasa de canibalismo la población subió y bajó sin ton ni son, caóticamente. Era la primera vez que se observaba en animales reales un comportamiento igual al que predice el modelo matemático sencillo. La dificultad en la naturaleza es que, además de las tasas de mortalidad, natalidad y canibalismo, se ha de considerar un montón de efectos del entorno que no se pueden identificar con un número. Estos efectos se representan como ruido: variaciones que zarandean la población al azar. En el hotel de gorgojos del equipo de Costantino, aislado como estaba del entorno natural y provisto de alimento infinito, no había ruido, solo quedaba el comportamiento matemático determinista y no lineal en su más pura expresión.

Al cabo de ochenta semanas, los investigadores compararon sus resultados experimentales con lo que predecía el modelo, y el paralelismo fue muy satisfactorio. Se podría pensar que, una vez que la población empieza a mostrar variaciones caóticas de una generación a la siguiente —con valores que se disparan y luego se desploman sin orden ni concierto—, se enfrasca en un régimen de inestabilidad que solo puede llevarla a la extinción, pero el equipo de Costantino encontró que, al contrario, en el régimen caótico la población tiene más probabilidades de sobrevivir.

Fomento del canibalismo

Aunque no está directamente relacionado con el caos, falta resolver el enigma de los motivos de la madre naturaleza para fomentar el canibalismo. Identifiquemos de una vez por todas a la madre naturaleza con el mecanismo de evolución por selección natural, como corresponde en un libro científico. La pregunta inicial —¿por qué haría semejante cosa la madre naturaleza?— se transforma en otra: ¿cómo puede el canibalismo favorecer la supervivencia de la especie?

Parece contradictorio, pero el comportamiento saturnino de nuestros gorgojos de la harina es muy común. Ciertas gaviotas no vacilan en engullir los polluelos de sus vecinos de nido cuando estos no están en casa, con lo cual, como señala Richard Dawkins en su libro El gen egoísta, obtienen alimento sin molestarse en gastar energías para encontrarlo y, sobre todo, sin dejar solos a sus propios polluelos (con vecinos así, más les vale). El caso de la mantis religiosa supera en truculencia al de las gaviotas: la hembra es mucho más grande que el macho y lo ataca a la menor oportunidad, especialmente cuando el macho se acerca con intenciones amorosas (lo cual hace con mucha cautela). La costumbre entre las mantis es devorarle la cabeza al macho, lo que, como señala Dawkins, al parecer no le impide al resto del cuerpo del macho proseguir con sus designios sexuales. El beneficio en este caso podría ser doble: el macho se libera de impulsos inhibidores que emanan de la cabeza y la hembra obtiene gratis una buena cena (el macho se libera también de su vida, pero no importa porque ya se reprodujo).

Los estudiosos del comportamiento animal convienen en que el canibalismo de larvas tiene al menos estas ventajas: 1) modera y estabiliza la población, y 2) puede ser la balsa de salvamento que permita a una población sobrevivir en circunstancias en las que se extinguiría de no ser por el canibalismo: cuando hay poca comida y muchas larvas, comérselas tiene la doble ventaja de reducir el número de comensales e incrementar la cantidad de comida. Es la cruda realidad.

Ejemplar de mantis religiosa.

Así pues, al menos en el laboratorio es posible obtener variaciones caóticas de una población. ¿Podría suceder en la naturaleza? El experimento demuestra que no es imposible. En todo caso, el resultado puede tener consecuencias prácticas: si deseamos controlar una población de gorgojos de la harina, de mosquitos transmisores de zika y chikunguña, o de otras plagas, conviene tener en cuenta que nuestras intervenciones, como dicen Costantino y sus colaboradores en su artículo, «pueden tener consecuencias inesperadas e indeseables». En concreto, si la emprendemos a golpes de insecticida contra una plaga, o introducimos en la población adultos estériles —si manipulamos descuidadamente los parámetros que gobiernan el comportamiento de la población—, quizá, en vez de controlarla o eliminarla, acabemos obteniendo muchos más individuos por algún tiempo. Más vale estar prevenidos.

Especies al borde de un ataque de caos

Con todo, no hay evidencia clara de que en la naturaleza las poblaciones se comporten de manera estrictamente caótica. La vida silvestre rebosa de casos de especies que viven en franco y desinhibido equilibrio estable, lo que es como un insulto a los esfuerzos de los ecólogos de los años setenta y ochenta. Solo en unas cuantas se vislumbra (vagamente) el rostro del caos. Y muchas especies, al parecer, viven en un estado intermedio, al borde del caos, en una no man’s land ('tierra de nadie') en la que reina la ambigüedad y en la que podría estar el secreto, el verdadero, para entender no solo los altibajos y desapariciones de especies y de enfermedades que luego resurgen misteriosamente y sin que medie causa alguna, sino el mecanismo fundamental que explicaría también cómo puede la naturaleza mantener tantas bolas en el aire al mismo tiempo.

En un artículo publicado en 1995, los ecólogos Stephen Ellner y Peter Turchin escribieron:

Si bien el caos aporta soluciones tentadoramente simples para asuntos complejos, los ecólogos reconocen que los sistemas que normalmente estudian forman parte de un mundo mucho más ancho.

El típico sistema caótico está compuesto de pocos elementos y las interacciones de estos se desarrollan en un mundo perfecto, sin sacudidas provenientes del exterior, como la atmósfera en el modelo de Edward Lorenz o las poblaciones de May: un mundo que solo puede existir en el papel o en los circuitos de un ordenador. Quizá en el laboratorio, si uno se esmera. Equilibrar un móvil de Alexander Calder debe de ser relativamente fácil en una habitación cerrada, pero traten ustedes de hacerlo en medio de un vendaval. Ellner y Turchin señalaban que no basta describir las poblaciones por medio de ecuaciones no lineales pero deterministas, que la vaca es demasiado esférica, incluso con caos. Algo falta que no capturan estos modelos de poblaciones. Lo que falta, precisamente, es el vendaval.

Móvil de Alexander Calder.

Los autores afirmaban que, en ecología, el caos se presenta por lo general como alternativa cuando se rechaza el simple azar como causa del comportamiento complejo de una población. ¿Y por qué no podría haber un poco de ambos? Un comportamiento muy complejo podría deberse, en parte, al efecto mariposa propio de unas ecuaciones simples y deterministas y, en parte, al puro y simple azar. Un ecosistema nunca está aislado del mundo, y el mundo manifiesta su presencia como ruido, esa maraña de efectos fortuitos, muchas veces indeseables, que no se pueden controlar ni desenredar. Una partícula de polen flota en el agua. Al microscopio, se la ve agitarse, saltando ora a un lado, ora al otro, sin causa aparente, como observó el botánico escocés Robert Brown en 1827. En 1905, Albert Einstein encontró la causa de este movimiento browniano: la partícula está inmersa en un mar de moléculas de agua muchísimo más pequeñas que chocan con ella. Los choques provienen de todas direcciones, sin ton ni son, y estadísticamente se anulan —por cada empellón hacia un lado habrá, en término medio, otro empellón igual hacia el lado contrario—, pero de tanto en tanto una molécula golpea más fuerte y el grano de polen da un salto. El comportamiento medio de la partícula aislada sería el reposo simplemente con dejarla en paz, pero el contacto con su agitado entorno no le permite permanecer por mucho tiempo en ese cómodo estado de equilibrio. Pues lo mismo ocurre con las poblaciones silvestres. En la naturaleza una población forma parte de un ecosistema, un nivel de organización más grande que el organismo y la población. El ecosistema hace malabarismos con muchas especies conectadas entre sí como los elementos de un móvil de Calder o los nodos de una red. Lo que le suceda a una afectará a las otras, pero a esta interconexión de elementos hay que añadir el entorno: la energía del sol, las tormentas y los huracanes, el flujo de los ríos, las ocasionales inundaciones y, en general, todas esas cotidianas entradas y salidas de material, de individuos, de vitalidad, el perpetuo tráfico de energía e información con el ancho mundo del que forma parte el ecosistema.

Hay una manera de cuantificar el caos en un sistema determinista: se llama «exponente de Lyapunov» y, en esencia, mide la intensidad del efecto mariposa, es decir, la velocidad con la que se apartan una de otra dos trayectorias que empiezan con una pequeñísima diferencia de condiciones iniciales. Generalmente, si el exponente de Lyapunov es positivo, el sistema es caótico, y si es negativo o nulo, no lo es. Ellner y Turchin observaron que, hasta la fecha de su publicación (1995), el exponente de Lyapunov en ecología solía calcularse suponiendo que el fenómeno es pura y matemáticamente determinista, sin ruido del exterior. Pero cualquier ecosistema en la naturaleza o en el laboratorio es susceptible de influencias externas impredecibles; los autores desarrollaron técnicas matemáticas para sazonar el caos determinista con una buena dosis de sabroso ruido. Ellner y Turchin examinaron datos añejos de poblaciones y epidemias y concluyeron que, pese al entusiasmo que inspiró el caos entre los ecólogos en la década de los ochenta, este no es la explicación dominante cuando se trata de dar cuenta de los altibajos de una población. El simple y llano azar también interviene. «Si acaso», afirmaban, «nuestros resultados aportan cierto apoyo a la hipótesis, recientemente formulada por algunos teóricos, de que las poblaciones que interactúan deberían evolucionar en conjunto hacia una dinámica al borde del caos».

Ellner y Turchin encontraron poblaciones al borde del caos en casos en que la población es del tipo que tiende al equilibrio si se la deja en paz, pero está bajo el efecto de algún cambio externo periódico, quizá el ritmo natural de las estaciones, o bien la influencia de otra especie con un ciclo propio. Los autores hallaron regímenes en los que la población se agita, incierta, entre caos y no caos, en los que ahora amplifica las pequeñas perturbaciones, ahora las amortigua. No hay una línea abrupta entre estos dos regímenes más que cuando el fenómeno es puramente determinista. En presencia de ruido —o sea, casi siempre en la vida real— se abre una franja intermedia, la no man’s land que mencioné más arriba, la orilla del caos. Es el móvil de Calder cuando sopla una brisilla racheada: no es tan inmóvil y estéril como un objeto en equilibrio, ni tan desordenado como una hoja suelta en un huracán, sino un abanico iridiscente de oscilaciones que, sin romper del todo el equilibrio, le dan al móvil un carácter dinámico y sorpresivo, como los ritmos del jazz.

Frente a las costas de Escocia, en el Atlántico Norte, hay dos islas en las que habita una especie de carnero silvestre. Las variaciones de población en ambas están bien documentadas desde 1955 y muestran cambios pronunciados, con épocas de explosión demográfica y tiempos de muerte generalizada. Los carneros se multiplican linealmente cuando hay pocos animales y mucho alimento y entran en régimen de oscilaciones caóticas en la situación inversa (nada fuera de lo común, al parecer); pero he aquí un misterio: pese a que las islas están separadas por 3,5 kilómetros de mar, las dos poblaciones suben y bajan al unísono. Es tan asombroso como ver dos partículas brownianas moverse en sincronía cual soldados en un desfile. Por fuerza tienen que estar conectadas de alguna manera. Añadamos, por si fuese necesario, que los carneros no saben nadar.

En el siglo xvii, Christiaan Huygens, quien perfeccionó el reloj de péndulo, notó que varios relojes puestos contra una misma pared se sincronizaban como bailarinas de cancán (lo del cancán es de mi cosecha, claro). Huygens tuvo la presencia de ánimo de concluir que aquello no podía ser casualidad, que era imposible que los relojes fuesen tan exactos, y se dijo que la madera transmitía vibraciones mecánicas que, de alguna manera, los coordinaban, propagando orden por todo el conjunto de relojes. Estas sincronías espontáneas también ocurren cuando un público extasiado aplaude al final de un concierto, e incluso en enjambres de algunas especies de luciérnaga que protagonizan un espectáculo de belleza espectral cuando destellan al unísono en temporada de apareamiento, como si la oscuridad del bosque respirase en silencio.

En todos estos casos hay que buscar una señal externa que pueda propagarse por todo el sistema para coordinarlo, como el director de orquesta matemático de la fábrica de pronósticos de Lewis Fry Richardson. En 1998, Bryan Grenfell, de la Universidad de Cambridge, y sus colaboradores examinaron la historia de las poblaciones de carneros silvestres de las islas San Kilda con un modelo de poblaciones que contenía ruido externo además de caos determinista interno. El ajetreo externo proviene del estado del tiempo. En marzo, las islas son azotadas por temporales de vientos gélidos durante los cuales mueren más animales de lo normal (y justo cuando la población alcanza su mínimo), pero en abril vienen días relativamente cálidos. La hierba crece y la vida se torna más amable con los carneros salvajes. Este ciclo meteorológico regional predomina sobre las variaciones caóticas de las poblaciones de ambas islas y les impone el ritmo coordinado que se observaba en los registros.

¿Para qué queremos saber todo esto? Predecir y controlar poblaciones de organismos es útil para conservar especies en peligro de extinción, para frenar plagas de insectos transmisores de enfermedades y para gestionar campañas de vacunación. Desde los años setenta Robert May señaló que el caos determinista podía dar al traste con varias suposiciones muy arraigadas en epidemiología. Tras una campaña de vacunación se esperaría que disminuyese la incidencia de enfermedades cíclicas como la polio, la rubeola y el sarampión. May se dio cuenta de que, en ciertos casos, el programa de vacunación era como un golpe que se propina a la enfermedad y que la puede poner en régimen de oscilaciones caóticas en vez de mitigarla. La enfermedad podría mostrar picos inexplicables en medio de un descenso general más pausado, lo que haría pensar a las autoridades sanitarias que el programa de inoculación fue un fracaso. Grenfell y sus colaboradores aplicaron su método de estudio al sarampión y sus resultados sugirieron un cambio de estrategia: además del esfuerzo continuo y de baja intensidad en las campañas de vacunación, podría convenir lanzar de tanto en tanto campañas breves pero intensas que servirían para sincronizar los altibajos de la enfermedad en todo el territorio, como los temporales gélidos de las islas San Kilda. Si todas las poblaciones alcanzan el mínimo de infección al mismo tiempo, se reducen las probabilidades de contagio por proximidad y es más fácil combatir la enfermedad.

Donde las vacas esféricas no se aventuran: del caos a la complejidad

Experimentos en la Biblioteca de Babel

El Ngram Viewer de Google es como un bibliotecario con trastorno obsesivo-compulsivo. Reina sobre una colección de libros comparable a la biblioteca del célebre cuento de Jorge Luis Borges, con todos los libros publicados en inglés, español, francés, italiano, alemán, ruso, chino y un par de idiomas más entre 1500 y 2008. No conoce ni un título, pero en cambio se sabe cada palabra de sus libros y puede decir cuántas veces aparece un vocablo o una frase dados en este vastísimo texto acumulado a lo largo de quinientos años. Se introduce la palabra en una ventana y sale una gráfica que sube y baja con su popularidad (es una serie temporal, por cierto). El Ngram Viewer es muy útil para explorar la historia de expresiones populares, términos científicos, palabras de moda, idiotismos, nombres de personas, y a veces permite hacer descubrimientos asombrosos. O simplemente documentar sospechas.

Mi sospecha era que el caos fue muy popular desde que Li y Yorke lo bautizaron, en 1974, hasta mediados de los años noventa, cuando los autores científicos empezaron a recelar de su entusiasmo inicial, como ilustran algunos ejemplos del capítulo anterior. Para comprobarlo, abro el Ngram Viewer y pongo «deterministic chaos», «chaotic dynamics» y «nonlinear dynamics» (en inglés, porque el inglés es la lengua de la ciencia). Y, voilà!, las gráficas de las tres expresiones corren perfectamente paralelas (véase la figura 7), con nonlinear dynamics por encima de las otras dos. Las curvas despegan tímidamente durante las décadas de 1960 y 1970, suben como cohetes a partir de 1980 y culminan en apoteósicos máximos con fuegos artificiales alrededor de 1994. A partir de ahí, decrecen hasta 2008 (nuestra aspirante a Biblioteca de Babel no da para más). Sus días de gloria han quedado atrás.

Figura 7. Adiós, Caos. Hola, Complejidad. El gráfico muestra la popularidad de los conceptos de «caos» y «complejidad» en las últimas décadas. El concepto de «teoría de la complejidad» ha experimentado un notable incremento en las últimas décadas, al contrario que los conceptos «dinámicas no-lineales», «dinámicas caóticas» y «caos determinista».

La segunda parte de mi sospecha era que el entusiasmo por el caos determinista cedió su sitio al entusiasmo por otra cosa: una nueva visión científica que nació del caos, como el cosmos en la mitología griega: la teoría de la complejidad. Así que añado «complexity theory» a mi solicitud al bibliotecario obseso y, re-voilà!, la curva de esta nueva frase se dispara hacia mediados de la década de 1990, deja atrás a las otras y sigue subiendo, con algo de turbulencia. La sospecha no era descabellada (aunque no podemos decir que estas gráficas demuestren estrictamente nada): en las postrimerías del siglo xx, el caos determinista cedió el escenario a la ciencia de la complejidad.

Hoy el caos determinista y la dinámica no lineal se han integrado en el arsenal del científico moderno como una de las muchas armas de las que puede echar mano para acometer ciertos enigmas de la naturaleza, pero en su libro Caos, la creación de una ciencia, James Gleick no dudó en ensalzarlos como una revolución, y no fue el único. En esos primeros años parecía que el caos lo podía todo.

La revolución no se materializó, al menos en la escala que anticipaban los primeros evangelistas. Las condiciones que propician el caos son casi tan restrictivas como cualquier vaca esférica: se requiere pocos grados de libertad, ecuaciones deterministas y, para los puristas como Leon Glass, una ausencia total de ruido y contacto con el exterior. El mundo real no es así. El corazón responde a estímulos internos y externos. Una especie de peces convive en un estanque con otros peces, con plantas, insectos y microorganismos. El estanque intercambia con el exterior materia, energía e información en forma de lluvia y evaporación, visitas de otros animales que vienen al estanque a beber y a cazar, luz solar que se filtra entre la espesura, gases liberados al entorno. Un huracán es un movimiento atmosférico muy ordenado que mantiene su estructura a fuerza de absorber calor del mar, soliviantar las aguas y agitar la atmósfera. Los mercados internacionales suben y bajan surfeando las olas del vendaval económico del mundo. Ruido por todas partes. Tanto, tanto ruido, como dice el cantante Joaquín Sabina.

Las manos de Escher

Bernard Le Bovier de Fontenelle se maravillaba, por boca de su marquesa, de la simplicidad de las leyes universales que iban descubriendo los filósofos naturales del siglo xvii. Los tres siglos siguientes no lo desmintieron. Los fenómenos más importantes se podían simplificar. Siempre se encontraba la manera de «cortar la naturaleza por las articulaciones», como dijo alguien; de dividir el problema en trozos lógicos y más fáciles de deglutir, y, sobre todo, de mitigar la falta de linealidad, como hizo Laplace con sus movimientos celestes.

Los físicos Nigel Goldenfeld y Leo Kadanoff resumen las bases de esta visión del mundo en un artículo publicado en la revista Science en 1999: «El universo obedece a leyes, y las mismas leyes valen en todas partes. Todo es simple y ordenado y se puede expresar con matemáticas sencillas». La marquesa de G*** no lo hubiese dicho mejor, pero Goldenfeld y Kadanoff, que ven las cosas con la ventaja de trescientos años de ciencia moderna, rematan: «Todo es simple y ordenado... menos el mundo, por supuesto».

El mundo, por supuesto, es complejo, pero hay complejidades y complejidades. Está la complejidad del caos determinista, que surge de sistemas de pocos elementos y pocas variables, pero conectados por relaciones no lineales muy sensibles a los cambios de condiciones iniciales. Luego están los sistemas que contienen un número vastísimo de elementos, pero interconectados por relaciones sencillas; por ejemplo, un gas, con sus billones de billones de moléculas iguales que chocan como bolas de billar desquiciadas. Por la misma época en que Poincaré se devanaba los sesos con el problema de los tres cuerpos, los físicos Josiah Willard Gibbs, en América, y Ludwig Boltzmann y James Clerk Maxwell, en Europa, descubrían que, cuando en vez de tres cuerpos hay miles de millones, las cosas vuelven a ser tan sencillas como cuando solo hay dos. En efecto, aunque no se puede saber qué hará ninguna molécula específica, los grandes números allanan la complejidad de los detalles y nos permiten recuperar la idea de leyes sencillas si miramos más bien el comportamiento medio, o estadístico, de las moléculas. Estamos en los dominios de la mecánica estadística o del cálculo actuarial, el cual nos dice con precisión tolerable la media de personas que mueren en el lapso de un año aunque no pueda dar nombres (y qué bien que sea así).

Entre la complejidad del caos determinista —pocos elementos, relaciones complejas— y la complejidad desorganizada de la mecánica estadística —muchos elementos, relaciones sencillas— se encuentra un mundo intermedio. En un artículo publicado en 1948 (¡1948!) en la revista American Scientist, el polifacético científico estadounidense Warren Weaver llamó a este mundo intermedio «complejidad organizada». ¿Por qué se abre una flor en un momento preciso? ¿Por qué es venenosa una molécula y no lo es otra con los mismos átomos pero configurados como el reflejo especular de la primera? ¿Qué es el envejecimiento, en términos bioquímicos? «Estos son, sin duda, problemas complejos», escribió Weaver, «pero no son problemas de complejidad desorganizada, que puedan resolverse con métodos estadísticos. Son problemas que exigen considerar simultáneamente un buen número de factores interrelacionados como un todo orgánico».

Las moléculas de un gas no están interrelacionadas como un todo orgánico: podemos extraerlas en números grandísimos sin alterar esencialmente el comportamiento estadístico del gas. En cambio hay cosas en el mundo cuyas partes están ensambladas de un modo tan intrincado como las citadas manos que se dibujan de Escher (creadas también en 1948): unas dependen de las otras y las complementan como el yin al yang. Y no estamos hablando solo de sistemas físicos, químicos o biológicos. «¿De qué depende el precio del trigo?», se preguntaba Weaver, y se contestaba sin tardanza: «De un número bastante considerable de variables importantes, y todas relacionadas de una manera complicada, mas no azarosa». ¿Hasta dónde se puede ejercer control económico para prevenir bandazos de prosperidad y depresión? ¿Cómo se puede estabilizar el valor de una moneda? «Estos son también problemas complejos y también exigen analizar sistemas que forman entidades orgánicas cuyas partes están apretadamente interrelacionadas.»

En este visionario artículo sobre la complejidad del mundo, Weaver enumera la variedad de fenómenos que se pueden agrupar bajo el término «paraguas de complejidad organizada»: fenómenos naturales, sí, pero también fenómenos sociales, como la economía y el comportamiento de grandes grupos de personas, «como sindicatos, gremios o minorías raciales». Weaver vislumbra que este enfoque podría aplicarse también en medicina y psicología. Incluso anticipa que los ordenadores, tecnología incipiente en 1948, serán fundamentales para navegar en el mar de los fenómenos complejos, con su asombrosa capacidad de multiplicar dos números de diez dígitos 40 000 veces más rápido de lo que ustedes tardan en decir «Jack Robinson» (sic, aunque no lo crean).

Hoy la complejidad que anticipó Warren Weaver no es una disciplina como las herméticas disciplinas tradicionales (física, química, biología...), sino una nueva postura ante los problemas de la ciencia. Alejandro Frank, ex físico nuclear metido a complejólogo y coordinador del Centro de Ciencias de la Complejidad (C3) de la Universidad Nacional Autónoma de México, explica así la diferencia entre un problema científico tradicional y uno complejo:

En un estanque en el bosque hay plancton, mosquitos, peces y todo tipo de bichos —insectos, mamíferos— que interactúan en una gran cantidad de escalas. Imagínate que viertes un tóxico que afecta al plancton, pero que a los otros organismos les da igual. Muere el plancton y esta acción se proyecta a todo el sistema.

Por ejemplo, si el plancton es el alimento de una especie que a su vez es el alimento de otra... «La característica esencial de un sistema complejo», dice Frank, «es esta conexión entre escalas muy diferentes» y que hace imposible desentrañarlas.

Warren Weaver preveía que en el asalto a la complejidad se sacaría provecho de otro invento de la Segunda Guerra Mundial (aparte del ordenador): el trabajo en «equipos mixtos». Weaver usaba como ejemplo el problema de enviar tropas y pertrechos al otro lado del Atlántico en convoyes. El problema exigía tener en cuenta «el número y la eficacia de los buques disponibles, la posibilidad de ataques submarinos» y hasta los descuidos de un vigía cansado, enfermo o aburrido; en definitiva, un gran número de factores, unos medibles y otros no, a partir de los cuales se ha de dar respuesta a estas preguntas: ¿convoyes grandes o pequeños, lentos o rápidos?; ¿avanzar en zigzag o lanzarse en línea recta y a toda pastilla?, o ¿qué instrumentos usar para la vigilancia y el ataque? Esta fue la labor, durante la guerra, de los «grupos de análisis de operaciones». Weaver afirmaba: «Aunque la participación de matemáticos, físicos e ingenieros era esencial, los mejores grupos contenían también fisiólogos, bioquímicos, psicólogos y otros representantes de las ciencias bioquímicas y sociales». Uno de los mejores grupos del ejército británico incluía a un endocrinólogo y un cristalógrafo (¿de qué hablarían estos individuos en los ratos de ocio, si los había?).

Se demostró que, pese a la tendencia moderna a la especialización científica, los miembros de estos equipos podían trabajar juntos y formar una unidad que resultaba mucho más grande que la suma de sus partes.

Hoy la ciencia de sistemas complejos es intrínsecamente multidisciplinaria, y Alejandro Frank lo explica así: tradicionalmente, el especialista científico operaba en un intervalo de escalas limitado. «Un físico nuclear no está mirando si hay luna llena», dice Frank, «y en cosmología lo que pasa en la Tierra no tiene importancia». Uno puede olvidarse de lo que acontece en escalas más grandes y más pequeñas. En cambio, «en los sistemas complejos no puedes aunque quieras», y por tanto se requiere la colaboración de expertos en fenómenos de todas esas escalas distintas. «La multidisciplinariedad emerge necesariamente de la naturaleza multiescalar de los problemas.»

Antz

No hay una definición establecida de sistema complejo, y quizá no pueda haberla. Cada nuevo artículo lo define según su conveniencia, aunque, por supuesto, hay convergencias. En un artículo publicado en junio de 2015 en la revista PLOS ONE, un grupo de investigadores del C3, entre ellos Alejandro Frank, caracterizaba los sistemas complejos como «aquellos cuyos elementos interactúan de manera no lineal y tan intrincadamente, que es imposible describir el comportamiento del sistema a partir del de sus componentes». El ecosistema lacustre de Frank es un ejemplo, pero hay muchos otros fenómenos complejos: las crisis financieras, las epidemias, la organización social tanto en humanos como en animales, incluso el tráfico de coches en la ciudad y de información en esa abstracción llamada internet. No bastan los grandes números: un vaso de agua contiene 10²⁵ moléculas (10 billones de billones) y no es un sistema complejo como sí lo son el cerebro, con 10¹² neuronas, y la economía mundial, formada básicamente por el total de la población mundial, casi 10¹⁰ personas.

Los comportamientos colectivos que no se pueden describir ni prever a partir de lo que hacen las partes se llaman «fenómenos emergentes». Imagínense que el demonio de Laplace, o quizá un subdemonio, supiese todo acerca de la molécula de agua: sabría que está hecha de dos átomos de hidrógeno conectados con uno de oxígeno, que estas componentes forman un ángulo de 120 grados, que la molécula puede girar y vibrar a ciertas frecuencias y no a otras, pero el subdemonio podría pasarse una eternidad haciendo cálculos sin llegar a concebir el océano. Un océano hace cosas que no se pueden inferir del catálogo de comportamientos de una molécula de agua (léase, formar icebergs y hundir el Titanic, un ejemplo del físico Neil Johnson). Otro demonio experto en el funcionamiento de la neurona será incapaz de explicar un pensamiento o una emoción, hechos de las descargas coordinadas de millones de neuronas. ¿Y quién que haya visto una hormiga perdida deambular sola podría imaginarse la sinfonía que es la vida de un hormiguero? El comportamiento individual te permite entender un árbol, pero el sistema complejo es un bosque. Ante estos problemas, el reduccionismo tradicional de la ciencia se encoge de hombros y mejor se va a hacer otra cosa. A cuidar vacas esféricas lejos del bosque, por ejemplo.

Las hormigas del desierto afrontan un problema de humedad: si quieren enviar emisarios a recolectar provisiones de día, cuando hace calor y el sol cae despiadadamente, los emisarios se deshidratarán y, con ellos, la colonia entera. Alguien tendría que controlar la pérdida de humedad. El problema, claro, es que las hormigas no pueden controlar nada porque no tienen conciencia de nada. Cada hormiga es una maquinita con un número limitado de comportamientos programados por la evolución en un cerebro eficiente, pero muy pequeño. Es totalmente inconsciente del bienestar de la colonia. ¿Quién coordina la actividad del hormiguero y controla la pérdida de humedad? Uno podría pensar que la reina, que para eso es reina, pero no: llamarle «reina» a la hormiga especial que pone los huevos en el hormiguero es una metáfora que se presta a equívocos. Las otras hormigas la cuidan y la protegen porque es el órgano reproductor de la colonia, pero la reina no da órdenes. Es tan inconsciente como las otras hormigas, quizá incluso más porque sus funciones no requieren gran cosa en materia de coeficiente intelectual.

¿Quién, pues, controla la humedad? Nadie, pero en cierta especie diurna de hormigas del desierto la evolución ha impuesto un mandamiento: nunca salgas del hormiguero sin que hayas visto entrar a n de tus compañeras, una regla fácil de cumplir hasta para una hormiga. La hormiga individual solo capta información de su entorno inmediato, no necesita saber lo que pasa en el resto del hormiguero, pero del comportamiento de una multitud de hormigas que no tienen ni idea de lo que está pasando emerge la capacidad colectiva de controlar la humedad.

Un banco de peces flota perezosamente como una nube iridiscente que espejea en el azul del mar. Sus giros y evoluciones son sutiles respuestas al entorno. En esas están cuando todo el banco vira de sopetón y se dispersa nada sutilmente: se acerca un depredador. ¿Cómo se coordinan cientos o miles de peces para virar todos al mismo tiempo? ¿Hay alguien que dé una señal?, ¿un vigía o un comandante? No. Al igual que las hormigas, cada pez responde a un estímulo de su entorno inmediato: ya sean variaciones de la velocidad de sus vecinos o destellos de sus escamas plateadas que anuncian cambios de dirección. Si se acerca un depredador, basta que unos cuantos peces lo perciban para que se formen «oleadas de fuga» que ponen a salvo a todos los peces, tanto los del centro de la nube palpitante como los de las orillas. Estas oleadas son en realidad ondas de información. Los primeros individuos en percibir el peligro responden a él directamente, pero sus vecinos hacia el interior del banco de peces ven solo cambios de movimiento locales, una señal indirecta pero inequívoca. Se ha demostrado que en bancos y parvadas estas ondas de información se propagan por todo el grupo sin amortiguarse, como ocurriría si fuesen ondas mecánicas, como el sonido. Así, el pez y el pájaro individual, al igual que la hormiga, solo necesitan responder a su entorno inmediato. Del conjunto emerge un comportamiento colectivo mucho más inteligente que la suma de sus partes.

En un sistema complejo, el orden no emana de un individuo ni de un grupo con autoridad, sino de la información diseminada por todo el sistema. Un sistema complejo se autoorganiza. Casi parece que está vivo. Cuidado: las hormigas y los peces están vivos, pero ¿están vivos el hormiguero y el banco de peces? Consideremos esta pregunta traducida a otros sistemas complejos: ¿está viva la economía mundial?, ¿una ciudad?, ¿la Tierra?

Ricitos de Oro en el bosque de la complejidad

Y hablando de bosque, un día una niña que se llamaba Ricitos de Oro se perdió en la espesura. Iba muy preocupada porque estaba oscureciendo y se acercaba la hora de su culebrón favorito cuando se topó con una cabaña. La puerta estaba abierta y Ricitos de Oro no tuvo reparos en entrar a ver si tenían tele. No tenían y no había nadie, pero sí había tres platos de sopa. Como, además, la niña estaba hambrienta, probó un sorbo del más grande. «Ay, está muy caliente», dijo. Luego probó del plato mediano, pero estaba demasiado frío. El plato más pequeño, empero, estaba justo a la temperatura que le gustaba a Ricitos de Oro, lo cual es un poco extraño desde el punto de vista termodinámico si consideramos que el plato de Mamá Osa debería tener una capacidad calorífica mayor que el plato del Osito. En fin, licencia poética... A los científicos les encanta usar informalmente el cuento de Ricitos de Oro como metáfora del justo medio, o de las condiciones idóneas para que ocurra cierto fenómeno. Así, la zona de Ricitos de Oro de una estrella, por ejemplo, es el intervalo de distancias a la estrella en el que puede haber planetas con agua líquida (y posiblemente vida): si el planeta está más cerca, será demasiado caliente, como la sopa de Papá Oso, y si está más lejos, demasiado frío, como la de Mamá Osa. En la ciencia de la complejidad, la zona de Ricitos de Oro en la que reside la sopa del Osito, y en la que ocurren las cosas más interesantes, está en la frontera entre el orden y el caos.

El periodista científico John Horgan, que detesta la complejidad, en cambio escribió una buena caracterización de lo que ocurre al borde del caos en un artículo que publicó en 1995 en Scientific American:

La idea es que nada nuevo puede surgir de un sistema altamente ordenado y estable, como por ejemplo un cristal. Por otro lado, un sistema completamente caótico, como los fluidos y los gases turbulentos, es demasiado amorfo. Las cosas verdaderamente complejas […] surgen en el límite entre el orden rígido y el azar.

Por lo tanto, hay una zona de Ricitos de Oro que contiene la mezcla perfecta de orden y alboroto. Decimos que un sistema es «crítico» cuando cabalga en esa zona. La palabra viene de una analogía con los cambios de fase de una sustancia como el agua, que pasa de sólido a líquido o de líquido a gas cuando la temperatura y la presión alcanzan ciertos valores críticos.

La importancia de ser crítico

El corazón tiene que cumplir dos especificaciones de diseño: los tejidos necesitan nutrientes continuamente, así que el músculo cardíaco ha de ser resistente y confiable, lo que exige orden y rigidez; pero el entorno cambia todo el tiempo —por un esfuerzo físico, un susto, una enfermedad—, y el corazón ha de adaptarse. «No es un reloj suizo», dice Alejandro Frank. «Requiere flexibilidad.» Dichas exigencias contradictorias se obtienen solo si el estado dinámico del corazón es crítico en el sentido de que ser crítico, o estar en estado crítico, es deseable.

Al caer lentamente la arena del reloj de arena, se forma una pila de arena cónica autorganizada críticamente.

La criticalidad se puede observar en aquellas series temporales de las variaciones del ritmo cardíaco que estudiaban Leon Glass y otros. Alejandro Frank me habló de un experimento que hizo hace poco. Les mostró tres de estas gráficas a unos cardiólogos: una era aproximadamente plana, otra subía y bajaba al azar y la tercera revoloteaba cual mariposa. ¿Cuál correspondía a un paciente con el corazón sano?, les preguntó. Acostumbrados a los electrocardiogramas, que son series temporales de la actividad eléctrica del corazón y no de las variaciones del ritmo cardíaco, los cardiólogos se quedaron pasmados. «No tenían ni idea», me comentó Frank con una sonrisita maliciosa.

La gráfica plana indicaba insuficiencia cardíaca, pues el ritmo era demasiado constante, sin flexibilidad para adaptarse a las necesidades de un entorno cambiante. La gráfica aleatoria era de un paciente con fibrilación, al borde de la muerte. La tercera, en cambio, mostraba un corazón ni muy rígido ni muy caótico, un corazón feliz en la zona de Ricitos de Oro.

Esto sugiere una manera de diagnosticar trastornos cardíacos: buscar desviaciones de la criticalidad. Frank y sus colaboradores del C3 han propuesto un proyecto conjunto al Instituto Nacional de Ciencias Médicas y Nutrición (México). El proyecto consiste en recopilar datos de pacientes con cardiopatías o que se hayan sometido a angioplastia con dispositivo stent (endoprótesis vascular) para ver si la intervención restituye la criticalidad. Este trabajo forma parte de un programa más amplio. En su artículo de PLOS ONE, el equipo de Alejandro Frank expresa confianza en que estas ideas puedan aplicarse en muchos ámbitos, fuera del estrictamente fisiológico. «Todas estas transiciones manifiestan señales características que, en principio, son independientes de las particularidades del sistema. Dicho de otro modo, la dinámica de sistemas cerca de los puntos críticos tiene propiedades universales», por lo que las desviaciones de la criticalidad podrían servir para diagnosticar también la diabetes y la leucemia (enfermedades dinámicas, según Glass y Mackey), pero también para pronosticar terremotos, erupciones volcánicas, crisis financieras, atascos, fallos de la red informática...

Muchos textos sobre complejidad empiezan reconociendo que no hay una definición rigurosa de lo que constituye su objeto de estudio, aunque, como mencioné, hay convergencias. Ahora que hemos recorrido varios ejemplos, las puedo enumerar:

Los sistemas complejos están compuestos de muchos objetos, o agentes, que interactúan a muchas escalas.

Manifiestan comportamientos emergentes (el todo es más que la suma de las partes).

Se autoorganizan (no requieren autoridad centralizada ni «mano invisible» para generar orden; ¡temblad, autoridades!).

Operan al borde del caos (son flexibles y capaces de adaptarse).

Están abiertos a su entorno (intercambian con este materia, energía e información y extraen orden de la turbulencia ambiente).

Los aspectos dinámicos de su comportamiento son universales (los mismos patrones generales se observan igualmente en sistemas biológicos que físicos y sociales).

¿Cuántas cosas en el mundo son así? Muchas, pero hay una que me interesa especialmente, como habitante de un sistema supercomplejo llamado Ciudad de México.

«Solo se puede vivir en Lutecia»

Soy un bicho urbano, pero eso ya no tiene nada de original. En 2008, la población urbana rebasó a la población rural por primera vez en la historia y quizá para siempre. Hoy más de la mitad de los seres humanos vivimos en ciudades y para el año 2050 el 70 % de la humanidad vivirá en las junglas de asfalto. Por algo será...

En Los laureles del César, Astérix y Obélix acompañan al jefe Abraracúrcix y a su esposa, Karabella, a Lutecia. Se alojan en la casa de Homeopátix, hermano de Karabella, que no desperdicia oportunidad de vejar a su cuñado y demostrar lo agreste que le parece el jefe del pueblecito galo que todos conocemos bien. Abraracúrcix pierde los estribos cuando Homeopátix dice: «Solo se puede vivir en Lutecia. El resto de las Galias está bien para los jabalíes». La irritación de Abraracúrcix es comprensible, pero la arrogancia de Homeopátix también: si otrora la ciudad se consideraba foco de infección, hacinamiento y crimen, hoy se ve como fuente de oportunidades, crisol de innovación, lugar geométrico de la tolerancia, la diversidad, la sorpresa y la prosperidad económica... y foco de infección, hacinamiento y crimen, que algunas cosas no cambian ni se pueden ocultar.

Yo no soy chilango de nacimiento (los chilangos, se recordará, somos los habitantes de la Ciudad de México). Nací en el puerto de Tampico, en las costas del golfo de México, pero mis padres decidieron emigrar a la capital en busca de oportunidades cuando yo tenía dos años, de modo que no recuerdo no ser chilango. Como todo citadino, mi relación con mi ciudad es una combinación de odio y amor, pero hoy estoy de ánimo generoso y veo las ventajas de vivir aquí. Todas las mañanas llevo a mi hija a una buena escuela. A unos 15 kilómetros de la escuela, por una autopista de dos niveles, está una de las universidades más importantes de América Latina, la UNAM, donde trabajo. Los miércoles por la tarde llevo a mi hija a clases de violonchelo. Los fines de semana Ana va al centro, a un sitio conocido como Frikiplaza, donde se vende «animé, videojuegos y moda alternativa», según la publicidad del establecimiento. La Frikiplaza está a dos manzanas del Palacio de Bellas Artes, que es la casa de la ópera de la Ciudad de México, del Museo de la Tolerancia, el Museo Franz Mayer y el Laboratorio Arte Alameda, un museo de arte contemporáneo (en esta ciudad hay museos para todos los gustos). No lejos de ahí, en la calle de República del Salvador, se vende todo lo imaginable relacionado con electrónica, en Bolívar proliferan las tiendas de instrumentos musicales (ahí compramos el chelo de Ana) y en Madero están las tiendas de joyas. Hacia el oeste de la ciudad están los barrios entre bohemio y hipster de la Roma y la Condesa, que no hace mucho eran solo barrios viejos. Esta concentración resplandeciente de servicios y oportunidades para los negocios, la educación, las ciencias, las artes y el esparcimiento solo es posible en una ciudad.

Ciudades fractales. Arriba a la izquierda, imagen de Londres, y a la derecha, de Moscú. Debajo, vista del área metropolitana de Milán.

Los barrios especializados son uno de los fenómenos emergentes de la urbe. Nadie decidió dónde poner la calle de la electrónica. No fue consecuencia de una cuidadosa planificación poner los instrumentos musicales en Bolívar. El primer joyero de las calles de Madero no tenía idea de que estaba iniciando una tradición. Simplemente sucedió: la primera joyería atrajo a otras, cuyos propietarios quizá vieron la conveniencia de ponerse donde la gente ya sabía que se vendían joyas. Al cabo del tiempo emergió el barrio joyero, como el barrio de los instrumentos musicales, en los que la concentración de comercios de un mismo tipo, lejos de dañar, contribuye a la prosperidad de todos, aun cuando nadie lo planeó así. La prosperidad de los comerciantes y la comodidad de los consumidores surgen de las decisiones de individuos que en realidad solo atienden a su interés personal. Un orden superior surge, paradójicamente, desde abajo, y muchas veces este orden superior desde abajo funciona mejor que la organización que se impone desde arriba, desde la autoridad municipal. Los barrios tienen vocaciones naturales y conviene respetarlas. En la Ciudad de México hay centros comerciales fallidos, testamentos a la tozudez de algún desarrollador urbano que no entendió la vocación natural de los espacios en las ciudades. Algunos de estos centros comerciales se han convertido en algo diferente, otros luchan todavía por revitalizarse remozando sus fachadas y anunciando nuevos restaurantes, y otros más están en ruinas, sembrados de hierbas y cubiertos de grafitis.

Según Michael Batty, investigador del Centro de Análisis Espacial Avanzado del University College de Londres, la ciudad es el ejemplo por excelencia de sistema complejo, y la ciencia de la complejidad está transformando nuestra visión de la vida en la ciudad y de la gestión urbana. Otrora la ciudad se consideraba como una máquina que se podía controlar para mantenerla en equilibrio, una visión muy siglo xix y Revolución industrial. Hoy se la considera más bien como un organismo y su estado natural no es el equilibrio, sino la criticalidad, con bifurcaciones, cambios de fase y caos para sazonar. Batty y otros complejólogos urbanos han estudiado el crecimiento de las ciudades y mostrado que la mancha urbana no crece desde el centro llenando todo el espacio como un charco de tinta, sino que forma un patrón parecido a salpicaduras de todos los tamaños. La ciudad, como el Monte Sergio, echa brotes más pequeños que son versiones a escala del original, lo que salta a la vista cuando se llega en avión de noche: islas de luz como adornos navideños, conectadas por hilos luminosos y que se multiplican a medida que nos aproximamos al continente urbano.

El patrón es un fractal, como ustedes pueden comprobar fácilmente: las salpicaduras de luz se ven iguales en un mapa local que en uno regional, nacional o mundial. Las ciudades son fractales.

La ciudad vista a la luz de las ciencias de la complejidad tiene aspectos cuantificables, como el crecimiento fractal, y otros que no lo son, como las vocaciones de los barrios y los gustos de los habitantes. Hoy nuestros teléfonos móviles conectados al Sistema Mundial de Localización están generando toneladas de datos de lo que jamás se soñó que se podría medir: las andanzas de cada individuo, sus interacciones con otros, sus hábitos de consumo e incluso sus modos de conducción. Gracias a estos datos yo puedo abrir una aplicación en mi teléfono móvil que me propone varias rutas para llegar a casa y me dice cuánto tiempo tardaré en llegar. Si veo que todas las calles a mi alrededor están atascadas, puedo decidir quedarme un rato más en la universidad. Quizá puedo cruzar la calle y hacer una visita a los complejólogos del C3, donde un equipo de investigadores ya está estudiando sistemas de semáforos dinámicos cuyos parámetros se ajusten a las condiciones del tránsito.

En materia de optimización de tráfico se podría ir más lejos. Si todos los conductores tuviesen Waze (u otra aplicación de tráfico y navegación), y cada cual actuase según la información de su entorno local (digamos, tomando las calles con menos atascos), la información se distribuiría por todo el sistema y quizá el tráfico se autoorganizaría, como los bancos de peces y los hormigueros. La información que aportan nuestros móviles puede servir para construir mejores modelos de la ciudad.

Batty observa que nada de esto será útil si las ciencias de la complejidad aplicadas a la ciudad no fructifican en forma de políticas públicas concretas. También señala que la complejidad, como ciencia, aún es joven y apenas están en construcción los modelos que sacarán provecho del enfoque multidisciplinario y multiescalar para que los científicos puedan colaborar con las autoridades municipales. Según Batty y sus colaboradores, sin embargo, estamos cerca de un cambio de paradigma. En los años que vienen, las ciudades se gobernarán cada vez más por medio de una planificación desde arriba que tendrá en cuenta las tendencias y las vocaciones espontáneas surgidas desde abajo, del hervidero cotidiano de materia, energía, información, productos, ideas, coches, pasiones y gente que es el espíritu de una ciudad. Y qué bien que sea así, porque todo indica que el futuro es urbano.

Epílogo
Más es diferente

Desde que Galileo vio aquella lámpara en la catedral de Pisa han transcurrido más de cuatrocientos años, y desde que la marquesa de G*** se maravilló de la simplicidad del universo, más de trescientos, durante los cuales el programa central de la ciencia ha sido reduccionista: todo está regido por un conjunto reducido de leyes fundamentales, ubicuas y eternas, y los problemas difíciles se pueden partir en problemas más fáciles. Pese a que la ciencia de la complejidad lo ha puesto en entredicho, el reduccionismo sigue siendo útil, pero ha favorecido una idea falsa de la relación entre las ciencias, que ya deploraba el físico P. W. Anderson en un artículo publicado en la revista Science en 1972: «Si todo obedece a las mismas leyes fundamentales, los únicos científicos que estudian algo realmente fundamental son los que se ocupan de dichas leyes».

O sea, muy pocos... y todos físicos.

¿Qué hacen el resto de los científicos? He aquí una respuesta que se ha atribuido a Ernest Rutherford: «Toda la ciencia es física, y si no, es filatelia». Rutherford lo dijo hace un siglo (si acaso lo dijo), pero esta visión sigue siendo muy popular, especialmente entre físicos. Según esto, las ciencias se pueden ordenar de menos fundamentales a más fundamentales: la sociología se reduce a la psicología que se reduce a la biología que se reduce a la bioquímica que se reduce a la química que se reduce a la física que es palabra de Dios. De ahí a concluir que hay una ciencia mejor que las otras no hay más que un paso. «Solo se puede ser físico. El resto de las ciencias están bien para los jabalíes.»

Irritado con la arrogancia de sus colegas, Anderson escribió:

La falacia en esta forma de pensar es que la hipótesis reduccionista de ninguna manera implica una «construccionista»: poder reducir todo a leyes fundamentales simples no implica que, partiendo de dichas leyes, se pueda reconstruir el universo.

Traten ustedes, si no, de hacerse una casa usando la teoría de supercuerdas, o de inventar el cubismo. «La hipótesis construccionista falla cuando se topa con las dificultades gemelas de la escala y la complejidad», escribió Anderson. Tituló su artículo «Más es diferente», frase que hoy se usa como eslogan de la complejidad y los fenómenos emergentes, en vista de los cuales no es cierto que un físico pueda explicar el cubismo a partir de las supercuerdas. Si la complejidad, que ya pone a dialogar a científicos de todas las filatelias, consigue además disipar la imagen jerárquica de las ciencias, ya nos habrá hecho un gran servicio. El caos, al final, no fue la revolución que se esperaba, pero dio paso a la complejidad, que hoy está tan de moda como el caos lo estuvo en los años ochenta y noventa del siglo pasado. La complejidad ya tiene sus evangelistas y profetas, que anuncian cambios de paradigma y revoluciones. Pero como estas cosas solo se pueden declarar con certeza a posteriori, yo prefiero tener paciencia. ¿Revolución? Ya veremos.

Frente a la hipótesis de Rutherford (a la izquierda), «Toda la ciencia es física, y si no es filatelia», Anderson (a la derecha) defendió el «Más es diferente», frase que hoy se usa como eslogan de la complejidad.

Apéndices

Lecturas recomendadas

J. Gleick, Caos, la creación de una ciencia, Barcelona, Crítica, 2012. El clásico insoslayable de los años ochenta. El autor, periodista científico, narra la historia del caos como si fuera una novela y explica las ideas principales de la disciplina a partir de las aventuras de los personajes que las desarrollaron.

B. Mandelbrot, La geometría fractal de la naturaleza, Barcelona, Tusquets, 2012. En este libro clásico, lleno de imágenes creadas por ordenador, el «padre» de los fractales muestra que la geometría de la naturaleza no se apega tanto a las figuras sencillas de la geometría euclidiana como a los pliegues infinitos de los fractales.

I. Stewart, ¿Juega Dios a los dados?, Barcelona, Crítica, 2007. El punto de vista de un matemático que es al mismo tiempo un excelente divulgador. Stewart presenta un panorama muy completo de las ideas matemáticas que apuntalan la teoría del caos por medio de una multitud de ejemplos sencillos.

J. Wagensberg, Ideas sobre la complejidad del mundo, Barcelona, Tusquets, 2003. Ensayo filosófico que explica la visión científica de la complejidad y la extiende para abarcar otros ámbitos de la cultura.

Glosario

Glosario

Atractor: Subconjunto del espacio de fases al que tiende el comportamiento de un sistema al cabo del tiempo, sin importar las condiciones iniciales.

Atractor extraño: Atractor en el espacio de fases, pero cuya estructura es fractal. Los atractores extraños son característicos de los fenómenos caóticos.

Caos determinista: Comportamiento impredecible de sistemas gobernados por ecuaciones perfectamente causales y deterministas, pero hipersensibles a las condiciones iniciales (véase «Efecto mariposa»).

Causalidad: Agente o mecanismo que conecta acontecimientos de tal manera que un acontecimiento anterior (la causa) es parcialmente responsable de otro posterior (el efecto) que no puede ocurrir sin el primero. En un mundo causal todo fenómeno depende de algún fenómeno anterior. La ciencia, en general, presupone un mundo causal.

Complejidad: Característica del comportamiento de sistemas formados por muchos elementos que interactúan de tal manera que el comportamiento total no se puede explicar como suma de los comportamientos individuales de las partes. El reduccionismo falla como método para estudiar los fenómenos complejos.

Condiciones iniciales: Valores específicos en un instante dado de las variables que se emplean para describir cuantitativamente algún fenómeno; por ejemplo, la velocidad y el ángulo con los que parte una bala de cañón. En los fenómenos caóticos un cambio diminuto en las condiciones iniciales produce un cambio grande en el fenómeno.

Determinismo: Doctrina filosófica según la cual los acontecimientos del presente son consecuencia necesaria de acontecimientos pasados. Una teoría científica determinista es aquella en la cual lo que ocurra en un instante dado fija fatalmente lo que ocurrirá en cualquier instante posterior.

Ecuación diferencial: Ecuación que relaciona el valor de una función con el de su tasa de cambio (o derivada). También pueden intervenir derivadas de orden superior (derivadas de derivadas).

Lineal: La función y sus derivadas aparecen con grado 1 (no hay potencias superiores ni productos de la función por sus derivadas). La suma de dos soluciones de la ecuación también es solución de la ecuación.

No lineal: La función o sus derivadas aparecen en la ecuación con grado superior a 1. Las ecuaciones diferenciales no lineales por lo general son muy difíciles de resolver. Los fenómenos caóticos están descritos por ecuaciones no lineales.

Efecto mariposa: Llamado más formalmente «sensibilidad a las condiciones iniciales»: lo que ocurre cuando un cambio muy pequeño en las condiciones iniciales de un fenómeno engendra en poco tiempo un cambio grande en el resultado. Cuando la diferencia de condiciones iniciales que basta para provocar cambios grandes en el resultado es tan pequeña que no se puede medir ni controlar, el fenómeno es impredecible para todo fin práctico.

Espacio de fases: Espacio matemático abstracto que tiene como dimensiones (o «ejes») todas las variables necesarias para describir el comportamiento de un sistema, más sus tasas de cambio, o velocidades. El comportamiento del sistema se vuelve fácil de visualizar porque se reduce al movimiento de un punto en el espacio de fases.

Fenómeno emergente: Es aquel que surge de una colectividad, pero que no se puede explicar a partir del comportamiento individual de las partes de dicha colectividad.

Fractal: Figura o conjunto de puntos que tiene la misma estructura (exacta o estadística) a cualquier escala que se la observe.

Reduccionismo: Postura filosófica que consiste en explicar los fenómenos complejos en términos del comportamiento, más simple, de sus partes. La ciencia tradicional es reduccionista, pero hay muchos fenómenos que no se pueden entender como la suma de sus partes.

Ruido: Suma de influencias aleatorias e incontrolables sobre el comportamiento de un sistema.

Sistema: Parte del universo que se ha elegido para estudiarse.

Sobre el autor

Sergio de Régules

Es físico y divulgador de la ciencia. Desde hace más de 25 años escribe columnas, artículos y libros e imparte charlas de divulgación científica así como cursos en México y varios países de América Latina. En 2014 obtuvo una beca de la Fundación Civitella Ranieri de Nueva York por su trabajo como escritor científico. Ha sido dos veces finalista del Premio Internacional de Divulgación de la Ciencia Ruy Pérez Tamayo convocado por el Fondo de Cultura Económica con los libros Cielo sangriento y El mapa es el mensaje.