Juegos

por siempre misteriosos

Recorriendo los caminos abiertos

por Gödel sobre

la verdad y la probabilidad

Raymond Smullyan

Gedisa

editorial

Título del original inglés:

Forever Undecided

© 1987 by Raymond Smullyan.

This translation published by arrangement with Alfred A. Knopf, Inc.

Traducción: Margarita Mizraji

Supervisión técnica: Dr. Humberto R. Alagia

Ilustración: Pilar Munin

Diseño: Pedro Arriaga

Edición digital: Sargont (2019)

Primera edición, mayo de 1988, Barcelona, España

© by Editorial Gedisa S.A.

Barcelona, España

ISBN: 84-7432-308-8

Depósito legal: B. 18.938 - 1988

Impreso en España

Printed in Spain

Impreso por Romanyà/Valls, S.A. (Barcelona)

Dedicado a todos los razonadores consistentes que nunca podrán saber que son consistentes.

ÍNDICE

Prefacio

PARTE I:

¡QUIZA PODRA SORPRENDERLE!

Capítulo I: Un acertijo diabólico

Capítulo II: ¿Sorprendidos?

PARTE II:

LA LOGICA DE MENTIR Y DE DECIR LA VERDAD

Capítulo 3: El empadronador

Capítulo 4: En busca de Oona

Capítulo 5: Un laberinto interplanetario

PARTE III:

CABALLEROS, BRIBONES Y LOGICA PROPOSICIONAL

Capítulo 6: Un poco de lógica proposicional

Capítulo 7: Caballeros, bribones y lógica proposicional

Capítulo 8: Clausura y consistencia lógicas

PARTE IV:

SEAMOS CUIDADOSOS

Capítulo 9: ¿Paradójico?

Capítulo 10: El problema se profundiza

PARTE V:

LA COMPLICADA PROBLEMATICA DE LA CONSISTENCIA

Capítulo 11: Los lógicos que razonan sobre sí mismos

Capítulo 12: La sorprendente problemática de la consistencia

Capítulo 13: Sistemas gödelianos

Capítulo 14: Más problemas con la consistencia

PARTE VI:

LAS CREENCIAS AUTOSUFICIENTES Y EL TEOREMA DE LÓB

Capítulo 15: Creencias que se autocumplen

Capítulo 16: El diamante del Rajá

Capítulo 17: La isla de Lob

PARTE VII:

EN AGUAS MAS PROFUNDAS

Capítulo 18: Razonadores de tipo G

Capítulo 19: Modestia, reflexividad y estabilidad

PARTE VIII:

IMPOSIBLE DE DECIDIR

Capítulo 20: Por siempre indecidible

Capítulo 21: ¡Aún más indecisiones!

PARTE IX:

MUNDOS POSIBLES

Capítulo 22: ¡No es necesariamente así!

Capítulo 23: Mundos posibles

Capítulo 24: De la necesidad a la demostrabilidad

PARTE X:

EL NUCLEO DE LA CUESTION

Capítulo 25: Un universo gödelizado

Capítulo 26: Algunas notables máquinas lógicas

Capítulo 27: Sistemas modales autoaplicados

PARTE XI:

FINAL

Capítulo 28: Sistemas modales, máquinas y razonadores

Capítulo 29: Razonadores extraños

Capítulo 30: Retrospectiva

NOTAS

Prefacio

¿Puede un ser humano racional estar en una posición en la que no le es posible creer que es consistente, sin perder su consistencia en el proceso? Este es uno de los temas principales de esta obra. Está basada en el modelo del famoso descubrimiento de Kurt Gödel (el llamado Segundo Teorema de Incompletitud) que postula que todo sistema matemático consistente con suficiente poder para realizar lo que se conoce como aritmética elemental debe padecer la sorprendente limitación de no poder nunca demostrar su propia consistencia.

Existen varias razones por las cuales he trasladado el argumento de Gödel desde el dominio de los sistemas matemáticos y de las proposiciones en ellos demostrables hasta el reino de los seres humanos y de las proposiciones que ellos creen. Los seres humanos y sus creencias resultan mucho más familiares para el no especialista que los sistemas matemáticos abstractos, y por eso puedo así explicar las bases de las ideas de Gödel en un lenguaje que todos pueden comprender. Además, el hecho de poner estas cuestiones en términos humanos tiene un enorme atractivo psicológico y resulta sumamente importante para el campo en constante avance de la inteligencia artificial.

Como en mis anteriores libros de acertijos, comienzo con un sinnúmero de acertijos sobre mentirosos y veraces (bribones y caballeros). Además de la novedad de estos problemas (prácticamente todos se publican aquí por primera vez), hay un importante rasgo adicional: intercalado en estos acertijos hay una descripción introductoria a la lógica simbólica (tema que afortunadamente se enseña hoy en día en muchos de nuestros colegios secundarios) y una explicación sobre la forma en que esta valiosa técnica puede resolver sistemáticamente grupos enteros de acertijos del tipo caballero-bribón. (Esto debería ser de particular interés para los profesores de lógica —ya sea en el nivel secundario o universitario— que deseen vivificar sus cursos de lógica con acertijos creativos y movilizadores.) Por lo tanto, el conocimiento que el lector adquirirá resultará apropiado para esclarecer los capítulos posteriores y más profundos sobre la obra de Gödel.

Otro de los temas de los últimos capítulos —y de igual interés para la inteligencia artificial— es el de las creencias autosuficientes. ¿En qué circunstancias puede la simple creencia en una proposición dar como resultado la convicción de que es cierta? (¿Puede esto tener algo que ver con la religión?) Hay un importante teorema del lógico M. H. Löb que resulta muy importante en este caso. Ese teorema se relaciona estrechamente con el teorema de Gödel, y cuando se enuncia al comienzo en términos de razonadores y de sus creencias, es fácilmente accesible al lector común.

Aunque en principio pongo el acento en sistemas de creencias, de ninguna manera me quedo ahí. A medida que el libro avanza, se lleva al lector a una comprensión cada vez más profunda sobre la forma en que esos sistemas de creencias se relacionan con importantes sistemas matemáticos. Esto a su vez nos lleva al tema filosóficamente fascinante de la semántica del mundo posible; campo concebido por Leibniz y llevado a su perfección en este siglo por el lógico Saul Kripke. Además este tema desempeña un papel importante hoy en día en la ciencia de la computación y en la inteligencia artificial.

He dado gran cantidad de conferencias sobre todo este material para grupos tan diversos como brillantes de estudiantes secundarios y doctores en matemática, filosofía y computación. La respuesta de ambos grupos fue igualmente gratificante: sintieron curiosidad. En realidad, cualquier neófito que sepa algo de matemática o de ciencia puede dominar completamente todo este libro (aunque se necesitará un poco de esmero), aunque más de un experto encontrará aquí un caudal de material nuevo y renovado.

Es notable la forma en que la lógica, la filosofía, la psicología, la inteligencia artificial, la ciencia de la computación y la matemática se acercan cada vez más en estos días. ¡Vivimos en una era apasionante!

RAYMOND SMULLYAN

Elka Park, N. Y.

Julio de 1986

Parte I

¡QUIZA PODRA SORPRENDERLE!

1. Un acertijo diabólico

Pienso que el siguiente acertijo bien puede ser el enigma más diabólico que se haya inventado (y si es así, me atribuyo con orgullo el mérito de la creación).

Dos personas —A y B— hacen cada una, una oferta, que se da más abajo. El problema es determinar qué oferta es la mejor.

Oferta de A. Tienen que formular un enunciado. Si el enunciado es verdadero, ganan exactamente diez dólares. Si el enunciado es falso, entonces ganan menos o más de diez dólares, pero no diez dólares exactamente.

Oferta de B. Tienen que formular un enunciado. Sea el enunciado verdadero o falso, ganan más de diez dólares.

¿Cuál de las dos ofertas preferirían? La mayoría de la gente decide que la oferta de B es la mejor, dado que garantiza más de diez dólares, mientras que con la oferta de A, no hay certeza de ganar más de diez. Y realmente parece que la oferta de B es mejor, pero a veces las apariencias engañan. En realidad, haré mi propia oferta: Si alguno de ustedes está dispuesto a proponerme la oferta de A, les pagaré veinte dólares por adelantado. ¿Alguno juega? (Antes de aceptar mi propuesta, les conviene leer el resto de este capítulo.)

No voy a dar la solución del problema que acabo de plantear hasta haber considerado en primer lugar algunos otros acertijos afines un poco más simples.

En mi libro To Mock a Mockingbird,{1} presenté el siguiente acertijo: Supongamos que ofrezco dos premios: Premio 1 y Premio 2. Tienen que formular un enunciado. Si el enunciado es verdadero, entonces debo darles uno de los dos premios (sin decir cuál de los dos). Si su enunciado es falso, entonces no ganan ningún premio. Obviamente pueden estar seguros de ganar uno de los dos premios si dicen: “Dos más dos es cuatro”, pero supongamos que desean el premio 1; ¿qué enunciado podrían formular que les garantice que ganarán el premio 1?

La solución que di es que deben decir: “Usted no me dará el premio 2”. Si el enunciado es falso, entonces lo que dice no es cierto, lo cual significa que les daré el premio 2. Pero no puedo darles un premio por formular un enunciado falso, y en consecuencia el enunciado no puede ser falso. Por lo tanto, debe ser verdadero. Dado que es verdadero, entonces lo que dice es cierto, lo cual significa que no ganarán el premio 2. Pero dado que su enunciado era verdadero, debo darles uno de los dos premios, y dado que no es el premio 2, debe ser el premio 1.

Como veremos enseguida, este pequeño acertijo se relaciona estrechamente con el famoso Teorema de la Incompletitud de Gödel. Para descubrir cómo, consideremos un acertijo similar (en realidad, el mismo acertijo planteado de otra forma). En primer lugar, vamos a la Isla de los Caballeros y los Bribones (que desempeña un papel destacado en este libro) en la que cada habitante es un caballero o un bribón. En esta isla los caballeros sólo formulan enunciados verdaderos, y los bribones sólo enunciados falsos.

Ahora supongamos que hay dos clubes en esta isla: Club I y Club II. Sólo los caballeros pueden ser socios de estos clubes; los bribones están excluidos rigurosamente de ambos. Además, cada caballero es socio de uno y sólo uno de los dos clubes. Un día visitamos la isla y nos encontramos con un nativo desconocido que formula un enunciado a partir del cual podemos deducir que debe ser un miembro del Club I. ¿Qué enunciado puede haber formulado a partir del cual podamos deducir eso?

En analogía con el último problema, el hablante pudo haber dicho: “No soy socio del Club II”. Si el hablante fuera un bribón, entonces verdaderamente no podría ser socio del Club II y hubiera formulado un enunciado verdadero, lo cual un bribón no puede hacer. Por lo tanto debe ser un caballero, y su enunciado debe haber sido verdadero; en realidad no es socio del Club II. Pero dado que es un caballero, debe ser socio de un club; por lo tanto pertenece al Club I.

La analogía debe de resultar evidente: El Club I corresponde a aquellos que formulan enunciados verdaderos y ganarán el premio 1; el Club II corresponde a los que formulan enunciados verdaderos y ganarán el premio 2.

Estos acertijos encarnan la idea esencial que subyace en el famoso enunciado de Gödel que afirma su carácter de no demostrable en un sistema matemático dado. Supongamos que clasificamos todas las oraciones verdaderas del sistema (como los caballeros en el acertijo anterior) en dos grupos: El grupo I consiste en todas las oraciones del sistema que, aunque son verdaderas, no son demostrables en el sistema; y el grupo II consiste en todas las oraciones que no sólo son verdaderas sino que realmente son demostrables en el sistema. Lo que hizo Gödel fue construir una oración que afirmaba que pertenecía al grupo II; la oración puede parafrasearse como: “No soy demostrable en el sistema”. Si la oración fuera falsa, entonces lo que dice no sería cierto, lo que significaría que es demostrable en el sistema, lo cual no puede ser (dado que todas las oraciones demostrables en el sistema son verdaderas). Por lo tanto la oración debe ser verdadera, y tal como lo dice, no es demostrable en el sistema. Por lo tanto la oración de Gödel es verdadera, pero no es demostrable en el sistema.

Diremos mucho más sobre las oraciones de Gödel en el curso de esta obra. Por ahora, voy a considerar algunas variantes más sobre el acertijo del premio.

1. Primera variante

Nuevamente ofrezco dos premios: Premio 1 y Premio 2. Si formulan un enunciado verdadero, les daré por lo menos uno de los dos premios y posiblemente ambos. Si formulan un enunciado falso, no ganan ningún premio. Supongamos que son ambiciosos y quieren ganar ambos premios. ¿Qué enunciado formularían? (Las soluciones aparecen al final de los capítulos a menos que se especifique lo contrario.)

2. Segunda variante

En este caso las reglas cambian un poco: Si formulan un enunciado verdadero, ganan el premio 2; si formulan un enunciado falso, no ganan el premio 2 (pueden o no ganar el premio 1). Ahora bien, ¿qué enunciado les hará ganar el premio 1?

3. Una variante perversa

Supongamos que en un estado de ánimo perverso, les digo ahora que si formulan un enunciado falso, ganarán uno de los dos premios, pero si formulan un enunciado verdadero, no ganan ningún premio. ¿Qué enunciado ganará el premio 1?

4. Más sobre el acertijo diabólico

Ahora regresemos al acertijo que abrió este capítulo. Lo diabólico fue mi oferta de pagarles veinte dólares por hacerme la oferta de A, porque si aceptaban hacerlo, podría haberles ganado todo el dinero que quisiera, digamos, un millón de dólares. ¿Pueden descubrir cómo?

SOLUCIONES

1. Un enunciado que sirve es: “O gano ambos premios o ninguno”. Si el enunciado es falso, entonces lo que dice no es cierto, lo cual significa que ganarán exactamente un premio. Pero no pueden ganar un premio por un enunciado falso. Por lo tanto el enunciado debe de ser verdadero, y realmente ganarán ambos premios o ninguno. Dado que no formularon un enunciado falso, cuyo resultado sería no ganar ningún premio, deben ganar ambos premios.

2. Simplemente deben decir: “No ganaré ningún premio”. Si el enunciado es verdadero, entonces por un lado no ganan ningún premio (como dice el enunciado), pero por otro lado, ganan el premio 2 por haber formulado un enunciado verdadero. Esta es una evidente contradicción; en consecuencia el enunciado debe de ser falso. Entonces, al contrario de lo que dice el enunciado, deben ganar un premio. No pueden ganar el premio 2 por un enunciado falso; por lo tanto ganan el premio 1.

3. En este caso deben decir: “Ganaré el premio 2”. Dejo la demostración en manos del lector.

4. Lo único que tengo que hacer es decir: “Usted no me pagará exactamente ni diez dólares ni exactamente un millón de dólares”. Si mi enunciado es verdadero, entonces por un lado ustedes no me pagarán exactamente diez dólares ni exactamente un millón de dólares, pero por otro lado deben pagarme exactamente diez dólares por haber formulado un enunciado verdadero. Esto es una contradicción; en consecuencia el enunciado no puede ser verdadero y debe ser falso. Dado que es falso, lo que dice no es cierto, lo cual significa que ustedes me pagarán exactamente diez dólares o exactamente un millón de dólares, pero no pueden pagarme exactamente diez dólares por un enunciado falso; ¡por lo tanto deben pagarme un millón de dólares!

¿Alguno sigue jugando?

2. ¿Sorprendidos?

Ahora consideremos la paradoja de la prueba sorpresa, paradoja que es bastante pertinente a la consideración de Gödel en este libro. Vamos a plantearla del siguiente modo: Un lunes a la mañana, un profesor le dijo a su clase: “Tendrán una prueba sorpresa esta semana. Puede ser hoy, mañana, el miércoles, el jueves o el viernes como máximo. La mañana del día del examen, cuando vengan a clase, no sabrán que ése es el día del examen”.

Bueno, un estudiante lógico razonó de esta manera: “Obviamente, el examen no puede ser el último día, viernes, porque si no he rendido el examen al finalizar la clase del jueves, entonces sabré que el viernes a la mañana es el día, y el examen no será una sorpresa. Esto descarta el viernes, por lo tanto ahora sé que el jueves es el último día posible. Y, si no rindo el examen al finalizar el miércoles, entonces sabré el jueves a la mañana que ése debe ser el día (porque ya he descartado el viernes); en consecuencia no será una sorpresa. Por lo tanto también descarto el jueves”.

Luego el alumno descartó el miércoles con el mismo argumento, después el martes, y finalmente el lunes, el día en que estaba hablando el profesor. Su conclusión fue: “Por lo tanto no habrá ningún examen; el profesor no tiene posibilidad de cumplir con su enunciado”. En ese momento, el profesor dijo: “Ahora les tomaré el examen”. El alumno quedó sumamente sorprendido.

¿Cuál era el error en el razonamiento del alumno?

Se han escrito muchos artículos sobre este famoso problema, y aparentemente todavía no se ha logrado un acuerdo uniforme sobre el análisis correcto. Mi punto de vista es el siguiente, en pocas palabras:

Voy a ponerme en el lugar del alumno. Yo afirmo que podría tener una prueba sorpresa cualquier día, ¡incluso el viernes! Este es mi razonamiento: Supongamos que llega el viernes a la mañana y todavía no rendí el examen. ¿Qué pensaría entonces? Suponiendo que le creí al profesor en primer lugar (y este supuesto es necesario para el problema), ¿podría seguir creyéndole firmemente al profesor el viernes a la mañana si todavía no rendí el examen? No veo cómo podría hacerlo. Indudablemente podría creer que rendiría el examen hoy (viernes), pero no podría creer que tendría una prueba sorpresa hoy. Por lo tanto, ¿cómo podría confiar en la exactitud del profesor? Al tener dudas sobre el profesor, no sabría qué pensar. En lo que a mí respecta podría pasar cualquier cosa, y por lo tanto bien podría ser que me pudiera sorprender al tener el examen el viernes.

En realidad, el profesor dijo dos cosas: 1) Tendrán un examen esta semana, 2) No sabrán la mañana del examen que ése es el día. Pienso que es importante separar estos dos enunciados. Podría ser que el primer enunciado del profesor fuera correcto y el segundo incorrecto. El viernes a la mañana, yo no podría creer consistentemente que ambos enunciados del profesor eran correctos, pero podría creer firmemente en su primer enunciado. Sin embargo, si lo hago, entonces el segundo enunciado es incorrecto (dado que entonces pensaré que rendiré el examen hoy). Por otro lado, si dudo del primer enunciado del profesor, entonces no sabré si rendiré el examen hoy o no, lo cual significa que el segundo enunciado del profesor se ha cumplido (suponiendo que cumple con su palabra y me toma el examen). Por lo tanto lo sorprendente es que el segundo enunciado del profesor es verdadero o falso y depende respectivamente del hecho de que yo no crea o sí crea su primer enunciado. Por lo tanto la única forma en que el profesor puede tener razón es si yo tengo dudas sobre él; si dudo de él, eso significa que tiene razón, mientras que si confío absolutamente en él, entonces está equivocado. (No sé si este curioso punto ha sido tomado en consideración anteriormente.)

La versión de un día. La complicación de tener más de un día es realmente ajena al núcleo del problema, por lo tanto se ha propuesto la siguiente versión de “un día” de la paradoja: El profesor le dice al alumno: “Tendrá una prueba sorpresa hoy”. ¿Qué debe interpretar el alumno?

Un problema equivalente es el siguiente: Supongamos que un alumno le pregunta a su profesor de teología, “¿Existe Dios realmente?” El profesor responde: “Dios existe, pero usted nunca creerá que Dios existe.” ¿Qué debe interpretar el alumno? Más adelante veremos que aceptando ciertos supuestos muy razonables sobre la capacidad de razonamiento del alumno, éste no puede creerle al profesor sin volverse inconsistente.

Un problema que se relaciona todavía más con el núcleo central de este libro es el siguiente: Nuevamente, el alumno le pregunta al profesor de teología si Dios existe. En este caso el profesor da la siguiente respuesta curiosa: “Dios existe si y sólo si usted no cree en absoluto que Dios existe.” De modo equivalente, el profesor dice: “Si Dios existe, entonces usted nunca creerá que Dios existe, pero si Dios no existe, entonces usted creerá que Dios realmente existe.” ¿Qué debe interpretar el pobre alumno a partir de eso? ¿Puede el alumno creerle al profesor sin volverse inconsistente? Sí; el resultado es que puede hacerlo, pero (nuevamente según ciertos supuestos razonables sobre la capacidad de razonamiento del alumno, que serán explicados en el curso de este libro) el alumno, que le cree al profesor, puede seguir siendo consistente sólo si no sabe que es consistente. En otras palabras, si el alumno le cree al profesor y cree en su propia consistencia, entonces se volverá inconsistente.

Esta paradoja se relaciona estrechamente con el notable Segundo Teorema de la Incompletitud de Gödel: el teorema de la no demostrabilidad de la consistencia. Gödel consideró algunos de los sistemas matemáticos más amplios que se conocen hasta ahora. Esos sistemas son verdaderamente consistentes (dado que todo lo demostrable en ellos es verdadero), pero lo sorprendente es que esos sistemas, a pesar de su poder (o, visto de otra forma, como consecuencia de su poder), son incapaces de demostrar su propia consistencia. Conocemos la consistencia de esos sistemas sólo por medio de métodos que no pueden formalizarse en los propios sistemas.

Este libro investigará esas paradojas y la obra de Gödel. Para que nos sirva de ayuda en esta búsqueda (y para divertirnos un poco) consideremos primero algunos acertijos lógicos y su relación con la lógica proposicional.

Parte II

LA LOGICA DE MENTIR Y DE DECIR LA VERDAD

3. El empadronador

Gran parte de la acción en este libro tendrá lugar en la Isla de los Caballeros y los Bribones donde, como ya vimos, los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos, los bribones siempre formulan enunciados falsos, y cada habitante es un caballero o un bribón.

Un hecho fundamental en esta isla es que a todo habitante le resulta imposible declarar que es un bribón, porque un caballero nunca mentiría y diría que es un bribón, y un bribón nunca admitiría verazmente que es un bribón.

Los cuatro problemas siguientes introducen los conectores lógicos y, o, si-entonces, y si y sólo si, que se tratarán de modo más formal en el capítulo 6.

LA VISITA DE McGREGOR

Una vez, el empadronador señor McGregor realizó cierto trabajo de campo en la Isla de los Caballeros y los Bribones. En esa isla también se denomina a las mujeres caballeros y bribones. En esa visita McGregor decidió entrevistar solamente a los matrimonios.

1. (Y)

McGregor llamó a una puerta; el marido la abrió a medias y le preguntó a McGregor qué deseaba.

Hago un censo —respondió McGregor—, y necesito información sobre usted y su esposa. ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero, y cuál, si alguno lo es, es un bribón?

—¡Ambos somos bribones!— dijo el marido enojado mientras cerraba la puerta de un golpe.

¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer? (La solución viene después del problema 2.)

2. (O)

En la casa siguiente, McGregor le preguntó al marido:

—¿Ambos son bribones?

El marido respondió:

—Por lo menos uno de nosotros lo es.

¿De qué clase es cada uno?

Solución del problema 1. Si el marido fuera un caballero jamás hubiera afirmado que él y la mujer eran bribones. Por lo tanto debe de ser un bribón. Dado que es un bribón su enunciado es falso; por lo tanto ambos no son bribones. Esto significa que la esposa debe ser un caballero. Por lo tanto él es un bribón y ella es un caballero.

Solución del problema 2. Si el esposo fuera un bribón, entonces sería verdad que por lo menos uno de los dos es un bribón, en consecuencia un bribón hubiera formulado un enunciado verdadero, lo cual es imposible. Por lo tanto el esposo debe ser un caballero. Entonces se sigue que su enunciado era verdadero, lo que significa que él o su esposa es un bribón. Dado que él no es un bribón, entonces su esposa lo es. Y por lo tanto la respuesta es la opuesta del Problema 1: él es un caballero y ella es un bribón.

El siguiente problema es más sorprendente que los dos anteriores (por lo menos para aquellos que no lo han visto anteriormente). Contiene un tema que vuelve a aparecer en algunos de los problemas más complejos que surgirán en capítulos posteriores.

3. (Si-entonces)

La siguiente casa que visitó McGregor resultó un mayor enigma. Un hombre algo introvertido abrió la puerta tímidamente. Cuando McGregor le pidió que dijera algo sobre sí mismo y sobre su esposa, lo único que dijo el esposo fue: —Si soy un caballero, entonces también lo es mi esposa.

McGregor se fue no muy complacido. —¿Cómo puedo deducir algo sobre alguno de los dos a partir de una respuesta tan evasiva?— pensó. Estaba a punto de escribir, “Marido y Mujer ambos desconocidos”, cuando recordó súbitamente una vieja lección de lógica de sus días de estudiante universitario. Por supuesto —se dio cuenta—, puedo determinar de qué clase son ambos.

¿De qué clase es el marido y de qué clase es la mujer?

Solución. Supongamos que el esposo es un caballero, entonces lo que dijo es verdad; es decir, que si es un caballero, también lo es su esposa y, en consecuencia, la esposa también debe ser un caballero. Esto demuestra que si el esposo es un caballero, también lo es la esposa. Bueno, eso es exactamente lo que dijo el esposo; dijo que si él es un caballero, entonces también lo es su esposa. Por lo tanto formuló un enunciado verdadero, y en consecuencia debe ser un caballero. Ahora sabemos que es un caballero, y ya hemos demostrado que si es un caballero, también lo es su esposa. Por lo tanto marido y mujer deben ser caballeros.

La idea implícita en el último problema tiene ramificaciones más trascendentes de lo que el lector podría advertir. Consideremos la siguiente variante del problema: Supongamos que visitamos la isla en busca de oro. Antes de empezar a excavar, queremos descubrir si realmente hay oro en la isla. Hay que hacer la hipótesis de que cada nativo sabe si hay o no hay oro en la isla. Supongamos que un nativo nos dice: “Si soy un caballero, entonces hay oro en la isla”. Entonces podemos justificadamente sacar la conclusión de que el nativo debe ser un caballero y que debe haber oro en la isla. El razonamiento es el mismo que el de la solución del Problema 3; supongamos que el nativo es un caballero; así es realmente cierto que si es un caballero, hay oro en la isla y en consecuencia hay oro en la isla. Esto demuestra que si es un caballero, entonces hay oro en la isla. Dado que dijo eso precisamente, es un caballero. Por consiguiente, hay oro en la isla.

La solución del problema 3 y su variante son casos especiales del siguiente hecho, que es suficientemente importante para registrarlo como Teorema I.

Teorema 1. Dada una proposición p, supongamos que un nativo de la isla de los caballeros y los bribones dice: “Si soy un caballero, entonces p.” Entonces el nativo debe ser un caballero y p debe ser verdadera.

La solución del problema 3 es un caso especial del Teorema I, considerando que p es la proposición de que la esposa del nativo es un caballero. La variante del Problema 3 (el problema sobre el oro) también es un caso especial del Teorema I, considerando que p es la proposición de que hay oro en la isla.

También se sigue a partir del Teorema I que ningún habitante de la isla de los caballeros y los bribones puede decir: “Si soy un caballero, entonces Santa Claus existe” (a menos que, por supuesto, Santa Claus realmente sí exista).

4. (Si y sólo si)

Cuando el empadronador entrevistó a la cuarta pareja, el esposo dijo: Mi esposa y yo somos de la misma clase; o ambos somos caballeros o ambos bribones.

(El esposo podría haber dicho alternativamente: —Soy un caballero si y sólo si mi esposa es un caballero. Es lo mismo.)

¿Qué puede deducirse sobre el marido y qué puede deducirse sobre la mujer?

Solución. No puede determinarse si el esposo es un caballero o un bribón, pero se puede determinar de qué clase es la esposa, del siguiente modo:

Si la esposa fuera un bribón, el esposo jamás podría afirmar que es de la misma clase que su esposa, porque eso sería equivalente a declarar que es un bribón, lo cual no puede hacer.

Una forma alternativa de considerar el problema es ésta: El esposo es un caballero o un bribón. Si es un caballero, su enunciado es verdadero, en consecuencia él y su esposa realmente son de la misma clase, lo cual significa que la esposa también es un caballero. Por otro lado, si él es un bribón, entonces su enunciado es falso, en consecuencia él y su esposa son de distinta clase, lo cual significa que la esposa, al contrario del esposo, es un caballero. Y por lo tanto, independientemente de que el esposo sea un caballero o un bribón, la esposa debe de ser un caballero. (En este caso, la clase de esposo es “indeterminada”; podría ser un caballero que afirmó verazmente ser como la esposa, o podría ser un bribón, que afirmó falsamente ser como la esposa.)

Este problema es un caso especial de lo siguiente: Dada una proposición p, supongamos que un habitante de la isla dice: “Soy un caballero si y sólo si p es verdadera”. ¿Qué puede deducirse?

Dos proposiciones se denominan equivalentes si ambas son verdaderas o falsas: en otras palabras, si una de ellas es verdadera, también lo será la otra. Dos proposiciones se denominan no equivalentes si no son equivalentes: en otras palabras, si una de ellas es verdadera y la otra es falsa. Ahora, el habitante ha dicho: “Soy un caballero si y sólo si p es verdadera.” Si suponemos que k es la proposición de que el habitante es un caballero, entonces el habitante afirma que k es equivalente a p. Si es un caballero, entonces su afirmación es verdadera, en consecuencia k es realmente equivalente a p; y dado que k es verdadera (él es un caballero), entonces p también lo es. Por otro lado, si es un bribón, entonces su afirmación es falsa; k no equivale realmente a p, pero dado que k es falsa (no es un caballero), entonces nuevamente p debe de ser verdadera (porque toda proposición no equivalente a una proposición falsa es obviamente verdadera). Y por lo tanto observamos que p debe ser verdadera, pero k es indeterminada. Vamos a registrar este caso como Teorema II.

Teorema II. Dada una proposición p, supongamos que un habitante dice: “Soy un caballero si y sólo si p”. Entonces p debe ser verdadera, independientemente de que el habitante sea un caballero o un bribón.

Regresemos al problema de determinar si hay oro en la isla. Supongamos que un nativo dice: “Soy un caballero si y sólo si hay oro en la isla.” Entonces según el Teorema II (considerando que p es la proposición de que hay oro en la isla), vemos que debe haber oro en la isla, aunque no podemos determinar si el nativo es un caballero o un bribón.

Por lo tanto observamos que si un nativo dice: “Si soy un caballero, entonces hay oro en la isla”, según el Teorema I, podemos inferir tanto que es un caballero como que hay oro en la isla. Pero si en cambio dice: “Soy un caballero si y sólo si hay oro en la isla”, entonces según el Teorema II, lo único que podemos inferir es que hay oro; no podemos determinar si el hablante es un caballero o un bribón.

El Teorema II constituye la base de un famoso acertijo que inventó el filósofo Nelson Goodman. El acertijo puede plantearse del siguiente modo: Supongamos que vamos a la Isla de los Caballeros y los Bribones y queremos descubrir si hay o no hay oro en la isla. Nos encontramos con un nativo y sólo se nos permite hacerle una pregunta, que debe responderse por sí o por no. ¿Qué pregunta le harían?

Una pregunta que sirve es: “¿Es cierto que usted es un caballero si y sólo si hay oro en la isla?” Si la respuesta es sí, entonces según el Teorema II hay oro en la isla. Si responde no, entonces no hay oro en la isla (porque él niega que el hecho de ser un caballero sea equivalente al hecho de que haya oro en la isla), lo cual es equivalente a afirmar que el hecho de ser un caballero es equivalente al hecho de que no haya oro en la isla; por lo tanto nuevamente según el Teorema II no hay oro en la isla.

ALGUNOS PROBLEMAS RELACIONADOS

5

¿Qué enunciado podría formular un nativo a partir del cual pudiéramos deducir que si es un caballero, entonces hay oro en la isla, pero si es un bribón, entonces podría o no haber oro en la isla?

6

¿Qué enunciado podría formular un nativo para que pudiéramos deducir que si hay oro en la isla, entonces debe ser un caballero, pero si no hay oro en la isla, entonces podría ser un caballero o un bribón?

7

Una vez visité esa isla y le pregunté a un nativo: “¿Hay oro en esta isla?”

Lo único que dijo como respuesta fue: “Jamás he dicho que haya oro en isla”. Más tarde, descubrí que había oro en la isla. El nativo ¿era un caballero o un bribón?

SOLUCIONES

5. Hay muchos enunciados qué pueden servir. Uno de ellos es: “Soy un caballero y hay oro en la isla”. Otro es: “Hay oro en la isla y hay plata en la Isla” (Si el nativo es un caballero, entonces por supuesto hay oro —así como plata— pero si hay oro, el nativo no tiene por qué ser un caballero, podría no haber nada de plata.)

6. Un enunciado que sirve es: “O soy un caballero o hay oro en la isla”. La frase “o-o” significa por lo menos uno y posiblemente ambos. Y por lo tanto si hay oro en la isla, entonces indudablemente es cierto que o el nativo es un caballero o hay oro en la isla. Por lo tanto, si hay oro en la isla, entonces el enunciado del nativo era verdadero, lo que a su vez implica que el nativo debe ser un caballero. Esto demuestra que si hay oro en la isla, entonces el nativo es un caballero.

Por otro lado, el nativo podría ser un caballero sin que hubiera oro en la isla, porque si es un caballero, entonces es verdad que o es un caballero o hay oro en la isla.

Otro enunciado que sirve es: “O hay oro en la isla o hay plata en la isla”.

7. Supongamos que el nativo era un bribón. Entonces su enunciado es falso, lo cual significa que una vez sí afirmó que hay oro en la isla. Su declaración debe haber sido falsa (dado que es un bribón), lo que significa que no hay oro en la isla. Pero yo les dije que había oro en la isla. En consecuencia no puede ser un bribón; debe ser un caballero.

4. En busca de Oona

Existe todo un grupo de islas de caballeros y bribones en el Pacífico sur en las cuales algunos de los habitantes son mitad humanos y mitad pájaros. Estas personas-pájaro vuelan tan bien como los pájaros y hablan con tanta fluidez como los humanos.

Esta es la historia de un filósofo —un lógico, en realidad— que visitó ese grupo de islas y se enamoró de una joven-pájaro llamada Oona. Se casaron. Su matrimonio era feliz, excepto que su esposa era demasiado escurridiza. Por ejemplo, él llegaba al hogar a la hora de la cena, pero si era una tardecita especialmente agradable, Oona se había ido volando a otra isla. Por lo tanto él tenía que remar por los alrededores en su canoa de una isla a la otra hasta encontrar a Oona y llevarla a casa. Siempre que Oona aterrizaba en una isla, todos los nativos la veían en el aire y sabían que estaba aterrizando. Sin embargo, una vez que descendía, era muy difícil encontrarla, por lo tanto lo primero que hacía el marido cuando llegaba a una isla era tratar de averiguar por medio de los nativos en dónde había aterrizado Oona. Lo que dificultaba tanto la tarea, por supuesto, era que algunos de los nativos eran bribones y no decían la verdad. Los siguientes son algunos de los incidentes que le ocurrieron.

1

En una oportunidad, el esposo llegó a una isla en busca de Oona y encontró a dos nativos, A y B. Les preguntó si Oona había aterrizado en la isla. Obtuvo las siguientes respuestas:

A: Si B y yo somos caballeros, entonces Oona está en esta isla.

B: Si A y yo somos caballeros, entonces Oona está en esta isla.

¿Está Oona en esta isla?

2

En otra oportunidad, dos nativos A y B formularon los siguientes enunciados:

A: Si alguno de los dos es un caballero, entonces Oona está en esta isla.

B: Eso es verdad.

¿Está Oona en esta isla?

3

No recuerdo los detalles del siguiente incidente con mucha claridad. Sé que el lógico se encontró con dos nativos A y B y que A dijo: “B es un caballero, y Oona está en esta isla”. Pero no recuerdo exactamente lo que dijo B. O dijo: “A es un bribón, y Oona no está en esta isla”. O dijo: “A es un bribón y Oona está en esta isla. ¡Ojalá pudiera recordarlo! De todos modos lo que recuerdo es que el lógico pudo determinar si Oona estaba o no en la isla. ¿Estaba?

4

En el siguiente incidente, el lógico llegó a una isla muy pequeña con sólo seis habitantes. Interrogó a cada uno de ellos y, bastante curiosamente, todos dijeron lo mismo: “Por lo menos un bribón en esta isla ha visto a Oona aterrizar aquí esta tarde.”

¿Algún nativo de esa isla vio a Oona aterrizar allí esa tarde?

5

En otro extraño incidente, cuando el esposo llegó a una isla buscando a Oona, se encontró con cinco nativos, A, B, C, D, y E, quienes adivinaron su propósito y le sonrieron con picardía al encontrarlo. Formularon los siguientes enunciados:

A: Oona está en esta isla.

B: Oona no está en esta isla.

C: Oona estuvo aquí ayer.

D: Oona no está aquí hoy, y no estuvo aquí ayer.

E: O D es un bribón o C es un caballero.

El lógico lo meditó durante un rato, pero no pudo lograr nada.

—¿Podría alguno de ustedes formular otro enunciado, por favor?, —suplicó el lógico. En ese momento A dijo: —O E es un bribón o C es un caballero.

¿Está Oona en esta isla?

SOLUCIONES

1. Voy a conformarme con soluciones más breves que las que di anteriormente.

Supongamos que A y B son ambos caballeros. Entonces el enunciado común que formulan es verdadero, a partir del cual se sigue que Oona está en la isla. Por lo tanto si ambos son caballeros, entonces Oona está en la isla. Esto es lo que dijeron, por lo tanto ambos son caballeros. En consecuencia Oona está en la isla.

2. Si uno de los dos es un caballero, entonces el enunciado que formuló es verdadero, a partir de lo cual se sigue que Oona está en la isla. Por lo tanto, si alguno de los dos es un caballero, Oona está en la isla. De este modo el enunciado que ambos formularon es verdadero, en consecuencia ambos son caballeros, por lo tanto seguramente uno por lo menos es un caballero. A partir de esto y de la veracidad del enunciado que formularon, se sigue que Oona está en la isla.

3. Este es un ejemplo de lo que denomino meta-acertijo. No se informa lo que dijo B, pero en cambio se informa que a partir de lo que dijeron A y B, el lógico pudo determinar si Oona estaba en la isla. (Sin esta información no podrían resolver el problema.)

Primero les demostraré que si B hubiera dicho: “A es un bribón y Oona no está en esta isla”, entonces el lógico no podría haber resuelto el problema. Por lo tanto supongamos que B lo hubiera dicho. Ahora, A no podría ser un caballero, porque si lo fuera, entonces B sería un caballero (como dijo A), lo cual convertiría a A en un bribón (como dijo B). Por lo tanto, A es definitivamente un bribón. Pero también podría ser que B sea un caballero y Oona no esté en la isla, o que B sea un bribón y Oona esté en la isla, y no hay forma de determinar cuál de las dos posibilidades es la correcta. Por lo tanto si B hubiera dicho eso, el lógico no podría haber sabido si Oona estaba en la isla. Pero se nos dice que el lógico sí lo sabía, en consecuencia B no dijo eso. Tiene que haber dicho: “A es un bribón y Oona está en esta isla”. Ahora veamos lo que ocurre.

A debe ser un bribón por la misma razón anterior. Si Oona está en la isla, obtenemos la siguiente contradicción: Es entonces verdad que A es un bribón y Oona está en la isla, en consecuencia B formuló un enunciado verdadero, lo cual convierte a B en un caballero. Pero entonces A formuló un enunciado verdadero al declarar que B es un caballero y Oona está en la isla, opuesto al hecho de que A es un bribón. La única salida de la contradicción es que Oona no esté en la isla. Por lo tanto Oona no está en la isla (y, por supuesto, A y B son bribones).

4. Dado que los seis nativos dijeron lo mismo, entonces o son todos caballeros o todos bribones (todos caballeros, si lo que dijeron es verdadero, y todos bribones de lo contrario). Supongamos que eran todos caballeros. Entonces sería verdad que por lo menos un bribón en la isla había visto aterrizar a Oona, pero eso sería imposible, dado que ninguno de ellos es bribón. Por lo tanto todos deben ser bribones. En consecuencia lo que dijeron es falso, lo que significa que ningún bribón de la isla vio aterrizar a Oona esa tarde. Pero dado que todos los nativos son bribones, entonces ningún nativo vio aterrizar a Oona esa tarde.

5. Vamos a demostrar que si A es un bribón obtenemos una contradicción: supongamos que A es un bribón. Entonces su segundo enunciado era falso, en consecuencia E debe de ser un caballero y C debe de ser un bribón.

Dado que E es un caballero, su enunciado es verdadero, y, entonces, o D es un bribón o C es un caballero. Pero C no es un caballero, por lo tanto D debe de ser un bribón. De donde el enunciado de D era falso y, por lo tanto, Oona está aquí hoy o estuvo aquí ayer. Pero Oona no estuvo aquí ayer (porque C dijo que estuvo y C es un bribón), así que ella está aquí hoy. Pero esto convierte el primer enunciado de A en verdadero, contrario al supuesto de que A es un bribón. Entonces A no puede ser un bribón; debe ser un caballero. Por lo tanto el primer enunciado de A era verdadero, y Oona está en esta isla.

5. Un laberinto interplanetario

En Ganimedes —un satélite de Júpiter— hay un club conocido como el club marciano-venusino. Todos los socios son o de Marte o de Venus, aunque a veces se admiten visitantes. Un terrícola es incapaz de distinguir por la apariencia a los marcianos de los venusinos. Además, los terrícolas no pueden distinguir a los varones marcianos o venusinos de las mujeres, dado que se visten iguales. Sin embargo, los lógicos tienen una ventaja, dado que las mujeres venusinas siempre dicen la verdad y los varones venusinos siempre mienten. Los marcianos son lo opuesto; los varones marcianos dicen la verdad y las mujeres marcianas siempre mienten.

Un día Oona y su esposo lógico visitaron Ganimedes y les comentaron sobre ese club: —Te apuesto a que puedo distinguir a los varones de las mujeres y a los marcianos de los venusinos —le dijo el esposo orgullosa- mente a su esposa.

—¿Cómo? —preguntó Oona.

—Iremos al club esta noche, que es la noche de los visitantes, y te lo demostraré —dijo el esposo (cuyo nombre, a propósito, era George).

1

Esa noche visitaron el club. —Ahora, veamos qué puedes hacer —dijo Oona con un dejo de escepticismo—. El socio de allá. ¿Puedes descubrir si él o ella es varón o mujer? —Entonces George se acercó al socio y le hizo una sola pregunta por sí o no. El socio respondió, y entonces George determinó si el socio era varón o mujer, aunque no pudo determinar si el socio era de Marte o de Venus.

¿Qué pregunta pudo haber sido?

2

—¡Muy inteligente! —dijo Oona, cuando George le explicó la solución—. Ahora supongamos que en vez de querer descubrir si el socio era varón o mujer, hubieras querido descubrir si era de Marte o de Venus. ¿Habrías podido hacerlo formulando solamente una pregunta por sí o no?

—¡Por supuesto! —dijo George—. ¿No imaginas cómo?

Oona lo meditó un rato y repentinamente se dio cuenta. ¿Cómo?

3

—Si eres realmente inteligente —dijo Oona—, debes ser capaz de descubrir sólo con una pregunta si un socio dado es varón o mujer y de dónde proviene. A ver si haces ambas cosas de inmediato usando solamente una pregunta por sí o no.

—¡Nadie es tan inteligente! —respondió George. ¿Por qué dijo eso George? (Esencialmente esto es una repetición del último acertijo del capítulo 2 de mi libro To Mock a Mockingbird.)

4

En ese preciso momento un socio pasó al lado de ellos y formuló un enunciado a partir del cual George y Oona (que en ese momento ya empezaba a entender las cosas) pudieron deducir que el socio debía ser una mujer marciana. ¿Qué enunciado pudo haber sido?

5

El siguiente socio que pasó cerca de ellos formuló un enunciado a partir del cual George y Oona pudieron deducir que el socio debía ser una mujer venusina. ¿Qué enunciado pudo haber sido?

6

¿Qué enunciado podría formular un varón marciano, una mujer marciana, un varón venusino o una mujer venusina?

Las noticias sobre el ingenio con que George y Oona aplicaban la lógica para determinar el sexo y/o raza de varios socios se difundieron rápidamente por todo el club. El propietario del club, un empresario norteamericano llamado Fetter, se acercó a la mesa de George y Oona para felicitarlos. —Me gustaría ponerlos a prueba con otros socios más —dijo Fetter—, y ver qué pueden hacer.

7

En ese momento pasaron dos socios. —Acérquense —dijo Fetter, que los presentó como Ork y Bog. George les pidió que le dijeran algo sobre ellos mismos, y los dos formularon los siguientes enunciados.

ORK: Bog es de Venus.

BOG: Ork es de Marte.

ORK: Bog es varón.

BOG: Ork es mujer.

Con esta información, George y Oona pudieron identificar sucesivamente tanto el sexo como la raza de cada uno de ellos. ¿Qué es Ork y qué es Bog?

8

—Saben —dijo Fetter, cuando ya Ork y Bog se habían ido—, los marcianos y venusinos generalmente se casan entre sí, y tenemos varias parejas mixtas en este club. Aquí se acerca una pareja. Veamos si pueden descubrir si es una pareja mixta o no.

No recuerdo los nombres de pila de la pareja, por lo tanto simplemente los llamaré A y B.

—¿De dónde son? —Oona le preguntó a A.

—De Marte —fue la respuesta.

—¡Eso no es cierto! —dijo B.

¿Es ésta una pareja mixta o no?

9

—Aquí viene otra pareja —dijo Fetter. Nuevamente no voy a decirles si es una pareja mixta o no. Veamos si pueden descubrir cuál es el esposo.

Llamaremos a los dos A y B. George preguntó: —¿Ambos son del mismo planeta? Estas son las respuestas:

A: Ambos somos de Venus.

B: ¡Eso no es cierto!

¿Cuál es el esposo?

10

—Aquí hay otra pareja —dijo Fetter. Nuevamente, no voy a decirles si es una pareja mixta o no. Veamos lo que sucede.

En este caso recuerdo los nombres: Jal y Tork.

—¿De dónde son cada uno de ustedes? —preguntó George.

—Mi cónyuge es de Marte —respondió Tork.

—Ambos somos de Marte —dijo Jal.

Esto les permitió a George y Oona clasificarlos completamente. ¿Cuál es el marido y cuál es la mujer, y de qué planeta proviene cada uno?

SOLUCIONES

1. La pregunta más sencilla que sirve es: “¿Es usted marciano?” Supongamos que la respuesta es sí. O el hablante dice la verdad o miente. Si es el primer caso, entonces el hablante es realmente marciano, y al ser un marciano veraz, debe ser varón. Si el hablante miente, entonces el hablante realmente es venusino, en consecuencia es un venusino mentiroso, por lo tanto también es varón. En consecuencia en ambos casos, una respuesta sí indica que el hablante es varón. Un análisis similar (que dejo a cargo del lector) demuestra que una respuesta negativa indica que el hablante es mujer.

Por supuesto la pregunta “¿Es usted venusino?” resulta igualmente satisfactoria; una respuesta afirmativa indica entonces que el hablante es mujer, y una respuesta negativa indica que es varón.

2. La pregunta “¿Es usted varón?” sirve. (Dejo la verificación a cargo del lector.) Alternativamente la pregunta, “¿Es usted mujer?” también sirve.

3. La razón por la cual es imposible diseñar una pregunta por sí o no que determine definidamente si un cierto socio es varón o mujer y si el socio es marciano o venusino es que hay cuatro posibilidades de socios —varón marciano, mujer marciana, varón venusino, mujer venusina— pero sólo hay dos respuestas posibles para la pregunta: sí o no. Y por lo tanto, sólo con dos respuestas posibles no se puede determinar cuál de las cuatro posibilidades es válida.

4. Un sencillo enunciado que serviría es: “Soy un varón venusino.” Obviamente el enunciado no puede ser verdadero, o tendríamos la contradicción de un varón venusino que formula un enunciado verdadero. En consecuencia el enunciado es falso, lo que significa que el hablante no es un varón venusino. Dado que el enunciado es falso, entonces el hablante debe ser una mujer marciana.

5. Este es un poco más intrincado: Un enunciado que sirve es: “Soy o mujer o de Venus.” (Nota: recordemos que o-o significa por lo menos uno o posiblemente ambos; no significa exactamente uno.)

Si el enunciado es falso, entonces el hablante no es ni mujer ni de Venus, en consecuencia debe ser un varón marciano. Pero un varón marciano no formula enunciados falsos, y por lo tanto tenemos una contradicción. Esto demuestra que el enunciado debe ser verdadero; en consecuencia el hablante debe ser o mujer o de Venus y posiblemente ambas cosas. Sin embargo, si es mujer, también debe ser venusina, y si es de Venus, también mujer, porque las mujeres veraces son venusinas y las venusinas veraces son mujeres. Por lo tanto el hablante debe ser tanto de Venus como mujer.

Entre paréntesis, si el hablante hubiera formulado el enunciado más rotundo: “Soy mujer y venusina”, sería imposible determinar el sexo o la raza del hablante (lo único que podría inferirse es que el hablante no es un varón marciano).

6. Un enunciado de esa clase es: “O soy un varón marciano o una mujer venusina”, o, aún más simple: “Siempre digo la verdad”. Cualquier mentiroso o veraz podría decirlo.

7. Supongamos que Ork dijo la verdad. Entonces Bog sería tanto varón como venusino; en consecuencia Bog debe haber mentido. Supongamos, por otro lado, que Ork mintió. Entonces Bog no es varón ni venusino; en consecuencia Bog debe ser una mujer marciana y por lo tanto nuevamente Bog debe de haber mentido. Esto demuestra que independientemente de que Ork haya dicho la verdad o no, Bog definitivamente mintió.

Dado que Bog mintió, entonces Ork no es de Marte ni es mujer; en consecuencia Ork debe ser un varón venusino. Por lo tanto Ork también mintió, lo que significa que Bog debe ser una mujer marciana. Y por lo tanto la solución es que Ork es un varón venusino y Bog es una mujer marciana (y los cuatro enunciados eran mentiras).

8. Dado que A afirmó ser de Marte, entonces A debe ser varón (como vimos en la solución del problema I), y en consecuencia B debe ser mujer. Si A es veraz, entonces A realmente es de Marte, B mintió, y al ser una mujer mentirosa también es de Marte. Si A mintió, A realmente es de Venus, B dijo la verdad, y al ser mujer también es de Venus. Por lo tanto ésta no es una pareja mixta; ambos son del mismo planeta.

9. Si el enunciado de A es verdadero, entonces ambos son de Venus; en consecuencia A es de Venus y A debe ser mujer. Supongamos que el enunciado de A es falso. Entonces por lo menos uno de ellos es de Marte. Si A es de Marte, A debe ser mujer (dado que el enunciado de A es falso). Si B es de Marte, B debe ser varón (dado que el enunciado de B es verdadero); en consecuencia nuevamente, A debe ser mujer. Y por lo tanto A es la esposa y B es el marido.

10. Supongamos que Jal dijo la verdad. Entonces los dos realmente son de Marte; en consecuencia Tork es de Marte y el enunciado de Tork que afirma que Jal es de Marte era verdadero. Por lo tanto nos enfrentamos con la imposibilidad de una pareja del mismo planeta en la cual ambos dicen la verdad. Eso no puede ser, en consecuencia Jal debe haber mentido. Por lo tanto al menos uno de ellos es de Venus.

Si Jal es de Marte, entonces debe ser que Tork es de Venus. Pero entonces Tork dijo la verdad al afirmar que Jal es de Marte, por lo tanto Jal no puede ser de Marte; Jal debe ser de Venus. Dado que Jal mintió y es de Venus, Jal debe ser varón. Además, dado que Jal no es de Marte, Tork mintió. En consecuencia Tork es una mujer mentirosa, y por lo tanto es de Marte.

En resumen, Jal es un varón venusino y Tork es una mujer marciana.

Parte III

CABALLEROS, BRIBONES Y LOGICA PROPOSICIONAL

6. Un poco de lógica proposicional

Los acertijos de mentirosos y veraces de los últimos tres capítulos adquieren una importancia adicional cuando se los considera en términos de la materia conocida como lógica proposicional (como veremos en el próximo capítulo). En este capítulo examinaremos algunos de los puntos básicos: los conectores lógicos, las tablas de verdad y las tautologías. Los lectores que ya estén familiarizados con estos conceptos pueden pasar directamente al siguiente capítulo (o quizá simplemente hojear este capítulo como repaso).

LOS CONECTORES LOGICOS

La lógica proposicional, como el álgebra, tiene su propio simbolismo, que es relativamente fácil de aprender. En álgebra, las letras x, y, z representan números no especificados; en lógica proposicional, usamos las letras p, q, r, s (a veces con subíndices) para representar proposiciones no especificadas.

Las proposiciones pueden combinarse usando los llamados conectores lógicos. Los principales son:

1) ~ (no)

2) & (y)

3) ˅ (o)

4) ⸧ (si-entonces)

5) ≡ (si y sólo si)

Ahora vamos a explicarlos.

1) Negación. Para toda proposición p, ~p significa lo opuesto o contrario a p. Leemos ~p como “no es cierto que p”; o, en forma más breve, “no p”. La proposición ~p se denomina la negación de p; es verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera. Podemos resumir estos dos hechos en la siguiente tabla, que se denomina Tabla de verdad para, la negación. En esta tabla (como en todas las tablas que siguen), usaremos la letra “V” para representar la verdad y “F” para representar la falsedad.

p

~p

V

F

F

V

La primera fila de la tabla de verdad dice que si p tiene el valor V (es decir, si p es verdadera), entonces ~p tiene el valor F. La segunda fila dice que si p tiene el valor F, entonces ~p tiene el valor V. También podemos escribirlo del siguiente modo:

~V = F

~F = V

2) Conjunción. Para proposiciones cualesquiera p y q, la proposición que p y q son ambas verdaderas se escribe “p&q” (a veces “p˄q”). Decimos que p&q es la conjunción de p y q. Es verdadera si p y q son verdaderas, pero falsa si alguna de las dos es falsa. Por lo tanto tenemos las siguientes cuatro leyes de la conjunción:

V & V = V

V & F = F

F & V = F

F & F = F

Por lo tanto la siguiente es la tabla de verdad para la conjunción:

p

q

p&q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

3) Disyunción. Para proposiciones cualesquiera p y q, sea p˅q la proposición de que al menos una de las proposiciones p o q es verdadera. Interpretamos p˅q como “o p o q”, y posiblemente ambas. (Existe otro sentido de “o”, es decir, exactamente una, pero no vamos a usar la palabra “o” en ese sentido. Si p y q resultan ser verdaderas, la proposición p˅q se considera verdadera.) La proposición p˅q se denomina disyunción de p y q. La disyunción tiene la siguiente tabla de verdad:

P

q

p˅q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Observamos que p˅q es falsa sólo en el cuarto caso: cuando p y q son ambas falsas.

4) Si-entonces. Para proposiciones cualesquiera p y q, escribimos p⸧q para significar que o p es falsa o p y q son ambas verdaderas: en otras palabras, si p es verdadera, también lo es q. A veces interpretamos p⸧q como “si p, entonces q”, o “p implica q”, o “no es cierto que p sea verdadera y q sea falsa”. Llamamos a p⸧q el condicional de p y q. Para el condicional, tenemos la siguiente tabla de verdad.

p

q

p⸧q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Observemos que p⸧q es falsa sólo en la segunda fila: el caso en que p es verdadera y q es falsa. Tal vez esto requiera un poco de explicación: p⸧q es la proposición de que no es cierto que p sea verdadera y q sea falsa. La única forma en que puede ser falsa es si es cierto que p es verdadera y q es falsa.

5) Si y sólo si. Por último supongamos que p≡q es la proposición de que p y q son ambas verdaderas o falsas, o, lo que es lo mismo, que si alguna de las dos es verdadera, la otra también lo es. Leemos p≡q como “p es verdadera si y sólo si q es verdadera”, o “p y q son equivalentes”. (Recordemos que dos proposiciones se denominan equivalentes si ambas son verdaderas o falsas.) La proposición p≡q a veces se denomina bicondicional de p y q. La siguiente es la tabla de verdad.

p

q

p≡q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Paréntesis. Es necesario usar paréntesis para evitar la ambigüedad. Por ejemplo, supongamos que escribo p&q˅r. El lector no puede saber si quiero decir que p es verdadera y que q o r es verdadera, o si esto significa que p y q son ambas verdaderas o r es verdadera. Si quiero decir lo primero, debo escribir p&(q˅r); si quiero decir lo segundo, debo escribir (p&q)˅r.

Tablas compuestas de verdad. El valor de verdad de una proposición significa su veracidad o falsedad: que es V, si p es verdadera, y F si p es falsa. De este modo las proposiciones 2 + 2 = 4 y Londres es la capital de Inglaterra, aunque son proposiciones diferentes, tienen el mismo valor de verdad: es decir, V.

Ahora consideremos dos proposiciones p y q. Si conocemos el valor de verdad de p y el valor de verdad de q, entonces podemos determinar los valores de verdad de p&q, p˅q, p⸧q, y p≡q, y también el valor de verdad de ~p (así como el valor de verdad de ~q). Por lo tanto se sigue que dada cualquier combinación de p y q (es decir, cualquier proposición expresable en términos de p y q, usando los conectores lógicos), podemos determinar el valor de verdad de esta combinación una vez que tenemos el valor de verdad de p y q. Por ejemplo, supongamos que A es la proposición (p≡(q&p))⸧(~p⸧q). Dados los valores de verdad de p y q, podemos averiguar sucesivamente los valores de q&p, podemos averiguar sucesivamente los valores de q&p, p≡(q&p), ~p, (~p⸧q), y por último (p≡(q&p))⸧(~p⸧q). Hay cuatro distribuciones posibles de valor de verdad para p y q, y en cada uno de los cuatro casos podemos determinar el valor de verdad de A. Podemos hacerlo en forma sistemática confeccionando la siguiente tabla:

p

q

q&p

p≡(q&p)

~p

~p⸧q

(p≡(q&p))⸧(~p⸧q)

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

Por lo tanto observamos que A es verdadera en los tres primeros casos y falsa en el cuarto.

Consideremos otro ejemplo: Supongamos que B = (p⸧q)⸧(~q⸧~p), y confeccionemos una tabla de verdad para B.

p

q

~p

~q

p⸧q

~q⸧~p

(p⸧q)⸧(~q⸧~p)

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

Observamos que B es verdadera en los cuatro casos, y así es un ejemplo de lo que se denomina tautología.

También podemos confeccionar una tabla de verdad para una combinación de tres incógnitas proposicionales —p, q y r— pero ahora debemos considerar ocho casos (porque hay cuatro distribuciones de V y F para p y q, y con cada una de estas cuatro distribuciones hay dos posibilidades para r). Por ejemplo, supongamos que C es la expresión (p&(q⸧r))⸧(r&~p). Tendría la siguiente tabla de verdad:

p

q

r

q⸧r

p&(q⸧r)

~p

r&~p

(p&(qpr))⸧(r&~p)

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

Observamos que C es falsa en los ocho casos; es lo completamente opuesto de una tautología y un ejemplo de lo que se denomina contradicción. No hay proposiciones p, q y r tal que (p&(p⸧r))⸧(r&~p) sea verdadera. (Podríamos haberlo observado sin una tabla de verdad usando el sentido común. Supongamos que p&(q⸧r) es verdadera. Entonces ¿cómo podría (r&~p) ser verdadera, dado que ~p es falsa?)

Si confeccionamos una tabla de verdad para una expresión de cuatro incógnitas —digamos, p, q, r, y s— tenemos que considerar dieciséis casos, y por lo tanto la tabla de verdad tendrá dieciséis filas. En general, para todo número entero positivo n, una tabla de verdad para una expresión de n incógnitas debe tener 2n filas (cada vez que agregamos una incógnita, la cantidad de filas se duplica).

TAUTOLOGIAS

Una proposición se llama tautología si podemos determinar que es verdadera basándonos solamente en las tablas de verdad para conectores lógicos. Por ejemplo, supongamos que una persona dice que mañana lloverá y una segunda persona dice que no. Prácticamente no podemos esperar descubrir quién tiene razón usando una tabla de verdad. Debemos esperar hasta mañana y entonces observar el tiempo. Pero supongamos que una tercera persona dice hoy: “O lloverá mañana o no lloverá”. Bueno, eso es lo que yo llamaría ¡una predicción segura! Sin tener que esperar hasta mañana y hacer una observación, sabemos por pura razón que debe estar en lo cierto. Su aseveración tiene la forma pv~p (en donde p es la proposición de que lloverá mañana), y para toda proposición p, la proposición pv~p debe ser verdadera (como demostrará fácilmente una tabla de verdad).

La definición más común de tautología supone el concepto de fórmula. Fórmula significa una expresión que se construye a partir de los símbolos ~, &, ˅, ⸧, ≡ y de las variables preposicionales p, q, r, ..., con los paréntesis bien colocados. Las siguientes son las reglas precisas para confeccionar las fórmulas.

1) Cualquier variable proposicional única es una fórmula.

2) Dadas fórmulas cualesquiera X e Y ya construidas, las expresiones (X&Y), (X˅Y), (X⸧Y), o (X≡Y) son también fórmulas, y también lo es la expresión ~X.

Debe comprenderse que ninguna expresión constituye una fórmula a menos que se construya según las reglas 1) y 2) ya citadas.

Cuando se presenta una única fórmula, podemos eliminar los paréntesis externos sin incurrir en ambigüedad: por ejemplo, cuando decimos “la fórmula p⸧q”, significa “la fórmula (p⸧q)”.

Una fórmula en sí misma no es ni verdadera ni falsa, sino que sólo se convierte en verdadera o falsa cuando interpretamos que las variables preposicionales representan proposiciones definidas. Por ejemplo, si yo preguntara: ¿Es verdadera la fórmula (p&q)?, ustedes probablemente (y correctamente) responderían: “Depende de qué proposiciones representan las letras “p” y “q”. Y por lo tanto una fórmula tal como “p&q” a veces es verdadera y a veces falsa. Por otro lado, una fórmula tal como “p˅~p” siempre es verdadera (es verdadera sea cual sea la proposición que represente la letra “p”) y en conformidad se denomina fórmula tautológica. Por lo tanto una fórmula tautológica es por definición una fórmula que siempre es verdadera, o lo que es lo mismo, una tabla de verdad para la fórmula sólo tendrá símbolos V en la última columna. Entonces podemos decir que una proposición es una tautología si se expresa por medio de cierta fórmula tautológica según determinada interpretación de las variables preposicionales. (Por ejemplo, la proposición de que llueve o no llueve se expresa por medio de la fórmula pv~p, si interpretamos que “p” es la proposición que está lloviendo.)

Implicación y equivalencia lógicas. Dadas dos proposiciones X e Y, decimos que X implica lógicamente Y, o que Y es una consecuencia lógica de X si X⸧Y es una tautología. Decimos que X es lógicamente equivalente a Y si X≡Y es una tautología; o, lo que es lo mismo, si X implica lógicamente Y e Y implica lógicamente X.

ALGUNAS TAUTOLOGIAS

La tabla de verdad es un método sistemático de verificar tautologías, pero muchas tautologías pueden reconocerse con mayor rapidez si se usa un poco de sentido común. Estos son algunos ejemplos:

1) ((p⸧q)&(q⸧r))⸧(p⸧r)

Esto significa que si p implica q, y si q implica r, entonces p implica r. Esto indudablemente resulta evidente por sí mismo (pero, por supuesto, puede verificarse con una tabla de verdad). Esta tautología tiene un nombre: se denomina silogismo.

2) (p&(p⸧q))⸧q

Esto significa que si p es verdadera, y si p implica q, entonces q es verdadera. A veces esto se parafrasea: “Todo lo que implica una proposición verdadera es verdadero”.

3) ((p⸧q)&~q)⸧~p

Esto significa que si p implica una proposición falsa, entonces p debe ser falsa.

4) ((p⸧q)&(p⸧~q))⸧~p

Esto significa que si p implica q y también p implica no q, entonces p debe ser falsa.

5) ((~p⸧q)&(~p⸧~q))⸧p

Este principio se conoce como reducción al absurdo. Para demostrar que p es verdadera, basta demostrar que ~p implica alguna proposición q así como su negación ~q.

6) ((p˅q)&~p)⸧q

Este es un principio conocido de la lógica: Si por lo menos una de las proposiciones p o q es verdadera, y si p es falsa, entonces debe ser q la verdadera.

7) ((p˅q)&((p⸧r)&(q⸧r)))⸧r

Este es otro principio familiar conocido como demostración por casos.

Supongamos que p˅q es verdadera. Supongamos también que p implica r y que q implica r. Entonces r debe ser verdadera (independientemente de que p o q sean verdaderas, o ambas cosas a la vez).

El lector que no tenga mucha experiencia con la lógica proposicional puede sacar provecho del siguiente ejercicio.

Ejercicio 1. Determinar cuáles de las siguientes son tautologías.

a) (p⸧q)⸧(q⸧p)

b) (p⸧q)⸧(~p⸧~q)

c) (p⸧q)⸧(~q⸧~p)

d) (p≡q)⸧(~p≡~q)

e) ~(p⸧~p)

f) ~(p≡~p)

g) ~(p&q)⸧(~p&~q)

h) ~(p˅q)⸧(~p˅~q)

i) (~p˅~q)⸧~(p˅q)

j) ~(p&q)≡(~p˅~q)

k) ~(p˅q)≡(~p&~q)

l) (q≡r)⸧((p⸧q)=(p⸧r))

m) (p≡(p&q))≡(q≡(p˅q))

Respuestas, a) No, b) No, c) Sí, d) Sí, e) ¡No!, f) Sí, g) No, h) Sí, i) No, j) Sí, k) Sí, l) Sí, m) Sí [tanto p≡(p&q) como (q≡(p˅q)) son equivalentes a p⸧q].

Con respecto a e), muchos principiantes piensan que ninguna proposición p puede implicar su negación. ¡Esto no es así! Si p es falsa, entonces ~p es verdadera, en consecuencia en ese caso p⸧~p es verdadera. Sin embargo, ninguna proposición puede ser equivalente a su propia negación, y por lo tanto f) es en realidad una tautología.

Análisis. La importancia de las tautologías radica en que no sólo son verdaderas, sino que son lógicamente ciertas. No se necesita ningún experimento científico para establecer su veracidad: pueden verificarse sobre la base de la pura razón.

Alternativamente se pueden caracterizar las tautologías sin recurrir al concepto de fórmulas. Definamos un estado de cosas como alguna clasificación de todas las proposiciones en dos categorías: proposiciones verdaderas y proposiciones falsas, con la restricción de que la clasificación debe satisfacer las condiciones de la Tabla de verdad para los conectores lógicos (por ejemplo, no podemos clasificar p˅q como verdadera si p y q se clasifican ambas como falsas). Una tautología, por lo tanto, es una proposición que es verdadera en todo estado de cosas posible.

Esto se relaciona con el concepto de Leibniz sobre otros mundos posibles. Leibniz sostenía que de todos los mundos posibles, éste era el mejor. Francamente, no tengo la menor idea si tenía razón o estaba equivocado, pero lo interesante es que tuvo en cuenta otros mundos posibles. A partir de esto en los últimos años ha sido desarrollada toda una rama de lógica filosófica —principalmente por el filósofo Saul Kripke— conocida como semántica de los mundos posibles que analizaremos en uno de los últimos capítulos. Dado cualquier mundo posible, el conjunto de todas las proposiciones que son verdaderas para ese mundo, junto con el conjunto de todas las proposiciones que son falsas para ese mundo, constituyen el estado de cosas que rige en ese mundo. Por lo tanto, una tautología es verdadera, no sólo para ese mundo, sino para todos los mundos posibles. Las ciencias físicas se interesan en el estado de cosas que vale para el mundo real, mientras que la matemática y la lógica puras estudian todos los estados de cosas posibles.

7. Caballeros, bribones y lógica proposicional

RETORNO A LOS CABALLEROS Y BRIBONES

Ahora podemos introducir un método de traducción simple pero fundamental por medio del cual un sinnúmero de problemas sobre mentirosos y veraces puede reducirse a problemas de lógica proposicional. Este método será decisivo en varios de los capítulos que siguen.

Regresemos a la Isla de los Caballeros y los Bribones. Dado un nativo P, supongamos que k es la proposición de que P es un caballero. Ahora supongamos que P afirma una proposición X. En general no sabemos si P es un caballero o un bribón, ni tampoco si X es verdadera o falsa. Pero sí sabemos todo esto: Si P es un caballero, entonces X es verdadera, y a la inversa, si X es verdadera, entonces P es un caballero (porque los bribones nunca formulan enunciados verdaderos). Y por lo tanto sabemos que P es un caballero si y sólo si X es verdadera; en otras palabras, sabemos que la proposición k=X es una proposición verdadera. Y por lo tanto traducimos “P afirma X” como “k≡X”.

A veces participan más de dos nativos: por ejemplo, supongamos que tenemos dos nativos P1 y P2. Supongamos que k es la proposición de que P1 es un caballero; supongamos que k2 es la proposición de que P2 es un caballero. Si participa un tercer nativo P3, supongamos que k3 es la proposición de que P3 es un caballero, y así sucesivamente, para todos los nativos que participan. Por lo tanto traducimos “P1 afirma X” como “k1≡X”; traducimos “P2 afirma X” como “k2≡X”; y así sucesivamente.

Ahora consideremos el primer problema del capítulo 3. Participan dos nativos P1 y P2 (el marido y la mujer). Se nos dice que P1 afirma que P1 y P2 son ambos bribones; tenemos que determinar de qué clase son P1 y P2. Ahora bien, k1 es la proposición de que P1 es un caballero, en consecuencia ~k1es equivalente a la proposición de que P1 es un bribón (dado que todo habitante es un caballero o un bribón, pero no ambas cosas). De modo similar, ~k2 es la proposición de que P2 es un bribón. Por lo tanto la proposición de que P1 y P2 son ambos bribones es ~k1&~k2, P1 afirma la proposición ~k1&~k2. Entonces si usamos nuestro método de traducción, la realidad de la situación es que k1≡(~k1&~k2) es verdadera. Por lo tanto el problema puede plantearse en los siguientes términos puramente proposicionales: Dadas dos proposiciones k1 y k2 tal que k1≡(~k&~k2) es verdadera, ¿cuáles son los valores de verdad de k1 y k2? Si confeccionamos una tabla de verdad, podemos observar que el único caso en que k1≡(~k1&~k2) resulta verdadera es cuando k1 es falsa y k2 es verdadera. (También hemos visto esto por medio del razonamiento con sentido común cuando resolvimos el problema en el capítulo 3.) El resultado es que la proposición (k1=(~k1&~k2))⸧~k1 es una tautología, y también lo es la proposición (k1=(~k1&~k2))⸧k2.

Todo el contenido matemático de este problema es que para proposiciones cualesquiera k1 y k2, la siguiente proposición es una tautología: (k1≡(~k1&~k2))⸧(~k1&k2).

El lector puede notar también que la proposición recíproca (~k1&k2)⸧(k≡(~k1&~k2)) también es una tautología; en consecuencia la proposición k1≡(~k1&~k2) es lógicamente equivalente a la proposición ~k1&k2.

Ahora consideremos el segundo problema del capítulo 3. En este caso P afirma que o P, o P2 es un bribón. Llegamos a la conclusión de que P, es un caballero y P2 es un bribón. El contenido matemático de este hecho es que la proposición (k1≡(~k1˅~k2))⸧(k1&~k2) es una tautología.

El lector puede advertir de pasada que la recíproca también es verdadera, y por lo tanto que la proposición (k1≡(~k1˅~k2))≡(k1&~k2) es una tautología.

La traducción del problema 3 es de particular interés teórico; en realidad, considerémoslo en la forma más general del Teorema I, capítulo 3. Tenemos a un nativo P que afirma sobre cierta proposición q que si P es un caballero, entonces q es verdadera (q podría ser la proposición de que la esposa de P es un caballero, o de que hay oro en la isla, o cualquier proposición). Supongamos que k es la proposición de que P es un caballero. Por lo tanto P afirma la proposición k⸧q, y en consecuencia la realidad de la situación es que k≡(k⸧q) es verdadera. A partir de esto debemos determinar el valor de verdad de k y q. Como ya vimos, k y q deben ser ambas verdaderas. Por lo tanto el contenido matemático del Teorema I, capítulo 3, es que (k≡(k⸧q))⸧(k&q) es una tautología. Por supuesto este hecho no depende realmente de la naturaleza concreta de la proposición k; para toda proposición p y q, la proposición (p≡(p⸧q))≡(p&q) es una tautología. La proposición inversa, (p&q)⸧(p<p⸧q)), también es una tautología, porque si p&q es verdadera, p y q son ambas verdaderas, entonces p⸧q debe ser verdadera; en consecuencia p≡(p⸧q) debe ser verdadera. Y por lo tanto la siguiente es una tautología: (p≡(p⸧q))≡(p&q).

Ahora consideremos el problema 4, o mejor dicho el Teorema II, en el capítulo 3. En este caso P afirma que P es un caballero si y sólo si q. Nuevamente supongamos que k es la proposición de que P es un caballero, y de este modo P afirma la proposición k≡q. Por lo tanto sabemos que k≡(k≡q) es verdadera. A partir de esto podemos determinar que q debe ser verdadera, y por lo tanto el contenido matemático esencial del Teorema II, capítulo 3, es que la siguiente es una tautología: (k≡(k≡q))⸧q.

Esta tautología es lo que yo llamaría tautología de Goodman, dado que surge del problema de Nelson Goodman, que se analiza en el capítulo 3.

Ejercicio 1. Consideremos tres habitantes P1( P2 y P3 de la Isla de los Caballeros y los Bribones. Supongamos que P5y P2 formulan los siguientes enunciados.

P1: P2 y P3 son ambos caballeros.

P2: P1 es un bribón y P3 es un caballero.

¿De qué clase son P1, P2 y P3?

Ejercicio 2.

a) La siguiente ¿es una tautología?

((k1≡(k2&k3))&(k2≡(~k1&k3)))⸧((~k1&~k2)&~k3

b) ¿Cómo se relaciona esto con el ejercicio 1?

Ejercicio 3. Demostrar que la proposición p3 es una consecuencia lógica de las dos proposiciones siguientes:

1) P1≡~P2

2) P≡(P1≡~P3)

Ejercicio 4. Supongamos que P1, P2 y P3 son tres habitantes de la Isla de los Caballeros y los Bribones, y que P1 y P2 formulan los siguientes enunciados:

P1: P2 es un bribón.

P2: P1 y P3 son de clases diferentes.

a) P3 ¿es un caballero o un bribón?

b) ¿Cómo se relaciona esto con el Ejercicio 3?

LOS PROBLEMAS DE OONA

Muchos de los problemas de Oona del capítulo 4 también pueden resolverse por medio de tablas de verdad. Consideremos, por ejemplo, el primero: Tenemos dos nativos P1 y P2; P1 afirma que si P1 y P2 son ambos caballeros, entonces Oona está en la isla. P2 afirma lo mismo. Supongamos que O es la proposición de que Oona está en la isla. Si usamos nuestro método de traducción, sabemos que las dos proposiciones siguientes son verdaderas.

1) k1≡((k1&k2)⸧O)

2) k2≡((k1&k2)⸧O)

Tenemos que determinar si O es verdadera o falsa. Bueno, si confeccionamos una tabla de verdad para la conjunción de 1) y 2), es decir, para (k1≡((k1&k2)⸧O))&k2≡(k1&k2)⸧O)), veremos que la última columna contiene V sólo en los lugares en que O tiene el valor V. Por lo tanto O debe ser verdadera.

Ejercicio 5. Supongamos que el marido va en busca de Oona y se encuentra con dos nativos A y B en una isla y éstos formulan los siguientes enunciados:

A: Si B es un caballero, entonces Oona no está en esta isla.

B: Si A es un bribón, entonces Oona no está en esta isla.

¿Está Oona en esta isla?

Ejercicio 6. En otra isla, dos nativos A y B formulan los siguientes enunciados:

A: Si alguno de los dos es un caballero, entonces Oona está en esta isla.

B: Si alguno de los dos es un bribón, entonces Oona está en esta isla.

¿Está Oona en esta isla?

Ejercicio 7. En otra isla, dos nativos A y B formulan los siguientes enunciados:

A: Si soy un caballero y B es un bribón, entonces Oona está en esta isla.

B: ¡Eso no es cierto!

¿Está Oona en esta isla?

RETORNO A LOS MARCIANOS Y VENUSINOS

Muchos de los acertijos Marte-Venus-mujer-varón del capítulo 5 también pueden resolverse con tablas de verdad, aunque el método de traducción que se necesita es un poco más complejo, y esta clase de problema no es considerado más en este libro.

Enumeremos a los socios del club en cierto orden P1, P2, P3, etc., y para cada número i, supongamos que Vi. es la proposición que P. es venusino, y supongamos que Fi es la proposición que Pi es mujer. Entonces Pi es marciano puede escribirse ~Vi, y Pi es varón puede escribirse ~Fi. Ahora bien, Pi dice la verdad si y sólo si Pi es o una mujer venusina o un varón marciano, lo cual puede simbolizarse (Vi&Fi)˅(~Vi&~Fi), o en forma más sencilla, Vi≡Fi. Y entonces si Pi afirma una proposición X, la realidad de la situación es la siguiente proposición: (Vi≡Fi)≡X.

Entonces éste es nuestro método de traducción. Siempre que P. afirme X, escribimos: (Vi≡Fi)≡X.

Consideremos, por ejemplo, el problema 7 del capítulo 5: el caso de Ork y Bog. Supongamos que P, es Ork y P2 es Bog. Entonces se nos dan las cuatro proposiciones siguientes (después de aplicar el método de traducción):

1) (V1≡F1)≡V2

2) (V2≡ F2)≡~V1

3) (V1≡F1)≡~F2

4) (V2≡F2)≡F1

Entonces, los valores de verdad de V1, F1, V2 y F2 pueden determinarse por medio de una tabla de verdad. (Hay cuatro incógnitas V1, F1, V2 y F2 aquí, ¡y por lo tanto hay que considerar dieciséis casos!)

Nota: No todos los problemas de mentirosos y veraces pueden resolverse por medio de los métodos de traducción de este capítulo. Estos métodos resultan satisfactorios para los problemas en los cuales se nos informa lo que se dice y luego debemos deducir ciertos hechos acerca de quienes lo dicen. Pero para los tipos más difíciles de acertijos en los que tenemos que inventar una pregunta o un enunciado para hacer cierta tarea, se necesita pensar más. Existen otros métodos sistemáticos que ayudan en muchos casos, pero ése es un tema que se aparta de la línea principal de pensamiento en este libro.

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS

1. Los tres son bribones.

2. La proposición es una tautología.

3. Lo dejamos a cargo del lector.

4. P3 es un caballero.

5. Oona no está en la isla (y ambos nativos son caballeros).

6. Oona está en la isla (y ambos nativos son caballeros).

7. Oona está en la isla (y A es un caballero; B es un bribón).

8. Clausura y consistencia lógicas

INTERDEFINIBILIDAD DE LOS CONECTORES LOGICOS

Ahora ya conocemos los cinco conectores lógicos básicos: ~, &, ˅, ⸧ y ≡. Podríamos haber comenzado con menos y haber definido los otros en términos de ellos. Esto puede hacerse en varias formas, algunas de las cuales serán ejemplificadas en los siguientes acertijos.

1

Supongamos que un hombre inteligente de Marte desciende en la Tierra y quiere aprender nuestra lógica. Afirma que comprende las palabras “no” e “y”, pero no sabe el significado de la palabra “o”. ¿Cómo podríamos explicársela, usando solamente los conceptos de no e y?

Vamos a expresar el problema en otra forma. Dada cualquier proposición p, él conoce el significado de ~p, y dada toda proposición p y q, él sabe el significado de p&q. Lo que busca el marciano es una forma de escribir una expresión o fórmula con las letras p y q, usando solamente los conectores lógicos ~ y &, tal que la expresión sea lógicamente equivalente a la expresión p˅q. ¿Cómo se puede hacer?

2

Ahora supongamos que una dama del planeta Venus viene aquí y nos dice que entiende los significados de ~ y ˅, pero quiere una explicación de &. ¿Cómo podemos definir & en términos de ~ y ˅? (Es decir, ¿qué expresión en términos de p, q, ~ y ˅ es lógicamente equivalente a p&q?)

3

En este caso desciende un ser de Júpiter que comprende ~, &, y ˅, y quiere que le definamos ⸧ en términos de estos conectores. ¿Cómo puede hacerse?

4

Luego llega un ser de Saturno que curiosamente entiende ~ y ⸧, pero no comprende & ni ˅. ¿Cómo podemos explicarle & y ˅?

5

Ahora llega un ser de Urano que sólo comprende el conector ⸧. Entonces nos resulta imposible explicarle lo que & significa, ni lo que significa ~, pero es posible definir ˅ en términos del único conector ⸧. ¿Cómo se puede hacer? (La solución no es en absoluto evidente. El hecho de que sea posible hacerlo es parte del folklore de la lógica matemática, pero no he podido encontrar al lógico que lo descubrió.)

6

Resulta obvio que ≡ puede definirse en términos de ~, &, y ˅. Mostrar dos formas diferentes de hacerlo.

7. Un problema especial

Supongamos que un ser del espacio exterior comprende los significados de ⸧ y ≡. Entonces nos resultará imposible explicarle el significado de ~, pero será posible explicarle &. ¿Cómo se puede hacer? (Este descubrimiento es mío, hasta donde yo sé.)

Dos conectores más. Ahora observamos que todos los conectores lógicos ~, &, ˅, ⸧ y ≡ pueden definirse a partir de los conectores ~ e &, o alternativamente a partir de ~ y ˅, o alternativamente a partir de ~ y ⸧. ¿Existe un único conector lógico a partir del cual puedan definirse los cinco conectores? El lógico Henry M. Sheffer resolvió este problema en 1913. Definió p|q como que p y q no son ambas verdaderas. El símbolo “|” se conoce como la “marca de Sheffer”; podemos interpretar p|q como “p y q son incompatibles” (por lo menos una es falsa). Demostró que ~, &, ˅, ⸧, ≡ pueden definirse a partir del símbolo de la marca. Otro conector lógico que da todos los otros conectores es ↓; este símbolo se denomina símbolo para la negación conjunta. Interpretamos p↓q como “p y q son ambas falsas”, o “ni p ni q son verdaderas”.

8

¿Cómo pueden definirse ~, &, ˅, ⸧, ≡ a partir de la marca de Sheffer? ¿Cómo pueden definirse todas ellas a partir de la negación conjunta?

La constante lógica ♂. Una proposición X se denomina lógicamente contradictoria o lógicamente falsa si su negación ~X es una tautología. Por ejemplo, para toda proposición p, la proposición (p&~p) es lógicamente falsa. Por lo tanto también lo es p≡~p.

Vamos a usar el símbolo ahora estándar “♂” para representar alguna falsedad lógica particular (no importa cuál). Esto puede considerarse fijo para el resto de este libro, y para cualquier otro libro que puedan leer en el que aparezca este símbolo. (El símbolo “♂” se pronuncia “et”; es el símbolo “T” escrito al revés.)

Para toda proposición p, la proposición ♂⸧p es una tautología (porque ♂ es lógicamente falsa, por lo tanto ♂⸧p es verdadera, no importa que p sea verdadera o falsa). Por lo tanto toda proposición es una consecuencia lógica de ♂. (Es una suerte que ♂ en sí misma no sea verdadera, porque si lo fuera, todo sería verdadero ¡y el mundo entero estallaría!)

Muchas formulaciones modernas de la lógica proposicional basan toda su teoría simplemente en ⸧ y ♂, porque todos los otros conectores lógicos pueden definirse a partir de esos dos (véase el problema 9 más abajo). Este es el camino que vamos a seguir porque es el que se adapta mejor a los problemas de este libro. Entonces T se define como ♂⸧♂. Nos referiremos a ♂ como falsedad lógica y a T como verdad lógica (obviamente T es una tautología).

9

¿Cómo se definen todos los conectores lógicos a partir de ⸧ y ♂?

CLAUSURA LOGICA

Una máquina lógicamente calificada. Para ilustrar el importante concepto de clausura lógica, imaginemos una computadora programada para demostrar varias proposiciones. Cada vez que la máquina demuestra una proposición, la imprime (más precisamente, imprime una oración que expresa la proposición). La máquina, si se la deja sola, funcionará eternamente.

Llamaremos a la máquina lógicamente calificada si satisface las dos condiciones siguientes:

1) La máquina demostrará toda tautología tarde o temprano.

2) Para proposiciones cualesquiera p y q, si la máquina llega a demostrar p y a demostrar p⸧q, entonces tarde o temprano demostrará q. (Podríamos pensar que la máquina infiere q a partir de las dos proposiciones p y p⸧q. Por supuesto la inferencia es válida.)

Las máquinas lógicamente calificadas tienen una importante propiedad, sobre la cual el siguiente problema ilustra algunos ejemplos.

10

Supongamos que una máquina es lógicamente calificada.

a) Si la máquina demuestra p, ¿demostrará necesariamente ~~p?

b) Si la máquina demuestra p y demuestra q, ¿demostrará necesariamente la proposición singular p&q?

Clausura lógica. En lógica, hay una antigua regla llamada modus ponens, que dice que después de demostrar p y de demostrar p⸧q, entonces se puede inferir q. Se dice que un conjunto de proposiciones C es cerrado bajo modus ponens si para proposiciones cualesquiera p y q, si p y p⸧q están ambas en el conjunto C, también lo está la proposición q. Ahora podemos decir que un conjunto de proposiciones C es lógicamente cerrado si se cumplen las dos condiciones siguientes:

Condición 1. C contiene todas las tautologías.

Condición 2. Para proposiciones cualesquiera p y q, si p y p⸧q están en C, también lo está q.

Por lo tanto un conjunto lógicamente cerrado es un conjunto que contiene todas las tautologías y que es cerrado bajo modus ponens. (La razón de que se denomine lógicamente cerrado pronto resultará obvia.)

Decir que una máquina es lógicamente calificada equivale a decir que el conjunto C de todas las proposiciones que la máquina puede demostrar es un conjunto lógicamente cerrado. Sin embargo, los conjuntos lógicamente cerrados también surgen en situaciones en las que no participa ninguna máquina. Por ejemplo, vamos a considerar sistemas matemáticos en los cuales el conjunto de todas las proposiciones demostrables en el sistema es un conjunto lógicamente cerrado. Además, gran parte de este libro versa sobre lógicos cuyo conjunto de creencias es un conjunto lógicamente cerrado.

Consecuencia lógica. Hemos definido que Y es consecuencia lógica de X si la proposición X⸧Y es una tautología. Diremos que Y es consecuencia lógica de dos proposiciones X1 y X2 si es consecuencia de la proposición X1&X2: en otras palabras, si (X1&X2)⸧Y es una tautología, o, lo que es lo mismo, si la proposición X1⸧(X2⸧Y) es una tautología. Hemos definido que Y es una consecuencia lógica de X1, X2, y X3 si ((X1&X2)&X3)⸧Y es una tautología, o lo que es lo mismo, si X1⸧(X2⸧(X3⸧Y)) es una tautología. De modo más general, para todo conjunto finito de proposiciones X1, ..., Xn, podemos decir que Y es consecuencia lógica de ese conjunto si la proposición (X1&...&Xn)⸧Y es una tautología.

La importancia de los conjuntos lógicamente cerrados es que poseen la siguiente propiedad:

Principio L (Principio de Clausura Lógica). Si C es lógicamente cerrado, entonces para n proposiciones cualesquiera X1, ..., Xn de C, todas las consecuencias lógicas de estas n proposiciones también están en C.

Discusión. Si volvemos a nuestro ejemplo de máquinas lógicamente calificadas, el Principio L nos dice que si alguna vez una máquina demuestra una proposición p, entonces tarde o temprano demostrará todas las consecuencias lógicas de p; si demuestra alguna vez dos proposiciones p y q, tarde o temprano demostrará todas las consecuencias lógicas de p y q, y así siguiendo para cualquier número finito de proposiciones.

Lo mismo se aplica a los lógicos cuyo conjunto de creencias es lógicamente cerrado. Si un lógico llega a creer p, tarde o temprano creerá todas las consecuencias lógicas de p; si llega a creer p y q, creerá todas las consecuencias lógicas de p y q; etc.

11

¿Por qué es correcto el Principio L?

12

Otra propiedad importante de los conjuntos lógicamente cerrados es que si C es lógicamente cerrado y contiene cierta proposición p y su negación ~p, entonces toda proposición debe estar en C. ¿Por qué?

CONSISTENCIA

El último problema nos lleva al importante concepto de consistencia. Un conjunto C lógicamente cerrado se denomina inconsistente si contiene ♂ y consistente si no contiene ♂.

La siguiente es otra propiedad importante de los conjuntos lógicamente cerrados.

Principio C. Supongamos que C es lógicamente cerrado. Entonces las tres condiciones siguientes son todas equivalentes (cualquiera de ellas implica las otras dos):

1) C es inconsistente (C contiene ♂).

2) C contiene todas las proposiciones.

3) C contiene cierta proposición p y su negación ~p.

Nota: Dado un conjunto S de proposiciones que no es lógicamente cerrado, se dice que S es inconsistente si ♂ es una consecuencia lógica de algún subconjunto finito X1,..., Xn de proposiciones en S. (Entre paréntesis, esto equivale a decir que toda proposición es una consecuencia lógica de algún subconjunto finito de S.) Sin embargo, vamos a tratar casi exclusivamente con grupos que son lógicamente cerrados.

13

Demostrar el Principio C.

SOLUCIONES

1. Decir que por lo menos una de las proposiciones p y q es verdadera es decir que no es cierto que p y q sean ambas falsas; en otras palabras, no es cierto que ~p y ~q sean ambas verdaderas. Y por lo tanto p˅q es equivalente a la proposición ~(~p&~q). Dado que el marciano comprende ~ y &, entonces comprenderá ~(~p&~q). Y en consecuencia podemos decirle al marciano: “Cuando digo p o q, lo único que quiero decir es que no es cierto que no p y no q”.

2. Decir que p y q son ambas verdaderas equivale a decir que no es cierto que o p o q sea falsa. En otras palabras, no es cierto que o ~p o ~q sea verdadera. Y por lo tanto p&q es lógicamente equivalente a la proposición ~(~p˅~q).

3. Esto puede hacerse de varias formas: Por un lado, p⸧q es lógicamente equivalente a ~p˅(p&q). También es equivalente a ~(p&~q) (no es cierto que p sea verdadera y q sea falsa), y a ~p˅q.

4. p˅q es lógicamente equivalente a ~p⸧q. Y por lo tanto podemos obtener ˅ en términos de ~ y ⸧. Una vez que tenemos ~ y ˅, podemos obtener & según la solución del problema 2. De modo más directo, p&q es equivalente a ~(p⸧~q), como puede verificar el lector.

5. Este realmente es intrincado. La proposición p˅q resulta lógicamente equivalente a (p⸧q)⸧q, como el lector puede verificar con una tabla de verdad.

6. p≡q es obviamente equivalente a (p⸧q)&(q⸧p). También es equivalente a (p&q)˅(~p&~q).

7. Ya lo hemos resuelto en el último capítulo, en conexión con el tercer problema de caballeros y bribones; demostramos que p&q es lógicamente equivalente a p≡(p⸧q).

8. Dada la marca de Sheffer, podemos obtener los otros conectores de la siguiente manera: En primer lugar, ~p es lógicamente equivalente a p|p. (La proposición p|p es que por lo menos una de las proposiciones pop es falsa, pero dado que las dos proposiciones p y p son la misma, esto simplemente quiere decir que p es falsa.) Ahora que tenemos ~, podemos definir p˅q como ~(p|q). (Dado que p|q es la proposición que por lo menos una de las proposiciones p o q es falsa, su negación ~(p|q) equivale a decir que ambas no son falsas, es decir, que por lo menos una es verdadera.) Una vez que tenemos ~ y ˅, podemos obtener & (según Problema 2), luego ⸧ y ≡ (según los problemas 3 y 6). Por lo tanto obtenemos ~, &, ˅, ⸧, y ≡ a partir de la marca de Sheffer.

Si comenzamos con la negación conjunta ↓, en lugar de la marca de Sheffer, procedemos de la siguiente manera: Primero definimos ~p como p↓p. Luego definimos p˅q como ~(p↓q). Una vez que tenemos ~ y &, entonces podemos obtener todo el resto en la forma que ya vimos.

9. La proposición ~p es lógicamente equivalente a p⸧♂, y por lo tanto podemos obtener ~ a partir de ⸧ y ♂. Una vez que tenemos ~ y ⸧, podemos obtener ˅ y & (por medio del problema 4). Entonces podemos obtener ≡ a partir de ⸧ y &.

10. a) Supongamos que la máquina demuestra p. También demostrará p⸧~~p (dado que es una tautología), en consecuencia imprimirá ~~p (por la segunda condición que define la calificación lógica).

b) Supongamos que la máquina demuestra p y demuestra q. Ahora bien, la proposición p⸧(q⸧(p&q)) es una tautología; en consecuencia la máquina lo demostrará. Una vez que la máquina ha demostrado p y p⸧(q⸧(p&q)) debe demostrar q⸧(p&q). Una vez que la máquina lo ha demostrado, entonces dado que demuestra q, debe demostrar p&q.

(En realidad este problema no es más que un caso especial del siguiente, como podrá ver el lector.)

11. Primero consideremos el caso n=1: Supongamos que X1 está en C, y que Y es una consecuencia lógica de X1. Entonces X1⸧Y es una tautología, en consecuencia está en C (según la condición 1). Dado que X1 y X1⸧Y están ambas en C, también lo está Y (según la condición 2).

Ahora consideremos el caso n=2: Supongamos que X1 y X2 están ambas en C, e Y es una consecuencia lógica de X1y X2. Entonces (X1&X2)⸧Y es una tautología, en consecuencia X1⸧(X2⸧Y) es una tautología (como puede verificar el lector) y por lo tanto está en C. Dado que X1 y X1⸧(X2⸧Y) están ambas en C, también lo está X2⸧Y (condición 2). Dado que X2 y X2⸧Y están en C, también lo está Y (nuevamente según la condición 2).

Para el caso n=3, supongamos que Y es una consecuencia lógica de X1, X2 y X3. Entonces X1⸧(X2⸧(X3⸧Y)) es una tautología: es lógicamente equivalente a (X1&X2&X3)⸧Y. Entonces, si usamos la condición 2 tres veces, obtenemos sucesivamente X2⸧(X3⸧Y) en C, (X3⸧Y) en C, y finalmente Y en C.

Debe resultar obvia la forma en que esta prueba se generaliza para todo número entero positivo n.

Nota: Ya hemos dicho que el problema 10 sólo es un caso especial de este problema. La razón, por supuesto, es que —p es una consecuencia lógica de p; en consecuencia todo conjunto lógicamente cerrado que contenga p también debe contener ~~p. Además, p&q es una consecuencia lógica de las dos proposiciones p y q, por lo tanto todo conjunto lógicamente cerrado que contenga tanto p como q también debe contener p&q.

12. Supongamos que p y su negación ~p están ambas en C y que C es lógicamente cerrado. Supongamos que q es cualquier proposición. La proposición (p&~p)⸧q es una tautología (como puede verificar el lector con una tabla de verdad, o de modo más simple si se observa que dado que p&~p debe ser falsa, entonces (p&~p)⸧q debe ser verdadera). Y por lo tanto q es una consecuencia lógica de las proposiciones verdaderas p y ~p. Entonces según el Principio L, la proposición q también debe estar en C. Y por lo tanto toda proposición q está en C.

13. Vamos a verificar que las tres condiciones son equivalentes demostrando que 1) implica 2), que a su vez implica 3), que a su vez implica 1).

Supongamos 1). Dado que toda proposición es una consecuencia lógica de ♂ y ♂ está en C, entonces toda proposición está en C (según el Principio L). Por lo tanto 2) es válida.

Resulta absolutamente evidente que 2) implica 3), porque si todas las proposiciones están en C, entonces para toda proposición p, tanto p como ~p están en C.

Ahora supongamos que 3) es válida; es decir, que para cierta p, tanto p como ~p están en C. Dado que ♂ es una consecuencia lógica de p y ~p, entonces ♂ debe de estar en C (según el Principio L); es decir, C debe de ser inconsistente.

Parte IV

SEAMOS CUIDADOSOS

9. ¿Paradójico?

Ahora tenemos la base para embarcarnos en nuestro viaje hacia la complicada problemática de Gödel sobre la consistencia, a la que llegaremos en el capítulo 12, y encontraremos muchos problemas interesantes en el camino. Vamos a empezar con un problema relacionado estrechamente con una de las variantes de la Paradoja de la Prueba Sorpresa del capítulo 2.

Regresamos a la Isla de los Caballeros y los Bribones, en donde las siguientes tres proposiciones son válidas: 1) los caballeros sólo formulan enunciados verdaderos; 2) los bribones sólo formulan enunciados falsos;

3) todo habitante es un caballero o un bribón. Vamos a referirnos colectivamente a estas tres proposiciones como las “reglas de la isla”.

Recordemos que ningún habitante puede afirmar que no es un caballero, dado que ningún caballero formularía el enunciado falso de que no es un caballero y ningún bribón formularía el enunciado verdadero de que no es un caballero.

Ahora supongamos que un lógico visita la isla y se encuentra con un nativo que le formula el siguiente enunciado: “Usted nunca sabrá que soy un caballero”.

¿Tenemos una paradoja? Veamos. El lógico empieza a razonar del siguiente modo: “Supongamos que es un bribón. Entonces su enunciado es falso, lo cual significa que en algún momento yo sabré que es un caballero, pero no puedo saber que es un caballero a menos que realmente lo sea. En consecuencia, si es un bribón, se sigue que debe ser un caballero, lo cual es una contradicción. Por lo tanto no puede ser un bribón; debe ser un caballero”.

Hasta ahora todo va bien, hasta ahora no hay ninguna contradicción. Pero luego sigue razonando: “Ahora sé que es un caballero, aunque él dijo que nunca lo sabría. Entonces su enunciado era falso, lo que significa que debe ser un bribón. ¡Paradoja!

Pregunta. ¿Es ésta una paradoja genuina?

Análisis. Este problema da lugar a muchísimo análisis. Por empezar, la paradoja (si realmente lo es) es lo que se llamaría paradoja pragmática más que una puramente lógica, dado que supone no sólo conceptos lógicos tales como verdad y falsedad, sino conceptos pragmáticos tales como conocer. Para destacar la índole pragmática de la cuestión, ¿no es posible que surja o no una paradoja de acuerdo a quién se le dirija la afirmación? ¡Indudablemente sí! Como ejemplo extremo, seguramente el nativo podría decírselo a un muerto, y no surgiría ninguna paradoja. (Señala el cadáver y dice: “Nunca sabrá que soy un caballero”. Bueno, indudablemente tiene razón; el cadáver jamás sabrá realmente que él es un caballero, y por lo tanto el nativo es en realidad un caballero, ya que lo que dijo es cierto. Pero como el cadáver nunca lo sabrá, no surge ninguna contradicción.) Para considerar un ejemplo menos extremo, el nativo podría decirle eso a una persona que está viva pero es sorda y por lo tanto no escucha el enunciado; nuevamente, no surgiría ninguna paradoja.

Por lo tanto debemos suponer que el visitante de la isla estaba vivo y escuchó el enunciado, pero esto todavía no es suficiente. Debemos suponer una cierta capacidad de razonamiento de parte del visitante, porque si el visitante no tiene capacidad de razonamiento, no habría planteado el argumento que he presentado. (El nativo diría: “Usted nunca sabrá que soy un caballero”. Entonces el visitante podría decir: “Qué interesante”, irse, y jamás volver a pensar en el asunto. Por lo tanto no surgiría ninguna paradoja.) Y en consecuencia debemos explicar qué tipo de capacidad de razonamiento posee el lógico.

Decimos que un individuo es un razonador del tipo 1 si comprende totalmente la lógica proposicional, es decir, si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1) Cree todas las tautologías.

2) Para proposiciones cualesquiera X e Y, si cree X y cree X⸧Y, entonces cree Y.

Con la terminología del capítulo 8, el conjunto de creencias de un razonador del tipo 1 es lógicamente cerrado. Entonces, por el Principio L del capítulo 8, resulta que dado cualquier conjunto finito S de proposiciones en las que cree, también debe creer todas las consecuencias lógicas de S.

Hagamos ahora la hipótesis de que el visitante de la isla es un razonador del tipo 1. Por supuesto ésta es una hipótesis sumamente idealizada ya que como hay infinitas tautologías, implica algo así como la inmortalidad del razonador. Sin embargo, pequeñeces como ésta no nos preocupan en el reino atemporal infinito de la matemática. Simplemente imaginamos al razonador programado tal que 1) tarde o temprano creerá cualquier tautología; 2) si alguna vez cree p y alguna vez cree p⸧q, entonces tarde o temprano creerá q.

Todavía necesitamos más hipótesis. En primer término debemos suponer cierta autoconciencia de parte del razonador; específicamente, debemos suponer que si el razonador llega a saber algo, entonces sabe que lo sabe (de otro modo nunca podría haber dicho: “Ahora sé que es un caballero”, y mi argumento no funcionaría).

Considerando el problema con todos estos supuestos, ¿surge ahora una paradoja genuina? Todavía no, porque aunque les dije que las reglas de la isla son válidas (todo habitante es un caballero o un bribón; los caballeros sólo formulan enunciados verdaderos; los bribones sólo formulan enunciados falsos), debemos hacer la hipótesis adicional de que el razonador cree que las reglas de la isla son válidas. En realidad, es perfectamente razonable que el razonador pueda creer esto al principio, pero después de encontrarse frente a una contradicción al seguir el argumento que yo presenté, tendría bases racionales para dudar de las reglas de la isla. (Me imagino que ustedes y yo haríamos exactamente lo mismo después de encontrarnos en esa encrucijada.) Bueno, para hacer el problema realmente interesante, finalmente hagamos la hipótesis de que el razonador cree y sigue creyendo en las reglas de la isla.

1

Ahora nos encontramos con un problema interesante. Según los supuestos adicionales que hemos formulado, el argumento del razonador de que el nativo es un caballero y el nativo es un bribón parece perfectamente válido. Sin embargo ¡el nativo no puede ser un caballero y un bribón al mismo tiempo! Entonces ¿cuál es el error en el argumento del razonador?

Solución. Formulé el problema anterior en forma muy engañosa. (¡A veces siento que soy un poco tramposo!) Lo que está mal no es el argumento del razonador; es que la situación que describí nunca podría haberse producido. Si un razonador de tipo 1 llega a una isla de caballeros y bribones y cree las reglas de la isla (y escucha todo enunciado que se le formule), entonces es lógicamente imposible que algún nativo le diga: “Usted nunca sabrá que soy un caballero”.

Para demostrarlo, no necesitamos uno de los supuestos que hemos formulado; es decir, que si el razonador sabe algo, entonces sabe que lo sabe. Aun sin este supuesto, podemos obtener una contradicción como ésta: El razonador razona: “Supongamos que es un bribón. Entonces su enunciado es falso, lo que significa que sabré que es un caballero, lo cual implica que realmente es un caballero. Por lo tanto el supuesto de que es un bribón lleva a una contradicción, entonces debe ser un caballero”.

Sin ahondar más en el proceso de razonamiento del lógico, podemos inferir una contradicción. Hasta ahora el lógico ha razonado correctamente y ha llegado a la conclusión de que el nativo es un caballero. Dado que ha razonado correctamente entonces el nativo realmente es un caballero, y por lo tanto el razonador sabe que el nativo es un caballero. Sin embargo, el nativo dijo que jamás lo sabría, en consecuencia el nativo debe ser un bribón. Por lo tanto el nativo es un caballero y un bribón, lo cual es una contradicción.

En vez de usar la palabra “saber” también podríamos haber dicho “creer correctamente” y nuestro argumento aún funcionaría. Decimos que un individuo cree correctamente una proposición p si cree p y p es verdadera.

Ahora hemos demostrado el Teorema I.

Teorema I. Dada una isla de caballeros y bribones y un razonador de tipo 1 que cree las reglas de la isla (y escucha todo enunciado que se le formule), es lógicamente imposible que un nativo pueda decirle: “Usted nunca creerá correctamente que soy un caballero”.

Análisis. Algunos lectores críticos podrían oponerse a la demostración que di del Teorema I sobre la base de que le he conferido al razonador más capacidad de la que le atribuí explícitamente: el razonador formula supuestos y posteriormente los descarta. En el caso específico que tenemos entre manos, el razonador comenzó diciendo: “Supongamos que es un bribón. Entonces...”. Bueno, realmente ésta es una cuestión de conveniencia, no de necesidad. Podría haber planteado el argumento del razonador en la siguiente forma, más directa: “Si es un bribón, entonces su enunciado es falso. Si su enunciado es falso, entonces creeré correctamente que es un caballero. Si creo correctamente que es un caballero, entonces es un caballero. Reuniendo estos tres hechos, si es un bribón, entonces es un caballero. A partir de este último hecho se sigue lógicamente que es un caballero.”

En lógica es una práctica usual demostrar una proposición de la forma p⸧q (si p entonces q) suponiendo que p es verdadera y luego tratando de inferir q. Si esto se puede hacer, entonces se establece la proposición p⸧q. En otras palabras, si se supone que p como premisa lleva a q como conclusión, entonces la proposición p⸧q se ha demostrado. (Esta técnica es parte de lo que se conoce como deducción natural.) El asunto es que todo lo que puede demostrarse usando ese método también puede demostrarse sin él. (En lógica existe un conocido teorema en este sentido que se denomina teorema de la deducción.) Y por lo tanto vamos a permitirles a nuestros “razonadores” usar la deducción natural; un razonador de tipo 1 que lo hace no puede demostrar más hechos de los que puede demostrar sin usar la deducción natural, pero las demostraciones que usan la deducción natural generalmente son más breves y fáciles de seguir. Por lo tanto vamos a seguir permitiendo que nuestros razonadores usen la deducción natural.

2. Un problema dual

Seguimos suponiendo que el razonador es de tipo 1, que cree las reglas de la isla, y que oye todos los comentarios que se le hacen.

Supongamos que el nativo, en vez de decir, “Usted nunca creerá correctamente que soy un caballero”, dice, “Usted creerá correctamente que soy un bribón”.

Entonces, ¿tenemos una contradicción? (El lector debe tratar de resolverlo antes de leer la solución.)

Solución. El razonador razona así: “Supongamos que es un caballero. Entonces su enunciado es verdadero, lo cual significa que yo creeré correctamente que es un bribón, lo que a su vez implica que es un bribón. En consecuencia el supuesto de que es un caballero lleva a una contradicción: por lo tanto debe ser un bribón”.

En este punto el razonador cree que el nativo es un bribón, y ha razonado correctamente, en consecuencia el nativo es un bribón. Por otro lado, dado que el razonador cree correctamente que el nativo es un bribón, el enunciado del nativo era verdadero, lo cual lo convierte en un caballero. Entonces, efectivamente, obtenemos una contradicción.

ALGUNOS PROBLEMAS AFINES

Ahora vamos a dejar por un momento la Isla de los Caballeros y los Bribones y vamos a considerar un problema relacionado con la paradoja del capítulo 3. Un alumno le pregunta a su profesor de teología: “¿Existe realmente Dios?” El profesor da la siguiente respuesta curiosa: “Dios existe si y sólo si usted no cree correctamente que El existe”.

3

Supongamos que el alumno es un razonador del tipo 1, que el enunciado del profesor es verdadero y que el alumno cree el enunciado. Entonces, ¿obtenemos una paradoja?

Solución. ¡Sí, así es! Por empezar, aun si olvidamos que el alumno es un razonador de tipo 1 y que cree el enunciado del profesor, se sigue que Dios debe existir, porque si Dios no existiera, entonces el alumno creería correctamente que Dios existe, pero nadie puede creer correctamente una falsa proposición. Por lo tanto Dios debe efectivamente existir (suponiendo que el enunciado del profesor es verdadero).

Ahora bien, el alumno, al ser un razonador del tipo 1, conoce la lógica proposicional tanto como ustedes o yo, y así también es capaz de razonar que si el enunciado del profesor fuera verdadero, entonces Dios debe existir. Pero también cree el enunciado del profesor; por lo tanto debe creer que Dios existe. Y dado que hemos demostrado que Dios existe (según los tres supuestos del problema), entonces el alumno cree correctamente que Dios existe. Pero Dios existe si y sólo si el alumno no cree correctamente que Dios existe. A partir de esto se sigue que Dios no existe si y sólo si el alumno sí cree correctamente que Dios existe. (Para toda proposición p y q, la proposición p≡~q es lógicamente equivalente a la proposición ~p≡q.) Dado que Dios no existe si y sólo si el alumno cree correctamente que Dios existe, y el alumno sí cree correctamente que Dios existe, entonces se sigue que Dios no existe. De este modo las tres hipótesis del problema llevan a la paradoja de que Dios existe y no existe.

Por supuesto surgiría la misma paradoja si, en cambio, el profesor hubiera dicho: “Dios existe si y sólo si usted cree correctamente que El no existe”. Dejamos la demostración de este problema como ejercicio para el lector.

Ahora es importante que nos demos cuenta de que la paradoja anterior es esencialmente la misma que la del problema 1 sobre la Isla de los Caballeros y los Bribones, aunque pueden parecer diferentes. Las aparentes diferencias son: 1) En la paradoja anterior, el profesor formuló un enunciado de “si y sólo si”, mientras que en el problema 1, el nativo no lo hizo; él dijo directamente que el razonador nunca creería correctamente que el nativo es un caballero. 2) En la paradoja anterior, el alumno le cree al profesor, mientras que en el problema 1, el razonador inicialmente no cree que el nativo es un caballero. Sin embargo, esas dos diferencias en cierto sentido se anulan mutuamente, como veremos ahora. La clave de esto es el método de traducción del capítulo 7.

Virtualmente en todos los problemas que siguen, vamos a tratar sólo con dos individuos: el nativo de la isla que formula el enunciado, y el razonador que escucha el enunciado. Vamos a usar continuamente la letra k para la proposición de que el nativo en cuestión es un caballero. Entonces, como vimos en el capítulo 7, siempre que el nativo afirma una proposición q, la proposición k≡q es verdadera. Ahora bien, el razonador cree las reglas de la isla (cree que los caballeros formulan enunciados verdaderos y los bribones, falsos) y nosotros suponemos que oye todos los enunciados que le formulan. Por lo tanto, siempre que el nativo le afirma una proposición q al razonador, el razonador cree la proposición k≡q. En realidad, desde ahora, cuando se diga que valen las reglas de la isla, basta que eso signifique: para cualquier proposición q, si el nativo afirma q, entonces la proposición k≡q es verdadera. Y cuando se diga que el razonador cree las reglas de la isla (y oye todos los enunciados dirigidos a él) basta que eso signifique: para cualquier proposición q, si el nativo le afirma q al razonador, entonces el razonador cree la proposición k≡q.

Para toda proposición p, supongamos que Bp es la proposición de que el razonador cree (o creerá) p. Y supongamos que Cp es la proposición p&Bp. Interpretamos Cp como “El razonador cree correctamente p”.

Ahora bien, en el problema 1, el nativo afirmó la proposición ~Ck (“Usted nunca creerá correctamente que soy un caballero”). Dado que las reglas de la isla son válidas, entonces la proposición k≡~Ck es verdadera. Y como el razonador cree las reglas de la isla, entonces cree la proposición k≡~Ck. Estos dos hechos resultan ser lógicamente incompatibles; y así surge una paradoja.

En el problema 3, sea g la proposición que Dios existe. El profesor afirmó directamente la proposición g^~Cg. Según el supuesto de que el profesor sólo formula enunciados verdaderos, la proposición g≡~Cg debe ser verdadera. Dado que el alumno le creyó al profesor, entonces creyó la proposición g≡~Cg. Nuevamente, la verdad de g≡~Cg resultó ser lógicamente incompatible con el hecho de que el alumno crea g≡~Cg (ya que el alumno es un razonador de tipo 1).

Ahora vemos exactamente lo que las dos paradojas tienen en común; en ambos casos tenemos una proposición p (que es k, para el problema 1, y g para el problema 3) tal que p≡~Cp es verdadera y el razonador la cree; en otras palabras, el razonador la cree correctamente, y esto es lógicamente imposible si el razonador es de tipo 1. Por lo tanto ambas paradojas (o mejor dicho sus resoluciones en cuanto a que las condiciones dadas son lógicamente incompatibles) son casos especiales del siguiente teorema.

Teorema A. No existe ninguna proposición p tal que un razonador de tipo 1 pueda creer correctamente la proposición p≡~Cp. En otras palabras, no hay ninguna proposición tal que un razonador de tipo 1 pueda creer correctamente que: “La proposición es verdadera si y sólo si no creo correctamente que es verdadera”.

La demostración del Teorema A es poco más que una repetición de los dos casos especiales ya considerados, pero puede servir de ayuda para considerarlo en un marco más general y para señalar algunas de sus interesantes características.

Por empezar, para toda proposición p y q, la proposición (p≡~(p&q))⸧q es una tautología (como puede verificar el lector). En particular, la proposición (p≡~(p&Bp))⸧p es una tautología. Supongamos que Cp es la proposición p&Bp, y por lo tanto (p≡~Cp)⸧p es una tautología. Ahora supongamos que un razonador de tipo 1 cree correctamente p≡~Cp; entonces obtenemos la siguiente contradicción: Dado que el razonador cree correctamente p≡~Cp, entonces p≡~Cp debe ser verdadera. Además (p≡~Cp)⸧p es verdadera (es una tautología), y por lo tanto p debe ser verdadera. Ahora bien, dado que el razonador es de tipo 1, cree la tautología (p≡~Cp)⸧p y también cree p≡~Cp (por hipótesis), y dado que es de tipo 1, entonces creerá p. Y por lo tanto p es verdadera, y él cree p, en consecuencia cree correctamente p. Así Cp es verdadera; y entonces ~Cp es falsa. Pero dado que p es verdadera y ~Cp es falsa, no puede ser que p≡~Cp (dado que una proposición verdadera no puede ser equivalente a una proposición falsa), y obtenemos una contradicción a partir del supuesto de que el razonador de tipo 1 cree correctamente p≡~Cp.

También existe el siguiente “dual” del Teorema A cuya demostración dejamos a cargo del lector.

Teorema A°. No existe ninguna proposición p tal que un razonador de tipo 1 pueda creer correctamente p≡C(~p).

Ejercicio 1. Demostrar el Teorema A°.

Ejercicio 2. Supongamos que B es una operación cualquiera arbitraria, que asigna a cada proposición p cierta proposición Bp. (No es necesario especificar qué es la proposición Bp; en este capítulo, hemos supuesto que Bp es la proposición que el razonador cree p; en un capítulo posterior, en el que analizaremos sistemas matemáticos en vez de razonadores, Bp será la proposición que p es demostrable en el sistema. Pero por ahora, Bp no será especificada.) Suponemos que Cp es la proposición (p&Bp).

a) Demostrar que se puede inferir una contradicción lógica a partir de los siguientes supuestos:

i) Todas las proposiciones de la forma BX, donde X es una tautología.

ii) Todas las proposiciones de la forma (BX&B(X⸧Y))⸧BY.

iii) Cierta proposición de la forma C(p≡~Cp).

b) Demostrar que también obtenemos una contradicción lógica si reemplazamos iii) por “Cierta proposición de la forma C(p≡C~p)”.

c) ¿Por qué el Teorema A es un caso especial del punto a)? ¿Por qué el Teorema A° es un caso especial de b)?

10. El problema se profundiza

RAZONADORES PRESUMIDOS

Volvemos a la Isla de los Caballeros y los Bribones. Ahora supongamos que el nativo, en vez de decir: “Usted nunca creerá correctamente que soy un caballero”, formula el siguiente enunciado: “Usted nunca creerá que soy un caballero”.

El nativo ha omitido la palabra “correctamente”, y como resultado las cosas se pondrán mucho más interesantes. Seguimos suponiendo que el nativo se dirige a un razonador de tipo 1 quien cree las reglas de la isla (y también le ha oído el enunciado) y que las reglas de la isla son realmente válidas. Y ahora haremos la hipótesis adicional de que el razonador es siempre correcto en sus juicios; no cree ninguna proposición falsa. ¿Obtenemos todavía una paradoja?

Bueno, supongamos que el nativo es un bribón. Entonces su enunciado es falso, lo que significa que el razonador creerá que es un caballero. Y como el razonador es siempre correcto en sus juicios, entonces el nativo realmente es un caballero. De este modo el supuesto de que el nativo es un bribón lleva a una contradicción; por lo tanto el nativo debe ser un caballero.

Ahora bien, el razonador es de tipo 1 y sabe tanta lógica como ustedes y yo. ¿Qué le impide seguir adelante con el mismo proceso de razonamiento que acabamos de realizar y llegar a la misma conclusión, es decir, que el nativo debe ser un caballero? Por lo tanto el razonador creerá que el nativo es un caballero, lo cual convierte en falso el enunciado del nativo, en consecuencia el nativo debe ser un bribón. Pero ya hemos demostrado que el nativo es un caballero. ¡Paradoja!

1

El argumento anterior es falaz. ¿Puede el lector descubrir la falacia? (Pista: A pesar del hecho de que el razonador conoce la lógica proposicional tan bien como ustedes y yo, hay algo que nosotros sabemos que el razonador no sabe. ¿Qué es?)

Solución. Les dije que el razonador es siempre correcto; nunca dije que él sabía que era exacto, siempre correcto. Si él lo supiera (lo cual en realidad no puede saber), tendríamos una paradoja. Como se ve, parte de nuestra demostración de que el nativo es un caballero utilizó el supuesto de que el razonador es siempre correcto; si el razonador formuló el mismo supuesto, entonces también podría demostrar que el nativo es un caballero, y así convertiría al nativo en bribón.

Eliminemos ahora la hipótesis de que el razonador es siempre correcto en sus juicios, pero supongamos que el razonador cree que siempre es correcto. Entonces para toda proposición p, el razonador cree que si llegara a creer p, entonces p debe ser verdadera. Decimos que un razonador de esa clase se denomina razonador presumido. Por lo tanto un razonador presumido es el que cree que es incapaz de creer cualquier proposición falsa. Entonces, ¿obtenemos una paradoja? No, pero en su lugar tenemos el siguiente resultado más interesante.

Teorema I. Supongamos que un nativo de una isla de caballeros y bribones le dice a un razonador del tipo 1: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. Entonces si el razonador cree que siempre es correcto, caerá en una incorrección; es decir, tarde o temprano creerá algo falso.

2

Demostrar el Teorema I.

Solución. El razonador razona: “Supongamos que es un bribón. Entonces su enunciado es falso, lo cual significa que creeré que es un caballero. Pero si llego a creer que es un caballero, realmente debe serlo, porque no soy capaz de cometer errores [sic]. Así, si es un bribón es un caballero, lo cual no es posible. Por lo tanto no es un bribón y es un caballero”.

En este punto el razonador cree que el nativo es un caballero. Dado que el nativo dijo que el razonador nunca lo creería, entonces el nativo efectivamente es un bribón. Y entonces ahora el razonador tiene la falsa creencia de que el nativo es un caballero.

Lo interesante es que si el razonador hubiera sido más modesto y no hubiera supuesto su propia infalibilidad, nunca hubiera caído en la incorrección de creer que el nativo es un caballero. ¡El razonador ha sido castigado con justicia por presumido!

RAZONADORES PECULIARES

Digamos que un razonador es correcto respecto de una proposición dada p si su creencia en p implica que p es verdadera; en otras palabras, ocurre que no cree en p, o si no, cree en p y p es verdadera. Diremos que el razonador es incorrecto respecto de p si cree en p y p es falsa.

Con respecto al último problema resulta un hecho notable que el razonador fuera incorrecto con respecto a la misma proposición sobre la cual creyó ser correcto: es decir, la proposición de que el nativo es un caballero. Al creer que era exacto con respecto a esa proposición, finalmente llegó a creer que el nativo era un caballero, convirtiendo de ese modo al nativo en un bribón. Por supuesto nuestra demostración de que el nativo es un bribón se basó en nuestro supuesto de que las reglas de la isla eran válidas. Supongamos que eliminamos esta hipótesis pero seguimos suponiendo que el razonador cree que las reglas de la isla son válidas; ¿todavía se sigue que el razonador creerá alguna proposición falsa? Por supuesto el razonador aún seguirá creyendo que el nativo es un caballero, aunque el nativo dijo que nunca lo haría; pero si las reglas de la isla no son válidas, entonces el nativo no es necesariamente un bribón. Sin embargo, aun cuando nuestra demostración del Teorema I falle, si eliminamos la hipótesis de que las reglas de la isla son válidas, tenemos la siguiente proposición más sorprendente:

Teorema II. Supongamos que un habitante de la isla le dice a un razonador de tipo 1: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. Supongamos que el razonador cree que las reglas de la isla son válidas. Entonces, independientemente de que las reglas sean realmente válidas o no, si el razonador es presumido, llegará a creer alguna proposición falsa.

3

Con la hipótesis del Teorema II, ¿qué proposición falsa creerá el razonador?

Solución. Según el mismo método de demostración que seguimos para el Teorema I, el razonador llegará a creer que el nativo es un caballero. Esta creencia no es necesariamente falsa (dado que las reglas de la isla no son necesariamente válidas), pero entonces el razonador continúa: “Dado que es un caballero y dijo que yo nunca creería que es un caballero, entonces lo que dijo debe ser verdadero, es decir, que no creo (o sea, no es cierto que yo crea) que es un caballero. Por lo tanto no creo que sea un caballero”.

En este punto, el razonador cree que el nativo es un caballero y también cree que no cree que el nativo sea un caballero. Por lo tanto tiene la falsa creencia de que no cree que el nativo sea un caballero (es falso, dado que sí cree que el nativo es un caballero).

La conclusión del anterior problema es realmente bastante rara. El razonador cree que el nativo es un caballero y también cree que no cree que el nativo es un caballero. Ahora bien, esto no implica una inconsistencia lógica de parte del razonador, aunque indudablemente sí implica una peculiaridad psicológica. Decimos que un razonador es peculiar si hay cierta proposición p tal que cree p y también cree que no cree p. Esta condición implica por supuesto que el razonadores incorrecto (porque cree la proposición falsa de que no cree p). Y por lo tanto un razonador peculiar es automáticamente incorrecto, pero no necesariamente inconsistente.

Decimos que un razonador es peculiar con respecto a una proposición dada si cree p y también cree que no cree p. Entonces un razonador es peculiar si y sólo si existe por lo menos una proposición p con respecto a la cual es peculiar. Si un razonador es peculiar con respecto a p, entonces es incorrecto, no necesariamente con respecto a p, sino con respecto a Bp.

Ahora observamos que aun si eliminamos el supuesto de que las reglas de la isla verdaderamente son válidas, si el razonador cree que se cumplen y es de tipo 1 y un nativo le dice que nunca creerá que el nativo es un caballero, entonces si el razonador cree que es correcto con respecto a la proposición de que el nativo es un caballero, su creencia lo obliga a ser incorrecto con respecto a la proposición de que él cree que el nativo es un caballero. Si las reglas de la isla realmente son válidas, entonces el razonador también será incorrecto con respecto a la proposición de que el nativo es un caballero: es decir, creerá que el nativo es un caballero, mientras que el nativo realmente es un bribón.

Por supuesto este mismo problema puede formularse en el contexto del alumno y su profesor de teología. Supongamos que el alumno es un razonador de tipo 1 y su profesor le dice: “Dios existe si y sólo si usted nunca creerá que El existe”. Supongamos también que el alumno cree que si llega a creer que Dios existe, entonces Dios sí existe. Esto significa: 1) Si el alumno no le cree al profesor, entonces terminará creyendo que Dios existe y también creyendo que no cree que Dios existe. 2) Si el enunciado del profesor también es verdadero, entonces Dios no existe, pero el alumno creerá que Dios sí existe.

Ambas versiones de este problema son casos especiales del siguiente teorema.

Teorema A. Supongamos que un razonador es de tipo 1 y que hay una proposición p tal que él cree la proposición pe-Bp y también cree que Bp⸧p. Entonces se sigue que:

a) Creerá p y también creerá que no cree p (será peculiar con respecto a p).

b) Si también p≡~Bp es verdadera, entonces p es falsa, pero creerá p.

Demostración,

a) El cree p≡~Bp, entonces cree Bp3~p (que es una consecuencia lógica de p≡~Bp). También cree Bp⸧p (por hipótesis), en consecuencia debe creer ~Bp (que es una consecuencia lógica de Bp⸧~p y Bp⸧p). Pero también cree p≡~Bp, luego debe creer p (que es una consecuencia lógica de ~Bp y p≡~Bp). Y por lo tanto cree p y también cree ~Bp (cree que no cree p).

b) Supongamos también que p≡~Bp es verdadera. Dado que ~Bp es falsa (sí cree p), entonces p, al ser equivalente a la proposición falsa ~Bp, también es falsa. Por lo tanto cree p, pero p es falsa.

Ejercicio. Supongamos que un nativo le dice a un razonador presumido de tipo 1: “Usted creerá que soy un bribón”. Demostrar:

a) Si el razonador cree que las reglas de la isla son válidas, entonces creerá que el nativo es un bribón y también que no cree que el nativo es un bribón.

b) Si además las reglas de la isla son realmente válidas, entonces el nativo es efectivamente un caballero.

RAZONADORES DE TIPO 1*

Decimos que un razonador de tipo 1* es un razonador de tipo 1 con la propiedad agregada de que para proposiciones cualesquiera p y q, si llega a creer la proposición p⸧q, entonces creerá que si llega a creer p entonces también creerá q. En símbolos, si cree p⸧q, entonces también creerá Bp⸧Bq.

Observemos que si un razonador de tipo 1 cree p⸧q, entonces es cierto que si llega a creer p, entonces creerá q: es decir, Bp⸧Bq es una proposición verdadera (si cree p⸧q). Lo que tiene un razonador de tipo 1* que no tiene un razonador de tipo 1 simplemente es que si cree p⸧q, entonces no sólo la proposición Bp⸧Bq es verdadera, sino que cree correctamente Bp⸧Bq. De este modo un razonador de tipo 1* tiene un poco más de “auto- conciencia” que un razonador que sólo es de tipo 1.

Seguimos suponiendo que el razonador, que ahora es de tipo 1*, cree las reglas de la isla y oye todos los enunciados que le formulan, y por lo tanto siempre que el nativo afirme una proposición p, el razonador cree la proposición k≡p, donde k es la proposición de que el nativo es un caballero.

El siguiente hecho será bastante decisivo:

Lema{2} 1. Supongamos que un nativo le formula un enunciado a un razonador de tipo 1*. Entonces el razonador creerá que si llega a creer que el nativo es un caballero, también creerá lo que dijo el nativo.

Problema 4. ¿Cómo se demuestra este lema?

Solución. (En realidad, la demostración es bastante simple.) Supongamos que el nativo le afirma la proposición p al razonador. Entonces el razonador cree la proposición k≡p. Entonces también cree k⸧p, porque k⸧p es una consecuencia lógica de k≡p. Entonces dado que él es de tipo 1*. creerá Bk⸧Bp.

He llamado a un razonador “presumido” si cree en su propia infalibilidad. Difícilmente consideraría que una persona que cree que no es peculiar actúa presumidamente; en realidad, suponer que no se es peculiar es perfectamente razonable. Ni siquiera estoy seguro de que sea psicológicamente posible que una persona sea peculiar. ¿Podría efectivamente una persona creer algo y también creer que no lo cree? Lo dudo. Sin embargo no es lógicamente imposible que una persona sea peculiar.

De todos modos, confiar en la propia no peculiaridad es mucho más razonable que confiar en que uno es siempre correcto. Por lo tanto el siguiente teorema es un poco triste.

Teorema III. Supongamos que un nativo le dice a un razonador de tipo 1*: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. Si el razonador cree que no es (y nunca será) peculiar, entonces se volverá peculiar.

Problema 5. Demostrar el Teorema III.

Solución. La demostración de este teorema es un poco más elaborada que cualquier otra hasta ahora.

Supongamos que el nativo formula ese enunciado y que el razonador cree que es incapaz de ser peculiar. Dado que el nativo formuló el enunciado, entonces según el Lema 1, el razonador creerá que si llega a creer que el nativo es un caballero, también creerá lo que dijo el nativo. Y por lo tanto el razonador razona: “Supongamos que llego a creer que es un caballero. Entonces creeré lo que dice, es decir, creeré que no creo que es un caballero. Y por lo tanto entonces creeré que es un caballero y también creeré que no creo que sea un caballero. Esto significa que seré peculiar. Por lo tanto, si llego a creer que es un caballero, me volveré peculiar. Dado que nunca seré peculiar [sic], entonces nunca creeré que es un caballero. Dado que él dijo que no lo creería, su enunciado era verdadero, y por lo tanto es un caballero.”

En este punto el razonador ha llegado a la conclusión de que el nativo es un caballero, y un poco antes llegó a la conclusión de que no cree que el nativo sea un caballero. Por lo tanto ha caído en peculiaridad.

Por supuesto la citada proposición puede enunciarse y demostrarse de la siguiente forma más general:

Teorema B. Para todo razonador de tipo 1*, si cree cualquier proposición de la forma p≡~Bp (“p es verdadera si y sólo si nunca voy a creer p”), entonces no puede creer que no es peculiar, a menos que caiga en la peculiaridad.

Moraleja. Si ustedes son razonadores de tipo 1* y desean creer que no son peculiares, pueden evitar volverse peculiares si simplemente se niegan a creer toda proposición de la forma “p si y sólo si nunca voy a creer p”.

En particular, si alguna vez visitan la Isla de los Caballeros y los Bribones (o lo que les han dicho que es una isla de caballeros y bribones) y un nativo les dice que ustedes nunca creerán que es un caballero, entonces la conducta más inteligente es negarse a creer que las reglas de la isla son válidas.

Sin embargo, más adelante en este libro, cuando lleguemos al estudio de los sistemas matemáticos y hablemos sobre demostrabilidad en el sistema en vez de creencias de un razonador, veremos que la opción análoga a no creer p≡~Bp no estará disponible.

Parte V

LA COMPLICADA PROBLEMATICA DE LA CONSISTENCIA

11. Los lógicos que razonan sobre sí mismos

Nos estamos acercando a la complicada problemática de Gödel sobre la consistencia. Pero primero, tenemos que considerar razonadores que posean niveles superiores de autoconocimiento que los de tipo 1 simplemente.

ETAPAS PROGRESIVAS DE AUTOCONCIENCIA

Ahora definiremos razonadores de tipos 2, 3 y 4, que representan niveles de autoconocimiento cada vez mayores. Los razonadores de tipo 4 desempeñan un papel importante en los dramas que se desarrollarán.

Razonadores de tipo 2. Supongamos que un razonador de tipo 1 cree p y cree p⸧q. Entonces creerá q. Esto significa que la proposición (Bp&B(p⸧q))⸧Bq es verdadera para un razonador de tipo 1. Sin embargo, el razonador no sabe necesariamente que esa proposición es verdadera. Bueno, decimos que un razonador es de tipo 2 si es de tipo 1 y cree todas las proposiciones de la forma (Bp&B(p⸧q))⸧Bq. (El “sabe” que su conjunto de creencias —pasado, presente y futuro— es cerrado para el modus ponens. Para toda proposición p y q, cree: “Si llego a creer p y a creer p⸧q, entonces también creeré q”.)

Destaquemos que los razonadores de tipo 2 tienen cierto “autoconocimiento” que no está necesariamente presente en los razonadores de tipo 1. Un razonador de tipo 1 que cree p y cree p⸧q tarde o temprano creerá q; los razonadores de tipo 2 también saben que si llegan a creer p y a creer p⸧q, creerán q.

Razonadores de tipo 3. Decimos que un razonador es normal si para toda proposición p, si cree p, entonces cree que cree p. (Si cree p, entonces también cree Bp.) Decimos que un razonador de tipo 3 es un razonador normal de tipo 2.

Los razonadores de tipo 3 tienen un nivel más de autoconocimiento que los de tipo 2.

Razonadores de tipo 4. Un razonador normal no sabe necesariamente que es normal. Si un razonador es normal, entonces para toda proposición p, la proposición Bp⸧BBp es verdadera (si cree p, entonces cree Bp), pero el razonador no conoce necesariamente la verdad de Bp⸧BBp. Pues

bien, decimos que un razonador cree que es normal si para toda proposición p, cree la proposición Bp⸧BBp. (Para toda proposición p, el razonador cree: “Si llego a creer p, entonces creeré que creo p”.)

Un razonador de tipo 3 de hecho es normal. Decimos que un razonador de tipo 4 es un razonador de tipo 3 que sabe que es normal. De este modo para toda proposición p, un razonador de tipo 4 cree la proposición Bp⸧BBp.

Como ya hemos comentado, los razonadores de tipo 4 desempeñan un papel importante en este libro. Ahora repasemos las condiciones que definen a un razonador de tipo 4.

1a) Cree todas las tautologías.

1b) Si cree p y cree p⸧q, entonces cree q.

2) Cree (Bp&B(p⸧q))⸧Bq.

3) Si cree p, entonces cree Bp.

4) Cree Bp⸧BBp.

ALGUNAS PROPIEDADES BASICAS DE LOS RAZONADORES AUTOCONSCIENTES

Ahora vamos a establecer algunas propiedades básicas de los razonadores de los tipos 2, 3 y 4 que se utilizarán en el curso de los capítulos restantes.

En primer lugar, una sencilla observación sobre los razonadores de tipo 2: Para proposiciones cualesquiera p y q, la proposición (Bp&B(p⸧q))⸧Bq es lógicamente equivalente a la proposición B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq) porque para proposiciones cualesquiera X, Y y Z, la proposición (X&Y)⸧Z es lógicamente equivalente a Y⸧(X⸧Z), como puede verificar el lector muy fácilmente, y por lo tanto todo razonador de tipo 2 cree todas las proposiciones de la forma B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq). A la inversa, todo razonador de tipo 1 que cree todas las proposiciones de la forma B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq) debe ser de tipo 2. Registremos esto como Hecho 1.

Hecho 1. Un razonador de tipo 1 es de tipo 2 si y sólo si cree todas las proposiciones de la forma B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq).

Ahora supongamos que un razonador de tipo 2 cree B(p⸧q). También cree B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq), según el Hecho 1, y al ser de tipo 1 (dado que es de tipo 2) entonces creerá Bp⸧Bq —que es una consecuencia lógica de B(p⸧q) y B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq)—. Y así como consecuencia obvia del Hecho 1 tenemos el siguiente corolario: Si un razonador de tipo 2 cree B(p⸧q), entonces creerá Bp⸧Bq.

Ahora llegamos a ciertos hechos menos evidentes sobre los razonadores de tipo 2.

1

Demostrar que para proposiciones cualesquiera p, q y r, cualquier razonador de tipo 2:

a) Creerá B(p⸧(q⸧r))⸧(Bp⸧(Bq⸧Br)).

b) Si llega a creer B(p⸧(q⸧r)), entonces creerá Bp⸧(Bq⸧Br).

2

Demostrar que si un razonador de tipo 3 cree p⸧(q⸧r), entonces creerá Bp⸧(Bq⸧)Br). Este hecho tendrá muchas aplicaciones.

3. Regularidad

En el capítulo anterior, definimos que un razonador es de tipo 1* si es de tipo 1 y si para proposiciones cualesquiera p y q si llega a creer p⸧q, también creerá Bp⸧Bq. Esta segunda condición recibe un nombre. Decimos que un razonador es regular si su creencia en p⸧q implica su creencia en Bp⸧Bq.

Demostrar que todo razonador de tipo 3 es regular (y por lo tanto es de tipo 1*).

4

Demostrar que si un razonador regular de tipo 1 cree p≡q, entonces creerá Bp≡Bq.

5

Existe una interesante conexión entre la regularidad y la normalidad. Para un razonador regular de tipo 1, con que haya una proposición q tal que él crea Bq, entonces debe ser normal. ¿Por qué?

6

Cualquier razonador de tipo 1 que cree p y cree q creerá p&q (lo cual es una consecuencia lógica de las dos proposiciones p y q). Por lo tanto la proposición (Bp&Bq)⸧B(p&q) es verdadera para todo razonador de tipo 1, y entonces es verdadera para todo razonador de tipo 3.

Demostrar que todo razonador de tipo 3 cree (Bp&Bq)⸧B(p&q). (El sabe que si llegara a creer p y a creer q, creerá p&q.)

CONSISTENCIA

Decimos que un razonador es consistente si el conjunto de todas las proposiciones que cree (o ha creído o creerá) es un conjunto consistente y decimos que es inconsistente si su conjunto de creencias es inconsistente. Para todo razonador de tipo 1, el conjunto de sus creencias es lógicamente cerrado; en consecuencia se sigue a partir del Principio C del capítulo 8 que las tres condiciones siguientes son equivalentes:

1) Es inconsistente (cree ♂).

2) Cree cierta proposición p y su negación (~p).

3) Cree todas las proposiciones.

Decimos que un razonador cree que es consistente si cree ~B♂ (cree que no cree ♂). Decimos que cree que es inconsistente si cree que B♂ (cree que cree ♂). Aun un razonador de tipo 1 que sea inconsistente también creerá que es inconsistente (porque creerá todo), aunque un razonador que cree que es inconsistente no sea necesariamente inconsistente (aunque puede demostrarse que por lo menos debe tener una creencia falsa).

Todo razonador de tipo 1 que cree cierta proposición p y su negación ~p será inconsistente: creerá ♂; y por lo tanto la proposición (Bp&B~p)⸧B♂ es verdadera para un razonador de tipo 1.

7

Demostrar que todo razonador de tipo 3 cree la proposición (Bp&B~p)⸧B♂.

Nota: Este último problema es bastante decisivo para el próximo capítulo. Significa que para toda proposición p, un razonador de tipo 3 sabe que si llega a creer p y también a creer ~p, entonces será inconsistente. (Por supuesto esto también se aplica a un razonador de tipo 4, dado que todo razonador de tipo 4 es también de tipo 3.)

Inconsistencia y peculiaridad Recordemos que se dice que un razonador es peculiar si cree cierta proposición p y también cree que no cree p. Ya dijimos que un razonador peculiar no es necesariamente inconsistente. Sin embargo todo razonador peculiar de tipo 3 es inconsistente, como revelará el siguiente problema.

8

Demostrar que todo razonador normal peculiar de tipo 1 debe ser inconsistente (y en consecuencia todo razonador peculiar de tipo 3 debe ser inconsistente).

Ejercicio 1. Según el problema anterior, para toda proposición p, la proposición (Bp&B~Bp)⸧B♂ es verdadera para un razonador de tipo 3; en consecuencia también es verdadera para un razonador de tipo 4. Demostrar que todo razonador de tipo 4 cree correctamente la proposición (Bp&B~Bp)⸧B♂ (sabe que si llega a ser peculiar, será inconsistente).

9. Sencillo acertijo

Supongamos que un razonador de tipo 4 cree p≡Bq. ¿Creerá necesariamente p⸧Bp?

CONCIENCIA DE LA AUTOCONCIENCIA

Los razonadores de tipo 4 poseen una maravillosa propiedad que no comparten los razonadores de tipos inferiores: saben que son de tipo 4, en un sentido que vamos a definir con precisión. Así, por ejemplo, un razonador puede ser de tipo 3 sin saberlo, pero un razonador no puede ser de tipo 4 a menos que lo sepa.

Decimos que un razonador cree que es de tipo 1 si cree todas las proposiciones de la forma BX, donde X es una tautología, y cree todas las proposiciones de la forma (Bp&B(p⸧q))⸧Bq. Si también cree todas las proposiciones de la forma B((Bp&B(p⸧q))3Bq), entonces decimos que cree que es de tipo 2. Si también cree todas las proposiciones de la forma Bp⸧BBp, entonces decimos que cree que es de tipo 3. Si también cree todas las proposiciones de la forma B(Bp⸧BBp), entonces decimos que cree que es de tipo 4. Para cada uno de estos tipos, decimos que un razonador sabe que es de ese tipo si cree que es de ese tipo y realmente es de ese tipo.

No resulta difícil advertir que un razonador que sabe que es de tipo 1 es de tipo 2, y que todo razonador de tipo 3 sabe que es de tipo 2 (aunque no sabe necesariamente que es de tipo 3). Además un razonador es de tipo 4 si y sólo si sabe que es de tipo 3. El lector debe tratar de demostrar estos hechos como ejercicios.

El siguiente problema es más interesante.

10

Demostrar que un razonador de tipo 4 sabe que es de tipo 4.

El problema es interesante por varias razones. Por un lado, demuestra que el hecho de ser de tipo 4 constituye el último hito natural en nuestra jerarquía de razonadores (no tendría sentido, por ejemplo, decir que un razonador es de tipo 5 si es un razonador de tipo 4 que sabe que es de tipo 4, dado que todo razonador de tipo 4 ya sabe que es de tipo 4, y por lo tanto no lograríamos nada nuevo).

En segundo lugar, todo lo que ustedes o yo podamos demostrar sobre todos los razonadores de tipo 4 usando simplemente la lógica preposicional, todo razonador de tipo 4 puede demostrarlo sobre sí mismo, dado que también conoce la lógica proposicional y sabe que es de tipo 4.

Ejercicio 2. Decir que un razonador es regular es decir que para proposiciones cualesquiera p y q la proposición B(p⸧q)⸧B(Bp⸧Bq) es verdadera sobre el razonador. (La proposición B(p⸧q)⸧B(Bp⸧Bq) es la proposición de que si el razonador cree p⸧q, entonces creerá Bp⸧Bq.) Decimos que un razonador cree que es regular si cree todas las proposiciones de la forma B(p⸧q)⸧B(Bp⸧Bq).

Demostrar que todo razonador de tipo 4 sabe que es regular (es decir, es regular y cree que es regular).

Ejercicio 3. Demostrar que si un razonador de tipo 4 cree p⸧(Bp⸧q), entonces creerá Bp⸧Bq. (La solución de este ejercicio se dará en el capítulo 15; véase [1 (Según Löb) - Respuestas]

SOLUCIONES

1. Supongamos que el razonador es de tipo 2. Consideremos proposiciones cualesquiera p, q y r.

Según el Hecho 1, él cree lo siguiente: 1) B(p⸧)(q⸧r))⸧(Bp⸧B(q⸧r)) La razón es que para proposiciones cualesquiera X e Y, él cree B(X⸧Y)⸧(BX⸧BY), por lo tanto reemplazamos X por p e Y por (p⸧q).

Nuevamente, según el Hecho 1, él cree: 2) B(q⸧r)⸧(Bq⸧Br).

La siguiente proposición es una consecuencia lógica de 2):

3) (Bp⸧B(q⸧r))⸧(Bp⸧(Bq⸧Br)). La razón es que, para proposiciones cualesquiera X, Y y 2, la proposición (X⸧Y)⸧(X⸧Z) es una consecuencia lógica de Y⸧Z, como puede verificar el lector. Reemplazamos X por Bp, Y por B(q⸧r) y Z por Bq⸧Br, y vemos que 3) es una consecuencia lógica de 2).

Ahora sabemos que el razonador cree tanto 1) como 2) y B(p⸧(q⸧r))⸧(Bp⸧(Bq⸧Br)). es una consecuencia lógica de 1) y 2); por lo tanto el razonador la cree. Esto demuestra a).

b) Supongamos que el razonador cree B(p≡)(q⸧r)).

Según a) también cree B(p⸧(q⸧r))⸧(Bp⸧(Bq⸧Br)); en consecuencia creerá Bp⸧(Bq⸧Br), dado que es una consecuencia lógica de las dos proposiciones anteriores.

Nota: En adelante no daré argumentos tan detallados. Ahora el lector ya debería tener suficiente experiencia para entender argumentos más resumidos y completar los pasos que falten.

2. Ahora consideremos un razonador de tipo 3 que cree p⸧(q⸧r). Dado que es normal creerá B(p⸧(q⸧r)). Entonces según b) del problema anterior creerá Bp⸧(Bq⸧Br).

3. Supongamos que un razonador de tipo 3 cree p⸧q. Dado que es normal, entonces creerá B(p⸧q). Entonces, según el corolario del Hecho 1, creerá Bp⸧Bq. Esto demuestra que es regular.

4. Supongamos que un razonador regular de tipo 1 cree p≡q. Entonces creerá tanto p⸧q como q⸧p (dado que ambas son consecuencias lógicas de p≡q). Al ser regular, entonces creerá tanto Bp⸧Bq como Bq⸧Bp. Entonces, como es de tipo 1, creerá Bp≡Bq (que es una consecuencia lógica de las dos últimas proposiciones).

5. Consideremos un razonador regular de tipo 1. Supongamos que q es cierta proposición tal que el razonador cree Bq. Ahora, supongamos que p es cualquier proposición que cree el razonador. Tenemos que demostrar que creerá Bp.

La proposición p⸧(q⸧p) es una tautología (como el lector puede verificar); en consecuencia el razonador lo cree. También cree p (por hipótesis), en consecuencia creerá q⸧p. Entonces, dado que es regular, creerá Bq⸧Bp. Entonces, dado que cree Bq, creerá Bp. Esto demuestra que es normal.

6. Consideremos un razonador de tipo 3. Ahora bien, la proposición p⸧(q⸧(p&q)) es obviamente una tautología; en consecuencia el razonador la creerá. Entonces, según b) del problema 1, creerá Bp⸧(Bq⸧B(p&q)), en consecuencia creerá la proposición (Bp&Bq)⸧B(p&q) lógicamente equivalente. (Para toda proposición X, Y, y Z, la proposición X⸧(Y⸧Z) es lógicamente equivalente a (X&Y)⸧Z).

7. La proposición (p&~p)⸧♂ es una tautología, en consecuencia todo razonador de tipo 3 (o aun de tipo 1) la creerá. Dado que un razonador de tipo 3 es regular (según el problema 3), entonces creerá B(p&~p)⸧B♂. También cree (Bp&B~p)⸧B(p&~p) (según el problema 6). Al creer estas dos últimas proposiciones, creerá (Bp&B~p)⸧B♂, lo cual es una consecuencia lógica de las mismas.

Observación. Para toda proposición q, la proposición p⸧(~p⸧q) es una tautología. En consecuencia, según el argumento anterior aplicado a q, en vez de ♂, un razonador de tipo 3 creerá (Bp&B~p)⸧Bq.

8. Esto es bastante obvio. Si un razonador normal cree p, creerá Bp. Si también cree ~Bp y es de tipo 1, será inconsistente. Por lo tanto si un razonador normal de tipo 1 cree p y cree ~Bp será inconsistente.

Solución del ejercicio 1. Un razonador de tipo 4 cree Bp⸧BBp. Por lo tanto cree su consecuencia lógica (Bp&B~Bp)⸧(BBp&B~Bp). También cree (BBp&B~Bp)⸧B♂ (según el problema 7, dado que ~Bp es la negación de Bp). La proposición (Bp&B~p)⸧B♂ es una consecuencia lógica de las dos últimas proposiciones, y por lo tanto el razonador la creerá. En otras palabras, un razonador de tipo 4 puede razonar así: “Supongamos que llego a creer p y también creo ~Bp. Dado que creeré p, también creeré Bp, en consecuencia creeré tanto Bp como ~Bp, y entonces seré inconsistente. Y por lo tanto, si llego a creer p y ~Bp, seré inconsistente.

9. Supongamos que un razonador de tipo 4 cree p≡Bq. Es regular (según el problema 3, ya que también es de tipo 3), y por lo tanto según el problema 3 creerá Bp≡BBq. En consecuencia creerá BBq⸧Bp. También cree Bq⸧BBq (dado que es de tipo 4), de donde, según la lógica proposicional, creerá Bq⸧Bp. A partir de p≡Bq y de Bq⸧Bp, deducirá p⸧Bp. Por lo tanto la respuesta es sí.

10. Supongamos que el razonador es de tipo 4. Entonces, cumple con todas las condiciones que definen a un razonador de tipo 4. Tenemos que demostrar que cree todas esas condiciones.

1a) Consideremos cualquier tautología X. Dado que es de tipo 4 (y en consecuencia de tipo 1), cree X. Entonces dado que es normal, cree BX. Por lo tanto, para toda tautología X, cree BX.

1b) A partir del hecho de que es de tipo 2 se sigue que cree todas las proposiciones de la forma (Bp&B(p⸧q))⸧Bq.

En este punto advertimos que sabe que es de tipo 1. (En realidad, según el argumento anterior, todo razonador normal de tipo 2 —es decir, todo razonador de tipo 3— sabe que es de tipo 1.)

2) Dado que cree todas las proposiciones de la forma (Bp&B(p⸧q))⸧Bq, y es normal, entonces cree B((Bp&B(p⸧q))⸧Bq).

En este punto vemos que sabe que es de tipo 2. (En realidad, todo razonador de tipo 3 sabe que es de tipo 2.)

3) Dado que el razonador es de tipo 4, entonces resulta inmediato que conoce todas las proposiciones de la forma Bp⸧BBp —es decir, sabe que es normal.

En este punto observamos que un razonador de tipo 4 sabe que es de tipo 3. (Pero un razonador de tipo 3 no sabe necesariamente que es de tipo 3, porque puede no saber que es normal.)

4) Dado que el razonador de tipo 4 cree Bp⸧BBp, y es normal, cree B(Bp⸧BBp).

Ahora vemos que un razonador de tipo 4 sabe que es de tipo 4 (es decir, conoce todas las proposiciones que caracterizan a un razonador de tipo 4).

Solución del ejercicio 2. Consideremos un razonador de tipo 4. Dado que es de tipo 1, cree B(p⸧q)⸧(Bp⸧Bq). Dado que es regular, entonces cree BB(p⸧q)⸧B(Bp⸧Bq). También cree B(p⸧q)⸧BB(p⸧q) ya que sabe que es normal. A partir de esto y del último hecho, se sigue que debe creer B(p⸧q)⸧B(Bp⸧Bq).

12. La sorprendente problemática de la consistencia

Ahora el escenario está listo, y empieza el espectáculo en serio.

Un razonador de tipo 4 visita la Isla de los Caballeros y los Bribones y cree las reglas de la isla. Y así siempre que un nativo formule un enunciado, el razonador creerá que si el nativo es un caballero, el enunciado es verdadero y viceversa. De este modo, si un nativo afirma una proposición p, entonces el razonador creerá k⸧p (donde k es la proposición que el nativo es un caballero), y también creerá p⸧k. Además dado que el razonador es de tipo 4, es regular (como demostramos en el problema 3 del último capítulo), y por lo tanto si el nativo afirma p, el razonador creerá no sólo k⸧p, sino también Bk⸧Bp; es decir, creerá: “Si llego a creer que es un caballero, entonces creeré lo que dijo”.

Recordemos que en el último capítulo (problema 7) dijimos que todo razonador de tipo 4, o aun de tipo 3, sabe que si llega a creer p y a creer ~p, será inconsistente (p puede ser cualquier proposición).

Repasemos y registremos estos hechos.

Hecho 1. Supongamos que un nativo le formula un enunciado a un razonador de tipo 4. Entonces a) El razonador creerá que si el nativo es un caballero, el enunciado debe ser verdadero (y a la inversa, que si el enunciado es verdadero, entonces el nativo debe ser un caballero), b) El razonador también creerá que si llega a creer que el nativo es un caballero, entonces creerá lo que el nativo dijo.

Hecho 2. Para toda proposición p, un razonador de tipo 4 sabe que si llega a creer p y también a creer ~p, entonces será inconsistente.

Con estos hechos en mente, estamos listos para embarcarnos. El primer gran resultado al que llegamos es el siguiente teorema:

Teorema I. (Según el Teorema de la Consistencia de Gödel.) Supongamos que un nativo de la isla le dice a un razonador de tipo 4: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. Entonces si el razonador es consistente, nunca puede saber que es consistente; o, dicho de otra forma, si el razonador llega a creer que no puede ser inconsistente, se volverá inconsistente.

1

Demostrar el Teorema I.

Solución. Supongamos que el razonador sí cree que es (y seguirá siendo) consistente. Vamos a demostrar que se volverá inconsistente.

El razonador razona: “Supongamos que llego a creer que el nativo es un caballero. Entonces creeré lo que dijo: creeré que no creo que es un caballero. Pero además, si creo que es un caballero, entonces creeré que sí creo que es un caballero (dado que soy normal). Por lo tanto, si llego a creer que es un caballero, entonces creeré tanto que sí creo que es un caballero como que no creo que es un caballero, lo que significa que seré inconsistente. Ahora bien, nunca seré inconsistente [sic], en consecuencia nunca creeré que es un caballero. Él dijo que nunca creería que es un caballero, y lo que dijo era verdad; en consecuencia es un caballero”.

En este punto, el razonador cree que el nativo es un caballero, y dado que es normal, entonces sabrá que cree esto. En consecuencia el razonador continuará diciendo: “Ahora creo que es un caballero. Él dijo que yo nunca lo haría, en consecuencia formuló un enunciado falso; por lo tanto no es un caballero”.

En este punto el razonador cree que el nativo es un caballero y también cree que el nativo no es un caballero, por lo tanto ahora es inconsistente.

Análisis. El importante contenido matemático del teorema citado puede presentarse sin hacer referencia a caballeros y bribones. La función de la isla de caballeros y bribones fue proporcionar un método simple de obtener cierta proposición k (en este caso, que el nativo es un caballero) tal que el razonador creyera “k es verdadera si y sólo si nunca voy a creer k”. Cualquier otro método para lograr tal proposición k serviría también. Por lo tanto el Teorema I sólo es un caso especial del siguiente teorema (que no tiene nada que ver con caballeros y bribones).

Teorema G. Si un razonador consistente de tipo 4 cree cierta proposición de la forma p≡~Bp, entonces el razonador nunca puede saber que es consistente. Dicho de otra forma, si un razonador de tipo 4 cree p≡~Bp y cree que es (y seguirá siendo) consistente, entonces se volverá inconsistente.

Vamos a demostrar el Teorema G en forma más precisa.

Teorema G#. Supongamos que un razonador normal de tipo 1 cree una proposición de la forma p≡~Bp. Entonces:

a) Si llega a creer p, se volverá inconsistente.

b) Si es de tipo 4, entonces sabe que si llega a creer p, entonces se volverá inconsistente; es decir, creerá la proposición Bp⸧B♂.

c) Si es de tipo 4 y cree que no puede ser inconsistente, entonces se volverá inconsistente.

Demostración, a) Supongamos que cree p. Dado que es normal, entonces creerá Bp. Además, dado que cree p y cree p≡~Bp, debe creer ~Bp (dado que es de tipo 1). Creerá entonces tanto Bp como ~Bp, y, en consecuencia, será inconsistente.

b) Supongamos que es de tipo 4. Dado que es de tipo 1 y cree p≡~Bp, también debe creer p⸧~Bp. Además es regular, en consecuencia creerá entonces Bp⸧B-Bp. También cree Bp⸧BBp (dado que sabe que es normal). Por lo tanto, creerá Bp⸧(BBp&B~Bp), lo que es una consecuencia lógica de las dos últimas proposiciones. También cree (BBp&B~Bp)⸧B♂ (según el Hecho 2, dado que para toda proposición X, él cree (BX&B~X)⸧B♂, y por lo tanto cree esto en el caso especial donde X es Bp). Una vez que crea tanto Bp⸧(BBp&B~Bp) como (BBp&B~Bp)⸧B♂, tendrá que creer Bp⸧B♂ (dado que es de tipo 1).

c) Dado que cree Bp⸧B♂ (como acabamos de demostrar), entonces también cree ~B♂⸧~Bp. Ahora, supongamos que cree ~B♂ (cree que no puede ser inconsistente). Dado que también cree ~B♂⸧~Bp (como acabamos de ver), entonces creerá ~Bp. Dado que también cree p≡~Bp, creerá p, en consecuencia será inconsistente según a).

El alumno y su profesor de teología. Ahora regresemos nuevamente al alumno y su profesor de teología que le dice: “Dios existe si y sólo si usted nunca va a creer que Dios existe”. Si el alumno le cree al profesor, entonces cree la proposición g≡~Bg, donde g es la proposición Dios existe. Entonces, según el Teorema G, el alumno no puede creer en su propia consistencia sin volverse inconsistente.

Ya aludimos a este punto al final del capítulo 2, pero en ese momento no éramos capaces de enunciar lo que constituía un conjunto “razonable” de supuestos sobre la capacidad de razonamiento del alumno. Ahora podemos hacerlo. Las hipótesis simplemente son que el alumno es un razonador de tipo 4.

Por supuesto el alumno tiene la opción de creer en su propia consistencia sin volverse inconsistente: simplemente puede negarse a creerle al profesor.

Ejercicio 1. Supongamos que en el Teorema I nos dan la información adicional de que las reglas de la isla son realmente válidas. El nativo ¿es un caballero o un bribón?

Ejercicio 2. En el ejemplo del alumno y su profesor de teología, supongamos que el alumno sí le cree al profesor y también cree en su propia consistencia. Si Dios realmente existe, entonces el enunciado del profesor ¿era verdadero o falso? Si Dios no existe, entonces el enunciado del profesor ¿era verdadero o falso?

Respuesta al ejercicio 1. Según el Teorema I, el razonador será inconsistente, en consecuencia creerá todo. En particular, creerá que el nativo es un caballero. Dado que el nativo dijo que él no lo creería, entonces el enunciado del nativo era falso. Por lo tanto, si las reglas de la isla son realmente válidas, el nativo debe ser un bribón.

Respuesta al ejercicio 2. Nuevamente, el alumno se volverá inconsistente y creerá todo. En particular, creerá que Dios existe (también creerá que Dios no existe, pero esto no tiene importancia en este caso). Si g es la proposición Dios existe, la proposición Bg es por lo tanto verdadera, y así ~Bg es falsa. Si Dios sí existe, entonces g es verdadera, en consecuencia g≡~Bg es falsa, y el profesor estaba equivocado. Si Dios no existe, entonces g es falsa, g≡~Bg es verdadera, y el profesor tenía razón.

Ejercicio 3. En los capítulos anteriores hemos demostrado los tres hechos siguientes:

1) Si un nativo le dice a un razonador de tipo 1*: “Usted nunca creerá que soy un caballero”, y el razonador cree que nunca será peculiar entonces se volverá peculiar (Teorema III, capítulo 10, problema 5).

2) Un razonador peculiar de tipo 3 es inconsistente (Problema 8, capítulo 11).

3) Un razonador de tipo 4 cree que si llega a volverse peculiar, será inconsistente (Ejercicio 1, capítulo 11).

Usando estos tres hechos, podemos hacer una demostración del Teorema I de este capítulo mucho más rápida que la anterior. ¿Cómo?

Respuesta al ejercicio 3 Supongamos que el nativo le formula este enunciado: “Usted nunca creerá que soy un caballero” a un razonador de tipo 4 y el razonador cree que nunca será inconsistente. Entonces el razonador creerá que no puede ser peculiar (porque sabe que si es peculiar, será inconsistente). Entonces según el Hecho 1 ya citado, se volverá peculiar, y según el Hecho 2 ya citado se volverá inconsistente.

EL DUAL DEL TEOREMA G

Ejercicio 4. Supongamos que el nativo en vez de decir: “Usted nunca creerá que soy un caballero”, dice: “Usted creerá que soy un bribón”. Suponiendo que el razonador es de tipo 4 y cree en su propia consistencia, ¿se sigue ahora que se volverá inconsistente?

Solución. La respuesta es sí, y esto puede establecerse fácilmente como corolario del Teorema G, pero primero me gustaría esbozar un argumento directo. El razonador razona: “Supongamos que es un caballero. Entonces lo que dijo es verdad, lo cual significa que yo creeré que es un bribón. Una vez que crea que es un bribón, creeré lo contrario de lo que dijo: creeré que no creo que es un bribón. Pero si creo que es un bribón, también creeré que sí creo que es un bribón (porque soy normal), y en consecuencia seré inconsistente. Dado que nunca seré inconsistente, él no puede ser un caballero después de todo; debe ser un bribón. Ahora creo que es un bribón. Él dijo que así sería, y por lo tanto es un caballero.

En este punto el razonador es inconsistente.

Lo que acabamos de demostrar es un caso especial del siguiente “dual” del Teorema G.

Teorema G°. Si un razonador consistente de tipo 4 cree cierta proposición de la forma p≡B~p, entonces nunca puede saber que es consistente.

2

El Teorema G° puede demostrarse “dualizando” el argumento del Teorema G, pero puede obtenerse en forma mucho más simple como corolario del Teorema G. ¿Cómo?

Solución. Supongamos que el razonador cree p≡B~p. Entonces creerá ~p≡~B~p. Supongamos que q es la proposición ~p. Entonces el razonador cree q≡~Bq, y por lo tanto el razonador cree una proposición de la forma pe≡~Bp (justamente, q≡~Bq), y así el resultado se sigue del Teorema G.

Ejercicio 5. Supongamos que en el Ejercicio 4 agregamos el supuesto de que las reglas de la isla son realmente válidas y que el razonador cree en su propia consistencia. El nativo ¿es un caballero o un bribón?

Ejercicio 6. Supongamos que un profesor de teología le dice a su alumno de tipo 4: “Dios existe si y sólo si usted nunca va a creer que Dios no existe”. Supongamos que el alumno le cree al profesor y también cree en su propia consistencia. Demostrar que si el enunciado del profesor es verdadero, entonces Dios debe existir. Demostrar que si el enunciado del profesor es falso, entonces Dios no existe.

Ejercicio 7. Supongamos que un nativo le dice a un razonador de tipo 4: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. (O, alternativamente, dice: “Usted creerá que soy un bribón”.) Demostrar que el razonador sabe que si llega a creer en su propia consistencia, se volverá inconsistente. (La solución de este ejercicio será consecuencia fácil de resultados que se demostrarán en capítulos posteriores.)

13. Sistemas gödelianos

Todos los resultados que hemos demostrado hasta ahora sobre razonadores y sus creencias son la contraparte de los resultados metamatemáticos sobre sistemas matemáticos y las proposiciones demostrables en ellos. Antes de explayarnos sobre el tema, vamos a resumir los hechos más significativos que hemos demostrado en los últimos capítulos.

Resumen I. Supongamos que un razonador cree las reglas de la isla y un nativo le dice: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. O, de modo más general, supongamos que un razonador cree cierta proposición de la forma p≡~Bp (p es verdadera si y sólo si nunca voy a creer p). Entonces:

1) Para un razonador de tipo 1, si cree que es siempre correcto, entonces se volverá incorrecto; en realidad, se volverá peculiar.

2) Para un razonador de tipo 1*, si cree que nunca será peculiar, entonces se volverá peculiar.

3) Para un razonador de tipo 3, si cree que nunca será peculiar, entonces se volverá inconsistente.

4) Para un razonador de tipo 4, si cree que siempre será consistente entonces se volverá inconsistente.

Todos estos hechos, en particular el 4), se relacionan con importantes hechos metamatemáticos que analizaremos brevemente.

Los tipos de sistemas investigados por Kurt Gödel tienen las siguientes características. En primer lugar, hay un conjunto bien definido de proposiciones expresables en el sistema; las denominaremos proposiciones del sistema. Una de esas proposiciones es ♂ (falsedad lógica), y para toda proposición p y q del sistema, la proposición (p⸧q) también es una proposición del sistema. Todos los conectores lógicos &, ˅, ~, ≡ pueden definirse a partir de ⸧ y ♂  en la forma que se explicó en el capítulo 7.

En segundo lugar, el sistema —llamémoslo “S”— tiene varios axiomas y reglas lógicas que hacen que ciertas proposiciones sean demostrables en el sistema. De este modo tenemos un subconjunto bien definido de proposiciones del sistema: el conjunto de proposiciones demostrables del sistema.

En tercer lugar, para toda proposición p del sistema, la proposición de que p es demostrable en el sistema es en sí misma una proposición del sistema (puede ser verdadera o falsa, y puede ser demostrable en el sistema, o también puede no serlo). Supongamos que Bp es la proposición de que p es demostrable en el sistema. (Gödel introdujo el símbolo “B” para “demostrable”; representa la palabra alemana beweisbar.) Por una afortunada coincidencia, usamos el símbolo “B” en dos situaciones estrechamente relacionadas. Cuando hablamos de razonadores, Bp significa que el razonador cree p; cuando hablamos de sistemas matemáticos, Bp significa que p es demostrable en el sistema.

Ahora decimos que un sistema S es de tipo 1, 1*, 2, 3 y 4, exactamente en la misma forma en que lo hicimos para los razonadores: Si todas las tautologías son demostrables en S, y si para proposiciones cualesquiera, p y p⸧q ambas demostrables en S, q también es demostrable en S —si estas dos condiciones son válidas— entonces decimos que S es de tipo 1. Si además Bp⸧Bq es demostrable en S siempre que p⸧q es demostrable en S, entonces decimos que S es de tipo 1*. Si además todas las proposiciones de la forma (Bp&B(p⸧q))⸧Bq son demostrables en S, entonces decimos que S es de tipo 2. Si además S es normal (es decir, Bp es demostrable siempre que p lo es), entonces decimos que S es de tipo 3. Por último, si todas las proposiciones de la forma Bp⸧BBp son demostrables en S, entonces decimos que S es de tipo 4. Por supuesto todos los resultados del capítulo 11 que demostramos para los razonadores también son válidos para los sistemas (donde ahora interpretamos “B” como demostrable en vez de creíble). Con respecto a los resultados de los capítulos 10 y 12, necesitamos otra condición que ahora vamos a formular.

Sistemas gödelianos. Gödel realizó el notable descubrimiento de que cada uno de los sistemas que investigó tenía la propiedad de que había una proposición p tal que la proposición p≡~Bp era demostrable en el sistema. Decimos que esos sistemas se denominan sistemas gödelianos.

La proposición p≡~Bp es muy particular. Aquí tenemos una proposición p equivalente a su propia no demostrabilidad en el sistema. Puede considerarse que la proposición p dice: “No soy demostrable en el sistema”. La forma en que Gödel logró descubrir tal proposición no debe preocuparnos ahora, aunque vamos a considerarla en uno de los últimos capítulos.

En analogía con los sistemas, podemos decir que un razonador es un razonador gödeliano si por lo menos hay una proposición p tal que crea la proposición p≡~Bp. Por supuesto hemos estado estudiando a los razonadores gödelianos durante todo el último capítulo. (Si un razonador llega a la Isla de los Caballeros y los Bribones y cree las reglas de la isla, y si un nativo le dice: “Usted nunca creerá que soy un caballero”, entonces el razonador cree la proposición k≡~Bk; en consecuencia se convierte en un razonador gödeliano.)

Ahora decimos que un sistema puede demostrar su propia corrección si puede demostrar todas las proposiciones de la forma Bp⸧p. Decimos que puede demostrar su propia no peculiaridad si puede demostrar todas las proposiciones de la forma ~(Bp&B~Bp). Decimos que el sistema puede demostrar su propia consistencia si puede demostrar la proposición ~B♂.

Ahora volvamos a exponer nuestro resumen de apertura en términos de sistemas, en vez de razonadores.

Resumen I*.

1) Si un sistema gödeliano de tipo 1 puede demostrar su propia corrección, entonces es incorrecto de hecho, peculiar.

2) Si un sistema gödeliano de tipo 1* puede demostrar su propia no peculiaridad, entonces es peculiar.

3) Si un sistema gödeliano de tipo 3 puede demostrar su propia no peculiaridad, entonces es inconsistente.

4) Si un sistema gödeliano de tipo 4 puede demostrar su propia consistencia, entonces es inconsistente.

El ítem 4) es el verdaderamente importante; es una forma generalizada del famoso Segundo Teorema de la Incompletitud de Gödel.

Análisis. En su artículo original de 1931, Gödel consideró un sistema particular (el sistema de Principia Mathematica de Whitehead y Russell) y demostró que el sistema, si era consistente, no podía demostrar su propia consistencia: Sostenía que su método se aplicaba no sólo a ese sistema en particular, sino a una amplia variedad de sistemas. En realidad, el método se aplica a todos los sistemas gödelianos de tipo 4, como acabamos de ver.

Otro importante sistema gödeliano de tipo 4 es el sistema conocido como “Aritmética” (de modo más completo, “Aritmética de Peano de Primer Orden”). Esta es una formalización de la teoría de los números enteros ordinarios 0, 1, 2, ... Dado que la Aritmética es un sistema gödeliano de tipo 4, está sujeta al Teorema de la Consistencia de Gödel; en consecuencia si la Aritmética es consistente (y así es, dado que sólo las proposiciones verdaderas son demostrables en él), entonces no puede demostrar su propia consistencia.

Cuando el matemático André Weil se enteró de esto, hizo el famoso chiste: “Dios existe, dado que la Aritmética es consistente; el Diablo existe, dado que no puede demostrarlo”.

Este chiste, aunque encantador, realmente es engañoso. No es que no podamos demostrar la consistencia de la Aritmética; es que la Aritmética no puede demostrar la consistencia de la Aritmética. Es cierto que nosotros podemos demostrar la consistencia de la Aritmética, pero nuestra demostración no puede formalizarse en la propia Aritmética.

En realidad, ha habido mucha confusión popular con respecto al Segundo Teorema de Gödel (el Teorema de la Consistencia); esto se ha debido en parte a la irresponsabilidad de algunos periodistas científicos y otros divulgadores. (Yo, por supuesto, estoy completamente de acuerdo con la divulgación, siempre que la divulgación no sea incorrecta). Un divulgador en particular escribió: “El Teorema de Gödel significa que nunca podemos saber que la Aritmética es consistente”. Esto no tiene sentido en absoluto. Para demostrar lo tonto que es, supongamos que hubiera resultado que la Aritmética podía demostrar su propia consistencia; o para ser más realistas, supongamos que consideramos algún otro sistema que puede demostrar su propia consistencia. ¿Eso constituiría alguna garantía de la consistencia del sistema? Por supuesto que no. Si el sistema fuera inconsistente, entonces al ser de tipo 1, podría demostrar cualquier cosa, incluso su propia consistencia. El hecho de confiar en la consistencia de un sistema sobre la base de que puede demostrarla sería tan ingenuo como confiar en la veracidad de una persona sobre la base de que ésta afirma que siempre es veraz. No, el hecho de que la Aritmética no pueda demostrar su propia consistencia no arroja ni la mínima duda sobre la consistencia de la Aritmética.

De hecho, en este libro vamos a construir varios sistemas gödelianos de tipo 4, y demostraremos su consistencia más allá de toda duda. Entonces demostraremos que, por ser consistentes, los sistemas no podrán demostrar su propia consistencia.

Ejercicio. Consideremos un sistema S de tipo 4 (pero no necesariamente gödeliano). Recordemos que para toda proposición p, la proposición Bp es verdadera si y sólo si p es demostrable en S.

a) En primer lugar, demostrar que para toda proposición p, la proposición (B(p≡~Bp)&B~B♂)⸧B♂ es verdadera (para el sistema S). Esto es muy fácil.

b) En segundo lugar, demostrar que (B(p≡~Bp)&B~B♂)⸧B♂ es realmente demostrable en S. (¡No es tan fácil!)

14. Más problemas con la consistencia

ALGUNOS PROBLEMAS PRELIMINARES

1

Supongamos que un razonador cree que es inconsistente. ¿Es necesariamente inconsistente? ¿Es necesariamente incorrecto?

2

Supongamos que un razonador cree que es incorrecto. Demostrar que tiene razón.

3

Supongamos que un razonador de tipo 1* cree que no puede ser inconsistente (cree ~B♂). ¿Creerá necesariamente que nunca creerá que es inconsistente? (Es decir, ¿creerá necesariamente ~BB♂?)

MAS PROBLEMAS CON LA CONSISTENCIA

Regresamos a la Isla de los Caballeros y los Bribones. Seguimos suponiendo que el razonador es de tipo 4 y que cree las reglas de la isla.

4

Supongamos que un nativo le dice al razonador: “Si soy un caballero, entonces creerá que soy un bribón”. Demostrar:

a) El razonador tarde o temprano creerá que es inconsistente.

b) Si las reglas de la isla son realmente válidas, entonces el razonador se volverá inconsistente.

Nota: En los problemas de este capítulo, no suponemos que el razonador cree que es consistente.

5

Supongamos que el nativo dice en cambio: “Si soy un caballero, entonces usted nunca creerá que lo soy”. Demostrar:

a) El razonador se volverá inconsistente.

b) Las reglas de la isla no son realmente válidas.

Nota 1: Este problema tiene validez aun cuando el razonador sea de tipo 3 solamente.

Nota 2: Para la versión “alumno y su profesor de teología” de los dos últimos problemas, véase el análisis que sigue a la solución del problema 5.

6

Este es un curioso problema. Un razonador de tipo 4 llega a lo que cree es una isla de caballeros y bribones (cree las reglas de la isla) y un nativo le dice las siguientes dos cosas:

1) “Usted creerá que soy un bribón”.

2) “Usted siempre será consistente”.

Demostrar que el razonador se volverá inconsistente y que las reglas de la isla no son válidas.

7

En este caso un nativo le formula los dos enunciados siguientes a un razonador de tipo 4:

1) “Usted nunca creerá que soy un caballero”.

2) “Si llega a creer que soy un caballero, entonces se volverá inconsistente”.

Demostrar que el razonador se volverá inconsistente y que las reglas de la isla no son válidas.

RAZONADORES TIMIDOS

Decimos que un razonador no debería creer p si su creencia en p lo hace caer en una inconsistencia. Decimos que un razonador teme creer p si cree Bp⸧B♂; es decir, si cree que su creencia en p lo hará caer en una inconsistencia. (En otras palabras, teme creer p si cree que no debería creer p.)

Sabemos que todo razonador de tipo 4 que cree las reglas de la isla y a quien un nativo le dice que él nunca creerá que es un caballero no debería creer en su propia consistencia. En general, sin embargo, no hay razón para que un razonador de tipo 4 no crea en su propia consistencia. Pero ahora surge algo muy curioso: si por algún motivo, un razonador de tipo 4 teme creer en su propia consistencia, su mismo temor lo justifica. Esto significa que todo razonador de tipo 4 que teme creer en su propia consistencia, realmente no debería creer en su propia consistencia. Dicho aun de otro modo, si un razonador de tipo 4 cree que la creencia en su propia consistencia lo llevará a una inconsistencia, ¡entonces así será!

Por más sorprendente que pueda ser este hecho, no es difícil demostrarlo. Además, este hecho es válido para los razonadores normales de tipo 1.

8

Demostrar que si un razonador normal de tipo 1 teme creer en su propia consistencia, entonces realmente no debería creer en su propia consistencia.

Comentarios. En el problema citado, observamos que para un razonador normal de tipo 1, su creencia en la proposición B~B♂⸧B♂ es auto- suficiente, en el sentido de que el creer esa proposición es condición suficiente para que la proposición sea verdadera. El tema de las creencias autosuficientes desempeñará un papel importante en los próximos capítulos.

9

Un razonador de tipo 4 también es un razonador normal de tipo 1; en consecuencia, según el último problema, si teme creer en su propia consistencia, entonces no debería creer en su propia consistencia. Esto significa que para un razonador de tipo 4, la proposición B(B~B♂⸧B♂)⸧(B~B♂⸧B♂) es verdadera. Demostrar que todo razonador de tipo 4 sabe que esa proposición es verdadera (sabe que si teme creer en su propia consistencia, entonces no debería creer en ella).

10

Supongamos que un razonador de tipo 4 cree que teme creer en su propia consistencia. ¿Se sigue que realmente teme creer en su propia consistencia?

SOLUCIONES

1. Supongamos que un razonador cree que es inconsistente. No veo por qué deba ser necesariamente inconsistente, pero debe ser incorrecto por las siguientes razones:

Un razonador que cree que es inconsistente tiene una creencia correcta o incorrecta. Si su creencia es equivocada, entonces obviamente es incorrecto (tiene la creencia falsa de que es inconsistente). Si su creencia es correcta, entonces realmente sí cree la proposición falsa ♂. En cualquier caso, por lo menos tiene una creencia falsa.

2. Si estuviera equivocado, entonces sería correcto, lo cual es una contradicción.

3. Supongamos que cree ~B♂. Entonces cree la proposición lógicamente equivalente B♂⸧♂. También es regular (dado que es de tipo 1*), y en consecuencia creerá BB♂⸧B♂; por lo tanto creerá la proposición lógicamente equivalente ~B♂⸧~BB♂. Ya que también cree ~B♂, entonces creerá ~BB♂.

4. Sabemos según el Teorema I del capítulo 3 que para toda proposición p, si un nativo de una isla de caballeros y bribones dice: “Si soy un caballero entonces p”, el nativo debe ser un caballero y p debe ser verdadera. Ahora bien, todo razonador —aun de tipo 1— sabe esto igual que ustedes y yo, y por lo tanto si el razonador cree que las reglas de la isla son válidas, entonces si un nativo le dice: “Si soy un caballero, entonces p”, el razonador creerá que el nativo es un caballero y que p es verdadera. En este problema en particular, el nativo ha dicho: “Si soy un caballero, entonces usted creerá que soy un bribón”, y por lo tanto el razonador creerá que el nativo es un caballero y también que él (el razonador) creerá que el nativo es un bribón. Y en consecuencia el razonador creerá k y también creerá B~k (k es la proposición de que el nativo es un caballero). Hasta ahora, sólo hemos usado el hecho de que el razonador es de tipo 1. Sin embargo, es de tipo 4, y dado que cree k, también cree Bk. En consecuencia creerá Bk y creerá B~k, pero sabe que (Bk&B~k)⸧B♂ (como demostramos en el capítulo 11, Soluciones). Por lo tanto creerá B♂; es decir, creerá que es (o será) inconsistente. Además cree que el nativo es un caballero.

Hasta ahora, no hemos usado el hecho de que las reglas de la isla son realmente válidas; nuestro argumento precedente sólo usó el hecho de que el razonador cree que las reglas son válidas. Ahora bien, supongamos que las reglas realmente son válidas. Entonces el nativo realmente es un caballero y el razonador realmente creerá que el nativo es un bribón (según el Teorema I, capítulo 3). Pero dado que el razonador también cree que el nativo es un caballero, se volverá inconsistente.

5. En este caso el razonador cree k≡(k⸧~Bk), en consecuencia cree k y cree ~Bk, que son consecuencias lógicas de k≡(k⸧~Bk). Dado que cree k, creerá Bk, y al creer ~Bk, se volverá inconsistente.

Si las reglas de la isla son realmente válidas, entonces k≡(k⸧~Bk) no sólo es creída por el razonador, sino que realmente es verdadera, en consecuencia k&~Bk (que se sigue lógicamente de ella) es verdadera, en consecuencia ~Bk es verdadera, opuesto al hecho de que el razonador sí cree que el nativo es un caballero (y en consecuencia Bk, en vez de ~Bk, es verdadera). De este modo las reglas de la isla no son realmente válidas.

Análisis. Consideremos los dos últimos problemas en la versión del alumno y su profesor de teología. Supongamos que el profesor dice: “Dios existe, pero usted nunca creerá que Dios existe”. Si el alumno es de tipo 4 y cree al profesor, tendrá que creerse inconsistente. Si además el enunciado del profesor era verdadero, entonces el alumno realmente se volverá inconsistente.

Por otro lado, supongamos que el profesor dice: “Dios existe, pero usted nunca creerá que Dios existe”. Entonces, si el alumno es de tipo 4 —o aun de tipo 3—y cree al profesor, se volverá inconsistente, y además, el enunciado del profesor es falso.

6. El razonador razona: “Supongamos que es un bribón. Entonces su segundo enunciado es falso, lo que significa que seré inconsistente, en consecuencia creeré todo, en particular que es un bribón. Pero esto validará su primer enunciado y lo convertirá en un caballero. Por lo tanto es contradictorio suponer que es un bribón, en consecuencia debe ser un caballero. Como es un caballero, su primer enunciado es verdadero, en consecuencia creeré que es un bribón. Pero ahora creo que es un caballero; en consecuencia seré inconsistente. Esto demuestra que seré inconsistente. Sin embargo, es un caballero y dijo que yo siempre seré consistente. Por lo tanto nunca seré inconsistente”.

En este punto el razonador ha llegado a la conclusión de que se volverá inconsistente y de que no se volverá inconsistente, y por lo tanto ahora es inconsistente.

Como el razonador se ha vuelto inconsistente, el segundo enunciado del nativo es falso. Además, dado que el razonador se ha vuelto inconsistente, creerá todo, incluso que el nativo es un bribón. Esto convierte en verdadero al primer enunciado del nativo. Dado que el nativo ha formulado un enunciado verdadero y un enunciado falso, entonces las reglas de la isla no son realmente válidas.

7. El razonador cree los dos siguientes enunciados:

1) k≡~Bk

2) k≡(Bk⸧B♂)

Como cree 1), entonces según b) del Teorema G#, capítulo 12, el razonador creerá Bk⸧B♂. Y, dado que cree 2), creerá k. Por lo tanto, según a) del Teorema G#, capítulo 12, se volverá inconsistente.

Además se sigue que el primer enunciado del nativo era falso y el segundo enunciado era verdadero. Por lo tanto las reglas de la isla no son válidas.

8. Suponemos que el razonador es normal y de tipo 1 y que cree B~B♂⸧B♂. Debemos demostrar que si cree que es consistente, se volverá inconsistente (y por lo tanto que su temor es justificado). Entonces, supongamos que sí llega a creer ~B♂. Dado que es normal, entonces creerá B~B♂. Esto, junto con su creencia en B-B♂⸧B♂, lo harán creer B♂ (porque es de tipo 1). Y por lo tanto creerá tanto B♂ como ~B♂ (creerá que es inconsistente y que no es inconsistente), lo cual lo hará inconsistente.

9. El razonador razona: “Supongamos que llego a temer creer en mi propia consistencia. Esto significa que creeré que no debería creer en mi propia consistencia; es decir, creeré B~B♂⸧B♂. Dado que soy de tipo 1 (por ser de tipo 4), entonces creeré ~B♂⸧~B~B♂. Ahora supongamos que también creyera que soy consistente; es decir, supongamos que creo ~B♂. Entonces dado que creeré ~B♂⸧~B~B♂, creeré ~B~B♂. Pero también creeré B~B♂ (dado que creeré ~B♂ y soy normal) y en consecuencia seré inconsistente. Por lo tanto, si temo creer en mi propia consistencia, realmente no puedo creer en ella sin volverme inconsistente. Por lo tanto la proposición B(B~B♂⸧B♂)⸧(B~B♂⸧B♂) es verdadera”.

10. Acabamos de ver que el razonador cree la proposición B(B~B♂⸧B♂)⸧(B~B♂⸧B♂). Por lo tanto, si cree B(B~B♂⸧B♂), creerá B~B♂⸧B♂, lo que significa que si cree que teme creer en su propia consistencia, entonces realmente temerá creer en su propia consistencia.

Parte VI

LAS CREENCIAS AUTOSUFICIENTES Y EL TEOREMA DE LÖB

15. Creencias que se autocumplen

Todos los problemas de este capítulo se relacionan con el Teorema de Löb, famoso resultado que es importante para el avance de este libro.

Ahora tenemos un cambio de argumento: Un razonador de tipo 4 piensa visitar la Isla de los Caballeros y los Bribones porque ha oído el rumor de que los baños de azufre y las aguas minerales del lugar pueden curar su reumatismo. Sin embargo, antes de embarcarse, analiza la situación con su médico de cabecera. Le pregunta al médico si la “cura” realmente sirve. El médico responde: “La cura es absolutamente psicológica; la creencia de que sirve es autocumplidora. Si usted cree que la cura servirá, entonces servirá”.

El razonador confía implícitamente en su médico, y por lo tanto va a la isla con la creencia previa de que si cree que la cura servirá, entonces la cura servirá. Se somete a la cura, que dura solamente un día, pero que se supone que no sirve para varias semanas, si es que sirve para algo. Al día siguiente empieza a preocuparse por la situación y piensa: “Si pudiera creer que la cura sirve, entonces servirá”. Pero ¿cómo sé si llegaré a creer que sirve? No tengo evidencia racional de que la cura servirá, ni tengo ninguna evidencia de que llegaré a creer que la cura servirá. Hasta donde yo sé, podría no creer nunca que la cura servirá, y en consecuencia la cura podría no servir.

Un nativo de la isla pasa a su lado y le pregunta al razonador por qué está tan afligido. El razonador le explica toda la situación, luego la resume diciendo: “Si llego a creer que la cura servirá, entonces así será", pero ¿llegaré a creer que la cura servirá?”. El nativo responde: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces creerá que la cura servirá”.

Al principio, eso no le pareció muy tranquilizador al razonador. El piensa: “¿De qué me sirve eso? Aun si lo que dice es verdad, eso sólo reduciría el problema a determinar si llego a creer que es un caballero. ¿Cómo sé si llegaré a creer que es un caballero? Y aun si lo hago, él puede ser un bribón y su enunciado puede ser falso; en consecuencia aún puedo no creer que la cura servirá”. Pero luego el razonador meditó más sobre el problema, y después de un rato suspiró aliviado. ¿Por qué?

Bueno, como veremos, lo sorprendente es que el razonador creerá que la cura servirá y, suponiendo que el médico tiene razón, ¡la cura servirá! Podríamos notar que las reglas de la isla no tienen que ser realmente válidas para que funcione el argumento; es suficiente que el razonador crea que son válidas.

Este problema se relaciona estrechamente con el importante teorema de M. H. Löb, que analizaremos más adelante. Pero primero, consideremos un problema un poco más simple, que se acerca aun más al argumento original de Löb. Supongamos que el nativo, en vez de decir lo citado anteriormente, dice: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces la cura servirá”.

1 (Según Löb)

Demostrar que según las condiciones ya citadas, el razonador creerá que la cura servirá (y en consecuencia, si el médico tenía razón, entonces la cura servirá).

Solución. Resulta más fácil dar la solución en parte con palabras y en parte con símbolos. Supongamos que k es la proposición que el nativo es un caballero, y supongamos que C es la proposición que la cura servirá. Al principio, el razonador cree la proposición BC⸧C.

El razonador razona: “Supongamos que llego a creer que es un caballero. Entonces creeré lo que dice: creeré que Bk⸧C. Además, si llego a creer que es un caballero, creeré que creo que es un caballero: creeré Bk. Y por lo tanto, si llego a creer que es un caballero, creeré tanto Bk como Bk⸧C, en consecuencia creeré C. De este modo, si llego a creer que es un caballero, entonces creeré que la cura sirve. Pero si llego a creer que la cura sirve, entonces la cura servirá (como me dijo mi médico). Y por lo tanto, si llego a creer que es un caballero la cura servirá. Bueno, eso es exactamente lo que él dijo: que si llego a creer que es un caballero, entonces la cura servirá, ¡y tenía razón! En consecuencia, es un caballero”.

En este punto el razonador cree que el nativo es un caballero, y dado que el razonador es normal, dice: “Ahora creo que es un caballero. Ya he demostrado que si creo que es un caballero entonces la cura servirá, y dado que creo que es un caballero, la cura servirá”.

En este punto el razonador cree que la cura servirá. Entonces, suponiendo que el médico tenía razón, la cura servirá.

La solución del problema 1 podría haberse establecido en forma más rápida de haber demostrado primero el siguiente lema, que también tendrá otras aplicaciones.

Lema 1. Dada cualquier proposición p, supongamos que un nativo de la isla le dice a un razonador de tipo 4: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces p es verdadera”. Entonces el razonador creerá: “Si llego a creer que es un caballero, entonces creeré p”. De modo más general, para dos proposiciones cualesquiera k y p, si un razonador de tipo 4 cree la proposición k≡(Bk⸧p), o aunque crea la proposición más débil k⸧(Bk⸧p), entonces creerá Bk⸧Bp.

Ejercicio 1. ¿Cómo se demuestra el Lema 1? (Este es el mismo problema que se encuentra en el Ejercicio 3, capítulo 11.)

Ejercicio 2. ¿En qué forma facilita el uso del Lema 1 la solución del problema 1?

Respuesta al ejercicio 1. En primer lugar lo demostramos en la versión de caballeros y bribones. Supongamos que k es la proposición que el nativo es un caballero. El nativo ha afirmado la proposición Bk⸧p. El razonador razona: “Si llego a creer que es un caballero, entonces creeré lo que dice: creeré Bk⸧p. Pero si creo que es un caballero, también creeré Bk (creeré que creo que es un caballero). Una vez que crea Bk⸧p y que crea Bk, entonces creeré p. Y por lo tanto, si llego a creer que es un caballero, entonces creeré p”.

Por supuesto la forma más general puede demostrarse esencialmente del mismo modo, o alternativamente así: Supongamos que un razonador de tipo 4 cree k⸧(Bk⸧p), lo cual ciertamente creerá, si cree la proposición más fuerte k≡(Bk⸧p). Entonces, según el problema 2, capítulo 11, creerá Bk⸧(BBk⸧Bp). También cree Bk⸧BBk. Como cree esas dos proposiciones, creerá Bk⸧Bp, que es una consecuencia lógica de las mismas. (Para proposiciones cualesquiera X, Y y Z, la proposición X⸧Z es una consecuencia lógica de X⸧(Y⸧Z) y X⸧Y. En particular, esto es así si X es la proposición Bk, Y es la proposición BBk y Z es la proposición Bp.)

Respuesta al ejercicio 2. El razonador cree k≡(Bk⸧C), porque el nativo afirmó Bk⸧C. Entonces, según el Lema 1, el razonador creerá Bk⸧BC. También cree BC⸧C, en consecuencia creerá Bk⸧C. Entonces creerá k (dado que cree tanto Bk⸧C como k≡(Bk⸧C)), en consecuencia creerá Bk (porque es normal). Ahora que cree Bk y cree Bk⸧C, creerá C.

El resultado del problema 1 es el siguiente teorema.

Teorema I (según Löb). Para toda proposición k y C, si un razonador de tipo 4 cree BC⸧C y cree Bk y cree k≡(Bk⸧C), entonces creerá C.

El Teorema I da el siguiente resultado curioso.

Ejercicio3. Supongamos que un estudiante de teología está preocupado por cosas tales como la existencia de Dios y su propia salvación. Le pregunta a su profesor: “¿Existe Dios?” y “¿Seré redimido?” Entonces el profesor formula los siguientes enunciados:

1) “Si cree que será redimido, entonces será redimido”.

2) “Si Dios existe y cree que Dios existe, entonces será redimido”.

3) “Si Dios no existe, entonces creerá que Dios existe”.

4) “Será redimido sólo si Dios existe”.

Suponiendo que el estudiante es un razonador de tipo 4 y le cree al profesor, demostrar: a) El estudiante creerá que será redimido; b) Si los enunciados del profesor son verdaderos, entonces el estudiante será redimido.

Solución. Supongamos que g es la proposición que Dios existe y supongamos que S es la proposición que el estudiante será redimido. Entonces el estudiante cree las siguientes cuatro proposiciones:

1) BS⸧S

2) (g&Bg)⸧S

3) ~g⸧Bg

4) S⸧g

La proposición ~Bg⸧g es una consecuencia lógica de 3). Esta proposición, junto con 4), tiene como consecuencia lógica la proposición (~Bg˅S)⸧g. Además ~Bg˅S es lógicamente equivalente a Bg⸧S, en consecuencia (~Bg˅S)⸧g es lógicamente equivalente a (Bg⸧S)⸧g. Además g⸧(Bg⸧S) es lógicamente equivalente a 2), y g≡(Bg3S) es una consecuencia lógica de (Bg⸧S)⸧g y g⸧(Bg3S). Por lo tanto g≡(Bg⸧S) es una consecuencia lógica de 1), 2) y 3). Dado que el estudiante cree 1), 2), y 3), también creerá g≡(Bg⸧S). Ya que según 1) también cree BS⸧S, entonces según el Teorema I, creerá S. De este modo BS es verdadera, y si el profesor tenía razón, BS⸧S es verdadera, en consecuencia S es verdadera, lo cual significa que el estudiante será redimido.

Ahora regresemos al problema 1 y su proposición: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces la cura servirá”.

2

Supongamos que un razonador de tipo 4 nuevamente cree BG⸧C, pero en este caso el nativo dice: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces creerá que la cura sirve”. Demostrar que el razonador creerá nuevamente que la cura servirá.

Solución. En este caso el nativo afirma Bk⸧BC (en vez de Bk⸧C). Entonces según el Lema 1, el razonador creerá Bk⸧BBC (en vez de Bk⸧BC). Sin embargo, el razonador cree BC⸧C, y como es de tipo 4 es regular y creerá BBC⸧BC. Al creer esto y Bk⸧BBC, creerá Bk⸧BC. También cree k≡(Bk⸧BC), entonces creerá k. Y así creerá Bk y como creerá Bk⸧BC, creerá BC. Pero también cree BC⸧C, en consecuencia creerá C.

Por supuesto este argumento se generaliza así:

Teorema II. Dadas proposiciones cualesquiera k y C si un razonador de tipo 4 cree BC⸧C y cree k≡(Bk⸧BC), entonces creerá C.

3

Nuevamente un razonador de tipo 4 tiene la creencia previa de que si cree que la cura servirá, entonces la cura servirá. En este caso el nativo le dice: “Tarde o temprano creerá que si soy un caballero, entonces la cura servirá” Veremos que otra vez el razonador creerá que la cura servirá.

De modo más general, vamos a demostrar el siguiente teorema.

Teorema III. Para proposiciones cualesquiera k y C, si un razonador de tipo 4 cree BC⸧C y cree k≡B(k⸧C), entonces creerá C.

Los dos lemas siguientes, interesantes en sí mismos, facilitan la demostración del Teorema III.

Lema 2. Supongamos que para cierta proposición q, un nativo le dice a un razonador de tipo 4: “Usted creerá q”. Entonces el razonador creerá: “Si él es un caballero, entonces creeré que si es un caballero, creeré que es un caballero”. (Dicho en forma más abstracta, para proposiciones k y q, si un razonador de tipo 4 cree k≡Bq, entonces creerá k⸧Bk.)

Lema 3. Dada cualquier proposición p, supongamos que un nativo le dice a un razonador de tipo 4: “Usted creerá que si soy un caballero, entonces p es verdadera”. Entonces el razonador creerá: “Si él es un caballero, entonces creeré p”. (Dicho en forma más abstracta, si un razonador de tipo 4 cree k≡B(k⸧p), entonces creerá k⸧Bp.)

¿Cómo se demuestran los Lemas 2 y 3 y el Teorema III?

Demostración del Lema 2. Este es el problema 9 del capítulo 11, que ya hemos resuelto, pero quiero presentar una versión de caballeros y bribones de la demostración, que es particularmente intuitiva. El nativo ha dicho: “Usted creerá q”. Entonces el razonador razona: “Supongamos que es un caballero. Entonces creeré q. Y así creeré que creo q; y creeré lo que dijo, es decir, creeré que es un caballero. Por lo tanto, si es un caballero, creeré que es un caballero”.

Demostración del Lema 3. Vamos a usar el Lema 2 para facilitar esta demostración.

El nativo ha dicho: “Usted creerá que si soy un caballero, entonces p”. Sea q la proposición: “Si soy un caballero, entonces p”. El nativo ha dicho al razonador que creerá q, y, según el Lema 2, el razonador creerá que si el nativo es un caballero, entonces él (el razonador) creerá que el nativo es un caballero. Y así el razonador razona: “Supongamos que es un caballero. Entonces creeré que es un caballero. Entonces creeré lo que dice: creeré Bk⸧p. También creeré Bk (creeré que creo que es un caballero). Por lo tanto, si es un caballero, creeré Bk⸧p y creeré Bk, en consecuencia también creeré p. Y, por lo tanto, si es un caballero creeré p”.

Demostración del Teorema III. Voy a presentar una versión de caballeros y bribones de la demostración. El nativo ha dicho: “Usted creerá que si soy un caballero, entonces la cura servirá”. Por el Lema 3, el razonador creerá: “Si es un caballero, entonces creeré que la cura servirá”. Luego el razonador dice: “Además, si creo que la cura servirá, entonces la cura servirá. Por lo tanto, si es un caballero, la cura servirá. Ahora creo que si es un caballero la cura servirá. Él dijo que creería eso, luego es un caballero. Por lo tanto, es un caballero y además (como he demostrado), si es un caballero, entonces la cura servirá. Por lo tanto, la cura servirá”.

En este punto el razonador creerá que la cura servirá.

Análisis. También puede obtenerse el Teorema III como fácil corolario del Teorema I con el siguiente argumento. Supongamos que se nos dan las proposiciones k y C tal que un razonador de tipo 4 cree k≡B(k⸧C) y cree BC⸧C. Tenemos que demostrar que creerá C. Como cree feB(k⸧C), también debe creer (k⸧C)≡(B(k⸧C)⸧C)), que es una consecuencia lógica de k≡B(k⸧C)). Entonces cree la proposición k’≡(Bk’⸧C), donde k’ es la proposición k⸧C. Pero como también cree BC⸧C, entonces creerá C según el Teorema I.

El siguiente ejercicio curioso ilustra la autorreferencia llevada hasta el extremo.

Ejercicio 4. Supongamos que un nativo de la isla le dice a un razonador de tipo 4: “Tarde o temprano creerá que si soy un caballero, entonces creerá que lo soy”.

a) Demostrar que el razonador creerá que el nativo es un caballero.

b) Demostrar que si las reglas de la isla son válidas, entonces el nativo es un caballero.

Solución. Esta es una consecuencia fácil del Lema 2.

a) El nativo ha afirmado B(k⸧Bk). Por lo tanto hay una proposición q tal que el nativo ha afirmado que el razonador creerá q. Entonces según el Lema 2, el razonador creerá k⸧Bk. Entonces, como es normal, creerá B(k⸧Bk), o sea, creerá lo que dijo el nativo. En consecuencia creerá que el nativo es un caballero.

b) Dado que el razonador cree Bk, indudablemente cree k⸧Bk; en consecuencia el enunciado del nativo era verdadero. Y por lo tanto el nativo es un caballero (si las reglas de la isla son realmente válidas).

El contenido matemático esencial del citado ejercicio es que para toda proposición k, si un razonador de tipo 4 cree k≡B(k⸧Bk), entonces también creerá k. Si también k≡B(k⸧Bk) es verdadera, entonces k lo es.

FORMAS DUALES

Los problemas 1, 2 y 3 (de modo más general, los teoremas I, II y III) tienen sus formas “duales”, que son bastante curiosas.

1° (Dual del problema 1)

Nuevamente, un razonador de tipo 4 llega a la isla creyendo de antemano que si cree que la cura servirá, entonces la cura servirá. Se encuentra con un nativo que le dice: “La cura no servirá y usted creerá que soy un bribón”.

Demostrar que el razonador creerá que la cura servirá.

2° (Dual del problema 2)

Igual que el problema 1o, excepto que el nativo dice: “Usted creerá que soy un bribón, pero nunca creerá que la cura servirá”. Demostrar que se sigue la misma conclusión (el razonador creerá que la cura servirá).

3° (Dual del problema 3)

En este caso el nativo dice: “Nunca creerá que si soy un bribón, entonces la cura servirá”. (Alternativamente, podría decir: “Nunca creerá que o soy un caballero o que la cura servirá”.) Demostrar que se sigue la misma conclusión.

Solución del problema 1o. Podríamos demostrarlo directamente, pero resulta más fácil sacar provecho del Teorema I, que ya hemos demostrado.

El nativo ha afirmado (~C&B~k), y por lo tanto el razonador cree k≡(~C&B~k). Pero sabemos que k≡(~C&B~k) es lógicamente equivalente a ~k≡~(~C&B~k), que a su vez es lógicamente equivalente a ~k≡(B~k⸧C). Por lo tanto el razonador cree ~k≡(B~k⸧C), o sea, cree una proposición de la forma p≡(Bp⸧C) —p es la proposición ~k— y según el Teorema I, si cree BC⸧C, creerá C.

Las soluciones de los problemas 2o y 3o también pueden obtenerse como corolarios de los Teoremas II y III, respectivamente. Dejamos la verificación en manos del lector.

Ejercicio 5. Supongamos que un nativo le dice a un razonador de tipo 4: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces será inconsistente”. ¿Le resulta posible al razonador creer en su propia consistencia sin volverse inconsistente? (Pista: Usar el Teorema II.)

Ejercicio 6. Supongamos que un razonador de tipo 4 cree que si cree que la cura servirá, entonces servirá. Supongamos que ahora tenemos un nativo que le dice: “Si llega a creer que creerá que soy un caballero, entonces la cura servirá”.

¿Creerá necesariamente el razonador que la cura servirá?

Ejercicio 7. Supongamos que el nativo dice en cambio: “Usted creerá que si llega a creer que soy un caballero, entonces la cura servirá”.

¿Creerá necesariamente el razonador que la cura servirá?

Ejercicio 8. El siguiente diálogo ocurre entre un alumno y su profesor de teología.

Alumno: —Si creo que Dios existe, entonces ¿creeré también que seré redimido?

Profesor: —Si eso es verdad, entonces Dios existe.

Alumno: —Si creo que Dios existe, entonces ¿seré redimido?

Profesor: —Si Dios existe, entonces eso es verdad.

Demostrar que si el profesor es correcto y si el alumno le cree al profesor, entonces Dios debe existir y el alumno será redimido.

Ejercicio 9. La siguiente versión más fuerte del Teorema III puede demostrarse. Un razonador de tipo 4 llega a la isla para someterse a la cura y tiene la creencia previa de que si llegara a creer que la cura servirá, entonces así será. Le pregunta a un nativo: “¿Llegaré a creer que si usted es un caballero, entonces la cura servirá?” El nativo responde: “Si eso no es así, entonces la cura servirá”. (Alternativamente, podría haber respondido: “O eso es así, o la cura servirá”.) El problema es demostrar que el razonador creerá que la cura servirá. (Dicho en forma más abstracta, si un razonador de tipo 4 cree k≡(C˅B(k⸧C)), y cree BC⸧C, entonces creerá C.) La demostración de este ejercicio se facilita demostrando primeramente los dos hechos siguientes como lemas:

1) Dadas proposiciones cualesquiera p y q, supongamos que un nativo le dice a un razonador de tipo 4: “O p es verdadera o usted creerá q”. Entonces el razonador creerá: “Si el nativo es un caballero entonces creeré que o p es verdadera o el nativo es un caballero”.

2) Dadas proposiciones cualesquiera p y q, supongamos que un nativo le dice a un razonador de tipo 4: “O p es verdadera o si no usted creerá que si soy un caballero, entonces q es verdadera”. Entonces el razonador creerá: “Si el nativo es un caballero, entonces o p es verdadera o yo creeré que q es verdadera”.

Ejercicio 10. El último ejercicio tiene el siguiente dual. De nuevo un razonador de tipo 4 cree que si creyera que la cura servirá, entonces servirá. Ahora se encuentra con un nativo que le dice: “La cura no sirve y usted nunca creerá que o yo soy un caballero o que la cura sirve”. Demostrar que el razonador creerá que la cura servirá.

16. El diamante del Raja

Los que hayan leído el magnífico relato “El diamante del Rajá” de Robert Louis Stevenson, recordarán que al final el diamante fue arrojado al Támesis. Sin embargo, una investigación reciente ha revelado que el diamante fue encontrado posteriormente por un habitante de la Isla de los Caballeros y los Bribones que estaba de vacaciones en Inglaterra en esa época. Existe el rumor de que luego se llevó el diamante a París y murió poco tiempo después. Según otro rumor, se llevó el diamante a su casa. Si la segunda versión es correcta, entonces el diamante está en alguna parte en la isla de caballeros y bribones.

Un razonador de tipo 4 decidió seguir el segundo rumor con la esperanza de encontrar el diamante. Llegó a la isla y creyó las reglas de la isla. Además, las reglas de la isla eran realmente válidas. Existen cinco versiones diferentes de lo que verdaderamente ocurrió: todas son interesantes, y por lo tanto voy a contárselas todas.

1. La primera versión

Según la primera versión, cuando el razonador llegó a la isla, se encontró con un nativo que formuló los dos enunciados siguientes:

1) “Si llega a creer que soy un caballero, entonces creerá que el diamante está en esta isla”.

2) “Si llega a creer que soy un caballero, entonces el diamante está en esta isla”.

Si esta versión es la correcta, ¿está el diamante en la isla?

2. La segunda versión

Según la segunda versión, algo diferente, el nativo, en vez de formular los dos enunciados que acabamos de citar, formuló los dos enunciados siguientes:

1) “Si soy un bribón y usted llega a creer que soy un caballero, entonces creerá que el diamante está en esta isla”.

2) “Realmente soy un caballero y, si llega a creerlo, entonces el diamante está en esta isla”.

Si esta segunda versión es correcta, ¿existe evidencia suficiente para llegar a la conclusión de que el diamante debe estar en la isla?

3. La tercera versión

La tercera versión es particularmente curiosa. Según ella, el nativo formuló los dos enunciados siguientes:

1) “Si llega a creer que soy un caballero, entonces el diamante no está en esta isla.”

2) “Si llega a creer que el diamante está en esta isla, entonces usted se volverá inconsistente.”

Si esta tercera versión es correcta, ¿qué conclusión puede sacarse?

4. La cuarta versión

Según la cuarta versión, el nativo sólo formuló un enunciado:

1) “Si llega a creer que soy un caballero, entonces creerá que el diamante está en esta isla.”

El razonador, por supuesto, no pudo lograr nada. Luego analizó todo el asunto con el sabio de la isla, que se sabía era un caballero de total integridad. El sabio formuló el siguiente enunciado:

“Si el nativo con el que habló es un caballero y si llega a creer que el diamante está en esta isla, entonces el diamante está en esta isla.”

Si esta cuarta versión es correcta, ¿qué conclusión se puede sacar?

5. La quinta versión

Esta es como la versión anterior, excepto que el nativo dijo:

1) “Creerá que si soy un caballero, entonces el diamante está en esta isla.”

El sabio formuló el mismo enunciado.

Suponiendo que estas cinco versiones sean igualmente probables, ¿cuál es la probabilidad de que el diamante del Rajá esté en la Isla de los Caballeros y los Bribones?

Comentario. El contenido matemático de los últimos dos problemas constituye una versión más fuerte de los Teoremas II y III del último capítulo. Véase el análisis que sigue a las soluciones.

SOLUCIONES

Sea k la proposición que el nativo es un caballero. Sea D la proposición que el diamante está en la isla.

1. Dado que el nativo formuló los dos enunciados que formuló, entonces el razonador creerá las siguientes dos proposiciones:

1) k≡(Bk⸧BD)

2) k≡(Bk⸧D)

Y por lo tanto el razonador ciertamente creerá las siguientes dos proposiciones más débiles:

1)’ (Bk⸧BD)⸧k

2)’ k⸧(Bk⸧D)

Como veremos, aunque el razonador crea sólo 1)’ y 2)’ ya es suficiente para resolver el problema.

Dado que cree 2)’, entonces según el Lema 1 del último capítulo, creerá Bk⸧BD. Al creer eso y creer 1)’, entonces creerá k. Al creer k y creer 2)’, entonces creerá Bk⸧D. Además, dado que cree k, creerá Bk, y en consecuencia creerá D. Por lo tanto BD es verdadera. En consecuencia Bk⸧BD es verdadera, y dado que 1) es verdadera (las reglas de la isla son realmente válidas), entonces k es verdadera (el nativo realmente es un caballero). Entonces, dado que 2) es verdadera, la proposición Bk⸧D es verdadera. Además Bk es verdadera (hemos visto que el razonador creerá k) y en consecuencia D es verdadera. Por lo tanto el diamante está en la isla.

2. Según esta versión, no se sigue a partir de los dos enunciados del nativo que el razonador creerá las proposiciones 1) y 2) de la solución del último problema, pero sí se sigue que creerá las proposiciones más débiles 1)’ y 2)’ (véase la nota más abajo). Pero, como hemos visto en la solución del último problema, esto basta para garantizar que el diamante está en la isla.

Nota: Si un nativo de una isla de caballeros y bribones dice: “Si soy un bribón, entonces X”, se sigue lógicamente que si X es verdadera, el nativo debe ser un caballero (porque si X es verdadera, luego toda proposición implica X; en consecuencia es verdad que si el nativo es un bribón, entonces X, pero un bribón no podría formular tal enunciado verdadero). Este es el motivo por el cual el razonador (que cree las reglas de la isla) creerá 1)’. Con respecto a 2)’, es evidente que si el nativo dice: “Soy un caballero y X”, se sigue que si el nativo es un caballero, entonces X debe ser verdadera.

3. Paso 1. El razonador cree k≡(Bk⸧~D), en virtud del primer enunciado del nativo. Entonces según el Lema 1 del capítulo anterior, el razonador creerá Bk⸧B~D. Y por lo tanto el razonador razona: “Si llego a creer que es un caballero, entonces creeré que el diamante no está en la isla. Si además llego a creer que el diamante está en la isla, entonces seré inconsistente. Por lo tanto, si llego a creer que es un caballero, entonces su segundo enunciado es verdadero. Y, por supuesto, si su segundo enunciado es verdadero, entonces es un caballero. Esto demuestra que si llego a creer que es un caballero, entonces efectivamente es un caballero”.

Paso 2. El razonador continúa: “Por lo tanto supongamos que creo que es un caballero. Entonces realmente es un caballero, como acabo de demostrar; y así su primer enunciado Bk⸧~D es verdadero. Además, si creo que es un caballero, entonces Bk es verdadera, y de este modo ~D es verdadera. Por lo tanto, si creo que es un caballero, entonces el diamante no está en la isla. Él dijo eso precisamente en su primer enunciado, y por lo tanto es un caballero”.

Paso 3- El razonador continúa: “Ahora creo que es un caballero y ya he demostrado que Bk⸧~D; en consecuencia ~D es verdadera: el diamante no está en la isla”.

Paso 4. El razonador ahora cree que el diamante no está en la isla. Por lo tanto, si llega a creer que el diamante está en la isla, será inconsistente. Esto demuestra que el segundo enunciado del nativo era verdadero y por lo tanto que el nativo es en realidad un caballero. Y en consecuencia el primer enunciado del nativo también era verdadero: Bk⸧~D es verdadera. Pero Bk es verdadera (como hemos demostrado), y en consecuencia ~D es verdadera. Por lo tanto el diamante no está en la isla.

4. Paso 1. El nativo afirmó Bk⸧BD, y por lo tanto el razonador cree k≡(Bk⸧BD). Entonces por el Lema 1 del capítulo anterior (reemplazando BD por p), el razonador creerá Bk⸧BBD, y por lo tanto el razonador razona: “Supongamos que llego a creer que el nativo es un caballero. Entonces creeré BD. Entonces creeré k y creeré BD, en consecuencia creeré k&BD. También creo el enunciado del sabio (k&BD)⸧D, en consecuencia si llego a creer k&BD, entonces creeré D. Por lo tanto, si llego a creer k, también creeré D: Bk⸧BD es verdadera. Esto es lo que dijo el nativo, en consecuencia es un caballero”.

Paso2. El razonador continúa: “Ahora creo k: Bk es verdadera. Además Bk⸧BD es verdadera (como he demostrado), en consecuencia BD es verdadera (creeré que el diamante está en la isla). Por lo tanto k es verdadera y BD es verdadera; en consecuencia k&BD es verdadera. Entonces, según el enunciado del sabio, D debe ser verdadera: el diamante está en esta isla”.

Paso 3. Ahora el razonador cree D; por lo tanto BD es verdadera. Entonces Bk⸧BD indudablemente es verdadera; en consecuencia el nativo es realmente un caballero. Por lo tanto k y BD son ambas verdaderas; en consecuencia k&BD es verdadera. Entonces, según el enunciado del sabio, D debe ser verdadera: el diamante está en la isla.

5. La solución de este problema es un poco más simple que la solución del problema 4.

Paso 1. Dado que el nativo dijo lo que dijo, entonces según el Lema 3 del capítulo anterior, el razonador creerá k⸧BD. En consecuencia creerá k⸧(k&BD). Dado que también cree el enunciado del sabio (k&BD)⸧D, entonces creerá k⸧D. Dado que el nativo dijo que creerá k⸧D, entonces el razonador creerá que el nativo es un caballero: creerá k. Y como creerá k⸧D, entonces creerá D.

Paso 2. Dado que el razonador creerá k⸧D, entonces el nativo realmente es un caballero. En consecuencia k es verdadera y también BD es verdadera (como hemos demostrado). Así k&BD es verdadera y dado que (k&BD)⸧D es verdadera, entonces D es verdadera. Por lo tanto nuevamente el diamante está en la isla.

Ahora sabemos que la posibilidad de que el diamante esté en la isla es del 80%, dado que está en la isla en cuatro de las cinco versiones igualmente probables. Esta probabilidad debería ser bastante alta para interesar al lector emprendedor que desee buscarlo.

Análisis. El contenido matemático esencial del problema 4 es que para proposiciones cualesquiera k y p, si un razonador de tipo 4 cree k≡(Bk⸧Bp) y cree (k&Bp)⸧p, entonces creerá p. Esta es una versión fuerte del Teorema II del capítulo anterior, porque si un razonador de tipo 4 cree Bp⸧p, indudablemente creerá (k&Bp)⸧p, y por lo tanto la hipótesis actual es más débil que la del Teorema II, capítulo 15 (y hemos sacado la misma conclusión a partir de un supuesto más débil).

Del mismo modo, el contenido matemático esencial del problema 5 es que si un razonador de tipo 4 cree k≡B(k⸧p) y (k&Bp)⸧p, entonces creerá p. Esto es más fuerte que el Teorema III del último capítulo por las mismas razones.

Curiosamente, el Teorema I del último capítulo no parece tener una versión fuerte. Si un razonador de tipo 4 cree k≡(Bk⸧p) y (k&Bp)⸧p, aparentemente no hay ninguna razón para sacar la conclusión de que creerá p.

17. La isla de Löb

En alguna parte de las vastas extensiones del océano hay una isla de caballeros y bribones particularmente interesante a la que voy a llamar la Isla de Löb. Dada cualquier persona que visita la isla, y dada cualquier proposición p, hay por lo menos un nativo de la isla que le dice al visitante: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces p es verdadera”

En los problemas de este capítulo, un razonador de tipo 4 visita la isla. Es un dato que las reglas de la isla son válidas (los caballeros dicen la verdad, los bribones mienten, y todo nativo es un caballero o un bribón) y que el razonador cree las reglas de la isla.

EL PROBLEMA DE HENKIN

Supongamos que un nativo de la Isla de Löb le dice a un razonador: “Creerá que soy un caballero”. A primera vista parece que no hay forma de saber si el nativo es un caballero o un bribón; parecería que quizás el razonador creerá que el nativo es un caballero (en cuyo caso el nativo formuló un enunciado verdadero, y por lo tanto es un caballero), o que quizás el razonador nunca creerá que el nativo es un caballero (en cuyo caso el nativo formuló un enunciado falso y en consecuencia es un bribón). ¿Hay alguna forma de decidir entre estas dos alternativas?

Este problema deriva de un famoso problema planteado por León Henkin y resuelto por M. H. Löb. Lo sorprendente es que es posible decidir si el nativo es un caballero o un bribón.

1

Con las condiciones dadas, ¿es el nativo un caballero o un bribón? (Las soluciones se dan después del Problema 3.)

2

Supongamos que un nativo de la Isla de Löb le dice a un razonador de tipo 4: “Nunca creerá que soy un bribón”. Suponiendo que las reglas de la isla son válidas (y que el razonador las cree), ¿es el nativo un caballero o un bribón?

3

Si un razonador de tipo 4 visita la Isla de Löb (y cree las reglas de la isla), ¿le resulta posible ser consistente y creer que es consistente?

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 1, 2 y 3

1. La solución es un poco intrincada. Sea P1 nativo que dijo: “Creerá que soy un caballero”. Sea k1 la proposición que P1 es un caballero. Dado que el razonador cree las reglas de la isla y P1 dijo lo que dijo, entonces el razonador creerá la proposición k1≡Bk1. A partir solamente de este hecho, no es posible determinar si k1 es verdadera o falsa, pero esta isla es la Isla de Lob, en consecuencia hay un nativo P2 que le dirá al razonador: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces P, es un caballero”. (Recordemos que para cualquier proposición p, hay algún nativo que le dice al razonador: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces p”.) Sea k2 la proposición que P2 es un caballero. Dado que P2 afirmó la proposición Bk2⸧k1, entonces el razonador creerá la proposición k2≡(Bk2⸧k1). También cree Bk1≡k1; en consecuencia cree Bk1⸧k1, y por lo tanto cree Bk1⸧k1 y k2≡(Bk2⸧k1). Entonces según el Teorema I, capítulo 15 (interpretando “k2” por “k” y “k1” por “C”) creerá k1. Dado que P, dijo que el razonador creería k1, entonces P1 es un caballero. Y por lo tanto P1 es un caballero y el razonador creerá que P1 es un caballero.

Nota: Podríamos decir que aun sin el supuesto de que las reglas de la isla son realmente válidas, todavía podemos llegar a la conclusión de que el razonador creerá que P1 es un caballero.

2. Para evitar la repetición de argumentos similares, decimos de ahora en adelante que si un razonador de tipo 4 visita la Isla de Löb, entonces para toda proposición p, si cree la proposición Bp⸧p, creerá p. (Razón: Dado que esta isla es la Isla de Lob, algún nativo le dirá: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces p”. En consecuencia el razonador creerá k≡(Bk⸧p) donde k es la proposición que el nativo es un caballero. Entonces dado que cree Bp⸧p, creerá p, según el Teorema I, capítulo 15.)

En cuanto al problema que tenemos entre manos: El nativo le ha dicho al razonador “Nunca creerá que soy un bribón”. Entonces el razonador cree k≡~B~k (k es la proposición que el nativo es un caballero). En consecuencia creerá la proposición lógicamente equivalente ~k≡B~k; y así creerá B~k⸧~k. Por lo tanto creerá Bp⸧p, donde p es la proposición ~k. Entonces, según las observaciones del último párrafo, creerá p —es decir, creerá ~k—. Y por lo tanto el razonador creerá que el nativo es un bribón. Dado que el nativo dijo que el razonador no creería que el nativo es un bribón, entonces el nativo es un bribón en realidad.

3. Supongamos que un razonador de tipo 4 visita la Isla de Lob. Entonces para cualquier proposición p, hay algún nativo que le dirá: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces p”. En especial, esto es verdad si reemplazamos p por la proposición ♂ (que, recordemos, representa la falsedad lógica). Por lo tanto hay un nativo que le dice al razonador: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces ♂”. De este modo el razonador cree la proposición k≡(Bk⸧♂). Ahora bien, Bk⸧♂ es lógicamente equivalente a ~Bk; en consecuencia k≡(Bk⸧♂) es lógicamente equivalente a k≡~Bk, por lo tanto el razonador cree k≡~Bk. Entonces, según el Teorema I, capítulo 12, no puede creer en su propia consistencia sin volverse inconsistente.

REFLEXIVIDAD

Razonadores reflexivos. Decimos que un razonador es reflexivo si para toda proposición q, hay por lo menos una proposición p tal que el razonador creerá p≡(Bp⸧q).

Todo razonador que visite la Isla de Löb (y crea las reglas de la isla) se convertirá automáticamente en un razonador reflexivo, dado que para toda proposición q, hay por lo menos un nativo que dirá: “Si llega a creer que soy un caballero, entonces q es verdadera”, y por lo tanto el razonador creerá k≡(Bk⸧q), donde k es la proposición que el nativo es un caballero. Sin embargo, un razonador que nunca ha visitado la Isla de Löb podría ser un razonador reflexivo por motivos totalmente diferentes (algunos de los cuales consideraremos en el capítulo 25).

Observemos que si un razonador reflexivo de tipo 4 visita una isla de caballeros y bribones común (no tiene que ser la Isla de Löb) y se encuentra con un nativo que le dice: “Creerá que soy un caballero”, entonces el razonador creerá que el nativo es un caballero. (No necesita que un segundo nativo le diga: “Si soy un caballero, entonces también lo es el primer nativo”.) Además, si un razonador reflexivo de tipo 4 va a una isla de caballeros y bribones común y un nativo le dice: “Nunca creerá que soy un bribón”, el razonador creerá que el nativo es un bribón (como en el problema 2).

Además, ningún razonador reflexivo consistente de tipo 4 puede creer que es consistente.

Y una cosa más: Supongamos que un razonador reflexivo de tipo 4 piensa visitar la isla de caballeros y bribones con los baños de azufre y las aguas minerales, y su médico de cabecera, en quien confía, le dice: “Si cree que la cura servirá, entonces así será”. Entonces sin más discusión, el razonador creerá que la cura servirá (no tiene que ir primero a la isla y encontrarse con un nativo que le diga: “Si cree que soy un caballero, entonces la cura servirá”).

Todos estos hechos son casos especiales del siguiente teorema (que surge del Teorema I del capítulo 15).

Teorema A (según Löb). Para toda proposición q, si un razonador reflexivo de tipo 4 cree Bq⸧q, creerá q.

Sistemas reflexivos. Ahora consideremos el tipo de sistemas matemáticos descritos en el capítulo 13. Recordemos que para todo sistema S, para toda proposición p expresable en el sistema, la proposición Bp (p es demostrable en S) también es expresable en el sistema. (Recordemos que para los sistemas, “B” significa “demostrable”.) Cuando nos manejamos con un solo sistema S, la palabra “proposición” se entenderá que significa “proposición expresable en S”.

Ahora decimos que S es reflexivo si para toda proposición q (expresable en S), hay por lo menos una proposición p (expresable en S) tal que la proposición p≡(Bp⸧q) es demostrable en S. El Teorema A ya citado evidentemente es válido para los sistemas así como para los razonadores: Dado todo sistema reflexivo S y toda proposición expresable q, si Bq⸧q es demostrable en S, también lo es q. Este es el Teorema de Löb.

Diremos que S es un sistema de Löb si para toda proposición p, si Bp⸧p es demostrable en el sistema, también lo es p. Ahora hemos establecido el Teorema de Lob.

Teorema L (Teorema de Löb). Todo sistema reflexivo de tipo 4 es de Löb: es decir, para todo sistema reflexivo de tipo 4, si Bp⸧p es demostrable en S, también lo es p.

Corolario. Para todo sistema reflexivo de tipo 4, si p≡Bp es demostrable en el sistema, también lo es p.

Análisis. Gödel demostró sus teoremas de incompletitud para varios sistemas, incluyendo el sistema de la Aritmética, que hemos mencionado brevemente. Todos esos sistemas son sistemas reflexivos de tipo 4, y esto es lo que permitió que los argumentos de Gödel funcionaran. Gödel construyó un enunciado g que afirmaba su propia no demostrabilidad en el sistema (el enunciado g≡~Bg es demostrable en el sistema).

Más adelante el lógico León Henkin construyó una oración h tal que h≡Bh es demostrable en el sistema, y planteó el problema de determinar si había alguna forma de saber si h era demostrable en el sistema o no. Puede considerarse que tal clase de oración h afirma: “Soy demostrable en el sistema”. (Se parece a un nativo que dice: Creerá que soy un caballero”.) A primera vista parecería igualmente posible que h sea verdadera y demostrable en el sistema, o falsa y no demostrable en el sistema. El problema siguió en discusión durante varios años, y finalmente fue resuelto por Löb. La respuesta está en el corolario ya citado: Si el sistema es reflexivo y de tipo 4, entonces la oración h de Henkin es demostrable en el sistema.

Sistemas reflexivos y gödelianos. Recordamos que un sistema se denomina gödeliano si hay cierta proposición p tal que p≡~Bp es demostrable en el sistema.

4

Todo sistema reflexivo de tipo 1 también es gödeliano. ¿Por qué? (Las soluciones se dan después del problema 5.)

Reflexividad fuerte. Decimos que un sistema S es fuertemente reflexivo si para toda proposición q, hay una proposición p tal que p≡B(p⸧q) es demostrable en S.

Las conexiones entre reflexividad y reflexividad fuerte se dan en el siguiente teorema.

Teorema R (Teorema de la reflexividad). Consta de dos partes:

a) Todo sistema fuertemente reflexivo de tipo 1 es reflexivo.

b) Todo sistema reflexivo de tipo 1* es fuertemente reflexivo.

5

Demostrar el Teorema R.

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS 4 Y 5

4. Supongamos que S es reflexivo y de tipo 1. Entonces para toda proposición q, hay cierta p tal que p≡(Bp⸧q) es demostrable en S. Reemplazamos q por la proposición ♂, y por lo tanto hay cierta p tal que p≡(Bp⸧♂) es demostrable en S. Pero Bp⸧♂ es lógicamente equivalente a ~Bp; en consecuencia p≡(Bp⸧♂) es lógicamente equivalente a p≡~Bp, y por lo tanto p≡~Bp es demostrable en S, y en consecuencia S es gödeliano. (En realidad, dado que estamos basando la lógica proposicional en ⸧ y ♂, la proposición ~Bp es la proposición Bp⸧♂, y por lo tanto ni siquiera es necesario suponer que S es de tipo 1.)

5. Supongamos que S es de tipo 1. Supongamos que q es cualquier proposición.

a) Supongamos que S es fuertemente reflexivo. Entonces hay una proposición p tal que p≡B(p⸧q) es demostrable en S. Dado que S es de tipo 1, se sigue que (p⸧q)≡(B(p⸧q)⸧q) es demostrable en S. [Para toda proposición X, Y, y Z, la proposición (X⸧Z)≡(Y⸧Z) es una consecuencia lógica de X≡Y. Reemplazando X por p, Y por B(p⸧q) y Z por q, la proposición (p⸧q)≡(B(p⸧q)⸧q) es una consecuencia lógica de p≡B(p⸧q).] Por lo tanto hay una proposición p’ —justamente p⸧q— tal que p≡(Bp’⸧q) es demostrable en S. En consecuencia S es reflexivo.

b) Supongamos también que S es regular (y en consecuencia de tipo 1*) y que S es reflexivo. Entonces hay una proposición p tal que p≡(Bp⸧q) es demostrable en S. Dado que S es regular, se sigue que Bp≡B(Bp⸧q) es demostrable; en consecuencia (Bp⸧q)≡(B(Bp⸧q)⸧q) es demostrable. Ahora tomamos como p’ la proposición Bp⸧q, y observamos que p’≡(Bp’⸧q) es demostrable. Como hay una proposición p’ tal que p’≡(Bp’⸧q) es demostrable en S, S es fuertemente reflexivo.

Comentario. Por supuesto, se sigue a partir del teorema anterior y del Teorema de Löb que todo sistema fuertemente reflexivo de tipo 4 es de Löb. Ya demostramos esto de otra forma en el Teorema III, capítulo 15.

Parte VII

EN AGUAS MAS PROFUNDAS

18. Razonadores de tipo G

RAZONADORES MODESTOS

Dijimos que un razonador es presumido si para toda proposición p, cree Bp⸧p. Ahora, si un razonador cree p, entonces no hay nada inmodesto en el hecho de que crea Bp⸧p. (En realidad, si cree p y es de tipo 1, también creerá q⸧p cualquiera que sea q, dado que q⸧p es una consecuencia lógica de p. En especial, creerá Bp⸧p.)

Ahora, decimos que un razonador es modesto si para toda proposición p, cree Bp⸧p sólo si cree p (en otras palabras, si cree Bp⸧p, entonces cree p). En analogía con los sistemas, también podríamos decir que un razonador modesto es un razonador löbiano.

El teorema de Löb postula que todo sistema reflexivo de tipo 4 es de Löb. Formulado en términos de razonadores, todo razonador reflexivo de tipo 4 es modesto.

Muchos de los resultados que pueden demostrarse para un razonador dado según el supuesto de que es un razonador reflexivo de tipo 4 pueden demostrarse en forma más rápida a partir del supuesto de que es un razonador modesto de tipo 4. Por ejemplo, supongamos que un razonador modesto de tipo 4 (o inclusive un razonador modesto de tipo 1) cree que es consistente. Entonces cree ~B♂. En consecuencia cree la proposición lógicamente equivalente B♂⸧♂. Entonces, al ser modesto, debe creer 1, lo que significa que es inconsistente. Y por lo tanto ningún razonador modesto —ni siquiera de tipo 1— puede creer consistentemente en su propia consistencia. (Esto, por supuesto, no quiere decir que sea necesariamente inconsistente; podría serlo pero si es consistente —y un razonador modesto de tipo 1— entonces no puede creer que es consistente.)

RAZONADORES DE TIPO G

Decimos que un razonador es modesto con respecto a una proposición dada p si es cierto que si cree Bp⸧p, entonces también cree p. Un razonador, entonces, es modesto si es modesto con respecto a toda proposición p. Ahora decimos que un razonador cree que es modesto con respecto a p si cree la proposición B(Bp⸧p)⸧Bp: cree que si llega a creer que su creencia en p implica p, entonces creerá p. Ahora decimos que un razonador cree que es modesto si para toda proposición p, cree que es modesto con respecto a p; en -otras palabras, para toda proposición p, cree B(Bp⸧p)⸧Bp.

Por un razonador de tipo G entenderemos un razonador de tipo 4 que cree que es modesto (para toda proposición p, cree que B(Bp⸧p):i>p). Por un sistema de tipo G entenderemos un sistema de tipo 4 tal que para toda proposición p, la proposición B(Bp3p)⸧p es demostrable en el sistema.

En los últimos años se ha hecho mucha investigación sobre los sistemas de tipo G. George Boolos ha dedicado un excelente libro{3} a ese tema, que recomendamos especialmente para leer a continuación de este volumen.

Varias preguntas sobre los razonadores de tipo G se presentan de inmediato. Si un razonador de tipo G cree que es modesto, ¿es necesariamente modesto? Más adelante demostraremos que la respuesta es sí; en realidad, veremos que todo razonador de tipo 1* que cree que es modesto debe ser modesto. Ahora, qué pasa con un razonador de tipo 4 que es modesto. ¿Cree necesariamente que es modesto? Vamos a demostrar que la respuesta es sí, y en consecuencia que todo razonador de tipo 4 es modesto si y sólo si cree que es modesto —en otras palabras— si y sólo si es de tipo G. Luego demostraremos un resultado sorprendente que descubrieron en forma independiente los lógicos Saul Kripke, D. H. J. de Jongh y Giovanni Sambin: que todo razonador de tipo 3 que cree que es modesto debe ser de tipo 4 (y en consecuencia de tipo G).

Otra pregunta: Sabemos que todo razonador reflexivo de tipo 4 es modesto (éste es el Teorema de Löb). ¿Es necesariamente reflexivo un razonador modesto de tipo 4? Es decir, dado un razonador modesto de tipo 4, ¿es necesariamente verdad que para toda proposición q, hay cierta proposición p tal que cree p≡(Bp⸧q)? No es difícil demostrar que la respuesta es sí; lo haremos en el próximo capítulo. Y por lo tanto al finalizar el próximo capítulo habremos demostrado que para todo razonador, las cuatro condiciones siguientes son equivalentes:

1) Es un razonador modesto de tipo 4.

2) Es de tipo G (es de tipo 4 y cree que es modesto).

3) Es de tipo 3 y cree que es modesto.

4) Es un razonador reflexivo de tipo 4.

MODESTIA Y CREENCIA EN LA PROPIA MODESTIA

Para cualquier proposición p, supongamos que Mp es la proposición B(Bp⸧p)⸧Bp. Por lo tanto Mp es la proposición que el razonador es modesto con respecto a p. Estamos a punto de demostrar que todo razonador de tipo 4 que cree que es modesto efectivamente es modesto. De modo más específico, demostraremos el resultado más fuerte que para toda proposición p, si cree que es modesto con respecto a p (sin creer necesariamente que es modesto con respecto a cualquier otra proposición), entonces realmente es modesto con respecto a p (en verdad esto es válido hasta para los razonadores de tipo 1). La recíproca de este hecho más fuerte no es necesariamente verdad: Si un razonador de tipo 4 es modesto con respecto a p, entonces no cree necesariamente que es modesto con respecto a p. Sin embargo, demostraremos que si un razonador de tipo 4 es modesto con respecto a la proposición Mp, entonces creerá que es modesto con respecto a p (en otras palabras, si es modesto con respecto a Mp, entonces creerá Mp). A partir de esto por supuesto se sigue que si un razonador de tipo 4 es modesto (con respecto a todas las proposiciones), entonces sabrá que es modesto.

1

¿Por qué es verdad que todo razonador de tipo 1 (y en consecuencia todo razonador de tipo 4) que cree que es modesto con respecto a p realmente debe ser modesto con respecto a p?

2

En virtud del último problema, dada cualquier proposición p, la proposición B(Mp)⸧Mp es verdadera para todo razonador de tipo 4. Demostrar que todo razonador de tipo 4 cree la proposición B(Mp)⸧Mp. (Sabe que si llega a creer que es modesto con respecto a p, entonces realmente es modesto con respecto a p.)

3

Utilizar el último problema para demostrar que todo razonador de tipo 4 que es modesto con respecto a Mp creerá que es modesto con respecto a p.

Por supuesto se sigue a partir del problema 1 que todo razonador de tipo 4 que cree que es modesto, realmente es modesto. Y se sigue a partir del problema 3 que si un razonador de tipo 4 es modesto (con respecto a toda proposición) entonces debe creer que es modesto (porque para toda proposición p, es modesto con respecto a Mp, en consecuencia según el problema 3, cree que es modesto con respecto a p). Por lo tanto hemos establecido el Teorema M.

Teorema M. Un razonador de tipo 4 es modesto si y sólo si cree que es modesto.

En virtud del Teorema M, un razonador es de tipo G si y sólo si es un

razonador modesto de tipo 4. Formulado en términos de sistemas en vez de razonadores, tenemos el Teorema M1.

Teorema M1. Para un sistema de tipo 4, las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1) Para toda proposición p, si Bp⸧p es demostrable en el sistema, también lo es p.

2) Para toda proposición p, la proposición B(Bp⸧p)⸧Bp es demostrable en el sistema.

Dicho en forma más breve, un sistema de tipo 4 es de Löb si y sólo si es de tipo G.

En el capítulo anterior demostramos que todo sistema reflexivo de tipo 4 es de Löb; éste es el Teorema de Löb. Combinando esto con el Teorema M1, tenemos el importante Teorema M2.

Teorema M2. Todo sistema reflexivo de tipo 4 es de tipo G.

En el próximo capítulo daremos otra demostración del Teorema M2.

EL TEOREMA DE KRIPKE, DE JONGH Y SAMBIN

Ahora queremos demostrar que todo razonador de tipo 3 que cree que es modesto también debe creer que es normal, y en consecuencia debe ser de tipo 4, y por lo tanto de tipo G.

En realidad demostraremos más. Decimos que un razonadores normal con respecto a una proposición p si el hecho de que crea p implica que también creerá Bp. Un razonador, entonces, es normal si y sólo si es normal con respecto a toda proposición p. Decimos que un razonador cree que es normal con respecto a p si cree la proposición Bp⸧BBp. (Por supuesto si el razonador es normal con respecto a p, entonces la proposición Bp⸧BBp es verdadera.) Decimos que un razonador cree que es normal si para toda proposición p, cree que es normal con respecto a p. Un razonador de tipo 4, entonces, es un razonador de tipo 3 que cree que es normal. El Teorema de Kripke, de Jongh y Sambin postula que todo razonador de tipo 3 que cree que es modesto también creerá que es normal (y en consecuencia será de tipo G). Vamos a demostrar el resultado más fuerte, que todo razonador de tipo 1* que cree que es modesto también creerá que es normal. Pero primero demostraremos el resultado más elemental de que todo razonador de tipo 1* que es modesto también es normal (este resultado puede ser nuevo). Luego demostraremos versiones más precisas de esos dos resultados.

Recordemos del capítulo 10 que usamos la notación Cp para (p&Bp), donde interpretamos Cp como “el razonador cree correctamente p”. Las proposiciones Cp⸧p, Cp⸧Bp, p⸧(Bp≡Cp) son, por supuesto, todas tautologías. Primero necesitamos el siguiente lema:

Lema 1. Todo razonador de tipo 1* cree las siguientes proposiciones:

a) BCp⸧BBp

b) p⸧CBCp⸧Cp)

4

¿Por qué es verdadero el Lema 1?

5

Demostrar que todo razonador modesto de tipo 1* debe ser normal. De modo más específico (y ésta es una pista), demostrar que para toda proposición p, si un razonador de tipo 1* es modesto con respecto a Cp, entonces debe ser normal con respecto a p.

6

Demostrar que todo razonador de tipo 1* que cree que es modesto también debe creer que es normal. De modo más específico, demostrar que para toda proposición p, si un razonador de tipo 1* cree que es modesto con respecto a Cp, entonces creerá que es normal con respecto a p.

Ya que todo razonador de tipo 3 también es de tipo 1* (como demostramos en el capítulo 11), ahora hemos demostrado el Teorema M3.

Teorema M3 (Kripke, de Jongh, Sambin). Todo razonador de tipo 3 que cree que es modesto es de tipo G.

Formulado para sistemas en vez de razonadores, el Teorema M3 postula que para todo sistema de tipo 3, si todas las proposiciones de la forma B(Bp⸧p)⸧Bp son demostrables en el sistema, entonces todas las proposiciones de la forma Bp⸧BBp son demostrables en el sistema, y en consecuencia el sistema debe ser de tipo G.

Los dos ejercicios siguientes proporcionan algunas curiosas formas alternativas de caracterizar a los razonadores de tipo G.

Ejercicio 1. Demostrar que para todo razonador de tipo 4, las dos condiciones siguientes son equivalentes.

a) El razonador es de tipo G.

b) Para proposiciones cualesquiera p y q, el razonador cree B(q⸧p)⸧(B(Bp⸧q)⸧Bp).

Ejercicio 2. Demostrar que para todo razonador de tipo 4, las dos condiciones siguientes son equivalentes.

a) Es de tipo G.

b) Para proposiciones cualesquiera p y q, si cree (Bp&Bq)⸧p, entonces creerá Bq⸧p.

SOLUCIONES

1. Por hipótesis, el razonador cree Mp: la proposición B(Bp⸧p)⸧Bp. Tenemos que demostrar que es modesto con respecto a p, es decir que si cree Bp⸧p, entonces cree p. Por lo tanto suponemos que cree Bp, y tenemos que demostrar que cree (o creerá) p.

Dado que cree Bp⸧p (por hipótesis), cree B(Bp⸧p) (ya que es normal). Además, cree B(Bp⸧p)⸧Bp (por hipótesis). Entonces, al ser de tipo 1, cree, o creerá, Bp. También cree Bp⸧p. En consecuencia cree o creerá p.

2. Esencialmente esto sigue del problema 1 y del hecho de que un razonador de tipo 4 “sabe” que es de tipo 4; en consecuencia sabe cómo puede razonar. Más detalladamente, el razonador razona así:

“Supongamos que llego a creer Mp, es decir, supongamos que llego a creer B(Bp⸧p)⸧Bp. Tengo que demostrar que soy modesto con respecto a p, es decir, que si llego a creer Bp⸧p, entonces creeré p. Por lo tanto supongamos que creo Bp⸧p; falta demostrar que creeré p.

“Y así voy a suponer que creeré B(Bp⸧p)⸧Bp y que creeré Bp⸧p. Entonces debo demostrar que creeré p. Bueno, dado que creeré Bp⸧p (según mi segundo supuesto), entonces creeré B(Bp≡)p). Dado que también creo B(Bp3p)⸧Bp (según mi primer supuesto), entonces creeré Bp. Una vez que crea Bp y Bp⸧p, entonces creeré p”.

En este punto el razonador ha inferido Bp a partir de los dos supuestos B(Mp) y B(Bp⸧p), creerá (B(Mp)&B(Bp⸧p))⸧Bp, y la proposición lógicamente equivalente B(Mp)⸧(B(Bp⸧p)⸧Bp), que es la proposición B(Mp)⸧Mp.

3. Si un razonador cree B(Mp)⸧Mp y es modesto con respecto a Mp, entonces por supuesto creerá Mp (porque para toda proposición q, si cree Bq⸧q y es modesto con respecto a q, creerá q y así ocurre si q es la proposición Mp). Ahora un razonador de tipo 4 sí cree B(Mp)⸧Mp (como demostramos en el último problema), y por lo tanto si es modesto con respecto a Mp, creerá Mp (lo que significa que creerá que es modesto con respecto a p).

4. Se supone que el razonador es de tipo 1*.

a) Dado que es de tipo 1, cree la tautología Cp⸧Bp. Al ser regular, entonces creerá BCp⸧BBp.

b) Dado que es de tipo 1, cree la tautología Cp⸧p. Al ser regular, entonces cree BCp⸧Bp. Por ser de tipo 1 cree (p&BCp)⸧(p&Bp), que es una consecuencia lógica de la última proposición. Por lo tanto cree (p&BCp)⸧Cp (porque Cp es la proposición p&Bp) y entonces creerá la proposición lógicamente equivalente p⸧(BCp⸧Cp).

5. Supongamos que un razonador de tipo 1* es modesto con respecto a Cp. Tenemos que demostrar que entonces es normal con respecto a p.

Supongamos que cree p. También cree p⸧(BCp⸧Cp), según b) del Lema 1, y así creerá BCp⸧Cp. Al creer esto y ser modesto con respecto a Cp, creerá Cp. También cree la tautología Cp⸧Bp y, dado que cree Cp, creerá Bp.

Esto demuestra que si cree p, creerá Bp; en consecuencia es normal con respecto a p.

6. Supongamos que un razonador de tipo 1* cree que es modesto con respecto a Cp. Según b) del Lema 1, cree p⸧(BCp⸧Cp). Dado que es regular, entonces cree Bp⸧B(BCp⸧Cp). Pero también cree B(BCp⸧Cp)⸧BCp, dado que cree que es modesto con respecto a Cp. Al creer estas dos últimas proposiciones, creerá Bp⸧BCp. También cree BCp⸧BBp, según a) del Lema 1, y por lo tanto creerá Bp⸧BBp: creerá que es normal con respecto a p.

Solución del ejercicio 1. a) Un razonador de tipo G razonará: “Supongamos que B(q⸧p) y B(Bp⸧q). Esto significa que creeré q⸧p y creeré Bp⸧q; en consecuencia creeré Bp⸧p, y dado que soy modesto, creeré p. Por lo tanto (B(q⸧p)&B(Bp⸧q))⸧Bp, o, lo que es lógicamente equivalente, B(q⸧p)⸧(B(Bp⸧q)⸧Bp)”.

b) Supongamos que para proposiciones cualesquiera p y q, un razonador de tipo 4 cree B(q⸧p)⸧(B(Bp⸧q)⸧Bp). Entonces esto también es verdadero si q y p son la misma proposición, y por lo tanto cree B(p⸧q)⸧(B(Bp⸧p)⸧p). También cree B(p⸧p) —porque cree la tautología p⸧p, y al ser normal, cree entonces B(p⸧q)— y en consecuencia cree B(Bp⸧p)⸧Bp. Por lo tanto el razonador es de tipo G.

Solución del ejercicio 2. a) Supongamos que un razonador de tipo 4 cree (Bp&Bq)⸧p. Entonces razonará: “(Bp&Bq)⸧p. Entonces creo Bq⸧(Bp⸧p). Ahora, supongamos que Bq. Entonces creeré Bq, y como creo Bq⸧(Bp⸧p), creeré Bp⸧p. Y por lo tanto Bq⸧B(Bp⸧p). Además B(Bp⸧p)⸧Bp, y así Bq⸧Bp. Por lo tanto Bq⸧(Bp&Bq). Y dado que (Bp&Bq)⸧p, entonces Bq≡)p.

b) Supongamos que un razonador de tipo 4 es tal que para proposiciones cualesquiera p y q, si cree (Bp&Bq)⸧p, entonces cree Bq⸧p. Demostraremos que es modesto (y en consecuencia de tipo G).

Supongamos que cree Bp⸧p. Entonces para toda proposición q, indudablemente cree (Bp&Bq)⸧p. En consecuencia, para toda proposición q, cree Bq⸧p. Bueno, tomemos cualquier proposición q tal que crea q (por ejemplo, consideremos q≡T). Entonces cree Bq, y al creer Bq⸧p, creerá p.

19. Modestia, reflexividad y estabilidad

ALGO MAS SOBRE RAZONADORES DE TIPO G

1

Pasa algo muy interesante con un razonador consistente de tipo G, o inclusive un razonador modesto consistente de tipo 1*, a saber: que no hay ninguna proposición p tal que pueda creer que no cree p. (No puede creer ~Bp.) ¿Por qué?

2

De aquí se sigue que si un razonador de tipo G cree que no cree p, entonces será inconsistente (aun cuando pueda ser verdad que no crea p). Por lo tanto para todo razonador de tipo G, la proposición B~Bp⸧B♂ es verdadera.

Demostrar que para todo razonador de tipo G y toda proposición p, la proposición B~Bp⸧B♂ no sólo es verdadera, sino que el razonador sabe que es verdadera.

3

Este problema es una versión más precisa de un teorema anterior. Recordemos la forma en que demostramos que todo razonador reflexivo de tipo 4 es de tipo G. Lo hicimos en dos etapas: Primero demostramos que todo razonamiento reflexivo de tipo 4 es de Löb (Teorema de Löb), y luego demostramos que todo razonador de Löb de tipo 4 es de tipo G.

Ahora, consideremos un razonador de tipo 4 que no es necesariamente reflexivo. Podría ser que para alguna proposición q, haya una proposición p tal que el razonador crea p≡(Bp⸧q), Y para alguna otra proposición q, no haya tal proposición p. Lo que sabemos es esto: Si, para una q dada, hay cierta p tal que el razonador cree p≡(Bp⸧q), entonces si el razonador cree Bq⸧q, también creerá q (según el Teorema I, capítulo 15), y en consecuencia la proposición B(Bq⸧q)⸧Bq es verdadera. ¿Pero eso significa que el razonador sabe necesariamente que es verdadera? La respuesta es la solución de este problema:

Demostrar que para proposiciones cualesquiera p y q, si un razonador de tipo 4 cree p≡(Bp⸧q), entonces cree B(Bq⸧q)⸧Bq.

Análisis. Por supuesto, la solución del problema 3 da una demostración alternativa de que todo razonador reflexivo de tipo 4 debe ser de tipo G. Ahora voy a referirme a algo más que vale la pena observar.

En virtud del problema 3, dadas p y q cualesquiera, la proposición B(p≡(Bp⸧q))⸧(B(Bq⸧q)⸧Bq) es verdadera para todo razonador de tipo 4. Puede demostrarse que todo razonador de tipo 4 sabe que la citada proposición es verdadera. El lector podría tratar de hacerlo como ejercicio.

ALGUNOS PRINCIPIOS DE PUNTO FIJO{4}

Ya hemos visto dos demostraciones diferentes de que todo razonador reflexivo de tipo 4 es de tipo G. Enseguida demostraremos que todo razonador de tipo G es reflexivo: para toda q, hay cierta p tal que cree p≡(Bp⸧q). Pero primero veamos algunos problemas preliminares.

4

Ya les he advertido sobre los peligros de creer cualquier proposición de la forma p≡~Bp. Sin embargo, si llegan a ser razonadores de tipo G, entonces me temo que no tienen alternativa.

Dado un razonador de tipo G, encontrar una proposición p tal que deba creer p≡~Bp.

5

También es cierto que dado cualquier razonador de tipo G, hay una proposición p tal que cree p≡B~p. Demostrarlo.

6

Dada una proposición q, encontrar una proposición p (expresable en términos de q) tal que todo razonador de tipo G creerá p≡B(p⸧q).

7

Hacer lo mismo con Bp⸧q: es decir, encontrar una proposición p tal que todo razonador de tipo G creerá p≡(Bp⸧q).

Nota: El resultado del último problema es que todo razonador de tipo G es reflexivo. Ya hemos demostrado que todo razonador reflexivo de tipo 4 es de tipo G, y por lo tanto ahora tenemos el Teorema L*.

Teorema L*. Un razonador de tipo 4 es de tipo G si y sólo si es reflexivo.

ALGUNAS OTRAS PROPIEDADES DE PUNTO FIJO

8

Dado un razonador de tipo G y proposiciones cualesquiera p y q, demostrar que si el razonador cree p≡B(p⸧q), entonces creerá p≡Bq.

9

Demostrar que si un razonador de tipo G cree p≡(Bp⸧q), entonces creerá p≡(Bq⸧q).

10

Un razonador de tipo G va a una isla de caballeros y bribones (y cree las reglas de la isla), y le pregunta a un nativo si es casado. El nativo responde: “Creerá que o soy un caballero o soy casado”.

¿Creerá necesariamente el razonador que el nativo es casado? ¿Creerá necesariamente que es un caballero?

ESTABILIDAD

Como preparación para el próximo capítulo, introduciremos ahora el concepto de estabilidad.

Decimos que un razonador es estable si para toda proposición p, si cree que cree p, entonces efectivamente cree p. Decimos que un razonador es inestable si no es estable, es decir, si por lo menos hay una proposición p tal que el razonador cree que cree p, pero en realidad no cree p. Por supuesto todo razonador siempre correcto es automáticamente estable, pero la estabilidad es una condición mucho más débil que la de ser siempre correcto. Un razonador inestable es incorrecto en una forma muy extraña; en realidad, la inestabilidad es una característica psicológica tan extraña como la peculiaridad.

Observemos que la estabilidad es la recíproca de la normalidad. Si un razonador normal cree p, entonces cree Bp, mientras que si un razonador estable cree Bp, entonces cree p.

Vamos a usar los términos estable e inestable para sistemas matemáticos así como para razonadores. Decimos que un sistema matemático S es estable si para toda proposición p, si Bp es demostrable en S, entonces también lo es p. Decimos que un razonador es estable con respecto a una proposición p en particular si la proposición BBp⸧Bp es verdadera, es decir, si su creencia en que cree p garantiza que realmente sí cree p. Diremos que cree que es estable con respecto a p si cree la proposición BBp⸧Bp. Por último, decimos que cree que es estable si para toda proposición p, cree BBp⸧Bp (para toda p, cree que es estable con respecto a p).

11

Demostrar que si un razonador modesto cree que es estable, entonces o es inestable o inconsistente.

Comentario. Por supuesto el resultado precedente implica que ningún razonador estable de tipo G puede llegar a saber que es estable.

SOLUCIONES

1. Supongamos que un razonador modesto de tipo 1* cree ~Bp. También cree la tautología ♂⸧p; en consecuencia cree B♂⸧Bp (porque es regular), en consecuencia cree la proposición lógicamente equivalente ~Bp⸧~B♂, en consecuencia cree ~Bp⸧(B♂⸧♂). Dado que cree ~Bp, entonces cree (B♂⸧♂). Y así, como es modesto, creerá ♂, lo que significa que será inconsistente. Por lo tanto, si es consistente (y razonador modesto de tipo 1*), nunca creerá ~Bp.

2. Todo razonador de tipo 4 (o aun todo razonador normal de tipo 1*) creerá sucesivamente las siguientes proposiciones:

1) ♂⸧p

2) B♂⸧Bp

3) ~Bp⸧~B♂

4) ~B♂⸧(B♂⸧♂): ésta es una tautología

5) ~Bp⸧(B♂⸧♂): según 3) y 4)

6) B~Bp⸧B(B♂⸧♂)

Si el razonador es de tipo G, también creerá B(B♂⸧♂)⸧B♂, y así creerá B~Bp⸧B♂.

3. Supongamos que un razonador de tipo 4 cree p≡(Bp⸧q). En el Lema 1, capítulo 15, demostramos que en tal caso creerá Bp⸧Bq. Dado que es normal, creerá que cree p≡(Bp⸧q) y creerá que cree Bp⸧Bq. Y por lo tanto razona: “Creo p≡(Bp⸧q), y creo Bp⸧Bq. Ahora, supongamos que llego a creer Bq⸧q. Entonces, dado que creo Bp⸧Bq, creeré Bp⸧q. Y como creo p≡(Bp⸧q), creeré p. Entonces creeré Bp, y ya que creo Bp⸧q, creeré q. Esto demuestra que si llego a creer Bq⸧p creeré q.”

En este punto el razonador cree B(Bq⸧q)⸧Bq.

4 y 5. En primer lugar resolveremos el problema 5. Supongamos que p es B♂. Decimos que todo razonador de tipo G cree B♂≡B~B♂ (y en consecuencia cree p≡B~p, donde p es la proposición B♂).

En el problema 2 demostramos que para toda proposición p, un razonador de tipo G cree B-Bp⸧B♂, en consecuencia (reemplazando p por ♂) cree B~B♂⸧B♂. Además, cree la tautología ♂⸧~B♂; por lo tanto cree B♂⸧B~B♂. Y como cree B~B♂⸧B♂, debe creer B♂≡B~B♂.

Ahora veamos la solución del problema 4. Acabamos de demostrar que el razonador cree B♂≡B~B♂; en consecuencia cree ~B♂≡~B~B♂. Y por lo tanto cree p≡~Bp, donde p es ahora la proposición ~B♂.

Traducido en palabras, un razonador de tipo G cree la proposición que es consistente si y sólo si no cree que es consistente. Además cree la proposición que es inconsistente si y sólo si cree que es consistente.

6. Una solución es hacer que p sea Bq. Verifiquemos que esto sirve. El razonador cree la tautología q⸧(Bq⸧q) y, dado que es regular, cree entonces Bq⸧B(Bq⸧q). También cree B(Bq⸧q)⸧Bq (ya que es de tipo G); en consecuencia debe creer Bq≡B(Bq3q). Por lo tanto cree p≡B(p⸧q), donde p es la proposición Bq.

7. Hemos demostrado que el razonador cree Bq≡B(Bq⸧q). Entonces, por lógica proposicional, creerá (Bq⸧q)≡B(Bq⸧q)⸧q. Y por lo tanto creerá p≡(Bp⸧q), donde p ahora es la proposición Bq⸧q. (Nota: Acabamos de repetir la demostración del Teorema R, capítulo 17. Según el problema 6, el razonador es fuertemente reflexivo, y por lo tanto, según a) del Teorema R, es reflexivo.)

8. Supongamos que cree p≡B(p⸧q). Entonces según el Lema 3, capítulo 15, creerá p⸧Bq. También cree la tautología q⸧(p⸧q), y al ser regular, entonces cree Bq⸧B(p⸧q). Además, como cree p≡B(p⸧q), debe creer B(p⸧q)⸧p. Dado que cree Bq⸧B(p⸧q) y B(p⸧q)⸧p, creerá Bq⸧p. Y por lo tanto cree Bq⸧p y p⸧Bq (como hemos demostrado), y así debe creer p≡Bq.

9. Supongamos que cree p≡(Bp⸧q). Entonces creerá p⸧(Bp⸧q), y además, según el Lema 1, capítulo 15, creerá Bp⸧Bq. Como cree la tautología q⸧(Bp⸧q), creerá q⸧p (dado que también cree p≡(Bp⸧q)). Pero es regular, y entonces creerá Bq⸧Bp. Al creer eso, y Bp⸧Bq, creerá Bp≡Bq. Entonces usando lógica proposicional, creerá (Bp⸧q)≡(Bq⸧q). Luego, dado que cree p≡(Bp⸧q), creerá p≡(Bq⸧q).

10. El razonador no tendrá la menor idea de si el nativo es casado o no, pero creerá que el nativo es un caballero. Podemos comprobarlo del siguiente modo.

Supongamos que m es la proposición que el nativo es casado. El nativo ha afirmado B(k˅m), donde k es la proposición que el nativo es un caballero. En consecuencia el razonador creerá k≡B(k˅m). Entonces creerá indudablemente k⸧B(k˅m). También cree la tautología k⸧(k˅m), en consecuencia creerá Bk⸧B(k˅m) dado que es regular. También cree B(k˅m)⸧k, dado que cree k≡B(k⸧m). En consecuencia creerá Bk⸧k. Entonces, por ser de tipo G, creerá k.

11. Supongamos que cree que es estable. Entonces para toda proposición p, cree BBp⸧Bp; en consecuencia cree BB♂⸧B♂. Si es modesto, creerá entonces B♂ (porque para toda proposición q, un razonador modesto que cree Bq⸧q creerá q, y por lo tanto esto es verdad en especial si q es la proposición B♂). Dado que cree B♂, entonces si es estable, creerá ♂ y por lo tanto será inconsistente. Esto demuestra que si cree BB♂⸧B♂, no puede ser modesto, estable y consistente. Por lo tanto, si es modesto, estable y consistente, nunca puede creer BB♂⸧B♂, y entonces no puede saber que es estable con respecto a ♂.

Parte VIII

IMPOSIBLE DE DECIDIR

20. Por siempre indecidible

Hemos analizado el Segundo Teorema de la Incompletitud de Gödel (ningún sistema gödeliano consistente de tipo 4 puede demostrar su propia consistencia), pero todavía no hemos analizado su Primer Teorema de la Incompletitud. Ahora vamos a explayamos sobre este tema, primero en el contexto de un razonador en una isla de caballeros y bribones.

Recordemos del capítulo anterior que un razonador se considera estable si para toda proposición p, si cree Bp, entonces cree p.

UN PROBLEMA DE INCOMPLETITUD

Diremos que el sistema de creencias de un razonador es incompleto si por lo menos hay una proposición p tal que el razonador nunca creerá p y nunca creerá ~p (le resultará por siempre indecidible si p es verdadera o falsa).

El siguiente problema se basa en el Primer Teorema de la Incompletitud de Gödel.

1

Un razonador normal de tipo 1 llega a la Isla de los Caballeros y los Bribones y cree las reglas de la isla (que las reglas sean realmente válidas o no, es irrelevante). Se encuentra con un nativo que dice: “Usted nunca creerá que soy un caballero”.

Demostrar que si el razonador es tanto consistente como estable, entonces su sistema de creencias es incompleto. De modo más específico, encontrar una proposición p tal que las dos condiciones siguientes sean válidas:

a) Si el razonador es consistente, entonces nunca creerá p.

b) Si el razonador es tanto consistente como estable, entonces nunca creerá ~p.

2. Un dual de 1

Supongamos que el nativo hubiera dicho en cambio: “Usted creerá que soy un bribón”. Encontrar una proposición p tal que las conclusiones a) y b) del problema 1 sean válidas.

El mismo razonamiento que se utilizó en la solución del problema 1, aplicado a sistemas matemáticos en vez de a razonadores, demuestra la siguiente forma del Primer Teorema de la Incompletitud de Gödel.

Teorema 1. Todo sistema gödeliano estable, normal, consistente de tipo 1 debe ser incompleto. De modo más específico, si S es un sistema normal de tipo 1 y si p es una proposición tal que p≡~Bp es demostrable en S, entonces si S es consistente, p no es demostrable en S, y si S también es estable, entonces ~p tampoco es demostrable en S.

Se dice que una proposición p es indecidible en un sistema S si ni ella ni su negación ~p es demostrable en S. Por lo tanto el Primer Teorema de la Incompletitud de Gödel nos dice que dado cualquier sistema gödeliano S estable, normal y consistente, siempre debe haber por lo menos una proposición p que, aunque es expresable en el lenguaje de S, no es decidible en S: no puede ni demostrarse ni refutarse en S.

3. Variante de 1

Supongamos que el nativo dice en cambio: “Usted creerá que nunca creerá que soy un caballero”. Ahora encontrar una proposición p que cumpla con las condiciones a) y b) del problema 1.

ω-CONSISTENCIA

Un número natural es por definición o 0 o un número entero positivo 1, 2, 3... De ahora en adelante usaremos la palabra “número” para significar “número natural”. Consideremos una propiedad P de los números (naturales). Para todo número n, escribimos P(n) para significar que n tiene la propiedad P. Por ejemplo, si P es la propiedad de ser un número par, entonces P(n) significa que n es un número par, en cuyo caso P(0), P(2), P(4), ... son todas proposiciones verdaderas; P(1), P(3), P(5), ... son todas proposiciones falsas. Por otro lado, si P es la propiedad de ser un número impar, entonces P(0), P(2), P(4), ... son todas proposiciones falsas, mientras que P(1), P(3), P(5), ... son todas verdaderas.

En lógica el símbolo estándar para “existe por lo menos un x tal que” es el símbolo “Ǝ”, que se denomina técnicamente cuantificador existencial. Para toda propiedad P de números, la proposición que existe por lo menos un número n que tiene la propiedad P se escribe: ƎnP(n). Ahora bien, supongamos que tenemos un sistema matemático y una propiedad P tal que la proposición ƎnP(n) es demostrable en el sistema; sin embargo para cada n en particular, la proposición ~P(n) es demostrable; es decir, todas las infinitas proposiciones ~P(0), ~P(l), ~P(2), ..., ~P(n), ... son demostrables. Esto significa que por un lado, el sistema puede demostrar el enunciado general de que cierto número tiene la propiedad P, y sin embargo se puede demostrar que cada número concreto no tiene la propiedad. Evidentemente hay algún error en el sistema, porque si ƎnP(n) es verdadera, es imposible que todas las proposiciones ~P(0), ~P(1),..., ~P(n),... también sean verdaderas. Sin embargo, tal sistema no es necesariamente inconsistente: no se puede inferir necesariamente una contradicción formal a partir de todas esas proposiciones. Sin embargo, hay un nombre para esos sistemas. Se denominan ω-inconsistentes. (El símbolo “ω” a veces se usa para representar el conjunto de los números naturales.)

Consideremos la siguiente situación análoga. Supongamos que alguien nos da un cheque que dice: “Pagadero en cierto banco”. Suponiendo que sólo hay una cantidad finita de bancos en el mundo, podemos verificar si el cheque es bueno o malo en un período finito de tiempo; simplemente tenemos que tratar de cobrarlo en cada banco. Si por lo menos un banco lo acepta, entonces sabemos que el cheque es bueno; si todos los bancos lo rechazan, entonces tenemos la prueba positiva de que el cheque es malo. Pero ahora supongamos que vivimos en un universo en el que hay una cantidad infinita de bancos, y cada banco está numerado con un número natural. Hay un Banco 0, un Banco 1, un Banco 2, ..., y así sucesivamente. También supongamos que somos inmortales, de modo que tenemos una cantidad infinita de días por delante para tratar de cobrar el cheque. Ahora supongamos que en realidad ningún banco llegará a cambiar el cheque. Entonces el cheque era malo en realidad; sin embargo no podemos demostrarlo en ningún tiempo finito. Podríamos tratar de cobrarlo en los primeros cien mil millones de bancos y todos lo rechazan. No podemos presentar ese hecho como evidencia de que el que nos dio el cheque es deshonesto; él siempre puede decir: “Un momento, no me llame deshonesto, ¡todavía no ha probado en todos los bancos!” Y por lo tanto, nunca podemos obtener una verdadera inconsistencia; lo único que tenemos es una ω-inconsistencia (e inclusive nunca sabremos esto en un período finito de tiempo).

Una vez el concepto de ω-inconsistencia fue caracterizado humorísticamente por el matemático Paul Halmos, que definió a una madre ω-inconsistente como alguien que le dice a su hijo: “Hay algo que puedes hacer, pero no puedes hacer esto y no puedes hacer eso y no puedes hacer lo otro...” El hijo dice: “Pero, ma, ¿no hay algo que pueda hacer?” La madre responde: “Sí, pero no es esto, ni aquello ni...”

Un sistema se denomina ω-consistente si no es ω-inconsistente. Por lo tanto para un sistema ω-consistente, si ƎnP(n) es demostrable, entonces existe por lo menos un número n tal que la proposición ~P(n) no es demostrable. Un sistema inconsistente de tipo 1 también es ω-inconsistente, porque todas las proposiciones son demostrables en un sistema inconsistente de tipo 1. Dicho de otra forma, en los sistemas de tipo 1, la ω-consistencia implica automáticamente consistencia (ordinaria). Cuando se analiza la ω-consistencia, a veces se usa el término consistencia simple para significar consistencia (para evitar cualquier posibilidad de confusión). Y por lo tanto, en esos términos, todo sistema ω-consistente de tipo 1 también es simplemente consistente.

Ahora volvamos al estudio de los razonadores. En todos los problemas que hemos considerado hasta ahora, el orden en que el razonador ha creído varias proposiciones no ha desempeñado ningún papel. En los problemas restantes de este capítulo, el orden desempeñará un papel clave.

El razonador llega a la Isla de los Caballeros y los Bribones cierto día que llamaremos el día 0°. El siguiente se denomina día 1°; el día siguiente se denomina día 2°; y así sucesivamente. Para todo número natural n, tenemos el día n°, y suponemos que el razonador es inmortal y que tiene infinita cantidad de días por delante. Para todo número natural n y toda proposición p, supongamos que Bnp es la proposición que el razonador cree p en algún momento durante el día n°. La proposición Bp es, como siempre, la proposición que el razonador cree p algún día, o, lo que es lo mismo, ƎnBnp (existe por lo menos un n tal que el razonador cree p el día n°). Decimos que el razonador es ω-inconsistente si existe por lo menos una proposición p tal que el razonador (en algún momento) crea Bp, aunque para todo n particular, él (en algún momento) cree ~Bnp. El razonador se denominará ω-consistente si no es ω-inconsistente.

Ahora consideremos un razonador que cumple con las tres condiciones siguientes.

Condición C1. Es de tipo 1.

Condición C2. Para todo número natural n y para toda proposición p:

a) si el razonador cree p el día n° (tarde o temprano) creerá Bnp;

b) si no cree p el día n° (tarde o temprano) creerá ~Bnp. (La idea es que el razonador tiene presente las proposiciones que ha creído y que no ha creído en toda su vida.)

Condición C3. Para todo n y toda p, el razonador cree la proposición Bnp⸧Bp (que, por supuesto, es una proposición verdadera).

El siguiente problema se acerca mucho a la versión original de Gödel de su Primer Teorema de la Incompletitud.

4. (Según Gödel)

El razonador, que cumple con las tres condiciones citadas, llega a la Isla de los Caballeros y los Bribones y cree las reglas de la isla. Se encuentra con un nativo que le dice: “Usted nunca creerá que soy un caballero”. Demostrar:

a) Si el razonadores (simplemente) consistente, entonces nunca creerá que el nativo es un caballero.

b) Si el razonador es o-consistente, entonces nunca creerá que el nativo es un bribón.

Por lo tanto si el razonador es o-consistente (y en consecuencia también simplemente consistente), entonces, le resultará por siempre indecidible si el nativo es un caballero o un bribón.

SOLUCIONES

1. La proposición p en cuestión es simplemente la proposición k, que el nativo es un caballero.

El nativo ha afirmado ~Bk; en consecuencia el razonador creerá k≡~Bk.

a) Supongamos que el razonador cree k. Entonces, al ser normal, creerá Bk. También creerá ~Bk (dado que cree k y cree k≡~Bk y es de tipo 1), en consecuencia será inconsistente. Por lo tanto, si es consistente, nunca creerá k.

b) Dado que el razonador es de tipo 1 y cree k≡~Bk, también cree ~k≡Bk. Ahora bien, supongamos que llega a creer ~k. Entonces creerá Bk. Si es estable, entonces creerá k y en consecuencia se volverá inconsistente (dado que cree ~k). Por lo tanto, si es estable y consistente nunca creerá ~k.

En resumen, si es estable y consistente a la vez, nunca creerá que el nativo es un caballero y nunca creerá que el nativo es un bribón.

2. Observamos de la solución anterior que para cualquier proposición p (no tiene que ser la proposición particular k), si un razonador normal de tipo 1 cree p≡~Bp, entonces si es consistente nunca creerá p, y si también es estable, nunca creerá ~p. Ahora bien, en este problema, el razonador cree k≡B~k. Por lo tanto (al ser de tipo 1) cree ~k≡~B~k, y por lo tanto cree p≡~Bp, donde p es la proposición ~k. Por lo tanto, si es consistente, nunca creerá que el nativo es un bribón, y si también es estable, entonces nunca creerá que el nativo es un caballero.

3. Una proposición p que sirve en este caso es ~Bk, como demostraremos.

El razonador cree k≡B~Bk.

a) Supongamos que cree ~Bk. Entonces, al ser normal, creerá B~Bk, y entonces creerá k (dado que cree k≡B~Bk y es de tipo 1). Al creer k y ser normal, creerá Bk. Por lo tanto creerá tanto Bk como ~Bk; en consecuencia se volverá inconsistente. Por lo tanto, si sigue siendo consistente, nunca creerá Bk.

b) Supongamos que cree ~~Bk. Entonces creerá Bk. Si es estable, entonces creerá k. Después, creerá B~Bk (dado que cree k≡B~Bk y es de tipo 1). Entonces (de acuerdo al supuesto de que es estable), creerá ~Bk. De este modo se volverá inconsistente (dado que cree ~~Bk). Esto demuestra que si el razonador es consistente y estable a la vez, nunca creerá ~~Bk.

4. Después de haber resuelto el problema 1, la forma más fácil de solucionar este problema es demostrar que todo razonador que cumple con las Condiciones 1, 2 y 3 debe ser normal, y si es ω-consistente, también debe ser estable.

a) Demostremos que es normal. Supongamos que cree p. Entonces para cierto n, cree p el día n°. Entonces por a) de la Condición 2, creerá Bnp. También cree Bnp⸧Bp (por la Condición 3), en consecuencia al ser de tipo 1 (Condición 1), entonces creerá Bp. Por lo tanto es normal.

b) Ahora, supongamos que es ω-consistente. Demostraremos que es estable. Supongamos que cree Bp. Si nunca cree p, entonces para cada número n, no cree p el día n°, y en consecuencia por b) de la Condición 2, para todo n creerá ~Bnp. Pero dado que cree Bp, entonces será ω-inconsistente. Por lo tanto, si es ω-consistente y cree Bp, debe creer p algún día. Esto demuestra que si es ω-consistente, debe ser estable (suponiendo que cumple con las Condiciones 1, 2 y 3, o aun simplemente b) de la Condición 2).

Por lo tanto, según el problema 1, le resultará imposible decidir.

21. ¡Aún más indecisiones!

RAZONADORES DE TIPO ROSSER

 Gödel demostró que toda una familia de sistemas matemáticos era incompleta en el supuesto de que eran (o-consistentes. Posteriormente J. Barkley Rosser descubrió un método ingenioso para demostrar que esos sistemas eran incompletos según el supuesto más débil de que eran simplemente consistentes. El enunciado indecidible que construyó Rosser es más complicado que el de Gödel, pero su indecidibilidad puede establecerse bajo el mero supuesto de simple consistencia.

Volvamos a los razonadores en una isla de caballeros y bribones en donde el orden en el cual el razonador cree varias proposiciones tiene importancia. Para proposiciones cualesquiera p y q, decimos que el razonador cree p antes de creer q si hay un día en el que cree p y todavía no ha creído q. Si el razonador nunca cree q, pero cree p (uno u otro día), entonces consideraremos verdadero que cree p antes de creer q. (En otras palabras no tiene que llegar a creer q para creer p antes de creer q.) Supongamos que Bp<Bq es la proposición que el razonador cree p antes de creer q. Si Bp<Bq es verdadera, entonces Bq<Bp es obviamente falsa.

Ahora definimos un razonador de tipo Rosser como un razonador de tipo 1 tal que vale la siguiente condición.

Condición R. Para proposiciones cualesquiera p y q, si el razonador cree p algún día en el que todavía no ha creído q, entonces (tarde o temprano) creerá Bp<Bq y ~(Bq<Bp).

La idea implícita en la Condición R es que el razonador tiene una memoria perfecta para lo que ha creído y no ha creído en toda su vida. Si cree p antes de creer q, entonces el primer día que cree p, todavía no ha creído q (y quizá nunca lo haga, o tal vez lo crea en el futuro), y así cualquiera de los días siguientes recordará que el primer día que creyó p, todavía no había creído q, y por lo tanto creerá Bp<Bq y ~(Bq<Bp).

1

Un razonador de tipo Rosser llega a la Isla de los Caballeros y los Bribones y cree las reglas de la isla. Se encuentra con un nativo que le dice: “Nunca creerá que soy un caballero antes de creer que soy un bribón”. (Traducido simbólicamente, el nativo afirma la proposición ~(Bk<B~k).)

Demostrar que si el razonador es simplemente consistente, entonces debe resultarle para siempre imposible decidir si el nativo es un caballero o un bribón.

2

Supongamos que el nativo dijo en cambio: “Creerá que soy un bribón antes de creer que soy un caballero”. ¿Se sigue la misma conclusión?

Análisis. Las proposiciones demostrables de los sistemas matemáticos son demostrables en diferentes momentos. Podríamos considerar un sistema matemático como una computadora programada para demostrar varias proposiciones consecutivamente. Decimos que p es demostrable antes que q (en un sistema matemático dado) si p se demuestra en cierto momento en el cual q todavía no ha sido demostrada (q podría o no podría demostrarse en algún momento posterior). Para proposiciones cualesquiera p y q expresables en el sistema, la proposición Bp<Bq (p es demostrable antes que q) también es expresable en los sistemas del tipo que consideró Gödel, y Rosser demostró que si p es demostrable antes que q, entonces la proposición Bp<Bq y la proposición ~(Bq<Bp) son ambas demostrables en el sistema. Rosser también descubrió una proposición p tal que ps≡~(Bp<B~p) es demostrable en el sistema. (Tal proposición p corresponde al nativo del problema 1 que dice: “Usted nunca creerá que soy un caballero antes de creer que soy un bribón”.) Entonces, por el argumento de la solución del problema 1, si p es demostrable, entonces el sistema es inconsistente, y si ~p es demostrable, entonces el sistema es de nuevo inconsistente. Y por lo tanto, si el sistema es consistente, la proposición p es indecidible en el sistema.

El enunciado de Gödel puede parafrasearse como: “No soy demostrable en ningún momento”. La frase más elaborada de Rosser puede parafrasearse: “No puedo ser demostrable en ningún momento, a menos que mi negación se haya demostrado previamente.” La frase de Gödel, aunque es más simple, requiere el supuesto de la ω-consistencia para que el argumento funcione. La frase de Rosser, aunque es más complicada, funciona con el supuesto más débil de consistencia simple.

UN PROBLEMA DE INCOMPLETITUD MAS SIMPLE

Hasta ahora hemos analizado dos demostraciones de incompletitud: la de Gödel y la de Rosser. Existe otra más simple que esas dos, que combina el método de Gödel con el uso del concepto de verdad, concepto que más adelante introdujo el lógico Alfred Tarski. Siempre me ha resultado un enigma por qué esta simple demostración —tan conocida por los expertos— sea tan dejada de lado en los libros de texto elementales.

En el problema siguiente, el orden en el que el razonador cree varias proposiciones no tiene absolutamente ninguna importancia.

3

Supongamos que tenemos un razonador —llamémoslo Paul— que es siempre correcto en sus creencias (nunca cree una proposición falsa). No tiene por qué ser de tipo 1, o normal, ni es necesario que visite realmente la Isla de los Caballeros y los Bribones. Lo único que tenemos que saber sobre él es que es siempre correcto.

Un día un nativo comenta sobre él: “Paul nunca creerá que soy un caballero”. Entonces se sigue lógicamente que el sistema de creencias de Paul debe ser incompleto. ¿Por qué?

4

Supongamos que el nativo dice en cambio: “Un día Paul creerá que soy un bribón”. ¿Aún se seguiría que el sistema de creencias de Paul es incompleto?

UNA SITUACION MAS COMPLICADA

Consideremos un razonador estable consistente de tipo G. Hay una cuestión muy importante que le resultará por siempre indecidible: la cuestión de su propia consistencia. Nunca podrá decidir si es consistente o no. ¿Por qué?

Una pregunta. Por supuesto, el resultado que acabamos de citar es válido reemplazando “razonador” por “sistema”: Un sistema estable consistente de tipo G nunca puede demostrar su propia consistencia, ni su propia inconsistencia.

Sin embargo, surge una importante pregunta: ¿Cómo sabemos si hay sistemas estables consistentes de tipo G? ¿No es posible que el concepto mismo de sistema estable consistente de tipo G oculte alguna sutil contradicción?

Esta cuestión será resuelta totalmente antes de terminar este libro.

SOLUCIONES

1. Dado que el nativo afirmó ~(Bk<B~k), el razonador creerá k≡~(Bk<B~k). Supongamos que el razonador es (simplemente) consistente. Tenemos que demostrar que nunca creerá k y nunca creerá ~k. a) Supongamos que llega a creer k. Dado que es consistente, nunca creerá ~k; en consecuencia creerá k antes de creer ~k. Por lo tanto creerá Bk<B~k (por la Condición R). Pero también cree k≡~(Bk<B~k); entonces creerá ~k, y al creer k, será inconsistente. Por lo tanto si es consistente, nunca puede creer k.

b) Supongamos que llega a creer ~k. Al ser consistente, nunca creerá k. Luego creerá ~k antes de creer k; en consecuencia según la Condición R creerá ~(Bk<B~k). Pero cree k≡~(Bk<B~k), por lo tanto creerá entonces k y será inconsistente. Y así, si es consistente, tampoco puede creer ~k.

2. La respuesta es sí. Dejamos la demostración a cargo del lector.

3. Si Paul llega a creer que el nativo es un caballero, eso falseará lo que dijo el nativo, convirtiendo de este modo al nativo en un bribón, y en consecuencia convertirá a Paul en incorrecto al creer que el nativo es un caballero. Pero se nos dice que Paul es siempre correcto; en consecuencia nunca llegará a creer que el nativo es un caballero. En consecuencia lo que dijo el nativo es verdad; por lo tanto el nativo es realmente un caballero. Entonces, como Paul es siempre correcto, nunca tendrá la creencia errónea de que el nativo es un bribón. Y así Paul nunca sabrá si el nativo es un caballero o un bribón.

Análisis. El contenido matemático del precedente acertijo es el siguiente: en los sistemas investigados por Gödel, tenemos no sólo ciertas proposiciones llamadas proposiciones demostrables, sino también una clase más amplia de proposiciones denominada proposiciones verdaderas del sistema. La clase de las proposiciones verdaderas del sistema cumple fielmente con las reglas de las tablas de verdad para los conectores lógicos; además, para toda proposición p del sistema, la proposición Bp es una proposición verdadera del sistema si y sólo si p es una proposición demostrable del sistema. Ahora bien, Gödel descubrió una notable proposición g tal que la proposición g≡~Bg era una proposición verdadera del sistema (en realidad, inclusive demostrable en el sistema, pero este hecho más fuerte no se necesita para el presente argumento). Si g fuera falsa, Bg sería verdadera; en consecuencia g sería demostrable, en consecuencia verdadera, y tendríamos una contradicción. Por lo tanto g es verdadera; en consecuencia ~Bg es verdadera, en consecuencia g no es demostrable en el sistema. Por lo tanto g es verdadera pero no demostrable en el sistema. Dado que g es verdadera, ~g es falsa; en consecuencia tampoco es demostrable en el sistema (dado que todas las proposiciones demostrables son verdaderas). Y por lo tanto g es indecidible en el sistema.

4. La respuesta es sí. Dejamos la demostración a cargo del lector.

5. En el capítulo 18 demostramos que todo razonador de tipo G es modesto, y demostramos que ningún razonador modesto consistente de tipo 4 (o inclusive de tipo 1) puede creer que es consistente. Por lo tanto ningún razonador consistente de tipo G puede saber que es consistente.

Por otro lado, todo razonador estable que cree que es inconsistente es realmente inconsistente, porque si cree que es inconsistente, entonces cree B♂, y si además es estable, cree ♂, y en consecuencia es inconsistente.

Por lo tanto, ningún razonador consistente estable de tipo G puede llegar a creer que es consistente o llegar a creer que es inconsistente. Está condenado a la incertidumbre eterna sobre esta cuestión.

Parte IX

MUNDOS POSIBLES

22. ¡No es necesariamente así!

Gran parte de lo que hemos estado haciendo en este libro se relaciona estrechamente con la disciplina conocida como lógica modal. Lo sorprendente sobre la lógica modal es que surgió de consideraciones puramente filosóficas, pero los sistemas de axiomas que se derivan de ella han tenido recientemente una interpretación completamente diferente, que tiene interés matemático y que figura prominentemente en la teoría de la demostración, la ciencia de la computación y la inteligencia artificial. En capítulos posteriores, tendremos más para hablar sobre la interpretación matemática.

El concepto fundamental de la lógica modal es el de proposición necesariamente verdadera y no solamente verdadera por las circunstancias. Muchas veces decimos: “Sí, es cierto que fue así, pero realmente no tenía por qué ser así. Podría haber sido de otro modo”. Otras veces decimos: “Tenía que ser así. No podría haber sido de otro modo”. Y por lo tanto generalmente hacemos una distinción entre algo que simplemente resultó ser verdadero, y algo que es necesariamente verdadero. Como ejemplo, es una realidad que hay exactamente nueve planetas en nuestro sistema solar, pero es perfectamente concebible que las cosas pudieran haber sido de otro modo y que podrían haber existido más o menos de nueve planetas. Por otro lado, una proposición tal como dos más dos es cuatro no sólo es verdadera, sino necesariamente verdadera. En ninguna circunstancia posible podría ser cierto que dos más dos no fuera cuatro.

En vez de avanzar más ahora en la filosofía de la verdad necesaria, vamos a considerar algunos acertijos lógicos que ilustran lo que se conoce como la semántica de Kripke, que analizaremos en el próximo capítulo. Preparándonos para eso, establezcamos nuestra notación.

Según el lógico modal C. I. Lewis, usaremos la letra N para necesariamente verdadera. (En la actualidad el símbolo más usado es □) De este modo, para toda proposición p, interpretamos Np como “p es necesariamente verdadera”. Y por lo tanto nuestra notación será como la de los capítulos anteriores, excepto que usaremos la letra N en vez de la B. La definición de un conjunto de proposiciones de tipo 1, 2, 3, 4 o G es la misma que antes; la única diferencia es que nuevamente usamos N en lugar de B.

1. Un universo de razonadores

Ahora consideremos un universo entero de razonadores: denominaremos este universo U1. Dada toda proposición p, todo razonador cree p o descree p, pero no ambas cosas. (Descreer una proposición significa creer que es falsa.) Todo razonador descree ♂ y sus creencias siguen las reglas de las tablas de verdad para los conectores lógicos. Por ejemplo, cree p⸧q si y sólo si o descree p o cree q (o ambas cosas). A partir de esto se sigue que todo razonador cree todas las tautologías. Además, si un razonador cree p y cree p⸧q, debe creer q (porque si descree q, creería p y descreería q; en consecuencia descreería p⸧q en vez de creer p⸧q). Por lo tanto todo razonador es de tipo 1. Es también un dato que todo razonador sabe lo que creen todos los otros razonadores.

Ahora viene lo curioso. Por un motivo u otro, todo razonador tiene absoluta confianza en el criterio de sus padres, y por lo tanto para toda proposición p, un razonador cree que p es necesariamente verdadera si y sólo si sus padres ambos creen p. Esto se conoce como “regla fundamental” del universo. Es tan importante que vamos a registrarla formalmente.

Regla fundamental de U1. Un razonador cree Np si y sólo si sus padres ambos creen p.

Comentario. Hay un rumor de que un compositor de nuestro universo —un compositor norteamericano, en realidad— al visitar el universo U1 y enterarse del motivo por el cual los habitantes creían que una proposición era necesariamente verdadera, negó con la cabeza en un gesto de escepticismo, y dijo: “¡No es necesariamente así!” Pero yo no puedo garantizarlo, lo escuché sólo como un rumor.

Una proposición p se denomina establecida (para el universo U1) si todos los habitantes la creen.

Obviamente todas las tautologías son establecidas, pero el conjunto de las proposiciones establecidas trasciende las tautologías. En realidad, el conjunto de proposiciones establecidas debe ser de tipo 3, es decir:

1a) Todas las tautologías son establecidas.

1b) Si p y p.⸧q son establecidas, también lo es q.

2) (Np&N(p⸧q))⸧Nq es establecida.

3) Si p es establecida, también lo es Np.

Demostrar que el conjunto de proposiciones establecidas es de tipo 3.

2. Segundo universo

Ahora visitamos otro universo, que denominaremos U2. Las condiciones que definen este universo son como las de U1, con una importante diferencia. En este universo, un razonador cree que p es necesariamente verdadera si y sólo si todos sus antepasados creen p. (Para simplificar las cosas, suponemos que todos los habitantes son inmortales, y por lo tanto todos los antepasados de una persona todavía viven.)

Registremos este hecho fundamental.

Hecho 2. En el universo U2, un razonador x cree Np si y sólo si todos los antepasados de x creen p.

Ahora las cosas se ponen más interesantes.

Demostrar que el conjunto de proposiciones establecidas del universo U2 debe ser de tipo 4.

3. Tercer universo

Hasta ahora, no hemos dicho si el universo tuvo o no un comienzo en el tiempo. Bueno, ahora consideramos un tercer universo U3 que cumple con todas las condiciones que hemos dado para U2, más la condición de que sí tuvo un comienzo en el tiempo. Esto significa que para todo individuo x, si consideramos un antepasado x’ de x, luego otro antepasado x” de x’, y seguimos retrocediendo de este modo, tarde o temprano llegaremos a un antepasado que no tiene antepasados, y en consecuencia no tiene padres. (Responder la pregunta sobre la forma en que nacieron esos individuos sin padres está fuera del alcance de este libro. El lector interesado debería consultar un libro sobre la evolución o un libro sobre creacionismo, según sus intereses científicos o teológicos.)

Como ya debe imaginarse el lector, nuestra meta es demostrar que las proposiciones establecidas de este universo forman una clase de tipo G. Pero antes de seguir con esto, debemos aclarar un punto para el lector que no esté familiarizado con la lógica de todos y algunos.

Supongamos que alguien dice sobre cierto club: “Todos los franceses en este club usan boinas”, y resulta que no hay ningún francés en el club. Entonces el enunciado ¿debería considerarse falso, verdadero o inaplicable? Los que no estén familiarizados con la lógica formal bien pueden tener diferentes opiniones sobre el asunto, pero la convención adoptada en lógica, matemática y las ciencias naturales es que todo enunciado de la forma: “Todas las A son B” debe considerarse falso sólo si existe por lo menos una A que no es B. Y por lo tanto la única forma en que el enunciado “Todos los franceses del club usan boinas”, puede ser falso es si hay por lo menos un francés en el club que no usa boina. Si sucediera que no hay franceses en el club, entonces indudablemente no hay ningún francés en el club que no use boina, y por lo tanto se considera entonces verdadero que todos los franceses del club usan boinas. Esta es la convención que adoptaremos.

Aplicando esto a nuestro universo U3, si x es un individuo que no tiene antepasados, entonces todo lo que se puede decir sobre todos sus antepasados es verdadero (¡porque no tiene ninguno!). En particular, dada toda proposición p, consideramos verdadero que todos los antepasados de x creen p, y por lo tanto si x no tiene antepasados, entonces x cree Np. (La única forma en que un individuo x puede no creer Np es si por lo menos tiene un antepasado que no cree p, lo cual no es posible para un individuo que no tiene antepasados en absoluto.) Registremos esto como Hecho 1.

Hecho 1. Si x no tiene antepasados, entonces para toda proposición p, x cree Np.

Nuestra meta es demostrar que el conjunto de proposiciones establecidas de U3 es de tipo G. Indudablemente es de tipo 4 (por el problema 2, dado que todas las condiciones de U2 también valen para U3). Entonces nos resta demostrar que para toda proposición p, todos los habitantes de U3 creen la proposición N(Np⸧p)⸧Np. La demostración es muy bonita; la idea clave está contenida en el siguiente lema.

Lema 1. Si x descree Np, entonces x debe tener un antepasado y que a la vez descree p y cree Np.

Primero, demostrar este lema. Luego demostrar que el conjunto de proposiciones establecidas de U3 es de tipo G.

La forma en que todo esto se relaciona con la semántica de Kripke será explicada en el próximo capítulo.

SOLUCIONES

1.

1) Sabemos que las condiciones 1a) y 1b) son verdaderas, dado que cada razonador es de tipo 1.

2) Por lo tanto el siguiente paso es demostrar que todo razonador x cree (Np&N(p⸧q))⸧Nq, o, lo que es lo mismo, si cree Np&N(p⸧q), entonces también debe creer Nq. Por lo tanto, supongamos que x cree Np&N(p⸧q). Entonces cree tanto Np como N(pi)q). Dado que cree Np, entonces sus padres ambos creen p. Dado que cree N(p⸧q), entonces sus padres creen p⸧q. Por lo tanto sus padres tanto creen p como p⸧q, y al ser de tipo 1, ambos creen q. Dado que sus padres creen q, entonces x cree Nq.

De este modo hemos demostrado que todo razonador x de U2 cree (Np&N(p⸧q))⸧Nq, y por lo tanto esta proposición es establecida.

3) Por último, debemos demostrar que si p es establecida, también lo es Np. (Esto no significa que todo razonador que cree p también creerá Np, sino sólo que si todos los razonadores creen p, entonces todos creen Np.) Esto realmente es bastante obvio. Supongamos que todos los razonadores creen p. Consideremos un razonador x. Entonces sus padres creen p (porque todos los razonadores lo hacen); en consecuencia x cree Np.

2. La importancia del cambio de “padres” a “antepasados” es ésta: Si y es un progenitor de x y z es un progenitor de y, difícilmente podemos llegar a la conclusión de que z es un progenitor de x. Pero si y es un antepasado de x, y z es un antepasado de y, entonces z es un antepasado de x. (En terminología matemática, la relación de ser un antepasado es transitiva.)

La demostración de que el conjunto de proposiciones establecidas del universo U2 es de tipo 3 es la misma que para el último universo U1 (simplemente reemplazando la palabra “padres” por “antepasados”). Pero ahora podemos demostrar el hecho adicional de que todo razonador de este universo cree Np⸧NNp, y en consecuencia que el conjunto de proposiciones establecidas es de tipo 4.

Supongamos que x cree Np. Tenemos que demostrar que también debe creer NNp. Bueno, supongamos que x’ es un antepasado de x y supongamos que x” es un antepasado de x’. Entonces x” también es un antepasado de x. Dado que x cree Np y x” es un antepasado de x, entonces x” debe creer p. De este modo todo antepasado x” de x’ cree p; en consecuencia x’ cree Np. Esto demuestra que todo antepasado x’ de x cree Np, y por lo tanto x debe creer NNp.

3. Para demostrar el Lema 1, supongamos primeramente que x descree Np. Entonces por lo menos debe tener un antepasado x’ que descree p (porque si todos sus antepasados creyeran p, él creería Np, lo cual no pasa). Ahora bien, si x’ cree Np, terminamos: tomemos como y a x’. Pero si x’ no cree Np, entonces descree Np; en consecuencia x’ debe tener por lo menos un antepasado x” que descree p. Si x” cree Np, terminamos (consideramos que y es x’). Pero si no es así, entonces consideramos algún antepasado x’” de x” que descree p, y seguimos así hasta que finalmente debemos llegar a algún antepasado y de x que descree p y que o no tiene ningún antepasado (en cuyo caso y cree Np por el Hecho 1), o que no tiene antepasados que crean p, y en consecuencia y debe creer Np. (La razón por la que finalmente debemos llegar a ese antepasado y es porque el universo U3 tuvo un definido comienzo en el tiempo, hecho que no se dio para el universo U2)

Ahora podemos demostrar que todos los razonadores de este universo deben creer N(Np⸧p)⸧Np (y en consecuencia que el conjunto de proposiciones establecidas es de tipo G). Para demostrarlo, basta demostrar que todo razonador que cree N(Np⸧p) creerá Np; o, lo que es lo mismo, que todo razonador que descree Np también descreerá N(Np⸧p).

Supongamos que x descree Np. Entonces según el Lema, x tiene un antepasado y que descree p y cree Np. Entonces cree que Np es verdadera y p es falsa; por lo tanto debe descreer Np⸧p. Por lo tanto x tiene un antepasado y que descree Np⸧p; en consecuencia no todos los antepasados de x creen Np⸧p, por lo tanto x debe descreer N(Np⸧p).

Esto demuestra que si x descree Np, descree N(Np⸧p); en consecuencia si x cree N(Np⸧p), debe creer Np, y por lo tanto x debe creer N(Np⸧p)⸧Np.

23. Mundos posibles

El tema de la lógica modal es antiguo: se remonta por lo menos a Aristóteles. Los conceptos principales son los de proposición necesariamente verdadera y proposición posiblemente verdadera. Cualquiera de los dos conceptos puede definirse en términos del otro. Si empezamos con el concepto de verdad necesaria, definiremos una proposición como posiblemente verdadera si no es necesariamente falsa. Alternativamente, podríamos empezar con el concepto de una proposición posiblemente verdadera y luego definir una proposición como necesariamente verdadera, si no es posible que sea falsa.

La lógica modal provocó considerable interés entre los filósofos y teólogos medievales y posteriormente fue fundamental en la filosofía de Leibniz. El pensamiento de Leibniz fue el que inspiró al filósofo contemporáneo Saul Kripke para inventar el campo conocido hoy en día como semántica de los mundos posibles, también llamada semántica de Kripke (que es lo que estuvimos haciendo en el último capítulo, usando una terminología diferente).

Leibniz pensaba que habitamos en un lugar llamado el mundo real, que sólo es uno entre una cantidad de mundos posibles. Según la teología de Leibniz, primero Dios examinó todos los mundos posibles y luego creó el que consideró mejor: este mundo. De allí su aforismo: “Este es el mejor de todos los mundos posibles”. (En Cándido Voltaire se burlaba continuamente de esa idea. Después de describir casi todas las catástrofes posibles, Voltaire agregaba: “...en éste el mejor de todos los mundos posibles.”)

Ahora sigamos con Leibniz. Una proposición p debía considerarse verdadera para o en un mundo dado x (real o posible) si describía correctamente ese mundo, y falsa para ese mundo si no lo hacía. Si p se denominaba verdadera sin calificación, debía entenderse que significaba verdadera para este mundo (el real). Decía que p era necesariamente verdadera si era verdadera para todos los mundos posibles, y posiblemente verdadera si era verdadera por lo menos para un mundo posible. Esta —en resumen— era la filosofía de los “mundos posibles” de Leibniz. (Si se hubiera hecho realidad algún otro mundo posible, me pregunto si Leibniz hubiera tenido la misma filosofía.)

Antes de 1910, el tratamiento de la lógica modal carecía de la precisión de las otras ramas de la lógica. Ni siquiera Aristóteles, que fue notablemente preciso en su teoría del silogismo, dio una explicación igualmente clara de la lógica modal. El filósofo norteamericano C. I. Lewis fue quien, en una serie de ensayos publicados entre 1910 y 1920, describió una serie de sistemas axiomáticos de diferente poder e investigó qué proposiciones eran demostrables en cada uno de ellos. En cada uno de esos sistemas, todas las tautologías están entre los axiomas (o por lo menos son demostrables a partir de ellos), y para toda proposición p y q, Lewis adoptó como regla que si p y p⸧q son ambas demostrables en el sistema, también lo es q. Por lo tanto todos los sistemas de Lewis son por lo menos de tipo 1. Luego, Lewis razonó que si p y p⸧q son ambas necesariamente verdaderas, también lo es q. En consecuencia todas las proposiciones de la forma (Np&N(p⸧q))⸧Nq (o alternativamente, todas las proposiciones de la forma N(p⸧q)⸧(Np⸧Nq)) fueron tomadas como axiomas. Luego, parecía razonable que algo que podría demostrarse puramente sobre la base de axiomas necesariamente verdaderos debe ser necesariamente verdadero, y hoy en día muchos sistemas modales (los llamados normales) consideran como regla de inferencia que si una proposición X ha sido demostrada, entonces se justifica que lleguemos a la conclusión NX. (Esto no significa que X⸧NX sea necesariamente verdadera, pero si X ha sido demostrada —puramente sobre la base de axiomas que son ellos mismos necesariamente verdaderos— entonces se justifica que afirmemos NX.)

El sistema que hemos descrito hasta aquí es de tipo 3 y tiene un nombre estándar en la actualidad. Se denomina sistema modal K y constituye la base de una amplia clase de sistemas modales.

Ahora bien, ¿qué pasa con NX⸧NNX? (Si X es necesariamente verdadera, ¿es necesario que sea necesariamente verdadera?) Bueno, las proposiciones de esta forma se consideran axiomas en algunos sistemas modales y en otros no. El sistema modal cuyos axiomas son los de K junto con las proposiciones de la forma NX⸧NNX es muy importante y hoy en día se lo llama sistema modal K4. Obviamente es de tipo 4.

El sistema modal G —que consiste en K4 con el agregado de todas las proposiciones de la forma N(Np3p)⸧Np como axiomas— llegó sólo muchas décadas después (a mediados de la década de 1970) y no surgió de ninguna consideración filosófica del concepto de necesidad lógica, sino del Segundo Teorema de Gödel y del Teorema de Löb. Nos explayaremos más sobre este tema en el próximo capítulo.

Modelos de Kripke. A fines de la década de 1950, Saul Kripke publicó su famoso ensayo, “A Completeness Theorem in Modal Logic”, que originó una nueva era para la lógica modal. Por primera vez se construyó una teoría precisa de los modelos para los sistemas modales, que no sólo era de interés matemático sino que ha conducido a toda una rama de la filosofía conocida hoy en día como semántica de los mundos posibles.

Primero Kripke planteó una cuestión básica sobre el sistema de Leibniz que evidentemente Leibniz no consideró. Según Leibniz, habitamos en el mundo real. Los llamados mundos posibles ¿son todos los mundos que hay, o sólo son los que son posibles relativos a este mundo? En otras palabras, desde el punto de vista de otro mundo, la clase de los mundos posibles ¿es diferente de la clase de mundos que son posibles relativos a este mundo? O, para plantear la cuestión aun de otra forma más, supongamos que hacemos una descripción de algún mundo x, y consideramos la proposición “x es un mundo posible”. ¿Es la verdad o falsedad de esa proposición algo absoluto, o podría ser que esa misma proposición fuera verdadera en algún mundo y pero falsa en algún otro mundo z? En este caso la cuestión de la transitividad es de particular importancia: Si el mundo y es posible relativo al mundo x y si el mundo z es posible relativo al mundo y ¿se sigue que el mundo z tiene que ser posible relativo al mundo x? La respuesta a esta pregunta determina qué sistema de la lógica modal es apropiado.

Según Kripke, decimos que el mundo y es accesible al mundo x si y es posible relativo a x. Y ahora consideremos un “superuniverso” de mundos posibles. Dados mundos cualesquiera x e y, o y es accesible a x o no lo es. Una vez que se determina qué mundos son accesibles a qué otros, tenemos lo que se denomina técnicamente un marco. Dada cualquier proposición p y cualquier mundo x, p es verdadera en x o falsa en x. Y una vez que se determina qué proposiciones son verdaderas en qué mundos del marco, tenemos lo que se denomina modelo de Kripke. Debe entenderse que ♂ es falsa en cada uno de los mundos y que p⸧q es verdadera en el mundo x si y sólo si no es cierto que p sea verdadera en x y q sea falsa en x. De este modo, para cada mundo x, el conjunto de todas las proposiciones verdaderas en x es de tipo 1. Para completar la descripción, una proposición Np se declara verdadera en el mundo x si y sólo si p es verdadera en todos los mundos accesibles a x. Decimos que p está establecida en un modelo, o es válida en un modelo, si p es verdadera en todos los mundos del modelo.

La estructura que tenemos ahora realmente es la misma que la del último capítulo, excepto por la terminología. En lugar de los elementos del universo denominados razonadores, ahora se denominan mundos. En lugar de la relación “y es un progenitor de x”, o “y es un antepasado de x”, ahora decimos “y es accesible a x”. Por último, en lugar de “p es creída por el razonador x”, ahora tenemos “p es verdadera en el mundo x”. Con estas transformaciones, todos los resultados del último capítulo cambian. El conjunto de todas las proposiciones que son válidas en el modelo de Kripke deben ser de tipo 3 (problema 1, capítulo 22), y en consecuencia el sistema modal K es aplicable a todos los modelos de Kripke.

Supongamos que ahora incluimos la condición de transitividad: para todo mundo x, y y z, si y es accesible a x y z es accesible a y, entonces z es accesible a x. Entonces tenemos lo que se denomina modelo transitivo de Kripke. Bueno, para todo modelo transitivo de Kripke, el conjunto de todas las proposiciones que son verdaderas para todos los mundos del modelo deben ser de tipo 4 (problema 2, capítulo 22), y por lo tanto el sistema modal apropiado es entonces aplicable.

Así el sistema modal K es aplicable para todos los modelos de Kripke, y el sistema modal K4 es aplicable a todos los modelos transitivos de Kripke. Estos dos resultados se conocen como teoremas de la solidez semántica para K y K4. Kripke también demostró sus inversas: 1) Si p es válida en todos los modelos de Kripke, entonces p es realmente demostrable en el sistema modal K. 2) Si p es válida en todos los modelos transitivos de Kripke, entonces p es demostrable en K4. (Más adelante explicaremos exactamente lo que significa demostrabilidad en un sistema modal.) Estos dos resultados se conocen como teoremas de la completitud para K y K4.

Decimos que un modelo de Kripke es terminal si la siguiente condición es válida: Dado cualquier mundo x del modelo, si pasamos a un mundo x’ accesible a x y luego a un mundo x” accesible a x’ y seguimos avanzando, finalmente debemos llegar a un mundo y al cual ningún mundo es accesible (los llamados mundos terminales, que se comportan como los razonadores sin padres del último capítulo). Decimos que un modelo es de tipo G si es transitivo y terminal. Según el mismo razonamiento que en el último capítulo, observamos que la clase de proposiciones que son válidas en un modelo de tipo G deben ser de tipo G, y en consecuencia el sistema modal apropiado es el sistema modal G. De este modo obtenemos el llamado teorema de la solidez para el sistema modal G: Toda proposición demostrable en G es válida para todos los modelos terminales transitivos. La recíproca de esto —el teorema de la completitud para G— también ha sido establecida por el lógico Krister Segerberg. Dice que todas las proposiciones que son válidas en todos los modelos de tipo G son demostrables en el sistema modal G.{5}

Como análisis filosófico del concepto de necesidad, el sistema modal G parece muy inapropiado. Su verdadera importancia radica en la interpretación de la demostrabilidad, que analizaremos en el próximo capítulo.

Sistema de Lewis S4. Lewis tenía varios otros sistemas de lógica modal, uno de los cuales mencionaremos brevemente. Lewis razonó que toda proposición que es necesariamente verdadera también debe ser verdadera. (En términos de Leibniz, si una proposición es verdadera en todos los mundos posibles, indudablemente debería ser verdadera en éste.) Y por lo tanto Lewis agregó como axiomas para K4 todas las proposiciones de la forma NX⸧X. Esto se conoce como sistema modal S4.

La teoría de los modelos apropiada para S4 es un modelo transitivo de Kripke (pero no uno terminal) con la condición adicional de que todo mundo es accesible a sí mismo. Resulta entonces fácil observar que NX⸧X es válida en tal modelo.

Los sistemas modales S4 y G forman una genuina divisoria de aguas. Resulta imposible combinar los dos sistemas para formar un solo sistema sin obtener un sistema inconsistente (¿puede el lector descubrir por qué?). Y por lo tanto debemos hacer una elección, según nuestro propósito. Como análisis filosófico del concepto de verdad necesaria, el sistema parece el apropiado. Para la teoría de la demostración, el sistema G es el importante. Pero veremos más sobre esto en el próximo capítulo.

Ejercicio 1. ¿Por qué es imposible combinar los sistemas G y S4 sin obtener una inconsistencia?

Ejercicio 2. En un modelo de tipo G, ningún mundo puede ser accesible a sí mismo. ¿Por qué?

Ejercicio3. Demostrar que en un modelo de tipo G, hay por lo menos una proposición p y por lo menos un mundo x tal que la proposición Np3p es falsa en el mundo x.

Ejercicio 4. ¿Es lo siguiente verdadero o falso? En un modelo de Kripke de tipo G, hay por lo menos un mundo en el cual la descabellada proposición N♂ (♂ es necesariamente verdadera) es realmente verdadera.

24. De la necesidad a la demostrabilidad

El siguiente desarrollo importante en lógica modal después de la semántica modal de Kripke se produjo al principio de la década del 70, cuando se dio a la palabra “necesario” la interpretación de la demostrabilidad. Resulta sorprendente que esto no se pusiera de moda antes, dado que Gödel lo sugirió en un ensayo muy breve publicado en 1933. Gödel utilizó el símbolo “B” en lugar de la “N” de Lewis, y sugirió que Bp fuera interpretada como p es demostrable (en el sistema de la Aritmética, o en alguno de los sistemas estrechamente relacionados investigados por Gödel). Ahora bien, todos esos sistemas son de tipo 4, y por lo tanto los axiomas de son todos correctos según esa interpretación. Sin embargo, los sistemas matemáticos en investigación resultaron ser hasta de tipo G (como descubrió Lob), y así resultó simplemente natural inventar un sistema axiomático modal que los abarcara. De este modo nació el sistema modal G. Lo han estudiado varios lógicos, incluyendo a Claudio Bernardi, George Boolos, D. H. J. de Jongh, Roberto Magari, Franco Montagna, Giovanni Sambin, Krister Segerberg, C. Smorynski y Robert Solovay. La investigación sobre este sistema aún continúa.

A esta altura, nos será útil analizar los sistemas axiomáticos modales con más rigor. El simbolismo de la lógica modal es el de la lógica preposicional, con un nuevo símbolo adicional: consideremos que este símbolo es “B”. (Recordemos que Lewis utilizó el símbolo “N”, y el símbolo más estándar en la actualidad es “□”. Pero prefiero usar el símbolo “B” de Gödel.)

Una fórmula modal —dicho en forma más breve, una fórmula— es una expresión que se construye según las siguientes reglas:

1) ♂ es una fórmula y cada una de las variables preposicionales p, q, r, ... es una fórmula.

2) Si X e Y son fórmulas, también lo es (X⸧Y).

3) Si X es una fórmula, también lo es BX.

Lo que en el capítulo 6 se denominó fórmula ahora puede llamarse fórmula proposicional. Una fórmula proposicional es un caso especial de fórmula modal; es una fórmula en la cual el símbolo B no aparece. Pero de ahora en adelante nos ocuparemos de las fórmulas modales y las llamaremos simplemente fórmulas.

Los conectores lógicos &, ˅, ⸧, ≡ se definen a partir de ⸧ y ♂ como se explicó en el capítulo 8.

Cada sistema modal tiene sus propios axiomas. En cada uno de los sistemas modales que vamos a considerar, se empieza con los axiomas y se demuestran sucesivamente nuevas fórmulas por medio de las dos reglas siguientes:

Regla 1 (conocida como modus ponens). Después de demostrar X y (X⸧Y), podemos inferir X.

Regla 2 (conocida como necesidad). Después de demostrar X, podemos inferir BX.

Una demostración formal en el sistema significa una secuencia finita de fórmulas (que generalmente se escriben verticalmente y se leen de arriba hacia abajo), llamadas líneas de la demostración, tal que cada línea es un axioma del sistema, o proviene de dos líneas anteriores de la demostración según la Regla 1, o proviene de alguna línea anterior de la demostración según la Regla 2. Una fórmula X se denomina demostrable en el sistema si hay una demostración formal cuya última línea es X.

Los tres sistemas que son de particular interés para nosotros son los sistemas K, K4 y G, cuyos axiomas repasamos más abajo.

Axiomas de K:

1) Todas las tautologías.

2) Todas las fórmulas de la forma B(X⸧Y)⸧(BX⸧BY).

Axiomas de K4: Los de K junto con

3) Todas las fórmulas de la forma BX⸧BBX.

Axiomas de G. Los de K4 junto con

4) Todas las fórmulas de la forma B(BX⸧X)⸧BX.

Comentario. Vamos a referirnos a los axiomas del grupo 4) como axiomas especiales de G. Recordemos el Teorema de Kripke-de Jongh-Sambin del capítulo 18, que dice que si un sistema de tipo 3 puede demostrar todos los enunciados de la forma B(BX⸧X)⸧BX, entonces también puede demostrar todos los de la forma BX⸧BBX. De este modo, alternativamente podríamos haber considerado como nuestros axiomas para G aquellos de los grupos 1), 2) y 4); las fórmulas del grupo 3) hubieran sido entonces deducibles. En otras palabras, si agregamos los axiomas de 4) a los de K, en vez de K4, todavía obtendríamos el sistema modal G completo. El sistema G se presenta generalmente en esta forma alternativa.

Análisis. El conocimiento de estos sistemas modales proporciona información sobre los sistemas más comunes de la matemática. El sistema modal K es válido para todo sistema matemático S de tipo 3 (si interpretamos BX como “X es demostrable en S”. De modo similar, el sistema axiomático K4 es válido para todo sistema S de tipo 4, y el sistema axiomático G es válido para todo sistema S de tipo G. Por lo tanto esos sistemas axiomáticos modales proporcionan información útil sobre la demostrabilidad en los tipos más comunes de sistemas matemáticos (que son no modales). Hoy en día los científicos de la computación también se interesan en los sistemas axiomáticos modales por el siguiente motivo. Imaginemos una computadora programada para imprimir varios enunciados, algunos de los cuales son afirmaciones sobre lo que la computadora puede y no puede imprimir. Entonces la interpretación de BX se convierte en: “La computadora puede imprimir X”. Esas computadoras son, por decirlo así, “autorreferentes” y, por eso, son de interés para los que trabajan en inteligencia artificial. Vamos a considerar esos sistemas en un capítulo posterior.

En gran parte de este libro hemos tratado la “creencia” como una modalidad. Empezamos usando “B” para “creído” (por un razonador de tipo apropiado). La lógica modal nos permite un trato unificado de los razonadores que creen proposiciones, computadoras que pueden imprimir proposiciones (o mejor dicho, enunciados que los expresan), y sistemas matemáticos que pueden demostrar proposiciones.

Sistemas modales oracionales. Una oración modal es una fórmula modal en la que no aparece ninguna de las variables proposicionales p, q, r, ... expresiones como B♂⸧♂, B(♂⸧B♂). Por lo tanto todas las oraciones modales se construyen a partir de los cinco símbolos B, ♂, ⸧, (, ). Un sistema modal oracional significa un sistema modal cuyos axiomas son todos oraciones (a partir de lo cual se sigue fácilmente que sólo las oraciones son demostrables). Para todo sistema modal M, suponemos que ● es ese sistema cuyos axiomas consisten en todas las oraciones que son axiomas de M, y cuyas reglas de inferencia son las mismas que las de M (generalmente serán modus ponens y necesidad). Vamos a interesarnos particularmente en los sistemas modales oracionales ░, ░4, y ╙. No resulta difícil demostrar que si M es alguno de esos tres sistemas, entonces toda oración demostrable en M también es demostrable en ●. (El lector podría probar esto ahora como ejercicio: la solución se dará más adelante, en el capítulo 27, cuando necesitemos usar este hecho.)

Volveremos al estudio de sistemas modales después de tratar el fascinante tema de la autorreferencia, el cual veremos en el siguiente capítulo.

Parte X

EL NUCLEO DE LA CUESTION

25. Un universo gödelizado

Ahora consideremos lo que puede llamarse el núcleo de la cuestión; es decir, la autorreferencia. Todavía no le hemos dado al lector ninguna idea de cómo Gödel se las ingenió para construir una oración autorreferente: una oración que afirmaba su propia no demostrabilidad en el sistema en consideración. Lo hizo inventando un método sumamente ingenioso conocido como diagonalización. En este capítulo y en el próximo vamos a considerar el argumento diagonal de Gödel en varias formas.

UN UNIVERSO GÖDELIZADO

Consideremos un universo con una cantidad infinita de razonadores. También hay infinita cantidad de proposiciones sobre ese universo. De modo más específico:

1) ♂ es una de esas proposiciones (y, por supuesto, es falsa).

2) Para cada una de esas proposiciones p y cada razonador R, la proposición que R cree p es una de esas proposiciones.

3) Para proposiciones cualesquiera p y q sobre el universo, p⸧q es nuevamente una proposición sobre el universo y es verdadera si y sólo si p es falsa o q es verdadera.

De ahora en adelante usamos la palabra “proposición” para significar una proposición sobre el universo. Definimos los conectores lógicos ~, &, ˅, ≡ a partir de ⸧ y ♂ como en el capítulo 8.

Para todo razonador R y toda proposición p, sea Rp la proposición que R cree p. Para razonadores cualesquiera R y S y cualquier proposición p, RSp es la proposición que R cree que S cree p. Si incluimos otro razonador K, KRSp es la proposición K cree que R cree que S cree p, y de modo similar si agregamos más razonadores.

Los razonadores se divertían mucho razonando sobre esas proposiciones, pero las cosas eran algo caóticas hasta que un lógico de otro universo visitó su universo y puso las cosas en orden. Lo primero que advirtió fue que los razonadores no tenían nombre, y por lo tanto le asignó un número a cada razonador (es decir, un número entero positivo) conocido como número de Gödel del razonador. Razonadores distintos tenían números distintos y cada número era el número de algún razonador. Ahora los razonadores tenían nombres: R1 es el razonador cuyo número es 1, R2 es el razonador cuyo número es 2, y para cada n, Rn es el razonador cuyo número es n.

Después el lógico ordenó todas las proposiciones sobre el universo en cierta sucesión infinita p1, p2, ..., pn, ... Para cada n, el número n se conocía como el número de Gödel de la proposición pn. Después de hacer esas cosas, el lógico se fue y regresó a su universo natal.

Poco después de la partida del lógico, el más despierto de los habitantes se dio cuenta del siguiente hecho curioso.

Hecho 1. Para cada razonador R, había un razonador R* tal que para cualquier proposición pi, el razonador R* creía pi si y sólo si el razonador R creía que R creía pi. (Es decir, para cada razonador R, había un razonador R* tal que para todo número i, la proposición R*pi≡RRipi es verdadera.)

Este hecho tiene algunas consecuencias interesantes, como revelarán los siguientes problemas.

1. El principio diagonal

Demostrar que para todo razonador R, hay por lo menos una proposición p tal que p≡Rp es verdadera (en otras palabras, p es verdadera si y sólo si R cree p).

2. Razonadores ineptos

Un razonador de este universo se denomina totalmente inepto si cree todas las proposiciones falsas y no cree ninguna verdadera.

Demostrar que ningún razonador de este universo es totalmente inepto.

Se descubrió otro hecho importante sobre este universo poco después de la partida del lógico.

Hecho 2. Para cada razonador R y cada proposición q, hay algún razonador S tal que para cualquier proposición p, S cree p si y sólo si R cree p⸧q. (Por lo tanto Sp≡R(p⸧q) es verdadera.)

3. Principio de Tarski

Un razonador de este universo se denomina perfecto si cree todas las proposiciones verdaderas y no cree ninguna falsa. (Es diametralmente opuesto a un razonador totalmente inepto.)

Durante años los razonadores de este universo se dedicaron a la búsqueda de un razonador perfecto (de su propio universo), pero no pudieron encontrarlo. ¿Por qué no pudieron?

La próxima cosa importante para descubrir sobre este universo es que ciertas proposiciones se denominan establecidas y que hay un razonador E que cree las proposiciones establecidas y sólo ésas.

4

Suponiendo que todas las proposiciones establecidas son verdaderas, demostrar que el conjunto de proposiciones establecidas es incompleto: es decir, debe haber por lo menos una proposición p tal que ni p ni ~p es establecida. (Esto significa también que el razonador E nunca puede creer p y nunca puede creer ~p. Debe resultarle por siempre indecidible si p es verdadera o no.)

Luego se revelaron los dos hechos siguientes.

Hecho I. Para todo razonador R, hay un razonador R* tal que para todo número i, la proposición R*pi≡RRipi es establecida. (Esto se diferencia del Hecho 1 en que ahora decimos establecida en vez de verdadera.)

Hecho II. Para todo razonador R y toda proposición q, hay un razonador S tal que para todo número i, Spi≡R(pi⸧q) es establecida. (Esto se diferencia del Hecho 2 en que decimos establecida en vez de verdadera.)

5

Demostrar que para todo razonador R, hay una proposición p tal que la proposición p≡Rp es establecida.

6

Supongamos que el conjunto de las proposiciones establecidas es de tipo 1.

a) Demostrar que para todo razonador R y toda proposición q, hay una proposición p tal que la proposición p≡R(p⸧q) es establecida.

b) Demostrar que para todo razonador R y toda proposición q, hay una proposición p tal que la proposición p≡(Rp⸧q) es establecida.

Por último, se descubrió el siguiente hecho.

Hecho III. El razonador E era de tipo 4 (y en consecuencia el conjunto de proposiciones establecidas era de tipo 4).

7

Demostrar que el conjunto de proposiciones establecidas es de tipo G.

Ahora observamos que el conjunto de proposiciones establecidas de este universo es de tipo G, y en consecuencia, si este conjunto es consistente, el hecho de que sea consistente, aunque verdadero, no es una de las proposiciones establecidas del universo. De modo equivalente, si el razonador E es consistente, nunca puede saberlo.

RELACION CON LOS SISTEMAS MATEMATICOS

El lector podría preguntarse qué tiene todo esto que ver con la teoría de los sistemas matemáticos. Bueno, supongamos que tenemos un sistema matemático S con todas sus proposiciones ordenadas en cierta sucesión infinita p1, p2, ..., pn, ... Ahora, en lugar de razonadores vamos a considerar ciertas propiedades de las proposiciones; esas propiedades también se ordenan en cierta sucesión infinita R1, R2, ...Rn, ... Para toda propiedad R y toda proposición pj, sea ahora Ripj la proposición que la propiedad Ri es válida para la proposición pj. Supongamos también que la propiedad —llamémosla E— de ser una proposición demostrable del sistema es una de las propiedades en la lista y supongamos que los Hechos I, II y III son válidos reemplazando las palabras “razonador” por “propiedad” y “establecida” por “demostrable” (es decir, demostrable en S). Entonces por un simple cambio de terminología, los argumentos anteriores de este capítulo demuestran que el sistema S debe ser de tipo G.

En realidad, los sistemas investigados por Gödel no comenzaron con propiedades de proposiciones sino con propiedades de números. Sin embargo, por el método de Gödel para numeración de proposiciones, toda propiedad de los números corresponde entonces a cierta propiedad de las proposiciones: para toda propiedad A de números, supongamos que A es la propiedad que es válida para las proposiciones pi tal que A es válida para el número i. Daremos un ejemplo concreto de esto en el próximo capítulo.

La autorreferencia también puede lograrse sin la numeración de Gödel, como se indica en el siguiente ejercicio.

Ejercicio 1. Existe otro universo de razonadores en el que no importa si la cantidad de razonadores es finita o infinita. Algunos de los razonadores son inmortales, pero ningún razonador sabe cuáles razonadores son inmortales, y cuáles son mortales. En realidad, ningún razonador sabe si él mismo es mortal o no. Para todo razonador R, supongamos que R es la proposición que R es inmortal. Para todo razonador R y S, supongamos que RS es la proposición que R cree que S es inmortal; para cualquiera de los tres razonadores R, S y K, supongamos que RS░ es la proposición que R cree que S cree que K es inmortal, y así sucesivamente (si participan más razonadores).

En lugar del Hecho 1 del último universo, tenemos el siguiente hecho para este universo: Para cada razonador R, hay un razonador R* tal que para todo razonador S, el razonador R* cree que S es inmortal si y sólo si R cree que S se cree inmortal (de este modo R*ℓ es verdadera si y sólo si RSℓ es verdadera).

Dado un razonador R, encontrar una proposición p tal que p sea verdadera si y sólo si R cree p.

Nota: Este método de lograr autorreferencia sin la numeración de Gödel pertenece al área de la lógica combinatoria. En mi libro To Mock a Mockingbird puede encontrarse un sinnúmero de problemas autorreferenciales relacionados con este campo.

SOLUCIONES

1. Consideremos un razonador R. Según el Hecho 1, hay un razonador R* tal que para todo número i, el razonador R* cree pi si y sólo si R cree la proposición Ripj. Ahora bien, R* tiene cierto número de Gödel h, y por lo tanto R* es el razonador Rh. Por lo tanto para todo número i, lo siguiente es verdadero:

1) Rh cree pi si y sólo si R cree que Ri cree pi. Dado que eso es cierto para todo número i, también es cierto cuando i es el número h. Por lo tanto tenemos:

2) Rh cree ph si y sólo si R cree que Rh cree ph. Entonces tomamos como p la proposición que Rh cree ph, y observamos que p es verdadera si y sólo si R cree p.

2. Acabamos de ver que para todo razonador R, hay una proposición p tal que p es verdadera si y sólo si R cree p. Esto significa que uno de los dos casos siguientes debe valer: 1) p es verdadera y R cree p; 2) p es falsa y R no cree p. Si 1) es válida, entonces R cree por lo menos una proposición verdadera —es decir, p— y en consecuencia R no es totalmente inepto. Si 2) es válida, entonces hay por lo menos una proposición falsa —es decir, p— tal que R no cree p; en consecuencia R no cree todas las proposiciones falsas, y por lo tanto nuevamente R no es totalmente inepto.

3. Usando el Hecho 2, reemplazamos q por la proposición ♂. Entonces para todo razonador R, hay un razonador R’ (llamado “S” en el Hecho 2) que cree esas y sólo esas proposiciones p tal que R cree p⸧♂. (Puede decirse que esa clase de razonador R’ se opone a R.)

Ahora, supongamos que R fuera perfecto. Entonces para toda proposición p, R cree p⸧♂ si y sólo si p⸧♂ es verdadera, lo que a su vez es cierto si y sólo si p es falsa. Por lo tanto R cree p⸧♂ si y sólo si p es falsa. Además, R’ cree p si y sólo si R cree p⸧♂. Reuniendo estos dos últimos hechos, R’ cree p si y sólo si p es falsa. Esto significa que R’ es totalmente inepto.

De este modo observamos que si el universo contiene un razonador perfecto R, entonces también debe contener un razonador R’ totalmente inepto. Pero hemos demostrado en el problema 2 que el universo no contiene ningún razonador totalmente inepto. Por lo tanto el universo no contiene ningún razonador perfecto.

4. Decimos que un razonador es siempre correcto si no cree ninguna proposición falsa. Ahora consideremos cualquier razonador siempre correcto R. En el problema 3 observamos que ninguno de los razonadores es perfecto, en consecuencia R también es imperfecto. Esto significa que R cree alguna proposición falsa, o que no cree alguna proposición verdadera. Dado que R es siempre correcto, no cree ninguna proposición falsa, en consecuencia debe ocurrir que R no cree alguna proposición verdadera. Esto demuestra que para todo razonador siempre correcto R, hay por lo menos una proposición verdadera p que R no puede creer. Dado que p es verdadera, ~p es falsa, en consecuencia R, por ser siempre correcto, no cree ~p tampoco. Por lo tanto, el sistema de creencias de un razonador siempre correcto R es incompleto. Existe por lo menos una proposición p tal que R ni cree p ni cree ~p; debe resultarle por siempre indecidible si p es verdadera o falsa.

Si suponemos que todas las proposiciones establecidas son verdaderas, el razonador E es siempre correcto (porque cree todas las proposiciones establecidas y ninguna otra). Por lo tanto hay una proposición p tal que E ni cree p ni cree ~p; en consecuencia ni p ni ~p es establecida.

5: La demostración es esencialmente la del problema 1 usando el Hecho I en lugar del Hecho 1.

Dado un razonador R, hay un razonador Rh (llamado R*) tal que para todo número i, la proposición Rhpi≡RRip¡ es establecida. En consecuencia Rhph≡RRhph es establecida. Por lo tanto p≡Rp es establecida, donde p es la proposición Rhph.

6. Supongamos que el conjunto de proposiciones establecidas es de tipo 1.

a) Consideremos cualquier razonador R y cualquier proposición q. Por el Hecho 2, hay un razonador S tal que para toda p, la proposición Sp≡R(p⸧q) es establecida. Además según el problema 5 (poniendo R igual a S), hay una proposición p tal que p≡Sp es establecida. Entonces se sigue que p≡R(p⸧q) es establecida (dado que es una consecuencia lógica de las dos últimas proposiciones).

b) Nuevamente consideremos cualquier razonador R y cualquier proposición q. Según a), hay una proposición —llamémosla p1— tal que p1≡R(p1⸧q) es establecida. En consecuencia (p1⸧q)≡(R(p1⸧q)⸧q) es establecida (recurso que ya hemos usado antes), y así p≡(Rp⸧q) es establecida, donde p es la proposición p1⸧q.

7. Ahora el dato es que E es de tipo 4, en consecuencia indudablemente es de tipo 1. Entonces según b) del último problema, para toda proposición q, hay una proposición p tal que la proposición p≡(Ep⸧q) es establecida: por lo tanto el conjunto de proposiciones establecidas es reflexivo. Y sabemos del capítulo 19 que todo sistema reflexivo de tipo 4 es de tipo G.

26. Algunas notables máquinas lógicas

LA ULTIMA MAQUINA DE FERGUSSON

Al lógico Malcolm Fergusson de mi libro The Lady or the Tiger? le gustaba construir máquinas lógicas para ilustrar los principios importantes de la lógica y la teoría de la demostración.

En ese libro se describió una de esas máquinas. En años posteriores, cuando Fergusson se enteró de los teoremas de Gödel y Löb, empezó inmediatamente a construir una segunda máquina, que le encantaba mostrar a sus amigos. Para su satisfacción demostró que la máquina era una máquina consistente y estable de tipo G, y disfrutaba particularmente demostrando que la máquina, aunque era consistente, nunca podía demostrar su propia consistencia. La máquina ilustra en forma muy simple e instructiva las ideas esenciales detrás del primero y del segundo Teorema de la Incompletitud de Gödel así como del Teorema de Löb. Por esta razón, me resulta particularmente grato comunicarle los detalles al lector.

La máquina imprime varias oraciones construidas a partir de diecisiete símbolos. Los primeros siete símbolos son los siguientes:

P

♂

⸧

(

)

d

,

1

2

3

4

5

6

7

Debajo de cada uno de estos siete símbolos, he escrito su número de Gödel. Los diez símbolos restantes son los conocidos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. A estos dígitos se les asignan los números de Gödel del siguiente modo: El número de Gödel de 1 es 89 (8 seguido por un 9); el número de Gödel de 2 es 899 (8 seguido por dos 9; y así sucesivamente, hasta 0, cuyo número es 89999999999 (8 seguido por diez 9). De este modo cada uno de los diecisiete símbolos tiene un número de Gödel. Dada una expresión compleja se encuentra el número de Gödel reemplazando cada símbolo por su número de Gödel: por ejemplo, el número de Gödel de (P♂⸧♂) es 412325. Otro ejemplo, el número de Gödel de P35 es 18999899999. Para toda expresión E, № significa el número de Gödel de E (escrito como una hilera de los dígitos 1, 2, ..., 0). No todos los números son los números de Gödel de una expresión (por ejemplo, 88 no es el número de Gödel de ninguna expresión). Si n es el número de Gödel de una expresión, a veces nos referiremos a la expresión como la expresión na. (Por ejemplo, Pd es la expresión 16ª; 1 es la expresión 2a.)

La máquina es autorreferida en el sentido de que las oraciones que imprime expresan proposiciones sobre lo que la máquina puede y no puede imprimir. Una expresión se denomina imprimible si la máquina puede imprimirla. El símbolo “P” significa “imprimible”, y para toda expresión E construida a partir de los diecisiete símbolos, si queremos escribir una oración que afirme que E es imprimible, no escribimos PE, sino PE (es decir, P seguida por el número de Gödel E). Por ejemplo, una oración que afirma que (P♂⸧♂) es imprimible es P☼◘♠⊗♠♀; es decir, P412325.

Para expresiones cualesquiera X e Y, Fergusson definió la diagonalización de X con respecto a Y como la expresión (X(◦,⊕)⸧Y). El símbolo “d” es la abreviatura de “diagonalización” —y para expresiones cualesquiera X e Y, la expresión Pd(◦,⊕) es una oración que expresa la proposición que la diagonalización de X con respecto a Y es imprimible.

Ahora vamos a definir lo que significa que una expresión sea una oración y lo que significa que una oración sea verdadera.

1) ♂ es una oración y ♂ es falsa.

2) Para expresiones cualesquiera X, la expresión P◦ es una oración y es verdadera si y sólo si la expresión X es imprimible.

3) Para expresiones cualesquiera X e Y, la expresión Pd(◦,⊕) es una oración y es verdadera si y sólo si la expresión (X(◦,⊕)⸧Y) —que es la diagonalización de X con respecto a Y— es imprimible.

4) Para toda oración X e Y, la expresión (X⸧Y) es una oración y es verdadera si y sólo si o X no es verdadera o Y es verdadera.

Debe entenderse que ninguna expresión es una oración salvo que el hecho de serlo sea una consecuencia de las citadas reglas. Los conectores lógicos ~, &, ˅, ≡ se definen a partir de ⸧ y ♂ en la forma que se explicó en el capítulo 8.

Ahora damos las reglas para lo que la máquina puede imprimir. La máquina está programada para imprimir una lista infinita de oraciones consecutivamente. Ciertas oraciones llamadas axiomas pueden imprimirse en cualquier etapa del proceso. Entre los axiomas están todas las tautologías. (De este modo para toda tautología X, la máquina puede imprimir X siempre que lo desee, independientemente de lo que haya o no haya impreso en alguna etapa previa.) Luego, la máquina está programada para oraciones cualesquiera X e Y, si la máquina en cierta etapa, ya ha impreso X y X⸧Y, entonces puede imprimir Y. Por lo tanto la máquina es de tipo 1 (en el sentido de que la clase de oraciones imprimibles es de tipo 1). Dado que es cierto que si X y X⸧Y son ambas imprimibles, también lo es Y, entonces la oración (P◦&P(◦⊗⊕))⸧PY es verdadera; o, lo que es lo mismo, la oración P(◦⊗⊕)⸧(P◦⸧P⊕) es verdadera (las dos oraciones son lógicamente equivalentes). La máquina “conoce” la verdad de todas las oraciones de la forma P(◦⊗⊕)⸧(P◦⸧P⊕) y las considera axiomas, por lo tanto la máquina es de tipo 2. Luego, si la máquina llega a imprimir una oración X, “sabe” que ha impreso X y tarde o temprano imprimirá la oración verdadera P◦. (La oración P◦ es verdadera, dado que X ha sido impresa.) Y así la máquina es normal, por lo tanto es de tipo 3. Dado que la máquina es normal, entonces para toda oración X, la oración P◦⸧PP◦ es verdadera. Por lo tanto la máquina es inicialmente “consciente” de la verdad de todas esas oraciones y las considera axiomas a todas. En consecuencia la máquina es de tipo 4.

Hay algo más que puede hacer la máquina, y esto es absolutamente crucial. Para expresiones cualesquiera X e Y, la oración Pd(◦,⊕) es verdadera si y sólo si (X(◦,⊕)⸧Y) es imprimible, lo que a su vez es cierto si y sólo si la oración P☼◦,⊕♀⊗⊕♀ es verdadera. Por lo tanto la siguiente oración es verdadera: Pd(◦,⊕)≡P☼◦☼◦,⊕♀⊗⊕♀.

La máquina conoce la verdad de todas esas oraciones y las considera axiomas. Esos axiomas se denominan axiomas diagonales.

Ahora repasemos sistemáticamente todos los axiomas y operaciones de la máquina:

Axiomas.

Grupo 1. Todas las tautologías.

Grupo 2. Todas las oraciones de la forma P(◦⊗⊕)⸧(P◦⸧P⊕).

Grupo 3. Todas las oraciones de la forma P◦⸧PP◦.

Grupo 4 (los axiomas diagonales). Todas las oraciones de la forma Pd(◦,⊕)≡P(X(◦,⊕♀⊗⊕), donde X e Y son expresiones cualesquiera (no necesariamente oraciones).

Reglas de operación.

1) Los axiomas pueden imprimirse en cualquier etapa.

2) Dadas las oraciones X y (X⸧Y) ya impresas, la máquina puede entonces imprimir Y.

3) Dada una oración X ya impresa, la máquina puede imprimir P◦.

Estas son todas las reglas que gobiernan la imprimibilidad de la máquina. Debe entenderse que la única forma en que la máquina puede imprimir una oración X en una etapa dada es siguiendo una de las reglas citadas. Es decir, X es imprimible en una etapa dada sólo si una de las tres condiciones siguientes es válida: 1) X es un axioma; 2) hay una oración Y tal que Y y (Y⸧X) han sido ambas impresas en una etapa previa; 3) hay una oración Y tal que X es la oración P⊕ e Y ha sido impresa en una etapa previa.

Comentario. Para cada oración X, sea BX la oración P◦. El símbolo “B” no es parte del lenguaje de la máquina; lo usamos para hablar de la máquina. Usamos “B” para representar la operación que le asigna a cada oración X la oración P◦. Cuando decimos que la máquina es de tipo 4, queremos decir que es de tipo 4 con referencia a esa operación B. Esencialmente, sin los axiomas diagonales, el sistema axiomático de esta máquina es el sistema modal K4. Veremos que el hecho de agregar los axiomas diagonales nos da todo el poder del sistema modal G.

Demostrabilidad. Hemos definido para cada oración lo que significa que la oración sea verdadera, y por lo tanto cada oración expresa una proposición definida, que podría ser verdadera o podría ser falsa. Decimos que la máquina demuestra una proposición si imprime alguna oración que expresa la proposición. Por ejemplo, la oración ~P2 expresa la proposición que la máquina es consistente (dado que 2 es el número de Gödel de ♂), y por lo tanto si la máquina imprimiera ~P2, demostraría su propia consistencia. Si la máquina imprimiera P2, entonces demostraría su propia inconsistencia.

Decimos que la máquina es siempre correcta si todas las proposiciones demostrables por la máquina son verdaderas. Decimos que la máquina es consistente si no puede demostrar ♂, y que la máquina es estable si para toda oración X, si P◦ es imprimible, también lo es X.

Reflexividad. Ahora pasemos a la demostración de que la máquina es gödeliana, en realidad, reflexiva.

1. La oración G de Gödel

Encontrar una oración G tal que la oración G≡~P╙ —es decir, la oración G≡(P╙⸧♂)— es imprimible.

2. Reflexividad

Demostrar que para toda oración Y, hay una oración X tal que la oración X⸧(P◦⸧Y) es imprimible.

Soluciones. El problema 1 es un caso especial del problema 2; por lo tanto primero resolveremos el problema 2. Supongamos que Y es cualquier oración. Para toda expresión Z, la oración Pd(℅,⊕)≡P☼℅☼℅,⊕♀⊗⊕♀ es imprimible (porque es uno de los axiomas diagonales). Reemplazamos Z por la expresión Pd, y por lo tanto Pd(◘d,⊕)≡P☼◘d☼◘d,⊕♀⊗⊕♀ es imprimible. Como la máquina es de tipo 1, resulta entonces que la siguiente oración es imprimible: (Pd(◘d,⊕)≡P☼◘d☼◘d,⊕♀⊗⊕♀⸧Y).

De este modo la oración X≡(P◦⸧Y) es imprimible, donde X es la oración (Pd(◘d,⊕)⸧Y).

El problema 1 es un caso especial de 2, reemplazando Y por ♂. Por lo tanto la oración de Gödel g para esta máquina es Pd(◘d,♂)⸧♂, es decir, la oración (Pd(l6,2)⸧♂).

Observemos más de cerca la notable oración de Gödel G. En primer lugar, ¿qué dice la oración Pd(l6,2)? Dice que la diagonalización de la expresión 16ª con respecto a la expresión 2ª es imprimible. Ahora bien, la expresión 16ª es Pd y la expresión 2ª es ♂, y por lo tanto Pd(l6,2) dice que la diagonalización de Pd con respecto a ♂ es imprimible, pero esta diagonalización es la oración (Pd(l6,2)⸧♂), es decir, la propia oración G. Y por lo tanto Pd(l6,2) dice que G es imprimible, en consecuencia (Pd(l6,2)⸧♂) —que es la oración G— dice que G no es imprimible (o, lo que es lo mismo, que la imprimibilidad de G implica falsedad). Por lo tanto G dice que G no es imprimible; G es verdadera si y sólo si G no es imprimible. Por lo tanto G afirma su propia no imprimibilidad. Aquí, en pocas palabras, está el ingenioso método de Gödel de lograr la autorreferencia.

La oración G≡~PG —es decir, la oración G≡(P╙⸧♂)— no sólo es verdadera, sino realmente imprimible (es uno de los axiomas diagonales). Dado que la máquina es normal y de tipo 1, sigue del Primer Teorema de la Incompletitud de Gödel (Teorema 1, problema 2, capítulo 20) que si la máquina es consistente, entonces G no es imprimible, y si la máquina además es estable, entonces ~G tampoco es imprimible. Y por lo tanto si la máquina es consistente y estable a la vez, la oración G es indecidible en el sistema de oraciones que la máquina puede imprimir.

Ahora bien, la máquina es en realidad de tipo 4, y dado que es gödeliana —la oración G≡~P╙ es imprimible— sigue entonces del Segundo Teorema de la Incompletitud de Gödel (cuarta parte del Resumen I*, capítulo 13) que si la máquina es consistente, entonces no puede demostrar su propia consistencia, es decir, no puede demostrar la oración ~P2. Además, si la máquina es consistente, entonces la oración ~P2 es verdadera, y así es otro ejemplo de una oración verdadera que la máquina no puede imprimir.

Además, la máquina es reflexiva (problema 2) y al ser de tipo 4, debe ser de Löb (según el Teorema de Löb), y por lo tanto para toda oración X, si P◦⸧X es imprimible, también lo es X. Entonces se sigue según el Teorema M1, capítulo 18, que la máquina es de tipo G.

LA CORRECCION DE LA MAQUINA

Hemos demostrado que si la máquina de Fergusson es consistente, entonces no puede demostrar su propia consistencia; pero ¿cómo sabemos si la máquina es consistente o no? Ahora demostraremos que la máquina no sólo es consistente, sino siempre correcta; es decir, que toda oración impresa por la máquina es verdadera.

Ya hemos demostrado que todos los axiomas de la máquina son verdaderos, pero repasemos cuidadosamente los argumentos: Los axiomas del Grupo 1 son todos tautologías, en consecuencia son indudablemente verdaderos. Con respecto a los axiomas del Grupo 2, decir que P(◦⊗⊕)⸧(P◦⸧P⊕) es verdadera es decir que si P(◦⊗⊕) y P◦ son ambas verdaderas, también lo es PY, lo cual significa que si (X⸧Y) y X son ambas imprimibles, también lo es Y. Esto es obviamente cierto en virtud de la operación 2. Por lo tanto los axiomas del Grupo 2 son todos verdaderos. Con respecto a los axiomas del Grupo 3, decir que P◦⸧PP◦ es verdadera es decir que si P◦ es verdadera, también lo es PPX, lo que a su vez significa que si X es imprimible, también lo es P◦; y esto realmente es cierto, en virtud de la operación 3. Con respecto a los axiomas diagonales Pd(◦,⊕) es verdadera si y sólo si (X(◦,⊕)⸧Y) es imprimible, lo cual es cierto si y sólo si P(◦☼◦,⊕♀⊗⊕) es verdadera. Por lo tanto Pd(◦,⊕)≡P(◦☼◦,⊕♀⊗⊕) es verdadera.

Ahora sabemos que todos los axiomas de la máquina son verdaderos, pero tenemos que demostrar que todas las oraciones imprimibles son verdaderas.

Recordemos que la máquina imprime oraciones en varias etapas. Ahora queremos establecer el siguiente lema, teorema y corolario.

Lema. Si X es una oración impresa en cierta etapa y todas las oraciones impresas antes de esa etapa son verdaderas, entonces X también es verdadera.

Teorema 1. Toda oración impresa por la máquina es verdadera.

Corolario. La máquina es consistente y estable.

3

¿Cómo se demuestran los citados lema, teorema y corolario?

Soluciones. En primer lugar demostramos el lema: Consideremos la hipótesis de que todas las oraciones previamente impresas son verdaderas; tenemos que demostrar que X es verdadera.

Caso 1. X es un axioma. Entonces X es verdadera (como ya hemos demostrado).

Caso 2. Existe una oración Y tal que Y y (Y⸧X) ya han sido impresas. Entonces según la hipótesis formulada, Y y (Y⸧X) son ambas verdaderas; en consecuencia X debe ser verdadera.

Caso 3. X es de la forma P⊕, donde Y es una oración que ha sido previamente impresa. Dado que Y ha sido impresa, entonces P⊕ es verdadera; es decir, X es verdadera.

Con esto concluye la demostración del lema.

Demostración del Teorema 1. La máquina está programada para imprimir todas las oraciones imprimibles en cierta sucesión infinita definida X1, X2, ..., Xn, ...; Xn significa la oración impresa en la etapa n. Ahora bien, la primera oración impresa por la máquina (la oración X1) debe ser un axioma (dado que la máquina no ha impreso otras oraciones todavía), en consecuencia debe ser verdadera. Si la citada lista infinita llegara a contener alguna oración falsa, entonces debe haber un número n menor tal que Xn sea falsa; es decir, debe haber una primera oración falsa que imprime la máquina. Sabemos que n no es igual a 1 (dado que X1 es verdadera); en consecuencia n es mayor que 1. Esto significa que la máquina imprime una oración falsa en una etapa n pero sólo ha impreso oraciones verdaderas en etapas previas. Pero esto contradice al lema. Por lo tanto la máquina nunca puede imprimir oraciones falsas.

Demostración del Corolario. Dado que la máquina es siempre correcta (según el Teorema 1), entonces ♂ nunca puede imprimirse, porque ♂ es falsa. Por lo tanto la máquina es consistente.

Luego, supongamos que P◦ es imprimible. Entonces P◦ es verdadera (según el Teorema 1), lo cual significa que X es imprimible. Por lo tanto la máquina es estable.

Ahora vemos que la máquina de Fergusson es consistente, pero nunca puede demostrar su propia consistencia. Por lo tanto ustedes y yo (así como Fergusson) sabemos que la máquina es consistente, ¡pero la pobre máquina no lo sabe!

LA VARIANTE DE CRAIG

Cuando el inspector Craig (un buen amigo de Fergusson) se enteró de la máquina de Fergusson, se le ocurrió una interesante variante, que no necesita de la numeración de Gödel. La máquina de Craig utilizaba simplemente los siguientes seis símbolos:

P ♂ ⸧ ( ) R

Sus definiciones de oración y oración verdadera están dadas por las siguientes reglas:

1) X es una oración y ♂ no es verdadera.

2) Para oraciones cualesquiera X e Y, (X⸧Y) es una oración y es verdadera si y sólo si X no es verdadera o Y es verdadera.

3) Para toda oración X, PX es verdadera si y sólo si la máquina puede imprimir X.

4) Para oraciones cualesquiera X e Y, la expresión (XRY) es una oración y se declara verdadera si y sólo si la máquina puede imprimir ((XRX⸧Y).

A primera vista podría parecer que 4) es circular, dado que la verdad de (XRX) se define en términos de una expresión que implica la letra R; pero esa circularidad sólo es aparente. Si Craig hubiera dicho que (XRY) es verdadera si y sólo si ((XRX)⸧Y) es verdadera, la definición hubiera sido circular, dado que no podríamos saber lo que significa que (XRY) sea verdadera sin saber primero lo que significa que (XRX) sea verdadera. Pero Craig no hizo eso. El hecho es que para oraciones cualesquiera X e Y, o la expresión ((XRX)⸧Y) es imprimible o no. El símbolo “R” representa la relación que hay entre X e Y cuando ((XRX)⸧Y) es imprimible. Por lo tanto Craig no define la relación R en términos de sí misma, sino en términos del símbolo “R”, y eso no constituye ninguna circularidad.

Los primeros tres grupos de axiomas de la máquina de Craig son los mismos que los del sistema modal K4 (donde oración significa oración en el lenguaje de la máquina del sistema de Craig). Por lo tanto son como los primeros tres grupos de axiomas de la máquina de Fergusson, eliminando las rayas sobre X, Y, Z. El cuarto grupo de axiomas de Craig puede interpretarse como:

4’) (axiomas diagonales de Craig). Todas las oraciones de la forma (XRY)≡P((XRX)⸧Y).

Por supuesto todos los axiomas diagonales de Craig son oraciones verdaderas.

Las reglas de operación de la máquina de Craig son las mismas que las de la máquina de Fergusson.

4

a) Demostrar que la máquina de Craig es reflexiva (y en consecuencia también de tipo G, dado que es de tipo 4).

b) Encontrar una oración de Gödel para la máquina de Craig (es decir, una oración G tal que G≡~PG es imprimible por la máquina de Craig).

Solución.

a) dado que para todas las oraciones X e Y, la oración (XRY≡P((XRX)⸧Y) es imprimible (es un axioma diagonal), entonces también es cierto si ocurre que X es la propia oración Y. Por lo tanto (YRY)≡P((YRY)⸧Y) es imprimible, y entonces también lo es la oración ((YRY⸧Y)≡(P(YRY)⸧Y)⸧Y), luego Z≡(PZ⸧Y) es imprimible, donde Z es la oración ((YRY)⸧Y).

b) Reemplazando ♂ por Y, obtenemos la oración de Gödel ((♂R♂)⸧♂).

Nota: Los axiomas de la máquina de Craig también son todos verdaderos, y por el mismo razonamiento que usamos para la máquina de Fergusson, puede observarse que toda oración imprimible por la máquina de Craig es verdadera. Por lo tanto la máquina de Craig también es consistente y estable (y de tipo G).

5. La observación de McCulloch

Cuando Walter McCulloch (un amigo de Craig y Fergusson) se enteró de la máquina de Craig, hizo la siguiente observación interesante: Dadas todas las oraciones X e Y en las que no aparece el símbolo “R”, hay una oración Z en la cual “R” no aparece, tal que la oración (XRY≡Z) es imprimible. (Esto implica, en particular, que para cualquier oración X hay una oración X’ en la cual “R” no aparece tal que X≡X’ es imprimible por la máquina de Craig.)

¿Pueden demostrar que la observación de McCulloch es correcta?

Solución. En la solución del problema 8 del capítulo 19 demostramos que todo sistema de tipo G que puede demostrar p≡B(p⸧q) puede demostrar p≡Bq. (Demostramos eso para los razonadores, pero el mismo argumento sirve para los sistemas.) Ahora bien, el sistema de Craig es de tipo G, y para toda oración X, la oración (XRX)≡P((XRX)⸧X) es imprimible, y por lo tanto si reemplazamos p por (XRX) y q por X, se sigue que (XRX)≡PX es imprimible. A partir de esto resulta que ((XRX)⸧Y)≡(PX⸧Y) es imprimible, y en consecuencia (por la regularidad) P((XRX)⸧Y)≡P(PX⸧Y) es imprimible. Pero además (XRY)≡P((XRX)⸧Y) es imprimible; en consecuencia (XRY)≡(PX⸧Y) es imprimible. Si ahora el símbolo “R” no aparece ya sea en X o Y, entonces no aparece en P(PX⸧Y), y por lo tanto tomamos Z igual a P(PX⸧Y).

27. Sistemas modales autoaplicados

Inspirado por las máquinas lógicas de Craig y Fergusson, ahora voy a considerar los sistemas axiomáticos modales según el punto de vista de las interpretaciones autorreferentes.

Recordemos que una oración modal —más brevemente, una oración— significa una fórmula modal sin variables preposicionales. Ahora decimos que una oración modal es verdadera para un sistema modal M si es verdadera cuando interpretamos que B es demostrable en M. Por lo tanto:

1) ♂ es falsa para M.

2) Para oraciones modales cualesquiera X e Y, la oración X⸧Y es verdadera para M si y sólo si o X no es verdadera para M o Y es verdadera para M.

3) Para toda oración X, la oración BX es verdadera para M si y sólo si X es demostrable en M.

Nota: Una oración X puede ser verdadera para un sistema modal M sin ser demostrable en M, y viceversa. Por ejemplo, la oración ~B♂ es verdadera para M si y sólo si M es consistente. Decir que ~B♂ es demostrable en M es decir que M puede demostrar su propia consistencia. En seguida veremos que el sistema modal G es consistente, y por lo tanto la oración ~B♂ es verdadera para G. Pero la oración ~B♂ no es demostrable en G. Por otro lado, todo sistema modal inconsistente de tipo 1 puede demostrar todas las oraciones, en consecuencia la oración ~B♂ en particular. En este caso la oración ~B♂ es demostrable en el sistema, pero no verdadera para el sistema.

Ahora consideremos un sistema modal M1 y un sistema modal M2 (posiblemente el mismo que M1 o posiblemente diferente). Decimos que M1 es correcto para M2 si toda oración demostrable en es verdadera para M2. Y decimos que un sistema modal M es autorreferentemente correcto si M es correcto para M; en otras palabras, si toda oración demostrable en M es verdadera para M.

Todo sistema autorreferentemente correcto debe ser consistente (porque si ♂ fuera demostrable en el sistema, el sistema no podría ser autorreferentemente correcto, dado que ♂ es falsa para el sistema) y también debe ser estable (porque si BX es demostrable en el sistema y el sistema es autorreferentemente correcto, entonces BX debe ser verdadera para el sistema, lo que significa que X es demostrable en el sistema). Y por lo tanto todo sistema autorreferentemente correcto es automáticamente consistente y estable a la vez.

La corrección autorreferente tiene una curiosa característica. Resulta posible que un sistema M sea autorreferentemente correcto; sin embargo si alguno de los axiomas se eliminara, el sistema resultante ya no sería autorreferentemente correcto. Por ejemplo, podríamos tener un axioma que afirme que un segundo axioma es demostrable en el sistema; si este segundo axioma se elimina, el primer axioma podría convertirse en falso.

Algunos sistemas autorreferentemente correctos. Recordemos los sistemas modales oracionales ░, ░€, y ╙ descritos en el capítulo 24 (son como los sistemas K, K4, y G, excepto que todos los axiomas se reducen a oraciones). Ahora nuestra meta es demostrar que esos tres sistemas son autorreferentemente correctos (a partir de lo cual, entre paréntesis, podremos demostrar que los sistemas K, K4 y G son autorreferentemente correctos).

Si ● es alguno de esos tres sistemas axiomáticos ░, ░€, ╙, para demostrar que ● es autorreferentemente correcto, basta demostrar que todos los axiomas de M son verdaderos para ●: la razón de esto es una consecuencia del siguiente lema, que también tiene otras aplicaciones.

Lema A. Supongamos que ●○ es cualquier sistema modal oracional cuyas únicas reglas de inferencia son modus ponens (a partir de X y X⸧Y podemos inferir Y) y la regla de necesidad (a partir de X podemos inferir BX). Supongamos que M2 es cualquier sistema modal tal que todas las oraciones demostrables en ●○ son demostrables en M2 y tal que todos los axiomas de ●○ son verdaderos para M2. Entonces todas las oraciones demostrables en ●○ son verdaderas para M2; es decir ●○ es correcto para M2.

Corolario Ar Para todo sistema modal oracional ● cuyas únicas reglas de inferencia son modus ponens y necesidad, si todos los axiomas de ● son verdaderos para ●, entonces ● es autorreferentemente correcto.

1

Demostrar el Lema A. (Pista: La demostración es esencialmente igual al argumento que dimos en el último capítulo para demostrar que todas las oraciones demostrables de la máquina de Fergusson eran verdaderas, una vez que establecimos que todos los axiomas de la máquina eran verdaderos.)

Solución. Consideremos cualquier sucesión X1, ..., Xn de oraciones que constituye una demostración en el sistema ●○. Observaremos que la primera línea X1 debe ser verdadera para M2, luego la segunda línea X2 debe ser verdadera para M2, luego la tercera línea X3, y así sucesivamente hasta la última.

La primera línea debe ser un axioma, en consecuencia es verdadero para M2 por hipótesis. Ahora consideremos la segunda línea X2. O es un axioma de ●○ (en cuyo caso es verdadero para M2), o debe ser la oración BX1, en cuyo caso es indudablemente verdadera para M2 dado que X1 ya ha sido demostrada en M1, y es en consecuencia demostrable en M2. Ahora sabemos que las primeras dos líneas son verdaderas para M2. Ahora consideremos la tercera línea X3. Si es un axioma de ●○ o es de la forma BY, donde Y es una línea anterior (X1 o X2), entonces X3 es verdadera para M2 por las mismas razones que antes. Si X3 no es ninguna de las dos cosas, entonces debe inferirse a partir de X1 y X2 por modus ponens, y dado que ya sabemos que X1 y X2 son verdaderas para M2, se sigue que X3 es verdadera para M2. (Indudablemente, para toda oración X e Y, si X y X⸧Y son ambas verdaderas para M2, entonces Y es verdadera para M2.) Ahora sabemos que las tres primeras líneas de la demostración son todas verdaderas para M2, y al saberlo, la verdad de X4 puede establecerse por el mismo argumento. Entonces, conociendo la verdad de las cuatro primeras líneas, obtenemos de modo similar la verdad de la quinta y así sucesivamente hasta llegar a la última línea.{6} Así concluye la demostración del Lema A.

La corrección autorreferente de los sistemas ░, ░€ y ╙ se sigue a partir del Corolario A, y del siguiente lema.

Lema B. Para todo sistema modal M:

a) Si M es de tipo 1, entonces todos los axiomas de ░ son verdaderos para M.

b) Si M es normal y de tipo 1, entonces todos los axiomas de ░€ son verdaderos para M.

c) Si M es de tipo G, entonces todos los axiomas de ╙ son verdaderos para M.

2

¿Por qué es correcto el Lema B?

Solución, a) Supongamos que el conjunto de oraciones demostrables de M sea cerrado por modus ponens. Todas las tautologías son obviamente verdaderas para M (son verdaderas para todo sistema modal sea cual fuere). Los otros axiomas de ░ son oraciones de la forma (BX&B(X⸧Y))⸧BY, o alternativamente B(X⸧Y)⸧(BX⸧BY) (realmente no importa). Decir que (BX&B(X⸧Y))⸧BY es verdadera para M es decir que si X es demostrable en M y X⸧Y es demostrable en M, también lo es Y. Bueno, esto es cierto, dado que las oraciones demostrables de M son cerradas por modus ponens.

b) Supongamos que M es un sistema normal de tipo 1. Entonces todos los axiomas de ░ son verdaderos para M, por a). Los otros axiomas de ░4 son las oraciones de la forma BX⸧BBX. Pues bien, decir que tal oración es verdadera para M es decir que si BX es verdadera para M, también lo es BBX. En otras palabras, si X es demostrable en M, también lo es BX. Esto ocurre porque M es normal.

c) Supongamos que M es de tipo G. Entonces es indudablemente de tipo 4, por lo tanto por b), todos los axiomas de ░€ son verdaderos para M. Los axiomas restantes de ╙ son oraciones de la forma B(BX⸧X)⸧BX, y decir que es verdadera para M es decir que si BX⸧X es demostrable en M, también lo es X. En otras palabras, que M es de Löb. En el capítulo 19 demostramos que todo sistema de tipo G es de Löb. Así concluye la demostración del Lema B.

Seguimos suponiendo que M es alguno de los sistemas K, K4, o G. Entonces ● es respectivamente ░, ░€, o ╙.

Corolario B1. Todos los axiomas de ● son verdaderos para ●.

Corolario B2. Todos los axiomas de ● son verdaderos para ●.{7}

Demostraciones. Dado que ░, ░€, y ╙ son respectivamente de tipo 1, normales y de tipo 1, y de tipo G, el Corolario B1 es inmediato a partir del Lema B. Además los sistemas K, K4, y G son respectivamente de tipo 1, normales y de tipo 1, y de tipo G, y por lo tanto también tenemos el Corolario B2.

A partir del Corolario B1 y del Corolario A1, ahora tenemos el Teorema 1.

Teorema 1. Los sistemas ░, ░€, y ╙ son todos autorreferentemente correctos.

Corolario. Los sistemas ░, ░€ y ╙ son consistentes y estables.

Ahora tenemos un tercer ejemplo de sistema consistente y estable de tipo G; justamente, el sistema modal ╙ (los otros dos sistemas son las máquinas del último capítulo). Pronto veremos que el sistema modal G también es autorreferentemente correcto (en consecuencia también es consistente y estable a la vez).

Espero que ahora el lector advierta plenamente lo absurdo que es dudar de la consistencia de un sistema sobre la simple base de que no puede demostrar su propia consistencia.

Los sistemas K, K4 y G. Para establecer la corrección autorreferente de los sistemas K, K4, y G procedemos de la siguiente manera. En primer lugar, el Lema A tiene otro corolario.

Corolario A2. Supongamos que M es cualquier sistema modal cuyas únicas reglas de inferencia son modus ponens y necesidad. Entonces, si todos los axiomas de ● son verdaderos para M, todas las oraciones demostrables de ● son verdaderas para M.

Se sigue a partir del Corolario A2 y el Corolario B2 que si M es alguno de los sistemas modales K, K4, o G, entonces todas las oraciones demostrables en ● son verdaderas para M. Pero eso no es todo. Resta demostrar que si M es cualquiera de esos tres sistemas, entonces toda oración demostrable en M también es demostrable en ● (hecho que fue afirmado sin demostración al final del capítulo 19). Una vez hecho esto, estará completa la demostración de la corrección autorreferente de K, K4, y G.

3

¿Por qué es cierto que si una oración es demostrable en M (M es K, K4, o G) entonces es demostrable en ●?

Solución. Puede verse por inspección de cualquiera de estos tres sistemas que si X es un axioma de M, entonces reemplazando las variables preposicionales en X por oraciones cualesquiera (poniendo la misma oración cada vez que aparece la misma variable, por supuesto), entonces la oración resultante es también un axioma de M y por lo tanto de ●. Tomemos ahora una oración particular, digamos T, y para cualquier fórmula X sea X’ el resultado de reemplazar todas las variables preposicionales por T. Por supuesto si X es ella misma una oración, tomamos X’ igual a X. Ahora observamos los siguientes hechos: 1) Si X es un axioma de M, entonces X’ es un axioma de ●. 2) Para fórmulas cualesquiera X e Y, la oración (X⸧Y)’ es la oración X’⸧Y’, y por lo tanto para fórmulas cualesquiera X, Y, y Z, si Z es inferible a partir de X e Y por modus ponens, entonces Z’ es inferible a partir de X’ e Y’ por modus ponens. 3) Para toda fórmula X, la oración (BX)’ es la oración BX’ (es decir, B seguida por X’), y por lo tanto si Y es inferible a partir de X por la regla de necesidad, entonces Y’ es derivable de X’ por la regla de necesidad. Por lo tanto se sigue que dada cualquier sucesión X1, ..., Xn de fórmulas, si esta sucesión constituye una demostración en el sistema M, entonces la sucesión X1’, X2’, ..., Xn’ constituye una demostración en ●. Y por lo tanto, si X es una fórmula demostrable en M, la oración X’ es entonces demostrable en ●. Si, además, ocurre que X es una oración, entonces X’=X, y en consecuencia X misma es demostrable en ●. Esto demuestra que toda oración demostrable en M es demostrable en ●.

Parte XI

FINAL

28. Sistemas modales, máquinas y razonadores

En el próximo capítulo tropezaremos con algunos razonadores realmente muy extraños. Para poder apreciarlos plenamente, primero consideremos el tema de los razonadores mínimos.

RAZONADORES MINIMOS DE VARIOS TIPOS

Una oración modal X no es en sí misma ni verdadera ni falsa; expresa una proposición definida sólo una vez que se le da una interpretación al símbolo “B”. Hemos definido una oración como verdadera para un sistema modal M si es verdadera cuando “B” se interpreta como demostrabilidad en M. Siempre hemos entendido que una oración modal es verdadera para un razonador si es verdadera cuando “B” se interpreta como creída por el razonador.

Decir que una oración es verdadera para un razonador significa algo totalmente diferente a decir que es creída por el razonador. Por ejemplo, decir que ~B♂ es verdadera para un razonador es decir que el razonador es consistente, mientras que decir que ~B♂ es creída por un razonador es decir que el razonador cree que es consistente.

Una máquina puede programarse fácilmente para imprimir todas y sólo aquellas oraciones demostrables en el sistema modal G dándole a la máquina estas instrucciones:

1) En cualquier etapa, puede imprimirse cualquier axioma de ╙.

2) Si en alguna etapa se han impreso las oraciones X y (X⸧Y), entonces puede imprimirse Y.

3) Si en alguna etapa se ha impreso X, entonces puede imprimirse BX.

(La máquina puede así recibir más instrucciones que garanticen que todo lo que puede hacer tarde o temprano lo hará, y por lo tanto toda oración demostrable en ╙ finalmente será impresa por la máquina.) Digamos que tal máquina es una máquina ╙.

Ahora bien, imaginemos un razonador que mira constantemente la salida de información de la máquina. Sin embargo, no interpreta BX como “X es imprimible por la máquina”, o como “X es demostrable en ╙”, sino como “Yo creo X”. (Piensa que la máquina está imprimiendo oraciones sobre él.) Hace lo que podríamos llamar una interpretación egocéntrica de las oraciones modales.

Luego supongamos que el razonador tiene absoluta confianza en que la máquina sabe lo que él cree y por lo tanto siempre que la máquina imprime una oración X, la cree inmediatamente (según la interpretación egocéntrica, por supuesto). Su sistema de creencias incluirá entonces todas las oraciones demostrables en ╙. Esto no garantiza que sea de tipo G (puede no ser normal aun cuando cree que lo es, y hasta puede no ser de tipo 1, aun cuando crea que lo es). Por supuesto si cree correctamente todas las oraciones demostrables en ╙, entonces es fácil ver que es de tipo G.

Pero ahora, supongamos que cree todas y sólo aquellas oraciones imprimibles por la máquina; su sistema de creencias coincide entonces exactamente con el conjunto de oraciones demostrable en ╙, y dado que ╙ es de tipo G, entonces él debe ser de tipo G. Decimos que un tal razonador es un razonador mínimo de tipo G. Dado que el sistema ╙ es autorreferentemente correcto (como demostramos en el capítulo anterior), se sigue que un razonador mínimo de tipo G debe ser siempre correcto en sus creencias. Además se sigue que todo razonador mínimo de tipo G es tanto consistente como estable.

Ahora observemos que el concepto de razonador estable, consistente de tipo G no implica una contradicción lógica. Un razonador de tipo G no es necesariamente consistente (en realidad, todo razonador inconsistente inclusive de tipo 1 también es de tipo G ya que cree todo) pero un razonador mínimo de tipo G es tanto consistente como estable.

Ahora consideremos un razonador que es de tipo G y que no pierde de vista la salida de información de la máquina (y que interpreta todas las oraciones modales egocéntricamente). ¿Creerá necesariamente todas esas oraciones (según la interpretación egocéntrica)? Bueno, resulta fácil verificar que cree todos los axiomas de ╙. (En realidad, en el capítulo 11 demostramos que todo razonador de tipo 4 sabe que es de tipo 4; en consecuencia creerá todos los axiomas de ░€. Un razonador de tipo G también cree que es modesto, lo que significa que creerá todas las oraciones de la forma B(BX⸧X)⸧BX, y por lo tanto cree todos los axiomas de ╙.) Y dado que la máquina imprime oraciones que no son axiomas sólo usando las reglas de modus ponens y necesidad, y las creencias del razonador son cerradas por modus ponens, y es normal, entonces creerá consecutivamente toda oración que se imprima. (Si alguien llega a interrumpir el proceso y le pide al razonador su opinión sobre la máquina, el razonador responderá: “La máquina es verdaderamente sorprendente. Todo lo que ha impreso sobre mí hasta ahora es verdadero.”)

Así vemos que un razonador de tipo G realmente cree todas las oraciones demostrables en ╙.

Supongamos ahora, que una oración modal X es creída por todos los razonadores de tipo ╙; ¿se sigue que X es realmente demostrable en G? La respuesta es sí, dado que si X es creída por todos los razonadores de tipo G, entonces debe ser creída por un razonador mínimo de tipo G, y en consecuencia debe ser demostrable en ╙. Y así ahora vemos que una oración es demostrable en G si y sólo si es creída por todos los razonadores de tipo G. Dicho de otra forma, cualquier razonador mínimo de tipo G cree aquellas y sólo aquellas oraciones que son creídas por todos los razonadores de tipo G.

Por supuesto, cuando dos razonadores diferentes consideran la misma oración modal, la interpretan en forma diferente: cada uno interpreta que “B” se refiere a sus propias creencias (del mismo modo en que la palabra “yo” tiene distintas referencias cuando la usan distintas personas). Y por lo tanto cuando hablamos de una oración modal creída por todos los razonadores de tipo G, queremos decir creída por cada uno según su propia interpretación egocéntrica.

Por supuesto todo lo que hemos dicho sobre el sistema modal ╙ y los razonadores de tipo G también es válido para el sistema modal ░€ y los razonadores de tipo 4: Una oración es demostrable en ░€ si y sólo si es creída por todos los razonadores de tipo 4. Del mismo modo, una oración es demostrable en ░ si y sólo si es creída por todos los razonadores de tipo 3.

MAS SOBRE SISTEMAS MODALES Y RAZONADORES

Los resultados de los problemas en el resto de este capítulo no son necesarios para comprender los próximos dos capítulos, pero son interesantes por sí mismos.

1

Supongamos que las creencias de un razonador son cerradas por modus ponens y que para todo axioma X de ░€, el razonador cree X y también cree que cree X. ¿Creerá necesariamente todas las oraciones que son creídas por todos los razonadores de tipo 4? (Recordar que puede no ser normal.) La respuesta se da después del Problema 2.

2

Ahora, reemplacemos K4 por ╙. ¿Creerá necesariamente el citado razonador todas las oraciones que son creídas por todos los razonadores de tipo G?

La respuesta a estos problemas la proporciona un conocido teorema sobre los sistemas modales K4 y G (y que también se aplica a ░€ y ╙), que vamos a enunciar y cuya demostración esbozaremos.

Sea M cualquier sistema modal cuyas únicas reglas de inferencia son modus ponens y necesidad. Sea M’ el sistema modal cuyos axiomas son los axiomas de M junto con todas las fórmulas BX, donde X es un axioma de M, y cuya única regla de inferencia es modus ponens. Es obvio que todo lo demostrable en M’ es demostrable en M (porque para todo axioma X de M, BX también es demostrable en M, y por lo tanto todos los axiomas de M’ son demostrables en M), pero en general no es cierto que todo lo demostrable en M sea demostrable en M’. Sin embargo, tenemos el siguiente resultado interesante:

Teorema 1. Si todos los axiomas de K4 son demostrables en M, entonces es cierto que todo lo demostrable en M es demostrable en M’ (y en consecuencia los sistemas M y M’ demuestran exactamente las mismas fórmulas).

¿Puede el lector descubrir cómo demostrar el Teorema 1?

(Pista: Demostrar primero que si X es demostrable en M, entonces BX es demostrable en M’. Hacerlo demostrando que para toda demostración X1, .... X en M, todas las fórmulas BX1, ..., BXn son consecutivamente demostrables en M’.)

Una demostración más detallada. Dado que el modus ponens es una regla de M’ y todas las tautologías están entre los axiomas de M’, entonces M’ es claramente de tipo 1. Además las tres condiciones siguientes son válidas para M’:

1) Si BX y B(X⸧Y) son demostrables en M’, también lo es BY, porque B(X⸧Y)⸧(BX⸧BY) es un axioma de M’ y M’ es de tipo 1.

2) Si BX es demostrable en M’, también lo es BBX, porque BX⸧BBX es un axioma de M’ y M’ es de tipo 1.

3) Si X es un axioma de M, entonces BX es demostrable en M’, porque es un axioma de M’.

Ahora, supongamos que una sucesión X1, ..., Xn de fórmulas constituye una demostración en M. Cada línea de la demostración proviene o de dos líneas anteriores por modus ponens, o de una línea anterior por la regla de necesidad, o es ella misma un axioma de M. Utilizando los hechos 1), 2), y 3) precedentes, se sigue fácilmente que BX1 debe ser demostrable en M’; luego que BX2 es demostrable en M’, luego que BX3 es demostrable en M’, y así sucesivamente hasta BXn. Dejamos la verificación de esto a cargo del lector.

Ahora sabemos que si X es demostrable en M, entonces BX es demostrable en M’. Por lo tanto, si X es demostrable en M’, entonces BX es demostrable en M’ (porque si X es demostrable en M’, también es demostrable en M). Y por lo tanto observamos que M’ es normal (aun cuando la regla de necesidad no es un dato para M’)- Entonces, dada cualquier demostración X1, …, Xn en M, resulta fácil ver que cada una de las líneas X1, ..., Xn mismas puede demostrarse consecutivamente en M’. (Dejamos la verificación a cargo del lector.)

Corolario. Las fórmulas demostrables de K4 y K4’ son las mismas. Las fórmulas demostrables de G y G’ son las mismas.

El siguiente teorema y su corolario pueden demostrarse por un argumento similar.

Teorema 1. Para todo sistema modal oracional ● en el cual todos los axiomas de ░€ son demostrables, y en el que modus ponens y necesidad son las únicas reglas de inferencia, las oraciones demostrables de ● son las mismas que las oraciones demostrables de ●’.

 Corolario. Las oraciones demostrables de ░€ son las mismas que las de ░€’. Las oraciones demostrables de G son las mismas que las de ╙’.

Por supuesto el corolario anterior da una respuesta afirmativa a los problemas 1 y 2.

Observamos en virtud del corolario del Teorema 1 que los sistemas modales K4 y G pueden axiomatizarse alternativamente usando sistemas cuya única regla de inferencia es modus ponens.

29. Razonadores extraños

RAZONADORES QUE SON CASI DE TIPO G

Decimos que un razonador es casi de tipo G si cree todas las oraciones creídas por todos los razonadores de tipo G (o, lo que es lo mismo, si cree todas las oraciones demostrables en el sistema modal ╙) y si sus creencias son cerradas por modus ponens. Lo que puede impedirle ser un razonador de tipo G es que quizá no sea normal.

Como demostraremos, un razonador que es casi de tipo G, a diferencia de un razonador que es de tipo G, puede creer que es consistente sin perder su consistencia. Pero entonces debe padecer otro defecto: no puede ser normal.

Ahora vamos a examinar este tema con más detalle.

1

Dado un razonador consistente que es casi de tipo G y que cree que es consistente, encontrar una proposición p tal que el razonador cree p; pero nunca puede saber que cree p.

2

Un razonador anormal debe no creer por lo menos una proposición verdadera, porque hay una proposición p tal que cree p pero no puede creer Bp, aunque Bp es verdadera (dado que cree p). Por lo tanto no puede creer la proposición verdadera Bp.

Entonces se sigue a partir del último problema que dado un razonador consistente que es casi de tipo G y cree que es consistente, debe haber por lo menos una proposición verdadera que no puede creer. Más sorprendente es el hecho de que debe haber por lo menos una proposición falsa que sí cree.

¿Qué proposición falsa debe creer?

Ejercicio 1. Determinar si lo siguiente es verdadero o falso: Todo razonador no normal de tipo 1 es consistente.

Ejercicio 2. Determinar si lo siguiente es verdadero o falso: Todo razonador no normal de tipo 1 que cree todos los axiomas de ░€ debe creer por lo menos una proposición falsa.

RAZONADORES QUE SON DE TIPO G*

Como veremos, un razonador que es casi de tipo G no sólo puede creer en su propia consistencia sin ser necesariamente inconsistente; hasta puede creer que es siempre correcto sin ser necesariamente inconsistente.

Decimos que un razonador es de tipo G* si es casi de tipo G y cree todas las oraciones de la forma BX⸧X (cree que es siempre correcto). En otras palabras, un razonador de tipo G* es un razonador de tipo 1 que cree todas las oraciones demostrables en G y cree todas las oraciones de la forma BX⸧X.

Esa clase de razonador también, por supuesto, debe creer la oración B♂⸧♂ y dado que es casi de tipo G, entonces lo que hemos demostrado en la solución de los problemas 1 y 2 también es válido para él. Y por lo tanto hemos establecido el Teorema 1.

Teorema 1. Un razonador consistente de tipo G*:

a) Cree que es consistente, pero nunca puede saber que cree que es consistente.

b) También cree la proposición falsa B~B♂⸧BB~B♂ (es decir, cree erróneamente: “Si llego a creer que soy consistente, entonces creeré que creo que soy consistente”).

Le recordamos al lector que la oración B~B♂⸧BB~B♂ es falsa para un razonador consistente de tipo G*, dado que B~B♂ es verdadera (cree que es consistente), pero BB~B♂ es falsa (no cree que cree que es consistente).

Por supuesto se deduce a partir del Teorema 1 que todo razonador de tipo G* debe tener por lo menos una creencia falsa, porque si es consistente entonces la tiene (por el Teorema 1), y si es inconsistente, sin duda la tiene.

Razonadores mínimos de tipo G*. Llámanos sistema modal G* al sistema cuyos axiomas son todas las fórmulas demostrables de G junto con todas las fórmulas de la forma BX⸧X, y cuya única regla de inferencia es modus ponens. Sea ╙♣ el sistema G* cuyos axiomas se reducen a oraciones: es decir, los axiomas de ╙♣ son todas las oraciones demostrables en ╙, más todas las oraciones de la forma BX⸧X. La única regla de inferencia de ╙♣ es modus ponens. (Podemos demostrar fácilmente por medio de un argumento similar al usado en el capítulo 27 que las oraciones demostrables de ╙* son las mismas que las oraciones demostrables de G*.) Llamamos razonador mínimo de tipo G* a un razonador que cree aquellas y sólo aquellas oraciones demostrables en ╙♣. Resulta fácil demostrar que todos los razonadores de tipo G* deben creer todas las oraciones demostrables en ╙♣ (“creer” en este caso cae en la interpretación egocéntrica, por supuesto). Por lo tanto un razonador es un razonador mínimo de tipo G* si y sólo si cree aquellas y sólo aquellas oraciones que son creídas por todos los razonadores de tipo G*.

Dado que todo razonador de tipo G* tiene por lo menos una creencia falsa, también la tiene un razonador mínimo de tipo G*. En consecuencia se sigue que existe por lo menos una oración demostrable en ╙♣ que es falsa para ╙♣ (falsa, cuando “B” se interpreta como demostrabilidad en ╙♣). Y por lo tanto tenemos el Teorema 2.

Teorema 2. El sistema modal ╙♣ no es autorreferentemente correcto.

A la luz del Teorema 2, el lector bien puede preguntarse cómo el sistema modal ╙♣ podría servir para algo. Bueno, el hecho de que existe una oración demostrable de ╙♣ que es falsa para ╙♣ no significa que no haya alguna otra interpretación de “B” en la cual todas las oraciones demostrables de ╙♣ sean verdaderas. ¿Hay alguna interpretación así? Sí, la hay, y es muy importante.

Teorema 3. Toda oración demostrable en ╙♣ es verdadera para el sistema modal ╙.

Esto significa que toda oración demostrable en ╙♣ es verdadera si “B” se interpreta como demostrabilidad en ╙, en vez de en ╙♣.

3

¿Por qué es correcto el Teorema 3?

El teorema 4 es un fácil corolario del Teorema 3.

Teorema 4. El sistema ╙♣ es consistente.

4

¿Por qué el Teorema 4 es un corolario del Teorema 3?

Por supuesto, el Teorema 4 implica que todo razonador mínimo de tipo G* es consistente. Y por lo tanto un razonador mínimo de tipo G* es consistente, cree que es consistente, pero nunca puede creer que cree que es consistente (por el Teorema 2). Dicho alternativamente en términos del sistema modal ╙♣: es consistente, puede demostrar su propia consistencia, pero nunca puede demostrar que puede demostrar su propia consistencia. Además, el sistema modal ╙♣ no es normal.

La completitud de ╙♣ para ╙. Ahora vamos a enunciar un resultado más amplio cuya demostración desafortunadamente trasciende el alcance de este libro.

Dados dos sistemas modales M1 y M2, dijimos que M1 es correcto para M2 si toda oración demostrable en M1 es verdadera para M2. Decimos que M1 es completo para M2 si toda oración que es verdadera para M2 es realmente demostrable en M1.

El Teorema 3 dice que el sistema modal ╙♣ es correcto para el sistema modal ╙. Bueno, también resulta ser completo para ╙: toda oración verdadera para ╙ es demostrable en ╙♣. Y por lo tanto las oraciones demostrables de ╙♣ son precisamente las oraciones que son verdaderas para ╙. Por lo tanto una oración es demostrable en ╙♣ si y sólo si es verdadera para todos los razonadores de tipo G.

RAZONADORES DE TIPO Q (RAZONADORES RAROS)

Definimos un razonador raro —o razonador de tipo Q— como un razonador de tipo G que cree que es inconsistente. ¿Puede un razonador raro ser consistente? Pronto veremos que sí. Por supuesto, todo razonador raro es normal.

Definimos el sistema modal ◙ como el sistema modal G con la oración B1 agregada como axioma. Definimos un razonador mínimo de tipo Q a un razonador que cree aquellas y sólo aquellas oraciones demostrables en el sistema modal ◙ o, lo que es lo mismo, un razonador que cree todas y sólo aquellas oraciones creídas por todos los razonadores de tipo Q.

Teorema 5. El sistema modal ◙ no es autorreferentemente correcto, pero es consistente.

5

¿Por qué es verdadero el Teorema 5?

Por supuesto se deduce del Teorema 5 que todo razonador mínimo de tipo Q es consistente, aunque cree que no lo es.

Comparación. Resulta divertido e instructivo comparar a los razonadores mínimos de los tipos G, G* y Q.

1) Un razonador mínimo de tipo G es consistente, pero nunca puede saberlo.

2) Un razonador mínimo de tipo G* es consistente, cree que es consistente, pero nunca puede saber que cree que es consistente.

3) Un razonador mínimo de tipo Q cree que es inconsistente, pero está equivocado: realmente es consistente.

SOLUCIONES

1. Una proposición p de esa clase es la proposición que el razonador es consistente.

Se nos dice que cree ~B♂ y tenemos que demostrar que si es consistente, no puede creer B~B♂. Bueno, dado que cree todas las oraciones demostrables en G, ciertamente cree todas las tautologías, y dado que sus creencias son cerradas por modus ponens, obviamente es de tipo 1. Cree ~B♂, por lo tanto cree BX⸧X. Si creyera B~BX, creería B(BX⸧X). Sin embargo cree B(B♂⸧♂)⸧B♂ (porque cree todas las oraciones demostrables en G). Y por lo tanto creería entonces B(B♂⸧♂) y creería B(B♂⸧♂)⸧B♂, en consecuencia creería B♂. Pero dado que cree ~B♂, sería inconsistente.

Esto demuestra que si cree B~BX, sería inconsistente. Pero se nos dice que es consistente; en consecuencia nunca puede creer B~B♂ (aun cuando B~B♂ sea verdadera).

2. B~B♂ es verdadera, pero dado que no la cree, entonces BB~B♂ es falsa; en consecuencia B~B♂⸧BB~B♂ es falsa. Pero debe creer esta oración (porque es de la forma BX⸧BBX donde X≡~B♂), en consecuencia es un axioma de G. Y por lo tanto cree la oración falsa B~B♂⸧BB~B♂. (Cree erróneamente: “Si creyera que soy consistente, entonces creería que creo que soy consistente”. Esta creencia es errónea, dado que en realidad sí cree que es consistente, pero no cree —y nunca creerá— que cree que es consistente.)

A propósito, por el mismo argumento, cualquier razonador no normal que cree todas las oraciones demostrables en K4 debe tener por lo menos una creencia falsa. Existe cierta p tal que cree p pero no cree Bp, por lo tanto Bp⸧BBp es falsa (para esa clase de razonador), sin embargo es un axioma de K4, y el razonador por lo tanto lo cree. Esto responde el Ejercicio 2.

Ejercicio 1. Es verdad. Si fuera inconsistente y de tipo 1, creería todas las proposiciones, en consecuencia no existiría ninguna proposición p tal que crea p y no crea Bp (porque cree tanto p como Bp, dado que cree todo). Por lo tanto todo razonador inconsistente de tipo 1 debe ser normal. Dicho de otra forma, todo razonador no normal de tipo 1 es consistente.

3. En el último capítulo demostramos que G es autorreferentemente correcto, en consecuencia:

1) Todas las oraciones demostrables en ╙ son verdaderas para ╙.

Además:

2) Todas las oraciones de la forma BX⸧X son verdaderas para ╙.

La razón para 2) es que si BX es verdadera para ╙, entonces X es demostrable en ╙ (eso es lo que significa que BX sea verdadera para ╙), y X por lo tanto debe ser verdadera para ╙ (dado que G es autorreferentemente correcto). Y por lo tanto, si BX es verdadera para ╙, también lo es X, lo cual significa que BX⸧X es verdadera para ╙.

En virtud de 1) y 2), todo axioma de ╙♣ es verdadero para ╙. Dado que la única regla de inferencia de ╙♣ es modus ponens, y dado que el conjunto de oraciones que es verdadero para ╙ es cerrado por modus ponens (si X y X⸧Y son verdaderas para ╙, entonces obviamente Y es verdadera para ╙), se sigue que toda oración demostrable en ╙♣ debe ser verdadera para ╙. Por lo tanto el sistema ╙♣ es correcto para ╙.

4, Dado que ╙♣ es correcto para ╙, entonces si ♂ fuera demostrable en ╙♣, sería verdadera para ╙, lo cual es absurdo. Por lo tanto ♂ no es demostrable en ╙♣, y por lo tanto ╙♣ es consistente (aun cuando no es autorreferentemente correcto).

5. El sistema ◙ es de tipo G, y por lo tanto por c) del Lema B, capítulo 27, todos los axiomas de ╙ son verdaderos para ◙.

Ahora, supongamos momentáneamente que la oración B♂ es verdadera para ◙. Entonces obtenemos la siguiente contradicción: Si B♂ es verdadera para ◙, entonces dado que todos los otros axiomas de Q (es decir, los axiomas de ╙) son verdaderos para ◙, tendríamos que todos los axiomas de ◙ son verdaderos para ◙. Entonces, por el corolario A1 del Lema A, capítulo 27, el sistema ◙ sería autorreferentemente correcto. Y por lo tanto, si B♂ es verdadera para ◙, entonces ◙ es autorreferentemente correcto. Por otro lado, decir que B♂ es verdadera para ◙ es decir que ♂ es demostrable en ◙, y dado que ♂ es obviamente falsa para ◙, esto significaría que Q no es autorreferentemente correcto. Por lo tanto es contradictorio suponer que B♂ es verdadera para Q. En consecuencia B♂ es falsa para ◙. Lo cual significa que ♂ no es demostrable en ◙, y por lo tanto ◙ debe ser consistente. Pero además B♂ es un axioma de ◙; en consecuencia por supuesto es demostrable en ◙ y, dado que es falsa para ◙, entonces ◙ no es autorreferentemente correcto. Y por lo tanto vemos que ◙ es consistente pero no autorreferentemente correcto.

30. Retrospectiva

Iniciamos este estudio con los razonadores introspectivos y hemos terminado en los laberintos de la lógica modal. Resumamos algunos de los puntos principales que hemos aprendido en el viaje.

1. Un sistema gödeliano siempre correcto de tipo 1 no puede demostrar su propia corrección: es decir, no puede demostrar todas las proposiciones de la forma BX⸧X.

2. Todo sistema gödeliano de tipo 1 que puede demostrar que él mismo es siempre correcto no sólo es incorrecto, sino peculiar; es decir, debe haber una proposición p tal que p y ~Bp son ambas demostrables.

3. Todo sistema gödeliano de tipo 1* que puede demostrar su propia no peculiaridad es peculiar.

4. (Según el Primer Teorema de la Incompletitud de Gödel.) Todo sistema gödeliano consistente, estable y normal de tipo 1 debe ser incompleto. De modo más específico, si S es un sistema normal de tipo 1 y p es una proposición tal que p≡~Bp es demostrable en S, entonces:

a) Si S es consistente, p no es demostrable en S.

b) Si S es consistente y estable, entonces ~p tampoco es demostrable en S.

5. (Según el Segundo Teorema de Gödel.) Ningún sistema gödeliano de tipo 4 puede demostrar su propia consistencia.

6. Un sistema gödeliano de tipo 4 puede hasta demostrar que si es consistente, entonces no puede demostrar su propia consistencia; es decir, puede demostrar la proposición ~B♂⸧~B(~B♂).

7. (Según Löb.) Si S es un sistema reflexivo de tipo 4, entonces para toda proposición p del sistema, si Bp⸧p es demostrable en el sistema, también lo es p.

8. Un sistema de tipo 4 es reflexivo si y sólo si es de tipo G.

9. Un sistema de tipo 4 es de Löb si y sólo si es de tipo G.

10. (Según Kripke, de Jongh, Sambin.) Todo sistema de tipo 3 en el que todas las proposiciones de la forma B(BX⸧X)⸧BX son demostrables debe ser de tipo 4 (y en consecuencia de tipo G).

11. Un sistema consistente de tipo G no puede demostrar ninguna proposición de la forma ~BX; en particular, no puede demostrar su propia consistencia.

12. Un sistema estable y consistente de tipo G no puede demostrar su propia consistencia ni su propia inconsistencia.

13. (Teoremas de la solidez semántica.) Para toda fórmula modal X, si X es demostrable en K, entonces es válida en todos los modelos de Kripke; si es demostrable en K4, es válida en todos los modelos transitivos; y si es demostrable en G, entonces es válida en todos los modelos terminales transitivos.

14. Es cierto que existen sistemas estables consistentes de tipo G: por ejemplo, la máquina de Fergusson y Craig, y el sistema modal ╙. Estos sistemas, aunque son consistentes, no pueden demostrar su propia consistencia.

15. Los sistemas modales ░, ░€, y ╙ no sólo son consistentes y estables, sino autorreferentemente correctos. Lo mismo vale para los sistemas K, K4, y G.

16. Ninguno de los sistemas ╙* o ◙ es autorreferentemente correcto, pero ambos son consistentes. El sistema ◙ es normal, pero el sistema ╙♣ no lo es.

17. a) Un razonador mínimo de tipo G es consistente, pero nunca puede saberlo.

b) Un razonador mínimo de tipo G* es consistente y cree que es consistente, pero nunca puede saber que cree que es consistente.

c) Un razonador mínimo de tipo Q cree que es inconsistente, pero es en realidad consistente.

Esto parece un buen punto final. Hay muchas más cosas fascinantes sobre el sistema modal G. Por lejos, la mejor referencia general que existe actualmente es The Unprovability of Consistency de Boolos, que recomiendo sinceramente para leer a continuación de este libro. Para estimular la curiosidad del lector, voy a darles un ejemplo de un magnífico resultado —un teorema de punto fijo— cuya demostración puede encontrarse allí.

Consideremos una fórmula modal con una sola variable proposicional, digamos la letra p. Denotemos esa fórmula como A(p). Para toda oración modal S, A(S) significa el resultado de poner S cada vez que aparece p en A(p). Por ejemplo, si A(p) es la fórmula p⸧Bp, entonces A(S) es la oración BS⸧S. Decimos que una oración S se denomina punto fijo de A(p) si la oración S≡A(S) es demostrable en G. En el problema 4 del capítulo 19, le pedimos al lector que encontrara una proposición p tal que todo razonador de tipo G creyera p≡~Bp, y encontramos que ~B♂ era una solución. Por lo tanto todo razonador de tipo G creerá ~B♂≡~B~B♂, y así esta oración es demostrable en G. Esto significa que ~B♂ es un punto fijo de la fórmula ~Bp. La fórmula B~p también tiene un punto fijo, que es B♂, como descubrimos en la solución del problema 5, capítulo 19. Para el lector podría resultar un ejercicio provechoso tratar de demostrar que la fórmula Bp⸧B♂ tiene un punto fijo, a saber BB♂⸧B♂.

No toda fórmula A(p) tiene un punto fijo, por ejemplo, la fórmula ~p no lo tiene (de lo contrario el sistema G sería inconsistente, lo cual sabemos que no es así). Ahora bien, una fórmula A(p) se denomina modalizada en p si p sólo aparece en la parte de A(p) de la forma BX, donde X es una fórmula. [Ejemplos: Bp⸧BBp es modalizada en p; Bp⸧p no lo es, pero B(Bp⸧p) lo es.] Los lógicos Claudio Bernardi y C. Smorynski han demostrado en forma independiente que toda fórmula A(p) que es modalizada en p tiene un punto fijo S. Además, la fórmula B(p≡A(p))⸧B(p≡S) es demostrable en G. Este resultado se conoce como el “Teorema del Punto Fijo de Bernardi-Smorynski”.

Los puntos fijos son algo notable. En virtud de la corrección autorreferente del sistema G, todo punto fijo S de una fórmula A(p) no sólo es demostrable en G si y sólo si A(S) es demostrable, sino también verdadera (para G) si y sólo si A(S) es verdadera, porque la demostrabilidad de S≡A(S) implica su verdad. Digamos que una fórmula A(p) vale para una oración S si A(S) es verdadera (para G). Un punto fijo de una fórmula puede entonces considerarse como una oración que afirma que la fórmula vale para esa misma oración.

De modo más general, consideremos una fórmula A(p,q) que no tiene más variables proposicionales que p y q. Para toda fórmula X, A(X,q) significa el resultado de reemplazar p por X en A(p,q) Un punto fijo de A(p,q) significa una fórmula H que no tiene otra variable más que q, tal que la fórmula H≡A(H,q) es demostrable en G. Los lógicos D. H. J. de Jongh y Giovanni Sambin han demostrado que si A(p,q) es modalizada en p (pero no necesariamente en q), entonces A(p,q) tiene un punto fijo H; además, la fórmula B(p≡A(p,q))⸧B(p≡H) es demostrable en G.

Ya hay ejemplos conocidos desde el capítulo 19. Bq es un punto fijo de B(p⸧q), por el problema 6, y Bq⸧q es un punto fijo de Bp⸧q, por el problema 7. En realidad, la reflexividad es equivalente a la existencia de un punto fijo para Bp⸧q. Lo notable es que para un sistema modal de tipo 4, la existencia de un punto fijo sólo para la fórmula Bp⸧q basta para garantizar puntos fijos para todas las fórmulas A(p,q) que son modalizadas en p. Una demostración de este caso también puede encontrarse en Boolos.

COMENTARIOS FINALES

Espero haberle dado al lector alguna idea de por qué estos sistemas modales son tan interesantes. Hemos visto que pueden interpretarse tanto internamente (autorreferentemente) como externamente (aplicados a la demostrabilidad en otros sistemas matemáticos), así como a los procesos de razonamiento, tanto para los seres naturalmente inteligentes (algunos humanos y otros animales) como para mecanismos artificialmente inteligentes (tales como las computadoras).

Las aplicaciones que esto pueda tener en el campo de la psicología es algo que bien podría merecer una investigación más amplia.

Es una feliz vuelta del destino que la lógica modal, que históricamente surgió de intereses puramente filosóficos, haya resultado ser tan importante hoy en día en la teoría de la demostración y la ciencia de la computación. Esto fue una consecuencia de los Teoremas de Gödel y Löb y del trabajo de aquellos que posteriormente han considerado la teoría de la demostración a partir del enfoque teórico modal. Y ahora hasta aquellos filósofos que en el pasado miraron con desaprobación la importancia de la lógica modal están obligados a reconocer su importancia matemática.

La antigua oposición filosófica a la lógica modal se ha basado aproximadamente en tres creencias enteramente diferentes (e incompatibles): Primero, están aquellos que creen que todo lo verdadero es necesariamente verdadero, y en consecuencia no hay ninguna diferencia entre verdad y verdad necesaria. Después, están aquellos que creen que nada es necesariamente verdadero, y en consecuencia que para toda proposición p, la proposición Np (p es necesariamente verdadera) directamente es falsa. Y en tercer lugar, están aquellos que afirman que las palabras “necesariamente verdadera” no significan absolutamente nada. Y por lo tanto cada uno de esos tipos filosóficos ha rechazado la lógica modal según sus propios puntos de vista. Hasta un conocido filósofo tiene fama de haber sugerido que la lógica modal moderna fue concebida en pecado. A lo cual Boolos ha respondido apropiadamente: “Si la lógica modal moderna se concibió en pecado, entonces ha sido redimida por Gödel”.{8}

Editorial Gedisa ofrece los siguientes títulos sobre el

TEMA

HUMOR Y ENTRETENIMIENTO “SERIO”

perteneciente a sus diferentes colecciones y series

Los libros de esta sección tienen dos notas sobresalientes: por un lado, su humor inteligente y ágil, que interesa a lectores exigentes; por otro lado, una reivindicación del juego como actividad compatible con la cultura.

JEAN-PIERRE ALEM

Juegos de ingenio y entretenimiento matemático

JEAN-PIERRE ALEM

Nuevos juegos de ingenio y entretenimiento matemático

BEATRIZ DOUMERC Y

AYAX BARNES

La línea

B. M. NASH Y R. MONCHICK

El libro de los tests. Conózcase a usted mismo

B. M. NASH Y R. MONCHICK

El libro de los tests. Usted y los otros

PAULA DELSOL

Horóscopos chinos

F. T. MARINETTI Y FILLIÁ

La cocina futurista

JAMES L. ADAMS

Guía y juegos para superar bloqueos mentales

JAMES FIXX

Juegos de recreación mental para los muy inteligentes

NICHOLAS FALLETTA

Paradojas y juegos

ANATOLY KARPOV

Cómo aprender de las derrotas

RAYMOND SMULLYAN

Juegos y problemas de ajedrez para Sherlock Holmes

RAYMOND SMULLYAN

Juegos de ajedrez y los misteriosos caballos de Arabia

MARTIN GARDNER

Juegos y enigmas de otros mundos

MARTIN GARDNER

Juegos. Los mágicos números del Dr. Matrix

J. FRIANT E Y. L’HOSPITALIER

Juegos lógicos en el mundo de la inteligencia artificial

J. FRIANT E Y. L’HOSPITALIER

Juegos lógicos en el mundo de la inteligencia artificial

J. HLLLMAN Y CH. BOER

La cocina del inconsciente

A. ROUSTAN Y WOLINSKY

La cocina del amor

RAYMOND SMULLYAN

Juegos por siempre misteriosos

Notas

{1} En la colección: Para imitar a un pájaro imitador.

{2} Un lema es una proposición que se demuestra no tanto por sí misma sino como ayuda para demostrar teoremas ulteriores. Se podría decir que un lema es una proposición que no tiene el “suficiente prestigio” para denominarse teorema. [T.]

{3} The Unprovability of Consistency, Cambridge University Press, 1979, pág. 154.

{4} Estos son casos especiales de un hecho notable que se discute en el último capítulo.

{5} Las demostraciones de los teoremas de completitud para las lógicas modales K, K, y G pueden encontrarse en The Unprovability of Consistency de George Boolos (Cambridge University Press, 1979), y una demostración muy simplificada para G puede encontrarse en Computability and Logic de George Boolos y Richard C. Jeffrey (Cambridge University Press, 1980, segunda edición).

{6} Este tipo de argumento se conoce como inducción matemática.

{7} Ambos corolarios son iguales… Creo que debe ser error de impresión. Posiblemente el B2 sea: «Todos los axiomas de ● son verdaderos para M». [Sargont]

{8} Gödliness usa el autor en un juego de palabras intraducible, ya que, además de la referencia implícita a Gödel, significa religiosidad, devoción. [T.]