Esta obra contiene una propuesta práctica, útil para cualquier persona, a fin de examinar y remodelar sus propios modos de pensamiento de forma sistemática, eliminando obstáculos y llegando a establecer hábitos mentales verdaderamente eficaces en su propio ámbito de acción. Miguel de Guzmán, inspirado en el ejercicio del pensamiento típico de la matemática, a la que dedicó muchos años de trabajo, trata de transmitir al lector aquellos elementos de la creatividad y de las estrategias de la actividad matemática que son transferibles a otros campos. La asimilación de tales aspectos tiene lugar mediante la implantación de hábitos y normas prácticas a través de ejemplos bien estructurados. La obra no tiene como centro la matemática, sino el pensamiento más eficaz. El autor muestra a lo largo de la obra cómo la exploración de los propios métodos de pensamiento es una tarea fascinante que puede configurar la actitud mental de quien la practique, con el resultado añadido de lograr pensar mejor y más eficazmente.

Miguel de Guzmán

Para pensar mejor

Desarrollo de la creatividad a través de los procesos matemáticos

Título original: Para pensar mejor

Miguel de Guzmán, 1994

Revisión: 1.0

29/05/2024

Dedicado a María Luisa, mi madre

Prólogo

Pensar mejor es un objetivo deseable y realizable. La intención de este libro es proporcionarte una guía práctica para saber dónde aplicar tu esfuerzo para conseguirlo más eficazmente.

Nuestro dinamismo difícilmente se pone en marcha si no estamos intelectualmente convencidos de que lo que pretendemos hacer tiene sentido, es posible y puede efectivamente reportarnos algún beneficio. Por ello, aunque mi intención en todo el desarrollo de esta obra es eminentemente práctica, he creído conveniente fundamentar y motivar las diferentes tareas que se proponen mediante algunas consideraciones que pueden resultar útiles y alentadoras. Con todo, he tratado de evitar largas disquisiciones teóricas que un tratamiento científico profundo hubiera exigido.

Las observaciones y reflexiones que se presentan están fundamentalmente basadas en el examen detenido de mis propias experiencias en el intento de pensar mejor, sobre todo en el campo específico de la matemática al que vengo dedicando una gran parte de mi actividad mental, en el intercambio de ideas con mis compañeros así como en la exploración atenta de sus formas de pensar y de las de mis alumnos en la universidad, en el estudio pausado de las grandes obras de los clásicos en este arte de intentar hacer más eficaz la utilización del dinamismo mental del hombre, como Descartes, Bacon, Balmes, Polya…, y en el seguimiento cercano de la caudalosa producción alrededor de este tema que en los últimos años va apareciendo. Pienso que, aunque los resultados de estas observaciones y reflexiones no se presenten aquí con el aparato estadístico con el que se acostumbran a rodear estudios de esta naturaleza, con todo pueden resultar de provecho para muchas personas.

Este libro tal vez pueda resultar de alguna utilidad haciendo de él una mera lectura pasiva. Pero la intención fundamental con que ha sido escrito no es divertir ni entretener, sino iluminar, motivar, animar y ayudar a ejercitarse uno mismo para la adquisición de una serie de actitudes y hábitos que, en mi opinión, pueden contribuir muy poderosamente a mejorar la realización de la actividad mental. Por tanto, la forma adecuada para obtener de esta obra el mayor provecho posible consiste en utilizarla como un mapa, una guía que oriente el camino que tú mismo has de irte abriendo y recorriendo.

La estructura del libro es la siguiente. El capítulo 0, «¿Pensar mejor?», pretende motivar para una tarea que, si bien no va a resultar libre de esfuerzo y de trabajo, es en su conjunto profundamente interesante, entretenida y a ratos apasionante. Por otra parte, los beneficios que de ella se derivan pueden ponerse de manifiesto bien pronto. A partir del capítulo 0 la obra se divide en cuatro grandes partes, cada una distribuida en capítulos más bien breves, para ayudar a una lectura más digestible. La primera parte, «Bloqueos y desbloqueos», explica la actitud inicial sana y adecuada con la que uno debe tratar de situarse ante la tarea intelectual, explora los distintos tipos de bloqueos que nos pueden afectar a cada uno de nosotros y trata de ayudar a contrarrestar sus efectos. La segunda y la tercera parte constituyen el núcleo fundamental del libro. La segunda parte, «Estrategias generales de pensamiento», presenta un conjunto de estrategias globales que pueden ayudar eficazmente en nuestra actividad mental de tipo general. La tercera parte, «Estrategias del pensamiento matemático», pasa a considerar cómo estas estrategias generales se convierten en técnicas más específicas cuando uno desciende en concreción hacia los diferentes campos más particulares del pensamiento. Para presentar un modelo de esta particularización he elegido, por diversas razones que allí se explican, el campo del pensamiento matemático elemental, donde se pueden poner bien de manifiesto, en su mayor parte mediante puzzles y recreaciones que no requieren conocimiento matemático sistemático alguno, las estrategias particulares básicas que los muchos siglos de actividad matemática han ido elaborando y plasmando. La cuarta parte, «El conocimiento del campo específico», examina cuál es el tipo de conocimiento alrededor de un tema particular que favorece la actividad intelectual en torno a él, poniendo de manifiesto la enorme importancia que tiene una apropiada estructuración del conocimiento a fin de hacernos más eficientes en el tratamiento de los problemas intelectuales del campo. La quinta parte, «La actividad subconsciente en la resolución de problemas», considera el oscuro tema de la importancia que tienen la inspiración o iluminación, y la incubación que parece propiciarlas, para el hallazgo de soluciones creativas para el tratamiento de problemas específicos. Finalmente, se dedica un breve apéndice, titulado «Hacia un retrato heurístico», a dar algunas ideas para, tras el trabajo que se ha realizado con la elaboración de los muchos ejercicios con sus protocolos correspondientes como se proponen a lo largo del texto, poder elaborarse uno mismo su propio autorretrato heurístico que le ilumine en su enfrentamiento futuro con problemas de diversos tipos. Estas directrices pueden servir también para tratar de conocer mejor las características de otras personas a las que se pretende ayudar en su trabajo de resolución de problemas. Al final de la obra se presentan las «Soluciones a los problemas propuestos» que pueden constituir un útil complemento a las actividades propuestas a lo largo de ella.

Quisiera agradecer muy vivamente la gran ayuda que me han ofrecido en primer lugar mi mujer, Mayte, y muchos amigos, entre ellos matemáticos, psicólogos, estudiantes…, que han leído y comentado versiones preliminares de este libro y me han iluminado con sus valiosas sugerencias. Sus nombres constituirían una lista demasiado larga para incluirla en este lugar. Muchas de las ideas que aquí aparecen han resultado muy mejoradas gracias a su amable colaboración.

MIGUEL DE GUZMÁN

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¿Pensar mejor?

¿Se puede mejorar?

Comenzamos a pensar de modo espontáneo, como empezamos a respirar, como comenzamos a caminar. ¿Se puede respirar mejor? Desde luego. El buen nadador, el ciclista…, deben aprender a respirar de la forma más adecuada para su ejercicio. Asi mismo es cierto que una de las claves de la eficacia de las técnicas de relajación es precisamente el dominio de ciertos modos adecuados de respiración que sitúan eficazmente nuestro sistema cuerpo-mente en una actitud propicia. Saber respirar mejor es posible y aconsejable.

¿Se puede caminar mejor? Por supuesto. El corredor de una u otra modalidad ha de modificar paulatinamente y con esfuerzo muchos de los vicios adquiridos espontáneamente en su forma habitual de andar y correr. El tenista y el futbolista se harán más eficaces si examinan su manera de andar y correr sobre el terreno y tratan de adaptarlas a sus necesidades peculiares.

¿Podemos mejorar nuestra forma de pensar? Es obvio que en este aspecto mejoramos continuamente desde nuestra infancia hasta nuestra edad adulta. Somos capaces de enfrentarnos con éxito a problemas más intrincados y profundos. Pero casi universalmente esta mejora tiene lugar de una forma un tanto aleatoria y anárquica, sin dirección, sin método. Nuestros procesos de pensamiento van mejorando de forma espontánea. Colocados en el ambiente familiar y escolar, comunicándonos unos con otros, niños y adultos, enfrentados a diversas tareas que estimulan nuestra actividad, nuestra curiosidad y nuestro afán de exploración, vamos adquiriendo como por ósmosis destrezas de todas clases, entre ellas la de pensar correctamente ante ciertas tareas.

Tal modo de progresar es ciertamente de una gran eficacia. Pero de hecho este tipo de actividad, con la atención centrada en la tarea a realizar, que parece muy apropiada en una primera etapa de aprendizaje, nos conduce a través de su propia eficacia a considerarla como la única posible en lo que concierne a la mejora de nuestro pensar. Llegamos a convencernos de que el aprendizaje del pensamiento es aprendizaje de cosas de fuera de él mismo. Aprendemos destrezas psicomotrices, sonidos, palabras, letras, lenguas, números, operaciones… y todo ello fundamentalmente mimetizando la forma de proceder de nuestros mayores. Y así tiene que ser en una etapa inicial. Pero nunca, ni en nuestra niñez, ni más adelante, los procesos mismos de pensamiento suelen ser el objeto central de nuestro aprendizaje. ¿Se podría hacer? ¿En qué podría consistir? ¿Será de algún provecho?

Podemos someter nuestros propios procesos mentales a un entrenamiento que nos capacite para realizarlos de una manera más eficaz.

¿Cómo aprendemos a esquiar mejor, a jugar al tenis mejor…? Un experto nos observa sobre los esquís o en la cancha y nos va corrigiendo. «Apoya el peso del cuerpo sobre el esquí más bajo cuando vas por la ladera». «Deja caer la pelota un poco más en el saque. Dirígela recta, con fuerza, sin bombear». Son observaciones que se hacen verdaderamente útiles cuando se ha experimentado y se ha sentido la gran diferencia que hay entre hacerlo de una forma u otra. Son consejos que tienen en sí el peso de la experiencia de muchos y que no resultan nada obvios. Son pequeños trucos que el tiempo ha mostrado eficaces. Cuando se practican a fondo, cuando llegas a familiarizarte con ellos, cuando se aplican incluso de forma refleja ante situaciones inesperadas, entonces no hay miedo a olvidarlos y uno se va convirtiendo en experto; pero para empezar hay que sentir claramente la diferencia.

Hacia un programa de acción

La mejora de los propios procesos de pensamiento pasa, naturalmente, por la práctica a fondo del pensamiento. Como afirman G. Polya y G. Szego, dos grandes maestros en el arte de pensar matemáticamente, «en el aprendizaje del pensar sólo la práctica del pensar es verdaderamente útil». El camino ideal para perfeccionar los procesos de mi pensamiento consiste en ponerme, en compañía de un experto, delante de un problema adecuado, un genuino y estimulante problema, proporcionado a mis posibilidades y que sea, al tiempo, un verdadero problema para el experto. Éste trata de resolver el problema haciéndome conocer cada uno de los movimientos de su propio pensamiento en el enfrentamiento con el problema. Después de repetir el proceso con varios problemas de este mismo tipo, la observación por mi parte de su proceso de pensamiento me habrá dado a conocer muy probablemente estrategias que resultan efectivas y que se pueden explicitar y concretar con la ayuda del experto mismo.

A continuación, soy yo mismo quien debo enfrentarme con un problema de las mismas características, haciéndole al experto partícipe de cada uno de los procesos de mi pensamiento, de modo que él pueda observarme y, con cierto equilibrio, que respete mi autonomía, cosa nada fácil, sugerir con tacto, cuando haga falta, acciones que puedan aproximarse a los modos de proceder correctos ya antes detectados y que se me puedan pasar por alto en esta ocasión. Este proceso lo repetimos hasta que yo haya asimilado de forma profunda las estrategias del experto para problemas de este tipo.

La forma ideal de entrenamiento no difiere mucho de la usual en otro tipo de actividad, artística o deportiva: la realización, bajo la guía cercana de un experto, del ejercicio del pensamiento.

Se puede conjeturar muy razonablemente que quien pudiera estar bajo la tutela de un experto que le condujera de esta forma por un cierto período de tiempo no tardaría en adquirir hábitos mentales que le capacitarían para un manejo eficaz de los problemas del campo en cuestión.

Ciertamente, estas condiciones son un tanto utópicas. ¿Dónde está el experto que, con tal tino, tacto, suavidad…, pueda permanecer a nuestro lado resolviendo problemas de esta forma directa, transparente, con perspicacia para expresar de forma explícita sus propias estrategias y que sea capaz de observar comprensivamente los intentos de nuestro pensamiento frente a los problemas y de estimularlo y conducir con acierto nuestra asimilación personal de sus destrezas?

A falta de un experto que nos guíe personalmente, se puede diseñar un programa de acción alternativo.

La utopía sirve al menos para señalar una dirección, para marcar un camino. Aunque no lleguemos al 100, tal vez logremos el 75…, si nos ponemos en marcha. De otro modo ciertamente nos quedaremos donde estamos.

Se pueden diseñar planes de acción que se aproximen al programa ideal de mejora del pensamiento.

En primer lugar, mediante la observación atenta se pueden señalar las características esenciales de la actitud con la que los expertos se acercan a sus problemas. Sin duda una buena parte de su éxito se debe a esta actitud inicial que, una vez caracterizada, puede paulatinamente ser estimulada e imbuida en el ánimo del que comienza a ejercitarse.

¿Cuál es la actitud inicial adecuada? ¿Cuál es la actitud de los expertos ante un problema?

Los procesos típicos del pensamiento de los expertos y su diferenciación con los de los inexpertos pueden ser detectados mediante el estudio de casos concretos en los que tales diferencias aparecen bien claras. A falta de un experto en persona a nuestro lado podemos tener las actas, los protocolos, de la resolución de problemas diversos por varios expertos, mediante cuyo análisis detenido se pueden determinar cuáles son sus estrategias y experimentar su eficacia. También tendremos ocasión de observar los procesos de pensamiento en inexpertos que nos indicarán las trampas en las que podemos caer fácilmente en nuestros intentos de resolución de problemas.

Estas observaciones nos conducirán a fabricarnos una panoplia con las estrategias más usuales en los procesos de pensamiento de los expertos. Trataremos, mediante una colección de problemas escogidos para ello, de familiarizarnos con cada una de estas estrategias separadamente para hacerlas nuestras.

La observación de nuestro propio modo de proceder en cada uno de los problemas con que nos enfrentamos y la comparación con los de los expertos suplirán las correcciones que nuestro experto habría de hacernos si estuviera presente en nuestro entrenamiento.

Se pueden detectar estrategias generales de pensamiento que ayuden en la resolución de problemas.

Como vemos, un programa general para mejorar los procesos de pensamiento debería abarcar unos cuantos aspectos cuya importancia relativa es difícil de estimar.

La adquisición de la actitud adecuada para pensar bien ha de estar basada en la consideración de los elementos afectivos siempre presentes y hondamente influyentes sobre nuestra mente. La inmotivación, las fobias, los miedos, los bloqueos afectivos, perceptivos, culturales, ambientales…, son aspectos fundamentales que hay que neutralizar para lograr un talante mental sano que nos ayude en la resolución de problemas.

Las estrategias de pensamiento generales que los expertos utilizan de modo natural en el enfrentamiento con problemas constituye quizá la parte del problema global que ha recibido más atención, se conoce mejor y es más fácilmente transmisible.

El papel de la estructuración de los conocimientos alrededor de los temas específicos en los que uno quiere ocuparse en su trabajo mental es también un aspecto muy decisivo en la resolución de problemas.

¿Cómo se deben incorporar los conocimientos acerca del campo al que quisiera dedicar mi actividad de resolución de problemas? ¿Qué importancia tiene el acervo de conocimientos que pueda acumular? Es claro que lo que ayuda más eficazmente no es un saber de archivo, como en departamentos estancos, sino un saber bien estructurado y activamente coordinado.

La estructuración adecuada de los conocimientos constituye una tarea esencial en la resolución eficaz de problemas.

Los misteriosos mecanismos mediante los cuales actúa la incubación de los problemas con los que se ocupa la mente hasta el momento en que en ella surge la inspiración o iluminación decisiva en todo proceso verdaderamente creativo es otro de los temas poco conocidos y bastante controvertidos de los que habrá que ocuparse.

Es muy importante tener en cuenta el papel definitivo que suele desempeñar en la resolución de un problema la iluminación o inspiración que vienen propiciadas por la incubación activa.

El pensamiento eficaz incluye también otros muchos aspectos como la memoria, la agudeza y capacidad de observación, la percepción psicológica de matices finos, la capacidad de síntesis… Pensar es una actividad enormemente compleja. El intento de pensar mejor nos conduce de forma natural a toda una variedad de campos íntimamente relacionados cuya exploración exhaustiva será tarea nunca acabada y que aquí no tendremos ocasión de abordar.

¿Qué gano con ello?

Empleamos una gran cantidad de nuestro tiempo y energía en pensar, pues el pensamiento es nuestra guía para la acción, para enfrentarnos con los problemas, grandes o pequeños, que en cada momento hemos de afrontar.

Cualquier elección, cualquier decisión, por pequeña en importancia que nos parezca, va precedida de una intensa actividad mental de la que finalmente surge la determinación de hacer o no hacer, hacer esto o lo otro. Constantemente estamos resolviendo pequeños o grandes problemas, eligiendo, decidiendo…

Si nuestros hábitos de pensamiento son sanos, nuestra actividad mental será un ejercicio menos costoso, naturalmente suave, incluso placentero. Quien está habituado a subir a la montaña nunca sentirá pereza en subir una escalera. Si tenemos confianza en nuestra capacidad de enfrentarnos con problemas, no nos angustiará la toma de decisiones que continuamente tenemos que practicar.

El hábito de pensar mejor hará nuestra actividad mental más placentera y eficaz. En situaciones limite nos será mucho más fácil resolver nuestros problemas y tomar las decisiones adecuadas.

Hay momentos de nuestra actividad profesional y de nuestra vida misma en que nos enfrentamos necesariamente con retos mucho más delicados, importantes, trascendentes. Habrá mucho en juego. Es entonces cuando tratamos de poner en acción todas las herramientas a nuestra disposición para resolver nuestro problema. Es ahora cuando nuestra potencia de análisis, de búsqueda de estrategias diferentes, de visiones especialmente creativas, se pone a prueba seriamente. Hay un mundo de diferencia entre afrontar una de estas situaciones límite por impulsos mentales un tanto incontrolados o hacerlo con la ayuda de una panoplia de herramientas que, según nuestra propia experiencia acumulada, nos ha ayudado en situaciones tal vez mucho menos trascendentes, pero no menos intrincadas.

Con seguridad, la mente más avezada y diestra en las técnicas explícitas orientadas a la resolución de problemas procederá de una forma mucho más satisfactoria en las situaciones más comprometidas que todos, tarde o temprano, nos vemos obligados a afrontar.

¿Me costará mucho esfuerzo?

Para ninguno de nosotros pensar es cosa nueva. No es un nuevo juego del que tenemos que aprenderlo todo. Hemos estado pensando toda la vida. Pero precisamente por ello nuestra mente está llena de surcos, de hábitos, de rutinas buenas y malas, de modos de proceder muy peculiares que configuran nuestra personalidad mental y cognoscitiva. Precisamente por eso la tarea de mejorar nuestros procesos mentales es un tanto complicada.

Se trata primero de convencernos a nosotros mismos de que hay unos cuantos modos de proceder que, objetivamente, son más eficaces que otros.

A continuación, hemos de reflexionar profundamente sobre nuestros propios modos de actuar, de compararlos con esas formas más efectivas de pensamiento y de asegurarnos, si es que así es, de que la sustitución, o la aproximación de nuestros modos a esos otros nos dará mejores resultados en nuestro enfrentamiento con diversos problemas. No es tarea fácil analizar y llegar a convencerse de cuáles son los aspectos mejorables de nuestros esquemas mentales.

Una vez detectados los puntos cuya transformación sería deseable, los nuevos esquemas cuya asimilación nos sería beneficiosa, hemos de proceder a la puesta en práctica de actividades y ejercicios que sean capaces de ir sustituyendo los antiguos surcos mentales por las modificaciones pretendidas, y éste es probablemente el aspecto más costoso y doloroso de la tarea a realizar.

Tratar de implantar los hábitos de un pensamiento más eficaz exige un esfuerzo considerable. Pero los beneficios que ello aporta son ciertamente merecedores de nuestro trabajo.

No hay alumno de tenis más difícil que el que ha jugado toda la vida a su modo y ha llegado a hacerlo pasablemente bien, aunque sin conocimiento técnico ni sistemático alguno. Deshacer los hábitos defectuosos fuertemente enraizados con el tiempo y la práctica constante es mucho más difícil que crear buenas destrezas en el novicio que comienza. De la misma forma, es muy probable que quien por mucho tiempo se ha ocupado de la resolución de problemas a su aire y con cierto éxito encuentre mucho más difícil aprovecharse de la sistematización de técnicas e ideas que la experiencia ha consagrado y que aquí trataremos de presentar. Aunque al principio le resulte difícil, debería permanecer abierto a los nuevos modos que se le proponen, a fin de ser capaz de explorar su eficacia y, si llega a convencerse de ella, de incorporarlos a sus propios esquemas.

Quien con más facilidad podrá adoptar las técnicas que iremos examinando y probando será sin duda quien las mire sin prejuicios y sin ideas cristalizadas y sea capaz de ponerlas a prueba de modo objetivo, con seriedad y tesón, dándoles de veras la oportunidad de demostrar su eficacia. El ciclista que nunca ha manejado una moto podrá sentirse inseguro e incómodo sobre una potente máquina las primeras veces, pero una vez que se haya hecho a ella no podrá por menos que reconocer sus ventajas.

Nuestra tarea

Las actividades a las que nos vamos a dedicar en la mayor parte de este libro están dirigidas a todos aquellos que tienen interés por mejorar los procesos de su pensamiento en el enfrentamiento con problemas de tipo general. No se trata con ellas de proporcionar una preparación específica para resolver problemas de matemáticas, física, economía, lógica, ni de ningún campo específico.

Las destrezas generales que proporcionan las actividades que aquí se proponen son comunes y altamente eficaces para resolver problemas en cualquier terreno. Pero en cada uno de los campos del saber, tanto de las ciencias de la naturaleza como de las ciencias sociales y humanas, hay además un conjunto de conocimientos y esquemas mentales específicos sin los cuales no se puede llegar muy lejos. Éste es el sentido de la dedicación de una gran porción de la tercera parte a unas cuantas formas de pensar consagradas por el tiempo para el tratamiento de problemas sencillos de matemática elemental. Se trata con ello de poner de manifiesto cómo, cuando el pensamiento se adentra en un campo más específico, surgen de forma natural estrategias que, una vez experimentadas y hechas familiares, hacen la ocupación en los problemas de ese campo mucho más eficaz y satisfactoria.

Para el objetivo propuesto de mejorar los procesos de pensamiento, basaremos nuestras actividades en conocimientos que están en posesión de cualquier persona que ha adquirido una instrucción elemental. Se trata de poner de manifiesto las formas más adecuadas de proceder en el enfrentamiento concreto con auténticos problemas que se pueden proponer sin acudir a conocimientos profundos ni sistemáticos de geometría, física, análisis matemático… Estos problemas provienen fundamentalmente de la inmensa cantera de juegos y puzzles profundamente divertidos y, en muchas ocasiones, verdaderamente apasionantes que el espíritu lúdico de la humanidad ha recopilado a lo largo de muchos siglos.

Pero, entiéndase bien, la intención de esta obra no es la de presentar una nueva colección de recreaciones mentales, sino la de utilizar la actividad propia y la de otros alrededor de algunos de estos juegos y problemas para poner de manifiesto cuáles son los modos adecuados de pensar para desentrañar los misterios que proponen.

En otra obra, titulada Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático (Madrid, Pirámide, tres volúmenes, 1990-1993), escrita en colaboración con B. Rubio, hemos tratado de poner en acción este mismo espíritu activo en la resolución de problemas específicos del análisis matemático elemental. Como tendrá ocasión de comprobar quien se adentre en esta obra, una vez que se han adquirido los conocimientos básicos y los esquemas operativos adecuados a este campo, la actividad de resolución de problemas en análisis matemático se convierte en una tarea tan profundamente interesante, divertida y estimulante como la que aquí llevaremos a cabo alrededor de los juegos y puzzles clásicos y modernos.

PARTE PRIMERA
Bloqueos y desbloqueos

Si vas a mirar una preparación en el microscopio, más vale que antes te cerciores de que sus lentes están bien limpias. Para enfrentarnos con un problema intelectual disponemos de una herramienta mucho más complicada que cualquier microscopio, nuestra mente, en cuyo funcionamiento interviene toda nuestra compleja personalidad, con sus condicionamientos, sus hábitos, sus fobias, todos ellos elementos más o menos permanentes, junto con las circunstancias variables que determinan su actitud en un momento dado.

Vale la pena considerar cuál es la tesitura de nuestro espíritu más apropiada para afrontar con éxito un desafío mental y cuáles pueden ser los rasgos de nuestra actitud que pueden perjudicar seriamente nuestra forma de proceder.

En esta primera parte estudiaremos en primer lugar el estado de espíritu general con que debemos acercarnos a la tarea intelectual, para considerar después diferentes tipos de bloqueos que muy frecuentemente entorpecen nuestra actividad mental. Al hacerlo, ensayaremos también unos cuantos remedios posibles.

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La actitud adecuada

El talante inicial apropiado. Confianza, tranquilidad, disposición de aprender, curiosidad, gusto por el reto…

Un verdadero problema es un auténtico reto. Sabemos, más o menos, a dónde queremos llegar, pero ignoramos el camino. Ante esta situación caben diversas actitudes negativas que pueden obstaculizar nuestro avance:

Miedo a lo desconocido y el consiguiente retraimiento. Podemos tratar de eludir el problema o al menos posponerlo a otro momento en que nos sintamos más aguerridos.

Nerviosismo al tratar de echar a andar, prisa por acabar cuanto antes. Como en la sala del dentista, desearíamos estar ya saliendo.

Cierta desazón ante la prueba se apodera de nosotros. La situación misma es como un antipático examen que he de afrontar. Aunque nadie me observe, yo mismo me estoy observando. ¿Suspenderé? Y si suspendo, descontando otras desventuras, mi propia estima se irá desmoronando.

Toda esta variedad de actitudes negativas puede minar seriamente nuestra intervención:

Impidiéndonos la utilización al máximo de nuestra capacidad.

Impulsándonos a tomar por bueno inmediatamente cualquier indicio de solución.

Eliminando el placer que en el ejercicio sano de nuestras facultades podemos ciertamente encontrar.

Creando en nosotros un hábito de amedrentamiento y un complejo de inutilidad cada vez más acusado.

Para contrarrestar estas amenazas podemos comenzar por considerar nuestra situación objetivamente. Tenemos razones más que suficientes para equilibrar nuestros negros pensamientos.

Confianza

Las capacidades de los hombres difieren bastante poco. El mero hecho de llegar a ser capaz de hablar coloca las mentes de todos nosotros sobre una meseta situada tal altura que las pequeñas colinas que en ella se dan resultan insignificantes en relación con la altitud a la que todos estamos ya colocados.

La diferencia entre el virtuoso en una actividad cualquiera y el promedio se debe mucho más a la intensidad de su práctica que a una verdadera diferencia en su potencial inicial. La plasticidad de nuestras capacidades es inmensa y esto podría y debería engendrar en nosotros una gran confianza: «Si de verdad lo quisiera y si invirtiera tiempo y esfuerzo suficiente, también yo podría alcanzar cotas parecidas en esa actividad».

Ante tu problema concreto puedes pensar: «Es nuevo para mí, pero otros muchos han pasado antes por él o por otros semejantes. Con seguridad yo también puedo».

El hombre, un junco que piensa

El hombre no es más que un junco, la cosa más débil de la naturaleza; pero es un junco que piensa. No es preciso que el universo entero se arme para aplastarle. Un vapor, una gota de agua basta para matarle. Pero aun cuando el universo lo aplastara, el hombre sería aún más noble que quien le mata, porque él sabe que muere, y conoce la ventaja que el universo tiene sobre él. De esto nada sabe el universo.

Toda nuestra dignidad consiste en el pensamiento. A través de él nos debemos elevar, no a través del espacio o del tiempo que no sabemos cómo llenar. Trabajemos pues por pensar bien. Este es el principio de la moral. (B. Pascal: Pensamientos, núm. 63, Stewart 160, pág. 82).

Paz, tranquilidad. Sin prisas

Es cierto que a veces nos vemos obligados, en nuestra actividad intelectual o práctica, a enfrentarnos con un problema a plazo fijo, relativamente breve. Un examen, una situación que exige una decisión más o menos inmediata, constituyen retos inaplazables. No está en nuestras manos el tiempo que nos podemos tomar para proceder con ellos. Pero lo que sí está ciertamente a nuestro alcance es la preparación remota con la que podemos afrontar tales circunstancias. Quien asiduamente se ocupa de pensar a su ritmo, con tranquilidad, en problemas semejantes a los que tales situaciones proponen, será capaz de enfrentarse a ellas con mucha mayor serenidad.

La prisa es mala consejera. No nos permite familiarizarnos serenamente con la situación, rumiar los datos, tratar de jugar mentalmente con ellos, fantasear con los elementos del problema, barruntar cómo podría ser una solución, divagar sobre los posibles caminos que conduzcan a ella. La prisa nos empuja a ponernos en camino… hacia ninguna parte.

En cualquier tarea mental es conveniente evitar en lo posible ser llevado por la prisa, y para cuando esto resulte inevitable y las tomas de decisión rápidas resulten insoslayables, es necesario prepararse con un entrenamiento adecuado.

Si no sabemos a dónde vamos, terminaremos en otra parte

Por tanto, dada una cuestión cualquiera, es preciso esforzarse ante todo por comprender claramente lo que se busca.

Pues frecuentemente algunos de tal modo se apresuran en investigar los problemas, que aplican a su solución un espíritu ligero, antes de haber considerado en qué signos reconocerán la cosa buscada, si acaso se presenta. Son tan ineptos como un criado que, enviado a algún sitio por su señor, fuese tan solícito por obedecerle, que se apresurase a correr sin haber recibido aún las órdenes y no sabiendo a dónde se le mandaba ir. (Descartes: Reglas para la dirección del espíritu, Regla XIII, Madrid, Alianza, 1984, pág. 138).

Disposición de aprender, curiosidad

La situación en la que un problema te coloca puede constituir, si así lo miras, una verdadera oportunidad, no una amenaza. Aprendemos en todos los órdenes gracias al enfrentamiento con situaciones nuevas. No trates a tu problema cómo si fuera un severo examinador que busca calibrar tus capacidades, sino como una ocasión para aprender. De la ocupación con él y con otros semejantes, los resuelvas o no a la perfección, tu mente saldrá más enseñada, mejor preparada para muchas tareas, incluso para aquellas que puedan ser mucho más trascendentes que este problema concreto.

El problema te proporciona la oportunidad de ejercitar las herramientas mentales que posees, de comprobar su alcance real, es decir, su adecuación y sus limitaciones, de apreciar la conveniencia de irte haciendo con otras tal vez más eficaces, de comparar tus procesos de pensamiento con los de otros tal vez más expertos y de asimilar de ellos enseñanzas interesantes para el futuro…

Gusto en la actividad mental, gusto por el reto

No nos cansamos de mirar con nuestros ojos. No nos cansamos del ejercicio razonable de andar, hacer deporte… Es natural, se trata del ejercicio de nuestras capacidades naturales. Para eso están ahí, para ser ejercitadas.

El ejercicio de la mente es mucho más variado: rememorar, imaginar, pensar, deducir, contemplar, crear, soñar… En él se dan elementos de mucha mayor belleza que en el ejercicio de los sentidos.

La ocupación con un problema mental concebida con este espíritu deportivo, estético, de ejercitación de mi propia capacidad, de observación de mi misma actividad y de sus resultados, es intensamente satisfactoria. La contemplación de las vías por las que la mente humana, la mía y la de otros es capaz de explorar la belleza intelectual que se encierra en tantos y tan variados paisajes como el hombre ha tenido ocasión de iluminar a lo largo de la historia puede llegar a ser intensamente apasionante.

Así concebida, la actividad mental es capaz de proporcionar placeres inmensamente profundos.

Frente a la actividad que un problema te va a proporcionar puedes decirte, con toda verdad: «Va a resultar muy satisfactorio. Lo puedo pasar muy bien. Como en un paseo por el monte, tal vez quede al final cansado, pero ciertamente saldré enriquecido y estéticamente satisfecho, si lo enfoco con el espíritu adecuado».

Si tuviera la verdad en mi mano, la dejaría escapar por el puro placer de buscarla

«Si tuviera la verdad en mi mano —escribía Emerson—, la dejaría escapar por el puro placer de buscarla». En un experimento clásico, Sultán, el chimpancé de Wolfgang Koehler, descubrió, tras numerosos esfuerzos inútiles por alcanzar un plátano colocado fuera de su jaula con un palo demasiado corto, que podía llegar a la fruta acoplando dos palos huecos. Su nuevo descubrimiento le causó «un placer tan inmenso» que se dedicó a repetir el truco, olvidándose de comer el plátano. (A. Koestler: En busca de lo absoluto, Barcelona, Kairós, 1982, pág. 59).

Si esto sucede con un mono, ¿no podríamos confiar en que, en nosotros, el ejercicio sano del pensamiento constituya en sí mismo una motivación enormemente intensa?

Atención a los posibles bloqueos

Según muchos psicólogos, aprovechamos tan sólo una pequeña parte de nuestra capacidad intelectual real. Es decir, hay en todos nosotros un enorme caudal de aptitudes que permanecen inactivas, estériles. Las diferencias que observamos en las capacidades efectivas de las personas provienen, muy preponderantemente, de la mayor o menor destreza con que cada uno de nosotros aprovechamos nuestras potencialidades. Se podría decir con bastante justificación que los que sobresalen en un cierto campo son aquellos que han logrado encauzar adecuadamente un conjunto de sus talentos que colabora armoniosamente en una dirección determinada.

Las barreras que nos impiden el ejercicio de tanta potencia adormecida son los bloqueos de nuestro espíritu. Como veremos a continuación, hay múltiples formas de bloqueos, con orígenes muy diversos, que se aposentan en diferentes zonas de nuestra personalidad y que admiten tratamientos más o menos fáciles.

Si realmente lográramos liberarnos de unos cuantos de estos bloqueos en un grado significativo, el progreso en nuestra actividad global podría ser realmente importante.

El primer paso esencial para el tratamiento de los bloqueos que, en mayor o menor grado, afectan la personalidad de todos nosotros consiste en conocerlos. Si somos capaces de percibir sus efectos atenazantes sobre nuestra estructura mental, podremos tratar de contrarrestar adecuadamente su acción poniendo los medios convenientes para ello.

En los capítulos que siguen vamos a explorar algunos tipos de bloqueos más comunes. Al irlos recorriendo será conveniente que nos preguntemos hasta qué punto es influyente cada uno de ellos en nuestra propia idiosincrasia, y si lo es con alguna intensidad, he de tratar, en mi propio ejercicio intelectual, de estar atento a su influjo, a fin de neutralizarlo.

F. Bacon, Novum organum (1620).

38. Los ídolos [prejuicios] y las nociones falsas que han invadido ya la mente humana, echando en ella hondas raíces, ocupan la inteligencia de tal suerte que la verdad sólo puede encontrar a ella difícil acceso […].

39. Hay cuatro especies de ídolos que llenan el espíritu humano […].

41. Los ídolos de la tribu tienen su fundamento en la misma naturaleza del hombre, y en la tribu o género humano […].

42. Los ídolos de la caverna tienen su fundamento en la naturaleza de cada hombre, pues todo hombre, independientemente de los errores comunes a todo el género humano, lleva en sí cierta caverna en que la luz de la naturaleza se quiebra y es corrompida […].

43. Existen también ídolos que provienen de la reunión y de la sociedad de los hombres, a los que designamos con el nombre de ídolos del foro, para significar el comercio y la comunidad de los hombres de que tienen origen […].

44. Hay finalmente ídolos introducidos en el espíritu por los diversos sistemas de los filósofos y los malos métodos de demostración. Los llamamos ídolos del teatro porque cuantas filosofías hay hasta la fecha inventadas y acreditadas son, según nosotros, otras tantas piezas creadas y representadas, cada una de las cuales contiene un mundo imaginario y teatral.

2
Los surcos de la mente

Nuestra mente es de una plasticidad extraordinaria, pero al mismo tiempo está llena de surcos, de modos fijos concretos de proceder, de hábitos. Son nuestras formas normales de actuar que determinan nuestra propia estructura mental, mucho más individualizada y distinta de lo que puede serlo nuestro rostro físico o nuestras huellas dactilares.

Los hábitos mentales son extraordinariamente valiosos, pues gracias a ellos, gracias a nuestras rutinas, quedamos libres de la necesidad continua de preguntarnos y decidir sobre la forma de llevar a cabo ciertas tareas.

Pero conviene que nos apercibamos de su existencia, que nos convenzamos profundamente de que nuestra forma de actuar está condicionada por tales hábitos, de que nuestra forma de mirar, ver y entender cada situación es una muy peculiar que está teñida por nuestra forma característica de colocarnos ante ella.

En muchas ocasiones nuestros hábitos y rutinas mentales pueden resultar una verdadera rémora para resolver correctamente un problema que se resiste a encajar en nuestros moldes.

Es fácil poner de manifiesto la presencia de tales surcos mentales mediante la realización de unos cuantos experimentos sencillos, ejercicios físicos que todos hemos aprendido como juegos de niños:

Crúzate de brazos. Observa cómo se entrelazan. Ahora descrúzalos y vuelve a cruzarlos pero colocando los brazos en la forma opuesta, el que iba por arriba que vaya ahora por debajo. Percibe la sensación extraña que en ti se produce.

Entrelaza tus manos del modo contrario al que lo sueles hacer, es decir, haz que el pulgar derecho quede por encima si es que de ordinario lo pones por debajo del izquierdo. ¿No sientes algo raro?

Coloca la yema de tu dedo corazón derecho sobre la del dedo índice derecho. Pasa las dos yemas así colocadas por la cresta de tu nariz. Cierra los ojos para concentrarte en la sensación que se produce. ¿No te parece que tienes dos narices?

Mira esta ilustración:

Tal vez veas la cabeza de una mujer joven con una pluma en el pelo y un lazo al cuello. Detente un poco entonces para tratar, tal vez no sin trabajo, de reestructurar tu visión de modo que percibas la cabeza de una mujer vieja con una nariz y una barbilla bien pronunciadas en primer plano. O tal vez tú veas primero la mujer vieja y tengas luego que esforzarte por ver la joven. Son surcos de tu percepción visual.

—¿Percibes aquí alguna cosa?

Algunos perciben enseguida un perro dálmata en el centro del cuadro, visto desde atrás, colocado con la cabeza agachada y situado en la dirección de la diagonal que va del SE al NO. Otros experimentan una gran dificultad en llegar a verlo, pero una vez que lo han logrado verán al dálmata sin ningún esfuerzo cuantas veces se les presente el cuadro. Una vez creado el surco de la percepción visual, de forma espontánea se deja uno llevar por él.

—¿Qué ves en este otro cuadro?

Tal vez veas primero la cabeza de un indio, o tal vez veas un esquimal primero, según los surcos de tu visión.

Si en procesos aparentemente tan externos y superficiales de nuestra estructura mental aparecen ya surcos que condicionan fuertemente nuestra actividad cognoscitiva, parece razonable pensar que en las zonas más profundas de nuestro mecanismo mental existirán rutinas y hábitos que determinan a priori nuestras capacidades de enfrentamiento con problemas, constituyendo en muchos casos verdaderos bloqueos mentales.

La lección que de estas consideraciones generales se debe asimilar consiste en la convicción de lo mucho que nos conviene salir ocasionalmente de nuestros propios hábitos, de nuestras formas rutinarias de ver las cosas, para colocarnos en el lugar de observación que no nos es usual.

Trata de ver la situacion-problema desde el punto de vista que ordinariamente no es el tuyo: si eres padre o madre, desde el de tu hijo; si eres hijo, desde el de tu padre o madre; o desde el observador externo. Si eres vendedor, desde el comprador; si comprador, desde el vendedor; si eres profesor, trata de adivinar como te miraría un alumno…

Haz excursiones mentales fuera de tus propios hábitos conceptuales. Si tiendes a ser intuitivo, haz ejercicios discursivos y deductivos de vez en cuando, o al revés. Si eres de ciencias, no te encierres exclusivamente en tu castillo científico. Trata de sentir y gustar de vez en cuando la literatura y la poesía.

Aprovecha las oportunidades de contacto con quienes ven las cosas de otro modo muy distinto al tuyo para enriquecerte con sus puntos de vista. Escucha con verdadera curiosidad cómo encuadran ellos un mismo problema para el que tú has adoptado una actitud distinta. Compra de vez en cuando un periódico o una revista que no tenga las orientaciones políticas, intelectuales, estéticas, que a ti te van.

Un viaje a un país desconocido suele proporcionar una serie de oportunidades para constatar tus surcos mentales originados por tu enraizamiento en una tradición determinada y el valor relativo de muchas de tus formas de pensar y proceder.

3
Bloqueos de origen afectivo

Las emociones, las fuerzas de diversos signos de origen afectivo que confluyen en nuestro espíritu, constituyen al tiempo el verdadero motor y las auténticas barreras de nuestra vida espiritual, y consiguientemente, de nuestra misma vida intelectual. Extrañamente este tipo de bloqueo no ha recibido la atención que merece por parte de muchos de los autores clásicos que se han ocupado más de cerca de explorar las formas adecuadas de funcionamiento de la mente humana. Descartes, ni en sus Reglas para la dirección del espíritu, ni en su Discurso del método, trata de sondear la influencia de las emociones sobre el recto uso del pensamiento. Polya, en sus múltiples obras de naturaleza heurística y pedagógica, no tiene en cuenta el papel del afecto humano sobre la resolución de problemas. Sin embargo, la magnífica obra de nuestro Jaime Balmes, El criterio, contiene multitud de observaciones muy certeras sobre este tema, en particular todo el capítulo XIX, «El entendimiento, el corazón y la imaginación». Actualmente existe una creciente conciencia colectiva de la necesidad de ahondar en los aspectos emocionales del conocimiento en los que posiblemente haya que buscar la raíz de muchos fracasos personales y colectivos de nuestra vida intelectual, y en particular, de nuestra educación. Un indicio de ello se encuentra en los grupos de trabajo particularmente activos en Estados Unidos, cuyas investigaciones se han plasmado recientemente en la interesante obra Affect and Mathematical Problem Solving, dirigida por D. B. McLeod y V. M. Adams (Nueva York, Springer-Verlag, 1989).

Un caso concreto

Hay muchas personas que odian cordialmente los ejercicios mentales que llamamos puzzles, juegos o recreaciones matemáticas. Yo mismo he de confesar que he pasado por varias fases sucesivas:

Una cierta repugnancia. Ese juego era mi enemigo, mi examinador, el juez de mis capacidades mentales.

Una reconciliación paulatina, a medida que aprendía a colocarme adecuadamente ante él.

Un convencimiento del papel efectivo que el juego podia representar para mí al hacer mi pensamiento cotidiano y el pensar mismo de mi tarea profesional, como matemático, más efectivo, de mayor riqueza de recursos y su ejercicio mucho más agradable.

Una fuerte afición que hace que me enfrasque intensamente en este tipo de actividad con gran placer, incluso cuando, como me sucede muy a menudo, o no llego a resolver el misterio o sólo lo consigo, tal vez parcialmente, tras muchas horas de dedicación. Y no pienso en absoluto que este ejercicio sea una pérdida de tiempo.

Analizando mi caso particular, creo que puedo ofrecer una explicación de este cambio de actitudes, que me permite entender mejor la hostilidad y agresividad que otros experimentan frente a los juegos y puzzles matemáticos.

Durante el mucho tiempo que me mantuve en la fase de repugnancia, me sentía amenazado por el reto que el juego representaba. La situación, el colocarme delante de él, se parecía mucho a la de un odioso examen en el que existía el peligro de fracasar. Incluso aunque lo hiciera en solitario, sin observadores, me consideraba en la obligación de resolverlo, bajo la presión de hacerlo pronto, y el no llegar a hacerlo así constituía un fracaso, un suspenso que el maldito juego me propinaba. El juego se convertía así en mi enemigo. El odio a los exámenes que nuestra civilización propicia, deja en nosotros muchas más secuelas de las que sospechamos. Como dice Einstein en su autobiografía a propósito de ellos: «Semejante coacción tuvo efectos tan espantosos que tras aprobar el examen final se me quitaron las ganas de pensar en problemas científicos durante un año entero».

A medida que fui adentrándome en el mundo de las matemáticas y explorando más a fondo sus métodos de pensamiento, me fui convenciendo de que en la matemática seria y profesional había multitud de problemas que por una parte parecen tan sencillos de expresión y de estructura como los que pueden figurar en cualquier revista de niños, pero por otra parte son tales que incluso después del trabajo intenso de muchas generaciones de matemáticos, siguen sin ser resueltos.

Esto me enseñó dos cosas importantes. Primero, que el enfrentamiento con el juego podía servir de preparación valiosa para otros retos de mi profesión y de los de otras profesiones, y segundo, que si un problema o juego matemático de expresión tan sencilla era capaz de poner en jaque a los mejores matemáticos de varios siglos, no me debía sentir amenazado de ser declarado incompetente porque no resolviera yo inmediatamente o no llegara nunca a resolver uno de esos juegos ingeniosos y desafiantes de la misma familia.

El juego se me fue convirtiendo así en un magnífico preparador, un sparring valioso, y al mismo tiempo me fue enseñando que mi propia dedicación profesional podía ser ejercida con el mismo espíritu lúdico con que se afronta el juego, aproximándose así mucho más a un agradable ejercicio.

Naturalmente, sigo experimentando tanto predilecciones como fobias con respecto a ciertos tipos de juegos. Unos se me dan bien, me agradan mucho más, son mucho más afines a mis aptitudes, que gracias a ellos conozco mejor, y otros se me dan muy mal, lo paso horrible si tengo que enfrentarme con ellos y los sigo encontrando odiosos, pero gracias a ellos conozco también mejor mis puntos flacos.

Tipos de bloqueos de origen afectivo

Apatía, abulia, pereza ante el comienzo

A todos nos ocurre bastante a menudo. Ante una tarea intelectual trabajosa que no nos urge suficientemente nos cuesta extraordinariamente ponernos en marcha. Somos capaces de buscarnos cualquier pretexto antes de empezar a poner nuestras manos en la masa. Necesito leer, informarme más sobre el asunto antes de empezar a pensar por mi cuenta. Me falta papel, mi pluma no tiene tinta, mi silla tiene un tornillo flojo, necesito un café primero, una llamada telefónica que ha esperado hasta ahora ya no se puede demorar más…

Y es que sabemos lo que nos espera. Solo ante el trabajo, como náufragos, miramos a nuestro alrededor como esperando ver escrita en alguna de las paredes la idea que nos ponga en marcha. Son los momentos más penosos de la faena. Se empieza por un flanco sin mucho entusiasmo. Se apaga pronto esa llama mortecina. Se comienza de nuevo de otra manera que acaba por gustar menos casi antes de darle una oportunidad.

¡Ánimo! Estamos todos en el mismo barco. Arrancar exige un gran esfuerzo de voluntad, decisión, no volver la vista atrás sin antes haber dado a ese comienzo la ocasión de demostrar su posible valor. Te entrarán dudas de que tu ataque sea el más adecuado para la ocasión, pero déjalo desarrollarse un poco, no permitas que se asfixie en tu desaliento. Más vale seguir adelante y, si hace falta, enderezar tu camino con un poco más de perspectiva.

Muchas veces sucede que lo que en el momento de su elaboración nos pareció desmañado, carente de originalidad, burdo, nos resulta después, al verlo a cierta distancia, mucho más valioso y aprovechable. En el momento de pintar uno atiende demasiado cerca a la pincelada individual, que dice bien poco. Cuando el cuadro ha sido acabado la pincelada ha adquirido su justo valor dentro del conjunto.

El comienzo tiene su importancia, porque influye muy decisivamente en el resto. Viene bien ser consciente de ello y pensarlo con detenimiento, pero al mismo tiempo conservar la conciencia de su carácter tentativo, interino, que puede ser modificado posteriormente.

Por otra parte, conviene tener presente que prácticamente todo el trabajo que realizamos es aprovechable, de una forma o de otra. Al menos, si luego decidimos que no nos vale para el fin que pretendemos, aprenderemos cuáles son los defectos que viene bien evitar en una tarea semejante.

Hace unos cuantos años comencé a escribir una obra sobre mi campo de trabajo matemático. Cuando tenía los dos primeros capítulos concluidos me percaté de que, si continuaba en el mismo tono, iba a resultar un libro plúmbeo, lánguido y adormecedor. Los dos capítulos fueron al archivo. Comencé de nuevo con otro espíritu más ligero. Gracias a ello, Differentiation of Integráis in Rn fue una exposición muy leída y utilizada internacionalmente. Aquellos dos capítulos que duermen en mi archivo me enseñaron cuál no debía ser mi postura al escribir este tipo de exposición, una lección por la que doy por bien empleado el trabajo de unas cuantas semanas.

La moraleja de estas consideraciones podría ser la siguiente:

Piensa un poco en las distintas formas posibles de comenzar tu tarea.

Escoge una y comienza. Da a tu comienzo una buena oportunidad de demostrar lo que vale. No te detengas mucho a examinarlo en este estadio inicial. Lo que ahora te parece malo puede no serlo tanto.

Conserva la conciencia de que tu inicio puede tener carácter provisorio. Si al juzgarlo razonablemente con cierta perspectiva piensas que se debe cambiar, cámbialo. Pero no te dejes llevar por un perfeccionismo paralizante. Recuerda: «Lo mejor es enemigo de lo bueno».

Miedos

La actividad intelectual de todos nosotros no es ciertamente una vida sin riesgos. A medida que nuestra civilización avanza, la acción del hombre se hace cada vez más dependiente de su espíritu y menos de la fuerza bruta o de otras características. De nuestra actuación mental depende en gran parte nuestro éxito y nuestro fracaso. Es natural, y no es insano, que se originen en nosotros diversos temores relacionados con las múltiples tareas intelectuales que nuestra vida nos propone:

Miedo al fracaso, a la equivocación. Si no lo hago bien, estoy perdido. Es un gran riesgo el que corro. Todo el mundo sabe que equivocarse es malo.

Miedo al ridículo. Se reirán de mí si intento hacer algo saliéndome de los cauces ordinarios y aceptados. Llamaré la atención y haré el ridículo.

Miedo al examen. Todos los miedos anteriores juntos. Una mala nota hará que pierda la estima que los demás me tienen, quedaré en ridículo, seré un fracasado.

El miedo es una actitud natural ante la percepción del peligro. El miedo es sano si desemboca en prudencia, un talante de nuestro espíritu que, midiendo el riesgo frente a los beneficios que la ocasión ofrece, nos lleva a adoptar un cuidado proporcionado en la realización de nuestra tarea.

El miedo es insano si permitimos que se apodere de nosotros hasta el punto de paralizarnos o de llevarnos a una acción desbocada, actitudes ambas que conducen al descalabro seguro.

Para contrarrestar los posibles efectos del miedo en nuestro trabajo intelectual viene bien considerar de cerca los peligros que nos lo producen. Sucede a menudo que nuestra percepción de ellos resulta agigantada y fuertemente deformada por nuestra interpretación del mismo modo que el niño transforma en su imaginación las sombras y ruidos de la noche.

Experimentar el fracaso y la equivocación en algunas de nuestras tareas tiene sus aspectos positivos que, si bien resultan poco atrayentes y apetecibles en el momento de sufrirlo, a la larga, visto todo con cierta perspectiva, se manifiestan de un gran valor:

Al vivir de cerca el fracaso somos capaces de apreciarlo en sus justas dimensiones y con ello salimos enseñados para valorar mejor nuestros miedos a él en el futuro. Hace un par de años se incendió mi casa de arriba abajo. No hubo desgracias personales, pero pocas cosas se salvaron. Si el día anterior alguien me hubiera hablado de la situación en que iba a quedar, la impresión hubiera sido horrible. El simple pasar a través de estas circunstancias no fue para tanto. ¿Por qué? Posiblemente nuestra imaginación es capaz de acumular en un solo instante todos los males que con un suceso como éste se originan. Sin embargo, lo que es experimentarlos, vivirlos, lo hacemos de uno en uno, de una forma más diluida y mucho más soportable.

Del fracaso aprendemos también cómo hacer las cosas mejor. Henry Ford, uno de los grandes innovadores de la industria en el siglo XX, afirmaba que «el número de los que fracasan es relativamente pequeño, la mayor parte simplemente abandonan». Si tengo verdadero empeño en conseguir un objetivo, un fracaso, una equivocación, puede servir de lección y puente hacia él.

El mundo pedagógico y académico que hemos montado en nuestra civilización actual atiende poco al valor global de las realizaciones de las personas, primando con exceso la ausencia de equivocaciones. Parece más justo y razonable evaluar a una persona por el conjunto de valores de su obra que por lo poco que se equivoca. Es relativamente fácil no equivocarse. Basta con no hacer ni decir nada de lo que no estemos absolutamente seguros, es decir, no hacer ni decir casi nada. Pero si nuestro monto global de realizaciones es el que verdaderamente cuenta, podremos admitir tranquilamente un cierto porcentaje de equivocaciones en nuestra forma normal de trabajo. El que pretende no equivocarse nunca, se atreverá a hacer 10 cosas, aquellas de las que está verdaderamente seguro. El que admite equivocarse el 30 por 100 de las veces se puede atrever a hacer 50 cosas y hará en total 35 cosas bien.

Uno de los grandes maestros en matemáticas que yo he tenido, Antoni Zygmund, solía afirmar que a los matemáticos habría que medirlos, si es que alguna vez había que medirlos, de acuerdo con el mejor de los teoremas que habían logrado en su vida.

El fundador de IBM, Thomas J. Watson, tenía la siguiente fórmula para el triunfo: «El camino para el éxito consiste en duplicar la proporción de fallos». ¿Cómo se explica? Quien acepta incurrir en una mayor proporción de equivocaciones se atreverá a realizar muchos más planes innovadores que presentan riesgos mayores, pero cuyo beneficios en caso de resultar acertados pueden ser incomparablemente superiores.

El miedo al ridículo, al qué dirán, es otra de esas fuerzas ambiguas que condicionan fuertemente nuestra actividad, influyendo intensamente sobre nuestro pensamiento y sobre nuestras decisiones. Su papel positivo consiste en proporcionar una cierta estabilidad y uniformidad a nuestra sociedad, impidiendo que ésta se haga lábil y excesivamente abigarrada. Quien marcha contra la corriente o al margen de ella, por muy justificado que objetivamente sea su proceder, es mirado como un cuerpo extraño contra el que la sociedad establecida envía sus anticuerpos en forma de manifestaciones de extrañeza, ironías, burlas… La comunidad, a través del tiempo, ha sancionado unas normas explícitas o tácitas de proceder. Son las más adecuadas, mientras no se demuestre lo contrario…, y ¡ay de aquel que se atreva a iniciar una demostración de lo contrario!

Pero a muchas de las reglas establecidas, a muchas de las normas aceptadas de proceder les llega el momento de ceder el paso a otras nuevas por diversas razones:

Las situaciones para las que tales normas eran válidas pueden cambiar sustancialmente. Observa el teclado de una máquina de escribir o de un ordenador. Las letras aparecen en una disposición un tanto extraña: QWERTYUIOP… Se habría podido diseñar un teclado con una disposición de las letras tal que hubiera permitido una velocidad de manejo apreciablemente mayor colocando los caracteres de más uso en lugares al alcance de los dedos más rápidos. Se hizo exactamente lo contrario para impedir que, al funcionar los dedos demasiado deprisa para la mecánica de la máquina, las palancas se agolpasen sobre el rodillo de la máquina.

Una forma de proceder útil y consagrada para una circunstancia particular puede resultar también utilizable para otras distintas. El ejemplo clásico es la sombrilla, utilizada desde hace más de 3.000 años en China, Egipto y Babilonia como protección contra el sol. Su uso como paraguas fue introducido en Inglaterra en el siglo XVIII por Joñas Hanway, un conocido filántropo, que debió de concebir la idea en alguno de sus viajes por el Oriente. Sobre su paraguas recayeron las burlas de sus conciudadanos que no podían dejar de pensar que bajo una sombrilla siempre había habido y siempre tendría que haber una delicada damisela.

Nuestro propio entorno, familiar, profesional, social, encasilla nuestra actividad individual dentro de unos moldes en los que espera vernos por siempre. En ocasiones hay que romperlos. En la familia, los padres y hermanos te encasillan muy a menudo en un papel determinado, más adelante tu entorno de amigos, de compañeros de profesión te asignan unas tareas concretas y esperan verte actuando continuamente según la idea que de ti se han formado. A veces aciertan, pues son los papeles que mejor van a tu idiosincrasia. Pero en ocasiones se equivocan, te encorsetan ignorando muchas de las posibilidades que en ti existen. Al tratar de darles salida, como debes, encontrarás una cierta resistencia en tu derredor. No te amilanes fácilmente. Aun cuando tú fueras en realidad quien se equivoca, aprenderás mucho en el intento.

A veces somos nosotros mismos quienes nos encasillamos en un papel determinado. Salir de él nos causa una sensación de ridículo que nos retrae del intento. La simple idea de hacer el asno nos produce escalofríos. Y sin embargo muchas veces debemos tener el coraje suficiente para arriesgarnos a ello. Los beneficios pueden ser muy importantes. Aunque sólo tenga un cierto valor simbólico de preparación para ello, yo suelo hacer el siguiente ensayo de vez en cuando. En un rincón de mi habitación, cuando estoy solo, rebuzno bien alto contra la pared. El efecto emocional es muy curioso, pero me parece que tras ello salgo mejor preparado para rebuznar en público, lo que he tenido ocasión de hacer más de una vez.

El miedo ante un examen se produce como una combinación del temor al fracaso, al ridículo, a la pérdida de la estima que otros puedan tener de nosotros.

Ser capaz de afrontar un examen o circunstancia semejante con cierta serenidad constituye una aptitud muy fundamental en nuestra civilización, que tan llena está de pruebas para los individuos de todas las edades y para todos los objetivos imaginables. El examen es la forma en que ha cristalizado la intención de control de nuestro sistema educativo fuertemente masificado. Es claro que en una educación personalizada, un alumno-un maestro, el examen sería totalmente superfluo.

Aun en nuestra situación actual de enseñanza colectiva, un examen bien proporcionado a la enseñanza impartida puede resultar un beneficioso estímulo para el trabajo y la asimilación, a la vez que puede constituir una cierta garantía de calidad del aprendizaje. Lo que dificulta esta misión del examen es que muy frecuentemente éste, sobre todo en ciertos niveles de la enseñanza, se convierte en un ejercicio de selección con unas reglas no bien determinadas y con unos contenidos que a menudo impiden una realización agradable incluso para los más capacitados.

Para aquellos que ante los exámenes y circunstancias asimilables sentimos una profunda repugnancia y un intenso miedo, que pienso que somos casi todos, puede servir de cierto consuelo la siguiente confesión de Einstein en sus Notas autobiográficas.

Einstein a propósito de exámenes

[…] para los exámenes había que embutirse todo ese material en la cabeza, quisieras o no. Semejante coacción tenía efectos tan espantosos, que tras aprobar el examen final se me quitaron las ganas de pensar en problemas científicos durante un año entero. He de decir, sin embargo, que en Suiza sufríamos menos que en muchos otros lugares bajo esta coerción que asfixia el verdadero impulso científico.

[…] En realidad es casi un milagro que los modernos métodos de enseñanza no hayan estrangulado ya la sagrada curiosidad de la investigación, pues, aparte de estímulo, esta delicada planta necesita sobre todo de libertad; sin ésta se marchita indefectiblemente. Es grave error creer que la ilusión de mirar y buscar puede fomentarse a golpe de coacción y sentido del deber. Pienso que incluso a un animal de presa sano se le podría privar de su voracidad si, a punta de látigo, se le obliga continuamente a comer cuando no tiene hambre, y sobre todo si se eligen de manera conveniente los alimentos así ofrecidos. (A. Einstein, Notas autobiográficas, Madrid, Alianza, 1984, págs. 21-22).

A mi parecer, el gran remedio, cuando es posible, para neutralizar los miedos ante un examen consiste en acercarse a él con la certeza de ir bien preparado, certeza a la que conduce el trabajo concienzudo e intenso previo.

Conocer bien a fondo la estructura misma del examen, el modo de realización, exámenes previos del mismo tipo, lo que se suele y la forma como se acostumbra preguntar…, ayuda extraordinariamente para sentirse con más confianza ante la situación temida y extraña.

Resulta esencial ir a la prueba con la mejor preparación física posible. Los maratones nocturnos en los últimos días anteriores al examen pueden tener un efecto totalmente paralizante sobre nuestras capacidades cuando más despiertas las necesitamos.

Resumiendo en forma de píldoras algunas de las recomendaciones para neutralizar el efecto de los miedos:

Las sombras del fracaso y de la equivocación son mucho más largas que la realidad misma.

Los fallos y equivocaciones nos enseñan sobre las formas adecuadas de proceder.

«El camino para el éxito consiste en duplicar la proporción de fallos».

Quien trata de introducir nuevas formas de pensar y actuar, ha de tropezar con resistencias que provienen de él mismo y de su ambiente. No te amilanes.

El gran remedio para los miedos que un examen puede producir consiste en tener la convicción de ir bien preparado.

Ansiedades

La ansiedad es un estado de ánimo complejo caracterizado por cierta tensión interna, preocupación, nerviosismo, agitación, en el que generalmente intervienen a la vez causas emocionales y cognitivas.

Desde el punto de vista que nos interesa aquí por su influencia en el ejercicio intelectual que estudiamos, dos tipos de ansiedad significativos son los siguientes:

El ansia por triunfar.

El ansia por acabar.

En nuestra sociedad fuertemente competitiva, como subproducto de la evaluación a la que continuamente estamos sometidos, se nos va inculcando la idea, profundamente equivocada, de que sólo triunfando esplendorosamente se puede alcanzar un grado de satisfacción suficiente. Como si la aurea mediocritas de los antiguos y la juiciosa actitud del altiora te ne quaesieris (no pretendas lo que está más allá de tus posibilidades) no pudieran proporcionar un bienestar suficientemente satisfactorio. De hecho lo que sucede en nuestra civilización es que andamos estirados más allá del límite saludable de nuestras fuerzas, viviendo empujados por el tiempo, sin paz para saborear el presente de nuestra actividad bien hecha, poniendo constantemente nuestra ávida mirada en lo mucho que nos falta por conseguir o por hacer.

Las prisas ansiosas por acabar la tarea entre manos están probablemente relacionadas con este mismo espíritu constantemente angustiado por conseguir más, mejor y cuanto antes.

La tesis de Laura

Laura es una joven brillante. Desde niña así lo ha considerado todo el mundo. Ha ido acumulando sobresalientes, premios, primeros puestos en la escuela, en el colegio. Incluso en la facultad, donde hay muchos profesores más bien parcos en elogios y sobrios en sus calificaciones, su expediente es magnífico. Ahora está tratando de escribir su tesis doctoral. Desde hace meses se encuentra encasquillada, bloqueada, desesperada. Cada semana empieza a escribir un mismo capítulo, el primero. A mitad de camino se interrumpe. Le parece que eso lo podría haber escrito cualquiera. No es lo que todo el mundo esperaría de Laura. ¿Cómo va a presentar ella una cosa semejante? Va a parar a la papelera. Comienza a desesperar. Empieza a pensar que lo suyo era empollar lo que le pusieran delante, que para una labor creativa como la que ahora se le exige, no vale nada. A medida que el tiempo pasa se encuentra más deprimida y más convencida de que lo mejor es que se dedique a otra cosa. Nunca llegará a hacer nada a la altura de su trayectoria.

Laura necesitaría una buena amiga que le dijera con cariño: «Laura, te comportas de un modo estúpido. Lo que te está fastidiando es una serie de ideas tontas que andan rondando continuamente tu mollera: que el mundo entero está con sus ojos puestos en Laura para contemplar su maravillosa producción; que es absolutamente necesario que tu tesis se pueda equiparar con el trabajo de los mayores genios de la historia y que el que no sea así constituirá una catástrofe insoportable. Todo falso, si bien lo miras. Y si consigues observar la situación con ecuanimidad y convencerte de que así es, te darás cuenta de que estás mucho más tranquila y más capacitada para ir adelante a tu aire. No sé si tu tesis será tan buena como te parece que tiene que ser, pero si sé que será un decente comienzo de una larga carrera y que el que se acomode o no a tu trayectoria es algo que le trae sin cuidado a todo el mundo».

Un cierto grado de tensión de nuestro espíritu hacia el objetivo que nos proponemos es un rasgo favorable y necesario. Con frecuencia tal tensión hace surgir en nosotros en muchos casos fuerzas que ni sospechábamos siquiera que se pudieran encontrar en nuestro dinamismo. Por mi parte he de confesar que en los exámenes más cruciales de mi carrera científica mi mecanismo intelectual me parecía funcionar mucho mejor que en circunstancias más sosegadas.

Pero la ansiedad excesiva por triunfar conduce a una falta de quietud y de paz que imposibilita la contemplación serena de los problemas que consideramos. El ansia por acabar pronto nos lleva a cerrar los ojos a muchas posibilidades que sólo aparecen tras una visión pausada y reposada de las circunstancias.

A fin de contrarrestar las influencias negativas de este tipo de obstáculos conviene:

Hacerse consciente del grado de influencia en uno mismo de cada una de estas ansiedades.

Tratar de ponderar serenamente el valor relativo del triunfo sobre todo si su precio ha de ser una merma importante de la calidad de la existencia.

Aminorar conscientemente la velocidad y la hiperactividad cuando nos percatamos de que estamos siendo empujados por ellas. A veces vemos lo que queremos ver, aunque no esté ahí.

Repugnancias

En nuestro trabajo intelectual todos solemos experimentar una cierta impresión de rechazo hacia algunas de las tareas que nos vemos abocados a realizar. Es importante estar atentos a este sentimiento un tanto difuso y cuyo origen no es fácil detectar. Probablemente condiciona la dirección de nuestra actividad mucho más intensamente de lo que pensamos y, por otra parte, su análisis puede proporcionarnos mucha luz sobre nuestras aptitudes y nuestras limitaciones, es decir, sobre nuestro perfil intelectual.

Sentimos repugnancias hacia tareas que encontramos aburridas, rutinarias, opacas, tal vez porque nos sentimos menos capacitados para ellas, porque nunca hemos hecho el esfuerzo inicial serio para hacérnoslas fáciles o porque no hemos sido capaces de leer en ellas con la profundidad que otros alcanzan. Para mi trabajo profesional en análisis matemático considero como un grave defecto que he padecido el fuerte rechazo que en mí mismo he experimentado a enfrentarme con largos cálculos simbólicos, aun cuando por experiencia he podido aprender que de la atención continuada a ellos surgen, muy frecuentemente, pistas inapreciables para resolver importantes problemas. Aun así, mi tendencia espontánea es evitarlos por todos los medios y sólo como último remedio soy capaz de enfrascarme en el esfuerzo intenso que para mí requieren.

Otros tipos de actividad intelectual nos resultan antipáticos no porque nos aburran, sino porque los encontramos extraños, no familiares, no connaturales con nuestra forma espontánea de proceder. Algunos experimentan una cierta aversión al desorden, al caos en que otros se sumergen muy a gusto como entorno propicio para realizar su trabajo. Hay quienes aborrecen el dominio de la lógica y el orden, que les parecen fríos y descarnados. Otros detestan la fantasía, el pensamiento ambiguo, la imaginación ardorosa que, según opinan, está totalmente fuera de lugar en su trabajo.

A veces experimentamos una repugnancia visceral a introducirnos en ciertos temas porque los asociamos con personajes que nos resultan profundamente antipáticos. Otras veces la antipatía está entreverada con sentimientos de envidia o de inferioridad relacionados con alguien más o menos cercano con quien nos parece entrar en competencia. En la matemática francesa del siglo XVII hubo tres personajes especialmente influyentes: Descartes, Pascal y Fermat. Según parece, Descartes no hacía buenas migas con Fermat y Pascal sentía una marcada aversión hacia Descartes. Es difícil determinar hasta dónde el antagonismo personal influía sobre sus posturas científicas y filosóficas.

En todo caso resulta evidente a cualquiera que se asome con un poco de atención a su propio patio interior y al foro particular en que ejerce su trabajo que la vida intelectual de lodos nosotros está mucho más coloreada y mucho más intensamente traída y llevada por las emociones profundas, confesadas e inconfesadas, de lo que cada uno de nosotros quisiera y de lo que corresponde a la clásica imagen del pensador sereno y frío, señorialmente imperturbado por las pasiones.

El problema de Luciano

Luciano es profesor en la Universidad de Pennton. Acaba de terminar un trabajo de investigación nada despreciable en una parcela de su especialidad, las ecuaciones hiperbólicas. Será publicado en una de las principales revistas del gremio, The Journal of Hyperbolicity. Luciano no lo hace nada mal. Domina perfectamente las herramientas de su hiperbólico campo, conoce a fondo todo lo que se ha publicado, está muy bien relacionado con los principales centros de trabajo en ecuaciones hiperbólicas, le llegan bien pronto todas las ondas sobre lo que se va haciendo en ecuaciones hiperbólicas en cualquier parte del globo… Como es joven puede llegar bien alto en su línea… si la sigue con tesón.

Pero Luciano tiene un problema. Su campo está dominado por el profesor Messerschmidt de la Universidad de Tychohama, que le cae gordísimo. Messerschmidt vale mucho. Pero según piensa Luciano, y con él otros muchos, Messerschmidt está convencido hasta los tuétanos de que vale muchísimo más de lo que nadie pueda pensar. Y lo peor es que Messerschmidt parece pretender por todos los medios, limpios y sucios, que nada ni nadie en el campo se mueva sin que Messerschmidt ponga en ello su dedo omnipotente. Y por ahora lo está consiguiendo. Luciano se está asqueando de la hiperbolicidad messerschmidtiana. En cada rincón hiperbólico aparece la sombra de Messerschmidt. Es como una pesadilla que le persigue. Luciano está pensando seriamente que el trabajo que ha concluido va a ser el último de su vida en ese campo. Se buscará otro tajo en el que Messerschmidt no tenga nada que decir…, si lo encuentra.

Seguramente Luciano se equivocará si toma esta decisión. Su manía contra Messerschmidt le está conduciendo a una actitud poco razonable. Seguro que las bellezas de la hiperbolicidad, para las que está tan perfectamente preparado, le van a deparar muchos placeres sublimes que le compensarán con creces de las repugnancias que Messerschmidt le pueda seguir produciendo. Por otra parte, tal vez lo que le pase a Luciano sea que no está mirando a Messerschmidt desde el ángulo apropiado. Hay gente que le ve con simpatía y con talante positivo. Existe también la posibilidad de mirarle con humor… Y en todo caso Messerschmidt no va a ser infinito en extensión ni eterno en duración.

El efecto práctico de estas fuerzas oscuras consiste en impedirnos una visión más clara de nuestra situación real frente a un problema determinado, dejando que ellas nos conduzcan en nuestro interés de llegar a una solución por caminos que sentimos más agradables y connaturales a nuestra idiosincrasia, más bien que por aquellos que objetivamente el problema mismo está demandando. Y por estos caminos indebidos avanzamos tranquilizados por la enorme capacidad de racionalización de nuestras tendencias emocionales.

La neutralización de las consecuencias de estos sentimientos profundos es, posiblemente, una de las tareas más difíciles de nuestra vida intelectual. Tal vez puedan servir de alguna ayuda las consideraciones siguientes:

Trata de conocer y estudiar tus posibles sentimientos de repugnancia ante las diferentes tareas intelectuales. El conocerlos es ya un buen tramo para contrarrestar sus efectos.

Intenta equilibrar tus sentimientos racionalmente, observando sus efectos nocivos, su carencia de motivación, sus posibles orígenes injustificados.

Actúa ocasionalmente de forma directa contra la tendencia que te arrastra.

A veces, tus repugnancias son indicios de tus limitaciones. Observándolas te conocerás mejor y podrás insistir en poner remedio a ellas.

Permanece atento a las transferencias que haces de la aversión a una persona determinada al tema en que se ocupa o a la obra que realiza. Hay quien puede ser profundamente antipático, engreído, vanidoso y muchas más cosas, y al mismo tiempo ser capaz de componer maravillosas sinfonías.

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Bloqueos de tipo cognoscitivo

Los bloqueos que afectan más específicamente nuestro funcionamiento cognoscitivo son probablemente más fácilmente detectables y su tratamiento más sencillo que el de los bloqueos de origen afectivo en los que zonas más profundas de nuestra personalidad se ven implicadas. Es necesario echar una mirada a sus distintas variedades, tratar de reconocer los que frecuentemente nos afectan con más intensidad y procurar tener bien presente su posible amenaza en las tareas que realizamos a fin de estar bien prevenidos y poner remedio en el momento oportuno. Con ello seremos capaces de crear nuevos senderos en nuestra mente que, al reemplazar los viejos surcos, posiblemente defectuosos, nos ayudarán a realizar más eficazmente nuestro trabajo intelectual.

Nuestra tarea cognoscitiva tiene muy preponderantemente el matiz de resolución de problemas. Excepto en la pura actividad contemplativa de la realidad, que por otra parte también posee una enorme eficacia para nuestra preparación a fin de transformarla, ejercemos nuestra actividad cognoscitiva para hacer algo con esta misma realidad. Esto se puede entender en sentido amplio como una tarea de resolución de problemas. Tenemos delante un problema cuando desde la situación en que estamos queremos llegar a otra, que conocemos con más o menos claridad, pero desconocemos el camino. En este sentido amplio cualquier tarea cognoscitiva tiene una componente de resolución de problemas.

Los bloqueos que aquí consideramos se refieren a dos fases distintas de nuestro tratamiento del problema: la percepción del problema y el ataque al problema.

Dificultades en la percepción del problema

La primera dificultad importante consiste en no percibir el problema. Se entenderá bien lo que quiero decir con un ejemplo, y creo que tras él estaremos de acuerdo en que esta situación es mucho más frecuente de lo que pudiera parecer.

En un pasillo de mi casa era muy frecuente que alguno de la familia tropezase con una silla que allí se encontraba. Era totalmente infrecuente que alguien que pasara por allí por primera vez no tropezase con la silla. Tal como lo cuento parece claro que allí había un problema: la silla estaba mal colocada, el pasillo mal iluminado o ambas cosas sucedían a la vez. Pero cualquiera convendrá conmigo en que no es extraño que sucediera lo que suele suceder en casos como éste: que pasaron varios años antes de que tuviera lugar una reestructuración de los muebles y la silla saliera de aquel sitio.

Muy frecuentemente tenemos una sensación difusa de malestar alrededor de cierta situación y, como no nos paramos a analizar qué es lo que la está produciendo, continuamos con ella a pesar de lo fácil que podría ser ponerle remedio. En una autopista recién estrenada comienzan a ocurrir accidentes en un punto bien determinado. Parece claro tener que empezar a pensar que está mal trazada, o mal señalizada, o las incorporaciones mal planeadas… y a tratar de corregir las deficiencias. Pero es muy común echarse las manos a la cabeza sobre la velocidad con que la gente conduce y colocar unos cuantos agentes en tal punto para… seguir observando cómo se estrella el personal.

En nuestra vida intelectual nos encontramos a menudo con cierta sensación confusa de ineficacia, de obstáculo, de malestar en torno a alguna de nuestras tareas, especialmente las más rutinarias. Nos damos cuenta vagamente de que hay un problema, nos encontramos a disgusto y ni siquiera sabemos lo que nos pasa. Si nos lo preguntamos expresamente podríamos decir incluso que no nos pasa nada porque ni para nosotros mismos lo sabríamos expresar.

Tal vez reflexionando bien a fondo, con una persona enfrente, lográramos descubrir algunos elementos de nuestra situación que son causa de nuestra molestia.

¿Cómo tratar de detectar el problema? Nuestra vertiente anímica funciona como nuestro cuerpo. El cuerpo manifiesta a veces molestias, dolores vagos apenas perceptibles, indicios de males ocultos. El espíritu experimenta también sentimientos vagos, indiferenciados, diseminados, esparcidos, que a veces proyectamos en zonas que no tienen nada que ver con su origen real. Como los dolores reflejos que a veces aparecen allí donde no hay mal alguno. Estamos de mal humor y nos imaginamos que es por algo que no tiene nada que ver con la verdadera causa. A ratos las prisas de nuestro ambiente nos impiden pararnos y mirar con paz en nuestro interior.

Es necesario ejercitarse en la detección de las causas de tales molestias, pues muchas veces son tan fácilmente corregibles como cambiar una silla de sitio. Para ello viene bien:

Hacernos conscientes de nuestros obstáculos difusos y, a ser posible, cristalizarlos describiéndolos con palabras.

Examinar de vez en cuando nuestras tareas rutinarias y decidir si no sería mejor reemplazar unas rutinas por otras tal vez más eficaces.

Examinar cómo otros se enfrentan con actividades parecidas y comparar procedimientos.

Incapacidad de desglosar el problema

Otras veces nuestra dificultad en la percepción del problema consiste en la incapacidad de desglosar el problema convenientemente. Nos encontramos de repente ante una tarea que nos parece ingente, inabordable, que supera todas nuestras habilidades. La vemos como una mole unitaria cuando, muy frecuentemente, si analizamos la situación con serenidad, se puede descomponer en porciones más sencillas, más cercanas a nuestras capacidades y que además son abordables separadamente, una a una.

No te dejes amilanar por la aparente magnitud del problema. Trata de descomponerlo en partes más sencillas.

Mira cuáles de ellas son las más fáciles, las más interesantes, las más urgentes.

Establece unas prioridades para ordenar tu acción. Una a una, las tareas se harán más llevaderas.

Bloqueos en el ataque al problema

El problema de la información que uno debe tratar de adquirir al enfrentarse con un problema es delicado, y se pueden cometer equivocaciones tanto por defecto como por exceso. Hay quien piensa que una información exhaustiva sobre lo que otros han explorado en relación con problemas semejantes es absolutamente necesaria. A veces este celo es solamente el disfraz de una pereza por poner en marcha la propia capacidad creativa. Suele ser menos costoso leer y criticar que pensar autónomamente. El resultado es que nunca acabamos por poner en marcha los propios mecanismos autónomos de exploración juzgando que aún nos falta por estudiar a fondo tal o cual obra fundamental.

Otros en cambio se lanzan inmediatamente por su cuenta sin tener la más mínima idea de lo que otros han hecho… para descubrir un Mediterráneo tras otro. Como ejercicio de descubrimiento es muy fructuoso y aconsejable, pero el esfuerzo podría estar mejor empleado en otras tareas.

Conviene medir cuidadosamente el esfuerzo dedicado a la información previa. Conviene comenzar informado, pero al mismo tiempo he de poner coto a mi ansia de seguridad apoyándome en lo que otros han hecho y estar atento a mi posible tendencia a retrasar mi propia inmersión en el problema escudándome en la necesidad de una información exhaustiva previa.

Visión estereotipada

La visión estereotipada consiste en ver, ante una situación determinada, solamente lo que esperamos ver. La visión estereotipada, presente también en nuestro mecanismo mental, puede constituir y de hecho constituye a menudo un bloqueo importante en nuestro tratamiento de los problemas.

Nuestros mecanismos de percepción visual tienen la virtud de almacenar información de tal forma que, puestos delante de un estímulo parcial, nos proporcionan las imágenes sensoriales que lo complementan. Este fenómeno se puede comprobar con el siguiente experimento sencillo. Pide a otra persona que, con un papel, te oculte la mitad inferior de una línea de texto impresa. A pesar de percibir un estímulo muy fragmentario verás cómo eres capaz de suplir el resto sin dificultad.

Los experimentos alrededor de las representaciones de los «objetos imposibles» están claramente ocasionados por esta capacidad de nuestra visión. Diferentes porciones de las figuras imposibles representan objetos totalmente razonables y, vistos aisladamente, nuestro cerebro se encarga de complementar la visión según sus expectativas. Pero las expectativas razonables acerca de las diversas porciones de la figura son contradictorias y así resulta esa sensación de conflicto e imposibilidad que se origina.

Experimenta con las siguientes figuras. Las llamadas «figuras imposibles» no son sino la composición de dos figuras parciales cada una de las cuales evoca en nuestro cerebro una figura totalmente posible. Sin embargo, las dos figuras evocadas por cada una de las partes resultan ser incompatibles.

Figura sin problema

Figura con problema

También en nuestra percepción mental se produce este fenómeno de anticipación y de complementación de estímulos. Nos formamos la imagen conceptual que estamos acostumbrados a ver ante una situación similar.

La consecuencia es que sólo vemos lo que esperamos ver y así nos incapacitamos para obtener la visión nueva, completa y cabal de la situación, que muchas veces es la clave de la resolución del problema.

Figura sin problema

Figura con problema

Si no se espera lo inesperado no se hallará, dado lo inalcanzable y de difícil acceso que es. (Heráclito de Éfeso).

Los descubrimientos llamados fortuitos, como el de los rayos X por Roentgen, o el de la penicilina, por Fleming, no son realizados simplemente por personas con suerte, sino por quienes permanecen con la mente abierta a lo inesperado. ¡Cuántos fenómenos semejantes, simplemente interpretados como accidente o desviaciones sin importancia, no se habrán producido en el entorno de quienes sólo vemos lo que esperamos ver!

Es necesario permanecer abierto a lo extraño, a las desviaciones aparentemente inmotivadas de lo que se espera ver. En muchas ocasiones son las que pueden conducirnos a visiones nuevas de la realidad.

Tendencia al juicio crítico

Otro de los posibles defectos en nuestro posicionamiento frente a un problema consiste en dejarnos llevar por nuestra facilidad para el juicio crítico. Hay muchos más críticos de arte que verdaderos artistas. También con respecto a la actividad intelectual nos resulta mucho más fácil percibir, al menos de un modo difuso, los defectos específicos de cualquier tentativa de solución a un problema que el proponer una mejor.

No es mal ejercicio el de la crítica bien realizada. Se trata no tan sólo de constatar que «me gusta» o «no me gusta», «me parece vagamente que vale» o «que no vale», sino de expresar con exactitud cuáles son los rasgos específicos por los que la solución propuesta por mí o por otros es buena o mala.

La gran afición de Ramón

Ramón es un verdadero catador de personas humanas. Dale los nombres de tres conocidos comunes a él y a ti y en menos de cinco minutos te habrá diseccionado a cada uno de ellos con sus respectivos trabajos más recientes y te los habrá clasificado linealmente según el orden de sus méritos hasta el momento. Ésta es su gran afición en la que se encuentra como pez en el agua. Probablemente en su cabeza se podría encontrar el ranking completo y detallado de los mil mejores expertos en vuestro campo común de especialidad. Una maravilla sin precio para nuestro sistema de oposiciones, concursos, concesiones de becas y demás zarandajas a las que somos tan aficionados.

Pero esta afición de Ramón le ocasiona ciertos problemas. Su mente está tan ocupadísima con la evaluación cuidadosa de los méritos del prójimo que apenas le vale para ninguna otra cosa. Por otra parte, cuando se pone él mismo en situación de trabajar activamente en su campo, su cerebro no puede dejar de andar evaluando su producción al mismo tiempo, de modo que está más ocupado en determinar el lugar exacto que ésta tendrá en la «escala Ramón» que en el propio contenido de su tarea. Además, como no puede menos de airear constantemente sus opiniones, resulta que el pobre Ramón se hace más antipático que un dolor de muelas. No hay quien pueda soportarlo. Tal vez algún otro con la misma afición clasificadora…, mientras no se enzarza con él en el resultado de sus calificaciones.

Una actitud más contemplativa y menos crítica le vendría bien a Ramón. Su capacidad creativa saldría ganando. Y es seguro que él y todos a su alrededor nos sentiríamos mucho más a gusto sin el temor de que Ramón nos ponga una mala nota. ¿Qué es lo que Ramón podría hacer? Ante todo hacerse consciente de las desventajas de su actitud hipercrítica. Luego, tomar la decisión seria de cambiarla. Permanecer atento a su manía y modificar activamente su rumbo cada vez que se pesque cayendo en ella. No será nada fácil, pero tal vez al ir observando los beneficios que el cambio hacia una actitud más positiva le reporta, los nuevos surcos se irán ahondando y desplazarán a los antiguos.

Muy frecuentemente nuestra tendencia a la crítica es profundamente influyente para cegar en nosotros mismos y en otros las fuentes caudalosas de ideas novedosas que pueden fluir cuando existe una actitud que relega y aplaza el juicio crítico para su momento oportuno y que sin embargo no se producen cuando nuestro sentido crítico exacerbado está constantemente al acecho para cercenar en su mismo nacimiento cualquier germen de idea original, tildándola de «fantasiosa, ridícula, loca, disparatada, ingenua, manifiestamente inútil…» o cualquier otro de los adjetivos que nos sirven para este propósito.

Es muy necesario que no te dejes llevar por el exceso de espíritu crítico, especialmente en esa etapa inicial de acercamiento al problema con el deseo de obtener formas originales de proceder con él. Aplaza el juicio y tus mecanismos intelectuales globales, los subconscientes incluidos, estarán más abiertos para prestarte su importante contribución.

Rigidez mental

La rigidez en la utilización de diversos procesos de pensamiento constituye un tipo importante de bloqueo que nos puede afectar muy intensamente. La variedad de puntos de vista, lenguajes, herramientas, con que un mismo problema puede razonablemente abordarse es inmensa. Y sin embargo, dependiendo de nuestros propios surcos mentales, cada uno de nosotros tiende a colocarse ante él preponderantemente de una forma particular, mirándolo desde su punto de vista preferido, con un lenguaje que es el que piensa que maneja mejor, con sus herramientas favoritas. Y muy a menudo sin tener en cuenta que cuando se trata de resolver un verdadero problema, lo importante es el problema mismo y que tal vez ciertas herramientas a mi disposición, aun siendo menos usuales para mí, podrán resolverlo mucho más fácilmente.

A veces procesos analógicos sirven para resolver un problema mucho más eficazmente que procesos analíticos. El problema de la miel y la mosca es un buen ejemplo para poner esto de manifiesto. En un punto de la pared interior de un vaso cilíndrico hay una gota de miel. En un punto exterior del vaso se ha posado una mosca. Ésta quiere llegar lo más rápidamente posible a la miel, andando primero por la pared exterior, pasando por el borde del vaso hacia la pared interior y andando después por la pared interior hacia la miel. ¿Cuál es la trayectoria más corta posible? En términos matemáticos se trata de un problema bastante serio. Pero si decidimos proceder con sentido práctico, podemos hacernos una copia del vaso con una cuartilla de papel suficientemente transparente. Señalamos a continuación en la cuartilla los puntos en los que se encuentran la mosca y la miel. Desenrollamos la cuartilla y resolvemos el problema sobre ella: cómo llegar lo más rápidamente posible de un punto a otro de la cuartilla pasando por el borde. Un problema sencillo de reflexión. Volvemos a enrollar la cuartilla sobre el vaso y tenemos señalado en ella el camino más corto que buscábamos.

Otro ejemplo interesante en que este tipo de pensamiento resulta mucho más eficaz es el «Problema de Josephus» que tendremos ocasión de ver más adelante.

Poncelet, en el siglo XIX, introdujo métodos gráficos donde los métodos analíticos resultaban extraordinariamente pesados y lentos. Con ello inventó la geometría descriptiva, que hasta tiempos muy recientes en que el diseño asistido por ordenador la ha superado ampliamente, ha sido una de las herramientas cotidianas de la ingeniería, arquitectura y otras técnicas.

En ocasiones el lenguaje matemático es el adecuado, pero también resulta a veces que consideraciones mucho más simples del sentido común resuelven el problema sin esfuerzo.

La clara lección que resulta de tales consideraciones es la siguiente:

En la búsqueda de vías y métodos de tratamiento de un problema, el problema mismo debe ser el que mande, no las formas de proceder que a ti te resultan más familiares. Concede a otras formas de pensar, a otras herramientas menos usuales, a otros lenguajes distintos, la oportunidad de demostrar su eficacia en cada caso.

Una característica general de la actividad mental a la que estamos acostumbrados en nuestra cultura occidental nos coloca en franca desventaja en ciertas ocasiones. Consiste en la acusada tendencia a conceder una primacía absoluta a los procesos y esquemas lógicos sobre los intuitivos.

La lógica es una buena estructura mental para colocar una encima de otra nuestras ideas, pero resulta de una pobreza bastante patente para el descubrimiento de nuevos universos mentales.

La intuición no se debe concebir como una especie de regalo arbitrario de las musas. La intuición se puede cultivar activamente. En primer lugar dejando a un lado la convicción existente en muchos de nosotros de que el éxito ante un problema mental está garantizado mediante la pura información y la mera elaboración férrea de los datos. Y en segundo lugar tratando activamente de oír los mecanismos mentales no conscientes que todos poseemos y que se ponen en marcha con el intenso deseo de resolver un problema. Para ello se deben establecer pausas de atención a los posibles resultados de la elaboración inconsciente, como más adelante tendremos ocasión de practicar, al tratar de la incubación como proceso favorecedor de los procesos mentales subconscientes.

No te dejes llevar por la tendencia a utilizar la herramienta intelectual que tú manejas mejor. Atiende más bien al problema mismo y ante él pregúntate a qué tipo de herramientas cederá más fácilmente.

Procura utilizar todos tus mecanismos cognitivos ante un problema que se te resiste, los conscientes, los subconscientes, los sensoriales…

Desconfía de las tendencias que tu propia especialización te sugiera.

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Bloqueos culturales y ambientales

Los ídolos del foro

Los que Francis Bacon llamaba ídolos del foro son los bloqueos que provienen «del comercio y la comunidad de los hombres», es decir, son las formas de pensar que nos transmitimos unos a otros a través del tiempo y mediante nuestra comunicación. Son las modas, las formas específicas de pensar prevalentes en nuestro ambiente que nos influyen de modos muy sutiles entrando a formar parte de nuestra propia estructura mental de tal manera que, sin sentirlo, nos hacen actuar según esquemas que no son siempre los más efectivos ni son los que probablemente adoptaríamos si tuviéramos que inventárnoslos nosotros mismos.

Al explorar las distintas formas posibles de bloqueos afectivos y cognoscitivos hemos tenido ocasión de tropezar con algunos tipos de influencias externas que los pueden causar. A continuación vamos a tratar de poner de relieve brevemente unas cuantas maneras en las que de modo más o menos patente podemos ser negativamente influenciados en nuestra actividad.

La sabiduría popular

La sabiduría popular es muy respetable. Representa la experiencia colectiva de toda una comunidad humana. Su asimilación nos hace capaces de convivir y anticipar las formas de reacción que podemos esperar en nuestro entorno. Pero no es infrecuente que las máximas de la sabiduría popular, servilmente seguidas, constituyan una verdadera obstrucción en el camino hacia la resolución original de ciertos problemas.

Aquí tienes unos cuantos consejos del sentir ambiental, que aun siendo fundamentalmente sanos, en ocasiones pueden convertirse en potentes obstáculos.

«Busca la respuesta correcta». Se presupone a menudo que la respuesta correcta es única, lo que es frecuentemente falso, incluso en las ciencias que mejor definen sus problemas, como las matemáticas. Por tanto,

Ante un problema concreto no te contentes con la primera respuesta, aunque sea correcta. Trata de buscar varias respuestas correctas.

«Eso no es lógico». Como si los saltos lógicos, las paradojas, la fantasía, la imaginación, las intuiciones no fueran caminos mucho más poderosos que la mera lógica en multitud de problemas. Por ello,

En la fase inicial de encaramiento con un problema, concédete una buena oportunidad de volar libremente, por encima de planteamientos lógicos, déjate llevar por conjeturas imaginativas, por tu fantasía… ¡Qué bueno sería que…! Ya vendrá más adelante el tiempo del rigor y del examen lógico de tus gérmenes de solución.

«Sigue las normas». Las normas ayudan a establecer rutinas eficaces… hasta que llega un momento en que se hacen ineficaces y perjudiciales. No es fácil determinar ese momento, pero hay que estar prevenido.

Ante una norma, una forma rutinaria de proceder, pregúntate y pregunta a los demás: ¿En qué circunstancias se originó? ¿Qué se pretendía? ¿Siguen siendo válidas las condiciones que la originaron? ¿Siguen siendo deseables los fines? Aquí y ahora ¿no se puede conseguir lo mismo de otro modo?

«Hay que ser prácticos». Contemplación, abstracción, especulación, ensoñación, ambigüedad…, no son actividades mentales que estén muy de moda, sobre todo en ciertos círculos. Y sin embargo, de ellas han dependido fundamentalmente los grandes avances del pensamiento humano, incluso en regiones de él, como las ciencias, en las que a muchos les parecería que pintan poco.

A sus 16 años Einstein fantaseaba sobre la posibilidad de trasladarse en un ascensor a la misma velocidad de la luz. De tales fantasías surgiría unos años después la teoría de la relatividad.

Cultiva activamente tu imaginación, tu capacidad de fantasear. Si para resolver un problema va a ser precisa una idea nueva, por definición ésta no surgirá examinado meramente las que hay, sino imaginando las que no hay.

Las situaciones reales son complejas, profundas, ambiguas, admiten muchos puntos de vista. Cultiva la contemplación de la ambigüedad y profundidad. La analogía, la metáfora, el humor son magníficos instrumentos para ello.

El juego, el espíritu lúdico, no es sólo para niños. Como Leibniz decía: «Nunca son los hombres más ingeniosos que en la invención de sus juegos». Cultiva en lo posible la actitud lúdica en tu misma actividad profesional. Juega con tus problemas.

Las ideas inertes

Alfred N. Whitehead, uno de los filósofos más importantes del siglo XX, en su discurso The Aims of Education, de 1916, dio una visión muy certera del efecto de lo que él llamó ideas inertes en la educación.

Al introducir a un niño en la actividad mental, ante todo tenemos que guardarnos de lo que yo llamaré ideas inertes, es decir, ideas que meramente son recibidas en la mente sin ser utilizadas, o contrastadas, o incorporadas en combinaciones nuevas.

En la historia de la educación el fenómeno más llamativo es que escuelas de aprendizaje, que en una época están vivas y con un fermento de genio, a la generación siguiente manifiestan mera pedantería y rutina. La razón consiste en que se han sobrecargado de ideas inertes. La educación con ideas inertes no es solamente inútil: es, sobre todo, dañina, corruptio optimi, pessima. Exceptuando raros intervalos de fermento intelectual, la educación en el pasado ha estado infectada en su raíz con ideas inertes […].

Cada revolución intelectual que ha sacudido la humanidad levantándola hacia su grandeza ha sido una apasionada protesta contra las ideas inertes. Después, por desgracia, por una patética ignorancia de la psicología humana, ha procedido, por medio de algún esquema educacional, a ligar de nuevo a la humanidad con ideas inertes de su propio cuño.

La marca inequívoca para reconocer una idea inerte es su incapacidad para poner la mente en acción, se trata de una idea meramente recibida sin ser utilizada, ni contrastada, ni incorporada en combinaciones nuevas. Un cierto lastre de ideas inertes es inevitable. Ideas vivas y activas en una generación, la de los maestros, pueden pasar a ser inefectivas para la de sus alumnos por la evolución natural de la cultura, cada vez más rápidamente cambiante.

Hay ejemplos claros en nuestra actual enseñanza elemental de los que sólo quisiera indicar uno. Hace cuarenta años tenía su sentido insistir en el aprendizaje con seguridad y rapidez del cálculo mental: largas sumas, multiplicaciones y divisiones de grandes números. Una fuerte dedicación a este ejercicio de atención y memoria estaba bien empleada. Hoy la situación es muy diferente. Pocos son los adultos en nuestra sociedad que hacen largas multiplicaciones y divisiones con papel y lápiz, atención y memoria. Y, sin embargo, en la mayor parte de nuestras escuelas se siguen invirtiendo largos meses en adquirir unas rutinas que el niño que las adquiere no va a utilizar. Más le valdría simplemente emplear una pequeña porción del esfuerzo realizado en aprender a estimar aproximadamente la magnitud de los números que pueden resultar a fin de contrastar que el número que su calculadora le proporciona inmediatamente es razonable. El esfuerzo y el tiempo sobrantes se podrían invertir en otros menesteres más adecuados y útiles.

Al contrario de lo que muchos parecen pensar, la humanidad progresa gracias a que va relegando multitud de procesos que se van convirtiendo en rutinarios y automáticos a los mecanismos reflejos del hombre o, mejor aún, a las diferentes maquinarias externas a él que se van fabricando. Tratar de entender, cada vez que necesitamos hacer una cuenta, cuáles son los fundamentos de nuestro modo de proceder, es inútil y perjudicial y equivale a trasladarnos a etapas del pensamiento ya hace tiempo superadas.

Las ideas inertes son, en gran parte, juntamente con muchos de los procesos mentales altamente ineficaces con los que nuestra educación nos va equipando, las culpables del sentimiento de frustración e inutilidad que tantos de nuestros alumnos experimentan. Su efecto consiste en inducirnos a arrostrar cualquier problema que cae en su esfera de influencia bajo puntos de vista obsoletos o mediante técnicas estériles e inadecuadas.

El antídoto contra las ideas inertes consiste en reconocerlas y tratar de experimentar su ineficacia y la conveniencia de su sustitución, haciendo fuerza contra nuestra tendencia espontánea a mantener la seguridad que falsamente pensamos que ellas nos proporcionan.

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Apoyos sistemáticos de desbloqueo

En nuestra toma de postura activa frente a los posibles bloqueos que amenazan nuestra actividad mental debemos tener en cuenta algunos hábitos que podemos tratar de adquirir así como ciertos procedimientos que han ido proponiéndose por parte de los que se han ocupado especialmente en el fomento de la creatividad en diversos ámbitos. La utilización de tales técnicas puede resultar en muchas ocasiones altamente efectiva. Existen obras especializadas que explican en detalle las sugerencias que aquí vamos a examinar muy brevemente. Conviene experimentar diversos tipos de aproximación y haber percibido los rasgos de ellas que más pueden ayudar en determinada ocasión.

La pregunta como actitud

La pregunta, instigada por una auténtica curiosidad, es el motor del conocimiento. El niño pequeño pregunta constantemente. El mundo que estrena le ofrece miles de cuestiones interesantes en las que ensayar su actividad mental. Si el hombre se mantuviese preguntando al mismo ritmo y con la misma intensa curiosidad que hace que el niño asimile tan hondamente los conocimientos iniciales llegaría sin duda a profundidades insospechadas. Algunos lo consiguen en un grado bien satisfactorio. Una de las certeras máximas de Einstein era: «Lo importante es seguir preguntando siempre».

El libro de los porqué

Entre los libros de mi niñez que más recuerdos evocan en mi memoria se encuentra una magnífica obra titulada El tesoro de la juventud, en 17 tomos, donde se podía aprender de todo. Entre sus secciones había una, profundamente interesante, que se titulaba «El libro de los “porqué”». La colección de preguntas que en ella se trataban, con más o menos profundidad, pero siempre con seriedad, era impresionante. He aquí una pequeña muestra:

¿Qué sucedería si en un momento dado se suprimiera la gravedad de la Tierra?

¿Cómo puede arder sin aire el fuego del centro de la Tierra?

¿Por qué se colorea el cielo a la puesta del Sol?

¿Por qué el ruido rompe las ventanas?

¿Por qué oímos mucho mejor en el mar que en la tierra?

¿Por qué palidecemos cuando sentimos miedo?

¿Es mayor nuestra estatura por la mañana que por la noche?

¿Qué es lo que nos hace estornudar?

¿Podremos pensar sin palabras?

¿Es posible aprender a pensar?

¿Por qué sólo podemos pensar en una sola cosa cada vez?

¿Por qué soñamos?

¿En qué consiste que algunas veces nos figuramos haber visto una cosa siendo así que la vemos por primera vez?

Muchos años han pasado desde entonces y muchas cosas he tenido ocasión de estudiar. Y con todo, la atracción misteriosa de preguntas como éstas sigue despertando mi curiosidad.

En general, al cabo de algún tiempo nos cansamos de preguntar. A veces porque no recibimos respuesta, otras veces porque percibimos que tanta pregunta empieza a molestar, es incordiante. En la escuela nos dicen que no nos salgamos del orden de conocimientos establecido…, «ya lo verás más adelante».

Cuando vamos creciendo nos avergonzamos de preguntar. Preguntar, nos parece, implica confesar nuestra ignorancia del asunto, requiere acudir con modestia a quien está más enterado que nosotros.

El que pregunta llega lejos, se entera, adquiere interactivamente el conocimiento para integrarlo así en su propia estructura mental. El que no pregunta entiende a medias, se queda en la penumbra pasivamente y la idea se le escapa como a través de un colador.

La pregunta es como el anzuelo para extraer ideas originales. Implica un cierto escepticismo, curiosidad, conciencia de un conocimiento parcial y el reconocimiento de cierta ignorancia ilustrada.

La pregunta es el anzuelo para pescar en el mar de las ideas.

El esfuerzo consciente por preguntarse y preguntar genera esta actitud inquisitiva, que es la base de todo progreso en el conocimiento.

Listas de ideas

Una de las grandes dificultades iniciales ante un problema consiste frecuentemente en su percepción difusa, como en penumbra. La elaboración de una lista de breves ideas en torno a él nos obliga a llegar a definirlo más claramente y a hacer una útil revisión de los elementos concretos que nos pueden conducir a su solución.

Podemos hacer una lista de las características concretas del problema, de las dificultades que ocasiona, de los posibles remedios. Se trata de dibujar un retrato-robot de las posibles soluciones a fin de que las podamos reconocer como tales si es que van apareciendo ante nosotros.

Por otra parte, el confiar a una lista los datos de nuestro pensamiento en torno al problema puede liberarnos al tiempo de la tendencia obsesiva que a veces nos atenaza y que nos lleva a comenzar desde el principio cada vez que nos enfrascamos de nuevo en él.

El método del listado de atributos en la fase de producción de ideas útiles para la solución de un problema es frecuentemente un poderoso auxiliar. Consiste en reseñar explícitamente las diferentes características de los elementos del problema a fin de utilizar en una fase posterior de resolución aquellos que nos resulten de ayuda. Es lo que todos hacemos de forma natural y razonable cuando tratamos de realizar por nuestra cuenta una reparación de poca importancia en nuestro coche o en alguno de los electrodomésticos sencillos de nuestra casa. Contemplamos primero la situación con detenimiento y pensamos bien las herramientas que posiblemente vamos a necesitar para nuestra tarea. De nuestra colección de herramientas escogemos de ellas las que tenemos y nos preocupamos de pedir al vecino las que no tenemos. Con ellas y con una buena dosis de optimismo nos acercamos entonces a nuestro problema.

De modo semejante, si se nos presenta un problema de cualquier tipo, podemos pasar revista primero a los conocimientos de que disponemos que puedan resultar pertinentes a la situación en que nos encontramos. Teniéndolos presentes de algún modo más o menos explícito podemos tener más confianza en ser capaces de resolver nuestro problema.

Situados, por ejemplo, ante un problema referente a las mediatrices de un triángulo, podemos traer a la memoria la colección, más o menos numerosa, de hechos conocidos referentes a ellas. Estos conocimientos, bien estructurados, nos proporcionarán pistas importantes para acercarnos al problema en cuestión.

En realidad ésta es la manera en la que el experto, de modo automático, sin necesidad de hacerlo conscientemente, trabaja su problema. Cada elemento del problema surge en su mente acompañado, al menos de modo implícito, de una constelación de ideas, propiedades, potencialidades, que lo relacionan con otros muchos elementos. La estructuración de su conocimiento es muy rica y así, una vez que todos los elementos del problema, cada uno con su constelación correspondiente, se han actualizado en su mente, la solución al problema aparece con frecuencia de forma inmediata al enlazar los datos en búsqueda de la solución.

El listado explícito es una ayuda para el que se inicia y aún no dispone de los hábitos del experto.

Brainstorming

En 1953 Alex Osborn publicó un libro, Applied Imagination, en el que introducía los principios de la técnica del brainstorming, término de difícil traducción (torbellino de ideas es tal vez una buena opción). La técnica obtuvo inmediatamente una magnífica acogida en el mundo empresarial norteamericano. El brainstorming tiene por finalidad ayudar a un grupo de personas que se enfrentan colectivamente con un problema bien definido, a producir un buen número de ideas valiosas de las que después habrá que entresacar las más adecuadas.

La dificultad específica que ataca es la fuerte influencia negativa que en un grupo se ejerce, a la hora de proponer ideas, cuando simultáneamente a la aparición de éstas, el grupo se permite ir juzgando su valor. La posibilidad de un juicio negativo inmediato de una idea que surge en la mente de uno de los componentes del grupo es causa evidente de la fuerte inhibición a presentarla sin estar muy seguro de su valor. Con ello, ideas novedosas, válidas, incipientes pero perfectibles no hacen su aparición por el temor de que sean rechazadas. Para contrarrestar este temor y estimular la producción de ideas, Osbom propone que el grupo actúe según las cuatro reglas siguientes, bajo la orientación de un moderador que vigile su estricto cumplimiento:

1. Aplazamiento de juicio

Las ideas no se evalúan de momento. No se permite en esta etapa ningún juicio de valor sobre ellas. Se prohíbe toda clase de frases asesinas tales como: «Suena bien, pero no creo que funcione…». «En teoría va bien, pero ¿se puede poner en práctica?». «Nunca nadie lo ha hecho así». «No nos lo van a aceptar».

2. Espontaneidad de ideas

El moderador debe estimular a que se propongan toda clase de ideas, incluso las que puedan parecer más descabelladas. Entre ellas, con o sin modificaciones, pueden estar las mejores soluciones al problema.

3. Cantidad conduce a calidad

Se pretende producir un buen número de ideas. Donde hay muchas es más probable que existan algunas verdaderamente válidas. Más adelante ya habrá ocasión de hacer la criba.

4. Perfeccionamiento de las ideas que surgen

Las ideas no son propiedad particular de nadie, son del grupo. El moderador debe estimular el perfeccionamiento de las ideas que van surgiendo. A menudo sucede que una idea aparentemente loca que surgió, una vez perfilada y complementada convenientemente, es la que resultará más conveniente.

El método del brainstorming consigue, bien empleado, desarrollar un espíritu de cooperación, un contagio de entusiasmo en el grupo que rompe las posibles inhibiciones de sus componentes, estimulando a todos a participar en la resolución del problema con la confianza que proporciona la aceptación inicial sin críticas de las ideas propuestas.

Las cuatro reglas del brainstorming, con la interpretación adecuada, son también válidas para el proceso individual de producción de ideas ante un problema. También individualmente y en solitario tenemos la tendencia a reprimir el flujo espontáneo de nuestras ideas si dejamos actuar demasiado rápidamente nuestro juicio crítico. Para evitarla podemos, durante esta fase del proceso, tratar de actuar de acuerdo con las normas propuestas en el brainstorming.

Otras técnicas

Tras la introducción y utilización por muchos años del brainstorming se fueron poniendo de manifiesto posibilidades diversas de perfeccionamiento del método, tratando de complementarlo con la consideración de diversos aspectos que tal vez no se tenían en cuenta explícitamente en él.

La sinéctica, de Gordon, pretende ir más allá que el brainstorming, favoreciendo la producción de ensayos de solución mediante la desinhibición de zonas más profundas de nuestro mecanismo cognoscitivo, involucrando la asociación espontánea de ideas y percepciones menos conscientes, la analogía, la fantasía y la ensoñación.

Existen multitud de variantes en las que, posiblemente, se puede uno inspirar para adoptar el procedimiento que mejor le va. Para la descripción de sus características pueden consultarse las obras reseñadas en la bibliografía.

Los métodos indicados tienen por finalidad principal ayudar en los aspectos cognoscitivos de la actividad creadora. Una obra muy interesante en que se tratan a fondo aspectos más directamente relacionados con la vertiente afectiva del pensamiento, los posibles bloqueos derivados de zonas más profundas de la personalidad, las incapacidades que provienen de ciertas configuraciones de la estructura de la persona, etc., es la de Lucien Auger, Ayudarse a sí mismo. Una psicoterapia mediante la razón (Sal Terrae, Santander, 1987). Su lectura completa me parece muy recomendable. Si bien el autor tiene una finalidad bastante diferente de la que aquí nos proponemos, hay unos cuantos capítulos cuya lectura y puesta en práctica puede contribuir muy eficazmente para el tratamiento de muchos de los bloqueos de origen afectivo que hemos descrito anteriormente. En esquema, éste es el proceso que el autor propone a fin de enderezar muchas situaciones psicológicamente bien complicadas.

Se produce en mi vida un acontecimiento con ocasión del cual me siento turbado emotivamente.

Observo qué ideas bullen en mi espíritu en los momentos del acontecimiento, qué percepción tengo de él, qué juicio me merece, qué frases interiores me repito a propósito de él.

Comparo esas ideas, esas percepciones, esos juicios, esas frases interiores con la realidad, con la manera de ser, de hecho, de la situación.

Si constato que mis ideas son realistas, concluiré que mi turbación es fundada, y no me quedará sino intentar cambiar el acontecimiento que es ocasión de mi turbación o, si eso no es posible, aguantarlo lo más pacientemente que pueda, evitando aumentarlo o deformarlo.

Pero si constato que mis ideas no corresponden exactamente con la realidad, me toca cambiarlas y reemplazarlas por otras que sean rigurosamente realistas. La parte de mi turbación debida a la presencia en mi espíritu de aquellas ideas no realistas debería entonces desaparecer, muchas veces casi instantáneamente. En otras ocasiones, sobre todo si se tratara de ideas no realistas fuertemente arraigadas en mí, tendré que luchar más prolongadamente y de forma repetida. Habrá ideas, que quizá mantengo desde hace años, que no cederán fácilmente…

PARTE SEGUNDA
Estrategias de pensamiento

En esta segunda parte abordamos el estudio y práctica de un cierto número de estrategias de pensamiento que pueden ayudar poderosamente para el enfrentamiento eficaz con diversos tipos de problemas.

En primer lugar exploraremos brevemente cuál es el sentido y el lugar que ocupan las estrategias o modos de proceder en el mecanismo de resolución de problemas de tipo general. Son normas que se desprenden del sentido común, pero que conviene hacer explícitas y tenerlas vivamente presentes para que nuestra actuación sea más efectiva. Son formas de proceder que los más expertos tienen plenamente incorporadas como rutinas de eficacia bien comprobada, pero que no están presentes de modo connatural en los mecanismos de los no tan expertos.

Como tendremos ocasión de ver, las estrategias de pensamiento que pueden ser de utilidad en una gran variedad de situaciones no pueden ser muy específicas. Por ello, en la tercera parte del libro, dedicada a las estrategias generales del pensamiento matemático, tendremos ocasión de comprobar cómo, cuando se desciende a un campo concreto, el contenido del mismo, junto con la tradición y la historia de la materia en cuestión, generan un conjunto de estrategias más específicas de pensamiento, unos esquemas paradigmáticos de proceder con los que el ejercicio de pensamiento en ese campo se ve notablemente favorecido.

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Estrategias generales

Las estrategias de pensamiento eficaces en el enfrentamiento con un problema son las formas de proceder, más o menos concretas, que reflejan el modo de actuar de los verdaderamente expertos en el campo de referencia, es decir, de aquellos que ordinariamente tienen éxito en el tratamiento de problemas semejantes.

Al observar el proceder de los expertos se pueden entresacar unos cuantos rasgos característicos de su actuación de tipo general. El enfrentamiento eficaz de los expertos con un problema comporta:

Una actitud inicial sana, libre en lo posible de bloqueos y barreras previas, tal como se ha descrito en la parte primera.

Una preparación adecuada para afrontar el problema, que debe contemplar múltiples aspectos: afectivos, físicos, cognoscitivos. Los afectivos se han considerado también en la parte precedente. Las condiciones físicas más apropiadas de paz, silencio, oscuridad…, o tal vez todo lo contrario, son muy personales y en todo caso más fácilmente ajustables por cada uno de nosotros. El tipo de conocimiento de base al que se debe aspirar como preparación en la materia concreta a la que se refiere el problema será analizado en la tercera parte.

La disponibilidad de estrategias variadas de entre las que se pueden elegir aquellas que conduzcan al tratamiento más eficaz del problema. Será el tema central de este capítulo.

Una cierta capacidad de incubación que permita involucrar a los mecanismos subconscientes de la mente en las tareas de resolución del problema entre manos.

Una constante atención a la posible iluminación, inspiración o intuición, que pueden surgir en cualquier momento en el dinamismo mental como fruto de esta tensión preparatoria. Los aspectos relativos a la incubación e iluminación serán tratados en la cuarta parte.

Una juiciosa evaluación de la situación del proceso a medida que se realiza a fin de distribuir correctamente el esfuerzo que se debe emplear en las diferentes tareas de la resolución del problema. Tales tareas incluyen la adquisición de información, la utilización de tal o cual estrategia disponible, la revisión del proceso, el prefeccionamiento y enjuiciamiento de la actuación global. Este aspecto constituye lo que se puede denominar la toma correcta de decisiones ejecutivas (A. Schoenfeld) que trataremos de estudiar y practicar en este capítulo juntamente con el estudio y práctica de las estrategias concretas del pensamiento.

Una perseverancia tenaz hacia la resolución del objetivo propuesto, la cual viene a ser el motor que pone en tensión todos los resortes disponibles de la mente.

De la observación del proceder experto en la resolución de problemas de carácter general se pueden ciertamente apuntar algunas características comunes referentes a la aparición de estrategias que pueden ayudar a conformar mejor nuestros propios procedimientos.

Las Regulae ad directionem ingenii de Descartes constituyen una magnífica muestra de lo que en este sentido puede hacerse. La parte de estas reglas que Descartes llegó a perfilar con más detalle, las doce primeras, contiene un conjunto de consejos que, bien asimilados, conforman en el espíritu una magnífica disposición general para la tarea intelectual. A continuación se ofrecen unos cuantos principios que en cierto modo vienen a glosar libremente algunas de las reglas de Descartes.

Conviene estimar la magnitud de los problemas con los que nos enfrentamos.

Existen problemas que sobrepasan con mucho nuestras posibilidades. Otros nos serán accesibles con mayor o menor esfuerzo. Lo malo es que la frontera entre unos y otros no está a priori nada clara. Viene bien apuntar con grandeza de ánimo y con entusiasmo incluso hacia lo que parece imposible, pero al mismo tiempo conservar un sano espíritu realista con la conciencia de que ese aparente imposible tal vez pocas de las veces será realizado, pero algunas sí que lo será. Lo que es cierto con seguridad es que seguirá irrealizado por siempre si nunca se intenta.

Ante un problema conviene ensayar herramientas propias originales, no solamente atenerse a los caminos ya trillados por otros.

Con confianza fundada en el hecho de que mi propia visión de la situación, en muchos casos, puede aportar luces que han sido imperceptibles para muchos de los que la han considerado con anterioridad.

El método es necesario para la resolución de problemas.

Existen en cada parcela de conocimiento caminos posibles que conducen con seguridad, rapidez y facilidad hacia distintos objetivos clave, hacia atalayas importantes desde las cuales se divisa un panorama que nos facilita nuestro trabajo intelectual. Vale la pena no pasarlos por alto.

Conviene reducir lo complicado a lo simple.

Nuestra mente es capaz de afrontar problemas de estructura enormemente complicada, pero su modo de proceder en esta tarea consiste en ir ascendiendo por pasos hacia niveles de complejidad más intrincados. Una situación verdaderamente complicada no se ataca en bloque, tal como se presenta, sino ensayando soluciones en porciones más simples de ella o en versiones semejantes a ella más fácilmente abordables.

Para progresar en la resolución de un problema conviene disponer de una visión unitaria de todo cuanto le concierne.

Como veremos en el capítulo 25, la estructuración del conocimiento juega un papel fundamental en la resolución de un problema. Es importante, como dice Descartes, abarcar en un movimiento continuo e ininterrumpido del pensamiento todas y cada una de las cosas que conciernen a nuestro propósito. De esta forma los datos relevantes del problema pueden enlazarse en nuestra mente para construir puentes eficaces para su solución.

Para adquirir una buena destreza en el arte de la resolución de problemas conviene ejercitarse en recorrer con método los caminos que ya han sido descubiertos por otros.

Se empieza a pintar haciendo copias de los grandes cuadros de los maestros. Se empieza a esquiar observando los movimientos de un experto al tiempo que se van ensayando y repitiendo uno a uno. La resolución de problemas es un arte que se transmite mediante la absorción de las técnicas de los maestros repitiendo sus procesos de pensamiento.

Es necesario examinar atentamente nuestro propio proceso de resolución de un problema a fin de entender mejor nuestras posibles deficiencias y nuestras virtudes y hacer así más eficaz nuestros procesos de pensamiento en el futuro.

Si tras un intento de resolución de un problema, fructuoso o estéril, esto es lo de menos, somos capaces de escudriñar con mirada crítica nuestro propio modo de actuar, nos habituaremos en el futuro a estar pendientes, al tiempo que realizamos nuestro trabajo de resolución de problemas, de la distribución más eficaz de nuestros esfuerzos y de la aplicación más adecuada de los diferentes recursos a nuestro alcance en cada momento. Nuestras decisiones ejecutivas serán mucho más eficaces.

El experto en la resolución de problemas permanece abierto a la utilización de todos los recursos del entendimiento, de la imaginación, de los sentidos y de la memoria.

El dinamismo mental tiene una magnífica riqueza de herramientas a su disposición. No es mera lógica ni mera imaginación. Aparte de los esfuerzos conscientes existe toda una serie de resortes inconscientes que, una vez puesto todo el mecanismo mental en tensión, son capaces de colaborar con gran eficacia. Conviene hacerse prácticamente conscientes de ello y dar su oportunidad a cada uno de los elementos de nuestra mente.

Como se puede observar, todas estas reglas son de carácter global, un tanto abstracto e inespecífico. No es fácil, si permanecemos en un ámbito general, tratar de ilustrarlas mediante ejemplos y ejercicios concretos que nos puedan ayudar a incorporarlas plenamente en nuestro mecanismo intelectual.

Por ello, en lo que sigue de esta segunda parte nos dedicaremos a tratar de examinar e imprimir en nuestra mente, mediante ejemplos y ejercicios muy específicos, las formas concretas en que estas estrategias globales se pueden plasmar en el ejercicio de resolución de problemas particulares que provienen de la enorme cantera de los juegos y puzzles clásicos y modernos.

Sin embargo, antes de ello es necesario tener a mano algún procedimiento para examinar a fondo los procesos mismos de resolución de problemas, a fin de utilizar con mayor provecho nuestra práctica de estas estrategias y de examinar los progresos que vamos realizando.

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El examen del proceso de resolución de problemas.
Elaboración y análisis de protocolos

Si pretendemos mejorar nuestros procesos de pensamiento en el tratamiento de problemas de forma eficaz es absolutamente necesario disponer de técnicas que nos permitan examinarlos a fondo, compararlos con los modelos que nos fijamos como deseables, para así poder señalar nuestras líneas de acción y detectar nuestros progresos hacia el objetivo de crear en nosotros hábitos eficientes.

Cuando se nos propone un problema que atrae nuestro interés, sucede muy frecuentemente que nos absorbe por completo por un largo rato y que, una vez resuelto o no, lo dejamos a un lado sin preocuparnos por reflexionar en ningún momento, ni a lo largo del proceso ni después de él, sobre el modo como hemos actuado.

Naturalmente, si nos enfrentamos repetidas veces con problemas semejantes a él iremos eliminando de nuestros procedimientos pasos inútiles, callejones sin salida, defectos en los que caímos las veces anteriores y así, de modo espontáneo, nuestro proceso se va depurando hasta alcanzar un grado de eficacia satisfactorio. Probablemente el virtuosismo de muchos expertos se debe a su capacidad de intuir rápidamente y con pocos ejemplos, aun sin hacer un esfuerzo reflejo, dónde se encuentra el camino adecuado y más directo entre la maraña de posibilidades ante un problema verdaderamente intrincado. Así, muy ordinariamente, el experto es incapaz de señalar explícitamente, tras la resolución de un problema, el porqué de las múltiples elecciones que ha tenido que hacer para dar con ella.

Pero para quien desea asimilar a fondo los mecanismos de reacción de los expertos es extraordinariamente útil ejercitarse no sólo en resolver muchos problemas, sino también en examinar sus propios procesos mentales al tiempo que lo hace. Es bien cierto lo que Polya y Szego afirman: Zur Schuelung des Denkens nur die Uebung des Denkens ist wirklich nuetzlich (Para el aprendizaje del pensar sólo la práctica del pensar es verdaderamente útil). Pero no es menos cierto que esta práctica será tanto más útil cuanto más iluminada y consciente sea.

Para lograr establecer el hábito de analizar nuestros procesos de pensamiento propondré inicialmente un esquema que puede servir para el ejercicio individual. Más adelante veremos cómo se puede complementar y ampliar esta actividad con técnicas diferentes apropiadas en otros contextos.

Nuestra tarea inmediata consistirá en señalar un método para elaborar el protocolo del proceso, es decir, el acta que dé constancia de los fenómenos interesantes que han ocurrido a lo largo de nuestra ocupación con el problema.

Luego será necesario estudiar cómo se realiza el análisis del protocolo a fin de conocer a fondo nuestras formas de proceder, nuestras tendencias, nuestras virtudes y nuestros errores.

Tras el análisis habremos de realizar una evaluación del proceso, comparando nuestra realización con otras posibles formas de proceder, estudiando cómo y por qué hemos llegado a la solución o bien cómo y por qué no lo hemos logrado, en dónde han estado nuestros aciertos y dónde nuestros despistes. Y finalmente, tras la diagnosis viene bien establecer el tratamiento, es decir, tras la comparación de lo que hemos hecho con lo que decidamos que deberíamos haber hecho, tal vez posiblemente tras cotejar nuestra actuación con el análisis del protocolo de un experto en el tratamiento del mismo problema, podremos determinar los puntos en los que debemos insistir para proceder mejor en lo sucesivo.

La realización del protocolo del proceso

Durante nuestra ocupación mental con un problema ocurren muchas cosas interesantes. Normalmente, cuando anotamos algo de ello, señalamos nuestros cálculos, los esquemas, figuras o diagramas que pensamos que nos van a ayudar a resolverlo. Pero para lo que aquí nos interesa hay muchos otros fenómenos que, a menos que hagamos un poderoso esfuerzo, nos pasarán desapercibidos.

El mero borrador de nuestros intentos sucesivos de acercamiento a la solución no es el protocolo del proceso. Y mucho más lejos de él está, naturalmente, la solución en limpio que podamos elaborar tras nuestro trabajo.

El protocolo ideal del proceso debería hacerme capaz de reproducir, para su estudio, cuanto ha pasado por mi mente a lo largo de él, en lo que se refiere

a lo que he ido realizando,

a lo que he ido pensando,

a los sentimientos y situaciones afectivas por las que he ido pasando.

El protocolo ideal del proceso debería poder incluir los movimientos subconscientes que me han ayudado en mi camino y los que me han desviado de él.

Está claro que aún no se ha encontrado el modo de registrar todo este mundo mental tan complejo y tan profundo. A falta de él nos hemos de contentar con registrar nosotros mismos con brevedad y con la mayor fidelidad posible sus rasgos más destacados para después someterlos a un análisis conveniente.

Una técnica concreta que nos puede ayudar en la realización del protocolo consiste en ir trabajando en borrador con orden, sin corregir nada de él, ocupándonos con ahínco, por supuesto, de resolver nuestro problema, pero procurando también señalar brevemente los aspectos de la situación de nuestro espíritu que inciden de algún modo en el proceso.

Ante un problema que llega a enfrascarte a fondo observarás que tus anotaciones sobre el contenido lo llenan todo y que el otro aspecto, que para nuestros objetivos es esencial, ha quedado totalmente relegado. Sólo son reflejados los pasos técnicos de la solución del problema.

Para contrarrestar esta tendencia se puede acudir a la ayuda de un reloj que cada cierto intervalo de tiempo, por ejemplo cada diez minutos, nos recuerde que debemos echar una mirada a los otros aspectos del proceso, tales como nuestro estado de ánimo, las vueltas y revueltas de nuestro pensamiento, la fase del proceso en que nos encontramos, según se detallará más adelante (familiarización, búsqueda de estrategias, selección, realización, verificación…).

¿Qué anotar? Se trata de dejar señalados los elementos que nos parezcan útiles para realizar el análisis del proceso que se indicará más adelante. Fundamentalmente el color afectivo de mi toma de posición ante el problema, la fase del proceso en que me encuentro, mi estado de aburrimiento, desesperación, interés, entusiasmo…, los cambios en el tipo de actividad mental ante el problema…, los orígenes de las posibles ideas que van apareciendo en mi mente…

Tal vez la mejor manera de entender lo que puede ser un protocolo útil sea acudir a los ejemplos que se presentan en el capítulo siguiente.

El análisis del protocolo

Una vez realizado el protocolo se trata, en primer lugar, de analizarlo, es decir, de distinguir a través de él las diversas etapas por las que el proceso ha transcurrido, de ir señalando las motivaciones que explican el paso de cada una a la siguiente.

Si el protocolo ha sido bien realizado, de acuerdo con las directrices que se han dado antes, se observarán en él dos tipos de anotaciones fáciles de distinguir. Por un lado las que corresponden al contenido del proceso, es decir, las cábalas, las cuentas, las figuras, y por otra parte las notas que resultan de las observaciones que, a intervalos determinados, ha hecho el propio autor del protocolo. Ambos tipos de anotaciones son muy interesantes y se trata, en esta fase de análisis, de enmarcar el sentido de cada una de ellas dentro del propio proceso antes de pasar a su evaluación. Es decir, hemos de procurar, a través de lo que leemos, obtener una idea clara de la marcha del proceso en sí mismo, preguntándonos a propósito de cada una de las porciones en que hemos dividido el protocolo:

¿A qué etapa del proceso corresponde? ¿Se trata de la fase inicial, de familiarización con el problema?, ¿pertenece a la búsqueda de estrategias?, ¿se está tratando de realizar alguna estrategia ya seleccionada?, ¿o bien se está revisando el proceso?, ¿se está tratando de llegar a tomar una decisión, de cambiar la orientación de su actividad?

¿Cómo se relaciona la acción contemplada aquí con el resto de la actuación?, es decir, ¿cómo se enlaza con lo que precede y qué influjo tiene sobre lo que sigue?, ¿qué grado de importancia tiene en el proceso?

¿Se pueden señalar los momentos más decisivos en el éxito o fracaso en la resolución del problema?

Éstas son algunas preguntas que uno se puede hacer, entre otras muchas, a fin de encontrar el sentido de los movimientos mentales que ha ido realizando el autor del protocolo.

Evaluación del proceso

Tras el examen de lo que el proceso ha sido en cada una de sus partes hay que compararlo con las que consideramos formas eficaces de proceder, a fin de determinar si se ajusta a ellas convenientemente o, por el contrario, se ha actuado de forma desacertada en alguna ocasión.

Esta comparación, en lo que se refiere a los rasgos globales del proceso, es decir, al modo de familiarización inicial, selección de estrategias, trabajo a fondo con alguna de ellas, revisión…, se puede hacer muy provechosamente si se dispone de uno o más protocolos relativos al mismo problema realizados por expertos. En ellos, tras un estudio a fondo, se puede observar la efectividad de ciertas formas de proceder.

En lo que respecta a la evaluación de los detalles de nuestro propio protocolo en sí mismo, el protocolo de un experto no ayuda mucho, pues difícilmente habrá pasado por las mismas circunstancias concretas a lo largo de su ocupación con el mismo problema.

Por esto, tanto por la posible ausencia de protocolos expertos como por la necesidad de evaluar nuestros propios procesos en sí mismos, es útil disponer de algunas normas o recomendaciones valiosas y aplicables en gran número de casos, a fin de que a su luz podamos inspeccionar el protocolo en cuestión y determinar los puntos positivos y negativos del proceso con mayor facilidad.

En la tercera parte, titulada «Estrategias del pensamiento matemático», tendremos ocasión de estudiar un posible modelo de actuación, basado en las ideas ya clásicas de Polya, que aparece acompañado de una gran colección de ejemplos y ejercicios prácticos que ayudarán a crear hábitos eficaces de pensamiento.

Diagnosis y tratamiento

De la evaluación de nuestro protocolo fácilmente se desprenden lecciones valiosas. Al hacernos conscientes de nuestros aciertos, reforzamos los hábitos que nos han conducido a ellos y además vamos adquiriendo un mejor conocimiento de nuestras capacidades específicas y de los campos concretos a los que nos podemos aplicar con más éxito. De nuestros desaciertos también podemos obtener un valioso conocimiento de nosotros mismos que nos conducirá a poner particular atención para corregir nuestros hábitos perjudiciales e improductivos, reemplazándolos por otros más eficaces.

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Ejemplos de realización, análisis y evaluación de protocolos

Se presentan a continuación varios ejercicios acompañados cada uno de protocolos reales, junto con sus análisis y evaluaciones respectivas.

Lo que sigue es el protocolo real de un problema efectuado por mí mismo. Un reloj me avisaba cada 10 minutos para estimularme a reflexionar sobre el proceso a medida que lo realizaba y a escribir este protocolo a fin de poder estudiar con atención posteriormente mi enfrentamiento con el problema. Los números al margen fueron escritos después para ayudar en el análisis que se hace a continuación del protocolo. Se deben ignorar en esta primera lectura.

TRIÁNGULO CON QUINCE FICHAS DE DAMAS

Se colocan 15 fichas de damas, unas blancas y otras negras, ordenadamente en la disposición que se indica en la figura.

¿Habrá siempre, cualquiera que sea el número de fichas blancas y fichas negras de las quince y cualquiera que sea su disposición, tres fichas del mismo color cuyos centros sean los vértices de un triángulo equilátero? (En la disposición del ejemplo de la figura, con 6 negras y 9 blancas en la posición particular en que se han colocado, hay claramente varias ternas de fichas que son del mismo color y al mismo tiempo vértices de algún triángulo equilátero).

Comienzo

Es un problema bonito. Se presta a la manipulación con fichas.

Se podría con él inventar un juego para dos jugadores. Pierde quien primero forme un equilátero con vértices del mismo color.

Parecido a un resultado de Ramsey que conozco. ¿Mismo método?

No experimento mucha confianza en sacarlo fácilmente adelante. Me da la impresión de que requiere alguna idea feliz extraña.

Empiezo experimentando, jugando, pintando… No tengo damas a mano. Pinto varios triángulos como los indicados en el enunciado y los coloreo a lo loco.

Parece que efectivamente siempre hay un triángulo de vértices del mismo color.

Me resulta más cómodo señalar los centros por puntos y los colores por B y N.

Trato de conseguir que no haya un triángulo de vértices del mismo color.

No lo consigo.

Esta experimentación me proporciona pautas, maneras de excluir ciertas configuraciones cuando trato de que no haya un triángulo con vértices del mismo color.

Por ejemplo, no puede haber cinco blancas (o negras) en la fila de abajo

porque esto exigiría cuatro N en la fila superior y esto tres B en la de arriba y esto ya da triángulos de vértices del mismo color.

10 minutos.

Confianza. Entretenido. Luz. Parece que encontré un camino que lleva seguro a la solución.

Si hay 4 B y una N en la fila de abajo no puede ser así

por lo mismo que antes. Implicaría, si evito triángulos equiláteros con vértices del mismo color

y esto implica que el vértice de arriba del todo ya forma triángulo equilátero del mismo color con los extremos de la quinta fila si es B o con los de la cuarta si es N.

¿Podrá haber cuatro así en la quinta fila?

No. Las tres B seguidas implican fácilmente un triángulo de vértices del mismo color.

Por tanto, la quinta fila tendría que ser con 3 de un color y 2 del otro. Supongamos 3 B y 2 N. ¿Cómo se dispondrán? Sólo quedan esencialmente las tres posibilidades siguientes:

Trato de ver si puedo excluir estas tres posibilidades en la disposición total, siempre procurando evitar triángulos equiláteros de vértices del mismo color. Cada una de ellas implica mucha información sobre la disposición del triángulo total si se han de excluir equiláteros con los vértices del mismo color.

La situación a implica ya directamente esta disposición de arriba. Pero además, como no puede haber tres fichas del mismo color seguidas, puedo poner también

Pero esto ya da un triángulo como el que quiero evitar.

20 minutos

Está claro que esto es un camino seguro. Sigo con confianza. Tengo el fin cerca. Si se puede construir sin el equilátero tengo un método. Si no se puede también tendré una demostración de que así es.

Para b

Se excluye b. Ahora con c:

También se excluye c.

30 minutos

Problema resuelto. Siempre hay un triángulo equilátero con vértices del mismo color.

Mirando atrás me quedo con la sensación de que he procedido muy pesadamente, de que debería haber un procedimiento más directo para ver que no existe tal triángulo, pero no se me ocurre.

Pienso en grafos, pero parece complicado.

Pienso en contar los equiláteros, pero no veo qué hacer con ello.

Pienso si con 10 fichas se puede. Y resulta que sí.

Análisis del protocolo

Divido el protocolo en trozos que parecen constituir unidades en alguna forma diferentes Los número.

1. Señala la actitud de aproximación al problema. Actitud positiva y de interés.

2. Recuerda el sabor parecido de un problema conocido. Pero a lo largo de todo el proceso no va a aparecer ninguna referencia a ello.

3. Manifiesta desconfianza sobre la posibilidad de resolverlo. Los problemas que requieren una feliz idea parecen resistírsele más.

4 y 5. Constituyen la iniciación del ataque. Jugando, familiarizándose, haciéndose con una notación que le resulta más ágil.

6. Aunque no aparece explícitamente, se inicia la conjetura de que no va a ser posible colocar las fichas sin triángulo equilátero del mismo color. Trata activamente de conseguir esta configuración para ver las razones por las que no se puede conseguir.

7 y 8. Consigue una pauta inicial que, aunque particular, va a ser importante. Cinco fichas del mismo color en fila conducen necesariamente a un triángulo de vértices del mismo color.

9. Ahora ya ha visto un camino. La configuración de una línea proporciona mucho conocimiento sobre la configuración total.

10 y 11. Explota la idea más a fondo.

12 y 13. Todo ha quedado reducido a tres ensayos que son fáciles de realizar.

14, 15 y 16. Realización de la estrategia. Resuelto el problema.

17. Reflexión sobre la trayectoria seguida, sensación de cierta pesadez. Sigue con la convicción de que debería haber otro camino.

Busca otros medios pero no llega a nada concreto.

Evaluación del proceso

Una cierta pobreza en la búsqueda de estrategias alternativas. Tal vez debería haber dedicado más energía en ampliar la visión y mirar el problema desde más puntos de vista en la fase inicial. Esencialmente aparece una única técnica de ataque.

Se manifiesta claramente cómo la manipulación inicial, aun sin una dirección previa, conduce ella misma hacia ideas muy valiosas. Ésta es una lección importante que no aparece explicitada en las reflexiones finales.

Otro ejemplo

Como antes, lo que sigue es el protocolo real del proceso, tal como yo mismo lo enfoqué y lo fui trabajando, con un reloj señalándome el tiempo empleado. La división en trozos y los números al margen fueron escritos más tarde para realizar el análisis del protocolo.

LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATA

El huevero tiene ante sí seis cestas con huevos. Cada una tiene huevos de una clase, de gallina o de pata. Cada cesta tiene el número de huevos que se indica

El huevero dice, señalando una cesta que no acierto a ver cuál es exactamente: «Si vendo esta cesta, me quedará el doble de huevos de gallina que de pata».

¿Podrías ayudarme a averiguar de qué cesta está hablando?

Protocolo del proceso

Comienzo

Parece un simple ejercicio de álgebra y ecuaciones en números enteros.

Experimento cierta confianza en que lo voy a resolver fácilmente.

Me familiarizo con el problema. En un principio había entendido que en cada cesta pudiera haber huevos de dos tipos. Al leer mejor compruebo que no es así.

Parto, llamando G al número de huevos de gallina y P al de huevos de pata, de

G + P = 12 + 6 + 15 + 29+14 + 23

Parece que dice poco.

Si quito un cesto queda doble número de huevos de gallina que de pata.

Busco estrategias.

Podría proceder por ensayos. No es imposible, pero parece un poco largo… Pienso que algunas combinaciones se pueden descartar por razón de la paridad (el doble…).

Ahora no me parece tan sencillo.

Tal vez jugando un poco.

Si «la cesta» fuese la de 15, habría que escoger de entre 6, 12, 14, 23, 29 varias que sumen el doble de lo que suman las otras…

Por la paridad, si se escoge 29 hay que escoger también 23. Tendría 29 + 23 = 52, mitad 26, y 6 + 12 + 14 = 32. Es imposible. La cesta de 29 sólo con la de 23 es imposible.

Parece que es imposible que «la cesta» sea la de 15. Los de gallina sólo podrían ser 23, 29 y esto es imposible…

Esto da idea de que tampoco podría ser «la cesta» la de 23 ni la de 29 por la misma razón…

Pruebo con 14. Quedan 6, 12, 15, 23, 29…

15 minutos

Veo luz probando. Una pista es la paridad. Otra la magnitud de los números.

No hay que hacer muchos experimentos. Se va a poder descartar casi todo rápidamente.

Interesante.

¿Podrá ser «la cesta» la de 29?

Quedan 6, 12, 14, 15, 23.

A un lado 15 + 23 = 38. Mitad 19. Imposible…

Ahora veo que mi razonamiento no es exacto. A un lado podrían quedar 15, 23 más alguna otra cesta.

Empiezo con 15 de nuevo. Si «la cesta» fuese la de 15, quedan 6, 12, 14, 23, 29. Por un lado 23 + 29 al menos, 23 + 29 = 52 con alguna otra cesta probablemente. No marcha.

Si «la cesta» fuese la de 23, quedan 6, 12, 14, 15, 29.

A un lado 15 + 29+… = 44 +…

Descartado añadir el 6, el 12 y el 14.

Imposible el 23.

Si «la cesta» fuese la de 29, quedan 6, 12, 14, 15, 23.

Por un lado 23 + 15 +… = 38 + …

Descartado el 6, el 12 y el 14. Imposible.

Si «la cesta» fuese la de 14, quedan 6, 12, 15, 23, 29. Por un lado 23 + 29 +…

Descartado el 6, 12, 15.

O bien por un lado 29 + 15 +… Imposible.

O bien por un lado 23 + 15 +… Imposible.

Si «la cesta» fuese la de 6, quedan 12, 14, 15, 23, 29. Por un lado 29 + 23 +… = 52 +… Imposible.

O bien 29 + 15+ - = 44 +… Imposible

O bien 23 + 15 +… = 38 +… Imposible.

30 minutos

Si «la cesta» fuese la de 12, quedan 6, 14, 15, 23, 29.

Por un lado 29 + 23 +… = 52 + …

El 6 casa en los puntos suspensivos,

29 + 23 + 6 = 58 = (15 + 14)2

¡«La cesta» es la de 12 huevos!

Reflexiono un poco. Parece un problema muy «particular», muy ligado a números concretos que no proporciona métodos generales.

Uno de esos problema que con suerte (si llego a experimentar el 12 al principio) hubiera salido una solución en muy poco tiempo.

Me quedo con la duda sobre si hubiera podido proceder de otro modo. No lo veo.

Análisis del protocolo

Leo con atención el protocolo separando los trozos que parecen indicar una actividad diferente, un punto de cambio, una dirección nueva interesante en el proceso.

1. Señala el acercamiento, con una confianza un poco engañosa al encasillar el problema. Una ecuación diofántica clásica no surge en absoluto.

2. Fase de lectura y familiarización con el problema. Una primera lectura no suficientemente atenta. Se rectifica.

3 y 4. Revela una intención hacia un enfoque algebraico clásico, tratando de escribir una ecuación. No conduce a nada y así se percibe en el protocolo.

5. El problema se presta al ensayo y exclusión claramente. Aparece algo de prevención al trabajo posiblemente largo y pesado. Ve una luz importante en la paridad.

6. Revela, ante cierta repugnancia por el ensayo sistemático, la intención de comenzar en plan de juego, sin compromiso de proceder por orden.

7. Elige el 15 para este juego, un tanto arbitrariamente. ¿Algún motivo especial? Ni de los más grandes ni de los más pequeños.

8 y 9. Emplea la paridad para hacer la exclusión de posibilidades más eficaz. Pero, como se revelará más adelante en 13, no lo hace bien, pues 23 y 29 podrían ir juntamente con otro número par. ¿Por qué le sucede esto? Tal vez la prisa y el hacerlo como jugando… Con todo es una buena aproximación.

10. Explora el mismo camino de exclusión con otros números.

11. El reloj parece recordarle que debería reflexionar sobre lo que está haciendo. Hace conscientes las dos pistas que está manejando. La magnitud de los números no se había mencionado hasta ahora. Revela una seguridad de que ha encontrado un camino seguro.

12. Parece comenzar una exclusión sistemática siguiendo la pista señalada de la paridad.

13. Aparece ahora, tal vez por el carácter sistemático de la exploración que ha comenzado, un defecto del razonamiento previo. Ahora lo completa.

14. Con la nueva luz deja el 29 y pasa al 15. Posiblemente quiere ver si la exclusión que hizo antes del 15 es efectivamente correcta.

15 y 16. Pasa sistemáticamente al 23 y al 29. Posiblemente la idea de acudir primero a los números grandes está ligada con la pista antes mencionada de la magnitud de los números, pero no se da ninguna razón explícita para ensayar por este orden.

17 y 18. No está de suerte. Ensaya todos los números antes de dar con la solución.

19. Encuentra la solución. Pero no se da cuenta de que también podría suceder, siendo también «la cesta» la de 12 huevos, que los de gallina fuesen 29 + 14 + 15 = 58 que es doble de 23 + 6.

20 21 y 22. La reflexión es escasa. Volviendo atrás podría haber sacado unas cuantas consecuencias claras sobre su resultado y su modo de proceder.

Evaluación del proceso

En conjunto parece que sigue una línea razonable. Hay una flexibilidad bastante buena para corregir en 5 las primeras impresiones que aparecen en 1 y 3.

La repugnancia, en 5 y 6, ante la exclusión sistemática, parece sana, y el paso al juego en 6 tiene sentido para encontrar criterios sensatos de selección con los que hacer la labor más llevadera.

El error que aparece en 9 revela una cierta tendencia al apresuramiento.

La elección, un tanto errática, del orden de ensayo de las posibles cestas, parece bastante infundada. Parecería más fácil y directo ensayar primero como «la cesta», a fin de excluirla, la de 6 huevos. Tal vez procedió así por el convencimiento de que habría que ensayarlo todo, por la posibilidad de varias soluciones, y de que en todo caso los ensayos no eran muchos.

La reflexión pobre sobre el proceso en 20, 21 y 22 tal vez sea un defecto debido al deseo de terminar cuanto antes la ocupación con este problema.

Una lección interesante de este protocolo es la siguiente. El método de solución no es nada sofisticado, se reduce a una sucesión de ensayos experimentales. La experimentación asusta al comienzo, pero al empezar a experimentar se producen ideas y luces que sirven para hacer la experimentación misma más inteligente y eficaz. También conviene hacer notar que uno se puede equivocar en una experimentación como la que aquí aparece:

—Por dejar casos sin ensayar y descartar.

—Por hacer mal las cuentas y operaciones.

Si bien es verdad que, como he dicho anteriormente, el modo de proceder, mirado en sí mismo tal vez parezca razonable, es bien claro, a la vista del protocolo siguiente del mismo problema, realizado por un amigo, que mi proceso pasó por alto una luz importante a la que la paridad conduce de forma bastante natural. Con ella el problema resulta mucho más sencillo, corroborando así mi impresión de pesadez acerca de mi propia solución.

Otro protocolo del mismo problema

Suprimir una cesta que haga que el resto sea múltiplo de 3. Si hay varias opciones, tener en cuenta que el reparto pueda hacerse 2-1.

Como la suma total es múltiplo de 3, hay que quitar una cesta que tenga un número de huevos múltiplo de 3. Hay tres opciones.

El total de huevos es 99

99 - 6 = 93 = 62 + 31 (no hay forma de conseguir 31)

99 - 15 = 84 = 56 + 28 (no hay forma de conseguir 28)

99 - 12 = 87 = 58 + 29, consigo 29 y compruebo.

Era la cesta de 12 huevos.

(Seis minutos).

El protocolo no contiene más que indicaciones sobre el contenido del problema. Nos dice poco sobre otras circunstancias. Pero tal vez se pueda decir que fue tan rápido que mi amigo no tuvo tiempo para experimentar otra cosa que la proximidad inmediata de la solución.

Un tercer ejemplo

Lo que sigue es el protocolo del proceso tal como lo llevé a cabo hace algún tiempo cuando aún no me había percatado de la conveniencia de señalar más exactamente las diferentes vicisitudes de la actividad mental. Recuerdo que en el lugar señalado en el protocolo con PAUSA tuve una interrupción como de media hora en que hube de salir de casa en el coche. En el camino se iba incubando el problema y claramente surgió cierta inquietud sobre lo realizado hasta entonces, así como la alternativa que aparece en el protocolo tras esa PAUSA. Al llegar a casa sólo tuve que ponerla en el papel. En conjunto, con esa pausa mi ocupación con el problema fue probablemente de hora y media. Como se puede claramente observar, este protocolo es más pobre que los anteriores y se parece más a lo que sería la solución en limpio del problema. Por otra parte carece de la reflexión final que un problema tan interesante merecería.

PARTIENDO CONJUNTOS

Se considera el conjunto de números Sn = {1,2,3,…n}

¿Para qué enteros n se puede dividir Sn en dos conjuntos disjuntos cuyos elementos sumen lo mismo?

Por ejemplo S₇ = {1,2,3,4,5,6,7} se puede partir en {1,6,7} y {2,3,4,5} y se verifica 1 + 6 + 7 = 2 + 3 + 4 + 5.

También S₃ = {1,2,3} se puede partir en {1,2} y {3}.

Protocolo del proceso

Un problema interesante, no rutinario, en el que no se prevé que se pueda aplicar una estrategia típica.

Experimento inseguridad y al mismo tiempo interés.

Pienso que vendrá bien inicialmente ir experimentando con números pequeños:

S₂ = {1,2} claramente no admite tal descomposición

S₃ = {1,2,3} = {1,2} ◡ {3}

S₄ = {1,2,3,4} = {1,4} ◡ {2,3}

S₅ = {1,2,3,4,5} no admite tal descomposición

S₂ = {1,2,3,4,5,6,7} = {1,6,7} ◡ {2,3,4,5}

Cuanto más grandes son los números, más difícil la experimentación. No hay mucha base para hacer una conjetura.

Una cosa es clara, que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… + n ha de ser un número par.

Sin ensayos esto confirma que:

S₂ no se puede descomponer

S₅ no se puede descomponer

S₆ no se puede descomponer

Como l+2 + 3+ 4+… + n = n(n+ l)/2, si esto ha de ser par para que se pueda decomponer, resulta que n(n + 1) ha de ser múltiplo de 4. Esto es importante y excluye muchos n.

La conjetura que ahora surge es que tal vez esta condición, que n(n + 1) sea múltiplo de 4, sea también suficiente para asegurar que Sn se pueda descomponer como se pide.

Parece que puedo proceder así. Si n(n + 1) es múltiplo de 4, calculo n(n + l)/4 y ésta es la suma que ha de tener cada uno de los conjuntos en que debo partir Sn. Para formarlos voy sumando los números más grandes de Sn y esta suma la completo hasta que valga exactamente n(n + l)/4. El resto de los números han de sumar lo mismo.

Experimento. Como 23·24/4= 138, para

S₂₃ = {1,2,3,4, …,22,23}

este proceso me da primero

23 + 22 + 21 + 20 + 19 + 18 = 123

Faltan 15 para 138. Añado 1, 2, 3, 4, 5 y así resulta S₂₃ = {1,2,3,4,5,18,19,20,21,22,23} ◡ {6,7,8,…, 16,17}.

Pausa

Para S₂₃ ha salido correcto el método, pero no veo bien que se pueda llevar a cabo en todos los casos. He de buscar otra idea.

Miro a los números buenos 3, 4, 7. Miro a los números tales que n(n + 1) es múltiplo de 4. Como uno de ellos es impar ha de suceder que o bien n o bien n + 1 sea múltiplo de 4. Esto sucede efectivamente con 3, 4, 7, 8.

Van a pares…, distanciados 4 unidades…

Se me ocurre mirar a ver si es verdad que si n es bueno entonces n + 4 es bueno.

Si Sn se puede dividir como se pide, se ponen ahora (n + l) y (n + 4) a un lado y (n + 2) y (n + 3) al otro.

Como 3, 4 son buenos, también lo son 7, 8, 11, 12, 15, 16, 19, 20, 23, 24…

Es decir, son buenos todos y sólo los n que son múltiplos de 4 o tales que n + 1 es múltiplo de 4.

Análisis del protocolo

1. Fase de acercamiento al problema. Positiva. Constatación de que no se trata de un mero ejercicio. Es natural la inseguridad.

2. Se acude a la experimentación. No da gran resultado. No se ve clara una pauta.

3. La idea clave surge ahora: la paridad de la suma 1 + 2 + 3 +… + n. De una idea sencilla surge aquí el germen de la solución.

4. Elaboración de la idea. Hasta aquí en forma de condición necesaria.

5. Una conjetura de que la condición sea suficiente.

6. Un camino para tratar de demostrar la suficiencia.

7. Se trata de ver si el camino es practicable. Probablemente no ve claro que se pueda llevar a cabo. Lo hace para un caso particular.

8. La duda se hace explícita. No se ve que el camino propuesto haya de llevar siempre a buen fin. No se persigue la idea con mucho interés. (Como se verá más adelante, en la presentación del protocolo de este mismo problema realizado por un amigo, a él le resultó bastante fácil demostrar que esta idea funciona siempre).

9 y 10. Surge una idea probablemente basada de modo implícito en el mismo procedimiento de la inducción. Esto lleva rápidamente a la solución.

Evaluación del proceso

El protocolo es aquí casi exclusivamente una descripción técnica del contenido, apenas del proceso. Parece demasiado directo.

No hay indicaciones de tiempo ni de las características de la actitud general.

Al surgir una dificultad importante en 8 no trata de arreglar y complementar lo realizado hasta entonces, sino que busca otro camino. Es posible que lo hubiera tratado de hacer de no haber tenido resultado la búsqueda de otros medios. Pero al menos a posteriori, en una reflexión final, hubiera debido plantearse si el camino inicial se podía completar adecuadamente. Un problema curioso que aquí queda en el aire y que, como se puede ver en el protocolo de resolución del mismo problema por mi amigo que a continuación se presenta, admite una solución positiva.

Ante un problema tan interesante y bonito caben otras preguntas estimulantes: ¿Y si se tratase de caracterizar los conjuntos tales que se pueden partir en 3 o en 4 o en 7 conjuntos disjuntos con la misma suma, cómo se podría hacer? Hubieran debido surgir observaciones importantes en una reflexión posterior:

—Un detalle tan sencillo como la paridad, que aparece en 3, conduce a la solución del problema.

—Como se desprende de 9, las ideas subyacentes a las grandes técnicas matemáticas (aquí inducción) son mucho más ricas que la práctica rutinaria de ellas.

Otro protocolo del mismo problema

Éste es el protocolo real del tratamiento del problema por un amigo, en el que se puede ver, entre otras cosas interesantes, cómo se puede desarrollar con perfecto rigor una pista que aparece en el protocolo anterior y que quedó abandonada un tanto superficialmente. Así aparece una solución muy natural, elegante y rápida.

Primera condición: | Sn = (n + \)n = múltiplo de 4
| como ya es múltiplo de 2…
| Hace falta que n o n + 1 sea múltiplo de 4.
| (condición necesaria)

Para ver si es suficiente veamos algunos casos

1 + 2 + 3 = 6 | 1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 + 4 = 10 | 2 + 3 = 5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 | 1 + 3 + 4 + 6 = 2 + 5 + 7
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 | 1 + 2 + 4 + 5 + 6 = 3 + 7 + 8

Hasta ahora, siempre. Y da la sensación de que, cuanto mayor sea n, al estar más atomizada la suma total, más factible resultará.

Intento probarlo. Para ello sólo se me ocurre, de momento, echar mano del hecho ya señalado: la atomización. Con los primeros números 1, 2, 3, 4…, puedo (creo) conseguir el número que necesito para completar con otros «gordos» la suma.

Lo pienso un poco y ahora me siento más seguro:

Sumo n + (n - 1) + (n - 2) +… hasta «acercarme» a Sn/2. Después escojo el que necesite de los primeros para completar la suma deseada. ¿Está disponible ese número?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120

Para conseguir 60:

15 + 14 + 13 + 12 = 54

54 + 6 = 60

Parece muy claro que la suma de los últimos (consecutivos) necesaria para aproximarse a Sn/2 queda lejos de los primeros de modo que con uno de ellos se completa la suma (podría hacerse de muchas formas pero este método parece posible y más sencillo).

Ahora hay que demostrar dicha posibilidad.

Ahora caigo en la cuenta que es preferible ver que

(1 + 2 +… + n/2) es menor que (1 + 2 +… + n)/2

lo cual es evidente (la segunda mitad suma más que la primera). Por tanto, sumando de atrás para adelante sobrepasaremos Sn/2 antes de llegar a n/2. Quiere decir que

Sn/2 - (n + (n - 1) +… + (n - p)) < n/2 para p + 1 < n/2

Por tanto

n + (n - 1) +… + (n - p) + a = Sn/2

siendo a < n/2 y, por tanto «disponible».

TIEMPO TOTAL: 22 minutos.

10
Un posible esquema de trabajo en grupo

La mayor parte de las consideraciones que preceden así como las que van a seguir se refieren fundamentalmente a la posibilidad de llevar a cabo el intento de mejora de los procesos de pensamiento mediante el trabajo individual.

Es cierto, sin embargo, que el trabajo en grupo alrededor de una actividad como la que en este libro se propone tiene, a su vez, una serie de ventajas importantes que hay que valorar:

Una posibilidad de gran enriquecimiento. Si la fisonomía de nuestros propios rostros puede diferir tantísimo, teniendo como tenemos en ellos tan sólo unos pocos elementos, ojos, nariz, boca…, en los que distinguirnos, es fácil imaginar la enorme variedad que nuestras mentes, tan inmensamente complicadas, tienen que presentar. Es obvio que podemos aprender mucho mediante la comunicación entre unos y otros de nuestros modos de proceder ante una misma situación-problema.

Una posibilidad de aplicar el método desde diferentes perspectivas. El modelo mismo de actuación que vamos a utilizar y que será presentado en el capítulo 11 puede enriquecerse y profundizarse notablemente gracias a su realización por un grupo de personas.

Apoyo y estímulo en una labor que de otra manera puede resultar árida y dura, por razón de su complejidad y de la constancia que requiere. La estructura del trabajo en grupo aporta una firmeza en el propósito de progreso hacia el objetivo común sin la cual no es fácil perdurar.

Posibilidad de contraste de los progresos que el método va produciendo en uno mismo y en otros. La crítica constructiva recíproca que se puede fomentar en un grupo permite más fácilmente comprobar la evolución positiva propia y ajena y asimismo superar las dificultades conjuntamente.

Posibilidad de prepararse para ayudar a otros para una labor semejante con mayor eficacia. La observación de las dificultades de los compañeros de grupo y sus modos de afrontarlas proporciona una experiencia que puede ser de gran valor para quienes tratan de ayudar a otros en el establecimiento de patrones de comportamiento mental más perfeccionados.

Diseño de una reunión de trabajo en grupo

Indicaré a continuación un posible diseño de una reunión de trabajo en grupo. Un equipo puede constar razonablemente de cinco o seis personas. Se podrían reunir una vez por semana durante un buen período, como de un año. Una sesión típica puede durar una hora y media. La sesión tiene dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamente importante. La primera tiene por objeto ir ampliando el panorama de los conocimientos teórico-prácticos del grupo.

Primera parte (media hora). Uno de los miembros del equipo ha preparado mediante lecturas adecuadas un tema bien concreto de naturaleza teórico-práctica, que podría consistir por ejemplo en profundizar en alguno de los puntos tratados en este libro, tal vez, por señalar algo concreto, en el tratamiento de los bloqueos de tipo ambiental. Lo expone en 20 minutos y se establece un período de discusión, comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10 minutos.

Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va a actuar en esta segunda parte como secretario, observador y seleccionador de problemas. Otra de ellas actuará como moderador. Los papeles de los componentes del grupo serán desempeñados por turno en las diferentes reuniones.

El secretario para esta reunión ha elegido con anterioridad unos cuatro o cinco problemas que propone al resto. Es conveniente que sean verdaderos problemas, pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad del grupo de resolverlos en un tiempo razonable. El aire de estos problemas podría ser más o menos el de los que se proponen como ejemplos y ejercicios en la tercera parte de esta obra. Es conveniente que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas, pues aunque durante el proceso tendrá que actuar meramente como observador, al final deberá él mismo iluminar y complementar los resultados alcanzados por el grupo.

Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el grupo va a realizar puede quedar perfectamente cumplida aunque los problemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo, desde el punto de vista de la motivación, que los problemas elegidos, por una parte, constituyan un verdadero reto, pero que al mismo tiempo sean susceptibles de solución por el grupo.

La misión del secretario-observador, aparte de la elección de los problemas, consiste en observar e ir anotando los puntos más importantes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solución del problema. Él es el encargado de realizar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas han de ayudar muy sustancialmente para la reflexión final que ha de seguir a esta etapa de trabajo. En general, permanecerá en silencio, cosa nada trivial de realizar, pero parece conveniente que intervenga en alguna ocasión, si es necesario, por ejemplo para preguntar sobre el origen de una nueva idea de algún componente del grupo, que probablemente se alejaría de su memoria si se espera al período de reflexión al final del proceso.

Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o cinco componentes del grupo uno actúa como moderador para esta reunión de trabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesión. La forma de proceder del grupo hacia la resolución del problema puede ser muy variada y sería conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada grupo elija el que mejor se le adapta.

Lo verdaderamente importante es que se cree una atmósfera en el grupo libre de inhibiciones, libre de competitividad, en que cada uno esté deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que a primera vista pueda parecer más estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas iniciadas por los otros y viendo con gusto cómo los otros van perfeccionando las ideas propuestas por él. La tarea esencial del moderador es precisamente mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportación del que tiende a callar demasiado e inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando cuando el grupo parece quedarse pegado, tratando de abrir nuevas vías cuando todo parece cerrado…

El esquema concreto para el enfrentamiento con los problemas puede ser el que se propone a lo largo de la tercera parte de este libro según las cuatro fases que reproduciremos aquí en titulares y que vamos a ver allí desarrolladas en detalle:

El grupo se familiariza con el problema.

En busca de estrategias posibles.

El grupo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen más adecuadas.

El grupo reflexiona sobre el proceso que ha seguido.

Para el trabajo en grupo, y especialmente para la segunda fase del modelo que se propone, puede resultar muy provechoso el seguimiento de las cuatro reglas del brainstorming que se han indicado en el capítulo 6. En la cuarta fase es, por supuesto, donde el secretario-observador ha de intervenir fundamentalmente.

PARTE TERCERA
Estrategias del pensamiento matemático

En esta tercera parte trataremos de mostrar cómo al descender hacia un campo concreto los principios generales señalados en la segunda parte, junto con la historia y las tradiciones del campo en cuestión, dan lugar a ciertas formas paradigmáticas de tratamiento de los problemas específicos que ayudan extraordinariamente para el enfrentamiento correcto con ellos.

La elección del campo de la matemática para mostrar esta concreción no es arbitraria. La matemática es fundamentalmente una ciencia del método, una ciencia que primariamente se interesa por el aspecto estructural de los objetos a los que se acerca, considerándolos como portadores de ciertas estructuras racionalizables y ordenables mediante la mente de un modo muy peculiar que conduce, una vez asumidos ciertos principios, al asenso incontrovertible.

La matemática es, por su misma estructura, intensamente atenta al método de pensamiento, y se presta, como ningún otro campo, para poner de manifiesto la eficacia hacia sus propios fines, de las estrategias de pensamiento que se han ido elaborando a lo largo de sus 26 siglos de existencia como ciencia adulta. Con seguridad se pueden entresacar en otras ciencias y en otras actividades esquemas mentales modélicos que son específicos para el proceder eficaz en el campo correspondiente, pero posiblemente es en el terreno matemático donde el ejemplo será más claro y, en todo caso, es el único que yo conozco suficientemente.

Por otra parte, la matemática, por diversos motivos, va resultando un saber tan central en la cultura del presente, y con toda probabilidad aún más en la del futuro, que sus esquemas de pensamiento van adquiriendo en ella un papel fundamental. Para cualquiera es cada vez más conveniente conocerlos a fondo a fin de entender con suficiente profundidad cuál es su alcance y cuáles sus limitaciones esenciales. Se puede objetar a la tarea de familiarización con las estrategias del pensamiento matemático que su resultado consistirá en hacernos más capaces de enfrentarnos con éxito a problemas matemáticos y que dejamos con ello a un lado el objetivo general de pensar mejor que nos habíamos propuesto. Como tendremos ocasión de comprobar, la familiarización con ciertas estrategias del pensamiento matemático hasta incorporarlas plenamente en nuestro dinamismo mental comporta una reestructuración del pensamiento altamente valiosa para su actividad general. Existen, naturalmente, modos de pensar muy específicamente matemáticos. Pero muchas de las estrategias matemáticas que nos ocuparán admiten una transferencia bien valiosa para mejorar nuestro pensar alrededor de cualquier tema, como resultará claro en lo que sigue.

Como veremos, las estrategias del pensamiento matemático se pueden hacer patentes bien claramente en situaciones que no tienen en absoluto la apariencia esotérica de las matemáticas. En su mayor parte, nuestra presentación y ejercicio de tales estrategias estará fundamentalmente basada en actividades aparentemente lúdicas, juegos y puzzles para los que no se requerirá ningún bagaje matemático específico.

11
Un modelo para la ocupación con problemas

A continuación se presenta un modelo posible al que se puede tratar de ajustar la ocupación con problemas de naturaleza matemática. En él se señalan algunos procesos básicos típicos del pensamiento matemático. Pero hay que hacer notar que los presentaremos ejemplificados, en su mayor parte, en contextos libres de contenidos específicamente matemáticos, en muchas ocasiones en situaciones lúdicas que pueden afrontarse sin preparación ninguna.

Podrá extrañar a algunos esta cercanía entre el pensamiento matemático y el lúdico, pero es un hecho profundo que una gran parte de la matemática más seria ha sido desarrollada bajo una motivación inicial lúdica y que los puzzles y juegos mentales comparten con la matemática muchos procesos de pensamiento eficaces en uno y otro campo. Es más, muchas veces resulta extraordinariamente difícil decidir dónde termina el juego y dónde comienza la actividad científica «seria». Para muchos de los matemáticos, la matemática nunca cesa del todo de ser un gran juego.

El modelo concreto que se presenta a continuación está basado en las ideas de Polya y, en gran medida, coincide en sus rasgos generales con muchos otros que se han propuesto más recientemente, como los de Masón, Burton y Stacey, Schoenfeld… Puesto que la finalidad aquí consiste en adquirir unos cuantos hábitos mentales que aparecen constantemente utilizados en el pensamiento de sabor matemático, y ello a través del enfrentamiento y ejercicio con problemas concretos, rodearemos las normas con ejemplos específicamente elegidos para practicar cada una de ellas, si bien cada uno de estos ejercicios es suficientemente rico como para estimular la práctica y la familiarización con varias de las estrategias que han sido presentadas anteriormente o que serán tratadas después.

Por esto la utilización correcta de los capítulos que siguen debería consistir en lo siguiente:

Lectura atenta y pausada de la descripción de cada una de las fases y estrategias del modelo que se presenta.

Examen detenido de los ejemplos que las ilustran.

Enfrentamiento personal directo con los problemas que se proponen como ejercicio para adquirir las rutinas correspondientes, con especial atención al aspecto que se desea subrayar con ellos, realizando los protocolos correspondientes y sometiéndolos a análisis y evaluación, sobre todo en lo que se refiere a la fase o estrategia que se considera. Tales protocolos deben conservarse para someterlos posteriormente a un análisis más profundo en lo que se refiere a otros aspectos que serán estudiados más adelante.

Acumulación de la información obtenida sobre las características de mi propio proceso de pensamiento, a fin de conseguir un retrato, lo más fiel posible, de mi fisonomía heurística.

Llevar adelante este proceso con fidelidad requerirá una buena dosis de esfuerzo y tiempo, pero sin duda está muy lejos de ser un trabajo árido y estéril, sino entretenido y provechoso. Los progresos y beneficios no tardan en hacerse patentes.

Recopilando lo expuesto, para lograr PENSAR MEJOR es bueno:

Tener una idea clara, un modelo, al que pensamos que nuestra forma de proceder se debe ajustar.

Hacer mucha práctica de pensar tratando de ajustarla a este modelo ideal.

Tener una forma de examinar nuestro proceso y nuestra práctica, pues sucede con frecuencia que nuestra atención en la ocupación con un problema se centra en el resultado que obtenemos alrededor del problema, pero no en el proceso.

En esquema, éste es el modelo que iremos desarrollando a continuación, a lo largo de esta tercera parte, pormenorizadamente:

1. Familiarízate con el problema:

Trata de entender a fondo la situación.

Con paz, con tranquilidad, a tu ritmo.

Juega con la situación, enmárcala, trata de determinar el aire del problema, piérdele el miedo.

2. Búsqueda de estrategias:

Empieza por lo fácil.

Experimenta.

Hazte un esquema, una figura, un diagrama. Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada.

Busca un problema semejante.

Inducción.

Supongamos el problema resuelto.

Supongamos que no.

3. Lleva adelante tu estrategia:

Selecciona y lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la fase anterior.

Actúa con flexibilidad. No te arrugues fácilmente. No te emperres en una sola idea. Si las cosas se complican demasiado, probablemente hay otra vía.

¿Salió? ¿Seguro? Mira a fondo tu solución.

4. Revisa el proceso y saca consecuencias de él:

Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? O bien, ¿por qué no llegaste?

Trata de entender no sólo que la cosa funciona, sino por qué funciona.

Mira si encuentras un camino más simple.

Mira hasta dónde llega el método.

Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro.

Para el examen de nuestro proceso de pensamiento ya hemos visto en la segunda parte cómo la realización del protocolo correspondiente puede servir de gran ayuda. A fin de tener una visión unitaria de la marcha del proceso se puede proponer, siguiendo la idea de Schoenfeld, la realización de un esquema gráfico que sintetice el movimiento del pensamiento, señalando en un cuadro, como se indica a continuación a propósito de los protocolos que se han presentado en el capítulo 9, la dedicación a las diferentes fases del modelo arriba indicado. Es claro que esto no sustituye a un protocolo bien realizado, que proporciona una información mucho más rica sobre la actividad mental que ha tenido lugar.

Esquemas de la marcha del pensamiento según el modelo de ocupación con problemas (extraídos de los protocolos del capítulo 9)

Triángulo con quince fichas de damas:

Los huevos de gallina y de pata:

Partiendo conjuntos:

12
Familiarízate con el problema

Antes de empezar a trabajar en una dirección determinada, familiarízate a fondo con el problema. Con paz. Nadie espera que lo resuelvas a primera vista. Y si lo esperan, que tengan paciencia, cada uno tiene su ritmo. Los más lentos suelen ser los más profundos. Míralo pausadamente, a tu gusto. Asegúrate de que tienes una idea bien clara de los elementos que intervienen. Imagínatelos. Juega mentalmente con ellos, o mejor juega físicamente con ellos si los puedes materializar y manipular. Considera las conexiones que por su naturaleza tienen y las que te informan que tienen en este caso particular. Mira cuál es la situación de partida y cuál la de llegada, lo que hay que lograr.

A veces la situación es borrosa. Asegúrate de que llega a hacerse bien clara. Otras veces parece que has visto antes el mismo problema. Asegúrate. Es frecuente que cambios pequeños hagan los problemas bien diferentes.

El apresuramiento en esta fase del proceso es un mal consejero. A veces, por querer quedar bien ante otros o ante nosotros mismos, no indagamos suficientemente sobre términos que sólo conocemos confusamente y nos lanzamos a proponer ideas que provienen de una mala interpretación o de una ignorancia fácilmente subsanable.

Practica este proceso de acercamiento con el siguiente problema.

UNA MOSCA ANTOJADIZA

Sobre la mesa has colocado todo un capital, 25 monedas de 500 pesetas en esta forma

Viene una mosca volando y se posa sobre una de las monedas. Se le ocurre de repente que le gustaría patear todas las monedas andando, pasando de una moneda a otra que la toque y sin repetir monedas. ¿Podrá hacerlo? ¿Podrías hacerle el itinerario?

Trata de jugar a mosca un rato y observarás muchas cosas sobre el problema. Reflexiona sobre tu modo de proceder, de pensar y también sobre tus propios sentimientos frente a él, cómo te afectan las posibles frustraciones, los momentos de éxito, de ver claro… Encontrarás ideas para una solución en el capítulo 14.

ESTACIONES NUEVAS

En cada estación de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos como estaciones a las que se puede ir desde una estación determinada o estaciones desde las que se va a ella (el billete de A a B es distinto del de B a A). Se inaugura una nueva línea con varias estaciones y eso obliga a imprimir 34 nuevos billetes distintos. ¿Cuántas estaciones había y cuántas nuevas se han inaugurado?

Es interesante observar lo que pasa cuando te aproximas a un problema como éstos. Si es desconocido para ti, probablemente te acercas con cierto recelo, no sabes si es fácil o difícil, si estará a tu alcance o te dejará en la oscuridad.

Comienzas a jugar con él y poco a poco se te va haciendo menos hostil, la manipulación con él te lo hace amigo y él mismo tal vez te proporcione pistas, luces, que te van animando a explorarlo más de cerca. Tal vez ya en este primer acercamiento surja en ti la solución o bien la convicción de que no la tienes lejos.

Observa también cómo normalmente tu proceso de familiarización con un problema tiende naturalmente a adaptarse a la naturaleza misma del problema. Una actitud sana. Tu familiarización con anteriores problemas será distinta de la que tienes con los siguientes.

CINCO CORREDORES Y DOS MENTIROSOS

Antonio: «Yo no he llegado el último».

Bernardo: «Carlos ha llegado el tercero».

Carlos: «Antonio ha llegado inmediatamente detrás de Ernesto».

Daniel: «Ernesto ha llegado en segundo lugar».

Ernesto: «Daniel no ha ganado la carrera».

Por alguna razón extraña, los dos primeros clasificados han mentido y los otros no. ¿Cuál ha sido el orden de llegada de los cinco corredores?

Encontrarás ideas para una solución en el capítulo 13.

CAMINANDO JUNTOS

Un hombre y una mujer pasean juntos. El hombre da dos pasos al tiempo que la mujer da tres. En un cierto instante ambos pisan con el pie derecho. ¿Al cabo de cuantos pasos del hombre pisan por primera vez ambos al tiempo con el pie izquierdo?

Probablemente tu modo de aproximarte a estas situaciones es distinto del que has tenido en las anteriores. Unas veces tu inspiración, dependiendo del problema, puede llevarte a la manipulación simulada, otras a un esquema, otras a un proceso de ensayo y error, otras, como en el de las «Estaciones nuevas», a la utilización de un lenguaje adecuado, aquí el algebraico, que parece adaptarse bien a lo que se pretende.

El proceso de familiarización inicial con la situación es extraordinariamente importante. Si tu actitud inicial es la correcta, podrás gozar intensamente con el ejercicio. Si encaras el problema con gusto, con interés, actividad, apertura, versatilidad, seguramente encontrarás rápidamente varias vías posibles de afrontarlo. Alguna o algunas de ellas te llevarán tal vez a la solución, y si no te llevan a ella tampoco se hunde el mundo. De todos modos vas a salir ganando de la experiencia.

Una vez que te has familiarizado con el problema y te has divertido un rato pensando en él, es posible que te ocurra lo que a muchos otros nos pasa. El problema te ha cogido, no se te va de la cabeza. Sobre todo si has entrevisto uno o varios caminos que tal vez puedan conducirte a la solución. Eso es bueno, déjate arrastrar y procede adelante a tu modo. Pero no dejes, de rato en rato, de examinar y anotar tu propio proceso de pensamiento.

Lo que se puede esperar razonablemente del proceso de familiarización llevado a cabo correctamente es lo siguiente:

El problema queda enmarcado adecuadamente, casa en tal o cual tipo de problemas de los que ya conozco. Pero hay que tener mucho cuidado al encasillar un problema: «Éste es un problema de corrientes, uno de proporciones, uno de cruces de ríos…». Los esquemas mentales que se ponen en actividad dependen muy fuertemente de este enfoque inicial.

Me doy cuenta de la clase de información que puede ayudar, del tipo de transformación que he de aplicar, del esquema operativo que se puede utilizar.

El problema, aunque sea difícil, pierde su aspecto hostil, como cuando en una habitación a oscuras nuestra visión se habitúa a la oscuridad y podemos ya empezar a percibir confusamente en la penumbra.

ANTE EL SEÑOR BARBUDO

Dijo mirando la fotografía de un señor barbudo: «Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el padre de este hombre es el hijo de mi padre». ¿De quién es la foto?

ANTE OTRO SEÑOR BARBUDO

Dijo, mirando la fotografía de otro señor barbudo: «Ni hermanos ni hermanas tengo, pero el hijo de este hombre es el hijo de mi padre». ¿De quién es la foto?

TRES MEDIANAS EN BUSCA DE UN TRIÁNGULO

Construir, con regla y compás, un triángulo ABC del que se dan las longitudes de las tres medianas.

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Búsqueda de estrategias diversas

La segunda etapa del proceso de enfrentamiento con un problema consiste en tratar de determinar unas cuantas estrategias concretas para atacarlo. No se trata aún de llevar a cabo estos planes de ataque, sino de detectar diferentes formas, si es posible, de abordar la cuestión. Seguramente, procediendo con tino y sin prisas, podremos dar con varias diferentes. Si nos lanzamos a realizar la primera que se nos ocurra, muy probablemente descubriremos luego que no era lo mejor que se podía hacer, ni la manera más elegante, rápida, bella…

Un ejemplo. Al enfrentarte con el problema antes propuesto «Cinco corredores y dos mentirosos» se te puede ocurrir inmediatamente:

Estrategia 1. «Los órdenes posibles de los cinco corredores A, B, C, D, E son los siguientes: ABCDE, ABCED, ABECD… Para cada uno de ellos, por ejemplo ABCDE, compruebo si se tiene en pie con las informaciones que me proporciona el enunciado. Por ejemplo, ABCDE es incompatible con ellas, pues A sería mentiroso y la información que da sería verdad. Al recorrer todas las ordenaciones posibles hallaré la ordenación real».

Una estrategia segura, incluso es posible programarla en un ordenador, si eso te va, pero probablemente pesadísima de realizar.

También se te puede ocurrir:

Estrategia 2. «Hay dos mentirosos, según me dicen. Por tanto, voy a formar todas las posibles parejas de mentirosos: AB, AC, AD, AE, BC… Considero para cada posibilidad lo que ha dicho cada corredor, cambiando lo que dice cada mentiroso por lo opuesto y, con estas informaciones, construyo el orden compatible con todas ellas».

También es una forma de ataque bien segura y directa, pero llevará bastante trabajo.

Tal vez analizando la información que te dan puedes abreviar con una idea como la que sigue:

Estrategia 3. «El primero y segundo en llegar, según me dicen, son mentirosos. Miro las afirmaciones de cada uno, poniendo especial atención a los que hablan de los primeros puestos y en quién puede ser mentiroso. ¿Puede ser Antonio mentiroso? Si lo fuera, sería primero o segundo. Pero entonces lo que dice no es mentira. Así no puede ser mentiroso…».

Sigue tú mismo. Ésta es una estrategia mucho más directa que te lleva rápidamente a la solución. Como ves, si te lanzas rápidamente por el primer camino que se te ocurre, te puede ir mal. No te contentes demasiado rápidamente con la primera idea. Posiblemente hay unas cuantas formas de abordar el problema mejores que la que te proporciona la primera que se te ocurre. Procura diseñar unas cuantas estrategias posibles, sin llevarlas aún a cabo. Luego, a la vista de todas ellas, podrás elegir la que te parezca más apropiada.

Trata de practicar a tu aire con los siguientes problemas tanto la fase de familiarización como esta primera etapa de la búsqueda de estrategias (la segunda será la de selección de la mejor posible de entre ellas). Procura acumular unas cuantas formas de abordar el problema incluso aunque desde el principio te parezca estar seguro de que hay una que supera a todas. El ejercicio aquí es encontrar diversas estrategias. Por ahora hazlo a tu modo. Más adelante iremos viendo cómo se pueden ofrecer unas cuantas ideas-guía que te ayudarán eficazmente en la elaboración de estrategias y te permitirán obtener fácilmente posibles ataques diferentes a un problema.

LOS TRILLIZOS MENTIROSOS

Los trillizos Trónchez tienen la molesta costumbre siguiente: Cada vez que se les hace una pregunta, dos de ellos dicen la verdad y el otro la mentira acerca de la pregunta. Les pregunté cuál de los tres había nacido primero. Me contestaron:

Perico: «Pepe nació primero».

Pepe: «Yo no soy el mayor».

Pablo: «Perico nació el primero».

¿Cuál de los tres nació primero?

UN GRUPO DE ROCK

Juan Ciruelo, Jorge Cerezo y Javi Manzano decidieron formar un nuevo grupo de rock: Las Tres Frutas. Tenían unas voces estupendas, pero además cada uno de ellos sabía tocar la guitarra o la bandurria, o tal vez las dos cosas.

Se sabe que si es verdad que Ciruelo y Manzano saben tocar la guitarra, también sabe Cerezo. Si Cerezo no sabe tocar la guitarra, entonces Manzano sí que sabe. Pero si Manzano sabe tocar la bandurria entonces Ciruelo no sabe. También se sabe que uno de los dos, Ciruelo o Cerezo, pero no los dos, sabe tocar la guitarra.

Se sabe también que sólo uno de los tres sabe tocar la bandurria y la guitarra. ¿Quién es?

PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS

Observa:

1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 5² -1

2 x 3 x 4 x 5 = 120 = ll² - 1

3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 19² - 1

¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos es siempre un cuadrado perfecto menos 1?

¿EQUILÁTERO EN CUADRADO?

En un cuadrado MNPQ se traza el punto A como indica la figura.

El triángulo APQ tiene toda la pinta de ser equilátero. ¿Lo es de verdad?

A continuación vamos a ejercitarnos en la práctica de unas cuantas normas generales que permiten construir diversas estrategias en la resolución de problemas. Las primeras, capítulos 14 a 18, son aplicables a situaciones muy generales, no ya sólo relativas a las matemáticas. Las últimas, capítulos 19 a 21, son más específicamente matemáticas, pero de alcance muy general dentro de ellas. Si uno se coloca en un campo muy específico del pensamiento matemático, por ejemplo el estudio de las series, o combinatoria, o geometría analítica, o ecuaciones diferenciales ordinarias, se pueden detectar análogamente pautas de actuación que conducen eficazmente a la resolución de un gran número de problemas fácil y seguramente. Descender a ellas es el objetivo de cada campo concreto del estudio de las matemáticas.

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Empieza por lo fácil

A veces te encuentras con un problema que resulta difícil por su tamaño, por presentar demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Proponte tú mismo para empezar un problema semejante lo más sencillo posible y trata de resolverlo. Luego procede a complicarlo hasta llegar al propuesto inicialmente.

Otras veces tu problema, visto en su conjunto, resulta complicado e inabordable. Escoge una parte de él que parezca más simple, más a tu alcance y enfréntate con ella para empezar.

Observa el problema de «La mosca antojadiza» (capítulo 12). Su dificultad inicial parece grande. Hay muchas posibles monedas donde la mosca se puede posar. Hay muchos posibles caminos para ensayar. Si hubiera menos monedas, parece que sería más fácil. ¿Por qué no nos fabricamos un problema semejante con menos monedas, menos posibilidades, para empezar? Si lo resolvemos nos animaremos y tal vez nuestra solución nos proporcionará alguna idea para el problema propuesto.

Si hay un cuadro de cuatro monedas

la cosa es muy fácil. Demasiado fácil.

Con un cuadro de nueve monedas

la cosa empieza a complicarse. Pero la mosca tiene tan sólo tres opciones esencialmente distintas para posarse.

Para las opciones 1 y 3 encuentras fácilmente el camino. Para la opción 2 no sólo te resultará difícil, sino que pronto te convences de que es imposible.

Así te surge una idea importante en la que tal vez no habías pensado inicialmente: el camino pedido puede ser posible o imposible dependiendo del punto de partida de la mosca, es decir, de la moneda inicial.

Ahora puedes proceder a tratar de entender por qué en el caso de 9 monedas el camino en las opciones 1 y 3 es posible y en la 2 no. Seguro que si en este caso más simple das con tal razón podrás aplicar un razonamiento parecido para caracterizar los casos en que la mosca del problema más complicado puede hacer su paseo y en cuáles no. No es del todo sencillo pero esta aproximación lo hace más cercano.

¿Qué provecho obtienes procediendo primero con un problema semejante más sencillo? Uno grande de orden psicológico: te animas con tu probable éxito parcial. Otro de orden racional: en el problema sencillo aparecen probablemente más claros ciertos principios que quedan confusos en la complejidad del problema grande. Por otra parte, la manipulación efectiva inicial es más factible con un problema simple y de pocos elementos que con uno grande y complicado.

Análogas ventajas se obtienen del abordaje de una parte sencilla del problema. Poco a poco van cayendo las piedras de lo que parecía una muralla inasequible.

Observa que la simplificación de un problema se puede lograr no sólo por reducción del tamaño, sino también añadiendo alguna condicional adicional que no está en el problema propuesto y que lo hace más asequible. Incluso aunque te parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica, comprobarás con frecuencia cómo su ayuda es muy efectiva. Observa cómo has utilizado esta técnica muy a menudo en ciertas situaciones de la clase elemental de matemáticas.

ÁNGULO INSCRITO

Siempre que se tiene un ángulo BAC con A, B y C sobre una circunferencia de centro O, el ángulo BAC mide la mitad que el BOC.

¿Recuerdas cómo se demuestra?

Si AC y CO están alineados, entonces la cosa se simplifica. El triángulo BOA es isósceles y en este triángulo BOC es ángulo exterior que es igual a la suma de OBA y BAO, es decir, el doble que OAB. Así OAB es mitad de BOC. El caso propuesto resulta ahora muy fácil como indica la figura siguiente:

Como ves, el caso sencillo es un escalón que puedes utilizar para el más complicado.

ÁNGULOS EN UN POLÍGONO CONVEXO

¿Cuánto suman los n ángulos de un polígono convexo de n lados? Convexo quiere decir que no tiene entrantes.

¿Y cuánto sumarán los n ángulos exteriores del polígono?

A continuación encontrarás unos cuantos problemas con los que puedes ensayar esta estrategia. Construye, para cada uno de ellos, un problema más sencillo que preserve las características que te parezcan importantes del problema propuesto. Trata de resolver el problema simple y luego ve mirando si el más complicado se puede atacar con ideas semejantes.

RECTÁNGULOS EN EL TABLERO

¿Cuántos rectángulos de lados paralelos a los lados del tablero hay en el tablero de ajedrez?

El tablero de ajedrez es 8 x 8. Muy grande. Por otra parte parece que rectángulos hay muchos. Podemos tratar de simplificar. Buscamos primero cuántos cuadrados hay en un tablero 2 x 2 y seguro que resultará más fácil. Manos a la obra.

En un tablero 2x2 hay 4 cuadrados l x l y l cuadrado 2x2. Ya están todos. Son l +4 = 5. Demasiado fácil.

Tratemos de encontrar los cuadrados que hay en un tablero 3x3. Hay claramente l cuadrado 3x3. Para contar los que hay de de tamaño 2x2 podemos contar sus centros haciéndonos una figura.

Son 4 los centros de los cuadrados 2x2. Hay claramente 9 de tamaño l x l. Así, en total hay 1 + 4 + 9 = 14 cuadrados.

En un cuadrado 4x4 hay, análogamente, contando los centros

1 centro, □, de cuadrado 4 x 4.

4 centros, ◯, de cuadrados 3 x 3.

9 centros, X, de cuadrados 2 x 2.

16 centros, ·, de cuadrados l x l.

En total 1 + 4 + 9+ 16 = 30 cuadrados.

Esto ya nos da una pista y un método para el número de cuadrados en el tablero 8x8. Hay 204 cuadrados.

Mira ahora a ver si lo que hemos hecho proporciona una pista sobre lo que hay que hacer para el número de rectángulos.

Mira también si encuentras otros métodos de proceder distintos de éste.

INVIRTIENDO VASOS

Sobre una mesa hay vasos de papel, unos boca arriba, otros boca abajo. Invirtiendo dos al tiempo de cada vez ¿podré conseguir ponerlos todos boca arriba? ¿Cuál es el mejor procedimiento? ¿Y si supongo que hay tres o más vasos y me permito volver 3 a la vez, ni más ni menos?

QUITANDO DEL MONTÓN

Dos jugadores, Antonio y Basilio, juegan de la siguiente forma. Antonio coloca sobre la mesa un número de cerillas, entre 20 y 50, las que él quiera. Basilio quita de ese montón entre l y 10 cerillas. Luego Antonio quita entre l y 10 cerillas de las que queden, etc. Gana veinte duros quien se lleve la última cerilla y deje la mesa vacía. ¿Quién prefieres ser, Antonio o Basilio? ¿Cómo jugarías?

CAMINO MÁS CORTO

El náufrago A de la isla circular pequeña quiere ir a visitar a la náufraga B de la isla circular grande, pero quiere regalarle una caracola de las que abundan en la playa. ¿Puedes construirle el camino más corto?

CAZA CARTESIANA

Es un juego para dos jugadores A y B. En un tablero 8 x 8 se coloca una ficha en la esquina inferior izquierda. Juega A y debe mover la ficha un cuadro hacia arriba, hacia la derecha o en la dirección de la diagonal NE. Juega B y, del mismo modo, debe mover la ficha, desde la posición que ahora ocupa, un cuadro hacia el N, E, o bien NE. Juega A… Gana quien coloque la ficha en la esquina superior derecha. ¿Puedes encontrar una estrategia para alguno de los jugadores?

¿MÁS GRANDE O MÁS PEQUEÑO?

Si x, y, z son tres números positivos, entonces ¿qué es más grande, (1 + x²)(l + y²)(l + z²) o bien 8xyz?

UN CURIOSO CAMINO

Se dan dos puntos A y B en el interior del primer cuadrante, situados como indica la figura.

Se trata de construir un camino, lo más corto posible, que:

Parta del punto A.

Vaya de él a un punto de 0x.

Transcurra por 0x una longitud 1.

Vaya después a 0y.

Transcurra por 0y una longitud 2.

Vaya al punto B.

¿DESIGUALDAD?

Si 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1, entonces, ¿cómo se comportan los dos números (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) y 1 -a - b - c - d?

¿Es uno siempre mayor que el otro?

¿Cuándo vale la igualdad entre ellos?

¿Puedes hacer alguna afirmación más general?

Algunos de estos problemas pueden resultarte difíciles. Sus versiones sencillas las resolverás con seguridad fácilmente y la luz de estas soluciones te alentará y te ayudará para los casos más complicados. Experimenta y hazte consciente de esta ayuda. Son muchas las situaciones en que será decisiva.

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Experimenta

Las propiedades generales de un conjunto de números, figuras, objetos en general, se barruntan cuando observamos la presencia de ellas en casos particulares. Por ello, la forma de averiguar si una cierta propiedad es común a muchos elementos consiste en experimentar con muchos de ellos.

La experimentación, la observación, es una de las técnicas más fructíferas para el descubrimiento y para la resolución de problemas. Resulta muy natural y fácil, como verás a continuación.

La experimentación puede tomar muy diversas formas. Te encuentras ante el siguiente problema. Se trata de averiguar cómo se comporta un conjunto formado por un número k de elementos con respecto a alguna operación que se especifica. Lo natural es entonces experimentar. Supones primero que k es 1, luego que k es 2, que es 3…; los sometes a la operación propuesta y observas.

De tu observación surge una conjetura. Tu conjetura te permite predecir cómo va a ser la situación para k más grande. Sigues experimentando, es decir, contrastas tu conjetura. Así compruebas que se sigue verificando, o que la tienes que rechazar, porque ya no se cumple. Si este contraste resulta favorable a tu conjetura, vendrá después la tarea de dar con la razón de que siempre, es decir, para cualquier k, va a suceder lo que tu conjetura afirma.

Lo verás más claro a la luz de algunos ejemplos.

SUMA DE NÚMEROS IMPARES

Considera los números impares 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…

¿Cuánto vale la suma de los k primeros?

Experimenta.

Cuando k es 1 la suma es 1

Cuando k es 2 la suma es 1 + 3 = 4

Cuando k es 3 la suma es 1 + 3 + 5 = 9

Cuando k es 4 la suma es 1 + 3 + 5 + 7 = 16

No hace falta ser un lince para conjeturar que «Cuando k es n la suma es n²».

Según esto, antes de hacer cálculos, para k = 5 debería resultar la suma 25. Así es. La conjetura adquiere más fuerza. Aún falta un paso. Tratar de ver la razón para poder estar seguro. ¿Por qué es así siempre?

Experimenta por tu cuenta con los siguientes problemas.

SUMA DE CUBOS

Escribimos los cubos de los primeros números:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343…

¿Cuánto vale la suma de los k primeros de ellos? ¿Podrías dar con la razón de este hecho?

Al establecer tu modo sistemático de experimentar, debes pensar un poco para hacerlo de la forma menos trabajosa posible. Ciertos datos de la situación pueden ayudarte a abreviar la experimentación considerablemente. Observa los siguientes ejemplos.

CONSECUTIVOS LEJOS

En las 8 casillas de la figura siguiente

se trata de colocar los números l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 de modo que no resulten dos consecutivos cerca ni en diagonal, ni en horizontal, ni en vertical.

Se podría experimentar ordenadamente fijando el l en una esquina y luego de modo sistemático los otros… Un enorme trabajo.

Pero para empezar vale la pena observar que los dos cuadros centrales son los que tienen más vecinos y que los extremos l y 8 son los números con menos consecutivos. Así, parece aconsejable comenzar poniendo 1 y 8 en los cuadros centrales. La experimentación ahora es muy manejable.

La experimentación que aquí se sugiere no tiene por qué restringirse a ensayar con el número de elementos del problema como en la mayor parte de los problemas anteriores. Podemos y debemos experimentar de muchas otras maneras diferentes; es así como resultan observaciones interesantes e incluso teoremas profundos.

Experimenta tú mismo con la siguiente situación llamativa.

PUNTOS MEDIOS

En el cuadrilátero ABCD se trazan los puntos medios M de AB, N de BC, P de CD y Q de DA. ¿Qué figura es MNPQ?

CUADRADOS SOBRE CUADRADOS

ABCD es un cuadrado en el plano. A'B'C'D' es otro cuadrado en el plano recorrido en el mismo sentido.

M es punto medio de AA'.

N es punto medio de BB'.

P es punto medio de CC.

Q es punto medio de DD'.

Parece que MNPQ es un cuadrado. ¿Lo es de verdad? ¿Por qué?

EL PUNTO DE FERMAT

En un triángulo ABC cualquiera que tenga sus tres ángulos agudos se traza, sobre cada uno de sus lados, un triángulo equilátero hacia afuera del triángulo, como indica la figura.

Se une A con H, B con J y C con K. Estas tres rectas concurren en un punto F, desde el que se ve cada lado bajo un ángulo de 120 grados. Además AH = BJ = CK.

El punto F tiene además la siguiente propiedad. Para otro punto cualquiera P del plano las sumas de las distancias PA + PB + PC es mayor que la suma FA + FB + FC.

Experimenta con diferentes triángulos y comprueba que, efectivamente, las rectas AH, BJ, CK se cortan en un punto. Mide los ángulos BFC, CFA y AFB y comprueba que, si tu dibujo es bueno, son de 120 grados. Trata de averiguar la razón por la cual las cosas son así. No es del todo sencillo, pero es muy interesante enfrascarse en ello.

Los siguientes resultados relativos a números se descubrieron también, con toda probabilidad, jugando un poco con ellos. De la observación surgió una regularidad, una pauta. Se inició una conjetura, luego ésta fue afianzándose. En algunos casos, como verás, se ha podido demostrar. En otros no y el problema de averiguar si siempre sucederá como nuestros experimentos parecen sugerirnos permanece aún por resolver.

Experimenta con estas situaciones. Es entretenido. Mira si de algunas de las regularidades que se presentan puedes dar con la razón.

MAGIA CON NÚMEROS

Toma un número cualquiera de tres cifras no todas iguales, por ejemplo el 563. Dale la vuelta, 365. Resta el menor del mayor. Aquí 563 - 365 = 198. Ahora invierte este número. Resulta 891. Suma los dos últimos números obtenidos 198 + 891 = 1089.

Ahora haz lo mismo partiendo de otros números de tres cifras. ¿Qué observas? ¿Puedes dar con la razón?

¿UN NÚMERO VERDADERAMENTE MÁGICO?

Escoge un número de tres cifras no todas iguales, por ejemplo 352. Ordena sus cifras de mayor a menor: 532. Ordénalas ahora de menor a mayor: 235. Resta:

532

-235

297

Haz lo mismo con el resultado y repite las mismas operaciones

972 | 963 | 954 | 954
-279 | -369 | -459 | -459
693 | 594 | 495 | 495

Ahora repite lo mismo partiendo de otro número en lugar del 352. ¿Qué observas? ¿Puedes explicar lo que pasa? ¿Pasará algo semejante con números de dos cifras o con números de cuatro cifras?

El número 6174 es el número mágico para los de cuatro cifras. No es nada fácil dar con la razón de este hecho, aunque sí lo es hacer experimentos para convencerse de que así es. Una idea de la demostración la puedes encontrar en la solución del problema más sencillo sobre tres cifras. Con cualquiera de estos números mágicos, el 495 o el 6174, incluso los que no tenemos dotes de percepción extrasensorial ni cosa que se le parezca podemos montar fácilmente una función de magia.

Ante nuestra audiencia escribimos en una cuartilla un número sin que nadie lo vea (el 6174 o bien el 495). Anunciamos que, mediante nuestras dotes telepáticas, vamos a conducir a cualquier voluntario a escribir el número que tenemos en la cuartilla cuidadosamente doblada y por nadie vista. Pedimos un voluntario y le rogamos que elija a su antojo un número de cuatro cifras no todas iguales, y que vaya haciendo las operaciones indicadas… La sorpresa suele ser grande cuando, antes de 8 operaciones, aparece el 6174 que se repite por siempre.

Es interesante observar que los números de cinco cifras no tienen número mágico. Observa lo que pasa con 96174, por ejemplo.

El experimento es en realidad una de las bases fundamentales de los descubrimientos en todas las ciencias, también en las matemáticas. Muchos de los grandes teoremas han surgido de experimentos más o menos aventurados. Muchos experimentos han conducido a conjeturas que aún no están demostradas. Ejercítate un poco en explorar experimentalmente las siguientes, relativas también a este mismo campo aparentemente tan simple como el de los números. Pero no te obsesiones con ellas. A pesar de la presencia de los ordenadores potentísimos de los que hoy disponemos y a pesar de los enormes avances de la teoría en los últimos años, siguen siendo conjeturas sin demostrar. Así que no esperes encontrar nada de esto en el apartado de soluciones.

CONJETURA DE GOLDBACH

Todo número par se puede expresar como una suma de dos números primos.

Así, 12 = 7 + 5, 14 = 7 + 7, 16 = 11 + 5, 18 = 13 + 5, 50 = 31 + 19…

Parece que así es, y el ordenador lo va corroborando para números cada vez mayores, pero aún no hay demostración de que todo número par se puede expresar así.

OTRA CONJETURA MÁS RECIENTE

Elige un número cualquiera. Si es par lo divides por 2. Si es impar lo multiplicas por 3 y al resultado le añades 1. Con el número resultante haces lo mismo. Repite la operación. Se sospecha que, empieces por donde empieces, siempre vas a dar en algún momento al 1. Al menos así pasa cuando empiezas con cualquier cifra por debajo de cientos de millones, como el ordenador es capaz de comprobar. Pero no hay hasta ahora demostración ninguna de esto que parece ser un hecho general.

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Hazte un esquema, una figura, un diagrama

Son muchos los problemas que se hacen muy transparentes cuando has logrado encontrar una representación adecuada de los elementos que en él intervienen. Pensamos mucho mejor con el apoyo de imágenes que con el de palabras, números, símbolos y fórmulas solamente.

Por eso es muy aconsejable, a fin de dar con buenas ideas que te sirvan para resolver tu problema, que esquematices y dibujes, incluso que pintes en colores, si eso te ayuda, que a veces como verás ayuda mucho, los elementos que aparecen en la situación que estudias.

La imagen o el diagrama que te fabriques del problema debe incorporar, de alguna forma sencilla, los datos relevantes y suprimir los superfluos que puedan conducir a confusión. De esta forma pueden quedar resaltadas visualmente las relaciones entre los aspectos importantes del problema y de ahí muy a menudo se desprenden luces que clarifican sustancialmente la situación.

Aquí tienes unos cuantos ejemplos llamativos.

DOBLECES EN UNA TIRA DE PAPEL

Coloca una tira de papel sobre la mesa. La doblas por la mitad, levantando la parte derecha de la tira y colocándola sobre la parte izquierda. Desdoblas y aparece un pliegue con su pico hacia abajo, hacia la mesa. Ahora doblas dos veces, una vez repitiendo la operación anterior y luego volviendo a plegar la parte derecha sobre la izquierda. Desdoblas. Aparecen en la tira tres pliegues, unos hacia arriba, otros hacia abajo. Doblas tres, cuatro, cinco veces… Más pliegues. Si fueras capaz de doblar siete veces la tira, ¿me podrías decir si al desdoblar el pliegue número 27 a partir de la izquierda estaría hacia abajo o hacia arriba?

Enfráscate tú por tu cuenta en este problema bonito y entretenido. Para acercarte a él la mejor representación es la realidad, que aquí es tan fácilmente manipulable. Juega con la tira un poco, doblando y desdoblando. Luego usa algún tipo de diagrama y probablemente darás con una buena pista al hacerlo.

COLOREANDO UNA CUADRÍCULA

Vamos a jugar con una cuadrícula 4 x n. Si n es 5 la cuadrícula es como sigue

y, como ves, se puede colorear de blanco y negro de modo que no hay en ella ningún rectángulo ni cuadrado de tamaño 2 x 2 o mayor que tenga los cuadros de las cuatro esquinas del mismo color.

La cuestión es ahora: ¿Habrá algún n tal que al colorear la cuadrícula 4 x n quede necesariamente un cuadrado o rectángulo de tamaño 2 x 2 o mayor que tenga las cuatro esquinas del mismo color? Si lo hay, ¿cuál es el mínimo n con esta propiedad?

Si observas el tablero coloreado del ejemplo del enunciado, verás que en ninguna columna hay más de dos celdillas del mismo color. ¿Qué ocurriría si hubiese tres negras en una de ellas?

En cada una de las columnas 2, 3, 4, sólo podría haber un cuadro negro entre las tres filas B, C, D, como está señalado. En la columna 5 habrían de ir los tres cuadros de las filas B, C, D blancos. Pero así hay necesariamente ya cuadrados 2 x 2 o mayores con las esquinas blancas. El que los tres cuadros negros de la columna 1 estén en las filas B, C, D o en otras es indiferente, así como que sea la columna 1 la que tenga tres del mismo color.

Por tanto, para que el tablero 4 x n admita 5 o más columnas sin que haya un rectángulo 2 x 2 o mayor con las esquinas del mismo color, tiene que ser tal que sólo dos cuadros en cada columna tengan el mismo color. Pero esta disposición esencialmente es

Hasta las seis primeras columnas coloreadas como se indica no hay rectángulo con las esquinas del mismo color. A la columna siguiente necesariamente lo hay. El n mínimo del problema es 7.

Un juego bonito basado en este resultado es el siguiente. Juegan dos jugadores A y B sobre un tablero 4x7. Piezas negras y blancas a disposición de los dos. Juega A colocando una pieza del color que quiera donde quiera. Luego juega B colocando otra… Pierde el que primero coloque una pieza de tal modo que hay un rectángulo de tamaño 2 x 2 o mayor con las cuatro esquinas del mismo color. Nunca hay tablas. ¿Habrá alguna estrategia ganadora para alguno de los dos jugadores? ¿Puedes dar con ella?

O como solitario. ¿Cuántas fichas logras colocar en el tablero sin que haya un rectángulo 2 x 2…? ¿Cuál será el máximo posible?

¿CUÁNTAS SOLUCIONES?

¿Para qué valores de a tiene el sistema

0, l, 2, 3, 4, 5 soluciones reales distintas?

El problema está propuesto en lenguaje algebraico. Podemos intentar resolverlo en lenguaje algebraico también. Despejamos arriba y sustituimos abajo. Resulta el sistema equivalente:

Resolvemos la ecuación de abajo:

Para x hay

Por tanto si hay 0 soluciones reales

Observa ahora la fuerza del lenguaje geométrico y su superioridad en este caso sobre el algebraico.

y² - x² = (y + x)(y - x) = 0

y así representa un conjunto de dos rectas

(x - a)² + y² = 1 representa una circunferencia de centro (a, 0) y radio 1.

Las soluciones del sistema corresponden a los puntos en que esas dos figuras se cortan. Con esto está claro que

Como ves, en el desarrollo algebraico, menos transparente, se nos había pasado por alto que si a = 1, entonces

y salen tres soluciones.

A la hora de representar algo gráficamente, se puede pensar en dibujar un diagrama lógico, un bosquejo de la acción propuesta, la figura geométrica correspondiente a los datos…

UN PASEO POR EL ALAMBRE

Una hormiga se ha subido a un alambre que tiene la siguiente forma:

Desea hacer un recorrido por todos los puntos gordos pasando una sola vez por cada uno. ¿Podrías ayudarle a hacerse su itinerario por el alambre?

Probando, probando, te convences fácilmente de que le va a ser imposible. Por medio de una coloración de los vértices, la cosa resulta mucho más clara. Pintas unos vértices de blanco y otros de negro de la siguiente forma

Observa que de un vértice negro sólo se puede pasar a uno blanco y de uno blanco a uno negro. Por tanto, el paseo que la hormiga quiere hacer es de una de las formas

a)BNBN…BN b) BNBN…BNB c) NBNB…NB d) NBNB…NBN

Observa que en la red hay 6 puntos blancos y 3 negros. Pero

En a) hay tantos negros como blancos. Imposible.

En b) el número de blancos supera al de negros. Imposible.

En c) hay tantos negros como blancos. Imposible.

En d) el número de negros supera al de blancos en uno. Imposible.

Ahora trata de ejercitarte tú mismo en construirte esquemas, diagramas, representaciones adecuadas para los siguientes problemas.

DIVIDIENDO MONTONES

Antonio y Benita juegan del siguiente modo. Sobre la mesa ponen 7 monedas. Juega Antonio primero. Ha de formar con las 7 dos grupos de monedas. Por ejemplo uno de 3 y otro de 4. Le toca a Benita. Ha de escoger uno de los grupos y separarlo en dos grupos desiguales. Por ejemplo, si escoge el de 4 no puede formar dos grupos de 2, sino uno de l y otro de 3 monedas. Luego le toca a Antonio. Se ha de fijar en alguno de los grupos que hay sobre la mesa y dividirlo en dos grupos desiguales, etc.

¿Puedes encontrar alguna estrategia que permita ganar siempre a alguno de los jugadores, haga lo que haga el otro?

QUITANDO CERILLAS

Juegan dos jugadores A y B. Se ponen dos montones de cerillas sobre la mesa. Juega A primero. Puede quitar una cerilla de un montón o bien una cerilla de cada uno de los dos montones. Ahora juega B, pudiendo quitar igualmente una de un montón o bien una de cada uno de los montones. Gana quien se lleve la última cerilla.

¿Puedes señalar alguna estrategia para alguno de los dos jugadores de modo que gane siempre? Si un montón es de 6 cerillas y el otro es de 10, ¿quién preferirías ser, A o B?

GENEALOGÍA DE ABEJAS

Las abejas macho salen de huevos no fertilizados. Tienen madre pero no padre. Las abejas hembra nacen de huevos fertilizados.

¿Cuántos antecesores tiene una abeja macho en la duodécima generación hacia atrás? ¿Cuántos son machos?

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Escoge un lenguaje adecuado, una notación apropiada

Muy a menudo sucede que el que seas capaz o no de resolver un problema depende muy fundamentalmente de que el estilo de pensamiento que apliques sea el adecuado a este problema particular. Hay muchos lenguajes mentales diferentes que pueden resultar útiles en ciertas circunstancias y totalmente impotentes en otras. Existe el lenguaje de la lógica, el de la matemática, el lenguaje analógico que se sirve de modelos, de manipulaciones, el lenguaje imaginativo, pictórico, que trabaja con figuras, esquemas, diagramas… En matemáticas se puede uno servir del lenguaje geométrico, algebraico, analítico, probabilístico…

Una misma situación, un mismo problema puede abordarse con diferentes herramientas mentales, pero muy frecuentemente alguna es mucho más efectiva que las otras.

Por ello debes pensar bien antes de empezar a trabajar a fondo en un problema en las diferentes posibilidades que existen. ¿Será bueno utilizar un lenguaje geométrico, o bien un simple diagrama, o tal vez vendrá bien aquí un lenguaje algebraico o analítico? ¿Tal vez lo que aquí se adapte sea una modelización con papel, cartón, que pueda manipular con mis manos?

Y una vez que decidas el estilo de pensamiento que vayas a utilizar es muy conveniente dedicar un rato a pensar en la forma concreta de aplicarlo.

En un lenguaje geométrico ¿cuáles serán los ejes de referencia o los elementos más apropiados para manejar mejor el problema? Normalmente debes buscar la simplicidad, la simetría, los elementos que de una forma más sencilla, elegante, bella, ponen en claro lo más relevante del problema. Si estás utilizando un diagrama, un esquema, debes procurar que este incorpore lo esencial del problema, sin detalles superfluos que pueden perturbar la comprensión y oscurecer lo verdaderamente importante.

Si tu enfoque es algebraico, presta atención a la notación que empleas. Ésta debe representar de la forma más cómoda y manejable posible los datos del problema y su posible vinculación con lo que buscas.

Un ejemplo clásico patente de mala notación, si lo que se quiere es efectuar operaciones elementales con números, es la notación romana. Compara la diferencia entre estas dos sumas:

MCCCLXVI |  | 1.366
+ DCLXIX |  | + 669
MMXXXV |  | 2.035

Veremos a continuación unos cuantos ejemplos de elección de lenguaje mental.

EL MONJE EN LA MONTAÑA

Un monje decide subir desde su ermita a la montaña para pasar allí la noche orando. Sale de su ermita a las 9 de la mañana y después de caminar todo el día llega a la cumbre. Allí pasa la noche y a la mañana siguiente, a las 9 de la mañana, emprende el camino a su ermita por el mismo sendero. Al ir bajando se pregunta: ¿Habrá algún punto del camino en el que hoy esté a la misma hora que estuve ayer?

Una mente inclinada hacia la matemática comienza tal vez por hacerse una gráfica de la caminata del monje en cada uno de los dos días. Tiene pocos datos para ello. Se los inventa. Con un poco de trabajo verá seguramente la luz…

Una mente menos inclinada matemáticamente puede tener la idea de hacer descender a un monje ficticio, en el mismo día en que el monje real sube, replicando exactamente el camino de bajada que el monje real hace al día siguiente. Como salen a la misma hora es claro que a alguna hora se encuentran en el camino. Las matemáticas están de sobra.

EL PROBLEMA DE JOSEPHUS

En su libro De bello judaico, Hegesipo cuenta que cuando los romanos capturaron la ciudad de Jotapat, Josephus y otros cuarenta judíos se refugiaron en una cueva. Allí decidieron los 41 judíos suicidarse antes que entregarse. A Josephus y a otro amigo la idea no les gustaba. Propusieron hacerlo, pero con orden. Se colocarían en círculo y se irían suicidando por turno, contando tres a partir de un entusiasta que a toda costa quería ser el primero. ¿En qué lugares se colocaron Josephus y su amigo para ser los dos últimos y, una vez en mayoría absoluta, decidir que no estaban de acuerdo con la automasacre?

El problema tiene sabor matemático y puedes ensayar herramientas matemáticas. Pero cuánto más sencillo resulta colocar en círculo 41 papelitos con un número cada uno 1, 2, 3, 4…, 41 y luego ir simulando los suicidios para ver qué dos papelitos quedan los últimos.

Naturalmente que si quieres obtener un resultado general con m judíos que se suicidan contando n, ya tendrás que acudir a consideraciones matemáticas algo más abstractas y difíciles. Puedes ver para ello el libro de Rouse Ball-Coxeter que aparece en la bibliografía.

Como ves, la adopción de un modo apropiado de encarar un problema tiene una gran importancia.

En la sección anterior sobre la conveniencia de hacer una figura o un diagrama, hemos tenido ocasión de comprobar la fuerza de un dibujo para resolver problemas propuestos algebraicamente.

Recuerda, por ejemplo, el problema «¿Cuántas soluciones?» del capítulo 16. Aquí tienes otro ejemplo interesante.

UNA ECUACIÓN COMPLICADA

Resolver

x² + (x/(x + l))² = 1

La primera tentación, por supuesto, es pasar la ecuación a una forma más convencional, multiplicando por (x + l)² y haciendo operaciones resulta

x⁴ + 2x³ + x² - 2x - 1 = 0

que no tiene muy buena pinta. No parece que tenga raíces enteras que harían su solución más simple.

Por mi parte, yo intenté luego resolverla haciendo

x = cos α, x/(x + 1) = sen α

Resulta

tg α = 1/(1 + cos α).

que traté de reducir poniendo tg α/2 = t, con lo que se tiene

sen α = 2t/1 + t², cos α = (1 - t²)/(l + t²).

y así, sustituyendo, queda la ecuación

(1 + t²)(l - t²) = 4t

también de cuarto grado pero más simple.

Hice entonces el cambio u = 1 + t², con lo que resultaba

(u(2 - u))² = 16(u - 1).

y haciendo u - l = z

((z + 1)(z - l))² = 16z

Parece bien simple, pero yo no veía cómo resolverlo.

Mirando luego a la ecuación dada, decidí acudir al sentido geométrico. La ecuación es equivalente al sistema

Se trata de hallar la intersección de las dos curvas siguientes.

Aquí aparece clara una simetría. Tomando como ejes los señalados por 0'u, 0'z en la figura, es decir, haciendo el cambio x = u - 1, y = 1 - z, resulta el sistema equivalente

de donde salen ya fácilmente z y u, soluciones de X² - (1 ± √/2)X + 1 = 0, y de ahí x e y, x = u - 1, y = 1 - z.

CUADRADOS DE PRIMOS

Observa:

5² = 25 = 24 + 1 = 2 x 12 +1

7² = 49 = 48 + 1 = 4 x 12 + 1

11² = 121 = 120 + 1 = 10 x 12 + 1

13² = 169 = 168 + 1 = 14 x 12 + 1

¿Será verdad que, si p es cualquier número primo mayor que 3, entonces p² es un múltiplo de 12 más una unidad siempre?

SUMAS DE CUADRADOS

Me encuentro con las siguientes afirmaciones:

Si n es un entero positivo tal que 2n + 1 es cuadrado perfecto, entonces n + 1 es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos.

Si n es tal que 3n + 1 es cuadrado perfecto, entonces n + 1 es la suma de tres cuadrados perfectos.

¿Cómo demostrarlas? ¿Será verdad que si n es tal que 4n + 1 es cuadrado perfecto, entonces n + 1 es la suma de cuatro cuadrados perfectos?

IRRACIONALES

Demuestra que si a, b, c son tres números impares, entonces

ax² + bx + c = 0

no puede tener raíces racionales.

EL FOOTING DE PEPE Y PABLO

Pepe y Pablo hacen footing de A a B. Pepe corre la mitad de la distancia y anda la otra mitad. Pablo corre la mitad del tiempo y anda la otra mitad. Los dos corren a la misma velocidad y los dos andan a la misma velocidad. ¿Quién llega antes?

UN CURIOSO NÚMERO

Cierto número termina en 2. Cambiando de lugar esta cifra y poniéndola al principio, resulta un número que es el doble del número inicial. ¿Qué número es el inicial?

EL CICLISTA PLAYERO

Un ciclista va desde un pueblo a la playa cuesta abajo a una velocidad de 30 km/h. A la vuelta, cuesta arriba, va a 10 km/h.

¿Cuál es la velocidad media del ciclista en el trayecto de ida y vuelta?

PELIGRO EN EL PUENTE

Un señor llegó hasta un puente ferroviario y empezó a correr por él. Cuando había recorrido 3/8 del puente oyó el silbato de un tren. Calculó inmediatamente: si retrocedo al comienzo llego exactamente en el momento en el que el tren entra en el puente, corriendo a mi velocidad de 10 km/h, y si corro al final a esta velocidad llego allá al mismo tiempo que el tren. ¿A qué velocidad marcha ese tren?

Ante un problema de naturaleza geométrica no es fácil decidir si la vía analítica o la geometría sintética será el lenguaje que mejor resultados dará. Es conveniente permanecer abierto y preparado al uso de uno y otro, pues matices aparentemente pequeños pueden hacer inabordable o desaconsejable el uso de uno u otro método de pensamiento.

A continuación se presentan unos cuantos problemas característicos de esta situación.

CUERDAS POR UN PUNTO

Dentro de una circunferencia se fija un punto P. Se pregunta uno por el lugar geométrico del punto medio M de cada cuerda AB que pasa por el punto P.

A continuación se pregunta uno por el lugar del punto N situado sobre la cuerda AB que pasa por P tal que NA = 3NB.

Por supuesto que la primera parte del problema se puede tratar analíticamente y no resulta difícil. Pero cuánto más fácil es mirar una figura y observar que el ángulo OMP es recto

y así queda claro que el lugar pedido es la circunferencia de diámetro OP.

Para la segunda parte del problema, aparentemente semejante a la primera, la geometría sintética parece no ser de utilidad. Acudimos a la geometría analítica. Nos buscamos ejes adecuados, como indica la figura

Tomamos una recta arbitraria que pase por P, y - m(x - a). Los puntos A y B vienen dados por el sistema

x² + y² = r², y = m(x - a).

cuyas soluciones serán A(x₂,y₂) B(x₁,y₁)Se trata de ver la ecuación que satisface el punto N (X,Y), bajo la condición

X - x₂ = 3(x₁ - X), Y = m (X-a).

Resulta siendo (x₁,x₂) las soluciones de

x>² + m²(x - a)² = r².

es decir, de

x²(l + m²)-2am²x + m²a²-r²=0

Se trata, pues, de eliminar x₁, x₂, m entre las ecuaciones

La tarea no es difícil. De 1 y 3 resulta y, así

Aquí se pone m = Y/(X - a) y se obtiene una horrible ecuación f(X, Y) = 0 que es la de la curva que buscamos. Una curva de un grado bien elevado cuyo estudio analítico detallado no sería fácil. Pero no es difícil construirla por puntos con una regla graduada atendiendo a su definición.

En el problema siguiente la experimentación, tras unos cuanto dibujos hechos con cuidado, te sugerirá una conjetura clara. Puede ser que llegar a su demostración no sea tan sencillo.

UNA BARRA SOBRE UNA SEMICIRCUNFERENCIA

Una barra de longitud fija se desliza sobre una semicircunferencia con sus extremos Ai, N apoyados sobre ella. Se construye el triángulo PRS, siendo P el punto medio de MN, R y S las proyecciones de N y Ai respectivamente sobre el diámetro.

Cuando MN se mueve sobre la semicircunferencia, ¿cómo se deforma el triángulo PRS?

Habrás intuido que el triángulo PRS es isósceles y permanece semejante a sí mismo al variar MN sobre la semicircunferencia.

Cuando quieres demostrarlo, si eres aficionado al pensamiento analítico, podrás tratar de ver que PR tiene siempre la misma inclinación sobre ROS. ¿Cómo? Hallando la pendiente de este segmento. Fijas los ejes adecuados, llamas α al arco MN y puedes escribir, denominando m al ángulo que determina M

y con un poco de trigonometría recuerdas que

Así resulta

que es efectivamente constante. Problema resuelto.

Pero si antes de empezar a calcular te gusta jugar un poco con la figura, tal vez se te ocurra completar un poco el cuadro por simetría como se indica a continuación

Al hacerlo puedes ver claramente que PR es paralelo a MN' y PS paralelo a NM' y el ángulo que estas rectas forman es constantemente igual a α. Así PRS es siempre isósceles y de apertura en P igual a α. Una solución mucho más transparente que la anterior.

FÁCIL Y DIFÍCIL

Se dan las rectas r y s de la figura y el punto P dentro del ángulo que forman. Hallar una recta por P que determina los puntos X, Y sobre rys respectivamente, de tal modo que

sea mínimo.

Al intentar hacerlo sintéticamente, sin análisis, no sabe uno por dónde empezar.

Para hacerlo analíticamente, comenzamos por dar nombres, como se indica:

con ello fácilmente resulta usando derivadas, resulta que esto se hace mínimo cuando b sen m = a sen (θ - m).

¿Qué significa esta relación para la construcción de XY?

Si por P se traza la paralela LM a HJ, resulta

Así, X Y es sencillamente la recta por P cuya simétrica respecto a la bisectriz de HOJ es paralela a LM, es decir, la recta antiparalela por P a LM respecto del ángulo LOM.

No parece fácil de adivinar sintéticamente.

OTRO MÍNIMO

Se dan, como antes, las rectas r y s y el punto P. Se trata ahora de trazar por P una recta XPY tal que PX PY sea mínimo.

Mi ataque inicial se basó en la idea de potencia de P con respecto a una circunferencia que había de pasar por X e Y. Tracé la circunferencia que pasa por OXY… una circunferencia tangente en X a r y que pasara por Y…, pero no me conducían a nada aparentemente.

Acudí al camino analítico. Como en el problema anterior

El máximo de cos m cos (θ - m), se obtiene para lo que implica que los ángulos en OXY y OYX deben ser iguales, es decir, OXY debe ser isósceles.

A la vista de esta solución resultaba claro que tendría que haber una idea sintética sencilla. Efectivamente, si se traza X Y perpendicular por P a la bisectriz de rOs y luego la circunferencia tangente en X a r y en Y a s, resulta para cualquier otra recta que pase por P distinta de XY

Tal vez trabajando un poco más mi idea inicial (potencia), particularizando, hubiera llegado a esta demostración tan sencilla y tan elegante.

OTRO MÍNIMO MÁS

Se dan dos rectas perpendiculares r y s y el punto P:

Determinar la recta XY que pasa por P y que hace que PX + PY sea mínimo.

18
Busca un problema semejante

A medida que vas adquiriendo una cierta experiencia de ocupación con problemas es seguro que, en bastantes casos, en el fondo de tu mente podrás encontrar alguna situación que en algo se parece a la que se te propone. Es muy bueno, a fin de encontrar un primer asidero que nos proporcione confianza, recordar explícitamente estas situaciones semejantes. Al hacerlo probablemente surgirán en ti, siquiera vagamente, procedimientos de ataque de ese tipo de problemas que te proporcionarán estrategias válidas para el que tienes entre manos.

Aquí tienes unos cuantos problemas que te pueden hacer recordar otros semejantes. Experimenta el beneficio que, ante un problema nuevo, te produce el recuerdo del antiguo, una sensación de estar en terreno conocido.

EXTRAÑOS SOBRES

Trata de pintar, sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer dos veces una misma línea, cada una de las figuras siguientes.

DOS MARIDOS CELOSOS

Dos matrimonios llegan a la orilla de un río. Hay una barca muy pequeña. Sólo puede con dos personas a un tiempo. Los maridos son tan celosos que no pueden soportar que su mujer esté en presencia de otro hombre si no está él mismo delante. ¿Cómo se arreglarán para cruzar el río los cuatro?

POLÍGONO CONVEXO

Te hablan de un polígono convexo con 7 ángulos rectos. ¿Puede ser eso? ¿Cuántos ángulos rectos como máximo puede tener un polígono convexo de 3, 4, 5, 6… lados?

SUMAR 15

Nueve fichas marcadas del 1 al 9 se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada uno coge una ficha por turnos. Gana el que primero sume 15.

Una pista para este último problema. Construyete un cuadrado mágico 3x3. Luego mira si el juego que te proponen se te parece a algo que conoces.

MUCHOS CEROS

¿En cuántos ceros termina el número 100! = 100 x 99 x 98 x 97 x… x 3 x 2 x 1?

RAÍCES

Demostrar que

P(x) = x⁷ - 2x⁵ + 10x² - 1

no tiene ninguna raíz mayor que 1.

(Problema equivalente: Haz x = y + 1 y trata de demostrar que Q(y) = P(y + 1) no tiene ninguna raíz mayor que 0.)

19
Inducción

La inducción matemática es uno de los métodos de demostración más frecuente en algunos campos de la matemática. La idea se entiende fácilmente. Imagínate que tienes delante las 28 fichas de dominó. Estás seguro de que las has colocado de pie, en fila india, de forma que si cae una cae seguro la siguiente. Un gracioso te tira la primera hacia la segunda. ¿Qué pasará? ¡Se caerán todas! Esto viene a ser la inducción. Puedes considerar los números 1, 2, 3, 4… como fichas de dominó. Suponte que puedes estar seguro, demostrar, que si uno cualquiera de estos números tiene una cierta propiedad P, entonces también el siguiente la tiene. A continuación te aseguras de que el primero, el 1, tiene la propiedad P. A veces puedes probar que el número 25 tiene la propiedad P, pero no el 1. Entonces, claro está, concluyes que todos, a partir del 25, tienen la propiedad P.

Como ves, hay dos cosas importantes de las que te tienes que cerciorar:

Si h tiene la propiedad P, entonces h + 1 tiene la propiedad P.

El número 1 (o tal vez el 25) tiene la propiedad P.

Aquí tienes unos cuantos ejemplos para practicar el método.

UNA DESIGUALDAD

Demostrar que si a ≥ 0, b ≥ 0, entonces para todo n = 2, 3, 4, 5… se verifica

(n - 1)an + bn ≥ nan-1b

Para n = 2 la expresión anterior es a² + b² ≥ 2ab, es decir, a² + b² - 2ab = (a - b)² ≥ 0, lo que es cierto. Por tanto, la propiedad que queremos demostrar es cierta cuando n = 2.

Si la propiedad es cierta para n = h, se verifica

(h - 1)ah + bh ≥ hah-1b(*)

Queremos, con esta hipótesis (*), llegar a demostrar la propiedad para h + 1, es decir, demostrar que se verifica

(h + 1 - 1)ah+l + bh+1 ≥ (h+ 1)ah+1-1 b(**)

Para esto nos pondremos en situación de aplicar (*). Lo podemos hacer así

(buscamos acercarnos al segundo miembro de (**)) =

como queríamos demostrar bajo la hipótesis inductiva (*). Con esto la demostración por inducción está concluida.

Al aficionado al análisis se le puede ocurrir, al observar la desigualdad, que ésta es homogénea, es decir, que al dividir por bn se puede poner en la forma

y, llamando a/b = x, todo se reduce a demostrar que para todo x > 0 y todo n = 2, 3, 4…

f(x) = (n - l)xn - nxn-1 + 1 ≥ 0

Con un poco de análisis, hallando la derivada, vemos fácilmente que el mínimo de f(x), para x > 0, se obtiene para x = 1 y que resulta f(1) = 0. Por tanto, f(x) ≥ 0 para todo x > 0.

OTRA DESIGUALDAD

Demostrar que para todo n = 1, 2, 3, 4…

UNA ECUACIÓN

Demostrar que para cada n = 1, 2, 3, 4… existen tres enteros positivos (x,y,z) tales que

x² + y² = zn

MÁS DESIGUALDADES

Demostrar que si a,b,c, ≥ 1, entonces

4(abe + 1) ≥ (1 + a)(l + b)(1 + c).

Más en general, demostrar que si a₁,a₂…, an ≥ 1, entonces

2n-1(a₁a₂… an + 1) ≥ (1 + a₁)(1 + a₂)…(1 + an)

SUMA DE CUADRADOS

Demostrar que para todo número entero n se verifica

l² + 2² + 3² + 4² + 5² +… + n² = n(n + 1)(2 n + l)/6

EL PROBLEMA DE LOS DOS COLORES

Demuestra que si en una cuartilla trazas un número finito de rectas

las regiones que resultan se pueden colorear de negro y rojo de modo que cada dos regiones que tienen un segmento de frontera común se diferencian en el color.

CUADRADOS PERFECTOS

Observa

¿Cómo sigue la cosa?, ¿por qué?

20
Supongamos el problema resuelto

Una técnica muy común y fértil del pensamiento matemático consiste en suponer el problema resuelto. ¿Qué hay de interesante en ello? Las condiciones del problema, el enunciado, nos dan a conocer unos cuantos detalles de la situación, pero no el cuadro en su conjunto. Al imaginar el problema resuelto, de la forma práctica que veremos a continuación, aparecen los datos más cercanos a lo que buscamos y más fácilmente encontraremos el camino desde donde estamos a donde queremos llegar.

Para una primera aproximación al método pueden servir algunos de los clásicos problemas de cerillas. Son muy sencillos pero dan una buena idea del modo de proceder.

LA CASA

Se ha construido una casa utilizando cerillas como se indica

Cambia en ella la posición de dos cerillas de forma que aparezca la casa del otro costado.

Queremos llegar (supongamos el problema resuelto) a

a partir de (datos).

Al observar ambas cosas juntas se ve que el perímetro es el mismo y sólo con cambiar \_ por _/ resulta el problema resuelto.

EL CANGREJO

Este cangrejo camina hacia el norte

Cambiando tres cerillas de posición, haz que camine hacia el sur.

Al colocar el cangrejo junto a la situación buscada (problema resuelto).

fácilmente se ve que las partes de en medio sólo difieren en una cerilla de un lado que se puede poner en el otro. Con esto el problema resulta muy fácil.

TRES CUADRADOS

En la configuración de arriba, cambia cinco cerillas de posición para formar tres cuadrados.

¿Cómo habrán de ser los cuadrados en la situación que se busca? Como hay doce cerillas, parece razonable pensar que serán tres cuadrados 1 x 1 sin lados comunes (imagina el problema resuelto).

Dónde hayan de quedar los cuadrados lo determinará el número de cerillas que hayan de moverse. Dejándolos así

se mueven 5 cerillas. También así

MÁS CUADRADOS

Quitar ocho cerillas de modo que queden sólo dos cuadrados.

Quitar ocho cerillas de modo que queden cuatro cuadrados.

En realidad el método de suponer el problema resuelto es muy trillado en el álgebra más elemental. Se te pide que halles un número. Te dan unas cuantas condiciones que debes satisfacer en forma de operaciones que has de realizar con él. Tú no conoces el número pero supones que sí y le llamas x. Le impones las condiciones que ha de cumplir. Resulta una ecuación en x y para resolverla ya conoces generalmente fórmulas o métodos.

UN LIMITE CURIOSO

¿Cuánto vale?

La técnica de suponer el problema resuelto es especialmente útil para el tratamiento de problemas geométricos. Aquí tienes un ejemplo. Recuerda también el de las «Tres medianas en busca de un triángulo», propuesto en el capítulo 12.

TRIÁNGULO DE MAYOR ÁREA

De todos los triángulos de perímetro 30, ¿cuál es el de mayor área?

MOVIENDO MONEDAS

De esta situación

trata de pasar a esta otra

En cada movimiento se deben desplazar simultáneamente dos monedas contiguas, sin separarlas ni alterar su orden, poniéndolas a continuación de otra de las monedas.

Emparentada con la técnica de suponer el problema resuelto está la de pensar desde el final, procediendo desde atrás hacia adelante.

Al igual que un cuadro, también un problema se ve mejor muchas veces cuando se mira desde otra perspectiva distinta. Si te colocas en la situación final y vas retrocediendo hacia la inicial, el camino es a veces más claro. Experimenta el proceso con el siguiente problema.

JAIMITO GENEROSO

Jaimito sale de casa con un montón de cromos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha hecho con los cromos.

—A cada amigo con que me encontré le di la mitad de los cromos que llevaba más uno.

—¿Con cuántos amigos te encontraste?

—Con seis.

¿Con cuántos cromos salió Jaimito?

21
Supongamos que no

Probablemente las matemáticas te han habituado ya a la siguiente forma de razonar para demostrar que una cierta situación A es verdadera. Suponemos que no lo es, es decir, que se verifica no-A. Vamos deduciendo correctamente consecuencias de no-A y nos encontramos por fin con una que dice algo absurdo, que no se tiene de pie, por ejemplo que 2 = 3. Entonces está claro que nuestro punto de partida, no-A, es falso. Es decir, que A es verdadero.

Éste es un proceso de pensamiento muy usual en la resolución de problemas. Tal vez a través de una serie de experimentos has llegado a la conjetura de que se verifica una cierta situación P. Quieres demostrar que tu conjetura P es cierta.

Partes de no -P y analizas qué se deduce de ahí, tratando de llegar a una contradicción con algún hecho, principio, teorema o hipótesis que das por cierta. Si lo consigues, has terminado.

INFINITOS NÚMEROS PRIMOS

Demuestra que hay infinitos números primos.

Supongamos que no. Partimos de que solamente hay un número finito de números primos. Éstos son

P₁, P₂, P₃, P₄,…, PN

Aquí están todos.

Consideramos ahora (en busca de una contradicción) el número

H = p₁ x p₂ x p₃ x p₄ x… x pN + 1

Este número H no puede ser primo, pues es claramente mayor, y por tanto distinto de p₁,p₂,…,pN. Así será compuesto, es decir, múltiplo de alguno de los primos. Pero si es múltiplo de p₁, H = p₁ x J, entonces

1 =pl(J - p₂ X p₃ X p₄ X… X pN)

y esto es absurdo, pues 1 no puede ser múltiplo de p₁ Igualmente se demuestra que H no puede ser múltiplo de p₂,…,pN. Llegamos así a una contradicción con el hecho de que H es compuesto. Por tanto, nuestro punto de partida era falso. Tiene que haber un conjunto infinito de números primos.

ES IRRACIONAL

Demuestra que √2 no es un número racional.

PALABRAS INFINITAS

Demuestra que el conjunto de todas las palabras infinitas de dos letras A, B tales como

A B A B A B B B A B …

A B B A A A A B A B …

no puede ser numerable.

UN CUADRILÁTERO CONVEXO

Un cuadrilátero convexo tiene tres ángulos que miden 30, 130 y 140 grados. ¿Cuánto mide el cuarto? ¿Se puede inscribir este cuadrilátero en una circunferencia?

22
Lleva adelante tu estrategia

Después de las fases de familiarización y de búsqueda de estrategias parece llegado el momento de la realización, de poner a funcionar alguna de las estrategias que hemos fraguado. Cuando tenemos delante de nosotros un problema relativamente sencillo, muy ordinariamente, tras estas dos fases de trabajo nos resultará bastante claro que alguna o algunas de las estrategias nos conducen con seguridad hacia la solución del problema. Y así será probablemente. Pero cuando nos enfrentamos con un problema que prevemos de naturaleza difícil, aun después de haber dedicado un cierto tiempo a la preparación del camino a seguir podemos permanecer con una fuerte desconfianza de que ninguna de las estrategias que tenemos nos va a llevar a puerto seguro.

Éste puede ser el momento de dejar jugar su papel a la incubación. Tradicionalmente el proceso de resolución de problemas, o más generalmente, el proceso creativo, se ha analizado en cuatro etapas importantes: preparación, incubación, iluminación, verificación. La primera y la última de estas etapas, preparación y verificación, corresponden al trabajo consciente que se realiza y que admite una cierta estructuración sistemática. Las fases de familiarización y búsqueda de estrategias en el esquema que venimos utilizando corresponden a esta preparación, si bien, como veremos en la quinta parte, la actividad subconsciente está acompañando constantemente nuestra tarea, queramos o no. La incubación, así como la iluminación o inspiración que tras ella se espera, son resultado de la intensa actividad subconsciente que siempre nos acompaña. Como veremos en los capítulos finales al explorar más de cerca la ayuda que esta actividad subconsciente nos puede prestar, es muy aconsejable dejar espacios en nuestro trabajo consciente abiertos a la posibilidad de comunicación con las elaboraciones y productos de esta actividad subconsciente. El punto en que nos encontramos, después de un período de preparación intensa, tras la familiarización con el problema y la búsqueda consciente de estrategias de resolución, puede ser uno de ellos. Las formas posibles de propiciar esta comunicación, la incubación y la inspiración, no se dejan estructurar con reglas, mucho menos aún que el resto de la actividad creativa. Pero lo que sí se debe propiciar activamente es el convencimiento práctico de que la actividad subconsciente puede ser, y de hecho es, en todos nosotros un magnífico colaborador en la resolución de problemas intrincados. El capítulo 29 contiene algunas observaciones sobre este tema y sobre las curiosas formas que muchos de entre los grandes genios han utilizado para propiciar la intervención de la inspiración.

El fenómeno de la iluminación repentina, que parece provenir de la nada, es, a mi parecer, mucho más frecuente de lo que pensamos. En el capítulo 27 tendremos ocasión de escuchar a algunos de los grandes matemáticos que han contado sus experiencias alrededor de problemas muy profundos y complicados. Pero también el resto de los mortales estamos teniendo constantemente acceso a esta experiencia, con luces que vienen a iluminarnos en nuestros caminos más modestos y sencillos. Y parece algo totalmente natural, cuando pensamos en la complejidad de nuestro mecanismo mental, con un campo de conciencia que se va difuminando desde la plena intensidad del punto al que directamente enfocamos hasta la aparente oscuridad de lo inconsciente, pasando por zonas de penumbra que a su modo también están presentes en nuestro conocimiento.

Llega el momento de ir adelante. De entre las estrategias que han surgido habrá alguna o algunas que parezcan más promisorias, más potentes, más fáciles, más elegantes… Eliges una para atacar a fondo el problema con ella. Lo más difícil en esta etapa de realización será mantener el tesón justo, ni más ni menos, al ir realizando el plan de acción que tu estrategia sugiere. No te doblegues ante cualquier dificultad imprevista que pueda surgir y que tal vez es fácilmente soslayable, pero tampoco te debes emperrar en continuar por la misma línea que parece convertirse en una madeja cada vez más complicada e inextricable.

Tal vez en este equilibrio es donde se manifiesta más clara la diferencia entre el experto y el novicio en la resolución de problemas. Ante un problema difícil el experto manifiesta una mayor intuición para reconocer callejones sin salida y una gran flexibilidad para abandonarlos a tiempo y tratar de emprender un nuevo camino sin aferrarse a uno porque en un principio le pareció muy prometedor. El esquema gráfico del protocolo de resolución de un problema difícil por un experto suele tener un aspecto como el que sigue:

El esquema del protocolo de un novicio frente a un problema difícil, en cambio, manifiesta muy generalmente una cierta inmovilidad del pensamiento con largos trazos de tiempo dedicados sin mucha utilidad a una tarea que no conduce a nada, tal vez como en la figura siguiente:

También es importante no contentarse con soluciones a medias, con un «esto conduciría a esto, si se hiciera… y es seguro que eso ya resolvería el problema». Tal actitud es un engaño que no conduce a nada bueno.

Si parece que ninguna de las estrategias que has puesto seriamente en acción conduce a ningún objetivo como en un principio pensabas, lo mejor es que vuelvas a la fase anterior de búsqueda de nuevas ideas o de modificaciones adecuadas, ahora ya con mayor conocimiento, de las que ya has ensayado.

Si al tiempo que vas realizando tu plan de ataque se te ocurren ideas nuevas que pudieran distraerte de él, más vale que no te dejes desviar. Pero apunta en tu colección de estrategias las nuevas ideas que puedan servirte de ayuda.

Aunque la selección de estrategias es un proceso que ya has venido realizando con seguridad en tu enfrentamiento con los problemas que han sido propuestos en los capítulos anteriores, aquí tienes unos cuantos problemas en los que puedes entrenarte más a fondo en este aspecto importante. Son ejercicios para los que puedes efectivamente encontrar diversos modos de ataque y solución.

EL ROBO DEL BANCO MEYER

Del robo del Banco Meyer, en Munich, sólo hay cuatro testigos, que vieron huir el coche de los ladrones. Schmidt sólo se acuerda de que la matrícula del coche tenía cuatro cifras y ningún cero. Heller sabe que las dos primeras eran iguales. Zassenhaus afirma que las dos últimas también eran iguales. Gutzahlen, extrañamente, sólo sabe que el número era un cuadrado perfecto. El comisario Stein, por su parte, no tiene ni idea de lo que podría hacer para averiguar el maldito número. ¿Podrías decírselo tú?

Puedes enfrentarte con el problema de muchas formas distintas. Tal vez lo hayas hecho de manera distinta a las que yo te propongo. Tanto mejor.

Podrías hacerte con un programa de ordenador que te calcule los cuadrados de los números desde el 32 (32² = 1.024) al 99 (99² = 9.801) y que te descarte aquellos cuyos cuadrados no tienen las dos primeras o las dos últimas cifras iguales.

Con un poco de trabajo también lo podrías hacer con tu calculadora. Estas soluciones requieren máquinas.

Puedes también pensar así. ¿Podrá terminar el número mn, cuyo cuadrado es la matrícula, en 1? La matrícula sería entonces

(10m + l)² = 100 m² + 20m + 1

Las dos últimas cifras de este número son las de 20m + 1, que claramente termina en 1. Así las dos últimas cifras deberían ser 11. Pero 20m + 1 no termina en 1 para m = 1, 2, 3… 9. Así queda descartada esta hipótesis. Del mismo modo se descarta que el número termine en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Sólo queda la posibilidad de que termine en 8. El número de la matrícula habrá de ser de la forma (l0m + 8)² = 100m² = 160m + 64. Termina en 4 y por tanto en 44. Pero 160m + 64 sólo termina en 44 para m = 8. Así el número que estábamos buscando es 88² = 7.744.

EL TEOREMA DE NAPOLEÓN

Se cuenta que Napoleón hizo el siguiente experimento y descubrió un teorema. Dibujó un triángulo arbitrario ABC. Sobre AB, hacia afuera del triángulo, construyó un triángulo equilátero MAB. Sobre BC construyó otro triángulo equilátero PBC, siempre hacia afuera. Sobre CA otro QCA. Dibujó luego los centros R, S, T de los tres triángulos equiláteros y los unió obteniendo un triángulo RST. ¿Puedes enunciar el teorema de Napoleón siguiendo sus huellas y repitiendo con cuidado su experiencia antes de seguir leyendo? ¿Puedes dar una demostración de tal teorema?

El teorema de Napoleón afirma que RUT es siempre equilátero. Parece claro que un resultado como éste sólo pudo resultar a través de una repetida experimentación con muchos triángulos ABC de formas distintas. A través de ella surgió el convencimiento de que las cosas son siempre así, el fortalecimiento de una conjetura.

La demostración de este hecho no resulta sencilla y no parece probable que Napoleón llegase hasta ella, a pesar de su gusto confirmado por la historia, hacia las matemáticas. Si te interesa el problema, con un poco de trigonometría que sepas, encontrarás una demostración bastante natural.

Puestos a contar chismes de Napoleón, aquí va uno curioso que suena a Groucho Marx.

LAS MUJERES DE NAPOLEÓN

Dicen que el primer marido de la segunda mujer de Napoleón y el segundo marido de la primera mujer de Napoleón eran la misma persona. Suena extrañísimo. ¿Podrá ser verdad?

CAMINO DEL HOGAR

Todos los días la señora Pérez espera a su marido en la estación del tren y le lleva a casa en coche.

Un día el señor Pérez se adelanta en llegar a la estación una hora. Decide caminar hacia su casa por el camino que su mujer sigue. Ella lo encuentra en el camino y le lleva a casa el resto del trayecto. Si hubiera esperado en la estación, ella habría llegado exactamente a tiempo, como de ordinario. Tal como sucedió todo, el señor Pérez llegó a casa veinte minutos más temprano que de ordinario.

¿Cuánto tiempo caminó el marido?

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Revisa el proceso y saca consecuencias

Has decidido finalizar tu trabajo hacia la resolución del problema que te ocupa. ¿Has conseguido resolverlo? Muy bien. ¿No lo has conseguido a pesar de todo el esfuerzo que has desplegado? Quizá mejor aún. Generalmente nos aprovechamos más profundamente de un problema que nos ocupa un buen rato, en el que empleamos una buena dosis de energía… y que no resolvemos, que de aquél que nos resulta directo y fácil.

El objetivo que pretendes, que consiste en tratar de mejorar tus procesos de pensamiento en la resolución de problemas, puede quedar mejor realizado en el caso en que no hayas llegado a la resolución del problema. Lo que sí importa mucho para conseguir tu objetivo es que reflexiones profundamente sobre la marcha que has seguido. Ahí tienes el protocolo que has ido realizando que te ha de ayudar extraordinariamente. Ahora puedes observar tu proceso de pensamiento, tu actitud ante el problema. Si tienes a tu disposición el protocolo de otra persona, más o menos experta que tú, puedes aprovecharte del examen de las distintas formas posibles de proceder. Si tienes solamente la solución del problema, que probablemente puedes leer en la fuente de donde lo sacaste, trata de adivinar de todas formas el posible origen de las ideas que allí aparecen.

La reflexión sobre tu proceso debe realizarse desde dos perspectivas distintas, una local, referida al problema concreto que has estado manejando ahora, y otra más general, global y profunda, que trate de ir más al fondo, examinado los posibles bloqueos que aquí se han manifestado, las aptitudes y tendencias que se hacen patentes a través de este ejercicio, tus posibles progresos hacia la meta que consiste en mejorar tu propia forma de proceder…

La reflexión local sobre el proceso de resolución que has seguido puede concentrarse alrededor de las dos actividades siguientes:

Examina el camino seguido. ¿Cuáles han sido los puntos de cambio de rumbo en tu tratamiento del problema? ¿Qué es lo que los ha motivado? ¿Te acercaste a las estrategias correctas? ¿En qué momento y por qué? O bien ¿cómo es que no diste con las estrategias adecuadas? ¿Te faltaba información sobre el tema en que el problema se encuadraba? ¿Te faltó audacia para proponerte otras ideas? ¿Falló el tesón para seguir una línea correcta? ¿Cómo se originaron las ideas que más contribuyeron o más te acercaron a la solución?

Extrae más provecho de este problema. Trata de entender no sólo que la solución es válida, sino también por qué los elementos de la solución se compenetran del modo que lo hace para llegar a dar la solución. Mira si todo ello se puede hacer de manera más simple. Esto te capacitará para llegar a ser capaz de resolver problemas semejantes y más difíciles. Tal vez el método te pueda llevar mucho más lejos. No desperdicies tu trabajo. Explora hasta dónde dan de sí las ideas que han surgido, los resultados obtenidos, los métodos utilizados. Los problemas resueltos, cuando son de cierta riqueza, dan siempre lugar a muchas más preguntas interesantes. A lo largo de las soluciones que se ofrecen al final del libro he intentado poner esto de manifiesto, expandiendo los problemas hacia situaciones más generales, lo que muy comúnmente se puede hacer en direcciones diversas. A continuación puedes ver unos cuantos ejemplos a propósito de algunos de los problemas que ya hemos tratado.

El problema «La mosca antojadiza» (capítulo 12) admite varias extensiones naturales. Podemos pensar en una configuración inicial de monedas muy diferente, podemos pensar en un paseo en que el punto final sea prefijado, podemos imaginar una configuración semejante tridimensional…

El problema «Tres medianas en busca de un triángulo» (capítulo 12) admite también la sustitución de medianas por alturas, o bisectrices, y se puede pensar en análogos espaciales de estos problemas, es decir: «Construir un tetraedro tal que los segmentos que van desde cada vértice al centro de la cara opuesta tengan longitudes prefijadas (o bien que las cuatro alturas tengan longitudes prefijadas)».

El problema «Partiendo conjuntos» (capítulo 9) se puede hacer más interesante todavía si se pregunta uno por los números n tales que el conjunto {1,2,3,4,5…, n} se puede distribuir en tres conjuntos disjuntos de números tales que la suma de los números en cada uno de ellos sea la misma. Una vez que uno tiene un método, ¿por qué no tratar de inventar preguntas para calibrar su potencia?

El otro tipo de reflexión más profunda debería ir haciéndote capaz, a través de experiencias repetidas de resolución de problemas, de hacerte un diagnóstico certero de tu propio estilo de pensamiento. Cada uno de nosotros tiene el suyo muy peculiar. ¿Cómo es el tuyo? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal, de la imagen, de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Mediante preguntas como éstas, de las que puedes encontrar muchas más en el apéndice titulado «Hacia un retrato heurístico», puedes llegar a conocerte mejor y con ello a saber en qué clase de problemas puedes ocuparte con ventaja y en cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande, e insistir en ejercicios que te ayuden a remediar tus posibles carencias. En una palabra, podrás sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu estilo de pensamiento.

PARTE CUARTA
El conocimiento del campo específico

Esta cuarta parte se dedica a explorar cuál es el papel del conocimiento del campo en que un problema se enmarca en relación con el proceso global de resolución de este problema. A juzgar por la intensa atención que hemos venido prestando hasta aquí a las estrategias y a los procesos del pensamiento, podría alguien inclinarse a pensar que el dominio correcto de las estrategias de pensamiento puede suplir al trabajoso esfuerzo de adquirir información específica del campo en el que uno intenta hacerse experto en resolver problemas. Tal cosa sería un craso engaño. Algo así como pensar que a una persona le basta ser muy inteligente para poder enfrentarse con éxito frente a un problema de envergadura en economía o en biología o en matemáticas.

En los capítulos que siguen veremos en primer lugar cómo el conocimiento del campo específico en que un problema se coloca puede resultar una condición absolutamente esencial para poder pensar en tener acceso a la resolución de problemas de alguna envergadura. Veremos a continuación cómo el conocimiento que nos puede prestar una ayuda más efectiva debe presentar una cierta estructuración que lo haga manejable para nuestra mente y estable en nuestra memoria. En el último capítulo de esta cuarta parte examinaremos la idea de los esquemas mentales eficaces de un campo particular, que vienen a constituir la contrapartida de las ideas inertes, y cuya detección y transmisión debería ser uno de los principales objetivos de la enseñanza.

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El papel del conocimiento en la resolución de problemas

Necesidad de un cierto conocimiento de la situación

En una famosa colección de ejercicios mentales del matemático ruso Y. Perelman (Matemáticas recreativas, Madrid, Martínez Roca, 1968) aparece (aunque con otro título) el siguiente problema:

LOS EJES DE MI CARRETA

¿Por qué el eje delantero de una carreta se desgasta más y se calienta con mayor frecuencia que el trasero?

Si te enfrascas un rato en el problema, es posible que te suceda lo mismo que a mí. Si descartas algunas posibles conjeturas rebuscadas, como pensar que el carretero va sentado delante y pesa muchísimo o algunas otras ideas peregrinas que te puedan pasar por la cabeza, no aciertas a pensar en razón alguna por la que el eje delantero deba sufrir más que el trasero.

Cuando decidí darme por vencido y acudir a la solución propuesta por Perelman, pude leer lo siguiente: «De todos es conocido que el diámetro de las ruedas delanteras es menor que el de las traseras…».

En mis experiencias como entrenador para la resolución de problemas suelo comenzar a veces con el siguiente curioso ejercicio de magia.

TORRE DE DADOS

Entrego a uno cualquiera de los presentes un juego de cinco dados normales y le pido que los coloque en torre, en el orden que quiera, sin que yo pueda ver cómo lo hace, dejándolos por ejemplo tal como indica la figura.

Sin más que echar una rápida mirada, digo: «La suma de los puntos de las caras que están ocultas (es decir, de las horizontales que no se ven) es 32». Y resulta que así es.

Resulta asombroso para casi todo el mundo. ¿Cómo puedo hacerlo? Generalmente la gente no sabe que tradicionalmente los dados se hacen de una forma muy especial. La cara del 1 es paralela a la del 6, la del 2 a la del 5, la del 3 a la del 4, es decir, caras opuestas suman siempre 7. Se puede especular acerca de la razón por la que se construyen así, pero el hecho es que así se hacen. Para quien lo conoce, mi truco resulta obvio. La suma de todas las caras horizontales es siempre 35. Si veo un 3 en la superior es claro que las caras ocultas suman 32.

EL TRIÁNGULO DE JUANA

Me dice Juana por teléfono que ha construido un triángulo y que, después de medir cuidadosamente sus alturas, resulta que tienen 1, 2 y 3 cm. Intento construirlo yo mismo, pero me da la impresión de que Juana me está tomando el pelo. ¿Cómo podría tener la certeza de que así es?

Realmente no hay que tener un conocimiento muy sofisticado de las propiedades de un triángulo para resolver este problema. Si los lados del triángulo son a, b, c, y las alturas correspondientes son ha, hb, hc, entonces sabemos que ahb = bhc = cha = 2S, siendo S el área del triángulo. Por tanto, si ha = 1, hb = 2, hc = 3, resulta a = 2b = 3c, es decir, b = a/2, c = a/3. En cualquier triángulo el lado mayor es menor que la suma de los otros dos, pero aquí b + c = 5a/6. Efectivamente, Juana me está tomando el pelo.

La solución del problema no está muy alejada de lo más básico que se suele aprender acerca de un triángulo, pero está clarísimo que, a menos que tenga incorporado en mi colección de conocimientos los dos hechos importantes, S = aha/2 y b + c > a, me encontraré bien perdido.

El siguiente es un ejemplo un poco más complicado también relacionado con la geometría elemental.

En uno de los trabajos de A. Schoenfeld (Problem solving in the Mathematics Currículum, MAA Notes N.º 1, The Mathematical Association of America, Washington, 1983, pág. 42) aparece el siguiente problema:

UN TRIÁNGULO DIFÍCIL

Se dan dos segmentos de longitud a y r, respectivamente, y un ángulo que mide A. Construir (con regla y compás) un triángulo que tenga las propiedades siguientes:

Un lado del triángulo tiene longitud a.

El radio del círculo inscrito en el triángulo es r.

La medida del ángulo opuesto al lado de longitud a es A.

Schoenfeld relata los tortuosos caminos seguidos por los estudiantes de su clase de resolución de problemas hacia la solución.

En nuestro país, al igual que en Francia, este tipo de ejercicios constituyeron el meollo de los famosos exámenes de ingreso en las Escuelas de Ingenieros hasta los años sesenta, para cuya preparación los estudiantes habian de hacer decenas de tales ejercicios diariamente. Para casi cualquiera de los individuos sometidos a la baqueta del FGM o del Rouché-Comberousse, los tratados que constituían la base de tal preparación, este ejercicio hubiera sido inmediatamente resuelto como sigue.

Trazo un ángulo de amplitud A a cuyo vértice le llamo asimismo A. Trazo el círculo S de radio r inscrito en este ángulo.

Supongo que el triángulo pedido, por ahora desconocido, sea el ABC de la figura. Trazo el círculo exinscrito señalado. Yo sé que AT = p - a y que AT' = p. Así TT' = a. Como con los datos del problema conozco T, puedo obtener T' sin dificultad. Con T' puedo trazar fácilmente el círculo S' exinscrito. Para obtener el triángulo ABC sólo tengo que trazar la tangente común a S y S'. Dos soluciones que dan dos triángulos simétricos.

Otra solución hubiera podido ser la obtenida por los estudiantes de Schoenfeld.

Supongamos el problema resuelto. Trazamos las tres bisectrices que se cortan en el centro del círculo inscrito. Ahora con un poco de astucia nos enteramos de que

Por tanto, I está en el arco capaz desde el que se ve BC = a bajo un ángulo de 90 + A/2. Lo trazo. Por otra parte, / está a una distancia r de BC, es decir, sobre la paralela a BC a distancia r del mismo lado que ese arco capaz. La trazo. Cada intersección de las dos líneas da una posición posible de /. Trazo la circunferencia inscrita y luego las tangentes desde B y C para obtener A. Dos soluciones simétricas.

Los ejemplos propuestos sirven para ilustrar convenientemente el papel fundamental que puede jugar el conocimiento de la materia a la que se refiere un problema.

Si no sabemos cómo es la carreta a la que se refiere Perelman, mal podemos dar con la solución a su problema. Si no sabemos que los dados se hacen normalmente como he explicado, el truco de los dados puede parecer verdadera magia. Si nuestro conocimiento de la geometría del triángulo es escaso, el problema de Juana y mucho más el de Schoenfeld nos puede ocupar un rato bien largo y nuestra solución resultará posiblemente fea y farragosa.

Resolver un problema consiste en enlazar los datos entre sí y con nuestros posibles conocimientos y hallazgos previos de tal forma que se origine un contexto nuevo, una reestructuración de nuestros conocimientos que nos permita realizar la tarea prefijada.

Un problema se presenta siempre dentro de un cierto contexto y, a menos que poseamos ya o podamos adquirir un conocimiento más amplio de tal contexto, nuestras posibilidades de resolución serán ciertamente escasas. Aun en el caso de que poseamos una buena dosis de sabiduría y experiencia en lo que se refiere al uso de estrategias heurísticas, éstas no pueden trabajar en el vacío. La bordadora más habilidosa no llegará a ningún resultado sin colocar hilo en su aguja.

Si los puzzles, los acertijos y las recreaciones mentales elementales, como la mayor parte de las que se han presentado en la tercera parte, pueden resultar verdaderamente estimulantes, retadoras y formativas para un público amplio, es precisamente porque tanto el contexto en que se coloca el enunciado como el conjunto de conocimientos necesarios para resolverlos está, sin preparación previa, a disposición de todos. Lo único que se necesita es emplear correctamente la capacidad de visión y exploración presente en todos nosotros, que es de lo que aquí se trata fundamentalmente.

Pero a medida que va uno adentrándose en problemas pertenecientes a un campo más específico, la conveniencia o la necesidad de una información más profunda se hace patente. He aquí un par de casos significativos.

No quisiera que estos ejemplos fuesen mal interpretados. No pretendo en absoluto defender que estos conocimientos deban formar parte de los contenidos de nuestra enseñanza a ningún nivel, ni primario, ni secundario, ni terciario. El debate sobre cuál debería ser el contenido de nuestros programas de enseñanza de la geometría está muy lejos de terminar. Mi objetivo al presentar estos ejemplos es sencillamente tratar de dejar bien claro que un mero dominio de estrategias mentales es totalmente insuficiente para resolver un problema de cierta envergadura en un campo específico. Un modo correcto de utilizar la capacidad mental es lo mejor que nuestro sistema de enseñanza puede proporcionar a nuestros estudiantes, pero no pensemos que con sólo esto ya están plenamente capacitados para grandes proezas intelectuales.

OTRO TRIÁNGULO DIFÍCIL

Construir, con regla y compás, un triángulo del que se conocen las longitudes de los lados b, c y la de la bisectriz W correspondiente al vértice A.

Esto constituye probablemente un problema muy difícil sin un cierto conocimiento sobre las propiedades geométricas de la bisectriz y un reto relativamente sencillo con él. Si uno sabe que en cualquier triángulo

se verifica entonces el camino hacia la solución no es muy arduo

Si fijamos el vértice A y el punto Wa, de acuerdo con los datos, C está en la circunferencia K de centro A y radio b y B está en la circunferencia K' de centro A y radio c. Como WaB/WaC - c/b, y esta razón se conoce por los datos, tendremos WaB = c/bWaC, es decir, B está en la circunferencia que se obtiene al someter a la circunferencia K’ a una homotecia de centro Wa y razón . Esta circunferencia se obtiene fácilmente con regla y compás. Las intersecciones de K con ella, si existen, dan las dos posible soluciones para B. El resto de la construcción es ya sencillo.

Otro problema geométrico:

DOS TRIÁNGULOS EN EL MISMO CÍRCULO

Dos triángulos ABC y DEF están inscritos en la misma circunferencia. Demostrar que se verifica

sen A + sen B + sen C = sen D + sen E + sen F

sólo y cuando se verifica que

a + b + c = d + e + f

siendo A, B, C, D, E, F los ángulos de los triángulos y a, b, c, d, e, f los lados opuestos.

Para un conocedor de la geometría del triángulo, este enunciado pronto sugiere la idea de formular la relación que liga lados y ángulos entre si (teorema del seno) y con el radio del círculo circunscrito:

A la vista de la tarea que se propone en el enunciado es ahora obvio lo que hay que hacer:

Esto resuelve el problema.

Pienso que para quien desconoce que a/sen A = 2R, si bien este hecho es de demostración sencilla, el problema le resultará todo un reto.

Es pues claro que cuando el campo es más específico, cuando el problema es más intrincado, un conocimiento adecuado y profundo del contexto puede resultar absolutamente necesario a la hora de enfrentarse con él. No bastarán comúnmente estrategias generales, si bien éstas siguen teniendo su papel director en la tarea de buscar la información pertinente del modo más inteligente posible, lo cual es ya un problema en sí mismo.

Formas de conocimiento útil

El tipo de conocimiento verdaderamente útil en la resolución de problemas se compone de:

—Hechos y circunstancias importantes relacionados con los elementos del problema.

—Familiarización con las técnicas específicas del campo en que se encuadra el problema mismo.

Los hechos y circunstancias de interés no deben constituir un amasijo mental de hechos meramente yuxtapuestos, sino que se debe tratar de un conocimiento bien estructurado y dinámico, de tal forma que, una vez propuesto el problema, surjan en nuestra mente, como de modo reflejo y automático, constelaciones de hechos en las que se pueden encajar los datos y la situación del problema de manera que así resulte la solución ocupando entre ellos su lugar natural, como en los ejemplos que hemos visto. Este punto será tratado con más detalle en la sección siguiente.

Las técnicas específicas del campo son estrategias particulares, modos de proceder inteligentemente en él que han sido consagradas por la tradición y el ejemplo de los grandes expertos en la materia correspondiente. Como hemos visto en la tercera parte, al considerar en particular el campo de las ideas matemáticas, aparte de las estrategias que son comunes a otros muchos posibles continentes mentales, surgen estrategias que, aunque de largo alcance y utilizables y utilizadas en todos los rincones de la matemática, como la inducción, son muy específicas del pensamiento matemático.

Pero incluso cuando uno estrecha el enfoque sobre campos más concretos, como puede ser, por ejemplo, el estudio de las sucesiones y series numéricas, surgen estrategias aún más específicas que podríamos describir como las técnicas modélicas propias del campo, los paradigmas específicos de la materia en cuestión, que vienen a explicitar modos útiles de proceder y aceptados por la comunidad de expertos en el campo, avalados tal vez por la experiencia de siglos.

La distinción entre los hechos y situaciones importantes por un lado y las técnicas propias del campo por otro no es muy nítida, ni tampoco importa mucho que lo sea. Lo que importa es la realidad, no el nombre.

Que un número entero cualquiera admita una única descomposición en factores primos es un hecho central de la teoría de números y al mismo tiempo una de las técnicas más fructíferas en la resolución de problemas en este campo.

Una exposición razonable de un campo cualquiera, como la que debería estar en la base del aprendizaje a cualquier nivel, debería preocuparse fundamentalmente por entresacar del acervo acumulado alrededor de tal área aquellos hechos, situaciones, técnicas que sirven de modelo, para mostrar la eficacia en la resolución de los problema típicos que aparecen en dicho campo.

Si en matemáticas se propone un teorema, si en física se subraya un principio, es necesario que se vea al tiempo cuál es su eficacia, de qué situaciones proviene, qué explica y qué tareas viene a resolver. De otro modo el aprendizaje se convierte en huera erudición y en una mera acumulación de ideas inertes.

Podríamos recapitular las consideraciones anteriores de la forma siguiente:

El conocimiento de los contenidos en que se encuadra un problema es extraordinariamente importante para su resolución. No se puede pensar que el conocimiento de estrategias generales de pensamiento, por sofisticado que sea, puede suplir al conocimiento puntual del campo concreto. El estudio de un área específica de las matemáticas, por ejemplo, no se puede sustituir por el estudio de estrategias del pensamiento generales más una somera información de los principales conceptos y principios de tal materia concreta, pensando que con estos elementos el que se inicia será capa/, de adentrarse por sí mismo y resolver los problemas típicos del campo. Es necesario transmitir los modelos del pensamiento específicos de tal área concreta.

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La estructuración del conocimiento

El conocimiento del campo específico en que un problema se encuadra puede ser fundamental para su resolución, pero tal conocimiento, para ser verdaderamente útil, no debe presentarse como un mero listado mental de hechos yuxtapuestos sino con una estructura dinámica que aglutine, jerarquice y ordene los elementos implicados, colocando cada uno de ellos en su justo lugar.

La diferencia entre el conocimiento presente en la mente del novicio y en la del experto cuando se enfrentan con un mismo problema consiste no sólo en la riqueza de hechos en un caso frente a la relativa pobreza en el otro, sino sobre todo en la trabazón interna y en la interrelación de tales conocimientos en la mente del experto frente a la mera aglomeración de datos en la del novicio.

Si surge un problema relativo a bisectrices en un triángulo como el propuesto en la sección anterior «Otro triángulo difícil», en la mente del novicio pueden surgir de modo natural los siguientes hechos:

Las rectas que dividen los ángulos A, B, C en dos partes iguales.

Se cortan en un punto I.

El punto I equidista de los tres lados y así es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

En la mente del experto bisectrices en un triángulo puede hacer surgir una constelación de conocimientos mucho más rica y aprovechable para problemas intrincados.

Las rectas que dividen los ángulos A, B, C en dos partes iguales.

Se cortan en un punto I.

El punto I equidista de los tres lados y así es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC.

La bisectriz A Wa corta a la circunferencia circunscrita al triángulo ABC en el punto M que es el punto medio del arco BC. También la mediatriz de BC pasa por M.

Se verifica WaB/WaC = c/b.

Los ángulos en I que forman las bisectrices se relacionan de modo sencillo con los ángulos A, B, C del triángulo.

Si se trazan las bisectrices exteriores, como se indica en la figura, la bisectriz interior de A se corta con las exteriores de B y C en un punto U, que es centro de la circunferencia exinscrita tangente al lado a, exteriormente, y a los lados b y c interiormente. Análogamente con las otras bisectrices.

Cada bisectriz exterior y la interior de un mismo ángulo son perpendiculares.

En el triángulo UVW, la bisectriz AW es altura correspondiente al vértice U. Análogamente para las otras bisectrices.

Por tanto, en UVW el triángulo ABC es triángulo ártico de UVW. Así ABC es triángulo de perímetro mínimo de entre todos los que se pueden inscribir en UVW con un vértice en cada uno de los lados.

Si los lados de UVW fueran espejos, un rayo de luz enviado desde A en dirección AB seguiría la trayectoria AB, BC, CA.

Como hemos podido ver en el capítulo anterior, los hechos 3, 4, 6 conducen al experto fácilmente a la solución de un problema como el que hemos visto en «Un triángulo difícil», y el hecho 5 le guía de modo natural hacia la solución del problema «Otro triángulo difícil».

La estructuración del conocimiento en la mente del experto en la resolución de problemas en un campo específico ha sido estudiado a fondo en diversos contextos. De Groot en 1966 y Chase y Simón en 1973 exploraron las diferencias entre el funcionamiento heurístico de jugadores de ajedrez expertos y menos expertos. Otros estudios más recientes se han dedicado a observar las diferencias en problemas de electrónica (Egan y Schwartz en 1979) y de arquitectura (Akin, 1980). Un resumen muy ilustrativo puede encontrarse en el interesante estudio de M. T. H. Chi y R. Glaser titulado Capacidad de resolución de problemas (especialmente págs. 309-318), que se encuentra como capítulo X de la obra de R. J. Sternberg (compilador) Las capacidades humanas (Barcelona, Labor, 1986).

Por lo que yo conozco sobre la dinámica de la resolución de problemas en diversos campos de la matemática, pienso que los mecanismos en este campo tienen muchas características comunes.

De Groot estudió comparativamente los modos de actuación de ex campeones mundiales de ajedrez a quienes llamaremos campeones y de jugadores de club bastante buenos a quienes llamaremos los no tan expertos. Las principales conclusiones a las que sus estudios le condujeron son las siguientes.

Ante una misma situación del tablero, en el intento por encontrar el mejor movimiento, tanto los campeones como los no tan expertos tendían a considerar el mismo número de movimientos posibles.

También anticipaban mentalmente aproximadamente el mismo número de jugadas en su evaluación de los movimientos.

Lo que diferenciaba a los campeones era que reconocían el mejor movimiento de modo natural y le dedicaban su consideración principal.

Lo que a los campeones guía de esta forma es la presencia en su mente de un gran almacén de las posiciones típicas del ajedrez en las que están integradas las experiencias de eficacia de tal o cual movimiento.

Esta última observación se pone de manifiesto en el experimento siguiente, realizado por De Groot y por Chase y Simón.

Se coloca al campeón y al no tan experto ante la tarea de memorizar y reproducir un tablero después de contemplarlo por cinco segundos.

Si la posición de las piezas no tiene nada que ver con posiciones que surjan en una partida de ajedrez, es decir, son posiciones aleatorias, la actuación del campeón es tan baja como la del no tan experto.

Cuando la posición de las fichas es una posición posible en el juego, entonces la actuación del campeón es notablemente superior a la del no tan experto.

Cuando los campeones reproducen el tablero proceden por grandes agrupamientos de tres a seis piezas. También los no tan expertos reproducen el tablero por agrupamientos, pero más pequeños. Además estos agrupamientos están relacionados con posiciones típicas del ajedrez.

Todo esto parece indicar que la superioridad del campeón sobre el no tan experto no consiste en la capacidad superior del primero para anticipar cinco o seis jugadas mientras el no tan experto anticipa sólo dos o tres, como comúnmente se cree. Ni tampoco el campeón lo es por poseer una mera memoria visual extraordinaria que le permite retener en su mente de modo fácil un tablero y sus muchas posibles transformaciones, sino más bien porque su mente es capaz de conservar, evaluar y reproducir las estructuras del juego implicadas en una posición determinada.

El conocimiento bien estructurado ayuda extraordinariamente en diversos aspectos:

Facilita su asimilación, memorización e integración en nuestro mecanismo mental. Nuestra memoria es bastante frágil, pero nuestra fuerte capacidad de relacionar datos puede venir en su ayuda cuando el conocimiento que se pretende integrar tiene ganchos con los que puede incorporarse a otras estructuras mentales ya existentes.

El acceso a un conocimiento con estructura rica es mucho más fácil que la recuperación de una información aislada. Cuando intentamos acceder a un conocimiento que se nos evade momentáneamente nos apoyamos en las conexiones que éste pueda tener dentro de nuestra mente. Si tal conocimiento entró aisladamente más difícil será su recuperación.

La utilización de un conocimiento será tanto más versátil y fructífera cuanto mejor integrado esté en nuestra red global de operaciones mentales de todo tipo.

La consecución de una buena estructuración del conocimiento y su adecuada utilización en la resolución de problemas es un objetivo muy importante en nuestro intento de pensar mejor. Para planificar nuestro aprendizaje más adecuadamente y para utilizar nuestro saber de forma más eficaz puede ayudar la idea de los esquemas operativos que se propone en el capítulo siguiente.

26
Esquemas mentales eficaces.
Su detección y transmisión en la enseñanza

Cuando se nos propone un problema de cualquier tipo, comenzamos el acercamiento a él mediante una representación inicial de los elementos que intervienen en la situación. Tal representación inicial, que es muy decisiva en el éxito de la tarea, está fuertemente condicionada por los conocimientos que el individuo posee de tales elementos. No por los conocimientos a modo de una masa amorfa, sino por las estructuras en que éstos se presentan, por los esquemas mentales en que se configuran.

Un esquema es una constelación de conocimientos que se va agrupando a través de repetidas experiencias por razón de sus relaciones y su efectividad conjunta para aclarar diversas situaciones-problema con un aire común. El esquema contiene mucha más información que la mera yuxtaposición de las partes, puesto que probablemente va aglutinada en él la memoria difusa de muchas experiencias previas.

Al parecer este esquema es activo, capaz de atraer nuevos elementos y de engranarse con otros esquemas para formar conjuntos más amplios y ricos. La familiarización previa, la representación inicial de un problema que tiene lugar en el experto pone en movimiento diversos esquemas operativos entre los que de forma connatural el experto es capaz de discernir el más adecuado para la resolución del problema. En el novicio la representación inicial despierta tal vez esquemas escasos y pobres y con facilidad puede ser conducido a tratar de desarrollar esquemas que son inadecuados para lo que se pretende.

La experiencia repetida del novicio, ilustrada mediante la guía y ejemplo de un experto y reforzada con la reflexión comparativa de sus propios procesos mentales, le conducen al señorío de los mismos esquemas eficaces del experto.

El gran reto de la instrucción y del aprendizaje consiste en proporcionar al principiante un camino fácil y claro hacia esta meta.

Para lograrlo, en cada campo específico es necesario:

Identificar con claridad los paradigmas, los esquemas operativos modelos de procedimiento en el campo en cuestión.

Presentar estos paradigmas en acción, mostrando su eficacia en diversas circunstancias interesantes.

Propiciar la implantación natural de dichos paradigmas en el dinamismo mental del sujeto mediante la oportunidad de practicar su manejo autónomo por él mismo.

Hay que tener en cuenta que esta última fase es la verdaderamente importante. Como dice Polya (Mathematical Discovery, vol. II, pág. 104): «Lo que el profesor dice en clase no carece de importancia, pero lo que los alumnos piensan es mil veces más importante. Las ideas deben nacer en la mente de los alumnos y el profesor debe actuar tan sólo como una comadrona».

Las observaciones anteriores vienen a coincidir plenamente con las acertadas consideraciones de Whitehead sobre la necesidad de expulsar de nuestra educación el lastre de las ideas inertes, aquellas que carecen de la capacidad de reaccionar con otras para constituir sistemas activos, aquellas que permanecen ahí sin ser combinadas con otras (véase capítulo 5).

Lo que debe suceder en la mente del que comienza respecto de los esquemas operativos es algo semejante a la reestructuración que se da con algunos experimentos visuales de la Gestalt. Son nuevos surcos en la mente que se manifiestan tan útiles que se adoptan sin esfuerzo ninguno. He aquí algunos ejemplos, ingenuos y simplistas, pero que pueden servir para ilustrar lo que probablemente sucede en otros contextos más ricos y profundos.

Ante el monitor de un cierto ordenador yo me representaba para mí mismo la pantalla como si fuera la parte visible de un rollo en el que se encontrara toda la información disponible. Para manipularla, de acuerdo con esta concepción, si deseaba ver lo que viene después de lo que ahora contiene la pantalla que tengo delante debería subir el rollo, es decir, apretar la tecla [J]- Conseguía el efecto contrario. El fabricante de aquel ordenador tenía otra idea. La pantalla del monitor era para él una ventana que se mueve para dejar ver las diversas porciones de la información fija y así Q] quiere decir que se asoma uno a la información anterior. El cambio de representación mental hizo que en lo sucesivo no me equivocara.

Es posible que la siguiente experiencia sea muy particular. Mi impresión es que no. Si intento manipular un grifo o un tornillo con mi mano izquierda o bien con la derecha pero en una situación inusual, tengo que ensayar cuál es el giro correcto. Con frecuencia me equivoco. Tal vez sea indicio de dislexia, pero mi impresión más bien es que se trata de una imagen mental inapropiada. Estoy acostumbrado a pensar en lo que la mano tiene que hacer para atornillar o desatornillar. El esquema correcto consiste en pensar en lo que el tornillo tiene que hacer. Mi experiencia es que de esta forma no me equivoco ni dudo.

Un ejemplo interesante de esquema mental eficaz se presenta en la obra de Berlekamp, Conway y Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays (Londres, Academic Press, 1982, volumen II, pág. 741). Los autores introducen curiosos contorsionismos mentales a fin de proponer recetas para resolver ciertos puzzles que tienen que ver con alambres, anillas, cordeles y piezas de madera. Para muchos de ellos la dificultad consiste en que los movimientos que aparecen como naturales para realizar la tarea que se pide tropiezan con obstrucciones. La reestructuración mental necesaria consiste en operaciones tales como «pasar el nudo por el agujero antes de hacer correr la cuenta por el cordel»… Una vez que se consigue mirar el puzzle de este modo nuevo resulta fácil y natural su resolución.

En la exposición matemática existen introducciones de conceptos y presentación de resultados y teoremas que conducen a esquemas francamente inoperantes y otros que constituyen esquemas operativos eficaces.

He aquí una introducción de la noción de límite que se puede ver en algunos textos. Se considera una sucesión de números reales, a₁ a₂…, an… Se define lo que se entiende por punto límite de {an}. El valor real B es punto límite de {an} cuando para cada ɛ > 0 el intervalo [B - ɛ, B + ɛ] contiene alguna subsucesión de {an}. Se define entonces el límite. Un número real A será el límite de {an}, lím an = A cuando A es el único punto límite de {an}.

La definición es correcta, pero me pregunto dónde se pueden ver problemas típicos relativos a sucesiones que se puedan manipular cómodamente mediante tal esquema.

Una introducción que conduce a un esquema operativo verdaderamente útil es la que se suele ver con más frecuencia, y que por cierto es la que la propia situación-problema que dio lugar a la noción de límite parece suscitar de modo natural. Se considera una sucesión a₁ a₂…, an… de números reales. Se dice que lím an = 0 cuando para cada ɛ los an con n a partir de algún p son menores que e en valor absoluto. Para una sucesión {bn} se dice que lím bn = B cuando lím (bn - B) = 0.

n→∞

En una adecuada exposición de una rama cualquiera de la matemática, en la que lo principal es transmitir un saber hacer más bien que una mera erudición superficial, la primera preocupación debería ser precisamente proporcionar una perfecta asimilación de los principales esquemas mentales eficaces del campo en cuestión.

No es tarea fácil, pero, como he indicado antes, la observación de la actuación de los expertos, de los inexpertos, la introspección comparativa sobre el propio modo de actuar…, constituyen el camino para ello.

PARTE QUINTA
La actividad subconsciente en la resolución de problemas

En nuestro complicado mecanismo mental confluyen simultáneamente y de modo natural y espontáneo actividades de muy diverso tipo. Los dinamismos del conocimiento son muchos y muy variados: sensaciones, imágenes subyacentes, memorias, surcos de inferencia, patrones de reconocimiento…, que se presentan con un tipo de conciencia gradual que va desde la plena atención consciente a un aspecto determinado hasta la percepción difusa que casi desaparece o que permanece en la total penumbra, aun así influyendo tal vez fuertemente en la marcha del pensamiento.

Por otra parte, la coloración afectiva de nuestra mente proporciona un profundo impacto sobre nuestro pensamiento y sobre su posible eficacia o ineficacia. Los deseos, ansiedades, repugnancias, miedos…, son intensas fuerzas que también condicionan de modo decisivo nuestra actuación mental.

Calibrar exactamente el grado de importancia en la labor creativa, de resolución de problemas, de los movimientos subconscientes e inconscientes es una tarea nada sencilla, pues implica tratar de adentrarse en lo más recóndito y misterioso de la mente humana.

Como veremos en el primer capítulo de esta parte, para muchos matemáticos de gran éxito creativo la influencia de la actividad subconsciente en sus procesos mentales aparece como algo totalmente patente y decisivo. Es interesante observar que la oposición mayor a esta convicción provenga precisamente de algunos psicólogos que opinan que los matemáticos y otros científicos, así como muchos artistas, se engañan en la interpretación ingenua de sus experiencias.

En el capítulo 28, a través de unas cuantas especulaciones tal vez un tanto aventuradas, pero no sin fundamento, trataré de apuntar un principio de explicación de los fenómenos experimentados y descritos por grandes matemáticos, que en medida más modesta son también compartidos por prácticamente todos los que se enfrascan con interés en problemas más sencillos.

En el capítulo 29, final de la obra, se apunta hacia formas diferentes de tratar de estimular de modo activo la interacción de las potencialidades subconscientes de nuestro mecanismo mental a las que muy de ordinario no permitimos que se involucren en nuestra labor creativa.

27
¿Actividad subconsciente?
Algunos testimonios de grandes matemáticos

Para cualquier matemático que se entrega con entusiasmo a la tarea de resolver los problemas específicos de su área, la importancia del subconsciente es tan evidente que le resulta chocante encontrar entre los psicólogos quienes la nieguen frontalmente.

La obra de R. Weisberg Creatividad. El genio y otros mitos (Barcelona, Labor, 1987) constituye un intento de «desmitificación» de lo que él considera una concepción errónea del proceso creativo. Frente a descripciones e intentos de explicación, como los que veremos a continuación, de matemáticos como Poincaré, Hadamard, y otros científicos y artistas, la concepción de Weisberg, en sus propias palabras «carga el énfasis en la dependencia de los actos creativos respecto de la experiencia previa y en la gradual evolución de una respuesta creativa basada en la experiencia pasada. No han de darse grandes saltos de la intuición, sean conscientes o inconscientes. Por el contrario, la acción creadora es lenta y progresiva, o “incremental”, como se dirá en este libro: en ella, la forma habitual de tratar un problema va evolucionando gradualmente hasta convertirse en algo nuevo» (prólogo).

Es verosímil que quienes niegan la realidad de una actividad subconsciente importante en la resolución de problemas quieran con ello expresar su convicción de la imposibilidad de hablar del tema con un minimo de rigor científico.

Con todo, también hay psicólogos bien acreditados que muy razonablemente optan más bien por no esconder el problema bajo la alfombra. Así se expresan Lindsay y Norman en su Introducción a la Psicología Cognitiva (Madrid, Tecnos, 1986, pág. 666), al tratar de los mecanismos del pensamiento:

Los seres humanos son conscientes de sus propias acciones y pensamientos. Esta conciencia o autoconciencia es un aspecto fundamental de la conducta mental humana, pero se entiende poco. Sabemos poco sobre la función de la conciencia, poco de las operaciones que no son conscientes: los procesos del pensamiento subconsciente. Sospechamos que los procesos conscientes son fundamentales para la elección inteligente, para el aprendizaje, para la conducción del organismo. Sospechamos que existen numerosos procesos subconscientes que operan sin esta conducción consciente durante un tiempo, pero que deben buscar periódicamente supervisión y dirección. Todo lo que sabemos sobre el pensamiento consciente y subconsciente es muy especulativo. Sin embargo, el estudio del pensamiento es demasiado importante para dejarlo a un lado. Es un área de gran importancia para la psicología y para todos nosotros. Quizá el tema más importante de la psicología.

En esta quinta parte vamos a examinar brevemente el papel que eso un tanto misterioso que constituye la actividad subconsciente parece jugar en la resolución de problemas. El tema es tan importante que, incluso aunque no se pueda afirmar sobre él nada con rigor, vale la pena intercambiar experiencias con seriedad.

A continuación trataremos de ver desde un punto de vista práctico lo que se puede sugerir razonablemente a fin de favorecer activamente su ayuda. Como en todo el resto de este trabajo, pero aquí mucho más, no trato de realizar una investigación científica que conduzca a una colección de proposiciones que se hayan de considerar fuera de toda duda. Mi intención fundamental es transmitir, de la forma más útil posible, un conjunto de experiencias derivadas de la observación por muchos años del trabajo propio y de otros muchos alumnos y colegas en la resolución de problemas.

Algunos testimonios de grandes matemáticos

Afortunadamente ha habido algunos matemáticos de primera magnitud que han expresado con claridad su experiencia sobre el tema que nos ocupa. Otros incluso se han adentrado en él mucho más a fondo a fin de dar con su explicación más profunda. Los dos estudios introspectivos más iluminadores ya clásicos han sido escritos por H. Poincaré, en una famosa conferencia en 1908 ante la Sociedad de Psicología de París, muchas veces reproducida (puede verse, por ejemplo, en castellano', «La creación matemática» en Morris Kline (compilador), Matemáticas en el mundo moderno, págs. 14-17, Madrid, Blume, 1974) y por J. Hadamard en su famosa obra The Psychology of lnvention in the Mathematical Field (Princeton University Press, 1945) (una edición asequible en Dover, Nueva York, 1954). La lectura de estas obras puede ayudar extraordinariamente a formarse una idea de las vivencias que los más grandes matemáticos y otros muchos más modestos experimentan en sus enfrentamientos con verdaderos retos intelectuales.

A continuación, tomados de estas y otras obras, se presentan unos cuantos testimonios interesantes para nuestra exploración.

El mayor genio de la matemática, Gauss, escribía así refiriéndose en una carta a cierto teorema de teoría de números que había tratado de probar, sin éxito, durante varios años:

Finalmente, hace dos días, lo logré, no por mis penosos esfuerzos, sino por la gracia de Dios. Como tras un repentino resplandor de relámpago, el enigma apareció resuelto.

Yo mismo no puedo decir cuál fue el hilo conductor que conectó lo que yo sabía previamente con lo que hizo mi éxito posible. (De una carta a Olbers (1805) comentada en Revue des Questions Scientifiques, octubre 1886, pág. 575. Citado por Hadamard, The Psychology of lnvention in the Mathematical Field, cap. 1.)

Por su parte, Hamilton, en 1858, describe con las siguientes palabras su hallazgo de los cuaternios, tras quince años de infructuosos esfuerzos:

Mañana será el quince aniversario de los cuaternios. Vinieron a la vida, o a la luz, completamente maduros, el 16 de octubre de 1843, cuando paseaba con la señora Hamilton hacia Dublín, al llegar al puente de Brougham. Allí, y en aquel momento, sentí que el circuito galvánico del pensamiento se cerraba, y las chispas que saltaron de él fueron las ecuaciones fundamentales que ligan i, j, k [los nuevos números que hacen el papel de i de los complejos], exactamente tal como los he usado siempre desde entonces… Sentí que en aquel momento se había resuelto un problema, que se había satisfecho una necesidad intelectual que me había perseguido por lo menos quince años.

En su conferencia ante la Sociedad de Psicología de París, Poincaré, después de relatar pormenorizadamente unas cuantas experiencias muy significativas de su propio trabajo matemático, analiza su experiencia a fondo:

En este momento me fui de Caen, donde vivía entonces, para formar parte de una excursión geológica organizada por la Escuela de Minas. Las peripecias del viaje me hicieron olvidar mis trabajos matemáticos; al llegar a Coutances nos subimos en un autobús, para no sé qué paseo. En el momento en que ponía el pie en el escalón, me vino la idea, sin que tuviese relación, me pareció, con lo que había estado pensando, de que las transformaciones que yo había utilizado para definir las funciones fuchsianas son idénticas a las de la geometría no euclídea. No lo comprobé, no tuve tiempo; después, apenas me senté en el autobús reanudé la conversación, pero de pronto tuve una completa seguridad. Al volver a Caen comprobé el resultado con la mente descansada para tranquilidad de mi conciencia.

[…]

Éstos son los hechos. Ahora veamos las reflexiones que nos sugieren. El yo inconsciente o yo subliminal, como se dice, juega un papel esencial en la creación matemática. Esto se deduce de todo lo precedente. Pero ordinariamente el yo subliminal se considera como puramente automático. Ahora bien, hemos visto que el trabajo matemático no es un simple trabajo mecánico que se confiaría a una máquina, por muy perfeccionada que se imagine. No se trata solamente de aplicar reglas y de elaborar el mayor número de combinaciones con unas leyes fijas. Las combinaciones obtenidas de este modo serían extremadamente numerosas, inútiles y embarazosas. El verdadero trabajo del creador consiste en escoger entre estas combinaciones, a fin de eliminar las inútiles o, sobre todo, no tomarse el trabajo de hacerlas. Las reglas que deben conducir a esta elección son extremadamente sutiles y delicadas. Es casi imposible enunciarlas con un lenguaje preciso. Se sienten más bien que se formulan. En tales condiciones, ¿cómo es posible imaginar una criba capaz de aplicarlas mecánicamente?

Entonces se nos presenta una primera hipótesis. El yo subliminal no es en forma alguna inferior al yo consciente. No es puramente automático, es capaz de discernimiento, posee tacto, delicadeza; sabe escoger, sabe adivinar. ¿Cómo diría? Adivina mejor que el yo consciente, puesto que logra llegar allí donde éste fracasó. En una palabra, ¿no es superior al yo consciente?

Hadamard, por su parte, dedica una gran parte de su libro a explorar el tipo de actividad subconsciente que acompaña al trabajo creativo en matemáticas y en otros campos. La efectividad del papel del subconsciente y su modo de acción es uno de los objetivos principales de su investigación:

Que esas iluminaciones súbitas que pueden ser llamadas inspiraciones no pueden producirse meramente por azar es ya evidente por lo que hemos dicho: no puede haber duda alguna de la necesaria intervención de algún proceso mental previo desconocido para quien inventa; en otros términos, de un proceso inconsciente. Más aún, después de haber visto, como veremos en muchos lugares en lo que sigue, el inconsciente en acción, apenas puede surgir duda alguna en lo que se refiere a su existencia.

El libro de Hadamard apareció en 1945. En 1946 G. H. Hardy, uno de los más grandes analistas del siglo XX, escribía en Mathematical Gazette [vol. 30 (1946), págs. 111-115] una interesante recensión sobre él en la que aportaba al tema elementos nuevos procedentes de su propia experiencia. La recensión de Hardy puede verse reproducida recientemente en The Mathematical Intelligencer [vol. 5 (1983), págs. 60-63], He aquí algunos de sus párrafos relativos a la actividad subconsciente:

Los hechos principales enumerados [en los primeros capítulos de Hadamard, sobre el inconsciente] parecen fuera de toda discusión. Que la actividad inconsciente juega a menudo un papel decisivo en el descubrimiento; que períodos de esfuerzo inefectivo son a menudo seguidos, después de intervalos de descanso o distracción, por momentos de súbita iluminación; que estos destellos de inspiración son solamente explicables como resultado de actividades que el individuo no ha advertido; la evidencia acerca de todo esto parece abrumadora.

[…]

El curso típico de los hechos es más o menos como sigue. Hay un estadio de actividad plenamente deliberada, posiblemente con algunos resultados aunque ciertamente insatisfactorios […]. Luego viene un descanso, completo o parcial, impuesto o deliberado, el resultado de otra ocupación o dedicación a otros problemas diferentes, seguido por un momento de iluminación repentina. Luego viene un segundo período de esfuerzo consciente, esta vez con éxito, en el cual las líneas maestras de la solución aparecen claras. Luego, muy probablemente tras una larga espera, el estadio final que Hadamard llama de «precisión» en el cual los resultados son «formalmente escritos» y puestos en orden, un proceso cansino y de segundo orden, pero esencial. Estos cuatro períodos parecen constituir el mínimo, pero por supuesto puede haber más; las experiencias de Poincaré fueron bastante más complicadas y tuvo al menos dos momentos de inspiración inesperada.

[…]

«Invención es discernimiento, elección» [son palabras de Poincaré] pero ¿dónde y cómo se hace esta elección? Ésta es la cuestión más enigmática, y yo no puedo dejar de percibir que ni Poincaré ni Hadamard en absoluto apunten claramente hacia una respuesta satisfactoria. Parece claro que nuestras actividades inconscientes han tenido que incluir algún proceso de selección, puesto que la mayor parte de nuestras combinaciones inconscientes nunca se elevan a nuestra conciencia en absoluto…

Otra aportación muy interesante al mismo tema nos la proporciona otro de los grandes analistas de época reciente, J. E. Littlewood. En The Mathematical Intelligencer [vol. 1 (1978), págs. 113-119] se publicó una interesante conferencia titulada The Mathematiciaris Work of Art en la que Littlewood glosaba con su humor característico diferentes aspectos psicológicos y prácticos del trabajo del matemático creador.

La incubación es el trabajo del subconsciente durante el tiempo de espera, que puede durar varios años. La iluminación, que puede ocurrir en una fracción de segundo, es la manifestación de la idea creativa en la ciencia. Esto ocurre casi siempre cuando la mente está en un estado de relajación y suavemente ocupada con asuntos ordinarios.

[…]

La iluminación implica alguna relación misteriosa entre el subconsciente y el consciente, de otro modo tal manifestación no podría darse. ¿Qué es lo que enciende la bombilla en el momento oportuno?

En la obra de Hadamard antes citada aparece una interesante carta de Einstein sobre su modo de trabajo que, aunque en su mayor parte se dedica a describir los tipos de fenómenos que acompañan su trabajo mental, también indica claramente su opinión de que entre la plena conciencia, un «concepto límite», y la inconsciencia existe amplio espacio para otros estados de la mente en su trabajo creativo:

[…]

A) Las palabras o el lenguaje, escritas o habladas, no parecen jugar ningún papel en mi mecanismo de pensamiento. Las entidades psíquicas que parecen servir como elementos en el pensamiento son ciertos signos e imágenes, más o menos claras, que pueden ser voluntariamente reproducidas y combinadas.

Hay, por supuesto, una cierta conexión entre estos elementos y conceptos lógicos relevantes. Es también claro que el deseo de llegar finalmente a conceptos conectados lógicamente es la base emocional de este juego más bien vago con los elementos antes mencionados. Pero desde un punto de vista psicológico, este juego combinatorio parece ser el rasgo esencial en el pensamiento productivo —antes de que haya ninguna conexión con construcción lógica en palabras o en otros clases de signos que pueda ser comunicada a los otros.

B) Los elementos antes mencionados son, en mi caso, de tipo visual y algunos de tipo muscular. Las palabras convencionales u otros signos han de ser buscados con trabajo solamente en una segunda fase, cuando el juego asociativo mencionado está suficientemente establecido y puede ser reproducido a voluntad.

C) De acuerdo con lo dicho, el juego con los elementos mencionados se dirige a ser análogo a ciertas conexiones lógicas que uno está buscando.

[…]

E) A mí me parece que lo que usted llama plena conciencia es un caso límite que nunca puede ser alcanzado plenamente. Esto me parece estar conectado con el hecho llamado la estrechez de la conciencia (Enge des Bewusstseins).

Apéndice II de J. Hadamard, An Essay on The Psychology of Invention in the Mathematical Field (Princeton Univ. Press, 1945).

En una publicación reciente, The Emperor’s New Mind (Oxford University Press, 1989), Roger Penrose relata una experiencia muy interesante a propósito del descubrimiento y explicación de cierto aspecto de la teoría de los agujeros negros. Aquí aparece un elemento nuevo, el surgimiento desde la actividad subconsciente y posterior olvido de una luz muy peculiar que vino a resolver un importante problema:

[…]

La experiencia de una idea que viene «como un relámpago», bajo tales circunstancias —junto con un fuerte sentimiento de convicción en lo que se refiere a su validez— no me es desconocida.

Tal vez valga la pena referir un ejemplo particular de esta situación, que tiene un punto curioso de interés adicional. En el otoño de 1964 yo había estado pensando sobre el problema de las singularidades relativas a los agujeros negros […]. Un colega (Ivor Robinson) había venido de EUA de visita y estábamos teniendo una conversación interesante acerca de un tema totalmente diferente cuando Íbamos calle abajo hacia mi despacho en el Birbeck College en Londres. La conversación se detuvo momentáneamente para cruzar una calle lateral, y comenzó de nuevo en la otra acera. Evidentemente, durante estos pocos momentos, una idea se me ocurrió, pero luego, ¡la conversación que siguió la borró de mi mente!

Más tarde, después de que mi colega se había marchado, volví a mi despacho. Recuerdo haber tenido una extraña sensación de alegría, por algo de lo que no podía dar razón. Comencé a recorrer en mi mente todas las cosas variadas que me habían sucedido durante el día, intentando encontrar qué era lo que había causado esta alegría. Después de eliminar numerosas posibilidades inadecuadas, finalmente me vino a la mente el pensamiento que había tenido al cruzar la calle ¡un pensamiento que me había alegrado momentáneamente al proporcionarme la solución al problema que había estado rumiando en el transfondo de mi cabeza! Aparentemente era el criterio que se necesitaba —lo que yo llamé más tarde una «superficie atrapada»— y entonces no me llevó mucho tiempo esbozar el esquema de una demostración del teorema que había estado buscando (Penrose, 1965). Incluso entonces, pasó algún tiempo antes de que la demostración fuera formulada de una forma completamente rigurosa, pero la idea que había tenido mientras cruzaba la calle había sido la clave. (A veces pienso qué habría ocurrido si alguna otra experiencia de alegría sin trascendencia me hubiera sucedido durante aquel día. ¡Tal vez nunca hubiera recordado la idea de la superficie atrapada!).

La anécdota anterior me lleva a otro tema referente a la inspiración y a la intuición (insight), a saber, que los criterios estéticos son enormemente valiosos para formarnos nuestros juicios. En las artes, podría uno afirmar que son los criterios estéticos los que dominan sobre todo. La estética en las artes es un tema muy extenso y los filósofos han dedicado vidas enteras a su estudio. Podría argüirse que en la matemática y en las ciencias tales criterios son meramente incidentales, dominándolo todo el criterio de la verdad. Sin embargo, parece imposible separar uno del otro al considerar los temas de la inspiración y la intuición. Mi impresión es que la fuerte convicción de la validez de un relámpago de inspiración (no fiable al cien por cien, debería añadir, pero al menos más fiable que sólo el azar) está conectada muy fuertemente con sus cualidades estéticas. Una idea bella tiene una probabilidad mucho mayor de ser una idea correcta que una idea fea. Ésa al menos ha sido mi propia experiencia, y sentimientos semejantes han sido expresados por otros. Por ejemplo, Hadamard (1945, página 31) escribe:

«… es claro que ningún descubrimiento o invento significativo puede tener lugar sin la voluntad de encontrar. Pero con Poincaré vemos algo más, la intervención del sentido de belleza que juega su papel como un medio indispensable de encontrar. Hemos alcanzado la doble conclusión siguiente: que la invención es elección; que esta elección se halla gobernada de forma imperativa por el sentido de belleza científica».

Más aún, Dirac (1982), por ejemplo, no se recata de decir que fue su profundo sentido de belleza lo que le permitió adivinar su ecuación para el electrón mientras otros la habían buscado en vano.

Por mi parte puedo ciertamente atestiguar acerca de la importancia de las cualidades estéticas en mi propio pensar, por una parte en relación con la convicción que uno sentiría con ideas que podrían posiblemente pasar por inspiradoras y por otra en lo que se refiere a las conjeturas más rutinarias que habrían de hacerse continuamente, a medida que uno percibe que avanza hacia una meta esperada.

[…]

Me parece claro que la importancia de los criterios estéticos se aplica no sólo a los enjuiciamientos instantáneos de la inspiración, sino también a los enjuiciamientos mucho más frecuentes que continuamente hacemos en el trabajo matemático (o científico). ¡Argumentos rigurosos constituyen ordinariamente el último paso! Antes de ellos uno tiene que hacer muchas conjeturas y para éstas las convicciones estéticas son enormemente importantes, siempre sujetas a argumentos lógicos y hechos conocidos.

[…]

¿Cuál es entonces mi visión acerca del papel del inconsciente en el pensamiento relativo a la inspiración? Admito que el tema no está tan claro como me gustaría que estuviera. Ésta es un área en la que el inconsciente parece ciertamente jugar un papel vital, y tengo que convenir con la visión de que los procesos inconscientes son importantes. He de estar de acuerdo también en que no puede ocurrir que la mente inconsciente esté simplemente haciendo emerger ideas al azar. Tiene que haber un proceso de selección impresionantemente poderoso que permita que la mente consciente se deje perturbar solamente por ideas que tienen alguna probabilidad.

Yo sugeriría que estos criterios de selección, fundamentalmente estéticos, de alguna manera, han sido ya fuertemente influenciados por deseos conscientes (del modo como el sentimiento de fealdad acompañaría los pensamientos matemáticos que son inconsistentes con principios generales ya establecidos).

Las citas podrían multiplicarse. En 1902-1905 la revista L’Enseignement Mathématique llevó a cabo y publicó una interesante encuesta sobre los métodos de trabajo de los matemáticos. Entre sus muchas preguntas hay unas cuantas que se refieren directamente a los mecanismos del pensamiento en el descubrimiento matemático y que constituyen una rica fuente de información que aún está por analizar con la profundidad que merecen.

28
Especulando sobre la actividad subconsciente

Las notas que siguen constituyen una descripción breve y osada, pero no infundada, de lo que, en trazos extraordinariamente simplificadores, puede tal vez ocurrir en nuestra mente cuando se enfrasca con un problema de cualquier tipo y llega a tener una de esas vivencias que denominamos inspiración. Esta descripción ordenada tiene una finalidad práctica, pues la utilizaremos en la sección siguiente con el objeto de tratar de ver cómo podemos propiciar eficazmente la ayuda de la actividad subconsciente en nuestro enfrentamiento creativo con problemas.

El mecanismo mental de nuestro pensamiento tiene muchos elementos con distintas funciones, unos de almacenamiento de información, otros de organización y procesamiento de información, que, más o menos, pueden trabajar independientemente.

Existe un mecanismo de supervisión que puede atender a la actividad coordinada de unos cuantos de esos procesadores de modo más o menos enfocado, al tiempo que percibe de modo más difuso la actividad de otros. Hay algunos que de ordinario escapan a la percepción y desde luego al control del mecanismo supervisor.

Este supervisor es el portador de la conciencia refleja del individuo y de la facultad de autodirigirse hacia uno u otro punto de su campo de control a fin de coordinar las informaciones que recibe de los diferentes elementos y someter el resultado de esta coordinación a posteriores procesamientos.

Mediante intervención neuroquímica o a través de técnicas de entrenamiento es posible neutralizar la acción del supervisor, de modo que la actividad de los diferentes elementos continúe sin su influencia. Las interconexiones entre estos elementos siguen sin embargo abiertas, de modo que la información que cada uno contiene en sus diversas formas de procesamiento puede actuar sobre la que otros elementos poseen.

Mediante un cierto esfuerzo continuado el supervisor puede poner en actividad muchos de los elementos del sistema con una dirección de búsqueda común. Es decir, el mecanismo supervisor trata de que cada unidad aporte lo que en ella pueda haber de pertinente en lo que se refiere a información o estructuras de procesamiento que tenga que ver con una cierta situación-problema. Una gran parte del mecanismo cognoscitivo está entonces en actividad y en tensión interactiva de manera que cada elemento pueda captar y procesar lo que los otros puedan ofrecerle.

Esta situación puede dar lugar a un engarzamiento de las distintas informaciones que proporcionan los diferentes elementos del sistema, lo que constituye una aportación hacia la solución del problema propuesto.

Puede suceder que, incluso después de mucho tiempo y esfuerzo invertidos por el sistema, esta solución no aparezca. El supervisor cesa en su esfuerzo controlador, pero las diferentes unidades del mecanismo cognoscitivo continúan en tensión con las pautas de búsqueda que se les ha proporcionado.

Puesto que las conexiones entre los diferentes elementos de almacenamiento de información y de procesamiento permanecen abiertas y las interacciones entre ellos siguen produciéndose, puede suceder que de esta actividad no controlada directamente por el supervisor, que tiene ahora su enfoque dirigido hacia otras tareas, surjan estructuras que parezcan resolver la situación-problema inicialmente propuesta.

El supervisor, mediante su atención difusa sobre las diferentes unidades del sistema, puede percibir la presencia de tal constelación de informaciones y ser atraído por ella. Entonces se percata de su valor, tal vez por su belleza, enfoca la atención de los diversos elementos sobre ella y la evalúa con más precisión.

O bien tales estructuras combinadas de información permanecen almacenadas en el sistema, no percibidas de momento por el supervisor. Sólo cuando éste decide, posiblemente tras mucho tiempo, volver a realizar un nuevo esfuerzo hacia la resolución del problema poniendo en actividad los diferentes elementos bajo su control, esta constelación útil aparece como saliendo de la nada, como el destello súbito de un relámpago.

Desde el punto de vista tradicional de las cuatro fases del acto creativo descritas por Wallas, preparación, incubación, iluminación y verificación, y que de un modo u otro son reconocidas universalmente, es claro que la preparación corresponde a lo que se indica en 5, la incubación viene descrita en 7 y 8, y la iluminación aparece directamente sin incubación, en 6, o bien, tras una incubación, en 9 y 10. La verificación es el esfuerzo controlado posterior señalado también en 9.

29
Consecuencias prácticas

Si las cosas suceden aproximadamente como se ha descrito en el capítulo anterior, ¿podemos tratar de incidir eficazmente sobre nuestros propios procesos mentales para propiciar la ayuda de la actividad subconsciente en nuestra ocupación con problemas?

Cuando muchos psicólogos del conocimiento afirman que aprovechamos tan sólo una parte muy pequeña de nuestra capacidad total apuntan hacia la eficacia inmensamente mayor que nuestro sistema cognoscitivo tendría si pudiésemos lograr que éste encauzara y coordinara toda su actividad, la consciente y la menos consciente, en la dirección adecuada.

Es muy posible que los logros de los grandes genios se deban en buena parte a su eficacia en dirigir todas las potencialidades de su mecanismo mental hacia un objetivo determinado. Cuando Newton, como cuenta su ayudante, se pasó un gran rato mirando atentamente un huevó en su mano izquierda mientras esperaba que se pusiera duro su reloj de bolsillo que hervía furiosamente en el cazo, su atención no estaba distraída en el sentido de dispersa, sino que estaba profundamente concentrada en un objetivo bien claro, que por supuesto no tenía nada que ver con el huevo. Con razón él mismo solía decir, cuando le preguntaban cómo había llegado a alguna de las muchas ideas geniales que le debemos: «Pensando constantemente sobre ello».

Una de las claves del éxito en la resolución de un problema radica en la capacidad de concentración, es decir, en lograr que, en el estadio de preparación señalado en 5 del capítulo anterior, queden involucrados activamente cuantos elementos o unidades de nuestro sistema mental puedan aportar algo, y que entre todos ellos exista una colaboración tan estrecha como sea posible. Parece difícil lograr este objetivo de modo consciente, controlado por el supervisor. Probablemente se puede incidir de dos maneras:

—En primer lugar eliminando los impedimentos que, según nuestra propia experiencia, causan una dispersión de nuestra atención, de nuestra capacidad para estar plenamente en lo que hacemos.

—En segundo lugar, y esto es lo más efectivo, mediante la motivación, fomentando en nosotros el interés intenso y profundo por los problemas de los que nos ocupamos, que sea capaz de envolver más y más capas, racional, contemplativa, estética, de nuestra propia personalidad. La etapa de preparación descrita en 5, en que conscientemente tratamos de acumular y procesar toda la información que podamos, combinándola y estructurándola en unidades más potentes, constituye un esfuerzo grande que no se realiza con efectividad si no existe un fuerte entusiasmo inicial, engendrado por la motivación.

Por otra parte, si nuestro dinamismo mental se parece a lo que se sugiere en 1, 2, 3 y 4 de la sección anterior, parece claro que el tipo de trabajo que debemos realizar en nuestra fase de preparación es el que facilite la interacción de la información y de sus diversas formas de procesamiento. Esto refuerza lo que en la cuarta parte ha quedado dicho sobre la importancia de aportar a nuestro proceso de resolución de problemas un conocimiento bien estructurado.

El aspecto que más nos interesa ahora para tratar de propiciar la ayuda de la actividad subconsciente es el de la incubación, de la que se espera que surja la iluminación.

Aunque, tanto por los testimonios extrínsecos aportados como por nuestra propia experiencia, estemos intelectualmente convencidos de la realidad favorecedora de la actividad subconsciente, en la práctica actuamos muy a menudo como si ésta no existiera. No practicamos una estrategia positiva para estimular esta actividad. Muchas veces ni siquiera le damos oportunidad de que tenga lugar, actuando como si la fase de nuestro trabajo en que nuestro mecanismo supervisor está al mando fuese la única verdaderamente provechosa.

Si la dinámica de nuestro mecanismo mental se parece a grandes rasgos a lo que ha quedado descrito en la sección anterior, es claro que la incubación que favorezca la iluminación puede estimularse del siguiente modo:

a) La preparación consciente nos debe capacitar:

—Para reconocer la solución o los elementos que puedan ayudar a la solución.

—Para activar en nuestra mente las estructuras sencillas a partir de las cuales podamos presentir que pueda surgir una solución.

—Para actuar con una cierta libertad y flexibilidad que inicie o que al menos deje abierta la mente para vías nuevas, distintas de las que los hábitos propios, los prejuicios, las modas, los paradigmas imperantes, imponen.

—Para infundir en el espíritu una tensión profunda, un verdadero interés por el problema y su resolución, junto con cierta confianza en nuestras fuerzas.

b) Un período de relajación y de olvido que permita una mayor libertad autónoma, es decir, de apartamiento de los caminos trillados ya por nuestra actividad consciente, en el que la tensión interna tenga en movimiento las configuraciones y constelaciones de información que la fase preparatoria ha dinamizado.

Poincaré señala cómo el estímulo del café le causó un efecto sorprendente en una de sus famosas experiencias creativas. También Littlewood habla del efecto del té y del café. Otros se ayudan del paseo, como Hamilton y Hilbert. Otras drogas más duras tienen efectos devastadores en plazo relativamente corto.

No es fácil sustraer nuestro mecanismo cognoscitivo a cierto control permanente del supervisor. Las culturas orientales han ideado métodos efectivos para conseguirlo. Hasta hace pocos años estos métodos sonaban entre nosotros a esoterismo extravagante. Hoy día ya van encontrando su lugar incluso en los textos más autorizados de psicología cognoscitiva. P. H. Lindsay y D. A. Norman, en su interesante Introducción a la psicología cognitiva (Madrid, Tecnos, 1986, pág. 687), presentan una buena descripción de alguno de ellos:

Los métodos para controlar los estados de la mente son muy antiguos y muy bien conocidos en algunas sociedades. Hasta hace poco tiempo, estas técnicas no eran muy conocidas en la civilización occidental, pero ahora han alcanzado amplia publicidad y práctica. Las técnicas de la meditación religiosa y personal están diseñadas para alterar nuestros estados mentales. El uso de drogas y los estados hipnóticos pueden tener funciones afines.

El medio más común y más eficaz de controlar los propios estados mentales es el empleo de un mantra. Básicamente, si queremos desconectar S (el mecanismo supervisor), esa voz central interior de la conciencia, encaramos un problema. S es un mecanismo entrometido, que tiende a estar guiado por los datos de cualquier acontecimiento, externo o interno. La mejor manera de hacerse cargo de S es darle algo que le distraiga. Hagamos que S emplee todos sus recursos en hacer algo irrelevante, y entonces la mente podrá funcionar libre de la influencia de S. El mantra es precisamente una técnica para conseguirlo.

El diccionario define un mantra como «una fórmula mística de invocación o encantamiento del hinduismo y del budismo Mahayana» (Webster’s New Collegiate Dictionary). Hoy en día lo más frecuente es que el mantra sea simplemente una palabra que una persona repite continuamente una y otra vez. Nosotros consideramos el mantra como un recurso para la atención… mantiene ocupada la capacidad atencional de la mente, da a S algo que hacer, y efectivamente elude la naturaleza supervisora, directiva, de los mecanismos conscientes internos.

Las técnicas que en nuestra cultura occidental se han creado para escapar al control del supervisor no se han dirigido a inhibir su acción, sino más bien a desviarla hacia porciones del sistema cognoscitivo distintas de las que se ha ocupado en la fase de preparación. En este sentido, los trucos de muchos de nuestros grandes artistas y científicos han sido extraordinariamente originales. Mozart componía al tiempo que observaba atentamente el rodar de las bolas en su gran mesa de billar. El gran poeta Shelley recibía a la musa jugando con barquitos de papel sumergido en su baño. Brahms decía que solía tener sus mejores ideas mientras se limpiaba los zapatos. Littlewood afirmaba que la relajada actividad de afeitarse constituía para él una fuente de ideas. Algunas grandes ideas le llegaron practicando el alpinismo, al que era un gran aficionado.

El sueño y el ensueño, fase intermedia entre el sueño y la plena vigilia, constituyen los estados típicos en que el control del supervisor se suprime o se aminora. Para algunos, estos estados son muy fructíferos desde el punto de vista de su creatividad intelectual. John von Neumann, uno de los grandes matemáticos del siglo XX, se iba a menudo a la cama por la noche con un problema en su mente sin resolver y se despertaba a la mañana siguiente capaz de garrapatear la solución en un cuaderno que tenía en su mesilla de noche. Descartes, en el Colegio de La Fléche, por su mala salud, tenía permiso para pasar una buena parte de la mañana en la cama, dedicado a sus ensoñaciones filosóficas particulares. Es muy probable que muchas de las grandes intuiciones de las Reglas para dirección del ingenio y del Discurso del Método tuvieran su origen en ellas. La idea de Kekulé sobre la estructura anular de la molécula del benceno le vino en un sueño, según él mismo cuenta. Pero, como dice Littlewood, es posible que los actos creativos de gran altura alcanzados en sueños sean muy escasos. «William James parece haber tenido lo que parecían ser ideas vitalmente importantes en sueños, pero siempre se olvidaba de ellas al despertar. Decidió escribir tales sueños, y en la próxima ocasión consiguió hacerlo. A la mañana siguiente pudo leer:

Higamus hogamus, woman is monogamous;

Hogamus higamus, man is polygamous.

No está mal del todo. Tiene a la vez forma y contenido».

La posibilidad de incubación se da cuando no nos dejamos llevar por las presiones que muy ordinariamente tienden a atosigarnos. Es necesario tener ocasión para incubar nuestras ideas comenzando con tiempo de sobra nuestro trabajo. Así se evita la fijación funcional, la necesidad de ir por los caminos trillados y seguros. Nos podemos permitir caminar por caminos inciertos a lo largo de los cuales podemos encontrar ideas nuevas y valiosas.

Para algunos el tener pendientes al tiempo varios temas de trabajo ayuda. La dedicación a uno permite la incubación en los otros. Edison habitualmente tenía varios proyectos inacabados en su cabeza, trabajaba concienzudamente en todos ellos, aun estando todos pendientes de resolución. Para otros este modo de proceder representaría una fatal dispersión.

APÉNDICE El retrato heurístico

Las ventajas de conocerse a sí mismo

Conocerse a fondo a sí mismo es uno de los ideales constantemente inculcados por los filósofos de todos los tiempos. Y no sin razón. Desde el punto de vista que aquí nos ocupa, el conocerme a mí mismo con rigor me proporciona ante todo la posibilidad de utilizar mis propios recursos de la forma más eficaz posible, con la consiguiente satisfacción por el sano ejercicio de mi propia capacidad y porque con ello alcanzaré con seguridad un rendimiento más pleno.

Conocerse a sí mismo con sobriedad es un ejercicio difícil, pero no tiene por qué ser penoso ni acomplejante si no nos dejamos llevar por un pesimismo que nos conduzca a clavar nuestra mirada en nuestros propios defectos y en las proezas que nos parece observar en otros a nuestro alrededor, con una visión totalmente deformadora. Todos los hombres, por el solo hecho de saber que conocemos y por nuestra capacidad de expresarnos en palabras, estamos ya colocados en una meseta a tal altura que las diferencias que existen entre nosotros resultan de muy poca significación. Cada uno de nosotros podemos pensar que somos débiles como un junco, pero «un junco que piensa» y ya por ello portador de una inmensa grandeza.

Si me conozco a fondo a mí mismo en lo que se refiere a mi capacidad para resolver problemas, sabré cuáles son mis puntos fuertes, aquellas destrezas en las que manifiesto un cierto gusto especial y una señalada capacidad. Esto me proporcionará una pista sobre el tipo de problemas y de actividad heurística en que puedo ocuparme con más confianza y probablemente con más éxito. Y al mismo tiempo sabré en qué puedo ayudar a otros con más eficacia.

Conociéndome con objetividad sabré también de mis defectos, seré capaz de disolver posibles engaños sobre mí mismo y estaré atento a cualquier posibilidad de fallo importante a que mis puntos débiles puedan conducirme. Por otra parte, de este modo, si sé cuáles son mis carencias, podré poner mis manos a la obra con afán para subsanarlas, estando atento a ellas y observando con interés la actividad de quienes pueden enseñarme a proceder más adecuadamente.

Después de los capítulos dedicados a estudiar los posibles bloqueos mentales, las estrategias de pensamiento, el tipo de conocimiento útil en la resolución de problemas, la actividad subconsciente… ya sabemos algo sobre cómo puede ser la mente humana en su actividad heurística. El camino está bastante allanado para que tratemos de averiguar explícitamente cuáles son los rasgos más característicos de nuestra propia capacidad heurística. Por otra parte la realización de nuestro autorretrato heurístico nos capacitará también para ayudar a otras personas a realizar el suyo propio, con las consiguientes ventajas que ello pueda aportar de cara al autoconocimiento.

Elementos para un retrato heurístico

El mejor método para conseguir un autorretrato heurístico suficientemente fiel en lo que se refiere al funcionamiento concreto de nuestras capacidades de resolución de problemas consiste, a mi parecer, en el examen detenido de un buen número de protocolos de resolución de problemas suficientemente variados, comparándolos, si es posible, con los realizados por otras personas. De esta forma pueden quedar patentes los rasgos característicos de cada uno.

Los trazos globales de la propia estructura heurística se pueden detectar mediante un autoexamen pormenorizado sobre los diversos aspectos que influyen en nuestros procesos mentales en la resolución de problemas. Este examen constituye una tarea muy personal y nada sencilla, pero tal vez pueda resultar facilitada mediante la lista de aspectos a considerar que presento a continuación de forma orientativa.

Aspectos externos

¿Cuál es el tiempo para mí más propicio para cada uno de los diversos tipos de actividad mental? Yo, por mi parte, prefiero la mañana para pensar por mi cuenta, la tarde me resulta buena para estudiar y documentarme, la noche me resulta inútil para cualquiera de estas dos cosas. Es claro que las preferencias de otros son justamente las opuestas.

¿Qué es lo que favorece en mí la concentración? El silencio, la paz, la tranquilidad, la música (¿qué música?), estar lejos, viajar, contemplar el paisaje, pasear…, ¿o tal vez todo lo contrario? Uno de mis grandes profesores, Germán Ancochea, se iba al café a hacer matemáticas entre el humo y el jaleo.

¿Qué es lo que más me dispersa? Teléfono, chismes, interrupciones…

¿Qué postura física me resulta más estimulante? Sentado, de pie, echado, paseando, corriendo, dentro del baño…

¿Necesito dormir mucho, poco? Mi sueño, mi ensueño, ¿me resultan de alguna ayuda para la resolución de problemas?

¿Hay alguna actividad específica que favorezca en mí la incubación fructuosa de los problemas de que me ocupo?

¿Tienen algo en común las circunstancias en que me parece recibir la inspiración?

Aspectos afectivos

Ante la tarea de resolución de problemas, ¿cuál es mi actitud afectiva inicial? ¿Gusto, disgusto, miedo, angustia, repugnancia, tranquilidad, diversión, indiferencia, prisa, confianza, desaliento…?

¿Qué busco en mi tarea de resolución de problemas? ¿Entretenimiento, ejercicio, cumplimiento de un deber, satisfacción de mi curiosidad, autosuperación, preparación más eficaz…?

¿Me cuesta ponerme en marcha? ¿Ante qué tareas?

¿Soy de esfuerzos prolongados? ¿Mantengo vivo el interés por un problema por largo tiempo?

¿Me canso y me aburro fácilmente o soy capaz de sacrificios y esfuerzos costosos?

¿Soy de intensos altibajos? ¿Fases cíclicas de entusiasmo y repugnancia por el trabajo? ¿Conozco la causa?

Mi estado de ánimo respecto del trabajo ¿es fácilmente influenciable? ¿Tiempo, presión atmosférica, estómago vacío, lleno, mañana, tarde, noche…? ¿Cuáles son mis ritmos?

¿Inclinado al desaliento o más bien constante y pertinaz?

En el trabajo, ¿qué me produce más placer: pensar autónomo, observar, mirar lo que hacen los otros, explorar, contemplar, repetir, repasar, asegurarme, contemplar, no trabajar? ¿Qué es lo que más me cuesta?

¿Siento gusto en iniciar caminos, hastío en proseguirlos, o al revés?

¿Tengo gusto en juzgar y hacer de crítico, disgusto en la propia acción, o al revés?

¿Cómo me debo catalogar en cuanto a mis tendencias: impulsivo, apresurado, sereno, pausado, optimista, pesimista…?

El fracaso, ¿me hunde o trato de aprender con él?

¿Qué miedos, ansiedades, repugnancias, suelo experimentar en el transcurso del proceso? Por ejemplo, ¿miedo a examinar a fondo mis conjeturas?, ¿repugnancia ante la tarea de «poner en limpio»?

¿Llego hasta el fin o fácilmente dejo las cosas a medias, un poco chapuceramente? ¿Soy perfeccionista?

¿Tolero bien la crítica? ¿La busco? ¿Me cae gordo fácilmente quien la formula?

¿Me gusta el trabajo en equipo? ¿Me adapto bien? ¿O me gusta más bien trabajar por mi cuenta?

¿Me apetece discutir sobre mis temas de trabajo?

Aspectos cognoscitivos

¿Qué tipos de materias, trabajos, formas de pensar, me resultan más connaturales?

¿Curiosidad? ¿Me intereso por temas ajenos a mi campo?

¿Leo a gusto? ¿En abundancia?

¿Siento atracción por lo que desconozco?

La fase de documentación y almacenamiento de información, ¿me resulta costosa, antipática, o es lo que hago más a gusto?

¿Tiendo a la profundidad o a la amplitud?

¿Tengo gusto por la reflexión?

¿Me gusta concentrarme en una sola cosa o trabajar en varias simultáneamente?

¿Tengo facilidad para la concentración y me defiendo fácilmente de distracciones?

¿Qué tal memoria tengo? ¿Qué tipo de memoria es la mía, visual, analítica, simbólica, relacional?

¿Tengo facilidad para percibir, imaginar, visualizar? ¿Pienso en figuras o prefiero manejar símbolos? ¿Sentido geométrico o analítico?

¿Tengo flexibilidad en el uso de diferentes formas de pensamiento?

¿Tengo sentido estético ante la obra intelectual?

¿Me gusta analizar a fondo y en detalle o prefiero esbozar y construir estructuras globalmente?

¿Prepondera en mí el sentido lógico o avanzo a saltos, intuitivamente, dejando aparte la lógica?

¿Qué tipo de representaciones auxiliares suelo utilizar, imágenes concretas, símbolos abstractos, fórmulas, palabras escritas…?

¿Tengo rutinas de acción para los momentos difíciles, de desgana, de abulia, a fin de que me ayuden a salir de ellos?

¿Tengo facilidad para la introspección?

Mi pensamiento ¿anda casi siempre bajo control o a ratos anda vagando y divagando?

¿Favorezco positivamente la actividad del subconsciente? ¿Me procuro activamente su ayuda? ¿Estoy atento a los elementos que me pueda aportar?

¿Tengo tolerancia frente a otras formas de pensamiento incongruentes respecto de los míos o más bien soy rígido frente a ellos?

¿Qué es lo que más me sorprende de la forma de abordar los problemas por otros?

¿Cuáles son mis personajes favoritos, los odiosos? ¿Qué características tienen por las que me resultan así? ¿Quiénes me parece que han conseguido mejor lo que yo busco?

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

Una advertencia importante

Por algún tiempo he estado pensando sobre las ventajas y las desventajas, desde el punto de vista de quien va a utilizar este libro, de disponer de las soluciones a los problemas que en él se proponen.

Una buena parte de los problemas presentados constituyen un serio desafío para cualquiera. No son, en general, ejercicios que uno pueda esperar resolver en diez minutos de dedicación. Aun sin necesitar una base de conocimientos que vaya más allá de los que se adquieren en la enseñanza secundaria, algunos pueden resistirse a personas experimentadas durante horas, días y meses. Han sido elegidos con cuidado para que una buena parte de ellos presenten cierta resistencia al ataque que los haga más atrayentes.

Tener a mano las soluciones sin más que volver unas cuantas páginas representa una grave tentación, la de dedicar al problema un esfuerzo más bien ligero y a continuación acudir a la solución. Pienso que caer en ella y perder así la ocasión de ejercitarse arduamente uno mismo en la escalada hacia la solución constituye una mala utilización de este libro. Se desperdiciará el valor formativo del problema. Su carácter de desafío es ya irrecuperable para quien ha mirado la solución. Como una buena película policíaca, ha perdido gran parte del interés puesto que ya sabes el final. Si después de una seria dedicación el problema sigue resistiéndose, lo más aconsejable es que practiques con él la oportunidad de ejercitar la incubación, olvidándolo sin olvidarlo, volviendo a él a intervalos, esperando que llegue la iluminación. El placer que entonces te puede proporcionar el haber escalado la cumbre tú mismo para contemplar el paisaje desde ella es incomparablemente mayor que el haber observado la misma vista en una tarjeta postal.

Con todo, me ha parecido que las soluciones a los problemas que no han sido ya tratados en detalle en el texto deberían figurar en el libro por las siguientes razones:

Si dedicas un serio esfuerzo al problema y das con una solución, puedes tener mucho más interés por comparar tus ideas alrededor de este tema que te ha interesado muy a fondo con las de otros.

Si te esfuerzas durante un tiempo que te parece sensato tratando de resolver la situación y no llegas a conseguirlo, pienso que tienes perfecto derecho a satisfacer la sana curiosidad que en ti se ha despertado. Y por otra parte, una solución del problema puede servirte muy eficazmente para ayudarte a reflexionar sobre tu propio proceso de pensamiento y sobre las posibles causas de que no hayas llegado a resolverlo plenamente.

Y finalmente pienso que cada uno está en su perfecto derecho de utilizar este libro como más le apetezca, de modo que puede haber muchos que prefieran usarlo para ejercer a través de él una contemplación pasiva de los esfuerzos que otros han hecho o pueden hacer para ascender a unas cuantas montañas.

Por otra parte, lo que aquí se presenta no es un mero solucionario. Es cierto que no se puede pretender escribir para cada problema un protocolo completo realizado según las directrices indicadas en los capítulos 8 y 9, pero las ideas que se exponen en las soluciones servirán para complementar, enriquecer y subrayar con más concreción algunos de los aspectos que se han tratado en el capítulo correspondiente tal vez de una forma más abstracta.

Otra observación interesante. Cuando te has pasado horas tratando de dar con la solución de un problema sin éxito y luego acudes a mirarla al final del libro y la ves tan tersa, tan breve y tan directa, corres el grave peligro de sumergirte en una profunda depresión. Es el gran inconveniente de no disponer de suficiente espacio para presentar el protocolo completo, con sus idas y venidas, con sus callejones sin salida, con todos los estados de desaliento por los que ha podido pasar quien ha escrito esas líneas que se leen en segundos, pero que son a veces frutos de más horas de las que tú has estado frente al problema.

CAPÍTULO 12

Estaciones nuevas

Si eran E las estaciones que inicialmente había, el número de billetes era E(E - 1). Si son n las nuevas estaciones, hay (E + n)(E + n - 1) los billetes después de la inauguración. Los que ha habido que imprimir son:

34 = (E + n)(E + n - 1) - E(E - 1) = n{2E + n - 1)

Como n y 2E + n - 1 son números naturales y 34 sólo se puede poner como producto de dos números naturales en las formas 34 = 34 x 1 y 34 = 17 x 2, resulta que, o bien es n = 1, E = 17, o bien n = 2, E = 8. Pero como se dice que se ha inaugurado una línea con varias estaciones, es claro que sólo puede ser n = 2, E = 8. Había ocho estaciones y se ha inaugurado una línea con dos.

Caminando juntos

Con un cambio de escala en el tiempo, que claramente no importa para el problema, podemos hacerles caminar de modo que:

El hombre da 2 pasos en 6 segundos, es decir, 1 paso en 3 segundos.

La mujer da 3 pasos en 6 segundos, es decir 1 paso en 2 segundos. Podemos señalar en el eje del tiempo el pie que cada uno pone en el suelo, como sigue:

Como se ve, al cabo de 12 segundos están en la misma situación que al comienzo y no han puesto el pie izquierdo nunca al mismo tiempo en el suelo. Es claro que nunca lo van a poner.

Ante el señor barbudo

Poniendo las cosas una junto a otra resulta que

ni hermanos ni hermanas tengo

quiere decir que

el hijo de mi padre soy yo

Por tanto lo que dice el que mira la foto es

El padre de este hombre soy yo

Es decir, la foto es de un hijo del que habla.

Ante otro señor barbudo

Como en el problema anterior, lo que dice el que habla es

El hijo de este hombre soy yo

La foto es del padre de quien habla.

Tres medianas en busca de un triángulo

Podemos suponer el problema resuelto.

Trazamos, pues, un triángulo de forma cualquiera; representamos sus medianas, localizando gráficamente los puntos medios de los lados.

Comprobamos la intersección.

Ahí está el triángulo ABC que buscamos con las medianas cuyas longitudes nos han dado. ¿Qué sabemos de las medianas? Que se cortan en M, baricentro, situado a 1/3 de cada lado y a 2/3 de cada vértice. Es decir, por ejemplo MMa = 1/3AMa, MA = 2/3AMa.

Así, yo sé que en el triángulo MBC sucede que MB = 2/3MbB, MC = 2/3McC y MMa = 1/3MMa. Si con los datos del problema yo consigo construir el triángulo MBC, el ABC es cosa bien fácil.

Del triángulo MBC yo conozco MB, MC y MMa, es decir, conozco dos lados y la mediana correspondiente al vértice en que concurren. El problema inicial se me ha reducido a éste que parece más sencillo: Construir con regla y compás un triángulo MBC del que conozco las longitudes MB, MC y la de la mediana correspondiente a M.

Si fijo MMa, entonces sé que C está en la circunferencia p de centro M y radio de longitud conocida, MC. Asimismo, B está en la circunferencia q de centro M y radio MB, conocido. Las trazo.

Como ha de ser MaB = MaC, resulta que B ha de estar en la circunferencia p' que se obtiene al someter la circunferencia p a una simetría de centro Ma. Si B ha de estar sobre q y sobre p’, ya está claro que es uno de los dos puntos de intersección de estas circunferencias, si existen. Puede haber dos soluciones, una o ninguna.

CAPÍTULO 13

Los trillizos mentirosos

Pepe dice: Yo no soy el mayor.

Pablo dice: Perico nació primero.

Perico dice: Pepe nació primero.

Se pueden pensar al menos estas estrategias:

Estrategia 1. Ir probando ordenadamente uno a uno a ver si vale como mentiroso.

Estrategia 2. Fijarse en las frases de cada uno y poner en relación lo que dicen.

Siguiendo la estrategia 1.

Si Pepe es mentiroso, entonces es el mayor. Pero entonces Pablo miente. Imposible, pues sólo hay un mentiroso.

Si Pablo es mentiroso, Pepe no es el primero. Pero entonces Perico también miente. Imposible.

Así que sólo queda que Perico es mentiroso. Veamos si vale para ello. Si Perico es mentiroso, Pepe no nació primero. Así Pepe es verdadero. También Pablo puede ser verdadero en lo que afirma. Todo casa si Perico nació primero.

Siguiendo la estrategia 2.

Pablo y Perico dicen cosas contradictorias. Uno de ellos miente.

Pepe y Perico dicen cosas contradictorias. Uno de ellos miente.

Por tanto, el mentiroso es Perico. Lo que dice Pablo es verdad y así es claro que Perico nació primero.

Un grupo de rock

Todo consiste en procesar la liosa información que nos proporcionan de modo adecuado. Podemos abreviar Ci (Ciruelo), Ce (Cerezo), Ma (Manzano), G (guitarra) y B (bandurria).

Nos dicen:

Podemos pensar en diversas estrategias para resolver el problema.

Estrategia 1. Ir probando si Ci-B y G se tiene en pie con la información o no, luego lo mismo para Ma-B y G, y finalmente para Ce-B y G. Con un poco de mala suerte tendremos que probarlo todo antes de llegar a la solución.

Estrategia 2. Poner los ojos en las informaciones que más dicen y que más casos descartan.

Siguiendo la estrategia 2.

Si Ci-G entonces, por 5, resulta Ce-noG y así, por 3, Ma-G. Pero Ci-G y Ma-G implican, por 2, Ce-G, que contradice lo anterior.

Por tanto se ha de verificar Ce-G y Ci-noG, y así, por 1, Ci-B. Pero esto implica, por 4, que Ma-no B. con esto resulta ya:

Ma-G y no B;

Ci-B y no G;

Ce-B y G;

que es compatible con toda la información dada.

Producto de cuatro enteros consecutivos

Se puede pensar en unas cuantas estrategias posibles para atacar el problema.

Estrategia 1. Tratar de seguir adelante con el experimento y mirar si podemos dar con el cuadrado de qué numero se trata. Parece que de aquí se puede esperar alguna luz.

Estrategia 2. Escribir el producto de los consecutivos de la forma n(n + l)(n + 2)(n + 3) y tratar de ver si efectivamente se puede, después de desarrollar este producto, escribir como p² - 1.

Esta estrategia se puede llevar adelante con menos esfuerzo si se aprovecha la simetría de los cuatro números consecutivos y escribimos el producto como

(M - 3/2)(M - 1/2)(M + 1/2)(M + 3/2) = (M² - 9/4)(M² - 1/4).

y tratamos ahora de ver si este producto más sencillo se puede poner en la forma p² - 1, siendo p un número natural. Trata de hacerlo siguiendo este procedimiento, si no lo has intentado así.

Siguiendo la estrategia 1.

1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 25 - 1= 5² - 1

2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 121 - 1 = ll² - 1

3 x 4 x 5 x 6 = 360 = 361 - 1 = 19² - 1

4 x 5 x 6 x 7 = 840 = 841 - 1 = 29² - 1

5 x 6 x 7 x 8 = 1.680 = 1.681 - 1 = 41² - 1

A la vista de estos experimentos, y al hacerse uno la pregunta natural: ¿el cuadrado de qué número resulta ahí?, salta a la vista la respuesta: hay que multiplicar los dos números de en medio y restar una unidad, o bien multiplicar los dos de los extremos y añadir una unidad, es decir, la conjetura es que

n(n + l)(n + 2 ){n + 3) = ((n + l)(n + 2) - l)² - 1 = (n(n + 3) + 1)² - 1

Pero esto es fácil de comprobar directamente con un poco de paciencia.

Este método nos conduce un poco más allá. La expresión anterior es cierta para cualquier n, entero o no. Si nosotros ponemos p/q en lugar de n resulta, después de multiplicar por q⁴, la igualdad

p(p + g)(p + 2q)(p + 3q) = ((p + q)(p + 2q) - q²)² - q⁴

que nos dice, si p y q son números enteros, que el producto de cuatro enteros en progresión aritmética es siempre la diferencia entre un cuadrado y una cuarta potencia de enteros.

¿Equilátero en cuadrado?

Estrategia 1. Tal vez la primera que a uno se le ocurre. Puesto que nos dan ángulos, parece que podremos usar trigonometría para comprobar que los lados son iguales.

Estrategia 2. Trazar un triángulo equilátero y comprobar mediante geometría analítica que el ángulo MNA es de 15º.

Estrategia 3. Utilizar la simetría del cuadrado y de la figura propuesta. Trazar unas cuantas líneas auxiliares como se indica y mirar si podemos obtener información que nos lleve a buen término.

Las estrategias 1 y 2 son directas y sencillas de llevar adelante.

La estrategia 3 proporciona una solución mucho más elegante.

Siguiendo la estrategia 3.

Basta con observar la figura, con las indicaciones de las medidas de los ángulos que en ella aparecen, cuya realidad se comprueba fácilmente, para darse cuenta de que ALQ y BQP son triángulos iguales y por tanto AQ = PQ.

CAPÍTULO 14

Una mosca antojadiza

En el capítulo 14 ya ha aparecido un principio de solución. En el caso de un cuadro de 3 x 3 monedas, por tanteo hemos observado que

se puede hacer el paseo pedido saliendo de las monedas señaladas con A y no se puede si se sale de una moneda señalada con B. ¿Por qué será así?

Al señalar las monedas así, con A y B, aparece una diferencia clara entre las monedas tipo A y las de tipo B. Las de tipo A son 5 y las de tipo B son 4. ¿Estará aquí la clave?

El paseo que se pide pasa de una moneda A a una moneda B y de una B a una A. Así el paseo, en principio, debería ser de uno de los cuatro tipos siguientes:

ABAB…AB

ABAB…ABA

BABA…BA

BABA…BAB

Pero en 1 hay tantas letras A como B. Sin embargo, en el cuadro 3x3 hay 5 monedas A y A monedas B. Imposible este paseo.

En 3 hay también tantas letras A como B. Imposible.

En 4 hay más letras B que A. Más imposible.

En 2 hay más letras A que B. En principio no hay obstáculo a un paseo del tipo ABABABABA, 5 A y 4 B. Efectivamente se dan. Los otros son imposibles.

En el caso del cuadro 5x5

distinguiendo las monedas como antes, A y B, resulta de igual manera que saliendo de las monedas tipo B no hay camino posible como el que se pide. Es fácil dar con el camino saliendo de cualquier moneda de tipo A.

Un problema resuelto es el comienzo de un nuevo problema. ¿Te atreverías a explorar qué pasa en general en un cuadro m x n? ¿Y qué tal intentar con una configuración de monedas en forma de triángulo equilátero, o de hexágono regular?

Ángulos en un polígono convexo

Si n es 3 ya sabemos que los ángulos suman 180 grados. Si n es 4, trazando una diagonal, quedan dos triángulos.

La suma de los ángulos internos del cuadrilátero es la suma de todos los ángulos de los dos triángulos. Así es 2 x 180.

Lo anterior da una idea para n = 5. Mediante las dos diagonales que parten de un vértice resultan tres triángulos. Los ángulos interiores de un pentágono suman 3 x 180.

Para un polígono de n lados, hay n - 3 diagonales que parten de un vértice y determinan n - 2 triángulos. Así, la suma de los n ángulos interiores es (n - 2) x 180.

Este resultado proporciona fácilmente la suma de los ángulos exteriores. Como cada ángulo interior y el exterior correspondiente suman 180 grados, resulta que

¡Cualquiera que sea el número de lados del polígono convexo, sus ángulos exteriores siempre suman 360 grados!

Un resultado tan redondo tiene que tener una razón más cercana que la demostración que hemos encontrado.

Imagínate una aguja que parte de A. La vas a mover por el lado a hasta colocar su base en B. Luego la vas a girar el ángulo e₁, hasta colocarla sobre el lado b, luego la mueves a C…

Cuando llegue de nuevo a la posición inicial ha girado e₁ + e₂ + e₃ +…+ en

¡Pero observa que ha dado una vuelta completa, 360 grados! Por tanto, la suma de los ángulos exteriores es 360 siempre.

Rectángulos en el tablero

Casi con el mismo trabajo podemos proponernos contar el número de rectángulos en un tablero m x n. Al fin y al cabo sólo se trata de contarlos ordenadamente, según tamaños.

Para contar cuántos rectángulos hay de tamaño p x q considera como si hubieras cortado uno de cartón de estas dimensiones y mira de cuántas formas posibles lo puedes colocar con sus lados coincidiendo con rayas del tablero.

En el caso del problema, m = 8, n = 8, el número de rectángulos es

36 x 36 = 1.296

Invirtiendo vasos

Consideramos primero el caso en que se invierten dos vasos al tiempo. Experimentemos un poco.

Si hay dos vasos, los dos boca abajo o los dos boca arriba, se puede hacer lo que se pide. Pero si uno está boca abajo y el otro boca arriba, es imposible hacerlo.

Si hay tres vasos, dos boca abajo y uno boca arriba también se puede, pero si hay uno boca abajo o bien tres boca abajo, es imposible.

Es interesante observar que lo que nuestra operación de invertir dos vasos al tiempo no varía es la paridad del número de vasos boca abajo.

Por tanto, si hay un número impar de vasos boca abajo, siempre se mantendrá impar. Cuando el número de vasos boca abajo es impar es imposible volverlos todos boca arriba.

Cuando el número de vasos boca abajo es par, por ejemplo 2h, entonces sí es posible y el procedimiento mejor es claro. No tocamos los vasos que ya están boca arriba e invertimos, par a par, los que están boca abajo. El número mínimo de operaciones es h.

El caso en que se invierten tres vasos a la vez es más interesante. En primer lugar queda claro que si sólo hay tres vasos y de ellos hay al menos uno boca abajo y al menos uno boca arriba, entonces nunca se va a poder conseguir que los tres se pongan boca arriba.

Supongamos por tanto que tenemos n vasos, con n > 3 y que hay a boca arriba y b boca abajo, n = a + b, b > 0. Si b es múltiplo de 3, b = 3j, es claro que con j operaciones ya logramos nuestro objetivo.

Supongamos b = 3j + 2. Con j operaciones nos colocamos en el caso en que sólo hay dos vasos boca abajo. Tomando uno de ellos y dos que estén boca arriba nos colocamos en la situación en la que hay exactamente tres vasos boca abajo. Así, tras j + 2 operaciones nuestra tarea está realizada.

Supongamos ahora que b = 3j + 1. Con j operaciones nos colocamos en la situación en la que hay sólo un vaso boca abajo. Tomando este vaso y otros dos (boca arriba) y haciendo una operación más estamos en la situación en que exactamente hay dos vasos boca abajo. Pero esta situación ya la hemos tratado antes.

Asi resulta que cuando se pueden volver tres vasos al tiempo siempre se pueden colocar todos boca arriba.

Un buen problema es como un buen gato. Siempre tiene siete vidas más.

¿Y si se invierten cinco vasos al tiempo?

Quitando del montón

Si en lugar de partir de tantas piedras, se pudiera partir de un montón más pequeño, por ejemplo 7, está claro que Basilio, que juega primero, se las puede llevar todas y ganar. Lo mismo si se parte de un montón inicial de un número entre 1 y 10 piedras. La cosa empieza a ponerse mal para Basilio si el montón inicial es de 11 piedras. Entonces, haga él lo que haga, el juego es de Antonio. Pero si el montón inicial es de 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 piedras, Basilio cogería las que hiciera falta para dejar el montón en 11 y seguro que gana.

Si el montón inicial fuera de 22, Basilio está tan perdido como cuando era de 11, si es que Antonio se ha dado cuenta de la situación. Haga Basilio lo que haga, desde 22 deja a Antonio un montón tal que Antonio puede coger las que le venga bien para dejarle a Basilio un montón de 11.

Igualmente si el montón inicial es de

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32

las cosas se ponen bien para Basilio. En cambio 33 es número malo para él. Análogamente es malo 55, 66, todos los múltiplos de 11.

Como quien puede elegir el número inicial es Antonio, es claro que es preferible ser Antonio. Escoge un montón inicial múltiplo de 11, por ejemplo 33 y luego sólo tiene que preocuparse de dejarle a Basilio un montón múltiplo de 11, cosa que siempre puede hacer, pues puede coger entre 1 y 10 piedras. Los veinte duros son suyos.

Como siempre, las preguntas nunca se terminan del todo. ¿Y si el que juega puede quitar del montón cada vez o bien una piedra o bien tres piedras?

Camino más corto

Si las islas fueran tan pequeñas que se convirtieran en puntos, la situación es bien conocida.

Para hallar el camino de mínima distancia entre los puntos A y B pasando por r no hay más que trazar B', simétrico de B respecto de r, unir A con B' y obtener P de modo que APB es el camino buscado.

Si las islas son circulares, se puede pensar en hacer lo mismo. Trazamos B', la isla simétrica de B respecto de r.

La línea de mínima distancia entre A y B' es la que determina la linea de centros de A y B'. El camino de mínima distancia es MPN, ya que si se escoge otro punto F como punto de desembarque, es claro que la mínima distancia de P' a la isla A es la que se determina uniendo P' al centro de A y la mínima distancia de P' a la isla B es la que se determina uniendo P' al centro de B. Ahora podemos escribir

es decir,

P’M’ + P’N’ > PM + PN

Pregunta: ¿Y si las islas no son circulares, sino, por ejemplo, rectangulares, o elípticas, o más raras? ¿Sirve el método?

Caza cartesiana

Si el tablero fuera más pequeño, por ejemplo 2x2, estaría muy claro quién iba a ganar. Ganará el primero que juegue. Suponemos siempre, naturalmente, que quiere ganar y que juega inteligentemente.

Las posiciones indicadas con G son ganadoras, es decir, que si un jugador recibe el juego con la ficha situada en una de ellas tiene la partida ganada si juega adecuadamente.

En un tablero 3 x 3 las posiciones señaladas con P

son claramente perdedoras, es decir, el jugador que recibe el juego con la ficha en P pierde seguro. Suponemos que el contrario quiere ganar y juega inteligentemente, es decir, de acuerdo con la estrategia, si la tiene, que le puede llevar a ganar. ¿Son ganadoras o perdedoras las posiciones 1, 2, 3 con la interrogación? El que recibe el juego con la ficha en 1 puede dejarle al contrario la ficha en P. Por tanto, 1 (igual que 3) es G. Podemos ir rellenando el cuadro.

¿Es 2 ganadora o perdedora? De 2 sólo se puede llegar a posiciones G, que son ganadoras para el contrario. Por tanto, 2 es P.

De esta forma podemos ir ampliando el cuadro. Para el de tamaño 8 x 8 se obtiene

De esta forma sabemos que el que sale gana seguro, si juega bien, pues tiene una estrategia: llevar la ficha a una posición P. Siempre puede, pues el cuadro se ha rellenado precisamente así: de una G se puede siempre llevar la ficha a una P. Y además está seguro de que el otro, desde P, no tiene más remedio que dejarle a él la ficha en G, pues las P así se han construido. En resumen:

—Una celda es G cuando desde ella se va directamente a la victoria o bien desde ella se puede ir a una P.

—Una celda es P cuando desde ella sólo se puede ir a celdas G.

Observa que si el tablero es 7 x 7 el que sale sólo puede ir a celdas G.

Observa que si el tablero es 7 x 7 el que sale es el que pierde, si el otro juega bien.

Y para que la diversión no se acabe aquí, una pregunta más: ¿Y si se juega en este tablero un tanto loco?

¿Más grande o más pequeño?

A = (1 + x²)(l + y²)(l + z²) B = 8 xyz

Vamos a experimentar un poco para hacer alguna conjetura con base.

Si x = l, y =l, z=l, entonces ambas expresiones son iguales.

Si x = 2, y = 1, z = 1, entonces A > B.

Si x = 1/2, y = 1, z = 1, entonces también A > B.

Así, la conjetura es que A ≥ B.

¿Podría haber una desigualdad semejante más sencilla? Tanto en A como en B hay un producto de tres expresiones semejantes (observa que B = (2x)(2y)(2z)). Una desigualdad más sencilla sería

(1 +x²)(l + y²) ≥ 4xy

Todavía más sencillo es

1 + x² ≥ 2x

pero esto es lo mismo que decir que

1 +x² -2x = (l -x)² ≥ 0

lo cual es cierto siempre. Esto conduce a nuestro objetivo. Sabemos que 1 + x² ≥ 2x, 1 + y² ≥ 2y, 1 + z² ≥ 2z. Multiplicando las tres desigualdades resulta ya la que buscamos. Más en general, obtenemos con el mismo esfuerzo que

Un curioso camino

El camino es complicado por diversos motivos. Tiene que dirigirse a los dos ejes y además ha de transcurrir un cierto tramo por cada uno de ellos. Será bueno atacar separadamente las dos dificultades, fabricándonos un problema más sencillo para cada una de ellas.

Problema 1. Se dan dos puntos A y B a un mismo lado de una recta r. Trazar el camino más corto que salga de A, vaya a la recta, transcurra una longitud unida por esta recta y vaya después a B.

Problema 2. Se dan en el primer cuadrante los dos puntos indicados en la figura siguiente

Trazar el camino más corto que salga de A, pase por algún punto de 0x, luego por alguno de 0y, y vaya luego a parar a B.

El problema 1 se reduce fácilmente al de reflexión ordinaria que seguramente conoces. Mirando la figura siguiente

donde B se ha trasladado hacia la derecha una longitud 1, es fácil ver que AMNB es el camino mínimo buscado sólo y cuando AMB' es el camino mínimo de A a B' pasando por r. Porque si APQB fuera menor que AMNB, entonces es claro que, siendo BN = B'M y BQ = B'P, resultaría que B'P A sería menor que B'M A. Ahora está claro cómo determinamos M. Trazamos B", simétrico de B' respecto de r y unimos A con B". La intersección con r es M. Con ello obtenemos AMNB.

El problema 2 se trata también por reducción al problema de una reflexión. Se traza B', simétrico de B respecto de 0y, luego B", simétrico de B' respecto de la recta que determina 0x. Se une A con B". El punto M de intersección con 0x se une luego con B' y la intersección con 0y es N. El camino pedido es AMNB.

Las dos construcciones con las que hemos resuelto los problemas 1 y 2 se pueden empalmar ahora para obtener el problema propuesto más complicado.

Incluso se podrían complicar más las cosas, suponiendo que A y B, en lugar de ser dos puntos, son dos islas circulares En el problema «Camino más corto», que antes hemos visto, hemos aprendido a tratar esta dificultad.

¿Desigualdad?

Empecemos con modestia. Cuando sólo hay un producto, es claro que

1 - a = 1 - a

Cuando hay dos productos, ¿cómo se relacionan (1 - a)(l - b) y 1 - a - b? Claramente (1 - a)(l - b) = 1 - a - b + ab ≥ 1 - a - b, suponiendo tan sólo a ≥ 0, b ≥ 0. Sólo vale el signo igual cuando ab = 0, es decir, cuando al menos uno de los dos a, b, se anula.

Vayamos adelante con el caso de tres productos. Usando lo que ya sabemos, es decir, (1 - a)(l - b) ≥ 1 - a - b, resulta, si 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1, 0 ≤ c ≤ 1,

(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≥ (1 -(a + b))(l - c) = l - a -b - c + (a + b)c ≥ 1 - a - b - c

La igualdad vale sólo cuando al menos dos de a, b, c son nulos.

Procediendo análogamente, resulta, si 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1,

(1 - a)(1 - b)(l - c)(l - d) ≥ 1 -a - b - c - d

Con el mismo razonamiento resulta, si 0 ≤ ai ≤ 1 para i = 1,2, 3, …, n,

(1 - a₁)(1 - a₂)(1 - a₃)…(1 - an) ≥ 1 - a₁ - a₂ - a₃ -… - an

con igualdad sólo cuando al menos (n - 1) de entre los números son nulos.

CAPÍTULO 15

Suma de impares

Estrategia 1. Los impares forman una progresión aritmética de razón 2. Conoces seguramente una fórmula para hallar la suma.

Estrategia 2. Si no conoces tal fórmula, o no te acuerdas de ella, que es lo más probable, puedes tratar de recorrer los pasos que llevan hasta ella.

Sumando, resulta 2Sk = 2k x k. Así Sk = k².

Estrategia 3. Tu conjetura es Sk = k². Puedes tratar de demostrarla por inducción (capítulo 19).

La conjetura se cumple para k = 1, S₁, = 1. Supongamos Sh = h². Tratamos de ver que, si así es, entonces también Sh+1 = (h + 1)².

Para comprobarlo, observamos

Suma de cubos

Experimentamos. Llamando Ck a la suma de los k primeros cubos, resulta: C₁ = 1, C₂ = 9 = 3², C₃ = 36 = 6², C₄ = 100 = 10², C₅ = 225 = 15²…

Aparecen los cuadrados de I, 3, 6, 10, 15…

Éstos son los números 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5…

Parece natural conjeturar que Ck = (1 + 2 + 3 + 4 +… + k)² =(k(k + 1)/2)².

¿Cómo nos aseguramos de que así es? La inducción nos ayuda (capítulo 19).

La conjetura es cierta para h = 1, C₁ = 1 = (1 x 2/2)².

Tratamos de ver que, si es cierta para h, entonces es cierta también para h + 1. Observamos que Ch+1 = Ch + (h + l)³ = = (h(h + l)/2)² + (h + l)³, y comprobamos que esta expresión es precisamente ((h + l)(h + 2)/2)², con lo cual nuestra demostración por inducción queda concluida.

Consecutivos lejos

Después de haber colocado el 1 y el 8, por las razones indicadas, en el centro, casi todo viene obligado. El 2 no se puede colocar más que en un lugar, así como el 7, etc. La solución es

Puntos medios

Con unas cuantas experiencias te convences de que la figura que resulta es un paralelogramo, partiendo de cualquier cuadrilátero, incluso aunque éste no sea convexo.

¿Por qué tendrá que ser siempre así? Trazando la diagonal BD aparece muy claro todo. En el triángulo ABD, MQ es paralelo a BD y en el CBD, NP es paralelo a BD.

Cuadrados sobre cuadrados

El problema es profundamente intrigante y es posible que se resista bastante a tu ataque. ¿Cómo enfrentarse a un problema como éste?

Después de unos cuantos dibujos hechos con cuidado, te convences de que siempre resulta un cuadrado con los puntos medios del enunciado.

Para conseguir una demostración, puedes pensar en simplificar un tanto la situación. Si tú consigues demostrar que cuando se hace una construcción semejante partiendo de dos triángulos rectángulos isósceles (mitades de cuadrados) en la misma orientación, uniendo los vértices correspondientes y tomando los puntos medios, entonces resulta otro medio cuadrado, ya tienes el problema resuelto. El problema con triángulos parece un poco más simple.

Ahora puedes tratar de ver si consigues una demostración de este hecho al menos en casos especiales. Cuando los dos triángulos de partida tienen sus lados homólogos paralelos la demostración es muy fácil. Cuando los dos triángulos tienen el vértice del ángulo recto común también es fácil. Observa la figura

Los dos triángulos ABB' y ACC' son iguales y el primero se obtiene al girar 90º el otro alrededor de A. Por tanto, la mediana AP se obtiene girando la mediana AN 90º alrededor de A. Esto nos da la demostración en este caso. ¿Nos puede servir esto de ayuda para el caso general?

Podemos tratar de reducir el caso general al que ya hemos demostrado. Observa la figura siguiente:

Hemos trasladado paralelamente a sí mismos los dos triángulos hasta tener los vértices A y Á en M, punto medio de AA'. Hemos obtenido MB"C", trasladado de ABC, y MB"'C"', trasladado de A'B'C'. Observamos ahora que el cuadrilátero BB"B'B"' es un paralelogramo. Por tanto, sus diagonales BB' y B"B"' se cortan en P, punto medio de cada una de ellas. Análogamente Q es punto medio de CC' y C"C"'. Pero ya hemos visto antes que MPQ es rectángulo isósceles, que es lo que queríamos ahora demostrar.

Se pueden fraguar otras estrategias para llegar a este elegante resultado, pero la que a mí más me gusta es la siguiente, basada en la geometría de los números complejos. Si tenemos los tres puntos α, β, γ, en el plano complejo, situados como indica la figura,

una condición necesaria y suficiente para que formen un triángulo rectángulo isósceles de vértice a es que se verifique

Esto nos da la clave. Siα, β, γ, y α', β', γ', son los vértices de los triángulos indicados, con la misma orientación, tendremos

Los puntos medios del enunciado son (α + α')/2, (β + β')/2, (γ + γ')/2/2. Sumando las igualdades anteriores, resulta claro que se verifica la condición necesaria y suficiente para que estos tres puntos formen un triángulo rectángulo isósceles de la misma orientación que los anteriores, que es lo que pretendíamos demostrar.

Como puedes ver, este método da sin trabajo mucho más. ¿Por qué pensar en los puntos medios? ¿Para qué cuadrados?

El punto de Fermat

Observemos el triángulo ABJ. Si lo giramos 60º alrededor de A hasta que AJ pasa a coincidir con AC, es claro que AB pasa a AK, y por tanto BJ a CK. Esto demuestra que BJ = CK. De la misma forma AH = BJ. Además, con esto queda claro que el ángulo agudo que forman BJ y CK es de 60º. Asimismo, AH forma ángulos agudos de 60º con BJ y con CK. Por tanto, el punto donde se cortan BJ y CK es tal que desde él se ve BC bajo un ángulo de 120º. Análogamente, desde la intersección de AH y BJ se ve AB bajo 120º y desde la intersección de AH y CK se ve AC bajo un ángulo de 120º. Pero hay un único punto desde el que se vean los tres lados bajo un ángulo de 120º. Esto demuestra que los tres puntos indicados coinciden. Éste es el punto de Fermat F.

La demostración de que la suma FA + FB + FC es mínima, como se dice en el enunciado, es un poco más sofisticada. Antes de nada hay que demostrar que existe un punto interior P cuya suma de distancias a los tres vértices es mínima. No es difícil de creer que así es, pero es un hecho que exige demostración. Un poco de análisis la proporciona.

A continuación, suponiendo que P es un punto que da ese mínimo, consideramos la elipse de focos B y C que pasa por P y la circunferencia de centro A y radio AP. Estas dos figuras tienen que ser tangentes en P, pues de otra forma se ve fácilmente que cualquier punto en el interior de la intersección de las dos tiene una suma de distancias a los tres vértices menor que la de P. De las propiedades de la elipse se deduce entonces fácilmente que la recta PA es bisectriz del ángulo BPC. Análogamente la recta PB es bisectriz de A PC y la PC es bisectriz de BPA. Con esto resulta que hay seis ángulos de 60º con vértice en P determinados por PA, PB, PC. Por tanto, P es el único punto desde el que se ven los tres lados bajo un ángulo de 120º, es decir, P coincide con F.

Magia con números

Lo mejor es comenzar experimentando con unos cuantos números y observar lo que pasa

Parece que después de la primera operación siempre aparece un 9 en medio y que la primera y la última cifra siempre suman 9. Confirma esta conjetura.

Si las cosas son así, el misterio está aclarado. Al volverlo del revés y sumar con el número, las dos últimas cifras que se suman dan naturalmente un 9. Los dos nueves que quedan en medio dan 18, es decir un 8 y llevo uno. Este uno con el 9 que suman las dos primeras dan 10: siempre resulta 1.089.

Queda por aclarar: ¿Será verdad siempre que al invertir y restar resulta como se ha observado antes en los casos particulares verificados?

Si el número inicial es abe con a > c, entonces la primera operación es

(a x 100 + b x 10 + c)-(c x 100 + b x 10 + a) = (a-c) x 100+ (c - a).

Si a > c esta expresión se debe poner, puesto que c - a es negativo, en la forma

(a - c - 1) x 100 + 100 + (c - a) = (a - c - 1) x 100 + 9 x 10 (10 + c - a).

La primera cifra es a - c - 1, la segunda 9, la tercera es 10 + c - a. Está bien claro que la primera y la última suman siempre 9, y que la segunda es siempre 9, como había resultado de nuestros experimentos.

¿Un número verdaderamente mágico?

Ya en el problema anterior, «Magia con números», hemos tenido ocasión de observar algo que interesa también en éste. Tras la primera operación se obtiene un número que tiene la cifra 9 en medio, y la primera y la tercera suman 9. Siendo así las cosas después de la primera operación ya sabemos que se tiene que obtener, una vez ordenado de mayor a menor, uno de los números

990, 981, 972, 963, 954

Ahora es fácil ver que haciendo la operación indicada en el enunciado con estos número resulta

990 981 972 963 954…

Ahora resulta muy claro que partiendo de cualquier número de tres cifras, no las tres iguales, a lo sumo en seis operaciones se va a parar al número mágico 495, que se repite ya por siempre.

Una de las formas posibles de proceder para los números de cuatro cifras es semejante a la que hemos usado para los de tres.

Tomamos un número cualquiera de cuatro cifras, no todas iguales, abcd, con sus cifras ordenadas de mayor a menor.

Si b = c es fácil ver que resulta un número de la forma M99Q con M + Q = 9. Todos los números de esta forma, una vez ordenadas sus cifras, son

9990, 9981, 9972, 9963, 9954

Se comprueba que todos van a parar al 6174.

Si b > c, entonces resulta MNPQ con M + Q = 10, N + P = 8. Tampoco hay muchos números de esta forma. Son 25. Comprobamos que todos van a parar al 6174.

Partiendo de un número arbitrario, en 6 operaciones a lo sumo, se llega en todo caso al 6174 que se repite por siempre.

Hay muchas preguntas que surgen de una serie de observaciones tan interesantes.

CAPÍTULO 16

Dobleces en una tira de papel

Es claro que lo primero que viene bien hacer aquí, por ser tan fácil y entretenido, es experimentar con una tira real, doblando y doblando como se indica en el enunciado, a fin de adquirir una cierta familiarización con el problema. Nos podemos hacer con una lista de las primeras fases del plegado, e indicando por a los pliegues hacia arriba y por b los que quedan hacia abajo, obtenemos algo así:

Primera operación: b

Segunda operación: bba

Tercera operación: bbabbaa

Cuarta operación: bbabbaabbbaabaa

La dificultad para seguir adelante con nuestra manipulación estriba en que la tira no se deja doblar muchas veces más. Por otra parte, si nos hubieran preguntado por lo que pasa en la operación 10, aun con una tira larguísima estañamos en las mismas. Tenemos que buscar algún método más inteligente.

Hay, por supuesto, diversas formas de proceder y tal vez tú has dado con la tuya. Aquí tienes una breve e interesante, que tiene que ver con el tema que en este capítulo se trata.

Observamos que los pliegues que en cada operación aparecen quedan permanentemente en la tira como a o como b. Será bueno incorporar este hecho en nuestra notación. ¿Cómo se pasa de una operación a la siguiente? Dejando las aes y las bes en su lugar, bien espaciadas para que puedan caber entre ellas otras, resulta lo siguiente:

Se observa que lo que hay que hacer, para formar la siguiente sucesión de aes y bes es muy sencillo. Entre las letras de la operación anterior se intercala babababa…

Con esto se acaba bien pronto y sin hacer muchas cuentas. El pliegue 27 de la operación séptima es a.

Un problema interesante consiste en encontrar un algoritmo, un procedimiento paso a paso que te permita, de modo sencillo, operando con los números de operación y pliegue, si el pliegue 893 de la operación 35 es a o es b. ¿Te atreves?

Dividiendo montones

El juego es muy entretenido y de análisis nada fácil. Naturalmente lo más aconsejable es comenzar más modestamente mirando qué pasa comenzando con montones más pequeños. Con un montón de 3, el que sale gana, haciendo la única jugada que puede hacerse. Con uno de 4 pierde el que sale, pues sólo tiene una opción, l + 3 (dos montones, uno de 1 y otro de 3 piedras). Entonces el otro elige el montón de 3 y forma 1 + 1 + 2 y se acabó el juego perdiendo A, el que sale. Una forma razonablemente rápida para analizar el juego comenzando con cinco piedras es construirse la gráfica, el grafo, del juego, señalando todas las posiciones posibles y cómo se relacionan, es decir, a dónde se puede ir desde cada una. Lo podemos hacer así:

Las flechas indican el posible movimiento del juego. Lo esencial del juego es su grafo, la colección de puntos y arcos que se ha indicado a la derecha.

Esta claro que quien recibe el juego en cualquiera de los puntos más bajos está perdido. Son posiciones P, perdedoras. Si una posición tiene una flecha que le conduce a una P, es una posición ganadora, una posición G. Así, en nuestro grafo podemos decir que la posición 1 + 1 + 3 es G, así como 2 + 3. De esta forma podemos completar el grafo con este criterio:

Una posición es P si es directamente perdedora o bien desde ella sólo se puede ir a posiciones G.

Una posición es G cuando desde ella se puede ir, al menos por alguna flecha, a una posición P.

Además esto nos da la estrategia para el que recibe el juego en G. Ir siempre hacia una posición P.

Como ves, en el juego que empieza con un montón de 5, el que sale, A, tiene una estrategia. El juego propuesto con siete piedras tiene un grafo un poco más complicado. Aquí el que sale pierde suponiendo que el otro juegue bien.

El mismo proceso se podría utilizar también para un juego que comenzara con un montón de 50 piedras, pero el grafo seria enormemente complicado. El método de construcción se puede programar para que lo haga un ordenador, así como la estrategia de juego que resulta.

Una misma idea utilizada unas cuantas veces se convierte en un método de trabajo. Observa que la que hemos usado aquí ha aparecido ya en el problema «Caza cartesiana» del capítulo 14. Todavía la podremos utilizar más veces.

Quitando cerillas

Si nos hacemos con una buena representación, el problema resultará tal vez más transparente. Cualquier situación del juego viene dada por dos números, m y n, los números de cerillas en cada montón. Podemos representar cada situación del juego como un punto en el plano cartesiano, el (m, n). De este punto se puede ir, según las reglas del juego, al punto (m - 1, n), al (m,n - 1) o bien al (m - 1 ,n - 1). Como ves, esto nos permite construirnos el grafo del juego (como en «Caza cartesiana» o «Dividiendo montones») de manera muy sencilla. Aquí está en concreto el grafo para el juego que comienza con dos montones de 6 y 10 cerillas. Como ves, el que no sale tiene una estrategia ganadora.

Genealogía de abejas

Una experimentación sencilla, anotando M macho y H hembra, e indicando el sentido del tiempo hacia abajo, nos proporciona el siguiente cuadio, que ya contiene una gran cantidad de información

Observando con atención los números, aparece una regla de formación clara: el número de antecesores en cada generación es la suma de los números de las dos generaciones anteriores, y así mismo el número de antecesores machos en cada generación es la suma de los antecesores machos en las dos anteriores y lo mismo pasa con las hembras. Si esto es verdad, podemos continuar y llegar a la generación 12:

Resultan 233 antecesores en la generación doce, de los que 89 son machos y 144 hembras.

Nos queda, para estar seguros de que nuestra regla no es una mera conjetura, sino cierta siempre, tratar de dar con alguna razón que la justifique.

Las M de la fila p son tantas como las H de la fila p - 1 de arriba (cada M tiene sólo una H arriba, es decir, sólo las H tienen padre, M). Pero las H de la fila p - 1 son tantas como todas las letras de la fila p - 2 (a cada M ya cada H le corresponde una H por madre). Esto explica nuestra regla: el número de letras en la fila p es la suma de letras en las filas p - 1 y p - 2. Y la distribución de My //en cada fila que hemos señalado también explica la otra parte de nuestra regla.

Un problema ulterior consiste en dar con una fórmula que nos proporcione el número de antecesores en la fila n. La sucesión que nos ha aparecido 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… es la famosa serie de Fibonacci, que con tanta profusión aparece en la naturaleza. Esta fórmula la puedes ver en algún buen texto sobre teoría de números.

CAPÍTULO 17

Cuadrados de primos

La conjetura parece ser clara: si p es primo mayor que 3, entonces p² es múltiplo de 12 más 1, es decir p² = 12h + 1. Pero esto es lo mismo que decir p² - 1 = (p + 1)(p - 1) = 12h.

¿Cuándo es un número múltiplo de 12? Claramente cuando es múltiplo de 4 y múltiplo de 3 a la vez. Como p es primo, es impar y así p + 1 es par y p - 1 también. Por tanto, su producto es múltiplo de 4.

Además, si p es primo mayor que 3, será de la forma 3j + 1 o bien 3j + 2, pudiendo ser j = 1, 2, 3, 4… En el primer caso p - 1 = 3j, en el segundo caso p + 1 = 3(j + 1). Así, en todo caso (p + 1)(p - 1) es múltiplo de 3.

En realidad no nos ha hecho falta que p sea primo. Basta con que no sea 1, ni múltiplo de 2, ni múltiplo de 3.

Sumas de cuadrados

También aquí el secreto es una notación adecuada que saque el mejor partido de la información que se nos da.

Se nos dice, en el primer caso, que 2n + 1 = p². Pero de aquí podemos concluir que p es impar, es decir (buena notación) que p = 2j + 1 y podemos escribir

2n + 1 = (2j + 1)² = 4j² + 4j + 1

de donde resulta fácilmente

n = 2j² + 2j, es decir, n + 1 = j² + (j² + 2j + 1) = j² + (j + l)².

Ya tenemos lo que queríamos y algo más: si 2n + 1 es un cuadrado perfecto, entonces n + 1 es suma de dos cuadrados consecutivos. Ejemplo: 49 = 7² = 2 x 24 + 1. Y efectivamente 25 = 3² + 4².

Análogamente, si 3n + 1 = q², entonces q no puede ser múltiplo de 3. Será de la forma 3j + 1 o bien 3j - 1. En el primer caso 3n + 1 = (3j + l)² implica con unas pocas cuentas fáciles que

n + 1 = j² + j² +(j + l)².

En el segundo 3n + 1 = (3j - l)² implica que n + 1 = j² + j² + (j - 1)², lo que demuestra la propiedad para el caso 3n+ 1.

Para ver si podemos sacar alguna conclusión en el caso 4n + 1 podemos proceder de modo análogo. Si 4n + 1 = s², podemos decir que s es de la forma 4h + 1 o bien 4h - 1. No puede ser de la forma 4h + 2 porque 4n + 1 es impar y no puede ser el cuadrado de un número par. Por tanto, podemos escribir, en el caso primero

4n + 1 = (4h + l)² = 16h² + 8h + 1

de donde fácilmente resulta n + 1 = h² + h² + h² + (h + l)².

Si s es de la forma 4h - 1 resulta análogamente

n + i = h² + h² + h² + (h - l)².

¿Te atreves a seguir con 5n + 1…?

Irracionales

Si x fuera un número irracional, sería de la forma p/q con p y q enteros. Podemos suponer además que p y q no tienen ningún factor común, es decir, que p/q es una fracción irreducible. Se verificaría entonces

a(p/q)² + b(p/q) + c = 0

es decir,

ap² + bpq + cq² = 0

El enunciado nos informa que a, b, c, son impares. Introduzcamos la paridad en nuestro esquema. Nosotros sabemos, por ser p/q irreducible, que a lo sumo uno de los dos números p, q es par. Así que si p es par, entonces q es impar. Pero si p es par, entonces ap² + bpq es par. Por tanto, también tendría que ser par cq², ya que sumado con la expresión anterior da 0. Pero esto es imposible ya que c es impar y q es impar. Análogamente no puede ser q par y p impar. Sólo queda que p y q sean los dos impares. Pero entonces los tres sumandos de ap² + bpq + cq son impares. Es imposible, pues deberían sumar 0.

El footing de Pepe y Pablo

Notación. Llamamos:

d a la distancia AB;

va a la velocidad común andando;

vc a la velocidad común corriendo;

t es el tiempo que tarda Pepe;

t* es el tiempo que tarda Pablo;

Con esta notación podemos escribir:

Pepe tarda t = (d/2va) + (d/2vc)

La distancia d que Pablo recorre se puede expresar

d = vat*/2 + vct*/2, es decir, t* = 2d/(va + vc)

Haciendo unas pocas cuentas, resulta

t-t* = d(va - vc)²/4vavc(va + vc) > 0

Por tanto, tarda más Pepe.

Un curioso número

Llamemos A al número que buscamos. Según nos dicen termina en 2, de modo que será de la forma a₁a₂a₃… an2. Si llamamos M al número a₁a₂a₃… an, se nos dice también que el número 2M es doble del M2, es decir

2 x 10n + M = 2(M x 10 + 2), o sea, 199… 996 = 19 x M

Pero esto es lo mismo que decir que estamos buscando M tal que multiplicado por 19 da un número de la forma 1999…996.

La primera idea razonable para hallarlo consiste en ir dividiendo con la calculadora los números de la forma 196, 1996, 19996, 199996, 1999996, … , por 19 y ver si nos da un entero. Para los números de esta forma que caben en la calculadora no hay cociente entero. Habrá que pensar.

Como observamos que

19 x 1 = 19, 19 x 2 = 38, 19 x 3 = 57, 19 x 4 = 76, 19 x 5 = 95, 19 x 6 = 114, 19 x 7 = 133, 19 x 8 = 152, 19 x 9 = 171

es claro que M tiene que terminar en 4. Si M = l0M₁ + 4, entonces tiene que suceder que 1999… 996 = 19 x (10M₁ + 4), es decir, 199… 92 = 19 x M₁. Por tanto, M, termina en 8. Procediendo ordenadamente de este modo resulta que M es el número 10526315789473684.

Se comprueba efectivamente que el número 105263157894736842 tiene la propiedad que se dice en el enunciado.

El ciclista playero

Muy fácil, ¿no?

Si llamamos d a la distancia del pueblo a la playa y T al tiempo total que tarda, la velocidad media será vm = 2d/T. Pero el tiempo que el ciclista tarda es claramente T= d/30 + d/10, es decir, d/T = 30/4. Con esto resulta vm = 15 km/h.

Peligro en el puente

Al punto inicial del puente le llamamos A y al final B. La distancia entre A y B es de d km. Al instante en que el señor de la historia oye al tren lo llamamos I. El tren llega a A en el instante I + (3d/8)/10, midiendo el tiempo en horas. El tren llega a B en el instante / + (5d/8)/10. Por tanto, el tren recorre la distancia de d km en un tiempo de 2d/80 horas. Por tanto su velocidad es de 40 km/h.

CAPÍTULO 18

Extraños sobres

Todos se parecen mucho a un viejo conocido: el sobre de la forma siguiente:

Probablemente sabes que éste se puede hacer, pero solamente saliendo de uno de los vértices de la base. Y sabes también que el camino siempre se termina en el otro vértice de la base. Y tal vez sepas la razón profunda de este hecho: un camino de este tipo se puede hacer sólo y cuando el número de vértices en los que concurre un número impar de arcos es 0 o dos. Y si hay dos, el camino sólo es posible saliendo de uno de tales vértices y yendo a parar al otro. Si recuerdas esto todo se hace claro. La figura 1 es posible, la 2 es posible, la 3 imposible y la 4 posible. Los caminos se construyen fácilmente con la regla dada. (Si no recuerdas por qué esto es así, puedes ver la razón en el capítulo sobre los puentes de Konigsberg en mi libro Cuentos con cuentas).

Dos maridos celosos

Seguro que has visto muchas veces el problema del pastor que llega al río con su oveja, su col y con un lobo y se encuentra con que hay una barca en la que sólo le cabe una de sus pertenencias al tiempo. Te bastará experimentar un poco recordando este problema para seguir un camino parecido en este caso.

Polígono convexo

Sobre los ángulos de un polígono convexo ya debes de saber algo a propósito de un problema propuesto en el capítulo 14. Los ángulos exteriores de un polígono convexo suman en total cuatro rectos. Con esto es claro que te están engañando. No hay ningún polígono convexo con siete ángulos rectos.

Sumar 15

Construir, con los números l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, un cuadrado mágico 3 x 3 es un bonito problema en sí mismo. Hay que rellenar cada una de las celdas del cuadrado 3x3 con cada uno de estos números de manera que figuren todos y de modo tal que los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal sumen lo mismo.

Primera pregunta interesante: ¿Cuánto debe ser la suma de cada una de las columnas, filas y diagonales? Esto es fácil. Puesto que están todos los números y cada uno una vez, al sumar las tres filas obtenemos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Por tanto cada línea suma 15.

Segunda pregunta interesante: ¿A quién ponemos en el centro? ¿Podrá ir el 9? Claramente no, pues en algún sitio está el 8 y ya 9 + 8 = 17.

¿Podrá ir el 3, por ejemplo? No, pues en algún sitio está el 1 y 3+1=4. Nos haría falta un 11 para sumar 15. El único que puede ir al centro es el 5.

Ahora nos preguntamos: ¿dónde el 9? Con un sencillo experimento vemos que no puede ir en una esquina. El 9 ha de ir en el medio de un lado del cuadrado. Con esto se rellena el cuadrado mágico bien fácilmente:

¿De qué nos sirve para nuestro juego? Verás fácilmente, al jugar con los números así dispuestos sobre el tablero, que jugar al juego propuesto es… ¡jugar a tres en raya! Supongo que sabrás jugar bien. Hay una estrategia para cada jugador de modo que nunca pierda. Si los dos juegan bien, nunca hay vencedor.

Muchos ceros

En un número hay tantos ceros como veces se puede dividir por 10. Es decir, hay tantos ceros como veces se puede dividir por 2x5, o lo que es lo mismo, si miramos la descomposición en factores primos de ese número y observamos las potencias de 2 y de 5 que figuran en ella, 2m5n, entonces el número de ceros será el mínimo de m y n. Pero en la descomposición de 100! hay con seguridad más doses que cincos. Por tanto, sólo tenemos que mirar cuántas veces figura el cinco en ella. El 5 aparece en 5, 10, 15, 20, 25 (dos veces), 30, 35, 50 (dos veces), 55… 75 (dos veces)… 95, 100 (dos veces). En total hay 24 ceros.

Raíces

Con la indicación dada, el problema es muy sencillo. Al sustituir x por y + 1 y hacer las liosas operaciones, resulta un polinomio en y que tiene todos sus coeficientes positivos. Es claro que no puede tener ninguna raíz mayor que cero. Así, el original no puede tener ninguna raíz mayor que 1.

CAPÍTULO 19

Otra desigualdad

La propiedad propuesta es clara para n - 1, pues 1/√1= 1 < 2√1 = 2.

Supongamos (hipótesis inductiva) que también vale para n = h, es decir, que

Sh = 1/√1 + l/√2 + 1/√3 +… + 1 /√h < 2√h

Basándonos en esto queremos llegar a demostrar que Sh+1 <2√(h+ 1). Pero Sh+l = Sh + 1√(h + 1), y según la hipótesis inductiva Sh < 2√h

Todo queda reducido a probar que, valga h lo que valga,

2√h + l/√(h + 1) ≤ 2√(h + 1).

Multiplicando por √(h + 1), esto resulta equivalente a demostrar que

2√h(h + 1) ≤ 2h + 1

lo cual resulta inmediatamente sin más que elevar al cuadrado. Esto concluye la demostración por inducción de la desigualdad propuesta.

Una ecuación

Aquí la inducción debe ser un poco más sutil.

Puedes observar que si tienes, por ejemplo, 3² + 4² = 5², igualdad que es cierta, entonces es muy fácil, sin más que multiplicarla por 5², obtener (3 x 5)² + (4 x 5)² = 5⁴. De esta desigualdad, multiplicando de nuevo por 5², resulta (3 x 5 x 5)² + (4 x 5 x 5)² = 5⁶ y así sucesivamente. Esto conduce a una demostración por inducción para los n pares, que es demasiado obvio para escribirlo en detalle.

Para los n impares podemos proceder igual a partir de, por ejemplo, l² + l² = 2¹, o bien de modo más sencillo, observando que ya hemos demostrado que para 2n, que es par de todas todas, existen x, y, z tales que x² + y² = z2n = (z²)n, lo cual ya nos proporciona la igualdad que queremos para n.

Más desigualdades

Si en lugar de comenzar con a, b, c nos contentamos con la desigualdad correspondiente para dos números a, b, resulta que tenemos que demostrar que, si a ≥ 1, b ≥ 1, entonces

2 (ab + 1)≥(1 + a)(l + b).

Haciendo unas pocas operaciones esto resulta equivalente a demostrar que

(a - l)(b - 1) ≥ 0

lo que es claro pues a ≥ 1, b ≥ 1.

La desigualdad propuesta es trivial para n = 1 y cierta para n = 2. Tratamos ahora de proceder por inducción. La suponemos cierta para n = h, es decir, suponemos que se verifica

2h-1(ala₂… ah + 1)≥(1 + a₁)(1 + a₂)… (l + ah).

y a partir de aquí queremos probar que, entonces,

2h(a₁a₂… ahah+1 + 1)≥(1 + a₁)(l + a₂)… (1 + ah)(1 + ah+1)

Utilizando la penúltima desigualdad referente a (1 + a₁)…(l + ah), lo que queremos probar quedará efectivamente demostrado si comprobamos que

2(ala₂… ahah+1 + 1) ≥ (ala₂… ah + 1)(1 + ah+1)

Si llamamos A = a₁a₂… ah y B = ah+l, esto es lo mismo que decir

2(AB + 1)≥ (1 + A)(1 + B).

Si observamos que aquí A ≥ 1, B ≥ 1, esto es precisamente la desigualdad que ya hemos demostrado al comienzo.

Suma de cuadrados

Si n - 1, la igualdad es cierta, pues l² = 1(1 + 1)(2 + l)/6.

Queremos ver que si la igualdad es cierta para n = h entonces es cierta para n = h + 1.

Llamamos Cn a la suma de los cuadrados de los n primeros números. Observamos Ch+l = Ch + (h + l)². Utilizando la hipótesis inductiva, que nos dice que

Ch = h(h + l)(2h + l)/6

podemos escribir entonces que

Ch+1 = (h + l)² + h(h + 1)(2h + l)/6

Hay que comprobar si efectivamente el segundo término vale

(h + 1)((h + 1) + 1)(2(h + 1) + l))/6

Unas pocas operaciones nos convencen de que así es y con ello queda concluida la demostración por inducción.

El problema de los dos colores

Cuando sólo hay una recta en la cuartilla, es claro que se puede colorear el mapa resultante como se pide.

Supongamos que también se puede cuando hay h rectas. Queremos ver que, bajo esta hipótesis, también se puede cuando hay h + 1 rectas. Nos ponemos delante de un mapa con h + 1 rectas. Quitamos una cualquiera. Nos queda un mapa con h rectas. Según la hipótesis inductiva, se puede colorear según las normas dadas. Lo coloreamos. Ahora reponemos la recta que antes quitamos. Esta divide la cuartilla en dos partes. A todos los trozos de regiones que quedan en una de las dos partes les cambiamos de color. Los trozos de la otra parte de la cuartilla conservan el color que tenian. El mapa inicial de h + 1 rectas queda así coloreado de acuerdo con las normas dadas. Si un trozo de esa recta que quitamos y pusimos es frontera de dos regiones, éstas tienen distinto color. Cualquier segmento de frontera que no sea de esa recta delimita también regiones con distinto color.

Esto concluye la demostración por inducción.

Cuadrados perfectos

La conjetura que surge de los experimentos señalados es que el cuadrado de un número formado por n treses y un cuatro es el número formado por n + 1 unos, n cincos y un seis.

Los primeros casos ya están comprobados. Podemos tratar de proceder ahora por inducción. Supongamos que la conjetura es cierta para n = h, es decir, que

Ahora podemos poner

Observamos que el segundo sumando en el último miembro vale

Con el último término podemos utilizar la hipótesis inductiva. Con esto la suma de los tres se puede escribir

Y queda demostrado que si la propiedad vale para h, entonces también vale para h + 1, lo que concluye la demostración por inducción.

Más cuadrados

1. Hay 24 cerillas. Si quitamos 8 quedan 16. Queremos que queden dos cuadrados. ¿Podrán ser iguales? Sería cada uno de 8 cerillas, es decir, cada uno de tamaño 2x2. Pero esto parece imposible, pues si están separados algunas cerillas quedarían muy lejos y si están superpuestos parcialmente, o aparecen más cuadrados o no logramos el número de cerillas que se exige. Parece que han de ser desiguales, uno dentro de otro, del modo siguiente:

2. Con 16 de las cerillas en la posición en que están queremos ahora cuatro cuadrados. ¿Iguales? Entonces cada uno ha de ser de cuatro cerillas, sin tener ninguna en común. La solución es fácil:

¿Queremos cuatro cuadrados no todos iguales? Uno 2 x 2, 8 cerillas, y los otros tres l x l, con algunos lados en común para sumar 16. También hay una solución fácil:

Sabiendo como ha de quedar la solución, es claro qué cerillas hay que quitar.

Un limite curioso

Un sencillo problema que se resuelve con la vieja estrategia de llamar x a lo que buscamos y manipular con ello adecuadamente hasta tenerlo bien localizado. Si x es el límite buscado, elevando al cuadrado resulta x² = x + 1. Así, x = (1 + √5)/2

Estamos partiendo aquí del hecho de que el límite que buscamos existe y es finito, a fin de poder operar como lo hemos hecho. De otra forma podemos llegar a buenos disparates. Por ejemplo: ¿Cuánto vale la suma S = 1 + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ +…?

Es claro que S - 1 = 2S, es decir, S = - 1.

Triángulo de mayor área

Supongamos que el triángulo que buscamos es el de la figura. ¿Podrá efectivamente tener esta forma? Es decir, ¿puede ser no isósceles?

Todos los triángulos que tienen la misma base BC y el mismo perímetro que el de la figura tienen el tercer vértice sobre la elipse de focos B y C que pasa por A. Pero el triángulo que tiene ese tercer vértice en la intersección de esa elipse con la mediatriz de BC tiene la misma base que ABC y una altura mayor. Así es de mayor área. Esto demuestra que el triángulo que buscamos tiene que ser isósceles con base BC.

Pero lo que hemos visto para BC vale igualmente para AC y para AB. Por tanto, el triángulo que buscamos ha de ser isósceles con respecto a sus tres bases. El único triángulo así es el equilátero. El triángulo pedido es el equilátero de lado 10.

Como antes, hemos supuesto que el triángulo de área mínima existe. Tal supuesto parece bien claro, pero en rigor habría que demostrarlo. Para estos puntos finos viene en ayuda el análisis matemático, aunque no es éste el lugar de ir adelante con ellos.

Moviendo monedas

El problema es muy sencillo poniendo la posición inicial y la final una junto a la otra. A mí me parece más fácil tratar de proceder al revés y luego invertir la cadena de movimientos.

Jaimito generoso

Antes de encontrarse con el último amigo, Jaimito llevaba x cromos. Después se quedó con 0. Así

x₆ - (x₆/2 + 1) = 0, x₆ = 2

Si x₅ es el número de cromos antes de encontrarse con el quinto amigo, resulta que en ese momento tiene

Ya tenemos la máquina. Sólo hay que apretar la misma tecla:

Jaimito salió con 126 cromos.

CAPÍTULO 21

Es irracional

Supongamos que fuese racional. Entonces √2= p/q y podemos suponer que p y q son enteros positivos que no poseen ningún factor común. Entonces, elevando al cuadrado, seria 2 = p²/q², es decir, 2q² = p², y por tanto p es número par, p = 2h. Ahora podemos escribir 2q² = 4h², y también q² = 2h², lo que nos dice que también q es par. Esto es contradictorio, y esta contradicción demuestra que nuestro punto de partida es falso. Podemos afirmar que √2 es irracional.

Palabras infinitas

Supongamos que todas las palabras indicadas se pueden numerar y por tanto colocar todas una detrás de otra. Supongamos que aquí están todas:

Nos fijamos ahora en la palabra infinita A B A B…, que se obtiene en el cuadro anterior tomando la primera letra de la primera fila, la segunda de la segunda, la tercera de la tercera…, es decir, tomando la diagonal del cuadro de letras. A continuación, a partir de esta palabra formamos otra cambiando en ella cada A por B y cada B por A. Obtenemos así una que empieza

B A B A …

Esta palabra tendría que ocupar alguna fila del cuadro, pues estamos suponiendo que allí están todas, pero por otra parte, difiere de la primera fila en la primera letra, de la segunda fila en la segunda letra…, de la fila 357 en la letra 357. Es imposible que esté en el cuadro. Esta contradicción demuestra que nuestro punto de partida es falso.

Podemos confirmar, por consiguiente, que la colección de las palabras infinitas de dos letras no puede ser numerable.

Un cuadrilátero convexo

De los cuadriláteros convexos sabemos (recuerda el problema del capítulo 14) que la suma de sus ángulos exteriores es de 360º. Conocemos tres de estos ángulos, 150, 50 y 40. Juntos miden 240. Por tanto, el otro exterior mide 120, y así el interior correspondiente mide 60º.

Supongamos que el cuadrilátero se pudiera inscribir en un círculo. Entonces los ángulos opuestos suman 180º. Pero entre los ángulos de 150, 50, 40 y 60, no hay dos que sumen 180. Es imposible. El cuadrilátero no es inscriptible en un círculo.

CAPÍTULO 22

El teorema de Napoleón

Podemos tratar de usar la trigonometría, el teorema del coseno, para calcular lo que mide el lado RU en el triángulo CRU.

Podemos escribir

Sustituyendo, resulta

RU² = b²/3 + a²/3 - 2ab/3 (cos C/2 - sen C √3/2).

Pero en el triángulo ABC el área vale S = ab sen C/2, es decir, ab sen C = 2S.

Por otra parte, usando en ABC el teorema del coseno, resulta c² = a² + b² - 2ab cos C, de donde ab cos C = (a² + b² - c²)/2

Sustituyendo en RU², obtenemos, después de fáciles operaciones,

RU² = (a² + b² + c²)/6 + 2S √3/3

Como se ve, RU tiene una expresión simétrica en abe. Haciendo lo mismo con RT y UT, se obtiene la misma expresión. Esto prueba que RU = RT = UT, es decir, RTU es equilátero.

Del teorema de Napoleón se puede también dar una demostración a través de la geometria de los números complejos, semejante a la que hemos visto en el problema «Cuadrados sobre cuadrados». Observamos que la condición necesaria y suficiente para que tres puntos cuyos afijos complejos son α, β, γ, y orientados según se indica en la figura formen triángulo equilátero es

(α - β)=(γ - β)eiπ/3

A continuación, a partir de los afijos de los vértices del triángulo ABC obtenemos los de M, N, P y los de R, U, T, lo que es sencillo, y comprobamos que se verifica la condición de arriba.

Hay todavía otra estrategia de geometría sintética más bonita que se puede ver en el libro de Ross Honsberger, Mathematical Gems (The Mathematical Association of America, Washington, 1973) (página 34).

Las mujeres de Napoleón

Podemos esquematizar los datos de la forma siguiente. Señalamos

por X, esa misteriosa persona del galimatías;

por A, la primera mujer de N, Napoleón;

por B, la segunda mujer de N.

Las flechas significan matrimonios y un 1 o un 2 del lado correspondiente indica si es primero o segundo matrimonio para la persona correspondiente.

Con esta notación los datos son

La información dada es compatible con varias posibles sucesiones de acontecimientos. Por ejemplo,

A se casa con N.

A y N se separan.

B se casa con X.

B y X se separan.

A se casa con X.

N se casa con B.

Como se ve, X, primer marido de B, la segunda mujer de N, es el segundo marido de A, primera mujer de N.

También, puesto que no dice nada del primer marido de A ni del segundo de B, se puede pensar en que X y N coincidan, es decir:

A se casa con Y.

A e Y se separan.

A se casa con N.

A y N se separan.

B se casa con N (primer matrimonio para B).

Así, N, primer marido de B, segunda mujer de N, es segundo marido de A, primera mujer de N.

Ésta es precisamente la situación histórica de Napoleón:

A (Josephine) estaba casada con Alexandre de Beauharnais.

A quedó viuda.

A se casó con N.

A y N se separaron.

B (María Luisa de Habsburgo-Lorena) se casó con N.

Camino del hogar

Llamemos 0 el instante ordinario de llegada.

Sea v la velocidad de la señora (que suponemos constante) y sea d la distancia de la estación a la casa.

Sea x el tiempo que el señor Pérez camina.

Sea d' la distancia que él recorre y d" la distancia del punto en que se encuentran ese día a la casa (d' + d" = d).

La señora sale ese día, como todos, en el instante - d/v.

El señor llega ese día en el instante - 1.

Se encuentran en el instante - 1 + x.

La señora, desde ese instante, hubiera llegado a la estación en el instante 0, por tanto v(1 - x) = d'.

Llegan a casa ordinariamente en el instante d/v.

Hoy llegan, nos dice el enunciado, en el instante d/v - 1/3 (veinte minutos antes), es decir, en el instante (d' + d")/v - 1/3.

Pero, por otra parte, hoy llegan en el instante - 1 + x + d"/v.

Igualando y teniendo en cuenta que, como hemos visto, d'/v = 1 - x, resulta fácilmente x = 5/6, es decir, que el señor Pérez caminó 50 minutos.

Este planteamiento es bastante directo y seguro, pero contiene unos cuantos elementos superfluos.

Es claro que el tiempo que el señor Pérez se ahorra con respecto a otros días es el mismo que su mujer se ahorra. Pero ella se ahorra el tiempo invertido en ir y volver a la estación desde el punto en que se encuentra con el señor Pérez. El instante de encuentro es, como hemos visto antes, - 1 + x. Desde el punto de encuentro hasta la estación, la señora tardaría 1 - x. Así, el ahorro de tiempo de la señora es 2(1 - x), que nos dicen que es 1/3 de hora. Así, 2(1 - x) - 1/3, x = 5/6 de hora, es decir, el tiempo que el señor Pérez caminó es de 50 minutos.

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Autor

MIGUEL DE GUZMÁN OZÁMIZ (1936-2004): Nace en Cartagena (Murcia) el día 12 de Enero de 1936. Muere en Madrid el día 14 de Abril de 2004. Matemático, escritor, miembro de la Real Academia Española. Terminó los estudios de Filosofia en Alemania en 1961 y los de Matemáticas en Madrid en 1965. En 1968 se doctoró en la Universidad de Chicago, fue Profesor en la Universidad de Princeton, en la Washington University en St. Louis y en la Pontifica Universidade Catolica en Rio de Janeiro. Era Catedrático de Análisis Matemático desde 1969 y ejerció su magisterio principalmente en la Universidad Complutense de Madrid.

Con sus investigaciones en matemáticas y su incesante actividad logró formar un grupo de investigadores españoles de reconocida fama en los ambientes matemáticos internacionales. Sus enseñanzas en la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid han quedado plasmadas en varios libros de texto. Su habilidad para comunicar los descubrimientos matemáticos le permitió escribir varios libros de divulgación.

En 1982 fue nombrado miembro de la Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales y ejerció como Presidente de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) desde 1991 hasta 1998. Su ideas sobre educación matemática han inspirado a toda una generación de educadores. La idea de cultivar el talento matemático precoz, presente en su mente desde comienzos de los años noventa, cristalizó en el Proyecto Estalmat cuya vitalidad es un tributo al Profesor Miguel de Guzmán