«Los números tienen vida por ellos solos, sería ingenuo pensar en ellos como un grupo de símbolos ordenados aleatoriamente». Según el Dr. Irving Joshua Matrix, si se interpreta correctamente el número pi, por ejemplo, es posible ver toda la historia de la humanidad. Este curioso personaje, considerado por muchos como el más grande numerólogo que jamás haya existido, asegura ser la reencarnación misma de Pitágoras.

Martin Gardner te llevará de aventuras de la mano del extraordinario Dr. Matrix y de su hija Iva, que es medio japonesa y que siempre está a su lado para echarle un cable. A medida que avances en las historias irás conociendo paso a paso los principios de la matemática combinatoria y la teoría de números. Las soluciones de los ya clásicos acertijos del Dr. Matrix te esperan al final del libro, junto a comentarios y referencias que Gardner quiso añadir para iluminar a los neófitos y entretener a los lectores más exigentes.

Martin Gardner

Juegos. Los mágicos números del Doctor Matrix

ePub r1.1

FLeCos 31.07.2022

Título original: The Magic Numbers of Dr. Matrix

Martin Gardner, 1985

Traducción: Daniel Zadunaisky

Editor digital: FLeCos

ePub base r2.1

Para Tom, mi hijo número dos

Introducción

Mi amistad con el difunto doctor Irving Joshua Matrix y su hija Iva abarcó un lapso de unos veinte años. Escribí sobre él por primera vez en mi columna «Mathematical Games» en la edición de enero de 1960 de Scientific American. Con gran tristeza y resonancias del célebre homenaje de Watson a su amigo Sherlock Holmes, mi columna de setiembre de 1980 resumió los escasos detalles conocidos acerca de su inesperado deceso.

La presente obra es la tercera recopilación de mis columnas sobre el doctor Matrix. Las primeras siete fueron recopiladas por la editorial Simón and Schuster en 1967 bajo el título de The Numerology of Dr. Matrix. Si se invierten los dígitos de 67 se obtiene la fecha de aparición de The Incredible Dr. Matrix, recopilación publicada por Scribner’s que contenía a la primera. Tras un nuevo lapso de nueve años, gracias a la editorial Prometheus, he reunido todas mis columnas referidas a Matrix, desde nuestro primer encuentro en Manhattan hasta su muerte accidental en 1980, a orillas del Danubio.

En varias ocasiones, los matemáticos y otros lectores que conocen los extraordinarios pronósticos, análisis y juegos de palabras y números del doctor Matrix a través de mi columna me han pedido que divulgue su curriculum vitae. En las páginas que siguen trataré de satisfacerlos. La información se basa casi exclusivamente en mis conversaciones con Iva. Sepa el lector que, aparte de algunos hechos aislados, no he verificado la información.

El doctor Matrix nació el 21 de febrero de 1908 en Kagoshima, localidad de la isla japonesa de Kyushu. Su padre, el reverendo William Miller Bush, era misionero de la Iglesia Adventista del Séptimo Día y venía de una aldea del Estado de Arkansas, llamada Figure Five.[1] En 1908 se encontraba al frente de la misión adventista de Kagoshima. El joven Irving Joshua Bush, quien posteriormente adoptaría el apellido Matrix, era el menor de siete hermanos de los cuales, los cuatro últimos habían nacido en Kagoshima. Creía fervorosamente en las profecías bíblicas de la fe de sus mayores y, debido a su talento natural para la matemática, se interesaba principalmente por los aspectos numéricos de las mismas. A los siete años sorprendió a su padre al señalar que existen 1 Dios, 2 testamentos, 3 componentes en la Trinidad, 4 Evangelios, 5 libros de Moisés, 6 días de la creación y 7 dones del Espíritu Santo.

—¿Y el 8? —preguntó su padre.

—Doblemente agujereado —replicó el muchacho—. El 0, el 6, el 9 y a veces el 4 tienen un agujero cada uno, pero sólo el 8 tiene dos agujeros y por eso es santo.[2]

A los ocho años el joven Bush dedicaba la mayor parte de sus ratos de ocio a investigar los números que aparecen en diversos pasajes de la Biblia. Por ejemplo, el sexto versículo del capítulo 20 del primer libro de las Crónicas dice que el gigante de Gath tenía seis dedos en cada pie y en cada mano. No era casual, argumentaba el muchacho, que 20, el número del capítulo, fuera el número normal de dedos del hombre, en tanto 6, el número del versículo, se refiriera a la anormalidad del hombre de Gath. Además, agregaba, si asignáramos un valor numérico a cada letra de Gath, siendo a igual a l, b igual a 2, c igual a 3 y así sucesivamente, la suma de los números sería 36, el cuadrado de 6.

Al cumplir nueve años el numerólogo en ciernes aplicó la misma técnica a su apellido, Bush, con lo que obtuvo los números 2, 21, 19 y 8, es decir, la fecha de su cumpleaños el vigesimoprimer día del segundo mes del año 1908. Consideró que esa asombrosa correlación era un buen augurio y señal de que su Dios le había deparado la misión de hacerse apóstol de la causa adventista.

En 1920, cuando Bush tenía trece años, esos planes se vieron bruscamente frustrados. En un rincón del escritorio de su padre encontró un ejemplar de la explosiva obra, Life of Mrs. E. G. White, Seventh-Day Adventist Prophet: Her False Claims Refuted (Cincinnati, Standard Publishing, 1919) [La vida de la señora E. G. White, profetisa adventista del séptimo día: refutación de sus falsas afirmaciones].[3] Hondamente perturbado por las revelaciones del libro, en crisis con las posiciones fundamentalistas de sus padres, fugó del hogar y, con el tiempo, llegó a Tokio. Desde luego, hablaba el japonés y el inglés a la perfección.

Desde temprana edad el joven Bush demostró interés no sólo por los números sino también por la magia y el malabarismo. Un anciano japonés, amigo de su padre, que alguna vez había sido mago del varieté, le enseñó un poco de malabarismo y prestidigitación elemental, lo que le permitió ganarse la vida durante varios años en las calles de Tokio. Un célebre mago japonés llamado Tenkai, que lo vio actuar, lo contrató como ayudante. Posteriormente, pasados los veinte años, Bush recorrió el Japón con un espectáculo de adivinación del pensamiento. Para entonces había adoptado el seudónimo artístico de «doctor Matrix». En 1938 desposó a su ayudante, la señorita Eisei Toshiyori, hija de un equilibrista japonés. Su única hija nació al año siguiente.

La señora Matrix murió en 1942, durante el bombardeo de Tokio. Tras el brusco final de la guerra con Japón, el doctor Matrix se radicó en París e instaló un consultorio de astrología y numerología en la Rive Gauche que le granjeó bastante prestigio. Se dice —aunque el autor no ha podido corroborarlo— que Charles de Gaulle le consultó si debía designar a André Malraux ministro de Educación. La respuesta, afirmativa, basada en un cuidadoso análisis de las fechas de nacimiento y los nombres completos de los dos hombres, lo convenció. Durante su estancia en París el doctor Matrix entabló amistad con el célebre matemático francés Nicolás Bourbaki. Aunque había abandonado sus estudios al concluir el sexto grado en la escuela de la misión de Kagoshima, el doctor Matrix había profundizado por su propia cuenta sus estudios de teoría de números. Gracias al gran Bourbaki pudo avanzar aún más en esta rama fundamental de la matemática.

Al autor le hubiera gustado incluir en este libro una fotografía del doctor Matrix e Iva, pero desgraciadamente jamás permitían que se los fotografiara. Por otra parte, desde la muerte de su padre, no ha vuelto a recibir noticias de Iva. Tal vez, si lee estas líneas, se pondrá en contacto con el autor.

MARTIN GARDNER

Hendersonville, Carolina del Norte

1. Nueva York

La numerología, el estudio del significado místico de los números, tiene una historia larga y compleja que se remonta a los antiguos cabalistas hebreos, los pitagóricos griegos, Filón de Alejandría, los gnósticos, varios teólogos importantes y esos numerólogos de Hollywood que florecieron durante las décadas de 1920 y 1930 e inventaban nombres (con las necesarias «resonancias») para aspirantes a estrellas del cine. Debo confesar que el tema siempre me resultó bastante aburrido. Por eso, cuando a fines de diciembre de 1959 un amigo mío me sugirió que llamara a un numerólogo neoyorquino que se hacía llamar doctor Matrix, realmente no sentí demasiado interés.

—Ya verás que es un tipo de lo más entretenido —insistió mi amigo—. Dice ser la reencarnación de Pitágoras, y es verdad que sabe bastante matemática. Por ejemplo, me dijo 1960 será un año especial porque el número 1960 es la suma de dos cuadrados —14² y 42²— y tanto el 14 como el 42 son múltiplos del místico número 7.

Tomé lápiz y papel y lo verifiqué.

—¡Es verdad, por Platón! —exclamé—. Tal vez valga la pena hablar con él.

Pedí una cita por teléfono y varios días después, una hermosa secretaria de bellos ojos rasgados me hizo pasar a la oficina privada del doctor. Diez enormes números metálicos, del 1 al 10, estaban sujetos a la pared del fondo, detrás de un largo escritorio. Estaban dispuestos en forma triangular, a la manera de las clavas en el juego de bolos; una disposición que hoy no despierta atención, pero que los antiguos pitagóricos reverenciaban bajo el nombre de «santo tetractis». Sobre el escritorio, un gran dodecaedro mostraba los meses del año entrante en cada una de sus doce caras. Un parlante oculto emitía suave música de órgano.

El doctor Matrix entró a la oficina por una puerta lateral oculta detrás de una cortina; era un hombre alto y muy delgado, de nariz aguileña y penetrantes ojos verdes. Con un gesto me indicó que me sentara.

—Me han dicho que usted es columnista de Scientific American —dijo con una sonrisa torcida— y que viene a investigar mis métodos, no a que le haga un análisis personal.

—Así es —dije.

El doctor oprimió un botón en una pared lateral. Se corrió un panel del revestimiento de madera y apareció una pizarra, en la cual estaban escritas las letras del alfabeto en forma de círculo, de manera tal que la Z y la A quedaban yuxtapuestas (véase la Figura 1).

Figura 1. El círculo alfabético del doctor Matrix

—Para empezar —dijo—, permítame explicarle por qué 1960 probablemente será un año favorable para su revista. Con un lápiz fue señalando las primeras 19 letras a partir de la A. Así llegó hasta la S. Luego, a partir de la T, contó las siguientes 60 letras, llegando así a la A. S y A, dijo, son las iniciales de Scientific American.

—Eso no significa gran cosa —dije—. Existen miles formas de hallar coincidencias similares. Siendo así, existe una altísima probabilidad de que con poco esfuerzo se pueda descubrir siquiera una.

—Es verdad —dijo el doctor Matrix—, pero eso no es todo. Las coincidencias como éstas son tan numerosas que no basta la ley de probabilidades para justificarlas. Permítame decirle que los números poseen una misteriosa vida propia. —Con la mano señaló los números dorados en la pared—: Desde luego que ésos no son números sino sólo símbolos de números. El matemático alemán Leopold Kronecker, si no me equivoco, dijo que «Dios creó los números enteros; lo demás es obra del hombre».

—Me parece que no coincido con esa afirmación —dije—, pero no perdamos el tiempo con la metafísica.

—Perfectamente —asintió, y tomó asiento detrás del escritorio—. Permítame citar algunos ejemplos de análisis numerológico que tal vez interesen a sus lectores. ¿Conoce usted la teoría de que Shakespeare colaboró en secreto en la Versión Autorizada de la Biblia, realizada bajo el rey Jacobo?

Meneé la cabeza.

—Para el numerólogo no cabe duda de que la teoría es cierta. Si cuenta las palabras del Salmo 46, la 46ª es SHAKE. Y la 46ª palabra desde la última hacia atrás (sin contar la palabra SEL AH, que aparece al final) es SPEAR.[4]

—¿Por qué el número 46? —pregunté con una sonrisa.

—Porque la Versión Autorizada del rey Jacobo fue terminada en 1610, cuando Shakespeare tenía 46 años.

—Interesante —dije, mientras tomaba algunos apuntes—. ¿Podría darme más ejemplos?

—Todos los que quiera —dijo el doctor Matrix. Veamos el caso de Richard Wagner y el número 13. Su nombre tiene 13 letras. Nació en 1813. La suma de los dígitos de ese año es 13. Compuso 13 grandes obras musicales. Completó Tannhäuser, su obra maestra, el 13 de abril de 1845. El estreno data del año 1861. Terminó Parsifal el 13 de enero de 1882. El estreno de La valquiria fue el 26 de junio de 1870, y 26 es el doble de 13. Compuso Lohengrin en 1848, pero la escuchó por primera vez en 1861, 13 años después. Murió el 13 de febrero de 1883. El primer y último dígitos del año forma el 13. Son apenas algunos de los 13 que se destacan en la vida de Wagner.

El doctor Matrix aguardó a que terminara mis apuntes y prosiguió:

—Las fechas importantes nunca son casuales. La era atómica se inició en 1942, cuando Enrico Fermi y sus colegas lograron la primera reacción nuclear en cadena. No sé si leyó Atoms in the Family, la encantadora biografía de Fermi escrita por su esposa, Laura. Ahí relata que Arthur Compton llamó a James Conant para darle la noticia. Las palabras de Compton fueron: «El navegante italiano ha llegado al Nuevo Mundo». Ahora bien, si se invierten los dígitos centrales de 1942, se obtiene 1492, el año en que otro navegante italiano, Cristóbal Colón, descubrió el Nuevo Mundo.

—No se me había ocurrido —dije.

—Y hay más. Esa tarde del 2 de diciembre de 1942, en el laboratorio de Fermi ubicado bajo el estadio de fútbol americano de la Universidad de Chicago, había exactamente cuarenta y dos personas presentes en el momento que Fermi miró los indicadores y proclamó que la reacción atómica se mantenía por sus propios medios.[5]

—Asombroso —dije, sin dejar de tomar apuntes.

—La vida del káiser Guillermo I posee interés numerológico —prosiguió—. En 1849 aplastó la revolución socialista alemana. La suma de los dígitos da 22. 1849 más 22 es 1871, el año que lo coronaron emperador. Se repite la operación con 1871, se obtiene 1888, el año de su muerte. Si se repite nuevamente, se obtiene 1913, el último año de paz antes de que la Primera Guerra Mundial desmembrara su imperio. Estas extrañas pautas numéricas aparecen vinculadas con las vidas de todos los hombres famosos. ¿Es casual que Rafael, el gran pintor de escenas sagradas, naciera un 6 de abril y muriera un 6 de abril y que en las dos ocasiones fuera él Viernes Santo? ¿Es casual que Shakespeare naciera un 23 de abril y muriera un 23 de abril, siendo que el doble de 23 es 46, el número que da la clave de su colaboración en la traducción de la Biblia?

—Además —añadí— el 23 es el Salmo más conocido, supuestamente traducido por Shakespeare.

El doctor asintió y prosiguió:

—Hace exactamente cien años nacieron tres célebres filósofos: John Dewey, Henri Bergson y Samuel Alexander. Los tres sustentaron concepciones filosóficas cuya piedra angular fue la evolución. ¿Por qué? Porque el Origen de las especies, de Darwin, apareció en 1859. ¿Le parece casual que Houdini, ese cultor de todo lo misterioso, muriere un 31 de octubre, la Noche de Brujas?

—Puede ser —murmuré.

El doctor asintió con fuerza.

—También le parecerá casual que en el sistema de clasificación decimal de Dewey el 512.81 corresponda a obras de teoría de los números.

—¿Qué tiene de extraño?

—El 512 es 2 a la novena, el 81 es 9 al cuadrado.[6] Pero le mostraré algo aún más insólito. Por empezar, 11 más 2 menos 1 es igual a 12. Ahora lo escribiré en letras.

Fue a la pizarra y escribió la palabra ELEVEN. Agregó TWO, con lo cual quedó ELEVENTWO, luego borró las letras de ONE y quedó ELEVTH.

—Al reordenar esas seis letras —dijo—, se obtiene TWELVE.[7]

Me sequé la frente con el pañuelo.

—¿Qué puede decirme del 666? —pregunté—. Es el llamado Número de la Bestia (Apocalipsis 13:18). Hace poco leí un libro titulado Our Times and Their Meaning, de un adventista del séptimo día llamado Carlyle B. Haynes. Identificó el número con la Iglesia Católica Romana al sumar los números Romanos de uno de los títulos del papa: Vicarius Filii Dei. El resultado es exactamente 666.

V | 5
I | 1
C | 100
A |
R |
I | 1
U | 5
S |
F |
I | 1
L | 50
I | 1
I | 1
D | 500
E |
I | 1
| 666

(La u equivale a la v, porque así se la escribía antiguamente.)

—Hay tanto que decir del 666 —suspiró el doctor—. Esta versión del Número de la Bestia es muy antigua.[8] Claro que un numerólogo hábil puede deducir el 666 de cualquier nombre. Si se suman los números latinos de Ellen Gould White, la gran profetisa que fundó el Adventismo del Séptimo Día, considerando a la w una doble v, también se obtiene 666:

E |
L | 50
L | 50
E |
N |
G |
O |
U | 5
L | 50
D | 500
W | 10
H |
I | 1
T |
E |
| 666

—En la primera parte del tercer libro de La guerra y la paz, capítulo 19 —prosiguió el doctor Matrix—, Tolstoy desarrolla un ingenioso método para deducir el 666 de L’EMPEREUR NAPOLEON. Cuando William Gladstone era primer ministro de Inglaterra, uno de sus adversarios escribió GLADSTONE en griego, sumó los números y obtuvo el 666. HITLER suma el 666 si se emplea el código según el cual a es igual 100, b a 101, c a 102 y así sucesivamente:

H | 107
I | 108
T | 119
L | 111
E | 104
R | 117
| 666

—Me imagino —dije— que se pueden disponer 666 puntos en forma triangular igual que esos números en la pared.

—Sí, el 666 es un número triangular con 36 de lado. Es la suma de todos los números de un cuadrado mágico de sexto orden. Pero vea qué extraño. Si escribe los primeros seis números romanos en orden de derecha a izquierda se obtiene lo siguiente:

Escribió DCLXVI (que equivale a 666) en la pizarra.

—¿Pero qué significa?

El doctor Matrix vaciló antes de responder.

—Unos pocos iniciados conocen el verdadero significado del 666 —dijo, muy serio—. No es éste el momento de revelarlo.

—¿Podría hacer algún comentario sobre la campaña presidencial a punto de iniciarse? —pregunté—. Por ejemplo, ¿quién será el candidato republicano: Nixon o Rockefeller?

—Prefiero no responder a esa pregunta —dijo—, pero quiero mostrarle una pauta curiosa en sus nombres. NELSON empieza y termina con n. ROCKEFELLER empieza y termina con r. Lo mismo sucede con Nixon, pero a la inversa. RICHARD empieza y casi termina con r. NIXON empieza y termina con n. ¿Sabe cuándo y dónde nació Nixon?

—No.

—En Yorba Linda, California, en enero de 1913.

Fue a la pizarra y escribió la fecha 1/1913. La suma de los dígitos dio 15. En el alfabeto circular marcó las letras Y, L y C, iniciales del lugar de nacimiento de Nixon, y luego a partir de cada una contó quince letras en el sentido de las agujas del reloj. Obtuvo N. A. R.: ¡las iniciales de Nelson Aldrich Rockefeller!

—Claro que Rockefeller tiene mejores posibilidades que Nixon —agregó.

—¿Por qué?

—Porque hay una letra repetida en su nombre. Eso se debe a que, por la presencia del 2 en «siglo 20», todos los presidentes de este siglo deberán tener una letra repetida, como la oo de Roosevelt, y la rr de Harry Truman.

Más tarde pude comprobar que, con la única excepción de Dwight David Eisenhower, Matrix tenía razón. Los presidentes del siglo 20 anteriores a Kennedy fueron:

William McKinley

Theodore Roosevelt

William Taft

Woodrow Wilson

Warren Harding

Calvin Coolidge

Herbert Hoover

Franklin Roosevelt

Harry Truman

Dwight Eisenhower

—Eisenhower no tiene una letra repetida —dije.

—Es la única excepción hasta el momento. Sin embargo, recuerde que su oponente fue Adlai Ewing Stevenson, quien tampoco tiene una letra repetida. Dos factores inclinaron la balanza en favor de Ike: la doble inicial D. D. y el hecho de que la w es una contracción de la doble u.

Miré la pizarra:

—¿Puede darme otros ejemplos con el alfabeto circular?

—Muchos —contestó—. Le daré un ejemplo reciente. Hace unos días vino a verme un joven de Brooklyn. Dijo que había traicionado su juramento de lealtad a una pandilla de facinerosos y que quería irse de la ciudad para evitar la venganza de sus antiguos camaradas. La pregunta era si la numerología podía indicarle dónde ir. Lo convencí que no se fuera de la ciudad. Para ello tomé la palabra ABJURER —el que traiciona un juramento— y sustituí cada letra por otra diametralmente opuesta en el círculo alfabético.

El doctor Matrix trazó las líneas de la A a la N, de la B a la O y así sucesivamente. El resultado fue NOWHERE [ninguna parte].

—Si cree que es pura casualidad —dijo—, pruebe con otras palabras, incluso más cortas. Las probabilidades en contra de derivar una palabra de otra con este método son astronómicas.

Miré mi reloj pulsera. Empezaba a ponerme nervioso.

—Por último, ¿podría sugerirme un par de problemas numerológicos para que los resuelvan mis lectores?

—Con mucho gusto —dijo—. Empecemos por uno muy fácil.

Escribió en mi libreta las letras UDTCCSSON.

—Se trata de descubrir cuál es la letra siguiente de la serie —dijo—. Siempre lo planteo a mis alumnos de neopitagorismo. Observe que el número de letras es igual al del nombre de Pitágoras. (Véase Respuestas, Uno, I.) [0101]

Después escribió:

FORTY

TEN

TEN

———

SIXTY [9]

—Cada letra representa un número diferente —explicó—. Hay una sola solución. Para hallarla hay que pensar un poco.

(Véase Respuestas, Uno, II.) [0102]

Guardé mi lápiz y mi libreta y me paré. La música de órgano llenaba el escritorio.

—Creo que es música de Bach —dije.

—Efectivamente —dijo el doctor, mientras me acompañaba a la puerta—. Bach fue un gran estudioso de esta ciencia. ¿Leyó usted The Joy of Music, de Leonard Bernstein? Hay un pasaje interesante sobre las investigaciones numerológicas de Bach. Él sabía que la suma de los valores de BACH, siendo a igual a 1, b a 2 y así sucesivamente era igual a 14, múltiplo del divino 7. También sabía que la suma de su nombre completo, en un antiguo alfabeto germánico, era 41, que no sólo es la inversión de 14 sino también el decimocuarto número primo si se considera que 1 es primo. La obra que estamos escuchando es Vor deinem Thron tret’ ich allhier, un himno en el cual la música emplea este motivo 14-41. La primera frase tiene 14 notas, toda la melodía tiene 41. Magnífica armonía, ¿no le parece? Si los músicos modernos estudiaran un poco de numerología, ¡tal vez se acercarían, como Bach, a la música de las esferas!

Al salir de su oficina me sentí levemente mareado. Sin embargo, no se me escapó el hecho de que la secretaria tenía 1 naricita respingada, 2 ojos preciosos y una figura de lo más interesante.

2. Los Angeles

Como es sabido, el pronóstico que efectuó el doctor Matrix en 1959, de que el presidente siguiente tendría una letra doble en su nombre, se vio brillantemente confirmado por la elección de John Fitzgerald Kennedy. Más aún, entre los postulantes que se presentaron en la convención del Partido Demócrata, Kennedy era el único que presentaba la doble letra. El nombre de su contendiente republicano, Richard Milhous Nixon, no poseía esa característica. Hacia fines de 1960 se me ocurrió que el doctor Matrix podría hacer algunas revelaciones acerca de 1961, pero cuando traté de comunicarme por teléfono se me indicó que se había trasladado a Los Angeles a fines de setiembre. Por fin logré comunicarme con él por correspondencia y concertamos una cita para diciembre, cuando mis obligaciones me llevarían a Los Angeles.

Su oficina se encontraba en el piso catorce de un gran edificio de apartamentos cerca de la Universidad de California. Al entrar a su espacioso vestíbulo comprobé con agrado que la señorita Iva Toshiyori, su bella secretaria eurasiática, seguía trabajando con él. Me recibió con una cálida sonrisa y me hizo pasar al escritorio del numerólogo.

—Tome asiento, por favor —dijo—. El doctor Matrix no tardará.

Un parlante oculto en el techo emitía las suaves notas de una melodía oriental. Enormes numerales dorados, dispuestos en forma de cuadrado, se destacaban sobre un telón de terciopelo verde en la pared detrás del escritorio. Empecé a sumar las hileras para comprobar si era un cuadrado mágico,[10] cuando se abrió una puerta lateral oculta detrás de una cortina y el doctor Matrix entró al cuarto.

Nos estrechamos las manos. Alto, muy delgado, sus ojos color esmeralda me contemplaban con una expresión socarrona.

—La última vez que nos vimos —dije—, esos números formaban el triángulo mágico de los pitagóricos.

—En efecto —dijo, volviendo su nariz aguileña hacia la pared—. Me gusta cambiar su disposición todos los meses. Eso que usted ve es un cuadrado antimágico. La suma de los números de cada hilera, columna y diagonal es distinta.

—Muy interesante —acoté mientras anotaba el cuadrado en mi libreta (véase la Figura 2).

—No tanto —contestó—. Existen varios centenares de cuadrados como éste. Otros son mucho más poderosos, con distintos conjuntos de tres elementos que poseen la propiedad antimágica, pero éste me gusta debido a la disposición en espiral de los dígitos.

Figura 2. Cuadrado antimágico formado por el paso de la torre.

—Se puede agregar —observé— que los nueve dígitos están dispuestos en orden sucesivo siguiendo el paso de la torre. Es decir, colocando una torre de ajedrez sobre 1, la pieza puede seguir sus movimientos normales (que excluyen las diagonales) hasta llegar al 9 sin pasar dos veces por un mismo dígito. ¿Conoce otros cuadrados antimágicos tercer orden que posean la misma propiedad?

—Uno sólo.

El doctor Matrix lo escribió. Invito al lector a descubrirlo, teniendo en cuenta que las matrices obtenidas por rotación o reflexión no se consideran diferentes. (Véase Respuestas, Dos, I.) [0201]

—Antes de que me olvide —dije—, al subir en el ascensor observé que este edificio no tiene decimotercer piso. Significa que su piso, el decimocuarto, en realidad es el decimotercero.

—Efectivamente —dijo el doctor Matrix con un destello divertido en sus ojos verdes—. ¿No pensará usted que soy supersticioso, ni que sufro de triakaidekafobia?[11] El 13 es número reiterado en los símbolos de los Estados Unidos. Ustedes, los norteamericanos, están rodeados de treces: el número de los Estados al crearse la nación, el número de franjas en la bandera, por no hablar del número de botones en el uniforme de gala de los oficiales navales. Présteme un dólar, por favor.

Puse un billete sobre el escritorio. El doctor Matrix señaló el reverso, donde aparecen las dos caras del Gran Sello de los Estados Unidos.

—Si cuenta los escalones de la pirámide —dijo—, verá que son 13. El lema sobre la pirámide, Annuit coeptis, tiene 13 letras. El águila lleva en el pico una cinta con la divisa E pluribus unum, de 13 letras. Sobre la cabeza del águila hay 13 estrellas. El escudo muestra 13 franjas. La garra izquierda del águila (la derecha, vista de frente) sostiene 13 flechas y la derecha una rama de olivo, símbolo de la paz, con 13 hojas. En la base de la pirámide aparece el año 1776 en números romanos. 7 y 6 suman 13. Desde luego, nada de esto me aparta de mi objetivo de reunir la mayor cantidad posible de estos billetes.

—Ni a mí —asentí—. Podría haber reunido unos cuantos en enero si hubiera apostado a la elección de Kennedy, siguiendo sus consejos.

—Así es. La doble n de Kennedy significó una ventaja enorme sobre todos los candidatos salvo Rockefeller. Además, si empleamos la antigua clave numerológica celta, como corresponde al linaje irlandés de Kennedy, los resultados también son propicios.

El doctor Matrix oprimió un botón en su escritorio. Se corrió un panel de la pared y apareció una gran pizarra. Fue a la pizarra y escribió los dígitos en hilera, del 0 al 9, y debajo de ellos el alfabeto (véase la Figura 3).

—La suma de los valores numéricos de J. F. Kennedy es 35. El ganador de esta elección, como usted sabe, es el trigésimo quinto presidente.

—¿Y qué sucede con R. M. Nixon? —pregunté.

—Le corresponde el 30, que en el periodismo norteamericano simboliza la palabra «fin». Ya que estamos, quiero subrayar que la doble n de Kennedy significa una importante interrupción en la ley de la letra duplicada. Como señala C. C. Basore, de Mountain Center, California, las letras duplicadas de nueve presidentes elegidos en este siglo son la l, la o y la r. Si incluimos a la única excepción, Dwight Eisenhower, sobre la base de la «doble v», tenemos l, o, r y u (la antigua v). Observe la progresión aritmética de estas letras en el alfabeto. Cada una ocupa el tercer lugar después de la que la precede. La doble n de Kennedy rompe la progresión. Tal vez significa que se salvará de otra ley, mucho más ominosa que ésta.

Figura 3. Antigua clave celta para analizar los nombres de Kennedy y Nixon.

—Sé a que se refiere —dije—. Desde 1840, cuyos dígitos suman el fatídico 13, todos los presidentes elegidos en años terminados en 0 han muerto en funciones.

(Harrison, elegido en 1840, murió un mes después de asumir sus funciones. En 1850 no hubo elecciones. Lincoln, elegido en 1860, murió asesinado. Lo mismo les sucedió a Garfield y McKinley, elegidos en 1880 y 1900, respectivamente. Harding —1920— y Roosevelt —1940— murieron en funciones. Antes de 1840 sólo dos presidentes habían sido elegidos en años terminados en 0: Jefferson en 1800 y Monroe en 1820. Los dos sobrevivieron a sus funciones, pero murieron en el Día de la Independencia.)

—Efectivamente —dijo el doctor Matrix—. Esta guarda relación con otra pauta curiosa: los nombres de todos los presidentes elegidos en años terminados en 0 tienen dos o tres sílabas.

—Eso también lo sabía —dije—. Lo leí en un artículo aparecido en el suplemento dominical del New York Times.

El artículo es «Sibylline Syllables» [Sílabas sibilinas], de Jack Doherty (22/2/1959).

El doctor Matrix asintió.

—De 1800 a 1860 la pauta silábica fue 3, 2, 3, 2. (En 1800, Jefferson; en 1820, Monroe; en 1840 Harrison; en 1860, Lincoln.) Luego la pauta se invirtió, convirtiéndose en 2, 3, 2, 3. (En 1880, Garfield; en 1900, McKinley; en 1920, Harding; en 1940, Roosevelt.) Se diría que 1960 marca el retorno a la pauta original 3, 2, 3, 2. Lo cual favorece a las tres sílabas de Kennedy sobre las dos de Nixon y elimina a las cuatro de Rockefeller.

—Y lo cierto es que ganó Kennedy.

—Sí, pero la pauta de las tres sílabas está un tanto forzada. Tal como lo pronunciaba Franklin Delano, su apellido tenía dos sílabas: Rous-velt.

Anoté estos datos rápidamente.

—¿Tiene usted alguna explicación del célebre lapsus de Rockefeller en su discurso ante la convención republicana, cuando presentó al candidato como Richard E. Nixon?

—Ya lo creo. Los lapsus rara vez son casuales. Freud tenía razón al atribuirlos a esperanzas y temores inconscientes, pero subestimó el importante rol de la estructura numérica y verbal.

—¿Se refiere a que la inicial del segundo nombre de Thomas Dewey es E?

—Sí, pero no sólo a eso.

El doctor Matrix fue a la pizarra y escribió las iniciales R. E. N.

—Es verdad —prosiguió— que el subconsciente de Rockefeller vinculó a Nixon con Thomas E. Dewey, el último candidato republicano que había perdido una elección. Ahora, observe lo que sucede cuando agregamos las iniciales primera y última de Dewey.

Escribió una T delante de las tres letras en la pizarra y una D al final para formar la palabra TREND [tendencia].

—El subconsciente de Rockefeller —dijo el doctor Matrix— expresa así su esperanza de que la tendencia en las elecciones nacionales sería la misma para Nixon que para Dewey. Pero hay algo aún más importante oculto aquí. Tomemos las primeras cuatro letras de MILHOUS, el segundo nombre de Nixon, y cambiemos la m por una e. —Escribió las letras eilh en la pizarra.

—El número clave es el 6, puesto que la elección se realizó en 1960. La sexta letra después de la e en el alfabeto es la k, la sexta después de i es la o, la sexta después de l es r y la sexta después de fe es n. —A medida que explicaba iba escribiendo las letras korn sobre eilh. Aquí hay un doble sentido. En primer lugar, Rockefeller expresaba su verdadera opinión sobre su propio discurso.[12] En segundo lugar, expresaba su íntima convicción de que Kennedy derrotaría a R. N. por K. O.

—¿Realmente cree que hay algo más que coincidencia?

—Así es —contestó, muy serio—. Es ingenuo suponer que existe un grupo de símbolos ordenado al azar. El azar supone falta de orden o de pautas, lo cual conduce a una contradicción. Es tan fácil hallar un grupo de dígitos o letras dispuestos al azar como descubrir una nube sin forma o una civilización sin folklore. En mi opinión, en todo grupo de símbolos hay un significado oculto, aunque en algunos casos se requiere gran pericia para descubrirlos. Las fechas de muerte suelen aparecer correlacionadas con pautas anteriores. «En el hoy», como dice la frase feliz de Schiller, «ya camina el mañana.» Puedo darle miles de ejemplos. En Nuestro amigo mutuo, su última novela conclusa, Dickens relata cómo estuvo a punto de morir en un accidente ferroviario sucedido un 9 de junio. Murió cinco años más tarde, precisamente un 9 de junio. ¿Ha observado que los grandes hechos políticos suceden en fechas fuertemente estructuradas? El cese del fuego al concluir la Primera Guerra Mundial resonó en la undécima hora del undécimo día del undécimo mes de 1918. Los Aliados iniciaron la invasión de Francia en la Segunda Guerra Mundial en la sexta hora del sexto día del sexto mes de 1944. Roosevelt, Churchill y Stalin iniciaron su célebre conferencia en Yalta el 3 de febrero de 1945, o sea el 2/3/45. Alemania Federal se convirtió en Estado soberano el 5/5/55. Stalin murió el 5 de marzo de 1953, una fecha de estructura especular: 3/5/53.

—¿Existen esa clase de fechas en 1961?

—Desde luego, no podía ser de otra manera. Las más notables son 1/6/61 y 6/1/61, es decir, el 6 de enero y el 1 de junio. Existe una alta probabilidad de que en ambas fechas se produzcan sucesos de importancia mundial. No perdamos de vista el 8 de febrero, que se escribe 2/8/1961. El número 281.961 es el cuadrado de 531, es decir, el 31 de mayo. Desde ya vaticino que en esas fechas se producirán hechos importantes y vinculados entre sí. Indudablemente durante el año las cosas se pondrán patas para arriba. Por primera vez, desde 1881, como usted sin duda no ignora, se produce un año que se lee igual al volverlo patas para arriba. Esto no volverá a suceder hasta el 6009.

El doctor Matrix esperó a que terminara mis apuntes y prosiguió:

—Es en el mundo físico donde aparecen las estructuras numéricas más fascinantes. Para el numerólogo no es casual que, visto desde la Tierra, el tamaño del disco solar sea casi idéntico al de la luna,[13] ni que el período de rotación del sol sea casi idéntico al período de revolución de la luna alrededor de la tierra. ¿Nunca le ha llamado la atención el hecho de que haya 365 días en el año?

—No.

—Es un ejemplo verdaderamente asombroso de la armonía divina, que Kepler percibió con tanta lucidez, mientras los astrónomos posteriores la pasan por alto. 365 es la suma del cuadrado de 10 más el cuadrado de 11 más el cuadrado de 12; pero también es la suma del cuadrado de 13 más el cuadrado de 14. Escribámoslo.

Fue a la pizarra y escribió:

10² + 11² + 12² = 13² + 14² = 365.

—La solución es el segundo elemento de un conjunto infinito. Todos conocen el primer elemento, en el cual aparecen los enteros en orden consecutivo, con dos términos a la izquierda del signo igual y uno a la derecha: 3 al cuadrado más 4 al cuadrado es igual a 5 al cuadrado. En el ejemplo de la pizarra aparecen tres términos a la izquierda, dos a la derecha. El tercer elemento, con cuatro términos a la izquierda y tres a la derecha, es el siguiente:

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

—Tal vez a sus lectores les interese hallar el cuarto ejemplo, con cinco términos a la izquierda y cuatro a la derecha, y tratar de descubrir una fórmula para los siguientes. (Véase Respuestas, Dos, II.) [0202]

El doctor Matrix esperó a que yo terminara de escribir y luego preguntó:

—¿Conoce los trabajos de Arthur Stanley Eddington sobre la llamada constante de la estructura fina?[14]

—Más o menos. El número 137, ¿verdad? Si mal no recuerdo, Eddington había hallado una deducción elegante, aparte de la observación experimental. En principio, creo, había llegado al 136.

El doctor Matrix asintió:

—Después elaboró una compleja demostración matemática de por qué llegó al 137, pero la verdad es que Stanley fue uno de mis discípulos más aventajados. Elaboramos la demostración un día, mientras bebíamos una botella de vino griego. Tomamos el año de nacimiento de Eddington, 1882, multiplicamos los dígitos, lo que nos dio 128, y le sumamos 9, el número de letras del apellido Eddington.

—Le creo —reí—. ¿Podría darme algún problema numerológico para que lo resuelvan mis lectores?

Se rascó su gran nariz.

—Sí, hace poco mi amigo Dennis Sciama, cosmólogo de la Universidad de Cornell, me sugirió un problema bastante novedoso. Supongamos que queremos formar una cadena de símbolos con los dígitos 1 y 2. ¿Cuál es la longitud máxima de la cadena sin repetir la serie de símbolos? No podemos poner 11 ni 22, porque se repite el símbolo único. Por consiguiente, ponemos 12. El digito siguiente es 1, pero no podemos avanzar más. No podemos repetir el 1, pero tampoco el 2 porque se repite la sucesión 12.

—Dicho de otra manera, la cadena más larga que se puede formar con dos símbolos sin que aparezcan dos series idénticas adyacentes es una cadena de tres símbolos.

—Exactamente. Bien, el problema es el siguiente: ¿cuál es la cadena más larga que se puede construir con tres símbolos? No podemos poner 132132 porque se repite el 132. Pero sí poner 1323132, porque las dos series 132 están separadas. Sobre esta base, ¿existe algún límite a la cadena? (Véase Repuestas, Dos, III.) [0203]

Al salir me detuve a conversar con la señorita Toshiyori:

—Pasaré un par de días más en Los Angeles. ¿Puedo invitarla a cenar conmigo mañana?

Interrumpió su tarea un instante y sonrió:

—En ese caso, llámeme a casa esta noche. Mi teléfono es …

Tomé papel y lápiz y anoté las dos letras de la característica.

—Es un número de cinco dígitos —prosiguió—. Si coloca un 4 delante de él obtiene un número que es el cuádruple exacto del que obtendría si colocara el 4 al final.

La miré, azorado:

—¿Significa que tengo que resolver el problema para poder llamarla?

Asintió y reanudó su tarea. Por suerte pude resolverlo. Tal vez al lector le resulte menos dificultoso. (Véase Respuestas, Dos, IV.) [0204]

3. Sing Sing

Durante nuestro encuentro en diciembre de 1960, el doctor Matrix me había advertido que en fechas «estructuradas» tales como el 1/6/61 (1 de junio de 1961) se producirían acontecimientos de envergadura mundial. Comprobé para mi decepción que ningún acontecimiento capaz de estremecer la tierra se produjo en los días indicados por el doctor. Después de que el último de esos días pasara sin dejar rastros le escribí para preguntarle cómo justificaba su aparente error. La carta fue devuelta, con el sello «Destinatario no vive en esta dirección. Se desconoce su paradero». Mis intentos por hallarlo fueron vanos.

Hacia fines de 1962 recibí una tarjeta de cumpleaños (21 de octubre) enviada por él, con el siguiente texto: «Que el Hado le sea propicio al cumplir 16/33 años». Esto me dejó perplejo, pero luego se me ocurrió dividir 16 por 33 y obtuve un resultado decimal que repetía una y otra vez el número de mis años. (¿Sabe el lector cómo se obtienen tales fracciones? Por ejemplo: ¿cuál es la fracción integral más pequeña cuyos decimales repiten infinitamente el 27? (Véase Respuestas, Tres, I.) [0301]

La postal no traía remitente, pero el matasello era de Ossining, un pueblo en la margen izquierda del río Hudson, unos quince kilómetros al norte de Dobbs Ferry, donde yo vivía en esa época. Me precipité a la guía del condado de Wetchester. No encontré el apellido Matrix. Busqué Toshiyori. ¡Lo encontré! Minutos después hablaba con ella.

Me contó una triste historia. Tras el fracaso de las predicciones la clientela del doctor Matrix fue disminuyendo, a la vez que aumentaban sus deudas. La desesperación lo impulsó a cometer una estupidez. Trató de fabricar billetes de veinte dólares.

Recurrió a un método extraño y sorprendente. Con una guillotina para papel cortó catorce billetes en dos partes, como muestran las líneas verticales punteadas en la Figura 4. Luego unió la sección derecha de cada billete a la sección izquierda del billete siguiente. Los nuevos billetes eran un poco más pequeños que los originales, y como resultado obtuvo quince. Cada uno de los billetes nuevos era menor que los originales en una decimoquinta parte y todos menos el primero y el último estaban divididos en dos partes unidas por los bordes cortados, como indican las líneas verticales sólidas a la derecha de la figura. La pérdida de longitud era casi imperceptible y la unión era una línea de ancho capilar.

Desgraciadamente —o mejor, afortunadamente— los billetes emitidos por el gobierno de los Estados Unidos llevan el mismo número de serie en esquinas opuestas, pero en la mayoría de los billetes fabricados por el numerólogo esos números no coincidían. Es verdad que el método empleado por el doctor Matrix no podía calificarse como falsificación en sentido estricto, puesto que él se había limitado a «reordenar» las partes de los billetes.[15]

Figura 4. Cómo cortar catorce billetes (izquierda) para formar quince (derecha). Cada billete pierde una decimoquinta parte de su longitud.

Con todo, al Ministerio de Hacienda no le pareció una buena idea y poco después lo hizo encerrar en la matriz de celdas de Sing Sing. Sentencia: cinco años. La señorita Toshiyori arrendó un apartamento en la cercana localidad de Ossining. Se le permitía dos visitas semanales y, con ayuda del doctor Matrix, atendía a los clientes por correspondencia.

—Sí —me dijo por teléfono—, creo que podré concertar una visita. Lo llamaré en un par de días para avisarle la fecha.

Era una soleada tarde de invierno —no había una nube en el cielo— cuando fui a Ossining y bajé por las estrechas calles laterales hasta la orilla del Tappan Zee. Detrás de los muros de Sing Sing, grises y ominosos, las aguas contaminadas del Hudson brillaban al sol.

La señorita Toshiyori, bella y enigmática como siempre, aguardaba en una de las salas de visitas. El lugar de reunión no parecía molestarla. Detrás de una ventana con rejas junto a su silla asomaban la nariz aguileña y los brillantes ojos verdes de su patrón.

El doctor Matrix parecía cansado y triste, pero su saludo fue muy cordial.

—Me temo que 1963 es un número carente del menor interés —dijo—. Su reverso, 3691, es primo, pero también lo es el reverso de 1964. Si nos hubiéramos visto en enero pasado, le hubiera dicho que 987 más 654 más 321 es igual a 1962.

—¡Asombrosa casualidad! —exclamé—. ¡Los nueve dígitos en orden descendente![16]

El doctor Matrix meneó la cabeza.

—Estas cosas jamás son casuales. Forman parte de ese orden misterioso que rige tanto a la matemática como a la historia. El año pasado fue el año de la gran cuenta regresiva. Jamás se habían lanzado tantos cohetes gigantescos mientras se pronunciaban los enteros en orden descendente.

Me dio tiempo para anotar estos datos en mi libreta y prosiguió:

—Observó usted alguna vez que 12 es igual a 3 por 4 y que 56 es igual a 7 por 8?

Lo pensé un instante y bruscamente comprendí que se refería a los primeros ocho enteros en orden ascendente.[17]

—Mi número de prisionero no carece de interés —prosiguió—. Es el 54748, número de cinco dígitos. Al sumar las quintas potencias de cada dígito (5⁵ + 4⁵ + + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵) se obtiene el 54.748. Lo considero un presagio favorable.

—¿Existen otros números con la misma propiedad?

—Muy pocos. El menor es 153, de modo que en este caso se eleva cada dígito al cubo. La suma de los dos cubos de esos dígitos da 153. No es casual que, según se relata en el versículo 11 del último capítulo del Evangelio según San Juan, la red arrojada por Simón Pedro al mar de Tiberíades contuviera 153 peces. Es un número que posee importantes propiedades místicas.

(Más adelante me enteré de que sólo existen otros tres números iguales a la suma de los cubos de sus dígitos. Cada uno tiene tres dígitos; invito al lector a descubrirlos. (Véase Respuestas, Tres, II.) [0302]

—Si mal no recuerdo —dije—, San Agustín hace un complejo análisis numerológico para demostrar por qué había 153 peces.

—Sí, San Agustín parte del 10, el número de los mandamientos y símbolo del antiguo designio divino según la ley mosaica. Le suma 7, el número de los dones del espíritu y símbolo del nuevo designio. El 17 simboliza, pues, la unión de lo antiguo con lo nuevo. Luego suma los enteros de 1 a 17 y obtiene 153. Como método numerológico es más primitivo, en mi opinión, pero, claro, San Agustín no conocía las técnicas modernas.[18]

—¿Y el número de su celda? —pregunté.

—Tiene dos dígitos —sonrió el doctor Matrix—. Separados por una coma decimal, forman el promedio entre los dos. Creo que a sus lectores no les será difícil hallar el resultado. También les interesará calcular las dimensiones del piso de mi celda. No es cuadrado sino rectangular. Cuando lo medí, descubrí que el largo y el ancho miden un número entero de metros. Y comprendí además que el perímetro en metros equivale al área en metros cuadrados.

—Perfecto —dije—. Plantearé los dos problemas. (Véase Respuestas, Tres, III.) [0303] y (Respuestas, Tres, IV.) [0304]

—Vivimos una época peligrosa —prosiguió el doctor Matrix—. Una época que requiere estadistas muy sabios. Y ya que hablamos de sabios, ¿no le parece extraño que dos de los más destacados filósofos ingleses lleven el apellido Wisdom [sabiduría]? Son John Oulton Wisdom y Arthur John Terence Dibben Wisdom.

—Tengo entendido que son primos —dije.

—Es bueno saberlo —dijo el doctor Matrix—. Así no resulta tan ominoso. ¿Ha leído a Franz Kafka? Como usted sabe, estamos atrapados en un laberinto demente, como K., el protagonista de El castillo. Para mí, la letra k es uno de los grandes símbolos proféticos de la literatura moderna. Es la undécima letra del alfabeto, símbolo de la hora once del mundo. ¿Cómo se llaman los jefes de esas dos grandes naciones que cambian miradas hostiles desde los extremos opuestos del planeta?

Debo confesar que sentí escalofrío al recordar que tanto KENNEDY como KRUSCHEV empiezan con k.

—Vivimos bajo la sombra de la bomba de hidrógeno —prosiguió en tono cansino—. La era de la fisión se ha convertido en la era de la fusión. La palabra FUSION es altamente significativa para un numerólogo.

—¿Por qué?

—¿Recuerda mi círculo alfabético? —Me pidió lápiz y papel y escribió su alfabeto circular (Figura 1), donde la Z aparece junto a la A como una víbora que se muerde la cola, símbolo del eterno retorno. FUSION tiene seis letras. Contamos seis letras a partir de la F en el sentido de las agujas del reloj. Llegamos a L, la primera letra de una nueva palabra. De la U llegamos a la A, la segunda letra.

Así siguió hasta convertir a FUSION en LAYOUT (plano).

—Como ve, a partir del 6, la palabra FUSION nos lleva inexorablemente a otra, que sugiere el poder de aplanar la civilización.

—Dios creó el mundo en seis días —observé—, San Agustín, si no me equivoco, dice que Dios eligió ese número porque es el primero de los llamados perfectos.

(Llámase perfecto al número que equivale a la suma de sus divisores:

6 = 1 + 2 + 3.)

El doctor Matrix asintió.

—Pero el 6 es también el dígito de 666, la marca de la Bestia. Y hoy es posible destruir el mundo en seis minutos.

—Veo que las letras le interesan tanto como los números —dije, para cambiar de tema—. A mis lectores les gustan los juegos con letras. ¿Se le ocurre algún problema interesante?

Juntó los dedos, se reclinó en la silla y cerró los ojos.

—A ver… sí. Un anagrama que sin duda fastidiará a más de un lector. Se trata de reordenar las letras de la palabra AÑUSGADA, que significa ahogada. No es fácil.

—¿Una palabra usual?

—Ya lo creo. Y muy apropiada para el comienzo del nuevo año. (Véase Respuestas, Tres, V.) [0305]

Cuando le pregunté sobre su vida en la cárcel, el doctor Matrix hizo una mueca de desagrado.

—Tal vez sabía que Sing Sing viene de Sink Sink, una antigua tribu de indios. Debo reconocer que me tratan con dignidad. Trabajo en la biblioteca de la prisión. El techo de la sala de juegos tiene goteras y está a punto de caer, pero pudimos reforzar la viga principal. La comida no es de lo peor. Desde luego, no como porotos.

Su observación me resultó extraña, pero enseguida recordé la antigua prohibición pitagórica de comer porotos.

—¿Se considera usted miembro de la hermandad pitagórica?

—Mi querido Gardner —dijo, irguiéndose en su asiento—, soy Pitágoras. Su undécima reencarnación.

Cambié una sonrisa con la señorita Toshiyori, que había asistido en silencio a la conversación.

—Entonces supongo que tendrá un muslo de oro, como Pitágoras.

Por toda respuesta el doctor Matrix se golpeó el muslo con el extremo de mi lápiz mecánico: ¡se escuchó un ruido metálico!

—¿De veras cree que es la reencarnación de Pitágoras? —le pregunté a la señorita Toshiyori cuando cruzábamos la puerta principal de la prisión.

—No, claro que no, —rió—. Pero al viejo farsante le gusta difundir esa leyenda. Como dicen en el mundo del espectáculo, siempre está «en ambiente». Es parte de su rutina.

—Usted es muy leal.

—Es mi padre.

Alcé las cejas:

—¿Y su madre?

Enlazó su brazo en el mío.

—Era japonesa. Se conocieron en Tokio. —Sus ojos negros chispearon, divertidos—. Conozco un buen bar a pocos kilómetros de aquí, en Tarrytown. Si me invita a un martini le cuento todo.

Tal vez algún día relate lo que ella me contó. Por ahora, sólo referiré una frase enigmática suya, un problemita muy adecuado para concluir este capítulo. Le pregunté su edad.

—Anteayer tenía veintidós años, pero el año próximo tendré veinticinco.

¿Puede el lector deducir el cumpleaños de la señorita Toshiyori, así como la fecha de nuestra conversación? (Véase Respuestas, Tres, VI.) [0306]

4. Lincoln y Kennedy

Si el doctor Matrix hubiera cumplido se sentencia hasta el final, habría recuperado su libertad en 1966. Sin embargo, debido a su excelente conducta y a ciertos servicios reservados, prestados al Departamento de Estado, recibió la libertad condicional en octubre de 1963. Washington se negó a revelar detalles de su trabajo criptográfico, pero sospecho que el doctor aplicó sus vastos conocimientos de las lenguas orientales modernas.

El 20 de noviembre recibí una carta de Iva, donde me informaba que su padre había recuperado su libertad unos meses antes. Vivían juntos en el Hotel Berkshire de la calle Ohio, en el North Side de Chicago. El viejo charlatán, que no había podido recuperar su clientela de asesor numerológico, se estaba preparando para ingresar al mundo del espectáculo. En su juventud, en Tokio, decía la carta de Iva, había trabajado de prestigiador e hipnotizador de salón. Ahora preparaba un espectáculo para un club nocturno, en el cual combinaría la numerología con la adivinación. Prometió que me enviaría otras novedades más adelante.

El 22 de noviembre cayó asesinado el presidente Kennedy. Una semana después recibí una carta interesantísima del doctor Matrix. No era mi intención entregarla a la prensa, pero cometí el error de enviar copias a algunos amigos. En abril de 1964 ciertos pasajes de la carta empezaron a circular por diversas oficinas de Manhattan, Washington y otras ciudades. Aparecieron en Newsweek (10 de agosto) y Time (21 de agosto). Debido a ciertos errores cometidos en las copias, algunos datos aparecieron tergiversados. A continuación se reproduce por primera vez el texto íntegro de la carta del doctor Matrix.

Estimado Martin Gardner:

Los dos hechos más trágicos y dramáticos de la historia política de Estados Unidos fueron las muertes de Abraham Lincoln y John Fitzgerald Kennedy. Estos dos hechos infames presentan tantas coincidencias numerológicas notables, que no pude resistir el impulso de anotarlas. Utilice este análisis como mejor le parezca, pero le ruego que sea discreto.

—1. Lincoln fue elegido 1860. Kennedy fue elegido exactamente cien años después, en 1960.

—2. Los dos estadistas eran activos militantes en la causa por los derechos civiles de los negros.

—3. Los dos fueron asesinados un viernes, en presencia de sus esposas.

—4. Siendo ellos presidentes, sus esposas perdieron un hijo.

—5. Los dos fueron asesinados por una bala que penetró en la parte posterior de la cabeza.

—6. Lincoln murió en el teatro Ford. Kennedy falleció mientras se trasladaba en un automóvil descapotado Lincoln fabricado por la Ford Motor Company.

—7. Los sucesores de ambos fueron vicepresidentes de apellido Johnson, demócratas del sur que antes habían sido senadores.

—8. Andrew Johnson nació en 1808. Lyndon Johnson nació cien años después, en 1908.

—9. El nombre del secretario privado de Lincoln era John, el apellido del secretario privado de Kennedy era Lincoln. (En copias pirateadas de la carta del doctor Matrix se dijo erróneamente que el secretario privado de Lincoln se llamaba Kennedy. Su nombre completo era John Nicolay. N. del A.)

—10. John Wilkes Booth nació en 1839. Lee Harvey Oswald nació cien años después, en 1939. (Posteriormente me enteré de que existe una polémica en torno de la fecha de nacimiento de Booth. De acuerdo con las últimas investigaciones nació en 1838. Sin embargo, obras tan respetables como el Biographical Dictionary de Chambers (1962) y el New Standard Dictionary of the English Language de Funk y Wagnall (1945) dan la fecha de 1939. (N. del A.)

—11. Los dos asesinos eran sureños que sustentaban posiciones extremistas.

—12. Los dos murieron asesinados antes de que se iniciaran sus respectivos juicios.

—13. Booth mató a Lincoln en un teatro y luego se ocultó en una granja. (En la mayoría de las versiones de la carta del doctor Matrix se sustituyó «granja» por «depósito». N. del A.) Oswald disparó contra Kennedy desde un depósito y luego se ocultó en un teatro.

—14. LINCOLN y KENNEDY tienen siete letras.

—15. ANDREW JOHNSON y LINDON JOHNSON tienen trece letras.

—16. JOHN WILKES BOOTH y LEE HARVEY OSWALD tienen quince letras.

Si el FBI y el Servicio Secreto conocieran los aspectos proféticos de la numerología, se hubieran mostrados más despiertos el día fatal.

Los dígitos de 22/11 (22 de noviembre) suman seis, y FRIDAY [viernes] tiene seis letras. Si se cuenta seis letras del alfabeto a partir de FBI se obtiene LHO, las iniciales de Lee Harvey Oswald, quien, desde luego, tenía prontuario en la FBI. Además, Oswald tiene seis letras. Oswald disparó desde el sexto piso del edificio donde trabajaba. Obsérvese también que para avanzar de FBI a LHO se emplea el 666, el infame número de la Bestia.

Figura 5. El «billete del asesinato de Kennedy».

También el Servicio Secreto del Ministerio de Hacienda debería haber puesto mayor cuidado. Dos semanas antes del asesinato emitió una nueva serie de billetes de un dólar. Adjunto uno de muestra. (El billete estaba abrochado a la carta. Véase Figura 5. N. del A.)

Observe que el número de serie va precedido de la letra K. En 1913, hace medio siglo, cuando se crearon los distritos de la Reserva Federal, Dallas recibió la letra K, la undécima del alfabeto. Es por eso que debajo de la K aparece la leyenda «Dallas, Texas», la ciudad donde asesinaron a Kennedy. DALLAS, TEXAS tiene once letras. JOHN KENNEDY tiene once letras.

En este billete, como en todos los de su serie, el número empieza con K y termina con A: «Kennedy asesinado». Debajo del número de serie de la derecha aparece la leyenda «Washington, D. C.», la ciudad donde el Presidente inició su viaje fatal.

Debajo del número de la derecha y arriba y abajo del de la izquierda aparecen dos pares de números 11. Recuérdese que noviembre es el undécimo mes. Un par de onces equivalen a 22, el día del asesinato. A la derecha de la efigie de Washington aparece la leyenda «Series 1963A», es decir el año del asesinato.

«Tú (Dios) todas las cosas dispusiste con medida y con número…»

Sabiduría de Salomón, 11:20.

Su humilde servidor,

(firmado) Irving J. Matrix.

Nota del autor, agregada a las pruebas de galera: Terry W. Harmon señala en una carta otra notable coincidencia entre Lincoln y Kennedy. La primera vez que se mencionó públicamente la posibilidad de que Lincoln fuera el candidato presidencial republicano fue en una carta de lector fechada el 6 de noviembre de 1858, publicada en el Gazette de Cincinnati. El firmante, un farmacéutico de Findlay, Ohio, propuso la fórmula Lincoln-Kennedy.

El Kennedy propuesto para la vicepresidencia era John Pendleton Kennedy, del Estado de Maryland, un destacado escritor y político que había sido Ministro de la Marina bajo la presidencia de Millard Fillmore. La carta de Green fue reproducida en The Magazine of American History, vol. 29, 1983, págs. 282-283. (N. del A.)

5. Chicago

A principios de diciembre de 1963 recibí una postal de Iva, en la cual me informaba que su padre había sido contratado por el club nocturno Purple Hat y que debutaría con su espectáculo de adivinación la noche del sábado 14 de diciembre. Respondí que mis compromisos no me permitirían asistir al debut, pero que iría a Chicago el miércoles 18 de diciembre.

El Purple Hat es un cabaret muy conocido en la calle Rush del North Side de Chicago. Se puede asistir al espectáculo desde la barra. El miércoles llegué poco antes de la primera función de la noche, ocupé un taburete de la barra, pedí un whisky con agua y giré 180 grados para observar el lugar.

En un extremo de la pista de baile había un pequeño escenario con un telón de fondo sobre el cual se destacaban enormes números dispuestos en cuadrado de tercer orden, tal como se observa en la Figura 6. Evidentemente, la disposición de los números buscaba destacar los dígitos de 1964, el año próximo a comenzar. Cuando trataba de descubrir si la matriz poseía alguna propiedad especial, las luces se atenuaron y los Purple Hatters, un conjunto de músicos negros ataviados con galeras púrpuras, empezaron a tocar una suave melodía oriental.

Figura 6. El cuadrado mágico multiplicador del doctor Matrix.

La luz de un reflector siguió al doctor Matrix desde una puerta lateral hasta el centro del escenario. Alto, severo, vestía impecable smoking y sus ojos verdes lanzaban destellos siniestros sobre su gran nariz convexa. En el medio de su turbante blanco resplandecía una enorme piedra, roja como la sangre. Se inclinó con la máxima dignidad y luego presentó a su ayudante, la señorita Toshiyori. Iva se inclinó con el mínimo de ropa. Con una luz azul apuntándole al ombligo empezó a menear la pelvis en una lenta danza del vientre, siguiendo el ritmo sincopado de los Purple Hatters.

—¡Por las barbas del Profeta! —susurró un hombre sentado a mi izquierda (después me enteré de que era un agente teatral de Nueva York)— me gustaría saber dónde la consiguió el viejo buitre.

Concluida la danza y tras agradecer los aplausos, Iva bajó de la tarima y se deslizó con mucha gracia entre las mesas, para recoger unas tarjetas verdes en las cuales los parroquianos habían escrito sus preguntas, consignando sus nombres, apellidos y fecha de nacimiento. Puso las tarjetas en un recipiente de vidrio y las regó con un líquido violeta. El doctor Matrix le murmuró unas palabras en japonés y chasqueó los dedos. Al instante el contenido estalló en llamas violetas. En tono bajo y gutural, el rostro iluminado por un misterioso resplandor violáceo, inició la «adivinación».

Fue una función extraordinaria. Entre las ingeniosas respuestas y vaticinios intercalaba anagramas y juegos de palabras con los nombres o las iniciales de los parroquianos y curiosas especulaciones numerológicas con sus fechas de nacimiento, además de un alarde de lo que en el oficio llaman «lectura en frío». (La lectura en frío consiste en adivinar hechos de la vida del sujeto sin saber nada sobre él. Por ejemplo, el doctor Matrix dijo: «Señora C. G., las vibraciones de su caligrafía sugieren que usted recibió hace poco una llamada telefónica que la perturbó profundamente». Un grito estupefacto de la señora C. G. corroboró lo dicho.) Al concluir su actuación recibió un cerrado aplauso.

Se encendieron las luces. Iva —ahora vestida— se acercó a la barra:

—¡Hola! Estaba segura de haberlo visto durante la función. Acompáñenos, tenemos dos horas hasta la próxima función.

Puse unas monedas sobre el estaño.

—Viejos amigos —le dije al hombre sentado a mi izquierda, que me miraba azorado.

Los tres nos fuimos en taxi a la suite del doctor Matrix, en el lujoso hotel Allerton. Se mostró sumamente cordial.

—Sí —dijo—, elegí ese cuadro de tercer orden debido a la disposición simétrica de 1964. Es el más sencillo de los cuadrados mágicos de multiplicación. El producto de los tres números de cualquier columna, hilera o diagonal es igual a 216. Es el producto mínimo para este tipo de cuadrados, desde luego, siempre y cuando cada celda contenga un entero positivo distinto.

Aguardó a que terminara de anotar.

—Con este cuadrado se plantea un lindo problema. Pregunte a sus lectores si son capaces de reordenar los mismos nueve números para formar un cuadrado divisorio. —Ante mi mirada perpleja, prosiguió—: Se multiplican los extremos de cualquier línea y se divide el producto por el número central para obtener siempre el mismo resultado (Véase Respuestas, Cinco, I) [0501].

—Desde el punto de vista militar —dijo el doctor Matrix muy serio— será un año potencialmente explosivo. La guerra Boer finalizó en 1902. Si sumamos a 1902 cada uno de sus dígitos obtenemos 1914, año en que se inició la Primera Guerra Mundial. Esta finalizó en 1919. Si sumamos 1, 9, 1 y 9 a 1919 se obtiene 1939, cuando empezó la Segunda Guerra Mundial.

—¡Comprendo! —exclamé—. La segunda Guerra Mundial terminó en 1945. Veamos…

Sumé 1, 9, 4, y 5 a 1945 y obtuve… ¡1964!

—Sería temerario pasar por alto esta configuración obvia —dijo el doctor Matrix—. Claro que los números no marcan una certeza sino una tendencia.

—Se me acaba de ocurrir —dije— que en vista de que el año próximo termina con cuatro es un buen momento para presentar a mis lectores el viejo juego de los cuatro cuatros. ¿Lo conoce?

—Lo conozco bien —dijo el doctor Matrix con aire ofendido.

En primer término explicaré en qué consiste el juego. Se trata de combinar cuatro veces —ni una más, ni una menos— el número cuatro con los signos matemáticos elementales para formar la mayor cantidad de números enteros a partir del 1. Desde luego, es necesario definir qué se entiende por signo matemático «elemental». Estos comprenden los signos aritméticos de suma, resta, multiplicación y división, el signo de raíz cuadrada (que se puede repetir cuantas veces se desea), paréntesis, comas decimales y el factorial. (El factorial de n es n!. Significa 1 × 2 × 3 × … × n.) Se pueden combinar dos cuatros para formar 44, tres para formar 444 y así sucesivamente. Si se coloca un punto sobre 0,4; esto indica el decimal repetido 0,4444…, o sea 4/9.

Es fácil expresar los números del 1 al 10, en muchas formas distintas, con los signos de multiplicación, división, suma y resta (véase la Figura 7). Agregando a éstos el signo de raíz cuadrada se forman fácilmente los números 11 a 20 (salvo 19). Con el signo de factorial, la coma decimal y el punto de decimal repetido se puede llegar hasta el 112. Aparentemente no hay manera de expresar el 113 dentro de estas limitaciones, salvo mediante combinaciones sumamente rebuscadas de estos signos, como el decimal de la raíz cuadrada del decimal repetido en el denominador del primer término de la siguiente ecuación:

El juego apareció por primera vez en la edición del 30 de diciembre del año palindrómico y reversible 1881, de una chispeante revista londinense fundada ese mismo año por el astrónomo Richard Anthony Proctor. El semanario se llamaba Knowledge: An Illustrated Magazine of Science, Plainly Worded, Exactly Described [Conocimiento: Revista ilustrada de la ciencia, redactada con sencillez y explicada con exactitud]. Una carta de lector refería con asombro el hecho (descubierto por un amigo del remitente de la misiva) de que se pueden expresar todos los números enteros del 1 al 20, salvo el 19, mediante cuatro cuatros y los signos elementales, excluyendo el factorial y los decimales. La revista invitó a los lectores a hallar la solución, antes de publicarla en una edición posterior (13 de enero). Si se permite el factorial, la respuesta es: 4! − 4 − 4/4 = 19. ¿Puede el lector hallar la solución empleando los cuatro signos aritméticos y la coma decimal? (Véase Respuestas, Cinco, II.) [0502]

Desde 1881 este pasatiempo ha vuelto a aparecer en varias ocasiones. En Mathematical Gazette de mayo de 1912 apareció un largo artículo de W. W. Rouse Ball, y en innumerables notas posteriores aparecieron tablas que llegan hasta el 2000. Aun hoy la manía de los cuatro cuatros suele atrapar a los empleados de una oficina o un laboratorio y provocar paros de actividades que se prolongan varios días.

Figura 7. El problema de los cuatro cuatros.

—¿Existe alguna manera de expresar el 1964 con los cuatro cuatros y los símbolos tradicionales? —le pregunté al doctor Matrix.

Lo negó con vigor.

—Pero sí se pueden expresar otras fechas importantes. 1776 [la independencia de Estados Unidos] es igual a 4 por 444. 1964 se puede expresar con cinco cuatros. —Tomó mi libreta y escribió:

44√4 + 4! + 4

—Pero con cuatro cuatros, no.

—¿Y el 64?

—No es difícil. Por extraño que parezca, también se puede expresar, sin violar las restricciones tradicionales, con tres y con dos cuatros.

Invito al lector a ejercitar su capacidad con los tres problemas, es decir, expresar el 64 con cuatro, tres y dos cuatros, sin otros signos que los mencionados. La solución es medianamente difícil con cuatro cuatros, absurdamente fácil con tres, y sumamente difícil con dos. (Véase Respuestas, Cinco, III.) [0503]

La mirada del doctor Matrix se perdió en el vacío cuando le hablé de la campaña electoral a comenzar. En nuestro encuentro reseñado en el capítulo 2 él había hablado de la fatal configuración de los años terminados en 0, a partir de la muerte de Harrison en 1841. Kennedy, elegido en 1960, acababa de morir asesinado.

—Así es —dijo después de una larga pausa—, los nombres y fechas de nacimiento de los candidatos más importantes merecen un análisis exhaustivo. En veintidós elecciones anteriores, a partir de 1876, un solo candidato de apellido más corto que el de su oponente ganó la elección: fue en 1908, cuando Taft derrotó a Bryan. Esta ley le otorga una ventaja a Rockefeller sobre sus contrincantes. Claro que Nixon, Romney y Johnson quedan eliminados porque ninguno de ellos posee la letra duplicada, como la ll de Rockefeller.

—Significa que Rocky tiene mayores posibilidades que Goldwater —comenté, sin dejar de escribir—. Los dos poseen la letra duplicada, pero el apellido de Rockefeller es más largo.

—En ese sentido, sí, aunque la estatura de Rocky representa un factor adverso. En las quince elecciones realizadas desde 1904, la única vez que el candidato de menor estatura ganó el voto popular fue en 1940 cuando Roosevelt, que medía un metro con ochenta y seis, derrotó a Wilkie, que medía uno con ochenta y siete. Ahora que me acuerdo, ¿sabía que Rockefeller y Romney, los dos postulantes con la inicial R, nacieron un 8 de julio?

Meneé la cabeza.

—Los cinco postulantes republicanos, Rockefeller, Romney, Goldwater, Nixon y Scranton nacieron en meses que en inglés empiezan con j. Goldwater y Nixon nacieron en enero [January], Scranton en julio [July]. La j es la décima letra del alfabeto. REPUBLICAN [republicano] tiene diez letras, y los dígitos de ’64 suman 10.

—¿Lo considera un buen augurio?

—Hasta cierto punto, sí. Los dígitos de 1964 suman 20, y el único candidato con un nombre de 20 letras es Barry Morris Goldwater. Pero el presidente asume en 1961, cuyos dígitos suman 21, el número de letras de William Warren Scranton.

—Sus análisis numerológicos son confusos —dije.

—No son más confusos que la política. Lamento decir que Scranton, gobernador de Pennsylvania, no nació en la ciudad de Scranton, Pennsylvania, ni en su prima anagramática de Cranston, Rhode Island. Nació en Madison, Connecticut. Pero Madison es un nombre presidencial, por lo tanto es una señal favorable.

—Alguien ha sugerido —señalé— que Rockefeller inicie su campaña presidencial con la frase, «Vengo a enterrar a Goldwater, no a alabarlo».[19]

Mi observación no le hizo la menor gracia.

—Existen muchos juegos de palabras con los nombres de los candidatos. Por ejemplo, «Nix on Nixon» [Hágale la cruz a Nixon]. Aldrich Rockefeller suena parecido a «old rich rocky feller» [viejo ricachón, duro como una roca]. También se puede decir que algunas de sus posiciones son como para «rock a feller» [trastornar a la gente]. Nixon es un republicano cabal, como lo demuestra el hecho de que sus iniciales son la primera y la última letra de REPUBLICAN. Las mismas letras, invertidas, son las iniciales de Rockefeller. Las iniciales invertidas del nombre completo del gobernador neoyorquino tal vez sean proféticas: el republicano que RAN [se presentó y perdió] en 1964. Los aficionados a los crucigramas sabrán que Roc/kef/ell/er son palabras que significan, respectivamente, un ave mitológica, serenidad soñolienta, una unidad de medida y un dios marino irlandés.

—Es interesante, pero demasiado ambiguo —observé—. ¿No puede decirme nada concreto sobre el candidato republicano?

—Mi opinión es que será Barry Goldwater. El enfrentamiento ya fue previsto en la novela picaresca de William Makepeace Thackeray, The Luck of Barry Lyndon, publicada en Londres en 1844. Por si no la leyó, le cuento que Barry Lyndon es un pícaro irlandés: soldado, tahúr, político, fanfarrón y buscón. Sus actos son vergonzosos, le llueven las críticas, pero él está convencido de que es el más noble y sabio de los hombres.

Iva, que no había asistido a la conversación, vino a la sala a recordarle a su padre que en media hora debía estar de vuelta en el Purple Hat. Pagué el taxi y los acompañé hasta la entrada trasera del cabaret.

—¿Cuándo termina la última función? —pregunté a Iva.

—A las dos y media —sonrió.

—Tal vez tenga ganas de salir a comer.

—Estaré famélica.

¿Qué hace un hombre de mediana edad que tiene tres horas que perder en medio de una noche helada, en la mitad de la semana, a mediados de diciembre en medio de la ciudad más ventosa del país? Decidí volver a mi hotel para perderlas en medio de mis sábanas.

6. Miami Beach

La actuación del doctor Matrix en el club Purple de Chicago fue un suceso tan resonante que enseguida lo contrataron una temporada de seis semanas en un lujoso hotel de Las Vegas. Según fuentes inobjetables, el viejo timador no sólo cobró un altísimo cachet sino que además ganó setenta mil dólares al siete y medio, aplicando su propia variante del método desarrollado por el matemático Edward O. Thorp en su sensacional libro Beat the Dealer [Cómo derrotar a la banca]. Se dice que la señorita Toshiyori colaboró con su padre, efectuando cálculos subrepticios mediante una pequeña computadora a transistores oculta en su cartera.

En setiembre de 1964 le escribí al doctor Matrix a Las Vegas para pedirle su opinión sobre el enfrentamiento electoral entre Goldwater y Johnson. De los dos, sólo aquél poseía la valiosa letra duplicada en su nombre, Barry. ¿Significaba eso que estaba predestinado a ganar?

No, respondió Matrix. La letra duplicada en este caso se veía compensada por otra regla importante. En general los votantes prefieren los nombres terminados en on a los terminados en er. Había sólo tres presidentes «er» —Tyler, Hoover y Eisenhower—, contra nueve «on»: Washington, Jefferson, Madison, Jackson, William Henry Harrison, Andrew Johnson, Benjamin Harrison, Wilson y Lyndon Johnson. Es cierto que Eisenhower derrotó a Stevenson, pero ésa fue una excepción. Lyndon Johnson poseía una doble on. Eso era más que suficiente, dijo el doctor Matrix, para superar a la doble r de Barry.

Tras un estudio cuidadoso de los diversos aspectos numerológicos del certamen, el doctor Matrix construyó un número —el 13.212— que, dijo, predecía con absoluta certeza el nombre del futuro presidente. Estaba tan seguro que me pidió que publicara este pronóstico en mi columna del Scientific American de octubre (lo hice), con la promesa de enviar cien dólares a cada suscriptor de la revista si el vaticinio resultaba equivocado. Añadió que no revelaría el significado del número antes de los comicios del 3 de noviembre a fin de no influenciar el resultado de la elección. Prometió enviar una explicación para que fuera publicada en la edición de diciembre.

Finalizada la temporada en Las Vegas, el doctor Matrix e Iva resolvieron gastar parte de sus recientes ganancias esquiando en Canadá. A mediados de octubre recibí una tarjeta postal de Iva con matasello de Zero, Montana. Decía que había comprado un Jaguar en Canadá y tenían la intención de viajar lentamente hasta Miami, Florida.

La segunda postal de Iva vino desde Unityville, Dakota del Sur, lo cual me hizo pensar que seguirían una ruta tortuosa a través de una serie de localidades con nombres numéricos en orden ascendente. Las siguientes postales vinieron de Two Rivers, Wisconsin; Triplet, Virginia; Four Oaks, Carolina del Norte; Five Forks, West Virginia; Six, West Virginia; Seven Mile, Ohio; Eight Mile, Alabama; Nine Point Mesa, Texas, y Ten Mile, Tennessee.[20]

Entonces se interrumpió la comunicación hasta el 4 de noviembre, al día siguiente de las elecciones, cuando recibí un telegrama en el cual el doctor me dio la clave para descifrar su vaticinio numérico. Se divide el número en los grupos 13/21/2. Estos números, en orden inverso, indican la segunda, vigesimoprimera y decimotercera letras del Juramento a la Bandera contando desde el final. Esas letras son /, b y j, las iniciales de Lyndon Baines Johnson. El doctor Matrix agregó que se alojaría con su hija en el hotel Pudrición Moral, de Miami Beach. ¿Pasaría yo unos días con ellos?, preguntó.

Ya lo creo. Tras consultar un atlas sentí la tentación de viajar hasta allá en automóvil y enviarles postales desde Odd, Virginia y Evensville, Tennessee,[21] pero después de pensarlo un poco pensé que no valía la pena y tomé un avión.

A las tres de la tarde encontré al doctor Matrix e Iva en el bar Marqués de Sade del hotel. La buena vida les sentaba bien. El doctor Matrix había engordado, sus mejillas se habían redondeado y ahora no parecía un halcón de ojos verdes sino un búho de ojos verdes. En la suave penumbra del bar Iva parecía más joven y apetitosa que nunca.

—Me alegro de que usted no sea infalible —le dije al doctor Matrix—. La última vez que nos vimos usted sumó una serie de fechas de manera tal, que la tercera guerra mundial parecía inminente.

—Nada de eso —replicó Matrix con fastidio—. Sólo sugerí que, en vista de ciertas estructuras numerológicas, 1964 era un año peligroso. No sea tan optimista. Recuerde que en agosto pasado los aviones norteamericanos empezaron a bombardear las bases en Vietnam del Norte. Eso significó una escalada de la guerra que nos acercó al borde del abismo.

—Acertó en la elección de Johnson —dijo Iva.

—Sí, querida, pero la predicción de su padre fue un tanto ambigua y dejó mucho que desear. Es verdad que da las iniciales L. B. J. si se la aplica al Juramente a la Bandera, pero uno de mis lectores dice que si se divide el número en los grupos 13/2/12 y se consulta el capítulo 13, versículo 2 del Génesis en la Versión Autorizada de la Biblia, la duodécima palabra es GOLD [oro], en evidente alusión a Barry Goldwater.

El doctor Matrix parpadeó solemnemente e Iva sonrió con timidez.

—Es una coincidencia asombrosa —dijo él—, pero en realidad no me sorprende. Como usted sabe, las improbabilidades son altamente probables y siempre traen algún significado. No sé si alguna vez le dije que en el sistema de clasificación bibliográfica de Dewey, a la numerología le corresponde el 133.335.

Tomé mi libreta y un lápiz y me dispuse a anotar.

—Si le suma su reverso —prosiguió—, que es el 533.331, obtiene el 666.666, el número de la Bestia, duplicado.

—Qué interesante —dije—. Acaba de aparecer un libro mío llamado The Ambidextrous Universe [El universo ambidiestro], dedicado a todo tipo de inversiones especulares y simetrías en sentido derecha-izquierda.

—Sí, lo estoy leyendo. Es un libro entretenido, pero debería haberme consultado cuando escribió el capítulo sobre palabras, letras y números. Le hubiera proporcionado mucho material.

—Deme algunos ejemplos, si es tan amable.

Iva miró su reloj:

—Si me disculpan, muchachos, quiero nadar un rato antes de que baje el sol. —Me miró—: Nos veremos en la cena, Nitram.

Nos sentamos y el doctor Matrix retomó el hilo de su discurso:

—Veamos un poco el panorama de la política internacional. El gran enfrentamiento entre la derecha y la izquierda, es decir, entre Estados Unidos y la Unión Soviética, se refleja en las iniciales en inglés de las dos superpotencias: U. S. y S. U. Una es la imagen especular de la otra. No sé si se había percatado que el célebre equipo K. y B. de Krushcev y Bulganin que sucedió a Stalin, tiene su reflejo en el actual equipo B.-K. de Brejnev y Kosiguin. Sólo que ahora se ha invertido el orden, y B. es el superior de K.

El doctor Matrix tomó mi lápiz y anotó los primeros treinta y dos decimales de pi (véase la Figura 8).

—Los matemáticos sostienen que los decimales de pi configuran una serie al azar, pero los numerólogos modernos hallamos una enorme cantidad de configuraciones notables.

Figura 8. Una extraña estructura especular en pi.

Marcó los dos grupos 26.

—Como ve, el 26 es el primer grupo de dos dígitos que se repite. Observe que el segundo 26 ocupa el centro de una serie simétrica bilateral.

A continuación encerró dieciocho dígitos entre barras verticales y marcó seis pares de números, tal como se observa en la figura. ¡Los pares numéricos 79, 32 y 38 aparecen a la izquierda en orden inverso! También señaló los conjuntos de cinco dígitos a cada lado del primer 26. Los dígitos del primer conjunto suman 20, el número de decimales que precede al segundo 26. El segundo conjunto suma 30, el número de decimales que precede a la segunda barra vertical. Juntos suman 50, el número de dos dígitos a continuación de la segunda barra. La serie de barras se inicia en el decimotercer decimal, y 13 es la mitad de 26. Los dígitos de los tres pares 79, 32 y 38 suman 32, el par del centro y el número total de decimales. El 46 y el 43 a cada lado del segundo 26 suman 89, el par que precede a la primera barra.

—Podría pasarme horas hablando de ese fatídico número 32 —prosiguió el doctor Matrix—. Es una de las constantes ubicuas de la naturaleza. Un objeto que cae a tierra sufre una aceleración de 32 pies por segundo. El punto de congelamiento del agua es de 32 grados Fahrenheit. Existen 32 clases de cristales. El hombre tiene 32 dientes. En el cuarto nivel energético de los átomos hay 32 electrones. Existen 32 partículas elementales de larga vida. La constante de Eddington, el 137, es el 32º número primo. Y así sucesivamente. Y no olvidemos que 32 es 2 elevado a la potencia que se obtiene de sumar 3 más 2.

—Lástima que sólo existan treinta y un satélites naturales en el sistema solar. ¿Cómo lo explica?

—Mi querido Gardner —dijo—, hay treinta y dos lunas en el sistema solar, sólo que los astrónomos todavía no la han descubierto.

—¿Y a qué planeta corresponde?

—Tres por dos es igual a seis. El sexto planeta a partir del sol es Saturno.[22]

—Guy Murchie, periodista especializado en temas científicos, señaló que Franklin D. Roosevelt, el 32º presidente de Estados Unidos, fue elegido en el año ’32. Si mal no recuerdo, el Estado Libre de Irlanda tiene 32 condados. Creo que fue por eso que James Joyce, en Finnegans Wake, simboliza la caída de Finnegan con el número 32.

—Así es —asintió el doctor Matrix—. Algún día escribiré un comentario del simbolismo numérico de Joyce. Pero volvamos a pi. Desgraciadamente no tengo tiempo para explayarme sobre el significado histórico y las propiedades sutiles de los primeros 32 decimales. Sólo diré que la configuración 62-64 en el centro de la serie encerrada entre barras designa el agitado trienio que acaba de concluir, mientras el mundo avanza del ’33, año en Hitler asumió como canciller, a la derecha, hasta el ’84 de George Orwell a la izquierda. Para quien sepa interpretarlo, pi contiene la historia de la raza humana.

Me apresuré a cambiar de tema:

—¿Podría darme algunos ejemplos de conjuntos reversibles de derecha a izquierda que me sirvan para plantear juegos?

—Miles —suspiró el doctor Matriz—. Veamos los dígitos del 1 al 9. Los escribimos en orden descendente, los invertimos y restamos (véase la Figura 9). Obtenemos un resultado extraño: reaparecen los mismos nueve dígitos en otro orden.

—Eso lo leí en libros medievales de numerología —dije.

—Por supuesto —dijo el doctor Matrix—. Lo menciono porque pocos autores de juegos matemáticos conocen otros ejemplos de lo que yo llamo los «conjuntos autoduplicadores» de dígitos distintos.

Figura 9. Cuatro conjuntos de dígitos diferentes que se autoduplican.

Según me explicó el doctor Matrix con mucho detalle, que no reproduzco aquí por falta de espacio, se trata de hallar un conjunto de n dígitos, tales que, dispuestos en orden descendente, cuando se les resta los mismos dispuestos en orden ascendente, en el resultado aparecen los mismos n dígitos. El doctor Matrix me aseguró de que eso es imposible con conjuntos de uno, dos, cinco, seis o siete dígitos (salvo en el caso trivial de 0 - 0 = 0). Con tres dígitos el único ejemplo es el 954. Con ocho es el 98.754.210. El único ejemplo con nueve dígitos es el que se muestra en la página anterior y, evidentemente, para un conjunto de diez dígitos el único ejemplo es el 9.876.543.210. Para un conjunto de cuatro dígitos, también hay un solo ejemplo. Invito al lector a descubrirlo. (Véase Respuestas, Seis, I.) [0601]

—Ya que estamos —dijo el doctor Matrix— a sus lectores les interesará dividir el 987.654.321 por 123.456.789. Parece increíble, pero el resultado es de 8,00000007+, es decir, siete ceros decimales seguidos de un 7.[23] Lástima que el cociente no sea un 8 redondo, pero así son las cosas, tanto en la numerología como en la física. Subamos a la suite. Está tan oscuro que casi no veo lo que escribo.

El doctor Matrix pagó la cuenta, dejó una propina generosa y subimos hasta su suite, en el piso superior.

—¿Cuál es el número de su cuarto? —preguntó, una vez que nos acomodamos. Se lo dije. Cerró los ojos, luego los abrió—: Un número bastante fuera de lo común. Es el único número de tres dígitos que posee la siguiente propiedad: si lo multiplica por cierto dígito, obtendrá un nuevo número de tres dígitos que es el inverso del que se obtiene si le suma el mismo dígito (Véase Respuestas, Seis, II.) [0602]

—Hablaré de esto en mi columna de enero —dije—. Las respuestas aparecerán en febrero. ¿Tiene algunos juegos con el número del año nuevo?

—Ya sabía que me lo iba a preguntar —dijo el doctor Matrix, con su extraña sonrisa torcida—. Recuerdo que en su columna de octubre de 1962 propuso a los lectores que insertarán signos de adición o sustracción en cualquier lugar de la serie 123456789 y en la serie inversa 987654321 de manera tal que el resultado siempre fuera 100.

—Así es. Y en la sección «carta de lectores» de enero de 1963 publicamos los resultados obtenidos con una computadora: once soluciones distintas para la serie ascendente, quince para la descendente. (Véase la Figura 10.)

—Para completar el conjunto —dijo el doctor Matrix—, si se permite colocar un signo menos delante del primer dígito, existen tres soluciones adicionales para la serie ascendente y una para la ascendente.

1. SOLUCIONES PARA LA SERIE ASCENDENTE

123 – 45 − 67 + 89 | = | 100
123 + 4 − 5 + 67 − 89 | = | 100
123 + 45 − 67 + 8 − 9 | = | 100
123 – 4 – 5 – 6 − 7 + 8 − 9 | = | 100
12 – 3 − 4 + 5 − 6 + 7 + 89 | = | 100
12 + 3 + 4 + 5 – 6 − 7 + 89 | = | 100
1 + 23 − 4 + 5 + 6 + 78 − 9 | = | 100
1 + 2 + 34 − 5 + 67 − 8 + 9 | = | 100
12 + 3 − 4 + 5 + 67 + 8 + 9 | = | 100
1 + 23 - 4 + 56 + 7 + 8 + 9 | = | 100
1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6 + 78 + 9  | = | 100

2. SOLUCIONES PARA LA SERIE DESCENDENTE

98 − 76 + 54 + 3 + 21 | = | 100
9 − 8 + 76 + 54 – 32 + 1 | = | 100
98 – 7 – 6 – 5 − 4 + 3 + 21 | = | 100
9 − 8 + 7 + 65 − 4 + 32 − 1 | = | 100
9 − 8 + 76 − 5 + 4 + 3 + 21 | = | 100
98 – 7 + 6 + 5 + 4 – 3 – 2 − 1 | = | 100
98 + 7 - 6 + 5 - 4 + 3 - 2 - 1 | = | 100
98 + 7 + 6 – 5 – 4 – 3 + 2 − 1 | = | 100
98 + 7 – 6 + 5 – 4 – 3 + 2 + 1 | = | 100
98 – 7 + 6 + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 | = | 100
98 – 7 + 6 – 5 + 4 + 3 + 2 − 1 | = | 100
98 + 7 – 6 – 5 + 4 + 3 – 2 + 1 | = | 100
98 – 7 – 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 | = | 100
9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 − 1 | = | 100
9 + 8 + 76 + 5 – 4 + 3 + 2 + 1  | = | 100

Figura 10. Soluciones de dos problemas con los nueve dígitos, obtenida mediante una computadora.

Las soluciones son: −9 + 8 + 76 + 5 − 4 + 3 + 21; −9 + 8 + 7 + 65 − 4 + 32 + l; −9 − 8 + 76 − 5 + 43 + 2 + 1; −1 + 2 – 3 + 4 + 5 + 6 + 78 + 9.

—A ver si sus lectores son capaces de insertar cinco dígitos en la serie ascendente para totalizar 65, el año nuevo. No hay solución con menos de cinco signos y la respuesta es una sola, aunque se coloque el signo menos delante del 1.

—¿Y con la serie descendente?

—Si no se permite el signo menos, se requiere un mínimo de seis signos para obtener como resultado el 65, y existen cinco soluciones distintas, ninguna de ellas demasiado interesante. Pero si se coloca un signo menos delante del 9, la solución es una sola y requiere cinco signos. Tal vez a sus lectores les interese el problema. (Véase Respuestas, Seis, III.) [0603]

—Estoy seguro de que a muchos les va a interesar. Pero debe reconocer que todos estos problemas son relativamente triviales. ¿Puede darme alguno un poco más complejo?

El doctor Matrix fue a su escritorio y volvió con un objeto que parecía una regla de plata. La estudié: tenía sólo cuatro marcas (véase la Figura 11).

Figura 11. La regla de trece centímetros del doctor Matrix.

—Me la envió un viejo amigo, desde Tokio. Mide trece centímetros, y las marcas están colocadas de tal manera que se puede medir cualquier longitud entera entre 1 y 13 centímetros.

—Comprendo —respondí—. De 0 a 1 se mide un centímetro. De 0 a 2 mide dos. Entre el 10 y el 13 mide tres, entre el 6 y el 10 mide cuatro y así sucesivamente.

En una regla de nueve centímetros, dijo el doctor Matrix, bastan tres marcas para medir cualquier longitud entera de uno a nueve centímetros. En una regla de doce centímetros se requieren cuatro marcas para medir cualquier longitud de uno a doce centímetros. Invito al lector a resolver los siguientes problemas. ¿Dónde se colocan las cuatro marcas en una regla de doce centímetros? ¿Cómo se demuestra que tres marcas no son suficientes?

¿Dónde se colocan tres marcas para poder obtener la mayor cantidad de medidas enteras de longitud en una regla de doce centímetros?

Un problema más difícil: En una regla de treinta y seis centímetros, ¿cuál es el número mínimo de marcas que se requieren para poder medir todas las longitudes enteras de uno a 36 inclusive? ¿Dónde se colocan esas marcas? (Véase Respuestas, Seis, IV.)[0604]. Todavía no se ha descubierto una fórmula o método general que permita calcular el número mínimo de marcas que requiere una regla de cualquier longitud.)

Cuando el doctor Matrix y yo nos hallábamos enfrascados en una discusión sobre las diversas maneras de abordar el problema de la regla con métodos combinatorios, apareció Iva, vestida con una bikini de color naranja brillante. Mis pensamientos se desviaron de la aritmética combinatoria hacia las curvas espaciales y la dinámica de los sólidos oscilantes.

7. Filadelfia

Con el paso del tiempo descubrí que el doctor Matrix y su hija nunca pasaban mucho tiempo en un mismo lugar. Empecé a sospechar que el objeto de llevar semejante vida peripatética era escapar tanto de la policía como de los acreedores locales. Después de mi visita a Miami Beach, los perdí de vista durante diez meses. Pero a principio de noviembre de 1965 recibí la siguiente, enigmática, postal de Iva. El texto era el siguiente:

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . V

Junto con esto había un número telefónico. El matasello era de Filadelfia. Tardé varios días en descifrar el mensaje. Bruscamente lo comprendí: «Mucho tiempo no ve».

Dos días después me encontré ante la puerta de una oficina en un viejo edificio de Filadelfia. Sobre el llamador había una chapa de bronce que rezaba: «Dr. Irving J. Matrix, psiconumeroanalista».

Cuando entré a la recepción, Iva me recibió con su deslumbrante sonrisa. Pero antes de terminar con los saludos me condujo a la gran oficina del doctor Matrix sumida en una suave penumbra, y salió. Una silueta alta se irguió detrás de un gran escritorio cubierto de mármol.

—Encantado de verlo, Gardner —dijo el doctor Matrix, con un gutural acento vienés. Llevaba una barbita marrón rojiza en forma de triángulo y gafas sujetas a su nariz aguileña, detrás de cuyas lentes (que probablemente no tenían aumento) sus ojos verdes brillaban enigmáticos.

¿Creía realmente en los principios de su nueva profesión? En ningún momento sugirió lo contrario; más aún, me explicó sus métodos en un tono por demás convincente. Me dijo que seguía la tradición analítica de Freud, pero enfatizando la conciencia que posee la mente inconsciente de las propiedades simbólicas de los números y las letras y empleando métodos terapéuticos de la psiquiatría rusa. Freud iba por buen camino en su juventud, dijo, cuando daba crédito a las teorías numerológicas de su buen amigo Wilhelm Fliess.[24]

—Desgraciadamente —dijo el doctor Matrix, ajustándose las gafas—, Freud era un mal matemático, como él mismo lo reconocía, y sus análisis numerológicos eran triviales o directamente absurdos. ¿Recuerda su explicación del número 2467?

Asentí. Freud le había comunicado a Fliess que acababa de concluir la corrección de las pruebas de La interpretación de los sueños y que no efectuaría una sola corrección más aunque hallara 2467 errores. Antes de enviar la carta, Freud se preguntó por qué se le había metido ese número en la cabeza, aparentemente al azar. «Nada de cuanto sucede en la mente es arbitrario o indeterminado», escribió en la célebre posdata de la carta. A continuación expuso los que consideraba eran los determinantes inconscientes del 2467 y posteriormente incluyó ese análisis en la sección sobre números del último capítulo de Psicopatología de la vida cotidiana.

—Esa explicación del 2467 siempre me pareció muy traída de los pelos.

—Tampoco a mí me convence —asintió el doctor Matrix—. Si Freud hubiera conocido la teoría de números, tal vez se hubiera dado cuenta de que el 2467 es un número primo. Había concluido su obra más importante. Era un año primordial en su vida. Si el año tiene 365 días, ¿qué podía ser más lógico que tomar el 365º número primo, el 2467? [25]

—Pero si Freud era un pésimo matemático —pregunté con desconfianza, mientras anotaba estos datos en mi libreta—, ¿cómo es que su mente inconsciente dio en el 365º primo?

—Mi querido Gardner, no olvide el inconsciente colectivo, expuesto con tanto rigor en la obra de Jung. Los primos, unidades fundamentales de los números enteros, están grabados en forma indeleble en la memoria colectiva de la especie humana. Jung y sus discípulos nunca concibieron el gran poder del inconsciente para manipular números y otros símbolos.

El doctor Matrix tomó un libro de su escritorio: The Scientist Speculates: An Anthology of Partly-Baked Ideas [Cuando el científico especula: una antología de ideas no del todo desarrolladas] (Nueva York, Basic Books, 1962). En la página 331 había un pasaje marcado por él. El matemático I. J. Good, del Trinity College, Oxford, se pregunta por qué el espacio posee tres dimensiones y dice:

«Para evadir el problema podemos decir que el 3 es un número tan pequeño que no necesita explicación. Si se dijera que el espacio posee 32.650.494.425 dimensiones, entonces sí habría que explicarlo.»

—¿Por qué la mente consciente de Good eligió precisamente ese número? —preguntó el doctor Matrix, mientras se quitaba las gafas y se acomodaba en su asiento.

Reí cuando me explicó cómo se obtenía el número de Good. En verdad, era muy sencillo. (Invito al lector a aplicar su capacidad analítica a este problema —que requiere un tiempo promedio de 30 minutos— antes de pasar a (Respuestas, Siete, I.) [0701]

Me explicó que una de sus técnicas de diagnóstico consiste en invitar al paciente a recostarse cómodamente de espaldas y dejar que su mente asocie libremente mientras se proyectan números sobre el cielorraso.

—La semana pasada —dijo—, tuve un paciente que se ponía nervioso cada vez que aparecía un 4 verde. Resultó que robaba dinero, billetes verdes, de la caja de la tienda donde trabajaba. La simbólica honestidad del 4 perturbaba su superyo.

—¿Honestidad?

—Así es. En toda la serie infinita de los números, el 4 es el único que expresa el número de letras de su nombre en inglés [four].[26]

Otro test diagnóstico inventado por el doctor Matrix consiste en que el paciente debe formar números de diez dígitos con tarjetas que llevan los números 0 a 9. Mencionó el caso de una paciente llamada Aniba Di Figby. Si se aplica el código a = 1, b = 2 y así sucesivamente, sus nombres se expresan como 114.921, 49 y 697.225, que son todos cuadrados. Sus medidas eran 36-25-36, su estatura en medidas inglesas era de 64 pulgadas y había nacido en el año cuadrado 1936. La bella señorita Figby se consideraba una hippy, pero evidentemente era «cuadrada». Por eso el doctor Matrix no se sorprendió cuando formó el número 9.814.072.356, el cuadrado mayor que se puede formar con los diez dígitos. Su raíz cuadrada, el 99.066, no carece de interés, dijo el doctor Matrix: si se invierte se obtiene el mismo número.

—Otro paciente —prosiguió— era un hombre de negocios cuyo objetivo más importante en la vida era aumentar las ganancias de su empresa. Su inconsciente ordenó los números de manera tal que, al separar las tarjetas en dos grupos se formaron dos números que, multiplicados, dan el mayor producto posible. Tal vez a sus lectores les interese hallarlos.

—Perfecto —dije, y el doctor Matrix me enseñó un método ingenioso para hallar la respuesta. (Véase Respuestas, Siete II.) [0702]

—Tal vez les interese también descubrir el orden inconscientemente determinado del siguiente número. —El doctor Matrix se puso las gafas y anotó el 0542986731.— La mujer que los ordenó de esa manera se llama Betty. Le doy otra pista: es una ordenadora compulsiva, que libera su compulsión en su trabajo de archivista de una gran editorial neoyorquina que publica textos. (Véase Respuestas, Siete, III.) [0703]

Los números que aparecen en sueños son de especial importancia en psiconumeroanálisis, subrayó luego, pero el analista debe poseer ingenio y ductilidad para hallar la recta interpretación del número. El doctor Matrix despreciaba las explicaciones de los números oníricos desarrolladas por Freud en su libro sobre los sueños, y opinaba que las explicaciones de Jung, Adler, Stekel y Jones eran igualmente vulgares.

—Hace poco —dijo—, vino a verme un pastor pentecostal que tenía un sueño recurrente con el número 7734. Cuando le pedí que escribiera el número y lo volviera patas arriba, admitió que desde hacía años temía por la salvación de su alma debido a sus dudas religiosas. Desde luego, su censor onírico invertía la temida palabra HELL [infierno] para ocultarla. Un caso similar fue el del financista bostoniano cuyo sueño recurrente era con el 710. Había perdido una enorme suma de dinero al invertir en una empresa petrolera de Texas, que quebró. La palabra OIL [petróleo] se le aparecía invertida para no interrumpir su sueño. No creo que Freud fuera capaz de interpretar esos números correctamente.

El nombre de la ciudad donde se reside también juega un rol importante en el diagnóstico psiconumeroanalítico. El doctor Matrix me dijo que tenía varios pacientes de Pleasantville [Villa Agradable], en el norte del condado de Westchester, Nueva York. Los perturbaba el contraste entre el nombre de la localidad y el hecho de ser empleados de la revista Selecciones. La prohibición para los judíos de vivir en Bronxville, en el sur del mismo distrito, es indudablemente una reacción de los gentiles a la palabra Bronx, que forma parte del nombre de la localidad.[27] En Filadelfia, la hostilidad que se pueda sentir por un hermano, por leve que sea, se ve magnificada por la divisa «ciudad del amor fraternal».

Los nombres de las calles también expresan correlaciones inconscientes. Las agencias de publicidad de Nueva York tienen sus oficinas en la avenida Madison: ¿qué duda cabe que la gran incidencia de neurosis entre los agentes publicitarios se relaciona con la configuración MAD [demente]? Yo mismo, como señaló Matrix, vivo en la avenida Euclid [Euclides]. Y no es casual, añadió, que William Feller, experto en teoría de probabilidades de la Universidad de Princeton, viva en la calle Random [azar].

También los nombres y las iniciales son símbolos psiconumeroanalíticos fundamentales. No es casual, dijo el doctor Matrix, que las iniciales de Adam Clayton Powell sean las últimas tres letras de la sigla NAACP.[28] James Augustine Aloysius Joyce fue un inventor compulsivo de juegos de palabras: ¿existe alguna relación entre esa compulsión y el hecho de que sus iniciales son palindrómicas? ¿Acaso las iniciales palindrómicas del presidente Herbert Clark Hoover lo llevaron a tratar de revertir la situación económica del país? Si Edgar Allan Poe fue uno de los poetas más geniales de la literatura norteamericana, ¿no se deberá a que basta agregar una letra para transformar a Poe en poet [poeta]?

El doctor Matrix dijo que una de sus anteriores pacientes se llamaba, de soltera, Mary Belle Byram. Siempre hacía las cosas al revés y no se había dado cuenta —hasta que el doctor Matrix se lo advirtió— de que su nombre era un palíndroma.

—No es casual —añadió Matrix— que se casara con un oficial del ejército. Le encantaban los militares. Nunca sospechó que esto se debía a que Mary es un anagrama de ARMY [ejército].

Al releer mis apuntes descubro otras asombrosas correlaciones halladas por el doctor Matrix en el curso de su trabajo clínico. Un hombre llamado Dennis (SINNED [pecador] al revés) experimentaba graves sentimientos de culpa debido a sus relaciones con una joven rusa llamada Natasha (ah, Satán, al revés). Un adolescente llamado Stewart quería ser jugador de béisbol porque su nombre es anagrama de SWATTER [bateador]. Una maestra de escuela, bella y soltera, de apellido Noyes, había rechazado muchas propuestas de matrimonio porque su nombre se puede dividir en NO-YES [no-sí], señal de que nunca se decidía. Si se invierte el YES se obtiene NOSEY [fisgona], lo que explicaba su afición a difundir chismes maliciosos sobre sus compañeras. Un joven llamado Andrew se había vuelto un vagabundo, impulsado por su nombre, anagrama de WANDER [vagar]. Un muchacho llamado Cyril no comprendía por qué sentía la compulsión de escribir LYRYCs [poemas líricos]. Un artista llamado Bernard siempre incluía en sus paisajes un RED BARN [granero rojo].

Los editores, me aseguró el doctor Matrix, tienden inconscientemente a contratar autores cuyos apellidos son anagramas del nombre de la editorial. Era el caso de Selden Román, recopilador de antologías poéticas publicadas por Random House, y Robert Grover, cuyos libros son publicados por el sello Grove Press.

—Se comprende —dijo— que Salvador Dalí haya elegido a Dial Press para la edición de su autobiografía.

En mis apuntes encuentro muchos otros ejemplos de correlaciones inconscientes entre los nombres de destacadas personalidades y sus pautas de conducta. Así, no era casual que Hetty Green fuera el gran financista (coleccionista de «verdes») norteamericano del siglo XÍX; que el neurólogo lord Brain (muerto en 1966) fuera el más destacado especialista en brain [cerebro] de Inglaterra; que Jerald Cari Brauer, decano de la facultad de teología de la Universidad de Chicago, tuviera las iniciales J. C.; que el psiquiatra que colaboró con Norman Vincent Peale en la fundación de una clínica psiquiátrica se llamara Smiley [sonriente] Blantom; que Lyndon Johnson admirara los cuadros de Norman Rockwell, porque las posiciones políticas del artista era equidistantes de las de Rockwell Kent a la izquierda y George Rockwell a la derecha; que el padre de Norman Mailer, I. B. Mailer, de Brooklyn, fuera un contador, porque sus iniciales eran I. B. M.

Recordó luego un divertido incidente con un paciente de apellido Cegoa, que lo había consultado por un problema de constipación crónica. Furioso ante la insólita consulta —más adecuada para un médico clínico—, el doctor Matrix le dijo a Cegoa que volviera a su casa y realizara la siguiente operación. Debía escribir un número de tres dígitos tal que la diferencia entre el primero y el último fuera mayor que uno. Luego debía escribir el mismo número al revés y restar el menor del mayor. Finalmente, debía invertir el resultado y sumar los dos números. Con ello obtendría una palabra en clave de cuatro dígitos que le indicaría el remedio. La siguiente clave le permitiría descifrar la palabra:

(¿Puede el lector explicar por qué se obtiene siempre el mismo resultado? (Véase Respuestas, Siete, IV.) [0704][29]

El doctor Matrix me explicó el sutil simbolismo sexual que se oculta en los nombres de las grandes divas del cine. Basta modificarle una letra al apellido de Jean Harlow para obtener HARLOT [prostituta]. Con la misma operación el apellido de Ursula Andress se vuelve UNDRESS [desnuda]. Las dos mayúsculas que mejor simbolizan los senos son indudablemente la M y la B. No es casual, entonces, que los nombres de Marilyn Monroe y Brigitte Bardot tengan las iniciales M. M. y B. B. Las mismas letras son las consonantes de MAMA y BEBE.

Por razones de espacio no puedo, lamentablemente, desarrollar aquí las experiencias clínicas del doctor Matrix con números telefónicos, del seguro social, de matrículas de automóviles, de códigos postales y otros. Tampoco puedo explayarme sobre su terapia de reflejos condicionados que consistía en aplicar electroshocks al paciente recostado cuando aparecían ciertas palabras o números en el cielorraso que el sujeto debía pronunciar de viva voz. Tras una serie de treinta y dos, se suspenden las descargas eléctricas mientras el paciente ve y pronuncia palabras y números de simbología contraria.[30]

El último apunte de mis notas en esta ocasión revela una notable propiedad del nombre del presidente de Estados Unidos. El doctor Matrix me dijo que el descubrimiento pertenecía a su amigo Harry Hazard, de Princeton, y que yo tendría el honor de publicarlo por primera vez. Se escribe el nombre de Johnson como operación de multiplicación:

Al sustituir las letras por números se obtiene un resultado numérico. Existe una sola solución. Intente el lector resolver este ingenioso problema. (Véase Respuestas, Siete, V.) [0705]

Al salir me detuve a conversar con Iva, y le formulé un par de preguntas que me había sugerido mi amigo Kirby Baker, matemático en Harvard.

—Quiero hacerle un par de preguntas —dije—, que se contestan por sí o por no, pero antes de formularlas, debe prometerme que contestará con la estricta verdad.

Iva entrecerró sus bellos ojos negros, pero la propuesta pareció divertirla.

—De acuerdo, pregunte.

—La primera es: ¿Cenará usted conmigo esta noche? La segunda es: ¿Su respuesta a la primera pregunta será la misma que a la segunda?

Pobrecilla, había caído en la trampa. No podía contestar a la primera con un no, porque la respuesta a la segunda sería falsa, fuese sí o no. La única respuesta posible a las dos preguntas era sí. Pero admitió su derrota y pudimos gozar de una velada serena y feliz en la más serena de las grandes metrópolis norteamericanas.

Unas semanas más tarde me llamó la atención una nota en el New York Times. Una viuda rica del distrito Main Line, de Filadelfia, acababa de morir, y en su testamento había legado cincuenta mil dólares al Instituto Psiconumeroanalítico. La prensa estaba enterada de que el doctor Matrix había cobrado esa suma, y un periodista del Philadelphia Inquirer fue a entrevistarlo. Se encontró con una oficina abandonada. El doctor Matrix, Iva y hasta los muebles habían desaparecido sin dejar rastros.

8. Pi

Después de que el doctor Matrix e Iva se fueron de Filadelfia, y antes de reunirme otra vez con ellos en la Universidad de Wordsmith, recibí una carta. Allí había un extraño vaticinio sobre el millonésimo digito de pi. Cuando amplié una columna sobre pi para la antología New Mathematical Diversions from Scientific American (Nueva York, Simón and Schuster, 1966), agregué el siguiente pasaje de la carta del doctor Matrix:

Es probable que en poco tiempo más se conozca el millonésimo decimal de pi. Anticipando este asunto, el célebre numerólogo doctor Matrix me ha pedido que haga constar su pronóstico de que el millonésimo dígito de pi será el 5. Su cálculo se basa en la Versión Autorizada de la Biblia, tercer libro, capítulo 14, versículo 16 que menciona el número 7, y su séptima palabra tiene cinco letras, combinado con ciertos cálculos abstrusos con la constante de Euler y el número trascendental e.

Obsérvese que el doctor Matrix no habla del millonésimo decimal. El hecho de emplear el tercer libro de la Biblia, el Levítico, indica que tuvo en cuenta el 3 inicial. En el capítulo 18 nos referiremos a la espectacular confirmación de este pronóstico.

Figura 12. «Vi el número cinco en oro», cuadro de Charles Henry Demuth. Colección Alfred Stieglitz del Metropolitan Museum of Art, 1949.

9. Universidad de Wordsmith [31]

Después de recibir una donación de cincuenta mil dólares para el Instituto Psiconumeroanalítico, el doctor Matrix y su hija Iva desaparecieron de Filadelfia y durante un año, ni la policía ni yo pudimos descubrir su paradero. Sin embargo, pasado un lapso prudencial, Iva siempre se comunica conmigo por alguna vía enigmática, de modo que mantuve los ojos abiertos. Un día recibí un anuncio impreso de doce conferencias públicas sobre «aspectos combinatorios de la literatura inglesa y norteamericana». Se realizarían todos los viernes por la noche en el auditorio Shade de la Universidad de Wordsmith en New Wye, Estado de Nueva York. El conferencista era el profesor T. Ignatius Marx, del departamento de matemática. Precio de la entrada: 3 dólares por conferencia o 25 dólares el ciclo completo. Los temas serían, sucesivamente:

1. El poema acróstico

2. El poema palindrómico

3. Versos ocultos y accidentales

4. Versos macarrónicos y fragmentarios

5. Versos absurdos, de Jabberwocky a Gertrude Stein

6. Lipogramas, anagramas y pangramas

7. Comas desplazadas

8. Claves de la nomenclatura de Viajes de Gulliver, el Mago de Oz y otras descripciones de países imaginarios.

9. El número 4 en la obra de Lawrence Durrell

10. Vladimir Nabokov y el «stinky pinky»

11. Cómo descifrar los diez truenos en Finnegans Wake

12. Cómo programar poemas en computadoras digitales.

¿Y quién era T. Ignatius Marx?, me pregunté. Bruscamente comprendí que T. I. MARX es un anagrama de MATRIX. Seguramente se había falsificado una credencial de matemático y las autoridades de la Universidad de Wordsmith no lo habían descubierto.

El anuncio me llegó por correo certificado un viernes por la tarde, el día de la primera conferencia. Dejé todo como estaba, tomé mi auto y me fui a New Wye, al pie de las sierras Catskills. Por suerte llegué temprano, porque la capacidad del auditorio quedó rápidamente colmada. Marx era, efectivamente, el doctor Matrix, aunque al principio me costó trabajo reconocerlo. Ya no tenía la barbita marrón de Filadelfia. Bajo su nariz se extendía un gran bigote. Evidentemente tenía lentes de contacto, porque sus ojos verdes se habían vuelto celestes.

—En el principio era el verbo —dijo, comenzando su conferencia. Su acento era muy británico—. El verbo, es decir, la palabra. ¿Qué es una palabra? Una combinación de sonidos que en las civilizaciones altamente desarrolladas se simboliza mediante combinaciones de letras. ¿Qué es un poema? Es una combinación de palabras, elegidas no sólo por sus referencias semánticas sino también por sus pautas melódicas. Como dijo Raimundo Lullio en el siglo XIII, el poeta, como el artista y el músico, es un especialista en combinatoria. ¿Qué es un diccionario de rimas, sino un dispositivo combinatorio lulliano? El poeta, con o sin ayuda mecánica, debe explorar las distintas combinaciones de palabras hasta hallar la que le brinda el máximo de satisfacción estética. Un buen poema, como un cuadrado mágico o un crucigrama, es un ejercicio del gran arte lulliano del pensamiento combinatorio. Un diccionario es como una caja que contiene miles de trozos de vidrio de distintos tamaños, formas y colores. Jack Luzzato, un poeta norteamericano, escribió: «En ordenado desorden / aguardan, encolumnadas, frías, prosaicas. / Poeta, infúndeles aliento y ruega / que cobren vida en tu mosaico».[32]

El poeta, prosiguió el doctor Matrix, además de enaltecer los valores estéticos, puede hallar notables pautas combinatorias. El acróstico, poema en el cual las letras iniciales de los versos guardan un orden, es quizá la forma más antigua de lo que el doctor Matrix denominó el «juego poético metaestético». Los primeros, toscos, ejemplos se encuentran en el Antiguo Testamento, donde nueve salmos son «acrósticos alfabéticos», es decir, las letras iniciales de cada estrofa son las letras hebreas en orden alfabético.[33] Según el doctor Matrix, los primeros cuatro poemas de los cinco que componen las Lamentaciones de Jeremías son acrósticos de este tipo, lo mismo que el poema de Proverbios 31:10-31, que enumera las virtudes de la buena esposa.

El doctor Matrix tomó un puntero de la tarima y dio un suave golpe en el piso. Antes de que se apagaran las luces miré a ver quién manejaba el proyector, instalado en el pasillo central. Sí, era Iva. No tenía el menor rastro de maquillaje en sus bellos rasgos euroasiáticos. Evidentemente se hacía pasar por estudiante: cabello oscuro, largo hasta los hombros, buzo gris, botas rojas y una minifalda de tweed que permitía ver un par de espléndidas rodillas. Después me enteré de que se había anotado en varios cursos de música y matemática.

Cuando la sala quedó a oscuras, apareció en la pantalla la transcripción de la primera estrofa del célebre Salmo 119, escrito en el original hebreo. Con la ayuda del puntero el doctor Matrix señaló las iniciales de los versos que componían la estrofa: en todos los casos era la letra alef. Luego apareció la segunda estrofa, cuyos ocho versos empiezan con beth. Los ocho versos de la tercera estrofa empiezan con guimel y así sucesivamente hasta tau, la última de las 22 letras del antiguo alfabeto hebreo.[34]

Se encendió la luz. Los griegos y romanos, dijo el doctor Matrix, inventaron los acrósticos con palabras y oraciones. Citó varios ejemplos, ilustrados con diapositivas. Los versos proféticos de las sibilas griegas —ancianas que recitaban hexámetros mientras fingían caer en estado de frenesí religioso— solían ser acrósticos. En De la adivinación, Cicerón sostuvo que ese carácter de acróstico demostraba que los versos sibilinos no eran espontáneos, sino que se los redactaba de antemano. El más célebre de esos acrósticos era atribuido a la Sibila de Eritrea; los estudiosos consideran que es la misma Sibila del sexto libro de La Eneida, quien conduce a Eneas a los infiernos. Los versos griegos aparecieron en la pantalla, junto a la traducción latina que transcribe San Agustín en el libro 18 de La Ciudad de Dios. El doctor Matrix mostró cómo las iniciales de los versos griegos formaban cinco palabras:

Ίησους Χριστος Θεου Υιος Σωτηρ

Estas significan Jesús Cristo, Hijo de Dios, el Salvador.

Pero además, las iniciales de las cinco palabras griegas forman un segundo acróstico, ιχθυς, la palabra griega ICTUS, que significa PEZ. Es por eso, dijo el doctor Matrix, que el pez era uno de los símbolos más difundidos del cristianismo primitivo. Aparece en muchos monumentos de las catacumbas romanas y en la pintura medieval. Según Agustín es un símbolo apropiado, porque «Jesús pudo vivir, es decir, existir, sin pecado en este abismo de mortalidad como en la profundidad del agua».

En una serie de diapositivas, el doctor Matrix mostró varios acrósticos de la época medieval y el Renacimiento, entre ellos algunos de los cincuenta cantos acrósticos de Giovanni Boccaccio. También mostró algunos de los veintisiete elegantes acrósticos (todos con las palabras ELIZABETH REGINA) de Hymns to Astraea, un libro escrito en 1599 por el poeta filosófico inglés sir John Davies, y varios de los 420 acrósticos con nombres de personas famosas en Fame’s Roule, un libro escrito en 1637 por Mary Frege. A estos siguieron varios ejemplos barrocos de poetas isabelinos menores, algunos con el nombre en orden invertido y otros con el nombre al principio, en la mitad y al final de cada verso.

Después de la época isabelina, prosiguió el doctor Matrix, el acróstico inglés cayó en desgracia. En el volumen 60 de The Spectator, Joseph Addison se preguntó quién era más idiota: si el inventor del acróstico o el inventor del anagrama. En «Character of a Small Poet», Samuel Butler definió al autor de acrósticos como uno que «construye la parte externa de sus versos con prolijidad, como un albañil, con líneas rimadas y acrósticas, y llena el interior con basura». Entre los muchos acrósticos escritos por los poemas románticos, el mejor, según el doctor Matrix, es el poema lírico de John Keats, con el nombre de su cuñada, Georgiana Augusta Keats:

Give me your patience, sister, while I frame

Exact in capitals your golden name;

Or sue the fair Apollo and he will

Rouse from his heavy slumber and instil

Great love in me for thee and Poesy.

Imagine not that greatest mastery

And kingdom over all the realms of verse

Nears more to heaven in aught, than when we nurse

And surety give to love and brotherhood.

Anthropophagi in Othello’s mood

Ulysses stormed and his enchanted belt

Glow with the Muse, but they are never felt

Unbosomed so and so eternal made,

Such tender incense in their laurel shade

To all the regent sisters of the time

As this poor offering to you, sister mine.

Kind sister! aye, this third name says you are;

Enchanted has it been the Lord knows when;

And may it taste to you like good old wine,

Take you to real happiness and give

Sons, daughters, and a home like honeyed hive.

[Te ruego paciencia, hermana, mientras escribo en doradas letras tu amado nombre; acudiré a Apolo, quien despertará de su profundo sueño para infundir en mí amor por ti y por la poética. Ni la mayor maestría ni el dominio de todas las formas del verso nos acerca más al Cielo que la capacidad de crear y fortalecer el amor filial. La Musa inspiró a Otelo a hablar de Antropófagos y a Ulises con su cinto encantado, pero ninguna de sus ofrendas a las hermanas de su tiempo son sinceras y eternas como esta pobre ofrenda para ti, hermana mía. ¡Mi amada hermana! Sí, este apellido dice que lo eres. El Señor lo dispuso quién sabe cuándo. Que te sepa a vino añejo, te dé felicidad, hijos, hijas y un hogar cual colmena colmada de miel.]

A Lewis Carroll le gustaba escribir acrósticos con los nombres de sus jóvenes amigas. El doctor Matrix mostró varios ejemplos de dedicatorias de Carroll (de The Nursery Alice, The Game of Logic y A Tangled Tale), en los cuales no era la primera sino la segunda letra de cada verso la que formaba el nombre de la niña. Coincidió con mi apreciación (en The Annotated Alice) de que el mejor acróstico de Carroll es el poema con que finaliza Alicia en el país del espejo, en el que las primeras letras de cada verso forman el nombre de la verdadera Alica.

Pasando a los autores norteamericanos, se refirió a James Branch Cabell, un hábil escritor de acrósticos, y citó la dedicatoria en versos de Jurgen (un acróstico con el nombre del crítico Burton Rascoe) como típica muestra del arte de Cabell, así como el último poema de sus Sonnets from Antan (1929), anagrama de «this is nonsense» [esto es absurdo]. Como ejemplos de tono subido (que no reproduciré aquí) citó un divertido poema contra Nicholas Murray Butler del poeta Rolfe Humphreys (que apareció inadvertido en la revista Poetry bajo el título de «Draft Ode for a Phi Beta Kappa Occasion») y «A Recollection» de la página 71 de The Collected Poems of John Peale Bishop.

El mejor acróstico de un poeta norteamericano, subrayó el doctor Matrix, es el siguiente soneto:

«Seldom we find», says Solomon Don Dunce

“Half an idea in the profoundest sonnet.

Through all the flimsy things we see at once

As easily as through a Naples bonnet—

Trash of all trash!— how can a lady do it?

Yet heavier far than your Petrarchan stuff—

Owl-downy nonsense that the faintest puff

Twirls into trunk paper while you con it.”

And, veritably, Sol is right enough.

The general tuckermanities are arrant

Bubbles —ephemeral and so transparent—

But this is, now —you may depend upon it—

Stable opaque, immortal —all by dint

Of the dear names that lie concealed within’t.

[—Difícil es hallar —dice Salomón Don Dunce— la sombra de una idea en el soneto más elaborado. Sus figuras son trasparentes como un sombrero de paja: ¡ordinario a más no poder! Es incomprensible que una mujer lo use. Pero más intrincado de cuanto escribiera Petrarca, tonterías que se vuelven papel de embalar para quien trata de interpretarlas. Y no cabe duda de que Sol tiene razón. Sus estupideces son evidentes. ¡Burbujas efímeras y trasparentes! Pero éste, tenlo por seguro, es estable, opaco, inmortal; con habilidad oculta nombres queridos.]

El nombre completo de la dama se encuentra oculto de manera no ortodoxa. ¿Puede el lector descubrirlo e identificar el poeta? (Véase Respuestas, Nueve, I.) [0901]

El doctor Matrix mostró un extraño poema acróstico, descubierto por su amigo Dmitri Borgmann, especialista en juegos de palabras:

Perhaps the solvers are inclined to hiss,

Curling their nose up at a con like this.

Like some much abler posers I would try

A rare, uncommon puzzle to supply.

A curious acrostic here you see

Rough hewn and inartistic tho’ it be;

Still it is well to have it understood,

I could not maket it plainer if it would.

[Tal vez los aficionados lo despreciarán y dejarán sus ojos de semejante con. Otros creadores, más hábiles que yo, formularían un enigma más difícil de resolver. He aquí un acróstico extraño, tosco, sin arte. Y por más que me esforzara, no podría hacerlo más fácil.]

El poema, firmado «Maude», apareció en el Weekly Wisconsin (29/9/1888). ¿Puede el lector descubrir las palabras ocultas sin recurrir a las respuestas (Nueve, II.) [0902]? La palabra CON en el segundo verso significa «contribution» [aporte].

El doctor Matrix destacó al autor de poemas cómicos J. A. Lindon, de Addlestone, Inglaterra, como el más hábil artífice viviente de estructuras metaestéticas. El poema «To Those Overseas», de Lindon, apareció en la pantalla:

A merry Christmas and a happy new year!

Merry, merry carols you’ll have sung us;

Christmas remains Christmas even when yo are not here,

And though afar and loneley you’re among us.

A bond is there, a bond at times near broken,

Happy be Christmas, then, when happy, clear,

New heart-warm links are forged, next ties betoken

[Feliz Navidad y próspero Año Nuevo. Bellos cantos entonaréis en nuestro recuerdo. Navidad es Navidad, aunque no estéis presentes. Lejanos, solitarios, seguís entre nosotros. Hay un vínculo, un vínculo que en ocasiones casi se rompe. Sea, pues, feliz la Navidad cuando se forman nuevos vínculos, y los nuevos lazos muestran que el año lleno de amor vuelve un nuevo año.]

Enseguida saltó a la vista que la primera palabra de cada verso repetía la correspondiente palabra del primero. Sin embargo, dijo el doctor Matrix, el poema de Lindon contenía una segunda estructura, muy poco usual. La explicamos en (Respuestas, Nueve, III.) [0903]

—Para el crítico combinatorio —dijo el doctor Matrix—, el acróstico no intencional es aún más interesante que el intencional. Es prácticamente un territorio virgen. ¿Cuál es la palabra más larga que aparece como acróstico en el Paraíso Perdido, de Milton? ¿En el Essay on Man, de Pope? ¿En las obras de Yeats, Elliot, Pound, Auden? ¿En la Biblia?

El doctor Matrix demostró algunos acrósticos accidentales del Nuevo Testamento. Me gustó mucho el de tres líneas de Mateo 7:7 (el doctor Matrix destacó el triple 7, dos veces como número y una en las siete letras de MATTHEW [Mateo]:

Ask, and it shall be given you;

Seek, and ye shall find;

Knock and it shall be opened unto you.

[Pedid y se os dará; buscad y hallaréis; llamad y se os abrirá.]

Más notable aún es el siguiente acróstico accidental, que el doctor Matrix dijo haber leído por primera vez cuando corrigió las galeras de Beyond Language, de Borgmann (Nueva York, Scribner, 1967). En la primera escena del tercer acto de Sueño de una noche de verano, Titania, la reina de las hadas, le dice al remendón Bottom:

Out of this wood do not desire to go:

Thou shalt remain here, wheter thou wilt or no.

I am a spirit of no common rate;

The summer still doth tend upon my state;

ANd I do love thee; therefore, go with me.

I’ll give thee fairies to attend on thee,

And they shall fetch thee jewels from the deep.

[De este bosque no pidas salir: aquí te quedarás, lo quieras o no. Soy un hada de no poca alcurnia; el verano mismo me exalta. Y te amo, por ello, ven conmigo. Te daré hadas que atiendan y te traigan joyas del fondo del mar.]

Las mayúsculas de la izquierda forman las palabras O TITANIA.

—No me cabe duda de que es el acróstico accidental más bello de toda la literatura en idioma inglés. Pero cabe preguntarse si es verdaderamente accidental.

Para concluir su conferencia el doctor Matrix mostró una serie de diapositivas con acrósticos extraños. Uno de los más interesantes mostraba la fachada de la Biblioteca Pública de Boston sobre la calle Dartmouth, tal como era en 1892, con tres placas en las cuales estaban grabados los siguientes nombres:

Moses [Moisés]

Cicero [Cicerón]

Kalidasa

Isocrates

Milton

Mozart

Euclid [Euclides]

Aeschylus [Esquilo]

Dante

Wren

Herrick

Irving

Titian [El Ticiano]

Erasmus [Erasmo]

Cuando el Boston Evening Record descubrió que los nombres formaban el acróstico de McKim, Mead y White, los arquitectos del edificio, se alzó un clamor tal que las autoridades borraron la inscripción.

La última diapositiva mostraba el último párrafo del cuento «The Vane Sisters», de Nabokov, que apareció en el Hudson Review de enero de 1959. (El cuento apareció luego en Tyrants Destroyed, de Nabokov, Nueva York, McGraw-Hill, 1975). El cuento relata cómo dos hermanas muertas, Cynthia y Sybil Vane, ejercen su influencia sobre el autor que escribe sobre ellas, sin que él lo sepa. Un pasaje descriptivo del comienzo habla de hielo y de un parquímetro. En el último párrafo del cuento, Sybil dice la siguiente frase acróstica:

I could isolate, consciously, little. Everything seemed blurred, yellow-clouded, yielding nothing tangible. Her inept acrostics, maudling evasions, theopathies —every recollection formed ripples of mysterious meaning. Every thing seemed yellowly blurred, illusive, lost.

[Conscientemente era poco lo que podía aislar. Todo era borroso, oculto tras una bruma amarilla, intangible. Sus acrósticos idiotas, sus evasiones torpes, sus teopatías: cada recuerdo despertaba ondas concéntricas de significados misteriosos. Todo era ilusión perdida, oculta tras la bruma amarilla.]

Terminó la conferencia. Se encendieron las luces, sonaron aplausos y yo fui a saludar a Iva. La ayudé a llevar el proyector y las diapositivas a su automóvil y fuimos a la casa que su padre había alquilado en las afueras de New Wye. Había tomado el nombre chino Iris Ho Toy, anagrama de su apellido japonés Toshiyori, y vivía sola, cerca de la universidad. Nadie sospechaba, dijo, que el profesor Marx era su padre.

La carrera del doctor Matrix en la Universidad de Wordsmith terminó pocas semanas después de la última conferencia. En una de ellas había anunciado que programaría la computadora del departamento de matemática para escribir poesía moderna. La memoria de la computadora contenía todas las palabras de la última edición del Random House Dictionary of the English Language y las normas para combinarlas, derivadas de un estudio cuidadoso de diez poetas contemporáneos. Así salieron cien ejemplares de un largo poema que, encuadernado en símil cuero, se podía adquirir a cincuenta dólares el ejemplar. El poema era impresionante, aunque varios de los dísticos eran un tanto trillados:

I’ve measured it from side to side;

’Tis three feet long, and two feet wide.

[Lo medí de lado a lado: mide un metro de largo por dos tercios de ancho.]

Tres semanas después, un joven jefe de trabajos prácticos del departamento de letras descubrió que el poema de la computadora era, palabra por palabra, la primera versión de «The Thorn», de William Wordsworth. Sin embargo, cuando se denunció el fraude, Marx y la señorita Toy habían desaparecido.

10. Villa Cuadrado [35]

«Estados Unidos ha vuelto a ser un país sano, ahora que los cuadrados han reafirmado su primacía. Que Dios los bendiga».

HERMAN KAHN, Newsweek, 4/7/76, pág. 30

En 1967, con el estrepitoso derrumbe del hippismo y el «vive como quieras», varios miles de adeptos al culto de la naturaleza y las flores quedaron a la deriva, sin saber si hacer el amor o la guerra. Daisy Jones, una tilinga, hija de un amigo mío, volvió a su casa después de mucho vagabundear. Las malas ondas del barrio hippy la habían trastornado a un punto tal que le resultaba imposible readaptarse a su antiguo modo de vida.

Entonces el señor Jones se enteró de la existencia de Villa Cuadrado.

—¿Qué es eso de Villa Cuadrado? —le pregunté, cuando me habló del tema en noviembre.

—Es un centro de rehabilitación para hippies en el noreste del condado de Westchester. Un lugar hermoso. Lo construyó un psicoterapeuta llamado Hawk, Irving J. Hawk, en un nuevo barrio de viviendas cerca del lago Peach.

Al escuchar las palabras «Irving Jota» presté atención.

—Ese doctor Hawk —pregunté—, ¿por casualidad no es un hombre alto y delgado, de nariz aguileña y ojos verdes?

—¡Sí! —exclamó Jones, sorprendido—. ¿Lo conoces?

—Creo que sí.

—Yo no lo conocía, pero su terapia parece efectiva. Daisy pasó nueve semanas y de veras se «enderezó». Nos costó 1024 dólares, pero valió la pena. Ahora ha retomado sus estudios secundarios y sus calificaciones son óptimas.

Al día siguiente fui a Villa Cuadrado. Cuando entré a la recepción, Iva me recibió con una mueca de sorpresa y fastidio a la vez.

—Por favor —susurró, para que no la escucharan los demás—, no nos delate.

—Y agregó, en tono normal: —Soy Mary Jane Grok, la secretaria del doctor Hawk. Por favor, tome asiento. El doctor lo recibirá lo antes posible.[36]

Iva llevaba su cabellera negra prolijamente peinada. De sus orejas pendían grandes aretes cuadrados de cerámica roja.

Por fin me hicieron pasar a la oficina. El doctor Matrix vestía traje de sarga gris, estaba bien rasurado y tenía el cabello canoso recortado al mejor estilo empresario. En sus puños brillaban gemelos cuadrados de plata y llevaba una esmeralda cuadrada en el dedo anular. Desde la pared a sus espaldas, el retrato del presidente Johnson, pintado por Norman Rockwell, me miraba desde su marco dorado con ojos francos y amables. En la pared de la izquierda había un afiche cuadrado con la leyenda: «Sea happy [feliz], no hippy: aprenda las reglas del juego». Un afiche similar en la pared opuesta mostraba la leyenda: «Es mejor ser rico y sano que pobre y enfermo».

—No pensé que nos descubriría tan rápido —dijo el doctor Matrix, y señaló su cigarrera cuadrada—. Siéntese. Sírvase un poco de nicotina y alquitrán.

Me dijo que la población de Villa Cuadrado era siempre de 361, el cuadrado de 19, la edad promedio de los pacientes. A los hombres les rasuraban las barbas y les recortaban el pelo al estilo militar. A las mujeres les recortaban el pelo y las hacían peinar por profesionales. Luego cada hippy recibía un juego de ropa convencional y un reloj pulsera y se le asignaba un dormitorio en una de las cuarenta y nueve viviendas idénticas de Villa Cuadrado.

—La base del tratamiento —prosiguió el doctor Matrix— es un proceso intensivo de condicionamiento del paciente en el arte de vivir como un cuadrado. Hay televisión color en todos los cuartos. No se permite tenderse ni sentarse en el piso. Hay cigarrillos en todos los dormitorios. Todo el mundo debe comer las tres comidas diarias y la cena incluye un aperitivo obligatorio.

—Me han dicho que la matemática forma parte del tratamiento.

—Sí, una parte esencial. Estos jóvenes inadaptados vienen después de muchos meses de vagar por un mundo de sueños. Aquí les ponemos los pies en la tierra, les enseñamos que la naturaleza tiene sus leyes, cuya violación entraña graves peligros. Por más que se sientan volar después de un fumo, si saltan por la ventana no se deslizarán suavemente hasta el suelo: la ley de la gravedad los matará. También les enseñamos las leyes de la higiene y la moral. El juego de la vida es como cualquier otro: sólo lo juega aquel que conoce las reglas.

—No comprendo qué papel juega la matemática en esto.

—A eso voy. Los hippies han aprendido a sobrevalorar el caos. Sus símbolos son las curvas azarosas del arte psicodélico y las espirales de sus mandalas. Aquí les enseñamos a apreciar la belleza del cuadrado de lados rectos. Les explicamos cómo los bordes rectilíneos se unen sin derrochar espacio. Les demostramos que, a medida que aumenta la población mundial, las formas cuadradas se vuelven indispensables para que todos quepan en las ciudades, los suburbios, los subterráneos, los trenes suburbanos. El interior de cada cuadrado posee innumerables propiedades secretas, admite todas las curvas que uno desee, pero la estrechez del espacio disponible exige un exterior rectilíneo como condición esencial.

—Creo que empiezo a comprender —dije—. El equivalente numérico del hombre cuadrado es, desde luego, el número cuadrado.

—Exactamente. El proceso de condicionamiento se inicia en el nivel más elemental de la aritmética. Lo primero que aprenden los pacientes es que un cuadrado de lado n posee necesariamente un área igual al cuadrado de n. Poco a poco, al conocer las elegantes propiedades de los cuadrados, se convencen de que son más poderosos y bellos que las mismas flores. Partimos de los hechos elementales: por ejemplo, que ningún cuadrado puede terminar con 2, 3, 7 ni 8 y que, a medida que se avanza en la progresión, los dígitos finales repiten hasta el infinito el ciclo palindrómico 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, con un 0 entre cada ciclo (Véase la Introducción de respuestas, Diez). Les enseñamos a extraer la raíz digital de un número, sumando sus dígitos y descartando los nueve hasta que queda un solo dígito. Descubren que las raíces digitales de los cuadrados son 1, 4, 7 o 9. También éstas siguen un ciclo palindrómico de 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, pero en este caso los ciclos son separados por el número 9.

—Son normas útiles para los aficionados a los juegos —dije—. Le doy un ejemplo. Yo sabía que el 12.345.678.987.654.321 es el cuadrado de 111.111.111, y quería averiguar si el 98.765.432.123.456.789 también era un cuadrado. Me pasé veinte minutos calculando la raíz cuadrada, hasta que recordé la prueba de la raíz digital. Es 8, por consiguiente, no es un cuadrado (Ver otra información en Respuestas, Diez) [10].

El doctor Matrix asintió y prosiguió:

—También les enseñamos que si los dos últimos dígitos de un cuadrado son iguales, sólo pueden ser 00 o 44, y el número menor es 144.

—¿Existe algún cuadrado terminado en tres cuatros?

—Sí. El menor es el 1.444, el siguiente es mucho mayor. A ver si sus lectores son capaces de calcularlo y de descubrir la fórmula que genera esos números (Véase Respuestas, Diez, I.) [1001]

—Perfecto —dije, anotándolo en mi libreta—. ¿Existe algún cuadrado que termine en cuatro cuatros?

—No, el máximo es tres. Y puesto que ni el 44 ni el 444 son cuadrados, vemos que ningún cuadrado de dos o más dígitos puede estar formado por números iguales. Es igualmente cierto que ningún cuadrado de dos o más dígitos puede estar compuesto sólo de dígitos impares. Tal vez sus lectores serán capaces de demostrar estas leyes. (Véase Respuestas, Diez, II.) [1002]

El doctor Matrix me dio tiempo para anotar estos datos y prosiguió:

—Veamos una curiosa propiedad del número 13. Elevado al cuadrado da 169. Escrito al revés el 961, cuya raíz cuadrada es 31, es decir, 13 al revés. El producto de 169 por 961 es 162.409, que también es un cuadrado. La suma de los dígitos de 169 es 16. La suma de los dígitos de 13 es 4, la raíz cuadrada de 16.

—¡Basta! ¡Me estoy volviendo loco!

—Algo más para terminar —sonrió el doctor Matrix—. Dejando de lado los números palindrómicos como el 11 y el 22 y los que terminan en 0, como 10, 20, 30, existe otro par de números de dos dígitos que poseen las mismas propiedades que el 13 y el 31.

—Plantearé el problema —dije. (Véase Respuestas, Diez, III.) [1003] —Estoy enterado de las investigaciones con números cuadrados que contienen todos los dígitos una vez, o dos veces, o sin el cero, y así sucesivamente. ¿Usted ha estudiado el problema?

—No, pero quiero hablarle de un notable descubrimiento que me fue comunicado hace poco por J. Malherbe, un matemático francés que conocí cuando estudiaba con el gran Bourbaki. Los números 57.321 y 60.984 contienen, juntos, los diez dígitos. Sus respectivos cuadrados, 3.285.697.041 y 3.719.048.256, también contienen, cada uno, los diez dígitos.

(Más adelante me enteré de otros pares de números que poseen la misma propiedad: 35.172 y 60.984; 58.413 y 96.702; 59.403 y 76.182.)

—¿Puede un cuadrado ser el doble exacto de otro cuadrado?

—No. Tampoco puede ser un múltiplo primo. Pero a mí me interesan otros aspectos, menos conocidos, de la teoría de los cuadrados. ¿Conoce los números automorfos?

Negué con la cabeza.

—Se llama número automorfo al que aparece al final de su propio cuadrado. Dejando de lado los casos triviales 0 y 1, el 5 y el 6 son los únicos automorfos de un sólo dígito. Los automorfos de dos dígitos son el 25, cuyo cuadrado es 625, y el 76, cuyo cuadrado es 5.776. Los de tres dígitos son el 625 y el 376. Para nuestros pacientes, estos números simbolizan el hecho de que, bajo la fachada del cuadrado, pueden conservar su identidad propia.

—Observo —dije— que para obtener un automorfo mayor se agrega un dígito delante del automorfo de orden inmediatamente inferior. ¿Existen dos automorfos para cada número dado de dígitos?

—Dos es lo máximo, pero en algunos casos sólo existe uno. El único ejemplo de cuatro dígitos es el 9376, suponiendo, claro está, que ningún número empieza con 0. El único automorfo de cinco dígitos es el 90.625.

—¿Existen números automorfos en todos los sistemas numéricos?

—No. Si la base es un número primo o potencia de un primo, no existen automorfos aparte del 0 y el 1.

Pensé un instante.

—Eso significa que la base 6 es el primer sistema con automorfos verdaderos.

—Sí. El siguiente es base 10. Tal vez a sus lectores les interese buscar los dos automorfos de dos dígitos con base 6. (Véase Respuestas, Diez, IV.) [1004]

—¿Existe un límite a la magnitud de los automorfos?

Figura 13. Cien dígitos de la serie automórfica que termina en 5.

El doctor Matrix me aseguró que no. Tomó mi libreta y escribió, de memoria, el automorfo de base 10 de cien dígitos que aparece en la Figura 13. Existe una elegante relación, dijo, entre pares de automorfos de la misma magnitud. Si se conoce uno, inmediatamente se puede deducir el otro. Invito a los lectores a deducir esta relación y utilizarla para construir el segundo automorfo de cien dígitos de base 10. (Véase Respuestas, Diez, V.) [1005]

—La mayoría de nuestros hippies, sobre todo las chicas, sufren jaquecas cuando estudian aritmética —dijo el doctor Matrix—. Sin embargo, muchos empiezan a interesarse en la matemática cuando superan sus síntomas de carencia. —Consultó su reloj pulsera cuadrado—: ¡Por todos los Bancos! Es hora de almorzar. ¿Puedo invitarlo?

El doctor Matrix, Iva y yo cruzamos el gran cuadrado enmarcado por las cuarenta y nueve casas de Villa Cuadrado. A pesar del frío el césped estaba lozano y prolijamente cortado. Había carteles cuadrados que decían: «aléjense de la hierba», pero Iva me explicó que se referían a la marihuana, y que no estaba prohibido cruzar el prado en diagonal.

Cuando entramos al comedor del edificio Eisenhower, los 361 ex hippies cantaban, de pie, un himno patriótico. Una gran bandera de Estados Unidos cubría toda una pared. Iva nos condujo a una mesa cuadrada en el sector reservado al personal. El doctor Matrix pronunció una breve plegaria y todos se sentaron.

—¿Qué harán durante el resto del día? —pregunté.

—Hoy, por ser sábado, no hay clases —dijo Iva—. Por la tarde se les proyectará La novicia rebelde. Luego volverán a sus dormitorios, a mirar televisión y leer el Selecciones. Esta noche habrá un square dance[37] con la orquesta de Lawrence Welk. Mañana a la mañana vamos todos a la capilla. Tenemos un capellán, pero mañana vendrá un pastor invitado. El doctor Norman Vincent Peale pronunciará una homilía sobre el tema «Dale bolilla a Dios».

—¿Les es difícil conseguir conferencistas invitados?

—No, les encanta ayudar a una causa cuadrada. La semana pasada hubo un sermón sobre los males de la metedrina, por el doctor Ellis D. (los hippies lo llaman L. S. D.) Sox, el director de Salud Pública de San Francisco. La semana entrante el secretario de Estado, Dean Rusk, nos explicará por qué estamos en guerra en Vietnam.

Después del café y una porción cuadrada de pastel de manzana, los chicos y chicas se pusieron de pie para recitar a coro la divisa de Villa Cuadrado, que consta de dieciséis palabras: «Los cuadrados son confiables, leales, serviciales, amistosos, amables, buenos, obedientes, alegres, austeros, valientes, limpios y respetuosos». Tras entonar a coro el himno «Dios bendiga a Estados Unidos» el doctor Matrix los invitó a retirarse.

En verdad, fue un desfile de chicas y muchachos de lo más limpios y respetuosos. Cada uno llevaba un broche cuadrado. En uno de ellos vi la leyenda «Amor, no hippismo».

Un joven de aspecto pulcro nos saludó al pasar.

—Si lo hubiera visto cuando llegó —dijo el doctor Matrix—. Un hippy de lo peor, que vagabundeaba por las calles de Greenwich Village y se hacía llamar Launcelot. Andaba descalzo, con trenzas largas, anteojos redondos y en la frente la palabra «amor» escrita con lápiz labial. Durante tres semanas no dijo otra cosa que «oye, tú». Su padre le enviaba dinero desde Tulsa, pero él cambiaba todo por billetes de diez dólares, los arrugaba en bollos y los arrojaba a los corredores en la Bolsa. Un día envió un telegrama a su padre: «Se me acabó la plata». La respuesta del padre fue «peor para ti», pero lo hizo detener por la policía de Nueva York para internarlo aquí. La metedrina lo había convertido en un monstruo, pero su vida cambió cuando pasó de la yerba a los números. Se irá la semana entrante para ocupar un puesto de programador en el centro de investigaciones que posee la IBM en Yorktown Heights, cerca de aquí.

Impresionado por todo lo que había visto y oído, prometí al doctor Hawk y a Mary Jane que no revelaría sus identidades hasta que me dieran permiso. Eso sucedió a fines de diciembre. Para entonces el hippismo estaba en ruinas y los chicos de la clase media adinerada ya no aportaban. Los hippies que seguían en la vida pertenecían a familias demasiado pobres para pagar la tarifa de Villa Cuadrado. El doctor Hawk vendió la propiedad a la editora de Selecciones. En la actualidad, las cuarenta y nueve viviendas de dos pisos pertenecen a empleados felices que viajan diariamente entre Villa Cuadrado y Villa Agradable.

11. Izquierda contra derecha

En noviembre de 1967, una semana antes de la elección presidencial, el doctor Matrix concedió una entrevista en Nueva York a Charlie Rice, quien la publicó en su columna «Punchbowl», del semanario dominical This Week. A continuación aparecía un reportaje a un partidario de Nelson Rockefeller. La columna sirvió de base para una gacetilla que fue difundida por las agencias noticiosas y publicada en muchos diarios de todo el país. La gacetilla decía:

«El análisis numerológico de los apellidos de los candidatos con mayores posibilidades de triunfar en la próxima elección revela que Nelson Rockefeller es el político más ‘equilibrado’ del país, mientras que Lyndon Johnson es el más ‘desequilibrado’. Así lo advirtió hoy el doctor Irving Joshua Matrix, el numerólogo más importante del mundo.

»Para determinar el ‘equilibrio’ entre derecha e izquierda de un dirigente político, explicó el doctor Matrix, se asigna a cada letra el número de orden que le corresponde en el alfabeto: a es 1, b es 2, c es 3 y así sucesivamente. Luego se compara la suma de las letras del lado izquierdo de su nombre con la de las letras del lado derecho para obtener el ‘grado de equilibrio’ del nombre. Por ejemplo: Rom, las tres primeras letras de Romney, son 18, 15 y 13, que suman 46. Las últimas tres letras, ney, son 14, 5 y 25, que suman 44. La relación es 44/46. Esto indica, dijo el doctor Matrix, que George Romney es un hombre bastante equilibrado, pero con una leve tendencia hacia la izquierda.

»Si el nombre posee un número impar de letras, como en el caso de Nixon, se descarta la letra central, llamada ‘punto de apoyo’, porque no ejerce su peso en ninguno de los dos sentidos. Ni suma 23, on suma 29, lo que indica un desequilibrio de 6 puntos hacia la derecha. William Buckley, quien no es candidato presidencial, muestra una relación 26/42, con un gran desequilibrio de 16 puntos hacia la derecha. Mayor aún, como señaló Matrix, es el desequilibrio que presenta el doctor Benjamín Spock, de 35/14, es decir 21 puntos hacia la izquierda.

»El más desequilibrado de los principales contrincantes, advirtió el doctor Matrix, es el presidente Johnson. Joh suma 33, son suma 48, lo que indica una fuerte inclinación de 15 puntos hacia la derecha. El único candidato totalmente equilibrado es Nelson Rockefeller, con una relación 52/52.

»‘El 52 es extraordinariamente pesado —dijo el doctor Matrix—, lo cual indica la probabilidad de que Rocky obtenga gran apoyo tanto de la derecha como de la izquierda.’

»Cuando se le pidió una opinión sobre Shirley Temple, el doctor Matrix sonrió al señalar que ‘Temple’ da 38/33, con una suave inclinación a la izquierda para la Dulce Heidi. Sin embargo, agregó, Shirley se presentó a las elecciones parlamentarias con su apellido de casada, Black [negro]. Evidentemente, entre los candidatos con menos posibilidades, las perspectivas de Shirley son las más sombrías. ‘Es verdad —reconoció— que Black muestra un equilibrio perfecto, 14/14. Pero el peso es tan escaso que debemos considerar a la señora Black una candidata de peso liviano.’» (En la actualidad, la señora Black es embajadora de Estados Unidos en la nación negra de Ghana, lo cual es muy adecuado. N. del A.)

Como se sabe, Nixon ganó la candidatura republicana y su compañero de fórmula fue Spiro Agnew (¡20 puntos a la derecha!). Su contrincante fue Hubert Humphrey (escasos 2 puntos a la izquierda), acompañado por Edmund Muskie (¡28 puntos a la izquierda!). No es casual que el electorado, que en ese momento revelaba una fuerte tendencia conservadora, eligiera la fórmula Nixon-Agnew.

12. Quinta Avenida

Después de la venta de Villa Cuadrado no volví a recibir noticias del doctor Matrix hasta el 4 de noviembre de 1968, la víspera de las elecciones. Iva me llamó para decirme que ella y su padre pasarían unos días en Nueva York. ¿Podríamos cenar juntos al día siguiente? Desde luego, acepté con gusto. Nos citamos para las 15 en la Promenade de Rockefeller Center, la calle peatonal que va de la Quinta Avenida hasta la estatua dorada de Prometeo, junto a la fuente de la plaza inferior.

Era una tarde gris, pero la temperatura era agradable. Cuando llegué, los encontré paseando en sentido contrario a las agujas del reloj por la ventosa Promenade, con sus macizos de flores. El doctor Matrix representaba al aspecto imponente de siempre: alto, canoso, ojos verdes que contemplaban todo con gran interés. Iva llevaba su cabellera negra recogida y fijada con spray; su minifalda al viento era el centro de todas las miradas masculinas. Nos besamos afectuosamente en las mejillas, y un exótico perfume impregnó mis fosas nasales.

Ocupamos un banco de madera frente a la librería francesa de la Promenade. Iva me dijo que acababan de volver de Djakarta, Indonesia: el gobierno había invitado a su padre a asesorarlo para poner en marcha el Hwa Hwee, la lotería de números de la ciudad. Recordé haber leído en el New York Times (domingo, 9 de junio de 1968) que, desde la legalización de ese antiguo juego chino de azar en Djakarta, a principios de 1968, los cuatro millones de habitantes de la ciudad estaban tan obsesionados con él que incluso habían olvidado los enormes problemas políticos y económicos del país.

Sin entrar en detalles sobre el complejo ritual, el Hwa Hwee consiste en lo siguiente. Todas las mañanas, a las 11, se elige en absoluto secreto un número del 1 al 36. Se encierra el número en un cilindro, el cual se guarda en una bolsa de tela roja; la bolsa cuelga del techo de una «sala de oración» budista en un pequeño salón de juegos del distrito chino de Glodok. Durante el día se difunden pistas enigmáticas. Se reciben apuestas hasta las 23. A las 24 en punto, mensajeros especiales recorren la ciudad en motocicleta gritando «¡Hwa Hwee!» y el número ganador. La apuesta mínima es de 250 rupias (unos 75 centavos de dólar) y el juego paga 25 a 1. La ciudad invierte la mayor parte de sus enormes ganancias en la construcción de escuelas. Durante tres meses el doctor Matrix trabajó con Tan Eng Giap, el autor de las pistas que se difunden durante el día, para elaborar métodos tendientes a evitar las trampas y desalentar el «Hwa Hwee negro», garitos clandestinos que aparecían en los barrios pobres de la gran ciudad.

—El señor Giap, cuyas iniciales invertidas forman GET [conseguir], es un hombre astuto —dijo el doctor Matrix—. Lo conocí hace años, cuando era crupier de un garito clandestino de Djakarta. Sus pistas son verdaderamente ingeniosas.

—Me gustaría quedarme un rato más —dijo Iva al pararse—, pero debo hacer algunas compras. Nos veremos en un par de horas. Hágame acordar que le cuente los problemas que tuvimos en Chicago, donde la mafia contrató a papá para montar su propia lotería.

—Me imagino —dijo el doctor Matrix cuando Iva hubo partido— que usted querrá un pronóstico de los resultados electorales.

—Es precisamente lo que iba a pedirle.

—No cabe duda de que Nixon será el 37º presidente. Observe que 37 es un número primo.[38] Lo menciono porque el único presidente cuáquero hasta la fecha fue Herbert Hoover, quien también fue el último en ocupar un número primo en el orden de sucesión: el 31º.

Empecé a tomar apuntes mientras el doctor Matrix desarrollaba su análisis.

—La gran ventaja de Nixon es que su apellido termina con on. Anteriormente, de George Washington a Lyndon Johnson, hubo nueve presidentes on contra un solo ey, William McKinley. Nixon es consciente de esta ventaja, por eso su eslogan electoral es «Nixon’s the one» [Nixon es el único]. Wallace obtendrá un buen resultado porque, al igual que muchos presidentes de este siglo, tiene la letra doble. Humphrey obtendrá más votos de lo que cabría esperar debido a sus iniciales HHH, vertical y especularmente simétricas. Para colmo, la H es la octava letra del alfabeto, y el 888 presenta el mismo tipo de simetría. Los tres ochos suman 24, lo mismo que los dígitos de 1968. Desgraciadamente, esto no basta para contrarrestar la ventaja del on sobre el ey.

—¿No le llama la atención —dije— que los últimos dos candidatos por fuera de los partidos tradicionales se llamaran Wallace? Henry Wallace, izquierdista, en 1948. George Wallace, derechista, veinte años después.

—Paralelo a esto —dijo el doctor Matrix— tenemos la extraña inversión derecha-izquierda con los apellidos de Joseph McCarthy y Eugene McCarthy. Por otra parte, los nombres de pila de los dos Wallace forman Henry George, candidato a intendente de Nueva York en 1886 (y 86 es 68 al revés) con un programa basado en la creación de un impuesto único. Demasiado simplista, condenado a la derrota de antemano, igual que los dos Wallace.

Tras una serie de interesantes comentarios sobre los nombres de los tres candidatos presidenciales, que no reproduzco aquí por falta de espacio, el doctor Matrix me enseñó los siguientes juegos con palabras. Los había creado para que yo los empleara, dijo. Pertenecen a un tipo de juego denominado «paso del rey», muy comunes en los viejos libros de acertijos. Se trata de una matriz rectangular, dividida en celdas, con una letra en cada celda. Uno se desplaza de una celda a otra respetando los movimientos del rey en el ajedrez para descubrir un refrán o la mayor cantidad posible de nombres de flores o animales o lo que sea. La mayoría de estos juegos son más bien aburridos, pero el doctor Matrix había inventado una variante menos trivial. Se trata de tomar el nombre completo de una persona conocida, que en lo posible no contenga letras repetidas (aunque esta regla se puede obviar si se permite pasar dos veces por una misma celda) y diseñar un ordenamiento simétrico de celdas cuadradas que permita colocar las letras del nombre en un solo «paso del rey». Hay una restricción adicional: para obtener el número mínimo de celdas, es necesario que cada letra aparezca una sola vez.

Figura 14. Tres matrices para formar nombres con «el paso del rey». Colóquense en los casilleros de la matriz inferior derecha las letras de RICHARD MILHOUS NIXON.

El doctor Matrix me mostró dos hermosos ejemplos del juego (véase la Figura 14). En la matriz superior la línea indica cómo, a partir de la L y desplazándose a razón de una celda por vez en cualquier dirección (como el rey en el ajedrez) se puede deletrear LYNDON BAINES JOHNSON. La matriz inferior izquierda contiene las letras de HUBERT HORATIO HUMPHREY. ¿Puede el lector colocar las trece letras de RICHARD MILHOUS NIXON en las celdas de la matriz inferior derecha, de manera tal que un solo paso del rey recorra el nombre completo del presidente? (Véase Respuestas, Doce, I.) [1201]

—¿Leyó usted el sensacional ataque de Edward Jay Epstein contra Big Jim Garrison, el fiscal de Nueva Orleans, en el New Yorker (13/7/68)?[39] Explica cómo Garrison derivó el teléfono secreto de Jack Ruby en Dallas a partir del misterioso número 19106 en la libreta de Lee Harvey Oswald.

(Se reordenan los dígitos escribiendo sucesivamente el primero, el último, el segundo, el anteúltimo y finalmente el central, con lo cual se obtiene el 16.901. Se le resta 1.300, lo que da el 15.601, el número del teléfono particular de Ruby.)

—Como método numerológico es sumamente tosco —dijo el doctor Matrix con un brillo divertido en sus ojos color esmeralda—. Otro método más sencillo consiste en dividir el 19016 en 1-9-10-6. Luego se aplica el código de A igual a 0, B igual a 1, C igual a 2, etcétera, con lo que se obtienen las letras BJKG. La K sólo puede referirse a Kennedy, y BJG son las iniciales de Big Jim Garrison. También puede separar todos los dígitos, 1-9-1-0-6, con lo cual obtiene BJBAG, Big Jim’s Bag [el arresto de Big Jim].

El mismo código, añadió el doctor Matrix, se puede aplicar al 18960, es decir, la diferencia entre el 191006 de Oswald y el 00416, el número de la celda de James Earley Ray antes de su fuga de la penitenciaría estatal de Missouri en 1967. 1-8-9-6-0 se convierte en BIG JA, el comienzo de Big James.

—Le escribiré a Mort Sahl —reí, mientras anotaba estos datos.[40]

Nos paramos y paseamos lentamente por la Quinta Avenida.

—El año próximo será interesante —dijo el doctor Matrix—; el 69 se puede invertir. Un número apropiado para finalizar la década de 1960, tan enfermiza y cargada de sexo. El revés del 69 es el 96, y sus nombres en inglés, SIXTY-NINE y NINETY-SIX, son anagramas.

En una vidriera vimos varios ejemplares de un reciente best-seller: The Double Helix, de Jarnos D. Watson.

—El premio Nobel 1962 fue compartido por Crick, Watson and [y] Wilkins —dijo el doctor Matrix, pensativo—. No sé si observó que and es DNA al revés.

Señalé los enormes números 666 en el Edificio Tishman, Quinta Avenida 666.

—¿Le sugiere algún comentario?

—Ya hemos hablado de la marca de la Bestia en el libro del Apocalipsis —suspiró—. Le digo con franqueza que el tema me aburre. Un numerólogo hábil, como yo, es capaz de deducir el 666 de cualquier nombre. Vea el caso de Vincent López, el director de orquesta con veleidades de numerólogo. (Véase López, V.: Numerology: How to Be Your Own Numerologist, Citadel Press, 1961.) Una vez para divertirme, numeré las letras al revés: la Z era 101, la A 126. Los valores de las letras de V. LOPEZ son 105, 115, 112, 111, 122, 101. La suma es 666. Mi nombre completo es Irving Joshua Matrix: cada nombre tiene seis letras. Mi segundo nombre, así como la clave de mi verdadera identidad, aparecen en el versículo seis del capítulo seis del sexto libro de la Biblia. Es ingenioso, pero trivial.

—Recuerdo que una vez me dijo —comenté mientras aguardábamos que el semáforo de la calle 52 nos diera paso— que cada entero posee propiedades numerólógicas particulares.

—En efecto.

—¿Y éste? —pregunté, señalando el letrero de la esquina.

—Es el número de naipes en un mazo —respondió sin vacilar—, y el número de semanas en el año. Le sorprenderá saber que los nombres de los naipes en inglés contienen, sumados, 52 letras. Los cuatro palos corresponden a las cuatro estaciones, las doce figuras a los doce meses. Si suma los valores de los 52 naipes, más 1 por el comodín, el resultado es 365, como los días del año.[41]

Alcé mi lápiz para señalar un cartel que decía: «Abierto de lunes a viernes de 9 a 5» y le pregunté qué podía deducir.

—Nueve sobre cinco, es decir 9/5, más la raíz cuadrada de 9/5, es igual a 3,1416+; notable aproximación a pi, ¿no le parece? Eso lo descubrió mi amigo Fitch Cheney el año pasado. Dígale a sus lectores que si escriben los tres primeros dígitos de pi, 314, trazando el cuatro de manera que sus dos trazos no horizontales se unan en la cima, y lo miran al espejo, recibirán una agradable sorpresa.

Al llegar a la calle 57 cruzamos la avenida y entramos a la joyería Tiffany’s.

—Iva llegará dentro de diez minutos —dijo el doctor Matrix, tras consultar su reloj—. Le compré una pulsera especial para su cumpleaños.

La pulsera, realizada por Tiffany’s a pedido del doctor Matrix, contenía dieciséis cuentas esféricas del mismo tamaño, ocho de jade y otras tantas de perla. Pero la perla y el jade no estaban alternados, sino dispuestos aparentemente al azar (véase la Figura 15).

Figura 15. Pulsera combinatoria de dieciséis cuartetos de cuentas de jade (1) y perla (0).

—¿Comprende con qué criterio están ordenadas? —preguntó el doctor Matrix.

Estudié la pulsera durante varios minutos y finalmente debí reconocer que no percibía ningún orden.

Cuando tira una moneda n veces, me explicó el doctor Matrix, el número de resultados, todos igualmente probables, es igual a 2 elevado a la n. Con dos tiros hay cuatro resultados posibles: cara-cara, cara-ceca, ceca-cara y ceca-ceca. Tres tiros dan ocho resultados, cuatro dan dieciséis y así sucesivamente. Este mismo criterio se aplica a las distintas maneras de disponer una serie de n cuentas en hilera cuando cada cuenta es de uno de dos colores. Esto plantea un interesante problema combinatorio. ¿Es posible disponer 2 elevado a la n cuentas en círculo, la mitad de un color y la mitad de otro, de manera tal que todas las combinaciones n-tuples posibles estarán representadas por n cuentas adyacentes a medida que se recorre el círculo?

La respuesta es sí. Para n igual a 2 existe una sola solución (Figura 16). Recorriendo el círculo en cualquier dirección, tomando dos cuentas por vez, se obtienen los cuatro dobletes posibles. Para n igual a 3 también existe una sola solución. Al recorrer el círculo en cualquier dirección, tomando tres cuentas adyacentes por vez, se obtienen los ocho tripletes posibles. Desde luego que se puede disponer las cuentas en orden inverso, pero esto no se considera una solución distinta, porque consiste simplemente en dar vuelta la pulsera o recorrer el círculo en la dirección contraria. Se podría pensar que la solución «complementaria» de ésta —sustituir cada cuenta blanca por una de color y viceversa— es distinta, pero en realidad se obtendría una pulsera idéntica a la que muestra la figura.

La pulsera menor que contenga todos los cuartetos posibles de cuentas de jade y de perla deberá tener 2⁴, es decir, 16 cuentas. Esa era la pulsera que el doctor Matrix le regalaría a Iva. Si recorre la pulsera en cualquiera de las dos direcciones (Figura 15), tomando cuatro cuentas por vez, hallará las 16 combinaciones de 1 y 0 (1 representa el jade y 0 la perla, o viceversa); las dieciséis disposiciones corresponden a las formas binarias de los números 0 a 15.

La solución que se obtiene por inversión del orden de las cuentas no es nueva. En cambio, la complementaria (el intercambio de colores) sí lo es. Existen ocho soluciones distintas al problema de cómo ordenar los cuartetos, incluyendo los complementos, pero excluyendo las inversiones. El lector ya conoce dos: la que se ve en la figura y su complemento. ¿Será capaz de hallar las seis restantes? (Véase Respuestas, Doce, II.) [1202]

Figura 16. Pulseras combinatorias de dobletes (izquierda) y tripletes (derecha).

En la concurrida acera de Tiffany’s, mientras Iva admiraba su pulsera, el doctor Matrix extendió su diestra.

—Tengo un compromiso —dijo—. Lamento que no podré pasar la velada con ustedes.

—Yo también lo lamento —respondí con absoluta falta de sinceridad.

13. La Luna

Tras el histórico alunizaje de la misión Apolo 11 en julio de 1969, se me ocurrió que el doctor Matrix podría hacer algunos comentarios interesantes al respecto y a la vez brindarme algunos datos sobre el final de la década de 1960-1969. Envié una carta a su última dirección pero el peripatético doctor y su hija Iva habían partido y se desconocía su paradero. Mi carta recorrió cinco direcciones en ciudades europeas y asiáticas hasta que finalmente lo alcanzó.

Le había formulado una serie de preguntas. Las transcribo a continuación, junto con una versión levemente abreviada y corregida de las respuestas del gran numerólogo.

PREGUNTA: ¿Ha descubierto usted rasgos numerológicos notables en la misión Apolo 11?

DOCTOR MATRIX: El símbolo clave del «moon landing» [alunizaje], frase de 11 letras, es, desde luego, el 11. Lo podemos interpretar de dos maneras: como un número once o como un par de números uno.

Empecemos con el 11. La undécima letra del alfabeto es la k. No es casual que el presidente Kennedy iniciara el proyecto Apolo, ni que el Apolo 11 fuera lanzado de cabo Kennedy. El 11 es el menor factor primo de 1969. El alunizaje se efectuó en el Mar de la Serenidad, cuyo nombre en inglés, Tranquility,[42] tiene once letras. El primer mensaje que llegó desde el suelo lunar fue la frase de Neil Armstrong, «Un pasito de este hombre, un gran salto de la humanidad», que contiene exactamente 11 palabras. (Armstrong aclaró luego que había dicho «del hombre», pero el poder del 11 es tal, que la frase recibida decía «de este».) Armstrong tenía en ese momento 38 años, y 3 más 8 es igual a 11. Cuando los tres exploradores de la Luna acuatizaron en el Pacífico, cayeron a 11 millas del buque de rescate, el portaaviones Hornet. Allí les entregaron medallas que decían «Hornet plus three» [Hornet más tres]. Las seis letras de HORNET y las cinco de THREE suman 11. Son sólo algunos de los 11 en el vuelo del Apolo 11.

Ahora, si consideramos al 11 como un par de unos, tenemos el símbolo de los dos primeros hombres que pisaron la luna. La a es la primera letra del alfabeto. No es casual, entonces, que los apellidos de los dos primeros hombres que dejaron sus huellas en la Luna empiecen con A: Armstrong y Aldrin. La A aparece dos veces en NASA. Si escribimos Neil Arm Strong Astronauta tenemos un acróstico de NASA.

La ingeniosa frase palindrómica rusa A LUNA RANULA, «la luna desapareció», de Andrei Voznesensky (New York Times, 21/7/69) tiene por objeto, según el poeta, viajar letra por letra ida y vuelta entre la Luna y la Tierra. El palíndroma contiene 11 letras, entre ellas cuatro a y las dos l del nombre inglés Apollo. La segunda inicial de Armstrong es A., por consiguiente los primeros hombres que pisaron la Luna reunían tres iniciales A. La cuarta A del palíndroma corresponde a Andrei. También aparecen tres a en United States of America. Quizá fue la doble A de las iniciales de Armstrong, simbolizadas por el 11, lo que determinó que fuera él quien pisó la Luna por primera vez.

Edwin Aldrin (11 letras) tiene como segunda inicial la E., lo cual nos da dos iniciales E. Ya vimos con qué «elegancia» Aldrin paseó por el suelo lunar. Su hijo menor, Andrew, tiene 11 años y sus iniciales son AA. El apellido de soltera de la madre del Edwin Aldrin era Moon [Luna], El coronel Michael Collins (Mike Collins tiene 11 letras) permaneció a bordo del módulo de comando. ¿Es casual que tanto COMANDO como COLUMBIA, el nombre de su nave, empiecen con c?

Al momento de escribir estas líneas ya se prepara el Apolo 12 para noviembre. Los astronautas que pisarán la luna son Alan L. Bean y Charles Conrad. Es decir, después de las a de Apolo 11 vendrán la b y la c de Apolo 12. La misión Apolo 12 será tan sencilla como el ABC, pero Apolo 13 plantea graves peligros debido al infausto número.[43]

Para finalizar, tal vez a sus lectores les interese hallar la palabra de 11 letras que se puede formar reordenando las de ANOTAS RUTAS.[44] (Véase Respuestas, Trece, I.) [1301]

PREGUNTA: ¿Conoce algún problema digital relacionado con la exploración del espacio?

DR. MATRIX: Cuando los tres astronautas volvieron a tierra el vicepresidente Agnew propuso que se iniciaran planes para enviar hombres a Marte antes del año 2000. Es significativo, desde el punto de vista numerológico, el hecho de que no hay letras repetidas entre las diez que forman SPIRO AGNEW. Multiplíquese SPIRO por el número místico 7 —los siete días de la semana de la creación, mencionada por el presidente Nixon en su cálida acogida a los astronautas cuando retornaron en julio, el séptimo mes— y sea el producto AGNEW. (Así tenemos 11 símbolos en total.) El criptograma numérico se escribe así:

Si cada letra representa un dígito distinto y, como es costumbre en estos problemas, ninguno de los dos números de 5 dígitos empieza con 0, este criptograma numérico admite una sola solución. Creo que a sus lectores les fascinará hallarla. A primera vista, se comprende que la S representa el 1, caso contrario el producto tendría más de cinco dígitos. Por eso mismo la P debe representar 0, 2, 3 o 4. Al profundizar en el problema se advierte que la A debe ser 7, 8 o 9 y que la O no puede ser 0, 1, 3 ni 5 (ya vimos que la S es 1; si fuera 3, la W sería necesariamente 1; si fuera 0 o 5, la O y la W representarían el mismo número). A partir de aquí el problema se complica, pero se puede resolver fácilmente sin ayuda de una computadora. Si el multiplicador es 0, 1 o 6 no existe más de una solución. (Véase Respuestas, Trece, II.) [1302]

PREGUNTA: Al finalizar 1969 terminará la década de 1960. ¿Tiene algún comentario numerológico que hacer?

DR. MATRIX: En una de sus columnas usted citó mi frase de que los decimales de pi contienen toda la historia de la raza humana. La década de 1960 se caracterizó por su variedad y cambios sin precedentes. Los decimales de pi, del 60o al 69º son 4592307816.

¿Cuál es la particularidad del 4592307816? ¡Es la primera serie de diez dígitos consecutivos de pi en la cual no se repiten los dígitos! Si los dos primeros aparecieran en orden inverso, los pares y los impares se alternarían en toda la serie. El 70o decimal es 4, el mismo que inicia la serie. Vaticino que en 1970 se producirá un acontecimiento importantísimo vinculado con el número 4, estrechamente relacionado con un 4 de 1960.[45]

Donald E. Knuth, experto en computación, ha señalado otro hecho extraordinario, que refuerza mi interpretación de los decimales 60-69 de pi. Los decimales 1960 a 1969 son 5739624138. Aquí no aparece el 0 debido a la repetición del 3, pero sí todos los dígitos del 1 al 9. La probabilidad de hallar los diez dígitos en una sucesión de diez dígitos al azar equivale, según Knuth, a 10!/10¹⁰, es decir, 0,00036288. Lógicamente, la probabilidad de que ello suceda en los decimales 60 a 69 de pi no es demasiado baja, pero si lo suficientemente como para merecer un cuidadoso estudio.

Los decimales 70 a 79 son casi tan interesantes como los anteriores: 4062862089. Observe la extraña repetición de los cuatro dígitos en los dos cuartetos centrales adyacentes, y que todos los dígitos menos el último son pares. Es indudable que en 1979 se producirá un suceso extraordinariamente singular.

Una última observación sobre 1969. Elévelo al cuadrado, separe los últimos dígitos y dé vuelta la hoja: aparece otra vez el 1969. Aparte del caso trivial del año 1, ¿cuáles años entre el 1 y el 9999 aparecen patas para arriba al final de sus propios cuadrados? (Véase Respuestas, Trece, III.) [1303]

PREGUNTA: ¿Puede formular algún problema interesante, vinculado con los planes de exploración de la luna?

DR. MATRIX: Supongamos que la luna es una esfera perfecta y que se trata de instalar n bases lunares lo más distantes posibles unas de otras. Más precisamente: ¿Cómo disponer n puntos sobre una esfera, de manera tal de obtener la distancia máxima entre dos puntos cualesquiera? Es un problema equivalente al de colocar n círculos máximos no superpuestos sobre una esfera.

Si n = 2, la respuesta es obvia: las bases lunares ocupan extremos opuestos de un mismo diámetro. Tres bases se colocarían en los vértices de un triángulo equilátero inscrito en el ecuador. Cuatro bases sólo podrían colocarse en los vértices de un tetraedro inscrito.

Pasemos a n = 6. La única respuesta posible consiste en colocar los puntos en los vértices de un octaedro regular inscrito o, lo que es lo mismo, en los centros de las seis caras de un cubo circunscrito. El caso de n = 5 tiene una solución inesperada. Se aplica la solución de seis puntos y se quita uno: así se obtiene la mejor solución posible para cinco. No es una solución única: dos puntos ocupan extremos opuestos de un diámetro, pero los tres restantes pueden desplazarse sobre el ecuador en infinidad de posiciones.

Las soluciones para 7 y 9 puntos son únicas en cada caso. Si n = 8, la mejor colocación para los puntos no es, como podría suponerse, en los vértices de un cubo inscrito, sino en los de un antiprisma cuadrado, para n = 12 la mejor colocación son los vértices de un icosaedro inscrito (o los centros de las caras de un dodecaedro circunscrito). La solución de n = 10 fue obtenida por Ludwig Danzer en 1962, pero aún no se ha publicado la demostración. Danzer ya había obtenido anteriormente la solución de n = 11 al demostrar que era similar a la de n = 5. Se trata de quitar un punto de la solución de n = 12. Los once puntos (véase Figura 17) ocupan un lugar fino. No se los puede rotar como en el caso de n = 5.

Figura 17. Cómo colocar las bases lunares de manera que quede la mayor distancia entre ellas. Se dan las soluciones para dos a nueve, once y doce bases.

Queda otra solución conocida, la de n = 24. En 1961 Raphael M. Robinson halló la demostración de una hipótesis de B. L. van der Waerden, de que los puntos debían ponerse en los vértices de un cubo romo inscrito. El cubo romo es uno de los sólidos semirregulares de Arquímedes (véase la Figura 18). Este poliedro es asimétrico, por consiguiente tiene una forma diestra y una zurda. Sus treinta y ocho caras incluyen seis cuadrados y treinta y dos triángulos equiláteros. (Para mayores referencias véase Respuestas, Trece, IV.) [1304]

PREGUNTA: ¿Desea agregar algo más?

DR. MATRIX: Noviembre de 1969 es lo que mi amigo Kirby A. Baker, matemático de la Universidad de California en Los Angeles, llama un mes perverso.

El mes perverso tiene seis semanas calendarias, es decir, requiere seis renglones en el calendario a menos que el último día o los últimos dos sean compuestos en cuerpo menor en el quinto renglón. Baker pregunta cuál es el número máximo de meses perversos en un año. ¿Cuál es el número mínimo de viernes 13 [46] que puede haber en un año, es decir, tres y uno? Se ha demostrado que la probabilidad de que el 13 sea un viernes es mayor que para cualquier otro día de la semana.

Figura 18. El cubo romo, solución para el problema de 24 bases.

En 1970 tendremos el número máximo, lo cual es un mal presagio. Los otros años de este siglo en que habrá tres viernes 13 son 1981, el infausto 1984, 1987 y 1998.

Baker ha demostrado que a mayor número de meses perversos, menor número de viernes 13 y viceversa. Por eso, dice, «un año favorable para los fabricantes de calendarios es desfavorable para el resto de la humanidad, y viceversa». (¿Puede el lector determinar la relación exacta entre los meses perversos y los viernes 13 de un año dado?) (Véase Respuestas, Trece, V.) [1305]

14. Honolulú

A pesar de las suaves brisas de Hawái, sus bellos cielos celestes y las amables sonrisas de sus habitantes, siempre he tenido la sensación de que detrás de cada ventana se ocultan extraños misterios en la patria del mago y detective Charlie Chan. Por eso, cuando asistí a un congreso de matemáticos en la Universidad de Hawái, no me sorprendió en absoluto encontrarme con el doctor Matrix al salir del comedor del hotel Honolulú. El célebre numerólogo bebía café y leía absorto un diario en japonés. Di una doble vuelta y me dirigí a su mesa.

—Sí, nuestro último encuentro fue hace más de dos años —dijo, al pararse para estrecharme la mano. Vestía a la moda, con traje de lino blanco, el pelo canoso bien recortado y patillas largas. Sus ojos brillantes me miraban perplejos y divertidos a la vez.

—¿Vino a la reunión de matemáticos? —pregunté.

—No. Iva y yo viajamos a Tokio, pero decidimos pasar tres semanas en Honolulú, descansando y gozando de la playa.

Iva se encontraba en la playa de Waikiki, frente al hotel. El doctor Matrix dijo que volvería a la hora del almuerzo, y me invitó a pasar la mañana con él en su cuarto. Acepté con gusto, aunque ello significaba faltar al simposio matutino, dedicado a nuevos descubrimientos en topología.

Lo primero que vi al entrar a la espaciosa suite del doctor Matrix fue un gran tablero de ajedrez colocado sobre una mesa en el centro del salón. Los trebejos, bellas piezas de marfil blanco y negro, ya estaban dispuestos.

—No sabía que jugaba al ajedrez —dije.

—Sí. Desgraciadamente, soy un excelente jugador. Creo que fue Montaigne quien dijo que el ajedrez es un juego demasiado serio como para ser entretenido y demasiado frívolo como para ocuparse seriamente de él.

—Es posible. Philip Marlow, el detective de las novelas de Raymond Chandler, dice en una de ellas, creo que en The Long Goodbye, que el ajedrez representa «el mayor derroche de inteligencia humana que se puede hallar fuera de una agencia de publicidad».

—Efectivamente. ¿Qué le parece si derrochamos un poco de inteligencia mientras conversamos?

Nos sentamos. El doctor Matrix tomó un peón blanco y uno negro y los agitó en sus manos, luego extendió los brazos con los puños cerrados. Señalé el puño derecho, pero cuando lo abrió, su mano estaba vacía. Antes de que yo pudiera reaccionar, la cerró y abrió la zurda. También estaba vacía. La cerró y abrió las dos al mismo tiempo: ¡tenía un peón en cada mano!

—Es un jueguito de prestidigitación que me enseñó Tenkai, el mago japonés —rió—. Trabajé con él cuando era joven. Pero ya que eligió blanco, empiece usted.

Giramos el tablero para colocar las piezas blancas de mi lado.

—No soy buen jugador —dije, y avancé mi peón rey dos espacios.

El doctor Matrix hizo la misma jugada con su peón rey. Llevé mi caballo rey a alfil tres y el doctor Matrix replicó con la jugada tradicional de caballo dama tres alfil para proteger su peón. Llevé mi alfil rey a cuatro alfil: la vieja apertura Giuoco Piano.

—¿Qué hay de nuevo en el campo de la numerología? —pregunté.

—Las correlaciones que eran de esperar —dijo—. Últimamente, no sé si estaba enterado, han aparecido muchas coincidencias entre los nombres de personas célebres y sus profesiones. Claro que en realidad no son meras Coincidencias.

Tomé mi lápiz y mi libreta de apuntes.

—Veamos el caso de Lionel Tiger [Tigre], el antropólogo. Últimamente publicó una serie de trabajos sobre la conducta animal comparada con la conducta humana. Su cara redonda le da cierto aspecto de león o de tigre. Su colaborador en la Universidad de Rutgers es el antropólogo Robin Fox [zorro]. La señorita Iris C. Love [amor] es arqueóloga de la Universidad de Long Island. En 1969 desenterró el templo de Afrodita en Cnidos, Turquía. En noviembre pasado identificó lo que podría ser la cabeza original de la célebre estatua desnuda de Praxiteles, la más importante del templo. Una cosa que siempre he lamentado es que en mi anterior reencarnación como Pitágoras, no pude vivir para verlo.

—Si mal no recuerdo —dije—, la señorita Love descubrió la cabeza en un rincón oscuro y polvoriento del Museo Británico.

—Así es. ¿Sabía que la pieza está consignada en el inventario con el número 1314? Desde luego que el 1314 es una permutación cíclica de los primeros cuatro dígitos de pi, la más elegante de todas las proporciones.

El círculo es, tradicionalmente, el símbolo de la belleza femenina. Un libro sobre educación sexual que apareció en agosto pasado provocó gran revuelo. Su autora es, lógicamente, Mary Breasted [despechugada].

—Hace poco leí un libro sobre los peligros de la contaminación causada por los ruidos excesivos —dije—. Su autor es Henry Still [callado].

—Como ve —dijo el doctor Matrix— el nombre ejerce gran influencia sobre los intereses de la persona. J. J. C. Smart [listo] es el filósofo más inteligente de Australia, y Kuan-han Sun [Sol], físico chino que trabaja en Westinghouse, realiza investigaciones acerca de la influencia de viento solar sobre la luna. Antón Horner [trompista] fue solista de trompa de la orquesta de Filadelfia durante 28 años. James Cash Penney [efectivo penique] fundó la gran cadena de tiendas Penney y se hizo multimillonario. No sé si conoce la edición rústica de Solid Geometry, de L. Lines [Geometría sólida de L. «Líneas»] o la de The Theory of Ruled Surfaces, de W. L. Edge [Teoría de las superficies pautadas, de W. L. «Arista»].

—Podría extenderme infinitamente sobre esto —dijo, sin darme tiempo para responder—. Vea el significado de los nombres de los grandes pioneros del psicoanálisis. Freud(e) es «placer», es decir, el «principio del placer». Jung es el «joven» rival de Freud. Stekel significa «palillo», un evidente símbolo sexual. Adler es el águila que se alza por encima de todos. ¿Y qué nombre más apropiado para un analista alemán que Horney [lascivo]? El doctor Matrix me dio tiempo para anotar.

—El dueño de una fábrica de zapatos de St. Louis —prosiguió— se llama Shoemaker [zapatero]. El doctor Shuffle [arrastrar los pies] es pedicuro en Washington. En Boston conozco un consultorio compartido por dos ginecólogos, el doctor Hands y el doctor Fingerman [manos y dedos, respectivamente]. En Nueva York hay varios vidrieros llamados Glasser [vidrio] y …

—Hace poco —interrumpí— el periodista León Svirsky, especializado en temas científicos, me dijo que Philip Morrison, jefe de la sección Libros de Scientific American, es amigo de Morris Philipson, director de University of Chicago Press.

—Pero, sí. Sólo un iconoclasta idiota diría que se trata de una casualidad. Estas pautas aparecen constantemente, sobre todo en relación con las personalidades fecundas. Recuerde la vieja regla ortográfica inglesa, de que la i precede a la e salvo que la c preceda a ambas o que tengan la pronunciación de la a, como en NEIGHBOR y WEIGH. Hay dos excepciones a la regla en ANCIENT SCIENCE [ciencia antigua]. Pero entonces Albert Einstein, cuyo apellido también contiene dos excepciones a la regla, trastornó la ciencia antigua.

—En 1969 —prosiguió, después de darme tiempo para tomar nota—, la química británica Dorothy Hodgkin descubrió la estructura tridimensional de la molécula de insulina. Observe la repetición del número sagrado 7. INSULIN[A], DOROTHY, HODGKIN y BRETAÑA tienen siete letras. Julio es el séptimo mes y la raíz digital de 1969 es 7.

Por razones de espacio no puedo trascribir todo el análisis del doctor Matrix. Señaló que la insulina es una HORMONA, una PROTEIN[A] que acelera la penetración de la GLUCOSA en el tejido muscular. Las tres palabras tienen siete letras [en inglés].

—La molécula de insulina —concluyó— tiene 777 átomos. Pero sigamos el juego.

Su tercera movida me sorprendió. Llevó el caballo a dama cinco, con lo cual su peón quedó desprotegido. ¿Gambito o un descuido? Su caballo no me amenazaba, de modo que le quité el peón con mi caballo. De esa manera su peón alfil rey quedó a merced de mi caballo y mi alfil.

El doctor Matrix no parecía preocupado por ese ataque. Cuando llevó su dama a caballo cuatro, le quité el peón alfil con mi caballo. Así, su torre y su dama quedaron al alcance de mi caballo, de modo que su torre estaba perdida. ¡Y se había jactado de ser un excelente jugador de ajedrez! Sentí cierta vergüenza.

El doctor Matrix no se inmutó.

—Algunas disposiciones son difíciles de interpretar —dijo—. Veamos las iniciales de Martin Luther King. Jr. Son M. L. K. J., cuatro letras consecutivas del alfabeto en orden inverso. Es muy curioso y no estoy seguro de su significado. Las letras finales de Martin Luther King son nrg, las tres consonantes de NEGRO y además de la palabra ENERGIA, una de las cualidades sobresalientes del doctor King. Si se insertan dos vocales en M. L. K. se obtiene MALIK, palabra árabe y también hebrea que significa «rey» [king].

—¿Qué me puede decir de su asesino, James Earl Ray?

—Sus iniciales invertidas, R. E. J., sugieren el regicidio, el asesinato de un rey. Las últimas letras forman sly [taimado], cuyo significado es evidente. Si se incluyen las dos últimas letras de su apellido se obtiene SLAY [matar].

Las letras iniciales y finales de ciertos conjuntos habituales de palabras suelen mostrar extrañas correlaciones, prosiguió el doctor Matrix. Las noticias vienen de todas partes, y el término inglés NEWS está formado por las iniciales de los puntos cardinales North, East, West, South [respectivamente, norte, este, oeste, sur]. En las iniciales de los nueve planetas a partir del sol se encuentra la palabra sun [Sol]. Las últimas letras de los nombres en inglés de los números de uno a diez contienen TEN [diez]. El doctor Matrix me habló de su amigo Theodore Katsanis, de Berea, Ohio, cuyo hijo Jason nació en setiembre. Setiembre es el tercero de cinco meses consecutivos cuyas iniciales forman JASON. El físico Edwin M. McMillan le habló recientemente al doctor Matrix de un disc-jockey de California que trabaja en emisoras radiales AM y FM. Su tarjeta dice: «J. Jason, D. J., FM-AM». Las doce letras conforman una permutación cíclica de las iniciales de los doce meses.

Hizo una pausa en su exposición para tomar mi peón caballo con su dama, tal como yo había anticipado. Para salvar mi torre tuve que llevarla a alfil uno.

—Mary McCarthy es una mujer brillante —prosiguió el doctor Matrix—. En su libro Cast a Cold Eye hay un cuento titulado «C. Y. E.». Cuenta que en el colegio de monjas al que asistió, sus compañeras le pusieron el indescifrable apodo de Cye, y jamás le revelaron su significado. Mary trata de adivinarlo. Catch your Elbow? Clean your Ears? Clever Young Egg? [Respectivamente: tómate el codo, lávate las orejas, joven insolente y viva.] Es curioso que no haya comprendido que la clave es «cold eye» [mirada fría]. Si se separan las letras olde, queda el apodo.

Tomo mi peón rey con su dama y me cantó «jaque».

Me sobresalté. No había adivinado esa maniobra. La única manera de evitar el jaque mate y que me tomara la dama era interponer el alfil. Lo llevé a rey dos. Así impedí el jaque, pero seguramente perdería mi caballo rey. Por otra parte el rey negro quedaría expuesto y el hecho de tener libre la columna de mi torre tal vez me permitiera efectuar un contraataque.

—Pasemos un poco a los números —dije—. Me gustaría llevarme algunos problemas para mis lectores. ¿Conoce algunos juegos numéricos nuevos?

—En la era de las computadoras digitales —respondió— todos los meses aparecen centenares de problemas nuevos. Robert E. Smith, matemático de Control Data Corporation, me explicó cómo uno de sus alumnos mejoró un antiguo resultado obtenido por Platón. En el quinto libro de Las leyes, Platón recomienda parcelar los terrenos de la ciudad de manera tal que el número de parcelas tenga la mayor cantidad posible de divisores. Sugiere 5040 parcelas porque tiene 59 divisores, una cifra relativamente elevada. (Incluye el 1 pero excluye el 5040.) A los lectores que posean computadoras, e incluso a los que no tengan acceso a ellas, les interesará saber que existen dos números menores de 10.000 que tienen sesenta y tres divisores, cuatro más que el de Platón. Uno de ellos es el 9240.

—Hermoso —dije—. Pediré a los lectores que hallen el otro. (Véase Respuestas, Catorce, I.) [1401]

—Dígame el número de su habitación.

Le mostré la llave. Era un número de tres dígitos.

—Notable —dijo el doctor Matrix, contemplando las cimbreantes palmeras por la ventana—. Desde luego, se habrá dado cuenta de que es un número cuadrado. Si lo escribe, y abajo escribe otro número cuadrado de tres dígitos, obtiene una matriz curiosa. Cada uno de los números de dos dígitos que forman las columnas, leído de arriba abajo, también es un número cuadrado. Ninguno de ellos es cero.

El doctor Matrix me mostró la única solución. (Véase Respuestas, Catorce, II.) [1402] y a continuación oprimió un botón oculto en un costado de la mesa. Inmediatamente se escuchó una melodía.

—Es la partitura del ballet Jaquemate, compuesta por sir Arthur Bliss en 1937 —dijo el doctor Matrix. Tomó su caballo y lo llevó a alfil rey seis.

Miré el tablero, boquiabierto. Efectivamente, era jaque mate. El alfil, cubierto por la dama, no podía tomar el caballo, y el rey no tenía un casillero libre donde escapar. Era un mate ahogado, un final poco común y que sólo se puede realizar con los caballos (Véase Figura 19).

—Lo lamento, Gardner —dijo—. Quería terminar el juego en la séptima movida. Es una vieja trampa, me sorprende que no la conociera.

En ese momento se abrió la puerta y entró Iva, descalza, envuelta en una salida de playa violeta y una nube de perfume que siempre usaba.

—¡Aloha! —exclamó, con una amplia sonrisa en sus ojos negros—. ¿Cómo sabía que mi padre y yo nos encontrábamos aquí?

—No lo sabía. Mi presencia aquí es puramente accidental. Espero que tenga la tarde libre para enseñarle la ciudad a este recienvenido.

—Si insiste en hacer juegos de palabras tan tontos ni lo piense —dijo, agitando su uña pintada de escarlata delante de mi nariz.

Iba a decirle que me costaba mucho orientarme en Honolulú, y que la potología me interesaba mucho más que la topología, pero decidí que era mejor cerrar el pico.

Figura 19. El mate ahogado del doctor Matrix.

15. Houston

«Vosotros, que especuláis con el movimiento perpetuo, ¿cuántas vanas quimeras habéis creado en el curso de vuestra búsqueda? ¡Id a ocupar vuestro lugar junto a los buscadores de oro!»

LEONARDO DA VINCI

A principios de agosto de 1971 recibí una carta sorprendente de mi viejo amigo Bing Soph, quien vive en Houston. Me informaba que un anciano galés que se hacía llamar Llewelyn Hooker, Jr. había provocado gran alboroto en Houston con una presunta máquina de movimiento perpetuo. Había montado un pequeño modelo funcional del aparato en el vestíbulo del lujoso hotel Shamrock-Hilton, y junto con su bella ayudante, la señorita Jacquelyn Jones, vendía la mercadería de la Hooker Dynamaforce Corporation.

La carta de Soph traía adjunto el lujoso prospecto de la empresa, que explicaba el plan Hooker para construir un gigantesco generador de fuerza dinámica en el canal de Houston. Además de constituir una fuente de energía ilimitada y económica para la zona, la fuerza dinámica reduciría la contaminación ambiental a la mitad al reemplazar el sucio motor de combustión interna por el motor de fuerza dinámica. En el prospecto no había fotografías de Hooker y Jones, pero Soph decía en su carta que él era un hombre alto, barbudo, de ojos verdes y nariz aguileña, mientras que ella era una joven atractiva de rasgos euroasiáticos.

Ya me había entrado la sospecha de que Hooker y Jones eran nada menos que el célebre numerólogo Irving Joshua Matrix y su hija semijaponesa Iva. Pase una hora jugando con las letras de LLEWELYN HOOKER JR., porque al doctor Matrix le gustaba formar sus seudónimos con anagramas de su nombre. Tuve razón. Con las mismas letras se formaba JOHN WORREL KEELY, un carpintero de Filadelfia, inventor del «motor Keely» a fines de siglo XIX, el perpetuum mobile que engañó a más gente que cualquier otro en la historia de Estados Unidos.

Puse algunas prendas en un par de bolsos de viaje y reservé un pasaje de avión. Al día siguiente, poco después de las 4 de la tarde, pasé del aire húmedo y caluroso de la calle principal de Houston al vestíbulo del Shamrock. Se dice que Frank Lloyd Wright, al entrar a ese vestíbulo, dijo: «Parece el interior de una pianola». Para mí, ardiente admirador de los libros del Mago de Oz, fue como entrar al palacio de la Ciudad Esmeralda: gruesas alfombras verdes, verdes chillones por todas partes y hasta los botones vestían uniformes verdes con quepis.

Efectivamente, eran el doctor Matrix e Iva, pero fingieron no conocerme.

—Ah, sí —dijo él, la boca oculta detrás de una frondosa barba estilo Carlos Marx y expresión de sorpresa en sus ojos color esmeralda—: A veces leo su columna. ¿Le parece que Scientific American publicaría una nota sobre la fuerza dinámica?

Un hombre gordo, de cabello largo, vestido con botas de vaquero, sombrero de ala ancha, cinturón grueso y una hebilla que mostraba una cabeza de toro con ojos de rubí, soltó una estentórea carcajada, pero el doctor Matrix no se inmutó.

—Muéstrale el modelo al señor Gardner, Jota Jota —dijo.

Iva me tomó de la mano y me condujo a un pequeño cuarto cerca de la mesa ocupada por su padre.

—Por favor, no nos delate —dijo—. Cene con nosotros esta noche.

El modelo giraba rápidamente, sumergido en un tanque vertical de agua de unos sesenta centímetros de lado y tres metros de altura. El artefacto consistía en una correa de plástico y flexible con diez cámaras cilíndricas de vidrio herméticas. Cada cámara contenía una pelota de goma que se deslizaba en su interior con la fuerza de la gravedad (véase la Figura 20). Evidentemente, el volumen de aire en la correa y las cámaras permanecía constante. Las pelotas de la derecha comprimían el aire, obligándolo a pasar a las cámaras del lado izquierdo, donde las bolas al caer succionaban el aire: por consiguiente, éstas desplazaban un volumen mayor de líquido que aquéllas. Esto generaba una fuerza vigorosa que imprimía a la correa y las dos ruedas un movimiento de giro perpetuo en el sentido de las agujas del reloj.

Figura 20. El generador de fuerza dinámica del doctor Matrix. Los rótulos up, que al invertirse con el movimiento de la máquina se convierten en dn, significan respectivamente arriba y abajo. [T.]

—¿Es muy sexy, verdad? —dijo con una sonrisa maliciosa—. Esas bolas que suben y bajan por los falos…

Me dijo que la señora Bloomfield Moore, viuda de un petrolero tejano, ya había invertido medio millón de dólares en el proyecto. Próximamente el doctor Matrix obtendría la misma suma de la señorita Ima Hogg, dama de la alta sociedad de Houston e hija de un petrolero y ganadero millonario que alguna vez había sido gobernador de Texas.[47]

Cenamos en el restaurante Shamrock Pavilion, con vista a la enorme piscina del hotel. Iva habló poco durante mi conversación con el doctor Matrix.

—Me gusta ese detalle de poner up y dn [arriba y la abreviatura de abajo, respectivamente] en los pistones —dije—. Me recuerda una rueda que se movía con la fuerza de la gravedad, que C. L. Strong reprodujo en su sección «El científico aficionado» de Scientific American. Los números 9 pintados del lado descendente se convertían en 6, más livianos al ascender.

—El 9 posee notables propiedades de inversión —asintió el doctor Matrix—. Mel Stover, un numerólogo de Winnipeg, descubrió que el número romano 9, al invertirse, se convierte en 11, pero en el sistema binario el 1001 no cambia en absoluto. Lo mismo sucede si lo escribe con letras en inglés, así.

El doctor Matrix tomó una pluma de oro de su chaqueta de lino y con su punta de fibra escribió en mi libreta de apuntes:

—¡Maravilloso! —exclamé, invirtiendo la libreta. [Se lee nine —nueve— al derecho e invertido].

—Como usted sabe, 1961 es el mismo año cuando se lo invierte, gracias al 6 y al 9 —dijo—. Le propongo el siguiente juego para sus lectores. Me lo envió Arthur Hall, de Pinner, Inglaterra. ¿Cuál es el año invertido que presenta el mayor lapso entre él y su inverso?

—A ver —murmuré. La diferencia entre 1968 y 8961 es… sí, 6933.

—Vamos, piense un poco. Hay una sola respuesta, y se trata de un año importante en la historia de la humanidad. (Véase Respuestas, Quince, I.) [1501]

Hizo una pausa, mientras el mesero nos sirvió té verde. Tres jóvenes sentados a una mesa cercana estudiaban ávidamente los dibujos geométricos de los pantaloncillos de Iva.

—No me sorprendí al leer en su columna que Arthur Clarke no tenía la menor intención de que HAL representara a IBM.

(Hal era el nombre de la computadora de la nave espacial en la película 2001, Odisea del espacio. Las letras siguientes a HAL en el alfabeto forman las siglas IBM.)[48]

—Esos cambios no intencionales son muy frecuentes —prosiguió—, y constituyen la ratificación del concepto de sincronismo de Jung. Vea, si no, el caso de la palabra OZ. L. Frank Baum, autor de los primeros libros de la serie del mago de Oz, vivía en el norte del Estado de Nueva York. Si avanza una letra a partir de NY, obtiene OZ.

—¡Es verdad, por Glinda!

—Y eso no es todo. Si avanza una letra más obtiene PA, la abreviatura de Pennsylvania. Allí nació Ruth Plumy Thompson, la joven que continuó la serie después de la muerte de Baum.

—Es increíble —dije, sin dejar de anotar—. Ya que hablamos del Mago de Oz, ¿cuál es el significado numerológico de WIZARD [mago]?

—Esa palabra posee una extraordinaria simetría —dijo el doctor Matrix, mientras los ojos negros de Iva sonreían sobre su taza de té.

El doctor Matrix escribió el alafabeto, trazó un círculo alrededor de la primera y última letras, luego alrededor de las cuartas letras contando desde cada extremo y finalmente las novenas (Véase la Figura 21). Con ellas formó la palabra WIZARD.

Figura 21. La simetría alfabética de WIZARD (mago).

—Demás está decir que el 1, el 4 y el 9 son los tres primeros números cuadrados —concluyó.

—Papá —dijo Iva—, creo que a Gardner le gustaría que le enseñaras otro problema para que lo resuelvan sus lectores.

El doctor Matrix se tironeó de la barba.

—No sé si había observado que un conjunto de palabras escogidas al azar probablemente tendrán una letra en común. La letra a aparece en NARANJA, AMARILLO, AZUL, VIOLETA, MARRON y BLANCO, no así en NEGRO, que designa la ausencia de color. Peter Wexler, de la Universidad de Essex, descubrió que el nombre en inglés de cada número entero tiene una letra en común con el siguiente. El 0 y el 1 tiene la e, el 1 y el 2 la o, el 2 y el 3 la t y así sucesivamente hasta el infinito. En el poema Evangeline, de Longfellow, aparece el verso «Warm by the forge within they watched the laboring bellows», que contiene las letras de HENRY WADSWORTH LONGFELLOW.

—¿Y el juego? —preguntó Iva, impaciente.

Resultó ser todo un conjunto de juegos. El doctor Matrix dijo que se trataba de hallar ejemplos curiosos y especiales de parejas de palabras que el numerólogo David L. Silverman, de Los Angeles, denominaba «heteroliterales». Son parejas de nombres que no tienen ninguna letra en común. Por ejemplo, Silverman descubrió que un solo Estado de los cincuenta que componen Estados Unidos es heteroliteral con respecto a su capital. Se invita al lector a descubrirlo.[49] (Véase Respuestas, Quince, II.) [1502] Tal vez también le interese descubrir cuál letra no aparece en el nombre de ningún Estado. (Véase Respuestas. Quince, III.) [1503]

¿Qué es tan raro como un lunes de marzo?, le preguntó Silverman al doctor Matrix cuando se encontraron en una convención numerológica en San Francisco. El sentido de la pregunta era: ¿cuáles son las ocho parejas heteroliterales restantes en la combinación día-mes? (Véase Respuestas, Quince, IV.) [1504]

—Volvamos a los números —dijo el doctor Matrix—. Tal vez sus lectores puedan hallar la única letra que no aparece en el nombre en inglés de ningún número del 0 al 99, pero aparece en los de todos los números mayores de 99 y menores de 1 millón.[50] (Véase Respuestas, Quince, V.) [1505]

Iva aceptó mi invitación a pasear por las sombrías calles del centro de Houston. Le agradecí al doctor Matrix que pagara la cuenta del bar. Nos estrechamos las manos.

—Debo advertirle —dije— que debo luchar contra mi conciencia. Vamos, confiese que esa fuerza dinámica no es más que una farsa dinámica.

—Pero, como dijo Galileo —respondió—, sin embargo se mueve.

—Estoy seguro de que a la policía local le gustaría conocer su verdadera identidad.

—Me parece que tiene razón —dijo Iva.

—Sería imposible exagerar lo poco que discrepo de ambos —dijo el doctor Matrix.

Pasaron varias cuadras antes de que descifrara el significado de sus palabras. Pasé una noche de insomnio, acosado por mi superyo. Por suerte no fue necesario tomar decisión alguna. A la mañana siguiente, mientras desayunaba con Soph, vimos que Hooker y Jota Jota subían a su Cadillac negro y partían raudamente, sin pagar la cuenta del hotel. Después se descubrió que el generador de fuerza dinámica tenía un pequeño motor a batería oculto en la base.

Esa tarde tomé mis valijas y me abrí paso entre una multitud de curiosos periodistas y fotógrafos hasta salir del fresco vestíbulo del Shamrock a un infierno de calles calcinadas por el sol. El aire recalentado se alzaba del impecable hormigón, George E. Mallinson, quien señalaba que las iniciales de Charles A. Reich, autor de The Greening of America [Devolver el verdor a Estados Unidos], son C. A. R. [automóvil], ese complejo mecanismo que de verde no tiene nada y cuyo motor se ha convertido en una rueda de molino atada al cuello del mundo.

Sobre el horizonte oriental, formado por las refinerías de petróleo y las industrias químicas que bordean el canal de Houston, flotaba una bruma parda, ese horrible subproducto de la búsqueda del oro negro. Ni siquiera la fuerza dinámica alcanzaría a disiparla.

16. Test de clarividencia

Un instituto cerca de Los Angeles (cuyo nombre no puedo revelar por ahora) anunció en 1973 que cualquiera podía aprender el arte de la clarividencia, es decir, la capacidad de ver objetos ocultos o lejanos mediante percepción extrasensorial. Tras rendir un examen de ingreso los estudiantes realizaban un curso intensivo de seis semanas —la tarifa era de quinientos dólares— y luego se sometían a un test final. Las calificaciones eran invariablemente altas.

Una joven que trabajaba de archivista en el instituto me contó en una carta que el propietario de la escuela se parecía mucho al doctor Irving Joshua Matrix, y su ayudanta principal a Iva, su bella hija euroasiática. Mi informante logró fotocopiar el test al que se sometían los estudiantes al finalizar el curso. Lo transcribo a continuación y las «respuestas» aparecen invertidas al final del capítulo. Instamos a los lectores a no espiar las respuestas hasta terminar el test.

Antes de realizarlo, el lector debe tener a mano los siguientes objetos: lápiz, papel, una caja de fósforos, un mazo de naipes, un par de dados, una regla, tijeras, una bolsa de porotos, una Biblia y cinco cuadrados de cartulina con las cifras 1, 5, 8, 10 y 25. Se debe responder rápidamente, sin pensar en cuál podría ser la respuesta. Se escriben las respuestas en una hoja y, una vez realizado el test, se las compara con las que aparecen al final del capítulo. De acuerdo con el prospecto del instituto, un puntaje mayor de quince significa un alto grado de clarividencia.

1. Trace un círculo alrededor de cualquiera de los dieciséis números de la Figura 22. Tache todas las celdas de las misma hilera y columna. Trace un círculo alrededor de uno de los nueve números restantes. Tache las celdas de la misma hilera y columna. Repita la operación con uno de los cuatro números restantes. Trace un círculo alrededor del último número. Sume los cuatro números señalados y escriba el resultado en la hoja de respuestas.

2. Coloque veinte fósforos en una caja. Aparte la cantidad de fósforos que desee, siempre que no sean más de nueve. Cuente los fósforos que quedan. Sume los dígitos que forman ese número y aparte esa cantidad de fósforos. Aparte dos fósforos más. Cuente los que restan y anote la cifra de los que quedan.

Figura 22. Test numérico.

3. De un mazo de naipes aparte las damas rojas, los ases negros, los cuatro rojos, el seis de trébol y la jota de diamantes. Baraje los naipes y coloque el mazo sobre la mesa cara abajo. Tome las cartas de a dos. Si el primer par está formado por un naipe rojo y uno negro, apártelos. Si los dos naipes son rojos, empiece a formar una pila de naipes rojos. Si los dos son negros forme una pila de naipes negros. Proceda así hasta terminar el mazo, apartando los pares rojo-negro y formando pilas separadas con los negro-negro y los rojo-rojo. Cuando termine, cuente los naipes de cada pila y reste el número menor del mayor. Anote el resultado.

4. Trace una figura geométrica sencilla. Inscriba en su interior otra figura geométrica, distinta pero también sencilla.

5. Escriba el nombre de una fiera.

6. Coloque dos dados, A y B sobre la mesa. Sume el número de la cara superior de A al de la cara inferior de B y busque el número correspondiente en el libro bíblico del Génesis. Sume la cara superior de B a la inferior de A y busque el versículo correspondiente. Anote la primera palabra de ese versículo.

7. Piense en un número k, entre 10 y 50. Coloque un dedo sobre el símbolo inferior de la Figura 23. Diga, «uno». Luego pase el dedo al símbolo siguiente, «dos», y siga hacia arriba. Cuando llegue a la estrella siga contando en sentido contrario a las agujas del reloj hasta llegar a k. Si esto le exige dar varias vueltas al círculo, no cuente los símbolos de la cola.

Figura 23. Test de la Q.

Cuando llegue a k, deténgase y cuente en dirección contraria, nuevamente de 1 a k. Al recorrer el círculo en el sentido de las agujas del reloj, cuente a partir del símbolo- k original (no cometa el error de empezar a contar a partir del símbolo adyacente). No cuente los símbolos de la cola. Deténgase al llegar a k, anote el símbolo correspondiente en la hoja de respuestas.

8. Escriba en la hoja de respuestas un número cualquiera, entre 10 y 50, que cumpla las siguientes dos condiciones: los dos dígitos deben ser impares y no deben ser iguales. (Por ejemplo, no se permite el 11, formando por dos dígitos iguales.)

9. Tome veinte naipes cualesquiera, colóquelos cara abajo. Tome los dos primeros naipes, colóquelos cara arriba sobre el mazo de veinte y córtelo en cualquier punto. Nuevamente, tome los dos primeros naipes, delos vuelta, colóquelos sobre el mazo y corte. Repita la operación la cantidad de veces que quiera. Así volverá a dar vuelta algunos naipes, pero no importa. El objetivo de la operación es lograr números al azar de naipes colocados de cara y de revés.

Coloque los naipes en hilera sobre la mesa, cuidando de no darlos vuelta. Luego dé vuelta todos los naipes que ocupan las posiciones pares en la hilera (2, 4, 6, …, 20). Cuente el número de naipes que quedaron cara arriba y anote la cifra.

10. Ponga tres pilas de porotos sobre la mesa. Cada pila debe contener la misma cantidad de porotos, superior a cuatro. Llame las pilas A, B y C.

Pase dos porotos de A a B.

Pase tres porotos de C a B.

Cuente la cantidad de porotos que quedan en A, tome esa misma cantidad de B y páselos a A o C.

Tome un poroto de A o C y páselo a B.

Cuente los porotos que quedan en B y anote la cifra.

11. Piense en una letra del alfabeto. Observe las cinco columnas de la Figura 24 y trace un círculo alrededor de esa letra todas las veces que aparezca. Anote la letra que encabeza cada columna donde aparece la eme usted eligió. Convierta las letras en números mediante la clave A = 1, B = 2, C = 3 y así sucesivamente. Sume los números. Con la misma clave transforme ese número en letra y escriba la letra en la hoja de resultados.

12. Coloque un dado sobre el extremo izquierdo de la mesa y otro sobre el derecho. Halle los siguientes cuatro productos: multiplique los números de las dos caras superiores, los de las caras inferiores, la superior izquierdo por la inferior derecha y la superior derecha por la inferior izquierda. Sume los cuatro productos y anote el resultado.

13. Tome una hoja cuadrada de papel, de unos ocho centímetros de lado y dóblela por la mitad cuatro veces, de manera que los pliegues formen una matriz de cuatro por cuatro cuadrados. Marque bien los pliegues. Numere las celdas de 1 a 16, como en la Figura 22.

Figura 24. Test con letras.

Vuelva a plegar el papel como quiera, incluso como un acordeón, hasta que quede un solo cuadrado. Recórtele los bordes para separar los dieciséis cuadrados. Colóquelos sobre la mesa. Algunos quedarán con el número hacia arriba, otros con el número hacia abajo. Sume los números que quedaron para arriba y anote el resultado.

14. Escriba un número cualquiera cuyos dígitos sean diferentes entre sí. Luego reordene esos dígitos para formar otro número. Reste el número menor del mayor. Sume los dígitos del resultado. Si obtiene un número de más de un dígito, repita la operación hasta obtener un solo dígito. A éste súmele 4 y anote el resultado.

15. En la Figura se ve un pentáculo, el misterioso símbolo de la brujería medieval y los antiguos pitagóricos. Con un lápiz ponga un punto en cualquier lugar, dentro o sobre el borde pentagonal. Desde ese punto trace líneas rectas perpendiculares a cada uno de los lados del pentágono. Si es necesario, se pueden prolongar los lados con ayuda de una regla. La perpendicular se traza fácilmente con ayuda de una hoja de papel cuyos lados formen ángulos rectos. Sume las longitudes de los segmentos de recta perpendiculares, marcándolos en el borde de una hoja. Mida la longitud total con una regla y anote la respuesta, redondeando al medio centímetro más cercano.

Figura 25. Test del pentáculo.

16. Escriba el nombre de la capital de un gran país extranjero.

17. Coloque en hilera (de izquierda a derecha) cuadrados de cartulina con las siguientes cifras: 1, 10, 5, 8 y 25. Coloque una moneda sobre cualquiera de ellas. Cada movida consiste en desplazar la moneda al cuadrado adyacente, sea el de la derecha o el de la izquierda. Lógicamente, si la moneda se encuentra en cualquiera de los dos extremos, la movida podrá efectuarse en una sola dirección. Mueva la moneda al azar, a izquierda o derecha, tantas veces como indica el número sobre el cual la colocó. Al finalizar, si la moneda no está colocada sobre el 1, retire ese cartón de la hilera. Mueva otra vez la moneda tantas veces como indica el número del cartón. Al finalizar, si no está colocada sobre el 25, retire ese cartón de la hilera. Mueva la moneda al cartón adyacente y escriba el número el cual se encuentra.

18. Coloque en hilera sobre la mesa los siguientes cinco naipes: nueve de diamante, cuatro de corazón, dama de corazón, as de diamante y siete de trébol. Como ve, hay una figura, un as y una negra. Estudie las cartas con cuidado, concéntrese en una de ellas y escriba su nombre en la hoja de respuestas.

19. Piense un número del 1 al 16. Búsquelo en los bordes de la Figura 26 y gire la hoja de manera que quede derecho. Manteniendo la hoja en esa posición, cuente las celdas de la matriz a partir de la que ocupa la esquina superior izquierda, hasta llegar al número escogido. Escriba el símbolo de la percepción extrasensorial correspondiente a esa celda.

20. Escriba el nombre de una flor.

21. Baraje un mazo de naipes. Asigne a las figuras el valor que desee, de 1 a 10. (Sea, por ejemplo, el valor 3) Forme pilas de naipes de la siguiente manera: Diga «diez» al colocar el primer naipe sobre la mesa y luego sucesivamente «nueve, ocho, siete, …» al colocar cada naipe en la pila. Si el número que canta coincide con el valor del naipe que va a colocar, inicie una nueva pila. Si al llegar a la carta «uno» no se ha producido esa coincidencia, tape esa pila con una carta vuelta abajo e inicie una nueva pila. Repita el procedimiento hasta formar cuatro pilas.

Figura 26. Test de la matriz giratoria.

Recapitulemos: Forme las pilas contando en orden inverso desde el 10 hasta que el número de orden del naipe coincida con su valor o, si ello no sucede, hasta llegar a 1. En este último caso tape la pila con una carta vuelta abajo. Recuerde el valor asignado a las figuras. En nuestro ejemplo era el tres; por consiguiente, si al decir «tres» aparece una carta de ese valor o una figura, comience una nueva pila.

Una vez formadas las cuatro pilas, sume los valores de los aciertos, es decir, de las cartas que coronan las pilas destapadas. El valor de las figuras es, desde luego, el que usted les había asignado previamente. Sea X el valor de esa suma. Separe X naipes de los que quedan en el mazo, cuente los restantes y anote ese número.

22. Escriba un número de dos dígitos entre 50 y 100, tal que los dos dígitos sean pares y distintos.

23. Tire un dado. Piense un número de 1 a 6 inclusive y coloque un segundo dado sobre el primero de manera tal que el número que usted pensó quede en la cara superior. Sume su número a los de las dos caras que se tocan. Piense otro número de 1 a 6 inclusive y súmelo al resultado anterior.

Tome el dado superior y gírelo de manera que su segundo número quede en la cara superior. Colóquelo junto al otro. Levante los dos dados y agregue la suma de sus caras inferiores al total anterior. A éste sume 3 y anote el resultado.

24. Escriba el nombre de un color.

25. Coloque diez naipes sobre la mesa, cinco de cara y cinco de revés. Barájelos bien, luego sepárelos en dos conjuntos, A y B. Dé vuelta a todo el conjunto B. Cuente los naipes que quedaron de cara en cada conjunto, réstelos y anote el resultado.

26. Piense un número del 1 al 5 inclusive. Llámelo n. Busque la enésima palabra del enésimo capítulo del Apocalipsis y escríbala. (Véanse las soluciones de las 26 pruebas en Respuestas, Dieciséis. [1601a26])

17. Lago Pyramid

“¿Alberga la gran Pirámide de Keops una ciencia perdida?

¿Acaso la única de las Siete Maravillas del Mundo que aún permanece en pie… fue diseñada por misteriosos arquitectos, conocedores de los secretos más profundos del universo?”

PETER TOMKINS

Secrets of the Pyramid

Un día, cuando hojeaba una de esas revistas baratas dedicadas a las ciencias ocultas, me detuve en una fotografía publicitaria que ocupaba una página entera. Se veía una reproducción de dos metros de altura de la Gran Pirámide de Keops, hecha de plástico transparente. Sentada en su interior estaba una hermosa joven, de bellos ojos rasgados, que sólo vestía un par de sandalias. Parecía Iva, la hija japonesa de mi viejo amigo, el célebre numerólogo doctor Irving Joshua Matrix.

Ya había visto pequeñas reproducciones de la pirámide de Keops (el catálogo de la Edmunds Scientific Company, por ejemplo, los tiene en oferta), pero ninguno lo suficientemente grande como para alojar a una persona. En este caso, cada arista de la estructura estaba marcada con número distinto, entre el 1 y el 10. No había explicaciones, ni constaba el precio de la pirámide. Sin embargo, por cinco dólares se podía adquirir un modelo a escala, de diez centímetros de altura. El prospecto que lo acompañaba decía que la «energía psi-org» de la pirámide conservaba el filo de las hojas de afeitar, preservaba los botones de rosa y restauraba las cintas para máquina de escribir usadas. También informaba cómo adquirir el modelo más grande, con la garantía incondicional de que curaría mis males físicos, aumentaría mi inteligencia, fortalecería mis poderes psi y elevaría mi potencia sexual. Escribir a Pyramid Power Laboratories, Apartado Postal 123, Pyramid, Nevada.

Lo primero que hice fue consultar mi atlas para saber si existía una localidad llamada Pyramid [Pirámide] en el Estado de Nevada. Efectivamente: se encuentra en la margen occidental del lago homónimo, unos 55 kilómetros al norte de Reno, la capital del Estado. La telefonista local me proporcionó el número del laboratorio, y a los pocos minutos la propia Iva contestó a mi llamada.

—Venga a vernos —dijo—. ¿Le gusta la pesca?

Respondí que sí.

—Traiga su caña y su reel. Si la trucha pesa menos de diez kilos, hay que tirarla de vuelta al lago. En mayo el clima es maravilloso. Días calurosos y noches frescas. Hace mucho que no lo vemos.

Antes de relatar mi extraordinario viaje al lago Pyramid, quiero decir un par de cosas sobre el «poder piramidal». Según la revista Time (8/10/73) todo empezó hace setenta años cuando un francés, especialista en ciencias ocultas, impresionado por el excelente estado de las momias halladas en la Gran Pirámide, se preguntó si la forma piramidal no afectaba el espacio y el tiempo. Construyó un modelo en escala de la pirámide y en su interior colocó el cadáver de un gato. El cuerpo se deshidrató y momificó en poco tiempo. Cincuenta años después, Karel Drbal, ingeniero en comunicaciones de Praga, descubrió que si se guarda una hoja de afeitar en un modelo de la pirámide de quince centímetros de altura, aquella jamás pierde el filo. Más aún: ¡una hoja vieja recupera el filo en cuestión de semanas! Drbal patentó su Afilador de Hojas de Afeitar Piramidal en 1959 (patente checoslovaca nº 91304) y ganó una pequeña fortuna con la venta de modelos de cartón y espuma de goma en su país. Cuando Sheila Ostrander y Lynn Schroeder mencionaron este descubrimiento en su bestseller, Psychic Discoveries Behind the Iron Curtain, publicado en 1970, en Estados Unidos y Canadá estalló una «minifiebre», al decir de Time.

La Toth Pyramid Company, de Max Toth, con sede en Bellerose, Nueva York, vende un afilador de hojas de afeitar de cartón coloreado. En Glendale, California, G. Patrick (¿G. P., como Gran Pirámide?) Flanagan vende una carpa Pirámide de Keops de vinilo, que mejora la meditación trascendental de quien se sienta en su interior. Según Time, la política feminista Gloria Swanson coloca una pirámide bajo su cama todas las noches porque «hace vibrar hasta la última célula de mi cuerpo». El actor James Coburn medita dentro de su pirámide.

Eric McLuhan, el hijo mayor de Marshall McLuhan, ha investigado el poder piramidal. Una nota de tapa aparecida en febrero de 1973 en la revista enRoute (que se distribuye en los vuelos de Air Cañada) contiene un reportaje a Eric cuando era profesor de «electrónica creativa» en el Fanshawe College de Ontario. Eric relata cómo un trozo de carne en el centro de su pirámide de plexiglás y otro sobre la base. Tres meses después el primero seguía fresco, mientras que el segundo estaba podrido. Eric considera que la forma pirámide altera los campos gravitacional y magnético en su interior y sobre ella. Sostiene que para afilar una hoja de afeitar es necesario alinearla con el eje magnético norte-sur. La pirámide afecta a las hojas azules más que a las de acero inoxidable. John Tode, dueño de una librería especializada en ciencias ocultas de Toronto, probó una pirámide más grande. Con ella deshidrató varias docenas de huevos y kilos de chuletas. «En veintitrés días —dice— se detiene el proceso de putrefacción de la carne… Hemos comido las chuletas fritas. Son deliciosas.»

Al G. Manning, director del laboratorio ESP de Los Angeles, publicó un artículo sobre el poder piramidal en la revista Occult, de octubre de 1977. Su método consiste en escribir en una hoja de papel una declaración sobre algo que uno desea muy intensamente. «Hay que alimentarlo con amor y colocarlo con ternura dentro de una pirámide orientada en dirección norte-sur. El papel debe permanecer dentro de la pirámide durante un lapso de tres a nueve días, y diariamente se debe repetir en voz alta el pensamiento e introducirlo en la pirámide desde su cara norte». Los resultados, dice Mannig, son espectaculares.

La edición de 1974 de Other Dimensions, un anuario dedicado a los fenómenos paranormales, incluye una interesante nota sobre «la dama que vivía en una pirámide». Tenny Hale, una clarividente de Oregon, se sentó dentro de su gran modelo de madera de la Gran Pirámide, lo cual incrementó sus poderes extrasensoriales a un grado tal, que cuando salió escribió cien profecías. También asegura que cuando riega sus plantas con agua previamente pasada bajo la pirámide, éstas crecen cuatro veces más rápido que cuando las riega con agua común.

James Mullin, director de investigaciones de la Southern Parapsychology Foundation de San Diego, advierte que no se debe pasar mucho tiempo en el interior de la pirámide, cuya energía mata las bacterias. Puesto que además de las bacterias dañinas existen otras que son benéficas, la absorción excesiva del poder piramidal puede resultar perjudicial para la salud.

Figura 27. La pirámide fi perfecta, según Herodoto.

Los lectores que deseen realizar sus propios experimentos pueden construir un modelo de cartón de una pirámide de base cuadrada. Para ello basta recortar cuatro triángulos y unir sus bordes. La altura del triángulo debe estar en proporción áurea con la mitad de la base. Herodoto fue el primero en señalar que el área de cada cara equivale al cuadrado de la altura de la Gran Pirámide. Sea x la apotema (altura de una cara), y sea la base igual a 2. De esa manera el área de la cara es x. El apotema es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 1 (la mitad de la base de la pirámide) y la altura de la pirámide. El teorema de Pitágoras nos permite deducir que la altura de la pirámide es √(x²-1). Si el área de la cara es igual al cuadrado de la altura, tenemos x² - x - 1 = 0. Por consiguiente, el valor de x es 1/2 (1 + √5), es decir fi, el radio áureo, igual a 1,6180339887… Dicho de otra manera, el apotema de una pirámide de base 2 es fi y su altura es 1,2720196495…, la raíz cuadrada de fí. Hay una sorpresa adicional. Si se divide 4 (el doble de la base) por la raíz cuadrada de fi (la altura) se obtiene 3,1446…, una buena aproximación a pi (Véase la Figura 27).

La diferencia de inclinación entre una pirámide perfecta fi y una pirámide pi es de poco menos de un minuto de arco: la inclinación de fi es de 51 grados 50 minutos, la de pi es de 51 grados 51 minutos. Esta variación es demasiado minúscula para percibirla en un modelo pequeño. En la actualidad la Gran Pirámide es tan irregular que sólo se sabe con certeza que su inclinación es de aproximadamente 52 grados. Nadie sabe si los egipcios quisieron incorporar en la forma de la pirámide a pi o a fi o a las dos o ninguna.

Retomemos el tema de mi viaje. Mi avión llegó a Reno en la tarde del martes 28 de mayo: un día perfecto, un número perfecto. Pasé la noche en un hotel de Reno. A la mañana siguiente alquilé un automóvil y salí hacia el Este hasta llegar a Sparks, donde viré hacia el norte por la ruta 33, que me condujo a Sutcliffe, en la margen occidental del lago Pyramid. No era la primera vez que iba. Mi padre, que era geólogo, me había llevado cuando era niño. Me contó que el lago era un resto de un inmenso espejo de agua prehistórico llamado lago Lahontan, que había cubierto prácticamente todo el noroeste de Nevada durante la era glacial del Pleistoceno.[51] Me explicó que el lago era alimentado por las aguas de la Sierra Nevada, principalmente por las del río Truckee, que atraviesa Reno. Fuimos en un bote de remos a una de esas islas cónicas a las cuales el lago debe su nombre; una de ellas, sobre la margen oriental, se llama Pyramid Rock. Mi padre me dejó una copia del diario de viaje de John Charles Frémont, el célebre explorador y político (y gobernador de California), quien descubrió el lago en 1844. Mi padre había subrayado el párrafo donde Frémont describe esa formación calcárea de cien metros de altura llamada Pyramid Rock: «Acampamos en la orilla, frente a una roca notable… desde nuestra posición, su aspecto era bastante similar al de la Gran Pirámide de Keops». (Véase Figura 28)

Figura 28. Pyramid Rock in Pyramid Lake, Nevada.

Me detuve en Sutcliffe a gestionar mi permiso de pesca. El lago Pyramid se encuentra comprendido en la enorme reserva indígena del mismo nombre, que pertenece a la tribu Paiute. Para pescar se necesita un permiso otorgado por las autoridades de la tribu. Una vez que la obtuve seguí hacia el Norte, por el camino polvoriento que bordea la árida margen occidental del lago.

Era un día cálido y despejado. Por la ventanilla derecha de mi auto veía los arbustos espinosos y, más allá, las aguas del lago, color azul de Prusia. En la margen opuesta se alzaban formaciones rocosas altas y delgadas que echaban sombras violáceas sobre el agua, y por encima de ellas, se veían las cumbres de la Sierra del Lago, ondulaciones cubiertas de todos los matices del verde y el rosa. Poco antes de llegar a Pyramid, siguiendo las instrucciones de Iva, tomé un camino lateral que me condujo a un hermoso cañón oculto y un gran edificio de acero y hormigón. Era la fábrica, y su forma era la de la Gran Pirámide de Keops. En sus aristas se destacaban enormes números, color rojo sangre.

Un paiute regordete abrió la portezuela de mi automóvil. Me dedicó una amplia sonrisa, y vi que tenía un solo diente. (Después me enteré de que se llamaba Ree, y que todos lo llamaban One-Tooth Ree).[52] Iva y su padre se acercaban por el pasillo. Iva vestía pantalones anaranjados, una vincha indígena y una pulsera de la cual pendían diminutas pirámides de plata que tintineaban a su paso. Nos abrazamos. El doctor Matrix, alto y muy delgado, me contemplaba con sus extraños ojos verdes detrás de sus gafas pentagonales sin marcos.

Recorrimos la fábrica. En un ala, alrededor de veinte indios armaban los modelos de diez centímetros. En otra, un grupo más pequeño embalaba las partes desarmadas del modelo más grande. Iva se disculpó, y el doctor Matrix me condujo por una escalera helicoidal a su oficina, ubicada en el vértice de la fábrica.

Se sentó cómodamente detrás de su escritorio y juntó las puntas de los dedos. Psi-org, dijo, es la abreviatura de la energía psíquica y del orgón. El campo psi, que genera el campo magnético humano y todos los poderes psíquicos, no es otro que lo que Wilhelm Reich, el controvertido discípulo vienés de Freud, llamó al orgón.

—Conozco el orgón de Reich —dije—. Viene del espacio exterior. Gracias a él las estrellas brillan, el cielo es azul y Orson Bean es feliz.[53]

—Efectivamente —dijo el doctor Matrix—. Los centenares de pirámides del lago Pyramid atrapan la energía y dan al agua su fuerte color azul Como usted sabe, Reich, descubrió que se podía acumular el orgón en un cajón de madera forrado de hierro laminado. La materia orgánica es permeable al orgón, el metal interior lo refleja. Entonces se produce lo que yo llamo el «efecto de la casa azul», al concentrarse la energía psi-org hasta niveles anormales en el interior de la caja. El concepto de Reich es exacto, pero se equivocó en cuanto a la forma de la caja. Los egipcios conocían bien la energía psi-org. La utilizaron para transportar por el desierto los grandes bloques de piedra con los cuales construyeron sus pirámides. Descubrieron que la forma de la Gran Pirámide concentraba el psi-org. Yo fui el primero en descubrir que si se combina esa forma con el principio de Reich, de las sustancias laminadas, el efecto se multiplica por 777. La llamo la pirámide pi-fi-psi.

—Pero sus pirámides no son laminadas —objeté—. Están hechas de hojas de plexiglás.

—De ninguna manera —replicó el doctor Matrix—. Si las examina con cuidado verá que cada cara está formada por dos delgadas láminas de plástico. Cada lámina se fabrica de acuerdo con una fórmula distinta y secreta. La exterior transmite el psi-org, la interior lo refleja.

—¿Lo ha verificado?

—Mil veces. Hemos realizado una gran cantidad de pruebas bajo estrictos controles, supervisadas por el doctor Harald Puton [estafa] un competente físico belga que hace unos años participó del movimiento cientológico de Bruselas. Descubrió que el hecho de sentarse bajo una pirámide pi-fi-psi aumenta la energía psi. Uno se vuelve más telepático, más vidente y precognitivo. Se facilitan las experiencias extracorpóreas. El médium israelí Uri Geller estuvo aquí hace unas semanas. Cuando estaba dentro de la pirámide, derretía todos los objetos metálicos que tocaba. También se acelera la curación por sugestión. La semana pasada One Tooth trajo a su hermana con la pierna izquierda fracturada. Pasó una hora en la pirámide y su pierna quedó como nueva.

¿Sonreía irónicamente? Nunca se sabía dónde terminaba su fe y empezaba el engaño. El campo magnético del cuerpo se vuelve más intenso dentro de la pirámide, prosiguió. Me mostró dos fotografías de una mariposa viva. La que había sido tomada fuera de la pirámide mostraba una tenue aureola blanca, la otra una aureola azul de varios centímetros en torno de las alas.

—¿Podría explicarme el significado de esos números? —pregunté, señalando un pisapapeles piramidal.

Me lo explicó. Cada una de las ocho aristas de la pirámide, dijo, muestra un número distinto, del conjunto de enteros de 1 a 10 inclusive. La suma de los números de las aristas que se unen en cada vértice (los cuatro de la base y el ápice) es 4² = 16. Tomé el pisapapeles y lo estudié. Era verdad, tanto para los vértices de la base, donde se unían tres aristas, como para el ápice, donde se unían cuatro.

Gracias a esos números, prosiguió el doctor Matrix, la pirámide adquiría propiedades mágicas que aumentaban su poder pi-fi-psi. Señaló que p, la inicial de PIRAMIDE, es la decimosexta letra del alfabeto. Entre la pi inicial y la de final se encuentran las letras del nombre de la madre de Jesús. [Pyramid y Mary.]

—¿Qué me dice de la de final?

—Es el nombre de la letra d, la cuarta letra del alfabeto. Simboliza los cuatro lados de la estructura y es la raíz cuadrada de 16, la constante mágica. Pregunte a sus lectores si son capaces de colocar los números correctamente en las aristas para lograr una pirámide mágica. Hay una sola solución, considerando que no se cuentan las obtenidas por rotación o reflexión.

—Perfecto —dije. Dibujé la pirámide en mi libreta y anoté la solución por las dudas. (Véase Respuestas, Diecisiete.) [17] —¿Podemos cambiar de tema? ¿Existe alguna significación numerológica en el incidente de Nixon con Watergate?

—No podía ser de otra manera —respondió—. Pero el futuro de Nixon se presenta tan sombrío que prefiero no discutirlo. Ahora que me acuerdo, al sur del lago hay una localidad llamada Nixon. Un retiro allí no le vendría mal. Le beneficiaría enormemente pasar un par de horas diarias sentado en la cima de Pyramid Rock. En todo caso, no sería tan incómoda como su actual posición en la cima de la estructura piramidal del poder.

—¿Y algún comentario sobre Henry Kissinger? Hace poco me dijeron que si la célebre diva operística Wanda Waleska se casara con Howard Hughes, luego se divorciara y se casara con Henry, se llamaría Wanda Hughes Kissinger.[54]

—Su sentido del humor me subyuga —dijo el doctor Matrix sin sonreír—. Creo que conoce el último versículo del capítulo 13 del último libro de la Biblia.

Asentí: «Quien tenga inteligencia calcule el número de la bestia, pues es número humano. Y su número es seiscientos sesenta y seis».

—No digo que Kissinger sea la Bestia, pero existe una curiosidad numérica que divertirá a sus lectores. Sea a igual a 6, b igual a 12, c igual a 18, y así sucesivamente, con los múltiplos de 6. La suma de los valores de KISSINGER es igual a 666.[55]

—Maravilloso —reí, sin dejar de anotar—. Ayer, mientras viajaba en el avión, se me ocurrió que NEVADA tiene 6 letras y es el 36° Estado de la Unión. El 36 es el cuadrado de 6.

—Los dados —asintió el doctor Matrix— tienen seis lados. El 6 es el número más elevado de un dado y el 36 el más elevado de la ruleta: por algo el 36° Estado de la Unión alberga los tres centros de juego más grandes del país. Seis es la suma de 1, 2, 3 y 36 es la suma de los cubos de 1, 2, 3. Además 6 es también el producto de 1, 2, 3. Y ya que estamos, ¿sabía usted que 1, 2, 3 es el único conjunto de números enteros positivos, primos entre sí, tal que la suma de dos cualesquiera de ellos es divisible por el tercero?[56]

—No lo sabía —dijo al apuntarlo.

—También cabe anotar —prosiguió el doctor Matrix—, que los números de la ruleta suman 666. Es el trigésimo sexto número triangular, y existen seis números triangulares formados por un solo dígito.

—¿Incluyendo el 1, el 3 y el 6, que son triángulos de un dígito?

—Por supuesto.

—¿Cuáles son los otros tres?

—55, 66 y 666. [57]

—En algún lugar escribí que si el diablo juega al pool lo hace en una mesa gigantesca y empieza con 666 bolas en formación triangular.

—Es muy probable. No cabe duda de que el 6 es el número del diablo. Tentó a Eva en la sexta hora del sexto día de la creación. Pero fueron los videntes egipcios quienes mejor supieron aprovechar el cuadrado de la suma de 1, 2, 3.

La cabeza de One-Tooth se asomó a la puerta:

—¿Me llamaron?

El doctor Matrix meneó la cabeza y prosiguió:

—Como le estaba diciendo, Osiris tenía 36 formas. Los egipcios dividían el cuerpo humano en 36 partes, sujeta cada una a un demonio diferente, propio de cada una de las 36 partes del zodíaco egipcio. No quiero aburrirlo con un comentario sobre la forma como Nabokov emplea el 36 en The Real Life of Sebastian Knight. Sebastian vive en el número 36 de cierta calle. Lo internan en el cuarto 36 del hospital. Muere en 1936 a los 36 años, y así sucesivamente. Pero —miró su reloj—, tenemos poco tiempo.

—¿Es indispensable desnudarse para absorber el efecto de la pirámide?

—Indispensable no, pero ayuda. Tenemos algunos modelos opacos en la playa para las personas pudorosas. La semana pasada, Indy Clutch [agarrar] una maestra de Wadsworth, se introdujo en una pirámide y a los cinco minutos el psi-org la había excitado tanto, que salió y corrió desnuda por la calle principal de su pueblo hasta que el comisario la atrapó y la invitó a almorzar.

Le pregunté si en verdad la pirámide podía detener e inclusive revertir el proceso de descomposición de la materia orgánica. El doctor Matrix respondió que estaba tramitando las patentes de varios artefactos basados en esa propiedad del psi-org: un refrigerador con freezer piramidal, un ataúd piramidal (para quienes deseaban embalsamar el cadáver) y una cámara séptica piramidal. Incluso estaba experimentando con una instalación sanitaria piramidal que, además de evitar la constipación, deshidrataba y purificaba los desechos. Lo llamaba el «inodoro pi-fi-psi-mi».

Pasé cinco días en Reno. Por las mañanas y las tardes salía a pescar enormes truchas y una sabrosa variedad de pejerrey que los indios llaman cui-ui. Por las noches cenaba con Iva en uno de los restaurantes del balneario de Sutcliffe. El sábado alquilé una lancha con motor y fuimos a la isla Anaho, una reserva avícola de unas cien hectáreas de extensión, para observar los ritos de apareamiento de los pelícanos blancos. Iva llevaba un sombrero de paja de forma piramidal: me dijo que agudizaba su mente y corregía su astigmatismo.

Pocos días después de mi vuelta a Manhattan leí con tristeza en el New York Times que el Estado de Nevada iba a entablar juicio contra el doctor Matrix. Se le acusaba de vender permisos de distribución por varios miles de dólares a un gran número de personas en otros Estados, las cuales a su vez deberían revenderlos a otras personas, y así sucesivamente. Era uno de esos planes piramidales condenados de antemano a derrumbarse estrepitosamente.

Traté de comunicarme con Iva, pero su línea telefónica estaba anulada. Dos días después el Times informó que cuando la policía allanó la fábrica para arrestar al doctor Matrix, sólo encontró a One-Tooth Ree, quien acababa de quemar los libros de la empresa en el jardín. La policía secuestró una carta del doctor Matrix. Allí se decía que el 6 de junio a las 6 de la mañana —la sexta hora del sexto día del sexto mes— el numerólogo y su hija se introdujeron en una de sus grandes pirámides, que los teletransportó a un monasterio en el Tíbet.

18. La Biblia [58]

Al escuchar la cinta de mi contestador automático (había pasado algunos días fuera de la ciudad), escuché con sorpresa la voz de Iva, con el siguiente, enigmático mensaje: «Isaías 50, versículo 2, primera frase», seguido de un número telefónico. Consulté la Biblia: «¿Por qué vine y no había nadie, llamé y nadie respondió?»

Llamé al teléfono indicado y escuché, azorado, el relato de la última hazaña de su padre. Los dos habían pasado más de un año en un monasterio del Tíbet, pero contra lo que yo suponía no era budista sino de una extraña secta protestante fundamentalista, la autodenominada Iglesia del Vero Verbo. Durante seis meses el doctor Matrix se había dedicado a escribir un comentario de la Biblia, en trece tomos.

Iva me dijo que la monumental obra aparecería en inglés en Suiza, y que ya se estaban efectuando traducciones al francés, alemán y ruso. Su padre corregía las traducciones y dirigía la distribución europea de la versión en inglés desde su domicilio actual, en París. Ella había viajado a Nueva York para conversar con una importante editorial, interesada en adquirir los derechos de distribución de la obra en Estados Unidos.

El doctor Matrix me enviaba un ejemplar de regalo de su gran obra, lo que fue para mí una satisfacción casi tan grande como volver a ver a Iva. Desgraciadamente, por razones de espacio, es imposible incluir aquí una reseña a la altura de esta obra monumental. Sería más fácil reseñar la última de la Encyclopaedia Britannica, a cargo de Mortimer J. Adler. Sin embargo, haré lo que pueda.

El título de la obra es The King James Bible, with Commentary and Critical Notes by Irving Joshua Matrix, D. N. [La Biblia, Versión Autorizada, con comentarios y notas críticas de Irving Joshua Matrix, doctor en numerología]. No se incluyen los Apócrifos. Cada tomo mide veintiocho por veinte centímetros, por seis centímetros de espesor, y su peso es de algo menos de dos kilos. El papel es delgado y de excelente calidad. Los números cardinales que aparecen en el cuerpo principal están impresos en tinta verde, los ordinales en azul. Los pasajes referidos a problemas matemáticos están impresos en tinta marrón oscura, y los que se refieren a problemas combinatorios, sean numéricos o literales, en violeta.

La portada contiene una cita de Job 14:16: «En vez de contar, como ahora, mis pasos». Los diez tomos dedicados al Antiguo Testamento están encabezados por la cita «Enséñanos a computar nuestros días» (Sal. 90:12). La inscripción que encabeza los tres tomos dedicados al Nuevo Testamento es «Y de vosotros, hasta los cabellos de la cabeza están todos contados» (Mt. 10:30).

El comentario del doctor Matrix no tiene mucho que ver con la numerología utilizada por los cabalistas de la antigua Judea (que asignaba números a las 22 letras del alfabeto hebreo), ni por la de Leonard Bernstein (quien adoptó esa técnica cuando compuso la música del ballet The Dybbuk, de Jerome Robbins). Tampoco le interesan los juegos numéricos del cristianismo medieval, basados en los valores de las letras griegas. En algunas ocasiones se refiere a ese gran cuerpo literario del misticismo numérico hebreo y cristiano, pero en general, como precursor de la numerología moderna, se limita a explorar el texto bíblico en busca de pautas combinatorias desde el punto de vista de esa disciplina.

Ya en la introducción, el doctor Matrix observa que ANTIGUO tiene siete letras, TESTAMENTO tiene diez. El producto de diez por siete es setenta, una clara referencia a la antigua versión Alejandrina, llamada De los Setenta. NUEVO TESTAMENTO tiene quince letras, como Jesús el Salvador.

Figura 29. ¿Cuántos habitantes tenía el mundo cuando Caín mató a Abel? (Grabado de Doré).

La larga nota sobre Génesis 4:14-15 sorprenderá a muchos lectores. Es el pasaje en el cual Caín expresa su temor de que cualquiera que lo encuentre lo matará. Puesto que Caín y Abel fueron el primo y el segundogénito, respectivamente, de Adán y Eva, la población del mundo en ese momento sólo podía constar de Caín, sus padres y tal vez algunas hermanas. Siendo así, ¿quién trataría de matarlo?

El doctor Matrix halla la respuesta en La ciudad de Dios, de San Agustín (dividido por él en veintidós partes, dice el numerólogo, porque veintidós eran las letras del alfabeto hebreo). De acuerdo con la cronología de Génesis 4 y 5, Abel fue asesinado en el año 129 después de la creación. 5:4 nos dice que Adán «engendró hijos e hijas». ¿No es razonable suponer, pregunta el doctor Matrix, que Adán y Eva tuvieron un hijo cada año? Para el año 129 habría 129 hijos. Supongamos que la distribución por sexos era pareja, que no hubo muertes antes del asesinato de Abel y que los hermanos y hermanas se casaron y tuvieron un hijo a partir de, digamos, los dieciocho años de edad. Con ese criterio se calcula que, cuando Caín mató a su hermano, Adán y Eva tenían más de 3000 nietos y más de 90.000 bisnietos. El doctor Matrix suma estas cifras a los tátara²-, tátara³- y tátara⁴- nietos y calcula que en la época del asesinato la población mundial había alcanzado el medio millón (véase la Figura 29).

El doctor Matrix hace una serie de observaciones curiosas sobre las edades de los patriarcas. La edad de Matusalén, 969 (Gén. 5:27) es evidentemente palindrómica. Existen cuatro maneras de expresarlo como la resta de los cuadrados de dos números menores de 500. Invirtiendo el 969 se obtiene 696, número palindrómico que se puede expresar de cuatro maneras como la resta de dos cuadrados cuyas raíces son menores de 500. Además, el 969 es el 17º número tetraédrico. Con 969 balas de cañón se puede construir una pirámide tetraédrica de 17 balas en cada arista. La cifra de los años de Enoc, padre de Matusalén, también presenta propiedades singulares. Vivió 365 años (Gén. 5:23), tantos como días hay en un año, hasta que fue trasladado (Gén. 5:24; Heb. 11:5).

El doctor Matrix demuestra que Matusalén murió en el año del Diluvio (véase la Figura 30). Tenía 187 años cuando nació Lamek (Gén. 5:25), Lamek tenía 182 años cuando nació Noé (5:28) y Noé tenía 600 cuando empezó el Diluvio (7:6). 187, 182 y 600 suman 969. «Es evidente que Matusalén no sobrevivió al diluvio sino que murió en el año en que sucedió», dice Agustín (La ciudad de Dios, libro 15, sección 11).

Figura 30. ¿Matusalén murió durante el Diluvio? (Grabado de Doré.)

El padre de Noé murió cinco años antes del Diluvio. ¿Permitió Noé que su abuelo Matusalén muriera en el Diluvio, como sugiere H. S. M. Coxeter en su artículo «An Ancient Tragedy», Mathematical Gazette, 55 (1971), 312? El doctor Matrix lo refuta con la opinión del rabino Solomon Itzhaki, llamado Rashi, un acrónimo formado con las letras hebreas de su nombre. Rashi, comentarista francés de la Biblia y el Talmud que vivió en el siglo XII, sostiene que Matusalén murió poco antes de que se iniciara el Diluvio. Dios esperó a que pasaran los siete días de luto («Pues dentro de siete días voy a hacer llover sobre la Tierra…» Gén. 7:4) antes de iniciar el Diluvio.

El doctor Matrix incluye millares de notas sobre los números que se mencionan en la Biblia, pero aquí me limitaré a señalar los que me llamaron la atención. Afirma que el entero más grande que se menciona explícitamente es 200.000.000, los «dos centenares de millones» que formaban el ejército de caballería de Apocalipsis 9:16. El primero que aparece es también el más pequeño: el ordinal 1 («primer día», Génesis 1:5). En la misma nota observa que el entero menor que no se menciona en la Biblia es el 43.

En cuanto a los 153 peces atrapados en la red que no se rompió (Juan 21:11), el doctor Matrix reproduce el análisis expuesto en Tratados sobre el Evangelio de San Juan, de Agustín. Tomamos 10 (decálogo) como símbolo del antiguo designio divino y 7 (los dones del espíritu) como símbolo del nuevo. Los dos suman 17, y la suma de todos los enteros de 1 a 17 inclusive es 153. El doctor Matrix señala que el 17 es el séptimo número primo (y por ello el más santo). El binario que corresponde a 153 es el palíndromo 10011001.[59] Con respecto a los 276 náufragos (Actos 27:37), el doctor Matrix observa que 276 es la suma de las quintas potencias de 1, 2 y 3.

El 490 —los «setenta veces siete» pecados de un hermano que se deben perdonar, según le dijo Jesús a Pedro (Mt. 18:22)— es la cantidad de veces que se puede dividir el número 19 en enteros positivos que suman 19. Daniel 9:24 habla de «setenta semanas». Si uno supera los 490 pecados y comete el 491º (que sirvió de base a la película 491, de Vilgot Sjoman), el número ordinal del pecado que no se perdona es primo. Además —agrega el doctor Matrix— es la suma de los cuadrados de los primos 3, 11 y 19 la resta de los cuadrados de los números consecutivos 245 y 246.

Por el comentario del doctor Matrix me enteré de que el 666, el número de la bestia en Apocalipsis 13:18, ya aparece en el Antiguo Testamento: 1 Reyes 10:14 dice que es el número de talentos de oro que recibía Salomón en un año, y Esdras 2:13 dice que es el número de hijos de Adoniqam, nombre que significa «señor de los enemigos». No me había dado cuenta de que el Apocalipsis es el 66º libro de la Biblia, ni de que el 18, el versículo que menciona al 666, es la suma de los dígitos que componen el 666. No trataré de resumir sus comentarios sobre la historia de las interpretaciones del número de la bestia, que ocupan más de 50 páginas del libro. Sin embargo, cabe resaltar un pasaje referido al número 1480, muy apreciado por los numerólogos medievales porque se obtiene sumando los valores asignados a las letras griegas de CHRISTOS.

El doctor Matrix lo vincula con el 666 de manera extraña. Su diagonal (redondeada) es 2093. Si se traza un círculo de circunferencia 2093, su diámetro es ¡666!

También existe un extraño vínculo entre 666 y pi, que se observa en un magnífico criptograma aritmético, atribuido por el doctor Matrix a Alan Wayne, de Holiday, Florida, experto en la construcción de estos juegos:

SIX + SIX + SIX = NINE + NINE [60]

Cada letra representa un número; a la letra igual, número igual. Hay una sola solución. Cuando la halle, el lector descubrirá cómo aparece pi de dos maneras distintas. (Véase Respuestas, Dieciocho, I.) [1801]

Dos veces aparece en la Biblia la misma aproximación a pi: en I reyes 7.23 y en 2 Crónicas 4:2. En los dos casos se habla de un «mar de metal fundido» circular, de diez codos de diámetro y treinta de circunferencia. Se podría suponer que la mayor aproximación a pi lograda por los autores del Antiguo Testamento era 3, pero el doctor Matrix va más allá. El primer versículo que habla de pi es el 1 Reyes 7:23. Restando la inicial 1 del terminal 23 se obtiene 7:22; 22 dividido 7 es 3,14+, una buena aproximación a pi. Más aún, el doble de 7 es 14, la mitad de 2 es 1 y el doble de 3 es 6, lo que da a 1416, una excelente aproximación a los primeros cuatro decimales de pi.

El doctor Matrix recuerda que en 1966 había vaticinado que el millonésimo dígito de pi sería 5, sobre la base del tercer libro del Antiguo Testamento, capítulo 14, versículo 16 (véase el capítulo 8). El vaticinio quedó confirmado en 1974, cuando los matemáticos de París computaron pi hasta el millonésimo decimal. (El millonésimo dígito decimal, excluido el 3, es 1.) De todos modos la aproximación bíblica de pi es más bien tosca, lo cual podría deberse, según el doctor Matrix, a que Moisés destruyó las «tablas» (Ex. 32:19).

El número más misterioso de la física moderna es la constante de la estructura fina, y el doctor Matrix no la pasa por alto. Si se eleva la carga elemental e al cuadrado y se la divide por el producto de c (velocidad de la luz) y h (la constante cuántica), se obtiene 1/137, la recíproca de la constante. Según el doctor Matrix, la primera mención del 137 en la Biblia es la edad de Ismael (Gén. 25: 17); luego aparece como las edades de Leví (Ex. 6:16) y de Amram (Ex. 6:20). Se excusa luego de desarrollar su propia teoría acerca de cómo derivar el 137 de estos nombres que, afirma, están vinculados con la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. (Dice que está escribiendo una monografía sobre el tema.) Sin embargo, reproduce la anécdota sobre el físico Wolfgang Pauli quien, después de muerto, le preguntó a Dios de dónde había sacado el 137. Dios le entregó unas hojas llenas de fórmulas matemáticas y le dijo: «Ahí tiene la explicación». Pauli estudió las fórmulas, frunció el entrecejo, alzó la vista y dijo: «Das ist falsch.»

En tres versículos del Apocalipsis (7:4, 14:1 y 14:3) se habla de 144.000 santos de pie ante el trono del Padre, cantando un nuevo cantar, con el nombre de Dios escrito en la frente. Apocalipsis 7 aclara que se trata de 12.000 santos tomados de cada una de las tribus de Israel (véase también Mt. 19:28). El doctor Matrix dedica varias páginas a las sucesivas interpretaciones de los comentaristas de la Biblia, desde Orígenes hasta las sectas adventistas contemporáneas, como los Testigos de Jehová y los Adventistas del Séptimo Día. Los Testigos creen que en 1918 se inició una resurrección invisible, y que 144.000 santos irán al Cielo, mientras que varios millones permanecerán en la Tierra y jamás morirán. Los Adventistas del Séptimo Día afirman que 144.000 santos vivos serán trasladados al Cielo el día de la Segunda Venida.

A partir de su profundo conocimiento de la literatura adventista primitiva, el doctor Matrix reproduce un divertido pasaje de una de las primeras visiones de la señora Ellen Gould White, la notable mujer que fundó el movimiento adventista. En estado de trance la señora White vio a los 144.000 santos parados sobre un mar de vidrio, formando un «cuadrado perfecto». No se dio cuenta, dice el doctor Matrix, que la raíz cuadrada de 144.000 no es 120 ni 1.200 sino el número irracional 379,4733+.

Años después, dice el doctor Matrix, cuando la señora White escribió su célebre libro The Great Controversy Between Christ and Satan [La gran controversia entre Cristo y Satanás], dijo que los santos formaban «un cuadrado hueco con Jesús en el centro». En ediciones posteriores modificó la frase: «Las huestes refulgentes forman un cuadrado hueco en tomo de su Rey, que se alza majestuoso sobre los santos y los ángeles».

Quizá, razona el doctor Matrix, el subconjunto de 144.000 santos trasladados al Cielo forma un «cuadrado hueco», y cita un análisis de Harold F. Williams, profesor de matemática en la universidad adventista Platte Valley Academy de Shelton, Nebraska. Si se supone que los santos forman un cuadrado perfecto con un hueco central, también cuadrado, cuyos lados son paralelos a los del perímetro exterior, existen 36 maneras de lograr esa disposición. 36 es un número cuadrado y a la vez un divisor exacto de 144.000. ¿Qué dimensión tendría el lado del cuadrado hueco más pequeño formado por 144.000 santos? (Véase Respuestas, Dieciocho, II.) [1802].

El doctor Matrix no menciona el best-seller There’s a New World Corning, de Hal Lindsey (Nueva York, Bantam, 1973), pero creo que a los lectores les interesará saber que, en el comentario sobre el Apocalipsis, se dice que los 144.000 santos serán evangelistas judíos conversos que predicarán el evangelio durante los siete años de graves convulsiones que sufrirá el mundo. Después de Herbert Armstrong y Garner Ted Armstrong, Lindsey es el mayor exégeta de las profecías bíblicas. En la actualidad es profesor en un centro de adoctrinamiento fundamentalista de California llamado J. C. Light and Power Company [Compañía J. C. de Luz y Fuerza].

Una de las más asombrosas pautas numéricas descubiertas por el doctor Matrix en la Biblia se relaciona con el número de capítulos de los cuatro evangelios. Mateo, Marcos, Lucas y Juan tienen en su orden 28, 16, 24 y 21 capítulos. En ese orden formamos la fracción compleja (28/16) / (24/21). Ahora invertimos el orden de los cuatro números: (21/24) / (16/28). Cada fracción simple se ha convertido en su recíproca, y el numerador y el denominador de la fracción compleja también se han invertido. A pesar de esta transformación, créase o no, el valor de la expresión no cambia. Es 1,53125. El doctor Matrix observa que los tres primeros dígitos forman el número de peces de la red que no se rompió. Para obtener los últimos tres decimales se toman los dos primeros (5, 3) y se eleva 5 al cubo.

Es extraordinario que una fracción compleja de cuatro números dé el mismo resultado después de semejante transformación. Para demostrarlo, invito al lector a buscar otros cuatro enteros, distintos entre sí, que formen una fracción compleja que posea la misma propiedad. (Véase Respuestas, Dieciocho, III.) [1803].

Apocalipsis 7:9 dice que el número de los salvados es «una gran muchedumbre, la cual nadie podía contar». Si nadie la puede contar, razona Matrix, los salvados forman un conjunto incontable e infinito. Puesto que el número de personas que habrán vivido en la tierra será necesariamente finito, debemos concluir que en el universo existen incontables planetas donde hay vida inteligente. Si el número de tales planetas pudiera ser contado, entonces también lo sería el número de almas de todos ellos en cualquier momento de la historia del cosmos, lo cual contradice la Revelación.

Según el doctor Matrix, todo el Antiguo Testamento demuestra un fuerte interés por la matemática. Señala, con el matemático G. J. S. Ross, de la Universidad de Cambridge, que «comenzaron los hombres a multiplicar» (Gén. 6:1) desde que fueron creados, y siguieron haciéndolo en la época del Nuevo Testamento (2 Pe. 1:2; 2 Cor. 9:10). Realizaban divisiones (Gén. 15:10; Núm. 31:27), sumas (2 Pe. 1:5) y restas (Gén. 18:28). Aprendieron a «sacar raíces» (Ez. 17:9) y a luchar «contra las potencias» (Ef. 6:12).

Los patriarcas no desconocían la geometría abstracta. En varias ocasiones se habla de matrices (Ex. 13:12, 15; 34:19; Núm. 3:12, 18:15). Ezequiel decía que los «aros» infundían «temor» (Ez. 1:18). Jeremías lamentaba las «abominaciones» en «los campos» (Jer. 13:27). A Pedro lo molestaron «cuatro cuaternios» (Ac. 12:4) y Jesús pensaba mal de quien «reclama signo» (Mt. 16:4).

El doctor Matrix atribuye a su amigo Dmitri Borgmann, autoridad mundial en juegos lingüísticos, una gran cantidad de datos sobre curiosidades con letras y palabras. «Lloró Jesús» (Jn 11:35) es el versículo más corto de la Biblia y «Eber, Peleg, Reú» (1 Cr. 1:25) es el más corto del Antiguo Testamento. El versículo más largo es Ester 8:9. La palabra más larga de la Biblia es el nombre Majer-salal-jasbaz, de 16 letras, mencionado en Isaías 8:1. El hombre más alto de la Biblia no es Goliat (seis codos y un palmo, 1 Sam. 17:4), porque se dice que Og, rey de Basán, dormía en una cama de nueve codos de largo (Dt. 3:11). El hombre de menor estatura no es Bildad el sujita, amigo de Job (Jb. 8:1) sino Habacuc, quien dijo: «Sobre mi puesto me colocaré» (Hab. 2:1).

La práctica de «consultar» la Biblia en busca de soluciones a los problemas personales era muy común en la Edad Media. Los ritos variaban, pero los que creían en él dedicaban varios días a la oración y al ayuno y luego abrían la Biblia al azar para leer el primer versículo en el cual posaban la mirada. Las civilizaciones no cristianas también empleaban este método. Los griegos consultaban a Homero, los romanos a Virgilio, los moros al Corán, etcétera. De tanto en tanto la Iglesia emitía un decreto para condenar esa costumbre, pero la historia medieval conoce innumerables casos de vidas que se vieron profundamente afectadas por ella. El doctor Matrix identifica algunos de los pasajes bíblicos que cumplieron ese papel, sobre todo Romanos 13:13, 14, al cual Agustín atribuye su conversión. En el libro 8 de sus Confesiones relata que se encontraba descansando bajo una higuera, cuando escuchó la voz de un niño que decía: «Tolle, lege, tolle, lege» (toma, lee). Eran las epístolas de Pablo. Abrió el libro al azar y leyó el pasaje que transformó su vida.

Figura 31. Rebeca baja del camello. (Grabado de Doré.)

Yo no sabía, hasta que leí el comentario del doctor Matrix sobre el capítulo 11 de Proverbios, que esos treinta y un versículos se utilizaban para decir la suerte. Basta leer el versículo correspondiente al día del nacimiento y luego considerarlo un augurio. El doctor Matrix da como ejemplo a Richard M. Nixon, nacido un 9 de enero, cuyo versículo dice: «Con la boca el impío arruina a su prójimo, mas mediante el saber los justos son salvados». Esto podría interpretarse como una condena a Nixon por el problema de Watergate, pero un amigo suyo, según el doctor Matrix, dice que el versículo habla de la persecución que sufre Nixon a manos de sus enemigos y vaticina que finalmente el expresidente será rehabilitado.

Aparecen centenares de notas con anagramas de nombres y frases bíblicas. Así, el anagrama de «los diez mandamientos» es «Zona sin Dios: temed mal». El de «plata y oro» (Dt. 17:17) es «lo parto ya». El de «El sueldo del pecado es muerte» (Rom. 6:23) es «Su cruel dedo pelea; sometedle».

Incluso hay notas sobre juegos de palabras. «Luego habló a sus hijos, diciendo: ‘¡Aparejad al asno!’ Y lo aparejaron» (1 Reyes 13:27). Cualquiera sabe que cuando Jesús le dijo a Simón, «tú eres Pedro, y sobre esta piedra edificaré mi Iglesia» (Mt. 16:18), sabía que Pedro en griego significa piedra. ¿Pero quiénes sabían que algunas de las frases de Jesús, dichas en su dialecto arameo, contienen ingeniosos juegos de palabras? Según el doctor Matrix, cuando Jesús fustiga a los hipócritas que filtran el mosquito y se tragan el camello (Mt. 23:24), emplea los términos arameos GALMA y GAMLA, que significan mosquito y camello, respectivamente.

En algunos comentarios sobre los personajes bíblicos el doctor Matrix incluye viejos acertijos y jeroglíficos que se han convertido en clásicos. Aquí reproduzco tres, para que los lectores se devanen los sesos tratando de identificar a los personajes.

1.

Empieza en quinientos,

Termina en quinientos,

El cinco aparece en el centro.

La primera letra,

El primer número,

También aparecen allí.

Si encuentras la punta de esta madeja,

Sabrás el nombre de un rey.

2.

Un personaje bíblico sin nombre,

Cuyo cadáver jamás se pudrió,

Cuya muerte nadie jamás sufrió,

Cuya mortaja en el almacén la compras.

3.

(Véase Respuestas, Dieciocho, IV.) [1804]

19. Calcuta

«Gracias a la magia, la gente cuestiona el mundo. Eleva la conciencia. Quiero montar un espectáculo tan fantástico que la gente cuestionará la realidad que los rodea», dijo el prestigiador Doug Henning al New York Times (9/7/76). Indudablemente, la creciente difusión de la magia en Estados Unidos es producto del auge del ocultismo y de la avidez del público por los milagros y el misterio. Mientras los cultos esotéricos, en su mayoría orientales, se difunden por todo el país, un pintoresco movimiento de concientización se extiende como un reguero de pólvora por la región de Bengala, en la India.

Lo llaman MP, que son las siglas de Meditación Pentagonal. En occidente todavía no se lo conoce bien, debido tal vez a que surgió hace apenas un año en un pequeño templo de Shiva de las afueras de Calcuta, esa vasta megalópolis que la mayoría de los turistas evitan como la plaga.

Me enteré de la existencia de la MP gracias a mi amigo Sam Dalal, un prestidigitador de Calcuta («Sam el Ilusionista»), director de la ágil revista Mantra, dedicada a la magia, y de la cual soy suscriptor y ocasional colaborador. Sam me envió un recorte periodístico sobre la MP, con una foto de su fundador, el gurú Marahashish, y su ayudante Zuleika parados frente al templo. Los rasgos de Marahashish estaban ocultos detrás de una frondosa barba blanca y la cabellera que enmarcaba su rostro, pero Zuleika sonreía ante la cámara sin tratar de ocultarse. Su tez era oscura, en su amplia frente llevaba la marca de casta Shiva —tres rayas horizontales—, pero esos bellos ojos orientales eran inconfundibles: ¡Iva, la hija eurasiática del doctor Matrix!

Muy apropiado, pensé. Si se quitan las dos primeras letras de Shiva, queda Iva. Avisé a Sam por telegrama que llegaría a Calcuta al día siguiente.

Hacía diez años que no lo visitaba, pero mientras el ómnibus desvencijado recorría el camino del aeropuerto Dum Dum al Grand Hotel, los inconfundibles olores de Calcuta penetraron por las ventanillas abiertas. Eran las cuatro de una mañana calurosa, brumosa y sofocante. Los nuevos edificios no habían cambiado el aspecto de la ciudad. Los menesterosos dormían en las aceras, tendidos como cadáveres bajo sucias telas de algodón que parecían mortajas. Y por la mañana más de uno resultaría ser un cadáver. Algunas vacas rondaban por las calles, husmeando en la basura. Los madrugadores se lavaban en las bocas de agua o hacían sus necesidades en los callejones.

No conozco otra ciudad donde uno se encuentra cara a cara con el hambre, la miseria y la muerte como en Calcuta. La única manera de conservar la cordura es imaginar que nada de lo que uno ve es real, que todo es falso como un estudio cinematográfico: una película de terror en colores, proyectada sobre una pantalla ancha para provocar asco y fascinación en los espectadores.

Me reuní con Sam esa misma mañana en su oficina atestada de papeles, en el segundo piso de un edificio del centro de la ciudad. No había cambiado: seguía siendo un joven esbelto, animoso, de rasgos armoniosos, bigote y barba negros y ojos azabaches. Sam es un parsi zoroastriano de Bombay. Como buenos aficionados a la magia, pasamos directamente a los nuevos trucos de naipes, sin perder el tiempo con bueyes perdidos.

Sam quería conocer al doctor Matrix. Sabía que el gran numerólogo había trabajado en su juventud con el célebre mago japonés Tenkai, y tenía fama de hombre diestro en el arte de birlibirloque. Almorzamos y nos fuimos en el Fiat negro de Sam al templo, a una hora de distancia de la ciudad.

Sam se abrió paso lentamente en medio de la maraña de automóviles y rickshaws. Cruzamos Maidan, el hermoso parque del centro de Calcuta, doblamos hacia el norte por el Red Road y luego hacia el oeste para cruzar el puente Howrah. Centenares de hindúes se bañaban en el río Hooghly. Un cadáver putrefacto flotaba a la deriva, río abajo. Era uno de los pobres de la ciudad, muerto durante la noche y arrojado al agua entre los desechos industriales.

Miles de hindúes mueren todos los años por beber la pestilente agua bendita pero ¿a quién le importa? Los médicos de Calcuta, sobre todo los homeópatas, sostienen que los sobrevivientes se vuelven inmunes a las enfermedades locales.

Llegamos al templo de Shiva, recientemente restaurado, y un muchachito hindú, descalzo y vestido con impecables pantaloncillos blancos, salió a nuestro encuentro. Sam le dijo que yo era un periodista norteamericano que quería escribir una nota sobre la MP. ¿Se dignaría el gurú Marahashish a recibirnos?

—El sahib nos honra con su visita —dijo el chico con una profunda reverencia.

Fue a una gran nataraja, la estatua tradicional de Shiva danzando, y oprimió un botón en el centro de la frente broncínea del dios. Sonaron campanas en el interior del templo. A los pocos minutos apareció Iva, envuelta en un sari decorado con taraceas pentagonales.

—¡Santo cielo! —exclamó.

Figura 32. Estructura fundamental de la figura imposible formada por los mosaicos del piso del doctor Matrix.

Nos abrazamos (su aroma era más agradable que los de Calcuta) y, tras las presentaciones, nos condujo a la oficina de su padre. El piso del templo estaba cubierto de mosaicos nuevos que formaban una extraña figura periódica (véase la Figura 32). Parecía la representación de una estructura tridimensional, pero vistos más de cerca los bloques formaban una estructura imposible, que no podía existir en la realidad. Las paredes y los cielorrasos estaban cubiertos de enormes espejos, que reflejaban infinitas imágenes de Sam, Iva y yo en todas las direcciones.

En la entrada de un corredor nos detuvimos a estudiar una estatua de madera de Kali, la de los cuatro brazos, la encarnación «mala» de la consorte de Shiva y patrona de Calcuta. Según la leyenda, Vishnú desmembró a Kali y uno de sus dedos cayó en un lugar que desde entonces se llama Kalicutta: el campo de Kali. La tez de la diosa era negra. Entre sus labios, abiertos en una sonrisa maligna, asomaba su lengua roja. De sus orejas pendían hombres ahorcados y llevaba un collar de calaveras humanas.

—Está bailando sobre la figura de un hombre postrado —dije—. ¿Quién es?

—Su esposo, claro está —dijo Iva—. Me sorprende que las feministas norteamericanas no hayan difundido esta imagen. Aquí es una de las diosas más veneradas.

—Te envié un ejemplar de mi nuevo libro, The Incredible Dr. Matrix, publicado por Scribner’s. ¿Lo recibiste?

—Y lo perdí —asintió Iva al abrir la puerta de la oficina—. Es uno de esos libros que, una vez empezado, uno no lo puede dejar hasta terminarlo. Bueno, debe excusarme. Nos veremos más tarde.

La alta silueta del doctor Matrix se irguió detrás de un escritorio. Había teñido de blanco su cabello y su barba y oscurecido su tez, pero no había manera de disimular esa enorme nariz aguileña. Un par de tupidas cejas negras separaban sus ojos verdes de las marcas de Shiva sobre su frente.

—Bienvenido a Calcuta —dijo con marcado acento británico—. Siéntense, les explicaré qué es la MP.

El doctor Matrix aprendió los cinco principios fundamentales de la MP en el Himalaya, cuando fue discípulo del swami Fondahondashankarbabasaranwrapi. El swami, cuyo rostro nos sonreía desde un retrato al óleo en la pared detrás del escritorio, lo llamaba Meditación Fundamental. El doctor Matrix había modificado el nombre por temor a las pullas que provocarían las siglas en inglés.

Figura 33. Shiva, Señor de la Danza. Escultura de bronce hindú, alrededor del 1000 d. C.

—El primer principio de la MP —dijo el DM— es: Lo que es, no es. Lo llamamos nonest. El universo, ustedes, yo, no es sino una monstruosa ilusión creada por Brahma, mientras su colega Shiva danza entre bambalinas. Su mejor símbolo es el nataraja (Figura 33). El universo acaba de iniciar uno de sus interminables ciclos. El aro ígneo es la bola de fuego del «big Bang» la gran explosión primigenia. El tambor en la mano superior derecha de Shiva marca el ritmo nonésico espacio-temporal. La llama en su mano superior izquierda es la energía que impulsa al mundo y acabará por devorarlo. Su diestra inferior está alzada en un gesto que significa «no temáis». La zurda inferior apunta a su pie alzado, símbolo que nos libera del maya: la poderosa ilusión, compartida por todos los no iniciados, de que el mundo es real.

El doctor Matrix tomó un pequeño nataraja de marfil de su escritorio.

—¿Quién es ese enano bajo el pie de Shiva? —pregunté.

—El demonio de avidya, la ignorancia.

—Eso sí lo sabía —dijo Sam—. La única realidad es Brahman-Atman. El mundo no existe sino vagamente, a la manera de un sueño. Todos somos espectros de la mente de Brahma y, al igual que los mismos dioses, finalmente seremos absorbidos en el Uno. El influjo de maya nos hace ver el mundo fragmentado, pero esos fragmentos sólo son ilusiones provocadas por el Gran Ilusionista.

El doctor Matrix asintió solemnemente, acariciándose la barba. Aplaudió con una sola mano: entró una joven hindú con una copa de cristal llena de vino rosado. El doctor Matrix la colocó en el centro de una pequeña mesa redonda, una tabla en forma de disco, de un centímetro de espesor, apoyada en una pata central cilíndrica de un centímetro de radio por dos metros de altura. Cubrió la copa con un cilindro azul, abierto en los dos extremos.

—Enseguida veremos para qué sirve —dijo—. El segundo principio de la MP es lo que llamamos la «risa nonésica». Es así.

Sin sonreír, soltó una serie de chillidos agudos.

—¿Qué significa esto? —preguntó Sam.

—Es la manera como reaccionamos ante cualquier cosa que pueda despertar nuestras emociones. Si nada existe, nada puede perturbarnos. Si vemos un lisiado, un ciego, un mendigo famélico, reímos. Si vemos un cadáver, reímos. La risa nonésica cura la jaqueca y cualquier dolor. Nada existe, por consiguiente el mundo es perfecto. Es lo que no es: ¿por qué tratar de cambiarlo? Cuando un discípulo de la MP aprehende esta verdad, decimos que la ha «perdido». Al perder todas sus ilusiones, uno adquiere la verdadera paz interior y juega al tenis como un campeón.

—¿Cuál es el tercer principio?

—La santidad del cinco, el número de letras de Shiva. El cinco es el dígito central en la serié del 1 al 9. Es también el dígito central del Lo Shu, el cuadrado mágico chino de tercer orden.

—Recuerdo que en 1966, antes de que los franceses llegaran al millonésimo decimal de pi, usted predijo que el millonésimo dígito contando el 3 sería 5 —dije. (Véase mi libro New Mathematical Diversions, pág. 100.)

—Tuve razón, ¿verdad? El cinco es un número notable. En el siglo XVII, como usted sabe, sir Thomas Browne escribió un libro sobre la ubicuidad del cinco.

(No lo sabía, pero luego lo verifiqué. El libro se llama The Garden of Cyrus or The Quincuncial Losenge or NetWork Plantations of the Ancients, Artificially, Naturally, Mystically Considered [El jardín de Ciro o el mosaico cincunal o las redes de plantaciones de los antiguos consideradas desde el punto de vista artificial, natural y místico].)

—Veamos —murmuré—. Platón habla de cinco clases de sólidos.

—Así es —dijo el doctor Matrix, acariciándose la barba—. Se necesitan cinco puntos para determinar una curva cónica. La ecuación de quinto grado es la menor que no se puede resolver en términos de radicales. El número de divisiones necesarias para obtener el máximo común divisor de dos números nunca supera el número de dígitos del menor multiplicado por cinco. Todos los grupos de uno a quinto orden son conmutativos. Los ejemplos abundan.

—Ni qué hablar —tercio Sam— de que hay cinco dedos en cada mano y cada pie, la estrella de mar tiene cinco brazos y la mayoría de las flores tienen cinco pétalos.

—¿Cómo se introduce el cinco en el aprendizaje de la MP? —pregunté.

—Ese es el tema de meditación de los neófitos. Cinco veces al día se sientan en la posición del loto durante cinco minutos, cierran los ojos, respiran por la fosa nasal izquierda y dicen la palabra «cinco» una y otra vez, mientras contemplan interiormente el número. Luego entonan un mantra secreto que les damos a conocer una vez que hayan entregado tres obsequios rituales a su maestro.

—¿Cuáles son esos obsequios?

—El primero es un espejo de mano. El mundo de la imagen especular simboliza el carácter ilusorio del mundo reflejado. El segundo es una banana, que significa el shivalinga, el símbolo fálico de Shiva, que es objeto de culto en toda la India. Como usted sabe, el placer sexual es una de las mayores ilusiones de Brahma. El tercer obsequio es el equivalente de un billete de cincuenta dólares, el primero de cinco pagos idénticos. Cada maestro debe donar la quinta parte de cada pago al templo.

—¿Sólo la quinta parte? —preguntó Sam.

—Sí. Zuleika ríe durante todo el trayecto al banco. El cuarto principio es la doctrina del eterno retorno. El ser humano tiene un cuerpo theta (equivalente al alma de los cristianos) que pasa por cinco encarnaciones, cada una en ciclo diferente del cosmos. Cada vez que Shiva nonestiza el universo con su danza, éste se expande durante cincuenta mil millones de años. Luego se contrae durante cincuenta mil millones de años y finalmente es absorbido en un agujero negro.

—¿El Agujero Negro de Calcuta?

—El doctor Matrix pasó por alto mi observación, pero Sam hizo un mohín de desagrado.

—Después de cinco ciclos los universos se repiten. En la sexta encarnación el cuerpo theta vuelve al primer universo y al primer cuerpo físico. El símbolo de esto es una extraña serie numérica que me enseñó mi amigo el malabarista Ron Graham cuando lo visité en el laboratorio Bell de Murray Hill, Nueva Jersey. ¿Tiene usted su calculadora de bolsillo?

—Sí, jamás salgo sin mi calculadora y un mazo de naipes —dije, sacando mi calculadora barata de ocho dígitos.

El doctor Matrix me ofreció una hoja de papel y me indicó que anotara dos números reales positivos cualesquiera. Escribí pi y 76. Me dijo que sumara 1 al segundo número y dividiera el resultado por el primer número para obtener el tercero de la serie. Marqué 76, sumé 1 y dividí el 77 por 3,1415926. El resultado: 24,509861. Para obtener el cuarto número repetí la operación de sumar 1 y dividir por el número anterior. El resultado fue 0,335656. El quinto número fue 0,544946.

—Y ahora lo voy a dejar azorado —dijo el doctor Matrix—. Usted seguramente piensa que si sigue aplicando el algoritmo sólo obtendrá nuevos números tan horribles como los anteriores. Pruebe una vez más y vea qué sucede.

Ya lo creo que quedé azorado. ¡El número siguiente fue pi! En el lector apareció 3,1415931, pero eso se debió a los pequeños errores acumulados por la calculadora. El doctor Matrix me aseguró que si se hacen bien los cálculos se obtiene siempre una serie periódica de cinco elementos. Dejo al lector la tarea de hallar la demostración, que no es difícil de realizar.

El doctor Matrix hizo otras operaciones curiosas con el cinco, pero por falta de espacio me limitaré a reproducir la siguiente. Marque 555 y divida cinco veces por cinco. Los resultados son 111; 22,2; 4,44; 0,888 y por último 0,1776, el año de la independencia de Norteamérica. Pruebe el lector a repetir la operación con la mayor cantidad de cincos que aparecen en su calculadora.

—¿Cuál es el quinto principio? —preguntó Sam, que tomaba nota de todo.

—Es nuestro Principio Supremo, sólo lo revelamos a los estudiantes que han abonado la quinta cuota.

—¿Qué pasa con eso? —pregunté, señalando el cilindro azul.

—Un fenómeno nonésico —dijo el doctor Matrix—. Levante el tubo, si es tan amable.

No pude dar crédito a mis ojos: ¡la copa había desaparecido, con todo su contenido! Estudié el cilindro, pero no encontré nada sospechoso. Sam sonreía con malicia. Más tarde me dijo que él era el inventor del truco, y que el doctor Matrix seguramente lo había aprendido de algún prestidigitador local. ¿Adivina el lector en qué consiste el modus operandi? (Véase Respuestas, diecinueve, I.) [1901] y (Véase Respuestas, diecinueve, II.) [1902]

—La copa y el vino no existían —dijo el doctor Matrix—. Eran ilusiones. —Rió nonésicamente—. Ahora le mostraré algo que le gustará aún más: una antigua danza de Kali.

Nos condujo de su oficina a un estrecho corredor que terminaba en un pequeño anfiteatro. Nos sentamos en la grada inferior. El doctor Matrix aplaudió otra vez con una mano (no pudimos descubrir cómo lo hizo) y ante esa señal se apagaron las luces y apareció un débil resplandor rojizo, provocado por bombillas ocultas en la circunferencia del techo.

De alguna parte llegaron las notas melancólicas de una raga hindú, ejecutada con instrumentos del país. El ritmo pareció acelerarse, pero era una ilusión porque en realidad no variaba. Bruscamente apareció Iva en el pequeño escenario, desnuda y con un espejo pentagonal sobre el ombligo. El espejo reflejaba la luz color rubí mientras su cuerpo se meneaba en una danza sensual de indescriptible belleza. A la luz escarlata su piel era negra como la de Kali.

—La desnudez de Zuleika —dijo el doctor Matrix— nos recuerda que debemos despojarnos de todas nuestras ilusiones. El mundo está desnudo porque no existe.

Al finalizar la danza, Sam y yo aplaudimos con fervor. ¡Viva la ilusión! exclamé, y me paré para darle un abrazo de felicitación a Iva. Mis brazos abrazaron el aire. Su imagen había desaparecido, pero su risa nonésica nos llegaba desde la lontananza. Era una ilusión provocada mediante espejos cóncavos.

Iva, Sam y yo volvimos a la ciudad y cenamos juntos en un restaurante japonés cerca del hotel.

—Comamos y bebamos con alegría —dijo Sam—, porque la realidad no es.

—Y porque mañana empiezo un nuevo régimen —acotó Iva.

Nos dijo que su padre estaba organizando una gran campaña publicitaria a fin de promocionar la MP en Estados Unidos, a cargo de Bagel Lox, antiguo vicepresidente de la fábrica de gaseosas Dr. Pepper. El pastor Jerry Rubin, cantor John Lennon y su esposa y los actores Doug Henning y Mia Farrow ya habían visitado el templo de Calcuta (con todos los gastos pagos) y se convirtieron en devotos del culto. John Denver va a componer una canción sobre la MP, con el título «No te preocupes por lo que no es».

Me hubiera gustado unos días más en Calcuta, pero Iva y su padre estaban invitados a un crucero en el yate del multimillonario L. Ron Hubbard, que se encontraba en los muelles de lo que Kipling llamó «La ciudad de la noche horrenda». Antes de partir de esa ciudad tan triste, pero a la vez tan extrañamente bella, Iva me entregó mi mantra secreta en un sobre cerrado.

Cuando mi avión remontaba vuelo sobre el Océano Nonésico, pedí un martini y leí mi mantra una vez más. Oquet-ontos-oy. Comprendí el significado cuando la segunda copa empezaba a alterar mi conciencia. Creí escuchar la risita de Iva, pero sólo era una alucinación auditiva.

20. Stanford [61]

“Sólo sentí una mezcla de alegría y admiración; alegría por la manera cómo una idea abstracta, una mera palabra como ‘terremoto’, adquiría vida al transformarse en una realidad perceptible, susceptible de ser verificada; admiración por el hecho de que la casilla de madera se mantenía en pie a pesar del temblor. No sentí ni una pizca de temor, sólo placer.

Estuve a punto de gritar: ‘¡Vamos! ¡Más fuerte!’.

William James en la Universidad de Stanford, a las 5:30 de la mañana del 18 de abril de 1906, hablando del gran terremoto que destruyó a San Francisco.”

—Para decirlo en el lenguaje vulgar —escribe Garret Harding, profesor de ecología humana de la Universidad de California en Santa Bárbara—, un aparato capaz de pronosticar los terremotos serían tan beneficioso como una patada en el trasero.

Esta cita aparece en su ensayo «Earthquakes: Prediction More Devastating than Events», incluido en la espléndida recopilación Stalking the Wild Taboo (William Kaufmann, 1973). Harding considera que si los geofísicos alguna vez descubren la manera de pronosticar los terremotos con gran exactitud, los trastornos sociales que provocarán los anuncios serán más perjudiciales que los propios temblores.

Por un extraño sincronismo, yo acababa de leer el ensayo de Harding cuando recibí una carta de mi viejo amigo Persi Diaconis, aficionado a la magia y profesor de estadística en la Universidad de Stanford. Persi me dijo que un sujeto que se hacía llamar doctor Punk Rockwell había alquilado una oficina en El Camino Real, entre Ro Rodwood City y Menlo Park, a unos 40 kilómetros del centro de San Francisco y a pocos minutos de Stanford. El doctor Rockwell era presidente de una empresa llamada Punk Earthquake Prediction Corporation (PEPC) [Compañía Punk de Pronóstico de Terremotos] y decía poseer un método nuevo e infalible para pronosticar los temblores telúricos.

Desde hacía varios meses, decía la carta, Rockwell y su asistente, Punky Anderson, prestaban servicios a los agricultores y los pobladores en general de la costa californiana, de Eureka a San Diego. El doctor Rockwell sostenía que las tensiones mecánicas que se acumulaban desde hacía varias décadas en la falla San Andreas, de unos mil kilómetros de largo, sobre todo las provocadas por los pliegues aparecidos recientemente en la zona de Palmdale, harían eclosión a fines de diciembre de 1977. Por la modesta suma de mil dólares, el doctor Rockwell revelaría la hora y la fuerza destructiva del temblor en cualquier punto situado a treinta kilómetros a la redonda de la falla.

La breve descripción del método de pronóstico de Rockwell me pareció tan absurda que se me ocurrió que todo era una broma de Persi. Pero todo quedó aclarado en el último párrafo de la carta: «El doctor Rockwell es un caballero de edad, alto, de nariz aguileña y ojos color esmeralda. Su ayudante es evidentemente oriental. Sólo puede tratarse del célebre numerólogo Irving Joshua Matrix y su hija eurasiática Iva».

Cada vez que el doctor Matrix y su hija reaparecen con una nueva estafa, dejo todo lo que estoy haciendo y voy a visitarles. Nunca les advierto de mi arribo. Es verdad que nunca los he delatado a la policía, pero ¿cómo asegurarles de que nunca habrá una primera vez? Por eso me parece sensato tomarlos por sorpresa.

Alquilé un automóvil en el aeropuerto internacional de San Francisco y me dirigí hacia el sur por la autopista Bayshore. Persi me había ofrecido alojamiento en su casa. Era una noche de noviembre, fría y despejada, y la luna se reflejaba pálidamente en las negras aguas de la bahía de San Francisco.

Persi y yo dedicamos buena parte de la velada a discutir las nuevas variaciones de las combinaciones de Zarrow y la distribución de Ascanio y la obra inédita de Persi sobre las probabilidades de adivinar las cartas mediante la percepción extransensorial. A la mañana siguiente fuimos a la casa matriz de la PEPC. Al oprimir el timbre de la entrada escuchamos un redoble de tambor asordinado.

Iva me abrió la puerta y, como siempre al verme, se sobresaltó. Pero entonces me dedicó una de sus seductoras sonrisas orientales, nos besamos en las mejillas y la presenté a Persi.

En realidad el sorprendido era yo. Iva vestía un par de pantalones vaqueros indescriptiblemente sucios. La bragueta estaba semiabierta y sujeta con un imperdible. El pantalón estaba roto en una pierna y dejaba ver unos buenos quince centímetros de muslo. Llevaba una harapienta camisa amarilla decorada con esvásticas negras y los faldones atados en un nudo sobre su vientre desnudo. Su pelo, teñido de color verde pálido, caía desgreñado sobre sus hombres. En lugar de aretes tenía un par de imperdibles dorados. Yo había leído algo sobre la llamada moda punk, que se había extendida desde Londres hasta la subcultura californiana, pero era más sucia de lo que había imaginado.

—El doctor Rockwell fue a una conferencia en el Stanford Research Institute —dijo Iva—, pero volverá en menos de una hora.

Dijo que varios sismólogos del Earthquake Research Center de Menlo Park y un alto funcionario del Ministerio de Defensa también asistían a la conferencia, e insinuó que existía la posibilidad de que el SRI recibiera un buen subsidio del gobierno para investigar las técnicas del doctor Rockwell.

Iva nos condujo a un pequeño laboratorio. En los estantes había centenares de grandes frascos de vidrio que contenían innumerables cucarachas, por lo menos un millón, pensé yo. Persi y yo escuchamos con una sonrisa sardónica la explicación que nos dio Iva sobre el sistema Rockwell. Dijo que el descubrimiento original pertenecía al doctor Helmut Schmidt.

Conocía la obra de Schmidt, un doctor en física que anteriormente dirigía el laboratorio de parapsicología de J. B. Rhine en Durham, Carolina del Norte. Unos siete años antes Schmidt había informado que las cucarachas aparentemente poseían la capacidad psicocinética (PC) de atraer choques eléctricos emitidos al azar, con una frecuencia superior a la que indicaba la ley de probabilidades. Sin embargo, Schmidt admite que detesta las cucarachas. Y puesto que es de suponer que a las cucarachas no les agradan los choques eléctricos, Schmidt y sus colegas sospechan que el agente de PC era el propio experimentador. De ahí, la teoría actualmente en boga, de que las cucarachas poseen un cierto grado de PC, pero ésta se ve ampliamente superada por la PC inconsciente de los experimentadores que sienten asco por esos insectos.

El doctor Rockwell, dijo Iva, había descubierto que, además de PC, las cucarachas tienen poderes de precognición. Su experimento empleaba una gran caja con puertas en los extremos, más allá de las cuales los insectos encontraban comida. A intervalos de una hora se abría una de las puertas, elegida al azar por una computadora que empleaba una cinta de dígitos binarios también elegidos al azar. Con este método se eliminaba la posibilidad de que las cucarachas emplearan su PC para alterar el proceso de elección de la puerta al azar. Los insectos aprendían a vaticinar cuál de las dos puertas se abriría. Varios minutos antes del momento de la apertura, las cucarachas se aglomeraban ante la puerta correspondiente.

—¿No se le ocurrió pensar que las cucarachas poseen un poder de clarividencia que les permite conocer los números registrados en la cinta? —preguntó Persi.

—Es una buena pregunta —sonrió Iva, y explicó que experimentos posteriores realizados por el doctor Rockwell le habían permitido descartar tanto la clarividencia como la PC. —Sería ridículo suponer —dijo— que el poder PC de las cucarachas es capaz de provocar un terremoto.

—No tan ridículo —dije yo—. No olvides que los terremotos destruyen los mercados y las cocinas, creando así enormes reservas de alimentos para las cucarachas. Millones de ellas unidas telepáticamente, podrían concentrar suficiente poder PC como para provocar un movimiento telúrico en una falla. Basta una pequeña patada para descargar las tensiones.

—Una gran patada es lo que te daré a ti —replicó Iva con una mirada furiosa. Nos contó el sensacional descubrimiento efectuado por el doctor Rockwell en enero pasado. A partir del trabajo de un parapsicólogo ruso sobre la precognición en los insectos, el doctor Rockwell descubrió que la vitamina B-l en grandes dosis y el humo de la yesca al arder aumenta enormemente el poder de precognición de las cucarachas.

Fortalecidas por la B-l, embriagadas por la yesca, las cucarachas se vuelven extraordinariamente sensibles a los temblores que se avecinan. Los instrumentos ópticos adecuados permiten controlar el estado anímico de los insectos y determinar con precisión el momento y la intensidad del temblor. El tiempo se mide en función de la distancia que recorre la cucaracha antes de detenerse; la intensidad, en función de la velocidad media del insecto.

Iva nos dijo que el doctor Wilhelm J. Levity, un parapsicólogo norteamericano que había emigrado a Rumania, había duplicado las experiencias del doctor Rockwell con B-l y yesca. Gracias a sus cucarachas rumanas el doctor Levity había vaticinado con dos semanas de anticipación el día y la hora del terremoto de 1977, que redujo el centro de Bucarest a escombros y mató a centenares de personas.

—Si así fuera, los rumanos lo presentarían como un héroe nacional —dijo Persi—. Sin embargo, no ha habido noticias de él.

—El gobierno rumano lo declaró secreto de Estado —dijo Iva—. Hemos tratado de comunicarnos con Levity, pero en este momento ni siquiera sabemos si está vivo o muerto.

—¿Qué dicen las cucarachas sobre el próximo terremoto de California? —pregunté.

—Ya conocemos el día y la hora, pero sólo revelamos esa información a nuestros clientes, previo pago. Sin embargo, puedo asegurarles que se producirá antes del fin de diciembre y que el deslizamiento horizontal en los bordes de la falla de San Andreas alcanzará los dos metros. Ah, ahí llega el doctor Rockwell.

Escuchamos ruidos de pasos rápidos en el pasillo y entró el doctor Matrix. Vestía ajustados pantalones negros que parecían hechos del plástico que se usa para las bolsas de residuos y una camiseta negra con el rostro sonriente de Drácula en el centro. Su pelo estaba teñido de rosa y en la frente llevaba una venda que parecía cubrir una herida reciente.

—Con que es usted —dijo el doctor Matrix, con una mirada levemente hostil en sus ojos esmeraldas. Se volvió hacia Persi—: Y usted debe ser el doctor Diaconis.

—¿Nos conocemos?

—Asistí a su conferencia en Stanford sobre la ley de probabilidades aplicadas al póquer. Un amigo mío, que trabaja de tahúr en Lake Tahoe, dice que usted es el segundo mejor tramposo al oeste del Mississippi.

—¿Y quién es el mejor? —sonrió Persi.

—Un servidor —dijo el doctor Matrix.

Iva se disculpó. El doctor Matrix nos condujo a su oficina, en el fondo del edificio, donde nos sentamos a conversar durante más de una hora. Sobre su escritorio había una banderita de los Estados esclavistas, y el presidente Millard Fillmore nos sonreía desde un gran retrato en la pared.

—Seguramente usted querrá saber cuál es la relación entre nuestra ropa punk y los terremotos. No. Sólo se trata de elevar el nivel de conciencia psi de las cucarachas. El movimiento punk es una gran protesta contra las terribles injusticias de la vida. El mundo es punk y mil veces punk. ¿Qué mejor símbolo de la crueldad de la naturaleza que un terrible terremoto que en pocos segundos troncha decenas de miles de vidas? Desgraciadamente, el próximo temblor en California será relativamente leve.

—En The Jupiter Effect, de John Gribbin y Stephen Plagemann, un terremoto destruirá a Los Angeles en 1982 —dije.

—Tonterías —dijo el doctor Matrix despectivamente—. Gribbin y Plagemann dicen que el temblor será provocado indirectamente por la gravedad de Júpiter, reforzada por la gravedad de todos los planetas alineados del mismo lado del sol en 1982. Dicen que la gravedad de Júpiter alterará las manchas solares, las que a su vez inciden sobre la composición de la atmósfera terrestre y producen los temblores. ¿Observó que en el libro de Gribbin y Plagemann no aparece un dibujo de los planetas alineados? Eso se debe a que no estarán alineados. Los autores tienen razón cuando afirman que los planetas se encontrarán todos del mismo lado del sol, pero estarán tan dispersos con respecto a la recta que bastaría esa ilustración para refutar su tesis. Además, existen pocas pruebas de la incidencia de los planetas sobre el comportamiento de las manchas solares y ninguna de la incidencia de las manchas sobre la atmósfera hasta el punto de afectar la falla de San Andreas. El libro de Gribbin y Plagemann es directamente idiota. Nuestras cucarachas dicen que Los Angeles quedará destruido en 1987, un año primo.

El 1.987 es un número primo notable, observó el doctor Matrix. En la serie de los primos formados por dígitos positivos en orden cíclico descendente y consecutivo, el 1.987 es el tercero después del 19 y el 43 y el último antes del 76.543, el primo mayor de este tipo descubierto hasta ahora. Si se intercala el 0, aparecen el 109 y el 10.987. Los primos formados por dígitos en orden ascendente son más numerosos. Se conocen diecinueve de ellos, a partir del 23 y pasando por el 23.456.789 y el 1.234.567.891 hasta llegar al asombroso número 1.234.567.891.234.567.891.234.567.891. Este primo de 28 dígitos fue descubierto en 1972 por Raphael Finkelstein y Judy Leybourn de la Universidad de Bowling Green. ¿Puede el lector demostrar que no existen primos de dígitos en orden consecutivo descendente que empiecen con 9? (Véase Respuestas, veinte, I.) [2001]

El doctor Matrix abrió un cajón de su escritorio y sacó un librito con tapas de papel. Persi y yo nos inclinamos para leer: Alphabetic Number Tables, 0-1000 [Tablas alfabéticas numéricas del 0 al 1000]. Las primeras líneas del prólogo dicen: «Con gran placer y no poca emoción publicamos estas tablas alfabéticas de los números naturales enteros, ordenados de acuerdo con sus nombres y la numeración romana’» El librito había sido publicado por el Massachusetts Institute of Technology, el 1 de abril de 1972.

—Preparé estas listas para mis amigos del MIT —dijo el doctor Matrix—. Puede llevarse la monografía, si quiere. Se ha vuelto una rareza. Se la ofrezco porque sugiere algunos problemas interesantes.

Tomé mi libreta y mi lápiz.

La lista alfabética de los números enteros del 0 al 1000 empieza con cero, luego siguen cien, ciento cinco, ciento cuatro, ciento diez, ciento doce, ciento dos, etcétera. El último número es el trescientos veintiuno. ¿Puede el lector señalar el anteúltimo número de la lista? (Véase Respuestas, veinte, II.) [2002]

—Hermoso problema —dije, sin dejar de escribir.

El doctor Matrix espantó a una enorme cucaracha que había subido a la mesa.

—Podemos aplicar el mismo problema a los números romanos —prosiguió—. En este caso los dígitos son letras. El comienzo de la serie es C, CC, CCC, CCCI, CCCII, y así sucesivamente. Los romanos no conocían el cero, de modo que el milésimo dígito es el último. ¿Saben los lectores cuál es? (Véase Respuestas, veinte, III.) [2003]

El doctor Matrix hizo una pausa hasta que terminé de anotar y prosiguió:

—La grafía de los números da lugar a una serie de problemas interesantes. Tomemos, por ejemplo, las iniciales de los nombres de los diez primeros dígitos. ¿Cuál es la palabra más larga que puede formar con esas letras? No es necesario usar todas, y si es necesario puede haber letras repetidas. La palabra más larga que yo hallé es «conductos», pero tal vez el lector pueda descubrir otra. Otro problema interesante: ¿cuál es el entero positivo menor que contiene todas las vocales y la y? (Véase Respuestas, veinte, IV.) [2004]

—Perfecto —dije—. ¿Alguno más?

—Los problemas numerológicos son infinitos, como los números primos. Le daré uno más, cuyo autor es mi amigo Joe Wagner, de New Wilmington, Pensilvania.

El doctor Matrix tomó mi libreta y anotó la siguiente serie:

100,60206… , 10¹² , 100,69897

Se trata, explicó, de determinar el exponente de diez para obtener el número siguiente, determinado por la grafía de su nombre (Véase Respuestas, veinte, V.) [2005]

—Me llaman la atención esos tres cubos sobre su escritorio —dijo Persi— señalando tres grandes cubos sobre un calendario de escritorio. En cada cara aparecía una letra minúscula y los tres estaban ordenados de tal manera que las caras frente al doctor Matrix formaban «nov».

—Recuerdo que en una de sus columnas Martin planteaba el problema de cómo colocar los dígitos en las 12 caras de 2 cubos de manera tal que, colocados uno al lado del otro, se podía formar cualquier día del mes (véase Mathematical Circus, pág. 186). ¿Realmente puede girar y reordenar los tres cubos para obtener las tres primeras letras de cada mes? (Véase Respuestas, veinte, VI.) [2006]

Por toda respuesta el doctor Matrix extendió sus 10 huesudos dedos y manipuló los cubos hasta formar las abreviaturas de los 12 meses. No es fácil distribuir las letras en tres cubos, de a una por cara, para que ello sea posible. Luego me enteré de que W. Bol, de Geldrop, Holanda, había resuelto el problema y le había obsequiado los cubos a su amigo el doctor Matrix.

Este miró su reloj, colgado del extremo de una cadena sujeta a su camiseta, con la cara de Richard Nixon en el cuadrante. Los ojos se movían al compás de los segundos.

—Son casi la una y media —dijo, y oprimió un botón en su escritorio. De inmediato nos asaltó la voz de Johnny Rotten, el célebre roquero irlandés, cantando su último éxito acompañado por el penetrante ritmo de tres compases de su grupo, los Sex Pistols. Iva apareció en la puerta.

—¿Dónde almorzaremos, mi querida Punky? —preguntó.

—Hay un lugar nuevo en El Camino, se llama El Elefante Punk. La comida es buena y los cócteles no son punk.

—¿Y la música es punk rock? —preguntó Persi, tapándose los oídos.

—No —dijo Iva—. Hay un grupo punk femenino, pero sólo cantan por las noches.

Iva salió un instante y volvió con dos sobretodos de cuero negro. Entregó uno al doctor Matrix y los dos se pararon frente a frente. Entonces se produjo algo asombroso.

Cada uno ofreció el sobretodo al otro; luego, simultáneamente, soltó la prenda con su mano izquierda y pasó el brazo izquierdo por la manga izquierda que sostenía el otro. Siempre frente a frente y al unísono, cada uno rodeó el talle del otro por la derecha con el brazo izquierdo y tomó el sobretodo por el cuello para alzarlo al hombro izquierdo. Luego cada uno soltó el sobretodo con la mano derecha, lo alzó sobre la espalda del otro e introdujo el brazo derecho en la manga derecha. Al terminar cada uno tenía puesto el sobretodo y seguían frente a frente. Fue tan rápido que ni yo ni Persi nos dimos cuenta de cómo lo hicieron. Más tarde, al explicármelo, Iva me dijo que era una vieja rutina del vodevil japonés.

Al pasar por el laboratorio fruncí la nariz.

—Hay olor a yesca —dije.

—Bueno, pero si no lo dices, tal vez nadie se dé cuenta —dijo Iva.

21. Chautauqua

«En realidad las computadoras no piensan. Uno piensa que piensan (al menos eso pienso).»

THEODOR H. NELSON, Dream Machines

Desde hace años los especialistas en computación y lingüística tratan de crear sistemas que les permitan a las computadoras conversar con sus usuarios humanos en lenguaje oral natural. Los progresos han sido lentos, hasta el punto de resultar decepcionantes. Hasta ahora sólo se han podido desarrollar diálogos rudimentarios y estilizados, generalmente en forma de oraciones dactilografiadas con un vocabulario muy reducido.

Los aficionados a las novelas de ficción científica conocen las computadoras parlantes desde hace más de medio siglo. Esas máquinas maravillosas aparecieron por primera vez en la literatura fantástica infantil. En su novela Ozma of Oz, aparecida en 1907, L. Frank Baum habla de un robot a cuerda llamado Tik-Tok que, de acuerdo con sus fabricantes, era capaz de pensar, hablar, actuar y hacer «todo menos vivir». En años más recientes el público en general se familiarizó con los robots parlantes a través de películas tales como La guerra de las galaxias y El Imperio contraataca, y con computadoras parlantes como Hal, la que regía la vida a bordo de la nave espacial en 2001: Odisea del espacio, de Arthur C. Clarke.

La difusión de estas ideas ha tenido muchas derivaciones. Existe, por ejemplo, un robot parlante que formula preguntas de respuesta múltiple: el niño indica su respuesta oprimiendo un botón en el cuerpo del robot y éste, por medio de una cinta grabada, comenta la respuesta. Los programas de computadoras para juegos de salón mejoran rápidamente. Por menos de trescientos dólares se puede adquirir una pequeña computadora que juega al ajedrez y es capaz de derrotar a un buen jugador. En la actualidad se están elaborando programas capaces de competir a nivel de maestro. Si el límite de tiempo es breve, son capaces de derrotar incluso a un gran maestro.

Por estos y otros motivos, los primeros anuncios acerca de ASMOF, la computadora parlante, no despertaron gran escepticismo en el público. Los anuncios decían que era la primera computadora parlante del mundo, y que se realizarían demostraciones en público. ASMOF era la sigla de la American Superior Mind Operating Foundation [Fundación Norteamericana para la Aplicación de la Mente Superior], la empresa que realizaba demostraciones con un prototipo a fin de estimular las ventas de las acciones. De acuerdo con los recortes de diarios que me enviaron los lectores, se trataba de un robot con un nuevo tipo de memoria magnética. El circuito venía encerrado en una figura de aluminio de unos tres metros de altura, con forma de robot cinematográfico. El monstruo tenía dos orificios en el lugar de los ojos, y un tercer ojo en el centro de la frente, cubierto por un lente color rubí. No tenía nariz, pero un parlante cónico hacía las veces de boca. En las demostraciones públicas el robot permanecía inmóvil, sentado detrás de un escritorio. En ocasiones el tercer ojo lanzaba un haz de luz roja que recorría la mesa o se detenía en alguna persona.

ASMOF inició su gira por el país a fines de julio, realizando funciones de dos horas en salas de teatro de las grandes ciudades y centros vacacionales. La entrada costaba tres dólares. Cada asistente tenía derecho a formular una pregunta razonablemente breve sobre cualquier tema. El robot contestaba con voz ronca y mecánica y en ocasiones hacía algún comentario divertido antes de dar la respuesta. No conocía todas las respuestas, por eso en ocasiones formulaba observaciones tales como: «Me llevaría demasiado tiempo computar la respuesta», o bien: «Lo siento, señora, esa información no consta en mi banco de datos».

En ciertas ocasiones se dedicaba toda una sesión a un juego intelectual de salón contra un experto de la localidad. ASMOF era un excelente jugador de ajedrez, damas, go e incluso de juegos con elementos de azar, tales como el backgammon, el bridge y el póquer. A principios de agosto, en un teatro de Nyack, Nueva York, los promotores de ASMOF ofrecieron mil dólares a quien fuera capaz de derrotar al robot en ajedrez. Un gran maestro aceptó el desafío y perdió en 18 jugadas. ASMOF lo desafió a una segunda partida, en la cual el robot jugaría sin su alfil dama, a cambio de que el gran maestro pagara los mil dólares si perdía. Este rechazó la apuesta.

La humillante derrota del gran maestro fue un hecho absolutamente inesperado. Sin embargo, un viejo amigo mío que trabaja en el laboratorio de inteligencia artificial del Massachusetts Institute of Technology me aseguró que ASMOF era un fraude. No sabía cómo manejaban el robot, pero estaba seguro de que detrás de todo esto había una estafa monumental. Insinuó que mi viejo conocido, el numerólogo Irving Joshua Matrix, podría tener algo que ver en el asunto.

Releí los recortes de diarios, pero no encontré fotografías del titular de la fundación, Fran Rossum, ni de su ayudante, Josie Clarke Nelson. Sabía que al doctor Matrix le fascinaban los juegos de palabras, y decidí estudiar esos dos nombres. Se me ocurrió que Frank podría ser un apócope de Frankenstein. Rossum me recordó a Robots Universales Rossum, de la obra R. U. R. escrita en 1920 por Karel Capek. (De esa obra proviene la palabra «robot», del checo robota, que significa trabajo compulsivo o forzado.) ¿Y qué deducir de Josie Clarke Nelson? Josie podía ser el femenino de Joe, el célebre robot de las novelas de Lewis Padgett. Clarke no sería otro que Arthur C. Clarke. En cuanto a Nelson, podría ser Theodor H. Nelson, el joven especialista en computación, autor de los libros Dream Machines y Computer Lib, esas dos introducciones al mundo de la computadora personal que obtuvieron enorme éxito de ventas. (Su Home Computer Revolution, de próxima aparición, contiene revelaciones aún más asombrosas).

¡Un momento! Había otra coincidencia extraordinaria. El doctor Matrix había sido el primero en descubrir que las letras de HAL eran las que precedían a las de IBM en el alfabeto. Las que les siguen son JCN: ¡las iniciales de la ayudante de Rossum!

Por los folletos publicados por la fundación de Rossum me enteré de que ASMOF se presentaría próximamente en el anfiteatro de la venerable Chautauqua Institution, junto al hermoso lago Chautauqua, en el norte del Estado de Nueva York. Fui allá en mi automóvil, llegué por la tarde y me alojé en un hotel cercano a la Chautauqua Institution. Al día siguiente fui al anfiteatro mucho antes del comienzo de la función, a fin de ubicarme cerca del escenario. Me puse anteojos oscuros y un gran bigote por las dudas de que apareciera el doctor Matrix o su hija Iva.

No apareció ninguno de los dos. Un joven muy agradable, de cabellos y barba negros, quien dijo ser «futurólogo» recibido en el Stanford Institute, hizo una introducción. Habló de los últimos avances en materia de lenguajes naturales para computadoras y finalmente se refirió a los sensacionales descubrimientos de los científicos de la American Superior Mind Operating Foundation. Dijo que esos descubrimientos, basados en la nueva memoria, eran todavía top secreta Insinuó que la CIA quería impedir la fabricación de modelos más pequeños de ASMOF. Aseguró que los robots, a diferencia de los seres humanos, los gatos y las cucarachas no poseen poderes paranormales. Por consiguiente, ASMOF no respondería a preguntas acerca de sucesos futuros ni que requirieran algún tipo de percepción extrasensorial. Agregó que los físicos del Stanford Research Institute estaban estudiando la manera de incorporar la percepción extrasensorial y la precognición a los circuitos del robot, pero que ese trabajo les tomaría una década.

Fue una función de lo más interesante y entretenida. La mayoría de las preguntas eran más bien triviales: quién era el presidente de los Estados Unidos en tal año, qué equipo ganó el campeonato de béisbol en tal otro, en fin, hechos fáciles de registrar en la memoria de cualquier computadora. Pero tampoco faltaron las preguntas difíciles, y tomé notas de algunos problemas matemáticos y literales que pudieran ser de interés para los lectores de mi columna.

Una joven preguntó cuál era la palabra más larga del idioma. El robot contempló a la joven con su ojo color rubí, hizo un comentario sobre su hermosa sonrisa y preguntó a su vez: «¿Se pueden intercalar guiones entre las letras?» La mujer respondió que sí. «En ese caso —dijo el robot— no existe la palabra más larga. Después de tatarabuelo viene tátara-tatarabuelo, tátara-tátara-tatarabuelo y así sucesivamente. La siguiente, por favor.»

Hubo otras preguntas inusuales de carácter lingüístico. Una mujer preguntó si existía un monosílabo de diez letras. ASMOF respondió con la palabra scrauched [aplastado]. Un joven preguntó si existía una palabra en ingles que tuviera la serie de letras adyacentes «nkst». ASMOF hizo algunos comentarios divertidos sobre el letrero en la camiseta del joven y finalmente dio una respuesta aceptable. (Véase Respuestas, veintiuno, I.) [2101] El hermano del joven preguntó si existía una palabra con «nksh», y nuevamente el robot dio una respuesta correcta. ¿Puede el lector encontrar palabras con las dos combinaciones?[62] (Véase Respuestas, veintiuno, II.) [2102]

Los niños formulaban adivinanzas cómicas. En algunos casos ASMOF conocía la respuesta. Cuando no la conocía, la pedía para registrarla en su banco de datos y felicitaba al niño por haberlo dejado sin respuesta. Al releer mis apuntes encontré una adivinanza literaria, formulada por un anciano profesor emérito de idioma en la universidad estadual de Nueva York. Su pregunta fue en qué se parecen el anciano marinero de Coleridge y un golero ebrio. ASMOF respondió sin vacilar: «Detiene a uno de tres».

La pregunta literaria más difícil la formuló una especialista en Shakespeare de la Universidad de Bryn Mawr. Dijo que en una de las obras aparece un verso que empieza con my [mi]. Las letras iniciales de los cuatro versos anteriores forman la palabra want [yo quiero]. Las iniciales de los cuatro versos siguientes forman baby [bebé], lo que en conjunto da la frase quiero a mi bebé. ¿En qué obra aparece este acróstico?

La pregunta debió parecerle difícil, porque durante varios minutos ASMOF discurrió sobre los acrósticos shakesperianos y si eran o no intencionales. Finalmente dio la respuesta: el verso se encuentra hacia el final de la primera escena del primer acto de Comedia de errores: «My soul should sue as advocate for thee» [mi alma debería abogar por ti]. ¿Acaso era un mensaje de Shakespeare a una amante, solicitando la tenencia de un hijo ilegítimo?, preguntó el robot.

También se plantearon problemas de lógica formal. Ken Knowlton, del laboratorio Bell, trató de provocar una interminable maraña de sí y no en el circuito con la célebre paradoja de Bertrand Russell sobre el barbero de un pueblo que afeita a todos los hombres que no se afeitan a sí mismos. «¿El barbero se afeita a sí mismo?», preguntó. «Los datos son insuficientes —dijo ASMOF—. Es posible.»

David Silverman, matemático de California, preguntó cómo se podían dividir todos los enteros positivos en dos conjuntos disjuntos de manera tal que la suma de dos números cualesquiera no fueran un número primo. El robot no supo contestar.

Thomas Szirtes, de Montreal, preguntó si era posible que él (Szirtes) tuviera un tercio de sangre escocesa, un tercio húngara y un tercio china. ASMOF respondió que era imposible. Uno tiene 2¹ padres, 2² abuelos, 2³ bisabuelos y así sucesivamente. (Véase Respuestas, veintiuno, VI.) [2106] De ahí que es lo mismo preguntar si 2n puede ser igual a 3x. Pero 2n es 2 × 2 × 2 × … n veces. El 2 es un número primo, y el teorema fundamental de la aritmética dice que esta serie es una factorización de 2n en primos, es decir, que 2n no tiene factores primos aparte de 2. Si no se puede dividir 2n por 3, la afirmación original es falsa. (Véase Respuestas, veintiuno, III.) [2103]

Jaime Poniachik, de Buenos Aires, director de una excelente revista de juegos llamada Snark, se encontraba por casualidad en la Chautauqua Institution el día de la demostración de ASMOF. Cuando llegó su tumo, dijo que tenía un amigo en Estados Unidos cuyo número de seguro social era de lo más curioso. Tenía nueve dígitos del 1 al 9. Los dos primeros dígitos (de izquierda a derecha) formaban un número divisible por 2, los tres primeros eran divisibles por tres, los cuatro primeros divisibles por cuatro y así sucesivamente. El número de nueve dígitos era divisible por 9. ¿Cuál era el número? ASMOF expresó su admiración por el problema pero adujo que no tenía tiempo para calcular la respuesta. (Véase Respuestas, veintiuno, IV.) [2104]

Cuando llegó mi turno presenté un problema con seis caballos de ajedrez en un tablero de tres por cuatro casilleros. En una hoja dibujé la posición inicial, tal como aparece en la Figura 34. El problema es que los caballos blancos y negros intercambien sus posiciones en un número mínimo de jugadas. Se los puede mover en cualquier orden, pero no puede haber dos caballos en un casillero.

El problema apareció en 1974, en el Journal of Recreational Mathematics. En ese momento se dijo que era trivial y se publicó una solución en 26 movidas. Posteriormente se descubrió una solución en 18 movidas. En la primera edición de Aha! (el manual que acompañaba a una serie de seis documentales breves, destinados a los colegios secundarios) incluí este problema y di la solución de 18 movidas. Pero los lectores Gary Goodman, Warren B. Porter y George Schneller, cada uno por su cuenta, hallaron una solución en 16 movidas.

Figura 34. El problema de los caballos.

ASMOF estudió el dibujo con su tercer ojo, presentó la solución en 18 movidas y se mostró incrédulo cuando le dije que existía una mejor. Se la demostré, y ASMOF envió sus felicitaciones a los lectores de Aha! capaces de descubrir la jugada de más. Invito al lector a descubrir la solución en 16 movidas. (Véase Respuestas, veintiuno, V.) [2105]

Pasada la primera hora de la función, yo ya estaba convencido de que mi amigo del MIT tenía razón. Los cálculos no los efectuaba el circuito interno del robot, sino la inteligencia humana, es decir, una persona desde algún lugar cercano. Un equipo de exteriores de televisión, que había venido a filmar la función, me informó que Rossum y Nelson se alojaban en un hotel dentro de la Chautauqua Institution. Salí furtivamente del anfiteatro. En el hotel, el vestíbulo y los pasillos estaban desiertos: todo el mundo había ido a la demostración. Nadie me vio cuando apoyé oído contra la puerta del cuarto de Rossum. Escuché algunas palabras.

Como el hotel es tan viejo, no fue difícil introducir una tarjeta de crédito de plástico en la brecha entre la puerta y el marco para correr la falleba. La escena en el cuarto era más o menos la que había previsto. Iva se encontraba sentada frente a una mesa, con un par de enormes audífonos sobre los oídos. Un televisor color mostraba a la persona sentada frente al ASMOF en el anfiteatro. Luego me enteré de que la cámara se encontraba detrás del ojo izquierdo del robot. Sobre el escritorio estaban los libros que los bibliotecarios siempre tienen a mano para responder a las preguntas del público: el Almanaque mundial, una enciclopedia, varios Quién es quién, un diccionario completo de la lengua, comentarios de la Biblia y de Shakespeare, recopilaciones de aforismos, etcétera. También había una consola de una computadora programable y un teléfono de discado automático.

Iva se sobresaltó al verme. Se arrancó los audífonos y me miró, furiosa.

—Salga inmediatamente —dijo— si no quiere que llame a la policía.

—Yo no haría eso —dije, quitándome los anteojos y el bigote.

—Ah, eres tú —dijo con una sonrisa sardónica—. Siéntate y no abras el pico.

Me senté en el borde de la cama mientras se desarrollaba el resto de la función. Un artefacto electrónico distorsionaba la agradable voz de Iva, dándole ese tono frío y mecánico que caracteriza a los robots del cine y la televisión. Las preguntas más sencillas, formuladas por los legos, las respondía ella apelando a su propia e impresionante memoria. En los casos en que debía consultar alguno de los libros, mantenía un diálogo con el espectador. Los cálculos numéricos (hallar la 13a raíz de 10, elevar pi a la potencia pi) los hacía con la computadora. Cuando la pregunta era verdaderamente difícil, acudía al teléfono, repetía la pregunta en voz alta —como si quisiera asegurarse de que la había comprendido bien—, recibía la respuesta y la transmitía. Más tarde me dijo que el doctor Matrix había contratado a más de cien especialistas, a quienes pagaba un buen sueldo para que permanecieran junto al teléfono a la hora de las funciones.

Agregó que el doctor Matrix había tratado de contratar a Isaac Asimov para no tener que recurrir a tal cantidad de especialistas. Asimov se disculpó con elegancia: dijo que antes de fin de año debía terminar diecisiete libros. Nunca supe quién era el matemático, ni tampoco el gran maestro contratado para resolver los problemas de ajedrez.

Terminada la función, Iva se quitó los audífonos, apagó el micrófono y sonrió. Consultó su reloj, uno de esos aparatitos tan pequeños que se necesita una lupa para ver la hora.

—Es hora de tomar un trago —dijo.

Me dijo, para mi alegría, que el doctor Matrix había ido a pasar el día con un amigo suyo, un falso médium de la cercana comunidad espiritista de Lily Dale. Ningún restaurante dentro de la Chautauqua Institution sirve bebidas alcohólicas (resabio de un pasado religioso), de modo que tomamos la ruta 17 hasta un pintoresco restaurante especializado en mariscos, en la orilla del lago Erie. (Me encantó el menú, que decía: «Tenemos ostras en enero, febrero, marzo, abril, maryo, jurnio, jurlio, agorsto, setiembre, octubre, noviembre y diciembre.») Cenamos.

—No me gusta la ensalada —dije.

—A mí me encanta —replicó Iva.

—Bueno, toda pregunta admite más de una respuesta.

—Au contraire, no toda pregunta admite más de una respuesta.

Fue una cena deliciosa y una velada de lo más agradable. Un mes más tarde, cuando ASMOF fue a dar una serie de funciones en Washington, dos periodistas del Washington Post, con ayuda del mago Randi, descubrieron la trampa. Tomaron la habitación del hotel al lado de la que ocupaba Iva, abrieron un hueco en la pared y la fotografiaron mientras trabajaba. La historia apareció en la edición del día siguiente, pero el doctor Matrix e Iva habían desaparecido. El robot quedó abandonado en el camión en el cual lo transportaban. La policía de Washington lo donó al Smithsonian Institution, donde se encuentra en exhibición con una explicación grabada de la estafa.

22. Estambul

“Los hijos del profeta son valientes y audaces Hombres que desconocen el miedo,

Pero el más valiente en las filas del shah

Era Abdul Abulbul.”

Balada anónima

Al releer mis notas sobre el doctor Irving Joshua Matrix, el numerólogo más grande del mundo, descubro muchas aventuras en la vida peripatética de este hombre que aún no he consignado en el papel. Por ejemplo, el año que pasó en Tübingen, como fundador y director del Instituto de Ecléctica General, una escuela filosófica que sostenía que todos los sistemas religiosos y metafísicos son esencialmente iguales. (Véase mi libro Science: Good, Bad and Bogus, cap. 5.) Tampoco he hablado de su estadía en Bombay, donde se dedicó a la frenología combinada con la antigua técnica de la acupuntura (totalmente distinta del método chino). Ni he revelado los detalles sobre el burdel que abrió en Paris para gatos y perros, donde la madama era una gran pequinesa de pelo rojo y los animalitos escuchaban conferencias numerológicas los sábados.

Algún día tal vez relataré estos sórdidos hechos, pero ahora, con ánimo apesadumbrado, relataré mi encuentro con el viejo charlatán en abril de 1980. Me encontraba en Budapest, en un congreso internacional de magos realizado en el hotel Duna Intercontinental, donde tenía un cuarto de lo más cómodo con una bellísima Vista al Danubio. Iva, la hija del doctor Matrix, se enteró —no sé cómo— de mi presencia allí. Me llamó cuando yo no me encontraba en el cuarto y dejó el siguiente enigmático mensaje: «Jeremías 33:3», seguido de un número telefónico de Estambul.

Consulté una Biblia que había en el cuarto: «Llámame y te responderé y te anunciaré cosas magnas y recónditas que no conoces». Llamé, Iva acudió al teléfono. Me preguntó si conocía Estambul. Le dije que no. Me dijo que ella y su padre pasarían una semana en el hotel Hilton, de la plaza Taskim, en la parte europea de la antigua ciudad.

Tomé un avión a Estambul a la mañana siguiente y tomé un cuarto en el hotel Santral, cercano al Hilton pero bastante más barato. Iva pasó a buscarme a las 10:30, en un automóvil norteamericano alquilado. Me sorprendí al verla vestida con una burka tradicional, color anaranjado, que sólo dejaba al descubierto las manos, los pies, y sus ojos, oscuros y enigmáticos. Dijo que la llamara Fatima. Su padre se encontraba en Estambul, en una misión secreta para el gobierno de Estados Unidos. Se hacía pasar por un musulmán de Teherán llamado Abdul Abulbul Amir. Se reuniría con nosotros hacia el atardecer, de modo que podíamos recorrer un poco la ciudad.

Nos dirigimos hacia el sur por las calles atestadas de automóviles y en medio de un concierto de bocinas. Iva manejaba con gran maestría entre semáforos incomprensibles; atravesamos el antiguo barrio judío, pasamos la Torre de Galacia y el Puente de Galacia. A cada lado —el Bósforo hacia el este, el Cuerno de Oro hacia el oeste— montañas de desperdicios flotaban en las aguas turbias. El olor de los desperdicios disminuyó un poco cuando nos adentramos en la Ciudad Vieja y detuvimos el auto junto al Gran Bazar.

¡Qué caos! Las calles mugrientas, bordeadas de pequeñas tiendas, estaban atestadas de gente con todas las vestimentas imaginables. Las mujeres mayores llevaban largos sacos y turbantes, pero algunas vestían a la europea y unas pocas incluso con pantaloncillos. Todas miraban a Iva, vestida con su burka, como si fuera una viajera del tiempo de la época de Alí Babá. Gatos flacos corrían entre nuestras piernas y por todas partes aparecían chiquillos que ofrecían lustrar los zapatos sobre cajas de colores chillones, o bien pregonaban cigarrillos Marlboro de contrabando al grito de «Mah-bu-ro». El fuerte olor de las especias casi tapaba el hedor que subía de las aguas.

Iva se detuvo ante un tenderete de joyas de fantasía y, tras mucho regatear, compró cuatro baratijas a cuatro precios distintos. Un par de aretes rojos le costó el equivalente de un dólar. Cuando el tendero, aparentemente furioso por el bajo precio, calculó el total en su calculadora de bolsillo, oprimió el botón de multiplicación en lugar del de suma. Se lo dije a Iva, pero ella pagó los 6,75 dólares que aparecieron en la calculadora.

—¿Por qué aceptaste pagar? —le pregunté, mientras nos abríamos paso hacia otra tienda.

—Porque sumé los precios mentalmente y el resultado fue el mismo.

Tomé un papel de mi bolsillo e hice una rápida cuenta.

—¡Por las barbas del Profeta! —exclamé—. ¡Es verdad!

Y después, para mi mayor sorpresa, descubrí que sólo un conjunto de cuatro números diferentes, que incluye al 1, da 6,75 como suma y a la vez como producto (Véase Respuestas, veintidós, I.) [2201]

Almorzamos en el restaurant Havuzlu, cerca del correo, y luego durante cuatro horas, Iva y yo recorrimos la ciudad. Conocimos la Mezquita Azul y el Palacio Topkapi. Pasamos los antiguos muros bizantinos del extremo occidental de la ciudad. El estado de abandono de las bellas mezquitas es algo deprimente de ver. En algunas se almacenan bebidas gaseosas; otras están invadidas por gentes sin techo. En lugar de elegantes mosaicos aparecen huecos sucios. Las cúpulas y torres están manchadas por el aire contaminado y es difícil verlas a través de la espesa bruma del día.

Cuando por fin llegamos al Hilton, el doctor Matrix nos aguardaba en su suite. Vestía traje azul a rayas con una pequeña esmeralda en forma de media luna en el ojal de la solapa. Tenía el pelo recortado, barba y bigote grises que parecían verdaderos, y un par de lentes de contacto que transformaba sus ojos verdes en negros.

—Veo que no ha estado en Afganistán —dijo cuando nos estrechamos las manos.

—No, por Alá —sonreí, al reconocer la parodia de la frase con la cual Sherlock Holmes se había presentado a Watson—. ¿Cómo lo supo?

—Mi hija siempre está al tanto de sus pasos —respondió, encogiéndose de hombros.

Iva se retiró a cambiarse de ropa y el doctor Matrix y yo nos sentamos en el dormitorio, que también hacía las veces de oficina. Sobre la mesa había un gran cubo de marfil al cual se le habían efectuado dos secciones, unidas ahora por bisagras, de manera que al abrirlo aparecían tres pirámides alabeadas de cuatro caras, de base cuadrada (como lo muestra la Figura 35).

Figura 35. Cómo cortar el cubo del doctor Matrix (izquierda) para formar tres pirámides alabeadas idénticas (derecha).

—Las tres pirámides son congruentes —dijo el doctor Matrix—. Si la base es un cuadrado de lado 1, las dos caras adyacentes son triángulos rectángulos isósceles cuyos catetos miden 1 y cuya hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de dos. Los otros dos son triángulos rectángulos escalenos cuyos catetos son 1 y raíz cuadrada de 2 y cuya hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de 3. No es difícil construir estas tres pirámides con cartulina, lo sorprendente es que a mucha gente le resulta casi imposible unirlas para formar un cubo. Esta forma de seccionar un cubo viene de la antigua China, donde a las pirámides las llamaban yangmas. Pregunte a sus lectores si conocen otra forma de seccionar un cubo para obtener tres sólidos idénticos entre sí. (Véase Respuestas, veintidós, II.) [2202]

El doctor Matrix tomó las tres yangmas y las hizo girar sobre sus bisagras hasta que sus bases quedaron perpendiculares entre sí.

—Si se encajan ocho tripletes como éstos sobre los ocho vértices de un cubo de lado 2 —prosiguió—, se obtiene un dodecaedro romboidal. Esta construcción permite calcular fácilmente el volumen de la «figura». Para un cubo central de lado 2, el volumen del dodecaedro romboidal es igual a 8 + (24/3), o sea 16. Cuatro yangmas idénticas se unen para formar una pirámide parecida a la Gran Pirámide de Egipto, con base cuadrada de lado 2 y cuatro caras formadas por triángulos isósceles congruentes.

Figura 36. Plano (superior) de un juguete que permite formar un dodecaedro romboidal (inferior) y un cubo.

En la parte inferior de la Figura 36 se muestra el diagrama de un dodecaedro romboidal de doce caras idénticas con forma de rombo. En la parte superior izquierda se muestra la pirámide de cuatro yangmas. Se puede construir un juguete fascinante pegando seis de estas pirámides por sus bases a las seis celdas cuadradas de una cruz hecha de cinta adhesiva, como se muestra en el dibujo superior derecho. Píntese la cinta de rojo y las caras de las pirámides de azul. Al plegar las pirámides hacia adentro se obtiene un cubo rojo. Al plegarlas hacia afuera aparece un dodecaedro romboidal azul con un hueco cúbico en el centro. Juntando dos modelos se puede mostrar el dodecaedro romboidal azul, separarle el «cascarón» para que aparezca un cubo interior rojo y plegar el cascarón para formar otro cubo rojo de las mismas dimensiones. Luego con cada cubo se pueden formar dos dodecaedros romboidales idénticos.

En cada vértice del cubo de marfil del doctor Matrix aparecía un dígito distinto, perteneciente al conjunto 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Me dijo que los dígitos estaban colocados de manera tal, que sumando los extremos de cada arista se obtenía un número primo. (No todos los primos son necesariamente distintos.) ¿Puede el lector hallar la única disposición de los dígitos que posee esta propiedad? (Véase Respuestas, veintidós, III.) [2203]

—Ya que estamos —dijo el doctor Matrix mientras yo anotaba—, ¿sabía usted que el volumen de un cubo es igual a su superficie?

Sonrió ante mi mirada de asombro y prosiguió:

—Tome un cubo cualquiera y divida su arista en seis partes. Llamémoslas hexis. Es evidente que la superficie de cada cara equivale a 36 hexis cuadrados. Dado que el cubo tiene seis caras, la superficie total es de 6 × 36 = 216 hexis cuadrados. El volumen es 6³, es decir, 216 hexis cuadrados. Con el mismo método se puede demostrar que la superficie de un cuadrado cualquiera es igual a su perímetro, dividiendo cada lado en cuatro cuadris iguales. Esta paradoja está relacionada con la confusa demostración de que la razón superficie-volumen de una esfera es igual a la de un cubo.

—Pero es un hecho perfectamente comprobado que el sólido que posee la menor razón superficie-volumen es la esfera. Por eso las pompas de jabón son esféricas.

—Es verdad, pero déjeme desarrollar la demostración —dijo el doctor Matrix.

Dada una esfera de diámetro d, su superficie es igual a πd² y su volumen es (πd³)/6. Por consiguiente, la razón superficie-volumen se reduce a 6/d. Ahora bien, sea d la arista de un cubo. La razón superficie-volumen es 6d²/d³, que también se reduce a 6/d. ¿Cuál es la falla en este razonamiento? (Véase Respuestas, veintidós, IV.) [2204]

—Basta de geometría —supliqué, mareado—. ¿Ha encontrado usted rarezas numéricas en Estambul?

Por toda respuesta, el doctor Matrix me tendió un folleto de 60 páginas, en inglés, titulado El número 19: Un milagro numérico en el Corán. Luego me enteré de que su autor, el egipcio Rashad Jalifa, es doctor en bioquímica de una universidad norteamericana, donde también fue profesor. El folleto apareció en edición privada en 1972.

El número 19, señaló el doctor Matrix, es tan inescrutable para los musulmanes como el 666, el Número de la Bestia, lo es para los cristianos. Los versículos 27 a 31 del capítulo 74 del Corán dicen que el infierno es custodiado por 19 ángeles, y que ese número es un enigma para los infieles. En su monografía el doctor Jalifa trata de demostrar que la aparición del número 19 en el Corán es demasiado frecuente como para ser casual. Algunos ejemplos:

El libro contiene 114 capítulos, múltiplo de 19. La famosa invocación llamada Basmalá («en el nombre de Dios, compasivo y misericordioso») encabeza todos los capítulos menos el noveno, pero aparece dos veces en el vigésimo séptimo, es decir, 114 veces en total. Su primera palabra (ism) aparece 19 veces en el texto del Corán. Su segunda palabra (Allah) aparece 2698 (19 × 142) veces. Su tercera palabra (Al-Rahman) aparece 57 veces (19 × 3) y la cuarta (Al-Rahmin), 114 veces (19 × 6).

—Es un estudio ingenioso del Corán —dijo el doctor Matrix—, pero hubiera resultado mucho más completo si Jalifa me hubiera consultado antes de escribirlo. El 19 es un número primo de propiedades curiosas. Por ejemplo, es la suma de las primeras potencias de 10 y 9 y la diferencia entre los cuadrados de 10 y 9. ¿Sabe usted que es un omirp?

Dije que no lo sabía.

—Omirp es primo al revés. Mi amigo Jeremiah P. Farrell llama así a los números primos no palindrómicos que también son primos si se invierte el orden de sus dígitos. El último año omirp fue 1979. El próximo será el 3011. Desgraciadamente, en los dos números se repite un dígito. Al numerólogo le interesan mucho más los omirp sin dígitos repetidos, los que yo llamo omirp sin-rep. Los primeros números de la serie son 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107… Evidentemente es un conjunto finito, porque cualquier número de más de diez dígitos contiene repeticiones.

—¿Existe alguna relación entre los omirp y Estambul?

—Justamente, a eso iba. Como usted sabe, Estambul fue en otros tiempos la gran ciudad de Constantinopla. Se llama Estambul desde 1930. Observe la yuxtaposición del 19 y el 30. El primero es el misterioso número primo del Corán, y 30 es el mayor entero que posee la propiedad de que todos los enteros menores, primos con respecto a él, son primos. Pero no nos desviemos. El año más importante en la historia de Constantinopla es, desde luego, el 1453, cuando la ciudad fue conquistada por los turcos. El 1453 es omirp; más aún, es un omirp sin-rep. Sus dígitos suman 13, el primer omirp.

—¿Ha habido otros años omirp sin-rep desde 1453?

—Once en total. El último fue el 1879 y el próximo será el 3019. Mi buen amigo Leslie H. Card es la máxima autoridad mundial en materia de omirps. Los llama primos reversibles. Con su computadora ha preparado una lista de todos los omirps menores de 10.000.000. Hay cuatro pares de dos dígitos, 11 pares de tres y 42 de cuatro.

Card también descubrió, prosiguió el doctor Matrix, que existe sólo un omirp de seis dígitos que es cíclico, vale decir, si se pasa el primer dígito al último lugar y se repite la operación con todos, las permutaciones resultantes son todas omirp. Ese número, único en su tipo, es el 193.939. Dicho de otra manera, si se escriben esos dígitos en círculo, se puede empezar en cualquier dígito y seguir en cualquiera de las dos direcciones y siempre se obtendrá un primo de seis dígitos. No existen omirp cíclicos de cuatro, cinco o siete dígitos. ¿Existe algún omirp cíclico de más de siete dígitos? (Véase Respuestas, veintidós, V.) [2205]

A Card le interesa construir cuadrados omirp con la propiedad de que cada columna, hilera y diagonal principal forma un omirp distinto. No existen tales cuadrados de segundo ni tercer orden. Los de cuarto y quinto orden son:

9133 | 13933
1583 | 13457
7529 | 76403
3911 | 74897
| 71399

Existen muchos otros cuadrados de quinto orden, pero el de cuarto orden es verdaderamente extraordinario. Es el único ejemplo de su tipo, excluyendo los que se obtienen por rotación y reflexión.

¿Se pueden construir cuadrados similares con omirp sin-rep? No, porque todos los primos aparte del 2 y el 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. Sólo esos cuatros dígitos pueden formar los bordes de un cuadrado omirp; por consiguiente, ningún cuadrado mayor del cuarto orden carecerá, de repeticiones.

Ojalá tuviera más espacio para desarrollar los comentarios del doctor Matrix sobre los números primos. Señaló que la suma de los cuadrados de los primeros siete primos es igual a 666, y lo que es más asombroso aún, si se escriben los nombres en inglés de los números primos en orden alfabético, el primero de la lista es el 8.018.018.851.[63] ¿Se puede determinar el último número de la lista? El doctor Matrix opinó que sí, pero que se necesitaría una computadora para hallarlo. (Véase Respuestas, veintidós, VI.) [2206]

En ese momento entró Iva, vestida de pantalón de seda gris y blusa amarilla, con tres martinis en una bandeja. Hablamos de temas no matemáticos hasta que las torres y las cúpulas de Estambul aparecieron perfiladas contra un cielo de oro rojo. Hacia el poniente, sobre el horizonte, se deslizaba la barca de Ornar Khayyam, como un destello color rubí. Era un cuadro tomado de las Mil y una noches.

La belleza de la puesta del sol, observó Iva, es el único subproducto admirable del aire contaminado de Estambul. Por la ventana abierta nos llegó el lamento del almuédano, al llamar a los fieles a la oración vespertina, su voz ampliada por los altoparlantes. (A Mahoma no le gustaban las campanas.)

El doctor Matrix extendió una alfombra de complicado diseño romboidal y la orientó hacia el sudeste. Se quitó los zapatos y dijo el Fatiha, el primer capítulo del Corán, de viva voz. Luego se arrodilló sobre la alfombra y se postró hacia La Meca, mientras Iva sorbía su martini y lo miraba con una sonrisa enigmática.

Pasé varios hermosos días en Estambul y cuando me despedí creí ver lágrimas en los ojos del doctor Matrix. ¿Acaso había tenido una premonición sobre su kismet? Sus últimas palabras fueron «guie guie» (vete con risas).

—Salaam —dijo Iva.

Tres semanas más tarde, en Nueva York, leí una noticia en el New York Times que me sumió en la más profunda tristeza. Estaba fechada en Bucarest. Un musulmán llamado Abdul Abulbul Amir, de quien se decía que cumplía una misión secreta para la CIA, se encontró en esa ciudad con el agente ruso Ivan Skavinsky Skavar. Los dos fueron a un paraje desolado en el delta del Danubio azul, en las afueras de Izmail, cerca de la frontera con Rumania. Los hechos no estaban claros. Parece que los dos dispararon sus revólveres al unísono y murieron al instante. Un campesino que había presenciado la escena desde una colina cercana dijo que el más alto de los dos gritó «¡Allah Akbar!» al caer.

El resto se cuenta en pocas palabras. La única pariente conocida de Amir, su hija Fatima, hizo enterrar a su padre en la orilla del Danubio, cerca del lugar de su muerte. De acuerdo con los rumores, decía la nota del Times, unos rusos se habían llevado el cadáver de Skavar y lo habían arrojado al Mar Negro. Seguramente conoceré los detalles si vuelvo a ver a Iva. Y con estas tristes palabras pongo fin a mis notas sobre aquel a quien siempre consideraré el hombre más extraño y más sabio que he conocido. (Para otros datos de interés sobre este capítulo véase Respuestas, veintidós, VII.) [2207]

Respuestas y comentarios

[rp0101] I. Las letras UDTCCSSOND son las iniciales de los nombres de los números cardinales de 1 a 10. La señora Georgianna March, directora del Bulletin of the Atomic Scientists señala que si se toman las iniciales de los nombres en inglés, colocando la primera en el último lugar y la última en el primero, se obtiene TTTFFSSENO, es decir, las iniciales de los diez primeros múltiplos de 10, de 10 a 100 (one hundred). <<

[rp0102] II. El creador de este problema es Alan Wayne, profesor de matemática en una escuela secundaria de Nueva York, quien lo publicó en American Mathematical Monthly (agosto-septiembre de 1947, pág. 413). Al presentar el problema, el director de la revista señaló que un criptograma aritmético «encantador» debe poseer las siguientes características:

Las letras deben formar palabras.

Se deben emplear todos los dígitos.

Debe tener una sola solución.

Se debe resolver por lógica, no al tanteo.

El criptograma aritmético de Wayne reúne las cuatro condiciones:

Obsérvese que la respuesta difiere en un sólo dígito del valor de pi a cuatro decimales.

Para los lectores que se preguntan cómo se resuelve un criptograma aritmético, cito una carta de Monte Dernham, de San Francisco, quien me envió la mejor explicación de cómo abordar el problema de Wayne:

La repetición de TY en la primera y cuarta línea significa que la N debe ser cero y la E 5, llevando una unidad a la columna de las centenas. El doble espacio delante de cada TEN requiere que la O de FORTY sea igual a 9, más 2 traído de las centenas, de donde I es el dígito 1 de 11, y F más 1 igual a S. Puesto que la columna de las centenas (R más 2T más 1) debe ser igual o mayor que 22, T y R deben ser mayores de 5, con lo cual F es 2, 3 o 4. Ahora bien, X no puede ser igual a 3, porque en ese caso F y S no serían enteros consecutivos. Por consiguiente X es 2 o 4, lo cual, como se advierte fácilmente, es imposible si T es igual o mayor que 7. De ahí que T es 8, R es 7 y X es 4. Entonces F es 2 y S es 3, y la letra restante, Y, es 6.

En el capítulo 18 reproducimos otro excelente criptograma aritmético de Wayne. <<

[rp0201] I. El único cuadrado antimágico cuyos dígitos están unidos por el movimiento de la torre, es el «complementario» del que aparece en la Figura 2. Basta sustituir cada dígito por la diferencia entre ese dígito y 10. Como resultado se obtiene un cuadrado en el cual los dígitos están dispuestos en espiral, como en el anterior, pero en orden inverso:

987

216

345

Para demostrar que no existen otros cuadrados como éste, se procede de la siguiente manera. Si la matriz tiene los colores de un tablero de ajedrez, con casilleros blancos en las esquinas, los dígitos impares ocuparán los casilleros blancos, los pares ocuparán los negros. El 2 y el 4 no pueden ocupar casilleros opuestos porque el 3 tendría que encontrarse entre ambos, formando un camino imposible de seguir por la torre. Los únicos números opuestos al 2 pueden ser el 6 o el 8. El camino empieza y termina en un casillero blanco. En pocos minutos se verifican las cuatro pautas distintas de la duplicación de las sumas.

Yo no conocía los cuadrados antimágicos hasta que el doctor Matrix me los enseñó. Posteriormente, cuando estudié el tema, el ejemplo más viejo que pude encontrar es un cuadrado de tercer orden que aparece en Sam Loyd and His Puzzles (1928), en respuesta al problema de la página 44.

En Mathematics Magazine (enero de 1951) Dewey Duncan define al héterocuadrado como un cuadrado en el cual no hay dos columnas, hileras o diagonales (incluyendo las «diagonales quebradas») que tengan la misma suma. (El cuadrado de tercer orden tiene cuatro diagonales quebradas. En la Figura 22 serían las caldas que contienen los siguientes tríos: 1, 6, 4; 8, 2, 5; 3, 8, 6 y 2, 4, 7. Por consiguiente, el cuadrado antimágico de la Figura 22 no es hétero, entre otras cosas porque la tercera diagonal quebrada suma 17, como la segunda columna.) Duncan planteó el problema de hallar un héterocuadrado de tercer orden y demostrar que el de segundo orden es imposible. Esto último se demuestra fácilmente. Charles F. Pinzka ha demostrado que también el de tercer orden es imposible (Mathematics Magazine, setiembre-octubre de 1965, págs. 250-252). Sí existen cuadrados de cuarto orden; Pinzka halló dos. En la misma revista (septiembre-octubre de 1966, págs. 255-256) se da otra demostración de la imposibilidad de construir el cuadrado de tercer orden, descubierta por Prasert Na Nagara. El mismo autor halló dos «cuasi héterocuadrados» de tercer orden, en el cual todas las sumas menos dos eran diferentes.

En Recreational Mathematics Magazine (febrero de 1962) J. A. Lindon planteó el problema de los cuadrados antimágicos en el cual las columnas, hileras y diagonales (sin contar las quebradas) formaran una especie de enteros consecutivos. Joseph Madachy, en Mathematics on Vacation (Nueva York, Scribner, 1966) da un resumen de los resultados obtenidos por Lindon y algunos comentarios adicionales. Los cuadrados de segundo orden de este tipo son imposibles. Los de tercer orden también lo son, aunque se pueden obtener resultados aproximados, como el siguiente cuadrado (véase Verbeek, C. C.: Puzzel met Plezier. Amsterdam, 1962, pág. 155).

268

791

534

Las ocho sumas son distintas y una sola, 22, rompe la serie.

Lindon descubrió muchos otros cuadrados antimágicos de cuarto orden y de orden superior, cuyas sumas daban números en orden consecutivo.

En «The Sums of Third Order Anti-Magic Squares» (Journal of Recreational Mathematics, 2 (1969), págs. 250-254), Charles W. Trigg demostró que las ocho sumas de un cuadrado antimágico de tercer orden no pueden formar una progresión aritmética, confirmando así la hipótesis de Lindon, de que no pueden ser consecutivas. También demostró que no se pueden obtener ocho números pares.

El mismo autor, en una nota intitulada «A Remarkable Group of Antimagic Squares» (Mathematics Magazine 44 (1971) pág. 13) estudió las ocho matrices que se obtienen colocando el 1 en el centro del dispositivo de tres por tres, la serie 3, 5, 7 y 9 en las esquinas y la serie 2, 4, 6, 8 en las celdas laterales. «Da lo mismo colocar las series en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario, porque cada uno de los ocho cuadrados distintos que se obtienen son antimágicos.»

Los complementos de los ocho cuadrados también son antimágicos. Si se tienen en cuenta las cuatro diagonales quebradas, resulta que cada uno de los dieciséis cuadrados es «cuasi héterocuadrado», porque contiene sólo dos sumas iguales. Al comentar el problema 84 en la misma revista (4, 1971, págs. 236-237), Trigg desarrolla un método mediante el cual se obtienen 108 matrices de tercer orden que son cuasi héterocuadradas. Todavía no se conoce la cantidad total de cuadrados antimágicos y de cuasi héterocuadrados de tercer orden. <<

[rp0202] II. La ecuación que se pide es:

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

Agradezco a Russell L. Linton, de Oakland, California, quien señala en una carta que el primer entero de una ecuación de ese tipo se obtiene mediante la fórmula n (2n + 1), donde n representa el número de sumandos a la derecha del signo igual. En el siguiente ejemplo, que tiene cinco sumandos a la derecha, n es igual a 5, de donde 5 (10 + 1) = 55, lo que nos permite escribir la ecuación:

55² + 56² + 57² + 58² + 59² + 60² = 61² + 62² + 63² + 64² + 65²

Para un estudio de estas series véase Beldon, T. H.: «Runs of Squares», en Mathematical Gazette (diciembre 1961, págs. 334-335).

Esta serie muestra una analogía trivial con la siguiente, de primera potencia:

1 + 2 = 3

4 + 5 + 6 = 7 + 8

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15

<<

[rp0203] III. La fascinante historia del problema de la cadena de tres símbolos se inicia con una cadena de dos símbolos descubierta por el matemático noruego Axel Thue y descrita por él en 1912. Empecemos con 01. Se sustituye 01 por el 0 y 10 por el 1. Así se obtiene una cadena de cuatro dígitos: 0110. Si se repite la operación, reemplazando cada 0 por 01 y cada 1 por 10 se obtiene la cadena 01101001. Así se puede formar una cadena de la longitud que se desee; con cada paso se duplica el número de dígitos y se obtiene una cadena que incorpora en su inicio a la del paso anterior. Esta concatenación de símbolos, llamada serie de Thue, posee la notable propiedad de que ningún bloque de uno o más dígitos llega a repetirse tres veces en forma consecutiva. La cadena puede «tropezar» una vez, pero cuando ello ocurre el dígito siguiente nunca permitirá la tercera aparición del bloque, cualquiera sea su magnitud.

El ex campeón mundial de ajedrez Max Euwe fue uno de los primeros en descubrir que de la serie de Thue se deriva un método para jugar una partida de ajedrez infinita. La llamada norma alemana, formulada justamente para evitar esta posibilidad, estipula que si un jugador repite la misma jugada tres veces consecutivas para terminar en la misma posición, la partida queda tablas. Los contendientes llegan a una posición tal que cada uno puede mover cualquiera de las dos piezas entre dos casilleros, independientemente de las jugadas que realice el contrario. Si cada uno mueve sus piezas siguiendo una serie de Thue, jamás repetirán la misma jugada tres veces consecutivas.

De la serie de Thue se deriva fácilmente una cadena de tres símbolos que resuelve el problema planteado por el doctor Matrix. Primero la convertimos en una cadena de cuatro símbolos, escribiendo 0 por debajo de cada par 00, 1 debajo de 01, 2 debajo de 10 y 3 debajo de 11:

Serie de Thue: 0 1 1 0 1 0 0 1

Serie de 4 símbolos: 1 3 2 1 2 0 1

Esta cadena infinita de cuatro símbolos tiene la propiedad de que ningún bloque de cuatro dígitos aparece dos veces en forma consecutiva. Para transformarla en una cadena de tres símbolos que posea la misma propiedad, se reemplaza el 3 por 0:

Cadena de 4 símbolos: 1 3 2 1 2 0 1…

Cadena de 3 símbolos: 1 0 2 1 2 0 1…

Esta solución al problema de los tres símbolos fue formulada por Marston Morse y Gustav Hedlund en un importante trabajo publicado en 1944: «Unending Chess, Symbolic Dynamics and a Problem in Semigroups», Duke Mathematics Journal, 11 (1944), págs. 1-7. Hubo algunas soluciones anteriores (una formulada por el matemático ruso S. Arshon en 1937) y muchas soluciones posteriores, como la que formuló John Leech en «A Problem on Strings of Beads», Mathematical Gazette, 41 (1957), págs. 277-278:

Se parte de los siguientes bloques de dígitos:

0 1 2 1 0 2 1 2 0 1 2 1 0

1 2 0 2 1 0 2 0 1 2 0 2 1

2 0 1 0 2 1 0 1 2 0 1 0 2

Los dígitos de estos bloques están dispuestos de tal manera que si se sustituyen los tres bloques por los tres dígitos (se escribe 1 en lugar del primer bloque, 2 en lugar del segundo, 3 en lugar del tercero) en cualquier cadena libre de repeticiones (por ejemplo, cualquiera de los tres bloques) la nueva cadena también carecerá de repeticiones. En la nueva cadena nuevamente se sustituyen los bloques por dígitos para obtener una cadena más larga y así sucesivamente, hasta el infinito.

No se pueden construir bloques palindrómicos (iguales de derecha a izquierda y de izquierda a derecha) más cortos con este método, pero sí bloques asimétricos. Allan Beek me dio a conocer una solución similar, con los siguientes bloques asimétricos de once dígitos cada uno:

1 2 3 1 3 2 3 1 2 1 3

1 2 3 2 1 3 1 2 1 3 2

1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2

La cadena de tres símbolos permite evadir la norma sobre las partidas de ajedrez entabladas, incluso si se declara tablas al repetirse, una serie finita de movidas sólo dos veces consecutivas. Basta que cada jugador mueva tres piezas siguiendo la pauta de la cadena de tres símbolos.

Existen otros métodos para generar la serie de Thue, aparte del ya descrito. El siguiente pertenece a Dana Scott, quien lo formuló en 1961. Primero se escribe la serie de enteros en forma binaria: 01, 10, 11, 100, 101, 110, 111,1000… Luego se reemplaza cada cifra que contiene un número impar de unos por 1, y por 0 si contiene un número par de unos. Como resultado se obtiene la serie de Thue: 011010011…

C. H. Braunholtz desarrolló un método para transformar la serie de Thue en una cadena de tres símbolos que resuelva el problema del doctor Matrix, en «An Infinit Sequence of Three Symbols with No Adjacent Repeats» (American Mathematical Monthly, 70 (1963), págs. 675-676). En la serie de Thue puede haber 0, 1 o 2 unos entre cada cero. Hay dos entre el primero y el segundo, uno entre el segundo y el tercero, ninguno entre el tercero y el cuarto y así sucesivamente. El número de unos, a medida que se avanza de un cero al siguiente, forma una serie infinita de tres símbolos que posee la propiedad deseada: 2102012…

P. Erdos propuso una variante al problema de la cadena de tres símbolos del doctor Matrix: se consideran «idénticos» dos bloques en los cuales los mismos símbolos aparecen repetidos el mismo número de veces. Por ejemplo, 00122 = 02102 porque en ambos aparecen dos 0, un 1 y dos 2. La serie más larga sin bloques «idénticos» adyacentes es la de siete dígitos, por ejemplo: 0102010. Todavía no se sabe si existe una cadena infinita de cuatro símbolos que posea esta propiedad.

Para mayor información sobre la serie de Thue y el problema de los tres símbolos, véanse, entre otros:

Morse, M.: «A Solution of the Problem of Infinite Play in Chess», Abstract 360, Bulletin of the American Mathematical Society, 44 (1938), 632.

Hawkins, D. y Mientka, W. E.: «On Sequences Which Contain No Repetitions», Mathematics 'Student, 24 (1956), 185-187.

Hedlund, G. y Gottschalk, W. H.: «A Characterization of the Morse Minimal Set», Proceedings of the American Mathematical Society, 15 (1964), 70-74.

Dean, R. A.: «A Sequence Without Repeats», American Mathematical Monthly, 72 (1965), 383-385.

Pleaseants, P. A. B.: «Non-Repetitive Sequences», Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 68 (1970), 267-274.

Brown, T. C.: «Is There a Sequence of Four Symbols in Which No Two Adjacent Segments Are Permutations of One Another?», American Mathematical Monthly, 78 (1971), 886-888.

Entringer, R. C., Jackson, D. E. y Schatz, J. A.: «On Nonrepetitive Sequences», Journal of Combinatorial Theory, Series A, 16 (1974), 159-164. <<

[rp0204] IV. El número 102564 se cuadruplica si se desplaza el 4 del final al comienzo para obtener 410256; por consiguiente, el teléfono de la señorita Toshiyori es 1-0256. Los acertijos de esta clase se resuelven fácilmente mediante el método de multiplicación sucesiva que se explica en la Figura 37.

Los lectores que dominen este método podrían tratar de aplicarlo a los siguientes problemas:

1. ¿Cuál es el menor número terminado en 6 que se sextuplica al trasladar el 6 al comienzo? (Alerta: ¡es un número de 58 dígitos!)

2. Hallar el número menor que comienza con 2 y se triplica al trasladar el 2 al final.

3. Demostrar que no existe un número que comienza con dígito n y se multiplica n veces al trasladar el primer dígito al final, salvo en el caso trivial de n = 1.

Figura 37. Cómo resolver el problema del número telefónico de la señorita Toshiyori.

A los lectores interesados en profundizar el estudio de los problemas de este tipo, en los cuales se desplazan dígitos de un extremo a otro de un número para obtener determinados resultados, los remito a los siguientes trabajos:

Bakst, A.: Mathematical Puzzles and Pastimes. Nueva York, Van Nostrand, 1954, págs. 177 y sigs.

Graham, L. A.: Ingenious Mathematical Problems and Methods. Nueva York, Dover, 1959, problema 72.

Pedoe, D.: The Gentle Art of Mathematics. Nueva York, Macmillan, 1958, págs. 11 y sigs.

Chadwick, W. B.: «On Placing the Last Digit First», American Mathematical Monthly, 48 (1941), 251.

Littlewood, D. E.: «A Digit Problem», Mathematical Gazette, 39 (1955), 58.

Skees, W. D.: «A Permutative Property of Certain Múltiples of the Natural Numbers», Fibonacci Quaterly, 3 (1965), 279.

Trigg, C. W.: «División of Integers by Transposition», Journal of Recreational Mathematics, 1 (1968), 180.

Madachy, J. S.: «A Fibonacci Constant», Fibonacci Quaterly, 6 (1968), 385.

Sin Hotumatu, quien tradujo este capítulo al japonés, señala que el número de teléfono de Iva debe satisfacer la ecuación 4 × 10⁵ + x = 4 (10x + 4). Aquí x = 399.984/39 = 10.256. <<

[rp0301] I. ¿Cuál es la fracción decimal que repite infinitamente 0,272727…?

Escribir la ecuación:

x = 0,272727…

Multiplicar los dos términos por 100:

100x = 27,272727…

Restar:

De donde:

x = 27/99 = 3/11

El método consiste, en términos generales, en escribir los decimales sobre la línea, escribir el mismo número de nueves abajo y luego reducir la fracción a su mínima expresión. <<

[rp0302] II. Los únicos números iguales a la suma de los cubos de sus dígitos son: 153, 370, 371 y 407.

G. H. Hardy menciona estos números en su célebre opúsculo A Mathematician’s Apology y agrega: «Estos hechos curiosos son muy útiles para los autores de acertijos y para divertir a los aficionados, pero no tienen la menor utilidad para el matemático».

Hardy tiene razón, claro está. Pero la mayoría de los numerólogos son matemáticos aficionados, y el problema general de hallar números de n dígitos iguales a la suma de las enésimas potencias de sus dígitos no deja de ejercer un poderoso atractivo. Muchos lectores que tienen acceso a computadoras buscaron números de orden superior. He aquí un resumen de los últimos resultados que conozco:

1º. orden: Todo entero positivo es igual a sí mismo.

2º. orden: Ningún entero es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, salvo el 1, un caso trivial. N. J. Fine lo demuestra en American Mathematical Monthly (noviembre de 1964, págs. 1.042-1.043).

3º. orden: Solamente cuatro números (véanse antes) son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos. Los tres tienen tres dígitos.

4º. orden: Tres números de cuatro dígitos son iguales a la suma de las cuartas potencias de sus dígitos.

1634

8208

9474

5º. orden: Hay tres números de cinco dígitos que equivalen a la suma de las quintas potencias de sus dígitos:

54.748

92.727

93.084

Dos de cuatro dígitos:

4.150

4.151

Y uno de seis dígitos:

194.979

6º orden: Existe un sólo número igual a la suma de las sextas potencias de sus dígitos. Tiene seis dígitos:

548.834

7º. orden: Cuatro números de siete dígitos son iguales a las séptimas potencias de sus dígitos.

1.741.725

4.210.818

9.800.817

9.926.315

Y uno de ocho dígitos:

14.459.929

8º orden: Existen tres números, todos de ocho dígitos, equivalentes a la suma de sus dígitos elevados a la octava:

24.678.050

24.678.051

88.593.477

9º orden: Cuatro números, todos de nueve dígitos, equivalen a la suma de las novenas potencias de sus dígitos:

146.511.208

472.335.975

534.494.836

912.985.153

10º orden: Se conoce un sólo número igual a la suma de las décimas potencias de sus dígitos:

4.679.307.774

Lo descubrió Harry L. Nelson, quien lo publicó en su trabajo «More on PDI’s» (Publication UCRL - 7614, University of California, 1/12/66). Joseph Madachy incluye una síntesis de los resultados de Nelson en Mathematics on Vacation (Nueva York, Scribner, 1966, pág. 164), en un capítulo dedicado a éste y otros problemas similares.

En la actualidad, siguiendo la terminología de Max Rumney, se llama PDI (invariante digital perfecto) al número de n dígitos igual a la suma de sus dígitos elevados a la k; si n = k, se llama invariante digital plusperfecto, o PPDI. Los dos pertenecen a la vaga categoría de los llamados números «autogenerados» o «narcisistas».

Aún no se sabe si el número de los PDI es finito, ni si existe entre ellos un número primo.

El conjunto de los PPDI es finito, tal como lo demostró por primera vez D. St. P. Bernard. Según él, la suma máxima de las enésimas potencias de n dígitos es n(9n). Sea n = 61. Puesto que 61(9⁶¹) es menor de 10⁶⁰, se concluye que ningún PPDI puede tener más de sesenta dígitos. Véase Rumney, M.: «Digital Invariants», Recreational Mathematics Magazine (diciembre de 1962, págs. 6-8).

Benjamín L. Schwartz desarrolla la demostración de Bernard en «Finiteness of a Set of Self-Generating Integers», Journal of Recreational Mathematics, 2 (1969), págs. 79-83. Schwartz precisa el resultado al demostrar que no puede haber un PPDI de más de 59 dígitos. Véase también, del mismo autor, «Finite Bounds of a Set of Self-Generating Integers», Journal of Recreational Mathematics, 3 (1970), 88-92; «Self-Generating Integers», Mathematics Magazine, 46 (1973), 158-160.

H. L. Nelson redujo el límite superior a 58 dígitos, pero aún no se conoce el PPDI mayor. Véanse, entre otros trabajos recientes: Madachy, J. S.: «Some New Narcissistic Numbers», Fibonacci Quaterly, 10 (1972), 295-298; Feser, V. G.: «Narcissistic Numbers», Pi Mu Epsilon Journal, 5 (1973), 409-414. <<

[rp0303] III. El número de la celda del doctor Matrix es 45. La coma decimal, colocada entre los dos dígitos, lo convierte en 4,5; el promedio entre 4 y 5. No existe otra solución. <<

[rp0304] IV. El piso de la celda del doctor Matrix mide tres metros por seis. La única otra figura cuadrangular de lados enteros, cuyo perímetro es igual a su área, es la de cuatro por cuatro, pero el doctor Matrix precisó que el piso no era cuadrado.

Este problema tiene su historia. En su hermoso libro Science Awakening (Oxford, 1961), B. L. van der Waerden cita el siguiente pasaje de Plutarco: «Los pitagóricos abominan del número 17. Porque el 17 se encuentra exactamente a mitad de camino entre el 16, que es un cuadrado, y el número 18, que es el doble de un cuadrado, y estos dos son los únicos números que representan áreas para las cuales los perímetros (de los rectángulos) son iguales a sus respectivas áreas».

El problema se resuelve fácilmente mediante el análisis diofántico. Sea un rectángulo de lados x e y. El área xy es igual al perímetro 2x + 2y, lo cual permite escribir la siguiente fórmula:

De donde es evidente que y es un número entero sólo si x es igual a 3, 4 o 6, lo cual lleva a los dos resultados posibles. <<

[rp0305] V. El anagrama de AÑUSGADA es GUADAÑAS. <<

[rp0306] VI. La frase de Iva Toshiyori («anteayer tenía veintidós años, pero el año próximo tendré veinticinco») sólo tiene sentido si la dijo un 1 de enero y su cumpleaños cae el 31 de diciembre. <<

[rp0501] I. Para transformar el cuadrado de multiplicación en un cuadrado divisorio, basta cambiar el número de cada esquina por el de la esquina diagonalmente opuesta. El resultado:

3 | 1 | 2
9 | 6 | 4
18 | 36 | 12

Si se excluyen los cambios por rotación y reflexión, ésta es la única manera de formar un cuadrado divisorio con nueve números. La constante de división es 6. Se multiplican los extremos de cualquier columna, hilera o diagonal, se divide por el número central y el resultado es siempre 6. No puede haber una constante menor para, un cuadrado de tercer orden.

Cabe acotar que si se realiza la misma operación con el conocido cuadrado mágico de tercer orden, cuyas columnas, hileras y diagonales suman 15:

8 1 6

3 5 7

4 9 2

se obtiene una matriz de sustracción:

2 1 4

3 5 7

6 9 8

Sumando los dígitos de los extremos y restando el central se obtiene como resultado el 5.

El lector interesado en saber más sobre los cuadrados mágicos de multiplicación, también llamados geométricos, puede consultar las siguientes obras:

Sayles, H. A.: «Geometric Magic Squares and Cubes», Monist, 23 (1913), 631-640.

Dudeney, H. E.: Amusements in Mathematics. Londres, Thomas Nelson, 1917 págs. 124 y sigs. (Editorial Dover publicó una edición en rústica).

Horner, W. W.: «Addition-Multiplication Magic Squares», Scripta Mathematica (setiembre de 1952), págs. 300-303.

Kordemsky, B.: «Geometric Magic Squares», Recreational Mathematics Magazine (febrero de 1963), págs. 3-6.

Gilbert, J.: «Minimum multiplying Magic Squares», Mathematics Teacher (mayo de 1960), págs. 325-331. <<

[rp0502] II. La única manera de expresar el número 19 con cuatro cuatros y los signos aritméticos y la coma decimal es la siguiente:

Obsérvese que el resultado de esta fórmula es 19, cualquiera sea el número empleado en lugar de 4. Lo mismo es cierto de varias otras fórmulas con los cuatro cuatros mencionados en el capítulo 5, de lo cual se deriva una variación de este juego: ¿cuántos enteros positivos, a partir de 1, se pueden expresar con cuatro números n y los cuatro signos elementales bajo las restricciones tradicionales?) (Véanse las referencias más adelante, en el apartado III.) <<

[rp0503] III. Los métodos más sencillos que conozco para expresar el 64 con cuatro, tres y dos cuatros son los siguientes:

(4 + 4) × (4 + 4) = 64

4 × 4 × 4 = 64

Ruth Ann Schiller, revisora de originales del Journal of Mathematical Physics, descubrió este elegante método de expresar el 64 con dos cuatros:

4!! × 4!! = 64

El doble factorial aunque esotérico, es un signo estándar. 2n seguido de !! expresa el producto 2 × 4 × 6 × … 2n. Así, 4!! = 2 × 4 = 8.

Un lector anónimo lo expresó de la siguiente manera:

Véanse otros métodos para expresar el 64 con dos cuatros en:

Tierney, J. A.: problema E631 en American Mathematical Monthly, 52 (1945), 219.

Tierney, J. A.: «64 Expressed by Two Fours», Scripta Mathematica, 18 (1952); 218.

Trigg, C. W.: «The -number 64 Expressed by Two Fours», Scripta Mathematica, 19 (1953), 242.

Sobre el 64 con tres cuatros:

Coxeter, H. S. M.: «Rouse Ball’s Unpublished Notes on Three Fours», Scripta Mathematica, 18 (1952), 85-86.

Sobre el 64 con cuatro cuatros:

Bicknell, M. y Hoggatt, V.  E.: «64 Ways to Write 64 using Four 4’s», Recreational Mathematics Magazine (enero-febrero de 1964), págs. 13-15.

¿Se puede escribir el 64 con un solo cuatro? Sí: si se emplean los símbolos adecuados, probablemente todos los enteros positivos se pueden expresar con un 4. Donald Er Knuth desarrolló un método que emplea corchetes, signos de raíz cuadrada y factoriales, en «Representing Numbers Using Only One 4», Mathematics Magazine, 37 (1964), 308-310. Véase también Guttman, S.: «The Single Digit 4», Scripta Mathematica (marzo de 1956), pág. 78.

Los lectores que buscan distintas maneras de expresar los enteros positivos mayores de 20 con cuatro cuatros, encontrarán los números del 1 al 100 en: Harwood Clarke, L.: Fun with Figures. Londres, Heinemann, 1954, págs. 51-53; y Dunn, A.: Mathematical Bafflers. Nueva York, McGraw-Hill, 1964, págs. 3-8. Hay una lista del 1 al 30 en Jones, S. I.: Mathematical Wrinkles. Jones, 1912, pág. 217. J. H. Conway y M. J. T. Guy explican la manera de expresar pi con cuatro cuatros en «Pi in Four 4’s», Eureka (octubre de 1962), págs. 18-19.

Evidentemente, uno puede dedicar todo el tiempo que quiera a buscar la manera de expresar los números enteros con dos dos, tres tres, cinco cincos, y así sucesivamente. Se ha escrito mucho sobre el tema, pero me resulta tan aburrido que ni siquiera tengo ganas de buscar las referencias en mi archivo.

La operación de expresar los enteros con cuatro enes (mediante fórmulas en las cuales n puede representar cualquier entero) es analizada por Seymour Krutman en Scripta Mathematica, 13 (1947), 47; y por Donald C. B. Marsh en la misma publicación, 15 (1949)', 91. Verner Hoggat y Leo Moser demuestran cómo expresar cualquier número entero mediante cualquier entero mayor de 1, repetido más de tres veces, mediante un número finito de símbolos operacionales. Véase «A Curious Representation of Integers», American Mathematical Monthly, 57,1950, 35. <<

[rp0601] I. El único número de cuatro dígitos que se autoduplica es el 7.641. Cuando se invierten los dígitos de un número cualquiera y se resta el menor del mayor, los dígitos del resultado siempre suman un múltiplo de 9. Con este dato la búsqueda del número de cuatro dígitos resulta bastante más fácil, por cuanto sólo es necesario buscar cuatro dígitos que sumen 9, 18 o 27.

Una variación de este juego consiste en escribir cuatro dígitos del 0001 al 9998, tal que los cuatro no sean iguales. Ordéneselos en forma descendente, luego en forma ascendente y obténgase la resta. Repítase la operación con el resultado, con la octava operación, o antes, se obtendrá el resultado 6174, que se autogenera.

Es necesario conservar los ceros iniciales. Por ejemplo: 1000 − 0001 = 0999; 9990 − 0999 = 8991; 9981 − 1899 = 8082; 8820 − 0288 = 8532; 8532 − 2358 = 6174.

Si se realiza la misma operación con un número de tres dígitos tal que los tres no sean iguales, se llega rápidamente al 495, que también se autoduplica. Los números de cinco o más dígitos terminan en más de un ciclo. Tal como su nombre lo indica, el «ciclo» es una serie de dos o más números que se repite cíclicamente.

El número 6174 es la llamada constante de Kaprekar. Dattatraya Ramchandra Kaprekar, de Devlali, India, describió su importancia en «Another Solitaire Game», Scripta Mathematica, 15, 1949, 244-245. Véase también Kaprekar: «An Interesting Property of the Number 6174», ibídem, 21, 1955, 304; y el opúsculo The New Constant 6174, publicado por el autor en 1959. El mismo autor desarrolla el problema de los cinco dígitos en The New Recurring Circulating Constants from all the Five Digital Integers (1963).

Posteriormente aparecieron otros artículos sobre el método de Kaprekar, generalizado a otras bases:

Jordán, J. H.: «Self Producing Sequences of Digits», American Mathematical Monthly, 71, 1964, 61-64.

«Kaprekar’s Constant», solución del problema E2222, American Mathematical Monthly, 78, 1971; 197-198.

Trigg, C. W.: «Predictive Indices for Kaprekar’s Routine», Journal of Recreational Mathematics, 3, 1970, 245-254; «Kaprekar’s Routine with Two-Digit Integers», Fibonacci Quaterly, 9, 1971, 189-193; «Kaprekar’s Routine with Five-Digit Integers», Mathematics Magazine, 45, 1972, 121-129; y «All Three-Digit Integers Lead To…», Mathematics Teacher, 67,1974, 41-45.

W. A. Tillick, de Lower Hutt, Nueva Zelanda, programó una computadora para buscar todos los números de cuatro dígitos que no estuvieran en orden descendente, que se autodupliquen. Encontró cinco:

9108 − 8019 = 1089

5823 − 3285 = 2538

3870 − 0783 = 3087

2961 − 1692 = 1269

1980 − 0891 = 1089

Dos lectores, el teniente Bemard F. Shearon Jr. y Stephen Payan, comentaron en sendas cartas que el número autoduplicante 987.654.321 tiene análogos en todos los sistemas numéricos de bases pares. Por ejemplo, en un sistema de base ocho, 7.654.321 - 1.234.567 = 6.417.532. En un sistema de base 12 (donde x = 10, y =11):

yx987.654.321

12.345.678.9xy

x8.641.y97.532

<<

[rp0602] II. El número del cuarto del hotel es 497. Sumándole 2 se obtiene 499; multiplicándolo por 2 se obtiene 994. Los enteros 497 y 2 son los únicos que, multiplicados y sumados, dan como resultado dos números de tres dígitos, uno de los cuales es el inverso del otro. Hay cinco pares de números que, al realizar esta operación, dan resultados de dos dígitos: 24 + 3 = 27; 24 × 3 = 72; 47 + 2 = 49; 47 × 2 = 94; 9 + 9 = 18; 9 × 9 = 81. <<

[rp0603] III. Estas son las únicas maneras de intercalar cinco o menos signos de suma o resta a la serie ascendente y descendente para obtener el resultado que se pide:

123 + 4 − 56 − 7 − 8 + 9 = 65

– 98 + 76 + 54 + 32 + 1 = 65

<<

[rp0604] IV. Una de las soluciones al problema de la regla de doce centímetros, capaz de medir cualquier longitud entera del 1 al 12, con cuatro marcas, consiste en colocarlas en 1, 4, 7 y 10 centímetros desde cualquiera de los extremos.

Es fácil demostrar que con tres marcas en una regla se puede medir diez longitudes como máximo. Si se numeran las tres marcas y los dos extremos desde 0 en uno de ellos, cada longitud mensurable corresponde a la diferencia entre dos de los cinco números. Cinco números distintos se pueden aparear de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 maneras distintas, de modo que el máximo es 10. En una regla de doce centímetros se pueden colocar marcas en 1, 4 y 10 para medir diez longitudes distintas. Tres marcas en una regla de diez centímetros no bastan para medir las diez longitudes.

Ocho marcas es lo mínimo que se requiere en una regla para poder medir todas las longitudes de 1 a 36 inclusive. Deben colocarse en 1, 3, 6, 13, 20, 27, 31 y 35. Esta solución fue descubierta por John Leech, quien la desarrolló en su clásico trabajo: «On the Representations of 1, 2,… n by Differences», Journal of the London Mathematical Society, 31,1956, 160-169.

Henry Dudeney, en el problema 180 de Modern Puzzles (1926), preguntó cómo colocar ocho marcas en una regla de treinta y tres, y dio dieciséis soluciones. Se creyó que no había otra respuesta, hasta que Leech extendió la regla a treinta y seis, el máximo que se puede lograr con ocho marcas (o nueve segmentos). J. C. P. Miller estableció posteriormente que la solución de Leech es única. El problema general, aún no resuelto, deriva en muchos problemas difíciles y en complejos aspectos de la aritmética combinatoria.

C. B. Haselgrove y el propio Leech desarrollaron los resultados expuestos en el trabajo de 1954, en su «Note on Restricted Difference Bases», Journal of the London Mathematical Society, 32, 1957, 228-231; véanse también la nota de B. Wickmann en ibídem, 38, 1963, 465-466 y O’Beirne, T. H.: Puzzles and Paradoxes. Londres, Oxford, 1965, págs. 110-111.

(Agradezco a John Bales por el comentario sobre el sistema decimal de Dewey; a Donald C. Rehkopf por el referido a pi; a Martin Cohen por la división de 987.654.321 por su inverso y a Don T. Hastings por la solución al problema de la intercalación de signos en la serie de nueve dígitos.) <<

[rp0701] I. El número se obtiene sumando los diez dígitos a los diez primeros decimales de pi:

3,1415926535

0,1234567890

3,2650494425

<<

[rp0702] II. Los dos números formados por los diez dígitos que dan como resultado el mayor producto son 96.420 y 87.531. Entre los pares de números que dan la misma suma, el par que da el mayor producto es el de los números más similares entre sí. Con esta regla se puede resolver el problema tomando los dígitos en orden descendente, empezando por 9 y 8 y agregando los demás dígitos por parejas, colocando siempre el mayor en el número menor: 9 y 8, 96 y 87, 964 y 875, y así sucesivamente. <<

[rp0703] III. El número 0542986731 está formado por los nombres de los dígitos en orden alfabético de sus nombres. Era lógico que la archivista Betty arribara a este número porque las letras de su nombre también están en orden alfabético. <<

[rp0704] IV. Muchos trucos mágicos, además de juegos numéricos de doble sentido, se basan en el principio del consejo numerológico que dio el doctor Matrix a Cegoa. Wallace Lee, en Math Miracles (Durham, 1950, págs. 26-27) desarrolla la siguiente demostración de que las operaciones descritas tienen como resultado invariable el 1089:

Sean CDU los dígitos correspondientes respectivamente a las centenas, decenas y unidades del mayor de los dos números. No se le puede restar su inverso, UDC, sin tomar 1 del D superior (lo que significa sumar 10 al U superior y puesto que el D superior ahora es menor que el D inferior, es necesario tomar 1 del C superior, lo que significa sumar 10 al D superior. Esto se puede expresar de la siguiente manera:

El resultado de la resta es:

Se invierte el orden y se efectúa la suma:

Desarrollé la aplicación de este principio al problema de salud del señor Cegoa por primera vez en Ibídem, una revista canadiense dedicada a la magia (7, setiembre de 1956). <<

[rp0705] V. El criptograma aritmético de Harry Hazard:

tiene una sola solución:

Los lectores D. Gospodnetil y Douglas G. Russell, cada uno por su lado, sometieron este problema a una computadora, la cual demostró en pocos minutos (sin contar las horas dedicadas a programarla) que no existe otra solución. Russell programó la computadora para buscar una única solución a un problema planteado por el lector Edward C. Devereux:

Los puntos representan el cero y la coma decimal. El problema tiene una sola solución, pero además no se puede sustituir la A del multiplicador por ninguna otra letra, porque en ese caso no existiría solución alguna. Me gustaría poder decir que mi segunda inicial es A, pero desgraciadamente tengo un solo nombre.

La afirmación del doctor Matrix, de que el cuatro es el único número honesto en el idioma inglés, provocó un aluvión de cartas. El doctor se refería, desde luego, a los nombres de los números, no de las operaciones mediante los cuales se los obtiene. Eliminada esta restricción, existe una infinidad de números honestos. «¿Qué le parece dos cubos —preguntó Morris H. Weskow—, u ocho más dos, o cuatro al cuadrado, o nueve más tres?, etcétera». Walter Erbach envió una lista de cuarenta ejemplos, entre ellos: «la mitad de cuarenta y dos», «integral de x dx de dieciséis a dieciocho» y «la raíz de novecientos sesenta y uno». Michael Burke y Norman Buchignani sugirieron frases exóticas tales como «el primo más alto menor que treinta» y «el entero impar entre treinta y ocho y cuarenta». Paul C. Hoell presentó la frase de 62 letras «es la raíz cúbica de doscientos treinta y ocho mil trescientos veintiocho», pero fue superado por la frase de 101 letras «séptima raíz de cero uno siete trillón dos trece billón cinco treinta y cinco millón doscientos diez mil setecientos uno», de Robert B. Pitkin.

Los corresponsales W. M. Woods y Malcolm R. Billings señalaron, cada uno por su cuenta, que estos nombres de números son infinitos. La frase «sumar a diez» tiene diez letras, de modo que se puede obtener una serie infinita repitiéndola las veces que sea necesario; por ejemplo: «sumar cinco a diez», etcétera.[64]

En otros idiomas existen muchos números honestos, en el sentido expresado por el doctor Matrix. En la página 243 de su maravilloso libro Language on Vacation (Nueva York, Scribner, 1965), Dmitri Borgmann señala que el 3 se llama TRE en danés, noruego, sueco e italiano, y TRI en irlandés, galés y gaélico; 4 es VIER en holandés y alemán; FIRE en danés y noruego y FYRA en sueco; 5 es CINCO es español y portugués, CINCI en rumano, PIATY en polaco, PENKI en lituano, PEEZI en letón y PENTE en griego. Peter Salus aclara que es PAÑCA en sánscrito.

En Beyond Language (Nueva York, Scribner, 1967, págs. 245-246), Borgmann incluye una lista de números honestos, desde O (1 en inglés medio) hasta KUUSTEIS-TKUMMEND (16 en estón). En el primero de los libros mencionados sostiene que uno de los números más deshonestos en inglés es FIVE [cinco]. No sólo tiene cuatro letras, sino que las centrales forman IV, el número romano 4.

Harry Lindgren señaló en una carta que los números consecutivos 2, 3, 4 tienen nombres honestos en danés y noruego —TO, TRE, FIRE— y en esperanto: DU, TRI, KVAR.

Para mayores datos sobre números honestos en otros idiomas, véanse la columna «Kickshaws» de David L. Silverman en Word Ways, 3, 1970, 46-47; la carta de Rudolf Ondrejka en Journal of Recreational Mathematics, 4, 1971, 151; y Kravitz, Z.: «The Lucky Languages», ibídem, 7,1974, 225-228.

Kravitz señala que 4 es el término de una serie de palabras formadas al elegir el nombre de cualquier número en inglés, contar sus letras, escribirlas y repetir la operación hasta que converge en cuatro. ¿Existen otros «lenguajes afortunados» que convergen en un solo número honesto? Partiendo de la base de que ningún número mayor de veinte es honesto en ningún idioma, Kravitz estudió diecisiete idiomas occidentales y publicó los resultados. Los únicos idiomas afortunados son el inglés, el holandés y el alemán, que convergen en 4, y el italiano que converge en 3.

Sin Hitotumatu, cuyo nombre significa «un pino» en japonés, dice que si se expresan los dígitos del 1 al 10 inclusive, utilizando la grafía latina, no existen números honestos en su idioma. Las diez palabras son: hito (1), huta (2), mi (3), yo (4), itu (5), mu (6), nana (7), ya (8), koko (9) y too (10). Al contar los japoneses agregan el sufijo tu a cada palabra: hitotu, hutatu, mittu, yottu, etcétera. «¿Por qué too no tiene tu?» pregunta un viejo acertijo japonés. La respuesta es que su hermano itu tu ya tiene tutu.

En Japón, agrega Hitotumatu, también se utiliza un sistema de números provenientes de China: iti, ni, san, si, go, roku, hiti, hati, ku, zyu. Los números 2 y 3 son honestos. En este sistema se suele reemplazar si por yo, porque la primera, similar en su pronunciación a la palabra que significa «muerte», trae mala suerte. También se suele usar nana en lugar de hiti, que se confunde con i ti. Son pocos los que utilizan el sistema japonés para números mayores al diez, pero existe un extraordinario número honesto en este sistema: tooaramihuta (12). <<

[rp0901] I. El soneto acróstico de Edgar Allan Poe se llama «An Enigma». El nombre de la dama, Sarah Anne Lewis, se encuentra oculto en la primera letra de la primera línea, la segunda letra de la segunda línea y así sucesivamente, hasta el final. La señora Lewis era una poetisa de Baltimore. Poe consideraba que sus poemas eran «basura», pero se sentía en deuda con ella porque le había brindado ayuda económica. Este soneto es menos conocido que «A Valentine», que también oculta el nombre de una dama. El término «tuckermanities», en la décima línea, se refiere a Henry Theodore Tuckerman, autor de poesías convencionales y sentimentales que gozó de cierta popularidad en su época. <<

[rp0902] II. Las dos primeras letras de cada verso del poema firmado «Maude» forman las palabras «peculiar acrostic» [acróstico extraño]. <<

[rp0903] III. El primer verso del poema de J. A. Lindon se repite dos veces en el poema: en la primera palabra de cada verso y en la enésima palabra del verso n.

No existe una historia completa del verso acróstico. La undécima edición de la Encyclopaedia Britannica incluye una nota sobre el tema, cuya fuente principal es el libro de Bombaugh, citado en una nota al pie en el capítulo 9. En cuanto a los acrósticos del Viejo Testamento y otros escritos religiosos hebreos se puede consultar la Jewish Encyclopedia, la Encyclopedia of Religion and Ethics y el Interpreter’s Dictionary of the Bible. N. K. Gottwald analiza el acróstico en el primer capítulo de su Studies in the Book of Lamentations (1954).

Existen centenares de libros de acrósticos, muchos de ellos publicados por sus propios autores. Dick’s Original Album of Verses and Acrostics (Nueva York, Dick and Fitzgerald, 1879), de autor anónimo, contiene 218 poemas acrósticos con nombres de damas. Acrostic Poems and Other Verses, de Lewis C. Scott, publicado por el autor en 1924, es un grueso mamotreto de cuatrocientas páginas. El autor era gerente de una fábrica de botones de Sioux City, Iowa, y sus acrósticos se basan generalmente en los nombres de los estudiantes que terminaban el colegio secundario. El libro contiene fotografías de los estudiantes, del autor y su familia y notas al pie para explicar las referencias a la literatura clásica que aparecen en los poemas. El tipógrafo del libro fue el propio autor.

No es fácil encontrar poemas más vulgares que los de Scott, pero la palma se la lleva Mansion of the Skies: An Acrostic Poem on the Lord’s Prayer, de W. P. Chilton (Nueva York, John Ross and Company, 1875), un poema que ocupa veintisiete páginas. Con la primera letra de cada verso se forma el texto completo del Padrenuestro (Our Father, etc.). Los primeros versos dicen:

O sweet, celestial home —yon gilded sky—

Undimmed in radiance for endless years,

Robed bright in beauty for etemity!

Fain would I sing the bliss which there appears,

etc.

[Oh, dulce hogar celestial, cielos dorados, de resplandor sin par y constante, envueltos en radiante belleza por toda la eternidad. Dejadme cantar la felicidad que allí reina…, etc.]

El libro de Bombaugh, citado en el capítulo 9, reproduce un poema acróstico en el cual la primera palabra de cada verso corresponde al Padrenuestro en inglés (véanse páginas 139-140). <<

[rp10]

Malcolm Straser y otros lectores de Scientific American descubrieron que si se escriben los cuadrados en columna contra el margen derecho de la hoja, la serie palindrómica cíclica se observa no sólo en la última columna sino en todas aunque las series se vuelven más largas a medida que uno se desplaza hacia la izquierda. La segunda columna desde la derecha forma una serie palindrómica de 43 dígitos separada por siete ceros. La de la tercera está formada por 481 dígitos separados por diecinueve ceros. La serie de la cuarta columna desde la derecha está formada por 4937 dígitos separados por sesenta y tres ceros. Desde la segunda columna en adelante los ciclos se repiten en series de 50, 500, 5000… <<

[rp1001]

I. La fórmula para hallar los números cuyos cuadrados finalizan en 44 es 50x ± 12, donde x representa a cualquier entero no negativo. La fórmula para hallar los números cuyos cuadrados terminan en 444 es 500x ± 38. El cuadrado siguiente después del 1.444 es 462² = 213.444. <<

[rp1002] II. Para demostrar que ningún cuadrado de dos o más dígitos puede estar compuesto sólo de dígitos impares, se debe demostrar que en todo cuadrado cuyo último dígito es impar, el antéultimo debe ser par.

Si un cuadrado termina en número impar, lo mismo sucederá con su raíz cuadrada. Por consiguiente debemos considerar las siguientes dos situaciones: una raíz cuadrada que termine en dígitos impar-impar y una que termine en dígitos par-impar. La Figura 38 muestra esquemáticamente la cuadratura de los dos números; P significa par, I significa impar. Los puntos significan que cada línea de número puede extenderse indefinidamente hacia la izquierda.

Figura 38. Demostración del problema del cuadrado de dígitos impares. Izquierda: la raíz cuadrada termina en dígitos par-impar. Derecha: la raíz cuadrada termina en dígitos par-impar.

En los dos casos, cuando se multiplican los dígitos finales impares de la raíz cuadrada, la cantidad que pasa sólo puede ser 0, 2, 4 u 8. Puesto que todos son pares, se inscribe una P en los cuadrados pequeños para mostrar que la cantidad que pasa es par. Del lado izquierdo, cada una de las multiplicaciones cruzadas, indicadas por flechas, tiene un producto impar que permanece impar luego de sumársele la cantidad pasada. Por consiguiente, los dos dígitos sombreados son impares, y puesto que la suma de dos números impares es par, el segundo dígito desde la derecha de la última línea es necesariamente par. A la derecha se observa una situación similar, sólo que los productos de las multiplicaciones cruzadas son pares que permanecen pares después de sumárseles la cantidad pasada. Por consiguiente, los dos dígitos sombreados son pares. Puesto que la suma es par, el segundo dígito desde la derecha de la última línea también lo es. Los lectores que deseen profundizar en este problema, pueden tratar de demostrar un teorema más complejo, según el cual el anteúltimo dígito es impar si y sólo si el último dígito es 6. <<

[rp1003] III. El 12 y su inverso poseen las mismas propiedades especiales que el 13 y el 31. Eleve el 12 al cuadrado, invierta los dígitos, extraiga la raíz cuadrada y obtendrá 21, el inverso de 12. Los dígitos de los dos cuadrados suman 9, el cuadrado de 3, que a su vez es la suma de los dígitos de 12 y 21.

Frederick S. Parmenter de Troy, Nueva York, leyó sobre estos números en el último capítulo de History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality, de Leonard Eugene Dickson, y se dedicó a buscar todas las parejas de números que poseen la misma propiedad. Llámenselos números parejos. Parmenter descubrió con sorpresa que los números parejos sólo pueden estar formados por los dígitos 0, 1, 2, 3 y que un número n es parejo si y sólo si la suma de sus dígitos es la raíz cuadrada de la suma de los dígitos de n². Puesto que los números de las series 12, 102, 1.002, 10.002… y 13, 103, 1.003, 10.003… son todos parejos, el conjunto de los números parejos es infinito. Llámese parejo fundamental a aquel que no incluye ceros. Si se incluyen los números palindrómicos, el conjunto posee 55 elementos, el menor de los cuales es 1 y el mayor 111.111.111. Si se excluyen los palíndromos triviales, los parejos fundamentales son los siguientes veinte números y sus inversos: 12, 13, 112, 113, 122, 1112, 1113, 1121, 1122, 1212, 11112,11113, 11121, 11122,111112, 111121, 111211, 1111112, 1111121, 1111211. (Esto ya lo había señalado anteriormente el padre Víctor Feser en Recreational Mathematics Magazine, agosto de 1962, pág. 39). <<

[rp1004] IV. Los dos dígitos automorfos en la aritmética de base 6 son el 13 y el 44. <<

[rp1005] V. El segundo automorfo de cien dígitos de base 10, compañero de la Figura 13, aparece en la Figura 39. Todas las parejas de números automorfos de la misma longitud, en cualquier sistema numérico, tienen sumas de forma 11, 101, 1001, 10001, y así sucesivamente. Por consiguiente, en el sistema decimal, si se conoce uno de los integrantes de la pareja, para conocer al otro se resta el último dígito a 11 y todos los demás a 9. En el sistema de base 6, se resta el último de 7 y los demás de 5.

Existe un método sencillo para extender un automorfo de base 10. Si termina en 5, se eleva al cuadrado, se señala el dígito significativo más cercano a la «cola» y se lo antepone (junto con todos los ceros que lo siguen) a la cola para extender el automorfo. Por ejemplo: 25² = 625. El dígito significativo más cercano a la cola es el 6, de modo que el automorfo extendido es 625. El cuadrado de 625 es 390.625. El dígito significativo más cercano es 9, y puesto que lo sigue un 0, se agrega 90 a la cola para obtener 90.625. El cuadrado de 60.625 es 8.212.890.625; por consiguiente, el automorfo siguiente es el 890.625.

Figura 39. Cien dígitos de la serie automórfica terminada en 6.

Si el automorfo termina en 6 se aplica el mismo algoritmo, salvo que se resta el dígito más significativo de 10 antes de agregarlo (junto con los ceros que lo siguen) a la cola. Por ejemplo: 76² = 5776. El dígito más cercano es 7. Se resta 7 de 10 y se agrega el 3 a la cola para obtener 376. Con los dos algoritmos se pueden preparar programas de computadora que extenderán las dos series automórficas hasta decenas de miles de dígitos.

(Aplicando los mismos principios, se pueden extender los automorfos de base 6 —el 13 y el 44— hasta siete dígitos: 1.350.213 y 4.205.344.)

Muchos lectores descubrieron los dos algoritmos y enviaron cartas sobre el tema. Algunos enviaron las demostraciones. Lou Goldman y Ted Katsanis, quienes trabajaron juntos para descubrir estos métodos, observaron que si se multiplica un automorfo de n dígitos terminado en 5 por un automorfo de n dígitos terminado en 6, el producto termina en n ceros. Así, el producto de los automorfos de cien dígitos de las Figuras 13 y 34 es un número terminado en cien ceros.

El número de automorfos distintos para cualquier sistema numérico es 2P, donde p es el número de factores primos de la base. Para una base 2 × 3 × 5 = 30, existen 2³ = 8 automorfos, incluidos los casos triviales de 0 y 1, que son automórficos en todos los sistemas numéricos.

Para mayor información sobre los números automórficos, sobre todo de bases no decimales, véanse:

de Guerre, V. y Fairbaim, R.  A.: «Automorphic Numbers», Journal of Recreational Mathematics, 1, 1968,173-179.

Fairbairn, R.  A.: More on Automorphic Numbers”, ibídem, 2, 1969, 170-174.

Wulczyn, G.: «W-Digit Automorphs», Mathematics Magazine, marzo de 1969, págs. 99-100.

J. A. H. Hunter llama trimórficos a los números que reaparecen en la «cola» de sus propios cubos. Las dos series automórficas son, desde luego, trimórficas. Aparte de éstos, y de los casos triviales de números que terminan en varios nueves o en varios ceros seguidos de uno, Hunter descubrió ocho series no triviales. Véase «Trimorphic Numbers», Journal of Recreational Mathematics. 7, 1974, 177.

La columna sobre mi visita a Villa Cuadrado apareció en enero de 1968. El New York Times del 7 de abril informó que en California había aparecido una lujosa revista de 25 centímetros cuadrados llamada Square, que «disimula su mensaje con ilustraciones de tipo psicodélico y un lenguaje casi hippy». Ese mensaje era ultraconservador. Los principales aportes financieros provenían de Patrick Frawley, Jr. (dieciséis letras), gran empresario del ramo del bolígrafo y la hoja de afeitar, cuya empresa principal se llama Evershap (nueve letras). La revista debía aparecer 2² veces al año. <<

[rp1201] I. La Figura 40 muestra una de las cuatro soluciones fundamentales (sin contar las obtenidas por reflejo) del problema de Nixon. Se puede intercambiar la C con la L, lo mismo que la N con la X. Obsérvese la significativa sigla U. S. en las celdas superiores.

Figura 40. Una solución a la matriz de Nixon.

La matriz de Humphrey tiene tres soluciones fundamentales: la de la Figura 14, la misma intercambiando la B y la Y y la siguiente, completamente distinta:

UM

BEHP

YTRO

AI

La matriz Johnson tiene ocho soluciones fundamentales. Muchos lectores hallaron varias; Malcolm C. Holtje y Dean P. McCullough enviaron las quince soluciones. Varios lectores desarrollaron técnicas gráficas para explicar las soluciones de todos los problemas de ese tipo. <<

[rp1202] II. Un método para hallar las ocho maneras distintas de armar una pulsera con dieciséis cuentas de perla y jade de manera tal que se formen los dieciséis cuartetos posibles es el siguiente. Se representa la pulsera como una hilera de dígitos binarios, donde 1 = jade, 0 = perla. La cadena es cíclica, los dos extremos se unen. Las combinaciones 1111 y 0000, que deben aparecer en cadena, pueden quedar adyacentes o bien separadas por 1, 2, 3 o 4 cuentas. Las cinco posibilidades aparecen en la Figura 41.

Figura 41. Tabla para resolver el problema de la pulsera.

Puesto que cada uno de los dos cuartetos debe estar flanqueado por dígitos del otro tipo, se deben agregar los dígitos contrastantes tal como se muestra. Se elimina la segunda hilera porque el 1 o el 0 en la celda sombreada producirían una repetición de 1111 o 0000. Se elimina la quinta hilera porque al ensayar colocar los cuatro dobletes (00, 01, 10, 11) en las celdas sombreadas se duplica un cuarteto en cada caso.

Las hileras restantes sí admiten soluciones. La primera tiene cuatro, como lo demuestran los pares complementarios a continuación. Cada uno se deriva del otro al cambiar los unos por ceros y los ceros por unos, lo que equivale a intercambiar las cuentas de perla y jade.

1111000010011010

0000111101100101

1111000010110100

0000111101001011

La tercera hilera tiene un par complementario:

1111010000110010

0000101111001101

La cuarta hilera tiene un par complementario:

1111011000010100

0000100111101011

Estas ocho soluciones son únicas en el sentido de que sus inversas se obtienen invirtiendo la pulsera o recorriéndola en la dirección contraria. Para obtener un algoritmo sencillo que permita construir una cadena de longitud mínima del n-tuple deseado, se empieza por escribir una lista de todos los n-tuples posibles. Se inicia la cadena con n-tuples ceros. Se agrega 1 si da un nuevo n-tuple y se tacha el nuevo n-tuple de la lista. Caso contrario, se agrega O y se tacha el nuevo n-tuple de la lista. Se repite la operación hasta generar una solución.

Este algoritmo es un caso especial dentro de un elegante método general descubierto en 1934 por Monroe H. Martin, de la Universidad de Maryland, para todas las pulseras de longitud mínima con n-tuples de cuentas de m colores. Por ejemplo, si se desea construir una pulsera con cuentas de tres colores, 0, 1, 2, que muestre los 27 tripletes, se parte de 000 y se agregan los dígitos, usando siempre el dígito mayor que no repita un triplete ya formado. El resultado es 000222122021121020120011101. Este método aparece en el ejercicio 17, página 33 del segundo tomo de la monumental obra The Art of Computer Programming, de Donald E. Knuth (Reading, Addison-Wesley, 1969). Este tomo contiene tantos juegos y acotaciones históricas marginales como el primero y lo recomiendo fervorosamente.

En el primer tomo (respuesta al ejercicio 23, pág. 379), Knuth desarrolla una fórmula notable (descubierta por N. G. de Bruijn, de Holanda) para obtener el número de pulseras de longitud mínima con n-tuples y m colores, si se considera que los inversos son diferentes. Cuando no se considera que los inversos son diferentes, dice Knuth (como en el problema aquí planteado) la fórmula es:

Si se considera que los inversos son distintos, basta duplicar la fórmula. No es difícil demostrar, agrega Knuth, que ninguna pulsera es simétrica, en el sentido de ser idéntica a su inversa. La única excepción es la pulsera de cuatro cuentas, en dobletes de dos colores. Para este caso, la fórmula da como resultado 1/2, cuando la respuesta correcta es 1.

En Mathematics: The Man-Made Universe, de Sherman K. Stein (San Francisco, W. H. Freeman and Company, 2da. edición, 1969), capítulo 10, se analizan diversos métodos para construir las pulseras, incluso mediante gráficos. Este capítulo es una extensión del artículo de Stein en Scientific American de mayo de 1961. Incluye una interesantísima historia de este problema, desde las cadenas de este tipo empleadas por los poetas hindúes hace mil años (como recurso mnemotécnico para recordar las combinaciones de acentos largos y breves) hasta sus aplicaciones actuales, sobre todo para la construcción de lo que los teóricos de las comunicaciones llaman códigos de detección de errores. El libro incluye una bibliografía exhaustiva.

H. M. Schweighofer me explicó en una carta que estas cadenas binarias se «emplean en aparatos de control remoto, por ejemplo, para la sintonización a distancia de radios militares y de aviones. Desde luego que en este caso no se trata de ordenar cuentas, sino de un código formado al contactar el rotor delantero (1) o trasero (0) de un interruptor de disco. El circuito de control que se emplea es un circuito “de entrada» que permite el paso de la corriente cuando los interruptores a control remoto y los automáticos no ocupan la misma posición (código). En realidad, el empleo de interruptores de discos para crear series de códigos funcionalmente idénticos a sus pulseras de cuentas fue una de las características del primer aparato patentado por mí.

«Su artículo me trajo gratos recuerdos del tiempo que dediqué, hace unos veinte años, a diseñar series de interruptores basadas en estos principios. Ahora que los sintonizadores de radios han incorporado los transistores, los alternadores y los códigos de series binarias han caído en desuso. Los nuevos aparatos emplean códigos binarios estándar o BCD. Sin embargo, seguramente muchos de sus lectores habrán utilizado equipos basados en los principios de la pulsera de cuentas de Iva.»

Estos códigos tienen una aplicación más bien esotérica, en la prestidigitación. Incluyo una breve bibliografía para los lectores interesados en la magia matemática. Aparentemente, este principio se empleó por primera vez en un truco llamado «Coluria», descrito en Thirty Card Mysteries, de Charles T. Jordán (1919). El mismo principio se aplica en «Suitability», desarrollado en Card Mysteries, de William Larsen y T. Page Wright, y en un test sobre la Biblia en Six Tricks for 1944, de Robert Hummer. Pallbearers Review, una revista dedicada a la magia, ha publicado varios trucos con cartas basados en estos códigos. Véanse, entre otros, «Other Voices II», de Ben Christopher (agosto de 1968), y mi truco «Yin Yang» (febrero de 1974). <<

[rp1301] I. El anagrama de ANOTAS RUTAS es ASTRONAUTAS. <<

[rp1302] II. La solución de SPIRO × 7 = AGNEW es 14.076 × 7 = 98.532. Esta solución, la única posible, fue publicada por E. P. Starke en American Mathematical Monthly, 53, 1946, 4-5. En Mathematics Magazine, 42, 1969, 102-103, David Daykin incluye dos tablas de resultados obtenidos por computadora con las soluciones A = kB, en todos los sistemas numéricos de bases 3 a 15 inclusive, donde k es cualquier número de 2 a 14 inclusive y A y B que contienen juntos los diez dígitos o nueve (excluyendo el 0), una vez cada uno. No se tienen en cuenta las soluciones para los casos en que A o B empiezan con 0. En el problema planteado por el doctor Matrix (base decimal, diez dígitos), existen cuarenta y ocho soluciones para k = 2, seis para k = 3, ocho para k = 4, doce para k = 5, ninguna para k = 6, una para k = 7, dieciséis para k = 8 y tres para k = 9.

M. M. Williams, jefe de ingenieros del Centro Espacial Kennedy, me envió los siguientes comentarios sobre este criptograma aritmético: «Cabe señalar que 1407698532 puede descomponerse en 14/07/69, vale decir, el 14 de julio de 1969, que era T - 2 días en la cuenta regresiva del Apollo 11, y 8/5/32, 5 de agosto de 1932, cuando el astronauta Armstrong cumplió dos años. 0932 la hora del lanzamiento aparece en ese orden. La suma de 9 y 2 es 11; hubo 3 astronautas; 2 de ellos pisaron la luna. Los últimos tres dígitos del producto, 532, son la hora de Cabo Kennedy para el horario adelantado de verano cuando eran las 0932 GMT.»

<<

[rp1303] III. Los años que aparecen invertidos al final de sus cuadrados deben empezar con 1 y terminar con 9. Aparte de 1969 y el caso trivial de 1, el único año antes del 10000 es el 19. <<

[rp1304] IV. Los lectores interesados en saber algo más acerca de la colocación de n puntos en una esfera pueden consultar:

Coxeter, H. S. M.: «The Problem of Packing a Number of Equal Nonoverlaping Circles on a Sphere», Transactiones of the New York Academy of Sciences, serie II, 24, 1962, 320-331.

Fejes Toth, L.: Regular Figures (Elmsford, Pergamon, 1964, cap. 7).

Goldberg, M.: «Axially Symmetric Packing of Equal Circles on a Sphere», Anuales Universitatis Scientiarum (Budapest), 10, 1967.

No se ha hallado una solución general al problema. <<

[rp1305] V. En un año no puede haber más de cuatro meses perversos ni menos de dos. Puede haber no más de tres viernes 13 y no menos de uno. La suma de los meses perversos y los viernes 13 en un año es cuatro, salvo en los años no bisiestos que comienzan en domingo o jueves y en los años bisiestos que empiezan en domingo o sábado, cuando hay un total de cinco. El último año con cuatro meses perversos fue 1972. No habrá otros en el curso de este siglo.

B. H. Brown demostró que el día 13 tiene mayores probabilidades de caer en día viernes que en cualquier otro día: véase American Mathematical Monthly, 40, 1933, 607. S. E. Baxter (a la edad de 13 años) halló otra demostración, publicada en Mathematical Gazette, 53, 1969, 127-129.

Se han publicado muchas demostraciones breves del número máximo y mínimo de viernes 13 en un año. Véanse, entre otros trabajos recientes, Bailey, W. T.: «Friday-the-Thirteenth», Mathematics Teacher, 62, 1969, 363-364; Irwin, J. O.: «Friday 13th», Mathematical Gazette, 55, 1971, 412-415; y McGinty, R.: «Superstitious?», Mathematics Teacher, 65,1972, 503-505. <<

[rp1401] I. El otro número menor de 10.000 que tiene 63 divisores (incluyendo 1, pero excluyendo el propio número), es el 7560.

Panos, D. Bardis, en su artículo «Overpopulation, the Ideal City, and Plato’s Mathematics», Platon, 23, 1971, 129-131, sugiere que Platón escogió el 5040 porque es el factorial del místico 7. Cuando se lo comenté al doctor Matrix, él respondió sin vacilar: «Efectivamente, y si Platón visitara la ciudad, su población sería 71 al cuadrado». <<

[rp1402] II. La única manera de disponer dos números cuadrados de tres dígitos en una matriz de dos por tres tal que las columnas, leídas de arriba abajo, forman números cuadrados de dos dígitos, es la siguiente:

841

196

Agradezco a los lectores Joseph Charles, S. S. Chebli, Joel R. Cohén, Edwin M. McMillan, H. Martin Pitts, Emile C. Van Remoortere y Richard S. Watt por sus aportes sobre el nombre de Martin Luther King; y a Sally Porter Jenks, Thomas R. Jones y Eugene McGovem por las listas de nombres relacionados con profesiones. <<

[rp1501] I. El año que presenta el mayor lapso entre sí mismo y su inverso es el 1066, cuando Guillermo de Normandía conquistó las Islas Británicas. La diferencia 9901 - 1066 = 8835 años. Así planteado, el problema excluye las fechas antes de Cristo y los números que comienzan con 0; por ejemplo, el inverso de 6 es 9, no 9000. <<

[rp1502] II. El único Estado norteamericano que no presenta ninguna letra en común con el nombre de su capital es South Dakota, cuya capital es Pierre.[65]

<<

[rp1503] III. La única letra que no aparece en el nombre de ningún Estado norteamericano es la q. [66]

<<

[rp1504] IV. Las siete combinaciones restantes son: lunes-mayo, martes-junio, martes-julio, jueves-marzo, jueves-abril, jueves-mayo y viernes-mayo. <<

[rp1505] V. La única letra en inglés que no aparece en los números del 0 al 99, pero en todos los números del 100 al 999.999 es la d.

La traslación de NY a OZ fue descubierta por Mary Scott, miembro del International Wizard of Oz Club. La traslación de OZ a PA fue descubierta por Elliott Weiss, de Filadelfia, quien no reconoció su importancia cuando comunicó su hallazgo al doctor Matrix. Este, rendido admirador de los libros de Oz, no tardó en descubrir la sincronía. <<

[rp1601a26]

RESPUESTAS DEL TEST DE CLARIVIDENCIA

34

7

2

Triángulo y círculo

León

Y

Estrella

37

10

8

La letra que usted eligió

49

68

13

22,5 cm

París

5

4 de corazón

Cruz

Rosa

8

68

24

Azul

O

El o la

▼

ORIGEN DE LAS PRUEBAS

El instituto californiano fue fundado por el doctor Matrix y funcionó hasta noviembre de 1973. Ese año el Asombroso Randi, quien se inscribió bajo su verdadero nombre, James Zwinge, descubrió la trampa y la reveló en una extensa nota publicada por Los Angeles Times. El instituto cerró poco después.

La mayoría de los lectores de mi columna descubrieron que, si se cumplen las instrucciones al pie de la letra, todas las preguntas menos diez tienen una sola respuesta posible. Por consiguiente, el puntaje mínimo es dieciséis. Además, en las preguntas de respuesta incierta existe una alta probabilidad de acertar.

Tiempo después el doctor Matrix tuvo la amabilidad de revelar las fuentes de las veintiséis preguntas:

1. Gardner, M.: Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, capítulo 2.

2. Inventado por el mago Frederic DeMuth.

3. Truco llamado «Miraskill», creado por Stewart James.

4. Conocido «impulso psicológico», empleado por el mago israelí Uri Geller, quien siguió utilizándolo a pesar de que yo lo revelé en mi columna, en 1973. Charles Panati, periodista de la sección científica de Newsweek, quedó muy impresionado cuando Uri lo demostró con éxito en su presencia, en 1973. En 1975, Uri seguía utilizando este truco en sus demostraciones públicas.

Cuando el sujeto dibuja un triángulo inscrito en un círculo —como sucedió en el programa radial de Dick Klinger, de Portland, Oregon, el 17 de junio de 1975—, Uri reivindica el acierto como propio. Más aún, como le dijo a Klinger en esa ocasión, se trata de algo difícil de adivinar, porque la mayoría de la gente dibuja un cuadrado o una cruz”. Esto no es cierto: la mayoría de la gente dibuja un círculo y un triángulo. ¿Por qué? pida el lector a alguien que no sea matemático que nombre figuras geométricas sencillas. Difícilmente conocerá el nombre de más de cuatro.

5. Un viejo truco de magia, basado en el principio de la pregunta 4.

6. Creado por Victor Eigen, mago y matemático. Véase Gardner, M.: New Mathematical Diversions from Scientific American (Nueva York, Simón and Schuster, 1966, capítulo 9). La probabilidad de acertar con la palabra Y es de 25/36.

7. Otro truco viejo.

8. Un impulso psicológico numérico de origen desconocido.

9. Creación del mago Robert Hummer.

10. Un viejo truco matemático.

11. Otro viejo truco. Aparece en Chapin, L. N.: The Beautiful, the Wonderful, and the Wise (Chicago, John C. Winston, 1885, pág. 458), pero es bastante más antiguo.

12. Creado por Fitch Cheney, matemático y mago.

13. De Victor Eigen. Véase su presentación y algunas variaciones en Gardner, M.: «Paper fold Prediction», Swami, julio de 1973. Esta revista se publica en Calcuta.

14. Viejo truco con la raíz digital.

15. De Victor Eigen.

16. Otro impulso psicológico empleado por Uri Ge11er. Las ciudades elegidas con mayor frecuencia son Londres y París. Uri escribe Londres, lo tacha y luego escribe París. Si ésta última es la respuesta acertada, dice que Londres fue su primera impresión, pero enseguida se dio cuenta de que estaba equivocado. Si es Londres, dice «Debí confiar en mi primera impresión, pero tuve la sensación de que era París. ¿Alguno de los presentes pensó en París?» Varias personas responden que sí, y de esa manera Uri acierta, cualquiera sea la respuesta.

17. Basado en un truco del mago inglés Jack Yates.

18. Un viejo y conocido truco del mago Dai Vemon.

19. Un truco del mago y escritor Walter B. Gibson.

20. Otro impulso psicológico.

21. Un truco con cartas creado por el mago Henry Christ.

22. Otro impulso psicológico numérico, asociado a la pregunta 8.

23. De Victor Eigen.

24. Un viejo impulso psicológico.

25. Un truco de Robert Hummer.

26. De Victor Eigen. La probabilidad de que la palabra sea EL o LA es de 4/5.

Estos trucos son un material excelente para una clase de matemática. Se estimula la creatividad de los estudiantes al pedirles que demuestren —con ayuda de fórmulas elementales— por qué los resultados de las preguntas matemáticas son invariables.

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[rp17] El problema de cómo rotular la pirámide fue creado por el doctor Matrix. Se puede abordar mediante un conjunto de ecuaciones diofánticas, pero existe un método informal para obtener el mismo resultado.

Cinco vértices que suman 16 cada uno dan en total 5 × 16 = 80. Dado que los números de cada arista intervienen en dos vértices, la suma de los ocho debe ser 80/2 = 40. Sólo tres conjuntos de ocho enteros positivos diferentes, no mayores de 10, suman 40. Estos son:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10

Veamos el primero. El 10 sólo puede aparecer en una arista de la base o de uno de los lados. Si corresponde a la base, entonces debe juntarse con un par de aristas que suman 6. Los únicos dobletes posibles son 5, 1, y 4, 2. Ensayando las cuatro posibilidades, se advierte fácilmente que no hay manera de completar la pirámide mágica. Si se coloca el 10 en una arista lateral, las otras tres que se unen en el ápice deben sumar 6. El único triplete posible es 1, 2, 3. La simetría de la figura permite tres posibilidades (el número opuesto al 10 puede ser 1, 2 o 3). Ninguna permite completar la pirámide.

Veamos el segundo conjunto. Si el 9 está en la base, las parejas que confluyen a los extremos deben ser 6,1 y 4,3. Ninguna de las cuatro posibilidades permite llegar a la solución. Si 9 ocupa una arista lateral, las otras tres que se unen en el ápice deben llevar 1, 2, 4, en una de tres posibilidades. Nuevamente, no hay solución.

Veamos el tercer conjunto. Si 10 está en una arista lateral, el triplete que se une en el ápice debe ser 1, 2, 3. No hay solución. Si el 10 está en la base, los dobletes de los extremos deben ser, 1,5 y 4,2. La única solución posible es la de la Figura 42, si se excluyen las obtenidas por reflejo o rotación de ésta.

Figura 42. La pirámide mágica

Hiram Fuller Gutgasz me informó en una carta que la solución también es única en un sentido no descubierto por el doctor Matrix. Es innecesario limitar los números a los enteros positivos no mayores de 10. Cuando la constante mágica es 16, la solución es única para cualquier conjunto de ocho enteros positivos distintos. Si el límite son los diez dígitos (0 a 9 inclusive), existen dos soluciones, que excluyen el 1 y el 4. Con los números 1 a 10 inclusive existe una solución adicional: se trata de una pirámide con la constante 18 y una solución única que excluye el 1 y el 9.

Los lectores J. A. McCallum y Sheldon B. Akers, cada uno por separado, se plantearon el problema de construir una pirámide mágica de ocho enteros positivos consecutivos. Los dos hallaron la solución y la demostración de que es única. Los números son 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, siendo la constante mágica 24.

¿Quién hubiera dicho que algún lector de Scientific American tomaría en serio las investigaciones del doctor Matrix expuestas en el capítulo 17, cuando aparecieron en la revista (junio de 1974)? Sin embargo, la obsesión popular con esta clase de fenómenos es tan generalizada, que centenares de lectores escribieron para solicitar información adicional sobre la energía psi-org y la dirección del doctor Matrix.

Algunos fueron hasta el lago Pyramid a buscar la fábrica e incluso recorrieron los peligrosos caminos de cornisa en sus automóviles. Un profesor de la California State Polytechnic University, quien no pudo localizar la fábrica, expresó su gran disgusto en una carta. Me dijo que la aldea de Pyramid es apenas una granja y un par de chozas. Los habitantes le dijeron que no conocían a ningún doctor Matrix. Ninguno de los indios de la reserva conocía a un tal One-Tooth Ree. Un lector de Pukalani, Hawái, dijo que mi columna había «fascinado a la gente» de su localidad. Una señora se había instalado en una pirámide de vidrio y plástico junto a un arroyo en la selva, y un negocio de productos alimenticios almacenaba su mercadería bajo una pirámide gigantesca. El lector y sus amigos ofrecían pagarme el pasaje a Hawái para que les diera una conferencia sobre los nuevos descubrimientos.

Una carta me dejó directamente estupefacto: el director de una gran editorial neoyorquina me ofreció un adelanto de 15.000 dólares para que yo escribiera rápidamente un libro que se llamaría Pyramid Power. Estaba convencido de que sería un gran best-seller. Acepté su invitación a almorzar, sólo a fin de averiguar si hablaba en serio. En efecto. Cuando le dije que las afirmaciones del doctor Matrix sobre la energía psi-org eran pura cháchara, sugirió que firmara el libro con un seudónimo. Incluso me permitiría revelar públicamente que se trataba de un fraude, si le daba un año para promocionarlo debidamente.

Además pensaba que las ventas del libro mejorarían si yo vinculaba la pirámide al espacio exterior, tal vez con una antena capaz de captar mensajes.

Con la adecuada técnica publicitaria el libro bien hubiera podido repetir el fenómeno editorial de Secret Life of Plants. Al momento de escribir estas líneas, en noviembre de 1975, el culto de la pirámide continúa con todo vigor, a pesar de que los más destacados parapsicólogos, como Thelma Moss, han declarado que todo el asunto es falso.

New Horizons, la revista de la Toronto Society for Psychic Research, incluyó tres artículos sobre el poder de las pirámides en su edición del tercer trimestre de 1973. Allan Alter habló de los prolongados experimentos que demostraban que los envases piramidales «no son más eficaces que los de otras formas para conservar y deshidratar la materia orgánica». (Admitió, sin embargo, que posiblemente la Gran Pirámide de Egipto posee una «fuerza misteriosa» debido al campo geomagnético del lugar donde está situada.) Dale Simmons aseguró que los experimentos realizados con hojas de afeitar, empleando técnicas de microfotografía, no demostraban la menor influencia de la pirámide sobre las hojas.

Semejantes opiniones rara vez llegan a los oídos de los crédulos, y cuando llegan no los convencen. La Edmund Scientific Company sigue ofreciendo su pirámide de plástico transparente al indignante precio de 20 dólares. Sus avisos aparecen regularmente en Science News y son leídos por millares de estudiantes secundarios. Mi amigo Cornelius van S. Roosevelt, de Washington, me informó que en 1975 había sido jurado de una feria de la ciencia organizada anualmente por los estudiantes de secundaria. Dos de los puestos estaban dedicados al poder piramidal. «En un principio —dice en su carta— pensé que su objetivo era revelar el carácter fraudulento de la cuestión, pero me equivoqué. Los dos aseguraban que la pirámide devolvía el filo a las hojas de afeitar…» En ambos puestos, montados independientemente uno del otro en dos colegios distintos, se citaba mi columna como referencia fundamental.

Las revistas dedicadas al ocultismo siguen publicando avisos de la pirámide, que se venden en todos los tamaños imaginables. Flanagan’s Pyramid Products, de Glendale, California, además de una carpa, ofrece un GEP, o «generador de energía piramidal» (quince pequeñas pirámides colocadas en hilera), discos de energía piramidal y un aparato llamado Espiral Generadora de Flanagan. Se trata de una espiral dorada que genera una «bioenergía similar a la de la pirámide, pero mucho más fuerte». Flanagan también ofrece dos libros: Pyramid Power [El poder de la pirámide] (tapa dura) y The Pyramid in Its Relation to Biocosmic Energy [Relación de la pirámide con la energía biocósmica] (en rústica). Max Toth y Greg Nielsen son autores de otro libro titulado Pyramid Power, publicado en rústica por Freeway Press, 1974.

Flanagan, quien aparentemente es el líder mundial en la promoción del poder de la pirámide, coloca las siglas Ph. D. [doctor] junto a su nombre, pero no he podido averiguar cuándo ni dónde obtuvo su doctorado. La presentación de uno de sus libros dice que su nombre aparece desde 1962 en el Who’s Who in American Science [Quién es quién en la ciencia norteamericana], pero no existe ningún libro con ese título, y su nombre no apareció jamás en American Men of Science [Científicos norteamericanos].

La revista Life dedicó un número especial (14/9/62) a «The Take-Over Generation: One Hundred of the Most important Young Men and Women in the United States» [Trasvasamiento generacional: cien de los y las jóvenes más destacadas de Estados Unidos]. Dedica dos páginas a Pat, quien en esa época tenía diecisiete años y vivía en Bellaire, Texas. William Moeser, el autor de la nota («Whiz Kid, Hands Down» [Por unanimidad, el chico más listo]), lo calificó de «ejemplo de científico maduro y curioso». ¿Por qué incluyeron a Pat entre los cien? Pues, porque había inventado un aparato llamado el «neurófono», capaz, se decía, de transmitir las pulsaciones eléctricas provocadas por el sonido directamente al sistema nervioso y de ahí al cerebro. Uno se tapa los oídos, se coloca los «fonos» de salida sobre las sienes y escucha. Ni siquiera Pat sabe cómo funciona, dice el autor, pero varias empresas han demostrado «interés» por el invento. Se insinúa que podría lograrse el mismo efecto con la luz, empleando un aparato similar, con lo cual los ciegos podrían ver. No se brindan detalles acerca del maravilloso invento, de manera que es imposible determinar si se ha descubierto una nueva ley de la física o si se trata de la transmisión de vibraciones por vía ósea al oído interno, como esos artefactos patentados en el siglo XIX, que permitían escuchar a través de los dientes.

La nota incluye una foto del joven Pat parado patas arriba y otra en la cual aparece sonriente, mientras dos muchachas escuchan con los neurófonos sobre las sienes. Pat reaparece, ya un poco mayor, en el libro The Great Pyramid [La gran pirámide], de Tom Valentine (Nueva York, Pinnacle, 1975) y en la sobrecubierta de la segunda edición (1975) de su Pyramid Power. Hay otra larga explicación de las revolucionarias investigaciones del doctor Flanagan en Exploring the Great Pyramid Shape in America [Exploración de la forma de la Gran Pirámide en Estados Unidos], de Kim Russell, publicado por Shapeous Researching de Dallas. Texas.

La Parker Publishing Company, de West Nyack, Nueva York, publica páginas enteras de avisos en Fate para promover la venta del libro The Miracle of Universal Psychic Power: How to Pyramid Your Way to Prosperity [El milagro del poder psíquico universal: cómo lograr la prosperidad mediante la pirámide], de Al G. Manning. Esta valiosa obra científica cuesta apenas 7,95 dólares. Según el aviso, después de usar la pirámide, «¡D. J. encontró diez billetes de cien dólares en un cajón de la cocina!» La Pyramid Think Tank Company, de Ingram, Texas, acompaña su modelo con una brújula que permite orientarlo correctamente. «Algunos usuarios han logrado un fuerte incremento de su sensibilidad, sobre todo en cuanto a la percepción extrasensorial y los poderes telepáticos. Otros muestran una superación radical de la depresión, agudización del intelecto y asombrosos efectos rejuvenecedores». El modelo cuesta 19,95 dólares, cinco centavos menos que el modelo Edmund.

En Science Digest (marzo de 1975, pág. 91) se promocionaba una «carpa piramidal orgonal». Se vende en modelo de plástico, «listo para armar», e incluye una «brújula y un programa de meditación». La más grande cuesta 40 dólares. El aviso fue puesto por un tal J. Kennedy, de Biloxi, Misisipi. Sensonics Ltd., de Maitland, Florida, vende el modelo más grande —unos quince metros de altura— y publica un periódico llamado Boogie-on, sobre los avances en sus investigaciones.

El principal periódico dedicado al poder piramidal es Pyramid Guide, revista bimestral que se publica desde setiembre de 1972. Sus directores son Bill Cox y Georgiana Teeple, dueños de El Cariso Publications, de Elsinore, California. En las páginas de la guía se explican las relaciones entre el poder piramidal y los zahoríes, la reversión del tiempo, el orgón, la máquina de El Bosco, la psicometría, la levitación, la meditación, el biorritmo, el motor de Keely, la colorterapia, la teosofía, las aureolas, la fotografía de Kirlian y, desde luego, la percepción extrasensorial en todos sus aspectos.

Según las investigaciones de El Cariso, las pirámides mejoran la recepción televisiva, recargan las pilas de linterna y provocan la levitación de la mano. Incluso afilan las afeitadoras eléctricas. La misma empresa vende los caños de una carpa «sin paneles», es decir, las ocho aristas de la pirámide. El poder «se genera en las canaletas y esquinas sin perder energía». Esta energía es la equivalente de la «fuerza odínica» del Barón von Reichenbach y del orgón de Wilhelm Reich. Uno de los lectores dice que pudo afeitarse más de cien veces con una Gillette azul, por haberla guardado en su caja orgónica. La caja, agrega, es mucho mejor que la pirámide porque no es necesario orientarla hacia el norte.

Otro producto de El Cariso es un cono metálico tan efectivo como la pirámide, un «aureolómetro» que funciona como vara divinatoria para la búsqueda de agua y unos letreros autoadhesivos que dicen: «No es necesario ahorrar la energía piramidal. La fuente es ETERNA, las reservas son INFINITAS». Según la revista, el reverendo John D. Rankin, pastor de la Unity Church de Houston, ha construido una Iglesia Piramidal de aluminio anodizado donde se reúne con su grey para meditar.

El poder piramidal alcanzó un gran auge en Canadá, en 1976. Según Wayne Lilley (véase «The Pyramid Pushers» [Los pregoneros de pirámides], Financial Post Magazine, Toronto, abril de 1976, págs. 19-24), media docena de empresas de la zona de Toronto fabrican modelos de la pirámide en todos los tamaños para satisfacer la demanda creciente. Los fabricantes afirmaban que la influencia de la pirámide sobre el crecimiento de las plantas había sido verificada en la prestigiosa facultad de agronomía de la Universidad de Guelph, pero ante una consulta de Lilley los profesores de la institución lo negaron tajantemente. Al contrario, dijeron: sus experimentos demostraban que las pirámides no tenían la menor influencia sobre el crecimiento de las plantas. Los rumores de que la NASA norteamericana estaba realizando investigaciones con pirámides fueron desmentidos por la propia agencia aeroespacial.

Uno de los promotores más entusiastas del poder piramidal en Canadá es Red Kelly, director técnico del equipo de hockey sobre hielo Maple Leafs, de Toronto. Cuando su hija se curó de sus jaquecas colocando una pirámide bajo su almohada, Kelly decidió colgar pirámides del techo y bajo los bancos del vestuario. En el Globe and Mail de Toronto, 24 de abril, aparece una fotografía de Red Kelly con una pirámide en la cabeza. La página deportiva del Star de la misma fecha incluye una nota sobre «Pyramid Power: Extra Energy Flows to Leaf Players» [El poder piramidal: los jugadores del Leaf reciben mayor dosis de energía].

Cualquiera diría que las únicas que publican artículos sobre el poder piramidal son las revistas de mala suerte tipo Fate, o las publicaciones baratas como el Pyramid Guide, pero no es así. El New York Times (20/4/74) dedica la mitad de la sección familiar a una nota sobre el joven arquitecto Michael Reynolds, de Taos, Nuevo México. Reynolds duerme dentro de un gran modelo de pirámide. Al principio tuvo destellos precognitivos sobre visitas de amigos y más adelante, por las madrugadas, empezó a escuchar «silbidos agudos».

Tuvo extraños sueños en colores. «Son tan nítidos —dijo— como las imágenes en un televisor mal sintonizado. Me imagino que la Pirámide de Keops debe de funcionar como un televisor bien sintonizado». Gracias a la pirámide aumentó su vitalidad y pudo reducir sus horas de sueño.

Posdata (1985)

El neurólogo de Flanagan fue objeto de encendidos elogios en la columna «Altérnate View» de Analog Science Fiction, en dos ocasiones (julio de 1979 y febrero de 1980). Su autor, G. Harry Stine, relata su visita al laboratorio de Flanagan en Tucson, Arizona, donde asistió a pruebas con una versión mejorada del neurófono. Convencido de que no hay «fraude», Stine afirma: «Me importa un comino lo que dicen esos falsos especialistas en sus indignadas e insolentes cartas a la revista». Agrega que ha archivado esas cartas bajo el rótulo de Pura Cháchara. Eso deriva de la célebre declaración del astrónomo Sir Richard van der Riet Wooley, al asumir sus funciones de Astrónomo Real de Inglaterra en 1956: «Los viajes espaciales son pura cháchara». Quien desee conocer más detalles sobre el neurófono puede solicitarlos a la Oficina de Patentes de Estados Unidos, mencionando las patentes 3.393.279 (16/7/68) y 3.647.970 (7/3/72). En 1984 la dirección de Pat era 7 Commercial Blvd, Novato, Ca 94947. A su pedido le enviará la edición más reciente del Flanagan Research Report, su nuevo libro llamado Pyramid Power II y un catálogo de artefactos capaces de incrementar los poderes telepáticos, revigorizando la vida sexual y revertir el proceso de envejecimiento. <<

[rp1801] I. Aplicando la norma convencional de que no se permiten números que empiecen con 0, la única solución del criptograma aritmético de Alan Wayne es:

942 + 942 + 942 = 1413 + 1413

El número 1413 contiene los cuatro primeros dígitos de pi en orden inverso; 942/3 = 314, los tres primeros dígitos de pi.

Si se permiten números que empiecen con 0, existe otra solución: 472 + 472 + 472 = 0708 + 0708. Terry Terman y Daniel S. Marcus observan que 472 × 3 = 1416, es decir, los cinco primeros dígitos de pi (el signo igual reemplaza a la coma y el último dígito está redondeado). Herb Freedman agrega que 472 = 314 + 158, ecuación en la cual los seis números a la derecha del signo igual coincidirían con los seis primeros dígitos de pi si el último fuera 9 en lugar de 8. <<

[rp1802] II. Para hallar las treinta y seis formas del cuadrado hueco de 144.000 santos se procede de la siguiente manera. Sea a el lado del cuadrado, b el lado del hueco cuadrado interior; calcúlense los enteros positivos que satisfagan la ecuación diofántica a² - b² = 144.000. El valor menor de a es 380, lo que da un cuadrado hueco de lado 20.

Webb Simmos desarrolló una explicación del cuadrado perfecto de la visión de la señora White, que no requiere un hueco. Tal vez los santos ocupaban una formación trapezoide de 375 hileras, 197 en la primera, 198 en la segunda y así sucesivamente hasta la última, de 571. Si la señora White contempló el trapezoide desde las alturas, la visión en perspectiva le hizo creer que era un cuadrado sólido perfecto. <<

[rp1803] III. El problema de los cuatro enteros positivos distintos con los cuales se pueda formar una fracción compleja (a/b) / (c/d) que sea igual a (d/c) / (b/a) es una broma. Se puede demostrar fácilmente que las dos expresiones son equivalentes, cualesquiera sean los números que reemplacen a las letras.

Los caprichosos comentarios del doctor Matrix contienen muchas bromas numéricas. Cuando dice, por ejemplo, que 491 (el pecado que no será perdonado) es igual a la diferencia entre los cuadrados de dos enteros consecutivos, debería agregar que cualquier número impar es igual a la diferencia entre los cuadrados de dos enteros consecutivos. <<

[rp1804] IV. La respuesta del primer acertijo es DAVID; la del segundo es la esposa de Lot. El jeroglífico significa «no e», es decir, Noé. Según Dmitri Borgmann existen muchos jeroglíficos de una sola letra con personajes de la Biblia, como ¡G! = G ¡sus! (Jesús); B = Acá b (Acab), etcétera. <<

[rp1901] I. ¿Cómo desapareció la copa de vino del doctor Matrix? La copa era de hielo, el doctor Matrix la guardaba dentro de un molde en una congeladora hasta la hora de actuar. En el centro de la mesa había un disco metálico ligeramente cónico, colocado sobre la pata central hueca. El disco estaba conectado a la red de electricidad y se calentaba cuando el doctor Matrix oprimía un interruptor oculto en su escritorio. Al derretirse la copa, el agua y el vino caían dentro de la pata de la mesa. <<

[rp1902] II. Veamos una sencilla demostración de que la fórmula recursiva (b+1)/a genera un ciclo de números de período 5. Sea a el primer número de la serie y b el segundo. Cuando se aplica la fórmula en forma recursiva, el tercer número es (b+1)/a, el cuarto es (a+b+1)/ab, el quinto es (a+1)/b, el sexto es a y el séptimo es b.

Sam Dalal, mi amigo de Calcuta.

Sam Dalal, el mago de Calcuta, existe. Me dio permiso para mencionarlo en la columna, y gracias a ello aumentó la circulación de su revista Mantra. Cuando apareció la nota, Sam me refirió otro método para hacer desaparecer la copa de vino. En Dunninger’s Complete Encyclopedia of Magic se sugiere que la copa a derretir sea de cera en lugar de hielo. El método aquí descrito me fue revelado por el célebre mago Okito, a quien conocí en Chicago cuando ya se había retirado de su profesión. Dijo que lo había visto en la casa de un aficionado europeo, posiblemente el inventor del truco.

Otro método ingenioso de realizar este truco consiste en emplear una copa de vidrio que posea el mismo índice de refracción que el agua. Colocada el agua, la copa se vuelve invisible. El mago muestra la pecera de vidrio transparente que parece contener sólo agua. La cubre con una tela y saca la copa, llena de agua. Antes de levantar la tela el mago echa en la copa una pastilla de colorante rojo.

Olvidé señalar en la columna que la risa nonésica consiste en repetir la e, la quinta letra del alfabeto, cinco veces. Es de notar que e es también un famoso número trascendental.

La pintura de Charles Demuth del número 5 se encuentra en el Metropolitan Museum of Art de Nueva York (Figura 12). El autor se inspiró en un breve poema de William Carlos Williams:

Among the rain

and lights

I saw the figure 5

in gold

on a red

firetruck

moving

tense

unheeded

to gong clangs

siren howls

and wheels rumbling

through the dark city.

[Entre la lluvia y las luces vi el número 5 en oro sobre una autobomba roja, tensa e indiferente al son de campanas, al ulular de las sirenas y al traqueteo de las ruedas por la ciudad a oscuras.]

Cabe notar que el poema tiene treinta palabras, sin contar el número. Treinta es el producto de 5 y 6; el poema contiene cinco palabras de seis letras. Para más información sobre el 5, véanse: Oster, G.: «The Prevalence of Fives», Natural History, marzo de 1975, y Barnett, I. A.: «The Ubiquitous Number Five», Mathematics Teacher, abril de 1968. Acerca del teorema de que el número de divisiones necesarias para obtener el máximo común divisor de dos números es igual al número de dígitos del menor multiplicado por cinco, véase la elegante demostración de Howard Grossman en American Mathematical Monthly, vol. 31, 1924, pág. 443. Véase también Sierpinski, W.: Theory of Numbers (1964), págs. 21-22 y Honsberger, R.: Mathematical Gems II (1976), cap. 7.

Es verdad que algunas ragas hindúes dan la impresión de un ritmo que se vuelve más y más rápido pero en realidad no se acelera. La técnica para crear esta ilusión fue descubierta por Ken Knowlton, del laboratorio Bell. Él compositor norteamericano Elliot Cárter la utilizó en algunas de sus obras. Esta ilusión es una analogía rítmica de otra, en la cual el tono parece subir constantemente, descubierta por Roger N. Shepard cuando trabajaba en el laboratorio Bell. La llamada «octava interminable» de Shepard utiliza notas discretas, pero Jean-Claude Risset descubrió la manera de lograrlo con un glissando en continuo ascenso (o descenso).

Graham Holmes, ingeniero de Clarkson College, señaló en una carta que el doctor Matrix produciría el sonido de un aplauso con una mano si fuera capaz de moverla y detenerla con la suficiente rapidez. Es así como se produce el chasquido del látigo.

Quentin G. Furlow señaló una propiedad notable del 5 en la geometría de dimensiones superiores.

Una esfera unidimensional de diámetro igual a la unidad (un segmento de recta) cabe dentro de una «esfera» bidimensional (círculo) del mismo diámetro, y ésta dentro de una bola dimensional espacial. La bola cabe dentro de una hiperesfera tetradimensional y ésta en una hiperesfera pentadimensional. Pero aquí sucede algo asombroso. La hiperesfera hexadimensional, y las de orden superior, ¡caben en la esfera pentadimensional! Dicho de otra manera, la esfera pentadimensional es, en cierto sentido, la mayor hiperesfera de diámetro igual a la unidad.

Los lectores aficionados a la Meditación Trascendental, la percepción extrasensorial y la cientología habrán reconocido mis juegos de palabras relacionados con estos cultos. Bagel Lox, de Dr. Pepper, es en realidad Donald Cox, exvicepresidente de Coca Cola y presidente de uno de ellos. El Océano Nonésico es el que cruza Dorothy con su gallina amarilla a bordo de una balsa en Ozma of Oz.

El método del doctor Matrix, de partir de los dos números a y b, y aplicar la función (b+1)/a (donde a y b se refieren a los dos términos anteriores de la serie tal como la genera la fórmula), conduce al investigador a un vasto campo, lleno de problemas aún no resueltos. En general se trata de hallar una función racional que se pueda aplicar recursivamente a n variables y se vuelva periódica en un número máximo de pasos. El problema general, de aplicación en tecnología de la comunicación telefónica, fue desarrollado por dos matemáticos del laboratorio Bell, Robert P. Kurshan y Bhaskarpillai Gopinath, en «Recursively Generated Periodic Sequences», Canadian Journal of Mathematics, vol. 26, 1974, págs. 1356-71, y por J. H. Conway y R. L. Graham en «On Periodic Sequences Defined by Recurrences», informe inédito para el laboratorio Bell.

La fórmula de dos variables que se vuelve periódica en cinco pasos fue publicada por R. C. Lyness en Mathematical Gazette, vol. 26, 1942, pág. 62 (véase otra nota de Lyness en vol. 29,1945, pág. 251 de la misma publicación). No se conocen funciones recursivas racionales para dos variables periódicas de ciclos más largos.

No es necesario limitar las dos variables a números reales positivos. Un número o los dos pueden ser negativos (siempre que se excluya el cero o cualquier paso de división por cero) o incluso números complejos.

La fórmula más sencilla de este tipo para una variable es 1/a, cuyo período es 2. Con 1/(1/a) se obtiene el período máximo de 3. Basta partir de cualquier número significativo, real o complejo, restarlo de 1, hallar la recíproca y repetir la operación dos veces más para volver al punto de partida.

El ciclo más largo que se conoce para tres variables es 8, dado por la función recursiva (1 + b 4- c)/a. Las letras representan, claro está, los últimos tres términos de la serie generada en forma recursiva. Así, si a = 1; b = 2; c = 3, la serie es 1, 2, 3, 6, 5, 4, 5/3, 4/3, 1, 2, 3,… El ciclo más largo con cuatro variables es 12. Se genera mediante ad/(ac-b), fórmula descubierta por Conway.

Una interesante carta de Andrew Lenard, de la Universidad de Indiana, señala que la fórmula de cinco pasos para dos variables equivale a una relación de puntos sobre el plano proyectivo real y las simetrías cíclicas de sus razones cruzadas. Cuando le comentó este hecho al geómetra canadiense H. M. S. Coxeter, éste le dijo que había redescubierto un teorema de Gauss de cinco ciclos y su demostración proyectiva.

Para la antigua religión hindú, Shiva es una de las tres manifestaciones de Brahman, máximo incomprensible fundamento del ser. Las otras dos manifestaciones son Vishnu y Brahma. Mientras Vishnu duerme sobre la shesha de la cobra, de su ombligo crece un loto. Del pimpollo del loto surge Brahma, creador del universo. Shiva destruye el universo, el cual es absorbido por Vishnu, quien duerme durante una «noche de Brahma», equivalente a 4.320.000.000 años humanos. El proceso se repite y cada universo dura un «día de Brahma», cuya duración es igual a la de la «noche». Un «año de Brahma» equivale a 360 «días». Después de 100 «años» de Brahma, Brahman absorbe a Vishnu y durante 100 «años» sólo existe Brahman. Luego aparece un nuevo Vishnu.

Nos encontramos en el quincuagésimo año de nuestro Vishnu. La concepción de que nada existe en realidad porque el universo es un sueño, es defendida con sorprendente elocuencia por Mark Twain en las últimas páginas de The Mysterious Stranger. <<

[rp2001] I. Se trata de demostrar que ningún número que empieza con 9 y está formado por dígitos en orden consecutivo descendente (con o sin 0) puede ser primo. Todos los primos salvo el 2 terminan en 1, 3, 7 o 9, porque si el último dígito es par, el número es divisible por 2, y si es 5, el número es divisible por 5. Sumando los dígitos y extrayendo la raíz digital se demuestra que una serie terminada en 1, 3, 7, o 9 debe tener una raíz digital de 3, por lo cual el número es múltiplo de 3. <<

[rp2002] II. En la lista alfabética de los nombres en castellano de los números 0 a 1.000, el anteúltimo es el trescientos treinta y uno. <<

[rp2003] III. En la lista alfabética de los número romanos de 1 a 100, el último es XXXVIII, es decir, 38. <<

[rp2004] IV. El número más pequeño que contiene las cinco vocales y la y es el treinta y cuatro. <<

[rp2005] V. En la serie 100,60206, 10¹², 100,69897, … el elemento siguiente es 100,30102, vale decir, 2. El primer elemento es «cuatro», el menor entero positivo cuyo nombre contiene la letra a; el segundo es «un billón», el menor que contiene la b; el tercero es «cinco», que contiene la c (sin contar el cuatro, que inicia la serie); el cuatro es  «dos», que contiene la d. <<

[rp2006] VI. La Figura 43 muestra cómo disponer las letras minúsculas en tres cubos para formar las tres primeras letras de cada mes. Esto es posible porque u y n, p y d son recíprocamente inversas.

Figura 43. Solución del problema del calendario.

Los lectores señalaron otras inversiones que se pueden aplicar: la b invertida parece una g y la a invertida parece una e. Además si se le da un cuarto de vuelta a la u, se obtiene la c. Con ello se resuelve el problema empleando sólo cinco caras de cada dado, quedando las sextas caras libres para poner dibujos. Uno de los dispositivos posibles es el siguiente:

Dado 1 | Dado 2 | Dado 3
j | a, e | u, n, c
m | u, n, c | f
p, d | v | r
g, b | 1 | y
o | t | s

En un comentario sobre el problema 3, el genetista israelí Uzi Ritte me dijo que si se escriben los nombres hebreos de los números 1 a 999 en orden alfabético, el primero es el 1 y el último el 999.

David Emmanuel cuestiona la afirmación del doctor Matrix de que los teoremas numerológicos son tan numerosos como los números primos. En realidad son más numerosos, afirma. Los primos son infinitos pero contables (se puede establecer una correspondencia de uno a uno entre ellos y los números cardinales), mientras que los teoremas numerológicos son, como los números reales, incontables e infinitos.

Los siguientes artículos, publicados en el Journal of Recreational Mathematics, tratan de números primos con dígitos en orden cíclico ascendente o descendente:

Madachy, J.: «A Consecutive-Digit Prime», vol. 4, abril de 1971, pág. 100.

Madachy, J.: «Consecutive-Digit Primes-Again», vol. 5, octubre de 1972, págs. 253-254.

Finkelstein, R. y Leyboum, J.: «Consecutive-Digit Primes (Round 3)», vol. 6, julio de 1973, págs. 204-206.

Steiner, Ray P.: «Consecutive-Digit Primes (Finale)», vol. 10, nº 1, 1977-78, págs. 30-31.

En marzo de 1978 di a conocer el notable descubrimiento de Alan Cassel, de que la serie 123456789 repetida siete veces y terminada en 1234567 es un seudoprimo, y la probabilidad es de un trillón a uno a favor de que sea un auténtico primo. En diciembre del mismo año informé que el físico R. E. Crandall y el especialista en computación Michael A. Penk demostraron que ese número de setenta dígitos es, efectivamente, primo, el más grande que se conoce.

Harry Nelson (Journal of Recreational Mathematics, vol. 10, nº 1, 1977-78, pág. 33) formuló un problema interesante con el número formado por la serie de dígitos 123456789101112131415… Si se lo toma como fracción decimal, es un número trascendental. Si se lo corta en algún punto, ¿es primo alguna vez? Nelson llegó hasta 2⁴⁸ decimales sin encontrar un primo, y conjetura que es imposible hallar una respuesta concreta.

Se pueden formular interrogantes similares acerca del carácter de primo de los primeros n dígitos de cualquier número irracional. En el caso de pi se conocen cuatro primos: 3, 31, 314159 y el 3 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41. Robert Baillie y Marvin Wunderlich demostraron que era primo, en 1979. Baillie siguió trabajando con pi hasta el 432º decimal sin encontrar otro primo. ¿Existe un quinto? Probablemente sí, pero pasará mucho tiempo antes de que lo descubran.

Entre las palabras formadas con las iniciales de los diez dígitos tenemos algunas de cinco letras, como «todos» y «nudos»; de seis letras, como «toscos» y «doctos», y de siete, como «dudosos» y «nudosos».

Después de The Jupiter Effect, en el cual vaticinó la destrucción de Los Angeles para 1982, John Gribbin escribió un libro todavía más gracioso, The Jupiter Effect Reconsidered (Vintage, 1982), del cual escribí una reseña. Véase «The Gribbin Effect», Order an d Surprise, capítulo 39.

El vaticinio de Gribbin era seudocientífico, pero las predicciones de terremotos por sedicentes telépatas son tan numerosas que se necesitaría un libro para reproducir sus nombres. Desde luego que, en virtud de la ley de probabilidades, algún telépata acertará algún día con la hora y el lugar de un gran terremoto. Cuando ello suceda los creyentes en la precognición quedarán sumamente impresionados y el telépata en cuestión se volverá famoso del día a la noche. Desgraciadamente, hasta el momento, los vaticinios de estas personas han fracasado rotundamente o bien han sido tan vagos como para resultar inútiles. Esto me parece extraño. Si se puede predecir un asesinato o la caída de un avión, parecería que la muerte repentina de decenas de miles de personas debería enviar una onda mucho más fuerte atrás en el tiempo.

Cuando le pregunté al doctor Matrix por qué había fracasado su vaticinio, me dio la siguiente explicación. Mintió cuando me dijo que sería un temblor leve. En realidad sus cucarachas predecían una catástrofe que devastaría a Los Angeles y San Francisco y mataría a millones de personas. No me lo dijo por temor a que yo lo revelara, lo cual provocaría una ola de pánico.

Sin embargo, la predicción del doctor Matrix llegó a oídos de Jerry Brown, el gobernador de California, quien lo convocó de inmediato. Al gobernador le había impresionado mi idea de que el temblor podía ser provocado por la suma de los poderes PC de las cucarachas. Seguramente, dijo, el poder de las cucarachas era ínfimo con el de seres humanos de poderes telepáticos. El doctor Matrix coincidió con él.

Los dos advirtieron al gobierno de Estados Unidos, y la CIA puso manos a la obra. El plan, desde luego, era ultrasecreto: aquí lo revelo por primera vez. El columnista Jack Anderson, célebre por su revelaciones sobre Watergate, recibió la información pero aceptó mantener silencio. La CIA trajo a Standford a los telépatas más poderosos del mundo. Trajeron a Nina Kulagina desde Moscú, Uri Geller desde México, Ingo Swann desde Nueva York y Jean-Pierre Girard desde París. No pudieron ubicar a Ted Serios, pero en Tokio apareció un chico japonés capaz de proyectar sus pensamientos en una película Polaroid. Durante siete días los supertelépatas concentraron su energía psíquica en la falla de San Andreas. Poco a poco la tensión mecánica acumulada se disipó, y el pliegue de Palmdale disminuyó. Así se salvaron Los Angeles y San Francisco. El gobernador Brown también cumplió un papel importante, ordenando una campaña de exterminio de las cucarachas en su Estado.

—¿Devolvió el dinero a los clientes que habían adquirido la predicción? —le pregunté al doctor Matrix.

—¡Claro que no! —replicó, indignado. Pagaron, y recibieron una predicción genuina. Tanto da culparme a mí por el final feliz, como culpar a Jonas de equivocar su profecía porque Yahvé decidió a último momento no destruir Nínive.

Al lector que le parezca ridículo emplear las cucarachas para pronosticar un terremoto le recomiendo el capítulo sobre el tema en el libro de Jerry Goodman, We Are the Earthquake Generation: When and Where the Catastrophes Will Strike (Seaview Books, 1978). [Somos la generación de los terremotos: Cuándo y dónde nos azotará la catástrofe.] El doctor Goodman es un destacado arqueólogo telepático que utiliza su poder psi para hallar ruinas. «Algún día una cucaracha salvará tu vida», dice. Admite que las pequeñas criaturas suelen reaccionar ante los leves temblores que preceden a los terremotos, pero considera que «tal vez el campo más fértil para la investigación en este terreno sea la percepción extrasensorial, en lugar de los sentidos físicos». Concluye que

«Los animales parecen estar muy bien dotados en materia de precognición. Esto es justamente lo que necesitamos para nuestras investigaciones sobre los terremotos… Aunque parece irónico, la investigación de la capacidad de los animales para percibir los terremotos, que ahora está en boga entre los científicos, nos obliga a recurrir a los telépatas y sus poderes extrasensoriales para pronosticar los temblores.»

El clásico estudio de Helmut Schmidt sobre la PC de las cucarachas es «PK Experiments with Animals as Subjects», Journal of Parapsychology, vol. 34, 1970. Véanse también otros artículos de Schmidt en ediciones posteriores de la misma publicación. Louisa E. Rhine dedica un capítulo a los experimentos de Schmidt con las cucarachas en su libro Psi, What Is It? (Harper & Row, 1975, cap. 17). A pesar de las intenciones de la autora, su lectura es francamente desopilante.

Los experimentos más importantes con la PC animal después de los de Schmidt fueron realizados en el laboratorio de Rhine, por su director Walter J. Levy (cuyo nombre parodio en la columna). Como saben todos los aficionados a la parapsicología, el doctor Levy fue denunciado como un farsante, renunció y desde entonces no se ha vuelto a saber de él. <<

[rp2101] I. Yo hallé en inglés la palabra inkstand [tintero], pero muchos lectores hallaron otra palabra usual: prankster [bromista]. Otros enviaron términos arcaicos, hallados en el Oxford English Dictionary, tales como clinkstone, pinkster, sinkstone y pinkstone [respectivamente, perlita, pascua, ancla y antracorita]. <<

[rp2102] II. Yo había pensado en la palabra inglesa crankshaft [cigüeñal], pero los lectores aportaron bankshare, monkship, monkshood y tankship [respectivamente, acción bancaria, frailesco, napelo y buque tanque].

Algunos lectores formaron oraciones con las palabras de la solución. La carta de Jim Rector termina «No thankstoyou, I thinkstoomuch» [me devano los sesos por culpa de usted]. <<

[rp2103] III. Si se separan los enteros positivos en conjuntos de números pares e impares, la suma de dos números dentro de cualquiera de los conjuntos dará un número par mayor de dos; por consiguiente, no puede ser primo. <<

[rp2104] IV. El número en cuestión es 381-65-4729. Si se añade 0 al final, se obtiene el único número de diez dígitos del 0 al 9 divisible por 10.

Decenas de lectores insistieron en sus cartas que el 381654729 no era la única solución, y ofrecieron otras. Después de pensarlo un poco comprendí qué había pasado. Habían hecho sus cuentas con una calculadora de bolsillo de ocho dígitos, y al dividir el número de ocho dígitos por 8, ¡no habían verificado con lápiz y papel si quedaba un resto! (Digamos de paso que un número de muchos dígitos es divisible por 8 si y sólo si los tres últimos dígitos lo son.) Otros lectores supieron demostrar correctamente que el 381654729 era la única solución, sea mediante una computadora o bien aplicando las reglas elementales de divisibilidad.

Michael R. Leuze empleó una computadora para buscar soluciones al problema en sistemas numéricos no decimales. Descubrió que no existe solución en los sistemas de base 12 o impar. Para la base 2 sólo existe la solución trivial 1. Para la base 4 existen dos soluciones: 123 y 321; para la base 6, 14325 y 54321; para la base 8, 3254167, 5234761 y 5674321. Para la base 14, como la 10, existe una sola solución: 9 12 3 10 5 4 7 6 11 8 1 2 13.

David M. Sanger formuló un problema más general: cuáles son los números cuyos n primeros dígitos son divisible por n, sin otra restricción. Con su programa pudo descubrir todos, desde 45 números de dos dígitos (excluyendo los que comienzan con 0) hasta un solo número de 25 dígitos:

3.608.528.850.368.400.786.036.725

Puesto que no se puede agregar un 26º dígito para formar un número divisible por 26, la serie termina allí. Existen 2492 números de diez dígitos; el menor es 1.020.005.640, el mayor es 9.876.545.640. Un número que vale la pena anotar es el 3.000.060.000. La cantidad de números va en aumento desde n = 2 hasta n = 9 y n = 10 (2492 en ambos casos), pero luego disminuye. Para n = 20 hasta n = 25 la cantidad de números es 44, 18, 12, 6, 3 y 1 respectivamente.

Allen Tarr, de Winnipeg, descubrió una asombrosa relación entre el lo shu, el antiguo cuadrado mágico chino, y el número 381654729. La Figura 44 lo explica claramente.

Figura 44. Cómo se genera el 381 654 729 a partir del cuadrado mágico de tercer orden.

Warren Holland dice que ese número no puede corresponder al seguro social porque cuando los dígitos cuarto y quinto son mayores de 09, los dos son pares. Dice que ésta es una de las normas para identificar los números del seguro social, y cita una serie de referencias que no he podido verificar.

Leuze envió un análisis exhaustivo del problema en sistemas con bases negativas. Otro artículo que trata el problema en sus aspectos generales es Mechette, S.: «Progressively Divisible Numbers», Journal of Recreational Mathematics, vol. 15, nº 2, 1982-83, págs. 119-122. El problema reapareció en «What’s In a Number?», Mathematical Gazette, vol. 67, diciembre de 1983), págs. 281-282. Una nota del editor dice que cuando el problema apareció en el Sunday Times de Londres en 1982, muchos lectores furiosos cometieron el mismo error que los de mi columna: ¡se quejaron de que la respuesta no era única porque la habían calculado con una computadora de ocho dígitos!

Jaime Poniachik (la persona que planteó el problema en mi columna) dice que su creadora es Lea Gorodsky, su esposa, que colabora con él en Snark. Esta revista ya no se publica, pero fue sucedida por la revista Juegos. Poniachik es uno de los jefes de sección. Es una revista sumamente divertida, llena de caricaturas cómicas, muchas de ellas relacionadas con acertijos y juegos matemáticos. <<

[rp2105] V. A continuación se reproduce una solución al problema de los seis caballos, en 16 movidas. Las hileras están numeradas de 1 a 4, de abajo hacia arriba, y las columnas están indicadas de izquierda a derecha con las letras A, B, C.

1. | A1-C2 | 9. | A2-C1
2. | C2-A3 | 10. | B1-C3
3. | B4-C2 | 11. | C3-A4
4. | C2-A1 | 12. | A3-C2
5. | C1-A2 | 13. | C4-A3
6. | A2-B4 | 14. | A3-B1
7. | A4-C3 | 15. | C2-A3
8. | C3-A2 | 16. | A3-C4

Alan Delahoy fue el primero de varios lectores que demostraron que el problema de los caballos se resuelve con un mínimo de 16 movidas. Algunas de las demostraciones partieron de expresar el problema en un gráfico de 12 puntos, tal como se explica en mi libro Aha! Insight (1977). Al expresarlo de esta forma, se demuestra fácilmente que la solución requiere un número par de movidas no menor de 14. (Si el tablero tiene tres caballos en un extremo, se necesitan siete movidas para llevarlos hasta el otro.) Ahora queda por demostrar que 14 movidas son insuficientes. La clave para reducir las 18 movidas a 16 es comprender que el retroceso de un caballo —devolverlo al casillero anterior— abre paso a otro caballo. Todas las soluciones de 16 movidas comparten esta característica.

Howard Rumsey Jr. demostró con una computadora personal que se puede llegar del punto de partida a cualquier disposición de los seis caballos en-22 movidas o menos. Desde cualquier disposición se puede llegar a cualquier otra en no más de 26 movidas. Rumsey halló siete pares de soluciones (sin contar las simétricas) para trasladar los caballos de un lugar a otro cualquiera en 26 movidas.

James G. Mauldon sugirió la variante de reemplazar el caballo central de cada color por un rey que se desplaza como un caballo y agregar la condición de que los reyes intercambien sus lugares. Halló una solución en 26 movidas. Si se colocan caballos en los dos casilleros centrales, para jugar con cuatro piezas de cada color, la solución se logra en 12 movidas. Mauldon agregó la condición de que los ocho caballos estén apareados con respecto a la línea central horizontal del tablero y se intercambien todas las parejas. En su opinión, la solución de esta variante requiere 36 movidas. Halló una solución en 44 movidas al problema de aparear los caballos que ocupan posiciones simétricamente opuestas con respecto al centro del tablero, pero luego Craig Collins la redujo a 40 movidas.

Henry Ernest Dudeney planteó el problema en The Canterbury Puzzles (1907) con la condición adicional de que se deben alternar los movimientos de las piezas blancas y negras, como en el ajedrez. Su propia solución es la mejor: 22 movidas.

George Starbuck halló otro monosílabo de diez letras: schnappsed [emborracharse con ginebra], pero fue superado por su amigo William Harmon (los dos son poetas) con el monosílabo de 11 letras broughammed [viajar en berlina], palabra que para algunos diccionarios es bisílaba. <<

[rp2106] VI. La explicación que dio el robot de por qué una persona no puede tener un tercio de ascendencia escocesa, un tercio china y un tercio húngara fue objeto de críticas valederas. Acertaron los lectores que rechazaron la solución del robot, que se basa en presunciones falsas, principalmente la de que todos los progenitores son de sangre pura. Esto es absurdo en la vida real, como se demuestra al trazar el árbol genealógico de cualquier persona hasta un par de generaciones atrás. <<

[rp2201] I. Los precios de las cuatro baratijas que compró Iva en el Gran Bazar son 1; 1,50; 2 y 2,25 dólares. La suma y el producto de este conjunto son 6,75 dólares. Si no se hubiere aclarado que el precio de los aretes fue de 1 dólar, existiría otra solución al problema: 1,20; 1,25; 1,80 y 2,50. Este problema, planteado por Kenneth M. Wilke (Crux Mathematicorum, vol. 4, junio de 1978) es una variante de otro planteado por David A. Grossman: véase Graham, L. A.: Ingenious Mathematical Problems and Methods (Dover Publications, 1959, problema nº 65). En la versión de Grossman la suma y el producto son 7,11 y el conjunto único comprende los precios 1,20, 1,25, 1,50 y 3,16. <<

[rp2202] II. La manera más sencilla de dividir un cubo en tres cuerpos congruentes es dividirlo en tres tajadas paralelas. Cuando di esta respuesta absurda, cometí la torpeza de afirmar que no conocía otra solución. Muchos lectores se precipitaron a señalar mi error.

John E. Morse envió la solución más general. Si se sostiene al cubo de manera tal que uno de sus vértices apunta hacia uno y el contorno parece un hexágono regular, aparece la simetría tridimensional del cuerpo. Gracias a esta simetría existen infinitas maneras de dividir el cubo en tres cuerpos congruentes. Las superficies pueden ser planas o curvas de cualquier tipo y se pueden diseñar trisecciones extrañas, cuya trabazón es tan intrincada que es imposible separarlas. <<

[rp2203] III. En la Figura 45 se muestra cómo rotular los vértices del cubo con los números 0 a 7 de manera tal que la suma de los dos vértices de una arista cualquiera es un número primo. Si se excluyen las rotaciones y reflejos, la solución es única. No es difícil demostrar que no existe solución cuando se emplean ocho enteros consecutivos a partir de un número mayor de 0. Este problema fue creado por Garry Goodman.

Figura 45. Solución del problema de rotulación del cubo.

Bennett Bataille sugiere un problema complementario. ¿Pueden colocarse los mismos números (0 a 7) de manera tal que cada suma sea un número compuesto? Sí, se puede, y hay una sola solución, pero no la doy para que el lector interesado la descubra. Leslie Card descubrió la manera de rotular los vértices con números cuadrados, todos distintos, de manera que todas las sumas son primos, pero no demostró que la solución era única ni buscó otras.

En cuanto al cubo con bisagras del doctor Matrix, véanse Cundy, H. M. y Rollett, A. P.: Mathematical Models (Oxford University Press, 2a ed., 1961, pág. 122) y las cartas de lectores en Mathematical Gazzette, vol. 57, nº 399, febrero de 1973, págs. 66-67; y vol. 57, nº 401, octubre de 1973, pág. 211. <<

[rp2204] IV. La paradoja de la relación superficie-volumen de la esfera y el cubo es el primer problema de Science Brain —Twisters, Paradoxes and Fallacies—, de Christopher P. Jargocki (Charles Scribner’s Sons, 1976). La falacia deriva de aplicar dos significados completamente distintos al símbolo d. Para comparar la relación superficie-volumen de la esfera y el cubo se parte de dos cuerpos de volumen idéntico. Un cubo de volumen v tiene una arista de v1/3 y una relación superficie-volumen de 6(v1/3)²/v, es decir, 6/v1/3. Una esfera del mismo volumen tiene un diámetro de

(6v/π)1/3

y una relación superficie-volumen de

π(6v/π)2/3/v

es decir, aproximadamente, 4,8/v1/3. Como señala Jargocki, la superficie de una esfera es un 20 por ciento menor que la de un cubo de su mismo volumen. El mismo razonamiento demuestra que, para una superficie dada, el volumen de la esfera es superior al del cubo en un 39 por ciento aproximadamente.

Thomas D. Waugh me hizo llegar el siguiente teorema, que contiene una falacia estrechamente relacionada con la anterior. Si se encierra una esfera de radio r en un poliedro, cada una de cuyas caras toca la esfera, la relación superficie-volumen del poliedro, independientemente de su forma o del número de sus caras, es 3/r. ¡Pero 3/r es también la relación superficie-volumen de la esfera! Estas paradojas constituyen una buena introducción a lo que los físicos llaman el análisis dimensional, la técnica de expresar constantes con números sin dimensión, independientemente de las unidades de medida adoptadas. <<

[rp2205] V. Como señaló el doctor Matrix, ningún número de más de diez dígitos puede ser un omirp sin-rep, porque los dígitos aparecen más de una vez. Harvey P. Dale y otros señalaron que un número de diez dígitos tampoco puede ser un omirp sin-rep, porque cualquier permutación de los diez dígitos da como suma 45, con una raíz digital de 9. Por consiguiente será múltiplo de 9 y, de ahí, compuesto. El omirp sin-rep más elevado es el 9876543201.

Pregunté si existía algún omirp cíclico de más de siete dígitos. Joseph Buhler demostró que no existe ese tipo de omirp de ocho, nueve o diez dígitos. Por consiguiente, aparte de los casos triviales de omirp cíclicos de dos dígitos, el único caso que se conoce es el 193939, de seis dígitos. Tal vez sea difícil demostrar que no existen otros mayores. <<

[rp2206] VI. El doctor Matrix dijo que aún no se había resuelto el problema de determinar el último número de la lista alfabética de los nombres de los primos en inglés. (Véase Wolpow, E. R.: «Alphabetizing the Integers», Word Ways, vol. 13, febrero de 1980.) Donald E. Knuth, el destacado especialista en computación de Stanford presentó el problema ante un seminario sobre programación. Más de seis estudiantes cada uno por su cuenta, hallaron la solución: dos vigintillones dos undecillones dos trillones dos mil doscientos noventa y tres. <<

[rp2207] VII. Varios lectores descubrieron la broma en la observación del doctor Matrix, de que el 19 es un primo extraordinario porque es a la vez la suma de 9 y 10 y la diferencia entre los cuadrados de 9 y 10. Todos los números impares pueden expresarse como la suma de dos enteros consecutivos y como la diferencia entre los cuadrados de esos mismos números.

El doctor Jalifa no es broma. Es un fervoroso creyente musulmán, convencido de que el Corán fue inspirado por Alá. En 1980 era jefe de Química Forense en Mesa, Arizona. Se recibió de la Universidad Ain Shams, de El Cairo, obtuvo su master en química en la Universidad de Arizona y su doctorado en la de California en 1964. Ha publicado más de veinte trabajos científicos.

El folleto que me mostró el doctor Matrix estaba agotado en 1980. Según Jalifa, sólo contenía algunos de los muchos descubrimientos numerológicos realizados por él. Me envió un trabajo inédito llamado «The Existence of God: Finaly, Scientific Proof» [La demostración científica definitiva de la existencia de Dios]. Está convencido de que la «abrumadora presencia» (los términos son suyos) del 19 en el Corán sólo se puede explicar si se acepta el origen divino del libro.

Muchos lectores señalaron que la letra y la música de la balada del epígrafe pertenecen a William Percy French (1854-1920), comediante irlandés del music-hall. Un editor de Londres la publicó sin reconocer su autoría; posteriormente aparecieron muchas ediciones piratas y en la actualidad la balada suele aparecer en las antologías como «de autor anónimo». Era muy popular en la Primera Guerra Mundial: los soldados la cantaban, intercalando estrofas obscenas. Fue grabada en los años veinte por Frank Crumit para la RCA Victor.

No existen, que yo sepa, dos versiones idénticas de la balada. Dos versiones con marcadas diferencias, tanto en la letra como en música, aparecen en Read’em and Weep: The Songs You Forgot to Remember, de Sigmund Spaeth (1926) y en The American Songbag, de Carl Sandburg (1927). Aparentemente, ninguno de estos dos recopiladores sabía que la balada era de origen irlandés. La versión original de Percy French, que empieza «Oh the sons of the prophet are brave men and grim», aparece en The Best of Percy French, Londres, EMI Publishing, 1980, y puede solicitarse a la editorial, 138-140 Charing Cross Road, Londres y se reproduce su texto en la versión de A Treasury of the Familiar, de Ralph Wood (1948). <<

Notas

[1] Literalmente, Cifra Cinco. Esa localidad existe. [T.] <<

[2] Juego de palabras con los términos hole, agujero, y holy, santo. El término que emplea el autor, holiest, significa el más agujereado y a la vez el más santo. [T.] <<

[3] A diferencia de las observaciones del autor, que van entre paréntesis, las del traductor irán siempre entre corchetes. [T.]. <<

[4] Los términos mencionados aparecen en las ediciones en español de la Biblia, Salmo 46, como «agitar» y «lanza», respectivamente [T.]. <<

[5] La siguiente carta del físico Luis W. Alvarez apareció en Scientific American de abril de 1960:

Me encantó el relato de Martin Gardner sobre su visita al doctor Matrix. Las observaciones del doctor sobre la primera reacción en cadena muestran que estaba bien encaminado en sus estudios, pero no pudo verificar sus conclusiones por el hecho de no haber trabajado en el proyecto Manhattan District. Seguramente sabía que la razón por la cual se construyó la pila atómica durante la guerra fue para producir plutonio, el 94º elemento de la tabla periódica. Pero al no estar autorizado para participar de Manhattan District no podía saber que el nombre clave del plutonio durante la guerra era «49». Si el perspicaz doctor lo hubiera sabido, también hubiera señalado que el elemento 94 fue descubierto en California, el Estado donde estalló la fiebre del oro en el ’49.

Dado que la prueba de fuego de una teoría nueva es su capacidad de pronosticar sucesos que el autor no podía prever, me he convencido de que la numerología es válida. <<

[6] Como lo había señalado Harry Lindgren en Australian Mathematics Teacher, 8, 1952, 8. <<

[7] Las palabras significan, respectivamente, «once», «dos», «uno» y «doce» [T.]. <<

[8] El descubrimiento del 666 en los números romanos de Vicarius Filli Dei se remonta por lo menos al siglo XVII. Los primeros adventistas hicieron otras interpretaciones del 666, pero aquélla se impuso a todas a partir de que Uriah Smith la calificó en un artículo periodístico aparecido en 1866 (¡atención, 66!), de la explicación «más verosímil» que jamás había leído. El mismo autor, en la primera edición (1897) de su libro Daniel and the Revelation [Daniel y la Revelación] desarrolla una extensa fundamentación de esa interpretación y sostiene que la encontró por primera vez en un libro sobre la Reforma aparecido en 1832. Parece que la señora White, admiradora confesa de Smith, nunca publicó su propia interpretación del significado de 666. Aún hoy los adventistas consideran la interpretación de Smith, como lo demuestra la edición corregida de Unfolding the Revelation [Interpretación del Apocalipsis] de Roy Allan Anderson (Mountain View, Pacific Press, 1974).

Años después le pregunté al doctor Matrix si él había inventado la aplicación de la misma técnica de la señora White. Me respondió que no, que la había hallado en un panfleto anónimo publicado por el Boletín Cristiano del Pueblo de Nueva York, posiblemente en la década de 1930. «Los adventistas —dijo el doctor Matrix— no advirtieron que existía otra manera de vincular al papa al 666. Como señaló mi amigo Raymond L. Holly, las primeras seis palabras del versículo 6 del Salmo 60 dicen: “Dios ha hablado en su santidad”».

Para mayores datos sobre el 666, véanse los capítulos 3, 4, 6, 12, 17 y 18. <<

[9] Las palabras significan, respectivamente, «cuarenta», «diez» y «sesenta». [T.] <<

[10] También se los llama «cuadrados latinos». [T.] <<

[11] Triakaidekafobia: miedo irracional al número 13. Él artículo «Thirteen at Table» [Trece comensales] de Vincent Starrett, en Gourmet (noviembre de 1966) da una explicación divertida sobre la superstición según la cual si se sientan trece comensales a una misma mesa uno de ellos sufrirá una tragedia. Era una de las supersticiones de Franklin D. Roosevelt. Grace Tully, su secretaria, relata en F. D. R., My Boss que el presidente la mandaba llamar a un almuerzo o cena si algún cambio de último momento redundaba en la presencia de trece comensales. El artículo citado contiene fascinantes anécdotas históricas y referencias literarias. <<

[12] La palabra corny (similar a korn) significa «trillado» o «cursi». [T.] <<

[13] Esto se pone de manifiesto durante los eclipses totales del sol, cuando el disco lunar cubre totalmente al solar. Dicho de otra manera, la punta de la sombra de la luna roza la superficie de la tierra. La improbabilidad de esta coincidencia es la piedra angular de una demostración de la existencia de Dios, expuesta en un panfleto de diez páginas escrito por Norman Blom y publicado en 1970 en Gutemberg, Nueva Jersey. El panfleto lleva por título, The New World: The First Proof in History That the Earth, Moon and Sun Are Controlled by a Thinking, Acting Mind and Hand That Has the Power of Life and Death over Every Living on Earth [El Nuevo Mundo: La primera demostración de la historia de que la tierra, la luna y el sol son controlados por un cerebro y una mano pensantes y activos que tienen poder de vida y muerte sobre todos los seres vivos de la tierra]. El señor Bloom dice que ha defendido su tesis en varias altas casas de estudios, tales como Harvard, Massachusetts Institute of Technology y el programa radial de Barry Farber. Ofrece mil dólares de recompensa a quien pueda hallar una falla en su demostración. <<

[14] Hay un entretenido relato sobre las abundantes especulaciones numerológicas de la constante de la estructura fina, aún no demostrada, que incluye al «valiente intento» de Eddington de derivarla de una matriz cuadrada con dieciséis elementos de lado, en George Gamow: Biography of Physics (Nueva York, Harper Torchbook, 1964), págs. 324-329. El doctor Matrix me hizo observar la extraña simetría palindrómica de seis dígitos que se repiten entre los doble ceros del número 0,007299270072992700…, el decimal de 1/137. En capítulo 18 se exponen las referencias bíblicas al número 137. <<

[15] Este extraño método de falsificación tiene una larga historia. Sam Lloyd, quien basó su célebre paradoja «Bájese de la tierra» en el mismo principio, escribió en su columna de juegos matemáticos del Brooklyn Daily Eagle (3/1/1897): «El método de falsificación que consiste en obtener trece billetes a partir de doce está estrechamente vinculado al de bajarse de la tierra …» Constituye desde hace muchos años un delito federal (a pesar de lo cual, inexplicablemente, el doctor Matrix fue confinado en una prisión estadual) y quienes cometen la estupidez de ensayarlo caen rápida y fácilmente en manos de la ley.

En el Des Moines Register (20/8/63) se consigna que un joven de dieciocho años, residente en Davenport, quien había leído mi entrevista científica con el doctor Matrix en el Scientific American de enero de 1963 cometió la estupidez de ensayar este método a fin de conseguir dinero para ingresar a la universidad. Cuando el cajero de una farmacia de Davenport advirtió que uno de sus billetes era falso, la policía descubrió fácilmente al autor de la falsificación y lo detuvo.

El Boston Herald (28/2/63) y el Harvard Crimson (2/3/63) advirtieron a los comerciantes de que habían aparecido billetes falsos en la zona de Cambridge, fabricados mediante este método. Según el Chicago Daily News (29/11/68), Reuben Silver, de Londres, fue condenado a ocho años de prisión por cortar once billetes de cinco libras para convertirlos en doce. «El tribunal afirmó que, por tratarse de un método hábil, no se revelarán los detalles al público». En Estados Unidos este delito es penado por el Código, sección 484, capítulo 25, título 18. Muchas de las asombrosas paradojas geométricas derivadas del mismo principio de falsificación son analizadas en mi libro Mathematics, Magic and Mystery (Nueva York, Dover, 1956), caps. 7 y 8, y en mi columna de Scientific American (noviembre de 1971) dedicada a métodos de publicidad. El más divertido juego de este tipo que se haya publicado es el Vanishing Leprechaun. Puede solicitarse a W. A. Elliot Co., 212 Adelaide W., Toronto, Canadá, M5H 1W7.

Para más datos sobre estas paradojas, llamadas también «eliminaciones geométricas», véase Falleta, N.: Paradojas y juegos (Buenos Aires, Gedisa, 1986). [T.] <<

[16] Este es un descubrimiento de Charles Trigg, publicado en Recreational Mathematics Magazine (abril de 1962, pág. 33). <<

[17] Este dato curioso apareció en un artículo de Everett W. Comstock en Recreational Mathematics Magazine (abril de 1962, pág. 36). No existe otro conjunto de cuatro números consecutivos en el cual los dos primeros, en orden ascendente, forman un entero igual al producto de los otros dos. En cambio, si se admite que sólo sean consecutivos cada par de números, se pueden obtener muchas ecuaciones, por ejemplo, 6162 = 78 × 79. Hay más ecuaciones de este tipo en la nota de J. A. Lindon publicada en la misma revista (octubre 1962, pág. 35). <<

[18] Phil Kohn, de Yokneam, Israel, descubrió otra propiedad del 153, que fue publicada por Thomas H. O’Beirne en su columna «Puzzles and Paradoxes», de New Scientist (21/12/61). Se parte de cualquier entero que sea múltiplo de 3. Se suman los cubos de sus dígitos para obtener un segundo número, con el cual se repite el procedimiento. Tras una serie finita de pasos se llega inexorablemente al 153. O’Beirne desarrolla una demostración. También es interesante observar que 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5!.

Si se parte de cualquier número natural que no sea múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus dígitos, finalmente se llega a uno de estos finales: 1, 370, 371 o 407; o bien a uno de estos ciclos: 55-250-133, 160-217-352, 136-244 o 99-1459. Véase el problema E1810 en American Mathematical Monthly (enero 1967, págs. 87-88) y las referencias citadas; hay una segunda solución en la edición de marzo de 1968, pág. 294. Hay más acerca de los 153 peces en el capítulo 18. <<

[19] La frase en inglés es I come to Barry Goldwater, not to praise him. La pronunciación del nombre Barry es similar a bury, enterrar. Es una paráfrasis del célebre discurso de Marco Antonio sobre el cadáver de César en el Julio César, de Shakespeare: I come to bury Caesar, not to praise him.[T.] <<

[20] Los nombres significan, en su orden, Villa Unidad, Dos Ríos, Triplete, Cuatro Robles, Cinco Cruces, Seis, Siete millas, Ocho Millas, Meseta Punto Nueve y Diez Millas. [T.] <<

[21] Respectivamente, Impar y Villa Par. Estas localidades y las mencionadas en la nota anterior existen. [T.] <<

[22] Este vaticinio quedó confirmado en 1967, cuando Audouin Dollfus, del observatorio francés de Meudon, descubrió un nuevo satélite cerca del borde externo de los anillos de Saturno, que posteriormente bautizó Jano. (Lamento informar que en 1974 se descubrió la 33ª luna, un diminuto satélite de Júpiter.) Sam Elton desarrolla una hermosa teoría numerológica, con la cual se deduce el número de satélites de cada planeta a partir de la estructura de niveles energéticos del átomo. Véase A New Model of the Solar System (Nueva York, Philosophical Library, 1966), cap. 5. <<

[23] Veamos, para beneficio de los lectores interesados, los porqués de esta curiosa división. El cociente hasta el decimoquinto decimal es 8,000000072900000+. ¿Es casual que 729 sea 9 al cubo?

La respuesta es no, pero antes de explicarlo desarrollemos el cálculo:

8,000000072900000663390006036849054935326399911470239…

Richard H. Hart observa que: 1) El número comienza con una sucesión de 7, 5, 3 y 1 ceros que alternan con series de 1, 3, 5 y 7 dígitos distintos de cero si no se cuenta «ese cero exasperante en el vigesimoquinto lugar después de la coma»; 2) si se invierten los dos últimos dígitos de 987.654.321 para obtener 987.654.312 y se lo divide por 8, el resultado es 123.456.789.

Los lectores Fitch Cheney y Alan B. Lees, cada uno por su cuenta, señalaron las siguientes ecuaciones:

729 = 9³ × 91⁰

66.339 = 9³ × 91¹

6.036.849 = 9³ × 91²

Lo cual les sugirió la siguiente conjetura:

que pudieron verificar fácilmente mediante la fórmula usual para las sumas de las progresiones geométricas. <<

[24] Fliess, un otorrinolaringólogo berlinés, estaba obsesionado por los números 23 y 28, que le sirvieron de base para una teoría de los ciclos que aplicó a todos los fenómenos, desde su especialidad hasta el sistema solar. Durante más o menos una década mantuvo una extraña amistad neurótica con Freud. Para una explicación de la numerología de Fliess y las modificaciones introducidas por sus discípulos contemporáneos, véase mi libro Mathematical Carnival (Nueva York, Knopf, 1975). <<

[25] Cabe consignar que el número 2477, el 367º primo, apareció en un sueño a un paciente de Jung. Este psicólogo hizo un análisis absurdo del significado de ese número (véase «On the Significance of Number Dreams», Collected Papers on Analytical Psycology, 2a edición, Bailliere, Tindall y Cox., 1917, págs. 190-199) basándose en las fechas de nacimiento del paciente, su esposa, su amante, su madre y sus dos hijos, así como su edad, la de su amante y algunas cosas más. <<

[26] En la última sección de respuestas, Siete, reproduzco algunos comentarios de lectores de mi columna en Scientific American. <<

[27] El Bronx es el barrio de los judíos pobres en Nueva York. [T.] <<

[28] Las siglas significan National Asociation for the Advancement of Colored People (Asociación Nacional para el Mejoramiento de la Gente de Color), la más importante organización de defensa de los derechos civiles de los negros. Adam Clayton Powell fue uno de sus fundadores. Señala el autor en una nota que la sigla completa también puede interpretarse «Never Annoy Adam Clayton Powell» (nunca moleste a Adam Clayton Powell), en referencia a la vigorosa personalidad del fundador. [T.] <<

[29] Este acertijo ha sido adaptado, respetando las características del original. [T.] <<

[30] El lector que se interese por la llamada «psicoterapia conductista» cuyas técnicas pavlovianas de electroshock fueron empleadas por el doctor Matrix, puede consultar dos artículos de divulgación: Bandura, A.: «Behavioral Psychotherapy» Scientific American (marzo de 1967) y Hunt, M. M.: «Freudians Are Wrong, the Behaviorists Say — a Neurosis Is ‘Just’ a Bad Habit», New York Times Magazine (4/6/67). Bandura incluye una bibliografía de obras que defienden las mencionadas técnicas. <<

[31] En concomitancia con el tema de este capítulo, cabe señalar que «Wordsmith» es un neologismo que puede traducirse como «forjador de palabras». [T.] <<

[32] Es la última de las dos estrofas del poema «Dictionary», que apareció en The New York Times (25/7/58). <<

[33] En Finnegans Wake Joyce incluye muchos juegos con el abecedario. En dos ocasiones recorre el alfabeto entero: «Ada, Bett, Celia, …, Xenia, Yva, Zulma» y «apple, bacchante, custard … xray, yesplease, zaza». En otras abarca algunas letras: «Arty, Bert or possibly Charley Chance» y «Arm bird colour defdum ethnic fort perhaps». Véase Benstock, B.: Joyce-Again’s Wake (Seattle, University of Washington Press, 1965), pág. 28 y la nota al pie de págs. 19-20. <<

[34] El poema alfabético más conocido es The Siege of Belgrade, que empieza:

An Australian army awfully arrayed

Boldly by battery besieged Belgrade

Cossak commanders cannonading come

Dealing destruction’s devastating doom.

[Un ejército austríaco, fuertemente pertrechado, con fusiles y cañones sitió a Belgrado. Los jefes cosacos, al frente de sus cañones, riegan muerte y destrucción por doquier.]

Este y otros ejemplos de poesía alfabética inglesa aparecen en Walsh, W. S.: Handy-Book of Literary Curiosities (Filadelfia, Lippincott, 1904) y en Bombaugh, C. C.: Oddities and Curiosities of Words and Literature (Nueva York, Dover, 1961), págs. 34-37. Las dos obras también contienen información sobre los acrósticos en general. <<

[35] En la jerga hippy cuadrado (square) significa, despectivamente, chapado a la antigua. También puede referirse a cualquiera que no sea hippy. [T.] <<

[36] Antes de que la jerga hippy de 1967 desaparezca por completo, tal vez conviene acotar que Mary Jane era uno de los nombres de la marihuana, el verbo grok significaba meterse en una fumata y hawk era el LSD. <<

[37] Literalmente, «baile cuadrado». Danza típica del oeste de Estados Unidos. [T.] <<

[38] La numerología del 37 está desarrollada en Trigg, C. W.: «A Close Look at 37», Journal of Recreational Mathematics, 2 (1969), págs. 117-128. <<

[39] Es la base del libro Counterplot, de Epstein, publicado por Viking en 1969. <<

[40] En esa época el actor cómico Mort Sahl apoyaba enérgicamente la absurda teoría de Garrison [sobre una presunta conspiración detrás del asesinato de Kennedy — T.]. <<

[41] El número 52 cumple el importante papel numerológico en Lolita, de Vladimir Nabokov. Véanse las notas 253/14 y 253/15 en Alfred Appel ed.: The Annotated Lolita (Nueva York, McGraw-Hill, 1970). <<

[42] De acuerdo con la grafía empleada y preferida por la NASA y el New York Times. <<

[43] Los números 11, 12 y 13 cumplieron papeles cruciales en la frustrada misión Apolo 13, según me informó el doctor Matrix. El lanzamiento fue el 11 de abril de 1970. Los nombres de cada uno de los tres astronautas —James A. Lovell, Fred W. Haise, Jr. y John L. Swigart— tienen 12 letras. El 13 de abril la misión quedó interrumpida debido a la explosión de un tanque de oxígeno y la tripulación volvió a tierra. JAMES, FRED y JOHN suman 13 letras. <<

[44] Adaptado del original. [T.] <<

[45] Este vaticinio tuvo su trágica confirmación el cuarto día de mayo de 1970, cuando cuatro estudiantes de la Universidad Estadual de Kent, Ohio (tanto KENT como OHIO tienen cuatro letras) murieron baleados por soldados de la Guardia Nacional. Ese fue el apogeo de las luchas estudiantiles contra la guerra de Vietnam. En 1960 se había iniciado una gran oleada de protestas estudiantiles contra la discriminación racial en el sur. La primera manifestación se produjo el 1 de febrero de ese año: cuatro estudiantes negros de Greensboro, Carolina del Norte, se negaron a abandonar un restaurante donde se les negó atención, y grupos de manifestantes ocuparon luego el local y la calle. <<

[46] En Estados Unidos el viernes 13 es equivalente de nuestro «funesto» martes 13. [T.] <<

[47] Se suele decir (cosa que los tejanos niegan con fervor) que Ima Hogg tenía una hermana llamada Ura, pero no es verdad. James Stephen Hogg no tenía la menor intención de bromear cuando bautizó Ima a su única hija. Le enorgullecía el hecho de que fuese Hogg. La señorita Ima, como la llamaban en Texas, fue admirada filántropa y mecenas de las artes. Murió en Londres, en 1975, a los noventa y tres años.

Ima hogg significa literalmente «soy un cerdo»; Ura Hogg, «eres un cerdo». La grafía correcta de esas frases es I’m a hog y you’re a hog, pero la pronunciación es idéntica a la de los nombres. [T.] <<

[48] La primera referencia que he podido hallar acerca de esta asombrosa transliteración apareció en la revista IBM in Britain, nº 47, agosto de 1968, pág. 3, que atribuyó su descubrimiento a John Roycroft, de Londres. A pesar de que el logotipo de IBM aparece claramente en las pantallas terminales de 2001, Clarke me ha asegurado que se trata de una pura casualidad, cuyo descubrimiento le causó gran sorpresa. <<

[49] Lo mismo sucede con respecto a las provincias argentinas y sus capitales. Véase la misma respuesta. [T.] <<

[50] Este juego no se aplica en castellano, ya que son muchas las letras que no aparecen en ningún número: b, f, g, j, k, p, w y x [T.] <<

[51] En los últimos años el proceso de desaparición del lago Pyramid se ha visto acelerado debido al empleo de sus aguas para irrigación y al desarrollo de la urbanización. Sus aguas se han vuelto tan alcalinas que la trucha Lahontan, que formaba parte de la dieta básica de los indios, prácticamente se ha extinguido. Como dijo un autor, el florecimiento del desierto ha significado la muerte del lago.

La situación de los indios es algo lamentable de ver. Cunden la pobreza y el desempleo. El doctor Matrix decidió instalar su fábrica en esa zona debido, por supuesto, a la abundancia de mano de obra barata. <<

[52] La frase significa simultáneamente «Ree, el de un solo diente», y «uno dos tres», al pronunciarla. [T.] <<

[53] Poco antes había leído el ingenuo opúsculo Me and the Orgone [El orgón y yo], del cómico Orson Bean (Nueva York, Fawcett Paperback, 1972). Con respecto a la concepción de Reich de la energía del orgón (tan graciosa como cualquiera de los monólogos cómicos de Orson Bean), recomiendo la breve biografía Wilhelm Reich, de David Boadella (Nueva York, Dell, 1975). <<

[54] Su pronunciación es similar a Wonder who’s kissing her (me pregunto quién la besa). [T.] <<

[55] Esto fue descubierto por Wayne B. Johnson, de Albany, Oregon, y publicado en el diario News-Register de McMinnville, Oregon (2/3/74). Robert A. De Forest, de Sheridan, Oregon, envió una copia de la carta al doctor Matrix. <<

[56] La demostración de esto y de que 2, 3, 5 es el único conjunto de números enteros positivos tal que el producto de dos de ellos dividido por el tercero deja un resto de 1, aparece en «Two Unique Sets of Numbers», de E. P. Starke, en respuesta al problema E1234 (¡un número significativo!) de American Mathematical Monthly 64, 1957, 275. <<

[57] E. B. Escott demostró en 1905 que 1, 3, 6, 55, 66 y 666 son los únicos triángulos de dígitos repetidos con menos de treinta dígitos. (Véase Dickson, L. E.: History of the Theory of Numbers, 2:33) En 1972, David W. Ballew y Ronald C. Weger anunciaron que los resultados de sus investigaciones con una computadora demostraban la inexistencia de números similares. (Véase Notices of the American Mathematical Society 19, 1972, A-15.) Ballew y Weger desarrollan una demostración numérica teórica en «Repdigit Triangular Numbers», Journal of Recreational Mathematics, 8, 1975-76, 96-98. <<

[58] Para esta traducción se ha empleado la versión de la Biblia de José María Bover y Francisco Cantera Burgos (Madrid, La Editorial Católica, 1957). Los acertijos y sobre todo los anagramas han sido adaptados, ya que la traducción textual era, desde luego, imposible. Téngase en cuenta además que la Biblia protestante excluye seis libros del Antiguo Testamento, a los que considera apócrifos, en tanto la Iglesia católica los considera auténticos. Por eso el Apocalipsis, el 66º libro en esta obra, es el 72º en las Biblias católicas [T.] <<

[59] Hay más detalles sobre el 153 en el capítulo 3. <<

[60] Las palabras dicen, textualmente seis + seis + seis = nueve + nueve [T.]. <<

[61] Los acertijos con palabras que aparecen en este capítulo han sido adaptados por el traductor, ya que su traducción literal vuelve imposible el acertijo. A lo largo del capítulo se hace un juego de palabras con el doble significado de punk: por un lado, la moda juvenil de los últimos años y por el otro «yesca», la materia combustible que se prepara a base de hongos secos. Es interesante notar que, en su primera acepción, punk es un término del argot carcelario que significa «inútil», aplicado a una persona. [T.] <<

[62] Desgraciadamente esta clase de problema es imposible de plantear en castellano, que no admite la acumulación de consonantes sin vocales intermedias [T.]. <<

[63] En castellano el problema es, como diría el autor, trivial: el primer número primo en orden alfabético es el 5. [T.] <<

[64] Estos números han sido adaptados, pero respetando el espíritu del original, incluso en licencias tales como «trece billón» en lugar de «trece billones». Con respecto al número 101 letras, téngase en cuenta que se emplea la notación inglesa, en la cual «billón» significa «mil millones» y no «un millón de millones», como en castellano. [T.] <<

[65] Para el lector argentino, la única provincia heteroliteral con respecto a su capital es Chubut, cuya capital es Rawson [T.]. <<

[66] En cuanto a las provincias argentinas, dejando de lado la k y la w, las únicas letras que no aparecen son la v y la x en tanto la h sólo aparece en la combinación ch (Chubut y Chaco) [T.]. <<