Las matemáticas de la luz

Manuel de León

y Ágata Timón

Introducción

“El ojo que ves no es

ojo porque tú lo veas;

es ojo porque te ve.”

Proverbios y cantares,

Antonio Machado

Pocas cosas hay en nuestro universo más fascinantes que la luz. Cada mañana aparece el Sol por el este e ilumina el mundo que podemos apreciar; cuando cae la sombra de nuestro astro, la noche se cubre de la luz de la Luna y las estrellas.

Los seres humanos nacemos de la luz (¡somos polvo de estrellas!) y nuestra experiencia está determinada por nuestra concepción del entorno, que percibimos a través de la luz. Como decía el arquitecto norteamericano Louis Kahn, en cuyo trabajo la luz jugó un papel fundamental: “We are born of light. The seasons are felt through light. We only know the world as it is evoked by light”1. En otra hermosa cita suya, afirmaba: “Also marvelous in a room is the light that comes through the windows of a room and that belongs to the room. The sun does not realize how beautiful it is until after a room is made. A man’s creation, the making of a room, is nothing short of a miracle. Just think, that a man can claim a slice of the sun”2.

Nuestros ojos están hechos para captar la luz. Las matemáticas nos permiten entender este complejo fenómeno de la visión, que aún los ordenadores más potentes no son capaces de reproducir (aunque les falta poco). Las matemáticas están detrás de los últimos avances en inteligencia artificial y de muchos otros que la humanidad ha hecho tratando de dilucidar la luz y visión. Es más, en las leyes que rigen los estudios de la visión proliferan los nombres de matemáticos muy relevantes.

Por otro lado, la luz ha sido nuestra herramienta básica de exploración del universo, desde tiempos inmemoriales. Pero a lo largo de su historia la ciencia no se ha limitado a la luz visible, sino que ha explorado muchas otras maneras de ver, para así tratar de descubrir el velo que oculta la naturaleza de nuestro universo y, al final, la razón de nuestra existencia.

Muchas son las ciencias que se relacionan con el estudio de la luz: tanto en lo que sabemos de esta radiación como en lo que ese conocimiento nos permite saber sobre el mundo. Las matemáticas forman parte de forma destacada de este grupo desde la Antigüedad hasta los más modernos desarrollos. Son un elemento principal en la óptica, en la teoría de la relatividad, en la mecánica cuántica… En este libro se ofrecerán reflexiones sobre las matemáticas que están detrás de estos y otros conocimientos de la luz y la visión, en una tardía conmemoración del Año Internacional de la Luz que se celebró en todo el mundo en 2015.

CAPÍTULO 1

La luz y la visión en la Grecia clásica

Las primeras teorías de la luz

Uno de los primeros misterios que trataron de dilucidar los científicos en la Antigüedad fue la visión. ¿Cómo era posible que con un órgano pudiéramos obtener una nítida imagen del mundo de nuestro alrededor? ¿Cuál era su funcionamiento? Durante el día, cuando el Sol brillaba en el cielo, veíamos colores, formas, detalles. Por la noche, solo alrededor del fuego, o bajo la luz de la Luna, éramos capaces de distinguir los objetos. Parecía claro que la luz, ya fuese proveniente del Sol, de la Luna o del fuego, era indispensable para poder recibir información visual, pero ¿cómo se transmitían aquellos rayos? El fenómeno de la visión abría un abanico interminable de preguntas físicas, fisiológicas, filosóficas y, también, matemáticas.

Diversos matemáticos griegos, o más bien filósofos, pues así eran considerados en aquella época, postularon las primeras teorías sobre la luz y del mecanismo por el que se produce la visión de las que tenemos constancia. La naturaleza que permitía apreciar el mundo se explicaba entonces con dos teorías contrapuestas durante siglos: la de la intromisión, según la cual los objetos emitían rayos que llegaban a los ojos y así se recibía la información, y la de la extramisión, según la cual eran los ojos los que emitían rayos que tocaban los objetos y extendían así su capacidad sensorial.

Pitágoras, célebre filósofo y matemático griego, era uno de los defensores de esta última. La suya fue una de las primeras teorías conocidas sobre la luz. Afirmaba que las personas emitían rayos por los ojos, como tentáculos producidos por el fuego ocular, que chocaban con los objetos para percibir sus formas y colores.

Esta teoría de los pitagóricos fue adoptada y defendida por Platón. Esta idea aparece en su famoso “mito de la caverna”, en el que describía, en el VII libro de la República, a un grupo de personas, prisioneras desde su nacimiento por cadenas que les sujetan el cuello y las piernas, de forma que únicamente pueden mirar hacia la pared del fondo de la caverna sin poder nunca girar la cabeza. Detrás de ellos, hay una hoguera, en la entrada. Por un pasillo entre la hoguera y el muro, pasan otros seres que llevan diferentes tipos de objetos, de manera que los prisioneros solo pueden ver las sombras proyectadas en la pared, sombras que son la visión real del mundo para ellos. Platón imaginaba que uno de los prisioneros era liberado, encontraba el mundo real e intentaba después liberar a sus compañeros. Estos se burlaban de él y decían que sus ojos estaban dañados por haber pasado de la luz solar a la oscuridad de la caverna.

Pocas cosas se saben de la figura de Pitágoras (Samos, 569 a. C.-Metaponto, 475 a. C., fechas aproximadas). Era hijo de Menarco, un comerciante y grabador de joyas, y de quien puedo adquirir sus conocimientos de la geometría de los sólidos, denominados hoy en día “pitagóricos” o “platónicos”. Tampoco se conoce mucho sobre su formación, aunque se cree que viajó a Egipto y a Babilonia, donde aprendió muchos de sus conocimientos geométricos. Se piensa también que parte de sus nociones de aritmética y astronomía provenían de los fenicios y caldeos.

Como matemático se le considera el pionero en la teoría de números. Es bien conocido el Teorema de Pitágoras, que da relaciones entre los cuadrados de los catetos y de la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Las ternas de números a, b y c que cumplen la relación establecida en el teorema (a² + b² = c²) se denominan “ternas pitagóricas”. Estas ya se encontraban en las tabletas cuneiformes de Babilonia, y su investigación ha dado lugar a profundos resultados de matemáticas que llegan hasta nuestros días.

Prueba de ellos es el llamado Último Teorema de Fermat. Cuando se intenta cambiar el exponente de los tres números en la igualdad del teorema de Pitágoras, no se pueden encontrar números que cumplan esta ecuación. Es decir, no existen números a, b y c enteros que verifiquen la ecuación an + bn = cn para n mayor que 2. Fermat aseguró haber probado esto en el margen de uno de los libros de su biblioteca (Aritmética de Diofanto):

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratosquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet3.

Pero fue Andrew Wiles quien puso punto final al asunto, demostrando de forma precisa el enunciado. Esta prueba precisó del desarrollo durante varios siglos de la geometría algebraica.

La muerte de Pitágoras ha dado lugar a muchas leyendas. Según relata Porfirio, Pitágoras se privó de alimentos durante cuarenta días, encerrado en un santuario en Metaponte, y así puso fin a su vida. Pero existe otra versión del mismo Porfirio según la cual mientras el fuego destruía la casa en la que vivía Pitágoras con discípulos y familiares, estos se echaron sobre el fuego para que pudiera salvarse el maestro pisando por encima de sus cuerpos; una vez salvado, al encontrarse sin sus parientes, se quitó la vida.

Años más tarde, Epicuro (Samos, 341 a. C.-270 a. C.) defendía una teoría dual: eran los objetos los que emitían rayos que viajaban hasta los ojos. En concreto, los objetos emitían eidola, una emanación natural que, según el pensador griego, producía la visión.

Para Epicuro, los sentidos son los instrumentos para conseguir el conocimiento, puesto que dan el contacto con el entorno. Los sentidos recogen las imágenes o simulacros (eidola) que desprenden los cuerpos y que están formados por corpúsculos que penetran en los órganos sensoriales y los impresionan.

La influencia de Epicuro llega hasta la ciencia moderna de Isaac Newton (1643-1727), posiblemente a través de De rerum natura, la obra del poeta y filósofo latino Lucrecio, que Newton había leído con detalle. El matemático David Gregory daba cuenta de una conversación con Newton en mayo de 1694 en la que Newton decía: “La filosofía de Epicuro y Lucrecio es verdadera y antigua, pero fue erróneamente interpretada por los antiguos como ateísmo”.

Los primeros datos de los que se disponen de Epicuro corresponden al año 306 a. C., cuando se instaló en la ciudad de Atenas, donde fundó su escuela: El Jardín. El centro recibía ese nombre porque la casa en la que se ubicaba, a las afueras de la ciudad, tenía un jardín adosado, que además contaba con un huerto que proveía de alimentos a los profesores y estudiantes congregados en torno al sabio griego.

Esta comunidad tenía elementos revolucionarios para la época: era una escuela abierta a todo el mundo sin distinción de raza, sexo o condición social. De hecho, para ingresar bastaba con saber leer. No era necesario dominar técnicas o conocimientos filosóficos previos, sino solamente aceptar y aprender las enseñanzas del maestro. Todos los miembros de la comunidad estaban unidos por el vínculo de la amistad, que se veía como fuente de felicidad y refugio contra la soledad.

Epicuro fue un escritor muy prolífico, pero solo se han conservado tres cartas y cuarenta máximas (las llamadas Máximas capitales) de toda su obra. Las cartas son las siguientes: Carta a Heródoto, sobre gnoseología —la filosofía que estudia los principios, fundamentos, extensión y métodos del conocimiento humano— y física; Carta a Pitocles, sobre cosmología, la astronomía y la meteorología; y la Carta a Meneceo, sobre la ética. Es en la Carta a Pitocles en la que trata sobre los fenómenos celestes y atmosféricos. Se pregunta si la luz de la Luna es propia o por el contrario es reflejada de la del Sol; da explicación a los fenómenos de los truenos y los relámpagos, asumiendo que la luz viaja mucho más rápida que el sonido; y también se plantea cómo los rayos de Sol atravesando el cielo húmedo forman el arcoíris.

En los inicios de la comprensión del fenómeno de la luz son clave los trabajos de otros dos sabios griegos: Empédocles y Demócrito. El primero mantenía una postura mixta entre las teorías de intromisión y extramisión: consideraba que la visión se produce al chocar los rayos de luz que emiten los ojos del observador y los rayos de otra fuente de luz, como el Sol, en el objeto que observamos. Es por tanto el primero que introduce la idea de una fuente emisora de luz, externa al observador y al objeto observado. La teoría de Empédocles era la más completa en su tiempo, e inspiró posteriormente la de Euclides y otros científicos griegos.

Esta postura nace como crítica a las teorías anteriores: si los ojos (o los objetos) emiten rayos que permiten ver al chocar con los objetos (o los ojos), podríamos ver por la noche de la misma manera que vemos por el día. Por tanto, debía haber una interacción entre los rayos de los ojos y los rayos de otra fuente de luz, como el Sol, por ejemplo.

Empédocles de Agrigento (Agrigento, Sicilia, 495 a. C.-435 a. C., fechas aproximadas) fue un personaje de leyenda. Se le atribuía la curación de enfermedades y la adivinación, lo que le convirtió en un mito viviente. Además de a la filosofía, se dedicó a la política y era un excelente orador.

Como científico, es el creador de la teoría de los cuatro elementos, según la cual, la materia está formada por cuatro raíces (aire, tierra, fuego y agua) sometidas a la fuerza del amor, que las une, y del odio, que las separa. El quinto elemento será el éter y fue introducido posteriormente.

Se cuenta de él que se arrojó al volcán Etna para conseguir un final digno de una divinidad. El poeta romántico inglés Mathew Arnold plasma así esta leyenda griega en su poema “Empedocles on Etna”, publicado en 1852 en la colección Empedocles on Etna, and Other Poems:

To the elements it came from

Everything will return.

Our bodies to earth,

Our blood to water,

Heat to fire,

Breath to air4.

Demócrito dio forma a la luz radiada de la que hablaba Empédocles. Consideraba que tenía una naturaleza corpuscular, dentro de su teoría atómica del universo. Esta concepción del cosmos tuvo una enorme influencia en los filósofos presocráticos y supuso un adelanto de lo que serían las teorías modernas de los siglos XIX y XX. Es muy difícil separar su obra de la de Leucipo, su mentor.

Ambos son autores de la teoría corpuscular, según la cual la materia está compuesta de trozos indivisibles que llamaron átomos. Los átomos no son todos iguales y es precisamente esta diferencia, junto a las distintas combinaciones que pueden configurar, las que forman la diversidad de cuerpos que vemos.

Acompañando a la noción de los átomos está la del vacío. En efecto, los átomos existen desde siempre en el vacío, ya que sin el vacío, argumenta Demócrito, el movimiento sería imposible. Los átomos se mueven en el vacío en línea recta, pero unos pueden chocar con los otros al salirse de sus trayectorias y se pueden formar agregados de átomos, dando lugar a los objetos que contemplamos. Esta noción del vacío contradice la idea de otros filósofos griegos.

En su intento de explicar científicamente todos los fenómenos naturales, dotaba a la luz de una naturaleza corpuscular y argumentaba que la visión era causada por la proyección de las partículas que provienen de los objetos mismos, aunque era finalmente el alma la encargada de interpretar lo que habían captado los ojos. Era por tanto una adaptación de la teoría de la extramisión.

Demócrito (Abdera, Tracia, 460 a. C.-370 a. C.), como Pitágoras, realizó viajes por Egipto, Persia y Mesopotamia, para aprender de los magos persas y de los sacerdotes egipcios y caldeos. Su herencia paterna le permitía financiar una vida dedicada a la ciencia y se dice incluso que habría llegado en sus viajes a la India.

Demócrito fue conocido como el “filósofo que ríe”, en oposición a Heráclito, conocido como “el filósofo que llora”. La razón de este nombre estaba en su manera de contemplar las locuras que comete la humanidad, que podríamos constatar como una constante histórica, y que no podía ser más que motivo de risa. Su vida se mezcla con los mitos y leyendas. Se cuenta que se arrancó los ojos en un jardín para que la contemplación del mundo externo no le estorbara en sus meditaciones.

Además de su teoría sobre la materia hizo importantes contribuciones a las matemáticas, escribiendo tratados sobre números y geometría, y se le atribuye el cálculo de los volúmenes del cono y de la pirámide.

La óptica de los más grandes: Euclides y Aristóteles

Euclides fue el primero en estudiar las leyes de la óptica desde un punto de vista matemático. Escribió un tratado con postulados importantes, como la afirmación de que la luz viaja en línea recta, y la descripción de las leyes de la reflexión. Para llegar a estas conclusiones, Euclides se basaba en las nociones geométricas que desarrolla en el resto de su obra, en particular, en Los elementos, el tratado matemático más importante de la matemática en la Antigüedad. Pero además de este planteamiento teórico, recogió pruebas experimentales de algunas de sus afirmaciones, como la siguiente: “Si se coloca algún objeto en el fondo de un recipiente y se aleja este último de la vista del observador a una distancia a la que el objeto no se vea, al llenar el recipiente de agua, a esa misma distancia comenzará a verse de nuevo dicho objeto”. Intuía así que la propagación de la luz variaba en función del medio.

En cuanto a la visión, Euclides siguió la tradición pitagórica: opinaba que era causada por rayos que emanan de los ojos. En concreto, afirmaba que una sustancia emitida radialmente por el ojo, de naturaleza corpórea y continua, era la que servía para establecer el contacto con el objeto; y que esa sustancia constaba de rayos separados que tocaban el objeto solo en ciertos puntos.

Euclides intentó llevar a la óptica su metodología matemática, y así fundamentar una teoría. Sus planteamientos eran muy geométricos, como puede observarse en el siguiente extracto.

Supóngase:

Que los rayos rectilíneos procedentes del ojo divergen indefinidamente.

Que la figura contenida por un conjunto de rayos visuales es un cono del que el vértice está en el ojo y la base en la superficie del objeto visto.

Que las cosas vistas son aquellas sobre las que caen los rayos visuales, y las no vistas, aquellas otras sobre las que los rayos visuales no inciden.

Que las cosas que se ven bajo un ángulo mayor, aparecen mayores, las que se ven bajo un ángulo menor aparecen menores, y las que se ven bajo el mismo ángulo aparecen iguales.

Que las cosas que se ven bajo rayos visuales más altos aparecen más altos y las cosas que se ven bajo rayos visuales más bajos aparecen más bajos.

Que, de modo similar, aquellas vistas por los rayos más hacia la derecha aparecen más a la derecha y las que se ven más hacia la izquierda aparecen más hacia la izquierda.

Que las cosas vistas bajo mayor número de ángulos se ven con más claridad.

De la vida de Euclides de Alejandría (325 a. C.-265 a. C.) apenas existe información fiable. Los pocos datos conocidos se basan en la biografía escrita por Proclo, filósofo y matemático muy posterior. Ante la ausencia de datos reales, Euclides devino con el tiempo en un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. De lo que no hay duda es de que es el matemático más relevante de la Antigüedad, incluso por algunos, de toda la historia.

Es el creador de la ciencia matemática tal y como lo conocemos, y su dedicación y defensa de la disciplina fue total durante toda su vida. Según el historiador Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración de un teorema, le había preguntado por la ganancia que cabía obtener de ideas como esa, Euclides, volviéndose hacia un sirviente, había ordenado: “Dale tres óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende”. Así afirmaba que el conocimiento tiene un valor en sí, no solo por lo que nos pueda beneficiar materialmente. En otra ocasión, al preguntarle el rey Tolomeo I por una vía de acceso a los conocimientos geométricos más fácil y simple que la ofrecida en las demostraciones de Los elementos, Euclides había respondido: “No hay camino de reyes en geometría”. Es decir, el conocimiento exige un esfuerzo por parte del que lo quiera adquirir.

Los elementos es la obra más conocida de Euclides (de hecho es el segundo libro más editado tras la Biblia). Es una extensa obra compuesta por trece libros que tratan varias ramas de las matemáticas: geometría plana (libros I a VI), teoría de números (libros VII a IX), números irracionales (Libro X) y geometría del espacio (libros XI a XIII).

Además de ser un compendio de diversos saberes matemáticos, Los elementos es crucial por la metodología que plantea: la deducción matemática. Todas las argumentaciones se construyen basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes) que llamó postulados. Los famosos cinco postulados de Euclides son:

1. Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El quinto postulado es más conocido de esta otra forma:

5. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Este quinto postulado supuso un terremoto en la comunidad matemática, con consecuencias para la física del siglo XX y sobre la comprensión actual del universo. Volveremos a ello en el capítulo 7.

Otro de los grandes matemáticos griegos, Aristóteles, afirmaba que la visión se correspondía a los ojos, que tenían la capacidad de recibir información del objeto observado a través del aire (el color). La información recibida se traducía en la comprensión de la cualidad del objeto pasando por el alma.

No estaba de acuerdo ni con la teoría de la emisión ni con la de la intromisión. Sobre la primera, aducía que si son los objetos los que emiten sustancias que permiten ver, entonces debería darse la visión también por otros sentidos y no solo por los ojos. Debería haber algo más que un fenómeno mecánico. Pero tampoco podían ser los ojos los que emiten la sustancia, que se combina con la luz del Sol y al tocar los objetos produce la visión. El argumento de Aristóteles, ya emitido por otros filósofos previos a él, es que, en ese caso, deberíamos también poder ver en la oscuridad.

Él proponía otra explicación: cuando un animal percibe un objeto, sus ojos toman una forma similar a la del objeto. De esta manera, al mirar una naranja, el ojo tiene la potencialidad de percibir la forma de una naranja. En otras palabras, cuando mira, el ojo actúa y cambia: “Cuando el ojo ha sido activado, es similar y tiene el mismo carácter que el objeto sensible”.

Su teoría era general para cualquier tipo de percepción. A cada sentido le corresponde un órgano (a la visión, los ojos), un medio de comunicación o canal (el agua o aire, por ejemplo) y un objeto propio, como el color en el caso de la vista; el objeto propio de cada sentido cualifica el objeto externo, por ejemplo el color rojo cualifica a un tomate en el caso de la vista. Según Aristóteles, existe un procedimiento causal desde el objeto al órgano vía el medio, y en este proceso se transmite la cualidad del objeto al ojo y al alma. Una vez alcanzados los ojos, estos envían la información a través de los vasos sanguíneos al corazón, que tiene la misión de distinguir entre todas las señales que le llegan.

Aristóteles mencionó en sus escritos los problemas típicos de la visión, debidos a defectos del cristalino, la miopía y la hipermetropía. En estos casos, la imagen se forma detrás de la retina o delante, respectivamente. Son estudios muy pioneros, ya que pasarían siglos hasta que se estudien estos fenómenos con la necesaria profundidad.

Aristóteles (Estagira, Macedonia, Grecia, 384 a. C.-Calcis, isla de Eubea, Grecia, 322 a. C.) es uno de los gigantes del pensamiento occidental. Fue el preceptor de Alejandro Magno. Estudió en la Academia de Platón y fundó, décadas más tarde, el Liceo, su escuela en Atenas. Sus discípulos eran conocidos como los peripatéticos (los itinerantes), ya que enseñaban y conversaban paseando.

Aristóteles cultivó todas las ciencias y su influencia duró hasta bien entrada la llamada revolución científica. Sus logros incluyen grandes hallazgos, pero también teorías falsas, que en ambos casos perduraron siglos.

El camino más corto de la luz

Otros dos grandes matemáticos griegos que contribuyeron al estudio de la luz fueron Herón y Ptolomeo. Al primero se le atribuye el principio de que la luz viaja siguiendo el camino geométricamente más corto, dentro de un mismo medio de propagación. Es decir, si un rayo de luz va del punto A al punto B en un mismo medio de propagación, entonces el rayo sigue el camino más corto posible (en el plano, la recta que une los puntos A y B). Con dicho principio se estaba adelantando a los que formularon posteriormente Alhacén y Pierre de Fermat. Herón no solo fue un teórico, sino que realizó numerosos experimentos para poner a prueba sus teorías, en la línea del método científico moderno.

Ptolomeo también exploró las propiedades de la luz en su obra Óptica, sobre todo estudió la refracción y la reflexión. Analizó de manera experimental la ley de la refracción, buscando una dependencia empírica entre los ángulos formados por los rayos incidente y refractado con respecto a la línea que separa ambos medios. Para ello, usó un disco dividido en 360 partes iguales. En el centro del disco se fijaban los extremos de dos reglas que podían girar alrededor de este punto. La mitad inferior del disco estaba sumergida en agua. Las reglas se orientaban de tal forma que, al mirar a lo largo de la superior, pareciese que ambas formaban una línea recta. De las mediciones de Ptolomeo se deducía que no era constante la relación entre los senos de los ángulos de incidencia y refracción, sino que fluctuaba entre los valores 1,25 y 1,34.

Herón (Alejandría, 10-70). Se le atribuyen inventos como la primera máquina de vapor —la llamada eolípila—5 y la primera máquina de venta automática de la historia —la Fuente de Herón, que tras introducir una moneda en una ranura dispensaba agua sagrada—.

También es muy conocido como matemático y, como tal, estudió las áreas de las superficies y los volúmenes de los cuerpos. Desarrolló también técnicas de cálculo tomadas de los babilonios y egipcios, por ejemplo, para obtener raíces cuadradas mediante iteraciones. Uno de sus teoremas más conocidos es la Fórmula de Herón, en el que se establece la relación entre el área de un triángulo y la longitud de sus lados, y que aún hoy se enseña en las escuelas.

Ptolomeo (Tebas, 100-170). Vivió y trabajó en Egipto, en la famosa biblioteca de Alejandría, el más importante centro del saber de la Antigüedad. Es el diseñador del modelo geocéntrico del universo: la Tierra es el centro alrededor del cual giran los planetas, la Luna y las estrellas. Desarrolló una complicada teoría de los epiciclos para explicar las anomalías observadas, que perduró hasta el siglo XVI cuando comenzó la revolución científica occidental de manos de Copérnico y Galileo.

CAPÍTULO 2

La luz y la visión en la ciencia árabe

La ciencia árabe floreció gracias a la combinación de los conocimientos de Oriente con los de los antiguos griegos. Desarrolló sus propios conceptos, de los que luego se beneficiaría la ciencia europea, especialmente a través de la invasión de la península ibérica y la influencia en Italia6. El periodo más fructífero abarca del siglo VIII a la mitad del siglo XII y se conoce como la edad de oro islámica. Primero se desarrolla en Damasco, con los omeyas, y después en Bagdad, con los abasidas.

En aquellos siglos se desplazó el desarrollo del saber de Europa a Oriente. Hace más de un milenio, el cristianismo no era precisamente favorable a la experimentación y al contraste de la realidad con las ideas preconcebidas y señaladas en la religión y, en contraposición, los avances de los científicos árabes fueron de gran calado, adelantándose a su tiempo. Dejaron su impronta en el desarrollo de la ciencia moderna: al contrario que los griegos clásicos, más dados a la especulación teórica, los matemáticos árabes se dedicaron a comprobar experimentalmente los resultados. El historiador indopaquistaní Mohammed Iqbal reflexionó acerca de esto: “The general empirical attitude of the Qur’an... engendered in its followers a feeling of reverence for the actual, and ultimately made them the founders of modern science. It was a great point to awaken the empirical spirit in an age that renounced the visible as of no value in men’s search after God”7.

Erróneamente, hay voces que señalan que la ciencia árabe fue una mera transmisora de la ciencia griega. Nada más lejos de la realidad. Las aportaciones a las matemáticas fueron decisivas en el avance de la disciplina. Crearon el álgebra, y su papel en la difusión del sistema numérico decimal, ideado en India, fue clave. Entre los muchos matemáticos árabes vamos a destacar tres nombres que hicieron importantísimas contribuciones a las teorías de la luz y la visión. Muy especialmente cabe destacar a Alhacén, de una talla comparable a la de Newton8.

Al-Kindi

Al-Kindi, cuyo nombre completo era Abū Yūsuf Ya´qūb ibn Isḥāq al-Kindī, fue uno de los grandes teóricos en la historia de la luz y la visión. Nació en Kufa, la actual Irak, en el año 809, y falleció en Bagdad en el año 873. Su padre era gobernador de la ciudad, por lo que tuvo siempre una situación de privilegio, llegando a ser preceptor de un hijo del califa Al Mutamin. Este contexto le permitió cultivar un conocimiento enciclopédico de la cultura griega. Además, poseía unas grandes nociones de matemáticas, que fueron indispensables para su trabajo, y también de medicina, geometría y otras disciplinas científicas. Era un gran defensor del libre albedrío entre sus coetáneos, lo que, junto a su amplia formación, le llevó a crear una doctrina filosófica que agrupara los distintos conocimientos humanos.

En los escritos de Al-Kindi se pueden reencontrar las dos grandes teorías de la luz de entonces, representadas por sus más ilustres defensores: la de Aristóteles, que decía que para formarse la imagen el ojo y el objeto deberían estar en contacto por un medio como el aire, y la de Euclides, que consideraba que los rayos que emite el ojo alcanzan el objeto iluminado y se reflejan de nuevo en el ojo.

Al-Kindi se preguntó cuál de esas teorías era la correcta, para lo que reflexionó acerca de cuál era la que se ajustaba más a la experiencia. En sus escritos, la teoría de Euclides se termina por imponer. Por un lado, la teoría propugnada por Aristóteles no explicaba por qué el ángulo de observación afecta a cómo percibimos un objeto (por este fenómeno, un círculo se puede llegar a percibir como un segmento o una esfera como un círculo, si se miran de frente). En contraposición, la Óptica de Euclides sí daba buenas explicaciones a estos fenómenos, basándose en la geometría, y también permitía explicar la formación de sombras. Estas demostraciones eran muy evidentes si se consideraba que la luz viajaba siguiendo líneas rectas. Sus conclusiones se incluyen en la obra De Aspectibus, cuyas versiones en latín tuvieron gran influencia en los desarrollos posteriores de dos relevantes científicos medievales: Robert Grosseteste y Roger Bacon.

También su trabajo fue clave en la propagación del sistema de numeración que venía de la India. Al-Kindi escribió varios tratados y fue uno de los matemáticos árabes más activos en la difusión del sistema numérico.

Ibn Sahl

Abou Sa’d al-’Ala’ ibn Sahl, Ibn Sahl, fue un matemático persa de Bagdad. En 984 escribió un tratado sobre los espejos y lentes enunciando por primera vez la ley de la refracción, que después fue redescubierta en Europa como la ley de Snell-Descartes, de la que se hablará en el siguiente capítulo. Esa obra fue ampliamente usada por la gran figura de la ciencia árabe, Alhacén.

Ibn Sahl aplicó sus ideas, que desarrolló con nociones de trigonometría, para producir lentes libres de la llamada “aberración geométrica”. La aberración geométrica (o esférica) es un efecto que se observa en los instrumentos ópticos (como una lente y un espejo) debido al incremento de refracción cuando los rayos chocan con una lente, o a una reflexión cuando alcanzan un espejo cerca de su borde, en comparación con los que están cerca del centro. La imagen que se refleja, o que pasa por la lente, es imperfecta.

Alhacén, el padre de la óptica moderna

El padre de la óptica moderna (también de la oftalmología y de la física moderna) fue el gran científico árabe Alhacén. Su prestigio fue tan grande que se llegó a conocer como el segundo Ptolomeo o, simplemente, el Físico.

Su obra más famosa es el Kitab al-Manazir (Libro de Óptica), escrita entre 1011 y 1021 y compuesta por siete volúmenes. Fue traducida al latín (con el título Opticae thesaurus: Alhazeni Arabis libri septem, nuncprimum editi; Eiusdem liber De Crepusculis et nubium ascensionibus) y publicada más tarde por el matemático alemán Friedrich Risner, en 1572. Esta traducción gozó de gran prestigio, fue muy conocida y difundida e incluso llegó a ser objeto de estudio de científicos posteriores como Johannes Kepler.

Los siete libros que componen la obra abarcan diferentes temas relacionados con la luz y la visión. En concreto, el Libro I trata de las teorías de la luz, el color y la visión; en el Libro II, Alhacén presenta su teoría de la percepción visual; en los libros III y VI se desarrollan ideas sobre los errores en la percepción visual y los relacionados con la reflexión; por su parte, en los libros IV y V se incluyen las evidencias experimentales de sus teorías sobre la reflexión; y el Libro VII se centra en el fenómeno de la refracción.

La Óptica de Alhacén combinaba partes de las dos teorías griegas de la visión (emisión e intromisión) e incluía los conocimientos médicos del médico griego Galeno (130 d. C., Pérgamo, Turquía). Estuvo muy influida especialmente por las teorías de Ptolomeo y por Galeno y sus seguidores, de quien tomó las nociones médicas sobre la constitución del ojo.

Alhacén consideraba que la luz del sol se refleja en los objetos y llega a nuestros ojos, en los que se produce el fenómeno de la visión. Afirmaba que “desde cada punto de un cuerpo coloreado, iluminado por una luz, salen luz y color en cada línea recta que pueda ser trazada desde ese punto”. También explicó cómo se componían todos estos rayos para formar la visión: los rayos perpendiculares desde el objeto podían ser percibidos por el ojo, porque estos eran “más fuertes” que los oblicuos. Así, esos rayos convergerían en el centro del ojo en un cono. Aunque sus argumentos no eran completamente convincentes, sí tuvieron mucha ascendencia e incluso fueron la base para los desarrollos posteriores de Kepler sobre el tema.

No describía más profundamente la percepción, ya que no disponía en ese tiempo del conocimiento fisiológico necesario. Pero sí trató un tema de gran trascendencia: la velocidad de la luz. En aquel momento se debatía si esta era finita o infinita. Entre los defensores de la postura finita estaba Empédocles, y en la opuesta, Aristóteles. Otro científico árabe, al-Biruni, había postulado que debía ser finita pero enorme, ya que la superaba en mucho a la del sonido, como se podía comprobar al oír el trueno después de ver un relámpago. Alhacén se situó en la postura de defensa del valor finito de la velocidad de la luz.

Alhacén basó sus conclusiones no solo en el pensamiento teórico, sino también en la experimentación. De esta forma demostró la afirmación de Euclides según la cual también los rayos de luz viajan en línea recta. Para ello realizó pruebas de reflexión y refracción con todo tipo de lentes. También hizo muchos experimentos con la cámara negra u oscura, un artilugio de ilusionismo. En él la luz converge al atravesar un pequeño agujero transmitiendo la imagen de un objeto externo iluminado, en la que aparece invertido respecto al original. El orificio funciona como una lente convergente y proyecta, en la pared opuesta, la imagen del exterior invertida tanto vertical como horizontalmente. Si es un objeto coloreado, la imagen invertida preservará los colores. Estas ideas se usaron más tarde para dibujar y en gran medida es el fundamento de lo que sería la cámara fotográfica. El nombre cámara oscura (del latín camera obscura) es debido a Johannes Kepler en su tratado Ad Vitellionem Paralipomena de 1604, en el que da una explicación muy detallada de su funcionamiento.

Alhacén (Basora, actual Irak, 965-El Cairo, Egipto, 1040) fue el matemático, físico y astrónomo árabe más famoso. Valga esta cita para dar cuenta de su importancia: “Gracias a un examen profundo de la concepción de los modelos matemáticos de Alhacén y del papel que juegan en la teoría de la percepción de los sentidos, se hace evidente que ha sido el auténtico fundador de la física en el sentido moderno de la palabra, de hecho, ha anticipado seis siglos las ideas fértiles que debían marcar el nacimiento de esta nueva rama de la ciencia” (Matthias Schramm, en Ibn al-Haythams Weg zur Physik).

Pese a la importancia de su obra, Alhacén sufrió la injusticia de los poderosos, tal y como le ocurrió posteriormente a Galileo Galilei y a muchos otros científicos a lo largo de la historia. Cuando era ya un reputado matemático, el soberano de Egipto en la época, Al-Hazim, le pidió que estudiara un método para controlar las crecidas del Nilo, lo que era, desde siempre, un tema de crucial importancia en el país. Alhacén organizó una expedición a las fuentes del río y llegó a la conclusión de que la tarea era prácticamente imposible. El soberano no quedó muy contento con estas previsiones, así que lo arrestó en su domicilio. Sin embargo, más que caer en desgracia, esto le sirvió para dedicarse a sus estudios, en multitud de temas, mientras fingía locura. A la muerte del califa, quedó liberado. Sin necesidad ya de fingir esa demencia aprovechó para proseguir sus estudios, compaginándolos con numerosos viajes hasta su fallecimiento (entre estos viajes, se cita alguna visita a España). Toda su vida se dedicó a perseguir la verdad: “La verdad se busca por ella misma. Y los que se dedican a una búsqueda de saber por el gusto de la verdad, no se interesan por ninguna otra cosa. La búsqueda de la verdad es difícil y el camino que conduce a ella es arduo”.

Un interludio: la óptica en la Edad Media europea

Aunque la época medieval no fue un periodo de innovación en Europa, mucho menos en comparación de la era dorada de los árabes, sí se hicieron algunas contribuciones a la teoría de la luz, que en buena medida sirvieron para abrir el camino a los brillantes resultados que obtuvieron siglos más tarde Johannes Kepler, Isaac Newton y Christiaan Huygens, entre otros.

Durante aquellos siglos empezó a formarse el germen de lo que después serían las primeras universidades europeas. En ese contexto destaca la figura del obispo inglés Robert Grosseteste (1175-1253), profesor primero y después primer rector de la Universidad de Oxford, que es considerado el introductor del pensamiento científico en dicha universidad. Grosseteste representa la transición entre el platonismo de la Baja Edad Media y el nuevo aristotelismo. Recuperó los trabajos de Aristóteles y escribió de temas como la naturaleza de la luz y las relaciones que esta tenía con la teología, ahondando en la connotación bíblica de perfección y bondad de la luz.

Grosseteste escribió muchas obras, en latín y en francés, algunas de tipo teológico y poemas, y otras científicas, fechadas entre 1220 y 1235. Entre ellas destacan De sphera, su introducción a la astronomía; De luce, sobre la metafísica de la luz; De accessu et recessu maris, sobre las mareas; De lineis, angulis et figuris, sobre matemáticas y ciencias naturales, y De iride, sobre el arcoíris.

Grosseteste tuvo una notable influencia sobre el franciscano Roger Bacon (1214-1294), también otro de los nombres clave en este periodo. Bacon revisó también a fondo las enseñanzas universitarias basadas entonces en el Trivium y en el Quadrivium; estableció el método científico basado en la experimentación, al estilo de lo propugnado por Alhacén, y estudió la naturaleza de la luz. Escribió varios tratados sobre este último tema, entre ellos: Perspectiva, De multiplicatione specierum y De speculis comburentibus, en los que utiliza y cita las obras de científicos anteriores, griegos y árabes, como Alhacén, Aristóteles, Avicena, Averroes, Euclides, Al-Kindi y Ptolomeo.

Según Bacon, son los objetos los que irradian una potencia, unas “especies” que actúan sobre otros cuerpos cercanos, capaces de percibir esas “especies”.

Posteriormente, el monje franciscano John Pecham (del que solo se conoce la fecha de su muerte, 1292) se basó en los trabajos de Bacon y Grosseteste, entre otros, para escribir el tratado más popular en Europa durante la Edad Media en óptica, el Perspectiva communis. Pecham hizo una hibridación entre las ideas de Alhacén y Bacon. Otro nombre relevante en aquel periodo fue Witelo (1230-1280), fraile, teólogo, físico, filósofo natural y matemático, continuador de las ideas de Gosseteste y Bacon.

En la Europa continental, Peter of Limoges (1240-1306) escribió, como profesor de la Universidad de París, el tratado sobre los ojos Tractatus Moralis de Oculo, que fue muy influyente entre los católicos. Por su parte, Theodoric of Freiberg (1250-1310) es autor de la obra De iride et radialibus impressionibus, sobre la naturaleza de la luz y el color, en la que estudia temas como la formación y los colores primarios y secundarios de los arcoíris y el camino que sigue un rayo de sol dentro de una gota. Para ello, realizó experimentos con globos de cristal, similares a los que siglos después realizaría Descartes.

CAPÍTULO 3

Las teorías de la luz en la Europa moderna

En los siglos XV y XVI el pensamiento árabe llegó a Europa y conformó en gran medida la ciencia moderna que progresaría en el continente, especialmente en el caso de las matemáticas y de la óptica. Las traducciones de las obras de los grandes científicos árabes, así como de sus tratados sobre matemáticas de la India e incluso de Grecia, fueron la base sobre la que se asentaría la revolución científica. El caso de la óptica es paradigmático por la enorme influencia de Alhacén y su libro, cuyas traducciones fueron ampliamente difundidas.

Herederos de esta tradición oriental, tres grandes matemáticos se dedicaron al estudio de la luz y la visión durante los siglos XVI y XVII en el viejo continente: Johannes Kepler, René Descartes y Pierre de Fermat. A partir del trabajo de estos tres científicos nace la rama de las matemáticas dedicada a estudiar la propagación de la luz: la óptica geométrica.

Johannes Kepler empezó a interesarse por la óptica y la teoría de la luz mientras trabajaba en astronomía. Había sido contratado como ayudante en el año 1600 por el astrónomo danés Tycho Brahe, en sus servicios en la corte del rey Rodolfo II en Praga. Brahe era considerado el más grande observador del cielo en el periodo anterior a la invención del telescopio, pero fue gracias a los conocimientos teóricos de Kepler como pudo complementar sus investigaciones experimentales. Tras la muerte repentina de Brahe, lo sustituyó como astrónomo real.

Esta posición dotó a Kepler de los medios para poder desarrollar con comodidad su trabajo astronómico, que le llevarían a considerar ciertas propiedades de la luz. En sus observaciones de eclipses lunares y solares constató que aparecían tamaños de sombras inesperados, lo que después se conocería como “fenómenos de enrojecimiento”. Se dio cuenta de que para su trabajo de observación tenía que entender esos fenómenos de refracción de la atmósfera, por lo que se dedicó a su estudio. Sus investigaciones de óptica, que se acercan a las ideas de Vitelio, se recogen en el manuscrito Astronomiae Pars Optica (1604).

En este texto, Kepler describe la ley de la intensidad de luz, que afirma que la intensidad de una fuente en un punto varía de forma inversamente al cuadrado de la distancia desde la fuente. También considera la reflexión por espejos curvos y planos, el paralaje y los tamaños aparentes de los cuerpos celestes. Kepler era conocedor de la obra Siderius Nuncius de Galileo Galilei, que dio origen a la astronomía moderna y provocó el colapso de la teoría geocéntrica. Kepler recibió una copia personal del tratado en 1609, y considera los resultados revolucionarios de Galileo en varias de sus obras. En Dioptrice, en 1610, proporciona numerosas evidencias en apoyo de las tesis de Galileo. Galileo reconoce y agradece su defensa, diciéndole: “Gracias porque usted es el primero y prácticamente el único que ha mostrado una fe total en mis afirmaciones”.

Por su parte, su desempeño como astrónomo llevó a Kepler a trabajar en varios prototipos del telescopio refractante, el primer tipo de telescopio óptico. Asimismo, se interesó por el funcionamiento del ojo humano, y es el primero —según los neurocientíficos— en descubrir que las imágenes se proyectan invertidas en la retina, siguiendo las mismas pautas de los experimentos de Alhacén de la cámara oscura. Consideraba que el cerebro era capaz de reconstruir la imagen adecuadamente (mediante la actividad del alma), un pensamiento extremadamente avanzado para la época. Kepler cambió el sentido de los conos de luz ideados por Alhacén para explicar las trayectorias de los rayos luminosos, y supone que la base de los mismos está en el propio objeto luminoso.

Su análisis del ojo le llevó a dar la primera explicación del uso de las lentes para gafas, que eran empleadas desde hacía siglos pero sin una base razonada. También en aquellos años, el español Benito Daza de Valdés (1592-1634) escribió el primer libro de óptica en castellano titulado El uso de los anteojos, publicado el año 1623 y dedicada a Nuestra Señora de la Fuensanta. Este libro, que presenta grandes conocimientos de matemáticas y de óptica, trata del uso de las lentes para mejorar la visión, sobre la operación de cataratas y sobre la corrección óptica de la hipermetropía y la presbicia. Curiosamente, recomendaba el uso de gafas para protegerse del sol. En su honor, el Instituto de Óptica del CSIC lleva el nombre de Daza de Valdés.

Johannes Kepler (Weil der Stadt, Alemania, 1571-Ratisbona, Alemania, 1630) ha sido uno de los científicos más importantes de la historia. Su vida y obra se presentan con detalle en la excelente biografía de Max Caspar (2003), pero también ha saltado a la literatura popular como uno de los protagonistas (el astrónomo imperial en la corte de Praga) del libro de Leo Perutz (2016).

Kepler es principalmente conocido por enunciar las tres leyes que rigen el movimiento de los astros en el Sistema Solar, conocidas hoy en día como leyes de Kepler. Sin embargo, también hizo aportaciones fundamentales a las matemáticas, especialmente al cálculo de áreas y volúmenes, sobre los que ya habían trabajado los matemáticos griegos, y especialmente Arquímedes. Además, contribuyó al desarrollo de técnicas infinitesimales (Núñez y Portero, 2010), en un intento de medir de forma más precisa un líquido, en concreto, el vino. Cuando se casó en segundas nupcias, compró unas barricas de vino para la celebración. Observó con disgusto el procedimiento usado por el vinatero para medir el volumen del líquido, que consistía en meter una regla hasta el fondo del barril y tomar la medida. Los vinateros usaban una razón fija entre la altura y el diámetro que los favorecía. Kepler decidió estudiar el asunto y proponer una nueva técnica más adecuada, desarrollando las ideas de Arquímedes para la medición de volúmenes, lo que se denominaba el método exhaustivo. Sus resultados, que comunicó airoso a los fabricantes austriacos de barricas de vino, se incluyen en su libro Nova Stereometria doliorum vinariorum. En él propone diseccionar el sólido en un número infinito de piezas infinitesimales, o sólidos “indivisibles”, de una forma y tamaño conveniente a la solución de cada problema particular. Una vez hecha esta descomposición, se trata de sumar esos elementos para obtener el área o el volumen totales. Los elementos tienen la misma dimensión que el cuerpo a evaluar: es decir, si se trata de un área, son elementos de área; si es un volumen, son elementos de volumen. En el caso del barril, lo considera formado por hojas finas, como capas o discos que rellenan todo el barril, de manera que el volumen del barril se obtiene sumando los de esas capas. Cuantas más capas se consideren, más se aproximará la suma al volumen real del barril, aunque también el cálculo será mayor (Klein, 2006). La idea propuesta por Kepler es, en esencial, el método que se usa para la integración (el instrumento matemático que está tras el cálculo de áreas y volúmenes).

Otra de sus grandes aportaciones, que se considera como el comienzo de la cristalografía moderna, fue el descubrimiento de la estructura hexagonal de los cristales de nieve. En su obra Strena seu de nive sexángula (el copo de nieve de seis ángulos), desarrolla su teoría corpuscular de la materia para explicarlo e introduce uno de los problemas que han fascinado a los matemáticos por varios siglos, la llamada Conjetura de Kepler del empaquetamiento (De León y Timón, 2015).

Leyes de refracción

En la segunda mitad de la década de 1620, otro gran matemático se vio fascinado por el estudio de la luz: el francés René Descartes. En aquellos años en los que Galileo ya había sido condenado por la Iglesia por exponer ideas que no acompañaban los dogmas católicos, Descartes estaba pergeñando un proyecto llamado el Tratado de la luz, en el que pretendía describir el universo desde su nacimiento. Más de una vez se vio tentado a abandonar la tarea. Sin embargo, prosiguió y publicó sus resultados en la obra Dioptrique, que apareció finalmente impresa junto a su obra más famosa, el Discurso del método.

Aún hoy Dioptrique se considera una aportación esencial a la teoría de la luz y a la teoría de la visión. Es una obra dividida en diez discursos (capítulos) que trata tres temas clave: la naturaleza de la luz y las leyes de la óptica, la visión humana y, finalmente, las técnicas e instrumentos para mejorar la visión. En el primer discurso invita a “considerar la luz como nada más que un cierto movimiento o acción, muy rápida, que pasa hacia nuestros ojos a través del aire o de cuerpos transparentes”. En el segundo discurso incluye la ley de reflexión y la ley de la difracción.

Estas ideas son la base de la llamada óptica geométrica. Según este modelo matemático de la luz, esta se propaga como una línea recta a una velocidad que varía de la densidad del medio. El recorrido de la luz dependerá de los obstáculos que se encuentre, que pueden absorberla, reflejarla o desviarla siguiendo las leyes de la mecánica.

La reflexión es el “rebote” de la onda al entrar en contacto con la superficie de separación entre dos medios distintos. Por ejemplo, los reflejos de la luz sobre la superficie del agua y el eco en el sonido. Descartes observó que esto se debía a un cambio de la dirección en el mismo medio, que experimenta un rayo luminoso al incidir oblicuamente sobre una superficie. Las leyes que explican este fenómeno físico son:

El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal se encuentran en un mismo plano.

El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

En el siguiente esquema, î y ȓ son los ángulos de incidencia y de reflexión.

La ley de refracción o ley de Descartes (hoy en día conocida como ley de Snell) supone el contenido más matemático de la obra. La refracción de un rayo de luz es un cambio de dirección que se produce al pasar oblicuamente de un medio a otro de distinta densidad (por ejemplo, aire y agua). Esto se puede observar cuando se introduce parte de un objeto en el agua, por ejemplo, una caña, y la inclinación que se observa de la zona sumergida es diferente a la de la fuera. Los griegos ya habían considerado el fenómeno siglos atrás, y existían estudios preliminares de Herón de Alejandría, pero fue Descartes quien dio una expresión para calcular de forma precisa el ángulo de refracción.

LA LEY DE REFRACCIÓN DE DESCARTES

La densidad determina la velocidad de la luz en el medio y a partir de ella se obtiene el índice de refracción (cociente de la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio). Descartes estableció que si se consideran dos medios con índices de refracción n1 y n2, separados por una superficie, entonces los rayos de luz que atraviesen los dos medios se refractarán en la superficie, variando su dirección de propagación según el cociente entre los índices de refracción.

Se llama ángulo de incidencia es el que se forma entre el vector normal a la superficie (en la dirección perpendicular a esta) y la dirección de propagación del rayo, como muestra la imagen siguiente:

Si el ángulo de incidencia del rayo es θ1 en el primer medio, entonces el rayo se propaga en el segundo medio con un ángulo de refracción θ2, según la ley de Descartes:

n1 sen (θ1) = n2 sen (θ2)

Además de estas dos leyes, base de la óptica moderna, Descartes proporciona una descripción detallada de las partes del ojo: pupila, humores internos y nervio óptico, en el tercer capítulo del libro. En el cuarto describe cómo el cerebro recibe las sensaciones que le proporcionan los sentidos. En el quinto detalla el mecanismo por el cual la luz entra en el ojo por las pupilas, se refracta por los humores y forma una imagen invertida en la retina. En el sexto trata de cualidades de los objetos en relación con la visión. Y en los cuatro últimos, que podríamos calificar de “tecnológicos”, habla de los parámetros que intervienen en la calidad de la visión, así como ideas para mejorarla: con el uso de microscopios o telescopios, o con lentes cortadas de una cierta manera.

René Descartes (La Haye, Francia, 1596-Estocolmo, Suecia, 1650) fue uno de los matemáticos y filósofos más influyentes de su época. Aportó avances clave en el pensamiento científico y filosófico humano, como la geometría analítica (o cartesiana, en honor a su nombre latinizado, Renatus Cartesius) y la filosofía moderna, con su famoso Discurso del método. Sus planteamientos revolucionaros le granjearon más de un enemigo, entre los que se distingue el sacerdote católico Pierre Gassendi. Este, que también se dedicó a la filosofía, astronomía y matemáticas, refutaba los argumentos de Descartes en sus Segundas objeciones a las meditaciones metafísicas con sentencias como esta: “Usted admite que una idea clara y distinta es verdadera porque Dios, que es el autor de esta idea y que no puede ser engañado, existe; y, por otra parte, usted admite que Dios existe, que es creador y veraz, porque tiene de él una idea clara. El círculo es evidente”.

Sus disputas también alcanzaron los estudios de la luz. Descartes defendía su naturaleza ondulatoria, pero Pierre Gassendi recuperó con gran finura la naturaleza corpuscular de la materia de Demócrito y Epicuro.

Ya en otros escritos, Descartes estudió uno de los más fascinantes al ojo humano: el arcoíris. El matemático francés dio con la explicación de cómo se producían aunque hubo que esperar a Newton para incluir el color en la escena.

Descartes murió en Estocolmo, en donde había sido nombrado tutor de la reina Cristina de Suecia, que era muy culta y tenía gran interés en conocer de primera mano las enseñanzas de un reputado filósofo y científico como Descartes. Dentro de las disputas de la corte, la muerte de Descartes arrojó una serie de misteriosas circunstancias. En principio fue achacada a una neumonía, pero esto se ha puesto en duda recientemente. La hipótesis de la neumonía se sustentaba en la mala salud del científico, que decía de sí mismo: “Heredé de mi madre una tos seca y un color pálido, que conservé hasta los 20 años, por lo cual me condenaban a morir joven todos los médicos que me vieron en ese tiempo”, y al frío al que estaba sometido en su labor de tutor de la reina. La reina era madrugadora y poco sensible a las bajas temperaturas, por lo que a Descartes lo recogía un carruaje a las cuatro y media de la madrugada y a las cinco comenzaba sus clases en sus estancias, que solían tener las ventanas abiertas. Sin embargo, el historiador alemán Eike Pies (que también es médico) descubrió una carta del médico de la corte que atendió a Descartes, el holandés Johan Van Wullen, describiendo sus síntomas, que parecían más los propios de una muerte por envenenamiento por arsénico. Un móvil para el asesinato podría haber sido su influencia sobre la reina en el ámbito religioso, lo que era un asunto peliagudo en aquellos momentos. Cristina de Suecia, en un reino de protestantes, se convirtió al catolicismo9.

¿Qué es un rayo de luz?

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 1601- Castres, Francia, 1665) fue jurista y matemático aficionado, que además de proponer su famosa conjetura, demostrada por Andrew Wiles en 1995, hizo contribuciones a la teoría de números, el cálculo diferencial, la teoría de la probabilidad y a la óptica, estudiando los trayectos de la luz. Sus ideas sobre este último tema se plasman en el principio de Fermat, que afirma que el trayecto seguido por la luz al propagarse de un punto a otro es tal que el tiempo empleado en recorrerlo es el mínimo.

Este principio se emplea, en algunas ocasiones, como la definición de rayo de luz, y también se usa para describir las propiedades de reflexión y refracción. Fermat recogió todo su trabajo sobre la óptica en su libro Analyse des réfractions, en el que obtiene a partir de su principio la ley de Descartes (o de Snell) para la refracción y también la ley de la reflexión.

Matemáticamente es una consecuencia del principio de Huygens y tiene la misma forma que el principio de Hamilton. Usando el cálculo de variaciones desarrollado posteriormente por Lagrange, Euler, Legendre y los Bernouilli, el principio de Fermat se puede enunciar diciendo que el camino que sigue el rayo de luz para ir del punto A al B es el que minimiza la acción

donde n es el índice de refracción del medio y la acción S es S = cT, siendo c la velocidad de la luz y T el tiempo empleado.

LENTES Y ESPEJOS

La principal aplicación del fenómeno de la difracción son las lentes y los espejos, que se emplean para corregir problemas de visión, ver objetos lejanos (telescopios) o explorar lo diminuto (los microscopios).

Los espejos y las lentes han sido importantes a la hora de descubrir los principios de la óptica, y estos a su vez han permitido fabricar lentes y espejos mejores para nuestro uso cotidiano o científico.

Una lente es un objeto transparente (por ejemplo, de vidrio) capaz de desviar los rayos de luz, limitados por dos superficies, de las que al menos una es curva. Los rayos, al incidir sobre diferentes puntos de la superficie, experimentan distintos grados de refracción, lo que genera su efecto.

Según su forma pueden ser convergentes o divergentes. Las lentes convergentes (o convexas) son más gruesas en el centro y más estrechas en los bordes. Estas lentes hacen converger todo haz de rayos paralelos al eje principal que pase por ellas en un solo punto (foco de imagen). Esto hace que se forme una imagen del objeto en una pantalla situada al otro lado de la lente. Así es por ejemplo el cristalino, y sus defectos son los que producen miopía o hipermetropía, ya que no se enfoca adecuadamente la imagen en la retina. Las lentes divergentes (o cóncavas) son más gruesas por los bordes y más estrechas en el centro. Estas hacen divergir todo haz de rayos paralelos al eje principal que pase por ellas.

Un espejo es una superficie pulida en la que al incidir la luz se refleja, siguiendo las leyes de la reflexión. Los espejos pueden ser de múltiples formas. Los espejos planos los utilizamos diariamente y en ellos la imagen producida es virtual, ya que no la podemos proyectar sobre una pantalla, tiene el mismo tamaño que el objeto y se encuentra a la misma distancia del espejo que el objeto reflejado. Además, la parte derecha de la imagen corresponde a la parte izquierda del objeto y viceversa (es lo que se llama inversión lateral).

Los espejos esféricos son los formados por una superficie pulida correspondiente a un casquete esférico. Estos pueden clasificarse en cóncavos o convexos; son cóncavos aquellos que tienen pulimentada la superficie interior y son convexos los que tienen pulimentada la parte exterior.

En un espejo esférico hay que tener en cuenta una serie de elementos geométricos que van a determinar lo que ocurra con los rayos que los alcancen, como el centro de curvatura de la esfera, el centro del casquete esférico, el eje óptico o línea que une estos dos puntos, el foco o punto en el que se concentran los rayos reflejados, para el caso de los espejos cóncavos, o sus prolongaciones si se trata de espejos convexos. Llamamos distancia focal de un espejo a la distancia entre el foco y el centro.

Las leyes de reflexión son las usuales de la óptica, pero la geometría del espejo permite obtener imágenes de mayor o menor tamaño. Estas propiedades permiten muchos usos prácticos, como por ejemplo en la medicina, donde utilizan espejos esféricos cóncavos que tienden a concentrar los rayos luminosos en el lugar que desean observar en detalle.

En el caso de los automóviles, los faros son también espejos cóncavos y los espejos retrovisores de los automóviles son de tipo convexo.

Los descubrimientos sobre la estructura de la materia, y en particular la de la luz, han permitido diseñar microscopios electrónicos, en los que se usan electrones en lugar de fotones o luz visible; o radiotelescopios, que emplean ondas de radio y no de luz visible.

CAPÍTULO 4

Corpúsculos u ondas

Uno de los debates más intrincados en la historia de la ciencia se centró en la naturaleza de la luz; la disputa estaba entre los que apoyaban que la luz era una onda y aquellos que afirmaban que estaba formada por corpúsculos (Page, 2005). Los griegos ya diferían sobre este tema. Por ejemplo, Aristóteles defendía una primitiva interpretación de la luz como ondas: decía que era una distorsión que se producía en el aire, uno de los cuatro elementos que constituían la materia. Pero varios siglos más tarde, Lucrecio y Demócrito propugnaron que toda la materia estaba compuesta por átomos, partículas indivisibles y, en concreto, la luz estaba constituida por átomos expulsados por el astro solar. Esta teoría fue también la propugnada por Alhacén a comienzos del siglo XI, imaginando los rayos de luz formados por partículas viajando desde el punto de emisión al ojo.

René Descartes, en 1630, recuperó la naturaleza ondulatoria de la luz, capaz así de explicar fenómenos que de otra manera eran incomprensibles. Siguiendo la estela de Aristóteles, pensaba que una sustancia invisible, el plenum, impregnaba el universo, y así la luz no era más que una distorsión que se propagaba por el plenum. Su gran oponente fue, como mencionamos en el capítulo anterior, Pierre Gassendi, que defendía la naturaleza corpuscular de la luz.

Pierre Gassendi (Champtercier, Francia, 1592-París, 1655) fue filósofo, astrónomo, matemático y sacerdote. Pudo alternar su trabajo eclesiástico en el sudeste francés con visitas largas a París, donde ejerció con mucho éxito en el Colegio Real de París, del que llegó a ser catedrático. Vivía como un anacoreta, se levantaba a las tres de la madrugada y dedicaba muchas horas del día al estudio.

Pese a que no obtuvo un gran reconocimiento científico, a la sombra de la fama del matemático y filósofo francés del Discurso del método, Gassendi hizo muchas contribuciones importantes y mantuvo un decidido liderazgo entre ciertos grupos académicos. Fue el primero en calcular la velocidad del sonido, haciendo disparar un cañón a una larga distancia y midiendo el tiempo transcurrido entre la llegada del resplandor y la del sonido, e investigó, junto a Pierre de Fermat, las leyes del movimiento.

Durante toda su carrera mantuvo una postura muy crítica frente a la astrología y sus supercherías, y era un firme defensor de la fe católica. Frente a la visión mecanicista del universo de Descartes, Gassendi ve algo más y se pregunta cómo un alma inmaterial podría mover un cuerpo inmaterial. Gassendi propugna esa visión discreta, corpuscular de la materia y la luz, frente al continuo de Descartes. Para Gassendi, los átomos son mortales, pero no el alma.

Dos visiones, dos realidades

El debate sobre la naturaleza de la luz alcanzó su punto álgido con la disputa entre Isaac Newton y Christiaan Huygens, durante los siglos XVII y XVIII.

A principio del siglo XVII, Newton había escrito Óptica (Opticks, 1704), un tratado completo en el que defendía que la luz estaba compuesta por corpúsculos luminosos que se propagaban en línea recta y atravesaban medios transparentes. Su propuesta estaba basada en su teoría del movimiento de los cuerpos y la gravitación universal y permitía explicar algunos fenómenos, en particular los referidos a los colores.

Para defender una u otra teoría los científicos empleaban los fenómenos de reflexión y de refracción. Newton suponía que, en la reflexión, las partículas de luz rebotaban en el espejo como bolas de billar en los bordes de la mesa. Para explicar la refracción en su modelo, Newton recurría a la fuerza de la gravitación, que forzaba a las partículas a desviarse.

En contraposición al matemático británico, en el continente, Christiaan Huygens, matemático y físico holandés, defendió con uñas y dientes la teoría contrapuesta: él aseguraba que la luz tenía una naturaleza ondulatoria. Creía que las fuentes luminosas emitían ondas esféricas, de la misma manera que un movimiento ondulatorio en la superficie del agua emite ondas superficiales. El rayo de luz era, para Huygens, la materialización por una recta perpendicular a la superficie de la onda. Consideraba que cada punto de una onda luminosa primaria se comportaba como un centro emisor que a su vez emitía ondas secundarias de la misma frecuencia y velocidad que las ondas primarias. La onda resultante era la envolvente de las ondas secundarias.

LOS ELEMENTOS DE UNA ONDA

La longitud de onda es la distancia entre dos crestas o valles consecutivos de una onda. Se suele indicar con la letra griega lambda, λ.

La frecuencia v es inversamente proporcional a la longitud de onda, de manera que una longitud de onda larga corresponde a una frecuencia baja, mientras que una longitud de onda corta corresponde una frecuencia alta. La relación entre ambas es

v = λ n

donde v es la velocidad de propagación de la onda.

La unidad de medida de la longitud de onda es el metro, como la de cualquier otra longitud. La longitud de onda puede ser desde muy pequeña —desde un nanómetro (milmillonésima parte de un metro) y un ángstrom (diez mil millonésima parte de un metro)— hasta cientos de metros.

Con el principio de Huygens se podían explicar comportamientos de la luz que la teoría corpuscular de Newton no justificaba como, por ejemplo, la doble refracción aire-vidrio-aire. Esto sucede cuando la luz se desvía acercándose a la dirección normal al pasar del aire al vidrio y recupera la dirección inicial al volver al aire. Otros ejemplos de comportamientos que se pueden interpretar de forma satisfactoria usando el principio de Huygens son la difracción y las interferencias luminosas.

Sin embargo, la teoría ondulatoria no fue tenida en demasiada consideración. Pese a lo revolucionario del planteamiento de Newton, su teoría fue la única y verdadera, gracias a su reputación, pues ya en su época era considerado como uno de los científicos más brillantes de la historia por su creación de la mecánica moderna y de la teoría de la gravitación universal, entre otros muchos descubrimientos. El argumento principal de Newton para desbancar la teoría ondulatoria era que la luz producía sombras bien definidas, mientras que el agua y el sonido persisten incluso si hay un obstáculo.

Pero Newton no estaba en lo cierto. Así lo probó el escocés James Gregory mediante un experimento en el que dispersaba la luz blanca en sus colores individuales (como un año después hizo Newton con un prisma) y consiguió difractar la luz utilizando una pluma de ave. A fin de evitar disputas con Newton, del que era un destacado admirador, Gregory no fue más allá con estos experimentos. Publicó una notable obra, Optica Promota, en 1663, donde incluía un diseño para un telescopio reflectante: el telescopio gregoriano.

Aunque Gregory no se atrevió a poner en duda las palabras del gran Newton, al igual que la mayoría de sus coetáneos, las evidencias científicas acabaron por comprometer el modelo del inglés y, finalmente, se vio obligado a modificar algunos planteamientos, cambiando ligeramente su hipótesis para explicar la difracción. De esta manera, afirmó que los minúsculos corpúsculos que forman la luz se mueven a través del éter y, al hacerlo, producen ondulaciones a su alrededor, que explicarían los fenómenos de difracción.

EL EGO DE SIR ISAAC NEWTON

Muchas veces los científicos son presentados como personas preocupadas únicamente por la adquisición de nuevo conocimiento, desprendidas de los valores materiales y luchadoras por el bienestar de la humanidad. Es verdad que hay mucho de cierto en esta imagen, pero los científicos también son profesionales que buscan la notoriedad y, cuando el genio así lo permite, trascender la historia. De esta manera, podemos pensar en Evariste Galois escribiendo frenéticamente sus cartas la noche previa al duelo que le costó su muerte, en su afán de no haber llevado una vida perdida.

A veces este ego puede llegar a ser enfermizo y llevar a las fronteras del mal comportamiento. En ese sentido, Newton las traspasó más de una vez. Su ego inmenso se alimentaba del constante reconocimiento que exigía de su supremacía en cuantos asuntos científicos trataba. Esto le llevó incluso a abusar de su posición en la Royal Society y a ocultar los logros científicos de sus competidores.

En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society, tras su admisión como miembro en 1671. A partir de entonces, hasta su muerte, fue reelegido sucesivamente en el cargo. Desde esta postura de poder mantuvo sus peleas con Huygens, con Robert Hooke sobre la gravitación y también con la teoría de la luz (temas que Hooke había tratado en su obra de 1665, Micrographia) y con el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, su gran enemigo. Con él se disputó el protagonismo en el descubrimiento del cálculo diferencial.

Newton había desarrollado su “método de las fluxiones” para aplicarlo al estudio de la mecánica, aunque no lo había publicado. Por su lado, de forma independiente, Leibniz había desarrollado conceptos equivalentes de cálculo y los presentó en Londres en una visita a la Royal Society. Sus técnicas, que de hecho son las que ahora usamos, superaban a las de Newton, sobre todo debido a la mejor notación simbólica. Newton menospreció el trabajo de Leibniz y este publicó su obra Calculus en 1684, sin citar el trabajo de Newton. La reacción no se hizo esperar y el inglés montó en cólera.

Newton puso a sus discípulos John Wallis, Fatio de Duillier y John Keill en pie de guerra contra Leibniz, al que acusaron de plagiar la obra todavía inédita de Newton. Como presidente de la Royal Society, Newton nombró una comisión para determinar quién había sido el primero. Él presidía también la comisión y, evidentemente, el resultado fue a su favor. Leibniz trató desesperadamente de hacerse valer, pero Newton era demasiado poderoso. Esta disputa provocó un distanciamiento entre las matemáticas desarrolladas en las islas y las que se hacían en el continente. El enfrentamiento se alargó durante años, hasta la muerte de Newton en 1727, y no llegó a una conclusión clara, en parte porque algunos de los documentos clave no fueron públicos hasta tiempo después. Sin embargo, el tiempo hace justicia y hoy en día sabemos que ambos genios dieron con ideas similares de forma paralela.

Christian Huygens (La Haya, 1629-1695) nació en el seno de una rica y notable familia holandesa. Su padre era diplomático y consejero de la Casa de Orange. Desde joven destacó como matemático, y en este campo hizo contribuciones importantes a la teoría de curvas, así como en las probabilidades y la teoría de juegos.

Además, fue diseñador y fabricante de relojes y telescopios. Encontró la fórmula para determinar el periodo de un péndulo, lo que permitió la construcción de relojes más precisos. Asimismo, consiguió muy buenas observaciones astronómicas y propuso la existencia de un anillo sólido en torno a Saturno, además de descubrir el primer satélite de dicho planeta, Titán.

Huygens tuvo contactos con todos los matemáticos y astrónomos importantes de su época. A través del contacto de su padre con el polímata francés Marin Mersenne, creador entre otros conceptos de los “primos de Mersenne” (que se obtienen dando valores enteros a n en la fórmula Mn = 2n-1, para n primos, aunque el resultado no siempre sea un número primo. En su abundante correspondencia Mersenne desafió a Huygens a resolver gran número de problemas.

Fue también embajador de Holanda, lo que le permitió visitar ciudades como Copenhague, Roma y París, y mantener contactos con científicos relevantes. En 1661 llegó a Londres e ingresó en la Royal Society, donde conoció a matemáticos como Robert Hooke o Robert Boyle. En 1666 se incorporó a la Academia de Ciencias de París, donde trabajó con Leibniz, pero las guerras de Francia con Holanda lo llevaron a volver a su país natal y, desde allí, a Londres y de nuevo a la Royal Society. Fue entonces cuando conoció a Newton y sus dos visiones de la luz los enfrentaron.

La luz blanca no es blanca

En el siglo XVII se creía que los colores se obtenían a partir de la luz blanca mezclada con lo oscuro en mayor o menor medida. Sin embargo, Newton probó que ocurría al revés: la luz blanca contiene todos los colores y es esta la que permite obtener el resto de tonalidades. A partir de un sencillo experimento —atravesando un prisma con luz— pudo exponer este fenómeno: la luz blanca se descompone en los colores del arcoíris. Siguiendo su visión corpuscular de la radiación, Newton supuso que los corpúsculos de luz eran diferentes según el color.

Este fenómeno le llevó a plantear la construcción de un telescopio (conocido como newtoniano) que evitara los problemas de aberración cromática10.

CAPÍTULO 5

Preparando la revolución

La controversia entre Newton y Huygens fue el punto de partida para un debate que se alargó durante siglos: teoría corpuscular versus teoría ondulatoria. El prestigio de Newton daba ventaja a la teoría corpuscular, pero cada vez más experimentos mostraban que la visión del gran matemático inglés tenía lagunas. Los avances en una y otra dirección permitieron conocer más sobre la constitución de la materia y sobre fenómenos como la electrostática, la electricidad y el magnetismo, a la vez que se iban desarrollando nuevas y más potentes teorías matemáticas que ofrecían el sustrato necesario y allanaban el camino a la revolución que estaba por llegar de la mano de dos auténticos genios, Michael Faraday y James Clerk Maxwell.

El hombre de los espejos

El primer personaje en este periodo que aplicó su enorme talento matemático para desarrollar la teoría de la refracción fue Augustin Fresnel. A partir del año 1815, Fresnel, ingeniero de profesión, publicó artículos y memorias en los que defendió la teoría ondulatoria de la luz, a pesar de que la tesis predominante entonces era la corpuscular. Con solo 27 años, concluyó, de sus experimentos sobre la difracción, la naturaleza vibratoria de la luz.

En su investigación relacionó las amplitudes de las ondas reflejadas y refractadas en función de la amplitud de la onda incidente. Este resultado se expresa matemáticamente en las “ecuaciones de Fresnel”. Más detalladamente, cuando una onda electromagnética que se desplaza por un medio caracterizado por un índice de refracción n incide sobre la interfaz con otro medio que posee un índice de refracción n’, una parte de la onda se refleja y otra se transmite refractada al otro medio (como muestra la ilustración siguiente):

Cuando en 1818 completó sus trabajos, los presentó a un concurso de la Academia de Ciencias de París, animado por el físico francés François Arago. La comisión la componían tres de los más prestigiosos matemáticos del momento: Jean Baptiste Biot, Pierre-Simon Laplace y Siméon Denis Poisson; este último, como defensor de la teoría corpuscular, se esmeró por encontrar fallos en las demostraciones de Fresnel. Entre sus argumentos en contra estaba el siguiente: si las ecuaciones de Fresnel fueran ciertas, a partir de ellas se deduciría un extraño fenómeno que nunca se había observado y que, según Poisson, era imposible.

En concreto, Poisson proponía el siguiente experimento: se dirige una fuente de luz puntual hacia un objeto opaco circular y la sombra se proyecta sobre una pantalla. Usando las ecuaciones de Fresnel, es posible deducir que en el centro de la sombra aparecerá un punto brillante debido a la difracción, lo que era completamente inexplicable teniendo en cuenta los conocimientos de los que se disponía en ese momento.

Siguiendo el rigor científico, el matemático François Arago decidió reproducir con cuidado el experimento. Ante su sorpresa, y la de muchos, justo en medio de la zona de sombra apareció un punto de luz. Este fenómeno no podía explicarse con la teoría corpuscular, por lo que el resultado daba validez a la teoría propuesta por Fresnel.

Pero ¿cómo se explica este extraño fenómeno? Cuando la luz se encuentra un obstáculo circular, funciona el principio de Huygens, y así, cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente de luz. La luz emitida por los puntos del contorno circular se dirige al centro de la sombra y al llegar a la pantalla se producen interferencias, dando lugar a un punto brillante en el centro de la sombra, donde no debería haber nada. Ese punto se conoce ahora como punto de Arago, punto de Poisson y también como el punto brillante de Fresnel (lo que parece mucho más apropiado). Tras esta trepidante discusión científica, el año siguiente, 1819, Fresnel recibió el premio de la Academia de Ciencias.

Fresnel también estudió la velocidad de la luz al atravesar un líquido en movimiento, lo que, junto a los experimentos posteriores de Hippolyte Fizeau en 1851, abrió el camino a los logros de Albert Einstein sobre la relatividad. Asimismo, aplicó las matemáticas a la óptica, manteniendo su espíritu de ingeniero: suyo es el diseño de la lente de Fresnel, un vidrio tallado de manera que responde de la misma manera que las lentes plano-convexas cuando los rayos del sol lo atraviesan, de gran apertura y una corta distancia focal, pero que resulta mucho más ligera que las lentes de diseño convencional. El diseño se probó por primera vez en el faro de Cordouan en 1822 y desde entonces se emplea en los faros marinos, en lupas planas, faros de los automóviles, indicadores de dirección, visores de realidad virtual, etc.

Augustin Fresnel (Broglie, Francia, 1788-Ville-d’Avray, Francia, 1827) nació en un momento histórico interesante: un año después de su nacimiento, en 1789, fue la toma de La Bastilla, y en 1793 la ejecución de Luis XVI. Pudo conocer aquella Francia revolucionaria desde las distintas localidades en las que vivió durante su infancia. Su padre y su madre se habían conocido en el pueblo de Broglie, en el que el padre, arquitecto, trabajaba en la reparación del castillo del duque de Broglie, Victor-François. Su vinculación con el movimiento católico jansenista y su defensa de la predeterminación y la austeridad tuvo una enorme influencia sobre el joven Augustin.

Tras terminar la reconstrucción del castillo de Broglie su familia se trasladó a la comuna francesa de Cheburgo para trabajar en la construcción del puerto. Allí sufrieron las penurias del régimen del terror imperante, por lo que, pocos años después, se mudaron a Mathieu, en la región de Caen. Con 12 años, Fresnel entró en la Escuela Central de Caen y allí comenzó sus afición a las ciencias y especialmente a las matemáticas.

En 1804 entró en la École Polytechnique de París y más tarde en la École des Ponts et Chaussées, convirtiéndose en ingeniero civil. Como tal, en 1812 trabajó en el proyecto ideado por Napoleón de unir por carretera la ciudad de La Roche-sur-Yon con el resto de la Vendée, aunque su inclinación política era monárquica. Cuando el general volvió del exilio de la isla de Elba y tomó de nuevo el poder, Fresnel formó parte del ejército monárquico que trató de oponerse a Napoleón. Tras el fracaso del bando monárquico, decidió, por precaución, volver a su ciudad de origen, Mathieu, y allí dedicarse por completo a investigar sobre la luz. Regresó en su trabajo como ingeniero tras la derrota definitiva de Napoleón en Waterloo, pero la pasión de la investigación lo acompañó durante toda su vida.

Fresnel murió prematuramente de tuberculosis y está enterrado en el cementerio Père-Lachaise de París.

El hombre de las rendijas

Otro acérrimo defensor de la teoría ondulatoria de la luz fue Thomas Young. En 1801 diseñó un experimento, en la misma sede de la Royal Society, en la que mostraba de forma inequívoca esta naturaleza, conocido como el “experimento de la doble rendija”. En él Young hacía incidir la luz de una fuente lejana sobre una ranura muy estrecha y así conseguía dividir el haz de luz en dos y formar patrones de luz y oscuridad en la pared alcanzada por el haz. Posteriormente, el experimento se hizo con dos rendijas. Al hacer pasar por ellas el haz de luz, el resultado era sorprendente. Si se dejaba solo una rendija abierta, en la pared de proyección aparecía un único pico. Pero si las dos estaban abiertas, se obtenía una extraña figura de interferencias con unas franjas oscuras y otras brillantes.

En el experimento aparecen dos conceptos diferenciados: la difracción (al pasar una onda por una rendija se forman nuevos frentes de onda) y la interferencia (dos o más ondas se superponen para formar una onda resultante de mayor o menor amplitud, incluso pueden anularse una a otra).

Según Young, todos estos fenómenos se explicaban sin problema con la teoría ondulatoria, pero con la teoría corpuscular no tenían sentido. Lo que se observaba con su experimento era que cuando dos haces luminosos se encuentran, lo que se produce no es un choque (como ocurriría con dos partículas), sino una interferencia entre ambos. Young lo explicaba poniendo el ejemplo de las ondas formadas en un estanque de agua, con la coincidencia o no de los valles y las crestas de las diferentes ondas al encontrarse. Ese es el efecto que se produce cuando dos o más ondas se solapan o entrecruzan. Cuando las ondas interfieren entre sí, la amplitud (intensidad o tamaño) de la onda resultante depende de las frecuencias, fases relativas (posiciones relativas de crestas y valles) y amplitudes de las ondas iniciales. El resultado puede ser la interferencia constructiva, la destructiva o una combinación de ambas.

La interferencia constructiva se produce en los puntos en que dos ondas de la misma frecuencia que se solapan o entrecruzan están en fase; es decir, cuando las crestas y los valles de ambas ondas coinciden. En ese caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forman una onda cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes individuales de las ondas originales. La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas una respecto a la otra; es decir, cuando la cresta de una onda coincide con el valle de otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente. Cuando las ondas que se cruzan o solapan tienen frecuencias diferentes o no están exactamente en fase ni desfasadas, el esquema de interferencia puede ser más complejo.

Esto es lo que pasa con la luz. La luz visible está formada por ondas electromagnéticas que pueden interferir entre sí. La interferencia de ondas de luz causa, por ejemplo, las irisaciones que se ven a veces en las burbujas de jabón. La luz blanca está compuesta por ondas de luz de distintas longitudes de onda. Las ondas de luz reflejadas en la superficie interior de la burbuja interfieren con las ondas de esa misma longitud reflejadas en la superficie exterior. En algunas de las longitudes de onda, la interferencia es constructiva y en otras, destructiva. Como las distintas longitudes de onda de la luz corresponden a diferentes colores, la luz reflejada por la burbuja de jabón aparece coloreada.

Pese a los muchos apoyos que tenía la teoría de Newton, la verdad científica era innegable y este experimento consiguió al fin probar la naturaleza ondulatoria de la luz.

Más allá de la naturaleza ondulatoria, el experimento mostraba otras propiedades de la luz y fascinó a muchos físicos durante décadas. Richard Feynman dijo de él: “Un fenómeno que es imposible de explicar de forma clásica, y que contiene en él el corazón de la mecánica cuántica. De hecho, contiene el único misterio de la mecánica cuántica”.

En 2003, los lectores de la revista Physics World lo escogieron como el experimento más bello de la historia de la física.

Otra de las aportaciones de Young a la teoría de la visión fue su explicación de la acomodación del cristalino para enfocar los objetos según la distancia, así como a la teoría del color y la presencia de tres tipos de fibras nerviosas en la retina (volveremos sobre esto más adelante). Esta teoría es conocida como la teoría de Young-Helmholtz. También estudió el astigmatismo.

Thomas Young (Milverton, Somerset, 1773-Londres, 1829) fue lo que se suele llamar un polímata, capaz de estudiar en profundidad temas muy diversos, como la visión, la naturaleza de la luz, la música, la egiptología (contribuyó a descifrar los jeroglíficos de la piedra Rosetta anticipándose a Jean-François Champollion) y la medicina, que era su formación oficial.

Como en el caso de Augustin Fresnel, la influencia religiosa, en este caso, de una familia cuáquera, tuvo una gran importancia en la infancia de Young. Sin embargo, en su juventud abandonó la fe cuáquera por la anglicana por exigencias de Cambridge. Sus creencias religiosas tampoco le impidieron frecuentar los teatros en Edimburgo y disfrutar de la farándula.

Thomas fue un niño prodigio que a los 14 años dominaba el latín y el griego junto con casi una docena de lenguas modernas y antiguas. Aunque estudió Medicina en la Universidad de Edimburgo, fue en Gotinga donde obtuvo el título de doctor. Se estableció como tal en Londres, mientras que iniciaba sus investigaciones de forma independiente en varios temas. Para no perjudicar su carrera profesional escribió sus primeros artículos con seudónimo. Su productiva dedicación a variadas ramas del conocimiento mostraba una peculiar forma de pensar. Uno de sus tutores en Cambridge lo describía de la siguiente manera: “He seldom gave an opinion, and never volunteered one. He never laid down the law like other learned doctors, or uttered […] sayings to be remembered. Indeed, like most mathematicians, […] he never seemed to think abstractly. A philosophical fact, a difficult calculation, an ingenious instrument, or a new invention, would engage his attention […]”11.

Hizo contribuciones a la mecánica de medios continuos, donde introdujo el módulo de Young en elasticidad, una relación propia de cada material entre la fuerza ejercida y la elongación alcanzada. Hizo además grandes aportaciones a la propia medicina y a la música, en esta última introduciendo los llamados primer y segundo temperamentos para mejorar las armonías. Fue elegido miembro de la Royal Society, donde llegó a ser secretario.

CAPÍTULO 6

La revolución

Dos mentes y unas ecuaciones

Desde la Antigüedad se conocían los fenómenos eléctricos y los magnéticos, pero su combinación dentro de un mismo cuerpo teórico no se propuso hasta el siglo XIX, con el desarrollo de la teoría del electromagnetismo. Esta fue concebida por el químico inglés Michael Faraday y el físico matemático escocés James Clerk Maxwell. Su formulación matemática, propuesta por Maxwell, consiste en un conjunto de ecuaciones (conocidas como ecuaciones de Maxwell) que relacionan el campo eléctrico, el campo magnético y sus respectivas fuentes materiales.

El descubridor del electromagnetismo fue Michael Faraday en 1845. Este dispuso dos bobinas de alambre enrollado en espiral (llamadas “solenoides”) sobre una armazón cilíndrica, a través de las cuales hacía pasar un aro de hierro. Observó que al inducir corriente en uno de los solenoides, se generaba corriente en el segundo. Además, si hacía pasar un imán a través de una espira de alambre, se creaba una corriente eléctrica en el alambre, lo que también ocurría si se movía la espira sobre el imán en reposo. En conclusión, probó que un campo magnético variable generaba lo que hoy conocemos como un campo eléctrico.

Históricamente, los campos se introdujeron para explicar la acción a distancia de fuerzas como la gravedad, y las fuerzas eléctrica o magnética. Hay campos que son escalares, como la temperatura, pero otros son vectoriales, implicando no solo su valor absoluto, sino también la dirección en la que actúan.

La presencia de una carga eléctrica de valor q genera un campo eléctrico E que viene dado por F = q E, donde F es la fuerza eléctrica12. El gran hallazgo de Faraday y Maxwell fue entender que también era posible obtener un campo eléctrico a partir de campos magnéticos variables.

El campo magnético se produce, a su vez, por la presencia de materiales magnéticos (como los imanes), pero también por corrientes eléctricas, como probaron los dos científicos. Una carga eléctrica q que se desplaza a una velocidad v experimenta los efectos de una fuerza F que cumple la ecuación F = q v x B, donde B es el campo magnético y x representa el producto vectorial.

El campo electromagnético es una combinación de un campo eléctrico y un campo magnético. El campo eléctrico lo producen cargas estacionarias y el magnético cargas que se mueven (las corrientes). La manera en las que cargas y corrientes interactúan con el campo electromagnético está descrita por las ecuaciones de Maxwell. El campo electromagnético se considera clásicamente como un campo continuo que se propaga como una onda. Estas ondas electromagnéticas se mueven en el espacio a la velocidad constante de la luz. Por tanto, la frecuencia υ y la longitud de onda λ de las ondas electromagnéticas se encuentran relacionadas por la ecuación: c = λ .f, donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Son ondas transversales en las que el campo eléctrico y el magnético, en fase, son perpendiculares entre sí y, a su vez, perpendiculares a la dirección de propagación.

Existe una gran cantidad de ondas electromagnéticas distintas, según su frecuencia y longitud de onda. Se denomina espectro electromagnético al conjunto de todas las frecuencias o longitudes de onda en que puede descomponerse la radiación electromagnética. Se ordena por frecuencia, de menor a mayor.

Además, en sus estudios de química, Faraday probó que existía una interacción entre la luz y el magnetismo, al descubrir la rotación del plano de polarización de la luz.

LUZ POLARIZADA

El fenómeno de polarización de la luz es debido a su naturaleza ondulatoria. La luz oscila y se propaga, en general, en cualquier dirección. Si se selecciona un plano determinado de oscilación, se obtiene lo que se llama luz polarizada.

La luz polarizada tiene una gran cantidad de aplicaciones tecnológicas, como, por ejemplo, en las pantallas de cristal líquido, las gafas de sol de cristal polarizado y los filtros polarizadores utilizados en fotografía.

Faraday observó que el plano de vibración de la luz polarizada que incide en un trozo de cristal giraba cuando se aplicaba un campo magnético en la dirección de propagación. De esta forma, probó que un campo magnético influye sobre un haz de luz polarizada, fenómeno conocido como efecto Faraday o efecto magneto-óptico. Se trata de una de las primeras indicaciones de la interrelación entre el electromagnetismo y la luz. En 1846 recogió estos resultados en su obra Thoughts on Ray Vibrations (Consideraciones sobre las vibraciones de los rayos). En ese texto revolucionario afirmó que la luz es una onda electromagnética.

Sin embargo, Faraday no poseía los conocimientos matemáticos necesarios para establecer el modelo de este fenómeno, lo que tuvo que esperar a la obra de otro genio, Maxwell.

Descripción del efecto Faraday, tomado de Open Mind BBVA.

Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y la luz son manifestaciones del mismo fenómeno: el campo electromagnético. Son por tanto unas ecuaciones universales que cambiaron la visión del universo y abrieron ventanas insospechadas hasta el momento. Las ecuaciones proporcionan un modelo matemático que describe de una manera unificada el trabajo experimental previo de científicos como Coulomb, Gauss, Ampere y Faraday. Maxwell introduce los conceptos de campo y corriente, y unifica los campos magnético y eléctrico en el denominado campo electromagnético.

El instrumento matemático con el que contaba Maxwell para deducir las ecuaciones fueron los cuaternios de Hamilton (de los que se hablará más adelante en este capítulo). Los resultados se publicaron en 1865 en la que fue la gran obra de Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (Una teoría dinámica del campo electromagnético). En esta publicación demuestra que los campos magnéticos y eléctricos viajan por el espacio como ondas que se mueven a la velocidad de la luz, la cual es a su vez una onda.

Maxwell utilizó primero 20 ecuaciones para describir el fenómeno, que después redujo a 13.

Michael Faraday (Newington, 1791-Londres, 1867) nació en una zona suburbana de Londres, en el seno de una familia pobre y seguidora de una secta cristiana. La educación bajo esta creencia le influyó a lo largo de su vida; por ejemplo, le llevó a rechazar la elaboración de productos químicos para la guerra de Crimea, tal y como le había solicitado el gobierno británico. Su formación fue autodidacta: gran parte vino de los libros que pudo leer al lado del librero George Riebau, desde los 14 a los 20 años, del que fue aprendiz. En aquella época comenzó su interés por la ciencia.

Contó con la ayuda del músico inglés William Dance, que le facilitó la asistencia a las conferencias científicas de la Royal Society. Entre las muchas charlas que escuchó le llamaron especialmente la atención las del químico Humphry Davy, muy famoso en la época. Años después se convirtió en su ayudante. Su servicio a Davy le permitió viajar por Europa y conocer a los científicos más relevantes del continente.

Los logros más relevantes de Faraday fueron en la química. Hizo aportaciones técnicas como la invención de un mechero —todavía empleado en los laboratorios científicos para calentar, esterilizar y proceder a la combustión de reactivos químicos—, que luego sería denominado el “mechero Bunsen”, por la mejora que este hizo del original de Faraday; también descubrió nuevos compuestos como el benceno, y especificó las leyes de la electrólisis.

Su influencia en la ciencia fue enorme. El propio Albert Einstein tenía colgado en la pared de su estudio un retrato suyo, junto a los de Isaac Newton y James Clerk Maxwell. En Reino Unido y otros países hay calles y plazas con su nombre. En los billetes de 20 libras aparece su retrato impartiendo una de sus famosas charlas en la Royal Society. Su impacto público fue y sigue siendo notable en su país; como muestra, en una lista por votación popular de la BBC de los 100 británicos más notables obtuvo el puesto 22.

Faraday fue un pionero también en la divulgación. Inició las Conferencias Navideñas de la Royal Institution, que se dirigían con temas generales al gran público, especialmente a los más jóvenes, para paliar las deficiencias educativas. Faraday impartió 19 de estas conferencias. La serie continúa hoy en día (solo se cancelaron durante la Segunda Guerra Mundial).

James Clerk Maxwell (Edimburgo, 1831-Cambridge, 1879) fue un matemático escocés de familia acomodada y noble. Fue un niño prodigio y después un joven precoz; desde su infancia mostró una insaciable curiosidad por investigar y entender, como relata su padre en una carta a su cuñada. Pese a ello, tuvo dificultades en los estudios. Tras la muerte de su madre cuando tenía 8 años, su educación corrió a cargo de un tutor privado y cuando se incorporó a la escuela sufrió lo que hoy llamaríamos acoso escolar. Por suerte, su aislamiento se acabó cuando se juntó con Lewis Campbell y Peter Guthrie Tait, que más tarde también serían eminentes personajes. A los 16 años comenzó sus estudios en la Universidad de Edimburgo, al mismo tiempo que seguía estudios por su cuenta.

Se trasladó más tarde a Cambridge, ya como un matemático eminente, siendo pronto reasignado al Trinity College. Ahí fue elegido miembro del grupo de elite “Los apóstoles de Cambridge”. Fue, sin embargo, en el King’s College de Londres, donde se trasladó unos años después, el lugar en el que probablemente desarrolló la etapa más fructífera de su vida. Allí, en la Royal Society, entró en contacto con Michael Faraday. Desde el primer momento, pese a la gran diferencia de edad, se profesaron un enorme respeto. Motivados el uno por el trabajo del otro, comenzó su colaboración: Maxwell consiguió introducir las matemáticas en el trabajo de Faraday y obtuvo sus ecuaciones.

Además de esta obra magna, Maxwell realizó otras aportaciones en relación con la luz. Presentó la primera fotografía perdurable en color, haciendo uso de una combinación adecuada de tres negativos con azul, rojo y verde. Maxwell encargó al fotógrafo Thomas Sutton fotografiar una cinta tres veces, cada vez con un filtro de color distinto; las tres imágenes fueron trasladadas a cristales y proyectadas en una pantalla con tres proyectores, cada uno equipado con el mismo filtro del color original. Otra de las grandes contribuciones de Maxwell fue a la teoría cinética de los gases, donde describió las distribuciones de Maxwell-Boltzmann. También demostró que los anillos de Saturno no podían ser sólidos.

Una faceta menos conocida de Maxwell es su afición a la poesía, especialmente a la de su país, Escocia. Este poema titulado “Rigid Body Sings”, basado otro de Robert Burns, “Comin’ Through the Rye”, lo acostumbraba a cantar acompañado de una guitarra:

Gin a body meet a body

Flyin’ through the air.

Gin a body hit a body,

Will it fly? And where?13

En la formulación matemática de Maxwell la herramienta clave fueron los cuaternios, ideados por el matemático William Rowan Hamilton en 1846, ya que permitían condensar la información necesaria de forma compacta. El álgebra de los cuaternios es su gran creación y es una extensión de los números complejos a cuatro dimensiones.

La primera inspiración de Hamilton sobre este nuevo objeto matemático la tuvo el 16 de octubre de 1846, cuando paseaba con su esposa por las orillas del Canal Real de Dublín. Iba pensando, como era habitual, en un problema matemático. Al cruzar el puente de Broom se detuvo, la inspiración llegó a su mente. Hamilton no era muy dado a escribir artículos, pero sí al género epistolar, por lo que la concepción del resultado quedó recogido en una carta a su hijo Archibald (traducida por los autores), fechada más tarde el 5 de agosto de 1865:

Mi querido ARCHIBALD:

(1) He estado esperando la ocasión para discutir contigo sobre mi trabajo de los cuaternios. Y ahora se presenta, tras tu mención en la nota de ayer, recibida esta mañana, de que has estado reflexionando sobre varios puntos conectados con ellos, particularmente en la multiplicación de vectores.

(2) No puede proponerse una cuestión más importante, o incluso fundamental, en toda la Teoría de los Cuaternios, que la que, por tanto, indaga: ¿qué es la MULTIPLICACIÓN? ¿Cuáles son sus reglas, sus objetos, sus resultados? ¿Qué analogías existen entre esta y otras operaciones, que han recibido el mismo nombre general? Y, finalmente, ¿cuál es (si es que hay alguna) su utilidad?

(3) Si se me permite hablar de mí mismo en relación con el tema, podría hacerlo de una manera que le llevaría, refiriéndose a una época precuaterniótica, cuando usted era un mero niño. La concepción de un vector, representada por un triplete, había captado mi atención: y de hecho puedo ser capaz de poner el dedo de la memoria sobre el año y el mes —octubre de 1843— cuando recién había regresado de las visitas a Cork y Parsonstown, con motivo de una reunión de la Asociación Británica. El deseo de descubrir las leyes de la multiplicación, de las que ocasionalmente os hablaba, había permanecido durante años dormida, pero entonces recobró con mí cierta fuerza y seriedad, y estaba a punto de ser satisfecha. Todas las mañanas de la primera parte del mencionado mes, al bajar a desayunar, tu hermano William Edwin y tú solíais preguntarme: “Bueno, papá, ¿puedes multiplicar trillizos?”. Siempre me vi obligado a responder, con un triste movimiento de cabeza: “No, solo puedo sumarlos y restarlos”.

(4) Pero el día 16 de ese mismo mes, que era lunes y día del Consejo de la Real Academia Irlandesa, estaba entrando para asistirlo y presidirlo. Tu madre estaba caminando conmigo, a lo largo del Royal Canal, al que tal vez había conducido; y aunque ella hablaba conmigo de vez en cuando, sin embargo, en mi mente avanzaba una corriente insuficiente de pensamiento, lo cual dio por fin un resultado, y sentí de inmediato su importancia. Un circuito eléctrico parecía cerrarse y una chispa brotó, el heraldo (como anticipé de inmediato) de muchos años largos que seguirían, de pensamiento y trabajo. Esa idea sería salvada por mí mismo, y quizás también por parte de otros, si se me permitiera vivir el tiempo suficiente para comunicar el descubrimiento. Tampoco pude resistir el impulso, por poco filosófico que fuera, de cortar con un cuchillo en una piedra del puente Brougham, al pasar por ella, la fórmula fundamental con los símbolos, i, j, k; a saber,

i² = j² = k² = ijk = -1

Que contiene la solución del problema, pero, por supuesto, como inscripción hace mucho tiempo que ha sido moldeada. Sin embargo, en los Libros del Concilio de la Academia para ese día (16 de octubre de 1843) se conserva una noticia más duradera, que registra el hecho de que pedí y obtuve permiso para leer un documento sobre Quaternios en la Primera Junta General de la sesión. La lectura tuvo lugar, en consecuencia, el lunes 13 de noviembre siguiente.

Con este cuaternión de párrafos cierro esta carta I; pero espero seguirla muy pronto con otra.

Su afectuoso padre,

William Hamilton14

Una placa conmemora ese hecho en el mismo puente. Fue inaugurada por Éamon de Valera, presidente de Irlanda, también matemático y estudioso de los cuaternios, el 13 de noviembre de 1958. Cada año se repite el recorrido de Hamilton por el Canal Real en conmemoración de ese hecho tan notable. La placa dice así15:

Aquí, mientras caminaba

el 16 de octubre de 1843

Sir William Rowan Hamilton,en un destello de genialidad, descubrió la fórmula fundamental para

i² = j² = k² = ijk = -1

Y la grabó en una piedra del puente.

William Rowan Hamilton (Dublín, 1805-1865) fue un niño prodigio, con talento tanto para las matemáticas como para las lenguas clásicas. A los 8 años disputó un torneo de cálculo en Dublín con el prodigio norteamericano Zerah Colburn. Lo perdió, por lo que decidió dedicar más tiempo a las matemáticas. Su dedicación dio sus frutos y a los 22 años fue nombrado profesor de Astronomía (antes de terminar el grado).

Los grandes resultados de Hamilton fueron, principalmente, en la llamada óptica geométrica, la mecánica clásica, y el álgebra de cuaternios. Muchos de sus numerosos resultados no fueron publicados en revistas científicas, ya que era muy perfeccionista. Su manera de comunicar y compartir sus resultados era a través de las largas cartas que mandaba a sus colegas, en las que discutía los problemas que estaba abordando.

A Hamilton se le debe el principio de Hamilton que proporciona las ecuaciones de Euler-Lagrange usando cálculo de variaciones. También llevan su nombre las ecuaciones de Hamilton. Ambas son las ecuaciones que describen el movimiento de un sistema mecánico, es decir, son las dos maneras de interpretar la mecánica de partículas o mecánica clásica.

Ecuaciones de Hamilton

En las ecuaciones de Hamilton, las coordenadas q denotan las, p son los momentos y H = H (q, p) es un operador llamado “hamiltoniano” definido por H = K + V (y que representa la energía total o energía hamiltoniana, donde k es la energía cinética y V la potencial).

Otro de sus logros es la ecuación de Hamilton-Jacobi, esencial para estudiar la integrabilidad de los sistemas mecánicos. Más nociones matemáticas llevan su nombre, como la de “camino hamiltoniano”, que es un camino (un recorrido) de un grafo, una sucesión de aristas adyacentes, que pasa por todos los vértices del grafo una sola vez. Si además el último vértice visitado es adyacente al primero, el camino es un ciclo hamiltoniano. Hamilton, de hecho, inventó un juego que consistía en encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas de un grafo de un dodecaedro. Hamilton resolvió este problema usando cuaternios, aunque su solución no era generalizable a todos los grafos.

De 13 a 4 ecuaciones

El modelo de Maxwell fue tremendamente revolucionario, pero lo cierto es que, aun en su forma final de 13 ecuaciones, era poco manejable. Unos años más tarde, Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside las simplificaron a cuatro mediante el uso del análisis vectorial, creando el operador nabla (denotado por ), muy utilizado hoy en día en las matemáticas. Esta es la forma de estas cuatro ecuaciones finales:

Oliver Heaviside (Londres, Reino Unido, 1850- Torquay, Reino Unido, 1925) fue un físico, matemático e ingeniero inglés que hizo aportaciones clave en muchos campos: usó los números complejos en el estudio de los circuitos eléctricos e inventó técnicas para la resolución de ecuaciones diferenciales. En lo que concierne a la historia de las matemáticas de la luz, fue el principal protagonista en la reformulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de las fuerzas eléctrica y magnética, y el flujo eléctrico.

Vivió una infancia difícil, marcada por las dificultades económicas y una sordera parcial ocasionada por la escarlatina. Su formación fue en gran medida autodidacta y, en su tenaz búsqueda del conocimiento, se topó con la obra de Maxwell, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Aunque no comprendía bien todo el aparato matemático desplegado por el escocés, quedó fascinado.

Dedicó años a su estudio, y después de procesarla y hacerla suya, reelaboró la obra maxwelliana. Su logro fue clarificar y sintetizar el trabajo de Maxwell, pasando de las 13 ecuaciones originales a las 4 con las que se suelen presentar ahora. En esa tarea contó también con la colaboración de otros físicos ingleses, a los que se ha llamado “los maxwellianos”, fundamentalmente G. F. FitzGerald, O. Lodge y J. Larmor.

CAPÍTULO 7

Mecánica cuántica y teoría de la relatividad

A finales del siglo XIX el panorama científico, especialmente en las ciencias experimentales, era muy halagüeño. Los avances espectaculares de Maxwell habían permitido entender los fenómenos electromagnéticos; por su parte, los químicos seguían adelante con la teoría atómica y el ruso Dmitry Mendeléyev y el alemán Lothar Meyer habían creado la tabla periódica; la astronomía vivía una era dorada con el descubrimiento de Urano y Neptuno. El optimismo era tal que el mismo lord Kelvin (William Thomson), en una conferencia dictada en 1900 ante la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia, afirmaba: “La física es un conjunto perfectamente armonioso y en lo esencial acabado, en el que solo veo dos pequeñas nubes oscuras: el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, y la catástrofe ultravioleta de la ley de Rayleigh-Jeans” (Alemañ, 2015).

La primera nube se refería al experimento de Albert A. Michelson y Edward Morley en 1887, que trataba de probar la existencia del éter, la sustancia que llenaba el vacío de nuestro universo, y el soporte mediante el cual, se consideraba entonces, se propagaban las ondas electromagnéticas y, en particular, la luz.

El objetivo de Michelson y Morley era medir la velocidad relativa a la que se mueve la Tierra con respecto al éter. Para ello diseñaron un experimento que permitía medir la velocidad de la luz en dos direcciones perpendiculares entre sí y con diferente velocidad lineal relativa al éter. Su idea era probar que la velocidad de la luz variaría según fuera siguiendo el sentido del movimiento del éter o en contra, de manera similar que la velocidad de un nadador se modifica si nada a favor de corriente o en su contra. El experimento no mostró ninguna diferencia, por lo que la conclusión era que (suponiendo que la Tierra se mueve) no existía tal sustancia. Además, esta prueba señalaba un nuevo principio físico: la velocidad de la luz en el espacio libre es la misma en todas partes, independiente de cualquier movimiento de la fuente o del observador. Este experimento sentó las bases para la relatividad desarrollada por Albert Einstein.

El “viento del éter” en distintas etapas de la rotación de la Tierra alrededor del Sol.

El otro problema por resolver de la física, según Kelvin, tenía que ver con la estructura de la materia. Los físicos habían descubierto el llamado efecto fotoeléctrico, que muestra que cuando la luz incide en una superficie metálica se origina una corriente eléctrica. Pero no entendían por qué la energía de los electrones emitidos no dependía de la intensidad de la luz, sino de su frecuencia. Tampoco se explicaban por qué la emisión de luz que, según la teoría del electromagnetismo, debería ser continua, aparecía proyectada a través de los espectrogramas en una serie de rayas discontinuas. Y lo cierto es que el modelo del átomo predominante en aquel momento, el de Rutherford (que muestra la estructura atómica como un sistema planetario en miniatura), era insostenible, ya que los electrones no podrían mantenerse orbitando para siempre, pues continuamente estarían emitiendo energía y acabarían cayendo al núcleo, provocando un colapso de la materia que no se observa en la realidad.

Idealización del cuerpo negro como una caja en la que entran las radiaciones y se absorben.

Finalmente, estaba el problema del cuerpo negro, un cuerpo capaz de absorber cualquier radiación electromagnética y también de emitirla. Para cada valor de la temperatura, la onda electromagnética emitida tiene una energía distinta, que se calcula según la fórmula de Rayleigh-Jeans. Esta funcionaba bien con frecuencias bajas, pero con altas se obtienen valores energéticos infinitos (se daría la llamada “catástrofe ultravioleta”), que no se corresponde con el fenómeno observado.

Según Kelvin, lo único que les quedaba a los científicos para terminar de explicar el mundo era, básicamente, ser capaces de medir los resultados de sus experimentos de manera más precisa. Sin embargo, a pesar de sus enormes aportaciones a muchos campos, especialmente a la termodinámica, lord Kevin ha pasado a la historia como un mal profeta. Se había equivocado en predicciones anteriores y lo volvía a hacer con esta. La ciencia del siglo XX aportaría avances sorprendentes y revolucionarios. Las dos nubecitas que veía en el horizonte eran nubarrones de tormenta, que desatarían la revolución de la teoría de la relatividad de Albert Einstein, por un lado, y la nueva concepción cuántica de la materia, por otro. Estas aportaciones cambiarían nuestra manera de ver el mundo y también nuestra comprensión de la luz.

La luz y la mecánica cuántica

1905 fue un gran año para Albert Einstein: incluso siendo un empleado en la Oficina de Patentes de Berna, alejado del mundo científico, publicó cuatro artículos en la revista Annalen der Physik. Estos textos cambiaron para siempre nuestra manera de entender el espacio, el tiempo, la masa y la energía. Ese año es llamado el annus mirabilis de Einstein.

Hasta finales del siglo XIX la idea más aceptada para explicar el transporte de la luz era la del misterioso éter propuesto por Huygens, una sustancia tremendamente ligera que ocupaba todo el espacio y con un comportamiento similar al de un fluido. En 1887 el experimento de Michelson y Morley mostró la inconsistencia de esta teoría probando que no había cambios de la velocidad de la luz independientemente de cómo la Tierra se moviese con respecto al hipotético éter.

Este hecho condujo a Einstein a postular que la velocidad de la luz era constante en cualquier sistema de referencia y a desarrollar la teoría de la relatividad especial. La relatividad especial tenía limitaciones, como la conciliación con la ley de la gravedad de Newton.

Una consecuencia de la teoría es el fenómeno de contracción temporal y de aumento de masa al aproximarse a velocidades cercanas a la de la luz, la famosa equivalencia E = mc2 entre masa y energía.

Los trabajos de los matemáticos Hendrik Lorentz y Henri Poincaré fueron piezas fundamentales en el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein.

Las contribuciones de Henri Poincaré a la teoría de la relatividad son importantes y surgen cuando ingresa en 1893 en el Bureau des Longitudes de Francia, con el encargo de la sincronización de los horarios del mundo. En 1897, apoyó una iniciativa de decimalizar la medida circular y con ello el tiempo y la longitud. Un problema que debatió es cómo los relojes en reposo en la Tierra, que se estarían moviendo a diferentes velocidades relativas al espacio absoluto, podrían ser sincronizados. En su libro de 1898, La medida del tiempo, Poincaré analizó la dificultad de establecer la simultaneidad a distancia y concluyó que la misma puede ser establecida por convención. También discutió el “postulado de la velocidad de la luz” y formuló el principio de la relatividad según el cual ningún experimento mecánico o electromagnético puede diferenciar entre un estado de movimiento uniforme y el estado de reposo. Se acercó también a una fórmula parecida a la equivalencia entre masa y energía que luego establecería Einstein, E = mc2. Puede decirse que Poincaré coqueteó con la relatividad, pero le faltaron las ideas geniales del físico alemán para haber llegado a su formulación.

Por su parte, Hendrik Lorentz fue un físico holandés que recibió el Premio Nobel de Física del año 1902. Consiguió resultados muy importantes en termodinámica, magnetismo, electricidad y refracción de la luz. Conjuntamente con George Francis FitzGerald formuló una teoría sobre el cambio de forma de un cuerpo como resultado de su movimiento, efecto llamado “contracción de Lorentz-FitzGerald”, cuya representación matemática es conocida por el nombre de transformación de Lorentz y que sirvió a Einstein para el desarrollo de la relatividad especial.

Pero no fue hasta 1907 cuando el matemático de origen lituano Hermann Minkowski se dio cuenta —basándose en los trabajos previos de Lorentz y Poincaré— de que las ideas de Einstein encajaban perfectamente en una geometría no-euclidiana definida sobre un espacio cuatridimensional, desde entonces conocido como “espacio de Minkowski”. En él el tiempo se consideraba una coordenada a añadir a las tres espaciales, configurando el espacio de cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Además, el tiempo y el espacio no son entidades separadas sino variables íntimamente ligadas. Conseguía la “fusión” de las cuatro definiendo una forma cuadrática

ds² = c² dt² - dx² - dy² - dz²

El motivo de que haya un término con signo negativo, en lugar de todos positivos, es para evitar la rotura de la causalidad.

Esta forma cuadrática recibe el nombre de “métrica de Minkowski”. En general, una métrica es un instrumento geométrico que ayuda a medir distancias sobre una superficie y, sobre todo, sobre espacios geométricos de dimensiones superiores. Una métrica extiende de manera natural el concepto de distancia en el plano o en el espacio tridimensional.

Un instrumento muy útil para visualizar estas ideas es el cono de luz, una representación del espacio-tiempo que describe la evolución en el tiempo de un haz luminoso en el espacio-tiempo de Minkowski.

Un evento o un suceso en física es un punto p del espacio-tiempo que, como tiene cuatro dimensiones, está caracterizado por cuatro coordenadas. En el espacio-tiempo de Minkowski los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación

c2t2-x2-y2-x2 = 0

constituyen el cono de luz del evento p, que está ubicado en el origen de coordenadas.

Los eventos con coordenadas verificando

c2t2-x2-y2-x2 > 0 y ct > 0

forman el futuro causal de p, y cuando ct < 0, serán los que forman el pasado causal. Todos los eventos o puntos cuyas coordenadas cumplan

c2t2-x2-y2-x2 < 0

estarán desconectados causalmente de p.

Todas estas ideas tuvieron un fuerte impacto en nuestra concepción del cosmos, ya que evidenciaban la falta de un tiempo y de un espacio absoluto en el conjunto del universo. Sin embargo, cuando el Comité del Premio Nobel decidió concederle el prestigioso galardón, no consideró este resultado sino otro que había obtenido ese mismo año: su explicación para el efecto fotoeléctrico, es decir, la emisión de electrones de un material provocada al incidir la luz sobre el mismo. El efecto fotoeléctrico fue descubierto por Heinrich Hertz en 1887 y, como hemos descrito antes, consiste en la emisión de electrones por un material cuando sobre él incide una radiación electromagnética, por ejemplo, un rayo de luz. Es lo que permite que una puerta automática se abra al acercarnos: la corriente eléctrica generada por un rayo de luz que incide en el dispositivo eléctrico y mantiene la puerta cerrada: al acercarnos, impedimos que esa luz llegue y la puerta se abre.

Pese a que la hipótesis más extendida en aquel momento era la ondulatoria, Einstein afirmó que la luz, tal y como había enunciado Newton, está compuesta por pequeñas partículas de diferente energía según su color (o frecuencia) de la radiación. La energía de estas partículas venía dada por una sencilla expresión: h.ν, donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de onda de la partícula. Ahora conocemos estos corpúsculos de la luz como “fotones”, nombre asignado en 1926 por el físico Gilbert Newton Lewis. Esta concepción permitía entender el efecto fotoeléctrico. Según Einstein, la energía cinética de los fotones —la partícula mínima de la energía electromagnética— se transmitía a los electrones y, si es lo suficientemente alta, estos saltan de la superficie y producen una corriente eléctrica (recordemos que una corriente eléctrica no es más que un flujo de electrones circulando sobre el material en cuestión).

Después de siglos de polémica, que concluyeron en la concepción ondulatoria, la comunidad científica no estaba dispuesta a volver otra vez a la idea newtoniana corpuscular. Como suele pasar con las ideas revolucionarias, la de Einstein de considerar la luz formada por fotones (cuantos de energía) no fue plenamente aceptada. Explicaba el fenómeno fotoeléctrico, pero seguía sin dar solución a otros, como por ejemplo la interferencia y la difracción, que se explicaban solamente con una teoría ondulatoria. Max Planck, que después se convertiría en uno de los grandes teóricos de la cuántica, escribía en 1910: “Si el concepto de fotón se aceptara, la teoría de la luz regresaría por siglos a la época en la que los seguidores de Newton y Huygens disputaban sobre la cuestión de partícula contra la teoría ondulatoria de la luz. Todos los frutos del gran trabajo de Maxwell estarían amenazados por unas cuantas especulaciones más bien dudosas”.

Sin embargo, hubo avances en la investigación que daban nuevas evidencias del modelo de Einstein. Por un lado, los trabajos del físico danés Niels Bohr acerca de la estructura atómica, proponían un modelo del átomo de hidrógeno en cuya explicación los fotones eran un elemento clave. Bohr se basaba en el modelo atómico propuesto por Ernest Rutherford, considerado como uno de los grandes físicos experimentales de la historia. Se dedicó al estudio de las partículas radiactivas clasificándolas en alfa (α), beta (β) y gamma (γ) e identificándolas. Probó la existencia del núcleo atómico, con toda la carga positiva, y el protón. Recibió el Nobel de Química en 1908.

A partir de los trabajos de Rutherford, Niels Bohr propuso su modelo en 1913, en el que introducía la teoría de las órbitas cuantificadas en las que circulan los electrones, girando alrededor del átomo, sin emitir energía. Según Bohr, la energía del electrón varía en cada órbita: las órbitas externas tienen mayor energía que las internas y para pasar de una otra emite energía (en forma de un fotón) o la absorbe, en la dirección contraria. Esos fotones, que se emiten o se absorben, son los que Einstein describía como componentes elementales de la luz para describir el efecto fotoeléctrico. Por estos trabajos, Bohr obtuvo en 1922 el Premio Nobel de Física.

También la tesis doctoral Investigaciones sobre la teoría de los cuanta fue clave para apoyar la hipótesis de Einstein. La publicó en 1924 por el físico francés Louis de Broglie. En ella, De Broglie describía los electrones como ondas y también como partículas, presentando por primera vez la dualidad onda-corpúsculo de la mecánica cuántica. Obtiene una fórmula que relaciona la visión corpuscular y la ondulatoria del electrón: h = p.λ, donde h es la constante de Plank, p es el momento (la masa por la velocidad) y λ la longitud de onda. Esta ecuación relaciona una característica de la partícula (el momento) con una característica de la onda (su longitud).

En 1927, los físicos norteamericanos Clinton Davisson y Lester Germer realizaron un experimento que validaba la teoría de De Broglie. Los científicos bombardearon un cristal de níquel con un haz de electrones; en la placa receptora se observó, como en el caso de los rayos X, que los electrones eran difractados por la red cristalina. De esta manera se comprobaba que los electrones se comportaban también como ondas, y así quedaba probada la naturaleza dual (corpúsculo-onda) de estas partículas. De esta visión deriva la mecánica cuántica

Las matemáticas de la mecánica cuántica

La mecánica cuántica ofrece una explicación a muchas de aquellas nubes que Kelvin veía en el futuro de la física. En concreto, sirve para explicar el átomo, su núcleo y de las partículas elementales (lo cual requiere necesariamente el enfoque relativista). Nace a partir de las ideas de Bohr y Einstein, y establece una visión dual de la materia. Bohr formuló en la interpretación de Copenhague lo que se conoce como el principio de complementariedad que establece que ambas descripciones, la ondulatoria y la corpuscular, son necesarias para comprender el mundo cuántico.

Así, el estado físico de un sistema de partículas se representa mediante una onda que se propaga en el espacio, que se caracteriza matemáticamente mediante una función de onda ψ (x; t), dependiente de una variable de espacio x y una variable de tiempo t. En la formulación moderna, la función de onda se define sobre un objeto matemático abstracto llamado espacio de Hilbert de dimensión infinita que agrupa a los posibles estados del sistema. Fue el matemático John von Neumann quien introdujo estos objetos, conceptos del análisis funcional, para describir la mecánica cuántica.

Las leyes de la mecánica clásica dejan de ser válidas en este nuevo modelo matemático, y es necesario reformularlas. El mismo Albert Einstein, en 1949, recordaba sobre la época de la creación de la mecánica cuántica: “Todos mis intentos de adaptar las bases teóricas de la física a los nuevos resultados sufrieron un rotundo fracaso. Tenía la sensación como si perdiera pie y por ninguna parte se veía terreno firme donde se pudiera edificar. Siempre me pareció un milagro que esta base oscilante y llena de contradicciones resultara suficiente para permitir a Bohr, hombre de genial intuición y fino instinto, hallar las leyes más importantes de las líneas espectrales y de las envolturas electrónicas de los átomos, incluyendo su valor para la química. También ahora esto me parece un milagro. Es la suprema musicalidad en la esfera del pensamiento”.

Otros físicos avanzaron en ese terreno en el que Einstein se sentía incapaz. Por ejemplo, la contrapartida cuántica de la segunda ley de Newton (fuerza es igual a masa por aceleración) es la ecuación de Schrödinger, que describe la evolución en el tiempo de un sistema cuántico (de la función onda):

donde ψ es la función de onda, i es la unidad imaginaria, h es la constante de Planck y H es el llamado operador hamiltoniano.

Esta ecuación representa una interpretación matemática de la mecánica cuántica, que es la que se ha impuesto actualmente, ya que tiene una ventaja computacional. Pero no ha sido la única formulación matemática de las leyes cuánticas. En 1925, el joven físico alemán Werner Heisenberg introdujo un modelo nuevo. El paso de un estado a otro se traduce en una función matricial. Por eso, este formalismo de Heisenberg se conoce como la “mecánica de matrices”.

Pero ¿qué visión era más certera, la de Schrödinger o la de Heisenberg? El norteamericano de origen húngaro John von Neumann probó que ambas descripciones eran equivalentes.

Heisenberg introdujo otras de las ideas clave en el nuevo mundo cuántico, el principio de Heisenberg, que afirma que no se puede determinar, simultáneamente y con precisión arbitraria, la posición y el momento de una partícula. En otras palabras, cuanta mayor certeza se busca en determinar la posición de una partícula, menos se conoce su cantidad de movimientos lineales y, por tanto, su masa y velocidad. Esto sucede ya que cuando se observa una partícula, se envían fotones que interfieren con ella.

La aceptación de esta idea, y también de la dualidad de la materia, llevaba a dramáticos desacuerdos en torno a algunas cuestiones fundamentales: ¿existen los objetos atómicos con independencia de las observaciones humanas?, y si es así: ¿es posible comprender de forma correcta su comportamiento?

Werner Heisenberg, en su ensayo Física y filosofía, escribe: “[…] la interpretación de Copenhague parte de una paradoja: describimos nuestras experiencias en los términos de la física clásica y al mismo tiempo sabemos, desde el principio, que estos conceptos no se ajustan con precisión a la naturaleza”.

En el discurso de aceptación de su Premio Nobel en 1954, Max Born recordaba también la división de los físicos cuánticos en esas épocas: “[…] cuando digo que los físicos aceptaban el modo de pensar que en aquella época habíamos desarrollado no estoy siendo del todo correcto. Entre los investigadores que contribuyeron de manera destacada a la construcción de la mecánica cuántica hubo algunas excepciones notabilísimas. El mismo Planck estuvo entre los escépticos hasta su muerte y Einstein, de Broglie y Schrödinger no dejaron nunca de subrayar los aspectos insatisfactorios de la teoría […]”.

Efectivamente, el mismo Einstein, a pesar de haber sido uno de sus grandes impulsores, nunca se sintió cómodo con la indeterminación propugnada por el principio de Heisenberg, y ante ella pronunció su famosa frase: “Dios no juega a los dados con el universo”. Einstein tenía una visión más acorde con la mecánica clásica que con la cuántica. Incluso intentó en compañía de Boris Podolsky y Nathan Rosen demostrar que la mecánica cuántica no era una teoría completa. Lo que se llama el argumento EPR (por las iniciales de los tres autores) afirmaba que la mecánica cuántica no lo era. Por ejemplo, en el fenómeno denominado “entrelazamiento cuántico”, dos fotones separados por una distancia enorme actúan de manera que lo que midiéramos de uno, obtendríamos el mismo resultado. No puede haber causalidad, así que algo falta en la descripción. El argumento de Einstein-Podolsky-Rosen cayó por tierra con la comprobación experimental de la violación de las “desigualdades de Bell”.

Einstein tuvo que aceptar su derrota y la mecánica cuántica se convirtió en la herramienta para explicar la física de lo diminuto, de los átomos y las partículas. Mientras tanto, la mecánica clásica sigue siendo válida para explicar el mundo macroscópico, con el que interactuamos en nuestro día a día. El reto es unir ambas visiones, y para ello se ha propuesto un proceso llamado “cuantización”, en el que es fundamental otra rama de las matemáticas, la geometría diferencial. Durante estas décadas se ha trabajado intensamente, pero por el momento no se ha completado el proyecto. La unificación de estas visiones sigue siendo uno de los grandes retos de la física moderna.

EL GATO DE SCHRÖDINGER

Erwin Schrödinger planteó un experimento mental que ilustra en gran medida las paradojas y las dificultades para entender la mecánica cuántica. Ideó un sistema formado por una caja cerrada que contiene un gato en su interior, una botella de gas venenoso y un dispositivo. El dispositivo contiene una partícula radiactiva con una probabilidad del 50% de desintegrarse en un tiempo dado, de manera que si la partícula se desintegra, el veneno se libera y el gato muere.

Cuando pasa el tiempo estipulado, la probabilidad de que el dispositivo se haya activado y el gato esté muerto es del 50%, la misma de que el dispositivo no se haya activado y el gato esté vivo. La mecánica cuántica describe el sistema por medio de la función de onda, y habrá una superposición de los dos estados, que se corresponden a la situación vivo-muerto. Solo abriendo la caja sabremos si el gato está en uno u otro estado. Según nuestra intuición, el gato estaría muerto o vivo abramos o no la caja; según la mecánica cuántica, las dos posibilidades coexisten.

La gravedad en la teoría de la relatividad

El fenómeno de la gravitación no entraba en la descripción de la relatividad especial de Einstein. Esto suponía una gran falla, porque esta es una de las fuerzas básicas del universo. En 1915, dando otro aldabonazo en los fundamentos de la física, anunció la teoría de la relatividad generalizada, en la que incluía la gravedad en su concepción del universo, afirmando que el espacio-tiempo está curvado y la gravedad es la manifestación de esa curvatura. En este sistema, por tanto, la gravedad no es más que pura geometría. El funcionamiento de este modelo viene resumido por la frase de John Archibald Wheeler: “La materia le dice al espacio cómo curvarse, el espacio le dice a la materia cómo moverse”.

La relatividad general es, en gran medida, una extensión de la ley de gravitación universal de Isaac Newton, aderezada con las ideas de Galileo Galilei. Para darle un armazón formal necesitó los admirables desarrollos de los geómetras. Empleó las geometrías no euclidianas (de Gauss, Bolyai y John Archibald Wheeler) y los trabajos de matemáticos como Bernhard Riemann, Tullio Lévi-Civita, Hermann Minkowski, Gregorio Ricci-Curbastro, Elwin Bruno Christoffel o David Hilbert.

En concreto, hizo falta emplear métricas determinadas por la curvatura del espacio-tiempo debido a la presencia de las masas gravitatorias. La formulación matemática de este fenómeno es el espacio-tiempo dotado de una métrica pseudoriemanniana. En él, una partícula se mueve en línea recta solo si nada influye sobre su trayectoria. La presencia de una masa deforma al espacio-tiempo y en ese caso la partícula se movería a lo largo de una geodésica.

Tal y como afirmaba Einstein, la luz es una onda electromagnética compuesta por fotones, por lo tanto, si se cumple la ley de la relatividad general, debe sentir la presencia de la gravedad generada por una cuerpo suficientemente masivo, por ejemplo de una estrella, aunque los fotones no tienen masa. O, dicho de otra manera, la presencia de grandes masas distorsionaría el espacio a su alrededor y los rayos de luz seguirían trayectorias que serían geodésicas en ese espacio curvado. La confirmación experimental de este hecho se produjo con el eclipse de 1919, con las expediciones dirigidas por el astrónomo británico Arthur Stanley Eddington: la luz de las estrellas sufría una desviación por la atracción del Sol. El usar la ocasión de un eclipse permitía observar estrellas próximas al Sol y visibles durante el eclipse. Estos resultados probaron la teoría de la relatividad de Einstein y convirtieron al alemán en el científico más popular de la historia desde entonces.

Esta comprobación se ha repetido desde entonces muchísimas veces, pero no es la única prueba de la teoría. Se ha medido la desviación provocada por las galaxias, se ha comprobado con la medida del perihelio de Mercurio y, si faltaba algo, el experimento LIGO16 ha probado la existencia de las ondas gravitatorias predichas por Einstein.

Las matemáticas del espacio curvado por la gravedad

Para dar un armazón teórico a su teoría, Einstein tuvo que recurrir a las matemáticas más modernas: las geometrías no euclidianas, que se habían desarrollado apenas unos años antes.

El origen de esta construcción sin embargo no vino motivada por sus aplicaciones a cosmología, sino que era una cuestión meramente abstracta que se había convertido en un quebradero de cabeza de la comunidad científica desde hacía siglos. En concreto, desde que Euclides escribiera Los elementos. En este libro propuso cinco postulados de los que partía para edificar todo su cuerpo teórico.

Frente a los cuatro primeros postulados, el quinto parecía menos “básico” y, por tanto, menos “axiomático”. Muchos matemáticos consideraban que podría deducirse a partir de los anteriores, que no era un requisito “natural” del sistema.

Se sucedieron muchos intentos históricos para probar que el quinto axioma se deducía de los otros cuatro de matemáticos como John Wallis, Girolamo Saccheri (quien supuso que era falso y quiso llegar a una contradicción, sin éxito), Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre (que, tras cuarenta años de trabajo sobre el tema, probó que el quinto postulado era equivalente a que la suma de los ángulos de triángulo es de 180º). Un gran número de pruebas falsas anunciaron el fin del problema, hasta que se encontraron sus errores. Estos repetidos fracasos llevaron, en 1767, a Jean le Rond d’Alembert a calificar este problema como el escándalo de la geometría elemental.

Hasta el siglo XIX el problema parecía irresoluble. Fue entonces cuando, de manera independiente, dos grandes matemáticos, János Bolyai y Nikolái Lobachevski, dieron con la respuesta. Es posible que el gran Karl Gauss lo hubiera resuelto con anterioridad, pero nunca llegó a publicarlo.

Para resolver este problema y mostrar que el quinto axioma sí era una verdad natural de la geometría, los dos matemáticos trataron de usar la reducción al absurdo: suponían que se verificasen todos los postulados, menos el quinto, y así pretendían llegar a una contradicción. El quinto postulado puede no cumplirse de dos maneras: si no es posible trazar ninguna paralela por un punto externo a una “recta”, y si se pueden trazar infinitas. En lugar de llegar a una contradicción, con este nuevo sistema de axiomas aparecían nuevos universos matemáticos —las geometrías no euclidianas— y constituyeron una auténtica revolución en el mundo matemático.

Aunque algunos tacharon estos nuevos mundos de aberraciones, lo cierto es que estas geometrías no eran diferentes de la geometría euclídea, en el sentido de que no había contradicciones, eran consistentes. El primero en colocar la geometría de Bolyai-Lobachevsky al mismo nivel que la euclídea fue Eugenio Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió Essay on the interpretation of non-Euclidean geometry (Ensayo de la interpretación de la geometría no-euclídea) y dio un modelo en dimensión 2 en un espacio euclídeo de dimensión 3, la pseudoesfera. En este modelo, los cuatro primeros axiomas se cumplían pero no el quinto.

La geometría en la que no existe ninguna “recta” (el concepto se extiende a geodésicas, curvas que minimizan las distancias, tal y como ocurre con las rectas en un espacio euclídeo) paralela a otra “recta” dada pasando por un punto exterior a esta es la geometría esférica, en la que trabajó el matemático alemán Bernhard Riemann. La geometría en la que existían infinitas “rectas” paralelas era la geometría hiperbólica.

En la superficie de una esfera, si se consideran dos puntos, es fácil ver que el arco que minimiza la distancia entre ellos es el del arco máximo que determinan. Por tanto, en una superficie esférica, los arcos máximos son las geodésicas, es decir, las “rectas”. En este espacio por un punto exterior a una geodésica no pasa ninguna geodésica paralela. Algo similar se puede pensar en un modelo de espacio hiperbólico. En este caso, son infinitas las paralelas que se pueden trazar por un punto externo a una geodésica dada.

El modelo lo completó Felix Klein en 1871 quién dio además modelos de otras geometrías no-euclídeas, como la de Riemann. Klein demostró que hay tres tipos de geometrías:

Hiperbólica (Bolyai-Lobachevsky).

Esférica (Riemann).

Euclidiana.

Einstein tuvo a su alcance estos resultados, así como el trabajo de los geómetras diferenciales (Tullio Lévi-Civita, Elwin Bruno Christoffel, Bernhard Riemann y muchos otros). Ellos abrieron el camino que luego transitaría Einstein, quien siempre se manifestó admirado la facilidad de los matemáticos para avanzar por lugares en los que a él le costaban tanto esfuerzo moverse. Esta admiración queda reflejada muy bien la carta de Einstein a Tullio Lévi-Civita: “Jamás había tenido una correspondencia tan interesante como esta, tendría que ver con qué ansiedad espero sus cartas. A mi llegada encontré sus nuevos e interesantes trabajos y me los llevé conmigo enseguida para poder estudiarlos aquí con tranquilidad. Admiro la elegancia de su método de cálculo, debe de ser muy hermoso cabalgar por esos campos sobre el caballo de las verdaderas matemáticas, mientras que los que son como nosotros tenemos que hacer nuestro camino a pie”.

CAPÍTULO 8

La visión

“No vemos el mundo como es, lo vemos como

creemos que es útil verlo para no morir en él”.

Luis Martínez

Desde la Antigüedad los científicos idearon diversas teorías sobre cómo se produce la visión, que han aparecido intercaladas en el libro con las propias sobre la naturaleza de la luz. Todavía hoy no se conoce con detalle el mecanismo por el cual nuestro cuerpo recibe e interpreta las imágenes, pero en las últimas décadas se han sucedido una serie de resultados sorprendentes sobre el funcionamiento de nuestro cerebro y, muy especialmente, la visión. También las matemáticas resultan muy útiles para completar sostener estas teorías (Dierssen, 2016).

El ojo

La ciencia moderna ha sido capaz de describir con detalle la constitución de los ojos humanos y de su conexión con el cerebro. Sin embargo, este conocimiento es relativamente reciente, ya que una de las fuentes principales de información sobre la anatomía humana es la disección de cadáveres, que estuvo prohibida durante siglos en muchos lugares. De esta manera, las aproximaciones a la visión de Aristóteles o Kepler fueron realizadas sin conocimientos modernos de anatomía.

Los elementos principales del ojo son los siguientes:

El cristalino. El ojo dispone de una lente que se ajusta según la distancia gracias a ciertos músculos (diríamos que el cristalino “se acomoda” para un mejor resultado mediante los músculos ciliares).

La cámara anterior, que es el espacio que está entre la córnea y el iris. Está relleno de un líquido llamado humor acuoso.

La cámara posterior del ojo es un espacio situado detrás del iris y está bañada por un fluido que se llama humor vítreo.

La pupila, que actúa como un diafragma regulado por el iris y un tejido sensible a la luz, que es la retina. El iris es la membrana coloreada y circular del ojo que separa la cámara anterior de la cámara posterior. La pupila es una abertura central de tamaño variable que comunica las dos cámaras. Su función principal es controlar la cantidad de luz que penetra en el ojo.

La luz penetra a través de la pupila, atraviesa el cristalino y se proyecta sobre la retina, donde se transforma en un impulso nervioso, gracias a unas células llamadas fotorreceptoras. Estos impulsos nerviosos son trasladados al cerebro a través del nervio óptico. Hasta llegar a la retina, las leyes que sigue la visión no son más que las propias de la física y las matemáticas de la mecánica, sobre las que hemos estado hablando en los capítulos anteriores. A partir de ese momento, entramos en el misterioso mundo del cerebro.

La retina y más allá

La retina es un tejido compuesto de varias capas de neuronas interconectadas mediante sinapsis. Una de esas capas es la de células fotorreceptoras (los conos y bastones), que son capaces de transformar la energía luminosa en energía eléctrica. El descubrimiento y nombre de la retina se debe al médico griego de la Escuela de Alejandría, Herófilo de Calcedonia.

En la Escuela de Alejandría, donde ejercía Herófilo de Calcedonia (Bitinia, 335 a. C.-280 a. C.), la disección de cadáveres con fines científicos era una práctica habitual, lo que le permitió convertirse en el primer anatomista. Hizo descubrimientos importantes sobre el cerebro que le llevaron a afirmar que la inteligencia no se encuentra en el corazón, sino en el cerebro. Escribió nueve tratados que se han perdidos, aunque sus resultados fueron difundidos fundamentalmente mediante las citas de Galeno.

Al diseccionar el ojo, descubrió sus diferentes partes: la córnea, la retina y el iris. A él se le debe también el nombre de “retina”, diminutivo de la palabra en latín rete, que significa “red”, descrita así por Herófilo.

Hoy sabemos que los fotorreceptores captan los fotones de luz en la retina mediante dos tipos de células: los bastones (que son alargados) y los conos (que tienen una forma cónica). Contiene unos 90 millones de bastones y 4,5 millones de conos.

Los bastones son sensibles a la luz en un amplio ancho de banda, son responsables de la visión cuando la luminosidad es baja y también captan el movimiento. Los conos son los responsables de la percepción del color. Existen tres tipos de conos, cada uno con un pigmento visual diferente. Algunos de ellos son sensibles a longitudes de onda cortas y permiten la percepción del color azul. Otros lo son a longitudes de onda medias y permiten la percepción del verde. Finalmente, los del tercer tipo absorben longitudes de onda más largas y permite la percepción del amarillo y del rojo. Así que se produce esa combinación de luz roja, verde y azul que son los tres colores primarios y con los que podemos construir toda la gama de colores.

Los bastones y conos transforman la luz en señales eléctricas usando unas proteínas especiales, las opsinas, que convierten los fotones absorbidos por los conos y bastones en señales electroquímicas específicas que son enviadas al nervio óptico y, finalmente, al cerebro. Este proceso se llama “fototransducción”. Hay cuatro tipo esenciales de opsinas: uno para los bastones (rodopsina) y tres para los conos; las opsinas están unidas a la vitamina A (retinal), que actúa como una molécula que absorbe luz; después de absorber la luz su estructura molecular cambia y se separa de la opsina. Al ocurrir esta separación, la opsina genera una señal eléctrica por un proceso bioquímico muy complejo, el ciclo visual.

Este mecanismo hace que se diga que los seres humanos son tricrómatras (tres pigmentos), lo que parece que comparten los primates superiores, aunque un porcentaje de la población humana es tetracrómata (tiene cuatro tipos de conos). Los experimentos han demostrado que la mayoría de los mamíferos de hábitos nocturnos son dicrómatas (dos pigmentos).

Hay muchos otros tipos de células que forman parte de la retina además de conos y bastones.

La luz atraviesa todas estas capas hasta llegar finalmente, transformada en impulsos eléctricos, al nervio óptico. En esa zona de la retina donde se inicia el nervio óptico no existen fotorreceptores, por lo que se denomina punto ciego. Sin embargo, ese espacio vacío lo rellena la corteza cerebral, como se expondrá más adelante.

Vemos con el cerebro

La visión se compone, por tanto, de una etapa mecánica en la que la luz entra en el ojo, y otra fisiológica, en la que los fotones transmiten su energía, que es convertida en eléctrica por un proceso bioquímico (como sucedía en el efecto fotoeléctrico, en el que los fotones producían corrientes eléctricas, aunque aquí el procedimiento recurre a la bioquímica). ¿Qué sucede con las corrientes eléctricas que llegan al cerebro conducidas por el nervio óptico? El proceso al completo tiene cuatro etapas distinguidas:

1. Percepción. En la primera etapa del proceso, la luz entra en el ojo atravesando una serie de órganos transparentes: córnea, humor acuoso y humor vítreo. Es en este momento cuando se busca, se sigue y se enfoca la imagen.

2. Transformación. La imagen llega a la retina y allí se activan las células sensoriales, que son las que transforman la luz en impulsos nerviosos.

3. Transmisión. Los impulsos nerviosos creados en la retina inician su camino hasta el cerebro, en concreto a la corteza cerebral, a través del nervio óptico.

4. Interpretación. El cerebro se encarga de reconocer, procesar e interpretar dichos impulsos, convirtiéndolos en imágenes con sentido para nosotros. Cabe destacar que, como ocurre en las cámaras fotográficas tradicionales, la imagen que se forma en la retina se encuentra invertida, pero nosotros no nos damos cuenta gracias a la labor interpretativa del cerebro, que se encarga de darle la vuelta para que la veamos correctamente.

La información llega a la corteza cerebral, pasando previamente por el tálamo, que ejerce un papel de control y selección. Es aquí cuando se produce un intercambio lateral, de manera que el campo visual derecho se representa en la corteza visual izquierda, y viceversa.

Existen más de treinta partes de la corteza cerebral que intervienen en la visión. La zona llamada V1 es la que hace de distribuidora. La cantidad de neuronas que intervienen en el proceso es enorme, con funciones muy diferentes.

Hay dos vías principales: una es la vía dorsal (que Mara Dierssen llama la vía “del dónde”), que envía la información a una zona denominada V5-. Esta región, que compartimos con los mamíferos, es la más antigua en términos evolutivos del cerebro y es decisiva, por ejemplo, en el análisis del movimiento (que es, desde un punto de vista de la supervivencia, un asunto de vital importancia). La segunda vía es la vía ventral (o “del qué”), más moderna y exclusiva de los primates. Llega a los lóbulos temporal y occipital, que contienen neuronas que identifican colores, formas, texturas.

Las matemáticas de la visión17

Interpretamos el mundo a través de nuestros sentidos o más bien son los nervios ópticos o sus equivalentes para otros sentidos los que transmiten la información exterior e interior a nuestro cerebro y allí se interpreta. El funcionamiento del cerebro, como ha revelado la investigación en los últimos años, es extremadamente complejo, y además va variando a través de nuestra experiencia. Durante nuestra vida va construyendo una enorme “biblioteca” a la que acude para identificar y poner en contexto los estímulos que recibe en cada momento, y en función de eso tomar las decisiones de comportamiento más adecuadas en cada situación. En la comprensión de este mecanismo se aplican diversas ramas de las matemáticas, en combinación con técnicas computacionales.

Desde que Santiago Ramón y Cajal describiera las neuronas y las sinapsis entre ellas, el modelo que sirve para describir el sistema nervioso es una gran red, cuyos nodos son las neuronas y cuyas aristas son las sinapsis. De esta manera, la teoría de grafos tiene una obvia implicación en el entendimiento de las redes neuronales.

Las redes que se estudian son modelos simplificados, ya que las conexiones son múltiples, algunas bidireccionales y otras no, pero permite, gracias a la potencia de la teoría de grafos, extraer algunas conclusiones de interés. A partir de estudios de imagen cerebral no invasiva es posible determinar la estructura global de la red y así determinar la relevancia que los distintos nodos o estructuras cerebrales tienen para distintos comportamientos y, finalmente, predecir cómo cambiará este si se producen daños, incluso mínimos, en cualquier parte del cerebro. Lo verdaderamente interesante es que, en un futuro no lejano, se podrá actuar sobre alguno de estos nodos cerebrales específicamente para paliar los efectos derivados de muchas enfermedades neurológicas.

También se utilizan métodos de la dinámica no lineal para el estudio del cerebro. Ya desde los pioneros modelos en dimensiones 1 y 2 desarrollados por Alan Lloyd Hodgkin y Thomas Henry Huxley, los sistemas dinámicos no lineales se situaron en el corazón de la investigación en neurociencia. Especialmente se interesaron en entender cómo se comunican las neuronas, si ante un suceso determinado producen potenciales de acción, que forman la base de su lenguaje, o no, y si lo hacen, cuál es su ritmo. Todo ello determinará finalmente cómo funciona el pensamiento y cómo se adapta, aprende y madura. Este conocimiento es fundamental para abordar muchos problemas con una gran relevancia social, como la educación o incluso las peculiaridades de nuestro marco legal y ético.

Otra área fundamental en la neurociencia es la teoría de probabilidades y la estadística y, en concreto, los métodos bayesianos. Si nuestro cerebro crea una biblioteca, ¿cuál es la probabilidad de que ante un estímulo concreto encuentre el “libro” adecuado?

Tecnologías para ‘ver’ el cerebro

Gracias a la investigación se ha podido determinar qué zonas del cerebro intervienen en la visión y así se ha comprendido mucho más sobre el fenómeno. Hasta hace poco, para poder mapear la visión en el cerebro se analizaba a personas que habían sufrido algún accidente cerebral que tenía consecuencias en este sentido. Pero desde principios de los noventa, los equipos de escáner cerebral se han desarrollado hasta llegar al punto en el que es posible ver el funcionamiento del cerebro directamente desde una pantalla utilizando escáneres de tomografía axial computarizada (TAC) e imágenes de resonancia magnética (IRM).

Las matemáticas desempeñan un papel crucial en ambas tecnologías. Las ideas básicas que se emplean como fundamento de los modernos métodos tomográficos fueron descritas en 1917 por el matemático Johann Radon, en un trabajo estrictamente teórico donde presentó lo que hoy se conoce como la transformada de Radon. Sin embargo, no fue hasta más de cuarenta años después que Allan M. Cormack y Godfrey N. Hounsfield, investigando de forma independiente, lograron construir el primer equipo práctico que trabajara sobre la base de este principio (y recibieron por ello el Premio Nobel de Medicina y Fisiología en 1979).

La formación de IRM sigue un principio similar a la TAC, pero en vez de rayos X la IRM emplea ondas de radio de alta frecuencia para escanear al paciente.

RELACIONES ENTRE VISIÓN Y CÁLCULO EN EL CEREBRO

Cuando una persona hace una operación matemática sencilla, como sumar dos números, por ejemplo, 4 y 7, ¿es posible ver ese cálculo en su cerebro? Mediante escáneres se observa la activación de una zona llamada “surco intraparietal”.

Este hecho ocurre también con personas ciegas, lo que ha llevado a pensar que la capacidad de computación (simplificando, los números) es algo innato; en otras palabras, todo parece sugerir que existe una comprensión natural de los números. Efectivamente, en un reciente artículo (Looi, Krause y Cohen, 2016) se explora el desarrollo de la cognición numérica, analiza un carácter innato (los bebés de un día ya son capaces de discernir si dos cantidades son iguales o no; a los seis meses son capaces de distinguir entre tres o cuatro objetos). Lo sorprendente es que las personas ciegas usan la corteza visual como un extra cuando hacían cálculos matemáticos, cuando esa no es la función de esta zona del cerebro.

Muchos neurocientíficos están convencidos de que los hallazgos que se están logrando en la comprensión del funcionamiento de nuestro cerebro (no solo en los aspectos relacionados con la visión) podrán ser utilizados para desarrollar nuevas técnicas educativas. Si se consigue avanzar en estas investigaciones, se mejoraría notablemente los resultados de nuestros estudiantes de matemáticas.

CAPÍTULO 9

Teoría de los colores

Para terminar este recorrido de las relaciones entre luz y matemáticas, en este capítulo se presentarán diversos temas relacionados con el color: desde la explicación de los colores del arcoíris y del azul del cielo, hasta la apasionada teoría del color que un genio como Johann Wolfgang von Goethe se atrevió a formular desafiando al mismísimo Newton.

John Keats, en su bello poema “Lamia”, habla del arcoíris a través de una divertida historia sobre la magia de los colores, destruida por Newton en sus investigaciones.

Do not all charms fly

At the mere touch of cold philosophy?

There was an awful rainbow once in heaven:

We know her woof, her texture; she is given

In the dull catalogue of common things.

Philosophy will clip an Angel’s wings,

Conquer all mysteries by rule and line,

Empty the haunted air, and gnomèd mine—

Unweave a rainbow, as it erewhile made

The tender-person’d Lamia melt into a shade18

(Lamia, John Keats, 1820).

La magia de un arcoíris19

Somewhere over the rainbow way up high

There’s a land that I heard of once in a lullaby

Somewhere over the rainbow skies are blue

And the dreams that you dare to dream really do come true20.

“Somewhere over the Rainbow”, cantada por Judy Garland

en El mago de Oz

El arcoíris es un fenómeno fascinante que ha intrigado desde siempre a la humanidad. Desde la Antigüedad se ha buscado una explicación. Para los antiguos griegos, por ejemplo, Iris era una diosa que cruzaba el cielo llevando mensajes:

Como cae de las nubes la nieve o el helado granizo,

a impulso del Bóreas, nacido en el éter;

tan rápida y presurosa volaba la ligera Iris

(Ilíada, Homero, Canto XV).

Con un planteamiento más analítico, los científicos se preguntaron: ¿cómo se produce?, ¿cuántos colores aparecen en el mismo?, ¿dónde está el Sol en ese momento? El Sol ha de estar siempre a la espalda del observador. Respecto al número de colores, las respuestas han ido evolucionando con la historia. Ahora son siete: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul y violeta, pero Aristóteles contaba solo tres: rojo, verde y púrpura, cuando se cuenta desde fuera hacia el interior.

Según el sabio griego, el arcoíris era una consecuencia del reflejo de la luz producido por las nubes. Robert Grosseteste desmontó esta teoría y propuso la explicación de que era el resultado de la refracción de los rayos de sol en la humedad de una nube convexa. Aportaciones posteriores de Teodorico de Friburgo (1250-1310), un dominico alemán, pusieron de manifiesto el papel de las gotas individuales de lluvia.

Pero son René Descartes e Isaac Newton los que resuelven el misterio. Descartes observó que si se cogía una ampolla de agua (simulando una gota) y se hacía pasar un haz de luz blanca por el centro y después se movía hacia el borde, el haz se desplazaba cada vez más lejos, hasta que alcanzaba la máxima distancia, y luego retrocedía. Lo mismo ocurre cuando vamos variando el ángulo con el que lanzamos un proyectil para conseguir el mayor alcance; el ángulo que se forma entre el haz entrante y el saliente es el que se observa en el arcoíris: 42º. Descartes dio también la explicación para la banda oscura que suele aparecer en un arcoíris. En definitiva, fue Descartes quien identifica la geometría del arcoíris.

La explicación de los colores la aporta sir Isaac Newton. Descartes reconoció que no sabía explicar el origen de los colores, ya que desconocía que la luz blanca se puede descomponer y que cada color tiene un índice de refracción diferente. La teoría corpuscular de Newton dio la clave, pues los diferentes colores serían producidos por diferentes partículas.

Se dice que el pintor Haydon y los literatos Keats, Wordsworth y Lamb coincidieron en un banquete en sus críticas a Newton por haber destruido la magia del arcoíris, pero al final todos brindaron “a la salud de Newton y por la confusión de las matemáticas”.

Hay otros pequeños detalles a explicar, como los arcos supernumerarios que se observan. Para ello, más científicos contribuyeron a la teoría del arcoíris, como los matemáticos británicos George Biddell Airy, Augustus De Morgan o el mismo sir George Gabriel Stokes. Para ello tuvieron que hacer uso de la teoría ondulatoria de la luz.

Coloreando a Goethe

La obra literaria de Johann Wolfgang von Goethe, posiblemente el escritor alemán más importante de la historia, es muy conocida por el público general, con grandes obras como Las desventuras del joven Werther (1774) o Fausto (1806). Pero mucho menos conocida es su faceta como científico o, al menos, como intelectual apasionado por la ciencia.

Goethe quiso aportar humanidad a la fría ciencia de Newton y en su libro Zur Farbenlehre (1810) (Teoría de los colores) desarrolló una teoría subjetiva del color. Asociaba uno diferente a cada sensación; afirmaba, por ejemplo, que los colores cálidos estimulaban la mente y alegraban mientras que los colores fríos tranquilizaban; los negros y grises deprimían y el blanco reforzaba lo positivo. Es decir, los colores están mediatizados por nuestra percepción e influyen en nuestra conducta. Al entrar en contacto con un determinado color, este se sincroniza con nuestro espíritu e influye en nuestro estado de ánimo.

Criticaba la teoría de Newton, ya que al intentar reproducir la descomposición de la luz blanca al pasar por un prisma, siguiendo las técnicas del científico inglés, algo fallaba. Goethe apuntaba: “1. Cuando un haz de luz está rodeado de oscuridad, aparecen tonos amarillo-rojizos en la parte superior, y azul-violáceos en la parte inferior. El espectro con el verde en el centro aparece solo cuando los bordes violáceos se superponen a la parte rojo-amarilla. 2. Cuando un haz de oscuridad está rodeado de luz, encontramos tonos azul-violáceos en el borde superior y amarillo-rojizos en la inferior. Cuando los bordes se solapan, aparece el magenta en el centro”.

Aporta otra explicación muy explícita: “Cuando el ojo ve un color se excita inmediatamente, y esta es su naturaleza, espontánea y de necesidad, producir otra en la que el color original comprende la escala cromática entera. Un único color excita, mediante una sensación específica, la tendencia a la universalidad. En esto reside la ley fundamental de toda armonía de los colores […]”.

El experimento que hace Goethe es muy simple y se puede reproducir fácilmente. Basta con pintar círculos de colores (amarillo, azul, rojo) y disponer de una lámina en blanco. Si se fija la atención en uno de los colores, digamos, 30 segundos, y luego se mira la hoja en blanco, aparece, sorprendentemente, el color complementario al que se había mirado. Goethe dice entonces que el ojo no es un mero receptor de la luz, sino que es activo y hay por lo tanto una connotación fisiológica en la visión. Una teoría revolucionaria entonces y que no está tan lejos de como ahora creemos que se produce la visión. El ojo no solo ve el color, también lo produce.

Goethe critica también el experimento del prisma para descomponer la luz blanca que Newton había propuesto. Supongamos que se dispone de un prisma, y se acerca al ojo, después se mira una cartulina negra en la que se ha dibujado un círculo blanco: aparecerán los colores. Lo mismo ocurrirá si la cartulina es blanca y el círculo es negro. Por lo tanto, el ojo es activo y los colores surgen de la confrontación del blanco y el negro.

A pesar del rechazo de los físicos, esta obra de Goethe era tan bella y atractiva que consiguió fascinar a gente tan notable como Thomas Johann Seebeck, Arthur Schopenhauer, Hermann von Helmholtz, Rudolf Steiner, Ludwig Wittgenstein, Werner Heisenberg, Kurt Gödel y Mitchell Feigenbaum.

Wittgenstein, en su obra Remarks on Colour, una exégesis del libro de Goethe, comenta que esta teoría es más bien un catálogo de experiencias, ya que no hay ningún experimento que la pueda probar o falsear. Y mucho menos, matemáticas. Según Goethe, el error de Newton fue precisamente primar las matemáticas sobre las sensaciones, así que él las hace desaparecer de su obra, excepto en una asignación numérica a cada color según su luminosidad.

Dos de las creaciones de Goethe fueron la rueda de color, basada en la tríada de colores primarios complementados con los secundarios, y el triángulo de color. En su teoría, Goethe describía los colores como la interacción dinámica entre la luz y la oscuridad. La luz podía limitar la energía de la oscuridad, y recíprocamente, y así surgía el color. Los fundamentos de Goethe fueron la simetría y la complementariedad (que depende de nuestro sistema visual).

A pesar de su influencia en el arte y en la estética, la teoría de los colores de Goethe21 no triunfó y las tesis de Isaac Newton, Huygens y resto de físicos y matemáticos se impusieron finalmente. Sin embargo, las ideas de Goethe sobre la percepción del color han tenido su continuidad por ejemplo con las ideas de Edwin H. Land sobre la retina. Además, sirvió para crear lo que hoy se llama la psicología del color.

El literato estaba muy orgulloso de su teoría de los colores y afirmaba: “No me enorgullezco demasiado de mis logros como poeta. En mi época han vivido escritores creativos excelentes, los ha habido aún más brillantes antes de mí, y siempre los habrá después de mi tiempo. Pero de ser yo el único en mi siglo que conoce la verdad acerca de la teoría de los colores… ¡Eso es de lo que estoy orgulloso y lo que me da un sentimiento de superioridad sobre muchos!”.

Para finalizar, como anécdota, contemos que Goethe falleció en 1832, en Weimar, de un ataque cardiaco. Según su médico de cabecera, el doctor Carl Vogel, sus últimas palabras fueron “Mehr Licht!” (¡Más luz!), aunque esto puede que no sea más que una leyenda urbana. En cualquier caso, sería un espléndido final para el insigne poeta.

El cielo azul

Una de las maravillas de los cielos durante el día es su color azul; la causa de este fenómeno ha sido uno de los grandes misterios de la humanidad desde sus orígenes, como la lluvia, la naturaleza de los astros, el fuego, etc.

El color azul del cielo diurno es el resultado de la interacción de la luz del sol con la atmósfera terrestre. La humedad, las gotas de vapor de agua, las partículas de polvo y de ceniza provocan todos los demás colores maravillosos de los cielos.

El fenómeno físico es la dispersión de Rayleigh. Esto es la dispersión de la luz visible al chocar con partículas cuyo tamaño es mucho menor que la longitud de onda de los fotones dispersados. El grado de dispersión de Rayleigh que sufre un rayo de luz depende del tamaño de las partículas y de la longitud de onda de la luz; en concreto, depende del coeficiente de dispersión, por tanto la intensidad de la luz dispersada es inversamente de la cuarta potencia de la longitud de onda, relación conocida como ley de Rayleigh.

También afecta el funcionamiento de nuestro ojo en la observación del cielo. De hecho, las partículas atmosféricas dispersan la luz violeta más que la azul, pero la violeta se absorbe en la parte superior de la atmósfera y los ojos humanos son más sensibles al azul. Al anochecer y amanecer, la luz del sol atraviesa una mayor porción de atmósfera y la dispersión hace visibles los colores amarillos y rojizos característicos.

Si el tamaño de las partículas es mayor que la longitud de onda, la luz no se separa y todas las longitudes de onda no se dispersan, así que contribuyen a que la luz siga siendo blanca. La dispersión de luz por partículas mayores a un décimo de la longitud de onda se explica con la teoría desarrollada por el físico alemán Gustav Mie, que proporciona una solución analítica a las ecuaciones de Maxwell para la dispersión. De hecho, deberíamos hablar de la solución de Mie y no de la teoría de Mie.

Lo que nos dice Mie es que a una altura de unos 4,5 kilómetros en la atmósfera, las partículas presentes tienen un diámetro aproximadamente igual a la longitud de onda de la luz. Eso hace que la dispersión aumente respecto a lo que nos diría la de Rayleigh.

John William Strutt, tercer Barón de Rayleigh, más conocido como lord Rayleigh (Maldon, Reino Unido, 1842-Witham, Reino Unido, 1919), obtuvo en 1904 el Premio Nobel de Física. Sus grandes aportaciones fueron en la teoría del sonido; de hecho, su libro The Theory of Sound es todavía un referente en las escuelas de ingeniería.

Rayleigh, como muchos científicos británicos, tenía una sólida formación en matemáticas, grado que estudió en el Trinity College de la Universidad de Cambridge. Pero además tenía una faceta muy interesante como político, al ser lord, aunque solo intervenía cuando los temas se referían a materias científicas. Desde el punto de vista religioso, era anglicano y creyente en la vida espiritual; creía en los fenómenos paranormales.

El color de nuestros ojos

Los poetas han usado el color de los ojos con profusión, pero la realidad es que los ojos en sí no contienen pigmentos azules o verdes, sino que la explicación es algo más prosaica, pero quizás más interesante.

El color de ojos, un rasgo genético, está determinado por la cantidad y la distribución de una sustancia, la melanina, en el iris. La melanina es un pigmento, presente en la piel, y que es responsable del color de la misma (y también de los bronceados veraniegos). También intervienen otros pigmentos como el lipocromo. La variación del color de ojos se produce en principio por el pigmento de la parte anterior del iris y de cuánta luz absorbe el estroma (el armazón de tejido conjuntivo del iris), de acuerdo a su densidad. Cuanta más melanina haya en la zona anterior del iris, más oscuros son los ojos. La ausencia casi total de melanina en la zona anterior del iris o cantidades pequeñas del pigmento da lugar a ojos azules, grises o verdes.

Los ojos de color azul prácticamente no contienen melanina en la parte anterior del iris y poseen un estroma delgado. La apariencia azul es el resultado de la dispersión que sufre la luz al incidir en el estroma del iris. La luz de longitud de onda larga es absorbida, mientras que la luz de longitud de onda corta (azul) es reflejada y dispersada por el estroma. Se trata del mismo fenómeno óptico que explica el color azul del cielo, la dispersión de Rayleigh. De la misma manera se puede explicar el color verde u otros colores.

Midiendo distancias entre colores22

¿Pueden definirse de forma objetiva los colores? Aunque no sepamos cómo procesa la información cada cerebro, matemáticamente sí es posible definir los colores y la distancia entre ellos, es decir, determinar si dos colores son más o menos parecidos. Se hace de acuerdo con la respuesta de nuestros ojos (que es más o menos igual en todas las personas) a cada tipo de luz.

En el colegio nos enseñaron que cualquier color (de luz reflejada en tintas o pinturas) se puede conseguir mezclando los tres primarios: cian, magenta y amarillo. Cuando la fuente es luz emitida, a través de focos o monitores, son otros los colores básicos: el rojo, el azul y el verde (dan lugar al llamado sistema RGB). Cualquier color se puede describir de forma más detallada con una terna de números (r, g, b) que indica las proporciones variables de estos tres.

Esta estructura ternaria se explica por la fisiología del ojo de la que ya se habló en el capítulo anterior. Los conos, las células situadas en la retina ocular responsables de la recepción del color, son de tres tipos. Cada uno da una respuesta más especializada en rangos diferentes del espectro visible: un tipo de conos tiene especial preferencia por las frecuencias rojizas, otro por las verdes y, finalmente, el tercer grupo por las azules.

De esta forma, a cada fuente lumínica le asignamos tres números que se corresponden a la respuesta que dan los tres tipos de conos humanos ante ese estímulo. Funciona como una terna de coordenadas en el espacio, aunque el sistema no está del todo bien definido: hay luces distintas, es decir, compuestas por diferentes frecuencias, que estimulan a los conos de la misma manera e inducen la misma impresión en la retina. Ambas luces, aunque sean esencialmente diferentes, definen la misma terna y son, por tanto, indistinguibles ante el ojo humano. Por otra parte, estas ternas no cubren todo el espacio de coordenadas: hay ternas de números que nunca son resultado de la impresión en la retina. Son como colores imaginarios, que nunca se alcanzan.

De hecho, se puede definir una zona del espacio de tres coordenadas que describen los colores visibles por el ojo humano. El conjunto es convexo en sentido geométrico. Eso quiere decir que, dados dos puntos de ese conjunto, el segmento que definen está enteramente contenido en él. Es así porque ese segmento está formado por todos los colores que se obtiene combinando con todas las proporciones posibles los colores de los extremos. Es más, el sistema RGB cubre una zona piramidal, en forma de tetraedro irregular, con un vértice en el origen del espacio y delimitado por la elección que se haya hecho del rojo, el azul y el verde básicos. Lo sorprendente es que quedan muchos más colores fuera de esa zona, por lo que las pantallas de ordenador, e incluso la paleta de un pintor, no pueden recrear todos los posibles colores existentes partiendo de una cantidad finita de colores básicos.

Una vez definido el espacio del color, para dotarle de una geometría es necesaria una métrica, para medir distancias. ¿Cuál es la distancia de dos colores en nuestro sistema de coordenadas? La distancia no tiene por qué ser la euclídea, es decir, la distancia de los puntos en el espacio, porque nos interesa una distancia en la que dos colores sean cercanos si se perciben como tal. ¿Dos colores cercanos en la región convexa de todos los colores son percibidos como “parecidos”? Experimentalmente se ha determinado que el comportamiento del ojo humano a cambios ligeros de cada una de las coordenadas es complejo. Hay zonas en donde ligerísimos cambios de cualquiera de las coordenadas son percibidos automáticamente por el sujeto (por tanto, la distancia aumenta rápidamente) y, sin embargo, en otras, el sujeto no percibe cambio hasta que ha variado mucho más cualquiera de las coordenadas (y la distancia crece lentamente). Por tanto, la distancia no es lineal. Se construye lo que se llama una métrica riemanniana. En este espacio, el camino más corto entre dos puntos no es la recta, sino una geodésica. De esta forma, se pueden medir distancias entre colores y decidir objetivamente, por ejemplo, si el rosa palo y el blanco roto son tan distintos o tan próximos como afirman unas u otras personas.

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Notas

  1. “Nacemos de la luz. Las estaciones se sienten a través de la luz. Solo conocemos el mundo como lo evoca la luz”.

  2. “Es maravilloso en una habitación cuando la luz entra desde la ventana y se convierte en parte de la habitación. El Sol no es consciente de su belleza hasta que se crea una habitación. La creación del ser humano, el construir una habitación, es de alguna manera milagrosa. Basta con pensar que así puede reclamar una porción del Sol”. 

  3. “Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él”.

  4. “A los elementos de los que se proviene / Todo se devolverá. / Nuestros cuerpos a la tierra, / Nuestra sangre al agua, / El calor al fuego, / La respiración al aire”.

  5. Véase https://www.youtube.com/watch?v=aykvK1wBqQw

  6. Esta cita marca precisamente el papel de España en toda esta historia: “Once upon a time in the West, in Spain, to be exact, a collection of documents that had lain in darkness for more than one thousand years was brought to light, and the effects of the discovery were truly revolutionary […]”, en Richard E. Rubenstein (2004).

  7. “La actitud empírica general del Corán genera en sus seguidores un sentimiento de reverencia por los hechos, lo que les hizo ser los fundadores de la ciencia moderna. Fue un aspecto importante que contribuyó a despertar el espíritu empírico en una época en la que se renunciaba a lo visible por no tener valor en la búsqueda de Dios”.

  8. En el artículo de Sameen Ahmed Khan (2016) se puede encontrar un resumen de las contribuciones árabes a la teoría de la luz y la visión.

  9. La vida de Cristina de Suecia fue llevada al cine por Rouben Mamoulian en 1933, en la película La reina Cristina de Suecia, con Greta Garbo como protagonista.

10. La aberración cromática se ha descrito en el capítulo 2.

11. “Raramente daba su opinión y nunca la ofrecía voluntariamente. Jamás dictaba literalmente las leyes, ni máximas para ser memorizadas, como otros doctores. De hecho tampoco parecía pensar de forma abstracta nunca, como hacen la mayoría de los matemáticos. Un hecho filosófico, un cálculo complicado, un instrumento ingenioso o una nueva invención eran capaces de captar su atención”.

12. Las letras mayúsculas E, F, B, v en negrita indica que se trata de cantidades vectoriales.

13. “Debería un cuerpo conocer otro cuerpo / Volando por el aire / Debería un cuerpo golpear otro cuerpo / ¿Volará? ¿Y adónde?”.

14. http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Letters/BroomeBridge.html

15. Traducción de los autores.

16. LIGO son las siglas de Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (observatorio de ondas gravitatorias por interferometría láser), cuya misión era confirmar la existencia de las ondas gravitacionales que Einstein había predicho en su teoría de la relatividad. El anuncio público se hizo el 11 de febrero de 2016, aunque ya se habían detectado unos meses antes. Lo que LIGO detectó fue la colisión de dos agujeros negros a unas distancias enormes. Este logro abre una nueva manera de observar el universo, una “nueva manera de verlo”.

17. Recogemos en esta sección el contenido del artículo de De León y Martínez (2016).

18. “¿Acaso no retroceden todos los placeres / al contacto de la fría filosofía? Antaño, el arcoíris inspiraba temor / en el cielo; hoy, en cambio, al conocer su trama, / su textura, se encuentra en el catálogo / de las cosas vulgares. Pues la filosofía / no duda en cercenar las alas de los ángeles, / en descifrar misterios con líneas y con reglas, / en vaciar el aire de magia y a las minas / de sus habituales gnomos, en deshacer / el arcoíris como deshizo el tierno cuerpo / de Lamia y la fundió con una sombra” (traducción de Luis Alberto de Cuenca y José Fernández Bueno, en http://assets.espapdf.com/b/John%20Keats/Lamia%20(8523)/Lamia%20-%20John%20Keats.pdf).

19. En el artículo “The Mathematics of Rainbows”, de Bill Casselman, se puede encontrar un detallado estudio sobre este tema, en http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-rainbows

20. “En algún lugar sobre el arcoíris, ahí arriba / hay una tierra de la escuché una vez en una canción de cuna / En algún lugar sobre el arco iris los cielos son azules / Y los sueños que te atreves a soñar se hacen realidad”.

21. En este vídeo documental se puede encontrar una clara descripción de la teoría de los colores de Goethe ( https://www.youtube.com/watch?v=eMzcnbjGSCY).

22. Este apartado está inspirado en el artículo de Castrillón y Timón (2017).

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