Manuel de León y Ágata A. Timón

La engañosa sencillez de los triángulos

De la fórmula de Herón a la criptografía

© Manuel de León y Ágata A. Timón, 2017

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de Matemáticas (FESPM), 2017

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La engañosa sencillez de los triángulos.

De la fórmula de Herón a la criptografía

ISBN: 978-84-9097-344-8

e-ISBN: 978-84-9097-623-4

DEPÓSITO LEGAL: M-20.152-2017

IBIC: PDZ/YQM

este libro ha sido editado para ser distribuido. La intención de los editores es que sea utilizado lo más ampliamente posible, que sean adquiridos originales para permitir la edición de otros nuevos y que, de reproducir partes, se haga constar el título y la autoría.

Los triángulos

Tres triángulos de pájaros cruzaron

sobre el enorme océano extendido

en el invierno como una bestia verde.

Todo yace, el silencio,

el desarrollo gris, la luz pesada

del espacio, la tierra intermitente.

Por encima de todo fue pasando

un vuelo

y otro vuelo

de aves oscuras, cuerpos invernales,

triángulos temblorosos

cuyas alas

agitándose apenas

llevan de un sitio a otro

de las costas de Chile

el frío gris, los desolados días.

Yo estoy aquí mientras de cielo en cielo

el temblor de las aves migratorias

me deja hundido en mí y en mi materia

como en un pozo de perpetuidad

cavado por una espiral inmóvil.

Ya desaparecieron:

plumas negras del mar,

pájaros férreos

de acantilados y de roqueríos,

ahora, a mediodía

frente al vacío estoy: es el espacio

del invierno extendido

y el mar se ha puesto

sobre el rostro azul

una máscara amarga.

               Jardín de invierno, Pablo Neruda

Introducción

“¿Un libro entero dedicado a los triángulos? ¿Y qué vais a contar?”. Cuando planteamos este libro, lo cierto es que ni siquiera nosotros podíamos imaginar todos los secretos que esconde esta sencilla figura plana. Tres segmentos, que definen un espacio cerrado en el plano; tres ángulos y tres vértices. Con solo estos elementos los triángulos aparecen en el desarrollo de las matemáticas desde los tiempos de los griegos hasta la actualidad. Esta figura geométrica nos permite ilustrar el desarrollo de la investigación matemática: desde los conceptos más básicos y las preguntas más inocentes hasta las cuestiones más intrincadas que siguen desafiando las mentes más brillantes de la sociedad, como la teoría de números y los fractales. Su simplicidad hace que sean una herramienta básica para descomponer figuras más complejas, para hacer mediciones, para desarrollar tecnologías como el GPS… Sus áreas se computan con la fórmula de Herón, cuyo estudio conduce a las curvas elípticas y a la criptografía, y enlazan también con el teorema de Fermat. También se aplican de forma estructural en la arquitectura y como ornamento en el arte, por lo que podemos observarlo en nuestro día a día.

Los triángulos aparecen en nuestra representación básica de la naturaleza. En las palabras de Galileo Galilei en Il Saggiatori:

“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ qua li è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un a ggirarsi vanamente per un oscuro laberinto”1.

Los triángulos son caracteres del universo, y con ellos aprendemos a comprender el cosmos. Sirven para medir la curvatura y así desvelar la geometría oculta del mundo en el que vivimos; un triángulo geodésico sobre una esfera desvela un exceso de curvatura, y sobre una hiperbólica señalará la curvatura negativa. Los triángulos sobre los poliedros y las superficies llevaron a Leonhard Euler a su fórmula, que proporciona invariantes que permiten clasificar los espacios.

A lo largo de la historia se le ha otorgado un poder místico no solo a su forma geométrica, sino a construcciones derivadas, como los números triangulares que generan cábalas misteriosas y las relaciones pitagóricas que van desde las tablillas babilónicas hasta los márgenes de los libros de Pierre de Fermat.

En este libro se presentan diferentes aspectos de los triángulos, en su contexto histórico y en relación con otras disciplinas. Se abordan, de forma divulgativa, los temas anteriores, como el cálculo de áreas, la fórmula de Herón, los sólidos, los números triangulares, la medida del meridiano terrestre, la geolocalización, la fractalidad… Además, cada capítulo se acompaña de ejercicios que se pueden proponer en el aula de secundaria o bachillerato, o tratar de resolver personalmente como pequeños retos matemáticos que harán la lectura más participativa.

Colección ‘Miradas Matemáticas’

En la escuela, la matemática es vista, habitualmente, como una ciencia sin usos prácticos; como una colección de reglas que parecen surgir por arte de magia de un sombrero; como un cuerpo de conocimiento estanco, sin evolución en el tiempo, que se inventó hace siglos y que, desde entonces, poco ha cambiado. No es sencillo, por los recursos y los tiempos disponibles, transmitir a los alumnos que esta disciplina está todavía viva y que existe una intensa actividad investigadora conectada íntimamente con los problemas más relevantes del mundo actual.

El ICMAT y la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas lanzan esta colección de libros dentro de la editorial Los Libros de la Catarata, que combina la divulgación con la didáctica de las matemáticas. Aunque son libros que pueden ser disfrutados por cualquier persona con interés hacia esta disciplina, están dirigidos especialmente a los profesores de matemáticas en niveles de secundaria a bachillerato con el objetivo de dotarles de nuevas ideas que les permitan desarrollar materiales que acerquen las matemáticas de una forma interesante y atractiva a sus alumnos, llevando los últimos resultados matemáticos al aula, con una perspectiva histórica, conectándolos con otras ciencias y los desarrollos tecnológicos. Se propondrá el uso del programa GeoGebra, un software de matemáticas, fácil de usar y enfocado para todos los niveles educativos, que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculo. Es un software de código abierto disponible gratuitamente para usos no comerciales, que cada vez más profesores incorporan en sus clases para añadir un carácter dinámico y visual a sus explicaciones.

Agradecemos a Agustín Carrillo de Albornoz Torres su apoyo en la elaboración de las figuras con GeoGebra.

Capítulo 1

La engañosa sencillez

de los triángulos

El triángulo es la figura plana más sencilla. Abarca, con solo tres lados, tres ángulos y tres vértices, un trozo definido del plano. Su construcción es instintiva, y ya los babilónicos estudiaban sus propiedades. Desde que la Escuela pitagórica diera con su famosa fórmula para el triángulo rectángulo, muchos han sido los matemáticos dedicados a estudiar las características de esta figura elemental. Hoy en día, los triángulos se utilizan en los problemas de triangulación que sirven para señalar posiciones con el GPS, también en la arquitectura (y no solo desde el punto de vista ornamental) y en las señales de tráfico omnipresentes en nuestras carreteras.

Dentro de las matemáticas, su enorme importancia radica en que es el ladrillo básico de la geometría. En el plano todos los demás polígonos se pueden descomponer en triángulos. Para ello, basta con elegir un punto cualquiera de un polígono convexo —es decir, en el que todos los ángulos interiores miden menos de 180º y todas sus diagonales son interiores; “sin entrantes”— y trazar desde allí segmentos de rectas a los vértices del polígono, con lo que se trocea el polígono en triángulos.

Ejemplo 1

Cualquier polígono puede descomponerse en triángulos. Por ejemplo, dado un pentágono puede dividirse en triángulos como en la figura.

Aunque la descomposición en triángulos se puede hacer de infinitas maneras, las llamadas triangulaciones de los polígonos convexos deben cumplir una serie de propiedades:

La unión de todos triángulos obtenidos debe dar el polígono original.

Los vértices de los triángulos corresponden justamente a los vértices de un polígono original.

Cualquier pareja de los triángulos obtenidos comparten un vértice o un lado.

El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n - 2, donde n es el número de lados del polígono. La demostración es muy simple. Se elige un punto interior, y a partir del mismo se trazan segmentos a todos los vértices. De esta forma se obtiene una descomposición en n triángulos. Pero esa no es la estrategia de triangulación óptima. Se elige un vértice y desde él se trazan segmentos a los demás. Los triángulos que se forman cumplen las condiciones requeridas, pero puesto que hay dos vértices adyacentes al escogido al principio, desde esos no hay que lanzar segmentos de unión al vértice original, y solo se forman n-2 triángulos para cubrir todo el polígono.

Esta posibilidad de triangular cualquier figura plana simplifica mucho el cálculo de propiedades, como las áreas, de cualquier tipo de polígonos.

Por estas razones los triángulos fueron objeto de un estudio intensivo en la obra Los Elementos del matemático griego Euclides, en concreto en el Libro I. En Los Elementos, Euclides resume todo el saber de la época e introduce la visión moderna de las matemáticas: partiendo de unos principios que toma como ciertos (axiomas o postulados), va deduciendo propiedades (proposiciones, teoremas, corolarios) usando el razonamiento lógico. Es probablemente una de las obras más celebradas de las matemáticas por su claridad y porque sienta las bases de la matemática moderna. Según dicen, Albert Einstein los leyó de niño y quedó fascinado.

El libro Los Elementos consta de 13 libros, organizados de la siguiente manera:

Libros I a VI: Geometría plana.

Libros VII a IX: Teoría de números.

Libro X: Números irracionales.

Libros XI a XIII: Geometría del espacio.

Clasificación de triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por los elementos que los definen: los lados y los ángulos de sus vértices.

Atendiendo a los lados, los triángulos se dividen en equiláteros, isósceles y escalenos. La Definición 20 del Libro I de Los Elementos explica con claridad la diferencia entre cada uno de ellos:

“De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales”.

Atendiendo a sus ángulos, se clasifican en rectángulos, obtusángulos y acutángulos, y esta es la Definición 21 del citado libro:

“De los triángulos, triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, obtusángulo el que tiene un ángulo obtuso y acutángulo el que tiene los tres ángulos agudos”.

Independientemente del tipo de ángulos que tenga un triángulo, estos siempre sumarán 180º o, dicho de otro modo, dos rectos. Esta proposición, enseñada en la escuela primaria, fue probada por Euclides.

La demostración es muy sencilla. Dado un triángulo, si se traza una paralela por el vértice superior a la base opuesta, como en la figura 1, por semejanzas de ángulos, los ángulos denotados por a son iguales y los ángulos b son iguales, y a + b + c suman dos rectos o 180°.

Figura 1

Podríamos preguntarnos si, al salir de los dominios de Euclides (esto es, la geometría del plano), esta propiedad básica sigue siendo verdad. La noción de triángulo se puede extender a cualquier superficie, y en dimensiones arbitrarias a espacios más generales, las llamadas variedades diferenciables. En este caso, nos encontramos con lo que llamamos un triángulo geodésico, cuyos lados son segmentos de rectas geodésicas.

Una recta geodésica en una superficie es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos, de la misma manera que las rectas lo hacen en el plano. Por ejemplo, las geodésicas en la superficie de una esfera son los círculos máximos (aquellos que pasan por dos puntos antipodales).

En este universo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo no es de 180º. La diferencia mide el exceso o defecto debido a la curvatura. Por ejemplo, los ángulos de los triángulos esféricos suman más de 180º (la curvatura de la esfera es positiva) y los ángulos de los triángulos en el plano hiperbólico o de Lobachevski suman menos de 180º (la curvatura es negativa).

Ejemplo 2

Si se traza un triángulo sobre la superficie de una esfera, las propiedades de este polígono no son las mismas que en el plano. La suma de sus ángulos es mayor de 180º debido a que su curvatura es positiva.

En una superficie con curvatura negativa, la suma de los ángulos de los triángulos es menor de 180º.

Las geometrías no euclidianas

Las llamadas geometrías no euclidianas surgieron también a la estela de Euclides, aunque precisamente suponen una negación del modelo propuesto por el sabio griego. Euclides construía toda su argumentación basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes y a partir de los cuales se deduce todo lo demás) que llamó postulados. Sus famosos cinco postulados son:

Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une.

Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la misma dirección.

Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.

Todos los ángulos rectos son iguales.

Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

El quinto postulado se puede escribir de una forma más familiar como: “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela”.

Así como los cuatro primeros axiomas parecen incuestionables, el quinto no es tan evidente. Muchos creían que no era necesario establecer este axioma en el sistema, ya que se deduciría de los cuatro anteriores, por lo que trataron de probar su dependencia, obteniendo una larga lista de pruebas falsas. Se dedicaron a ello matemáticos como Girolamo Saccheri, que supuso que el axioma era falso y quiso llegar a una contradicción, pero no lo consiguió; Johann Heinrich Lambert, que obtuvo una fórmula para el defecto de ángulo en un triángulo hiperbólico; el francés Adrien-Marie Legendre, quien trabajó 40 años sobre el tema y probó que el quinto postulado era equivalente a que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es de 180º, etc. Nadie consiguió ni demostrar que era independiente ni dependiente del resto de axiomas. Estos repetidos fracasos llevaron al filósofo y matemático ilustrado Jean le Rond D’Alembert a calificar este problema en 1767 como el escándalo de la geometría elemental.

Karl Gauss, el príncipe de las matemáticas, fue el primero en entender realmente la cuestión. Comenzó a trabajar en él con 15 años, en 1782. En 1817 llegó al convencimiento de que el quinto axioma era independiente de los otros cuatro. Llegó a idear una geometría en la cual se podía trazar más de una paralela a una recta dada por un punto externo, pero nunca publicó su trabajo y lo mantuvo en secreto.

Sí lo discutió con su amigo, el matemático Farkas Bolyai, quien había sido autor de varias pruebas falsas. Su hijo, el matemático János Bolyai, a pesar de que su padre le advirtió que no malgastara su tiempo en esto, también trabajó en el problema. En 1823, Bolyai escribió a su padre: “He descubierto cosas tan maravillosas que estoy asombrado […] de la nada he creado un nuevo mundo” (la carta original puede consultarse en la dirección web http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Extras/Bolyai_letter.html).

Dos años después escribió sus resultados como un apéndice en el libro de su padre. Gauss quedó impresionado, aunque Bolyai no había construido la nueva geometría, solo había probado que era posible. Demostró que podían existir geometrías bien formuladas (es decir, sin contradicciones internas) en las que no se cumpliera el quinto postulado, pero sí los otros cuatro. El resto de axiomas no permiten este cambio: si se niegan y se mantiene el resto, antes o después aparecen problemas.

Ni Bolyai ni Gauss conocían el trabajo del matemático ruso Nikolái Lobachevski. En 1829 había publicado en una revista local (Kazan Messenger) un artículo en ruso en el que no solo probaba que era posible una geometría coherente en la que no se cumplía el quinto axioma de Euclides, sino que además la construía. Matemáticos de la comunidad rusa, como Ostrogradski, rechazaron el trabajo y en el extranjero no se difundió. En 1840 publicó su obra magna: Geometrical investigations on the theory of parallels (61 páginas). Esta obra sí tuvo difusión gracias a un resumen en francés en el Journal de Crelle. Sin embargo, los matemáticos no aceptaron sus ideas revolucionarias.

En concreto, Lobachevski reemplazó el quinto postulado de Euclides por este:

“Existen dos rectas paralelas a una dada por un punto externo a la recta”.

El universo en el que esto se cumple es un universo hiperbólico, abierto, con una curvatura negativa.

Ejemplo 3

En el disco de Poincaré se cumple el quinto postulado de Lobachevski (dada una recta y un punto exterior a la misma, existen infinitas rectas paralelas a la primera pasando por este punto).

El disco de Poincaré es uno de los modelos más populares para visualizar la geometría hiperbólica. Las rectas, en este caso, están representadas por los diámetros y los arcos de circunferencia ortogonales a la circunferencia borde, tal y como se muestra en la figura de arriba. En este modelo, la suma de los ángulos de los triángulos geodésicos (véase el capítulo 3) es menor de 180º y no tiene un valor constante, como puede verse en las siguientes figuras.

La métrica que se usa en el disco de Poincaré y respecto a la cual se obtienen las rectas geodésicas es la llamada métrica de Cayley-Klein. En su famoso libro Ciencia e hipótesis, Poincaré considera un universo que tiene precisamente esta estructura, con una temperatura de 100º Farenheit en su centro que decrece linealmente al cero absoluto en su frontera, la circunferencia. Las longitudes de los objetos, y también de los seres vivos, son proporcionales a la temperatura. Y Poincaré se pregunta cómo estas criaturas descubrirían la forma del universo en el que viven. En la expedición que organizan a la frontera sus piernas se hacen más pequeñas, sus pasos más cortos y concluyen que el universo en el que viven es infinito. Una bella descripción del mundo hiperbólico.

En esta otra figura se puede ver cómo por un punto exterior se pueden trazar infinitas paralelas.

El famoso dibujante M. C. Escher exploró los conceptos de la geometría hiperbólica y colaboró con el matemático H. S. M. Coxeter, en 1956, en la construcción de teselaciones hiperbólicas. Esta imagen es fruto de esa colaboración:

El matemático alemán Bernhard Riemann también ideó un universo no euclídeo, pero negó el quinto axioma de manera diferente a Lobachevski. Trabajó en una geometría en la que, dada una recta y un punto exterior a esta, no había ninguna paralela a la recta que pasara por ese punto. Construyó un modelo en el que las paralelas no son posibles: la geometría esférica.

Riemann, cuya tesis había dirigido Gauss, presentó su trabajo el 10 de junio de 1854 impartiendo la lección sobre el tema y presentando el texto Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (“Sobre las hipótesis en la que se basa la geometría”), en el que reformuló el concepto de geometría. Con esta conferencia, Riemann accedió a la cátedra en la Universidad de Gotinga. Para él, la geometría era el espacio más una estructura (la métrica) que permitía medir sobre el mismo. Este trabajo se publicó en 1868, dos años después de que muriera.

Ejemplo 4

En la superficie de una esfera se cumple el quinto postulado de Riemann (dada una recta y un punto exterior a la misma, no existe ninguna recta paralela a la primera pasando por este punto).

El primero en situar la geometría de Bolyai-Lobachevski al mismo nivel que la euclídea fue Eugeni Beltrami (1835-1900). En 1868 escribió Essay on the interpretation of non-Euclidean geometry, en el que construía un modelo de geometría no euclídea de dimensión 2 en un espacio euclídeo de dimensión 3, la pseudoesfera. En este modelo, los cuatro primeros axiomas se cumplían, pero no el quinto.

El modelo lo completó Klein en 1871, quien dio además modelos de otras geometrías no euclídeas, como la de Riemann. Klein demostró que hay tres tipos de geometrías:

Hiperbólica (Bolyai-Lobachevski).

Esférica (Riemann).

Euclideana.

Ejemplo 5

Modelos de Klein para los tres tipos de geometría (Ω es la curvatura).

Estas abstractas construcciones matemáticas son, curiosamente, las que aparecen al estudiar el universo (son sus posibles formas), y son las que permitieron a Albert Einstein desarrollar la teoría de la relatividad. Su complejidad se refleja de forma sencilla en las propiedades de los modestos triángulos.

Los puntos notables de un triángulo

Las propiedades más relevantes de los triángulos, además de las áreas y perímetros, vienen de la mano de sus puntos notables. Estos son:

El baricentro o centroide. Es el punto de intersección de las medianas, los tres segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Es el centro de gravedad de la figura.

El circuncentro. Es la intersección de las mediatrices de los lados, es decir, el punto de corte de las rectas perpendiculares a los lados que se trazan en su punto medio.

El incentro. Es la intersección de las bisectrices de los ángulos, es decir, de las semirrectas que parten del vértice de sus ángulos y los dividen en dos partes iguales.

El ortocentro. Es el punto de corte de las alturas (desde cada vértice, la recta perpendicular al lado opuesto).

Estos puntos tienen propiedades interesantes: el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo; y el incentro es el centro de la circunferencia inscrita, que es tangente a los lados del triángulo. El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados (en un triángulo equilátero los tres puntos son el mismo); es decir, pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler. Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo en 1765.

Otros puntos notables del triángulo

Más allá de estos puntos notables se pueden considerar otros, como el de Longchamps, nombrado así por el matemático francés Gaston Albert Gohierre de Longchamps, y que es el punto obtenido al reflejar el ortocentro del triángulo alrededor del circuncentro. Este punto resulta ser también el ortocentro del triángulo complementario construido trazando segmentos paralelos a cada lado por el vértice opuesto.

Otro es el punto de Schiffler, descubierto por el geómetra alemán Kurt Schiffler; este punto se define como el punto invariante bajo transformaciones euclidianas del triángulo. Y sigue la lista con los puntos de Exeter y de Gossard, con definiciones algo más complejas.

Lo curioso es que, milagrosamente, todos estos puntos mencionados se colocan alineados en la recta de Euler. Pero hay otros puntos relevantes que quedan fuera de esta recta, como el incentro, el punto en el que se cortan las tres bisectrices de sus ángulos internos. Equidista de los tres lados y, por lo tanto, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, y tangente a sus tres lados. El incentro no está en la recta de Euler (excepto en los triángulos isósceles), y se convierte así en el punto disidente de esta familia.

Capítulo 2

Cálculo de áreas.

La fórmula de Herón

Uno de los conceptos métricos más importantes asociados a una figura plana es el área. El área es un valor numérico que da una idea de la extensión de la superficie. En ciertas figuras se puede usar una fórmula para calcularla, como es el caso del triángulo. El área de un triángulo viene dada por la mitad del producto de la base (cualquiera de los lados del polígono) por la altura (la trazada desde el vértice opuesto). A partir de la fórmula del área del triángulo se puede calcular el área de cualquier polígono: bastará triangularla y obtener su área como suma de las áreas de los triángulos que la conforman.

Además, si se conocen las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) se puede calcular el área usando la fórmula de Herón:

donde s es el semiperímetro del triángulo s = (a + b + c) / 2. Hay varias demostraciones de la fórmula de Herón, desde la suya original basada fundamentalmente en la semejanza de triángulos hasta otras más modernas usando las razones trigonométricas.

Esta fórmula relaciona dos conceptos métricos: el área y el perímetro. Los matemáticos chinos disponían de una fórmula parecida, y hay historiadores que creen que Arquímedes conocía esta expresión, pero la primera vez que se encuentra por escrito, junto a su demostración, es en el libro Métrica, escrito por Herón de Alejandría, aproximadamente en el año 60 d.C.

Herón nació en la ciudad de Alejandría en el año 10 y falleció en el año 70. Se le atribuyen inventos como la primera máquina de vapor (la llamada eolípila, que puede verse reproducida en este vídeo [https://www.youtube.com/watch?v=W2 EqZ0zsihA]) o la primera máquina de venta automática de la historia (la llamada fuente de Herón: introduciendo una moneda en una ranura se dispensaba agua sagrada).

Como matemático estudió las áreas de las superficies y los volúmenes de los cuerpos, resultados que recogió en su tratado Métrica. En el Libro I de Métrica, Herón expone una serie de propiedades sobre las áreas de los triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares de 3 a 12 lados, superficies de conos, cilindros, pirámides, esferas, etc. En el Libro I es donde aparece precisamente su famosa fórmula. Como la fórmula contiene una raíz cuadrada, en este primer libro aparece además un interesante método, ya conocido por los babilonios, para calcular raíces cuadradas mediante iteraciones.

En el Libro II Herón estudia la medida de volúmenes de sólidos tridimensionales, como esferas, cilindros, conos, prismas, etc. Finalmente, el Libro III se dedica al problema de la división de áreas y volúmenes de acuerdo a una razón dada, problema ya estudiado por Euclides. En este libro Herón también trata del cálculo de raíces cúbicas.

Ejemplo 1

Obtener la fórmula de Herón usando la fórmula clásica del área y el teorema de Pitágoras.

Queremos probar que o, lo que es lo mismo, , de donde resulta

.

El área del triángulo viene dada por tanto .

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que .

Por otro lado, usando la identidad se deduce .

Pero . Si se sustituye y se simplifica se obtiene que

.

En segundo lugar, desarrollando y sustituyendo 2s = a + b + c, se obtiene que .

Aplicando el teorema de Pitágoras de nuevo, , se consigue: ; por tanto: .

También se puede relacionar el área de un triángulo con el círculo inscrito en el mismo. Supongamos que el círculo inscrito en el triángulo tiene radio r. Entonces el área es A = rs, donde s es el semiperímetro del triángulo.

Dos triángulos con el mismo perímetro y la misma área no tienen por qué ser necesariamente congruentes, es decir, es posible que no se pueda transformar uno en otro por movimientos rígidos en el plano. Por ejemplo, los dos triángulos

de lados 3, 4 y 5, y 41/15, 101/21 y 156/35 tienen el mismo perímetro (12 unidades) y la misma área (6 unidades) y, obviamente, no son congruentes.

Sin embargo, de la fórmula A = rs se llega a la conclusión de que si dos triángulos tienen la misma área y el mismo perímetro, el radio del círculo inscrito también es el mismo.

El espacio de los triángulos

Nos gustaría poder describir de una manera precisa el conjunto de todos los triángulos, para así poder clasificarlos. Esta es una de las cuestiones que se suelen abordar en matemáticas, la clasificación de objetos, bien geométricos, bien algebraicos.

Las longitudes de los lados del triángulo sirven para definirlo. Un triángulo de lados a, b y c se puede representar por las coordenadas (a, b, c). También se podrían utilizar sus ángulos α, β y γ.

Al trazar segmentos que unen el centro del círculo con los vértices, se forman seis triángulos rectángulos, congruentes dos a dos.

Si hacemos un razonamiento parecido al del Ejercicio 1 y tenemos en cuenta que en cada uno de esos seis triángulos rectángulos pequeños los segmentos que unen el centro y cada vértice bisecan el ángulo correspondiente, obtenemos la fórmula

Simplemente aplicando la definición de tangente de un ángulo.

Esta fórmula, junto con la que hemos deducido de A = rs, nos proporciona esta otra

que nos da el perímetro en términos de los ángulos.

Si ahora hacemos un cambio de notación:

x = tan (α/2)

y = tan (β/2)

z = tan (γ/2)

y aplicamos que α + β + γ = 2π, entonces

y

Esta ecuación se puede escribir como

donde k es la constante k = s2/A. Se puede todavía modificar la ecuación anterior a esta otra

Así, cada triángulo de área A y semiperímetro s determina un punto de la curva, y recíprocamente (aunque en este caso no nos valdrá todo el plano, de hecho, es válido solo en la región x > 0, y > 0, xy > 1).

El método de las secantes funciona de la siguiente manera: cada dos puntos de la curva determinan una recta secante que corta la curva en un punto más. Encontrar dicho punto equivale a resolver una ecuación cúbica, dos de cuyas raíces ya son conocidas. Conocidos ciertos puntos de la curva (aunque sean pocos), podemos obtener más con este método. Este procedimiento secante sirve para cualquier curva cúbica en el plano. Tales curvas se llaman curvas elípticas (no porque las curvas sean ellas mismas elipses, sino porque surgen en el estudio de una cierta clase de funciones complejas llamadas funciones elípticas). El procedimiento secante permite definir una estructura de grupo sobre el conjunto de puntos racionales en curvas elípticas (es decir, puntos cuyas coordenadas son números racionales).

Este tipo de curvas reciben el nombre de “elípticas” porque aparecen en el estudio de las llamadas funciones elípticas. Las curvas elípticas son “regulares”, no tienen vértices ni autointersecciones, y una de sus propiedades más interesantes es que se puede definir una operación binaria para el conjunto de sus puntos de una manera geométrica natural, obteniendo un grupo abeliano.

Las curvas elípticas son cruciales en la demostración del teorema de Fermat, realizada por Andrew Wiles en 1985. Esta se basa en el llamado teorema de Taniyama-Shimura, que establece que cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un objeto matemático denominado “forma modular”. Si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no podría asociarse con ninguna forma modular, y por lo tanto el teorema de Taniyama-Shimura sería falso. En consecuencia, Taniyama-Shimura demuestra el último teorema de Fermat, y esa fue la aproximación de Wiles.

Son también de enorme importancia en la moderna criptografía. De hecho, en 1985, Neal Koblitz y Victor Miller propusieron, de forma independiente, usar curvas elípticas en criptografía. Las ventajas sobre el método RSA, basado en la descomposición de un número en sus factores primos, es que sus claves pueden ser más cortas y el método resulta más rápido.

Capítulo 3

Triángulos para construir sólidos

Los llamados sólidos regulares, platónicos o pitagóricos son poliedros convexos (aquellos cuyos ángulos interiores miden a lo sumo 180º), cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y cuyos ángulos sólidos miden lo mismo. Su existencia se conoce desde la antigüedad, como puede comprobarse en las bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia, datadas en unos 1.000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos. Solo existen cinco sólidos regulares: el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Tres de ellos (el tetraedro, el icosaedro y el octaedro) están formados por triángulos.

Sólidos platónicos circunscritos los unos en los otros.

Imagen: Tomruen.

A lo largo de la historia se les ha dotado de propiedades místicas. En el diálogo de Platón, Timeo de Locri afirma:

“El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado esta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”.

Además de estas figuras, otros sólidos notables son los de Arquímedes, un grupo de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares de dos o más tipos. Todos los sólidos de Arquímedes son de vértices uniformes. La mayoría de ellos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Arquímedes describió ampliamente estos cuerpos en trabajos, pero estos manuscritos quedaron olvidados hasta el Renacimiento, cuando artistas y matemáticos los redescubrieron.

En el libro De divina proportione, escrito por Luca Pacioli e ilustrado por Leonardo da Vinci, alrededor de 1498 en Milán, se pueden encontrar interesantes figuras de sólidos.

Fórmula de Euler

Leonhard Euler (1707-1783) fue probablemente el matemático más relevante del siglo XVIII, autor de importantes resultados en diversos campos de la disciplina. Fue muy prolífico, escribió más de 1.000 artículos y libros de investigación, aunque, según los expertos, no se han estudiado más de un 10% de sus escritos. “Euler vivía en muy buenas condiciones. Tenía una gran casa, un montón de gente trabajando para él. Seguramente trabajaba día y noche, y era una persona amable, de trato fácil, generoso [...] Pero bueno, simplemente cuando empezaba a pensar, enseguida daba con algo, mientras que a los demás nos cuesta años que salga algo interesante”, contaba Hanspeter Kraft, matemático de la Universidad de Basilea y presidente de la Comisión Euler. Aún hoy se están tratando de recopilar sus escritos a través del proyecto Opera Omnia, que ya ha alcanzado los 80 volúmenes; no son solo artículos, sino también cartas y páginas manuscritas.

Otro aspecto muy interesante del trabajo de Euler es su labor en el diseño de la terminología matemática, a cuya modernización contribuyó significativamente. Su importancia se refleja en la frase del matemático francés Pierre Simon Laplace: “Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros”.

Euler descubrió una fórmula para los poliedros que ha sido clave para el desarrollo de la topología. Dado un poliedro cualquiera (por ejemplo, uno de los sólidos regulares), si C representa el número de caras, A el número de aristas y V el número de vértices, siempre se cumple esta fórmula:

C + V = A + 2

Por ejemplo, el cubo u octaedro, que tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas, cumple la fórmula:

Al hacer un corte en una esquina, como en la figura, se obtiene un nuevo poliedro irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y vértices:

Parece ser que Euler mencionó su resultado en 1750 en una carta a Christian Goldbach (matemático conocido por la famosa conjetura de Goldbach sobre números primos, todavía sin resolver). En su correspondencia escribía:

“Recientemente se me ha ocurrido determinar propiedades generales de los sólidos limitados por superficies planas, porque no hay duda de que se podrían encontrar teoremas generales sobre ellos. Así como para figuras planas rectilíneas hay propiedades como las siguientes:

1. En cada figura plana, el número de lados es igual al número de ángulos, y

2. la suma de todos los ángulos interiores es igual a dos rectos por el número de lados menos cuatro rectos”.

Así como para figuras planas solo es necesario considerar lados y ángulos, para el caso de los sólidos deberán ser tenidos en cuenta más elementos.

Y seguía diciendo:

“En cada cara, el número de lados es igual al número de ángulos planos. Dos caras se encuentran en un lado, entonces la cantidad de lados total de todas las caras es el doble de la cantidad de aristas del poliedro. Por lo tanto, la cantidad total de lados de todas las caras es siempre un número par. Cada cara tiene por lo menos tres lados, entonces la cantidad total de lados de todas las caras es mayor o igual que tres veces el número de caras”.

Y entonces, concluía:

“La cantidad de ángulos sólidos más la cantidad de caras es igual a la cantidad de aristas del poliedro más dos”.

Esta expresión es equivalente a la fórmula anterior.

Posteriormente escribió dos artículos en los que describía el resultado y trataba de dar una demostración del mismo.

Hay voces que afirman que Descartes había obtenido este mismo resultado previamente, pero aunque este había obtenido resultados notables sobre los poliedros que quizás le podían haber llevado a descubrir la fórmula, no tuvo la profundidad matemática de Euler para conseguir este nivel de generalización.

Otro de los resultados fundamentales de Euler fue el problema de “los siete puentes de Königsber”, que supuso el inicio de lo que hoy se llama Teoría de Grafos. En el año 1735 presentó a la Academia Rusa de San Petersburgo la solución a dicho problema. La ciudad de Königsber, asentada a las orillas del río Pregel, y a la sazón perteneciente a Prusia, incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y a las riberas del río por siete puentes. Euler se planteó si era posible recorrer un camino que pasase una sola vez por cada puente y volviera al punto de partida. Euler demostró que no era posible, pues la configuración se trataba de lo que hoy en día se llama un circuito no euleriano. Este resultado dio lugar al nacimiento de la Teoría de Grafos y a la moderna topología.

Ambos temas, los grafos y los poliedros, están íntimamente relacionados, ya que se puede considerar un poliedro como un grafo, en el que los vértices son los nodos del grafo y las aristas los caminos que conectan dos nodos. Pero Euler no llegó a pensarlo así, y eso fue obra de otro gran matemático posterior, el francés Augustin Cauchy.

Euler no consiguió una prueba formal de su fórmula, pero a lo largo del tiempo se demostró de muy diferentes maneras. El matemático David Epstein ha contabilizado 17 vías diversas para demostrar el resultado.

La fórmula de Euler para los poliedros fue un hito matemático importante, y durante los siglos XIX y XX se trabajó con intensidad para tratar de generalizarla. A partir de estos intentos se desarrolló una nueva área de las matemáticas: la topología algebraica. Esta disciplina estudia los espacios topológicos por medio de los invariantes algebraicos, que no cambian al deformar el espacio sin romperlo, como si fuera elástico, de goma. Este concepto está también relacionado con los triángulos.

El primer invariante topológico fue la llamada característica de Euler de un poliedro y se define como sigue:

donde C, A y V son los números de caras, de aristas y de vértices respectivamente.

Por ejemplo, para un cubo se tiene 6 - 12 + 8 = 2 y para un tetraedro 4 - 6 + 4 = 2.

Para extender esta fórmula a cualquier superficie, por ejemplo, a una esfera, se usan las llamadas triangulaciones. Una triangulación de una superficie, como se mostró en el capítulo 1, es una red sobre la superficie, de tal forma que todas las caras sean triangulares, es decir, que estén limitadas por tres aristas.

El ejemplo más simple de una triangulación en la esfera (superficie de la esfera con más precisión) se obtiene dibujando en el ecuador n líneas de longitud o meridianos. En el ejemplo de la figura hay 2n caras triangulares, n + 2 vértices y 3n aristas, con lo que C + V - A = 2n + (n + 2) – 3n = 2. ¡Exactamente como para los poliedros! Por lo tanto, la esfera comparte la misma característica de Euler que un poliedro regular, es decir, 2. Y el resultado no depende ni del número n de meridianos ni tampoco del tipo de triangulación elegido.

En otro tipo de superficies, por ejemplo, un toro (la superficie de un donut o un neumático), el cálculo es el siguiente. Desde el punto de vista matemático, se puede obtener a partir de una hoja rectangular pegando los lados opuestos dos a dos. Primero se construye un cilindro y, posteriormente, identificando los dos círculos de cada extremo, el toro. También se puede entender como un círculo cuyo centro recorre otro círculo, de manera que un toro es equivalente al producto cartesiano de dos círculos.

Teniendo en cuenta estas identificaciones, se puede calcular la característica de Euler con triangulaciones del cuadrado.

Después de realizar las pertinentes identificaciones se obtiene una triangulación para el toro, que permite encontrar su característica de Euler, en este caso, 0.

Esto muestra que una esfera y un toro son completamente diferentes desde el punto de vista matemático (topológico). Sus características de Euler (o de Euler-Poincaré, como se suele llamar ahora por las grandes aportaciones de Henri Poincaré al tema) son diferentes, o sea, 2 y 0, por lo que no pueden ser equivalentes desde este punto de vista.

Si un toro se piensa como una esfera con un agujero, o con un asa pegada, se puede extender esta idea a esferas con más agujeros o con más asas pegadas. En ese caso, se puede calcular también su característica de Euler y es 2 - 2g, donde g es el número de agujeros.

Para ver la razón, al considerar un poliedro con g agujeros, se obtendría este resultado

Esta relación fue encontrada por el matemático franco-suizo Simon Lhuilier (1750-1840), y es una generalización de la fórmula de Euler. La extensión del resultado de una manera mucho más avanzada es debida a Poincaré.

La curvatura de una superficie

La curvatura de una superficie es una medida numérica que se relaciona con cuánto se aparta la superficie en un punto de su plano tangente. Su medida es lo que se llama la curvatura de Gauss. Uno de los resultados matemáticos que resultan más asombrosos es el teorema de Gauss-Bonnet, que muestra cómo la característica de Euler está relacionada con la curvatura:

“La integral de la curvatura gaussiana a lo largo de la superficie es 2π veces su característica de Euler”.

Es una magnífica manera de relacionar la geometría con la topología.

Este teorema también tiene mucho que ver con los triángulos, aunque como se trata de superficies curvas se habla de triángulos geodésicos. En una superficie, las geodésicas son equivalentes a las líneas rectas en el plano, es decir, curvas que minimizan la distancia entre dos puntos medida esta sobre la superficie. Por ejemplo, sobre una superficie esférica, las geodésicas son los círculos máximos. Los triángulos geodésicos son aquellos cuyos lados son arcos de curvas geodésicas.

Sobre la superficie en cuestión se traza un triángulo geodésico y se aplica el teorema a la superficie interior del triángulo. En el caso de un triángulo geodésico, debido a los vértices, hay que modificar la integral con el salto de ángulo que se produce en los mismos. Puesto que la característica de Euler de ese trozo es 1, lo que dice el teorema de Gauss-Bonnet es que la suma de los ángulos del triángulo es igual a 2π menos la curvatura total del triángulo. Como un ángulo exterior en cada vértice es igual a π menos el ángulo interior, se obtiene que:

“La suma de los ángulos interiores de un triángulo geodésico es π más la curvatura total del triángulo encerrado”.

En el plano, la curvatura gaussiana es 0 y así se obtiene el bien conocido resultado de que la suma de los ángulos interiores es dos rectos. En una esfera se encuentra un defecto esférico y en el plano hiperbólico, un exceso. Así, aparecen de nuevo los resultados ya establecidos en el capítulo 1.

Capítulo 4

Números triangulares

Los números triangulares son números enteros que se obtienen sumando los primeros números naturales. Así, el primer número triangular es el 1, el segundo el 3 = 1 + 2, el tercero el 6 = 1 + 2 + 3, el cuarto el 10 = 1 + 2 + 3 + 4, … y así sucesivamente le siguen el 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406…

Se pueden escribir de la siguiente manera: n (n + 1) / 2, siendo n un número natural. Su descripción es más intuitiva de forma geométrica: un número triangular es aquel que se puede representar como un triángulo equilátero, tal y como se muestra en este gráfico.

También se puede expresar cada número triangular de forma recursiva a partir del anterior: Tn+1 = Tn+ n con T1 = 1.

Propiedades de los números triangulares

Muchos matemáticos han estudiado las propiedades de estos números, entre ellos el científico alemán Carl Friedrich Gauss. En 1796 descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares. Cuando dio con la propiedad la describió en su diario usando la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento:

“¡Eureka! num = ∆+ ∆+ ∆”.

Los números triangulares no han de ser ni iguales ni diferentes (por ejemplo, ٢٠ = ١٠ + ١٠ + ٠), ni tampoco debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero.

Otra propiedad curiosa de los números triangulares es que la suma de dos de ellos consecutivos es siempre un cuadrado perfecto (es decir, un número que puede expresarse como el cuadrado de otro, como ٢٥ = ٥^٢).

Además, los números triangulares se relacionan con otro tipo de números llamados perfectos. Estos son números enteros que son iguales a la suma de todos sus divisores (menores que él). Por ejemplo, el ٦ es un número perfecto, ya que sus divisores son ١, ٢ y ٣, que suman ٦.

Resulta que, al igual que los ejemplos anteriores (٦, ٢٨ y ٤٩٦), todos los números perfectos son números triangulares.

El triángulo de Pascal

El triángulo de Pascal es una construcción de coeficientes binomiales ordenados en forma de triángulos. Concretamente, el número en la línea n y la columna p corresponde al número combinatorio “n sobre p”, que corresponde a las posibles combinaciones de p elementos agrupados de n en n. Esto recibe el nombre del coeficiente binomial n, p.

Para obtenerlo, se parte del número ١ centrado en la parte superior. A partir de este se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente y el resultado se escribe debajo de dichas casillas. La segunda fila estará también formada por unos. En la tercera los extremos serán unos, pero el valor medio será dos (٢ =١+١). El proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas, etc.

Triángulo de Pascal

Este triángulo tiene interesantes propiedades:

Sus valores son simétricos respecto al eje vertical central del mismo.

La suma de todos los números de cualquier fila del triángulo es una potencia de 2.

Dentro del triángulo de Pascal aparecen también números triangulares. En la siguiente figura, los marcados en negrita son números triangulares:

Esta construcción incluye también la suma de los n primeros números triangulares: ١ + ٣ + ٦ + ١٠ + ١٥ = ٣٥ en la fila 8.

Numerología

La numerología asigna un significado oculto a los números, y se basa en cualidades místicas que nada tienen que ver con las matemáticas, pero que en ciertos momentos históricos sí han defendido científicos y filósofos como Pitágoras. En concreto, los números triangulares han sido unos de los favoritos para los numerólogos a lo largo de la historia. La representación del 10 como número triangular se denomina la Tetraktys (Τετρακτύς en griego) o Tetoakutes y parece que fue un símbolo de gran importancia dentro de la filosofía pitagórica.

En la Tetraktys, el ١٠, la totalidad, se expresa como la suma de ١, ٢, ٣, ٤, los cuatro primeros números enteros. Se identifica con el número perfecto y es la clave de la doctrina. Esta secta le atribuía un valor místico, y era una parte fundamental de la religión pitagórica. La figura representa las cuatro estaciones y también se relaciona con el movimiento de los planetas y la música. Es posible que jugase también un papel en los distintos grados de la metamorfosis del alma. Simboliza la creación universal, fuente y raíz de la eterna naturaleza; y si todo deriva de ella, todo vuelve a ella. Es también una imagen de la totalidad en movimiento.

Cada una de sus filas tiene un significado propio:

La unidad: lo divino, origen de todas las cosas. El ser inmanifestado.

La díada: desdoblamiento del punto, origen de la pareja masculino-femenino. Dualismo interno de todos los seres.

La tríada: los tres niveles del mundo (celeste, terrestre, infernal) y todas las trinidades.

El cuaternario: los cuatro elementos (tierra, aire, fuego y agua) y, con ellos, la multiplicidad del universo material.

El conjunto constituye la década, la totalidad de universo: 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 → 1 + 0 = 1.

Otro número triangular con un amplio significado místico es el ٦٦٦. En las interpretaciones de la Biblia este es el número de la bestia o el número de Satán. Es un número con curiosas propiedades:

Se obtiene al sumar los cardinales romanos: D + C + L + X + V + I = 666.

La suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus factores primos (es lo que se llama un número de Smith).

Números cuadrados, pentagonales y otros

Siguiendo la misma idea geométrica se pueden considerar otros números poligonales, yendo más allá de los números triangulares. De esta forma, los números cuadrados serían (١, ٤, ٩, ١٦, ٢٥,...) Su fórmula general es: N = ١ + ٣ + ٥ + ٧ + ... + (٢n - ١), con n número natural. Los números pentagonales son (١, ٥, ١٢, ٢٢,...), siguen la fórmula N = ١ + ٤ + ٧ + ... + (٣n - ٢); los números hexagonales son (١, ٦, ١٥, ٢٨,...) del tipo N = ١ + ٥ + ٩ + ... + (٤n - ٣). Y así sucesivamente.

Los triángulos y los empaquetamientos de esferas

Thomas Harriot (1560-1621) fue un matemático y astrónomo, considerado el fundador de la Escuela inglesa de álgebra. Hizo sus principales contribuciones en este campo y en geometría, pero sus intereses eran muy variados: balística, navegación, óptica…

Él se enfrentó a uno de los problemas matemáticos que ha tardado más tiempo en resolverse, la llamada conjetura de Kepler. Sir Walter Raleigh le propuso a su entonces ayudante matemático Thomas Harriot la siguiente cuestión: ¿cuál es el número de balas de cañón que se podían apilar en un montón, conociendo cuántas formaban la base? El 12 de diciembre de 1583, Harriot presentó a Raleigh un manuscrito con una tabla que contenía la respuesta a esa pregunta. Pero Harriot se preguntaba además si esa forma de apilar las esferas sería la mejor posible. La demostración de que esa es la manera óptima tuvo ocupados a los matemáticos varios siglos hasta que Thomas Hales lo resolvió completamente en 2005, usando la potencia de los computadores para analizar la multitud de casos que aparecían en la prueba.

Las esferas fascinaban a Harriot, y puesto que era un atomista convencido para el que los átomos tenían esta forma, el problema de las balas de cañón le permitía estudiar cómo se empaquetaban los átomos para constituir el universo. La manera en la que se colocan los números en un triángulo de Pascal recuerda a estas disposiciones, cambiando los átomos por números. Cuando la base es un triángulo o un cuadrado, para calcular el número total de esferas que hay en ese apilamiento se pueden usar los números triangulares, como muestra el siguiente artículo de Fernando Blasco, “Contando naranjas” (http://www.investigacionyciencia.es/blogs/matemati cas/66/posts/contando-naranjas-12745).

Cuando Kepler le pidió ayuda en sus estudios de óptica, Harriot le insistió en la necesidad de tener en cuenta los átomos. Pero Kepler no estaba de acuerdo. En 1611, Kepler escribió su librito Sobre el copo de nieve de 6 vértices, considerado el fundamento de la cristalografía moderna. Y ahí incluyó la conocida después como conjetura de Kepler.

Triángulos de Herón

Los triángulos de Herón no están formados por números, pero casi. Sus lados y áreas miden exactamente un número entero. Por ejemplo, cualquier triángulo rectángulo con lados enteros (y uno de ellos par) es de Herón, porque el área es la mitad del producto de los dos catetos (uno actúa como base y el otro como altura):

Otro ejemplo es el triángulo isósceles que se obtiene pegando dos triángulos rectángulos de lados ٣, ٤, y ٥ por el cateto de longitud ٤; así obtenemos un triángulo isósceles con lados de longitudes ٥, ٥ y ٦, y área ١٢ unidades cuadradas.

Esta técnica de pegar triángulos rectángulos vale en general, porque si tomamos un triplete pitagórico (a, b, c), que es equivalente a dar un triángulo rectángulo, con c mayor que a y b, y otro triplete (a, d, e), con e mayor que a y d, entonces podemos construir un nuevo triángulo pegando los lados de longitud a, como muestra la figura anterior.

Las longitudes de sus lados serán c, e, y b + d, y el área es A = ١/٢ (b + d)a; en consecuencia, si a es un entero par o b + d lo son, entonces el área A es entera.

Pero hay más triángulos heronianos que los construidos de esta manera, y se llaman indescomponibles. La caracterización general para triángulos heronianos fue encontrada (¡cómo no!) por Leonhard Euler. Las versiones paramétricas son debidas a Brahmagupta y Robert Daniel Carmichael (١٩٥٢); hacen uso de la fórmula de Herón, que se presentó en el segundo capítulo de este libro, y relacionaba el área con el perímetro de un triángulo

donde a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semiperímetro. Esta fórmula se puede expresar como una ecuación diofántica elevando al cuadrado los dos términos:

El conjunto completo de soluciones a los triángulos de Herón en su versión paramétrica se expresan de la siguiente manera:

para los valores de a, b, c y s, respectivamente. Aquí, los enteros m, n y k verifican

Dando valores a estos números se pueden producir infinidad de triángulos de Herón de una manera sencilla.

La curiosidad sobre los problemas matemáticos es inagotable, y así se puede generalizar el concepto permitiendo que los lados y el área sean números racionales. En este caso, siempre se puede hacer esa descomposición. También se puede extender la idea a mayores dimensiones, y aparecen los tetraedros heronianos y pirámides perfectas.

Capítulo 5

Jorge Juan y la medida

del meridiano terrestre

Desde tiempos antiguos, uno de los problemas a los que se enfrenta la humanidad es a medir diferentes magnitudes: extensiones de terreno, cantidades de alimentos, proporciones de materiales… La primera dificultad fue crear unidades de medida que sirvieran para cuantificar longitudes, áreas y volúmenes. Hasta hace relativamente poco cada ciudad y casi cada pueblo tenía sus unidades de medida propias, lo que hacía muy complicado el comercio y la organización. El sistema métrico decimal se creó durante la Revolución francesa, obra del Instituto Nacional de Ciencias y Artes, que integró la Academia de Ciencias de París mientras duró el gobierno de la Convención.

Un sistema de medida universal debía basarse en fenómenos físicos reproducibles. El primero en proponer una unidad de longitud de este tipo fue el científico inglés John Wilkins, que tomó la longitud de un péndulo simple cuyo semiperiodo de oscilaciones pequeñas es igual a un segundo. El problema es que este valor depende de la aceleración de la gravedad y varía ligeramente de un lugar a otro. En 1670, Gabriel Mouton ofreció otra unidad basada en la medida del meridiano terrestre. Esta fue la medida aceptada por la Asamblea Nacional para crear un sistema de unidades estable, uniforme y sencillo en 1793. Escogieron, en particular, la diezmillonésima parte del cuadrante el meridiano terrestre.

La cuestión era, entonces, obtener la medida de ese meridiano. La Academia encargó esa misión a dos científicos, Delambre y Méchain. Colaboraron además con el español Gabriel Císcar. Decidieron calcular la longitud del meridiano que pasa por París. No podían medirlo entero, por lo que decidieron calcular el arco que va desde la torre del fuerte en Montjuic, en Barcelona, a Dunkerque (Francia), que era el segmento más largo sobre tierra y casi totalmente dentro de territorio francés. Precisamente la elección arbitraria por parte de la Academia de un meridiano que pasaba por Francia hizo que ni Estados Unidos ni Inglaterra aceptaran esa unidad.

Para ello usaron la técnica de triangulación geodésica desarrollado en el siglo XVII por el matemático holandés Willebrord Snell (1580-1626). Este método consiste en recubrir el segmento con triángulos, de manera que vayan encajando adecuadamente (se adosen por un solo lado).

Ejemplo 1

La triangulación geodésica permite obtener las coordenadas de un punto no accesible B. Primero, se calcula la distancia (A - C) existente entre dos puntos accesibles (cuyas coordenadas son A y C). Si medimos la amplitud de los ángulos de vértices (A) y (C), mediante trigonometría, obtendremos las distancias (A - B) y (C - B) y, por tanto, las coordenadas del tercer punto no accesible: B.

Se trazaron los triángulos de manera que sus vértices eran montañas situadas a lo largo del meridiano. Así, desde cada una de las cimas se medía el ángulo que había con los vértices situados en las montañas cercanas mediante un instrumento llamado círculo de repetición de Borda, que permitía repetir varias veces la misma observación para reducir los errores de medición. Aplicando fórmulas de trigonometría, los triángulos se pueden medir y, finalmente, se obtiene la longitud deseada.

Terminadas las mediciones, el Gobierno francés convocó a las naciones extranjeras para formar una comisión internacional que sacara las conclusiones científicas de las medidas efectuadas. Respondieron ocho naciones, y se formó una comisión en la que estaban matemáticos tan notables como Legendre, Laplace o Lagrange.

Se encontraron con un gran problema: las medidas no podían hacerse con trigonometría del plano, porque sobre la esfera terrestre hay que considerar triángulos esféricos.

Legendre resolvió la dificultad usando su celebrado teorema de la trigonometría esférica. En esencia, el teorema dice que si la suma de los tres ángulos de un triángulo esférico cuyos lados son muy pequeños respecto al radio es 180º + ε (esta cantidad ε es lo que se llama el exceso esférico), y si de cada ángulo se resta un tercio de ε (con lo que la suma de estos ángulos sí sería de 180º), entonces los senos de los ángulos así disminuidos serían proporcionales a los lados opuestos, de tal forma que el triángulo se podría resolver como si fuera rectángulo. Con esta idea se puede aplicar la teoría de la trigonometría plana.

Ejemplo 2

Con su teorema, Legendre afirma que la resolución del triángulo esférico de ángulos A, B, C y lados correspondientes a, b, c equivale a la resolución del triángulo rectilíneo de ángulos A, B, C y lados a, b, c. Dada una esfera de radio r y en ella un triángulo esférico de ángulos A, B, C y lados correspondientes a, b, c que verifica las condiciones del teorema de Legendre. Se puede formular un teorema del seno para triángulos esféricos análogo al teorema del seno de la trigonometría plana, que asegura, para el caso r = 1,

sen a / sen A = sen b / sen B = sen c / sen C.

Igualmente se puede formular un teorema del coseno para la esfera unidad:

• cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A,

• cos b = cos c cos a + sen c sen a cos B,

• cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C.

La diferencia entre los ángulos de los triángulos esférico y rectilíneo decrece en razón del cuadrado de la razón entre los lados del triángulo (esférico o rectilíneo) y el radio de la esfera.

Adrien-Marie Legendre

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue un matemático francés que hizo importantes contribuciones a la estadística, a la teoría de números, al álgebra y al análisis matemático. Destaca dentro de su producción los Elementos de Geometría, un libro de geometría elemental destinado a estudiantes de bachillerato que incluía, al final de cada capítulo, las últimas aportaciones de cada tema presentado, que se iban actualizando en las sucesivas ediciones del libro. En una de estas notas presentó sus trabajos sobre el problema del quinto axioma de las paralelas, tema al que denominó “el escándalo de la geometría elemental”, que se relata en el capítulo anterior. Cada nueva edición del libro incluía un nuevo intento por parte de Legendre. Eran todas erróneas, pero los fallos que contenían generaron grandes discusiones que permitieron seguir avanzando en el campo.

Son también muy relevantes sus aportaciones a la estadística, adelantándose al propio Gauss en el descubrimiento del método de los mínimos cuadrados; y también la llamada transformación de Legendre, que conecta las versiones lagrangiana y hamiltoniana de la mecánica clásica.

En 1799 se hizo público el informe que incluía la medida de la longitud del metro: 1,94909 de las tradicionales toesas. Este informe sirvió para construir el patrón de metro, elaborado con una aleación de platino e iridio. El 10 de diciembre de 1799 Napoleón Bonaparte estableció el nuevo sistema métrico decimal, con el lema: “Para todos los pueblos y para todos los tiempos”. Esta medida tuvo vigencia durante años, aunque ahora el metro estándar es la distancia que recorre la luz en el vacío a 299.792.458/1 segundos.

La forma de la Tierra

La medida del meridiano también se empleó unas décadas antes para determinar la forma de la Tierra. Los escolares llevan varias generaciones aprendiendo que la Tierra no es del todo esférica. ¡Debe ser un dato muy importante, ya que llevamos por lo menos medio siglo repitiéndolo! Ahora bien, ¿diría usted que una bola de billar no es del todo esférica?

Para comprobarlo, la Academia de Ciencias de París organizó en 1736 una expedición a Perú, con el objetivo de medir la longitud de un grado de meridiano terrestre cerca del ecuador. Querían poner punto y final al debate que se había extendido a lo largo de la historia sobre la forma de la Tierra. Los antiguos egipcios la imaginaban como un huevo; los griegos fueron los primeros en considerarla esférica, de hecho, en el siglo III a.C., Eratóstenes dio una estimación de su circunferencia; Lucrecio (siglo I a.C.) se opuso al concepto de una tierra esférica, porque encontraba absurda la idea de las antípodas. Pero hacia el siglo I d.C., Plinio el Viejo retomó la idea, aunque había disputas acerca de la naturaleza de las antípodas y sobre la posibilidad de mantener el océano en forma curvada. Plinio consideró, como “teoría intermedia”, la posibilidad de una esfera imperfecta, “con forma de piña”. Varios autores cristianos se opusieron a la idea de la tierra esférica durante el siglo III; sin embargo, eran grupos minoritarios. Durante la Edad Media la consideración general era que la Tierra era redonda. La errónea creencia de que la gente creía que la Tierra era plana nació de la publicación del libro La vida y viajes de Cristóbal Colón, de Washington Irving, en 1828. Pero no hay ninguna referencia histórica conocida que afirme tal cosa, sino que más bien los marineros fueron seguramente los primeros en ser conscientes de la curvatura de la Tierra a través de sus observaciones diarias, como por ejemplo el ver cómo los detalles de la costa o los mástiles de otros barcos surgían o se hundían en el horizonte con la distancia.

Aunque, por tanto, la forma esférica era asumida desde hacía siglos, había todavía un debate sobre la curvatura exacta. De un lado, estaba la teoría de Cassini y Descartes que afirmaba que el planeta tenía forma de melón (achatada por el ecuador); del otro, Newton, que aseguraba que estaba achatada por los polos.

En los Principia Mathematica (1687), Newton contradecía la teoría física preexistente que explicaba la gravitación, propuesta por Descartes y desarrollada matemáticamente por Huygens. Para Newton la Tierra tenía que estar ensanchada por el ecuador y achatada por los polos debido (como hoy decimos) a la fuerza centrífuga, mientras que para Descartes debería ocurrir lo contrario. La polémica adquirió tintes nacionalistas: Inglaterra defendía la Tierra-calabaza de Newton y Francia, por supuesto, la Tierra-melón de Descartes. Para resolver esta cuestión se organizaron expediciones al ecuador y a las regiones polares, con el objetivo de medir con precisión la forma de la Tierra. La academia francesa envió una expedición a Laponia, para medir un grado del meridiano en los polos, y otra al ecuador. De nuevo haciendo una medición de una parte del meridiano se podía extrapolar la medida del diámetro de la Tierra y calcular así el grado de achatamiento del planeta.

El líder de la exposición fue Charles Marie de La Condamine (1701-1774), militar de profesión y muy interesado por las matemáticas. Fue el primer científico francés que viajó a la Amazonia.

En esta expedición participaban dos jóvenes tenientes de navío españoles, Jorge Juan y Antonio de Ulloa. En efecto, en 1734 el monarca Felipe V recibió una invitación de su primo el rey Luis XV de Francia para que España participase en la expedición francesa (con ello conseguía también un mejor trato a la expedición de aquellos países americanos). Por decisión de Felipe V, debían ir dos oficiales que fueran capaces de realizar los cálculos por sí mismos, al margen de los cálculos desarrollados por los franceses. Para este trabajo se eligió a dos jóvenes guardias marinas: Jorge Juan y Santacilia y Antonio de Ulloa y de la Torre-Guiral. Como los jóvenes carecían de la graduación necesaria, se les ascendió directamente al grado de tenientes de navío. Se asignó a cada oficial un trabajo, Jorge Juan se encargaría fundamentalmente del matemático y Antonio de Ulloa del naturalista.

La relación de La Condamine con sus colegas de expedición no fue muy buena, y la nave se fue por su cuenta a explorar el Amazonas. Al volver a París, describió sus hallazgos, entre ellos el curare que utilizaban los indios para la caza, el caucho y la quinina para la cura de la malaria.

Pese a las desavenencias en el barco, la expedición para medir el meridiano siguió adelante. Para conseguir sus objetivos, las medidas obtenidas cerca del ecuador deberían ser comparadas con las de otra expedición, esta enviada al Norte, cerca del polo, en concreto, a Laponia. La comparación de los resultados confirmó la hipótesis de Newton de que la Tierra estaba achatada por los polos y ensanchada en el ecuador.

Jorge Juan y Antonio de Ulloa

Jorge Juan y Santacilia nació en Novelda (Alicante) el 5 de enero de 1713 y murió en Madrid el 21 de junio de 1773. Estudió en Zaragoza, y fue caballero de Malta a la temprana edad de 14 años, por influencia de su tío, que fue tutor suyo al quedarse huérfano en 1713. Regresó a España desde Malta en 1729 e ingresó en la Real Compañía de Guardias Marinas de la Escuela Naval Militar de Cádiz. Tras varias campañas, finalizó sus estudios de guarda marina a los 21 años.

Su gran oportunidad se presentó con la expedición a Perú que la Real Academia de Ciencias de París organizó para medir la longitud, correspondiente a un grado, de un arco de meridiano terrestre en el Ecuador. La idea del rey Felipe V era conseguir mediciones propias, independientes de los franceses, y para ello eligieron a Jorge Juan y Santacilia y Antonio de Ulloa. Jorge Juan era el experto en matemáticas, y Antonio de Ulloa el naturalista. Tras la expedición, Jorge Juan fue nombrado académico de la Academia de Ciencias de París. También fue nombrado académico de la Royal Society inglesa.

Posteriormente, viajó a Londres para conocer las técnicas más modernas de construcción de navíos. A su vuelta desempeñó una labor relevante ocupando puestos de gran responsabilidad. Jorge Juan introdujo en España el cálculo diferencial de Isaac Newton, aunque las universidades españolas no aceptaron estos cambios y solo en las escuelas de la Armada tuvieron incidencia sus esfuerzos reformadores.

Jorge Juan fue un ejemplo de científico renovador, que buscó la europeización de España, y que incluso tuvo algún choque con la Inquisición por su defensa de las teorías copernicanas.

Por su lado, Antonio de Ulloa fue el otro joven guarda marina elegido para la expedición. Desde joven su ambición fue siempre la Marina. Cuando volvió de la expedición a Perú, fue apresado por los ingleses, y finalmente liberado en Inglaterra. Además de los informes científicos, Ulloa había llevado a cabo una inspección política para el rey español. Su prestigio era sin embargo ya grande, fue muy bien tratado nada más reconocerle, e incluso admitido en la mismísima Royal Society con todos los honores el 11 de diciembre de 1746.

Entre otros aspectos curiosos de su vida, Ulloa fue el primero en hacer una descripción detallada del platino, que se consideraba como algo sin valor.

Capítulo 6

Geolocalización

Los mapas nacieron como representaciones del entorno, con el objetivo de facilitar la movilidad por él mismo. Y si al principio ese entorno era local luego fue abarcando continentes y, finalmente, la superficie completa del planeta. Las matemáticas han sido esenciales para elaborar mapas cada vez más fiables (aunque se ha probado la imposibilidad de crear uno perfecto), y también para establecer nuestra posición en cada momento.

Para ello antiguamente se empleaban herramientas elementales como la brújula magnética, el astrolabio y, más tarde, el sextante. Este último permite medir ángulos desde el horizonte, hasta una estrella o el mismo Sol, y de esta manera obtener un lugar geométrico relativo al observador. Con varias medidas tomadas desde el mismo punto se puede deducir que uno se encuentra en la intersección de varios lugares geométricos y, por lo tanto, establecer su posición exacta. Sorprendentemente, tales razonamientos geométricos elementales aún son necesarios en las sofisticadas técnicas modernas de localización. En el caso del sextante, le permitiría al observador deducir algunos datos acerca de su posición relativa a una estrella. En el caso del sistema GPS, el receptor mide algunos datos sobre su posición relativa a una red de satélites, la posición de la cual se conoce. El Sistema de Posicionamiento Global, más conocido por sus siglas en inglés, GPS (siglas de Global Positioning System) fue desarrollado, instalado y empleado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos. Para determinar las posiciones en el globo, el sistema GPS se sirve de 24 satélites en órbita, a 20.200 km de altura, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra. Cada satélite tarda 11 horas 58 minutos en hacer una órbita circular alrededor de la Tierra.

La distancia a la que orbitan los satélites es un poco más de tres veces el radio de la Tierra (6.370 km). Están distribuidos uniformemente, de manera que siempre hay cuatro o cinco de ellos al alcance visual desde cualquier punto de la superficie terrestre y llevan un reloj muy preciso, imprescindible para poder calcular las distancias.

Para determinar la posición de un objeto o de una persona, el receptor (por ejemplo, el teléfono móvil) identifica al menos tres o cuatro de los satélites de la red. Estos satélites, que funcionan con energía solar, emiten señales de potencia pequeña, de apenas 50 vatios, que incluyen la hora del reloj de cada uno de ellos. El receptor también debe disponer de un reloj que marque el momento de la llegada de la señal. Entonces se restan los dos tiempos y se multiplica por la velocidad de la luz. El resultado es la distancia entre receptor y satélite. El proceso se repite con tres o más satélites.

Sabemos que la velocidad de la luz es de 300.000 km por segundo. Si la diferencia entre los relojes del satélite y el receptor fuera de un microsegundo, el error en la ubicación sería de 300 metros.

Es muy importante la sincronización de las horas, porque todo el proceso debe tener en cuenta el efecto relativista, sin lo que el sistema cometería graves errores. La teoría especial de la relatividad de Einstein predijo hace más de 100 años que el tiempo fluye más despacio en un sistema de referencia que esté en movimiento. Esto significa que en el satélite, el cual se mueve a mucha más velocidad que un punto en la Tierra, un reloj tenderá a atrasarse.

El otro efecto tiene que ver con la teoría general de la relatividad de Einstein, que dice que el tiempo fluye más lento a medida que aumenta la gravedad. Los satélites se encuentran a una altura en que la gravedad es muy pequeña en comparación con su valor en la superficie de la Tierra. En este caso, un reloj en el satélite tenderá a adelantarse con respecto al situado en la Tierra. O sea que en la superficie de la Tierra el tiempo fluye más despacio que en el satélite.

Para determinar, a partir de las distancias a tres o más satélites, la posición sobre la superficie de la Tierra se emplea el método de trilateración. Es el procedimiento empleado en el levantamiento topográfico, y consiste en determinar las posiciones de tres o más puntos que son tratados como vértices de un triángulo, cuyos lados y ángulos se pueden medir.

En el plano, para determinar la posición de un punto hacen falta al menos tres puntos de referencia (los determinados por el GPS). Dado un punto P1 y una distancia r1 se puede trazar la circunferencia C1 de centro P1 y radio r1; el punto A en cuestión (por ejemplo, la posición del receptor) es un punto de esa circunferencia.

Si ahora se considera el punto P2 y una distancia r2, se puede trazar la circunferencia C2 de centro P2 y radio r2, y el punto A también está en esa circunferencia. Por lo tanto, A será uno de los dos puntos de corte de ambas circunferencias, a menos que se diera la circunstancia de que ambas fueran tangentes precisamente en el punto A.

Y una tercera medida, con el punto P3 y una distancia r3, da lugar a una tercera circunferencia C3 de centro P3 y radio r3 que elimina cualquier ambigüedad.

La creación de la Geometría Analítica usando coordenadas cartesianas, tal y como hizo Descartes, ayuda también en este problema. Las circunferencias se pueden describir por ecuaciones de segundo grado, y dado que se conoce el centro y el radio, si se consideran las coordenadas cartesianas en el plano, la ecuación será

donde P (x, y) es un punto arbitrario de la circunferencia, el centro es el punto C (a, b) y r es el radio.

Se puede hacer esto con las tres circunferencias y se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas fácilmente resoluble. Es más, se puede usar la potencia de un ordenador para hacerlo en un tiempo mínimo.

En el caso tridimensional son necesarias cuatro distancias. Es fácil ver que dos esferas se cortarán a lo largo de una circunferencia. La tercera esfera intersecará a este círculo, y para evitar errores, una cuarta esfera cerrará los cálculos.

Este proceso proporciona una precisión de 20 m. Una fuente de error reside en la velocidad de la señal, que es variable según su rumbo por la atmósfera. Si se trata de un GPS diferencial el proceso es el siguiente: en un receptor GPS cercano, cuya posición se conoce, se compara el tiempo real del recorrido con el tiempo del recorrido ideal, lo cual nos permite calcular la velocidad de la señal con más exactitud. Al comunicarse esta información al receptor, se puede mejorar la precisión hasta 1 cm.

La carrera ‘satelitar’

Ser capaz de determinar la localización sobre la superficie de la Tierra de personas y vehículos supone una gran herramienta de poder, por lo que las grandes potencias del mundo han querido tener su propio sistema de satélites. Así, si el primer prototipo fue desarrollado por Estados Unidos (el GPS), Rusia dispone del suyo propio, el Global’naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema (GLONASS), desde 1996. Cuenta con un conjunto de 24 satélites que se comenzaron a poner en órbita en el año 1982, aunque no fue funcional hasta 1996 y tardó 11 años más (en 2007) en poder dar servicio a todo el país. Actualmente ofrece servicio a todo el mundo. En Rusia es más popular que el GPS, debido a que el Gobierno ruso amenazó con subir los impuestos a los terminales que no incluyesen su sistema de geoposicionamiento.

Europa desarrolló también su sistema propio: Galileo. A finales del año 2016 comenzaron a ofrecer sus servicios iniciales a autoridades públicas, empresas y ciudadanos, aunque en la fase inicial funciona en combinación con otros sistemas, como el GPS. En la actualidad, la constelación Galileo cuenta con 18 satélites, todos ya en órbita, y en los próximos años se lanzarán nuevos satélites, que mejorarán la disponibilidad de Galileo en todo el mundo. Se espera que en 2020 la constelación esté completa (30 satélites) y Galileo alcance su plena capacidad operativa.

Por su parte, el sistema de navegación por satélite del Ejército Popular de Liberación de China, Beidou, está en fase de pruebas. A diferencia de los sistemas GPS, GLONASS y Galileo, que utilizan satélites en órbitas bajas y ofrecen un servicio global, la primera generación, Beidou-1 usa satélites en órbita geoestacionaria, por lo que no requiere una gran constelación de satélites, pero limita su cobertura sobre la Tierra a la visible por los satélites, China en este caso. Además, calcula las coordenadas únicamente con dos satélites y una estación en la Tierra, lo que implica la necesidad de enviar una señal desde el dispositivo remoto, cosa que no es necesaria con GPS o GLONASS. Se prevé que para 2020 esté plenamente operativo, con sus 30 satélites.

Diferencias entre triangulación y trilateración

Suele haber cierta confusión entre estos dos procedimientos, triangulación y trilateración; sin embargo, son muy diferentes. En la triangulación se trabaja con ángulos. Las posiciones de los puntos de interés se calculan con base en la medición de ángulos.

En la trilateración se trabaja con distancias. A partir de ellas, se calculan los ángulos. Una vez calculados, se puede utilizar en conjunción con las distancias para obtener la posición de los puntos en cuestión.

Curiosidades

En la aplicación de los fundamentos teóricos de la trilateración, hay pequeñas variaciones según los diferentes procedimientos. Por ejemplo, aunque el teléfono móvil tenga GPS, suele usar la red local de antenas de la compañía telefónica empleada. Entonces se toma como puntos de referencia las antenas cercanas.

¿Y cómo se calculan esas distancias? Usando que la señal se hace más débil a medida que nos alejamos de la antena. El tamaño de la señal llega a un ordenador central que hace el cálculo correspondiente.

Capítulo 7

Fractalidad. Triángulo de Sierpiński

Un triángulo que se desvanece

Los fractales son objetos matemáticos extraños. Su estructura parece irregular, pero lo cierto es que reproducen patrones repetitivos a diferentes escalas y admiten definiciones más sencillas de lo que puede parecer. Este tipo de patrones aparece en muchas estructuras naturales (en la forma de los helechos, por ejemplo), aunque no en su forma matemática pura. La propiedad clave de estos objetos es que su dimensión métrica fractal es un número no entero. Aunque su creación se relaciona con el matemático Benoît Mandelbrot, años antes de sus aportaciones, en 1915 el matemático polaco Wacław Sierpiński hizo una descripción de un objeto geométrico que después sería denominado fractal, el llamado, por razones obvias, triángulo de Sierpiński.

Para construir el triángulo de Sierpiński se parte de un triángulo equilátero de cualquier tamaño. Siguiendo la construcción que se indica en el gráfico 7, se dividen en cuatro los triángulos equiláteros iguales y se elimina del conjunto el triángulo central. Ahora, se hace lo mismo con cada uno de los tres triángulos equiláteros restantes. Se repite esta operación una y otra vez con los triángulos equiláteros que van apareciendo en el proceso. El objeto resultante es el llamado triángulo de Sierpiński, que aparece al desvanecerse el triángulo del que se partía.

Gráfico 7

Wacław Franciszek Sierpiński

El matemático polaco Wacław Franciszek Sierpiński nació el 14 de marzo de 1882 en Varsovia, y falleció el 21 de octubre de 1969 en la misma ciudad. Hizo importantes contribuciones a la teoría de conjuntos y a la lógica, la topología y la teoría de números. En este último campo recibió un premio por su primer trabajo aún como estudiante. Aunque estuvo a punto de escoger la carrera docente por encima de la investigadora (comenzó a dar clases de matemáticas y física), el cierre de su escuela le animó a tomar la decisión de realizar un doctorado en la prestigiosa Universidad de Cracovia.

Wacław Sierpiński es uno de los matemáticos polacos

más célebres.

Imagen: dominio público.

Fue un matemático muy prolífico, con más de 700 artículos y unos 50 libros publicados, lo que en matemáticas es simplemente excepcional. Fue profesor en la Universidad de Leópolis desde 1908, pero la Primera Guerra Mundial le obligó a marcharse a Moscú, donde fue internado debido al uso político de rusos y austríacos en la cuestión polaca. La cuestión polaca era el término con el que desde 1795 se denominó la especial situación de Polonia, siempre presionada y bajo las voluntades de los poderosos vecinos: los imperios ruso y austríaco, y Prusia. La aspiración de los polacos era poder contar con un país independiente y libre de injerencias.

Gracias a la ayuda de los matemáticos rusos Dmitri Egorov y Nikolai Luzin fue liberado. Durante una época permaneció en Moscú trabajando con Luzin, hasta que terminó la guerra y volvió a Leópolis. En 1919 se trasladó a Varsovia y permaneció allí hasta su fallecimiento.

Durante la Segunda Guerra Mundial, Sierpiński sufrió los rigores de los nazis y también del régimen soviético. Aunque siguió trabajando en la universidad, su trabajo oficial era de bedel. Los nazis quemaron su casa en 1944, con lo que perdió en las llamas todos sus libros y su correspondencia personal. En 1945 impartió una conferencia en Cracovia en la que describió estos horrores, los asesinatos de sus estudiantes, la persecución...

Antes de la guerra, Sierpiński había fundado la revista polaca más prestigiosa, Fundamenta Mathematicae, y siguió trabajando en ella, enviando sus artículos a Italia. Al final de cada artículo escribía: “Las demostraciones de estos teoremas aparecerán publicadas en Fundamenta Mathematicae”, lo que todos interpretaban como “Polonia sobrevivirá”.

Wacław Sierpiński describió su triángulo en 1915, aunque este patrón se encontraba en los mosaicos Cosmati del siglo XIII en la catedral de Anagni, en Italia, así como en la basílica romana de Santa María, en Cosmedin, y también en otras iglesias y basílicas.

Actualmente existe un proyecto para construir el mayor triángulo de Sierpiński del mundo, a cargo del profesor José Luis Rodríguez Blancas (conocido como el mago Moebius) de la Universidad de Almería y su equipo; en https://topologia.wordpress.com/ se pueden encontrar detalles de la iniciativa.

Mosaicos de la iglesia de Santa María Maggiore, en el barrio

romano del Trastevere.

Imagen: Francesco de Comité.

Hizo falta la aportación de otros grandes matemáticos para dar con la teoría de los fractales, que abriría una nueva época de las matemáticas, en la que la pureza y la regularidad de los objetos abstractos se vieron cuestionadas por estas nuevas criaturas. Estas formas son demasiado irregulares para ser descritas en términos geométricos tradicionales. Las primeras construcciones fractales, aun previas a Sierpiński, son las funciones de Weierstrass, creadas por el matemático alemán en 1872 para demostrar que, pese a lo que se creía en su época, no todas las funciones continuas son diferenciables. Está definida en la recta y toma valores reales, es continua en todo punto, aunque no es derivable o diferenciable en ninguno. Además, resulta que el grafo de la función es una curva de dimensión fractal superior a 1.

Después, en 1904, Helge von Koch definió una curva con propiedades similares a la de Weierstrass: el copo de nieve de Koch. Al igual que el triángulo de Sierpiński, estos objetos se definían de manera más geométrica. Todos estos elementos evidenciaban las limitaciones del análisis clásico, pero eran vistos como objetos artificiales, una “galería de monstruos”, como los denominó Henri Poincaré.

Mandelbrot fue uno de los pocos matemáticos que entendió el interés de estudiar estos objetos por sí mismos. Para ello utilizó los llamados “conjuntos de Julia”, propuestos por los franceses Pierre Fatou y Gaston Julia en los años 1920. Se construyen aplicando sucesivas veces un tipo de funciones, como por ejemplo las polinómicas de grado mayor que uno. A partir de estos conjuntos, Mandelbrot creó su idea de fractal, llamada hoy conjunto de Mandelbrot.

Benoît Mandelbrot

El término “fractal” fue propuesto por Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Benoît B. Mandelbrot nació el 20 de noviembre de 1924, en el seno de una familia judía en Varsovia. Su familia poseía una tradición académica y fueron dos de sus tíos los que lo introdujeron en las matemáticas.

En 1936 se trasladaron a París, huyendo de los nazis. Allí su tío, Szolem Mandelbrojt, era profesor de Matemáticas en el Collège de France (era el sucesor de Hadamard en su cátedra) y fue el responsable de su educación. Su tío (miembro del grupo Bourbaki) era seguidor de Hardy, con su filosofía de las matemáticas puras, lo que provocó en Benoît un efecto rebote: una reacción contra las mismas. Tras la guerra, estudió en la École Polytechnique, donde dos de sus profesores fueron Gaston Julia (experto en análisis complejo, y que dio nombre al llamado conjunto de Julia, conjunto que a su vez generó el llamado ahora conjunto de Mandelbrot) y Paul Pierre Lévy (un experto en la teoría de probabilidades).

Mandelbrot visitó después el California Institute of Technology (Caltech), donde estudió un máster de Aeronáutica y volvió a hacer su doctorado a París (1952), viajando después de nuevo a Estados Unidos para visitar como investigador posdoctoral a John von Neumann en el Institute for Advanced Study de Princeton. Finalmente, consiguió una plaza en el Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), donde trabajó varios años. Desencantado con la predominancia de la matemática bourbakista en Francia, decidió volver a los Estados Unidos, trabajando primero en la IBM y pasando ya a una edad más tardía a la Universidad de Yale, en 1987.

Mandelbrot estudiaba en la IBM las fluctuaciones del precio del algodón; allí observó que los precios no guardaban una distribución normal y decidió estudiarlos. Consiguió todos los datos de precios desde 1900 y los analizó con un ordenador; entonces descubrió un hecho sorprendente: los números que causaban aberraciones, desde el punto de vista de una distribución normal, producían simetrías desde el punto de vista de las escalas. Cada cambio de precio era aleatorio e impredecible, pero la sucesión de cambios era independiente de la escala, de modo que las curvas para precios diarios y mensuales encajaban perfectamente (incluso aunque en estos datos estaban los correspondientes a las dos guerras mundiales y a la Gran Depresión). Estaba así descubriendo un patrón fractal en estas mediciones.

Los fractales persiguieron a Mandelbrot en más ocasiones. En cierto momento, se preguntó acerca de la longitud de una costa marina. Los mapas de la costa muestran muchas bahías, pero hay muchas más pequeñas que no se toman en consideración. No importa que se aumente el mapa de escala una y otra vez: siempre aparecen más bahías visibles con cada aumento. Este es el comportamiento de un objeto fractal.

En su curriculum vitae, Mandelbrot exhibía orgulloso dos galardones: la conferencia plenaria que impartió en el Congreso Internacional de Matemáticos ICM2006 de Madrid y la presidencia del jurado del concurso de fractales que se organizó en su honor. En efecto, usando simples reglas de coloreado, los artistas/matemáticos fueron capaces de generar fractales que son auténticos cuadros. En la página web http://www.fractalartcontests.com/2011/ se pueden encontrar más detalles para los lectores curiosos.

Un fractal es un objeto que tiene la propiedad de autosemejanza: si se le aplica una lupa, sigue teniendo el mismo aspecto. Este es el caso de muchos objetos en la naturaleza, como el sistema circulatorio de nuestro cuerpo, la línea de una costa, las nubes, etc.

Como ya se ha mostrado, a pesar de la complejidad aparente de un fractal matemático este se puede generar de una manera muy simple, por ejemplo, partiendo de un punto del plano y una operación sencilla: suma y potencia al cuadrado.

Sea z0 un punto del plano, que se corresponde con un número complejo, de manera que se pueden sumar y multiplicar sin ningún problema:

Así básicamente se genera el conjunto de Mandelbrot. Si la sucesión z0, z1, z2, z3,… queda siempre a una distancia 2 del origen, entonces decimos que z0 está en el conjunto de Mandelbrot. Si la sucesión diverge del origen, entonces no está. Se pueden ahora aplicar algoritmos de colores y obtener esta imagen impresionante del fractal:

Los fractales en la naturaleza

Como decía Galileo Galilei, el universo está escrito en clave matemática. La naturaleza es parte de ese universo, y al mirar con atención aparecen los patrones matemáticos que la describen y la descifran.

En particular, surge enseguida el patrón fractal. Un árbol se divide en ramas, cada rama en ramas más pequeñas, y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con las hojas y sus nervaduras. O en los helechos: sus hojas principales están formadas por hojas de menor tamaño similares a ella.

Uno de los objetos que han llegado a ser icónicos para el mundo fractal es el romanesco (Brassica oleracea), para algunos, una mezcla de brócoli y coliflor. El romanesco presenta una clara geometría fractal: su estructura consiste en una espiral de conos que crece desde la base, donde se encuentran los más grandes, hasta la punta, donde se encuentran los más pequeños. Esto hace que el aspecto general del romanesco sea también cónico. Cada cono de la espiral tiene aspecto semejante a la hortaliza completa, ya que a su vez está formado por espirales de conos más pequeños y así sucesivamente. En este caso, aparece otro concepto matemático extraordinario, la sucesión de Fibonacci.

Dimensión de un fractal

Para definir la dimensión de un fractal, se usa la llamada dimensión Hausdorff. En el caso del triángulo de Sierpiński, la dimensión estará entre 1 y 2 (ya que es más que una recta, de dimensión 1, y menos que la del triángulo del que partíamos, de dimensión 2). Efectivamente, su dimensión fractal o de Hausdorff es ln 3 / ln 2, aproximadamente 1,585.

Este cálculo se hace tomando esta definición de dimensión fractal:

“Dimensión del fractal = logaritmo del número de piezas autosimilares/logaritmo del factor de magnificación”.

Por supuesto, existen construcciones similares y análogos en dimensiones superiores, todos ellos objetos fractales, y de una gran belleza.

Más fractales y triángulos

Uno de los primeros matemáticos en observar los fractales fue Georg Cantor, un matemático alemán creador de la teoría de conjuntos. De hecho, él diseñó el primer fractal sencillo que cumplía con los requisitos para ser definido como tal, porque se podía descomponer en fragmentos más pequeños que eran réplicas de la figura original. Esta circunstancia era consecuencia inmediata de la propia construcción, que era recursiva. El procedimiento es sencillo: se parte de un segmento de longitud uno y se divide en tres partes iguales. Se quita la parte central, obteniendo dos segmentos de longitud igual a 1/3. Se repite el procedimiento con cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos tiene una longitud de 1/9, así que ahora se tienen cuatro segmentos de esa longitud. Se reitera el procedimiento de nuevo, y así se llega a una figura como esta:

Este conjunto se denomina “polvo de Cantor”, porque al reiterar el procedimiento constructivo se obtiene una especie de “polvo”. Como hemos podido ver, la construcción guarda muchas similitudes con la del triángulo de Sierpiński.

La extensión de este ejemplo, el polvo de Cantor, al plano proporciona la llamada “alfombra de Sierpiński”, descrito por primera vez en 1916. La construcción de la alfombra de Sierpiński se define también de forma recursiva:

“Se comienza con un cuadrado. El cuadrado se corta en 9 cuadrados y se elimina el cuadrado central. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes”.

La alfombra de Sierpiński es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

Parece evidente que no se puede esconder mucho polvo debajo de una alfombra de Sierpiński a menos que sea polvo de Cantor.

Otro fractal famoso es el llamado “copo de nieve de Koch” o “estrella de Koch”, que es una curva cerrada continua, pero no diferenciable en ningún punto. Esta curva debe su nombre a que fue construida por el matemático sueco Helge von Koch en 1904. En el proceso de construcción aparecen de nuevo los triángulos. Se toma un segmento, se divide en tres partes iguales, se remplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60º, o sea, construyendo un triángulo equilátero. Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración, etc. Este dibujo da buena cuenta del procedimiento, y el resultado cuando se hacen varias iteraciones justifica el nombre de copo, por su similitud con los copos de nieve.

Otro ejemplo es la extensión de la construcción del triángulo de Sierpiński al espacio tridimensional, en el que en vez de usar un triángulo equilátero de inicio se emplea un tetraedro.

Todos los ejemplos citados, tanto los geométricos como aquellos construidos analíticamente, dan fe de que las computadoras son decisivas a la hora de tratar con fractales. Y esa fue la novedad que Mandelbrot introdujo en su estudio y lo que le permitió encontrar patrones en los miles de datos que manejaba.

Aplicaciones de los fractales

La teoría de los fractales tiene numerosas aplicaciones. Se usan en comunicaciones para modelar el tráfico de redes; en infografía, como paisajes fractales; en biología, para entender el crecimiento de los tejidos y la organización celular; en matemáticas, para analizar la convergencia de métodos numéricos; en música, en composición musical; en economía, en el análisis bursátil… En el libro Las matemáticas y la física del caos, de Manuel de León y Miguel Á. F. Sanjuán, publicado en 2009 en la colección ¿Qué sabemos de? de Los Libros de la Catarata y el CSIC, se habla de forma más extendida de todos ellos.

Capítulo 8

Triángulos en la vida cotidiana

Triángulos en la arquitectura

En las calles y en los edificios, tanto antiguos como modernos, hay una constante presencia de triángulos. Los triángulos son herramientas eficaces para la arquitectura, ya que proporcionan resistencia y estabilidad. La razón es que el triángulo es el único polígono que no se deforma cuando actúa sobre él una fuerza. Si aplicamos una fuerza sobre cualquiera de los vértices de un triángulo formado por tres vigas, automáticamente las dos vigas que parten de dicho vértice quedan sometidas a dicha fuerza de compresión, mientras que la tercera quedará sometida a un esfuerzo de tracción. Cualquier otra forma geométrica que adopten los elementos de una estructura no será rígida o estable hasta que no se triangule.

De hecho, existen muchas estructuras, por ejemplo en la construcción de puentes, que se forman con triángulos unidos entre sí, porque esto aporta rigidez.

Foto: puentes sobre el río Rin entre las ciudades alemanas de Karlsruhe y Maxau.

Imagen: Ikar.us (talk).

No todos los tipos de triángulos son usados con la misma preferencia. Por sus propiedades de simetría, los más usados son los equiláteros y los isósceles. Raramente se emplean triángulos escalenos, como no sea para rematar alguna esquina. Un ejemplo del uso de los triángulos equiláteros es el complejo de pirámides de Giza en Egipto. Cada uno de los cuatro lados triangulares que forman las pirámides son triángulos equiláteros. Estas pirámides se construyeron hace más de 4.000 años y siguen en pie, desafiando el paso del tiempo.

Foto: pirámides de Giza, Egipto.

Imagen: Ricardo Liberato.

Por su parte, los triángulos isósceles se pueden encontrar en construcciones modernas como el edificio del ala este de la National Gallery of Art de Washington, DC, diseñado por el famoso arquitecto I. M. Pei. Su estilo se caracteriza por el uso de triángulos isósceles y otras formas geométricas. El edificio este fue edificado en una parcela con una forma poco adecuada, así que Pei usó como base también un triángulo isósceles.

Otro edificio emblemático es el Flatiron Building, de Nueva York. Flatiron significa “plancha de hierro”, y es que el edificio tiene la forma triangular de aquellas planchas antiguas. Se edificó hace ya más de 100 años, lo que ilustra de la resistencia de la arquitectura basada en triángulos.

Foto: Flatiron Building, Nueva York.

Imagen: dominio público.

La forma triangular también se utiliza en los tejados, ya que facilita que no se depositen sedimentos en el techo que puedan hacer peligrar la casa, cargándola de peso en exceso. De esta manera, en los sitios en los que nieva mucho los tejados siempre tienen esta disposición para que la nieve no se acumule sobre las casa. En el caso de regiones lluviosas, las pendientes de los tejados no necesitan ser tan pronunciadas porque el agua resbala con facilidad.

Además de en las estructuras, los triángulos se utilizan como elementos ornamentales; un ejemplo son las ventanas triangulares de muchas iglesias. El motivo aquí también tiene un sentido religioso, ya que la Santísima Trinidad (Padre, Hijo y Espíritu Santo) se representa como un triángulo.

Foto: torre Hearst, Manhattan.

Imagen: dominio público.

En la arquitectura moderna, la torre Hearst en Manhattan es un buen ejemplo. Como se ve desde el exterior, la torre presenta un extraño diseño estructural con soportes de forma triangular (también conocido como diagrid), que exigió el uso de 9.500 toneladas de acero. Esta torre fue el primer rascacielos construido en Nueva York tras los atentados del 11 de septiembre de 2001. En 2006 el edificio recibió el Premio de Rascacielos Emporis, que lo reconoció como el mejor rascacielos construido en el mundo durante ese año.

Triángulos en la navegación a vela

Una de las grandes conquistas de la humanidad, que permitió recorrer grandes distancias y así explorar el mundo, fue la navegación y, especialmente, la navegación a vela. En sus inicios, la navegación era por los ríos y lagos, siguiendo la línea de la costa. Hace ya más de 5.000 años los egipcios eran unos grandes navegantes y recorrían el Nilo con velas que se llamaban redonda o cuadra, por sus formas trapezoidales. La vela es una tela utilizada para proveer propulsión a las embarcaciones, utilizando la fuerza del viento.

La necesidad de crear embarcaciones más rápidas, con fines comerciales, propició la evolución de la navegación a vela. Así, en el siglo V, los romanos y bizantinos comenzaron a usar una vela triangular, que tiene la forma de un cuchillo y que se llama la vela latina. La ventaja de la vela triangular es que permite navegar incluso en contra de la dirección del viento.

Hoy en día, la navegación a vela está restringida al deporte y al ocio, y podemos ver infinidad de velas triangulares en cualquier zona de nuestras costas.

Triángulo en la música

El triángulo es probablemente el instrumento más modesto en una orquesta. Es un instrumento de percusión de metal, perteneciente al grupo de los idiófonos, cuyo sonido se produce por la vibración del metal tras ser golpeado con la baqueta.

Está formado por una barra de acero doblada en forma de triángulo, como su nombre indica, con uno de sus vértices abierto. Normalmente, el triángulo incluye un cordel atado al vértice superior que sirve para suspenderlo. Los instrumentos más antiguos tenían forma de triángulo isósceles, y fue más tarde cuando tomaron su forma de triángulo equilátero. Su origen no está del todo claro. Hasta el año 1589 el término no aparece por escrito; es en un inventario de Wurtemberg. A partir de ese momento se populariza y ya puede verse en muchas pinturas en iglesias, pinturas italianas y libros de esa época. Se incorporó a la orquesta sinfónica sobre mediados del siglo XVIII, cuando se instauró en Europa el gusto por los instrumentos de origen oriental. Desde entonces ha sido un instrumento habitual en muchas obras de concierto. La primera pieza en la que el triángulo juega un papel relevante fue en el Concierto para piano nº 1 de Franz Liszt, donde es utilizado como instrumento solista en el tercer movimiento.

Durante la Edad Media se denominó con diversos nombres: trepied (en Francia), Stegereyff o Tryangel (en Alemania), staffa (en Italia). En el siglo XVI se emplea el nombre de címbalo. Gran parte de su popularidad la adquirió en la música militar, en composiciones como La Abertura de Sol de Johann Friedrich Fasch.

El triángulo más popular en aquellos días tenía dos aros metálicos en sus vértices, pero hubo muchas otras variedades, por ejemplo con cascabeles. En el siglo XIX pierde estos dos aros metálicos y se llega a la forma que conocemos estos días. En ese siglo Beethoven empleó este instrumento en su Quinta Sinfonía. Ya más adelante, artistas como Béla Bartók (en 1937) lo introdujeron como instrumento. Bernd Alois Zimmermann lo usó en la ópera Die Soldaten (1958 y 1960).

Su sonido es agudo y posee gran sonoridad, lo que permite que sea oído por encima de la orquesta. Puede ser abierto o cerrado, según como lo sostenga el intérprete. El percusionista dispone normalmente de varios triángulos de diferentes tamaños y grosores, junto con varillas percutoras de calidades diversas, ya que la intensidad, calidad y color del sonido del triángulo depende de estos factores. En la música contemporánea es habitual emplear un conjunto de triángulos suspendidos sobre un soporte.

El triángulo tiene dos modos de vibración, que se corresponden con diferentes sonidos: el tono de vibración pura, en el que los lados del instrumento forman una esquina abierta oscilante, en tanto su lado opuesto llega a vibrar en un arco de dos esquinas que se encuentran separadas, lo cual produce un modo sin vibración; sonido en tercera dimensión, en el que los tres lados del triángulo oscilan bidireccionalmente, como lo que ocurre en el primer sonido, y también lo hace lateralmente. Para conseguir este tipo de vibración es necesario colocar el triángulo con un ángulo de 45º.

Triángulos en las carreteras

Las señales de tráfico se remontan a la antigua Roma. Aquellas primitivas señales romanas eran piedras cinceladas y pesaban centenares de kilos. Eran los miliarios, columnas cilíndricas de hasta cuatro metros de altura, muchas de ellas de granito, que servían de información en la extensa red de calzadas que atravesaban los caminos del imperio. Estos miliarios indicaban al viajero las millas a las que se situaba Roma, la capital imperial, o las direcciones a seguir y la distancia entre las ciudades que unía la vía donde se erigían. Fueron clave en el desarrollo de Roma, ya que gran parte del éxito del imperio se basó en las comunicaciones rápidas a través de esta inmensa red de carreteras.

A finales del siglo XIX, cuando ya se había inventado el automóvil, se erigieron señales más o menos parecidas a las actuales, pero, hasta entonces, las que había no eran muy diferentes a las romanas. En 1895, el Club del Automóvil de Italia fue el primero en idear unas señales que advirtieran a los conductores para poder circular con cierta seguridad. Como cada país tenía sus propios códigos visuales, se celebró en 1908 en París el I Congreso Mundial de la Carretera. Como consecuencia, un año después, nueve estados europeos establecieron unos criterios comunes. En 1949, cuatro años después del fin de la Segunda Guerra Mundial, se unificaron en toda Europa el resto de señales, ya que, antes de ese año, los diferentes países tenían su propia señalización vial, lo que generaba muchos problemas dentro de las comunidades, pero especialmente en los viajeros, que debían adivinar los “letreros” de cada destino turístico.

Las señales verticales de circulación en España se basan en la normativa internacional establecida en la Convención de Viena sobre Señales de Carretera y Señales, de 1968, que es un tratado multilateral diseñado para aumentar la seguridad en la carretera y ayudar al tráfico viario internacional al estandarizar el sistema de señalización para tráfico de carretera (señales de carretera, luces de tráfico y marcas viales).

Las señales de advertencia de peligro indican la proximidad y la naturaleza de un peligro difícil de ser percibido a tiempo, para que podamos actuar de forma adecuada. Su forma exterior es casi siempre un triángulo equilátero con fondo blanco y borde rojo.

Mostramos aquí algunas, pero son muchas ya que la prevención en el tráfico es un objetivo prioritario. Son siempre triángulos equiláteros donde la base es el lado de abajo y el vértice opuesto apunta hacia arriba.

Las señales temporales de peligro por obras son también triangulares.

Las señales de prioridad son las que obligan a ceder el paso a otros vehículos. Debido a su importancia, tienen formas diferentes a todas las demás señales, aunque hay una que tiene también forma triangular, aunque en este caso el triángulo apunta hacia el suelo.

Triángulos en la literatura

Uno de los temas más comunes en la literatura, y muy especialmente en el teatro y en el cine, es el triángulo amoroso: tres personas entre las cuales se desarrollan intrigas amorosas, habitualmente dos a dos, que proporcionan muchos recursos tanto para el drama como para la comedia.

Ejemplos bien conocidos son los de Anna, Karenin y Vronsky en Anna Karenina, de Tolstoi; Ginebra, Arturo y Lancelot en la saga del Rey Arturo; Ana Ozores, Víctor Quintanar y Álvaro de Mesía en La Regenta; Constance, Clifford y Mellors en El amante de Lady Chatterley. Pero hay un largo etcétera, como por ejemplo Aureliano Segundo, en Cien años de soledad de Gabriel García Márquez, forma un triángulo con Petra Cotes (su concubina) y Fernanda del Carpio (su esposa); la novia de Bodas de sangre, de Federico García Lorca, forma un triángulo con su novio (más tarde su esposo) y Leonardo (su exnovio); Pepe, el Romano, en La casa de Bernarda Alba, también de Federico García Lorca, forma un triángulo con Angustias (su prometida) y Adela (la hermana de esta).

Bibliografía

De León, Manuel y Sanjuán, Miguel Á. F. (2009): Las matemáticas y la física del caos, ¿Qué sabemos de?, Los Libros de la Catarata y CSIC, Madrid.

De León, Manuel y Timón, Ágata (2015): Las matemáticas de los cristales, ¿Qué sabemos de?, Los Libros de la Catarata y CSIC, Madrid.

— (coords.) (2013): Matemáticas del Planeta Tierra, Unidad Didáctica, FECYT y SM, Madrid.

Euclides (1991): Elementos, Editorial Gredos, Biblioteca Clásica, Madrid.

Guy, Richard K. (1994): “Every number is expressible as the sum of how many polygonal numbers?”, Amer. Math. Monthly, vol. 101, nº 2, pp. 169-172.

Launay, Mickaël (2017): La gran novela de las matemáticas: De la prehistoria a la actualidad, Colección Contextos, Ediciones Paidós, Barcelona.

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Rosenberg, Steve; Spillane, Mike y Wulf, Dan (2008): “Heron Triangles and Moduli Spaces”, The Mathematics Teacher, nº 101, pp. 656-663.

Sagan, Carl (1982): Cosmos, Editorial Planeta, Madrid.

Notas

1. “La filosofía está escrita en este gran libro, que está continuamente abierto a nuestra mirada (me refiero al universo), pero no se puede entender a menos que uno primero aprenda a comprender el idioma y conocer a los personajes, en el que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es humanamente imposible entender humanamente la palabra; sin estos es un deambular vagamente por un oscuro laberinto”.

Federación Española de Sociedades de Profesores

de Matemáticas (FESPM)

Se constituyó en Sevilla en el año 1988 con la vocación de aunar los esfuerzos de cuantos trabajan por mejorar la educación matemática y a ella pueden adherirse todas aquellas asociaciones de profesores de Matemáticas que compartan los fines de esta Federación. Desde su creación y hasta la fecha, la federación ha seguido un proceso continuo de crecimiento, hasta llegar a estar formada en la actualidad por veinte sociedades.

La FESPM forma parte de la Federación Europea de Asociaciones de Profesores de Matemáticas (FEAPM) y de la Federación Iberoamericana de Educación Matemática (FISEM).

ICMAT

El ICMAT es un centro mixto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y tres universidades de Madrid: la Autónoma (UAM), Carlos III (UC3M) y Complutense (UCM). Su principal objetivo es el estímulo de la investigación matemática de alta calidad y de la investigación interdisciplinar. Es uno de los centros españoles del programa de excelencia Severo Ochoa, lo que acredita la alta calidad de su proyecto investigador. Además, sus investigadores han obtenido diez de las prestigiosas ayudas del Consejo Europeo de Investigación (ERC), en las modalidades “Starting” y “Consolidator” y una Cátedra Permanente del AXA Research Fund.