Si tuviera que decir dónde estaban mis auténticas asperezas, diría que allí donde era subyugado por experiencias que no podía explicar. Hasta ahora nadie, ni siquiera yo mismo, ha conseguido liberarme de algo explicándomelo.

ELIAS CANETTI, La antorcha al oído, p. 88

Introducción

Este libro quiere cubrir una laguna: los libros de divulgación de la física al uso se dedican sobre todo a contar anécdotas —casi siempre entretenidas e interesantes, no lo dudamos— o, en todo caso, a la descripción superficial de algunos principios, pero dejan a muchos lectores interesados con un cierto sabor amargo porque ven cómo se aproximan a una materia, pero no la abordan del todo. Tratan temas que parecen atractivos, pero no los explican. El lector sólo adquiere una vaga idea de los asuntos tratados, pero no un conocimiento medianamente preciso o profundo.

Pensamos que con frecuencia se recurre a un libro de divulgación porque no se tiene el bagaje matemático para enfrentarse a libros más técnicos, pero sí se pretende adquirir una idea cabal de los temas y principios expuestos.

En este libro pretendemos explicar los fundamentos de la mecánica cuántica y sus aplicaciones recientes. Hemos buscado un difícil equilibrio: utilizar matemáticas muy básicas, pero no por eso dejar de explicar en toda su profundidad los temas que se tratan. Para ello hemos seleccionado un hilo conductor que resume la esencia cuántica, lo hemos desbrozado del rigor matemático formal sustituyéndolo por ideas intuitivas, le hemos quitado todo lo complementario y hemos buscado los casos sencillos y los experimentos que permiten concentrarse en explicar lo fundamental. Hemos rechazado todo aquello que, aunque importante en mecánica cuántica, nos distrae de ese hilo conductor y que, además, requiere un aparato técnico más complejo. (De ahí que no hablemos, por ejemplo, del espín, magnitud cuántica por excelencia y muy utilizada en otros textos para explicar los entresijos cuánticos.) Preferimos concentrarnos en un solo tema, que además se puede presentar de una forma muy intuitiva, la polarización de la luz, y que él nos vaya conduciendo a través del meollo cuántico.

Como decimos, el nivel de matemáticas se ha reducido al mínimo, supliéndolo por imágenes y analogías de manera que sólo se requieren matemáticas elementales para seguir el cuerpo principal del libro. Nos referimos a sumas, productos y potencias de números enteros. También se da la opción de profundizar un poco más con un nivel de matemáticas ligeramente superior. Cuando aparece «coseno de un ángulo», por ejemplo, ponemos una línea quebrada que encierra el material correspondiente para que los lectores versados en tales herramientas matemáticas procedan a su lectura. A lo largo del libro se van sucediendo esos recuadros de línea quebrada, que exigen, por tanto, sólo un nivel medio de matemáticas.

En el Apéndice hemos puesto los desarrollos un poco más laboriosos que aquilatan los detalles del texto. Así los lectores que quieran profundizar algo más o convencerse por sí mismos de algunos extremos, pueden hacerlo.

Tenemos que aclarar desde el principio algo importante: la mecánica cuántica nadie la entiende. Más precisamente, si entender significa tener una imagen clara de cómo funciona el mundo subatómico habrá que aceptar que no lo entendemos. Nuestra pretensión será más humilde. Intentaremos explicar qué se sabe y de qué manera; pero ya advertimos a aquellos que aspiren a leer este libro para encontrar certidumbres: no las hay. Como mucho, podremos abrir puertas para asomarnos a mundos insospechados donde las cosas no son como en el mundo macroscópico; donde se puede estar a caballo entre dos situaciones aparentemente incompatibles; donde lo que uno haga en un sitio puede afectar instantáneamente a objetos que se encuentran lejos; o donde no se puede mirar impunemente porque al mirar se altera lo que uno mira.

Las ideas que aquí se explican son importantes porque modifican nuestra imagen del mundo. Explicarlas puede evitar maximalismos fáciles: tan malo es despreciar la ciencia como creer que la ciencia lo puede todo. Hay gente que piensa que la ciencia ha avanzado tanto que es posible teletransportar individuos (a Mr. Spok, por ejemplo, en Star Trek). Pero no se pueden enunciar principios generales sin especificar las situaciones en las que son válidos. La ciencia precisa; no admite afirmaciones generales sin especificar las condiciones de su aplicación. A esa tarea nos dedicaremos a lo largo del libro.

El libro consiste en el desarrollo de un solo tema: la superposición. Ése es el concepto diferencial entre la física clásica y la cuántica. Que una partícula subatómica pueda estar en una situación intermedia, en un estado «suspendido» entre dos estados clásicos —dos posiciones, por ejemplo—, separa radicalmente las leyes cuánticas de las clásicas. Y permite inventar aplicaciones inimaginables para el sentido común, aplicaciones basadas en estados de superposición. Bohr, uno de los fundadores de la mecánica cuántica, decía que nuestros conceptos, nacidos de una visión macroscópica del mundo para la que es adecuada la física clásica, no permiten aprehender el mundo cuántico. Hay un radical misterio en la mecánica cuántica. Ése será uno de los objetivos del libro: precisar las fronteras de ese misterio.

En el capítulo 1 se cuenta cómo empezó todo, y por dónde se coló, desde el principio, lo incomprensible. Ocurrió cuando Schrödinger, otro de los fundadores, encontró su famosa ecuación. La ecuación tenía un sujeto, ψ, la función de onda, y ese sujeto era un tanto esquivo. Tan vagaroso era que costó mucho ponerle un traje, y encima el traje tenía una hechura desconocida hasta entonces. Surge la pregunta: ¿en qué contexto sociocultural formula Schrödinger su revolucionaria ecuación? El capítulo se complementa con la descripción del ambiente cultural de la Viena de Schrödinger y de sus circunstancias personales.

En el capítulo 2 se presenta de un modo operacional, a través de experimentos, el protagonista del libro: la superposición, y su antagonista: el colapso. A lo largo del capítulo se analizará la lucha entre estos dos caracteres principales en diferentes situaciones, a cual más intrigante.

Sumergidos ya en las extrañezas cuánticas, intentaremos aclarar, en el capítulo 3, qué significa medir en el desdibujado mundo cuántico, y lo haremos investigando una propiedad de la luz que nos acompañará en el resto del libro: la polarización.

Podremos, entonces, en el capítulo 4, extender la idea de superposición a sistemas de 2 partículas. Así aparecerá el entrelazamiento, una ligazón entre partículas que permanece aunque las partículas se separen grandes distancias y que hace que una partícula «sienta» lo que se le hace a la otra por lejos que esté.

El capítulo 5 delimita la frontera entre el mundo clásico y el cuántico. Las discusiones entre Einstein y Bohr sobre si el mundo es cuántico o no, encuentran, con la esencial aportación de John Bell, el rasero que traduce a hechos las dos visiones, porque descubre, en el entrelazamiento, predicciones experimentales diferenciadas para cada una de ellas. Bell pone, de esta manera, números al misterio y deja que sea la realidad la que dé la razón a una u otra filosofía.

La desigualdad de Bell proporciona, además, un criterio para saber si de verdad un sistema está entrelazado y puede utilizarse para transmitir información con la seguridad de que ningún espía pueda interceptarla. Abre, así, las puertas de la revolución que, en los años noventa del siglo pasado se gestó en el campo de la información. En el capítulo 6 se explica cómo se aprovecharon las extrañezas y anomalías cuánticas para procesar y comunicar la información de una forma totalmente nueva, domando el misterio cuántico para crear aplicaciones imposibles de concebir con las herramientas clásicas: la teleportación, la criptografía cuántica y los ordenadores cuánticos.

El capítulo 7 se centra en la criptografía; primero explica, con un ejemplo, el método de clave pública RSA, que, aunque no sea cuántico, deja también un poco perplejo al profano; a continuación se detalla el procedimiento cuántico, intrínsecamente seguro.

El capítulo 8 quiere poner orden en los descubrimientos de los capítulos precedentes situándolos en un entramado coherente. La dificultad de ese intento hace que el capítulo se titule: «Breve excursión casi filosófica». En este capítulo vuelve a tratarse el problema del colapso, pero esta vez desde la perspectiva más general del problema de la medida, del que es famoso exponente el «gato de Schrödinger». En ese capítulo se muestra cómo la única alternativa a la pragmática interpretación de Copenhague (en su versión moderna, de «la información cuántica») es la de «los muchos universos», defendida mayoritariamente por los cosmólogos, porque encaja mejor en la concepción global del universo.

Por último, el capítulo 9 trasciende las propias fronteras del libro llevando la teoría cuántica al dominio de la Cosmología. La pregunta que nos hacemos es: ¿sigue siendo válida la mecánica cuántica cuando existen campos gravitacionales muy intensos, como los que se dan en los agujeros negros? El caballo de batalla, se verá en ese capítulo, es, otra vez, la información. Será en sus términos en los que se replantee la pregunta anterior. Hasta tal punto parece estar la información permeándolo todo, que el libro concluirá con una pregunta: ¿es la realidad en el fondo —al nivel más profundo— información?

El libro se enriquece con cinco sugerentes ilustraciones artísticas de Concha Gómez Acebo que remachan, a veces con un toque de humor, algunas ideas importantes de la mecánica cuántica. Al parecer, los temas aquí tratados fueron fuente de inspiración para su talento de pintora y alentaron su ingenio e imaginación.

El libro ha contado, desde su gestación, con un lector: Pepe Mañeru. Las frecuentes visitas de uno de los autores (A. C.) al amigo Mañeru, en Jávea, a la dorada tranquilidad de la falda del Montgó (un lugar inmejorable para meditaciones cuánticas), pronto se convirtieron en lecturas críticas de los primeros capítulos del libro. Los consejos de Mañeru no sólo han permitido aclarar explicaciones confusas; por ellos se han reorganizado capítulos enteros dándoles coherencia. Contar desde el principio con un lector crítico ha sido parte esencial del proceso de creación del libro.

Hay además un buen número de personas con quienes a lo largo de los últimos años hemos hablado (y discutido) sobre mecánica cuántica. No nos es posible citar a todas ellas, pero sí deseamos mencionar en particular a Miguel Ferrero, Antonio Gallego y David Salgado, que han sido nuestros frecuentes interlocutores en temas muy afines a los desarrollados aquí.

Agradecemos a Guillermo Cassinello Toscano la ayuda prestada en la confección de muchos de los gráficos de este libro.

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La aparición de «Ψ» y los saltos cuánticos

En el siglo XVIII Newton había descubierto que la luz blanca se descompone, en un prisma óptico, en todos los colores del arco iris. En la segunda mitad del siglo XIX se descubrió que cuando se hace pasar por un prisma óptico la luz que emite una sustancia que se calienta hasta la incandescencia, aparecen unas rayas de colores. Para cada sustancia se obtienen unos ciertos colores, distintos según la sustancia.

El elemento más sencillo, el hidrógeno, produce en el prisma cuatro rayas, dos de color violeta, una de color azul-verde y otra de color rojo. Estas rayas constituyen el espectro del hidrógeno (véase la figura 1.1).¹

Cada elemento produce un espectro característico. Así decía un químico del siglo XIX: «Ya no será necesario tocar un cuerpo para determinar su naturaleza, bastará verlo». Se puede identificar un elemento por su espectro. De hecho, Kirchhoff y Bunsen consiguieron descubrir así la existencia de elementos desconocidos hasta entonces. E incluso identificaron elementos contenidos en la atmósfera del sol analizando con detalle el espectro de la luz proveniente del mismo. (La astronomía adquiría un nuevo impulso y se convertía en astrofísica: se podía estudiar la composición de los cuerpos celestes sin más que analizar la luz que recibimos de ellos.)

Ahora bien, ¿cómo se producían esas rayas espectrales? ¿Por qué una sustancia emite luz de unos colores y otras de otros distintos?

Hubo que esperar al cambio de siglo para que Bohr, con su modelo atómico, justificase la formación de los espectros.

FIGURA 1.1. Representación de las cuatro rayas visibles del espectro del hidrógeno. Se ven, también, las frecuencias que corresponden a estos colores. Esta figura puede verse en color en el pliego.

En 1911 Rutherford descubrió que el átomo estaba formado por un núcleo que contiene prácticamente toda la masa del átomo, y electrones moviéndose a su alrededor. La imagen inevitable era la de un pequeño sistema planetario: los electrones orbitan alrededor del núcleo en diferentes niveles o capas. Cada órbita corresponde a una energía determinada.

En 1913 Bohr postuló que no todas las órbitas eran posibles. Los electrones sólo podían moverse en órbitas con unas determinadas energías dependientes de los números naturales 1, 2 3, ... (véase la figura 1.2). El estado (la órbita) que corresponde a n = 1, el de menor radio, es el de menor energía y recibe el nombre de «fundamental». Los demás (n = 2, 3, ...), de radios y energías mayores, se llaman estados «excitados». Las órbitas quedan así «cuantizadas» (se pueden contar, no forman un continuo). Entonces, cuando un electrón salta de una órbita o nivel energético a otro emite o absorbe luz de una determinada frecuencia (un determinado color) que depende de la magnitud del salto. Concretamente, cuando un electrón pasa del estado «fundamental» a uno «excitado» (de mayor energía) absorbe luz. Si, en cambio, pasa a un estado de menor energía, emite luz (véase la figura 1.2).

FIGURA 1.2. En el modelo de Bohr, los colores del espectro de un elemento corresponden a la luz emitida cuando los electrones saltan desde órbitas de mayor energía a otras de energía menor.

Lo que sucede, entonces, cuando se calienta un gas es que, debido al choque violento de las moléculas del gas, los electrones de los átomos se excitan: pasan a órbitas más energéticas; y desde ellas saltan a otras de menor energía emitiendo luz. Ésa es la luz que se ve en el espectro. El color (la frecuencia) de esa luz es proporcional a la diferencia de energía de las órbitas implicadas.

Mientras se siga calentando el gas seguirá habiendo choques entre las moléculas y por tanto se mantendrá el espectro de emisión de luz.

El modelo de Bohr encajaba con las observaciones experimentales que, desde 1860, habían recogido los espectros de diferentes tipos de átomos.

El átomo de Bohr explicaba de una manera muy simple los datos anteriores, pero tenía un problema fundamental: era inestable. Según la ciencia física conocida los electrones que giran alrededor del núcleo deberían emitir continuamente radiación [radiación es sencillamente luz pero en un rango de frecuencias más amplio. Para decirlo mejor: la luz es la radiación correspondiente a las frecuencias visibles, las que detecta el ojo humano] y por tanto perder energía hasta caer al núcleo. No se entendía cómo podía mantenerse un sistema así.

La energía de la luz emitida en un salto desde una órbita de energía E₂ más alejada del núcleo, a otra órbita de energía E₁ más cercana al núcleo es proporcional a la diferencia de energías:

E = E₂ − E₁

Y la frecuencia de esa luz es

El número por el que hay que multiplicar la frecuencia para convertirla en energía es h, la constante introducida por Planck en 1900 en su revolucionaria hipótesis —formulada «como un acto de desesperación»— de que la energía se transfiere en paquetes discretos.

Así, la luz azul, como tiene mayor frecuencia que la roja, también es más energética que ésta.

CUADRO 1.1. Relación entre las energías de dos niveles y la frecuencia de una raya del espectro.

Además no había justificación de por qué los electrones podían girar en determinadas órbitas y no en otras.

En 1925, Heisenberg por un lado, y en 1926, Schrödinger por otro, propusieron una explicación.

La solución de Schrödinger es la que aquí nos interesa. Se apoyaba en una idea que De Broglie había formulado unos años antes (véase la figura 1.3).

La hipótesis de De Broglie era que los electrones (y, en general, todas las partículas) tenían una onda asociada. Siguiendo una convención que se ha mantenido a lo largo de los años, llamaremos Ψ («psi») a la amplitud de esa onda asociada en cada punto del espacio. Será una función de las coordenadas del punto en cuestión, y del tiempo, ya que irá variando. Recibe el nombre de función de onda.

Según De Broglie las órbitas de los electrones alrededor del núcleo se asemejan a las ondas que se crean en una cuerda sujeta por los extremos cuando se la hace vibrar. En el caso de la cuerda sólo son posibles las ondas estacionarias [estacionarias: que no se propagan. Hay puntos de la cuerda que permanecen inmóviles] en las que cabe un número entero de longitudes de onda en la cuerda. (En la figura 1.3 se representan los casos con 2 y con 3 longitudes de onda.) Según De Broglie los electrones tienen una onda asociada y con ellos pasa lo mismo: sólo son posibles las órbitas en las que quepan un número entero de longitudes de onda electrónicas. Eso explica por qué unas órbitas son válidas y otras no. El modelo de Bohr quedaría —por lo menos en parte— justificado.

FIGURA 1.3. A la derecha vemos ondas estacionarias creadas en una cuerda agarrada por los extremos, arriba con 2 longitudes de onda, abajo con 3 longitudes de onda.

A la izquierda la cuerda forma una circunferencia. Vemos las ondas estacionarias de De Broglie también con 2 y 3 longitudes de onda (arriba y abajo, respectivamente). Corresponden a las órbitas n = 2 y n = 3 de Bohr.

En realidad el modelo de los electrones girando alrededor del núcleo, o convertidos en ondas estacionarias de De Broglie, no describe la verdadera naturaleza del átomo, pero esas ideas sirvieron de punto de partida para la búsqueda del modelo correcto. Ese modelo requería una teoría que iba a revolucionar la física.

Situémonos por un momento en el otoño de 1925, en Zúrich. Schrödinger era profesor de la Universidad de Zúrich. El departamento de física de esta universidad organizaba, junto con el departamento de física de la más célebre Escuela Politécnica (donde había estudiado Einstein hacía unos cuantos años), un seminario quincenal donde se comunicaban y discutían los artículos más recientes.

El profesor Debye, de la Escuela Politécnica, dirigía el seminario. Entre los participantes se encontraba Felix Bloch, que llegaría a ganar el Premio Nobel en 1952, pero que por entonces era estudiante de la Escuela Politécnica.

Felix Bloch recordaba así aquellos días:²

En una ocasión, al final del colloquium oí a Debye que le decía a Schrödinger algo como: «Schrödinger, Ud. no está trabajando ahora en ningún problema muy importante. ¿Por qué no nos cuenta en alguna sesión algo acerca de la tesis de De Broglie, que parece haber atraído cierta atención?».

Así, en uno de los coloquios siguientes, Schrödinger hizo una magnífica exposición de cómo De Broglie asociaba una onda con una partícula y cómo podía obtener las reglas de cuantización de Bohr y Sommerfeld exigiendo que se incluyese un número entero de ondas en una órbita estacionaria. Cuando había finalizado, Debye señaló que pensaba que ese modo de hablar era un tanto infantil. Como estudiante de Sommerfeld había aprendido que, para tratar adecuadamente con ondas, uno debía tener una ecuación de ondas. Sonó bastante evidente y no pareció que hiciese una gran impresión, pero Schrödinger sí reflexionó más tarde sobre esa idea.

Algunas semanas después dio otra conferencia en el colloquium y comenzó diciendo: «Mi colega Debye sugirió que se debería tener una ecuación de ondas; bien, yo he encontrado una».

Y entonces nos contó esencialmente lo que iba a ser, con el título «Cuantización como un problema de autovalores», el primer artículo de una serie publicada en Annalen der Physik.

Schrödinger publicó ese primer artículo en enero de 1926, y a él siguieron otros tres con los que completó la creación de la nueva teoría: la mecánica cuántica ondulatoria.

Schrödinger había encontrado la ecuación de ondas correcta: al resolver su ecuación salían, sin suposiciones ad hoc como anteriormente, las energías de las órbitas de los electrones. Ya no había que inventarlas como había hecho Bohr; ni que plantear suposiciones forzadas como había hecho De Broglie; ahora las energías salían de una verdadera ecuación. La ecuación de Schrödinger se formulaba con respecto a Ψ, la función de onda (recordemos: la amplitud de la onda asociada al electrón). En las soluciones de Schrödinger la función de onda ya no era una línea vibrando, como había supuesto De Broglie, sino algo más parecido a una nube continua que llenaba el espacio que rodea el átomo. Las órbitas de Bohr quedarían como aproximaciones de las soluciones más complejas encontradas por Schrödinger.

ILUSTRACIÓN 1. Muestra al científico dando garbosos saltos cuánticos. Cuando al saltar se acerca al núcleo emite radiación (figura de la izquierda). Cuando, por el contrario, se aleja del núcleo (figura de la derecha) absorbe radiación. Esta ilustración puede verse en color en el pliego.

Según la interpretación que Schrödinger hizo de inmediato de su propia ecuación, la intensidad de la onda Ψ en cada punto expresaba la cantidad de carga electrónica —la «fracción» de electrón, para entendernos— que hay en tal punto. Así, la carga total del electrón se repartiría por el espacio proporcionalmente a la intensidad de Ψ. El electrón sería una onda material Ψ —o un agregado, un paquete, de ondas materiales—, que llenaría el espacio de forma continua.

Schrödinger podría ahora utilizar su ecuación para explicar algo que siempre le había intrigado: ¿cómo, en el átomo de Bohr, «salta» el electrón de una órbita a otra? No puede ser que desaparezca de una órbita y aparezca en otra. En la naturaleza no hay saltos discontinuos. Habrá alguna manera de describir el cambio de órbita... En definitiva, no se entendía cómo se realizan esos saltos.

Con su ecuación sí se explicaban: las órbitas corresponden a funciones de onda estacionarias. Como esas funciones corresponden a energías distintas pueden generar pulsaciones de un modo semejante a como dos tonos sonoros de frecuencias próximas crean un sonido cuya intensidad aumenta y disminuye con una frecuencia igual a la diferencia de las frecuencias originales. La emisión o absorción de radiación cuando el electrón salta de una órbita a otra correspondería, en su modelo, a la pulsación que crean dos ondas estacionarias de distinta energía. La frecuencia de la radiación emitida o absorbida sería proporcional a la diferencia de las energías de las órbitas implicadas. En definitiva, los saltos cuánticos se explicarían como intercambios de energía entre dos formas de vibración distintas, de manera que habría una transición continua de un estado estacionario a otro.

El caso es que Schrödinger había encontrado un mecanismo que evitaba los incomprensibles saltos cuánticos. Conseguía recuperar una imagen continua de la naturaleza. De hecho, su ecuación tuvo tan buena acogida porque gran parte de los físicos se sentían más cómodos con la imagen continua que proporcionaba su ecuación que con la teoría rival, la de Heisenberg, que partía de elementos discontinuos. (Poco más tarde se vería que las dos teorías, aparentemente tan distintas, eran equivalentes.)

Pero poco duró la satisfacción de Schrödinger. Se puso de manifiesto muy pronto que su interpretación de la función de onda, Ψ, no era válida. No es que la ecuación fuese errónea. Su ecuación era correcta. De hecho, era —y sigue siendo— la herramienta fundamental de todo el edificio cuántico. Los problemas aparecían al pretender que la función de onda, Ψ, fuese la representación material, física, del electrón. Uno de los físicos más importantes de la época, Lorentz, le escribía en mayo de 1926:³

Si le he entendido correctamente, entonces una «partícula», un electrón por ejemplo, sería comparable a un paquete de ondas [...].

Pero un paquete de ondas a la larga nunca puede permanecer unido ni confinado a un pequeño volumen. La más pequeña dispersión en el medio lo disgregará en la dirección de propagación, e incluso sin esa dispersión se abrirá más y más en la dirección transversal. Debido a esta inevitable dispersión del paquete de ondas, no me parece que sea muy adecuado para representar cosas a las que queremos adscribir una existencia individual permanente.

Esa dispersión del paquete de ondas haría que, por ejemplo, un electrón libre, es decir, un electrón que ha saltado fuera del átomo, ocupase, según la descripción ondulatoria de Schrödinger, un espacio cada vez mayor al ir pasando el tiempo. El electrón, si la imagen de Schrödinger fuera válida, dejaría de estar confinado en una zona del espacio, lo cual está en contra del comportamiento observado del electrón en múltiples experimentos.

Este y otros problemas no menos importantes —que no podemos tratar aquí— mostraron que no era posible asignar a Ψ una realidad material. Aunque su ecuación fuese correcta no lo era su interpretación del electrón como un paquete de ondas físicas reales ni, por tanto, su explicación del salto cuántico. El problema estaba en el corazón de su ecuación de ondas. En una onda hay algo, un sustrato material, que vibra. ¿Qué es lo que vibra en la ecuación de ondas de Schrödinger? Resulta que todos los intentos de asignar a su onda, Ψ, una materialidad se mostraban inconsistentes.

Faltaba dar el paso definitivo: liberar a Ψ de su carácter material.

El lector no muy versado en matemáticas se preguntará cómo es posible que la ecuación de Schrödinger, que predice con toda precisión los niveles electrónicos del átomo de hidrógeno (las órbitas de Bohr), no especifique, sin embargo, qué es lo que está vibrando.

La explicación es la siguiente:

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es:

HΨ = EΨ

Es una ecuación de valores propios: un operador matemático actúa sobre Ψ y tiene que dar un múltiplo del propio Ψ. Para que tenga solución, E tiene que tomar ciertos valores reales: son las energías permitidas del átomo de Bohr. Son condiciones para que la ecuación tenga solución, pero no son la solución misma. De ahí que puedan predecirse las energías, condiciones de la solución, a pesar de que no se entiendan bien las propias soluciones Ψ.

CUADRO 1.2. En el que se explica cómo, a pesar de que con la ecuación de Schrödinger se obtienen las correctas energías de las órbitas, persisten las dificultades de interpretar Ψ.

Cinco meses más tarde de la publicación del artículo de Schrödinger, en junio de 1926, Born lograba una interpretación consistente de Ψ, la interpretación que perduraría: Ψ expresa la probabilidad de que el electrón se encuentre en un sitio o en otro.

La onda Ψ no es el electrón mismo, sólo describe dónde puede estar el electrón.

Los electrones se mueven alrededor del núcleo, pero no cabe asignarles una trayectoria específica. La función de onda Ψ sí toma un valor determinado en cada punto del espacio en cada instante, pero el electrón no puede suponerse que esté en una posición concreta en cada momento. Tampoco su carga se reparte por el espacio según la intensidad de Ψ. El electrón no es, por tanto, una onda dada por Ψ. Ahora bien, Ψ expresa lo que sabemos del electrón. Ψ incluye toda la información que puede obtenerse, en un instante dado, sobre el electrón. Ψ indica dónde puede encontrarse el electrón. Donde Ψ tome un valor más alto, allí será más probable encontrar el electrón; donde Ψ sea pequeña, será menos probable que esté el electrón.

Born estableció que la probabilidad de que el electrón ocupase una determinada posición era igual al cuadrado de Ψ.⁴

El electrón es una partícula pero su situación se hace fantasmal: sólo podemos conocer la probabilidad de que esté aquí o allá, y esa probabilidad la proporciona una onda, la onda Ψ. Ya sabemos en qué consiste la onda Ψ: ¡es una onda de probabilidad! (Habrá que dilucidar si detrás de esa afirmación puede establecerse una conexión con una realidad física. Ése será el tema que nos ocupará en el siguiente capítulo.)

De esta manera, cualquier partícula o sistema cuántico (electrón, fotón, etc.) queda descrito por su función de onda Ψ y la probabilidad de que esa partícula o ese sistema cuántico se encuentren en un cierto lugar es igual al cuadrado de Ψ.

Respecto a los «saltos» de los electrones cuando pasan de un estado energético a otro, la situación seguía sin aclararse.

En octubre de 1926 Schrödinger viajó a Copenhague, invitado por Bohr. Heisenberg cuenta cómo fue el encuentro:⁵

La discusión entre Bohr y Schrödinger había empezado en la estación de ferrocarril y se prolongaba todos los días desde por la mañana temprano hasta tarde de noche. Como Schrödinger se alojaba en casa de Bohr, no había nada que interrumpiese las conversaciones. [...] Es difícil comunicar lo apasionado de las discusiones, lo profundo de las convicciones de cada uno de ellos. [...]

SCHRÖDINGER: Seguro que entiende que la propia idea de los saltos cuánticos lleva necesariamente a un sinsentido. [...] ¿El salto ocurre gradualmente o de golpe? Si es gradual, el electrón también debería cambiar gradualmente su frecuencia orbital y su energía. No se concibe cómo eso puede dar lugar a una raya (una sola frecuencia) espectral. Por otro lado, si el salto ocurre de golpe, uno puede obtener el valor de la frecuencia de la luz (emitida o absorbida), pero entonces debemos preguntarnos cómo se comporta el electrón durante el salto. ¿Por qué no emite un espectro continuo como la teoría electromagnética requiere? Y ¿qué leyes rigen su movimiento durante el salto? En resumen, la idea misma de los saltos cuánticos es una mera fantasía.

BOHR: Lo que dice es completamente correcto. Pero eso no prueba que no existan los saltos cuánticos. Sólo prueba que no podemos imaginarlos, que los conceptos con los que describimos los sucesos de la vida ordinaria y los experimentos de física clásica son inadecuados para describir los saltos cuánticos. Lo cual no debería sorprendernos mucho ya que los procesos implicados no son objeto de nuestra experiencia directa.

SCHRÖDINGER: No quiero entrar en largas disquisiciones sobre la formación de los conceptos; prefiero dejar ese asunto a los filósofos. Sólo quiero saber qué pasa dentro del átomo. No me importa qué lenguaje se utilice para analizarlo. Si hay electrones en el átomo, y si éstos son partículas —como todos pensamos—, entonces se deben mover de alguna forma. [...] Pero del formalismo de la mecánica cuántica por si solo está claro que no podemos esperar respuestas a estas preguntas. Ahora bien, en cuanto cambiamos de imagen y afirmamos que no hay electrones discretos, sino ondas electrónicas u ondas de materia, las cosas son muy distintas. La emisión de luz se explica tan fácilmente como la transmisión de ondas de radio a través de una antena, y así, lo que parecía una contradicción insoluble desaparece de repente.

BOHR: Siento no estar de acuerdo. Las contradicciones no desaparecen; simplemente se desplazan de lugar. Habla de la emisión de luz por el átomo o de modo más general, de la interacción entre el átomo y el campo electromagnético circundante, y piensa que todos los problemas se resuelven una vez asumimos que hay ondas materiales pero no saltos cuánticos. Pero considere sencillamente el caso del equilibrio termodinámico entre el átomo y el campo de radiación —recuerde, por ejemplo, la demostración de Einstein de la fórmula de Planck—. Esta demostración requiere que la energía del átomo debe tomar valores discretos y cambiar en ocasiones de forma discontinua; aquí no nos sirven de ayuda los valores discretos de las frecuencias. ¡No pretenderá en serio arrojar dudas sobre las bases de la teoría cuántica!

[...]

SCHRÖDINGER: Si estos malditos saltos cuánticos estuvieran aquí para quedarse, lamentaría mucho haber contribuido a la teoría cuántica.

Schrödinger se negó siempre a aceptar que no hubiera forma de describir los saltos cuánticos. Todavía en 1940, muchos años después de la consolidación de la mecánica cuántica, publica un artículo titulado: «¿Hay saltos cuánticos?». En él sigue negándose a aceptar unos saltos cuánticos repentinos e indescriptibles. Schrödinger considera que deben explicarse a partir de combinaciones de ondas estacionarias reales: la onda asociada al nivel energético de partida va perdiendo intensidad al tiempo que la onda asociada al nivel energético de llegada va incrementando la suya. Así el salto se describiría como una transición gradual, continua, de una onda estacionaria a la otra.

Veremos en el capítulo 3 cómo esta imagen de Schrödinger, aunque no consiga escudriñar el salto cuántico, como él pretendía, sí será operativa para «controlar» ese salto, el cual, así controlado, se convertirá en una herramienta fundamental para las prodigiosas nuevas aplicaciones de la mecánica cuántica.

Pero antes debemos profundizar en el significado y las características de la función de onda. A esa tarea dedicaremos el siguiente capítulo.

La Viena de Schrödinger

Schrödinger nació en 1887 en la capital del Imperio Austrohúngaro, la «ciudad de los ensueños», el verdadero corazón del Imperio. En la segunda mitad del siglo XIX el emperador Francisco José se había ocupado de extender y embellecer la ciudad: el «anillo central (Ringstrasse)» era una sucesión de suntuosos edificios realizados al gusto de la época imitando la arquitectura barroca, gótica o renacentista.

Este estilo ampuloso era la expresión estética de un convencionalismo moral y un conservadurismo en las costumbres que afectaba también a la vida cultural del Imperio.

El cambio de siglo trajo una renovación de la decadente cultura del Imperio. Fueron muchos los hombres que crearon una nueva cultura en Viena a principios de siglo, entre ellos destacan Sigmund Freud, fundador del psicoanálisis, Arnold Schönberg, que revolucionó la música, Adolf Loos y Otto Wagner, la arquitectura, Ludwing Wittgenstein, la filosofía y Ernst Mach y Ludwing Boltzmann, la física.

Sobre la vida cultural de Viena dicen Janik y Toulmin lo siguiente:⁶

«No le resulta fácil hoy en día, especialmente a un norteamericano joven, hacerse cargo de hasta qué punto eran pequeños y estaban estrechamente vinculados los círculos culturales de la monarquía de los Habsburgo. Estamos acostumbrados actualmente a vivir en una sociedad en la que hay muchos centros culturales diferentes y muchas actitudes culturales diversas. Asimismo, la educación de masas hace difícil concebir un país en el que realmente había sólo una universidad, que, por lo demás, bastaba para contenerla con un solo edificio; del mismo modo se hace difícil en nuestro tiempo comprender exactamente hasta qué punto la céntrica Viena constituía la entera vida cultural del Imperio. [...] En los últimos tiempos de la Viena de los Habsburgo, cualquiera de los líderes culturales de la ciudad podía trabar conocimiento con cualquiera de los otros sin dificultad mayor, y, de hecho, muchos de ellos eran amigos íntimos, pese a trabajar en muy distintos campos del arte, del pensamiento y de los negocios públicos».

Eso explica que a la mayoría de los líderes intelectuales de la ciudad les influyese un personaje peculiar que quizá no ha dejado un abultado catálogo de obras memorables a la posteridad, pero que dedicó toda su energía a la tarea de regenerar las costumbres y la cultura de la sociedad vienesa: Karl Kraus.

Polemista incansable, publicó una revista quincenal, desde 1898 hasta 1939 —hecha muy a menudo completamente por él mismo—, en la que denunció, mediante la sátira, tanto la falta de autenticidad de las convenciones sociales de la burguesía vienesa como las manifestaciones culturales y artísticas de todo signo que fueran pura ornamentación o apariencia, que no vibrasen —según su criterio— con el latido de lo auténtico.

«Para los vieneses nada había que tuviese más importancia que las artes, especialmente la literatura, el teatro y la música; y sus gustos en estas materias reflejaban (desde el punto de vista de Kraus) la duplicidad moral que existía a todo lo largo y ancho de la sociedad. Así pues iba a ser a través de la literatura y la música como pondría al desnudo la hipocresía subyacente a la vida de la Ciudad de los Ensueños.»⁷

La Viena intelectual acudía con entusiasmo a las lecturas semanales de Karl Kraus. Cuenta Elias Canetti que en ellas tanto se podía escuchar a Kraus recitando un drama de Shakespeare o una obra propia, como haciendo una sátira de las costumbres vienesas o criticando la última inauguración teatral o musical. En todo caso «en sus lecturas atacaba todo lo malo y podrido».⁸

Kraus atacó también la doble moral con que la sociedad contemplaba la prostitución y defendió que la sexualidad —también la de los homosexuales— era una opción personal privada.

Sea como sea, «en ninguna otra ciudad europea el afán de cultura fue tan apasionado como en Viena», dice Stephan Zweig. «Uno no era auténticamente un vienés sin el amor por la cultura, sin ese sentido que le permitía analizar a la vez que gozar de esa superfluidad sacratísima de la vida.»⁹

En los cafés vieneses —son especialmente famosos el «Griensteidl» y el «Central»— se reunían las tertulias literarias y se leían los periódicos, los cuales, de manera destacada, informaban de los espectáculos teatrales y musicales de la ciudad. Nada había más importante para un vienés que lo que sucedía en el Burgtheater (Teatro de la Ciudad) o en la Staatsoper (Ópera de Viena).

A la juventud de la época de Schrödinger le tocó, desde ese heredado interés por la cultura, sustituir los valores decimonónicos por nuevos criterios estéticos y morales: estaban creando el mundo «moderno».

Desde el gymnasium hasta la universidad existía un contagio colectivo en el descubrimiento de nuevas tendencias artísticas. No valían los cánones del mundo caduco del Imperio, había que explorar nuevos territorios estéticos.

El aggiornamento también afectó a la ciencia. A principios de siglo dos científicos aglutinaban las nuevas corrientes de pensamiento: Mach y Boltzmann. Los dos fueron profesores de la Universidad de Viena.

De especial importancia para la ciencia y la filosofía, no sólo de Austria, sino de todo el mundo occidental, fue la figura de Ernst Mach.

Su crítica de la ciencia y la filosofía de la época desde su cátedra de Viena tuvieron una enorme influencia en todos los ámbitos de la cultura.

Mach sostenía que las teorías físicas son descripciones de los datos de los sentidos que simplifican la experiencia, permitiendo por ello al científico anticipar eventos posteriores.

Todo conocimiento se basa en la sensación y la física estudia las conexiones de estas sensaciones.

Se trata de desterrar de la ciencia todos los elementos metafísicos, de combatir la tendencia a conferir realidad a abstracciones como «fuerza», «las leyes de la naturaleza», «espacio absoluto» o «tiempo absoluto». Hay que combatir esa tendencia metafísica porque no ayuda más que a crear confusión y engendrar toda suerte de «monstruos conceptuales».

Mach, de hecho, tuvo empeño en explicar cómo, a lo largo de la historia, se habían introducido explicaciones espurias de los fenómenos que trascendían los límites de lo observable. «La ciencia debe sólo describir los datos de los sentidos de la manera más eficaz posible.»

Mach entronca con la tradición filosófica británica del nominalismo y empirismo de Locke y Hume.

Las ideas de Mach influyeron mucho sobre el joven Einstein, quien, en la formulación de la Teoría de la Relatividad Especial (1905), se empeña en utilizar sólo conceptos relacionados con magnitudes mensurables y haciendo siempre hincapié en la forma de medirlas. Sin embargo esa influencia desapareció en gran parte a raíz de la creación de la Relatividad General (1915), y Einstein acabó siendo un decidido defensor del realismo objetivo (como se verá en el capítulo 5).

A las ideas de Mach se contraponen las de Heinrich Hertz, aunque Mach, que no entendió a Hertz, no lo creyese así.

Hertz —siguiendo a su vez a su maestro, Helmholtz— sostiene en su libro Principios de Mecánica que los hombres no son meros espectadores pasivos a los que les ocurren las «impresiones» de Hume o las «sensaciones» de Mach; los hombres construyen conscientemente modelos, representaciones, de los fenómenos. Los elementos de estas representaciones no proceden, necesariamente, de la experiencia; más bien se corresponden con «secuencias posibles» de eventos observados. El sistema de ecuaciones de Maxwell, por ejemplo, supone, en sí mismo, un encuadre de la realidad física.

En esta línea de pensamiento se encuadran tanto Planck como Boltzmann. Concretamente, este último defendió las representaciones de Hertz, y escribió, en 1890, en franca oposición a la poca importancia que Mach concedía a la teoría: «Mantengo el punto de vista de que el papel de la teoría es la construcción de una imagen del mundo externo que sólo existe en nosotros mismos, la cual tiene que servir de guía a todos nuestros pensamientos y experimentos».¹⁰ Boltzmann hizo, además, su particular aportación a la física teórica desarrollando la mecánica estadística, piedra angular de toda la física contemporánea. Mediante ella, estudiando los posibles estados microscópicos de átomos y moléculas, se obtienen los resultados macroscópicos de la termodinámica.

Hay que darse cuenta de que cuando Boltzmann postula su hipótesis no había todavía datos experimentales que mostrasen la existencia física de los átomos. Desde su visión positivista, Mach no podía sino rechazar los átomos porque no se correspondían con experiencias sensibles; y por supuesto, se oponía a todas las consideraciones de la mecánica estadística sobre sus estados posibles.

En cualquier caso, la viva polémica mantenida por estos dos grandes de la física y la epistemología favoreció la capacidad crítica de la comunidad científica y, sin duda, alimentó el interés por la ciencia de los jóvenes. Nada más estimulante para los que empiezan que ver cómo se va creando la ciencia a partir de las discusiones de profesores consagrados. El propio Schrödinger cuenta que cuando llegó a la universidad, en 1906, estaba impaciente por escuchar a Boltzmann. Por desgracia se encontró con que había fallecido —se suicidó poco antes, en septiembre de 1906—. Aun así pudo disfrutar indirectamente de sus enseñanzas a través del que Boltzmann consideraba el mejor de sus discípulos, Fritz Hasenöhrl. Las ideas de Boltzmann impactaron a Schrödinger: «Su mundo de ideas puede decirse que fue mi primer amor en ciencia. Ninguna otra personalidad me ha fascinado de tal manera ni lo hará en el futuro».¹¹

Sobre la influencia relativa de estos personajes sobre Schrödinger, es el mismo Schrödinger el que, en su carta a Eddington de 1944, nos dice:

«Como usted sabe, Boltzmann y Mach estaban tan interesados en filosofía, más especialmente en epistemología, como lo estaban en física, de hecho todos sus últimos escritos están impregnados de una visión epistemológica [...] Pero nosotros, llenos de gran admiración por la sincera e incorruptible lucha de ambos en pos de la verdad, no los considerábamos irreconciliables. El ideal de Boltzmann era producir “imágenes” absolutamente claras, casi ingenuamente claras, y detalladas, sobre todo para estar seguros de evitar hipótesis contradictorias. El ideal de Mach era una síntesis cautelosa de hechos observables que podían, si así se deseaba, remontarse hasta la percepción sensorial directa [...] Sin embargo, nosotros decidimos por nuestra cuenta que eran sólo distintos métodos de ataque y que uno estaba perfectamente legitimado para seguir a uno o a otro a condición de no perder de vista los principios importantes que destacaban más fuertemente sus seguidores respectivos.»¹²

En la formación de Schrödinger tiene gran importancia el ambiente cultural de la Viena en la que creció.

Como buen vienés disfrutó desde muy joven de los espectáculos teatrales. Schrödinger escribía en un cuaderno opiniones y comentarios sobre las obras de teatro a las que asistía.

Su educación fue de una amplitud y solidez como sólo podía darse en una ciudad que respiraba cultura por todos sus poros. Sin duda participó también de la corriente de energía crítica y creativa que se expandía en Viena en aquellos años. Estos elementos ayudaron a configurar una personalidad que se interesó por multitud de temas, no sólo por la física —su interés por la filosofía y por la historia, que le acompañaron toda la vida, le llevaron a escribir un librito que todavía hoy utilizan los profesores de filosofía en sus clases: La naturaleza y los griegos; y su contribución a las ciencias de la vida se materializó en otro libro influyente: ¿Qué es la vida?—. El entorno en el que creció le ayudó, además, a gozar de una independencia y libertad de pensamiento, que le permitieron, por un lado, no atender en exceso a las convenciones sociales —en Dublín vivió con su mujer y su amante—, y por otro, tener el arrojo suficiente para romper los moldes de la física clásica.

Breve biografía de Schrödinger

Erwin Schrödinger nació en 1887 en Viena.

Su primer gran maestro fue su padre, hombre de vasta cultura, aficionado a la pintura y estudioso de la botánica. Para Erwin «era un amigo, maestro y compañero de conversaciones interminables».¹³

En la educación secundaria (gymnasium), de 1898 a 1906, fue un alumno especialmente brillante y adquirió una sólida formación no sólo en matemáticas y física, sino en latín, griego y cultura clásica. Se interesó especialmente por la filosofía griega.

En la universidad, de 1906 a 1910, apreció sobre todo las enseñanzas de Hasenöhrl, discípulo de Boltzmann.

Pasó un breve periodo como profesor en la misma Viena, antes de la guerra del 14, y otro brevísimo en algunas ciudades alemanas y polacas, después de ella, hasta que se asentó en Zúrich en 1921.

En su lección inagural en la Universidad de Zúrich, en 1922, titulada «¿Qué es una ley natural?», sugirió, siguiendo la estela de Boltzmann, que las leyes de la naturaleza son estadísticas y planteó dudas sobre la causalidad absoluta.

Es en Zúrich donde consigue su máximo logro: la famosa ecuación que lleva su nombre, publicada en 1926.

Un año más tarde le fue ofrecida la cátedra de Berlín y allí permaneció desde 1927 hasta 1933.

No estaba dispuesto a vivir bajo el yugo nazi, por lo que abandonó voluntariamente Alemania en 1933. Es entonces cuando le conceden el Premio Nobel, que compartió con Dirac. (Vuelve a Austria en 1936 por un periodo de casi de 2 años y esta vez sí es depurado por el régimen nazi.)

Se estableció en Dublín en 1939, y allí vivió hasta 1956.

En 1956, poco después de que las potencias aliadas pusieran fin a la ocupación de Austria, volvió a Viena, su amada ciudad natal. Allí murió en 1961.

La vida amorosa de Schrödinger (Una familia especial)

En una época muy convulsa, en la que también se reinventaron las relaciones sexuales, Schrödinger vivió de una manera muy personal sus relaciones amorosas.

A los pocos años de casarse con Annemarie Bertel parece que quedó claro para ambos cónyuges que su relación no excluía pasiones amorosas fuera del matrimonio. Annemarie le escribe en 1936: «Tú eres uno de quienes me han imbuido que el matrimonio burgués es el fin definitivo del profundo sentimiento de amor, porque la convivencia cotidiana destruye la magia [...] Y puedes creerme, Erwin, no quisiera cambiar esta forma de felicidad por un matrimonio que me permita estar siempre con Peter».¹⁴ («Peter» era el apodo de Hermann Weyl, gran matemático y amigo del matrimonio desde su estancia en Zúrich.)

En esta elegante casa vivió Schrödinger a la vuelta de su largo exilio. Está junto a la bellísima «Escalera Strudelhof», construida en el más puro estilo «jugendstill» (modernista) en 1910.

Schrödinger fue siempre muy enamoradizo, desde su fascinación por la joven Itha Junger, a la que daba clases particulares en 1926, siendo ella una jovencita y él ya bastante mayor, hasta sus amores tardíos en Dublín cuando era casi sexagenario. Pero con quien tuvo una relación más larga —aparte de con su mujer, con la que el sexo parece que no era tan importante— fue con Hilde March, la mujer de su amigo Arthur March, con la que tuvo una hija que nació en 1934. De hecho, en Dublín Schrödinger vivió con Annemarie, Hilde y su hija. Por difícil que pueda parecer la convivencia de esta especial familia, para Schrödinger fue una época feliz: «fue una época muy, muy hermosa. Sin ella no habría conocido nunca esta isla un tanto apartada y bella, en ningún lugar hubiésemos pasado la horrible guerra nazi de un modo tan placentero que hasta da vergüenza».¹⁵

Esta familia tan particular duró hasta 1946, año en el que Hilde dejó Dublín con su hija y volvió con Arthur March a Innsbruck.

La convivencia de Schrödinger con su mujer Annemarie se mantuvo a través de todas estas vicisitudes amorosas hasta la muerte de Schrödinger, ya de vuelta en su anhelada ciudad natal, Viena, en 1961.

Poco antes de morir escribe unas notas autobiográficas que comienzan con una melancólica confesión que refleja la importancia que para él tenía la amistad al tiempo que expresa un velado arrepentimiento:

«Durante el último periodo de mi vida he estado separado de mi mejor amigo, del amigo al que más ligado estaba. (Es posible que éste sea el motivo por el cual se me ha reprochado con frecuencia carecer de sentido para la amistad y tenerlo sólo para la aventura amorosa).»

2

Superposición y colapso

En este capítulo tratamos de adentrarnos en el meollo cuántico, de escudriñar los objetos cuánticos, las partículas elementales, para que nos revelen, a través de experimentos, las leyes que siguen. Queremos dilucidar el significado de la función de onda porque eso es lo que caracteriza a una partícula subatómica en una situación dada. Todo lo que puede saberse de un electrón está contenido en su función de onda Ψ. Y aunque hemos visto que el electrón en el átomo no se distribuye en el espacio según la amplitud de su función de onda Ψ, como creía erróneamente Schrödinger al principio, Ψ sí mide la probabilidad de que un electrón se encuentre en una cierta región del espacio —la probabilidad la da, concretamente, el cuadrado de Ψ—. Eso es todo lo que podemos saber del electrón, lo que indica Ψ. Por eso necesitamos saber más sobre la función de onda, averiguar cómo se comporta Ψ en diferentes situaciones.

Examinaremos diferentes arreglos experimentales para conocer más sobre el comportamiento de las funciones de onda. Así llegaremos a extraer las reglas que cumplen las partículas subatómicas y que caracterizan a la mecánica cuántica. Veremos que son muy distintas de las reglas que rigen el mundo macroscópico al que estamos acostumbrados. Aunque analicemos con detalle los experimentos y obtengamos las reglas del mundo cuántico, ya adelantamos que no seremos capaces de entender del todo cómo y por qué sucede lo que sucede. Quedarán muchas preguntas abiertas y como tales las dejaremos. Como decía Feynman:

«Debido a que el comportamiento atómico es tan diferente de nuestra experiencia ordinaria, es muy difícil acostumbrarse a él, y se manifiesta extraño y misterioso a todos, ya se trate del novicio o del físico experimentado. Aun el experto no lo comprende en la forma que quisiera, y es perfectamente razonable que ocurra así, pues todo aquello de experiencia directa o intuición humanas es aplicable sólo a los objetos grandes. Sabemos cómo actuarán los objetos grandes pero los objetos de escala pequeña no actuarán igual».¹

Nuestra tarea será mostrar el enigma cuántico, pero procuraremos no hacer suposiciones añadidas. Nos limitaremos a contar lo que sucede en una serie de experimentos.

En lugar de tratar con electrones, lo haremos con fotones, las partículas de luz, porque el desarrollo actual de los láseres permite un control inaudito de este tipo de experimentos.

Primeros experimentos

Cuando la luz de un láser incide en un espejo semirreflector colocado como muestra la figura, la mitad de la luz se refleja y la otra mitad se transmite (véase la figura 2.1).

FIGURA 2.1. Espejo semirreflector: divide la luz en dos haces de igual intensidad, uno reflejado y otro transmitido.

Representaremos un espejo semirreflector por una línea a trazos:

Después de un espejo semirreflector E situamos dos espejos ordinarios en las trayectorias de los haces reflejado y transmitido para enviar la luz a los detectores D₁ y D₂ (los detectores emiten un sonido cuando les llega un rayo de luz, por tenue que sea) (véase la figura 2.2):

FIGURA 2.2. Los detectores identifican el camino (A o B) seguido por la luz.

Reducimos la intensidad de la luz que llega a E hasta que en los detectores no haya más que un «clic» cada vez. Hace 50 años eso sería sólo un experimento de los llamados imaginarios. Con los láseres actuales se consigue de manera rutinaria.

Tendremos una sucesión de clics, unos en D₁ y otros en D₂. Cada clic corresponde a la llegada de una partícula. Esa partícula es un fotón. Es la mínima cantidad de luz que puede generarse, la porción de luz más pequeña que existe, el paquete elemental, el «cuanto» indivisible de luz.

Observamos que cada vez salta uno de los dos detectores, nunca los dos a la vez. Se van alternando aleatoriamente los detectores D₁ y D₂. Observamos, además, al hacer el recuento de detecciones, que se obtiene aproximadamente el mismo número de clics en cada detector.

Esto quiere decir que unas veces se ha transmitido el fotón y ha seguido la ruta B y otras se ha reflejado y ha seguido la ruta A (véase la figura 2.2).

Entendemos, entonces, que el fotón elige aleatoriamente uno de los dos caminos posibles: o bien se refleja en E y sigue el camino superior, A, o bien se transmite en E y sigue el camino inferior, B.

Como habíamos dicho al hablar de la ecuación de Schrödinger, todo objeto cuántico viene caracterizado por una función de onda. Veamos cuál es la función de onda del fotón en este experimento.

El fotón tiene igual probabilidad de ir por el camino A o el camino B.

Designaremos por |ΨA> a la función de onda del fotón si va por arriba, y por |ΨB> si sigue el camino de abajo.

De manera que si el fotón incide en D₁ tendrá función de onda |ΨA> y si incide en D₂ tendrá función de onda |ΨB>.

Las dos alternativas son excluyentes: o el fotón pasa por arriba con función de onda |ΨA> o pasa por abajo con función de onda |ΨB>.

Con este experimento averiguamos qué ruta sigue el fotón.

Superposición...

Introduzcamos a continuación otro espejo semirreflector F entre D₁ y D₂. (Véase el dispositivo de la figura 2.3. Recibe el nombre de interferómetro de Mach-Zender.) ¿Qué esperamos que suceda ahora? Tanto si el fotón viene por A como si viene por B puede reflejarse o transmitirse en este 2.º espejo semirreflector F. Si el fotón viene por A y se refleja en F, se detectará en D₂; si se transmite, llegará a D₁. Lo mismo pasa si el fotón viene por B: puede reflejarse y llegar a D₁ o transmitirse y detectarse en D₂.

FIGURA 2.3. La introducción del espejo semirreflector F cambia drásticamente el panorama: no se sabe qué camino ha seguido el fotón que llega a un detector.

Esperamos por tanto que aproximadamente la mitad de los fotones lleguen a D₁ y la otra mitad a D₂.

Para comprobar nuestra hipótesis hacemos el experimento: enviamos fotones de uno en uno hacia E.

Nos llevamos una sorpresa: sólo hay clics en D₁. ¿Cómo es posible? ¿Qué está pasando?

Observamos que al bloquear cualquiera de las dos rutas sí se obtiene la mitad de los clics en un detector y la otra mitad en el otro. De modo que es el hecho de que la otra ruta esté abierta el que impide al fotón alcanzar D₂. La única explicación es que, de alguna manera, el fotón ha viajado por las dos rutas a la vez.

Tenemos que recurrir a las ondas para explicar que todos los fotones lleguen a D₁ y ninguno a D₂. Una onda puede cancelarse con otra si las dos van «a la contra» (en oposición de fase) y también pueden reforzarse si actúan «a la par» (en fase) (véase la figura 2.4).

FIGURA 2.4. En la parte superior se muestra la cancelación de dos ondas en oposición de fase. En la inferior las dos ondas en fase generan otra de amplitud doble.

Si los fotones no llegan a D₂ será porque de algún modo las «ondas» provenientes de los caminos A y B se han cancelado en la ruta hacia D₂.

Esto supone aceptar, entonces, que esas partículas llamadas fotones —no olvidemos que llegan de uno en uno, son los clics que detectamos— son muy especiales, hasta el punto de que se comportan como si fueran ondas. El fotón ahora, a semejanza de las ondas, sigue las dos rutas A y B. Y como las ondas, las dos rutas del fotón interfieren en el 2.º espejo semirreflector F. Allí se cancelan las «ondas» que van hacia D₂ mientras que se refuerzan las que van hacia D₁.

Habrá que admitir que la función de onda del fotón, como si de una onda física normal se tratase, se divide en dos al llegar al espejo E, una parte se refleja y otra se transmite. La función de onda completa será la suma —la superposición, se dice habitualmente— de esas dos partes: |Ψ> = |ΨA> + |ΨB>. Y esas dos partes |ΨA> y |ΨB> interfieren en el 2.º espejo semirreflector F dando como resultado una cancelación de las funciones de onda en D₂ y una reposición de la función de onda original en D₁ (véase el cuadro 2.1).

Hay una extraña dualidad de comportamientos. El fotón es una partícula —hace clic en un detector—, pero puede también comportarse como una onda. Si no está colocado el espejo semirreflector F, el fotón, o bien va por la ruta A, o bien va por la ruta B. Cuando está puesto el espejo semirreflector F el fotón va a la vez por las rutas A y B como haría una onda. Es un solo fotón, una única partícula, pero va a la vez, como una onda, por las dos rutas. Pero es una sola partícula: sólo hay un clic, nunca dos, como podría haber si de una onda normal se tratase.

La cancelación de las ondas en D₂ puede entenderse mediante una analogía con ondas clásicas:

Asignaremos un número a la onda correspondiente a cada brazo según se ve en la figura

En cada reflexión la onda se atrasa ¼ de longitud de onda.

Así tenemos los desfases que se muestran en el cuadro 2.2.

Si nos fijamos en ese cuadro, en las componentes de la onda reflejada y transmitida que llegan a 5, vemos que están en oposición y se cancelan mutuamente: resulta una onda nula.

En cambio, las contribuciones de onda reflejada y transmitida que llegan a 6 están en fase: recomponen la onda incidente.

(Es importante recalcar que lo que aquí estamos haciendo es sólo una analogía.)

CUADRO 2.1. Cancelación de ondas en D₂.

En el primer experimento habíamos dicho que |ΨA> y |ΨB> eran alternativas excluyentes; que el fotón, o bien iba por un camino o por el otro. El segundo experimento nos muestra que en el mundo cuántico pueden darse superposiciones (sumas) de estados excluyentes. Esta es la gran diferencia con el mundo al que estamos acostumbrados. En el mundo microscópico las cosas pueden estar en un estado de superposición de dos estados que habitualmente concebimos como incompatibles. (Es como estar a la vez en dos sitios.) Aquí radica la gran revolución de la mecánica cuántica, la idea que rompe nuestros esquemas y permite aplicaciones inconcebibles para una mente que razona con las leyes «clásicas» (las leyes anteriores a la aparición de la mecánica cuántica). Si está el espejo semirreflector F el fotón va a la vez por el camino superior y el inferior. Es una partícula pero va a la vez por las dos rutas, como si de una onda se tratase. La función de onda del fotón indica que el fotón va por los dos caminos, de manera que su función de onda se separa en dos partes.² Y estas partes se cancelan entre sí en la ruta hacia D₂ haciendo que el fotón siempre acabe en D₁. En el mundo normal («clásico») sólo puede haber cancelación de ondas cuando interfieren dos ondas claramente diferenciadas, cada una con su propia individualidad. En nuestro caso es un solo fotón y nada más que uno el que interfiere consigo mismo.

CUADRO 2.2. Detalle de las ondas.

John Archibald Wheeler

John Wheeler murió en el 2008 a los 96 años. Fue el epígono de una época dorada de la física, el último testigo de aquellos años veinte en los que, a golpe de discusión y de paseos (Heisenberg rememora muchas conversaciones peripatéticas), se gestó la revolucionaria mecánica cuántica. Wheeler trabajó con Bohr en Copenhage en 1939 en física nuclear. De hecho, la influencia de Bohr fue tan importante para él que marcó gran parte de su trayectoria en física. La inspiración de la Complementariedad de Bohr (véase la página 53) estará presente a lo largo de la carrera de Wheeler.

Wheeler, como Bohr, jugó con los conceptos y las palabras. En la Complementariedad cabe una cosa y su contraria. Esta idea filosófica ilumina el pensamiento de Wheeler. A Wheeler le gustaban los juegos de palabras provocativos. «Ley sin ley» se titula su artículo de 1981. Es también certero acuñando neologismos. En 1967, en una conferencia en Nueva York, inventó el término «agujero negro» para describir el remanente de una estrella tan colapsada que ni la luz deja escapar su campo gravitatorio. También es suya la idea y expresión «agujero de gusano», que supone un «atajo» entre puntos distantes del espacio-tiempo.

Wheeler dedicó una parte importante de su actividad profesional a trabajar en gravitación y cosmología. Trabajó en ese campo desde 1952, año en el que ya impartía un curso de Relatividad General en Princeton, hasta 1967, cuando se mudó a Austin, Texas, y su actividad se centró en los fundamentos de la teoría cuántica. En las dos áreas su dedicación culminó con sendos importantes y extensos libros, de consulta obligada para los respectivos especialistas. El primero de estos libros se titula Gravitación (1970) y es un compendio de todo el saber relacionado con la «geometrodinámica» —otro neologismo acuñado por Wheeler—. Tiene un estilo abierto, moderno, flexible y sugerente. El segundo libro es, en realidad, una recopilación de artículos de muchos autores sobre fundamentos de mecánica cuántica. Se llama Quantum Theory and Measurement. Se editó en 1983. Y ha sido el libro de referencia de todos los que se interesaban en el significado de la mecánica cuántica.

Wheeler fue, sobre todo, un gran maestro. Siempre apelaba a la imaginación de sus estudiantes para llevar hasta el límite las ecuaciones y los conceptos básicos. Demostró su audacia y su magisterio dirigiendo las tesis de dos estudiantes cuyos nombres son ya parte importante de la historia de la física. El primero fue Richard Feynman, que hizó su tesis sobre «Radiación retardada» en 1942. A Feynman le concedieron el Premio Nobel por sus trabajos en electrodinámica cuántica. El otro trabajo célebre que se hizo con su apoyo fue el de Hugh Everett III, que formuló la «Interpretación de los muchos universos de la mecánica cuántica» en 1957. De ella hablaremos en el capítulo 8.

En el experimento que veníamos considerando (véase figura 2.3) Wheeler también mostró su genio llevando hasta sus últimas consecuencias la ambigüedad cuántica. Hemos visto que si ponemos el espejo semirreflector F, el fotón va por los dos caminos —que interfieren en el espejo F—, pero si lo quitamos el fotón sólo va por uno de los dos caminos: o por arriba o por abajo, y tiene la misma probabilidad de ir por cualquiera de ellos.

Parece que el fotón tendrá que tomar su decisión en el primer espejo semirreflector. Allí decidirá si ir por las dos rutas o sólo por una de ellas. Es como si de algún modo en el instante en que llega al primer espejo semirreflector supiera si el 2.º espejo semirreflector está puesto o no. ¿Será posible que de algún modo sepa ya lo que va a encontrarse después y decida en consecuencia?

¿Qué pasará si ponemos el 2.º espejo semirreflector después de que el fotón haya pasado por el primer espejo semirreflector?, se preguntó Wheeler. El fotón ya no tendrá tiempo de rectificar. Su decisión de pasar a la vez por los dos caminos o seleccionar uno de ellos ya se habrá tomado cuando pongo el 2.º espejo semirreflector.

Wheeler propuso este experimento «de elección retardada» en 1978. En él se muestra —decía Wheeler— que «el pasado no tiene sentido ni existencia salvo que exista como algo registrado en el presente».³

Hubo que esperar unos años hasta que la tecnología necesaria estuviese a punto. Se necesitaba un dispositivo que se activase antes de que el fotón llegase al 2.º espejo semirreflector, pero después de haber pasado el primero. Estamos hablando de tiempos del orden de 0,00000001 segundos.

El experimento se hizo por primera vez en 1985. No era exactamente como lo había propuesto Wheeler aunque la idea era la misma. La diferencia estribaba en que la decisión de averiguar la ruta del fotón en vez de ser aleatoria, como quería Wheeler, seguía oscilaciones muy rápidas.

Pero en 2006 sí se hizo siguiendo exactamente las condiciones prescritas por Wheeler. Esta vez el azar decidía si introducir o no el 2.º espejo semirreflector. El resultado confirmó que aunque el 2.º espejo semirreflector se introdujera después que el fotón hubiese pasado por el primer espejo semirreflector sucedía lo que ya se había observado antes: cuando estaba el 2.º espejo semirreflector el fotón acababa siempre en el detector D₁; cuando no estaba el 2.º espejo semirreflector, el fotón se detectaba la mitad de las veces en D₁ y la otra mitad en D₂.

De manera que si está el 2.º espejo semirreflector el fotón va por ambas rutas, mientras que si no está, el fotón va sólo por una de ellas. Y para colmo, el 2.º espejo semirreflector puede ponerse cuando el fotón ya ha pasado por la bifurcación, con lo que la colocación del 2.º espejo semirreflector afecta a lo que ya habrá hecho el fotón. ¿No es de locos?

Wheeler lo hizo aún más disparatado llevándolo a escala cósmica (véase la figura 2.5):

Desde la Tierra observamos lo que parecen ser dos objetos astronómicos distintos casi en la misma posición del cielo. En realidad las dos imágenes corresponden al mismo cuásar. Una es la imagen de la luz que viene directamente del cuásar, la otra es también la luz del cuásar pero llega a la Tierra desde otra dirección: la luz llega a una cierta galaxia —entre el cuásar y la Tierra— y debido a la atracción gravitatoria de la galaxia, la trayectoria de la luz se curva, desviando su dirección también hacia nosotros.

FIGURA 2.5. La galaxia G curva la luz del cuásar haciendo que llegue a la Tierra muy próxima a la trayectoria recta. En la figura se ha exagerado enormemente la curvatura.

Ésta es una versión cósmica del interferómetro de Mach-Zender. El astrónomo de la Tierra puede decidir si poner o no un espejo semirreflector. Si lo pone, el fotón habrá viajado por las dos rutas posibles. Si no lo pone, el fotón habrá viajado sólo por una de las rutas (y el astrónomo averigua por cuál). ¡Pero el fotón lleva viajando miles de millones de años! Estamos decidiendo lo que el fotón habrá hecho mucho después de que lo haya hecho. Hay que aclarar que esto no significa que podamos alterar el pasado (una vez tomada la decisión de poner o no el espejo el resultado correspondiente es irreversible), aunque sí decidimos entre las dos posibles «historias» cuánticas superpuestas mediante la colocación o no del espejo semirreflector.

... Y colapso

Intentemos entender un poco mejor lo que aquí ocurre. Quizá nos ayude a describir los experimentos el estudio de las funciones de onda.

Desde luego, para que pueda haber interferencia al final del interferómetro la función de onda del fotón tiene que ser |ΨA> + ΨB> —la correspondiente a ir por los dos caminos—. Por tanto, la función de onda del fotón después de atravesar el primer espejo semirreflector será |ΨA> + |ΨB>: sólo así podría haber interferencia en caso de que estuviera colocado el 2.º espejo semirreflector. No cabe pensar que la función de onda fuera |ΨA> o |ΨB> porque eso haría de todo punto imposible la interferencia en caso de que estuviera colocado el 2.º espejo semirreflector. Ahora bien, cuando el fotón llega al final del circuito y descubre que no está el 2.º espejo semirreflector, la función de onda «se contrae», «colapsa» y pasa de |ΨA> + |ΨB> a ser sólo |ΨA> o sólo |ΨB>. ¿Cómo puede explicarse este «colapso» de la función de onda?

COMENTARIO

En realidad no podemos decir con propiedad que el fotón pase por las dos rutas. Sencillamente porque no hay manera de comprobar tal afirmación. Si quisiéramos comprobarlo «mirando» en las rutas, se rompería la superposición y el fotón sólo pasaría por un camino o por el otro. De manera que, aunque el fotón se comporte como si pasara por las dos rutas, la frase: «el fotón pasa por los dos caminos» no tiene sentido instrumental alguno. Lo que puede decirse de una partícula subatómica está contenido en su función de onda, que recoge la máxima información sobre la partícula; por eso, todo lo que podemos decir aquí es que la función de onda de la partícula es |ΨA> + |ΨB>, la superposición de las funciones de onda individuales. Todo lo demás es pura entelequia. Nadie sabe cómo la partícula «fotón» se las ingenia para afectar a la vez a ambas rutas, nadie lo sabe porque, insistimos, la condición para que eso suceda es precisamente que nadie lo vea. (Parece como si el fotón fuera un fantasma que pasa por las dos rutas, pero si alguien ve al fantasma, se hace corpóreo en una de ellas y desaparece en la otra.) (Véase la ilustración 2)

¿En qué momento se produce el colapso? Quizá el colapso se produce en el momento en que el fotón interacciona con algún detector. La función de onda, que después del primer espejo semirreflector era |ΨA> + |ΨB>, colapsaría cuando el fotón impactara en el detector.

En realidad el primer dispositivo que estudiamos, aquel en el que todavía no se había introducido el 2.º espejo semirreflector F, se puede representar de forma más sencilla como muestra la figura 2.6. Presentado de esta manera se ve que los detectores pueden estar muy lejos uno de otro.

FIGURA 2.6. Durante 1 año-luz se mantiene la superposición de las dos ramas. Cuando, en una de ellas, el fotón alcanza el detector, desaparece la función de onda de la otra rama. ¿Cómo puede afectar instantáneamente lo que sucede en un detector a algo que está a 1,4 años-luz?

En el momento en que se detecta el fotón en, pongamos, D₁, la otra parte de la función de la onda, la que describía el camino hacia D₂ (la que hemos llamado antes |ΨA>) se cancela, desaparece. (La función de onda colapsa de |ΨA> + |ΨB> a |ΨB>.) ¿Será la interacción con D₁ el detonante del colapso?

El problema es que si esos detectores están a gran distancia, esa desaparición tendría que hacerse a una velocidad altísima; tendría que ser, desde luego, superior a la de la luz.

Si nada puede viajar a velocidades superiores a la de la luz... ¿cómo puede producirse el colapso?

La idea de que el colapso se produce en los detectores se encuentra con otra dificultad:

Supongamos que, como en la figura 2.7, un detector está bastante más lejos que el otro. El fotón tiene la misma probabilidad de llegar a un detector que al otro. Cuando vaya hacia el detector 2 tardará más que cuando vaya al detector 1, de manera que, pasado el tiempo de vuelo del detector 1, si el fotón no ha llegado a este detector, sabremos que la función de onda ha colapsado hacia el detector 2 antes de que haya impactado con él.

El colapso parece ocurrir antes de que haya interacción con detector alguno...

FIGURA 2.7. Si el fotón no se detecta en el detector 1 al cabo de cierto tiempo, sabremos con certeza que ha habido colapso aunque el fotón no haya llegado todavía al detector 2.

Las reglas cuánticas

Volvemos al dispositivo experimental de la figura 2.3 para intentar aclarar las cosas. Lo que resulta evidente es que cuando no está el 2.º espejo semirreflector los detectores identifican el camino seguido por el fotón (D₁ salta si el fotón procede de A y D₂ salta si el fotón procede de B). En cambio, si se pone el 2.º espejo semirreflector ya no puedo identificar el camino. El fotón que llega a D₁ puede provenir de A y ser transmitido en F, o puede provenir de la ruta B y haber sido reflejado en F. Hay, pues, una diferencia importante, en lo que concierne a la información que se tiene sobre el fotón, entre que esté colocado o no el espejo F: cuando está, no podemos saber si el fotón que detectamos procede de la ruta A o la B. En el espejo F las dos rutas interfieren, se entremezclan, ya no es posible identificarlas. La colocación del espejo semirreflector F cambia drásticamente la información que tenemos respecto al fotón. Si no está el espejo, en cambio, sabemos muy bien por qué ruta ha ido el fotón.

Da la impresión de que si el experimento permite averiguar el camino seguido por el fotón, éste sólo va por un camino (función de onda |ΨA> o |ΨB>. Hay colapso), mientras que si el experimento hace indistinguibles los caminos, el fotón sigue a la vez las dos rutas posibles (función de onda |ΨA> + |ΨB>. Estado de superposición).

La naturaleza del experimento fuerza un comportamiento.

Éstas son las reglas de la mecánica cuántica. Por desconcertantes que parezcan, prácticamente todos los científicos están de acuerdo en estos principios básicos y así lo enseñan los libros de mecánica cuántica:

1.º) Superposición: si hay dos (o más) alternativas indistinguibles de llegar a un resultado, la función de onda será la superposición de las funciones de onda de las diferentes posibilidades.

2.º) Colapso: en cuanto hay manera de distinguir cuál de las alternativas puede darse, la función de onda colapsa.

Éstos son los principios aceptados y no se necesita más para aplicar la mecánica cuántica. Basta con estas ideas para analizar cualquier situación cuántica.

Pero, aunque desde un punto de vista práctico baste con esto, uno no acaba de estar satisfecho. El colapso no se entiende bien. Quedan muchos interrogantes:

Aun aceptando que la función de onda colapsa a una de sus dos alternativas cuando se puede saber cuál de ellas se da, ¿en qué consiste el colapso?

El colapso ocurre cuando es posible averiguar el camino seguido por el fotón. Es decir, cuando se adquiere o se puede adquirir más información sobre el sistema. ¿El colapso es sólo un cambio en la información? ¿Consiste sólo en la actualización de la información que teníamos del sistema con los nuevos datos —el posible conocimiento de su ruta—? Parece que a este cambio puramente matemático de la información va asociado un cambio físico. ¿Será posible describir con mayor detalle el cambio físico asociado al colapso?

Schrödinger decía en 1952: «Ahora nos dicen que las ondas no deben considerarse como ondas “reales”, sino como ondas de probabilidad, pero algo que influye en el comportamiento físico de otra cosa no puede de ningún modo decirse menos real que la cosa en la que influye, sea cual sea el significado que podamos dar al peligroso epíteto real».⁴

¿Interpretación?

La interpretación «oficial» de la mecánica cuántica se fue creando en Copenhague al tiempo que se iban construyendo sus cimientos. Bohr era el director del Instituto de Física Teórica (se le conocía popularmente como el Instituto de Bohr y así se llama oficialmente ahora, Niels Bohr Institute) y desde él alentó, nutrió y cuidó el crecimiento de la nueva criatura. A Copenhague era invitado todo el que tuviera algo que aportar a la formación del bebé cuántico que se estaba gestando.

Y allí, en Copenhague, Bohr sentó las bases de la nueva doctrina.

La interpretación de Copenhague establece una radical separación entre los observadores, los aparatos o nuestros sentidos, que pertenecen al mundo macroscópico, y lo observado, los objetos cuánticos. Y establece una premisa básica: no podemos conocer el mundo microscópico si no es través de nuestros aparatos.

El mundo microscópico necesita, al final, ser analizado, medido, conocido, por un aparato macroscópico.

ILUSTRACIÓN 2. El científico, después de pasar por la primera ranura, se desdobla y pasa a la vez de forma fantasmal por las dos posibles rutas que le llevarán a la ranura final. Sólo adquiere su cuerpo completo en alguna de las rutas si alguien lo observa. Esta ilustración puede verse en color en el pliego.

Con estos presupuestos la interpretación de Copenhague decide que el mundo microscópico es, en sí mismo, incognoscible. Sólo lo podemos conocer a través de sus manifestaciones en el mundo macroscópico. Y estas manifestaciones se rigen por el Principio de Complementariedad: el fotón manifiesta su naturaleza corpuscular en experimentos en los que se le exige especificar su ruta y su naturaleza ondulatoria cuando el experimento lo permite. Como nunca puede hacerse un experimento en el que el fotón exhiba ambas naturalezas, no existe contradicción entre ellas; son comportamientos complementarios.

Así decía Wheeler en 1985: «Como dijo Bohr, no tenemos derecho alguno a hablar sobre lo que hace el fotón durante su largo viaje desde el punto de entrada —desde el primer espejo semirreflector— hasta el punto en que es registrado. Después de todo, ningún fenómeno elemental es un fenómeno hasta que es registrado. Lo que nos aparenta ser tan definido es de hecho como un Gran Dragón de Humo. La cola del dragón está clara y bien marcada: es el lugar donde el fotón entra en el equipo en el primer espejo semirreflector. La boca del dragón está también completamente clara: está donde el fotón llega a un contador o al otro. Pero no tenemos derecho a hablar de lo que haya entremedias».⁵

«El fenómeno cuántico elemental —el Gran Dragón de Humo— es sólo completado mediante un acto irreversible de amplificación en el contador (detector).»

La interpretación de Copenhague es positivista: considera que hay preguntas sobre el mundo microscópico que no tienen sentido. Sólo tendrán sentido las preguntas que afecten a las observaciones macroscópicas. La realidad última permanece velada.

No podemos, por ejemplo, preguntarnos cómo son los saltos cuánticos que tanto incomodaban a Schrödinger. La pregunta no tiene sentido porque no cabe diseñar un dispositivo experimental que la conteste.

Hemos esbozado la idea de la interpretación de Copenhague, pero respecto al tema que nos ocupa, el colapso, hay todavía muchas preguntas abiertas:

El colapso se da cuando un observador quiere saber por qué ruta ha ido el fotón. Pero ¿qué distingue al observador del objeto observado? ¿Es que el observador no está hecho de átomos? ¿Es el tamaño lo que los distingue? ¿O lo importante es que el observador tenga una conciencia en la que, en última instancia, colapsan todas las superposiciones? ¿Cuándo la interacción de una partícula subatómica con otro sistema cuántico produce colapso? ¿Dónde está la frontera entre el observador y lo observado? ¿Y qué pasa si no hay observador? ¿En tal caso no habría nunca colapso y todo estaría en un estado suspendido?

Volveremos sobre el problema del colapso en el capítulo 8, después de adentrarnos en el entramado cuántico.

Nuevos experimentos

En este apartado queremos profundizar un poco más en las reglas cuánticas que acabamos de ver. Examinaremos experimentos más sutiles que requieren, para su desentrañamiento, un estudio más detallado y un mayor esfuerzo; esfuerzo que se verá recompensado porque quedaremos aún más asombrados con el intrigante mundo cuántico. En una primera lectura quizá pueda omitirse este apartado y continuar con el hilo argumental en el apartado siguiente.

En 1970 D. Buraham y D. Weinberg se encontraron con un fenómeno curioso cuando proyectaban la luz de un láser sobre un cristal de cierto material (borato de calcio). Observaron que al aumentar la intensidad del láser además del potente haz que atravesaba el cristal y se veía al otro lado, aparecía un tenue halo de luz con todos los colores del arco iris alrededor del haz transmitido. Habían descubierto la subconversión paramétrica. Lo que sucedía era que alguno de los fotones que llegaban al cristal (más o menos 1 entre cien mil millones) al interactuar con la red cristalina daba lugar a la generación de dos fotones de frecuencias más bajas. Estas parejas de fotones de diferentes frecuencias eran las que formaban el halo arco iris. Se veían fotones en todas direcciones alrededor de la principal de salida, pero se observó que para cada fotón que salía en una cierta dirección, un fotón compañero salía en la dirección simétrica (respecto a la dirección del haz principal) (véase la figura 2.8).

Además, la suma de las frecuencias de los fotones compañeros igualaba la frecuencia del fotón original (la energía es proporcional a la frecuencia. La relación de frecuencias no expresa más que la ley de la conservación de la energía).

Volveremos a tratar la subconversión paramétrica en este libro más adelante cuando estudiemos, en el capítulo 4, el entrelazamiento de partículas.

FIGURA 2.8. En un «cristal de subconversión paramétrica» un fotón genera dos fotones compañeros.

Fue Leonard Mandel el primero en utilizar, en la Universidad de Rochester, en Nueva York, el método de subconversión paramétrica para generar fotones correlacionados. De los asombrosos experimentos realizados por el equipo de Mandel en los primeros años noventa hay dos que merecen un análisis detallado.

El primero fue propuesto por James Frason, de la Universidad John Hopkins, en Baltimore, en 1989. Se representa en la figura 2.9.

FIGURA 2.9. Dispositivo de Frason. Al mover los brazos de los interferómetros sólo hay variación en el ritmo de llegada de los fotones en los detectores D cuando se observan fotones coincidentes.

Se proyecta un láser sobre un cristal de subconversión paramétrica. Un fotón puede producir dos fotones que se dirigen respectivamente a los detectores D₁ y D₂ a través de dos circuitos gemelos.

Examinaremos primero por separado los dos circuitos gemelos que figuran en las dos ramas de salida del cristal de subconversión. Cada uno de los dos circuitos es un interferómetro como el de Mach-Zender de la figura 2.3, con la diferencia de que se puede acortar o alargar la longitud de los brazos largos (véase la figura 2.10).

FIGURA 2.10. Detalle de los interferómetros de los brazos del dispositivo de Frason.

En estos interferómetros los caminos recorridos por las dos posibles rutas del fotón ya no son iguales, como sucedía en el interferómetro de Mach-Zender. La función de onda del fotón que llega al 2.º espejo semirreflector será |ΨL> + |ΨS>. Puede ajustarse la longitud de uno de los caminos de manera que la interferencia de las dos rutas en el 2.º espejo semirreflector sea constructiva hacia D, pero también puede ajustarse para hacer que la interferencia sea destructiva (o puede lograrse una posición intermedia). Así podemos conseguir que llegue un número máximo de fotones a D, pero también podemos hacer que no llegue ninguno (o que llegue un número intermedio). En definitiva, acercando o alejando el brazo largo del dispositivo variamos el ritmo de detección de los fotones que llegan a D.

En el interferómetro utilizado por Frason la diferencia de longitudes es tan acusada que el fotón tarda por la ruta larga unos 4 ns más que por la corta.

Pasemos ya a analizar el dispositivo de Frason completo (véase la figura 2.9):

En el cristal se generan los dos fotones a la vez. Cada uno de ellos puede seguir la ruta corta o la larga y acabar en las salidas D o en las E.

Para nuestro asombro, observamos que en D₁ (o en D₂) no varía el número de fotones que llegan aunque acerquemos o alejemos simultáneamente los brazos largos de los interferómetros. ¿Por qué ahora sucede esto cuando antes habíamos dicho que sí conseguíamos oscilaciones?

La razón es que el fotón superior fue generado a la vez que un fotón compañero que va por la rama inferior. En esa rama yo podría quitar los espejos semirreflectores, obligando así al fotón a ir por la ruta corta hacia D₂. Bastaría, entonces, observar si cada uno de los fotones que llega a D₁ lo hace a la vez que su fotón compañero inferior a D₂ o tarda 4 ns más. Así sabré si el fotón superior ha ido por la ruta larga o por la corta.

Utilizando, entonces, el fotón compañero inferior podríamos identificar la ruta del fotón que llega a D₁. Y como hemos dicho antes, si podemos saber por qué camino pasa, ya no cabe la superposición, la función de onda colapsa a una de sus alternativas |ΨL> o |ΨS>.

Pero el fotón superior no sabe, ni puede saber, si de hecho hemos quitado o no los espejos semirreflectores de su compañero. Tiene que decidirse sin ese dato.

Pues bien, como no está seguro, se ha poner en el caso peor. No va a permitir que haya interferencia y a la vez sepamos la ruta. Por eso, ante la amenaza, rompe la interferencia, colapsa la función de onda. (Por supuesto, estamos empleando un lenguaje figurado, pero que consideramos bastante ilustrativo.)

La mera posibilidad de hacer la averiguación del camino seguido —aunque de hecho no se haga— rompe la superposición |ΨL> + |ΨS> del fotón superior y hace que el ritmo de llegada de los fotones a D₁sea constante aunque varíe la longitud del brazo largo.

Utilizamos ahora un contador de coincidencias (véase la figura 2.9) para considerar sólo los fotones que llegan a la vez a D₁ y a D₂. (Se considera que un fotón llega a la vez que el otro si llegan con una diferencia de tiempo inferior a 1 ns.)

Si dos fotones llegan a la vez a D₁ y a D₂, será porque ambos hayan ido por la ruta larga o ambos por la ruta corta. (Si uno hubiera ido por la ruta larga y el otro por la corta no podrían llegar a la vez: ya hemos dicho que llegarían con 4 ns de diferencia.)

Resulta, entonces, que si en lugar de analizar el ritmo de llegada de todos los fotones que llegan a D₁ (o a D₂) sólo consideramos los fotones que llegan a la vez a D₁ y a D₂, al mover los brazos largos de los interferómetros sí se observan oscilaciones en la detección: ya no sé si los fotones —los dos a la vez— pasan por la ruta corta o la larga. Y como no lo sé, la función de onda es la superposición de las dos posibilidades. Por eso hay oscilaciones en el ritmo de detección.

Si profundizamos un poco en el experimento, observamos que la superposición aparece aquí porque no sabemos cuándo se generaron los fotones. Los dos fotones que llegan a la vez a D₁ y D₂ pueden venir directamente por la ruta corta o pueden haberse generado 4 ns antes y venir por la ruta larga. En este experimento las oscilaciones en la detección se deben a la interferencia temporal.

Notemos que el mero hecho de poder distinguir por qué camino ha ido el fotón es suficiente para producir el colapso de la función de onda: el fotón superior ya no va por las dos rutas a la vez sino por una de ellas. ¡Sencillamente porque yo podría averiguar su ruta, si quisiera, observando su compañero de abajo! ¡Aunque de hecho no quite los espejos semirreflectores del circuito inferior y, por tanto, no haga la averiguación! ¡Y todo esto sin interferir en absoluto con el fotón superior!

Recordemos la regla que se enseña en los libros de mecánica cuántica:

Si de alguna manera, la que sea, se puede averiguar si una partícula cuántica que puede pasar por dos caminos, ha pasado por un camino o por el otro, la partícula deja de pasar por los dos (colapsa su función de onda). En caso contrario la partícula pasa por los dos (su función de onda es la superposición de los dos caminos).

El experimento que presentamos a continuación en la figura 2.11 lo hicieron Mandel y sus colaboradores Xin Yu Zou y Li Jun Wang, en la Universidad de Rochester en 1991. Es verdaderamente increíble.

FIGURA 2.11. Si las trayectorias «b» y «d» se separan ligeramente deja de haber oscilaciones en D.

Un láser lanza luz hacia un espejo semirreflector E. Los fotones transmitidos (t) se dirigen hacia un cristal de subconversión X₁ donde pueden generar dos fotones compañeros: «a» y «b». Los fotones reflejados (r) se dirigen hacia otro cristal de subconversión X₂, donde pueden producir otros dos fotones compañeros: «c» y «d». Mediante un espejo se dirigen los rayos «a» y «c» a otro espejo semirreflector F, donde pueden interferir y llegar o no al detector D.

La pregunta es: ¿Qué pasará si variamos la longitud del camino superior, el que corresponde a la trayectoria «a»? ¿Habrá variación en el ritmo de detección de los fotones en D?

El fotón puede seguir la ruta «a» (vía t) o la ruta c (vía r) y en F hay interferencia de caminos, luego sí parece que habrá superposición. La función de onda será |Ψa> + |Ψc>, y a ella corresponde que varíe el número de fotones detectado en D.

Pero hemos olvidado un detalle importante: podríamos detectar los fotones compañeros de los que interfieren. Nos referimos a los fotones de «b» y «d». Si los detectásemos sabríamos dónde se realiza la subconversión, si en X₁ o en X₂, y, por tanto, averiguaríamos si el fotón que llega a D proviene de la ruta «a» o de la ruta «c». Realmente ni siquiera es necesario que efectivamente detectemos los fotones «b» y «d». El que podamos hacerlo es suficiente para producir el colapso de la función de onda |Ψa> + |Ψc> a una de sus posibilidades: |Ψa> o |Ψc>, y, como consecuencia, el número de fotones en D será constante. Éste es el punto clave de estos experimentos: la mera posibilidad de averiguar la ruta del fotón rompe la interferencia. No hace falta que se materialice esa posibilidad. La posibilidad en sí misma genera el colapso.

Mandel y sus colaboradores hicieron el experimento y comprobaron que la predicción que hemos hecho era correcta.

Pero Mandel dio un paso más para poner a prueba a la mecánica cuántica: moviendo los cristales hicieron coincidir las trayectorias de los fotones «b» y «d». Como el cristal X₂ es transparente, puede conseguirse que «b» y «d» se solapen en un solo haz. La idea era ver lo que pasaba si no hay modo de distinguir el fotón «b» del «d». Si salen en la misma dirección, aunque pusiéramos un detector en esa dirección, no sabríamos si el fotón viene de X₁ o de X₂. ¿Qué pasará ahora? No hemos alterado en absoluto a los fotones «a» y «c», los que podían interferir en F. Además, sus compañeros, aunque creados a la vez que ellos, han seguido una historia independiente de ellos. ¿Notarán «a» y «c» que sus compañeros se solapan? ¿Variará el ritmo de detecciones de los fotones en D sencillamente porque las trayectorias de «b» y «d» se han desplazado ligeramente respecto a la situación inicial?

La respuesta, tremenda, impresionante, es que sí. La mecánica cuántica mantiene sus desconcertantes pero inexorables leyes: si las rutas «b» y «d» son indistinguibles no hay modo de saber en cuál de los cristales se crearon los fotones, de manera que se observa experimentalmente una variación en el número de fotones que llegan a D al alargar una de las rutas que interfieren en F.

El colapso se produce cuando no coinciden las rutas de los fotones «b» y «d», cuando las separamos un ángulo minúsculo. Pero ¿qué cambia realmente respecto a la situación anterior, cuando sí había superposición? ¿Es sólo la información que tenemos del sistema la que precipita el colapso? ¿O es que hemos introducido alguna nueva interacción con algún sistema macroscópico (o no macroscópico) al desviar ligeramente las rutas anteriores? No parece que sea el caso. ¿O es que cuando las rutas «b» y «d» coinciden pueden interferir los fotones que vienen de los dos cristales por esas rutas? Hasta ahora habíamos dicho que el fotón viene por «b» o lo hace por «d», según que se genere el par de fotones compañeros en X₁ o en X₂. ¿Será posible que se creen a la vez fotones en ambos cristales y de algún modo desconocido interfieran los fotones «b» y «d»?

¿O sencillamente no hay explicación física de lo que sucede y lo que decide si hay colapso o no es el conocimiento, la información, que puede tenerse del sistema?

Es cierto que la información necesita una base física, del mismo modo que nuestro pensamiento necesita un cerebro repleto de neuronas, pero ni el pensamiento ni la información, que es parte de él, son sólo físicos.

Insistimos en que en este experimento:

1) No hemos alterado los fotones responsables de la superposición.

2) Ni siquiera hemos tenido necesidad de detectar sus compañeros. Lo que importa no es lo que sabemos, es lo que podemos saber.

¿Es sólo una entelequia llamada información posible la que produce el colapso?

¿Habrá manera de saber cómo sucede el colapso o, sencillamente, debemos reconocer nuestra incapacidad para explicarlo y contentarnos, por tanto, con aceptarlo como un instrumento matemático y de ese modo aceptar que la Naturaleza o la Realidad son incognoscibles? ¿Será que la función de onda no es en realidad un ente físico, sino sólo un instrumento matemático que refleja la información que tenemos de un sistema físico? En tal caso el colapso supondría una mera actualización de nuestro conocimiento del sistema: si sabemos que el fotón sigue la ruta A o la ruta B, la función de onda —un puro ente matemático— pasa de |ΨA> + |ΨB> a |ΨA> o |ΨB>.

Medidas sin interacción

Veamos ahora otra prodigiosa aplicación de la mecánica cuántica.

No cabe duda de que si alguna interacción permite identificar el camino seguido por el fotón la función de onda colapsa, pero las reglas cuánticas permiten insospechadas aplicaciones de ese colapso. Permiten, sin ir más lejos, saber si existe algún obstáculo —una bomba, por ejemplo, como sugerían dramáticamente Vaidman y Elitzur— en una de las rutas del fotón, sin que el fotón interaccione en absoluto con él.

En realidad el experimento es nuestro conocido interferómetro de Mach-Zender (figura 2.3), con la única variante de que ahora puede haber un obstáculo —la bomba— en el, pongamos, camino inferior:

FIGURA 2.12. Añadimos una bomba a la figura 2.3. Podemos saber si está la bomba aunque el fotón no la vea.

La cuestión es la siguiente: no sabemos si algún terrorista ha puesto una bomba en el camino inferior B. ¿Podremos averiguarlo sin que explote la bomba? Convengamos en que si el fotón va por ese camino B, choca con la bomba y ésta explota.

¿Habría otra manera de saber si está la bomba sin explotarla? ¿Podría el fotón, aunque no fuera por el camino B, indicar la presencia de la bomba?

En física clásica es totalmente imposible, pero la mecánica cuántica sí admite esa posibilidad:

La bomba hace de observador. Su mera presencia hace los caminos distinguibles y la función de onda colapsa: deja de haber superposición. Ahora bien, como consecuencia del colapso, tanto puede darse |ΨA> como |ΨB>. Dicho de otra manera: la presencia de la bomba obliga al fotón a pasar por uno de los dos caminos, pero tanto puede pasar por el camino inferior (en cuyo caso la bomba explota), como —y esto es lo interesante— por el superior. Si pasa por el camino superior se romperá la superposición sin que la bomba explote.

¿En qué se traduce esto? Si no estuviese la bomba, la superposición |ΨA> + |ΨB> haría que todos los fotones llegasen a D₁. Si, en cambio, está la bomba, algún fotón puede pasar por A y llegar a D₂.

Habremos descubierto, en definitiva, que está la bomba (sin explotarla) cuando un fotón llegue a D₂. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra eso? ¿Cuántas bombas podré detectar sin que exploten?

¿Cuántos fotones llegarán a D₂? Cuando no hay superposición los fotones se reparten a partes iguales entre A y B. Los que vayan por B harían explotar la bomba y ahí se acaba la historia. De los que vayan por A la mitad llegaría a D₁ y la otra mitad a D₂. En resumen, de cada 4 fotones, 1 llega a D₂. La llegada de un fotón a D₂ es indicación clara de que sí está la bomba, aunque el fotón no haya interaccionado con ella (no la haya «visto»). Hemos conseguido así hacer una medida (bomba sí o bomba no) sin interacción. (A esto se le ha llamado «visión en la oscuridad»: al fin y al cabo consiste en que los fotones saben que está ahí el obstáculo sin necesidad de iluminarlo.) Es verdad que este fenómeno sucede, por término medio, una vez de cada cuatro (sólo en 1 de cada 4 experimentos con bombas podré detectarla sin que explote), pero eso no quita para que rompa nuestros esquemas clásicos: aunque el fotón no vaya por esa ruta «sabe» que hay algo en ella y prescinde de su arrogancia de onda ubicua para comportarse como una humilde partícula, y acceder, por tanto, ocasionalmente a D₂. Hay que decir, además, que Vaidman y Elitzur consiguieron modificar los espejos semirreflectores y alterar el dispositivo hasta lograr que la probabilidad de que hubiese medida sin interacción pasara del 25 por ciento a casi un 100 por ciento (es decir, con el dispositivo mejorado se podrían detectar sin que explotasen casi todas las bombas). Pero de esos detalles técnicos no nos ocuparemos por ahora.

A modo de resumen

En este capítulo hemos visto dos características de la mecánica cuántica que rompen nuestra imagen de la física convencional.

Por un lado, puede realizarse una superposición de estados excluyentes: el fotón, una partícula, pasa a la vez por dos rutas incompatibles, como si de una onda se tratase.

Por otro lado, esta superposición colapsa en cuanto se pretende averiguar la ruta seguida por el fotón, o, sencillamente, en cuanto haya manera de saber por qué ruta ha pasado.

En la sucesión de experimentos presentados nos hemos restringido a describir los fundamentos de la mecánica cuántica sin hacer hipótesis adicionales. La función de onda es el instrumento mediante el que se calculan las probabilidades de los diferentes resultados experimentales. Hasta aquí no hay discusión entre los físicos. Todos reconocen el papel instrumental, matemático, de la función de onda. Y como dicen Peres y Fuchs, «la mecánica cuántica no necesita interpretación».⁶ No se requiere ninguna interpretación añadida para predecir los resultados de los experimentos.

A pesar de ello son muchos los físicos a quienes esto no les parece suficiente. ¿Cómo no va a tener significado físico la función de onda, algo que describe la física de las partículas elementales? De hecho, a lo largo del capítulo hemos planteado muchas preguntas sobre el significado de la función de onda. Dejaremos para el capítulo 8 el análisis de las diferentes interpretaciones de la mecánica cuántica.

3

Medir

En el capítulo anterior hemos visto que cuando se quiere escudriñar un estado de superposición (|ΨA> + |ΨB>) colapsa a una de sus alternativas (|ΨA> o |ΨB>). En este capítulo veremos que esto es lo que sucede en general con la medida en mecánica cuántica: no es posible averiguar el preciso estado en el que está un sistema cuántico. Nos tendremos que conformar con algo más modesto: averiguar si el sistema está o no en un cierto estado.

La medida es tan especial en mecánica cuántica que se hace necesario dedicarle un postulado específico dentro del formalismo cuántico. Esta situación abre una brecha respecto a la física clásica en la que, por supuesto, no se necesita incluir la medida entre los presupuestos de la teoría.

En este capítulo explicaremos la particular naturaleza de la medida en cuántica tomando como ejemplo una magnitud de importante relieve en capítulos posteriores: la polarización.

Cuando movemos de arriba abajo el extremo de una cuerda sujeta a una pared por el otro extremo producimos en la cuerda una onda.

Una onda tal, que vibra en el plano vertical, se caracteriza por un vector (una flecha) vertical, al que llamamos polarización de la onda (véase la figura 3.1).

FIGURA 3.1. Onda con polarización vertical.

Si en vez de mover la mano de arriba abajo, la movemos de derecha a izquierda, la cuerda vibrará ahora en un plano horizontal. La polarización (la flecha de la figura 3.2) señala esa dirección horizontal.

FIGURA 3.2. Onda con polarización horizontal.

Y si movemos la mano en dirección diagonal, la cuerda vibrará en un plano oblicuo. En la figura 3.3 la polarización señala esa dirección oblicua.

FIGURA 3.3. Onda con polarización oblicua.

La polarización, por tanto, es un vector (perpendicular a la dirección de propagación de la onda) que señala el plano de vibración de la onda.

En el capítulo anterior hemos visto que la luz está hecha de partículas elementales llamadas fotones. A pesar de eso, se comporta muchas veces —como también hemos visto— como una onda. Ese doble comportamiento de la luz se conocía desde hace varios siglos. Y desde el comienzo se ha mantenido la controversia entre los defensores del aspecto corpuscular y los defensores del aspecto ondulatorio. Hasta la llegada de la mecánica cuántica, que por fin aporta una reconciliación de los dos aspectos.

Pues bien, la luz, como onda que es, tendrá una polarización. Normalmente, la luz está compuesta por muchas ondas que vibran en diferentes planos. Pero hay materiales cuya estructura interna fuerzan a la luz a vibrar en un solo plano de vibración. Cuando la luz atraviesa una lámina hecha de alguno de esos materiales se eliminan todas las ondas que no vibren en ese plano. Estas láminas se llaman polarizadores porque sólo dejan pasar una dirección, una polarización, de la luz (véase la figura 3.4).

FIGURA 3.4. Vemos como llegan tres ondas: vertical, horizontal y oblicua a un polarizador colocado en dirección oblicua. El polarizador sólo deja pasar la dirección oblicua.

En las gafas de sol polarizadas, por ejemplo, se emplean esos materiales para eliminar la mayor parte de la luz reflejada. La razón es que la luz reflejada en el agua, el cristal, una carretera, la superficie metálica de los coches, etc., está polarizada horizontalmente. (Es un efecto de la propia reflexión: a partir de un cierto ángulo la componente vertical no puede vibrar y desaparece, de manera que a la luz reflejada sólo le queda la componente horizontal.) El polarizador de las gafas bloquea esa componente horizontal y elimina así gran parte de los reflejos.

¿Qué pasará si hacemos pasar luz que haya sido previamente polarizada, pongamos, verticalmente, por un polarizador colocado con dirección horizontal?

Vemos en la figura 3.5 que no pasa nada de luz.

FIGURA 3.5. Un polarizador horizontal impide el paso de luz verticalmente polarizada.

En general, siempre que el polarizador esté colocado con dirección perpendicular a la dirección de la polarización de la luz entrante, no pasará nada de luz.

Si, en cambio, el polarizador está orientado verticalmente, pasa toda la luz polarizada en ese plano:

FIGURA 3.6. Un polarizador vertical permite el paso de luz verticalmente polarizada.

Cuando llega luz polarizada verticalmente a un polarizador con dirección oblicua, a pesar de lo que pueda parecer, sí pasa luz. Es verdad que parte de la luz incidente es absorbida por el polarizador, pero hay otra parte que sí consigue pasar. Y esta luz saliente, de intensidad más reducida que la entrante, tiene, por supuesto, la polarización que corresponde al polarizador, es decir, en este caso está oblicuamente polarizada (véase la figura 3.7).

FIGURA 3.7. Un polarizador obliga a girar la dirección de polarización de la luz. Cuanto mayor sea el ángulo α menor será la intensidad de luz que atraviesa.

La cantidad de luz que pasa depende del ángulo que forme la dirección del polarizador con la polarización de entrada. Si la dirección del polarizador es perpendicular a la polarización de la luz incidente, como en la figura 3.5, no pasará nada de luz. Al disminuir el ángulo que forman, irá aumentando la luz que pasa a través del polarizador, hasta que, cuando el polarizador esté orientado en la misma dirección que la luz incidente, será máxima la luz que atraviese (como en la figura 3.6).

Cuando la dirección que selecciona el polarizador forma un ángulo de 45º con la polarización incidente, pasa exactamente la mitad de la luz que llega.

FIGURA 3.8. Si la dirección del polarizador forma un ángulo α (véase la figura 3.7) con la polarización incidente pasa una fracción de luz igual a cos² α de la intensidad de la luz incidente.

En resumen: la luz que atraviesa un polarizador sale polarizada en la dirección que le marca el polarizador y su intensidad depende del ángulo que forma esa dirección con la polarización incidente.

Notemos que al hacer pasar un haz de luz por un polarizador, se altera la polarización que tuviese esa luz: después del polarizador tendremos siempre luz polarizada en la dirección seleccionada por la lámina polarizadora. Se pierde la información de la polarización incidente. Esto —veremos enseguida— va a caracterizar la forma de medir en mecánica cuántica.

Hasta aquí no hemos necesitado la mecánica cuántica. Todo lo dicho es «clásico». El asunto se nos complica, «clásicamente» hablando, cuando reducimos la intensidad de la luz incidente en el polarizador hasta que sólo llegue un fotón al polarizador. El fotón, como sabemos, no puede dividirse. ¿Qué hará el fotón? ¿Atravesará el polarizador o no? La respuesta es que no sabemos si un fotón particular atravesará o no el polarizador. Unos fotones lo harán y otros se quedarán sin atravesar. Esa cuestión sí es específicamente cuántica. La mecánica clásica no sabe tratar ese caso. Y en mecánica cuántica tenemos que hablar de probabilidades. Sólo podemos decir que el fotón tiene una cierta probabilidad de atravesar. Concretamente, si el fotón entrante tiene una polarización vertical, tiene probabilidad ½ de pasar a través de un polarizador oblicuo con dirección 45º. Eso significa que, por término medio, de cada 2 fotones, uno pasará y el otro será absorbido. En todo caso, si se envían muchos fotones se recupera el resultado clásico de que la intensidad de la onda saliente es la mitad de la entrante.

[Nota: Aunque hayamos introducido la magnitud «polarización» con referencia a una onda, puede también aplicarse a una partícula individual.]

Cuadro 3.1

Se puede hacer el experimento en casa:

Para ver películas en 3-D deben llegar a cada ojo imágenes ligeramente desplazadas. El cerebro compondrá las dos imágenes en una con sensación de profundidad.

Una de las técnicas para conseguirlo consiste en que uno de los cristales de las gafas 3-D deje pasar una polarización, y el otro cristal deje pasar la polarización perpendicular a la primera.

Si las imágenes ligeramente desplazadas —necesarias para dar sensación de profundidad— que se proyectan en la pantalla, tienen polarizaciones perpendiculares entre sí, cada ojo verá sólo una de ellas.

Pues bien, si Ud. recorta los cristales o láminas de las gafas 3-D y las superpone, la parte común aparecerá negra.

La luz que pasa por la primera de las láminas se polariza en ella, digamos, horizontalmente, de manera que no puede atravesar la otra lámina, que sólo admite polarización vertical. Por eso no se ve nada a través de las dos juntas.

Si ahora gira una de las láminas, empezará a entrar cada vez más luz hasta que, cuando una lámina esté colocada perpendicularmente a la otra de manera que las dos láminas polarizadoras se sitúen con la misma dirección de polarización, la luz pase sin problemas a través de ellas.

Aparato de medida

La calcita tiene una curiosa propiedad: separa la luz que le llega en dos direcciones o rayos. Uno de ellos sigue la dirección de la luz incidente; el otro se desvía un cierto ángulo respecto a esa dirección y sale de la calcita por otro lado. Por eso vemos doble a través de un cristal de calcita. Pero además —y esto es lo que nos interesa aquí—, cada uno de estos rayos sale con una polarización perpendicular a la otra.

Si la polarización que entra es diagonal, el rayo que no se desvía tendrá polarización horizontal; y el rayo desviado, en cambio, el que sale por debajo en la figura 3.9, tendrá polarización vertical. La calcita, a diferencia del polarizador, no absorbe luz. Sale toda la luz que entra. Lo que ahora varía son las intensidades relativas de los dos rayos. Si la polarización de la luz incidente es, por ejemplo, casi horizontal, la intensidad del haz horizontal será muy superior a la del haz vertical. Si, en cambio, entra al cristal polarización casi vertical, el rayo vertical será muy intenso y el otro muy tenue. En definitiva, la intensidad de cada uno de los rayos depende del ángulo de la polarización entrante.

FIGURA 3.9. La luz que entra en un cristal de calcita se desdobla en dos haces: el que sigue la dirección de entrada tiene polarización horizontal, el que se desvía tiene polarización vertical.

La calcita es el arquetipo de aparato de medida en mecánica cuántica.

Veamos qué sucede cuando llega un solo fotón.

Cuando llega un fotón polarizado en una dirección cualquiera, la calcita le cambia la polarización a una de las dos posibles polarizaciones perpendiculares (excluyentes). No sabemos —ni podemos saber de ningún modo, éste es un asunto al que volveremos más tarde— cuál de las dos posibles polarizaciones va a adquirir el fotón. Sólo sabemos la probabilidad de que se dé cada una de esas posibilidades.

Las dos polarizaciones perpendiculares (|H> y |V>) constituyen la base de medida de las polarizaciones. Son posiciones excluyentes, si la polarización es Horizontal (|H>), no es Vertical (|V>), y viceversa.

FIGURA 3.10. Un cristal de calcita colocado verticalmente «mide» la polarización del fotón en esa dirección: si el fotón sale por abajo es que sí está verticalmente polarizado. Si sale por arriba es que no: tendrá polarización horizontal.

Si colocamos sendos detectores a la salida de la calcita obtendremos, cuando un chorro de fotones incide en la calcita, una sucesión de polarizaciones H y V (véase la figura 3.11). En términos de Teoría de la Información podemos asimilar H por un 0 y V por un 1 (o viceversa). Esto nos será útil —como veremos más adelante— cuando queramos utilizar la polarización para enviar información.

Observemos, además, que en el fotón no queda memoria alguna de la polarización anterior. Esa información está completa e irremisiblemente perdida.

FIGURA 3.11. El medidor de calcita digitaliza la polarización: la convierte en una señal binaria, H o V.

En mecánica cuántica medir es proyectar sobre unas ciertas direcciones. No podemos realmente averiguar en qué estado estaba el fotón (el sistema, en general). Sólo podemos proyectarlo a uno de entre dos estados excluyentes. Ésta es una de las particularidades de la mecánica cuántica. No es posible averiguar en qué estado está un sistema cuántico. Todo lo que se consigue cuando se pretende desvelar su estado es averiguar si está o no en ciertos estados de proyección. Al medir alteramos la naturaleza. La obligamos a elegir entre dos alternativas.¹ La huella del estado inicial sólo se muestra en las diferentes probabilidades de obtener uno de los estados posibles: si el estado inicial estaba muy próximo al horizontal, la probabilidad de que el fotón aparezca en la salida superior con polarización |H> será mucho mayor que la probabilidad de que lo haga por la salida inferior con polarización |V>. Si, en cambio, la polarización inicial estaba muy inclinada hacia la vertical, lo más probable es que el fotón adquiera polarización |V> y salga por abajo. En cualquier caso, sólo en la probabilidad queda reminiscencia de la polarización inicial. Por lo demás ese estado se desvanece.

FIGURA 3.12. Algunos detalles más técnicos de la acción del medidor de calcita.

Si el fotón entrante tenía una polarización de 45º, tiene la misma probabilidad de salir por la rama superior |H> que por la inferior |V>. Su estado inicial, antes de pasar por la calcita, es |H> + |V>, un estado de superposición como el |ΨA> + |ΨB> del capítulo anterior. Como sucedía a este último, el estado |H> + |V> colapsa a |H> o |V> cuando se mide.²

Fijémonos también en que las polarizaciones de salida dependen de la estructura interna de la calcita: son los planos en los que la estructura molecular de la calcita permite que haya vibración. Esto significa que si giramos la calcita respecto a la dirección de propagación de la luz (véase la figura 3.13), giraremos también las direcciones de las polarizaciones de los rayos de salida (véase la figura 3.14). De lo que estamos seguros es que las polarizaciones de las direcciones de salida seguirán siendo perpendiculares entre sí. Las dos polarizaciones perpendiculares (H′ y V′) constituyen la nueva base de medida de las polarizaciones. Son posiciones excluyentes o contrarias, si la polarización es Horizontal (H’), no es Vertical (V′), y viceversa.

FIGURA 3.13. Un cristal de calcita colocado en dirección θ «mide» la polarización del fotón en esa dirección: si el fotón sale por abajo es que sí está polarizado en esa dirección: V′. Si sale por arriba es que no: tendrá polarización H′.

FIGURA 3.14. La base de medida (H′,V′) cuando la calcita se gira un ángulo θ.

No podemos saber en qué dirección venía polarizado un fotón. Lo único que podemos hacer, girando la calcita un ángulo θ, es provocar que el fotón salga polarizado en esa dirección (V′) o en la perpendicular a ella (H′).

El cristal de calcita es, en definitiva, un aparato de medida porque implementa la pregunta: ¿está el fotón polarizado en una cierta dirección θ? Mide, por tanto, la polarización en esa dirección. Y obtiene una respuesta: si el fotón sale por el canal inferior sí está polarizado en esa dirección (V′). Si sale por el canal superior la respuesta es negativa: la polarización del fotón es la contraria (H′).

Estados |0>, |1> en los orbitales

El otro fenómeno en el que vamos a centrarnos es el de los orbitales o niveles de energía de los electrones exteriores de un átomo. Como vimos en el capítulo 1, el electrón puede pasar de un nivel a otro emitiendo o absorbiendo luz.

Llamemos |1> al estado superior o excitado y |0> al inferior o fundamental. Un electrón pasa de |1> a |0> emitiendo un fotón. O de |0> a |1> absorbiéndolo (véase la figura 3.15).

FIGURA 3.15. Corresponde a la figura 1.2 con algunas precisiones.

Si el átomo se encuentra inicialmente en su estado fundamental (|0>), cuando se ilumina con un láser cuya frecuencia es la correspondiente a la diferencia de energías entre los dos niveles [f = (E₁-E₀)/h. Véase el cuadro 1.1], el electrón absorbe un fotón del láser y «salta» desde el estado |0> al excitado |1>. Pero a continuación sucede lo contrario: la presencia de los fotones del láser estimula la emisión de otro fotón por parte del electrón, que vuelve así al estado fundamental (véase el cuadro 3.2 Fermiones y bosones). Si todavía sigue conectado el láser, de nuevo haría que el electrón pasara al estado excitado y así indefinidamente. El láser produce una transición continua entre los dos estados.

Lo podemos representar así:

FIGURA 3.16. Un láser de frecuencia proporcional a la diferencia de energías que hay entre dos niveles genera transiciones del electrón de un nivel al otro.

Llamemos T al tiempo necesario para que el láser genere una transición de estado (de |0> a |1>, por ejemplo).

Lo interesante aquí es que si se aplica el láser un tiempo menor que T no se consuma la transición. Lo que se consigue es una transición a medias, un interesante estado «suspendido» entre |0> y |1>, un estado del tipo |0> + |1>, que no es |0> ni |1>, sino algo intermedio. Es un estado inaccesible «clásicamente», pero totalmente reconocible en mecánica cuántica. El típico estado de superposición semejante al |ΨA> + |ΨB> del que tratábamos en el capítulo anterior, en el que el fotón iba, a la vez, por las dos rutas posibles. También aquí está, a la vez, en dos estados de energía. Pero, igual que al averiguar la ruta seguida por el fotón, éste realmente seguía una ruta o la otra, nunca las dos a la vez, también aquí, si pretendemos averiguar en qué estado se encuentra el electrón, sólo podremos determinar que se encuentra en |0> o en |1>. El sistema colapsa a una de sus alternativas «clásicas». El estado |0> + |1> tiene existencia real, como veremos más adelante, pero al medir obtengo una de las posibilidades excluyentes. Según la «cantidad» de |0> y la «cantidad» de |1> que tengamos en el estado superposición, así serán las probabilidades respectivas de que se obtenga uno de los dos.

Como puede observarse, aunque no entendemos el salto cuántico de Schrödinger, sí podemos manejarlo. No podemos dar una descripción espacio-temporal de cómo el electrón pasa de una órbita a otra, pero sí podemos manejar el salto hasta el punto de conseguir diferentes estados de superposición de dos órbitas distintas.

Quizá ésa sea la evolución natural de «los misterios»: dejan de serlo cuando podemos manejarlos (aunque sigamos sin entenderlos).

Aclaración

Los estados superposición (|0> + |1>, |H> + |V>, |ΨA> + |ΨB>) se mantienen hasta el momento en que se hace una medida. Es en el momento de medir cuando las magnitudes adquieren valores definidos. Hasta entonces el mundo subatómico se mantiene en estado ambiguo, de indefinición. Si en el mundo macroscópico una magnitud puede tomar ciertos valores, en el mundo subatómico también puede estar en una «superposición» de esos valores, en un estado latente entre ellos y hasta el momento en que se le fuerza a decantarse por uno de ellos en una medición, permanece en un estado intermedio, «en suspenso».

Cuadro 3.2. Fermiones y bosones

En el mundo macroscópico es difícil encontrar cosas idénticas. Los gemelos pueden ser muy parecidos pero cada uno tiene sus huellas digitales distintivas. Los frutos de la naturaleza, dos naranjas, por ejemplo, pueden ser casi iguales, pero si se observan con detalle se encontrarán pequeñas diferencias entre ellas. Los productos industriales que hace una máquina en serie también se parecen mucho, pero también aquí encontramos leves diferencias.

En el mundo microscópico las cosas funcionan de otra manera. En ese mundo las partículas son, de verdad, idénticas. Es imposible distinguir un electrón de otro, o un fotón de otro fotón. Son absolutamente iguales. Esta simetría tiene consecuencias matemáticas y físicas:

La función de onda, Ψ, recoge, como sabemos, el conocimiento que se tiene de un sistema microscópico. Y su cuadrado proporciona la probabilidad de encontrar el sistema en uno u otro lugar.

Consideremos un sistema formado por dos partículas idénticas, cada una en una posición. Si se intercambian las posiciones de las partículas, como son idénticas, la probabilidad de encontrar las dos partículas en sus posiciones respectivas no puede variar. Es decir, el cuadrado de la función de onda no cambia al intercambiar las partículas. Pero hay dos maneras de que no varíe el cuadrado:

1) Que la función de onda no se altere en absoluto.

2) Que la función de onda cambie de signo.

En el segundo caso, como cuando escribimos que 3² = (−3)², el cuadrado también es el mismo, y por tanto, la probabilidad.

¿Y qué tendrá que ver esta obviedad matemática con la física de las partículas microscópicas?, se preguntará el lector.

Pues parece que la naturaleza considera todas las opciones que le ofrecen las matemáticas y las hace realidad. No hay explicación de este espurio principio, pero parece ser cierto en multitud de casos. (Han sido muchos los descubrimientos que han comenzado por considerar una posibilidad matemática. Así se descubrieron las antipartículas, o los agujeros negros, por ejemplo.)

En el caso que nos ocupa es muy cierto que la naturaleza hace realidad los dos tipos de partículas idénticas:

Las partículas que, cuando se intercambian, hacen que la función de onda cambie de signo se llaman fermiones. Las que, en cambio, cuando se intercambian, dejan la función de onda inalterada, manteniendo también el signo, se llaman bosones.

Los electrones, protones y neutrones son fermiones; los fotones son bosones. Todas las partículas pertenecen a uno de estos dos grupos.

Podemos explorar sus propiedades (¡y todo esto sólo a partir de un signo!):

¿Pueden dos partículas idénticas ocupar el mismo sitio?

Si son bosones no hay ningún problema, pero si son fermiones se complica el asunto: por un lado, si los dos fermiones están en el mismo sitio la función de onda es idéntica a sí misma al intercambiar las partículas; pero, por otro lado, la función de onda de los fermiones tiene que cambiar de signo al permutarlos. Sólo el cero permanece invariante y a la vez cambia de signo, por tanto, es imposible que dos fermiones estén en el mismo sitio.³ Acabamos de enunciar el famoso «Principio de exclusión de Pauli»: dos electrones no pueden ocupar el mismo estado. Este principio es el responsable de la estabilidad de la materia sólida: evita que los átomos caigan unos sobre otros. Si no fuera por este principio, todos los átomos se concentrarían en el mismo sitio y se derrumbaría toda la materia.

¿Y qué pasa con los bosones? Ya hemos dicho que ellos no tienen ningún problema en ocupar el mismo sitio; pero, no sólo no tienen ningún problema, es que les gusta hacerlo. Para entender por qué, basta recordar —lo vimos en el capítulo 2— que cuando en mecánica cuántica un resultado se puede obtener a través de dos alternativas indistinguibles —recordemos el fotón que podía ir por dos caminos, y no sabíamos por cuál de ellos lo había hecho—, la función de onda es la suma de las funciones de onda correspondientes a las dos alternativas. Como aquí, al intercambiar dos fotones, la función de onda no varía, hay que sumar dos funciones de onda idénticas, por lo que la función de onda se multiplica por 2, y eso lleva a multiplicar por 4 la probabilidad. Eso quiere decir que esa situación es mucho más probable que aquellas otras en las que las alternativas son distinguibles y sus probabilidades sólo se suman (o, en todo caso, si las probabilidades son iguales, se multiplican por 2), en vez de multiplicarse por 4, como aquí ha ocurrido.

El resumen es que los fotones son criaturas gregarias: tienden a estar juntos siempre que pueden.

Este principio tiene muchas consecuencias físicas. Y aplicaciones tales como la superfluidez, los superconductores y —de manera destacada por la extensión de su uso— el láser.

En los láseres la emisión de un fotón es estimulada por la presencia de otros fotones. Así se consigue un montón de fotones haciendo exactamente lo mismo («en fase en un estado coherente»).

Sin entrar en detalles técnicos, el láser necesita de dos elementos:

• Que los electrones se encuentren en su mayoría en un estado excitado.

• Que haya dos espejos enfrentados.

La presencia de un solo fotón estimula la emisión de otros por parte de los electrones excitados, los cuales caerán al estado fundamental. Los fotones que rebotan en los espejos estimulan la emisión de más fotones de características iguales. Salen todos en la misma dirección y exactamente en el mismo estado a través de una pequeña abertura abierta en uno de los espejos. Así se consigue el rayo láser.

4

Entrelazamiento

Con el entrenamiento de los capítulos anteriores quizá esté Ud. preparado para pensar como un mecánico-cuántico. Veamos:

En el capítulo 2, página 55, hemos visto que en un cristal de subconversión paramétrica un fotón puede producir dos fotones que salen disparados en direcciones simétricas respecto al eje central. Sucede que los fotones salientes tienen polarizaciones perpendiculares entre sí. (Aceptemos esto, por ahora, como un dato de partida. Se justificará más adelante, en este mismo capítulo.) Pero tanto cabe que el fotón de la derecha tenga polarización horizontal y el otro vertical como que suceda al revés.

FIGURA 4.1. En un cristal de subconversión paramétrica (figura 2.8), si uno de los fotones está horizontalmente polarizado el otro lo estará verticalmente, y viceversa.

Suponga que nada distingue a los fotones (la frecuencia es lo que puede distinguirlos. Suponemos, por tanto, que son fotones de la misma frecuencia), ¿cuál será el estado conjunto de los dos fotones?, o, dicho de otra manera, ¿cómo se escribe la función de onda que describe a estos dos fotones? La función de onda reúne, como sabemos, todo lo que puede saberse de una partícula. Hay una parte que da cuenta de su posición o su velocidad y otra que especifica la polarización de la partícula. Aquí sólo estamos interesados en la parte de la función de onda que se refiere a la polarización, no nos interesa la parte que se refiere a su posición o su velocidad.

Bien, llegamos ya, por fin, después de aclarar sus términos, a formular la pregunta: ¿cómo escribiría Ud. el estado conjunto de la polarización de los dos fotones?

Le servirá de ayuda recordar el interferómetro de Mach-Zender del capítulo 2 (figura 2.3):

Allí decíamos que como no podemos saber por qué camino pasa el fotón, si el A o el B, su función de onda es |ΨA> + |ΨB>, la superposición de las dos alternativas.

Recordemos, en definitiva, nuestro Principio de Superposición: si hay dos (o más) maneras indistinguibles de llegar a un resultado, la función de onda será la superposición (la suma) de las funciones de onda de las diferentes posibilidades.

Ahora tenemos dos partículas en vez de una, pero también pueden darse dos alternativas indistinguibles: puede que el fotón de la derecha tenga polarización horizontal y el otro vertical, o puede que sea al revés. ¿Cómo escribiremos el estado conjunto de polarización?

Tendrá que ser, como en el caso de los dos caminos revisitado antes, una superposición de las dos alternativas. O bien el fotón de la derecha es |H> y el otro |V>: estado |H>₁ |V>₂ (1 y 2 se refieren respectivamente a derecha e izquierda). O bien sucede lo contrario, que el fotón de la derecha sea |V> y el otro |H>: estado |V>₁ |H>₂.

La función de onda se escribirá, entonces:

|H>₁ |V>₂ + |V>₁ |H>₂

Éste es un estado de superposición, en el que tanto puede ser |H> el fotón de la derecha y |V> el de la izquierda, como |V> el fotón de la derecha y |H> el de la izquierda. La naturaleza no se decanta sobre qué estado es H y cuál V. Por un lado, la simetría es absoluta: ninguno de los fotones tiene más razón que el otro para tener una u otra polarización. Por otro lado, no hay agentes externos que obliguen al sistema a elegir. De manera que el sistema se queda en el estado «suspendido», el estado de superposición. Se mantiene la indefinición. Si la naturaleza no necesita decantarse sobre cuál de los fotones es |H> y cuál |V>, no lo hará —aunque eso tenga extrañas consecuencias.

A este estado se le llama estado entrelazado. No es más que un estado de superposición que involucra a dos partículas. Su existencia tiene consecuencias impresionantes y espectaculares aplicaciones, como veremos en próximos capítulos.

Para ser más preciso, normalmente se trabaja con el estado |H>₁|V>₂ − |V>₁ |H>₂, estado que recibe el nombre de singlete. Se obtiene muy sencillamente a partir del anterior (enseguida veremos cómo). Y tiene la propiedad añadida —que no tiene el estado con signo positivo— de que se mantiene con la misma forma aunque cambiemos la base de medida. Es decir, en la base {|H′>, |V′>} (véase la figura 3.14), el estado seguirá escribiéndose:

|H′>₁ |V′>₂ − |V′>₁ |H′>₂

Por lo tanto, cualquiera que sea la base de medida elegida, cada uno de los fotones tiene la misma probabilidad de tener polarización horizontal que vertical.

En cualquier caso, tanto en su forma primera como con el signo cambiado, éste es un estado muy especial. Es una superposición de dos estados perfectamente definidos, el |H>₁ |V>₂ y el |V>₁ |H>₂; y por tanto, él también lo está. Como tal estado perfectamente definido, de él lo sabemos todo; sin embargo, no conocemos nada de sus constituyentes. Porque si preguntamos: ¿en qué estado está el fotón de la derecha?, la respuesta obligada es: no se sabe. Tanto puede ser |H> como |V>. Y lo mismo con el de la izquierda.

El profesor Emilio Santos, de la Universidad de Cantabria, explicaba alguna vez lo paradójico del asunto con la siguiente analogía:

Es como si un alumno viene a examinarse de un libro.

El alumno afirma contento: «Lo sé todo».

El profesor le dice entonces: «Bien, dígame el capítulo 1».

«Bueno, de ése no sé nada», dice el alumno.

«Bien, vale, pues hábleme del capítulo 2», le responde el profesor.

«Err..., bueno, de ése tampoco sé nada», contesta el alumno.

El profesor empieza a perder la paciencia: «Pero, ¿no decía Ud. que se sabía perfectamente el libro?».

Pues así de paradójico es el entrelazamiento: al conocer el estado total (singlete en este caso) sabemos todo lo que se puede saber del sistema completo, pero, antes de hacer la medida correspondiente, ignoramos todo lo referido (en este caso la polarización) a los dos subsistemas.

El estado de entrelazamiento es, en definitiva, un estado en el que lo que importa, lo significativo, es la relación que hay entre sus dos partes, no lo que estas partes sean en sí mismas. En particular, en el caso que nos ocupa, lo característico del estado es que las dos partes tengan polarizaciones perpendiculares; y no importa cuál tenga cada una de ellas.

¿Por qué es tan especial ese estado?

De la misma manera que cuando se pretende averiguar por dónde pasa el fotón en el interferómetro de Mach-Zender, se produce el colapso de la función de onda y se rompe la superposición, con lo que el fotón ya sí pasa por alguno de los dos caminos; de igual manera sucede en el caso del entrelazamiento. Pero aquí —a diferencia de lo que ocurre en la superposición simple— hay dos partículas implicadas y el colapso tiene consecuencias realmente espectaculares: cuando colapsa el estado de superposición lo hace a una de las dos posibilidades, |H>₁ |V>₂ o |V>₁ |H>₂. Esto significa que aunque se esté midiendo sólo la polarización de uno de los dos fotones, también el otro adquiere un valor determinado. La polarización del 2.º fotón es siempre perpendicular a la del 1.º. Si medimos la polarización de uno de los fotones y obtenemos, digamos, H, se tiene absoluta certeza de que el otro fotón tiene polarización V. Puede que los fotones estén a kilómetros de distancia. Al medir la polarización de un fotón, mido también la del otro, por lejos que esté. El entrelazamiento está por encima del espacio-tiempo.

Y esto sucede, en el estado singlete (|H>₁ |V>₂ − |V>₁ |H>₂), cualquiera que sea la dirección en la que se mida la polarización de los fotones. Al girar los cristales de calcita como en la figura 3.13, si un fotón sale por arriba (por H′), el fotón entrelazado con él sale por abajo (por V′) en su correspondiente medidor de calcita.

Estamos haciendo, por tanto, una medida a distancia, sin interferir con el objeto que mido, que, como decimos, puede estar en otra galaxia. ¿Qué es esto: una forma de telekinesia?

Más preguntas nos asaltan: ¿hay aquí comunicación instantánea entre dos puntos? Pero cómo..., si Einstein había demostrado que nada puede viajar más rápido que la luz y eso prohíbe comunicaciones instantáneas... ¿Podría aprovecharse este entrelazamiento para mandar información instantánea de un lugar a otro?

Supongamos que dos personas, Benito, en Manila, y Alicia, en Madrid, reciben fotones entrelazados en el estado singlete (del tipo HV-VH). Se ponen de acuerdo para medir a la vez las polarizaciones de sus fotones en una cierta dirección. Alicia, en Madrid, obtiene en cuatro medidas, por ejemplo, los siguientes resultados:

En la primera medida H, en la segunda V, en la tercera H, y en la cuarta H.

Benito, en Manila, obtendrá, necesariamente: VHVV, en las sucesivas medidas (véase la ilustración 3).

ILUSTRACIÓN 3. Benito, en Manila, y Alicia, en Madrid, miden, en la misma dirección, la polarización de cuatro pares de fotones entrelazados. Obtienen siempre resultados opuestos. Esta ilustración puede verse en color en el pliego.

Parece que así podríamos mandar un mensaje instantáneo desde Madrid a Manila: en Manila se recibe el negativo de la secuencia creada en Madrid. Pero enseguida se da uno cuenta de que algo no funciona. El problema está en la aleatoriedad intrínseca de la mecánica cuántica. Alicia, en Madrid, no sabe, antes de medir, qué le va a salir al medir. Le puede salir, para cada fotón, H o V con la misma probabilidad. Y si uno no elige lo que manda no hay mensaje que valga. Benito también considera que su secuencia es completamente aleatoria. Es verdad que los mensajes están perfectamente (anti)correlacionados, pero para cada uno de los observadores la secuencia es completamente azarosa.

El Principio de Localidad es parte sustancial de la Relatividad Especial, de Einstein.

Einstein postuló que la velocidad de la luz era constante (independiente del movimiento de la fuente que emita la luz) y que era la máxima velocidad a la que puede moverse un objeto. De hecho, sólo pueden moverse a esa velocidad partículas sin masa y sólo se sabe de una: el fotón o cuanto de luz (de la radiación electromagnética, en términos más precisos).

El Principio de Localidad establece que, como nada puede moverse más rápido que la luz, un suceso que ocurre en un cierto lugar en un cierto instante sólo puede afectar a otros sucesos que ocurran en otro lugar si ocurren después de que a la luz le dé tiempo a llegar a ese lugar.

Ésa es la influencia local de un suceso.

De todas formas habrá que reconocer que, de alguna manera, se viola el Principio de Localidad de que nada viaja más rápido que la luz: si en Madrid se obtiene H, tengo la seguridad de que si en Manila se mide una fracción insignificante de segundo más tarde (una fracción tan insignificante que sea menor que lo que tarda la luz en llegar de Madrid a Manila), se obtendrá V. Las mediciones pueden hacerse casi simultáneas, sin esperar el tiempo que necesita la luz para llegar desde Madrid a Manila. De alguna forma ha habido una comunicación más rápida que la luz: el fotón de Manila sabe que el de Madrid ya está polarizado horizontalmente y que él tiene que estar polarizado verticalmente. A todos los efectos, el resultado de Madrid se comunica, instantáneamente, a Manila. De hecho, las medidas pueden hacerse a distancias de años-luz y seguirían mostrando una correlación instantánea.

Pero aunque la correlación sea más rápida que la luz, no existe procedimiento alguno de aprovechar esa correlación para enviar información. Todos los intentos de utilizar esa extraña señal ultrarrápida que viola la Relatividad para establecer una comunicación aprovechable que realmente viole la Relatividad, han sido condenados al fracaso.

Desde la aparición de la mecánica cuántica, en los años veinte, hasta los años ochenta, nadie fue más allá de este saber básico, pero, como veremos en el capítulo 7, en la prodigiosa década de los noventa se descubrió cómo aprovechar la mecánica cuántica para enviar mensajes cifrados seguros.

Esos mensajes sí envían información útil (y secreta), pero al precio de no ser instantáneos: necesitarán el apoyo de una transmisión convencional (al ritmo, por tanto, que impone la Relatividad).

Se podría pensar que no es tan raro que los fotones entrelazados tengan polarizaciones opuestas (perpendiculares: si uno es H, el otro V). Al fin y al cabo, podría suceder lo que se contaba de los calcetines del profesor Bertlmann: este famoso profesor sólo tenía calcetines rojos y verdes y siempre conseguía ponerse uno de cada color, de manera que si alguien descubría que llevaba puesto un calcetín rojo podía estar seguro de que en la otra pierna el calcetín era verde. ¿Ocurrirá algo semejante con la polarización de los fotones entrelazados? La respuesta la veremos en el capítulo siguiente, pero ya adelantamos aquí el resultado:

Cualquier intento de explicar las correlaciones está condenado al fracaso. Explicar se refiere a hacerlas inteligibles con métodos, modelos o conocimientos a los que estamos acostumbrados, es decir, «clásicos». En el capítulo siguiente mostraremos que ningún modelo en el que las propiedades de los objetos tengan realidad previa al acto de medir (modelos «realistas») puede dar cuenta de los resultados cuánticos.

Esto significa, en particular, que los fotones entrelazados no tienen polarización alguna (ni H ni V) hasta el momento en que se miden. Volviendo al símil de los calcetines del profesor Bertlmann, veremos que, en el mundo cuántico, sus calcetines no son verdes ni rojos mientras no se miran. Y sólo en el momento de mirarlo adquiere color un calcetín; y es entonces, cuando, sin dudarlo, el otro calcetín aparece con el color contrario.

Desarrollos prácticos: entrelazamiento

de fotones polarizados

Veamos ahora cómo se consiguen en la práctica estados entrelazados.

Ya habíamos dicho, al empezar este capítulo, que en la subconversión paramétrica se producen estados entrelazados. Recordemos del capítulo 2, página 55, que la subconversión paramétrica se descubrió en los años setenta: se observó que había un halo arco iris alrededor de un cristal de borato de calcio cuando se proyectaba una luz láser sobre él. Ahora es el momento de profundizar en ese halo: lo fotografiamos con filtros de distinta frecuencia (color).

La fotografía que presentamos a continuación (figura 4.2) es en realidad una superposición de 3 fotografías, cada una realizada con un filtro de distinta frecuencia.¹ Con un primer filtro se obtienen las circunferencias azules, de radio grande, arriba, y de radio pequeño, abajo; con el segundo filtro, las circunferencias rojas, una pequeña, arriba, y otra grande, abajo; y con el tercer filtro, las dos circunferencias verdes intermedias de igual radio. Si estudiamos con detalle cada uno de los fotones que han impactado en las circunferencias de arriba, comprobaremos que todos tienen polarización horizontal, mientras que todos los fotones de las circunferencias de abajo tienen polarización vertical. (Para comprobar esto basta hacer pasar los fotones por un polarizador.)

FIGURA 4.2. Superposición de tres fotografías realizadas con tres filtros de diferente frecuencia a la salida de un cristal de subconversión paramétrica. Esta figura puede verse en color en el pliego.

Pero sabemos, además, por cuestiones teóricas básicas (la ley de conservación de la energía y el momento), que cada fotón va acompañado de otro simétrico respecto a la dirección principal de salida —esto ya lo habíamos visto al principio de este capítulo.

De todos los fotones que integran estos anillos seleccionamos algunos pares de fotones simétricos (emitidos a la vez):

FIGURA 4.3. Análisis de la figura 4.2: del cristal de subconversión salen pares de fotones en direcciones simétricas: los I, los II y los III son algunos de estos pares. Los fotones de las circunferencias superiores tienen polarización horizontal, los de las circunferencias inferiores tienen polarización vertical.

En el par designado por I en el esquema, el fotón superior (I₁) tiene polarización horizontal y su frecuencia es azul. Va acompañado de un fotón rojo de polarización vertical situado en la posición simétrica (I₂).

Ese par se representa por |H>a |V>r.

El par II es más ambiguo: el fotón de la izquierda (fotón II₁) podría ser azul de polarización horizontal o rojo de polarización vertical. Si es |H>₁a irá acompañado del (fotón II₂) |V>₂r. Si fuera |V>₁r, su compañero sería |H>₂a.

El par se describiría como |H>₁a |V>₂r, o bien como |V>₁r |H>₂a.

Tenemos dos posibilidades. ¿Será éste un par entrelazado? Parecería que sí, pues puede que el fotón 1 esté horizontalmente polarizado y el fotón 2 verticalmente polarizado, o viceversa.

Pero falta una característica esencial del entrelazamiento: la indistinguibilidad. Los fotones II₁ y II₂ tienen frecuencias distintas, de manera que siempre se podría saber si uno cualquiera de los fotones está vertical u horizontalmente polarizado mirando su frecuencia. Si el fotón 1 es azul tiene que tener polarización V; si es rojo, tiene que tener polarización H. Como ya hemos aprendido, no es necesario que determinemos su frecuencia: el mero hecho de que pueda conocerse es suficiente para romper la superposición —que aquí es entrelazamiento.

Ahora bien, fijémonos en el par III: en este caso los dos fotones tienen la misma frecuencia —ambos son verdes—. Aquí sí hay indistinguibilidad. No podemos saber si el fotón III₁ es horizontal o lo es el III₂, así que «ni para ti», «ni para mí», tanto puede darse un caso como el otro: la polarización no estará definida hasta que la determinemos en un experimento; mientras tanto permanecerá en estado «suspendido». Por fin hemos encontrado un verdadero estado entrelazado. Si Alicia recibe el fotón III₁ y Benito recibe el fotón III₂, podemos asegurar que comparten un par de partículas entrelazadas.

El estado entrelazado se escribirá:

|H>₁v |V>₂v + |V>₁v |H>₂v

y como el superíndice «verde» es común y por tanto no discrimina, puede eliminarse sin más. Escribimos solamente: |H>₁ |V>₂ + |V>₁ |H>₂.

Como habíamos mencionado más arriba, se trabaja habitualmente con el estado «singlete»: |H>₁ |V>₂ − |V>₁ |H>₂.

El signo «−» alude a lo que se llama «la fase» de la onda. Para dar una idea de lo que eso significa sin meternos en más detalles técnicos, sólo diremos que se refiere a cómo está colocada una onda respecto a otra. Por ejemplo, en la figura 2.4 se ve cómo dos ondas se cancelan. Eso puede describirse poniendo un signo «−» a una de ellas. (Se comprende con ese ejemplo que caben muchas más posibilidades, a la hora de superponer dos ondas, que las dos que allí contemplábamos. A cada una de esas posibilidades corresponderá un número, con lo que ya no habrá sólo «+» o «−», sino otros muchos números intermedios entre el «+1» o el «−1».) El que dos ondas interfieran de un modo o de otro dependerá de si una de ellas recorre más camino que la otra, o lo recorre más despacio. Una de las formas de conseguir el estado «singlete» en el caso que nos ocupa consiste en colocar un cristal de calcita en la trayectoria de uno de los fotones. Resulta que los dos rayos que se forman dentro de la calcita viajan a distinta velocidad. Así podemos conseguir que el rayo correspondiente a una de las polarizaciones de uno de los fotones (digamos, por ejemplo, la polarización vertical del fotón 1) se retrase respecto a la otra polarización y adquiera así un signo «−».

En el Apéndice A se detalla otro entrelazamiento importante desde el punto de vista práctico: el que se ha conseguido entre «iones atrapados». Este entrelazamiento responde a una propuesta de Ignacio Cirac y Peter Zoller para construir ordenadores cuánticos. La idea de Cirac y Zoller se tratará en el capítulo 6 en el contexto de la información cuántica.

Queremos insistir una vez más:

En los estados de superposición como los que se dan en el interferómetro de Mach-Zender sólo hay una partícula que interfiere consigo misma cuando tiene dos posibles caminos indistinguibles.

Los estados entrelazados, en cambio, son estados de superposición que involucran a dos (o más) partículas.

5

Desigualdad de Bell

El asunto es simple, extremadamente simple: los valores de las magnitudes «normales» cumplen una desigualdad trivial y resulta que las magnitudes cuánticas están de tal modo ligadas que no cumplen esa desigualdad.

Pero esa simpleza se «carga» de un plumazo toda la lógica ordinaria.¹ Y además permite hacer cosas que nunca antes fueron posibles y que nuestra intuición —basada en esa lógica ordinaria— considera inconcebibles. De hecho, abre a la tecnología una dimensión nueva.

No fue fácil descubrir que la mecánica cuántica no cumple esa desigualdad elemental. En los famosos debates que sostuvieron Einstein y Bohr en los Congresos Solvay de los años treinta, sólo manifestaban sus opuestos puntos de vista respecto a cómo está hecho el mundo. Einstein mostraba su incredulidad de que en lo más recóndito del mundo estuviese sólo el azar. ¿Cómo no iba a haber alguna explicación de que en un experimento se obtuviese un resultado u otro? ¿Cómo podía aceptarse que si se repetía el experimento en exactamente los mismos términos y circunstancias no se obtuviese el mismo resultado que antes?

Es verdad que hacía tiempo que el azar había entrado con fuerza en muchas áreas científicas, pero era un azar distinto:

Cuando tiramos al aire un dado podría saberse, en principio, si va a salir una cara u otra si conociéramos el valor exacto de la fuerza con que tiramos el dado, la resistencia del aire a su movimiento, etc. Son tantos los elementos del proceso que no controlamos, que aceptamos el resultado como fortuito, pero si en realidad analizáramos los detalles de la multitud de variables que intervienen, podríamos predecir el resultado. Hablamos de azar porque sería demasiado laborioso conocer todos los detalles del experimento. Pero es sólo una cuestión práctica, no de principio.

En los experimentos cuánticos, en cambio, es intrínsecamente imposible saber el resultado que se va a obtener.

En el capítulo 2 vimos que un fotón tiene la misma probabilidad de atravesar un espejo semirreflector que de reflejarse en él. No hay modo de saber de antemano qué va a hacer. En el capítulo 3 decíamos lo mismo con respecto a la polarización: no hay modo de saber si un fotón concreto, al atravesar un cristal de calcita, saldrá por arriba polarizado horizontalmente o lo hará por abajo polarizado verticalmente. Puede que conozcamos la polarización del fotón antes del cristal. Pero ni así existe modo alguno de saber si el fotón va a tener polarización horizontal o vertical.² La mecánica cuántica nos dice que hasta que no se hace el experimento el valor de la polarización no está determinado. En general, las magnitudes no tienen un valor definido antes del experimento y es en el propio experimento cuando se deciden a tomar un valor u otro. No se trata de que no conozcamos el valor de la magnitud. La mecánica cuántica afirma algo más radical: que no tiene un valor definido.

Einstein se negaba a aceptar la radical indeterminación de las magnitudes cuánticas antes de que fueran observadas. Él pensaba que tenía que existir una realidad objetiva con propiedades definidas independientes de que nosotros decidiésemos medirlas o no. Cuenta Pais que paseando una vez con Einstein, éste se paró de pronto, se volvió hacia él y le preguntó si de verdad podía creer que la luna sólo existía si nosotros la mirábamos.

Einstein pensaba que tenía que existir alguna variable oculta que diera cuenta de los diferentes resultados que se obtienen en un experimento cuántico. Una variable escondida en el fotón, por ejemplo, que determinase si éste, al atravesar un cristal de calcita, habría de salir por arriba (polarización horizontal) o por abajo (polarización vertical). Puede que nuestro desarrollo técnico todavía no nos permita conocer qué mínima, profunda y oculta variable da cuenta de la diferencia de resultados; pero, sin duda, tiene que existir. Ya se descubrirá más adelante.

Otros físicos —Niels Bohr, por ejemplo— mantenían, en contra de Einstein, que la incertidumbre cuántica es radical, que las cosas son intrínsecamente aleatorias, que no existe ni la mera posibilidad teórica de averiguar qué va a salir en un experimento.

Son dos imágenes del mundo contrapuestas. Si existen las marcas ocultas que explican los resultados aparentemente fortuitos, tendremos un mundo completamente definido, determinado y determinista. Éste es el mundo físico al que estamos acostumbrados, un mundo en el que las cosas están claramente fijadas y todo lo que ocurre tiene su porqué. En este mundo, debido a las marcas ocultas, las propiedades de un átomo, de una partícula subatómica, de cualquier sistema cuántico, estarían netamente definidas (y con mayor razón aún las de sistemas más grandes).

La alternativa es, en cambio, que las magnitudes físicas no estén definidas antes de que se midan, que sea imposible asignarles un valor hasta el momento de medirlas, que de algún modo haya una indefinición radical en el mundo subatómico y sólo cuando se obliga a una magnitud de un sistema a decantarse entre valores concretos mediante un proceso de medición adquiera el sistema esa propiedad que antes se mantenía indefinida.

Einstein rechazaba la imagen del mundo que parecía sugerir la mecánica cuántica. Inventaba experimentos mentales que ponían en aprietos a la mecánica cuántica, pero Bohr, el defensor de la indeterminación, siempre conseguía escabullirse.

En 1935 Einstein asestó un golpe certero: publicó un artículo con dos ayudantes, Podolsky y Rosen, donde parecía demostrar que la mecánica cuántica era incompleta. El artículo de EPR (Einstein, Podolsky y Rosen) presentaba su argumento utilizando la posición y el momento de dos partículas entrelazadas, pero su tesis puede explicarse igualmente, y de forma más clara, utilizando polarizaciones. De hecho, la idea básica del artículo está explicada en el capítulo anterior: en un sistema de dos fotones entrelazados que se encuentra en un estado |H₁ |V₂ − |V₁ |H₂, si medimos la polarización de uno de los fotones, podemos predecir la polarización del otro (recordemos: si uno era H, el otro tenía que ser V, y viceversa). Pero los fotones pueden estar muy distantes (uno en Madrid y el otro en Manila, decíamos) y las medidas respectivas pueden hacerse casi simultáneas, de modo que ni la luz (ni ninguna otra señal) tenga tiempo de «avisar» en una ciudad de lo que se ha obtenido en la otra.

De esta manera, al hacer una medida A de la polarización de uno de los fotones, podemos predecir el valor que va a tomar la polarización en una medida B realizada en el otro fotón, a pesar de que el Principio de Localidad impida que una medida pueda afectar a la otra. En este punto sacaban Einstein y compañía su artillería pesada: «Si, sin perturbar en modo alguno un sistema, podemos predecir con certeza el valor de una magnitud, entonces existe un elemento de realidad física correspondiente a esa magnitud». En nuestro caso, en el momento en que medimos la polarización de uno de los fotones (medida A), conocemos con certeza —y sin necesidad de hacer la medida B— la polarización del otro fotón, al que todavía no hemos perturbado en absoluto. Según Einstein, eso significaría que la polarización del fotón lejano tendría que tener un valor concreto antes de medirlo.

El argumento vale, además, sea cual sea la dirección en la que se mida la polarización.

La ineludible conclusión es que la polarización del fotón lejano estaba fijada de antemano.

De manera que cuando la mecánica cuántica afirma que la polarización es intrínsecamente aleatoria sólo está manifestando su propia limitación en el conocimiento profundo de la realidad. La polarización sí está determinada. Si la mecánica cuántica no es capaz de saberlo sólo puede deberse a que es incompleta.

La mecánica cuántica no parece conocerlas, pero deben existir unas variables ocultas que determinan los valores de las magnitudes.

Sería, por tanto, según la argumentación de Einstein, el Principio de Localidad el que dotaría de realidad a ciertas magnitudes (les asignaría un valor antes de que fueran medidas), en contra de la mecánica cuántica, que afirma que no tienen valores definidos.

Bohr salió como pudo del atolladero. Explicó que dos partículas entrelazadas no pueden considerarse dos sistemas separados sino que son un único sistema, que mantiene su unidad por lejos que estén las partículas. Entonces una medida hecha al sistema lo es a todo él, afectando, por tanto, a sus dos partes aunque estén muy lejos la una de la otra.

Einstein replicaba que no podía aceptar esa «acción fantasmal a distancia» que coordinaba instantáneamente los resultados de las medidas en partículas entrelazadas distantes.

La verdad es que en cierta forma no dejaba de ser lo que se conoce como un diálogo de besugos: cada uno daba sus razones pero no había modo de convencer al otro.

Pero al cabo de 30 años John Bell encontró un modo de resolver el dilema. Antes de analizar su decisiva intervención, vamos a hacer un poco de historia para entender cómo llegó hasta él la antorcha del debate.

De Bohm a Bell

John von Neumann, un brillantísimo matemático húngaro (que acabó nacionalizándose estadounidense), había sentado las bases matemáticas de la mecánica cuántica en 1932 en un libro titulado Fundamentos de la mecánica cuántica. El libro estaba escrito en alemán, por aquel entonces la lengua predominante en ciencia. Pero la segunda guerra mundial alteró completamente esa situación: en el mundo posterior a la guerra la ciencia se escribía en inglés. El magnífico libro de Von Neumann fue de difícil acceso hasta que se tradujo al inglés, en 1959. (Al español se tradujo antes, en 1949, bajo los auspicios, parece ser, de Esteban Terradas. La traducción, excelente, la hizo Ramón Ortiz Fornaguera.)

En ese libro Von Neumann demostraba que era matemáticamente imposible que hubiera variables ocultas que explicasen el resultado de las medidas. Por supuesto, a nadie se le ocurrió dudar de la validez de un teorema proveniente de un matemático de la talla de Von Neumann.

Pero a finales de la década de los cuarenta se gestó un pequeño terremoto de la mano de David Bohm (1917-1992), un joven y brillante profesor de la Universidad de Princeton.

Antes de la guerra, en 1942, siendo Bohm, por entonces, estudiante de Oppenheimer en Berkeley, había ingresado en el Partido Comunista. Si bien su militancia duró muy poco, su fidelidad al marxismo se mantuvo durante muchos años.

El caso es que una noche de diciembre de 1949, en el inicio de la «caza de brujas» anticomunista promovida por el senador Joseph McCarthy, Bohm fue arrestado por «desacato al Congreso» tras haberse negado a declarar, unos meses antes, ante el Comité de Actividades Antiestadounidenses (House Un-American Activities Committee), acogiéndose a la Primera Enmienda y, aunque se le dejó en libertad, fue suspendido de empleo en la universidad y se le prohibió pisar el campus. Durante el año y medio que permaneció en Princeton sin poder dar clase, Bohm se dedicó a rumiar las extrañezas de la mecánica cuántica y en 1951 publicó un libro: Quantum Theory. En él explica la Complementariedad de Bohr «de la mejor manera posible» —en palabras elogiosas de Einstein, según las relata Bohm—; pero aun así no se queda satisfecho: él es marxista y por tanto se sentiría mucho mejor con una teoría determinista. En ese sentido, su espíritu está más cerca de Einstein que de Bohr. Sigue dando vueltas al asunto y el año siguiente, 1952, encuentra una reformulación de la teoría cuántica en la que las magnitudes tienen siempre valores definidos. En su modelo existía una variable oculta que convertía al mundo en determinado. Es verdad que esa variable era de lo más extraña: se aliaba con el aparato de medida; pero eso no quita para que socavara las aparentemente sólidas bases del teorema de Von Neumann.

(Bohm consiguió un puesto de profesor en Brasil, se escapó de Estados Unidos —estaba convencido de que le seguían—, y después de dos años en Brasil se trasladó a Israel y más tarde a Inglaterra. Ya no volvió a establecerse en los EE. UU. En los años sesenta su visión del mundo fue cambiando, de la mano del gurú Krishnamurti —o quizá haya que llamarlo antigurú, pues rechazaba la idea misma del gurú como líder—, incorporando elementos esotéricos y espirituales.)

El trabajo de Bohm, a pesar de la poca consideración con la que fue recibido, llegó a manos de John Bell, el cual, siguiendo a clásicos como Max Born, siempre había considerado inapelable el teorema de imposibilidad de Von Neumann; pero esta vez se puso a revisar la demostración. Con la ayuda de un colega germanoparlante, Franz Mandl, tradujo y examinó con detalle los argumentos de Von Neumann hasta descubrir que una de las hipótesis del teorema era poco convincente. Aun así, Bell dejó madurar el asunto. Una década, concretamente. El año 1963 disfrutó de un año sabático. Le permitió dejar de lado su trabajo en el CERN y dedicarse a pensar en su «hobby»: los fundamentos de la mecánica cuántica y el teorema de imposibilidad de variables ocultas. El año 1964 publicó, por fin, su doble trabajo: en el primero (que por circunstancias diversas apareció en prensa más tarde) aclara el error de Von Neumann: sí son posibles ciertos tipos de variables ocultas. Pero ya había profundizado tanto en el tema que pudo dar el paso decisivo: lo que no es posible es completar la mecánica cuántica con variables ocultas locales (las que cumplen el Principio de Localidad de Einstein). Ése es el significado de la famosa desigualdad que publica en su segundo artículo.

Desigualdad de Bell

Afrontamos ya el estudio de esa desigualdad de la que decíamos, al principio del capítulo, que se cumple con magnitudes «normales»; pero no se cumple en mecánica cuántica; una desigualdad que constituye la pieza que faltaba en el puzle que enfrentaba a Einstein y Bohr.

Hemos visto que Einstein afirmaba que, según el Principio de Localidad (nada viaja más rápido que la luz), la polarización tendría que tener valores definidos. Pues ahí es donde Bell continúa el argumento de Einstein. Bell encontró una desigualdad que deben cumplir esos valores definidos de la polarización; pero esa desigualdad está tan bien elegida que establece una frontera entre Einstein y Bohr. Si es Bohr el que tiene razón, si las cosas funcionan según la mecánica cuántica (según lo que hemos aprendido en los capítulos anteriores sobre superposición, entrelazamiento y colapso), la desigualdad no se cumple.

El quid del asunto es que se puede contrastar la desigualdad experimentalmente, de manera que la discusión entre Einstein y Bohr dejará de ser una mera cuestión de opiniones: un experimento dará la razón a uno o a otro.

Ése es el mérito de la desigualdad de Bell. Un experimento decidirá si la Realidad se atiene al criterio de Einstein de que magnitudes como la polarización tienen siempre valores determinados (aunque nuestras teorías no sean lo bastante avanzadas para conocerlos); o si, por el contrario, la Realidad se comporta según predice la mecánica cuántica y por tanto los valores de las medidas se comunican instantáneamente o al menos a mayor velocidad que la luz en «fantasmales acciones a distancia».

Digamos que el planteamiento de Bell fue mucho más allá de lo sugerido por Einstein. Éste sólo argumentaba que la mecánica cuántica era incompleta porque no describía las variables ocultas que sin duda tenían que existir para asignar valores a las magnitudes antes de que fueran medidas. Bell encontró una condición que debe cumplirse si las magnitudes están determinadas sólo por su ámbito local (es decir, si no hay «fantasmales acciones a distancia»), pero que no verifican ciertas magnitudes cuánticas cuando se les aplica el formalismo de la mecánica cuántica. De manera que si en los experimentos se verificase la desigualdad de Bell, la mecánica cuántica no sólo sería incompleta: sería, directamente, incorrecta.

Vamos a explicar ya la desigualdad, aunque aquí presentaremos una versión más simple encontrada por Clauser, Horne, Shimony y Holt en 1969. (Conocida, en honor a sus autores, por desigualdad CHSH.)

John Bell

Nació en Belfast (Irlanda) en 1928. Era de familia humilde. Su padre dejó los estudios a los 8 años —y por dejar la enseñanza la familia tuvo que pagar alguna que otra multa—. Pero John no sólo atendió a sus estudios, sino que, además, le gustaba leer en la biblioteca del barrio y a los 11 años le dijo a su madre que quería ser científico. (Sus tres hermanos, en cambio, se pusieron a trabajar a esa edad.) Sus padres, que valoraban la importancia de la educación, consiguieron a duras penas pagarle la enseñanza secundaria.

Al acabar, John se puso a trabajar como técnico de laboratorio en el Departamento de Física de Queen’s University en Belfast, pero el profesor para el que trabajaba percibió enseguida sus dotes para el estudio, de modo que, al cabo de un año, ingresaba como alumno en esa universidad.

Conseguido su título de doctor en física, y después de pasar por varias universidades, recaló en el CERN, en Ginebra, donde trabajó en física de partículas.

Pero su tiempo libre lo dedicaba a entender a fondo la desconcertante mecánica cuántica. En 1963 disfrutó de un año sabático en EE.UU. y allí se gestaron sus famosos artículos de 1964.

John Bell mostró en todos sus artículos una agudeza de pensamiento, una claridad de ideas y una perspicacia que le permitieron desbrozar al máximo el enredo cuántico. Pero lo más sorprendente en él es que conservaba ese espíritu infantil —que con frecuencia se pierde al acceder al mundo de los adultos— de hacerse preguntas fundamentales, por poco prácticas y aparentemente inútiles que fueran, y, sobre todo, de no cejar hasta encontrarles una respuesta satisfactoria.

Es famoso su comentario de que «lo que se demuestra en las pruebas de imposibilidad es falta de imaginación».

El retrato de John Bell encaja bastante bien con la imagen del granjero irlandés: desconfiado, con cierta irónica socarronería y mucha tozudez. Es cierto que Bell se crió en esa atmósfera, y puede que de ahí sacara las virtudes que le permitieron dar el paso decisivo que supuso su desigualdad: le llevaron a valorar lo que otros no habían valorado (los modelos de Bohm y de De Broglie de la onda-piloto, despreciados por la mayor parte de la comunidad física), a sospechar de la demasiado fácil reconciliación de aspectos contradictorios en la Complementariedad de Bohr (por un lado está el aparato de medida, que se describe clásicamente, por otro, el sistema cuántico) y a empeñarse en aclarar contra viento y marea qué había detrás de la prueba de imposibilidad de variables ocultas de Von Neumann.

El espíritu socarrón que mencionamos se manifiesta expresivamente en el final de la introducción al artículo de revisión «Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica», que escribe para Reviews of Modern Physis. Acaba la introducción:

«Como todos los autores de artículos de revisión no hechos por encargo, él [el autor] cree poder hacer una exposición del tema con una claridad y simplicidad tales que todas las discusiones previas quedarán eclipsadas».

Murió repentinamente de una hemorragia cerebral a la edad de 62 años.

El libro Lo decible y lo indecible en mecánica cuántica, publicado por Alianza Editorial, recoge sus penetrantes e interesantísimos artículos sobre los fundamentos y la filosofía cuántica.

Desigualdad CHSH

Lo primero que debemos aclarar es que ni la desigualdad de Bell, ni su versión sencilla, CHSH, expresan propiedades de la mecánica cuántica. Se aplican, más bien, a magnitudes cualesquiera que tomen valores definidos.

Vamos a analizar 4 magnitudes A, B, C, D. Cada una de estas magnitudes va a estar asociada a la polarización que adquiere un fotón después de atravesar un cristal de calcita. Concretamente, cada magnitud A, B, C, D va a medir la polarización correspondiente a un ángulo de inclinación del cristal de calcita (véase la figura 3.13). Para cada una de las cuatro inclinaciones de la calcita, si el fotón sale horizontalmente polarizado, diremos que la magnitud A o la B, etc., toma valor +1; si sale verticalmente polarizado, diremos que la magnitud en cuestión toma valor −1. Así, cuando un chorro de fotones pasa por un cristal de calcita, recogemos una sucesión de «+» («más unos») y «−» («menos unos»):

FIGURA 5.1. En la figura 3.11 la polarización horizontal corresponde ahora a +1, y la vertical a −1.

En primer lugar supondremos, siguiendo a Einstein, que la polarización, analizada en cualquier dirección, tiene siempre valores definidos. Eso es lo que sucede con las magnitudes «normales». Las 4 magnitudes A, B, C y D tomarán, por tanto, valores definidos, concretamente 1 o −1. Y vamos a deducir, de una manera muy sencilla, una desigualdad que deben cumplir esas magnitudes:

Para empezar elegimos una cierta expresión: (A + C) × B + (A − C) × D. No podemos dar razón aquí de por qué precisamente esa expresión y no otra: habría que adentrarse en cuestiones de lógica formal que exceden el nivel de este libro.

Pero sí es sencillo comprobar lo siguiente:

1.º) Si A, B, C, D sólo pueden valer 1 o −1, tiene que cumplirse que

(A + C) × B + (A − C) × D = 2

o

(A + C) × B + (A − C) × D = −2

Enseguida se ve por qué:

O bien A + C = 2 (si A = 1, C = 1)     y entonces A – C = 0

o bien A + C = −2 (si A = −1, C = −1)     y otra vez A – C = 0

O sucede al revés, cuando A y C son opuestos:

A − C = −2 (si A = −1, C = 1)     y entonces A + C = 0

o

A − C = 2 (si A = 1, C = −1)     y otra vez A + C = 0

En ambos casos sólo sobrevive un sumando en la expresión de arriba, y en él, al multiplicar por 1 o por −1, sale 2 o −2.

2.º) Si la cantidad en cuestión vale 2 o −2, podemos escribir que su valor absoluto³ será igual a 2.

Escribimos:

|(A + C) × B + (A − C) × D| = 2

o lo que es lo mismo:

|A × B + C × B + A × D – C × D| = 2

3.º) Es fácil demostrar que si hacemos muchas mediciones de las cuatro magnitudes, los valores medios de las magnitudes ya no tienen necesariamente que cumplir la igualdad estricta, pero siguen cumpliendo la desigualdad:⁴

|<A × B> + <C × B> + <A × D> – <C × D>| ≤ 2

<A × B> es el valor medio de los productos de los valores de A y B obtenidos en diferentes mediciones. Para calcularlo experimentalmente hacemos:

donde

N₊₊ es el número de veces que se obtienen los valores A = 1 y B = 1,

N₊₋ el número de veces que se obtienen los valores A = 1 y B = −1,

N₋₊ el número de veces que se obtienen los valores A = −1 y B = 1,

N₋₋ el número de veces que se obtienen los valores A = −1 y B = −1

de manera que el valor medio se calcula sumando las veces en las que el producto de los valores de A y B es positivo, mientras que se resta el número de veces en las que el producto de valores de A y B es negativo y el resultado de esas sumas y restas se divide entre el número total de observaciones.

Hasta aquí la desigualdad de Bell, que debe cumplirse para magnitudes que toman valores definidos.

Pero ahora veamos qué sucede, aplicando el formalismo de la mecánica cuántica a las magnitudes A, B, C y D, cuando elegimos convenientemente las direcciones de la polarización en un experimento concreto.

Veremos que, si analizamos el experimento con las herramientas de la mecánica cuántica —antes de llevarlo a la práctica—, llegamos a la conclusión de que no se cumple la desigualdad CHSH.

El experimento consiste en un cristal de subconversión paramétrica que emite ocasionalmente fotones entrelazados en direcciones opuestas. Se trata de medir, mediante cristales de calcita, sus polarizaciones en las direcciones que se especifican a continuación:

En el primer experimento se mide (véase la figura 5.2), en la Estación 1, la polarización del fotón que va hacia la izquierda con la calcita orientada verticalmente. Ésa será nuestra magnitud A. Si la polarización es horizontal, A = 1; si es vertical A = −1. Del mismo modo mediremos, en la Estación 2, la polarización del fotón que se dirige hacia la derecha con la calcita girada un ángulo de 22,5º respecto a la vertical. Ésa será la magnitud B. De nuevo si la polarización es horizontal, B = 1; si es vertical B = −1.

Para cada par de fotones que llegan a las estaciones de medida anotamos los valores (1 o −1) de A y de B. Con esos valores calculamos <A × B> según hemos explicado.

FIGURA 5.2. A la izquierda se mide la polarización en dirección A, vertical, y a la derecha en dirección B, separada 22,5º de la vertical.

A continuación medimos (véase la figura 5.3), en la Estación 1, la polarización de los fotones con la calcita girada un ángulo de 45º respecto a la vertical. Ésta será nuestra magnitud C. La Estación 2 la dejamos como estaba para volver a medir B.

Anotamos los valores de C y B, y calculamos <C × B> del mismo modo que habíamos calculado <A × B>.

FIGURA 5.3. A la izquierda se mide la polarización en dirección C, separada 45º de la vertical; a la derecha la magnitud B, que forma un ángulo de 22,5º respecto a la vertical.

Después se miden A (a la izquierda, en la Estación 1) y D (a la derecha, en la Estación 2) (véase la figura 5.4). La magnitud D corresponderá a la polarización de los fotones cuando la calcita forma un ángulo de −22,5º respecto a la vertical.

Calculamos también <A × D>.

FIGURA 5.4. A la izquierda se mide la polarización en dirección A, vertical; a la derecha la magnitud D, que forma un ángulo de −22,5º respecto a la vertical.

Y por último se miden (véase la figura 5.5) C y D con los ángulos anteriormente señalados y calculamos <C × D>:

FIGURA 5.5. A la izquierda se mide la polarización en dirección C, separada 45º de la vertical; a la derecha la magnitud D, que forma un ángulo de −22,5º respecto a la vertical.

En la figura 5.6 se ven más claramente los ángulos relativos de las diferentes medidas.

FIGURA 5.6. Direcciones en las que se mide la polarización.

Con los valores obtenidos calculamos |<A × B> + <C × B> + <A × D> – <C × D>|

La predicción teórica de esa cantidad aplicando el formalismo de la mecánica cuántica a las magnitudes anteriormente definidas se presenta en el Apéndice C. Aunque los cálculos allí recogidos sean un poco técnicos, sí puede expresarse la idea que subyace tras ellos. No consiste más que en aplicar lo que se ha visto en los capítulos anteriores de este libro:

1.º) Las magnitudes A, B, C, D no tienen valores hasta que se miden.

2.º) Cuando medimos una magnitud, pongamos A, el sistema entrelazado colapsa a uno de sus estados definidos, pero este colapso se realiza en las dos partes del sistema (los dos fotones, en nuestro caso), por lejos que estén, de manera que la medida de A en una estación proyecta la polarización del fotón de la otra estación y hace que la correlación entre A y B sea no sólo instantánea sino más intensa de lo que cabría esperar con magnitudes «normales».⁵ Con los cálculos del Apéndice C se obtiene:

|<AB> + <CB> + <AD> − <CD>| = |(−√2 −√2 −√2 +(−√2))/2| = 2√2 ¡¡Superior a 2!!

Por eso decíamos que la predicción cuántica violaba la desigualdad.

En cambio, ¿qué diría Einstein de estas medidas? Repitamos el razonamiento de la página 98 aplicándolo a este caso concreto: si la decisión de medir una magnitud u otra en cada estación se toma casi simultáneamente (con los fotones ya en camino), el Principio de Localidad impide que una medida afecte a la otra. Por otra parte, como los fotones están entrelazados, la medida de, pongamos, B, en la estación de la derecha, podría predecirse midiendo la polarización del fotón en la estación de la izquierda en la dirección de B; por tanto, si puede predecirse el valor de B, o, en tal caso, de cualquiera de las cuatro magnitudes, es que tanto B como las demás tenían un valor determinado antes de que se hiciese la medida correspondiente.

La conclusión de Einstein, sería, por tanto, que las cuatro magnitudes A, B, C y D tienen valores definidos, y deberían cumplir, en consecuencia, una desigualdad inocua como la de Bell.

La mecánica cuántica, tal como la conocemos, predice el resultado opuesto.

Ahora bien, son los experimentos los que tienen que decidir. Obtendremos, por tanto, cuando se realice prácticamente esta propuesta de experimento, un valor numérico. Si ese valor es menor que 2, Einstein habrá tenido razón y habría que modificar la mecánica cuántica. Si, por el contrario, el valor supera a 2, las medidas de polarizaciones se comunican de algún modo a velocidades supralumínicas.

Los experimentos serán los que den la razón a Einstein o Bohr.

El primer experimento concluyente lo hizo Alain Aspect, en París, en 1982. ¡Desde 1964, cuando Bell formuló su desigualdad, habían pasado 18 años! ¡Tal era la dificultad del experimento! Una de las razones de que el experimento fuera difícil de realizar era que el giro de las calcitas debía hacerse mientras los fotones estaban en vuelo para así descartar una hipotética comunicación entre las estaciones de medida: si no fuera así, la medida de una magnitud en una estación podría influir de alguna manera en la medida de otra magnitud en la otra estación, y así las magnitudes A, B, C, D podrían definirse por comunicación entre las estaciones, no tendrían que estar definidas previamente en el sentido de Einstein. Cambiando la orientación de las calcitas mientras los fotones están volando, se impide que esa comunicación de lo que se está midiendo en una estación llegue a tiempo de avisar a la otra: sólo si la señal viajase más rápido que la luz podría llegar a tiempo y eso, según el Principio de Localidad, es imposible. (En asuntos tan delicados hay que aquilatar muy bien todas las posibilidades; es importante no dejar ningún cabo suelto.)

Desde el famoso de Aspect, el experimento se ha hecho en multitud de ocasiones y de diferentes maneras y el resultado confirma la mecánica cuántica: |<A × B> + <C × B> + <A × D> – <C × D>| es un número mayor que 2. SE VIOLA LA DESIGUALDAD.

La conclusión inevitable es que las cuatro magnitudes A, B, C y D no tienen valores definidos antes de que se midan, y cuando se miden tiene que haber algún tipo de comunicación más rápida que la luz que explique las intensas correlaciones de las medidas: la medida de la polarización de un fotón afecta a la medida de polarización del otro distante.

Sólo con esta comunicación más rápida que la luz pueden cumplirse, como avalan los experimentos, las predicciones de la mecánica cuántica en contra de las expectativas de las teorías realistas locales (las expectativas expresadas en la desigualdad de Bell).

Enseguida veremos cómo se han medido las cuatro magnitudes A, B, C, D en un experimento reciente, espectacular, en el que la distancia entre las estaciones de medida superaba los 100 km.

Comprobación experimental

Entre las muchas comprobaciones experimentales de la violación de la desigualdad de Bell por la mecánica cuántica destaca la que se hizo en Canarias en 2007. Destaca porque se midieron las polarizaciones de los fotones entrelazados a una distancia de 144 km, la que hay entre la isla de La Palma y la de Tenerife. El experimento lo realizó el grupo de Zeilinger de la Universidad de Viena.

Veamos el esquema del experimento:⁶

FIGURA 5.7. Un cristal de subconversión paramétrica genera dos fotones entrelazados. Alicia, en La Palma, mide la polarización de uno de ellos, y Benito, en Tenerife, mide la polarización del otro. Miden en las direcciones A, B, C y D de la figura 5.6. Esta figura puede verse en color en el pliego.

En el recuadro superior de la izquierda se encuentra la Fuente de fotones entrelazados, consistente en un láser que impacta sobre un cristal de subconversión paramétrica (BBO) como el analizado en los capítulos precedentes.

Alicia, en La Palma, mide la polarización de uno de los fotones, y Benito (Bob) hace lo propio en Tenerife con el otro fotón, que un transmisor envía a la Estación Óptica Terrestre de Tenerife. (Para estabilizar esta conexión se utiliza un láser que emite en sentido contrario; «Tracking beam», en la figura 5.7.)

La medida de Alicia se hace de la siguiente manera (véase la figura 5.8):

El fotón tiene la misma probabilidad de reflejarse en el espejo semirreflector (BS, «beam splitter» en inglés) que de atravesarlo.

El «HWP» se ocupa de rotar 45º la polarización del fotón que atraviese el espejo. Rotar la polarización 45º equivale a girar la calcita ese mismo ángulo. Así medimos la magnitud C.

Los «PBS» son unos artilugios que dejan pasar los fotones si están horizontalmente polarizados; pero los reflejan perpendicularmente si, por el contrario, lo están verticalmente. (Bastaría un cristal de calcita, porque envía a dos direcciones distintas las polarizaciones perpendiculares.)

FIGURA 5.8. Si el fotón se refleja en el espejo semirreflector (BS), Alicia mide la polarización en dirección A. Si atraviesa el espejo, Alicia mide en dirección C. El azar será, por tanto, quien decida si se mide en una u otra dirección.

De este modo Alicia mide aleatoriamente la variable que hemos llamado A o la que hemos llamado C (a 45º de A), cada una de las cuales puede tomar dos posibles valores (1 o −1).

Benito hace lo mismo que Alicia, pero previamente rota la polarización 22,5º. Eso lo consigue con el dispositivo «Polarisation compensation» de la figura 5.7. Así mide aleatoriamente las magnitudes B o D (véase la figura 5.9).

Como ya hemos comentado, en uno de los tres experimentos originales de Aspect la decisión de medir una magnitud u otra se tomaba mientras los fotones estaban en camino hacia las estaciones de medida para garantizar que no hubiese comunicación entre las medidas.

En este experimento la decisión de medir una magnitud u otra es completamente aleatoria. Es el azar el que decide si el fotón atraviesa el espejo semirreflector (BS), con lo que se mide C, o, por el contrario, el fotón se refleja en el espejo y se mide A. Así se garantiza que la decisión se toma en el último momento tanto en una isla como en la otra: no cabe comunicación entre las medidas.

FIGURA 5.9. Al girar la polarización 22,5º, la nueva dirección vertical (V) corresponde a B = −1 y la horizontal (H) a B = 1. Y la dirección D, que forma 45º con la B (véase la figura 5.6), intercambia sus ejes: H′ corresponde a D = −1 y V′ a D = 1.

Benito transmite por un canal público (internet) los tiempos de detección de sus fotones. Alicia encuentra los pares de fotones coincidentes teniendo en cuenta el tiempo de vuelo entre las dos islas (0,000487 s aproximadamente).

Así descubren los pares de fotones entrelazados. Para cada uno de ellos Alicia y Benito examinan cuál de las cuatro magnitudes vistas, A, B, C o D, es la que se ha medido y apuntan los resultados obtenidos en cada una de ellas.

Con estos datos calculan: <A × B>, <C × B>, <A × D> y <C × D> y se halla:

S = |<A × B> + <C × B> + <A × D> − <C × D>|

Se obtiene un resultado de

S = 2,5 > 2

¡Se confirma la violación de la desigualdad! ¡Se han establecido correlaciones cuánticas entre Tenerife y La Palma! Alicia, en La Palma, y Benito, en Tenerife, separados 144 km, comparten pares de fotones en estado entrelazado.

Por cierto, este experimento se hizo con la intención de explorar la posibilidad de comunicaciones cuánticas en el Espacio: las distancias aquí implicadas son del orden de las que hay entre una estación orbital y la Tierra. De hecho, el experimento multiplica por 10 la distancia de los experimentos previamente realizados.

¿Qué consecuencias podemos sacar de la violación

de las desigualdades de Bell?

En primer lugar, que la mera suposición de que las propiedades de las partículas subatómicas estén definidas antes de hacer una medida lleva a una contradicción. Hay magnitudes que no tienen valores definidos hasta que un observador las mide, hasta que las miramos. Puede hacerse observándolas directamente u observando magnitudes correlacionadas con ellas en sistemas que pueden estar distantes. No puede suponerse que las magnitudes A, B, C, D tengan valores definidos antes de que se midan. No se trata de que no se conozcan los valores de las magnitudes. El asunto es más radical. Se trata de que las magnitudes no tienen valores. Cualquier asignación de valores que se haga es insostenible. La conclusión es que no puede mantenerse la imagen de un mundo completamente determinado. No podemos pensar que la realidad existe ahí afuera cuando no la observamos. Las propiedades de los sistemas microscópicos no están definidas hasta que nosotros las observamos. Las magnitudes permanecen en estado de indefinición hasta que las observamos, las medimos. Tenemos que aceptar que el mundo es radicalmente aleatorio. El universo microscópico permanece desdibujado hasta que lo obligamos a decantarse en un experimento; sólo entonces adquiere definición.

El Teorema de Bell fuerza a abandonar la imagen realista del mundo. Las propiedades físicas no tienen, en general, existencia objetiva independiente del acto de observación. Habrá que aceptar lo que Jordan afirmaba ya en 1934:⁷ «Las observaciones no sólo alteran lo que se va a medir, ¡lo causan! En una medida de posición, por ejemplo, el electrón se ve obligado a tomar una decisión. Nosotros lo forzamos a asumir una posición definida; antes no estaba, en general, ni aquí ni allí; no había tomado una decisión acerca de su posición...». O si consideramos de nuevo el caso de los dos fotones entrelazados, ¿cuál es la orientación de las polarizaciones de los fotones? ¿En dirección horizontal uno y vertical el otro? ¿O quizá en las direcciones diagonales? ¿Apuntarán en otra dirección? Pues la única respuesta válida es: no están orientadas hacia ninguna parte. Cualquier orientación que les asignemos es incorrecta, choca con los resultados experimentales. Hay que aceptar que las polarizaciones se adquieren en el momento de medir y que dependerán de cómo sea esa medida, de la orientación de la calcita que las mida. Por eso acaba Jordan: «Somos nosotros mismos los que causamos los resultados de las medidas».

En segundo lugar, habrá que aceptar la «acción fantasmal a distancia» que tanto disgustaba a Einstein. La mecánica cuántica no puede completarse con variables ocultas locales que la conviertan en una teoría realista local. Lo que hagamos en una parte de un sistema afecta de manera instantánea a la otra parte del mismo, aunque esta última esté a años-luz de la primera. La única manera de explicar que se viole la desigualdad es que las magnitudes A, B, C y D no toman valores hasta el momento en que se miden. Y eso significa, para respetar la (anti) correlación del estado entrelazado, que hay algún tipo de comunicación más rápida que la luz entre los fotones entrelazados. Dicho de otra manera: la correlación entre las dos partes del sistema entrelazado es superior a cualquier concebible correlación entre las dos partes de un sistema cuyas variables se comporten según el Principio de Localidad. La desigualdad de Bell expresa una condición que cumplen las correlaciones de una teoría realista local, pero las correlaciones cuánticas superan esas máximas correlaciones clásicas y violan la desigualdad.

Es verdad, como hemos repetido ya varias veces, que esto no puede utilizarse para enviar información más rápida que la luz; pero veremos en el siguiente capítulo cómo el entrelazamiento sí permite teleportar estados cuánticos.

Ligera aproximación a un tema polémico:

¿Es la mecánica cuántica no local?

Hemos visto que existen correlaciones no locales. ¿Producen verdadera no localidad?

Entendemos por no localidad la existencia de «acción a distancia instantánea», es decir, que una acción realizada en A produzca instantáneamente un movimiento o alteración mecánica en B sin que en B se realice ninguna acción directa. Esta acción a distancia es equivalente a la transmisión de información instantánea (o, en todo caso, más rápida que la luz). Para que haya alteración mecánica o movimiento en B, algo tendría que existir que fuera susceptible de moverse o alterarse cuando realizo la acción en A, pero hemos visto que en B la magnitud no toma un valor definido, no existe, hasta que mido en A. Como en B no había un valor definido (la magnitud estaba todavía indefinida, indecisa), no hay posibilidad de que sufra alteración alguna. De hecho, el único cambio que ocurre en B, cuando mido en A, es que la magnitud adquiere un valor definido (como a continuación desaparece el entrelazamiento ya no queda margen para un nuevo cambio en B operando en A). En resumen, las correlaciones distantes existen, pero su carácter no local no lleva a verdadera no localidad debido precisamente al no realismo: la no existencia de valores definidos previos.

¿Puede simularse la mecánica cuántica

con un modelo clásico?

Hemos visto que cuando se miden las polarizaciones respectivas de un par de fotones entrelazados, se obtienen siempre resultados opuestos: si el resultado en una estación de medida es H, en la otra será V.

Pero, piensa uno, esa correlación puede conseguirse fácilmente sin apelar a la mecánica cuántica: basta pensar que un fotón tiene una polarización cualquiera, dada por un vector |P>, y el otro, la correspondiente al vector perpendicular. Si, pongamos, el vector polarización cae en la zona gris de la figura 5.10, la medida dará H (y en el otro fotón, de polarización perpendicular, se obtendrá V), mientras que si, en cambio, el vector polarización cae en la zona blanca, dará V (y el otro, H). Así se obtendrán siempre resultados opuestos.

FIGURA 5. 10. Modelo «clásico» de entrelazamiento: un fotón tiene polarización |P> y el otro (que no se muestra), polarización perpendicular a |P>.

Este modelo «clásico» funciona si las dos calcitas medidoras están colocadas paralelamente en las dos distantes estaciones de medida; pero la cuántica cuela sus extrañezas en cuanto giramos una calcita respecto de la otra.

Veamos cuál sería la predicción de un modelo como éste cuando las estaciones de medida no están alineadas:

Concretamente vamos a averiguar cuándo se obtiene H en una estación y H en la otra al girar las calcitas medidoras (véase la figura 5.11).

Para que se aprecien los solapamientos, pintaremos esta vez de negro el sector correspondiente a la polarización horizontal, y de gris claro el correspondiente a la polarización vertical.

FIGURA 5.11. Los cristales de calcita no están alineados: sus direcciones de medida forman un ángulo φ.

Si la calcita de una de las estaciones (Estación 1) está verticalmente colocada (dirección a en la figura), pero la otra (Estación 2) está girada un ángulo φ (dirección b), darían H en la primera estación y H en la segunda todos los pares entrelazados en los que el fotón de la Estación 1 tuviera una polarización contenida en los sectores de color gris oscuro de la figura 5.12 —gris oscuro porque serían negros (polarización H) respecto a la medida de a, pero gris claro (polarización V, opuesta a la H del fotón de la Estación 2) respecto a la medida de b—:

FIGURA 5.12. Si la polarización de un fotón cae dentro de los sectores circulares de amplitud 90º centrados en la dirección de medida b se obtiene V: sectores gris claro. La obtención de H respecto a la dirección de medida a corresponde a los sectores negros de amplitud 90º. Esos sectores se solapan en las zonas gris oscuro.

La probabilidad de obtener H en la Estación 1 y también H en la Estación 2, sería, por tanto, con este modelo:

Prob(H,H) = 2φ/2π

Pero la probabilidad que predice la mecánica cuántica, aplicando las ideas del capítulo 3 (véase también el Apéndice C), es:

Prob(H,H) = sen²φ/2

Completamente distinta. Concretamente, la probabilidad cuántica de obtener resultados idénticos en las dos estaciones es menor que la esperable con el modelo visto para φ < 45º y mayor para φ 45º.

En el Apéndice D se comparan las correlaciones «clásica» y cuántica.

Desigualdad de Bell

Veamos las consecuencias de nuestro modelo cuando se miden las polarizaciones de pares de fotones entrelazados en las direcciones a, b o c de la figura 5.13 (22,5º entre a y b y otros 22,5º entre b y c) de una manera aleatoria.

FIGURA 5.13. Según la mecánica cuántica, la suma de los sectores de probabilidad marcados con 1 y los marcados con 2 es menor que los sectores con nubes (marcados con 3).

Analizamos primero cuándo se obtendrá polarización H en la Estación 1 con la calcita girada en la dirección a al tiempo que se obtiene H en la Estación 2 con la calcita orientada en la dirección b. Nombramos ese suceso como (aH bH). Ocurrirá si la polarización del fotón de la Estación 1 está contenida en los sectores 1.

De igual manera, el suceso (bH cH) corresponde a los sectores 2. Este suceso consiste en que la Estación 1 apunte en dirección b y la otra en dirección c y en ambas se obtenga H.

La suma de todos estos sectores corresponde al suceso (aH cH), marcado con pequeñas nubes en la figura (sectores 3).

Podemos decir, por lo tanto:

Prob (aH bH) + Prob (bH cH) = Prob (aH cH)

Puede demostrarse que para direcciones arbitrarias lo que se obtiene es

Prob (aH bH) + Prob (bH cH) ≥ Prob (aH cH)

Y que esta desigualdad constituye otra forma de escribir la desigualdad de Bell.

Ahora bien, la probabilidad que predice la mecánica cuántica es, como hemos visto antes: Prob(H,H) = sen²φ/2, con lo que la desigualdad anterior queda:

sen² 22,5º/2 + sen² 22,5º/2 ≥ sen² 45º/2

0,07 + 0,07 ≥ 0,25

lo cual es manifiestamente falso. Vemos, de nuevo, que la mecánica cuántica viola la desigualdad de Bell.

Tres visiones esclarecedoras de las desigualdades de Bell

I. Ningún modelo clásico reproduce los resultados cuánticos

Ni el modelo anteriormente propuesto, ni ningún otro que pueda uno imaginar conseguirán el grado de correlación que manifiestan las partículas cuánticas.

No es posible diseñar una estrategia previa a la separación de las partículas con un código de actuación de las mismas para cuando estén separadas, que reproduzca los resultados cuánticos.

Tampoco es posible, por tanto, programar un ordenador para que obtenga los resultados cuánticos. A menos, claro está, que el resultado de una de las partes se haga depender de lo que se obtenga en la otra.

Es decir, es necesaria alguna forma de comunicación entre las partículas, por distantes que estén, para obtener los resultados previstos por la mecánica cuántica.

II. Los experimentos hipotéticos no tienen resultados

La desigualdad de Bell debe cumplirse para cualquier posible asignación de valores 1, −1 a las cuatro magnitudes A, B, C, D. ¿Cómo es posible que las magnitudes cuánticas no cumplan una desigualdad así? Porque es verdad que en un experimento concreto sólo se pueden medir realmente dos de las cuatro magnitudes, pero las otras dos magnitudes que no medimos tendrán algún valor... No podremos medirlo, pero algún valor tienen que tener... ¿O no es así?

Pues bien, si intentamos rellenar una tabla como la de la figura 5.14, correspondiente a 5 experimentos sucesivos, con valores para las magnitudes no medidas, descubriremos que, si queremos ajustarnos a las probabilidades cuánticas, es imposible rellenar la tabla.

Ése es el mensaje de la violación de las desigualdades de Bell por parte de la mecánica cuántica: cualquiera que sea la asignación de valores a las magnitudes no medidas, C y D, incumple las reglas cuánticas.

FIGURA 5.14. No es posible rellenar con «1» o «−1» la tabla ajustándose a las reglas cuánticas: no es que no conozcamos C y D; es que no tienen valores.

No es posible asignar valores a C y D. Sencillamente, C y D no están definidos mientras no se midan.

III. El entrelazamiento permite «espiar» la extraña lógica cuántica

Con una sola partícula el entramado cuántico se autoprotege: no podemos mirar a la vez en dos direcciones, de manera que sólo podemos comprobar resultados clásicos; por ejemplo, que la probabilidad de obtener polarización en dirección a si sabemos que el fotón está polarizado en la dirección b sea cos² (a^b) [(a^b) es el ángulo que forman a y b], no deja de significar que la intensidad del haz de fotones que pasa a través de un polarizador de dirección a es una fracción cos² (a^b) del haz original polarizado en dirección b.

Pero cuando disponemos de un par entrelazado podemos «ver» a la vez en dos direcciones y comprobar cómo la ley del cos² produce monstruosidades tales como que dejan de ser válidas reglas básicas de la suma de probabilidades, según acabamos de ver.

6

La era de la información cuántica

Hasta la primera mitad de la década de los noventa a los físicos que trabajaban en los Fundamentos de mecánica cuántica se les consideraba un tanto marginales. El gran John Bell decía: «I am a Quantum Engineer, but on Sundays I have principles».¹ Normalmente, un físico sólo se dedicaba a investigar en los Fundamentos cuando ya había hecho carrera académica y se podía permitir el lujo de ser diletante. Si un estudiante se acercaba a un profesor con ánimo de hacer una tesis en Fundamentos, lo normal era que el profesor le desanimara explicándole que era muy difícil conseguir un puesto académico dedicándose a esos temas. Sólo si el estudiante era muy pertinaz y tenía otra fuente de recursos económicos el profesor le permitiría investigar en ese campo.

El descubrimiento en los años noventa de las potencialidades prácticas de las extrañezas cuánticas, tales como el colapso de la función de onda y especialmente el entrelazamiento, alteró el escenario. Los Fundamentos adquirieron prestigio cuando se empezaron a ver las aplicaciones que tenían en criptografía y computación, sobre todo desde que el perfeccionamiento de los láseres hizo posible llevar al laboratorio las sutilezas cuánticas. Los Fundamentos se unieron a la teoría de la computación y de la información, y, junto con la óptica cuántica, crearon un nuevo y prometedor campo de aplicación de la mecánica cuántica: la información cuántica.

Para verificar el cambio de perspectiva basta echar una ojeada a los congresos internacionales que un físico con intereses filosóficos, Miguel Ferrero, organizaba en la Universidad de Oviedo.

El primer congreso, titulado «Fundamental Problems in Quantum Physics», congregaba, en el año 1993, tanto a físicos como a filósofos de todo el mundo interesados en los Fundamentos.

Pero ese mismo año, y aunque en Oviedo todavía no estuviéramos del todo enterados, Charles Bennet, de IBM, proponía un protocolo de teleportación. Él mismo había diseñado antes, en el 1984, un protocolo criptográfico totalmente seguro basado en la mecánica cuántica. Se estaban poniendo las primeras piedras de la nueva disciplina: la teoría cuántica de la información.

De manera que el Segundo Congreso de Oviedo, en 1996, titulado: «New Developments in Fundamental Problems in Quantum Physics», acogía ya a un nutrido grupo de releventes impulsores de la nueva disciplina. Allí estuvieron Gisin, Ekert, Cirac, Fuchs y Peres; de todos ellos volveremos a hablar más tarde porque todos contribuyeron de manera destacada al desarrollo de la información cuántica.

El tercer congreso, realizado en el 2002, cede ya casi un 90 por ciento a la información cuántica (queda algún filósofo para ampliar horizontes) y, desde el título: «Quantum Information: Conceptual Foundations, Developments and Perspectives», sitúa los Fundamentos en el nuevo marco de la información cuántica, donde convergen con la teoría de la información y la óptica cuántica.»

El estudio de los Fundamentos se verá así potenciado por el desarrollo de aplicaciones prácticas en el campo del procesado y transmisión de la información, los cuales requieren, a su vez, para su crecimiento y extensión, la profundización en dichos Fundamentos.

Lo que era un asunto de filósofos y físicos «chiflados» se había convertido, fecundado por otras disciplinas, en fuente de aplicaciones prácticas, algunas ya en el mercado, como la criptografía cuántica, y otras, como la computación cuántica, susceptibles de recabar recursos e inversiones de las más altas instancias económicas y políticas por su importancia estratégica en las comunicaciones.

Artur Ekert y las nuevas ideas

Artur Ekert, un físico de la Universidad de Oxford, siempre había tenido afición a la criptografía.

La criptografía es el arte de enviar un mensaje en un texto que sólo pueda descifrar el destinatario del mensaje.

«Todo ocurrió en Oxford, al final de los ochenta y principio de los noventa —nos cuenta Ekert—.² No recuerdo exactamente lo que me impulsó a visitar la Biblioteca del Clarendon Laboratory un cierto día lluvioso, rebuscar en las estanterías polvorientas y coger el artículo original de Einstein, Podolsky y Rosen. Sí recuerdo que una frase del artículo atrajo mi atención: “Si, sin perturbar de ningún modo un sistema, podemos predecir con seguridad el valor de una cantidad física, entonces existe un elemento de realidad física correspondiente a dicha cantidad”. ¡Era la definición del espionaje perfecto! Supongo que tuve la suerte de leer el artículo desde esa perspectiva particular. El resto consistió en reescribir el asunto en términos criptográficos.»

El propio Ekert aclara: Lo que quiere el espía es conocer el mensaje «sin perturbar de ningún modo el sistema». Si el criptomensaje muestra trazas de haber sido espiado, entonces su destinatario no lo utilizará y el trabajo del espía habrá sido en vano. Un código entrelazado será un código no espiable. Si se viola la desigualdad de Bell (lo que significa que los fotones siguen entrelazados), entonces no es posible que el espía haya tocado las partículas en su tránsito. Cualquier espionaje destruiría el entrelazamiento. La desigualdad de Bell es como la firma de que no se han tocado las partículas.

Cuenta luego Ekert que el propio Bell vino a Oxford a dar una conferencia. Después de la conferencia, Ekert se acercó a Bell y le explicó su idea. Y Bell, sorprendido, le preguntó: «¿Me estás diciendo que esto puede tener un uso práctico?». Ekert contestó que sí, que creía que sí, a lo que Bell respondió: «Vaya, es increíble».³

En 1991, con la ayuda de Rarity y Tapster, Ekert hizo realidad la criptografía cuántica experimental basada en el entrelazamiento cuántico. La «acción fantasmal a distancia» de Einstein encontraba su primera aplicación práctica.

Había comenzado la era de la información cuántica. La mecánica cuántica no sólo era distinta de la física clásica, también abría nuevas posibilidades de procesar la información. Los aspectos aparentemente negativos de la mecánica cuántica, como por ejemplo el hecho de que no sea posible conocer con precisión el valor de una magnitud porque cualquier medida altera el sistema medido, puede convertirse en algo positivo: la perturbación descubre la presencia de un espía.

Y no será éste el único caso en el que una limitación se torne virtud. Decía Gisin en 2002: «La mecánica cuántica tiene ahora 85 años y se ha considerado esencialmente una teoría de paradojas, de matemáticas y de extrañas ideas contraintuitivas. De manera que se la veía realmente desde un punto de vista negativo, con reglas tales como: no se puede medir esto y lo otro simultáneamente; no se pueden concebir imágenes de los procesos elementales; no se puede clonar un fotón; [...] todas eran reglas negativas. [Pero] en 1991 el descubrimiento de Ekert cambió el mundo de los físicos: el entrelazamiento y la no localidad cuántica se volvieron respetables. [Ocurrió] una especie de revolución psicológica entre los físicos, que empezaron a darse cuenta de que la mecánica cuántica, al ser tan diferente de la física clásica, también abría la posibilidad de hacer algo que fuera radicalmente nuevo».⁴

Todas las aplicaciones nuevas de la mecánica cuántica en el procesado y transmisión de la información participarán de este mismo espíritu: un nuevo enfoque convertirá una restricción cuántica en la apertura de un horizonte en el control de la información. Así hacen su aparición las nuevas aplicaciones de la información cuántica: la teleportación, la criptografía y los ordenadores cuánticos.

Las nuevas ideas se suceden conforme avanza la década y los físicos experimentales van consiguiendo hacerlas realidad. A mediados de los años noventa los laboratorios de Europa central, Innsbruck, Ginebra y Viena, especialmente, logran éxitos espectaculares.

Aparece, además, un nuevo lenguaje y una nueva interpretación de la mecánica cuántica, un nuevo lenguaje que tiene sus raíces en lo más profundo de la mecánica cuántica, pero que aflora ahora al exterior y lo inunda todo. Es el lenguaje de la información.

En el capítulo 2 decíamos que los fotones se comportaban de un modo o de otro según tuviéramos o no información de la ruta que seguían. La información es la clave. En el año 2002 llegará Fuchs a dar una conferencia con un título tan expresivo como: «Quantum mechanics as quantum information, mostly» (Mecánica cuántica como información cuántica, esencialmente). Afirma Fuchs que la mecánica cuántica no describe la realidad física, sólo nuestro conocimiento de la realidad: «El estado cuántico es solamente una expresión de la información subjetiva, la información que uno tiene del sistema cuántico. No tiene realidad objetiva por sí mismo [...] «Cuando hacemos una medida en una parte A [de un sistema entrelazado separado físicamente en dos partes A y B] uno aprende algo acerca de B, pero ahí se acaba la historia. El cambio de estado no puede suponer más cambio físico que ése. [No describe el verdadero estado de B.] [...] Expresado en el lenguaje de Einstein, el estado cuántico no puede ser una descripción completa del sistema cuántico».⁵

Debe, no obstante, matizarse la afirmación de Fuchs. Es cierto que el estado cuántico representa sólo información sobre un sistema, pero ésta es la máxima información que puede tenerse sobre dicho sistema. No es posible obtener información más allá de la proporcionada por el estado cuántico. Es lo que hemos visto al analizar la «paradoja» EPR: no existen «los elementos de realidad “einstenianos” (algo experimentalmente demostrado por la violación de las desigualdades de Bell), o lo que es equivalente, no es posible una descripción más “fina” de un sistema que la proporcionada por su estado cuántico, y esto comporta una cierta objetividad —o, mejor, intersubjetividad— del mismo. Para una discusión más detallada, véase el capítulo 8 «Breve excursión casi filosófica».

Los estados |H>, |V> que hemos tratado en los capítulos anteriores serán simplemente los estados «0», «1», correspondientes al bit de información, y los estados de superposición, los estados intermedios, estados tales como |ΨA> + |ΨB> o |0> + |1> corresponderán al «qubit», un estado que, en la computación cuántica, permitirá trabajar, a la vez, con los dos estados definidos.

Teleportación

Vamos ahora a detenernos, en esta década prodigiosa, en 1993. Ese año un grupo internacional de seis científicos: Charles Bennet, de IBM; Gilles Brassard, Claude Crépery, Richard Jozsa, de la Universidad de Montreal; Asher Peres, del Instituto de Tecnología de Israel, y William Wooters, del Williams College, inspirándose en una idea que había tenido uno de ellos, Charles Bennet, el año anterior —trabajando con otro físico, Stephen Wiesner—, publica el artículo básico sobre teleportación.

Supongamos que Alicia quiere que Benito, que está muy lejos de ella, disponga de un objeto que ella tiene. Aparte de enviárselo —cosa que suponemos irrealizable: hay huelga de mensajeros, pongamos, o, sencillamente, le acechan en el camino peligros indescriptibles— Alicia puede utilizar otra estrategia: puede comunicar a Benito todas y cada una de las particularidades de su objeto para que Benito lo fabrique. Bien, eso puede hacerse en física clásica, pero no en cuántica, pues, como ya sabemos (véase el capítulo 3), al medir una propiedad de un objeto, como normalmente el estado de tal objeto será una superposición, sólo conseguiremos proyectar el estado a uno de los que forme la superposición (la superposición «colapsará»), de manera que al medir perdemos la información del estado del objeto: no hay modo de comunicárselo a Benito.

Quizá haya otra solución: hacer muchas copias del sistema u objeto original. Así podré hacer muchas medidas variando la base de medición (véase el capítulo 3). Para concretar, pensemos que Alicia recibe un fotón polarizado en una cierta dirección y quiere que Benito disponga de ese fotón (ése u otro, eso no importa con tal de que esté polarizado en la dirección correcta: los fotones son todos iguales). Si dispusiéramos de muchas copias del fotón, al probar a medir su polarización girando el dispositivo medidor (la calcita) en diferentes direcciones (véase la figura 3.14) llegaré a descubrir una orientación, θ, de la base en la que siempre se obtenga lo mismo (o H′ o V′ en la figura 3.14). Así podría identificar la polarización del fotón de Alicia. (El fotón estaría polarizado en alguna de esas dos direcciones.)

Alicia le comunicaría, entonces, a Benito qué ángulo forma la polarización del fotón para que Benito se fabrique un fotón igual.

Pero este plan también es inviable. En 1982 Zureck y Wooters formularon «el teorema de no clonación», que demuestra que es imposible clonar, hacer copias, de sistemas cuánticos desconocidos.

Parece entonces imposible que Alicia envíe a Benito la información suficiente para que pueda reproducir el objeto que ella tiene. (El fotón polarizado, en nuestro caso paradigmático.)

Pues bien, Charles Bennet mostró en 1993 que si Alicia y Benito compartían previamente un par de partículas en un estado entrelazado (véase el capítulo 4, p. 90 o capítulo 5, p. 112), sí era posible que Alicia transfiriese una nueva partícula a Benito. (Como ya debe quedar claro con lo dicho hasta ahora, no se trata de enviar la partícula misma, sino sólo de transferir su estado.)

Bennet descubrió que si Alicia entrelaza la partícula a enviar con la que forma parte del par entrelazado con Benito, la partícula entrelazada de éste adopta el estado de la que Alicia quería enviar (véase la figura 6.1). De este modo el estado de la partícula A, que Alicia quiere enviar, se transfiere a la partícula C, en manos de Benito. Esto sucede, por muy lejos que se encuentren Alicia y Benito, en cuanto Alicia logra el entrelazamiento de las partículas A y B, y averigua su estado conjunto. La partícula A se «teleporta» o «teletransporta» a C.

FIGURA 6.1. Al entrelazar A con B (haciendo una medida conjunta) el estado de A se transfiere a C.

En realidad, la partícula de Benito, C, no es una réplica exacta de A. Para conseguir la copia perfecta falta que Alicia le mande la información de lo que ella ha obtenido al hacer su medida conjunta de A y B. No nos vamos a meter en detalles técnicos (véase el cuadro 6.1), pero Alicia puede obtener realmente cuatro resultados distintos y, para cada uno de ellos, Benito obtiene el estado original A modificado de una cierta precisa manera.

Lo más asombroso quizá de la teleportación es que se pueda llevar al mundo de los experimentos algo que Bennet encontró «jugando» algebraicamente con símbolos matemáticos.

El álgebra de la transformación de estados que se da en la teleportación no es complicada, pero sí un poco farragosa. Aquí nos contentaremos con presentar una síntesis de los cambios que ocurren:

Si A está en el estado |Ψ>A y el par entrelazado que comparten Alicia y Benito es el |H >B |V >C − |V >B |H >C, cuando Alicia mide A y B, realiza la transformación:

Al medir A y B conjuntamente Alicia obtiene uno de los 4 estados que están entre llaves. Y acompañando a cada uno de ellos Benito obtiene un |Ψ′>C que constituye una ligera modificación —diferente para cada uno de los 4 estados de Alicia— del estado inicial |Ψ>A.

Alicia, según cuál de los 4 estados obtenga, comunica a Benito por un canal clásico la operación que debe hacer sobre |Ψ′>C para conseguir el estado original |Ψ>, que quedará así definitivamente transferido de A a C.

CUADRO 6.1.

De modo que para cada uno de los cuatro resultados posibles de Alicia, Benito tiene que hacer una transformación concreta de su estado C. (En el caso de fotones polarizados, para cada resultado de Alicia hay que hacer un determinado giro de la polarización.) La cuestión está en que la teleportación no acaba hasta que Benito recibe esa información «clásica» de Alicia.

La teleportación, por tanto, no es un proceso instantáneo o más rápido que la luz. Está sometido a la limitación del Principio de Localidad de Einstein: siempre se necesita de un canal clásico (teléfono, radio, internet...) para consumarla. El verdadero esquema de la teleportación sería el de la figura 6.2.

FIGURA 6.2. La teleportación no se logra hasta que Alicia comunica a Benito el resultado que ella ha obtenido y Benito realiza la consiguiente transformación de su estado.

Se dirá, entonces, que si al final dependemos de una comunicación clásica, la teleportación pierde todo su potencial, pero esto sólo es cierto a medias: sigue siendo verdad que se transfiere el estado de una partícula a otra que puede estar muy distante y con la que nunca ha tenido contacto, y esto puede ser muy útil cuando el medio por el que tendría que viajar la partícula sea un medio hostil que degrade o estropee la partícula a transmitir.

Hay otra interesante cuestión, ésta más filosófica: ¿se puede considerar que se teleporta la partícula cuando sólo, como hemos visto, se transfiere su estado? Porque, no cabe duda, la partícula misma no se materializa en el lugar en el que está Benito. La cuestión estriba en que un fotón sólo puede diferenciarse de otro por sus atributos. Todos los fotones —y los electrones, los neutrones, los átomos...— son idénticos entre sí. Sólo se distinguen por sus diferentes estados. De manera que si transferimos el estado (la polarización, en nuestro caso) a otro fotón estamos reproduciendo el fotón original. De hecho, si pudiéramos transferir el estado de cada uno de los electrones, átomos, moléculas, de un organismo, habríamos teleportado el organismo completo.

A todo esto notemos que en la teleportación Alicia no conoce la polarización del fotón que teleporta. ¡Y que no se le ocurra! Para averiguarlo tendría que proyectar la polarización del fotón, con lo que desaparecería la polarización original.

Además, cuando Alicia mide las partículas A y B conjuntamente destruye el estado original de A.

Se cumple así con el precepto cuántico de la no clonación: no hay copia de la partícula. Su estado reaparece en C a costa de que se destruya en A.

Estos tres requisitos de la teleportación son de obligado cumplimiento:

1) Alicia no puede «leer» lo que manda.

2) Al teleportar un estado se destruye el original.

3) La teleportación necesita un canal clásico para su consumación.

Experimentos

Desde 1993, cuando a Bennet se le ocurrió la idea de la teleportación, los físicos experimentales empezaron a trabajar para hacerla realidad.

Después de 4 años dos grupos lo consiguieron, uno en Innsbruck liderado por Zeilinger y otro en Roma comandado por Martini.

Vamos a exponer el método de Zeilinger, que publicó su trabajo en Nature.

El esquema es el que se muestra en la figura 6.3.

FIGURA 6.3. Cuando se detecten simultáneamente fotones en f₁, f₂ y d₀ Alicia habrá conseguido teleportar el fotón 1 a Benito.

El par entrelazado que necesariamente tienen que compartir Alicia y Benito para hacer posible la teleportación está creado con nuestro ya conocido procedimiento de subconversión paramétrica: un pulso producido por un láser atraviesa el cristal y produce los fotones entrelazados 2 y 3. El 2 será para Alicia y el 3 para Benito.

El fotón a teleportar, fotón 1, que Alicia entrelazará con el 2, no es, en este experimento, un fotón independiente. Se crea a partir del pulso inicial, pero después de que haya atravesado el cristal. Como recordaremos, aunque al pasar el cristal se produzcan ocasionalmente dos fotones entrelazados en direcciones simétricas, la mayor parte del pulso entrante atraviesa sin más el cristal transparente.

Ponemos, entonces, un espejo después del cristal para que se refleje ese pulso, atraviese de nuevo el cristal y cree así de nuevo 2 fotones entrelazados en direcciones simétricas: el fotón 1 es el que, tras pasar por un polarizador, hará la función de fotón a teleportar. El fotón compañero, el 4, sólo servirá para avisar de que el fotón 1 está en camino.

Alicia entrelaza, entonces, el fotón 1 polarizado arbitrariamente, con el fotón 2; y, cuando lo logre, habrá transferido al fotón 3 de Benito la polarización del fotón 1.

El método de entrelazar el fotón 1 y el 2 es aparentemente muy simple, pero también muy delicado: Alicia coloca sencillamente un espejo semirreflector. (El BS —«beam splitter» en inglés— de la figura 6.3.) Cuando los fotones lleguen a él a la vez —y eso, como enseguida comentaremos, es verdaderamente difícil de conseguir— su tendencia a ocupar el mismo estado hará que quieran salir juntos del espejo semirreflector. (Recordemos, del capítulo 3, que los fotones son bosones y por lo tanto tienden a juntarse.) El análisis matemático, que no reproducimos aquí, muestra que en el 75 por ciento de los casos los fotones salen juntos: o ambos por f₁ o ambos por f₂. Sólo hay clics en un detector (f₁ o f₂). En cambio, en el 25 por ciento de los casos obtendremos un fotón en f₁ y otro en f₂.

Esto es lo que sucede si llegan a la vez, porque si no es así, si llegan en instantes distintos, no interfieren y la probabilidad de que los dos fotones acaben en el mismo detector es sólo del 50 por ciento. (Cada fotón se refleja o se transmite en el BS con igual probabilidad, por lo tanto saldrán los dos por la misma ruta en la mitad de las ocasiones.)

El experimento de Innsbruck se fija en un suceso particular, fácil de identificar: el que corresponde a que los fotones no salgan juntos. En ese caso, cuando se detectan fotones simultáneos en f₁ y f₂ (25 por ciento de los casos) la polarización del fotón 3 es una réplica de la del 1.⁶

Sabremos que se ha consumado correctamente la teleportación si la cuarta parte del cómputo total de detecciones corresponde a la coincidencia de fotones en f₁ y f₂, y a la vez los fotones que detecta Benito llevan la polarización que se había asignado previamente al fotón 1.

Pero, como decíamos, esto exige que lleguen a la vez los fotones al espejo semirreflector y ése es un punto delicado. Para lograrlo se desplaza con sumo cuidado el espejo de detrás del cristal de subconversión parámetrica hasta ajustar los tiempos de llegada de los fotones; pero además, hay que hacer pasar los fotones por unos filtros que alarguen su duración. Sólo así se consigue que los fotones sean verdaderamente indistinguibles, condición indispensable para que se entrelacen.

Un año después de conseguir teleportar fotones, en 1998, el laboratorio de Zeilinger logró otro éxito espectacular: el Intercambio de entrelazamiento.

En este caso se consigue entrelazar fotones con otros con los que no tienen contacto alguno.

Se logra disponiendo de 2 pares entrelazados y haciendo una medida conjunta que entrelace un miembro de cada par (véase la figura 6.4).

FIGURA 6.4. Al hacer una medida conjunta de los fotones 2 y 3, los fotones 1 y 4 quedan, inopinadamente, entrelazados.

De este modo los otros dos fotones, con los que no interferimos, pasan a estar entrelazados.

El asunto no deja de ser chocante. Sucede como si en dos parejas entrelazadas, dos matrimonios, digamos, el marido de una de ellas tuviera una aventura amorosa con la mujer del otro matrimonio y, sólo por eso, los cónyuges ignorantes de los entretenimientos de sus parejas quedasen automáticamente —y «sin comerlo ni beberlo»— envueltos también en una aventura.

Por esos años la teleportación, tanto en Viena como en Roma, se lograba dentro de los estrechos límites de un laboratorio. Fue Gisin el primero que traspasó esos límites. Comenzó (todavía en 1997) por utilizar la red de fibra óptica de la compañía Swiscom (la compañía suiza de telecomunicaciones) para conseguir estados entrelazados entre fotones que se encontraban, uno al norte y otro al sur de la ciudad de Ginebra, a una distancia de 16 km. Y en el 2003 consiguió teleportar fotones entre dos laboratorios separados 55 m, pero conectados por fibra óptica convencional de 2 km de longitud.

La hazaña la repitió el año siguiente en Viena el grupo de Zeilinger (se había trasladado a esa ciudad desde Innsbruck). Consiguieron una teleportación con fotones a través del Danubio entre estaciones que distaban 600 m. En este caso la señal clásica, que no era subterránea, sino que se enviaba por encima del río, alcanzaba la estación de llegada 1,5 microsegundos antes que el fotón que viajaba por la fibra óptica subterránea (la velocidad de la luz en la fibra óptica es aproximadamente 2/3 de la correspondiente al aire), de manera que Benito tenía ya las instrucciones de Alicia de qué hacer con el fotón antes de que llegase.

Pero quizá los hitos más significativos llegaron ese mismo año 2004 cuando el grupo de Innsbruck (Riebe, Blatt...) e independientemente el del NIST en Boulder, Colorado (Barret, Wineland...), consiguieron teleportar partículas con masa. En un caso eran átomos (más concretamente, iones) de calcio (Innsbruck) y en el otro de berilio (NIST). La idea era semejante a la que había funcionado con fotones sustituyendo los estados de polarización |H>, |V> por estados electrónicos del átomo |0>, |1> (véase el capítulo 3, p. 76). El estado excitado o estado |1> correspondía a situar el electrón en un cierto nivel u órbita, y el estado fundamental o estado |0> a situar el electrón en un nivel u órbita distinta. Se trataba, entonces, de, disponiendo previamente de dos iones entrelazados (los llamaremos, por ejemplo, el 2 y el 3), transferir el estado |0> o |1> de un ión (lo llamaremos ión 1), a uno de los anteriores (digamos el 3). Para conseguirlo se hacía una medida conjunta de los iones 1 y 2. Según la medida diese un resultado u otro se transformaba adecuadamente el ión 3 para que fuera una réplica exacta del ión 1.

En 2006 el grupo de Polzic en el Niels Bohr Institute de Copenhague —con la colaboración de Ignacio Cirac, del Max Planck Institute of Quantum Optics de Garching (Alemania)— dio un paso más: teleportar el estado de un fotón a un gas de átomos de cesio que se encontraba a 0,5 m de distancia. Por primera vez se conseguía teleportar el estado de una partícula (sin masa, además) a un objeto macroscópico.

La teleportación es un elemento esencial tanto de las comunicaciones cuánticas como de la computación cuántica.

Respecto a lo primero, la teleportación es necesaria para establecer comunicaciones fiables de un lugar a otro: cuando se envía un fotón a través de una fibra óptica, por ejemplo, lo normal es que el estado del fotón o el fotón mismo se degrade en su avance por lo que se hace necesario un procedimiento que evite que el fotón tenga que desplazarse demasiado so pena de que su información ya no sea fiable. La teleportación permite transmitir el estado del fotón a otro distante sin enviar el fotón mismo. Así conseguimos una especie de repetidor cuántico que va restaurando la información que de otro modo se perdería.

Ordenadores cuánticos

Pero la teleportación es también un ingrediente fundamental en los algoritmos necesarios para el funcionamiento de un ordenador cuántico. El entrelazamiento que se consigue en la teleportación es también la sustancia básica del ordenador cuántico, ya que gracias al entrelazamiento lo que hacemos en una parte de un sistema modifica instantáneamente el sistema entero, incluyendo las partes más distantes. Esto puede significar un considerable ahorro de tiempo en los cálculos que hace un ordenador. El ordenador cuántico trabaja con qubits, es decir, con estados de superposición, de manera que explora diferentes caminos al mismo tiempo y sus resultados dependen de las relaciones o interferencias de esos diferentes caminos.

El año 1994 marca el despegue de los ordenadores cuánticos cuando Peter Shor, un físico de ATT& Bell Laboratories, descubre la primera gran aplicación que tendría un ordenador cuántico. Shor demuestra que un ordenador cuántico podría resolver en un tiempo muy pequeño el problema de factorizar números grandes. La dificultad de encontrar los factores de los que es producto un número grande es la base de las transacciones comerciales secretas y fiables que se hacen en el mundo de nuestros días (en el próximo capítulo se explica cómo), de manera que si un ordenador cuántico puede hacer esa tarea con mucha rapidez se convierte en objeto de interés prioritario para la seguridad mundial. Hasta la NASA reaccionó financiando esa investigación.

En 1995 Ignacio Cirac (profesor por entonces de la Universidad de Castilla-La Mancha, en Ciudad Real) ideó, junto a Peter Zoller, durante una estancia temporal en Innsbruck, el esquema básico para construir ordenadores cuánticos con trampas de iones.

Las trampas de iones son verdaderos monumentos de la tecnología contemporánea. Por primera vez en la historia se pueden aislar unos pocos átomos y colocarlos, suspendidos en el vacío, formando una especie de tira o cadena, separados unos de otros una cierta distancia. Los átomos se ionizan previamente, es decir, se les despoja de sus electrones exteriores de manera que adquieran carga positiva.

FIGURA 6.5. Fotografía de una Trampa de iones: los iones están separados entre sí, pero pueden interactuar entre ellos.

En la fotografía de la figura 6.5 se observa una cadena formada por 8 iones. Lo que en realidad vemos son los impactos de los fotones emitidos por los electrones exteriores de esos iones cuando pasan del estado excitado al fundamental.

La brillante idea de Cirac y Zoller consistió en aprovechar la fuerza de repulsión de los iones (cargas del mismo signo se repelen), que hace el efecto de acoplarlos como si estuviesen unidos por muelles, para transmitir a todos los iones cualquier pequeña presión realizada a uno de ellos. Cada ión puede controlarse con una luz láser individual y este láser, además de poder generar transiciones internas de los electrones del ión (según se vio en el capítulo 3), puede también dar pequeños empujones al ión que hagan moverse la tira entera (véase la figura 6.6).

FIGURA 6.6. Cada láser puede actuar sobre un ión individual o sobre la tira entera.

Así puede conseguirse que, dependiendo del estado interno de uno de los iones —que esté un electrón en el nivel fundamental o en el excitado—, un láser actúe sobre toda la tira haciendo que se mueva o que esté quieta. Otro láser aplicado a otro de los iones puede conseguir el efecto complementario: modificar el estado electrónico interno del ión según que la tira esté o no moviéndose. De esta manera pueden entrelazarse los estados internos de dos iones distintos y crear «puertas lógicas», los bloques básicos con los que se construyen todas las operaciones que realiza un ordenador.

En el Apéndice A se explica con detalle cómo aprovechar la idea de Cirac y Zoller para conseguir átomos entrelazados.

Ignacio Cirac

Entresacamos unas notas de la entrevista realizada a Ignacio Cirac por David Salgado para la Revista Española de Física en 2006, poco después de que le concedieran el Premio Príncipe de Asturias.⁷

J.I. Cirac Sasturáin (Manresa, 1965) es indudablemente uno de los físicos españoles con mayor reconocimiento internacional y merecido prestigio en la comunidad científica. Recientemente ha sido galardonado con el Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Técnica, convirtiéndose en la persona más joven en recibir tal distinción. En 1992 y 2002 recibió, respectivamente, el Premio Investigadores Noveles y la Medalla de la RSEF; en 2005 la European Physical Society le otorgó el EPS Quantum Electronics and Optics Prize por sus contribuciones fundamentales al campo de la información cuántica, del que puede ser considerado un pionero.

J.I. Cirac se licenció en Ciencias Físicas en la Universidad Complutense de Madrid en 1988, donde también se doctoró en 1991. Seguidamente marchó a Estados Unidos a la Universidad de Colorado en Boulder, como estudiante posdoctoral a las órdenes de P. Zoller. Tras un breve paso por la Universidad de Castilla La Mancha, fue contratado en el Institut für Theoretische Physik de la Universidad de Innsbruck (Austria), donde permaneció hasta 2001, cuando aceptó la dirección del Instituto Max Planck de Óptica Cuántica en Garching (Alemania).

A la pregunta del entrevistador:

El crecimiento de la información cuántica en los últimos quince años ha sido y sigue siendo exponencial, con propuestas de diversa naturaleza para el procesamiento cuántico de la información (ordenadores cuánticos, sistemas criptográficos seguros, etc.). De todas ellas, ¿cuáles crees que serán una realidad tan tangible y de uso tan extendido como los actuales ordenadores en un plazo razonable de tiempo?

Contesta Cirac:

Si hubieses hecho esta misma pregunta hace 60 años a los investigadores que desarrollaban ordenadores (clásicos) no hubiesen acertado, pues las tecnologías que están detrás de todos los ordenadores actuales no existían por aquel entonces. Por tanto, estoy convencido de que hoy en día no nos podemos ni imaginar cuál será la tecnología que se utilizará en el futuro en los ordenadores cuánticos.

Añadiremos a esas notas una anécdota que contó el propio Ignacio Cirac en una reciente entrevista que le hicieron en televisión después de que le concedieran otro premio importante: el Premio Fundación BBVA Fronteras del Conocimiento del 2009.

Contó Cirac que en realidad él, al acabar el Bachillerato, había decidido hacer la carrera de Ingeniería Aeronáutica. Y empezó, pero sólo duró 5 días, al cabo de los cuales se cambió a Físicas: «Era, para mi gusto, una enseñanza muy aplicada. Nos enseñaban a resolver problemas y lo importante era que había que dar el resultado bien, no importaba ni cómo, ni si lo entendías o no lo entendías. Y eso a mí no me gustaba. Me gustaba entender las cosas y ver las posibilidades». Total, que Ignacio Cirac renunció a ser ingeniero y gracias, quizá, a esa renuncia, se ha avanzado en una de las ramas de la física con más proyección de futuro.

En 1996 Grover descubre el segundo gran algoritmo cuántico. Permite buscar un dato en una base de datos en un tiempo muy inferior al que se necesita en un ordenador convencional. El asunto se entenderá mejor con un ejemplo: disponemos de una guía telefónica de una gran ciudad. Es fácil buscar el número de teléfono que corresponde a un cierto abonado, porque están ordenados alfabéticamente. El problema que requiere mayor esfuerzo (mayor tiempo de ordenador) es el contrario: buscar el abonado que corresponde a un número de teléfono dado. Ésa es la labor que puede hacer el algoritmo de Grover con un ordenador cuántico en mucho menos tiempo de lo que necesita un ordenador clásico. En realidad, el algoritmo de Grover no es tan eficaz —comparativamente— como el de Shor, ya que se limita a reducir el tiempo de búsqueda de un dato en una lista desordenada a su raíz cuadrada, mientras que el de Short reduce exponencialmente el tiempo de factorización de un número.

Si, pongamos, se trata de buscar un número de teléfono en una lista de diez millones de teléfonos y se tarda aproximadamente 0,1s en comprobar cada uno de ellos, un ordenador convencional tardaría del orden de 1 millón de segundos en encontrar el número, esto es, algo más de semana y media.

Un ordenador cuántico tardaría, utilizando el algoritmo de Grover, unos mil segundos, es decir, no llegaría a 1 hora.

Por ahora no se conocen más algoritmos que pudiera realizar un ordenador cuántico. Esta limitación se debe a la naturaleza tan especial de las mediciones en mecánica cuántica: como ya sabemos, al medir se proyecta el estado. Esto significa que por mucho que un ordenador haga cálculos manejando a la vez todos los estados de superposición posibles, cuando hacemos una medida se obtiene uno sólo de todos los elementos de la superposición. Se pierde así la información relativa a las otras posibilidades. Y este gran escollo sólo se ha podido sortear en dos casos particulares, en los que, por decirlo de una manera sencilla, la información de conjunto puede expresarse de un modo especial accesible con una sola medida.

A pesar de que haya por ahora tan pocos algoritmos, las posibilidades de un ordenador cuántico son muy grandes. Primero, porque el algoritmo de Grover, el que permite buscar un dato en una base de datos, puede aplicarse a casi cualquier problema: resolver un problema es encontrar su solución correcta entre las muchas posibilidades incorrectas, y eso es precisamente lo que hace el algoritmo de Grover: buscar, entre muchos elementos, el que cumple unos requisitos. Segundo, porque lo que claramente sí permite un ordenador cuántico es realizar una simulación cuántica, es decir, analizar cómo evoluciona un sistema cuántico —en el que se dan estados de superposición que afectan a muchas partículas— en diferentes circunstancias. Esto es ya en sí mismo una herramienta muy interesante para estudiar fenómenos complejos.

Pero, además, el futuro siempre depara sorpresas. Es muy posible que nos esperen nuevas aplicaciones todavía imprevisibles.

Desde el punto de vista práctico hay un gran problema en la construcción de un ordenador cuántico: el problema de la decoherencia. La decoherencia está relacionada con una pregunta esencial: ¿por qué el mundo exterior, el que observamos con nuestros sentidos, no es cuántico? ¿Por qué no observamos superposiciones de estados —que las cosas estén medio aquí, medio allí, que lo que se haga en un sitio tenga consecuencias inmediatas en otro lugar lejano— a nuestro alrededor?

Lo que sucede es que los sistemas cuánticos son muy delicados. Los iones atrapados, de los que hemos hablado anteriormente, por ejemplo, tienen que estar en el vacío y los láseres que los controlan tienen que tener una enorme precisión. En cuanto un sistema cuántico interacciona con un entorno de muchas partículas pierde su naturaleza específica. La superposición |0> + |1> se degrada y se convierte en un conjunto de estados |0> más otro conjunto de estados |1>, lo cual es muy diferente del estado de superposición. Decoherencia es el nombre que recibe la pérdida de superposición por el acoplamiento con un entorno de muchos grados de libertad. Nuestros ojos, por ejemplo, están hechos de tal cantidad de partículas que nunca podremos ver un estado cuántico. La decoherencia hace que el mundo que observamos sea clásico. Y es el caballo de batalla que hay que vencer para progresar en la búsqueda de ordenadores cuánticos. (Más sobre decoherencia en el capítulo 8.)

Los estados de superposición de átomos se mantienen, por lo general, pequeñísimas fracciones de segundo (microsegundos), aunque en algunos casos excepcionales pueden durar hasta unos pocos segundos: el átomo interacciona rápidamente con su entorno y la superposición se pierde. Es como si el propio entorno estuviese haciendo continuamente medidas de las que hemos descrito en el capítulo 3 y eso obliga al sistema a proyectarse a uno de los estados «clásicos», perdiendo así su naturaleza cuántica.

Hasta la fecha, se ha conseguido mantener y controlar una decena de iones atrapados, pero parece muy difícil incrementar apreciablemente este número de qubits. Se están probando diferentes métodos basados en principios equivalentes, pero los resultados son todavía muy parciales. Se estima que para realizar un cálculo significativo, es decir, que suponga un ahorro de tiempo relevante en relación con el que necesitaría un ordenador convencional para realizar una tarea semejante, se necesitarían al menos cincuenta iones, lo que da idea de la dificultad práctica de construir un ordenador cuántico competitivo.

Anton Zeilinger

Anton Zeilinger conoció a Mike Horne, físico del MIT y uno de los autores de la desigualdad CHSH —hemos analizado con detalle este tipo de desigualdad de Bell en el capítulo 5— en un congreso celebrado en la ciudad medieval de Erice, en Sicilia, en 1976. El congreso trataba precisamente de las desigualdades de Bell y el entrelazamiento.

Zeilinger había trabajado en Viena con el conocido experimentalista Helmut Rauch en delicados experimentos con neutrones que mostraban con toda nitidez que los neutrones, partículas de masa apreciable (2.000 veces la del electrón), producían los mismos diagramas de interferencia que las ondas. Zeilinger no sabía mucho sobre entrelazamiento pero Rauch, su director de tesis, le animó a ir a Sicilia a aprender sobre el tema.

En Erice, Zeilinger congenió enseguida con Horne, hasta el punto de que un año después estaba en el MIT, en Cambridge, trabajando con él. Esa colaboración se mantuvo los diez años siguientes, en los que Zeilinger complementó su trabajo de profesor en Viena con estancias de varios meses en el MIT. Allí realizaban experimentos en interferometría de neutrones como los que había hecho Zeilinger en Viena, pero en los ratos libres Horne compartía con Zeilinger sus conocimientos sobre Bell y el entrelazamiento. Pronto se les unió Daniel Greenberger, del City College de Nueva York, también interesado en estos temas.

Y los tres juntos idearon un experimento que marcó un hito en la confirmación de que la mecánica cuántica no podía concebirse como una teoría realista local. La novedad del experimento propuesto era que se entrelazaban tres partículas en un estado de superposición que desde entonces vino a llamarse estado GHZ, por las iniciales de los tres implicados. (El estado GHZ es |Ψ> = |000> + |111>, es decir, o las tres partículas están en el estado |0>, que puede ser, por ejemplo, el estado |H> de polarización horizontal, o las tres están en el estado |1>, que puede ser el |V> de polarización vertical.)

El artículo que explicaba la idea de GHZ no se publicó hasta 1989, pero uno de los autores, Greenberger, dio una charla en Erice en 1988 —precisamente en Erice, donde se había iniciado todo 12 años antes— que revolucionó a la comunidad científica. Enseguida se hizo eco de la idea Physics Today (para entendernos: el órgano básico de difusión de novedades entre los físicos) y quedó claro que el experimento que proponían GHZ era mucho más efectivo que el original de Bell, pues en un solo experimento, sin necesidad de cálculos estadísticos, se obtendría un resultado si la mecánica cuántica era correcta y el resultado opuesto según las teorías realistas locales.

A pesar del éxito de la propuesta de GHZ, la realización práctica del experimento tuvo que esperar unos años debido a la dificultad de entrelazar y controlar tres partículas.

En 1990 Zeilinger consiguió una plaza de profesor en la Universidad de Innsbruck y montó allí un laboratorio especializado en el entrelazamiento de fotones. A lo largo de la década se afinaron las técnicas de su grupo hasta conseguir éxitos sin precedentes:

• La primera teleportación en 1997.

• El intercambio de entrelazamiento en 1998.

• Y, por fin, en 1999, el estado GHZ de tres partículas entrelazadas (entrelazaron concretamente las polarizaciones de tres fotones) con el que confirmaron, de manera irrefutable, lo que en los años ochenta se había demostrado con la violación experimental de la desigualdad de Bell, a saber, que la mecánica cuántica era correcta y no podía completarse con variables ocultas locales ya que no se verifica el resultado que éstas predicen y sí el que predice la cuántica.

Zeilinger se trasladó a la Universidad de Viena en 1999. Entre otros logros importantes consiguió, en 2006, el entrelazamiento de fotones entre dos laboratorios situados en márgenes distintas del Danubio y, en 2007, entre la isla de La Palma y la de Tenerife (144 km), en las islas Canarias, a distancias susceptibles de abrir la puerta a las comunicaciones cuánticas vía satélite.

En 2007 le fue concedida la medalla Isaac Newton «por sus contribuciones pioneras tanto conceptuales como experimentales a los fundamentos de física cuántica, que se han convertido en piedras angulares de la información cuántica, un campo en rápido crecimiento».

Investigaciones de última hora

Ha aparecido recientemente un sorprendente nuevo dominio de aplicación de los estados entrelazados: los seres vivos. Según parece, el entrelazamiento explica la habilidad de ciertos pájaros (los petirrojos) de orientarse en sus largos viajes migratorios. Los entrelazamientos tienen lugar entre los electrones de ciertas moléculas de la retina de estos pájaros, e investigaciones del año 2011 destacan que parecen mantenerse más tiempo del que nunca hasta ahora se ha conseguido en el laboratorio.

La idea es que sólo los sutiles efectos de los estados entrelazados pueden aclarar la extrema sensibilidad de estos pájaros a las pequeñas variaciones de la dirección del campo magnético terrestre. Los petirrojos podrían guiarse en su vuelo mediante un mapa de líneas magnéticas que se superpondría a su campo visual y estaría generado precisamente por la dependencia de los estados entrelazados con las direcciones de los campos magnéticos.⁸

7

Criptografía

Los diferentes métodos de transmitir mensajes secretos que se habían ideado a lo largo de los siglos pasaron a un segundo plano cuando hizo su aparición, en el último cuarto del siglo XX, el método de clave pública conocido como RSA. Este método se ha convertido en la base de todas las transacciones económicas, grandes y pequeñas, que se realizan en nuestro mundo.

Aunque parezca increíble, el método RSA es un sistema de transmitir mensajes cifrados en el que se anuncia públicamente el modo de cifrar mensajes y, sin embargo, esos mensajes no los puede descifrar nadie (a excepción, claro está, del que diseñó el código de cifrado).

Edgar Allan Poe, desde luego, no habría creído que una cosa así fuera posible. Él, que tenía tal afición a los criptogramas que desafió a sus lectores a que le mandasen un mensaje cifrado asegurándoles que lo resolvería en el acto, sostenía que por muy complicada que fuera una clave de cifrado siempre se podría resolver: el mismo ingenio haría falta para la operación de cifrado que para la de descifrado.

Pero Poe estaba equivocado, aunque él nunca se enteraría. Fue mucho más tarde, en 1978, cuando Rivest, Shamir y Adleman, del MIT, inventaron el método de encriptación de «clave pública», conocido desde entonces como RSA por las iniciales de sus descubridores.

El método se basa en que ciertas operaciones matemáticas son muy fáciles de hacer, pero muy difíciles de deshacer. Algo semejante a lo que sucede cuando metemos una moneda en una hucha de barro con una sola ranura. La moneda se introduce sin dificultad por la ranura, pero cuando está dentro es imposible acertar con el agujero para sacarla.

En el método RSA el receptor de los mensajes cifrados explica públicamente el procedimiento para que cualquiera pueda mandarle un mensaje secreto: da a conocer dos números «r» y «α», que van a constituir «su clave pública»; quien quiera enviarle un mensaje debe primero convertir el mensaje en un número «n» —con un diccionario que también es público— y, a continuación, tiene que hacer dos operaciones:

Primero: calcular nr (elevar «n» a «r»).

Segundo: dividir el número obtenido nr entre α.

Basta entonces con fijarse en el resto de la división: ése es el número cifrado.

Pues lo mismo que le pasa a la moneda que se introduce en una hucha, le sucede al número «n» cuando lo elevamos a otro, «r», el resultado lo dividimos por un tercero, «α», y nos quedamos con el resto de la división. El resto se ha obtenido de manera muy sencilla; en cambio, si los números implicados son muy grandes, es imposible recuperar desde ese resto el número de partida. Hay que aclarar el significado de «imposible» o «posible» en este asunto. Porque al fin y al cabo las operaciones las van a hacer los ordenadores. Entonces decimos «posible» si al ordenador le cuesta un tiempo razonable, digamos menos que una década, hacer la operación; en cambio, «imposible» será una operación que lleve más de una década.

Pues bien, buscar un número, conocido el resto mencionado, es imposible (si los números implicados son lo bastante grandes). Entonces —dirá el lector— nadie, ni siquiera el inventor del código, podrá recuperar la secuencia original, con lo que no vale para nada el asunto. Pero la rama más abstracta —y aparentemente menos práctica— de las matemáticas, la teoría de números, nos dice que, en ciertas circunstancias, sí es posible recuperar el número original y nos indica cómo conseguirlo. Tenemos que seguir el protocolo siguiente:

1. Escogemos dos números primos «p» y «q».

2. Los multiplicamos y llamamos α a ese producto: α = p × q.

3. Le restamos 1 a cada uno de ellos y de nuevo hallamos el producto de los números así obtenidos, al que llamamos φ = (p − 1) × (q − 1).

4. Buscamos dos números «r» y «s» que cumplen la condición de que al dividir el producto de ellos por φ dé un resto igual a 1. Los números «r» y «α» se hacen públicos y serán los que utilice cualquiera que quiera enviarnos un mensaje. Para encriptar el número (llamémosle «n») correspondiente al mensaje que se pretende transmitir se procede, según hemos indicado:

5. Elevamos a «r» el número «n» que vamos a encriptar y lo dividimos por α. El resto «a» que se obtenga al hacer esa división será el mensaje cifrado.

Se puede demostrar —aunque ahora mismo no lo necesitemos, porque sólo queremos entender cómo funciona el código— que si el resto de la división entre α es «a», se cumple que al elevar «a» a «s» (el número compañero del «r» que habíamos encontrado en el paso 4.º anterior) y dividir el resultado otra vez entre α, el resto que se obtiene es precisamente el número «n» de partida.

Esta propiedad matemática es la que nos permite recuperar con facilidad el mensaje original, pero fijémonos en que para cifrar mensajes basta con conocer «r» y «α», mientras que para descifrarlo hace falta conocer además «s».

De manera que los números «r» y «α» se hacen públicos, permitiendo que cualquiera pueda enviarnos un mensaje cifrado y hacerlo además a la vista de todo el mundo. Pero en cambio nadie que no conozca «s» podrá descifrarlo, y «s» sólo lo conoce el inventor del código. De esta manera los códigos de clave pública se componen en realidad de dos claves, una para cifrar, que se hace pública (r, α), y otra para descifrar, que es secreta (s) y que no se puede deducir de la clave pública. Cualquiera puede encriptar un mensaje utilizando el código público, pero sólo el receptor legítimo puede desencriptarlo usando su clave privada. Más aún, y aquí está la verdadera esencia de la irreversibilidad del método, es imposible que alguien encuentre «s».

Aclaremos este punto, que, como decimos, es el «quid» de la cuestión.

Aunque «r» y «α» sean del dominio público, para conocer «s» tendría que saber φ = (p − 1) × (q − 1), es decir, tendría que conocer los dos números primos «p» y «q» cuyo producto da α. Y esto es imposible cuando los números son muy grandes.

La unidireccionalidad del método se debe, por tanto, a que descomponer en sus factores primos un número muy grande es una tarea ingente cuya complejidad crece exponencialmente con el tamaño del número.

Los números a los que nos estamos refiriendo tienen del orden de 300 cifras o más y son producto de números primos de alrededor de 150 cifras. Con los algoritmos actualmente conocidos la factorización de un número de 300 cifras puede requerir a un ordenador actual un tiempo de millones de años. Por eso decimos que aunque «α» sea del dominio público, es imposible conocer «p» y «q» (y sin saber «p» y «q» no se puede averiguar «s» y sin «s» no se puede descifrar el mensaje).

Para que se vea con claridad cómo funciona el método en un caso concreto vamos a poner un ejemplo. Pero en vez de manejar números de 100 o más cifras, que producen agotamiento sólo con escribirlos, utilizaremos números más asequibles.

La frase que vamos a cifrar será una que comunica al espía que ya puede poner en marcha su plan:

Es ya

Lo primero es convertirla en un número utilizando el siguiente diccionario:

Espacio en blanco: 00

        a: 01

        b: 02

        c: 03

        …….

        x: 25

        y: 26

        z: 27

De esta manera el número a cifrar sería:

0520002601

Se eligen ahora dos números primos. Vamos a coger números de 5 cifras (en la práctica real se cogen de más de 100 cifras):

p = 42379    q = 19477

Su producto es α = 825415783

y el número φ = (p − 1) × (q − 1) = 825353928.

A continuación buscamos los números «r» y «s» cuyo producto dividido por φ dé resto 1. Hay muchas alternativas. Elegimos:

r = 6875    s = 319096835

Hacemos, entonces, pública la clave de cifrado. Damos a conocer a todo el mundo los números:

α = 825415783; r = 6875

y comunicamos que para cifrar un número hay que elevarlo a 6875 y dividir el resultado entre 825415783. El resto de la división será el número cifrado.

Para cifrar nuestro mensaje «Es ya» hacemos:

0520002601⁶⁸⁷⁵

y lo dividimos entre 825415783. Sale un resto de:

302723988, que constituye el mensaje cifrado.

(Observamos aquí que, como decíamos al principio, para averiguar el número original sin el «truco matemático» de la teoría de números que hemos expuesto, tendríamos que probar con todos los números menores que 0520002601, elevarlos a 6875 y dividirlos entre 825415783 para entre todos los restos obtenidos buscar el nuestro: 302723988. ¡Una tarea que nos llevaría un tiempo mayor que la edad del universo para números del tamaño de los que se utilizan habitualmente.)

De este modo cualquier agente comercial, policíaco, o de la índole que sea, puede enviarnos un mensaje, y estamos seguros de que sólo nosotros podremos descifrarlo, porque nadie más conoce los números primos «p» y «q», y sin ellos no se tiene el número «s» necesario para descifrar.

Nosotros, para descifrar el mensaje, tendremos que elevar el número cifrado a «s» y dividirlo entre α. El resto de la división será el número correspondiente al mensaje original.

Hacemos:

302723988⁶⁸⁷⁵

y lo dividimos entre 825415783. Sale un resto de:

0520002601,

que constituye el mensaje original.

El cifrado de clave pública se emplea en internet para proteger el correo electrónico y para navegar por un canal cifrado. La Free Software Foundation presentó, en 1998, el paquete GNU Privacy Guard (disponible en www.gnupg.org) para facilitar la privacidad de las comunicaciones.

Firma digital

También puede emplearse este método para la comunicación entre varias personas, cada una reconocible por una firma digital.

Basta para ello que cada miembro del grupo tenga su propio número α. Entonces cuando, digamos, A quiere enviar un mensaje «n», pongamos a Z, lo primero que hace es codificar el mensaje utilizando, no su código público, sino su número secreto sA (como cuando descifra un mensaje), es decir, calcula el resto «b» de dividir

nSA entre αA

Esta operación sólo la puede realizar A y constituye «su firma».

A continuación cifra ese resto «b», esta vez con el código público de Z y lo envía a Z. (Halla, por tanto, el resto «a» de dividir brZ entre αZ.)

Z descifra por doble partida el mensaje que le llega, primero con su número secreto sZ y después con el código público de A:

Primero hace asZ entre αZ y obtiene el resto «b».

Después divide brA, ahora, entre αA. El nuevo resto es «n», el mensaje que le manda A.

De este modo no sólo encuentra el mensaje de A, sino que sabe, además, con toda certeza que A y sólo A puede habérselo mandado porque en el mensaje se ha utilizado el código secreto de A, y sólo A lo conoce.

Ni siquiera Z podría falsificar la firma de A para mandar otro mensaje a una tercera persona, porque aunque él pueda reconocer sin género de dudas la autoría de A, no conoce el código secreto de A, sólo identifica a A por su código público, con lo que le sería imposible firmar como A.

En general, siempre que A codifique un mensaje con su clave privada, dejará constancia segura de su autenticidad (estará firmando) porque él y sólo él conoce esa clave. Nadie puede firmar por él; sin embargo, cualquiera puede reconocer su firma: descifrando el mensaje con la clave pública de A.

En GNU Privacy Guard hay programas de firma digital.

Sobre la seguridad del método RSA

En 1977 Martin Gardner publicó un mensaje cifrado en la revista Scientific American. El MIT pagaría 100 $ a quien lo descifrara. Martin Gardner dio a conocer también la clave pública correspondiente. Consistía en un número «α» de 129 cifras y otro número «r».

Para descifrar el mensaje había que encontrar los dos factores, «p» de 64 cifras y «q» de 65 cifras, del número «α». En aquel año se estimaba, con el nivel de desarrollo de la informática de entonces, que harían falta al menos 10.000 billones de años para realizar la factorización.

Pero no hubo que esperar tanto. Los nuevos algoritmos de factorización descubiertos y el trabajo en red de un millar de estaciones de trabajo permitieron conseguir la factorización en tan sólo 8 meses.

Desde entonces se han conseguido romper códigos basados en números aún mayores. Se han encontrado los dos factores primos de números de 130 cifras (en 1996), de 155 cifras (en 1999), de 232 cifras (en 2009)...

En la actualidad se utilizan códigos RSA con números que pueden superar las 300 cifras dependiendo del grado de seguridad exigido. La cuestión es: ¿cuándo se logrará romper también esos códigos? Es cierto que el código a utilizar puede siempre ir por delante del ya resuelto; basta utilizar números de longitud cada vez mayor. Pero los métodos de factorización y la potencia de los ordenadores constituyen una amenaza continua. De hecho, se pueden romper ahora todos los códigos secretos de hace 20 años.

Y todavía existe una amenaza aún mayor si se consigue hacer realidad el proyecto de ordenador cuántico en el que se trabaja hoy día: Shor desarrolló en 1994 un algoritmo que permitiría a un ordenador cuántico factorizar con rapidez cualquier número por grande que fuera.

Pero en los mismos años en que Shor inventaba el algoritmo que podría acabar con el método RSA, se gestaba un método criptográfico totalmente seguro basado en la misma mecánica cuántica en la que se apoyaba también el algoritmo de Shor, la mayor amenaza para el método RSA.

Veamos en qué consiste ese método criptográfico seguro.

Criptografía cuántica

Se encuadra en el único método criptográfico verdaderamente seguro. Consiste en que emisor y receptor del mensaje compartan una clave secreta común con la que encriptan y desencriptan el mensaje que quieren comunicarse.

Ejemplo de utilización de clave secreta compartida

Alicia codifica su mensaje sumando la clave secreta en módulo 2 (1 + 1 = 0 + 0 = 0; 1 + 0 = 0 + 1 = 1):

Mensaje    10010110

Clave secreta     + 10100101

Texto cifrado     00111011

Benito descifra el mensaje sumando la clave secreta en módulo 2:

    00111011

Clave secreta     + 10100101

Texto descifrado     10010110

Si la clave secreta común se utiliza una sola vez, el método es completamente seguro. La dificultad estriba en conseguir y guardar, a salvo de espías, la clave común. Tan difícil es el asunto que el método deja de ser operativo y se imponen, en su lugar, los de clave pública. Pero ese difícil problema es el que resuelve la criptografía cuántica.

La criptografía cuántica se basa en un principio fundamental de la mecánica cuántica: la medida u observación de un sistema lo perturba de manera significativa. Este principio nace con la mecánica cuántica, pero sólo en los años ochenta se aprecia su importancia en el establecimiento de comunicaciones secretas: un espía que intercepte la comunicación entre dos partes la alterará, de manera que su intromisión se manifiesta con el simple cotejo entre las partes de los valores de una cierta magnitud. Aparecerán desacuerdos debido a la presencia del intruso.

Fueron Bennet y Brassard, en 1984, los que inventaron la criptografía cuántica.

Antes de explicar su protocolo BB84 repasemos las ideas sobre polarización de la luz que habíamos visto en el capítulo 3.

Puede hacerse que una onda luminosa vibre sólo en una dirección perpendicular a la de propagación. Para ello se deja pasar luz ordinaria a través de un polarizador que selecciona una dirección, por ejemplo, la horizontal. Podemos entonces considerar que la polarización de la luz viene especificada por una doble flecha: .

Cuando se coloca un polarizador vertical en la trayectoria de luz polarizada horizontalmente se bloquea su paso. Sin embargo, si se coloca un polarizador en dirección diagonal o pasa la mitad de la intensidad inicial. Este resultado ya era conocido antes de la aparición de la mecánica cuántica. Lo novedoso de la formulación cuántica es que establece que cuando se envía un solo fotón polarizado en dirección , éste adquiere, al pasar por el polarizador, polarización o con probabilidad ½.

Ésta es una de las notables diferencias entre la mecánica cuántica y la clásica. En mecánica clásica es posible medir el valor de una cierta magnitud porque cabe reducir hasta el mínimo el efecto de la injerencia que supone el acto de medir sobre el sistema que se mide. Así se consigue modificar el valor de la magnitud en cuestión en una cantidad despreciable. La medida de magnitudes cuánticas, en cambio, perturba de forma apreciable el sistema que se mide. En cuántica, cuando se quiere averiguar la polarización de un fotón, se le hace pasar por un polarizador que altera inevitablemente la polarización inicial, de la cual no queda memoria en el fotón. El fotón adquiere una de las dos polarizaciones que discrimina el aparato de medida. Eso sí, la probabilidad de que adquiera una u otra de las dos posibles dependerá de la polarización que tenía el fotón inicialmente.

Esta extraña forma de medir de la mecánica cuántica, en la que el fotón adquiere una de las polarizaciones correspondientes al aparato de medida, no deja de ser fastidiosa porque modifica lo que mido; pero como «no hay mal que por bien no venga», es precisamente esa distorsión la que garantiza que cualquier intromisión en la comunicación será detectada.

Veamos ya cómo Alicia y Benito pueden compartir una clave secreta:

Alicia polariza un fotón o bien en el «modo recto», eligiendo entre polarización horizontal (un 0) o vertical (un 1), o bien en el «modo diagonal», eligiendo también entre polarización (un 0) o polarización (un 1).

Benito dispone de un medidor de polarizaciones con el que averigua si el fotón que le manda Alicia tiene polarización horizontal o vertical.

Puede colocar su medidor en el «modo recto» (como aparece en la figura anterior). Lo representaremos por:

O puede girarlo al «modo diagonal»:

Posición que representaremos por:

El esquema de actuación de Alicia y Benito será el siguiente:

Benito elige aleatoriamente, para cada fotón que le llega, entre el «modo recto» o el «modo diagonal».

Si Alicia envía (un 0 del modo recto), puede pasar lo siguiente:

a) Benito coloca      Obtiene : 0, con seguridad

b) Benito coloca

Puede obtener con igual probabilidad   

Si Alicia envía (un 1 del modo recto), puede pasar lo siguiente:

a) Benito coloca      Obtiene : 1, con seguridad

b) Benito coloca

Puede obtener con igual probabilidad   

Si Alicia envía (un 0 del modo diagonal), puede pasar lo siguiente:

a) Benito coloca

Puede obtener con igual probabilidad   

b) Benito coloca      Obtiene : 0, con seguridad

Si Alicia envía (un 1 del modo diagonal), puede pasar lo siguiente:

a) Benito coloca

Puede obtener con igual probabilidad   

b) Benito coloca      Obtiene : 1, con seguridad

Estamos ya en condiciones de detallar cómo proceden Alicia y Benito para compartir una clave secreta:

1.º) Alicia manda a Benito una sucesión de fotones con polarizaciones aleatorias, por ejemplo:

2.º) Benito mide la polarización de los fotones que recibe con su medidor colocado aleatoriamente bien en el «modo recto» , bien en el «modo diagonal» . Pongamos, por ejemplo, que coloca sus medidores de la manera siguiente:

con lo que puede obtener, por ejemplo (escribimos en negrita los bits seguros; los otros podrían estar cambiados con igual probabilidad):

0100000010100100011010100

3.º) El paso siguiente consiste en que Benito comunique a Alicia, por un canal convencional, de acceso público (teléfono, correo electrónico u ordinario, etc.), los modos de polarización, «recto» o «diagonal», en los que ha medido.

Alicia le dice en qué casos ha empleado los mismos modos. Saben, entonces, que en tales casos sus bits tienen que ser iguales. Así disponen de una tira idéntica de ceros y unos (los que están en negrita), que constituyen su clave secreta compartida.

4.º) En el caso de que Eva, una espía, intercepte los fotones enviados por Alicia, dejará de haber coincidencia plena entre los bits de Alicia y los de Benito. Esto se debe a que para obtener los bits de Alicia, Eva tiene que medir la polarización de los fotones exactamente del modo en que lo hace Benito; pero cuando el modo «recto» o «diagonal» que elija para medir un cierto fotón no coincida con el de Alicia —lo cual ocurrirá, por término medio, en 1 de cada 2 casos—, obtendrá —en la mitad de esos casos— un bit diferente al de Alicia. De manera que en 1 de cada 4 casos el bit que mide y reenvía a Benito no concuerda con el de Alicia. Benito también recibe, por término medio, cuando Eva intercepta los bits de Alicia y los reenvía, 1 bit cambiado de cada 4 bits enviados por Alicia.

Para asegurarse, entonces, de que no han sido espiados, Alicia y Benito se comunican públicamente, no sólo los modos en los que han medido sino también la mitad de los resultados obtenidos en esos modos. Si comprueban que no hay discrepancias afirmarán sin temor a equivocarse que no han sido espiados. Desechan, por supuesto, los bits de comprobación y ya pueden estar seguros de que la otra mitad de los bits que comparten constituye una clave que sólo ellos conocen.

Hasta aquí el funcionamiento teórico de la criptografía cuántica. En la práctica hay que considerar las imperfecciones de los aparatos y del canal de transmisión; pero hay también mecanismos para corregir los errores generados.

Actualmente hay empresas que comercializan estos dispositivos. Id Quantique, de Ginebra, ofrece un alcance de decenas de km mediante un canal de fibra óptica. MagiQ Technologies, de Nueva York, llega a un máximo de 100 km.

Fotones entrelazados

Se puede conseguir el mismo objetivo utilizando fotones entrelazados.

En el experimento de Canarias que hemos visto en el capítulo 5, por ejemplo, si ni Alicia ni Benito giran las polarizaciones miden en las mismas bases. Asignando 0 a la obtención de |H> o de |+> y 1 a la obtención de |V> o de |−>, Alicia y Benito compartirán una clave secreta cuando coincidan sus bases de medida.

Recordemos que el estado que comparten Alicia y Benito es el estado entrelazado:

|Ψ> = |H>₁ |V>₂ − |V>₁ |H>₂

En ese estado, cuando coinciden las bases de medida de los dos, si Alicia obtiene «0» (es decir, |H> o |+>), Benito obtendrá 1 (es decir, |V> o |−>), y viceversa.

En definitiva, estamos, como en el protocolo BB84, eligiendo entre un medidor «de modo recto» (la base {|H>, |V>}) y otro «de modo diagonal» (la base{|+>, |−>}).

La diferencia con el BB84 es que, en este caso, no sólo la base de Benito es aleatoria: el divisor de haz (o espejo semirreflector) garantiza la absoluta aleatoriedad en la elección de las dos bases de medida. También Alicia mide aleatoriamente en una u otra base.

Alicia y Benito no tienen más que comunicarse por un canal clásico cuáles han sido sus bases de medida y apuntar los resultados obtenidos cuando coincidan esas bases. Pueden estar seguros de disponer de una tira de ceros y unos opuesta: Si Alicia, pongamos, obtiene 0100011, Benito habrá obtenido 1011100. Así comparten una clave secreta.

8

Breve excursión casi filosófica

A lo largo de este libro hemos pasado revista a ciertos aspectos extraños, de alguna manera paradójicos, de la mecánica cuántica. Como ya se ha indicado en la Introducción, el propósito del libro es explicar de manera operacional, sin recurrir a una formulación abstracta y demasiado matemática, estas peculiares propiedades cuánticas y al tiempo mostrar algunas de sus aplicaciones, en particular en lo relacionado con la información. No se ha entrado, por lo tanto, en un análisis formal sobre las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica (MQ, la Q es para evitar posibles confusiones con Mecánica Clásica, cuya abreviatura sería lógicamente MC), por ser esto ajeno al principal interés del libro. No obstante, parece conveniente aclarar desde un punto de vista conceptual los aspectos mencionados, pues ello ayudará de alguna manera a entenderlos más apropiadamente.

¿Paradojas cuánticas?

Veamos para empezar lo que se entiende como paradójico en la mecánica cuántica, cuando se habla, por ejemplo, de «paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen» (EPR), «paradoja del gato de Schrödinger», etc. Ante todo, debería quedar claro que no son auténticas paradojas (en el sentido de aporías, contradicciones lógicas); sólo lo parecen a la luz del sentido común, que no es siempre necesariamente «lógico» —en el sentido de lógico-formal.

Antes de entrar en su análisis, conviene decir por qué en MQ no pueden darse paradojas lógicas. La razón es muy sencilla: la MQ es una teoría que se construye de manera matemáticamente rigurosa, y por tanto estrictamente lógica, a partir de una serie de postulados;¹ ergo no puede existir contradicción lógica alguna en sus afirmaciones. Dicho sea de paso, algo análogo ocurre con la teoría de la relatividad, en la que algunos han querido encontrar «paradojas» que no son tales. Esto no quiere decir que la MQ sea necesaria y totalmente cierta; su validación, como la de cualquier otra teoría científica, queda en manos del experimento, que es lo que en definitiva pone a prueba la validez de los postulados. Sabemos que en este caso el experimento la avala (al menos por ahora), ya que no hay ningún resultado experimental que vaya en su contra, pero eso es otra historia. Volviendo a lo que aquí nos ocupa, pasaremos primeramente a analizar de manera breve la paradoja del gato de Schrödinger.

La paradoja del gato fue formulada por Schrödinger, en 1935, para poner de manifiesto de manera llamativa una supuesta contradicción de la MQ, o más bien de la interpretación ortodoxa (de Copenhague) de esta teoría. Desde entonces se ha discutido y analizado en multitud de libros y artículos y divulgado en infinidad de charlas y conferencias; no obstante, no dice nada que no esté contenido en el llamado «problema de la medida en MQ», aunque es cierto que el ejemplo, al hacer mención de un ser vivo, es muy llamativo (lo que muestra el ingenio de su creador). Como es ampliamente conocida, nos limitaremos a describir muy brevemente sus aspectos esenciales:

Un gato se halla en una cámara herméticamente cerrada donde hay una pequeña muestra radiactiva tal que la probabilidad de que al cabo de, digamos, diez minutos algún núcleo de la muestra decaiga emitiendo radiación es de ½ (50 por ciento). Esta radiación se amplifica mediante una serie de dispositivos, lo que finalmente hace que una ampolla que contiene un gas altamente tóxico se rompa, matando así al pobre gato. (Nótese que el experimento, afortunadamente, es completamente ideal o imaginario.) La cuestión es qué pasa si se abre la cámara a los diez minutos y un segundo de comenzar el experimento.

El sentido común nos dice que se encontraría al gato vivo o muerto, prácticamente con igual probabilidad (según que algún núcleo de la muestra haya decaído o no lo haya hecho ninguno). Dicho de otro modo, si hacemos el mismo experimento muchas veces —mil, por ejemplo—, en unas quinientas ocasiones encontraremos al gato vivo y en otras tantas, muerto. Eso es también lo que predice la MQ, pero ésta y el sentido común difieren en la explicación de lo que ocurre en cada experimento, es decir, en un único caso. El sentido común, o, si se quiere, la visión clásica (de la MC) del mundo, nos dice que en cada caso, inmediatamente antes de observar lo que hay dentro de la cámara, esto es, a los diez minutos de iniciar el experimento, el gato se encontraba vivo o muerto, y la probabilidad sólo entra como reflejo de nuestra ignorancia al respecto, ignorancia de algo que realmente ha tenido lugar. La visión cuántica «ortodoxa» es completamente diferente: antes de observar el interior de la cámara no sólo no podemos decir si el gato está vivo o muerto, sino que podemos decir que no está en ninguna de esas situaciones, que se halla en un estado cuántico que corresponde a una superposición de ambas, un estado que no tiene correspondencia en el mundo «clásico» de nuestras experiencias o, en otras palabras, no es un elemento de nuestra realidad macroscópica usual.

Si el gato vivo se describe como |> y el gato muerto como |>, el estado de superposición (o también llamado estado coherente) será:

|> + |>

Este tipo de predicciones de la MQ es lo que, en gran parte, motivó las críticas a esta teoría por parte de Einstein, Schrödinger, De Broglie (quienes «paradójicamente» fueron precursores de la MQ y, en el caso de Schrödinger, uno de sus creadores) y otros físicos menos conocidos pero también importantes.

Una posible, pero incompleta, explicación: la decoherencia

¿Cuáles son los puntos flojos del experimento ideal del gato de Schrödinger y sus posibles variantes? Primero, que al presentarse como ideal se oculta de algún modo algo fundamental: un sistema vivo (el gato) y un amplificador de señal (para crear la corriente que permite que se rompa la ampolla con gas letal) no pueden estar en un sistema perfectamente aislado, sino que son parte de un medio que ha de contener oxígeno —para poder hablar de gato vivo— y no estar a temperatura de cero absoluto para que pueda funcionar el amplificador. En otras palabras, no tiene sentido, ni siquiera idealmente, considerar aislado a un sistema macroscópico, ya que por definición de macroscópico dicho sistema estaría necesariamente interactuando con el medio circundante. Pues bien, es esta interacción —por minúscula que sea— de un sistema cuántico con su entorno macroscópico lo que hace que se pierda la coherencia (o superposición). Esto es lo que se conoce como «decoherencia» (decoherence, en inglés), y reduce la «estadística cuántica» a la estadística clásica ordinaria. La decoherencia desempeña un importante y negativo papel en la realización práctica de las posibles aplicaciones de la teoría de la información cuántica, en particular en la construcción de un ordenador cuántico, como se ha visto someramente en el capítulo 6, p. 144.

Así pues, el fenómeno de la decoherencia hace irrelevantes este tipo de paradojas desde un punto de vista estrictamente estadístico, de ahí que en la gran mayoría de los experimentos en el mundo atómico y subatómico sea innecesaria su consideración.

Explicación más a fondo

Pero ¿qué ocurre si consideramos el experimento ideal e intentamos entender lo que acontece en un suceso individual (donde ya no cabe recurrir a la decoherencia, que, como se acaba de señalar, opera sólo estadísticamente); esto es, si queremos saber lo que le pasa al gato en nuestro ejemplo? El estado de superposición |> + |> es desconcertante. Aun aceptando que no sabemos en cuál de los dos estados estaba antes de abrir la caja, nos gustaría poder afirmar que, incluso antes de observarlo, el gato estaba realmente o vivo o muerto, como ocurre, por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda (cara = vivo, cruz = muerto, por ejemplo). Pero sabemos que al contrario que en física clásica (moneda), donde, desde el momento en que hay unas determinadas condiciones iniciales, sólo se materializará una de las dos posibilidades (cara o cruz), y la probabilidad entra sólo como manifestación de nuestra ignorancia acerca de esas condiciones iniciales y de nuestra incapacidad de realizar el complicado cálculo posterior para obtener el resultado, en MQ las dos alternativas pueden existir a la vez. Por consiguiente, en un sistema cuántico idealmente aislado (cerrado) ambas posibilidades coexisten en forma de superposición lineal; al observar el sistema cuántico, éste deja de estar aislado y es esta observación la que rompe la superposición «eliminando» una de las dos posibilidades y «haciendo realidad» la otra. Ahora bien, si la MQ es una teoría completa también debe explicar la evolución del nuevo sistema cerrado, que incluiría ahora al observador y su entorno. En tal caso la superposición seguiría existiendo; en una rama aparecería «Gato vivo + observador que registra gato vivo» y en la otra lo análogo pero cambiando vivo por muerto.

Nótese que entonces surgiría una superposición de dos estados de conciencia del observador.

La explicación de esto quizá más acorde con el formalismo estrictamente matemático de la MQ la proporciona la llamada «Interpretación de los muchos mundos» («Many worlds interpretation»), que en esencia viene a afirmar que en el proceso de observación cada una de las ramas se hace realidad en su correspondiente mundo; en otras palabras, si usted realiza la observación y ve el gato vivo, hay otro «usted» en un mundo desconectado con el primero que ve el gato muerto. Esto puede parecer una salida absurda, pero no lo es cuando se sitúa en el contexto apropiado. En este sentido viene a cuento recordar lo que se ha señalado al comienzo del capítulo: en realidad no existen sistemas idealmente cerrados. Pero hay una notable excepción: el universo en su totalidad. El universo es por definición un sistema cerrado, no hay observadores externos que puedan colapsar la función de onda, ni cabe considerar decoherencia alguna con un entorno que lo englobe. Es al formular la teoría cuántica del universo, la llamada cosmología cuántica, cuando tiene especial relevancia la «Interpretación de los muchos mundos».

El problema de la medida

Hemos dicho anteriormente que la paradoja del gato de Schrödinger es en realidad tan sólo una ilustración —pintoresca, eso sí— del llamado «problema de la medida» en MQ. Para entender en lo esencial en qué consiste este problema vamos a recurrir, una vez más, a un sencillo ejemplo de medida ideal donde ya aparecen los aspectos básicos del problema.

Sea un sistema cuántico de dos niveles, cuyos estados son |0> y |1>, y un aparato de medida (supersimplificado) que tiene dos estados cuánticos: «apagado», |Ψa> y «encendido», |Ψe>. La interacción sistema-aparato se describe de la manera siguiente:

|0> |Ψa> → |0> |Ψa>, |1> |Ψa> → |1> |Ψe>.

Esto es, cuando el sistema cuántico se halla en el estado |0> el aparato no se «dispara» como consecuencia de la interacción con el sistema cuántico, mientras que si se halla en el estado |1> el aparato se «dispara» (se enciende). Así pues, esto representa muy esquemáticamente un proceso de medida. (Esquemático, pero veremos que aquí ya aparece el problema.)

La dificultad surge cuando se tiene en cuenta el —fundamental— Principio de Superposición de estados. En efecto, sea ahora el estado inicial (antes de la medida) del sistema |0> + |1>.

El estado compuesto (entrelazado) sistema-aparato inmediatamente después de la medida será evidentemente

|Φt> = |0> |Ψa> + |1> |Ψe>

Ahora bien, |Φt> no representa un estado definido del aparato (que en la práctica ha de ser macroscópico), sino una superposición de dos estados macroscópicos. Si, por ejemplo, el resultado final de la medida fuera una aguja que se mueve o no dependiendo del estado |0> o |1> del sistema, entonces, tras la medida, la aguja estaría en un estado de superposición que consistiría en estar, al mismo tiempo, en una posición y en la otra; la aguja estaría levitando en un estado sin posible descripción clásica (clásica: la que registran nuestros sentidos); es decir, lo análogo al gato, ni vivo ni muerto. Desde luego, la situación en una medida real es mucho más compleja, pero ya aquí vemos el problema fundamental: las superposiciones de la MQ no parecen en principio compatibles con la existencia de sucesos bien definidos, tales como el centelleo (o el «clic») de una partícula en un detector al efecto.

No obstante, las partículas efectivamente se detectan, los objetos tienen posiciones bien definidas, etc., de modo que algo habrá que hacer para compaginar nuestras sensaciones con las predicciones cuánticas. Y lo que hizo Von Neumann, y tras él toda la escuela «ortodoxa», es introducir un postulado, el postulado de proyección, según el cual el estado |Φt> de arriba se proyecta, en el momento de la observación o «registro» de la medida, en uno u otro de sus componentes.

Como ya habíamos adelantado en la nota 2 del capítulo 3, pp. 202-203, un estado arbitrario de superposición tiene la forma

a|0> + b|1> con |a|² + |b|² = 1

Para ese estado inicial el estado compuesto (entrelazado) sistemaaparato inmediatamente después de la medida será:

|Φt> = a|0> |Ψa> + b|1> |Ψe>

Y el postulado de proyección afirma que en el momento de la observación ese estado se proyecta en uno u otro de sus componentes con probabilidades respectivas |a|², |b|².

Esto se corresponde, por cierto, con lo que habíamos visto en la figura 3.12:

Si partimos del estado de polarización

|P> = cos α |V> + sen α |H>

Al medir obtendremos |H> con probabilidad sen² α y |V> con probabilidad cos² α.

Si el sistema cuántico se extiende para incluir el aparato de medida, habrá que introducir un segundo aparato que mida el sistema compuesto objeto microscópico-primer aparato y aplicar el postulado de proyección al nuevo sistema total, y así sucesivamente.

Von Neumann demostró que este procedimiento es coherente —no podemos entrar en los detalles de la demostración—, aunque desde un punto de vista estrictamente lógico daría lugar a una regresión infinita, si bien él y otros autores opinan que esta regresión acaba en la mente de un observador consciente (con todo lo que eso implica). El postulado de proyección se puede introducir en cualquier instancia de esta cadena, dando lugar al colapso del sistema. Ésta, salvo la inclusión explícita de la conciencia, es la solución adoptada en la llamada interpretación de Copenhague (u «ortodoxa»), pero no queda claro qué es realmente esa proyección (o «colapso»). ¿Un fenómeno físico no lineal que se escapa de las leyes cuánticas o las trasciende? No parece probable, porque se han realizado medidas de la velocidad a la cual tendría lugar ese proceso, por ejemplo en el caso de sistemas entrelazados en que el colapso del estado de una partícula produciría el colapso del estado de la otra, y se ha encontrado que una señal que se transmitiera entre los dos colapsos tendría que tener una velocidad 10 millones de veces superior a la de la luz. Esta velocidad no es posible de acuerdo con la teoría de la relatividad, por lo que cabe descartar cualquier tipo de naturaleza dinámica del colapso o proyección.

ILUSTRACIÓN 4. Si el observador colapsa la función de onda, ¿valdrá el gato como observador o quedará él mismo enredado en la superposición cuando observa el fotón en un camino u otro? ¿Hará falta que Schrödinger observe al gato que observa el fotón para que colapse la función de onda? Esta ilustración puede verse en color en el pliego.

En la versión más actual de la interpretación ortodoxa, para la que se va extendiendo el nombre de «interpretación de la información cuántica», el colapso no es más que una regla nemotécnica y no se le asigna ningún tipo de realidad física. Según esta interpretación, el estado cuántico no es más que un elemento de información; de hecho, la máxima información que es posible tener sobre un sistema.² El pretendido colapso tras una medida u observación es simplemente, según esta interpretación, una forma de expresar el hecho de que tras dicha medida se tiene información nueva sobre el sistema y, por consiguiente, hay que modificar el estado acomodándolo a la nueva situación. Desde luego, ésta es una solución satisfactoria a todos los efectos prácticos (FAPP, «For All Practical Purposes», la llamaba John Bell) y es, lógicamente, la empleada en la teoría y aplicaciones de la información cuántica, y por tanto la que más o menos implícitamente hemos usado en este libro; de hecho, funciona bien en todo el dominio de aplicación de la MQ, salvo cuando ésta se aplica al universo en su totalidad, es decir, a la cosmología cuántica, ya mencionada algo más arriba. No podemos entrar aquí en detalles sobre la cosmología cuántica, algo que está fuera de los propósitos de este libro; no obstante, en el siguiente capítulo se aborda una cuestión que toca algún aspecto cosmológico relacionado con la información cuántica.

Para acabar esta «excursión», simplemente comentaremos, sin mayor análisis, que la mayoría de quienes se dedican a la cosmología cuántica es de la opinión de que la interpretación más completa es la de los «muchos mundos», en su versión actual de «historias consistentes decoherentes». En cosmología la existencia de mundos (o historias del multiuniverso) alternativos es fundamental. En las aplicaciones más usuales —«prácticas»— de la MQ, los muchos mundos pueden interpretarse como algo simbólico y quedarse con el mero esqueleto matemático, que coincide, como ha de ser, con el de la interpretación ortodoxa. Así, por ejemplo, hay quienes gustan de explicar la —esperemos— eficiencia de un ordenador cuántico como debida a la intervención de muchos mundos, en cada uno de los cuales se cobija uno de los diferentes estados de la superposición cuántica con los que se lleva a cabo la computación en paralelo; pero, evidentemente, los mundos alternativos no son imprescindibles en absoluto para entender el funcionamiento de un ordenador cuántico.

En resumen, hay en «el mercado» muchas interpretaciones de la MQ e incluso modelos y teorías que se apartan de algunos de sus principios y que realmente no explican nada que no explique la MQ, y sin embargo dejan sin explicar algo que ésta explica (o, lo que es peor, contradicen resultados verificados experimentalmente). Parece haber casi total unanimidad en que las dos únicas interpretaciones que resisten «el paso de los tiempos» son la pragmática interpretación de la información cuántica y la más ambiciosa interpretación de los muchos mundos. Ambas no son en realidad contradictorias y, de hecho, en trabajos teóricos recientes sobre cosmología cuántica se conjuga la idea de muchos mundos con la de información. Ahora bien, la interpretación de los muchos mundos, aunque compatible con la de la información cuántica, da un enorme paso más allá: la existencia real, no observable directamente, pero con efectos indirectos, de universos —o historias de un multiuniverso— alternativos.

Addendum

Uno de los pioneros de la computación cuántica, el físico británico David Deutsch, decidido partidario de la interpretación de los muchos mundos, presentó hace años un posible experimento que se podría realizar con un ordenador cuántico (cuando, esperemos, estén disponibles) y que serviría para confirmar o, lo que es más importante, refutar esta interpretación, la cual, al menos por ahora, no es falsable —en la terminología de Karl Popper—, lo que constituye uno de sus puntos flojos. No entraremos en detalles sobre ese experimento; quienes tengan interés pueden consultar el libro El espíritu en el átomo, de P.C.W. Davies y J.R. Brown (Alianza Editorial, Madrid, 1989). Basado en las entrevistas que para un programa de radio de la BBC hicieron los autores a eminentes físicos cuánticos, el libro empieza con una excelente introducción explicativa de Davies, físico teórico y conocido divulgador científico, y contiene diferentes visiones de la teoría cuántica expuestas a lo largo de las correspondientes entrevistas.

9

Universalidad de la teoría cuántica

En este capítulo final vamos a analizar la importante cuestión de la universalidad de la Teoría Cuántica, es decir, si esta teoría es aplicable (por supuesto, desde un punto de vista básico) a todos los fenómenos del universo; más concretamente, si es la teoría que finalmente rige su origen y evolución.

Ya hemos visto anteriormente cómo Einstein ponía en duda la aplicabilidad universal de la mecánica cuántica, en sus palabras, la completitud de la misma (la famosa paradoja EPR, véase el capítulo 5), y cómo la mecánica cuántica sale victoriosa del desafío de EPR (y de cualquiera de ese tipo), mostrando que no hay ninguna paradoja lógica, ya que puede formularse de manera matemáticamente rigurosa, y —lo que es aún más importante— sus predicciones (en este contexto, la violación de las desigualdades de Bell) son claramente verificadas por los experimentos. Por tanto, puede afirmarse con —prácticamente— total seguridad que la mecánica cuántica es la teoría aplicable en el dominio atómico-molecular (~10⁻¹⁰ m), que es el explorado por los experimentos citados. Nos planteamos ahora la aplicabilidad de la teoría cuántica en escalas mucho menores, en particular la escala fundamental en la cual se manifiesta la mayor parte de las interacciones entre partículas elementales (< 10⁻¹⁵ m).

Antes de continuar, conviene aclarar que la mecánica cuántica «ordinaria» es no-relativista, no incorpora el Principio de Relatividad de Einstein; ésa es la que se ha tratado en los capítulos anteriores. La teoría cuántica contiene además la teoría cuántica de campos (cierta forma de extensión de la mecánica cuántica que incluye la relatividad restringida einsteniana), muy importante en el estudio de las partículas elementales, y también incluiría la muy actual teoría de supercuerdas, que, aunque por encima, también veremos en lo que sigue. Todas estas teorías satisfacen los principios básicos fundamentales de la mecánica cuántica ordinaria, y es de ellos de lo que trata este capítulo. Porque la pregunta que nos hacemos es: ¿satisfacen todos los procesos físicos estos principios fundamentales? Y al decir «todos» lo que queremos significar es en todas las escalas: del «quark al cosmos», en expresión de Wheeler.

Interacciones fundamentales

Es de sobra conocido que hay cuatro interacciones fundamentales: gravitacional (o gravitatoria), electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil (o, simplemente, fuerte y débil). De ellas, la gravitacional es con mucho la menos intensa, pero al tener muy largo alcance (al contrario que la fuerte y la débil, que son de corto alcance, en torno a 10⁻¹⁵ m la primera y menos de 10⁻¹⁶ m la segunda) y ser siempre atractiva (al contrario que la electromagnética, donde las cargas positivas apantallan la acción de las negativas y viceversa), su efecto es tanto mayor cuanto mayores sean las masas en juego, lo que hace que sea la interacción más importante —de hecho, la única importante— en cosmología «clásica». La interacción electromagnética es la que hace que electrones y núcleos atómicos formen en determinadas circunstancias átomos y éstos a su vez moléculas; por tanto, es la interacción clave en física atómica y molecular, así como en química. Por último, las otras dos, fuerte y débil, se manifiestan sólo a escala nuclear y subnuclear; la fuerte produce la cohesión entre protones y neutrones que permite la existencia de núcleos atómicos, mientras que la débil es la responsable de la desintegración beta de los núcleos (emisión de rayos β, es decir, electrones o positrones). Ambas desempeñan un papel muy relevante en el mundo de las partículas elementales, como también lo hace, aunque quizá en un grado algo menor, la electromagnética.

Sin entrar en detalles no apropiados para el contenido —y propósitos— de este libro, diremos que la teoría cuántica explica en gran parte todas las interacciones fundamentales menos la gravitacional. Uno de sus logros más espectaculares es la teoría unificada de las interacciones electromagnética y débil (modelo electro-débil de WeinbergSalam), pero hay muchos otros, algunos también relacionados con la interacción fuerte. Es cierto que aún quedan bastantes cuestiones que aclarar y resolver; de ellas, la realmente crucial es encontrar una teoría que unifique la interacción electro-débil y la fuerte (como se verá inmediatamente, la gravitacional «come aparte»). Pero lo verdaderamente importante para lo que aquí nos ocupa es que todas estas teorías y modelos cumplen rigurosamente los principios cuánticos fundamentales y que no parece haber ninguna razón ni teórica ni experimental para abandonar ninguno de estos principios al tratar fenómenos básicos que van desde la escala molecular a la de las partículas elementales.

Interacción gravitacional

Pasamos ya a la interacción gravitacional. La primera teoría sobre esta interacción fue la «gravitación universal» de Newton, uno de los logros científicos más grandiosos de todos los tiempos, completada y perfeccionada por Einstein más de doscientos años después de su creación con la teoría de la Relatividad General (RG). En realidad la RG no sólo completa la teoría newtoniana sino que va más allá que ésta al relacionar la interacción gravitacional con la estructura geométrica del espacio-tiempo, en particular con la curvatura de éste. La RG describe a la perfección la interacción gravitacional a escala macroscópica y, como hemos dicho, es la teoría básica en cosmología. Pero, por otro lado, es la única de las cuatro interacciones que por ahora no admite una estructura cuántica; es más, los principios fundamentales de la RG parecen estar en contradicción con los de la mecánica cuántica. Esto no es realmente un problema al estudiar la física de partículas elementales, porque a la escala relevante en ese tipo de física —del orden de 10⁻¹⁵ m— la interacción gravitacional es mucho menos intensa que las otras tres, haciéndola prácticamente irrelevante en ese contexto. Pero si vamos a escalas mucho menores, en concreto a la llamada longitud de Planck (~10⁻³⁵ m),¹ entonces la interacción gravitacional deviene tan intensa o más que las otras, de modo que el estudio de la física fundamental en esa escala debe necesariamente incluir una teoría adecuada de la gravitación, que, según opinión mayoritaria, por razones de consistencia, tendría que tener naturaleza cuántica. Es decir, a esas increíblemente pequeñas distancias, cuyo análisis experimental directo requeriría una energía descomunal de las partículas del haz del correspondiente acelerador (~10²⁰ GeV, unos 16 órdenes de magnitud superior a la alcanzada en el mayor acelerador actual, el LHC), la interacción gravitacional domina sobre el resto y su conocimiento es fundamental para estudiar la realidad física en ese dominio ultramicroscópico.

Llegados a este punto, surge de manera natural la pregunta: ¿para qué interesa el estudio de esa zona de distancias ultramicroscópicas, cuya relevancia, no ya a escala humana, sino también en los dominios atómico y nuclear e incluso en el de las partículas elementales, es en principio nula?

La respuesta es: para tratar de entender el origen y evolución del universo en los primerísimos instantes de su existencia. Aparte del interés del conocimiento puro, resulta que las características fundamentales de nuestro universo —aquello que hace que puedan existir galaxias, estrellas y, por tanto, nuestra propia existencia— se hallan en gran parte determinadas por la estructura y evolución del universo primigenio. Y para estudiar esa estructura se necesita una cosmología cuántica, lo que implica tener una teoría cuántica consistente de la gravitación. Ya hemos comentado que si se mantienen incólumes los postulados básicos de la RG, hay un choque con los de la mecánica cuántica que hace que no pueda formularse una teoría cuántica consistente de la gravitación. Una posible solución es mantener los principios cuánticos y dejar fuera alguno de los de la RG (en particular el de la existencia objetiva del espacio-tiempo). Desde luego, estos últimos (los de la RG) sólo se dejarían de cumplir en esas pequeñísimas distancias, donde la naturaleza cuántica de la gravitación se pone de manifiesto, manteniéndose la RG como la teoría correcta de la gravitación a distancias mayores, en particular macroscópicas. Esto es lo que parece conseguirse con la teoría de supercuerdas, de la que diremos algo más en lo que sigue.

Pero no todos los expertos están de acuerdo con esa vía; bastantes sugieren que la mecánica cuántica es la que habría de modificarse en esa escala, permaneciendo inmutables los principios básicos de la RG. Entre los físicos que abogan por esa solución, el más conocido es Stephen Hawking, quien pone (o al menos ponía) en duda la validez del Principio de Superposición y de la conservación de la información, básicos en mecánica cuántica, en presencia de campos gravitacionales muy intensos, en particular cuando en el sistema en estudio hay agujeros negros.

Agujeros negros y teoría cuántica

Primero debemos dejar claro lo que se entiende por «horizonte» de un agujero negro: es la frontera a partir de la cual nada sale del agujero negro, ni siquiera la luz.

La cuestión a debate se formula muy sencillamente: ¿se destruye de manera «estrictamente» irreversible la información contenida en un objeto (sistema cuántico) cuando éste atraviesa el «horizonte» del agujero negro? Como ya hemos insinuado, esta cuestión fue planteada por Stephen Hawking. Anticipamos que la respuesta de Hawking era afirmativa (como se verá al final, ya no lo tiene tan claro), mientras que Gerard ‘t Hooft, premio Nobel de Física 1999 y uno de los mayores expertos en partículas elementales, responde negativamente. En esencia, Hawking estaba apoyado por bastantes físicos «relativistas», algunos de ellos muy ilustres, mientras que los partidarios de ‘t Hooft, algunos también muy prestigiosos, pertenecen más bien al mundo de la teoría de partículas elementales y «cosmopartículas».

En el párrafo anterior se ha remarcado «estrictamente», porque es evidente que la información se pierde de manera prácticamente irrecuperable en multitud de procesos mucho más prosaicos que la caída en un agujero negro. Son los fenómenos comúnmente llamados irreversibles, por ejemplo, quemar una carta (suponiendo que aún se escriban), proceso en el que se pierde «irreversiblemente» la información en ella contenida. Pero estos procesos no son «estrictamente» irreversibles si la teoría cuántica es correcta y universalmente aplicable: una hipotética «hipercivilización» con medios técnicos y potencia de cálculo inimaginables podría, en principio, revertir el proceso hasta las condiciones iniciales, con lo cual éste no sería en realidad irreversible. Y esto, en principio, sería posible porque al hacerlo no se viola ningún principio cuántico fundamental. (En el ejemplo anterior, la información se preservaría en las cenizas, moléculas de gases de combustión, moléculas de aire, etc., y podría recuperarse «en principio».)

ILUSTRACIÓN 5. Hawking observa enfadado como ‘t Hooft «juega» con un agujero negro siguiendo las reglas de la teoría cuántica. Esta ilustración puede verse en color en el pliego.

Pero ¿qué ocurre si algo —en el caso más simple una partícula elemental— atraviesa el horizonte de un agujero negro? La respuesta según la relatividad general einsteniana (la física clásica, en suma) es que ya no vuelve a salir jamás; por lo tanto, la información que acarrea ese algo se pierde irremediable y fundamentalmente, no sólo en la práctica. Esto es lo que, de manera más sutil, defendía Hawking: él había encontrado, en 1973, que hay una emisión cuántica de radiación en los agujeros negros; pero aunque el agujero negro emita radiación, en ésta no quedan trazas, no ya desde el punto de vista práctico, repetimos, sino de manera absolutamente fundamental (eso se creía) de la información acarreada por los objetos (partículas elementales, átomos, o lo que sea) que atraviesan su horizonte.

Ahora bien, uno de los principios básicos de la mecánica cuántica (de la teoría cuántica en general) es el de conservación de la información; así que la presencia de un agujero negro violaría un principio cuántico fundamental. Como los agujeros negros son, en realidad, sistemas con campos gravitacionales muy intensos, la mecánica cuántica fallaría en tales sistemas. En consecuencia, no sería posible encontrar una teoría cuántica consistente de la gravitación. Para que ello pudiera hacerse sería necesario un cambio radical en los fundamentos de la teoría cuántica, cambio que propugnaban Hawking y sus seguidores, y que éste intentó llevar a cabo a finales de la década de los setenta y principios de los ochenta. (Sin demasiado éxito, debe decirse.)

Ésta era la situación hace unos treinta años: el objetivo más importante de la física teórica, la unificación de la gravedad con las otras interacciones fundamentales en el marco cuántico, parecía irrealizable porque la interacción gravitacional parecía hallarse fuera de ese marco. La batalla planteada por Hawking se consideraba entonces ganada por éste: todos los intentos de construir una teoría cuántica de campos que incluyera un campo cuántico gravitacional sufrían de alguna inconsistencia, y la mayoría de los investigadores empezó a pensar que era una tarea imposible.

La teoría de cuerdas al rescate

La teoría de cuerdas (o supercuerdas) tuvo su origen a principios de la década de 1970 como una alternativa a la teoría cuántica de campos, cuya aplicación a la interacción fuerte presentaba serias dificultades. En la teoría original los hadrones (partículas que interactúan fuertemente) estaban formados por constituyentes elementales, entonces llamados «partones», unidos por una especie de cuerdas, de modo que sus vibraciones darían lugar a todo el (variadísimo) espectro de partículas y resonancias hadrónicas.

Pronto se vio que esa teoría no explicaba realmente la interacción fuerte; habría que esperar unos años, hasta la aparición de la cromodinámica cuántica, una teoría cuántica de campos particular que sí es aplicable a dicha interacción. Pero algunos físicos advirtieron que entre las partículas que aparecen en el espectro de esa teoría de cuerdas había una de masa nula y espín 2, que cuadraba bien con el gravitón, la partícula (no hallada hasta la fecha) que se postula como portador cuántico de la interacción gravitacional, del mismo modo que el fotón lo es de la interacción electromagnética. Enseguida se sugirió que aunque esa teoría de cuerdas en concreto no proporcionaba un modelo fenomenológico de la interacción fuerte, podría ser el germen de algo mucho más profundo: nada menos que la base de una teoría unificada de las cuatro interacciones fundamentales (la gravitacional incluida, claro está).

Esto ocurría a principios de la década de 1980, y desde entonces ha habido una enorme labor de investigación teórica en este campo. No podemos evidentemente entrar aquí en el desarrollo de la teoría de cuerdas —además no pertenece a los objetivos de este libro— y nos limitaremos a comentar un par de puntos cruciales:

Primero, la necesidad de que la teoría de cuerdas incorpore la llamada «Supersimetría», una simetría abstracta que relaciona los dos tipos de partículas elementales: fermiones, partículas de espín semientero, generalmente ½, que siguen la estadística de Fermi-Dirac y son los constituyentes elementales de la materia; y bosones, partículas de espín entero, que siguen la estadística de Bose-Einstein, y son los mediadores —transmisores— de las interacciones. (Hemos considerado algunos aspectos de los fermiones y los bosones en el cuadro 3. 2.)

Segundo, el hecho de que la teoría ha de formularse en un espacio-tiempo de 10 dimensiones, nueve espaciales más la dimensión temporal.

Aunque ambos puntos son esenciales a la hora de entender qué es la teoría de cuerdas, en realidad para nuestra discusión aquí no son demasiado relevantes; lo verdaderamente importante es que las cuerdas, cuya longitud se supone es del orden de la «longitud de Planck (10⁻³⁵ m), son los constituyentes últimos, irreducibles, de la materia, jugando dicha longitud un papel hasta cierto punto análogo al de la constante de Planck h; ésta es la mínima acción posible de un sistema, mientras que aquélla representaría la mínima longitud posible (por debajo de ella no tendría sentido hablar de longitud). Además es fundamental hacer notar que la teoría de (super)cuerdas satisface todos los principios cuánticos fundamentales, es decir, es una teoría cuántica. Una exposición bastante completa y de nivel accesible a no expertos se encuentra en el libro de Brian Greene El universo elegante (Crítica, Barcelona, 2001).

Para entender por qué la teoría de cuerdas puede «salvar» el principio cuántico de la conservación de la información en la caída en un agujero negro, necesitamos la idea de entropía de un agujero negro. Ésta fue introducida por Jacob Bekenstein en 1973, al estudiar —teóricamente— ciertas propiedades de los agujeros negros. En particular, analizó la observación de Hawking acerca de lo que ocurriría en una hipotética colisión de dos de ellos, en la que el científico hizo notar que —según la teoría— la superficie total del horizonte de ambos agujeros al entrar en contacto nunca era menor que la suma de las superficies individuales. Como a la entropía le ocurre exactamente lo mismo, es decir, la entropía de un sistema nunca es menor que la suma de la de sus posibles constituyentes, Bekenstein llegó a la audaz conclusión de que la entropía de un agujero negro es proporcional al área de la superficie de su horizonte.

Esta idea fue poco después desarrollada por Hawking. Sabemos desde Boltzmann (segunda mitad del siglo XIX) que la entropía termodinámica, es decir, de un sistema macroscópico, es una magnitud de carácter estadístico que está relacionada con el número de constituyentes (o microestados) de dicho sistema, de acuerdo con la expresión S = k lnW, donde S es la entropía, W el número de microestados del sistema y k la llamada constante de Boltzmann. Además, a partir de los trabajos de Shannon de los años 1940-1950, sabemos que la entropía «mide» la información sobre un sistema (en sentido inverso, a más entropía menos información). Pues bien, la fórmula de Hawking (tomando k = 1) es S = A/4, donde A es el área del horizonte del agujero negro medida en unidades del «Área de Planck», aproximadamente 10⁻⁷⁰ m². (La longitud de Planck —recordemos— es 10⁻³⁵ m.)

Irónicamente, este resultado de Hawking es lo que después motivaría que su idea de la pérdida de información cuando algo cae en un agujero negro pudiera ser rebatida dentro de la más pura ortodoxia cuántica. Sin entrar en detalles técnicos, que, como ya se ha dicho, rebasan los límites de este libro, se llega a concluir que los bits de información acumulados en la superficie del horizonte del agujero negro no son otra cosa que supercuerdas, cuyo tamaño se sabe que sería del orden de la citada longitud de Planck. De hecho, cálculos detallados realizados hace unos años por diversos teóricos de cuerdas (entre los que cabe destacar a Leonard Susskind) han puesto de manifiesto que la aplicación de esta teoría a diversos tipos de agujeros negros conduce a la fórmula de Hawking para la entropía de éstos, lo cual confirma de algún modo que los bits últimos e irreducibles —los «pedazos» más pequeños de información— son las supercuerdas, algo que casa perfectamente con la idea de que éstas serían los constituyentes verdaderamente elementales de la materia. Se encuentra fácilmente (lo dejamos como ejercicio para el lector interesado) que la información que en principio podría acumularse en la superficie de un agujero negro es muchos órdenes de magnitud superior a la máxima posible en un sistema material ordinario con el mismo volumen, tomando en este caso como bits irreducibles de información los átomos (o moléculas, a efectos del orden de magnitud da igual) de dicho material.

Ya hemos dicho que la consecuencia más sorprendente de la termodinámica de los agujeros negros había sido encontrada por Hawking: se trata de la emisión de radiación por éstos debido a efectos cuánticos. Esta radiación (llamada «radiación de Hawking») es increíblemente tenue, pero, pese a ello, hace que al final un agujero negro sin carga eléctrica ni momento angular (es decir, que no gire en torno a algún eje) acabe desapareciendo totalmente; eso sí, el tiempo necesario para que esto ocurra en agujeros negros astronómicos (que son los únicos de los que hay evidencia, aunque indirecta) es muchos órdenes de magnitud superior a la edad actual del universo. En otras palabras, la radiación de Hawking es, en la práctica, absolutamente indetectable (aunque nos hallemos cerca del agujero); no obstante, su importancia desde un punto de vista conceptual es considerable.

Traspasando el horizonte

Retomemos la cuestión original: ¿qué pasa cuando algo (una partícula o lo que sea) atraviesa el horizonte de un agujero negro? Pues ocurre algo insospechado y sorprendente: depende de quién cuente la historia: alguien que supuestamente acompañase al «algo» en su caída (llamémosle A), o un observador inmóvil con respecto al agujero y por lo tanto suficientemente lejos de éste (B). Las historias de ambos son completamente distintas, pero a efectos del problema que nos ocupa, la validez universal de la teoría cuántica, nos interesará la versión del observador externo, B, porque la teoría cuántica la aplicamos, evidentemente, fuera de los agujeros negros. La descripción que, si pudiera, daría A (suponemos que el agujero negro es suficientemente extenso) es que no sintió que atravesara ningún horizonte y que algún tiempo después sí que notó que había fuertes tensiones que lo iban destrozando (fuerzas de marea) y, por supuesto, que acabó cayendo al centro del agujero desmenuzado en partículas. Desde luego, nadie que cayera en un agujero negro podría dar esta descripción de su caída, pero es lo que debería ocurrir según la RG einsteniana, una teoría que, como ya se ha dicho, está ampliamente verificada al nivel astronómico.

Ahora vayamos a la descripción proporcionada por el observador externo, B. Supongamos que ambos han quedado en que A enviaría una señal luminosa a B cada segundo, medido con el reloj de A. B diría que conforme A se iba acercando al horizonte, los intervalos temporales entre dos señales consecutivas, medidos con su propio reloj (el de B), se iban dilatando cada vez más, por lo tanto la frecuencia de la señal iría disminuyendo hasta llegar a ser prácticamente indetectable cuando A estuviese muy cerca del horizonte. Más aún, si B dispusiera de un supertelescopio (de resolución prácticamente infinita) vería que, al estar a distancia microscópica del horizonte, A y el eventual «algo» se desmenuzarían en sus componentes más elementales (supercuerdas), que se desparramarían tendiendo a cubrir todo el horizonte; es decir, según la visión de B, A nunca llega estrictamente al horizonte y, por tanto, no penetraría en el agujero negro. Vemos pues que ambas descripciones no sólo son distintas, sino también aparentemente contradictorias: según A, se produce el traspaso del horizonte y la consiguiente caída al centro; según B, A no atraviesa jamás el horizonte, sino que se queda «desintegrado» en sus componentes más profundos, las supercuerdas, a lo largo y ancho de éste (de su superficie). La última fase de la descripción de B es que A (y el «algo»), se aproximan, desmenuzados en sus componentes —supercuerdas—, cada vez más al horizonte, siendo posteriormente reemitidos en forma de radiación de Hawking, y, lo que es crucial, toda la información que portaban antes de llegar al horizonte es devuelta (aunque desde un punto de vista práctico sea irrecuperable) como parte de esa radiación y por consiguiente no se pierde irreversiblemente desde un punto de vista estrictamente fundamental. ¡El Principio de Conservación de la información y, por tanto, la teoría cuántica están una vez más a salvo!

Estas dos visiones aparentemente contradictorias no lo son en estricta puridad, sino que proporcionan un ejemplo sencillo de un nuevo principio general que se conoce como «complementariedad de los agujeros negros», desarrollado por ‘t Hofft y otros. Como dice Leonard Susskind en un artículo muy recomendable para quienes deseen profundizar más en este tema sin perderse en detalles técnicos («Los agujeros negros y la paradoja de la información», Investigación y Ciencia, junio 1997): «La complementariedad de los agujeros negros es un nuevo principio de relatividad. En virtud de la teoría especial de la relatividad, aunque los distintos observadores discrepen acerca de las longitudes de los intervalos de tiempo y espacio, los sucesos ocurren en localizaciones espaciotemporales definidas. La complementariedad de los agujeros negros prescinde hasta de eso».

Este nuevo principio de complementariedad y demás temas afines (principio holográfico, dualidad Gravedad/teorías Gauge, etc.) constituye un campo abierto de enorme vitalidad dentro del marco de la teoría de cuerdas. Ni siquiera podemos rozarlos, pues su complejidad matemática sobrepasa muy ampliamente el nivel del libro, aparte de estar fuera de los objetivos de éste. Simplemente concluiremos diciendo que, de acuerdo con la moderna teoría de cuerdas, la respuesta a la pregunta que se ha formulado anteriormente, esto es, si la mecánica cuántica o, en general, la teoría cuántica puede aplicarse a campos gravitacionales muy intensos (agujeros negros), es afirmativa; por ahora no hay razones teóricas que invaliden su aplicación universal: «del quark (o, mejor, de las supercuerdas) al cosmos».

Addendum

En los años ochenta, Hawking hizo una apuesta con John Preskill, en la que defendía, como ya se ha dicho anteriormente, que la información se pierde irreversiblemente, sensu stricto, en el traspaso del horizonte de un agujero negro, mientras que John Preskill mantenía lo contrario —que no se pierde irreversiblemente—. Hace unos diez años Hawking admitió haber perdido la apuesta. Aunque dice no estar seguro de que la solución aquí esbozada (que es, con bastante más bagaje técnico, la propuesta por ‘t Hooft, Susskind y otros) sea la que realmente «elige» la naturaleza, tiene que confesar que sí es una solución, y que, por tanto, los principios cuánticos fundamentales pueden muy bien seguir manteniéndose aun en el caso de campos gravitacionales tan intensos como los de las cercanías de un agujero negro.

Y, como comentario final, deseamos hacer notar la importancia de la información en toda esta cuestión. Importancia que se ha puesto de manifiesto a lo largo de este libro al tratar con sistemas cuánticos como átomos, fotones, etc., pero que vemos sigue siendo fundamental en dominios mucho más alejados de la física atómica, como son los agujeros negros. ¿Es la realidad en el fondo —al nivel más profundo— información? John Archibald Wheeler, ilustre físico que ha aparecido ya anteriormente en este libro, lo expresaba muy gráficamente, como él solía hacer: «It from Bit». Aunque por ahora sería caer en dogmatismos afirmar que esto es así (o asegurar lo contrario), sí nos atrevemos a decir que es una pregunta inquietante y que la respuesta, si es que alguna vez se llega a conocer, probablemente lo será aún más.

Apéndices

Apéndice A: entrelazamiento de iones atrapados

El perfeccionamiento de los láseres ha logrado tal precisión en el control y manejo de cantidades cada vez más pequeñas de materia que actualmente pueden colocarse varios átomos en fila suspendidos en el vacío. Los átomos están ionizados (concretamente suelen emplearse átomos que han perdido uno o dos electrones: están cargados positivamente), por lo que se repelen entre ellos y se mantienen separados una cierta distancia. Pero la fuerza de repulsión actúa, a todos los efectos, como una ligazón, una unión entre ellos. Es como si los átomos estuviesen unidos por muelles. Cualquier movimiento de uno de ellos se transmite a los demás. El dispositivo recibe el nombre de «trampa de iones» y fueron I. Cirac y P. Zoller los primeros en utilizarlos para crear conexiones entre los átomos, tales como el entrelazamiento o la creación de «puertas lógicas», para desarrollar ordenadores cuánticos. La clave de estos artefactos es que apuntando con un láser a uno de los átomos puede conseguirse que toda la «tira» adquiera un movimiento de vibración.

El láser cumplirá, por tanto, una doble función. Por un lado, puede hacer que un electrón «salte» de un nivel u órbita a otra, tal como hemos visto en el capítulo 3; pero, por otro lado, puede también utilizarse para crear un movimiento oscilatorio en la «tira». Para conseguir ese efecto basta aumentar ligeramente la frecuencia del láser. Con ese plus de frecuencia —y energía— la «tira» comenzará a moverse de un lado para otro.

Tenemos que modificar, entonces, el diagrama que vimos en el capítulo 3 (figura 3.16). La situación será ahora la siguiente:

Los estados |0>f y |1>f se refieren a la vibración de la «tira». Si está en reposo diremos que se encuentra en el estado |0>f y si está vibrando su estado se llamará |1>f.

De modo que cada uno de los estados orbitales |0>, |1> se ha desdoblado en dos, el inferior corresponde a que la «tira» esté quieta y el superior, que requiere, decíamos, una frecuencia un poco mayor, corresponde a que la tira esté vibrando. Insistimos en que cuando la «tira» vibra, lo hace cada uno de los átomos que la componen, ya que la «tira» actúa como una cadena.

La frecuencia del láser puede ajustarse de manera que produzca transiciones entre todos los estados del diagrama. Puede, por ejemplo, si tiene la frecuencia adecuada, hacer que un átomo pase del estado fundamental (|0>) y con la «tira» quieta (|0>f) al estado excitado (|1>) y a la vez provocar la vibración de la «tira» (|1>f):

O puede lograrse el salto del estado |1> |0>f al estado |0> |1>f, con lo que a la vez que se desexcita el átomo haciéndolo caer a su estado fundamental, se induce la oscilación de la «tira»:

Estamos ya en condiciones de entender cómo se crea un estado entrelazado con iones atrapados:

Nuestro estado inicial consistirá en una «tira» de 4 iones atrapados, en que el 1.er átomo esté en un estado de superposición |0> + |1> —recordemos, basta aplicar el láser la mitad del tiempo correspondiente a la transición entre los dos niveles (capítulo 3, p. 77)— y los demás en el estado fundamental. Además la «tira» está quieta.

Ese estado inicial se escribirá, por tanto:

(|0>₁ + |1>₁)|0>₂|0>₃|0>₄ |0>f, que también puede escribirse (¡propiedad distributiva!):

(|0>₁|0>₂|0>₃|0>₄ |0>f + (|1>₁|0>₂|0>₃|0>₄ |0>f)

En la figura se representa ese estado esquemáticamente:

A continuación aplicamos al 1.er átomo un láser, de la frecuencia adecuada, el tiempo necesario para lograr la transición:

|1> |0>f |0> |1>f

Esa transición sólo actúa en la parte excitada de la superposición del átomo 1.

El láser convierte el estado |1> del primer ión en estado |0>, y a la vez lo pone en movimiento haciendo oscilar la «tira» entera.

El estado conjunto será:

(|0>₁|0>₂|0>₃|0>₄ |0>f + (|0>₁|0>₂|0>₃|0>₄ |1>f):

Después aplicamos el láser al ión 4: |0>₄|1>f |1>₄|1>f

Este láser sólo cambia el estado del ión 4 si está en movimiento. Generamos el estado:

(|0>₁|0>₂|0>₃|0>₄ |0>f + (|0>₁|0>₂|0>₃|1>₄ |1>f):

El siguiente paso es:

Láser a ión 1: |0>₁|1>f |1>₁|0>f

Este láser invierte el estado del ión 1 (lo pasa de |0> a |1>) si está en movimiento, y detiene el movimiento.

Por fin conseguimos el estado:

(|0>₁|0>₂|0>₃|0>₄ |0>f + (|1>₁|0>₂|0>₃|1>₄ |0>f), que se puede escribir:

(|0>₁|0>₄ + |1>₁|1>₄)|0>₂|0>₃ |0>f

Se ha conseguido que los iones 1 y 4 estén en un estado entrelazado:

(|0>₁|0>₄ + |1>₁|1>₄)

Este estado es de la misma naturaleza que el |H>₁ |V>₂ + |V>₁ |H>₂que conseguíamos con las polarizaciones: los iones 1 y 4 no están en estados definidos. Tanto pueden estar los dos en el estado |0> como los dos en el estado |1>.

Apéndice B

Supongamos que se hacen n experimentos en los que medimos los valores de Ai, Bi, Ci, y Di. Si promediamos en los n experimentos será:

Ahora bien, como |K₁ + K₂| ≤ |K₁| + |K₂| y, en general, |ΣiKi| ≤ |Σi|Ki|, podremos poner:

Pero como cada |AiBi + CiBi + AiDi - CiDi ≤ 2

Queda:

Apéndice C

Predicción teórica, por parte de la mecánica cuántica, de la violación de las desigualdades de Bell:

|ψ⁻> = (|H>₁|V>₂ − |V>₁|H>₂)

A = 1 si la polarización es H              A = −1 si la polarización es V

B(Φ) = 1 si la polarización es H′     B(Φ) = −1 si la polarización es V′

Coeficiente de correlación: C = < A(0) × B(Φ)>

En términos de probabilidad:

<A × B> = 1 × 1 × Prob (A = 1, B = 1) + 1 × (−1) × Prob (A = 1, B = −1) + (−1) × 1 × Prob (A = −1, B = 1) + (−1) × (−1) × Prob (A = −1, B = −1)

Teniendo en cuenta, ahora, que los fotones están anticorrelacionados y por tanto: si un fotón tiene polarización |H> en una cierta dirección, la polarización del otro fotón será |V>. (Es decir: si A(0) = 1 en la «Estación 1», el otro fotón estará en |V>.)

Y considerando que:

Podemos escribir las diferentes probabilidades:

Así:

C = 1 × 1 × 1/2 sen² Φ +(−1) × (−1) × 1/2 sen² Φ + 1 × (−1) × 1/2 cos² Φ + (−1) × 1 × 1/2 cos² Φ = −cos² Φ + sen² Φ = −cos 2Φ

De manera que:

<AB> = −cos 2ΦAB y con las direcciones:

Queda:

S = |<AB> + <CB> + <AD> − <CD>| = |−cos 2ΦAB −cos 2ΦCB−cos 2ΦAD + cos 2ΦCD| = = |(−√2 −√2 −√2 + (−√2))/2| = 2√2 ¡¡Superior a 2!!

Apéndice D

Es fácil calcular la correlación correspondiente al modelo clásico de las páginas 117-120. (Basta seguir el procedimiento del Apéndice C, pero calculando las probabilidades según la p. 120.)

Se obtiene: C = −1 + 4Φ / π

En la gráfica siguiente se compara esta correlación clásica con la cuántica (C = −cos2Φ). Se observa que la correlación cuántica es más fuerte que la clásica para todo valor de Φ excepto para los casos triviales en los que ambas son 0 o ±1.

Al respecto comenta Asher Peres:

«¿Sorprendido? Si así fuera, sería consecuencia de haber confiado en supersticiones cuánticas infundadas según las cuales la teoría cuántica adolece de más incertidumbre que la mecánica clásica. La verdad es exactamente la contraria: los fenómenos cuánticos son más disciplinados que los clásicos».¹

Notas

CAPÍTULO 1: LA APARICIÓN DE «Ψ» Y LOS SALTOS CUÁNTICOS

1. Esta figura está tomada de FisQuiWeb. El inicio de la Física Cuántica. El átomo de Bohr. http://web.educastur.princast.es/proyectos/fisquiweb/atomo/BohrII_B.htm

2. Bloch, Felix, «Heisenberg and the early days of quantum mechanics», Physics Today, 29, pp. 23-27 (1976).

3. Recogido en José M. Sánchez Ron, Historia de la física cuántica. Crítica, 2001, p. 466.

4. Más correctamente, la probabilidad es |ψ|², el cuadrado del módulo de ψ, que, para desconcierto del propio Schrödinger, es una función compleja.

5. Werner Heisenberg, Physics and beyond. Encounters and conversations. Harper and Row, 1971, pp. 73-75. (La traducción es de los autores. En cursiva las aclaraciones de los mismos.)

6. Janik, A; Toulmin, S., La Viena de Wittgenstein. Taurus, 1983, p. 115.

7. Ibíd., p. 83.

8. Canetti, E., La antorcha al oído. Alianza, 1984, p. 73.

9. Zweig, S., El mundo de ayer. El Acantilado, 2001, p. 40.

10. Farewell address at the University of Graz, Populäre Schriften, Leipzig, 1905 (citado por Mehra y Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, 5,1, p. 49.)

11. Citado por Navarro, J., Schrödinger. Una ecuación y un gato. Nivola, 2009, p. 29.

12. Ibíd., p. 27.

13. Citado por Navarro, J., Schrödinger. Una ecuación y un gato. Nivola, 2009, p. 16.

14. Citado por Navarro, J., Schrödinger. Una ecuación y un gato. Nivola, 2009, p. 179.

15. Ibíd., p. 171.

CAPÍTULO 2: SUPERPOSICIÓN Y COLAPSO

1. R. Feynman et al., The Feynman Lectures on Physics. Fondo Educativo Interamericano, 1971, III, pp. 1-2.

2. De hecho, existe una formulación de la mecánica cuántica debida a Richard Feynman (Premio Nobel de Física 1965) basada en que la amplitud de probabilidad de que una partícula cuántica vaya de un punto A a otro B se obtiene sumando (integrando) sobre todas las trayectorias posibles entre ambos puntos; todas ellas contribuyen, con una determinada fase cada una. El tratamiento general de este método (llamado «Integrales de camino») es técnicamente complicado y se halla fuera del propósito de este libro, pero su aplicación a los casos que estamos analizando es sencilla, llegándose a las mismas conclusiones aquí expuestas.

3. Davies, P.; Brown, J., El espíritu en el átomo. Alianza, 1989, p. 93.

4. Citado por Navarro, J., Schrödinger. Una ecuación y un gato. Nivola, 2009, p. 166.

5. Davies, P.; Brown, J., El espíritu en el átomo. Alianza, 1989, p. 91.

6. Peres, A.; Fuchs, C., «Quantum Theory needs no interpretation», Physics Today, Marzo 2000, pp. 70 y ss.

CAPÍTULO 3: MEDIR

1. Esta radical indeterminación de la naturaleza va más allá del Principio de Incertidumbre de Heisenberg, que establece que al medir una de dos magnitudes llamadas conjugadas (como la posición y la velocidad), la mayor precisión en una de ellas lleva a la imprecisión en la otra. Pero así como es posible sortear el Principio de Incertidumbre en ciertos experimentos, no es posible evitar que la medida rompa el estado de superposición previo a ella. (Véase Scully et al., «La dualidad en la materia y en la luz», Investigación y Ciencia, Temas 10, pp. 68-74.)

2. Nota para expertos: Excepto en el recuadro anterior, a lo largo del libro omitimos, por simplicidad, los coeficientes de |H> o |V>. En realidad los coeficientes pueden ser distintos (¡y hasta números complejos!), dando lugar a una infinitud de estados de superposición. Por mor de la sencillez convertimos esa infinitud en un solo estado representativo: el |H> + |V>.

3. Los electrones tienen una propiedad llamada espín que puede tomar dos valores. Dos electrones con distinto espín sí pueden estar en el mismo sitio. Son los electrones de verdad idénticos (con igual espín) los que no pueden estar juntos.

CAPÍTULO 4: ENTRELAZAMIENTO

1. Fotografía creada por Paul Kwiat y Michael Reck en la Universidad de Innsbruck en 1995. Más precisiones en http://images.iop.org/objects/physicsweb/world/15/11/9/photons.pdf

CAPÍTULO 5: DESIGUALDAD DE BELL

1. Decimos lógica ordinaria. Como se explica en el capítulo 8, la mecánica cuántica sí se ajusta a una cierta lógica formal matemáticamente inapelable.

2. Excepto, claro está, en el caso trivial de que la polarización inicial sea ya una de las dos que se discriminan.

3. Para los que lo hayan olvidado. El valor absoluto de un número es el que resulta de prescindir del signo que lleva ese número. Por ejemplo: |−5| = 5.

4. El signo «≤» aparece al recurrir a: |A + B| ≤ |A| + |B|. En el Apéndice B se da la demostración detallada.

5. Puede profundizarse sobre este asunto en el Apéndice D.

6. Reproducimos aquí el esquema presentado en el artículo original de Ursin et al., «Free-Space distribution of entanglement and single photons over 144 km», Nature Physics, 3, pp. 481-486 (2007).

7. Citado por Max Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics. Wiley, Nueva York, 1974, p. 161.

CAPÍTULO 6: LA ERA DE LA INFORMACIÓN CUÁNTICA

1. «Soy un ingeniero cuántico, pero los domingos tengo principios [me debo a los fundamentos].» Citado por N. Gisin de un «undergrown colloquium» dado por Bell en marzo de 1983.

2. Ekert, A., Cracking Codes II, +plus magazine (virtual), issue 35, 2005.

3. Gilders, Louise, The age of entanglement, Ed. Knopf, 2008, pp. 314-315.

4. Ibíd., p. 320.

5. Conferencia impartida en julio de 2002 en Oviedo, recogida en Journal of Modern Optics, 50, 6/7, pp. 991-993.

6. De los cuatro estados que —según hemos visto en el cuadro 6.1— puede obtener Alicia, al estado en el que sale un fotón por cada lado le corresponde precisamente que Benito obtenga un ψ′ igual al estado ψ original, de ahí que no tenga que hacer ninguna transformación de su estado.

7. Entrevista a Juan Ignacio Cirac, Revista Española de Física, julio-septiembre 2006, pp. 49-50.

8. Se puede completar esta información leyendo el artículo de Vedral, V., «Vivir en un mundo cuántico», Investigación y Ciencia, agosto 2011, pp. 17-21.

CAPÍTULO 8: BREVE EXCURSIÓN CASI FILOSÓFICA

1. Esto es lo que hizo John von Neumann, incrustando la MQ en la estructura matemática del espacio de Hilbert sobre el cuerpo de los números complejos.

2. Nota para expertos: nos referimos claro está a los estados puros, no a las mezclas estadísticas o matrices densidad.

CAPÍTULO 9: UNIVERSALIDAD DE LA TEORÍA CUÁNTICA

1. La longitud de Planck viene dada en términos de las constantes fundamentales (= h/2π, constante de Planck reducida); G, constante de la gravitación universal; c, velocidad de la luz en el vacío, por la expresión LP = , siendo su valor aproximadamente 10⁻³⁵ m.

APÉNDICE

1. Peres, Asher, Quantum Theory: Concepts and methods. Kluwer Academic, 1993, p. 162.

ILUSTRACIÓN 1. Muestra al científico dando garbosos saltos cuánticos. Cuando al saltar se acerca al núcleo emite radiación (figura de la izquierda). Cuando, por el contrario, se aleja del núcleo (figura de la derecha) absorbe radiación.

ILUSTRACIÓN 2. El científico, después de pasar por la primera ranura, se desdobla y pasa a la vez de forma fantasmal por las dos posibles rutas que le llevarán a la ranura final. Sólo adquiere su cuerpo completo en alguna de las rutas si alguien lo observa.

ILUSTRACIÓN 3. Benito, en Manila, y Alicia, en Madrid, miden, en la misma dirección, la polarización de cuatro pares de fotones entrelazados. Obtienen siempre resultados opuestos.

ILUSTRACIÓN 4. Si el observador colapsa la función de onda, ¿valdrá el gato como observador o quedará él mismo enredado en la superposición cuando observa el fotón en un camino u otro? ¿Hará falta que Schrödinger observe al gato que observa el fotón para que colapse la función de onda?

ILUSTRACIÓN 5. Hawking observa enfadado como ‘t Hooft «juega» con un agujero negro siguiendo las reglas de la teoría cuántica.

FIGURA 1.1. Representación de las cuatro rayas visibles del espectro del hidrógeno. Se ven, también, las frecuencias que corresponden a estos colores.

FIGURA 4.2. Superposición de tres fotografías realizadas con tres filtros de diferente frecuencia a la salida de un cristal de subconversión paramétrica.

FIGURA 5.7. Un cristal de subconversión paramétrica genera dos fotones entrelazados. Alicia, en La Palma, mide la polarización de uno de ellos, y Benito, en Tenerife, mide la polarización del otro. Miden en las direcciones A, B, C y D de la figura 5.6.

La realidad cuántica

Andrés Cassinello Espinosa y José Luis Sánchez Gómez

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© del diseño de la portada, Jaime Fernández, 2012

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© Andrés Cassinello Espinosa y José Luis Sánchez Gómez, 2012

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Primera edición en libro electrónico (epub): septiembre de 2012

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