Juegos

con números

Gyles Brandreth

COLECCIÓN LIBERTAD Y CAMBIO

SERIE JUEGOS

14

Título del original en inglés:

Number Play

© by Giles Brandreth, 1984

Traducción: Floreal Mazia

Cubierta: Acuatro

1a. Reimpresión en México, 1989

Edición digital: Sargont (2018)

© by Editorial Gedisa

Barcelona, España

Gestión, representación y dirección

para esta edición

Editorial Gedisa Mexicana, S.A.

México, D.F.

ISBN: 968-852-074-8

Impreso en México

Printed in México

INDICE

PREFACIO

Números asombrosos

¿Cuánto?

Travesuras de calculadoras

Delicias digitales

Pregunte adentro

Figuras fantásticas

Le está a…

Contextos históricos

El mundo cuadrado

El lenguaje de los números

Siga contando

Leyes y números

Misterios de la multiplicación

Nunca pares o impares

Probabilidades

Números desconcertantes

Que era lo que queríamos demostrar

Para llamar a todo el mundo

¡Algunas sumas!

Así es la vida

Números universales

Fracciones comunes

Palabras y números

X = 10

De año en año

De cero a fantastillones

RESPUESTAS

Prefacio

Este es un libro de un hombre que estuvo a punto de fracasar en el Ordinary level en Matemáticas, y que después del primer año abandonó la facultad de Economía. Por fortuna, eso no tiene mayor importancia, porque este no es un libro sobre matemáticas o economía... ni sobre religión, ya que estamos en eso. Es un libro sobre números... en todas sus variadas manifestaciones, desde los números de teléfono hasta los “cuadrados mágicos”; desde el número de días de la semana, hasta el de los dólares que contiene la cuenta bancaria de un multimillonario.

“Hay que saber contar —escribió Máximo Gorki—, aunque sólo sea para no casarse, a los cincuenta años, con una mujer de veinte.” Muy cierto. Si uno es dueño de una calculadora (o de diez dedos) y sabe contar —y tal vez hacer algunas sumas, restas, multiplicaciones y divisiones—, todos los problemas y desafíos del libro se encontrarán al alcance de su comprensión.

He dado por sentado que mis lectores ya sabe que el cubo de 99 es 970299, y que 0,015625 ( 26 ) es el equivalente de base decimal del número binario 0,000001, de modo que en este A a la Z de datos y fantasías numéricos he tratado de proporcionarle algunas informaciones con las cuales todavía no se encuentra muy familiarizado.

Para mí, la belleza de los números consiste en que están tan henchidos de sorpresas.

Números asombrosos

¿Usted sabía que...

... Si quiere ordenar 15 libros en un anaquel, en todas las formas posibles, y hace un cambio por minuto en ese orden, la tarea le llevaría 2.487.966 años?

... Una libra de hierro contiene más o menos 4.891.500.000.000.000.000.000.000 de átomos?

... Cuando tres parejas de conejos fueron llevadas a Australia y dejadas allí en libertad, les llevó menos de una década reproducirse en varios millones, convirtiéndose en un peligro para la economía agrícola australiana?

... Cada kilómetro cúbico de agua de mar contiene alrededor de 41.000.000 de toneladas de sustancias químicas, sin hablar del agua misma?

... En una partida de ajedrez existen 318.979.564.000 maneras posibles de jugar las cuatro primeras movidas, por parte de cada uno de los jugadores?

... La Tierra recorre casi dos millones y medio de kilómetros por día?

... Los hombres de ciencia calculan que la temperatura más elevada del universo es probablemente 120.000 veces mayor que la temperatura interior del Sol (14.000.000 °C)?

... Casi un habitante de la Tierra, de cada cuatro, es chino, y que según calculan algunos, la población de China, al final del siglo, será de 1.800.000.000 de personas?

... En la Torre Eiffel existen 2.500.000 remaches?

... 500 juegos de la edición de 1.112 volúmenes de las Actas Parlamentarias Británicas usaron el cuero de 34.000 cabras de la India, y oro por un valor de 15.000 esterlinas? Cada juego pesaba más de tres toneladas.

... Si se pusieran en fila, uno a continuación del otro, todos los vasos sanguíneos del cuerpo humano, tendrían una extensión de 160.000 kilómetros?

... Para escribir de corrido todas las distintas formas de combinar las letras del alfabeto en una tira de papel, dicha tira tendría una longitud de 160 millones de años-luz?

Para expresar números muy grandes o muy pequeños se acostumbra representarlos en la siguiente forma abreviada:

1010

=

10.000.000.000

109

=

1.000.000.000

108

=

100.000.000

107

=

10.000.000

106

=

1.000.000

105

=

100.000

104

=

10.000

103

=

1.000

102

=

100

101

=

10

100

=

1

10‒1

=

0

,1

10‒2

=

0

,01

10‒3

=

0

,001

10‒4

=

0

,000 1

10‒5

=

0

,000 01

10‒6

=

0

,000 001

10‒7

=

0

,000 000 1

10‒8

=

0

,000 000 01

10‒9

=

0

,000 000 001

10‒10

=

0

,000 000 000 1

... Las palabras que expresan números muy grandes se vienen usando desde hace mucho más tiempo de lo que se cree en general? En Inglaterra, la palabra millón se utilizó por primera vez en 1370, y trillón ya se empleaba por la década de 1480. La primera utilización británica de palabras referidas a números aún mayores es la que sigue:

Cuatrillón 1674 = 1024

Quintillón 1674 = 1030

Sextillón 1690 = 1036

Septillón 1690 = 1042

Octillón 1828 = 1048

Nonillón 1828 = 1054

Decillón 1845 = 1060

... En Francia existía una familia llamada 1792? La familia tenía cuatro hijos, cada uno de los cuales llevaba el nombre de un mes: enero 1792, febrero 1792, marzo 1792 y abril 1792.

... En el juego de bridge, las cartas de una mano pueden combinarse en 54.000.000.000.000.000.000.000.000.000 maneras diferentes?

... La Tierra sólo recibe 1/2.000.000.000 de la energía solar?

... Si las veinte montañas más altas del mundo fuesen colocadas, extendidas, una detrás de la otra, en dirección al Oeste, a partir de Londres, la cumbre de la última se encontraría a pocos kilómetros de Gloucester, en una extensión de 166 kilómetros?

... Suponiendo que usted necesite un minuto para contar hasta 200, si decidiera contar durante 12 horas diarias a ese ritmo, y no tuviese ningún compromiso urgente en el futuro previsible, le llevaría alrededor de 19.024 años, 68 días, 10 horas y cuarenta minutos contar hasta un trillón?

... Los protones tienen una estabilidad de 1028 años, pero que los neutrones sólo duran 15 minutos? Si comparamos la vida de un neutrón con el tiempo promedio que hace falta para beber un vaso de cerveza, habría que beber durante 20.000.000.000.000 de veces la edad actual del Universo para vivir tanto como un protón?

... Si uno desmantelara la Gran Pirámide de Cheops o utilizara la piedra para construir una pared del grosor de un ladrillo y 50 centímetros de alto, la muralla daría la vuelta a toda la Tierra?

... Si las dimensiones del núcleo de un átomo aumentaran hasta las de una canica de un centímetro de diámetro, tendría una masa de 100.000.000 de toneladas?

... En un mazo de cartas de póker, los 52 naipes pueden mezclarse en unas 80.660.000.000.000.000.000.000.000. 000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 de formas diferentes?

... El número más grande que se puede escribir con tres dígitos es 9(99), que es nueve elevado a la 387.420.489ésima potencia? Se calcula que la hilera de dígitos tendría cerca de 965 kilómetros de longitud, y su lectura llevaría unos 150 años.

... Cuando las esferográficas hicieron su primera aparición en el Reino Unido, se vendieron cerca de 53.000.000 de ellas, casi una por habitante?

... Si uno decidiera poner una moneda de un penique en la primera casilla de un tablero de ajedrez, seguida por dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, y así de seguido, duplicando la cantidad de peniques a medida que avanza, en el último casillero (el 649) tendría que poner 9.223.372.036.854.775.808 peniques?

¿Cuánto?

Escala y medida

Se pueden encontrar escalas dondequiera que uno se vuelva: en los rascacielos tanto como en los pianos. Pero las que me resultan más atrayentes son las menos familiares, que van a continuación. Las dos primeras gobiernan impar de sentidos: el oído y el tacto.

Oído

Los decibeles miden la fuerza o intensidad relativa de los sonidos: un sonido de 2Q decibeles es diez veces más intenso que uno de 10 decibeles; uno de 30 decibeles, cien veces más intenso, y así de seguido. Un decibel corresponde, en forma aproximada, a la más pequeña diferencia entre dos sonidos que pueda ser percibida por el oído humano. Para facilitar el cálculo, la siguiente escala debería ayudarlo a evaluar la intensidad de un sonido:

10 decibeles

Un sonido muy leve

20 decibeles

Una conversación en voz baja

30 decibeles

Una conversación normal

40 decibeles

Un tránsito liviano

50 decibeles

Máquina de escribir, conversación en voz alta

60 decibeles

Oficina ruidosa

70 decibeles

Tránsito normal, tren lento

80 decibeles

Música de rock, tren subterráneo

90 decibeles

Tránsito intenso, trueno

100 decibeles

Despegue de avión de reacción

140 decibeles

Doloroso para el oído humano

Tacto

Escala de dureza de Moh

Funciona según el principio de la comparación de la dureza de materiales, midiéndolos con diez de ellos, a saber:

Mineral

Prueba de dureza

Dureza

de Moh

Talco

Se quiebra con una uña

1,0

Yeso

Se raspa con una uña

2,0

Calcita

Se raspa con una moneda de cobre

3,0

Fluorita

Se raspa con un vidrio

4,0

Apatita

Se raspa con un cortaplumas

5,0

Feldespato

Se raspa con el cuarzo

6,0

Cuarzo

Se raspa con una lima de acero

7,0

Topacio

Se raspa con el corindón

8,0

Corindón

Se raspa con el diamante

9,0

Diamante

Se raspa con el diamante

10,0

Y he aquí un par de escalas para medir las fuerzas elementales.

Terremotos

En la actualidad estamos habituados a escuchar que la fuerza de los terremotos se expresa en la Escala de Richter, pero existen otras escalas. Personalmente prefiero la Escala de Intensidad Mercalli. Esta mide la fuerza de un terremoto por las impresiones que provoca en un observador, antes que por el uso de un instrumento... cosa que tal vez resulta más útil si uno se encuentra en el centro de un terremoto, cuando se inicia, y. no tiene a mano su sismógrafo de bolsillo.

Escala de Intensidad Mercalli

I Detectable por un observador experto tendido en el suelo. Microsismos.

II Sentidos por unos pocos. Los objetos de equilibrio escasamente estable pueden oscilar.

III Vibración todavía no reconocida por muchos. Débil.

IV Sentida por la mayor parte de las personas que se encuentran en ambientes cerrados, pero por pocos que están afuera. Terremoto moderado.

V Sentido por casi todos. Muchos despiertan. Los objetos poco estables se mueven.

VI Sentido por todos. Los objetos pesados se mueven. Alarma. Fuerte.

VII Alarma general. Los edificios más débiles reciben considerables daños. Muy fuerte.

VIII Daños generales, salvo en los edificios antisísmicos.

IX Los edificios se desploman, desplazados de sus cimientos. Se abren grietas en la tierra.

X Destrucción de edificios de mampostería, rieles doblados, profundas fisuras en el terreno. Devastador.

XI Pocas estructuras quedan en pie (si queda alguna). Caen los puentes. Rieles retorcidos. Catastrófico.

XII Destrucción total. Las vibraciones deforman la visión. Muchos objetos lanzados al aire. Catástrofe de enormes dimensiones.

Vientos

La Escala Beaufort es una serie de números que van del 0 al 17, y que indican la fuerza del viento. Los números del 0 al 12 fueron codificados por el almirante sir Francis Beaufort, en 1806, para indicar la fuerza del viento, desde una calma, fuerza 0, hasta un huracán, fuerza 12... “que ninguna vela puede resistir”. Los números 13 al 17 fueron agregados a la Escala Beaufort, por la Oficina Meteorológica de Estados Unidos (United States Weather Bureau), en 1955.

Grados

Beaufort

Millas

por hora

Descripción

Observaciones

0

0 - 1

Calma

El humo se eleva verticalmente

1

1 - 3

Aire ligero

El humo se inclina ligeramente

2

4 - 7

Brisa ligera

Las hojas susurran

3

8 - 12

Brisa fresca

Las hojas y las ramitas susurran

4

13 - 18

Brisa moderada

Las ramas pequeñas se mueven

5

19 - 24

Brisa fresca

Los árboles pequeños oscilan

6

25 - 31

Brisa fuerte

Las ramas grandes oscilan

7

32 - 38

Borrasca

moderada

Arboles grandes oscilan

8

39 - 46

Borrasca fresca

Se quiebran ramitas

9

47 - 54

Borrasca fuerte

Se quiebran ramas

10

55 - 63

Tempestad

Se quiebran árboles, y son derribados

11

64 - 75

Tempestad violenta

Provoca grandes daños

12

Más de 75

Huracán

Daños extremos

13

14

15

16

17

83 - 92

93 - 103

104 - 114

115 - 125

126 - 136

Huracán

Del acidímetro al zimómetro

Los acidímetros y los zimómetros son el alfa y el omega de los instrumentos de medición. No resulta difícil adivinar que el acidómetro mide la acidez. Y por si todavía no lo sabía, el zimómetro es un instrumento usado para medir la fermentación. He aquí una selección de veinte unidades de medición poco comunes, con detalles respecto de lo que miden.

1

Cefalómetro

Cráneos

2

Halómetros

Forma, ángulos y planos de cristales

3

Solcómetro

Velocidad de los barcos

4

Viámetro

Distancia recorrida

5

Oscilómetro

Rolido de barcos o aviones

6

Galactómetro

Flujo de la leche

7

Ovímetro

Huevos de aves

8

Telémetro

Objetos distantes

9

Astrofotómetro

Intensidad de la luz de las estrellas

10

Cimómetro

Angulo de elevación

11

Dendrómetro

Arboles

12

Pirheliómetro

Calor del sol

13

Litrámetro

Gravedades específicas de los líquidos

14

Atmidómetro

Velocidad de evaporación

15

Inclinómetro

Fuerza magnética terrestre

16

Conímetro

Polvo

17

Tribómetro

Fricción de deslizamiento

18

Drosómetro

Rocío

19

Orómetro

Altitud de las montañas

20

Reflectómetro

Contenido de humo

Ahora le toca a usted. Abajo hay otros diez instrumentos, con los materiales, elementos o fenómenos que miden. Por desgracia se encuentran fuera del orden correcto. Vea si puede aparearlos como corresponde.

1

Gradiómetro

a)

Pequeñas corrientes eléctricas

2

Contómetro

b)

Cálculo

3

Galvanómetro

c)

Salinidad

4

Potómetro

d)

Absorción de agua

5

Salinómetro

e)

Gravedad específica de la orina

6

Urinómetro

f)

Gradientes

7

Argentímetro

g)

Capacidad pulmonar

8

Polarímetro

h)

Concentración de las soluciones de plata

9

Vibrómetro

i)

Vibraciones

10

Espirómetro

j)

Polarización de la luz

Solución

Cuidado con los segundos

Un año importante en la vida del humilde segundo fue el de 1967. En ese año se redefinió el segundo como 9.192.631.770 períodos de vibración del cesio.

La mayor parte de las personas se conforman con saber que existen 60 segundos en un minuto. Pero si su cerebro lo resiste, puede que desee explorar los reinos del gigasegundo, o investigar el tiempo de vida del attosegundo. (Para los no iniciados, el gigasegundo es igual a un poco más de treinta años, y el attosegundo, que se abrevia as, equivale a 0,000 000 000 000 000 01 de segundo.) Por cierto que debería saber que existen 86.400 segundos en un día, 604.800 en una semana, 2.592.000 en un mes de 30 días, y que un segundo es 0,000 011 6 de un día.

Antes de entusiasmarse demasiado con las ramificaciones de la medición de tiempos con este grado de precisión, vale la pena meditar acerca de la opinión del hombre de ciencia a quien se le preguntó qué era mejor, si un reloj roto o uno que atrasaba diez minutos por día. Después de pensarlo mucho, el científico anunció que el reloj roto era sin duda alguna el mejor, ya que daba lahora exacta dos veces por día, en tanto que el que atrasaba diez segundos sólo sería exacto una vez cada 11,8 años.

Miscelánea de medidas

Muchas de las primeras unidades de medida han caído en desuso hace mucho tiempo, en tanto que otras sólo encuentran aplicación en una cantidad muy reducida de actividades especializadas. ¿Cuántas de ellas puede usted aparear en forma correcta?

1

Balthazer

a) Inductancia

2

Faradio

b) Fuerza

3

Mano

c) Resistencia eléctrica

4

Ampere

d) 24 hojas de papel

5

Eslabón

e) Ocho botellas grandes de champaña

6

Estadio

f) Presión termodinámica

7

Radián

g) 120 brazas

8

Hertzio

h) Centésima parte de una cadena

9

Henrio

i) Corriente eléctrica

10

Jeroboam

j) Frecuencia

11

Newton

k) Potencia

12

Coulombio

1) Capacitancia eléctrica

13

Joulio

m) Trabajo, energía

14

Vatio

n) 6,4 pintas de champaña/coñac

15

Kelvin

o) 192 metros

16

Ohmio

p) Angulo plano

17

Resma

q) 480 hojas de papel

18

Mano

r) Carga eléctrica

19

Milla náutica (internacional)

s) Cuatro pulgadas

20

Cable

t) 6076,1033 pies

Solución

Travesuras de calculadoras

La calculadora parlante

Las calculadoras pueden ser instrumentos encantadoramente comunicativos, si se les da una oportunidad y una mano. ¿Usted está cansado de calcular el IVA o de determinar cuánto peor van sus cosas en comparación con un año atrás? ¿De veras? Bien, su calculadora puede consolarlo. Escriba en ella, 0,04008, vuelva al aparato boca abajo y lea lo que se ve en la pantalla. ¡Ahí tiene! Su calculadora muestra un adecuado sentimiento de solidaridad: dice “Boohoo” (Buujúu, onomatopeya, en inglés, de un llanto quejumbroso).

A pesar de lo limitado que es su lenguaje, las calculadoras pueden enunciar una cantidad asombrosa de palabras, y todo ello usando nueve letras del alfabeto, que se obtienen así:

Para obtener B escriba 8

Para obtener E escriba 3

Para obtener G escriba 6 (para la G mayúscula, escriba 9)

Para obtener H escriba 4

Para obtener I escriba 1

Para obtener L escriba 7

Para obtener O escriba 0

Para obtener S escriba 5

Para obtener Z escriba 2

Recuerde que debe escribir los números en su calculadora empezando por la última letra, ya que estará leyendo las letras “cabeza abajo”. Algunos ejemplos:

BELLO se escribe 07738

BIOLOGO se escribe 0607018

BESO se escribe 8350

LOBO se escribe 7080

HIELO se escribe 41370

Etcétera. Es evidente que un diccionario le proporcionará el vocabulario que necesita.

Póker con la calculadora

Cuando se le ha agotado la conversación calculada, puede jugar a los naipes con su calculadora.

En esta versión del Póker de Calculadora, el objetivo del juego es exactamente el mismo que el que se busca con los naipes, a saber, terminar con la mejor mano. Abajo le damos las manos. Aparte de eso, lo único que necesita es dos o más jugadores, una calculadora por jugador, papel y lápices.

El juego se desarrolla así:

1. Cada jugador escribe al azar un dígito de cuatro números, en su calculadora. El cero no está permitido.

2. Cada jugador oprime la tecla x y luego pasa la calculadora a la izquierda. Cuando se entregan, las pantallas deben estar cubiertas.

3. Sin mirar los números de las pantallas, los jugadores escriben ahora otro número de cuatro dígitos, también al azar, y devuelven las calculadoras a sus dueños.

4. Los dueños oprimen las teclas de igual (=) y examinan las respuestas.

5. La mano de juego está formada por los siete dígitos que aparecen a la derecha de la pantalla. De esta selección, cada jugador debe elegir los cinco dígitos que le darán la mejor mano. (En este juego, el cero cuenta como diez, y por lo tanto es la carta más alta.)

6. Cuando todos los jugadores han elegido sus manos, miran el esquema y deciden quién tiene la mejor mano, y por lo tanto es el ganador. Las manos con el mayor puntaje figuran primero en la lista. A los ganadores se les otorga un punto. El primer jugador que llega a los diez puntos habrá ganado el juego.

Las manos

Cinco números iguales

por ej. 88888

Escalera real - iguales

por ej. 24680

Escalera real - desiguales

por ej. 51379

Póker

por ej. 63666

Full

por ej. 47477

Color - iguales

por ej. 24648

Color - desiguales

por ej. 13351

Escalera

por ej. 12345

Tres números iguales

por ej. 98995

Pares dobles

por ej. 48184

Un par

por ej. 73274

Si hay empate, gana el jugador con el puntaje más alto. Cero en seis

Cero en seis

El objetivo de este juego de calculadora es llegar a cero en seis movidas, y no se compite con ningún otro, porque se trata de un juego para jugarlo usted mismo. Procede de la siguiente manera:

1. Escribe cualquier número de seis cifras en su calculadora, siempre que no use el cero y que no se repita ningún dígito.

2. Ahora tiene seis movidas para tratar de llegar a cero.

3. Puede usar cualquier función matemática que le agrade, en cada movida, y emplear cualquier número de dos dígitos.

4. Aunque parezca evidente que debe seguir dividiendo y restando para reducir su total, es posible que encuentre que es mejor sumar o inclusive multiplicar para llegar a un número que entonces puede ser exactamente divisible por otro.

(Una vez que haya dominado el juego de llegar a cero en seis movidas, ¿por qué no trata de hacerlo en cinco?)

Ejemplo:

1

Supongamos que ha escrito 583621

583621

2

En su primer movimiento suma 19

+

19

583640

Luego divide por 40

=

14591

Después resta 11

=

14580

Luego divide por 45

=

324

Luego divide por 12

=

27

Después resta 27 de la última movida

=

0

Pares y nones

En este juego ocho dígitos —1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9— divididos en pares y nones. Un jugador toma los nones, el otro los pares, y cada uno de ellos trata de llegar a un total más elevado que el otro. El juego se desarrolla así:

1 Eche a suertes para ver quién será nones. Nones tiene la primera movida.

2 Ambos jugadores eligen un número y lo escriben en sus respectivas calculadoras.

3 Nones elige entonces una función matemática. La multiplicación puede ser elegida una sola vez por cada jugador, de modo que debe tener cuidado para decidir el momento en que la elegirá.

4 Ambos jugadores oprimen la tecla de la función elegida, y luego escriben otro de sus dígitos. Después cada uno oprime la tecla =.

5 Entonces le toca a pares elegir una de las funciones matemáticas. Los jugadores la escriben, y después eligen otro de sus dígitos. A continuación oprimen la tecla de =.

6 El juego continúa de esa manera hasta que se han agotado los dígitos.

He aquí un ejemplo:

Pares escribe

7

Nones escribe

6

Elige la SUMA

Escribe 3

= 10

Escribe 4

= 10

Elige MULTIPLICAR

Escribe 9

= 90

Escribe 8

= 80

Elige DIVIDIR

Escribe 1

= 90

Escribe 2

= 40

Nones ha ganado, con el total más alto.

Los diez mejores

Para este juego necesitará un par de dados, así como una calculadora por persona. Cada jugador se turna para echar los dados, y según el total que indiquen éstos, ejecutará en su calculadora una de las cuatro funciones matemáticas. El objetivo del juego es terminar con el puntaje más elevado luego de diez movidas.

Se juega así:

1 Se utiliza una moneda, arrojada a cara o cruz, para ver quién comenzará.

2 Los jugadores se turnan para echar los dados, y anotan en sus calculadoras los totales que obtienen.

3 El primer jugador echa los dados de nuevo, y mira la tabla para ver qué debe hacer:

... si saca 2, agrega 2

... si saca 3, agrega 3 (sin hacer ninguna operación)

... si saca 4, multiplica por 4

... si saca 5, resta 5

... si saca 6, suma 6

... si saca 7, multiplica por 7

... si saca 8, resta 8

... si saca 9, suma 9

... si saca 10, anota 10 (sin operación alguna)

... si saca 11, divide por 11

... si saca 12, multiplica por 12

4 El segando jugador echa entonces los dados y mira la tabla para ver qué debe hacer.

5 El juego continúa de esa manera hasta que los jugadores han echado los dados diez veces. El jugador que obtiene el total más alto es el ganador.

Ejemplo:

Jugador A

Jugador B

Jugador C

echa 6

6

echa 9

9

echa 11

11

echa 5 (−)

1

echa 4 (×)

36

echa 7 (×)

77

echa 4 (×)

4

echa 2 (+)

38

echa 9 (+)

86

echa 9 (+)

13

echa 3 (/)

383

echa 5 (−)

81

echa 8 (−)

5

echa 2 (+)

385

echa 10 (/)

8.110

echa 12 (×)

60

echa 4 (×)

1540

echa 3 (/)

81.103

echa 6 (+)

66

echa 7 (×)

10780

echa 9 (+)

81.112

echa 2 (+)

68

echa 5 (−)

10775

echa 11 (÷)

7.373,8

echa 12 (×)

816

echa 11 (÷)

979,5

echa 8 (−)

7.365,8

echa 4 (×)

3.624

echa 5 (−)

974,5

echa 5 (−)

7.360,8

El jugador C gana con el total más elevado.

¿Qué edad tiene?

¿Cuál es su edad? No es una pregunta que se le pueda formular a cualquiera, y por eso sólo se la hago a los jóvenes. Si nació antes del 1 de enero de 1960, o en esa fecha, ¿qué edad tiene? ¡No, no en años! ¡No en meses, no en días, no en horas ni en minutos, sino en segundos! ¿Cuántos segundos han transcurrido desde que nació? Con una calculadora puede descubrirlo. He aquí cómo.

Primer paso. Copie la lista de años que figura a continuación. Trace una línea debajo del año en el cual nació y una segunda línea sobre el año actual. Cuente la cantidad de años que hay entre las dos líneas que trazó y multiplique ese número por 365. Luego cuente el número de X qué hay entre las dos líneas y agregue ese número al total de la calculadora.

1960

X

1973

1961

1974

1962

1975

1963

1976

X

1964

X

1977

1965

1978

1966

1979

1967

1980

X

1968

X

1981

1969

1982

1970

1983

1971

1984

X

1972

X

1985

Segundo paso. En la lista de meses que va más abajo, encuentre el mes en el cual nació y súmele el número que va al lado al total anterior de la calculadora.

Enero

366

Julio 184

Febrero

335

Agosto 153

Marzo

306

Setiembre 122

Abril

275

Octubre 92

Mayo

245

Noviembre 61

Junio

214

Diciembre 31

Tercer paso. Reste el día del mes en el cual nació.

Cuarto paso. Si nació en enero o febrero de cualquier año que no esté marcado con una X, reste uno. Si nació en marzo, o en cualquier otro mes posterior, no importa de qué año fue-re, no haga nada en este paso. Y si nació en cualquier momento de cualquiera de los años marcados con X, tampoco haga nada.

Quinto paso. Usando la nueva lista de meses que va a continuación, busque el mes calendario actual y sume al total anterior el número que sigue a dicho mes.

Enero

0

Julio

182

Febrero

31

Agosto

213

Marzo

60

Setiembre

244

Abril

91

Octubre

274

Mayo

121

Noviembre

305

Junio

152

Diciembre

335

Sexto paso. Si el mes actual no es enero o febrero, y el año actual no tiene la marca de la x, reste 1. Si el mes no es enero o febrero, pero el año está marcado con una x, no reste 1. Y si el año no está marcado con una x, pero el mes es enero o febrero, una vez más, no haga nada en este paso.

Séptimo paso. Sume un número menos que el día del mes que es hoy.

Octavo paso. Multiplique por 24.

Noveno paso. Si no conoce la hora del día en que nació, sume 24 al total de la calculadora, saltéese los pasos Noveno y Décimo, y vaya al Paso 11. Su respuesta no será exacta, pero sí muy aproximada. Si conoce la hora en que nació, búsquela en la lista de horas que va a continuación. Luego sume el número correspondiente al total de su calculadora.

Medianoche

24

Mediodía

12

1

23

1

11

2

22

2

10

3

21

3

9

4

20

4

8

5

19

5

7

6

18

6

6

7

17

7

5

8

16

8

4

9

15

9

3

10

14

10

2

11

13

11

1

Paso 10. Mire qué hora es ahora. Una vez más, prescinda de los minutos. Busque la hora en la lista de horas que va más abajo y sume el número correspondiente al total actual de su calculadora.

Medianoche

0

Mediodía

12

1

1

1

13

2

2

2

14

3

3

3

15

4

4

4

16

5

5

5

17

6

6

6

18

7

7

7

19

8

8

8

20

9

9

9

21

10

10

10

22

11

11

11

23

Paso 11. Multiplique por 60.

Paso 12. Si no conoce el minuto en que nació, saltéese los pasos 12 y 13, y vaya al 14. Si conoce el minuto, haga caso omiso de la hora y reste del total de la calculadora la cantidad de minutos.

Paso 13. Mire de nuevo el reloj. Haga caso omiso de la hora y sume los minutos al total de la calculadora.

Paso 14. Esta es su edad en minutos, hasta el minuto actual. Para calcular su edad en segundos, tendrá que multiplicar por 60. Si su calculadora sólo puede darle un número de ocho dígitos, puede obtener la respuesta multiplicando por seis y luego escribiendo el total de la calculadora, con un cero más al final.

Ahora que conoce la respuesta, ¿cómo se siente uno al saber que tiene una edad de millones de segundos?

Delicias digitales

¿Qué es un dígito?

Para un anatomista, un dígito es un dedo. Para un astrónomo, que mide un eclipse, un dígito es la duodécima del diámetro de un sal o una luna.

Para un matemático, un dígito es cualquier número, de cero a nueve.

Suma de nueve dígitos

En cada una de estas sumas se usan una vez los dígitos de uno a nueve; una sola vez.

243

―

341

―

154

―

317

+

675

+

586

+

782

+

628

918

927

936

945

216

215

318

235

+

738

+

748

+

654

+

746

954

963

972

981

Los totales son curiosos: cada uno comienza con un nueve y es seguido por una cifra que es múltiplo de nueve.

Potencia del cuadrado

¿Tiene alguna idea acerca de cuál es el número más pequeño cuyo cuadrado contiene todos los dígitos, de cero a nueve, usados una sola vez? ¿Y tiene alguna idea de cuál es el número más grande que posee esas características? La respuesta a la primera pregunta es: 32043.

32043 × 32043 = 1026753849

La respuesta a la segunda es: 99066.

99066 × 99066 = 9814072356

Una vez, y sólo una

En cada una de estas multiplicaciones aparecen, una vez y soló una, todos los dígitos, de uno a nueve:

4 ×

1738

=

6952

4 ×

1973

=

7852

12 ×

483

=

5794

18 ×

297

=

5346

27 ×

198

=

5346

28 ×

157

=

4396

39 ×

186

=

7254

42 ×

138

=

5796

48 ×

159

=

7632

De uno a nueve, y agregue solamente dos

123456789

987654321

123456789

987654321

+ 2

2222222222

Todos los dígitos de 45

He aquí algunas sencillas sumas que parecen llevar en forma inexorable al número 45.

123456789

= 45(1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45)

+ 123456789

= 45

246913578

= 45(2+4+6+9+1+3+5+7+8 = 45)

987654321

= 45(9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45)

‒ 123456789

= 45

864197532

= 45(8+6+4+1+9+7+5+3+2 = 45)

123456789

= 45

× 2

246913578

= 45(2+4+6+9+1+3+5+7+8 = 45)

987654321

= 45

× 2

1975308642

= 45(1+9+7+5+3+0+8+6+4+2 = 45)

123456789

= 45

÷ 2

61728394,5

= 45(6+1+7+2+8+3+9+4+5 = 45)

987654321

= 45

÷ 2

493827160,5

= 45(4+9+3+8+2+1+6+0+5 = 45)

Y ahora vea qué ocurre cuando suma los resultados de las dos divisiones:

61728394,5

+ 493827160,5

= 45(5+5+5+5+5+5+5+5+5+0 = 45)

555555555,0

Y ahora trate de sumar los resultados de las dos multiplicaciones:

246913578

+ 1975308642

2222222220

= 18(2+2+2+2+2+2+2+2+2+0 = 18)

Y: 1 + 8 = 9

Por último, sume las dos hileras de dígitos en las secuencias 1-9 y 9-1:

123456789

+ 987654321

1111111110

= 9 (1+1+1+1+1+1+1+1+1+0 = 9)

y multiplique ese resultado por 5:

1111111110

× 5

5555555550

= 45 (5+5+5+5+5+5+5+5+5+0 = 45)

Dos son compañía

2 × 5 = 10, ¿verdad? Bien, si se repite cinco veces el número dos, es posible producir el valor de todos los dígitos, de cero a nueve, o, en este caso, de uno a cero.

Vea:

2 + 2 ‒ 2 ‒ 2 / 2

= 1

2 + 2 + 2 ‒ 2 ‒ 2

= 2

2 + 2 ‒ 2 + 2 / 2

= 3

2 × 2 × 2 ‒ 2 ‒ 2

= 4

2 + 2 + 2 ‒ 2 / 2

= 5

2 + 2 + 2 + 2 ‒ 2

= 6

22 + 2 ‒ 2 ‒ 2

= 7

2 × 2 × 2 + 2 ‒ 2

= 8

2 × 2 × 2 + 2 / 2

= 9

2 ‒ 2 / 2 ‒ 2 / 2

= 0

Una mancha en el cuaderno

¿Quién no recuerda la antigua excusa: “Se me manchó el cuaderno, señor”? No servía para mucho en la escuela, cuando uno no había hecho sus deberes domésticos, y sirve mucho menos ahora, porque existe una manera mejor de hacer una suma como ésta:

Con las tres cifras que quedan, y que puede leer, ¿le es posible descubrir las que faltan, dado que los diez dígitos, de uno a cero, se usaron primitivamente en el cálculo?

Solución

En una ocasión conocí a una persona que tenía más de cien años. Se llamaba John Badley, y era el fundador de la escuela en la cual me eduqué (o por lo menos intenté hacerlo). He aquí un ejemplo de cómo el señor Badley, quien ya había entrado en su undécima década, solía recrear su mente. Se trata de simples expresiones aritméticas en las cuales aparecen todos los dígitos, de 1 a 9, en orden creciente y sin repetirse, y que, utilizando sólo sumas, restas, multiplicaciones, dan siempre el mismo resultado: cien.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + (8 × 9) = 100

− (1 × 2) − 3 − 4 − 5 + (6 × 7) + (8 × 9) = 100

1 + (2 × 3) + (4 × 5) − 6 + 7 + (8 × 9) = 100

(1 + 2 – 3 − 4) (5 – 6 – 7 – 8 − 9) = 100

1 + (2 × 3) + 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

(1 × 2) + 34 + 56 + 7 − 8 + 9 = 100

12 + 3−4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

123 – 4 – 5 – 6 − 7 + 8 − 9 = 100

Todos menos ocho

12345679

×

99999999

111111111

111111111‒

111111111‒‒

111111111‒‒‒

111111111‒‒‒‒

111111111‒‒‒‒‒

111111111‒‒‒‒‒‒

111111111‒‒‒‒‒‒‒

1234567887654321

Todos los nueves

Todos los dígitos, del uno al nueve, se utilizan en estas multiplicaciones; es decir, todos, menos el ocho. Pero si se multiplica 12345679 por los nueve primeros múltiplos del nueve, se obtienen algunos resultados interesantes, y si el dígito de cada producto se multiplica por el número de dígitos de cada producto (nueve), se verá que se produce otro resultado interesante.

12345679 × 9 = 111111111

12345679 × 18 = 222222222

12345679 × 27 = 333333333

12345679 × 36 = 444444444

12345679 × 45 = 555555555

12345679 × 54 = 666666666

12345679 × 63 = 777777777

12345679 × 72 = 888888888

12345679 × 81 = 999999999

Dígitos cuadrados y cúbicos

Todos los dígitos, del uno al nueve, aparecen en estas dos cifras y en su producto, que es el cuadrado de otro número que también usa los dígitos del uno al nueve:

246913578 × 987654321 = 4938271562

Estos dos números y sus cuadrados utilizan los dígitos del uno al nueve:

854 × 854 = 729316 567 × 567 = 321489

Ahora trate de restar el cubo de 641 del cubo de 642:

641 × 641 × 641 = 263374721

642 × 642 × 642 = 264609288

264609288

‒ 263374721

1234567

Sorpresas al cuadrado

Cada uno de los números que siguen usan tres dígitos diferentes. Pero en cada uno de los casos se pueden sumar los tres dígitos, elevar el resultado al cuadrado y luego dividirlo por el número primitivo, sin que quede un residuo. He aquí los diez números:

162, 243, 324, 392, 405, 512, 605, 648, 810, 972.

Y esto es lo que ocurre con cada uno de ellos:

1 + 6 + 2 =

9

3 + 9 + 2 =

14

9 × 9 =

81

14 × 14 =

196

162 + 81 =

2

392 + 196 =

2

2 + 4 + 3 =

9

4 + 0 + 5 =

9

9 × 9 =

81

9 × 9 =

81

243 + 81 =

3

405 + 81 =

5

3 + 2 +4 =

9

5 + 1 + 2 =

8

9 × 9 =

81

8 × 8 =

64

324 + 81 =

4

512 + 64 =

8

6+0+5=

11

8 + 1 + 0 =

9

11 × 11 =

121

9 × 9 =

81

605 +121 =

5

810 + 81 =

10

6+4+8 =

18

9 +7 + 2 =

18

18 × 18 =

324

18 × 18 =

324

648 + 324 =

2

972 + 324 =

3

Y ahora echemos la red un poco más lejos —en rigor, para abarcar cualquier número impar—, y veamos qué podemos hacer.

1. Elija cualquier número impar y elévelo al cuadrado.

2. Encuentre los dos números consecutivos que, sumados, componen ese cuadrado.

3. Eleve esos dos números al cuadrado.

4. ¡La diferencia entre esos dos cuadrados será igual al cuadrado del número elegido al principio!

He aquí un par de ejemplos:

1

192

=

361

2

180 +181

=

361

3

1812

=

32761

1802

=

32400

4 Restar

=

361

1

972

=

9409

2

4704 + 4705

=

9409

3

47052

=

22137025

47042

=

22127616

4 Restar

=

9409

Curiosidades al cubo

152, 251 y 237 pueden parecerle, a primera vista, dígitos que no tienen mucho en común entre sí, pero es posible hacer que produzcan los cubos de tres, cuatro y cinco, respectivamente, si se siguen las reglas que van a continuación:

1. Eleve cualquiera de esos números al cuadrado.

2. Sume los dos primeros y los dos últimos dígitos de cada cuadrado.

3. Y encontrará que la respuesta es igual al cubo de tres, cuatro o cinco, según el número que haya empleado.

Se lo mostraré:

152

1

1522

=

23104

2

23 + 04

=

27

3

33

=

27

251

1

2512

=

63001

2

63 + 01

=

64

3

43

=

64

237

1

2372

=

56169

2

56 + 69

=

125

3

53

=

125

Dígame un número

Ahora le toca a usted. Me agradaría que pensara un número que use algunos dígitos de uno a nueve una sola vez, y que piense otro número que utilice el resto de los dígitos, y que sea el doble del primer número. ¿Entendido? Muy bien.

En este segundo problema (más fácil), lo único que tiene que hacer es pensar una manera de escribir el número uno usando todos los dígitos, de cero a nueve.

Soluciones

Productos apareados

Aquí hay más trabajo para usted, me temo. Tenga la bondad de escribir cualquier dígito de tres números. Ahora multiplíquelo por 11, y después multiplique el producto por 91. Eche una mirada al total que ha obtenido, y verá que en realidad ha producido dos veces el número que eligió al comienzo. Trate de hacerlo otra vez, con un número diferente de tres dígitos, y verá que el resultado vuelve a repetirse.

Vea:

222

719

× 11

× 11

2442

7909

× 91

× 91

222222

y

719719

Pregunte adentro

En el diagrama siguiente debería poder encontrar THREE (TRES) escritos horizontal, vertical o diagonalmente, de adelante hacia atrás o de atrás hacia adelanté. (Este capítulo no tendría que llamarse Pregunte Adentro. En verdad debería titularse Investigue Atrás, porque allí es donde hallará todas las respuestas.)

Solución

Uno de cada tres

En estos días, uno de cada tres matrimonios termina en un divorcio. Según parece, los años críticos de cada matrimonio son los anteriores al aniversario de Estaño y los posteriores al de Porcelana. Si abriga la esperanza de llegar a las bodas de Oro, querrá —y necesitará— saber cómo se denominan los aniversarios intermedios. Este acertijo le resultará útil para ello. Lo único que tiene que hacer es mirar la lista de objetos y materiales, y decidir con cuál de los aniversarios están vinculados. (Si no conoce las respuestas, vea en la parte final del libro, y después consulte a la Asesoría Matrimonial oficial.)

Objetos y materiales

1 Platino

10 Frutas, flores

18 Cristal

2 Lana, cobre

11 Bronce, cerámica

19 Azúcar

3 Marfil

12 Estaño

20 Cuero

4 Perla

13 Acero

21 Seda, lino

5 Rubí

14 Plata

22 Madera

6 Cerámica, sauce

15 Coral

23 Porcelana

7 Esmeralda

16 Encaje

24 Oro

8 Zafiro

17 Papel

25 Diamante

9 Algodón

Los aniversarios

Primero

Décimo

Vigésimo quinto

Segundo

Undécimo

Trigésimo

Tercero

Duodécimo

Trigésimo quinto

Cuarto

Decimotercero

Cuadragésimo

Quinto

Decimocuarto

Cuadragésimo quinto

Sexto

Decimoquinto

Quincuagésimo

Séptimo

Vigésimo

Quincuagésimo quinto

Octavo

Sexagésimo

Noveno

Septuagésimo

Números en el cine

Los números aparecen en los títulos de muchísimos filmes: Cinco piezas fáciles, Blanca Nieves y los siete enanitos, La casa de la calle Noventa y Dos son tres de mis favoritos... ¿pero cuánto recuerda usted de ellos? El siguiente acertijo se lo mostrará.

(Para confirmar sus respuestas, consulte la parte final del libro.)

1 ¿Recuerda el título de la novela de Ray Bradbury, más tarde filmada por François Truffaut, que se refería a la quema de libros?

2 Ganó un Premio de la Academia en 1963, como el mejor filme extranjero. Era la obra de un eminente director italiano. ¿Cómo se llamaba?

3 La gran novela de Dickens sobre la Revolución Francesa ha sido filmada cuatro veces. ¿Quién hizo el papel protagónico en la versión de 1958?

4 ¿Quién compuso la música de Enrique V, filmada en 1944?

5 Uno de los filmes más famosos producidos por Japón prestó su tema y parte de su título a un western muy conocido. ¿Cómo se llamaban los dos filmes?

6 Billy Wilder rodó este filme en 1943. El personaje principal es Rommel. ¿Cómo se titulaba?

7 El argumento se refiere a un submarino lleno de nazis en fuga a Canadá, encabezados por Eric Portman. ¿Puede recordar el nombre del filme?

8 Cecil B. de Mille eligió a Charlton Heston para hacer el papel de Moisés en la versión de 1956 de Los diez mandamientos. ¿Quién hizo el papel del Faraón?

9 Ingrid Bergman hace el papel de Gladys Aylward, y fue el último filme de Robert Donat. ¿Cuál era su título?

10 Primero hubo tres, y en la secuela fueron Los cuatro mosqueteros. ¿Puede nombrar a los actores que los interpretaron en el filme de 1973?

11 ¿Quién escribió el guión del famoso filme de 1949, El tercer hombre?

12 El filme se hizo en 1966 y presentó por primera vez a Rachel Welch ante la atención del público, y con buenos motivos. ¿Cuál era el título del filme?

13 ¿Quién escribió la novela que Stanley Kubrick filmó en 1968, con efectos fascinantes, aunque oscuros?

14 En 1939, Alexander Korda filmó esta famosa historia, con John Clements y Ralph Richardson en los papeles protagónicos. El ambiente era el de Sudán. ¿Cuál era el filme?

15 Robert Donat interpretó a Richard Hannay en la versión de 1935 de la novela de Buchan. Robert Powell lo interpretó en la versión más reciente. ¿Pero qué actor británico se interpuso entre uno y otro, en la versión de 1959, de Treinta y nueve escalones?

16 El filme, con Marión Brando en el papel protagónico, se prohibió al principio en casi todos los cines del Reino Unido, y sólo fue autorizado en 1967,13 años después de su presentación. ¿Cómo se llamaba?

17 ¿Cuánto tiempo pasaron David Niven y los demás en la capital de China?

18 Gregory Peck se desmoronó por último bajo el efecto de la presión. El filme se hizo varios años después de los acontecimientos en cuestión, pero todavía se encontraba a la altura de la época. ¿Cómo se llamaba?

19 ¿Quién escribió el argumento original en el cual David Niven, siempre en movimiento, interpretó en 1956 el papel protagónico de la versión fílmica, que recibió muchos premios?

20 Por lo general se lo considera el filme más fascinante de Bergman. ¿De cuál Bergman se trata, y cuál es el filme?

Solución

Figuras fantásticas

Las figuras fantásticas a las cuales me refiero no pertenecen a María Antonieta o Jayne Mansfield... quienes, de paso, tenían las mismas medidas de busto. En verdad, las figuras, las cifras figuradas, no son siquiera números pares. Son un grupo de personas a quienes yo llamo Los Cinco Famosos..., personas del pasado que lisa y llanamente poseían una enorme capacidad para la aritmética mental. Es posible que algunas de sus proezas no parezcan tan fantásticas en la era de la calculadora de bolsillo universal, pero a su manera y en su época, cada uno de ellos era una especie de genio.

Jedediah Buxton (C. 1707-1772)

Como lo sugiere el apellido, Buxton había nacido en Derbyshire. Era hijo del maestro de la aldea, en Elmton, pero a pesar de esa aparente ventaja nunca aprendió a escribir o a realizar operaciones aritméticas en el papel. Es probable que Buxton fuese el menos espectacular de Los Cinco Famosos, pero aun su “modesta” capacidad nos dejaría boquiabiertos a la mayoría de nosotros.

Entre los desafíos mentales que Buxton era capaz de enfrentar se contaban los siguientes:

“¿Cuántos acres mide un terreno rectangular de 351 yardas de largo por 261 de ancho? Encontró la solución en 11 minutos.

...Si el sonido viaja a 1.142 pies por segundo, ¿cuánto tiempo le llevará recorrer cinco millas? Esto lo respondió en 15 minutos. (Un pie = 0,3948 m, 1 milla = 1,6093 km; 1 milla = 5.280 pies.)

...Cuando se le pidió que diese la suma que se obtendría duplicando 140 veces un cuarto de penique, Buxton produjo a la larga la respuesta de que la cantidad de esterlinas exige 39 dígitos para ser expresada, con un residuo de dos chelines y ocho peniques.

Luego se le pidió a Buxton que elevase al cuadrado ese número de 39 dígitos. Calculó la respuesta a este problema, a intervalos, a lo largo de los dos meses y medio siguientes... y todo mentalmente.

Zerah Colburn (1804-1840)

En su corta vida, Zerah Colburn se impuso como uno de los más notables exponentes expertos de cálculo mental en Norteamérica e Inglaterra. A los seis años hizo una gira por Estados Unidos, y dos años más tarde debutó en Londres. Pero a medida que crecía —después que, cosa irónica, recibió su educación— mostraba cada vez menos lo que prometía en su infancia. Después de probar suerte en el escenario, como maestro, como predicador y por último como maestro de idiomas, murió a los 36 años, luego de escribir una autobiografía en la cual hacía un esbozo de sus capacidades.

... Cuando se le pidió que elevase ocho a la decimosexta potencia, Colburn ofreció la respuesta correcta, 281.474.976.710.656, en cuestión de segundos.

... Cuando se le pidió que elevase los dígitos de dos a nueve, cada uno a la décima potencia, desgranó la respuesta a tal velocidad, que el hombre que las registraba tuvo que pedirle que lo hiciera más lentamente, y que repitiese lo que había dicho.

... Su fuerte eran los factores. Cuando se le pidió que diese los factores de 268.336.125, respondió: 941 y 263. Los factores de 171.395 surgieron casi con la misma rapidez, como 5, 7, 59 y 83. Y cuando se lo desafió a que diese los factores de 36.083, respondió que no existían. Una vez admitió que hacía el factoreo de un número siempre que ello resultara conveniente, de modo que cuando se le pidió que multiplicase 21.743 por 543, produjo la respuesta —11.801.562— multiplicando 65.202 por 181.

Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861)

Dase nació en Hamburgo, y a diferencia de otros niños prodigio del cálculo, recibió una correcta educación. Durante su corta vida hizo una cantidad de aportes a la ciencia, pero se le recuerda más por las “exhibiciones de cálculo” ofrecidas en Alemania, Austria e Inglaterra. Entre las hazañas registradas figuran:

...Multiplicar 79.532.853 por 93.758.479, cosa que hizo en 54 segundos.

... Encontrar el producto de dos números de 20 dígitos, cosa que le llevó seis minutos.

... Encontrar el producto de dos números de 40 dígitos, lo cual le llevó 40 minutos.

... Encontrar el producto de dos números de 100 dígitos, y eso le llevó ocho horas y 45 minutos.

... Después de mirar un juego de dominó durante un segundo, pudo dar la suma de sus puntos 117. Podía decir cuántas letras había en cualquier línea impresa, elegida al azar, y cuando se le mostraba una secuencia de doce dígitos era capaz de memorizarlos en medio segundo, hasta el punto de saber cuáles eran y en qué lugar de la secuencia se encontraban.

Traman Henry Safford (1836-1901)

Safford fue poco común entre los niños prodigio de la aritmética mental, en el sentido de que su capacidad no resultó del todo embotada por la educación. Se graduó en Harvard y dedicó su talento a la astronomía, aunque su capacidad para las matemáticas no fue en la vida adulta tan penetrante como cuando era un niño. Después de divertirse y entretener a su familia, de pequeño, fue examinado por primera vez a los diez años, y las que siguen fueron algunas de las preguntas y respuestas que confirmaron su genialidad:

Extraer la raíz cúbica de un número de siete dígitos, cosa que hizo en el acto.

...Cuando se le pidió que calculase la superficie de una pirámide regular con una altura de 17 pies y una base pentagonal de 33,5 pies de lado, Safford pensó unos dos minutos, y luego anunció: 3354,5558 pies cuadrados.

George Parker Bidder (1806-1878)

Bidder era un genio matemático que se las arregló para conservar la mayor parte de su capacidad matemática hasta su muerte, y gracias a que recibió una educación formal, pudo evaluar y sistematizar su talento natural.

Sus orígenes fueron bastante humildes. Era hijo de un albañil de Devon. Un breve período en la escuela de la aldea lo dejó con nociones aritméticas muy escasas, pero al aprender a contar hasta 100 a los seis años, aprendió poco a poco los principios de la suma, la multiplicación y la resta, ordenando y reordenando objetos tales como botones o canicas. A los nueve años comenzó a hacer giras por el país para mostrar su talento, y para ganar unos chelines que llevar a su casa. Durante esas giras fue enfrentado a menudo con Colburn, a quien casi siempre superaba. Las que siguen son algunas de las abrumadoras hazañas que ejecutó en sus giras, entre 1815 y 1819:

...Cuando tenía nueve años, se le preguntó cuánto tiempo les llevaría a los habitantes de la Luna tener noticias sobre la batalla de Waterloo, ya que el sonido viajaba a cuatro millas por segundo y la Luna se encontraba a 123.356 millas de la Tierra. En menos de un minuto, Bidder dio la respuesta: 21 días, nueve horas y 34 minutos.

...Cuando tenía diez años, y si bien sabía escribir, era incapaz de escribir números, se le preguntó cuál sería el interés de 11.111 esterlinas por 11.111 días, al cinco por ciento anual. El pequeño Bidder necesitó apenas un minuto para contestar: 16.911 libras y 11 chelines.

...Necesitó nada más que 35 segundos para decirle a una persona que lo interrogaba cuántos barriles de sidra podrían hacerse con un millón de manzanas, si 30 de éstas producían 2 pintas. La respuesta fue: 132 barriles, 17 galones, 2 pintas y 10 manzanas sobrantes. (De paso, un barril contiene 54 galones de cerveza, y la sidra no puede ser muy diferente.)

...El famoso astrónomo sir Williams Herschel preguntó una vez a Bidder a qué distancia se hallaba de la Tierra cierta estrella, dado que la luz viaja del sol a la Tierra en ocho minutos, y el sol se encuentra a 98.000.000 de millas de distancia, y que la luz de la estrella necesita seis años y cuatro meses para llegar a la Tierra, teniendo en cuenta que cada año contiene 365 días y seis horas, y que cada uno de los meses cuenta con 28 días. Bidder le dijo que la estrella debía estar a 40.633.740.000.000 millas de distancia.

...En un minuto calculó el valor en libras de un anillo de peniques que diese la vuelta a la Tierra, siendo que cada penique tenía un diámetro de 1 y 3/8 de pulgada. La respuesta fue: 4.803.340 libras.

...Cuando tenía 14 años se le pidió que diese un número que tenía un cubo tal, que menos 10 multiplicado por ese cubo era igual al cubo de seis. Bidder dio en el acto la respuesta correcta: tres.

Lo que hace que la capacidad de Bidder resulte tanto más interesante desde nuestro punto de vista es su propia evaluación de su capacidad, en su vida posterior. Cosa curiosa, afirmó que no se encontraba dotado de una memoria de retentiva especial, a pesar de que en una ocasión leyó un número de atrás hacia adelante y en el acto lo repitió en la forma correcta, y lo que era más, volvió a repetirlo una hora más tarde. El número era: ¡2.563.721.987.653.461.598.746. 231.905.607.541.128.975.231!

Es probable que sus proezas más asombrosas fuesen las relacionadas con la multiplicación. Explicó el sistema que tenía para ello. Suponiendo que quisiera multiplicar 397 por 173, lo haría de la siguiente manera.

Comenzando por 100 × 397 = 39700

sumamos 70 × 300 = 21000, y tenemos 60.700

sumamos 70 × 90 = 6300, y tenemos 67.000

sumamos 70 × 7 = 490, y tenemos 67.490

sumamos 3 × 300 = 900, y tenemos 68.390

sumamos 3 × 90 = 270, y tenemos 68.660

sumamos 3 × 7 = 21, y nos da 68.681

Es posible que esto parezca relativamente fácil, cuando se lo escribe así, pero es preciso recordar que Bidder realizaba ese cálculo con tanta rapidez, que parecía casi instantáneo. Ello le daba el uso de una tabla de multiplicación que llegaba hasta 1000 × 1000, de modo que cuando encaraba números muy grandes, digamos que de nueve dígitos, podía abordarlos en unidades de tres cifras, si tenían una escala de raíz 1000. Ello le permitía calcular una multiplicación de dos números de nueve dígitos en unos seis minutos.

Hazañas de memoria

Me temo que no podré ayudarlo a convertirse en un fenómeno de las matemáticas que rivalice con uno de los Cinco Famosos, pero me es posible tratar de ayudarlo a recordar números que pueda o quiera memorizar, para lo cual le presentaré al Alfabeto Numérico. Lo inventó un francés llamado Pierre Hérigone, a mediados del siglo XVII. Desde entonces se lo ha modificado y perfeccionado, y ahora lo usan a menudo los expertos de la memoria de todo el mundo.

Como verá, el sistema funciona según el principio de reemplazar los dígitos del uno al cero por consonantes. Una vez que se han elegido las consonantes pertinentes, lo único que tiene que hacer es convertirlas en una palabra, y entonces podrá memorizar esta palabra para recordar el número. En rigor, lo que hace el Alfabeto Numérico es ayudarlo a formar una mnemotécnica personal. Por supuesto, lo primero que debe hacer es recordar el alfabeto.

1

T, D

T tiene 1 trazo descendente

2

N

N tiene 2 trazos descendentes

3

M

M tiene 3 trazos descendentes

4

R

R es la cuarta letra de cuarto

5

L

L es 50 en los números romanos

6

J, G

J se parece a un 6 cuando se la invierte

7

K

G dura,

C dura,

K se parece a dos 7 escritos horizontalmente

8

F

En cursiva minúscula se parece a un 8

9

P

P se parece a un 9 invertido

0

Z

Z es la primera letra de zero (cero)

Le está a...

¿Le estará?

La próxima vez que se vea ante un número grande, que quiere dividir por siete, once o trece, ahórrese un poco de trabajo confirmando enseguida si su divisor entrará en el número sin dejar residuos. Esta es la manera de hacerlo.

Para dividir por siete

a) Escriba el número que quiere dividir.

b) Comenzando por el último dígito, agrupe el número en series de tres dígitos, con un signo más y un signo menos alternando entre los números, para formar una suma algebraica.

c) Haga esa suma.

d) Observe el resultado, y vea si se puede dividir por siete, sin dejar un residuo.

Mire:

a) Su número es, digamos, 3722544.

b) Cuando se lo descompone como se ha indicado, se obtiene: 3 ‒ 722 + 544 = ‒175.

c) Dividido por 7, esto es igual a ‒25. De manera que 3722544 es divisible por 7. En rigor, es igual a 531792.

Para dividir por once

a) Esta vez escribe el número que quiere dividir, de a un dígito por vez, poniendo un signo menos y un signo más entre los dígitos, en forma alternada.

b) Después realiza la suma algebraica, como antes.

c) Si el resultado es divisible por 11, sabrá que el número puede dividirse por 11, sin dejar un residuo; por ejemplo 9 ‒ 1 + 8 ‒ 0 + 6 = 22.

Observe:

a) Su número es, digamos, 9151494, que escrito como suma es

9 ‒ l + 5 ‒ l + 4 ‒ 9 + 4.

b) Haga la suma.

c) El resultado es 11.

d) Por lo tanto sabe que 9151494 puede dividirse por 11.

Su cociente es igual a 831954.

Para dividir por trece

a) Este método es similar al usado para siete. Escriba, entonces, su número en grupos de tres, comenzando por el final y yendo hacia adelante, con alternación de los signos más y menos.

b) Haga la suma.

c) Si su resultado puede dividirse por 13, sabrá que el número más grande también puede dividirse por 13.

Observe:

a) Su número es, digamos, 5618197.

b) Agrupado en series en 5 ‒ 618 + 197.

c) Haga esta suma, y le dará ‒416.

d) Divida esto por 13, y le dará ‒32. Por lo tanto, 5618197 puede dividirse por 13. Entra en éste 432169 veces.

Es posible usar siete, 11 y 13 en un divertido juego de división. Lo único que necesita es un número de tres dígitos, cualquiera, entre 100 y 999. Lo convierte, entonces, en un número de seis dígitos, repitiendo los tres dígitos en el mismo orden, y lo divide primero por siete, luego por once y finalmente por 13. ¿Y el resultado? Terminará con el número con el cual empezó. Es como sigue:

a) Empiece con 456.

b) Conviértalo en un número de seis dígitos, 456456.

c) Divídalo por siete, para obtener 65208.

d) Divida esto por 11, para tener 5928.

e) Divídalo por 13 y tendrá 456, número con el cual comenzó.

Pruebe otra vez:

a) Empiece con 913.

b) Conviértalo en un número de seis dígitos: 913913.

c) Divida por 7:130559.

d) Divida por 11:11869.

e) Divida por 13 y obtendrá 913, el número con el cual comenzó.

Nueve entra en cualquier cosa

Bueno, esto es casi cierto. Entra, siempre que uno comience con un número que tenga más de un dígito (en otras palabras, cualquier cosa mayor de diez) y siga estos sencillos pasos:

a) Escriba su número.

b) Invierta sus dígitos.

c) Reste los dos números.

d) Y encontrará que su solución puede dividirse por nueve sin dejar residuo.

Esta regla rige para los números que van de 10 a diez mil millones, pero para ahorrar espacio y energía nerviosa le daré, para mis ejemplos, algunas cifras relativamente modestas.

12

‒ 21

‒ 9

, y 9 dividido por 9 es igual a 1.

6493

‒ 3946

2547

, y 9 entra 283 veces.

62481753

‒ 35718426

26763327

, y 9 entra aquí 2973703 veces.

División de ocho dígitos

Uno de los aspectos más divertidos de la división se refiere al número de cuatro dígitos escrito dos veces, para componer un número de ocho dígitos. Este siempre puede dividirse por 73 y 137, ninguno de los cuales parece muy adecuado a primera vista. Pero aquí está la prueba:

1031747

73/75317531

y

549763

137/75317531

o

1353012

73/98769876

y

720948

137/98769876

Como premio, también verá que si el último dígito de su número es cero o cinco, el número también será divisible por 365 y 50005. Observe:

353460

73/25802580

y

188340

137/25802580

y

70692

365/25802580

y

516

50005/25802580

2519 Dividido

Divida 2519 por los números que van de uno a diez, y observe la pauta que siguen los residuos:

2519

1/2519

residuo 0

1259

2/2519

residuo 1

839

3/2519

residuo 2

629

4/2519

residuo 3

503

5/2519

residuo 4

419

6/2519

residuo 5

359

7/2519

residuo 6

314

8/2519

residuo 7

279

9/2519

residuo 8

251

10/2519

residuo 9

Dividir para reinar

Estudie el círculo. Los once puntos representan dos formas en el círculo. Los ocho de afuera forman un cuadrado, los tres del centro un triángulo. Ello resulta bastante evidente. Lo que no lo es tanto sin embargo, es cómo trazar líneas rectas a través del círculo, para dividirlo en 11 partes, cada una de las cuales contenga un solo punto, y que no quede una parte sin un punto. ¿Puede usted dividir el círculo de esa manera?

Solución

Contextos históricos

Un linaje real

Puede ser perdonado si palidece cuando se le pide que recuerde todos los reyes y reinas de Inglaterra, hasta Guillermo I/en especial cuando hay seis Eduardos, seis Jorges y ocho Enriques con los cuales lidiar.

Numéreme un Rey

Cuando se examina el linaje real británico, resulta interesante advertir que los tres reyes que reinaron, cada uno, durante más de cincuenta años, fueron todos el tercero de su nombre.

Enrique III reinó durante 56 años, hasta 1272.

Eduardo III fue rey durante 50 años, hasta 1377.

Y Jorge III reinó 59 años, hasta 1820.

Todo en familia

Por si alguna vez le intrigó la forma en que el linaje real británico entrelaza sus relaciones internas, y cómo fue que todos esos números posnominales produjeron por último a la reina Isabel II, permítame que le ofrezca un esbozo muy simple de lo que sucedió:

La REINA ISABEL II es la hija de...

JORGE VI, quien era hermano de…

EDUARDO VIII, hijo de...

JORGE V, hijo de...

EDUARDO VII, hijo de...

La REINA VICTORIA, sobrina de

GUILLERMO IV, hermano de...

JORGE IV, hijo de...

JORGE III, nieto de...

JORGE II, hijo de...

JORGE I, primo de...

ANA, cuñada de...

GUILLERMO III, cuñado de...

JAIME II, hermano de...

CARLOS II, hijo de...

CARLOS I, hijo de...

JAIME I, primo de...

ISABEL I, hermanastra de...

MARIA I, hermanastra de...

EDUARDO VI, hijo de...

ENRIQUE VIII, hijo de...

ENRIQUE VII, primo de...

RICARDO III, tío de...

EDUARDO V, hijo de...

EDUARDO IV, primo de...

ENRIQUE VI, hijo de...

ENRIQUE V, hijo de...

ENRIQUE IV, primo de...

RICARDO II, nieto de...

EDUARDO III, hijo de...

EDUARDO II, hijo de...

EDUARDO I, hijo de...

ENRIQUE III, hijo de...

JUAN, hermano de...

RICARDO I, hijo de...

ENRIQUE II, primo de...

ESTEBAN, primo de...

ENRIQUE I, hermano de...

GUILLERMO II, hijo de...

GUILLERMO I...

Y creo que podemos dejarlo ahí, ¿no le parece? Estoy seguro de que sabe que la Reina es biznieta del rey Alfredo el Grande, en grado 36° de parentesco.

En tiempos lejanos

En la actualidad es común quejarse por el sibaritismo y la grosería de nuestra época. Pero, por lo menos en términos de comida y bebida, nuestros predecesores habrían podido enseñamos un par de cosas. Eche una mirada, aunque se le haga agua la boca, a este catálogo de manjares. Es apenas una parte del inventario de comestibles consumidos en los festines de celebración de la instalación del obispo de York, en 1464:

...300 quarters de trigo

...300 barricas de cerveza

...100 barricas de vino

...1 casco de hipocrás

...104 bueyes

...6 toros salvajes

...1.000 ovejas

...304 terneros

...304 lechones

...400 cisnes

...2.000 gansos

...1.000 capones

...2.000 cerdos

...104 pavos reales

...13.500 aves de otras clases

...500, entre ciervos, venados y corzos

...1.500 pasteles calientes de venado

...608 lucios y bremas

...12 marsoplas y focas

... 1.300 fuentes de jalea, tartas horneadas, frías, flanes fríos y calientes, y golosinas especiadas, y cantidad de barquillos...

¡Y todo esto, nada más que para 600 invitados oficiales!

Las elecciones parlamentarias tampoco han sido siempre asuntos tan aburridos. Todavía en los primeros años del siglo XIX, un votante podía tener la certeza de obtener de su candidato algo más que simples perogrulladas, bien aprendidas, sobre la economía y los caminos locales. En otros tiempos, el voto de uno tenía verdadero valor. Esta es la cuenta pagada por un candidato en una taberna de Ilchester, Somerset, que muestra el costo de un día de campaña... ¡y un día tan bueno, en verdad, que el cálculo deja algo que desear!

libras

chelines

peniques

353

botellas de ron y ginebra, a 6 chelines cada una

105

18

0

57

botellas de coñac francés, a 10 chelines 6 peniques cada una

29

18

6

514

galones de cerveza, a 2 chelines 8 peniques cada una

68

18

8

792

cenas a 2 chelines y peniques cada una

99

0

0

304

17

2

¡Salud!

Ocho de los mejores

¿Qué tienen en común Euclides, Pascal, Bertrand Russell, Mae West, Carl Sandburg, Sydney Smith, Alfred North Whitehead y Francis Bacon?

Cada uno de ellos tenía algo especial que decir respecto del mundo de los números. El interrogante es: ¿quién dijo qué?

1 Si la mente de un hombre vacila, que estudie matemáticas.

2 No existe un camino fácil que conduzca a la geometría.

3 Los matemáticos que sólo son matemáticos tienen una mentalidad exacta, siempre que se les expliquen todas las cosas por medio de definiciones y axiomas; de lo contrario son imprecisos e insoportables; sólo aciertan cuando los principios son muy claros.

4 Las matemáticas pueden definirse como la materia en la cual nunca sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos es verdad.

5 En la aritmética, o bien el resultado es exacto, y todo está en orden, y se puede mirar por la ventana y ver el cielo azul... o bien el resultado es erróneo y hay que empezarlo todo de nuevo, e intentar otra vez, para ver cómo salen las cosas.

6 ¿Qué sería de la vida sin la aritmética, sino un espectáculo de horrores?

7 Un hombre tiene cien dólares y uno lo deja sólo con dos: esa es una sustracción.

8 Se considera que las matemáticas se mueven en la esfera de la abstracción total, lejos de cualquier caso particular de lo que se está hablando.

El mundo cuadrado

La magia de los cuadrados

En el mundo de los números, los “cuadrados mágicos” se componen de series de números ordenados en forma de cuadrado, de modo que la suma de los números de cada hilera, cada columna y cada diagonal sea la misma.

Los cuadrados mágicos existen desde hace miles de años. En la antigua China y en otras civilizaciones del pasado se creía que poseían poderes místicos, relacionados a menudo con los poderes atribuidos a determinados números. El libro chino clásico de la adivinación, el I Ching, contiene este cuadrado mágico de nueve números, que suman 15 en las hileras, columnas y diagonales:

En la Edad Media los cuadrados mágicos se grababan a veces en láminas de plata, como amuletos para ahuyentar a la peste. Es probable que el ejemplo más famoso de esta práctica sea el encantamiento mágico que aparece en una de esas planchas, en el grabado de Alberto Durero Melancolía, que se grabó en 1514, como lo revelan los números del centro de la última fila:

Para seguir el ejemplo de Durero, aquí van otros dos cuadrados mágicos de 4 × 4. Esto tiene columnas, hileras y diagonales que suman 62:

Y este tiene columnas, hileras y diagonales que suman 150:

Vea ahora este cuadrado mágico de cuatro cifras. Rigen las mismas reglas que para la adición, pero los números son considerablemente más largos:

El siguiente cuadrado es más mágico aun que la mayoría de ellos. Sólo se utilizan los números uno y ocho. El total de cada fila, columna y diagonal es 19.998. Las cuatro esquinas también suman esa cifra. Lo que es más, si vuelve la página cabeza abajo y recorre en esa posición el cuadrado mágico, verá que sigue produciendo las mismas sumas cuando adiciona los números de las hileras, las columnas, las diagonales y las esquinas. Por último, tome un espejo, sostenga el cuadrado mágico delante de él y ejecute las mismas adiciones. ¡Verá que también así funciona!

He aquí un par de cuadrados mágicos poco comunes, de 5 × 5. En el primero, se usan una sola vez todos los números que van de uno a 25, y ello da un total de hilera/columna/diagonal de 65:

Observe el que sigue, y verá que, así como las hileras, las columnas y las diagonales suman 105, las cuatro esquinas más el número del centro también suman 105:

No existen límites para las dimensiones del cuadrado mágico. El siguiente monstruo, por ejemplo, contiene 10 × 10 números, con hileras, columnas y diagonales que suman 505:

Como se habrá dado cuenta, todos los números, entre cero y 100, están en alguna parte del cuadrado.

Aquí va un cuadrado mágico en el cual no se suman los números; se los multiplica, y en cada línea se llega a un total de 4096:

En el cuadrado siguiente se pueden sumar o multiplicar los números. La suma de las hileras, columnas y diagonales da un total de 840. ¡La multiplicación da un total de 2.058.068.231.856.000!

Tres cuadrados con trampas

Trate de sumar estos tres cuadrados mágicos y se verá en problemas. El total de las hileras, columnas y diagonales no coincide con facilidad. Los tres tienen un total común para hileras, columnas y diagonales, pero para lograrlo hay que restar, aparte de sumar.

Solución

Hágalo usted mismo

Para construir su propio cuadrado mágico, elija cualquier secuencia de números, ponga el más bajo en el casillero inferior de la derecha, y luego siga el orden de numeración que va a continuación.

La pauta para un cuadrado de 5 × 5 es la siguiente:

El cuadrado para terminar con todos los cuadrados mágicos

Este cuadrado mágico le proporciona un truco hipnótico, destinado a dejar pasmado a cualquier grupo de oyentes.

Helo aquí:

Y la siguiente es la manera en que lo usa:

a) Pida a su víctima que elija uno de los números del cuadrado.

b) Pídale que tache todos los números alineados horizontal y verticalmente con el elegido.

c) Ahora pídale que repita ese proceso cuatro veces, eliminando a medida que avanza, de modo que al final ya no queden más números que eliminar. Tiene que haber cinco números sin tachar.

d) Pero antes de que su víctima comience a sumarlos, anuncie que la suma de dichos números es 666. Siempre lo es, ¡de modo que usted puede hacer el truco con los ojos cerrados!

¡He aquí cómo salió la última vez que lo hice!

125 + 92 + 202 + 60 + 187 = 666

Ahora inténtelo usted.

Cuadrados mágicos con dominó

Un juego de dominó común contiene 28 piezas, con valores que van del doble blanco al doble seis. Puede ordenar las 28 piezas de modo que formen un cuadrado de 7 × 7, con una columna de blancos que no tendrá en cuenta. Los puntos de cada hilera, columna y diagonal del cuadrado dan un total de 24:

1 0 5 4 6 2 3 0

5 4 5 3 5 2 3 0

3 6 2 3 3 2 4 2

1 6 3 0 5 4 4 0

6 6 2 6 1 4 2 5

2 1 1 0 1 4 5 0

4 4 6 1

5 1 3 0

Si elimina algunas de las piezas, puede formar otros cuadrados. El que sigue tiene hileras, columnas y diagonales que suman 19:

Y en éste las hileras, columnas y diagonales suman 13:

6346

4555

6544

3664

Y en este las hileras, columnas y diagonales suman 13

3 5 1 0 4 0

4 0 6 2 0 1

2 1 3 2 3 2

1 1 3 4 2 2

0 5 0 1 1 6

3 1 0 4 3 2

El lenguaje de los números

Palabras con las cuales contar

El código 10

El código CB10 fue creado por policías norteamericanos de las patrullas de caminos para no perder tiempo en las comunicaciones. Lo reproducimos a continuación, para tenerlo al día en lo referente a la jerga del camino.

10-1

Mala recepción

10-2

Buena recepción

10-3

Final de la transmisión

10-4

Mensaje recibido

10-5

Informo sobre el mensaje

10-6

Ocupado, siga en la línea

10-7

Salgo del éter

10-8

En servicio, espero llamada

10-9

Repita el mensaje

10-11

Habla demasiado rápido

10-12

Hay personas ajenas

10-13

Comunique estado del tiempo y de la carretera

10-16

Próximo contacto en...

10-17

Asunto urgente

10-18

¿Hay algo para nosotros?

10-19

Nada para ustedes, vuelvan a la base

10-20

Me encuentro en...

10-21

Llame por teléfono

10-22

Preséntese en persona ante...

10-23

Siga en la línea

10-24

Misión cumplida

10-25

¿Puede comunicarse con...?

10-26

Ultimo mensaje anulado

10-27

Paso al canal...

10-28

Identifique su estación

10-29

Terminó el tiempo para el contacto

10-30

No responde al código FCC

10-32

Haremos una prueba de radio

10-33

Tráfico de emergencia en esta estación

10-34

Problemas en esta estación, necesito ayuda

10-35

Información confidencial

10-36

La hora correcta es...

10-37

Hace falta camioneta en...

10-38

Hace falta ambulancia en...

10-39

Mensaje comunicado

10-41

Por favor, sintonice con canal...

10-42

Accidente de tránsito en...

10-43

Atascamiento del tránsito en...

10-44

Tengo un mensaje para usted

10-45

Todas las unidades que escuchan presenten su informe

10-46

Ayude a automovilista

10-50

Deje libre el canal

10-60

¿Cuál es el número del próximo mensaje?

10-62

No entiendo; use la línea común

10-63

La red dirigida a...

10-64

La red está libre

10-65

Espero su próximo mensaje/misión

10-67

Todas las unidades acompañen

10-69

Mensaje recibido

10-70

Incendio en...

10-71

Continúe con transmisión en secuencia

10-73

Controle límite de velocidad en...

10-74

Negativo

10-75

Está provocando interferencias

10-77

Contacto negativo

10-81

Reserve habitación de hotel para...

10-82

Reserve habitación para...

10-84

Mi número telefónico es...

10-85

Mi dirección es...

10-89

Técnico de radio hace falta en...

10-91

Hable más cerca del micrófono

10-92

Su transmisor no está bien sintonizado

10-93

Prueba de mi frecuencia en este canal

10-99

Misión terminada, todas las unidades regresan

10-100

Me detengo en un excusado

10-200

Policía necesaria en...

10-2000

Distribuidor de drogas

Siga contando

Las letras cuentan

He aquí cuatro sumas sencillas, en las cuales las letras representan números. ¿Puede encontrar cuáles son los números que corresponden?

ZQYOO

TOT

PZJOO

+ JOT

+ JYOOO

OJJ

OZDQZ

WNYW

AABHAEE

WWLL

AAAWMEE

WYYW

+ AAMHAEE

+ WLSL

XIURWMA

YYIAY

Solución

Sumando y restando

a) ¿Puede construir dos adiciones (una de cinco dígitos, la otra de cuatro) usando los nueve dígitos, de uno a nueve, una vez en cada una, de modo que ambas sumas produzcan el mismo total?

b) Estudie esta suma con cuidado, y encuentre por qué la solución es errónea, y por qué Lewis Carroll podría darle una clave de la respuesta.

3┘1┘

3┘0

7┘813

┘337┘813

c) Con cinco dígitos de números impares, trate de escribir una suma cuyo resultado total sea 14.

d) Usando los dígitos de uno a siete, escriba una adición cuyo resultado sea 100. En el cálculo, cada uno de los dígitos puede ser utilizado una sola vez.

e) Trate de escribir diez, primero con cinco nueves en una adición, y después con cinco nueves en una sustracción.

f) Y ahora vea si puede escribir 100 usando sólo cuatro nueves.

Solución

Leyes y números

Dictando las leyes

Vengo coleccionando leyes, axiomas y reglas desde que me topé con la primera, que sigue siendo la favorita.

Primera ley de la bicicleta: Sea cual fuere la dirección en que se pedalee, siempre será cuesta arriba y contra el viento.

Ley de la factura: Viva de acuerdo con sus ingresos, aunque tenga que pedir prestado para ello.

Ley desconocida de Newton: Pájaro en mano es mejor que dos volando.

Axioma de la pipa: Una pipa da al hombre sabio el tiempo que necesita para pensar, y al tonto le da algo para meterse en la boca.

Conclusión de Thurber: No hay seguridad en los números, ni en ninguna otra cosa.

Las veinte leyes que siguen son un tanto más refinadas, y decididamente más pertinentes, y cada una de ellas debería hacer resonar alguna cuerda en los que poseen una “conciencia numérica”.

Axiomas estadísticos Ashley-Perry

1. Los números son herramientas, no reglas.

2. Los números son símbolos de cosas; los números y las cosas no son lo mismo.

3. La destreza para manejar los números es un talento, no la evidencia de un milagro.

4. Como cualquier otra técnica adivinatoria oculta, el método estadístico tiene una jerga propia, deliberadamente oscura, para ocultar sus métodos a los no iniciados.

5. El producto de un cálculo aritmético es la solución de una ecuación, no la solución de un problema.

6. Las pruebas aritméticas de teoremas que no tienen bases aritméticas no prueban nada.

Principios de programación de computadoras

1. La computadora nunca se equivoca.

2. El programador siempre se equivoca.

Ley de Coomb

Si no es mesurable, no me interesa.

Finagle, la ley del argumento sólido, demasiado sólido

En cualquier conjunto de datos, el que resulta más evidentemente correcto —el que no necesita verificación alguna— es el error.

Contribuciones de Finagle al mundo de las medidas

1. Las dimensiones se expresarán en los términos menos convenientes, por ejemplo: Medida de aceleración = kilómetros (por quincena).

2. Santiamén: el tiempo que necesita la luz para recorrer un cm en el vacío.

3. Los protozoos son pequeños y las bacterias son pequeñas, pero los virus son más pequeños que unos y otras juntos.

Regla de Horowitz

Una computadora puede cometer tantos errores en dos segundos como veinte hombres trabajando veinte años.

Ley matemática de Jones

El doble de nada sigue siendo nada.

Regla de Loederstedt

Mida dos veces, porque sólo se puede cortar una vez.

Ley de paridad monetaria de Mark

Un tonto y el dinero de uno traban amistad muy pronto.

Problema de conversión métrica

Si Dios quería que adoptáramos el sistema métrico decimal, ¿por qué le dio a Jesús doce apóstoles, siendo que 12 es la base del sistema de cálculo inglés?

Leyes analíticas de Murphy

1. En cualquier conjunto de datos, las cifras evidentemente correctas contienen errores.

2. Una cifra decimal nunca está en su lugar correcto.

3. Si un error puede introducirse en un cálculo, lo hará. Además, siempre aparecerá en el punto en que pueda dañar el cálculo en mayor medida.

Otra de las leyes de Murphy

Si un cálculo matemático termina con la solución incorrecta, trate de multiplicarla por el número de la página.

Principio de complejidad organizativa de Pearson

La dificultad para dirigir una organización es igual al cuadrado de la cantidad de personas, dividido por la suma de sus mentalidades aplicadas.

Por ejemplo:

Individuo normal 

Familia de cuatro personas (un adolescente y un niño):

Principio de Penner

Cuando las matemáticas comienzan a volverse confusas... ¡déjelas!

Leyes de las calculadoras de bolsillo, de Shelton

1. Las baterías recargables se descargan en el momento más crítico de un cálculo complejo.

2. Cuando una batería recargable comienza a agotarse en mitad de un cálculo complejo y el usuario trata de conectarla con la corriente domiciliaria, la calculadora anula todo lo que acumuló.

3. La respuesta final superará la magnitud, o la precisión, o ambas cosas, de la calculadora.

4. No existen suficientes registros almacenados para solucionar el problema.

5. El usuario olvidará las matemáticas en proporción a la complejidad de la calculadora.

6. El disco se termina siempre antes que el cálculo quede completo.

Leyes de contabilidad de Spencer

1. Los balances no balancean.

2. El capital de trabajo no trabaja.

3. La liquidez tiende a secarse.

Ley de Twyman

Cualquier estadística que parezca interesante es casi con certeza un error.

Conclusión de Wain

Las únicas personas que ganan dinero en estos días son los que venden papel para computadoras.

Teoría del Uno-Dos-Tres, de Wallace

Velocidad

Calidad

Precio

Elija dos cualesquiera

Misterios de la multiplicación

Asombrosos multiplicadores

He aquí una manera sencilla de multiplicar por cinco, 25 y 125. Como usted sabe, utilizando las fracciones podemos escribir estos números de la siguiente manera:

5 = 10/2

25 = 100/4

125 = 1000/8

Mi objetivo consiste en demostrarle que la multiplicación por cada uno de estos números es en realidad lo mismo que multiplicar por 10, 100 o 1000, y luego dividir por dos, cuatro u ocho. Por lo tanto, en lugar de desarrollar una larga multiplicación, en el caso de 125, por ejemplo, lo único que debe hacer es agregar tres ceros y luego dividir por ocho. Observe:

a)

754696 × 5

= 7546960 ÷2

3773480

= 2/7546960

b)

754696 × 25

= 75469600 ÷ 4

18867400

= 4/75469600

c)

754696 ×125

= 75696000 ÷ 8

94337000

= 8/754696000

Y aquí sigue un método igualmente ingenioso para multiplicar entre silos números comprendidos entre 10 y 20.

1. Sume el primer número al segundo dígito del segundo número.

2. Ahora multiplique eso por diez.

3. Multiplique los segundos dígitos de los dos números.

4. Por último, sume los dos resultados y obtendrá la solución de la multiplicación.

Por ejemplo:

17

×

19 =

?

1.

17

+

19 =

26

2.

26

×

10 =

 260

3.

7

×

9 =

63

4.

260

+

63 =

323

15

×

11 =

?

1.

15

+

1 =

16

2.

16

×

10 =

160

3.

5

×

1 =

5

4.

160

+

5 =

165

Multiplicatski

Antes que los métodos occidentales, más convencionales, fuesen introducidos en la Unión Soviética, los campesinos rusos utilizaban un novedoso sistema de multiplicación, en el cual bastaba poseer la capacidad de duplicar un número, dividirlo por dos y realizar sumas sencillas. En la práctica, el cálculo adoptaba la forma de dos columnas de cifras, encabezadas por aquellas que querían multiplicar. El cálculo se desarrollaba luego como sigue:

1. Paso a paso, los números de la columna de la izquierda se dividían por dos, en tanto que los de la columna de la derecha se duplicaban. Este procedimiento hacía caso omiso de los residuos de la columna de la izquierda, y continuaba hasta que se llegaba a la unidad.

2. Todos los números pares de la columna de la izquierda se tachaban entonces, junto con sus números correspondientes de la columna de la derecha.

3. La etapa final consistía sólo en sumar los números que quedaban en la columna de la derecha, para obtener la solución de la multiplicación.

He aquí un ejemplo; 87 × 56:

1. Formar columnas y dividir por dos/duplicar

87 × 56

43 × 112

21 × 224

10 × 448

5 × 896

2 × 1792

1 × 3584

2. Tachar todos los números pares y los adyacentes

87 × 56

43 × 112

21 × 224

10 × 448

5 × 896

2 × 1792

1 × 3584

3. Sumar los números que quedan en la columna de la derecha.

Resultado = 4872

Nunca pares o impares

Palíndromos

Un palíndromo verbal es una palabra o una frase que se lee igual de atrás hacia adelante como de adelante hacia atrás, como por ejemplo Ana, Oso, o “Dábale arroz a la zorra el abad”.

En el mundo de los números también aparecen los palíndromos. Algunos son simples —por ejemplo, 37873—, y existen otros mucho más notables, que aparecen en ciertos cálculos, como los siguientes:

10989 × 9 = 98901

21978 × 4 = 87912

Los palíndromos numéricos más complejos implican dos operaciones, como los que van a continuación:

9 + 9 = 18

81 = 9 × 9

24 + 3 = 27

72 = 3 × 24

47 + 2 = 49

94 = 2 × 47

497 + 2 = 499

994 = 2 × 497

Para una manera más compleja aun de divertirse con un palíndromo numérico, trate de sumar un número cualquiera a su inverso, una y otra vez, hasta que obtenga por último un palíndromo. Quiero decir lo siguiente:

38

+ 83

121

139

+ 931

1070

+ 0701

1771

48.017

+ 71.084

119.101

+ 101.911

221.012

+ 210.122

431.134

Pero atención: con algunos números resulta más fácil jugar que con otros. Por ejemplo, las computadoras no han logrado encontrar un palíndromo con 196, ¡ni siquiera después de repetir la operación miles y miles de veces!

Y ya que estamos en el tema, aquí va una pregunta oportuna. ¿Es capaz de encontrar una manera palindrómica de expresar el número 12?

Números afortunados

El número afortunado de Napoleón era el cuatro. ¿Conoce usted el suyo? Entonces búsquelo en su nombre. Cada letra del alfabeto tiene un valor:

A = 1

H = 8

0 = 15

V = 22

B = 2

1 = 9

P = 16

W = 23

C = 3

J = 10

Q = 17

X = 24

D = 4

K = 11

R = 18

Y = 25

E = 5

L = 12

S = 19

Z = 26

F = 6

M = 13

T = 20

G = 7

N = 14

U = 21

Para encontrar su propio número, escriba su nombre y ponga debajo el valor de las letras:

W

I

L

L

I

A

M

23

9

12

12

9

1

13

S

H

A

K

E

S

P

E

A

R

E

19

8

1

11

5

19

16

5

1

18

5

Ahora sume todos los números:

23 + 9 + 12 + 12 + 9 + 1 + 13 + 19 + 8 + 1 + 11 + 5 + 19 + 16 + 5 + 1 + 18 + 4 = 187

Ahora sume los dígitos del resultado:

1 + 8 + 7 = 16

Y sume los dígitos de esta última cifra:

1 + 6 = 7

Y tendrá el número que buscaba. Resulta que siete es el número afortunado de William Shakespeare.

Según los partidarios de la seudociencia de la numerología —que es tan antigua como Pitágoras, quien en el siglo VI a.C. asignaba gran importancia a la armonía numérica del universo—, el número afortunado es fundamental. En rigor, le indican a uno su día afortunado de la semana:

1

Sábado, miércoles

2

Domingo

3

Jueves

4

Lunes

5

Martes

6

Lunes, viernes

7

Jueves

8

Viernes

9

Lunes

Y ahora, su color afortunado:

1

Negro

2

Amarillo

3

Blanco

4

Azul

5

Verde

6

Gris

7

Violeta

8

Castaño

9

Rojo

Pero, principalmente, su número afortunado indica sus características personales dominantes:

1 Egocéntrico, emprendedor, ambicioso

2 Pasivo, receptivo

3 Versátil, optimista

4 Práctico, carente de imaginación, resistente

5 Terco, inestable, sensual

6 Amante de la casa, confiable

7 Culto, solitario

8 Buen organizador, amante del trabajo en grupo y del éxito material

9 Buena salud, éxito

Por supuesto, yo no creo ni una sola palabra de todo esto, y tampoco usted. Pero seguimos queriendo conocer nuestros números afortunados. Extraño, ¿verdad?

Probabilidades

La Ruleta. Las probabilidades en contra

En 1891 Charles Daville Wells llegó a Monte Carlo con 400 esterlinas en el bolsillo. Tres días después de entrar en el casino salió de él con 40.000 esterlinas (más de 800.000 de las actuales). Wells fue el primer “hombre que quebró a la banca en Monte Carlo”. No volveremos a ver a nadie como él, por dos razones, ambas muy buenas: la introducción del cero en la rueda de la ruleta y el límite máximo impuesto a las apuestas.

La existencia del cero ha desviado las posibilidades de triunfo a favor del casino. Si la bolilla cae en el cero, todas las apuestas de la mesa son barridas por la banca, y en consecuencia las probabilidades favorecen al casino en una relación de 1 1/8 a 1.

Cuando Charles Wells hizo historia en 1891, el cero no existía, y actuó según el principio de duplicar su apuesta cada vez que perdía. El procedimiento de duplicación es una forma muy prolongada de ganar... y es riesgosa. Si uno ha comenzado con una apuesta de una esterlina duplicada cada vez que perdió, y ello le ocurrió treinta veces seguidas, ¡terminaría debiendo a la banca la bonita suma de 1.073.741.823 esterlinas!

Si existe alguna manera de derrotar a la banca en la ruleta, es tal vez la de prestar cuidadosa atención a la mecánica de la rueda misma. Al final del siglo pasado, otro intrépido inglés, William Jaggers, resolvió poner a prueba su teoría de que ninguna rueda de ruleta podía tener un equilibrio perfecto, por lo cual una atenta observación descubriría su inclinación. Viajó a Monte Cario, para realizar un pequeño trabajo de campo, encontró una mesa que le caía bien, ¡y fue expulsado de por vida del establecimiento, cuando llevaba ganadas 80.000 libras esterlinas!

Los dados

Los más antiguos dados cúbicos que se conocen fueron hallados en tumbas de Egipto anteriores al Segundo milenio a. de C. El juego con dados era muy popular en el mundo antiguo, y para la Edad Media se había difundido tanto en toda Europa, que existían escuelas y se habían establecido guilds para impulsarlo. Si quiere conocer las distintas maneras en que pueden caer los dados, y las probabilidades que tiene determinada combinación de darse en la práctica, se lo dirá el diagrama.

Suma

Combinaciones

Probabilidades

2

1

!1

1/36

3

2

!2 @1

1/18

4

3

!3 #1 @2

31/12

5

4

!4 $1 @3 #2

451/9

6

5

!5 %1 @4 $2 #3

5/36

7

6

!6 ^1 @5 %2 #4 $3

1/6

8

5

@6 ^2 #5 %3 $4

5/36

9

4

#6 ^3 $5 %4

1/9

10

3

$6 ^4 %5

1/12

11

2

%6 ^5

1/18

12

1

^6

1/36

Fechas de nacimiento

Entre en una habitación donde hay treinta personas elegidas al azar, y existe una posibilidad del 70 por ciento de que dos de ellas tengan la misma fecha de nacimiento, tal vez sin saberlo. A medida que aumenta la cantidad de personas presentes, también crece la posibilidad de que dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaños. Pero cuando aquella cantidad disminuye, digamos, a 23 personas, la probabilidad de que dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaños desciende a 0, 5073. El siguiente gráfico muestra la curva de las crecientes probabilidades de un cumpleaños compartido, desde una muy pequeña, cuando no hay más de diez personas presentes, hasta la casi certeza cuando se han reunido seis veces más individuos.

Números desconcertantes

Los números que faltan

En cada uno de estos acertijos falta un número. ¿Usted puede descubrir de cuál se trata?

Solución

El desafío de los números

1. Mi primera esposa —todavía estamos casados, pero la llamo así para tenerla sobre ascuas— entró en la sucursal de una cadena de tiendas con una suma de dinero fija, y un plan definido respecto de cómo lo invertiría; dicho plan era el siguiente:

1/10 en zapatos

4/9 del resto en ropa

1/10 del resto en una bufanda

2/9 del resto en un sombrero

4/7 del resto en artículos de librería

2/3 del resto en chocolates

49/50 del resto en un brazalete

Al salir de la tienda entregó cinco décimos del resto a un mendigo, y camino de casa bebió una taza de té con cuatro quintos del dinero que le quedaba. Cuando llegó, le restaba apenas un penique. ¿Con cuánto había salido del hogar?

2. Me dicen que Carlos tiene el doble de la edad que tenía Pedro cuando Carlos era de la edad que ahora tiene Pedro. Este tiene 18 años. ¿Cuál es la edad de Carlos?

3. He descubierto que un número al cual se le resta 6, y cuyo resultado se multiplica por 6, termina siendo lo mismo que si se le resta 9 y se multiplica el resultado por 9. ¿Cuál es el número?

4. Tómese un séptimo del resultado que se obtiene sumando 12 a este número, y se descubrirá que es el doble del que se obtendría restando 1 de dicho número. ¿Cuál es ese número?

5. Cuando se viaja entre Ay B, hay 24 km cuesta arriba, 36 km cuesta abajo y 12 km llanos. Un correo emplea 25 horas para ir y 28 para regresar; pero si entre A y B hubiese habido 12 km cuesta arriba, 24 km llanos y 36 en descenso, podría recorrer la distancia en 23 horas. ¿Cuál es su velocidad en ascenso, en descenso y en el llano?

6. La diferencia entre los cuadrados de dos números es 16, y un número es exactamente los tres quintos del otro.

¿Cuáles son dichos números?

7. Si un cuarto de 20 no es cinco, sino cuatro, ¿cuánto sería un tercio de diez?

8. Me han ofrecido, a elegir, un capullo de rosa de cada tipo, de un conjunto de 12. Había cinco rosas rojas y siete blancas. ¿Cuántas posibilidades tenía de elegir una de cada una?

9. Una cuerda se extiende desde el extremo superior de un poste de 50 metros de alto hasta otro de 20 metros, que se encuentra a 16 metros de distancia. ¿Qué longitud tiene la cuerda? /

10. La cola de un pescado pesa 9 kilos. Su cabeza pesa tanto como la cola y un tercio del cuerpo juntos, y el cuerpo pesa tanto como la cola y la cabeza juntas. ¿Cuánto pesa el pescado?

11. Dos aulas tienen 105 alumnos. Hay 60 varones y 45 niñas. Si el 10 por ciento de los primeros y el 331/3 de las segundas falta a clase, por lo común, a lo largo de un período, ¿cuál sería el tanto por ciento de ausentismo para el conjunto de los alumnos?

12. Bill puede correr un kilómetro en 4,12 minutos, pero Ben es capaz de correr 4,2 kilómetros en una hora. ¿Cuál es el más veloz de los dos?

13. Sume ocho a este número, reste ocho de la suma, multiplique por ocho lo que queda, divida el producto, y le habrá quedado cuatro. ¿Cuál es el número con el cual comenzó?

14. Cada vez que este hombre se sienta a escribir una carta, siempre usa dos hojas de papel, y por cada doce cartas que escribe tira una hoja. Suponiendo que tenga 100 hojas para usar, ¿cuántas cartas podrá escribir con ellas?

Solución

Una cuestión de edad

“Si la mitad de la mitad de la edad que tengo ahora —dijo Kate—fuese reemplazada por veintiocho, y al total se le restara 4, mi edad habría resultado aumentada en 18 años. ¡Pero qué cosa! Cuando tenga cuarenta y seis, mi edad será el doble de la de Dick.” Eso fue lo que dijo, y éste es el hijo de ella. Calcule, entonces, la edad de él, por pura diversión.

Solución

Desafío chino

¡He aquí un acertijo que tiene por lo menos cinco mil años de antigüedad!

―――――

―――――

―――――

= 6

―――――

―――――

―――――

= 1

―――――

―――――

―――――

= 6

―――――

―――――

―――――

¿a cuánto es igual?

Solución

Que era lo que queríamos demostrar

Piense un número

El latín no era mi mejor materia en la escuela. Durante años pensé que In loco parentis significaba “Mi padre en la locomotora”. Pero sé que Quod erat demonstrandum quiere decir, más o menos, Que era lo que se quería demostrar. Lo sé porque era la frase que los profesores de matemáticas pronunciaban, triunfantes, al concluir una de tantas tretas que eran su especialidad. Aquí hay tres de ellas.

En el primer truco se pide a la víctima que:

a) Piense en un número

b) Lo duplique

c) Le sume cuatro

d) Lo multiplique por cinco

e) Le sume 12

f) Lo multiplique por diez

g) Le diga el resultado

Ahora, mentalmente, reste 320 a ese resultado, tache los dos últimos dígitos y tendrá el número en el cual pensó su víctima. Anúncielo con orgullo... agregando QEQD, si le parece.

He aquí cómo funciona el truco.

a)

Piense en un número, digamos 54

= 54

b)

Duplíquelo

= 108

c)

Súmele cuatro

= 112

d)

Multiplíquelo por cinco

= 560

e)

Súmele doce

= 572

f)

Multiplíquelo por diez

= 5.720

g)

Tome el resultado, réstele 320 y tache los dos últimos dígitos

= 54

Este es el segundo truco:

a) Haga que su víctima piense un número

b) Pídale que lo eleve al cuadrado

c) Pídale que reste 1 del número inicial

d) Pídale que eleve al cuadrado ese segundo número

e) Pregúntele la diferencia entre los dos cuadrados

f) Mentalmente, súmele 1 a ese número

g) Siempre mentalmente, divida la respuesta por dos, y tendrá el número en el cual pensó su víctima.

Esta es la manera en que funciona:

a)

Piense en un número, digamos 26

= 26

b)

Elévelo al cuadrado

= 676

c)

Réstele 1 a 26

= 25

d)

Eleve 25 al cuadrado

= 625

e)

Pregunte la diferencia entre los dos cuadrados

= 51

f)

Súmele 1

= 52

g)

Divida el resultado por dos y dígale a su víctima el número en el cual pensó

= ¡26!

QEQD

Y he aquí el tercer truco. Es fácil de realizar, porque la respuesta es siempre siete.

a) Pídale a su víctima que piense un número

b) Pídale que lo duplique

c) Pídale que sume 5

d) Pídale que sume 12

e) Pídale que reste 3

f) Pídale que divida el total por dos

g) Pídale que le reste el número en el cual pensó.

h) Dígale ahora a su víctima que la respuesta es 7.

Y así es como funciona eso:

a)

Piense en un número, digamos 84

= 84

b)

Duplíquelo

= 168

c)

Súmele 5

= 173

d)

Súmele 12

= 185

e)

Réstele 3

= 182

f)

Divida por 2

= 91

g)

Reste el número en el cual pensó primero (84)

= 7

h)

Anuncie que el número es siete

QEQD

Casillas inteligentes

Este es un truco muy diferente, y parece exigir una asombrosa capacidad de memoria. En realidad, lo único que hace falta es la capacidad suficiente para recordar una serie de instrucciones sencillas y realizar algunas adiciones elementales.

Esto es lo que ocurre:

Muestre a su público la tabla siguiente. Sus interlocutores verán que está formada de 36 casilleros (numerados de 1 a 36), y que cada casillero contiene diferentes números de nueve dígitos. Explique a su público que la suya es una memoria asombrosa, y que sabe qué número de nueve dígitos está en cuál casillero. Invite a una de las personas a tener el casillero lejos de su vista. Luego pídale que elija un casillero y le diga cuál es el número de caracteres grandes.

Un momento después que se le ha dado el número de casillero, puede anunciar el número de nueve dígitos que figura en dicho casillero, y aceptar los merecidos aplausos. Esta es la manera en que lo hace:

1 Mentalmente, sume 11 al número del casillero que se le ha dado

2 Invierta los dígitos de esta suma para obtener los doá primeros dígitos del número de nueve dígitos

3 Sume estos dígitos al tercero. Descarte las decenas

4 Sume los dos últimos dígitos de su total, y prescinda de cualquier decena. Esto le dará el cuarto dígito del número de nueve dígitos

5 Continúe sumando los dos últimos dígitos de su total, descartando todas las decenas, hasta llegar a un número de nueve dígitos

6 Anuncie con orgullo el número de nueve dígitos

He aquí un ejemplo de cómo funciona el sistema:

1

Digamos que se elige el casillero 35

2

Sume 11 a 35 = 46

3

Invierta estos dígitos para obtener los dos primeros del largo número del casillero 34

= 64

4

Agréguelos al tercer dígito del número largo

= 640

5

Sume los dos últimos dígitos de arriba para obtener el cuarto dígito: 4 + 0 = 4

= 6404

6

Sume los dos últimos dígitos, etc.

0 + 4 = 4

64044

7

Sume los dos últimos dígitos, etc.

4 + 4 = 8

640448

8

Sume los dos últimos dígitos, etc.

4 + 8 = 12 (prescinda de las decenas)

6404482

9

Sume los dos últimos dígitos, etc.

8 + 2 = 10 (prescinda de las decenas)

64044820

10

Sume los dos últimos dígitos, etc.

2 + 0 = 2

640448202

11

Ahora tiene nueve dígitos. Ponga el número en el casillero 35

QEQD

Los tres dígitos

He aquí un truco (bastante) honesto y (relativamente) sencillo:

a) Pida a uno de sus amigos que piense un número de tres dígitos en el cual todos los números sean iguales.

b) Mientras su víctima lo hace, anote un número en una hoja de papel, pliéguelo y entrégueselo a otro integrante del público.

c) Ahora pida a su víctima que sume los dígitos del número que ha pensado.

d) Diga a su víctima que divida el número primitivo de tres dígitos por la suma de los dígitos.

e) Pregunte a su víctima cuál es el resultado final.

f) Ahora pida a otro integrante del público, el que tiene su hoja de papel plegada, que lea el número escrito en ella. Será el 37.

He aquí cómo funciona el truco:

a)

Número de tres dígitos, digamos 555

555

b)

Anote 37 en un papel, y dóblelo para ocultar el número

c)

Sume los dígitos (5+ 5 + 5 = 15)

15

d)

Divida 555 por 15 (555 + 15 = 37)

37

e)

¿Qué dice el papel?

37

QEQD

Los dígitos que faltan

En este truco podrá impresionar a su víctima con su extraordinaria capacidad para adivinar determinado dígito, omitido en forma arbitraria de una lista de dígitos elegidos al azar, y luego reordenados.

Esto es lo que hará:

a) Pida a su amigo que escriba cualquier número que elija.

b) Pídale que sume todos los dígitos de ese número.

c) Pídale que reste la suma de los dígitos del número primitivo.

d) Pídale que mezcle los dígitos y los vuelva a escribir en cualquier orden.

e) Pídale que sume 25 a ese nuevo número.

f) Pídale que tache un dígito, pero no un cero.

g) Pregúntele cuál es el número que ha quedado.

Una vez que lo ha anotado:

a) Sume los dígitos.

b) Reste siete a ese total.

c) Reste ese número del siguiente múltiplo de nueve.

d) Anuncie que la cifra que ha obtenido es el dígito que se eliminó.

Y aquí va un ejemplo de la forma en que eso funciona:

a)

Escriba cualquier número al azar, digamos

=

7529874

b)

Sume todos los dígitos

(7+ 5 + 2 + 9 + 8 + 7 + 4)

42

c)

Reste eso de 7529874

=

7529832

d)

Mezcle y vuelva a escribir dígitos, digamos

9872253

e)

Súmele 25

=

9872278

f)

Tache un dígito, pero no un cero

=

9072278

g)

Pida el número

=

972278

h)

Sume los dígitos (9 + 7 + 2 + 2 + 7 + 8)

35

i)

Reste siete de ese total

=

28

j)

Reste 28 del siguiente múltiplo más alto de nueve (36)

8

k)

Anuncie que el número tachado fue el

=

8

QEQD

Por último, he aquí otra versión del mismo truco, pero es uno que podrá dominar sin recurrir al papel y el lápiz. Lo siguiente es lo que hará:

a) Pida a su víctima que piense un número.

b) Pida a su víctima que lo multiplique por 100.

c) Pida a su víctima que le sume 36.

d) Pida a su víctima que reste ese número del que pensó primero.

e) Pídale los dígitos del total, menos uno de ellos.

Y esto es lo que hará luego:

a) Sume todos esos dígitos.

b) Reste su suma del siguiente múltiplo más alto de nueve.'

c) Anuncie el dígito faltante, que es el resultado de su resta.

Helo aquí en la práctica:

a)

Piense un número, digamos 73421

= 73421

b)

Multiplíquelo por 100

= 7342100

c)

Súmele 36

= 7342136

d)

Réstele 73421

= 7268715

e)

Obtenga los dígitos, menos uno

= 7268715

f)

Sume esos dígitos (7 + 2 + 6 + 8 + 1+5)

= 29

g)

Reste 29 al siguiente múltiplo más elevado de nueve (36)

= 7

h)

Anuncie que el dígito que faltaba era el

7

QEQD

Dados

Este truco se hace con dados, pero no es un juego. Invite a su víctima a echar tres dados, y a que se asegure de que usted no los ve. Cuando los dados han sido echados, pida a su víctima que realice algunos cálculos fáciles, terminados los cuales usted podrá decirle qué tres dados echó.

Esto es lo que le pide que haga:

a) Echar tres dados, fuera de su vista.

b) Duplicar el número del primero.

c) Sumarle tres.

d) Multiplicar esa suma por cinco.

e) Sumarle el número del segundo dado.

f) Multiplicar esa suma por diez.

g) Sumarle el número del tercer dado.

h) Decirle cuál es el total.

Una vez que tiene ese total, lo único que debe hacer es:

a) Tomar el total y restarle 150, dejando un número de tres dígitos.

b) El primer dígito será igual al número del primer dado.

c) El segundo dígito será el mismo que el número del segundo dado.

d) Y el tercer dígito será el mismo que el número del tercer dado.

e) Diga entonces cuál es la secuencia de los números que mostraron los dados echados.

Si los dados echados mostraron cuatro, cinco y dos, la siguiente es la manera en que funcionaría el truco:

Duplique el número del primer dado (cuatro)

= 8

Sume tres

= 11

Multiplique por cinco

= 55

Sume el número del segundo dado (cinco)

= 60

Multiplique por diez

= 600

Sume el número del tercer dado (dos)

= 602

Pida el total

= 602

Réstele 150

= 452

QEQD

Dígame un día

¡Diga a sus interlocutores que conoce los días exactos de la semana correspondientes a cada día de los siglos XIX y XX! Invite a alguien a que nombre una fecha determinada, y luego dígale qué día de la semana era o será esa fecha.

Para llevar a cabo este truco tiene que recordar números clave de cada mes del año. Pero primero debe aprender de memoria la siguiente tabla:

enero 1

febrero 4

marzo 4

abril 0

mayo 2

junio 5

julio 0

agosto 0

septiembre 6

octubre 1

noviembre 4

diciembre 6

Suponiendo que ha logrado aprender los números clave de cada mes, el siguiente es su método:

1 Tome los dos últimos dígitos del año y considérelos como un número único.

2 Súmele el número de docenas que contiene.

3 Súmele el resto.

4 Sume el número de veces que entra cuatro en el resto, y si se trata del siglo XIX, sume dos.

5 Si el resultado es siete o mayor que siete, divida por siete y recuerde sólo lo que resta.

6 Ahora agregue el número clave del mes del cual se trata. Una vez más, si el resultado es siete o más, divida por siete y recuerde sólo el resto.

7 Ahora agregue el día del mes. Como antes, si el resultado es siete o más, divida por siete y recuerde solamente lo que resta.

8 El dígito que le queda le dará el día de la semana, si cuenta:

Sábado como 0 Miércoles como 4

Domingo como 1 Jueves como 5

Lunes como 2 Viernes como 6

Martes como 3

9 Si el año resulta ser bisiesto y el mes es enero o febrero, retroceda un día para obtener su resultado final.

¿Y cómo reconoce un año bisiesto? Muy fácil: se lo indicará el primer paso. Los años bisiestos son múltiplos de cuatro, y cualquier número puede ser dividido por cuatro si es posible hacerlo con sus dos últimos dígitos. Por lo tanto, si no queda un residuo cuando divide por 12, o cuando divide por cuatro, ya sabe que se encuentra ante un año bisiesto. (¿Y las excepciones? 1800 y 1900. Se los puede dividir por cuatro, por supuesto, pero no son años bisiestos. Sin embargo, el año 2000 es bisiesto.)

Por lo tanto, imaginemos que se le ha pedido que nombre el día en que se produjo el primer descenso de una nave espacial tripulada en la Luna.

20 de julio de 1969. Ello se determina de la siguiente manera:

1 Tome los dos últimos dígitos: 1969

2 Divida por 12 = 5; residuo = 9

3 Divida el residuo por 4 = 2 (residuo 1)

4 Agregue tres partes 5 + 9 + 2 = 16

5 16 es mayor que 7, y entonces divida por 7 = 2, residuo 2

6 Agregue el número clave de julio (0) 2 + 0 = 2

7 Agregue el día del mes 2 + 20 = 22

8 22 es mayor que 7; por lo tanto, divida por 7 = 3; residuo 1

9 1 corresponde a Domingo en la tabla de la semana

10 Por consiguiente, el 20 de julio de 1969 fue un domingo.

Feliz cumpleaños

Para los cinco trucos siguientes debe elegir sus víctimas con cuidado. No a cualquiera le agrada que revelen su edad.

Con el primer truco, pedirá a la víctima que realice una serie de cálculos mentales.

a) Primero haga que su víctima piense un número entre uno y nueve

b) Pídale que lo duplique

c) Pídale que le sume cinco

d) Pídale que multiplique el resultado por 50

e) Pídale que agregue el número del año en curso, menos 250 (en 1984, entonces, agregue 1984 ‒ 250 = 1734)

f) Pídale que reste el año de su nacimiento.

g) Pídale que le diga qué número ha obtenido. Será un número de tres dígitos. El primer dígito será el número que pensó el voluntario, y los dos segundos dígitos serán su edad actual.

He aquí un ejemplo:

a) Su víctima elige ocho

b) Duplique eso

=

16

c) Súmele cinco

=

21

d) Multiplique por 50

=

1050

e) Súmele el año en curso menos 250

(1984-250 = 1734)

=

2784

f) Reste el año del nacimiento de la víctima, digamos 1934

=

850

g) Estudie la respuesta. El primer dígito es aquel en el cual se pensó primero, los dos últimos son la edad de su amigo en ese año.

QEQD

Con el siguiente truco, puede revelar a la víctima el día de la semana, el mes del año y la fecha del mes en que ésta nació... así como la edad que tiene. Esto es lo que hará:

a) Pida a su víctima que escriba un número que muestre el día de la semana, el mes del año y la fecha de ese mes en que nació. Los días se cuentan de uno a siete, a partir del lunes, y los meses, por supuesto, se cuentan de uno a 12, a partir de enero

b) Haga que su víctima duplique el número

c) Que sume cinco.

d) Que multiplique por 50

e) Que le sume la edad de la persona

f) Que le reste 365

g) Que la persona le sume 115 y le diga el resultado

La respuesta le dirá:

a) El día de la semana en que nació su víctima, mostrado por el primer dígito.

b) El mes en que nació, mostrado por el segundo y tercer dígitos.

c) Y por último la edad actual de la persona, mostrada por el dígito o los dígitos que quedan.

Para ver cómo funciona esto en la práctica, imaginemos que nuestra víctima nació el 6 de setiembre de 1919, que era sábado:

a)

El número escrito será 696:6 para el sábado, 9 para setiembre y 6 para la fecha del cumpleaños en setiembre

b)

Duplíquelo

= 1392

c)

Súmele cinco

= 1397

d)

Multiplique por 50

= 69850

e)

Sume la edad actual de la persona (65 en 1984)

= 69915

f)

Reste 365

= 69550

g)

Sume 115 y mire su respuesta

= 69655

Leyendo de izquierda a derecha, tendrá el día de la semana en el cual nació la persona (seis = sábado); el mes en el cual nació (nueve = setiembre); la fecha del nacimiento (seis) y su edad en el año 1984 (64).

QEQD

El truco número 3 de la serie es muy sencillo:

a) Pida a su víctima que anote al azar cualquier número de cinco dígitos

b) Pídale que lo multiplique por dos

c) Que le sume cinco

d) Que lo multiplique por 50

e) Que le agregue su edad

f) Que le sume 365

g) Que le reste 615 y le diga la respuesta.

La respuesta será un número de siete dígitos, los cinco primeros de los cuales serán el número primitivo, elegido al azar, y los dos últimos la edad de la víctima.

Vea cómo funciona esto en la práctica:

a)

Elija un número de cinco dígitos, digamos 62981

= 62981

b)

Multiplíquelo por dos

= 125692

c)

Súmele cinco

= 125697

d)

Multiplique por 50

= 6298350

e)

Sume la edad de la persona, digamos 36

= 6298386

f)

Sume 365

= 6298751

g)

Reste 615 y vea la respuesta

= 6298136

Los cinco primeros dígitos son los mismos que el número elegido al azar, y escrito arriba, en tanto que los dos últimos revelan la edad de su víctima.

QEQD

El truco número 4 también necesita que su víctima haga todo el trabajo.

a) Pídale que escriba su edad

b) Pídale que multiplique ese número por tres

c) Pídale que se sume uno

d) Pídale que multiplique esa suma por tres

e) Pídale que sume su edad a la cifra obtenida

f) Pídale que reste tres.

g) Pida a su víctima que le diga cuál es la respuesta final, elimine el último dígito, y le quedará la edad de la persona.

He aquí un ejemplo:

a) La víctima escribe su edad, digamos que es 57

= 57  

b) Multiplique por tres

= 171

c) Súmele uno

= 172

d) Multiplique por tres

= 516

e) Agregue la edad, 57

= 573

f) Reste tres

= 570

g) Pida el total y elimine el último dígito

= 570

QEQD

Por último, he aquí una lista que lo llevará a la edad de cualquiera... siempre que no tenga más de 63 años. (De todos modos, si tiene más de esta edad, usted no debería tener tan poco tacto como para intentar con la persona un truco como éste.)

Lo único que necesita hacer es pedir a la víctima que indique cuál de las seis columnas contiene el número de su edad. Luego, mentalmente, suma, sencillamente, los números de la parte superior de las columnas indicadas, y la suma le dará la edad de su víctima.

He aquí un ejemplo:

a) Su víctima tiene 57 años.

b) Le indica que su edad aparece en las columnas encabezadas por 32,16, 8 y 1, columnas a, b, c y f.

c) Sume los números que encabezan las cuatro columnas, y obtendrá un total de 57.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

32

16

8

4

2

1

33

17

9

5

3

3

34

18

10

6

6

5

35

19

11

7

7

7

36

20

12

12

10

9

37

21

13

13

11

11

38

22

14

14

14

13

39

23

15

15

15

15

40

24

24

20

18

17

41

25

25

21

19

19

42

26

26

22

22

21

43

27

27

23

23

23

44

28

28

28

26

25

45

29

29

29

27

27

46

30

30

30

30

29

47

31

31

31

31

31

48

48

40

36

34

33

49

49

41

37

35

35

50

50

42

38

38

37

51

51

43

39

39

39

52

52

44

44

42

41

53

53

45

45

43

43

54

54

46

46

46

45

55

55

47

47

47

47

56

56

56

52

50

49

57

57

57

53

51

51

58

58

58

54

54

53

59

59

59

55

55

55

60

60

60

60

58

57

61

61

61

61

59

59

62

62

62

62

62

61

63

63

63

63

63

63

Para llamar a todo el mundo

Número obtenible

Los números que más se destacan en mi vida son los telefónicos. Los colecciono. Uso algunos de ellos con regularidad, muchos no los utilizo nunca, trato de memorizarlos casi todos, y algunos los atesoro.

Aquí van unos cuantos de mis favoritos. Para aprovecharlos, lo único que hace falta es una guía telefónica con los prefijos de la localidad indicada, un teléfono que funcione y una cuenta bancaria que le permita pagar la factura.

Teatro alla Scala

Milán 8879

Central Intelligence Agency (CIA)

Washington DC 351-1100

Hora Exacta

Madras 174

Hotel Raffles

Singapur 328041

Moenjodaro (antigua ciudad del valle del Indus)

Moenjodaro 6

Bakú (reserva de mesas)

Moscú 99-80-94

Acrópolis

Atenas 3236-665

Embajada Británica (Mongolia)

Ulan Bator 51033/4

Centro de Tratamiento Antialcohólico

Chicago 254-3680

Autódromo de Karachi

Karachi 515809

Sociedad Sherpa

Katmandú 121412

Torre Eiffel

París 705-44-13

Ambulancias

Bangkok 13

Centro de Crisis de la Capilla Wayside

Sydney 33-4151

Warner Brothers Inc.

Burbank 845-6000

Centro de Miembros Artificiales

Auckland 600 644

Casa Blanca

Washington DC 456-1414

Aeropuerto de Entebbe

Entebbe 2516

Aeródromo de Port Stanley

Port Stanley 219

Pronóstico Meteorológico

Bombay 211654

Salvamento aéreo y marítimo

Bahamas 2-3877

Servicio de Cuidado de Niños

Nueva York 879-4343

Wells Fargo & Company

San Francisco 386-0123

Jack the Clippers

Dublin 90-94-97

Follies Berger

Estambul 449569

Servicio de Taxis

Salzburgo 72680

Oil Can Harry’s

Vancouver 683-7306

Pinkerton’s Inc.

Nueva York 285-4860

Colt, Armas de Fuego

Hartford 278-8550

S. S. Reina Isabel II

Londres 930-4832

Centro de Belleza Yvonne

Rasal-khaimah 29540

Librería de la Familia Omán

Ruwi 702858

Palacio Tokapi

Estambul 28-35-47

Lobster Pot

Nairobi 20491

Yves Saint-Laurent

París 265-74-59

Castillo de Hiroshima

Hiroshima 21-7512

Hospital Antiimperialist

Pekín 553-731

Reserva Fauna Salvaje Kaziranga, Assam

Kaziranga 3

Cementerio de Highgate

Londres 340-1834

Wrigley de México

Naucalpan de Juarex

Sun set Club

5-76-58-53 Lima 22-98-74

Instituto de Investigación de Fenómenos Paranormales

Buffalo 837-0306

Radio Dubai

Dubai 470255

Champagne J. Bollinger SA

Reims 50-12-34

Corte Suprema de EE.UU.

Washington DC 252-300

Ministerio de Educación

Zomba 6111

Watergate

Washington DC 965-230

Dial-a-Girl

Sydney 357-1125

Greek Powder & Cartridge Company, Inc.

Atenas 3-236-091

Club de Fútbol Waneroo

Perth 409-9548

Nippon Steel Corporation

Tokio 242-4111

Campos de Golf Gstaad

Gstaad 42636

Wig Corporation

Kaohsiung 220740/1

Chistes por teléfono

Nueva York 999-3838

Horóscopos:

Aries

Nueva York 936-5050

Taurus

Nueva York 936-5151

Géminis

Nueva York 936-5252

Cáncer

Nueva York 936-5353

Leo

Nueva York 936-5454

Virgo

Nueva York 936-5656

Libra

Nueva York 936-5757

Escorpio

Nueva York 936-5858

Sagitario

Nueva York 936-5959

Capricornio

Nueva York 936-6060

Acuario

Nueva York 936-6161

Piscis

Nueva York 936-6262

Información

Beirut 340940

El Rajá de Perlis

Perlis 7552211

Aeropuerto de Kabul

Kabul 25541-46

Agencia Espacial Europea

París 567-5778

Organización de la

Unidad Africana

Addis Abbeba 47-480

Sociedad Mundial del Futuro

Bethseda 656-8274

Cartier Inc.

Nueva York 753-0111

Biblioteca Pública

de Bulawayo

Bulawayo 6-09-66

Revista Pleasure!

Accra 66640

El Mago Stanton

Perth 446-8772

Centro de Salud de

Bondi Junction

Sydney 389-5072

Jordán Phosphate Mines Company Ltd.

Ammán 38147

Big Mountain

Whitefish 862-3511

Filmes de Horror

Toronto 925-0425

Delphi

Delphi 82313

Llame a un Angel

Sydney 467-5

Museo y Biblioteca de la Flagelación

Jerusalén 28-29-36

Le Sexy

París 225-25-17

Drink

Río de Janeiro 257-7068

Palacio de Amir

Doha 25241

Frente Unico de Liberación Tamil

Jaffna 7176

Konstantín Chernenko

Moscú 206-25-11

Sung Myong Moon, Reverendo

Nueva York 730-5782

Iglesia de la Santidad del Bautismo por el Fuego

Independence 331-3049

El Sultán de Johore

Johore JB 2000

Asociación Profesional de Cowboys de Rodeos

Denver 455-3270

Consejo Mundial de la Paz

Helsinki 640004

¡Algunas sumas!

1 × 8 + 1 = 9

12 × 8 + 2 = 98

123 × 8 + 3 = 987

1234 × 8 + 4 = 9876

12345 × 8 + 5 = 98765

123456 × 8 + 6 = 987654

1234567 × 8 + 7 = 9876543

12345678 × 8 + 8 = 98765432

123456789 × 8 + 9 = 987654321

9 × 9 + 7 = 88

98 × 9 + 6 = 888

987 × 9 + 5 = 8888

9876 × 9 + 4 = 88888

98765 × 9 + 3 = 888888

987654 × 9 + 2 = 8888888

9876543 × 9 + 1 = 88888888

98765432 × 9 + 0 = 888888888

65359477124183 × 17 × 1 = 1111111111111111

65359477124183 × 17 × 2 = 2222222222222222

65359477124183 × 17 × 3 = 3333333333333333

65359477124183 × 17 × 4 = 4444444444444444

65359477124183 × 17 × 5 =5555555555555555

65359477124183 × 17 × 6 = 6666666666666666

65359477124183 × 17 × 7 = 7777777777777777

65359477124183 × 17 × 8 = 8888888888888888

65359477124183 × 17 × 9 = 9999999999999999

1 × 9 – 1 = 8

21 × 9 − 1 = 188

321 × 9 − 1 = 2888

4321 × 9 − 1 = 38888

54321 × 9 − 1 = 488888

654321 × 9 − 1 = 5888888

7654321 × 9 − 1 = 68888888

87654321 × 9 − 1 = 788888888

987654321 × 9 − 1 = 8888888888

1 × 9 + 2 = 11

12 × 9 + 3 = 111

123 × 9 + 4 = 1111

1234 × 9 + 5 = 11111

12345 × 9 + 6 = 111111

123456 × 9 + 7 = 1111111

1234567 × 9 + 8 = 11111111

12345678 × 9 + 9 = 111111111

1111 + 1 + 1 = 3

111 +  3 = 37

2222 + 2 + 2 = 6

222 +  6 = 37

3333 + 3 + 3 = 9

333 +  9 = 37

4444 + 4 + 4 = 12

444 + 12 = 37

5555 + 5 + 5 = 15

555 + 15 = 37

6666 + 6 + 6 = 18

666 + 18 = 37

7777 + 7 + 7 = 21

777 + 21 = 37

8888 + 8 + 8 = 24

888 + 24 = 37

9999 + 9 + 9 = 27

999 + 27 = 37

112

= 121

1112

= 12321

11112

= 1234321

111112

= 123454321

1111112

= 12345654321

11111112

= 1234567654321

111111112

= 123456787654321

1111111112

= 12345678987654321

33 × 3367 = 11111

66 × 3367 = 222222

99 × 3367 = 333333

132 × 3367 = 444444

165 × 3367 = 555555

198 × 3367 = 666666

231 × 3367 = 777777

264 × 3367 = 888888

297 × 3367 = 999999

123456789

―

987654321

12345678

87654321

1234567

7654321

123456

654321

12345

54321

1234

4321

123

321

12

21

+ 1

1

1083676269

1083676269

Así es la vida

El cuerpo humano

Cantidad de huesos en el cuerpo humano

Cráneo

22

Orejas

6

Vértebras

26

Costillas

24

Esternón

4

Omóplatos y clavículas

4

Brazos

60

(30 cada uno)

Huesos ilíacos

2

Piernas

58

(29 cada una)

Total

206

Ritmo del pulso

Al nacer

135 pulsaciones por minuto

2 años

110 pulsaciones por minuto

4 años

105 pulsaciones por minuto

6 años

95 pulsaciones por minuto

8 años

90 pulsaciones por minuto

10 años

87 pulsaciones por minuto

15 años

83 pulsaciones por minuto

21-25 años

74 pulsaciones por minuto

25-30 años

72 pulsaciones por minuto

35-40 años

70 pulsaciones por minuto

40-45 años

72 pulsaciones por minuto

45-50 años

72 pulsaciones por minuto

55-60 años

75 pulsaciones por minuto

60-65 años

73 pulsaciones por minuto

65-70 años

75 pulsaciones por minuto

70-75 años

75 pulsaciones por minuto

75-80 años

72 pulsaciones por minuto

80 + años

78 pulsaciones por minuto

Se podría hacer...

...siete panes de jabón con toda la grasa del cuerpo humano adulto.

...un clavo de hierro de 7,5 cm de largo, con todo el hierro que contiene el cuerpo humano adulto.

...la mina para 900 lápices, con todo el carbón que contiene el cuerpo humano adulto.

...las cabezas de 2.000 fósforos con todo el fósforo contenido en el cuerpo humano.

... suficiente cal para blanquear las paredes de un gallinero pequeño, con todo el calcio que contiene el cuerpo humano.

Números universales

Los números egipcios

Aunque el primer método para contar fue sin duda alguna el de la utilización de los dedos de ambas manos, ya en el 3000 a. de C. se habían inventado, en Egipto, Babilonia, China y la India, símbolos representativos de números, y para el 2900 a. de C. los egipcios habían comenzado a utilizar los números en una forma práctica.

Números arábigos

Los números que usamos hoy fueron inventados por los árabes, y llegaron a Europa para el 1200 de nuestra era. El diagrama siguiente muestra cómo se desarrollaron.

1 Las letras del deyanagari, del siglo II.

2 Números árabes del siglo X.

3 Primeros ejemplos de números árabes en manuscritos en latín, Biblioteca del Escorial, España, 976.

4 Otras formas de números árabes, de tipo occidental.

5-8 Números árabes de tipo oriental (ocho números árabes modernos, tales como se emplean en la escritura árabe).

9-13 Los llamados “ápices de Boecio”, de los siglos XI y XII.

14 Los números de John Bassingestokes (fallecido en 1252).

15-17 Números arábigo-bizantinos del siglo XII al XV.

18 Números de un manuscrito de Francia (ahora está en Berlín), de la segunda mitad del siglo XII.

19 Números que aparecen en un manuscrito italiano d< Florencia, en la primera mitad del siglo XIV.

20 Números de un manuscrito italiano del siglo XV.

Números hebreos (con utilización de las letras del alfabeto)

Números mayas

Números jónicos (antiguo alfabeto griego)

Números babilonios

Números hindúes

Números chinos

Números chinos de bastoncillos

Números del alfabeto semáforos

Las letras A a K (excluida la J) del alfabeto de semáforos proporcionan los números del uno al cero:

Este es el signo que indica un número   

Números del alfabeto Morse

Los números del alfabeto Morse siguen una pauta regular, como se indica:

1

• − − − −

5

• • • • •

9

− − − − •

2

• • − − −

6

− • • • •

0

− − − − −

3

• • • − −

7

− − • • •

4

• • • • −

8

− − − • •

Números del código internacional de banderas

Este Código Internacional permite que los barcos se comuniquen entre sí, aunque sus tripulaciones hablen idiomas diferentes. Hay diez banderines para los números de uno a cero, que se ven como sigue:

Contar con las manos

Durante miles de años, los hombres se basaron en los dedos para contar... y no sólo hasta diez. En el siglo IV a. de C., Herodoto se refería al sistema griego que permitía contar, con las manos, de uno hasta millares. Los romanos también poseían un sistema para contar con los dedos. Y lo mismo ocurría con los antiguos chinos.

El sistema que se muestra aquí es el descrito por un fraile italiano de finales del siglo XV, Luca Pacioli. Es probable que muchos de los símbolos se hubiesen usado durante más de mil años. En el siglo IV, San Jerónimo mencionaba la vinculación del matrimonio con el número 30, en tanto que relacionaba el 60 con la viudez. Si se observa los dos números en el grabado, se verá que el 30 es el círculo formado por el pulgar y el índice, en tanto que el 60 muestra el pulgar y el índice cruzados.

Fracciones comunes

Fracciones de cien

Créase o no, le guste o no, cada una de estas fracciones y sumas de aspecto horrendo es igual a 100.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

Multiplicación = adición

Puede que esto parezca una contradicción, pero no lo es. Observe:

a) 5 + 1 1/4 = 6 1/4

y 5 × 1 1/4 = 6 1/4

b) 3 + 1 1/2 = 4 1/2

y 3 × 1 1/2 = 4 1/2

c) 4 + 1 1/3 = 5 1/3

y 4 × 1 1/3 = 5 1/3

Existe una regla que gobierna la conducta de estos números. Siempre obtendrá resultados iguales de la suma y la multiplicación, si se suma o multiplica un número por 1 con una fracción que tiene 1 como numerador y un denominador que es uno menos que el multiplicador. De modo que la misma regla regiría para:

6 + 11/5 = 7 1/5

y 6 × 11/5 = 7 1/5

y

9 + 11/8 = 10 1/8

y 9 × 11/8 = 10 1/8

Para una variación del mismo tema, vea lo que también puede hacer con la adición y la sustracción:

Palabras y números

Espionaje

Algunas personas poseen un verdadero talento para convertir los números en palabras, y viceversa.

En el mundo ultrasecreto del espionaje internacional, el uso de números como sustitutos de letras del alfabeto es una práctica común. El sistema más evidente consiste en numerar las letras a partir de A, pero hasta el espía más ingenuo se encuentra por lo general en condiciones de inventar algo más refinado. Por ejemplo, aquí van tres cifrados sencillos que se utilizaron durante la primera guerra mundial:

(a)

(b)

(c)

A

31

91

146

B

32

92

145

C

33

93

144

D

34

94

143

E

35

95

142

F

36

96

141

G

37

97

140

H

38

98

139

I

39

99

138

J

40

100

137

K

41

101

136

L

42

102

135

M

43

103

134

N

44

104

133

O

45

105

132

P

46

106

131

Q

47

107

130

R

48

108

129

S

49

109

128

T

50

110

127

U

51

111

126

V

52

112

125

W

53

113

124

X

54

114

123

Y

55

115

122

Z

56

116

121

Es evidente que no importa cómo se aparean los números y las letras siempre que exista una secuencia que abarque todo el alfabeto. Como agente de gran calibre y enorme capacidad para los números, una vez que ha elegido su sistema, su paso siguiente es seleccionar las letras que necesita para enviar su mensaje, y luego escribirlas en una hilera continua. Digamos que envía el mensaje “Dígalo con números”, para lo cual usa el código de (a):

Entonces hace lo siguiente:

a) Asigna números a las letras del mensaje.

b) Escribe los números de corrido.

c) Los divide en grupos, al azar:

a) DIGALO CON NUMEROS

34/37/31/42/45 33/45/44 44/51/43/35/48/45/49

b) 343731524533454444514335484539

c) 343 73152 4533 45 44445 14 33548 4539

Si el descifrador conoce la base según la cual fueron apareados letras y números, lo único que se debe hacer es que los dígitos vuelvan a ser apareados a partir de su hilera dividida al azar, y entonces extraer de ellas las letras.

El cifrado de Mirabeau

Para hacer que su cifrado resulte un tanto más difícil de descifrar, es posible que usted quiera introducir una palabra clave, que le permitirá mezclar las letras del alfabeto antes de numerarlas. En el caso del famoso cifrado de Mirabeau, las letras de cada grupo tienen un número, ordenadas todos numéricamente. Supongamos que la palabra clave sea DESCIFRA:

2

8

6

5

9

DESCI

FRABG

HJKLM

NOPQS

TUVWXYZ

12345

12345

12345

12345

1234567

De manera que para enviar el mensaje MANDA DINERO, usted producirá una hilera de números con dos dígitos, correspondientes a cada una de las letras del mensaje. El primer dígito dice al descifrador en qué grupo de letras se encuentra, y el segundo dígito remite a la hilera de dígitos de abajo, e indica la letra que se menciona. En este caso, su mensaje será:

6583512183212551228252

y se lo puede transmitir en cualquier orden, quizá como el que sigue:

658 3 512183 125512 28252

Fracciones cifradas

Para el siguiente cifrado numérico, el principio es el mismo que en el caso de Mirabeau, pero el mensaje se transmite como una serie de fracciones. Una vez más, se usa una palabra clave para mezclar el alfabeto, aunque ahora la hilera de dígitos de abajo se puede disponer en cualquier orden.

Por ejemplo, así se usaría la palabra clave LEXICON para enviar un mensaje en el cual se utilice el cifrado de fracciones:

1

2

3

4

5

6

7

8

LEX

ICON

ABD

FQHJK

MPQ

RSTUV

WXY

Z

379

4689

789

56789

579

56789

689

9

Y el siguiente es el mensaje:

2421 7726 2261 3711 1322 1

4997 6988 6883 9673 3989 7

¿Puede descubrir qué es?

Solución

Cifrado de Twisnum

Con este sistema, las letras del alfabeto y los diez dígitos de cero a nueve son indicados por pares de números que pueden ser usados aun en orden invertido. Esto ofrece mayor seguridad, ya que cada letra tiene dos cifras equivalentes. He aquí cómo se vería el código con el alfabeto mezclado según la palabra THURSDAY (jueves).

T

12

21

H

13

31

U

14

41

R

15

51

S

16

61

D

17

71

A

18

81

Y

19

91

B

23

32

C

24

42

E

25

52

F

26

62

G

27

72

H

28

82

I

29

92

J

34

43

K

34

43

L

35

53

M

36

63

N

37

73

O

38

83

P

39

93

Q

45

54

V

46

64

W

47

74

X

48

84

Z

49

94

Y aquí están los dígitos de cero a nueve:

1

56

65

2

57

75

3

58

85

4

59

95

5

67

76

6

68

86

7

69

96

8

78

87

9

79

97

0

89

98

Descifre el mensaje, recordando que las cifras pueden escribirse en dos formas:

3682 6713 5215 2528 4238 6325

Solución

Cifrado de referencias de mapas

Este sistema funciona según el principio de la “batalla naval”. Se disponen las letras y las cifras, de uno a nueve, en un casillero, con los números del cifrado por fuera, en la parte superior y en el costado izquierdo. Después, cada letra se envía en el código como una referencia. Lo único que tiene que hacer el descifrador es anotar los números codificados con referencia a su propio cuadrado de cifrado, para encontrar el mensaje. He aquí el alfabeto básico de ese cuadrado de cifrado, pero como siempre, el alfabeto podría ser mezclado mediante el empleo de una palabra clave:

0

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

D

E

F

G

3

H

I

J

K

L

M

N

9

0

P

Q

R

S

T

U

4

V

W

X

Y

Z

1

2

2

3

4

5

6

7

8

9

Y ahora, como prueba final de su capacidad potencial como maestro entre los espías, vea si puede enviar los siguientes mensajes:

a) Socorro

b) Mi cerebro echa humo

c) Nunca en domingo

Solución

X = 10

Números romanos

He aquí los principales números romanos, de uno a 1.000.000. La raya de arriba de algunos de los números es un recurso para multiplicar el valor del número en cuestión por

1

I

400

CD

o

CCCC

2

II

500

D

o

IↃ

3

III

600

DC

o

IↃC

4

IV o IIII

700

DCC

o

IↃCC

5

V

800

DCCC

o

IↃCCC

6

VI

900

CM

o

IↃCD

7

VII

1,000

M

o

CIↃ

8

VIII

1,100

MC

o

CIↃC

9

IX

1,200

MCC

o

CIↃCC

10

X

1,300

MCCC

o

CIↃCCC

11

XI

1,400

MCD

o

CIↃCD

12

XII

1,500

MD

o

CIↃD

13

XIII

1,600

MDC

o

CIODC

14

XIV

1,700

MDCC

o

CIↃDCC

15

XV

1,800

MDCCC

o

CIↃDCCC

16

XVI

1,900

MCM

o

CIↃIↃCD

17

XVII

2,000

MM

o

CIↃCI

18

XVIII

3,000

MMM

19

XIX

4,000

20

XX

5,000

o

IↃↃ

30

XXX

6,000

40

XL

7,000

50

L

8,000

60

LX

9,000

70

LXX

10,000

o

CCↃↃ

80

LXXX

50,000

o

IↃↃↃ

90

XC

100,000

o

CCCIↃↃↃ

100

C

500,000

o

IↃↃↃↃ

200

CC

1,000,000

o

CCCCIↃↃↃↃ

300

CCC

De año en año

Día a día

¿Cómo tiene dividido usted su día? ¿Desayuno; almuerzo; té; cena? ¿Tomar el de las 8 y 5; un pocillo de café a las 11; hora del almuerzo, de 12 y 30 a 14; el pocillo de café de las 16; tomar el de las 5 y 41? Todos vemos el día de maneras distintas, según nuestro modo de vida particular. Así dividían su día los antanarivos de Madagascar, comenzando por la medianoche:

Mitad de la noche

Las ranas croan

El canto del gallo

Mañana y noche juntas

Horizonte iluminado

Resplandor del día

Pueden verse los colores del ganado

Salida del sol

Pleno día

Cae el rocío

El ganado sale a pastar

Las hojas se secan

Desaparece la escarcha

El sol sobre la cumbrera del techo

El sol entra en el umbral de la habitación

El sol en el lugar donde se pisa el arroz

El sol en los pilares de la casa

El sol en el redil de las ovejas

El ganado vuelve

Los colores de la puesta de sol

El sol muerto

Vuelven las aves de corral

La gente cuece el arroz

La gente come arroz

La gente termina de comer

A dormir

Esto hace que nuestros relojes digitales, nuestros relojes de pulsera y nuestros horarios parezcan un tanto prosaicos, ¿verdad?

Y para llegar a nuestros días, aunque con el uso de una división del día que ya tiene siglos de antigüedad, así se distribuyen los turnos de guardia en el mar:

Medianoche a 4

Guardia mediana

4 a 8

Guardia matinal

8 hasta el mediodía

Guardia antemeridiana

Mediodía a 16

Guardia de la tarde

16 a 18

Guardia del primer perro

18 a 20

Guardia del segundo perro

20 a medianoche

Primera guardia

El objetivo de las dos guardias breves (de “perro”) es evitar que los mismos hombres estén de guardia todos los días en el mismo período.

Mes por mes

Los romanos tenían diez meses en su año, hasta que Numa Pompilio resolvió que era tiempo de agregar dos más. Durante siglos, en Bali, Samoa, partes de África oriental y Nueva Guinea, el año estuvo compuesto de seis meses, y hasta no hace mucho los dayak de Borneo calculaban su año según las ocho labores diferentes que realizaban en el campo.

En Australia, la tribu bigambul solía dividir su año en cuatro estaciones, de acuerdo con el florecimiento de ciertos árboles:

Otoño (Yerrabinda)

Florece el árbol Yerra

Invierno (Nigabinda)

Florece el árbol Niga

Primavera (Wobinda)

Florece el árbol palo de hierro

Verano (el suelo quema los pies)

No florece ningún árbol

Los maoríes de Nueva Zelanda solían trabajar sobre la base de 13 meses por año:

1 Mes de la Gran Estrella Blanca.

2 Mes de otra estrella.

3 Comienza la primavera.

4 Mes de florecimiento de los árboles.

5 Llega el cuclillo.

6 Salen las flores del Rewarewa.

7 Flores del Nga.

8 Estrella del gran verano.

9 Mes de sequía y escasez.

10 Cosecha.

11 Se va el cuclillo.

12 Estrella de invierno.

13 Mes que gruñe.

Los chinos desarrollaron un sistema de división de su año en unidades de más o menos 15 días, que no daban más de 24 estaciones:

1 Estación del agua de lluvia (15 días).

2 Estación de las serpientes que se mueven (15 días).

3 Equinoccio de primavera (15 días).

4 Estación de la luz pura (15 días).

5 y 6 Estación de la lluvia de sembrar y estación del alba del verano (31 días).

7 y 8 Estación de pocos frutos y estación del grano en la espiga (31 días).

9 Solsticio de verano (16 días).

10 Estación del comienzo del calor (16 días).

11 y 12 Estación de gran calor y estación de rocío blanco (31 días).

13 y 14 Estación del final del calor y estación de señales del otoño (31 días).

15 Estación del rocío frío (15 días).

16 Equinoccio de otoño (15 días).

17 Estación de la escarcha (15 días).

18 Estación de señales de invierno (15 días).

19 y 20 Estación de comienzo de la nieve y estación de la Gran Nieve (29 días).

21 Solsticio de invierno (15 días).

22 Estación del pequeño frío (15 días).

23 Estación del gran frío (15 días).

24 Estación del alba de la primavera (15 días).

Calendario para mentes ordenadas

En la actualidad, en todo el mundo, la mayor parte de las personas han llegado a aceptar que algunos años tienen 365 días, en tanto que otros tiene 366, y que algunos meses contienen 31 días, mientras que otros sólo llegan a 30, y uno de ellos tiene que arreglárselas con 28 o 29. El sistema podría parecerle excéntrico a una criatura de Marte, pero los terráqueos nos hemos habituado a él, y nos sentimos felices de seguir adelante en esa forma.

De vez en cuando aparece en escena un individuo de mentalidad excepcionalmente ordenada, y hace lo posible por corregirnos. Uno de ellos fue el filósofo francés Augusto Comte, quien ideó el Calendario Internacional Fijo en 1849. La esencia del calendario de Monsieur Comte era la siguiente:

a) Un año dividido en 13 meses.

b) Cada mes tendría exactamente 28 días.

c) El nuevo mes se intercalaría entre junio y julio, en mitad del año, y se llamaría Sol.

d) Al final del año (después del 28 de diciembre) se agregaría un día festivo fuera del calendario.

e) Todos los años bisiestos se agregaría otro día festivo fuera del calendario.

f) El primer día de cada mes sería un domingo.

g) El último día sería un sábado.

El proyecto de Comte no encontró el favor que éste esperaba, ante todo porque su año no se dividía en forma conveniente en trimestres y la comunidad del mundo de los negocios de Francia consideraba que los trimestres eran imprescindibles.

En 1884 otro francés, Armelin, presentó un desarrollo de la idea de Comte. Proponía:

a) Conservar los 12 meses.

b) Hacer iguales los trimestres, que serían de 91 días cada uno.

c) Por lo tanto, enero, abril, julio y octubre tendrían 31 días.

d) Y todos los demás meses serían de 30 días.

e) Las sugestiones del año de 365 días y del año bisiesto eran aceptadas.

Aunque 47 países adoptaron el Calendario Mundial de Armelin en la década de 1930, iba también en contra de los deseos del mundo de los negocios, que volvió a echar un balde de agua fría sobre la idea. Esta vez los negociantes argumentaron que cada mes engendraba cinco semanas diferentes, en tanto que cada mes de determinado trimestre comenzaba en un día distinto.

En fecha más reciente, un ingeniero industrial norteamericano, Wallace Barlow, produjo otro calendario alternativo, compuesto de 12 meses, cada uno de ellos de 28 días, con una serie de días festivos fuera de calendario, que caían al final de cada mes (desarrollo del único día festivo de Comte, fuera de calendario, de fin de año). El calendario de Barlow funcionaría de la siguiente manera:

a) Cada mes duraría 28 días.

b) Cada mes empezaría un lunes.

c) Aparte del sábado y el domingo de cada semana, no habría otro día festivo en ningún mes.

d) Todas las fiestas se agruparían al final de cada mes (habría 29 de ellas).

Esto produciría el efecto de acortar la semana de trabajo a 38 horas, cosa que a su vez abreviaría el año de trabajo en 14 días. Pero sin días festivos en mitad de semana que interrumpiesen el ritmo laboral, el inventor afirma que el aumento de la productividad compensaría esa pérdida.

Este es el aspecto que tendría cada mes en el Calendario de Barlow:

L

M

M

J

V

S

D

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

El Día de Pascuas caería siempre el 28 de abril, pero todas las otras fiestas se ordenarían de la siguiente manera:

29 de enero

Festival de Invierno

29 de febrero

Día del Héroe Nacional

29 de marzo

Festival de Primavera

29, 30 y 31 de abril

Festival de Pascuas

29, 30, 31 y 32 (y en años bisiestos el 33) de mayo

Festival de Verano

29, 30, 31 y 32 de junio

Festival de la Paz

29, 30 y 31 de julio

Festival de la Independencia

29 y 30 de agosto

Festival de la Amistad

29 y 30 de setiembre

Festival del Otoño

29 de octubre

Festival de la Música

29 y 30 de noviembre

Día de Acción de Gracias

29, 30, 31, 32 y 33 de diciembre

Fiestas de Navidad

Gracias por tenerme

Dado que usted, o algún conocido —lo más probable es que se trate de su admirable librero local—, han tenido la generosidad de pagar su buen dinero por este libro, siento que lo menos que puedo hacer es tratar de devolverles la amabilidad en alguna —escasa— medida. Por eso le ofrezco este capítulo.

Todas las posibilidades indican que posee un calendario. Y lo más probable es que lo haya pagado. Era posible que estuviese pensando en adquirir otro calendario para el año que viene. Y para el siguiente. Y para el otro. Bueno, ahora no necesita hacerlo. Entre este día de hoy y el final del siglo no tendrá que volver a gastar dinero en calendarios... gracias al Calendario del Siglo, de Brandreth.

En el futuro, si necesita un calendario, elija el año que busca de la lista que sigue, y recurra al calendario en cuestión, que será uno de los 14 que aparecen en las páginas siguientes. Y si quiere mirar hacia atrás, y no hacia adelante, puede hacerlo, porque le doy calendarios de todos los años, desde el primero del siglo —1901— hasta el último: 2000.

Yo siempre supe que había nacido el 8 de marzo de 1948, pero hasta que creé el Calendario del Siglo no sabía que ese día era un lunes. Ahora usted también puede descubrir si tiene un rostro hermoso o lleno de gracia, o tal vez lleno de congoja, o si podrá llegar muy lejos, y si ama y da, si trabaja duro para vivir o tiene la buena suerte de ser agradable, jovial y alegre.

1901

3

1935

3

1968

9

1902

4

1936

11

1969

4

1903

5

1937

6

1970

5

1904

13

1938

7

1971

6

1905

1

1939

1

1972

14

1906

2

1940

9

1973

2

1907

3

1941

4

1974

3

1908

11

1942

5

1975

4

1909

6

1943

6

1976

12

1910

7

1944

14

1977

7

1911

1

1945

2

1978

1

1912

9

1946

3

1979

2

1913

4

1947

4

1980

10

1914

5

1948

12

1981

5

1915

6

1949

7

1982

6

1916

14

1950

1

1983

7

1917

2

1951

10

1984

8

1918

3

1952

5

1985

3

1919

4

1953

6

1986

4

1920

12

1954

7

1984

5

1921

7

1955

8

1988

13

1922

1

1956

3

1989

1

1923

2

1957

4

1990

2

1924

10

1958

5

1991

3

1925

5

1959

13

1992

11

1926

6

1960

1

1993

6

1927

7

1961

1

1994

7

1928

8

1962

2

1995

1

1929

3

1963

3

1996

9

1930

4

1964

11

1997

4

1931

5

1965

6

1998

5

1932

13

1966

7

1999

6

1933

1

1967

1

2000

14

1934

2

De cero a fantastillones

Y de millones a billones

Los números muy grandes pueden producir confusión:

Un millón de norteamericanos es igual al millón británico, y tiene seis ceros.

Un billón norteamericano es igual a mil millones británicos, y tiene nueve ceros.

Un trillón norteamericano es igual al billón británico, y tiene 12 ceros.

Un cuatrillón norteamericano equivale a los mil billones de los británicos, y tiene 15 ceros.

Un quintillón norteamericano es igual al trillón británico, y tiene 18 ceros.

Un sextillón norteamericano equivale a mil trillones británicos, y tiene 21 ceros.

Un septillón norteamericano equivale a un cuatrillón británico, y tiene 24 ceros.

Un octillón norteamericano es lo mismo que mil cuatrillones británicos, y tiene 27 ceros.

Un nonillón norteamericano es igual que un quintillón británico, y tiene 30 ceros.

Un decillón norteamericano es lo mismo que mil quintillones británicos, y tiene 33 ceros.

El número que en general se acepta como el más alto es el centillón. En Estados Unidos un centillón es un uno seguido de 303 ceros. En Gran Bretaña es el uno seguido de 600 ceros.

Cuando se habla de grandes números, los matemáticos serios usan una notación de diez elevado a varias potencias, para eliminar una profusión de ceros, de modo que 100 es 102, 1.000 es 103, 1.000.000 es 106, 1.000.000.000 es 109,y así de seguido.

En grande

¿Quién quiere ser millonario? Yo no... aunque sólo sea porque me llevaría tanto tiempo contar mi fortuna. Si tuviese un millón de esterlinas en billetes de una libra, y los contase a razón de 60 billetes por minuto, aun trabajando ocho horas por día, cinco días por semana, necesitaría casi siete semanas para concluir el trabajo.

No, contar los millones de uno es tarea dura. Tenerlos vigilados tampoco es fácil. Una vez conocí a un multimillonario norteamericano que me dijo que si sus mil millones estuvieran apilados en billetes de un dólar, la torre de dinero tendría unos 200 kilómetros de altura. Ambicionaba llegar a ser un trillonario norteamericano, y entonces su pila de billetes habría llegado a la mitad del trayecto a la Luna.

Me gustan los números grandes, pero no tanto. Ahora que casi hemos llegado al final del libro, será mejor que les presente algunos de mis favoritos. El primero es 100.001. Me gusta porque tiene buen aspecto y estilo.

Tome 100.001 y multiplíquelo por cualquier dígito de cinco números, y obtendrá una respuesta de diez dígitos, constituida por los cinco dígitos del multiplicador, repetidos dos veces:

100001 × 85246 = 8524685246

100001 × 96314 = 9631496314

100001 × 32158 = 3215832158

100001 × 44444 = 4444444444

100001 × 12121 = 1212112121

A primera vista 15873 no es tan atrayente como 10001, pero multiplíquelo por 7 y múltiplos de 7, y vea lo que ocurre:

15873 × 7 = 111111

15873 × 14 = 222222

15873 × 21 = 333333

15873 × 28 = 444444

15873 × 35 = 555555

15873 × 42 = 666666

15873 × 49 = 777777

15873 × 56 = 888888

15873 × 63 = 999999

15873 × 70 = 1111110

15873 × 77 = 1222221

15873 × 84 = 1333332

15873 × 91 = I444443

15873 × 98 = 1555554

15873 ×1 05 = 1666665

15873 × 112 = 1777776

15873 × 119 = 1888887

15873 × 126 = 1999998

15873 × 133 = 2111109

15873 × 140 = 2222220

15873 × 147 = 2333331

15873 × 154 = 2444442

15873 × 161 = 2555553

15873 × 168 = 2666664

15873 × 175 = 2777775

37037 es otro favorito. Contiene infinitas posibilidades. Lo multiplicaré por cada uno de los números, de 1 a 27, y usted siga a partir de ahí. Le prometo que le espera una fiesta.

37037 × 1 = 37073

37037 × 2 = 74074

37037 × 3 = 111111

37037 × 4 = 148148

37037 × 5 = 185185

37037 × 6 = 222222

37037 × 7 = 259259

37037 × 8 = 296296

37037 × 9 = 333333

37037 × 10 = 370370

37037 × 11 = 407407

37037 × 12 = 444444

37037 × 13 = 481481

37037 × 14 = 518518

37037 × 15 = 555555

37037 × 16 = 592592

37037 × 17 = 629629

37037 × 18 = 666666

37037 × 19 = 703703

37037 × 20 = 740740

37037 × 21 = 777777

37037 × 22 = 814814

37037 × 23 = 851851

37037 × 24 = 888888

37037 × 25 = 925925

37037 × 26 = 962962

37037 × 27 = 999999

El goce de los números consiste en que están henchidos de sorpresas. Los más notables son muchas veces los de aspecto menos notable, y se los puede encontrar por pura casualidad.

142857 es mi cuarto gran favorito. Lewis Carroll lo encontró por primera vez cuando dividió por 7:

1/7 = 0,142857142857142857142857

Carroll descubrió, luego, tomando el mínimo de los dígitos antes que se repitieran:

142857 × 1 = 142857

142857 × 2 = 285714

142857 × 3 = 428571

142857 × 4 = 571428

142857 × 5 = 714285

142857 × 6 = 857142

En cada respuesta aparecen los mismos dígitos, aunque comenzando por uno distinto en cada ocasión.

Ahora vea lo que sucede cuando multiplica 142857 por 7:

142857 × 7 = 999999

Cuando lo multiplica por ocho o más, reaparece la pauta, aunque debe hacer un cálculo adicional para obtener la secuencia correspondiente:

142857 × 8 = 1142856

Tome el primer dígito y súmelo al resto, y volverá a obtener 142857.

142856 + 1 =142857

A medida que los multiplicadores se hacen más grandes, la pauta se mantiene, aunque al cabo de un rato tendrá que sumar los dos primeros dígitos para lograr que la secuencia continúe su marcha:

142857 × 16 = 2285712

y 285712 + 2 = 285714

142857 × 29 = 4142853

y 142853 + 4 = 142857

142857 × 34 = 4857138

y 857138 + 4 = 857142

142857 × 51 = 7285707

y 285707 + 7 = 285714

142857 × 64 = 9142848

y 142848 + 9 = 142857

142857 × 89 = 12714273

y 714273 + 12 = 714285

142857 × 113 = 16142841

y 142841 + 16 = 142857

142857 × 258 = 36857106

y 857106 + 36 = 857142

142857 × 456 = 65142792

y 142792 + 65 = 142857

142857 × 695 = 99285615

y 285615 + 99 = 285714

Suceda lo que sucediere, siete y sus múltiplos son una ley en sí mismos:

142857 × 28 = 3999996

y 999996 + 3 = 999999

142857 × 49 = 6999993

y 999993 + 6 = 999999

142857 × 63 = 8999991

y 999991 + 8 = 999999

142857 × 84 = 1199998

y 999988 + 11 = 999999

142857 × 203 = 28999971

y 999971 + 28 = 999999

Lo que es más, mire lo que ocurre cuando trata de multiplicar los dígitos por siete, y luego divide el resultado por nueve:

142857 × 7 = 999999

999999 ÷ 9 = 111111

285714 × 7 = 1999998

1999998 ÷ 9 = 222222

428571 × 7 = 2999997

2999997 ÷ 9 = 333333

571428 × 7 = 3999996

3999996 ÷ 9 = 444444

714285 × 7 = 4999995

4999995 ÷ 9 = 555555

857142 × 7 = 5999994

5999994 ÷ 9 = 666666

Primos y perfectos

Números como 142857 y 37037 y 15873 y 100001 son mis números primos. Para mí son perfectos... aunque técnicamente, por supuesto, no son primos ni perfectos, y debo terminar con una nota de precisión.

Un número “primo” es un número entero que no puede ser dividido por ningún otro número entero, salvo por sí mismo y por la unidad, sin dejar un residuo. Los primos inferiores a 100 son: 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. El más elevado número primo que se conozca es 219.937 ‒1 (un número de 6.002 dígitos, los cinco primeros de los cuales son 43.154 y los tres últimos 471), recibido por la Sociedad Matemática Norteamericana en marzo de 1971, y calculado en una computadora IBM 360/91, en 39 minutos y 26,4 segundos.

Un número “perfecto” es el que resulta igual a la suma de todos sus divisores, exceptuado él mismo. Como por ejemplo 6 (1 + 2 + 3 = 6) o 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Los siguientes son los primeros veinte números perfectos:

Fórmula

Número

Número

de

dígitos

1

21 (22 − 1)

6

1

2

22 (23 − 1)

28

2

3

24 (25 − 1)

496

3

4

26 (27 − 1)

8.128

4

5

212 (213 − 1)

33.550.336

8

6

216 (217 − 1)

8.589.869.056

10

7

218 (219 − 1)

137.438.691.328

12

8

230 (231 ‒ 1)

2.305.843.008.139.952.128

19

9

260 (261 ‒ 1)

37

10

288 (289 ‒ l)

54

11

2106 (2107 − 1)

65

12

2126 (2127 − 1)

77

13

2520 (2521 ‒ 1)

314

14

2606 (2607 ‒ 1)

366

15

21.278 (21.279 ‒ 1)

770

16

22.202 (22.203 ‒ 1)

1.327

17

22.280 (22.281 ‒ 1)

1.373

18

23.216 (23.217 ‒ 1)

1.937

19

24.252 (24.253 ‒ 1)

2.561

20

24.422 (24.423 ‒ 1)

2.663

Creo que debería terminar con el número perfecto más elevado que se conoce. Es (219.937 ‒ 1) × 219.936. Comienza con 931, termina con 656 y llega a tener 12.003 dígitos en total. Para ofrecérselo desarrollado, me temo que necesitaría otro libro, de modo que espero que entienda que lo mantendré oculto hasta entonces.

Respuestas

Del acidímetro al zimómetro

1 Gradientes.

2 Cálculos.

3 Pequeñas corrientes eléctricas.

4 Absorción de agua.

5 Salinidad.

6 Gravedad específica de la orina.

7 Concentración de las soluciones de plata.

8 Polarización de la luz.

9 Vibraciones.

10 Capacidad pulmonar.

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Miscelánea de medidas

1 Mide ocho botellas grandes de champaña.

2 Mide la capacitancia eléctrica.

3 Mide 24 hojas de papel.

4 Mide la corriente eléctrica.

5 Mide la centésima parte de una cadena.

6 Mide 202 yardas.

7 Mide el ángulo plano.

8 Mide la frecuencia.

9 Mide la inductancia.

10 Mide 6,4 pintas de champaña/coñac.

11 Mide la fuerza.

12 Mide la carga eléctrica.

13 Mide el trabajo, la energía.

14 Mide la potencia.

15 Mide la presión termodinámica.

16 Mide la resistencia eléctrica.

17 Mide 480 hojas de papel.

18 Mide cuatro pulgadas.

19 Mide 6075,1033 pies.

20 Mide 120 brazas.

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Una mancha en el cuaderno

   289

+ 764

1.054

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Dígame un número

a)

6729 y 13458

6729 × 2 = 13458

b)

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Números en el cine

1. Fahrenheit 451.

2. Ocho y medio.

3. Dirk Bogarde.

4. Sir William Walton.

5. Los siete samurais y Los siete magníficos.

6. Cinco tumbas al Cairo.

7. El Paralelo 42.

8. Yul Brynner.

9. La Posada de la Sexta Felicidad.

10. Michael York, Frank Finlay, Oliver Reed, Richard Chamberlain.

11. Graham Greene.

12. Un millón de años a.C.

13. Arthur Clarke: 2001: Odisea del espacio.

14. Las cuatro plumas.

15. Kenneth Moore.

16. El salvaje.

17.55 días en Pekín.

18. A las doce en punto.

19. Julio Verne: La vuelta al mundo en ochenta días.

20. El séptimo sello, de Ingmar Bergman.

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Tres cuadrados con trampas

El total común de cada una de las hileras, columnas y diagonales de los tres cuadrados es cinco. Lo obtendrá sumando dos de los dígitos de cada línea y restando el tercero.

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Las letras cuentan

a)

46388

b)

2291244

14288

2228344

23888

2231244

84564

6750832

c)

272

d)

5525

472

5566

744

5225

5696

22012

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Uno de cada tres

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Dividir para reinar

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Sumando y restando

a)

173

85

+ 4

y

+ 92

177

177

b) Sostenga la suma delante de un espejo, y verá que tiene sentido.

c)

1

1

1

11

14

d)

15

36

47

2

100

e)

f)

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Los números que faltan

a 5. b 5. c 63. d 27. e 3. f 49.

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El desafío de los números

1. Con 100 esterlinas.

2. 24.

3. 15.

4. 2.

5. Dos millas cuesta arriba, cuatro millas cuesta abajo y tres millas en terreno llano.

6. Más tres y más cinco, o menos tres y menos cinco.

7. 22/3.

8. 35.

9. 34 pies.

10. 5 kilos y 400 gramos.

11. 20 por ciento.

12. Bill.

13. 4.

14. 48.

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Una cuestión de edad

a) Dick tiene un año.

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Desafío chino

= 4

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Fracciones cifradas

El resultado no está en el libro, es la frase en inglés:

IKNE WYYOU COUL DWEL LDON E

I KNEW YOU COULD WELL DONE

Que traducida es:

SABÍA QUE PODÍAS HACERLO BIEN

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Cifrado de Twishum

MI5 HERE I COME (MI5 YA VOY).

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Cifrado de referencia de mapas

a) 01474319173907136313492739072733136363676919

b) 590307633334096965313634713490719136359

c) 634704473909630749696370734

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Editorial Gedisa ofrece los siguientes títulos sobre el

TEMA

HUMOR Y ENTRETENIMIENTO “SERIO”

perteneciente a sus diferentes colecciones y series

Los libros de esta sección tienen dos notas sobresalientes: por un lado, su humor inteligente y ágil, que interesa a lectores exigentes; por otro lado, una reivindicación de juego como actividad compatible con la cultura.

JEAN-PIERRE ALEM

Juegos de ingenio y

Entretenimiento matemático

JEAN-PIERRE ALEM

Nuevos juegos de ingenio y

Entretenimiento matemático

BEATRIZ DOUMERC Y AYAX BARNES

La línea

B. M. NASH Y R. MONCHICK

El libro de los tests

Conózcase a usted mismo

B. M. NASH Y R. MONCHICK

El libro de los tests. Usted y los otros

PAULA DELSOL

Horóscopos chinos

F. T. MARINETTI Y FILLIÁ

La cocina futurista

JAMES L. ADAMS

Guía y juegos para superar bloqueos mentales

JAMES FIXX

Juegos de recreación mental para los muy inteligentes

NICHOLAS FALLETTA

Paradojas y juegos

ANATOLY KARPOV

Cómo aprender de las derrotas

RAYMOND SMULLYAN

Juegos y problemas de ajedrez para Sherlock Holmes

RAYMOND SMULLYAN

Juegos de ajedrez y los misteriosos caballos de Arabia

MARTIN GARDNER

Juegos y enigmas de otros mundos

MARTIN GARDNER

Juegos. Los mágicos números del Dr. Matrix

J. FRIANT E Y. L'HOSPITALIER

Juegos lógicos en el mundo de la inteligencia artificial

J. HILLMAN Y CH. BOER

La cocina del inconsciente

A. ROUSTAN Y WOLINSKY

La cocina del amor

RAYMOND SMULLYAN

Juegos por siempre misteriosos

RAYMOND SMULLYAN

Juegos para imitar a un pájaro imitador

GYLES BRANDRETH

Juegos con números

Esta obra se terminó de imprimir en el mes de abril de 1989 en los talleres de Compañía Editorial Electrocomp, S.A.

Calz. de Tlalpan 1702

Col. Country Club.

México, D.F.