HISTORIA DE LAS
MATEMÁTICAS

E. T. BELL

Traducción de
R. ORTIZ

Título original: The Development of Mathematics

© McGraw-Hill Book Co., Nueva York

Primera edición en inglés, 1940
Segunda edición en inglés, 1945
Primera edición en español, 1949
Segunda edición en español, 1985
     Undécima reimpresión, 2012
Primera edición electrónica, 2016

ISBN 978-607-16-3465-8

ERIC TEMPLE BELL

(Peterhead, Escocia, 1883-Watsonville, California, 1960) emigró a los Estados Unidos a los 19 años. Estudió en la Universidad de Stanford y se doctoró en la Universidad de Columbia. Además de su contribución a las matemáticas en el campo de la teoría de números, es reconocido como historiador de esta materia. En 1924 fue galardonado con el Bôcher Memorial Prize otorgado por la American Mathematical Society.

ADVERTENCIA

Hace ya muchos años se agotó la edición en español de la presente obra (FCE, 1949); durante este tiempo, para los que nos encontrábamos formándonos en la universidad y teníamos interés en tener un panorama más amplio de las matemáticas, conseguir un ejemplar prestado (así como el devolverlo) era prácticamente imposible y, cuando lo hacíamos, devorábamos las páginas una tras otra. Las anécdotas y comentarios nos parecían tan interesantes y amenos, que muchas veces nos olvidábamos de que no entendíamos cabalmente ni los conceptos ni las ideas matemáticas de los que allí se hablaba. Su lectura permitía ubicarnos en los temas que empezábamos a estudiar, haciéndonos ver que tenían ligas con otros que ya conocíamos, o con los que en poco tiempo estaríamos en contacto y de los cuales oíamos hablar a los compañeros de años superiores en forma por demás misteriosa y, sobre todo, nos transmitía la convicción de que las matemáticas estaban vivas y en pleno desarrollo.

Cuando me enteré de que el Fondo estaba planeando una reedición, empecé a leer la obra con cierto recelo, pues tenía el temor de que el buen recuerdo, que por tantos años de ella había guardado, se desvaneciese. Afortunadamente no fue así, aunque debo admitir que el tiempo me había hecho atribuirle cualidades y propósitos que, como el mismo autor expone en su prefacio, no tiene. Además de que en muchos casos el autor prefiere exponernos la tradición popular o su interpretación personal, en lugar de las conclusiones a que lleva el análisis histórico, su intención no es la de brindarnos una historia de las matemáticas en el sentido usual, sino describir los episodios más sobresalientes de las grandes corrientes matemáticas desde sus inicios hasta nuestros días (1945 con más precisión). Por supuesto, estas descripciones no dejan de usar tecnicismos y tienen distintos niveles de comprensión, algunas le parecerán ininteligibles al neófito o triviales al especialista; además, la formación y los gustos personales del autor impiden que todas ellas tengan la misma profundidad y calidad pero sin lugar a dudas el resultado global es excelente y sólo se explica con la ayuda y consejo de numerosos especialistas.

Su lectura agradará a cualquier persona interesada en las matemáticas y en particular será de gran utilidad para maestros y profesores.

Ojalá el autor todavía se encontrase entre nosotros y tuviéramos la oportunidad de tener en nuestras manos una nueva edición con sus comentarios e interpretaciones de lo que ha sucedido en matemáticas en estos últimos 40 años. Desafortunadamente, para el público no especializado muy poco se ha escrito en esta dirección.

JUAN JOSÉ RIVAUD

Departamento de Matemáticas

CIEA del IPN

INTRODUCCIÓN

Hace cerca de 50 años, un crítico norteamericano, revisando el primer volumen (1888) de la Theorie der Transformationsgruppen, de Lie, fijó su criterio (y el nuestro) en la siguiente observación:

Probablemente no hay ciencia como las matemáticas que presente tan distinta apariencia a los ojos de quien las cultiva que a los de quien no las cultiva. Para [este último] es antigua, venerable y completa; un cuerpo de razonamiento árido, irrefutable y lúcido. En cambio, para el matemático su ciencia está todavía en el purpúreo florecimiento de la juventud vigorosa, extendiéndose por doquier tras lo “asequible pero no logrado”, y traspasada de la excitación de los pensamientos nacientes; su lógica, acosada de ambigüedades, y sus procesos analíticos, como el camino de Bunyan, discurren entre terreno fangoso, de un lado, y del otro un profundo canal, y se ramifican en múltiples veredas que van todas a dar a un yermo.

Cuando nos aventuramos más allá de los rudimentos, podemos admitir que los que cultivan las matemáticas tienen cosas más interesantes que decir que los que se limitan a venerarlas. De acuerdo con esto, seguiremos a los cultivadores en sus exploraciones de este camino de Bunyan a través del desarrollo de las matemáticas. Si a veces no tenemos ojos para el florecimiento purpúreo, es porque necesitamos todas nuestras facultades para no caer en el canal ni extraviarnos por un desierto de trivialidades, acaso equivocadas para las matemáticas o para su historia. Y dejaremos a los aficionados a antigüedades la tarea difícil y delicada de restaurar las rosas de las mejillas de las momias matemáticas.

El curso escogido en los siguientes capítulos lo determinaron dos factores. El primero fue la petición de muchos, principalmente estudiantes y maestros, para que hiciera una amplia información del desarrollo general de las matemáticas, con una referencia particular a los principales conceptos y métodos que en cierta medida han sobrevivido. El segundo, una convivencia personal por varios años con matemáticos creadores, tanto de matemática pura como aplicada.

No se deseaba una historia al modo tradicional, sino una historia narrativa de las épocas decisivas en el desarrollo de las matemáticas. Una gran mayoría solicitó sugestiones técnicas, sin demasiados detalles, ya que ciertas cosas siguen interesando a los matemáticos tecnólogos y científicos, en tanto que otras son ignoradas o desplazadas porque se considera que ya no son vitales. Muchos que proyectaban terminar su educación matemática con el cálculo, y en ciertos casos antes, desearon que se les mostrara algo del desarrollo de las matemáticas más allá del pensamiento del siglo XVII, como parte de una educación civilizada.

Los que pretendían continuar el estudio de las matemáticas o de una ciencia tecnológica también solicitaron un amplio tratamiento general con sugestiones técnicas. Éstos dieron dos razones adicionales, la segunda de interés particular para todo el que profese el magisterio. Estimaron que una visión de las principales direcciones en que se desarrollaron las matemáticas actuales podría ayudarles a decidir más inteligentemente el terreno particular de las matemáticas, si es que hubiera alguno, en que pudieran ellos encontrar una satisfacción duradera.

La segunda razón es característica de una generación que ha crecido más bien cansada de que se le diga lo que tiene que pensar y a quién tiene que respetar. Estos juveniles y cándidos críticos de sus supuestos educadores que esperaron que una inspección personal precipitada de la tierra prometida, aun a gran distancia, les permitiría resistir los halagos de “subdivisores” persuasivos empeñados en vender sus propios discursos a los inexpertos. Parécenos haber avanzado un largo camino desde 1873, cuando ese erudito historiador inglés de las matemáticas, infatigable fabricador de libros de texto escolares, más secos que el polvo, Isaac Todhunter (1820-1884), aconsejó una humilde docilidad, sostenida por una ferviente credulidad, como camino a la rectitud intelectual:

Si él [un estudiante de matemáticas] no se cree lo que le dice su preceptor, probablemente [en la época de Todhunter, en Cambridge] un clérigo de conocimientos maduros, reconocida aptitud y carácter intachable —su suposición carece de fundamento y pone de manifiesto una deficiencia en su capacidad de apreciar una prueba, deficiencia fatal para su éxito en esa rama de la ciencia que suponemos que cultiva.

Sea cual fuere la prudencia de la admonición de Todhunter, es sorprendente el gran número de estudiantes que se dedican a un trabajo serio, en matemáticas o en sus aplicaciones, que no tienen ni una vaga idea del camino real, de las trampas y de los callejones sin salida que les acechan. En consecuencia, es la cosa más fácil del mundo para un profesor entusiasta, “de conocimientos maduros, reconocida aptitud y carácter intachable”, vender a sus despistados alumnos una materia muerta ya desde hace 40 o 100 años, con la ilusión sincera de estar disciplinando sus mentes. Sólo con una breve ojeada a lo que son las matemáticas en el siglo XX —no 2100 años a. C.—, cualquier estudiante de inteligencia normal podría ser capaz de distinguir entre una instrucción viva y la matemática muerta. Es seguro que tendrá menos probabilidad que su fiel compañero de ahogarse en el canal o de perecer en el yermo.

Muchos querrían saber la influencia social de las matemáticas. Una táctica clásica en matemáticas es la reducción de un problema no resuelto a otro ya resuelto. Probablemente más de la mitad del problema “matemáticas y sociedad” es reducible al de “ciencia física y sociedad”. No habiendo hasta ahora una solución ampliamente aceptada de este último problema, dejaremos el anterior en la reducción indicada. Así, cualquiera será capaz de alcanzar sus propias conclusiones sacándolas de la solución del problema científico que admita. Las soluciones propuestas van desde el realismo platónico, en un extremo, al determinismo marxista en el otro.

Observaciones de pasada pueden sugerir la conveniencia de una investigación acerca de la cuestión, no menos dificultosa, de qué papel ha desempeñado la civilización, con sus neurosis, guerras y celos nacionales, en las matemáticas. Tales aspectos pueden ofrecer interés para los que intenten hacer de las matemáticas su medio de vida. Por cierto que, en esta ocasión, me pidieron que escribiera para adultos. La edad cronológica no es necesariamente una medida de la madurez; un estudiante de primer año de la universidad puede ser menos infantil en cualquier cosa que no sea matemáticas que el distinguido profesor que le instruye.

Los temas seleccionados para su desarrollo fueron escogidos después de una consulta con gran cantidad de profesionales, los cuales conocen por una dura experiencia personal lo que significa una invención matemática. Siguiendo sus consejos, de los pasados 6 000 años sólo se consideran las tendencias principales y aun éstas se presentan sólo a través de episodios típicos de máxima importancia en cada caso. Como cualquier matemático podría figurarse, las conclusiones que se sacan siguiendo tales consejos tienen que diferir, a veces, de las consagradas por la tradición puramente histórica. Cuando esto ocurra, las referencias a otras versiones ayudarán a que el lector se forme su opinión. Nada hay absoluto (fuera, acaso, de esta afirmación) en matemáticas o en su historia.

La mayor parte de las diferencias no es sino reflejo de dos posibles y a veces divergentes estudios de la evolución matemática. Cualquiera que haya intentado hacer progresar a las matemáticas propende a ser más escéptico que el espectador medio respecto de cualquier pretendida anticipación de un avance notable. Por su mayor experiencia y por la de otros, todavía vivos, el matemático profesional sospecha que lo que parece una anticipación, después de haber hecho el avance, ni siquiera apuntaba en la dirección debida. Y por un cúmulo de ejemplos, sabe que, cuando el progreso se pone realmente en marcha, sigue caminos totalmente diferentes de los que el pasado imaginara.

Por otra parte, nada más fácil que ajustar una engañosa curva suave a las discontinuidades de la invención matemática. Todo aparece entonces como en una ordenada progresión que marcha desde Egipto, 4000 a. C., y Babilonia, 2000 a. C., a Gotinga, 1934, y los Estados Unidos, 1945, con un Cavalieri, por ejemplo, que apenas se diferencia de Newton en las proximidades del cálculo, o un Lagrange, a quien le pasa lo mismo con Fourier en las series trigonométricas, o un Bhaskara respecto de Lagrange en los campos de la ecuación de Fermat. Historiadores profesionales pueden, a veces, inclinarse a exagerar la suavidad de la curva; matemáticos profesionales, que tienen bien presente la parte dominante que desempeñan en geometría las singularidades de las curvas, prestan atención a las discontinuidades. Éste es el origen de la mayor parte de las diferencias de opinión entre la mayoría de los que cultivan la matemática y la mayoría de los que no la cultivan. Y nada tiene de desastroso que haya tales diferencias. Disentir es siempre saludable.

No necesito excusarme por los miles de matemáticos muertos y vivos cuyos nombres no se mencionan en este libro. Sólo un catálogo vacío podría haber citado una docena de entre los creadores en matemáticas. Ni teniendo en cuenta que cada año se publican 4 000 o 5 000 memorias y libros consagrados a la investigación matemática —a la creación de nuevas matemáticas—, pretendemos reducir notablemente la omisión de ciertos temas que han interesado, o que pueden todavía interesar, a centenares de entre estos miles de no nombrados. Sin embargo, no se omite nada de lo que un suficiente número de hombres competentes considera vital. Quien desee seguir la historia detallada de ciertos desarrollos mayores encontrará las historias técnicas de temas especiales escritas por matemáticos para matemáticos, excesivas para un principiante. Algunas de estas historias estrictamente técnicas ocupan cientos de páginas, otras, millares de ellas; se ocupan del trabajo de miles de hombres, la mayoría olvidada por completo. Pero, al igual que las pequeñas criaturas cuyas huecas armazones sobreviven en la mole de un arrecife de coral, que puede hacer naufragar a un barco de guerra, esta multitud de matemáticos rigurosamente anónimos ha dejado algo en el edificio de las matemáticas más durable que sus propias breves y vulgares vidas.

Por lo que se refiere a la confección mecánica del libro, las notas han sido reducidas a un mínimo por el simple expediente de rechazar centenares de ellas. Algunas tienen el propósito de ampliar la información sobre temas importantes, remitiendo a trabajos de matemáticos creadores. En igualdad de circunstancias, se da preferencia a trabajos que contienen bibliografías extensas recopiladas por expertos que tienen conocimiento de primera mano de los asuntos de que se trate. Un número escrito en el ángulo superior derecho de la palabra indica una llamada a una nota; todas se hallan reunidas, para facilitar la referencia, justamente antes del índice. Deberán ser pasadas por alto mientras no se repase algún punto.

El índice será de mucha ayuda. Las iniciales y fechas de autores (excepto muy pocos, imposibles de hallar sin una desmedida labor), rara vez repetidas en el texto, aparecen en el índice; las referencias a definiciones, etc., se suprimen también por los mismos motivos.

Las nacionalidades están consignadas; si más de un país pretende apropiarse un nombre, está anotado el lugar en que desarrolló la mayor parte de su labor. En cierta ocasión (Men of mathematics, Simon & Schuster, Nueva York, 1937) casi provoqué un incidente internacional por llamar ruso a un polaco. Confío en que aquí habrá pocas de estas desastrosas equivocaciones. El citado libro contiene biografías completas de aproximadamente 35 grandes matemáticos del pasado.

Las fechas señaladas en el texto para acontecimientos matemáticos sirven a dos propósitos, el primero de los cuales es obvio. El segundo es para evitar referencias prolijas. La fecha, si es posterior a 1636 y anterior a 1868, facilitará usualmente, a cualquiera que esté seriamente interesado, a localizar la materia concerniente en la colección de obras del autor citado; si es posterior a 1867, se pueda conseguir o no la colección de obras en el Jahrbuch über die Fortschitte der Mathematik, se hallará una referencia exacta con una recensión concisa de la obra. Para el periodo que comienza en 1931, sirve al mismo propósito el Zentralblatt für Mathematic und ihre Grenzgebiete. La estadunidense Mathematical Review, 1940, ofrece el mismo carácter general que las referidas revistas alemanas. No se citan, a pesar de que fueron consultados frecuentemente, los volúmenes de revistas anteriores, relativamente raros, que podrían encontrarse solamente en bibliotecas especializadas. La omisión se puede compensar en parte acudiendo a las enciclopedias matemáticas alemanas y francesas señaladas en las notas. En lugares oportunos se señalan otras fuentes para años anteriores a 1637.

En el periodo anterior a 1637 se han utilizado para algunas materias las obras de historiadores profesionales de las matemáticas, sobre las cuales están más o menos de acuerdo. Para ellos fue una indagación difícil y escrupulosa; y si controversias sobre el trivia de las matemáticas, de un interés menor para el estudiante o el profesional, absorbe una parte considerable de sus energías, el residuo de hechos claramente seguros justifica, sin duda, el desmedido costo por obtenerlo. Sin las labores fervorosas de estos eruditos, los matemáticos no habrían sabido gran cosa y se hubieran percatado tardíamente de los primeros pasos titubeantes de su ciencia. Ya sé que un eminente analítico francés del siglo XX declaró que, aparte de un par de colegas, nadie tenía el más leve interés en la historia de las matemáticas, tal como la concebían los historiadores. Amplió su declaración observando que la única historia de las matemáticas que tiene algún sentido para un matemático son los miles de escritos técnicos con que tropieza uno al repasar las revistas dedicadas exclusivamente a la investigación matemática. Éstos, afirmó, constituyen la verdadera historia de las matemáticas, la única que es posible escribir y que puede ser útil. Por fortuna, no he tratado de escribir una historia “formal” de las matemáticas; sólo espero animar a alguno a que lo haga y vea por sí mismo si el matemático francés tenía razón.

En las referencias puramente históricas se ha dado preferencia a obras en francés, inglés o alemán, pues son los idiomas que por lo general pueden leer los que están interesados en matemáticas. Los que tengan un interés especial por la geometría, necesitan también el italiano. Las obras italianas figuran en la bibliografía de las historias señaladas.

Estoy agradecido a varios colegas que me aconsejaron en sus respectivas especialidades, y cuya ayuda generosa he tratado de traspasar a otros. Gracias especiales se deben al profesor W. H. Gage, que aclaró ciertos pasajes oscuros y mejoró mucho algunas de las exposiciones.

Esta obra me ha ofrecido una oportunidad para apartarme un poco del camino trillado y mostrar al lector general de dónde salieron las matemáticas que le son familiares y hacia dónde se encaminan. Confío en que los estudiantes tolerarán que me aparte del libro de texto tradicional. Algo, siquiera, habrá de agradecerme el más sensible: sólo un maestro muy ingenioso podría poner un examen a base del libro.

Por desgracia ha sido necesario, al escribir el libro, considerar muchas cosas además de las obras maestras de los matemáticos. Después de una convivencia prolongada y no siempre agradable con obras de historiadores discrepantes, de eruditos pedantes y de matemáticos litigiosos, que con frecuencia se contradicen acaloradamente o se insultan a placer, trasmito, por lo que valga, lo que he aprendido a estimar como nunca. Esto se halla en el último consejo de Buda a sus discípulos:

No creáis nada de oídas. No creáis en las tradiciones por ser viejas, ni en nada por la mera autoridad mía o de cualquier maestro.

E. T. BELL

NOTA A LA SEGUNDA EDICIÓN

A esta edición se han añadido cerca de 50 páginas de nuevo material; comprenden muchas ampliaciones breves de temas diversos, que van de las matemáticas griegas a la lógica matemática, con largas notas sobre simbolismo, geometría algebraica y diferencial, enrejados y otros puntos en los que ha habido recientemente sorprendentes progresos.

E. T. B.

California Institute of Technology,

Pasadena, California, julio de 1945.

I
PERSPECTIVA GENERAL

TODOS los pueblos civilizados en el transcurso de su historia han dirigido sus esfuerzos hacia el estudio de las matemáticas. Los orígenes prehistóricos de éstas son tan ignotos como los del lenguaje y el arte, y aun de su primera etapa civilizada sólo pueden hacerse conjeturas basándose en las características de los pueblos primitivos de hoy. Cualquiera que sea su punto de partida, las matemáticas han llegado hasta nuestros días por dos corrientes principales: el número y la forma. La primera comprendió la aritmética y el álgebra, la segunda, la geometría. En el siglo XVII esas dos corrientes se unieron y formaron el creciente caudal del análisis matemático; en los capítulos que siguen examinaremos ese caudal de progreso intelectual y procuraremos ver, en la decreciente perspectiva del tiempo, los elementos más sobresalientes que han perdurado en el desarrollo histórico.

Para evitar desde un principio una posible mala interpretación, debe anotarse aquí que la forma se ha entendido en el lenguaje matemático, desde hace mucho, en un sentido más general que el relacionado con el contorno de las figuras planas y de los sólidos. Todavía es aplicable el antiguo significado geométrico; el nuevo se refiere a la estructura de las relaciones y teorías matemáticas. Éste fue el resultado, no de un estudio de la forma en el espacio sino de un análisis de las demostraciones que se realizan en geometría, álgebra y otras partes de las matemáticas.

El sentido de la forma espacial y del número no es un privilegio exclusivo del hombre. Muchos de los animales superiores demuestran un sentido rudimentario del número, en tanto que otros se acercan al genio en sus apreciaciones de la forma. Cuando se le quitaron a una gata dos de sus seis gatitos no objetó, pero se enfureció cuando se le privó de tres; estaba proporcionalmente tan adelantada en aritmética como los salvajes de una tribu del Amazonas, los que pueden contar hasta dos, pero que confunden en la vaga expresión de muchos a todos los números mayores.

Por otra parte, las ratas intelectuales encuentran la salida de los laberintos inventados por los psicólogos y aprueban difíciles exámenes de topología. Un rompecabezas clásico, que en un nivel humano es suficiente para hacer ver a los más inteligentes lo limitado de su intuición espacial, es el de construir una superficie con un solo lado y un solo límite.

Si bien se ve de esta manera que el ser humano y los demás animales coexisten en un mismo terreno matemático, las matemáticas se han considerado en un plano intelectual mucho más elevado desde hace cuando menos 25 siglos.

NECESIDAD DE LA DEMOSTRACIÓN; APARICIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

Existe un abismo entre el empirismo práctico de los agrimensores que parcelaban los campos del antiguo Egipto, y la geometría de los griegos del siglo VI a. C. Aquello fue lo que precedió a las matemáticas; esto, las matemáticas propiamente dichas; ese abismo lo salva el puente del razonamiento deductivo aplicado en forma consciente y deliberada a las inducciones prácticas de la vida diaria. Las matemáticas no existen sin la estricta demostración deductiva a partir de hipótesis admitidas y claramente establecidas como tales. Lo anterior no niega que la intuición, los experimentos, la inducción y el golpe de vista sean elementos importantes en la inventiva matemática; únicamente establece el criterio por el cual el resultado final de todo golpe de vista, sea cualquiera el nombre que se le asigne, se juzga o no como matemáticas. Así, por ejemplo, la regla útil y conocida de los babilónicos —que el área de un campo rectangular puede medirse multiplicando “el largo por el ancho”— puede verificarse en la práctica con toda la exactitud físicamente posible, pero esa regla no se incorpora en las matemáticas hasta que se ha deducido de supuestos explícitos.

Es significativo asentar que esta diferencia tajante entre las matemáticas y las demás ciencias empezó a desaparecer por el rápido desarrollo de las llamadas matemáticas aplicadas durante la segunda Guerra Mundial. Los procedimientos semiempíricos de cálculo, necesarios por su utilidad práctica en la guerra, alcanzaron un completo prestigio matemático.

Este relajamiento de las exigencias tradicionales acertó las técnicas resultantes a la ingeniería y a las ciencias físicas, tanto en finalidades como en método. Algunos de los adictos a esas técnicas las explicaron como una democratización cuya necesidad se sentía desde hace mucho tiempo, de la más aristocrática de las ciencias; otros, más conservadores, lamentaban dejar el ideal de la estricta deducción como una inútil complicación de un problema elemental que se hubiera por fin aclarado tras varios siglos de vanas discusiones. Sin embargo, de esta diferencia de opiniones quedó claro el hecho de que en los conflictos modernos es difícil destruir, dañar o matar eficientemente sin un uso considerable de las matemáticas, que mayor parte tuvo la finalidad original de desarrollar las ciencias y las artes que crean y conservan en vez de asolar y destruir.

No se sabe cuándo o dónde se estableció por vez primera la distinción entre la inducción —el cúmulo de la experiencia primitiva— y la demostración deductiva basada en un grupo de postulados; pero esta distinción fue claramente conocida por los matemáticos griegos en los años de 550 a. C. Como se verá, puede haber razones para creer que los egipcios y los babilónicos del año 2000 a. C. habían admitido la necesidad de la demostración deductiva, porque hasta la comprobación de cálculos burdos o aproximados de la vida diaria es una necesidad indudable, como puede verse en la medición de los rectángulos.

Si un rectángulo tiene dos metros de ancho y tres de largo, es fácil demostrar experimentalmente, basándose en la medida directa, que el área es 6 m². Pero si el ancho es √2 y el largo √3 no puede determinarse el área como antes, esto es, dividiendo el rectángulo en pequeños cuadrados que se toman como unidad; es verdaderamente difícil el problema de demostrar que el área es √6, o dar siquiera significados inteligibles y prácticos del uso de √2, √3, √6 y “área”. Si se toman cuadrados cada vez más pequeños como unidades de área, se pueden obtener aproximaciones más cercanas al área total, pero pronto se llega a un límite después del cual la medida directa es imposible. Esto suscita un estudio de gran importancia para entender en forma clara el desarrollo de las matemáticas, tanto puras como aplicadas.

Siguiendo el problema del rectángulo de √2 × √3 supondremos que una medida muy refinada ha dado como área 2.4494897; esto es correcto hasta la séptima decimal, pero no está bien, por que la √6, el área precisa, no se puede expresar como una fracción decimal exacta. Si lo más que se requiere son siete cifras decimales, puede decirse que se ha determinado el área del rectángulo; este grado de exactitud satisface para muchas aplicaciones prácticas, incluyendo los trabajos precisos de levantamiento de planos; pero es insuficiente para otras, como algunas de las ciencias físicas y de la estadística moderna. En todo caso, antes de usar inteligentemente la aproximación a la séptima decimal, hay que determinar el orden del error. La medida directa no puede guiarnos, porque más allá de un cierto límite, que muy pronto se alcanza, todas las mediciones resultan confusas e inciertas. No se puede avanzar más sin llegar a algún acuerdo universal de lo que se entiende por área exacta. Tanto la experiencia práctica como la teórica han demostrado que se obtiene una medición útil y consistente de los rectángulos cuando la regla largo por ancho se deduce de postulados tomados de un nivel de experiencia más bajo y aceptados como válidos. Esto último es la metodología de todas las matemáticas.

Los matemáticos insisten en la demostración deductiva de reglas de aplicación práctica obtenidas inductivamente porque saben que no se pueden aceptar las aparentes analogías que presentan fenómenos de niveles diferentes de experiencia. El razonamiento deductivo es el único medio hasta ahora ideado para separar y examinar las suposiciones implícitas y para seguir las implicaciones sutiles de hipótesis que pueden tener menos fundamento de lo que parece. Los matemáticos emplean instrumentos más precisos en el uso técnico moderno del método deductivo, que los de la lógica tradicional heredados de las épocas antigua y medieval.

Se insiste en la demostración por otra razón eminentemente práctica. La difícil técnica de hoy puede convertirse en la fácil rutina de mañana, y una estimación vaga del orden de magnitud de un error, inevitable en las mediciones, no tiene importancia para la precisión técnica requerida por la civilización moderna. Los trabajadores técnicos no pueden ser hábiles matemáticos, pero es necesario que las reglas que estos hombres apliquen sean sancionadas matemática y científicamente por expertos competentes, pues de otra manera es muy peligroso su empleo.

Todavía existe otra razón de orden social para insistir en la demostración matemática, como puede verse en los primeros pasos de la historia del levantamiento de planos. En el antiguo Egipto, la teoría primitiva de la agrimensura, sin la cual la práctica hubiera sido más imperfecta y antieconómica de lo que en realidad fue, bastó para las necesidades de aquel tiempo y, aunque los levantamientos eran práctica y teóricamente imperfectos, su estudio abrumaba la mente de los matemáticos egipcios. En la actualidad, un muchacho de 17 años puede dominar la rutina de los levantamientos más precisos; las aplicaciones de la trigonometría, que más importancia tienen en nuestra civilización, y que se derivaron de los levantamientos primitivos y de la astronomía, no tienen ya relación con esos trabajos. Algunas de esas aplicaciones se refieren a la técnica eléctrica y mecánica, otras están relacionadas con las partes más adelantadas de las ciencias físicas, de las que posiblemente surgirán industrias de aquí a 20 o a 100 años.

Contrariamente a lo que se puede suponer, la trigonometría moderna no se desarrolló en respuesta a ninguna necesidad práctica; su existencia es imposible sin el cálculo y las matemáticas de √−1. Refiriéndonos sólo a una de las aplicaciones más comunes, diremos que tuvo que transcurrir más de siglo y medio antes de que la trigonometría llegara a ser indispensable en la teoría y en la práctica de las corrientes alternas. Mucho antes de que alguien hubiera soñado en una dínamo, las matemáticas necesarias para su cálculo ya estaban disponibles; su desarrollo se debe, en gran parte, a que los analistas del siglo XVIII trataron de entender matemáticamente el legado de trigonometría, un tanto escaso, heredado de los astrónomos de la antigua Grecia, de los hindúes y de los matemáticos del islam. Ni la astronomía ni las otras ciencias del siglo XVIII sugirieron la introducción de √−1, que completó la trigonometría, porque ninguna de estas ciencias hizo jamás uso alguno de los resultados obtenidos.

En general, se ha apreciado la importancia de las matemáticas, desde Babilonia y Egipto hasta la fecha, como fuente primordial de aproximaciones aplicables a las complejas necesidades de la vida diaria; en realidad, un matemático puede pensar que esta estimación es demasiado general. En este sentido, es disculpable que cualquier persona crea que todo en la vida se rige por reglas empíricas, debido a la divulgación que de esa idea han hecho educadores sociales en la escuela y fuera de ella. Ya que en los levantamientos de planos, por ejemplo, se requiere solamente una inteligencia mediana, y esos trabajos forman una de las partes menos importantes de las matemáticas aplicadas, se concluye, por tanto, que sólo las matemáticas que puedan ser operadas por personas sin gran preparación tienen algún valor social. Pero ninguna economía en desarrollo puede mantenerse con reglas empíricas; si son posibles nuevas aplicaciones de una ciencia que se extiende rápidamente, se debe a que personas que están dotadas del talento necesario se dedican al desarrollo de teorías matemáticas difíciles y oscuras que están fuera del alcance de un estudiante. Lo que cuenta en las matemáticas es la imaginación y la rigurosa demostración, y no la exactitud numérica de una máquina o de un laboratorio de calculistas.

Un ejemplo sacado de las cosas corrientes hará ver la necesidad de distinguir las matemáticas del cálculo práctico: un almanaque náutico es una de las cosas indispensables en la navegación moderna, y por tanto en el comercio; las máquinas se usan ahora generalmente para la ardua labor de realizar los cálculos; finalmente esos cálculos dependen del movimiento de los planetas y estos últimos se calculan de series infinitas (sin fin) de números proporcionados por la teoría newtoniana de la gravitación. Para el trabajo práctico de la realización de los cálculos, una máquina es superior a cualquier cerebro humano; pero ninguna máquina inventada hasta ahora ha tenido el cerebro suficiente para eliminar los errores cometidos por el operador. De una serie de datos, fantásticamente absurda, la mejor de las máquinas dará como resultado final una cifra que puede parecer tan razonable como cualquier otra. A menos que las series que se usen en astronomía dinámica converjan hacia números precisos y limitados (también se usan series asintóticas, pero no propiamente divergentes), es inútil calcular por medio de ellas. Para una persona desentrenada es difícil distinguir un cuadro elaborado con series convenientemente divergentes de cualquier otro; pero el aviador que confía en él para hacer un vuelo de Boston a Nueva York puede llegar al Polo Norte. No obstante la precisa exactitud y la atractiva apariencia, la máquina mejor acabada no puede sustituir al cerebro humano. El investigador matemático y el ingeniero científico contribuyen con el cerebro: la máquina hace el resto.

Nadie con un poco de sentido común exigirá una prueba estricta en cada tentativa del complicado cálculo matemático que se aplique a problemas nuevos. En ocasiones, en problemas bien difíciles como algunos de física nuclear, los cálculos se llevan a cabo sin referencia a una validez matemática; pero hasta el más atrevido de los calculistas confía en que su temeridad será sancionada racionalmente algún día. Ésta es una tarea para los matemáticos y no para los científicos; y si la ciencia es algo más que un basurero para hechos sin correlación, la tarea debe proseguirse.

NECESIDAD DE LA ABSTRACCIÓN

Sabiendo ya que el estricto razonamiento deductivo tiene valores tanto estéticos como prácticos, puede decirse que las matemáticas principiaron cerca de seis siglos antes de la era cristiana. Su desarrollo inicial se completó cuando el ser humano se dio cuenta de que la experiencia práctica es muy compleja para describirla en forma precisa.

Tampoco se sabe dónde y cuándo se llegó a esa conclusión, pero los geómetras de fines del siglo IV a. C. la aceptaron, como se manifiesta en sus trabajos. Así fue como Euclides estableció en ese siglo la conocida definición “un círculo es una figura plana circunscrita por una línea llamada circunferencia, y tal que todas las rectas trazadas de cierto punto interior, llamado centro, hacia la circunferencia, son iguales”.

No hay señales de que haya sido visto por algún ser humano alguna figura como el círculo de Euclides; no obstante, el círculo ideal de Euclides no es sólo el de la geometría escolar, sino también es el círculo de los manuales usados por ingenieros en los cálculos de máquinas. El círculo matemático de Euclides es el producto de una simplificación deliberada y de la abstracción de los discos observados entonces, como el de la luna llena, que a simple vista parece circular.

Esta abstracción de la experiencia práctica es una de las principales fuentes de la utilidad de las matemáticas y el secreto de su poder científico. El mundo, que embota los sentidos de todos los seres humanos menos de los solipsistas, es demasiado complejo para hacer una descripción exacta, nunca imaginada por el ser humano. Con la abstracción y la simplificación de las observaciones de los sentidos, las matemáticas enfocan los campos de la ciencia y de la vida diaria con nuestro corto entendimiento y hacen posible una descripción racional de nuestras experiencias, que concuerdan perfectamente con las observaciones hechas. La abstracción, algunas veces esgrimida como reproche a las matemáticas, es su principal gloria y el más firme galardón de su utilidad práctica; es también la fuente de la belleza que puede surgir de las matemáticas.

LA HISTORIA Y LA DEMOSTRACIÓN

En la historia de las matemáticas siempre hay una dificultad peculiar acerca de muchas proposiciones relativas a la demostración, las que se pueden apreciar en los dos ejemplos siguientes:

A) En la proposición 47 del Libro Primero de los Elementos de Euclides está demostrado que el cuadrado del lado mayor de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (el llamado teorema de Pitágoras).

B) Euclides demostró el teorema de Pitágoras en la proposición 47 del Libro Primero de sus Elementos.

En el lenguaje común A y B podrían ser consideradas equivalentes, pudiendo juzgarse ambas falsas o verdaderas. En el lenguaje matemático A es falsa y B verdadera.

Para comprender claramente el desarrollo de las matemáticas es importante ver que esta distinción no es una argucia o subterfugio; también es esencial admitir que es más importante comprender que el conocer la fecha (330-332 a. C.) en que se escribieron los Elementos o cualquier otro detalle de menor interés para nuestro objeto. En resumen: la médula del asunto está formada por las matemáticas, que cuando menos son tan importantes como la historia, aun en las historias de las matemáticas.

La formulación A es falsa porque la prueba intentada en los Elementos no es válida; está viciada por los supuestos tácitos que Euclides ignoraba al establecer los postulados en los que se basó para deducir los teoremas de su geometría. De esos mismos postulados es fácil deducir, por lógica irrefutable, consecuencias espectacularmente paradójicas, como “todos los triángulos son equiláteros”. Así, cuando un eminente estudiante de los matemáticos griegos expresa que debido a la “lógica inequívoca” de los griegos “no ha habido necesidad de reconstruir, menos aún de desechar por incierta ninguna parte esencial de su doctrina”, los matemáticos, ante la evidencia, deben estar de acuerdo. La “parte esencial de su doctrina” ha llegado hasta nosotros completamente intacta, y esa parte ha sido la insistencia en la demostración deductiva. Pero en lo concerniente a la demostración de Euclides, muchas partes han sido eliminadas en detalle, y sería fácil destruir más, si esto valiera la pena.

La formulación B es verdadera, porque la validez de una prueba es una función del tiempo; el tipo de la demostración matemática se ha elevado firmemente desde 1821 y su finalidad ya no se busca o desea. En el tiempo de Euclides y siglos después, la demostración intentada sobre la proposición de Pitágoras satisfizo todos los requisitos del rigor lógico y matemático. Una completa demostración moderna no difiere gran cosa en la apariencia exterior de la de Euclides; pero si analizamos los postulados requeridos para dar validez a la demostración advertiremos varios que Euclides descuidó. Un alumno de 14 años, cuidadoso, puede darse cuenta de las fatales omisiones que en muchas de las demostraciones de la geometría elemental habían sido aceptadas en definitiva hace menos de 50 años.

Es evidente que nosotros debemos tener alguna convención respecto de la “demostración”; de otra manera pocas proposiciones históricas acerca de las matemáticas tendrían algún sentido. Siempre que se exprese que determinado resultado fue demostrado, debe entenderse en el sentido B, esto es, que la demostración fue aceptada como válida por los matemáticos profesionales de la época en que se realizó. Si, por ejemplo, se dice que un trabajo de Newton o de Euler presentó una demostración del teorema del binomio para otros exponentes que los enteros y positivos, el dicho es falso para el significado A y verdadero para el B. Las demostraciones que esos grandes matemáticos dieron en los siglos XVII y XVIII fueron válidas entonces, a pesar de que las demostraciones no serían aceptadas hoy por un profesor competente si las hiciera un estudiante en su primer año de preparatoria.

Apenas puede decirse que en la actualidad, pocos matemáticos modestos esperan que todas sus demostraciones resistan las críticas de sus indemnes sucesores. Las matemáticas se enriquecen de la crítica inteligente y no desacredita los importantes trabajos del pasado señalar que sus defectos han inspirado también grandes obras.

No reconocer que la validez matemática depende del tiempo puede provocar vanas discusiones académicas sobre una minucia histórica; un historiador meticuloso que sostenga que los griegos contemporáneos de Euclides fracasaron al resolver ecuaciones de segundo grado aplicando su método geométrico, porque “no consideraron” las raíces negativas posibles, para no citar las imaginarias, no considera uno de los más interesantes fenómenos de toda la historia de las matemáticas.

Hasta que los matemáticos inventaron (o “descubrieron”, si los inventores resultaran ser de un realismo platónico) las fracciones racionales positivas y los números negativos, una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros y racionales tenía precisamente una raíz, dos o ninguna. Un babilónico de un siglo bastante remoto que encontró 4 como la raíz de x² = x + 12 había resuelto su ecuación completamente, porque −3, que hoy decimos es la otra raíz, no existía para él; los números negativos no figuraban en su sistema numérico. Las ampliaciones sucesivas del sistema numérico, necesarias para proveer a todas las ecuaciones algebraicas de un número de raíces igual al grado respectivo de las ecuaciones, fue uno de los hechos más significativos en el progreso matemático, y transcurrieron cerca de 4 000 años de civilización matemática para establecerlo. El último paso necesario se retardó hasta el siglo XIX.

Un estudioso de álgebra que actualmente deseara sobrepasar al crítico meticuloso en didáctica señalaría que la pregunta: “¿Cuántas raíces tiene x² = x?” no tiene significado sino hasta que se especifica el campo donde se encuentran las raíces. Si el campo es el de los números complejos, esta ecuación tiene precisamente dos raíces, 0, 1. Pero si el campo es el del álgebra booleana, esta misma ecuación de segundo grado (desde 1847) ha tenido n raíces, siendo n cualquier entero igual o mayor que 2. Debe anotarse que el álgebra booleana es un producto tan legítimo del álgebra moderna como lo es la teoría de las ecuaciones de segundo grado en los textos elementales. En resumen: criticar a nuestros predecesores porque resolvieron sus problemas dentro de las limitaciones que ellos mismos se impusieron es tan estéril como lamentarnos de nuestra propia imposibilidad de imaginarnos las matemáticas que existirán de aquí a 7 000 años.

A menos que se tenga presente en lo sucesivo la dependencia de la validez respecto del tiempo, pueden pasarse por alto algunos de los episodios más significativos de la historia de las matemáticas. En la Grecia antigua, por ejemplo, todo el desarrollo, o por lo menos gran parte de las matemáticas griegas que hasta ahora tienen interés vital, depende de ese hecho. Las interrupciones en la curva del tiempo de la demostración aceptable, en las que los niveles de rigor cambiaron bruscamente, son quizás los puntos de mayor interés en el desarrollo de las matemáticas. Las cuatro más bruscas parecen haberse presentado en Grecia en el siglo V a. C., en Europa en la tercera década del siglo XVIII y en la octava de ese mismo siglo, y otra vez en Europa en el siglo XX.

Esto no supone que las matemáticas sean una arena movediza. Las matemáticas son tan estables y están tan firmemente cimentadas como cualquier cosa en la experiencia humana, y más aún que muchas otras cosas. La proposición I, 47 permanece en pie como permaneció por más de 2 200 años. Bajo los supuestos apropiados, fue demostrada rigurosamente. Nuestros discípulos pueden encontrar errores en nuestro razonamiento y crear sus nuevas matemáticas en su esfuerzo para llegar a una demostración satisfactoria para ellos. Pero a menos que todo el proceso del desarrollo matemático sufriera un cambio violento, quedarán algunas proposiciones identificables, como la que Euclides demostró a su generación.

No todas las matemáticas del pasado, aun en la forma moderna adecuada, han sobrevivido. Muchas han sido desechadas como triviales, inadecuadas o incómodas y algunas han sido enterradas como falacias definitivas. No puede existir una expresión más falsa con referencia a las matemáticas que: “la ciencia que nunca ha dado un paso atrás”; si esto fuera verdad, las matemáticas serían la obra perfecta de un ser claramente incapaz de la perfección. En vez de ese absurdo, procuraremos definir a las matemáticas como la cosa humana que progresa constantemente, avanzando a pesar de sus errores y, en parte, debido a ellos.

CINCO CORRIENTES

El cuadro será más claro si se separan sus líneas principales, agrupándolas, mientras se examinan los detalles.

A las dos corrientes principales del número y la forma se unieron muchos afluentes. Algunos que al principio eran meros arroyos se convirtieron muy pronto en ríos independientes. Dos, en particular, tuvieron gran influencia en el derrotero de las matemáticas desde la más remota historia hasta el siglo XX. Los números 1, 2, 3… llevaron a los matemáticos a establecer el concepto de lo discreto (discontinuidad). La invención de los números irracionales como √2, √3, √6; los intentos para calcular áreas circunscritas por curvas o por un número infinito de líneas rectas; asimismo los relativos a las superficies y volúmenes; también la difícil tarea de dar una idea coherente del movimiento, crecimiento y otros cambios continuos perceptibles, obligaron a los matemáticos a inventar el concepto de continuidad.

Toda la historia matemática puede interpretarse como la batalla por la supremacía entre esos dos conceptos. Este conflicto puede ser como un eco de otro antiguo e importante de la remota filosofía griega, la lucha del Uno para conquistar los Muchos. Pero el símil de una batalla no es del todo apropiado, por lo menos en matemáticas, porque lo continuo y lo discreto se han ayudado con frecuencia para progresar.

Un tipo de mente matemática prefiere los problemas relativos a la continuidad. Los geómetras, los analistas y los que aplican las matemáticas a la ciencia y la tecnología son de este tipo. El tipo complementario que prefiere lo discreto se inclina naturalmente por la teoría de los números en todas sus ramificaciones, el álgebra y la lógica matemática. No hay una línea estricta que divida a los dos, y los maestros de matemáticas han trabajado con igual facilidad con ambos conceptos.

Además de número, forma, discontinuidad y continuidad, ha tenido capital importancia en la historia de las matemáticas, especialmente desde el siglo XVII, una quinta corriente. El avance de las ciencias —principiando con la astronomía e ingeniería en los tiempos antiguos, y terminando con la biología, psicología y sociología en el nuestro— hacia una mayor exactitud tuvo la constante y creciente necesidad de inventiva matemática, y esto fue, en gran parte, la causa principal de la enorme expansión de las matemáticas desde 1637. Además, como la industria y las invenciones se tornaron cada vez más científicas, después de la revolución industrial de la última parte del siglo XVIII y la primera del XIX, también estimularon la creación matemática ofreciendo con frecuencia problemas situados más allá de los recursos de que disponían las matemáticas. Un ejemplo común es el problema de la corriente turbulenta, de gran importancia en la aerodinámica. En este caso, como en otros similares, los intentos para resolver un problema de tecnología esencialmente nueva han conducido a un desarrollo ulterior de las matemáticas puras.

LA ESCALA DEL TIEMPO

Será conveniente, antes de analizar los adelantos concretos, tener alguna idea sobre las distintas épocas de las matemáticas.

La curva del tiempo de la producción matemática es bastante parecida a la curva exponencial del crecimiento biológico; empieza a levantarse casi de modo imperceptible en el pasado remoto y asciende cada vez más rápidamente conforme se va acercando a nuestros días. Esta curva no es suave, porque, como el arte, las matemáticas han tenido sus depresiones. Hubo una profunda depresión en la Edad Media, debido a la barbarie matemática de Europa, que sólo fue compensada parcialmente por la civilización musulmana, la que, a su vez, en lo que a las matemáticas respecta, fue un agudo estacionamiento de la gran época (siglo III a. C.) de Arquímedes. Pero a pesar de las depresiones, la tendencia general desde el pasado al presente ha tenido una tendencia general a la ascensión, a un aumento constante de las matemáticas de efectiva validez.

No debemos esperar que la curva de las matemáticas siga muy de cerca las de otras actividades civilizadas, como el arte y la música. Las obras maestras de la escultura una vez rotas son muy difíciles de reparar, o siquiera de recordar. Las grandes ideas de las matemáticas sobreviven, y en el continuo fluir se llevan a cabo adiciones permanentes que son inmunes a cualquier cambio de moda o de costumbres. Expresándolo en uno de los idiomas universalmente inteligibles que hasta ahora haya ideado el ser humano, puede decirse que las creaciones de las matemáticas son independientes del gusto nacional, en tanto que las de literatura no lo son. ¿Quién podría decir ahora, excepto algunos escolares, que está interesado en la vieja novela egipcia de los dos ladrones?; y ¿cuántos pueden entender suficientemente los jeroglíficos para sacar de su asunto el significado que alguna vez tuvo para un pueblo desaparecido hace 3 000 años? Pero digásele a cualquier ingeniero o a cualquier muchacho de escuela que haya tenido algún estudio de la regla egipcia del volumen de la pirámide cuadrangular truncada y la recordará inmediatamente. No sólo se conservan las creaciones válidas en matemáticas, sino que su sola presencia en el caudal del progreso induce nuevas corrientes de pensamiento matemático.

La mayoría de los matemáticos que están relacionados en cierta forma con las matemáticas creadas desde 1800 está de acuerdo con que la curva a través del tiempo se eleva más rápidamente a partir de esa fecha que antes. Para el que desee ver la historia de las matemáticas como los matemáticos la ven es necesaria una explicación. Muchos que no tienen un conocimiento de las matemáticas modernas más allá del cálculo creen con error que las matemáticas experimentaron su edad de oro en el más o menos remoto pasado. Los matemáticos no lo creen así; los familiarizados con las matemáticas, o por lo menos con algo de su historia, juzgan en general como la edad de oro la era reciente, empezando en el siglo XIX.

Una división heterodoxa, pero a la vez razonable, de la curva del desarrollo de la matemática secciona toda la historia en tres periodos desiguales. Pueden llamarse el periodo remoto, el periodo medio y el periodo reciente. El primero se extiende desde los primeros tiempos de que se tiene conocimiento cierto, hasta el año 1637 de nuestra era; el medio, de 1638 a 1800. El periodo reciente, de las matemáticas modernas tal como los profesionales de hoy las entienden, abarca de 1801 al presente; algunos pueden preferir 1821 en lugar de 1801.

Por otro lado, existen razones explícitas para las fechas precisas; la geometría llegó a ser analítica en 1637 con la publicación de la obra maestra de Descartes. Cerca de medio siglo más tarde, el cálculo de Newton y Leibniz, así como la dinámica de Galileo y Newton, constituyeron la cualidad común de todos los matemáticos creadores. Sin duda, Leibniz fue capaz de estimar la magnitud de este adelanto. Se dice que él mismo expresó que de todas las matemáticas desde el principio del mundo hasta los tiempos de Newton, lo que éste aportó fue la mejor parte.

El siglo XVIII explotó los métodos de Descartes, Newton y Leibniz en todas las ramas de las matemáticas que entonces existían. Quizás el hecho más significativo de este siglo fue el origen del tratamiento abstracto en su forma completamente general. A pesar de que el desarrollo adecuado del alcance del método abstracto no se efectuó hasta el siglo XX, hay primicias notables en la labor de Lagrange en ecuaciones algebraicas, y sobre todo en su mecánica analítica. En lo que a esta última respecta, un método directo y universal unificó la mecánica que hasta entonces existía, el cual es hasta la fecha el más poderoso instrumento de las ciencias físicas; nada había semejante a esto antes de Lagrange.

La última fecha, 1801, señala el comienzo de una nueva era de inventiva sin precedente, establecida con la publicación de la obra maestra de Gauss. La otra fecha, 1821, es el año en el cual Cauchy inició su primer método satisfactorio del cálculo diferencial e integral.

Un ejemplo típico de la gran productividad acelerada del siglo XIX, consecuencia de una completa maestría y de la ampliación de los métodos ideados en el periodo medio, es el desarrollo de la geometría. Cinco hombres —Lobachewsky, Bolyai, Plücker, Reimann, Lie— inventaron, cada uno de por sí, como parte del trabajo de su vida, tanta o más geometría nueva que la creada por todos los matemáticos griegos durante los dos o tres siglos de su más grande actividad. Hay fundados motivos para la afirmación hecha frecuentemente de que el siglo XIX por sí solo contribuyó a las matemáticas cerca de cinco veces más que toda la historia precedente. Esto se aplica no solamente a la cantidad sino, lo que es de mucha mayor importancia, también a la calidad.

Si admitimos que los matemáticos anteriores al periodo medio pudieron vencer las dificultades concomitantes a todo descubrimiento, no necesitamos exagerar sus grandes realizaciones a proporciones universales. Debe recordarse que los adelantos del periodo reciente han desbrozado e incluido como casos especiales de teorías y métodos generales, casi todas las matemáticas válidas anteriores a 1800. Por supuesto que nadie que se dedique a las matemáticas cree que nuestra era ha llegado a agotarlas, como Lagrange pensó que la suya lo había hecho, justamente antes de la gran avalancha del periodo reciente. Pero esto no altera el hecho de que la mayor parte de nuestros predecesores llegaron a fines muy definidos, así como nosotros llegaremos sin duda. Sus métodos limitados fueron precursores de progresos importantes y es posible, y esperamos que sea probable, que dentro de un siglo nuestros métodos más potentes den lugar a otros aún más poderosos.

SIETE PERIODOS

Una división más convencional de la escala del tiempo separa toda la historia de las matemáticas en siete periodos:

1º De la época más remota a la antigua Babilonia y Egipto, inclusive.

2º La contribución griega, desde cerca de 600 años a. C., hasta aproximadamente el año 300 de nuestra era, siendo la mejor en los siglos IV y III a. C.

3º Los pueblos orientales y semíticos —hindú, chino, persa, musulmán, judío, etc.— en parte antes y en parte después del 2º y extendiéndose hasta el 4º.

4º Europa durante el Renacimiento y la Reforma, aproximadamente los siglos XV y XVI.

5º Los siglos XVII y XVIII.

6º El siglo XIX.

7º El siglo XX.

Esta división sigue vagamente el desarrollo general de la civilización occidental y su deuda con el Cercano Oriente. Es posible que el 6º y el 7º sean sólo uno, no obstante que poco después de 1900 llegaron a manifestarse nuevas tendencias muy significativas. Después veremos lo que parece haber sido la principal contribución de cada uno de los siete periodos. Unas pocas advertencias bastarán para aclarar este cuadro a aquellos que lo observan por primera vez.

A pesar de que los pueblos del Cercano Oriente fueron más activos que los europeos durante el tercero de los siete periodos, las matemáticas como existen hoy son producto principalmente de la civilización occidental. Los adelantos antiguos en China, por ejemplo, o no entraron en la corriente general, o lo hicieron por un camino aún no investigado. Hasta las técnicas precisas que inventaron, o pertenecieron a las matemáticas triviales o no las conocieron los matemáticos europeos hasta mucho después de su invención independiente y demostrable en Europa. Por ejemplo, el método de Horner para la solución de ecuaciones numéricas probablemente fue conocido por los chinos, pero Horner no lo supo. En realidad, las matemáticas no serían menos ricas si ni los chinos ni Horner hubiesen establecido ese método.

Las matemáticas europeas siguieron un curso aproximadamente paralelo al de la cultura general de los diversos países. De esta manera, la civilización de un practicismo estrecho de la antigua Roma no contribuyó a las matemáticas; cuando Italia fue grande en arte fue superior en álgebra; cuando la última luz de la edad isabelina se extinguió en Inglaterra, su supremacía en matemáticas pasó a Suiza y a Francia. Sin embargo, hubo frecuentes brotes esporádicos de genios aislados en los países de menor importancia política, como en la creación independiente de una geometría no euclidiana en Hungría a principios del siglo XIX. Los rápidos resurgimientos de la vida nacional fueron acompañados ocasionalmente por un aumento de la actividad matemática, como en las guerras napoleónicas que siguieron a la Revolución francesa, como asimismo en Alemania después de los disturbios de 1848. Pero la guerra mundial de 1914-1918 parece haber sido una oportunidad para el progreso matemático en Europa y en menor grado en otras partes, como también lo fueron las manifestaciones subsecuentes de nacionalismo en Rusia, Alemania e Italia. Estos hechos aceleraron el rápido progreso de las matemáticas en los Estados Unidos desde cerca de 1890, elevando a ese país al primer lugar.

La correlación entre la superioridad matemática y el esplendor en otros aspectos de cultura general fue en ocasiones negativa. Pueden ponerse diversos ejemplos; el más importante para el desarrollo de las matemáticas corresponde a la Edad Media. Cuando la arquitectura gótica y la civilización cristiana estuvieron en su cénit en el siglo XII (algunos dirían que en el XIII), las matemáticas europeas empezaban justamente su marcha hacia el punto opuesto. Para los historiadores de aquí a ocho siglos será de extremo interés si resulta que el desprestigio oficial en el que habían caído las matemáticas y las ciencias imparciales en ciertos países europeos, algunos años antes del triunfo de las ideas medievales de septiembre de 1939, fuera el amanecer de una nueva fe que se entronizara a sí misma en las simplicidades no matemáticas de una arquitectura acientífica. Nuestros salvajes antepasados vivieron en sus inmundas cuevas por cientos de miles de años sin ciencia o matemáticas y no hay razón por la cual nuestros embrutecidos descendientes —si es que han de ser así— no hicieran lo mismo.

Teniendo en cuenta aquí solamente las adquisiciones de mayor importancia de los siete periodos, podemos distinguir tres; todos se describirán con algún detalle más tarde.

La contribución de influencia más perdurable en las matemáticas, de todos los periodos anteriores al Renacimiento, fue la invención griega del razonamiento deductivo estricto. Siguiendo en importancia están los desarrollos del álgebra simbólica durante el Renacimiento efectuados en Italia y Francia. Los hindúes del siglo VII al XII d. C. habían inventado casi el simbolismo algebraico; los mahometanos habían vuelto, en su edad clásica, a un álgebra casi completamente retórica. El tercero de los adelantos más importantes ya se ha indicado, pero debe subrayarse aquí: en la primera parte del quinto periodo —siglo XVII— se unieron las tres corrientes principales del número, la forma y la continuidad. Esto generó el cálculo y el análisis matemático en general; también transformó la geometría e hizo posible la creación ulterior de los altos espacios necesarios para las modernas matemáticas aplicadas. Los países que ocuparon el primer lugar fueron Francia, Inglaterra y Alemania.

El quinto periodo se considera generalmente como el manantial de las matemáticas modernas puras. Comprende el principio de la ciencia moderna; otro adelanto principal fue la aplicación extensiva de las recién creadas matemáticas puras a la astronomía dinámica con el trabajo de Newton, y un poco más tarde, a las ciencias físicas, siguiendo la metodología de Galileo y de Newton. Finalmente, en el siglo XIX el gran río se desborda inundando la espesura en que no habían florecido las matemáticas y la hacen fértil.

Si las matemáticas del siglo XX difieren en forma importante de las del XIX, posiblemente las distinciones más interesantes son un marcado aumento en la abstracción con la consecuente ganancia en la generalización y una preocupación creciente en la morfología y anatomía comparada de las estructuras matemáticas; un afianzamiento en la penetración crítica y el principio de la aceptación de las limitaciones que ofrece el razonamiento deductivo clásico. Si “limitaciones” da idea de nulidad después de 7 000 años de lucha humana para pensar claramente, esa idea es errónea. Pero es verdad que las valoraciones críticas del razonamiento matemático aceptado, lo que se acusa en las primeras cuatro décadas del siglo XX, han necesitado revisiones extensas de las matemáticas anteriores e inspiraron muchos trabajos nuevos de profundo interés, tanto para las matemáticas como para la epistemología. También condujeron a lo que parece ser el abandono definitivo de la teoría que sustenta que las matemáticas son una imagen de la Verdad Eterna.

La división de la historia matemática en cerca de siete periodos es más o menos tradicional y sin duda ilumina, especialmente en relación con la luz oscilante que llamamos civilización. Pero los periodos heterodoxos, remoto, medio y reciente, descritos con anterioridad, parecen dar por sí mismos una presentación más verdadera del desarrollo de las matemáticas y una imagen vívida de su vitalidad innata.

ALGUNAS CARACTERÍSTICAS GENERALES

En cada uno de los siete periodos hubo un ascenso bien definido hacia la madurez y una declinación subsiguiente de cada una de las diversas formas limitadas del pensamiento matemático. Sin la fertilización debida a las nuevas ideas creadoras, cada uno de los periodos estaba sentenciado a la esterilidad. En el periodo griego, por ejemplo, la geometría sintética métrica, como método, llegó tan lejos como parece humanamente posible con nuestro actual equipo mental. Fue revitalizada con aportaciones nuevas mediante las ideas de la geometría analítica en el siglo XVII; por la geometría proyectiva en los siglos XVII y XIX y, finalmente, en el XVIII y XIX por la geometría diferencial.

Tales revitalizaciones fueron necesarias no sólo por el continuo crecimiento de las matemáticas sino también por el desarrollo de la ciencia. Por lo tanto, hubiera sido imposible para los matemáticos aprehender las complejidades sutiles de las geometrías aplicadas a la ciencia moderna con los métodos de Euclides y Apolonio. En las matemáticas puras, mucha de la geometría del siglo XIX fue dada de lado por las geometrías más vigorosas de los espacios abstractos y las geometrías no riemannianas que se desarrollaron en el siglo XX. Antes de 40 años después de terminarse el siglo XIX algunas de las obras maestras de la era heroica de la geometría ya empezaban a parecer ociosas y anticuadas. En este caso parecen estar muchas de las geometrías diferenciales clásicas y la geometría proyectiva sintética. Si las matemáticas continúan avanzando, las nuevas geometrías del siglo XX serán desplazadas a su vez o serán comprendidas bajo abstracciones más raras todavía. En matemáticas más que en ningún otro campo, el fin es una quimera. Sólo de vez en cuando lo sacan a relucir los que ya nada tienen que añadir a las matemáticas.

Al terminar un periodo hay una tendencia de una sobreelaboración de cosas meramente difíciles que el periodo siguiente o ignora como impropias de un valor perdurable o las incluye como ejercicios de métodos más potentes. Por lo tanto, una multitud de curvas especiales investigadas por los antiguos maestros de la geometría analítica con energía y entusiasmo asombrosos existen si acaso solamente como problemas en textos elementales. Quizás los más grandes cementerios matemáticos son los tratados que perpetúan los problemas artificialmente difíciles de mecánica como si Lagrange, Hamilton y Jacobi no hubiesen existido.

Por otra parte, a medida que nos acercamos al presente, nuevas partes de las matemáticas son más y más rápidamente despojadas de su riqueza superficial quedando sólo un filón hipotético para ser explotado por investigadores mejor equipados de una generación ulterior. La ley de los rendimientos decrecientes opera en matemáticas como en economía: sin la introducción de mejoras radicalmente nuevas en método, los ingresos no se igualan a los egresos. Un ejemplo claro es la teoría muy desarrollada de los invariantes algebraicos, una de las más grandes adquisiciones del siglo XIX; otro del mismo siglo es la teoría clásica de multiplicar funciones periódicas. El primero contribuyó indirectamente al nacimiento de la relatividad en general; el segundo inspiró muchos trabajos de análisis y de geometría algebraica.

Debemos consignar un último fenómeno de todo el desarrollo. Al principio, las disciplinas matemáticas no fueron definidas rigurosamente. Al aumentar los conocimientos, las materias especiales se separaron del conjunto y llegaron a ser autónomas. Más tarde fueron reintegradas algunas y reabsorbidas en vastas generalizaciones del conjunto del cual se habían separado. Así, la trigonometría, originada en el levantamiento de planos, la astronomía y la geometría fueron absorbidas siglos más tarde en el análisis que había generalizado la geometría.

Estas dos corrientes de escape y absorción han hecho soñar a algunos en unas matemáticas unificadas que lo abarquen todo. A principios del siglo XX algunos creyeron, por algún tiempo, que esa unificación deseada se había efectuado en la lógica matemática. Pero las matemáticas, inconteniblemente creadoras para ser restringidas por cualquier formalismo, se escaparon.

MOTIVACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

En varios párrafos anteriores se sugiere que gran parte del impulso de las matemáticas ha sido económico. Debido a razones políticas obvias, en la tercera y cuarta décadas del siglo XX se hicieron intentos para demostrar que las matemáticas, particularmente en sus aplicaciones, tienen un origen económico.

El exagerar la importancia de la práctica inmediata a costa de la evidente curiosidad intelectual es perder por lo menos la mitad de los hechos en el desarrollo de las matemáticas. Como cualquier matemático medianamente competente, cuya educación no haya terminado con el cálculo y sus aplicaciones más comunes, puede verificar, no es verdad que en la creación de las matemáticas haya sido más frecuente el incentivo económico que el impulso puramente intelectual. Esto se sostiene para las matemáticas prácticas como se aplicaron en el comercio, incluyendo toda clase de seguros, ciencias y las tecnologías, así como aquellas divisiones de las matemáticas que en la actualidad no tienen valor matemático. Los ejemplos pueden multiplicarse indefinidamente, pero cuatro serán suficientes aquí: uno de la teoría de los números, dos de geometría y uno de álgebra.

Cerca de 20 siglos antes de que los números poligonales se hubieran generalizado y aplicado, mucho más tarde, a los seguros y a la estadística —en ambos casos por medio del análisis combinatorio, y en el primero mediante la teoría matemática de probabilidades— sus divertidas peculiaridades fueron extensamente investigadas por expertos en aritmética sin la menor sospecha de que, en un futuro lejano, esos números iban a ser útiles en asuntos prácticos. Los números poligonales llamaron la atención a los pitagóricos del siglo VI a. C. y a sus absortos sucesores debido a las supuestas virtudes místicas de tales números. El impulso debe ser llamado aquí religioso. Cualquiera que esté familiarizado con la historia ya disponible de esos números y relacionado con los diálogos de Platón puede seguir por sí mismo el hilo del misticismo numérico desde la burda numerología de los pitagóricos hasta la doctrina platónica de las Ideas. Nada de esto tiene mucha semejanza con el cálculo actuarial o la estadística.

Matemáticos posteriores, incluyendo a uno de los más grandes, veían esos números como objetos legítimos de la curiosidad intelectual. Fermat, cofundador con Pascal en el siglo XVII de la teoría matemática de las probabilidades y, por tanto, uno de los abuelos del cálculo actuarial, se divirtió por años con los números poligonales y figurados antes de que él o Pascal soñaran siquiera en la definición matemática de las probabilidades.

Como un segundo ejemplo, un tanto vulgar, puede citarse el de las secciones cónicas, las que fueron tratadas en forma sustancialmente exhaustiva por los griegos cerca de 17 siglos antes de que fuesen sospechadas sus aplicaciones a la balística, a la astronomía y, a través de esta última, a la navegación. Esas aplicaciones pudieron haber sido hechas sin la geometría de los griegos si la analítica de Descartes y la dinámica de Newton hubieran estado disponibles. Pero el hecho es que el verdadero camino fue encontrado primeramente, en gran parte, por medio del uso de las cónicas de los griegos. Otra vez el motivo inicial fue la curiosidad intelectual.

El tercer ejemplo es el del espacio polidimensional. En la geometría analítica una curva plana se representa por una ecuación que contiene dos variables, una superficie por medio de una ecuación que contiene tres. Cayley, en 1843, transfirió el lenguaje de la geometría a los sistemas de ecuaciones de más de tres variables y de esa manera inventó una geometría de cualquier número finito de dimensiones. Esta generalización se inspiró directamente en el álgebra regular de la geometría analítica y se desarrolló por su interés intrínseco antes de que se descubriera su uso en termodinámica, mecánica, estadística y otras ramas de la ciencia, incluyendo la estadística teórica e industrial, así como en la química médica. De paso debe anotarse que un método de la mecánica estadística hace uso incidental de la teoría aritmética de los repartimientos, la que trata de problemas, como determinar de cuántas formas un número dado, positivo, es una suma de números positivos. Esta teoría fue iniciada por Euler en el siglo XVIII y por más de 150 años no fue sino cosa de juego para expertos en la completamente inútil teoría de los números.

El cuarto ejemplo se refiere a cómo se ha desarrollado el álgebra abstracta a partir de 1910. Cualquier algebrista moderno puede comprobar fácilmente que la mayor parte de su trabajo tiene su raíz principal en uno de los problemas más fantásticamente inútiles, jamás imaginado por un hombre curioso: la famosa afirmación de Fermat del siglo XVII de que xn + yn = zn es imposible para números enteros x y z, todos distintos de 0, si n es un entero mayor que 2. Algo de esta álgebra reciente encontró muy pronto uso en las ciencias físicas, particularmente en la mecánica cuántica moderna. Se desarrolló sin sospecha alguna de que pudiera ser útil científicamente. Por supuesto, ninguno de los algebristas relacionados con esos trabajos fue competente para hacer alguna aplicación importante a la ciencia y menos aún para prever que tales aplicaciones pudieran ser posibles algún día. Hasta el otoño de 1925 solamente dos o tres físicos en todo el mundo tenían alguna noción vaga del nuevo derrotero que mucha de la física iba a seguir en 1926 y la década siguiente.

EL REMANENTE DE LAS ÉPOCAS

Al seguir el desarrollo de las matemáticas o de cualquier ciencia, es esencial recordar que aunque pueda ya estar enterrado algún trabajo en particular, éste no debe considerarse como muerto. Cada época ha dejado una masa de resultados detallados, la mayor parte de los cuales son ahora de un interés meramente de anticuario. Para los periodos más remotos, esos trabajos subsisten como curiosidades en las historias especializadas en matemáticas. Para los periodos medio y reciente —desde las primeras décadas del siglo XVII— innumerables teoremas y aun teorías altamente desarrolladas están enterrados en las revistas técnicas y en los trabajos de sociedades doctas, y muy rara vez, si acaso, se mencionan entre profesionales; la sola existencia de muchos está casi olvidada. Las vidas de miles de investigadores se han ido en esta literatura moribunda. ¿En qué sentido viven esas cosas medio olvidadas? ¿Y cómo puede decirse en verdad que la labor de esos trabajadores no fue desperdiciada?

Las respuestas a estas preguntas un tanto desalentadoras son obvias para cualquiera que se dedique a las matemáticas. De todos los detalles sin coordinación emerge al fin un método general o un concepto nuevo; el método o el concepto es lo que subsiste. Los detalles laboriosos de los cuales ha emergido se obtienen con uniformidad e igual facilidad por medio del método general. El concepto nuevo resulta ser más importante para el conjunto de las matemáticas que los oscuros fenómenos de los cuales fue establecido. Pero la naturaleza de la mente humana es tal que casi siempre toma el camino más largo evitando deliberadamente la senda recta que conduce a su meta. No existe el principio del mínimo esfuerzo en los descubrimientos científicos. Por supuesto, con frecuencia no se percibe la meta en matemáticas sino hasta que algún explorador más afortunado que sus rivales se dirige confusamente hacia ella no obstante su inclinación humana de seguir el sendero más largo. La línea recta y la sencillez son, generalmente, las últimas cosas que se alcanzan.

Para ilustrar estos hechos podemos citar una vez más la teoría de las invariantes algebraicas. Cuando esta teoría fue desarrollada por primera vez en el siglo XIX, un gran número de adictos trabajadores se esclavizó en los cálculos detallados de invariantes y covariantes determinadas. Su trabajo está enterrado; pero su gran complejidad llevó a sus sucesores en álgebra a la sencillez: masas de fenómenos aparentemente aislados fueron admitidos como ejemplos de principios generales en forma sencilla. La posibilidad de que esos principios hubieran sido alguna vez investigados, mucho menos descubiertos, sin el adelanto proporcionado por los cálculos en masa, es por lo menos discutible. El hecho histórico es que así fueron investigados y descubiertos esos principios.

Al decir que las numerosas listas de covariantes e invariantes del primer periodo fueron enterradas, no queremos establecer que son permanentemente inútiles, porque el futuro de las matemáticas es tan imprevisible como el de cualquier otra actividad social. Pero los métodos y principios del último periodo hacen posible obtener todos e iguales resultados con mucha más facilidad que nunca y hoy es un desperdicio de tiempo y esfuerzo agregar esas listas a los principios y métodos generales.

Un residuo de todo este gran esfuerzo es el concepto invariancia.

Hasta donde puede verse en la actualidad, parece que la invariancia dará luz por muchas décadas a las matemáticas puras y aplicadas. En nuestro estudio nos esforzaremos en hacer notar los métodos y conceptos que se han sublimado de otras masas de detalles y que ofrecen iguales perspectivas de perdurar. No son las épocas las que importan sino sus residuos; tampoco importan, a medida que se alejan en el pasado, los hombres que contribuyeron a su oscuridad, la permanencia e impersonalidad de su trabajo con sus esperanzas, sus temores, sus celos y sus disputas triviales. Algunas de las grandes cosas que se hicieron en matemáticas son completamente anónimas. Nunca sabremos quién fue el primero que imaginó los números 1, 2, 3… o el primero que percibió que un sencillo “tres” califica lo que es común a tres aguijones, tres bueyes, tres dioses, tres altares y tres hombres.

Dos opiniones recientes sobre la historia general de la ciencia se aplican a la historia de las matemáticas y pueden expresarse aquí como una introducción de lo que continúa. En su autobiografía (Recuerdos de mi vida [3ª ed., 1923]), el histólogo español Santiago Ramón y Cajal, refiriéndose a la historia científica, dijo lo siguiente:

Contra todas las alegaciones del amor propio, los hechos vinculados inicialmente a un hombre acabarán por ser anónimos, perdiéndose para siempre en el océano de la Ciencia Universal. Por consiguiente, la monografía, impregnada todavía del aroma humano, se incorporará, depurada de sentimentalismos, en la doctrina abstracta del libro de conjunto. Al sol caliente de la actualidad sucederá —si sucede— el frío claror de la historia erudita […]

La siguiente opinión es particularmente importante porque proviene del hombre que superó la teoría matemática de la gravitación de Newton. Hablando del trabajo de Newton en óptica, Einstein dice:

La edad de Newton pasó hace mucho a través del tamiz del olvido, los inciertos esfuerzos y sufrimientos de su generación se han borrado de nuestra vista; los trabajos de unos cuantos y grandes pensadores y artistas han quedado para deleitar y engrandecer a nuestros descendientes. Los descubrimientos de Newton forman parte del acervo del conocimiento admitido.

Por último, trataremos de tener presente la precaución sugerida en la observación de un doctor en medicina y escritor, que no es un matemático, Halladay Sutherland: “Siempre existe el peligro de ver el pasado a la luz de un dorado ocaso”.

II
LA EDAD DEL EMPIRISMO

NO SE sabe dónde, cuándo o por quién fue percibido por vez primera que el conocimiento del número y la forma es tan útil como el lenguaje para la civilización humana. Los datos históricos empiezan en Egipto y Mesopotamia (Babilonia incluyendo Sumeria y Acad) con número y forma muy adelantados más allá de la primera etapa de cultura; aún en esto las fechas están en duda. Estas fechas son 4241 ± 200 años a. C. la más remota y 2781 a. C. la última para Egipto,[1] y cerca de 5700 a. C. para Mesopotamia. Las dos se refieren al primer sistema de calendario y cada una está más o menos apoyada en pruebas astronómicas.

La base de la civilización egipcia y la de Mesopotamia fue la agricultura. Un calendario seguro es de suma necesidad en una economía agrícola; un calendario implica precisión tanto astronómica como aritmética más allá de los recursos de la mitología y de las observaciones casuales, y no se hace en un año. Algunos de los pueblos primitivos que nunca se han dedicado a la agricultura tienen solamente una noción vaga de la relación que existe entre la periodicidad de las estaciones y el aspecto del cielo. Por el año 5700 a. C. los sumerios, predecesores de los babilonios semíticos, empezaron a contar su año a partir del equinoccio de primavera. Mil años más tarde, el primer mes del año recibió el nombre de Toro, estando el sol en la constelación de Taurus en el equinoccio de primavera hacia 4700 a. C. De esta manera, los habitantes de Mesopotamia debieron de haber tenido una aritmética elemental útil.

Estos primeros investigadores de las matemáticas inventaron también, o ayudaron a trasmitir, dos anatemas principales que continúan nublando las mentes acientíficas: la numerología (misticismo numérico) y la astrología. Todavía queda la duda de si la astrología precedió a la astronomía o si ésta a aquélla. Algún tipo de aritmética antecedió necesariamente a la numerología.

Para Egipto, los datos históricos más remotos son un poco más detallados. La cronología más liberal, rival de la egipcia, cita el año 4241 a. C. como la fecha precisa más remota en la historia, y coincide con la adopción del calendario egipcio de 12 meses de 30 días, y cinco días de festividades para completar los 365. Esta fecha también se apoya en un fenómeno astronómico poco preciso correlacionando el orto helíaco de la estrella de la constelación del Can Mayor, Sirio, con la fecha en que podría esperarse la inundación anual del Nilo. Por otra parte, el motivo para desarrollar la astronomía, y por tanto también la aritmética, fue una necesidad agrícola, a menos que, por supuesto, fuera astrológica.

La localización geográfica de Sumeria fue más propicia que la de Egipto para un desarrollo rápido de las matemáticas concebidas en la agricultura y nacidas de la astronomía. Egipto estaba situado bastante lejos de la principal ruta comercial entre Oriente y Occidente. Sumeria, el antecesor no semítico de la Babilonia semítica, quedaba directamente a través del sendero de los mercaderes, al extremo norte del Golfo Pérsico. El comercio estimuló la invención matemática en Sumeria y en la vieja Mesopotamia, como probablemente nunca lo haya hecho desde entonces. La Europa de la última época de la Edad Media también mejoró las matemáticas a través del comercio; pero la mejora fue una difusión del conocimiento más que la creación de nuevas matemáticas necesarias al comercio.

Posiblemente las necesidades de la ingeniería primitiva tuvieron una mayor importancia en el desarrollo de las matemáticas, que el comercio. Tanto los babilonios como los egipcios fueron constructores infatigables y expertos ingenieros en obras de riego, y sus grandes trabajos en estas ramas debieron estimular empírico. Pero sería una generosidad gratuita inferir que porque los egipcios, digamos, tuvieron éxito en levantar tremendos obeliscos, fueron ingenieros en el sentido científico en que ahora se consideran. Un solo cerebro puede imaginar trabajo de sobra para 10 000 esclavos; y las maravillas aparentes de la ingeniería antigua que hoy nos impresionan pueden ser solamente monumentos que representan un gasto disipado de músculo y una estricta conservación de cerebro. Los israelitas y otros a los que los egipcios persuadieron para llevar a cabo la mano de obra no parecen haberse impresionado grandemente con la destreza técnica de sus vigilantes.

Seguros testimonios muestran que la aritmética y las mediciones se desarrollaron en Babilonia a partir de los primeros trabajos de los sumerios no semíticos. Este pueblo afortunado también inventó una escritura dibujada que evolucionó a los eficientes caracteres cuneiformes, los que resultaron adecuados para la expresión de su aritmética y trabajos de medición. La absorción política de los sumerios por pueblos físicamente más vigorosos, pero no intelectualmente, ocurrió cerca del año 2000 a. C. La astronomía y la aritmética continuaron floreciendo, y lo que es de singular importancia, una especie de álgebra evolucionó con rapidez increíble. Esta temprana aparición del álgebra es uno de los fenómenos más notables en la historia de las matemáticas.

Contra todo lo que se conoce hasta hoy puede decirse que otras civilizaciones antiguas pudieron haber hecho progresos en matemáticas comparables a los de Mesopotamia y Egipto, y que las anotaciones de estos países subsistieron debido principalmente a un accidente físico. El clima semiárido y la desusada reverencia que los egipcios tenían por sus muertos, incluyendo a los toros, cocodrilos, gatos y seres humanos, preservaron los papiros que debieron haber perecido en una atmósfera más áspera, conservaron las memorias de las cosas comunes con el colorido de miles de años sobre las paredes de tumbas y templos. Algunos de los documentos históricos más interesantes que se han recogido del pasado hasta hoy sobrevivieron solamente porque los enterradores egipcios descubrieron que los papiros de desperdicio ofrecían un excelente medio para rellenar las momias de los cocodrilos sagrados dándoles una obesidad parecida a la que tenían vivos.

Los babilonios grabaron sus notas en un medio aún más durable como ladrillos, cilindros y prismas cocidos al sol o en hornos. Los afilados estiques, como las herramientas que todavía usan los niños para modelar, realzaban los caracteres en el suave ladrillo, y la cocción fijó las anotaciones de un modo más durable que cualquier tinta de imprenta lo pudiera hacer en el papel más persistente. Las guerras y la larga decadencia de una gran civilización se unieron para conservar algo de lo mejor de esa civilización. Los ladrillos cocidos, resistentes a la humedad, erosión y presión e inmunes a los ataques de gusanos e insectos fueron enterrados debajo de las ruinas enlodadas de templos y bibliotecas destruidos. Sería más fácil para algún fanático acientífico destruir las matemáticas modernas que para nosotros destruir las manifestaciones matemáticas de Babilonia. No hay razón para suponer que hayan sido exhumados todos los ladrillos de matemáticas.

Si en sí mismas las pruebas son sólidas y tangibles sin discusión, no puede decirse lo mismo en su interpretación. La lectura de las partes más sugestivas de las anotaciones sumerias y babilónicas es un asunto de gran dificultad que requiere una combinación extraordinaria de talentos lingüísticos, históricos y matemáticos. Todavía se discuten diversos puntos de interés entre los eruditos que desde 1929 han roto finalmente los sellos de las matemáticas de la antigua Babilonia. No será necesario mostrar ningún punto en disputa para dar una idea, suficiente a nuestros propósitos, de lo que los babilónicos realizaron. Lo que queda una vez despejados los pocos renglones de duda causa bastante impresión.

Aquellos lejanos siglos constituyeron en Babilonia y Egipto la primera y última gran edad del empirismo que condujo a las matemáticas. Por encima de multitud de detalles, subsistieron, para guía de siglos posteriores, cinco importantes jalones. Se sometió el número al servicio de la economía y del comercio; se aclaró la percepción de la forma con medidas empíricas, aplicándola a la astronomía, al levantamiento de planos y a la ingeniería; se iniciaron las grandes ampliaciones del sistema de números calculables que los matemáticos usan en la actualidad; se empezó a usar un método más poderoso que la aritmética, en un álgebra bien fundamentada; y por último, lo que es quizás más significativo, las dificultades prácticas encontradas en las mediciones obligaron a algunos de aquellos primeros empíricos a abordar, al menos subconscientemente, el concepto infinito matemático. Desde entonces hasta hoy, en un interregno de casi 4 000 años, ha continuado la lucha para aquilatar el concepto de infinito, dando como resultado el análisis matemático.

Posiblemente tenga mayor importancia para el futuro de la raza, que todos los adelantos técnicos en las matemáticas, algo que se debe en gran parte a aquellos progresos. El entendimiento humano empezó a concebir la posibilidad de prescindir de los miles de caprichosas deidades creadas por los seres humanos en la infancia de su raza, obteniendo a cambio una explicación racional del universo físico. Aunque la declaración explícita de esta posibilidad estaba reservada para uno de los primeros y más grandes de los matemáticos griegos, ya la anticiparon los astrónomos y hombres de ciencia de Egipto y Babilonia, países en los que nuestra raza empezó a desarrollarse.

LA ARITMÉTICA[2] HASTA EL AÑO 600 A. C.

Desde 1929 se han multiplicado nuestros conocimientos de la matemática en la antigua Babilonia, principalmente gracias al camino que abrió la obra de O. Neugebauer (1899). Aparte de su gran interés intrínseco, esas nuevas aportaciones son extraordinariamente sugestivas como posibles indicios respecto a los orígenes de las matemáticas griegas. Si, como ahora parece probable, los matemáticos griegos de los siglos VI y V a. C. procedían directamente de la tradición babilónica, es posible reconstruir el desarrollo de las matemáticas casi sin interrupción durante aproximadamente 4 000 años.

Para anticipar, y al mismo tiempo para indicar lo que se verá en capítulos subsiguientes, diremos que la senda pasa por las primeras observaciones empíricas que se conocen relativas a figuras semejantes, y por la aritmetización de las “magnitudes” geométricas de los pitagóricos del siglo V a. C.; de ahí, a la inversa, a la geometrización del número por Eudoxio en el siglo IV a. C., como resultado de la rebelión de los sofistas griegos y, finalmente, durante y después del siglo XVII d. C., otra vez a la aritmetización de la forma en la geometría analítica y del análisis matemático. De entre todo el abundantísimo material de que ahora se dispone, seleccionaremos solamente el necesario para comprobar ese desarrollo que hemos referido. Hay que empezar por notar el carácter de las pruebas primitivas.

Los documentos matemáticos de Babilonia cubren aproximadamente 2 000 años, desde la primera dinastía babilónica, 2186-1961 a. C., hasta casi el principio de la era cristiana, perteneciendo la mayoría de ellos a la época comprendida entre 2000-1200 a. C. También se podrían incluir los registros de eclipses compilados durante el reinado de Sargón, hacia el 2700 a. C., pero las aportaciones más importantes corresponden al intervalo indicado. Como ya se ha dicho, las ideas iniciales las tuvieron los sumerios aproximadamente entre el 3500 y el 2500 a. C. La riqueza de los tiempos del gran legislador Hammurapi (ca. 2100 a. C.) sugiere que la aritmética y el álgebra ya eran viejas cuando los habitantes de Sumeria quedaron absorbidos por pueblos más agresivos. Pero sin necesidad de extrapolar hacia una antigüedad inexplorada partiendo de las pruebas tangibles que son los textos matemáticos en barro cocido, tenemos una masa incontrovertible de hechos sobre los cuales los eruditos especializados están de acuerdo en lo fundamental, los que por fortuna son los de más capital importancia para cualquier tentativa de seguir el desarrollo de lo esencial de las matemáticas. Para esto, consideraremos en primer término la aritmética.

Hacia 2500 a. C. los comerciantes de Sumeria estaban familiarizados con pesos y medidas, con la aritmética de una usura despiadada, tanto simple como compuesta, y con los equivalentes de mucho de lo que llamamos títulos de crédito comerciales. En su comercio y en sus negocios, su aritmética los retrata como codiciosos, avarientos, bien conocedores del valor de la propiedad mucho antes de que se inventara la moneda. Su escala de numeración, que transmitieron a los babilonios, era la sexagesimal (60 como base), con una ligera mezcla del sistema decimal (10 como base).

Asimismo, se ha conjeturado que el 10 recuerda el contar con los dedos, mientras que el 60, que es 6 × 10, incluye la adopción del 6 para que las fracciones útiles 1/2a3b5c (a, b, c, enteros no negativos) se puedan expresar en términos finitos. Las huellas del sistema sexagesimal perduran en nuestro cálculo del tiempo y en la división de la circunferencia en 6 × 60 grados. Pero ya no se supone universalmente que fueran esas consideraciones las que indujeron a los sumerios a elegir el 60 como base, y todavía menos que el zodiaco influyera en su elección.

Por otra parte, se usaba el sistema de que el valor dependía de la posición, tanto para las potencias positivas como para las negativas de la base. Así, con los símbolos cuneiformes adecuados, 17, 35; 6, 1, 43 en que el punto y coma indica el principio de la parte fraccionaria significa 17 × 60 + 35 + 6/60 + 1/60² + 43/60³. El método de escritura introduce algunas veces ambigüedades; pero la pertinacia de la moderna erudición las ha salvado dándole sentido al resto. De acuerdo con el humor del escriba, un espacio en blanco podía o no indicar la falta de la potencia correspondiente de 60. Esta dificultad se sobrepasó con la introducción de un símbolo especial para el cero, pero no, probabablemente, hasta tiempos de los griegos.

La gran invención práctica del cero se ha venido atribuyendo por lo general a los hindúes, y todavía es discutible si los primeros fueron ellos o los babilonios. Si, como parece muy probable, los babilonios lo inventaron genuinamente, el cero es un interesante ejemplo de los orígenes independientes de las ideas matemáticas en culturas diferentes. También aparecía el cero en la aritmética de otro pueblo bien dotado, los mayas de la América Central que usaban el 20 como base y tenían un sistema en que el valor de la cifra dependía de su posición. La numeración maya se ha asignado al periodo 200-600 d. C. Sus ciclos de medida del tiempo se remontan hasta 3373 a. C., pero esto no indica que los mayas estuvieran civilizados y ni siquiera que existieran en aquel entonces.

Los babilonios fueron de los más infatigables compiladores de tablas aritméticas que registra la historia. Puesto que era más fácil multiplicar que dividir, tabulaban 1/n para enteros n adaptados a la base 60. Otros recíprocos “irregulares” como 1/7, 1/11 resultaban naturalmente más molestos, pero se evitaban con destreza elaborando problemas en que esos divisores difíciles se eliminaban automáticamente en el transcurso del trabajo. No es éste el único ejemplo de las matemáticas babilónicas en que el maestro o el discípulo parezcan haber aplicado una técnica en otro tiempo clásica de la física matemática: dada la solución, hallar el problema. También había tablas de multiplicación para multiplicadores como 7, 10, 121/2, 16, 24, etc. Las tablas de cuadrados convenientemente leídas servían como tablas de raíces cuadradas, y lo mismo respecto a los cubos. Otra tabla daba los valores de n³ + n² para n = 1, 2, …, 30. El significado peculiar de esta extraña tabulación se nos aparecerá cuando lleguemos al álgebra babilónica.

De esto y de otras muchas cosas de naturaleza semejante se deduce evidentemente que los babilonios de aproximadamente 2000 a. C. eran calculadores muy expertos. No sería excesivamente generoso concederles el crédito de tener el instinto de la funcionalidad, ya que se ha dado como definición sucinta de una función la de que no es más que una tabla o una correspondencia.

Desde el punto de vista histórico, lo más notable acerca de este rápido progreso en el dominio del número es que parece que lo ignoraron los griegos del siglo VI a. C. Esto fue una calamidad para lo que ahora nos parece como el más sencillo y natural desarrollo de las matemáticas. El hecho de que esto ocurriera arroja una ligera sombra de duda sobre la tan celebrada inteligencia del entendimiento griego primitivo. Pero puesto que insistir sobre esto equivaldría a una blasfemia histórica, nos limitamos a pedir que el observador matemáticamente informado examine las pruebas y saque sus propias conclusiones, aun a riesgo de trastornar tradiciones sacrosantas.

La aritmética egipcia muestra aún más cabalmente sus laboriosos orígenes empíricos. Ya en 3500 a. C. los egipcios manejaban libremente números del orden de los cientos de millar: los jeroglíficos de aquella lejana fecha registran la captura de 120 000 prisioneros humanos, 400 000 bueyes y 1 422 000 cabras. Esta última probablemente no es más que un fruto de la imaginación poética del conquistador, ya que el catálogo está sobre un bastón de mando real, y aún hoy día los expertos de la oficina del Censo de los Estados Unidos encontrarían dificultades para contar tantas cabras en el breve intervalo comprendido entre la victoria y la celebración. Pero la exageración entusiasta, como la de los antiguos hindúes al multiplicar sus dioses prácticamente hasta el infinito, muestra que por lo menos los egipcios de 3500 a. C. habían sobrepasado por completo la incapacidad de los pueblos primitivos para pensar osadamente en cuestiones de números. La importancia de este adelanto se puede apreciar sólo si se compara con el retraso de la aritmética de pueblos que en la actualidad han salido de la barbarie, y también, como veremos una vez más, con los griegos.

La numeración egipcia seguía el sistema decimal, pero sin que el valor dependiera de la posición. La aritmética de aproximadamente 1650 a. C. era apta para la adición, la sustracción, la multiplicación y la división, y se aplicaba a muchísimos problemas extraordinariamente sencillos con base en todas esas operaciones. En las fracciones, 2/3 se escribía con un símbolo especial; otras fracciones se reducían a sumas de fracciones de la forma 1/n en que n es un entero. En el papiro de Rhind, de aproximadamente 1650 a. C. copiado por el escriba Ahmes (A’h-mose) de una obra más antigua, las divisiones se ejecutan por medio de esas “fracciones unitarias” siendo la técnica la de expresar m/n, m > 1 como suma de fracciones unitarias; por ejemplo, 2/97 = 1/56 + 1/679 + 1/776. No parece saberse cómo se obtuvieron inicialmente esas descomposiciones. Quizá representen la experiencia fosilizada de siglos enteros cuidadosamente conservada en tablas para su uso futuro, al igual que hoy acumulamos los logaritmos. Ahmes transmitió descomposiciones de todas las fracciones 2/n, donde n es un número impar cualquiera comprendido entre 5 y 101. Éstas pudieron deducirse de aplicaciones sucesivas de la solución en enteros positivos de la llamada ecuación de los focos conjugados, pero es muy poco probable que fuera así. De las otras muchas conjeturas, ninguna es aceptable para la mayoría de los eruditos competentes.

Todos los problemas resueltos eran de una sencillez pueril. Algunos son deliciosos por las revelaciones inintencionadas de los usos y costumbres egipcios, como cuando Ahmes analiza la aritmética del trueque de cerveza por pan y viceversa. O bien los egipcios eran menos puritanos en sus escuelas que en los teatros o bien Ahmes destinó su tratado a un público de matemáticos expertos. Menos subversivos son los problemas relativos a la proporcionalidad de bueyes y de varias clases de aves desde los gansos a las cigüeñas y a las codornices. Algunos de tipo más caprichoso, evidentemente sin aplicaciones terrenas para nadie, recuerdan las antiguas preguntas de los exámenes ingleses, y los aún más antiguos esfuerzos de nuestro College Entrance Examination Board. Se reparten panes entre varios seres imaginarios que han de recibir cantidades en progresión aritmética. Na hay nada nuevo bajo el sol, con tal de que sea suficientemente disparatado.

El detalle más significativo para el desarrollo del pensamiento matemático, de toda la aritmética egipcia, es la comprobación ocasional de algún cálculo. Esto parece demostrar que los egipcios ya en el siglo XVII a. C. comprendían el valor de la prueba en la aritmética. Si esta conclusión está justificada, aquellos antiguos no iban mal encaminados cuando, inexplicablemente, se pararon.

Asimismo, se dice que la aritmética de los egipcios estaba suficientemente adelantada para las simples exigencias de sus asuntos cotidianos. Quizá de mayor interés para la evolución de las matemáticas sean aquellos problemas de Ahmes y de otros antiguos, a los que sólo por cortesía se puede calificar de prácticos. Éste sugiere un despertar de la curiosidad acerca de los números en sí, que es uno de los impulsos históricos más fuertes hacia la aclaración de las matemáticas tanto puras como aplicadas. Por ejemplo, Ahmes pedía un número que sumado con su quinta parte diera 21, y presenta una solución verbal singularmente pesada. Así, es concebible que este problema pudiera tener cierto valor práctico, pero el siguiente, fechado entre 2200 y 1700 a. C., está por encima de toda sospecha de utilidad. Con el simbolismo admitido, el problema consiste en resolver x² + y² = 100, y = 3/4 x respecto de x y a y, y es uno de los primeros ejemplos del sistema de ecuaciones simultáneas. El egipcio que resolvió esas ecuaciones empleó un método, posteriormente llamado de falsa posición, que sobrevivió hasta bien entrado el siglo XV de nuestra era. Para el principiante de hoy día, el “álgebra” implica un simbolismo genético y algo rítmico, aunque tal vez no se dé cuenta de que los signos que maneja tan volublemente discurren por sí; la falsa posición pondría en grave aprieto su inventiva, y sus adelantos en el arte de resolver ecuaciones fáciles no sería quizás muy considerable. Por razones como ésta, el estudiante moderno de álgebra se asombra a veces al oír que las soluciones propuestas por todos menos unos cuantos de los predecesores de Vieta (s. XVI d. C.) eran realmente álgebra. Sin el simbolismo que existe hoy día muchos de hasta los más elementales problemas de álgebra y aritmética quedarían más allá de la capacidad de todos, excepto de los más dotados en facultades de raciocinio. Tanto más honor, pues, a los antepasados que perseveraron alcanzando entre masas de palabras lo que los modernos consiguen con unos cuantos golpes de pluma casi mecánicos.

Hemos reservado para el final de este esquema de la aritmética anterior a los griegos dos notables proezas de los matemáticos babilonios. Una de ellas fue la primera alusión, con 25 siglos de adelanto, del concepto moderno generalizado del número. Los números negativos aparecen por derecho propio a la par que los números positivos en, por lo menos, tres casos en los que el problema es el de resolver un par de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas. Si esto no es puesto en duda por una lectura más minuciosa de los textos en cuestión, y sólo parece haber una posibilidad muy remota de que suceda, ello demuestra que los babilonios tenían alguna idea de los números negativos como números.

Menos importante, tal vez, pero sin embargo de mucho adelanto para su época, era el uso explícito por los astrónomos de Babilonia del siglo IV a. C. de las reglas correctas de los signos en la multiplicación. Por qué los griegos no aplicaron nada de esto es un misterio.

ÁLGEBRA SIN SIMBOLISMO[3]

Pasando ahora al álgebra babilónica de hacia el año 2000 a. C. llegamos a lo que los historiadores consideran el adelanto más notable en el desarrollo de las matemáticas.

Primero está la cuestión de la demostración, sin la cual no existen las matemáticas en el sentido normalmente aceptado del término. ¿Tenían los sucesores babilonios de los sumerios alguna idea del razonamiento deductivo? No puede darse ninguna respuesta categórica. Hasta ahora (1945) no se ha descubierto ningún registro babilónico de una demostración matemática. Pero esto no es por necesidad concluyente contra la existencia de por lo menos una intuición muda de la demostración, de cuya existencia se tienen pruebas abrumadoras.

Así, poniendo el caso en una forma tan favorable como parecen justificar las pruebas no discutidas, podemos representarnos a un profesor de álgebra elemental calificando hoy un examen sobre ecuaciones de segundo grado. Se ha pedido a los alumnos que resuelvan la ecuación 12x² − 7x = − 1. Algunos han sustituido en la fórmula estándar x = (−b ± √b² − 4 ac) / 2a para la solución de ax² + bx + c = 0 y se han contentado con una raíz; otros han “completado el cuadrado”, y un genio original ha “normalizado” multiplicando todos los términos de la misma por el coeficiente de x², obteniendo

(12x)² − 7 (12x) = − 12

antes de resolver para 12x, hallando después fácilmente x por división. De menos alcances que los mejores matemáticos egipcios 3 500 años anteriores a él, ninguno de los discípulos ha comprendido su solución sustituyendo en la ecuación, ya que el atareado profesor había olvidado exigir una comprobación. Ni ha ofrecido ninguno una sola palabra de prueba en apoyo de sus cálculos formales. Todos han ido por pasos sucesivos hasta una solución como si el profesor, con un libro abierto en la mano, estuviera dictando desde el principio hasta el fin lo que tienen que hacer después.

En las tablas babilónicas de hacia el año 2000 a. C. se observa algo semejante a todo esto, incluida la falta de comprobación. Instrucciones verbales indican al lector que siga una trayectoria determinada que conduce a la solución por nuestra fórmula estándar, o que normalice la ecuación, o que complete el cuadrado; es álgebra por medio de reglas y sin simbolismo algebraico. Los escribas que grabaron esos paradigmas en la arcilla blanda, o que dirigieron a otros, tenían ciertamente algunos procedimientos generales en su mente. Pero hay que admitir que las reglas generales correctas, aun cuando se apliquen con éxito a centenares de problemas especiales, no constituyen una prueba matemática. Toda el álgebra babilónica es de esta índole: solución detallada de un problema numérico tras otro mediante instrucciones verbales que siguen pautas definidas. Ninguna pauta es nunca aislada como un procedimiento general.

El carácter empírico del álgebra de los babilonios, y tal vez también su perspectiva social, es aún más evidente en sus sorprendentes soluciones de las ecuaciones de tercer grado con coeficientes numéricos. Expresadas en nuestra terminología, las ecuaciones del tipo x³ + px² + q = 0 se reducen a la forma normal y³ + y² = r, con y ≡ x/p, r ≡ −q/p³ multiplicando la ecuación original por 1/p³. Si el valor resultante de r es positivo, el valor de y, y, por consiguiente el de x, puede deducirse de los valores tabulados de n³ + n², siempre que r esté en la tabla.

Partiendo de las ecuaciones resueltas de esta manera, es concebible que el escriba procediera partiendo de ciertos valores tabulados de r para construir sus ecuaciones x³ + px² = q, de modo que se pudieran resolver. Luego, producía triunfalmente la solución. Si es así, sus alumnos tienen que haber sido tan engañados como lo sería hoy cualquier estudiante con alguna inteligencia matemática cuando su misterioso profesor sacara de invisibles sombreros conejos matemáticos. La habilidad para hacer trucos brillantes no se considera ya como matemáticas reputables. Pero si es cierto, como se ha asegurado, que las matemáticas de Babilonia y Egipto eran el secreto celosamente guardado de una secta sacerdotal, desaparece el misterio. Uno de los mayores servicios que los matemáticos griegos prestaron a la civilización fue que hicieran desaparecer la tradición del secreto fomentada por sacerdotes que se perpetuaban a sí mismos. La tentativa de Pitágoras para seguir la tradición del secreto de Babilonia y Egipto desapareció rápidamente y la cultura se puso al alcance de cualquier ser vulgar no santificado que tuviera la voluntad y la inteligencia necesarias para alcanzarla.

Se ha supuesto que la reducción de la ecuación de tercer grado general a la forma normal anterior estaba al alcance de los algebristas babilonios. Pero no es necesario suponerlo para conceder que los babilonios habían dado un gran paso en las matemáticas con lo que realmente hicieron. Pues el espíritu que anima al descubrimiento matemático es el de percibir la uniformidad en una multitud de fenómenos aparentemente diversos. El proyecto de reducir una multitud de ecuaciones particulares a una forma típica, o incluso el problema inverso, más fácil, de construir indefinidamente ecuaciones especiales que se adapten a una solución prescrita, sólo se le ocurriría a una inteligencia que fuera esencialmente matemática.

Esta metodología de transformación y reducción, generalizada y muchas veces perfeccionada con conocimientos avanzados, corre como un hilo rojo a través de todas las épocas más grandiosas de las matemáticas. Un problema relativamente difícil es reducido por transformaciones reversibles a otro más fácil de resolver; la solución de este último se enlaza entonces con la del anterior y con la de todos los problemas de los que es el tipo. La reducción babilónica de las ecuaciones de tercer grado parece ser el primer caso registrado de esta metodología. La observaremos de nuevo en el álgebra italiana de principios del siglo XVI y en el avance de Vieta medio siglo después. En geometría, para no citar más que un ejemplo, el método aparece primero en el artificio de la proyección central, por medio de la cual los geómetras del siglo XVII derivaron las propiedades de las figuras cónicas de las del círculo.

Adoptando el punto de vista, como lo adoptaremos por lo común, de que los métodos uniformes tienen una importancia más duradera que la suma total de los resultados individuales, por brillantes o útiles que sean, obtenidos hasta una época cualquiera dada por medio de su empleo, podríamos basar el caso de los babilonios como matemáticos en su reducción de las ecuaciones de tercer grado a una forma normal. Pero el ingenio espectacular de su álgebra —si tenemos en cuenta que en Europa no se conoció nada que la superara hasta el siglo XVI d. C.— exige una breve exposición de ciertos detalles.

Basándose siempre en sus extensas tablas numéricas, los algebristas babilónicos resolvían ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas y ecuaciones simultáneas de segundo grado del tipo xy = 600, (ax + by)² + cx + dy = e para 55 grupos de valores numéricos especiales de a, b, c, d, e, conduciendo cada uno de los grupos de valores a una ecuación de segundo grado en x. También plantearon un problema que conducía a la cuártica general que, casi no es necesario decirlo, no resolvieron; y análogamente para una ecuación general de tercer grado planteada por un problema sobre troncos de pirámides. Asimismo, aparece también una ecuación de tercer grado en x². En sus soluciones de las ecuaciones de segundo grado, los babilonios se contentaban por lo general con una raíz, aunque en un ejemplo se dan las dos raíces (positivas). No parece que les desalentara una multiplicidad de incógnitas, pues un problema conduce a 10 ecuaciones de primer grado con 10 incógnitas.

Más notable aún, tal vez, es la solución afortunada, por tanteo inicial e interpolación subsiguiente, de una ecuación exponencial para determinar el tiempo necesario para que una suma de dinero se duplique a una tasa de interés compuesto dada. Esas ecuaciones se resuelven hoy por medio de los logaritmos. Pero deducir de ahí que los babilonios comprendían los logaritmos, incluso con base 2, sería tan fantástico como aquella fábula clásica de la arqueología que dice que los antiguos egipcios estaban familiarizados con la telegrafía sin hilos porque no se ha encontrado en sus tumbas ni un solo trozo de alambre.

En otra dirección, los babilonios se anticiparon en parte a Arquímedes, del siglo III a. C., en la suma de una progresión geométrica, dando el resultado correcto para 10 términos por un caso especial de la regla general.

De mayor importancia para el futuro de las matemáticas fue la reacción altamente inteligente de los algebristas babilonios ante los números irracionales. Sus tablas y sus ecuaciones les decían que no todos los números racionales que figuraban en sus tablas tenían una raíz cuadrada tabulada. Enfrentados a este hecho fundamental, procedieron a obtener valores aproximados por medio de las reglas (a² + b²)1/2 = a + b²/2a, o = a² + 2ab². La primera es razonable y reaparece alrededor de 2 000 años después con Herón de Alejandría; la segunda es incurablemente errónea pues es dimensionalmente imposible. Observemos de pasada que esta aproximación razonable puede obtenerse por medio de la serie binomial de Newton; pero tampoco esto implica una anticipación. En sucesivas aproximaciones a las ecuaciones irracionales usaron lo que podría interpretarse como los primeros pasos hacia la conversión en fracciones periódicas continuas. Para √2 dieron el valor aproximado 15/12, que es correcto hasta la segunda cifra decimal. Cuando nos ocupemos de los pitagóricos veremos que √2 señala uno de los puntos críticos cardinales en la historia de las matemáticas.

Al estudiar los trabajos de este calibre, hechos en su mayor parte aproximadamente 2 000 años antes del comienzo de la era cristiana, no podemos por menos de maravillarnos al pensar en cómo los harían, pues no lo sabemos. La solución numérica detallada de ejemplos concretos no da ningún indicio sobre el pensamiento en el que se inspiraban los procedimientos uniformes. Neugebauer hace resaltar que la técnica se basa en tablas numéricas complicadas. Juzgada muy por lo bajo, la gran habilidad en el uso de esas tablas indica una capacidad extraordinaria para descubrir uniformidades en masas de datos empíricos. Los babilonios fueron los primeros astrónomos exactos del mundo; y sus primeras observaciones eran tan precisas y sus cálculos tan exactos que Kidinnu, hacia el año 340 a. C., hizo el descubrimiento capital de la precesión de los equinoccios, anticipándose a Hiparco unos dos siglos. Parece razonable suponer que muchos siglos no registrados de observar los planetas permitieron acumular datos numéricos por medio de los cuales se creó un álgebra puramente retórica, pues el álgebra babilónica carecía enteramente de símbolos. Más notable aún es el hecho de que los procesos que en la actualidad se resumirían en fórmula no se redujeron nunca, que se sepa, a reglas escritas. Si esos complicados procedimientos se transmitían enteramente por vía oral, el esfuerzo para una memoria, incluso privilegiada, tiene que haber sido considerable.

Otro problema no resuelto es aún más enigmático. Hasta el año 1900 se acostumbraba atribuir los comienzos del álgebra al griego Diofanto en el siglo III d. C., más de 2 000 años después que los babilonios habían superado sus mejores estudios. ¿Dónde estuvo enterrada el álgebra entre tanto? Se ha conjeturado que los griegos de los siglos VI y V a. C. tienen que haber estado enterados de lo que los babilonios habían hecho en álgebra, porque, como se verá, es casi seguro que esos mismos griegos conocían en gran parte la geometría empírica babilónica. No se tienen pruebas directas de que los griegos primitivos no conocieran el álgebra babilónica, pero vale la pena hacer notar las pruebas indirectas, ya que si los primeros griegos conocían el álgebra babilónica, no intentaron en modo alguno desarrollarla o incluso usarla, y por consiguiente quedarían convictos de suprema estupidez en la historia de las matemáticas. Pero, por otro lado, se conviene comúnmente en que los primeros matemáticos y filósofos griegos figuraron entre los seres humanos más inteligentes que hayan vivido nunca.

Este delicado dilema histórico puede soslayarse por medio de una ligera anticipación. Los babilonios antiguos tenían una rara capacidad para el cálculo numérico; la mayoría de los griegos eran místicos u obtusos en su primer acercamiento al número. Lo que faltaba a los griegos en los números faltaba a los babilonios en lógica y geometría, y allí donde los babilonios eran deficientes, sobresalían los griegos. Sólo en la mente matemática moderna de los siglos XVII y siguientes se percibieron claramente el número y la forma como diferentes aspectos de unas mismas matemáticas.

No se ha dicho nada sobre el álgebra egipcia, porque estaba mucho menos adelantada que los trabajos anteriores (probablemente) de los babilonios. Entre 1850 y 1650 a. C. los egipcios resolvían ecuaciones numéricas fáciles de cualquier grado por tanteo, o por lo que en la Edad Media se llamaba la regla de la falsa posición. El último procedimiento sugiere la posibilidad de que los egipcios comprendieran la proporción. Si esto es cierto, y los expertos históricos no lo ponen en duda, comparten con los babilonios el honor de haber descubierto una raíz fundamental del análisis matemático.

HACIA LA GEOMETRÍA Y EL ANÁLISIS[3]

Las mediciones babilónicas[2] de hacia el año 2200 a. C. son casi tan sorprendentes como el álgebra contemporánea. Matemáticamente, son del mismo carácter que el álgebra en lo que respecta a prescindir de la demostración. Así, se aplican reglas correctas para hallar el área de cualquier rectángulo, triángulo recto, triángulo isósceles, trapezoide con un lado perpendicular a la base, y “si π se toma igual a 3”, de cualquier círculo. Este valor aproximado de π es famoso también porque se da en el Antiguo Testamento. Un poco después, entre 1850 y 1650 a. C., los egipcios tenían ya el valor más aproximado 256/81, esto es aproximadamente 3.16. Sería interesante saber qué sugirió el curioso valor (4/3).[4]

En su medición de los sólidos, los babilonios de hacia el año 2000 a. C. daban soluciones correctas de problemas numéricos en los que intervenían paralelepípedos, cilindros rectos y prismas rectos con base trapezoidal. Algunas de esas medidas tenían aplicaciones obvias a problemas relacionados con trabajos de excavación de canales para riego o drenaje. Su regla para el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada era incorrecta. La regla correcta de los egipcios, que es una de las proezas más notables de las matemáticas anteriores a los griegos, se estudiará más adelante por separado.

Pasando ahora a los teoremas de geometría pura conocidos por los babilonios del mismo periodo, elegimos tres por su extraordinaria sugestibilidad histórica. Los dos primeros son: el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto; el teorema pitagórico c² = a² + b² en el que c, a, b, son los lados de un triángulo rectángulo, para ciertos valores numéricos de c, a, y b, como 20, 16, 12 y 17, 15, 8. El primero de esos teoremas, considerado a menudo como uno de los más bellos de la geometría elemental, se dice que fue demostrado por el griego Thales hacia el año 600 a. C. Inmediatamente se adivinaría inscribiendo rectángulos en círculos. Los babilonios no ofrecieron ninguna justificación. Basándose en el segundo, y en ciertos cálculos numéricos para los lados de los triángulos rectángulos, se ha dicho que los babilonios conocían el problema pitagórico en el caso general, pero la prueba no parece concluyente. Hasta el año 1923 se suponía que los egipcios conocían ese teorema por lo menos en el caso 5² = 4² + 3² porque se decía que los agrimensores egipcios habían usado esta propiedad de los números 5, 4 y 3 para trazar ángulos rectos al orientar los edificios. Pero en la actualidad se afirma que, aunque es posible que los números 5, 4 y 3 puedan haberse usado con este fin, los egipcios no conocían ni un solo caso de la ecuación pitagórica c² = a² + b², porque no existe ninguna prueba documental de que la conocieran. Puesto que c, a y b son los lados del triángulo rectángulo solamente si c² = a² + b² estamos en presencia de un enigma histórico interesante, esto es, cómo los egipcios adivinaron lo que necesitaban.

En lo que respecta al teorema pitagórico en sí mismo, quienquiera que lo adivinara primero, recordemos que es la piedra angular de la geometría métrica euclidiana y una de las bases de toda la métrica. Por otro lado, como los triángulos semejantes, enlaza a toda la historia de las matemáticas, no sólo en la geometría, sino también en el álgebra, la teoría de los números y la física matemática.

El tercer teorema empírico importante de los babilonios en la geometría pura es el vestigio registrado más antiguo que se posee sobre los orígenes del análisis matemático: los lados de los ángulos correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales. Este teorema implica la igualdad de razones. Como se ha mencionado, de aquí se sigue que los babilonios tenían algún concepto de las razones. Pero, si queremos ser tan precisos en este caso como lo fuimos hace un momento en el caso del teorema pitagórico y de los egipcios, no tenemos derecho a afirmar que los babilonios tuvieran realmente la más remota idea de las razones, pues razones iguales y razón son dos conceptos distintos en las matemáticas, y es fácilmente posible una teoría extensa de las “razones iguales” sin ninguna definición de la razón. Ésta está en un nivel de abstracción más elevado que las “razones iguales”. Euclides intenta, no muy afortunadamente, definir la razón. De Morgan ha traducido su definición como sigue: “razón es un cierto hábito mutuo de dos magnitudes de la misma clase que depende de su cuantuplicidad”. Por fortuna, Euclides no tuvo nunca que recurrir a esta definición abstrusa, pues su teoría de la razón era enteramente una teoría de proporción, esto es, de razones iguales. Parece sumamente improbable que los babilonios, ni nadie antes del siglo XIX, tuviera un concepto útil de las razones. La razón de m a n, escrita usualmente en la forma m/n, sólo es comprensible —hasta donde sabemos hoy— como un par-número (m, n) con ciertas propiedades postuladas para las cuatro operaciones racionales con esos pares. Según las pruebas documentales disponibles no hay nada, al parecer, que indique que los babilonios se aproximaran nunca, ni con mucho, a Euclides, el cual, si no consiguió darnos una definición clara de la razón, procedió por lo menos como si se diera cuenta de que razón y proporción son dos conceptos diferentes. Pero en este respecto no tenemos ningún deseo de ser tan precisos como lo fuimos en el caso de los egipcios; hemos tratado simplemente de indicar dónde está el enigma matemático de la historia. Con sus ejemplos numéricos de cuatro números en proporción, los babilonios dieron el primer paso hacia la teoría griega de la proporción, que ha perdurado, prácticamente, sin ninguna modificación, hasta hoy.

Otra fuente posible de una buena parte de las matemáticas modernas se encontrará en seguida en relación con la pirámide. Pero la historia subsiguiente de lo que resultó de los triángulos semejantes es tan clara, y de una importancia tan extraordinaria para todas las matemáticas, que abandonaremos aquí la métrica babilónica con esto como su ápice.

Con una excepción de la que nos ocuparemos en seguida, las mediciones empíricas egipcias son menos impresionantes que las babilónicas. Basándose en su prodigiosa arquitectura podría ser razonable deducir que los antiguos egipcios eran hábiles ingenieros constructores y que, por consiguiente, eran por lo menos geómetras respetables. Sin embargo, no eran ni lo uno ni lo otro. La fuerza bruta bajo la forma de mano de obra esclava en cantidad ilimitada hacía que el cerebro fuera casi superfluo. Hasta que se descubrió cómo elevaron los enormes bloques de piedra para construir sus pirámides, se suponía que los egipcios conocían por lo menos los rudimentos de la ingeniería científica, pero lo que realmente hicieron[4] los sitúa al nivel intelectual de las hormigas. A medida que se elevaban las hiladas sucesivas de piedras de una pirámide, los esclavos enterraban laboriosamente bajo miles de toneladas de arena la cara del trabajo ya realizado. Y luego los enjambres de esclavos arrastraban los bloques de piedra a lo largo de la larga calzada. Una vez que se terminaba la tarea de construir, los esclavos removían la montaña de arena en la que estaba enterrada la pirámide y la volvían a poner en el sitio de donde la habían sacado. El brillante resultado de sus trabajos lucía con todo su esplendor en forma de otro monumento imperecedero al inconquistable espíritu de los gobernantes temporales del hombre y a las espaldas irrompibles de los que realizaban el trabajo. Entusiastas competentes han calificado muy altamente la sagacidad de los sobrestantes egipcios que dirigían a los esclavos.

Los albañiles y los ingenieros hidráulicos de Egipto del tercer milenio a. C. alcanzaron grandes alturas en lo que respecta a la exactitud de las medidas prácticas. Se afirma, por ejemplo, que el error máximo en un lado y en un ángulo de la Gran Pirámide son sólo pequeñas fracciones de uno por ciento. Por otro lado, los agrimensores responsables de la observación del Nilo consiguieron poner sus indicadores del nivel del agua en un mismo plano en una distancia de aproximadamente 700 millas al borde de todas las curvas del río. Con un número suficiente de siglos para la observación, esto podría hacerse por tanteos y no implica necesariamente conocimientos notables de la agrimensura científica. Los egipcios disponían de tiempo en abundancia.

En la dirección de la geometría parecen haber sabido que el área de cualquier triángulo puede obtenerse por medio de la regla 1/2 base × altura. Calculaban también correctamente el volumen de un granero cilíndrico. Esos resultados son tan avanzados como cualquiera otra cosa que se sepa concretamente que obtuvieran los egipcios, si se exceptúa su trabajo relacionado con la pirámide, que examinaremos en seguida. Para un pueblo que consiguió plasmar un arte magnífico, hay que admitir que los esfuerzos de los egipcios en la geometría son en su mayor parte insignificantes, por lo que desilusionan. Esto, probablemente, era de esperar, ya que hasta los pueblos que están muy poco por encima del estado salvaje pueden crear un arte aceptable.

LA MAYOR DE LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS

Siempre que se enumeran las siete maravillas del mundo antiguo se incluye la Gran Pirámide. Pero desde que en el año 1930 d. C. se tradujo el papiro de Moscú,[5] esta pirámide ha sido oscurecida por otra mayor que ninguna de las que hubieran podido jamás construir los esclavos de Egipto. Esta pirámide tan enorme existió sólo en la mente de un matemático innominado que descubrió o creyó descubrir el resultado más extraordinario en la geometría anterior a los griegos. Este matemático dio un ejemplo numérico de la fórmula correcta 1/3h (a² + ab + b²), para el volumen de un tronco de pirámide cuadrada, siendo h la altura y a y b, respectivamente, los lados de la base superior e inferior. Esta aplicación numérica de un caso especial de la fórmula data de hacia el año 1850 a. C. No se sabe cómo se obtuvo esta fórmula, y de las varias conjeturas plausibles que se han aducido, ninguna es aceptada por una mayoría de los eruditos.

Si el egipcio hoy olvidado, autor de esta fórmula, hubiera indicado el procedimiento seguido, figuraría entre los grandes creadores de las matemáticas, pero incluso el descubrimiento empírico de un proceso semejante o su equivalente verbal es una prueba de ingenio matemático extraordinario. Disfrazado de una u otra manera, el método esencial que sirve de base a la fórmula ha reaparecido en todas las grandes épocas de las matemáticas. Los griegos le llamaron de exhaución;[6] en el siglo XVII Cavalieri le dio el nombre de método de los invisibles, y como se verá en el lugar apropiado, no estuvo más cerca de la demostración que los antiguos egipcios de todo lo más el año 1850 a. C. Para nosotros es la teoría de los límites y, después, el cálculo integral. Las razones para creer que ningún egipcio pudo nunca aproximarse, ni con mucho, a una demostración se presenta muchas veces en la historia matemática; la final y concluyente se expuso en el año 1900 d. C.

El método completo de exhaución se describe suficientemente por medio del problema sencillo de determinar el área de un círculo. Se inscriben y se circunscriben en el círculo polígonos regulares de n lados; el área buscada es menor que la del polígono circunscrito y mayor que la del inscrito; a medida que aumenta n, la diferencia entre las áreas de los polígonos disminuye hasta que, en el límite, cuando n se aproxima al infinito, la diferencia desaparece, queda “exhausta”, y el área común de los polígonos límites es igual a la del círculo. En muchas aplicaciones parciales del método, solamente se tenían en cuenta polígonos inscritos. En cualquiera de las dos variantes es necesario conocer el área de un polígono regular de n lados. Ésta se conoce inmediatamente después de conocer el área del triángulo isósceles. Si los límites descritos existen, y si pueden calcularse, el problema está resuelto.

En una fase cualquiera, por ejemplo n = 96, en la que se detuvo Arquímedes en el siglo III a. C., se obtiene un valor aproximado del área del círculo partiendo de los polígonos calculables. Además, esta aproximación está comprendida entre límites determinados que dan las áreas de los polígonos inscrito y circunscrito de 96 lados. Pero el paso fundamental para obtener la fórmula exacta que dé el área, o incluso definir qué es lo que quiere significarse por el área, se da solamente pasando al límite cuando n se hace infinitamente grande.

Para el tronco de pirámide de base cuadrada podríamos proceder de la misma manera inscribiendo y circunscribiendo escaleras cuyos escalones son prismas rectangulares con base cuadrada; y es concebible que el egipcio dedujera su regla partiendo de los valores aproximados, fáciles de calcular, dados por escaleras con unos cuantos escalones. En realidad, las primeras pirámides eran de ese tipo, y la misma Gran Pirámide presentaba ese aspecto antes de aplicar el revestimiento liso final de piedra tallada. Pero de cualquier modo que obtuviera el egipcio su regla, su intuición le dio el resultado correcto que sólo puede probarse por el cálculo integral en una u otra forma, pues todas las demostraciones de la fórmula prismoidal y sus casos especiales apelan en último término a la fórmula para una pirámide triangular. Arquímedes atribuyó la generalización trivial de este resultado para una pirámide con cualquier base poligonal a Demócrito, el fundador del atomismo, en el siglo V a. C. La crítica de los sofistas griegos de los procedimientos limitadores empleados por Demócrito y otros griegos fue en parte responsable por el curso especial seguido por las matemáticas en la antigua Grecia; y éste fue uno de los puntos críticos más importantes en la evolución de las matemáticas. Entonces, sería interesante saber si influyó sobre Demócrito el resultado del egipcio. Demócrito fue uno de los griegos primitivos que viajaron más y fue más jactancioso, diciendo que aunque los agrimensores egipcios le enseñaron todo lo que sabían, él sabía más que ellos.

¿No sería posible, podría preguntarse, que el egipcio obtuviera su regla por algún dispositivo que evitara el teorema de Demócrito? Esto sería así solamente si fuera posible probar por medios elementales que las pirámides triangulares de iguales alturas están en la proporción de sus bases. La demostración de Euclides en sus Elementos no es elemental porque emplea el método del agotamiento, que implica el concepto de continuidad. Era a este concepto al que los sofistas oponían objeciones tan pertinentemente que consiguieron desviar a las matemáticas por un cauce estrecho que a un matemático moderno le parece forzado y antinatural. El estudio de este punto será nuestra principal preocupación al seguir el pensamiento matemático a través de la antigua Grecia.

Por lo tanto, es concebible que fuera posible una demostración rigurosamente finita del teorema fundamental de Euclides para las pirámides triangulares. La falta de una prueba semejante podría deberse solamente a incapacidad matemática y no a la naturaleza de las matemáticas. Si fuera posible esa demostración, el egipcio podría muy bien haber demostrado su regla, o por lo menos haber percibido, aunque oscuramente, algunas razones matemáticas para ella.

Reconociendo la importancia matemática fundamental de la posibilidad de una prueba rigurosamente finita para el teorema de Euclides, Gauss (alemán, 1777-1855 d. C.), considerado por lo general, junto con Arquímedes (griego, ¿287?-212 a. C.) e Isaac Newton (inglés, 1642-1727 d. C.) como uno de los tres matemáticos más grandes en la historia, dijo en 1844 que debía buscarse una demostración que no dependiera de la continuidad. Por consiguiente, no era en modo alguno obvio para Gauss que no pudiera encontrarse esa demostración. En 1900 demostró Dehn que no es posible esa demostración.

Por consiguiente, parece poco probable que el egipcio tuviera nada que se pareciera a una prueba o demostración para esta regla. Simplemente fue una conjetura afortunada; era tan hábil en conjeturar que no necesitaba las matemáticas. Varios de los matemáticos más ilustres han insistido en la importancia de la intuición en las matemáticas, considerándola como la chispa sin la cual no existe ningún descubrimiento. Algunos han denigrado las demostraciones hasta casi concederles un valor nulo, afirmando que cualquier peón competente de las matemáticas puede imaginar una demostración, una vez que ha adivinado el resultado. Medido por este patrón demótico, el egipcio cuyo nombre se desconoce fue indudablemente un gran matemático.

LA APORTACIÓN DE BABILONIA Y EGIPTO

En este contexto, se ha dicho que ningún tema pierde tanto cuando se le divorcia de su historia como las matemáticas. Esto puede ser cierto, pero existe una especie de pérdida recíproca que es igualmente cierta. Teniendo esto presente, recordemos que lo que nos interesa primordialmente es el desarrollo del pensamiento matemático, más bien que las exhibiciones en un museo de antigüedades. Ha llegado ahora el momento de aplicar este interés primordial a nuestra primera colección de muestras. Respaldados por las memorables proezas de Babilonia y Egipto en el campo de las matemáticas, echemos una mirada hacia atrás, olvidemos todas las luchas humanas que hicieron que esas cosas muertas hace tanto tiempo vivieran, y apreciémoslas solamente desde el punto de vista de las matemáticas. Un solo detalle bastará como tipo de todo lo demás. La medición babilónica del círculo hace resaltar con un vivo relieve la distinción entre lo que es matemáticas y lo que se asemeja simplemente a las matemáticas.

En las fórmulas familiares 2πr, πr² para la circunferencia y el área de un círculo de radio r, π denota un número constante, que, con siete decimales, es 3.1415926. La última, por supuesto, es de una importancia práctica enorme. Pero la larga crónica de π significa mucho más para la historia de las matemáticas que una historia más bien árida de las aproximaciones sucesivas desde el rudo 3 de los babilonios de hacia el año 2000 a. C., hasta llegar a los 707 decimales, todos ellos, salvo unos cuantos, completamente inútiles de Shanks, en el año 1853 d. C.

Cualquier ignorante en geometría comprende lo que quiere significarse con una exposición elíptica como “los antiguos babilonios tomaron π igual a 3”. Pero aceptada literalmente, esta afirmación niega implícitamente la existencia de las matemáticas y hace que su historia carezca de sentido. Hasta donde se sabe, nadie antes de los matemáticos griegos “tomó π igual a” cualquier cosa. Hasta que no se demostró que la razón de la circunferencia de cualquier círculo a su radio es independiente de este último, o que las áreas de dos círculos cualesquiera son entre sí como los cuadrados de sus diámetros (Euclides, XII, 2), no había ningún “π” que tomar.

La inducción, partiendo de círculos medidos físicamente, puede haber sugerido a algunos empíricos que la circunferencia de cualquier círculo es mayor que 31/7 diámetros y menor que 31/7, que son los límites cuya existencia demostró Arquímedes. Pero sólo un espíritu muy inmaduro científicamente confiaría en esos límites tratándose de círculos tan pequeños o tan grandes que no pudieran medirse por los medios usados para los demás. Muy cierto es que ningún espíritu con el menor instinto matemático confiaría en ellos. La inducción basada en la experiencia práctica no es suficiente en este caso; son necesarias las matemáticas.

Si, en este punto particular de π, se alegara que los antiguos anteriores a Grecia no tenían ninguna necesidad de la precisión matemática —no meramente numérica— y que bastaba la inducción basada en la experiencia, se pueden dar varias respuestas, todas ellas pertinentes y aplicables a toda la historia de las matemáticas. En primer lugar, en el lado rigurosamente práctico, cualquier pueblo civilizado que usara un calendario necesitaría saber más temprano o más tarde, o por lo menos creer, que existe una constante, llamémosla c, tal que la circunferencia de un círculo es c veces su radio. De lo contrario, a medida que su astronomía se hiciera más exacta, vivirían en constante temor de que su calendario pudiera fluctuar desastrosamente, y con él, su comercio y su agricultura.

En segundo lugar, la precisión matemática y la precisión numérica son cosas muy diferentes, a pesar de que algunos espíritus prácticos puedan pensar lo contrario. En las épocas antiguas se necesitaba un grado razonable de precisión numérica. Si la civilización hubiera cristalizado en el segundo milenio anterior a nuestra era, no hubiera sido necesaria una precisión mayor en los cálculos numéricos que la que bastó en Babilonia. Pero, para citar solamente tres casos de la necesidad de una precisión numérica mayor a medida que la civilización avanzó, el calendario, la geografía y la navegación exigían una astronomía cada vez más precisa y ésta sólo se obtuvo cuando la aritmética y la geometría habían progresado mucho más allá de la máxima exactitud posible al empirismo matemático. La validez de una fórmula es su prueba, sin la cual es imposible la precisión, incluso en el sentido más limitado de utilidad práctica, una vez que se han pasado las primeras fases de la civilización.

Una tercera distinción que separa claramente la medida arquimédica del círculo de la babilónica es exactamente la distinción entre el pensamiento científico y precientífico. Un espíritu que se contenta con una colección de hechos no es un espíritu científico. Las fórmulas de un manual de matemáticas no son más matemáticas que las palabras de un diccionario son una obra maestra literaria. Hasta que no se consigue algún principio unificador por medio del cual pueda estructurarse una masa amorfa de detalles, no han empezado la ciencia ni las matemáticas.

La primera y la más extensa de todas las estructuras que unifican el número y la forma es el razonamiento deductivo. No existe ninguna prueba concluyente de que ese razonamiento se empleara en las matemáticas antes de los griegos. Éstos avanzaron también mucho más allá de la mitología en sus tentativas para unificar sus observaciones de la naturaleza. Entonces, es posible que sus especulaciones cósmicas hayan sido demasiado ingenuas para que tengan mucho valor científico; no obstante, fueron pasos deliberados para apartarse de la mitología y la superstición y acercarse a la ciencia. Con el reconocimiento consciente de que la unidad y la generalización son valores deseables, tanto práctica como estéticamente, se hicieron posibles las matemáticas y la ciencia.

Todo esto puede parecer algo dogmático, pero no nos proponemos que lo sea; es simplemente un punto de vista, de dos posibles, y se recomienda al lector que adopte el punto de vista opuesto, lo siga consecuentemente, y observe a qué conclusiones llega en su apreciación de las matemáticas y de su historia. Lo propio es aplicable a todo nuestro curso futuro, y en particular al párrafo siguiente, con el cual es indudable que estarán en desacuerdo muchos. La apreciación[7] de las matemáticas griegas a la que nos ha conducido nuestro argumento.

Mientras no se descubran pruebas, si llegan a descubrirse, que demuestren que los griegos se anticiparon en su concepción de las matemáticas como una ciencia deducida, la mayor contribución de los babilonios y los egipcios seguirá siendo su ayuda inconsciente a que fueran posibles las edades de oro de Eudoxio y Arquímedes; fue suficiente, y se debe conservar su memoria mientras existan las matemáticas.

III
UNA BASE FIRME

[Grecia, 600 a. C.-300 d. C.]

AL LLEGAR a este punto nos apartamos de la historiografía tradicional de las matemáticas. Los que busquen relatos detallados de las vidas y los trabajos de los matemáticos mencionados las encontrarán en los lugares citados.[1] Como se indicó en el capítulo dedicado a la “Perspectiva general”, lo que nos preocupa principalmente son las creaciones del pasado que han sobrevivido, si no inalteradas, por lo menos en una forma identificable, en el cuerpo de las matemáticas todavía vivas. En consecuencia, los puntos que elegiremos a continuación, tomándolos del rico tesoro de Grecia, no son necesariamente los que ofrecerían un interés mayor en otras narraciones. Un simple obituario del cálculo griego, bien muerto, puede servir primero como un ejemplo típico y concreto de todas las inclusiones u omisiones.

LAS MATEMÁTICAS Y EL CÁLCULO

Los antiguos griegos separaban su trabajo sobre los números racionales en logística y aritmética. La logística abarcaba las técnicas del cálculo numérico tal como se practicaba en el comercio y las ciencias, en particular en la astronomía. La aritmética, nuestra aritmética superior o teoría de los números se ocupaba de las propiedades de los números y también de las propiedades de los números como tales. Para ocuparnos aquí de una vez para siempre de la aritmética anterior a Diofanto (fecha incierta, 250 d. C.), los griegos hicieron dos aportaciones principales. Euclides demostró los teoremas fundamentales sobre la divisibilidad aritmética, de los cuales dedujo Gauss en 1801 el teorema fundamental de la aritmética: un número entero positivo es un producto de primos de una manera solamente, aparte de las permutaciones de los factores. Euclides demostró también que no existe ningún primo mayor que todos los demás. Si Euclides no fue el primero que descubrió esos teoremas, por lo menos transmitió las demostraciones de ellos en sus Elementos.[2]

Por sus repercusiones en la aritmética superior de Fermat y otros en los siglos XVIII al XX, los números figurados de los pitagóricos (siglos VI al V a. C.) pueden recordarse como una de las aportaciones más sugestivas de la aritmética a la moderna aritmética superior. Esos números alcanzaron también un cierto prestigio en la ciencia de Platón, como por ejemplo en su Timeo. En particular, a los números triangulares, cuando se insinúan en la química empedocliana de los cuatro “elementos”, tierra, aire, fuego y agua, se debe en parte la notable conclusión metafísica de que “toda la materia es esencialmente triángulo”. Se supone que los números figurados tuvieron su origen en la representación de los polígonos regulares poniendo una piedrecita en cada vértice y bordeando después los polígonos de modo que se conservara la regularidad y el número de los lados. Este origen posible se ha indicado como una presentación primitiva de las relaciones entre el número y el espacio. Si esta relación superficial es algo más que un juego de palabras, en los números cuadrados marcados con piedrecitas en la forma que se ha descrito puede estar el origen de la persistencia de los “cuadrados” en nuestra álgebra, en la que la formación de imágenes geométricas no es sólo anticuada sino que también está fuera de caso.

Otro punto numérico que podría acreditarse a la aritmética tal como la practicaban los pitagóricos es la ley de los intervalos musicales, tradicionalmente atribuida al mismo Pitágoras. La ley relaciona los tonos de las notas emitidas por cuerdas de la misma clase, sometidas a iguales tensiones, con las longitudes de las cuerdas. Este descubrimiento, el primero en la física matemática, reveló una interdependencia inesperada del número, el espacio y la armonía. No es, pues, sorprendente que precipitara un diluvio de misticismo del número. Siendo la credulidad humana como es, podría haberse previsto la cosecha que resultó de filosofías esotéricas y de creencias extrañas que surgieron en las épocas antiguas y que continúan floreciendo en la nuestra. A la ley pitagórica se debe también la persistencia de la “música” en el plan de estudios típico medieval. De hecho, se sacó todo el partido posible al descubrimiento fundamental de que los sonidos musicales y los números están relacionados; todo, menos uno sensato desde el punto de vista moderno. El hecho, descubierto experimentalmente, proporcionó la ocasión para abandonar los experimentos en favor de la razón humana sin ninguna ayuda extraña. En consecuencia, la experimentación que podría haber iniciado una era científica, en el sentido moderno, contribuyó muy eficazmente a aplazar esa era durante aproximadamente 2 000 años.

En la logística —el cálculo— los griegos no hicieron nada que no merezca el olvido del matemático. Su mejor tentativa para simbolizar los números fue una niñería poco mejor que la yuxtaposición de las letras iniciales de los nombres de los números. Con todo, el desarrollo de la numeración griega, tal como fue, podría legítimamente merecer un gasto considerable de erudición, tiempo y espacio en la historia de las matemáticas desde el punto de vista del anticuario. El interés que ofrece aquí es insignificante, porque por fortuna para las matemáticas la numeración griega desapareció rápidamente. Uno de sus muchos defectos era su incapacidad para representar concisamente números incluso moderadamente grandes. Arquímedes superó este inconveniente en el siglo III a. C. en su sistema de contar por potencias octavas de 10. Pero, como tampoco concibió el sistema de numeración basado en el lugar ocupado por el signo, su idea ingeniosa pereció también.

Asimismo, se supone que los mismos griegos, salvo algunos expertos, usaron poco sus números alfabéticos para el cálculo, si es que llegaron a usarlos, sino que recurrían al ábaco. Los intentos esporádicos para rehabilitar la reputación un tanto maltrecha de la logística griega como un sistema utilizable parecen basarse en una mala comprensión de lo que los griegos hicieron realmente, y la opinión de la mayoría sigue siendo la del historiador conservador y simpatizante de las matemáticas griegas que dijo que la numeración griega era detestable. No cabe duda de que salió algo bueno de Nazareth, pero parece poco probable que pudiera haber salido una aritmética viable de una manera inherentemente detestable de simbolizar los números, y los que han profundizado más en esta materia afirman que no salió ninguna.

El problema de la numeración fue resuelto finalmente por los hindúes[3] en fecha anterior al año 800 d. C. que todavía no se ha podido fijar. La introducción del cero como un símbolo que denota la ausencia de lugares o de ciertas potencias de 10 en un número representado por los números indostánicos se ha considerado como una de las invenciones prácticas más grandiosas de todas las épocas. Sin duda los comerciantes y los traficantes de la Europa medieval lo creyeron así cuando aprendieron el sistema indostánico de los musulmanes. Los números no sólo estimularon el comercio, sino que después abreviaron enormemente los cálculos astronómicos y, por consiguiente, a ellos se debe en parte el cálculo en un tiempo razonable de las tablas exigidas durante el Renacimiento y después de él por una navegación cada vez más extensa, que a su vez aceleró el comercio, acelerando este último a su vez los refinamientos prácticos en el cálculo. En resumen, sería difícil exagerar la importancia práctica de un sistema de numeración sencillo y universalmente aplicable. Pero es fácil exagerar su importancia en el desarrollo de las matemáticas, tanto aplicadas como puras.

El cálculo empieza solamente después de que se han hecho las matemáticas. Ni los números indostánicos ni ningunos otros tienen alguna importancia en vastos sectores de las matemáticas modernas, pues en ellas no se realiza ningún cálculo numérico.

Se dice que Gauss se lamentó de que su antiguo predecesor Arquímedes no consiguiera, por muy poco, anticiparse al sistema indostánico de numeración. Respaldado por sus propios cálculos astronómicos prodigiosos, Gauss especulaba sobre lo mucho que hubiera avanzado, más de lo que lo había hecho la ciencia del siglo XIX, si Arquímedes hubiera conseguido inventar esa numeración. Si esto es exacto, señala admirablemente la separación de los caminos, pues Gauss tenía en la mente la astronomía matemática; y era Gauss, el calculador experto, y no Gauss el matemático creador, el que se lamentaba del fracaso de Arquímedes en dar el último paso sencillo, pero esencial.

EX ORIENTE LUX

En otros tiempos se clasificó entre los milagros la súbita madurez de las matemáticas griegas. Antes de las investigaciones del siglo XX en los registros de Babilonia y Egipto, parecía que las matemáticas se habían desarrollado en Grecia pasando de la concepción a la virilidad vigorosa en un simple relámpago de unos tres siglos de duración. Hoy sabemos que el respeto que los escritores griegos expresaban por la sabiduría del Este, mientras exaltaban la suya propia, estaba justificado. La súbita madurez no es ya increíble. La ciencia moderna, empezando con Galileo y Newton, se ha desarrollado con la misma rapidez desde orígenes relativamente no más prometedores que los que sirvieron de punto de partida para el desarrollo de las matemáticas griegas.

A este respecto, queda por descubrir en detalle la ruta por la que la sabiduría del Este llegó a Grecia, pero las batallas de Maratón (490 a. C.), de las Termópilas y de Salamina (480 a. C.), en las que los griegos derrotaron a los persas por tierra y por mar, pueden haber sido un punto crítico en la historia matemática como lo fueron en la de toda la civilización occidental. Esas batallas demuestran, por lo menos, que la joven Grecia estaba en estrecho contacto con la antigua Persia, la sucesora imperial del Egipto, Babilonia, Fenicia, Siria y toda el Asia Menor.

Las batallas de Maratón y Salamina son universalmente consideradas por los humanistas como beneficios indudables para el desarrollo de la cultura civilizada. La carrera de las matemáticas insinúa que pueden haber sido el comienzo de un largo rodeo alrededor de los orígenes de muchas cosas que en la actualidad son más vitales que algunas de las obras maestras griegas.

Mientras no se trace la ruta del Este al Oeste, no sabremos concretamente lo que los matemáticos griegos debieron a sus predecesores. Sin denigrar en modo alguno la contribución griega, podemos creer sin temor a equivocarnos que el milagro máximo de la generación espontánea no se dio en Grecia. A este respecto, pueden mencionarse dos teorías opuestas de los antropólogos. Según la primera, culturas muy similares se desarrollan espontáneamente en ambientes similares por muy separadas que estén. Según la segunda, toda civilización se propaga partiendo de focos de cultura, que a su vez fueron civilizados desde focos más remotos, y así sucesivamente, hasta que el origen de toda cultura se encuentre en un foco inicial, que suele ser Egipto.

Una tercera teoría combina las ventajas patentes de ambas. La teoría espontánea encuentra eco en la observación frecuente de que los descubrimientos matemáticos y científicos se hacen a menudo con toda independencia y casi simultáneamente por dos o tres hombres. En la teoría de la difusión esto puede explicarse observando —lo que es un hecho— que en esos casos los descubrimientos suelen terminar en un cuerpo de conocimientos accesibles a todos. Algo parecido a esto se cree en la actualidad que ha sido la causa de la súbita eflorescencia de las matemáticas griegas.

La cultura del Este estaba a la disposición de cualquier griego curioso que pudiera permitirse un viaje a Egipto y Babilonia. Confiando en la tradición griega, podemos afirmar que muchos griegos primitivos, empujados por su curiosidad notoria e infantil, viajaron extensamente por el Este y se beneficiaron enormemente con sus viajes. Las matemáticas griegas son una prueba suficiente del hambre insaciable del espíritu griego de conocimientos exactos y la medida más adecuada de su capacidad intelectual.

DOS HAZAÑAS SUPREMAS

Todas las riquezas inmateriales del generoso Este estaban a la disposición de cualquiera; sólo tenía que pedirlas y tomarlas. Los griegos primitivos parecen haber deseado todo y haber tomado casi todo, lo bueno y lo malo. En su impaciencia por adquirir conocimientos, dejaron de aprovechar dos oportunidades obvias, ambas de importancia capital para el futuro de la ciencia de las matemáticas y de la filosofía entonces posibles.

El siglo VI a. C. fue la época, y Grecia el lugar, para que los seres humanos rechazaran de una vez para siempre todo el misticismo pernicioso del número del Este. En su lugar, Pitágoras y sus discípulos lo aceptaron todo él, anhelantes, como la revelación celestial de una armonía matemática superior. Añadiendo enormes masas de disparates numerológicos propios a una masa ya enorme de desatinos, trasmitieron esta superstición antigua a la edad de oro del pensamiento griego, que la pasó en el primer siglo d. C. al aritmologista decadente Nicomaco. Éste, enriqueciendo su ya opulento legado con una gran cantidad de desatinos originales, lo dejó para que fuera cribado por el romano Boecio, la lucecita matemática de la Edad Media, oscureciendo así el espíritu de la Europa cristiana con el disparate venerado y alentando la geometría de los talmúdicos para que floreciera como una mala hierba.[4]

Es costumbre en las historias de la ciencia y las matemáticas pasar por alto esos vagabundeos del espíritu humano. Sin embargo, a unos observadores imparciales les parecería que cualquier narración histórica que presente sólo lo que hoy se consideran éxitos y pase por alto los fracasos dará una imagen deformada de los hechos. Frecuentemente la sensatez de una época se ha convertido en la insensatez de una época posterior, y una cosa que carece ya de sentido puede haber sido en otro tiempo de una importancia científica oficial fundamental. Un ejemplo al caso es la teoría flogística del calor; otro, la infinidad tripartita de la teología, descendiente por línea directa de la aritmética mística de los pitagóricos; y otro la teoría platónica de las verdades matemáticas, abandonada hace ya mucho tiempo por los matemáticos no místicos. Sin dedicar alguna atención a esos errores ideológicos, el desarrollo de las matemáticas, como el de la ciencia, aparece como un desfile ininterrumpido de triunfos sin ningún retroceso para aliviar la gloriosa monotonía. Por agradable que pueda resultar una presentación de este tipo, no es en ningún modo adecuada.

Si los pitagóricos hubieran rechazado el misticismo del número del Este cuando tenían la oportunidad, el número notorio[5] de Platón, las raras excursiones de Aristóteles a la magia del número, las cualidades de la numerología medieval y moderna, y otras divagaciones igualmente fútiles de los seudomatemáticos es probable que no hubiera sobrevivido hasta hoy para ser la plaga de los hombres de ciencia especulativos y de los filósofos aturdidos. Ni hubiera tampoco presenciado el astrónomo matemático[6] de comienzos del siglo XX el estupendo espectáculo de Dios disfrazado de matemático. Entre las ganancias sacadas de la numerología antigua se encuentra la inspiración de una buena parte de la teoría de las Ideas Eternas de Platón.

Si, por otro lado, los griegos primitivos hubieran aceptado y comprendido el álgebra babilónica, es posible que el tiempo del desarrollo matemático se hubiera acortado en más de 1 000 años. Pero para un pueblo que acaba de empezar a desarrollarse matemáticamente, las atracciones de una filosofía mística universal eran, naturalmente, más seductoras que las de un álgebra austera.

Un desastre mayor detuvo de modo incalculable el desarrollo de las matemáticas y la ciencia en el apogeo de la edad de oro de Grecia. En lugar de seguir a Arquímedes y desarrollar unas matemáticas fluidas y dinámicas, aplicables al flujo incesante de la naturaleza, los matemáticos griegos de segunda categoría del siglo III a. C., y posteriores, siguieron a los platónicos y moldearon su pensamiento en formas geométricas tan perfectas y tan rígidamente estáticas como el Partenón. En la historia de las matemáticas griegas, todos, salvo el incomparable Arquímedes y algunos de los sofistas más heterodoxos, parecen haber odiado o temido al infinito matemático. Se frustró el análisis cuando podía haber prosperado.

Tales son los cargos en la cuenta de las matemáticas griegas respecto del tiempo. Son bastante considerables; pero al lado de los créditos que tienen en su haber, son de poca monta. Ha caído en suerte a un pueblo, a los antiguos griegos, dotar al pensamiento humano de dos perspectivas del universo, ninguna de las cuales se ha esfumado apreciablemente en más de 2 000 años. De toda la masa de sus magníficas proezas, esas dos, ambas de una excelencia superlativa, pueden exponerse aquí por sí mismas, para no disminuir su magnitud con una multitud de obras maestras de menor importancia, todas ellas importantes, pero no las más importantes.

La primera fue el reconocimiento explícito de que la demostración por el razonamiento deductivo ofrece una base para las estructuras del número y la forma.

La segunda fue la conjetura atrevida de que la naturaleza puede ser comprendida por los seres humanos a través de las matemáticas, y que las matemáticas son el lenguaje más adecuado para idealizar la complejidad de la naturaleza y reducirla a una sencillez comprensible.

Ambas proezas son atribuidas por la tradición griega persistente a Pitágoras en el siglo VI a. C. No ha sobrevivido ningún testimonio escrito de esos adelantos que hacen época; y existe una tradición igualmente persistente de que fue Thales, en el siglo VI a. C., el que demostró primero su teorema en geometría. Pero no parece existir ninguna pretensión de que Thales, el más antiguo de los “Siete Sabios de Grecia”, propusiera la táctica infalible de las definiciones, los postulados, la prueba deductiva y el teorema como un método universal en las matemáticas. Por otro lado, al atribuir cualquier adelanto específico al mismo Pitágoras, debe tenerse presente que la hermandad pitagórica fue una de las primeras sociedades científicas cooperativas, no sacerdotales, de todo el mundo, si no la primera, y que sus miembros atribuían el trabajo común de todos, por consentimiento mutuo, a su maestro. Es suficiente recordar que esos adelantos se hicieron en época tan temprana como el año 400 a. C., lo más tarde, y que ambos fueron griegos.

CRONOLOGÍA DE LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS

Antes de examinar con algún detalle algunos puntos de un interés distinto del anticuario, expondremos una breve perspectiva de las principales escuelas de las matemáticas griegas con sus fechas, algunos nombres importantes, y una breve mención de los principales adelantos hechos por cada uno. Algunos de ellos no volverán a examinarse en este libro. Todas las fechas, salvo las que siguen a los nombres de los individuos, son sólo aproximadas; las que no lleven después la abreviatura d. C. son a. C.

El nacimiento, la madurez y la senectud de las matemáticas griegas abarcan unos 10 siglos, aproximadamente desde el año 600 a. C. hasta el año 400 d. C. El periodo más antiguo (640-550) fue el de Tales (¿624?-¿550?), de la escuela jónica, y Pitágoras (¿569?-¿500?). Sus proezas más notables son la fundación de las matemáticas como un sistema deductivo y el programa de matematizar los fenómenos naturales.

En el siglo V, los sofistas griegos de Elea en Italia apenas si constituyeron una escuela matemática, sin embargo, fueron de una importancia fundamental para el desarrollo de todo el pensamiento matemático. Por medio de sus ingeniosas paradojas sobre la divisibilidad infinita, Zenón (¿495?-¿435?) arroja algunas dudas sobre una parte del razonamiento de sus predecesores y a él se debe en parte el curso característicamente griego que adoptaron las matemáticas con la escuela siguiente y posteriores. La sublevación de los sofistas contra el razonamiento especioso señala, pues, uno de los puntos cardinales en la historia de las matemáticas.

La tercera y la cuarta escuelas, Atenas y Cicico, 420-300, son una misma salvo geográficamente. De muy capital importancia para todo el futuro de las matemáticas fue la refutación de algunas de las objeciones de los sofistas por Eudoxio (408-355), discípulo y en un tiempo amigo de Platón, en su teoría de la proporción. Esta obra griega del siglo IV a. C., esencialmente una teoría del sistema de los números reales, no fue sustancialmente modificada hasta la segunda mitad del siglo XIX d. C., cuando dificultades críticas en el análisis exigieron volver a examinar minuciosamente el concepto del número real.

En este periodo, Platón (429-348) debía asumir una importancia matemática mucho mayor de la que justifican sus pequeñas contribuciones propias. La opinión general de los profesionales es que el ideal demasiado rígido de las matemáticas[7] como un arte altamente filosófico habría de agarrotar y estorbar a matemáticos más hábiles que él mismo. Sin embargo, descontando la excesiva pureza del ideal platónico, Menashmos (¿375?-¿325?), discípulo de Eudoxio y al que se supone tutor de Alejandro Magno, inauguró la geometría de las secciones cónicas. Existe la tradición de que Platón alentó a Menashmos. Si esto es cierto, Platón hizo una contribución básica a las matemáticas.

En este periodo se añadió al razonamiento matemático una técnica fundamental por Hipócrates[8] (de Chios, 470-¿?; el que no debe confundirse con el famoso médico del mismo nombre, de Cos). Explotándola en su propia geometría, Hipócrates demostró la fuerza del método indirecto (reductio ad absurdum, reducción a un absurdo, o deducción de una contradicción partiendo de una hipótesis supuesta que se quiere refutar). La validez universal de este método permaneció inalterable hasta el siglo XX, cuando se hicieron objeciones a usarlo sin discernir al razonar sobre clases infinitas.

La quinta escuela fue la primera alejandrina, 300-30, en la ciudad fundada por Alejandro Magno en 332. Éste fue el punto culminante de las matemáticas griegas. Si se exceptúa Diofanto (posiblemente no griego, fecha fijada por conjeturas entre los siglos II y IV), en el resto no hay nada que sobresalga. En esta época magnífica, Euclides (¿365?-¿275?) tejió la geometría plana elemental y la geometría sólida sintética para formar el rígido sistema deductivo que había de seguir siendo la pauta escolar durante más de 2 200 años. También sistematizó la geometría griega tal como existía en su tiempo, y escribió sobre óptica geométrica.

En esta época vivió Arquímedes (287-212), el intelecto científico y matemático más excelso del mundo antiguo y también, en virtud de la libertad de sus métodos, el primer matemático moderno. Hasta que Inglaterra produjo a Newton en el siglo XVII, y Alemania a Gauss en el XIX, no tuvieron las ciencias exactas a nadie que pudiera compararse a este antiguo griego. Con una indiferencia magnífica hacia las propiedades matemáticas de su época, Arquímedes usó todo lo que le vino a la mente o a la mano para hacer progresar las matemáticas. A diferencia de muchos de sus discípulos griegos, no desdeñó la experimentación; fundó las ciencias matemáticas de la estática y la hidrostática; se anticipó al cálculo integral y también al diferencial en el problema de trazar una tangente a su espiral equiangular.

En esta época vivió también el maestro supremo del método sintético en geometría. Apolonio (¿260?-¿200?) dejó muy poco que hacer para sus sucesores en ese método, en la geometría métrica de las cónicas.

La astronomía se convirtió en una ciencia matemática durante este periodo, en la obra de Hiparco (de Rodas, segunda mitad del siglo II a. C.). Desde Hiparco en adelante, pasando por Tolomeo (siglo II d. C.), Copérnico (siglo XV), Tycho Brahe (siglo XVI), y Kepler (siglo XVI), no se desvió la astronomía del programa hiparquiano de una geometría para describir los movimientos de los planetas. Con Newton, esta geometría evolucionó en el siglo XVII convirtiéndose en la dinámica. Hiparco fue también el primero que empleó sistemáticamente una especie de trigonometría y se dice que produjo el equivalente de una tabla rudimentaria de senos.

La geodesia progresó en este periodo con la medida, tan exacta como lo permitían los datos y los instrumentos de que se disponía, de un grado de la superficie terrestre por Eratóstenes. Este nombre se recuerda también por su reforma del calendario y por su método para cribar los números primos de la serie de todos los números enteros.

Finalmente, este rico periodo produjo uno de los ingenieros científicos más ingeniosos de la historia, Herón (de Alejandría, siglo II, tal vez no griego). La fórmula

[s(s − a)(s − b)(s − c)]1/2

para el área de un triángulo de lados a, b, c y 2s ≡ a + b + c, a menudo atribuida a Herón, es, por supuesto, importante en la trigonometría, pero su importancia histórica peculiar está en otra parte. Señala una desviación exenta de preocupaciones de las nimiedades demasiado rígidas de las matemáticas griegas ortodoxas, desviación que se detuvo demasiado pronto. Ningún geómetra griego académico hubiera presumido “multiplicar cuatro líneas juntas” como en la fórmula, pues el producto no tiene ningún significado geométrico en el espacio euclidiano de tres dimensiones. El ingeniero Herón no se detuvo ante esos obstáculos, descubrió o trasmitió el resultado correcto y, como el egipcio que es posible que fuera, dejó a generaciones futuras de matemáticos que demostraran que no se había equivocado en su propia demostración. Sin embargo, si, como se pretende en la actualidad, la fórmula se debe a Arquímedes, desaparece todo el misterio.

La sexta y última escuela fue la segunda alejandrina, 30 a. C.-640 d. C. La primera fecha señala la absorción de Egipto por Roma, la segunda[9] la destrucción por los musulmanes de lo poco que dejó la virilidad romana, la negligencia griega y la primitiva intolerancia cristiana —algunos dicen que nada— de la gran biblioteca de Alejandría. Pero los matemáticos griegos habían perdido la mayor parte de sus facultades creadoras mucho antes de que desapareciera la biblioteca y sólo tres hombres en los seis siglos de la segunda escuela alejandrina hubieran sido considerados como matemáticos por los gigantes de la primera.

La astronomía antigua culminó en el siglo II d. C. en las excéntricas y los epiciclos de Ptolomeo. Durante 14 siglos, aproximadamente, la descripción geocéntrica del sistema solar de Ptolomeo fue aceptada como definitiva. La geometría y la aritmética hacía ya mucho tiempo que se habían convertido en provincias independientes de las matemáticas cuando Ptolomeo, impulsado por las exigencias del cálculo astronómico, casi separó la trigonometría como una ciencia matemática distinta en sus teoremas geométricos equivalentes a las fórmulas de la adición para el seno y el coseno, y en su cálculo para una tabla de cuerdas. El que la trigonometría no alcanzara su independencia se debió a la falta de conocimientos algebraicos de Ptolomeo y a los inconvenientes de la logística.

Casi al final del periodo creador, un geómetra tardío, Papo (segunda mitad del siglo III), trasmitió o descubrió por sí mismo tres teoremas proféticos: demostró la propiedad foco-directriz para la elipse, la parábola y la hipérbola, previendo así la ecuación general de segundo grado para todas las cónicas en la geometría analítica; demostró también en efecto que la razón transversal (o razón anarmónica) de cuatro puntos colineales es una invariante proyectiva, aislando así un teorema cardinal de la geometría de proyecciones de los siglos XVII y XIX y, finalmente, utilizó uno de los numerosos disfraces del cálculo integral para obtener el teorema, atribuido a menudo a T. Gundin (suizo, 1577-1643 d. C.), de que el volumen engendrado por una figura plana F girando alrededor de un eje fijo es AL, siendo A ≡ el área de F, L ≡ la longitud de la trayectoria descrita por el centroide de F. Evidentemente, es imposible dar una demostración aceptable sin un uso completo del cálculo.

Por último, en el álgebra rudimentaria de Diofanto, y también en su aritmética superior, las matemáticas casi entraron en un renacimiento. Pero iba siendo ya tarde y el espíritu griego estaba demasiado cansado para volver a su punto de partida y reanudar la marcha comenzada alrededor de 24 siglos antes en Babilonia. Si existe algo parecido al Zeitgeist [espíritu del tiempo], tiene que haberse permitido una sonrisa sardónica cuando preparaba la broma más pesada en la historia de las matemáticas. No fue Diofanto, sino su predecesor histórico del siglo I d. C., el numerologista Nicómaco, el que había de transmitir la aritmética a la Europa cristiana.

EL NÚMERO DESDE PITÁGORAS A DIOFANTO

En la perspectiva que antecede sobresalen unos cuantos puntos de importancia por encima del resto para lo que había de ser el futuro de las matemáticas. Vamos a exponerlos ahora con más detalles.

El concepto de la hermandad pitagórica de las matemáticas era liberal y humano. Toda su filosofía, de la cual las matemáticas eran solamente una parte subordinada, aunque importante, se dirigía al único fin de una vida sana y civilizada. La aritmética, la geometría, la astronomía y la música eran las cuatro divisiones de sus matemáticas. Esta tétrada había de sobrevivir durante siglos, pasando a través de la Edad Media en el cuadrivio que formaba las cuatro séptimas partes de la educación liberal, siendo el resto el trivio de la gramática, la retórica y la lógica. Sin embargo, por entonces se había asfixiado ya la liberalidad del espíritu pitagórico y la vida no era ya a menudo ni sana ni civilizada en ninguno de los sentidos admitidos por Pitágoras.

Del mismo Pitágoras sólo quedan leyendas. Hacia mediados de su vida emigró desde su Samos nativa a Crotona, en el sur de Italia, donde se realizó la mejor obra de su hermandad. Por lo demás, la fábula hace de él un mistagogo algo pomposo que había viajado extensamente por el Este y que usaba sus conocimientos místicos para impresionar a todo el mundo, desde herreros hasta mujeres jóvenes. En lo que respecta a la liberalidad de su espíritu iba siglos por delante de su época. Como una indicación aislada entre muchas de que los pitagóricos querían educar a sus contemporáneos, las mujeres eran admitidas a las conferencias del maestro; y el mismo Pitágoras parece no haber utilizado la masculinidad muy peculiar de la Atenas de Sócrates y Platón. Se dice que Pitágoras y sus discípulos inmediatos perecieron en las llamas encendidas por aquellos a los que se habían esforzado por liberar de su ignorancia, sus prejuicios y su intolerancia. Sea como fuere, los pitagóricos fueron expulsados para que sembraran su sabiduría en otras partes.

Los males resultantes de la numerología pitagórica se han hecho notar ya suficientemente, pero, en último término, resultó de ella algún bien. Partiendo de hipótesis insensatas, los pitagóricos decían que tanto el Sol como la Luna brillan por reflejar la luz de un fuego central. Aproximadamente 20 siglos después, Copérnico (o su editor oficioso) en su epístola dedicatoria al papa reinante decía que esta educación absurda le había proporcionado un indicio para su propia teoría heliocéntrica del sistema solar.

Por otro lado, las relaciones fácilmente descubiertas entre los números enteros positivos de ciertas categorías, como los impares y los pares, o los números poligonales, podían fácilmente engañar a un espíritu imaginativo y llevarle a atribuir poderes humanos y sobrehumanos al número. Cuando Pitágoras descubrió las razones 2/1, 3/2, 4/3, para las longitudes de las cuerdas de los instrumentos musicales sometidas a una misma tensión para dar la octava, la quinta y la cuarta de una nota, el primer hecho registrado en la física matemática, es comprensible que se pensara que “los Números rigen el Universo”, y que la “esencia” de todas las cosas es el número. En el entusiasmo perdonable de esa generación demasiado impulsiva tuvo su origen la teoría moderna de la continuidad de los números reales.

Para seguir el hilo desde Pitágoras hasta el momento presente, tenemos que volver a Thales. También éste había aprendido mucho de los sabios del Este. La historia de que predijo un eclipse solar en 585 a. C. parece ser apócrifa.[10] Lo propio puede ser cierto en lo que respecta a la igualmente famosa y matemáticamente más importante leyenda[10] de que, mientras estaba en Egipto, Thales calculó la altura de la Gran Pirámide por medio de una aplicación obvia de los triángulos semejantes a la sombra de la pirámide y la de su bastón cuando lo mantenía perpendicular al suelo.[10]

Registre o no la leyenda un hecho real, los pitagóricos habían alcanzado hacia el siglo V a. C. una fase crítica en el desarrollo del concepto del mundo, pues procedieron a demostrar que si a, b, c y a′ b′ c′ son los lados correspondientes de triángulos semejantes, entonces a/b = a′/b′, b/c = b′/c′. (Las observaciones que hicimos en la “Perspectiva general” sobre la historia y la demostración son pertinentes a este respecto.)

Hacia el siglo IV a. C. se vio que la demostración pitagórica ocultaba el supuesto sutil de que los números que medían los lados a, b, c, a′, b′, c′ son racionales, esto es, que cada uno de ellos puede expresarse como la razón (el cociente) de dos números enteros. Pero esos lados se había supuesto que tenían longitudes finitas cualesquiera. Por consiguiente, se había supuesto que existe una correspondencia uno-uno entre las longitudes de los segmentos de líneas rectas y los números racionales. En particular, se había supuesto que la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado es un número racional es también un número racional. Si el lado es 1 unidad, la diagonal tiene una longitud de √2 unidades. Pero los pitagóricos demostraban fácilmente que √2 no puede expresarse bajo la forma m/n, en la que m y n son números enteros.

Por otro lado, sería muy interesante saber quién[11] demostró primero la irracionalidad de √2, pero probablemente nunca lo sabremos. Respondiendo a una pregunta de Sócrates, Teaeteto dice, “Teodoro estaba escribiendo para nosotros algo sobre raíces, como las raíces de tres o cinco pies, demostrando que en las medidas lineales (esto es, comparando los lados de los cuadrados) son inconmensurables por la unidad; eligió los números que son raíces, hasta 17, pero no fue más lejos; y puesto que hay innumerables raíces, se nos ocurrió la idea de intentar incluirlas todas ellas bajo un mismo nombre o una misma clase”. Pero esto no resuelve la cuestión de quién demostró primero la irracionalidad de √2; y cualquiera que lo desee puede creer todavía, sin temor de que le contradigan con pruebas incontrovertibles, que fue el mismo Pitágoras quien lo demostró. Lo único que debemos tener presente es que los pitagóricos sabían hacia fines del siglo V a. C. que √2 es irracional. Con un gran ingenio hallaron valores aproximados de √2, por medio de soluciones sucesivas de las ecuaciones 2x² − y² = ± 1.

Entonces, quedan dos caminos expeditos. La elección era entre que algunas longitudes no corresponden a ningún número, o que √2 y otros irracionales positivos fueran números. Eligiendo la segunda alternativa, los geómetras del siglo IV a. C. pusieron una de las piedras miliares en la historia de todo el pensamiento. “La gran continuidad” del análisis, el sistema del número real, estaba ya a la vista, y lo propio sucedía con las paradojas del infinito. A menos que los nuevos números, los irracionales positivos, pudieran incorporarse con los racionales positivos en un dominio unificado de “números” o “magnitudes” de modo que todos formaran un sistema completo con las operaciones de la adición, la sustracción, la multiplicación y la división, tal como se entendía entonces para los racionales, los recientemente imaginados irracionales serían ilusorios. Además, las operaciones en el sistema ampliado del número tienen que dar los mismos resultados para los números racionales que antes de la inclusión de los irracionales en el sistema de los números racionales. La demanda de consecuencia interna en el dominio agrandado fue una cosa impuesta automáticamente, pues se había convenido ya que las matemáticas no debían desafiar a la deducción rigurosa.

No se hizo ninguna ampliación adicional hasta el siglo XVII cuando se incorporaron por completo los números negativos (pero sin una comprensión matemática) al sistema de los números reales. El paso final se dio hacia el año 1800 cuando se agregaron los imaginarios al sistema completado de los números reales y se creó el dominio de los números complejos (a + b √−1, a, b real). En esas dos últimas ampliaciones, no había cambiado la metodología de generalización y de consecuencia interna que servía de base desde el siglo IV a. C. Los griegos parecen haberse guiado por un tacto matemático subconsciente. La formulación explícita y quizás la clara comprensión de la metodología de extender el sistema numérico vinieron solamente a fines del siglo XIX. En seguida volveremos sobre este punto.

Hasta ahora sólo se había imaginado la mitad del proyecto de unir los irracionales, tal como los griegos veían el problema. Éstos pensaban utilizando un conjunto de imágenes especiales y habían generalizado su concepto de la “magnitud” geométrica para incluir magnitudes racionales e irracionales, y no se les ocurrió inmediatamente que la mitad más difícil del proyecto quedaba sin hacer. Tenían que probar todavía que su sistema ampliado de magnitudes era completo; y parece que olvidaron esta necesidad al principio o que la consideraron obviamente satisfecha. Mirando críticamente lo que parecía obvio —una de las maneras casi infalibles de hacer una adición fundamental a las matemáticas— descubrieron que no todo lo era. Una inspección más minuciosa les permitió ver dificultades que no han sido completamente resueltas todavía. Como hemos hecho resaltar ya, la manera como Eudoxio superó esas dificultades señala un punto crítico importantísimo en la larga historia de las matemáticas.

Era imposible para los griegos, o para cualesquiera otros, comprender la geometría o el sistema de los números reales sin alguna teoría de continuidad en el sentido matemático. Esto exigió, incidentalmente, una aclaración de los procesos limitadores, como el de exhaución, descrito anteriormente en relación con la medida egipcia de la pirámide. Hasta que esos procesos fueron rigurosamente validados carecía de sentido hablar del área de un círculo, o del volumen de cualquier sólido, o de la longitud de cualquier línea, recta o curva, salvo únicamente cuando las medidas numéricas de esas áreas, de esos volúmenes y esas longitudes fueran números racionales. Como las medidas irracionales son infinitamente más numerosas que las racionales, la mesuración y la teoría geométrica de la proporción apenas si existían antes de Eudoxio.

La necesidad de una revisión radical la hizo resaltar de una manera notable Zenón en cuatro paradojas ingeniosas, o, como dirían algunos, sofisterías. Una sofistería en matemáticas es un argumento lógico que no agrada a algunos pero que no pueden refutar. Las cuatro clásicas de Zenón han dado lugar, tal vez, a más disputas inconcluyentes que ninguna otra cantidad igual de matemáticas disfrazadas en la historia.

Los servicios prestados por Zenón a las matemáticas son tan notables que sería interesante saber algo sobre él personalmente. Muy poco ha sobrevivido. Por tradición, era un dialéctico belicoso con un deseo apasionado de ser diferente de todos los demás. En su edad madura era un individuo “de cara noble y aspecto correcto”. Sus paradojas demuestran que tenía un espíritu independiente, y se dice que su honradez intelectual inquebrantable le costó finalmente la vida. Había conspirado con la facción política que perdió e hizo frente a la muerte por torturas con una fortaleza de espíritu heroica. Aquí bastará que expongamos la primera de sus paradojas.

Zenón decía que no puede llegarse al final de una pista de carreras, porque hay que atravesar la mitad de cualquier distancia dada antes de atravesar la totalidad, y la mitad de lo ganado ya antes de que pueda atravesarse, y así sucesivamente, ad infinitum. Por consiguiente, hay un número infinito de puntos en cualquier línea dada y “no puede tocarse un número infinito de puntos, uno por uno, en un tiempo finito”. Por consiguiente, no se llega nunca al final de este lado de la eternidad.

En esta paradoja y en otra del mismo tipo (Aquiles y la tortuga), Zenón argüía contra la infinita divisibilidad del espacio y el tiempo. Para mostrar su imparcialidad filosófica, imaginó dos paradojas igualmente exasperantes en el otro lado: si espacios y tiempos finitos contienen solamente un número finito de puntos e instantes, deducimos de nuevo una consecuencia que contradice la experiencia.

Las matemáticas habían usado liberalmente el concepto de la divisibilidad infinita. Por consiguiente, las paradojas de Zenón, además de proporcionar bases “para casi todas las teorías del espacio, el tiempo y el infinito que se han construido desde su época hasta la nuestra”, mostraban que la geometría y la mesuración en el siglo V a. C. necesitaban una base nueva. Eudoxio la proporcionó con su teoría de la proporción, aplicable a cualesquiera “magnitudes” reales.

Antes de recordar cómo hizo frente Eudoxio a esta crisis antigua, expondremos el procedimiento empleado en el siglo XIX para superar las dificultades de Zenón. Por medio de una sencilla aplicación de las series infinitas se demuestra fácilmente que el corredor alcanzará su meta y que Aquiles adelantará a la tortuga. Pero (salvedad de importancia capital) la lógica de la continuidad en que se apoya la teoría moderna de la convergencia descendió en el siglo XX a un nivel más profundo que ninguno de los que se habían explorado cuando los analizadores del siglo XIX creyeron que habían refutado las paradojas de Zenón.

Eudoxio basó su teoría en su definición de la misma razón: se dice que la razón P/Q es la misma que la razón X/Y, cuando, siendo m y n números enteros (positivos) cualesquiera, mX es mayor, igual, o menor que nY según que mP sea mayor, igual o menor que nQ. Si las razones P/Q y X/Y son iguales, se dice que P, Q, X, Y son proporcionales, La teoría se expone en los Elementos de Euclides, Libro V. El Libro VI contiene la aplicación a cifras similares.

Algunos críticos modernos, en especial los franceses, han sido incapaces de apreciar la distinción radical entre esta teoría griega del sistema de números reales y la ahora corriente, debida a J. W. R. Dedekind (alemán, 1831-1916). A partir de la década de 1870, las críticas continuaron hasta muy entrado el siglo XX, en especial cuando los fervores nacionalistas engendrados por la primera Guerra Mundial. Los últimos críticos parecieron no darse cuenta de que Dedekind había refutado sus argumentos en 1876. El punto de interés histórico es que ninguna teoría corriente de los números reales es la que bastó para el siglo IV a. C.

La teoría eudoxiana de la proporción dio validez indirectamente a la regla empírica de los egipcios para el volumen de un tronco de pirámide y completó el trabajo de los pitagóricos sobre los números similares. También certificó el método del “agotamiento” y, después de Dedekind (1872), el uso del cálculo integral en la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. En resumen, proporcionó una base para el sistema de los números reales de análisis matemático.

Quizás sea significativo que Eudoxio fuera otro de los grandes matemáticos griegos que se dice visitaron el Este. Protegido y amigo de Platón en cierta época de su vida, abandonó la academia de Platón en Atenas para fundar una escuela propia en Cicicos cuando Platón —según dice— empezó a dar muestras de una envidia muy poco filosófica. Pero esto es apenas creíble de un hombre que compuso el Lisis y el Simposio.

La frase en cursivas de la definición de la “misma razón” ilustra el hecho de que la finalidad es tan difícil de alcanzar en las matemáticas como en la filosofía, pues no todas las escuelas del pensamiento matemático del siglo XX han admitido “cualesquiera números enteros” como un concepto legítimo en el razonamiento deductivo. La frase oculta una infinidad de ensayos con todos los números enteros m, n para probar las desigualdades

Por consiguiente, un finitista consecuente, si existe alguno, podría decir que Eudoxio produjo una paradoja más moderada que la de la pista de carreras de Zenón; pues “es imposible probar un número infinito de pares de números enteros en un tiempo finito”. Sin embargo, las escuelas matemáticas influyentes desprecian esas sofisterías y continúan creando nuevas matemáticas de gran interés y de indudable utilidad científica.

Habiendo expuesto esta piedra miliar en el desarrollo del pensamiento matemático, vamos a ocuparnos durante un momento de otra cosa antes de proceder a examinar la etapa siguiente en la elaboración griega del número. Se ha indicado ya su importancia específica en relación con la geometría, la mesuración y el sistema de números reales; y cualquiera que tenga el más ligero sentido de las matemáticas superiores admitirá su magnificencia sin ninguna reserva. Contemplando esta obra maestra, puede perdonarse a los matemáticos un poco de orgullo porque fuera su gremio el que la creara. Pero dejar la obra maestra griega en un aislamiento escultórico como un monumento elevado para siempre a la perspicacia del intelecto matemático sería dar una expresión totalmente falsa de la manera como se han desarrollado las matemáticas. Su historia no es un registro de una brillante victoria tras otra; es más bien una crónica algo sobria de la inteligencia luchando desesperadamente contra tremendas dificultades para vencer la estupidez casi ineluctable del espíritu humano. El que los progresos realizados hayan sido posibles puede considerarse como un verdadero milagro.

Con el ejemplo detallado del ataque griego a los inconmensurables (irracionales) ante ellos, con toda la precisión laboriosa de un cuadro para niños, los matemáticos divagaron durante 20 siglos antes de imitar la metodología griega en su lucha para incorporar los números negativos y complejos a los números positivos reales en un sistema único completo. Los irracionales aparecieron primero en la geometría, los negativos en la aritmética y el álgebra y los imaginarios en el álgebra. Tanto los negativos como los imaginarios entraron cuando se supuso, injustificadamente, que ciertas reglas de trabajo, que se sabía producían resultados consecuentes en circunstancias especiales, conservarían su validez en todas las circunstancias de una naturaleza superficialmente análoga. En la geometría griega, las reglas en cuestión fueron las usadas en las demostraciones concernientes a los triángulos semejantes con lados racionales; el supuesto tácito era que esas mismas reglas darían resultados consecuentes para todos los triángulos. En el álgebra, los negativos y los imaginarios entraron de una manera análoga con la resolución de las ecuaciones; y de la misma manera que los pitagóricos se resistían a conceder la categoría de número a los irracionales, así también los primeros algebristas no querían admitir los negativos y los imaginarios como raíces legítimas de las ecuaciones algebraicas.

Los griegos reconocieron que se enfrentaban a un problema fundamental, lo aislaron y lo resolvieron. Tal vez el paso decisivo fue su atrevida hipótesis de que una “magnitud” (número representado geométricamente) no necesita ser racional para ser una “magnitud”. Generalizaron el concepto magnitud tal como se presentaba a la experiencia y la intuición. Los algebristas no se dieron cuenta hasta el siglo XVII de que los negativos y los imaginarios representaban un problema. Manipulaban ciegamente esas cosas cuando las reglas para resolver las ecuaciones las planteaban, o las rechazaban sin intentar justificar el rechazo. Un contemporáneo de Eudoxio hubiera deseado saber por qué algunas ecuaciones producían solamente raíces inteligibles, otras sólo algunas inteligibles, y otras ninguna. En su falta de curiosidad matemática común, los algebristas del islam y del Renacimiento fueron contemporáneos de los antiguos egipcios. Se admiraban, por supuesto, y estaban perplejos; pero se detenían porque carecían del instinto griego para la generalidad y para lo completo.

Sólo en los siglos XIX y XX se resolvieron satisfactoriamente esas dificultades y entonces fue aplicada una metodología abstractamente idéntica a la de los griegos. Primero se averiguó lo que los algebristas se esforzaban subconscientemente por hacer. Se proponían, sin ninguna justificación matemática, incluir todos los números reales y todos los números imaginarios en un sistema cerrado bajo las cuatro operaciones racionales (adición, sustracción, multiplicación, división) del álgebra común. Procedieron realmente partiendo de la suposición tácita de que ese cierre era un hecho matemático, esto es, de que el sistema era completo. Esto era lo que ellos querían que fuera, con objeto de comprobar sus cálculos empíricos. No hicieron ningún proceso hasta que siguieron la dirección de los griegos en geometría y expusieron postulados explícitos para los números reales y complejos, definiendo así los “números” presentados en la experiencia algebraica. De esta manera se extendió el concepto número hasta abarcar todos los grupos comprendidos en las cuatro operaciones racionales. Finalmente, como se verá, se comprobó a fines del siglo XIX que el grupo más general de esta clase, en el que xy = 0 solamente si por lo menos uno de los dos, x o y, es igual a 0, es el de todos los números complejos a + b √−1, a, b reales; y que los únicos grupos de esa índole son este mismo y algunos de sus subgrupos, por ejemplo, el grupo de todos los números racionales.

Cuando reflexionamos que necesitaron los griegos menos de dos siglos para reconocer su meta y alcanzarla, podemos muy bien maravillarnos y pensar si las matemáticas no estarán empezando hoy otra de sus búsquedas de 2 000 años para encontrar la sencillez. Con toda su inventividad prolífica, las matemáticas parecen haber perdido una parte de su esbeltez juvenil. Casi siempre es lo recóndito y lo complicado lo que se elabora primero, y solamente cuando algún espíritu relativamente cándido e inexperto ataca un problema es cuando se revela su profunda sencillez.

En sus encuentros posteriores con los números, los griegos encontraron muchas cosas que sirven de base a las matemáticas actuales, pero nada, tal vez, de tanta importancia como el trabajo de Eudoxio. Como los triángulos semejantes de Thales, de donde salió, en parte, la teoría eudoxiana, Egipto es uno de los orígenes de una parte de la aritmética superior griega más interesante.

Los “estiradores de cuerdas” egipcios trazaban ángulos rectos para orientar los edificios por medio de un triángulo de lados 3, 4, 5. Entonces, se señalaba, o se hacían nudos, en una cuerda de longitud 3 + 4 + 5 en los puntos 3, 4. Con esto y tres estacas hincadas en el suelo se obtenía un triángulo rectángulo de una manera sencilla. En lugar de la solución positiva en números enteros particulares 3, 4, 5 de a² = b² + c², podían haber empleado cualquiera otra, siempre que conocieran alguna. La solución general positiva en números enteros a, b, c, la dio Euclides en sus Elementos (X, 28, Lemas). Ésta parece ser la primera solución completa demostrada de números enteros de una ecuación indeterminada. Sea o no la primera, es el gérmen de vastas teorías en la moderna aritmética superior, y, menos indirectamente, de las mismas en álgebra. Para completar el historial, hay que observar que desde 1923 ha sido costumbre negar que los egipcios usaran nunca los números 3, 4, 5 para trazar ángulos rectos. El argumento en el que se basa esta negativa parece ser el siguiente. Puesto que los estiradores de cuerdas estiraban éstas para otros fines que trazar ángulos rectos, es evidente que no trazaban ángulos rectos estirando cuerdas. Además, puesto que los ángulos rectos se trazaban por otros medios, es evidente que no eran trazados por, etc. Sólo puede afirmarse que la historia en este caso puede ser más correcta que la lógica en que se apoya.

La solución en números enteros, o racionales, de ecuaciones indeterminadas pertenece al análisis diofántico. Ese nombre honra a Diofanto, cuyo tratado de 13 libros, de los cuales solamente sobreviven seis, fue el primero sobre el tema. La traducción latina (año 1621 d. C.) de este fragmento sugestivo inspiró directamente a Fermat para que creara la moderna aritmética superior. También inspiró algo mucho menos deseable. Diofanto se contentó con soluciones especiales de sus problemas; la mayoría de sus numerosos sucesores han hecho lo propio, hasta el punto de que el análisis diofántico está en la actualidad lleno de una selva de trivialidades que no guardan ningún parecido con las matemáticas cultivadas. Ya es hora de que se olviden los modelos de Diofanto, aunque a él personalmente se le recuerde y se le reverencie. En lo que respecta a la opinión sobre este punto de un experto en la historia y la práctica del análisis diofántico, las personas a las que interese este punto pueden consultar la History of the Theory of Numbers de Dickson, vol. 2, 1920.

Este trabajo de Diofanto es también memorable desde otro punto de vista. Diofanto fue el primer matemático griego, si realmente fue griego, que mostró un talento genuino para el álgebra. Siguiendo a los pitagóricos, Euclides había dado equivalentes geométricos para las identidades sencillas de segundo grado, como a (a + b) = a² + ab, (a + b)² = a² + b² + 2ab, y había resuelto x² + ax = a², a positiva, geométricamente. Diofanto dio soluciones esencialmente algebraicas de las ecuaciones especiales de primer grado con dos y tres incógnitas, como x + y = 100, x − y = 40. Más importante aún, había empezado a usar los símbolos operando con ellos. Este largo paso hacia adelante es tanto más notable cuanto que su anotación algebraica, comparada con la de hoy o la del siglo XVII, cuando Descartes la perfeccionó prácticamente, era casi tan engorrosa como la logística griega. El que hiciera lo que hizo con la técnica disponible lo sitúa sin ningún género de duda entre los grandes algebristas.

Su progreso operacional fue profundamente significativo. En el álgebra una fórmula, por ejemplo, a + b − c, nos ordena realizar ciertas operaciones con números dados (o en el álgebra moderna, señales abstractas), en este caso una adición y una sustracción con a, b, c, en un orden prescrito. Esto es, que el álgebra se escapa a las instrucciones verbales y va a las direcciones simbólicas dejando de ser puramente retórica. Diofanto incluso había inventado una especie de signo menos y permitió a un número negativo funcionar en una ecuación a la par que los números positivos. También utilizó símbolos para las incógnitas y para las potencias. Todo esto era un largo paso hacia el álgebra simbólica. Al parecer es probable que una parte del álgebra de Diofanto tuviera un origen babilónico, aunque hay que encontrar todavía la relación. Por desgracia para el desarrollo del álgebra y de las matemáticas en general, Diofanto fue por lo menos cuatro siglos posterior a Arquímedes.

Para terminar esta historia de la aritmética griega, podemos volver a su origen en la geometría y exponer un ejemplo de la inoportunidad de los grandes matemáticos narrando un episodio de la aritmética y la geometría tomado del siglo XX.

El teorema pitagórico de que x² + y² = z² en la que x, y, z son los lados de un triángulo rectángulo, es la base de la geometría métrica en el espacio euclidiano. En los espacios definidos por Riemann (1854), la forma algebraica de segundo grado x² + y² con dos variables, x, y, es remplazada por una forma diferencial de segundo grado con n variables; n = 4 es el caso que interesa en la relatividad. Se ha hecho observar la significación de x² + y² = z² en el análisis diofántico. Ahora, esta ecuación se generaliza también y hay que resolver la ecuación general de segundo grado con n incógnitas, con coeficientes enteros, en números enteros. Este problema aritmético, unido al de reducir las ecuaciones generales de segundo grado en la geometría analítica de las cónicas y las cuadráticas a la forma académica, sugirió (siglo XIX) el problema puramente algebraico de reducir una forma de segundo grado en n variables a una suma de cuadrados cada uno multiplicado por un coeficiente apropiado. Digamos de paso que este problema tiene importancia en la dinámica.

Hacia fines del siglo XIX (1882) se adelantó notablemente en el problema diofántico, y fue Minkowski, entonces un joven de 18 años, el que lo realizó. Tratando este problema, Minkowski adquirió un dominio notable de la teoría algebraica de la reducción de las formas de segundo grado. Interesándose hacia finales del siglo pasado por el electromagnetismo matemático, aplicó su pericia algebraica a las formas diferenciales especiales. Gracias al accidente peculiar de sus intereses, era el candidato ideal para modelar las matemáticas de la relatividad especial de Einstein del año 1905, dándole una forma que conserva todavía su atractivo.

Entre la orientación de los templos egipcios y la soldadura del espacio y el tiempo en el tiempo-espacio se extienden aproximadamente 4 000 o 5 000 años de historia agitada. En las matemáticas, los dos acontecimientos parecen casi contemporáneos.

EL MÉTODO POSTULACIONAL

Aunque los griegos no hubieran hecho otra cosa que echar los cimientos del sistema de números reales, tendrían asegurado un recuerdo perpetuo en las matemáticas. Pero hicieron mucho más. En realidad la expresión matemáticas griegas sugiere inevitablemente geometría sintética, y fue en la elucidación de la forma espacial de los griegos en la que ven muchos su máxima aportación a las matemáticas.

El desarrollo de la geometría desde un empirismo prácticamente laborable hasta convertirla en una ciencia rigurosamente deductiva fue extraordinariamente rápido. La primera demostración en geometría se atribuye tradicionalmente a Thales, hacia el año 600 a. C. De esta manera, se dice que demostró, entre otra media docena de teoremas, que un círculo es bisecado por uno cualesquiera de sus diámetros. Un siglo y medio después, los pitagóricos habían ido tan lejos en la geometría plana como los estudiantes de hoy en la primera mitad de un curso de una escuela estadunidenses. Entre otros detalles, conocían el teorema pitagórico, las propiedades de las paralelas, la suma de los ángulos de cualquier triángulo y, tal vez para cualquier polígono rectilíneo convexo, los principales hechos sobre las figuras semejantes; y tenían equivalentes geométricos adecuados para la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la extracción de raíces cuadradas y la solución euclidiana de x² + ax = a². Una parte de esto estaba, naturalmente, dentro de las limitaciones impuestas implícitamente por su concepción del sistema numérico. Apenas modificados, los artificios de la aritmética gráfica y el álgebra pitagórica sobreviven en las técnicas de nuestras salas de dibujo.

En la geometría sólida, los pitagóricos conocían por lo menos tres de los cinco sólidos regulares y tal vez todos ellos. Si no los conocían todos, su fe en el Número como el regulador del Cosmos puede haber sufrido un revés, pues los tres primeros sólidos se presentan naturalmente en minerales comunes que llamarían la atención de cualquier geómetra, mientras que el dodecaedro y el icosaedro, que tienen ejes quíntuples, no se presentan en la naturaleza. (El sulfuro de antimonio y cobre, o tetraedrita, y la blenda de zinc cristalizan en tetraedros; la galena, la sal gema y la fluorita cristalizan en cubos; la magnetita en octaedros. Ninguno de esos minerales es raro.)

Pero la demostración de que son posibles precisamente cinco sólidos regulares exige una teoría bien desarrollada del espacio euclidiano. La demostración se atribuye a Theaeteto, hacia mediados del siglo IV a. C. Euclides completó en el mismo siglo la teoría elemental de esos sólidos en su Libro XIII, como el clímax soberbio de su geometría. Llamando a esos sólidos los cuerpos platónicos como hicieron algunos griegos, no sólo se viola la historia sino que se insulta también a las matemáticas. Entonces, es cierto que Platón describe una construcción familiar de los cinco sólidos regulares partiendo de polígonos regulares apropiados, pero también es cierto que utilizó esos sólidos como púlpitos para predicar desde ellos la numerología pitagórica.

Con la terminación de los Elementos de Euclides, alcanzó la geometría elemental griega, excluidas las cónicas, su rígida perfección. Era una geometría completamente sintética y métrica. Su contribución perdurable a las matemáticas no fue tanto la riqueza de las 465 proposiciones que ofrecía, como la metodología del conjunto que marcaba una época.

Por primera vez en la historia se unían y se correlacionaban masas de descubrimientos aislados utilizando un principio único de guía, a saber, el de la deducción rigurosa partiendo de suposiciones expuestas explícitamente. Algunos pitagóricos, y Eudoxio antes de Euclides, habían ejecutado detalles importantes del magno proyecto, pero había de ser Euclides el que lo vería todo y el conjunto. Por consiguiente, es el gran perfeccionador, si no el único creador de lo que se llama hoy el método postulacional, el sistema nervioso central de las matemáticas vivientes.

Sin embargo, parece extraño que el método de Euclides tuviera que esperar hasta el siglo XIX para que ocurriera la única clase de apreciación que cuenta por algo en las matemáticas, a saber, su aplicación. La geometría métrica sintética continuó, por supuesto, en la tradición postulacional. Pero esto, evidentemente, era simple inercia, pues habían de pasar varias décadas después de la explosión de la geometría proyectiva en el siglo XIX antes de que el tema recibiera una base sólida. Y sólo en la década de 1830 d. C. se hizo alguna tentativa seria para proporcionar una base postulacional al álgebra elemental. Hasta el año 1899 no se sintió en todas las matemáticas el choque de la metodología de Euclides en la obra de otro gran geómetra, Hilbert (alemán, 1862-1943).

Simultáneamente con la demostración pragmática de la potencia creadora del método postulacional en aritmética, geometría, álgebra y topología, la teoría de los grupos de puntos, y el análisis que distinguieron a las cuatro primeras décadas del siglo XX, el método se hizo casi popular en la física teórica en la década de 1930 por medio de los trabajos de Dirac (inglés, 1902). Ensayos científicos anteriores en el método, entre otros por Mash (austriaco, 1838-1916) en mecánica y Albert Einstein (1878) en relatividad, habían mostrado que el método postulacional es no sólo aclarador sino también creador. Los matemáticos y los hombres de ciencia conservadores pueden creer que una ciencia constreñida por un grupo de suposiciones explícitamente formuladas ha perdido una parte de su libertad y que está casi muerta. La experiencia muestra que la única pérdida es la privación del privilegio de cometer errores evitables en el razonamiento. Como es tal vez humanamente natural, algunos resisten vigorosamente cada nueva usurpación del método postulacional, considerándola como una invasión de la tradición consagrada. La objeción al método no es ni más ni menos que una objeción a las matemáticas. Posiblemente sea cierto que las ciencias de la vida, por ejemplo, sean todavía una selva demasiado espesa para poder sembrar en ella unos cuantos postulados inteligibles aquí y allá, pero ha empezado la tentativa ya, como sucede en los trabajos de J. H. Woodger (1937). Si se ha de realizar el sueño pitagórico de una ciencia matematizada, todas las ciencias tienen que someterse eventualmente a la disciplina que la geometría aceptó de Euclides.

HUIDA DE LA GAZMOÑERÍA INTELECTUAL

Puesto que Platón (430-349 a. C.) precedió a Euclides (¿365?-¿275? a. C.) en unos 20 años, es posible, pero improbable, que el geómetra fuera influído por el filósofo. Entonces, puede ser lamentable, pero parece ser cierto, que los matemáticos creadores conceden poca atención a los filósofos cuya educación matemática no ha pasado del vocabulario elemental.

De todos los cambios que el pensamiento matemático ha experimentado en los últimos 2 300 años, el más profundo de todos es la convicción, al parecer definitiva, del siglo XX de que el concepto de Platón de las matemáticas era y es un conjunto de necedades fantásticas de ninguna utilidad posible para nadie, ya se trate de un filósofo, de un matemático o de un simple ser humano.

Sin embargo, no todos son iconoclastas del realismo platónico. Algunos, cuyas proezas matemáticas les dan derecho a tener una opinión sobre la materia, se han expresado en términos inequívocos sobre la validez perdurable de las matemáticas realistas. G. H. Hardy (inglés, 1867), por ejemplo, exponía (1940) su creencia de que “la realidad matemática está fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla u observarla, y que los teoremas que demostramos y que describimos grandilocuentemente como creaciones nuestras, son simplemente las notas de nuestras observaciones”. Sin embargo, recordemos recordará que algunas creencias semejantes relacionadas con otros intangibles produjeron algunos males desagradables en la Edad Media y el Renacimiento.

El mismo Platón puede no ser responsable de las cosas más absurdas sobre matemáticas que hay en sus diálogos; en el fondo está siempre la figura medio mítica de Pitágoras. Pero fue la alta calidad poética de los diálogos la que conservó las necedades antiguas para las generaciones posteriores de matemáticos y filósofos que pudieron así imitarlas y admirarlas. Esto dio lugar a grandes males en la geometría. En el realismo platónico las líneas rectas y los círculos de la geometría mundana carecen de importancia; es la Idea Eterna de la línea recta o de un círculo la única que merece la contemplación filosófica. De esta manera, en esta filosofía particular se evapora la calidad abstracta pero útil de las matemáticas y se convierte en un nada de belleza etérea que tiene que hacer todavía su primera contribución a la geometría.

Para un geómetra platónico es evidente, por sí mismo, que el círculo Arquetipo es más redondo que ninguna otra curva en la Mente Eterna y, también, que ninguna idea es más recta que la Línea Recta ideal en el mismo lugar perdurable. Por consiguiente, se sigue de aquí que la geometría terrestre debe limitarse en todas sus construcciones a un compás y una regla. Si por ejemplo, hay que trisecar un ángulo, tiene que hacerse con esos instrumentos. De aquí se sigue también que en comparación con la geometría de las líneas rectas y los círculos, la de las elipses, las parábolas y las hipérbolas, es ligeramente despreciable, o por lo menos no idealmente inmaculada. Una geometría que utilizara otros dispositivos mecánicos que los dos sacrosantos era severamente censurada por “volver así la espalda a los objetivos ideales de la inteligencia pura”.

No es sorprendente que Platón desdeñara las matemáticas aplicadas. En su filosofía de las matemáticas, Platón era el aristócrata intelectual acabado, más puro que el más puro de los matemáticos puros. Por fortuna para las matemáticas puras y aplicadas, ese exceso de pureza, por no decir gazmoñería, no interesó al aristócrata real que fue Arquímedes.

Arquímedes fue por sí mismo toda una época en el desarrollo de las matemáticas. En sus magníficos descubrimientos hay suficiente inmortalidad para una docena de hombres, y aun esos descubrimientos son oscurecidos por los métodos que inventó o perfeccionó y que, por desgracia, perecieron con él. Habrían de pasar siglos antes de que la ciencia y las matemáticas le alcanzaran.

La leyenda de su vida es familiar por la narración incidental de Plutarco. Fue un íntimo amigo y quizás pariente de Hierón, tirano de Siracusa, donde nació y murió. Durante el sitio de Siracusa por Marcelo en la segunda Guerra Púnica, los armamentos mecánicos de Arquímedes retrasaron y casi detuvieron a los romanos. Cuando se rindió la ciudad (212 a. C.), el viejo matemático indefenso fue muerto por un soldado romano.

Roma ganó la guerra, destruyó finalmente a Cartago (¡delenda est Cartago!), y marchó hacia unas alturas casi inimaginables de esplendor, pero no en la ciencia o en las matemáticas. Tan rudamente prácticos como el soldado que despachó a Arquímedes al otro mundo, los romanos eran los primeros exponentes robustos de la vida viril y del pensamiento bucólico, y el primer pueblo importante que se dio cuenta de que los que sólo tienen dinero o poder pueden comprar una cantidad razonable de cerebros. Cuando necesitaron alguna ciencia o algunas matemáticas que no habían sido reducidas todavía a una regla empírica fácil, los romanos esclavizaron a los griegos, pero cometieron un gran error cuando mataron a Arquímedes, pues éste tenía solamente 75 años y estaba todavía en plena posesión de sus facultades. En los cinco años o más que le robó el soldado, su espíritu verdaderamente práctico podía haber enseñado a los romanos algo que impidiera la degeneración crasa del intelecto que finalmente los hizo inofensivos.

Toda la obra de Arquímedes se caracteriza por el rigor, la imaginación y la fuerza. De acuerdo con esto, puede llamársele correctamente el segundo físico matemático en la historia y uno de los más excelsos. El primero fue Pitágoras. En esta capacidad, Arquímedes es casi único porque usó su física para hacer progresar las matemáticas. El procedimiento usual, en el que sobresalió también, es el inverso. Una muestra de su magna obra quizás sea suficiente para sugerir la magnitud del conjunto.

Aplicando el método del “agotamiento” a la medida (de superficies y volúmenes) de la esfera, el cilindro, el cono, los segmentos esféricos, los esferoides, los hiperboloides y los paraboloides de revolución, Arquímedes se reveló como un maestro consumado del rigor matemático y un artista perfecto. Una parte de estos trabajos implicaba (en la anotación moderna) la valuación de las integrales definidas

Su problema de cortar una esfera por un plano, de modo que los segmentos estén en una proporción dada, le planteaba una ecuación de tercer grado del tipo x³ + ab² − bx², que quizá resolviera geométricamente por la intersección de las cónicas. La universalidad de sus investigaciones la demuestra su famoso “problema del ganado”, que, dicho sea de paso, exige la solución en números enteros de x, y, de x² − 4 729 494 y² = 1. Finalmente, en las matemáticas puras, Arquímedes se anticipó al método del cálculo diferencial en su construcción de una tangente a la espiral (ρ = αθ) conocida por su nombre.

Su trabajo más original fue, quizá, sus matemáticas aplicadas. En este campo, hasta donde se sabe hoy, fue un iniciador. Menaechmo y otros habían aplicado con éxito el método del “agotamiento” a problemas difíciles (el mismo Arquímedes menciona a Eudoxio y atribuye a Demócrito la exposición del resultado para el volumen de una pirámide), pero ninguno había aplicado la mecánica a las matemáticas. Antes de Arquímedes no existió la mecánica científica. Posiblemente hubiera reglas empíricas, pero éstas están en un universo diferente. Su descubrimiento de la ley de flotación creó prácticamente la ciencia de la hidrostática y su formulación de la teoría de la palanca hizo lo propio para la estática. Tan potentes fueron sus métodos que determinó las posiciones de equilibrio y de estabilidad de un paraboloide de revolución flotante en diferentes posiciones. Fiel a la tradición griega, Arquímedes basó su mecánica en postulados. Sus determinaciones de centroides fueron casi tan difíciles como las que hay en la actualidad en un curso de cálculo. Por ejemplo, halló el centroide de un semicírculo, un hemisferio, un segmento de esfera, y un segmento recto de un paraboloide de revolución. No es, pues, extraño, que los musulmanes sintieran por Arquímedes una veneración casi supersticiosa. Durante 2 000 años no hubo nadie que pudiera comparársele.

El desprecio sublime de Arquímedes por todo lo convencional se ve en su trabajo más curioso. En el problema, que resolvió, de hallar el área de un segmento parabólico. La demostración es, por supuesto, rigurosa y equivale a una integración, algo disfrazada de exhaución, en la demostración oficial; pero es la demostración no oficial la que ofrece mayor interés. Esto salió a relucir en 1906 cuando se encontró en Constantinopla una obra de Arquímedes en la que se describía su método heurístico. Para descubrir cuál era el área que se buscaba, Arquímedes tradujo el problema de geometría en otro equivalente de mecánica. Habiendo resuelto este último, afirma que el resultado no ha sido “excesivamente demostrado”. Luego procede a dar una demostración geométrica en la que, digámoslo de paso, realiza la primera suma de una serie infinita en la historia. La serie es

y utiliza el hecho de que 4−n tiende a 0 cuando n se aproxima al infinito. Había ya sumado antes una serie finita,

Una gema aislada demostrará que Arquímedes era tan perspicaz como inventivo. Para el espíritu profano es obvio que separando un segmento dado, por muy pequeño que sea, un número finito de veces, puede alcanzarse un punto cualquiera en una línea o pasarse. Para Arquímedes era evidente que esto es solamente una suposición que debe exponerse explícitamente como uno de los postulados de geometría. Lo hizo y en los siglos XIX y XX se crearon las geometrías no arquimedianas, en las que se rechaza el postulado. Igual que Euclides en su enunciado explícito del postulado de las paralelas, Arquímedes tenía en presencia de lo evidente la cautela de un verdadero matemático.

La matemática moderna nació con Arquímedes y murió con él por no menos de 2 000 años. Resucitó con Descartes y Newton.

DE LA GEOMETRÍA A LA METAFÍSICA

Ya se ha indicado la obligación negativa de las matemáticas para con la filosofía antigua. Como quedará claro cuando estudiemos la Europa medieval, es posible que la obligación se invirtiera en aquel desierto matemático. Por el momento es interesante hacer constar cómo de las matemáticas griegas salieron, indirectamente, algunas obras de gran interés de Teoría del Conocimiento producidas en 1920 d. C.

Los geómetras griegos dejaron sin dilucidar cuatro problemas elementales que desafiaron la inventiva de los matemáticos durante más de 2 000 años. Ninguno de los cuatro tiene hoy día importancia matemática. Históricamente, nunca se plantearon problemas más prolíficos, con la posible excepción del de Zenón. Los repetidos fracasos para resolver los tres primeros revelaron dificultades fundamentales que los antiguos no sospechaban, e hicieron necesario afinar el concepto del número. Las tentativas infructuosas que se hicieron durante aproximadamente 2 300 años para resolver el cuarto sugirieron finalmente un gran progreso en la metodología matemática, que ahora parece evidente, pero que se escapó a algunos de los más agudos cerebros de la historia.

Los problemas son los siguientes. En cada uno de los tres primeros, y como deferencia hacia Platón, la construcción se ha de hacer enteramente por medio de un número finito de líneas rectas y de circunferencias.

Problema uno. Trisección del ángulo.

Problema dos. Construir el lado de un cubo cuyo volumen sea doble del de otro dado.

Problema tres. Construir un cuadrado de igual área que un círculo dado.

Problema cuatro. Deducir el quinto postulado de Euclides de los otros.

El quinto postulado equivale a lo siguiente: por un punto P exterior a una línea recta L se puede trazar, en el plano determinado por P y L, una línea recta que no corte a L.

El problema dos es equivalente a pedir una construcción geométrica, por los medios indicados para la raíz real de x³ − 2 = 0; el problema uno es semejante. Ninguno de los dos quedó resuelto hasta que P. L. Wantzel (francés, 1814-1848) en 1837 obtuvo las condiciones necesarias y suficientes para resolver una ecuación algebraica de coeficientes racionales por los medios geométricos más arriba especificados. Ninguna de las dos ecuaciones de tercer grado satisface las condiciones, y por tanto quedó demostrado que los problemas eran imposibles.

Si se prescinde de la restricción de permitir únicamente un número finito de líneas rectas y de circunferencias, es fácil resolver los problemas uno y dos, por ejemplo, por las cónicas, como lo hicieron los griegos, o por un sistema articulado. La importancia histórica de estos dos problemas es el impulso que dieron, muy posterior a los griegos, a la investigación de la naturaleza aritmética de las raíces de las ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros. A estas raíces se les da el nombre de números algebraicos; a los números que no son algebraicos se les llama trascendentes.

El tercer problema es más profundo. En virtud del teorema de Wantzel si el problema tres es soluble, su equivalente algebraico ha de ser un número finito de ecuaciones que satisfaga sus condiciones. El problema sería posible si π (= 3.14…) es trascendente. En 1882, Lindemann (alemán, 1852-1939) demostró que π es trascendente. Su demostración, con su curiosa dependencia de la aritmética racional, hubiera deleitado a Pitágoras.

El problema tres, al igual que los uno y dos, es soluble si se modifica permitiendo el uso de otras curvas que la circunferencia. La cuadratiz (ρ, θ, ecuación polar πρ = 2rθ cosec θ) inventada por Hipias en el siglo IV a. C., para el problema de la trisección, basta. Sin embargo, esto tiene muy poco interés; la importancia de la cuadratura del círculo reside en sus relaciones con los números trascendentes.

La cuadratura del círculo implica una irracionalidad de naturaleza radicalmente distinta a aquella que enseñó a los pitagóricos que no todos los números son racionales; √2 es algebraico, π no lo es. A uno que explorase el sistema de los números por primera vez le parecería razonable suponer que todos los números reales son algebraicos, o por lo menos que los trascendentes son extraordinariamente raros. Cantor demostró en 1872 que los números algebraicos son en realidad las excepciones; los trascendentes son infinitamente (a la potencia del continuo) más numerosos. Un ejercicio muy interesante es el de averiguar lo que presupone el restringir a un número finito de líneas rectas y de circunferencias en las condiciones de los tres problemas.

El problema cuatro, demostrar el postulado de las paralelas de Euclides, reaparecerá cuando estudiemos la geometría del siglo XIX. Uno de los mayores éxitos de Euclides fue el darse cuenta de que este postulado requiere un enunciado explícito como hipótesis.

Aquí podemos describir la nueva argucia de la metodología que permitió resolver el problema en 1826, por ser uno de esos artificios tan sencillos y que son tan evidentes, una vez que se les ha señalado, que sólo los pueden imaginar los cerebros de mayor originalidad. Un problema que haya resistido los mejores esfuerzos de los genios durante siglos puede ser imposible, o tener sentido, o estar indebidamente planteado. La argucia consiste simplemente en admitir que ocurra una de esas tres cosas. Una vez admitido esto se desarrolla matemáticamente la que parezca más probable.

El postulado de las paralelas se desentrañó gracias a la tercera posibilidad: se construyó una geometría consistente sin él. Los problemas uno y dos se evaporaron al profundizar en la sospechada imposibilidad deduciendo una contradicción de lo que se suponía era una imposibilidad. La misma suerte le cupo al problema de cuadratura del círculo, aunque se encontraron mayores dificultades.

Una brillante aplicación de esa argucia a un problema moderno fue la demostración en 1824 que hizo Abel de que la ecuación general algebraica de grado superior al cuarto es insoluble por radicales. Parece que fue él quien primero enunció la metodología explícitamente como procedimiento general. Como punto de interés histórico, indicaremos que, según se dice, el poeta persa, matemático, y conocedor de vinos, mujeres y canciones, Omar Khayyam, supuso en el siglo XII que es imposible la solución algebraica de la ecuación general de tercer grado. Se equivocaba, como veremos en un capítulo posterior.

En 1930, la escuela vienesa de lógicos matemáticos empezó a abordar algunos de los problemas clásicos de la filosofía, y en particular de la metafísica, valiéndose de este método, e intentando demostrar que los problemas o bien no tenían sentido o bien estaban indebidamente planteados. Desde luego que la historia puede demostrar que están tan equivocados como lo estaba Omar. Apenas es necesario decir que ese ataque sufrió una resistencia muy vigorosa especialmente por los que se negaban a dominar suficientemente el simbolismo elemental que les permitiera leer una demostración de lógica simbólica.

De esta forma cuatro problemas elementales de la geometría griega fueron en parte responsables de un movimiento subversivo de la filosofía que hubiera escandalizado tanto a los antiguos filósofos griegos como ha sido el caso con algunos de los modernos. En 1945 había por lo menos algunos indicios de que la incipiente revolución, si es que se le puede llamar así, podría necesitar revisar en parte la Teoría del Conocimiento generalmente aceptada. La geometría no euclidiana del siglo XIX, que surgió del problema cuatro, abolió la teoría de las “verdades” matemáticas de Kant.

LUGARES GEOMÉTRICOS DE LA LÍNEA, DEL PLANO Y DEL SÓLIDO

Hacia el fin de las matemáticas griegas, Papo (probablemente en el siglo III) en su Mαθηματιϰῶν συναγωγῶν βιβλία dio un paso no muy firme hacia la unidad y la generalidad. Su colección de ocho libros, de los que sólo se conocen los seis últimos y un simple fragmento del segundo, son un compendio de muchos de los conocimientos matemáticos de su época. Las partes que faltan posiblemente tratarían de aritmética; los seis libros conocidos abarcan proporciones, partes de la geometría del espacio, curvas planas escogidas de orden superior, problemas isoperimétricos, esferoides, centroides, curvas espaciales de doble curvatura y sus proyecciones ortogonales, y finalmente mecánica que, según parece, era también geometría para el ingenioso compilador. Los puntos de la colección que pueden ser debidos a Papo son brillantes, según dicen los críticos competentes; algunos de ellos muestran una audacia de concepción y una libertad de método tan sin trabas que más bien recuerda a Arquímedes que a Euclides. Si a Papo le parecía natural la generación cinemática de una curva, no dudaba de hacerlo así. Probablemente mucho antes de sus días ya se había sospechado que los tres problemas clásicos de la geometría griega no eran solubles por métodos euclidianos, aunque no se sabe de ningún matemático griego que empleara la imposibilidad de la solución euclidiana como hipótesis de trabajo. Aceptando lo que se sospechaba, Papo procedió a una investigación genial de las curvas planas de orden superior que unos cinco siglos de experiencia habían demostrado que bastaban para resolver los problemas. La espiral de Arquímedes, la concoide de Nicomedes (siglo II a. C.), la cisoide de Diocles (mismo siglo) y la cuadratriz de Hipias (siglo V a. C.) ingresaron por completo en la geometría. Estas descastadas de la rígida geometría clásica se demostró que merecían tanta atención como las vulgares cónicas. La concoide se inventó para resolver el problema de la trisección, la cuadratriz para la rectificación y la cuadratura del círculo, y la cisoide para el clásico problema griego de insertar dos medias geométricas entre dos “magnitudes” dadas, representadas por segmentos de recta. La concoide y la cisoide son curvas algebraicas; la cuadratriz es trascendente. Sin embargo, las tres están encajadas en la vaga clase de los lugares geométricos lineales. Este receptáculo tan mal definido alberga a todos los lugares geométricos que no son ni planos ni en volumen.

Las circunferencias y las líneas rectas eran lugares geométricos “planos”; las cónicas “espaciales”, sin duda así llamadas a causa de su origen como secciones de conos (de segundo orden). Dicho sea de pasada, uno de los resultados decisivos que consiguió Apolonio fue remplazar las tres especies de conos que usaban sus predecesores para obtener las diferentes cónicas, por el cono circular recto del que todas son secciones. Si el fundamento para llamar a las cónicas lugares espaciales era el que se derivasen de superficies cónicas, parece muy peculiar que Papo arrojase a la cuadratriz al nebuloso limbo de los lugares lineales, ya que dos de sus más sorprendentes aportaciones personales fueron sus definiciones de la cuadratiz como proyecciones ortogonales de ciertas curvas alabeadas. En una, la curva es la intersección de un cono de revolución y de un cilindro recto cuya base es una espiral de Arquímedes. Aquí tenemos a la geometría sintética de gran estilo que podría haber sido del mismo Arquímedes.

Aunque la clasificación de los lugares geométricos en planos, espaciales y lineales, no parezca muy significativa para un geómetra moderno, fue, no obstante, una tentativa consciente de sistematizar y ordenar el caos de todas las curvas planas imaginables. Muy poco era posible hacer de razonable o de útil sin el simbolismo algebraico, y casi nada de tipo general. Si se concede a Apolonio el uso de las coordenadas que reclaman para él algunos de sus admiradores, no hacemos más que resaltar lo inadecuado de los toscos sustitutivos de un verdadero simbolismo que empleaban los geómetras griegos. El que consiguieran resultados que siguen teniendo interés después de 20 siglos o más es más un atributo a su genio que una recomendación de sus técnicas. Pero para no sobrestimar nuestras propias adquisiciones a expensas de las suyas, hemos de recordar que aún no hay clasificación satisfactoria de la innumerable infinidad de curvas trascendentes planas. Si esa clasificación no es un problema muerto, es más bien un proyecto para el análisis que para la geometría del futuro.

¿POR EL MAL CAMINO?

Las matemáticas griegas son uno de la aproximadamente media docena de resultados intelectuales más importantes conseguidos por nuestra raza. Su apogeo dista de nosotros más de 2 000 años. Echaremos una mirada retrospectiva y lo estudiaremos a la luz de los progresos que han tenido lugar a partir de las primeras décadas del siglo XVII, tratando de verlo desapasionadamente, “los fríos rayos de la historia del saber”. Los dos resultados más importantes que consiguieron, los que tradicionalmente se atribuyen a los pitagóricos, se destacan tan claramente como siempre, y con ellos los de Euclides. Si exceptuamos a Arquímedes, que estaba 2 000 años por delante de sus contemporáneos, ¿qué hay de los demás?

Para bien o para mal, el desarrollo técnico de nuestra ciencia y de nuestra matemática difiere radicalmente del de los griegos. Su matemática es inteligible para nosotros y cualquier contemporáneo nuestro puede apreciarla en lo que ellos mismos consideraban su verdadero valor. La nuestra, aparte de lo más elemental, le parecería a ellos, excepto a Arquímedes, una prueba evidente de locura. Para ellos, por ejemplo, una línea recta era un segmento finito capaz de ser prolongado; para nosotros una línea recta se define de una vez desde menos infinito a más infinito.

Los modos limitados del pensamiento griego no son los nuestros. Al madurar el álgebra elemental en los siglos XVI y XVII de nuestra era, y al introducir los métodos analíticos en el siglo XVII, la matemática volviendo al número se acercó más a Babilonia, Egipto y la India de lo que nunca estuvo de Grecia después de la caída de Alejandría. Excepto por la insistencia en la demostración, nuestras preferencias en matemática, como en religión, son más orientales que griegas.

Aunque sea duro de decir, parece cierto que, vista de lejos, la geometría griega era en parte un gran error de táctica. Nada obligaba a Thales, Pitágoras, Euclides y Apolonio y sus discípulos a desarrollar exclusivamente el método sintético. Cuando iniciaban su arduo viaje matemático, sus predecesores orientales indicaron bien claramente a los griegos los dos posibles caminos. Bien fuera por una peregrinación consciente, o por una irónica jugada de la fortuna, todos siguieron el mismo rumbo y se abrieron camino a través de todos los obstáculos, llegando a un callejón sin salida. La geometría sintética de las cónicas señala el fin del viaje.

Sólo fue posible hacer otros progresos significativos, por el camino que la matemática sigue hoy día, cuando se olvidó temporalmente o se volvió hacia atrás en aquel áspero camino, entrando por aquel ante el que habían pasado los griegos en el siglo VI a. C., entrando por él en el siglo XVII de nuestra era. Volviendo a la manera de pensar del Oriente, de la que partieron Thales y Pitágoras, los matemáticos europeos dieron un rodeo casi por completo al territorio que habían consolidado los geómetras griegos. Prosiguiendo un avance que se había interrumpido 23 siglos antes, las matemáticas durante y después del siglo XVII avanzaron con increíble velocidad a la conquista de un mundo tras otro situados muy fuera del alcance del pensamiento griego.

El Almagesto, geometría de Tolomeo, se nos aparece como un esfuerzo sobrehumano del genio matemático. Tanto ella como las 387 proposiciones de Apolonio sobre las cónicas son las obras maestras del método sintético. Pero la nueva ciencia que inauguraron Galileo y Newton en el siglo XVII necesitaba más de uno o dos genios matemáticos cada cuatro o cinco siglos, si es que habían de aprovechar todas las ocasiones a una velocidad razonable.

Pocos matemáticos de los que hayan seguido las demostraciones griegas en los Principia de Newton creen que todas las proposiciones demostradas pueden haber sido descubiertas en el término de una vida por los métodos de la geometría griega. Incluso el cerebro de un Newton tiene sus limitaciones, y tenemos su propia palabra de que usó métodos analíticos, su cálculo, para descubrirlas. Las rígidas demostraciones sintéticas las hizo, en parte, para tranquilidad suya, pero principalmente para que lo entendieran los demás. Y, sin embargo, sería posible decir que los Principia son un monumento de la geometría sintética. Pero, ni la más generosa imaginación concedería que la dinámica de Lagrange, Hamilton, Jacobi y Lie sea una hipotética aplicación de la geometría griega, aunque esas creaciones de los siglos XVIII y XIX se derivaron al parecer inevitablemente de la dinámica de los Principia. Y, finalmente, por lo que se refiere a su método, que Newton creyó apto para traducirse al griego, el descubrimiento es después de todo más importante en la ciencia que la demostración estrictamente deductiva. Sin descubrimiento, la deducción no tiene nada que acometer y ordenar.

Volviendo por un momento al siglo VI a. C., trataremos de imaginar lo que la historia matemática podría haber sido si los griegos hubieran seguido la ruta de los babilonios. Como otros “podría haber sido”, éste es completamente fútil, a no ser porque puede indicar cuál de los diferentes caminos podemos explorar nosotros mismos más provechosamente.

Los orientales tenían un gusto más universal que el de los griegos para los números. Por lo menos, algunos de los orientales no se asustaban por la magnitud; la mitología india con sus millones de deidades, sus “enmarañadas trinidades”, y sus eones de eones es un presagio del infinito matemático. En cuanto a eso, la trinidad egipcia muestra alguna de las contradicciones aparentes del moderno concepto del infinito con su correspondencia unívoca entre una parte y el todo; y lo mismo es evidente en la teología cristiana, heredera no de la mitología griega, sino de las religiones orientales. Una indicación de menor importancia, pero muy significativa, de la ineptitud del cerebro griego para el análisis matemático, es que durante siglos se contara con un sistema de numeración que, comparado con el mejor de los orientales, era pueril.

No se sabe de modo definitivo que los primitivos griegos conocieran los progresos y especulaciones de otros pueblos sobre el número; pero las pruebas internas son de que muy probablemente tuvieron noticias de ellos. Las matemáticas griegas incluyen demasiados rasgos orientales para que sea verosímil el milagro de una transmisión de conocimientos curiosamente parciales. En nuestra hipótesis admitiremos que los griegos no ignoraban por completo lo que habían hecho sus vecinos del Este.

Si la mente griega primitiva hubiera mirado con simpatía el álgebra y la aritmética de los babilonios, hubiera encontrado abundante material en qué ejercitar sus facultades lógicas y hubiera podido producir fácilmente una obra maestra del razonamiento deductivo, que tanto reverenciaba, de mayor solidez lógica que los muy sobrestimados Elementos de Euclides. Las hipótesis del álgebra elemental son menos y más sencillas que las de la geometría sintética. El método algebraico analítico de agrimensura y de geometría estaban muy al alcance de la capacidad de los matemáticos griegos, y podían haberlo perfeccionado con tanto rigor lógico como quisieran. Si así lo hubieran hecho, Apolonio hubiera sido Descartes, y Arquímedes Newton.

Tal como ocurrieron las cosas, la misma perfección de la geometría griega, para su época y para mucho después, retardó el progreso durante siglos. Los musulmanes la admiraban como se merecía, y finalmente en la Edad Media la restituyeron a una Europa olvidadiza; y mucho del genio que podían haber empleado en ampliar su propia aritmética, álgebra y trigonometría, lo derrocharon en traducciones y comentarios. Si la teoría del élan vital de Bergson o la filosofía de la historia de Hegel tienen algo de verdad, la geometría griega fue un formidable desastre para ambos.

Por lo tanto, es inútil decir que ésta no es la conclusión tradicional. La superioridad de los métodos puramente sintéticos sobre los algebraicos y analíticos ha sido, por más intuitiva, encomiada por numerosos y distinguidos matemáticos, principalmente de la escuela inglesa posterior a Newton. Y en los siglos XVII y XIX se dice lo mismo de la superioridad del método sintético en geometría proyectiva, sobre el analítico. Ningún matemático negará la utilidad y lo sugestivos que son los diagramas; pero no es eso lo que se discute. Asimismo, se ha dicho que en geometría los métodos sintético y analítico son como un par de manos; indudablemente que eso es cierto con tal de que se trate de una geometría sencilla. Pero la simple expresión de un moderno tratado de física o de uno sobre la correlación parcial en estadística, ni aun cuando el análisis pueda ser descrito en un lenguaje geométrico, revela sino muy pocas demostraciones sintéticas, si es que revela alguna. Lo mismo es cierto de la mayor parte de la geometría contemporánea. Y Lagrange, el gran maestro de dinámica posterior a Newton, se enorgullecía de que su mecánica analítica no contenía ni un solo diagrama.

Una de las más vigorosas defensas de los métodos geométricos de Euclides, Apolonio y Ptolomeo es la debida a Thomas Young (inglés, 1773-1829 d. C.), genio universal que dejó memoria por sus aportaciones a la medicina, la egiptología, la elasticidad y la teoría ondulatoria de la luz. Sus argumentos se repiten frecuentemente aún hoy día, en particular en la enseñanza intermedia que se da a los estudiantes de ciencias. Por una singular ironía de la historia, la defensa de Young se imprimió por primera vez el año 1800 d. C., año que marcó el fin del periodo medio de las matemáticas y el comienzo del actual. Se publicó de nuevo, junto con un demoledor ataque a la mecánica analítica de Lagrange, en 1855 d. C., año en que Gauss, que inauguró el periodo actual, murió. Pero si Young tenía razón al fin y al cabo, su voz clamó en el desierto, y muy pocos parecen haberla oído. Para bien o para mal, en el siglo XVII la matemática se inclinó por el análisis, y los métodos griegos no fueron ya sino objeto de interés histórico.

IV
LA DEPRESIÓN EUROPEA

EN LA historia matemática se acostumbra fechar el comienzo del periodo estéril en el establecimiento de la época del oscurantismo en la Europa cristiana. Pero la decadencia matemática había empezado mucho antes, en una de las mayores civilizaciones materiales que el mundo ha conocido, en el Imperio romano en el apogeo de su esplendor. En el campo matemático la mente romana era torpe.

Aparte de los engorrosos números romanos, a los que se puede llamar creación matemática sólo como caridad benévola, los romanos no crearon nada que se pareciera a las matemáticas, ni siquiera de lejos. Tomaron lo poco que necesitaban para la guerra, el levantamiento de planos y la ingeniería de fuerza bruta, de los griegos, a los que habían aplastado con el peso de las armas, y se contentaron con eso. Cuando Julio César reformó el calendario en el año 46 a. C., no fue ningún romano quien propuso el año bisiesto con su día extra en febrero, sino Sosígenes de Alejandría. La aportación de los romanos a la civilización fue en derecho, gobierno y paz a punta de espada.

La militar Pax Romana empezó a derrumbarse en serio el año 410 d. C., cuando los invasores penetraron en la ciudad de los césares y se llamó a la última guarnición de Bretaña para ayudar a los defensores a hacer frente a la horda invasora de bárbaros. La destrucción del esplendor romano se produjo aproximadamente 60 años más tarde, y con ella cinco siglos de oscurantismo descendieron sobre la Europa cristiana.

Cinco años después de retirar las guarniciones romanas, un motín en la última capital del Imperio griego anunció los siglos de confusión y señaló el fin de la primera gran época de las matemáticas creadoras.

Uno de los últimos matemáticos griegos fue una mujer, Hipatia. Como sus colegas masculinos de Alejandría, el talento de Hipatia fue más bien crítico y comentador que creador. Su muerte simboliza el fin de la ciencia y de las matemáticas paganas y el comienzo de una era de fe. En 415, eran más urgentes las buenas obras que la geometría y la aritmética. Las hordas procedentes del norte necesitaban ser civilizadas y convertidas a una religión más suave.

Para los que cultivaban celosamente este terreno que lo era todo menos virgen, era evidente que había que empezar por quitar de en medio esos decadentes restos de la infructuosa cultura griega. ¿No había la intelectualidad y la inmoralidad griega minado la habilidad de Roma? Había, pues, que relegar la manera griega de pensar al pasado. Como representante del antiguo saber, Hipatia era un obstáculo sobresaliente en la senda del nuevo. Estimulados por su blando obispo, los celosos cristianos de Alejandría eliminaron el obstáculo eficazmente, induciéndola a entrar en una iglesia en la que la asesinaron de un modo inútilmente bárbaro.[1]

Las matemáticas sobrevivieron, alentando apenas, en la Europa cristiana. La siguiente época significativa la inauguraron en el siglo XVIII los infieles seguidores del profeta Mahoma.

LAS MATEMÁTICAS EUROPEAS DE BOECIO A SANTO TOMÁS DE AQUINO

Antes de pasar a la única cosa de alguna importancia para el desarrollo del pensamiento matemático que pudo echar raíces en aquellos estériles siglos, hemos de contentar a la tradición honrando a los sabios europeos de aquella época cuyos nombres adornan las historias clásicas de las matemáticas. De entre una larga lista de celebridades históricas seleccionamos los siguientes como un buen ejemplo, con sus nombres, fechas, todas posteriores a Cristo, y los lugares en que florecieron: Boecio (ca. 475-524, Roma, Italia); Isidoro (ca. 570-636, Sevilla); el Venerable Beda (ca. 673-735, Inglaterra); Alcuino (735-804, nacido en York, trabajó en Francia); Gerberto (950-1003, Roma); Psello (1020-1100, Grecia, Constantinopla); Adelardo (principios del siglo XX, Inglaterra); Roberto de Chester (principios del siglo XII, Inglaterra, España). Esta lista se puede alargar considerablemente sin por ello añadir nada significativo de matemáticas.

No quedaría completo ningún censo de los matemáticos europeos más sobresalientes de la Edad Media sin el memorable nombre de santo Tomás de Aquino (1226-1274, Nápoles, París, Roma, Pisa, Bolonia). Aunque este Newton de la teología escolástica no se suele contar entre la élite de las matemáticas medievales, veremos que bien pudiera hacerse así.

Al contemplar esta estéril lista desde Beda a santo Tomás de Aquino, no estará de más recordar que mientras la civilización europea se descomponía, otra cultura, la musulmana,[2] conservaba los clásicos griegos y desarrollaba el álgebra y la aritmética de la India, en preparación para el Renacimiento europeo. De momento sólo nos interesan las aportaciones de los sabios cristianos.

Del ambiente europeo nos basta recordar la perseverante lucha de la Iglesia para dominar al pueblo y educar levemente a algunos, y los albores del saber que acompañaron a las Cruzadas de los siglos XII al XIII. No hay duda de que las Cruzadas aceleraron, en una Europa que ya despertaba, la difusión de conocimientos que había empezado en 711 con la conquista de España por los musulmanes. Esas influencias se reflejan en el cambio gradual, iniciado a principios del siglo XII, que experimentó el carácter de las matemáticas europeas.

Los eruditos no están de acuerdo sobre si fue el siglo XII o el XIII el de mayor importancia para el despertar de Europa. Esta distinción, si es que hay lugar a ella, no tiene ninguna importancia para las matemáticas. Un punto de interés hubo, y sólo uno. Las versiones latinas de los clásicos de la matemática griega, hechas en su mayor parte a partir de traducciones de los mahometanos al árabe o al persa, empezaron a estar al alcance de los eruditos europeos. Aunque recordemos con gratitud la ferviente obra de los traductores, no hay que olvidar que traducir no es crear. La mejor de las traducciones no añadió nada nuevo a las matemáticas; las peores, hechas por hombres que quizás fueran eruditos, pero malos matemáticos, sólo añadieron confusión.[3]

Para ver a qué profundidad se habían hundido las matemáticas, y para adivinar cuán bajo pueden volverse a hundir si prevalecen los entusiastas de todo lo medieval, volveremos a examinar el periodo desde Boecio a santo Tomás de Aquino, anotando lo que algunos de aquellos gigantes hicieron. En aquella época semicivilizada, algunos de los hombres citados fueron eminentes conservadores de la poca civilización que había. Algunos ayudaron a fundar escuelas elementales, otros se dedicaron a la enseñanza, mientras que los más cerebrales escribieron menguados libros de texto y cultivaron celosamente la numerología teológica. Antes de que la Gran Depresión hubiera avanzado mucho, Boecio describió los consuelos de la filosofía en una homilía que había de ser solaz para muchos de los que tanto lo necesitaban en la Edad Media. Gerberto, uno de los papas más cultos, injustamente acusado en un tiempo de colaboración con el diablo,[4] invistió la tiara en el año 999, y guió sabiamente a la Iglesia a través de aquel ominoso año 1000 para el que tantos desastres satánicos se habían anunciado, sin que sin saber por qué llegaran a materializarse. Como deferencia para la erudición haremos constar de pasada, que una escuela de medievalistas demuestra concluyentemente que no se profetizaron ninguna clase de desastres, mientras que otra escuela demuestra no menos concluyentemente que sí lo fueron. Cualesquiera que fueran los hechos, Gerberto escribió sobre la visión y sobre el cálculo con el ábaco, coleccionó naderías sobre los números poligonales, compiló geometría atribuida a Boecio y a otra fuente aún menos culta, y se dice que participó en popularizar los números arábigos. También tiene la reputación de un vasto saber y de una aguda inteligencia. Algunas de sus cartas lo revelan como singularmente torpe en la aritmética más elemental. Si la aportación de Gerberto a las matemáticas se pasa en silencio, es por la razón de que no hizo ninguna, a pesar de que ninguna historia de las matemáticas se considera completa sin su ilustre nombre. Lo mismo se aplica a Bede y a Alcuino,[5] a los que con justicia se incluye entre los héroes pedagógicos de la Edad Media. Para culminar esta fase, se suele recordar a Psello, principalmente porque se duda si llegó a hacer nada en absoluto en matemática. Quizás por fortuna para su reputación como matemático es dudosa la autenticidad de sus introducciones a Nicómaco y a Euclides. Pero su versión del cuadrivio persistió durante todo el siglo XV.

Con Adelardo y Roberto de Chester pasamos a la fase siguiente. Adelardo, infatigable viajero y erudito cuidadoso, fue un inteligente coleccionador y traductor de los clásicos matemáticos. La tarea del bibliófilo del siglo XI era menos cómoda que hoy día, y Adelardo frecuentemente arriesgó su vida para conseguir sus codiciados manuscritos. Se le atribuyen una de las primeras traducciones europeas de Euclides al latín, y una traducción de las tablas astronómicas de Al-Khowarizmi. La única aportación original de Adelardo a las matemáticas fue un problema completamente trivial de geometría elemental. Roberto tradujo el álgebra de Al-Khowarizmi.

Todos los predecesores de Adelardo juntos se las arreglaron para mantener un cierto aspecto de vida en las rudimentarias matemáticas de la Europa cristiana. Aparte de eso, el mejor de aquellos dignos hombres no hizo sino torpes cálculos de aritmética elementalísima, o intentó abordar la geometría elemental con un espíritu indigno de un escolar griego de 14 años. El despertar de las matemáticas en Europa no se debió a sus esfuerzos, y nada se perdería si sus ilustres nombres quedaran eliminados de la historia de las matemáticas. Pero la tradición, equivocada o no, lo prohíbe. Por consiguiente, nosotros continuamos nuestro descenso hacia el nadir de las matemáticas siguiendo al culto Boecio hasta el abismo.

Los libros de texto elementales de Boecio fueron los que marcaron el paso de las matemáticas en la Europa de la Edad Media. Volviendo a la síntesis pitagórica, Boecio exponía un desnaturalizado cuadrivio de aritmética, música, geometría y astronomía. Consideradas aparte de su contenido medieval, esas cuatro divisiones de la tétrada pitagórica resultan impresionantes. Pero si Pitágoras hubiera mirado por detrás de los nombres, hubiera sufrido un desengaño. La geometría, por ejemplo, empezaba intrépidamente con Euclides, pero no llegaba muy lejos. Sólo se ofrecían al ávido estudiante los enunciados de las proposiciones del Libro I y unas pocas del III y IV. Cuando la inteligencia matemática alcanzó su más alto nivel, los educados más liberalmente se graduaban en geometría cuando se habían aprendido de memoria los enunciados de las cinco primeras proposiciones del libro primero de los Elementos. Más tarde, cuando ya se disponía de otras cosas de Euclides, se estimulaba a los ambiciosos futuros eruditos a aprenderse de memoria las demostraciones de esas cinco proposiciones. La quinta, muy apropiadamente, recibía el apodo de Puente de los Asnos (pons asinorum). Pocos intentaban la azarosa travesía de los ángulos iguales en la base de un triángulo isósceles.

En su aritmética, Boecio seguía a Nicómaco de Alejandría. Como hemos visto, Nicómaco a su vez había seguido a Pitágoras, muy místicamente, produciendo un ostentoso tratado de las propiedades elementales de los números que bien pudiera haber sido compuesto por un amable filósofo aficionado a la numerología. De pasada diremos que los matemáticos desaprueban llamar a esas efusiones teoría de números a causa de la tradición.[6] Menos craso sería confundir la astrología con la astronomía. Sin embargo, Boecio reproducía la criba de Eratóstenes y presentaba algunos divertidos pasatiempos sobre los números figurados. La demostración no le atraía más que a su maestro Nicómaco. También algunos controvertistas le atribuyen a Boecio una problemática introducción a los números arábigos para suplementar al ábaco y al tablero de cuentas comerciales. El resultado práctico de todo esto era un complicado cálculo que bastaba para sencillas transacciones monetarias, y para mantener el calendario en orden de manera que pudiera ser encontrada anualmente la fecha de la Pascua. Entonces, sería exagerado llamar matemáticas a estas cuentas o a esta menguada geometría. Por completo se había olvidado la importancia de las matemáticas como sistema deductivo. Puesto que la ciencia se había hundido hasta el nivel de la superstición, la otra mitad de la visión pitagórica no sobrevivía sino en los fantásticos absurdos de la numerología sagrada y profana, ya que el número reinaba en el oscuro universo de la Europa de la Edad Media.

Sin embargo, el erudito Boecio hizo una aportación al saber que quizás tuviera más influencia para el desarrollo de las matemáticas que todas las ediciones de su lamentable aritmética y geometría. En una traducción latina que hizo, puso a disposición de los eruditos europeos una parte del sistema de lógica aristotélica.

Lo que sigue es sólo hipotético, pero aun así es menos deprimente y quizás menos fútil que esa lamentable lista de homúnculos matemáticos cuyas santas vidas y ausencia de obras constituyen la historia oficial de las matemáticas de la Europa cristiana de la Edad Media.

ANÁLISIS SUBMATEMÁTICO

Para la mente científica o matemática de hasta el siglo XX, las disputas lógicas que absorbieron la mayor parte de la energía mental de la Edad Media fueron siempre la culminación de la futilidad. Pero en las dos décadas que siguieron a la guerra mundial de 1914-1918, todo lo medieval se hizo más popular que nunca desde que surgió la ciencia moderna. Por muchas razones, varios dejaron de hacerse ilusiones sobre el progreso. Culpando a la ciencia, y con alguna ocasional diatriba contra las matemáticas, los desilusionados idealistas se volvieron ciegamente hacia el siglo XII y hasta el IX en busca de una seguridad autorizada más satisfactoria que ninguna ciencia. Si los seguidores de esos desesperados viajeros hacia el pasado se equipan debidamente quizás restituyan para el futuro un tesoro de la historia del saber matemático comparable al que se ha recuperado de Babilonia. Quizás descubran dónde quedó enterrada la matemática europea después de la muerte de Hipatia, y qué forma asumió durante su largo enterramiento.

Dos cosas en particular se pueden buscar con algunas perspectivas de éxito: la lucha del concepto filosófico griego del infinito, atribuido a Anaximandro, en el siglo VI a. C., para transmutarse en el moderno infinito matemático; la lucha muy semejante del análisis matemático para salir a la luz.

La mente matemática no estaba muerta durante la Edad Media. Simplemente dormida. En su desasosegado descanso imaginó algo curiosamente parecido a las matemáticas, pero no pudo despojarse de sus ofuscaciones y despertar. Las sutilezas teológicas, los subterfugios escolásticos que absorbían la inteligencia de generaciones y generaciones de geómetras y analistas en potencia, eran la pesadilla de la matemática aletargada.

Posiblemente, el súbito despertar de la mente matemática, después de su largo sueño, no parezca una discontinuidad tan abrupta cuando los eruditos hayan tenido la paciencia de explorar el pensamiento medieval a la luz de las matemáticas modernas. En algún sitio y de algún modo las matemáticas sufrieron durante la Edad Media una profunda mutación. Cuando se durmieron, las matemáticas eran griegas; cuando despertaron rápidamente, se desarrollaron en algo que no era griego. Los musulmanes no fueron responsables de este cambio. Sus matemáticas, al esquivar el infinito, quedaron tan lejos en espíritu del análisis como las de los babilonios.

Parece que la transición de la antigua manera de pensar a la moderna ha sido más difícil en matemáticas que en las ciencias. No parece que haya ni un solo ejemplo neto de una mente matemática que apareciera en la Edad Media adelantándose dos o tres siglos a su época, como fue el caso de Roger Bacon (¿1214-1294?) en la ciencia. Hasta Bacon, muy despierto en ciencia, estaba todavía dormido en las matemáticas, que las aplaudía como uno cualquiera de sus contrincantes europeos del siglo XIII. Su manera matemática de razonar[7] era todavía la de los escolásticos aristotélicos, a los que creía que confundía en su lógica: “digo que si la materia es la misma en dos substancias puede ser la misma en un número infinito […] Por tanto la materia tiene un poder infinito. Y por tanto también de una esencia infinita como se demostrará y, por consiguiente, ha de ser Dios” lo cual, por supuesto, refuta Bacon. Trata de conseguir su objeto mediante un razonamiento basado en un postulado de Euclides que los escolásticos más agudos habían refutado. Aquéllos no suponían como él que “el todo es mayor que cualquiera de sus partes”, para grupos infinitos.

Muchas veces se ha puesto de manifiesto la semejanza entre el arte griego, desde la escultura a la arquitectura, con la matemática griega. No hay necesidad de adoptar aquí esa semejanza; o bien se considera como poco más que una vaga metáfora o se rechaza como desprovista de significado. Una comparación análoga entre la arquitectura gótica y la matemática moderna impresionó a muchos que no estaban muy interesados en las matemáticas antes de que Spengler explotara su teoría fáustica de las matemáticas posteriores a los griegos. Así, en 1905, Henry Adams escribía de la catedral de Chartres que “Chartres expresa […] una emoción, la más profunda que jamás experimentó el hombre: la lucha de su propia pequeñez para comprender el infinito”.[8]

También da Adams una compasiva parodia de la perversión medieval de razonamiento matemático elemental para los usos del escolasticismo en una discusión imaginaria pero convincente entre aquellos dos formidables campeones del análisis submatemático, Abelardo (1079-1142) y William de Champeaux (1070-1122). Pero como ejemplo de lo mejor de la matemática gótica es más sugestiva su cita del arzobispo Hildeberto (siglo XI). “Dios está sobre todas las cosas, bajo todas las cosas, fuera de todo; dentro de todo; dentro pero no encerrado; fuera pero no extendido; encima pero no elevado; debajo pero no oprimido; completamente encima, presidiendo; completamente debajo, sustentando; completamente fuera, arrasando; completamente dentro, llenando.” Esto va mucho más allá que la lógica aristotélica; su objeto es el Medio Excluido.

Para que, después de esto, no parezca fantástico el proyecto de desenterrar las matemáticas de la dialéctica de la Edad Media, se puede recordar, para estímulo de los que deseen proseguir, otros dos hechos significativos. Georg Cantor (1845-1918, Alemania), fundador de la moderna teoría del infinito matemático, estudió muy cuidadosamente la teología medieval. A este respecto, parece que el tipo de cerebro tradicionalmente religioso es el que más fuertemente se siente atraído por las matemáticas de Cantor. El otro hecho significativo es el descubrimiento[9] en 1936 por Michalski (polaco) de que Guillermo de Occam (inglés, 1270-1349) propuso una lógica de tres valores, anticipando en cierto modo la obra de los lógicos matemáticos no aristotélicos en las lógicas de múltiples valores posterior a 1920. La lógica de Aristóteles es de dos valores, siendo éstos la “verdad” y la “falsedad” que se asigna a las proposiciones. En la lógica de Occam se admite el término medio que excluía Aristóteles.

Al amable y erudito Boecio con su traducción de Aristóteles corresponde una gran parte del crédito que se pueda conceder por haber dejado dormir a las matemáticas en la Europa medieval. El resto se puede conceder a las hordas de infatigables lógicos que durante siglos se esforzaron en fundir la teología y la filosofía en un todo sin contradicciones. Cuando, finalmente, santo Tomás de Aquino (1227-1274), “el buen mudo de Sicilia”, como le llamaban sus celosos y envidiosos rivales, pero maestro de todos ellos, lo consiguió, ya se había desvanecido el interés en el estupendo proyecto. Estimulada por los irascibles musulmanes, la Europa cristiana despertó, y se volvió, quizás con un suspiro de alivio, en busca de algo de ciencia y de matemáticas.

Mirando hacia delante, recordamos que en la primera semana de septiembre de 1939 volvió a prevalecer en la Europa cristiana la mente medieval. Entonces, sería interesante saber qué es lo que nuestros regenerados descendientes recordarán en el año 2039 de nuestra ciencia y de nuestras matemáticas, y qué pueblo, si es que alguno lo ha de ser, desempeñará el papel de musulmanes del futuro.

V
EL RODEO POR LA INDIA, ARABIA Y ESPAÑA

 [400–1300] 

UNO DE los episodios más dramáticos de la historia es el súbito encumbramiento, y la casi tan súbita decadencia de la cultura musulmana en los siglos VII a XII.[1] Aquí no estamos interesados más que en enseñar la influencia duradera que la cultura de este periodo pudiera tener sobre las matemáticas; y no debemos dejar que el contraste entre el brillo repentino de la civilización mahometana en contraste con la oscuridad de Europa nos deslumbre haciéndonos ver en las matemáticas musulmanas más de lo que en realidad había.[2]

En el año 622 los seguidores de Mahoma ya habían avanzado bastante en sus viajes. Sus actividades bajo el estandarte verde constituyen el mayor revivir religioso que se conoce, siendo lo único que puede competir de cerca con ello el contra-revivir de las Cruzadas en los siglos XII y XIII con el reconocido objeto de suplantar el estandarte con la Cruz. Después de la captura de Damasco el año 635, los victoriosos mahometanos procedieron a sitiar a Jerusalén, tomando esa ciudad sagrada el año 637. Cuatro años más tarde habían sometido a Egipto dando el toque final a la destrucción de la biblioteca de Alejandría. Sin embargo, esto no era sino una indiscreción juvenil, ya que en breve los musulmanes habían de sentar la cabeza llegando a ser los más asiduos favorecedores del saber griego que registra la historia. Sometido Egipto, a continuación (642) tomaron Persia con toda su civilizada erudición.

Setenta años más tarde (711), los conquistadores entraron en España, en la que durante unos ocho siglos hicieron progresar a la civilización antes de que los expulsaran los europeos, a los que por fin consiguieron despertar. Además de sembrar para siglos la fértil semilla de la guerra, trajeron consigo a Europa la aritmética y el álgebra de la India y de Grecia, y la geometría griega. Bagdad, a orillas del Tigris, fue bajo los califas Abasidas, desde el año 750 a 1258, la capital de la cultura oriental, y Córdoba, en España, la reina intelectual del Occidente. Después de la derrota de los árabes (1212), los eruditos judíos, muchos de los cuales habían adquirido su saber de los tolerantes musulmanes, compitieron con los maestros cristianos en la difusión de la ciencia y de las matemáticas que habían de relegar al escolasticismo al limbo de las desdichas del intelecto, olvidables pero inolvidadas.

Durante la larga ausencia de los musulmanes, España no contribuyó nada a las matemáticas. Con la partida involuntaria de los judíos a fines del siglo XV, una salvaje intolerancia para la libertad del pensamiento, judío o gentil, sucedió a una sana liberalidad, dejando como monumento a la ciencia cuatro siglos estériles.

NACIMIENTO PARCIAL DEL ÁLGEBRA

Quizás el adelanto más significativo que se consiguió en ese periodo fue el nacimiento gradual del álgebra como disciplina matemática por derecho propio, con independencia de la aritmética y la geometría, pero estrechamente relacionado con ambas.

También empezó a ser posible reconocer a la trigonometría como división separada de las matemáticas; y hay quien ve en la trigonometría de los musulmanes su obra más grande y más original; se le puede conceder en parte la originalidad, pero por razones que quedarán claras cuando avancemos más, la trigonometría no tiene para las matemáticas actuales importancia comparable con el álgebra de los hindúes y de los musulmanes, con su lucha fracasada por un simbolismo operatorio. Antes de que la trigonometría pudiera funcionar vitalmente en la matemática moderna, del mismo modo que la geometría, hubo de hacerse analítica. No hay ningún indicio de que esa transformación se iniciara antes del siglo XVII y en realidad no se llevó a cabo por completo más que en el XVIII. La trigonometría musulmana es todavía esencialmente la de Ptolomeo, ampliada y perfeccionada con algunos razonamientos algebraicos y una extensa aplicación de la aritmética de los hindúes y de los musulmanes para el cálculo de las tablas. A causa de su misma naturaleza como matemáticas de lo discreto, el álgebra no podía llegar a ser una parte del análisis matemático y, en consecuencia, no sufrió ninguna perturbación con los vaivenes analíticos del siglo XVII.

El álgebra musulmana parece haberse desarrollado a partir de los últimos griegos como Diofanto, y de la técnica mucho más inteligente de los hindúes. Las valuaciones que se hacen del álgebra de la India difieren mucho, pero hay dos puntos sobre los que se está bastante de acuerdo. La demostración desagradaba tanto al temperamento indio como agradaba al griego; los hindúes eran tan aptos para el cálculo como los griegos eran ineptos. Sólo examinando el álgebra hindú con una excesiva simpatía se puede llegar a encontrar algo que se parezca a una demostración. Claramente se enunciaban las reglas, pero eso no constituye una demostración. También hay un tercer rasgo de la primitiva álgebra hindú que sorprende al observador moderno como curioso en extremo: los primeros algebristas expertos parecían encontrar las ecuaciones indeterminadas (diofánticas) mucho más fáciles que las ecuaciones determinadas del álgebra elemental. Actualmente ocurre lo contrario.

Un pequeño ejemplo del álgebra hindú nos bastará para indicar la calidad de lo que los musulmanes heredaron, conservaron y estropearon en parte. En el siglo VI, Aryabhatta sumó progresiones aritméticas, resolvió ecuaciones de segundo grado determinadas con una incógnita, y ecuaciones lineales indeterminadas con dos incógnitas, y usó las fracciones continuas. Poco después el álgebra hindú pasó por lo que algunos consideran su edad de oro, con la obra de Brahmagupta, a principios del siglo VII, justamente cuando los musulmanes estaban a punto de iniciar sus correrías. Brahmagupta enunció las usuales reglas algebraicas de los negativos, obtuvo una raíz de las ecuaciones de segundo grado y, lo que es más notable, dio la solución entera completa de ax ± by = c, en que a, b y c, son constantes enteras. También discutió la ecuación indeterminada ax² + 1 = y². Esta última recibe el nombre equivocado de ecuación de Pelli; inspiró a Lagrange en 1766-1769 algunas de sus mejores obras de la matemática pura; es fundamental en las teorías de aritmética de las formas cuadráticas binarias y de los campos cuadráticos. Más adelante veremos el lugar que ocupan en la historia de las matemáticas.

Otra vez a propósito de esto parece raro que algebristas que no dudaban en abordar problemas realmente difíciles dejaran de ver claro en la cuestión de las sencillas ecuaciones de segundo grado. Como ya hicimos notar en relación con Eudoxio, los primeros algebristas se detenían debido a una deficiencia de la facultad lógica de los griegos. Sin un amplio sistema numérico los hindúes estaban imposibilitados para crear algo que se pareciera a un álgebra científica. Así, Mahavira, en el siglo IX, descartaba sin sombra de duda, como inexistentes los números imaginarios con que se tropezaba sin tratar de explicar su aparición. Tres siglos más tarde, Bhaskara percibió que las ecuaciones de segundo grado tienen dos raíces, pero rechazó las negativas.

Sin embargo, el álgebra hindú dio un paso, aunque no muy firme, hacia el simbolismo operatorio. A lo que ya hemos indicado respecto al simbolismo, se puede añadir el siguiente resumen de los principales progresos de los hindúes hacia el álgebra simbólica. Los críticos no están de acuerdo sobre cuánto avanzaron los hindúes en esta dirección, pero los que siguen parecen ser hechos demostrados. Aryabhatta (siglo VI) sugirió el uso de las letras para representar incógnitas. Brahmagupta (siglo VII) usó abreviaturas para cada una de las varias incógnitas que se presentan en problemas particulares y también para los cuadrados y para las raíces cuadradas. Distinguían a los números negativos con un punto; y las fracciones las escribían como nosotros, pero sin la raya, es decir, . Un manuscrito que se cree de la época 700-1100 exhibe una cruz, como nuestro signo más, escrita después del número afectado para indicar menos. Bhaskara (siglo XII) imitó a Brahmagupta en la notación de las fracciones y también en la costumbre de escribir un miembro de una ecuación bajo el otro, y en la escritura sistemática sincopada de las potencias sucesivas. No había signo de igualdad. Brahmagupta también hizo la reducción de los tres tipos de ecuaciones cuadráticas diofánticas con una incógnita a la forma que ahora es habitual.

No hay unanimidad de opiniones respecto a la importancia que se debe conceder a esos artificios. Los más liberales consideran que los hindúes poseían la facultad del simbolismo algebraico como técnica operatoria, procediendo de acuerdo con reglas fijas y con procedimientos uniformes: la técnica para resolver problemas de ciertos tipos se indicaba en la misma escritura de los problemas. Todas las complicadas instrucciones verbales para dar los pasos sucesivos hacia la solución se explican como una garantía contra la estupidez, ya que aun en sus mejores aspectos, el álgebra hindú era todavía, a pesar del uso liberal de las abreviaturas, fundamentalmente retórica por no estar plenamente simbolizadas las instrucciones para operar. La crítica menos generosa no admite que su metodología sea superior a la de Diofanto. Los hindúes no parecen haber dejado nada en apoyo de la primera opinión. Posiblemente consideraban que el significado de lo que hacían era tan evidente que los comentarios sobre la metodología eran superfluos. La introspección en las matemáticas es una neurosis moderna.

También se presenta la enfadosa cuestión de hasta qué punto el álgebra de los hindúes era original de ellos, y hasta qué punto de los griegos. Hasta que los sabios competentes lleguen a algo que se parezca a un acuerdo, no tiene objeto que los demás reproduzcan sus opiniones divergentes. Con el descubrimiento del álgebra babilónica, parece menos probable que nunca que la discusión se decida en un tiempo finito. También hay que considerar, posibilidad fascinante, a los antiguos chinos. ¿Influyeron o no sobre los sumerios? ¿Existe la posibilidad de que los sumerios enseñaran a los chinos? ¿Quizá los hindúes les enseñaron a todos ellos? ¿O fueron todos ellos los que enseñaron a los hindúes? ¿Y qué papel jugó Siria? De pasada podemos poner de manifiesto un tipo de razonamiento en apoyo de una hipótesis favorecida. Si suponemos que la civilización A es más antigua que la civilización B, y si en B se estudió un cierto tipo de problema en fecha posterior que en A, se sigue que B recogió el problema de A. Esto está de acuerdo con la teoría de la difusión de las culturas.[3] Según la otra posibilidad, es decir, según la teoría de la espontaneidad, no se pueden sacar conclusiones; e incluso con la teoría de la difusión falta demostrar que los datos no están contaminados con intrusiones de espontaneidad. La escasez de pruebas documentales complica el problema.

Por fortuna para nuestro interés inmediato, no es necesario resolver esas profundas cuestiones antes de que se haya podido aclarar la influencia de la aritmética y del álgebra hindúes sobre las matemáticas de los árabes. Éstos admiten haber reproducido obras hindúes, y por lo tanto resulta razonable inferir que los árabes recibieron influencia de los hindúes. Con esta suposición se pone de manifiesto una vez más lo propensos que son los humanos a ir a casa por el camino más largo. Como los griegos con su indiferencia hacia el álgebra babilónica, los árabes acabaron por volver la espalda a los rudimentarios indicios de simbolismo operatorio que contenía el álgebra hindú y la suya propia, y escribieron todo, hasta los nombres de los números, con todas sus letras. Este retroceso de los árabes fue un paso hacia atrás tan lamentable como el que más de los que registra la historia de las matemáticas. Absorbiéndose en recoger inteligentemente y en examinar meticulosamente los numerosos ejemplares interesantes, perdieron de vista por completo el objetivo principal. Tan sólo en 1489, cuando en Alemania Widmann inventó los signos + y −, empezó a ser el álgebra más operacionalmente simbólica de lo que había sido para Diofanto y para los hindúes.

Antes de dejar el álgebra hindú observaremos lo que se suele considerar como su culminación. La inspeccionaremos muy de cerca, primero con el halo de una dorada puesta de sol, después a la luz poco sentimental de las matemáticas. Los dos aspectos son extrañamente distintos; dejaremos al gusto de cada cual preferir uno u otro.

Bhaskara, aproximadamente en 1150, “dio un método para deducir series de soluciones de Cx² + 1 = y² a partir de una serie encontrada por tanteo”.[4] Este problema es el de la llamada ecuación de Pelli: resolver Cx² + 1 = y² encontrando valores enteros de x y de y, y siendo C un entero que no sea cuadrado perfecto, y xy ≠ 0. Bhaskara discutió también Cx² + B = y², en que C y B no son cuadrados perfectos. Sus artificios elementalísimos han despertado una profunda admiración. Contemplándolos con el halo dorado, observamos[5] que “la primera vez que se abordó la ecuación de Pelli fue por la erudición brahmánica”, y notamos que esta ecuación “ha servido para que ejerciten sus mejores facultades algunos de los mayores analistas modernos”. También vemos que la manera que tiene Bhaskara de abordar la ecuación “es digna de los mayores elogios; es, con seguridad, lo mejor que se ha conseguido en teoría de números antes de Lagrange”.[6]

De esas tres citas, la primera es una verdad fácil de comprobar. La segunda parece afirmar que el modo de enfoque de Bhaskara es cualitativamente comparable con el de “algunos de los mayores analistas modernos”. La tercera califica a la solución empírica parcial de Bhaskara de mejor, en la teoría de números, que la solución completa indirecta de Euclides de x² + y² = z².

A la fría luz de las matemáticas, parece que Bhaskara podía encontrar un número cualquiera de soluciones con tal de que tuviera la suerte de adivinar una. No contaba con ningún medio para determinar si una ecuación dada de Pelli tenía solución, ni tampoco, cuando había obtenido otras soluciones de aquella tan felizmente adivinada, podía decir si las tenía todas. Su procedimiento para determinar soluciones a partir de la inicial era ingenioso. Pero ignoraba los únicos puntos de alguna dificultad y de interés matemático: la existencia de una solución, y el saber si las obtenidas eran todas.

En contraste con este supremo resultado de la erudición brahmánica, observemos lo que sucedió cuando uno de “nuestros mayores analistas modernos” ejercitó sus “mejores facultades” en la ecuación de Pelli. Lagrange admitió que tuvo que esforzarse para conseguir sus resultados. En 1766-1769 solucionó el problema de existencia, y dio un método directo no empírico para encontrar todas las soluciones. Bhaskara era un empírico; Lagrange un matemático.

La conclusión desprovista de romanticismo es que Bhaskara quedó muy por debajo del nivel establecido por Euclides, nivel que no se volvió a alcanzar hasta Lagrange, en el siglo XVIII. No parece injusto sacar la misma conclusión respecto al resto de las matemáticas hindúes. Pero se suele conceder que los mejores algebristas hindúes estaban muy por delante de Diofanto en pericia operatoria. Esto, y su fracasada tentativa de crear un simbolismo operatorio, parece haber sido la principal aportación de los hindúes al desarrollo de la matemática.

El álgebra de los árabes parece haber dudado entre el gusto de Grecia y el de la India, eligiendo al último en su periodo más creador, sólo para caer en una retórica imposible, cuando en el siglo IX se hizo clásico con la obra maestra de su representante más famoso, Al-Khowarizmi.

Los árabes tradujeron al árabe y al persa el álgebra hindú; y como el árabe era un idioma importante no sólo en erudición, sino también en el comercio y en la guerra, el álgebra griega e hindú, simplificada, y en cierto modo sistematizada por los árabes, acabó por penetrar en Europa. Las Cruzadas de los siglos XII y XIII ayudaron por lo menos indirectamente a difundir el álgebra, la trigonometría, los clásicos de la Antigüedad y las enfermedades contagiosas.

De una impresionante lista de traductores, comentadores, y aportaciones de menor importancia de los árabes, sólo necesitamos mencionar aquí a dos de ellos. Ambos muestran cierta originalidad, y en particular el primero influyó profundamente sobre la primitiva álgebra europea. Su nombre completo es Mohammed ibn Musa Al-Khowarizmi de Bagdad y Damasco (murió hacia el 850) y produjo el primer tratado (hacia el 825) en que se presenta un equivalente de nuestra “álgebra” —al-jebr w’almuquabala, que significa “restauración y reducción”, aludiendo a lo que ahora se llama transposición de términos negativos, para producir ecuaciones con todos sus términos positivos, y a la subsiguiente reducción simplificando los términos de igual potencia de la incógnita—. Esto parece haber sido idea original de Al-Khowarizmi; la obra, en conjunto, está compuesta de resultados griegos e hindúes. Su principal progreso fue una aplicación de los nombres de los números hindúes a la solución numérica de las ecuaciones.

Ya se ha indicado[7] el progreso más importante de Al-Khowarizmi en dirección negativa. Parece ignorarse la razón de por qué volvió a un álgebra puramente retórica sin un solo indicio de simbolismo que la vivificara. Un psiquiatra podía decir que se trataba del instinto de la muerte abriendo su camino. Pero el álgebra, aunque medio estrangulada, sobrevivió, demostrando con ello que para privar a las matemáticas de su vida es necesario algo más que una resuelta tentativa de suicidio. Al-Karkhi (hacia 1010), en lo que se suele calificar como obra maestra del álgebra, continuó la tradición retórica. Si no estuviera bien establecido, resultaría difícil creer que los algebristas europeos de la Edad Media tuvieran la persistencia de descubrir lo que los algebristas retóricos del Islam trataron de comunicarles.

Con justicia o sin ella, el álgebra sin simbolismo decepciona al profano de tipo medio al que se le ha asegurado que “los árabes inventaron el álgebra”. Desgraciadamente, nunca se incluyó entre los conocimientos que había de tener un caballero, y ni siquiera un erudito, el dominio del árabe, como se solía hacer, aunque ligeramente, con el latín y el griego en el siglo XVIII. Por consiguiente, el matemático o el historiador de matemáticas capaz de formarse un juicio personal del álgebra árabe ha sido siempre muy raro; y de los pocos que se dignaron compartir sus descubrimientos con los que ignoraban el árabe, algunos han presentado los resultados de sus investigaciones con el simbolismo familiar del álgebra tal como se enseña hoy día a los principiantes. En ciertos aspectos estas aduladoras versiones de la verborrea original recuerdan a mendigos disfrazados con sedas. Para apreciar la diferencia entre el original y el disfraz moderno, el curioso debe insistir en que un erudito que domine el árabe les lea una traducción literal de un documento original de álgebra árabe. Para hacer las veces de éste, presentamos el siguiente extracto, transcrito de la traducción inglesa del álgebra de Al-Khowarizmi, por Rosen (1831). La traducción de éste reproduce el árabe original, de modo que los conocedores pueden saborear su calidad. El párrafo que citamos pertenece a la Historia de las notaciones matemáticas (1928), del historiador suizo de las matemáticas Florian Cajori. Rosen hace notar que “en el texto siempre se expresan los números por medio de palabras; los números hindú-arábigos sólo se usan en las figuras, y en algunas notas marginales”. A continuación transcribimos el párrafo:

¿Cuál es el cuadrado que al añadirle veintiuna dirhems se hace igual al equivalente de diez raíces de aquel cuadrado? Solución: divídase por dos el número de las raíces; la mitad es cinco. Multiplíquese éste por sí mismo. El producto es veinticinco. Sustráigase de esto el veintiuno que está relacionado con el cuadrado; el resto es cuatro. Extráigase raíz; es dos. Sustráigase esto de la mitad de las raíces, que es cinco; el resto es tres. Esto es la raíz del cuadrado que se buscaba, y el cuadrado es nueve. O también se puede sumar la raíz a la mitad de las raíces; la suma es siete; ésta es la raíz del cuadrado que se buscaba, y el cuadrado en sí es cuarenta y nueve.

Por supuesto que el simbolismo en sí no es matemática, y ninguna notación por muy hermosa y apropiada que sea puede hacer que un razonamiento torpe o trivial parezca matemático. Hay partes enteras de la matemática sin apenas simbolismo, y páginas enteras de símbolos sin apenas nada de matemáticas. Sin embargo, como en el párrafo anterior, el evitar por completo el simbolismo no es siempre una virtud digna de imitación, especialmente por los neófitos. Rosen traduce, para los profanos que puedan encontrar dificultades para reconocer el álgebra que se pone ante ellos, el ejercicio retórico de Al-Khowarizmi en su equivalente simbólico:

Esta ecuación particular se presenta muchas veces en la historia primitiva del álgebra.

Al tratado de Al-Khowarizmi se atribuye una buena proporción del despertar matemático de la Europa cristiana; y una traducción latina del siglo XII, de unos capítulos perdidos de Al-Khowarizmi sobre los números hindúes, se dice que hizo mucho para dar a conocer a los europeos aquel gran invento. Concediendo a esta obra de transmisión toda su importancia histórica, y contrapesándola con el álgebra árabe, dejamos al cuidado del lector buscar el punto de equilibrio, entre las tres siguientes valoraciones de las matemáticas árabes.[8]

“El más grande matemático de su época (principios del siglo IX), y si se tienen en cuenta las circunstancias que concurrían, uno de los mayores de todos los tiempos, fue Al-Khowarizmi.” En las otras dos se concede toda su importancia a la trigonometría árabe, que describiremos más adelante. “Su obra [la de los árabes] fue principalmente de transmisión, aunque mostraron bastante originalidad en álgebra y hasta algo de genio en trigonometría.” “Si comparamos la obra que produjeron [los árabes] con la de los escritores griegos o europeos modernos, es en conjunto, de segunda fila, tanto en calidad como en cantidad.”

Tres siglos después de que el gran Al-Khowarizmi hubiera terminado sus trabajos, es decir, hacia fines del periodo cultural, el poeta y matemático persa Omar Khayyam (muerto hacia 1123) alcanzó un nivel matemático considerablemente superior al de todos sus predecesores. Este filósofo algo cínico y sin cuidados tenía imaginación. No contentándose con una colección de reglas, Omar clasificó las ecuaciones cúbicas, e ideó un método para resolver geométricamente las ecuaciones numéricas de tercer grado, muy general con las limitaciones del sistema numérico que entonces existía. Otros, que según se dice se basaban en Arquímedes, ya habían resuelto, mucho antes que Omar, las ecuaciones de tercer grado, por medio de las cónicas; en realidad, el método ya era familiar para los árabes del siglo IX. Sin embargo, no fue la obra técnica de Omar, sino sus hipótesis erróneas de que las ecuaciones de tercer grado no son solubles algebraicamente, ni las de cuarto grado geométricamente, las que lo señalan como algo más que un fiel transmisor, táctico experto y taxónomo del álgebra.

Pero, por intrépido y original que fuera, Omar se negó en redondo a aceptar las raíces negativas. También sus hipérbolas carecían de las ramas negativas. Una vez más, el no comprender bien el concepto de número amordazó al álgebra y a la geometría.

LA APARICIÓN DE LA TRIGONOMETRÍA

En su significado literal de “medida del triángulo”, la trigonometría es tan vieja como Egipto, aunque desde luego en una forma extraordinariamente rudimentaria. La astronomía griega necesitaba de la geometría esférica, y esto, combinado con la reducción de las observaciones, requería, a su vez, lo que podríamos llamar cálculo de las funciones trigonométricas.

Tolomeo en el siglo II d. C. resumió en su μεγάλησύνταξις = Almagesto, las características principales de la geometría esférica, e indicó un método para el cálculo aproximado de lo que viene a ser una grosera tabla de senos, o “semicuerdas”. Tolomeo usaba las cuerdas; la falta de exactitud era inevitable por el método geométrico que necesitaba de interpolaciones en un intervalo demasiado extenso. De este modo, la trigonometría plana fue tradicionalmente nada más que un suplemento de cálculo para la trigonometría esférica, y en consecuencia los elementos de la trigonometría, matemáticamente más importantes, surgieron con una lentitud innecesaria. Quizás en el fondo, la razón de que los hindúes y los árabes perfeccionaran la trigonometría no fueran sus aplicaciones al levantamiento de planos, sino la necesidad astronómica de una interpolación más precisa.

Una obra hindú de aproximadamente el siglo IV avanzó considerablemente más allá de la trigonometría griega, tanto en cuanto a método como en cuanto a precisión, dando una tabla de senos, calculada para cada 3.75° de arco hasta los 90°. La regla usada para calcular la tabla era errónea, pero posiblemente dio resultados suficientemente precisos para las inexactas observaciones de aquella época. En todo caso, su vuelta al empirismo es una interesante ilustración de la diferencia tan radical entre la manera griega de abordar las matemáticas y la oriental, y también a ese respecto entre la oriental y la moderna, aun en lo más crudamente práctico.

Los árabes adoptaron y desarrollaron la trigonometría hindú. El primer progreso notable se debió al astrónomo Al-Battani (muerto en 929), en el siglo IX. Si bien en realidad no fue el primero que aplicó el álgebra en lugar de la sola geometría a la trigonometría, este astrónomo matemático fue el primero que dio un gran paso en esa dirección. Además usó del seno hindú, la tangente y la cotangente. En el siglo X se calcularon tablas de estas dos últimas, y también hicieron su aparición la secante y la cosecante como razones trigonométricas. Por estar el concepto de función todavía aproximadamente 600 años en el futuro, nada en su obra se parece mucho a la trigonometría elemental de hoy día.

Se pueden citar otros tres nombres que señalan fases definidas en el nacimiento de la trigonometría como disciplina matemática separada. Abul-Wefa, a últimos del siglo X, empezó a sistematizar toda la trigonometría que se conocía en la época, y la redujo a un sistema deductivo muy poco sólido. El primer texto árabe de trigonometría como ciencia independiente fue el debido al astrónomo persa Nasir-Eddin (1201-1274). El libro era algo más que un simple compendio, y daba abundantes muestras de un seguro talento matemático. Como el álgebra de Diofanto, esta obra quedó demasiado cerca del fin de su época cultural para que pudiera ejercer todo su peso sobre el futuro de las matemáticas, y los europeos repitieron muchas de sus partes, en apariencia, sin darse cuenta de su existencia.

El último nombre que citaremos sugiere una curiosa parte de la historia que puede ser digna de exploración. Leonardo de Pisa (Fibonacci) reaparecerá más adelante; aquí indicaremos que publicó su obra maestra, el Liber abaci, en 1202 (revisado en 1228). Se debe en gran parte a Leonardo el dar a conocer en Europa el álgebra hindú-arábiga y los números hindúes. Entre otras significativas naderías que contiene el libro de Leonardo está la bien conocida identidad algebraica (a² + b²) (c² + d²) = (ac + bd)² + (ad ∓ bc)². Sería interesante saber de dónde, en sus viajes por Oriente, recogió Leonardo esto, ya que como es fácil ver incluye los teoremas de adición de senos y cosenos. También fue el germen de la teoría de Gauss de las formas cuadráticas aritméticas, y posteriormente de interesantes aspectos del álgebra moderna. Con las restricciones adecuadas en cuanto a uniformidad, continuidad y valores iniciales, cuando a, b, c y d son funciones de una variable, la identidad contiene toda la trigonometría.

LAS MATEMÁTICAS EN UNA ENCRUCIJADA

Mientras que Europa dormía y se olvidaba de las matemáticas griegas, los eruditos árabes traducían laboriosamente todo lo que podían recuperar de la obra de los matemáticos clásicos griegos. Varias de estas traducciones fueron las primeras fuentes en que la Europa cristiana pudo revivir las matemáticas que había dejado morir. Por este oportuno servicio a la civilización, no cabe la menor duda de que los árabes merecen toda la gratitud que han recibido. Pero, aun a riesgo de parecer ingrato, el matemático ha de atemperar la gratitud con el hecho de que erudición y creación pertenecen a universos diferentes.

Si los árabes no hubieran hecho nada más que preservar y transmitir, apenas hubieran merecido una mención de pasada, aun en los relatos más resumidos del desarrollo de las matemáticas. Esto puede parecer demasiado brutal, pero es justo con arreglo al único criterio que asegura el progreso en vez del estancamiento. El único criterio para juzgar a los matemáticos es el de la creación. A menos que un hombre añada algo nuevo a las matemáticas, no es un matemático. Y por este criterio, los árabes no eran matemáticos en su obra extraordinariamente útil de traducción y comentarios. Recordando que nos interesamos principalmente en las cosas que han sobrevivido, examinaremos brevemente la obra de traducción y comentario de los árabes, y con ella parte de su trigonometría, a la luz de las matemáticas actuales.

En todo tiempo, sólo unos cuantos historiadores especializados de las matemáticas han llegado a asimilar cualquiera de las obras maestras griegas. No solamente la vida de los que quieren adquirir conocimientos prácticos de matemáticas es demasiado corta para que pretendan dominar a Apolonio o a Arquímedes, sino que sería un derroche de esfuerzos mayor de lo que se puede imaginar. De ello no podría surgir sino erudición. La obra de los maestros griegos se diluyó hace siglos en la corriente de la vida; sólo sobrevive el espíritu de sus ideas esenciales, y algunos de los resultados que los principiantes aprenden hoy día con mucha facilidad por métodos modernos. De modo que la aportación de los árabes, de traducción y comentarios, ha sobrevivido, no matemáticamente sino sólo como monumento de erudición. Se puede razonar que sin esa masa moribunda de matemáticas griegas no hubiera habido inspiración para las nuevas matemáticas del siglo XII: que sin Apolonio no hubiera existido Descartes, sin Diofanto no hubiera existido Fermat, y así sucesivamente. En contra de esto se puede mantener que la originalidad estaba ahogada bajo una capa de erudición y que, sentimentalismo aparte, el mayor servicio que un pasado muerto puede prestar a las matemáticas es el de enterrar a sus muertos. Los razonamientos no permiten tampoco una decisión objetiva, de modo que los dejaremos observando simplemente que los matemáticos ya no estudian a los clásicos griegos preservados por los árabes, ni lo han hecho durante los dos últimos siglos y medio.

La suerte de la trigonometría esférica, en la cual los árabes derrocharon tanta pericia, ilustra el inevitable retroceso de las cosas inicialmente desarrolladas para fines de inmediato interés práctico. Su utilidad puede subsistir, pero el interés científico que pudieran haber tenido en otro tiempo ya murió. La trigonometría esférica ya no es la corriente viva de las matemáticas, ni por su contenido, ni por ninguno de sus métodos. A menos que el estudiante de hoy día necesite esa materia para alguna determinada rutina tal como la anticuada astronomía de posición, ni siquiera necesita saber que la trigonometría esférica existe. De todas las materias de la matemática elemental, la trigonometría esférica es probablemente la más muerta y la más repulsiva para todo el que sienta las más leves palpitaciones de un sentido de la matemática vital. De vez en cuando, algún entusiasta optimisma intenta infundir algo de vida a sus secos huesos, pero después de algunos clamores puramente mecánicos, el silencio vuelve una vez más y la trigonometría esférica queda más muerta que nunca. Ni siquiera la profunda revisión (1893) que hizo de toda la materia a la luz del álgebra y del análisis de todo el siglo XIX Study (alemán, 1862-1922) atrajo sino el interés pasajero de los matemáticos.

La trigonometría plana recibió todo su estímulo entre los griegos y los árabes, principalmente por ser el útil servidor de su hermana mayor la trigonometría esférica, y ésta a su vez por los servicios que prestaba a la astronomía. Mientras que la trigonometría plana se desarrollaba, la astronomía era la ciencia principal, y la única que exigía una considerable aplicación de las matemáticas. Entonces la astronomía no necesitaba más que de la resolución de triángulos. Cuando la astronomía de posición quedó relegada a una rutina subordinada a la astronomía moderna, las funciones trigonométricas, por razones que no tienen nada que ver con la resolución de triángulos, fueron la ayuda matemática indispensable para todo, desde la mecánica celeste a la espectroscopía.

Al evolucionar la ciencia moderna posterior a Galileo, la astronomía no fue ya sino una ciencia entre muchas, algunas de ellas de mayor importancia práctica que la astronomía en una civilización científica. También aquí las funciones trigonométricas (o circulares) demostraron ser indispensables, y también aquí no fue debido a ninguna causa ni aún remotamente relacionada con la resolución de triángulos. El seno y el coseno derivan su importancia científica de dos propiedades: son las dos funciones periódicas más sencillas, y son los primeros ejemplos de una serie de funciones ortogonales. Ambas propiedades quedaban varios siglos en el futuro cuando los árabes terminaron su obra; la segunda tenía que esperar al cálculo integral. La ortogonalidad está en la base de las aplicaciones modernas del seno y del coseno, haciendo posible la resolución de importantes problemas de contorno que surgen de las ecuaciones diferenciales de la física matemática.

Sería difícil imaginar una ciencia física sin funciones ortogonales; pero quizás puedan hacerlo nuestros sucesores, y entonces quizás nos consideren como nosotros consideramos a nuestros predecesores. Quizás nos queden tan agradecidos como nosotros lo estamos a los hindúes y a los árabes por lo que inventaron, desarrollaron y nos transmitieron para seguirlo desarrollando.

Al despedirnos de los árabes, los vemos dudando desesperadamente en la encrucijada de la antigua y de la moderna matemática. El progreso pasó por delante de ellos antes de que pudieran resolverse a volver la espalda a aquel pasado que habían rescatado del olvido.

VI
CUATRO SIGLOS DE TRANSICIÓN

 [1202–1603] 

LA ÉPOCA que comprende del siglo XIII al XVI, en Europa, es una de las más llenas de acontecimientos de la historia del mundo. En esos cuatro siglos también tuvo lugar la transición bien definida de la antigua a la moderna matemática, siendo fácil de distinguir el cambio en el medio siglo que siguió a 1550. En 1545 el álgebra seguía todavía la tradición griego-hindú-árabe, como se pone de manifiesto en la solución italiana de las ecuaciones cúbica y cuártica. La obra francesa (Vieta) de la segunda mitad del siglo XVI era completamente diferente en espíritu, y los matemáticos de hoy día pueden aceptarla como muy próxima a la suya propia. En menos de 50 años se extinguieron en la matemática creadora[1] las tradiciones griegas y del Medio Oriente.

Con las fechas tan precisas de 1202, 1603, que hemos puesto en el encabezamiento, se pretende nada más que llamen la atención hacia los dos jalones más importantes en los cuatro siglos de transición. La primera es la de la publicación del Liber abaci de Leonardo; la segunda es la muerte de Vieta, primer matemático de su época que a veces pensó como suelen hacerlo los matemáticos de hoy día.

El alcance de los resultados, corto en cierto modo, que consiguió Vieta no guarda relación con su importancia en el desarrollo de las matemáticas. Lo que cuenta no es lo que en realidad consiguió en matemáticas, aunque fuera bastante; lo importante es la calidad de su pensamiento. Los matemáticos de principios del siglo XVII lo consideraban más o menos conscientemente como su heraldo; pronto le sobrepasaron, pero su superioridad sobre él fue de grado, no de clase.

Las matemáticas estaban maduras para la transición más de dos siglos antes de que en realidad tuviera lugar. El cambio se retrasó debido al caos social reinante; la civilización hizo bastante con mantenerse viva. Al mismo tiempo, profundos movimientos barrían la barbarie superficial de los tiempos hacia el pasado, y despejaban el camino para una economía más humana en la que figurasen los matemáticos. Una breve recapitulación de los principales acontecimientos culpables del retraso y del avance subsiguiente hará que la transición parezca menos milagrosa de lo que se podría pensar. De pasada, señalaremos cuál fue la importancia que algunos de los principales acontecimientos tuvieron para el desarrollo de las matemáticas.

CORRIENTES OPUESTAS

Todo el saber del mundo antiguo no podía continuar vertiéndose sobre Europa mucho más allá del año 1200 sin dar lugar a corrientes opuestas. A grandes rasgos, el conflicto fue una lucha entre la autoridad establecida para mantener sus intereses incólumes, y una impaciencia cada vez mayor hacia la simple autoridad como árbitro final entre la investigación libre y las creencias obligadas, fuera esto en conocimientos del universo natural, o en gobierno, o en religión. Tanto con la rápida asimilación del saber de los antiguos como con “el sistema de los soles”, la manera de pensar de los hombres se ampliaba, y nada, sino la destrucción completa de la raza, podría detener el progreso. Y tal como ocurrieron las cosas, se evitó el desastre por un margen muy estrecho.

Del lado de la libertad se fundaron entre 1200 y 1225 las universidades de París (1200), Oxford, Cambridge, Padua y Nápoles. Aunque las primitivas universidades se parecían físicamente muy poco a lo que después fueron, fue un paso extraordinariamente significativo hacia la libertad intelectual. También en el siglo XIII se fundaron las grandes Órdenes de los franciscanos y de los dominicos, las cuales dedicaron sus actividades por lo menos parte de ellos a la educación.

Una devoción demasiado estricta al escolasticismo impidió en las primitivas universidades el estudio serio de las matemáticas; pero el fenómeno de miles de encendidos estudiantes, sentados en París en la paja húmeda y absorbiendo ávidamente la fina dialéctica de Abelardo (1079-1142) y su desprecio humanista por la matemática, muestra por lo menos que no se había extinguido la capacidad para el pensamiento abstracto. Puesto que algunas de esas universidades no eran sino apéndices directos de las escuelas catedrales, es muy natural que dieran preferencia a aquellos planes de estudios. Todavía en el siglo XV un barniz de aritmética y unas cuantas proposiciones de Euclides satisfacían las demandas matemáticas de la educación liberal que certificaba un grado de bachiller de Oxford.

En toda esta época la guerra era una ocupación principal. El saqueo de Constantinopla por los cruzados en 1204, aunque bárbaro en sí mismo, se puede confrontar con las ganancias culturales como demostración convincente de que la codicia y la religión son un compuesto altamente explosivo. Parece que no cabe duda, sin embargo, acerca de cuál fue el resultado final de la Santa Inquisición, establecida en una de sus formas más suaves en 1232, poco después de que los árabes fueran dominados en España. Tampoco hay ya diferencia de opiniones en los países democráticos acerca de la lenta disolución del simbolismo, y de los leves indicios de democracia que presentó la subsiguiente elevación de las clases media y mercantil en los siglos que siguieron a 1250. Aunque la civilización casi se disolvió en ese proceso, la decadencia del feudalismo, y la creación gradual de las monarquías nacionales, aceleró el desarrollo de los conocimientos una vez que se estuvo seguro de haber pasado el periodo crítico.

La confusión y la intolerancia ya evidentes en el siglo XIII fue aún peor en el XIV. Pero esta imagen no estaba pintada por completo en un color. Los nombres de Dante (1265-1321) y Petrarca (1304-1374) sugieren que ocasionalmente algún rayo de luz penetraba en aquella oscuridad; el nombre de Boccaccio (1313-1375) recuerda que aún en presencia de la Muerte Negra (1347-1349) que se llevó entre un tercio y la mitad de la población Europea, había algunos capaces todavía de apreciar cuentos obscenos. La ciencia, que menos de tres siglos después iba a ser combatida con todas las armas de la intolerancia, ha barrido por sí sola esas plagas.

En ese desdichado siglo también tuvo lugar la Guerra de los Cien Años, que duró según unos desde 1338 a 1453, y según otros desde 1328 a 1491. Cualesquiera que sean los que estén en lo cierto, parece que todos están de acuerdo en que durante casi dos siglos la guerra floreció ocupando lugar preeminente en la Europa cristiana. La famosa Guerra de los Cien Años de los siglos XIV y XV no fue superada hasta el siglo XX en cuanto a brutalidad despiadada, desacato cínico a la palabra empeñada, y degradación desvergonzada. Y no fue la voluntad, sino la falta de medios adecuados de destrucción la que impidió una vuelta completa a la barbarie. Parece increíble que nada parecido a una civilización pudiera sobrevivir a aquel retroceso hacia la animalidad. Pero sobrevivió. Si algún poeta de aquellos negros años hubiera cantado “la gran edad del mundo empieza de nuevo”, como hizo Shelley poco antes de lo peor de la Revolución Industrial, hubieran dicho que estaba loco.

Una gran invención científica hecha en la primera mitad de este mismo siglo XIV de nuestra era pasó casi inadvertida, excepto como una curiosidad durante unos cuantos años, confiados, hasta que los europeos de repente percibieron los ilimitados horizontes de destrucción que revelaba la pólvora. Mejoras radicales en el arte de la guerra subsiguientes a esta tan apreciada consecuencia de la alquimia habían de hacer necesarias matemáticas puras muy refinadas, y dinámica superior para el cálculo preciso de las trayectorias. Sin las matemáticas de la balística exterior, la anticuada pólvora, e incluso los modernos proyectiles de alto poder explosivo, y los cohetes, serían menos eficaces que los arcos y las flechas de los arqueros ingleses en Agincourt. No parece, pues, probable que se pueda abolir la guerra suprimiendo las matemáticas.

Aunque en aquella época no se podía predecir, el siglo XV había de ser en matemáticas un jalón tan importante como lo fue en toda clase de conocimientos. En 1453 Constantinopla se rindió a los turcos, y la cultura oriental encontró la acogida más hospitalaria en Italia. La poderosa familia de los Médici rindió en esta época un distinguido servicio a la filosofía al proteger eruditos y coleccionistas de manuscritos. En lo que a las matemáticas se refiere, esta liberalidad no produjo sino un aumento de erudición. Pero en esta época ocurrió algo de una importancia infinitamente mayor que la acumulación de bibliotecas, y por fin las matemáticas fueron accesibles para todo el que tuviera capacidad para ello. Aproximadamente en 1450 se inició en Europa la impresión de libros con caracteres movibles.

En los primeros 50 años de la imprenta en Europa, sólo Italia produjo unos 200 libros de matemáticas. Durante el siglo siguiente, aparecieron algo más de 2 500. La mayoría era desde luego textos elementales; pero cuando se imprimía una obra con algo de verdadera matemática, era propiedad pública, y no de algunos elegidos que pudieran permitirse la adquisición de una copia hecha a mano. Éste fue el segundo de los tres grandes adelantos en la divulgación de las matemáticas. El primero, como ya se ha indicado, fue la transición del secreto oriental a la manera griega del libre pensamiento. El tercero se retrasó casi 400 años sobre el segundo, hasta que en 1826 apareció la primera de las docenas de revistas de bajo precio y alta calidad dedicadas exclusivamente a la investigación matemática. La imprenta también fomentó las matemáticas gracias a su exigencia económica de un simbolismo uniforme y simplificado.

Hacia fines de este siglo, el descubrimiento de América (1492) tuvo para las matemáticas una importancia que nadie podía haber predicho. La necesidad de la navegación de precisión en alta mar, y la determinación de la posición en el mar mediante tablas basadas en la astronomía dinámica, indican la relación que liga a 1492, y a la mecánica celeste de Laplace terminada tan sólo en el primer tercio del siglo XIX. Algunos de los trabajos fundamentales (los de Euler) del siglo XVIII sobre la teoría de la Luna se emprendieron para hacer frente a las necesidades que tenía el almirantazgo británico de tablas seguras. El estímulo para esos determinados progresos, que se originó con los viajes de Colón y de otros, estaba repartido por igual entre la exploración, la ocupación de tierras, el comercio y la lucha brutal por la supremacía marítima. Del desarrollo que hizo Laplace de la teoría de la gravitación de Newton en su astronomía dinámica, surgió la moderna teoría del potencial y gran parte del análisis de las ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales de la física de los siglos XIX y XX. De modo que el que un matemático moderno viva en los Estados Unidos o en la China, que dedique su vida a problemas de la teoría del potencial, con condiciones de contorno cada vez más extraordinarias, debe indirectamente parte de su subsistencia a Colón. Lo mismo le ocurre al físico matemático que calcula las perturbaciones de la física atómica, ya que la teoría de las perturbaciones se desarrolló primeramente en la astronomía dinámica.

El siglo XVI estuvo igualmente cuajado de grandes cosas para el futuro de la matemática. Los nombres de Leonardo da Vinci (1452-1519), Miguel Ángel (1475-1564), y Rafael (1483-1520), tres de los mejores entre una pléyade, nos recordarán lo que esta época crítica, del siglo de Copérnico (1473-1543), fue en arte; paralelamente los de Torquemada (1420-1498), Lutero (1483-1546), Loyola (1491-1556) y Calvino (1509-1564) pueden sugerir lo que fue en los aspectos más elevados de la vida. Cardano (1501-1576) publicó (1545) su Ars magna, la suma de los conocimientos en álgebra de aquella época, sólo dos años después de que Copérnico recibiera en su lecho de muerte las pruebas de imprenta de su revolucionario De revolutionibus orbium coelestium.

El choque que produjo la obra de Copérnico en toda la manera de pensar y en las instituciones sociales es demasiado conocido para que necesitemos comentarlo aquí. Matemáticamente, la teoría de Copérnico no rechazaba por completo a Ptolomeo. Las órbitas circulares de los griegos subsistían, así como 34 de los 79 epiciclos de Ptolomeo, e incluso el Sol tenía una pequeña órbita. Aunque Aristarco había anticipado la teoría heliocéntrica del sistema solar, Copérnico fue profundamente original al proporcionar una base razonada para lo que sólo había sido una suposición profética. Si hay que recordar a alguien como precursor de la moderna ciencia fisicomatemática, Copérnico tiene tantos derechos como el que más.

Otros dos avances sobresalen como portentos de la matemática y de la ciencia que tan en breve habríamos de reconocer como propias. Los físicos suelen considerar como la figura más sobresaliente de la época comprendida entre Arquímedes y Galileo, a Stevinus (Simon Stevin, 1548-1620, de Brujas). Entre otras cosas dio (1586) al paralelogramo de fuerzas la forma triangular equivalente, y enunció una teoría completa del equilibrio estático. Así, suele decirse que la estática moderna tiene su origen en Stevinus. También tuvo ideas, todo lo claras que eran posibles sin el cálculo integral, de la presión de los fluidos. Incidentalmente observaremos que el desarrollo de la mecánica por los predecesores de Stevinus evalúa de peor gana que el progreso paralelo de la matemática. Al repasar las aportaciones medievales a la estática, por lo general se han disminuido las primeras pretensiones excesivas en beneficio de algún escritor más o menos oscuro que se anticipó a Stevinus e incluso a veces a Galileo. Éste fue el caso, por ejemplo, de la tan de repente fomentada reputación de Jordano Nemorario (primera mitad del siglo XIII), como mecánico de primera fila. Los matemáticos y los físicos actuales que han tenido la paciencia de escudriñar su retórica son de la opinión de que Jordano tenía una concepción de la mecánica tan poco inteligente como la de sus contemporáneos.

El otro hombre de ciencia de esta época cuya obra había de influir sobre las matemáticas, indirecta, pero profundamente, dos siglos después de su muerte fue Guillermo Gilbert (1540-1603), médico de la reina Isabel de Inglaterra. Excepto en lo que se refiere a algunas de sus tentativas de teorizar, el De magnete (1600) de Gilbert fue un tratado científico muy cuidadoso sobre el comportamiento de la piedra imán y de otros imanes. Cuando se elaboraron las consecuencias de la gravitación de Newton, Ampère (francés, 1775-1836), Gauss, Green (inglés, 1793-1841) y otros crearon en la primera mitad del siglo XIX la teoría matemática del magnetismo. O bien la materia era en sí más difícil que la gravitación, o bien es que la abordaron matemáticos menos hábiles, pero el caso es que se necesitó doble de tiempo para dominarla del que había sido necesario para la gravitación. Probablemente la utilidad inmediata de la teoría de Newton alejara a los mejores matemáticos del siglo XVIII de la obra de Gilbert; y también existe la posibilidad humana de que la dinámica de los cuerpos celestes inaccesibles pareciera un proyecto más grandioso que el de los imanes que se podían sostener en una mano. Por ejemplo, Laplace dio como principal razón lo sublime de la mecánica celeste para dedicarle su vida, y eso que por naturaleza no era nada sentimental. Sin embargo, no siempre lo que decía era lo que quería expresar.

Todos esos hombres de ciencia del siglo XVI quedan muy por debajo, en importancia matemática, de Galileo, al que hoy día no se suele considerar entre los matemáticos profesionales. Este periodo de transición de la matemática antigua a la moderna comprende 36 años de la vida de Galileo (italiano, 1564-1642). Como fundador universalmente reconocido de la ciencia moderna, Galileo influyó sobre la matemática pura y la aplicada.

En el siglo XVI no había tanta intrepidez científica a pesar de lo que pudieran pensar los tradicionales custodios de conciencia. Podemos decir aquí de una vez para siempre que algunos de esos custodios no siempre miraban con benevolencia a la joven ciencia tratando de librarse de las cadenas de la tradición autoritaria, tanto escolástica como eclesiástica. Esto no tiene nada de particular si se tiene en cuenta cómo es la naturaleza humana. Ambas partes creían estar en lo cierto; y la que tenía de su parte toda la fuerza, excepto la de un valor indomable, creía tener también de su lado la verdad. El conflicto era innegable: fue muy salvaje, pero no más que su tardío eco en la tercera y cuarta décadas del siglo XX, en que la ciencia en algunos de los Estados europeos tuvo que luchar una vez más por su existencia.

En este sentido, sería equivocado culpar a una secta cristiana más que a otra de la hostilidad que se sentía hacia la ciencia en el periodo de transición del modo de pensar antiguo al moderno. Todo el que se preocupe de investigar podrá comprobar fácilmente por sí mismo que los matices de credo no era lo que en el fondo distinguía a los que acogían la ciencia de los que trataban de aplastarla. La disención era más profunda y residía en el irreconciliable antagonismo de todas las épocas entre los cerebros viejos y los jóvenes, entre los que pueden aceptar el cambio y los que no pueden admitirlo. En los siglos XVI y XVII el cerebro joven ganó su libertad por fin y la retuvo más de 200 años. Durante esos dos breves siglos de libre pensamiento, la ciencia y las matemáticas prosperaron, y como consecuencia la vida de los más fue menos desdichada de lo que había sido en los días de la Muerte Negra y de la Guerra de los Cien Años.

En este contexto, hubiera sido sorprendente que las matemáticas no respondieran a las corrientes cruzadas de una transición tan tempestuosa de lo viejo a lo nuevo en los cuatro siglos del 1200 al 1600. Si no hubiera sido por los grandes desastres, de los que la estupidez humana fue sólo culpable parcialmente, la respuesta podría haber llegado dos siglos antes de lo que llegó.

EL FINAL DE UN ÁLGEBRA

Durante todo este periodo como en el precedente, la geometría continuó estancada. Prescindiendo de algunas traducciones de los clásicos griegos como las ediciones latinas de Euclides (1482) y de Apolonio (1537), la geometría no se levantó a un nivel superior a lo que ahora serían ejercicios de un libro de texto elemental. Los métodos griegos parecían haberse agotado y el progreso de las matemáticas se realizaba por entero en la aritmética, en el álgebra y la trigonometría. A principios de la época, la aritmética y el álgebra se confundían todavía en una alianza no muy íntima; a finales estaban satisfactoriamente separadas. También en esta época se liberó la trigonometría de la astronomía.

Ya hemos mencionado el Liber abaci (1202) de Leonardo de Pisa (hacia 1175-hacia 1250). Este famoso libro escrito por un hombre que no tenía formación de erudito acabó por convertir a Europa a la matemática hindú. A Leonardo se le conoce mejor en matemáticas por su otro nombre, Fibonacci (hijo de Bonaccio). Hijo de un funcionario comercial, Fibonacci viajó por negocios y por placer, por Europa y por el Cercano Oriente, observando y analizando los sistemas aritméticos usados en el comercio.

La evidente superioridad de los números hindúes y de los métodos de cálculo hindú-arábigos inspiraron el libro de Fibonacci; y a pesar de las ultrajantes protestas de los comerciantes conservadores y de los equivalentes de aquella época de las Cámaras de Comercio, el comercio europeo acabó por arrumbar (hacia 1280) el ábaco y el tablero de cálculo al cuarto de los trastos viejos. De este modo, a Fibonacci se debe indirectamente el diluvio de manuales prácticos de cálculo elemental y la inundación de aritméticas comerciales que han salido de las imprentas de todo el mundo a partir del siglo XV. A pesar de su gran utilidad práctica, ninguna de esas indispensables obras ha aportado nada importante al desarrollo de las matemáticas.[2]

Fibonacci también expuso el álgebra oriental con una verdadera comprensión, pero, por lo demás, no hizo ningún progreso. Su Practica geometriae (1220) trató no menos esclarecidamente a la geometría elemental. Su trabajo original está en la frontera que separa a la aritmética del álgebra. En su Liber quadratorum (hacia 1225), Fibonacci estudió algunos sistemas especiales diofánticos de segundo grado como x² + 5 = y², x² − 5 = z², que son más difíciles de lo que parecen. Juzgando por el nivel que estableció Euclides en su solución entera de x² + y² = z², la obra de Fibonacci es muy inferior. No parece habérsele ocurrido que el verdadero problema del análisis diofántico estriba en hallar todas las soluciones, y no sólo algunas. Este fracaso en darse cuenta de la generalización del problema es característico de la distinción entre el álgebra antigua y la moderna, y también entre la matemática y el empirismo. Euclides fue la única excepción en unos 1 000 tristes años de una degradada teoría de números; incluso Diofanto, como hemos visto, se contentaba con casos especiales.

Aunque tiene sólo poca importancia, evidentemente hemos de mencionar la famosa serie recurrente de Fibonacci, definida por

un₊₂ = un₊₁ + un,                      n = 0, 1,…,                         u₀ = 0,                        u₁ = 1,

que da la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 13,… Fibonacci encontró esta serie en un problema (que el lector puede reconstruir por sí mismo) relativo a la progenie de los conejos. Hay una literatura abundantísima, parte de la cual bordea lo excéntrico, relativa a esos números, y a sus generalizaciones más sencillas un₊₂ = aun₊₁ + bun, siendo a, b constantes enteras. La obra moderna más interesante es la que inauguró en 1878 Lucas (francés, 1842-1891). Algunos estéticos profesionales y aficionados han aplicado los números de Fibonacci a la disección matemática de las obras maestras de la pintura y de la escultura con resultados no muy divertidos y a veces ridículos para los artistas que las crearon. Otros han descubierto esos números variables en la religión, en la filotaxis y en las conchas marinas.

Por otro lado, sería interesante saber quién fue el primero que imaginó que los números de Fibonacci tuvieran algo de trascendente. Su origen sencillísimo está en el problema griego de dividir una recta en media y extrema razón, en la llamada sección dorada. Del mismo modo, se dice que algunas de las medidas de los jarrones griegos, y las proporciones de los templos, son ejemplo de sección dorada; y un eminente psicólogo ha llegado a decir que demostró que el placer que se experimenta al contemplar una obra maestra construida con arreglo a la sección dorada es una consecuencia necesaria de la geometría espacial de los bastones y de los conos en el ojo.

La calidad de Fibonacci como matemático se manifiesta inequívoca en dos puntos aislados, que son también indicio del retraso que sufrió el desarrollo de las matemáticas como consecuencia del caos social. El primero es el uso en su álgebra de una sola letra, en un ejemplo para designar un número. Posiblemente éste es el primer indicio concreto de la generalización del álgebra frente a la simple síncopa y a las reglas de cálculo numérico expresadas verbalmente.

El segundo punto señala a Fibonacci como un verdadero matemático que se adelantó a su época. No pudiendo dar la solución algebraica de x³ + 2x² + 10x = 20, Fibonacci intentó demostrar la imposibilidad de construir geométricamente una raíz con regla y compás solamente. No pudo conseguirlo con los conocimientos que se tenían en su época, por lo que procedió a buscar una aproximación numérica de la raíz. Hasta el siglo XIX no apareció en álgebra nada parecido a esa inspiración de buscar una prueba de imposibilidad.

Durante todo el periodo de transición, el álgebra se ocupó principalmente de la resolución de ecuaciones. Una vez que se resolvieron las cuadráticas con las limitaciones del sistema numérico existente, el problema se centró en la investigación de las soluciones semejantes, es decir, “radicales”, de las ecuaciones cúbica y cuártica con una incógnita.

En la resolución de ecuaciones algebraicas se presentan dos problemas distintos: construir, por medio de únicamente un número finito de operaciones racionales y de radicaciones de los coeficientes literales de una ecuación dada, todas las funciones de esos coeficientes que reduzcan la ecuación a una identidad; construir una aproximación numérica de una raíz de una ecuación de coeficientes numéricos. El primer problema se llama resolución por medio de radicales y tiene enorme interés en el desarrollo del álgebra. El problema de las aproximaciones a una raíz tiene importancia en sus aplicaciones, por dos razones. Como veremos bastante más adelante, la resolución por radicales es imposible para las ecuaciones generales de grado superior al cuarto; las soluciones con radicales explícitas de las ecuaciones cúbica y cuártica son por completo inutilizables para el cálculo numérico.

Así, se dice que los chinos en los siglos XIII y XIV a. C. resolvieron el problema de la aproximación de manera práctica. Si eso es cierto, es más de lo que los europeos consiguieron en soluciones numéricas,[3] hasta que Horner (inglés, 1773-1827) inventó en 1819 un procedimiento casi idéntico. Desgraciadamente, lo mismo ocurre con casi todas las matemáticas orientales, excepto la aritmética y el álgebra hindúes; y en lo que respecta a su influencia sobre el desarrollo de las matemáticas, lo mismo hubiera dado que el método chino no se hubiera inventado nunca. Ni en Oriente ni en Europa originó un movimiento de progreso, y no se puede decir que se incorporara a la corriente viva. Su interés humano es la prueba que proporciona (si es cierto) de que el talento matemático no es propiedad exclusiva de ninguna raza y de ningún pueblo.

La resolución de las ecuaciones cúbica y cuártica por medio de radicales en esencia se terminó en 1545. (La reserva que la anterior manifestación presupone se refiere a la falta de comprensión que existía en aquella época de las raíces negativas e imaginarias.) La historia de este triunfo final está salpicada por tanta violencia y engaño, que parecen algo excesivas hasta para el despreocupado siglo XVI. Cardano, cuyo nombre adorna la solución de la ecuación cúbica en todos los textos intermedios de álgebra, la obtuvo de Tartaglia bajo promesa de secreto, y la publicó como propia en su Ars magna (1545). Este ingenioso algebrista tiene también renombre como astrólogo, cuya obra maestra en este aspecto es el horóscopo de Cristo. Se dice que Cardano, entre otros excesos que ofenden el delicado gusto moderno, disciplinó a un hijo descarriado cortándole las orejas.

Tartaglia (Nicolás, 1500-1557, italiano; el sobrenombre Tartaglia significa “tartamudo”) pensaba, según se dice, coronar la obra que proyectaba con la solución de la ecuación cúbica. Su nombre recuerda un paladar hendido, que la tradición atribuye a un sablazo que le infirió un soldado poco eficiente que en cumplimiento de su deber asistía a la matanza de los habitantes de Brescia, ciudad natal de Tartaglia. Se habían refugiado en la catedral. Tartaglia, que en aquella época era un niño de 12 años, quedó como muerto, pero debido a la devoción de su madre y de los perros que lamían sus heridas, se recobró. En su madurez, Tartaglia contribuyó a que los sables quedaran anticuados, iniciando trabajos de balística exterior, mediante la investigación (1537) del alcance de un proyectil, llegando a enunciar que es máximo cuando el ángulo de tiro es de 45°.

La solución de la ecuación cuártica también estaba en armonía con su ambiente social. Su héroe, Ferrari (1522-1565), tuvo menos suerte que Tartaglia en cuanto a aspectos familiares. Se dice que lo envenenó su única hermana. Pero la Italia del Renacimiento sin arsénico sería igual que la ternera sin sal.

Al pasar revista a estos tradicionales adornos del álgebra italiana del siglo XVI, hemos intentado simplemente demostrar que las matemáticas pueden vivir y florecer en lo que los puristas bien podrían llamar barbarie, y sugerir que quizá sobrevivan más allá del año 2000. No hemos tenido la intención de juzgar erróneamente a los protagonistas del drama del álgebra por una equivocada aplicación de nuestra ética. Al igual que nosotros vivimos de acuerdo con nuestra posición, ellos vivieron con arreglo a la suya; y si sus relaciones domésticas nos parecen ahora extrañas, no tenemos más que echar una ojeada a las relaciones internacionales modernas para poderlo comprender. En el frente doméstico, todavía se practica el robo de las obras científicas, por desgracia para los jóvenes que quieren abrirse paso.[4]

La historia científica de las ecuaciones cúbica y cuártica es complicada, y quizá no esté todavía bien desenmarañada. Parece que es como sigue. Scipio del Ferro (1465-1526), de la Universidad de Bolonia, resolvió en 1515 la ecuación x³ + ax = b y comunicó la solución a su discípulo Antonio Fior, aproximadamente en 1535. Entonces, Tartaglia resolvió la ecuación x³ + py² = q y volvió a descubrir la solución de Fior. Éste, creyendo que Tartaglia no sabía resolver ecuaciones de tercer grado, lo desafió a un concurso público, en el que Tartaglia resolvió todas las ecuaciones de Fior, mientras que éste no pudo resolver ninguna de las de Tartaglia.

Cardano no era un copión inútil; fue el primero que presentó tres raíces (reales) para todas las ecuaciones de tercer grado; fue más allá en la simple solución formal al admitir el caso irreducible (todas las raíces reales), cuando las radicales que se presentan son raíces cúbicas de números complejos (generales). El primero en darse cuenta que en el caso irreducible las raíces son reales fue Bombelli, en 1572. Cardano también sospechó que una ecuación de tercer grado tiene tres raíces, aunque lo desconcertaron las raíces negativas e imaginarias. Su progreso más importante fue, sin embargo, la eliminación del término de segundo grado, cosa que contenía un elemento de generalización científica, que al parecer no supo apreciar por completo.

La solución de Ferrari de la ecuación de cuarto grado (hacia 1540) también apareció en el Ars magna. La solución es fundamentalmente la misma que contienen los libros de texto de álgebra y que conduce a una resolvente de tercer grado.

Esas soluciones de la cúbica y de la cuártica señalan la terminación definitiva[5] de la tradición algebraica de Diofanto y de los hindúes, basada en un abuso de la inventiva. La matemática desprecia la simple inventiva y busca basarlo todo en principios generales. El matemático moderno partiendo de un mínimo de hipótesis busca las soluciones de un problema particular como ejemplo de una teoría general unificada respecto a algún concepto o a algún método de aplicación universal. Una solución aislada obtenida por algún ingenioso artificio indica, probablemente, una comprensión incompleta, en vez de ser testimonio de perspicacia. El que sabe resolver ingeniosamente problemas especiales puede ser todavía un miembro útil de la sociedad matemática porque entrega fenómenos misteriosos a hombres capaces de despojarlos de su misterio, pero ya no se le considera un matemático; y llamarle solucionador de problemas a un hombre que cree ser un matemático es infligirle un insulto imperdonable. Ésta es una de las líneas de separación entre las matemáticas antiguas y las modernas.

Entonces, se puede preguntar por qué se siguen incluyendo en los cursos de escuelas secundarias de álgebra la resolución de las ecuaciones cúbica y cuártica. Nadie con una pizca de sentido común intenta usarlas para el cálculo numérico, y como estímulo para las triquiñuelas operatorias, son decididamente perjudiciales. En vez de esas reliquias del siglo XVI sería mucho más conveniente enseñar el tratamiento unificado de las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grados que existen desde 1770-1771, en que Lagrange se planteó el problema de ver el porqué de las ingeniosidades de Tartaglia, Ferrari y sus sucesores. Ese tratamiento es considerablemente más sencillo que el sancionado por la tradición histórica.

UN COMIENZO DEL ÁLGEBRA Y DE LA TRIGONOMETRÍA

En este apartado, se llega al primer progreso notable hacia la generalización de los métodos del álgebra y de la trigonometría, y de aquí al de toda la matemática, pasando por una enorme masa de aportaciones de menor importancia, como tablas abreviadas de coeficientes binómicos, anticipaciones del triángulo aritmético de Pascal, mejoras en la notación algebraica, y cosas por el estilo. La lenta acumulación de detalles que finalmente se incorporaron a las matemáticas elementales en forma permanente, aunque modificada, no tiene importancia comparable para el conjunto de la matemática a la tendencia hacia la uniformidad de los métodos. El éxito en este aspecto creó una ciencia a partir de lo que había sido poco más que una colección de triquiñuelas que a veces servían, aunque nadie parecía entender por qué ni se preocupaba de ello.

La transición de lo particular a lo general se reconoce por primera vez inequívocamente en la obra de Vieta (Francisco Viète, francés, 1540-1603), que, al igual que Fibonacci, no tenía formación de matemático, ni lo era de profesión. Las actividades de Vieta iban desde la criptografía en el servicio militar, a la política. En varias ocasiones fue miembro del parlamento de Bretaña, magistrado en París, y consejero privado del rey. Para él las matemáticas eran una distracción. Algunos califican su obra de prolija y dicen que la oscurece una terminología propiamente suya. Pero aunque esto fuera cierto, esos defectos superficiales no pueden ocultar las cualidades esenciales de generalización y uniformidad que contiene mucho de lo que Vieta inventó.

No es necesario describir detalladamente la obra de Vieta. Su forma de abordar el estudio de las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grados pone de manifiesto los puntos esenciales. En cada caso eliminaba el segundo término de la ecuación por una transformación lineal en la incógnita. Cardano ya había hecho esto para la cúbica; Vieta apreció la importancia de este paso como procedimiento general. Para la cúbica hizo una segunda transformación racional, y finalmente una muy sencilla con irracionalidad cúbica. Esto produjo una resolvente de segundo grado, y por lo tanto la solución de la cúbica quedaba reducida a los pasos esenciales que la teoría de ecuaciones del siglo XIX había de demostrar que eran inevitables por cualquier artificio que se empleara.

También se ve en esta obra el germen de la teoría de las transformaciones lineales que luego se habían de ramificar por toda el álgebra y después, con el concepto invariante, por toda la matemática. Asimismo se observa aquí cómo percibe claramente el arte de reducir un problema no resuelto a la solución sucesiva de problemas ya solucionados, y los comienzos de la uniformidad y generalización táctica. La solución de Vieta de la ecuación de cuarto grado no fue menos científica y condujo a la familiar resolvente cúbica.

También se observa en Vieta el curioso efecto retardatorio del sistema de los números. Al parecer las raíces negativas fueron ininteligibles para él, aunque percibió la más sencilla de las relaciones entre los coeficientes de una ecuación dada y las funciones simétricas de sus raíces. También concibió la posibilidad de descomponer el polinomio f(x) de la ecuación algebraica f(x) = 0 en factores lineales. El completar o el demostrar algo en este aspecto quedaba muy por encima de los alcances del álgebra de aquella época, y en realidad no se consiguió hasta que Gauss, en 1799, solucionó el asunto mediante una demostración que se admite[6] hoy día como teorema fundamental del álgebra.

Ya se habían usado antes de Vieta letras para designar números, pero él introdujo la práctica (hacia 1590), como procedimiento general, tanto para los números conocidos como para las incógnitas. De esta forma se dio cuenta plenamente de que el álgebra está en un nivel de abstracción superior al de la aritmética. Este progreso en la generalización fue uno de los pasos más importantes que jamás haya dado la matemática. La separación completa del álgebra y de la aritmética no se consumó hasta el siglo XIX, en que el método de los postulados liberó a los símbolos algebraicos de toda necesidad de notación aritmética paralela.

Mejorando los artificios de sus predecesores europeos, Vieta dio un método uniforme para la resolución numérica de las ecuaciones algebraicas. Bastará recordar aquí que esencialmente era de la misma naturaleza que el de Newton (1699) que dan los libros de texto. Aunque el método de Vieta ha quedado desplazado por otros, su importancia histórica tiene interés algo más que de anticuario. El método se aplica tanto a las ecuaciones trascendentes como a las algebraicas, cuando se combina con desarrollos en series de Taylor o Maclaurin de pocos términos.

La calidad de su obra en trigonometría la indica una ecuación algebraica de grado 45 que Vieta abordó en respuesta a un desafío. Vieta había encontrado, buscando consecuentemente la generalización en que se apoya lo particular, cómo expresar seno de nθ (n entero positivo) como polinomio en seno θ, coseno θ. Inmediatamente vio que la formidable ecuación de su rival procedía de lo equivalente a dividir la circunferencia de la unidad circular en 45 partes iguales. Si no hubiera sido por faltarle los números negativos, Vieta hubiera hallado 45 raíces en lugar de las 23 que encontró. Más importante que esta hazaña espectacular fue la indicación que hizo de que es posible resolver las cúbicas trigonométricamente. El fracaso parcial de Vieta subraya la vaguedad del álgebra de su tiempo y el hecho de que ni a fines del siglo XVI se tenía un concepto claro del significado de las raíces de una ecuación algebraica. También aquí la oscuridad surgía de la comprensión incompleta que tenía el álgebra del sistema de los números.

Como prueba de la moderna libertad arquimediana de Vieta, se puede poner su aplicación del álgebra y de la trigonometría a problemas geométricos, y en particular el uso del álgebra para remplazar las construcciones geométricas siempre que fuera practicable. Lo de menos es que no encontrara en la geometría nada nuevo de importancia perdurable; lo interesante era la audacia de su pensamiento. Pero aunque sistemática y general, con las inevitables limitaciones, como era esta geometría algebraica, sería demasiado decir que fue precursora de la geometría analítica en otro sentido que el cronológico. En parte alguna sugiere nada del espíritu de la geometría analítica que hizo del análisis y de la geometría aspectos complementarios de una misma disciplina matemática.

El principal progreso de Vieta en trigonometría fue su aplicación sistemática del álgebra. Tanto en la trigonometría plana como en la esférica, manejó libremente las seis funciones habituales, y en aquélla obtuvo muchas de las identidades fundamentales, algebraicamente.

Con Vieta quedó prácticamente terminada la trigonometría elemental (no analítica), excepto en el aspecto de cálculo. El cálculo quedó muy simplificado a principios del siglo XVII con la invención (1614) de los logaritmos. En el cálculo prelogarítmico Vieta amplió (1579) las tablas (1551) de Rheticus (alemán, 1514-1576), dando los valores con siete decimales, de las seis funciones para cada segundo de arco en vez de cada 10 segundos, como había hecho Rheticus. Asimismo, suele atribuírsele a Regiomontano (alemán, Johann Müller, 1436-1476), la separación deliberada de la trigonometría de la astronomía, en su sistemática obra De triangulis, publicada en 1464.

A fines del siglo XVI, el álgebra elemental aún había de recibir muchos perfeccionamientos, especialmente en notación, antes de que llegara a ser la sencilla rutina de nuestros libros de texto. Pero en 1600 ya quedaba claramente indicado el camino derecho que se había de seguir en todo futuro desarrollo. El camino que indicó Vieta lo siguieron con éxito brillante una pléyade de trabajadores, la mayoría de los cuales hizo alguna que otra mejora en la notación y en la técnica algebraica, mientras dedicaban su principal interés a la nueva matemática. Después de Vieta no hubo ningún otro algebrista de primera fila hasta el siglo XVIII,[5] en que Lagrange buscó y encontró niveles más profundos.

Para terminar con este estudio de Vieta, citaremos la opinión de un matemático de primera fila e historiador de la matemática, sobre el lugar que ocupa Vieta en la historia de la matemática. De Morgan se expresó en 1843 como sigue

Importa muy poco que no nos detengamos a examinar diversos puntos, como completar los casos de resolución de triángulos esféricos rectángulos, la expresión aproximada de la cuadratura del círculo, las ampliaciones aritméticas de esas mismas aproximaciones, etc., que hubieran hecho un personaje de cualquier otro de inferior categoría que Vieta. Los dos grandes pedestales en que se apoya su fama son el perfeccionamiento de la forma en álgebra, de la que hizo una ciencia puramente simbólica, y demostró que era susceptible de amplia y fácil aplicación en manos de cualquiera; la aplicación que hizo de su nueva álgebra a la ampliación de la trigonometría, en la que fue el primero en descubrir las importantes relaciones de los ángulos múltiples; y su ampliación de las antiguas reglas de división y extracción de raíces cúbicas y cuadradas al procedimiento de exégesis para la resolución de toda clase de ecuaciones.

[…] Si un persa o un hindú, educados en la moderna álgebra europea, preguntara “¿Quién fue el hombre que dio el paso que señala más distintamente la separación entre la ciencia que ahora nos devuelven ustedes de la que nosotros les entregamos por manos de Mohammed Ben Musa (Al-Khowarizmi)?”, la respuesta sería: Vieta […] ¿Estará dispuesto el escritor que afirma que Cardano ya poseía esencialmente el álgebra de Vieta, a comprobar su aserto poniendo aunque no sea más que media página del primero junto a otra del segundo?

EL DESARROLLO DEL SIMBOLISMO

La importancia de un simbolismo fácil de manejar, como indica De Morgan, es que permite a los que no son grandes matemáticos en su generación, hacer sin esforzarse razonamientos matemáticos que hubieran desconcertado a sus mayores predecesores. Por ejemplo, las fórmulas contenidas en un manual de ingeniería si se transcribieran en concisos equivalentes verbales, haciendo frecuente uso de abreviaturas y de signos convencionales para las palabras que más se repitan, podrían ser inteligibles para un Arquímedes; para un ingeniero del tipo medio serían probablemente exasperantes. Y la perspectiva de tener que combinar varias de esas fórmulas verbales con la esperanza de obtener algún dato útil desalentaría incluso al mismo Arquímedes. En matemáticas mismo, no ya en sus aplicaciones, la situación es la misma. Si no se hubiera transformado el álgebra elemental en una “ciencia puramente simbólica” a fines del siglo XVI, parece poco probable que la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral, la teoría de probabilidades, la teoría de números y la dinámica pudieran haber arraigado y florecido, como así fue el caso, en el siglo XVII. Puesto que las matemáticas modernas provienen de las creaciones de Descartes, Newton y Leibniz, Pascal, Fermat y Galileo, no es excesivo decir que la perfección del simbolismo algebraico fue una de las cosas que más contribuyó a la velocidad sin precedentes con que se desarrollaron las matemáticas después de la publicación de la geometría de Descartes, en 1637. Al seguir la evolución de las matemáticas, tiene, pues, interés, pasar revista a las fases principales que atravesó el simbolismo algebraico elemental para alcanzar su actual madurez, y observar cómo la falta de un simbolismo eficaz obstaculizó el progreso de las matemáticas en alguna de sus épocas más productivas. Dos observaciones de tipo general nos ayudarán a aclarar el hasta cierto punto confuso proceso histórico.

En su análisis del álgebra griega (1842) señaló Nesselmann (alemán) tres fases históricas del álgebra a las que calificó con los nombres de retórica, sincopada y simbólica. En la primera fase, la retórica, tanto el enunciado como la solución de un problema algebraico eran totalmente verbales. No está por completo claro por qué se le ha de llamar a este producto álgebra, a no ser porque problemas análogos y sus soluciones volvieron a aparecer en una fase posterior escasamente revestidos con un mínimo de simbolismo. La fase media, la sincopada, se distinguía de la primera porque se sustituía a los conceptos y a las operaciones que se presentaban con mayor frecuencia por abreviaturas. De modo que el “álgebra” sincopada fue un temprano ejemplo de esa semiverdad de que “las matemáticas son una especie de taquigrafía”. Si el álgebra no fuera más que una especie de taquigrafía, su aportación a los rudimentos del pensamiento matemático no sería muy impresionante. La tercera fase, la simbólica, presenta un álgebra completamente dotada de símbolos, tanto respecto de sus operaciones como a sus conceptos. También es mucho más que esto.

El álgebra simbólica remplaza los procesos algebraicos verbales que costaron a los que practicaban el álgebra retórica y sincopada muchos pacientes razonamientos, por procedimientos simbólicos que resumen la ilación de los razonamientos verbales en reglas de fácil comprensión, y que no exigen más que atención pasiva. La experiencia obtenida durante siglos de laboriosos tanteos se condensa en procedimientos mecánicos que se pueden aplicar y manejar con un mínimo de razonamiento. Si se condena, como con frecuencia se hace, esa destreza manual que casi pasa por competencia para, por ejemplo, resolver ecuaciones lineales, a causa de su insignificante valor educativo, no se tiene en cuenta que ha tenido el mérito de liberar las mejores facultades de los matemáticos para que puedan abordar problemas más difíciles que ninguno de los que pusieron a prueba la extraviada inventiva de los griegos, los hindúes, los árabes y los algebristas de principios del Renacimiento. Aun en las matemáticas elementales hay abundantes oportunidades para un ejercicio mental vigorizador y provechoso. Finalmente, el razonamiento simbólico, fase en que actualmente se encuentra el álgebra, ha sugerido multitud de generalizaciones y unificaciones económicas. Un ejemplo típico es la introducción (1655) de los exponentes negativos y fraccionarios racionales que culminaron dos siglos después en los exponentes arbitrarios complejos y en una teoría satisfactoria que justificara su uso.

La segunda observación general sobre la evolución del simbolismo matemático está implícita en el reconocimiento de las tres fases del álgebra. Al progresar el álgebra se abandonaron multitud de nombres particulares con que se calificaban los miembros de lo que después se reconocía como una clase que los abarcaba a todos ellos, en favor de una terminología uniforme que sirviera para todos los miembros de la clase. Además, en algunos casos la uniformidad sólo fue posible porque los diferentes miembros de una clase quedaban unificados por alguna propiedad fundamental, por lo general sencilla cuando por fin se descubría, de los números racionales. Cuando éste era el caso se imponía a toda la clase un mismo carácter numérico adecuado, y mediante un simbolismo algorístico comparable a las operaciones de la aritmética racional se ponía la característica algebraicamente importante de la clase al alcance de una pericia operatoria y voluntaria. Por ejemplo, cuando finalmente se percibió, después de siglos de pasarla por alto, la evasiva verdad que ahora nos parece tan evidente, de que las potencias x, x², x³, x⁴, x⁵, x⁶,… están unificadas respecto de sus exponentes 1, 2, 3, 4, 5, 6,…, y que la multiplicación de las potencias de la incógnita se efectúa por adición de los exponentes, quedó relegada al pasado una masa increíble de terminología confusa y de reglas ineficaces, y con ella una masa igual o mayor de razonamientos tortuosos. Una síntesis semejante, que también se originó en alguna propiedad oculta, pero que poco a poco se fue percibiendo, de los números racionales, acompañó el desarrollo del concepto de número. Para no citar más que un ejemplo, las ecuaciones ax² + bx = c, ax² = bx + c en que a, b y c son números racionales positivos presentaban a los algebristas dos problemas distintos antes de que supieran manejar correctamente y con confianza (injustificada) los números racionales negativos. El uso de los números negativos redujo la resolución de las dos ecuaciones a la de la sola ecuación ax² + bx + c = 0, en que a, b y c son números racionales.

Dicho sea de pasada, resulta extraño encontrar que en libros de texto de hace menos de un siglo estén tratadas independientemente esas dos ecuaciones especiales de segundo grado. Pero, quizás no sea tan raro, si recordamos que Gauss escribía persistentemente xx en lugar de x² por la curiosa y poco matemática razón de que las dos formas ocupan el mismo espacio. Dicho sea entre nosotros, todavía le llamamos a x² y a x³, el cuadrado y el cubo de equis, posiblemente porque es más fácil de decir, o quizás porque alguno de los antiguos tenía más hondura en matemática en el claro lenguaje de las áreas y de los volúmenes. Pero ya hay indicaciones de que los cuadrados y los cubos quedarán anticuados en el vocabulario del álgebra antes de que transcurran muchos siglos. Mientras tanto, el principiante de álgebra no tiene por qué intranquilizarse seriamente si no alcanza a ver inmediatamente qué relación guardan los cuadrados y los cubos con x a menos de que no le aflijamos con los nombres correspondientes de x⁴, x⁵, x⁶,… de la geometría del hiperespacio, como habremos de hacer si hemos de ser consecuentes con el purismo lingüístico. Pero, como ya descubrieron penitentes demasiado precipitados de la Edad Media, hasta el purismo puede a veces costar demasiado para que resulte cómodo.

La falta de simbolismo en el álgebra babilónica a la que ya aludimos plantea el problema de qué es lo que se ha de convenir como álgebra en las fases retórica y sincopada. Puesto que los historiadores de las matemáticas parecen estar de acuerdo en que los babilonios, los egipcios, Diofanto, y los árabes, más retóricos, practicaron en realidad un álgebra más o menos rudimentaria, está claro que la ausencia o la presencia de simbolismo no es el criterio histórico. El asunto implica algo más que palabras. De las consecuencias, con frecuencia decisivas que ha tenido el simbolismo para el desarrollo general del razonamiento matemático, parece deducirse que lo importante son las matemáticas en sí y no las pedanterías de la terminología. Un concepto del álgebra más antiguo que el que ahora se acepta universalmente identificaba al álgebra con la resolución de ecuaciones. Si se admite esta antigualla, hay que aceptar como álgebra tanto la fase retórica como la sincopada sin mayores méritos, y todo el desarrollo histórico de la materia hasta principios del siglo XIX adquiere una unidad engañosa y una coherencia aparentemente plausible. Un concepto semejante del álgebra señala el uso de las incógnitas, verbales o simbólicas, como clave histórica a seguir. Sin embargo, esto es demasiado amplio, ya que incluye problemas geométricos como el de la construcción de una circunferencia que satisfaga condiciones dadas. Para restringir suficientemente el alcance de la “incógnita” se le puede limitar al dominio de los números, restricción que perdió su rigor con la invención de la geometría analítica. En cierto modo toda la matemática es una búsqueda de la incógnita. Además de proporcionar una clave al desarrollo del simbolismo, esta definición tan amplia tiene sobre sus numerosas competidoras la señalada ventaja de permitir que los algebristas y los analistas reclamen como suyo todo el dominio de las matemáticas, como ya hacen algunos geómetras.

A pesar de todas las objeciones, los datos de que se dispone parecen mostrar que para seguir el desarrollo histórico del simbolismo, o bien las ecuaciones o bien las incógnitas proporcionan una directiva adecuada. Además, la simple existencia de las ecuaciones durante toda la prolongada evolución indica también un aspecto importantísimo del pensamiento matemático que ha dominado gran parte de la obra del reciente periodo que se inició en 1801: el de la matemática como estudio de relaciones. En las primeras fases la única relación que se tenía en cuenta era la igualdad, y se necesitaron unos 3 000 años para que este ambiguo concepto alcanzara una plena representación simbólica. Esto puede servir como ejemplo típico del grado con que evolucionó hasta lo más común de la matemática actual.

Al parecer resultó más fácil de simbolizar las operaciones que las relaciones. Si esto es cierto, está de acuerdo con el orden de abstracción creciente. Pero el éxito en una sección al parecer no estimulaba apreciablemente la inventiva en otra, y hasta época reciente fue azaroso el desarrollo del simbolismo.

En las matemáticas modernas, a veces puede haber sido accidental la creación de una notación eficaz, pero por lo general fue el resultado de un esfuerzo consciente. Ejemplo de lo primero es la notación (no a/b) para las fracciones, invento del que su autor quizás no apreciara toda su importancia. Quizás el ejemplo más sorprendente del segundo es la notación de Leibniz (no dy/dx) para la derivada de y respecto a x. Nadie en la historia de la matemática tuvo mayor conciencia que Leibniz de las potencialidades de un simbolismo racionalmente ideado, y nadie dedicó más laboriosos pensamientos a la “filosofía” de la notación matemática que él. Más recientemente, las notaciones a/b para las fracciones y dy/dx para las derivadas ilustra en ciertos aspectos un retroceso. Entonces, se descartaron siglos de hábitos fáciles para contentar la incompetencia de los impresores, ya que el moderno reinventor de a/b dio ésta como razón fundamental para apartarse de la costumbre. En nuestro propio siglo, la deficiencia de las máquinas contribuyó de manera semejante a apartarse de notaciones felizmente concebidas, hasta que los impresores se apercibieron de que les traía cuenta contratar expertos ingenieros para que revisasen su maquinaria. Éste es uno de los pocos ejemplos en que el motivo económico se ha relacionado sencilla y directamente con el ideal de la claridad matemática, en beneficio de ambos. En lo de el motivo era en parte un magno deseo de moderar lo repulsivas que resultan las vulgares fracciones para los niños pequeños.

Una pequeña muestra de las muchas notaciones de las potencias de la incógnita bastará para indicar el progreso del álgebra retórica a la simbólica. Ahmes (siglo XVII a. C.) usaba una palabra, que se ha traducido como “montón”, “cantidad”, “masa”, para designar la incógnita. Diofanto (siglo III d. C.) usaba una taquigrafía para las potencias sucesivas de la incógnita: x² era la “potencia”, x³ el “cubo”, y “potencia” y “cubo” se escribían con lo que (probablemente) eran abreviaturas de las correspondientes palabras griegas. Digamos que esas abreviaturas eran P, C; entonces PP, PC, CC indicaban la cuarta, quinta, sexta potencias de la incógnita y así sucesivamente. Evidentemente hay algo de racional tras esa síncopa. Esa notación no se adaptaba bien a la representación simultánea de varias incógnitas. También se atribuyen a Diofanto indicios de simbolismo operatorio. La adición se indicaba por yuxtaposición, la sustracción por un símbolo especial cuyo génesis todavía se discute, ya que pudiera ser la primera letra de una palabra griega, o un verdadero símbolo operatorio en el sentido de que no se derivaba de una abreviatura. Si fuera éste el caso, fue un paso notable hacia el álgebra simbólica. Pero Diofanto no llegó al simbolismo de relaciones, pues usó las primeras dos letras de la palabra griega “igualdad” para indicar “igual a”. Algunos eruditos ponen en duda que Diofanto hiciera uso del simbolismo, ya que se le atribuye haberlo hecho basándose en un manuscrito de su aritmética escrito aproximadamente un millar de años después de su muerte.

Tanto los hindúes como los árabes siguieron a Diofanto en lo que se puede llamar yuxtaposición aditiva para indicar las potencias sucesivas de la incógnita. Aryabhatta (siglos V a VI d. C.) abrevió la incógnita a ya, y su segunda, tercera, cuarta, sexta potencias a va, gha, va va, va gha, y así sucesivamente. También pensó en varias incógnitas; ya (primera incógnitas), ka, ni, pi (segunda, tercera, cuarta incógnita), cuyas abreviaturas son las de los colores, negro, azul, amarillo. Las operaciones se indicaban poniendo después de los operandos las palabras ghata, bha, que expresaban adición y multiplicación, respectivamente; de este modo, xy eran ya ka bha, en que x y y son las incógnitas. El signo igual se sustituía convenientemente escribiendo una de las cosas que eran iguales debajo de la otra. La palabra para designar raíz era mula. Combinada con otras palabras, como varga mula, ghana mula para raíz cuadrada, raíz cúbica, mula era más que un símbolo matemático un nombre común. Más se aproximaba al simbolismo el indicar el negativo de un número escribiendo un punto o un circulito, encima del mismo. De los árabes, Al-Khowarizmi (primera mitad del siglo IX) usaba gibir (raíz) para la incógnita, y mal (potencia) para su cuadrado. Al-Karkhi (principios del siglo XI) componía por yuxtaposición con kab para el cubo, la cuarta, quinta, sexta, séptima,… potencias como en mal mal, mal kab, kab kab, mal mal kab. Los árabes en general siguieron a Diofanto al simplificar las ecuaciones combinando términos semejantes. Ambos parecen haberse extraviado con esta simplificación natural. La clasificación importante de las ecuaciones con una incógnita no es de acuerdo con el número de términos, sino según el grado. Sin embargo, los árabes de la última época, a pesar del protosimbolismo ineficaz, se dieron cuenta de que el problema que seguía a las ecuaciones de segundo grado eran las de tercero, cosa nada fácil desde su punto de vista.

A fines del siglo XV, los árabes se aproximaron a una representación puramente simbólica de la operación, al escribir tan sólo la primera letra de la palabra árabe “raíz” encima del número para indicar la raíz cuadrada. Entonces, podría considerarse que esto es una fase intermedia entre la sincopación y el simbolismo maduro, en la cual las operaciones se designan por signos especialmente ideados, cuyo origen verbal, si es que tienen alguno, ya no es fácil de reconocer. Un ejemplo de esto último es el actual signo de igualdad. A menos que se sepa concretamente que Recorde inventó este signo (Whetstone of witte, 1557), sería fácil confundirlo con una forma degenerada escrita en una taquigrafía medieval. Pero Recorde escribía la igualdad con el signo =, ya que no había dos cosas que pudieran ser “más iguales” que “un par de paralelas”, cosa que recuerda mucho aquello de que “Guillermo y Juan”, gemelos, “se parecen mucho, especialmente Guillermo”. Pero Recorde tenía el instinto del verdadero simbolista de perfección definitiva, fuera cual fuera el capricho que eligiera para ganarse a sus contemporáneos partidarios de la síncope. Los egipcios habían usado la forma hierática de sus jeroglíficos para igualdad; los griegos usaron las dos primeras letras de su palabra, los árabes la última de la suya, hasta que volvieron al verbalismo total escribiendo igualdad con todas sus letras. A Recorde fue a quien le correspondió hacer lo justo.

En ecuaciones, el paso a través de esas tres fases fue semejante a la evolución de la notación de las potencias cada vez más algorítmica, que culminó (1655) con las formas de Vallis

Las ecuaciones griegas eran en parte retóricas y en parte sincopadas, con poco que se pudiera admitir hoy en día como simbolismo algebraico. Las ecuaciones de Al-Khowarizmi eran puramente retóricas; la traducción latina de una de ellas es “census et quinque radices equantur viginti quatuor”, o sea “el cuadrado de la incógnita (census) y cinco incógnitas (radices) son iguales a 24”, es decir x² + 5x = 24. Los europeos de los siglos XVI y XVII se aproximaron gradualmente al simbolismo completo en la escritura de las ecuaciones, como se puede ver por los siguientes ejemplos. Cardano (1545) escribió x³ + 6x = 20 de la siguiente manera “cubus p 6 rebus aequalis 20”, en que nada indica que cubus y rebus sean potencias (tercera, primera) de la misma incógnita. El p significa más. También Vieta con C Q y M para cubo, cuadrado, número o incógnita, dejaba sin aclarar que esos términos se refieren a una misma incógnita en IC − 8Q + 16N aequ. 40. Finalmente Descartes (1637) solucionó el asunto (excepto en que siguió escribiendo xx en lugar de x²), escribiendo x, xx, x³, x⁴, x⁶,… en lugar de los N, Q, C, QQ, QC,..., de Vieta poniendo todas las potencias enteras positivas sobre la base notacional uniforme que nos es familiar hoy día. Después de siglos de esfuerzo todo parecía finalmente muy sencillo.

Por otro lado, se podrían escribir (y se han escrito) volúmenes enteros sobre la evolución del simbolismo matemático. Probablemente todo el que los ojee convendrá en que la falta de un simbolismo adecuado obligó a los aritméticos y algebristas griegos a estudiar casos especiales de lo que podrían haber sido sus problemas, e impidió que los hindúes y los árabes produjeran un álgebra elemental de la capacidad de un adolescente corriente.

VII
EL COMIENZO DE LAS MATEMÁTICAS MODERNAS

 [1637–1687] 

LOS ESQUEMAS históricos a veces nos engañan con divisiones artificiales del progreso humano en siglos o medios siglos demarcados con fechas precisas. En vista de que acabamos de pasar por uno de esos periodos críticos de 50 años, bien podríamos sospechar que otro ha de ser más imaginario que real. Sea como sea, se reconoce universalmente que el medio siglo comprendido entre 1637 y 1687 es la fuente de las matemáticas modernas. La primera fecha señala la publicación de la Geométrie de Descartes, y la segunda la de la publicación de los Principia[1] de Newton.

De este prolífico periodo, como de la Edad de Oro de Grecia, seleccionaremos únicamente las anotaciones que sobresalen por encima de una multitud de detalles interesantes por su importancia para la historia de las matemáticas. Alguno de los puntos que anotamos se estudiarán en capítulos posteriores, en que se podrán incluir sin forzar ni interrumpir la continuidad del razonamiento principal.

Por ejemplo, en esta época las series infinitas progresaron considerablemente, pero fueron de menor importancia comparadas con el cálculo. También la aportación de Leibniz a la lógica simbólica se puede describir mejor a la luz de los trabajos modernos, y la reseñaremos en el capítulo final. Vale la pena observar de una vez para siempre que la matemática oscurece a sus creadores, que estamos primordialmente interesados en las matemáticas, y que cada uno de los hombres que citemos hizo mucho más que lo poco que describimos, pero que mucho de lo que omitamos hace tiempo que no tiene más interés que el histórico.

Dedicaremos a unos cuantos de los hombres cuyo trabajo revisemos aquí mucho más espacio del que pudiera estar justificado sobre una base puramente impersonal, por deberse a unos mucho más directamente que a otros la creación de la matemática moderna. Sin duda, que como Pitágoras, se desvanecerán como personalidades, y que con el transcurso de los siglos sólo vivirán en el cuerpo de las matemáticas; pero por ahora están suficientemente próximos de nosotros para que sean algo más que nombres unidos a abstracciones matemáticas.

Esos eminentes fundadores de la matemática moderna no fueron simplemente media docena de personalidades en una multitud; sobresalían por encima de la mayoría de los que los precedieron y de los que los siguieron. Después de la vida de estos hombres fue mucho más difícil concebir una preeminencia sobresaliente en las matemáticas, sencillamente porque la fuerza de sus métodos había elevado súbitamente el nivel de lo que es dable alcanzar en matemáticas. Por ejemplo, los geómetras ya no estaban condenados a arrastrarse entre cinco cónicas y un puñado de sencillas curvas planas de orden superior, una vez que Descartes les hubo dado alas. Entonces, se puede argüir que hasta el más original de esos hombres debía mucho al más humilde de los que les precedieron. Pero su incomparable superioridad en cuanto a perspectiva general nos inclina a considerarlos más como mutaciones súbitas, a los que accidentes del medio en que vivían dotaron de actividad explosiva, que como productos ordenados de una evolución lenta.

CINCO PROGRESOS PRINCIPALES

La matemática moderna se originó en cinco progresos principales que tuvieron lugar en el siglo XVII: la geometría analítica de Fermat (1629) y Descartes (1637); el cálculo diferencial e integral de Newton (1666, 1684) y Leibniz (1673, 1675), el análisis combinatorio (1654), y en particular la teoría matemática de probabilidades, de Fermat y de Pascal; la aritmética superior (hacia 1630-1665) de Fermat; la dinámica de Galileo (1591, 1612) y de Newton (1666, 1684), y la gravitación universal (1666, 1684-1687) de Newton.

Junto a esos cinco podemos citar otras dos nuevas direcciones por la influencia que tuvieron en progresos posteriores: la geometría proyectiva sintética (1636-1639) de Desargues y Pascal; el comienzo de la lógica simbólica (1665-1690) por Leibniz.

Durante toda la primera mitad del siglo, la hostilidad reaccionaria hacia la ciencia continuó una batalla que ya tenía perdida, y que alcanzó su inútil culminación al condenar la Inquisición en 1633 a Galileo, sólo cuatro años antes de que Descartes, en la seguridad de Holanda, diera su obra maestra a la imprenta. La intolerancia era contrarrestada en parte por las sociedades científicas que se fundaron en esta época o poco después. No necesitamos citar más que a las tres más influyentes. La Royal Society de Londres se constituyó en 1662; Newton fue su presidente desde 1703 a 1727. La Academia Francesa de Ciencias (Académie des Sciences, París) cristalizó en 1666 de las reuniones informales de un grupo de sabios, algunos de los cuales, entre ellos Mersenne, Descartes y Mydorge, eran ante todo matemáticos. La Academia de Berlín (Societät der Wissenschaften) se fundó en 1700 a instigación de Leibniz, que fue su primer presidente. Las Academias de París y de Berlín han prestado más calor que la Royal Society a las matemáticas puras.

Nunca se apreciará demasiado la importancia que tuvieron estas y otras academias para el progreso de la ciencia durante los siglos XVII y XVIII. Juntas, hicieron bastante más por la ciencia que ninguna universidad, por ser una de sus principales funciones la publicación de las investigaciones de sus miembros. Aún más importante que esto era el encendido ejemplo que representaba cada una de estas sociedades, de un núcleo de hombres inteligentes e influyentes, en medio de una sociedad todavía intimidada por los prejuicios religiosos y la intolerancia científica. Hacia fines del siglo XVII la ciencia era lo suficientemente poderosa para que no se la pudiera atacar sin fundamentos, y las fuerzas de la reacción, que luchaban entre sí, no tuvieron el talento de unirse contra el enemigo común.

El progreso simultáneo de lo continuo y lo discreto fue un rasgo notable del rápido desarrollo de las matemáticas. Se podía esperar el avance de lo continuo; el de lo discreto, al parecer, fue un accidente. Ni la más o menos trivial aritmética de las permutaciones y de las combinaciones, ni las observaciones nada sistemáticas de los juegos de azar significan una explicación suficiente de la aparición súbita y completa de los principios fundamentales de la teoría de probabilidades.

La más prolífica de todas las nuevas adquisiciones fue el cálculo, ya que cuando la geometría se hizo analítica, derivó casi toda su vida del análisis de las funciones continuas, excepto en singularidades aisladas. De este modo se dispuso de una reserva infinita de curvas y de superficies sobre las que debieron trabajar los geómetras aplicando los métodos del cálculo para descubrir e investigar los puntos excepcionales, como los máximos y las inflexiones, que no son intuitivamente evidentes por la simple inspección de la ecuación.

No es sorprendente que durante más de un siglo después de que se hiciera del dominio público, el cálculo y sus aplicaciones a la geometría, la astronomía dinámica y la mecánica, atrajeran a casi todos los hombres más capaces, que descuidaron relativamente el análisis combinatorio, la teoría de números, el álgebra (excepto el mejoramiento de la notación y la obra de Descartes sobre las ecuaciones), la lógica simbólica y la geometría proyectiva. Durante más de 20 siglos la geometría y la astronomía habían dominado la tradición matemática en las obras de los maestros. Por fin se disponía de un disolvente universal para todo lo que había resultado difícil de tratar en la astronomía y en la geometría clásicas, una piedra filosofal que transmutaba en oro todo lo que tocaba. Dificultades que hubieran desconcertado a Arquímedes eran fácilmente superadas por hombres que no valían ni para remover la tierra en que aquél había trazado sus esquemas. Leibniz no exageraba cuando en 1691 se jactaba de que “mi nuevo cálculo (y de Newton) […] permite averiguar las verdades mediante una especie de análisis, y sin ningún esfuerzo de la imaginación, cosa que antes sucedía sólo por accidente; y nos da sobre Arquímedes las mismas ventajas que Vieta y Descartes nos dieron sobre Apolonio”.

El cálculo de Newton y de Leibniz proporcionó finalmente el método buscado durante tan largo tiempo para investigar la continuidad en todas sus manifestaciones, en la ciencia o en la matemática pura. Todo cambio continuo, como en la dinámica o en la transmisión del calor y de la electricidad, se puede abordar en la actualidad matemáticamente sólo gracias al cálculo y a sus perfeccionamientos modernos. Las ecuaciones más importantes de la mecánica, la astronomía y de las ciencias físicas son ecuaciones diferenciales e integrales, producto del cálculo del siglo XVII. En matemáticas puras, el cálculo reveló de una vez continentes insospechados qué explorar y dominar, como con la creación de funciones nuevas que satisfagan ecuaciones diferenciales con o sin condiciones iniciales prescritas. Una de las ecuaciones más sencillas de ese tipo, dy = f(x) dx, en cierto modo define el cálculo integral; y la integral correspondiente, ∫ f(x) dx, por sí sola sugiere una infinita variedad de funciones de la forma f(x).

En la división de lo discreto, la continuidad no tiene más que importancia secundaria. El análisis combinatorio se interesa primordialmente por las relaciones entre las subclases de una clase dada de objetos discretos, por ejemplo de las interrelaciones de las permutaciones y de las combinaciones de los miembros de una clase dada que se pueda contar. La obra de Pascal y de Fermat en 1654 sobre probabilidades elevó al análisis combinatorio del dominio de las distracciones matemáticas, al de la matemática completamente práctica; y sólo transcurrieron 50 años entre la creación de la teoría matemática de probabilidades y el cálculo de las tablas de mortalidad valiéndose de la misma. En el moderno análisis combinatorio es indispensable el cálculo para obtener aproximaciones prácticas de las fórmulas poco cómodas de calcular exactamente.[2]

El otro gran progreso en el campo de lo discreto fue la creación por Fermat de la moderna aritmética superior, y durante mucho tiempo se limitó al estudio de las relaciones que ligan las subclases de la clase de todos los enteros racionales. Desde aproximadamente 1850, numerosos aritméticos han ampliado la teoría clásica de Fermat y de sus sucesores a clases mucho más extensas de enteros. La aportación que ha hecho la aritmética superior a toda la matemática ha sido indirecta, por la invención de técnicas nuevas, principalmente en la moderna álgebra superior, y en menor grado en análisis, primordialmente para su aplicación a problemas relativos a los enteros racionales. Recíprocamente, se puede decir que no existirían extensos capítulos en la moderna teoría de números si el análisis no los hubiera hecho posibles.

La evolución de la geometría proyectiva sintética y de la lógica simbólica constituyen un contraste interesante de supervivencia de lo anticuado en matemáticas. De ambas nos ocuparemos en capítulos posteriores; por ahora, nos limitaremos a señalar la notable diferencia que existe entre su suerte y la prosperidad uniforme de otras creaciones del siglo XVII. La geometría proyectiva sintética, después de que la inventaran Desargues y Pascal, languideció hasta principios del siglo XIX, en que se hizo muy popular entre los geómetras que no gustaban del análisis. El sueño de Leibniz de una ciencia matemática de la deducción quedó adormecido hasta mediados del siglo XIX, y aun entonces atrajo muy pocos, aunque Leibniz había previsto la importancia que había de tener la lógica simbólica para toda la matemática, e hizo personalmente considerables progresos hacia un álgebra de las clases. Solamente en la segunda década del siglo XX consiguió la lógica matemática rango de capítulo principal de las matemáticas. Paralelamente, la geometría proyectiva sintética estaba siendo relegada definitivamente al pasado admitiéndose con desgana que una técnica esencialmente griega, aun cuando revitalizada, es completamente impotente para competir con los métodos analíticos de Descartes y de sus sucesores.

De todo esto se deduce bien claramente que después de la época de Arquímedes, Euclides y Apolonio, la segunda gran época de las matemáticas fue la de Descartes, Fermat, Newton y Leibniz. Si fuera posible indicar con una palabra la distinción fundamental entre lo viejo y lo nuevo, diríamos que el espíritu de lo viejo era la síntesis, el de lo nuevo el análisis.

ANTICIPACIONES

Antes de proceder a examinar los progresos individuales trataremos de una cuestión puramente histórica de la que no nos volveremos a ocupar. Ésta se refiere a numerosas ideas frustradas o estériles que no se incorporaron a las matemáticas vivas. Tras de cada uno de los progresos principales del siglo XVII hubo muchos pequeños avances en la dirección general de cada uno de ellos y algunos estuvieron a punto de alcanzar su objetivo. Por lo menos, eso es lo que nos sentimos tentados a pensar ahora. Echando una mirada retrospectiva hacia esos esfuerzos, algunos, en su generosidad, pueden sentirse inclinados a creer que sin aquellos avances detenidos, el éxito final se hubiera retrasado mucho o no se hubiera alcanzado nunca. En los casos concretos de la geometría analítica y el cálculo, no los sentimientos, sino un examen de las matemáticas consideradas, ha convencido a la mayoría de los profesionales de que aquellas esperanzas son ilusorias. Ésta es especialmente la opinión de hombres creadores de matemáticas que saben por una experiencia desconcertante que la retrospección ve mucho que se le oculta a la previsión.

Podemos trazar retrospectivamente la evolución de la geometría analítica, por ejemplo, hasta Hiparco, e incluso hasta los antiguos egipcios. Como todo astrónomo que ha estudiado la posición de los planetas, Hiparco utilizó las coordenadas, y en particular la longitud y la latitud. Pero el uso de las coordenadas no justifica que nadie reclame para sí una prioridad en el invento de la geometría analítica, como tampoco lo justifica el uso intensivo de gráficos. Como sabe todo principiante inteligente que haya comprendido en las tres primeras semanas de un curso de geometría analítica, ésta y el uso de las coordenadas para trazar gráficas son universos separados. Tan sólo en el sentido de que precedieron a la geometría analítica se puede decir que aquellas pueriles actividades sean predecesoras de la geometría analítica. Así es como opinan también la mayoría de los geómetras profesionales, que probablemente son en ese asunto tan competentes como el que más.

Por otra parte, hemos de remitir al lector[3] a otras fuentes en que se examina detalladamente y se rechazan las románticas pretensiones de que varios matemáticos primitivos, y en particular Apolonio, Nicole Oresme (siglo XIV) y Kepler, se anticiparon a Descartes y a Fermat en su invención separada de la geometría analítica. Para conservar el equilibrio, y para presentar un ejemplo neto de cómo las opiniones de los eruditos son contradictorias en lo referente a historia de las matemáticas, citaremos otra narración, en que se llega a una conclusión absolutamente opuesta, y no sin fundamentos.[4] Se podrían mencionar docenas de opiniones para cada lado; las dos que hemos elegido bastarán para orientar al que se interese y para que pueda empezar a formar un juicio crítico propio.

En cada uno de los progresos principales del siglo XVII, algún paso determinado conducía de la confusión a un método nuevo. Así, por ejemplo, Newton indica qué es lo que le sugirió el cálculo diferencial: “la manera que tenía Fermat de trazar tangentes”.

Pero hay un “antecesor” del cálculo, Cavalieri (italiano, 1598-1647), que merece algo más que una mención de pasada por el daño tan grande que hizo al anticiparse. El método de los indivisibles de Cavalieri ha sobrevivido para desdicha de centenares de profesores de cálculo elemental que han de extirpar de las mentes de sus alumnos conceptos heréticos de los infinitésimos.

Mucha de esta confusión elemental se puede deber en los Estados Unidos a una generación de profesores universitarios, que recibieron una cuidadosa educación en geometría del espacio basada en el método de los indivisibles de Cavalieri. Sus geometrías escolares contenían una sección muy seductora de lo que algunos autores llamaban los cuerpos de Cavalieri; y se utilizaban esos entes inexistentes, indivisibles-divisibles, entre otras cosas absurdas, para inculcar una desastrosa y sin sentido concepción de la medida en tres dimensiones.

Cavalieri no fue antecesor del cálculo; cometió un pecado imperdonable contra él. Si no hubiera sido por sus indivisibles, de los que se impregnaron docenas de hombres, por lo demás muy razonables, que habían de ser profesores universitarios, hace un par de generaciones que se hubiera extinguido el concepto engañoso de que un infinitésimo es un “cero pequeñito”.

El atractivo histórico de los indivisibles de Cavalieri es innegable, y quizá por eso algunos historiadores atenúan sus flagrantes delitos. Estaban inspiradas en las elucubraciones escolásticas de Thomas Bradwardine, arzobispo de Canterbury (siglo XIII), y en el análisis submatemático de santo Tomás de Aquino. Puesto que Cavalieri nunca define explícitamente sus indivisibles, sus apologistas quedan en libertad de ver en ellos lo que les parezca que debiera haber, aunque no esté. Pero si su exposición mística (1635) tiene algún significado, Cavalieri consideraba que una línea está compuesta de puntos como los de un cordón con cuentas posibles de contar, pero sin dimensiones; consideraba la superficie constituida análogamente por líneas sin anchura, y un cuerpo sólido como un montón de superficies sin espesor. Éstas son las nociones que un profesor consciente ha de quitar de la cabeza de sus alumnos aunque le cueste cuatro años.

Un argumento histórico en favor de esos indivisibles es que Leibniz los conocía. Pero ni aun así se puede decir que Cavalieri fuera un antecesor del cálculo. Como veremos muy pronto, Newton reconoció claramente que la teoría de indivisibles era insostenible; y aunque no consiguió aclarar por completo sus propias dificultades, no confundió una tontería con un razonamiento sólido. Ésa es la distinción fundamental que existe entre uno que imaginó el cálculo y otro que no lo imaginó. En este sentido, son fáciles de conseguir opiniones contrarias de la obra de Cavalieri.

DESCARTES, FERMAT Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

René Descartes (francés, 1596-1650) es generalmente conocido más como filósofo que como matemático, aunque su filosofía es discutible mientras que sus matemáticas no lo son.

La familia de Descartes pertenecía a la más baja jerarquía de la nobleza francesa. Su madre murió poco después de su nacimiento, pero un padre muy humano y una nodriza muy eficiente compensaron su pérdida. Después de una amplia educación en humanidades en el colegio de jesuítas de La Flêche, Descartes vivió durante dos años en París, estudiando matemáticas por sí mismo, antes de unirse en Breda al príncipe Mauricio de Orange como oficial, en 1617. En 1621, Descartes abandonó su carrera militar, en parte porque había visto bastante servicio activo y pasivo, y en parte porque, como declaró, tres sueños que tuvo en la noche del 10 de noviembre de 1619 le sugirieron los gérmenes de su filosofía y de la geometría analítica.

Gran parte del resto de su vida la pasó en Holanda, donde estaba más a salvo de las posibles consecuciones religiosas de lo que hubiera podido estar en Francia. Éstos fueron sus años productivos, en que, a pesar de su deseo de tranquilidad, no pudo ocultar la grandeza de su pensamiento. Dondequiera que hubiera otros de espíritu semejante al suyo que se atrevieran a pensar, se difundían rumores de lo que él pensaba. Su fama se extendió por toda Europa, en gran parte debido a los esfuerzos del padre Mersenne (francés, 1588-1648) de París, que actuó de intermediario entre los intelectuales franceses y la cautela muy justificada de Descartes.

Descartes publicó (1637) la obra en que reposa su grandeza como matemático, Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, cuyo tercero y último apéndice, La géométrie, contiene su subversiva invención.

Los últimos meses de su vida los pasó como tutor de la joven y obstinada reina Cristina de Suecia. Los rigores del invierno de Estocolmo, y las inconsideradas exigencias de su real alumna, fueron causa de su muerte. De acuerdo con los ideales de su época, en que la ciencia experimental empezaba a desafiar seriamente a las arrogantes especulaciones, Descartes brilló más por su filosofía que por sus matemáticas. Pero apreció plenamente la fuerza de su nuevo método geométrico. En una carta que escribió en 1637 a Mersenne, después de decir “no me gusta alabarme”, Descartes continúa: “lo que expongo en el segundo libro sobre la naturaleza y propiedades de las líneas curvas, y sobre el método de estudiarlas, me parece que está tan por encima del tratamiento que se le da en la geometría ordinaria, como la retórica de Cicerón sobre el a, b, c de los niños”.[5]

El famoso apéndice[5] sobre la geometría consta de tres libros, de los cuales el segundo es el más importante. El tercero está dedicado en su mayor parte al álgebra. Entonces, bastará exponer en la terminología usual los rasgos esenciales del progreso de Descartes.[6]

Una curva en el plano queda definida por alguna propiedad determinada, que sea válida para todos y cada uno de los puntos de la curva. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a otro punto fijo sea constante. Todo punto de la curva queda unívocamente determinado por sus coordenadas x e y; y una ecuación f(x, y) = 0 entre las coordenadas representa por completo la curva cuando se traduce en una relación la propiedad geométrica que la define, estando representada la relación por la función f, entre las coordenadas x, y, del punto particular-general de la curva.

De esta forma se establece una correspondencia inequívoca entre las curvas planas y las ecuaciones de dos variables x, y: para cada curva hay una ecuación determinada f(x, y) = 0, y para cada ecuación f(x, y) = 0 hay una curva determinada.

Además, hay una correspondencia análoga entre las propiedades algebraicas y analíticas de la ecuación f(x, y) = 0 y las propiedades geométricas de la curva. De esta forma la geometría se reduce al álgebra y al análisis.

Recíprocamente, se puede hablar en análisis con el lenguaje de la geometría, y esto ha sido una fecunda fuente de progresos en análisis y en física matemática.

Las consecuencias que tuvo el enunciado analítico que dio Descartes a la geometría son evidentes. No solamente posibilitó el nuevo método la investigación sistemática de las curvas conocidas sino que, lo que tiene importancia infinitamente más profunda, creó en potencia todo un universo de formas geométricas imposibles de concebir por el método sintético.

También Descartes vio que su método se aplica igualmente a las superficies, siendo en este caso la correspondencia entre superficies definidas geométricamente y ecuaciones de tres variables. Pero no se ocupó de desarrollar esto. Como esta ampliación a las superficies, no había razón alguna para que la geometría se detuviera en las ecuaciones de tres variables; en el siglo XIX se hizo con toda facilidad la generalización a sistemas de ecuaciones con un número finito cualquiera de variables. Finalmente, en el siglo XX la mayor ampliación posible en este aspecto condujo a espacios de una infinidad inconmensurable de dimensiones. Esto último no es simplemente una fantasía de la imaginación matemática; es el marco utilísimo de muchos de los complicados análisis de la física moderna. El camino que conduce desde Descartes a los creadores de los espacios superiores es recto y claro; lo extraño es que nadie lo atravesara con anterioridad.

De pasada podemos señalar otro camino directo que conduce desde Descartes a la actualidad. La fórmula (x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)² del cuadrado de la distancia entre dos puntos (x₁, y₁), (x₂, y₂) de un plano (superficie de curvatura cero) sugirió las fórmulas correspondientes de la geometría diferencial para el cuadrado del elemento lineal que une puntos próximos de un espacio cualquiera, plano o curvo, de un número cualquiera de divisiones, como formas diferenciales cuadráticas. El germen de toda esta larga evolución fue el teorema de Pitágoras.

En sus detalles, la exposición de Descartes es diferente de la que ahora es habitual. Por ejemplo, él empleó únicamente un eje x, y no se refirió para nada a un eje y. De cada valor de x, calculaba el correspondiente de y mediante la ecuación, obteniendo de esa forma las coordenadas x y y. Evidentemente que el uso de los dos ejes no es una necesidad, sino una conveniencia. En nuestra terminología empleó los equivalentes, tanto de los ejes rectangulares como de los oblicuos. Pero hubo un punto importante en que su procedimiento tenía una restricción innecesaria. Consideró las ecuaciones solamente en el primer cuadrante al traducir la geometría en álgebra. Esta lógica pero innecesaria limitación condujo a anomalías inexplicables al traducir a la inversa del álgebra a la geometría. Al evolucionar la geometría analítica y cuando se emplearon sin miedo los números negativos, quedó eliminada la restricción. En 1748, cuando Euler codificó y amplió la obra de sus predecesores, tanto la geometría analítica plana como la del espacio eran prácticamente perfectas, salvo la introducción en 1827 de las coordenadas homogéneas.

Los contemporáneos de Descartes no apreciaron plenamente el nuevo método, en parte porque adoptó deliberadamente un estilo algo áspero. Cuando los geómetras se apercibieron del significado de la geometría analítica, se desarrolló con más rapidez. Pero sólo con la invención del cálculo la geometría analítica llegó a ser lo que es. Ya en 1704 Newton[7] pudo clasificar todas las curvas planas de tercer grado en 78 especies de las que describía todas menos seis. Este ejemplo relativamente temprano de la geometría de las curvas planas de orden superior es notable especialmente por su discusión de la naturaleza de las curvas en el infinito, y por la afirmación de Newton, que no aclaró, de que es posible obtener todas las curvas como proyecciones (“sombras”) de las curvas y² = ax³ + bx² + cx + d. Si reflexionamos en que tan sólo 67 años antes de que Newton publicara esta obra, los geómetras habían hecho una laboriosa disección de aquellas otras “sombras”, las secciones cónicas, por el método sintético de Apolonio, y ni siquiera llegaron a imaginarse las cúbicas de Newton, empezaremos a darnos cuenta de la magnitud de la evolución que originó Descartes en la geometría. Entonces, resulta evidente de la exposición que hace Descartes de su método que tenía una idea intuitiva de los evasivos conceptos variable y función que son fundamentales para el análisis. También incluyó la variación continua. Ya Vieta, antes que él, había usado letras para designar números arbitrarios constantes; Descartes sabía que las letras de sus ecuaciones representaban variables y reconoció claramente la distinción entre variable y constantes arbitrarias, aunque no definió ninguna de ellas explícitamente. La importancia que tuvo este progreso para el cálculo que había de sobrevivir tan sólo 16 años después de su muerte es evidente.

Dos de sus observaciones menos significativas, aunque geométricamente importantes, ilustran el progreso de Descartes en la generalización: clasificó las curvas algebraicas según sus grados, y reconoció que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo sus ecuaciones simultáneamente. Esto último presupone lo que en realidad es un progreso de la mayor importancia sobre todos los que habían usado coordenadas con anterioridad: Descartes se dio cuenta de la posibilidad de referir una infinidad de curvas sucedentes a un mismo sistema de coordenadas. En este aspecto concreto estuvo muy por encima de Fermat, que aparentemente no se dio cuenta de este hecho fundamental. Quizá Fermat lo considerara implícito, pero no hay nada en su obra que lo demuestre inequívocamente.

Buscando aún más la generalización, Descartes agrupó todas las curvas en dos clases: las geométricas y las mecánicas. Esto, que no aclara nada, es curioso. Definió que una curva es geométrica o mecánica según que (en nuestra terminología) dy/dx sea función algebraica o trascendente. Aunque hace mucho tiempo que se abondonó esta clasificación, significa para nosotros un interesante punto de vista sobre la calidad de la mentalidad de Descartes. La definición actual de una curva trascendente diciendo que es la que corta a una línea recta en una infinidad de puntos la dio Newton en su obra sobre las cúbicas.

No necesitamos describir el método de Descartes para trazar tangentes y normales, porque no era muy feliz. Pronto lo sustituyó el de Fermat ampliado por Newton. El método de Fermat equivale a tener una tangente como posición límite de secantes, exactamente igual que se hace hoy día en el cálculo. La importancia histórica de este concepto queda bien de manifiesto si se recuerda que la tangente en (x, y) se traza por una simple construcción euclidiana una vez conocida su pendiente dy/dx. El método de las tangentes de Fermat es la base de los que pretenden que se anticipó a Newton en la invención del cálculo diferencial. También fue motivo de una prolongada controversia con Descartes.

Ahora, pasaremos a Fermat y al papel que desempeñó en la invención de la geometría analítica. Hoy día no cabe la menor duda de que precedió a Descartes. Pero como los trabajos que hizo hacia 1629 no los comunicó a otros hasta 1636, y sólo se publicaron póstumamente en 1679, es imposible que influyeran sobre Descartes en lo que se refiere a su invento, y Fermat nunca lo insinuó siquiera.

Fermat es uno de esos genios, de primera fila, relativamente escasos que como Newton y Gauss encuentran su satisfacción en el trabajo científico y no en la publicidad. En las condiciones económicas modernas no es conveniente que un hombre de ciencia esconda sus conocimientos, a menos que quiera morirse de hambre en la oscuridad, y pocos lo quieren. Desde luego que es imposible decir cuál hubiera sido el efecto que la posibilidad de morir de hambre sin trabajo hubiera tenido sobre los más apartados hombres de ciencia del pasado. Algunos de ellos vivían en seguridad económica independientemente de que hicieran o no trabajos científicos. Hoy día los hombres se ganan la vida únicamente con la ciencia de las matemáticas, y comparar su ética profesional con la de los de un pasado hipotético que quizás nunca existió sería medirlos con un metro retorcido, pues aún no se ha demostrado que un cerebro bien lleno pueda vencer en sus razonamientos a un estómago vacío. En el caso de Fermat, o bien la seguridad de su vida, o una excesiva modestia hicieron que la publicación de sus obras tuviera muy poca importancia para él, y como resultado su soberbio talento quedó desconocido para su propia generación. Fue Descartes, y no Fermat, al geómetra que los demás siguieron.

Pierre de Fermat (francés, 1601-1665, fecha de nacimiento discutida) fue un aficionado a las matemáticas. Su profesión, como la de Vieta, fue el derecho; vivió una vida tranquila y ordenada como consejero del parlamento local de Toulouse, y dispuso de muchos socios para sus estudios favoritos. Además, era un distinguido lingüista y clasicista, así como matemático de primera fila, y conoció de primera mano las obras maestras de las matemáticas griegas.

Fermat no descubrió sus extraordinarias facultades para las matemáticas hasta que tuvo alrededor de 30 años, y parece que ni aún entonces se dio cuenta de su magnitud. De sus cartas se deduce una impresión de que se consideraba a sí mismo como ingenioso, que a veces podía hacer las cosas un poco mejor que Apolonio y que Diofanto, aunque después de todo no mucho mejor si se comparaba con los maestros de la Antigüedad. Esa modestia tan sincera resultaría atractiva si no fuera exasperante: los aritméticos de hoy día darían quién sabe cuánto por poder dar una ojeada a los métodos que Fermat debió imaginar y que nunca se publicaron. Para compensar en parte su indiferencia a la publicación, Fermat mantuvo una voluminosa correspondencia.

Con la excepción que ya hemos hecho notar del uso de un sistema de coordenadas para representar un número cualquiera de curvas, la geometría analítica[8] de Fermat parece ser tan general como la de Descartes. También es más completa y sistemática.[9] Según Fermat, y no hay ninguna razón para ponerlo en duda, en 1629 ya había encontrado la ecuación general de la línea recta, la ecuación de una circunferencia con centro en el origen, y las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola rectangular, referida esta última a las asíntotas como ejes. Al año siguiente (1638) al de la publicación de la geometría de Descartes, Fermat le comunicó el método aceptado para encontrar las tangentes. Éste se originó en la investigación que hizo Fermat de los máximos y mínimos, problema que abordó esencialmente del mismo modo que se hace hoy día en el cálculo. Lo que hizo equivale a igualar la derivada f ′(x) de f(x) a cero para encontrar los valores de x que hagan máximo o mínimo a f(x). Geométricamente esto equivale a encontrar las abscisas de los puntos de la curva y = f(x) en los cuales la tangente es paralela al eje x. No prosiguió a examinar las derivadas de orden superior ni su equivalente geométrico para determinar si f ′(x) = 0 dan en realidad máximos o mínimos como es necesario hacer en una discusión completa. Tampoco aisló el cálculo de la derivada de su presentación implícita en problemas de máximos y mínimos. Descartes, o bien no entendió la superioridad del método de Fermat, o bien quedó demasiado mortificado para admitirlo y en su controversia sobre las tangentes adoptó un tono demasiado mordaz.

Del trabajo de Fermat sobre máximos y mínimos ha sobrevivido un resultado positivo, su principio del tiempo mínimo,[10] de la óptica.[11] Éste fue el primero (1657, 1661) de sus grandes principios del cálculo de variaciones de las ciencias físicas.

Puesto que pasaremos en breve a Newton y a su cálculo, no estará de más que examinemos aquí brevemente lo que presupone lo arriba indicado sobre las tangentes de Fermat. Si lo aceptamos en todo su valor, Fermat es inventor del cálculo diferencial. El más grande matemático del siglo XVIII, Lagrange, así lo aceptó. Pero el veredicto no es unánime.

La diferencia de opinión parece girar en torno de la concepción implícita de Fermat de puntos inicialmente “próximos”, pero en el fondo coincidentes. Para hallar los máximos o los mínimos de f(x), Fermat remplazó x por x + E, en que E difiere poco de cero. Después igualó f(x) a f(x + E), simplificó el álgebra, dividió por E y, finalmente, hizo E igual a cero.[12]

Si esto es cálculo diferencial legítimo, Fermat lo inventó. Si no lo es, no parece más ilegítimo que sus rivales históricos. Así, por ejemplo, Newton, al discutir en 1704 la fluxión de xn, en que n es un número arbitrario racional, usó su fórmula binómica (1676) para desarrollar (x + 0)n, y formó la diferencia (x + 0)n − xn, y dijo “dejemos ahora que estos términos (es decir, (x + 0)n − xn y 0) desaparezcan, y su razón será 1 a nxn−¹”. Éste era su método de las “razones primeras y definitivas”. De esta forma Newton encontró lo que con la notación de Leibniz que se usa hoy día es dxn/dx = nxn⁻¹.

La conclusión parece ser que o bien nadie en el siglo XVII inventó el cálculo diferencial, o que Fermat fue uno de los que lo inventaron. El asunto no queda resuelto citando el concepto de Newton de límite porque no desarrolló una teoría de límites en nada de lo que imprimió. Pero, sobre esta discutible diferencia de opiniones, cada uno debe formar la suya después de comprender como pueda las pruebas de que se dispone.

Antes de dejar a los creadores de la geometría analítica, podemos mencionar otros tres puntos de Descartes, aunque sólo el primero de ellos está relacionado con la geometría. Descartes ideó la notación x, xx, x³, x⁴,… para las potencias y se separó finalmente de la tradición griega de no admitir en geometría más que la primera, segunda y tercera potencias (“longitudes”, “áreas”, “volúmenes”). Después de Descartes, los geómetras usaron libremente potencias superiores a la tercera sin ningún escrúpulo, reconociendo que no es pertinente en la interpretación geométrica del análisis[13] representar las figuras en un espacio euclidiano.

Descartes también enunció el principio de los coeficientes indeterminados. Cualquier cosa que se pareciera a lo que ahora se admite como una demostración estaba dos siglos por delante de su época. Una segunda adición sobresaliente al álgebra fue la famosa regla de los signos que se da en todo texto de teoría de ecuaciones. Éste fue el primer criterio de aplicación universal sobre la naturaleza de las raíces de una ecuación algebraica. Aunque no siempre dé resultados útiles, ilustra admirablemente el gusto que tenía Descartes por la generalización, que hizo de él el matemático que fue.

NEWTON, LEIBNIZ Y EL CÁLCULO

En la historia del cálculo de Newton, la tentación de ver en las obras de sus contemporáneos cómo se anticiparon éstos y sus inmediatos predecesores es quizá mayor que por cualquier otro progreso importante de las matemáticas. Ahora bien, como ahora conocemos el cálculo y sus consecuencias sobre la geometría y la cinemática elemental, podemos considerar retrospectivamente muchos descubrimientos aislados viendo en ellos pasos hacia la diferenciación. Pero con sorpresa por nuestra parte, los descubridores a veces no percibieron lo que nosotros vemos ahora tan claramente. En cada caso dejaron de dar el último paso gigantesco que ahora no nos parece a nosotros sino muy pequeño; y atribuirles las zancadas que podían haber dado, pero que no dieron, no es más que romanticismo sentimental.

Los estudiantes de cálculo quizá quieran probar sus facultades críticas como ejercicio adecuado para distinguir entre la perspicacia matemática y la fácil profecía a posteriori, en la historia del “triángulo diferencial” de Isaac Barrow (inglés, 1630-1677). Éste tenía en cierto modo el estilo de Fermat. Prescindiendo de él, nos adheriremos a la tradición generalmente aceptada prosiguiendo sobre la hipótesis de que Newton y su cálculo hicieron algo nuevo.

Isaac Newton (inglés, 1642-1727), hijo póstumo de un labrador acomodado, nació cerca de Grantham, Lincolnshire, y pasó allí su niñez. Durante su infancia se interesó sólo pasivamente en sus trabajos escolares, hasta que en la adolescencia despertó súbitamente. Ya antes había mostrado una inequívoca promesa de genio experimental por los juguetes mecánicos que inventaba y hacía para divertirse y divertir a sus amiguitos. De esta manera, resulta interesante que tanto Newton como Descartes fueron delicados en su infancia, y que por lo tanto tuvieron tiempo para pensar y desarrollar su personalidad, mientras los muchachos más fuertes se reducían mutuamente a un denominador muy común. Ambos en su madurez fueron hombres robustos, Descartes gracias a su instrucción militar, y Newton por la heredada rudeza de sus antepasados labradores.

Después de una inconexa tentativa de aprender agricultura, Newton, a los 19 años, en 1661, fue al Trinity College, Cambridge. Por lo que se sabe concretamente, no se distinguió en particular hasta su graduación. Antes de ir a Cambridge había examinado superficialmente los Elementos de Euclides, y se dice que lo calificó de “libro trivial”. Cuando, posteriormente, comprendió el objeto de Euclides, revisó su temerario juicio. En su propia obra se refiere a Euclides con evidente respeto. Sus desconcertantes encuentros con las “cantidades muy pequeñas” le hicieron apreciar, finalmente, el décimo libro de los Elementos.

Como estímulo para los principiantes inteligentes diremos que Newton encontró en primera lectura que la geometría analítica era difícil.

Quizá por fortuna para las matemáticas, los estudios de Newton quedaron interrumpidos en 1665-1666 por la Gran Plaga, al cerrarse la universidad. Newton regresó a su casa, pero no se dedicó a la agricultura. Antes de que tuviera 24 años ya había imaginado las ideas fundamentales de sus fluxiones (cálculo) y su ley de la gravitación universal.

Al regresar en 1667 a Cambridge, Newton fue elegido miembro del Trinity, y en 1669 sucedió a Barrow, que dimitió en su favor como profesor de matemáticas. La primera obra que se conoció fuera del círculo de sus amigos íntimos fue en el dominio de la óptica, a raíz de sus conferencias de 1669.

Como aquí nos interesamos principalmente por el cálculo de Newton, nos limitaremos a resumir las circunstancias materiales de su carrera, de la cual es fácil obtener relatos completos, en los que también se describe su importantísima obra en óptica, de la que no trataremos aquí por pertenecer más a la física que a las matemáticas.

En 1672 (a los 30 años de edad) Newton fue elegido miembro de la Royal Society, y desde 1703 hasta su muerte fue su presidente. Sus Principia, a los que jueces competentes consideran universalmente como la mayor contribución que ha hecho un solo hombre a la ciencia, fueron escritos en 1684-1686 a instigación del astrónomo Halley (1656-1742), a cuyas expensas se imprimieron en 1687.

Newton fue elegido en 1689 y otra vez en 1701 representante de la Universidad de Cambridge en el Parlamento. Aunque no le gustaban los debates, tomó sus deberes seriamente y mostró un hermoso valor al defender los derechos de la universidad contra las injerencias del rey Jacobo II. A los 50 años de edad (1692) sufrió una grave enfermedad y perdió el interés en su obra científica, aunque sus facultades intelectuales, si bien no las aumentó, las retuvo hasta el final de su vida.

En parte por deseo propio, y en parte por la insistencia de sus amigos que le deseaban honores, cuando se cansó de la ciencia, Newton entró en la vida pública, y en 1696 lo hicieron consejero de la casa de la moneda. También, dirigió con éxito la reforma de la moneda y fue ascendido a director en 1699. En 1705 la reina Ana lo ennobleció y en 1727 murió. Está enterrado en la Abadía de Westminster.

La excesiva desgana que tenía Newton para publicar sus trabajos científicos refleja algunos de los aspectos de su carácter. Aunque no era de ninguna manera tímido o vergonzoso, a Newton le disgustaba en sumo grado todo lo que se acercara a la controversia. Una disputa poco inteligente sobre sus trabajos de óptica que tuvo lugar al principio de su carrera le enseñó que los hombres de ciencia no son siempre tan objetivos como debieran, ni aun en la ciencia, y se retiró dentro de sí mismo con asombrado desprecio.

Tampoco se puede decir que fuera afectación su conocida indiferencia por la supervivencia de su obra. Si no hubiera sido por las hábiles instancias y estímulos de Halley, probablemente nunca se hubieran escrito los Principia. Newton estimaba los escritos teológicos a que dedicó los ocios de sus últimos años mucho más que su ciencia y sus matemáticas. También en sus trabajos sobre la luz, Newton demostró ser uno de los más agudos experimentadores de la historia de la ciencia; era, pues, natural que dedicara mucho tiempo y bastante dinero a lo que deberíamos llamar alquimia, aunque en su tiempo era química ortodoxa.

Esta persona que tanto odiaba las disputas inútiles tuvo la irónica desdicha de verse envuelto en una de las más desastrosas controversias matemáticas de la historia, gracias a la oficiosidad de algunos amigos que lo sedujeron para que insinuara que Leibniz había plagiado su forma de cálculo. No discutiremos esto y nos limitaremos a afirmar que hoy día es opinión casi universal que Leibniz inventó su cálculo con posterioridad a Newton e independientemente. Los ingleses pueden estar satisfechos recordando que fue otro matemático inglés aquel, no conformista, Augustus de Morgan (1806-1871), el que primero emprendió el examen crítico de la disputa y obtuvo algo de justicia para Leibniz.

Los efectos que esta controversia produjo sobre las matemáticas inglesas durante todo un siglo fueron deplorables. La lealtad patriótica hacia Newton ocultó a los matemáticos ingleses la evidente superioridad de la notación de Leibniz sobre los puntos de Newton, ẏ, ÿ…; el resultado fue que a principios del siglo XVIII Suiza y Francia quedaron a la cabeza de las matemáticas. Los herederos científicos de Newton fueron los matemáticos del continente, no sus paisanos. Finalmente, en 1820, los matemáticos jóvenes de Cambridge se dieron cuenta de que sus reaccionarios mayores no honraban la memoria de Newton con su obstinado nacionalismo, y adoptaron las mejoras llevadas al cálculo por los del continente, e introdujeron la geometría analítica y la notación de Leibniz en los exámenes. Cambridge revivió matemáticamente.

Sin embargo, Newton como astrónomo matemático continuó dominando las matemáticas inglesas, por lo menos en el concepto popular de lo que son las matemáticas. Los hombres de ciencia ingleses más conocidos en el campo de las ciencias exactas no son los más eminentes matemáticos ingleses, sino hombres que fuera del Imperio británico quedarían clasificados entre los físicos matemáticos y teóricos. Entre ambas categorías hay una distinción algo más que académica. Un matemático crea nuevas matemáticas, o hace importantes mejoras o unifica lo que ya existe. Un físico matemático por regla general dedica poco tiempo a trabajos puramente matemáticos y emplea la matemática simplemente como una entre varias herramientas muy convenientes. El físico teórico aún puede dedicar menos tiempo a las matemáticas.

Newton es casi único con su triple supremacía en la matemática pura, en la matemática aplicada y en la experimentación. De los otros dos que se suelen incluir en esta clase, generalmente se considera a Arquímedes su igual, y a Gauss superior en matemática pura, pero inferior en otros aspectos.

El competidor de Newton en el cálculo fue un hombre de carácter y aficiones sorprendentemente distintas. Leibniz (alemán, 1646-1716) procedía de una familia erudita y tuvo todas las ventajas (y desventajas) de educarse con los clásicos griegos y latinos. Al contrario que Newton, fue notablemente precoz. Pronto dominó idiomas, filosofía, teología, matemáticas y derecho, lo cual era indicio de su subsiguiente preeminencia en todos los campos del saber y, lo que es lamentable, en diplomacia.

Leibniz es uno de esos raros caracteres de la historia de los que se puede decir, sin exageración, que tenía una mente universal. Su talento era puramente intelectual. Además, tenía poca o ninguna habilidad artística, y su falta de sentimiento para las cosas tangibles lo traicionó a veces en la ciencia. Al igual que Descartes,[14] que también se dejó arrastrar por la ciencia, probablemente se conoce hoy más a Leibniz por su filosofía; pero para una mentalidad científica moderna, sus mónadas son tan fantásticamente absurdas[15] como las ideas eternas de Platón. Pensaba incesantemente. Todo atraía su infatigable curiosidad y nada la distraía. Quizás el mundo haya tenido la fortuna de que gran parte de su inteligencia se disipara de una u otra manera en la persecución del dinero y de honores fugaces.

Leibniz a la edad de 21 años, y como recompensa por un ensayo revolucionario sobre la enseñanza del derecho, fue contratado por el Elector de Maguncia como agente general y consejero jurídico. En lo sucesivo dedicó la mayor parte de su tiempo a viajes y a misiones diplomáticas por cuenta del elector, hasta que éste murió en 1673. Leibniz fue después bibliotecario, historiador y factótum político de la familia Brunswick, en Hanover.

Durante sus visitas a Francia y a Inglaterra con motivo de sus misiones políticas y diplomáticas, Leibniz entró en contacto con los hombres de ciencia franceses e ingleses más notables y, a cambio de sus ideas, les reveló las suyas propias. Ese tipo de intercambio había de demostrar ser profundamente importante para el desarrollo del cálculo. Si buscamos el origen del trabajo moderno no sólo en los fundamentos del análisis, sino en los de todas las matemáticas, no necesitamos considerar más que el incidente que sigue.

Hasta que se puso en contacto con el gran físico y matemático holandés Christian Huygens (1629-1695), en París en 1672, Leibniz tenía muy pocos conocimientos, si es que tenía algunos, de lo que era entonces la moderna matemática. Los conocimientos matemáticos de primera mano que él tenía eran en su mayor parte griegos. Huygens le abrió los ojos y emprendió la tarea de educarlo matemáticamente. Leibniz demostró ser un alumno extraordinariamente apto. Así, se hicieron grandes amigos y mantuvieron correspondencia hasta la muerte de Huygens en 1695. Leibniz pedía a Huygens que criticara sus proyectos y, naturalmente, lo conseguía.

Aunque esto no es sino una especulación, es concebible, según el carácter ambicioso de Leibniz y su propensión filosófica a arreglar el universo, que su atrevido proyecto de un razonamiento simbólico universal fuera estimulado por la determinación de derrotar a Descartes en su propio terreno. El filosófico francés había reducido toda la geometría a un método universal; el más filosófico alemán quería reducir, de una manera análoga, todo razonamiento cualquiera que fuera su tipo a una “característica” universal, o, como se diría hoy día, a una ciencia matemática simbólica. Leibniz confió en 1679-1680 su proyecto a Huygens.[16] El físico no se impresionó.

Leibniz tuvo la fatal ocurrencia de elegir un problema geométrico trivial y de escasísimo interés, para ilustrar lo que pretendía,[17] con el resultado de que Huygens interpretó mal todo el asunto, y entabló una polémica. Este fracaso para ver lo que Leibniz quería decir es tanto más notable cuanto que Huygens con su visión científica percibía bosques a pesar de los innumerables árboles. Quizá la actitud jactanciosa de Leibniz despertó su antagonismo. Al no comprender bien lo que el ambicioso filósofo matemático intentaba hacer, Huygens descendió por una vez a las pedanterías de una crítica capciosa.

A primera vista puede parecer que las tentativas de Leibniz hacia una lógica simbólica no tienen nada que ver con el desarrollo del cálculo. Nada más lejos de la realidad. Pronto veremos que Newton, en sus primeros encuentros con lo continuo, se perdió en la pista de Zenón, de cuyas paradojas quizá nunca había oído hablar. Sutilmente disfrazadas, aunque en el fondo las mismas, esas antiguas dificultades han dejado perplejos a todos los matemáticos desde Newton, en el siglo XVII, a Weierstrass en el XIX, que trató no sólo de obtener resultados útiles e interesantes por medio de diferenciaciones e integraciones rutinarias, sino de comprender la esencia del cálculo. Éste les resultaba difícil a Newton y a Weierstrass; es fácil sólo para los que lo comprenden con demasiada facilidad.

La manera moderna de abordar los problemas fundamentales de continuidad ha revelado la naturaleza de las dificultades que desconcertaban a Newton, Leibniz, y a sus más sesudos sucesores. Sin miedo a equivocarse se puede afirmar que sin la lógica matemática que preconizó Leibniz, y que empezó a crear, la obra crítica del siglo XX sobre los fundamentos del análisis, y en realidad de toda la matemática, hubiera sido humanamente imposible.

Leibniz imaginó el proyecto de un “cálculo” del razonamiento deductivo; y si bien sus propios pasos hacia él fueron cortos y dubitativos, fue su atrevida concepción la que estimuló a otros a continuar; parece, pues, algo trasnochado persistir en considerar a Leibniz, como matemático, simplemente como un satélite principal de Newton.

La tradición histórica reitera hasta la pesadez el hecho indiscutible de que la notación de Leibniz es inmensamente superior a la de los puntos de Newton. Pero si, siguiendo a Gauss,[18] pensamos que en matemáticas los conceptos son más importantes que las notaciones, hemos de subrayar algún otro aspecto. La mejor obra de Leibniz desde el punto de vista de la matemática moderna no es las mejoras que introdujera en el cálculo diferencial e integral, por muy importantes que fueran, sino su cálculo del razonamiento, donde brilla con luz propia.

Poco hay que decir de la carrera de Leibniz como diplomático. A él se le atribuye aquel epítome del equilibrio inestable que subsiguientes prestidigitadores del destino habían de venerar como Equilibrio de Fuerzas. En su diplomacia, Leibniz no fue ni más ni menos escrupuloso que cualquiera de sus famosos sucesores en aquel dudoso arte. Simplemente era más competente que la mayoría. Al contrario que algunos de ellos, Leibniz no sucumbió bajo el peso de los honores que amontonaron sobre él príncipes agradecidos, sino que murió olvidado por aquellos cuyas miserables fortunas había hecho. Cuando el que lo empleaba marchó de Hanover para ser el rey Jorge I de Inglaterra, Leibniz quedó relegado a la biblioteca para continuar su historia de la familia Brunswick, ocupación sin duda muy adecuada para una de las mayores inteligencias de todos los tiempos. Tan sólo su secretario lo siguió a la tumba.

Ésos fueron los dos mortales que en definitiva crearon el cálculo.

VERSIÓN NEWTONIANA DEL CÁLCULO

Al parecer el primer cálculo de Newton, de 1665-1666, fue una abstracción fundada en ideas intuitivas del movimiento. Se imaginaba una curva como trazada por el movimiento de un punto que “fluía”. Se llamaba momento a la “infinitamente corta” trayectoria que describía el punto en un tiempo “infinitamente pequeño”, y este momento, dividido por el tiempo infinitamente pequeño, era la fluxión. Si la “cantidad que fluye” es x su fluxión se escribe ẋ. En nuestra terminología, si x es la función f(t) del tiempo t, ẋ es dx/dt, es decir, la velocidad en el tiempo t. Análogamente, la fluxión de ẋ es ẍ, esto es, nuestra d²x/dt²; es d³x/dt³, y así sucesivamente.[19]

Newton consideraba en su primer cálculo nuestra dx/dt como una verdadera razón entre dos “cantidades infinitamente pequeñas”. Ni siquiera se aproximaba al concepto de límite de forma que se pueda reconocer hoy día. El siguiente extracto de los Principia (1687) indica que Newton mismo no estaba satisfecho con su refinamiento del método de las fluxiones.

Se objeta que no hay en definitiva razón entre cantidades que se desvanecen porque la proporción (razón) antes de que las cantidades se hayan desvanecido no es definitiva; y una vez que se han desvanecido no existe. Pero basándose en el mismo razonamiento se podría mantener que en definitiva un cuerpo en movimiento que llega a un cierto lugar no tiene en definitiva velocidad cuando su movimiento ha terminado: porque la velocidad antes de que el cuerpo haya llegado a ese punto no es su velocidad definitiva; y una vez que ha llegado no tiene velocidad. Pero la respuesta es sencilla […] Hay un límite que puede alcanzar la velocidad al final del movimiento, pero que no puede exceder.

Esto es lo que Zenón y la tortuga sabían y lo que ninguno de los dos consiguió poner en claro. No es desdoro para Newton observar que el párrafo anterior bien pudiera estar escrito por Aristóteles; en realidad, se parece singularmente a la discusión de Aristóteles[20] del infinito, lo continuo, el movimiento, y las paradojas de Zenón. Otra observación de Newton nos recuerda a Eudoxio:

También se puede razonar que si se dan las razones definitivas de cantidades que se desvanecen, están también dadas las magnitudes definitivas; y, según eso, todas las cantidades constan de indivisibles, lo cual es contrario a lo que Euclides demostró respecto a las cantidades inconmensurables en el décimo libro de sus Elementos.

También esto es comparable con Aristóteles.

Según este último párrafo, está claro que Newton comprendía a Euclides mejor que Cavalieri. También indica que las dificultades que encuentran los principiantes inteligentes con los límites y con la continuidad no son fruto de una perversidad voluntaria. En su tercera tentativa (1704), Newton vuelve a abordar la continuidad y traslada la dificultad central a un “movimiento continuo” que no analiza: “Aquí considero las cantidades matemáticas no como compuestas por partes muy pequeñas, sino descritas por un movimiento continuo. Las líneas están descritas, y por lo tanto engendradas, no por la culminación de partes, sino por el movimiento continuo de puntos”.

Consideraciones de este tipo, entre otras, fueron las que sumieron a los analistas del siglo XIX en la desesperación y les impulsaron a intentar fundar el cálculo sobre una base sólida. A pesar de que abandonara resueltamente “las partes muy pequeñas”, Newton nunca consiguió evitar del todo las “cantidades muy pequeñas” que le preocuparon persistentemente. En los Principia (libro I, sección I, lema I) inició una teoría de límites y de la continuidad: “Las cantidades, y las razones de cantidades que en un tiempo finito tienden continuamente hacia la igualdad, y que antes de que ese tiempo termine llegan a diferir una de otra menos que una cantidad dada, llegan a ser finalmente iguales”.

LA VERSIÓN DE LEIBNIZ

Leibniz por su parte favoreció un tipo de diferencial cuyo evasivo concepto frecuentemente interpretan mal los ingenieros prácticos de hoy día. Así, para hallar la diferencial de xy, sustraía xy de (x + dx)(y + dy), y rechazaba dx dy por considerarlo despreciablemente pequeño en comparación con x dy y de y dx, sin mucha justificación. De esta forma obtuvo el resultado correcto d(xy) = x dy + y dx.

Pisando un terreno más firme, introdujo la notación actual de las derivadas y el signo integral, ∫, una s alargada de summa (suma). Tanto Leibniz como Newton conocían bien el teorema fundamental del cálculo que relaciona las integrales como sumas con las integrales como inversas de las derivadas. También crearon las fórmulas elementales del cálculo. Ahora bien, es interesante saber que el resultado correcto de la derivada de un producto se le escapó a Leibniz en su primera tentativa.

RIGOR; ANTICIPACIONES

Se suele estar de acuerdo con que tan sólo en los siglos XIX y XX, y empezando con Cauchy (1821-1823), se dispuso de ideas razonablemente sólidas, aunque no definitivas, sobre límites, continuidad, diferenciación e integración. Esto suscita una cuestión en extremo interesante: ¿cómo se las arreglaron los grandes analistas del siglo XVIII, los Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, para obtener resultados consistentemente correctos en casi toda su obra tanto de matemática pura como aplicada? Lo que esos grandes matemáticos tomaron equivocadamente como razonamientos correctos en los comienzos del cálculo se considera ahora universalmente sin fundamentos.

No es posible dar una respuesta en pocas palabras; pero la historia demuestra que con mucha frecuencia la parte esencial y práctica de una doctrina matemática se comprende intuitivamente mucho antes de que se llegue a formar una base racional para dicha doctrina. Los matemáticos creadores que hubo entre Newton y Cauchy obtuvieron en su mayor parte resultados correctos, según los juicios actuales, porque a pesar de que sus tentativas de ser lógicamente rigurosos no tuvieron éxito, habían captado instintivamente la parte consistente de sus matemáticas.

Si no fue posible explicar en pocas palabras la buena suerte de nuestros predecesores, tampoco se puede explicar la nuestra. Como ellos, conseguimos sistemáticamente resultados significativos, aunque nos damos cuenta de que hay mucha oscuridad en la base de nuestro propio análisis. En la actualidad está generalmente admitido que ni Cauchy ni su más riguroso sucesor Weierstrass dijeron la última palabra, y no hay motivos para confiar que sea dicha en nuestra generación.

Se diga lo que se diga, del cálculo de Newton, sigue siendo cierto que dotó a las matemáticas y a las ciencias exactas de su método más eficaz de exploración y descubrimientos. Junto con su ley de la gravitación universal, su cálculo dio en menos de un siglo una comprensión más amplia del sistema solar que la que se había acumulado durante miles de años de astronomía predinámica. Y cuando se aplicaron a las ciencias físicas las ecuaciones diferenciales, y el método de Newton de las tangentes inversas, se revelaron nuevos e insospechados universos. El método experimental de Galileo combinado con el cálculo de Newton y de Leibniz engendró la moderna ciencia física y sus aplicaciones a la tecnología.

Para concluir esta descripción del nacimiento del cálculo hemos de compensar el deliberado descuido de las pseudoanticipaciones citando una que en verdad lo fue en una materia que es básica para la manera moderna de abordar los fundamentos del análisis.

Ya en 1638 observó Galileo que hay tantos cuadrados 1, 4, 9, 16, 25… como enteros positivos. Esto lo prueban las sucesiones

1, 2, 3, 4, 5, 6, …, n, …

1², 2², 3², 4², 5², 6², …, n², …

De este modo se dio cuenta de la distinción fundamental que existe entre las clases finitas e infinitas, la que no se generalizó hasta fines del siglo XIX. Una clase infinita es aquella en que hay correspondencia biunívoca entre toda la clase y una subclase del total. O, lo que es equivalente, hay tantas cosas en una parte de una clase infinita, como hay en toda la clase. Con las clases finitas no ocurre lo mismo.

Así, se dice que es numerable una clase cuyos elementos se pueden poner en correspondencia biunívoca con los enteros 1, 2, 3,… Todos los puntos de un segmento de línea, de longitud finita o infinita, constituyen una sucesión no numerable. Hay un curso básico de cálculo (por lo general el segundo) que empieza con la teoría de las sucesiones de puntos. Galileo no enunció la distinción de las clases numerables y no numerables. La observaron aproximadamente en 1840 Bolzano, y en 1878 Cantor. Pero el que Galileo advirtiera la importantísima propiedad de todas las clases infinitas hace de él uno de los verdaderos precursores de la historia del cálculo. El otro fue Arquímedes.

APARICIÓN DE LA TEORÍA MATEMÁTICA DE PROBABILIDADES

Los juegos de azar son probablemente tan antiguos como el deseo humano de conseguir algo a cambio de nada; pero sus consecuencias matemáticas no se apreciaron hasta después de que Fermat y Pascal en 1654 hubieron reducido el azar a leyes. Galileo había dado una solución correcta de un problema de juego mediante una laboriosa tabulación de casos posibles, pero no prosiguió hasta enunciar principios generales. El “problema de los puntos” que inspiró a los fundadores de la teoría matemática de la probabilidad era bien conocido de Cardano, que entre sus muchas cualidades tenía la de ser un jugador empedernido. Sin embargo, no hizo nada de importancia en favor de la ciencia del azar, y se suele considerar sin ningún titubeo a Pascal y a Fermat como fundadores de la probabilidad matemática.

En el famoso problema, gana el primero de dos jugadores que consiga n puntos, si se abandona el juego cuando uno haya hecho a puntos y el otro b puntos, ¿en qué proporción habrá que dividir entre ellos las puestas? Esto se reduce a calcular las probabilidades que tiene cada uno de ganar en el momento de abandonar el juego. En este contexto se supone que los jugadores tienen las mismas oportunidades para ganar un punto.

El problema se lo propuso a Pascal un caballero muy inteligente, aficionado al juego, llamado Antonio Gombaud, caballero de Méré, y Pascal se lo comunicó a Fermat. Ambos lo resolvieron correctamente, pero por razonamiento distinto. En una parte de su trabajo Pascal se equivocó, Fermat corrigió su error. De esta forma se originaron las matemáticas del azar que hoy día son la base de todo análisis estadístico desde las tendencias del mercado de valores a los seguros, las pruebas de inteligencia y la biometría.

Al irse haciendo la física moderna cada vez más ciertamente incierta, las matemáticas de las probabilidades han aumentado su importancia científica. La mecánica newtoniana se aplica a una ciencia completamente determinada en que las ecuaciones diferenciales contienen la historia futura de un universo mecánicamente determinado. Para la interpretación científica de los experimentos de laboratorio, particularmente para los de física atómica, el método estrictamente mecánico de Newton, Lagrange, Laplace y sus sucesores, que se originó en la mecánica de Galileo y en la astronomía dinámica, ya no es adecuado y lo suplementan cada vez más las matemáticas de la estadística y de la probabilidad. Todas estas matemáticas se desarrollaron a partir de los principios fundamentales de la probabilidad matemática que establecieron Fermat y Pascal aplicando laboriosamente un sentido nada común.[21]

Ulteriores aplicaciones del análisis a la teoría de las probabilidades, principalmente para obtener aproximaciones prácticas a los números muy grandes que se presentan aún en los más sencillos problemas combinatorios, han hecho que la moderna teoría sea técnica en alto grado. Pero con excepción de algunas dificultades de la teoría del conocimiento relativas al significado de la probabilidad, los principios básicos siguen siendo los mismos que en 1654, y así se enuncian en los textos intermedios de álgebra. A este respecto conviene mencionar que el versátil Huygens se enteró de lo que estaban haciendo Pascal y Fermat y publicó en 1654 uno de los primeros tratados de la probabilidad.[22] El concepto probabilidad matemática fue suyo.

La relativa permanencia de los fundamentos matemáticos de la probabilidad tal como se establecieron en el siglo XVII es característica de las matemáticas de lo discreto, de las que se puede decir en términos generales que han necesitado menos revisión que el análisis.

EL ORIGEN DE LA ARITMÉTICA MODERNA

Al decir aritmética le atribuimos a la palabra el sentido griego. Equivalentes suyos son la aritmética superior, y la teoría de los números. Gauss, el máximo exponente de la teoría clásica posterior a Fermat, dio preferencia al sencillo término aritmética, o como mucho aritmética superior.

La aritmética moderna se inició con Fermat, a grandes rasgos en el periodo 1630-1665. Por muy importante que fuera la obra de Fermat en otros capítulos de la matemática, se considera que su mayor aportación personal fue a la aritmética.

Esta amplia división de las matemáticas se diferencia de otras en su falta de métodos generales, incluso parece ser más difícil idear teoremas generales, que en álgebra y análisis. Así, por ejemplo, en álgebra hay la teoría completa de la resolución de ecuaciones algebraicas con una incógnita; en realidad hay dos teorías completas. En aritmética el problema correspondiente más sencillo es el de la resolución en términos enteros de las ecuaciones de dos incógnitas con sus coeficientes enteros, y sobre él no hay nada que se acerque a una teoría completa. En un capítulo posterior indicaremos los progresos que se han hecho después de Fermat.

Muchos de los descubrimientos de Fermat quedaron registrados o bien como notas marginales en sus libros (la aritmética en su copia del Diofanto de Bachet), o en comunicaciones que hizo a sus corresponsales por lo general sin demostrarlas. Algunos de sus teoremas los propuso en forma de problemas como desafío a los matemáticos ingleses. Por ejemplo, pidió una demostración de que la única solución entera positiva de x² + 2 = y³ es x = 5, y = 3.

Bastará con que nos ocupemos de los dos descubrimientos de Fermat que influyeron más profundamente sobre la aritmética y el álgebra posteriores a su época, y del único método general de la aritmética que le es debido.

Fermat afirmó que si n es un entero positivo no divisible entre el número primo positivo p, entonces np⁻¹ − 1 es divisible entre p. Parece que los chinos ya conocían en el año 500 a. C.[23] el caso especial en que n = 2. Todo estudiante de la teoría de las ecuaciones algebraicas o del álgebra moderna, o de la aritmética recordará lo frecuentemente que se presenta este teorema fundamental. La primera demostración que se publicó en 1738 fue la de Euler, descubierta en 1732; Leibniz consiguió una demostración antes de 1683, pero no la publicó. En matemáticas, la regla de prioridad es la de la primera publicación.

La segunda afirmación famosa de Fermat, su celebrado “último teorema”, dice que xn + yn = zn, xyz ≠ 0, n > 2, es imposible si x, y, z y n son enteros. En 1637 afirmó haber descubierto una demostración maravillosa, pero hasta la actualidad no se ha encontrado prueba alguna de ello. Al parecer no tiene ninguna importancia en la actualidad demostrar el problema de valores particulares de n, pues ya se conocen bastantes para hacer que sea muy probable la certeza del teorema. Pero para asegurarse en contra de que en el futuro se pueda demostrar lo contrario, hay que subrayar que la aritmética es el capítulo de las matemáticas en que la adivinanza sin fundamentos es menos eficaz o provechosa. Las pruebas numéricas significan muy poco;[24] el único lujo que se puede permitir un aritmético concienzudo es la demostración.

Solemos estar de acuerdo con que el famoso “último teorema”, cierto o falso, tiene muy poco interés hoy día. Pero su importancia en el desarrollo de la aritmética y del álgebra moderna ha sido muy grande, como veremos en el lugar adecuado.

El método general de Fermat, el de la “sucesión infinita”, es muy ingenioso, pero tiene la desventaja de ser a veces extraordinariamente difícil de aplicar. En el terreno particular para el que Fermat inventó el método se necesita demostrar que todo número primo positivo que lo forman 4n + 1 es la suma de los cuadrados de dos enteros. Suponiendo que el teorema fuera falso para un número primo p de ese tipo, Fermat dedujo que también es falso para un número primo más pequeño del mismo tipo. Descendiendo de ese modo demostró, suponiendo siempre que no fuera cierto, que 5 no es la suma de dos cuadrados. Pero como 5 = 1² + 2², el teorema queda demostrado.

Lo más que se puede desear en aritmética es la invención de métodos generales aplicables a tipos de problemas no tan triviales. Además, “la solución aritmética de un problema debe consistir en prescribir un número finito de operaciones puramente aritméticas (exentas de tanteo) por medio de las cuales se obtengan todos los números que satisfagan las condiciones del problema, y sólo ellos”.[25] Nadie después de Euclides y antes de Lagrange en el siglo XVIII se acercó ni de lejos a este ideal.

APARICIÓN DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA SINTÉTICA

La súbita aparición de la geometría proyectiva sintética en el siglo XVII nos parece ahora una tardía resurrección del espíritu griego. Como ya se ha indicado, en el siglo IV d. C. Papo anticipó una propiedad fundamental de las razones dobles; incluso antes Menelao (siglo I d. C.) puede ser que demostrara un teorema que ahora se podría interpretar análogamente. Pero hasta que apareció en 1639 el excéntrico Brouillon project de G. Desargues (ingeniero y arquitecto francés, 1593-1662), no se desarrolló la geometría proyectiva sintética como rama nueva e independiente de la geometría.

Indudablemente que los grandes progresos realizados por los artistas del Renacimiento en el dibujo en perspectiva hicieron inevitable la aparición de una teoría geométrica que incluyera la perspectiva en un caso especial; y sin duda que Desargues, como arquitecto, estaba influido por lo que en su día era surrealismo. En todo caso se comportó más como artista que como geómetra inventando un atroz lenguaje técnico matemático, para satisfacción propia y mixtificación de sus discípulos. Afortunadamente el lenguaje de Desargues está muerto hace tiempo. En la terminología actual, proyectivo quiere decir invariancia de todas las transformaciones lineales generales homogéneas bajo el grupo G y en el espacio (de 1, 2, 3… dimensiones) en cuestión, pero no de todas las transformaciones de todo grupo que contenga a G como subgrupo.

A su modo, Desargues estudió la razón doble; los polos y las polares; el principio de Kepler (1604) de la continuidad en que una línea recta se cierra en el infinito donde también se cortan las paralelas; la involución; las asíntotas como tangentes en el infinito; su famoso teorema de los triángulos en perspectiva y algunas de las propiedades proyectivas de los cuadriláteros inscritos en cónicas. Descartes admiró mucho la invención de Desargues, pero, felizmente para el futuro de las matemáticas, no por ello dudó en preconizar la suya.

El más entusiasta partidario de Desargues fue el mismo Pascal, que participara en la creación de la teoría matemática de las probabilidades. Blas Pascal (1623-1662) fue, pues, un matemático de grandes alcances, aunque al igual que Descartes y Leibniz se le recuerde popularmente por otras cosas. Su talla como religionario ha ensombrecido sus hazañas de matemático y físico, y por cada uno que haya oído hablar del Essay pour les coniques de Pascal debe haber un millón que haya leído por lo menos una página de sus Pensées. Pascal fue aún más genuinamente precoz que Leibniz. De muchacho no fue una simple esponja que absorbiera el saber de los demás, sino un matemático creador. A los 12 años redescubrió y demostró para sí mismo varios de los teoremas más sencillos de la geometría elemental. Cuatro años más tarde había compuesto el famoso ensayo sobre las cónicas en que desarrollaba las consecuencias de su hexagrammum mysticum, es decir, que los pares de lados opuestos de un hexágono inscritos en una cónica se cortan en puntos alineados. A los 19 años, en 1642, Pascal, combinando sus matemáticas y su talento para la física inventó una máquina de sumar, antecesora de las que se usan hoy día. Ésta fue perfeccionada en alto grado aproximadamente 30 años más tarde por Leibniz, cuya máquina sumaba y multiplicaba.

Pascal se mostró muy agradecido a Desargues por sus conocimientos de geometría proyectiva. Quizás en todas sus matemáticas fuera Pascal más bien que creador un brillante comentador. Orgánica y espiritualmente enfermo durante la mayor parte de sus 39 años, aparentemente nunca pudo concentrar sus facultades en la creación de ningún método amplio, y su brillo se dispersó y se disipó en aclarar detalles de las ideas de los demás. Gran parte de sus facultades las dedicó a las controversias religiosas de su tiempo y a tentativas desesperadas de reconciliar sus propios conflictos internos. Además de su hexagrama místico y de su aportación al cálculo de probabilidades no se puede decir que la contribución de Pascal dejara más que una pasajera sombra en la superficie de las matemáticas. La corriente principal era mucho más profunda de lo que él nunca soñó.

Antes de abandonar el campo, durante aproximadamente siglo y cuarto, la geometría proyectiva sintética libró una terrible batalla para sobrevivir contra su antagonista analítica, en la impresionante Sectiones conicae (1685) de P. de la Hire (francés, 1640-1718). De la Hire demostró sintéticamente en más de 300 teoremas proyectivos, y en un asombroso apéndice, que todos los teoremas de Apolonio sobre las cónicas se pueden obtener por medios proyectivos. Pero ni esa gimnasia espectacular consiguió convencer a los geómetras de que el método sintético fuera tan flexible como el analítico. No cabe duda que se idealizaba a las cónicas basándose en la Circunferencia Arquetipo del Geómetra de Platón, con la Idea Eterna de la geometría proyectiva en el fondo de su cabeza; pero no todas las curvas en el plano son cónicas. Ni lo eran cuando De la Hire lanzaba su desesperada retaguardia contra el análisis de Descartes. La geometría proyectiva sintética se sumió en un olvido temporal, y los tratados de Desargues y de De la Hire llegaron a ser rarezas de coleccionista.

En un capítulo posterior nos ocuparemos del otro avance incidental del siglo XVII, la característica universal de Leibniz, que igualmente quedó olvidada durante algún tiempo. Ahora pasamos al origen de las matemáticas aplicadas, que habían de dominar la obra de los más eminentes sucesores de Newton durante un siglo después de su muerte.

ORIGEN DE LAS MODERNAS MATEMÁTICAS APLICADAS

En el capítulo I pusimos de manifiesto la deuda que tiene contraída la ciencia y la terminología con la matemática pura. Ahora nos ocuparemos del otro aspecto de la cuestión con algo más de extensión de la que pueda parecer necesaria a los que ya conocen los hechos. Lo hacemos porque los matemáticos hipersensibles se sienten a veces inclinados a exaltar indebidamente la libertad y la naturaleza puramente imaginativa de sus creaciones, basándose exclusivamente en la admitida deuda que tiene la ciencia para con las matemáticas. El balance histórico indica, como más adelante se verá en detalle, que la ciencia y las matemáticas modernas están tan íntimamente relacionadas que ninguna debe nada a la otra, y que ambas toman libremente lo que necesitan de la otra pagando sus deudas con creces.

Entre las matemáticas puras y las aplicadas están las mejoras en el cálculo numérico, de mayor importancia por las aplicaciones que por lo que significan para las matemáticas. Por ejemplo, los logaritmos aceleraron las aplicaciones prácticas de la astronomía, pero no eran imprescindibles ni siquiera para ese eficaz servidor de la civilización. El cálculo manual no puede restar nada a la pertinacia de un Kepler; y pretender que los logaritmos hicieran posible la astronomía moderna u otra ciencia cualquiera es olvidar que el celo, o la obstinación del hombre en la persecución de una idea fija, puede soportar cualquier castigo finito. Pero como sin duda los logaritmos apresuraron la marcha de las ciencias en los siglos XVIII y XIX en el camino hacia lo que haya de ser su aportación definitiva a la civilización, o a su destrucción, hay que tenerlos en cuenta en todo estudio que se haga del origen de las modernas matemáticas aplicadas. Por consiguiente, bien se puede adjudicar a las matemáticas aplicadas la invención de los logaritmos en el siglo XVII.

Las modernas matemáticas aplicadas se originaron en la teoría de la gravitación universal que Newton desarrolló en sus Principia. Antes de Newton la astronomía era puramente descriptiva. Se describían cada vez con mayor precisión los movimientos de los planetas, y se les acoplaba desde los babilónicos a Tolomeo en marcos geométricos de complejidad cada vez mayor. Copérnico simplificó su geometría. Pero no había ninguna hipótesis física que se resumiera y consolidara en postulados de los que poder deducir aquella geometría; se necesitaban observaciones precisas para establecer bien los hechos antes de poder enunciar con provecho dichos postulados. Esas observaciones las suministró abundantemente Tycho Brahe (danés, 1546-1601), cuyo laborioso ayudante durante algún tiempo, Johannes Kepler (alemán, 1571-1630), resumió las observaciones en las tres leyes del movimiento que llevan su nombre. Las dos primeras se publicaron en 1609, la tercera en 1619: la órbita de los planetas es una elipse con el Sol en uno de los focos; la recta que del planeta al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales; los cuadrados de los periodos de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol. Las leyes de Kepler fueron la culminación de miles de años de una geometría empírica del cielo. Éstas fueron descubiertas como resultado de 22 años de cálculos incesantes, sin logaritmos, en que se descartaba despiadadamente una hipótesis prometedora después de otra cuando se observaba que no satisfacían las exigencias de la precisión con que se habían observado. Sólo la fe pitagórica de Kepler en una armonía matemática de la naturaleza, posible de descubrir, pudo sostenerlo. La historia de su persistencia, a pesar de persecuciones y tragedias domésticas que hubieran destrozado a un hombre ordinario, es una de las más heroicas de la ciencia.

La invención de los logaritmos, contemporánea de Kepler, habría de reducir su labor sobrehumana a proporciones más manejables. La historia de los logaritmos es otra epopeya de la perseverancia que no cede más que ante la de Kepler. El barón Napier o Neper de Merchistoum (escocés, 1550-1617), en los ratos de ocio que le dejaban sus deberes de terrateniente y su vana preocupación de demostrar que el papa reinante era el Anticristo, inventó los logaritmos.

Si recordamos que Neper murió antes de que Descartes introdujera la notación n, nn, n³,… para las potencias, no nos maravillaremos tanto de que le costara no menos de 20 años razonar las propiedades y la existencia de los logaritmos.

La idea fundamental de la correspondencia entre dos series de números, una en progresión aritmética y otra en progresión geométrica […] la explicó Neper valiéndose del concepto de dos puntos que se mueven por diferentes líneas rectas, uno con velocidad uniforme, y el otro con velocidad acelerada. Si el lector con todos los conocimientos modernos que tiene intenta conseguir por sí mismo de este modo una demostración de las reglas fundamentales del cálculo logarítmico, terminará el ejercicio con un concepto adecuado del genio penetrante que poseía el inventor de los logaritmos. (G. Chrystal.)

A esto añádase que el logaritmo neperiano de n sería nuestro 10⁷ loge (10⁷ n⁻¹), en que e es la base del sistema natural.

Después de la invención del cálculo, siguió de una manera natural la investigación de la función logarítmica de mayor importancia para las matemáticas que los logaritmos que se calculan con su uso, y ello valiéndose de la sencilla ecuación diferencial dy = y dx.

Neper anticipó a Tycho algo de su invento en 1594, y en 1614 publicó sus Descriptio. En 1624 se publicó una tabla utilizable prácticamente, de Briggs (inglés, 1561-1631), y otra de Kepler. Pronto aparecieron otras tablas, y en 1630 los logaritmos formaban parte del equipo de todos los astrónomos calculadores.

Para los que se interesen en disputas de prioridad, recordaremos que los logaritmos constituyen uno de los más desordenados campos de batalla de la historia de las matemáticas. Bastará aquí hacer constar cómo se juzgaron en 1914 los resultados de la refriega. La prioridad de la publicación de Neper es incontestable; Bürgi (1552-1632, Praga) inventó independientemente los logaritmos, y construyó entre 1603 y 1611 una tabla, mientras que “Neper ya trabajó en los logaritmos hacia 1594 […]; por lo tanto es probable que Neper empezara a trabajar en los logaritmos mucho antes que Bürgi”.[26] Los únicos hechos de alguna importancia que tienen los logaritmos para el desarrollo de las matemáticas son los que se afirman en la última frase del párrafo anterior.

Disputas como ésta y la otra sobre el cálculo han hecho que más de un hombre de ciencia envidie a sus sucesores de dentro de 10 000 años, para los que Newton y Leibniz, Neper y Bürgi, y decenas de otros aspirantes de menor categoría a la fama individual serán figuras semimíticas tan desdibujadas como la de Pitágoras.

La armoniosa geometría de las leyes de Kepler retó al genio matemático a idear hipótesis de las que se pudieran deducir. Entre otros, el brillantemente original Hooke (inglés, 1635-1703), rival y aguijón de Newton, adivinó y quizás demostró que las leyes de Kepler presuponen una ley de atracción inversa a un cuadrado, pero no pudo determinar la forma de la órbita que satisficiera a esa ley. Al consultar a Newton en 1684, éste dio una demostración que ya había descubierto, pero perdido, de que la órbita en cuestión es una elipse. Parece que este incidente fue el origen de los Principia. Newton dedujo las leyes de Kepler partiendo de su hipótesis de la gravitación universal, de que en el universo, dos partículas materiales cualesquiera, de masas m₁ y m₂, separadas por una distancia b, se atraen entre sí con una fuerza proporcional a m₁m₂/d² (si se miden m₁, m₂, d, y la fuerza en las unidades convenientes).

La deducción hubiera sido imposible sin una dinámica racional. Ésta la habían proporcionado Galileo[27] y Newton. Exactamente igual que los pitagóricos habían reducido a geometría la percepción intuitiva de la forma, y que los grandes astrónomos geométricos desde Eudoxio e Hiparco a Copérnico y a Kepler habían reducido los movimientos de los planetas a geometría, Galileo se propuso reducir todo el movimiento a matemáticas. Entonces, llegó más allá que sus predecesores, principalmente porque ayudó la razón con la experimentación, determinando los hechos relacionados con la caída de los cuerpos por una observación precisa y controlada antes de aventurarse a darles forma matemática.

A algunos les parece increíble que ningún ser humano pueda jamás haber creído posible razonar el comportamiento de los cuerpos al caer sin recurrir a la experimentación. Pero una de las mayores inteligencias de la historia, Aristóteles, tuvo suficiente confianza en su lógica para enunciar leyes para un universo que tiene muy poco respeto para las inteligencias sin ayuda. Otros[28] no tienen nada que objetar a tentativas como las de Aristóteles, sustituyendo la confianza clásica y medieval de la lógica aristotélica por una ávida fe en la fuerza creadora de la intrincada tautología de las matemáticas. Puede que aún sea demasiado pronto para juzgar cuál de las dos partes tiene razón, si es que la tiene alguna de ellas; pero la realidad es que fue la ciencia de Galileo y no la metafísica y la lógica aristotélicas las que han hecho de nuestra civilización material lo que es hoy día.

En este sentido, tuviera o no lugar jamás[29] el legendario experimento en que Galileo confundió a la escolástica aristotélica al dejar caer una bala de la torre inclinada de Pisa, Galileo sabía ya en 1591 que una bala de una libra y otra bala de 10 libras dejadas caer simultáneamente desde una misma altura tocan el suelo también simultáneamente. Algunos experimentos sobre el movimiento a lo largo de planos inclinados le proporcionaron algunos datos más que acoplar en la teoría matemática de movimiento que trataba de construir. Al ir sometiendo a comprobación experimental las hipótesis de tanteo, empezaron a surgir las definiciones fundamentales y los postulados de la dinámica.

En particular, Galileo dio forma matemática a la distancia, el tiempo, la velocidad y la aceleración, haciendo de ellas los entes científicos (medibles experimentalmente) que todavía están en la dinámica clásica; buscó enunciar definiciones que respondieran a observaciones reiteradas. También comprendió un equivalente al primer postulado del movimiento de Newton, la inercia: todo continuará en estado de reposo o se moverá uniformemente a lo largo de una línea recta, si no hay ninguna fuerza que cambie su estado. Este postulado contradecía las ingenuas intuiciones de los predecesores de Galileo y contradecía el sentido común de siglos enteros.

Galileo también comprendió por lo menos algunos casos especiales del segundo postulado de Newton: el cambio de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza, y tiene lugar en la dirección en que ésta actúa. El concepto matemáticamente importante en este caso es el de cambio, ya que éstas son derivadas, y por lo tanto la velocidad, la aceleración y la fuerza quedan dentro de los límites del cálculo. Ya hemos visto que Newton probablemente pensaba en la velocidad al imaginar las fluxiones.

“En los dos años de plaga de 1665 y 1666”, como Newton dice, dedujo de la tercera ley de Kepler que “las fuerzas que mantienen a los planetas en sus órbitas han de ser inversamente proporcionales a los cuadrados de sus distancias a los centros en torno de los cuales giran: en consecuencia, comparé la fuerza necesaria para mantener a la Luna en su órbita con la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra, y encontré la respuesta con bastante facilidad”.[30]

El progreso de la teoría matemática de la gravitación quedó temporalmente detenido por no disponer Newton en aquella época del siguiente teorema del cálculo integral: la atracción gravitatoria entre dos esferas homogéneas se puede calcular como si las masas de las esferas estuvieran concentradas en sus centros. Una vez demostrado este teorema, ya es aplicable la ley de la gravitación universal de Newton. Ésta es la clave de la astronomía dinámica. Con ella procedió Newton en 1685 a explorar los cielos. También fue el primero en dar una teoría racional de las mareas.

La mecánica celeste de Newton fue la primera gran síntesis de los fenómenos naturales. Es imposible concebir, a causa de su misma naturaleza, la mecánica celeste sin la dinámica de Galileo y de Newton y sin el cálculo de Newton y de Leibniz. El método científico de Galileo había de ser el modelo para síntesis matemáticas aún mucho más recónditas como las de las teorías del calor, la luz, el sonido y la electricidad. Pero el método científico moderno inventado por Galileo y Newton de reunir la experimentación y la matemática en un solo instrumento de descubrimiento y exploración había de seguir siendo fundamentalmente el mismo que se enunciaba en los Discorsi de Galileo, y en los Principia de Newton.

En días en que ignorantes mesiánicos con enorme cantidad de seguidores están desacreditando a la ciencia, no está de más recordar de vez en cuando, por muy gastado que esté el cliché, que sin esta unión de la experimentación y de las matemáticas nuestra civilización no existiría. Menos gastada está la reciente observación de que precisamente a causa de esa unión puede dejar de existir nuestra civilización. Y ya que estamos haciendo frente a los hechos, indicaremos la opinión de muchos observadores de que desde los días de santo Tomás de Aquino, de cada 10 seres humanos que tienen el valor de odiar o de temer algo, nueve han odiado secretamente la ciencia. Desde los días de Galileo y Newton se ha tolerado a regañadientes a la ciencia sólo porque ha aumentado la riqueza material. Si la ciencia muere, las matemáticas mueren con ella.

Como indicio de cuán importante ha sido la influencia de la dinámica y de la teoría de Newton sobre el análisis, podemos citar ejemplos concretos, alguno de los cuales examinaremos más detalladamente en capítulos subsiguientes. Puesto que la Tierra no es una esfera, sino un esferoide, no se puede calcular su atracción sobre una partícula material exterior con la misma precisión que si su masa se concentra en el centro. Cuando después de Newton la astronomía se hizo más exacta, había que tener en cuenta en los cálculos esa ligera desviación de la esfericidad perfecta, y para ello se requirió inventar nuevas funciones, como las de Legendre en la teoría del potencial. Un problema dinámico tan rudimentario como el del periodo de oscilación de un péndulo simple de longitud constante que se planteó Galileo conduce inmediatamente en el caso general a una integral elíptica. Esas integrales, por inversión, engendraron la amplia teoría de las funciones doblemente periódicas. A su vez éstas, como se reconoció a finales del siglo XIX, no son sino casos especiales de las funciones automorfas, cuya teoría no está aún completa.

Todas las funciones anteriores en su conjunto sugirieron a Lagrange, Cauchy y otros de últimos del siglo XVIII y principios del XIX, teorías generales de funciones, que culminaron en la teoría de funciones de variable compleja. La teoría analítica del calor de Fourier (forma final en 1822), imaginada según la tradición de Galileo y Newton de observación controlada unida a las matemáticas, originó gran parte de la obra moderna de la teoría de funciones de variable real y del examen crítico de los fundamentos de las matemáticas. Finalmente, las interacciones gravitatorias de un sistema de partículas materiales, en especial de tres, engendraron la teoría de las perturbaciones con todo su intrincado análisis; y el problema de los tres cuerpos al que a fines del siglo XIX se le dio forma parcialmente topológica es el origen de la moderna teoría de las órbitas periódicas, a partir de la cual se está desarrollando rápidamente una dinámica cualitativa y topológica.

También la geometría se ha enriquecido gracias a sucesivas alianzas con la mecánica. En el siglo XVII la necesidad que tenían los astrónomos de medir el tiempo con precisión inspiró a Huygens la construcción del primer reloj de péndulo (1656). Se vio obligado incidentalmente a investigar las oscilaciones (pequeñas) de un péndulo compuesto, primer problema dinámico que se salía de la dinámica de las partículas, que se estudió matemáticamente. De hacer relojes, Huygens se vio conducido a su gran obra[31] de horología (1673), en que definía e investigaba las evolutas y las involutas. En esta ciencia ocupa lugar prominente la cicloide, a veces llamada la Helena de la geometría, en parte a causa de su airosa forma y de sus hermosas propiedades. Huygens demostró el notable teorema de que la cicloide es la tautócrona. En tiempos más recientes la geometría de cuatro dimensiones de Plücker (siglo XIX), en que se toman líneas rectas en lugar de puntos como elementos irreducibles del espacio, encontró fácil interpretación en la dinámica de los cuerpos rígidos. Recíprocamente, este tipo de dinámica sugirió mucho de lo que hacía falta hacer en geometría. Pero, lo que es quizá el mayor servicio que haya prestado jamás una ciencia física a la geometría fue la súbita aceleración que imprimió a la geometría diferencial la teoría general de la relatividad de Einstein y su teoría relativista de la gravitación, en la segunda década del siglo XX. En los curiosamente confiados meses que siguieron a la terminación de los trabajos de Versalles, se decía con frecuencia que la obra de Einstein sobreviviría al recuerdo de la Gran Guerra, del mismo modo que la ciencia y las matemáticas de Arquímedes sobrevivieron a las guerras púnicas en la conciencia de todos los que no sean historiadores profesionales. Veinte años más tarde la raza humana se había recobrado por completo de su ataque de optimismo.

Aquí abandonamos las matemáticas del siglo XVII y nos lanzamos a la turbulenta corriente que brotó de aquella fuente inagotable.

VIII
AMPLIACIONES DEL CONCEPTO NÚMERO

AL SEGUIR el desarrollo de las matemáticas a partir de la muerte de Newton (1727), lo mismo podemos empezar con la aritmética, el álgebra, la geometría o las matemáticas aplicadas. En vista de que la aritmética precedió a las otras en el orden histórico desde Babilonia a Gotinga, será la primera que estudiemos. Los que estén más interesados en alguno de los otros temas pueden pasarse a ellos.

Como es muy intrincado el desarrollo detallado del concepto número que hemos de describir en éste y en los cinco capítulos siguientes, indicaremos primeramente los rasgos principales que hay que observar.

CUATRO PERIODOS CRÍTICOS

Aproximadamente cuatro siglos de generalización, al principio confusa e incierta, produjeron los sistemas numéricos del análisis, el álgebra, la física matemática y la aritmética superior del siglo XX. En definitiva las matemáticas hicieron tres grandes adquisiciones: los números complejos ordinarios del álgebra y del análisis y sus subclases de los enteros algebraicos; los sistemas de números hipercomplejos del álgebra, la geometría y la física; el continuo de los números reales que aparece en las modernas teorías de funciones de variable real y compleja. Los cinco periodos de cambio más radical fueron la década en cuyo centro se encuentra el año 1800, los últimos años de la década 1830-1840, y los primeros de la siguiente, la década de 1870 a 1880, y los 10 años anteriores y los 10 posteriores a 1900.

Al primer periodo se asocia un comienzo de la moderna aritmética abstracta y del álgebra, al usar Gauss (1801) una relación particular de equivalencia, que él llamó congruencia, para ordenar una clase infinita de enteros en una subclase finita. El método general de ordenación (homomorfismo), implícito en su primera obra, no se formuló claramente y se aisló para su estudio independiente, hasta el siglo XX en que fue la base del álgebra abstracta, la topología y otra porción de materias.

En la década de 1830 a 1840 los algebristas ingleses reconocieron claramente el carácter puramente abstracto y formal del álgebra elemental. A esto sucedieron en la década siguiente los cuaternios de Hamilton y las álgebras mucho más generales de Grassmann, de las que se desarrollaron las álgebras vectoriales de la física matemática. Desde el punto de vista de la matemática pura este periodo dejó un residuo perdurable en forma de un concepto muy generalizado de número.

En la década de 1870 a 1880 se concibió la manera moderna de abordar el sistema de números reales, en la obra de Cantor, Dedekind, Méray y Weierstrass. El resultado fue que a fines del siglo XIX se aritmetizó el análisis y se inició el moderno movimiento crítico. Lo que ahora nos parece ser el resultado más duradero de este tormentoso periodo es la enorme expansión de la lógica matemática durante las cuatro primeras décadas del siglo XX.

Del tercer periodo se pasó al cuarto hacia 1897 con la aparición de las modernas paradojas del infinito. A éstas se debió en gran parte el súbito desarrollo de la lógica matemática que ha actuado con mucha fuerza sobre toda la matemática y en particular sobre el concepto número.

Hemos de tener ocasión de referirnos con frecuencia y por anticipado a problemas todavía no resueltos relativos a la naturaleza del número y del continuo de números reales. El que un problema no haya podido ser resuelto no nos autoriza a creer que no es soluble. Los obstáculos más sobresalientes que hasta el momento nos han impedido percibir claramente la naturaleza del número pueden quedar eliminados mañana. En todo caso, ninguno de los problemas no resueltos del número han detenido el progreso de las matemáticas puras y aplicadas. Por el contrario, esas dificultades no resueltas han inspirado muchas obras valiosas de matemática pura; y en lo que respecta a las matemáticas aplicadas aun las dudas más serias han demostrado plenamente que no estorban el obtener conclusiones científicas que se puedan comprobar con experiencias de laboratorio.

Una vez que hayamos seguido el desarrollo del número en sus aspectos puramente matemáticos, volveremos más adelante, en otro capítulo, a la influencia de la ciencia sobre las matemáticas. Veremos cómo las matemáticas de aplicación han tenido justificación para usar atrevidamente un análisis que no satisface por ahora todas las exigencias del rigor lógico.

De vez en cuando, y mientras sigamos los detalles, llamaremos la atención hacia puntos que por su importancia especial sean dignos de ser observados. En este momento conviene resaltar una observación de tipo general. Cuando las matemáticas pasaron el año 1800 y entraron en la época reciente, se produjo una tendencia firme hacia una abstracción y una generalidad creciente. A mediados del siglo XIX había cambiado tan profundamente el espíritu de las matemáticas, que incluso los matemáticos más sobresalientes del siglo XVIII, si hubieran podido presenciar los resultados de medio siglo de progresos, apenas los hubieran identificado como matemáticas. Desde luego, persistía el antiguo punto de vista, pero no en las mentes de los hombres creadores de matemáticas. Un cuarto de siglo más tarde, un matemático de primera fila casi se deshonraba si abordaba algún problema especial del tipo que hubiera emprendido Euler en gran parte de su obra. A la orden del día estaban la abstracción y la generalización, dirigidas hacia la creación de métodos universales y de teorías amplias. Esta clase de trabajos habían tenido precedente en el siglo XVIII, en la dinámica de Lagrange. En todo este intrincado desarrollo hay otra pista que nos conduce hasta Pitágoras; es tan sugestiva que a continuación la describimos relacionándola con el esquema anterior.

LA AVENTURA PITAGÓRICA

Quizás el rasgo de mayor interés general en todo el desarrollo es la gran separación del programa pitagórico de basar todas las matemáticas en los números naturales 1, 2, 3,… en los periodos de creación más intensa, y el regreso final a Pitágoras durante un breve intervalo una vez que el concepto número natural fue ampliado para hacer frente a las exigencias del análisis, la geometría, la física, el álgebra y la aritmética superior. Lo que probablemente fue la edad de oro del programa pitagórico duró la segunda mitad del siglo XIX. Posteriormente, el movimiento crítico moderno buscó basar los números naturales, y por lo tanto todas sus ampliaciones, en la lógica matemática. Este último programa ya lo sugería intensamente aquella parte de la obra del siglo XIX que había intentado derivar el número de la teoría de las clases infinitas.

Hay que examinar al detalle, para poderla apreciar como se merece, esta gran aventura del pensamiento, este movimiento circular alejándose primero de Pitágoras y regresando después a él, con el subsiguiente salirse por la tangente que él fue incapaz de imaginar. Esto es lo que haremos en los cinco capítulos siguientes. Veremos a la matemática moderna como un todo, cada vez más consciente de sí misma y más crítica de su ingenua conducta en el siglo XVIII, basando con firmeza su adolescencia en la década 1820-1830. Las matemáticas se interesaron entonces cada vez menos en el análisis no crítico que produjo resultados sorprendentemente precisos en el cielo con la mecánica celeste de Laplace (1799, 1802, 1805), y en la tierra con los cálculos intuitivos de la teoría analítica de la convección del calor de Fourier (1822). La mayor parte de los grandes matemáticos del siglo XVIII y principios del XIX por su manera de pensar se parecían más a un ingeniero que a un matemático moderno; una fórmula que se les revelara en un relámpago de intuición, o apresuradamente deducida con un débil razonamiento, era tan buena como otra cualquiera con tal de que diera resultados prácticos. Y sus fórmulas daban resultados admirables. Gauss (1777-1855) fue el primer gran matemático que se rebeló con éxito contra la intuición en el análisis. Lagrange (1736-1813) lo había intentado y fracasó.

El foco de las últimas dificultades serias se vio inesperadamente que estaba en los espaciosamente inocuos números naturales 1, 2, 3,… que desde los días de Pitágoras habían sido con avidez aceptados por los matemáticos para ganar el cielo. Incluso Kronecker (alemán, 1823-1891), pitagórico empedernido y uno de los algebristas y aritméticos más eminentes del siglo XIX, afirmó confiado que “Dios hizo los enteros; todo el resto es obra del hombre”. Hacia 1910 algunos de los matemáticos más sagaces se inclinaban a considerar a los números naturales como la red más eficaz que jamás inventó el diablo para atrapar hombres confiados. Otros pertenecientes a una secta aún más mística mantenían que los números naturales no tienen nada de sobrenatural, afirmando que la “sucesión ilimitada” 1, 2, 3,… es la “intuición” más digna de confianza que fue otorgada al hombre natural de Rousseau. No se consultó a las tribus de la cuenca del Amazonas.

Estos choques entre éstas y otras facciones opuestas de la ortodoxia matemática relegaron temporalmente el programa pitagórico al limbo, poco después de 1900. Todos los que tomaban parte en esta disputa multilateral se unieron al torturar a la lógica, haciéndola tomar nuevas y fantásticas formas para ver si acababa revelando qué significado podrían tener los números naturales y el sueño de Pitágoras relativo a éstos, si es que tenía alguno. ¿Dicen estos números la verdad acerca de las matemáticas y de la naturaleza, o no la dicen, por ser la “verdad” una simple descripción consecuente? Y si no la dicen ¿es indispensable para las necesidades humanas que las matemáticas construidas sobre los números naturales sean “ciertas” en este sentido? Cualquiera que sea la respuesta a la primera pregunta, la de la segunda parece ser un no rotundo. Una gran cantidad de razonamientos matemáticos que ahora se sabe que no son nada firmes condujo en el pasado a consecuencias extraordinariamente útiles. Sin embargo, no corresponde que nos interesemos aquí por asuntos tan profundos, que pueden no tener ningún sentido, sino de las matemáticas técnicas que han originado esas cuestiones y otras muchas como ella. De pasada, podemos observar, que las matemáticas no son la imagen estática y burdamente estereotipada de perfección que no cambia, como proclaman algunos de sus adoradores.

Las ampliaciones del sistema de números posteriores al siglo XVI son uno de los aumentos más notables que han experimentado las matemáticas. En opinión de los capacitados para evaluar las pruebas técnicas, esas ampliaciones probablemente han de ser valiosas aún durante muchos años. La “crisis” de principios del siglo XX que afectó a todas las matemáticas, inducida por una aceptación nada crítica del formulismo que habían engendrado las ampliaciones sucesivas del sistema de números, fue precipitada por el uso demasiado atrevido de las clases infinitas en una tentativa de ser lógicamente rigurosos. Las clases infinitas penetraron al dominio del número, como veremos más tarde, desde dos puntos diametralmente opuestos, los números cardinales finitos de la aritmética corriente y desde el continuo del análisis. En la aritmética superior, también la generalización de Dedekind (hacia 1880) de los enteros racionales, y su descomposición única en factores primos, a los enteros algebraicos con su correspondiente descomposición única en números primos ideales, introdujo una cantidad infinita numerable de enteros algebraicos. Paralelamente hicieron su entrada las clases infinitas no numerables de números racionales, con las teorías de Cantor y de Dedekind, ideadas para proporcionar al continuo del número real del análisis fundamentos consecuentes. De modo que el obstáculo central, las matemáticas del infinito, que había detenido a Pitágoras detuvo a sus sucesores más de 2 000 años después de que aquél se hubiera hecho legendario. Eudoxio pareció descubrir una manera de rodear el obstáculo, o quizá de atraversarlo por su parte más ancha, y los constructores del continuo moderno, siguiendo un camino que esencialmente es el mismo, buscaron únicamente eliminar los obstáculos y basarlo en cimientos más firmes. Lo que a primera vista parecía seguridad, al inspeccionarlo más detenidamente resultó ser una ilusión. Todavía estaba por construir la carretera.

Para anticipar lo que diremos en un capítulo posterior, y para terminar este estudio preliminar, recordaremos la singular conversión de H. Poincaré (1854-1912, francés) en 1908. En cierto modo, ésta resume el progreso de 2 300 años. A fines del siglo XIX Poincaré era el profeta máximo de las matemáticas confiadas. En 1900 declaró que por fin se habían eliminado todas las oscuridades del continuo del análisis gracias a las filosofías del siglo XIX basadas en la teoría de las clases infinitas (Mengenlehre). Finalmente, todas las matemáticas, declaró, han sido referidas a los números naturales y a los silogismos de la lógica tradicional; se había realizado el sueño pitagórico. Por tanto, los matemáticos tímidos, con esta seguridad que les daba Poincaré, podían continuar intrépidamente, confiando en que los fundamentos sobre los que pisaban eran perfectamente firmes.

La visión del profeta quedó cambiada por ocho años tormentosos y llenos de acontecimientos: “Las generaciones venideras considerarán el Mengenlehre como una enfermedad de la que uno se ha recuperado”.

Treinta años después de que se pronunciara el cáustico pronóstico de Poincaré, todavía florecía la teoría de la que las matemáticas se habían de haber recuperado. Por supuesto que esto no prueba nada; la geometría de Euclides duró sin ningún cambio en los cerebros de generaciones y generaciones de matemáticos que durante 2 000 años la creyeron intachable. Aquí recordamos el pronóstico y su posible realización demorada solamente para mostrar en una perspectiva justa las grandes adquisiciones del número a partir del siglo XVI. Si las matemáticas, en su desarrollo continuo, pocas veces alcanzan una finalidad, el crecimiento constante hace madurar algún residuo que persiste. Pero es inútil pretender que lo que era suficiente para nuestros padres en matemáticas es también bastante para nosotros, o insistir en que lo que satisface a nuestra generación ha de satisfacer a la siguiente.

LA AMPLIACIÓN POR INVERSIÓN Y EL FORMALISMO

Las primeras ampliaciones del sistema de números naturales fueron las fracciones babilónicas y egipcias. Éstas ilustran un prolífico método de engendrar nuevos números a partir de los ya aceptados, y con su mismo concepto, la inversión. Para resolver el problema “¿por qué número hay que multiplicar 6 para que produzca 2?” Hay que inventar una nueva clase de “número”, la fracción 1/3. Aquí la operación directa es la multiplicación, la inversa a la división. Los otros pares de inversos elementales son la adición y la sustracción; la elevación a potencias y la extracción de raíces.

Los antiguos conocían todas estas operaciones elementales. Las operaciones inversas de la multiplicación y adición racionales, es decir, la división y la sustracción, exigían el invento de las fracciones corrientes y de los números negativos; a la operación inversa de elevación a potencias se debió el invento de los números irracionales, incluyendo los imaginarios puros y los números complejos ordinarios. La resolución de una ecuación algebraica o de un sistema de ellas con varias incógnitas se puede enunciar también como problema de inversión con respecto a las reiteraciones de adición y multiplicación. Hasta 1840, las ecuaciones algebraicas fueron probablemente la más prolífica fuente de ampliaciones de los números naturales.

Al estudiar las ampliaciones incluso hasta la adquisición de los números complejos ordinarios, adoptaremos un punto de vista que quizá históricamente no sea defendible, pero que se puede justificar matemáticamente: los simples encuentros accidentales con, por ejemplo, los números negativos no constituyen un descubrimiento matemático. Ni el rechazar las raíces imaginarias de las ecuaciones da derecho a nadie a reclamar una prioridad en el invento de los números complejos. Hasta que se hizo una tentativa consciente de comprender los números negativos y complejos, enunciando reglas, aunque toscas, para usarlos siempre que se presentaran, ninguno de ambos tenía más derecho a ser considerado entidad matemática que un niño sin concebir a que se le considere ser humano. Matemáticamente, esos números no existían hasta que no se satisficieron las condiciones indicadas.

Los historiadores profesionales están en lo fundamental de acuerdo sobre los siguientes detalles del desarrollo de los números negativos. Cuando en el siglo III d. C. Diofanto encontró − 4 como solución de una ecuación lineal, la rechazó por absurda. En el primer tercio del siglo XVII, según se dice, Brahmagupta enunció la regla de los signos de la multiplicación; desechó una raíz negativa de una ecuación de segundo grado. La regla de los signos se generalizó en la India después de que Mahavira la volvió a enunciar en el siglo IX. Al-Kowarizmi, que es poco más o menos de la misma época, no hizo ningún progreso si no es el de que al parecer presentó una raíz positiva y otra negativa de una ecuación de segundo grado sin rechazar explícitamente la negativa.

De los europeos, Fibonacci, a principios del siglo XIII, rechazó las raíces negativas, pero dio un paso hacia delante al interpretar un número negativo en un problema de dinero, como pérdida en vez de ganancia. Se ha pretendido que los hindúes hicieron lo mismo. Pacioli (toscano, ¿1445?-1514) en la segunda mitad del siglo XV conoció la regla de los signos según se le atribuye basándose en (7 − 4) (4 − 2) = 3 × 2 = 6. Stifel[1] (alemán, ¿1487?-1567), agudo algebrista de su época, dijo a mediados del siglo XVI que los números negativos son absurdos. Cardano, en su Ars magna (1545), enunció la regla “menos por menos da más” como proposición independiente; también se dice que admitió la existencia de los números negativos, pero las pruebas de ello son dudosas. La realidad es que llamó a los números negativos ficticios.

Bombelli en 1572 demostró que comprendía las reglas de la adición en casos como m − n, en que m y n son números enteros positivos. Aproximadamente en la misma época Vieta rechazó las raíces negativas. Finalmente, Hudde (holandés, 1628-1704) en 1659 usó una letra para designar indiferentemente un número positivo y uno negativo. Como curiosidad histórica, podemos mencionar que Harritot (inglés, 1560-1621) fue uno de los primeros europeos que reprodujo la hazaña de los antiguos babilónicos de permitir que un número negativo actuara como miembro de una ecuación. Pero rehusó las raíces negativas.

Con una excepción, todos los puntos de la lista anterior se pueden clasificar como ampliación parcial por formalismo. La ampliación fue incompleta porque los números negativos no se usaron libremente hasta el siglo XVII. La extensión era formal, porque no tenía otra base que la aplicación mecánica de reglas de cálculo de las que se sabía que producían resultados consecuentes al aplicarlas a números positivos y de las que se presuponía habrían de ser legítimas al manejar números negativos. Esta hipótesis sin base habría de ser elevada en 1830 a la categoría de dogma general en el famoso y desacreditado “principio de la permanencia de la forma”. A mediados del siglo XVII el uso sin trabas de los números negativos dio a los matemáticos una demostración pragmática de que las reglas del álgebra corriente conducen a resultados consecuentes. Pero no se hizo ninguna tentativa de profundizar poniendo un fundamento de postulados bajo el formalismo destartalado.

El único destello de inteligencia matemática que presenta la primera fase de la historia de los números negativos es la indicación que hizo Fibonacci de que una cantidad negativa de dinero se puede interpretar como una pérdida. Esto parece haber sido el primer paso hacia la segunda fase de la evolución de los números negativos, es decir, la de interpretar los resultados del formalismo en forma aceptada por su consistencia. Asimismo, señala el comienzo de dos filosofías diferentes pero complementarias de las matemáticas: el producto del formalismo matemático es admisible pero sólo si se puede poner en correspondencia con algún sistema admitido por su consistencia; las matemáticas no son más que un formalismo sin otro significado que el que presuponen los postulados a partir de los cuales se define el formalismo.

Por ejemplo, si se admite como consecuente la geometría euclidiana, y si las operaciones algebraicas formales con números complejos son susceptibles de interpretación en términos geométricos, el formalismo de los números complejos es admisible. Todo esto está de acuerdo con la primera filosofía, que fue la que adoptó instintiva y subconscientemente Fibonacci al encontrarse con los números negativos. La segunda filosofía la ilustran las reglas del álgebra tal como las expresa cualquier texto elemental moderno, en que se utiliza a, b, c,…, +, ×, =, y se postula que a = a, a + b = b + a, etcétera.

Ambas filosofías han enriquecido mucho a las matemáticas. En este sentido, se puede decir que la primera, que busca interpretaciones, es sintética; la segunda que empieza y termina en un formalismo contenido en su universo postulado[2] se puede decir que es analítica. Las calificamos así sólo por conveniencia y no para que recuerde a la terminología de Kant, aunque el paralelo pueda resultar sugestivo. El desarrollo del sistema de números es un continuo juego mutuo entre los sistemas sintético y analítico. Para las matemáticas aplicadas, como en los cuaternios y en las álgebras vectoriales que se originaron en la interpretación geométrica de los números complejos ordinarios, es la filosofía sintética la que domina; en las matemáticas puras sólo tiene importancia la analítica.

La sorpresa mayor que contiene la historia de las matemáticas es el hecho de que los números complejos fueran comprendidos, tanto sintética como analíticamente, antes que los números negativos. En consecuencia, empezaremos por recorrer los pasos principales por los que los números complejos llegaron a la madurez matemática. Después, incidentalmente, aparecerán los negativos.

DE LA MANIPULACIÓN A LA INTERPRETACIÓN

Las primeras fases de la historia de los números complejos es muy semejante a la de los negativos: una simple lista de manipulaciones ciegas, sin una sola tentativa seria de interpretar o comprender. La primera vez que se admitieron de modo claro los números imaginarios fue con la observación extraordinariamente inteligente hecha por Mahavira en el siglo IX, diciendo que dada la naturaleza de las cosas un número negativo no tiene raíz cuadrada. Tenía suficiente perspicacia matemática para dejar las cosas en ese estado, sin proceder a manipulaciones sin sentido de signos ininteligibles. Tiene interés algo más que histórico que Cauchy[3] hiciera la misma observación algo menos de un millar de años después (1847): “[descartamos] el signo simbólico √−1, al que repudiamos por completo, y al que podemos abandonar sin remordimientos porque no sabemos su significado ni cuál podríamos atribuirle”. Estos sentimientos originaron el proyecto que hizo Kronecker en 1882-1887 para derivar de una manera unificada todas las ampliaciones del concepto de número natural.

Después de Mahavira, el siguiente paso hacia adelante fue hacia la filosofía analítica del número. En 1545, Cardano consideraba a los números imaginarios como ficticios, pero los utilizaba formalmente, como en la descomposición de 40 en los factores complejos conjugados 5 ± √−15, sin suscitar la cuestión de la legitimidad del formalismo. En una justificada conjetura de Girard (holandés, ¿1590?-¿1633?) apareció una forma más viciosa de formalismo puro. Habiendo notado que algunas ecuaciones de grado n, siendo n pequeño, tienen n raíces reales, y que algunas de segundo grado tienen dos raíces imaginarias, Girard dedujo que toda ecuación de grado n tiene n raíces, supliendo la incómoda falta de raíces reales con la suposición de que la deficiencia la cubrirían exactamente las raíces complejas.

En 1676 Leibniz[4] no había adelantado más que Cardano. Dio una descomposición factorial de x⁴ + a⁴, y consiguió convencerse a sí mismo de que había hecho algo notable al comprobar por sustitución que la solución de Cardano de la ecuación cúbica general en el caso irreducible satisface a esta ecuación. Igualmente quedó asombrado al comprobar de una manera análoga que un radical real especial se podía expresar como suma de complejos conjugados. Históricamente, lo más asombroso de las manipulaciones de Leibniz con los números complejos es que hace menos de tres siglos uno de los más grandes matemáticos de la historia pensara que aquellas manipulaciones sin sentido eran matemáticas, aunque sus resultados eran más inesperados que el volver boca abajo dos veces en sucesión un cubilete. El que un matemático, lógico y filósofo del calibre de Leibniz se engañara de esa forma robustece la observación de Gauss de que “la metafísica de √−1” es difícil. También indica que en realidad las matemáticas han progresado después del memorable siglo XVII.

Por fin en el siglo XVIII el formalismo ciego produjo una fórmula de primera magnitud. Hacia 1710 Cotes (inglés, 1682-1716), aquel de cuya muerte Newton se lamentó con las palabras “si Cotes hubiera vivido quizá hubiéramos aprendido algo”, enunció un equivalente del resultado que generalmente se suele llamar teorema de De Moivre de la trigonometría. En la notación actual, designando[4a] √−1 por i, la fórmula[5] de Cotes es iϕ = loge (cos ϕ + i sen ϕ). El teorema de De Moivre (1730), cos n ϕ + i sen nϕ = (cos ϕ + i sen ϕ)n [ = e niϕ], n entero mayor que cero, es una consecuencia formal inmediata. Euler (1743-1748) amplió esta última para cualquier valor de n; también dio la forma exponencial de seno ϕ coseno ϕ, que es evidente a partir del resultado de Cotes. De este modo, en 1750 ya era la trigonometría del dominio del análisis, y sólo faltaba deducir las fórmulas analíticas, prestando la debida atención a la convergencia, y crear una teoría consecuente de los números complejos. Lo primero lo realizó Cauchy en la tercera década del siglo XIX; lo segundo Wessel, en la última década del XVIII. De modo que, después de unos 1 000 años de misterios sin significado, los llamados números imaginarios quedaban incorporados a las matemáticas corrientes.

Antes de pasar a ocuparnos de Wessel y de sus sucesores, recordaremos dos pasos dignos de mención hacia lo que acabamos de describir. Juan Bernoulli observó la relación entre las tangentes inversas y los logaritmos naturales. Esto estaba en la dirección de Cotes. Aún más significativa fue la larga zancada que dio hacia la interpretación geométrica de los números complejos en 1673 Wallis (inglés, 1616-1703), matemático original al mismo tiempo que predicador de moda. Muy poco le faltó a Wallis para encontrar la interpretación geométrica habitual de los números complejos. Pero en matemáticas ese poco es lo suficiente, y no se suele atribuir a Wallis la invención de Wessel. Wallis representaba al número complejo x + iy por el punto (x, y) del plano de coordenadas cartesianas; en lo que fracasó fue en usar el eje y como eje de los imaginarios.

Le correspondió al topógrafo noruego Wessel[6] (1745-1818) dar el paso final produciendo una interpretación consecuente y útil de los números complejos en 1797. Con toda modestia calificó su afortunado esfuerzo de “tentativa”. Por completo explicaba lo que en los libros de texto se suele llamar erróneamente diagrama de Argand, y ordenaba el álgebra formal de los números complejos según la propiedad del diagrama. Argand (francés, 1768-1822) llegó independientemente a las mismas conclusiones en 1806.

La decisiva contribución de Wessel tuvo la desgracia de ser publicada (1799) en una revista erudita que no era fácil que leyeran los matemáticos. Una traducción francesa hecha en 1897, exactamente 100 años después de que Wessel hubiera comunicado su documento a la Real Academia de Dinamarca, concedió a su autor toda la recompensa que pueda haber en la fama póstuma. De modo que una obra que bien pudiera haber acelerado el desarrollo del sistema de números por la influencia que produjo fue igual que si nunca hubiera sido escrita; está reservada a la gran autoridad de Gauss (1831) hacer que los números complejos fueran aceptados como miembros respetables de la sociedad matemática.

La interpretación de Wessel sugería dos posibles generalizaciones. Evidentemente se podía traducir la geometría de los números complejos a una serie de rotaciones y traslaciones en un plano. ¿Sería posible hacer otras ampliaciones del sistema de los números mediante las cuales se pudieran describir rotaciones en un espacio tridimensional? ¿O bastaba con los números complejos para ese objeto? La respuesta a la primera pregunta era afirmativa; la de la segunda, negativa; pero esto apenas se podía haber predicho en 1799 cuando se publicó la interpretación de Wessel.

La manera geométrica de abordar el problema no es el camino que conduce “naturalmente” al corazón del mismo, aunque Hamilton (irlandés, 1805-1865) había de seguirlo con éxito. Pero como veremos, Hamilton se contentaba con un álgebra adaptada a un espacio de tres dimensiones, cuando en matemáticas el número tres no es más sagrado que ningún otro número natural, y el verdadero problema estribaba en ampliar los números complejos a un “espacio” de n dimensiones.

EL PROGRAMA EUCLIDIANO

Gauss eligió como tema para su tesis doctoral (1799) una demostración del terreno fundamental del álgebra: las ecuaciones algebraicas tienen una raíz de la forma a + bi, en que a y b son reales. (Para el enunciado preciso del teorema remitimos al lector a un texto cualquiera de teoría de ecuaciones. El enunciado anterior, como otros de los que damos en este libro, no tiene otro objeto que el de recordar el teorema.) Después de la hipótesis de Girard hubo diversas tentativas de demostración, incluyendo algunas de d’Alembert (1746) y Euler (1749). Todas ellas eran defectuosas, como también lo fueron la primera y cuarta tentativas (1799) de Gauss.[7] Asimismo, podemos indicar que el teorema fundamental en su forma clásica, como se demuestra en la teoría de funciones de variables complejas, ya no se considera perteneciente al álgebra. En el álgebra moderna lo sustituye un enunciado que es casi trivial.[8] Las ideas básicas del tratamiento moderno se remontan a Galois (1811-1832), Dedekind (1831-1916) y Kronecker (1823-1891), y no a Gauss.

El primer trabajo serio del más grande de los matemáticos posteriores a Newton le convenció de que todavía no se había creado una teoría satisfactoria de los números complejos. Entonces, desconociendo la obra de Wessel, Gauss llegó por sí mismo a una representación geométrica.[9] Pero el hombre que emitió la madura opinión de que “la matemática es la reina de las ciencias, y la aritmética la reina de las matemáticas”, no podía quedar satisfecho con un cuadro geométrico útil, aunque fuera de lugar, de lo que según él creía era simplemente cuestión de números. En 1811 Gauss ya se había convencido de que un tratamiento “formal” por sí solo podía facilitar una sólida teoría de los números complejos, y estuvo a punto de dar con el misterioso principio de la permanencia que un cuarto de siglo después había de guiar a otros hacia la meta deseada. Pero en 1825 confesó que “la metafísica de √−1” era muy evasiva.

Por tratamiento formal Gauss entendía la deducción de las propiedades de los números complejos a partir de los postulados aceptados de la aritmética común. Por lo tanto, buscó demostraciones, a la manera de Euclides, partiendo de definiciones y de hipótesis explícitas. Más tarde volveremos a ocuparnos del principio de la permanencia.

Lo que Gauss consideraba “la metafísica” de los números complejos fue inventada por él mismo en 1831, seis años antes de que Hamilton comunicara su descubrimiento independiente del mismo método a la Real Academia irlandesa. La “metafísica” desterró por completo la intuición geométrica al definir a + bi, en que a y b son reales como el par de números (a, b) sujeto a los postulados necesarios y suficientes para conseguir las propiedades deseadas de los números complejos tal como resultan de las manipulaciones algebraicas. Por ejemplo, la igualdad (a, b) = (c, d) se define para que sea a = c, b = d; la adición (a, b) + (c, d) por definición es (a + c, b + d); la multiplicación (a, b) × (c, d) es (ac − bd, ad + bc). Así desaparece la misteriosa i, y el álgebra de los números complejos queda remplazada por lo que De Morgan y otros llamaron “una doble álgebra de parejas de números reales a, b, c, d,… sujetas tan sólo a las leyes aceptadas de la aritmética y del álgebra corriente como a + b = b + a, ab = ba, a (b + c) = ab + ac, etcétera.”

El motivo por el que Gauss reveló su anticipación del método de Hamilton fue una carta que le pidió en 1837 su viejo compañero de universidad Bolyai (húngaro, 1775-1856), en la que éste le reprochaba haber propagado una teoría geométrica de los números complejos. Bolyai razonaba que la geometría no tiene cabida entre los fundamentos de la aritmética y que los números complejos deberían basarse en los números reales cuya aritmética se suponía conocida. Gauss contestó que era exactamente de la misma opinión y que en 1831 había hecho lo que Bolyai pedía. Siguió manteniendo esta opinión, y tan sólo cinco años antes de su muerte subrayó que el modo más conveniente de abordar los números complejos es el método “abstracto”, con postulados. Este método es ahora muy corriente en los textos universitarios de álgebra.

Por otro lado, se puede perdonar a todo el que vea por primera vez el álgebra o la aritmética de los números complejos, si se piensa que no es más que un astuto subterfugio, o por lo menos la manera de conducir a un diablo imaginario alrededor de un arbusto que se supone real. Pero la familiaridad corrige la falta de comprensión, y cuando la sugestiva notación (a, b) para los pares se extiende a las ternas (a, b, c), y aún más a grupos de n números reales ordenados, o de elementos de un mismo dominio, con leyes de adición y de multiplicación convenientemente definidas, resulta evidente la fuerza creadora del sencillo invento de Hamilton. Ya estaba a la vista cuando Hamilton remplazó a + bi por (a, b), el álgebra múltiple con sus innumerables aplicaciones a la ciencia. Él mismo elaboró el álgebra y la geometría de los números cuádruples (a, b, c, d) en sus cuaternios; casi simultáneamente Grassmann adoptó un punto de vista más general, y creó el álgebra de los números n-ples, (a₁, a₂…, an). Continuaremos con esto en un capítulo posterior; por el momento nos ocuparemos de las consecuencias que tuvo el que Gauss y Hamilton volvieran a adoptar la metodología euclidiana. Después de 23 siglos de vagar sin perspectivas, los aritméticos y los algebristas abrieron los ojos y vieron lo que había hecho Euclides: definiciones, postulados, deducción, teoremas. Inmediatamente dieron un gran empuje.

Posiblemente para Euclides estuviera muy claro que su geometría era la de un universo ideal, postulado sin ninguna necesaria relación como un “mundo real” intuitivamente percibido, de la experiencia corriente; pero si éste fue el caso, no trasmitió el significado pleno de su filosofía a sus sucesores. La geometría de Euclides o cualquier otro sistema matemático construido por el método deductivo se considera hoy casi universalmente como creación libre y arbitraria del matemático que construye el sistema, bien sea que su impulso inicial proceda de experiencias del mundo material sublimadas en abstracciones, o bien sea que se origine en ampliaciones formales del simbolismo algebraico, como en el paso de las parejas de números a grupos ordenados de n números reales. En el fondo la filosofía del programa de Euclides, según la concepción actual, es analítica.

Parece singularmente apropiado que el concepto del álgebra como formalismo puro se presentara por primera vez en el país que más que ningún otro reverenció a Euclides. Fue un inglés, Peacock (1791-1858), en un tiempo profesor de la Universidad de Cambridge, y después decano de Ely, el que primero[10] (1834-1845) percibió al álgebra corriente[11] como una ciencia abstracta hipotético-deductiva según el modelo euclidiano.

Peacock no era un matemático “importante” en el sentido que se le suele dar de amplia reputación; posiblemente lo siguiente es una valoración justa del lugar que ocupa en las matemáticas: “fue uno de los que más impulsaron en Inglaterra las reformas matemáticas durante la primera mitad del siglo XIX, aunque no aportó ninguna obra original particularmente valiosa”.[12] Fue simplemente uno de los primeros que revolucionó por completo el concepto del álgebra y de la aritmética general.

El programa euclidiano que preconizaba Peacock fue desarrollado por la escuela inglesa, y en especial por Gregory (escocés, 1813-1844), y De Morgan; pero no fue ampliamente conocido hasta que Hankel (1839-1873) en 1867 lo expuso con una penetración y un cuidado meticuloso verdaderamente alemanes. Hankel también volvió a enunciar el principio de permanencia de las operaciones formales que había sido enunciado en términos generales por Peacock: “expresiones iguales indicadas en los términos generales de la aritmética universal han de seguir siendo iguales si las letras dejan de designar ‘cantidades’ simples, y por tanto también si se altera la interpretación de las operaciones”. Por ejemplo, ab = ba ha de seguir siendo válido si a y b son complejos.

Por otro lado, es difícil ver el significado del principio o cuál es el valor que podría tener aun cuando no fuera más que como guía heurística. Aparentemente parece prohibir ab = − ba, lo cual es una de las maneras más sugestivas de apartarse de la etiqueta de las matemáticas elementales, como sabe todo estudiante de física gracias al análisis vectorial. Como tributo final al desacreditado principio de la permanencia, indicaremos que puesto que 2 × 3 = 3 × 2, se sigue inmediatamente según el principio que √2 × √3 = √3 × √2. Pero la necesidad de demostrar esto fue uno de los acicates que impulsaron a Dedekind en 1870 a crear su teoría del sistema de números reales. De acuerdo con ese sin par ampliador de los números naturales “todo lo que sea susceptible de demostración, no se debe creer en ciencia sin ella”.[13]

El artificio de las parejas de números, inventado para exorcizar lo imaginario y reducir la teoría de los números complejos a la de las parejas de números reales también proscribió a las fracciones racionales y a los números negativos. Así, en cuanto a los números negativos, −n queda remplazado por [m, m + n] en que m es un número positivo arbitrario; cero es [m, m] y n es [m + n, m]. Puesto que los detalles se pueden ver en cualquier texto, proseguiremos. El último paso y el más difícil para reducir todo “número” a los números naturales 1, 2, 3,… se refiere a los números irracionales reales. Con esto se aritmetizó el análisis.

Antes de que se diera el paso final y después de que Peacock, De Morgan, Hamilton y otros formalizaran el álgebra y la aritmética, los números naturales fueron grandemente ampliados en otra dirección, la de los números algebraicos, empezando con Gauss en 1831 y prolongándose y ya adentrado el siglo XX. Paralelamente se desarrollaron las generalizaciones de las parejas de números al álgebra múltiple. Otro tipo de aritmetización que se originó en 1801 con la obra de Gauss y que alcanzó una de sus culminaciones con la obra de Kronecker en 1882-1887 suministró incidentalmente el medio de reducir todos los números a los números naturales, como veremos en el capítulo siguiente.

El programa euclidiano, que en definitiva reduciría toda la matemática a formalismo puro, tuvo en el siglo XIX y después tantos partidarios como contrarios. Para ilustrar las ironías de las profecías recordaremos el vigoroso ataque que le hizo en 1882 el distinguido analista P. du Bois-Reymond (alemán, 1831-1889),[14] cuyas penetrantes investigaciones contribuyeron mucho al progreso del análisis en su segunda edad heroica, en el siglo XIX, si consideramos la de Newton y Leibniz como primera. Du Bois-Reymond declaró con bastante pasión que el programa del formalismo remplazaría a las matemáticas con “un simple juego de símbolos, en que se atribuiría a los signos significados arbitrarios, como si fueran las piezas de un tablero de ajedrez o las cartas de una baraja”. Llegó más adelante profetizando que esos resultados sin sentido se desperdiciarían en esfuerzos inútiles y serían la muerte de las matemáticas que Gauss había descrito como reina de las ciencias. Desde 1920, las matemáticas han llegado a ser para una escuela en alto grado productiva lo que el profeta temía. Los que se llaman a sí mismos formalistas gozan con su interminable juego de ajedrez y proclaman que no tiene ningún otro significado que el que les dan las reglas del juego. Las realidades definitivas y las verdades eternas, por lo menos en matemáticas y en ciencia, han sufrido un eclipse en el siglo XX.

De esta forma terminó una de las búsquedas del significado del número, y se llegó a esta conclusión desconcertante para algunos tomando el mismo camino que siguió Euclides. Fue el examen detenido que hizo Hilbert (alemán, 1862-1943) de los postulados de la geometría elemental, al intentar colocar aquella venerable, si bien algo paralizada ciencia, sobre fundamentos más sólidos lo que le condujo a un examen análogo de las bases de la aritmética común. Dirigiéndose al segundo congreso internacional de matemáticos en 1900, Hilbert observó[15] que la no existencia de contradicciones entre los postulados y la geometría se demuestra construyendo un dominio adecuado de números de modo que a los postulados geométricos correspondan relaciones análogas entre los números del dominio. Por consiguiente, toda contradicción en las conclusiones obtenidas partiendo de los postulados geométricos se presentaría en la aritmética del dominio. De esta forma se traslada la falta de contradicciones de los postulados de la geometría a una falta de contradicciones correspondiente de los postulados de la aritmética. En consecuencia, Hilbert subrayó uno de los más grandes problemas de la matemática que estaban sin resolver en 1900, la prueba de que partiendo de los postulados de la aritmética es imposible llegar a resultados contradictorios por medio de un número finito de deducciones lógicas. En 1945 todavía no se había resuelto el problema. Las tentativas para resolver este problema aparentemente elemental fueron en parte responsables de la escuela formalista —del juego de ajedrez— de la filosofía matemática, a cuya cabeza estaba Hilbert, el matemático más eminente de su generación.

Ya se ha dicho bastante para explicar la importancia fundamental que tienen los números naturales para todas las matemáticas, y no solamente para la aritmética y sus ampliaciones algebraicas, y para sugerir que la metodología euclidiana es tan vital para la matemática moderna como lo fue para la antigua. No está de más, antes de seguir adelante, en las ampliaciones de número, dar cuenta del aspecto pitagórico de las matemáticas.

PITÁGORAS HASTA 1900

Ahora bien, echando una ojeada retrospectiva hacia los confusos esfuerzos hechos para incorporar los números imaginarios juntamente con los reales en un sistema de números consecuente, notamos la curiosa fluctuación de las creencias matemáticas que acompañaron la lucha. La detención tan abrupta que experimentaron los pitagóricos en su encuentro con los números irracionales abolió prácticamente la medida de las matemáticas ortodoxas griegas, cesando la investigación del número independientemente de su representación geométrica, de lo cual es excepción parcial el resumen de aritmética de Euclides. Los matemáticos griegos académicos no manejaban cómodamente los números más que cuando los geometrizaban en “magnitudes”, concepto vago cuya validez parece que nunca pusieron en duda. De modo que se suponía que el número no era comprensible más que mediante la forma, lo cual es contrario a lo que mantuvieron primeramente los pitagóricos, y a lo que ha venido creyendo la mayoría de los matemáticos posteriores a Descartes.

Los diagramas de Wessel y de Argand fueron un retroceso a destiempo hacia las matemáticas precartesianas. No se puede demostrar exactamente nada mediante la representación geométrica de los números complejos a menos que se suponga que la geometría en que se basa tiene fundamentos sólidos. Como hemos visto, también Gauss intentó primeramente “justificar” geométricamente a los números imaginarios, pero decidió después que eso era un error. En todos esos primeros progresos se aceptaba la geometría sin ponerla en duda, como si fuera un tribunal supremo cuyas sentencias fueran inapelables. Pero al complicarse las cosas se vio que la justificación geométrica no es sino aritmética disfrazada, puesto que los números reales entran con las coordenadas de un punto en el plano de los números complejos. De esta forma la interpretación geométrica queda sin base hasta que se encuentren fundamentos consecuentes y firmes para el sistema de números reales. Profundizando más, Hilbert en 1899 adoptó el programa pitagórico para toda la geometría, refiriendo la forma al número, y exigiendo una demostración de que no hay contradicciones en el sistema de números reales e incluso en su subclase de los enteros racionales.

También Hamilton fue pitagórico al escapar de la geometría hacia las parejas de números. Su método fue el más sugestivo para las futuras ampliaciones a números hipercomplejos. Pero fue menos crítico que Hilbert por presuponer la consistencia del sistema de números reales.

La manera moderna de abordar un problema, como, por ejemplo, en álgebra abstracta, intenta despojar las parejas de números (a, b) de Hamilton de toda notación aritmética, postulando que las “coordenadas” a, b están definidas por los postulados en un campo abstracto. El último vestigio de número tal como los pitagóricos lo concebían se ha sublimado a partir de las “señales sin sentido” a, b y de sus igualmente sin sentido “reglas de combinación”. Pero el problema de demostrar que las reglas nunca producían una contradicción no se elimina manejando un grupo de postulados que por hipótesis definen por completo el sistema matemático que es posible deducir de ellos.

Al escapar de la forma al número, y otra vez del número a la forma, y de nuevo al número, y finalmente a la abstracción completa, los matemáticos desde Pitágoras a Hilbert han tratado de dar validez a sus creaciones valiéndose del razonamiento deductivo. Hilbert fue el primero en reconocer la futilidad de esas vacilaciones hasta que se pudiera demostrar que el razonamiento deductivo en sí mismo, tal como se aplica a las matemáticas, es incapaz de producir contradicciones. Esto fue una severa prueba para el programa pitagórico, ya que según la hipótesis fundamental de los pitagóricos se presupone que el número y la forma se pueden describir sin contradicciones valiéndose del razonamiento deductivo. El problema de fondo es, pues, ¿hasta qué punto se puede confiar en la deducción matemática para que no produzca contradicciones como “A es igual a B, y A no es igual a B”? Esto se debate en el lenguaje simbólico del razonamiento que Leibniz previó. En el último capítulo nos ocuparemos de algunas de las conclusiones.

Por el momento nos bastará observar que la habilidad con que los matemáticos modernos discuten con provecho esos asuntos es una de las cosas que les dan superioridad de facultades sobre sus predecesores. Y cualquiera que sea el resultado, la admitida utilidad de los números complejos, bien sea que se los conciba como afijos de los puntos de un plano o como parejas de números, no ocasionará ninguna alteración sustancial, tanto en la matemática pura como en la aplicada.

IX
HACIA LA ESTRUCTURA MATEMÁTICA

 [1801-1910] 

TRES nuevas maneras de abordar el concepto del número, en 1801 y en 1830-1840, habían de indicar la concepción general de la estructura matemática, y revelar horizontes insospechados en el total de las matemáticas. La de 1801 fue el concepto de congruencia, que introdujo Gauss en lo que muchos consideran su obra maestra, las Disquisitiones arithmeticae, publicadas cuando su autor tenía 24 años. A éstas, y a la obra revolucionaria (1830-1832) de Galois (francés, 1811-1832) sobre la teoría de las ecuaciones algebraicas, se puede considerar que se debe la ejecución parcial en 1880-1890 del programa revolucionario de Kronecker (alemán, 1823-1891) para basar todas las matemáticas en los números naturales.

Las mismas fuentes constituyen uno de los orígenes de los modernos desarrollos abstractos de las teorías algebraicas y geométricas, en que se investiga la estructura de los sistemas[1] matemáticos, y se busca obtener con un mínimo de cálculos las interrelaciones entre los objetos matemáticos en cuestión. Por el momento podemos entender “estructura” según sus significados intuitivos; en 1910 la definieron con precisión los lógicos matemáticos. Se puede comparar con la morfología y la anatomía comparada. Abordaremos la estructura matemática mediante la unión que se realizó en el siglo XIX entre el álgebra y la aritmética.

LA ABSTRACCIÓN Y LA ÉPOCA RECIENTE

Desde el punto de vista de las matemáticas como un todo, la metodología de la generalización y de la abstracción deliberadas, que culminó en el siglo XX en unas matemáticas de la estructura que se desarrollaron con rapidez, es sin duda alguna la aportación más significativa de todas las tentativas sucesivas para ampliar el concepto del número. Pero en cada fase de la progresión de los números naturales 1, 2, 3,… hacia otros tipos de números se enriquecieron y se ensancharon todos los diferentes campos de las matemáticas contiguos a la aritmética.

Las nuevas adquisiciones que se hicieron en otros campos reaccionaron recíprocamente sobre la aritmética. Por ejemplo, la primera teoría satisfactoria de los números complejos ordinarios que alcanzó gran discusión fue la de Gauss (1831) ideada para proporcionar una solución concisa a un problema especial del análisis diofántico: ¿qué condiciones habrán de satisfacer p y q, si son números primos para que por lo menos una de las ecuaciones x⁴ = qy + p, z⁴ = pw + q tengan solución respecto a los enteros x, y, z y w? La teoría de los números complejos necesitaba una revisión radical y una generalización del concepto de divisibilidad aritmética, que a su vez requería un nuevo enunciado en ciertas partes (intersecciones de variedades) de la geometría algebraica. Esta última a su vez fue responsable en parte de otras generalizaciones (sistemas modulares) de la aritmética algebraica, o álgebra aritmética, del siglo XX.

Lo mismo se puede observar en la creación de las numerosas álgebras vectoriales inventadas en la década 1840-1850, y después, para su aplicación a las ciencias físicas. La primera de ellas se desarrolló directamente a partir de la interpretación vectorial de los números complejos ordinarios. La ampliación en 1840-1850 del álgebra vectorial plana a un espacio de más de dos dimensiones fue uno de los orígenes de los sistemas de números hipercomplejos del álgebra, y éstos a su vez proporcionaron a la aritmética otros tipos de enteros. El desarrollo de la aritmética correspondiente influyó por su lado y particularmente en el siglo XX sobre el álgebra de que procedía. Sería incorrecto decir que a algún capítulo de las matemáticas, por sí solo, se debe el firme progreso que se realizó a partir de 1800, de lo especial y detallado hacia lo abstracto y general. El movimiento hacia adelante era universal y cada adelanto importante en una sección inducía al progreso en otras.

Al seguir este desarrollo hay que guardarse especialmente de un malentendido entre todos los que se podrían producir. Los que no son matemáticos de profesión se inclinan a veces a confundir la generalidad con la variedad, y la abstracción con la vacuidad. En las generalizaciones y abstracciones matemáticas de que nos hemos de ocupar aquí, lo opuesto es lo cierto. Cada uno, en su especialización adecuada y concreta, proporciona casos determinados a partir de los cuales se desarrolló. Por ejemplo, la teoría de los números hipercomplejos contiene como simple detalle la de los números complejos ordinarios; y una vez elaborada la teoría general de los sistemas de números hipercomplejos, se sigue automáticamente la teoría especial de los números complejos ordinarios. Además, cada generalización proporciona todavía todo un universo de hechos matemáticos distintos de aquellos casos especiales en los que se originó la generalización.

En el capítulo I indicamos que la división de toda la historia de la matemática en una época antigua, hasta 1637, una época media, 1638-1801, y otra reciente, 1801 hasta la fecha, distingue tres fases bien señaladas en el desarrollo de las matemáticas. Siguiendo el rápido crecimiento de la aritmética y el álgebra, veremos que en el paso de la época media a la reciente hubo un profundo cambio en la calidad del pensamiento matemático y de sus objetivos. Donde resulta más fácil observar este cambio es, quizás, en la evolución del concepto número, que es el punto de mayor interés de que nos hemos de ocupar en este capítulo y en el siguiente. Podríamos haber elegido la geometría en vez de la aritmética para ilustrar el mismo campo. Pero como el álgebra transformada y la aritmética desempeñaron un papel muy importante en la ampliación de la geometría, parece más natural examinarlas primero. Sin embargo, hay que tener en cuenta que mientras la aritmética y el álgebra sufrían una transformación que les daba una forma que no hubieran podido reconocer como matemáticas, los matemáticos del siglo XVIII, la geometría y el análisis estaban sufriendo transformaciones correlativas.

PERSPECTIVAS

La manera abstracta de abordar el álgebra de la década 1830-1840 es paralela al progreso importantísimo que se hizo en geometría de manera simultánea con la publicación en 1829 de la geometría no euclidiana de Lobachewsky (ruso, 1793-1856). El origen de esto está en 1800, e incluso antes con la obra preparatoria de Gauss y de otros. Como esto en realidad corresponde a la geometría, lo estudiaremos a propósito de ella. El detalle de interés por el momento es que geómetras y algebristas se dieron cuenta casi simultáneamente de que los sistemas matemáticos no han sido impuestos de manera sobrenatural a los seres humanos, sino que son creaciones libres de la imaginación de los matemáticos. La nueva geometría de Lobachewsky fue el primer sistema matemático al que se le reconoció esa libre creación. Ésta constituía la primera prueba de la independencia completa de un postulado particular (el postulado de las paralelas de Euclides) en un sistema del que la tradición y el sentido común estaban de acuerdo en que había de contener ese postulado. La importancia de ese paso radical en la metodología no se apreció sino muy lentamente; parece que la geometría del moderno punto de vista abstracto de las matemáticas se debe al avance casi simultáneo de la aritmética y del álgebra en una dirección paralela.

El que en 1830 la escuela inglesa reconociera explícitamente al álgebra corriente como sistema matemático puramente formal condujo en breve a una revolución de la aritmética y del álgebra de importancia comparable con la que precipitó la geometría no euclidiana.

Al rechazar Hamilton en 1843 la “ley” conmutativa (postulado) de la multiplicación en su invento de los cuaternios, abrió las puertas a una invasión de álgebras, en las que o bien se modificaban, o se descartaba desde luego como demasiado restrictiva una u otra de las que se suponían inmutables “leyes” de la aritmética racional y del álgebra común. En 1850 estaba perfectamente claro para la mayoría de los matemáticos creadores que ninguno de los postulados del álgebra común, de los que hasta 1843 se habían considerado indispensables para la consistencia del razonamiento simbólico, era más necesario para un álgebra sin contradicciones que el postulado de las paralelas de Euclides para una geometría elemental consecuente. Para asombro de algunos se vio que las álgebras modificadas, como la de los cuaternios de Hamilton, eran adaptables a la mecánica, la geometría y la física matemática. Se había dejado a un lado la mano muerta de la tradición autorizada; las matemáticas eran libres. Como Cantor (alemán, 1845-1918), uno de los más intrépidos ampliadores del concepto número, había de decir unos tres cuartos de siglo después, “la esencia de las matemáticas es su libertad”. Ningún matemático, ni siquiera Gauss, podría haber concebido esa idea en 1801. Los hechos consumados de las revoluciones de la geometría y del álgebra entre 1830 y 1850 hicieron concebible la libertad.

DEL SUPERNATURALISMO AL NATURALISMO

El cambio que sobrevino durante el siglo XIX, de lo que se puede llamar supernaturalismo platónico al moderno naturalismo, en las matemáticas, se refleja en tres aforismos, el primero de los cuales quizás expresará la veneración griega por la geometría sintética; el segundo, la adoración que se sentía a principios del siglo XIX por la aritmética y el análisis, y el tercero, la admisión final de que las matemáticas están hechas por los hombres. El segundo y el tercero, siguiendo el ejemplo del primero, estaban redactados en griego clásico.

Jacobi (alemán, 1804-1851), gran aritmético y analista, declaró que “Dios siempre aritmetiza”; en cambio Dedekind (alemán, 1831-1916), aritmético ante todo, escribió como lema de su famoso ensayo sobre la naturaleza de los números (Was sind und sollen die Zahlen?, 1888), “el hombre siempre aritmetiza”.

Hoy día resultaría menos objetable que la última la siguiente proposición: “el hombre intentó aritmetizar durante la segunda mitad del siglo XIX, y ello le trajo algunos disgustos a principios del siglo XX”. Aunque esto es menos elegante que lo anterior, está más de acuerdo con la verdad histórica. Con todo, el fracaso del hombre para completar el programa pitagórico de aritmetizar las matemáticas y el universo ha sido y es estímulo potente para la creación continua de nuevas e interesantes o útiles matemáticas.

Durante el siglo XIX las ciencias físicas se dedicaron a descifrar el universo disolviéndolo en grandes generalizaciones que partían de datos inadecuados. Tan poderosos eran algunos de esos disolventes, que se disolvieron a sí mismos. Una vez que las ciencias físicas hubieron aprendido con su desconcertante experiencia que no se puede descifrar el universo entre el desayuno y la comida, adoptaron un punto de vista más modesto sobre sus funciones, y a principios del siglo XX, después de una instrospección crítica, se contentaron con descripciones consecuentes e inteligibles para los seres humanos cultos. Los deseos de descifrar el mundo pasaron de moda temporalmente con la primera Guerra Mundial.

Mientras tanto, las matemáticas estaban experimentando dificultades análogas en su lucha abortiva para incluir su vasto imperio en una sola generalización de Pitágoras. Por ahora es imposible predecir los resultados, si bien se pueden hacer razonablemente dos suposiciones.

El proyecto pitagórico de derivar todas las matemáticas del número continuará durante muchos años sugiriendo nuevas ampliaciones de la matemática, y seguirá siendo esencialmente como lo imaginaron los pitagóricos en sus momentos menos místicos. Si, por ejemplo, nuestros sucesores han de describir la forma de otro modo que en términos numéricos, en la actualidad no tenemos ningún indicio de cómo pueda ser eso, a menos que no sea la lógica simbólica o el análisis de la posición que se encuentran en un proceso parcial de aritmetización.

También podemos suponer que las matemáticas, como las ciencias físicas, adoptarán un punto de vista de sí mismas menos orgulloso como resultado de su autoanálisis químico. En las matemáticas del futuro habrá menos misticismo del que ha habido en el pasado, y menos gente pretenderá la inmortalidad y la verdad eterna. Las matemáticas serán menos conscientes de sí mismas, menos instrospectivamente críticas, y más atrevidamente creadoras. Rendirán su alma a los metafísicos, sin sentir absolutamente nada cualesquiera que sean las torturas que éstos les inflijan, pues continuarán sirviendo con su cuerpo vivo los fines de los hombres que las crearon para hacer frente a las necesidades humanas, en vez de ser campo de juego de filosofías estériles. Los mismos instrumentos de tortura, la lógica simbólica por ejemplo, imaginarán las matemáticas mismas como subproductos de inventos más inmediatamente útiles.

Estas últimas son las que tienen más vital importancia en una civilización científica; los subproductos a veces llevan consigo el frío olor de un escolasticismo mohoso. El espíritu de la Edad Media, que los sucesores de Galileo y Newton imaginaron haber matado para siempre en la ciencia, se debate de nuevo en el siglo XX, en las disputas relativas a la naturaleza y al significado del número.

Ignorándolas por el momento, continuaremos con la más provechosa aritmética de 1801 que un siglo más tarde había de derretirse en metafísica. Pero la historia nos obligará a volver a esas disputas. En lo que sigue, nuestra actitud será la del despreciado “hombre sensual medio” de Molière, que no busca en la ciencia sino hacer que la vida sea menos bárbara para él y para sus compañeros, y que se contenta dejando lo que los humanistas profesionales llaman “cosas verdaderamente importantes” a Dios y a los filósofos.

LA CONGRUENCIA DESDE 1801 A 1887

Congruencia, como análisis, formal, imaginario, funcional, analítico, normal, conjugado, módulo, integral, y una docena más, es uno de esos términos técnicos de las matemáticas que parecen haber sido inventados para confundir al no iniciado con una multitud de significados que no tienen ninguna relación unos con otros. Las congruencias de la geometría superior, como, por ejemplo, las congruencias de líneas de círculo o circunferencias, no tienen ninguna relación con las congruencias de la geometría elemental, como, por ejemplo, la de los triángulos congruentes; y las congruencias de la aritmética, de las que nos interesamos en este momento, no tienen nada de común con ninguna otra congruencia, ni los elementos ideales de la geometría proyectiva tienen ninguna relación de importancia con los ideales que figuran en la aritmética y en el álgebra.

Según la definición que dio Gauss en 1801 dos números enteros racionales a, b son congruentes respecto del módulo entero racional m, si, y sólo si, a y b dejan el mismo residuo al dividirlos entre m, y lo expresó escribiendo a ≡ b mod. m. Dicho de otro modo, si a ≡ b mod m, entonces a − b (o b − a) es múltiplo de m, y recíprocamente; y x ≡ 0 mod m indica que x es divisible exactamente entre m.

Este invento sencillo pero profundo es una de las mejores ilustraciones de la observación de Laplace de que una notación bien ideada es a veces la mitad de la batalla de las matemáticas. Al escribir “x es divisible entre m” de la forma x ≡ 0 mod m, se le ocurrieron inmediatamente a Gauss analogías muy fructíferas entre las ecuaciones algebraicas y la divisibilidad aritmética. Esto último es uno de los conceptos más importantes y más difíciles de aprehender de toda la aritmética. Con todo, para nuestros fines inmediatos no es este aspecto técnico de la congruencia el que tiene una importancia más primordial, sino otro de significado más profundo que no percibieron más que los sucesores de Gauss. Si Gauss se dio cuenta de ello, parece que no ha dejado ningún indicio de que así fuera.

Para presentar este punto, que es de primerísima importancia para comprender el pensamiento matemático moderno, hemos de regresar durante un momento a una hipotética prehistoria muy anterior a Pitágoras, e incluso a Sargón. A juzgar por el comportamiento de nuestros contemporáneos primitivos, la abstracción no es en modo alguno “natural” para el descuidado salvaje de Rousseau. En un principio, los números eran nombres tan concretos como padre y madre, quizás uno de los primeros ejemplos de “uno” y “dos”.

No sobrevive ningún indicio del paso real de lo concreto a lo abstracto, en que se percibió que “dos” es aplicable a una pareja de padres, un palo y una piedra, u otra cualquiera de sus innumerables manifestaciones; podemos imaginarnos el desconsuelo de los seres humanos cuando por primera vez quedaran abrumados por la desconcertante revelación de que los números naturales no tienen fin. En el simbolismo del misticismo de los números, sin significado alguno para nosotros, sobreviven indicios de las tentativas para hacer frente a ese primer diluvio de conocimientos. Considerándolo con simpatía, toda esa bobería prehistórica fue el resultado de los primeros esfuerzos ciegos del hombre para regimentar la libertad generativa “n a n + 1”, de los números en la serie de la sucesión indefinida 1, 2, 3,… n, n + 1,… Si esta generación interminable de números tuviera alguna restricción finita, serían menos aterradores.

El que primero se diera cuenta de que la división “pares” “impares” basta para incluir a todos los números naturales debió experimentar una sensación de fuerza casi sobrenatural. Después de todo, la interminable sucesión no era más misteriosa que la misma humanidad que podía ser clasificada en “macho” y “hembra”. Por consiguiente, esa separación matemáticamente tan útil de los números naturales en dos clases se hizo más completamente satisfactoria para la mentalidad primitiva al llamar “machos” a los números pares y “hembras” a los impares. En lo sucesivo la aritmética y la numerología florecieron conjuntamente en una fructífera y feliz simbiosis. Pero por muy poco significativos que en la actualidad nos parezcan los frutos numerológicos de aquella unión primitiva, surgieron al tratar de comprender una totalidad infinita en términos finitos, y por lo tanto para poner lo infinito al alcance de una sintaxis finita.

La congruencia de Gauss ha demostrado ser la clasificación más fructífera de los números enteros racionales 0, ± 1, ± 2, ± 3,… en número finito de clases, como se puede apreciar sin más que inspeccionar un texto elemental cualquiera de teoría de números. Lo que Gauss no pudo prever fue que su invento de ordenar un grupo finito o infinito de individuos dentro de otro, clasificando los individuos del primero respecto de una relación que tenga las propiedades abstractas de reflexividad, simetría y transitividad, compartidas por su relación de congruencia, había de ser el principio que orientara la estructuración de las teorías algebraicas. Con la evolución gradual de esta idea y de otras semejantes, las matemáticas fueron más allá del sueño pitagórico, y como en las teorías de grupos, campos, series de puntos, lógica simbólica, etc., escaparon de los números naturales a un dominio en que el número no es pertinente, y se investiga la estructura de las relaciones.

Los conceptos arriba mencionados son fundamentales para la matemática moderna y por ello recordaremos sus definiciones. Se dice que una relación que se indica por ~ es binaria respecto de los miembros a, b, c,… de una clase dada de cosas (que no necesita ser “números” de ninguna clase) si a ~ b es cierto o falso para cualquier a, b de la clase. Si a ~ a para todas las a de la clase, ~ es reflexivo; si a ~ b presuponen b ~ a, ~ es simétrico; y finalmente, si a ~ b y b ~ c implican que a ~ c, ~ es transitivo. Una relación como ~ recibe el nombre de “relación de equivalencia” de la clase dada. La igualdad, =, es un sencillo ejemplo de ~. Si m, a, b, c,… son enteros racionales y m ≠ 0, y si a ~ b se interpreta como a ≡ b mod m, es fácil comprobar que esta congruencia de Gauss es una relación de equivalencia. Además, la congruencia se conserva con la adición y la multiplicación: si x ≡ a mod m, y ≡ b mod m, entonces x + y ≡ a + b mod m, y xy ≡ ab mod m.

Toda relación de equivalencia separa su clase, finita o infinita, en subclases y todos los miembros y sólo ellos de la clase total que sean equivalentes a un miembro particular (y por lo tanto por transitibilidad, entre sí) quedan incluidos en una subclase particular. Se puede tomar a un miembro cualquiera de una subclase como representante de toda ella. La congruencia respecto del módulo m, entero positivo, separa a todos los enteros racionales precisamente en m clases, cuyos representantes se pueden tomar como 0, 1, 2,…, m − 1. La congruencia es un ejemplo típico, e históricamente el primero, de la moderna metodología de ordenar una totalidad infinita en un grupo finito amplio. La teoría de la congruencia aritmética tal como la desarrollaron Gauss y sus sucesores pertenece a la aritmética superior, y allí nos ocuparemos de ella. Por el momento, el interés que tenemos en la congruencia está dirigido en otro sentido de significado más profundo para el pensamiento matemático en conjunto que las aplicaciones técnicas a la aritmética.

En el capítulo anterior indicamos las observaciones de Cauchy (1847) a propósito del símbolo i (≡ √−1). La ampliación inmediata de la congruencia de Gauss a las congruencias entre polinomios de una variable (más adecuadamente, “indeterminados”) x proporcionó a Cauchy el escape a la “realidad” ilusoria que tan ardientemente deseaba. Si

son polinomios con m ≧ n y A₀B₀ ≠ 0, hay exactamente un polinomio R de grado ≦ n − 1, y exactamente un polinomio Q tal que B₀m−n+¹F = QM + R. Cauchy escribió el caso particular de lo anterior en que B₀ = 1 como congruencia, F ≡ R mod M, e imitó la teoría de Gauss en su sencilla exposición de la teoría de esas congruencias aplicadas a los polinomios.

Para el módulo particular x² + 1 (= M), Cauchy encontró que sus “residuos” R tenían todas las propiedades formales de los números complejos en que “x” ocupa el lugar de “i”. De este modo pudo construir un álgebra totalmente “real” abstractamente idéntica (con la misma estructura que) a la de los números complejos. Un momento de reflexión nos mostrará por qué tuvo éxito su ingenioso artificio, el cual era una alternativa de las parejas de números de Hamilton.

Por otro lado, resulta sorprendente que Cauchy, habiendo llegado tan adelante, no continuara hasta la expulsión de los números negativos de su paraíso de los números “existentes”, “reales”, ya que con seguridad, para la mentalidad pitagórica, son tan “irreales” y tan “inexistentes”, como i. Naturalmente, el Cauchy que en 1821 había dado las primeras definiciones satisfactorias de límite y de continuidad que contenía el cálculo, no percibió en 1847 nada que necesitara ser reformado en el continuo de los números reales con su infinidad no numerable de números irracionales. Un pitagórico meticuloso hubiera expulsado los números reales irracionales junto con i.

Cauchy amplió su invento a lo que llamaba claves algebraicas; pero como éstas eran casos muy particulares[2] de algunas de las álgebras[3] ya implícitas en la obra (1844) de Grassmann (alemán, 1809-1877), no dieron en el objetivo. El prolífico Cauchy procedió a nuevas creaciones que resultaran mas cómodas para su pasión por el análisis. Durante 40 años nadie se dio cuenta de su ingeniosa sugerencia hasta que en 1887 volvió a aparecer muy ampliada en el programa aritmético de Kronecker.[4]

Ya estaba aquí por fin el moderno Pitágoras. Entonces, se dice que Gauss atribuyó una “realidad externa” al “espacio” y “tiempo” reservando para el número la pureza ideal de una “creación de la mente”. Kronecker negó esta concepción, insistiendo en que la geometría y la mecánica se pueden expresar por completo mediante relaciones entre números, entendiendo por números los enteros positivos 1, 2, 3,… De modo que para él las continuidades “espacio” y “tiempo” disueltos en los conceptos de la cinemática no tenían otro significado que el de las inevitables discontinuidades de esos números naturales que Dios ha dado. La continuidad no tenía significado alguno; todo era discreto.

Para mostrar cómo se podría llevar a cabo su programa subversivo, Kronecker desterró a los números negativos por medio de congruencias de módulo j + 1, precisamente del mismo modo que Cauchy había descartado a los imaginarios a + bi con su módulo i² + 1. Puesto que para Kronecker no existían más que los números naturales, exorcizó las fracciones racionales con una magia semejante, introduciendo (en efecto) un nuevo símbolo o “indeterminado” para cada fracción objetable. Por ejemplo, para eliminar 3/4 bastaba utilizar congruencias con el módulo compuesto 4k + 3j. Un irracional como + √−2 se podía eliminar valiéndose de un nuevo indeterminado t, y de un módulo adicional t² + 2. La aritmética, el álgebra y el análisis empezaban a complicarse demasiado. Pero eso no tenía importancia.

En la obra citada, y en una extensa memoria anterior (1882), Kronecker describía en detalle cómo se podría realizar en la matemática moderna el programa de Pitágoras. Lo de menos es si valía la pena llevar a cabo ese proyecto. Lo que interesaba en primer lugar a Kronecker era mostrar que la división pitagórica se podía materializar. Con tal de demostrarlos por una vez, se podría permitir a los despreocupados mortales el uso de los números negativos y de los irracionales de la manera habitual y con las notaciones usuales, bien entendido, sin embargo, que admitía que sus matemáticas prácticas no eran sino una especie de cómoda taquigrafía de la única matemática verdadera, la de los sistemas modulares de Kronecker.

Asimismo, sería interesante saber lo que hubiera pensado Gauss de estos devastadores resultados de su simple artificio de escribir “n es divisible por m” en la forma n = 0 mod m. Los matemáticos eminentes le han dado todos los calificativos desde anarquía y prestidigitación. Sin embargo, Kronecker se hubiera cobrado a expensas de los analistas del siglo XIX, si hubiera vivido para participar en los debates del siglo XX sobre la consistencia del análisis clásico, ya que pocos en la década 1940-1950 hubieran escrito con el conservadurismo resuelto que empleó en 1921 Hobson (inglés, 1856-1933):

El ideal de Kronecker […] De que todo teorema del análisis sea enunciado como una relación entre números enteros positivos únicamente […] si fuera posible alcanzarlo, equivaldría a invertir el curso histórico que en realidad ha seguido la ciencia; pues todos los verdaderos progresos han dependido de las generalizaciones sucesivas del concepto de número, aunque ahora se considere que en definitiva esas generalizaciones dependen de todo el número al que tienen por fundamento. El abandono de las inestimables ventajas que tiene en análisis el uso formal de las ampliaciones del concepto del número, no puede ser calificado de otra forma que diciendo que es una especie de nihilismo matemático.

Aparte de su pitagorismo, los esfuerzos de Kronecker dejaron un residuo útil: su teoría de los sistemas modulares, que constituyen una segunda manera de abordar los números algebraicos, aunque sea la de Dedekind la que se suele seguir.

Uno de los subproductos elementales del álgebra de Kronecker (1882) suministró una teoría vigorosa de la eliminación para sistemas de polinomios de un número cualquiera de variables, que dejaron anticuadas muchas tentativas poco satisfactorias, particularmente las de los geómetras algebraicos, de dar demostraciones sólidas del formalismo aparentemente sencillo de los métodos de Sylvester (inglés, 1814-1897) en 1840 y Bézout (francés, 1730-1773) en 1774. Este último lo inventó también independientemente de Euler (suizo, 1707-1783). La discusión que se hace en los libros de texto hoy día tiene todavía el espíritu de 1764, aunque hay honrosas excepciones.

La misma suerte cínica esperaba a la reducción de Kronecker de las matemáticas a los números naturales, que parece más pronto o más tarde anular todas las tentativas humanas de descifrar el universo de un plumazo. No parece que se le hubiera ocurrido que quizás algún día se juzgara a los números naturales tal como él había juzgado a los otros y se les encontrara faltos de significado. Hasta un salvaje podía haber sugerido esa posibilidad, pero había de corresponderle a los lógicos matemáticos de principios del siglo XX demostrar la posibilidad hasta el fondo.

UN PERIODO DE TRANSICIÓN

De manera breve indicaremos la participación involuntaria de Galois (francés, 1811-1832) y de Abel (noruego, 1802-1829) en el desarrollo del pitagorismo de Kronecker. Ni Galois ni Abel se adhirieron a ese credo. Pero Kronecker adquirió algo de su pericia al intentar comprender y aclarar la teoría de ecuaciones de Galois, dejada en 1832 por su joven autor en un estado fragmentario inabordable. Tanto Kronecker como Dedekind, dos de los fundadores (el tercero fue Kummer, alemán, 1810-1893) de la teoría de los números algebraicos, se inspiraron en parte en el examen que hicieron de la teoría de Galois, para iniciar su obra revolucionaria en el álgebra y en la aritmética. También inició Kronecker algunas de sus investigaciones sobre la aritmetización del álgebra con un estudio profundo de las ecuaciones abelianas.

Galois y Abel señalan el comienzo de la manera moderna de abordar el álgebra. La transición de los teoremas especiales muy bien acabados a las teorías abstractas y amplias queda plenamente evidente al comparar el álgebra de Gauss con la de Abel y Galois. Lo mismo se percibe en otros campos, como veremos más adelante. Esta transición tuvo lugar hacia 1830, simultáneamente a la manera abstracta de abordar el álgebra que tenía la escuela inglesa.

Ahora, es curioso que hoy día parezca Galois más moderno que Gauss, quien, si bien nació 34 años antes, murió 23 años después. Un solo ejemplo bastará para aclarar la radical distinción que existió entre ambas mentalidades.

El motivo de que Gauss dedicara toda su vida a las matemáticas fue el espectacular descubrimiento que hizo a los 19 años de edad sobre la construcción de los polígonos regulares sin más medios que la regla y el compás. Gauss demostró que esa construcción es posible si, y sólo si, el polígono tiene n lados, en que n es un entero de la forma 2sp₁p₂ … pr, s ≧ 0, en que p₁p₂,…, pr son r números primos diferentes cada uno de ellos de la forma de una potencia de 2 más 1. La forma algebraica equivalente a este problema relativo a las ecuaciones binómicas está en parte desarrollada en la séptima y última secciones de las Disquisitiones arithmeticae. Esta obra particular señala el final de una época en cuanto a punto de vista matemático.

Gauss terminó sus investigaciones sobre la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones algebraicas con la ecuación binómica xn − 1 = 0. Galois comprendió y resolvió en 1830 el problema general, demostrando entre otras cosas las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación algebraica cualquiera se pueda resolver por medio de radicales. Las matemáticas, después de Gauss, y también algo durante su propia vida, se hicieron más generales y más abstractas de lo que él las concebía. El interés en problemas particulares disminuía mucho si había un problema general que incluyera los ejemplos especiales que había que abordar. O lo que equivale a lo mismo, las matemáticas, después de Gauss, se dedicaron a construir teorías amplias y métodos generales que, al menos teóricamente, llevaban en sí las soluciones detalladas de una infinidad de problemas especiales. En este sentido, Galois era más moderno que Gauss. De la misma manera, Gauss era menos moderno que Abel, un cuarto de siglo más joven que él, pero al que sobrevivió por 36 años.

En el caso de Abel, las razones son semejantes a las de Galois. Las ecuaciones abelianas, con las que Kronecker inició su obra más personal, llevaban el nombre de Abel; fue una generalización de las ecuaciones que discutió Gauss en su problema de los polígonos regulares. Si se le ocurrió alguna vez a Gauss que hubiera una generalización, no dejó ningún indicio de que intentara enfocar el problema más amplio. Al enfrentarse con las ecuaciones binómicas, Abel penetró inmediatamente por detrás del caso especial hasta la generalidad abstracta, y elaboró la teoría general. Un contraste análogo existe entre la manera que tuvieron los dos hombres de abordar las funciones elípticas.

En los aspectos que indican estas operaciones, Gauss estaba más cerca del siglo XVIII que del siglo XX. A su lema ateniense “poco pero maduro” se debió sin duda la perfección clásica de las obras maestras que publicó. Pero su misma perfección, que recordaba la más rígida de los griegos, repelía a los matemáticos más jóvenes y menos pacientes para los cuales el tiempo era la esencia del contrato que habían firmado con el término, y buscaron caminos más llanos para rodear los obstáculos que se presentaban en su camino. Aunque hablaban del maestro con respeto, y buscaban sin éxito su aprobación, pocas veces siguieron sus huellas.

LA LIBERACIÓN DEL ÁLGEBRA

El álgebra alcanzó por primera vez la libertad en las décadas 1830-1840 y 1840-1850, con los sistemas de números hipercomplejos de Hamilton y de Grassmann.

Estos dos liberadores del álgebra se encuentran entre los mayores profetas matemáticos del siglo XIX. Ambos tenían otros muchos dones además del de la matemática. Hamilton a los 13 años conocía muy bien los clásicos y las lenguas orientales tanto como las europeas; Grassmann era un erudito en sánscrito. A los 27 años Hamilton era famoso por su predicción matemática de la refracción cónica, deducida de su amplia teoría de los sistemas de rayos, en óptica; a los 30 años había completado prácticamente su obra fundamental de dinámica que representaba un avance sobre Lagrange comparable al de éste sobre Euler. En 1843, a los 38 años, sobrepasó las dificultades que le habían impedido extender el álgebra de los vectores coplanares a una teoría de vectores y de rotaciones en un espacio de tres dimensiones. También, descubrió que la ley conmutativa de la multiplicación no es imprescindible para un álgebra consistente. En adelante la vida científica de Hamilton quedó dedicada a la elaboración de su teoría de los cuaternios con la errónea esperanza de que esa nueva álgebra demostraría ser la más útil aportación a las matemáticas que hubiera tenido lugar después del cálculo diferencial e integral.

Sobre Hamilton se acumularon los honores; a Grassmann, menos afortunado, no se le concedieron. Ninguno de los dos tuvo una vida particularmente feliz. A Hamilton lo afligieron dificultades domésticas y debilidades personales; Grassmann se mantuvo a sí mismo, a su mujer y a nueve hijos practicando la enseñanza elemental, profesión para la cual estaba muy mal dotado. Hombre muy piadoso, Grassmann confiaba en que si sus contemporáneos no recompensaban sus señalados méritos, el Señor lo haría. Nunca se quejó de los tormentos que sufría en manos de los jóvenes salvajes a los que tan mal pagado había de civilizar. Lo que le daba la vida eran sus aficiones, los clásicos del sánscrito, la filosofía, la geometría, la armonía, la filología, la física, la teología, la política, que constituían entre otras esa extraordinaria miscelánea. Pero con la posible excepción de la teología, lo que más satisfacción le produjo a Grassmann fue su creación de “una nueva rama de las matemáticas”[5] en 1840-1844; en ello pudo usar libremente su imaginación inventiva y su perversa originalidad. Su teoría de la extensión (Ausdehnungslehre), en la que los cuaternios de Hamilton son un detalle en potencia, se publicó por primera vez en 1844, cosa de un año después de que Hamilton hubiera encontrado la clave de su problema de las rotaciones, en las ecuaciones i² = j² = k² = ijk = − 1 que definen las unidades i, j y k de los cuaternios.

A menudo se ha dicho que a un matemático no le conviene ser filósofo. Sea o no esto un teorema general, con seguridad fue cierto en el caso del desdichado Grassmann, que al dotar a su teoría con toda la generalización que podía soportar, la asfixió con abstracciones filosóficas. Ésta fue una de las grandes tragedias de las matemáticas. Gauss examinó la Ausdehnungslehre, y la bendijo con su calificada aprobación. Seguía la misma dirección, dijo, que ya había tomado él mismo casi medio siglo antes. Pero era demasiado filosófica con su “peculiar terminología”, incluso para Gauss, que era bastante aficionado a la filosofía.

Entretanto Gauss había puesto de manifiesto su descubrimiento independiente de los cuaternios de Hamilton. En un breve resumen analítico que nunca publicó,[6] que se cree del año 1819, Gauss escribió las ecuaciones fundamentales de lo que llamó mutaciones en el espacio, que en esencia son los cuaternios.

Grassmann continuó esforzándose en que se reconociera su teoría incomparablemente más general. En 1862, 18 años después de que su libro viera la luz, publicó una versión revisada por completo, muy ampliada y algo menos incomprensible.[5] Pero un matemático al que hayan llamado en serio filósofo, aunque no sea más que una vez, no tiene muchas probabilidades de que lo escuchen sus compañeros de técnica. La segunda edición, como la primera, se sumió en un olvido temporal. Grassmann abondonó las matemáticas. El alcance de su teoría quizás no se apreció por completo hasta el siglo XX. La obra de Grassmann incluía como detalle implícito el álgebra del cálculo tensorial que sólo fue ampliamente conocida después de su aplicación (1915-1916) a la relatividad general.

La dificultad central que había impedido a Hamilton la creación de un álgebra vectorial en un espacio tridimensional era la ley conmutativa de la multiplicación. No necesitamos repetir aquí el relato tan gráfico que hace él mismo de cómo percibió la manera de rodear el obstáculo en un destello de certeza después de muchos trabajos infructuosos. Pero bien vale la pena que todos los estudiantes mediten sobre ello, en especial los que se creen que las invenciones matemáticas nos caen del cielo.

Antes de que Hamilton lo consiguiera, otros hombres capaces habían fracasado en sus tentativas de encontrar la clave de un álgebra consistente de las rotaciones de los vectores en el espacio. Möbius (alemán, 1790-1868), que en 1823 había sido discípulo[7] de Gauss, dio un paso muy grande hacia el álgebra deseada de las cuatro unidades fundamentales en su cálculo baricéntrico de 1827, obra a la que Gauss alabó diciendo que estaba escrita con un espíritu verdaderamente matemático. Pero Möbius fracasó a causa de la ley conmutativa de la multiplicación, la que no tuvo el valor de rechazar. Sin embargo, su nuevo algoritmo tuvo importancia para el desarrollo de la geometría proyectiva analítica, y en particular para el uso de las ecuaciones homogéneas, y fue descubridor independiente del principio geométrico de la dualidad.[8] Así que sus esfuerzos no se desperdiciaron.

Las cuatro unidades fundamentales l, i, j, y k, de los cuaternios de Hamilton a + bi + cj + dk (a, b, c, d, números reales), hacen para las rotaciones y para las dilataciones en el espacio, lo mismo que l, i hacen para las mismas en el plano. Pero mientras que la multiplicación de los números complejos es conmutativa, la de los cuaternios no lo es. Por muy familiarizados que estén hoy día los matemáticos con multitud de álgebras en que se violan por completo los postulados del álgebra común, aún podrán apreciar la magnitud del éxito de Hamilton cuando penetró más allá de la tradición de siglos. Su perspicacia es comparable con la de los fundadores de la geometría euclidiana o a la de los aritméticos que restituyen la ley fundamental de la aritmética a los enteros algebraicos que al parecer no se sujetaban a ninguna ley.

Estas separaciones radicales de la ortodoxia tradicional son las que hacen avanzar a las matemáticas de un solo paso lo que parecería propio de un siglo o más. Para que sea fructuoso, es necesario cultivar detallada y laboriosamente un territorio recién descubierto; pero esa clase de trabajo lo puede hacer cualquiera que sea competente, mientras que los descubrimientos (o inventos) nuevos sólo son posibles a los hombres que quizá se crean conservadores, pero que en el fondo son rebeldes. Su atrevimiento tal vez les cueste su reputación científica o las comodidades de una vida decorosa, pues el camino de los transgresores, que quizá no sean más que inofensivos innovadores con el valor suficiente para enfrentarse a la chusma de mediocridades respetables, es a veces tan dificultoso en la ciencia como en cualquier otro aspecto de la vida. Grassmann pagó su imprudencia con 18 años de oscuridad y la extinción científica definitiva para todo el resto de su vida. Gauss, que desde mucho antes estaba en posesión de la geometría no euclidiana, prefirió su tranquilidad mental a lo que él llamaba “el clamor de los boecios” y se guardó para sí mismo su tesoro. Hamilton, que ya había conseguido éxito imperecedero en óptica y en dinámica, arriesgó la indiferencia de sus contemporáneos al dedicar todo su soberbio talento a los cuaternios, y en toda su vida no tuvo más que un buen discípulo en álgebra, Tait (escocés, 1831-1901), que renunció a todo en matemáticas para seguir los cuaternios.

En 1853, 10 años después de su descubrimiento inicial, Hamilton publicó sus Lectures on quaternions (64 + 736 + lxxii páginas), en las que demostraba la utilidad de los cuaternios en geometría y en trigonometría esférica. Pero la geometría era euclidiana y de tres dimensiones. El macizo Elements of quaternions (lvii + 762 páginas de letra muy apretada) se publicó en 1866, al año siguiente de la muerte de Hamilton. Si algo hubiera podido convencer a los geómetras y a los físicos de que los cuaternios eran la llave maestra de la geometría, la mecánica y la física matemática que Hamilton anticipaba hubieran sido sus Elements. Hamilton en su elaborada obra (que él consideraba su obra maestra) hizo literalmente cientos de aplicaciones a aquellas materias.

Asimismo, se han aducido muchas razones para explicar el que los cuaternios no llegaran a cumplir las esperanzas de Hamilton. Una explicación suficiente, que incluye a muchas de las otras, es sencillamente que el cálculo de los cuaternios es demasiado difícil para los atareados hombres de ciencia a quienes Hamilton quiso ayudar. Cuesta bastante tiempo dominar las triquiñuelas. Pero la posibilidad de un álgebra adaptada concretamente a la mecánica newtoniana y algunas partes de la física matemática habían quedado algo más que indicadas y era razonablemente seguro que esa álgebra sobrevendría cuando se experimentara una aguda necesidad de la misma. Cualquiera que fuera la forma que el álgebra deseada pudiera asumir, era razonable pensar que seguiría el ejemplo de los cuaternios rechazando la ley conmutativa de la multiplicación.

Por lo tanto, a la larga, el residuo permanente de la gigantesca obra de Hamilton fue la existencia demostrada de un álgebra consecuente en la que no se admite la ley conmutativa de la multiplicación. A su vez, esto, como la invención de la geometría no euclidiana, estimuló a los matemáticos a romper las cadenas de la costumbre en todas partes creando matemáticas nuevas en abierto desafío a las tradiciones veneradas. Un ejemplo notable, que había de demostrar tener una importancia fundamental en el desarrollo del álgebra y del sistema de los números, fue la construcción de álgebras en las que ab = 0, sin que ni a ni b sean cero, o en las que an ≠ 0(n = 0, 1, … m), pero am + 1 = 0. Un ejemplo sencillo de lo primero se presenta en el álgebra de Boole (que pertenece al álgebra de la lógica), en el que el hecho indicado es la expresión simbólica de la ley de la contradicción de Aristóteles. El álgebra asociativa lineal proporciona todas las álgebras que se desee que contengan “divisiones de cero”, como los a y b descritos más arriba, y también cualquier número de álgebras de la segunda especie. El origen de todas esas modificaciones del álgebra común es la obra de Hamilton y Grassmann en la década 1840-1850.

El punto de vista de Grassmann era mucho más amplio que el de Hamilton. Para apreciar hasta qué punto era más amplio hemos de recordar que en 1844, cuando Grassmann publicó su primer Ausdehnungslehre, el “espacio” estaba para todos menos para Cayley (inglés, 1821-1895), todavía aprisionado en las tres dimensiones de Euclides. El esquema de Cayley de una geometría de n dimensiones data de 1843; no pudo haber influido sobre la teoría de Grassmann de la “magnitud ampliada”, que también se puede redactar con el lenguaje de un espacio de n dimensiones. Un espacio “real” o un “agregado” de n dimensiones es la clase de todos los n − ples (x₁, x₂, …, xn) ordenados de n números reales x₁, x₂, … xn, cada uno de los cuales se extiende sobre una determinada clase de números reales. Para nuestros fines es suficiente hacer que cada uno de los x₁, x₂, … xn abarque independientemente todos los números reales. La clase de todos los (x₁, x₂, … xn) recibe también el nombre de agregado n-dimensional de números reales.

En efecto, Grassmann asociaba con (x₁, x₂, … xn) el número hipercomplejo x₁e₁ + x₂e₂ + … + xnen, en que e₁, e₂, … en son las unidades fundamentales del álgebra que él procedió a construir a partir de dichos números hipercomplejos. Así, se define que dos de esos números x₁e₁ + … + xnen y y₁e₁ + … + ynen son iguales si, y sólo si, x₁ = y₁, …, xn = yn.

La adición estaba definida por (x₁e₁ + … + xnen) + (y₁e₁ + … + ynen) = (x₁ + y₁)e₁ + … + (xn + yn)en, de lo cual un ejemplo es la adición vectorial corriente si n = 2 o si n = 3. Las diversas clases especiales de multiplicación que se pueden definir a voluntad le dan al álgebra general su principal interés.

No tiene ningún sentido pedir una definición de multiplicación sin enunciar las propiedades que ha de tener el producto; si, por ejemplo, se ha de conservar la ley asociativa a(bc) = (ab)c, ello equivale a imponer ciertas condiciones a las unidades fundamentales e₁, … en; si han de mantenerse les leyes distributivas a(b + c) = ab + ac, (b + c)a = ba + ca, hay que expresarlo por medio de relaciones entre e₁, …, en; y, análogamente, para la ley conmutativa de la multiplicación, ab = ba. Pensando en parte en términos de imágenes geométricas, Grassmann definió varios tipos de multiplicación. En particular, multiplicando (a₁e₁ + … + anen) (b₁e₁ + … + bnen) y suponiendo que las “ordenadas” a₁, …, an, b₁, …, bn se cambian con las unidades e₁, …, en, de modo que a₁e₁b₁e₂ = a₁b₂e₁e₂, etc., Grassmann llamó e₁e₁, e₁e₂, e₂e₁, …, en−1en, enen−1, del producto distribuido a₁b₁e₁e₁ + a₁b₂e₁e₂ + a₂b₁e₂e₁ +… unidades de segundo orden; y empezó por imponer condiciones a esas nuevas unidades. Por ejemplo, el producto de a₁e₁ + … por b₁e₁ + … se llamaba producto interior si eres = 1, o cero, según que r = s o r ≠ s; y producto exterior si eres = −eser para r, s = 1, …, n. A partir de esas dos clases de productos Grassmann construyó otros para más de dos factores. Por ejemplo, si er/es designan el producto interior de er, es, y [eres] el producto exterior, existen las posibilidades [er|es]et, er|[eset], entre otras para la definición del producto de tres factores. Un tipo de particular importancia es aquel en que cada uno de los n² productos eres es función lineal homogénea de las unidades fundamentales e₁, … en, y se postula que la multiplicación es asociativa. Las álgebras asociativas lineales de Peirce (1800-1880, Estados Unidos) desarrolladas en 1860-1870, pero no publicadas hasta 1881, son de este tipo.[9]

Un tercer tipo de producto, llamado abierto o indeterminado, habría de demostrar una importancia fundamental en la creación (1881-1884) de un análisis vectorial práctico por Gibbs (1839-1903, Estados Unidos). El nombre moderno de ese producto es matriz.[10] Gibbs, uno de los mejores físicos matemáticos del siglo XIX, estaba quizá mejor calificado que Grassman o Hamilton para percibir el tipo de álgebra que más habría de atraer a los estudiosos de las ciencias físicas. Su aportación más original a la matemática en este aspecto fueron las diadas, y la función vectorial lineal.

Estas indicaciones han de bastar para sugerir que ya en 1844, Grassmann estaba en posesión de una extensa teoría capaz de una casi interminable cantidad de desarrollos por especializaciones en diferentes direcciones. Tal como la elaboró su creador, se puede interpretar esta teoría de las “magnitudes ampliadas” como un análisis vectorial muy generalizado para un espacio de n dimensiones. Incidentalmente consiguieron para un número finito cualquiera de dimensiones lo que los cuaternios de Hamilton hicieron para el espacio euclidiano de tres dimensiones. Ya hemos puesto de manifiesto que el álgebra de Grassmann incluye los cuaternios como caso muy especial. Como álgebra general que es, también incluye la teoría de determinantes, las matrices y el álgebra tensorial. En resumen, la teoría de Grassmann de 1844-1862 se adelantó de 10 a 50 años a su época.

El actual interés que tenemos en la obra de Grassmann es la amplia generalización que daba a los números complejos x₁ + ix₂ como parejas de números (x₁, x₂) hasta llegar a los números hipercomplejos (x₁, … xn). Ahora, hemos de relacionar esta ampliación del concepto de número con otra que hizo explícitamente Cayley en 1858, pero que ya estaba implícita en la obra de Grassmann: las matrices. Los elementos de la teoría de matrices se incluyen actualmente en todos los cursos universitarios de álgebra; y desde su aparición en 1925 en la teoría de los quanta, los físicos matemáticos se han familiarizado con las matrices.

La invención de las matrices ilustra una vez más lo poderosa y sugestiva que es una notación bien ideada; también es ejemplo del hecho que algunos matemáticos admiten con disgusto de que un artificio trivial de notación puede ser el germen de una vasta teoría con innumerables aplicaciones. Cayley mismo relató a Tait[11] en 1894 qué fue lo que le condujo a las matrices. “Desde luego que no llegué al concepto de matriz a través de los cuaternios: fue directamente a partir del de los determinantes; o bien como un modo conveniente de expresar las ecuaciones

x′ = ax + by

y′ = cx + dy.”

Simbolizando esta transformación lineal con dos variables independientes por medio de la disposición en cuadro de sus coeficientes o “elementos”, Cayley se vio conducido a su álgebra de matrices de n² elementos, por las propiedades de las transformaciones lineales homogéneas de n variables independientes.

Tras de este invento hay un importante trozo de historia. Cayley había demostrado en 1858 que los cuaternios se pueden representar como matrices en que a, b, c y d son determinados números complejos. Para Tait, el belicoso defensor de los cuaternios desde que en 1854[11] se erigió en discípulo de Hamilton, este descubrimiento de Cayley era prueba evidente de que éste se había inspirado en los cuaternios de su maestro para llegar a las matrices. Puesto que la multiplicación no es en general conmutativa, y puesto que lo mismo es cierto de los cuaternios, se sigue que, etc. Esto ilustra lo poco que se debe confiar en las pruebas circunstanciales, en matemáticas como en todo lo demás. Si no hubiera sido por el testimonio de Cayley, es posible que incluso hoy día los críticos estuvieran afirmando que Hamilton se anticipó a Cayley en la invención de las matrices, o por lo menos que Cayley dedujo el concepto de matriz de los cuaternios.

Las aplicaciones o desarrollos de esas ampliaciones del concepto de número siguieron dos direcciones principales. La primera, en la tradición geométrica de Hamilton y Grassmann, condujo a las extraordinariamente útiles álgebras vectoriales de la mecánica clásica y de la física matemática, y posteriormente al álgebra tensorial y al cálculo de la relatividad con sus modificaciones y generalizaciones en la geometría diferencial moderna, y también a la mecánica de matrices de la teoría de los quanta. La segunda, con el espíritu aritmético de Gauss y guiada en parte por el punto de vista algebraico abstracto de Galois, condujo a una parcial, pero amplia aritmetización del álgebra. El curso de ambas fue intrincado y estuvo bloqueado por innumerables detalles, muchos de los cuales todavía prometen tener importancia duradera. Pero para llegar a ver las tendencias principales hay que prescindir de los desarrollos especiales y estrictamente limitados, por lo menos por ahora, y sólo nos ocuparemos de los caminos más cortos que conducen desde el pasado a las realizaciones que acabamos de indicar.

DE LOS VECTORES A LOS TENSORES

La descendencia del álgebra vectorial está en general bastante clara. La composición de velocidades o de fuerzas en las correspondientes leyes del paralelogramo sugirieron la adición de las “magnitudes dirigidas”. Los diagramas de Wessel o de Argand para describir los números complejos fueron no menos sugestivos visual, geométrica y cinemáticamente. El “álgebra doble” de las parejas de números de Hamilton y de De Morgan, al remplazar la de los números complejos sugirió de manera natural una generalización a los números triples, cuádruples, etc. Como hemos visto, la dificultad central era el obstáculo puramente algebraico de la multiplicación conmutativa. De este modo, por lo menos en las primeras fases, la intuición geométrica y la mecánica participaron por igual con el álgebra formal en la creación de una matemática vectorial práctica.

El famoso Treatise on natural philosophy (1879) de Thomson y Tait ofreció una magnífica oportunidad para poner de manifiesto la fuerza de los cuaternios como instrumento de exposición y de investigación en mecánica. Tait exhortó a Thomson a arrepentirse de sus pecados cartesianos y a abrazar la verdadera fe de los cuaternios, pero Thomson (lord Kelvin, escocés, 1824-1907), declarando que las matemáticas de buena calidad de Hamilton habían terminado con sus obras maestras de óptica y de dinámica, con el corazón endurecido persistió en sus inicuas coordenadas. Se había perdido la gran oportunidad.

Tait tuvo algo más de éxito con Maxwell (escocés, 1831-1879). En su fundamentalísimo Treatise on electricity and magnetism (1873, art. 11), Maxwell hizo una concesión ligeramente condenatoria: “Estoy convencido […] de que la introducción de las ideas, aunque no la de las operaciones y de los métodos de los cuaternios, será de gran utilidad […] especialmente en electrodinámica” y con una sola excepción, Maxwell evitó estudiosamente los cuaternios. La excepción (art. 618) es un resumen en la notación de los cuaternios de las ecuaciones electromagnéticas. No se hace ningún uso de ese resumen. Pero Maxwell sí usó las “ideas”, no las de los cuaternios, sino las que concibió él mismo del análisis vectorial. Su convergencia es el negativo de la divergencia que se usa hoy día, e introdujo (art. 25) lo que ahora se llama “remolino de un vector”. Esas innovaciones han durado.

La derivación más provechosa de la ortodoxia de los cuaternios fue la de Gibbs en su análisis vectorial de 1880. Más adelante nos ocuparemos de él. La siguiente fue la de Heaviside (inglés, 1850-1925) en su profundamente individualista Electromagnetic theory de 1893. En un capítulo de 173 páginas, Heaviside elaboró su propia notación vectorial. Sus métodos se parecían a los de Gibbs; pero Heaviside confesó “que no le gustaba la notación de Gibbs”. En Alemania se produjo la siguiente (1897) variación de importancia de este tema ahora familiar, en la Geometrie der Wirbelfeider de Föppel, una geometría de los remolinos. En 1900 la lucha entre los rivales que aspiraban a favor de la física se había reducido en los países de habla inglesa a Gibbs contra Heaviside. Al parecer, los cuaternios quedaron fuera de la cuestión. Tait, su más celoso defensor, murió en 1901; en los Estados Unidos prevaleció el análisis vectorial de Gibbs o alguna de sus modificaciones.

Gran parte de este tortuoso desarrollo se vio vivificado por una de las controversias matemáticas más acaloradas que registran los tiempos modernos. Al contrario que muchas escaramuzas sobre prioridad, la guerra de cuaternios contra vectores fue alentadoramente científica. El objeto era una diferencia de opinión puramente matemática: ¿eran los cuaternios una buena medicina para las matemáticas aplicadas, o era preferible alguno de los diversos sustitutivos más diluidos? El no iniciado podría creer que un tema tan abstracto como el que se disputaba no provocaría más que secos discursos académicos, y como máximo algún ocasional gruñido de disentimiento. Nada de eso. El lenguaje que emplearon los contendientes incluso llegó a bordear a veces una falta de delicadeza nada victoriana, como cuando Tait,[12] el devoto partidario de Hamilton en 1890, calificó al análisis vectorial de “especie de monstruo hermafrodita compuesto de las notaciones de Hamilton y de Grassmann”. Eso era escocés e irlandés contra americano. Gibbs, que era de Nueva Inglaterra hasta la médula, y solterón empedernido, mimado por su hermana casada, conocía muy mal los recursos inagotables del idioma americano. Tait se salió con la suya en cuanto a su anormal fisiología, pero Gibbs resultó ganancioso en la dicusión matemática.

Los franceses, los alemanes y los italianos, al preconizar sus respectivos sustitutos de los cuaternios, aumentaron el estrépito. En la segunda década del siglo XX había ya una Babel de álgebras vectoriales contradictorias cuyo lenguaje no dominaban más que su inventor y unos cuantos alumnos distinguidos. Si en un momento cualquiera del tumultuoso medio siglo que siguió a 1862, hubieran detenido su disputa los ociosos parlanchines durante media hora para escuchar atentamente lo que Grassmann procuraba decirles filosóficamente, la ruidosa pelea hubiera terminado tan abruptamente como un trueno. Por lo menos ésa parece haber sido la opinión de Gibbs. Retrospectivamente esa guerra de 50 años entre los cuaternios y sus rivales para conseguir el favor de la ciencia parece una interminable sucesión de duelos librados en el vacío con garrotes acolchados.

A poco de empezar, la disputa llegó a tener sólo una trivial importancia matemática. Como Gibbs[10] subrayó en 1886, en la descripción que hizo del desarrollo del álgebra múltiple, la raíz matemática del asunto está contenida en el producto indeterminado de Grassmann, es decir, en la teoría de matrices. Gibbs también destacó la mayor generalidad de las muchas clases de productos posibles en el álgebra múltiple de Grassmann, sobre el único producto en que insistía Hamilton:

Para fundar una ciencia es suficiente dar sólo la ley puramente formal de la propiedad distributiva de la multiplicación. Esa ciencia no será sólo un pasatiempo para una mentalidad ingeniosa. Servirá a un millar de fines diferentes en la formación de álgebras particulares. Quizá encontremos que en los casos más importantes el álgebra particular es poco más que una aplicación o interpretación de la general.

Los que estén interesados en el progreso continuado que ha experimentado el álgebra aplicada pueden estudiar en cualquier momento con provecho el conjunto del examen crítico y profundo que hizo Gibbs en 1886 del álgebra múltiple en relación con sus aplicaciones. El análisis vectorial, incluso el infinitamente más amplio Ausdehnungslehren de Grassmann, no es, después de todo, más que secciones, aunque muy cultivadas, del álgebra, que a su vez no son sino un capítulo de la matemática moderna. Los que se interesen en el progreso de las matemáticas más que en la perpetuación de los individuos como dictadores de alguna de sus secciones no se desalentarán cuando alguna teoría particular a la que sean personalmente afectos sea suplantada por otra. El que las cosas caigan en desuso es una consecuencia necesaria del progreso, y los esfuerzos como el de Tait para conservar los cuaternios sin tacha y perpetuamente jóvenes tienen grandes probabilidades de ser tan fútiles como una tentativa para detener a la Tierra en su órbita. El análisis vectorial de Gibbs desplazó gradualmente a los cuaternios como álgebra aplicada práctica, a pesar de los desesperados esfuerzos de sus partidarios; después de 1916 pareció que las diversas clases especiales de análisis vectorial estaban a su vez a punto de ser suplantadas por el álgebra y el análisis tensorial que se hicieron populares en 1915-1916 con el advenimiento de la relatividad general.

Como en la lucha del análisis vectorial contra los cuaternios, el progreso hacia los tensores engendró una oposición. El análisis vectorial, como algunos seres humanos, necesitaba por encima de todo ser liberado de las buenas intenciones de sus partidarios. En este caso, como en todos los del pasado de las matemáticas, no parecía ser posible el progreso más que después de la muerte de todos los amigos y antiguos discípulos de algún maestro grande y justamente famoso. Sólo entonces sería posible ver a las matemáticas en lugar de al hombre.

Esos retrasos debidos a un entusiasmo equivocado son frecuentes en las matemáticas. El maestro funda una “escuela”; los discípulos, recordando quizá, entre otras cosas, una palmadita alentadora de su primer maestro competente, entran en un mundo que no se detiene no importa quién perezca, y durante todo el resto de sus vidas se dedican a repetir la única lección que realmente llegaron a aprender. La misma escuela llega a morir dejando su aportación útil incrustada con un cúmulo de apéndices artificiales que hay que podar para que la idea creadora del fundador pueda empezar a vivir y a funcionar libremente. Algunos matemáticos, incluyendo uno de primera fila, conscientes de estas posibilidades, se han abstenido de propagar sus ideas o las de su maestro, no haciendo ninguna tentativa para rodearse de discípulos intolerantes. Kronecker se jactaba de que nunca trató de fundar escuela ni rodearse de discípulos. Pensaba, al igual que Gibbs, que “el mundo es demasiado grande y la corriente del pensamiento moderno demasiado ancha para confinarse en el ipse dixit, aunque sea de un Hamilton”.

Hay pocas dudas respecto a que el álgebra se vio retrasada por los partidarios de escuelas muy celosas. El camino hacia la unidad se puede seguir a la inversa desde aproximadamente 1940, en que los rudimentos del cálculo tensorial eran ya muy frecuentes en la instrucción universitaria, hacia los agregados n dimensionales de Grassmann en 1844. La física moderna no tiene bastante con tres dimensiones, como tampoco la mecánica clásica con sus coordenadas generalizadas. Riemann (alemán, 1826-1866) en 1854 dio el siguiente paso hacia adelante después de Grassman con la introducción de las coordenadas gaussianas (intrínsecas) y basó su obra revolucionaria sobre los fundamentos de la geometría en los agregados n dimensionales. Otra obra de Riemann, publicada después de su muerte, contenía lo que ahora se conoce como tensor de Riemann-Christoffel en la teoría relativista de la gravitación. Riemann encontró este tensor en un problema de la conducción del calor. Christoffel (alemán, 1829-1900) fue el siguiente que dio un paso importante hacia el cálculo tensorial general, en su obra de 1869 sobre la transformación (equivalencia) de las formas diferenciales cuadráticas. Finalmente, en 1880-1890, el geómetra italiano Ricci combinó y aumentó la obra de sus predecesores. El resultado, publicado en 1888,[13] fue el cálculo tensorial. De este modo, el instrumento matemático que necesitaba la teoría de la relatividad general estaba ya listo un año después del experimento de Michelson-Morley, que fue en parte el origen de la teoría especial de la relatividad en 1905; sin el cálculo tensorial la teoría general de 1915-1916 hubiera sido imposible. Lo que hemos afirmado más arriba sobre el experimento de Michelson-Morley no implica que Einstein recibiera su idea motora del experimento para su construcción de la relatividad especial. En realidad, ha afirmado explícitamente que no conocía ni el experimento ni sus resultados cuando se convenció de que la teoría especial era válida.

El nuevo método atrajo muy poco la atención. A invitación de Klein (alemán, 1849-1925), Ricci y su antiguo discípulo Levi-Civita (italiano, 1873-1942) prepararon un artículo sobre el cálculo tensorial y sus aplicaciones a la física matemática para publicarlo en una revista que leían los matemáticos de todas las nacionalidades. El artículo apareció en francés en 1901, y produjo muy pocos efectos. Sin embargo, algunos geómetras curiosos de fuera de Italia se dieron cuenta del nuevo cálculo, y por lo menos uno, Grossmann, de Zúrich, lo dominó y se lo enseñó a Einstein. El cálculo tensorial era una clase particular del álgebra vectorial generalizada, muy apropiada para expresar las ecuaciones diferenciales de la relatividad en forma covariante, como exige un postulado de la teoría.

La deuda que tienen contraída el álgebra y la geometría con la relatividad general es tan grande como la de la relatividad para con el álgebra y la geometría. Aunque Ricci y Levi-Civita en su artículo de 1901 ofrecieron pruebas abundantes de la utilidad del análisis tensorial en las matemáticas aplicadas, los físicos matemáticos no tomaron en serio el nuevo cálculo hasta que su curiosidad fue despertada por las predicciones matemáticas de la relatividad comprobadas experimentalmente. El método tensorial pronto indujo un gran desarrollo de la geometría diferencial.

Gibbs había predicho en 1886 que el análisis vectorial algún día significaría lo que en su época era la moderna álgebra superior, la teoría de los covariantes y de los invariantes algebraicos. Pensaba en las posibilidades de la teoría de Grassmann. Su predicción se cumplió en 1930-1940. Otra predicción de Gibbs del mismo tipo se cumplió en 1925, cuando Heisenberg encontró en el álgebra de matrices el instrumento que necesitaba para las matemáticas no conmutativas de su mecánica cuantista. Los físicos acogieron con menos entusiasmo lo de ab ≠ ba de lo que habían hecho con los tensores; y para muchos fue un alivio el que Eckart (Estados Unidos) y Schrödinger (Austria) en 1926 demostraron independiente y simultáneamente que la mecánica de matrices se podía remplazar por la mecánica ondulatoria, en la que la teoría de los problemas de valores de contorno, ya familiar en la física matemática clásica, resulta ser la clave de las matemáticas.

Asimismo, parece probable que Grassmann no anticipara ni mucho menos este resultado de su extraordinariamente general “álgebra geométrica”. Dos de sus sucesores, Riemann y Clifford (inglés, 1845-1879), ambos más inclinados hacia la física que Grassmann, se aventuraron a predecir la geometrización de algunas partes de la física matemática que había de tener lugar en el siglo XX. Esto ocurría en la fase media entre Grassmann y los tensores, y fue una de las profecías más notables que hayan podido hacer jamás los matemáticos. Pero no hay que olvidar que los matemáticos, al igual que los hombres de ciencia, han hecho muchas profecías falsas, aunque sólo recuerden las que resultan verdaderas.

HACIA LA ESTRUCTURA MATEMÁTICA

De acuerdo con lo que dijo Gauss en 1831, “las matemáticas no se ocupan más que de la enumeración y comparación de relaciones”. Peirce (1809-1880, Estados Unidos), uno de los creadores del álgebra lineal asociativa, afirmó[9] en 1870 que “las matemáticas son la ciencia que obtiene conclusiones necesarias”. Peirce también señaló que “todas las relaciones son o bien cualitativas o bien cuantitativas”, y que el álgebra de cada una de esas clases de relaciones se puede estudiar independientemente de la otra, o que en ciertas álgebras, pueden estar combinadas las dos.

Esas opiniones, de lo que desde el punto de vista matemático es ahora un pasado remoto, las podrían admitir algunos formalistas como precursoras de su propio concepto de las matemáticas como teoría de la estructura. En particular, el programa pitagórico queda desalojado. El método de los postulados de Euclides subsiste. Grandes partes de la matemática se han hecho formales y abstractas por completo; el contenido de una teoría matemática es la estructura del sistema de postulados a partir del cual se desarrolla la teoría por medio de reglas de lógica matemática, y de los que se derivan sus diversas interpretaciones.

Este punto de vista excesivamente abstracto de las matemáticas proviene de la formalización del álgebra elemental que se verificó en 1830-1840, que ya se ha descrito; de la obra de Abel y Galois sobre la teoría de las ecuaciones algebraicas, que es poco más o menos de aquella misma época; del desarrollo del álgebra lineal en el siglo XIX y principios del XX; de la creación de la lógica matemática, iniciada por Boole en 1847-1854, pero que sólo recibió impulso en el siglo XX, y finalmente de la libre invención de geometrías no euclidianas después de 1825 y del renovado interés en los métodos postulacionales subsiguientes de la obra de Hilbert, en 1899, sobre los fundamentos de la geometría.

De todas esas influencias hay dos que están particularmente emparentadas: el desarrollo del álgebra lineal y la infiltración de las ideas de Abel y de Galois en el conjunto del álgebra. Tanto Dedekind como Kronecker reconocieron que se habían inspirado en la teoría de ecuaciones de Galois para su manera propia, general y semiaritmética de abordar el álgebra. Dos de los conceptos básicos de la teoría de Galois, los dominios de racionalidad o campos, y grupos, fueron el punto de partida. Más adelante describiremos los grupos y los campos. Por el momento nos limitamos a observar la metodología que podría haberse seguido y que se seguiría hoy día (1945), pero que no se siguió históricamente en la generación de las álgebras lineales, los grupos y otros sistemas del álgebra moderna.

La metodología es la de la generalización por supresión de ciertos postulados de los que definen un sistema dado. Entonces se desarrolla el sistema que define la colección restringida de postulados. Es posible obtener de este modo el álgebra lineal a partir del álgebra de un campo. Como hemos visto, las álgebras vectoriales recibieron su impulso inicial al suprimir Hamilton el postulado del álgebra común, de que la multiplicación es conmutativa, que es el ejemplo más familiar de un campo.

También los grupos se pueden derivar del álgebra común, siguiendo la misma técnica de generalización. Pero originalmente no fue así como se los obtuvo y es dudoso que hubieran llegado a atraer la atención que se les ha concedido si no hubiera sido porque el impulso de la historia los lanzó hacia adelante. Hay 4 096 (quizá más) posibles generalizaciones de un campo. Sería algo tonto desarrollarlo sin un objetivo concreto a la vista. Sólo se han elaborado con algún detalle los que la experiencia ha señalado. El resto está allí hasta que se les necesite; se dispone del necesario aparato para desarrollarlos. Con todo, la técnica postulacional ha sido una de las más sugestivas de las matemáticas del siglo XX, como tendremos ocasión de ver al proseguir hacia adelante.

Empezaremos por definir los campos, que son los sistemas matemáticos más familiares. Un campo[14] (Körper, corpus, corps, dominio de racionalidad) F es un sistema que consta de un juego S de elementos a, b, c, … u, z, … y de dos operaciones, ⊕, ⊙, que se pueden realizar con dos elementos a, b, (idénticos o distintos) de S, en ese orden, para producir elementos únicamente determinados a ⊕ b y a ◯ b de S tales que satisfagan los cinco postulados siguientes. Se dirá que los elementos de S son elementos de F. Por sencillez, se escribirán a ⊕ b, a ◯ b en la forma a + b, ab.

1º Para todo a, b de F, a + b y ab son elementos de F únicamente determinados, y b + a = a + b, ba = ab.

2º Para todo a, b, c de F (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc), a(b + c) = ab + ac.

3º En F existen dos elementos diferentes z y u, tales que si a es un elemento cualquiera, será a + z = a, au = a.

4º Para todo elemento a de F, existe en F un elemento x tal que a + x = z.

5º Para todo elemento a, distinto de z, de F, hay en F un elemento y tal que ay = u.

Hay que observar que la igualdad, =, se ha supuesto relación conocida. Para completar: la igualdad es una relación de equivalencia (como definimos más atrás a propósito de la congruencia). Es decir, que si a y b son dos elementos cualesquiera de F, a = b, o a ≠ b, en que ≠ significa “no es igual a”; a = a; si a = b, entonces b = a; si a = b y b = c, entonces a = c.

Esta familiar aunque algo elaborada abstracción del álgebra común y de la aritmética racional nos servirá para ilustrar el significado de la estructura y la historia de su desarrollo. Empezaremos por indicar que esos postulados precisos datan sólo de 1903; y que en los postulados de 1903 (y de 1923) no se indica el significado preciso de igualdad, dándolo por supuesto. En los textos de 1930 y posteriores, se hizo habitual definir la igualdad como relación de equivalencia antes de usar la igualdad en los postulados de un campo. Esto es típico de la precisión continuamente creciente de las matemáticas elementales desde la primera definición explícita de campo de números que hizo Dedekind en 1879. Como ejemplo final de esa misma tendencia diremos que tan sólo a partir de 1920 se hizo habitual el indicar explícitamente que a = b o a ≠ b. Hay, pues, pocas razones para suponer que ni aun esos postulados precisamente enunciados han explicado todas las hipótesis implícitas en la manera habitual de utilizar la aritmética común.

Si en los postulados 1º a 5º se interpretan los elementos a, b, c, … como números racionales y u y z, como 1, 0, con a + b, ab suma y producto de a y b, se ve que los números racionales son un ejemplo de campo respecto de la adición y multiplicación. La sustracción y la división se siguen de 4º, 5º. Por analogía, los números complejos ordinarios x + iy nos proporcionan otro ejemplo, como también las parejas de números de Hamilton (x, y) con la apropiada definición de u y z, adición y multiplicación, que el lector puede fácilmente dar por sí mismo. A causa de 5º, los enteros racionales 0, ± 1, ± 2, … no son ejemplo de esto. Si F es un campo cualquiera y x₁, …, xn son variables independientes (o indeterminantes), la colección de todas las funciones racionales x₁, … xn con coeficientes en F constituyen otro campo.

Sin definir todavía formalmente la “estructura” resulta intuitivamente evidente lo que se quiere indicar al decir que todos los ejemplos de un campo tienen la misma estructura, y que esta estructura es como se detalla en 1º a 5º. Además, está perfectamente claro que si se desarrollan las consecuencias lógicas de 1º a 5º el conjunto de teoremas que se obtenga será válido para todos los ejemplos de un campo. Esto último está realmente “claro”, aunque pueda ser difícil de demostrar, y de hecho hasta 1945 no se ha ideado ninguna demostración que sea generalmente aceptada. Una demostración por completo satisfactoria ha de demostrar que al aplicar las reglas de la lógica matemática a 1º a 5º no se producirán contradicciones como “a = b y a ≠ b”. Parece que éste ha de ser el caso; pero en matemáticas no es lo mismo parecer que ser. Para una escuela, la “existencia” está identificada con la demostración.

Las primeras veces que aparecieron los campos, aunque sin definirlos explícitamente, fueron, según parece, en las investigaciones de Abel[15] (1828) y Galois[16] (1830-1831) sobre la resolución de ecuaciones por medio de radicales. Las primeras conferencias formales que se dieron sobre la teoría de Galois fueron las de Dedekind a dos estudiantes en los primeros años de la década 1850-1860. Por aquella misma época,[17] Kronecker empezó sus estudios sobre las ecuaciones abelianas. Parece que el concepto campo se introdujo en las matemáticas por medio de las obras aritméticas de Dedekind y Kronecker. Ambos, y especialmente Dedekind,[18] admitieron en seguida la importancia fundamental de los grupos para el álgebra y la aritmética. El concepto campo de números quedó firmemente establecido en las matemáticas con el famoso Eleventh Supplement de Dedekind a la tercera edición (1879) de las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (alemán, 1805-1859). Sin embargo, hemos de destacar que en esta obra Dedekind se ocupó únicamente de los números algebraicos, raíces de ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales numéricos. Los campos que definió fueron por lo tanto los de los números reales y complejos. En 1881 siguió Kronecker con sus dominios de racionalidad, es decir, los campos. Aunque la definición de Kronecker era más general que la de Dedekind, no alcanzó la generalidad completa del sistema de postulados indicado más arriba.

El paso a la abstracción final tuvo lugar un cuarto de siglo después. No es necesario tratar aquí esto en detalle; las referencias que se dan bastan para orientar a todo el que quiera elaborar la historia. El cambio de dirección se produjo con la obra de Hilbert sobre los fundamentos de la geometría, en 1899. Aunque esto no afectaba directamente al álgebra o a la aritmética, establecía un nivel muy alto de concreción y de plenitud en el enunciado de todas las definiciones matemáticas, o lo que es equivalente, en la construcción de sistemas de postulados. Comparado con lo que vino después de 1900 en este tipo básico de trabajos, lo que se hizo antes de ese año nos parece ahora increíblemente flojo. Disponiendo de abundantes recursos para continuar el programa euclidiano de enunciar de modo explícito acerca de qué había de tratar un razonamiento matemático, la mayoría de los matemáticos del siglo XIX dejaban que sus lectores adivinaran exactamente lo que se postulaba. El descuido en enunciar todas las hipótesis que se hacían provocaba demostraciones y proposiciones falsas. En 1900 se produjo un cambio muy marcado en el buen sentido, pero todavía hay lugar para muchas mejoras, especialmente en las matemáticas intuitivas, como, por ejemplo, en los llamamientos repetidos que hay que hacer a la intuición para comprender el significado de estructura.

Pasando a los grupos, enunciaremos por entero una colección de postulados para un grupo, ya que en lo sucesivo se nos presentará el término grupo en el sentido técnico que definen esos postulados. Entonces nos encontraremos en situación de definir la estructura.

Un grupo G es una serie S de elementos a, b, c, …, x, y, … y una operación O, que se pueda realizar con dos (idénticos o distintos) elementos a, b, de S, en este orden, para producir un elemento aOb únicamente determinado de S, tal que se satisfagan los tres postulados siguientes:

1º aOb está en S para todos los a, b, de S.

2º aO(bOc) = (aOb)Oc para todos los a, b, c, de S.

3º Para todos los a, b, de S, existen en S unos x, y tales que aOx = b, yOa = b.

Estos postulados pueden parecer extraños para los que conozcan otros relativos a los grupos; pero son más sencillos que otros y, además, equivalentes. Más adelante daremos unas notas históricas sobre los grupos. Por el momento nos interesamos sólo en las matemáticas. Continuamos, y pasamos a la estructura,[19] la que parece que se estableció por primera vez, aunque sin definirla, en los grupos.

Así, considérense dos grupos, con los respectivos elementos a₁, b₁, c₁, … y a₂, b₂, c₂, … y sus respectivas operaciones O₁, O₂. Así, se dice que esos grupos son simplemente isomorfos, es decir, que tienen la misma estructura, si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los elementos tal que si x₁O₁y₁ = x₁, sea x₂O₂y₂ = z₂, y en que recíprocamente x₁, y₁ y z₁, correspondan respectivamente a x₂, y₂ y z₂. Para más detalles hemos de remitir al lector a los textos.

Esta definición es probablemente el ejemplo más sencillo de lo que se quiere dar a entender por igual estructura. Nótese que no se define estructura, sino igual estructura. Para los fines del álgebra esto es suficiente. Si a primera vista igual estructura parece definir la identidad absoluta, un ejemplo en contrario lo proporcionan todos los hombres normales de la colectividad los cuales tienen la misma forma, dos brazos, una cabeza, etc., pero de los cuales no hay dos que sean idénticos como no sea, si acaso, topológicamente.

En 1910 Whitehead (inglés, 1861-…) y Russell[20] (inglés, 1872-…) desarrollaron una teoría general de la estructura. Nos bastará aquí recordar una definición fundamental: una relación P entre los miembros de una serie xp tiene la misma estructura que una relación entre los miembros de una serie yq si hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de xp y de yq tal que siempre que dos elementos de xp estén ligados por una relación P, sus correlativos (por la correspondencia) de yq estén en la relación Q, entre sí, y viceversa.

Si en alguna división de las matemáticas hay relaciones P, Q, … que tengan la misma estructura, basta elaborar las consecuencias de una, por ejemplo P, cuando las de Q, … se siguen al traducir de P, xp, … a Q, yq, … por medio de la correspondencia pertinente en cada caso. Todos los postulados de un sistema matemático se pueden enunciar como relaciones entre los datos (“elementos” y “operaciones”) del sistema.

Si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre los postulados de dos sistemas, tal que los postulados correlativos tengan la misma estructura, se dice que los sistemas tienen la misma estructura. En vez de decir que dos sistemas tienen la misma estructura, se acostumbra en los Estados Unidos, siguiendo a Moore (1862-1932, Estados Unidos) que usó en sus conferencias y escritos ese concepto desde 1893, decir que los sistemas son abstractamente idénticos. La identidad abstracta es en sí misma una relación de equivalencia. Si varios sistemas son abstractamente idénticos, es evidente que basta desarrollar las matemáticas de uno para tener las de todos. Los sistemas así desarrollados se diferenciarán en las interpretaciones que se den a los elementos y operaciones abstractos; cada interpretación nos proporciona un “ejemplo” de la teoría. Por ejemplo, las álgebras de los números reales y complejos o de las parejas de números de Hamilton son ejemplos de la teoría de un campo abstracto.

Si seguimos la evolución del álgebra desde 1930 observaremos una constante y en gran parte subconsciente tendencia hacia la abstracción. Al mismo tiempo se buscaba la identidad abstracta algunas veces de modo deliberado como en las teorías de los grupos y de los campos. La mayor parte de las clasificaciones representa un esfuerzo preliminar en esta misma dirección, preparatorio para comparar las diferentes teorías percibiendo las identidades abstractas. En 1872 Klein hizo una unificación de las diversas geometrías por medio de la teoría de grupos, unificación que describiremos a propósito de la invariancia y que es un ejemplo conspicuo de las ventajas que se acumulan al reconocer una identidad abstracta. Pero rara vez ocurre que algo tan sencillo como un grupo unifique capítulos de la matemática en apariencia sin relación alguna, respecto de nada profundo, sino tan sólo a superficialidades.

Ya se ha dicho bastante acerca de la estructura para indicar lo que probablemente habría en el fondo de la manera de pensar de Gauss cuando hizo la observación de que “las matemáticas se ocupan de la enumeración y comparación de relaciones”. Hizo esta afirmación a propósito de los números complejos. En otra ocasión manifestó sus dudas de que “números” otros que los reales y los complejos, como por ejemplo los cuaternios, llegaran a ser nunca de utilidad para la aritmética superior. Al seguir examinando el álgebra y la aritmética nos orientaremos en esta indicación de Gauss y trataremos de percibir qué es lo que probablemente había en el fondo de sus pensamientos. Por supuesto que éste no es el único camino por el cual se puede seguir la evolución del número desde la década 1830-1840 al siglo XX, pero al seguirlo tendremos constantemente a la vista un objetivo concreto por el cual orientar durante la marcha algunas de las tendencias más importantes del álgebra y de la aritmética.

X
LA ARITMÉTICA GENERALIZADA

CONTINUANDO con los modernos desarrollos del concepto número y con su influencia sobre la aparición de la estructura, nos ocuparemos en seguida de la ampliación de la aritmética moderna —la aritmética griega— desde su origen en 1831 en la obra de Gauss sobre la ley de la reciprocidad bicuadrática, a su fin, en la lógica matemática. Nuestro interés inmediato en este capítulo es el concepto ampliamente generalizado del número entero que distinguió a la aritmética superior del siglo XIX de todo lo que la había precedido. En un capítulo posterior seguiremos en parte las principales líneas de descendencia de la aritmética clásica, desde Fermat, Euler, Lagrange y Gauss hasta la actualidad. En su aspecto histórico, muchos de esos progresos más antiguos precedieron a la obra que vamos a describir aquí, pero su interés, por grande que pueda ser de una manera intrínseca, es en realidad pequeño para el conjunto de las matemáticas.

Por otro lado, hay que observar seis episodios de la mayor importancia, cuatro de los cuales describiremos en este capítulo y en el siguiente. Estos cuatro episodios son: la definición por Gauss, Kummer (alemán, 1810-1893) y Dedekind de los enteros algebraicos; la restricción del teorema fundamental de la aritmética a los campos de números algebraicos debida a la introducción de los ideales por Dedekind; la obra definitiva de Galois sobre la solución de ecuaciones algebraicas por medio de radicales y la teoría de los campos que siguieron; la aplicación parcial de los conceptos aritméticos a ciertas álgebras lineales por Lipschitz (alemán, 1831-1903), Hurwitz (suizo, 1859-1919), Dickson (1874-…, Estados Unidos), Emmy Noether (alemán, 1882-1935) y otros. Todos esos desarrollos están estrechamente relacionados. El último señala la ampliación más avanzada de la aritmética clásica hasta 1945, y es, o bien la culminación, o bien el comienzo de una aritmetización estructural del álgebra que ya había previsto Kronecker en 1860 y que consiguió realizar sólo en parte en la década 1880-1890. Como si se estuviera preparando para esa culminación, el álgebra de los números hipercomplejos pronto rebasó su adolescencia clasificatoria de 1870-1880 representada por la obra de Peirce y de sus sucesores, y se interesó cada vez más en los métodos generales; a principios del siglo XX alcanzó cierta madurez.

El quinto episodio de gran importancia, que lógicamente parecería preludio necesario para los otros, por extraño que parezca, fue el último que sobrevino. Hasta los últimos años del siglo XIX nadie se preocupó mucho de los números naturales 1, 2, 3, … Todas las matemáticas, desde la aritmética clásica de Fermat, Euler, Lagrange, Legendre (francés, 1752-1833), Gauss y sus numerosos imitadores, a la geometría y al análisis, habían aceptado esos números aparentemente sencillos como “dados”. Sin ellos nunca se hubiera podido llegar a producir ninguno de los avances más importantes de la aritmética moderna. Y, sin embargo, ningún aritmético se preguntaba “¿quién es quien nos ha ‘dado’ esos números naturales?” Kronecker se los atribuía a Dios, pero esto no es una solución matemática. El asunto se suscitó, no en aritmética, sino en análisis. La contestación la dio la definición moderna de números cardinales y ordinales, lo cual acabó por unir a la aritmética y al análisis en cuanto a su origen común.

El sexto y último episodio de gran importancia para la evolución del concepto número fue la aplicación de la aritmética al cálculo diferencial e integral. Como veremos en un capítulo posterior, es muy interesante que uno de los impulsos iniciales más fuertes para la aplicación definitiva de la aritmética al análisis procediera de la física matemática. La teoría de la conducción del calor de Fourier (1822) reveló tantas sutilezas imprevistas en los conceptos límite y continuidad que se hizo necesario revisar las ideas básicas del cálculo. Durante el resto del siglo XIX, muchos se dedicaron a trabajar en esto. Poco a poco se fue percibiendo que los cardinales y los ordinales 1, 2, 3, … necesitaban aclaración. En 1902 se había eliminado la última sutil oscuridad hasta entonces descubierta, sólo para hacer sitio a otra aún más sutil. La aritmética de 1, 2, 3, …, y con ella el análisis matemático, dejaron su alma a merced de las investigaciones de la lógica matemática.

Así, después de 25 siglos de lucha para comprender el número se acabó por donde Pitágoras había iniciado sus trabajos. El programa moderno es el mismo que el suyo, pero con una diferencia. Pitágoras confiaba en que 1, 2, 3, … “explicaran” el universo, incluyendo las matemáticas; y el espíritu que animaba su “explicación” era el razonamiento estrictamente deductivo. Los matemáticos y los hombres de ciencia todavía confían en los números naturales, en sus matemáticas técnicas y en sus aplicaciones. Pero el razonamiento matemático en sí, muy ensanchado y profundizado en el siglo XX, bastante más allá de lo que nunca imaginaran los griegos, suplantó a los números naturales en interés matemático.

Cuando la lógica matemática haya superado sus oscuridades, si es que alguna vez las supera, se verán claramente los números naturales en lo que “son”. Pero siempre quedará la posibilidad de que una montaña a la que todavía no se haya subido oculte otra más alta que haya inmediatamente detrás, y si el pasado ha de servirnos de guía para lo futuro, los aritméticos han de llegar aún a muchas cosas que los mantengan ocupados y del todo satisfechos durante los próximos 5 000 años. Después de eso, quizá no le importe a nadie que 1, 2, 3, … “sean”.

LA DIVISIBILIDAD GENERALIZADA

La clase de los números enteros racionales positivos 1, 2, 3, … fue primero ampliada como clase de números enteros por la adición de cero y de los enteros racionales negativos −1, −2, −3, … Recordamos que Euclides en el siglo IV a. C. demostró uno de los teoremas fundamentales relativos a los números primos racionales positivos: si un número primo p divide al producto de dos números enteros racionales positivos, necesariamente ha de ser divisor de uno de ellos. Un número primo racional no admite más divisores que él mismo y las unidades 1, −1. La ampliación del teorema de Euclides a todos los números enteros racionales la hemos visto recientemente, y no necesitamos recordarla. Pero para hacer resaltar el carácter nada trivial de las generalizaciones que hicieron de los enteros racionales Gauss, Kummer, Dedekind y otros, hay que volver a enunciar las anteriores definiciones, de forma que se apliquen a los “enteros” generalizados en cuestión. Conviene resaltar que esta sencilla reformulación de las definiciones de la aritmética racional fue uno de los tres pasos más difíciles hacia la deseada generalización. Los otros dos fueron una redefinición de la divisibilidad aritmética frente a la división algebraica, y el problema íntimamente relacionado con el anterior de seleccionar de entre una clase dada de números los que hay que definir como enteros.

Primero, lo relativo a las unidades. Sin haber especificado todavía lo que es un “entero”, una unidad de una serie dada de enteros es uno que divida a todos los demás. Un entero α “divide” a un entero β, si hay un entero γ tal que β = αγ.

Segundo, lo relativo a los “irreducibles”. Se dice que un entero α es irreducible si “α = βγ” con β, γ enteros, presupone que o β o bien γ es una unidad y el otro es α.

Tercero, lo relativo a los números primos. Se dice que un entero α es primo si es irreducible, y si además la afirmación de que “α divide a βγ” presupone por lo menos una de las dos afirmaciones siguientes: “α divide a β”, o “α divide a γ”.

Esas definiciones están de acuerdo con las de los enteros racionales. Pero mientras que los números primos racionales y los irreducibles coinciden, no ocurre lo mismo con todos los enteros generalizados que se pueden descubrir.

El hacer definiciones es completamente inútil a menos que se tenga a la vista un objetivo concreto. En este caso la meta es el teorema fundamental de la aritmética: los “enteros” definidos se han de poder descomponer en potencias de distintos números “primos” de un solo modo, aparte de los factores “unitarios” y de las permutaciones entre factores. Esta exigencia es demasiado fuerte para la “aritmética” de la mayor parte de las álgebras lineales. A eso es a lo que apuntaban los fundadores de la teoría de los números algebraicos, si bien se había de demostrar que es un objetivo inalcanzable.

Los medios por los cuales fue remplazado el programa original por otro que reunía lo esencial de lo que se había buscado en un principio es uno de los mejores ejemplos de generalización que presenta la historia de las matemáticas. La generalización afectaba a los conceptos fundamentales de la aritmética común, y en particular los de entero y divisibilidad.

Toda generalización matemática, para que tenga una significación apreciable, al particularizar todos los casos de los que procede la generalización debe dar como resultado algo más que no estuviera contenido en los casos particulares. Las generalizaciones más profundas son aquellas en que se cambian las interpretaciones de todos los símbolos de la estructura (postulados) de un sistema dado. De este tipo fue el paso de los enteros racionales a los enteros algebraicos.

Por ejemplo, en el teorema de la aritmética racional “si a divide a b, b no divide a a menos que a y b sean unidades”, a, b (b ≠ a), y las relaciones de división son todas interpretaciones determinadas en la generalización que se diferencian de las de la aritmética racional. Pero esas interpretaciones son tales que la afirmación “si a, etc.” sigue siendo cierta para las nuevas interpretaciones.

La ampliación de la aritmética racional a una aritmética de los números algebraicos, y considerablemente después, a una aritmetización parcial del álgebra lineal, tuvo dos orígenes distintos: la demostración de Gauss en 1828-1832, o antes, de la ley de la reciprocidad cuadrática, y la tentativa que hizo Kummer en 1840-1850 para probar el último teorema de Fermat. Empezaremos con Gauss.

Si hay un número entero racional x tal que cuando n, p y q, sean números enteros positivos dados, xn − q es divisible (sin residuo) entre p, se dice que q es un residuo n − simo de p. Enunciándolo al modo de las congruencias de Gauss, q es un residuo n − ico de un p dado si, y sólo si, xn ≡ q mod p es soluble respecto a x. Por sencillez describiremos únicamente el caso en que p y q son números primos positivos impares. Gauss se interesó particularmente en los casos n = 4, n = 3. Para n = 2, la ley de la reciprocidad cuadrática de Legendre, que Gauss calificó de “gema de la aritmética”, es (p|q) (q|p) = (−1) 1/4(p−1) (q−1) en que (p|q) indica 1 o −1, según que x² ≡ p mod q sea o no sea soluble respecto a x y análogamente para (q|p) y x² ≡ q mod p. Gauss buscó durante mucho tiempo una ley de reciprocidad para n = 4, tan sencilla como la de n = 2. No la encontró más que cuando se salió de los números enteros racionales y pasó a los complejos. Un número entero complejo de Gauss es un número de la forma a + bi en que a y b son números enteros racionales. Definiendo las unidades, los números primos y la divisibilidad para sus enteros complejos de modo tan directo que sugiere la analogía con los enteros racionales, Gauss demostró que el teorema fundamental de la aritmética es válido para los enteros a + bi. Valiéndose de estos enteros pudo enunciar la ley de la reciprocidad bicuadrática (n = 4) de manera concisa. Para n = 3 encontró una teoría igualmente sencilla basada en los “enteros” a + bρ en que ρ es una raíz de y² + y + 1 = 0 y a y b son números enteros racionales; pero no publicó sus resultados.

La historia de las leyes de reciprocidad para n > 4 ocuparía volúmenes enteros. Esta materia tan desarrollada ha sido cultivada por docenas de aritméticos, y ha tenido una influencia considerable en la evolución del álgebra moderna. Pero como esta especialidad, por muy rica que sea intrínsecamente, queda más bien algo separada del avance principal, la hemos de dejar con una observación.

Euler (suizo, 1707-1783) en 1744-1776 conocía, aunque no demostró,[1] lo que es en esencia la ley de la reciprocidad cuadrática. En 1783 estudió la ley con mayor profundidad. Legendre en 1785 intentó demostrarla pero se equivocó al suponer evidente un teorema tan difícil de demostrar como la misma ley. Gauss publicó por primera vez una demostración en 1801, y dio en total seis. Para n > 2 las leyes de reciprocidad dependen de los campos de números algebraicos que se presentan a través de las ecuaciones binómicas de grado n. Esto nos lleva a la fase siguiente del desarrollo de los números algebraicos. Un campo particular de números algebraicos de grado n es la colección de todas las funciones racionales de una raíz de una ecuación algebraica irreducible dada de grado n, con coeficientes enteros racionales.[2]

En su tentativa de demostrar la imposibilidad de zp = xp + yp, en que x y, z, p, son enteros racionales, xyz ≠ 0, y p es un número primo mayor que 2, Kummer en 1849 resolvió xp + yp en sus p factores lineales

(x + y) (x + αy) … (x + αp−1y),

en que α es una raíz imaginaria de grado p, de 1. Esto le condujo a ampliar la teoría de los enteros complejos de Gauss al campo de números algebraicos definido por αp−1 + αp−2 + … + α + 1 = 0. Kummer, dando definiciones adecuadas de los enteros, primos, etc. en este campo, se persuadió a sí mismo durante algún tiempo de que había demostrado el último teorema de Fermat, pero como Dichlet (alemán, 1805-1859) le señaló, había presupuesto que el teorema fundamental de la aritmética fuera válido para esos enteros construidos a partir de α. Para ciertos números primos p, el teorema es válido en el correspondiente campo −α; para otros no lo es. Por lo tanto, la demostración completa (o la imposibilidad) del teorema de Fermat no existía todavía.

Sin amilanarse por este fracaso totalmente imprevisto, Kummer inventó una nueva clase de números que él llamó ideal, y que no hay que confundir con los ideales de Dedekind. No tendría objeto describirlos aquí,[3] ya que se salen demasiado de la corriente principal, se aplican a los campos de números particulares que consideró Kummer en relación con el último teorema de Fermat.

Ahora bien, empezando por completo de nuevo, en los primeros años de la década 1870-1880 Dedekind (alemán, 1831-1916) creó una teoría de los números enteros algebraicos aplicable al caso general de un campo de números algebraicos definido por una raíz de una ecuación irreducible a₀xn + a₁xn⁻¹ + … + an = 0 de un grado n cualquiera y con los coeficientes racionales a₀, … an. Se dice que una raíz de esta ecuación es un número algebraico de grado n; si a₀ = 1 este número es un entero algebraico; si además an = 1 (o −1), el entero algebraico es unitario. Nótese que un número entero racional cualquiera r es entero algebraico de grado 1, puesto que r es la raíz de x − r = 0.

Por otra parte, hemos recurrido a todos estos detalles para indicar que la generalización de los enteros racionales y de las unidades racionales a los enteros algebraicos de un grado cualquiera exigieron una perspicacia poco común. A primera vista parece imposible que un número como (−13 + √−115)/2 tenga las mismas propiedades de la divisibilidad de los números enteros corrientes. Como ese número es una raíz de la ecuación irreducible x² + 13x + 71 = 0, en realidad es un entero algebraico de segundo grado.

Los campos de números algebraicos en que existe una sola descomposición de los enteros algebraicos en números primos son excepción. Para restituir el teorema fundamental de la aritmética a los enteros de todos los campos de números algebraicos, Dedekind revisó la divisibilidad de los enteros racionales. Éste fue el paso crítico que condujo a la invención de lo que Dedekind llamó ideales.

Un (integral) ideal de un campo de números algebraicos F es un subconjunto, llamémosle a, de todos los enteros de F tales que si α y β están en a, y si ξ es un entero cualquiera de F, entonces α − β y αξ están en a. Se dice que el ideal a divide al ideal b si todos los enteros de b pertenecen también a a, es decir, si a considerado como clase contiene a b. El ideal unitario es la colección de todos los enteros de F; divide a todos los ideales. Un ideal p es primo si, y sólo si, p y el ideal unitario son los únicos ideales que dividen a p.

De esta forma restituyó, más exacto sería decir “remplazó”, la descomposición factorial única. Si α es un entero cualquiera de F, la colección de todas las αξ, en que ξ recorre todos los enteros de F, es, como se ve, fácilmente un ideal. Este ideal, que designaremos por (α), recibe el nombre de ideal principal correspondiente a α, y se sigue inmediatamente de las definiciones que si α y β son dos enteros cualesquiera de F, α divide a β cuando y sólo cuando (α) divida a (β). “Divide” en “α divide a β” significa que hay un entero γ de F tal que β = αγ; “divide” en “(α) divide a (β)” significa que el ideal principal (α) contiene al ideal principal (β) y el teorema afirma que cada una de esas relaciones de división presupone la otra.

En la aritmética racional, por ejemplo, “3 divide a 12” es equivalente a “la clase de todos los enteros múltiplos de 3 contiene a la clase de todos los enteros múltiplos de 12”. Además, si a y b son números enteros dados, la clase de todos los enteros múltiplos de a contiene la clase de todos los enteros múltiplos de b si, y sólo si, a divide a b.

La descomposición de un número algebraico entero en producto de enteros algebraicos queda, pues, reducida a la descomposición de un ideal en un producto de ideales, siendo válido el teorema fundamental de la aritmética. He aquí el proceso.

Se remplazan los enteros α y β de F por sus correspondientes ideales principales (α) y (β) … Puesto que el teorema más importante de la teoría de Dedekind establece la descomposición única de todo ideal (de F) en un producto de potencias de ideales primos, cada uno de los (α), (β) … tiene una descomposición única de ésas.[4]

A grandes rasgos, la clave del asunto está en remplazar la relación de divisibilidad aritmética por la relación de pertenencia a una clase, como en la lógica clásica o en la simbólica. Y también a grandes rasgos a esta sustitución se debe en parte la aparición de los ideales como conjuntos lineales de clases particulares en el álgebra moderna y en la geometría algebraica.

De esta manera hemos concedido más espacio del que pudiera parecer que le corresponde a la invención de los ideales porque es un ejemplo admirable y fácil de describir de la tendencia moderna a la generalización. El detalle más característico quizá sea el de remplazar el familiar concepto divisibilidad aritmética por otro que lo incluye. Una relación importante queda remplazada por otra que no tiene ningún parecido superficial con la primera. Sin embargo, después de hecha la substitución, se restituye un teorema fundamental (el de la descomposición en factores primos) ideando una correspondencia biunívoca, en un dominio en que antes de la sustitución el teorema no era válido en términos generales. Además, la sustitución deja esencialmente inalterados los casos en que el teorema sí era válido antes de la sustitución.

Desde otro punto de vista, la sustitución de un conjunto de números enteros algebraicos por un conjunto correlativo de detalles principales introduce uniformidad y sujeta las aparentes anomalías bajo una ley nueva y más amplia. Un ejemplo anterior del mismo procedimiento se presenta en la introducción de los elementos ideales (puntos, líneas, planos… del infinito) en la geometría proyectiva durante la primera mitad del siglo XIX. Esos elementos están muy remotamente relacionados con los ideales numéricos del álgebra, pero en ambos casos la metodología de la generalización por ampliación para regularizar las excepciones es la misma.

Un rasgo de esta teoría que sorprende como peculiar a los que por primera vez abordan el estudio de la misma es característico de la manera de pensar de Dedekind acerca del número: resolver en términos infinitos un problema estrictamente finito. El problema de los enteros algebraicos es el de la descomposición única; la solución de Dedekind es por medio de las clases infinitas particulares de los enteros algebraicos que llaman ideales. Su teoría (1872) del sistema de números reales se basa en un paso similar de lo finito a lo infinito por medio de lo que llamó cortaduras. Por ejemplo, para definir √3, Dedekind imaginó que todos los números racionales estaban divididos en dos clases, L y U; L contiene todos los números racionales, y sólo aquellos cuyos cuadrados son inferiores a 3, y U todos cuyos cuadrados son mayores que 3 y sólo ellos; se dice que L y U definen una cortadura en el sistema de los números reales, y que esta cortadura particular define √3.

La aritmética de las cortaduras de Dedekind es una ordenación de las propiedades corrientes de los números reales, como por ejemplo √2 × √3 = √2 × 3 con la que tan familiarizados han estado los analistas y los algebristas durante siglos de manipulaciones formales. El trabajo puramente formal con los números irracionales produjo aproximaciones numéricas consecuentes y bastó para las aplicaciones científicas del análisis. Dedekind trató de proporcionar una sólida base lógica al formulismo tradicional del número. El resultado de sus esfuerzos fue un formalismo más profundo del infinito. En 1926, el matemático más sobresaliente de su época, Hilbert (alemán, 1862-1943), afirmó que “todavía no se ha aclarado por completo el significado del infinito en matemáticas”. En 1945 todavía no se había conseguido.

OTROS PROGRESOS

La teoría de los ideales de Dedekind no era sino una de las varias construidas con objeto de restituir el teorema fundamental de la aritmética racional a los números algebraicos. La otra que ha sobrevivido[5] es la teoría de Kronecker de 1881, ya mencionada a propósito de los números complejos. Tanto la teoría de Kronecker como la de Dedekind tienen extensas ramificaciones en otros capítulos de la matemática y ambas ejercieron una influencia decisiva sobre el desarrollo de la moderna álgebra abstracta.

Además, hay una tercera teoría que ha adquirido importancia a partir de su creación poco después de 1900 por Hensel, en que los números están representados por series de potencias. Esta teoría se originó en la observación de que todo número entero racional tiene un desarrollo en serie de potencias positivas enteras de un número primo p dado, con coeficientes entre 0, 1, …, p − 1, la cual, se puede considerar como la última ampliación de los sistemas babilónico, maya e hindú de numeración posicional de la aritmética común. Al parecer, el desarrollo de esta teoría aritmética, muy rápido, se ha orientado en ciertas analogías con la teoría de funciones de variable compleja y también en la teoría de las funciones algebraicas de una variable y en su representación de las superficies de Riemann. Usamos aquí “función algebraica” en su acostumbrado sentido técnico: si P(w, z) = 0 en que P es un polinomio, se dice que w es una función algebraica de z. Más adelante veremos que el estudio detallado de esas funciones y de sus integrales fue una de las actividades de mayor importancia en las matemáticas del siglo XIX.

De esta manera, tiene interés indicar muy brevemente cómo el concepto de la divisibilidad aritmética, tal como lo generalizaron Dedekind y Kronecker para incluir las clases, adquirió importancia en secciones de la matemática muy distantes de la aritmética. Las descripciones detalladas adquieren pronto altos vuelos técnicos, y nosotros sólo podemos describir lo suficiente para indicar que las aplicaciones de gran alcance se hubieran podido anticipar partiendo de la forma acabada de la teoría de Dedekind y del amplio esquema que Kronecker dejó de la suya.

La indicación más sencilla nos la proporciona un ejemplo que ya nos es familiar de la geometría analítica elemental. Si Cn (x, y) = 0 (n = 1, 2, … m) son las ecuaciones de m curvas planas dadas, entonces

f₁(x, y)C₁(x, y) + … + fm(x, y)Cm(x, y) = 0

en que las f son funciones de x, y (o constantes), no idénticamente iguales a cero, es la ecuación de una curva que pasa por los puntos comunes a las m curvas dadas. Por sencillez, hagamos que todas las C y las f sean polinomios en x, y. Entonces el sistema de todos los polinomios f₁(x, y)C₁(x, y) + … + fm(x, y)Cm(x, y) en que las C son las mismas y las f son constantes o abarcan todos los polinomios en x, y, contienen o “dividen”, todo polinomio particular del sistema. En este caso divide tiene el mismo significado que en los ideales de Dedekind o en los sistemas modulares de Kronecker.

Un sistema modular es un conjunto M de todos los polinomios en s variables x₁, … xs, definido por la propiedad de que si P, P₁, P₂ pertenecen al sistema también pertenecen P₁ + P₂ y QP, en que Q es un polinomio cualquiera en x₁, … xs. Asimismo, hay otra definición que nos permite enunciar un teorema importantísimo del álgebra moderna. La base de un sistema modular M es un conjunto de polinomios B₁, B₂, … de M, tal que todo polinomio de M es susceptible de ser expresado en la forma

R₁B₁ + R₂B₂ + …,

en que R₁, R₂, … son constantes o polinomios (que no han de pertenecer necesariamente a M). El teorema de la base de Hilbert de 1890 dice que todo sistema modular tiene una base que consta de un número finito de polinomios, o lo que es equivalente, que un imaginario polinómico tiene una base finita.

A cualquiera se puede excusar que ponga en duda este teorema mientras no haya visto su demostración, que, por otra parte, es notablemente sencilla. En realidad, cuando Hilbert lo aplicó para demostrar los teoremas fundamentales de las formas algebraicas, Gordan (alemán, 1837-1912), que había obtenido con anterioridad los mismos teoremas mediante laboriosos cálculos, exclamó: “¡Esto no es matemática, esto es teología!”

La protesta de Gordan contenía una verdad de doble filo. El teorema de Hilbert señala un importante cambio de dirección del álgebra. Fue el primer ejemplo que llamó la atención universal hacia el método moderno abstracto sin cálculos. Las demostraciones de Gordan se valieron de algoritmos muy ingeniosos. Hilbert atacó la estructura de los sistemas en cuestión, las formas algebraicas y sus covariantes e invariantes. El método algorítmico no podía revelar el principio básico general del que los teoremas de Gordan son manifestaciones especiales. Ya volveremos a ello cuando consideremos la invariancia.

El filo más agudo de la protesta de Gordan no se sintió sino hasta cerca de 1930. Una demostración teológica, recodaremos, suele demostrar la existencia de alguna entidad sin exhibir la entidad ni proporcionar método alguno para hacerlo en un número finito de operaciones humanamente realizables. Las matemáticas, y particularmente el análisis, abundan en demostraciones que son teológicas en este sentido. Para Kronecker, las demostraciones teológicas de la matemática eran un anatema; insistía en que esas pruebas de existencia no son válidas en las matemáticas, al igual que todo aquello que no proporcione un método para exhibir o construir en un número finito de operaciones humanamente realizables, el objeto matemático cuya existencia se trata de demostrar. Para la mayor parte de los algebristas resulta intuitivo si un polinomio P(x) con coeficientes racionales es reducible racionalmente o no lo es a producto de dos polinomios en x con coeficientes racionales. Kronecker no admitiría esto hasta que hubiera decidido tras un número finito de pasos si el polinomio es en realidad reducible o si no lo es.

Desde que Kronecker exigió demostraciones constructivas de existencia, algunos han sospechado que el libre uso de las demostraciones “teológicas” de existencia puede conducir a contradicciones. En particular, en 1930-1940 se puso en duda la cuestión de la admisibilidad de la demostración no constructiva de Hilbert para su teorema de la base, aunque ni él ni la mayoría de los matemáticos encontraban nada objetable ni peligro en la aplicación continuada del teorema. Sin él se diluiría en la nada una gran parte de la moderna álgebra abstracta y una parte también considerable de la geometría algebraica. En 1945 aún no se había renunciado a encontrar una demostración finitamente constructiva de la existencia del teorema de la base. Las dudas que implica esta carencia son solidarias de las que surgieron de la obra del siglo XIX sobre el sistema de números reales.

Estas profundas dudas dificultan las labores técnicas de los matemáticos más aún que lo que una erupción ocasional del Vesubio o del Etna entorpece a los viñaderos de sus alrededores. Las solevaciones y sumersiones periódicas bajo ríos de lava incondescente son sin duda tenidas como una bendición, excepto para las generaciones que las tienen que soportar. La lava, al descomponerse, revitaliza el suelo exhausto, y las uvas producen mucho mejor vino. Pero esto es muy desagradable para los que han de asfixiarse e incinerarse para que prosperen sus sucesores. Gran parte de las matemáticas de los siglos XIX y XX, según parece ahora, tienen importancia principalmente porque pueden contribuir a una más sólida prosperidad matemática en el siglo XXI, aunque no tenemos la seguridad de que así vaya a ser. Mientras tanto, nuestra generación soporta o goza las matemáticas y continúa creando nuevas matemáticas. Y así ha sido desde que se suscitó la cuestión de las pruebas de existencia.

LO CONSEGUIDO HASTA 1910

Lo que se podría llamar segunda edad heroica de la teoría de los números algebraicos terminó en la época 1870 a 1890, con la obra de Dedekind y Kronecker. La primera gran edad fue la de Gauss y Kummer en 1830-1850. Las principales innovaciones de cada una de esas épocas inspiró, como es natural, una cantidad considerable de progresos técnicos. Pero no parece que quedara iniciado ningún concepto fundamentalmente nuevo ni ninguna manera nueva de abordar el problema comparable en importancia general a las ya indicadas, antes de la tercera gran época que se inició en 1910 y siguió a partir de 1920. Hemos de recordar aquí que nos interesamos primordialmente por el desarrollo del pensamiento matemático en conjunto más que en la explotación detallada de campos especiales. Antes de penetrar en la tercera época y a su relación con el progreso general, podemos echar una mirada retrospectiva hacia las dos primeras para darnos cuenta una vez más de su origen y ver cuál fue el residuo principal que dejaron. Quizá la aportación más significativa es la manera metódica de abordar la cuestión en ambas épocas.

La teoría de los números algebraicos tuvo su origen en dos problemas concretos relativos a los enteros racionales: las leyes de la reciprocidad n-ico, ideada para proporcionar criterios sobre la solubilidad de las congruencias binómicas xn ≡ r mod m; la demostración por la imposibilidad del último teorema de Fermat. Eisenstein (alemán, 1823-1852) en 1844-1850, y Krummer en 1850-1861, dieron una solución[6] para n primo, en lo que durante mucho tiempo fue su forma clásica. Así es que, en esta dirección, los números algebraicos cumplieron los fines para los que fueron inventados. La estructura básica de la moderna teoría de las leyes de reciprocidad, que data aproximadamente de 1908, es la de la teoría de Galois, modernizada, de los campos y de los grupos finitos.

El segundo problema, el último teorema de Fermat, al que debemos la teoría de los números algebraicos ha resistido los mejores esfuerzos de tres generaciones de aritméticos desde que Kummer hizo el primer progreso notable. Por lo tanto, en esta dirección la teoría no ha alcanzado su objetivo, aunque en el camino ha encontrado muchas cosas. De ambos problemas parece justo decir que como fines concretos han perdido mucho interés, mientras que los métodos ideados para resolverlos han adquirido cada vez más importancia para la matemática moderna. Por ejemplo, los algebristas que no tienen más que un interés muy ligero en las leyes de reciprocidad o en el teorema de Fermat utilizan continuamente los instrumentos (campos, ideales, anillos, etc.), ideados en primer lugar para tratar aquellos problemas.

Con la teoría de ecuaciones de Galois ha ocurrido igual. El mismo Galois hizo la aportación final en lo que a las ecuaciones algebraicas se refiere, y los trabajos posteriores sobre su teoría inicial no han añadido nada básicamente nuevo a su criterio para la solubilidad por medio de radicales. Incluso la presentación moderna de la teoría de Galois, como en el modelo estilizado de Artin (Alemania, Estados Unidos), es un tributo al credo matemático de Galois, en su eliminación de todo lo superfluo. A lo que principalmente debemos esta moderna liberación del cálculo algebraico es a la manera más directa de abordar el asunto, en 1920-1930 de “Emmy” Noether (en 1882-1935, Alemania, Estados Unidos). Gran parte de su matemática tenía el mismo espíritu que la de Galois. Pero esos métodos, afinados y generalizados por sus sucesores, han trascendido al problema para el que los inventó y han rejuvenecido una buena parte de las matemáticas puras actuales.

En lo relativo al residuo vital de la teoría de los números algebraicos conviene poner de manifiesto que, al igual que la teoría de Galois, se puede ver que tiene su origen en problemas concretos altamente especializados. Ni Galois ni los creadores de la teoría de los campos de números algebraicos se propusieron deliberadamente revolucionar una técnica matemática; sus amplios métodos fueron inventados para resolver problemas concretos.

Según parece ése ha sido el camino habitual hacia la abstracción, la generalización y la pujanza, cada vez mayor. Algunos problemas difíciles que han aparecido en el desarrollo histórico de algún tema particular se toman como punto de partida sin ningún esfuerzo consciente para crear una teoría amplia; los repetidos fracasos para conseguir la solución valiéndose de procedimientos conocidos provocan la invención de métodos nuevos; y, finalmente, los métodos nuevos, habiéndose hecho necesarios para un problema que apareció en el desarrollo histórico, pasan a su vez a la corriente principal.

Tanto el último teorema de Fermat como la teoría aritmética de la reciprocidad no son sino casos muy especiales de un problema central del análisis diofántico. Para decidir en un número finito de pasos sin tanteos si una ecuación diofántica tiene solución o no la tiene se necesita idear criterios. La extraordinaria complejidad de las teorías inventadas para los dos casos especiales indica que sin la invención de métodos radicalmente nuevos no se pueden hacer más que progresos insignificantes hacia la solución del problema general.

LA APORTACIÓN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

La tercera gran época de la ampliación de la aritmética está en el siglo XX después de 1910. En este contexto, anticiparemos que la introducción de métodos generales en el álgebra lineal, iniciada en la primera década del siglo XX, preparó aquel vasto campo de las matemáticas que abrieron Hamilton y Grassmann en la cuarta década del siglo XIX para la aritmetización parcial en la segunda y tercera décadas de este siglo. En 1910, Steinitz (Alemania, 1871-¿?), partiendo de, y generalizando en parte, la teoría de Kronecker (1881) de las “magnitudes algebraicas” hizo una aportación fundamental a la moderna teoría de los campos (conmutativos). Su obra fue uno de los más grandes impulsos que recibió el álgebra abstracta de la segunda y tercera décadas de este siglo, acompañada por la aritmética generalizada. Por lo tanto, se considera que la figura más sobresaliente en la última fase del desarrollo fue Emmy Nocther[7] (Alemania, 1882-1935), quien con sus numerosos discípulos estableció los amplios fundamentos de la moderna teoría abstracta de los ideales, que está también muy dentro de los dominios del álgebra moderna. La aplicación de esta obra a los “enteros” de las álgebras lineales asociativas nos proporciona la última ampliación que se ha hecho hasta 1945 de la aritmética común.

La teoría de los campos de Galois, tal como se ha desarrollado desde 1830, es una de las principales claves para descifrar este intrincado laberinto. La teoría de ecuaciones de Galois propiamente dicha fue el episodio final de aproximadamente tres siglos de esfuerzos para penetrar la naturaleza aritmética de las raíces de las ecuaciones algebraicas. Por consiguiente, nos ocuparemos primero de ello. A este respecto, tiene interés recordar una opinión que emitió Hilbert[8] en 1893, y que aún tiene la misma fuerza:

Gauss, Jacobi y Dirichlet expresaron frecuente y vivamente su asombro por la estrecha relación que existe entre las cuestiones aritméticas y ciertos problemas algebraicos, y en particular con el problema de la ciclotomía. La razón fundamental de esas relaciones ya se conoce ahora por completo. La teoría de los números algebraicos y la teoría de ecuaciones de Galois tienen su origen común en la teoría de los campos algebraicos […]

Después de haber solucionado en el siglo XVI las ecuaciones generales de tercero y cuarto grados, parece que no hubo más que una aportación de importancia duradera a la resolución algebraica de las ecuaciones antes de finales del siglo XVIII. Tschirnhausen[9] (o Tschirnhaus, alemán, 1651-1708) en 1683 aplicó una sustitución racional, reducible a una sustitución polinómica, para eliminar ciertos términos de una ecuación dada. Esto era una generalización de la eliminación de los segundos términos de las cúbicas y de las cuárticas por Cardano, Vieta y otros. Aproximadamente un siglo después (1786), Bring (sueco, 1736-1798) redujo[10] la ecuación general de quinto grado a una de sus fórmulas trinómicas, x⁵ + ax + b = 0, valiéndose de una transformación de Tschirnhausen con coeficientes afectados de una raíz cúbica y de tres raíces cuadradas, resultado de importancia fundamental para la trascendental solución de la ecuación de quinto grado.

Aproximadamente en 1770 Euler resolvió la ecuación general de cuarto grado por un método diferente al de Ferrari. Este éxito inesperado le hizo creer que la ecuación general es soluble por medio de radicales. Como ya señalamos a propósito del problema griego de la trisección de un ángulo, se necesita originalidad de grado superior para poner en duda la posibilidad de una solución por medio de radicales en el caso general. Si fuera posible la solución para la ecuación general de quinto grado, no cabe duda que Euler la hubiera encontrado, porque no tenía quién le superara en el aspecto de manipulación del álgebra. Pero la ecuación de quinto grado exigía una clase diferente de matemáticas. Como Abel indicó, el fracaso de las tentativas para resolver la ecuación general de quinto grado por medio de radicales puede no indicar sino incapacidad por parte del que lo intenta; por muchos que fueran los fracasos no había motivo suficiente para decir que el problema no tiene solución.

En 1770-1771 Lagrange[11] dio un gran paso hacia adelante. En vez de intentar resolver la ecuación general de cuarto grado mediante artificios ingeniosos, Lagrange examinó críticamente las soluciones existentes de las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grados en una tentativa coronada por el éxito para descubrir por qué no habían fracasado los artificios particulares que usaron sus predecesores. También observó que en cada caso la solución es reducible a la de una ecuación de grado inferior cuyas raíces sean funciones lineales de las raíces de la ecuación dada, y raíces de la unidad. Por fin se tenía aquí, al parecer, un método universal. Pero al aplicar su reducción a la ecuación general de quinto grado, Lagrange obtuvo una de sexto grado. El grado de la ecuación resolvente, en vez de disminuir, había aumentado. Ahora vemos que esto era una poderosa indicación de la imposibilidad de obtener una solución por medio de radicales; pero aparentemente Lagrange no se dio cuenta. Sin embargo, había encontrado el germen de la teoría de los grupos de permutación.

En su descubrimiento, Lagrange dio el primer paso hacia la teoría general de los grupos, paso de una importancia incomparablemente mayor para el conjunto de las matemáticas que el haber resuelto por completo la teoría de las ecuaciones algebraicas. Los grupos de permutación sugerían los grupos finitos abstractos. Éstos, a su vez, sugerían los grupos infinitos discontinuos, y finalmente el concepto grupo entró en el análisis y en la geometría al inventar en 1870-1880 Lie (noruego, 1842-1899) los grupos continuos. Los efectos que esto produjo sobre las secciones discretas y continuas de las matemáticas fueron duraderos y profundos. Con la invariancia, íntimamente relacionada con el concepto de grupo, la teoría de los grupos en el siglo XIX transformó y unificó partes muy separadas de las matemáticas, revelando insospechadas analogías de estructura en diferentes teorías. Sin embargo, esto pertenece a los desarrollos posteriores del descubrimiento de Lagrange y lo examinaremos donde sea pertinente. Por el momento nos ocuparemos nada más que de la aplicación de los grupos a las ecuaciones algebraicas.

Para recordar brevemente la naturaleza de lo que encontró Lagrange designemos por x₁, … xn las raíces de la ecuación general de grado n. Entonces, si una función racional f de x₁, … xn queda inalterada por todas las permutaciones de x₁, … xn que hayan dejado inalterada a otra función racional g de x₁, … xn, f es función racional de g y de los coeficientes de la ecuación general.

Una serie de permutaciones S₁, … Sr de una serie dada de letras (como las anteriores x₁, … xn) constituyen un grupo en el sentido técnico ya definido cuando se interprete un producto como el Si Sf de dos permutaciones Si Sf como la permutación cuando se aplica primeramente Si y después Sf a la nueva disposición de x₁, … xn originada por Si. Por ejemplo, si n = 4 y las cuatro letras son a, b, c y d, el símbolo (abcd) indica la permutación que cambia cada letra por su sucesora inmediata considerando a como sucesora de d en este ciclo: a por b, b por c, c por d, d por a. La permutación (acd) cambia a en c, c en d, d en a. Por lo tanto (abcd) (acd) cambia a en b, b en d, d en c y c en a. Así que (abcd) (acd) = (abdc). La permutación idéntica I, o “identidad”, cambia cada letra en ella misma, o lo que es lo mismo, deja inalterada la disposición de las letras. El número de todas las permutaciones posibles n! de x₁, … xn recibe el nombre de grupo simétrico de x₁, … xn. Si x₁, …, xn indica las raíces de una ecuación irreducible de grado n, las propiedades del grupo simétrico en x₁, … xn son la clave para hallar las condiciones necesarias y suficientes para que la ecuación sea soluble mediante radicales. De este modo, es imposible que entremos en detalles aquí, por lo que hemos de remitir al lector a cualquier texto moderno de teoría de ecuaciones o de álgebra superior. El concepto fundamental para las aplicaciones de los grupos finitos a las ecuaciones algebraicas es el de grupo soluble. Más adelante explicaremos el significado de este término.

Lagrange no admitió los grupos. Sin embargo, obtuvo los equivalentes de algunas de las propiedades más sencillas de los grupos de permutaciones. Por ejemplo, uno de sus resultados, expresándolo con la terminología moderna, dice que el orden de un subgrupo de un grupo finito es divisor del orden del grupo. Los subgrupos normales (autoconjugados, invariantes) fundamentales para la teoría de las ecuaciones algebraicas y para la de la estructura de los grupos fueron introducidos por Galois, que también inventó el término grupo.

Tanto Abel como Galois debieron mucho a Lagrange por lo que aportó a sus obras, más profundas que la de éste, sobre las ecuaciones algebraicas. Antes de que Abel se planteara en 1824 el problema de demostrar la imposibilidad de resolver mediante radicales la ecuación general de grado superior al cuarto, un médico italiano, Ruffini (1765-1822) inició en 1799 tentativas para hacer lo mismo. El esfuerzo final de Ruffini (1813) según dicen algunos de los que lo han examinado, es esencialmente el mismo que la simplificación que hizo Wantzel de la demostración de Abel. Éste cargó con los gastos de publicar su demostración en 1824; fue reimpreso en 1826 por Crelle (alemán, 1870-1855) en el primer volumen de su gran revista. Algunos algebristas competentes afirman que las demostraciones finales, tanto de Ruffini como de Abel, quedaron frustradas por defectos remediables. Pero como los descuidos nos son fatales, se acostumbra decir que ambos demostraron la imposibilidad de resolver mediante radicales la ecuación general de grado superior al cuarto. Su obra fue totalmente independiente. La importancia mayor de la demostración de Abel es que inspiró a Galois para buscar una fuente más profunda de solubilidad, que encontró en el teorema de que una ecuación algebraica es soluble por medio de radicales si, y sólo si, se puede resolver su grupo para el campo de sus coeficientes.

No podemos entrar en los tecnicismos del teorema de Galois, pero supondremos en el lector ciertos conocimientos de la moderna teoría de las ecuaciones algebraicas, que al fin y al cabo hace ya más de un siglo que fue escrita, y emplearemos algunos de sus conceptos para ilustrar el significado de estructura tal como este importante teorema del álgebra ejemplifica. Entonces, se definía el isomorfismo simple de dos grupos cualesquiera en relación con los postulados de un grupo. Galois consideraba los grupos simplemente isomorfos como un mismo grupo, como abstractamente lo son en realidad. Cayley (inglés, 1821-1895)[12] expresó esto en 1878 diciendo que las propiedades de un grupo quedan definidas por su tabla de multiplicar.

Se dice que un subgrupo H₁ de un grupo G es divisor normal de G si para cada s de G, sH₁ = H₁s, en que sH₁ indica la serie de todos los productos sh, h de H₁ y análogamente para H₁s y la serie de los productos hs; la igualdad en este caso significa que las dos series contienen los mismos elementos. Un subgrupo de G diferente de G recibe el nombre de subgrupo propio. Un divisor normal máximo de G es un divisor normal propio de G que no sea subgrupo propio de ningún divisor propio normal de G. Los divisores normales máximos del grupo de n! permutaciones de las raíces de la ecuación general de grado n aparecen en el criterio de solubilidad mediante radicales. Para expresar la relación necesitamos definir los grupos cocientes (o factores).

El orden de un grupo es el número de elementos distintos del grupo; y Lagrange demostró (1770-1771) en efecto que el orden de un subgrupo es divisor del orden de todo el grupo. Si H₁ es un divisor normal de orden m₁ de un grupo G₁ de orden n ha de ser n = m₁q₁, siendo q₁ entero; y se puede demostrar que

G = H₁ + s₁H₁ + … + sq₁ ₋ ₁H₁,

en que no haya dos series H₁, s₁H₁, … sq₁ ₋₁H₁ que tengan un elemento común, y en que el signo más significa que todos los elementos de G quedan separados en esas q₁ series mutuamente exclusivas. Es decir, que el + es la adición lógica del álgebra de las clases de Boole. Si K₁, K₂, … Kq indica esas q₁ series (en un orden cualquiera) y si KiKj indica la serie de todos los productos formados multiplicando un elemento de Ki por un elemento de Kj, se puede demostrar que precisamente m₁ de esos productos son distintos y que esos m₁ son todos los elementos de alguna de las K. Además, definiendo de esa forma la multiplicación KiKj, como son descritas, K₁, K₂, … Kq₁ forman un grupo llamado grupo cociente (o factor) de G respecto del divisor normal máximo H₁ de G. Ese grupo cociente se indica por G/H₁; su orden es q₁, y el orden n (= m₁q₁) de G dividido entre el orden (m₁) de H₁ se llama índice de H₁ bajo G. De modo que el índice de H₁ bajo G es en este caso q₁.

Ahora bien, puede haber más de un divisor normal propio máximo de G. Si lo hay, su grupo cociente se puede formar como más arriba y su índice bajo G es conocido. Lo que nos interesa aquí son todas esas posibilidades en cada fase del proceso que vamos a describir a continuación.

Entonces, procediendo con H₁ como hicimos con G, encontramos su grupo cociente H₁/H₂ respecto de cualquier divisor normal propio máximo H₂ de H₁. Este divisor puede ser únicamente el grupo de identidad que consta del único elemento I (la identidad) de G. Ahora, repitiendo el proceso con H₂, y así sucesivamente, seguimos hasta que se detenga automáticamente en I. De este modo, empezando con G y terminando en I obtenemos la sucesión de grupos G, H₁, H₂, …, Ht (= I), cada uno de los cuales (después de G) es un divisor normal propio máximo de su predecesor inmediato. También queda determinada la sucesión de los grupos cocientes G/H₁, H₁/H₂, H₂/H₃ … Ht₋₁/Ht y los índices correspondientes q₁, q₂, … qt. Asimismo, daremos dos definiciones finales para poder enunciar varias consecuencias sorprendentes de este proceso de reiteración. Por lo tanto, se dice que es simple un grupo que no tiene más divisores normales que él mismo y el grupo identidad I formado por el solo elemento I (la identidad del grupo). Si todos los índices q₁, q₂,… qt son números primos, se dice que el grupo G es soluble.

Ahora, recordando que puede haber varias maneras de proceder en cada caso, enunciamos las siguientes conclusiones. Primero,[13] cualquiera que sea la manera en que procedamos, obtendremos el mismo número G, H₁, H₂, … Ht. Segundo, todos los grupos factores arriba mostrados son simples. Tercero,[14] cualquiera que sea el modo de proceder, los grupos factores son los mismos, aunque no estarán necesariamente en el mismo orden, y lo mismo ocurre por tanto con los índices q₁, q₂, … qt. En un sentido que no necesitamos desarrollar, esos teoremas de Jordan (francés, 1838-1922) (1870) y Hölder (alemán, 1859-1937) (1869) son una notable revelación de la estructura de los grupos finitos discretos. A partir de 1930 se han pulido y ampliado lo que se puede comparar con la anatomía microscópica de los organismos articulados.[15] Entonces, recordando el teorema fundamental de Galois sobre la solubilidad de una ecuación algebraica por medio de radicales, vemos que esos teoremas llegan a la raíz del asunto. Para anticiparnos algo, haremos notar aquí que los teoremas de Jordan-Hölder han sido a su vez analizados estructuralmente como fenómenos de la teoría de “enrejados” o “estructuras”. En el capítulo siguiente examinaremos esta teoría.

Más adelante describiremos los desarrollos ulteriores de la teoría de grupo. Por el momento haremos notar que la cuestión de la solubilidad por medio de radicales recibió una respuesta definitiva en la teoría de los grupos finitos.

Una vez que se hubo demostrado la imposibilidad de resolver la ecuación general de grado superior al cuarto por medio de radicales, el problema siguiente fue encontrar qué clase de funciones bastaría para resolver la ecuación general de quinto grado. La ecuación general de tercer grado según se sabía desde hacía mucho tiempo es soluble por medio de funciones circulares (trigonométricas). Las funciones circulares son funciones uniformes (de un solo valor) simplemente periódicas de una variable; son formas degeneradas de las funciones elípticas que son funciones uniformes doblemente periódicas de una variable o “argumento” x. Si f(x) es una función elíptica y p₁ y p₂ son sus dos periodos, p₁/p₂ es necesariamente imaginario, y f(x + n₁p₁ + n₂p₂) = f(x) para todos los valores de los enteros n₁ y n₂. Como veremos cuando examinemos el análisis, Abel y Jacobi descubrieron poco después de 1820 las funciones elípticas por medio de la inversión de las integrales elípticas.[16] Un amplio capítulo de la teoría de las funciones elípticas lo constituye el problema de la división de los periodos: si hay algún entero n tal que nx sea un periodo, el problema de la división entre n es encontrar funciones elípticas que tengan x como argumento. Este problema conduce a ciertas ecuaciones algebraicas que sean solubles por medio de radicales para n = 2, 3, 4, 3.2s. El grado de la ecuación para la división entre un número impar n es (n² − 1) /2. Así, para n = 5 el grado es 12. Pero si n es primo, la ecuación se puede obtener de una forma mucho más sencilla, teniendo entonces solamente el grado n + 1. Recordaremos que Lagrange fue a parar a una ecuación resolvente de grado 6 en sus tentativas para resolver por medio de radicales la ecuación de quinto grado. El problema de la división de las funciones elípticas por n = 5 proporcionó incidentalmente las funciones de a y b que reducen la forma trinómica x⁵ + ax + b = 0 de la ecuación general de quinto grado a una identidad. Las funciones trascendentes necesarias para resolver la ecuación general de quinto grado ya habían sido, pues, construidas.

Este inesperado resultado lo encontró Hermite (francés, 1822-1905) en 1858. Hermite llegó a él por su íntimo conocimiento de las funciones elípticas; observó que una ecuación que se presentaba en el problema de la quinquisección de las funciones elípticas se podía transformar en la forma de Bring de la ecuación general de quinto grado. Simultáneamente, Kronecker se acercaba a la misma meta siguiendo otro camino. El método de Kronecker era muy diferente del de Hermite; se acercaba más a lo que hubiera hecho Galois si hubiera vivido. En 1853 Kronecker se impuso la tarea de resolver un problema fundamental que había encontrado Abel al abordar las ecuaciones algebraicas: encontrar la función más general de x₁, … xn que pueda ser raíz de una ecuación algebraica, con coeficiente en un campo dado; demostró que las ecuaciones que surgen de la teoría de la división de ciertas trascendentes bastan para resolver las ecuaciones generales de determinados grados y de este modo obtuvo soluciones trascendentes de las ecuaciones generales de tercero y cuarto grados. Después abordó la ecuación general de quinto grado sin reducirla previamente mediante una transformación de Tschirnhaus para eliminar ciertos términos. Su objetivo era encontrar un método susceptible de ampliarlo a las ecuaciones de un grado cualquiera.

El interés en estos problemas decayó durante la segunda década del siglo XIX. En lo que a la ecuación general de quinto grado se refiere, Klein (alemán, 1849-1925) revisó en 1884[16] la obra de sus predecesores y la unificó respecto del grupo de las notaciones de un icosaedro regular alrededor de sus ejes de simetría. A Galois se debe el estudio más antiguo desde el punto de vista de los grupos de las ecuaciones (modulares) que surgen en la división de las funciones elípticas.

Como ejemplo de los resultados que se obtuvieron posteriormente en este mismo campo podemos citar un teorema de Hilbert: la ecuación general de noveno grado requiere para su solución funciones de cuatro argumentos.

En resumen, la principal aportación de la teoría de las ecuaciones algebraicas al concepto de número parece haber sido la caracterización de las irracionalidades indispensables para las soluciones generales explícitas. La tentativa de resolver las ecuaciones algebraicas generales de grado superior al cuarto mediante funciones construidas a partir de los coeficientes dados empleando un número finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces acabó al demostrar Abel y Ruffini que no existe esa clase de soluciones, si bien, como ocurre en las ecuaciones generales de grado 2, 3 y 4, definen ciertas especies de irracionalidad. Entonces, se hizo, pues, necesario buscar especies totalmente diferentes de irracionalidad para llegar a la solución de las ecuaciones de grado superior al cuarto. Para las ecuaciones de grado 5 se vio que servían las funciones elípticas modulares.

La obra de Galois y de sus sucesores mostró que la naturaleza, o definición explícita, de las raíces de una ecuación algebraica se refleja en la estructura del grupo de la ecuación para el campo de sus coeficientes. Este grupo se puede determinar sin tanteos en un número finito de casos, aunque, como Galois mismo hizo resaltar, su teoría no tiene el propósito de ser un método práctico para la resolución de ecuaciones. Pero, como indicó Hilbert, la teoría de Galois y la teoría de los números algebraicos tienen su origen común en la de los campos algebraicos. Esta última fue iniciada por Galois, desarrollada por Dedekind y Kronecker a mediados del siglo XIX, refinada y ampliada a fines del siglo XIX por Hilbert y otros, tomando finalmente en el siglo XX una nueva dirección en la obra de Steinitz en 1910 y en la de Noether y su escuela a partir de 1920.

Entre estos últimos progresos y la obra del siglo XIX sobre los números algebraicos y sobre los campos de números algebraicos, se interpuso la elaboración de los sistemas de números hipercomplejos. De ello nos ocuparemos en el capítulo siguiente. Asimismo, hay que observar que las claves principales para la generalización definitiva de la aritmética han sido la teoría de Dedekind de los campos de números algebraicos, la teoría paralela de Kronecker de lo que él llamó magnitudes algebraicas, y las teorías de los campos generales, grupos y anillos. Un anillo se diferencia de un campo en que no se postula la operación inversa de la multiplicación. El ejemplo más sencillo de un anillo lo constituyen los números enteros racionales, 0, ± 1, ± 2, …; la clase de todos los números enteros racionales es un grupo respecto de la adición y es cerrado bajo la multiplicación. En un anillo general no se supone que la multiplicación sea conmutativa. Las álgebras lineales conmutativas son ejemplos de anillos.

PERSPECTIVAS CAMBIANTES, 1870-1920

Cuando sigamos adelante, aludiremos frecuentemente a los grupos. Desde 1870 a la segunda década del siglo XX, los grupos dominaron un amplio sector del pensamiento matemático y a veces se los calificó diciendo que eran la llave maestra desde hace tanto tiempo buscada para todas las matemáticas. La primera fecha, 1870, señala la publicación del clásico Traité des substitutions et des équations algébriques de Jordan (francés, 1838-1922) que contenía bastante más de lo que su modesto título indica. Destacamos esto, porque Jordan fue uno de los pocos especialistas sobresalientes en grupos que hizo aportaciones señaladas a otras secciones de la matemática, incluyendo el análisis. Otros de la misma categoría fueron Klein, Lie, Poincaré, Frobenius (alemán, 1849-1917), Burnside (inglés, 1852-1927) y Dickson (1874-…, Estados Unidos). Pero la mayoría de los que trabajaron en los grupos fueron especialistas en el sentido limitado de la palabra; algunos de ellos después de 1920 se contentaban con repetir las opiniones autorizadas, aunque anticuadas, de matemáticos de primera fila sobre el lugar que ocupan los grupos en el conjunto de las matemáticas, sin adquirir los conocimientos necesarios que les permitieran formar un juicio personal razonable.

Durante los 50 años comprendidos entre 1870 y 1920, las matemáticas no se estancaron; y aunque los grupos seguían siendo una de las aparentes adiciones permanentes al pensamiento matemático, después de 1920 las opiniones autorizadas eran más moderadas de lo que lo habían sido en la última década del siglo XIX al pretender que el dominio de los grupos se extendía sobre todas las matemáticas. Era, pues, inexcusablemente equivocado mantener después de 1930 opiniones excesivas sobre los grupos que hubieran sido muy legítimas poco después de 1910, como si las matemáticas hubieran quedado estacionarias desde la muerte de Poincaré en 1912, aunque algunos de los más grandes matemáticos de la generación pasada siempre citaban en sus obras esas opiniones.

Como ejemplo concreto, un eminente especialista en grupos finitos reprodujo en 1935 la ya hace tiempo anticuada opinión de Poincaré de que “la teoría de grupos es, como si dijéramos, el todo (las cursivas son nuestras) de las matemáticas, despojado de su materia y reducido a ‘forma pura’” como si esta extravagancia fuera todavía el veredicto de la opinión autorizada en 1935. Que no lo era, lo veremos en detalle cuando sigamos ciertos progresos de la geometría posteriores a 1916 que describiremos en relación con aquella otra eminente aportación del siglo XIX a todo el pensamiento matemático que es el concepto de invariancia. La opinión de Poincaré era una exageración incluso cuando la emitió. Como máximo era una comprensible sobrestimación, posiblemente para hacerla resaltar, que no engaña a nadie más que a los analfabetos matemáticos. Aunque podemos continuar recordando con gratitud las hazañas de los grandes creadores de la matemática, no les hacemos a los maestros del pasado ningún favor si perpetuamos sus trasnochadas opiniones para desorientación de las generaciones futuras.

Aquí podemos indicar algunos de los jalones más prominentes en el desarrollo de los grupos, posteriores a Galois, exceptuando los grupos continuos que examinaremos más tarde en otro capítulo. Aún antes de que Galois pusiera en circulación el término grupo, Cauchy (francés, 1789-1857) hizo en 1815 extensas investigaciones sobre lo que ahora se llaman grupos de permutación y descubrió algunos de los teoremas básicos más sencillos. Entonces, volvió al asunto en 1844-1846 y poco le faltó para encontrar el teorema fundamental (1872) de Sylow (noruego, 1832-1918) que se demuestra en la mayor parte de los textos de la teoría de grupos finitos. Cayley (1854) enunció la primera serie de postulados para un grupo, definiendo con ellos los grupos en el sentido técnico aceptado. Esta definición se perdió de vista como observaremos a propósito de los grupos continuos, y algunos de los expertos más notables, incluyendo a Lie y a Klein, emplearon a veces el término grupo para sistemas que no son grupos en el sentido técnico que ahora se acepta universalmente. Por consiguiente, se necesita introducir enmiendas en los enunciados de ciertos teoremas de la obra más antigua. En 1882 Weber (alemán, 1842-1913), cuya Álgebra (tres volúmenes, segunda edición, 1898-1899) presentaba una magistral exposición del álgebra tal como era a fines del siglo XIX, enunció otra serie de postulados.

Diremos de pasada que no hay demostración más productiva del cambio de perspectivas y de objetivos que distinguía al álgebra de principios del siglo XX de la de finales del siglo XIX que una comparación de la obra clásica de Weber con un tratado posterior a 1930. La transición de lo antiguo a lo moderno empezó en 1910 con la obra de Steinitz. Antes de 1910 se acostumbraba decir que dominando perfectamente las tres famosas obras clásicas: el Álgebra de Weber; las Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal (dos volúmenes, 1887-1888; segunda edición, 1913-1915), de Darboux; el Traité d’analyse (tres volúmenes, 1891-1896; tercera edición, 1922-1927) de Picard (francés, 1856-1941) se tenía lo suficiente para una educación liberal en matemáticas y para permitir a un buen estudiante empezar el trabajo creador en lo que eran entonces los temas de interés más vital para los investigadores de la matemática. Menos de un tercio de siglo bastó para dejar irremediablemente anticuada esa educación particularmente liberal, para todo el que buscara orientarse rápidamente para una carrera creadora en las matemáticas vitales. Los que en 1940 querían llegar al frente del progreso estaban en su mayor parte tomando atajos que no existían antes de 1910 y ni aún antes de 1920.

En la primera década del siglo XX reinó una actividad algo febril en el análisis de los postulados de los grupos, en que los algebristas americanos produjeron numerosas series de postulados para los grupos con discusiones de independencia completa. En 1910 nadie podía dejar de entender ya qué es un grupo.

También en otra sección de los grupos finitos los algebristas americanos fueron inconteniblemente prolíficos: la determinación de todos los grupos finitos de un orden dado, especialmente todos los grupos de permutaciones de un número pequeño de letras. Una de las primeras tentativas de hacer un censo completo (1858) fue la de Kirkman (1806-1895), clérigo inglés en una húmeda parroquia, que pretendía que sus métodos bastaban para enumerarlos enteramente. Volverá a aparecer en relación con la topología. Kirkman, matemático no muy conocido, aunque bastante notorio en la época de la perfección de sus sarcasmos, retrospectivamente parece haber sido uno de los combinatorialistas natos de la historia matemática. Por diferentes razones no recibió prácticamente ningún estímulo ni ningún reconocimiento. Entre los americanos que hicieron aportaciones más notables a lo que se podría llamar programa de Kirkman quizá sean los más prolíficos Cole (1861-1927) y Miller (1863-…).

Los grupos de las sustituciones lineales homogéneas con n variables, y también los grupos de esas sustituciones con coeficientes enteros, incluyendo a los grupos de congruencias, fueron objeto de los estudios de muchos, después de que Jordan (1870) hubo demostrado su importancia para varios capítulos del álgebra y del análisis, incluyendo las funciones hiperlípticas y la geometría de las cuárticas planas. Después de la obra de Jordan en este aspecto, las que más consiguieron fueron las de Moore[17] (1862-1932), Dickson, y Blichfeldt (1874-¿?), todos de los Estados Unidos, entre los últimos años del siglo pasado y la segunda década del siglo XX. Después de 1918 decayó el interés en esta especialidad y los algebristas más ingeniosos dirigieron sus esfuerzos en otras direcciones.

En 1920 ya era cosa del pasado la reunión cuidadosa y el análisis detallado de grupos especiales. Si los frutos de esta abnegada labor de cerca de medio siglo llegan a necesitarse alguna vez en las matemáticas puras o en las aplicadas, los trabajadores del futuro se ahorrarán décadas de una de las tareas más duras y más ingratas que jamás se han llevado a cabo en la historia del cálculo algebraico. Los grupos finitos son un episodio del moderno análisis combinatorio, y como tales son tan difíciles de civilizar como cualquier otro fenómeno de esa incipiente ciencia.

En 1896-1899 apareció una brillante excepción a los métodos puramente combinatorios, en el algoritmo de los caracteres de grupo, inventado por Frobenius y aplicado por él y por otros[18] con éxito sobresaliente a varios problemas difíciles de los grupos finitos. Los cálculos indispensables, aunque pesados con frecuencia, no tienen el carácter de tanteos ni son combinatorios. Quizá, pues, presagien un modo de abordar el problema de la estructura de los grupos más inteligentemente razonado, menos desordenado que el periodo taxonómico. Al introducirse poco después de 1930 los grupos en la mecánica cuántica, el algoritmo de Frobenius, algo olvidado, adquirió una posible importancia científica, y se emprendió la tarea de aplicarlo en detalle a los grupos de permutaciones que se presentan en la física. De modo que posiblemente la ciencia estimule al álgebra del futuro a idear métodos más practicables para el cálculo y la enumeración de los grupos finitos que los de la edad heroica de trabajos duros desprovistos de motivación.

LAS MATEMÁTICAS Y LA SOCIEDAD

Al revisar la aportación de las ecuaciones algebraicas al desarrollo del sistema de los números, todo matemático contemporáneo ha de sentirse impresionado por la aparente permanencia de las ideas introducidas por Abel (1803-1829) y Galois (1811-1832), y por la profunda diferencia que existe entre su manera de abordar las matemáticas y la de sus predecesores, incluyendo en ciertos aspectos a Gauss (1777-1855). A esos dos jóvenes, quizá más que a cualesquiera otros dos matemáticos, se puede deber la tendencia hacia la generalización que distingue a las matemáticas de la época reciente, que se inició en 1801 con Gauss, de la época media. Iniciaron para el conjunto de las matemáticas la búsqueda deliberada de métodos y de teorías amplias. Sus precursores en la época media fueron Descartes con su método general de la geometría; Newton y Leibniz con el cálculo diferencial e integral, creado para abordar las matemáticas de la continuidad valiéndose de un procedimiento uniforme; y Lagrange con su método universal de la mecánica. Su contemporáneo en las matemáticas recientes fue Gauss, que con su aritmética trató de unificar mucha de la obra dispersa de los aritméticos más sobresalientes desde Fermat a Euler, Lagrange y Legendre. Tanto Abel como Galois reconocieron su deuda para con la teoría de la ciclotomía creada por Gauss; y aunque llegaron mucho más allá que él en sus álgebras (Abel también en análisis) es concebible que ni Abel ni Galois hubieran elegido el camino que siguieron si no hubiera sido por las indicaciones contenidas en la teoría gaussiana de las ecuaciones binómicas.

Tanto Abel como Galois murieron mucho antes de lo que les correspondía: Abel a los 27 años a causa de la tuberculosis producida por la pobreza, y Galois a los 21, de un tiro de pistola que recibió en un duelo sin importancia. Cuando se reconoció el genio de Abel, sus amigos y el gobierno noruego le dieron subsidios. Por naturaleza era optimista y con buen humor. Galois pasó una buena parte de sus cinco o seis años productivos en una lucha desesperada contra las estupideces y los celos maliciosos de los maestros y la indiferencia presumida de los académicos. Aunque al principio no era pendenciero ni perverso, llegó a serlo.

Si es que alguien tuvo la culpa de la pérdida colosal que representaron esas dos muertes prematuras, hizo que las matemáticas quedaran inútilmente privadas de los sucesores naturales de Gauss. No se puede ni suponer lo que Abel y Galois podrían haber realizado en una vida normal, aunque parece probable que hubiera sido mucho y de la mejor calidad. Para los grandes matemáticos la madurez temprana y una productividad sostenida no son excepción, sino la regla. Posiblemente sea cierto que las ideas más originales se tienen en la juventud; pero cuesta tiempo elaborarlas. Gauss empleó cerca de 50 años en desarrollar las inspiraciones que tuvo (ésta es sustancialmente su propia descripción) antes de que tuviera 21 años, e incluso con medio siglo de continuo laborar sólo consiguió madurar una pequeña parte de sus ideas.

Esto suscita la cuestión de qué haría la “sociedad” hoy día por un Gauss, un Abel o un Galois. Estadistas, y entre ellos Disraeli, han dicho que la sociedad es un asno; inspeccionándola más de cerca se revela como una abstracción nebulosa. Sin embargo, nos valdremos de aquel primer término, porque casi todo el mundo tiene una imagen clara de lo que significa.

Gauss, hijo de un jornalero y sin un centavo, fue educado por la sociedad representada por el duque de Brunswick. Hoy día hubiera sido educado a expensas del Estado, por lo menos en Estados Unidos.

Abel, sin duda, hubiera sido enviado por las autoridades sanitarias municipales a un sanatorio donde quizá se hubiera curado.

Galois con casi absoluta seguridad no sería considerado persona respetable, estaría bajo la custodia de la policía por algún motivo inventado, o en un campo de concentración. Existen pocas pruebas de que los maestros sean hoy menos impotentes ante la incómoda presencia de un cerebro de extraordinaria inteligencia, de lo que lo eran en tiempos de Galois, aunque los custodios del derecho y del orden sean menos nerviosos de lo que fueron cuando sentenciaron a Galois a seis meses de cárcel por un tecnicismo legal. La fábula de Esopo del pavo real y los cuervos contiene un elemento de permanencia: tú eres diferente de nosotros; márchate o te desplumamos.

Sin embargo, la sociedad ha aprendido algo que no sabía cuando permitió que Galois malgastara su vida en un duelo. No se consideraba a Galois “radical peligroso” a causa de sus matemáticas, sino a causa de su política que ahora nos parece extrañamente respetable; era republicano, y con ese motivo se ofreció una recompensa por su captura. La sociedad de la realeza estaba muy preocupada por la continuada seguridad de su prolongada decadencia. Cuando consideramos los intereses de los individuos que componen la sociedad, ésta, de manera muy sensible, y poco después de 1830, fue completamente indiferente a las ideas revolucionarias que Galois tenía en matemáticas. Pero poco después de 1920 la sociedad descubrió que una teoría puramente matemática, la relatividad o la biometría, para ser concretos, puede encerrar peligrosas amenazas para el modo político de pensar. En Rusia se consideró con sospecha a la biometría; en Alemania a la relatividad. Parece injusto decir que la sociedad ha permanecido estacionaria desde que en 1832 eliminó a Galois.

XI
APARICIÓN DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL

TENIENDO como fondo todo el material que ya hemos descrito, observaremos ahora con cierto detalle la tendencia hacia una generalización cada vez mayor y hacia una abstracción más sutil que distingue a gran parte de las matemáticas de la época reciente de casi todo lo que precedió a 1840. La estructura, en un sentido que ya indicaremos y describiremos, fue el resultado final de este acelerado avance desde lo particular hacia lo general. El movimiento se puede observar con claridad tanto en geometría como en álgebra y en aritmética, y en capítulos posteriores lo estudiaremos a propósito de ellas. El método de exposición que seguimos aquí es el ya indicado por considerarlo el más conveniente. Este método sirve para todas las secciones.

Ya vimos que Gauss inventó en 1831 sus números complejos x₁ + ix₂ para resolver un problema concreto de la aritmética racional. Su x₁ + ix₂ escrito en forma de pareja de números (x₁, x₂) sugirió los números hipercomplejos (x₁, …, xn) con n coordenadas x₁, … xn; y era muy natural preguntar si alguno de esos números ampliados con coordenadas reales o complejas podrían ser útiles para la aritmética racional. De una manera más general, ¿cuántos “enteros” se pueden definir en un sistema de números hipercomplejos, y cuál es su “aritmética”?

Antes de poder abordar e incluso formular de manera precisa ambos problemas había que desarrollar el álgebra de los sistemas de números hipercomplejos. Pero, a su vez, esto no era un problema definido. Una vez que se hubo precisado el problema algebraico, su solución venía con rapidez.

Una vez que la invención de los cuaternios planteó por primera vez el problema, parece que hubo tres fases principales.

TRES FASES DEL ÁLGEBRA LINEAL

La primera fase está representada por la obra de Peirce, que en 1870 trataba de encontrar y exhibir todas las álgebras lineales asociativas en un número dado (finito) de unidades fundamentales.[1]

La segunda fase, que se prolonga dentro de la tercera, empezó en la segunda década del siglo XX, y continuó hasta 1920, aproximadamente. Durante este periodo, el objetivo eran los teoremas generales de aplicación a todas las álgebras asociativas lineales.

La tercera fase se distinguió por enunciar de nuevo en forma abstracta gran parte de lo que ya se sabía, y por la introducción de conceptos aritméticos como los de los ideales y las valuaciones en el álgebra abstracta a que dio lugar. El resultado[2] fue una teoría muy amplia y complicada que se podía atribuir tanto al álgebra como a la aritmética, según el gusto de cada cual. Contribuyeron a la teoría abstracta final los anillos y los campos de números algebraicos introducidos desde hacía tiempo a las teorías de las ecuaciones algebraicas y de los números algebraicos; los ideales y los grupos dobles de Dedekind; los campos relativos de Hilbert; los sistemas modulares de Kronecker, y la teoría de los campos de Galois. El producto acabado muestra a grandes rasgos los de las teorías de que procede, pero como aspectos diferentes y particularizados de un todo unificado, al modo de las diferentes proyecciones de una configuración geométrica complicada sobre un plano móvil. Además, la teoría abstracta da una multitud de resultados, a los que no es posible llegar partiendo de sus ejemplos clásicos.

EL MÉTODO ABSTRACTO

El desarrollo total necesitó aproximadamente un siglo. Sus avances de la evolución de toda disciplina matemática de importancia en la época reciente son típicos; primero el descubrimiento de fenómenos aislados; después el reconocimiento de que hay ciertos rasgos comunes a todos ellos; a continuación, el buscar nuevos casos, calcularlos detalladamente y clasificarlos; después, la aparición de principios generales que hacen superflua la necesidad de nuevos cálculos, a menos que sean indispensables para alguna aplicación concreta y, finalmente, la formulación de postulados que cristalizan en forma abstracta la estructura del sistema investigado. La elaboración detallada del sistema abstracto implícito en los postulados sigue a continuación, sin estar obstaculizada por lo que podrían ser circunstancias adventicias en los casos especiales. Incidentalmente diremos que ésta es la razón de que nuestro sistema de numeración decimal hindú-arábigo, en extremo práctico, sea un verdadero obstáculo, excepto para las comprobaciones numéricas, en la investigación de las propiedades de los números. Los números p-ádicos y g-ádicos de Hensel están más próximos a la aritmética.

No se revela toda la importancia de la formulación abstracta más que cuando se toma como punto de partida para la creación deliberada de nuevas matemáticas; ciertos postulados de la serie original se suprimen o se contradicen, y se elaboran las consecuencias de la serie modificada del mismo modo que se elaboraron las de la primitiva. Por ejemplo, en un campo, como se definieron en un principio, la multiplicación es conmutativa. Esto suscita la cuestión de si es posible construir “álgebras” consecuentes sujetas a todos los postulados del álgebra común, excepto el relativo a la propiedad conmutativa de la multiplicación. También, en el álgebra común (que es un campo conmutativo), si a ≠ 0 y ab = ac se sigue por división que b = c. Pero la división entre a presupone que a tiene un inverso respecto de la multiplicación. En los anillos no se define la división; sin embargo, hay anillos en que si a ≠ 0 y ab = ac entonces b = c. Por tanto, la existencia de inversos no se postula como en un campo, sino que se remplaza por la propiedad anterior, más débil, que se toma como postulado. El resultado es un tipo de álgebra más general que un campo, por estar basada en algunos, pero no en todos, los postulados del campo o sus consecuencias.

Al considerar el método abstracto no debemos dejar que nuestra sincera admiración por su singular belleza nos condene a la suerte de Narciso. Posiblemente nuestros descendientes digan que perecimos mientras mirábamos el seductor reflejo de nuestras ideas superficiales.

“Lo que ves ahí,

lo que ves ahí, hermosa criatura, eres tú misma”,[3]

o que nos caímos y nos ahogamos en algo que nunca sospechamos pudiera haber bajo la atractiva superficie. Para iluminar esta herejía con un ejemplo aún más herético, ¿qué razón hay para suponer que a causa de que los ideales de Dedekind hicieron lo que se necesitaba para los anillos de números algebraicos, hubiera que introducir algo semejante en otros anillos? ¿Ni siquiera es evidente que la aritmética de un anillo no conmutativo haya de basarse en los ideales? ¿O que la definición corriente de los elementos integrales de un anillo por analogía con los semejantes, por intermedio de la ecuación común, de un anillo de números algebraicos sea el indicio más prometedor? La respuesta evidente es pedir algo mejor al que manifiesta la duda. Admitiendo que esto es justo, podemos, sin embargo, examinar la otra posibilidad.

La raíz de todas esas dudas parece ser una falta, la carencia de imaginación, de un objetivo claramente conocido. Si se trata nada más que de crear teorías nuevas, a las que muchos encuentran muy interesantes y aún hermosas, entonces el método abstracto sigue avanzando hacia su objetivo. En este aspecto se parece algo al héroe de Stephen Leacock que saltó sobre su caballo y se lanzó furiosamente en todas direcciones. Pero el gusto de otra generación puede encontrar aburridas nuestras abstracciones y nuestras bellezas insulsas; tendrán que atravesar un camino muy duro para llegar a algo diferente. Las enmarañadas masas de nuestras teorías les impedirán dar un paso. Deseando avanzar, el único camino posible que les queda es el rodear casi por completo toda nuestra obra. Ya pasó lo mismo otra vez cuando Descartes rodeó de lejos la obra sintética de Euclides y de Apolonio. El que se sienta inclinado al escepticismo, al ver las grandes acumulaciones de material de geometría abstracta, de álgebra abstracta y de análisis abstracto del siglo XX, le parecerá que pronto tiene que surgir otro Descartes. A menos que se llegue antes de que pasen 2 000 años, no habrá dos matemáticos de aquí a 20 siglos que se puedan hacer entender el uno al otro. Mientras tanto, podemos apreciar lo mucho que ha conseguido el método abstracto moderno, y recordar los pasos principales por los que se llegó al mismo desde que Hilbert, en su geometría de 1899, le dio el impulso más fuerte que ha recibido desde Euclides.

La primera fase del desarrollo del álgebra abstracta, la del cálculo y la tabulación, están en el mismo nivel científico que la botánica sistemática. Todas las ciencias del pasado parecen haber estado condenadas a arrastrarse por esta fase linneana de su desarrollo. Sólo que si Linneo estuviera tan muerto para las matemáticas como parece estarlo para la biología, las matemáticas estarían mucho más robustas y viriles de lo que están. Pero el impetuoso botánico sigue levantándose de entre los muertos; es imposible dominarlo. Mientras que la vanguardia del progreso matemático avanza hacia el genio, una multitud de seguidores extraviados se ocupa en recoger y clasificar subespecies sin importancia o descartadas. Así ocurrió con las teorías de los invariantes algebraicos y de los grupos finitos. Un ejemplo exasperante del análisis reciente lo constituye la introducción de dos nuevos términos técnicos para distinguir x > 0 y x ≧ 0. Después de haber hecho bastantes clasificaciones para indicar alguna característica contenida, parece que no tendría ningún interés recoger más ejemplares, a menos que se necesite usarlos. Por fortuna el álgebra lineal escapó a la furia más intensa de los taxónomos en su rápida transición a la segunda fase.

HACIA LA ESTRUCTURA EN EL ÁLGEBRA

Seleccionaremos unos cuantos episodios típicos de la historia del álgebra lineal[4] para ilustrar la tendencia general que desde 1870, aproximadamente, adoptó casi toda la matemática: partiendo de la elaboración detallada de teorías especiales llegar a una investigación de las relaciones entre las teorías. Los tecnicismos son inevitables, pero los que no estén familiarizados con la materia pueden prescindir de ellos; lo esencial no son los hechos, sino las relaciones entre ellos. Incluso sin conocimientos técnicos es posible apreciar las distinciones que en cuanto a alcance y generalización hay entre los diferentes teoremas. Sin embargo, los tecnicismos tienen interés por sí mismos. Algunos de ellos son jalones en su respectivo terreno. No examinaremos aquí más que los que parecen haber sido pasos principales que conducen de la fase enumerativa de los sistemas de números hipercomplejos a la teoría abstracta de todas esas “álgebras”.

La obra de Peirce (1870) estaba dirigida a encontrar principios para la tabulación completa de las álgebras lineales asociativas en un número finito dado de unidades fundamentales con coeficientes numéricos reales o complejos. Sus métodos eran apropiados y su fracaso parcial en encontrar todas las álgebras que buscaba en menos de siete unidades fue debido a simples descuidos.

El problema de Peirce era equivalente al de mostrar todos los grupos de n símbolos linealmente independientes (unidades básicas o fundamentales) e₁, … en que formen sistemas cerrados bajo la multiplicación asociativa, en la hipótesis de que todo producto eres es función lineal de e₁, … en. Para un n dado, se puede resolver el problema de una manera brutal construyendo todas las tablas de multiplicación al aplicar la condición asociativa

er(eset) = (eres)et

y reteniendo únicamente las que sean cerradas. El trabajo que esto implica al crecer n aumenta muy rápidamente, llegando a ser prohibitivo, y Peirce procedió de otra manera. Dos de los principios que le guiaron dependían de la presencia o ausencia de unidades nilpotentes e idempotentes: si hay un entero positivo r > 1 al que er = 0, Peirce llamó a e nilpotent; análogamente, si e² = e, es idempotent. Esos penetrantes conceptos del álgebra lineal fueron el fundamento de la clasificación de Peirce. Su obra fue continuada por su hijo C. S. Peirce (1839-1914, Estados Unidos), que también hizo eminentes aportaciones a la lógica matemática y del que se dice que inventó la filosofía peculiarmente yanqui conocida con el nombre de pragmatismo.

En un apéndice a la memoria de su padre, Peirce demostró un famoso teorema[5] que enunciamos en su forma acostumbrada: las únicas álgebras lineales asociativas en que las coordenadas son números reales, y en que un producto se anula únicamente si uno de los factores es cero, son el campo de los números reales, el campo de los números complejos ordinarios, y el álgebra de los cuaternios con coeficientes reales. En este caso es evidente el avance más allá de la tabulación.

El teorema también indica un posible tipo de contestación a la pregunta que había hecho Gauss. Sugiere que los cuaternios podían tener una aritmética útil por lo íntimamente relacionados que están con los números complejos ordinarios. R. Lipschitz (alemán, 1832-1903) en 1886 y A. Hurwitz en 1896 construyeron extensas aritméticas de los cuaternios ordinarios. Dickson en 1922 simplificó esas aritméticas. El orden histórico en este caso es el de la sencillez cada vez mayor.

A partir de los últimos años de la década 1870-1880 hasta fines de siglo, el álgebra lineal tomó varias direcciones nuevas, que en su época parecieron extraordinariamente prometedoras pero que no han influido mucho sobre el avance principal. Así, por ejemplo, G. Frobenius (alemán, 1849-1917) desarrolló en 1877 una interesante relación entre los sistemas de números hipercomplejos y las formas lineales. Esto fue seguido en 1884 por el descubrimiento que hizo Poincaré de una relación análoga con los grupos continuos de Lie (noruego, 1842-1899). A propósito de la invariancia indicaremos cuáles fueron las aportaciones más sobresalientes que hizo Lie a las matemáticas del siglo XIX. Poincaré remplazó el problema de la clasificación mediante un equivalente accesible a una amplia clase de álgebras lineales: encontrar todos los grupos continuos de sustituciones lineales cuyos coeficientes sean funciones lineales de n parámetros arbitrarios. Esta línea de ataque la desarrolló con bastante éxito Scheffers (alemán, 1866-¿?) heredero científico de Lie, que en 1891 emprendió la tarea de demostrar que la teoría de los grupos continuos (finitos) de Lie contiene la teoría de los sistemas de números hipercomplejos. Por consiguiente, la teoría de esos grupos proporcionaba principios para poder clasificar las álgebras lineales asociativas.

En los últimos años del siglo XIX se cultivó la teoría de Lie quizás más asiduamente de lo que lo iba a ser durante una generación, hasta que reviviera en una geometría diferencial renovada. Reflejando este amplio interés, Cartan (francés, 1869-¿?) aplicó en 1898 la teoría de Lie para obtener una clasificación de los sistemas de números hipercomplejos que se desprende de una manera “natural” de aquella teoría. Pero esos comienzos en apariencia prometedores se abandonaron prácticamente poco después de 1900, y el avance principal siguió otra dirección iniciada en 1907 con la obra de Wedderburn (escocés, Estados Unidos, 1882-¿?).

Frobenius y Cartan habían obtenido numerosos resultados especiales para los sistemas de números hipercomplejos en que las coordenadas sean números racionales, mientras que en una teoría general las coordenadas no deben tener ninguna restricción mayor que la que los elementos de un campo abstracto. Los postulados para tratar esa situación los enunció en 1905 Dickson. Puesto que el desarrollo de Cartan dependía de una ecuación característica de un álgebra lineal asociativa, no siempre era posible ampliarla en casos generales. De todas maneras, el álgebra tenía una nueva dirección en 1907, directamente hacia la teoría de la estructura.

El teorema de Frobenius y de Peirce sobre los cuaternios sugirió la investigación para encontrar todas las álgebras lineales asociativas[6] que satisfagan ciertas condiciones previamente impuestas. Las más importantes de ellas son las álgebras de la división, en las que si a (≠ 0) y b son dos elementos cualesquiera del álgebra, las dos ecuaciones ax = b, ya = b tienen separadamente una solución única. Con objeto de mostrar ejemplos concretos de la estructura podemos recordar dos de los primeros resultados conseguidos con las álgebras de división.

Galois inició el estudio de los campos que contienen tan sólo un número finito de elementos diferentes. En 1893 demostró Moore (1862-1932, Estados Unidos) que todos los campos conmutativos finitos son del tipo que estudió Galois; que esos campos están únicamente determinados por un par de enteros positivos p, n, de los cuales p es primo; y que el campo correspondiente contiene pn elementos distintos. Este terreno muestra una de las muchas variantes de la estructura: se prescribe un carácter que incluye a todos los campos (conmutativos) que contengan tan sólo un número finito de elementos distintos. Otra variante se presenta en el teorema de Wedderburn de 1905, que dice que si las coordenadas de un álgebra de la división lineal asociativa son elementos de un campo finito, necesariamente la multiplicación en esa álgebra ha de ser conmutativa.

Como veremos más adelante, las álgebras de la división desempeñan un papel dominante en la teoría de la estructura algebraica. La determinación de todas las álgebras de la división o el descubrimiento de amplias clases de esas álgebras fue, pues, un problema central para esa teoría. Dickson en 1914 construyó álgebras de la división en n unidades fundamentales con coeficientes en un campo cualquiera F.

Al llegar aquí conviene repetir que estamos primordialmente interesados en la aparición de la teoría de la estructura y en especial en cómo se presenta en el álgebra lineal. Para poner de manifiesto los puntos esenciales será necesario que a continuación enunciemos un teorema de aspecto formidable que contiene varios términos técnicos cuyo significado no hemos explicado aún. Los que ya conozcan el tema reconocerán que el enunciado es uno de los teoremas fundamentales[7] (el de Wedderburn de 1907) sobre la estructura de las álgebras. Los que lo vean por primera vez pueden sustituir las letras S, X, Y, …, por los términos suma, semisimple, suma directa…, como haremos dentro de un momento, y atender únicamente a la construcción de las frases que constituyen el teorema. De esa forma se hará evidente el carácter estructural, que es lo que nos interesa aquí. Por simple conveniencia verbal se dice de un álgebra lineal asociativa cuyas coordenadas están en un campo F, que está sobre F. El teorema dice:

1) Toda álgebra lineal asociativa sobre un campo F es la suma de un álgebra semisimple y de una subálgebra nilpotent invariante, ambas sobre F;

2) Un álgebra semisimple sobre F o es simple o es la suma directa de álgebras simples sobre F.

3) Toda álgebra simple sobre F es producto directo de un álgebra de división y de un álgebra simple matriz ambas sobre F, incluyendo la posibilidad de que el módulo sea la única unidad de un factor.[8]

Eliminando los tecnicismos, que no tienen interés para nuestro objeto, lo enunciaremos con S, X, Y, …

1) Toda álgebra lineal asociativa sobre un campo F es la S de un álgebra X y de un álgebra Y, ambas sobre F;

2) Un álgebra X sobre F o es un álgebra Z o la DS de álgebras Z sobre F;

3) Toda álgebra Z sobre F es la DP de un álgebra W y de un álgebra U, ambas sobre F.

El teorema muestra la estructura de cualquier álgebra lineal asociativa sobre cualquier campo (conmutativo) F por medio de tres clases de operaciones, S, DS, DP, y cinco especies de álgebras X, Y, Z, W, U. De este modo es posible descomponer cualquier álgebra lineal asociativa sobre un campo cualquiera F en álgebras de las cinco clases especificadas, y siempre del mismo modo, es decir, mediante S, DS, DP. Sin complicar más la cosa, eso es lo que se quiere dar a entender cuando se dice que todas las álgebras lineales asociativas sobre un campo cualquiera F tienen la misma estructura respecto de ciertas clases especificadas de subálgebras. Entonces, podemos, pues, limitar la atención a cinco clases concretas de subálgebras. Una de esas, W, comprende a las álgebras de la división.

Asimismo, resulta evidente la distinción tan radical que existe entre los teoremas generales de estructura de este tipo y el tipo de álgebra de catalogación que los precedió. El cambio de objetivo es típico de las modernas matemáticas abstractas. Ya no se estima a los ejemplares por sí mismos, como se hacía en el siglo XIX; es como si a una laboriosa compañía de coleccionistas de fósiles que nunca hubiera oído hablar de Darwin recibiera súbitamente aclaraciones de boca de un evolucionista. Sus interesantes colecciones, algo desprovistas de sentido, se simplificarían mucho adquiriendo una insospechada coherencia.

HACIA LA ABSTRACCIÓN EN EL ANÁLISIS Y EN LA GEOMETRÍA

Por estar relacionados con los números reales, mencionaremos aquí otros tres avances que se hicieron entre 1906 y 1920 hacia la abstracción y la generalización. Ninguno de ellos se originó en el álgebra; sin embargo, por lo menos uno, el de Kürschák (1864-1933, Hungría), había de sugerir consecuencias de gran alcance tanto en el álgebra como en la aritmética. Todas ellas estaban dirigidas hacia la teoría de la valuación, generalizando la de los números reales y la de los números complejos ordinarios.

Con todo número complejo x + iy escrito en la forma de las parejas de números hamiltonianas (x, y) hay asociado un solo número real |(x, y)|, el “valor absoluto” de (x, y), que es la raíz cuadrada positiva de x² + y². Pero si x, y son elementos de un campo abstracto F, x² + y² no es un número real. Para distinguir el elemento cero de F del cero, 0, del campo de números reales, lo escribiremos en la forma 0′.

Ampliando las propiedades de los valores absolutos del campo de los números complejos ordinarios a los elementos 0′ x, y… de un campo abstracto F, Kürschák en 1913 asoció con todo elemento z de F un solo número real, su “valor absoluto”, que se indica por ||z||, sujeto a los postulados ||0′|| = 0; ||x|| > 0 si x ≠ 0′; ||zw|| = ||z|| ||w||; ||z + w|| ≦ ≦ ||z|| + ||w||, para toda z, w en F.

A esta última se le llama a veces desigualdad triangular, la cual es análoga al teorema de la geometría plana euclidiana que dice que todo lado de un triángulo es menor que, o igual a (cuando los vértices son colineales) la suma de los otros dos lados. Si la “distancia” entre dos elementos cualesquiera x, y está definida por || x − y ||, los postulados para esos valores absolutos reproducen las propiedades que se suelen asociar con el concepto distancia. Así las definió en 1906 (R.) M. Fréchet (francés, 1878-…) en su tesis doctoral en París. Esta obra es una de las fuentes del moderno análisis general o abstracto, la teoría de los espacios abstractos, y la topología (de todas ellas nos ocuparemos más adelante). Otro avance en esta dirección fue el que hizo Banach (polaco, 1892-1941) en 1920 al eliminar la restricción de que los elementos x, y, … estén en un campo; sus x, y, … son elementos de una clase cualesquiera.

De esta manera se podría pensar que nada que no fuera conocido podría salir de esas copias fieles de las propiedades más sencillas de los números reales y de los complejos. Para probar lo contrario no necesitamos sino quitar un resultado más bien inesperado de este proceso de abstracción. Asimismo, se ha visto que gran parte del análisis basado en los números reales o en los complejos tiene su imagen en el análisis general. No es necesario suponer que x, y, … son números reales o complejos para obtener muchos resultados que anteriormente se suponían consecuencia de aquella hipótesis. Por ejemplo, en el análisis de Fréchet, los puntos límites y las series convergentes son susceptibles de definición y los teoremas sobre la convergencia para este análisis abstracto son aplicables en este caso especial del análisis en que los elementos básicos son números reales o complejos. Además, se podría imaginar que para los números racionales r, … el único posible ||r|| es el familiar |r|. Pero Ostrowski (ruso, 1893-¿?) demostró en 1918 que precisamente en realidad hay dos tipos diferentes. De modo que al menos en este ejemplo la abstracción condujo a algo nuevo e inesperado.

EL FINAL DE UNA ARITMÉTICA

La pregunta de Gauss relativa a la posible utilidad de los números hipercomplejos en la aritmética superior tiene un interés peculiar tanto histórica como matemáticamente. También hemos visto que Gauss conocía los cuaternios, y nos hemos referido a las aplicaciones de los cuaternios a la teoría clásica de números. No es probable que Gauss desarrollara suficientemente los cuaternios como para sospechar que tienen interesantes propiedades aritméticas. Sin embargo, preguntó:[9] “las relaciones entre cosas que nos proporcionan un agregado de más de dos dimensiones, ¿no nos darán también clases permisibles de magnitudes (números) en la aritmética general?”

Mucho se ha especulado acerca de lo que Gauss consideraba permisible. Cada opinión engendraba su propia respuesta en una enumeración de todas las álgebras que satisfacen las condiciones permisibles. No indicaremos sino algunas respuestas muy semejantes, ya que la dirección que tomó la aritmética general después de Gauss no la pudo prever éste.

Por otro lado, se dice que en 1863 Weierstrass demostró en sus conferencias el siguiente teorema; por lo menos lo publicó con otros varios del mismo tipo en 1884. Los únicos sistemas de números hipercomplejos con coordenadas reales en que un producto se anula solamente si se anula por lo menos uno de sus factores, y en que la multiplicación es conmutativa, son el álgebra con una unidad fundamental e tal que e² = e, y el sistema de dos unidades de los números complejos ordinarios. Si Gauss no permitía los divisores de cero y si insistía en la multiplicación conmutativa, esto contesta su pregunta. El álgebra con e² = e tiene poco interés; la otra dio a Gauss su aritmética de los enteros complejos a + bi en que a y b son números enteros reales. En pocas palabras, diremos que él mismo había alcanzado el final del camino que podía haberse imaginado antes de indicarlo explícitamente.

Los progresos sucesivos siguieron otras direcciones, a partir de la obra de Dedekind sobre los campos de números algebraicos y sobre los ideales y en la teoría de Kronecker de los sistemas modulares tal como la desarrolló él mismo y otros, especialmente Lasker (alemán, ex campeón mundial de ajedrez, 1868-1941) en 1905, J. König (1849-1913, Hungría) en 1903, y Macaulay (inglés, 1862-1937) en 1916. A continuación pasamos una breve enumeración de lo que parecen haber sido los pasos principales hacia esos vastos progresos del álgebra y de la aritmética modernas.

DIRECCIONES NUEVAS

Únicamente seleccionaremos tres puntos de entre la enorme masa de trabajos que se han hecho a partir de 1900 sobre la aritmetización del álgebra, o viceversa, para indicar la tendencia hacia la abstracción y el análisis de la estructura.

En su teoría algebraica de los campos (1910), Steinitz buscó todos los tipos posibles de campos y las relaciones que los ligan. Partiendo de los tipos más sencillos, explícitamente definidos, los amplió por prolongaciones algebraicas o trascendentes. En las prolongaciones algebraicas, Steinitz siguió el método de Cauchy tal como lo empleó Kronecker, y que ya hemos descrito en un capítulo anterior. Los conceptos de característica, campo primario, campo completo y otros que ahora son corrientes en los textos modernos de álgebra superior recibieron un tratamiento completo en esta profunda refundición y ampliación de la teoría de Kronecker de las magnitudes algebraicas. El resultado final se puede describir a grandes rasgos como un análisis de la estructura de los campos respecto de sus posibles subcampos y supercampos.

El punto siguiente, que data aproximadamente de 1920, señala un progreso evidente; está representado por una multitud de trabajadores vigorosos que emprendió en el siglo XX la tarea de hacer para un anillo abstracto lo que Dedekind había hecho para un anillo cualquiera de números algebraicos, y ampliar la teoría de Galois a los campos abstractos. De este modo la teoría de Dedekind de los ideales fue generalizada y abstraída, al igual que la teoría de Galois. La primera de éstas se puede atribuir propiamente a la aritmética, ya que uno de los principales objetivos es el descubrimiento para un anillo cualquiera de teoremas de descomposición única análogos al teorema fundamental de la aritmética o a la representación única de un ideal de Dedekind como producto de ideales imaginarios primos. No había que esperar que hubiera un solo tipo de descomposición manifiestamente preferible a todos los demás para un anillo general; ni era razonable suponer que la aritmética racional o la teoría de los números algebraicos fuera susceptible de traducción al nuevo dominio con sólo modificaciones de menor importancia. En 1945 tan sólo había sido estudiada de una manera algo completa la aritmética de los anillos con la propiedad conmutativa.

A pesar de las diferencias tan radicales que existen entre la aritmética de los anillos conmutativos (por lo general sin divisores de cero, los llamados dominios de integridad) y la de los números algebraicos, la teoría de los ideales de Dedekind mostró ser un indicio valioso. Por ejemplo en la teoría de Dedekind un ideal tiene una base única, es decir, que todo número del ideal se puede representar como n₁b₁ + … + nrbr, en que b₁, … br son números enteros fijos del campo de números algebraicos en cuestión, y n₁, … nr pueden tomar independientemente cualquier valor de los enteros del campo. Pero esto no sugiere directamente ninguna generalización provechosa a los anillos. Sin embargo, es equivalente al teorema de que cualquier sucesión A₁, A₂, A₃… de ideales tal que Aj+1 sea divisor propio de Aj para j = 1, 2, termine después del número finito de términos. Este “teorema de cadena”, válido en la teoría de Dedekind, es susceptible de generalización.

Asimismo, hay dos puntos fundamentales aunque no tengan ese aspecto de la teoría clásica de los ideales numéricos algebraicos que pasaron inalterados en la teoría abstracta; son estos el m. c. d. (máximo común divisor) y m. c. m. (mínimo común múltiplo). Aunque a primera vista parecen simples detalles, la experiencia ha demostrado que son el marco de gran parte de la estructura algebraica, y que cuando se anuncian abstractamente como postulados algunas de sus propiedades más sencillas, el sistema resultante unifica teorías del álgebra y de la aritmética muy separadas y en apariencia distintas. En realidad, conducen a lo que parecía ser la teoría de la estructura algebraico-aritmética más prometedora que se ha imaginado hasta 1945. Por consiguiente, describiremos detalladamente sus propiedades.

El fenómeno importante apareció por primera vez en la lógica matemática, concretamente en el álgebra de las clases que ahora se llama álgebra de Boole por haber sido su fundador Boole (inglés, 1815-1864). Si las letras A, B, C, … indican clases cualesquiera y se lee el símbolo > como “incluye” o “contiene”, es cierto que de A > B y B > C se sigue A > C. El símbolo < tiene el significado “está incluido en” o “está contenido en”.

Si A y B son dos clases cualesquiera, su “intersección”, que se indica por [A, B] es la clase más amplia, la mayor, cuyos miembros pertenecen a A y a B. Por ejemplo, si A es la clase de todos los animales que tienen pelo rojo en la cabeza, y B es la clase de todas las muchachas, [A, B] es la clase de todas las muchachas pelirrojas. Si A es la misma clase que antes y B es la clase de todas las verduras, [A, B] es la clase nula, es decir, la clase que no tiene ningún miembro. Además, si A y B son dos clases cualesquiera, su “unión”, indicada por (A, B), es la clase menos extensa cuyos miembros pertenecen a A o a B, o a ambas. En el segundo de los ejemplos anteriores, (A, B) es la colección más pequeña, cada uno de cuyos miembros es o bien un animal con pelo rojo en la cabeza, o bien una verdura.

Otra manera de enunciar estas definiciones es la siguiente. Si A y B son dos clases cualesquiera, tienen una sola subclase común mayor que todas las demás, [A, B], y una sola superclase más pequeña que todas las demás, (A, B). Por definición A es igual a B, y se escribe A = B, si, y sólo si, A > B y B > A; y se hace el convenio de que A > A. Con esto resulta un sencillo ejercicio de lenguaje comprobar los siguientes enunciados relativos a un grupo cualquiera (o clase) 𝔖 de clases A, B, C, D, D₁, …, M, M₁, …

1) Si A, B y C son tres miembros cualesquiera de 𝔖 tales que A > B y B > C, entonces, es A > C.

2) Si A y B son dos miembros cualesquiera de 𝔖, hay un miembro de 𝔖, al que llamaremos D tal que D ≦ A, D ≦ B; y tal que si también D₁ ≦ A y D₁ ≦ B, es D₁ ≦ D. También hay un miembro de 𝔖 al que llamaremos M tal que M ≧ A, M ≧ B; y tal que si también M₁ ≧ A, M₁ ≧ B, es M₁ ≧ M.

Los enunciados de 2) son ciertos cuando D es la intersección [A, B] de A y B, y M es su unión (A, B). Si leemos (A, (B, C) ) como la unión de A y (B, C), y [A, [B, C] ] como la intersección de A y de [B, C], tendremos los siguientes teoremas, que son consecuencia inmediata de 1) y 2):

[A, B], (A, B) son definidos unívocamente; [A, B] = [B, A], (A, B) = (B, A); [A, A] = A, (A, A) = A; [A, [B, C]] = [[A, B], C], (A, (B, C)) = ((A, B), C); (A, [A, B]) = A, [A, (A, B)] = A.

Se puede dejar a la imaginación del lector decidir si el siguiente es cierto para las clases,

3) Si A < C < (A, B), es C = A, [B, C]).

Para nuestros fines es importante comprobar que 1), 2) y los sencillos teoremas arriba indicados se satisfacen con las siguientes interpretaciones totalmente diferentes de A, B, C, …, >, =, <: A, B, C, … es una clase cualquiera de números enteros racionales positivos; “=” es la igualdad de la aritmética común; “>” significa “divide”; “<” significa “es divisible por”; [A, B] es m. c. m. de A y B, y (A, B) es su m. c. d. Recordando que “divide” en la teoría de los ideales de Dedekind significa “contiene” o “incluye” como en la inclusión de clases, vemos por qué es importante la interpretación de términos de clases para la teoría de los ideales.

Ahora despojaremos A, B, C, …, >, <, [A, B], de toda interpretación y todo significado, y tomaremos 1) y 2) como postulados que definen los símbolos A, …, >, <, etc. Designando la D y la M de 2) por [A, B], y (A, B) respectivamente, por comodidad de notación, podemos deducir de nuestros postulados los mismos teoremas que anteriormente.

El sistema abstracto así definido no está desprovisto de significado, puesto que hemos mostrado en realidad dos de sus casos. Con uno hubiera bastado; hay muchos más. El sistema abstracto por 1) y 2) ha recibido diversos nombres incluyendo el de estructura y el de enrejado. Nosotros vamos a dar preferencia al segundo para evitar confundirlo con estructura tal como se ha definido con anterioridad en la lógica matemática.

Aquí alcanzamos lo último del álgebra aritmetizada o de la aritmética algebraizada que se ha hecho hasta 1945. Quizá no resulte ser un buen vaticinio, pero en la época en que escribimos esto, muchos de los de la joven generación de algebristas y aritméticos creen que en esta teoría de los enrejados han unificado, por fin, una multitud de teorías heredadas de sus prolíficos predecesores. En los Estados Unidos es donde la teoría ha adquirido un desarrollo más vigoroso. Para variar la monotonía histórica de ocuparse casi exclusivamente de los muertos, mencionaremos los nombres de dos de los que han contribuido más activamente a este dominio rápidamente creciente de las matemáticas abstractas: Birkhoff[10] y Ore.

El enunciado 3) que se dejó al ingenio del lector, en la teoría abstracta no es consecuencia de 1) y 2). Cuando se incluye 3) juntamente con 1) y 2) entre los postulados, el sistema resultante define un tipo especial de enrejado que lleva el nombre de Dedekind, por haber sido él el primero (1897) en investigar dichos sistemas. Que así lo hiciera es otro ejemplo de su genio penetrante y profético. Su obra pasó completamente inadvertida durante un tercio de siglo, hasta que se notó su importancia para la teoría de los enrejados.

Por otro lado, sería hacerle poca justicia dejar la teoría de los enrejados sin hacer ninguna indicación de sus alcances. A continuación presentamos una breve cita[11] de uno de los creadores de la teoría que contiene toda la esencia del asunto: “En la discusión de la estructura de los dominios algebraicos el interés primordial no se encuentra en los elementos de esos dominios, sino en la relación de ciertos subdominios distinguidos como los subgrupos invariantes (normales) de los grupos,[12] ideales de los anillos, con los módulos característicos de los sistemas modulares. Para todos éstos están definidas las dos operaciones de unión e intersección que satisfacen los axiomas ordinarios”, es decir, los postulados 1) y 2).

La rápida expansión de esta teoría de estructuras o enrejados después de una detención de un tercio de siglo aproximadamente, subsiguiente a la introducción de Dedekind de los grupos dobles, es típica de gran parte del desarrollo reciente de las matemáticas. Entre otros rasgos comunes figura la aparentemente inevitable lentitud con que acaba de aparecer algún rasgo básico muy sencillo que sirve de fundamento a una multitud de diversidades. Por lo general, el concepto unificador, que va implícito en todas sus manifestaciones diferentes, una vez que ha sido percibido resulta desconcertantemente evidente. Pero por ahora no hay ninguna técnica reconocida para percibir lo evidente o para no confundir la importancia con la trivialidad, y según parece cada caso ha de esperar a que más o menos surja su oportunidad al azar. Tampoco los matemáticos son siempre profetas infalibles sobre qué es lo que las matemáticas han de retener como de vital interés, o qué es lo que ha de adquirir una importancia nueva. Un ejemplo que merece figurar entre los clásicos de la historia es la súbita popularidad del cálculo tensorial, que hasta que los relativistas lo adoptaron estaba en el más completo abandono. En todas esas revaluaciones resulta fácil ver después de que haya ocurrido que bien podrían haber sucedido mucho antes. Sin embargo, nadie puede prever dónde se ha de producir otro acontecimiento semejante. El simple abandono no asegura de manera necesaria la inmortalidad a nadie de los que estén pendientes de su reputación o de la permanencia de sus obras.

En lo relativo a los enrejados o estructuras, una de las características determinantes de la teoría hubiera podido ser anticipada, pero no lo fue, en 1854, en que Boole publicó sus Laws of Thought. Boole reconoció la inaplicabilidad de la naturaleza de los elementos individuales de las clases cuyas uniones e intersecciones dan al álgebra de Boole un carácter distintivo. En apariencia, sin darse del todo cuenta de lo que había hecho, y que ahora nos parece tan claro, Boole había dado el primer paso decisivo hacia el álgebra abstracta y hacia una parte de la geometría posterior a 1930 y a 1940. En esos nuevos progresos, el interés no reside en los elementos de ciertos dominios, sino en las inclusiones, intersecciones y uniones de subdominios distinguidos formados con clases de elementos del dominio primitivo. Los datos básicos son conjuntos de elementos más que los elementos en sí, y el nivel original de su acción se eleva en lo que la experiencia ha demostrado que es una jerarquía natural de abstracciones.

El álgebra de las clases de Boole atrajo muy poca atención por parte de los matemáticos durante el siglo XIX, pasando por completo inadvertidas las indicaciones que podría haber ofrecido para la geometría proyectiva y para el álgebra. Si Boole hubiera asimilado la controversia de 1820-1830 sobre la validez del principio geométrico de dualidad, hubiera podido anticipar la interpretación algebraica de la geometría proyectiva que se hizo poco después de 1930. En un capítulo posterior nos ocuparemos de la controversia; por el momento bastará decir que el “espacio real”, que algunos de los participantes se imaginaban estar discutiendo, se evaporó. Más adelante volveremos sobre esto.

Otro indicio que se debiera haber advertido se presentaba en los varios teoremas de descomposición de la aritmética y del álgebra. La descomposición, como en la factorización única de la aritmética racional y en la teoría de los números algebraicos, reduce un sistema dado a un sistema de partes más sencillas, combinadas de acuerdo con reglas preestablecidas para producir los elementos del sistema dado. Las “partes más sencillas” de la aritmética racional son los números primos racionales; en los números algebraicos, los ideales primos; y en ambas las reglas son las de multiplicación de un grupo abeliano. La descomposición puede no ser única, de lo cual es un ejemplo la base de un grupo abeliano. Otros ejemplos muy sugestivos de descomposición son el teorema de Jordan-Hölder, descrito anteriormente, para los grupos finitos, los teoremas de Wedderburn sobre la estructura de las álgebras lineales y la determinación de Noether de todos los anillos conmutativos en los que hay factorización ideal prima única. En virtud del teorema de Jordan-Hölder, lo que importa es el subsistema de subgrupos normales (invariantes, autoconjugados) de un grupo finito dado respecto del cual se efectúa la descomposición; los elementos del grupo en sí no tienen más que importancia secundaria. Para los enteros algebraicos los subconjuntos distinguidos son los ideales, y así sucesivamente; en cada caso los elementos originales son secundarios. Con estos y otros ejemplos por delante, resultó gradualmente evidente para los algebristas que habría alguna característica común que originara por lo menos parte de los fenómenos de descomposición de las distintas teorías. Los enunciados axiomáticos revelan que la característica común es un enrejado que a todos ellos les sirve de base. En su obra de 1900 sobre los grupos dobles engendrados por tres módulos, Dedekind había percibido las relaciones con lo que ahora se llama álgebra de Boole. Una vez conocido el rasgo unificador, el paso natural que había que dar a continuación era desarrollar el álgebra de los enrejados como teoría independiente para lo que tenía mérito propio. El resultado fue una teoría abstracta de estructuras o enrejados.

La abstracción por la abstracción puede resultar muy fructífera, o estéril. Si sugiere nuevos teoremas o expresa lo que ya se sabe de manera más sencilla y clara, la abstracción asciende al nivel de las matemáticas creadoras. Al avanzar la teoría de los enrejados, unificó y simplificó gran parte del álgebra existente, y las partes fundamentales de otras varias disciplinas; también ayudó a descubrir nuevos resultados. No había que esperar que el enrejado general en sí mismo aclarara todos los fenómenos de descomposición, y al progresar la teoría se definieron varios tipos de enrejados especiales que se adaptaran a teorías particulares. Un indicio significativo era la invariancia de la longitud de la cadena, el número de factores que la componen, del teorema de Jordan-Hölder para grupos finitos. Mas en un principio se hubieran podido seguir otros indicios igualmente evidentes. Pero todo esto se nos aparece al mirar hacia atrás, y estará más de acuerdo con la época el limitarse a mencionar algunos de los puntos que la teoría de enrejados aclaró. Para mayores detalles remitimos al lector a la Lattice Theory de Birkhoff, 1940.

El álgebra de Boole, fuente histórica de la teoría de enrejados, ocupa de manera natural un lugar en la teoría, como tipo especial de enrejado (complementado, distributivo). Los enrejados distributivos se pueden formar por medio de anillos de conjuntos, lo cual, aunque con otra terminología, ya había en el fondo observado Euler. De esto se sigue con una especialización pertinente la teoría de la representación de las álgebras de Boole por medio de conjuntos de campos. Esto último sugirió en parte aplicaciones del álgebra de enrejados a las teorías clásicas de conjuntos, y a las medidas. En un capítulo más avanzado indicaremos las amplias generalizaciones del “espacio” geométrico del siglo XIX que evolucionó hasta llegar a ser la geometría del espacio abstracto del siglo XX. Entre esas generalizaciones, los espacios funcionales del siglo XX se adaptaron con facilidad a la abstracción. Kantorovich (ruso) definió en esencia (1937) un espacio lineal parcialmente ordenado como espacio lineal (real) que tiene elementos no negativos f representados por f ≥ 0, sujeto a los tres siguientes postulados: si f ≥ 0 y λ ≥ 0, es λf ≥ 0; si f ≥ 0 y − f > 0, es f = 0; si f ≥ 0 y g ≥ 0, es f + g ≥ 0. En 1940 demostró Birkhoff que todo espacio funcional hasta entonces conocido constituye un enrejado respecto de ese ordenamiento parcial. Los enrejados victoriales fueron también definidos y se demostró que son susceptibles de descomposición en sus componentes positivos y negativos de los valores absolutos definidos. En relación con las abstracciones de los valores absolutos de los números reales y complejos, en un capítulo posterior indicaremos el tipo de espacio abstracto que lleva el nombre del matemático polaco Banach. Los enrejados de Banach estaban definidos como enrejados vectoriales con una norma convenientemente especializada (valor absoluto generalizado) y se demostró que todos los ejemplos que da Banach de su espacio son enrejados de ese tipo. Como último resultado en esta dirección, señalaremos el que las descomposiciones de los espacios funcionales parcialmente ordenados, al caracterizarlos abstractamente, producen componentes que constituyen un álgebra de Boole.

A causa de su origen histórico, se podía esperar que la teoría de enrejados tuviera aplicaciones a la lógica matemática y a la teoría matemática de probabilidades, y en efecto, se encontró que éste era el caso. Una curiosa aplicación (1936) proporcionó un modelo de la mecánica cuántica. Recordaremos que el concepto de los observables es fundamental para ese tipo de mecánica y también que el principio de la indeterminación introduce la probabilidad en la metafísica de toda observación física. En el último capítulo indicaremos una aplicación muy diferente (1944) de la lógica y de la probabilidad a la teoría de los quanta.

Una aplicación muy reveladora de los enrejados fue la que hizo Menger en 1928 en su Bemerkungen zu Grundlagenfragen IV al enunciar las geometrías proyectiva y afín como casos particulares de lo que más tarde se había de llamar álgebra de los enrejados. Menger consideró un sistema de elementos abstractos para el que estén definidas dos operaciones asociativas y conmutativas designadas por +, ·. Las operaciones admiten elementos neutrales, el “vacío”, V, y el “universo”, U, tales que A + V = A = A · U para todas las A de un sistema, y se postula que A + A = A = A · A. El rasgo característico del álgebra es el postulado de “absorción”: si A + B = B, es A · B = A, y análogamente para todas las A y B del sistema. De modo que el álgebra es esencialmente lo que Birkhoff (1934) llamó enrejado. Birkhoff también (1934) redujo de manera independiente la geometría proyectiva a una parte del álgebra de enrejados y Menger (1935) publicó una exposición algo más amplia de su teoría de 1928, en la que había afirmado que el álgebra es aplicable a las teorías de la medida y de la probabilidad. En lo que se refiere a la reducción de la geometría proyectiva al álgebra de enrejados, ahora nos parece una culminación inevitable, aunque inesperada, de la cuidadosa axiomatización de la geometría proyectiva, no bien conocida en Europa, según parece, que hicieron Veblen y Young, en 1910.

Durante las dos primeras décadas del siglo XX reinó una inusitada actividad axiomática, especialmente en los Estados Unidos, como consecuencia de la obra de Hilbert (alemán, 1862-1943) sobre los fundamentos de la geometría. El primer volumen de la Projective geometry (1910) de Veblen y Young sujetaba la geometría proyectiva a un rigor lógico que no había experimentado hasta entonces, reconstruyendo esta sección de la geometría como un sistema abstracto hipotético-deductivo de acuerdo con el programa formalista general de Hilbert para toda la matemática. Aunque quizá no se haya abandonado la intuición en ese riguroso tratado, no se la reconocía ni oficial ni extraoficialmente. Las primeras frases de la obra dicen que

La geometría se ocupa de las propiedades de las figuras en el espacio. Toda figura se compone de varios elementos (puntos, líneas, curvas, planos, superficies, etc.), y esos elementos tienen ciertas relaciones que los ligan entre sí (un punto está sobre una línea, una línea pasa por un punto, dos planos se cortan, etc.). Las proposiciones que formulan esas propiedades son lógicamente interdependientes, y el objeto de la geometría es descubrir esas proposiciones y mostrar su interdependencia lógica.

De una descripción más amplia, aunque algo más vaga, de la geometría, que hizo uno de los autores citados, hablaremos en un capítulo posterior. De momento nos basta con el párrafo anterior; casi pide ser traducido al lenguaje de los enrejados. Empleando la expresiva manera de hablar de 1945, diremos que se presta a que todo el que haya echado una ojeada a los postulados de los enrejados haga esa traducción. Sin embargo, en esencia, esos postulados eran accesibles 10 años antes de que se imprimiera el anterior manifiesto sobre los objetivos de la geometría, y hasta un cuarto de siglo después de que apareciera no se percibió la relación entre los enrejados, o grupos dobles de Dedekind, y la geometría. Pero diremos otra vez que el no haber visto lo que ahora está tan claro no indica nada sobre la perspicacia de los geómetras creadores. Más bien es otro ejemplo del dicho histórico tan gastado, que hace tiempo hizo resaltar Bolyai a propósito de la aparición final de la geometría no euclidiana después de siglos de lucha aparentemente inútil: que los descubrimientos matemáticos, como las violetas del bosque, tienen su estación, la que no puede el hombre retardar ni adelantar, por muchos esfuerzos que haga.

Otro párrafo de la Projective geometry de 1910 aclara en el estilo matemático actual ciertas discusiones sobre la naturaleza del “espacio” que han preocupado a los metafísicos durante muchos siglos: “Puesto que elemento o relación ha de estar definido mediante otros elementos y relaciones, es necesario que haya una o más relaciones entre ellos que quede sin definir en absoluto; de otro modo es inevitable un círculo vicioso”. Aunque como veremos a propósito del “espacio” de un número finito cualquiera de dimensiones, no es necesario elegir los “puntos” como elementos sin definir de la geometría como se solía hacer y como aún se suele hacer frecuentemente. Entonces, las líneas, etc., son clases de puntos. La geometría, ni siquiera la geometría de tipo escolar elemental, nunca se interesó primordialmente por los elementos de esas clases, sino por las intersecciones y uniones de las clases. Las líneas, superficies, etc., eran los subdominios distinguidos del caos inicialmente sin estructura de puntos de que se ocupaba en realidad la geometría. Sin embargo, los puntos estaban por lo general en el fondo, sino en la mente, del geómetra cuando éste hacía geometría, empleando de manera implícita las definiciones de Veblen de geómetra y de geometría, desde los tiempos de Euclides. Según Euclides, “un punto es algo que no tiene partes, ni magnitud”. Pero como observó Menger en 1935, esta tentativa nihilista de hacer una definición no fue incorporada al desarrollo deductivo de la geometría hasta que la reformulación dentro de los enrejados de las geometrías proyectiva y afín hicieron uso lógico de la definición de Euclides en el tratamiento deductivo de la geometría. Euclides y sus sucesores omitieron decir qué es lo que entendían por “parte”; Menger suplió la deficiencia mediante una definición lógica precisa. Mediante los enunciados explícitos correspondientes y por medio de la inclusión de todas las hipótesis en que se apoyaban todas sus demostraciones, Menger mostró que “sobre la base de axiomas triviales como los postulados de intersección y unión (tal como se definen en el álgebra de Boole) se pueden desarrollar grandes partes de las geometrías proyectiva y afín.

El resultado equivalía a la reducción de la geometría proyectiva al álgebra de un enrejado convenientemente especializado. Los elementos pertinentes de un enrejado representan los diversos objetos o configuraciones geométricas de interés histórico o matemático, como los puntos, las líneas y los planos; la intersección de dos configuraciones, en el sentido de Boole, es la intersección geométrica o configuración común a los dos; la unión de dos configuraciones es la configuración más reducida que contiene a ambos. El axioma de Dedekind (sobre los enrejados, indicado anteriormente) clasifica con una adecuada condición de finitud los elementos según sus dimensiones, mediante las cadenas de Jordan-Hölder correspondientes. Contrastando con las axiomatizaciones anteriores de Hilbert y de Veblen y Young, la representación de enrejados no considera básica ninguna configuración; todas forman parte de la teoría de una manera simétrica. Para incluir la geometría afín, Menger impuso en 1935 a los enrejados un axioma muy razonable de paralelismo. De esa forma pudo desarrollar conjuntamente la geometría proyectiva y la geometría afín.

En la reducción de Birkhoff (1934), las geometrías proyectivas eran correlativas de las álgebras de Boole, de los anillos y los campos de conjuntos de puntos, de los sistemas de subgrupos normales, sistemas de ideales, módulos de un espacio modular y sistemas de subálgebra de las álgebras abstractas. También había otras correlaciones con las reducciones de las representaciones de grupos, álgebras semisimples hipercomplejas y grupos compactos de Lie. Todas éstas se podían esperar de la reducción de geometrías proyectivas a enrejados de ciertos tipos y de los ejemplos de enrejados anteriores que en su mayor parte había dado el mismo Birkhoff.

Desde un punto de vista filosófico quizá la consecuencia más interesante de la representación de enrejado (o estructura) de las geometrías proyectiva y afín fue una posible repercusión en las perpetuas especulaciones de los metafísicos sobre la naturaleza del espacio. Las discusiones subsiguientes a 1820 sobre la existencia real espacial de los elementos ideales de la geometría proyectiva ya han sido mencionadas, y se sugirió que el tema debatido no tenía significado en el sentido que le daban los que discutían. Las relaciones íntimas que existen entre el álgebra de la lógica de Boole, las geometrías proyectiva y afín, y los enrejados sugieren por lo menos que se estuvieron discutiendo simplemente los hábitos estereotipados de los procesos del razonamiento de los participantes, heredados durante miles de años como legado de la lógica de los dos valores según la cual, al parecer, los seres humanos razonan con un mínimo de esfuerzo mental. El “espacio” puede no ser nada más misterioso que una trivialidad de una lógica rudimentaria.

RETROSPECCIÓN Y PERSPECTIVAS

Ya que hemos seguido hasta 1945 uno de los caminos principales de la aritmética moderna, podemos echar ahora una mirada retrospectiva para percibir los jalones que tengan interés más que local, es decir, aritmético o algebraico. Desde un principio fue éste nuestro objetivo: observar los cambios de espíritu y de puntos de vista que distinguen el conjunto de las matemáticas posteriores a 1900 de las del siglo XIX.

Ni siquiera hemos dado una ligera noticia de vastos imperios de las matemáticas en que trabajan, y seguirán trabajando, centenares de asiduos hombres de ciencia. Para hacer un estudio detallado de todo el terreno que hemos atravesado, necesitaríamos muchos volúmenes, pero, por lo que se puede juzgar hasta hoy día, una descripción completa no añadiría ni restaría nada a dos conclusiones, de las cuales tan sólo no hemos demostrado hasta ahora más que una. Quizá el día de mañana con el advenimiento de otro Descartes o de un moderno Gauss, o de un sucesor de Galois o Abel, se demuestre su falsedad.

Las matemáticas del siglo XX se diferencian principalmente de las del XIX en dos aspectos significativos. El primero es la tendencia deliberada hacia la abstracción, según la cual los elementos importantes son las relaciones, y no las cosas que están relacionadas. El segundo es una intensa preocupación por los fundamentos sobre los que descansa el total de la intrincada superestructura de la matemática moderna. Así, se puede aventurar de manera problemática que cuando dentro de un siglo se escriba la historia de las matemáticas, si es que éstas llegan hasta entonces, se recordarán los principios del siglo XX, principalmente, como la primera gran edad de un saludable escepticismo en matemáticas, lo mismo que en otras muchas cosas.

Retrospectivamente, el siglo XIX, en matemáticas, parece ser de la misma pieza que el resto de aquella edad presuntuosa y optimista. Dios estaba en el cielo y todo en este mundo era perfecto. La civilización europea enviaba al por mayor sus bendiciones a los paganos de todos los continentes. Al parecer, no tenía límite la cantidad de mercancías baratas que se podían fabricar y enviar en enormes cantidades con grandes ganancias a los incultos que no sabían distinguir la hoja de lata de la plata ni los anillos de latón para la nariz del oro macizo. Tampoco había ninguna restricción a la producción y al consumo de matemáticas. Parece que casi todo el mundo creyó que la mayor parte de las cosas eran indudables. Al empezar este siglo (XX) se inició una época de crítica y revaluación, y todos, menos los reaccionarios impermeables a la enseñanza, convinieron en que el cambio traía una década o más de retraso.

Los orígenes del método abstracto y de la manera crítica de abordar las matemáticas parece que están situados concretamente pocos años después de 1880. No atrajeron mucho la atención hasta que en 1899 Hilbert publicó su obra sobre los fundamentos de la geometría y hasta que, por aquella misma época, señaló la importancia básica que tenía para todas las matemáticas el demostrar la consecuencia de la aritmética común. Pero parece atribuirse el impulso inicial a Peano (italiano, 1858-1932) con sus postulados de la aritmética (1889). Siguiendo el programa euclidiano, Peano emprendió la tarea de reducir la aritmética común de un conjunto explícitamente enunciado de postulados tan libres de hipótesis implícitas como pudo hacerlos. El método postulacional es el origen del moderno movimiento crítico y de la tendencia hacia la abstracción.

En su peor aspecto, tanto el criticismo como la abstracción reflejan el tinte plomizo de la decadencia. Desde este punto de vista las matemáticas del siglo XX son una versión modernizada de la época de la crítica y del comentario estéril de Alejandría, lo que significó una muerte prolongada para las matemáticas griegas. Aunque éste fuera el diagnóstico correcto de las matemáticas del siglo XX, esto no quiere decir que las matemáticas estén a punto de expirar. Aunque tardaron mucho en venir, Arquímedes tuvo sucesores.

Si miramos las matemáticas del siglo XX con mayor simpatía que casi todos los matemáticos, las vemos llenas de vida y más vigorosas que nunca. La crítica es necesaria para ver exactamente qué es lo firme, para poder dar el paso siguiente con una seguridad razonable. El método abstracto postulacional no es una simple catalogación y clasificación. También es creación, pero de una naturaleza más sustancial que la exuberancia desordenada del siglo XIX. A menos que se clasifique y reduzca a proporciones manejables la enorme acumulación del más prolífico siglo de la historia de las matemáticas, éstas se asfixiarán en sus propias riquezas. En el proceso de poner en orden esa enorme masa mediante el método abstracto, se ve que se puede prescindir de mucho. Si alguna de esas adquisiciones de las que se ha prescindido llegaran a ser necesarias algún día, se podrán obtener entonces con mucho menos trabajo que anteriormente. En el aspecto creador, el análisis postulacional de los sistemas matemáticos sugiere innumerables problemas nuevos, algunos de los cuales puede ser que merezcan una investigación detallada.

Por otra parte, es probable que pocos de los que participan en esta obra de revaluación, simplificación y generalización piensen que se haya alcanzado un fin en ninguna dirección. Si los grupos dobles de Dedekind pasaron inadvertidos durante más de 30 años, ¿es de creer que se hayan explorado todos los accesos prometedores, o que se presenten inesperadamente otros? Podemos recordar aquí un detalle histórico que omitimos en nuestra rápida revisión, y que sugiere por lo menos la posibilidad de avanzar en direcciones nuevas.

Uno de los indicios que condujo a Dedekind a la creación de sus ideales fue la teoría de la composición de las formas binarias cuadráticas, que se refleja en la multiplicación de ideales en un campo cuadrático. Gauss sistematizó esta teoría de la composición y la había completado casi del todo en 1801, excepto para las formas de grado con dos variables. Los ideales de Dedekind dan una generalización inmediata a ciertas formas muy especiales (normas de los enteros algebraicos de grado n) de grado n con n variables.

Lo más interesante de todo esto es que su origen está en la identidad de Fibonacci. Hay identidades semejantes para sumas de cuatro o de ocho cuadrados, pero no para cualquier otro número de cuadrados. La identidad de Fibonacci se sigue inmediatamente de las propiedades de los números complejos ordinarios; la identidad de los cuatro cuadrados de Euler es una propiedad de los cuaternios; análogamente, la identidad de los ocho cuadrados de Degen está relacionada con el álgebra de Cayley de ocho unidades básicas. En el álgebra de la identidad de Fibonacci son válidos todos los postulados de un campo; en la de la identidad de Euler ya no es válida la propiedad conmutativa de la multiplicación; en el álgebra de Cayley la multiplicación ya no es ni conmutativa ni asociativa. Diremos de pasada que parece muy notable que un álgebra tan descabalada como la de Cayley pueda tener importancia física, pero es el caso que se la ha aplicado a la teoría de los quanta.

Pero la aritmética clásica, asociada con esas identidades y con sus correspondientes álgebras, es un detalle de la teoría aritmética de las formas cuadráticas con n variables independientes. En sus términos más sencillos, esta teoría se ocupa del siguiente problema, en el que todos los enteros son racionales: aij(i, j = 1, …, n) y m son constantes enteras: aij = aij; x₁, … xn son variables enteras; la suma, Σ, se refiere a i, j, = 1, …, n; se necesita enunciar criterios sobre la solubilidad de Σaijxixj = m, y si la ecuación tiene solución encontrar todas las soluciones x₁, …, xn.Una generalización “natural” de este problema es el análogo que se obtiene al remplazar la forma cuadrática Σaijxixj por otra forma cualquiera de grado superior al segundo; y, en realidad, éste es el problema de la representación mediante formas aritméticas. Si se quiere generalizar aún más, se puede hacer que los coeficientes y las variables pertenezcan a un campo de números algebraicos cualquiera.

Las álgebras, con sus correspondientes teorías de ideales, etc. que se han creado hasta ahora son completamente inadecuadas para abordar la teoría general de las formas aritméticas. Al parecer, se les escapa una ecuación tan sencilla como x3/1 + x3/2 + x3/3 = n. Parece razonable suponer que si alguna vez se llega a hacer un progreso importante en la teoría de las formas aritméticas de grado superior al segundo, surgirán álgebras con un carácter totalmente diferente que aquellas de las que ya se ha desarrollado su teoría abstracta. Para indicar la rapidez con que puede cambiar la situación en el análisis diofántico, diremos que desde la primera edición de este libro (1940) Mordell (1888-…, Estados Unidos, Inglaterra) ha demostrado (1942) que la ecuación anterior no tiene soluciones con polinomios de cuarto grado en x, y y z, con un parámetro y con coeficientes racionales, a menos que n = a³ o n = 2a³ en que a es un número racional; y Segre (italiano, Inglaterra) hizo (1943) extensas aplicaciones de la geometría algebraica a las ecuaciones diofánticas polinómicas.

Existe, sin embargo, la posibilidad de que el problema de las formas aritméticas pierda interés para los matemáticos. Dicho de otro modo, se dejará de atribuirle importancia. Pero, a veces, la importancia, como todo lo humano, no es más que un tributo al aprecio que tenga de sí mismo un matemático egocéntrico. Por definición, los problemas que sabe resolver son importantes; los que le desconciertan no tienen importancia. Por tanto, decir que algún problema determinado ha perdido su importancia para las matemáticas modernas puede ser simplemente una confesión racionalizada de incapacidad. Hasta que se haya ideado un método para resolver un problema o para demostrar que no tiene solución, si ése fuera el caso, el más elemental orgullo profesional exigiría que se le siguiera estudiando.

Si este punto de vista está justificado, la conclusión es que ni el álgebra ni la aritmética han alcanzado un fin en el método abstracto moderno, aunque ese método puede ser un preludio significativo a lo que nuestros sucesores creen. Asimismo, veremos que la física sugiere lo mismo para el análisis. En todo caso, los hermosos resultados del método hubieran deleitado a Euclides, quien fue el primero de los matemáticos que produjo un ejemplo bien acabado de técnica postulacional. Quizá no se diera cuenta de lo que estaba haciendo, al modo que un matemático moderno se da cuenta de su obra, pero el caso es que lo hizo. Por otra parte, Pitágoras se hubiera quedado estupefacto ante el concepto moderno de número; hubiera pretendido averiguar qué se había hecho de los números naturales 1, 2, … Durante todo este tiempo los hemos estado aceptando sin preguntar nada acerca de su aparente simplicidad.

Ahora, hemos de volver a los llamados números naturales, los que Kronecker dijo que nos habían sido dados por Dios, para ver qué les ocurrió mientras que el número disfrutaba de un paraíso en el que nunca soñó Pitágoras. De esta forma encontraremos el eslabón que une al álgebra y a la aritmética con el análisis. Una vez examinado esto, nos encontraremos en situación de pasar, en capítulos posteriores, a la geometría y a las matemáticas aplicadas. En último término, volveremos de nuevo a los fundamentos de toda la estructura para ver en ellos lo que nuestros sucesores pueden considerar como la característica que distingue las matemáticas del siglo XX de las que las precedieron: la duda crítica y constructiva.

XII
LOS NÚMEROS CARDINALES Y ORDINALES HASTA 1902

CUANDO en 1934-1935 un distinguido analista estadunidense estaba dando conferencias en Peiping a sus alumnos chinos sobre la teoría de funciones de variables reales,[1] observó que “hasta ahora el estudiante ha dado por supuesto el sistema de los números reales, y así ha trabajado con ellos. Puede continuar haciéndolo así hasta el final de su vida sin detrimento para su pensamiento matemático… Por otro lado, la mayor parte de los matemáticos en una época o en otra de su vida siente la curiosidad de saber cómo se puede derivar el sistema de números reales del de los números naturales”. Los números naturales son los números enteros positivos racionales 1, 2, 3, … Algo antes, un distinguido analista alemán,[2] al escribir para los que se iniciaban en el análisis, les hizo una petición insólita: “les ruego que se olviden de todo lo que hayan aprendido en la escuela, porque en realidad no lo han aprendido”, se estaba refiriendo a cosas tan sencillas como 1 + 1 = 2.

Nosotros, que suscribimos todos esos sentimientos, indicaremos los pasos principales por medio de los cuales los matemáticos de la segunda mitad del siglo XIX llegaron al concepto moderno de números reales. El número real es la tierra en que se desarrolla y florece la teoría clásica de funciones, y, como se ha observado más arriba, los estudiantes lo suelen dar por supuesto. Y también otras personas.

Además, anticiparemos que se construyeron teorías para derivar el número real de los números naturales. Después se intentó derivar los números naturales de algo todavía más básico, la teoría de clases tal como se expone en la lógica matemática. A causa de otra de esas coincidencias curiosas de fechas, lo que parecía una finalidad en este aspecto no se alcanzó hasta los últimos años del siglo XIX. En más de un sentido, esos años fueron el fin de una gran época.

Sin duda sigue siendo cierto que todavía hoy como en 1902 los estudiantes pueden dar por supuestos los números reales sin detrimento para su pensamiento matemático. Pero ya no es cierto que se puedan dar por supuestos los números naturales más fundamentales, como hacía casi todo el mundo en 1902. La intuición ensoñadora ha sufrido un rudo despertar a partir de los últimos años del siglo XIX; y el programa de Eudoxio, reanudado a fines del siglo XIX por los fundadores del moderno sistema de números reales, cedió su lugar en el siglo XX a otro más fundamental que ninguno de los que idearon los matemáticos griegos. En este caso, como ocurre continuamente en las matemáticas, cambió el centro de interés, pues quizás fueran las matemáticas y no algún insignificante planeta de un sol de segunda fila en lo que pensara Galileo cuando murmuró, de acuerdo con una leyenda, que si no es cierta debería serlo, “y sin embargo se mueve”, al ponerse en pie y hacer una reverencia al Gran Inquisidor. Nadie hasta ahora ha conseguido detener el progreso matemático, ni en 1902 ni en ningún otro año cumbre, al modo en que Josué detuvo el movimiento de un cuerpo celeste en la batalla de Gibeón.

EQUIVALENCIA Y SEMEJANZA

El concepto moderno del número es el eslabón que une la aritmética y el álgebra del pasado con el análisis, la geometría y la lógica matemática del presente. Al igual que el estudiante típico de análisis de hoy día, hemos estado dando por supuesto el sistema de los números naturales, a partir del cual, por generalizaciones sucesivas, se desarrolló el sistema de los números complejos, que a su vez sugirió los números hipercomplejos del álgebra moderna. En este capítulo es para nosotros de interés inmediato indicar los pasos principales mediante los cuales los matemáticos de la última mitad del siglo XIX trataron de “aritmetizar” el análisis. En el capítulo siguiente llegaremos a la misma meta por un camino diferente, el del cálculo desde Newton y Leibniz hasta el año 1900; y veremos otra vez que el final del siglo XIX es también el final de una dirección del pensamiento matemático.

Como veremos en el último capítulo, esta determinación dio origen a un cambio de dirección en la evolución de las matemáticas, de importancia comparable al que se dio en el siglo IV a. C. al separarse Eudoxio de los pitagóricos. También esta vez el motivo del cambio de dirección fue la naturaleza de los números irracionales. Pero en la moderna investigación del número se alumbró un manantial mucho más profundo de saber matemático que cualquiera de los que sirvieron para aliviar la sed de los griegos. Asimismo, se habían estado dando por supuestos los números naturales y se vio que también éstos presentaban sutiles obstáculos para una clara comprensión. El punto de importancia más fundamental que hay que observar en el resumen que sigue es la naturaleza precisa del más sutil de esos obstáculos, el cual se percibió de una manera dramáticamente repentina en 1902.

La manera moderna de abordar el número estaba dirigida hacia dos objetivos estrechamente relacionados: el de dar rigor a los conceptos de función, variable, límite, y continuidad en el análisis; el de penetrar el disfraz lógico del número. Lo primero tuvo lugar al apartarse de las ideas intuitivas del cálculo sublimadas a partir de concepciones no analizadas de movimiento y de curvas continuas; lo segundo culminó en la identificación de los números cardinales con las clases. En ambos desempeñaron un papel dominante los conceptos de equivalencia (o semejanza) de clases, especialmente de clases infinitas. Un asunto de gran interés histórico (como ya se ha indicado en un capítulo anterior) es el que Galileo,[3] ya en 1638, justamente un año después de la publicación de la geometría de Descartes, comprendiera de manera firme la equivalencia de las clases. La obra de Galileo fue traducida al inglés en 1665, año en que el joven Newton en su predio rústico de Woolsthorpe ideara su primer cálculo.

A nosotros nos parece raro que no se percibiera antes de lo que se percibió una indicación tan clara como la de Galileo sobre una manera factible de abordar las cuestiones relativas al infinito. Pero hay un paralelo histórico más antiguo, el de la indiferencia griega hacia el álgebra babilónica, que nos sugiere que las matemáticas no siempre siguen el camino más derecho hacia su futuro.

Como sería fácil encontrar una exposición más clara y más gráfica que la de Galileo de los puntos críticos, citamos[4] lo que pone en boca de sus personajes, el sagaz Salviatus (Salv.) y el preguntón Simplicius (Simpl.). Ellos están hablando acerca del “continuo de los indivisibles”.

Salv… un Indivisible sumado a otro Indivisible no produce una cosa divisible; porque si así fuera se seguiría que hasta los Indivisibles son divisibles […]

Simp. Aquí se nos presenta una duda que no me parece que tenga solución […] Esto de fijar un infinito como mayor que otro infinito es, en mi opinión, un concepto que nunca se podrá comprender de ningún modo.

Para aclarar lo infinito hasta para Simplicius, Salvatius explica pacientemente, antes de seguir más adelante, qué es el cuadrado de un número entero:

Salv. Si pregunto que cuántos son los números cuadrados me puedes contestar con verdad que hay tantos como raíces propias; porque cada cuadrado tiene su raíz y cada raíz su cuadrado, y no hay ni un solo cuadrado que tenga más de una raíz, ni una raíz que tenga más de un solo cuadrado.

Éste es el núcleo de la cuestión: la correspondencia biunívoca en una parte de una clase infinita, en este caso la de todos los números naturales, y una de sus subclases, en este caso las de todos los cuadrados. Continuando el razonamiento, Salvatius obliga a Simplicius a rendirse.

Simp. ¿Y qué hay que resolver en este caso?

Salv. No creo que quepa otra decisión que la de decir que todos los números son infinitos; hay infinitos cuadrados; y que ni la multitud de cuadrados es más pequeña que la de todos los números, ni ésta mayor que aquélla: y en conclusión, que los atributos de “igualdad”, “mayor que”, y “menor que”, no tienen lugar entre los infinitos, sino tan sólo entre las cantidades finitas […]

En la moderna terminología, dos clases que se pueden poner en correspondencia biunívoca se dice que son equivalentes o semejantes.[5] En el ejemplo de Galileo la clase de todos los cuadrados es equivalente a la clase de todos los números positivos. También, una parte (estrictamente hablando, una parte propia) de una clase C, es una clase que contenga a algunos pero no a todos los miembros de C, y a ninguno más. El ejemplo de Galileo muestra que una clase puede ser equivalente a una parte de sí misma. Se dice que una clase es infinita si es equivalente a una parte de ella misma; y se dice que una clase que no es infinita por definición es finita. Esta manera de distinguir entre las clases finitas y las infinitas fue postulada[6] por Bolzano (de Praga, 1781-1848), filósofo y teólogo, y es básica en la teoría moderna de las clases finitas e infinitas. Sin ella, no existiría la teoría de Cantor de los conjuntos de puntos, fundamental para el análisis moderno.

Interesante resulta indicar que Leibniz señaló la semejanza de las clases de todos los números naturales y la de los números naturales pares, pero dedujo la conclusión incorrecta, rectificada en la teoría de Cantor de que “el número de todos los números [naturales] encierra una contradicción”.[7]

EL ANÁLISIS ARITMETIZADO

No es éste un lugar adecuado para exponer las teorías de los números reales construidas por Cantor, Dedekind y Weierstrass, por lo que nos limitaremos a recordar los pocos conceptos fundamentales necesarios para comprender los históricos acontecimientos de 1902. Primero observaremos que el concepto clase (set, aggregate, assemblage, ensemble, Menge) fue aceptado como intuitivo en lo que antecede. Cantor reconoció que clase no es ni mucho menos un concepto intuitivo, y en 1895 la definió de la siguiente manera: “entendemos por clase (Menge) toda reunión (Zusammenfassung) en un solo conjunto de objetos bien distinguidos de nuestra intuición (Anschauung) o de nuestro pensamiento (Denkens)”. Posiblemente el idioma alemán,[8] exquisitamente modulado para la filosofía, es intraducible a otro idioma más rudo o incomprensible para todos los profanos. Con ciertas dudas, ofrecemos el siguiente sustituto en idioma corriente[9] “se dice que una clase está determinada por alguna prueba o condición que toda entidad (del universo considerado) ha de satisfacer o dejar insatisfecha”. Para toda mentalidad no filosófica parece que está muy claro que ambas definiciones invitan algo imprudentemente a los filósofos a filosofar; y en efecto, la invitación fue aceptada prontamente. Si esto fue una circunstancia afortunada para el análisis del siglo XIX en medio de sus aflicciones, parece que es objeto de duda entre los analistas profesionales.[10]

Otro punto fundamental de la teoría de Cantor es la distinción radical entre los números cardinales y los ordinales. Para las clases finitas y para los números la distinción es casi trivial. Las clases finitas tienen el mismo número cardinal si, y sólo si, son semejantes. Entonces, nótese que esto no define el “número cardinal”, define el “mismo número cardinal”, lo cual es una distinción significativa. Además, es muy posible saber que dos criminales tienen el mismo nombre sin saber cuál es éste. El símbolo 1, o 2, o 3, … que designa al número cardinal (¡sin definir todavía!) de una clase es una simple señal o etiqueta característica de la clase, sin referencia al orden en que están dispuestos sus miembros. Cuando se cuentan los miembros de una clase finita en un orden determinado, y se asigna la señal o etiqueta 1, al primero, la señal 2 al siguiente, y así sucesivamente, se hace corresponder un número ordinal a cada elemento de la clase ordenada; y si se asigna n al último, también n es una señal que designa el número cardinal de la clase. Pero para las clases infinitas esto ya no es cierto, como demostró Cantor; las señales para distinguir los cardinales (transfinitos) y los ordinales son diferentes, y la distinción entre cardinal y ordinal no es trivial.

Según definió Frege (alemán, 1848-1925), el número cardinal de una clase dada finita o infinita es una clase, la de todas las clases semejantes a la clase dada. De este modo los cardinales 1, 2, 3, … con los que estamos familiarizados desde nuestra juventud inculta se han desvanecido en las intimidades de las clases que contienen respectivamente “una” cosa, “dos” cosas y así sucesivamente para tantas cosas como haya en nuestra Anschauung o en nuestro Denkens. Este resultado puede parecer al principio algo descorazonador. Pero al meditar un poco más detenidamente nos vemos obligados a convenir con Landau (alemán, 1877-1938) que lo que aprendimos en la escuela en realidad no lo aprendimos. Toda clase semejante a la clase de todos los números naturales se dice que es numerable o que se puede contar.

Para resolver la duda de Simplicius sobre el concepto de “fijar un infinito mayor que otro infinito”, Cantor procedió a describir cualquier número deseado de esos infinitos mayores. Primero, se dice que no hay dificultad en imaginar una clase infinita ordenada; para ello nos basta con los números naturales 1, 2, 3, … Más allá de todos éstos, en numeración ordinal, está ω; más allá de ω está ω + 1; después ω + 2, y así sucesivamente hasta que se llega a ω2, y después a ω2 + 1, ω2 + 2, …; más allá de todos éstos está ω², y después de éste ω² + 1 y así sucesivamente, o como se dice indefinidamente y para siempre. Si el primer paso, detrás del cual parecen seguirse por sí mismos todos los demás, ofrece alguna dificultad, no tenemos sino que adoptar el plan 1, 3, 5 …, 2n + 1, … |2, en el que después de contar todos los números naturales pares, se imagina que sigue en orden el 2, que no es ninguno de aquéllos. Uno de los objetos de Cantor al construir esos ordinales transfinitos ω, ω + 1… fue proporcionar un medio para contar las clases bien ordenadas, considerando que una clase está bien ordenada si sus miembros están ordenados y cada uno de ellos tiene un solo “sucesor”.

También describió Cantor para los números cardinales “un infinito mayor que otro infinito” para confusión de los Simplicius de las matemáticas y para delicia de los Salvatius. Asimismo, demostró en 1874 que la clase de todos los números algebraicos es numerable y dio en 1878 una regla para construir una clase infinita no numerable de números reales. Si hubiéramos de hacer una lista de descubrimientos de la matemática espectacularmente inesperados, estos dos podrían encabezarla. En rigor, la demostración de Cantor es una prueba de existencia. La demostración de Cantor, que no proporciona medios para construir ninguno de los infinitos números trascendentes cuya existencia prueba, sigue la tradición medieval del análisis submatemático. De este modo, hubiera convencido y deleitado a santo Tomás de Aquino. Por otra parte Liouville (francés, 1809-1882) inventó un método (1844) para construir cualquier número de entre una extensa clase de números trascendentes. Sus números fueron los primeros que se demostró que son trascendentes; en 1873 demostró Hermite la trascendencia de e (= 2.718…); siguió la demostración de Lindemann (alemán, 1852-1939) de trascendencia de π en 1882. Aludiendo a las controversias que habrían de sobrevenir en el siglo XX, Kronecker preguntó a Lindemann “¿qué valor tiene su hermosa demostración, si los números irracionales no existen?” Más adelante volveremos al programa de Kronecker de aritmetización. Tanto en cuanto a objetivos como en cuanto a su alcance, era completamente diferente del de Cantor, Dedekind y Weierstrass para la aritmetización del análisis. Indicaremos de pasada que en 1934 demostró Gelfond la trascendencia de ab, en que a es un número algebraico cualquiera ≠ 0, 1, y b es un número algebraico irracional cualquiera.

En el programa de aritmetización del análisis, los números racionales no presentaron dificultad alguna. Valiéndose del artificio de las parejas de números sujetas a postulados adecuados, se referían las propiedades de los números racionales positivos a las de los enteros positivos, y con igual facilidad se reducían los irracionales negativos a los racionales positivos. De esta forma se derivaba mediante una rutina muy sencilla a todos los números racionales de los números naturales. Pasando a ocuparse a la parte infinitamente más grande del continuo de los números reales, Cantor definió los números irracionales mediante sucesiones infinitas de números racionales; por ejemplo √2 se puede definir por la sucesión 1, 14/10, 141/100, 1 414/1 000, 14 142/10 000, … En general si a₁, a₂, a₃, … es una sucesión infinita de números racionales tal que para cada racional ε > 0, por pequeño que sea, existe un índice m tal que |an − av| < ε para cada n, v ≧ m, se dice que la sucesión es regular. Entonces, se postula que toda sucesión regular define un número; la clase de todos los números así definidos es el sistema de los números reales. Al emplear definiciones adecuadas de igualdad, desigualdad, suma, diferencia, producto y cociente, se demostró que esos números satisfacen las exigencias de la práctica. En particular se dio significado al formalismo de fórmulas tan útiles como √2 × √3 = √2 × 3, √2 × √3 = √3 × √2. Cantor había aritmetizado el continuo de los números reales.

La geometría también participó de los beneficios que la aritmetización había concedido al análisis. Asimismo, se estableció una correspondencia biunívoca entre todos los puntos de un segmento de recta y el continuo de los números reales. Una vez hecho esto, Jordan (francés, 1838-1922) desterró la intuición del concepto de las líneas curvas dando una definición[11] estrictamente aritmética de una curva como conjunto plano de puntos que se pueden poner en correspondencia biunívoca con los puntos de un segmento cerrado [a, b]. Esto parece que es enunciar una simplicidad con oscuridad pedantesca, si se cita el ejemplo más sencillo, las ecuaciones paramétricas x = r cos t, y = r sen t, de la circunferencia x² + y² = r². Parece menos simple si se recuerda que Peano (1890) construyó una curva plana continua real como lugar geométrico de un punto (x, y) cuyas coordenadas están dadas por x = f(t), y = g(t), en que f y g son funciones continuas uniformes de la variable real t en el intervalo 0 ≦ t ≦ 1, curva que llena por completo el cuadrado 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1. En realidad describió dos de esas curvas que pasaban por todos los puntos del cuadrado unitario. Otros muchos ejemplos de esas curvas que ocupan todo el espacio han sido construidos desde que Peano mostró la primera; lo que en 1890 parecía un colapso del firmamento geométrico es ahora un fenómeno de todos los días en las conferencias universitarias. “Y sin embargo se mueve.”

Milagros igualmente inesperados empezaron a iluminar el continuo; se inventaron mediante una generación casi inmediata las clases (conjuntos) de puntos en un continuo (“espacio”) de cualquier número finito o de cualquier número infinito numerable de dimensiones. Cantor demostró que en cada caso todos los puntos de todo el espacio se pueden poner en correspondencia biunívoca con todos los puntos de un segmento de recta. Por ejemplo, en un plano hay exactamente tantos puntos en un segmento de un centímetro de largo como en todo el espacio. Esto desde luego es contrario al sentido común; pero el sentido común existe principalmente para que la razón pueda tener sus Simplicius que contradigan y aclaren. Sin embargo, hay Simplicius que a veces intercalan alguna objeción aguda que estorba el progreso regular de la discusión; y si bien raras veces sale ganancioso un razonamiento, por lo menos puede hacer que dé serios tropezones. Kronecker se erigió a sí mismo en Simplicius de Cantor, Dedekind y Weierstrass. Más adelante indicaremos sus objeciones.

Una cuestión profunda que puso a prueba las mejores facultades de Cantor fue la siguiente: ¿Puede ser bien ordenado el continuo de los números reales? En 1883 le pareció haberla contestado afirmativamente. A las objeciones a su tentativa de demostración se debe en gran parte que después de 1900 las matemáticas descendieran a niveles más profundos en sus esfuerzos para escapar a la engañosa intuición. Otro problema que desconcertó a Cantor fue demostrar la existencia o la imposibilidad de una clase cuyo número cardinal sea mayor que el de la clase de los números naturales, y menor que el de la clase de los números reales. Al parecer en 1945 todavía no se había resuelto ese problema.[12]

Cualquiera que sea en definitiva la suerte de las teorías de Cantor del infinito, la continuidad y el sistema de los números, es muy probable que se le recuerde junto a Eudoxio como uno de los que abrieron brecha en lo que después de todo es la fortaleza central del análisis matemático. También se recordará a Dedekind y a Weierstrass. Como Cantor, también estos dos derivaron el sistema de los números del análisis, de los números naturales, Dedekind valiéndose de su artificio de las cortaduras, Weierstrass mediante las clases de números racionales. Otro analista que alcanzó la misma meta fue Méray (francés, 1835-1911); pero posiblemente la dificultad de su exposición le privó de la fama que en justicia le hubiera correspondido. Esas teorías son tan familiares hoy día para todos los estudiantes de un curso avanzado de cálculo que no hay ninguna necesidad de describirlas aquí. Se les podría hacer las mismas objeciones que los lógicos matemáticos han hecho al Mengenlehre de Cantor. Pero al decir esto no queremos dar a entender que se hayan rechazado esas teorías como totalmente equivocadas o estériles. Éstas constituyen la manera más prometedora de abordar la comprensión de los números y del papel que desempeñan en el análisis. Quizás el que una teoría sea imperfecta no significa sino que no está muerta ni es inútil.

En el capítulo siguiente veremos que al análisis de las series trigonométricas (de Fourier) se deben las tentativas para colocar un fundamento lógico firme bajo el continuo de los números reales. Hubo muchos que hicieron valiosas aportaciones a esta tentativa; pero los cuatro cuya obra hemos indicado fueron los primeros en ver claramente lo que necesitaban ver, y los primeros en intentarlo.

De los muchos que prepararon el éxito final, debemos mencionar aquí a Du Bois-Reymond (alemán, 1831-1889), en parte por sus propias sutiles investigaciones en análisis, y en parte porque fue debido a su insistencia por lo que Weierstrass permitió que se hiciera público uno de sus más desconcertantes inventos. Intuitivamente, un arco continuo de curva tiene una tangente en cada punto del arco; Weierstrass construyó la ecuación de una curva continua que no tenía tangente en ninguno de sus puntos. Se dice que comunicó esto a su sociedad en 1861, pero que, por alguna razón, lo retuvo hasta que Du Bois-Reymond en 1874 le preguntó si esa curva era posible. Este solo ejemplo mostraba la necesidad que se sentía de una teoría rigurosa de los números reales que remplazara las pretenciosas intuiciones que se habían infiltrado en el análisis procedentes de la geometría y de la cinemática.

EXISTENCIA Y CONSTRUCTIBILIDAD

Ya hemos mencionado a Kronecker por sus aportaciones técnicas al álgebra y a la aritmética superior. Para los que se han tomado el trabajo de estudiarlas, éstas son probablemente sus mejores creaciones; pero para el público matemático, Kronecker es más ampliamente conocido por su filosofía de las matemáticas. Entonces, hubo un tiempo en el que algunos de los analistas, incluido Weierstrass, lo consideraban como una especie de diablo en persona; se pensaba que la filosofía de Kronecker era totalmente destructiva, y no se puede decir que odiara el análisis altamente especulativo de sus famosos contemporáneos. Si para Cantor, Kronecker era un Satán, para Kronecker, Cantor era la personificación de todos los males de la matemática.

La definición de Dedekind de los números irracionales como cortaduras en clases infinitas de racionales, las sucesiones de números racionales de Cantor para definir los números irracionales, y los números irracionales de Weierstrass considerados como clases de racionales, todas ellas en definitiva referían el continuo de los números reales a los números naturales. Las “magnitudes” de Eudoxio quedaban remplazadas por construcciones hipotéticas realizadas con los números 1, 2, 3, … De este modo, la aritmetización del análisis era una vuelta al programa de Pitágoras. Puesto que la mecánica matemática había sido reducida a una sección del análisis, también fue aritmetizada con fuerza, al menos implícitamente, y lo mismo ocurrió con la geometría. Por último, todo se había reducido al número, según los pitagóricos imaginaban al número, pero a un costo a que ellos nunca hubieran intentado hacer frente: infinitos sobre infinitos.

Kronecker, que era un pitagórico tan meticuloso como el mismo Pitágoras, insistía en descartar los infinitos y en edificar todas las matemáticas mediante construcciones finitas partiendo de los números naturales. A menos que un objeto matemático pudiera ser construido en un número finito de operaciones sin tanteos, para Kronecker no existía, por muy rigurosamente lógicas que fueran las trascendentales pruebas de su existencia.[13] Esa filosofía de las matemáticas no hacía que el análisis que los rivales de Kronecker habían recreado no tuvieran sentido; abolía, sencillamente, el análisis.

Como para hacer más plausible la parte destructiva del programa de Kronecker, en los últimos años del siglo XIX empezaron a aparecer flagrantes contradicciones de razonamiento, aparentemente de la misma naturaleza general que el que usan los aritmetizadores del análisis. Veinticuatro siglos después de que el corredor de Zenón perdiera su carrera, sus herederos aparecieron sobre otra pista más descansados y más ligeros de pies de lo que nunca habían estado los antiguos. Las nuevas antinomias del infinito surgían del variante “todo”, por el cual se engendraban los números irracionales en la aritmetización del análisis: “todos” los números naturales; la clase de “todos” los números racionales, cuyos cuadrados son menores que 2, y la clase de “todos” cuyos cuadrados son mayores que 2, como “cortadura” para definir √2, y una infinidad más.

La primera de las nuevas y más vigorosas paradojas se debió en 1897 al matemático italiano Burali-Forti: la serie bien ordenada de todos los números ordinales define un nuevo número ordinal que no es uno de los todos.

Una paradoja menos técnica sobre el “todo” fue la que en 1902 enunció Russell (inglés, 1872-…): ¿la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas es miembro de sí misma? Tanto el Sí como el No conduce a contradicciones. El mismo incontenible sucesor de Zenón dio otra paradoja todavía más sencilla sobre el “todo”: un barbero de una cierta aldea afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos, y sólo a ellos, ¿se afeita el barbero a sí mismo? Hay otras muchas más. Todas, si es que podemos usar la palabra sin peligro de engendrar otra exasperante paradoja, o si no todas, por lo menos muchas, contienen algún dudoso “todo”. Una de las raíces de las dificultades técnicas matemáticas parece estar en el concepto mismo de “clase”, la “menge” de Cantor tal como la definió él mismo. El intento de ser lógicamente preciso acababa en una confusión sin remedio.

Los problemas del siglo XIX se unieron a los del siglo XX en la mentalidad extraordinariamente sutil de Frege (alemán, 1848-1925), parte de cuya obra[14] fue una tentativa para colocar cimientos libres de contradicciones bajo el concepto número. En 1888, Frege dio su famosa definición de número cardinal de una clase dada, como la clase de todas las clases semejante a la clase dada. A partir de esta definición, Frege dedujo las propiedades habituales de los números que se suelen dar en todas las aritméticas comunes. Por desgracia, para desarrollar con precisión la sutileza de su razonamiento, había encontrado necesario revestir sus demostraciones con un complicado simbolismo diagramático que repelía aún al más intrépido y obstinado de los lectores. El resultado fue que la importantísima definición que contenía su obra pasó por completo inadvertida para el público matemático, hasta que Russell, siguiendo un razonamiento diferente, llegó de manera independiente (¿1902?) a la misma definición y la expuso en inglés.

Frege había usado la teoría de clases. El segundo volumen de su obra maestra[14] apareció en 1903, la cual termina con la siguiente concesión: “No hay nada menos apetecible para un hombre de ciencia que el que cuando está a punto de terminar su obra se le derrumben los cimientos. En esta situación me coloca una carta del señor Bertrand Russell recibida cuando la obra estaba a punto de salir de la imprenta”. La carta de Russell contenía su paradoja de la clase de todas las clases que no son miembros de sí mismas.

El pesimismo de Frege es muy comprensible. Pero a la larga había de demostrar que no estaba justificado. La tentativa de fundar el sistema de los números sobre una teoría de clases pareció fracasar, y sin duda alguna fracasó, al menos temporalmente. Al derrumbarse la teoría de clases del sistema de los números, el análisis quedó sin cimientos, suspendido en medio del aire como el ataúd de Mahoma, sustentado sólo por el milagro de la fe. Pero el mismo fracaso revelaba la naturaleza de las debilidades fundamentales. Una generación más joven y más vigorosa abordó el problema de reducir de nuevo el análisis a la razón. Aprovechando la experiencia de los aritmetizadores del siglo XIX, los lógicos matemáticos del siglo XX se asignaron la tarea de construir cimientos libres de contradicciones, no sólo para el análisis, sino para todas las matemáticas. Sus esfuerzos llevaron con rapidez el programa de Leibniz en pro de un razonamiento simbólico estricto, mucho más allá de lo que él jamás concibiera, y al hacerlo así crearon mucho nuevo en matemáticas.

Mientras tanto, los analistas, los geómetras, los aritméticos y los algebristas continuaron sus labores técnicas como si no hubiera “crisis” en los cimientos, creando cosas interesantes y útiles, del mismo modo que lo habían venido haciendo sus predecesores durante siglos. Su confianza en la seguridad de lo esencial de sus creaciones está justificada por la experiencia. Las cambiantes filosofías de la matemática pueden variar demostraciones e incluso teoremas hasta que casi no se les reconozca, al ir progresando la matemática y al irse dando de lado a mucha parte de ella. Pero si se puede confiar en la historia como profeta,[15] quedará del análisis del siglo XIX en relación tanto como queda de la proposición I, 47 de Euclides.

XIII

DE LA INTUICIÓN AL RIGOR ABSOLUTO

 [1700-1900] 

AL SEGUIR el desarrollo del concepto de número hasta su fase final en la aritmética moderna y el álgebra abstracta, hemos percibido de vez en cuando el espíritu de las matemáticas tal como ha sido desde fines del siglo XVIII. Al observar el análisis, se nos presentan cambios profundos muy semejantes. Volvemos ahora al siglo XVIII para señalar las primeras tentativas de construir un cálculo diferencial e integral sólidamente lógico.

El contraste entre lo que entonces pasaba como razonamiento válido y lo que ahora se exige es muy violento. Volviendo al siglo XVIII, nos encontramos en un mundo muerto, casi en otro universo. Algunos de los sucesores de Newton que intentaron darle un sentido al cálculo figuran entre los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Sin embargo, al seguir sus razonamientos, no podemos por menos de pensar si no le parecerán los nuestros tan pueriles a nuestros sucesores de dentro de siglo y medio. No se trata aquí de las cosas que estos hombres famosos hicieran para perdurar con su análisis en las matemáticas aplicadas, ni siquiera de los algoritmos básicos que inventaron y que también han perdurado. Nos interesan sólo sus efectivas tentativas de darle un significado libre de contradicciones al análisis.

DOS DECISIVOS CAMBIOS DE DIRECCIÓN

Ya vimos que Newton no se encontraba satisfecho con su explicación de los conceptos fundamentales del cálculo. Lo mismo le ocurría a Leibniz, que medio prometió a Huygens que algún día volvería a empezar haciéndolo todo como es debido. Pero nunca lo hizo. Después de Newton y de Leibniz surgieron críticos para ambos, y los analistas conscientes, respondiendo a objeciones muy pertinentes, intentaron colocar el cálculo sobre una base sólida. Sus esfuerzos revelaron gradualmente la profundidad de las dificultades, y en parte a ellos se debe la creación en el siglo XIX de vastas secciones nuevas de la matemática, como las teorías de Dedekind y de Cantor. Ahora, vamos a indicar las fases principales de esta evolución, en extremo compleja, mediante la cual el cálculo de 1700 se transformó en el de 1900. Los grandes analistas de fines del siglo XVIII estaban separados de los de principios del siglo XIX por un abismo tan profundo como el que separaba a los pitagóricos de Eudoxio. Después de 1929, año histórico en que comenzó en los Estados Unidos la Gran Depresión, se abrió otro profundo abismo que cortaba la retirada hacia el siglo XIX, en apariencia para siempre, al revisar Gödel la posibilidad de una prueba de consistencia para la aritmética racional.

Al seguir toda exposición de la evolución del rigor en el cálculo, hay que advertir que las opiniones sobre muchos puntos aún no resueltos difieren a veces mucho. Además, a muchos les ha sido muy difícil no leer en la obra de sus predecesores sus propios y más exactos conocimientos, cuando si se toma aquélla en su justo valor, no se percibe ningún indicio de que sus autores tuvieran conciencia de lo que después se consideraron defectos fatales. Por ejemplo, el generoso d’Alembert (francés, 1717-1783) atribuyó en 1770 a Newton una teoría de límites muy desarrollada que pocos analistas de hoy día pueden percibir en lo que Newton publicó. Por último, antes de entrar en detalles, subrayamos una vez más que al poner de manifiesto las deficiencias de la obra de los analistas antiguos no se pretende que nosotros hayamos alcanzado la perfección. Las faltas y las dificultades que el pasado dejó sin resolver siempre han sido oportunidades para el futuro; y si en alguna ocasión los analistas parecieran no tener tacha, su perfección sería la de la muerte.

CINCO FASES

Desde 1700 a 1900 la tendencia general fue ir hacia una aritmetización más estricta de tres conceptos fundamentales del cálculo: número, función, límite. Otros asuntos más sutiles relativos al significado de “variable” apenas se presentaron hasta el siglo XX. En la época que estudiamos hubo cinco fases bien definidas, que son fáciles de recordar con los nombres y con las fechas de algunos de los hombres más eminentes en cada una de ellas. Con la primera está asociado Thomas Simpson (inglés, 1710-1761) en Inglaterra, y L’Hôpital (francés, 1661-1704) en el continente. Euler (suizo, 1707-1783) representa la segunda fase; Lagrange (1736-1813) la tercera; Gauss (1777-1855) y Cauchy (1789-1857) la cuarta, y Weierstrass (alemán, 1815-1897), la quinta. Euler es la culminación de las escuelas de Newton y de Leibniz, casi totalmente desprovistas de crítica; Lagrange fue el primer matemático de categoría que reconoció que el cálculo se encontraba en una situación nada satisfactoria; Gauss es el moderno creador de las matemáticas rigurosas; Cauchy es el primer rigorista moderno que reunió bastantes seguidores; y Weierstrass, al morir, en 1897, resume los progresos hechos en un centenar de años exactamente a partir de la primera publicación (1797) de Lagrange intentando darle rigor al cálculo.

LA EDAD DE ORO DE “NADA”

En análisis, “formalismo” significa una manipulación de fórmulas que implican procesos infinitos sin prestar suficiente atención a las cuestiones de convergencia y de existencia matemática. De este modo, la fórmula del teorema del binomio aplicada a (1 − 2)⁻¹ da

−1 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + …,

resultado desprovisto de significado que no asombró a Euler, el más grande aunque no el último de los formalistas. En análisis, intuición, tal como la emplearemos aquí, quiere decir una fe irrazonable en la validez universal de lo que los sentidos transmiten al cerebro respecto al movimiento y a los diagramas geométricos. Newton fue el mayor de los intuicionistas del análisis con el más filosófico Leibniz siguiéndole a distancia y no siendo, por tanto, sino un honroso segundo. (Tanto formalismo como intuicionismo tienen significados diferentes, como señalaremos en el capítulo final.) La dirección de la evolución en el cálculo ha estado siempre muy separada del formalismo y de la intuición, aunque ninguna de las dos esté todavía extinguida.

La primera fase, la más ruda, está representada en Inglaterra por dos ediciones (1737-1776) del clásico Treatise on Fluxions de Simpson, en el cual[1] la intuición florece libremente ocupando lugar privilegiado. Al intentar aclarar la manera intuitiva de Newton de abordar las fluxiones engendrando “magnitudes” por “movimientos continuos”, Simpson no consiguió más que introducir más confusión. Esto no se puede, pues, considerar como un progreso. Los matemáticos del continente, siguiendo la tradición de Leibniz, que expresó Juan Bernoulli[2] (suizo, 1667-1748) en 1691-1692 a L’Hôpital[3] en 1693, procedía de la doctrina mística de que “una cantidad que se aumenta o se disminuye en una cantidad infinitamente pequeña no resulta ni aumentada ni disminuida”. Ésta fue la edad dorada del “cero pequeño”, edad de la inocencia, en que el axioma de Arquímedes estaba indefinidamente suspendido. El antiguo griego que murió 2 000 años antes de que ellos nacieran podía haber enseñado a los analistas de principios del siglo XVIII más cálculo verdadero del que todos ellos soñaban.

LA APORTACIÓN DE TAYLOR

La intuición y el formalismo habían de culminar en las obras maestras de Euler. Taylor (inglés, 1685-1731) con la publicación (1715-1717) de su Methodus incrementorum directa et inversa en la que apareció por primera vez impreso el “teorema de Taylor” del cálculo, descubierto en 1712, así como su consecuencia inmediata el “teorema de Maclaurin”, proporcionó una tentación irresistible al uso sin restricciones y casi sin espíritu crítico de los procesos infinitos de Euler. Estos desarrollos incitaban irresistiblemente a la licencia, y con posterioridad constituyeron una indicación, cuando Lagrange intentó rigorizar el análisis, pues había que imponer orden en esa exuberante confusión.

La obra de Taylor también exponía el cálculo de las diferencias finitas, del que se suele decir que fue el inventor. Como veremos pronto, también esto influyó sobre la evolución del cálculo. Taylor no dio nada que después de la obra de Cauchy de 1821 se hubiera podido tomar como demostración de su teorema. Sin que eso sea calificar a su época, se puede decir que una cosa que durante un siglo ha estado desprovista de sentido es una bobada. El intento de demostración de Taylor pertenece a esta categoría, y lo sorprendente es encontrar todavía en 1945 otras equivalentes en textos elementales de cálculo muy difundidos.

CÓMO ABORDA EL PROBLEMA UN AFICIONADO

Mientras que los analistas producían fórmulas nuevas y correctas con extraordinaria profusión, y sin escrúpulo siquiera en cuanto a la legitimidad de su formalismo, los críticos imparciales protestaban contra el diluvio de lo que consideraban bobadas metafísicas. No hay ninguna necesidad de explorar los motivos humanos que se escondían detrás de una buena parte de esos salvajes ataques contra la obra de matemáticos eminentes. El ataque más ingenioso lo hizo uno que no era matemático ni pretendía serlo, Berkeley (irlandés, 1685-1753): medio heredero de la Vanessa de Jonathan Swift; antiguo apóstol de la cultura, autonominado, en Bermuda, pero que embarcó por equivocación hacia Newport, Rhode Island, en donde hizo vida campestre durante tres largos años (1728-1731); posteriormente obispo de Cloyne en Irlanda, su país de origen; famoso por su idealismo subjetivo que sobrepasaba al de Platón, e inmortal por preconizar el agua de alquitrán como remedio para las enfermedades espirituales y para la viruela. Se necesitaba una mentalidad tan aguda como la de Berkeley para exponer de una vez para siempre las fútiles falacias de las fluxiones de Newton, y el sagaz obispo no escatimó lógica en su impetuoso ataque. Un aficionado a la filosofía hizo lo que los matemáticos profesionales no habían podido hacer por demasiado parciales o por demasiado blandos. Aunque pocos profesionales admitirían que murieron, lo cierto es que Berkeley mató tanto a las fluxiones como a las “razones primeras y definitivas”.

El ataque que hizo Berkeley en su Analyst (1734) no fue una vulgar disputa como la controversia sobre la prioridad en el cálculo, de las que desfiguran la carrera de la Reina de las Ciencias. Ésta fue una de las críticas más fundadas de la que los matemáticos eminentes de todos los tiempos no se han dado por enterados, quizá porque procedía de uno que no pertenecía a su gremio un tanto exclusivista. Un filósofo se lanzó sobre los matemáticos acusando a los fluxionistas de cambiar sus hipótesis en medio de un razonamiento. Hasta la época de Berkeley se había supuesto que esta efectiva táctica de la logomaquia era prerrogativa exclusiva de los dialécticos. Berkeley sustentaba que el sustituir x + 0 en lugar de x en xn y hacer que en el paso final desapareciera cero, para obtener la fluxión de xn, es un cambio en la hipótesis: “porque cuando se dice que los incrementos no valen nada[4] o que no hay incrementos, la suposición anterior de que los elementos valían algo, o de que había incrementos, queda destruida, y sin embargo, se retiene una consecuencia de aquella suposición, es decir, una expresión obtenida en virtud de la misma”. Sin embargo, se hicieron respuestas a esto, pero lo que no tiene respuesta no se puede contestar y la controversia se desvaneció, dejando apenas unas ondulaciones en 1734 en las ya turbias aguas del análisis matemático.

Las críticas de Berkeley estaban bien fundadas, pero ni a él ni a las críticas las tomaron en serio los analistas sobresalientes de su época, y las matemáticas buscaron la salvación por su propia cuenta. Así, es divertido recordar que fue otro asunto de salvación el que inspiró a Berkeley su ataque a las fluxiones. El título completo de su obra es The analyst: or, a discourse advessed to an infidel mathematician. Wherein it is examined whether the object, principles, and inferences of modern analysys are more distinctly conceived, or more evidently deduced, than religious mysteries and points of faith (El analista: discurso dirigido a un matemático infiel, en el que se examina si el objeto, principios y deducciones del análisis moderno están más claramente concebidos o más probadamente deducidos que los misterios y artículos de fe religiosos). Tan sólo un obispo irlandés, que al mismo tiempo fuese filósofo idealista, podría haber concebido un proyecto tan heroico. Al parecer Halley, el amigo de Newton, actuando como gran matemático, había demostrado de manera concluyente a algunos desgraciados lo inconcebibles que son los dogmas de la teología cristiana. El converso, amigo de Berkeley, rechazó en su lecho de muerte los auxilios espirituales de éste. Esto ocurrió en el mismo año en que Berkeley llegó a obispo. Profundamente escandalizado por el salvajismo destructor de almas del “análisis moderno”, y acordándose de lo que aprendió en la semicivilizada Rhode Island, el bueno del obispo salió en persecución de las cabelleras de las fluxiones. Las consiguió; y el desdichado que se había convertido a la incredulidad gracias a un razonamiento tonto quedó vengado, aunque quizá demasiado tarde para la salvación de su alma.

EL TRIUNFO DEL FORMALISMO

Uno de los misterios más inexplicables de las matemáticas es la capitulación casi total de Euler a las seducciones del formalismo. Como Newton, Euler se daba cuenta de que “en general”5 las series, para que sean útiles en la práctica, como para la astronomía, han de ser convergentes; pero al contrario que Newton, no pudo contenerse en este absurdo aspecto. Al parecer Euler creía que las fórmulas no pueden hacer ningún mal, y que mientras continúen proporcionándole a su creador variaciones nuevas y más prolíficas de sí mismas, merecían crecer y multiplicarse, confiando sin duda en que algún día todos sus vástagos quedarían legitimados. Así ha ocurrido con muchos de ellos, que florecen hoy día como vigorosas teorías cuyos primeros y audaces pasos se dieron en varias ediciones de tres obras maestras de este matemático, de los más prolíficos de la historia: Introductio in Analysin infinitorum (1748); Institutiones calculi differentialis (1755); Institutiones calculi integralis (1768-1794).

El objeto de la Introductio es obtener por medios elementales todo lo que sea posible, y que usualmente se obtiene por medio del cálculo diferencial e integral. La obra consta de dos partes, una analítica y otra geométrica. Entre la multitud de resultados que contiene, se encuentran los desarrollos de las funciones circulares (simplemente periódicas), las transformaciones de los productos infinitos en series infinitas, y los desarrollos en serie de las fracciones parciales. Esto último sugirió en el siglo XIX una manera de abordar las funciones elípticas (doblemente periódicas). Un capítulo deduce las fórmulas fundamentales de la teoría analítico-algebraica de la partición de los números. En este gran drama del formalismo hay dos héroes: el desarrollo de ex partiendo del límite (estilo de Euler) de (1 + x/n)n cuando n tiende a + infinito, y la importante fórmula de la trigonometría analítica eix = cos x + i sen x, i ≡ (−1 )1/2. El formalismo creador de este estilo tiene la culpa de que la crítica impaciente considere como rigor mortis al formalismo matemático extremado.

La parte geométrica trata la geometría analítica, plana y del espacio, con igual libertad y dominio absoluto. Entre el material figuran curvas y superficies especiales, tangentes y planos tangentes, normales, área y volúmenes.

Por otro lado, separándose en parte del intuicionismo, Euler abandonó la geometría en las Instituciones. Esta obra es notable por las analogías que muestra entre el cálculo infinitesimal y el cálculo de las diferencias finitas, y el uso que hace de este último para aproximar los resultados del primero. No hay ningún indicio de convergencia, pero se convierte de manera magistral a las series de convergencia lenta en otras de convergencia más rápida. También aquí se desarrollan con detalles minuciosos las partes formales del cálculo diferencial e integral. Mención especial merece un profético triunfo de la habilidad operatoria: Euler obtiene el teorema de adición de las integrales elípticas como ejercicio de ecuaciones diferenciales.

Para Euler, una función era un conjunto de representaciones formales transformables una en otra mediante ingeniosos artificios que utilizaban desde el álgebra elemental hasta el cálculo. Euler, glorificando la fuerza práctica de sus métodos, no necesitaba ver nada absurdo en su concepción del cálculo diferencial como un proceso para determinar la razón de los incrementos desaparecidos. Sus diferenciales son en primero y último lugares ceros absolutos, cuyas razones por algún espiritualismo incomprensible se materializan en números finitos, determinados. Como observó Lagrange, habitualmente cortés, el cálculo de Euler no tenía sentido.

Si en análisis el fin justifica los medios, Euler estaba justificado; buscaba bonitas fórmulas y las encontró con abrumadora abundancia. Pero es evidente que el cálculo no podía continuar indefinidamente por esta alegre senda que con tanto éxito siguió el más intrépido formalista de la historia. Hasta Euler llegaba de vez en cuando algo del humo de la hoguera eterna de lo absurdo que surgía del foso que estaba justamente delante de él. Otros, y entre ellos su amigo d’Alembert, percibieron con más agudeza los olores de condenación.

Aunque mejor conocido por su principio de la mecánica (1743), se debería recordar también a d’Alembert por haber sido el primero (1754) en enunciar[6] que la “teoría de los límites es la verdadera metafísica del cálculo diferencial”. No tiene ningún interés el que alguien en el siglo XVIII llevara a cabo el programa implícito o fuera capaz de hacerlo; d’Alembert vio claramente que lo que el cálculo necesitaba no eran más fórmulas, sino un cimiento. Él consideraba el cálculo de Newton de las razones primeras y definitivas como un método de límites. Con esto hubiera podido estar de acuerdo Newton si se le hubiera indicado.

EL REMEDIO DE LAGRANGE

Lagrange tomó una dirección nueva en su ambiciosa Théorie des fonctions analytiques (1797-1813), y en su Calcul des fonctions (1799-1806), que eran tentativas conscientes para escapar al concepto de Euler de considerar una función como una simple fórmula o algoritmo, aunque Lagrange la sustituyó por otro tipo de fórmula, la serie de potencias para la representación de todas las funciones. Su escapatoria lo llevó de un formalismo a otro. Insatisfecho[7] con los esfuerzos de todos sus predecesores y contemporáneos, rechazó los infinitésimos y los límites como faltos de solidez, como demasiado difíciles para los neófitos, y como metafísicos, dándole a la palabra su significado poco halagador.

Lagrange fue el matemático más eminente del siglo XVIII y uno de los más grandes de la historia. También fue el primero en enunciar el teorema de Taylor con un término complementario. Con todo esto a la vista, si es que tenemos algo de prudencia, seremos extraordinariamente conservadores al estimar el rigor actual, si recordamos lo que por último satisfizo a Lagrange.

Basó su cálculo en el desarrollo de una función en serie de Taylor, suponiendo que “por la teoría de series”

f(x + h) = f(x) + ah + bh² + ch³ + …

A partir de esto se convenció a sí mismo de que si a ≡ f ′ (x) es la “función derivada de f(x)” entonces es 2b = f″(x) en que f″(x) = (f ′ (x))′ y así sucesivamente; todo ello, como él se imaginaba, sin recurrir a los límites. Asimismo, señala[8] que todo el que esté familiarizado con la forma habitual del cálculo se dará cuenta de que f ′ (x) es realmente df(x) / dx. Pero por lo que deduce de la “teoría de series”, está claro que df(x) / dx no depende de ningún modo de los límites, las razones primeras y definitivas o de los infinitesimales, como ocurría anteriormente; f ′ (x) no es sino el coeficiente de h en el desarrollo de f(x + h) en las potencias ascendentes de h. ¿Necesitamos decir más?[9]

LO CONSEGUIDO HASTA 1800

Las ganancias netas conseguidas en el siglo XVIII parecen ser cuatro. Berkeley se ocupó de las fluxiones y de las razones primeras y definitivas. Euler produjo una enorme masa de resultados usando únicamente el cálculo formal; y tan seguro era su instinto sobre lo que había de ser duradero, que su obra fue el punto de partida desde el que muchos de sus sucesores más valiosos habían de hacer los progresos más significativos. Por no mencionar más que dos ejemplos, diremos que Gauss, Abel, Jacobi y Hermite debieron mucho, directamente, a Euler, en sus trabajos más rigurosos sobre las funciones theta y elípticas; las integrales eulerianas sugirieron a Legendre, Gauss y Weierstrass extensos desarrollos en la teoría de la función gamma.

La tercera ganancia importante fue la solicitud de d’Alembert de fundar el cálculo sobre el método de los límites. La ejecución de este programa tenía que esperar hasta Cauchy (1821). La cuarta ganancia fue la indicación, implícita en la tentativa abortada de Lagrange, de engendrar el cálculo partiendo de las series de potencias. Weierstrass, en su teoría de las funciones analíticas, llevó a cabo lo que hubiera podido ser un programa del siglo XVIII si Lagrange hubiera visto con un poco de más claridad lo que en realidad estaba haciendo.

INTERVALO RIDÍCULO

En el periodo comprendido entre Lagrange y Cauchy alcanzó su absurda culminación un formalismo de una especie más estrecha que el de Euler. Lo mejor que las matemáticas académicas pudieron hacer en la Alemania de finales del siglo XVIII lo representa el análisis combinatorio en el sentido superficial de la manipulación de los coeficientes binómicos y multinómicos y de una expansión formularia en series infinitas de potencias por aplicaciones ad libitum ad nauseamque del teorema multinómico. La escuela combinatoria encabezada por Hindenburg (alemán, 1741-1808) fue el resultado poco agradable de dos fracasos humanos, ninguno de los cuales, según se suele suponer, tuvo importancia para las sublimidades de las matemáticas puras: la adoración ciega a los héroes y celos nacionalistas.

Leibniz, alemán, en su análisis combinatorio de lo discreto, había creado un rival para el análisis infinitesimal de lo continuo de Newton, inglés. Por lo tanto, abandonando el cálculo y sus aplicaciones astronómicas a los ingleses, los suizos y los franceses, que ya estaban muy por delante, los matemáticos alemanes se dedicaron a seguir lealmente a su héroe nacional. Sin comprender en absoluto el significado más profundo del programa de Leibniz como paso hacia la “característica universal”, sus patrióticos discípulos elaboraron sus superficialidades en una multitud de fórmulas inútiles. El título de la obra maestra de esta ambiciosa futilidad proclamaba descaradamente que el teorema multinómico era la verdad más importante de todo el análisis.[10]

Aún tenía pretensiones más grandiosas de omnipotencia un egocéntrico polaco, Wronski (1778-1853), que envidiaba ardientemente a Lagrange y era discípulo de la escuela combinatoria, aunque su trascendente presunción[11] negaba que Wronski y su “ley suprema”, que según insistía contenía todo el análisis, pasado, presente y futuro, tuviera otro progenitor que él mismo. Tanto las pretensiones de Wronski como las de los combinatorialistas han sido desautorizadas por el tribunal supremo del progreso matemático, del cual no hay apelación posible. Su crítica a la tentativa de Lagrange para conseguir el rigor estaba justificada; pero el sustitutivo que presentaba no era mejor.

Los trabajos de esta casi olvidada escuela combinatoria no dejaron, sin embargo, de tener efectos beneficiosos duraderos para el cálculo. Llenaron al joven Gauss de un desprecio tan intenso hacia el formalismo y hacia todas sus obras, que decidió seguir un camino propio y solitario dándole algún significado al análisis, aunque esto le acarreara la pérdida de la protección de todos los académicos de Alemania. Incluso dirigió al poderoso Hindenburg una carta sarcástica en extremo.

En 1812 Gauss publicó su clásica memoria[12] sobre las series hipergeométricas, en que por primera vez en la historia de las matemáticas se investigaba convenientemente[13] la utilidad de una serie infinita. Otros anteriores a Gauss habían llegado hasta a enunciar pruebas para la convergencia, y en especial Leibniz para las series alternadas, y Waring (inglés, 1734-1798) que dio lo que se suele llamar prueba de la razón de Cauchy, ya en 1776; pero Gauss fue el primero que hizo toda la exposición de una manera rigurosa.

LA INTUICIÓN TRANSFORMADA

No hay ninguna indicación de que los analistas se dieran cuenta de la necesidad de comprender mejor el sistema de números reales, en todo el cálculo que va desde Newton y Leibniz al de Lagrange. Tampoco la hay en la fase siguiente, la de Cauchy. Incluso en 1945, en las obras de los analistas profesionales, se presenta con frecuencia el término cantidades sin ninguna explicación acerca de lo que pueda significar.

Creyendo quizás que estaba desterrado para siempre del análisis la engañosa intuición, Cauchy consiguió empujarla a un nivel mucho más profundo en que pudo continuar haciendo sutilmente los mismos perjuicios, pero pasando inadvertida. La grosera intuición visual y geométrica de los primeros analistas fue transformada en una fe nada crítica en la posibilidad lógica del continuo de los números reales. Cauchy, Abel y posiblemente Gauss,[14] pues no parece haber escrito nada sobre su manera de pensar en este aspecto, se adhirieron a esta fe.

Las definiciones de límite y de continuidad corrientes hoy día en textos cuidadosamente escritos del cálculo elemental son en esencia las que expuso y aplicó Cauchy en sus conferencias y en su Cours d’analyse (1821), en su Résumé des leçons données à l’école polytechnique (1823) y en sus Applications du calcul infinitésimal à la géométrie (1826). El cociente diferencial o derivada se define como límite de un cociente de diferencias, y la integral definida como límite de una suma, y las diferenciales como números reales arbitrarios. La continuidad de una función y la convergencia de una serie infinita se reducen al concepto del límite. De esta forma, Cauchy creó en realidad los elementos de la teoría clásica de funciones de una variable real; fue el rigor de Cauchy el que inspiró a Abel, en la visita que hizo a París en 1826, para desterrar el formalismo del análisis, a lo cual proyectaba dedicar los mayores esfuerzos en la obra de toda su vida.

Pero hasta una mentalidad tan cauta como la de Cauchy se extravió cuando se sometió a la intuición, lo cual indica las sutilezas inherentes a una manera consecuente de pensar acerca de lo infinito y del continuo. Durante algún tiempo creyó que la suma de toda serie convergente de funciones continuas es continua, y que la integral de la suma se puede obtener siempre por integración término a término. Más tarde (1853-1857) conoció la convergencia uniforme, descubierta independientemente por el físico matemático Stokes (irlandés, 1819-1903) en 1847 y por Seidel (alemán, 1821-1896) en 1848. Cauchy también cayó en las trampas que impiden el intercambio de límites en los procesos de límite doble, cosa que ocurrió a Gauss,[15] lo cual es otra indicación muy clara de que el sistema de los números reales es menos inocuo de lo que a la intuición ingenua parece.

UNA INDICACIÓN TOMADA DE LA FÍSICA

Resulta sorprendente encontrar que una de las principales fuentes del rigor moderno está en la obra de un físico matemático que casi tenía a las matemáticas como galopín de las ciencias.[16] Fourier (francés, 1758-1830) publicó su obra maestra La théorie analytique de la chaleur en 1822, un año después de que Cauchy hubiera rigorizado el cálculo. Pero si hubiera aparecido 20 años después de las conferencias de Cauchy, quizá no hubiera diferido materialmente de lo que era. Fourier había rehusado con obstinación durante 15 años las objeciones de Lagrange y de otros, los que le decían que eran poco sólidas partes vitales de su análisis. En su famosa obra clásica sobre la conducción del calor,[16] Fourier demostró ser el Euler de la física matemática. Dejando que la convergencia se estableciera por sí misma confió en que su intuición física lo conduciría, como acostumbraba, a resultados correctos.

La sexta sección de la Théorie[16] de Fourier es la que nos interesa en este momento, la cual está dedicada a la solución “de un problema muy general, que consiste en desarrollar una función cualquiera en serie infinita de senos y cosenos de arcos mútiples. Procederemos a explicar la solución”.[17] Habiéndolo hecho así para un caso especial, Fourier continúa:[18] “podemos extender los mismos resultados a funciones cualesquiera, incluso a las que son discontinuas y por completo arbitrarias. Para establecer claramente la verdad de esta proposición hemos de examinar la ecuación anterior”, cosa que hace en el estilo del formalismo euleriano.[19] El resultado es el desarrollo de una función impar “arbitraria” en una serie de senos. Lagrange en 1766 había construido por un proceso de interpolación una fórmula de sumación finita a partir de la cual se puede obtener el resultado de Fourier pasando al infinito, pero se “abstuvo de pasar de esta fórmula de sumación a la de integración que dio Fourier”.[20] La dificultad para Lagrange fue que tenía conciencia matemática. La intuición física suplió en Fourier la falta de inhibiciones matemáticas y le guiaron hacia el enunciado general de su famoso teorema.

La intrepidez del físico matemático enseñó a los matemáticos puros varias cosas de importancia primordial para el futuro del análisis. Los puristas se fueron dando gradualmente cuenta de que sus intuiciones de función “arbitraria”, número real y continuidad necesitaban aclararse. Dirichlet (alemán, 1805-1857) dio una definición[21] (1837) de una función (con valores numéricos) de una variable (real, con valores numéricos) con una tabla, o correspondencia, o correlación entre dos conjuntos de números, que apuntaba hacia una teoría de equivalencia de conjuntos de puntos. Cuando Riemann (alemán, 1826-1866) investigó[22] en 1854 la representación de una función mediante una serie trigonométrica (de Fourier) descubrió que Cauchy había sido demasiado restrictivo en su definición de integral, y demostró que las integrales definidas como límites de sumas existen aun cuando el integrando sea discontinuo. Más tarde (fecha no bien conocida) inventó una función, definida por una serie trigonométrica que es continua para valores irracionales de la variable y discontinua para los valores racionales.[23] Entonces, estaba claro que no se había comprendido bien el continuo de los números reales. Con nuestros conocimientos actuales vemos una vez más que Cantor fue el primero en percibir la necesidad de una teoría de conjuntos de puntos. Las investigaciones de Cantor, como las de Riemann, partieron de las series de Fourier.

La exigencia de una comprensión más clara de los límites, la continuidad y las derivadas fue puesta de manifiesto una vez más en 1874 por la publicidad dada al ejemplo de Weierstrass de una función continua sin derivada o, lo que es equivalente, de una curva continua sin tangente en ningún punto. La intuición había expirado. Éstos parecen haber sido los impulsos principales que sufrió la creación del moderno continuo. Los fenómenos imprevistos citados, y otros muchos casi tan inesperados pero del mismo carácter general, parecían indicar que todas las dificultades radicaban en definitiva en el sistema de números reales. Basándose en esta convicción, Dedekind, Canto, y Weierstrass, por métodos diferentes, pero con objetivo común, volvieron al problema de Eudoxio, y lo despojaron de la geometría intuitiva que lo disfrazaba. Las “magnitudes”, como hemos visto, fueron remplazadas por “números”, y se expulsaron las intuiciones geométricas para hacer sitio a las de la lógica tradicional. En el análisis de algunos persistieron algunas “cantidades” un tanto nebulosas. El cálculo del siglo XIX alcanzó su perfección clásica con las épsilon y deltas numéricas del análisis riguroso de Weierstrass. La técnica de las ε, δ formó parte del equipo corriente de todo analista activo, y hacia fines del siglo casi todos los cursos avanzados de cálculo solían incluir los rudimentos de la teoría de conjuntos de Cantor.

LA FINALIDAD EN 1900

En el capítulo anterior seguimos el desarrollo del sistema de números reales hasta fines del siglo XIX, y acabamos de ver que el origen del concepto moderno del número real era una necesidad analítica. Con la retirada que él hizo desde la intuición geométrica y cinemática hacia la lógica clásica que avaloraba la obra de Dedekind, Weierstrass y Cantor, el cálculo volvió a fines del siglo XIX a las paradojas del infinito que habían puesto a prueba a generaciones enteras de lógicos desde Zenón hasta Russell. Antes de que fuera posible hacer más progresos hubo que desarrollar en el siglo XX una técnica lógica más sutil, y ésta no apareció más que cuando la lógica simbólica que profetizó Leibniz fue ampliada y perfeccionada mucho más allá del máximo que su imaginación pudo idear. De este modo, al cabo de dos siglos, el cálculo volvió en busca de nueva fuerza y salud a una de las mentalidades en las que se había originado. Nos ocuparemos de lo que recibió, una vez que hayamos revisado algunos de los triunfos del análisis en los dos siglos que siguieron a Newton y a Leibniz.

Por el momento recordaremos la bendición que pronunció Henri Poincaré (francés, 1854-1912) en el segundo congreso internacional de matemáticos de 1900. En esta ocasión histórica y algo solemne, Poincaré, el matemático más eminente de su época, y el Lagrange del siglo XIX, comparó los papeles que desempeñan la intuición y la lógica en las matemáticas. En particular revisó el movimiento que acabamos de esbozar y que a fines del siglo XIX se llamaba aritmetización del análisis. Las tranquilizadoras seguridades que dio este atrevido maestro del análisis produjeron una calurosa oleada de seguridad y de orgullo en todos los que lo oyeron o en los que leyeron su memorable discurso, y que a lo menos temporalmente habían olvidado todo lo que sabían de historia de las matemáticas.

Después de recordar[24] que en otro tiempo los matemáticos se habían contentado con imágenes toscas y mal definidas de las cuestiones matemáticas, tal como se presentan a los sentidos o a la imaginación, Poincaré concedió a los lógicos, por los que sentía una aversión que a veces llegaba a una acritud ridícula, el crédito de haber puesto remedio a este estado de cosas tan poco satisfactorio. Continuó por ese estilo con los números irracionales, y con “la vaga idea de continuidad que debemos a la intuición” ahora (en 1900) resuelta en “un complicado sistema de desigualdades entre números”. Valiéndose de esos medios, declaró que se habían aclarado todas las dificultades relativas a los límites y a los infinitésimos.

En la actualidad (1900) no quedan en el análisis más que números enteros, y sistemas finitos o infinitos de números enteros interrelacionados por una red de relaciones de igualdad o de desigualdad. Como se suele decir, las matemáticas se han aritmetizado.

¿Es esto en realidad una evolución? ¿Hemos alcanzado por fin el rigor absoluto? En cada fase de la evolución nuestros padres creyeron que ellos también lo habían alcanzado. Si ellos se engañaban, ¿no nos estaremos engañando nosotros también?

Nos parece que ya no recurrimos a la intuición en nuestros razonamientos. Los filósofos nos dicen que eso es una ilusión […]

En el análisis de hoy día, si nos tomamos el trabajo de ser rigurosos, lo único que nos puede engañar son silogismos o llamamientos a la intuición del número puro. Hoy día (1900) podemos decir que se ha alcanzado el rigor absoluto.

Remitimos al lector a la última sección del capítulo anterior. Más adelante estudiaremos algunos de los resultados concretos del análisis en las matemáticas aplicadas.

XIV
LA ARITMÉTICA RACIONAL DESPUÉS DE FERMAT

TERMINAREMOS nuestra explicación del número desde el siglo XVII con unos cuantos ejemplos típicos tomados del vasto dominio de la teoría clásica de los números. La aritmética, según la tradición de Fermat, Euler, Lagrange, Legendre y Gauss, se ha ocupado principalmente de los números enteros racionales, 0, ±1, ±2, … Aunque ha atraído a varios de los matemáticos más eminentes que han existido desde el siglo XVII, la aritmética racional ha tenido sobre el resto de las matemáticas mucha menos influencia que su vástago del siglo XIX, la teoría de los números algebraicos. Intensamente cultivada, a causa de su atractivo, por centenares de matemáticos de gustos muy diferentes, la aritmética racional ha llegado a ser un conglomerado siempre creciente de resultados muy poco coordinados, con menos métodos generales que cualquier otro capítulo de la matemática moderna.

De toda esta heterogénea miscelánea no seleccionaremos más que tres temas en los que hay cierta coherencia de métodos, y que en ciertos detalles están casi acabados. El resto es en su mayor parte una mezcolanza de hechos sueltos que presentan un contraste extraño y desconcertante con la generalidad modernizada del álgebra, la geometría y el análisis. Gran parte de ella es irremediablemente arcaica en cuanto a objetivos y a resultados. La aritmética racional parece ser una de las pocas secciones de importancia de la matemática, en que al generalizar un problema se le dificulta en vez de facilitarlo. La consecuencia es que ha atraído a menos matemáticos jóvenes capaces, que cualquier otra sección.

La materia encaja de manera natural en las secciones complementarias de la aritmética multiplicativa y aditiva. La teoría multiplicativa desarrolla las consecuencias de la descomposición única en factores primos; la sección aditiva se ocupa de la composición de los números enteros como sumas de tipos preestablecidos. Problema fundamental de ambas secciones es el de la numeración: ¿cuántos números enteros de una clase especificada satisfacen condiciones dadas? Por ejemplo, ¿cuántos números primos hay entre dos límites dados? o ¿de cuántas maneras se puede representar un entero como suma de un número prefijado de cubos positivos?

Por otro lado, se dice que se ha resuelto un problema de aritmética racional cuando se describe un proceso mediante el cual se pueden obtener los datos solicitados valiéndose de un número finito de operaciones sin tanteos. Con seguridad que no es el tiempo la esencia del contrato entre los números enteros racionales y el cerebro humano. El problema de descomponer un número en sus factores primos tiene solución; sin embargo, el número finito de operaciones que se necesitan en la actualidad para descomponer un número de unos cuantos miles de cifras exigiría más tiempo del que probablemente tendrá a su disposición nuestra raza.

A un aficionado le parecerá muy natural el problema de encontrar los factores primos de un número. El decir que se le ha resuelto de manera que satisfaga el sentido común es una exageración halagadora, y lo mismo se puede mencionar de otros muchos problemas aritméticos que parecen naturales al inexperto. El profesional prescinde de esos problemas naturales en favor de otros que ha construido él o sus predecesores, y para los que puede tener la esperanza de encontrar soluciones, aunque sólo sean parciales. Las soluciones completas, aun de los problemas preparados, son relativamente raras; parece que la aritmética racional en el siglo XX está en relación a la misma altura que la geometría antes de Descartes. Comparado con lo que nos gustaría saber en cada una de varias direcciones, los progresos que se han hecho son casi despreciables. Sin embargo, todos los recursos del álgebra y del análisis se han volcado al asalto de esta división de la matemática, que es la más elemental.

RESULTADOS DEL ANÁLISIS DIOFÁNTICO

Ya se ha descrito, a propósito de Fermat, la naturaleza del análisis diofántico. Su resultado más amplio, la teoría aritmética de las formas cuadráticas se formó con lentitud durante el siglo XVIII, principalmente con la prodigiosa producción de Euler y con las aportaciones más modernas de Lagrange y de Legendre. Finalmente, en 1801, con la publicación de las Disquisitiones arithmeticae de Gauss, el análisis diofántico[1] en el sentido de Fermat y de Euler sufrió un eclipse que había de durar un siglo, hasta que los aritméticos empezaron a darse cuenta de que la teoría de las formas cuadráticas de Gauss no agota el tema de las ecuaciones indeterminadas.

La segunda gran rama de la aritmética moderna que se originó en el análisis diofántico fue la teoría de las congruencias. Ésta también procede de las Disquisitiones. Ya indicamos en un capítulo anterior lo sugestiva que resultó la congruencia de Gauss para el álgebra moderna y para el desarrollo de las teorías de la estructura.

Euler fue, después de Diofanto y de Fermat, el gran maestro del análisis indeterminado. Pero al igual que casi todos los predecesores de Lagrange, Euler se contentó con conjuntos especiales de enteros o de números racionales que satisfagan sus ecuaciones. El único interés que ha podido tener esa obra desde que en 1766-1769 Lagrange discutió x² − Ay² = 1, es el mostrar que una ecuación particular o un conjunto de ecuaciones con coeficientes enteros tiene en realidad solución racional o integral, cuando se ha puesto en duda la existencia de esa solución. De modo que un solo ejemplo numérico eliminaría la duda (1945) sobre la posibilidad de que x⁴ + y⁴ + z⁴ = w⁴, xyzw ≠ 0 tenga solución entera. Ahora bien, presentándolo a la manera moderna, este problema equivale a determinar el número de representaciones de cero en la forma cuártica x⁴ + y⁴ + z⁴ − w⁴, y si es que hay alguna, encontrar todas las que haya. Euler, en 1772, aventuró la hipótesis de que no hay ninguna solución.

Lo atrevido de esta hipótesis sin fundamento es típico de la distinción tan importante que existe entre el análisis indeterminado anterior a Lagrange y el posterior. Euler y otros que seguían la tradición antigua no dudaban en plantear problemas muy difíciles sin ofrecer la más ligera indicación acerca de un método para abordarlos. Y cuando el ingenio proporcionaba soluciones especiales para una ecuación, el que los estaba resolviendo abandonaba el asunto. Lagrange fue el primero en imponer algo de moralidad matemática al análisis diofántico; se abstuvo de hacer vaticinios fáciles, y cuando proponía un problema al mismo tiempo inventaba métodos para obtener las soluciones.

El cambio de dirección lo señala la ecuación[2] de Fermat x² − Ay² = 1, en que A es un entero positivo cualquiera no cuadrado, y se buscan todas las soluciones enteras x, y. Fermat (1657) afirmó que hay una infinidad de soluciones, cosa que no pudieron demostrar ni Lord Brouncker ni Wallis, aunque dieron un método empírico mejorado en 1765 por Euler, para encontrar soluciones. Euler partía de la conversión de √A en una fracción continua. Pero no pudo demostrar la existencia de una solución con y ≠ 0. Lagrange (1766-1769) proporcionó la importante demostración, y en 1769-1770 dio un método no empírico para obtener todas las soluciones enteras de x² − Ay² = B, en que A y B son números enteros dados.

Ya indicamos en capítulos anteriores que los pitagóricos abordaban las irracionalidades cuadráticas por lo que equivale a resolver casos especiales de la ecuación de Fermat mediante fracciones continuas, y que Brahmagupta, en el siglo VII, dio un método empírico para resolver x² = Ay² + B en términos enteros. Pero la distancia matemática entre esos trabajos empíricos y las demostraciones de necesidad y suficiencia de Lagrange es inmensa; y resulta fantástico pretender que los matemáticos hindúes se anticiparan a Lagrange. A Brahmagupta y a Bhaskara les cabe bastante honor por haber imaginado un problema que siglos después de que ellos hubieran muerto había de tener tan gran importancia para la aritmética moderna. Pero en esto quizás fueran afortunados, ya que dedicaron gran parte de su tiempo a otros muchos problemas que en esencia son triviales. La ecuación de Fermat y la resolución de Lagrange son indispensables para la teoría de Gauss de las formas cuadráticas, y también para la teoría algebraica de los campos numéricos de segundo grado. La solución de Lagrange fue la primera determinación de las unidades en un campo de números algebraicos que no fueran racionales.

Además de ser fortuita, la manera que tenía Euler de abordar las ecuaciones diofánticas era absurdamente ambiciosa. Si una ecuación de segundo grado con dos incógnitas parecía poco interesante, Euler aumentaba el grado a tres o a cuatro. Si con eso no resultaba todavía una ecuación atractiva, aumentaba simultáneamente el número de incógnitas. Como último recurso aumentaba el número de ecuaciones y ejercitaba su inigualado ingenio en los sistemas simultáneos. No es sorprendente que avanzara poco en lo que respecta a métodos o a teoremas generales. Tampoco lo consiguieron ninguno de los centenares de sus sucesores, que lo igualaban o lo excedían en ambición, pero que en ingenio quedaban muy por debajo de él.

El progreso hacia la verdadera matemática empezó cuando hombres poco ambiciosos como Lagrange y Legendre (francés, 1752-1833) limitaron sus principales esfuerzos a la humilde tarea de investigar sistemáticamente una sola ecuación de segundo grado con no más de tres incógnitas. Su obra allanó el camino de Gauss, que también se impuso un programa que, comparado con la opulencia del periodo anterior a Lagrange, era la pobreza misma. Y es dudoso que sin los trabajos iniciales de Lagrange y de Legendre, ni incluso Gauss hubiera podido componer sus Disquisitiones.

LAS FORMAS ARITMÉTICAS

La técnica fundamental de la aritmética de las formas se originó en la teoría de Lagrange de las formas cuadráticas binarias, en 1773, cuatro años antes de que naciera Gauss. Para describirla usaremos la terminología corriente, introducida en 1801 por Gauss y modificada por aritméticos posteriores. Algunas de las definiciones que daremos a continuación nos servirán también con ligeras modificaciones cuando lleguemos a la invariancia.

En aritmética racional, una forma es un polinomio homogéneo P ≡ P(x₁, …, xn) en n indeterminantes (o variables) x₁, … xn con coeficientes enteros. Si el grado es m; la forma se llama n-aria m-tica. Para n = 2, 3, 4, 5, …, las formas se llaman binaria, ternaria, cuaternarias, quinaria… respectivamente. En lo que sigue, si no se especifica, “forma” tendrá el significado n-aria m-tica. Los conceptos fundamentales son la equivalencia y la reducción de las formas, y la representación mediante una forma.

Asimismo, se dice que la forma P(x₁, …, xn) contiene la forma Q(x′₁, …, x′n).

Si Q se deduce de P mediante una sustitución lineal homogénea T:xi = ai₁x′₁ + … + ainx′n (i = 1, … n) con coeficientes enteros aij cuyo determinante |aij| no sea cero. Si |aij| = ± 1, el recíproco T⁻¹ de T, que expresa x′₁ …, x′n como función lineal homogénea de x₁, …, xn tendrá coeficientes enteros, y Q contendrá a P. De este modo ambas formas se contienen la una a la otra, y entonces se dice que son equivalentes; la equivalencia de P y Q se escribe P ∼ Q. Con facilidad se sigue que este ∼ es un ejemplo de la equivalencia abstracta descrita a propósito de la congruencia de Gauss, puesto que P es equivalente a Q, o no lo es; P ∼ P; y si P ∼ Q entonces Q ∼ P; también, P ∼ Q y Q ∼ R tienen como consecuencia conjunta P ∼ R. Por tanto, todas las formas equivalentes a una forma dada son equivalentes entre sí; y por tanto, todas las formas se pueden separar en dos clases respecto de la equivalencia, poniendo dos formas en la misma clase si son equivalentes, y sólo en ese caso.

El lazo de unión con el análisis diofántico lo proporciona el concepto representación: se dice que un entero r está representado por (o en) la forma P(x₁, …, xn) si la ecuación P(x₁, … xn) = r tiene solución con los enteros x₁, … xn, y sólo en ese caso. Si x₁ = s₁., …, xn = sn es una solución de ese tipo, se dice que (s₁…, sn) es una representación de r en P. El problema diofántico según el nuevo enunciado que le dio Lagrange en 1773 consiste en decidir si un r dado está o no representado en P, y si lo está, encontrar todas las representaciones.

Se sigue de las definiciones que si r está representado por una forma particular de una clase dada, está representado por todas las formas de esa clase; y que si no está representado por una forma particular de la clase, no está representado por ninguna forma de la clase. De esta forma, el problema diofántico de encontrar todas las ecuaciones enteras de P(x₁, …, xn) = r queda reducido a otros dos: encontrar criterios, expresados por medio de los coeficientes dados de P, suficientes para decidir si r está o no representado por P; encontrar todas las formas equivalentes a P. El segundo de éstos sugiere un tercer problema: dados los coeficientes de dos formas, determinar si son equivalentes, y en caso de que lo sean transformar una en la otra. Esto a su vez requiere los automorfos de una forma dada, es decir, las transformaciones que dejan inalterada a una forma dada. Una vez que se sepan las formas automorfas de P y una transformación que cambie P en Q, ya se conocen todas esas transformaciones. Para las formas cuadráticas binarias, los automorfos se obtienen resolviendo determinadas ecuaciones de Lagrange, x² − Ay² = B.

El otro problema del análisis diofántico modernizado, el de la reducción de la forma, está en un nivel diferente. Supongamos que en cada clase de formas sea posible aislar una forma única imponiendo condiciones adecuadas a los coeficientes de todas las formas de la clase. Entonces, esta forma que adquiere el nombre de reducida, y que es equivalente a todas las formas de la clase, se puede tomar como representante de todas las clases en los problemas de equivalencia y representación de número. De este modo resulta posible concentrar la atención en formas individuales en lugar de dispersarla sobre una infinidad de formas posibles de las diferentes clases. Además, queda indicado de manera incidental el problema de determinar el número de clases de formas cuyos invariantes tengan valores enteros predeterminados. Lagrange resolvió en 1773 el problema de la reducción de las formas ternarias cuadráticas; el primero en obtener una solución para las formas binarias cuadráticas fue Seeber (alemán) en 1831.

Unas cuantas pruebas y muchos errores cometidos convencerán fácilmente al experimentador de que no es de prever el que se pueda conseguir una solución completa de esos problemas básicos en un futuro inmediato. Sin embargo, ya fue un resultado notable su simple formulación. Aunque sólo sea despojar al antiguo análisis diofántico de su especiosa sencillez y revelar una naturaleza de las dificultades inherentes al mismo. En este aspecto son ejemplos notables de estrategia matemática tal como la practican los maestros.

Estos problemas modernos, claramente definidos, quizás resulten tan difíciles de tratar en el aspecto general que haya que abandonarlos. Se ha discutido mucho el programa total de abordar directamente el análisis diofántico. Quizás nuestros sucesores se vean obligados a reanudar la técnica clásica de confeccionar problemas que puedan resolver. Recordemos aquí que el análisis diofántico se originó en la ecuación pitagórica x² + y² = z², y es concebible que el problema generalizado que surgió de esta ecuación sea completamente artificial. La ecuación pitagórica entró en la matemática, no mediante la aritmética sino por medio de la geometría. Una generación que sea menos respetuosa de la tradición que la nuestra quizá consiga formular y resolver problemas más próximos, en el sentido que todavía no se puede imaginar, a la naturaleza de la aritmética racional, cualquier cosa que eso sea. En todo caso, el interés en los problemas modernizados del análisis diofántico arriba descritos declinó rápidamente hacia fines del siglo XIX. Los problemas eran sencillamente demasiado difíciles, y toda la impresionante maquinaria del análisis y del álgebra moderna no consiguió sino hacer mucho ruido que no bastó para acallar las insistentes preguntas que se hacían a la aritmética.

La inmensa mayoría de los progresos se hicieron en la teoría de las formas cuadráticas. Un cálculo aproximado de la cantidad de trabajo hecho sobre las diversas clases de formas da 80% para las cuadráticas y 20% para todas las demás. Del trabajo que se hizo sobre la forma cuadrática, 80% aproximadamente se dedicó a las binarias, 8% a las ternarias, 3% a las cuaternarias y 3% a las n-arias. El 6% restante fue trabajo sobre formas cuadráticas binarias con coeficientes en unos cuantos campos cuadráticos especiales. Esta estadística sugiere que el problema general de la teoría aritmética de las formas no era todavía más que una esperanza después de siglo y medio de laboriosa explotación por parte de varios centenares de aritméticos entre los que se incluyen hombres como Lagrange, Legendre, Gauss, Eisenstein, Dirichlet, Hermite, Smith, Minkowski y Siegel.

Ahora indicaremos brevemente algunos jalones sobresalientes de la teoría de las formas de grado inferior. Lagrange (1773), con su tratamiento general de las formas binarias cuadráticas, obtuvo de manera incidental y uniforme muchos de los resultados especiales de sus predecesores, como, por ejemplo, el teorema de Euler (1761) de que todo número primo de la forma 6n + 1 está representado por x² + 3y². Sin embargo, la hazaña principal de Lagrange fue la introducción de métodos de aplicación universal en la teoría de las formas cuadráticas binarias.

En 1798 Legendre publicó su Théorie des nombres, primer tratado dedicado exclusivamente a la aritmética superior, en el que se simplificaba y ampliaba la teoría de Lagrange. En esta obra se describe la primera manera sistemática de abordar las formas cuadráticas ternarias. Asimismo, se hacía abundante uso de la ley de la reciprocidad cuadrática, cuya primera demostración completa fue dada por Gauss en 1801.

La teoría de las formas cuadráticas binarias cristalizó en su forma clásica con las Disquisitiones arithmeticae (1801). Gauss sistematizaba y completaba con detalles la obra de sus predecesores, y además añadió muchas ideas propias. Entre las innovaciones había una, que, como se había de demostrar, era muy poco feliz: Gauss construyó toda su teoría sobre las formas ax² + 2bxy + cy² con los enteros a, b y c. El coeficiente par 2b del término medio hace que el álgebra resultante sea más elegante, pero complica inútilmente la aritmética y conduce a pesados refinamientos de clasificación. Para un algebrista, esto puede parecer un detalle trivial. Pero un momento de reflexión mostrará que, puesto que lo que se investiga es la aritmética racional, y no el álgebra, la insistencia en que el coeficiente medio sea par puede provocar explicaciones inevitables.

Siguiendo a Kronecker, modernamente se han vuelto a emplear los coeficientes libres de toda restricción de Lagrange, en el estudio de las formas cuadráticas binarias (y en menor medida para las ternarias). Por consiguiente, resulta necesario recordar dos vocabularios y saber cuál es el que se está usando al referirse a la documentación que trata de esta materia.

El primero que dominó la presentación sintética de Gauss fue Dirichlet, que en 1863 resumió sus estudios personales y una refundición de las Disquisitiones en su Zahlentheorie. Las ediciones sucesivas (1871, 1879, 1893) de este texto[3] y de las anteriores aportaciones originales de Dirichlet hicieron accesible la aritmética clásica de Gauss para todo el mundo sin esfuerzos desmedidos. Más adelante y a propósito de la teoría analítica señalaremos otro importante progreso de Dirichlet en la aritmética en general.

Hasta 1847, la teoría aritmética de las formas cuadráticas se había concretado a las binarias y a las ternarias. Entonces, se pensaría que la ampliación a las formas cuadráticas con 4, 5, 6, … indeterminadas sería cuestión de simple rutina, algo parecido al paso de las tres dimensiones a las n dimensiones en la geometría analítica. La dura experiencia se encarga de corregir rápidamente esta idea; las dificultades de una investigación detallada aumentan muy rápidamente con el número de indeterminadas, e incluso exige la invención de nuevos principios.

El primero en apartarse significativamente de la tradición de las formas binarias y ternarias fue Eisenstein (alemán, 1823-1852) en su determinación aritmética hecha en 1847, del número de representaciones de un entero como suma de seis o de ocho cuadrados. A esto siguió en 1847 y en 1850 la determinación aritmética del número de representaciones de un entero sin factores cuadráticos como suma de cinco o de siete cuadrados. En todos los casos se indicaban los resultados únicamente, sin sugerir los métodos utilizados. Con todo, no cabe la menor duda de que el procedimiento de Eisenstein era puramente aritmético y no analítico. Aunque desde hace tiempo se considera que todos sus resultados no son sino detalles de la teoría general de las formas cuadráticas n-arias, tienen interés más que histórico, por haber sido en parte la causa de que se creara la teoría aritmética.

Para seguir el desarrollo hemos de volver a la determinación del número de representaciones de un entero como suma de dos cuadrados, que hizo Legendre en 1798, y con mayor sencillez Gauss en 1801, y a la lucha infructuosa que mantuvo Euler durante 40 años para demostrar que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados de números enteros. El fracaso de Euler sirvió de punto de partida para el éxito que obtuvo Lagrange en 1772, y también para el suyo propio de un año más tarde. Pero ninguno obtuvo el número de representaciones. De manera completamente inesperada prescindieron del número considerándolo como subproducto indeseado de una cantidad entre constantes elípticas theta, que Jacobi encontró en 1828 al desarrollar la teoría de las funciones elípticas. Resultados análogos para 2, 6, 8 cuadrados son evidentes partiendo de las fórmulas contenidas en los Fundamenta nova que publicó Jacobi en 1829. Los relativos a un número impar de cuadrados, que son mucho más profundos, no se originan en identidades análogas a las indicadas. Diremos de pasada que el problema de los tres cuadrados fue un enigma famoso de la teoría aritmética de las formas cuadráticas hasta que en 1798 Legendre publicó la primera demostración de que todos los enteros positivos excepto los de la forma 4h(8k + 7) son sumas de tres cuadrados de enteros.

De todo esto queda perfectamente claro que Eisenstein hizo un progreso notable al obtener sus resultados sobre los cinco y los siete cuadrados, aritméticamente. Fue esta obra la que posiblemente motivó el que Gauss dijera que “tan sólo ha habido tres matemáticos de los que hacen época, Arquímedes, Newton y Eisenstein”. Si Gauss hubiera dicho esto (tan sólo se le atribuye), es la afirmación más asombrosa que contiene la historia de las matemáticas. Pero como quizá lo dijera, y todo lo que Gauss dijo acerca de las matemáticas merece ser tomado en serio, examinaremos brevemente si es admisible.

Como Abel y Galois, Eisenstein fue un “heredero de fama insatisfecha”, de pobre y de mala salud, y es imposible suponer lo que hubiera llegado a ser si hubiera vivido más tiempo. Pero gozó (por así decir) de unos dos años más de vida que Abel y ocho más que Galois. Sus principales trabajos fuera de la aritmética fueron las funciones elípticas, en las que anticipó en parte ciertos detalles de la teoría de Weierstrass. Su propio análisis se detuvo ante la fatal incapacidad de la convergencia condicional.[4] Por otra parte, su aplicación de las funciones elípticas a las leyes de la reciprocidad cúbica y bicuadrática fueron una de las cosas más inesperadas de la aritmética. En contra de la afirmación de Gauss se encuentra el hecho de que por cada vez que las matemáticas habituales citan a Eisenstein, mencionan centenares de veces a Abel y a Galois, por no decir nada de Riemann y de Dedekind, discípulos de Gauss, o de Kummer, contemporáneo de Eisenstein, aunque menos famoso. Incluso en el dominio tan estrechamente limitado de la aritmética, la influencia de Eisenstein ha sido ligera en comparación con la de Dedekind. En la forma antigua, anticuada, de la teoría de las leyes de la reciprocidad, la obra de 1850 de Eisenstein fue vital, pero también aquí el concepto que engendró los divisores ideales primos se debe a Kummer. No parece, pues, probable que la posteridad revise el veredicto casi universal de 1945, de que hasta esta fecha los tres matemáticos más grandes han sido Arquímedes, Newton y Gauss.

Los principales pasos que se dieron en dirección a la teoría general de las formas cuadráticas n-arias parecen haber sido los siguientes. Eisenstein en 1847 introdujo nuevos principios para la clasificación de las formas ternarias en órdenes y en géneros, perfeccionando y ampliando grandemente la teoría que emitió Gauss en las Disquisitiones para n = 3. En 1850 Hermite simplificó la teoría de la reducción de las formas ternarias y en 1851 ideó su método analítico general para la reducción continua. La teoría de las formas ternarias experimentó ulteriores desarrollos en 1851-1852 por obra de Eisenstein; de Smith (irlandés, 1826-1883) en 1867; de Selling (alemán) en 1874, y de muchos otros entre 1850 y 1880. En 1864 y posteriormente en 1867, Smith inició una forma de la teoría general de las formas cuadráticas n-arias a partir de la cual era fácil obtener los teoremas de Eisenstein de los cinco y los siete cuadrados. Debido en parte a lo conciso de la exposición se pasaron por alto esas y otras consecuencias detalladas, y en 1882 la Academia Francesa propuso para el Gran Premio el problema de los cinco cuadrados. En matemática, la brevedad es a veces el alma de la falta de claridad. Smith elaboró las partes más importantes de su teoría general de 1864-1867 y poco después de su muerte compartió el premio con Minkowski (ruso, 1864-1909; Alemania) que entonces era un estudiante de 18 años en los comienzos de una carrera demasiado breve. De este modo, después de un innecesario retraso de más de un cuarto de siglo, se lanzó con completo éxito la teoría aritmética de las formas cuadráticas n-arias.

Poincaré, Minkowski y otros desarrollaron más la teoría en las dos décadas siguientes. Con la excepción que diremos en seguida, se hizo poco que se pudiera considerar fundamentalmente nuevo hasta que L. Siegel (alemán) dio en 1935 una profunda refundición de toda la teoría.

La nueva adquisición, la de la geometría de los números, fue creada casi enteramente por Minkowski, aunque algunos ejemplos[5] aparecen ya en los primeros trabajos de Gauss (publicados póstumamente); en un proyecto de Eisenstein (1844); en los cálculos asintóticos de sumas de funciones aritméticas de Dirichlet (1849); en la obra ya mencionada sobre la reducción de las formas cuadráticas ternarias; en la presentación semigeométrica de la teoría de las funciones elípticas modulares de Smith de 1876, y en la revisión análoga de las formas binarias cuadráticas que hizo Poincaré en 1880.

Uno de los principios básicos es tan sencillo que parece ridículo: si se guardan n + 1 cosas en n cajas, y no hay ninguna caja vacía, habrá exactamente una caja que contenga dos cosas. La solución de un problema con truco muy popular hace algunos años se deriva de este principio de la aritmética geometrizada: enunciar las condiciones necesarias y suficientes para que haya por lo menos dos seres humanos en este mundo que tengan en sus cabezas el mismo número de cabellos.

Al parecer los primeros resultados que se publicaron sobre la geometría de los números fueron la demostración geométrica de Eisenstein (1844) de un lema de Gauss para la demostración de la ley de la reciprocidad cuadrática, y su fórmula (1844) que da el número de soluciones de x² + y² ≦ n siendo enteros x, y, y cuando se da n. Puesto que un punto de enrejado se define como el punto cuyas coordenadas son enteras, esto último equivale a encontrar el número de puntos de enrejado contenido en un círculo incluida su circunferencia, con centro en el origen y radio √n. Minkowski, partiendo de indicios tan escasos como éste, desarrolló un poderoso método que tanto él como otros aplicaron con éxito notable a otras cuestiones difíciles de la teoría de las formas, y especialmente a las formas lineales con coeficientes reales y los números algebraicos. No es desde luego necesario enunciar el problema aritmético, geométricamente, pero el hacerlo sugiere a los que tienen intuiciones espaciales en n dimensiones, procesos analíticos que no hubieran imaginado. Recurriendo o sin recurrir a la imagen espacial, el tipo de problema sugerido por la geometría de los números inspiró muchos trabajos sobre la aritmética analítica, hechos desde 1810, aproximadamente, por las escuelas inglesas de Landau (alemán, 1877-1938), Hardy (inglés, 1877-1920), Littlewood (inglés, 1885-…), y Ramanujan (hindú, 1887-1920).

De este modo la aritmética pagó la deuda que tenía contraída con el análisis, acumulando ante algunos de los analistas clásicos más eminentes del siglo XX una gran abundancia de programas difíciles. La teoría aritmética de la forma de grados superior al segundo dio resultados mucho más escasos. Eisenstein inició (1844) la teoría de las formas cúbicas binarias, y al hacerlo encontró el primer covariante algebraico de la historia, y aunque no explotó su descubrimiento, se dio cuenta de lo sugestivo que era. La aritmética de las formas cúbicas binarias fue refundida por los matemáticos ingleses Mathews y Berwick en 1912.

Los progresos realizados hasta 1945 en la aritmética de las formas más allá de lo expresado fueron escasos, con tres excepciones. La norma de un entero algebraico es el producto de todos sus conjugados; la norma igualada a la unidad define las unidades del campo en cuestión. Dirichlet demostró en 1840 los teoremas fundamentales de esas unidades, si bien todavía no hay manera práctica de obtenerlas ni aun en casos especiales, para los campos de grado superior al tercero. Esta obra generalizaba la de Lagrange sobre la ecuación de Fermat. El problema de las unidades de Dirichlet, y su extensión inmediata a la representación de todo número mediante una norma general, constituyen la generalización más inmediata de la teoría de las formas cuadráticas binarias. Hoy día son un tema conocido de los números algebraicos. El origen de este máximo avance en la teoría sistematizada de las formas fue la observación que hizo Lagrange en 1767 de que la norma de un número algebraico general se repite con la multiplicación, cosa que a su vez se remonta a la identidad de Fibonacci. Quizás se interese alguno en saber que la inspiración le vino a Dirichlet cuando estaba en la iglesia, oyendo la música de un Domingo de Pascua.

La segunda excepción a la regla general de esterilidad más allá de las formas cuadráticas reales fue la introducción en 1854 y 1857 de las formas que desde entonces se conocen con el nombre de Hermite, que las ideó. En el caso binario, una forma de Hermite es del tipo axx′ + bxy′ + b′x′y + cyy′ en que a y c son constantes reales, b y b′ constantes imaginarias conjugadas, y los pares de variables x, x′ e y, y′ son imaginarias conjugadas, de modo que la forma total es real y capaz de representar por lo tanto números reales. Partiendo de la teoría aritmética de Hermite sobre estas formas con dos o más variables, evolucionó la amplia teoría de las formas y de las matrices hermitianas con la que a partir de 1925 se familiarizaron los físicos a través de la teoría de los quanta revisada. Hermite también inició (1849) una teoría aritmética muy afín, la de las formas[6] bilineales, de la que se desarrolló gran parte del álgebra de la que ahora se suele enseñar en un curso universitario, con partes de la teoría de matrices y de los divisores elementales. Esta última se originó explícitamente en la discusión de Smith de los sistemas de ecuaciones y congruencias diofánticas lineales (1861) y fue desarrollada independientemente por Weierstrass y por G. Frobenius (alemán, 1849-1917) entre 1870 y 1890. Lo más interesante desde el punto de vista histórico es que todas estas técnicas tan extraordinariamente útiles del álgebra moderna, que después de 1925 no son sino lugares comunes de la física matemática, evolucionaron a partir de problemas completamente inútiles de la teoría de números.

La tercera y última excepción a la esterilidad general relaciona la aritmética de las formas con aquel otro resultado de importancia del antiguo análisis diofántico, que es el concepto gaussiano de congruencia. Dickson inició en 1907 la teoría congruente de las formas en la que los coeficientes de las formas son, o bien enteros naturales reducidos al módulo p, siendo p primo, o elementos de un campo de Galois. Las transformaciones lineales de la teoría, que se corresponden con las del problema clásico de equivalencia, fueron reducidas de manera semejante, por lo cual se hizo posible definir los invariantes y covariantes modulados. En 1923 ya estaba la teoría prácticamente terminada —excepto en lo que se refiere a dos dificultades centrales— gracias a los trabajos de Dickson y sus discípulos. Noether, en una aplicación de sus métodos al álgebra abstracta, dio algunas derivaciones simplificadas de algunos de los resultados en 1926.

Antes de pasar a las congruencias señalaremos un importante avance en la tradición antigua del análisis diofántico. Si

f(z) ≡ anzn + an₋₁zn⁻¹ + … +a₁z + a₀

es un polinomio irreducible de grado n ≧ 3 con coeficientes enteros y si

H(x,y) ≡ anxn + an₋₁xn⁻¹y + … + a₁xyn⁻¹ + a₀yn

es el polinomio homogéneo correspondiente, entonces H(x, y) = c, en que c es entero, o no tiene solución o tiene únicamente un número finito de soluciones enteras x, y. Éste es el teorema fundamental (1909) de Thue (escandinavo). Este último dio una generalización[7] y Siegel dio otra en 1921. No es necesario decir nada sobre el teorema de Thue después de todo lo que hemos manifestado ya sobre la escasez de métodos generales y la abundancia de resultados fragmentarios en análisis diofántico. Lo demostró por métodos elementales.

LA TEORÍA DE CONGRUENCIAS

El estudio de las congruencias en la aritmética racional se suele asignar a la división multiplicativa, aunque se ocupa principalmente de la investigación detallada de un tipo muy especializado de ecuación diofántica, anxn + … + a₁x + a₀ = my, en que x, y son las indeterminadas, y los coeficientes an, …, a₁, a₀, m son constantes enteras dadas con an ≠ 0, m ≠ 0. Lo importante es que una de las indeterminadas, y, no se presenta más que en primer grado. En este caso se excluyen los casos m = ±1 por no tener interés. La ecuación escrita en forma de congruencia es

anxn + …. + a₁x + a₀ ≡ 0 mod m;

m recibe el nombre de módulo; n es el grado; resolver la ecuación diofántica es equivalente a encontrar todos los valores enteros de x, llamados raíces de la congruencia que hacen que el polinomio de la izquierda sea múltiplo de m. Si x = c, es una solución, también lo es c + km, en que k es un entero cualquiera. Puesto que c + km ≡ c mod m, basta encontrar todas las soluciones cuyos valores absolutos no sean superiores a |m|/2. Así, se dice que éstos son incongruentes módulo m. El enunciado del problema generalizado para una congruencia con varias indeterminadas o para un sistema simultáneo de ellas resulta inmediato. Nos referimos aquí a lo que ya se ha dicho acerca de las congruencias a propósito de la estructura algebraica.

Gauss no explica[8] qué fue lo que le condujo a este importantísimo concepto de la aritmética moderna, pero el uso sistemático que hace de él en las primeras secciones de las Disquisitiones le permite unificar y ampliar importantes teoremas de Fermat, Wilson, Euler, Lagrange y Legendre sobre la divisibilidad aritmética, y dar en la famosa séptima (y última) sección una teoría razonablemente completa de las ecuaciones binómicas en el álgebra. Para ilustrar las ideas generales enunciaremos algunos de los resultados más antiguos sobre divisibilidad, con el lenguaje de las congruencias.

Si p es primo, xp⁻¹ − 1 = 0 mod p tiene exactamente p − 1 raíces incongruentes. Éste es el teorema de Fermat, demostrado esencialmente por el método de las congruencias de Lagrange (1731), el que también demostró (1768) que una congruencia de grado n no tiene más que n raíces incongruentes para un módulo primo. La teoría de los residuos de las potencias, que se originó con Euler en 1769, se ocupa de la congruencia general binómica xn − a ≡ 0 mod m. Ésta tiene numerosas aplicaciones en álgebra, particularmente en la teoría de ecuaciones y en los grupos finitos. Enseguida indicaremos un importante problema aún no resuelto. Si p es primo, r un número cualquiera no divisible entre p, y si p − 1 es el valor más pequeño de n para el cual rn − 1 = 0 mod p, se dice que r es una raíz primitiva de p. Un número primo p siempre tiene exactamente ϕ(p − 1) raíces primitivas, en que ϕ(n) es la función de Euler que indica el número de enteros positivos no mayores que n y primos con n. El problema estriba en idear un método práctico y libre de tanteos para encontrar por lo menos una raíz primitiva de todo número primo. Entre 1769, fecha en que Euler inició el problema, y 1919, siglo y medio después, se publicaron 232 artículos largos y notas breves sobre las congruencias binómicas. En ninguno de ellos se hizo algún progreso importante hacia la solución de este problema.

Toda la teoría de las leyes de reciprocidad ya mencionadas a propósito del álgebra moderna constituye otro resultado de los residuos de potencias de Euler. Otro resultado más es la amplia teoría de las funciones definidas para valores enteros de sus variables, la cual evolucionó a partir del teorema de Gauss de que Σϕ(d) = n, en que la suma se extiende a todos los divisores d del número entero fijo n, y ϕ es la función de Euler.

Prácticamente todos los aritméticos notables y una multitud de trabajadores más oscuros han contribuido a la teoría de las congruencias desde que en 1801 Gauss inició su estudio. A pesar de todos sus esfuerzos todavía están sin resolver dos problemas centrales de la teoría: encontrar criterios para poder, partiendo de los coeficientes dados de un sistema de (una o más de una) congruencias, decidir si el sistema tiene o no solución, y, en caso de que la tenga, encontrar sin tanteos todas las soluciones incongruentes. Para una sola congruencia de primer grado con un número cualquiera de incógnitas, el problema está resuelto de una manera más completa que la mayoría de los problemas que se han resuelto de la aritmética; lo mismo ocurre para un sistema simultáneo de congruencias de ese tipo, cuya solución la dio en 1861 Smith. Las leyes superiores de la reciprocidad representan el mayor avance en el caso de las congruencias binómicas; su complejidad puede indicar que el problema general no es susceptible de tratamiento por los métodos que se conocen hasta 1945. Por lo tanto, conviene recordar que de esos problemas y de otros del mismo estilo de la aritmética clásica no se han ocupado hombres mediocres; han luchado con ellos algunos de los matemáticos más poderosos que registra la historia.

Las congruencias dieron lugar a una teoría que tiene interés más que aritmético. La notación de una congruencia sugiere la introducción de “imaginarios” apropiados que den a la congruencia raíces en igual número que su grado cuando faltan raíces reales. Al igual que ocurre en el problema algebraico correspondiente, no es evidentemente manifiesto que se puedan introducir las raíces imaginarias sin dar lugar a contradicciones. Que sí se pueden introducir lo demostró por primera vez en 1830 Galois, que inventó los “números” necesarios, que desde entonces han recibido el nombre de imaginarios de Galois, para la solución de toda congruencia irreducible F(x) ≡ 0 mod p, en que p es primo. De este modo obtuvo una generalización del teorema de Fermat y colocó los cimientos de la teoría de los campos finitos. Como dijo Dickson:[9] “Galois, al introducir las raíces imaginarias de las congruencias, no sólo condujo a una importante ampliación de la teoría de números, sino que originó amplias generalizaciones de teoremas que se habían obtenido en materias como los grupos lineales de congruencia, aplicando la teoría ordinaria de números”. Galois tenía 18 años cuando inventó sus imaginarios.

Pasamos ahora a la tercera y última división de la aritmética racional que hemos de examinar. En ella se han hecho grandes progresos, la mayor parte después de 1895.

APLICACIONES DEL ANÁLISIS

A partir de la época de Euler se ha venido aplicando ocasionalmente el análisis a la aritmética racional; pero hasta 1839, con las Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres de Dirichlet, los procesos de límites no entraron de manera orgánica en la teoría de números. Antes de Dirichlet, el análisis que se usaba quedaba en segundo término,[10] obteniéndose los resultados aritméticos por el artificio de comparar los coeficientes de dos o más desarrollos de una función dada mediante diferentes algoritmos. Esta técnica se inició con Euler, en su obra de 1748 sobre la teoría de las particiones, tema éste que él había empezado a estudiar en 1741.

Después de Dirichlet volvió a emplear orgánicamente el análisis Hermite, en 1851, en su método de la reducción continua, y Riemann (1859) en la distribución de los números primos. Sin embargo, hasta el siglo XX no se aplicó sistemáticamente el análisis a la aritmética aditiva. Al mismo tiempo hubo un avance sin precedentes en la aplicación del análisis a la división multiplicativa. Más adelante describiremos lo necesario para ilustrar la radical diferencia que existe entre lo viejo y lo nuevo. Con la excepción de unas cuantas, muy pocas, adquisiciones notables como el teorema de Thue, parece probable que en la historia futura de la aritmética racional se recuerden los primeros años del siglo XX, principalmente por lo conseguido en la teoría analítica.

Sin embargo, falta lo que algunos consideran un desiderátum: obtener aquellos resultados de la teoría analítica que en su enunciado no presupongan procesos de límites, sin recurrir a la continuidad. Así, Dirichlet demostró analíticamente que hay una infinidad de números primos de la forma an + b, en que a y b son números enteros positivos constantes primos entre sí, y n puede ser un número entero positivo cualquiera. Las tentativas que hizo Emmy Noether y otros en 1931-1940 para obtener este teorema no analítico, sin emplear el análisis, fracasaron. Por otra parte, todos los teoremas sobre particiones de Euler y de Jacobi y todos los teoremas no analíticos sobre el número de representaciones en ciertas formas cuadráticas obtenidos por primera vez analíticamente por Jacobi y otros han sido demostrados sin auxilio del análisis. No se entienden las razones que puedan existir del fracaso en un caso y del éxito en otro que, visto superficialmente, no se distingue de aquél. Asimismo, es conveniente decir que el análisis no es esencial cuando se ha demostrado que se puede prescindir de él, y que es esencial aquel que no se haya podido demostrar que no es esencial, o el que conduzca a resultados finales que presupongan el uso de la continuidad. Kronecker, probablemente, no hubiera admitido dentro de la aritmética el análisis esencial, e incluso quizá hubiera dicho que sus productos son tan inexistentes como los números irracionales.

Un ejemplo clásico del uso del análisis, el cual después se vio que no era esencial, se presenta en muchas de las aplicaciones de las funciones elípticas y modulares a la teoría gaussiana de las formas cuadráticas binarias. En las manos de Kronecker, Hermite y una porción de matemáticos menos notables se desarrolló después de 1880 una estrecha relación entre las formas binarias cuadráticas y la teoría de la multiplicación compleja de las funciones elípticas, llegando a constituir un extenso apartado de la aritmética. Hay un detalle de toda esta intrincada teoría que es ejemplo de las peculiaridades analíticas. De un párrafo de las Disquisitiones se deduce que ya en 1801 Gauss había hecho la difícil determinación del número de clases de formas cuadráticas binarias con un determinante dado. La primera determinación que se publicó fue la de Dirichlet, en 1839, en la cual el análisis es esencial. (Es muy necesario encontrar una demostración “finita” de los resultados de Dirichlet.) En 1860 encontró Kronecker varias fórmulas notables para las formas de un determinante negativo, por medio de las cuales se puede calcular el número de clases recurrentemente sin análisis. Esas fórmulas aparecieron como subproductos de las investigaciones de Kronecker sobre las funciones elípticas, y fueron heraldo de otros varios centenares encontradas por autores posteriores, muchos de los cuales emplearon las funciones elípticas modulares para obtener sus resultados. No profundizaremos más en este asunto, ya que una descripción detallada pertenece a la teoría de números especializada y nosotros no podemos ocuparnos más que de las cosas que tengan importancia general. El punto de mayor interés en este aspecto es que mientras que el análisis era esencial para la deducción de Dirichlet del número-clase, por lo que hubiera sido razonable esperar que apareciera esencialmente en la deducción de las relaciones de recurrencia, en realidad se demostró que no era esencial para esto último. Los aritméticos que insisten (los hay) en que un método que contenga análisis de manera esencial[11] pertenece al análisis y no a la aritmética, pretenden que son las fórmulas de Kronecker y no las de Dirichlet las que resuelven aritméticamente el problema del número-clase.

Entre esas dos opiniones existe una diferencia nada pedantesca, por lo menos históricamente. La experiencia ha demostrado que al buscar demostraciones y teoremas independientes del análisis esencial, con frecuencia surgen cosas de sencillez inesperada y se revelan nuevos fenómenos aritméticos. Gauss subrayó lo deseable que es en aritmética disponer de muchas demostraciones, para aclarar lo abstruso. Sin embargo, la aritmética es suficientemente amplia y difícil para que los investigadores de todos los tipos puedan seguir sus propias inclinaciones. A partir de 1917, aproximadamente, la tendencia general se dirigía hacia el análisis esencial.

La teoría de las particiones ilustra la discontinuidad histórica entre el análisis no esencial y el esencial. Si P(n) designa el número total de maneras en que es posible obtener el entero n como suma de números enteros positivos, es evidente, como indicó Euler en 1748, que P(n) es el coeficiente de xn en el desarrollo de

en series de potencias de x. Con habilidad operatoria sin igual, Euler dedujo numerosas identidades de este producto infinito y otros, sugeridas por los problemas de particiones, anticipando de esta manera muchas fórmulas sobre las constantes elípticas theta susceptibles de deducción a partir de la representación de Jacobi (1828-1829) de las funciones elípticas. De esos descubrimientos surgió una extensa literatura. Gran parte de ella es algebraica y en ninguna es esencial el análisis. Sylvester, que no era analista, deseando comprender el tema, y siendo demasiado impaciente para esperar a dominar las funciones elípticas, desarrolló una indicación que dio Ferrers (inglés, 1829-1908) en 1853 en una teoría gráfica, en la que se pueden deducir algunas de las propiedades de las particiones de los enrejados de puntos. Pero aunque la representación gráfica puede haber permitido a Sylvester y a algunos otros evitar en sus razonamientos el análisis no esencial, no aportó nada nuevo a la teoría de las particiones.

Entre otros resultados que seguían la tradición de Euler y Jacobi se encuentran bastantes fórmulas muy elegantes mediante las cuales se podían calcular recurrentemente P(n) y otras funciones de partición. Todas ellas proporcionaban una solución aritmética completa del problema de calcular la función en cuestión de n para todo valor de n. Es decir, ninguna era útil para ayudar al cálculo práctico como no fuera de números pequeños. La solución vino en 1917, cuando Hardy (inglés, 1876-…) y Ramanujan (hindú, 1887-1920) aplicaron sus nuevos métodos analíticos a la deducción de una fórmula asintótica para P(n), que puso algo de sentido común en el cálculo práctico de P(n). Antes de esto se había necesitado un mes de trabajo de un experto de primera fila en los métodos antiguos para calcular P(200); sólo seis términos de la fórmula asintónica dieron

P(200) = 3 972 999 029 388

con error inferior a 0.004. Este detalle es típico de la superioridad para el cálculo de las fórmulas que se apoyan en el análisis esencial sobre los correspondientes teoremas exactos que prefieren los aritméticos puros. El análisis empleado es aplicable para otras muchas funciones numéricas que aparecen como coeficientes en los desarrollos de ciertas funciones de variable compleja no prolongables fuera del círculo unitario. Estos trabajos de 1917, al igual que la mayor parte del análisis esencial en la moderna aritmética racional, tenían interés más que local en su propio dominio. Impulsó una gran actividad en el análisis clásico perfeccionado y en la moderna teoría de desigualdades.

Uno de los problemas más famosos de toda la aritmética, el de la distribución de los números primos, no se rindió al análisis más que en 1896 en que Hadamard[12] (francés, 1865-¿?) y De la Vallée-Poussin (belga) demostraron independientemente que el número N(x) de números primos ≦ x es asintóticamente igual a x/log x, es decir, que el límite de N(x) ⋅ [x/log x]⁻¹, cuando x tiende a infinito, es 1. A esto se le suele llamar teorema de los números primos. Su historia llenaría un libro.[13] Legendre, Gauss y otros habían propuesto fórmulas deducidas de recuentos de números primos; pero no se puede decir que ninguno de esos esfuerzos empíricos avanzaran nada materialmente hacia el éxito final. El gran matemático ruso Tchebycheff (1821-1894) hizo en 1850-1851 el primer progreso de importancia desde Euclides en la teoría de los números primos; pero se necesitaba un análisis más agudo que aquel de que se pudo disponer hasta la última década del siglo XIX. Lo que probablemente quedará durante algún tiempo como “mejor” demostración del teorema es la refundición que en 1932 hizo Landau de otra de Wiener (1894-…, Estados Unidos), el cual dedujo el resultado casi como corolario de su obra sobre los teoremas de Tauber. Estos últimos, a los que Hardy dio el nombre del analista alemán Tauber, se desarrollaron a partir del recíproco del teorema de Abel sobre las series de potencias convergentes.

Aun la más breve noticia de la teoría de los números primos ha de mencionar la famosa conjetura conocida como hipótesis de Riemann, que es al análisis clásico lo que el último teorema de Fermat es a la aritmética. Euler (1737) dio la fórmula Σn−s = II(1 − p−s)⁻¹, en que la suma se extiende a todos los números primos positivos p. Las condiciones necesarias de convergencia son también válidas para valores complejos de s con parte real > 1. Considerando Σn−s como función de ζ(s) de la variable compleja s, Riemann (1859) demostró que ζ(s) satisface una ecuación funcional en ζ(s), ζ(1 − s) y la función gamma de s. De esta forma fue a parar al teorema de que todos los ceros de ζ(s), excepto los correspondientes a s = −2, −4, −6, … están en la faja del plano s (diagrama de Argand para s) para el cual 0 ≤ ϱ ≤ 1, en que ϱ es la parte real de s. Sus teoremas serían aún más interesantes de lo que son si todos los ceros de la faja estuviera en la recta ϱ = 1/2. Reimann opinaba[14] que eso es lo que ocurre. Las tentativas para demostrar esto, o bien su imposibilidad, han engendrado una sección amplia e intrincada del análisis, especialmente desde que Hardy demostró en 1914 que ζ(s) tiene una infinidad de ceros sobre ϱ = 1/2. Aunque en 1945 aún no se había resuelto la cuestión, una porción de documentos profundos erizados de espinosos análisis habían enriquecido la literatura de la aritmética analítica durante casi un tercio de siglo, si bien algunos de ellos están basados en la suposición de que la opinión de Riemann es cierta.

Esta atrevida técnica de deducir partiendo de hipótesis dudosas representa una nueva tendencia en la aritmética, en que la tradición de Euclides, Lagrange y Gauss había insistido en: la demostración o nada en absoluto. La justificación racionalizada del nuevo procedimiento, si es que se necesita alguna, estriba en la esperanza no satisfecha de que al transformar una hipótesis dudosa en algo nuevo y extraño llegue a surgir de algún modo algún equivalente accesible. Basándose también en la suposición de que la hipótesis de Riemann y otras de carácter análogo son ciertas, dedujeron hábilmente algunos de los más refinados analistas del siglo XX numerosos y profundos teoremas sobre la representación de los números como sumas de números primos, o en otras interesantes formas. Si esos teoremas atrevidamente concebidos, aunque aún no hayan llegado a ver la luz, llegaran a materializarse, serían de los más notables de la aritmética.

Adhiriéndose más estrictamente a la tradición euclidiana de tener una demostración antes de hacer una profecía, el matemático ruso Vinogradov inició, aproximadamente en 1924, y desarrolló nuevos métodos sobre la teoría analítica de los números, y en 1937 estuvo, al parecer, razonablemente cerca de demostrar otra famosa suposición relativa a los números primos: todo número par mayor que 2 es una suma de dos números primos. Goldbach (1690-1764, Rusia) confió en 1742 esta conjetura a Euler, que creyéndola cierta confesó su incapacidad para demostrarla. Todo el que haya revisado el análisis mediante el cual demostró (1937) Vinogradov que todo número impar superior a uno dado es suma de tres números primos impares comprenderá a Euler. El mejor de los resultados anteriores fue el de Schnirelmann (ruso), el que demostró (1931) que hay una constante n tal que todo número entero mayor que cero es suma de n o menos números primos. Pero, según Landau, el método de la demostración no podía dar mayores refinamientos. El teorema de Vinogradov lo dedujeron hipotéticamente en 1923 Hardy y Littlewood partiendo de una hipótesis sin demostrar, semejante a la de Riemann.

Desde 1896 hasta 1940 la mayor parte de la aritmética analítica se originó en la teoría de los números primos racionales. Parte de ella fue ampliada a los números algebraicos, como, por ejemplo, cuando Landau (1903) obtuvo el teorema de los números primos ideales que se corresponde y que incluye al teorema de los números primos. El análisis necesario en este caso pasa desde la generalización de Dedekind (1877) de la ζ(s) de Riemann a los campos de números algebraicos. Otra investigación menos amplia generalizaba la obra de Dirichlet sobre el número de clases de las formas binarias cuadráticas, que se ocupaba del número que demostró ser finito, de las distintas clases de ideales (integrales) de un campo de números algebraicos. La determinación explícita de este número de una forma accesible es uno de los problemas más importantes que quedan sin resolver de la aritmética. Toda esta obra pertenece a la división multiplicativa.

El progreso que se inició en 1909 al resolver Hilbert el problema de Waring fue igualmente prolífico de análisis nuevo y de teoremas de gran alcance en la aritmética. El algebrista inglés Waring (1734-1798) emitió la conjetura (1770) de que todo entero n > 0 es suma de un número fijo mínimo g(s) de potencias de grado s de enteros ≧ 0. Para s = 2, Lagrange y Euler demostraron que todo número entero positivo > 0 es suma de cuatro cuadrados enteros ≧ 0. Puesto que no hay ningún número entero 4h(8k + 1) que sea suma de tres cuadrados, se sigue que g(2) = 4; se sabe también que g(3) = 9. Waring no demostró ningún caso particular de su problema, ni ofreció ninguna indicación para resolverlo. Si se ha de tener en cuenta lo que él y todos los demás hicieron en el siglo XVIII, g(s) muy bien podría no existir. Sin embargo, ocurre, que la suposición de Waring es una de las pocas de la teoría de números que ha iniciado una época de la aritmética. Muy poco de importancia surgió de la hipótesis de Waring hasta eso de siglo y medio después de que fuera hecha basándose en pruebas numéricas muy escasas. El teorema en sí se puede adivinar tras una hora de hacer cálculos. Por ejemplo, g(4) puede ser 19, como dijo Waring, si bien este resultado todavía no se había demostrado en 1945.

Los románticos solían imaginar que Waring y otros atrevidos adivinadores de la aritmética conocían métodos misteriosos extraordinariamente eficaces, ahora perdidos. No hay ninguna prueba de que no fuera éste el caso, pero los matemáticos que aprecian las dificultades inherentes a la aritmética opinan que esos métodos perdidos, con la posible excepción de los de Fermat, son un mito. Por ejemplo, Gauss, cuando se insistió en 1818 en que compitiera para obtener un premio ofrecido por la Academia Francesa al que demostrara el último teorema de Fermat, o su imposibilidad, se expresó vehementemente sobre lo indeseable que es en aritmética la adivinación fácil. Incluyendo el teorema de Fermat en sus observaciones, declaró Gauss que él mismo podía confeccionar todas las conjeturas de ese tipo que se quisiera y que ni él ni ningún otro pudieran solucionar.

Aparte de la ética matemática, por lo menos puede suceder que el enunciar problemas difíciles, sin indicar un método de abordarlos, es más perjudicial que ventajoso para el progreso de la aritmética. A menos que nos sintamos inclinados a creer que ciertos individuos tienen inspiración divina y pueden prever el curso que han de seguir las matemáticas de acuerdo con las verdades inescrutables del Geómetra Eterno de Platón, hemos de sospechar que la adivinación sin fundamentos es probable que desvíe la originalidad del talento por vías artificiales. Waring era un buen algebrista, pero no hay ninguna prueba de que estuviera inspirado, y parece que nada sino una suerte ciega fue lo que originó el que sus fáciles vaticinios condujeran a algo más profundo que superficialidades. El que finalmente fuera en extremo estimulante puede resultar a la larga un desdichado desastre, pues no cabe la menor duda de que el éxito retardado de Waring fue en gran parte responsable de la vuelta, hacia 1920, a la táctica anterior a Lagrange de deducción basada en conjeturas. Por supuesto que Lagrange y Gauss pueden haberse equivocado, o haber rechazado por simple pedantería el método de la adivinación como estímulo al progreso, habiendo sido entonces excesiva la cautela del siglo XIX. Si ése es el caso, durante mucho tiempo se recordará, sin duda alguna, a la primera parte del siglo XX como el amanecer de una nueva era en la aritmética.

La demostración de Hilbert (1909) de la conjetura de Waring estableció la existencia de g(s) para todo s, pero no determina su valor numérico para ningún s. La demostración, muy ingeniosa, y poco después simplificada por varios matemáticos, dependía de una identidad entre integrales con orden 25 de multiplicidad, y al igual que gran parte de las matemáticas de ese autor, no pretendía sino demostrar la existencia, sin ser constructiva. Su importancia histórica estriba menos en el hecho de que fuera la primera solución de un problema notable que en que incitara a los analistas a encontrar al menos algún lazo de unión con el valor numérico de g(s) para todo s dado. Fue este último problema y otro análogo que describiremos más tarde los que originaron en su mayor parte la floración explosiva de aritmética analítica de la época 1920-1940. Como ya se ha indicado, esta obra hace época en la teoría de números.

Hardy y Littlewood inventaron en 1920-1928 el método analítico para tratar el problema de Waring, que había de ser típico hasta que Vinogradov, que empezó en 1924 partiendo de métodos semejantes a los de los aritméticos ingleses, desarrolló poco después de 1930 su propia técnica, más penetrante. El problema relacionado por g(s) es el de encontrar G(s), definido como el número entero más pequeño n tal que todo número entero positivo superior a un cierto valor finito sea la suma de potencias de grado n de números enteros ≧ 0. Así, el mejor valor de g(4) hasta 1933 era g(4) ≦ 35, en contraste con el G(4) ≦ 19 de Hardy y Littlewood, demostrándose en 1936 que G(4) es o bien 16, o bien 17. Para s > 6, los métodos perfeccionados de Vinogradov dieron (1936) valores mucho más pequeños de G(s) que los obtenidos con anterioridad.

Aunque los métodos más antiguos quedaron superados de la forma que acabamos de indicar, siguió siendo incalculable la influencia que ejercieron sobre el desarrollo del análisis asintótico. Entonces, utilizando los resultados de Vinogradov, en 1936 demostraron independientemente Dickson y Pillai (hindú, 1902-¿?) una fórmula explícita para g(s) válida para todos los valores de s > 6, excepto quizá para determinados casos dudosos.[15] Nos es grato informar que después de la primera edición de este libro (1940), Niven (1915-¿?, Estados Unidos) ha resuelto esos casos dudosos (1943).

De modo que al cabo de 169 años se demostró, por fin, la hipótesis de Waring. Además de instigar el desarrollo de una gran cantidad de análisis sutil, el problema había sugerido otros muchos susceptibles de ser resueltos por métodos semejantes, como la posibilidad de representar todos o “casi todos” los números enteros positivos como sumas de polinomios en los que las variables enteras toman valores enteros, o como sumas de cuadrados y de números primos. En la fecha en que se escribe esto no hay ningún indicio de que decaiga la producción de aritmética analítica. Dos de los expertos más eminentes en esta materia, Ramanujan y Landau, murieron antes de lo que les hubiera debido corresponder. Los otros a quienes se debe más directamente la creación de nuevos métodos desplegaban gran actividad todavía en 1945, y surgía una multitud de hombres más jóvenes.

Enseguida, vamos a mencionar otro resultado aislado, solidificado por los métodos del análisis moderno, por las consecuencias tan curiosas que tuvo en lo que respecta al trabajo reprimido del iniciador de la era moderna de la aritmética. Siegel (1896-¿?, Alemania, Estados Unidos) dio en 1944 la primera demostración de un enunciado de Gauss (1801) relativo a cierto valor medio asintótico de la teoría del número-clase de las binarias cuadráticas. Como es difícil deducir la fórmula correspondiente a partir de ejemplos numéricos, sería interesante saber cómo Gauss quedó satisfecho de que era correcta. En cualquier caso, un indicio de las dificultades que la falta de leyes introduce en la teoría de números es el hecho de que un resultado que Gauss enunció haya permanecido durante 143 años en la literatura clásica sin una demostración.

En la tercera y cuarta décadas del siglo XX se inició una era de la aritmética comparable con la que inauguró Gauss en 1801. Por fin, el análisis, es decir, las matemáticas de la continuidad habían abierto brecha en problemas sobresalientes pertenecientes al dominio de lo discreto. A los aritméticos del siglo XIX les hubiera parecido milagroso el poder obtener mediante el análisis valores enteros explícitos para funciones numéricas como g(s) y G(s). Lo mismo se puede decir de la obra moderna sobre la teoría de los números primos, y sobre otras partes de la aritmética multiplicativa. Por consiguiente, no es cierto por lo menos en la teoría de números que todos los grandes matemáticos murieran antes de 1913.

En este capítulo, como en otros, hemos pasado sin mencionar literalmente cientos de nombres de personas de gran valía, y lo mismo se puede decir de docenas de amplios desarrollos a los cuales han dedicado toda su vida multitud de hombres de ciencia durante los dos últimos siglos. Los temas que hemos descrito son, sin embargo, una muestra bastante buena de una parte de lo mejor que se ha hecho en la aritmética racional desde los tiempos de Fermat.

XV
APORTACIONES DE LA GEOMETRÍA

CON UNA literatura mucho más vasta que la del álgebra y la de la aritmética combinadas, y por lo menos tan extensa como la del análisis, la geometría encierra un tesoro riquísimo de cosas interesantes y medio olvidadas, en mayor número que cualquiera otra sección de las matemáticas, que una generación siempre con prisas no tiene tiempo de disfrutar. Ideales y objetivos continuamente cambiantes en el desarrollo de la geometría posterior al siglo XVII han hecho imposible el que los estudiantes y los matemáticos conozcan centenares de teoremas e incluso amplias teorías a los que los geómetras de finales del siglo XIX consideraban como objetos de rara belleza.

Por ejemplo, en un plano inferior, algunos geómetras competentes mantenían en 1940 que era sencillamente perder el tiempo para un estudiente que aspirara dedicarse a la geometría o a otra división de las matemáticas o de las ciencias actuales el ojear siquiera la llamada moderna geometría del triángulo y del círculo, creada en su mayor parte después de 1870. Sin embargo, se ha dicho, sin duda con justicia, que casi todos los teoremas de esta intrincada y minuciosamente detallada materia hubieran deleitado a los antiguos griegos. Ése es precisamente el punto de importancia. Hace 2 000 años que se enterraron o quemaron a todos los geómetras clásicos griegos. Entretanto, la geometría ha avanzado. En 1900, muy tarde, los teoremas especiales de la geometría euclidiana ya no eran ni siquiera un objetivo de tercera fila para los geómetras, por muy hermosos o interesantes que les puedan parecer a sus autores.

Eso no significa que dichos teoremas no tuvieran ningún valor para los que los saben apreciar; impidieron que más de un profesor aislado se fosilizara prematuramente. También pueden haber estimulado a algunos de los que después llegaron a ser geómetras expertos a averiguar de qué trata la geometría moderna. Por otra parte, en 1930 y años subsiguientes, muchos matemáticos recordaban con algo muy parecido a rabia los meses o años malgastados en este tipo de geometría o en las interminables propiedades de las cónicas, en la época de su vida en que era mayor su capacidad para aprender y en que podían haber estado dedicados a dominar las matemáticas de la actualidad.

En defensa de este despilfarro, si es que lo es, se razonaba que los escolares ingleses aún experimentan un profundo placer al estudiar esos intrigantes rompecabezas de sus antepasados. Sin duda que sí. Pero la pretensión de que esa clase de instrucción forma geómetras de primera fila queda contradicha por las pruebas materiales. La justificación que también se intenta, basada en cuestiones de disciplina mental, se puede dejar a los psicólogos. En todo caso parece un poco fatuo disciplinar valiéndose de modas anticuadas, cuando hay tanto vitalmente imprescindible y de igual dificultad que aprender si es que se quiere pensar geométricamente del modo que exigen la ciencia y las matemáticas en su progreso continuo. Las opiniones anteriores proceden de tres matemáticos ingleses de los más eminentes de la cuarta década del siglo XX, todos los cuales obtuvieron muy buenas calificaciones en esta clase prehistórica de geometría en los exámenes para aspirar a becas universitarias inglesas. Con todo, aun en la geometría más elemental, una mentalidad original e ingeniosa puede pensar ocasionalmente en hacer algo que sea radicalmente diferente de lo que ya está escrito. Los geómetras griegos más ortodoxos, como ya vimos, se limitaron a considerar permisibles las construcciones con regla y compás. ¿Por qué no prescindir de uno u otro de esos instrumentos tradicionales? A Mohr (danés) se le ocurrió en el siglo XVII averiguar qué construcciones se podrían llevar a cabo con tan sólo el compás, y Mascheroni (italiano, 1750-1800) llegó a escribir un libro sobre la geometría del compás. Asimismo, se dice que Napoleón Bonaparte se enorgullecía mucho de haber resuelto un sencillo problema de la geometría de Mascheroni. Otros se impusieron las trabas de usar únicamente la regla, o bien ésta con un punto dado en el plano, etc. Finalmente, se le ocurrió a Lemoine (francés, 1840-1912) intentar fijar una medida para la complicación de una construcción geométrica. De esta manera, presentó una descripción de sus propuestas (1888-1889, 1892-1893) al Congreso Matemático Internacional celebrado en relación con la feria mundial de Chicago de 1893. También, consiguió definir la sencillez de una construcción valiéndose de cinco operaciones de la geometría elemental como colocar una punta de un compás en un punto dado; la sencillez estribaba en el número total de veces que se usaban esas operaciones. De esa forma fue posible atribuir una puntuación a las diferentes construcciones posibles para cada figura, si bien faltaba el método para encontrar la construcción que tuviera una puntuación irreducible. Una vez más quedó demostrado que es el ingenio el único camino real que conduce a la geometría elemental. Otro tipo de problema de los que se suelen presentar al principiante puede haber servido para sugerir la teoría de la geometría enumerativa, objeto de una controversia muy viva, y que ya está parcialmente desacreditada: ¿cuántas líneas, circunferencias, etc., satisfacen un conjunto de condiciones preestablecidas? O para tomar un ejemplo de 1940, ¿cuál es el uso práctico, si es que tiene alguno, que se pueda hacer del teorema de Pascal sobre las cónicas? Casi exactamente separan 300 años el descubrimiento de Pascal de su teorema y su aplicación a la elevación por los ingenieros aeronáuticos; los arquitectos navales quizás lo usaran antes. En una fase ligeramente más avanzada, casi todo el mundo puede inventar su propio y peculiar sistema de coordenadas, y proceder a elaborar la geometría que sugiera. Así lo han hecho muchos.

Elevándonos a un nivel de dificultad considerablemente más alto, encontramos el ejemplo que el físico Maxwell llamó sello de Salomón en el espacio de tres dimensiones, las 27 líneas rectas reales o imaginarias contenidas por entero en la superficie cúbica general, y los 45 planos triplemente tangentes a la superficie, tan curiosamente relacionados con las 28 bitangentes de la curva cuártica plana general. Si hubo jamás un enmarañamiento fascinante de teorías entrelazadas, el sello de Salomón es uno. Durante la segunda mitad del siglo XIX, multitud de geómetras intentaron romper el sello aplicando la geometría sintética y analítica, la teoría de ecuaciones de Galois, la trisección de las funciones hiperelípticas, el álgebra de los invariantes y de los covariantes, y algoritmos geométrico-algebraicos especialmente ideados para hacer que las enmarañadas configuraciones del sello de Salomón fueran más intuitivas, así como la teoría infinita de grupos.

Algunos de los geómetras y algebristas más ingeniosos de la historia volvieron una y otra vez a este tema tan sumamente especializado. El resultado de sus trabajos es una teoría aún más rica y más elaborada que la del icosaedro de Klein (1884). Y sin embargo, geómetras competentes dijeron en 1945 que un estudiante serio no necesita haber oído hablar nunca de las 27 líneas, de los 45 planos triplemente tangentes y de las 28 bitangentes, para ser un geómetra productivo que domina su materia; y en realidad, pocos de los geómetras creadores de la generación joven tenían más que una idea algo nebulosa de que jamás hubiera existido problema como el del sello de Salomón del siglo XIX.

Los que recuerdan de su experiencia personal el último resplandor de apreciación viva que iluminó a esta anticuada obra maestra de la geometría, y a otras de la misma tradición que aparecen, consideraban con pena ese pasado que muere, y anhelaron que el progreso matemático no sea siempre tan despiadado como es. También simpatizaban con los que aún creen que la moderna geometría del triángulo y de la circunferencia son dignas de ser cultivadas, ya que la diferencia entre la geometría de las 27 líneas y la de, por ejemplo, Tucker, Lemoine y la de las circunferencias de Brocard, es de grado, no de clase. Los geómetras del siglo XX hace ya tiempo que trasladaron devotamente todos esos tesoros al museo de la geometría, donde el polvo de la historia pronto empañó su brillo.

Para los que estén más interesados en la inestable estética que en la vitalidad de la geometría, citamos una concisa descripción moderna[1] (sin incluir las relaciones con las funciones hiperelípticas) del sello de Salomón. Las 27 líneas las descubrieron en 1849 Cayley y Salomón[2] (irlandés, 1819-1904); la aplicación de los métodos trascendentes dio lugar a la obra de Jordán (1869-1870) sobre los grupos de las ecuaciones algebraicas. Finalmente, en 1870-1880 Cremona (1830-1903), fundador de la escuela italiana de los geómetras, observó una sencilla relación entre las 21 líneas rectas diferentes contenidas en la superficie de una cúbica, con un nodo y con la configuración especial de 15 líneas rectas obtenidas uniendo seis puntos de una cónica de todas las maneras posibles. De esta forma quedaban ligados al sello de Salomón el “hexagrama místico” de Pascal y su correlativo (1806), el teorema de Brianchon; de este modo el siglo XVII se encontró como el XIX en la sencilla y uniforme deducción de la geometría de la configuración plana a partir de la configuración espacial correspondiente mediante el método de proyección.

En este caso la técnica tenía un elemento de generalización que había de demostrar ser extraordinariamente poderoso para el descubrimiento y demostración de teoremas correlativos por proyección desde el espacio de un número dado de dimensiones a otro espacio de menos dimensiones. Antes de que Cremona aplicara esta técnica al hexágono completo de Pascal, su compatriota Veronese había investigado con gran cuidado la configuración de Pascal por los métodos de la geometría plana, cosa que también habían hecho otros, incluyendo a Steiner, Cayley, Salmon y Kirkman. Todos esos hombres eran geómetras de gran talento. El relámpago de intuición de Cremona iluminó los detalles que habían alumbrado a sus predecesores y reveló las sencillas relaciones que los ligaban.

Que el entusiasmo por esa refinadísima obra maestra de la geometría clásica no ha muerto de ningún modo lo prueba el que en 1942 apareciera una completísima monografía (xi + 180 páginas de Segre (italiano, Inglaterra) sobre The nonsingular cubic surface. En ella se expone el sello de Salomón con toda su “complicada y multilateral simetría”, empleando la frase de Cayley, como nunca anteriormente se había hecho. La enumeración completa de configuraciones especiales proporciona un terreno sin igual para que se ejercite todo el que quiera fortalecer su intuición en el espacio de tres dimensiones. El principio de continuidad, bien secundado por el método de generación, consecuentemente aplicado, unifica a la multitud de detalles inherentes a las 27 líneas dando a la exuberante confusión una coherencia que se evadía con facilidad, la que faltaba en las tentativas anteriores de “ligar las dulces influencias” de los 36 dobles, en cinco tipos de posibles superficies cúbicas reales que contengan respectivamente 27, 15, 7, 3, 3 líneas reales. Un seis doble es dos séxtuplos de líneas oblicuas tales que cada línea de uno sea oblicua precisamente a la correspondiente del otro. Un punto de vista más moderno aparece en la topología de esas cinco especies. Excepto por una de las superficies de tres líneas, todas son conjuntos cerrados conexos mientras que la otra superficie de tres líneas forma dos partes conexas de las cuales tan sólo una es ovoide, estando las líneas reales de la superficie en esta segunda parte. Las descomposiciones de la parte ovoidal en poliedros generalizados mediante las líneas reales de la superficie se clasifican cuidadosamente respecto de su número de caras y a otras características sugeridas por las líneas. La parte no ovoide de una superficie de tres líneas es homomorfa con el plano proyectivo real, como también lo es la otra superficie de tres líneas. El intermedio topológico cede a un tema más clásico en el espacio de tres dimensiones, que analiza geométricamente el grupo en el dominio complejo de las 27 líneas, bien sea mediante las complicaciones de los 36 dobles, o mediante las 40 triadas de los conjuntos complementarios de Steiner. Un conjunto de Steiner de nueve líneas está constituido por tres conjuntos de tres, tales que cada línea de un conjunto sea incidente con precisamente dos líneas de cada uno de los otros conjuntos. El significado geométrico de la posibilidad de la permutación de las operaciones del grupo es más complicado que su equivalente algebraico. El grupo es de orden 51 840. Entonces, hay una transformación involutiva en el grupo para cada seis doble; la transformación permuta las líneas correspondientes de los conjuntos complementarios de seis de los seises dobles, y deja invariantes todas las restantes 15 líneas. Si los seises dobles correspondientes a dos de las transformaciones tienen cuatro líneas comunes, las transformaciones son permutables. Si las transformaciones no son permutables, los correspondientes seises dobles tienen seis líneas de menos, y las 12 restantes constituyen un tercer seis doble. Aunque la geometría de esta situación puede ser fácil para los que gocen de una imaginación visual, otros encuentran que las identidades algebraicas que le sirven de base, aunque el impresionante número de operaciones de grupo sea 51 840, permite ver algo más claramente. Pero esta diferencia es simplemente de gustos adquiridos o de capacidad natural, y es inútil discutirla. Con todo, se recordará que parte de esta refulgente geometría pura fue posterior, y no anterior, a muchas pesadas páginas de álgebra muy trabajada. El grupo de las 27 líneas tiene una literatura hasta cierto punto poco accesible según la tradición de fines del siglo XIX y principios del XX que ya lee muy poca gente, y aún menos aprecian. Mientras la geometría, por anticuado que sea este tipo, pueda revestir los resultados de cálculos complicados en forma visual, el sello de Salomón del siglo XIX tendrá devotos, y lo mismo ocurrirá con otros famosos clásicos de la imaginación geométrica. Pero, mientras tanto, el frente de la geometría creadora, avanzando continuamente, se habrá trasladado a territorios inexplorados de interés nuevo y quizás más amplio. A veces el mundo tiene razones suficientes para cansarse del pasado, en matemáticas como en todo lo demás.

¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA?

En el episodio típico del siglo XIX que acabamos de recordar, vemos una vez más la proyección continua de lo especial a lo general que se presenta con la aparición de métodos de aplicación amplia deducidos de colecciones de teoremas individuales laboriosamente adquiridas, que fueron la característica de las matemáticas después de 1800. Los métodos generalizados a partir del de Cremona han retenido su vitalidad y su interés, aunque los teoremas particulares en que se originaban pueden haber perdido su atractivo para una generación formada en nuevos hábitos de pensamiento, lo cual se debe en parte a aquellos mismos teoremas. De modo que una vez más al buscar las cosas que han subsistido en matemáticas nos vemos conducidos a sucesos y a maneras de pensar más que a sus productos en una época cualquiera. También veremos que el mismo concepto geometría cambió con el tiempo, hasta el punto de que lo que se llamaba geometría en una fase del desarrollo apenas hubiera sido reconocida como tal en una fase anterior.

Las tentativas para obtener de los geómetras profesionales una definición de qué es geometría probablemente no tendrían sino un éxito nebuloso. Más o menos todos están de acuerdo en que “la geometría es el producto de una manera particular de pensar”, pero habrá pocos geómetras que se comprometan con algo que sea menos vago. Aceptaremos esto por el momento —más tarde volveremos a ello a propósito de otras cosas— y supondremos que tiene un significado que se puede si no comprender, por lo menos “sentir”, y describiremos algunas de las principales aportaciones de la manera geométrica de pensar al conjunto de las matemáticas.

Asimismo, se pueden hacer numerosas selecciones representativas; los temas que describimos nosotros fueron elegidos como mínimo irreducible por consejo de hombres consagrados activamente (1945) a desarrollar la geometría del siglo XX. Los temas principales son: la vindicación de la metodología de Euclides en la creación de las geometrías no euclidianas, y los resultados de ésta en el método moderno abstracto o postulacional; la geometría diferencial desde Euler, Monge y Gauss hasta Riemann y sus sucesores, con su profunda influencia sobre la cosmología y la física matemática del siglo XX; el principio de dualidad de la geometría proyectiva y su aclaración final por los inventos (1831) de J. Plücker (alemán, 1801-1868), así como el concepto de este originalísimo geómetra de la dimensionalidad de un espacio; la reducción de Cayley (1859) de la geometría métrica a proyectiva; la geometría algebraica, y en particular sus relaciones con Cremona (1863) y las transformaciones birracionales y el análisis de las funciones abelianas; el programa de Klein (1872) para la unificación de las diversas geometrías existentes en su día y el abandono de este programa después de 1926; finalmente, los espacios abstractos y la topología del siglo XX, que algunos creen que es el comienzo de un nuevo tipo de modo matemático de pensar.

Naturalmente que, debido al reducido espacio de que disponemos, no podemos hacer sino una simple indicación de tan vasto territorio, y, como en el resto de la obra, no señalaremos más que las tendencias generales. La historia de cualquiera de esos temas llenaría un libro más grande que éste. Con todo, lo poco que describamos quizá estimule a alguno a buscar algo más acerca de las materias mencionadas. Tres de los temas serán estudiados con el análisis por ser allí donde mejor se les puede examinar. El programa de Klein, sus sucesores y la topología se describen en el capítulo de invariancias; lo poco que se puede decir acerca de las relaciones entre la geometría algebraica y el análisis lo aplazamos para darlo con la teoría de funciones de variable compleja; y la aparición de teorías del espacio abstracto se sigue en un capítulo posterior como consecuencia de la tendencia hacia un análisis general, que se empezó a percibir claramente en 1906, y de la cual le cupo no poca responsabilidad a la física mecánica. Si después de todo esto seguimos sin poder decir qué es la geometría, por lo menos habremos dado una ojeada a las matemáticas creadas por los geómetras en su adoración a su ideal tan difícil de aprehender.

EUCLIDES LIBRE DE TODA MANCHA

En 1733 el matemático y lógico jesuita Saccheri (1667-1733) completó su obra maestra, sin proponérselo, Euclides ab omni naevo vindicatus, en la cual emprendió la tarea de demostrar que el sistema geométrico de Euclides, con su postulado de las paralelas, es el único posible en la lógica y la experiencia. Su brillante fracaso es uno de los ejemplos más notables de la historia del pensamiento matemático, de la inercia mental que produce una educación en la obediencia y en la ortodoxia, confirmada en la madurez por una excesiva reverencia por las obras perecederas de los inmortales. Saccheri, teniendo en la mano dos geometrías nuevas, ambas tan válidas como la de Euclides, prescindió de las dos porque estaba obstinadamente resuelto a continuar en la adoración de su ídolo a pesar de los insistentes impulsos de su razón.

Para “demostrar” el postulado de las paralelas de Euclides, Saccheri construyó un cuadrilátero rectángulo trazando dos perpendiculares iguales AD, BC en los extremos A, B de un segmento de recta AB, y a un mismo lado de AB. Asimismo, uniendo D con C demostró con facilidad que los ángulos ADC y BCD son iguales. El postulado de las paralelas es equivalente a la hipótesis de que ADC y BCD son ángulos rectos. Para “demostrar” el postulado, Saccheri intentó probar lo absurdo de cada alternativa.

Si los ángulos ADC y BCD son agudos (hipótesis del ángulo agudo), se puede demostrar que la suma de los ángulos de todo triángulo es inferior a dos ángulos rectos; si ambos ángulos son obtusos (hipótesis del ángulo obtuso) dicha suma es mayor que dos ángulos rectos; si ambos ángulos son rectos, la suma es igual a dos ángulos rectos. Resuelto a establecer la tercera posibilidad, Saccheri dedujo numerosos teoremas a partir de las dos primeras hipótesis, esperando llegar a una contradicción en cada caso. Prescindió de la hipótesis del ángulo obtuso asumiendo tácitamente que una línea recta ha de tener necesariamente longitud infinita. La hipótesis del ángulo agudo fue rechazada por el uso inadecuado de los infinitésimos.

Libre de toda mancha por un razonamiento defectuoso, la geometría de Euclides se apareció a su adorador como la verdad absoluta y eterna, como la única posible verdad matemática del espacio. Saccheri murió feliz, sin darse cuenta de que había demostrado varios teoremas de dos geometrías nuevas, ambas tan lógicamente sólidas como la de Euclides. El devoto geómetra había demostrado sin saberlo que su único ídolo no era sino un tercio de una trinidad, igual a los otros aunque no eterno, ya que en ninguna geometría está la verdad eterna que Saccheri creyó haber demostrado en la de Euclides. Parece algo extraño que el bueno del geómetra rechazara la hipótesis del ángulo obtuso tan confiadamente; pero quizás en este caso la falta era de Euclides por dar una definición tan sin sentido de línea recta. Con una definición precisa[3] de segmento de recta como la distancia más corta[4] entre dos puntos, es casi inmediato el concepto geodésica de una superficie. Las geodésicas de una esfera (que es una superficie de curvatura positiva constante) son arcos de círculo máximo, correlativos de las “distancias más cortas” de un plano. Sin embargo, es posible que la disciplinada educación de Saccheri le exigiera creer que la tierra es plana.

Todas las geometrías construidas sobre postulados que se diferencian de algún modo de los de la geometría euclidiana se dice que son no euclidianas. Los dos ejemplares que rechazó Saccheri fueron las dos primeras geometrías no euclidianas que registra la historia. Desde la época de Euclides, los geómetras habían estado intentando deducir el postulado de las paralelas a partir de los otros del sistema de Euclides. No tiene ningún fin práctico el catalogar veintenas de fracasos para conseguir lo imposible, si bien algunos revelaron interesantes equivalentes de postulado dudoso. Una bibliografía[5] de las geometrías no euclidianas hasta 1911 tiene una lista de unos 4 000 títulos de libros y documentos escritos por unos 1 350 autores; y desde 1911 la materia ha aumentado extraordinariamente. Gran parte de la obra más reciente se inspiró directamente en la física, especialmente en la relatividad general. De todos los tanteos que se hicieron para encontrar una geometría no euclidiana reconocida y válida entre la de Saccheri (1733) y la de Lobachewsky (1826-1829), no es necesario que citemos más que dos.

En 1766 Lambert (alemán, 1728-1777) se dio cuenta que la hipótesis del ángulo obtuso se cumple en una esfera, e indicó que se necesitaría un nuevo tipo de superficie para representar la geometría plana correspondiente a la hipótesis del ángulo agudo. Esta sugestión no dio ningún resultado hasta 1868, en que Beltrani (italiano, 1835-1900) demostró que la superficie vagamente imaginada por Lambert es la llamada seudoesfera. Ésta es la superficie de curvatura negativa constante engendrada al girar la tractriz alrededor de su eje; ya lo había indicado Gauss, pero sin aplicarlo a la geometría no euclidiana. Pero esto es un progreso moderno, y más tarde nos ocuparemos de su significado peculiar.

El primer antecesor indiscutible de las geometrías no euclidianas fue Gauss. A los 12 años Gauss se dio cuenta de que el postulado de las paralelas presentaba un verdadero problema sin resolver, pero hasta después de los 20 años no empezó a sospechar que este postulado no se puede deducir de los otros de la geometría euclidiana. No se sabe a ciencia cierta cuándo emprendió Gauss la tarea de crear una geometría consecuente sin el quinto postulado de Euclides. Sin embargo, es cierto que conocía los principales resultados de la geometría hiperbólica (nombre que dio Klein al sistema construido sobre la hipótesis del ángulo agudo) antes de que Lobachewsky (ruso, 1793-1856) publicara su sistema completo (1829), y por lo tanto también antes que J. Bolyai (húngaro, 1802-1860) diera el suyo a la imprenta (1833) como un apéndice de 26 páginas a una obra matemática semifilosófica elemental en dos volúmenes (Tentamen, etc.) de su padre.

Por otro lado, se pretendía, basándose en pruebas circunstanciales muy endebles, que Bolyai había estado influido por Gauss. Como ahora se admite de manera general que no hay ningún fundamento para creer en esta acción hipotética a una distancia muy grande, nos contentaremos con decir que W. Bolyai, padre de J. Bolyai, fue íntimo amigo de Gauss durante sus días de estudiante universitario.

Gauss nunca reclamó públicamente para sí la invención de la geometría no euclidiana. Los trabajos en que se adelantaba la parte de lo que realizaron Lobachewsky y J. Bolyai independiente y casi simultáneamente se encontraron entre sus papeles después de su muerte. Aunque él personalmente se abstuvo de publicar la revolucionaria geometría, Gauss estimuló a otros a que continuaran sus esfuerzos para construir un sistema no euclidiano consecuente. Dos de sus corresponsales hicieron considerables progresos: Schweikart (1780-1859) y Taurinus (1794-1874), ambos alemanes. Este último, en particular, obtuvo resultados correctos e inesperados (1825-1826) en trigonometría no euclidiana. La primera fecha coincide con aquella en que según se dice J. Bolyai se convenció de que la geometría hiperbólica es consecuente; la última con el primer documento de Lobachewsky, inexplicablemente perdido por la sociedad físicomatemática de Kazán, sobre la nueva geometría (hiperbólica). Por razones que no están muy claras, Taurinus destruyó todos los ejemplares de su propia obra que quedaron al alcance de su mano.

Al dar el hecho histórico escueto de que Lobachewsky en 1826-1829 y J. Bolyai en 1833 casi simultáneamente y con entera independencia publicaron detallados desarrollos de la geometría hiperbólica, hemos recordado una de las mayores revoluciones del pensamiento. Para encontrar otra que se le pueda comparar en importancia de largo alcance hemos de remontarnos a Copérnico, y aun esta comparación es inadecuada en ciertos aspectos, ya que la geometría no euclidiana y el álgebra abstracta habrían de cambiar toda la perspectiva del razonamiento deductivo y no limitarse simplemente a ampliar o a modificar secciones particulares de la ciencia y de las matemáticas. Al álgebra abstracta de 1830 y años siguientes, y a las atrevidas creaciones de Lobachewsky y de Bolyai se remonta el concepto actual (1945) de las matemáticas como creación arbitraria de los matemáticos. Exactamente de la misma manera que un novelista inventa personajes, diálogos y situaciones de las que es a la vez autor y señor, el matemático imagina a voluntad los postulados sobre los que basa sus sistemas matemáticos. Tanto el novelista como los matemáticos pueden estar condicionados por el medio ambiente, por la condición y por la manera de tratar su material; pero ni unos ni otros se ven obligados por ninguna necesidad eterna y extrahumana a crear ciertos personajes o a inventar ciertos sistemas. Y si el caso fuera que sí están así condicionados, nadie lo ha demostrado, y para una inteligencia adulta del siglo XX la multiplicación de las hipótesis superfluas y místicas es una empresa aún más fútil de lo que lo era en los días de Occam.

Al dar este informe del concepto que tiene de las matemáticas el público bien informado en 1945, hemos de añadir que esto no es de ningún modo universal. Muchos de los de la generación antigua se adhieren todavía a la doctrina platónica de las verdades matemáticas. Tampoco hay ninguna razón para suponer que no vuelva a reinar Platón de manera suprema en las mentes de los matemáticos. Misticismos menos racionales que el de Platón han prevalecido desde que en 1914 se descubrieron nuevamente las virtudes de un irracionalismo ciego. Pero mientras que la mayoría de los matemáticos siguen creyendo que pueden penetrar a través de un engaño hasta la entidad inexistente que hay detrás, informaremos brevemente cómo se llevó a cabo la humanización de las matemáticas. Sin embargo, de las creencias antiguas surgieron las principales aportaciones de la geometría no euclidiana al conjunto del pensamiento matemático, y quizás también las principales aportaciones de las matemáticas al progreso de la civilización, ya que parece muy poco probable que nuestra crédula raza se aleje mucho de la bestialidad hasta que tenga buen sentido y el valor de descargar sus bajas supersticiones, una de las cuales era la verdad absoluta de las matemáticas.

Para apreciar plenamente el otro punto, de importancia más que local, hemos de describir un detalle geométrico de cuatro geometrías, y vamos a elegir precisamente uno, la existencia de las paralelas, que provocó un diluvio aparentemente interminable de geometrías no euclidianas después de la geometría hiperbólica de Lobachewsky y Bolyai. En 1854, Riemann (alemán, 1826-1866) inventó una geometría esférica, en la que se realizaban las hipótesis del ángulo obtuso de Saccheri. Los calificativos hiperbólico y elíptico se refieren al Absolutu de Cayley de que nos ocuparemos más tarde; de manera semejante se dice que la geometría euclidiana es parabólica.

Si P es un punto cualquiera del plano determinado por P y una línea recta L que no pase por P, en la geometría parabólica hay precisamente una línea recta L′ que pasa por P y que no corta a L; L′ es la única paralela a L por P. En la geometría hiperbólica hay dos líneas rectas diferentes L′ y L″ que pasan por P y ninguna de las cuales corta a L; además ninguna línea recta que pase por P y que esté comprendida en el ángulo que forman L′ y L″ toca a L. Lobachewsky consideró a L′ y L″ paralelas a L. Tanto en la geometría parabólica como en la hiperbólica, dos líneas rectas se cortan en un punto. Dos geodésicas cualquiera de una esfera (arcos de círculo máximo) se cortan en dos puntos y no hay paralelas. En la llamada geometría esférica de Riemann, el espacio no tiene límites pero es finito; toda “línea recta” (geodésica) tiene longitud finita; dos rectas cualesquiera se cortan dos veces negando de este modo el postulado de Euclides que dice que dos líneas rectas no pueden encerrar una porción del espacio. La geometría “elíptica” de Riemann se puede imaginar en un hemisferio, si como ocurre en su geometría esférica las “líneas rectas” son arcos de círculo máximo de toda la esfera y si se considera que los dos extremos de un arco son un mismo punto. Para las cuatro geometrías mencionadas es fácil construir otras “realizaciones”; lo que a nosotros nos interesa aquí es el significado que puedan o no tener esas realizaciones. Esto señala la discontinuidad en el concepto que se tenía de la geometría antes y después de 1899. Las tres geometrías no euclidianas arriba mencionadas suelen recibir el calificativo de clásicas; “la geometría de Riemann”, tal como se emplea desde 1916, es diferente de todas esas geometrías.

Durante unos 30 años después de la invención de la geometría hiperbólica hubo muy pocos matemáticos que le prestaran atención, y según parece ahora ninguno pudo prever las consecuencias que habían de tener las geometrías no euclidianas para el conjunto de las matemáticas. Al parecer hubo una especie de sentimiento de desconfianza o de incredulidad pensándose que las geometrías nuevas o bien no eran “ciertas” en el mismo sentido que las de Euclides, cualquiera que fuera este sentido, o bien que nunca podrían tener ningún valor científico. Esas dudas las disipó en 1868 Beltrami con su brillante demostración de que la geometría hiperbólica plana se puede interpretar como la de las geodésicas de una superficie de curvatura negativa constante, y lo mismo para la geometría esférica y una superficie de curvatura positiva constante. Puesto que las seudoesferas y las esferas son superficies familiares del espacio euclidiano, se sintió como si se hubiera demostrado la consistencia de las geometrías clásicas no euclidianas. Quizás la geometría de Euclides siguiera siendo la más útil, pero las otras eran también “ciertas” puesto que se había demostrado que se podían cumplir en el espacio euclidiano. En el caso de que esto no fuera una descripción justa de lo que la mayoría de los matemáticos de 1870 y años subsiguientes sacaron en limpio de las realizaciones euclidianas de Beltrami de las geometrías clásicas no euclidianas, nos excusamos y seguimos adelante.

Después de haber estudiado una situación semejante al tratar de los números complejos ordinarios, no necesitamos insistir mucho aquí. Las realizaciones de Beltrami no demostraron nada más concluyente que el teorema de que la geometría de Euclides y las geometrías clásicas no euclidianas eran o bien todas lógicamente admisibles o bien todas lógicamente inadmisibles; no se había demostrado la consecuencia interna de ninguna de ellas. Esto es ahora completamente evidente, pero no lo era así en 1868. Como en el caso de los números complejos, el problema de la consecuencia interna de todas estas geometrías lo refirió Hilbert al análogo del sistema de números reales.

Descenderemos ahora, siguiendo a los sucesores de Beltrami, a un nivel más profundo, para examinar la aparición en geometría del moderno método postulacional. Prescindiendo de muchos detalles y de numerosos colaboradores, podemos observar el firme progreso hacia la abstracción en la obra de tres hombres, cada uno de ellos típico de la manera de pensar más original de su generación: Pasch (alemán), Peano (italiano) y Hilbert.

También, recordaremos que Peirce en la introducción a su álgebra lineal asociativa (1870) afirmó que “la matemática es la ciencia que saca conclusiones necesarias”. Hasta 1882, con la obra de Pasch, no empezó a infiltrarse en la geometría este concepto de la naturaleza de las matemáticas. Para Newton el espacio era el absoluto en el que se realizaban y era posible el movimiento de los cuerpos sólidos; Leibniz en parte de su filosofía imaginaba al espacio como una matriz de relaciones posibles. Pasch eliminó ambos conceptos al refundir la geometría como sistema hipotético-deductivo según la tradición de Peirce. En lugar de intentar dar definiciones de puntos, líneas y planos, como había hecho Euclides, Pasch los aceptó como elementos irreducibles del “espacio”, y partiendo de relaciones postuladas, pero sin analizar entre esos conceptos atomistas de su sistema, procedió a la deducción.

Las relaciones postuladas eran un resumen de las nociones geométricas aceptadas durante siglos de trabajar con diagrama. Por ejemplo, se enunciaba explícitamente como postulado que dos puntos diferentes determinan precisamente una línea recta. Por consiguiente, Pasch se acercaba más a Leibniz que a Newton, si bien parece que aún creyó en la existencia de un “espacio” en el sentido newtoniano. En cualquiera de los casos, la suya fue la primera presentación clara desde Euclides de la geometría como ejercicio de la técnica postulacional. Pasch fue más allá que Euclides por el hecho de que se daba cuenta de lo que hacía, y lo hacía deliberadamente, mientras que Euclides parece haberse guiado por la imagen visual, habiendo descuidado por lo tanto suposiciones ocultas. De todos modos, Pasch influyó profundamente sobre el pensamiento geométrico de sus contemporáneos y de sus sucesores. Su concepto de la geometría, que ahora se acepta como un lugar común, encontró la oposición habitual a todo lo nuevo e inquietante. Aunque ni la significación física ni la filosófica, si es que tiene alguna, del “espacio” quedaba afectada por la reformulación completamente abstracta de la geometría, la novedad le pareció a algunos, por ejemplo, a Veronese, el del hexagrama de Pascal, tan ofensiva como una blasfemia que se hubiera dicho a gritos inesperadamente en la iglesia. Pronto les cerraron los oídos. Aunque fuera consistente esta nueva cosa, era demasiado árida y demasiado estéril para considerarla como matemáticas provechosas. A los geómetras se les permitió conservar su manera de sentir hacia el inefable modo de pensar geométrico, pero la geometría en sí quedó reducida a una sintaxis lógica. Cincuenta años más tarde es difícil ver por qué se excitaron tanto. La intuición y el análisis lógico estricto pueden vivir en la misma ciencia sin matarse mutuamente, y lo que uno no pueda hacer lo podrá realizar el otro.

El otro hombre que tuvo el valor de arrostrar la impopularidad fue Peano. Al principio pasó inadvertido excepto en Italia. Pero cuando (1888) empezó a intentar reducir toda la matemática a un simbolismo preciso que dejara muy poco lugar para la vaguedad, la escurridiza intuición y los razonamientos débiles, se le consideró con sospecha. Con ayuda de varios colaboradores italianos, Peano, en 1891-1895, refundió una parte considerable de las matemáticas empleando su nuevo simbolismo. Las demostraciones, desde los números enteros racionales a la geometría, estaban basadas en conjuntos explícitamente enunciados de postulados, que eran necesarios y suficientes para las demostraciones.

Para alcanzar la precisión deseada simbolizaba partes enteras de la lógica matemática más minuciosamente de lo que habían hecho Boole y sus sucesores en 1847; también redujo a símbolos frases de las matemáticas técnicas de las que se presentan con frecuencia. El resultado fue una taquigrafía universal, prácticamente para todas las matemáticas de aquel tiempo (1890-1900). La fraseología de Peano fue un paso adelante en la dirección de la característica universal de Leibniz, y uno de los estímulos más poderosos para la lógica matemática del siglo XX. Sobre la cabeza de su desdichado inventor atrajo el ridículo y el abuso de algunos de los más eminentes matemáticos del siglo XX, incluyendo a Poincaré. Sin embargo, el análisis lógico de la geometría que hicieron Peano y sus sucesores dejó perfectamente claro para todos menos para los más obstinados que la geometría es un sistema abstracto hipotético-deductivo sin otro contenido[6] intrínseco que el que presuponen el conjunto de postulados arbitrariamente preestablecidos.

El paso final lo dio en 1899 Hilbert en sus Grundlagen der Geometrie. Hilbert era un matemático prusiano que no se dejaba ridiculizar ni injuriar impunemente, ni aun de Poincaré. El estudio postulacional que hizo Hilbert de la geometría era todavía clásico 40 años después de que apareciera. Probablemente esto es un récord o está muy cerca de serlo para una obra de geometría elemental escrita después de los días de Euclides. De los Eléments de géométrie de Legendre (1794) se hicieron más ediciones que de los Grundlagen de Hilbert, pero las dos obras no se pueden comparar. Los Eléments de Legendre estaban dirigidos a los escolares, y tienen interés histórico, peyorativamente, principalmente por las tentativas sofísticas de demostrar el quinto postulado de Euclides. La obra clásica de Hilbert inauguró las matemáticas abstractas del siglo XX. Su última edición la podrían leer también con provecho los escolares inteligentes.

Hilbert convenció a los geómetras, valiéndose de un mínimo de simbolismo, y con más éxito que el alcanzado por Pasch y Peano, del carácter abstracto y puramente formal de la geometría, y con su gran autoridad estableció firmemente el método postulacional, no sólo en la geometría del siglo XX, sino también en casi todas las matemáticas posteriores a 1900. Una vez más subrayamos que la manera abstracta de abordar las matemáticas no desterró por completo la intuición. Tampoco se puede decir que las aplicaciones del análisis postulacional sean sino una pequeña fracción de las matemáticas del siglo XX. Pero fueron un potente catalizador para las matemáticas, y atrajeron centenares de prolíficos trabajadores.

Entre las materias que habían de beneficiarse de la reavivada y perfeccionada metodología de Euclides, se encuentra la geometría no euclidiana. Una de las geometrías más curiosas inventadas por la aplicación deliberada del método postulacional fue el sistema no arquimediano de Dehn, que ligaba los triángulos semejantes de los antiguos babilonios a la geometría no euclidiana del siglo XIX. Dehn construyó, suprimiendo el axioma de Arquímedes, una geometría en que existen los triángulos semejantes y en que la suma de los ángulos de todo triángulo es dos ángulos rectos. Pero las paralelas no son únicas como en la geometría de Euclides, sino que es posible la existencia de infinitas. Asimismo, siguieron consecuencias igualmente imprevistas al aplicar el método postulacional a la geometría proyectiva. Los geómetras americanos Veblen y Bussey construyeron (1906) geometrías proyectivas finitas en las que un “plano” contiene tan sólo un número finito de “puntos” y de “líneas”. Esas geometrías finitas redujeron las discusiones de principios del siglo XIX sobre el “espacio” de la geometría proyectiva, a ruidos sin ningún contenido. Veblen y Young produjeron en 1907 un conjunto de postulados enteramente independiente —en el sentido de Moore (1862-1932)— para la geometría proyectiva, los que durante largo tiempo fueron típicos, y que deben haber convencido hasta al más obstinado de que la geometría es un ejercicio hipotético-deductivo de lógica. Probablemente los americanos hicieron más para explotar la técnica postulacional después de los Grundlagen de Hilbert, que sus colegas europeos, y, en conjunto, su análisis fue mucho más certero y más claro. El método lo aplicaron al álgebra, a la geometría, a la aritmética, a la topología, y a otras materias, docenas de lógicos matemáticos muy expertos, entre los que es digno de especial mención Huntington (1874-…) por su completísimo análisis de los sistemas de postulados de muchas materias diferentes.

Una vez que el carácter formal de las matemáticas fue aceptado por muchos volvió a implantarse la inercia intelectual. Si bien las matemáticas y en particular la geometría son una creación arbitraria de los seres humanos, ¿ha de ocurrir lo mismo con la lógica tradicional? En cierto sentido extrahumano, la lógica que ha durado no menos de 23 siglos ha de ser un absoluto que ni siquiera los matemáticos pueden desafiar. También veremos donde corresponda que este absoluto fue abolido, si bien no antes de 1920.

Volviendo a Saccheri (1733), vemos ahora que, después de todo, consiguió sus fines. En un sentido que según tenía una importancia incomparablemente mayor para el futuro de las matemáticas que una demostración del resultado de las paralelas, Saccheri había limpiado a Euclides de toda mancha. Aunque durante más de un siglo después de su muerte se prescindió y se olvidó su obra, Saccheri merece tanto crédito como Lobachewsky y Bolyai por haber dado el paso decisivo hacia la abolición del absolutismo matemático.

La parte esencial de la doctrina de Euclides, deducción estricta partiendo de hipótesis explícitamente enunciadas, a las que se admiten como tales, empezó a abrirse camino tan sólo con la creación inconsciente que hizo Saccheri de la geometría no euclidiana. La fuerza creadora del método de Euclides se empezó a apreciar después de más de 2 000 años de comprenderla parcialmente; si Saccheri hubiera vivido hasta 1899 hubiera visto un significado más profundo que el que él pretendió en el título de su obra maestra, Euclides ab omni naevo vindicatus. En la teoría del conocimiento, la importancia de lo que desarrolló a partir de la geometría no euclidiana tiene un valor muy superior que el que tiene para la geometría. El subproducto extramatemático parece tener mayores probabilidades de sobrevivir que las vastas acumulaciones de teoremas técnicos que son la delicia de los geómetras, y que mañana quizás vayan a reunirse con las 27 líneas de la superficie cúbica general en el museo de arte matemático.

UNA CONTROVERSIA SIN SENTIDO

Un geómetra experto podrá dedicar toda su vida a trabajos sobre una especie de curva, por ejemplo, las hipocicloides, o las cuárticas bicirculares, y encontrar todos los días algo nuevo, que a él le resulte muy interesante, pero difícilmente encontrará principios generales. Si la historia nos ha de servir de criterio, en geometría no se han alcanzado las generalizaciones amontonando teoremas sobre teorema, sino a fuerza de machetazos dados en la selva de los resultados especiales, o por tentativas igualmente conscientes de encontrar por qué ciertas técnicas proporcionan con facilidad teoremas geométricos, mientras que otras exigen más trabajo del que sus productos pueden justificar. Uno de estos casos es el de los prolongados esfuerzos que hicieron los geómetras sintéticos durante la primera mitad del siglo XX para averiguar “por qué” los métodos analíticos eran en apariencia más poderosos que los de la geometría pura. En la sección siguiente aclararemos las líneas principales de esta lucha fluctuante. Por el momento consideraremos el resultado, ya que es probable que esto sea lo que más interese al conjunto de las matemáticas.

Empezaremos por decir el resultado: los métodos analíticos son más poderosos que la geometría pura, porque la experiencia de más de un siglo así lo ha demostrado. Ninguna filosofía del “espacio” y de su “geometría” ha añadido nada de importancia a ese hecho escueto. Sin embargo, el tratado podría sugerir que puesto que los puntos, líneas, etc., imaginarios entraron en la geometría a través de los formalismos del álgebra elemental y no a través de la percepción visual de diagramas, la tentativa para disfrazar todos los conceptos algebraicos en una complicada terminología diagramática no podía dar como resultado más que inútiles artificios. Por lo menos ésta era la opinión que prevalecía entre los geómetras en la cuarta década del siglo XIX. Todavía continuaban ejercitando su esotérica intuición geométrica con algunos resultados, pero tan sólo unos pocos persistían en tratar de modular toda configuración extraña mediante complicaciones de cadencias delicadas que hubieran encantado el oído puramente geométrico de Poncelet.

Todo el mundo concede que el vocabulario técnico de los puntos imaginarios, etc., es de gran utilidad, y que en muchos aspectos sirve a los mismos fines que la terminología del análisis. La afirmación de que f(x) es continua en x = a, por ejemplo, condensa varias afirmaciones en una que se puede usar como unidad para el proceso de deducción. Entonces, es innecesario recurrir en cada caso al significado de continuidad, ya que sus sencillas consecuencias se han deducido de una vez para siempre y se pueden aplicar sin dedicarles ni un solo pensamiento más. Análogamente, la afirmación de que determinada curva es, por ejemplo, una cuártica bicircular, implica que cada uno de los puntos circulares en el infinito es un nodo de la curva, y las propiedades habituales y elementales de los nodos y de los llamados puntos circulares tienen aplicación como unidades para la investigación de la curva.

Pero lo que distingue a los geómetras del siglo XIX de la mayoría de sus sucesores no es la admisión de la utilidad de un vocabulario algebraico geometrizado. Los geómetras sintéticos más eminentes del pasado intentaron encontrar los puntos circulares, etc., en el “espacio” de la experiencia corriente, porque confundían los espacios “físicos” o “reales” o a priori, sin intentar explicar lo que entendían por ese espacio, con las abstracciones de su álgebra y lo inadecuado de sus diagramas. La concepción de la geometría como sistema hipotético-deductivo había de tardar todavía 60 años en aparecer, cuando, en 1822, Poncelet (francés, 1788-1867) publicó su Traité des propriétés projectives des figures. Esta obra clásica del método sintético fue de las que más contribuyeron a dar lugar a una de las controversias más fructíferas, y, como ahora se suele creer, más desprovistas de sentido de la historia de las matemáticas. Lo que se discutía era la “realidad” del “espacio” tal como se representa en geometría, y la disputa culminó en la “existencia” en el “espacio” de los elementos imaginarios.

La controversia dejó un residuo considerable de poderosos métodos geométricos, y éstos, o sus resultados directos como, por ejemplo, el álgebra de las transformaciones birracionales, demostraron ser muy útiles en otras secciones de las matemáticas, y particularmente en el análisis. Pero el tema principal que discutían los geómetras, según les parece ahora a muchos, era un tema ficticio, sin significado. El que surgiera tanto y de tanto valor de una logomaquia tan vacua quizá nos estimule a creer que allá para el año 2000 se hayan evaporado las controversias de 1945 sobre los fundamentos de las matemáticas, dejando tan sólo unos cuantos métodos poderosos con los que todos estén conformes y los que algunos puedan utilizar.

Para terminar estas observaciones hemos de decir que no representan sino un punto de vista calificado de la controversia en cuestión y que las opiniones no son unánimes. No es difícil encontrar opiniones contrarias igualmente competentes.

APORTACIONES DE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

La vuelta al favor de la geometría proyectiva después de haber estado descuidada durante el siglo XVIII se percibe por primera vez en la Géométrie de position (1803) y en el Essai sur les transversales (1806) de Carnot (francés, 1753-1823). Este genio militar, que en 1793 salvó a la Revolución francesa de la coalición de reaccionarios de Europa, se impuso la tarea de demostrar que con la geometría pura se puede conseguir tanto como con la analítica de Descartes. Introduciendo los elementos negativos en la geometría sintética, y explotando la invariancia de la razón doble de los cuatro puntos en que una transversal corta a un haz de cuatro líneas rectas, dedujo Carnot muchos de los teoremas clásicos de la geometría proyectiva elemental, incluyendo los relacionados con el cuadrángulo y con el cuadrilátero completo. Carnot hubiera podido terminar su obra con la precisa profecía de su enemigo real “después de mí el diluvio”. La vuelta de la geometría proyectiva se consumó con Poncelet, uno de los amantes más entusiastas de la geometría pura y de los que odiaban más cordialmente todas las formas de álgebra y de análisis que registra la historia de la matemática.

Parece que la ambición de Poncelet fue deshacer todo lo que habían hecho los sucesores de Descartes, o por lo menos hacerlo mejor valiéndose de métodos estrictamente sintéticos. Poncelet, joven oficial de ingenieros, pasó un invierno frío pero provechoso (1813-1814) como prisionero de guerra de la desastrosa campaña en Rusia de Napoleón, en Saratoff, a orillas del Volga, pensando la geometría pura de su Traité des propriétés projectives des figures, que publicó en 1822 después de su regreso a Francia. En la introducción autobiográfica cuenta todo o casi todo lo que se puede decir acerca de ella. La reserva, si es que está justificada, no es ni mucho menos un argumento en apoyo de la tesis principal de Poncelet de que los métodos analíticos son inferiores a los sintéticos, pues Darboux (1842-1917), otro gran geómetra francés, ante un auditorio extenso y entendido dijo en el congreso de San Luis (Estados Unidos) de 1904: “sabemos además por la desdichada publicación de las notas de Saratoff, que gracias a la ayuda del análisis cartesiano se pudieron establecer por primera vez los principios que sirven de base al Traité des propriétés projectives”. Puesto que parece que la mayoría de los geómetras no conocen esta dura verdad, puede ser que haya otros además de Darboux que consideren desafortunada la publicación. Los partidarios de los métodos analíticos quizás la consideren muy afortunada.

Pero fueren cuales fueren los medios de que se valiera Poncelet para establecer por primera vez sus principios generales, lo cierto es que dio nueva vida a una rama de la geometría que estaba casi muerta. Observando que ciertas propiedades de una figura plana, como, por ejemplo, la lineación de los tres puntos del teorema de Pascal, no se alteran al proyectarla, Poncelet emprendió la tarea de investigar sistemáticamente esos fenómenos y definió las propiedades “gráficas” (para nosotros “proyectivas”) de las figuras como las que son independientes de las magnitudes (medidas) de distancia y ángulos. Como veremos más adelante, Cayley introdujo las propiedades métricas que había desterrado Poncelet en una geometría proyectiva más amplia, en la que se da el lugar de honor a los imaginarios que tanto habían molestado a Poncelet. El mismo Poncelet (1822), de acuerdo con su refundición del principio de continuidad de Kepler, introdujo la recta del infinito, y exigió en su geometría plana que toda circunferencia corte a esta recta en los mismos dos puntos imaginarios. Todos los pares de ecuaciones simultáneas que representan círculos quedaban de este modo dotadas del número correcto de soluciones comunes. Monge (francés, 1746-1818) ya había usado pares de elementos imaginarios para simbolizar relaciones espaciales reales; pero Poncelet se interesó más por intentar encontrar una justificación “real” para los elementos imaginarios de la geometría.

El principio de continuidad de Poncelet equivale al teorema del análisis de que si una identidad analítica de un número finito de variables es cierta para todos los valores reales de las variables, también lo es, por prolongación analítica, para todos los valores complejos. La tentativa de “materializar”, o disfrazar este hecho elemental del análisis en un espacio de existencia supuesta, complicó a Poncelet en una furiosa controversia contra Cauchy. El analista insistía en que el modo de razonar del geómetra, si no era enteramente ilegítimo era un enunciado innecesariamente complicado de un álgebra muy sencilla; el geómetra justificó su táctica demostrando numerosos teoremas con mucha mayor facilidad que la que parecía posible en análisis. La disputa terminó sin que nadie saliera con ventaja. Pero como indicaremos al ocuparnos de la topología, la intuición de Poncelet desbordó a su lógica, y la pretendida justificación de su famoso principio estaba desprovista de significado. Sin embargo, continuó deduciendo con asombrosa facilidad teoremas geométricos correctos.

En 1874-1879, Schubert (alemán, 1848-1911) generalizó el principio de continuidad, yendo mucho más allá que Poncelet en su atrevido “Cálculo de la geometría enumerativa”. El principio de la conservación de números de Schubert, como se llamaba su generalización, no descansaba tampoco sobre nada de lo que hoy día se pudiera admitir como una base. Afirmaba la invariancia del número de soluciones de todo problema algebraico determinado con un número dado de variables y de parámetros al variar los parámetros o al sustituir en su lugar valores especiales de tal modo que ninguno se haga infinito, teniendo en cuenta las soluciones múltiples y las soluciones en el infinito. Este método, algo peligroso, fue empleado con éxito brillante por algunos de los geómetras más eminentes del siglo XIX, incluyendo a Chasles (francés, 1793-1880), Steiner (suizo, 1796-1863), Cayley y Zeuthen (danés, 1839-1920), el último de los cuales se aprovechó de los manifiestos de sus predecesores. En 1945 estaba todavía dividida la opinión sobre esas sutiles cuestiones, afirmando los geómetras que su modo de razonar era suficientemente riguroso, de lo cual disentían los algebristas.

Todos los nombres que acabamos de mencionar son eminentes, y algunos famosos, en la historia de las matemáticas: a Steiner lo llamaban sus contemporáneos “el más grande geómetra (puro) desde Apolonio”, aunque no supo escribir hasta que tuvo 14 años; Chasles fue un geómetra creador, y juicioso historiador de la geometría, cuyo Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie (1837) es todavía una obra clásica de la historiografía matemática; Cayley, matemático universal, cuyo desarrollo (1846-¿?) de la teoría de los invariantes algebraicos proporcionó a los geómetras una nueva perspectiva sobre las curvas y las superficies algebraicas; finalmente, a Zeuthen se le recuerda en geometría y como historiador de las matemáticas.

Dejando el desacreditado principio de la continuidad, pasamos al de la dualidad, que con sus generalizaciones dejó un residuo tan considerable de métodos nuevos y útiles en geometría, álgebra, y análisis como cualquiera otra invención matemática del siglo XIX. Parece que el que primero enunció el principio de una manera clara en su forma clásica, si bien no lo entendió por completo, fue Gergonne (francés, 1771-1859), en 1825-1827. Gergonne notó que si en ciertos problemas de la geometría plana se intercambian las palabras punto y línea recta, haciendo también los cambios correspondientes de alineación de puntos en intersección de rectas, etc., resultan proposiciones “dobles” susceptibles de demostración independiente. Dedujo que en todos los casos el original presupone el doble, que por consiguiente no necesita demostración independiente. Valiéndose de este “principio de dualidad”, obtuvo Brianchon su teorema como doble del de Pascal. También notó Gergonne el principio correspondiente en el espacio de dos dimensiones, en que la dualidad se manifiesta entre el punto y el plano y en que la línea recta es doble de sí misma. De un plumazo se doblaba la extensión del ya vasto imperio de la geometría; y muy modesto había de ser el geómetra que se abstuviera de la práctica, que pronto se hizo epidémica, de publicar largas columnas paralelas de teoremas dobles.

Gergonne, como Poncelet, era militar. Ambos pretendieron la prioridad en el principio de dualidad. Poncelet insistía en que el principio era consecuencia del método de los polos y las polares que tan brillantemente había empleado en su geometría de las cónicas; Gergonne argumentaba que los polos y las polares no eran la raíz del principio. Gergonne tenía razón, si bien la demostración sencilla y concluyente de este hecho no vino hasta que Plücker abordó la cuestión algebraicamente y dio la explicación hoy corriente valiéndose de coordenadas de puntos y rectas que se encuentran en la mayor parte de los textos de geometría proyectiva. Pero aunque Gergonne tenía razón, Poncelet no estaba del todo equivocado. Su argumentación la salvó la afortunada circunstancia de que tanto el orden como la clase son iguales a 2.

No consiguiendo que Gergonne retirara sus pretensiones de prioridad en el principio valiéndose de medios correctos, Poncelet recurrió a los malos medios y consiguió demostrar que aunque un geómetra pueda ser oficial, no ha de ser necesariamente caballero. La campaña de injurias personales y de información del carácter que lanzó Poncelet contra la persona relativamente oscura de Gergonne hace que la controversia Newton-Leibniz parezca un idilio de la Arcadia. Hoy día se hubieran interpuesto las leyes, pero en la edad heroica de la geometría proyectiva los matemáticos tenían libertad para perseguir a sus indefensos enemigos haciendo de ellos verdaderos héroes.

La siguiente gran aportación al conjunto de las matemáticas que se originó en los métodos de Poncelet sigue la tradición de Vieta de transformación y reducción. Si se puede establecer una transformación reversible entre los respectivos sistemas de coordenadas de dos espacios o entre sistemas diferentes de coordenadas en el mismo espacio, es también posible traducir los teoremas de un sistema de manera inmediata a los teoremas del otro, siendo la correspondencia el diccionario bilingüe.

Si se elimina la restricción de que la transformación sea reversible, el diccionario se lee sólo en un sentido, por ejemplo, del francés al inglés, y las figuras de un espacio se transforman en otras del segundo, pero no al revés. En ambos casos puede haber ciertos lugares geométricos particulares del enunciado de los teoremas a los que hay que acudir; daremos un ejemplo a propósito de las transformaciones birracionales. No hay otro límite que el de unidad práctica para las transformaciones que se pueden construir de acuerdo con esas condiciones tan generales. Si es posible elaborar transformaciones que alteren el orden de una curva (o superficie, etc.) la ventaja geométrica es evidente.

Desde que Poncelet en su método de las polares recíprocas hizo corresponderse por primera vez un elemento geométrico de una clase (un punto) con otro de otra clase (una recta) se han construido numerosas transformaciones útiles de los tipos que acabamos de describir. Quizás las transformaciones más ampliamente investigadas hayan sido las birracionales, en las que las coordenadas de cualquiera de los dos espacios se pueden expresar racionalmente en función de las del otro. Aquí debe bastarnos con esta alusión, ya que las transformaciones birracionales se describen mejor en relación con la teoría de las funciones algebraicas y de las superficies de Riemann, por lo que hay que aplazarla hasta otro capítulo posterior.

Continuando con nuestra selección de los principios generales que tuvieron su origen en la geometría proyectiva, indicaremos a continuación una de las generalizaciones más inesperadas y más sorprendentemente sencillas que registra la evolución de las matemáticas, es decir, la teoría de Plücker de la dimensionalidad espacial. Ya hemos visto que Cayley (1843) y Grassman (1844) llegaron independientemente al concepto de espacio de n dimensiones y que el último definió los conjuntos n-dimensionales que habían de desempeñar un papel tan importante en la geometría de Riemann. Plücker indicó en su Analytische-geometrische Entwickelungen (1831) no solamente el significado analítico de la propiedad, sino también el germen de la idea que había de generalizar la dualidad de Gergonne y de Poncelet mucho más allá de los recursos evidentes de la geometría pura. Asimismo, observó que la ecuación general de una línea recta en la geometría cartesiana plana contiene dos variables y dos parámetros, y que tanto las variables como los parámetros figuran en la ecuación linealmente. Si se intercambian los papeles de las variables y de los parámetros, la ecuación representa un punto. También, hay que notar que el número de parámetros, dos, es en ambos casos el mismo: el plano es un espacio de dos dimensiones o conjunto de dos dimensiones en puntos y en rectas, y se dice que el plano contiene ∞² puntos y ∞² rectas. Estas simples observaciones fueron origen de la vasta generalización de Plücker.

Si hay alguna clase de elementos en que esté especificado un elemento único, al asignar valores numéricos particulares a cada uno de los n parámetros con valor numérico, la clase recibe el nombre de conjunto numérico o espacio numérico de n dimensiones, y se dice que contiene ∞n elementos. Los n parámetros escritos en un orden determinado reciben el nombre de coordenadas del elemento general de la clase. Por ejemplo, la ecuación general de una cónica en el plano de las coordenadas cartesianas contiene precisamente cinco parámetros; un conjunto particular de valores de los parámetros determina una sola cónica; el plano es por lo tanto un conjunto o espacio de cinco dimensiones cuando se toma a las cónicas como elementos espaciales básicos, y contiene ∞⁵ elementos de ésos. Si bien a primera vista esto parece extraño, no lo es más que el lugar común de que el plano es un conjunto de dos dimensiones de puntos. En la geometría de Plücker, la dimensionalidad no es una cualidad absoluta del espacio, sino que depende de los elementos básicos que lo constituyen. Por ejemplo, un plano cartesiano es tridimensional respecto de las circunferencias. Todo esto fue generalizado a principios del siglo XX a los espacios en los cuales los valores de los parámetros no son necesariamente números. Las geometrías resultantes son las de los diferentes espacios abstractos que se han estudiado tan intensivamente desde que Fréchet creó en 1906 el primero. Nos volveremos a ocupar de ellos.

Plücker, generalizando la dualidad clásica entre figuras de puntos y de rectas de la geometría plana, enunció un principio de dualidad entre dos clases cualesquiera de figuras que contengan iguales dimensionalidades, y que sean ambas lineales en sus respectivas coordenadas, iguales en el número que determina la dimensionalidad común. Cada una de las clases es un espacio numérico como ya se ha definido. La “geometría” de cada una se puede interpretar de muchas maneras. Por ejemplo, en el espacio tridimensional constituido por todas las circunferencias de un plano cartesiano, una ecuación entre las tres coordenadas de la circunferencia define una familia de ∞² circunferencias. Podríamos proceder como han hecho muchos a investigar detalladamente las propiedades de esas familias definidas por ecuaciones de grados 1, 2, … Partiendo de las familias de circunferencias se han construido representaciones planas muy sencillas y fáciles de visualizar de las geometrías clásicas no euclidianas. Exactamente igual que en la geometría cartesiana con la que tan familiarizados estamos, en la cual los puntos son los elementos básicos, en la geometría de Plücker, traducimos el álgebra de los sistemas de ecuaciones en propiedades de familias de líneas rectas, cónicas, cúbicas, etc. La dualidad que Gergonne y otros creyeron que es una cualidad absoluta del “espacio”, peculiar del “espacio” intuitivo susceptible de ser dibujado, de la geometría proyectiva elemental, aparecía en la geometría de Plücker como una simple consecuencia de la manera innecesariamente restringida de elegir los sistemas de coordenadas.

El abandono de Plücker de los engaños de la intuición visual por lo explícito del álgebra y del análisis acabó con algo que las geometrías clásicas no euclidianas habían dejado a medio hacer. La libertad arbitraria con que se construían matemáticamente los “espacios” y las “geometrías” acabó por probar que el espacio a priori de Kant y todo su concepto de la naturaleza de las matemáticas son erróneos. Sin embargo, todavía en 1945 los estudiantes de filosofía estaban estudiando celosamente las ideas anticuadas de Kant con la ilusión de que estaban dando una ojeada al interior de las matemáticas. Puesto que Kant apeló a sus conceptos matemáticos erróneos para la elaboración de su sistema, es muy posible que algunas otras partes de su filosofía sean exactamente igual de válidas que sus matemáticas. En contra de esto se ha argumentado que las matemáticas de Kant siguen siendo “ciertas” en un dominio superior de “verdad” que queda fuera de la comprensión de los matemáticos profesionales, que practican una ciencia mezquina que no les deja apenas tiempo para explorar los asuntos verdaderamente importantes de su materia. No nos ocuparemos más de esta diferencia de opiniones. El resultado más significativo de la obra de Plücker fue el haber demostrado una vez más que la geometría que practican los geómetras es una disciplina abstracta y formal. No debería ser necesario repetir que toda experiencia que pueda haber sugerido un conjunto particular de hipótesis para una geometría está fuera de lugar en el desarrollo matemático.

En un aspecto estrictamente técnico, Plücker elaboró en 1865 muy detalladamente la geometría de lo que de ordinario se suele llamar espacio cartesiano tridimensional, el espacio puntual de la geometría elemental de los cuerpos sólidos y líquidos, pero tomando las líneas rectas en lugar de los puntos como elementos básicos. Puesto que las ecuaciones de una línea recta en el espacio cartesiano contienen exactamente cuatro parámetros independientes, la “geometría lineal” de Plücker es la de un espacio de cuatro dimensiones. Las ecuaciones entre las coordenadas representan varias familias de líneas rectas. Una familia de ∞¹ recibe el nombre de clase, una de ∞² el de congruencia, y una de ∞³ el de complejo; esas especies se clasifican aún de acuerdo con los grados de las ecuaciones algebraicas respecto de las cuatro coordenadas lineales. Después, la teoría continúa en parte por analogía con la geometría corriente basada en coordenadas puntuales de espacios puntuales de dos y de tres dimensiones. Por ejemplo, en lugar de las superficies cuádricas definidas por la ecuación general de segundo grado en las coordenadas puntuales (x, y, z), las configuraciones geométricas definidas por una ecuación de segundo grado en las coordenadas lineales (p, q, r, s,) son investigadas y clasificadas en tipos, de manera análoga a como se clasifican las cuádricas en pares de planos, conos, cilindros, elipsoides, hiperboloides, etc. Este detalle particular es la geometría del complejo de líneas cuadráticas; el problema de clasificación condujo a un álgebra muy interesante del tipo asociado con la reducción de matrices a su forma canónica. En la geometría lineal se considera a una curva como envolvente de líneas rectas, no como lugar geométrico de puntos.

La inevitable pregunta “¿y para qué sirve todo eso?” es imposible de contestar. Pero para los que insisten en que todas las matemáticas tengan aplicaciones científicas o industriales, recordaremos que la geometría lineal de Plücker encontró una interpretación inmediata en la dinámica de los cuerpos rígidos. De este modo justificó en los últimos años de 1860-1870 la creación y existencia de una geometría de cuatro dimensiones ante una generación que creía en la maquinaria con todo su corazón, con toda su mente y con toda el alma que tenía.

SÍNTESIS CONTRA ANÁLISIS

Ahora volveremos a 1827, año en que Möbius (alemán, 1790-1860) introdujo las coordenadas homogéneas en su originalísima obra Der barycentrische Calcul, y seguiremos la pugna de los métodos sintéticos contra los coordenados hasta que ambos resultaron victoriosos en 1860-1870. Aunque no había ninguna línea definida que dividiera a los contendientes o separase a los geómetras de diferentes nacionalidades, la prolífica escuela italiana prefirió después de 1860-1870 la síntesis, mientras que la mayoría de los geómetras franceses, alemanes e ingleses hicieron mayor uso del análisis. A principios de ese periodo, Steiner era, con mucho, el mejor campeón de la síntesis; Plücker, el maestro sin rival del análisis.

Además, suele considerarse a Plücker como verdadero fundador del método de las coordenadas homogéneas en su Analytische-geometrische Entwickelungen (1828, 1831), en que también se explotaba la notación abreviada, la que generalmente se suele atribuir a Bobillier (francés, 1797-1832), y el sencillo equivalente analítico del principio de dualidad de Gergonne. A esto siguió en 1835 el System der analytische Geometrie, en el que, lo diremos de pasada, se hacía una clasificación completa de las curvas de tercer orden. Las tentativas de Cramer, y de otros en el siglo XVIII, para disciplinar la multitud de curvas de cuarto orden habían fracasado. Plücker tuvo más éxito en su Theorie der algebraischen Curven (1839). Esto, sin embargo, fue totalmente eclipsado por un descubrimiento de tipo completamente nuevo, y de primerísima magnitud, las “ecuaciones de Plücker” que relacionan el orden, la clase, y los números de los puntos dobles, las tangentes dobles y los puntos de inflexión de las curvas algebraicas planas. Cayley calificó este descubrimiento diciendo que era uno de los más importantes de la historia de la geometría. En adelante, el mayor interés de su vida fue ampliar las ecuaciones de Plücker a las singularidades de las curvas alabeadas; curvas retorcidas, curvas en el espacio y superficies alabeadas. También Salmon, fino geómetra y algebrista que dejó las matemáticas por la teología, hizo aportaciones notables a esta materia tan sutil, la que tiene extensas ramificaciones en el álgebra moderna y en el análisis, en este último a través de la teoría de las funciones algebraicas y sus integrales.

Fue en esta prolífica tercera década del siglo XIX cuando se inventaron las coordenadas lineales. También suele convenirse en que Plücker y Cayley imaginaron independientemente esas coordenadas. Ahora bien, utilizando tanto las coordenadas puntuales como las lineales, se hicieron investigaciones completísimas de muchas superficies especiales de algún interés. En este sentido, hay dos que merecen recordarse por representar a los ejemplares más interesantes que se coleccionaron y se estudiaron en este tipo de trabajo detallado: la superficie cuártica de Kummer (1864), que es la llamada superficie singular del complejo de líneas cuadráticas y que está representada paramétricamente, como Cayley fue el primero en descubrir (1877), por funciones hiperelípticas theta; y la superficie de onda de la óptica que está representada paramétricamente por funciones elípticas. La superficie de Kummer engendró por sí sola, mediante sus generalizaciones a espacios superiores, un extenso departamento de la geometría. Muchos geómetras franceses, alemanes, italianos e ingleses elaboraron, quizás con exceso, esta intrincada especialidad, ya bien entrado el siglo XX. Pero la superficie cuártica aún presentaba en 1945 problemas no resueltos, y probablemente era demasiado complicada para que se pudiera abordar con provecho con las armas entonces disponibles. El interés en esa materia declinó rápidamente en el siglo XX, especialmente después de 1920, y pareció pertenecer a un pasado glorioso, pero definitivamente enterrado.

Mientras que Plücker, Cayley y otros muchos estaban creando la moderna geometría analítica con asombrosa rapidez, el geómetra puro más ingenioso desde Apolonio se ocupaba con éxito espectacular, pero restringido, en intentar hacer de la geometría sintética un instrumento que él esperaba fuera de aplicación universal. El Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (1832) de Steiner unificaba los métodos clásicos de la geometría proyectiva pura y los aplicaba con asombrosa habilidad a gran cantidad de problemas particulares. Incidentalmente diremos que Steiner propuso varios teoremas, los que es de suponer que había descubierto valiéndose de la geometría pura, como desafío para que los demostraran otros geómetras. El último detalle de uno de esos teoremas no pudo ser demostrado por métodos analíticos hasta principios del siglo XX.

El poderoso método de inversión también se suele atribuir a Steiner (1824), aunque otros lo inventaron también. Entonces, llegó a éste independientemente (1845), por consideraciones físicas, Thompson (Lord Kelvin). Él y otros físicos lo aplicaron muy eficazmente en su forma sintética a la electrostática, llamándole método de las imágenes. Recíprocamente, hay problemas de la teoría del potencial que se pueden presentar como ejercicio de inversión; es posible hacerlo en los dos sentidos, porque la inversión es una transformación conforme.

La inversión fue una de las primeras transformaciones no lineales de la geometría que se estudió a fondo, aunque las transformaciones cuadráticas y cúbicas ya eran familiares en álgebra desde el siglo XVI. Poncelet (1822), Plücker (1830), Steiner (1832) y sistemáticamente (1832) Magnus (alemán, 1790-1861) usaron transformaciones birracionales cuadráticas especiales. Como dato de interés histórico diremos que Magnus (1833) compuso dos transformaciones cuadráticas para obtener una transformación cuártica, mediante la cual las líneas rectas se correspondían con las curvas cuárticas. De esta forma pudo descifrar teoremas de las curvas cuárticas a partir de sus imágenes en líneas rectas. Siguiendo en parte la misma dirección E. de Jonquières estableció en 1859 una correspondencia especial entre líneas rectas y curvas de orden n con un punto múltiple preestablecido de orden n − 1. Estos detalles históricos tienen interés para los geómetras porque Cremona, que en 1863 se planteó el problema de determinar todas las transformaciones birracionales de orden n entre los puntos de dos planos, aparentemente descuidó su obra anterior, y todavía en 1861 creía que si n > 2 esas transformaciones no existen. Los geómetras señalan que si Cremona hubiera conocido el concepto algebraico cerrado, como en los grupos, hubiera sacado la deducción correcta de manera inmediata a partir de lo que ya se conocía perfectamente. Sin embargo, cuando se dio cuenta de su descuido, hizo progresos rápidos. Lo que, en la particular transformación binacional que lleva su nombre, equivale a un teorema capital aparecerá bajo otro aspecto cuando examinemos las funciones algebraicas. Por el momento nos bastará observar aquí que Noether, Rosanes (alemán) y Clifford (inglés, 1845-1879) demostraron casi simultáneamente (1870) que es posible engendrar una transformación de Cremona componiendo transformaciones cuadráticas. La prolífica escuela italiana, desde Cremona en el siglo XIX a Severi en el siglo XX, desarrolló la geometría algebraica resultante valiéndose principalmente de métodos geométricos, ya que en realidad el álgebra y el análisis correspondiente se hacen en seguida muy poco manejables. El resultado permanente de todo este desarrollo algo confuso parece que es la metodología para establecer correspondencias entre clases de diferentes tipos de configuraciones geométricas.

Otra amplia división de la geometría, que se originó en la geometría y en el análisis de la tercera y cuarta décadas del siglo XIX, se ocupa de las intersecciones de una curva variable con las curvas de una serie lineal; hay todavía otra que se ocupa de las propiedades geométricas de las intersecciones de dos curvas planas; todavía otra, de la geometría de curvas y superficies; y finalmente, otra se ocupa de la representación de una curva o de una superficie sobre otra. Asimismo, hay parte de esas teorías superiores que pertenecen a la geometría algebraica, otras al análisis, esto último a través de la representación paramétrica de curvas y superficies mediante ciertas funciones especiales estudiadas intensivamente durante el siglo XIX. Nada más podemos decir aquí acerca de esos perfeccionamientos técnicos en alto grado; sin embargo, algo más aparecerá implícito cuando hablemos del análisis. Pero sí hemos de hacer constar que, literalmente, centenares de hombres, entre 1860 y 1940, dedicaron los mejores años de trabajo de su vida a estos tipos de geometría. Donde tantos hicieron trabajos de alta calidad, no estaría bien destacar individualidades. Sin embargo, hubo uno que sobresalió, el fértil y laborioso Clebsch (alemán, 1833-1872).

La batalla decisiva en la guerra entre puristas y analistas duró 20 años, desde 1847 a 1860. La primera fecha señala la publicación de la Geometrie der Lage de Von Staudt (alemán, 1798-1867); la segunda, la versión revisada de esta “geometría de la posición”, que apareció en la devastadora obra maestra de ese mismo autor Beiträge zur Geometrie der Lage (1856-1860).

De inmediato se puede decir que el purista intransigente que era Von Staudt expulsó al enemigo del campo, pero que los geómetras analíticos se retiraron en orden con toda su maquinaria intacta. El vencedor tuvo que gozar los frutos de su estéril victoria, completamente solo. Al demostrar que era concebible que la geometría pudiera pasarse sin el análisis, Von Staudt demostró simultáneamente la completa futilidad de ese modo partenogenético de propagación, si es que todos los geómetras se singularizan lo bastante para insistir exclusivamente en estas prácticas nada agradables. Quizás no fuera esto lo que Von Staudt se propusiera pero, en todo caso, es lo que consiguió. Si la exclusión total del álgebra y del análisis de la geometría ha de dar como resultado un juego tan complicado y tan artificial como el de Von Staudt, no merece la pena, y el purismo geométrico habrá costado más de lo que un geómetra normal estará dispuesto a pagar. Esto no quita ningún mérito a lo que hizo Von Staudt. Su purificación de la geometría sigue siendo una de las obras maestras del razonamiento matemático. No cabe la menor duda de que alguien tenía que hacer de una vez para siempre lo que hizo Von Staudt, valiera o no la pena hacerlo. Su aportación duradera a las matemáticas fue la involuntaria autodestrucción del ideal de la pureza geométrica total.

Observando que la razón doble emplea el concepto de distancia en los segmentos de recta de los que se compone la razón, y observando también que la geometría proyectiva pretende ocuparse de las propiedades geométricas que son independientes de distancia y ángulo, Von Staudt propuso salir del círculo vicioso eliminando la medida, y por lo tanto los números de la geometría. La raíz de la dificultad parecía ser que las coordenadas de sus equivalentes numéricos probablemente extrañas a la geometría proyectiva quedaban sutilmente implícitas en todos los desarrollos clásicos de la materia. El programa de Von Staudt había de reducir el número a la forma, es decir, exactamente lo contrario de lo que proponía Pitágoras y de lo que Kronecker creyó que había hecho. Si tanto Von Staudt como Kronecker alcanzaron sus objetivos, puede que número y forma sean una misma cosa. Pero parece más plausible que cualquiera que sea la identidad, si es que hay alguna, sobre la que se basen ambos, sea simplemente una estructura abstracta irreductible de la lógica matemática que le sirve de fundamento a las dos. Pero cuando Von Staudt purificó la geometría faltaban aún muchos años para que vinieran especulaciones como éstas. Su teoría de lo que él llamó direcciones da un algoritmo exclusivamente proyectivo para la razón doble y para los elementos imaginarios. Por lo tanto, es muy notable que el algoritmo distinga entre un número complejo y su conjugado; los imaginarios conjugados se presentan como puntos dobles comprendidos en una línea recta real. Asimismo, es interesante percibir aquí una semejanza entre el pensamiento matemático de Von Staudt y el de Dedekind: al enfrentarse con un problema finito en aritmética, Dedekind recurrió a las clases infinitas para su solución; resuelto a expulsar los imaginarios de la geometría, Von Staudt los remplazó por infinidades de puntos reales.

A veces se afirma que Von Staudt no tuvo un éxito completo en su tentativa de geometrizar los números reales y los complejos. Las geometrías abstractas del siglo XX parecen apoyar esta aseveración, pues aunque sea posible geometrizar los números de que Von Staudt se ocupó no parece probable que ningún algoritmo pueda reducir los elementos de un espacio abstracto a algo que sea más o menos abstracto de lo que ya eran aquéllos. El problema que resolvió Von Staudt, si es que en realidad lo resolvió, es de una naturaleza que no se ha formulado claramente sino con el moderno método postulacional, que no existía en 1850-1860.

Cayley encontró un problema del mismo género que el de Von Staudt en su teoría proyectiva de la geometría métrica. Nos ocuparemos brevememente de ello. El equivalente proyectivo de Cayley (1859) de la distancia métrica está basado en la razón doble, y por lo tanto presupone la misma noción de distancia que pretendía eliminar. Cayley se dio cuenta de esto pero no intentó eliminar el círculo vicioso. Probablemente sea correcto decir que ni la naturaleza de los problemas de Von Staudt y de Cayley ni el análisis lógico necesario para obtener las soluciones satisfactorias se comprendieron bien antes del siglo XX.

La pugna entre los puristas y los analistas, personificada en dos de sus héroes, ilustra ciertos fenómenos generales del desarrollo del pensamiento matemático, que rebasan el interés puramente geométrico. La carrera de Plücker podía constituir la base para un estudio de inercia mental. Los contemporáneos de Steiner, como ya hemos dicho, le llamaban “el geómetra más grande desde Apolonio”. Algunos incluso ponían a Euclides en lugar de Apolonio en ese galardón de su admiración por el genio sintético de Steiner. A Plücker no le llamaban nada; casi toda la élite de la geometría lo desconocía de manera ostentosa. O por lo menos, él personalmente creía que su obra era objeto de una presuntuosa indiferencia por parte de sus colegas, y abandonó las matemáticas por la física, donde aún se le recuerda. Hacia el final de su vida, Plücker volvió a salir a la luz para componer su gran tratado de geometría lineal, Neue Geometrie des Raumes gegrundet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelemente, publicado póstumamente (1868-1869) por haberlo editado, por simpatía, Klein.

La vuelta de Plücker a la geometría se debió, en parte, a la cálida apreciación que mostró Cayley por su obra. Al parecer Cayley fue el único matemático de primera fila que se dio bien cuenta de lo que estaba haciendo Plücker por la geometría. El brillo deslumbrante de Steiner ocultó a la mayoría lo conseguido por Plücker, que era incomparablemente más pesado. La geometría de Plücker no era ni bonita ni elegante, como la de Steiner. Éste se jactaba de su incapacidad para el análisis, aunque algunos de sus colegas insinuaban que “el viejo zorro” sabía mucho más de lo que quería admitir, y que al igual que Poncelet en su obra fundamental, disfrazaba a veces con la síntesis lo que había descubierto por análisis. Pero aunque esto no sea más que una malicia, Steiner era contemporáneo de Apolonio en su manera de pensar. Apolonio hubiera comprendido inmediatamente la geometría de Steiner, y con práctica de unos cuantos días hubiera podido vencer a su rival moderno en el antiguo juego. Pero para comprender y apreciar lo que estaba haciendo Plücker, Apolonio hubiera necesitado un cerebro nuevo de una clase que no se producía en la Grecia antigua.

Ahora nos parece que si hubiera que dar a alguien del siglo XIX el calificativo de más grande geómetra desde los tiempos de Apolonio, la candidatura de Steiner para ese honor no tendría muchas probabilidades. Sin embargo, la moda volvió su ancha espalda a Plücker y favoreció a Steiner con su sonrisa más dulce y más boba. Como ha sucedido más de una vez en la historia de las matemáticas, el hombre dotado de ideas nuevas y provechosas había de morir antes de poder gozar la satisfacción que se pueda sentir por la estimación de los colegas.

MÉTRICA PROYECTIVA

La última de las aportaciones de importancia que vamos a describir de la geometría proyectiva al pensamiento matemático es la reducción de Cayley (1859) de la geometría métrica a proyectiva. Cayley dio detalles únicamente para la geometría plana; pero, con las modificaciones adecuadas, su método se puede extender a un espacio de cualquier número finito de dimensiones en el que esté definida una “función distancia” numérica para un par cualquiera de elementos del espacio.

Los geómetras, resumiendo las propiedades intuitivas corrientes de distancia entre dos puntos idénticos o distintos de un plano, establecen los siguientes postulados para la distancia D(p, q) entre los elementos p y q de todo espacio cuyos elementos sean p, q, r, … 1) A dos elementos cualesquiera p y q (idénticos o distintos) les corresponde un número real único, su distancia D(p, q). 2) D(p, p) = 0. 3) D(p, q) ≠ 0 si p y q son distintos. 4) D(p, q) = D(q, p). 5) D(p, q) + D(q, r) ≧ D(p, r). La última se llama desigualdad del triángulo (o triangular); ya la hemos indicado en otro sitio, y se volverá a presentar.

En efecto, observaron Cayley y Laguerre (francés, 1834-1886) independientemente que esos cinco postulados de la distancia tienen una solución D(p, q) en geometría plana diferente de la ordinaria que da la distancia entre dos puntos en función de sus coordenadas por medio del teorema de Pitágoras. Con la nueva definición de distancia y otra correspondiente para ángulo, Cayley convirtió la geometría métrica con sus habituales definiciones de distancia y de ángulo en una especie de geometría proyectiva. En resumen, demostró que las propiedades métricas del espacio euclidiano se pueden interpretar como propiedades proyectivas. Aunque los detalles son demasiado técnicos para poderlos describir brevemente, podemos dar una indicación de la forma en que Cayley abordó el asunto. Las citas proceden de su extensa memoria sobre las cuárticas (1859) y de las notas que hizo sobre las mismas que figuran en la colección de sus papeles matemáticos.

La teoría en efecto es que las propiedades métricas de una figura no son las propiedades de la figura consideradas por sí mismas, aparte de cualquier otra cosa, sino sus propiedades, cuando se consideran en relación con otra figura, como, por ejemplo, la cónica llamada absoluta. De modo que la geometría métrica es una parte de la geometría descriptiva [proyectiva], y toda la geometría es geometría descriptiva, y recíprocamente.

Respecto del toda de Cayley, hemos de recordar que escribía en 1859. En un principio Cayley escribía su absoluto con A mayúscula como tributo merecido a la magnitud de su invento. Pero cuando supo que los teólogos metafísicos usaban corrientemente el Absoluto para designar una Entidad determinada, extraespecial y extratemporal, Cayley, que era cristiano devoto, se apresuró a descender a una “a” minúscula. El absoluto de Cayley puede ser imaginario.

Es posible que fuera la propiedad aditiva de las distancias colineales lo que sugirió la distancia proyectiva y el absoluto de Cayley, puesto que si p, q, r son puntos alineados, y si se toma a los segmentos de recta pq, qr, pr con sus signos de acuerdo con la regla habitual, es pq + qr = pr. Esto es parecido al teorema del logaritmo de producto. De todos modos Cayley definió la distancia D(p, q) entre dos puntos p y q como un logaritmo, de la manera siguiente. El segmento que une p y q corta una cierta cónica fija, el absoluto de Cayley, en dos puntos p′ y q′; cuando p y q son dos puntos fijos cualesquiera, los cuatro puntos alineados, p, q, p′, q′ tomados en un cierto orden determinan una sola razón doble; Cayley define D(p, q) como el producto de una constante k por el logaritmo de esa razón doble. Entonces, es fácil ver que esta D(p, q) satisface los postulados enunciados para la función distancia.

Trece años después de que Cayley redujera las propiedades métricas a las proyectivas por medio de su absoluto, Klein (1871) se dio cuenta de que las definiciones proyectivas de distancia y de ángulo constituían una unificación simple de la geometría euclidiana y de las geometrías clásicas no euclidianas. Klein demostró que esas geometrías no se diferencian en esencia más que en sus respectivas funciones distancia. En la definición de Cayley se pueden elegir la constante k y la cónica fijada como absoluto, de tal manera que las respectivas geometrías clásicas de Lobachewsky y Bolyai, Riemann y Euclides están completamente determinadas según que el absoluto sea real, imaginario o degenerado.

El sorprendente resultado de Klein fue la culminación de los esfuerzos de medio siglo para introducir claridad en la geometría proyectiva a la que Poncelet había devuelto la vida. Aún habrían de venir mejores cosas un año más tarde (1872), con el famoso Erlanger Programm de Klein. De esto nos ocuparemos al tratar de la invariancia. El programa de Klein dominó gran parte de la geometría durante casi medio siglo. Lo superaron ideas más jóvenes que no se popularizaron más que con la relatividad general, después de 1916, pero que tenían su origen en la obra revolucionaria de Riemann de 1854. A continuación nos ocuparemos de esto.

DE LA CARTOGRAFÍA A LA COSMOLOGÍA

El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto. Siempre a grandes rasgos, se necesita determinar la geometría de un entorno suficientemente pequeño y con suficiente precisión para que esa determinación sea válida para el entorno de todo punto de la curva o superficie investigada. Otro origen de esta geometría “local” fue el estudio en los siglos XVII y XVIII de las tangentes, normales y de la curvatura, ya que el cálculo había proporcionado medios adecuados para abordar su estudio de una manera general. Asimismo, es evidente que un tercer origen está en la dinámica del siglo XVIII, especialmente en los movimientos condicionados, como en la dinámica de una partícula sujeta a la restricción de moverse sobre una superficie dada. Junto a problemas de estos tipos generales se presentan también evidentemente sus inversos. Por ejemplo: dada una fórmula particular para la distancia geodésica entre dos puntos próximos cualesquiera, determinar la superficie más general para la cual sea válida la fórmula; o clasificar la superficie respecto de sus líneas de curvatura. Muchos de esos problemas diferenciales son susceptibles de una generalización inmediata a un espacio de cualquier número finito de dimensiones. Las teorías resultantes, como se puede prever aún con estas simples indicaciones, son de gran extensión y están estrechamente ligadas con las ecuaciones diferenciales y con la física matemática.

Puesto que no intentamos dar ni una historia ni un catálogo de lo que se ha hecho en geometría diferencial desde 1700, seleccionaremos unos cuantos incidentes típicos a lo largo de la línea principal de avance, y que nos basten para conectar el álgebra física ya examinada con el análisis, las ecuaciones diferenciales, la mecánica, la física matemática y las geometrías no riemannianas del siglo XX, que describiremos en capítulos posteriores. La atención creciente que se ha venido prestando a las formas diferenciales cuadráticas desde Gauss (1817) hasta Riemann (1854), Christoffel (1869) y Lipschitz (1870), y desde Ricci (1887) hasta Einstein y otros (1916-¿?) señala una pista fácil de seguir desde la cartografía de la superficie terrestre a la construcción de una gran parte de la cosmología sobre la geometría diferencial. Un mapa no es necesariamente un dibujo hecho en una hoja de papel. Los mapas de la física teórica son descripciones de fenómenos físicos.

Como otras tantas cosas de la matemática moderna, la geometría diferencial se inició realmente en el análisis de “Euler, el de los mil ojos”, que no descuidó nada de las matemáticas de su época, aunque estuvo totalmente ciego durante los últimos 17 años de su vida. En 1760 investigó las líneas de curvatura. Esta obra inspiró las investigaciones más sistemáticas (1781) que hizo Monge en esta misma dirección, y su teoría general de la curvatura que aplicó (1795) a las cuádricas con centro. De igual importancia para el futuro de las matemáticas fue la aclaración que hizo Monge de las soluciones de las ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales por medio de su teoría de la superficie. El lenguaje geométrico en que se discuten con frecuencia las ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales tuvo su origen en la primera parte de la obra de Monge.

Otro de los inventos de Monge, su geometría descriptiva, tiene menos interés matemático que su análisis de las ecuaciones diferenciales, pero quizás tenga mayor importancia tecnológica. Sin disponer de una geometría descriptiva, la ingeniería del siglo XIX se hubiera desarrollado mucho más lentamente de lo que se desarrolló. El plan de Monge de representar los cuerpos sólidos en un diagrama plano por medio de dos proyecciones, “planta” y “elevación”, situadas sobre planos que originalmente formaban ángulo recto entre sí antes de abatir, facilitó la percepción de las relaciones espaciales, y proporcionó un sistema gráfico uniforme para resolver problemas como el de determinar las curvas que forman dos o más superficies al cortarse. Los métodos de tanteo malgastarían mucho metal para ajustar dos tuberías de diferentes dimensiones en un ángulo dado, mientras que la geometría descriptiva resuelve este problema sin ningún despilfarro en uno de sus primeros ejercicios. Del plan de Monge evolucionó el dibujo mecánico práctico, sin el cual apenas sería posible la construcción de la maquinaria moderna. Raramente es agradable conceder al diablo lo que le es debido, pero la historia nos obliga a decir que el origen de la geometría descriptiva fue un problema de fortificaciones (1763). Los militares franceses estimaron tanto el invento de Monge que le prohibieron publicarlo y lo mantuvieron en secreto durante cerca de 30 años para usarlo ellos exclusivamente. La descripción de Monge se publicó por primera vez en 1795-1796.

Continuando con lo que desde aproximadamente 1920 se ha venido llamando geometría diferencial clásica, citaremos las Applications de géométrie et méchanique (1822) de Dupin (francés, 1784-1873). La obra de Dupin fue profética en varios aspectos. Aunque Dupin no inventó la indicatriz, hizo un uso más eficaz que sus predecesores de esta sugestiva cónica en la que un plano paralelo al, e “infinitamente cerca del”, plano tangente a un punto cualquiera de una superficie corta a la superficie. Analíticamente, la indicatriz introduce una forma cuadrática diferencial en la geometría de ciertas curvas (las líneas asintóticas) de una superficie.

Esto es semejante a un método de aproximación de la física matemática, en que se obtiene el estado de un medio en el entorno de un punto, con suficientes grados de aproximación, despreciando los infinitésimos de orden superior al primero en el desarrollo de Taylor de la función que expresa el estado exacto del medio en un punto cualquiera. Este procedimiento no es universal, pero donde es aplicable da lugar a ecuaciones diferenciales lineales de las ciencias físicas. Geométricamente, la indicatriz es útil para el estudio de dos de las más interesantes familias de curvas trazadas sobre superficies, las líneas asintóticas y las líneas de curvatura. Dupin investigó también las familias triplemente ortogonales de superficies, no como un ejercicio estéril de cálculo diferencial, sino porque ciertos casos de esas familias son de primera importancia en la teoría del potencial y en otras secciones de la física matemática. Este aspecto de la geometría diferencial se pondrá de manifiesto en otro momento, cuando sigamos la aportación de la física a las matemáticas, y especialmente en el concepto de coordenadas de Lamé. Otro detalle de la geometría de Dupin había de adquirir una importancia imprevista en los últimos años del siglo XIX, cuando Klein y Bôcher (Estados Unidos, 1867-1918) observaron que las superficies llamadas cíclidas, inventadas por Dupin, constituyen un fondo geométrico unificado para una amplia clase de ecuaciones diferenciales de importancia científica. La cíclida es la envolvente de una familia de esferas tangentes a tres esferas fijas. De este modo, la geometría de Dupin originó una buena cantidad del análisis del siglo XIX. Por ejemplo, los sistemas triplemente ortogonales de superficie fueron objeto de una famosa obra de Darboux, de 567 páginas, que a su vez inspiró a Green (Estados Unidos, 1891-1919) una notable significación (1913) de la teoría general como aplicación de la llamada geometría proyectiva diferencial de Wilczynski (Estados Unidos, 1876-1932). La última está basada en parte sobre un par de ecuaciones diferenciales simultáneas de segundo orden entre derivadas parciales. Diremos de pasada que las 27 páginas de Green (1913) contenían lo fundamental de las 567 de Darboux.

La geometría proyectiva diferencial tal como se practicaba en la tercera década del siglo XX constituye un interesante ejemplo de las preferencias racionales en la técnica matemática. Las dos escuelas principales, la americana y la italiana, buscaban en esencia los mismos objetivos pero con métodos radicalmente diferentes. Ambas avanzaron mucho en su respectiva dirección; ambas tropezaron, al menos temporalmente, con obstáculos en apariencia inherentes a sus respectivos métodos. Aunque teóricamente era adecuado para resolver todo problema que pudiera surgir en esa materia, el método americano se vio retardado por una masa inevitable de cálculos. Una dificultad menos prosaica, pero igualmente desalentadora, la cual describiremos más adelante, bloqueó la manera italiana de abordar la generalización de una geometría proyectiva diferencial de un espacio superior.

La escuela americana seguía a Wilczynski, que presentó su teoría, con numerosas aplicaciones a problemas particulares, en una serie de memorias, a partir de 1901, y en un tratado (1906) sobre el método general. Wilczynski había sido discípulo de Fuchs (alemán, 1833-1902), bajo cuya dirección llegó a dominar la teoría de las ecuaciones diferenciales tal como ésta era a fines del siglo XIX. Así, era perfectamente natural que basara su geometría sobre un sistema completo e independiente de invariante y covariantes de un sistema de una o más ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Un conjunto fundamental de soluciones de las ecuaciones determina únicamente los diversos objetos geométricos investigados, incluso una transformación proyectiva. Con transformaciones adecuadas de las variables dependientes e independientes de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones paramétricas de los objetos geométricos correspondientes, éstos y las formas de las ecuaciones diferenciales son invariantes, aunque los coeficientes de las ecuaciones por lo general resultarán cambiados. Los covariantes fundamentales para la geometría son funciones de los nuevos coeficientes, de sus derivadas y de las nuevas variables dependientes, que difieren como máximo en un factor de las mismas funciones de las variables y coeficientes primitivos; un invariante es un covariante que no contiene las variables dependientes o sus derivadas. La teoría de Lie de los grupos de transformación (que describimos en el capítulo de invariancia) es el instrumento de cálculo para obtener los covariantes y los invariantes como preliminares necesarios para la geometría. Probablemente casi todo el que haya intentado seriamente resolver estas ecuaciones diferenciales valiéndose de la teoría de Lie apreciará el trabajo que presupone un proyecto tan heroico como el de Wilczynski, y estará de acuerdo con Galois en que cualquiera que sea la naturaleza de sus indiscutibles méritos, la teoría de los grupos no facilita ningún método práctico para resolver ecuaciones. Desde luego que Galois hablaba de las ecuaciones algebraicas, pero su opinión, según el juicio de los expertos en la teoría de Lie, se extiende a las ecuaciones diferenciales. Más allá de un cierto grado de complejidad, no muy avanzado por cierto, los cálculos son prohibitivos aún para la obstinación más perseverante. El método italiano daba un rodeo a la teoría de Lie.

Aproximadamente en 1913, la escuela italiana encabezada por Fubini (1879-1943) abordó la geometría proyectiva diferencial a través de las formas diferenciales, y llegó a sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo que había servido de punto de partida a Wilczynski. Restringiendo el análisis a sistemas en que los coeficientes están legítimamente especializados, y por tanto simplificados mediante transformaciones permisibles, los covariantes fundamentales quedan reducidos a formas de fácil manejo. El método de cálculo es el cálculo diferencial absoluto o análisis tensorial, del que ya nos ocupamos anteriormente a propósito de los progresos generales de las matemáticas recientes hacia la estructura. Sin embargo, el cálculo de Ricci (italiano, 1853-1925) se originó en el álgebra de las formas diferenciales cuadráticas. Por tanto, era inaplicable a las formas diferenciales de orden superior que indicó de pasada Riemann en su disertación (1854) sobre las hipótesis que sirven de fundamento a la geometría. Pero esas formas son las apropiadas para una geometría proyectiva diferencial de un espacio superior. El método italiano parecía definitivamente que no sería susceptible de ampliación a una variedad de m dimensiones en un espacio de n > 4 dimensiones para 1 < m < n − 1. Tampoco hay una forma cuadrática covariante para esos casos. En otro lugar indicamos que la falta de un cálculo absoluto para formas diferenciales en un espacio superior se puede suplir si, por ejemplo, las especulaciones físicas hicieran un esfuerzo serio para hacer que ese cálculo fuera científicamente provechoso. El cálculo de Ricci no adquirió importancia geométrica hasta que lo propagaron los relativistas, lo cual dio ocasión a que los geómetras lo adoptaran y lo desarrollaran más. Las geometrías proyectivas diferenciales de las escuelas americana-italiana no parecen haber atraído a los físicos.

Estos detalles en cierto modo misceláneos han sido traídos a cuento para subrayar el concepto en que tenían a la geometría diferencial clásica la mayoría de los profesionales en la tercera década del siglo XX. Desde que nació en la obra de Euler y de Monge, la geometría diferencial se ha desarrollado algo irregularmente hasta que hacia 1900 abarcaba una colección muy poco coordinada de problemas particulares y de teorías incompletas reunidas sin ningún objetivo perceptible que estuviera claramente definido. Ésa era, por ejemplo, en esencia, la opinión de Hadamard. En contraste con esta desordenada exuberancia, la geometría diferencial que se hizo popular con la aplicación de la geometría riemanniana a la física y a la cosmología de la relatividad general quedaba unificada y dotada de objetivos concretos por el cálculo diferencial absoluto, o análisis tensorial, de Ricci y Levi-Civita. Cuando por fin hubo un método, el interés en la geometría clásica diferencial decayó. Entonces, hacía ya tiempo que numerosos resultados especiales obtenidos siguiendo la tradición vieja habían pasado a la estructura general del análisis y de la geometría infinitesimal; el trabajo creador en geometría diferencial tomó una dirección nueva. Entre otros desarrollos especiales que habían parecido muy prometedores a principios del siglo XX, pero que 20 años después habían perdido gran parte de su atractivo, la geometría proyectiva diferencial de una escuela americana fue a reunirse con los clásicos a los que se respeta, pero a los que rara vez se sigue. La trayectoria que desde lo viejo a lo nuevo se siguió, como ya hemos indicado, parte de Gauss, pasa por Riemann y termina en el cálculo tensorial.

Gauss hizo, en 1827, el primer estudio sistemático de las formas diferenciales cuadráticas en sus Disquisitiones generales circa superficies curvas, en el que el tema principal es el de la curvatura de las superficies. Las formas investigadas son únicamente de dos variables. La teoría de Gauss es un antecedente directo de la cartografía, la que se ocupa de la formación de superficies y de la posibilidad de aplicar una superficie sobre otra. Sin embargo, este aspecto no fue el que sugirió a Riemann la generalización de gran alcance de la geometría diferencial. La geodesia también fue una de las cosas que más interesaron a Gauss de todas las matemáticas aplicadas (1843-1847); y también en parte se refiere a las formas cuadráticas diferenciales, ya que el elemento lineal de un esferoide es la raíz cuadrada de una forma diferencial cuadrática con dos variables y con coeficientes variables. Riemann dio el paso final en esta dirección, con una de las aportaciones más prolíficas que jamás se hicieron a la geometría, al pasar inmediatamente a la forma cuadrática diferencial general en n variables con coeficientes variables, en su vital obra clásica sobre los fundamentos de la geometría Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1854.

El gusto que tenía Riemann por las especulaciones filosóficas ha sido causa de que algunas partes de su gran ensayo sean innecesariamente difíciles para los que no son más que matemáticos. Por fortuna para la geometría se puede pasar por alto la misteriosa descripción que hace Riemann de un conjunto, pues cuando pasa a las matemáticas, en realidad no usa nada más abstruso que un conjunto numérico n-dimensional. Sería interesante saber si Riemann se creía a sí mismo creador de este concepto. Pero como rara vez menciona a otros matemáticos en ninguna de sus obras, aun donde está perfectamente claro que se ha aprovechado de sus ideas, es imposible decir cuánto debe a los demás, si es que les debe algo. Los conjuntos generales que Riemann intentó definir, pero que no utilizó, podrían ser interpretados como los espacios abstractos del siglo XX.

En las matemáticas de la geometría de Riemann se entrelazan dos temas fundamentales: una generalización del teorema de Pitágoras a un espacio cualquiera (conjunto numérico) de n dimensiones; la curvatura en esos espacios. Si

(x₁, …, xn), (x₁ + dx₁, …, xn + dxn)

son las coordenadas de dos puntos próximos del espacio, y si ds es la distancia infinitesimal que hay entre esos dos puntos, se postula que ds² = ΣΣgijdxidxj, en que la doble suma es respecto a i, j = 1, …, n; las gij son funciones de x₁, …, xn; y gij = gji. Al establecer este postulado, Riemann reconoció que define de una manera suficiente pero no necesaria una distancia elemental que ha de retener las propiedades fundamentales de una función de distancias; también indicó explícitamente otras posibilidades. Todavía no se habían aprovechado éstas (al menos nada se imprimió sobre ello) en 1945, aunque ya en 1944, Robertson (Estados Unidos, 1903-¿?) había investigado lo análogo para esas posibilidades del cálculo tensorial apropiado para la geometría riemanniana de la relatividad general. La geometría métrica de un espacio riemanniano particular está determinado por las gij que figuran en el ds² de ese espacio. Prescindiendo de casos especiales, Riemann pasó inmediatamente a su curvatura generalizada, guiado en parte por la analogía con la teoría de Gauss para un espacio de dos dimensiones. Entonces hizo la notable suposición de que su nueva geometría métrica reduciría las cuestiones relativas al universo material y a las “fuerzas de ligadura” que lo mantienen junto a otras de geometría pura.

Aún más audaz que Riemann, Clifford confesó su creencia (1870) de que la materia no es más que una manifestación de la curvatura en un conjunto espacio-tiempo. Entonces, se ha pretendido que este embrión de profecía era un precursor de la teoría relativista (1915-1916) de Einstein del campo gravitatorio. Sin embargo, la verdadera teoría se parece muy ligeramente al detallado credo de Clifford. Por regla general esos profetas matemáticos que nunca descienden a los detalles son los que más ganan. Casi todo el mundo puede hacer blanco en la pared de un bazar a 40 yardas, si carga su escopeta con perdigones.

El siguiente gran paso que se dio después de Riemann hacia la moderna geometría diferencial fue el de Christoffel (1869), al determinar las condiciones necesarias y suficientes para que una forma diferencial cuadrática del tipo del ds² de Riemann sea transformable en otra por una transformación funcional general operada sobre las variables. También Lipschitz (1870) se ocupó de ese mismo problema. La solución de Christoffel demostró ser la más útil. En su análisis, inventó Christoffel el proceso al que Ricci (1887) llamó diferenciación covariante, usándolo para derivar una sucesión de tensores a partir de una dada. Beltrami y otros, especialmente los de la escuela italiana de geómetras, emplearon algo que en el fondo son tensores, pero fue Ricci el que aisló y perfeccionó el cálculo tensorial como algoritmo independiente.

Ya mencionamos en un capítulo anterior el álgebra de los tensores como generalización de los vectores. Los progresos ulteriores de la geometría riemanniana los examinaremos a propósito de la invariancia. Podemos terminar este esbozo con algunas breves indicaciones sobre las razones matemáticas que tiene la utilidad científica de los tensores.

Una transformación funcional operada en las variables de un tensor lo transforma en otro cuyos componentes son funciones lineales homogéneas de los componentes del tensor primitivo. Un tensor, al igual que un vector ordinario, se anula si se invalida alguno de sus componentes, y sólo en ese caso. Una transformación del tipo indicado es geométricamente una transformación general de coordenadas, si se interpretan las variables como coordenadas en un espacio del número adecuado de dimensiones. Se sigue que si un tensor se anula en un sistema de coordenadas, se anula en todos; la homogeneidad es el valor decisivo. Esto equivale a decir que si un sistema de ecuaciones se puede expresar como un tensor que se anula, el sistema será invariante bajo todas las transformaciones de las variables del sistema. Pero ésta es precisamente la condición impuesta por uno de los postulados de la relatividad general a un sistema de ecuaciones, si el sistema ha de ser una representación matemática admisible de una sucesión de acontecimientos observables de la física o de la cosmología.

XVI
EL IMPULSO DE LA CIENCIA

ESTE capítulo sirve de introducción a los seis siguientes en los que describiremos ciertos aspectos típicos de la evolución del análisis desde el siglo XVII al XX. El análisis, quizás con más claridad que el álgebra o la geometría, muestra la influencia constante de la ciencia sobre el progreso general de las matemáticas.

Ya vimos cómo el cálculo debía tanto a la cinemática como a la geometría. Desde la muerte de Newton (1727) hasta el siglo XX la ciencia continuó estimulando la inventiva matemática. De las adiciones subsiguientes a las matemáticas, que tuvieron su origen, al menos en parte, en la ciencia, las más desarrolladas son el vasto dominio de las ecuaciones diferenciales, el análisis de muchas funciones especiales que se presentan en la teoría del potencial y en otros muchos sitios, la teoría del potencial en sí misma, el cálculo de variaciones, la teoría de funciones de variable compleja, las ecuaciones integrales y el análisis funcional, el análisis estadístico y la geometría diferencial. En 1800, el cálculo de variaciones y las ecuaciones diferenciales habían progresado lo suficiente para que se les pudiera reconocer como secciones autónomas, aunque interdependientes, de las matemáticas; el método estadístico era todavía una posibilidad embrionaria de la teoría de las probabilidades; y la teoría de funciones de variable compleja había de esperar todavía un cuarto de siglo hasta que Cauchy la desarrollara sistemáticamente, si bien algunos de los resultados básicos estaban implícitos en las matemáticas aplicadas de Lagrange y de otros del siglo XVIII.

Al examinar cómo creció el rigor desde 1700 a 1900, observamos cómo se afinaba constantemente la precisión de la lógica matemática, y cómo las tentativas para colocar el análisis sobre fundamentos sólidos condujeron, a principios del siglo XX, a una época de confusión, y a sentir la necesidad de razonar cada vez con más sutileza. Dejando por un momento atrás todas las dudas, entramos ahora en una tranquila región en que el fin justifica los medios. El fin es el aumento de los conocimientos científicos, para lo cual las matemáticas no son sino uno de los diferentes medios. Como anteriormente, no nos ocuparemos nada más que de rasgos típicos que ilustren las tendencias generales. En primer lugar hay dos asuntos dignos de mención, quizás por tener un significado más amplio: la influencia de las matemáticas del siglo XVIII sobre la sociedad, y cómo respondió la sociedad a la investigación matemática, especialmente después de la época de Napoleón.

LAS MATEMÁTICAS EN LA EDAD DE LA RAZÓN

La aportación más importante que hicieron las matemáticas del siglo XVIII a la civilización fue un punto de vista racional del universo físico debido principalmente a la astronomía dinámica y a la mecánica analítica.

Asimismo, se ha llamado al siglo XVIII Edad de la Razón, y también Siglo de las luces, en parte porque en ese siglo las ciencias físicas se libraron de la teología. En los 100 años comprendidos entre la muerte de Newton en 1727 y la de Laplace en 1827, la autoridad dogmática sufrió la peor de todas las derrotas de manos de la investigación científica: la indiferencia. Sencillamente dejó de importar, en lo que a la ciencia se refiere, si las afirmaciones de los dogmas eran ciertas o falsas. Al principio del periodo se acostumbraba buscar una explicación teleológica a los principios de la mecánica para ponerlos de acuerdo con la teología ortodoxa de la época; cuando murió Laplace ya se prescindía de esas cosas, que estaban fuera de lugar desde hacía 40 años. Por fin, la mecánica había alcanzado su madurez. La ciencia reveló que la verdad absoluta residía en las matemáticas puras, donde, según algunos, todavía está.

El cambio fue acompañado por la Revolución francesa, iniciada en 1789, y podríamos sentirnos tentados a atribuir la madurez de las ciencias exactas totalmente a esa pronunciada conmoción. Pero la liberación final había tenido lugar el año anterior con la publicación, largo tiempo demorada, de la mecánica analítica de Lagrange. Con ella, por primera vez una obra maestra de las matemáticas y de la ciencia, de primerísima categoría, se mantenía erecta sobre sus propios pies científicos y matemáticos, sin apoyo externo. No se invocaba ningún misterioso espíritu de la naturaleza; en la obra se intentaba describir, no explicar, el comportamiento mecánico de los sistemas materiales.

La traducción libre de unas cuantas frases indicará dos de los aspectos por los que la mecánica de Lagrange difería radicalmente de la de sus predecesores, tanto por la ciencia como por las matemáticas. En su prefacio, escribe Lagrange:

Me he planteado el problema de reducir esta ciencia (la mecánica), y el arte de resolver los problemas relativos a ella, a fórmulas generales, cuyo simple desarrollo dé todas las ecuaciones necesarias para resolver cada problema […] En esta obra no se encontrará ninguna figura. Los métodos que expongo en ella no requieren ni construcciones, ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino solamente operaciones algebraicas (analíticas) sujetas a procedimientos uniformes y normales. Los que gusten del análisis quedarán complacidos al ver cómo la mecánica llega a ser de este modo una nueva rama de aquél, y me quedarán agradecidos por haber ampliado su dominio.

De lo anterior se deduce claramente que Lagrange se dio completa cuenta del significado de lo que había hecho. Las frases siguientes, que son típicas del espíritu de toda la obra, indican cómo comprendía la naturaleza abstracta de la mecánica matemática: “el segundo principio fundamental de la estática es el de la composición de fuerzas. Se funda en la siguiente hipótesis”. Esto es, que los principios de la mecánica se fundan en hipótesis, es decir, en postulados, y no son verdades eternas reveladas a una humanidad que anda a tientas, de mala gana por la generosidad de alguna inteligencia sobrenatural. Un racionalismo matemático y científico como éste es el que justifica las pretensiones que tiene el siglo XVIII a ser llamado Edad de la Razón.

Sin embargo, una claridad mental como la de Lagrange era rara excepción entre los matemáticos y los hombres de ciencia de sus días, y aún de los de más de un siglo después de su muerte, acaecida en 1813. El más eminente contemporáneo de Lagrange en las ciencias exactas, Laplace, muy seguro de sí mismo, se convenció y persuadió a dos generaciones de ávidos filósofos de que la mecánica celeste de Newton era absoluta y eternamente cierta, y sobre esta base intentó establecer la estabilidad eterna del sistema solar.

Casi agresivamente hostil a las pretensiones del viejo absolutismo, Laplace, al querer ser escéptico, sustituyó un dogma por otro. El que casi todos los físicos y muchos filósofos del siglo XIX se vieran sumidos en una grosera filosofía mecanicista se debió, en gran parte, a los éxitos de la mecánica celeste de Laplace y a su exposición, ampliamente popularizada y muy apreciada, de las consecuencias matemáticas de la gravitación de Newton.

También se debió a la mecánica del siglo XVIII la velocidad con que la maquinaria abrumó a la civilización a principios del siglo XIX. En lugar de seguir siendo un servidor particular de la intelligentsia, la filosofía mecanicista compartió inmediatamente sus inestimables beneficios con el proletariado. Centenares de miles de personas a las que Lagrange y Laplace hubieran podido estar dando conferencias durante años sin inculcarles una sola idea fueron convertidos por la precisión muda e infalible de sus monótonas máquinas.

El que una teoría abstracta plenamente desarrollada se presentara en las matemáticas modernas procedente del lado de la aplicación es menos notable de lo que puede parecer a primera vista. La mecánica y la física matemática no tuvieron en general que despojarse de una carga tan abrumadora de tradición como la geometría. La mecánica matemática tenía poco más de un siglo de vida cuando Lagrange vio lo que era. Tan sólo 60 años antes de que Lagrange inventara su mecánica, la obstinada fe de Saccheri en la santidad de la geometría euclidiana lo obligó a prescindir de los impulsos de su esclarecida razón. Posiblemente, si hubiera sido Arquímedes en vez de Galileo y de Newton quien formulara las “leyes” básicas de la dinámica, Lagrange hubiera dudado en calificar los fundamentos de su sistema nada más que de “hipótesis”. Pero los postulados de la mecánica no habían tenido tiempo de fosilizarse en verdades eternas, y Lagrange no se vio tentado a violentar su razón, por lo menos en mecánica. Pero en sus esfuerzos para dar rigor al cálculo basándolo en el desarrollo en series de Taylor, se apegó tanto a la tradición como Saccheri, y quizás por la misma razón. Los problemas de continuidad eran tan viejos como los de la geometría, y se necesitaba la misma intransigencia sobrehumana para burlarse de la tradición avanzando en una dirección totalmente nueva.

El siglo XVIII puede haber sido efectivamente la edad de oro de la razón en filosofía y en general en los asuntos humanos, como se suele pretender. También las ciencias exactas, como acabamos de indicar, se sometieron a la razón en aquel testarudo siglo. Pero en las matemáticas puras hubo un marcado descenso del nivel que se habían impuesto los griegos. Lo más que pudo hacer la razón al enfrentarse a un programa de continuidad fue la curiosa tentativa de Lagrange para dar rigor al cálculo. Ningún matemático griego clásico podía haberse engañado de una manera tan completa como Lagrange, el más grande matemático de su época, y uno de los más grandes de todas las épocas.

El deseo de razonamientos más sólidos en las matemáticas parecía haberse perdido temporalmente. Sólo cuando el rigor lógico era casi inevitable, aun para los no muy competentes, como en los algoritmos finitos y en las matemáticas combinatorias, hubiera sorprendido a Eudoxio y a Arquímedes la clase de razonamiento que satisfacía a los matemáticos más sobresalientes de la llamada Edad de la Razón. Sin embargo, Arquímedes, que no era matemático, sino mecánico de primera fila, era el ídolo de Lagrange. Quizás tenga algún significado el que Lagrange, de toda su inmensa obra, lo que menos estimara fueran sus aportaciones a la teoría de números, en que sin una demostración rígida, aun para los teoremas en apariencia más evidentes, no hay nada. Éstos habían exigido que pusiera a contribución sus mayores esfuerzos, y dudaba si había merecido la pena. La historia no dice nada de si Arquímedes estimó más su mecánica práctica que su medición de la esfera.

ESTÍMULOS SOCIALES POSTERIORES A LA MUERTE DE NEWTON

La transición desde lo sobrenatural a lo racional en las ciencias exactas no tuvo lugar en un vacío social. De las varias hipótesis que existen para explicar la adoración a la razón matemática en la época posnewtoniana, la más elástica es la del determinismo económico. Expresada en pocas palabras es que toda obra sobre mecánica celeste y analítica la provocaron las exigencias de la navegación y de la balística. Sin embargo, todo el que se interese puede buscar en las obras técnicas de Laplace y de Lagrange sobre mecánica sin encontrar ni una sola referencia a la navegación o a la artillería. Esto no demuestra nada en contra de la tesis de que el impulso inicial a la mecánica del siglo XVIII pudiera haber sido conveniencia mercantil de un almanaque náutico de confianza, y la necesidad militar de dar con la bala a aquello que se apunta. Simplemente ilustra el hecho comprobable de que una vez iniciada una teoría matemática, cualquiera que sea su origen, tiene tendencias por una especie de inercia intelectual a hacerse abstracta, sin aplicaciones a la vista. Veremos muchos ejemplos de esto al seguir adelante. Por ejemplo, la teoría del potencial, a pesar de su origen mecánico, hace tiempo que dejó de tener, en las secciones que interesan a los matemáticos profesionales, importancia perceptible para la ciencia o la tecnología. Esas cuestiones complicadas quizás lleguen a tener utilidad práctica mañana, pero sólo podrá haber una aplicación en su origen si se invierte el curso del tiempo y la evolución cambia de sentido.

Lo mismo ocurre con el cálculo de variaciones, excepto por el hecho de que en este caso fue la teología en vez de la ciencia del siglo XVIII la que estuvo en su origen. De Maupertuis (francés, 1698-1759) propugnó en 1747 una forma algo oscura del principio mecánico del mínimo esfuerzo porque atribuía a su parsimoniosa deidad la aversión a todos los esfuerzos o despilfarros evitables. Esto se puede interpretar como determinismo no económico, sino teológico, a menos que, como algunos pueden argumentar, la teología estaba determinada económicamente del mismo modo que la balística.

También Fermat, al afirmar que “la naturaleza siempre sigue el camino más corto”, había ido más allá de los fenómenos observables al deducir su principio óptico del tiempo mínimo. Pero Newton no forjó ninguna hipótesis superflua al determinar (1687) la superficie que ofrece menos resistencia al movimiento en la dirección del eje cuando está sumergido en un medio resistente. Si el problema de Newton no se hubiera propuesto hasta nuestros días, se hubiera atribuido quizás al determinismo económico, a causa de su posible aplicación a los torpedos marinos, que todavía no se habían inventado en la retrasada época de Newton. Sin embargo, en realidad, el problema se ha atribuido al consejo que dio Newton de joven, a otro amigo suyo también joven, para que éste estudiara balística. De éste y de otros numerosos ejemplos que se podrían citar, parece deducirse claramente que la verdad de una teoría sociológica, cuando se estira para que abarque a todas las matemáticas, puede a veces variar en proporción inversa a su grado de elasticidad.

La realidad parece ser que si los matemáticos del siglo XVIII se sentían impulsados por algo menos patente que el deseo de hacer matemáticas y el de ganarse la vida siguiendo sus inclinaciones, no se dieron cuenta de ello. Las condiciones bajo las cuales trabajaron los grandes creadores fueron fundamentalmente diferentes de las de los siglos XIX y XX. Si hay que buscar un motivo económico, quizás pudiera encontrarse éste en la política interior y exterior de Federico el Grande de Prusia (1712-1786), Catalina la Grande de Rusia (1729-1796), los reyes de Cerdeña, Luis XVI de Francia (1754-1793) y Napoleón Bonaparte (1769-1821). Las evidentes exigencias de la ingeniería civil, naval y militar hicieron imperativo el desarrollo de las matemáticas, y aquellos gobernantes fueron suficientemente perspicaces para ver que la manera más sencilla de conseguir que un matemático produzca matemáticas es la de pagarle sus gastos. En diferentes fases de su carrera, Euler fue agregado a las cortes de Catalina y de Federico; de manera análoga, Lagrange fue mantenido por la Academia de Turín, que recibía sus subsidios del gobierno, por una escuela militar relacionada con aquélla, y posteriormente por Federico, Luis y Napoleón. Daniel Bernoulli, del que se suele decir que es fundador de la física matemática, estaba empleado con Catalina. Monge y Laplace fueron empleados de varios gobiernos franceses sucesivos en puestos que comprendían desde la ingeniería militar y la formación de ingenieros del gobierno a asuntos públicos, y lo mismo se puede decir de Fourier y de otros muchos matemáticos menos distinguidos. Pero antes de la era napoleónica, una vez que esos hombres habían aconsejado a las personas que los empleaban sobre las cuestiones técnicas, por lo general sencillas, que se les proponían, quedaban libres para emplear su tiempo como quisieran. En consecuencia, se creó una enorme cantidad de matemáticas sin aplicación perceptible. El que gran parte de ellas demostraran tener valor práctico años o décadas más tarde no altera el hecho de que el impulso no fue económico. Todo esto fue impreso con el resto, en gran parte a costa de los gobiernos, en las cartas de las academias subvencionadas. Hasta la era napoleónica, las sociedades científicas eran las entidades más importantes que publicaban las investigaciones matemáticas.

Al surgir en 1789 las “Libertad, Igualdad, Fraternidad” francesas, se inició una rápida democratización de la investigación matemática. En tiempos de Napoleón, los matemáticos franceses más eminentes se ganaban la vida ayudando a instruir a ingenieros civiles y militares en la Escuela Politécnica. Otros enseñaban a futuros maestros en la Escuela Normal Superior. Tampoco en este caso tuvo valor práctico inmediato la mayor parte de las matemáticas nuevas que produjeron los más sobresalientes, y ni siquiera se emprendió con vistas a sus posibles aplicaciones. Sin duda que en parte esta liberalidad se debió a Napoleón. Él se contentaba con que las escuelas le proporcionaran constantemente empleados públicos competentes e ingenieros expertos que cubrieran las frecuentes vacantes que son de esperar en un régimen militar. Unos de los matemáticos compilaron excelentes libros de texto para los estudiantes; otros preparaban cuidadosamente las pocas conferencias que daban por semana, y casi todos investigaban en el abundante tiempo que les quedaba libre. La situación era en cierto modo parecida a la de unas cuantas de las mejores universidades europeas y americanas del siglo XX.

El siguiente y último cambio importante en la situación social de las matemáticas y de los matemáticos se remonta a la década 1816-1826, siguiente al fin de la era napoleónica en 1815. Las universidades y escuelas técnicas adquirieron rápidamente importancia como centros de investigación matemática; las sociedades científicas ya no podían, por razones financieras, ocuparse del torrente de matemáticas nuevas que emanaba de un centenar de fuentes, y lo que es más importante, lo que se hizo asunto de todo el mundo ya no lo era de nadie.

Entonces, diga lo que se quiera de la democracia, ha fomentado la libertad individual de los matemáticos. En ninguna democracia se ven los matemáticos obligados a crear matemáticas a expensas del gobierno. Todos se ganan la vida como prefieren, y encuentran el tiempo que pueden para proseguir con su afición. Tampoco se seduce a los matemáticos como clase imprimiendo sus trabajos a expensas del gobierno, aunque no los pueden patentar ni los protege el derecho de autor sino que los puede utilizar todo el mundo gratuitamente. En los Estados Unidos las universidades más liberales subvencionan las publicaciones de su personal.

La mayoría de las personas cultas admite que sería imposible la existencia de una civilización tecnológica y científica sin matemáticas. Aparentemente la manera más eficaz de hacer lo que hay que hacer es dejarlo a la iniciativa del individuo para que le dedique parte de su tiempo después del más o menos agotador trabajo cotidiano. Quizás sea inesperado que el resultado haya sido una producción de matemáticas enormemente aumentada desde fines de la época napoleónica sobre todo lo que registra la historia anterior.

El estímulo más fuerte ha sido la demanda constantemente creciente de instrucción científica y tecnológica para no quedarse atrás del resto de la moderna civilización, y el enorme aumento de medios para publicaciones matemáticas desde que el ingeniero alemán Crelle (1780-1855) en 1826 subvencionó la primera revista matemática de alta calidad. En 1940 había unas 280 revistas[1] de este tipo dedicadas por entero o en parte a la publicación de investigaciones matemáticas, y la presión de las fuentes de producción aumentaba firmemente. Pocas de esas publicaciones subsistirían durante dos meses si se vieran obligadas a sostenerse económicamente por sí mismas en nuestra sociedad competitiva. Las mantiene toda la fraternidad matemática sin distinción de raza, nacionalidad o fe religiosa. El matemático del tipo medio se suscribe a tantas como le permiten sus posibilidades económicas, aunque tan sólo queden dentro de su comprensión muy pocos de los artículos altamente técnicos que se imprimen al cabo del año.

Sería muy difícil explicar este curioso fenómeno basándose en el aspecto estrictamente económico. La mayoría de los suscriptores no hace investigaciones personales; por tanto, lo que explica esas altruistas suscripciones no puede ser en modo alguno indirectas corteses de los superiores para que cubran con el brillo de la notoriedad a las personas que los emplean haciendo que sus nombres aparezcan en letras de imprenta. Tampoco puede estar de acuerdo el lector matemáticamente culto que ojee los resúmenes analíticos de la investigación actual en que haya un porcentaje considerable de artículos, de los que se imprimen por centenares todos los meses, que estén inspirados en necesidades económicas o de otro tipo práctico.

Varios miles[2] de revistas dedicadas a la ingeniería y a otras ciencias exactas se ocupan de las aplicaciones inmediatamente prácticas de las matemáticas. Pero ésas no son las revistas a las que se suscriben los matemáticos. Muchas de esas revistas más prácticas se mantienen por sí solas en medio de la competencia del mercado. Quizás en esto radique el núcleo de la distinción entre las matemáticas puras y las aplicadas.

Al estudiar la influencia de la ciencia sobre las matemáticas, hay que recordar que las matemáticas y sus aplicaciones son cosas muy diferentes. Por ejemplo, un tratado o una monografía de física matemática puede no ser sino una masa de fórmulas y de ecuaciones desde el principio al fin, y sin embargo, no aportar absolutamente nada a las matemáticas. Si bien ello no resulta evidente en términos generales, los casos extremos como la contabilidad o el cálculo de las funciones características de la mecánica cuántica pueden servir para demostrar la distinción. Para ayudar aún más a comprender, diremos que es casi seguro que de un centenar de personas elegidas al azar en las calles de Nueva York, Chicago, Londres, París, Moscú, Tokio, probablemente ni siquiera una conozca el nombre de aquel a quien los matemáticos profesionales consideren casi unánimemente como miembro más eminente de su gremio desde aproximadamente 1912. Murió inactivo en 1943, pero tiene asegurada la fama aunque el hombre medio de la calle (o de la sociedad culta) probablemente nunca oirá hablar de él. De 100 000 personas elegidas al azar, muchos mencionarán al instante el nombre de un físico teórico que muy recientemente lo califiquen de matemático.

XVII
DE LA MECÁNICA A LAS VARIABLES GENERALIZADAS

DE TODAS las ciencias exactas, la mecánica, la más sencilla, ha sido probablemente la que más ha influido en el desarrollo de la matemática moderna. La cantidad de matemáticas conocidas que se aplica en una ciencia no es una medida de la importancia que esa ciencia tenga en la evolución matemática; lo único que pesa son las matemáticas nuevas que se hayan inspirado en esa ciencia particular.

Así, por ejemplo, en los primeros 20 años de su existencia (1925-1945), la mecánica cuántica hizo uso de una enorme cantidad de matemáticas desde las funciones especiales al álgebra moderna, pero no sugirió esencialmente ningunas matemáticas nuevas.[1] Por el contrario, la relatividad general, que descansó con menos fuerza en las matemáticas, originó directamente la dirección que tomó la geometría diferencial a partir de 1920. Esta reciente geometría se podía haber desarrollado casi 40 años antes. Así, se disponía de toda la técnica necesaria, pero hasta que el éxito de la relatividad mostró que el espacio de Riemann y el cálculo tensorial tenían interés más que matemático, los geómetras no se dieron cuenta de lo que habían estado pasando por alto en geometría diferencial.

Antes de examinar el origen mecánico de ciertas partes del análisis, daremos unos breves resúmenes de los progresos realizados en mecánica en los siglos XVIII y XIX, a los que se pueda deber algo de matemática.

LA INVESTIGACIÓN DE LOS PRINCIPIOS DEL CÁLCULO DE VARIACIONES

Uno de los objetivos de los mecánicos del siglo XVIII fue la invención de principios a partir de los cuales se pudieran deducir las mecánicas de Galileo y de Newton, así como desarrollar las matemáticas adecuadas para esa deducción. Los principales resultados matemáticos fueron el cálculo de variaciones, una vasta teoría de ecuaciones diferenciales, una colección heterogénea de funciones especiales, los comienzos de la teoría de las integrales de línea, superficie y volumen; algo más que una indicación de los espacios n dimensionales,[2] los orígenes de la teoría del potencial, y ciertos resultados fundamentales de lo que posteriormente había de ser teoría de funciones de variable compleja.

El primer principio amplio de mecánica posnewtoniana fue el de d’Alembert, publicado en su Traité de dynamique (1743): las acciones y reacciones internas de todo sistema de cuerpos rígidos en movimiento se equilibran. O como se suele expresar: en un sistema mecánico, las fuerzas efectivas de reacción, y las fuerzas que se imprimen, se equilibran.

Como suplemento a los principios de Newton de conservación de la cantidad de movimiento y del centro de gravedad, Euler y Daniel Bernoulli (1700-1782) enunciaron independientemente (1746) el principio de conservación de las áreas, todo lo cual anunciaba el concepto invariancia.

La Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (1736) de Euler estaba a mitad del camino entre la mecánica puramente geométrica y sintética de los Principia (1687) de Newton y la Méchanique analytique (1788) de Lagrange. Euler trató de remplazar los métodos sintéticos por el análisis, y en gran parte le acompañó el éxito. Sin embargo, todavía se empleaba la intuición geométrica visual, como en la descomposición en componentes tangencial y normal del movimiento curvilíneo. De esta forma se originó una buena parte de los trozos sueltos de geometría de las curvas y de la superficie que embellecen los textos anticuados de cálculo bajo el amplio título de “aplicaciones geométricas”. Posiblemente también se deba a la mecánica la geometría diferencial clásica y la geometría intrínseca de las curvas.

Maclaurin (escocés, 1698-1746) dio un gran paso hacia un método general en su Complete system of fluxions, 1742, y llegó más allá que Euler al utilizar tres ejes fijos para la descomposición de fuerzas. La ventaja que tiene el método de Maclaurin sobre el de Euler es comparable con el uso que hizo Descartes de un sistema de coordenadas para representar un número cualquiera de curvas. Pero todavía hacían falta artificios especiales para hacer la formulación matemática de los dos tipos de problemas.

Al introducir Lagrange en 1760 sus coordenadas generalizadas se separó de la simple inventiva y se dirigió hacia las ecuaciones generales del movimiento en las que basó su mecánica analítica de 1788. Entonces se obtenían las ecuaciones de movimiento de un sistema dinámico holónomo, de una forma adaptable a las coordenadas especiales que resultaran más convenientes para cada problema particular. La distinción entre sistemas holónomos y sistemas alónomos puede servir para ilustrar ciertos conceptos mecánicos a los que en parte se debió el cálculo de variaciones en su forma primitiva.

Para describirlos, será necesario emplear los desplazamientos arbitrarios infinitésimos con cuya ayuda se suele razonar frecuentemente en matemática aplicada. No es fácil dar una explicación matemáticamente sólida del operador variacional[3] δ y de los desplazamientos infinitésimos que conducen a resultados útiles antes de desaparecer finalmente de los cálculos; incluso hay una escuela extremista que preconiza abandonar el sistema de deducir las ecuaciones dinámicas por esos medios. Más de acuerdo con las ciencias modernas sería el enunciar las ecuaciones generales de movimiento como postulados, ya que la única función que desempeñan es la de enunciar matemáticamente los problemas dinámicos, para lo cual bastan las ecuaciones en sí. Su deducción, valiéndose de razonamientos más o menos místicos que se remontan a la antigua Grecia y a la Edad Media, tiene interés puramente histórico y no contribuye nada a una mejor comprensión ni tiene ninguna utilidad. Sin embargo, como esos vestigios de una manera antigua de pensar todavía sirven de algo en la mayor parte de las matemáticas aplicadas, seguiremos la tradición, aunque ahora los rigoristas dicen que no tienen fundamentos sólidos, y los modernistas de la física teórica, que no tienen ningún significado.[4]

La configuración de un sistema dinámico, al que se considera compuesto de partículas materiales sujetas a ligaduras (como la de que todas las partículas no se puedan mover más que sobre superficies dadas) y condiciones geométricas (como la de que la distancia entre dos puntos cualesquiera dados de un cuerpo rígido sea constante) está determinada en el tiempo t por n coordenadas q₁, q₂, …, qn en que n es finito. Si, por ejemplo, las cordenadas cartesianas de la partícula r en el tiempo t son xr, yr zr, el sistema está determinado por 3m ecuaciones

xr = fr(q₁, …, qn), | yr = gr(q₁, …, qn),
zr = hr(q₁, …, qn); | r = 1, …, m.

Demos un incremento infinitesimal arbitrario a cada una de las coordenadas generalizadas q₁, …, qn; llamémosle a los incrementos δq₁, …, δqn. No es necesario un desplazamiento físicamente posible del sistema que corresponda a δq₁, …, δqn; si lo hay se dice que el sistema es holónomo; si no lo hay, que es alónomo. Entonces, se dice que un sistema holónomo determinado por q₁, …, qn tiene n grados de libertad.

Ahora ya podemos formular las ecuaciones de Lagrange para un sistema con n grados de libertad para el cual exista[5] una función potencial.

Designando las derivadas de q₁, … qn respecto de t por q₁, … qn, y la diferencia T−V entre la energía cinética T y la energía potencial V, del sistema por L, las ecuaciones del movimiento son

L recibe el nombre de función de Lagrange o potencial cinético del sistema.

Lo que tiene interés histórico en este caso es el “desplazamiento pequeño” (δq₁, …, δqn) de (q₁, …, qn). Siguiendo un camino que no necesitamos volver a recorrer por ser su interés más bien mecánico que matemático, el origen de (δq₁, … δqn) está en los desplazamientos virtuales que usaron en estática Stevinus, Descartes y otros. Los desplazamientos virtuales maduran plenamente en el principio de los trabajos virtuales, que fue una de las claves que guió a Euler y Lagrange a la mecánica analítica. Una interpretación extraodinariamente generosa de las discusiones mecánicas antiguas y medievales ha permitido a algunos eruditos percibir evasivas indicaciones del método de los trabajos virtuales desde esa época hasta la de los filósofos griegos. Evidentemente, los desplazamientos virtuales, las velocidades virtuales y los trabajos virtuales están en la dirección general del cálculo de variaciones. El siguiente paso de importancia que dio la mecánica analítica siguió esta dirección; redujo las matemáticas de la estática y de la dinámica a un simple tema del cálculo clásico de variaciones.

El enunciado de varios teoremas mecánicos de los siglos XVII y XVIII sugirió a Euler que todos los fenómenos naturales presentan extremos, y que los principios físicos, incluyendo los de la mecánica, deberían poderse expresar refiriéndolos a máximos y mínimos. Por ejemplo, Huygens había demostrado que el principio óptico de Fermat del tiempo mínimo es también válido para medios cuyo índice de refracción varíe continuamente de un punto a otro; Jaime y Juan Bernoulli habían encontrado que la catenaria es el arco de longitud fija que pasa por dos puntos fijos, y que tiene el centro de gravedad más bajo; el problema de Juan Bernoulli (1696) de encontrar la curva[6] de más rápido descenso, bajo la acción de la gravedad, desde un punto fijo a otro situado en el mismo plano vertical, había sido correctamente resuelto por L’Hôpital, Leibniz, Newton, Jaime Bernoulli y por el mismo Juan; y, finalmente, Euler había buscado una función cuya variación igualada a cero diera las ecuaciones diferenciales de la dinámica. El ingenioso Euler observó que para una sola partícula, si la velocidad v está dada como función de las coordenadas de la partícula, las ecuaciones deseadas se obtienen hallando el mínimo de ∫v ds, en que ds es un elemento de la trayectoria a lo largo de la cual se mueve la partícula. Expresándolo de otro modo, las ecuaciones del movimiento se hallan al determinar la variación δ ∫v ds e igualando el resultado a cero. De este modo Euler se vio conducido a encontrar el mínimo de integrales definidas en que el integrando de la forma f(x, y) (1 + y′²)1/2, y′ ≡ dy/dx, y la integración es respecto de x.

Asimismo, es de notar que Euler, guiado por la intuición, buscó mínimos para expresar “leyes” naturales, quizás porque su mentalidad fuera tan sobria como la de Maupertuis. Pero Jacobi, en sus conferencias de dinámica (editadas en 1866), produjo un problema de mecánica casi trivial en el que la acción es un máximo. Por consiguiente se acostumbra hablar de valores estacionarios de integrales definidas para la expresión de leyes físicas, en vez de prejuzgar, esperando un mínimo, y se dice que una integral definida cuya variación se anula representa un valor estacionario. La anulación de la variación no es suficiente para obtener un máximo o un mínimo, aunque en muchas situaciones físicas es evidente por otros motivos que así ha de ser, y raramente es necesario hacer ninguna otra cosa. Pero la ciencia moderna exige a veces algo más que agudas previsiones en lo relativo a las extremales. Así, en 1939, Tolman encontró un problema fundamental de astrofísica para el cual la intuición científica parecía insuficiente, y para el que por lo menos eran de alguna ayuda las técnicas más refinadas del cálculo de variaciones.

El proyecto de Euler fue completado en 1834-1835 por Hamilton, que demostró la posibilidad de obtener las ecuaciones dinámicas partiendo de un sencillo principio estacionario, que para los sistemas conservadores es en que t₀ y t₁, son los tiempos inicial y final del paso de un sistema dinámico con potencial cinético L de una configuración dada a otra. El equivalente expresado con todas sus letras es el siguiente. De todos los movimientos posibles para que un sistema dinámico pase en un tiempo dado de una configuración dada a otra, el que se verifique será aquel para el cual el valor medio del potencial cinético sea estacionario. El equivalente analítico del “posible” es el proceso de variación, que se desarrolló, por lo menos en mecánica, partiendo de los desplazamientos virtuales. Hamilton también dio un principio de variaciones para los sistemas no conservadores.

Los principios de variaciones de la mecánica no se han agotado ni mucho menos con los indicados. Así, por ejemplo, Gauss (1829) volvió a formular, generalizándolo, el principio de d’Alembert, en otro suyo menos restringido; y el principio de Hamilton, y el de la acción mínima fueron ampliados poco después de 1890 a los sitemas alónomos. En su Die Prinzipien der Mechanik (1894), Hertz (alemán, 1857-1894) refundió la materia basándola en imágenes geométricas. Con el desarrollo de la geometría métrica diferencial para espacios de n dimensiones en la segunda mitad del siglo XIX, fue aparentemente inevitable que los principios estacionarios de la dinámica habían de ser enunciados nuevamente como el lenguaje de las geodésicas. Pero aquí, como en todas partes después de Lagrange, lo conseguido fue más bien de tipo científico que matemático, en que nuevas técnicas de la geometría y del análisis sugirieron nuevas formulaciones de la mecánica. La teoría de Lie de las transformaciones de contacto fue también elaborada por su interés matemático mucho antes de aplicarla (1889) para unificar las ecuaciones diferenciales de los sistemas dinámicos, aunque las relaciones entre la dinámica y las transformaciones de contacto estaba ya implícita en la obra de Hamilton de 1834-1835. Lo mismo parece ser cierto para los invariantes integrales de Poincaré (1890) y de los métodos topológicos que él fue el primero en aplicar a la dinámica y que posteriormente han sido extensamente desarrollados por un prolífico grupo de matemáticos puros.[7] Sin embargo, los últimos pasos, lo que en definitiva originaba matemáticas[8] eran problemas sobresalientes de la astronomía dinámica, como el de los tres cuerpos que se atraen mutuamente, según la gravitación de Newton.[9]

Ya hemos dicho bastante para sugerir que en la mecánica se originó gran parte del cálculo de variaciones. Antes de pasar a resumir el desarrollo de esa rama del análisis, podemos dar una ojeada a la importancia científica de los principios de las variaciones (estacionarios) en general.[8]

La opinión de los expertos es muy contradictoria. Unos, siguiendo la tradición de Maupertuis, Euler y sus predecesores, creen ver profundidades cósmicas en la deducción de las ecuaciones de Lagrange partiendo de principios de variaciones. Las profundidades no son teológicas como en el siglo XVIII, sino que se refieren a exigencias no comprendidas del universo físico. Por consiguiente, se pretende que se ha hecho un avance científico verdadero, aunque no del todo comprendido, cuando se demuestra que las ecuaciones diferenciales de una teoría física se pueden obtener valiéndose de un principio de variaciones, como hizo, por ejemplo, Hilbert en las primeras fases de la relatividad general.

Otros mantienen que los principios del cálculo de variaciones son insuficientes para añadir a la ciencia nada que no se supiera ya en una forma mejor adaptada al cálculo. Para éstos, los principios del cálculo de variaciones en la ciencia son cuando mucho una manera concisa de enunciar historia más o menos antigua, y que podrían ser útiles por ser fáciles de recordar si todos los hombres de ciencia se olvidaran súbitamente de las matemáticas que utilizan para obtener resultados que se puedan comprobar por la observación. Además, dicen éstos que el matemático puro moderno de tipo medio, cuando intenta aportar algo a la ciencia y no tiene facultades para ello, lo que hace es formular de nuevo una ciencia valiéndose de un principio del cálculo de variaciones.

Los observadores menos extremistas ocupan una posición media, señalando que si los físicos hubieran examinado a fondo la dualidad de la dinámica y de la óptica de Hamilton, en la que se demostraba la interrelación de los principios del tiempo mínimo y de la acción mínima, hubieran hallado las ondas de Broglie y la mecánica ondulatoria de Schrödinger aproximadamente 90 años antes de lo que se encontraron. Pero esto forma parte de la evasiva metafísica de lo que podría haber sido, y no se puede considerar como un indicio prometedor para el futuro.

Quedan, pues, nada más que los dos extremos sin nada sustentable entre ellos. Sus respectivas creencias reflejan las de los partidos correspondientes de la matemática. Los discípulos de Maupertuis favorecerían un concepto de las matemáticas según el cual se las considerase verdades eternas y necesarias; sus contrarios las consideran solamente como un lenguaje creado por el hombre y adaptado a fines definidos prescritos por los seres humanos. Es cuestión de preferencia individual el atribuir más valor a una que a otra.

LAS FUNCIONES COMO VARIABLES

Los problemas de máximos y mínimos del cálculo diferencial buscan los valores de las variables independientes para los cuales se hace máxima o mínima una función dada. Las variables representan números reales.

En el cálculo de variaciones se necesita determinar una o más funciones incógnitas de modo que una integral definida dada en la que figuran esas funciones adquiera valores máximos o mínimos. En este caso las variables son funciones. El ejemplo más sencillo es el de encontrar la curva de menor longitud entre las que unen dos puntos fijos (x₁, y₁), (x₂, y₂). Todas las infinitas curvas y = f(x), x₁ ≦ x ≦ x₂ que unen los dos puntos satisfacen las condiciones en los extremos y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂). Más corto será el que (o los que, si es que hay varios) de entre todos estos infinitos haga mínimo a en que y′ representa a dy/dx.

En este caso la solución es intuitivamente evidente, y por lo tanto sospechosa. También es “evidente” que la curva plana cerrada de longitud dada que encierra una superficie máxima es la circunferencia; lo mismo ocurre con la esfera como superficie de área dada que encierra un volumen máximo. Pero por muy “evidentes” que fueran estos dos teoremas, los geómetras[10] griegos intentaron demostrarlo por geometría elemental. Descontando la leyenda de la reina Dido y de su piel de toro,[11] son esos problemas isoperímetros de los antiguos, los primeros relativos a máximos y mínimos que se han resuelto rigurosamente sólo mediante el cálculo de variaciones. Las soluciones no se encontraron hasta la segunda mitad del siglo XIX.

Los programas mecánicos más sencillos de los siglos XVII y XVIII, relativos a mínimos, como el de la braquistocrona[12] no son intuitivos, pero quedan dentro del alcance del ingenio geométrico. En 1697 resolvió Juan Bernoulli el problema de la braquistocrona muy elegantemente por artificios especiales sin emplear nada más avanzado que una integración. Su hermano Jaime lo sobrepasó con mucho en el mismo año con su método nada elegante pero más general para resolverlo, aplicable a una clase muy amplia de problemas. El mérito señalado de Jaime Bernoulli[13] fue el de reconocer que el problema de seleccionar entre una infinidad de curvas una que tenga una propiedad de máximo o mínimo dada era de un género nuevo, no reducible al cálculo diferencial, y que requería inventar métodos nuevos. Éste fue el origen matemático del cálculo de variaciones.

El desarrollo de la materia es muy detallado e intrincado, especialmente en la época reciente, y nosotros no podemos darle más que un razonamiento que baste para indicar el papel que ha desempeñado el cálculo de variaciones en el desarrollo del análisis moderno. Por ser intrínsecamente más difícil que algunas de las otras secciones importantes del análisis, como la teoría clásica de funciones, el cálculo de variaciones ha atraído relativamente a pocos especialistas. Pero los que se han interesado principalmente en él parece que han sido prolíficos en exceso.

Por lo que a nosotros respecta, los puntos de mayor interés son la lenta aparición del nuevo cálculo como sección independiente del análisis; se interesa tan sólo incidentalmente por los problemas mecánicos y geométricos en que se originó, y los progresos hacia una teoría de funciones de una infinidad no numerable de variables. El cálculo de variaciones en sí no se ocupa de esta última, pero las curvas mínimas de la teoría sugieren una infinidad de variables en dos aspectos. Una extremal (arco de curva máximo o mínimo) sujeta a condiciones dadas en los extremos es un miembro de una infinidad de arcos variables; el arco en sí es un conjunto infinito de puntos. Estas indicaciones parecen haber sido las que en parte originaron la teoría de funciones de línea (“funcionales”) y la geometría de los espacios de una infinidad de dimensiones.

A grandes rasgos, el proceso se compone de seis fases. La primera va desde el último decenio del siglo XVII hasta 1740 aproximadamente, siendo típico de ella la obra de los Bernoulli. La segunda se inició en 1736 con la ecuación diferencial de Euler[14] que da la condición necesaria de mínimo para una curva. En 1744 Euler dio una exposición sistemática de su método, que necesitaba revisión.

Abandonando el modo semigeométrico de abordar el problema de Euler, Lagrange (1762-1770) pasó a la tercera fase con un método analítico que proporcionaba las ecuaciones diferenciales de las curvas mínimas; introdujo el operador variación y desarrolló su algoritmo simplificando y ampliando la mayor parte de la obra de sus predecesores. Con Lagrange, el cálculo de variaciones llegó a ser una gran rama autónoma del análisis.

La cuarta fase, 1786-1837, empezó con Lagrange, el que investigó la segunda variación de una integral para encontrar criterios de distinción entre máximos y mínimos. Esto era análogo al uso de la segunda derivada para los mismos fines en problemas de máximos y mínimos solubles por el cálculo diferencial. Los criterios de Legendre no daban resultados concluyentes; Jacobi (1837) criticó el análisis de Legendre discutiendo los casos que condujeran a los fines deseados, y los casos en que no era así. De este modo, Jacobi llegó a la interpretación geométrica de su propio criterio basado en el punto conjugado[15] que él definió.

Durante 40 años, que es mucho tiempo en la matemática moderna, después de los progresos de Jacobi no hubo ninguno de importancia. Pero el análisis estaba sufriendo mientras tanto una revisión fundamental. Weierstrass, “el padre del análisis moderno”, estaba transformando las matemáticas de continuidad en un sistema lógico y rígido que se parecía muy poco al análisis intuitivo de la mayoría de sus predecesores. Sus conferencias[16] de 1879 en la Universidad de Berlín sobre el cálculo de variaciones señalan el comienzo de la quinta etapa. Con una indiferencia casi gaussiana por la fama, Weierstrass se contentó con explicar su revisión de la teoría; y aunque sus trabajos no se imprimieron durante su vida, influyeron profundamente sobre todo el desarrollo futuro a través de las investigaciones y las enseñanzas de sus alumnos. De estos últimos puede mencionarse especialmente aquí a Bolza (alemán, 1857-1942), a cuyas conferencias durante varios años en la Universidad de Chicago se debe la escuela americana muy productiva en el cálculo moderno de variaciones. Bolza asistió a las conferencias de Weierstrass de 1859.

Además de rigorizar todo el tema, tal como existía en su tiempo, Weierstrass hizo extensas adiciones propias. A él se debe una nueva condición de suficiencia y las primeras pruebas aceptables de suficiencia, para las cuales inventó sus campos de extremos. Para la interpretación geométrica de ese análisis usó las ecuaciones paramétricas de curvas, con lo que se aumentó la generalización. Este paso posiblemente lo sugirió su análogo en la geometría diferencial, que había sido corriente desde que Gauss (1827) hizo un uso extenso de él en su estudio de las superficies y se remonta aún más atrás, hasta las coordenadas generalizadas de Lagrange en la dinámica como funciones de tiempo; pero Weierstrass fue el primero en aplicarlas al cálculo de variaciones.

El periodo de Weierstrass duró hasta entrado el siglo XX. Sus patrones de rigor persistieron a medida que el análisis moderno abordó problemas de creciente generalización. Además se hicieron notables aplicaciones a la geometría diferencial en la década de 1890, como por ejemplo, en los trabajos de Darboux en geodesia, después generalizados por varios otros. La sexta etapa data de 1849-1900, empezando con la prueba de Hilbert de su condición de diferenciabilidad para un arco mínimo, asegurando en muchos problemas la existencia de un extremo y su explotación de la integral invariante a la que después se dio su nombre. Finalmente, en 1921-1923, L. Tonelli (italiano, 1885-¿?) abrió un nuevo capítulo, procediendo de la obra de Hilbert a una revisión que concernía principalmente a los teoremas de existencia, de todo el cálculo de variaciones.

Los individuos cuyos nombres se han mencionado no son, por supuesto, los únicos cuyos trabajos han creado el cálculo de variaciones; ni son los pocos adelantos expuestos una medida adecuada de la rica complejidad de esta sutil sección del análisis. Docenas de individuos han contribuido con centenares de teoremas, hasta que aquí como en otras partes de la matemática moderna lo que era una especialidad limitada a principios del siglo XIX empezó a dividirse en el siglo XX en especialidades aún más limitadas, y cada una con su cuerpo de cultivadores asiduos. Sólo un experto que haya dedicado su vida de trabajo al tema puede comprender su totalidad o estimar la vitalidad de sus diversas subsecciones. Lo propio puede decirse de cualquier departamento importante de las matemáticas modernas; y es natural que cualquier estudio breve de un tema particular sólo muestre algunas de las características más salientes.

En el desarrollo del cálculo de variaciones se observan las mismas características generales que en el resto de las matemáticas recientes, con una posible diferencia: algunos de los problemas más difíciles aparecieron pronto y fueron parcialmente resueltos por hombres ingeniosos que no podían tal vez darse cuenta de lo difíciles que eran. Por lo demás, el progreso desde problemas especiales a otros más completos o menos restringidos siguió el patrón familiar de generalización con un rigor creciente. En lugar de problemas concernientes a arcos con puntos terminales fijos, se estudiaron problemas con puntos terminales variables, siendo el más antiguo el de James Bernoulli (1697) de la curva de descenso más rápido bajo el impulso de la gravedad desde un punto fijo a una línea recta vertical fija, que es un problema con un punto terminal variable. La generalización en otra dirección procedió por la modificación del integrante en la integral definida para reducirla al mínimo. Un tercer tipo de generalización combinaba los tres primeros, superponiendo condiciones terminales generalizadas a la función que había que reducir al mínimo. Una generalización muy importante de esa clase fue la de Bolza, de 1913, que incluía varios problemas famosos como casos especiales, entre ellos el de Lagrange de 1770 y el de A. Mayer de 1878. Desde 1920 aproximadamente, la máxima actividad en esta dirección ha tenido lugar en los Estados Unidos; en realidad, poco después de 1900 el cálculo de variaciones se convirtió en un campo favorito de investigaciones entre los matemáticos americanos, entre los cuales se distinguieron por su actividad Bliss (1876-…) y sus muchos discípulos, y Morse (1892-…).

Si bien no podemos detenernos a examinar problemas especiales, sí nos vamos a permitir mencionar uno en mérito a su interés histórico: el problema de Plateau (belga, 1801-1883) (1873), propuesto primero por Lagrange, de averiguar la superficie de área mínima con límites dados, resuelto físicamente por la película de jabón que abarca un modelo de alambre de los límites. La solución matemática completa sólo fue dada en 1931 por J. Douglas (Estados Unidos, 1897-…).

En el cálculo de variaciones hemos visto el primer departamento extensamente desarrollado del análisis en el que se estudian funciones de variables distintas de las estudiadas en el cálculo ordinario. Este importante paso hacia adelante debía tener una importancia más que local. Una buena parte del análisis del siglo XX se ocupa de funciones de variables generalizadas con los espacios abstractos correspondientes para proporcionar la descripción geométrica apropiada del análisis. Una mirada retrospectiva observa en el análisis de los siglos XVII y XIX muchas tendencias hacia lo que se ha llamado análisis general. En capítulos posteriores se describirá un número suficiente de estas generalizaciones para indicar el desarrollo de alguna clase de análisis y la necesidad del mismo.

XVIII
DE LAS APLICACIONES A LAS ABSTRACCIONES

EN LA progresión hacia teorías generales de análisis, las funciones especiales ideadas en el siglo XVIII y principios del XIX para la solución de problemas en la astronomía dinámica y en la física matemática desempeñaron un papel preponderante en la determinación del curso del análisis moderno. A juzgar por los datos históricos, parece increíble que algunas de las funciones especiales, por ejemplo, las de Bessel y Mathieu (francés, 1835-1890), no habrían absorbido intensamente la atención de los matemáticos si no hubiera sido por el impulso inicial de la ciencia. Pero no todas las funciones investigadas con más extensión pueden acreditarse exclusivamente a la necesidad científica. Así, las funciones periódicas múltiples se desarrollan inevitablemente partiendo de la evolución directa del cálculo integral. Unos cuantos casos típicos[1] bastarán para ilustrar las tendencias generales.

UN PROBLEMA CENTRAL DE LAS MATEMÁTICAS APLICADAS

Lo más difícil en cualquier matemática aplicada es privar a un problema científico tecnológico sólo de suficientes detalles para ponerle al alcance de las capacidades de matemáticos hábiles, pero que conserve todavía una proporción suficiente del problema real para hacer que la solución no sea absolutamente inaplicable a la práctica. La observación no nos presenta ningún movimiento inmune al rozamiento ni ningún fluido incompresible; no obstante, la hidrodinámica clásica[2] de los líquidos incompresibles sin viscosidad ha tenido muchas aplicaciones. El problema de una importancia capital de decidir qué conceptos deberán hacerse centrales en la descripción matemática de los fenómenos naturales tiene carácter análogo y para su solución afortunada exige la misma combinación rara de visión científica y cálculo matemático. La velocidad en cinemática, la entropía en termodinámica, así como la fuerza, la acción y la energía en la dinámica, ilustran el punto. Un ejemplo más reciente es la correlación en el método estadístico.

Los grandes matemáticos del siglo XVIII sobresalieron en este campo tan difícil. La distinción entre el matemático puro y el matemático aplicado no existía, ni era necesario, cuando estaban en su apogeo los Bernoulli, Euler, d’Alembert, Clairaut, Laplace, Legendre y Monge. A su colosal producción de matemáticas puras y aplicadas se debió en gran parte que resultara humanamente imposible hacia mediados del siglo XIX que un individuo alcanzara el primer rango como hombre de ciencia y como matemático al mismo tiempo.

Al examinar esta enorme actividad, observamos los comienzos vacilantes de teorías que habían de ocupar a miles de laboriosos matemáticos desde los comienzos del siglo XIX hasta bien entrado el siglo XX. Siguiendo una de ellas y utilizando el indicio proporcionado por las funciones de Bessel, que figuran entre las funciones más útiles de la física matemática, iremos a parar a un problema central de las matemáticas aplicadas. Este problema engendró numerosas funciones especiales; y de éstas surgieron a su vez algunas de las secciones más importantes del moderno análisis matemático.

Investigando las oscilaciones de cadenas pesadas, Daniel Bernoulli[3] (suizo, 1700-1782) en 1732 encontró la función llamada después coeficiente de Bessel de orden cero. Los coeficientes de Bessel del orden 1/3 habían aparecido antes en un problema de Jaime Bernoulli[4] (1654-1705). Las vibraciones de una membrana tensa condujeron a Euler[5] en 1764 a coeficientes de Bessel más generales, y siete años después encontró Lagrange las mismas funciones en el movimiento elíptico. En 1824, el astrónomo matemático Bessel (alemán, 1784-1846), necesitando esas funciones en su investigación de una función perturbativa en astronomía dinámica, desarrolló algunas de sus propiedades más útiles. Después, los coeficientes de Bessel y sus extensiones inmediatas, las funciones de Bessel, aparecieron en la física casi con tanta frecuencia como las funciones circulares, y principalmente por las razones que vamos a indicar. Lo que sigue es aplicable a todo nuestro estudio posterior de la influencia de las ciencias físicas sobre las matemáticas.

Las ventajas de los sistemas de coordenadas especiales adaptados a problemas específicos eran familiares a los geómetras antes de que se admitiera una especialización similar en las matemáticas aplicadas como una fuente final de las funciones especiales indispensables, como las de Bessel, de astronomía y física. Al estudiar las situaciones físicas que implican simetría respecto de una línea recta, es conveniente, y en realidad casi forzoso, emplear coordenadas cilíndricas (r, ϕ, z), de la misma manera que lo es emplear las coordenadas esféricas (r, ϱ, ϕ) cuando existe simetría respecto al punto. Cuando se transforma la ecuación[6] de Laplace ∇²u = 0 de coordenadas rectangulares a cilíndricas las variables son separables, y la ecuación diferencial de Bessel desaparece como la que tiene que satisfacer r. La misma situación aparece análogamente en la transformación a coordenadas esféricas de la ecuación[7] κ ∇² = ∂v/∂r a la que llegó Fourier en su análisis de la conducción del calor. Un problema típico de gran generalidad relacionado con esta ecuación puede servir para ilustrar el problema central de las matemáticas aplicadas que estudiamos, el de los valores límites, en el cual funciones especiales, como las de Bessel, son solamente detalles de cálculo.

El problema típico es encontrar una solución de la ecuación de Fourier sujeta a las condiciones siguientes. En cada punto (x, y, z) del interior de un cuerpo isotrópico homogéneo, la temperatura v (que satisfaga la ecuación) deberá ser una función continua de x, y, z y t, con derivadas parciales primera y segunda continuas respecto de x, y, z, y teniendo ∂v/∂t continuas. La temperatura v en todo el cuerpo en el momento inicial t = 0 será dada por la ecuación v = f(x, y, z), en la que f es una función continua arbitraria; y la solución v obtenida como una función de x, y, z, t tiene que ser tal que su límite al aproximarse t a cero es f(x, y, z). Entonces, puede suponerse que si dos cuerpos de conductibilidad diferente están separados por un límite común, las temperaturas de los cuerpos en cualquier punto del límite sean las mismas.[8] El problema se modifica fácilmente para tener en cuenta la radiación a una atmósfera contigua: la pérdida de calor por unidad de superficie del límite debe ser proporcional a la diferencia de temperatura entre la superficie y la atmósfera, de acuerdo con una ley de enfriamiento establecida empíricamente. Por último, la temperatura en un punto cualquiera (x, y, z) del límite en el momento t puede prescribirse como una función continua dada F(x, y, z, t). La solución v de la ecuación de Fourier que satisface esas condiciones es única. Los problemas especiales de este tipo que conducen a funciones de Bessel son la trasmisión del calor en un cilindro circular o en una esfera cuya superficie se mantiene a la temperatura cero.

Este problema típico es una muestra de los problemas de valor-límite, en los que se exige hallar la solución de una ecuación diferencial dada, ordinaria o parcial, que se ajusta a condiciones iniciales prescritas. Si se plantea bien, el problema tiene una solución única; pero, como veremos, no es siempre obvio que todas las condiciones de una situación dada se hayan incluido en la formulación matemática, o que, si se incluyeron, sean compatibles analíticamente. La teoría de esos problemas es coextensiva con un vasto sector de la física matemática, y ha producido sectores igualmente extensos de matemáticas puras relacionadas, si es que lo están sólo remotamente con aplicaciones prácticas o científicas.

Muchos de los problemas clásicos de valor-límite en la física matemática conducen a análogos del proyecto de Fourier de desarrollar una función “arbitraria” f(x) en que una serie trigonométrica en el intervalo de x − π a π, por ejemplo

en la que hay que determinar los coeficientes a₀, an bn. Con ciertas restricciones, los coeficientes los dan las ecuaciones

El punto en el que hay que insistir aquí es que f(x) se desarrolla en función de las soluciones cos mx, sen mx, de la ecuación diferencial ordinaria d²u / dx² + m²u = 0

Un problema central de la física matemática es una generalización de esto: se pide desarrollar una función restringida adecuada f(x) en una serie de la forma en la que las funciones ϕn(x) son soluciones de una ecuación ordinaria de primer grado. Una vez supuesta la posibilidad del desarrollo, el problema equivale a calcular los coeficientes c₀, c₁, c₂, … Luego hay que determinar las condiciones en las que la serie converge, si se quiere que el desarrollo sea utilizable.

Asimismo, parece conservador decir que la mayoría de las funciones especiales que han sido investigadas más a fondo desde principios del siglo XVIII entró de las matemáticas de esta manera por medio de las ecuaciones diferenciales de astronomía y física. Aunque muchas de ellas, como los coeficientes de Bessel, aparecieron primero de una manera más bien casual en los problemas mecánicos de comienzos del siglo XVIII, su mayor importancia apareció solamente por el problema de separación de variables en las ecuaciones diferenciales parciales de la teoría del potencial y otros departamentos de la física matemática. Esto condujo directamente al problema de desarrollo que acabamos de describir y a la teoría moderna de los problemas de valor-límite que proporciona los coeficientes deseados y justifica los desarrollos. Esta fase del desarrollo general del análisis se presentará con frecuencia a medida que avancemos.

Una vez que las funciones especiales cumplieron los fines científicos más inmediatos para los cuales se habían inventado, fueron explotadas por numerosos analistas cuyos intereses eran puramente matemáticos. En las generalizaciones cada día más refinadas[9] del análisis que habían bastado para los problemas de la física, ni siquiera se preveían remotamente aplicaciones científicas. Desde un punto de vista, esta transición rápida de lo inmediatamente aplicable a lo abstracto sin ninguna aplicación a la vista parece solamente natural y típica del progreso general de las matemáticas. Entonces, admitiendo que el desarrollo es típico podemos, sin embargo, poner en duda su carácter curiosamente fortuito. Una vez más pueden servir de ejemplo las funciones de Bessel.

A menudo se ha dicho por analistas con un gusto por la elegancia que ningún matemático abandonado a sus propias ideas hubiera soñado nunca con inventar nada tan tosco matemáticamente como las funciones de Bessel; o, si por casualidad hubiera imaginado esas cosas en una pesadilla, hubiera hecho todo lo posible por olvidarlas al recobrar sus sentidos. Las elegancias que esas funciones puedan mostrar en los refinamientos del análisis del siglo XX, como en la teoría de las transformaciones diversas o en la teoría a las aplicaciones de los números, no podían imaginarlas los matemáticos del siglo XVII, cuyos motivos para investigar casos especiales de las funciones eran enteramente científicos o prácticos. Ya se decidieran por series infinitas o por una ecuación diferencial, no había nada en los coeficientes de Bessel, tal como se presentaron primero, que sugiriera que ellos y sus generalizaciones podrían pagar con creces una investigación a fondo por su propia cuenta.

Lo propio puede decirse de muchas otras funciones especiales concebidas en la ciencia y llevadas a la tecnología; por ejemplo, las funciones que Mathieu[10] introdujo (1868) para analizar las vibraciones de una membrana elíptica. Todo el complicado análisis que se desarrolló partiendo de esos orígenes científicos parece extrañamente parásito y accidental a los que creen que las matemáticas se desarrollaron respondiendo a los dictados de una necesidad eterna e inherente. Para éstos, algunas de las adquisiciones más preciadas de las matemáticas modernas son simples subproductos de la casualidad. No hay, según éstos, ninguna razón o necesidad para seleccionar las cosas particulares que hay que desarrollar; y casi cualquier elección distinta de la hecha realmente hubiera producido resultados igualmente agradables para un matemático. Eso dicen los realistas prácticos, que también llaman a capítulo alguna que otra vez a los matemáticos por huir hacia abstracciones cuando existen al parecer campos más amplios y más fértiles que esperan ser cultivados.

En contra de esta opinión se afirma que los matemáticos como clase prefieren los problemas de matemáticas puras a los de matemáticas aplicadas porque hacerlo equivale simplemente a seguir la línea de menor resistencia. Siglos de tanteos han mostrado en qué direcciones podrían esperarse adelantos con un gasto moderado de pensamiento; y el mismo proceso de eliminación ha sugerido simultáneamente los medios de progresar. Ésta parece ser la razón fundamental para la fenomenal popularidad del álgebra abstracta, los espacios abstractos y el análisis general en el siglo XX. De las infinitas variaciones implícitas en la sintaxis de las matemáticas en cualquier etapa de su desarrollo, suelen elegirse para su elaboración posterior las que siguen más de cerca a lo que se ha explicado ya. En seguida, veremos un ejemplo notable e históricamente importante, cuando examinemos las funciones elípticas.

LAS MATEMÁTICAS Y LA INTUICIÓN CIENTÍFICA

Ahora bien, es “intuitivamente evidente” que la electricidad aplicada a un conductor limitado alcanzará una distribución definida y única cuando el conductor esté completamente cargado y no fluya más electricidad a él. Pero esto no es evidente matemáticamente. La intuición en las matemáticas actúa frecuentemente como un señuelo para la credulidad. Así sucedió en la evolución del cálculo, y así sucede aquí. La afirmación físicamente evidente relacionada con el conductor puede en realidad ocultar una incompatibilidad indesarraigable; puede ser una generalización demasiado amplia partiendo de observaciones toscas.

Las dificultades empiezan cuando las nociones intuitivas de un límite se hacen precisas. ¿Deberán admitirse, por ejemplo, las curvas de Peano que llenan áreas como límites? Una vez que se han convenido condiciones como ésas y otras similares, ha desaparecido la intuición. Asimismo, dejemos a la intuición que nos diga en seguida cuál será la distribución de la electricidad en un conductor con un solo lado o en un cuerpo como una hoja de nopal con espinas que van adelgazándose exponencialmente hacia el infinito. Pero, podría objetarse legítimamente, ninguna de esas anormalidades aparece jamás en la naturaleza o en la tecnología. Una vez admitido esto, quedamos con los diferentes problemas prácticos de decidir qué conductores se someten al análisis matemático y excluir de nuestros cálculos los que no se sometan. Una vez resueltos esos problemas con un grado moderado de perfección, nuestra electrostática sólo será aplicable “en general”. Esto es, que sólo proporcionará información dudosa.

Un problema famoso de la física matemática muestra lo engañosa que puede ser la intuición no restringida por la razón. Como este enigma —el principio de Dirichlet— fue de capital importancia en la evolución del análisis en el siglo XIX, lo describiremos con algún detalle.

Por medio de un argumento sencillísimo, Gauss en 1840 y Thompson (lord Kelvin, escocés, 1824-1907) en 1847, usando el cálculo de variaciones, creían que habían establecido la existencia de una solución continua V de la ecuación de Laplace, habiendo asignado valores a cualquier superficie cerrada dada y reduciendo al mínimo la integral[11]

extendiéndose la integración a todo el volumen encerrado por la superficie. Intuitivamente es evidente por la situación física de la que esto es la abstracción matemática que existe la V requerida. De acuerdo con Riemann (1851), afirmamos, por consiguiente, que la existencia en matemática de V está asegurada por la del problema físico, y llamamos a esto el principio de Dirichlet, aunque el mismo Dirichlet no fuera tan temerario que lo afirmara. Sin embargo, Dirichlet siguió (1856) a Gauss y Thompson al suponer la existencia de un valor de V mínimo, suposición mucho más moderada que la de Riemann, de que porque un problema parece representar física sensible, debe tener una solución matemática.

Por desgracia para la intuición, el principio es falso bajo las dos formas. Weierstrass demostró en 1830 que el valor mínimo de V requerido no es asequible dentro del dominio de las funciones continuas. Lo que intuitivamente parecía ser un problema muy significativo se demostró así que era una incompatibilidad disfrazada. Lo propio puede decirse en lo que respecta al problema correspondiente en dos dimensiones en lugar de tres.

De esta manera, siendo el principio falaz, lo suplantó lo que se llama el problema de Dirichlet: hallar una función V(x, y, z) que, junto con sus derivadas parciales primera y segunda respecto de x, y, z sea uniforme (un solo valor) y continua a través de una región dada cerrada R, y que anotará valores previamente asignados en el límite de R.

Al principio de Dirichlet se debe una vasta cantidad de matemáticas puras después de apelar a él Riemann en el caso de dos dimensiones en su teoría (1851) de las funciones de una variable compleja (que describiremos en un capítulo posterior). Como esta teoría fue uno de los campos más extensamente cultivados del análisis en la segunda mitad del siglo XIX, resultó importante averiguar cuáles son las restricciones bajo las cuales es soluble el problema de Dirichlet. De aquí resultó un sector importante de la moderna teoría del potencial.

Una lista de los que desarrollaron este tema tan especializado contiene los nombres de los principales analistas desde Riemann (1826-1866) hasta Poincaré (1854-1912), y hasta el presente. Para un examen crítico hasta el año 1929 enviamos al lector a otro lugar[12] porque, después de todo, la teoría del potencial no es otra cosa que un departamento entre las docenas de ellos que hay en el análisis y aquí sólo podemos ocuparnos de los movimientos generales. Nuestro interés actual en el tema es sólo incidental; es un ejemplo típico del origen físico de una buena parte del análisis puro y de la necesidad de algo más que la intuición física en la formulación correcta y la solución de importantes problemas en las matemáticas aplicadas.

Brevemente haremos observar los orígenes científicos e históricos de la teoría. Estudiando la gravitación newtoniana, Lagrange observó en 1773 (y 1777) que los componentes de la atracción en un punto dado en el espacio, debido a una distribución de partículas-masa, pueden contenerse como las derivadas-espacio de una cierta función de las posiciones de las partículas. De esta manera, Lagrange inventó lo que en la actualidad se llama el potencial V para un campo newtoniano gravitacional debido a una distribución discreta de partículas-masa. Laplace (1782) mostró que para un punto en el espacio vacío el potencial V debido a una distribución continua de materia satisface la ecuación ∇²V = 0; y Poisson (francés, 1781-1840) derivó (1813) la ecuación correspondiente ∇²V = −4πρ para los puntos contenidos en la masa atrayente, estando la densidad ρ en un punto interior dada como una función de las coordenadas.

El paso siguiente fue dado en 1828 por G. Green (inglés, 1793-1841), en su fundamental Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo. Este estudio contenía el resultado sumamente útil conocido con el nombre de teorema de Green para la reducción de ciertas integrales de volumen a integrales de superficie.

De paso puede observarse que “la perogrullada del análisis matemático”[13] de Stokes (en realidad de Kelvin) para la reducción de ciertas integrales de superficie a integrales de línea que es también de uso constante en la física matemática hizo su primera aparición pública en un examen de Cambridge de 1854; se ignora si alguno de los examinados resolvió el problema, pero parece probable que si alguno presentó cierta solución aceptable para Stokes, no podría contentar a un profesor moderno[14] con la misma solución. Como el problema de Dirichlet, el teorema de Stokes, su prueba y sus generalizaciones se han convertido en una actividad próspera del análisis moderno. El informe conciso de lo que se ha hecho en este detalle solamente ocuparía un capítulo.

Bastante se ha dicho para indicar el origen rigurosamente físico de la teoría del potencial en la que el problema de Dirichlet es sólo un incidente, aunque de capital importancia. Sin embargo, puede observarse que en interés de la justicia histórica, la prolífica ecuación de Laplace debiera llevar el nombre de Lagrange, que la usó en época ya tan alejada como el año 1780, en su obra sobre hidrodinámica.

La parcial rehabilitación del desacreditado principio de Dirichlet data de 1899 cuando Hilbert demostró que con restricciones adecuadas en la región en la que se define V, en el mismo V, y en los valores supuestos para V en los límites de la región, el problema de Dirichlet es rigurosamente soluble. Pero no es ya intuitivo en ningún sentido. La importancia histórica única del problema de Dirichlet es que fue la primera teoría del potencial que planteó la cuestión de la existencia.

PERIODICIDAD DOBLE

Ahora nos ocuparemos de los orígenes de uno de los departamentos más extensos del análisis del siglo XIX, en el que la utilidad práctica cedió rápidamente al interés puramente matemático. La historia de la periodicidad múltiple es análoga a la de las funciones útiles de Bessel.

El conocimiento de que muchos fenómenos naturales son periódicos en el tiempo, o lo son aproximadamente, es probable que sea tan antiguo como la emergencia de la raza humana del estado de pura bestia. De día y de noche, la recurrencia de las estaciones, el crecimiento y la disminución de la luna, la fisiología del cuerpo humano y otros muchos hechos inescapables de la vida diaria tienen que haber hecho notar, incluso a la inteligencia más rudimentaria, la existencia de la periodicidad natural.

Las extrapolaciones filosóficas de periodicidad única precedieron a las formulaciones matemáticas en millares de años. Mucho antes de que Grecia fuera civilizada, la visión sublimemente imbécil del Gran Año de Platón, reavivada en el sueño loco de Friederich Nietzsche (alemán, 1844-1900) de un Eterno Devenir, ha evolucionado partiendo de fenómenos tan vanales como la periodicidad de las estaciones. Por fortuna para la cordura de la humanidad, los filósofos poetas ignoran todavía las funciones elípticas cuya doble periodicidad conduce en seguida a un tiempo con dos dimensiones. En este tiempo infinitamente más amplio, con su eternidad ∞², la historia se repite indefinidamente en los paralelogramos de un tablero de ajedrez sesgado que se extiende al infinito en todas las direcciones. Pero la razón de dos lados de un rombo cualquiera es real, y sólo es real, si los lados son paralelos, cuando la razón es la Unidad.[15]

Las matemáticas de la periodicidad (por oposición al misticismo) se originaron en 1748 con la determinación, completamente correcta, por Euler de los valores de las funciones circulares cuando el argumento aumenta por múltiplos enteros de la mitad de un periodo. Euler, digámoslo de paso, fue el primero que emancipó las funciones circulares de su esclavitud a los diagramas, y las consideró como funciones valuadas numéricamente de una variable numérica. Las funciones hiperbólicas, con un periodo de imaginaria-pura, siguieron inmediatamente como consecuencias obvias de las formas exponenciales de Euler de las funciones circulares. Estas funciones suelen atribuirse a Riccati[16] (italiano, 1707-1775), hacia 1757; su teoría sencilla fue desarrollada en detalle por Lambert (alemán, 1728-1777).

Nada de este trabajo indispensable sugería que pudieran existir funciones más generales con dos periodos distintos y que incluyeran a la vez a las funciones circulares y las hiperbólicas como casos degenerados. El descubrimiento por Abel en 1825 de esas funciones doblemente periódicas, o elípticas, como se les llama, es uno de los hitos más notables en la historia del análisis. Las funciones elípticas son de una importancia capital históricamente, no tanto por ellas sino por lo que instigaron. Su teoría singularmente rígida y geométrica se convirtió en un campo de prueba inestimable para la teoría mucho más completa de las funciones de una variable compleja y para su prolífica consecuencia: la teoría de las funciones algebraicas. De éstas nos ocuparemos en un capítulo posterior; por de pronto lo que nos interesa es la génesis de las funciones elípticas.

Por razones históricas solamente, el desdichado término integral elíptica designa a cualquier integral de la forma

en la que R(z) es un polinomio de grado tercero o cuarto en z y F(z) es racional en z. La rectificación del arco de una elipse conduce a una integral especial de este tipo, y de aquí el nombre. De los problemas mecánicos que llevan a integrales elípticas, el más elemental es el de averiguar la duración de una oscilación completa de un péndulo sencillo.

Los primeros trabajos sobre integrales elípticas hace ya mucho tiempo que sólo ofrecen interés para el anticuario. Bastará un ejemplo pequeño para indicar su calidad. No pudiendo valuar una integral elíptica especial que aparecía en un problema de elasticidad (al que aludimos en un capítulo posterior), Jaime Bernoulli expresó en 1694 su convicción de que la integración era imposible por medio de funciones elementales. Bernoulli estaba en lo cierto; pero la demostración de la imposibilidad de integrar era superior a sus recursos. Maclaurin (1724) tradujo el problema de Bernoulli en una construcción geométrica, que hubiera sido un progreso si hubiera mostrado los medios necesarios y suficientes para realizarla.

El primer trabajo que trascendió de lo obvio fue el de Conti di Fagnano (italiano, 1682-1766), que en 1716 demostró que pueden determinarse dos arcos de cualquier elipse dada de una infinidad de maneras, de modo que su diferencia sea un segmento de una línea recta. La importancia de esto está en que los métodos de Fagnano sugieren los empleados por Euler[17] en su demostración (1761) del teorema de la adición para las integrales elípticas. Pero la proeza más notable de Fagnano fue su descubrimiento de que un cuadrante de una lemniscata puede dividirse en n partes iguales por medio de una construcción euclidiana, siendo n un entero de la forma 2mh, h = 2, 3, 5.

Planteado de esta manera, este último problema quizás atribuya a Fagnano más de lo que le corresponde; pero, de todos modos, Fagnano comprendió la sustancia del problema. El siguiente indicio publicado de una teoría general respaldando esas construcciones se presenta en las Disquisitiones arithmeticae (1801, art. 335, p. 593), donde Gauss dice que su teoría de la ciclotomía “puede aplicarse a muchas otras funciones trascendentales (superiores a la circular), por ejemplo, a las que dependen de la integral

Esta integral elíptica particular fue una de las estudiadas por Fagnano en la obra antes citada; su inversión conduce al caso especial de las funciones elípticas llamadas a veces funciones lemniscáticas. Sería interesante saber si Gauss se inspiró en los trabajos de Fagnano; Euler expresó a menudo su admiración por lo que había hecho este predecesor suyo tan sagaz en las integrales elípticas.

Otro indicio de cosas más importantes apareció[18] en 1771, con el descubrimiento mediante el cual Landen (inglés, 1719-1790) consiguió sorprenderse a sí mismo: “así, sin esperarlo, encuentro que la hipérbola puede en general rectificarse por medio de dos elipses”. La reformulación analítica ingeniosa de Landen (1775) de su teorema geométrico se ha refundido hoy en la transformación de segundo orden (más generalmente, del orden 2n, siendo n entero) en las funciones elípticas.

Pero todos estos primeros trabajos, incluidos muchos de d’Alembert, fueron casuales si se comparan con el estudio sistemático de Euler de las integrales elípticas y de sus aplicaciones geométricas. Entonces, enterrados en una masa enorme de fórmulas horribles y cálculos complicados, dos elementos de la contribución de Euler superan a todo el resto en importancia histórica. El primero fue el teorema de la adición (1761) para las integrales elípticas, que los contemporáneos de Euler y sus sucesores inmediatos consideraron como la hazaña más notable de habilidad manipuladora en el análisis del siglo XVIII.

La segunda contribución de Euler fue mucho más importante, tanto histórica como matemáticamente, pues por una casualidad fatal hizo que el progreso durante los 40 años posteriores a su muerte en 1783 siguiera una dirección errónea. En la introducción a una memoria[19] de 1764, Euler defendía la incorporación de arcos elípticos al análisis bajo un pie de igualdad con los logaritmos y los arcos circulares. (Obsérvese la palabra en cursivas.) Abandonando los esfuerzos estériles de sus predecesores y contemporáneos para integrar diferenciales elípticas en términos finitos por medio de las funciones entonces conocidas, Euler propuso resueltamente que se reconocieran las integrales elípticas como primitivas trascendentes nuevas que debían investigarse por sus propios méritos. Si no es esto lo que quiso significar, procedió en todo su análisis propio como si lo fuera. Tan grande fue el impulso del ingenio algorítmico de Euler que antes de que pudiera darse cuenta de su error inicial había sido arrastrado y había perdido de vista el recodo correcto que no había sabido seguir. Que Euler, entre todos los matemáticos, se extraviara en este tema particular es uno de los misterios de la evolución de las matemáticas que resultan incomprensibles. El maestro que había iniciado la moderna teoría de las funciones circulares no observó la superior oportunidad que su Providencia ponía a su disposición y que, con que le hubiera dedicado sólo una atención casual, hubiera parecido a un matemático de su calidad como la cosa más natural del mundo. En lugar de considerar los arcos elípticos como las nuevas trascendentes básicas, dotando así a un cálculo integral ya sobrecargado con una nueva superabundancia de fórmulas engorrosas, Euler podría haber seguido fácilmente la dirección que le marcaba la trigonometría. El hecho de que no adoptara las integrales elípticas en lugar de sus correspondientes funciones inversas como los datos de su problema le condujo a un atolladero de álgebra enmarañada, precisamente como si hubiera intentado desarrollar la trigonometría mediante el uso exclusivo de las funciones circulares inversas —sus arcos circulares— sen⁻¹x, cos⁻¹x, tan ⁻¹x, etc. La complejidad mucho mayor de la teoría de los arcos elípticos por comparación con la de los arcos circulares hacía que se atascara más profundamente con cada paso que daba.

Así, dándose cuenta de que las heroicas exploraciones de Euler en la selva de las integrales elípticas no habían llevado muy lejos al indomable explorador a pesar de los numerosos tesoros que encontró en el camino, Legendre (francés, 1752-1833) emprendió en 1787 exploraciones propias. Por espacio de casi 40 años siguió la huella de Euler, sistematizando y civilizando a medida que avanzaba. Por lo menos es concebible que la reverencia poco crítica por los trabajos de su gran predecesor fuera en parte responsable de las equivocaciones personales de Legendre.

Más sistemático que Euler, y dedicando más tiempo a su trabajo, Legendre redujo su caos de material refractario a un conjunto tan coherente como parecía posible. A él se deben las tres formas clásicas de las integrales elípticas a las que puede reducirse cualquier integral elíptica. Las integrales de Legendre no son, por supuesto, las únicas formas académicas posibles, y se han propuesto otras muchas; pero las de Legendre conservan su utilidad. Cuarenta años de labor infatigable por un maestro no podían dejar de producir muchas cosas útiles, aunque no fuera más que por su sugestividad. En particular, los trabajos de Legendre relacionados con la transformación algebraica de las integrales elípticas inspiraron directamente el primer éxito notable de Jacobi.

Legendre presentó una exposición sistemática de su teoría en 1811-1817, en su Exercices de calcul integral sur divers ordres de transcendentes et sur les quadratures, ampliados en 1825-1832 en los tres volúmenes (con suplementos) Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes. Al título de esta segunda obra se debe una confusión bastante general en algunas reseñas históricas: los trabajos personales de Legendre se relacionan con las integrales elípticas y no con las funciones elípticas. La distinción, que adquirió una importancia extraordinaria en 1827 con la publicación de la inversión de Abel de las integrales elípticas, es comparable con la que existe entre la noche y el día. Antes de Abel no se conocía públicamente nada sobre las funciones elípticas, pues no existían fuera de dos escritos privados de Gauss, hasta que las inventó Abel.

Además de proporcionar indicios inapreciables a Abel y Jacobi para la teoría de las funciones elípticas, los tratados de Legendre proporcionaron a Cauchy y otros matemáticos gran número de integrales definidas, valuadas explícitamente, en las que probar la eficiencia de la integración por el método de los residuos de Cauchy. Lo propio puede decirse en lo que respecta a la sistematización de las funciones beta y gamma tal como existían en su tiempo. Pero también aquí hay que tener presente que el análisis de Legendre de 1827 se hizo casi incurablemente arcaico con la creación de los métodos modernos por los grandes analistas del siglo XIX, empezando por Cauchy en 1825. El contraste entre lo antiguo y lo nuevo se evidencia de una manera sorprendente comparando el estudio de Legendre de la función gamma con el de Weierstrass en 1856, sólo 23 años después de morir Legendre.

Al despedirnos de este espléndido matemático del siglo XVIII, podemos recordarle como un individuo adornado de las prendas más elevadas, cuya única ambición fue el progreso de las matemáticas. Si Legendre fue tan superado durante su propia vida por hombres más jóvenes —Gauss en la aritmética y en el método de los mínimos cuadrados, Abel y Jacobi en las funciones elípticas— ello se debió en parte a que sus propios trabajos habían puesto los jalones necesarios. Y aunque Legendre juzgó mal a Gauss y le odiaba con toda su alma, fue el primero en dar la bienvenida y en publicar los trabajos de Abel y Jacobi, que hacían que fueran anticuados sus propios esfuerzos de 40 años. El veterano de más de 70 años no sólo se reveló incapaz de sentir envidia por sus jóvenes y vigorosos rivales cuyas edades oscilaban entre los 20 y los 30 años, sino que se tomó la molestia de estudiar y comprender sus trabajos y exponerlos en una edición ampliada de sus propias obras. Semejante liberalidad de espíritu no es más común entre los matemáticos que entre otros hombres de ciencia.

Abel revolucionó el tema y al mismo tiempo abrió las compuertas del análisis del siglo XIX en 1827 con una sencilla observación, “Propongo que se estudien las funciones inversas”. En lugar de considerar la integral elíptica

como el objeto fundamental de la investigación en la que α se considera como una función α(x) de x, Abel invirtió el problema y consideró x como una función que designó por ϕ(α), de α. Esta inversión de la integral fue el primer paso esencial que no habían dado los predecesores de Abel. Su “naturalidad”, después que se hubo dado, era evidente por la analogía con (x debidamente restringida)

El primer descubrimiento[20] capital de Abel concerniente a las nuevas funciones fue su doble periodicidad: ϕ(x + p₁) = ϕ(x), ϕ(x + p₂) = ϕ(x), en la que p₁, p₂ son constantes cuya razón no es un número real. Por consiguiente, la función elíptica ϕ(x) es doblemente periódica.

Ahora bien, impresionado por la enorme abundancia de nuevas ideas que penetraron en las matemáticas como una consecuencia directa de la sencilla observación de Abel, Jacobi, algunos años después de la muerte de Abel, dijo que la inversión era el secreto del progreso en las matemáticas: “Hay que invertir siempre”. Si la ciencia o las matemáticas nos presentan una situación engorrosa en la que se da y como una función de x, por ejemplo y = f(x), debemos examinar la situación inversa, x = f⁻¹(y), como hizo Abel cuando invirtió las integrales elípticas y descubrió que en las funciones inversas —las elípticas son doblemente periódicas—, Jacobi, que compensaba su entusiasmo por las matemáticas con un sentido de lo ridículo y que sabía retener su lengua cuando pontificaba, no se proponía que su prescripción fuera tomada como una panacea. Jacobi fue uno de los profesores menos profesionales que jamás hayan dado conferencias en una clase avanzada.

Los clásicos Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum de Jacobi publicados en 1829, el año de la muerte de Abel, explotaban las consecuencias de la inversión y de la periodicidad doble e hicieron que las nuevas funciones fueran fácilmente accesibles al público matemático. Aunque, como se admite generalmente, fuera Abel el primero que hizo los dos descubrimientos fundamentales, Jacobi hizo suya la teoría y contribuyó lo suficiente para tener derecho a figurar con Abel como uno de sus creadores.

Al conceder la prioridad a Abel a expensas de Gauss, hemos seguido la costumbre moderna de atribuir la propiedad basándose en la fecha de la primera publicación. Pero al imprimirse los escritos póstumos de Gauss y el diario científico que llevó siendo joven, se ha sabido que Gauss conocía la doble periodicidad de la función lemniscata en 1797. A principios de 1800 había descubierto las funciones doblemente periódicas generales, adelantándose a Abel en un cuarto de siglo. Sus escritos póstumos contienen también numerosas fórmulas relacionadas con las constantes elípticas theta, que Jacobi volvió a descubrir y a aplicar brillantemente. Pero Gauss, tal vez por faltarle una oportunidad para desarrollar y sistematizar sus descubrimientos, no publicó nada sobre funciones elípticas, ni pretendió[21] tampoco públicamente haberse adelantado a Abel y Jacobi. Al juzgar el puesto que ocupa Gauss en las matemáticas, es costumbre atribuirle lo que hizo realmente. Así, la geometría no euclidiana y las funciones elípticas son dos de las cosas que han influido para poner a Gauss en la misma categoría que Arquímedes y Newton, aunque no publicó nada sobre esas materias.

A las funciones elípticas se ha concedido más espacio del que podría justificar su posición relativa respecto del análisis moderno en una reseña general como ésta, porque señalan claramente el comienzo de una época prolífica y a ellas se deben varias de las actividades más importantes en el álgebra, la aritmética y el análisis del siglo XIX. La doble periodicidad no sólo abrió nuevos territorios ilimitados; señaló también el final bien definido de un camino que se había seguido desde la creación por Euler de la trigonometría analítica. Jacobi demostró (1834) que si una función de un solo valor de una variable es doblemente periódica, la razón de los periodos no puede ser un número real, y que las funciones de un solo valor de una variable con más de dos periodos son imposibles.[22]

Otros tecnicismos nos llevarían demasiado lejos del camino principal. Sin embargo, tres detalles de los primeros trabajos de Abel y Jacobi habían de resultar tan prolíficos de nuevas matemáticas durante todo el siglo XIX que debemos mencionarlos, aunque no sea más que de paso. El primero es el descubrimiento de Abel de la multiplicación compleja descrita más cómodamente en función de la función elíptica de Weierstrass p(u), ≡ p(u|ω₁, ω₂), con periodos de 2ω₁, 2ω₂ debidos a la inversión de cierta integral elíptica típica que implica la raíz cuadrada de un polinomio de grado x tres. La elección de p(u) no implica ninguna restricción. Si n es un número entero racional, p(nu) puede expresarse como una función racional de p(u). Ahora, buscando todos los demás valores de n para los cuales es válido un teorema similar, Abel encontró el siguiente resultado imprevisto.[23] Si c es un número complejo tal que p(cu|ω₁, ω₂) puede expresarse racionalmente en función de p(u|ω₁, ω₂), se dice que p(u) admite una multiplicación compleja por c. Para que pueda existir semejante c, es necesario y suficiente que ω₁/ω₂ sea una raíz de una ecuación algebraica irreductible de segundo grado con coeficientes racionales enteros. Esto debe ser suficiente para sugerir que la teoría de la multiplicación compleja está íntimamente relacionada con la aritmética de las formas cuadráticas binarias.[24] El desarrollo de este punto ocupó a docenas de algebristas, empezando por Kronecker (1857) y Hermite (1859).

El segundo detalle es la representación de Jacobi de sus funciones doblemente periódicas como cocientes de lo que se llama ahora funciones elípticas theta.[25] Las thetas no son doblemente periódicas; una de las cuatro de Jacobi es

en la que q ≡ eiπτ, τ ≡ ω₂/ω₁, |q| < 1. Las otras pueden obtenerse partiendo de ésta por medio de transformaciones lineales sencillas de x, por ejemplo,

ϑ₃(x + 1/2|τ) ≡ ϑ₄(x|τ).

Como los valores de x para los cuales las thetas desaparecen, pueden determinarse fácilmente, se pone en evidencia el carácter analítico[26] de las funciones elípticas, y de ellas se obtienen los desarrollos de Fourier. Las constantes theta correspondientes (x = 0) habían sido investigadas por Euler en la década de 1750-1760 y por Gauss[27] hacia el año 1800. Pero sólo cuando Jacobi descubrió su relación con las funciones elípticas surgió su teoría simétrica. Aparte de su propia teoría extensiva, las funciones elípticas theta resultaron muy importantes como clave para funciones theta más generales. Ya pondremos esto de manifiesto cuando lleguemos a las funciones de variable compleja.

El tercer progreso que abrió otro enorme campo al análisis del siglo XIX se originó también con Abel y con Jacobi. Entonces, se necesita mostrar las relaciones (algebraicas) que existen entre las funciones elípticas o entre funciones theta cuyos respectivos pares de periodos se obtienen partiendo de los otros mediante transformaciones lineales homogéneas con coeficientes racionales enteros y determinante no nulo. Ésta, la teoría de las transformaciones, incluye como casos especiales el problema de la multiplicación real en la forma p(nu) indicada más arriba, y la de la división de los periodos por un número entero racional. Como veremos más tarde, un simple detalle de esa teoría, el de las funciones elípticas modulares, en el siglo XIX se desarrolló hasta formar una rama independiente de las matemáticas. En capítulo anterior pusimos de manifiesto sus relaciones con la ecuación general de quinto grado. Como se podía prever de la manera en que estaba formulado, el problema general descansa pesadamente para su solución moderna sobre la teoría de los grupos lineales.

Aun estas escasas indicaciones que hemos mostrado contra un fondo de actividad inusitada en todas las ramas de la matemática deberían bastar para sugerir la extensión y lo complicado de las teorías que surgieron del descubrimiento que hizo Abel de la doble periodicidad. Una media docena o más de matemáticos eminentes elaboraron la teoría completa[28] o alguna subdivisión que les agradaba particularmente, de acuerdo con su concepción personal de la simetría y del gusto. Ochenta años de esteticismo basto dotaron al análisis de una multitud de notaciones antagónicas y de distinciones triviales no muy distintas unas de otras, por entre las cuales incluso el experto ha de buscar con exasperación su propio camino. Aún en contra de su voluntad, los iniciadores adquirieron rápidamente multitud de partidarios que los seguían. Matemáticos de todas clases irrumpieron en el nuevo territorio en el mismo decenio en que fue descubierto. Algunos eran discípulos de Jacobi, pero otros pronto encontraron maestros con ideales diferentes.

Las causas de esta emigración de masas no hay que buscarlas muy lejos. Al contrario de lo que ocurría con las funciones especiales ideadas principalmente para resolver problemas físicos, como los coeficientes de Bessel, las funciones elípticas parecieron estar creadas para redondear y ampliar el cálculo integral partiendo de la forma en que lo había dejado la evolución subsiguiente a los días de Newton y de Leibniz. También pareció al aplicarla Kronecker y Hermite cerca ya de 1860 a la teoría de números, que Gauss elaboró su teoría aritmética de las formas cuadráticas binarias de una manera especial para esas consecuencias imprevistas de los primitivos descubrimientos de Abel y de Jacobi. Hacia fin del siglo se buscaron y se encontraron en la teoría de ecuaciones de Galois, en la teoría algebraica de los campos y en la aritmética de los campos numéricos cuadráticos.

También las curvas y las superficies[29] algebraicas absorbieron enormes cantidades de funciones elípticas. Simultáneamente se introdujeron en las matemáticas aplicadas clásicas, en especial en la dinámica del cuerpo rígido y en los problemas de la teoría del potencial. Pero hay que admitir que la mayoría de esas aplicaciones prácticas siguen teniendo mayor interés para los matemáticos puros que para la ciencia aplicada. Por ejemplo, la rotación de un cuerpo rígido[30] proporciona gran cantidad de ejercicios elegantes con las funciones elípticas theta, pero hay muy pocos ingenieros, de los que se han de ocupar de la rotación, que tengan tiempo para hacer un análisis elegante. Lo mismo ocurre al presentarse las funciones elípticas en las aplicaciones prácticas de la representación conforme. Cuando se tiene que enfrentar con uno de esos errores tan tentadores, el proyectista experimentado se vuelve hacia su tablero de dibujo. Comparadas con las funciones de Bessel, las funciones elípticas son mucho más hermosas, pero también mucho menos útiles. Sin embargo, o posiblemente por ese mismo motivo, fueron preferidas por muchos de los matemáticos eminentes del siglo XIX porque en un aspecto que todo matemático ha de comprender, se acercaban más al desarrollo “natural” de las matemáticas.

XIX
ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE DIFERENCIA

CONTINUANDO con las matemáticas que se inspiraron directamente en la ciencia, indicaremos a continuación cuatro de los principales aspectos que no se estudian con otro motivo, y a causa de los cuales las ecuaciones diferenciales llegaron a ser una importante disciplina de las matemáticas puras modernas. En su última fase, este gran episodio complementa la evolución de la teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois, y la aparición de la estructura algebraica. Asimismo, veremos cómo una vez más la simple inventiva va quedando poco a poco desplazada por ataques coordinados, y también aquí percibiremos la distinción que existe entre las matemáticas tal como se practican en la época reciente y casi todo lo que las precedió en el siglo XIX.

El rebajar el mérito de la inventiva no es menospreciar el papel de la intuición y de la perspicacia en el asalto a problemas fundamentalmente nuevos. Sólo es subrayar que la estrategia característica de las matemáticas modernas prefiere el ataque en masa, siempre que es posible, a las incursiones brillantemente llevadas a cabo, por muchas que sean. Los métodos generales, y no los progresos individuales, son los que se imponen en las matemáticas de hoy día. El ingenio aún desempeña una función importante, hasta en una ofensiva general, pero es de tipo más amplio que el que bastaba en el pasado. Los problemas de las matemáticas modernas no son aislados, y para vencerlos son cada vez más necesarios los esfuerzos coordinados en un amplio frente.

CINCO FASES

La primera fase de las ecuaciones diferenciales se inició con Leibniz en 1690-1700, y terminó aproximadamente 70 años después. A grandes rasgos, lo que se consiguió en esta época equivale al contenido de las ocho primeras semanas de un curso universitario normal. Recordando que en esa época y en la siguiente se cultivaban intensivamente la mecánica, la astronomía dinámica y la física matemática, y que de esa forma se originaron muchos problemas del análisis, no hemos de olvidar tampoco que no hubo un estudio adecuado de las ecuaciones diferenciales antes de que Cauchy en el tercer decenio del siglo XIX diera los primeros teoremas de existencia. Con éstos se inició la segunda fase. La tercera empezó en 1870-1890 al aplicar Lie (noruego, 1842-1899) su teoría de los grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, y en particular a las de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta fase se inició en 1880-1890 con la obra de Picard (francés, 1856-1941) que se desarrolló de una manera natural partiendo de la tercera. En ella el objetivo era construir para las ecuaciones diferenciales lineales el equivalente de la teoría de Galois de las ecuaciones algebraicas.

Cada fase después de la primera constituyó un progreso marcado y bien definido. La segunda fue paralela al rigorismo que dio Cauchy al cálculo, y se hubiera podido prever dadas las tendencias generales del análisis. La tercera, la de Lie, aun vista retrospectivamente, parece imprevisible. Cada una de las épocas ha dejado un residuo importante en las matemáticas actuales; durante las tres últimas se plantearon muchos problemas que todavía ocupan a decenas de especialistas. Lo que puede ser el comienzo de la quinta fase se inició en 1930-1940, paralelamente al desarrollo moderno del álgebra abstracta. Enseguida, pasamos a hacer unas breves indicaciones sobre las adquisiciones más importantes que se hicieron en cada una de esas fases y sobre los desarrollos correspondientes de las diferencias finitas. Antes de estudiar las tres últimas fases, hemos de describir el concepto invariancia, lo que haremos en el capítulo siguiente.

EL REINADO DEL FORMULISMO

Tanto Newton como Leibniz resolvieron en el siglo XVII sencillas ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Al parecer, en aquella primera fase se creyó que las funciones entonces conocidas bastarían para resolver las ecuaciones diferenciales que se presentan en los problemas de geometría y de mecánica, y el objetivo era encontrar esas soluciones explícitas, o reducir la solución a un número finito de cuadraturas. Aun en los casos en que se presentaba la solución en forma de cuadratura, no parece que se sospechara que quizá la integración necesaria requiriera la invención de trascendentes nuevas. En realidad, hasta 1880-1890, un interregno de dos siglos, no se obtuvo un conocimiento definido sobre la extraordinaria rareza de las ecuaciones diferenciales integrables en ese sentido rudimentario. A grandes rasgos, si se escribe una ecuación diferencial al azar, las probabilidades que existen en contra de que tenga solución basada en las funciones conocidas o en sus integrales son infinitas.

El primer débil indicio de generalización fue la clasificación que dio Newton (1671) de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, en tres tipos, y su método de resolución con las series infinitas.[1] Los coeficientes de la supuesta solución en series de potencias se buscaban de la manera habitual, aunque no se examinaba la convergencia. Aunque implícitamente se suponía que la existencia de un problema físico garantiza la existencia de una solución para la ecuación diferencial correspondiente. Esta suposición en apariencia razonable nadie la puso en duda en matemáticas aplicadas desde Newton a Riemann. Como vimos a propósito del principio de Dirichlet, hasta 1870 no se desenmascararon las imperfecciones que encierra.

Otro de los primeros pasos hacia adelante lo dio Leibniz, que se tropezó con la técnica de la separación de variables. Habían de pasar casi dos siglos antes de que la teoría de Lie mostrara cuándo y por qué este familiar artificio había de tener éxito. Entre otros de los primeros progresos se encuentra la reducción a cuadraturas que hizo Leibniz en 1692 de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, y la solución que dio James Bernoulli (1690) de la ecuación de la tautócrona por separación de las variables. Su hermano Johann (1694) rodeó dx/x, que no se entendía bien en aquella época, aplicando por primera vez un factor integrante. Diremos de manera incidental que el descubrir los factores integrantes resultó ser casi tan molesto como el resolver la ecuación. Otro indicio de una táctica más general se presenta al cambiar Leibniz (1696) de variable dependiente. También Johann Bernoulli utilizó este artificio. A fines del siglo XVII ya se conocían todos los trucos elementales e inadecuados que se suelen emplear para resolver las ecuaciones de primer orden.

Además de los problemas de cálculo diferencial sobre tangentes, normales y curvatura, de los tipos que se suelen presentar como ejercicio en los libros de texto, el cálculo de variaciones sirvió también de estímulo para el ingenio en la resolución de ecuaciones diferenciales. Así, el problema de los isoperímetros (estudiado en otro lugar) de James Bernoulli (1696) condujo a una ecuación diferencial de tercer orden que Johann redujo a una de segundo.

Antes de 1700 Johann abordó también la ecuación diferencial lineal homogénea general con coeficientes constantes. Diremos también para no volver sobre este detalle, que en 1743 dio Euler una discusión completa de esas ecuaciones, y en 1741 imaginó el método clásico para resolver las ecuaciones lineales no homogéneas.

El nombre del conde Riccati[2] (italiano, 1676-1754) es muy familiar a todo estudiante de primer curso. La que se suele llamar ecuación de Riccati (1723) durante mucho tiempo no pudo ser resuelta en forma finita. De acuerdo con el gusto de la época, el “verdadero” problema estribaba en imponer a las variables las suficientes restricciones para que la ecuación transformada fuera resuelta en términos finitos por separación de las variables. Los Bernoulli pretendieron haber encontrado por lo menos soluciones parciales, y en 1725 Daniel notó que si m es de la forma −4n/(2n ± 1), en que n es entero positivo, dy/dx + ay² = bxm tiene solución en términos finitos. Por tanto, ya en 1723 se admitía que incluso una ecuación diferencial ordinaria de primer orden no tiene por necesidad una solución finita expresable por medio de funciones elementales. Pero todo lo que se aproximara a una demostración general de la imposibilidad de esa solución había de tardar aún muchos años en venir.

Las soluciones singulares se percibieron inesperadamente pronto, debiéndose el primer ejemplo[3] a Taylor (el de las series de Taylor) en 1715. Clairaut, cuyo nombre decora un tipo especial de ecuación que aparece en todos los cursos, siguió en 1734 dando una discusión más completa de las soluciones singulares, mientras que Lagrange (1774) intentó sin éxito encontrar una teoría general. Otras de las primeras aportaciones dignas de mención fueron las de Euler (1756-1768) y la de Legendre (1790), ninguna de las cuales tiene mucho mérito. Este detalle continuó interesando a los analistas durante todo el siglo XIX, y fue surgiendo poco a poco un método satisfactorio a través de las obras de Boole (1859-1865), Darboux (francés, 1870), Cayley (inglés, 1873), Chrystal (escocés, 1896) y otros muchos. Quizá la aportación más importante que hicieron las soluciones singulares al progreso general fue el sugerir que los matemáticos no habían comprendido en la primera fase lo que se había de entender por solución de una ecuación diferencial ordinaria.

Los comienzos más sistemáticos de otras varias amplias ramas de la teoría moderna se remontan a los estudios que se hicieron en el siglo XVIII de problemas elementales de geometría infinitesimal, dinámica, física matemática y mecánica celeste. Lo que más influyó en el futuro del análisis se presentó a través de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Como de esto nos ocuparemos en otro sitio, continuamos ahora con las ecuaciones ordinarias, indicando sólo tres de los puntos más sobresalientes como buenos ejemplos de lo más significativo.

Profetizando un diluvio que había de sobrevenir, la solución de Euler (1762) por medio de series infinitas de una ecuación de segundo orden, fundamentalmente análoga a la de Bessel, casi reconcilió a los viejos maestros con la introducción de trascendentes nuevas. Los artificios elementales tomados al azar empezaron a ceder el paso a tratamientos más sistemáticos al inventar Euler (1739) el método de la variación de las constantes[4] que Lagrange en 1874 elevó a la categoría de procedimiento general. El germen de la amplia teoría moderna de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales aparece en la obra de d’Alembert de 1748, mientras que Lagrange (1762) introdujo el fértil concepto ecuación adjunta.

En esta época se encontraban a la cabeza Euler, Lagrange y Laplace de los cuales Euler fue el que demostró más ingenio y Lagrange un espíritu más matemático, con Laplace en una posición intermedia, dedicado a adaptar el análisis de sus contemporáneos a lo que necesitaba de una manera inmediata en mecánica celeste, física matemática y probabilidades. Las aportaciones individuales de Laplace fueron considerables, particularmente al desarrollo de las funciones especiales que se presentan en los problemas de contorno de la teoría newtoniana de potencial. Pero las frecuentes peculiaridades de su análisis son ejemplo de lo contrario del dicho de Einstein de que “la elegancia es para los sastres”. Los que se dedican a resolver el universo, o aunque sea el sistema solar relativamente trivial que absorbió la mayor parte de los esfuerzos de Laplace, al parecer se pueden pasar muy bien sin elegancia, y aun sin el orden corriente en sus cálculos. Comparado con las exposiciones generales, uniformes y concisas de Lagrange, el análisis de sus contemporáneos parece desordenado y oportunista. Quizá sea por esta razón por la que el análisis de la mecánica analítica de Lagrange es hoy día más importante en la matemática aplicada que gran parte de lo que crearon sus contemporáneos. Asimismo, se ha dicho que el estilo es el preservador de la literatura, y es fácil concebir que teniendo en cuenta aunque sólo sea un poco las decencias más elementales de las matemáticas puras se retardará mucho el que queden anticuadas en las matemáticas aplicadas. Lo que explica la supervivencia matemática de Lagrange es su consecuente persecución de la generalización.

ECUACIONES DE DIFERENCIA

La persistente importancia científica de las ecuaciones diferenciales puede deberse a la suposición equivocada de que “la naturaleza no da saltos”. Según esta anticuada hipótesis, el único medio legítimo para construir modelos matemáticos del universo físico es la continuidad. Entonces, se presupone que todo cambio es continuo; “las leyes naturales” se pueden expresar como ecuaciones en tres razones que cambian de forma continua. De esta forma las ecuaciones diferenciales son las matemáticas adecuadas para la ciencia física. Pero con el advenimiento (1900) de los quanta de radiación, y de la genética en biología, se vio en el primer decenio del siglo XX que no todos los fenómenos naturales se pueden describir adecuadamente empleando la continuidad. El viejo conflicto griego entre lo continuo y lo discreto apareció de nuevo, pretendiendo los extremistas de un lado que la continuidad en la naturaleza es ilusoria y que las ecuaciones diferenciales estaban a punto de ceder el paso a las ecuaciones entre diferencias finitas. Si el progreso de la ciencia llegara a exigir con urgencia un análisis de ecuaciones entre diferencias, los matemáticos tendrán trabajo por delante para un centenar de años o más. En apariencia esas ecuaciones son intrínsecamente menos dóciles que las ecuaciones diferenciales.

El cálculo diferencial e integral,[5] con sus correspondientes ecuaciones diferenciales, integrales, íntegro-diferenciales y funcionales, ha proporcionado a la ciencia métodos prácticos de cálculo por estar basados en la fácil técnica de los límites. El análisis continuo resultante todavía proporciona el medio más fácil de encontrar aproximaciones para las medidas numéricas exactas, aun en los casos en que se sabe que los fenómenos investigados varían de manera discontinua. Por ejemplo, éste es el caso de la mecánica estadística, en que si se buscaran resultados numéricos rigurosamente exactos, habría que calcularlos por un estricto análisis combinatorio en que la continuidad no tiene ningún sentido. Esos cálculos en la actualidad quedan fuera del alcance de la capacidad del hombre cuando los números afectados son del orden de magnitud que se cree alcanzan en la ciencia. Es, pues, necesario un compromiso, adaptando el análisis de las diferencias finitas —discontinuo, cambio paso a paso— al de la continuidad.

En particular, se obtienen las soluciones de las ecuaciones entre diferencias por medio de la teoría de las funciones analíticas de variable compleja. El resultado es una rama del análisis que atrae a algunos atrevidos matemáticos partidarios del compromiso, pero que la mayoría encuentra especialmente repulsiva. Las funciones que se obtienen existen, y satisfacen las ecuaciones. Pero si lo mejor que los matemáticos saben hacer es forzar el análisis clásico de los antiguos a modelos de lo discreto, probablemente nuestros sucesores buscarán algo que sea menos molesto y que se acerque más de lo que las matemáticas han demostrado que pueden hacer en este caso, a un lenguaje inteligible. Por lo tanto, puede haber un límite a la utilidad científica del análisis matemático. Si lo hay, parece que se ha alcanzado en algunas de las soluciones analíticas de las ecuaciones lineales entre diferencias de las que se ofrecen a los calculadores prácticos que han de obtener resultados numéricos precisos, o perder su empleo. Esos defectos de la ahora clásica teoría analítica de las ecuaciones lineales entre diferencias no le restan, desde luego, nada de su interés puramente matemático, ni quieren decir nada acerca de la pericia y de la sagacidad de los creadores de la moderna teoría, entre los cuales se cuentan algunos de los más eminentes analistas de los siglos XIX y XX. No son sino una indicación más de que las descuidadas matemáticas de lo discreto esperan aún a su Newton y a su Leibniz. El que éstos no hayan aparecido aún puede ser debido a que lo discreto es la roca de la matemática. Pero sea esto así o no lo sea, se puede prever que los progresos de importancia exigirán genio por lo menos igual al que fue necesario para las matemáticas de la continuidad.

Como ya indicamos en un capítulo anterior, se suele decir que el cálculo de las diferencias finitas surgió como rama separada de las matemáticas con el Methodus de Taylor de 1715-1717. Según la opinión de los matemáticos, la evolución de la materia no se ha realizado más que en dos fases. La primera, que abarca casi exactamente dos siglos, va desde Newton en 1680-1690 a Poincaré en 1880-1890; la segunda desde Poincaré en adelante. No hubo quien a principios del siglo XIX diera nueva vida a lo discreto como Cauchy hizo con lo continuo. La primera fase se puede separar en dos periodos bien definidos, el primero de los cuales terminó en 1820-1830. Desde entonces hasta 1880-1890, las diferencias finitas se estancaron, excepto en lo que se refiere a un intermedio desordenado de algoritmos simbólicos, que culminaron con la publicación en 1860 del tratado de Boole. Esos métodos, tal como se presentaban a mediados del siglo XIX, son ya desde hace tiempo poco adecuados para la discusión exacta de los aspectos práctico o teórico.

Los primeros desarrollos se entrelazaron con los de la interpolación, iniciándose en 1655 con la cuadratura del círculo de Wallis, siguiendo algo antes de 1676 con la derivación de las series binómicas por Newton, y pasando de ahí a la construcción de fórmulas prácticas de interpolación. Las operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias finitas, a la que a veces se llama cálculo de sumas y diferencias, son Δ y su inversa[6] Σ, que corresponden respectivamente a la integración y a la diferenciación del cálculo continuo. El símbolo de la diferencia Δ fue usado en 1706 por Johann Bernoulli con su significado acostumbrado; Euler en 1755 usó Σ, y quizá fuera él quien lo introdujo. Si el “paso” es h, Δu(x) indica u(x + h) − u(x), y no se suele perder generalización al modificar la notación de manera que h = 1.

La historia de las fórmulas[8] de interpolación es complicada y muy discutida. A nosotros sólo nos interesan los siguientes puntos: esas fórmulas fueron un potente estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución independiente del cálculo de Δ, Σ; se desarrollaron principalmente para facilitar los cálculos numéricos en astronomía, la construcción de tablas y la cuadratura mecánica. Aunque las fechas y las prioridades son discutibles, las siguientes indican con suficiente precisión el progreso general: fórmula de Newton, 1687; la de Euler, por lo general llamada de Lagrange, 1775, también atribuida a Waring, 1779; la de Gauss, 1812.

La otra fuente principal en la que se originó el cálculo de Δ, Σ fue el análisis combinatorio y la teoría de probabilidades en la forma que tenía en el siglo XVIII, especialmente tal como la desarrolló Laplace. Muchos de los problemas de probabilidades, superiores a los tipos que se presentan en los textos elementales, como mejor se abordan es empezando por traducirlos a ecuaciones entre diferencias finitas, que, sin embargo, pueden no ser fáciles de tratar. Asimismo, hay un detalle que se originó en esos trabajos que ha atraído a centenares de matemáticos desde que James Bernoulli[8] en 1713 definió los números y los polinomios que llevan su nombre. Después siguió Euler en 1739 con sus números; en adelante los números y los polinomios de Euler y de Bernoulli ocuparon una posición central en el cálculo de Δ, Σ, especialmente en relación con la fórmula extraordinariamente útil de sumación de Euler (1730) y de Maclaurin (1742). La historia de esos números y de esos polinomios, con sus numerosas generalizaciones, llenaría un volumen de regular tamaño y, sin embargo, no son sino uno de los muchos incidentes que presenta el desarrollo general. Nosotros nos contentaremos con indicar aquí que la primera tentativa seria de investigar el resto en la fórmula Euler-Maclaurin parece haber sido la que hizo Poisson en 1823. Este descuido de lo que ahora nos parecen las más rudimentarias precauciones que exige el espíritu científico es típica del análisis anterior a la reforma de Cauchy de 1821.

Poco de lo que hoy día pudiera ser considerado prácticamente adecuado o matemáticamente riguroso ha sobrevivido a la obra del siglo XVIII sobre las ecuaciones entre diferencias. Además, se emprendieron sin mucho éxito trabajos sugeridos por algunas analogías con las ecuaciones diferenciales. La única excepción notable es la teoría algebraica completa de Lagrange de las series recurrentes (1759, 1775, 1792). Estudios anteriores como los de Moivre (1722, 1730, 1738) carecían de generalización. El método de Laplace de las “funciones generadoras” (1766, 1773-1774-1777, 1809), inventado principalmente para usarlo en la probabilidad matemática, si bien daba resultados de gran utilidad, sufría de una casi total ausencia de todo lo que se hubiera llamado demostración después del estudio de la convergencia que hicieron Cauchy y Abel en 1820-1830.

Quizá algunos digan que este análisis muerto fue un abono necesario para obtener una cosecha fructífera; tal vez tengan razón; eso no hay manera de decirlo. Sin embargo, cuando por fin apareció un tratamiento sólido de las ecuaciones lineales entre diferencias, surgió de un terreno fundamentalmente diferente y que no existía antes de 1825. Al crear Cauchy la teoría de funciones de variable compleja en aquel año, hizo posible un análisis satisfactorio de esas ecuaciones aproximadamente 60 años más tarde.

La teoría moderna se inició con la memoria de Poincaré de 1885. La ecuación lineal entre diferencias es

en la que pi(x), y ϕ(x) son funciones dadas, y hay que buscar u(x). Si ϕ(x) = 0, se dice que la ecuación es homogénea. El caso de los coeficientes constantes es el problema de las series recurrentes que resolvió Lagrange. La ecuación especialísima

u(x + 1) − u(x) = ϕ(x)

en que ϕ(x) es función analítica de x presenta ya un serio problema de análisis. El caso particular de éste en que ϕ(x) es un polinomio fue estudiado de manera completa siguiendo métodos del siglo XVIII, cuando Guichard (francés, 1861-1924) en 1887 estudió la ecuación para toda ϕ(x) analítica, dando con ello la primera teoría completa de una ecuación entre diferencias con una función analítica. La aportación revolucionaria de Poincaré (1885) inició la teoría de las soluciones asintóticas, análoga a la correspondiente de las ecuaciones diferenciales; y en 1909-1913, Galbrun (francés) continuó en esta dirección con soluciones asintóticas para valores grandes de la variable. Estos trabajos tienen utilidad práctica.

Una fase posterior data de 1911, cuando Birkhoff (1884-1944, Estados Unidos) y Carmichael (1879-¿?, Estados Unidos) casi simultáneamente publicaron sus investigaciones, el primero sobre sistemas de ecuaciones lineales homogéneas entre diferencias, el segundo sobre las soluciones analíticas de las soluciones lineales entre diferencias. Al igual que en su trabajo (del que nos ocuparemos más tarde) sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, Birkhoff utilizó eficazmente el álgebra de matrices. Esta obra fue definitiva. Ambos continuaron sus investigaciones intermitentemente durante un decenio. Las de Carmichael se desviaron hacia una generalización de un tipo de análisis factorial en que se habían ocupado multitud de matemáticos desde Newton a Weierstrass.

Las series factoriales y los desarrollos factoriales que aparecieron por primera vez en el problema de interpolación suscitan cuestiones de convergencia más difíciles que las que se presentan en las series de potencias. Uno de los primeros proyectos de Weierstrass (1842-1856) se ocupaba de las factoriales; se dice que el primer estudio por completo satisfactorio es el de Jensen (escandinavo, 1859-1925) de 1884. Las factoriales tienen un gran valor sentimental en la historia de las matemáticas, ya que fue gracias a ellas que Crelle percibió el genio de Abel. Sin el generoso apoyo de Crelle es probable que Abel se hubiera ido a su prematura tumba sin realizar la mayor de sus obras. De entre los modernos que hicieron más notables aportaciones a esta rama del análisis, el más prolífico fue Pincherle (italiano, 1853-1936). Los analistas escandinavos, entre los que es digno de especial mención Norlund (1885-¿?), han contribuido mucho a la moderna teoría.

El cálculo de las diferencias finitas con su teoría de las ecuaciones entre diferencias, tan poco de moda, no se enseña en las universidades americanas, con excepción de los rudimentos indispensables para un curso elemental de métodos estadísticos. Esto es una desdicha, porque si lo que indicamos al principio de esta sección tiene aunque sólo sea una ligera justificación, aún falta mucho por hacer, y la cambiante escena científica del siglo XX puede requerir la creación de unas matemáticas prácticas de lo discreto. En el caso en que no sea posible nada mejor que lo que ya existe, hay que demostrarlo. El talento por sí solo probablemente no llegará muy lejos en este programa.

A continuación, volvemos al campo más sencillo, pero suficientemente difícil, de las ecuaciones diferenciales.

PROBLEMAS DE EXISTENCIA Y ESPECIALES

Aunque no podemos estudiar con detalle los problemas especiales, hay uno, el de Pfaff,[9] del que nos debemos ocupar por tres razones: es típico de la enorme expansión que sufrieron las matemáticas en el siglo XIX por especialización; el problema de Pfaff desempeñó un papel central en la teoría de Lie de las transformaciones de contacto, teoría que revolucionó el tratamiento de las ecuaciones diferenciales de la dinámica y alteró el aspecto de la geometría; el que primero lo investigó con éxito (1814) fue Pfaff (alemán, 1765-1825), único matemático digno de mención de la Alemania de fines del siglo XVIII. Pfaff fue amigo del joven Gauss, y reconoció sus facultades, y Gauss correspondió apreciando las altas cualidades del carácter y del intelecto de Pfaff. Cuando la obra de Gauss empezó a ser conocida por toda Europa, le preguntaron a Laplace: “¿Quién es el mejor matemático de Alemania?” —“Pfaff.” “¿Y entonces Gauss?” “Oh”, replicó Laplace, “Gauss es el primer matemático de Europa”.

El problema de Pfaff[10] (1814) trata de la solución de una ecuación entre diferenciales totales con 2n o 2n − 1 variables para la cual no se satisfacen todas las condiciones de integración. Euler en 1770 encontró las condiciones de integración necesarias para

P dx + Q dy + R dz = 0

(P, Q y R, funciones de x, y y z) y creyó que a menos de que se satisfaga esa condición, no existe solución, porque la ecuación no se puede derivar de una sola función primitiva. Monge (francés, 1746-1818) presentó (1784) dos ecuaciones equivalentes a la sola ecuación total. Pfaff observó que en general la ecuación total, bajo las condiciones enunciadas, equivale a un sistema de n o menos ecuaciones; su problema es el de determinar esas ecuaciones, y en el método moderno se estudia también la integración de este sistema equivalente.

La inspección de las obras[9], [10] citadas mostrará que en poco más de cien años en los que a principios del siglo XIX no era más que un detalle del análisis se desarrolló prodigiosa y complicadamente. Asimismo, hubo otros muchos detalles que se desarrollaron de una manera aún más impresionante, hasta el punto de que a fines del siglo nadie pretendía dominar todo el análisis matemático, que pareció quedar de manera permanente fuera del alcance de los seres humanos. Las ecuaciones diferenciales que aportaron una enorme masa a esta superabundancia de material añadieron mucho a esta rica confusión. Con demasiada frecuencia para que resulte cómodo, las matemáticas del siglo XIX siguieron la misma fórmula de engullir sin digerir como todo el resto de la civilización en aquella edad heroica de expansión a toda costa. Pero de acuerdo con los abstraccionistas de 1940 el descarnado espíritu de la sencillez estaba entonces a punto de descender bendiciendo a todas las matemáticas, y las obras maestras más rococós del siglo XIX habían de conservarse tan sólo en los museos que no frecuentan sino los historiadores. Esta ardiente profecía encontró suficiente apoyo, como veremos al continuar, si es que no está perfectamente claro. Así, viendo sólo las masas de detalles, muchos de ellos muy pasados de moda, los profetas de un milenio abstracto han descuidado a veces las grandes síntesis como la teoría de Lie de los grupos continuos, valiéndose de la cual los mismos matemáticos del siglo XIX coordinaron innumerables resultados especiales de sus predecesores.

Ahora, pasamos a la cuestión fundamental de la existencia. Los primeros teoremas de existencia para las ecuaciones diferenciales los presentó Cauchy en sus conferencias[11] de 1920-1930. Se demuestra que si f, ≡ f(x, y) y ∂f/∂y son funciones reales, uniformes y continuas para todos los valores reales de x, y tales que |x − x₀| ≦ a, |y − y₀| ≦ b y si |f| está comprendida en este rectángulo, la ecuación real dy/dx = f(x, y) tiene una solución única y = F(x) que satisface la condición en los extremos y₀ = F(x₀). La demostración proporciona un medio teórico para construir la solución con el grado de precisión que se desee. Cauchy amplió su procedimiento a n ecuaciones de este tipo de primer orden con n variables independientes, equivalentes a una ecuación de orden n; y Lipschitz (alemán, 1832-1903) mejoró el método (1876), posiblemente con vistas a hacerlo algo más práctico. Entonces, es probable que el mismo Cauchy, y con seguridad muchos que siguieron su orientación, extendieron el método, con las modificaciones adecuadas al dominio complejo. Picard (francés, 1856-1941) en 1893 perfeccionó una teoría de la existencia basada en un método diferente, el de las aproximaciones sucesivas que se considera más práctico que el de Cauchy-Lipschitz. En 1945 se decía que las máquinas modernas parece que presentan mayores esperanzas de eficacia para obtener soluciones numéricas que los métodos puramente matemáticos.[12]

Las soluciones numéricas recibieron un fuerte impulso en la guerra mundial de 1914-1918, cuando la moderna artillería alemana, al reducir a polvo las fortalezas belgas, dejó anticuadas en parte las anteriores tablas balísticas. En aquel tiempo se hizo notar que los métodos perfeccionados para resolver las ecuaciones diferenciales de la mecánica celeste también contribuían eficazmente a crear un infierno en la tierra. Este y otros argumentos igualmente curiosos fueron los que se propusieron de manera apremiante en los Estados Unidos en 1917-1919 como razón sólida para que el gobierno subvencionara las matemáticas puras. Con la llamada vuelta a la normalidad, la balística se retiró de la primera fila de la propaganda académica, y se anunciaron clamorosamente las aplicaciones de la matemática a la genética, la agricultura, las pruebas de inteligencia, las finanzas y a otras empresas pacíficas. Aunque tan sólo relacionadas de manera remota[13] con las ecuaciones diferenciales se puede citar el uso de los cuadrados[14] latinos para planear experimentos[15] para el mejoramiento de cosechas, y para otros muchos fines como ejemplo notable de cómo las matemáticas en apariencia más inútiles albergan insospechados gérmenes de beneficio. Pero ni aun estas llamativas aplicaciones tuvieron más éxito que las ecuaciones diferenciales en obtener dinero de los políticos, y las matemáticas continuaron mendigando su camino, ostentosamente orgullosas de su incorruptible belleza.

Hasta ahora sólo nos hemos ocupado de las ecuaciones lineales. Con las ecuaciones no lineales de orden superior al primero se presentan nuevos fenómenos: las soluciones pueden tener singularidades móviles que dependan de los valores iniciales. El estudio de esas ecuaciones, iniciado por Hamburger (alemán) en 1877, L. Fuchs en 1884 y otros, lo continuaron Picard a partir de 1880 y P. Painlevé[16] (francés, 1863-1933) a partir de 1890. A este último se deben (1893) ciertas ecuaciones notables no integrables mediante las funciones elípticas ni ninguna de sus formas degeneradas. Esas ecuaciones, de las cuales la más sencilla es d²w/dz² = 6w² + z, definen nuevas trascendentes. Un tipo de análisis en cierto modo semejante se presenta en las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, científicamente más útiles, cuyos coeficientes son función de la variable independiente y tienen singularidades conocidas. Los ejemplos clásicos son la ecuación hipergeométrica investigada de manera competente por primera vez en 1812 por Gauss, la ecuación más general (1857) de la función P de Riemann, y la amplia clase de las ecuaciones llamadas tipo Fuchs, en honor de Fuchs (alemán, 1833-1902). Esos progresos tuvieron un doble significado para el desarrollo del análisis. Muchas de las ecuaciones diferenciales ordinarias más importantes de la física matemática son casos especiales de las mencionadas, y las propiedades de sus soluciones quedaban unificadas en la teoría general; las investigaciones de Fuchs y de su escuela ayudaron a preparar el camino para que Poincaré creara las funciones automorfas. Esto ha de bastarnos aquí; los detalles importantes los indicaremos en capítulos posteriores.

A esta época pertenece el útil método de solución debido a G. Frobenius (alemán, 1849-1917) que se suele explicar en los libros de texto. En esta obra, como en las aportaciones que hizo a la teoría de grupos, a los sistemas de números hipercomplejos, y a otras partes del álgebra, demostró Frobenius ser uno de los que mejor dominaban la técnica en el siglo XIX. La calidad de sus matemáticas, y también el tipo detallado de problemas por los que se interesaba, proporcionan un contraste vivo con la manera abstracta de abordar las matemáticas que tenían sus contemporáneos Kronecker y Dedekind. Todo el que se quiera hacer por sí mismo idea de la distinción que existe entre los matemáticos de primera fila de fines del siglo XIX y los del siglo XX pueden comparar ciertas memorias clásicas de Frobenius sobre temas dados con los trabajos correspondientes fechados después de 1920 y hechos por matemáticos competentes de la generación joven.

COMEDIA SIMBÓLICA EN TRES ACTOS

El oscuro episodio de los métodos simbólicos, que acompañó a la teoría de la existencia, atrajo considerable atención especialmente en Inglaterra. A pesar de su utilidad, las primeras aplicaciones de estos artificios tenían poca reputación entre los matemáticos, porque su uso no iba acompañado por una formulación explícita de las condiciones bajo las cuales dan resultados correctos. Tienen una historia larga y algo descuidada, que se inicia con Leibniz y termina en el siglo XX con las teorías satisfactorias de los operadores lineales distributivos. A nosotros nos bastará con unos cuantos puntos fundamentales, de los cuales el de mayor interés es el siguiente: si algún formalismo empírico produce casi invariablemente resultados consecuentes y útiles, es probable que esté indicada una justificación matemática fundamental, y en vez de censurar a los que emplean el formalismo por vivir y trabajar en un suburbio de la matemática, más provechoso sería que los turistas dedicaran su talento a sanear ese suburbio. Si algo les falta a esos modestos trabajadores, cierto que no es imaginación. El uso de las series divergentes en astronomía nos proporcionará un ejemplo sorprendente cuando lleguemos a las variables reales; el cálculo operatorio de Heaviside (inglés, 1850-1925), extraordinariamente útil, de que nos ocuparemos en seguida, es un ejemplo clásico del triunfo final de la perspicacia creadora sobre la pedantería académica.

Leibniz (1695) indicó que el símbolo d de diferenciación, ahora D en el método simbólico, tiene algunas de las propiedades de las “cantidades” algebraicas ordinarias, como por ejemplo las reglas de los exponentes enteros positivos. La separación total de los símbolos operatorios de sus operandos fue conseguida a principios del siglo XIX. Casi terminada por Arbogast (alsaciano, 1759-1803) en 1800, fue consumada por Brisson (francés) en 1808 por François (francés) en 1811 y por Servois (francés) en 1812. Entre 1836 y 1860 la escuela inglesa explotó el método simbólico en el cálculo diferencial e integral, en el cálculo de las diferencias finitas, en las ecuaciones diferenciales y en las de diferencias. Parte de esta obra subsiste en los textos elementales. Entre los más enérgicos propulsores del método se encuentran Boole[17] y Gregory (escocés, 1813-1844), que hicieron aportaciones notables. Una aplicación poco conocida fue la demostración de Boole (1857) del prolífico teorema de Abel (1826, descrito en un capítulo posterior) del cálculo integral.

El último progreso notable en el método simbólico fue el análisis operatorio de Heaviside (1887-1898) de ciertas ecuaciones diferenciales del electromagnetismo, que también tienen importancia en la ingeniería eléctrica y en otras partes.[18]

Los esfuerzos de Heaviside para que lo reconocieran los censores oficiales de la moral matemática ilustran una vez más el dicho de que es muy duro el camino del que se sale de lo trillado. Los obedientes de nacimiento verán en la derrota de Heaviside una merecida derrota de la inteligencia contumaz; los rebeldes, contra esa clase de respetabilidad que se protege detrás de un frente autorizado podrán leer en ello un desafío a la revolución. Si éste puede consolidar su revolución, conseguirá el mismo tipo de tolerancia retardada que no llegó a endulzar la amargura de la desdichada ancianidad de Heaviside. En caso contrario, tan sólo se recordará entre los que se dedicaron a la cuadratura del círculo.

Heaviside, en su asalto a los bastiones de la ortodoxia, fue rechazado con grandes pérdidas. Escandalizada por la falta de rigor matemático del innovador, la Royal Society de Londres rehusó publicar los trabajos de Heaviside, aunque éste era miembro de la sociedad. A partir de 1890, y ya entrado el siglo XX, se celebraron acres debates sobre los métodos del nuevo cálculo operacional. El veredicto oficial fue que la nueva edad tenía una reputación bastante mala para que los matemáticos que se preciaran de tales le prestaran su atención. Sin embargo, se hicieron enmiendas honorables cinco años después de la muerte de Heaviside, cuando se descubrió que, después de todo, el nuevo cálculo era perfectamente moral. Las siguientes frases (1930), leídas por un prestigioso analista inglés,[19] quizá pequen de generosas, defecto perdonable en este caso.

Mirando retrospectivamente la controversia, después de 30 años, deberíamos situar el Cálculo Operatorio junto al descubrimiento de Poincaré de las funciones automorfas, y al de Ricci del cálculo tensorial, como los tres más importantes progresos matemáticos del último cuarto del siglo XIX. Las aplicaciones, ampliaciones y justificaciones de dicho cálculo constituyen una parte considerable de la actividad matemática de hoy día (1930), y al decir esto pienso en los trabajos recientes de H. Jeffreys, Norbert Wiener, Bromwich, Carson, Murnagham, March y otros.

Pero la broma no culminó hasta 1937. Sobre esto se puede llamar en especial la atención de los estudiantes inexpertos que aspiran a seguir una carrera matemática, y que en su inocencia creen a veces que el dedicarse a éstas eleva la mente humana a alturas frías y relumbrantes muy por encima de las debilidades de la humanidad. Siguiendo el trillado modelo, la tragicomedia de Heaviside degeneró en tres actos de una farsa: el método de Heaviside era una completa tontería; estaba bien y tenía fácil justificación; todo el mundo lo conocía mucho antes de que Heaviside lo hubiera usado, y en realidad no era más que un lugar común del análisis clásico. Los ágiles aunque engreídos acróbatas[20] han estado en el tercer acto demasiado ocupados recobrando el equilibrio de su dignidad, perdido en el desliz del primer acto, para darse cuenta de lo que demuestran sus títeres.

Los ingenieros americanos empezaron a utilizar los métodos de Heaviside hacia 1910, y la demostrada utilidad del cálculo operatorio acabó por atraer a los analistas profesionales. En 1926, el bautismo largo tiempo diferido de este dudoso retoño de la ingeniería le confirió todos los derechos y los privilegios de la legitimidad matemática. Entre los que más activamente se dedicaron a la no solicitada rehabilitación matemática de Heaviside, se cuentan Bromwich (inglés, 1875-1929) en 1921, Levy (francés, 1886) en 1926 y Jeffreys (inglés, 1891-¿?). Si este episodio lleva implícita alguna moraleja, puede que sea la que sugiere la satírica burla que hace Heaviside de los puristas: “Esta serie es divergente; por tanto quizá podamos hacer algo útil con ella”. Con todo, y para que el triunfo demorado de Heaviside no pueda ser considerado como incitación a una revuelta poco sabia, y por el solo amor a la revuelta, conviene mencionar que antes de que aquélla se llevara a cabo, los que iniciaron el estudio de las ecuaciones integrales[21] ya estaban desarrollando el análisis que había de justificar el cálculo de Heaviside, prescribiendo al mismo tiempo definitivamente las limitaciones correspondientes. Una curiosa aplicación de este cálculo es la que en 1938 dio Van der Pol (holandés) a la teoría de los números primos, que ilustra, por lo menos, el valor heurístico del método. En 1930, el cálculo de Heaviside ya formaba parte de la educación rutinaria que se daba a los ingenieros electricistas en las escuelas técnicas más progresivas.

LOS SISTEMAS; EL PROBLEMA DE CAUCHY

Los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias se presentaron pronto en la astronomía dinámica, y concretamente en el problema de los tres cuerpos de Newton. Las tentativas que se hicieron durante los siglos XVIII y XIX para encontrar soluciones en casos especiales y para descubrir integrales (además de las que dan los principios fundamentales de dinámica) en el caso general parece que en gran parte dieron lugar a la elaborada teoría de los sistemas de ecuaciones simultáneas. El análisis de n ecuaciones diferenciales lineales simultáneas de primer orden con coeficientes analíticos en un parámetro adelantó mucho con los nuevos métodos (1892-1899) de mecánica celeste de Poincaré. Euler, al desarrollar su teoría lunar, hacia 1750, obtuvo soluciones de esos sistemas en forma de series de potencias del parámetro, pero fue Cauchy el que justificó el análisis. Con los primeros cronómetros marinos satisfactorios (los de Harrison, 1765), la Luna ya no fue el único reloj digno de confianza de que disponían los navegantes, y la importancia de la teoría lunar para determinar la longitud en el mar disminuyó hasta casi anularse. Pero en sus aspectos puramente matemáticos, el problema de los tres cuerpos continuó dominando una de las ramas más importantes de las ecuaciones diferenciales. La teoría de las perturbaciones, con todo su pesado análisis, se remonta a las tentativas de describir el movimiento de la Luna.

Entre otros muchos trabajos modernos notables sobre sistemas de ecuaciones simultáneas de primer orden, el de Birkhoff (1884-1944, Estados Unidos) inspiró mayores progresos. Un detalle interesante del desarrollo de esta teoría en el siglo XX lo constituye el uso incidental del álgebra de matrices. A principios del siglo XX las relaciones con las ecuaciones integrales y los problemas correspondientes de contorno fueron desarrolladas por Hilbert, Birkhoff, Mason (1877-…, Estados Unidos) y otros muchos. En un capítulo posterior quedará clara la importancia científica de esas relaciones. Otro desarrollo paralelo a los anteriores se abrió rápidamente camino hasta primera fila. En 1881 inició Poincaré una filosofía radicalmente nueva para la teoría y la práctica de las ecuaciones diferenciales. El objetivo principal en este caso era el estudio cualitativo o topológico de todas las soluciones de un sistema y de las relaciones entre ellas antes de prestar ninguna atención a los aspectos cuantitativos. Partiendo de éste se desarrolló la vasta teoría de los movimientos recurrentes, las órbitas periódicas y la estabilidad dinámica. Una vez más, el origen lo constituye la astronomía dinámica del siglo XVIII, y en particular la tentativa de Laplace de establecer la estabilidad del sistema solar. Entre otras causas que dejaron anticuados los esfuerzos de Laplace se encuentran los inusitados aumentos de conocimientos astronómicos muy precisos que se realizaron durante todo el siglo XIX, y la relatividad. Pero aunque la síntesis laplaciana, simplista en exceso, ha sido modificada hasta que ya no se la reconoce, los problemas que planteaba muchas veces perfeccionados y generalizados siguen siendo tan sugestivos como eran en 1827 a la muerte de Laplace. La revisión que se ha hecho en el siglo XX tanto de la mecánica celeste y clásica como de la dinámica cualitativa de Poincaré, Birkhoff y otros muchos, produjo un gran desarrollo de la topología, que a su vez reaccionó sobre la dinámica cualitativa. Tiene interés recordar que Poincaré inició uno de estos notables progresos (1892), partiendo de los métodos inventados (1877) por Hill para analizar el movimiento del perigeo de la Luna, en los que se presentaron por primera vez los determinantes infinitos. También en la obra de Hill están los orígenes de la moderna teoría de las ecuaciones diferenciales con coeficientes periódicos, a la cual han hecho aportaciones dignas de mención muchos estadunidenses, entre ellos Moulton (1872-¿?) y MacMillan (1871-¿?). En el siglo XX se admitieron en estos trabajos los coeficientes simple y doblemente periódicos.

Cuando lo juzguemos necesario para el desarrollo del texto, nos ocuparemos de las ecuaciones entre derivadas parciales. Sin embargo, podemos mencionar aquí dos episodios que tienen importancia algo más que incidental, ya que ninguno de ellos encaja convenientemente en los capítulos que han de seguir. El primero fue la tentativa para definir las soluciones generales y completas de una ecuación entre derivadas parciales de orden superior al primero. Jacobi poco después de 1830 (publicado en 1862) había dado un método satisfactorio para la integración formal de sistemas de ecuaciones entre derivadas parciales de primer orden con una variable dependiente. Pero para ecuaciones de segundo orden se necesitaban nuevos principios y había varias posibilidades.[22] Laplace en 1777, Ampère (francés, 1775-1836) en 1815-1820, Boole en 1863 y Darboux en 1870, propusieron métodos para definir y obtener las integrales, ninguno de los cuales se consideraba satisfactorio todavía en 1908. Los progresos detallados que se hayan hecho se refieren casi por completo a ecuaciones aisladas de segundo orden con no más de tres variables independientes. Las ecuaciones más importantes de la física matemática clásica quedan dentro de esta categoría, lo cual explica la intrincada teoría que se ha desarrollado en torno suyo.

El segundo punto del que nos vamos a ocupar aquí, el problema de Cauchy de 1842, puede ser considerado como resultado natural de los problemas de contorno de la física matemática tal como se presentaban a principios del siglo XIX. Está estrechamente relacionado con el primer punto, pero con una distinción de importancia fundamental. Aunque parezca razonable, el problema de encontrar la solución general de una ecuación entre las derivadas parciales de segundo orden puede no estar bien planteado. Si son posibles varias soluciones distintas, cada una de ellas con cualidades deseables, pero ninguna que las posea todas, el problema en apariencia razonable puede ser demasiado general para que resulte útil. Por consiguiente, tiene sentido el tratar de aislar de entre todas las posibilidades una que en general dé una solución única, e investigar los casos excepcionales en que no exista solución única. Éste es el problema que interesa en física matemática, y a este tipo pertenece el de Cauchy; sus casos particulares incluyen muchos de los que se presentan en la física clásica. El problema general se ocupa de una ecuación diferencial lineal entre derivadas parciales de segundo orden con una variable dependiente y n variables independientes; y se necesita determinar una solución que junto con su primera derivada parcial respecto de una de las variables independientes calculada para el valor cero de esa variable sean funciones dadas de las restantes n − 1 variables. También hay que determinar y analizar los casos excepcionales en que el problema no tiene solución única. Entre los que posteriormente a Cauchy estudiaron este problema en el siglo XIX son dignos de mención Sonja Kowalcwski (rusa, 1850-1891) en 1874 y Darboux (1875); en el siglo XX, Hadamard y otros pertenecientes a la escuela analítica francesa, que desarrollaron la teoría general. Consultando las obras citadas,[23] puede uno formarse algún concepto de la extensión que había de alcanzar esta especialidad al cabo de 80 años.

Hay un nombre muy famoso que no se ha mencionado explícitamente a propósito de las ecuaciones diferenciales, porque lo hemos estado dando por supuesto. Las aportaciones concretas de Weierstrass tuvieron posiblemente menos importancia que la abrumadora influencia de su fundamental reforma del análisis, incluyendo las ecuaciones diferenciales.

HACIA LA SISTEMATIZACIÓN

En el párrafo anterior no hemos mencionado sino un puñado de ejemplos de entre una multitud. Los elegimos teniendo a la vista dos fines: sugerir que hacia 1870 había una masa caótica de análisis a la que equivocadamente se daba el nombre de teoría de ecuaciones diferenciales, que estaba madura para las tentativas que se hicieran de sistematización y coordinación; ofrecer alguna justificación moral ya que no es posible nada más importante, al sentimiento de presión que impulsó a muchos de los analistas jóvenes después de 1900 a refugiarse en el análisis general y en la abstracción completa. Nos volveremos a ocupar del segundo de estos motivos. Por el momento indicaremos un paso significativo hacia un análisis general: ya en 1908 Moore estudió las ecuaciones con una infinidad numerable de variables. Posteriormente, varios matemáticos de la escuela americana[24] discutieron las ecuaciones diferenciales de orden infinito. Con la generalización paralela del concepto variable en el cálculo de variaciones y en la teoría de funciones, los progresos hacia algún tipo de análisis general parecieron inevitables. Al mismo tiempo se desarrollaba otro movimiento iniciado hacia 1880 y que encontró antes su objetivo en la primera teoría estructural de las ecuaciones diferenciales. Esta evolución conjunta es, naturalmente, algo complicada, ya que implica progresos del álgebra, la geometría y el análisis. Por razones que diremos más adelante, seguiremos sus principales líneas por la ruta que indican las matemáticas aplicadas.

El impulso recibido de la ciencia es tan evidente en las ecuaciones diferenciales que no se necesita subrayarlo más. Al seguir adelante veremos cómo la influencia que han ejercido las matemáticas aplicadas sobre la evolución de las teorías de funciones son cada vez más evidentes. Sin embargo, con el álgebra se invirtió la marcha ordenada partiendo de las aplicaciones hacia éstas: las abstracciones precedieron a las aplicaciones con la contribución más importante que hasta ahora ha hecho el álgebra a la ciencia, el concepto de invariancia.

En geometría el intercambio constante entre la matemática pura y la aplicada continuó durante todo el siglo XIX. Por ejemplo, la cartografía y la geodesia se pueden asignar a cualquiera de las dos ramas; también sus resultados en geometría diferencial son matemáticas puras o aplicadas según que se tenga más interés en la geometría misma o en la interpretación que le dé la cosmología y las ciencias físicas. Pero lo de menos es la etiqueta con que se designa algún progreso particular; lo que interesa es el intercambio continuo entre la geometría creada con fines prácticos y científicos y la que se desarrolló de una manera pura.

Claro está que no es obligatorio seguir a las matemáticas aplicadas tomándolas como clave para resolver este intrincado laberinto. A cualquiera que haya explorado, por poco que lo haya hecho, se le ocurrirán otras varias maneras de abordar la tarea. Por ejemplo, también la geometría marca el camino a través de este laberinto. Pero ¿qué es la geometría? Las tentativas para obtener una definición práctica tuvieron en parte la culpa de que eligiéramos aquí las matemáticas aplicadas. Hasta ahora la mejor definición con que se cuenta es la debida a un distinguido geómetra estadunidense:[25] “La geometría es lo que hacen los geómetras”. Si se pregunta qué es lo que hacen los geómetras, la contestación no es menos satisfactoria: “Los geómetras hacen geometría”. Esas definiciones no tenían intención de ser chistosas, sino que eran un franco reconocimiento de que para la mayoría de los que se titulan geómetras todo es geometría. Pero con las aplicaciones no hay ninguna dificultad. Todo el mundo cree que comprende qué es lo que se quiere dar a entender al decir matemáticas aplicadas, especialmente si, como deben afirmar los marxistas consecuentes, las matemáticas puras no son buenas matemáticas.

XX
INVARIANCIA

LA INVARIANCIA, a la que se estudió seriamente por primera vez en 1841, alcanzó la categoría de concepto dominante del pensamiento matemático tan sólo 30 años más tarde. Un corto resumen de algunos rasgos del desarrollo general, antes de describirlo más detalladamente, puede servir para indicar la importancia fundamental que tiene la invariancia en álgebra, geometría, análisis y física teórica. La invariancia topológica, no mencionada en este resumen, se describe más adelante.

RASGOS GENERALES

En este contexto, sería difícil hacer una definición amplia y formal de la invariancia, y una vez construida[1] no aclararía mucho. La siguiente descripción informal[2] da la sustancia del asunto más que inteligiblemente. “Invariancia es la falta de cambio en el medio del cambio, la permanencia en un mundo que varía, persistencia de configuraciones que siguen siendo iguales a pesar de los esfuerzos y los torbellinos de incontables curiosas transformaciones.”

Un ejemplo inmediato es el de la conservación de la energía, tal como se concebía en la física del siglo XIX; otro es la constancia de la razón doble de cuatro puntos alineados al proyectarlos; otro la permanencia del orden de los puntos de toda recta en una red coordinada de un mapa elástico, cuando se estira el mapa de cualquier manera sin desgarrarlo. Asimismo, hay un ejemplo de álgebra elemental que se remonta a 1773, en el que se encuentra el insospechado germen de toda la teoría de la invariancia con todas sus ramificaciones en la matemática moderna. En el curso de sus investigaciones aritméticas de las formas cuadráticas binarias, Lagrange observó incidentalmente que si se cambia x por x + λy, e y por y en ax² + 2bxy + cy² de manera que la forma se transforme en Ax² + 2Bxy + Cy², en que A ≡ a, B ≡ aλ + b, C ≡ aλ² + 2bλ + c, los discriminantes b² − ac, B² − AC son iguales.

El descubrimiento de Lagrange es un caso especial del “históricamente” primer teorema general sobre los invariantes algebraicos: una transformación lineal homogénea de las variables en una forma cuadrática convierte la forma en otra cuyo discriminante es igual al de la forma primitiva multiplicada por un factor[3] que depende tan sólo de los coeficientes de la transformación. Este teorema debido a Boole (1841) se suele considerar como origen de la teoría de los invariantes algebraicos. Gauss (1801, Disquisitiones arithmeticae) había empleado los casos particulares de las formas cuadráticas con dos y tres variables, pero ni él ni Lagrange percibieron que era la clave para un continente inexplorado del álgebra.

En álgebra, una forma tiene la misma definición que en la teoría algebraica, excepto por el hecho de que los coeficientes no tienen la restricciones de ser enteros, sino que son constantes arbitrarias. Boole (1842) continuó sus éxitos descubriendo ciertas funciones de los coeficientes y de las variables de las formas que tienen la misma propiedad de invariancia respecto a las transformaciones lineales. Para distinguir éstas de la primera especie que sólo afecta a los coeficientes de las formas se llamó a los últimos covariantes.[4]

Si se recuerda que Boole fue uno de los principales fundadores de la lógica simbólica, con mucha razón puede pretender el amargo honor de haber sido el matemático más subestimado del siglo XIX. Habiendo aprendido por sí mismo, Boole carecía de las ventajas de una formación ortodoxa en las matemáticas de su tiempo. Su originalidad era tan agresiva que podría haber incluso superado los inconvenientes de no tener la educación que tanto lamentaba él haber perdido a causa de la pobreza. En todo caso fue un matemático muy poco académico, con ventaja duradera para las matemáticas y para la filosofía.

Cayley reconoció inmediatamente la importancia de los descubrimientos de Boole y en 1845 empezó a desarrollar sistemáticamente una teoría de las formas algebraicas y de sus covariantes e invariantes respecto de las transformaciones lineales homogéneas, a la que calificaba brevemente de teoría de los invariantes algebraicos, o de las formas algebraicas, o álgebra de los quánticos.[5] Durante cerca de un siglo después de los descubrimientos iniciales de Boole (1841), álgebra superior moderna fue prácticamente sinónimo de teoría de las formas algebraicas. Al mismo tiempo se utilizaba a la geometría proyectiva como un molde adecuado en una tentativa digna de elogio pero fútil para infiltrar a masas informes de álgebra nueva algo que se pareciera a la intuición. Fórmulas cada vez más complicadas eran retorcidas para formar teoremas cada vez más intrincados, hasta que se desvanecía toda justificación concebible para estos ejercicios. De esta manera, era imposible darle interés a fórmulas de amplitud desmedida valiéndose de la geometría o de cualquier otra rama de las matemáticas conocidas por el hombre. La edad de oro de los cálculos algebraicos sin objetivo concreto expiró con tranquilidad hacia 1890 por la acumulación de su propio oro. El legado que dejó el álgebra moderna abstracta del siglo XX fue el teorema fundamental de Hilbert (1890): un ideal polinómico tiene una base finita.

Mientras que los algebristas se deleitaban con sus interminables cálculos, los físicos perseguían una manifestación más difícil de aprehender de la invariancia, en las hipótesis de la conservación de la masa y de la energía. Como los algebristas formales, se engañaron a sí mismos creyendo que habían descubierto verdades absolutas para la orientación de todas las generaciones futuras. Hasta 1915-1916 no se formuló explícitamente, con el principio de la covariancia[6] de Einstein, el significado profundo de la invariancia física. Lo que se había venido tomando como necesidad eterna se veía que no era sino un lugar común del lenguaje matemático: un sistema de coordenadas es tan bueno como otro cualquiera. Si las ecuaciones diferenciales de la física matemática han de reflejar esta indiferencia hacia cualquier marco coordenado de referencia particular, han de ser invariantes bajo todas las transformaciones de las coordenadas espacio-tiempo. Antes de que fuera enunciado en física matemática el principio de la covariancia, los filósofos típicos habían objetado a la relatividad restringida de 1905 el que todavía daba preferencia a un sistema muy especial[7] de coordenadas espacio-tiempo. Pero para remediar el defecto era imprescindible algo más que crítica aguda: se necesitaba un dominio completo de un campo algo descuidado de la geometría diferencial.

Además del álgebra y del análisis, hubo una tercera actividad de las matemáticas del siglo XIX que influyó profundamente sobre el desarrollo de la invariancia. La investigación de Riemann (1854) sobre las hipótesis en que se funda la geometría, y su análisis (1861) de un problema de conducción del calor, sugirieron un nuevo tipo de invariancia, en la cual las transformaciones generales analíticas y las formas diferenciales (cuadráticas) remplazan a las transformaciones lineales y a las formas algebraicas de la invariancia algebraica. Entonces, partiendo de esto, se desarrolló la moderna geometría diferencial y la física geométrica de la relatividad. El tensor de Riemann-Christoffel básico para la cosmología relativista y la gravitación hizo su primera aparición en las notas de Riemann[8] sobre conducción del calor publicadas póstumamente.

En 1870-1880 se dio el impulso final a la evolución de la invariancia con el desarrollo extraordinariamente rápido de la teoría de transformación de grupos de Lie. Diremos de pasada que Lie fue uno de los grandes matemáticos, tan escasos, que no se interesó, ni mostró talento en matemáticas en su juventud. A los 21 años le impresionaron las conferencias de Sylow sobre la teoría de ecuaciones de Galois, pero no le movieron a la actividad. Cuando, finalmente, a los 26 años, Lie sucumbió a la geometría, realizó en semanas un trabajo que normalmente hubiera sido de años. Al asociarse (1869) durante unos meses con el entusiasta Klein, aproximadamente un año después de haberse encontrado a sí mismo, Lie se convirtió a los grupos y a la invariancia. En este caso la historia queda avivada por más de un toque de interés humano. La primitiva amistad cordial entre esos dos sobresalientes matemáticos del siglo XIX se enfrió poco a poco cuando Lie se convirtió en sus últimos años en un hombre malhumorado, y empezó a sospechar de todo el mundo. Cuando Klein estaba haciendo todo lo que enérgicamente podía para convencer al público matemático de las ideas de Lie, éste se imaginaba que Klein trataba de apropiarse de la gloria retardada que le era debida por la invención de los grupos de transformación. La escena quedó preparada para otra amarga disputa sobre prioridades, cuando Klein se retiró tras del telón dejando a Lie que hiciera frente por sí solo al público.

Las disputas académicas entre matemáticos sensibles rara vez terminan de manera tan pacífica. Si los hombres eminentes son tan propensos a los duelos públicos[9] no hay que maravillarse de que los matemáticos más oscuros disipen gran parte de su tiempo y energías envidiando y tratando de poner zancadillas a los que intelectualmente son mejores que ellos. Este rasgo tan humano lo personifica Baire (francés, 1874-1932), sutil analista y uno de los matemáticos más neuróticos del siglo XX, como aglomeración de la mediocridad. Estas observaciones no tienen el objeto de menospreciar a nadie, sino que simplemente son la expresión de un hecho académico que se expone a la consideración de los jóvenes idealistas que tratan de huir de la humanidad refugiándose en una vida dedicada a la investigación matemática.

Las teorías y los métodos de Lie tuvieron influencia duradera sobre las matemáticas del último tercio del siglo XIX. De modo que el famoso programa[10] de 1872 de Klein para la unificación de las principales geometrías que entonces existían fue en parte sugerido por la teoría de Lie de los grupos de transformación. Desde luego que la invariancia es una de las ideas dominantes en gran parte de la obra de Lie. Como veremos más tarde, los conceptos de grupo y de invariancia son complementarios en la síntesis de Klein. Después de la relatividad el concepto siguió siendo igualmente sugestivo en geometría, pero pasó a ocupar una posición subordinada al inventarse las numerosas geometrías que no habían sido unificadas por el programa de Klein. También la teoría clásica de los invariantes algebraicos (proyectivos) descansó finalmente como detalle subordinado de la teoría de Lie que también contribuyó de manera directa a la física matemática por medio de sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, el método de las transformaciones de contacto hizo que la manera clásica de Hamilton-Jacobi de tratar las ecuaciones de la dinámica no tuviera ya sino un interés puramente histórico. En las matemáticas puras, los métodos de Lie reaccionaron sobre las teorías de los invariantes[11] diferenciales e integrales. Estos últimos en manos de Poincaré (1891-…) llegaron a ser instrumento muy eficaz de la mecánica celeste. Los invariantes integrales pasaron después en el tercer decenio del siglo XX al tipo de física matemática asociado con la relatividad general y las leyes de conservación. Tanto los invariantes diferenciales como los integrales desempeñaron un papel muy importante en la geometría revitalizada del siglo XX, que de acuerdo con algunos críticos[12] avanzó mucho más allá de los límites que establecía el programa de Klein.

Hacia 1915 la semilla de mostaza de Lagrange (1773) se había desarrollado hasta ser un bosque que daba sombra a vastas regiones de la matemática, y todavía originaba nuevos vástagos. Cuando surgió la relatividad general, la invariancia estaba firmemente establecida como una adición permanente al pensamiento matemático. Con la popularización de la relatividad, la invariancia atrajo la atención de los filósofos. La trivialidad de Lagrange, a la que nadie había prestado atención, adquirió en lo sucesivo, en la historia del pensamiento filosófico, una importancia que hubiera asombrado a aquel que con tanto escepticismo consideraba a todas las filosofías, incluida la suya propia.

Si la historia fuera capaz de realizar alguna función útil, se podría esperar de ella que indujera al presente a aprender algo del pasado en lugar de recordar simplemente episodios contradictorios escogidos con arreglo al gusto y a los prejuicios de cada cual. A propósito de lo que nos ocupa, recordaremos que hubo otros, además de Lagrange, que no pudieron reconocer el germen de algo grande cuando lo vieron y lo manejaron de pasada. Gauss no lo vio en absoluto; Boole medio lo reconoció; Eisenstein se lo dejó escapar por entre los dedos, y fue Cayley el que agarró y desarrolló la oportunidad que había al alcance de todos los algebristas de su generación. Aunque la teoría algebraica iniciada por Cayley en 1840-1850 tenía una importancia muy secundaria hacia 1880, la aparición de la invariancia como nuevo principio unificador que hay que buscar y seguir deliberadamente en matemáticas data de la era de los cálculos excesivos y en cierto modo sutiles del álgebra de las formas.

La gran importancia científica de la invariancia fue descuidada por uno del que retrospectivamente se podría haber esperado que la reconociera al instante. La imaginación cósmica de Riemann había previsto ya en 1854 la geometrización parcial de la física matemática, no percibiendo, sin embargo, la generalización más profunda que insinuaba en su propia obra sobre la conducción del calor siete años más tarde. El pleno significado matemático, científico y filosófico de la invariancia no fue percibido más que cuando la relatividad general lo expuso a la vista de todo el mundo, hecho histórico que hay que poner de manifiesto a pesar de la hostilidad de las ideologías absolutistas hacia toda forma de relativismo. Al considerar de forma retrospectiva lo que ahora nos parece un innecesario retraso en la aparición de este concepto dominante del moderno pensamiento científico, se nos ocurre pensar si los atareados matemáticos jóvenes del siglo XX no están pasando por alto importantísimas trivialidades como la de Lagrange, que se cultivarán dentro de un siglo a expensas de lo que ahora parece ocupar todo el firmamento matemático.

LA INVARIANCIA ALGEBRAICA[13]

Cayley llamó en un principio, en su primer documento de 1845, hiperdeterminantes a los invariantes algebraicos, ya que entonces consideraba el fenómeno de invariancia algebraica como una generalización de la regla para multiplicar determinantes. Asimismo, es notable que esta primera obra introdujera y usara el método simbólico, ya implícito en las álgebras de Grassmann de 1844, que posteriormente fue simplificado, expresado con una notación más sugestiva, y empleado con asombrosa habilidad y efectividad por los algebristas alemanes. Podemos recordar aquí de pasada las fases principales de la evolución de los determinantes.

Es posible que ya hacia 1100 a. C., los chinos[14] resolvieran dos ecuaciones lineales con dos incógnitas empleando una regla equivalente al método corriente de los determinantes, y existe una leyenda de que Seki Kowa (japonés, 1642-1708) que igualó si no superó a Newton,[15] también lo hizo hacia 1683. A Seki, dicho sea de paso, casi se suele atribuir el invento de lo que se pretende que es una forma del cálculo integral “aunque no sabemos concretamente que escribiera jamás sobre esa materia”.[16] En cuanto al invento (el yenri) tan sólo los historiadores más generosos pueden encontrar en él algo menos basto que los primeros pasos de los griegos hacia el método de exhaución. Poco después de que Seki hubiera previsto de manera hipotética los determinantes, Leibniz (1693) dio una regla para resolver los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas equivalente al de los chinos. Esta regla fue ampliada (1750) por Cramer (suizo, 1704-1752) y simplificada (1764) por E. Bézout (francés, 1730-1763). Pero a pesar de su atractivo como antigüedades es difícil ver en ninguno de estos interesantísimos desarrollos nada que tenga algo que ver con los determinantes.

Las siguientes aportaciones tienen pretensiones más válidas. Vandermonde (1735-1796, Francia) mejoró la notación, aisló (1771) como objeto de estudio independiente a lo que después se había de ver que eran determinantes, y dio una exposición sistemática de lo poco que entonces se sabía. Lagrange descubrió en 1773 identidades inútiles que mucho después se reconocieron como casos muy particulares de la propiedad característica de los determinantes recíprocos, y Laplace (1772) enunció malamente su regla para el desarrollo de un determinante. Los combinatorialistas alemanes de fines del siglo XVIII expusieron con facilidad varios resultados útiles con una notación muy densa, y Wronski discutió en 1811 varias formas particulares, pero todavía con un disfraz singularmente tosco. Gauss (1801) usó de manera incidental identidades del mismo tipo que las de Lagrange.

Binet (francés, 1786-1856) en 1812 dio un gran paso hacia adelante con la regla de multiplicación, que bajo hipótesis adecuadas basta para definir los determinantes. El mismo año Cauchy acometió finalmente la materia usando la notación S ±, y dando demostraciones generales de los teoremas fundamentales. En lo sucesivo los determinantes formaron ya parte del equipo de todos los matemáticos activos, aunque todavía faltaba una notación adecuada. El año 1841 hace época en esta materia: resumiendo sus investigaciones de varios años, Jacobi presentó magistralmente los fundamentos, incluyendo sus propios determinantes funcionales (jacobianos); Cayley inventó la atractiva notación de la disposición en cuadro entre barras verticales y la usó muy eficazmente.

La notación de Cayley, una de las más afortunadas del siglo XIX, había de demostrar que es incluso demasiado sugestiva. Dio lugar a multitud de determinantes especiales, unos cuantos útiles, pero la mayoría simplemente curiosos. En 1920, Muir (escocés, 1844-1934) necesitó cinco volúmenes con un total de alrededor de 2 500 páginas para una simple historia de los determinantes. El mismo año la materia fue absorbida como detalle secundario, y muy simplificado por el álgebra tensorial, reducción que se debe directamente a la popularidad que en aquella época tenía la relatividad. De esta forma se obtenían con facilidad las identidades más útiles, como la de Kronecker, y lo mismo ocurría con los teoremas de los desarrollos. Igualmente se puede absorber el álgebra clásica de los quánticos. Los determinantes, tal como se cultivaron en el siglo XIX, serán sin duda durante mucho tiempo el ejemplo más monumental de elaboración sin fines aparentes. Cuando las matemáticas descienden al nivel de 19 veinteavos de la obra realizada en determinantes, no se considera ya que tengan buena reputación.

Cayley pronto abandonó el calificativo de hiperdeterminante favoreciendo el de álgebra de los quánticos y se planteó el amplio problema siguiente, que estudió en todas sus ramificaciones en numerosos documentos y en una famosa serie (1854-1878) de 10 memorias sobre los quánticos. Cayley llamó quánticos a los polinomios homogéneos con coeficientes constantes arbitrarios, de grado n y con m variables independientes. Las variables de un quántico dado están sometidas a una transformación lineal homogénea no singular, y entonces el quántico transformado queda reducido a un quántico con las nuevas variables. Si el dado tiene m independientes y es de grado n, también lo será el transformado. Se desea hallar todos los polinomios (invariantes y covariantes algebraicos racionales enteros) con los coeficientes, o con los coeficientes y las variables del quántico original, que se diferencian tan sólo en un factor,[17] que sea una potencia del determinante de la transformación, partiendo de los polinomios análogamente construidos en los coeficientes, o en los coeficientes y las variables, del quántico transformado.

Las primeras experiencias pronto sugirieron otros dos problemas, ambos de importancia fundamental para el desarrollo subsiguiente del álgebra moderna y de sus numerosas aplicaciones, por ejemplo, a la geometría algebraica. El primero se refiere a la existencia de un llamado sistema fundamental: determinar si existe un conjunto de invariantes para un quántico dado tal que todo invariante del quántico pueda ser expresado como polinomio en los miembros del conjunto; lo mismo para los covariantes contando al quántico entre sus covariantes. Este problema se generaliza de manera inmediata al correspondiente para un conjunto finito de quánticos de cualquier grado y con cualquier número de variantes. El segundo problema, el de las sicigias según el lenguaje planetario de Sylvester, es el de encontrar todas las relaciones algebraicas independientes e irreducibles entre los invariantes de todo conjunto finito de quánticos y lo mismo para los covariantes. Estas descripciones de dos de los principales problemas de la teoría algebraica de las formas han de bastarnos aquí; para más detalles, referimos como siempre al lector a un texto cualquiera de los corrientes.

Sin prejuzgar nada diremos que en la descripción de ambos problemas prescindimos de una posibilidad importantísima: ¿Existe un sistema fundamental finito? ¿Existe un número finito de sicigias independientes a partir de las cuales sea posible deducirlas todas mediante operaciones racionales? Por una de las equivocaciones más afortunadas que registra la historia de las matemáticas, Cayley se convenció a sí mismo (1856) en el caso especial de los quánticos binarios (con dos variables) de grado superior al sexto[18] de que la respuesta a ambas preguntas es negativa: no hay ningún sistema fundamental que conste tan sólo de un número finito de miembros, ni hay tan sólo un número finito de sicigias a partir del cual se puedan deducir racionalmente todas las demás. Cayley se engañó, ya que en ambos casos la respuesta correcta es afirmativa. Por no estar muy fuerte en aritmética había supuesto que un determinado sistema de ecuaciones diofánticas lineales era independiente cuando en realidad no lo era.

Los numerosos éxitos de Cayley a los que pronto siguieron los del prolífico Sylvester desencadenaron una de las más despiadadas campañas de cálculo totalitario que registra la historia de las matemáticas. Desde 1846 a 1867, la escuela inglesa de Cayley, Salmon (irlandés, 1819-1904), y Sylvester (inglés, 1814-1897), con Hermite cooperando desde Francia, condujo a un entusiasta ejército de algebristas y de geómetras dedicados a la proyectiva por el fértil territorio de los quánticos binarios de todos los grados, de las formas cuadráticas y lineales con cualquier número de variables, y por las cúbicas ternarias. Procediendo por completo a pie, todos evitaron el poderoso mecanismo simbólico perfeccionado a partir de los hiperdeterminantes de Cayley por las divisiones alemanas de Aronhold (1819-1884), que fundó el moderno método simbólico hacia 1850,[19] Gordan, que lo dominó por completo, y Clebsch (1833-1872), que sistematizó (1871) y aplicó con vigor el simbolismo alemán a la geometría en tratados clásicos[20] que hoy apenas nadie abre. Un cuerpo de especialistas italianos, encabezado por el resuelto Brioschi (1824-1897) se unió a la marcha triunfal calculando furiosamente al asaltar las suculentas praderas. Los Estados Unidos, retrasados, mantuvieron su neutralidad hasta 1876.

El exceso de victorias fáciles pudo haber detenido la marcha en 1868, pero continuó mucho más allá hasta fines del siglo, gracias al impulso que llevaba.[21] Syvester en 1876 fue desde su ciudad natal, Londres, a los perezosos Estados Unidos donde sirvió muy eficazmente como embajador matemático hasta que en 1883 lo retiraron a petición propia. Su incansable celo inundó al ejército de algebristas con una multitud de reclutas sin instruir que tomó el Reino Unido de los quánticos binarios, las funciones simétricas y los eliminantes como si fuera la más amplia democracia de las matemáticas. El American Journal of Mathematics, fundado por Syvester en 1878, empezó a almacenar montones de cálculos para prever un hambre inminente que todavía no se ha presentado.

Esa previsión equivocada no fue exclusiva del álgebra de los quánticos en las matemáticas posteriores a 1850. Por ejemplo, en la paralela teoría de los grupos, y especialmente en los grupos de permutaciones, hubo un pánico semejante.[22] Una vez que se cuente con los medios de cultivar cosechas ilimitadas de algún cierto producto, parece que es un exceso de precaución el hacerlo producir hasta que los graneros estallen, a menos, desde luego, que haya alguien para consumir la cosecha. Ha habido muy pocos consumidores para los cálculos mencionados y ninguno para los que no son fáciles de digerir.

Sin embargo, la campaña de los cálculos por amor al cálculo por fin apuntó hacia regiones del álgebra, la geometría y el análisis que habían de conservar su frescura durante decenios después de que el álgebra superior moderna de 1870-1880 hubiera sido relegada a los textos clásicos más polvorientos. No necesitamos mencionar más que cuatro.

Ahora, aprovechando el descuido de Cayley de 1856, Gordan demostró en 1868 la existencia de sistemas fundamentales finitos de invariantes y de covariantes para todo quántico binario, y en 1870 hizo lo mismo para los sistemas de formas de esos tipos. La demostración de Gordan, usando el cálculo simbólico de Aronhold y Clebsch, era constructiva: mediante el empleo de una cantidad suficiente de fuerza bruta se podía llegar a conseguir los sistemas fundamentales. A causa de esta memorable victoria sobre las hordas bárbaras de los invariantes algebraicos, sus románticos admiradores alemanes coronaron a Gordan “rey de los invariantes”. Ocupó el trono durante 22 años, hasta que Hilbert, un simple mozalbete de 28 años, arrancó en 1890 la corona de la anciana cabeza de Gordan, y la asentó firmemente en la suya.

Reduciendo los cálculos a un mínimo, Hilbert demostró los teoremas de finitud de los sistemas fundamentales, y las sicigias de todo conjunto de quánticos. Por grande que fuera esta hazaña, aún quedó superada por el instrumento principal de la demostración. El teorema básico de Hilbert ha pasado a los mismos fundamentos del álgebra; constituyó un adelanto de primer orden, no sólo en álgebra, sino también en la aritmética moderna y en la geometría algebraica. Asimismo, es fundamental para los sistemas modulares de Kronecker, y para la teoría clásica de los campos algebraicos, dos de las tres principales fuentes del álgebra abstracta moderna, siendo la tercera la teoría de ecuaciones de Galois. Fue precisamente el que Hilbert confiara en razonamientos generales y en pruebas de existencia en vez de en cálculos a propósito de esta materia lo que exasperó a Gordan hasta exclamar: “¡Esto no es matemática, esto es teología!”

El desconsuelo de Gordan fue profético. Los teólogos no se distinguen por su tolerancia hacia los credos de los demás, como se demostró de nuevo en el medio siglo de matemáticas que siguió a la demostración de Hilbert de su teorema fundamental. Las dos facciones más agresivas de teólogos matemáticos, en el sentido que le dio Gordan, del cuarto decenio del siglo XX, los algebristas abstractos, y los topólogos, encontraron mucho que disputar. De acuerdo con un observador experto,[23] que en 1939 informaba desde el frente, “en estos días el ángel de la topología y el demonio del álgebra abstracta luchan por el alma de cada dominio matemático particular”. Pasando por alto la posible transposición en la mitología de esta asombrosa discusión por algo que quizá no exista, nos limitaremos a observar que fue provocada en primer lugar por el legado que Lagrange dejó a Boole y a Cayley en forma de una simple semilla de mostaza. Que gane el mejor ángel, si es que hay algo que ganar.

El segundo gran dominio que se aprovechó más o menos indirectamente de la obra de los algebristas fue la geometría. Apenas cabe lugar a dudas de que la rehabilitación de la geometría proyectiva analítica que hicieron Cayley, Möbius, Plücker, Clebsch, Hesse (alemán, 1811-1874) y otros muchos como resultado parcial de la obra que se hizo sobre los invariantes algebraicos fue el factor que determinó la síntesis de Klein de 1872. Los algebristas y los que se dedicaban a la geometría proyectiva no percibieron el núcleo del asunto. Klein[24] lo vio al reconocer que ciertas manifestaciones de la invariancia van acompañadas por un grupo adecuado: las operaciones del grupo en cuestión no cambian los invariantes correspondientes; recíprocamente todas las operaciones que no hacen cambiar a ciertos objetos forman un grupo. (Lo anterior no es más que una descripción muy a grandes rasgos, sujeta a limitaciones y a excepciones.)[25] Aquí tenemos, por fin, una perspectiva amplia sobre la masa de teorías especiales que hacia 1870 integraban la geometría cuando los grupos de transformación de Lie proporcionaron los medios para unificarla toda según el programa de Klein. De esto nos ocuparemos más adelante en otra sección. Ya hemos indicado otro avance muy importante debido directamente al álgebra de los quánticos: la reducción que hizo Cayley en 1859 de la geometría métrica a proyectiva al adjuntarle lugares geométricos variantes adecuados. El tercer dominio que se benefició de los artificios de cálculo introducidos en el álgebra de los quánticos fue la teoría de los operadores diferenciales lineales, especialmente tal como se desarrollaba en los grupos de Lie. En este caso, la indicación que ofrecía el álgebra al análisis no era muy explícita y pudiera no haber tenido influencia alguna. Pero la reacción que en dirección opuesta tuvo el análisis de Lie sobre los invariantes algebraicos fue decisiva, porque forzó a la teoría algebraica a ocupar un lugar subordinado como detalle de una teoría muchísimo más amplia de la invariancia bajo los grupos de transformación. El eslabón que en este caso conecta a Boole y a Lie se extiende durante casi 40 años. Boole empleó los operadores diferenciales lineales como medio para la generación sucesiva de invariantes y covariantes; Cayley (1846) y Sylvester (1851-1852) hicieron lo mismo más sistemáticamente, mientras que Aronhold (1851, en conferencias) y Cayley caracterizaron a los covariantes y a los invariantes como soluciones polinómicas de ciertas ecuaciones diferenciales lineales entre derivadas parciales. Esto último, empleando la frase bélica de Sylvester, es equivalente a aniquilar los polinomios en cuestión empleando los correspondientes operadores diferenciales llamados aniquiladores. Sylvester en 1878 generalizó el método de los operadores diferenciales a todos los quánticos. Studi (alemán, 1862-1922) y Hurwitz (suizo, 1859-1919) en 1889 y en 1894, respectivamente, ampliaron y simplificaron el método. El resultado final de esta manera operativa de abordar la teoría de las formas mostró que los invariantes y los covariantes son funciones particulares invariantes bajo las transformaciones infinitesimales de un cierto grupo de Lie. De esta forma, como indicó Lie en el gran resumen (1893) de la obra de toda su vida,[26] el mayor esfuerzo que hizo el siglo XIX en álgebra formal, frente a la masa abstracta y estructural que se originó con Galois, fue absorbido por el análisis. De esto nos volveremos a ocupar.

El cuarto y último resultado de los cálculos de los quánticos de que nos vamos a ocupar aquí, la comedia del benceno, no tiene todavía (1945) importancia comparable a la de los otros tres, aunque quizá sobreviva más que ellos en interés histórico, si es que la física atómica se aparta del análisis clásico para imitar el álgebra moderna más de cerca. El episodio es curiosamente parecido a algunos de la medicina, en que brebajes y potingues caseros así como algunas recetas chinas han encontrado justificación moderna, aunque la ciencia primitiva que se basaba en dichos remedios ya no tiene ningún sentido. Así ocurrió con la “teoría químico-algebraica” (1872), fruto de la fecunda imaginación de Sylvester, cuando según él mismo cuenta daba vueltas en la cama sin poderse dormir. “Aquel sublime invento de Kekulé”, la teoría de la valencia química, acompañado por el anillo bencénico, irrumpió en la mente del insomne con la revelación de que la combinación química “es equivalente a la construcción de un invariante (o con las palabras del profesor Gordan la ‘Überschiebung’ final) de un quántico, o del derivado de un quántico o un conjunto de quánticos en sí mismo”. Clifford vio que se sigue casi inmediatamente que al más sencillo de todos los compuestos orgánicos, el gas de los pantanos o metano, CH₄, corresponde “un invariante de un quántico binario y cuatro formas lineales”.

Todavía en 1900 Gordan estaba tomando en serio las analogías superficiales de Sylvester entre las fórmulas gráficas de la química y el álgebra de los quánticos, y escribía trabajos sobre ese asunto. Pero todavía no se ha demostrado que la química o cualquiera otra ciencia entregue sus secretos a algebristas ya maduros que rara vez han entrado en el laboratorio, mientras dan vueltas en la cama sin poder conciliar el sueño. No ha sido Sylvester el único matemático puro que ha intentado resolver el universo en su cabeza, ni fue la suya la única visión que han disipado los hechos con rapidez.

El álgebra clásica de los quánticos encontró una interpretación[27] en la física atómica de 1930-1931, pero en modo alguno parecida ni siquiera remotamente a las especulaciones de 1878-1900. El álgebra de los quánticos apareció en la moderna teoría de los quanta como epifenómeno de los cálculos; falta por ver si la mayoría de los físicos tenía razón al considerar que este quántico de los quanta no tiene más profundidad que un acertijo matemático.

Weyl (1885-¿?, Alemania, Estados Unidos) refundió la teoría clásica de los quánticos incidentalmente (1939) en sus líneas principales en The Classical Groups, their Invariants and Representations. Los grupos considerados son de n variables, y son el grupo lineal general y su subgrupo de todas las transformaciones no singulares o de todas las transformaciones lineales unimodulares, el grupo ortogonal, y los grupos que tienen como invariante una forma bilineal antisimétrica no singular. Los dos primeros son los que tienen interés para la teoría clásica. El campo de los coeficientes y de las coordenadas es abstracto e infinito, como en la teoría de los grupos lineales elaborada por Dickson (1874-…, Estados Unidos) a principios del siglo XX. La renovación consiste principalmente en acoplar la teoría al plan general del álgebra abstracta moderna, incluyendo las teorías de las álgebras semisimples y las representaciones de grupos. Esto último fue inaugurado en 1896-1903 por G. Frobenius (alemán, 1849-1917) para los grupos finitos y desarrollado posteriormente por él mismo y otros muchos. Mediante el álgebra conmutativa de un álgebra de matrices completamente reducible, la teoría de la representación de ciertos grupos finitos es aplicable a los grupos infinitos analizados por Weyl. Para el análisis de los tensores por medio de los operadores de simetría, los grupos de permutaciones sirven para separar las representaciones tensoriales de los grupos lineales generales en sus componentes irreducibles. Una generalización de los métodos antiguos hace que los invariantes dependan de cantidades que se transforman según una representación arbitraria e irreducible. Las “cantidades” son vectores pertenecientes a una representación concreta del grupo. El álgebra conmutativa (según la terminología de Weyl) de un álgebra dada es el álgebra de todas las matrices que se pueden conmutar con cada matriz del álgebra dada; es útil para la teoría de la representación de las álgebras semisimples.

En el cálculo de los caracteres del grupo, consideraciones analíticas ofrecen una alternativa de los métodos puramente algebraicos remplazando las sumas finitas de estos últimos por integraciones extendidas al agregado del grupo después de definir convenientemente el elemento invariante de volumen de un grupo compacto. Pronto veremos que Klein (alemán, 1849-1925) en su amplio “Erlanger Programm” de 1872 para la codificación de la geometría que existía en aquel tiempo redujo esencialmente la geometría al estudio de la equivalencia de ciertos grupos de transformaciones. En la presentación modernizada del proyecto de Klein, los grupos se presentan como grupos de automorfismo y de sistemas de coordenadas de preferencia en el espacio básico. Los automorfismos dejan invariantes las relaciones características de la geometría particular en cuestión. Esos automorfismos inducen transformaciones en los subespacios vectoriales del espacio básico. Al igual que en el desarrollo de la geometría de Klein como una aplicación de los grupos, este grupo tiene un doble aspecto. La síntesis de Weyl también incluye algunas partes de la topología de los grupos examinados. En su aplicación de una gran variedad de métodos a una situación dada, del álgebra o de la geometría, recuerda la universalidad de la de Klein en ambos campos tal como se encontraban en sus días.

LA SÍNTESIS MEDIANTE LOS GRUPOS DE TRANSFORMACIONES

En la siguiente descripción a grandes rasgos de los grupos de transformación, se supone que se satisfacen todas las condiciones necesarias y suficientes para asegurar la existencia de todas las transformaciones descritas.[28] Las funciones f₁, … fn son tales que las n ecuaciones

(1)
x′i = fi(x₁, …, xn; a₁, …, ar), i = l, …, n

tengan solución para las n variables independientes x₁, …, xn como funciones de x′₁, …, x′n, y los a₁, …, ar son r parámetros; tanto las variables como los parámetros pueden variar de una manera continua. Las n ecuaciones (1) definen una transformación de las variables x₁, …, xn a las nuevas variables x′₁, …, x′n; la solución de las ecuaciones da la transformación inversa definiendo las variables x₁, … xn como funciones de x₁, …, xn. Todo esto es para un conjunto determinado de valores de los parámetros a₁, … ar. Para otro conjunto de valores b₁, … br, las x₁, …, xn se transforman en las nuevas variables x′₁, …, x′n por una transformación del mismo tipo (es decir, mediante las mismas funciones fr, …, fn) que antes, de modo que

(2)
x″i = fi(x′₁, …, x′n; b₁, …, br), i = 1, …, n

pudiéndose eliminar las variables x′₁, …, x′n de (2) sustituyendo los valores que nos da (1). No será muy frecuente que el resultado de la eliminación se pueda expresar en la forma (1), es decir, como

(3)
x″i = fi(x₁, …, xn; c₁, …, cr), i = 1, …, n

en que c₁, …, cr son funciones de a₁, … ar, b₁, …, br únicamente. Pero si ése fuera el caso, las transformaciones (1) tienen una de las propiedades fundamentales de un grupo:[29] el conjunto de todas esas transformaciones es cerrado bajo la ejecución sucesiva de transformaciones, como al pasar de (1), por intermedio de (2), a (3). La teoría de los grupos de transformaciones se ocupa únicamente de los conjuntos de transformaciones que tienen esta propiedad de cerrados. Pero en la actualidad se suele exigir algo más, como veremos más adelante. Cuando se imponen suficientes condiciones adicionales para hacer que el conjunto cerrado sea un grupo, el grupo resultante se dice que es un grupo de transformaciones de r-parámetros.[30] A causa de que f₁, …, fr son funciones continuas de los parámetros y de las variables, se dice que el grupo es continuo, y si el número r de parámetros es finito, el grupo recibe el nombre de grupo finito continuo de r-parámetros. También hay infinitos grupos continuos, en los cuales el número de parámetros es infinito. Éstos han sido menos investigados, y no nos volveremos a ocupar de ellos. Análogamente, se definen los grupos discontinuos de r-parámetros, cuando los parámetros tienen impuesta la condición de no poder adquirir más que un conjunto discreto de números. El resto de la descripción, dada sólo para grupos de un parámetro, se extiende con facilidad a grupos de r-parámetros; ilustra los puntos esenciales. Como se acostumbra hacer en los tratados clásicos, usaremos la terminología antigua[31] de los infinitésimos δa, δx₁, δx₂ de cuyos cuadrados hay que prescindir; todo esto se puede expresar[32] fácilmente con la terminología de entornos de puntos, etc. Si se desea, también se puede resumir y generalizar hasta cierto punto. El conjunto de un parámetro de todas las transformaciones

x′₁ = f₁(x₁, x₂; a),                     x′₂ = f₂(x₁, x₂; a),

se supone que tiene la propiedad de ser cerrado como se vio más arriba para los conjuntos de r-parámetros.

Ahora[33] se supone que para algún valor a₀ del parámetro a la transformación resultante es la identidad, de modo que

(4)
f₁(x₁, x₂; a₀) = x₁,      f₂(x₁, x₂; a₀) = x₂;

es decir, que para a = a₀ la transformación es x′₁ = x₁, x′₂ = x₂. De modo que, por hipótesis, el conjunto contiene la transformación idéntica. Con el mismo a₀, y siendo δa un incremento infinitesimal de a, la transformación

x′₁ = f₁(x₁,x₂; a₀ + δa),           x′₂ = f₂(x₁, x₂; a₀ + δa),

desarrollada en serie de Taylor da

despreciando las potencias de δa; para x′₂ resulta una expresión análoga con f₂ en lugar de f₁. La derivada parcial de (5), calculada para a = a₀, contiene como variables únicamente a x₁, x₂, puesto que a₀ es un valor fijo; digamos que el valor de esa derivada es ξ(x₁, x₂). Por la supuesta continuidad de f₁ y f₂, (4) y (5) dan

δx₁ ≡ x′₁ − x₁ = ξ(x₁, x₂)δa;

y del mismo modo

δx₂ ≡ x′₂ − x₂ = η (x₁, x₂)δa,

en que

A menos que ξ, η se anulen idénticamente, o que alguna de ellas sea infinita, lo anterior define una transformación infinitesimal. Las posibles excepciones no necesitan ser tenidas en cuenta, puesto que Lie demostró que un grupo de un parámetro siempre contiene una transformación infinitesimal, y esencialmente sólo una. Por sencillez suponemos que toda transformación del conjunto no tiene más que una inversa. Recíprocamente a lo anterior, demostró Lie que toda transformación infinitesimal determina un grupo de un parámetro. También demostró que esos grupos tienen un invariante I(x′₁, x′₂) tal que para todas las transformaciones del grupo es I(x′₁, x′₂) = I(x₁, x₂). Asimismo, se dice que un invariante de este tipo admite el grupo de transformaciones de un parámetro. En particular, el invariante admite las transformaciones infinitesimales del grupo.

Primero indicamos las relaciones con las ecuaciones diferenciales. En el sentido que acabamos de describir, una ecuación diferencial puede admitir transformaciones entre infinitesimales. Para el caso históricamente importante en que las variables son separables, y por lo tanto para cuando la ecuación se puede resolver mediante cuadraturas, Lie dio un método para construir las transformaciones infinitesimales que dejan invariante a la ecuación; la construcción indica los pasos que hay que dar para llegar a la solución. La ventaja del método de Lie sobre sus predecesores es la que evidentemente presenta la uniformidad y la generalidad sobre la inventiva desordenada; es aplicable tanto a las ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden como a las ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales.

Por otro lado, es interesante recordar que Galois, que era el ídolo de Lie, inspiró indirectamente la aplicación de los grupos continuos a las ecuaciones diferenciales. En una carta que escribió en 1874 a Mayer, Lie[34] observa que “en la teoría de las ecuaciones algebraicas anterior a Galois sólo existían estas cuestiones: ¿se puede resolver una ecuación mediante radicales, y cómo hay que resolverla? Después de Galois, entre otras cuestiones propuestas se encuentra la siguiente: ¿cómo se puede resolver mediante radicales una ecuación de la manera más sencilla posible? Me parece que ha llegado el momento de hacer un progreso análogo en las ecuaciones diferenciales”.

Aunque Lie personalmente no construyó el equivalente de la teoría de Galois para las ecuaciones diferenciales, sus métodos fueron el punto de partida para los éxitos iniciales de Picard (1883-1887), de la que a su vez partió Vessiot para llegar a su teoría estructural completa (1892) de las ecuaciones diferenciales lineales. Vessiot (1892) enunció su teorema fundamental como sigue: a cada ecuación diferencial lineal de orden n corresponde un grupo finito continuo de transformaciones lineales homogéneas con n variables que tienen propiedades semejantes a las del grupo de permutaciones de una ecuación algebraica. Entre otras cosas se demuestra que la integración de una ecuación dada mediante ecuaciones auxiliares queda así relacionada con la reducción progresiva del grupo de transformaciones de la ecuación. Además, si las ecuaciones auxiliares se restringen a ciertos tipos sugeridos por un par de siglos de experiencia, el método de solución que indica el grupo es el único posible.

Uno de los objetivos de toda teoría estructural es determinar qué operaciones son necesarias y suficientes y qué objetos matemáticos hay que inventar para proporcionar una solución a un problema de un tipo prescrito. Por ejemplo, en la teoría de Galois de las ecuaciones algebraicas, la estructura intrínseca del grupo de permutaciones de las raíces de una ecuación, tal como lo determina la serie compuesta del grupo en cuestión, fija la naturaleza de las irracionalidades algebraicas que hay que unir al campo de los coeficientes para que la ecuación pueda tener tantas raíces como indica su grado. En la teoría estructural de las ecuaciones diferenciales se necesita determinar la naturaleza de las operaciones necesarias para dotar a un sistema de ecuaciones diferenciales con una integral general.

Del mismo modo que la teoría algebraica define la naturaleza de las irracionalidades que se necesitan para resolver una ecuación algebraica dada, define la teoría estructural de las ecuaciones diferenciales y clasifica las funciones que determinan un sistema de ecuaciones diferenciales. Como ya se ha indicado, el impulso inicial para una teoría estructural partió de los grupos de transformaciones de Lie. A pesar de la poca estima en que Picard[35] tenía su propia contribución, que históricamente inició el proyecto calificándola de “ampliación muy natural a un problema analítico de las ideas extraordinariamente fructíferas que introdujo en el álgebra Galois”, el problema de idear una teoría estructural para las ecuaciones diferenciales no era un ejercicio nada fácil con principios ya clásicos.

Ahora bien, apartándose de la filosofía de los grupos de Lie, pero empezando por utilizar sus métodos, Drach (francés, 1871-¿?) tomó en 1893 otra dirección;[36] esto condujo en 1898 y después a una teoría estructural de un tipo diferente, en la cual los conceptos de reductibilidad[37] y grupos de racionalidad para todo sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias quedan definidos y elaborados. De esta manera, se puede decir que la teoría resultante es algebraica por proceder directamente de las ecuaciones diferenciales y porque se puede desarrollar por completo con independencia de la teoría de Lie. Recíprocamente, la teoría de los grupos de Lie se puede deducir partiendo de la teoría estructural cuasialgebraica de Drach. Entre las muchas aplicaciones a las ecuaciones diferenciales de la geometría y de la mecánica hay una en particular que armoniza exquisitamente con el espíritu de 1945: están determinadas todas las leyes de la resistencia del aire que hacen que las ecuaciones de la balística exterior sean integrables mediante cuadraturas.

Aunque todas esas teorías estructurales de una de las secciones más importantes del análisis se originaron a fines del siglo XIX, más bien siguen el espíritu del siglo XX. Sus principales objetivos son el descubrir qué es lo que se puede hacer, en vez de hacerlo y dar criterios para lo que no se puede hacer. Por ejemplo, Picard demostró que la ecuación diferencial lineal general de orden n no es integrable mediante cuadratura. Por tanto, es inútil buscar esa solución. Eso se podía haber adivinado, pero como en la demostración de Abel de que la ecuación general de quinto grado no tiene solución mediante radicales, la demostración de la imposibilidad acabó definitivamente con lo que podía parecer un problema muy razonable. Una vez más la metodología de Abel y de Galois hizo una importante aportación al desarrollo de las matemáticas. A este respecto es interesante recordar la opinión de Lie de que el modelo de las matemáticas del siglo XIX fue trazado por cuatro hombres: Gauss, Cauchy, Abel y Galois.

Ya señalamos en un capítulo anterior que en el cuarto decenio del siglo XX se inició lo que puede ser una fase clara de la teoría de las ecuaciones diferenciales en la que los conceptos del álgebra moderna (posteriores a 1910) se extienden hasta cierto punto a la teoría de los sistemas de ecuaciones diferenciales, algebraicos en las variables y en sus derivadas. En este caso, la dirección no está determinada por la teoría de grupos y difiere mucho de las anteriores teorías estructurales de las ecuaciones diferenciales. El tipo de resultado obtenido es por lo tanto diferente; aquí tenemos el análogo para un sistema infinito de formas diferenciales del teorema básico de Hilbert para las formas algebraicas. Para mayores detalles remitimos al lector a la monografía[38] de Ritt (1893-¿?, Estados Unidos) al que principalmente se debe esta teoría. Otra[39] con un objetivo ligeramente diferente es la de Thomas (1898-¿?, Estados Unidos).

Continuando con los resultados directos de la teoría de Lie de los grupos de transformaciones, indicamos su aplicación inmediata a los invariantes algebraicos. No podemos dar detalles, pero lo que sigue sugiere la estrategia: se transforman las variables x₁, … xn de un sistema dado de formas mediante un grupo de transformaciones lineales homogéneas con determinante 1. Este grupo puede estar engendrado por sus transformaciones infinitesimales. Cualquiera de ellas aplicada al sistema dado induce una transformación infinitesimal en los coeficientes de las formas. Por lo tanto, se induce también un incremento en toda función de esos coeficientes, y en particular en toda invariante del sistema. Por la misma definición de invariante, ese incremento ha de anularse. Esta condición proporciona una ecuación diferencial en derivadas parciales, que ha de satisfacer el invariante. De manera análoga, cada una de las transformaciones infinitesimales del grupo conduce a una ecuación diferencial en derivadas parciales que ha de ser satisfecha por el invariante. Las ecuaciones simultáneas resultantes pueden ser resueltas sistemáticamente para producir todos los invariantes del sistema dado. El método equivale al de Sylvester (1852-1878); Lie sistematizó y adaptó los operadores diferenciales de los algebristas al marco más amplio de los grupos de transformaciones, poniendo con ello de manifiesto que son necesarios y suficientes. Los cálculos necesarios para las formas de grado superior o con muchas variables deben ser muy prolijos. Pero ya hemos visto que esos cálculos no tienen ningún fin racional hasta que no se les necesita para algo más que servir de relleno en las revistas matemáticas.

En lo que se refiere a un resumen amplio de lo que consiguió la síntesis de Lie, hemos de remitir al lector al relato[20] (cerca de 12 000 palabras) que hizo el mismo Lie. Escribiendo en 1893, Lie dio las razones de pretender que su “teoría de los invariantes de todos los grupos continuos abarca todas las teorías de los invariantes hasta ahora estudiados”. Entre numerosos puntos de gran interés, no citaremos aquí más que tres. “Los principios de la mecánica (newtoniana)” como descubrió Lie aplicando su teoría a las ecuaciones diferenciales de aquella ciencia “tienen su origen en la teoría de los grupos (continuos) […] La cinemática y sus teoremas están en parte incluidos como casos muy particulares de mis teoremas generales. Mis investigaciones de geodesia y del problema general de la equivalencia de las ecuaciones diferenciales muestran cuáles son los principios con los que se puede manejar con éxito la mecánica”. Parte de esta obra ha pasado a los tratados modernos corrientes de mecánica analítica. El análisis adecuado es el de las transformaciones de contacto, así llamadas porque si dos curvas o dos superficies se tocan antes de la transformación, también se tocan después.

La aplicación a la cinemática está estrechamente relacionada con un gran proyecto sobre los fundamentos de la geometría. En el espacio euclidiano, un cuerpo rígido conserva su forma y su tamaño[40] al moverlo de un lado para otro; todos los movimientos posibles del grupo engendran un grupo continuo. Lie determinó (hacia 1870) todos los subgrupos de los grupos de los movimientos euclidianos y no euclidianos de tres dimensiones, definiendo con ello las geometrías correspondientes. Esta aportación clásica a los fundamentos de la geometría aclaró y dio exactitud a la tentativa, ingeniosa aunque algo vaga (1868), que hizo Von Helmholtz (alemán, 1821-1894) para describir cinemáticamente el espacio euclidiano.

El tercer punto es el de los invariantes diferenciales, básico para la geometría infinitesimal y para la física geométrica. Sylvester, en su teoría de los recíprocos (1885), había redescubierto varios invariantes de ésos empleando, como siempre, sus métodos ingeniosos; pero se le había anticipado Halphen (francés, 1844-1889) abordándolos de modo más sistemático. La observancia de Poincaré de que “la teoría de los invariantes diferenciales guarda la misma relación con la teoría de la curvatura que la geometría proyectiva con la geometría elemental” describe suficientemente la materia. De los predecesores de Lie, no necesitamos recordar más que a Gauss, Riemann, Beltrami, Laguerre y Halphen, todos los cuales, bien fuera en sus trabajos de geometría infinitesimal o en los de ecuaciones diferenciales, encontraron invariantes diferenciales. Lie pretendió, con justicia, que su primera teoría general incluía y ampliaba todas las de sus predecesores y contemporáneos. Diez y siete años después de la muerte de Lie los invariantes diferenciales adquirieron una importancia en geometría y en física que ni él mismo pudo haber previsto.

Asimismo, hay un artificio analítico que es quizá el secreto de la utilidad de la teoría de Lie y de su aplicabilidad a la ciencia física clásica: la reducción a lineal. Dentro de las ligeras restricciones de ser lo que algunos analistas llamaron funciones civilizadas, las funciones de transformación de las que procede la teoría son arbitrarias. Pero las repeticiones aun de funciones tan elementales como los polinomios de grado superior al primero, que serían necesarias si así fueran las funciones de transformación f₁, …, fn, conducen a complejidades prohibitivas tanto en el álgebra como en el análisis. Entonces, operando en el dominio continuo, Lie vio que los instrumentos matemáticos adecuados son las correspondientes transformaciones infinitesimales, lineales en los incrementos infinitesimales δa₁, …, δar de los parámetros a₁, …, ar de un grupo de r parámetros. De este modo se conservó la propiedad de ser lineal, hipótésis fundamental para simplificar que figura en gran parte de las matemáticas puras y aplicadas.

Al morir en 1899, Lie había vivido lo suficiente para ver cómo su más prolífico sucesor, el geómetra francés Cartan, seguía un camino muy ventajoso que iba a parar muchas veces a los grupos continuos. La tesis de París (1894) de Cartan agotaba hasta tal punto ciertos problemas sobresalientes, que prácticamente abolió el interés en los grupos continuos finitos durante muchos años y quedaban los grupos continuos con una infinidad de parámetros. El interés en las teorías y en los métodos de Lie revivió después de 1920, una vez que la relatividad general hubo dado a la geometría diferencial una nueva dirección.[41] Ahora bien, siguiendo la dirección de las geometrizaciones verbales del análisis, los nuevos trabajos engendraban geometrías de agregados de grupos y cosas semejantes, con un abandono asombroso. Esos progresos, estrictamente técnicos, quedan fuera de lo que nosotros podemos escribir aquí, por lo que nos limitamos a decir que su misma abundancia fue una de las causas que más contribuyó a la huida hacia la abstracción completa.

Por otra parte, volviendo durante un momento al mismo Lie, observamos en su carrera en sumo grado individualista una distinción entre las condiciones generales de trabajo antes y después de 1830, lo que hay que tener en cuenta al enjuiciar el desarrollo matemático durante la época reciente. En sus últimos años Lie adquirió discípulos entusiastas y colaboradores en extremo expertos, en especial Engel (1861-¿?) y Sheffers (1866-¿?), ambos alemanes. Pero al igual que otras obras maestras de las matemáticas del siglo XIX, la teoría de Lie fue en esencia obra de él mismo. Quizá sea demasiado pronto para juzgar si la manía que existe en el siglo XX de cooperar en todo con su monótona producción en masa con resultados, simplemente de buena calidad, es mortífera en grado suficiente como para oscurecer un talento de primer orden. Pero se suele estar de acuerdo en que entre los que con más actividad trabajaban en el cuarto decenio del siglo XX no había ninguna que alcanzara la categoría de Lie.[42]

Se han propuesto tres explicaciones para la falta de innovadores eminentes y de grandes sintetizadores. Algunos creen que los innovadores se encuentran entre nosotros demasiado cerca para que los podamos reconocer. Los que creen firmemente en las virtudes de la organización y en la omnipotencia de la maquinaria administrativa tienen la ferviente esperanza de que haya muerto para siempre, con el siglo XIX, la edad de la originalidad imprevisible; 50 trabajadores competentes regimentados en una tarea común pueden hacer más y hacerlo más de prisa que el más brillante improvisador. Entonces, compartiendo el optimismo de los apologistas del primer tipo, y admitiendo que quizá tengan razón los segundos, hay un tercer grupo que cree que la escasez de matemáticos de primera fila[42] es el resultado natural de un movimiento que inició Jacobi en 1830. Ese impetuoso innovador opinaba que el método infalible para hacer avanzar las matemáticas era el de que profesores dominantes inculcaran en las mejores universidades sus propias ideas, y fuera de ellas, a todos los estudiantes avanzados a los que se pudiera inducir a tomar notas en una conferencia, las menos posibles. En resumen, Jacobi fue un predecesor del Führer Prinzip. El éxito de la aventura personal de Jacobi incitó a otros que aspiraban a ser dirigentes a reunir sus propias manadas de obedientes seguidores. Cuando el que dirige es un Jacobi, quizá se pueda alcanzar el resultado deseado. Pero cuando el dirigente tiene una inteligencia de segunda fila, sin nociones muy claras de adónde va ni de cómo ha de llegar, los fieles seguidores quizá se encuentren detrás de un guía que los conduce a la desolación de un pasado muerto.

La opulenta originalidad de Lie floreció un decenio o más demasiado tarde para que se le dejara en una paz inorganizada. Lie, noruego, pesado, de movimientos lentos, no tenía nada de sistemático; su amigo de la juventud, el inquieto prusiano Klein, era la personificación dinámica del sistema. Entre 1869 y 1884, desarrolló Lie su teoría de una manera desordenada. Como es natural, una cosa tan nueva y tan amplia como la suya no fue apreciada de una manera inmediata en todo su valor. Así, convencido de que a su desordenado amigo le faltaba sistematización por lo menos tanto como memoria, Klein decidió organizarlo, destacando al meticuloso Engel para vigilar la gigantesca tarea.

Durante cinco laboriosos años (1888-1893) Lie degeneró en una fábrica monótonamente productiva. Monumento imperecedero de esos disciplinados trabajos son tres colosales volúmenes: la Theorie der Transformationsgruppen. Si el único legado que dejara Lie a la posteridad hubiera sido esta universalmente aclamada aunque pocas veces leída obra maestra, quizá su fama no hubiera sobrevenido hasta varios decenios después de su muerte. Aún en 1893, cuando apareció el último volumen, la vida era demasiado corta para asimilar cuidadosamente de una sentada 2 000 grandes páginas de matemáticas puras. La presentación poco didáctica, aunque clara y sugestiva, que tenían muchos de los trabajos de Lie quedaba ahora ahogada bajo masas sistemáticas de detalles, que tenían el propósito de hacer que los grupos de transformaciones fueran fácilmente accesibles a los mozalbetes y pudieran ser digeridas con facilidad por los matemáticos saciados. Pero en 1890 hacía mucho tiempo ya que había pasado la época de las obras maestras voluminosas. En el ritmo aún más rápido del siglo XX, un documento matemático que tenga más de 50 páginas ha de tener un contenido extraordinario para que lo lea alguien con seriedad, además de su autor y el infortunado a quien le corresponda certificar su corrección.

Parece que el triunfo de Engel al organizar a Lie fue una equivocación, aunque no fatal. Ni siquiera tres volúmenes plomizos podían aplastar y enterrar un talento como el de Lie. Sus ideas habían realizado toda su obra duradera antes de que la sistematización le exprimiera toda la frescura y todo el fermento. En cuanto al papel que jugó Klein en esta comedia de errores bien intencionados, es justo mencionar que lo movía la más inexcusable de todas las excusas para mezclarse en la vida de otra persona: el deseo sincero y nada egoísta de hacer que un amigo por su propio bien realizara algo que no le gustaba.

LA CODIFICACIÓN DE LA GEOMETRÍA POR LA INVARIANCIA

Es muy raro que en las matemáticas recientes haya algo que conserve su frescura durante medio siglo. Un solo decenio posterior a 1850 puede operar cambios más profundos en la perspectiva general de una sección particular de las matemáticas, que todo el siglo XVIII. Después del año 1900 se puede decir lo mismo para épocas aún más breves y periodos precedentes de 50 años. Quizá lo que mejor ilustre estos hechos sea el “Erlanger programm” (1872) de Klein para la codificación de la geometría. Durante aproximadamente 50 años no sufrió ninguna modificación; cerca de dos años de las nuevas geometrías que siguieron a la relatividad general (1916) hicieron que la síntesis de Klein fuera ya por completo inadecuada.

La mejor descripción del “Erlanger Programm” sigue siendo la del mismo Klein. Como es fácilmente accesible tanto en alemán como en inglés, nos limitaremos a dar el concepto central tal como lo enunció en 1918 un geómetra americano.[42a] Hay que tener en cuenta no sólo los tecnicismos, sino también la fecha en que se escribió este párrafo, ya que hay otro del mismo experto, dada exactamente 10 años más tarde, que ilustra la rapidez con que progresa la matemática moderna.

Se define una geometría como un sistema de definiciones y de teoremas invariante bajo un grupo dado de transformaciones […] A propósito de toda relación geométrica hay que tener en cuenta dos grupos de transformaciones: un grupo por medio del cual poder definir la relación; un grupo bajo el cual la relación es invariante. Cuanto más restringido sea el grupo habrá más figuras distintas respecto a él y más teoremas aparecerán en la geometría. El caso extremo es el grupo correspondiente a la identidad (la transformación que deja todo invariante), cuya geometría es demasiado extensa para que tenga importancia alguna.

El segundo párrafo, del mismo geómetra,[12] pero 10 años posterior (1928), resume el cambio radical que había sufrido el punto de vista en menos de un decenio:

El punto de vista de Klein fue el dominante durante el primer medio siglo después de que fuera enunciado […] Fue una orientación muy útil para el estudio y la investigación. Los geómetras opinaban que era una formulación general correcta de lo que trataban de hacer, ya que todos tenían del espacio la idea de que es un lugar en el que las figuras se mueven y pueden ser comparadas unas con otras (como ya se indicó implícitamente con anterioridad a propósito de la revisión de Lie de la geometría cinemática de Helmholtz). La naturaleza de esa movilidad era lo que distinguía unas geometrías de otras.

Con el advenimiento de la Relatividad nos dimos cuenta de que no se necesitaba considerar al espacio tan sólo como “un lugar en el cual”, sino que puede tener una estructura, una teoría de los campos propia. Esto atrajo la atención precisamente sobre las geometrías riemannianas, de las que el Erlanger Programm no decía nada, es decir, aquellas cuyo grupo es la identidad. En esos espacios en esencia no hay más que una figura que es la estructura del espacio como un todo. Quedó perfectamente claro que en algunos aspectos el punto de vista de Riemann (1854) era más fundamental que el de Klein.

Antes de describir la distinción fundamental entre los dos puntos de vista, citaremos otra opinión[43] informada sobre el cambio camaleónico que sufrió la geometría cuando se vio expuesta a la relatividad general en la década siguiente a 1916. Asimismo, es interesante comparar en los dos párrafos citados más arriba la situación del “grupo correspondiente a la identidad” del programa de Klein con el de “geometrías […] cuyo grupo es la identidad” del concepto revisado de geometría. Quizá no sea interpretar bien la realidad, pero parece como si la piedra que rechazó el maestro albañil en 1872 fuera recuperada por sus sucesores de 1920, dándole un lugar de honor. Cualquiera que sea el caso, es reconfortante saber que la nueva piedra clave todavía soportaba un macizo contrafuerte de la moderna geometría en 1945. He aquí otro párrafo de un experto.[43]

Lo que se puede llamar concepto de la geometría de Euclides-Klein, es decir, el estudio de la equivalencia bajo un grupo dado de transformaciones, fue remplazado por la idea de que el espacio tiene una estructura intrínseca que consta de un conjunto de relaciones que pueden estar, aunque en general no lo estén, definidas con ayuda de un grupo de transformaciones.

La diferencia fundamental entre las dos concepciones de la geometría es ejemplo de un lugar común lógico. Si se suprime por lo menos un postulado de un sistema matemático (hipotético deductivo), el sistema que se desarrolla a partir de este conjunto modificado de postulados es menos restringido que el original. En este sentido el sistema modificado es más fundamental y más general que el primitivo. De manera concreta, si se abandona uno o más de los postulados de un grupo de transformaciones, y si se toma como criterio para un “objeto geométrico”[44] la invariancia respecto de las transformaciones definidas por el conjunto limitado de postulados, la nueva geometría será más general que la que se desarrolló por la invariancia respecto de un grupo de transformaciones. De modo que en la nueva geometría sobrevivirá el concepto invariancia, mientras que el de grupo podrá sobrevivir aunque en general no sea así. Ésta es la diferencia esencial entre la nueva geometría y la antigua, aunque quizá esté pasada de moda para cuando esta obra haya salido de la imprenta.

La síntesis de la geometría de Klein fue un jalón importante en las matemáticas del siglo XIX. Como en otros numerosos casos en que un monumento histórico ha sido sobrepasado, no se sigue de ello que fuera abolida la síntesis de Klein. Asimismo, conservó su utilidad en los dominios limitados que pretendía unificar, y sus métodos técnicos, aunque desplazados, sugirieron indudablemente muchas cosas que hacer en la geometría revisada. En realidad, tan estrecho es el parecido formal entre lo viejo y algunas de las partes primeramente elaboradas de lo nuevo, que algunos críticos hostiles calificaron a estas últimas de ejemplos notables del tipo fácil de generalización que utilizan a veces hasta los geómetras más reputados. Pero aunque esto hubiera estado justificado, quedó un residuo importante de geometría nueva, parte de ella útil para las ciencias físicas, que la metodología de Klein, a causa de su misma naturaleza, nunca podría haber producido. Por éstas y por otras muchas razones, el programa revisado de la geometría es probable que sea recordado como una de las hazañas más importantes de las matemáticas en el siglo XX. Corresponde, pues, hacer algunas observaciones suplementarias.

Entonces, volviendo al Erlanger Programm, indicaremos algunas de las cosas que consiguió o inspiró: unificó desde el punto de vista de los grupos la geometría euclidiana, las geometrías clásicas no euclidianas, la geometría proyectiva y la geometría conforme que se desarrolló partiendo de la transformación inversa de Steiner.[45] La geometría de Riemann estaba también incluida, pero ocupando un lugar poco importante. Al buscar las geometrías correspondientes a los subgrupos de los grupos que definen esas respectivas geometrías, la manera de abordar el estudio de Klein reveló las relaciones que existen entre las diferentes geometrías, y sugirió muchas cosas interesantes que hacer en geometría y en teoría de los grupos.

Respecto de esto último apenas se puede pretender que el resultado fuera por completo afortunado para las matemáticas. El que los grupos estuvieran muy en boga hasta bien entrado el siglo XX se debió, en parte, a la popularidad del Erlanger Programm. Los más capaces especialistas en grupos, hombres como Sylow, Jordan, Frobenius, Hölder, Burnside, Moore, Dickson y el mismo Klein, eran expertos en otras muchas ramas de las matemáticas además de la teoría de los grupos de permutaciones. Su intuición para lo que son matemáticas y no simples cálculos, a los que ningún grado de dificultad técnica puede elevar por encima de la trivialidad, está patente en la mayoría de los teoremas clásicos asociados con sus nombres. Pero fue posible que trabajadores activos, aunque casi analfabetos, en lo que a matemáticas se refiere, obtuvieran todos los grupos de permutaciones, en número finito, trabajando de forma obstinada y encontraran por esos mismos torpes medios todos los grupos abstractos finitos de determinadas estrechas categorías que ellos mismos habían definido, en apariencia con el propósito expreso de dignificar sus cálculos dándoles un aire de seudogeneralización. Por ejemplo, la primera semana de un curso de álgebra dará al calculador en ciernes toda la habilidad manipuladora que necesita para los grupos de permutaciones, pero no le dará el sentido indispensable para distinguir entre lo que está vivo y lo que está muerto en matemáticas. La madurez intelectual que se suele citar como prerrequisito para que tenga éxito una carrera dedicada a los grupos finitos puede faltar al simple coleccionista de ejemplares. Es humillante para los matemáticos estadunidenses el tener que mencionar que los mayores excesos en este troglodítico tipo de actividad tuvieron lugar en los Estados Unidos a partir de 1890. Por fortuna para el progreso de las matemáticas en América, casi todos los que continuaron en actividad abandonaron los grupos, o por lo menos dejaron de calcular, una vez que se hubieron doctorado.

También se debe en parte al éxito del “Erlanger Programm” otra tendencia que no le hizo ningún bien a las matemáticas. Parece que se dio por descontado que una vez demostrado que una cierta teoría satisface los postulados del grupo, la teoría había avanzado bastante. Por no citar sino un ejemplo trivial, diremos que cuando se enuncia con gravedad que todos los enteros racionales forman un grupo respecto de la adición, el sentido común no se quedará con la boca abierta de humillación, sino que preguntará: “Bueno, ¿y qué?”

Los grupos, al igual que el programa de Klein, no han desaparecido de las matemáticas, ni hay probabilidades de que desaparezcan en un futuro inmediato. Pero con el rápido desarrollo de la geometría y del álgebra en el siglo XX, los grupos tomaron el lugar que les correspondía como uno de los diversos conceptos unificadores de las matemáticas recientes. Uno de éstos, el pseudogrupo, es muy importante. Éste ocupa la misma posición respecto de la geometría que rebasó el programa de Klein que el concepto grupo ocupó en relación con aquel jalón clásico. Un seudogrupo[46] es un conjunto de transformaciones tal que si existe el resultado de ejecutar sucesivamente dos transformaciones cualesquiera del conjunto, o si está definido, está dentro del conjunto, y éste contiene la inversa de todas las transformaciones del mismo. Un invariante respecto a un seudogrupo recibe el nombre de objeto geométrico, y entonces la geometría queda identificada con el estudio de los seudogrupos y sus invariantes. La síntesis de Klein identificó la geometría con el estudio de los grupos de transfomaciones y sus invariantes.

Ya hicimos notar en una de las citas hechas con anterioridad que se solía considerar al “espacio” como un “lugar en el cual”. En la relatividad (1916) el espacio-tiempo fue objeto de investigaciones, por el motivo revolucionario de que la materia, de la que se componen los cuerpos materiales, se presentaba como un aspecto del espacio-tiempo. En vez de afirmar que la materia está presente en una cierta región del espacio-tiempo, fue más fructífero decir que la región tiene una cierta curvatura cuya medida varía de un punto a otro de una manera que se corresponde, empleando la terminología antigua, con la cantidad de materia allí presente. Cuando no hay materia, el espacio-tiempo es plano. Esta manera en apariencia misteriosa de enunciar y generalizar hipótesis familiares de las ciencias físicas no se hizo con el ánimo de aturdir al sentido común, sino con el de proporcionar una imagen matemática práctica para determinadas partes de la física, y en particular para los fenómenos observables de la gravitación. Encontraba su justificación en la predicción de fenómenos nuevos, observados con posterioridad, y en la predicción de medidas numéricas correctas en los casos en que las obtenidas con arreglo a la teoría newtoniana de la gravitación no coincidían con las observadas. No tenemos necesidad de repetir aquí esa historia tan familiar; lo que nos interesa por el momento es ver que fue la ciencia física la que dio a las nuevas geometrías de 1920-1930 su impulso más fuerte. Esto tiene un contra: por muy abstractas y artificiales que parezcan a primera vista las geometrías, no pueden ser científicamente del todo inútiles, ya que incluyen como caso muy especial la geometría del espacio-tiempo. El Erlanger Programm contenía a la geometría de Euclides y al espacio de Newton, que conservaron su utilidad en la ciencia para la que fueron inventados. Pero la geometría no se acabó con Euclides ni la ciencia física con Newton, y el antiguo marco era demasiado estrecho para el cuadro ampliado de las matemáticas posteriores a 1826 y de la ciencia física posterior a 1916.

Del mismo modo que en un capítulo anterior vimos cómo la geometría descendió a fines del siglo XIX de su categoria de verdad eterna y necesaria, será interesante ver qué le ocurrió al espacio en el ascenso de la geometría a abstracciones aún más raras. Aquí no nos interesan las contestaciones filosóficas ni científicas a la pregunta “¿Qué es el espacio?” Lo que nos interesa es sólo el concepto que tenían los geómetras del espacio. En primer lugar, no hay un espacio, sino muchos. En esto no hay nada sorprendentemente nuevo. Ya se veía venir en 1826 cuando Lobachewsky construyó la primera geometría no euclidiana. En segundo lugar, la progresiva abstracción de las matemáticas debida a los postulacionistas, desde los algebristas de 1830-1840 a los geómetras de fines del siglo XIX, convenció poco a poco a los matemáticos de que su espacio también era un subproducto de sus propias matemáticas. Hacia 1920 el concepto del espacio como creación arbitraria de los geómetras era ya un lugar común: “Un espacio es un conjunto de objetos con un sistema definido de propiedades llamadas estructura del espacio”.[46] Un ejemplo al que recurrimos es el de un rebaño de ovejas pastando y rodeando por completo a unas cuantas cabras bien alerta. Otro de tipo algo semejante es el de un número finito de puntos rodeado por una esfera de radio constante. Ninguno de esos espacios tiene por qué ser métrico, aunque es fácil definir de diversos modos una función de distancias para ambos.

Teniendo en cuenta esta definición tan abstracta de espacio, volvemos una vez más al programa de Klein y a sus sucesores. Es interesante observar la identidad abstracta entre la descripción siguiente de la estructura espacial y la estructura tal como la definimos a propósito del álgebra moderna, haciendo notar además otra vez que los conceptos fundamentales tuvieron su origen en Galois. De esta manera, se dice que dos espacios son equivalentes o (simplemente) isomorfos si hay una correspondencia biunívoca entre los objetos de los espacios que establezca otra correspondencia biunívoca entre todas las propiedades que constituyen las estructuras de los espacios respectivos. Cuando esto se aplica a dos espacios que son el mismo, queda definido lo que se llama automorfismo del espacio. Con facilidad se sigue de esas definiciones que todos los automorfismos de un espacio dado constituyen un grupo. Cuando este grupo es la identidad, el programa de Klein no dice nada sobre la geometría del espacio correspondiente. Pero la identidad es un grupo de automorfismos tan válido como otro cualquiera, por lo que se hace evidente una vez más la necesidad de una concepción revisada de la geometría como sistema matemático. Remitimos al lector para más detalles, y para lo relativo a las notables tentativas que se hicieron poco después de 1920 para salvar el “Erlanger Programm”, a los tratados técnicos.[47]

El papel que desempeñaron las ciencias físicas en este resurgimiento explosivo de la geometría ya ha sido puesto de manifiesto varias veces, si bien aún no se han presentado todos los aspectos más importantes. El marco geométrico de la relatividad general es la geometría de Riemann; la necesidad de incluir esta geometría en un concepto amplio de ésta necesitaba avanzar más allá de la síntesis de Klein. Hacia 1918 la geometría de Riemann pareció a su vez inadecuada para un importante proyecto de la física. Las dos principales teorías de los campos, la de Einstein (1915-1916) del campo gravitatorio, y la de Maxwell (1859-1860) del campo electromagnético, planteaban el problema evidente de construir una teoría de campos que incluyera a ambas como casos particulares. Weyl (1918) construyó la primera geometría no riemanniana en sus esfuerzos para producir la necesaria teoría unificada de los campos. Otras varias tentativas que hicieron Einstein y otros no tuvieron más éxito que la de Weyl en satisfacer todas las exigencias científicas. Aunque en 1945 todavía no había una teoría de campo unificada generalmente aceptada, los esfuerzos de Weyl son históricamente los primeros de importancia, por la nueva dirección que les dio a las matemáticas en la construcción e investigación de geometrías no riemannianas. Éste fue el primer resultado de la relatividad que aportó algo esencialmente nuevo a las matemáticas. Todo el complicado instrumento matemático de la relatividad general existía ya desde 20 a 50 años antes de que la relatividad fuera inventada. El prolegómeno (1944) de Einstein a una teoría unificada de la gravitación y del electromagnetismo introdujo el nuevo artificio de los directores.

Con todo, no se puede atribuir a la física la totalidad de los desarrollos de la geometría posteriores a la relatividad. Una de las ideas más fructuosas introducidas en la geometría desde Lobachewsky fue el desplazamiento paralelo (1917) de Levi-Civita, una generalización del concepto de paralelismo. Esto, a su vez, fue generalizado por Weyl y por otros. El asunto es demasiado técnico para que lo podamos decidir aquí, pero sí podemos indicar que el desplazamiento paralelo de un vector, por ejemplo, en un espacio de Riemann, tiene algunas de las propiedades más importantes del paralelismo de la geometría elemental. Por ejemplo, como relación respecto de un desplazamiento a lo largo de una curva fija, este paralelismo es simétrico y transitivo. Pero un vector que se desplace paralelamente a sí mismo a lo largo de una curva cerrada en general no recobrará su valor inicial como ocurre con los vectores del espacio euclidiano. Esta anomalía puede parecer absurda, pero hay un hecho geográfico con el que estamos tan familiarizados que nos ofrece un ejemplo muy sencillo.[48] Si un barco navega siguiendo una ruta triangular a lo largo de arcos de círculo máximo de modo que el barco permanezca paralelo a su posición inicial mientras navega a lo largo del mismo arco, la suma de todos los ángulos que miden los cambios de rumbo es el exceso esférico del triángulo, que por lo tanto no es nulo más que si la Tierra es plana.

De acuerdo con el espíritu de las matemáticas del siglo XX, era inevitable la generalización del desplazamiento paralelo de Levi-Civita. Por lo menos, se conservó el lenguaje de la geometría en la generalización al desplazamiento de un vector en el espacio tangente del agregado original de Riemann. Parece que hubo cierto optimismo hasta ahora injustificado, de que ésta y otras generalizaciones de la geometría de Riemann que se hicieron después de 1920 proporcionarían un marco geométrico para la teoría unificada de los campos (que comprendiera los fenómenos de la gravitación y los de electromagnetismo) que deseaban los físicos teóricos de aquel tiempo. Nadie lo hizo, y la geometría de los bivectores (1944) de Einstein estaba todavía siendo probada en 1945. La relatividad general había incluido algunos principios físicos, y en particular el principio de la equivalencia además de su geometría. De acuerdo con los físicos, éste fue el origen de su éxito y también era de prever el que hasta 1945 hayan fracasado las tentativas para lograr una teoría unificada, porque todas las tentativas no eran sino geometría. En apariencia se descuidó la verdad de que para sacar de las matemáticas algo empíricamente comprobable hay que introducir algo empíricamente conocido. Hay que mencionar, sin embargo, que no todos los físicos teóricos de 1940 aceptaban esta verdad. Para algunos incluso no es cierta, sino por completo falsa. Por ejemplo, Eddington siguió defendiendo hasta casi la misma semana de su muerte en 1944 su credo fundamental de que “todas las leyes de la naturaleza que se suelen clasificar como fundamentales se pueden prever por completo partiendo de consideraciones de la teoría del conocimiento”. Aunque la teoría del conocimiento engendrada por la relatividad general de Einstein (1916) y la teoría de la invariancia del electromagnetismo de Weyl (1918) no pudieron predecir ninguna ley fundamental de la naturaleza ni proporcionar una teoría unificada de los campos satisfactoria, la geometría que originalmente se inspiró en ambas siguió siendo desde 1920 a 1940 y en adelante fuente prolífica de generalizaciones de espacio, desplazamiento y geodésica.

El ejemplo del barco que navega a lo largo de un arco de círculo máximo permaneciendo paralelo a su dirección inicial, sugiere una generalización de desplazamiento paralelo que desarrollaron ampliamente entre 1920 y 1940 los geómetras de la escuela americana de geometría diferencial. Esta “geometría de las trayectorias” iniciada en 1922 por Veblen (1880) y Einsenhart (1876) se ocupa de las “trayectorias” o líneas de dirección constante, y es una generalización de la teoría de las geodésicas de la geometría de Riemann. Analíticamente, la geometría es una imagen de las propiedades de las curvas integrales de un sistema especial de n ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de segundo orden. En una región convenientemente restringida el sistema tiene solución: por todo punto de la región y siguiendo todas las direcciones pasa una curva integral; hay una curva integral que pasa por dos puntos. Por consiguiente, la solución define un sistema de ∞2n−2 geodésicas, que son las trayectorias. En pocas palabras, la teoría se ocupa en gran parte de las transformaciones proyectivas de los desplazamientos y de los invariantes proyectivos correspondientes. También se estudian las transformaciones conformes y los invariantes para los agregados de Riemann. La geometría de las trayectorias fue ampliamente desarrollada por Veblen, Einsenhart, Thomas (1899-¿?, Estados Unidos) entre 1920 y 1940. Casi al mismo tiempo, otra generalización del desplazamiento, introducida en 1922 por Cartan (francés, 1869-¿?), ordenaba el espacio en un punto de un agregado de n dimensiones, sobre un punto en su entorno (en el sentido habitual del análisis).

Éstas y otras generalizaciones sucesivas pueden haber sido sugeridas por la intuición geométrica o por el análisis y el álgebra de los grupos de transformación, o por los esfuerzos de los físicos para abordar el problema del campo unificado por medio de un paralelismo distante. Cualquiera que fuera en definitiva su origen, las generalizaciones continuaron, y por fin pareció inminente una importante separación de las relaciones lineales. Si las leyes de la física son fundamentales no lineales, como Einstein afirma que han de ser, la geometría de las relaciones no lineales puede ser tan útil para la física como la física lo ha sido para la geometría, aunque algunos geómetras no admitan esto de buena gana. La última generalización que necesitamos mencionar en esta pequeña revisión de la geometría a partir de 1920, la geometría de los spinors de Veblen, parece haberse originado de manera directa en el álgebra de Dirac de la teoría de los quanta.

Como lo que nos interesa son los aspectos más amplios de las matemáticas en relación con el conjunto de la civilización, hemos de indicar de pasada el papel que desempeñó la cultura europea en esos importantísimos progresos de la geometría. La Alemania en que Einstein y Weyl hicieron gran parte de su mejor obra, les expresó el aprecio en que tenía sus esfuerzos robando a uno sus propiedades personales y desterrando a ambos. Los Estados Unidos los acogieron. Ahora, volviendo a los ideales intelectuales de Julio César, los viriles descendientes de los antiguos romanos recompensaron a Levi-Civita privándolo de su cátedra en sus últimos años antes de perseguirlo tan eficazmente que sufrió un colapso. Éstos no son más que tres de los casos más sobresalientes entre los muchos del mismo tipo. Algunos ven en esta vuelta a la Era de la Oscuridad el paso de las sombras de unos cuantos supervivientes de un pasado glorioso al atravesar pavoneándose o tropezando la escena de la humana estupidez. Otros, desde un punto de vista más crítico, observan que la farsa no duraría una semana si no estuviera apoyada por la voluntad de la mayoría.[49] Y aunque casi todo ser humano civilizado simpatiza con las víctimas, la realidad es que ni los matemáticos ni los hombres de ciencia forman un conjunto particularmente homogéneo. Asimismo, hay que recordar que con frecuencia se han comparado las matemáticas con la música, pero por lo general es donde acaba la halagadora comparación. Está más cerca de la realidad comparar a los matemáticos con los músicos, que de todos los artistas son con toda probabilidad los más profundamente imbuidos de los odios venenosos que destilan los celos profesionales. Todo el que conozca a muchos matemáticos, a menos de que tenga la fortuna de ser ingenuamente simple, ha de admitir que tan sólo el puño de hierro de la ley impide que algunos matemáticos rivales se hagan unos a otros de manera privada lo que el Estado ha hecho públicamente con aquellos que no agradan a las autoridades. Desde luego que esta situación no es ni mucho menos universal, pero tampoco lo ha sido la persecución oficial de los matemáticos.

Antes de dejar a los geómetras y sus inestables conceptos del espacio y de la geometría, observaremos que por lo menos algunos de ellos imaginaron la naturaleza que asumirían sus actividades en 1930-1940. Las definiciones precisas de la geometría no tienen ningún fin útil, y los esfuerzos para formularlas saben demasiado a pedantería escolástica para el siglo XX. Si le preguntamos a alguien que se llame a sí mismo geómetra, qué es geometría, quizá nos confunda asegurando con dulzura que una definición objetiva probablemente incluiría al conjunto de las matemáticas.[50] La posibilidad de incluir las matemáticas en la geometría al parecer ha sido descuidada hasta 1945, pero quizá la omisión fue intencionada, ya que la inclusión hubiera podido provocar muchas incomodidades internas. Excepto en las rutinas clásicas de los sistemas de postulados, hasta 1945 la geometría se había ocupado muy poco de los agudos análisis lógicos que dejaron parcialmente anticuadas las rutinas trilladas. En realidad, todo lo que se aproxime a un análisis de los fundamentos de la geometría, incluyendo la topología, hecho en un espíritu posterior a 1930, al parecer no existe en absoluto. Pero la casi unánime opinión profesional respecto del problemático resultado de ese análisis, si es que se llega a intentar alguna vez, fue que la geometría sobreviviría prácticamente indemne. Aquí tenemos otro caso de la inmortalidad esencial de las matemáticas, como en el I, 47 de Euclides. Entonces, sobrevivirá lo que se parezca a teoremas matemática o científicamente útiles, aunque sus demostraciones sucesivas quizá desaparezcan. Y así, siguiendo a algunos de los geómetras del siglo XX, nos encontramos una vez más en la mística presencia del Geómetra Eterno de Platón. Pero no hay ningún edicto que nos obligue a quitarnos el sombrero ni los zapatos.

Puesto que se nos niega una definición objetiva de la geometría, o bien abandonamos su búsqueda, o aceptamos la alternativa subjetiva[51] de considerar como geometría a lo que “una suficiente cantidad de personas competentes ha estimado conveniente por motivos tradicionales o emocionales” llamar geometría. A los incompetentes o a los que no tienen emociones ortodoxas, siempre les parece que están presenciando un milagro cuando ven a un geómetra decidir sin un momento de duda que un cierto trozo de matemáticas, al que el no iniciado podría tomar por análisis, es en realidad geometría. El milagro convencería si tan sólo todas las personas competentes que se creen geómetras llegaran en cada caso a decisiones unánimes.

Por último, mirando de forma retrospectiva el progreso de la geometría desde el año 600 a. C. hasta 1945, observamos que ha habido grandes rebaños de gente competente a todo lo largo de la historia de las matemáticas que en diversas ocasiones han salido de estampía provocada por cabras nada ortodoxas que rehusaban ser circunscritas por la gente competente, por mucha que fuera. No hay razón para suponer que no vuelva a ocurrir lo mismo, no una sino muchas veces. Algún Descartes o Lobachewsky o Riemann o Lie del futuro romperá el supuesto círculo de la respetabilidad académica y escapará, y el resto lo seguirá. En realidad, hacia 1912 empezó a ocurrir algo nada ortodoxo en el mismo centro del rebaño. Hacia 1939 la perturbación parecía a punto de resolverse en la batalla que observó Weyl.[23] Con los cuernos entrelazados, el diablo del álgebra abstracta y el ángel de la topología estaban haciendo todo lo que podían para expulsarse mutuamente del círculo. En 1945 aún no estaba claro cuál de las dos geometrías ha de seguir, si es que ha de seguir alguna, pero de lo que no cabe la menor duda es que entonces la topología era una de las ciencias matemáticas o geométricas más agresivas. Por consiguiente, nos ocuparemos a continuación de algunas de las principales fases por las que atravesó la topología para alcanzar su madurez.

INVARIANCIA ESPACIAL INTRÍNSECA

Con el desarrollo extraordinariamente rápido de la topología o análisis de la posición, el concepto invariancia penetró en el siglo XX más profundamente que nunca hasta entonces, tanto en la geometría como en el análisis. Los expertos en topología pretenden que sus métodos hacen que las situaciones complicadas del análisis sean espacialmente intuitivas, y a juzgar por los resultados que consiguen con aparente facilidad en algunos de los problemas más intrincados de la aritmética moderna, deben de tener razón. Pero para los matemáticos menos dotados, condenados por la naturaleza a detenerse a cada paso de un razonamiento lógico para comprender su conclusión, la topología ha de seguir siendo un camino real por el que nunca viajarán, aunque sea el camino real de las matemáticas del que Menaechmo aseguró a Alejandro Magno que no existía. Una cosa parece cierta: para pensar topológicamente, el pensador ha de empezar de joven. La cuna y la época de la dentición quizá sea algo temprana; pero la educación de un topólogo en ciernes en ningún caso ha de retrasarse más allá del tercer año. Los únicos juguetes que se le deben permitir al joven topólogo una vez que haya aprendido a andar han de ser rompecabezas chinos y japoneses de los más exasperantes, y las más diabólicas redes de alambres retorcidos que separar sin un solo movimiento equivocado. Con esta apología para lo que sigue, pasamos a dar una de las varias definiciones[52] de topología antes de indicar algunos de los problemas de que se ocupa. La idea central es la invariancia respecto de una transformación biuniforme y bicontinua entre dos espacios. La descripción que sigue no pretende sino dar una idea a grandes rasgos del tema de que se ocupa la materia; como siempre, remitimos al lector a exposiciones técnicas fácilmente accesibles en las que se pueden encontrar descripciones exactas.

La topología se ocupa de ciertas propiedades cualitativas de un espacio ya definido, por ejemplo, un conjunto de objetos con un sistema concreto de propiedades. Por lo general a los objetos se les suele llamar puntos; pero la burda noción intuitiva de punto no es la única a la que se aplica la topología de un espacio general o abstracto. De las propiedades que se pueden asignar a un espacio la de entorno es fundamental aquí. El entorno, al igual que el punto o el objeto, no tiene otra definición que las pocas condiciones aparentemente sencillas que enunciaremos en seguida. Un ejemplo de entorno es el tradicional del análisis y de la geometría en que se determina el entorno de un punto mediante una relación de distancias o de manera intuitiva con una circunferencia suficientemente pequeña que rodee al punto. Lo mismo ocurre con los conceptos región y contorno; pero tampoco aquí las situaciones que se incluyen en las definiciones abstractas están limitadas a esos familiares ejemplos. Pero el tenerlos en cuenta puede sugerir el origen de la formulación general, haciendo que parezca menos misteriosa. Por lo tanto, empezaremos por enunciar una definición moderna de topología, separándola después en sus componentes de objetos, conjuntos, clases y entornos.

La topología es el estudio de las propiedades de los espacios que son invariantes bajo transformaciones homeomorfas.[52]

En primer lugar, lo referente a los espacios. Un espacio es aquí un conjunto de objetos junto con un agregado (conjunto) de subconjuntos llamados entornos, tales que a cada objeto corresponde uno o más entornos y cada entorno de un objeto contiene a ese objeto. Ahora bien, llamemos S a ese espacio y sea A un subconjunto de S. Entonces, se dice que un objeto es interior a A cuando hay un entorno del objeto que está contenido en A. El conjunto que resta cuando se separan de ése todos los objetos de A se designa por S − A. Asimismo, se dice que un objeto está en el contorno de A si todo entorno del objeto incluye objetos de A y de S − A; el contorno de A es el conjunto de los objetos de entorno de A; se dice que A es abierto cuando su contorno está contenido en S − A, y cerrado cuando su contorno está contenido en A.

En segundo lugar, lo relativo a las transformaciones. Una transformación de un espacio S en otro S′ es el asignar una correspondencia entre los objetos de S y de S′, tal que a todo objeto de S corresponda por lo menos un objeto de S′ (como en el levantamiento de planos, por ejemplo); la transformación de un subconjunto A de S es el conjunto de todos los objetos correspondiente a A bajo la transformación; se dice que la transformación tiene un solo valor, o que es uniforme, siempre que asigne a cada objeto de S un solo objeto correspondiente; se dice que es biunívoca cuando además asigna un solo objeto correspondiente a cada objeto de S′; se dice que es continua siempre que la transformada de todo conjunto A de S es un conjunto abierto de S′; finalmente, se dice que la transformación es homeomorfa cuando es biunívoca y continua en ambos sentidos. Combinando estas definiciones, tenemos la definición de topología anteriormente dada.[52]

Como ya indicamos, los orígenes intuitivos de la topología son evidentes en la geometría y el análisis corrientes. A grandes rasgos, la topología se ocupa de las propiedades cualitativas intrínsecas de las configuraciones espaciales, que sean independientes de tamaño, situación y forma. De modo que definiendo el espacio como se hizo en la sección precedente, y volviendo a los rompecabezas chinos de nuestra niñez y a las más complicadas mallas de alambre de nuestra adolescencia, observamos que aunque los primeros pueden ser desfigurados hasta que apenas se les reconozca, siguen siendo los mismos rompecabezas, y que las últimas siguen estando entrelazadas de la misma manera aunque se las estire, se las encoja o se haga con ellas otras transformaciones que no rompan el alambre ni introduzcan nuevos enlaces. Lo mismo ocurre con los nudos; lo que Tait llamó anudación anudada y nudosa de un nudo queda cualitativamente sin aceptar por infinidad de transformaciones que alteran el aspecto del nudo como cuerpo de la geometría espacial corriente. En realidad, uno de los problemas clásicos y más difíciles, aunque hasta ahora menos útiles, de la topología, es el de caracterizar y enumerar todos los nudos posibles. Gauss[53] estudió (1794, 1823-1827, 1844, 1849) el problema de los nudos, pero no publicó sus notas; Listing (alemán, 1808-1882) discutió el asunto en su Vorstudien zur Topologie (1847); Tait (1876-1877) lo abordó con su acostumbrado vigor y con una ardiente fe en que la tan rápidamente abandonada teoría de los átomos vórtices de Thompson (lord Kelvin) estaba a punto de desentrañar todos los espectros de los elementos químicos. Kirkman (inglés, 1802-1895) aplicó (1884) su raro talento combinatorio al problema de la enumeración; Dehn (1910) definió el grupo de un nudo, modo de abordar el estudio que siguió con éxito Reidemeister en 1926 y, por último, Alexander (1888-…, Estados Unidos), formulando el problema con una terminología moderna, hizo progresos notables (1927-1928) definiendo invariantes determinados y calculables para distinguir un tipo de nudo de otro. Todo esto se refiere a los nudos en un espacio de tres dimensiones. Klein demostró que los nudos son imposibles en un espacio de cuatro dimensiones (y de 2n dimensiones siendo n > 2).

Para que el proyecto de analizar los nudos no parezca trivial a los no iniciados, recordaremos que Gauss[54] (1833) se sintió atraído a este tema en parte por un importante problema de electrostática cuya solución no se puede obtener más que por consideraciones topológicas del tipo que se necesitan para la caracterización exacta de las redes entrelazadas y sin entrelazar, problema al cual el físico alemán Kirchhoff (1824-1887) hizo notables aportaciones (1847) de importancia práctica duradera. Los químicos y los físicos que se quejan de las matemáticas que requiere la moderna espectroscopia deberían más bien “agradecer con breves gracias a los dioses que corresponda” el abandono de los átomos vórtices que les evitó la necesidad de tener que dominar la topología.

Pero puesto que muchos problemas útiles del electromagnetismo conducen a funciones multiformes, la topología en cierto modo es esencial para la comprensión intuitiva del correspondiente análisis de la posición de las superficies de Riemann.

Sin embargo, hay un problema de interés para los químicos que exige consideraciones topológicas de otro tipo para su solución sistemática: dando un número cualquiera de átomos con valencias prefijadas ¿cuántos compuestos distintos se podrá formar con ellos suponiendo que sea admisible toda fórmula gráfica que satisfaga las condiciones de valencia? El instrumento combinatorio[55] para obtener los gráficos químicos que se deseaban lo imaginó Cayley (1835) en lo que llamó teoría de los árboles; en 1930 y años siguientes los químicos la rescataron del olvido y la ampliaron, por haber adquirido la cuestión nuevo interés científico. Íntimamente relacionado con este problema se encuentra el de: dada una configuración cualquiera que conste de segmentos de recta, uniendo puntos determinar si se pueden trazar todas las líneas rectas de la configuración sucesivamente y sin atravesar cada línea más de una vez. Uno de los problemas que históricamente se presentaron primero de toda la topología era de este tipo; Euler (1736) demostró que eso era imposible para los siete puentes de Könisberg. Después generalizó el problema y estudió la trayectoria del caballo del ajedrez. Otro de los primeros teoremas daba el invariante N₀ − N₁ + N₂ = 2 de Descartes[56] y Euler (1752) que relaciona los números N₀, N₁ y N₂ de vértices, aristas y caras, respectivamente, de un poliedro simplemente conexo. Así, N₀ − N₁ + N₂ es un ejemplo de invariante topológico en un espacio de tres dimensiones. Schläfli (suizo) generalizó en 1852 la fórmula de Euler a un espacio de n. Esto nos pone ante una breve descripción[57] de la manera combinatoria de abordar la topología. Las ideas básicas son las de los simplex y complex (en un sentido técnio diferente del de Plücker de la geometría lineal, etc.) contorno, célula, y como antes, las transformaciones continuas biunívocas. Un k-simplex es el análogo k-dimensional de una región tetraédrica; un 0-simplex es un punto, un 1-simplex es un segmento de recta, un 2-simplex es una región plana triangular, y así sucesivamente. El contorno de un k-simplex está compuesto de simplex de dimensionalidades 0, 1, …, k − 1 y consta de k + 1 0-caras (llamadas vértices), 1/2k(k + 1) 1-caras (llamadas aristas)…, y

i-caras,…, siendo los números k + 1, … los coeficientes binómicos de (1 + x)k+1. Un k-simplex está completamente determinado por sus vértices V₀, V₁, … Vk, pudiéndose designar a este simplex por |V₀V₁… Vk|, llamado símbolo del simplex.

Un complex es un conjunto finito cualquiera de simplex tal que no haya dos en el conjunto que tengan un punto común y en que cada cara de un simplex del conjunto sea, a su vez, un simplex del conjunto. Los k-simplex (k = 0, 1,…) de un complex reciben el nombre de células del complex; las 0-células y las 1-células se llaman vértices y aristas respectivamente. Un complex está por completo determinado por aquellas de sus células que no estén en el contorno de otras células.

Si el complex consta enteramente de n-células, y las células de sus contornos, el complex recibe el nombre de n-complex. Un complex se puede representar esquemáticamente por los símbolos combinados de sus células determinantes, y por lo tanto, en definitiva, con los símbolos de sus vértices. En la obra citada, Alexander demostró que todas las operaciones con los complex se pueden arreglar de modo que sean por último expresables como operaciones combinatorias con los símbolos asociados a los vértices de los complex dados y de los complex obtenidos de éstos por subdivisión. Por último, se dice como antes que dos complex son homeomorfos si hay una correspondencia continua biunívoca entre los puntos de uno y los del otro.

Por razones obvias, la topología que se desarrolló partiendo de esos conceptos recibe el nombre de combinatoria. Un problema difícil y famoso todavía no resuelto que se ha enfocado[58] por los métodos de la topología combinatoria es el de los cuatro colores, del que dice De Morgan que los que primero lo percibieron[59] fueron los dibujantes de mapas: cuatro colores bastan para un mapa, dos de cuyas regiones que tengan límite común han de estar coloreadas diferentemente, con tal de que el límite no sea de puntos aislados, sino un segmento de una curva. Así, es fácil construir un mapa para el cual hagan falta cuatro colores.

Unos cuantos ejemplos más de teoremas y definiciones topológicos pueden sugerir las dos principales direcciones, la combinatoria y la cantoriana o analítica que siguió la topología en el siglo XX. El famoso teorema que damos a continuación sugiere los conjuntos de puntos de Cantor, más bien que las celdas descritas más arriba: una curva cerrada plana sencilla (topológicamente equivalente a una circunferencia) divide el plano exactamente en dos regiones, y la curva es su contorno común. Si bien parece puerilmente obvio que es imposible pasar desde el interior de una circunferencia al exterior siguiendo una trayectoria situada en el plano de la circunferencia sin cruzar ésta, y lo mismo respecto de un cubo y a su superficie en un espacio de tres dimensiones, el lector puede enunciar el teorema correspondiente para una esfera situada en el espacio de cuatro dimensiones. Esas cosas pueden ser evidentes, pero necesitan una demostración. También es evidente, pero difícil de demostrar, que dos espacios coordinados de diferentes dimensionalidades, por ejemplo los espacios cartesianos de dos y de tres dimensiones, no se pueden representar el uno en el otro mediante una transformación continua biunívoca en ambos sentidos. Como último ejemplo recordaremos la antigua regla egipcia para determinar el volumen de la pirámide cuadrada truncada, cuya demostración depende en el fondo del teorema de que las pirámides triangulares con iguales alturas y con bases de igual superficie tienen igual volumen. Esto no se puede demostrar sin la continuidad.

En la definición de topología anteriormente dada, se definía un espacio S empleando los conjuntos y los entornos. A lo que allí decíamos, añadimos ahora otros tres postulados no menos “naturales” relativos a los entornos; el sistema así definido es el espacio topológico de Hausdorff (1914). Primero, dos entornos del mismo objeto tienen un subconjunto común que es el entorno de aquel objeto. Segundo, si un objeto y pertenece a un entorno de un objeto x, hay un entorno de y que es un subconjunto del entorno de x. Tercero, para dos objetos diferentes cualesquiera, hay dos entornos que no tienen ningún punto común.

Puntos rodeados por círculos que se contraen y se dilatan hacen que todo esto parezca razonable de una manera inmediata, y parece milagroso que de ese conjunto de postulados pueda salir algo que no sean trivialidades. Pero es de notar que esos postulados para un espacio topológico aclaran nuestras intuiciones casi subconscientes del “espacio” de la vida cotidiana y que poco más se puede decir, si es que se puede decir algo, acerca del espacio intuido de la experiencia corriente sobre lo que sea tan fácil estar de acuerdo. De modo que después de todo quizá no sea tan milagroso que el sistema matemático desarrollado partiendo de esos triviales postulados vaya a la misma raíz de las relaciones cualitativas espaciales. Un ejemplo de una situación topológica muy poco intuitiva es el teorema pensado (1912) por Poincaré y demostrado en 1913 por Birkhoff. Entonces, se da una transformación biunívoca continua que cambia un anillo limitado por dos circunferencias concéntricas, en él mismo, de tal modo que los puntos del círculo exterior avanzan positivamente y los del interior de manera negativa, conservándose al mismo tiempo las áreas. Asimismo, se necesita demostrar que hay por lo menos dos puntos que quedan invariantes con esta transformación. Al observador casual puede parecerle una vez más al examinar este curioso teorema que los matemáticos tienen un verdadero genio para malgastar su tiempo en rompecabezas sin utilidad concebible. Pero no es ése el caso, por lo menos en este ejemplo. Poincaré encontró un rompecabezas en su trabajo sobre el problema restringido de los tres cuerpos, y no pudo seguir adelante con su dinámica porque lo desconcertó por completo. Su solución fue el origen de la dinámica cualitativa del siglo XX, en la cual los problemas que se abordan y se resuelven no se pueden abordar por los métodos de Lagrange y Hamilton. El problema ha sido generalizado en una extensa literatura, en gran parte estadunidense.

Terminamos este esbozo con la indicación de las épocas principales del desarrollo de la topología que acabamos de describir, y una predicción de tanteo sobre su futuro. Los expertos están de acuerdo en que el año 1895 en que Poincaré publicó su Analysis situs señala el fin de la época de la oscuridad en esta materia y el comienzo del saber topológico. Poincaré costinuó sus primeros esfuerzos (123 páginas) con suplementos en 1899, 1900 y 1904, y con aplicaciones a la geometría algebraica. Quizá su mayor hazaña fue el iniciar una topología combinatoria rigurosa para un espacio de cualquier número finito de dimensiones. Al prescindir de las aportaciones de los predecesores de Poincaré como reliquias de un pasado oscurecido, los topólogos no niegan el interés y la importancia de los primeros trabajos, como el de Euler sobre los poliedros; insisten simplemente en que antes de 1895 no se intentó de manera sistemática desarrollar la topología como disciplina matemática independiente por sus propios méritos. Las demostraciones de los resultados obtenidos en las épocas de la oscuridad no solían ser nada sólidas, por lo que se hicieron necesarias revisiones básicas de principio y de método antes de que fuera posible hacer algo que se pareciera a matemáticas. Pero los métodos y los teoremas mal demostrados de muchos anteriores a Poincaré parecen haber determinado el curso futuro de la materia. Además de los ya mencionados, citaremos los tres siguientes.

En 1890 se logró una caracterización completa de las superficies cerradas por medio de invariantes topológicos, gracias a los trabajos de varios autores (Möbius, 1863; Jordan, 1866; Schläfli, 1872; Dyck, 1888); los invariantes eran orientación y no-orientación, y el género correspondía al número de Euler

N₀ − N₁ + N₂

para los poliedros. Los dos puntos siguientes tienen mucha mayor importancia tanto desde un punto de vista histórico como matemático.

Cuando examinemos el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja, veremos que las investigaciones de Lagrange, Laplace, Clairaut y otros del siglo XVIII sobre el potencial newtoniano sugirieron a Riemann (1851) su versión personal de la teoría. De modo que todo lo que surgió del enfoque remiintuitivo de Riemann a las funciones de variable compleja y sus resultados en la teoría de las funciones algebraicas se puede atribuir en parte a la física. Riemann pensaba deliberadamente con imágenes físicas. Para sus investigaciones (1857) sobre las funciones algebraicas, Riemann utilizó brillantemente las superficies múltiples que había inventado y que Clifford (1877) demostró que son topológicamente equivalentes a una caja con p agujeros, en que p es el género de la superficie en cuestión. La caja es, a su vez, equivalente, como demostró Klein, a una esfera con p asas, o como Hadamard lo expresó en una ocasión, a una cacerola con p asas cortadas. Cuando lleguemos a la teoría de Riemann diremos más acerca de estas cuestiones; aquí nos basta con hacer notar que ya en 1857 se hacía libre uso en el análisis de consideraciones topológicas.

Una de las primeras aplicaciones analíticas definidas de la topología (concretamente los circuitos ligados y los no ligados) fue la obra de Gauss (1833) ya citada sobre el electromagnetismo. Riemann era discípulo de Gauss, y quizá el maestro dirigiera su atención hacia las posibilidades de la topología. Gauss predijo que la topología llegaría a ser uno de los métodos más influyentes de las matemáticas, como en efecto ocurrió 60 años después de su muerte. Pero fue el estudio intensivo de las superficies de Riemann lo que familiarizó a multitud de analistas y de geómetras con la importancia fundamental que tiene la topología para el análisis. Es más fácil comprender unos cuantos teoremas intuitivos relativos a la topología de una superficie de Riemann e ideados para mostrar las propiedades de ciertas funciones, que sus equivalentes en muchas páginas de análisis detallado.

El segundo gran impulso que recibió la topología de la época anterior a la obra de Poincaré de 1895 fue la teoría de Cantor (1879-1884) de los conjuntos de puntos (Mengenlehre). Con el informe enciclopédico (1908) de A. Schoenflies (alemán, 1853-1928) sobre la teoría de Cantor de los desarrollos, los conjuntos de puntos quedaron firmemente establecidos como fundamento para el análisis. En 1920 se había hecho tan popular el Mengenlehre, en especial entre la escuela polaca, que se fundó en Varsovia una voluminosa revista, Fundamenta Mathematicae, para celebrar la recién adquirida libertad de Polonia, perdida 19 años más tarde ante los anticantorianos, y para desarrollar la teoría de Cantor con todas sus ramificaciones. Entre éstas figuraba mucha topología, en su mayor parte desde los puntos de vista analítico[60] y abstracto.

Una de las más sugestivas innovaciones de Cantor fue su concepto de toda configuración geométrica como conjunto de puntos en un espacio euclidiano. A partir de esto, y en especial de las generalizaciones que hicieron a los espacios abstractos Frechet y su prolífica escuela, se desarrolló a partir de 1906 con desconcertante rapidez el método analítico en la topología. Volveremos a esto cuando nos ocupemos de las teorías de funciones. Pero podemos observar aquí que la definición general de topología dada anteriormente es importante para la teoría de Frechet, en la cual los entornos, las representaciones continuas, la distancia y la convergencia quedan definidas para todo conjunto de objetos al resumir las propiedades familiares de esos conceptos tal como se presentan en el análisis clásico; los elementos próximos (u objetos) son representados (o transformados) en elementos que en el mapa están también próximos. Con esta obra de Frechet y la ya mencionada de Hausdorff la topología pasó en el segundo decenio del siglo XX a la fase postulacional o completamente abstracta, si bien no se abandonaron los modos anteriores de abordarla.

Siguiendo aún la tradición analítica de los conjuntos de puntos, Brouwer (holandés, 1882-¿?) inició en 1911 lo que algunos expertos consideran una nueva era de la topología, con su demostración de que la dimensionalidad de un espacio cartesiano (agregado numérico n dimensional) es un invariante topológico. Se considera a Brouwer junto con Cantor y con Poincaré uno de los fundadores de la topología moderna. También hay muchos que consideran que su obra sobre los conjuntos de puntos es la más penetrante desde la de Cantor. En Brouwer fue en quien pensábamos al mencionar la lucha de la geometría para escapar del círculo de competencia; posiblemente el escape se realice por una transformación topológica en un espacio superior que haga innecesaria la penetración de la circunferencia.

Después de seguir durante algún tiempo y a modo de experiencia la dirección analítica, Poincaré siguió el método combinatorio ya descrito, y se impuso el problema fundamental de determinar si una propiedad dada de un complejo es un invariante topológico (es decir, que no cambia bajo las transformaciones homeográficas). También salvó del olvido temporal las características enteras conocidas como números de Betti (italiano, 1823-1892) demostrando la importancia fundamental que tienen para la topología. Si bien no tenemos la intención de dar una lista del centenar de ingeniosos trabajadores que en menos de 40 años elevaron a la topología desde ser poco más que un conjunto de triquiñuelas a ser importante rama de las matemáticas, mencionaremos que según la opinión de personas no americanas, gran parte de los mejores trabajos se deben a los matemáticos americanos Alexander, Birkhoff, Lefschetz, Moore y Veblen. Ellos y sus muchos discípulos, algunos de los cuales en 1945 presentaban grandes probabilidades de igualar a sus maestros, hicieron una de las aportaciones americanas más notables a las matemáticas del siglo XX. Quizá la otra escuela más activa entre 1920-1940 fue la polaca; los rusos también sobresalieron.

Por otro lado, falta resumir las cosas concretas que la topología ha hecho para el resto de las matemáticas. Ya se ha hecho notar el impacto de la topología sobre el análisis, y se observará implícitamente en relación con las teorías de funciones. Los teoremas de Kronecker (1869, 1873, 1878) sobre los casos comunes a un sistema de funciones reales, si se enuncian con la terminología de una geometría de un espacio de n dimensiones, se ve que son teoremas “intuitivos” de topología. La teoría moderna de la dimensionalidad (de la que nos ocuparemos a propósito del análisis) se desarrolló partiendo de la obra de Brouwer; la representación homeomorfa en el espacio euclidiano proporciona información nada fácil de obtener de otro modo respecto de las soluciones de las ecuaciones diferenciales y de otras ecuaciones funcionales; una técnica semejante inauguró una nueva era en la dinámica, que se inició con los métodos de Poincaré (1893) en la mecánica celeste. En la geometría clásica, el principio de continuidad de Poncelet que atrevidamente incluía los elementos imaginarios como si fueran reales, en cuestiones de enumeración, y también la “temeridad análoga”[61] de Schubert (alemán, 1848-1911) en su llamada geometría enumerativa (1879) para determinar el número de los puntos, líneas, planos, etc., de una configuración dada que satisface ciertas condiciones, fueron despojados (1929) de vaguedades y misterios, revistiéndolos decentemente de matemáticas. Por último, se generalizaron los grupos de Lie a una nueva especie, los grupos topológicos, que a su vez no son sino un incidente en un álgebra que se desarrollaba rápidamente de los campos topológicos, anillos, etc. Esto nos estimula a esperar que nuestros sucesores presencien una paz duradera por la absorción mutua del diablo de la topología y del ángel del álgebra abstracta.[23]

En lo que hacia 1945 se describía optimistamente diciendo que era un nivel de matemáticas propio de un estudiante universitario, la topología hizo notables contribuciones a la precisión y a la claridad. Esto no quiere decir que dichas contribuciones quedaran fuera de la comprensión de cualquier inteligencia normal suficientemente emprendedora como para dominar unas cuantas abstracciones rudimentarias como las arriba descritas y suficientemente cauta como para prescindir de intuiciones seductoras, pero que desorientan, en favor de conceptos definidos de manera precisa. Por el contrario, las obstinadas objeciones a la definición exacta de curvas, superficies, longitudes, áreas y volúmenes después de 1940 procedieron con más frecuencia de desalentados geómetras de la antigua tradición que de principiantes poco complicados. Una pregunta muy natural que solían plantear los neófitos inteligentes del cálculo era: “¿Cómo se sabe que esta integral da la longitud de un arco de curva continua?” Al decirle que todo es cuestión de definiciones, quizá el preguntón se mostrara escéptico, aunque cortés, en lo que se diferenciaba de algunos de sus mayores que contumazmente propagaban sus anticuadas creencias de que las curvas, las superficies, las longitudes, las áreas y los volúmenes no están definidos por los matemáticos mortales, sino que les han sido dadas de manera “natural” al hombre o son simplemente percepciones imperfectas de una Curva Eterna, Superficie Eterna, Área Eterna y Volumen Eterno, respectivamente, trazados de una vez para siempre en el Firmamento de las Ideas Eternas, y por lo tanto perfectamente inaccesibles e invisibles para una humanidad cegata. Ni aun los más etéreos abstraccionistas pretendían que sus conceptos de contorno, transformación y otras cosas por el estilo se habían engendrado por completo sin el beneficio de una grosera experiencia sensorial; pero ya no ocurre lo mismo al insistir en que sólo los burdos placeres de esa experiencia que quizá deleitara a los grandes matemáticos de la Grecia de Euclides o del glorioso siglo XVIII de Euler y de Lagrange haya de continuar siendo la única fuente de satisfacción en las matemáticas del siglo XX. Algo de la exuberante libertad e ingenua licencia del heroico pasado puede haber quedado restringido por el análisis perspicaz de las intuiciones impremeditadamente heredadas de espacio y número. La inventiva crítica de la geometría y del análisis del siglo XX se contentaba con menos de lo que sus predecesores exigieran, insistiendo más en la cualidad de perdurable que en una magnífica exposición. Entonces, es posible que fuera difícil, aunque a los que nunca lo habían intentado les pareciera más fácil, descubrir teoremas razonablemente seguros elaborando con cuidado un conjunto de postulados, de lo que había sido deducir consecuencias, sin duda más espectaculares, ciertas “en general”, de diagramas esbozados con apresuramiento, y las consecuencias ocultas de sus hipótesis implícitas. Al sacar a la superficie estas hipótesis, donde pudieran ser vistas por todo el mundo, los abstraccionistas y los topólogos no desarraigaron la intuición para dejarla marchitarse como una mala hierba en el montón de basura del pasado, sino que la nutrieron y reforzaron, “en general”. Si las curvas y las superficies se hicieron algo más complicadas de lo que los geómetras y los analistas del siglo XIX las habían imaginado, las nuevas definiciones no excluyeron lo que había de consistente en las antiguas; intentaron, simplemente, aclararlas y enunciarlas de forma explícita. Las definiciones revisadas de curva y de superficie expusieron muchas cosas insospechadas, aunque quizá en parte implícitas en los conceptos intuitivos resumidos primitivamente de la experiencia sensorial. En pocas palabras, la intuición se hizo más profunda y más amplia. Se justificaba a sí misma como matemáticas que los que las practicaban y otros encontraron aún más interesantes que parte de la geometría clásica y el análisis del pasado.

Una definición revisada de una curva incluye varios de los conceptos ya anotados. En particular hay uno que tiene interés histórico: la separación de un conjunto de elementos en clases por medio de una relación de equivalencia. Ya hemos visto que este artificio se presentó por primera vez (1801) en la teoría de Gauss de las congruencias, en que se usaba la relación de equivalencia muy particular de una congruencia respecto de un módulo entero, para separar la totalidad infinita numerable de enteros racionales en un número finito de clases que se excluían mutuamente. Las totalidades de interés para la geometría y el análisis suelen ser infinitas y no se pueden contar. No necesitamos dar aquí más que una indicación de la manera en que la equivalencia entró en las definiciones revisadas de curvas y superficies. Para más detalles el lector puede consultar el trabajo Curves and Surfaces 1944, de Youngs (1910-¿?, Estados Unidos), en el cual se basa la siguiente descripción:

Si A es un espacio métrico,  f(a) = b designa una transformación continua de A en otro espacio métrico. Si B es la imagen de A bajo f, se dice que f es un mapa de A en B y escribimos esto como sigue: f(A) = B. Una transformación T(A₁) = A₂ es topológica si es bicontinua y biúnica, teniendo estos términos el significado previamente definido. Una relación concreta de equivalencia, ∼, se define como sigue: f₁(A₁) ∼ f₂(A₂) si, y sólo si, hay una transformación topológica T(A₁) = A₂ tal que f₁(a₁) = f₂ (T(a₁) ) para todo a₁ de A₁. La notación para la clase de equivalencia engendrada por f₁ es [f₁]. Una definición de equivalencia que se adapta a una generalización de la “distancia” es la de Fréchet (1924): f₁(A₁) ∼ f₂(A₂), si, y sólo si, para todo ε > 0, hay una transformación topológica Tε(A₁) = A₂ tal que ρ { f₁(a), f₂(Tε(a₁) ) } < ε para toda a₁ de A₁, en que ρ designa la distancia entre a y b. De esta definición se sigue que si las representaciones f₁(A₁) y f₂(A₂) están en la misma clase de equivalencia [f] de Fréchet los espacios base son topológicamente los mismos, de modo que las clases de equivalencia se pueden clasificar con arreglo al carácter topológico del espacio base. Se dice que una clase [f] es una curva o una superficie según el espacio base A. Si A es topológicamente un segmento cerrado [f] recibe el nombre de curva del tipo de un segmento cerrado. Si A es la circunferencia de un círculo, [f] se llama curva del tipo de una circunferencia. Si topológicamente A es un cuadrado cerrado, [f] recibe el nombre de superficie del tipo de un cuadrado cerrado; si A es una esfera, [f] se llama superficie del tipo de una esfera.

Los problemas clásicos de definir la longitud y el área se han formulado de nuevo como acabamos de definir para curvas y superficies. Éste es el problema analítico; el problema topológico se ocupa de la estructura de las clases de equivalencia de Fréchet de las representaciones. Ambos han sido desarrollados ampliamente, pero nosotros no intentaremos seguir la teoría más allá. Un rasgo sorprendente es que los tipos de clases de equivalencia de curvas y superficies, cuyas definiciones difieren tan poco, conducen a resultados muy divergentes. La definición de distancia ρ{[f₁], [f₂]} para las clases de equivalencia es importante en los aspectos analíticos, y como ya se han mencionado los conceptos que afectan a esta definición en otros sitios, no nos ocuparemos más de ellos.

Para toda a de A dada, existe una distancia euclidiana |f₁(a) − f₂(a)| entre f₁(a) y f₂(a), en que f₁(A) y f₂(A) son representaciones. La desviación d(f₁, f₂) de f₁ y f₂ sobre A se define como máx |f₁(a) − f₂(a)|, tomando el máximo sobre todo a en A. Esta d(f₁, f₂) es una función simétrica no negativa de dos representaciones que no se anulan más que si éstas coinciden; también satisface la desigualdad del triángulo. Por tanto satisface los postulados de una función de distancias. Todo miembro de [f₁] tiene una desviación de todo miembro de [f₂]; ρ{[f₁], [f₂]} se define como el mínimo de d(f ′₁, f ′₂) tomando sobre todo f ′₁ de [f₁] y todo f ′₂ de [f₂]. De este modo se define la métrica del conjunto de clases de equivalencia [f].

Esta pequeña muestra de geometría no intuitiva y análisis puede bastar para sugerir que algunas cosas que antes parecían evidentes ya no lo son, e incluso ya no son ciertas, y que otras cosas insospechadas anteriormente son ciertas de una manera a veces desconcertante. Para mantener un equilibrio justo entre lo intuitivo y lo no intuitivo, citamos la opinión de uno que propugna lo primero, respecto a esto último. El geómetra estadunidense Coolidge (1873-¿?), escribiendo en 1940, comparaba los dos sistemas:

Es evidente que en todo esto [la geometría y el análisis del espacio abstracto] patinamos alrededor de las afueras de la geometría abstracta, del álgebra abstracta, de la teoría de conjuntos de puntos, disciplinas extensas que han adelantado mucho en los decenios segundo y siguientes del siglo XX. De esta forma nos vemos arrastrados muy lejos de todo lo que sugiera intuición espacial. Además, una cierta clase de matemáticos […] encuentra difícil interesarse continuadamente en alguna teoría matemática que no parezca relacionada con ningún teorema concreto, o con algo que no esté relacionado con nuestro mundo de objetos sensoriales. Si las líneas en S₄ [espacio de cuatro dimensiones] son circunferencias de nuestro espacio; si los puntos de un V²₄ son nuestras rectas, eso quiere decir algo natural para nuestra mentalidad. ¡Pero una teoría de los espacios abstractos en 300 páginas! Las dimensiones que realmente interesan se pueden comprar a menor precio.

Esto por lo que se refiere al mantenimiento del equilibrio.

A la topología se le ha concedido más espacio del que parecería justo en una descripción general por una razón de primerísima importancia. Mucha gente cree que la topología ha añadido una nueva dimensión al pensamiento matemático. La métrica cuantitativa clásica y la aritmética parecen ser vías de acceso incapaces de conducir a algo útil o comprensible en los aspectos cualitativos de las matemáticas. Asimismo, hay ciertas maneras topológicas de pensar, diferentes de cualesquiera otras de las matemáticas, que requieren un tipo de mentalidad diferente de la buena inteligencia matemática, o bien una formación radicalmente distinta de la que proponen los conservadores, si es que se ha de aplicar de una manera eficaz. El tipo de manera de pensar que exige el álgebra abstracta moderna puede parecer algo semejante; pero a causa de que se adhiere más al análisis lógico preciso y a que no tiene absolutamente nada en contra de la intuición espacial, tiene en lo fundamental otro carácter. Galois, por ejemplo, no tenía nada de topólogo; Riemann, que en ningún sentido era algebrista, era un topólogo nato. De los hombres de ciencia, Faraday (inglés, 1791-1867) era un topólogo puro, y muy bueno en su manera de pensar acerca del electromagnetismo. También Maxwell tenía una marcada tendencia a la topología.

No parece del todo fantástico imaginar que dentro de unos cuantos siglos el hábito de pensar cualitativamente habrá desplazado al cuantitativo en las partes de las matemáticas que se están desarrollando. La ciencia[62] y muchas partes de las matemáticas ofrecen ciertos indicios que señalan el análisis de la estructura como matemáticas del futuro. A grandes rasgos, no son las cosas lo que importan, sino las relaciones que las ligan; y si la topología con sus visualizaciones espaciales de complicadas relaciones entre “objetos” abstractos ha hecho posible un análisis rudimentario, aunque todavía difícil, de las relaciones, quizá sea el germen de las matemáticas del futuro. En cualquier caso la topología es tan diferente de las matemáticas anteriores que sugiere una transición de importancia.

Aproximadamente siglo y medio transcurrió desde el descuidado descubrimiento de un sencillo invariante algebraico, a la aparición de la invariancia como concepto dominante de la topología. Al principio de la época, la topología era poco más que una colección heterogénea de divertidos rompecabezas. Hacia 1820 aparecieron los primeros presagios de una manera de pensar espacial cualitativa en la geometría proyectiva revivida de Poncelet y de otros, pero no fue hasta aproximadamente 1850 cuando Riemann demostró la fuerza que tenía en análisis la manera topológica de pensar, que la topología empezó a desarrollarse como un tipo nuevo de pensamiento aplicable a otras muchas cosas que la geometría. El mismo Riemann señaló la invariancia topológica con sus teoremas (no publicados) sobre el género de sus superficies, y al anticiparse a los números de Betti. Así que una vez más observamos la cualidad perdurable de la invariancia como modo de pensar, y notamos que un solo atrevido innovador puede hacer más que centenares sólo competentes para llevar a las matemáticas por un camino nuevo.

Entre los más atrevidos creadores de la topología moderna hay uno de especial importancia por la calidad nueva de su manera de pensar. Las revaluaciones críticas de Brouwer de todo el razonamiento matemático parecen ser de un tipo nuevo. Si sus críticas se mantienen, quizá se le recuerde como el Zenón del siglo XX. Como veremos en otro lugar, gran parte de la crítica de Brouwer es destructiva. Ahora bien, es muy curioso que estas críticas todavía en 1945 no tienen contestación, y sus resultados destruyen la mayor parte del cantorismo, y con él una gran parte del análisis clásico y de la topología analítica. Una de las tareas que quedan para el futuro es la de proporcionar a la topología analítica fundamentos consecuentes. Brouwer y otros han construido bases postulacionales para los conjuntos de puntos, que algunos consideran satisfactorias, pero que para otros son sospechosas. A este respecto nos referimos nuevamente a lo que se dijo en la “Perspectiva general” acerca de las demostraciones del I, 47 de Euclides.

Hay otra nube, por ahora no mayor que la mano de un gigante, que puede ser presagio de una tormenta que quizá hunda a la topología y a su nuevo modo de pensar antes de que sus creadores hayan dejado de hacerlo topológicamente. El primer volumen (1935) de un magistral tratado[63] de topología, que completo constará de tres, contiene más de 600 páginas de razonamientos precisos; el total tendrá probablemente alrededor de 2 000 páginas, las mismas que estuvieron a punto de aplastar a Lie y ahogar su teoría. Mientras tanto la topología sigue ramificándose, y ya hay tantos métodos diferentes de desarrollar la materia como había en la teoría clásica y nada estacionaria de las funciones algebraicas y de sus integrales. Como ocurre tan a menudo en las matemáticas recientes, habrá cosas vitales que queden enterradas y olvidadas bajo montañas de detalles esotéricos comprensibles tan sólo para los especialistas más estrechos.

Pero ¿quién puede juzgar qué es lo digno de salvarse y qué es lo que se ha de dejar perecer? Entonces, es casi seguro que cualquier jurado competente que hubiera tratado de hacer eso mismo con la geometría diferencial de los últimos años del siglo XIX hubiera acordado descartar el cálculo tensorial de Ricci. En realidad, más de un matemático competente estigmatizó el cálculo de Ricci como formalismo estéril. Sin embargo, en el tercer decenio del siglo XX ayudó a revolucionar la geometría diferencial y a dejarle un interés tan sólo histórico a mucho de lo que se apreciaba hacia 1890. Posiblemente esos problemas se resuelvan por sí solos como en el caso de los invariantes algebraicos, evaporándose cuando decenios de trabajo agotador conducen súbitamente a alguna sencilla generalización que termina con el problema.

XXI
ALGUNAS IMPORTANTES TEORÍAS DE FUNCIONES

DESDE principios del siglo XVIII ha habido más de un millar[1] de funciones especiales a las que se ha considerado[2] de interés suficiente como para merecer una investigación más o menos detallada. Muchas están olvidadas; algunas, como las funciones múltiplemente periódicas y las inventadas para su uso en la física matemática, han engendrado vastas teorías, cultivadas con ardor en diversas épocas por su grupo de partidarios. En muchos casos la simple historia de un tipo de funciones llenaría un libro grande. No hay ninguna teoría suficientemente amplia como para abarcar a todas las funciones especiales. Hacia 1800 se debió apreciar ya la necesidad de métodos generales para deducir propiedades comunes a las funciones de cada una de las diversas clases, pero parece que no fue éste el caso hasta alrededor de 1825, cuando Cauchy empezó a crear de manera sistemática la teoría de funciones de una variable compleja.

Para que sea útil, una teoría de funciones no ha de ser tan general que sólo produzca trivialidades comunes a todas las funciones que incluye. Aquí, como en todo el resto de la matemática moderna, los creadores de las tres teorías más importantes han observado, quizá de modo subconsciente, la máxima lógica de que cuanto mayor sea la extensión menor es la profundidad. En el orden histórico de desarrollo son éstas la teoría de funciones de una variable compleja, la teoría de funciones de variables reales y el análisis general (o abstracto). También hay una teoría mucho menos desarrollada de funciones de varias variables complejas, que se usa en la teoría de las funciones algebraicas. Todas se desarrollaron inevitablemente, al parecer partiendo del análisis que existía en sus épocas respectivas; ninguna fue una creación arbitraria que surgiera de la nada.

Matemáticamente, la teoría de funciones de variables reales está antes que las otras; pero desde un punto de vista histórico no surgió como disciplina independiente hasta el último tercio del siglo XIX cuando la teoría de funciones de variable compleja ya estaba muy adelantada. Como hemos visto ya, en el siglo XVIII se sentía una aguda necesidad de una teoría de ese tipo para justificar el cálculo. En el siglo XVIII las series trigonométricas encontradas en el problema de las cuerdas vibrantes apunta en la misma dirección; y después de 1822, cuando fueron ampliamente conocidas las aplicaciones físicas que hizo Fourier de dichas series, se admitió de manera general la necesidad que existía de una teoría rigurosa de funciones de variables reales. No empezó a llegar en su forma válida hasta después de 1870, con la revisión del sistema de números reales.

Mientras tanto, la teoría de funciones de variable compleja había llegado a ser una de las actividades más importantes del siglo XIX. El nacimiento oficial de esta teoría se suele fijar en 1825, coincidiendo con la memoria de Cauchy sobre la integración compleja. Pero parece razonable considerar la teoría de funciones de una variable compleja como resultado natural de que Lagrange introdujera[3] en 1773 el potencial en la gravitación de Newton. De este modo surgen de forma natural, como veremos, las teorías de Cauchy y de Riemann.

La fase final del desarrollo de las teorías de funciones es la imagen en su propio dominio de las aritméticas generales, álgebras abstractas y espacios abstractos del siglo XX. Nuevamente aquí observamos el progreso continuo hacia unas matemáticas más abstractas, y una vez más y por la misma razón, la necesidad práctica de unificar por medio de principios generales básicos aquellos aspectos de muchas teorías que prometen tener interés más que transitorio. En el capítulo siguiente veremos un claro origen de este análisis moderno en la obra de Volterra (italiano, 1860-1940), que en 1887 inició sus extensas investigaciones sobre lo que después se habían de llamar funcionales. El análisis general surgió, por último, como sección aparte dentro de las matemáticas, en el primer decenio del siglo XX, en Francia con la obra de Fréchet (1878) y en los Estados Unidos con la de Moore (1862-1932). Enseguida, vamos a seguir algunos de los pasos principales por los cuales el análisis se mantuvo por delante del resto de las matemáticas.

VARIABLES REALES

La teoría de funciones de una o de más variables reales se ha ocupado menos que la teoría de variables complejas de la investigación de funciones útiles principalmente por sus aplicaciones. Sin embargo, los orígenes de esta teoría se encuentran con facilidad en la astronomía dinámica de los siglos XVII y XVIII y en la física matemática de los siglos XVIII y XIX. El impulso inicial fue el cálculo aproximado de resultados numéricos en las soluciones de problemas astronómicos y físicos expresadas mediante series infinitas u otros algoritmos indefinidos como los productos infinitos y las fracciones continuas infinitas. Las series infinitas han pesado mucho más que todos los otros procedimientos infinitos tanto por su importancia práctica como matemática.

Aunque la teoría de variables reales haya sido menos útil que la de variable compleja para obtener propiedades de funciones especiales, su importancia para el desarrollo del conjunto de las matemáticas ha sido incomparablemente mayor. Fue en las variables reales donde se reconoció por primera vez la necesidad que existía de una teoría rigurosa del sistema numérico del análisis. Como ya hemos hecho notar, la reconstrucción que hizo Weierstrass poco después de 1860 y Dedekind y Cantor a partir de 1870 del sistema de números reales condujo en los tres últimos decenios del siglo XIX a una revaluación de todo el análisis, y después, en el siglo XX, a una profunda revisión de la naturaleza de todo el razonamiento matemático. Esto, a su vez, inició uno de los exámenes más penetrantes de todo el razonamiento deductivo que se han hecho desde los días de Aristóteles. Por consiguiente, la teoría de funciones de una variable real desde 1870 ha adquirido un interés cada vez más superior al simplemente local: sus problemas, resueltos o no, tienen importancia en campos muy distantes de las matemáticas técnicas.

Respecto de la teoría estrictamente matemática, la opinión de los expertos es casi por completo unánime en que antes de la reconstrucción del sistema de números reales, no había nada que se pudiera llamar teoría de funciones de una variable real. Por ejemplo, se afirma en un popular libro de texto[4] sobre series infinitas, que “no hay ningún tratado ni conferencia que se ocupe de las partes fundamentales del análisis superior que pueda pretender ser válido, a menos que tome como punto de partida el concepto perfeccionado de número real […] Porque una teoría de las series infinitas […] estaría en las nubes de no estar firmemente basada en el sistema de los números reales, único fundamento posible”. Si esto es correcto, el prescindir de la teoría moderna del sistema de números reales en un curso de análisis sería emprender una descuidada excursión a las nebulosidades del país de las fantasías.

La teoría de funciones de una variable real tiene tan enorme extensión, que nosotros sólo podemos registrar aquí algunos de sus puntos más importantes. Su evolución parece presentar tres fases principales, las dos primeras de las cuales fueron preparatorias. La primera se extiende desde el siglo XVII hasta 1821; la siguiente desde ese año hasta 1870-1880, y la última desde 1880 hasta 1940 y en adelante. El primer periodo, el de Newton, Leibniz, los Bernoulli, d’Alembert, Euler y Lagrange, planteó el problema. Ya nos hemos ocupado de la tentativa fracasada de Lagrange para hacer riguroso el cálculo. El gran maestro de este periodo fue Euler, cuya inigualada inventiva dotó al análisis con una riqueza de algoritmos que fijó el modelo formal del análisis durante bastante más de un siglo. Muchas de sus técnicas en los procesos infinitos siguen siendo tan vitales como siempre.

Pocas veces es posible en la historia de las matemáticas fijar el fin de una época con la precisión que implica la fecha 1821, la de las conferencias[5] que dio Cauchy en la Ecole Polytechnique sobre lo que llamó análisis algebraico: series infinitas, límites, continuidad, cálculo. El abismo que se abrió en 1821 separando lo antiguo de lo nuevo es claramente visible si se comparan dos obras clásicas: la que acabamos de citar de Cauchy, y la tercera edición, 1819, del Traité du Calcul différential et du calcul intégral de Lacroix. Si la obra posterior era matemáticas, la anterior no lo era.

Una transición igualmente adusta señala el paso del análisis tal como era antes de la reconstrucción del sistema de números reales a lo que fue después. Apenas es necesario decir que en ninguna de las dos transiciones se descartó por inútil lo conseguido en los periodos precedentes. Se conservó la mayor parte de lo que se había visto que daba resultados consecuentes, pero la mayoría sufrió una transformación radical. Lo mismo ocurre con el tercer periodo, iniciado en 1886 con la revisión que hicieron Poincaré y Stieltjes (holandés, 1856-1894) de las series divergentes.

Al contrario que en las transiciones anteriores, el paso al tercer periodo consistió menos en una revisión de conceptos básicos que en una ampliación de las matemáticas establecidas, y a esto se debió, en parte, la creación del análisis general del siglo XX. Los últimos años del siglo XIX y los primeros del XX presenciaron la creación de una teoría práctica de las series divergentes; en 1902, Lebesgue (francés, 1875-1941) revolucionó la teoría de la integración. Asimismo, se suele estar de acuerdo en que la obra de cuatro analistas franceses de este periodo, Poincaré, Baire (1871-1932), Borel (1871-¿?) y Lebesgue, abrió una nueva era del análisis real comparable con la que habían iniciado Cauchy y Abel unos 60 años antes. Atendiendo tan sólo a ciertos puntos críticos en el curso de esos acontecimientos, nos ocuparemos en primer lugar de la transición del empirismo a las matemáticas en el uso de las series infinitas.

Aunque ya en 1673[6] Leibniz vio la distinción entre convergencia y divergencia, no parece que se les ocurriera a los analistas de fines del siglo XVII y principios del XVIII que una investigación de las series infinitas podría tener importancia aun en los cálculos numéricos. Mercator y Brouncker encontraron en 1668 en su cuadratura de la hipérbola revisada por Newton en el año siguiente, la serie especial logarítmica

Leibniz observó que la serie armónica ∑1/n es divergente, y en 1705 dio una condición suficiente para convergencia de una serie alternada. Los Bernoulli (suizos), Jaime (1654-1705) y Juan (1667-1748) percibieron la divergencia de la serie armónica en 1689, y Jaime (1696) dio la “paradoja no desprovista de elegancia” de que al desarrollar 1/(1 − x) en la forma 1 + x + x² + … da 1 − 1 + 1 − … = 1/2 para x = −1, revelación que Leibniz y otros intentaron justificar por la teoría de probabilidades, pero que el devoto Euler aceptó humildemente. Matemáticos menos eminentes aplicaron consideraciones semejantes a la teología. Por ejemplo, alterando el orden de los términos de una serie divergente se demostró con facilidad que 0 = 1 y por tanto que Dios había creado el universo de la nada. Hasta Leibniz, en su estado de ánimo filosófico, sacó conclusiones semejantes del sistema binario de numeración.

Lo que es aún más notable, algunas de las series de la astronomía binaria eran divergentes, y sin embargo daban resultados numéricos correctos si se tomaban sólo los primeros términos. La serie divergente de Stirling (1730) para desarrollar n! daba igualmente aproximaciones correctas para valores grandes del número positivo entero n; y la fórmula de la sumación de Euler (publicada en 1738, redescubierta por Maclaurin en 1742) demostró también ser en extremo útil sin ser convergente. Esos éxitos dudosos no convencieron a d’Alembert, que declaró en 1768 que todas las series divergentes son sospechosas. Pero como en aquella época no se entendía bien la convergencia, se aceptaban esos asombrosos milagros en general como fenómenos naturales, cosa que en cierto modo era verdadera, como quedó claro cuando en 1886 Poincaré disipó su misterio con su teoría de los desarrollos asintóticos.

Todo esto suscitó la cuestión de qué es lo que podía significar la suma de una serie infinita. Euler casi dio con la filosofía aceptada en este asunto como por lo demás en todos los procesos infinitos. No existe la obligación de definir la “suma” de un modo determinado; la definición se hace a voluntad, y no está condicionada más que por el uso que se vaya a hacer de las series infinitas y de sus “sumas”. Sin embargo, se exige universalmente que la definición no conduzca de manera invariable a alguna tontería.

Borel7 enunció como sigue lo que se suele exigir de las sumas: establecer una correspondencia entre series y números tal que cuando el número que corresponde a una serie particular se utiliza en lugar de la serie en los cálculos corrientes en que ésta se presenta, se obtengan resultados correctos siempre, o casi siempre. El “casi siempre” hay que precisarlo especificando los casos en los que la correspondencia no es válida. Aunque por lo general Euler practicaba esto, enunció un equivalente. Pero ni él ni ningún otro antes de Cauchy (1821) y Abel (1826) hicieron ninguna aplicación sistemática con demostraciones generales válidas. Ya hemos mencionado la obra de exploración que hizo Gauss (1812) sobre las series hipergeométricas; pero se suele convenir en que Cauchy y Abel fundaron la teoría de la convergencia, paso esencial hacia la teoría de las funciones de variable real.

Las series divergentes no se abandonaron sin pesar y sin recelos. Excusándose por lo que estaba a punto de hacer, Cauchy dijo: “Me he visto obligado a admitir ciertas proposiciones que pueden parecer más bien fuertes; por ejemplo, una serie divergente no tiene suma”. Abel, en 1828, estigmatizó las series divergentes como obra del demonio, pero se sintió irresistiblemente atraído por ellas. Confesando el desconcierto en que le dejaba el que esas series dieran con frecuencia resultados correctos, declaró su intención de encontrar los motivos. Pero murió (1829) antes de haber tenido tiempo para realizar esta parte de su programa, y quien primero tuvo éxito en esta dirección fue Cauchy. Buscando las razones de la aproximación de Stirling a n!, Cauchy creó en 1843 una teoría satisfactoria aplicable a una amplia clase de series divergentes. Esta obra fue olvidada. Klein ha observado que la prodigiosa producción de Cauchy parece una selva. Pero las selvas a veces compensan la exploración. Otro tesoro enterrado en la selva de Cauchy fue la “prueba de la raíz” (1821) redescubierta en 1892 por Hadamard.

Entre las manifiestas exigencias que tiene una teoría útil de las series infinitas se encuentran las siguientes: si s, s₁ y s₂ son respectivamente las sumas de las series S, S₁ y S₂, y c, c₁ y c₂ son constantes, “casi siempre” a cS, c₁S₁ ± c₂S₂, cS₁S₂ corresponden respectivamente cs, c₁s₁ ± c₂s₂, cs₁s₂. Sin formular de manera explícita el problema de esta manera, Cauchy y Abel lo resolvieron fundamentalmente. El resultado fue la teoría clásica de la convergencia tal como se suele presentar en los textos elementales. Todo lo que faltaba al abordar sistemáticamente por primera vez los procesos infinitos para hacer que fuera riguroso en el sentido moderno era una teoría consecuente del sistema de números reales. Una vez en posesión de ésta, la obra de Cauchy y de Abel ha pasado a las exposiciones corrientes del análisis prácticamente inalterada.

Es digno de mención un trabajo clásico de este periodo: la investigación de Abel (1826) de la serie binómica general. Ya indicamos en un capítulo anterior la importancia que tiene esta serie en la evolución del cálculo de Newton. Según parece, Newton dedujo la fórmula del desarrollo en 1676 o antes, de algunos indicios de los trabajos de Wallis sobre interpolación. James Bernoulli[8] en 1713 dio una demostración del teorema del binomio para exponentes enteros positivos; en 1774 Euler ideó una demostración ingeniosa pero incompleta para exponente racional cualquiera. La demostración de Abel fue la primera demostración general que ha sobrevivido. De este modo se demostró por último el teorema de la serie binómica siglo y medio después de que se empezara a usar en el cálculo para obtener la derivada de xn, siendo n real.

Estos primeros trabajos sobre la teoría de la convergencia dieron lugar a una de las actividades más importantes del análisis del siglo XIX. Una vez reconocida la importancia de la convergencia, multitud de analistas se pusieron a buscar criterios para la convergencia de las series reales y complejas. Entre los criterios que suelen aparecer en los libros de texto sobre series se encuentran el de Gauss (1812), el de la raíz de Cauchy (1821) y el de la integral,[9] también de Cauchy (1837), y los logarítmicos de Abel (1827), Kummer (1835) y de Morgan (1842). En 1873 du Bois-Reymond intentó encontrar una teoría general para los criterios de convergencia, pero no tuvo más que un éxito moderado. Con la síntesis más completa y en parte ilusoria de Pringsheim (alemán, 1850-1941) aparecida a fines del siglo XIX, el interés de esos asuntos decayó durante una temporada hasta que súbitamente volvió a florecer en el primer decenio del siglo XX. Las escuelas inglesa, alemana y polaca, en parte impulsadas por problemas difíciles de la teoría analítica de números, empezaron a confeccionar delicados criterios de convergencia, hasta que en 1945 se podía decir que la teoría de las series había seguido el mismo camino que todas las matemáticas recientes, constituyendo un campo independiente con su cuerpo de cultivadores expertos. La teoría de las series[10] de Dirichlet ha llegado por sí sola a ser una sección separada del análisis. Los trabajos modernos en este campo datan de la demostración de Jensen (escandinavo, 1859-1925) de que esas series tienen una abscisa de convergencia (1884).

Haremos aquí una digresión para indicar brevemente el desarrollo paralelo de otros dos procesos infinitos, los productos y las fracciones continuas.[11] La teoría de los productos infinitos está tan íntimamente relacionada con la de las series infinitas, que prescindiremos de ella. Por el contrario, las fracciones continuas infinitas proporcionan un medio fundamentalmente diferente de cálculos aproximados, y conducen a cuestiones de convergencia más difíciles; tienen un interés histórico especial para la teoría de funciones de variable real, y fue precisamente cuando las investigaba Stieltjes a fines del siglo XIX cuando inventó el tipo de integral que lleva su nombre.

El primer estudio sistemático de las fracciones continuas fue el de Euler de 1837. Aparte de apariciones esporádicas en la aritmética de los griegos, los hindúes y los árabes, que ahora se pueden interpretar como resultados de fracciones continuas, el algoritmo general no fue aislado hasta que Cataldi (italiano, 1548-1626) lo estudió en 1613. Antes de que Cataldi usara las fracciones continuas, Bombelli en 1572 había aproximado las raíces cuadradas por medio de ellas; y después de Cataldi, Brouncker (1658) desarrolló 4/π en fracción continua infinita. Lagrange en 1767 aplicó las fracciones continuas a la resolución numérica de ecuaciones algebraicas, inventando un método de aproximaciones sucesivas, que según pretendía con justicia no dejaba nada que desear desde el punto de vista del rigor y del acabado. Pero como no tenía nada de práctico, cayó en desuso con rapidez. La experiencia de Lagrange con las fracciones continuas es típica. Aunque tienen mucho interés teórico, como para demostrar la irracionalidad de ciertos números, las fracciones continuas son un algoritmo demasiado engorroso para ser práctico.[12] Jacobi, en 1850 (?), investigó las generalizaciones de las fracciones continuas mediante ecuaciones simultáneas entre diferencias, y también lo hizo Furstenau (alemán) en 1872; tienen considerable importancia aritmética, pero su teoría es todavía embrionaria.

Las fracciones continuas corrientes empezaron a tener importancia para la teoría de funciones cuando Laguerre (francés, 1834-1886) convirtió en 1879 una serie de potencias divergentes en una fracción continua convergente. El análisis moderno de las fracciones continuas se originó en la obra subsiguiente de Stieltjes, y en la de Padé (francés, 1863-…) que demostró (1892), entre otras cosas, que el problema de Euler de desarrollar una función en fracción continua está impropiamente planteado. Se pueden obtener desarrollos diferentes según la elección que se haga, de entre una infinidad de fracciones racionales aproximadas, de una sucesión particular adecuada para las convergencias sucesivas de la fracción continua. El problema de Padé fue el de poner algo de orden en este caos aparente, y en ello tuvo un éxito parcial. Siguiendo la dirección de Laguerre, estableció Stieltjes (1894) una correspondencia entre las series divergentes y las fracciones continuas convergentes, gracias a la cual pudo definir la integración para la serie. Para el conjunto del análisis, las aportaciones más importantes, que se deben en parte a las fracciones continuas, son las integrales de Stieltjes y su versión de la teoría de las series asintóticas, que pronto fue desplazada por la de Poincaré.

Prosiguiendo con las series, nos limitaremos a consignar ciertos detalles del desarrollo general que estimuló la teoría de funciones de variables reales. Se tardó bastante en apreciar de una manera general el lugar común del análisis moderno de que procesos válidos para algoritmos finitos pueden dejar de tener significado al pasar al infinito. En el siglo XVIII Stirling (1730) y Euler (1755) transformaban libremente las series sin el menor escrúpulo alterando el orden de sus términos; tan sólo en 1833 demostró Cauchy con un ejemplo que una serie condicionalmente convergente da una suma diferente al alterar el orden de sus términos. Dirichlet (1837) demostró el teorema fundamental de que al alterar el orden de los términos de una serie absolutamente convergente, la suma no varía.

La diferenciación y la integración de las series infinitas engañaron a algunos de los más grandes matemáticos que registra la historia, cosa que también ocurrió con el intercambio de los procesos de paso al límite. Ya hicimos constar en un capítulo anterior la equivocación de Cauchy en lo relativo a la convergencia uniforme. Incluso Gauss (1812) dio una demostración incorrecta del teorema que enunció y utilizó y que ahora se llama universalmente de Abel, de que si

tiene radio de convergencia 1, y si Abel demostró este resultado tan extraordinariamente útil; Gauss[13] intercambiaba dos procesos de paso al límite sin sospechar, en apariencia, que fuera necesaria una demostración. También, como veremos en un capítulo posterior, se emplearon libremente durante muchos años las series de Fourier antes de que en 1829 Dirichlet legitimara su uso bajo ciertas restricciones. Incluso la más aguda intuición se desorientaba por las extravagancias de esas series.

Ya hemos puesto de manifiesto el papel tan importante que desempeñaron las series trigonométricas en la evolución del rigor. A lo que ya hemos dicho, podemos añadir unos cuantos ejemplos típicos de lo imprevisto, para indicar una vez más la necesidad de comprender las funciones, los límites y la continuidad, con más claridad de lo que era posible antes de contar con la moderna teoría del sistema de números reales. Las series de Fourier, engendradas por una función dada f(x), pueden no ser convergentes en todo el intervalo para el que se obtienen e incluso en ningún punto del intervalo; si la serie es convergente, su suma no tiene por qué ser f(x). También en este caso du Bois-Reymond (1873) demostró con un ejemplo que una función continua no ha de ser por necesidad representable mediante su serie de Fourier, mientras que Weierstrass (1875) demostró que no son necesarias conjuntamente la continuidad y la diferenciabilidad.[14] Todo esto y otras muchas cosas no menos inesperadas estimularon a Cantor a crear su teoría de los conjuntos de puntos.

Para concluir este esbozo de las series volvemos al disgusto de Cauchy y de Abel al abandonar las series divergentes. Como observó Borel, el abandono de dichas series fue desafortunado por sujetar la libertad de investigación y de invención que engendró en el siglo XVIII un interés tan duradero. El microscopio suplantó al telescopio, y aunque algunos podían describir la anatomía microscópica del análisis con toda exactitud, se les escaparon cosas más grandes y posiblemente de mayor interés científico.

En 1886, con el método de Poincaré del desarrollo asintótico, se inició una nueva era de libres invenciones. Por último, las series divergentes empezaron a ser bastante respetables, y se vio por qué algunas de ellas como la de Stirling y las de la astronomía podían usarse con toda seguridad para calcular aproximaciones numéricas con cualquier grado de exactitud que se deseara.

Poco antes de este notable avance, en 1882 Hölder inició la moderna teoría de las series divergentes con su método de suma por medios aritméticos. Le siguió Cesàro (italiano, 1859-1906), en 1890, con procedimientos similares para la suma de series divergentes; Borel en 1895 propuso otro método útil; Le Roy en 1900 dio otro y Riesz en 1909, todavía otro más. En 1911 los analistas ingleses Hardy y Chapman hicieron un estudio comparado de los diferentes medios de suma ideados hasta entonces; esto fue seguido en 1913 por una descripción detallada de las relaciones entre los métodos de Borel y de Cesàro que hicieron Hardy y Littlewood. Lo que al parecer es residuo permanente de esta especie de explosión de fines del siglo XIX, y principios del XX, hace ya tiempo que pasó a los textos corrientes de series infinitas.

No hay ningún obstáculo que se oponga a la invención de otros métodos, a no ser el sentido común. Los expertos están de acuerdo en que no tiene ningún objeto desarrollar algún nuevo método de suma a menos que se haga con fines concretos. Lo que se suele exigir para una definición de “suma”, ya citado con anterioridad, ha restringido la invención de una manera bastante razonable, pero no hay ningún motivo para pensar que en lo sucesivo haya de seguir ocurriendo lo mismo.

El anterior esquema de los procesos infinitos ha sugerido simplemente algunos de los puntos de mayor interés. Un estudio más detallado hubiera revelado de manera inequívoca una tendencia principal del movimiento general que tan sólo se ha sugerido: la expansión cada vez más acelerada de las matemáticas, y en particular del análisis, a partir de los primeros trabajos rigurosos de Cauchy y de Abel hacia 1820. En poco más de un siglo todo lo que hacia 1820 no eran más que diferentes materias de menor importancia adquirió un volumen enorme, hasta el punto de que en 1945 cualquiera de ellas bastaba para absorber las energías de expertos especializados en alto grado. Ése era, por ejemplo, el caso de las series trigonométricas o de la determinación de las propiedades de una función de la que se conoce su desarrollo en serie de Taylor, problema que se originó en 1878 con el estudio aproximado que hizo Darboux de las funciones de los números grandes. La teoría de las funciones de variable real en sí misma es todavía más amplia. Por ejemplo, sólo la continuidad ha sido tan a menudo perfeccionada que sus aplicaciones modernas exigen una literatura bastante amplia para ella sola.

Sin duda alguna que esto es para alegrarse. Pero sea éste el caso o no lo sea, lo cierto es que la misma fecundidad del análisis empujó a algunos a principios del siglo XX hacia la abstracción completa. A menos de que se pudiera dominar, unificar y dirigir estas masas siempre crecientes, tenían grandes probabilidades de expirar bajo su propio peso, ya que por desgracia las matemáticas nunca mueren por completo aunque se puedan olvidar temporalmente grandes zonas de sus partes antiguas en favor de atracciones más nuevas.

El tema central de la teoría de funciones de variable real es la continuidad, con lo que implica para la clasificación de las funciones y de los fenómenos de paso al límite, especialmente la diferenciación y la integración. La mayor parte de la teoría se ocupa de las funciones de una sola variable real. No es posible obtener la teoría de varias variables como generalización inmediata de la de una variable, por presentarse fenómenos en esencia nuevos al aumentar el número de variables, como por ejemplo en el orden de ejecución de las operaciones individuales en los procesos de límites múltiples. Por consiguiente, a menos que se indique lo contrario, al decir función de variable real nos referimos a las funciones de una variable real. La evolución de la teoría la sugiere bastante bien el siguiente desarrollo de integración.

Como mencionaremos con frecuencia las integraciones de Cauchy (1823) y de Riemann (1854) para las funciones reales f(x), recordaremos aquí sus definiciones. En la definición de Cauchy, f(x) es continua en el intervalo [x₀, xn], y su integral es el límite de la suma finita

al tender a cero la longitud del mayor de los intervalos [xi, xi⁺¹] cuando n tiende a infinito. En la definición de Riemann, f(x) está limitada en un intervalo [x₀, xn]; Ui y Li son los extremos superior e inferior de f(x) en [x₁, xi⁺¹]. Se escribe

Si U y L tienen un límite común al tender n a infinito de tal modo que el mayor de los intervalos [xi, xi₊₁] tienda a cero, ese límite común es la integral de Riemann de f(x). Entonces, es evidente que la integración de Riemann abarca más que la de Cauchy. Mediante una ampliación obvia se extiende la definición de Cauchy hasta que comprenda un número finito de discontinuidades en [x₀, xn].

Desde luego que la integración es tan vieja como Newton y Leibniz, e incluso como Arquímedes; pero la teoría de la integración se creó en el siglo XX. Antes de 1902 había innumerables estudios de la integración, muchos de los cuales contribuyeron al desarrollo de la primera teoría general, la de Lebesgue de ese año. Puede parecer ofensivo que antes de 1902 no hubiera nadie que emprendiera en realidad la integración, a pesar de la enorme masa de resultados correctos y valiosos obtenidos por integración desde que se inventó el cálculo. Pero ésa parece ser la opinión de los entendidos.[15]

Para evitar todo posible malentendido, nos apresuramos a añadir que el cálculo integral no encontró en 1902 un fin súbito y glorioso. Por el contrario, la integración empezó a florecer. La generalización de Lebesgue de la integración de Riemann no fue más que el principio; hubo otros que generalizaron a Lebesgue, hasta que los métodos de integración empezaron a multiplicarse como si estuvieran vivos. Toda esta furiosa actividad, según los abstraccionistas, no era sino un argumento más en pro de un análisis general, y aquí hay que recordar una vez más que generalizar no es destruir. Todas las ganancias del pasado que eran válidas se conservaron en las generalizaciones sucesivas, y en muchos casos gran parte de lo que no se podía tratar por los métodos antiguos pudo ser ya manejado con facilidad. Además, se adquirió una enorme cantidad de conocimientos nuevos.

La integración desde Newton y Leibniz hasta Riemann siguió dos rutas complementarias. Newton consideraba la integración como operación inversa de la diferenciación; Leibniz consideraba la integración como límite de una suma. Ambos conocían bien las relaciones que ligaban los dos conceptos. En realidad, sin el teorema fundamental del cálculo que demostró Cauchy[16] por primera vez, ni Newton ni Leibniz hubieran podido aprovecharse mucho de sus propios análisis. El desarrollo histórico favoreció a Newton, hasta que Riemann en 1854 definió su integral, descubriéndose[17] entonces que existen funciones no diferenciables acotadas que tienen integral de Riemann. En 1881 hizo su aparición otra discordancia con las funciones diferenciales acotadas de Volterra no integrables en el sentido de Riemann. Estas dos discordancias abolieron la armonía mutua que había existido entre la diferenciación y la integración desde Newton y Leibniz hasta Cauchy. Pero la integración de Riemann era aplicable en numerosos casos importantes en que no lo era la de Cauchy. Quedaba planteado el problema de perfeccionar la definición de Riemann de forma que conservara sus cualidades apetecibles, suavizando por lo menos las dicordancias.

Ahora podemos ver dónde está la raíz de la dificultad, ya que los conceptos de integración de Leibniz y de Newton se habían originado en nociones intuitivas de velocidades, aceleraciones, longitudes, áreas, volúmenes y tangentes. Hasta que esas vagas nociones, y en particular la longitud, el área y el volumen fueran precisadas, no era posible hacer progresos apreciables. La precisión sobrevino con la aritmetización del análisis por Weierstrass, Dedekind y Cantor. No nos es posible dar detalles y nos limitaremos a sugerir lo que se hizo, remitiendo al lector a cualquier libro de texto sobre funciones de variable real para una descripción más amplia.

La longitud intuitiva o medida de un segmento de recta, por ejemplo, el [0, 1] está engañosamente clara mientras imaginemos que el segmento contiene todos los puntos correspondientes a los números reales x tales que 0 ≦ x ≦ 1. Pero si imaginamos que todos los puntos para los cuales x es un número racional son eliminados del segmento, se desvanece el concepto intuitivo de “medida”, correspondiente a la clase o conjunto de puntos restante. Era, pues, necesario en primer lugar una definición de “medida” aplicable a un conjunto de puntos. Técnicamente se necesitaba una teoría de las propiedades métricas de los conjuntos de puntos. Los matemáticos alemanes de 1880-1890 hicieron algunas tentativas y consiguieron éxitos parciales, especialmente Hankel (1882), Stolz (1884), Cantor (1884) y Harnack (1885). Todos ellos y también los prometedores ensayos de Peano y de Jordan fueron desplazados en 1894 por la teoría de Borel. Ésta fue desarrollada por Lebesgue[18] que la aplicó en 1902 a su nueva integración en la memoria clásica Intégrale, longueur, aire.

La teoría de la integración de Lebesgue es un importante jalón en la evolución del análisis. Partiendo de su definición de medida para los conjuntos de puntos, Lebesgue pasó a la integración, dividiendo el dominio de ésta en conjuntos medibles, y tomando el límite de una cierta suma para todos los conjuntos cuando su número aumenta indefinidamente.

Este procedimiento contiene ya el germen del último tipo de generalización, en el que se definen las propiedades métricas para clases (conjuntos) de “elementos” u “objetos” no determinados. En el análisis preabstracto se especifica que los “elementos” son números. Pero la obra de Lebesgue no fue arrollada por el diluvio de modificaciones que en breve descendieron sobre ella.

Antes de pasar a la abstracción completa hubo generalizaciones más ortodoxas de la integración de Lebesgue que suplementaron y perfeccionaron sus cualidades deseables, pues la generalización de Lebesgue, aunque conservaba los aspectos más útiles de los conceptos de Newton y de Leibniz, y conseguía la integración de una amplia clase de funciones para las cuales la integral de Riemann no era aplicable más que de una manera artificial,[19] no era una síntesis completa de la integración como suma y como inversa de la derivación. Una unión más amplia se realizó con las integrales más generalizadas de Denjoy (francés) en 1912 y Perron (alemán) en 1914. En el ínterin empezaron a insistir híbridos de diferentes tipos de integrales, como por ejemplo la de Lebesgue-Stieltjes. Al mismo tiempo, la teoría de los conjuntos de puntos sufrió una gran ampliación para dar cuenta de todos los fenómenos nuevos de integrabilidad, límites, continuidad, diferenciabilidad y las numerosas subespecies en que éstos se habían dividido.

De todo esto se podía sospechar que hacia 1945 la teoría de la integración hubiera empezado a seguir el camino de todas las matemáticas de la época reciente. Al parecer es una realidad que esta sola rama de la teoría de funciones de variable real, al cabo de menos de 50 años de existencia, estaba proliferando a increíble velocidad, como una selva tropical de pesadilla. Entonces, hubo un momento en que se pensó que tentativas como la de Radon, que en 1913 extendió la integración de Lebesgue a los espacios abstractos para los que es posible definir una medida, regularían el desarrollo. Veinte años más tarde aparecieron indicios prometedores de una teoría unificada, con la de Ulam de la medida (1930-1932) de la teoría general de conjuntos, y en la de Haar (1933) para ciertos espacios métricos, con sus aplicaciones a la teoría de los grupos continuos.

Esos métodos más abstractos se desarrollaron partiendo de las teorías de Frechet del espacio abstracto, iniciada en 1906 (nos ocuparemos de ella en el capítulo siguiente). Asimismo, causó, pues, sorpresa, y provocó alegría o desesperación, según el temperamento de cada uno, el encontrar un joven y eminente abstraccionista que se jactaba en 1938 de que el espacio abstracto que él favorecía era superior al de Frechet porque es fácil separarlo en otros ocho. De este modo, operando en uno o más de esos espacios abstractos al mismo tiempo, es posible generalizar una situación dada de 255 maneras distintas. Por fortuna, algunas no tienen ninguna importancia. No está bien claro si deberíamos reír o llorar, pero hay una cosa que sí parece cierta: que no podemos hacer nada acerca de la situación. Desde principios del siglo XIX las matemáticas se han desarrollado ampliándose y subdividiéndose continuamente. Pero a una distancia de dos o tres decenios, después de una época excepcionalmente activa, sólo siguen siendo visibles las novedades que hayan probado su valor para las matemáticas o para la ciencia. Por lo tanto, parece que en conjunto debemos congratularnos de la incontenible fecundidad de las matemáticas.

El esquema anterior ha esbozado sólo un aspecto de la teoría de funciones de variable real. El dejarla sin haber mencionado el otro lado de la teoría podría parecer parcial a los que creen que existe ese otro lado. De acuerdo con esos herejes, la masa de intrincados teoremas que hace que esta teoría sea una de las más ricas de las matemáticas es en gran parte de oropel. Su herejía se basa en el hecho indiscutido, ya suficientemente descrito, de que los razonamientos sobre los conjuntos de puntos están todavía (1945) infectados de paradojas. Pasando al límite del escepticismo, mantienen que los teoremas de existencia no constructivos como los que existen en las teorías más abstractas desarrolladas a partir de 1905 no establecen nada. Los extremistas incluso afirman que los modos de razonar que se emplean en la teoría aceptada de las funciones de variable real ya no tienen más que interés histórico. Nos bastará con mencionar tres ejemplos del tipo que se suele objetar.

En su orden histórico, el primero es el famoso teorema de Heine-Borel[20] (1872-1895), sin el cual se derrumbarían muchas demostraciones aceptadas. En 1902 Young[21] (inglés) dio una forma generalizada de este teorema como sigue. “Dado un conjunto cerrado de puntos sobre una línea recta y un conjunto de intervalos de tal modo que todo punto del conjunto cerrado de puntos sea interior de por lo menos uno de los intervalos, ha de existir un número finito de los intervalos dados que tengan la misma propiedad.” El segundo tiene un carácter semejante: es el notable axioma[22] de Zermelo (1904), que hasta ahora ha demostrado ser muy útil, si no indispensable para gran parte del análisis: “Dada una clase de clases que se excluyan mutuamente, de las cuales ninguna sea vacía, existe por lo menos una clase que contiene exactamente una cosa en común con cada una de las clases.” El tercero y último ejemplo es uno de los más estimados de todo el análisis, la clasificación de Baire (1899) de las funciones. A grandes rasgos es como sigue. La clase más baja C₀ está constituida por las funciones que son continuas en un dominio dado; toda función que sea límite de una sucesión de funciones que pertenezcan a C₀, y que no esté en C₀, se incluye en la clase siguiente, C₁. Lo mismo ocurre para las funciones de la clase siguiente, C₂, definidas como límites de sucesiones de funciones que pertenezcan a C₀ o a C₁, con tal de que no estén ni en C₀ ni en C₁. Y así indefinidamente.

Las objeciones de Borel al uso que Zermelo hacía de su llamado axioma multiplicativo despertaron un espíritu de controversia[23] (1905) avivado por algunas diferencias de opinión. Por otro lado, admitiendo que Zermelo no describía ningún método para hacer la infinidad de selecciones que implicaba su axioma, afirmó Hadamard que la existencia de una “entidad” matemática se puede demostrar sin definir explícitamente la entidad. Tan sólo gracias a este tipo de legitimación pueden, según Hadamard, entrar en las matemáticas los números transfinitos de Cantor. Por supuesto que esas pruebas de existencia han sido un lugar común en otras secciones del saber humano desde que los lógicos de la Edad Media las emplearon por primera vez con éxito notable para proporcionar fundamentos sólidos a la teología. No había, pues, razón aparente para que no se los pudiera aplicar con igual éxito al análisis matemático.

Pero, al igual que los teólogos medievales, los analistas más eminentes no estuvieron de acuerdo sobre la cantidad exacta de intuición que se podía admitir en su tipo de razonamiento. Baire, por ejemplo, no concedía que las subclases de una clase dada sean dadas; en cambio, Lebesgue opinaba que la en cierto modo mística “existencia” de Zermelo equivalía cuando no estaba clara a una “simple” ausencia de contradicciones. Esta histórica controversia de 1905 terminó de manera concluyente al mantener Borel que aunque la teoría de Cantor de los números transfinitos puede ser útil como guía heurística para demostraciones válidas, no puede por sí misma proporcionarlas. El análisis submatemático de la Edad Media parecía estar a punto de levantarse de entre los muertos. En 1912 se levantó en el intuicionismo del matemático holandés Brouwer (1882-¿?), del cual nos volveremos a ocupar.

Sea lo que fuere lo que estas disputas instigaran, a ellas se debe en parte el moderno periodo crítico. Un rasgo notable y quizá alentador de esas dudas es que no impidieron ni aún a los que las objetaban crear nuevas matemáticas empleando los mismos medios que objetaban. Gracias a una especie de síntesis hegeliana, la crítica destructiva y la actividad constructiva quedaban reconciliadas con las diferentes mentalidades individuales. Pero la mayoría no experimentaba ninguna inquietud siguiendo firmes en su fe de que sus grandes inversiones en análisis no corrían el peligro de quedar hipotecadas ante las exigencias usurarias de la lógica moderna.

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

En el cálculo diferencial e integral clásico, la variable independiente puede tomar todos los valores reales. Entonces, siendo la clase de los números complejos la clase cerrada más grande bajo las cuatro operaciones racionales, se podría anticipar que las anomalías en el comportamiento de las funciones de variable real, en especial en las funciones irracionales, quedarían eliminadas sin más que pasar a las funciones de variable compleja. Ésta fue una de las cosas que impulsó la creación de la teoría de las funciones de variable compleja.

Para poder describir más tarde el posible origen de la mecánica del siglo XVIII, necesitaremos una descripción algo detallada de lo que a veces se suele llamar teorema fundamental del análisis, el de Cauchy[24] de 1825. Una función uniforme w de la variable compleja z (≡ x + iy, x, y variables reales, i ≡ √− 1) se expresa en la forma u + iv, en que u, v son funciones reales de x, y, y son uniformes. Recíprocamente, si u, v son funciones reales uniformes de x, y, se puede considerar que u + iv es una función compleja uniforme. Pero éste no es el camino que se sigue en la teoría[25] clásica de funciones de variable compleja, y el origen de las siguientes restricciones drásticas que se imponen a u, v, puede estar en la hidrodinámica y en la geometría de los campos de fuerza conservadores. La teoría clásica se ocupa en primer lugar de las funciones analíticas, y de sus cocientes: w (uniforme) es función analítica[26] de z, si u, v y sus derivadas parciales con respecto de x, y, son continuas y además satisfacen las llamadas ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales de Cauchy-Riemann.

Se sigue que u y v son soluciones de las ecuaciones de Laplace de segundo orden,

Para abreviar, los valores de la variable compleja z se representan, como en un diagrama de Argand, por puntos (x, y) de un plano de números complejos, “el plano z”; los de w, = u + iv como puntos (u, v) de otro diagrama de Argand, “el plano w”. Al describir un punto del plano z una curva continua C, u, v adoptan valores diferentes y (u, v) describe la curva correspondiente C′ en el plano w. Un punto z (valor de z) en el plano z, en el cual w no es analítica, recibe el nombre de singularidad de w. Con tal de que C no pase por ninguna singularidad de w, C' será una curva continua.

Nos ocuparemos en seguida de la integral de línea[27] ∫Cwdz, tomada a lo largo de un arco simple rectificable C que está por completo dentro de una región R del plano z, tal que w sea analítica para todos los puntos de R. Para nuestros fines bastará con definir el significado de simple y rectificable, sin tratar de dar definiciones rigurosas. Un arco es simple si no se corta a sí mismo, y rectificable si su longitud, determinada como límite de una suma finita, como en el cálculo integral ordinario, es finita. El “contorno” de una región en lo que sigue es o bien una curva simple, o cerrada o rectificable del plano z, o es una curva de esas que encierra a otras del mismo tipo. El sentido positivo de describir un contorno es el mismo que en mecánica: cada una de las curvas de contorno ha de ser recorrida como si un hombre andando a lo largo de cada una de ellas sucesivamente tuviera la región limitada a su izquierda. Si la región tiene tan sólo un contorno (como un plato sin agujeros) es simplemente conexa;[28] si tiene más de un contorno (como un plato con agujeros) es múltiplemente conexa. Gracias al artificio de las cortaduras entre puntos situados en el contorno exterior a cada uno de los contornos interiores, y a cortaduras entre estos últimos, se puede hacer que una región plana múltiplemente conexa sea simplemente conexa; en general basta enunciar los teoremas fundamentales de las funciones analíticas para las regiones simplemente conexas. Para evitar repetición llamaremos contorno a un arco simple rectificable situado en el plano z. No se supone que el contorno haya de ser cerrado, a menos que se indique explícitamente.

Sean z₁, z₂ dos puntos fijos cualesquiera en una región R del plano z, dentro de la cual la función w, ≡ f(z) es analítica; y sea C cualquier contorno que partiendo de z₁ termine en z₂. En esas condiciones se demuestra que ∫Cf(z)dz es independiente del contorno C. Es decir, que el valor de esta integral depende únicamente de los puntos extremos z₁, z₂. Dicho de otro modo, al mantener fijos z₁, z₂ y deformando de manera continua el contorno C que los une, sin que en ningún momento de la deformación se salga de R, no cambia el valor de la integral ∫Cf(z)dz. Puesto que el signo de una integral de línea se invierte con la dirección de la integración, se sigue que si K es un contorno cerrado situado en el interior de R, es ∫kf(z)dz = 0. Si R es múltiplemente conexo, hay que describir su contorno K en el sentido positivo.

Éste es esencialmente el teorema de la integral de Cauchy:[29] si f(z) es analítica en todos los puntos de un contorno cerrado K y en todos los puntos interiores al mismo, entonces ∫Kf(z)dz = 0, llevándose a cabo la integración en el sentido positivo. La demostración es inmediata y se escribe f(z) en la forma u + iv, y dz = dx + idy. Entonces se ve al igualar a cero separadamente las partes reales y las imaginarias de

∫K(u dx − v dy) = 0,           ∫K(v dx + u dy) = 0.

Pero éstas se siguen inmediatamente al transformar las integrales a lo largo de K en integrales de superficie extendidas a la porción limitada por K, por el teorema de Green (1828), de dos dimensiones, y aplicando las ecuaciones de Cauchy-Riemann a los resultados; entonces cada integrando se anula idénticamente. El razonamiento de Goursat (1900) es más difícil de demostrar, pero no necesitamos ocuparnos de él.[30]

Aunque se trata de un detalle, podemos mencionar la fórmula de la integral de Cauchy, uno de los resultados más útiles del análisis. Si f(z) es analítica en todos los puntos de un contorno cerrado C, y en los interiores, y si a es un punto cualquiera interior a C, es

Igualmente notables son las fórmulas de Cauchy para las derivadas sucesivas f(n)(a), n = 1, 2…, de f(z) tomadas para z = a:

Cauchy las utilizó para demostrar el teorema de Taylor de las funciones analíticas.

Antes de pasar a la analogía mecánica, indicaremos algunos de los principales desarrollos del método de Cauchy para las funciones de variable compleja. Cauchy elaboró su cálculo de residuos como medio para evaluar integrales reales definidas. Aunque no hay un camino real que conduzca a la integración —en realidad apenas es más que una senda de cabras—, el cálculo de Cauchy demostró ser muy eficaz. Este está basado en el concepto de las singularidades especiales llamadas polos, de ciertas funciones. Se pueden dar varias definiciones equivalentes. La siguiente es quizá la más sencilla.[31] Si f(z) es analítica en todos los puntos interiores a C excepto en a, de una región R dada limitada por un contorno cerrado C y si f(z) se puede expresar en la forma

en que A₁, A₂, … An son constantes, An ≠ 0, y F(z) es analítica en todos los puntos de R, se dice que la función f(z) tiene un polo de orden n en z = a, y A recibe el nombre de residuo de f(z) en el polo a. El teorema siguiente[32] permite hacer las aplicaciones a la integración. Si C es un contorno cerrado en cuyo interior no hay más singularidades, si es que hay alguna, de f(z), que polos ∫C f(z)dz es igual a 2πi multiplicado por la suma de los residuos de f(z) en los respectivos polos interiores a C.

Cauchy y sus seguidores disfrutaron con los cálculos útiles, o simplemente curiosos de integrales definidas mediante los residuos. En el siglo XX, con las crecientes exigencias de la tecnología, este cálculo y otras partes de la teoría de funciones de una variable compleja, tal como la representación conforme, quedó incorporado a los cursos de las mejores escuelas técnicas en que se forman los ingenieros modernos. A principios de siglo la teoría se reservaba en los Estados Unidos en su mayor parte a pesadas conferencias que se daban a los estudiantes graduados, que aprendían numerosos teoremas de existencia, pero que a veces quedaban perplejos ante problemas muy elementales. Los teoremas de existencia rara vez preocupan a un ingeniero que haya aprendido a hacer cosas verdaderamente difíciles con las variables complejas. Pero si no fuera por esos teoremas, sus diques se derrumbarían, y sus aeroplanos se estrellarían con más frecuencia aún que en un pasado romántico. La garantía que tiene el proyectista contra el desastre es en parte su sexto sentido práctico, y en parte el séptimo sentido de los matemáticos puros que le proporcionan artificios de cálculo razonablemente seguros. No cabe duda que el brillo que tuvo en el siglo XIX la teoría de funciones de variable compleja se ha empañado al aplicarse cada vez más a cuestiones prácticas. Por lo menos esto es lo que un purista lamentaría. Pero el mundo progresivo de transportes aéreos rápidos y relucientes, ruidosos bombarderos y deudas gigantescas considera que esas modernas aplicaciones de la “venerable ciencia” son el amanecer del verdadero romanticismo de las matemáticas. Nuestros sucesores juzgarán en definitiva con tal que se aparten de nuestro ejemplo y no caigan víctimas de su ingenuidad de antropoides.

Una de las fuentes de la utilidad práctica de la teoría radica en el hecho de que si u + iv es función analítica de x + iy, u, v satisfacen la ecuación de Laplace para dos variables. Las soluciones de esta ecuación que tengan derivadas parciales de primero y segundo orden continuas reciben el nombre de funciones armónicas, y lo mismo ocurre con la ecuación de Laplace ∇²ϕ = 0 para tres variables. A nosotros no nos interesa más que el caso de las dos variables. Una de sus aplicaciones más sencilla es al flujo plano irrotacional de un fluido incompresible y sin rozamientos. Físicamente y a grandes rasgos, irrotacional significa falta de remolinos. Desde un punto de vista matemático, el flujo es irrotacional si existe una función uniforme u, ≡ u(x, y) definida para todos los puntos (x, y) de la lámina fluida plana, que tenga derivadas parciales de primero y segundo orden continuas, de manera que las componentes X, Y de la velocidad de la corriente en el punto (x, y), paralelas respectivamente al eje x y al eje y, estén dadas por

La función u recibe el nombre de potencial de velocidades. El detalle que interesa aquí desde el punto de vista histórico es el último: las dos componentes se obtienen tomando las derivadas parciales en las direcciones x, y. Diremos de pasada que el problema de gran importancia práctica de la corriente turbulenta escapa de las matemáticas de la hidrodinámica clásica.

Es fácil ver que si el fluido es incompresible, ha de ser

Las relaciones que esto guarda con las funciones analíticas de variable compleja se hacen evidentes al mirar las ecuaciones de Cauchy y Riemann. Porque si w(= u + iv) es una función analítica de z(= x + iy), entonces u sirve para un potencial de velocidades y lo mismo ocurre con v. Si se elige u, las curvas u = constante son líneas equipotenciales y las curvas v = constante líneas de corriente, y viceversa si se intercambian u, v. La geometría de la posición coincide con la física intuitiva en que las líneas equipotenciales y las líneas de corriente se cortan ortogonalmente.

Hay otras muchas aplicaciones físicas abstractamente idénticas a las de la hidrodinámica. En conjunto es la existencia del potencial la que hace que sean aplicables las funciones analíticas. En la transmisión del calor, la temperatura remplaza al potencial de velocidades de la hidrodinámica; en la corriente eléctrica es el potencial eléctrico; en la gravitación de Newton es el potencial gravitatorio, origen histórico de toda la teoría del potencial.[33]

Continuando con las fuentes de utilidad práctica, resumiremos la representación conforme. Sin detalles, es como sigue. En la notación z = x + iy, w = u + iv ya explicada, la función analítica w define una representación particular del plano z sobre el plano w. Un contorno descrito por el punto (x, y) del plano z tiene su representación en un contorno descrito por (u, v) en el plano w; y si los dos contornos en el plano z se cortan formando un cierto ángulo, los contornos correspondientes del plano w se cortan formando el mismo ángulo. De modo que en esta clase de representación se conservan los ángulos; las distancias, excepto en casos triviales, se deforman. Gauss[34] llamó en 1825 conforme a esta representación. Su utilidad es bien conocida de todo el que haya hecho algún trabajo serio de la física matemática clásica, o que haya tomado algún curso de aeronáutica. Los rasgos más interesantes de esa representación se presentan cuando se investiga la representación en el entorno correspondiente a una singularidad de la función. Una de las representaciones conformes utilizadas con más frecuencia es la de (1869) Schwarz (alemán, 1843-1921), que representa toda función simplemente conexa limitada por un polígono rectilíneo de n lados en un semiplano positivo. He aquí un caso particular pero muy importante desde el punto de vista práctico del problema general de la representación conforme: encontrar la función que transforma una región dada en otra. La representación conforme constituye casi una rama de las matemáticas modernas por sí misma; es uno de los dos modos de abordar la teoría de funciones de variable compleja. En particular, la representación de polígonos, estudiada por primera vez en 1867 por Christoffel (alemán, 1829-1900), estimuló a otros muchos además de Schwartz a desarrollar la materia por completo, que ahora cuenta con una vasta literatura propia.

Aunque más correspondería hacerlo a propósito del desarrollo de la geometría diferencial, podemos indicar de pasada que el origen evidente de la representación conforme se encuentra en las exigencias prácticas de hacer mapas de la superficie terrestre. Las primeras obras clásicas de importancia sobre esta materia fueron las memorias[35] de Lagrange de 1779, en las que describía las aportaciones de sus principales antecesores Lambert (alemán, 1728-1777) y Euler, y obtenía una solución válida para toda superficie de revolución, que aplicó a la esfera y el esferoide, casos de mayor importancia para la geodesia. Gauss en 1825 abordó el problema general de la representación conforme de dos superficies dadas, una sobre la otra, y en 1847 aplicó[36] su solución a la geodesia. No menciona la obra de Lagrange. Con la versión de Riemann de la teoría de funciones de variable compleja (1851), la representación conforme entró a formar parte integrante del análisis moderno, y sus aplicaciones prácticas no quedaron restringidas a los mapas y a la geodesia.

Estrechamente relacionado con el problema de la representación hay otro de gran interés histórico y actual, el de Dirichlet, cuyo enunciado es el siguiente: demostrar la existencia de una función, que sea armónica en una región cerrada del espacio y que tenga valores prefijados continuos en el contorno de esa región. A un físico le podrá parecer evidente que un cuerpo sólido caliente pero en estado rígido ha de tener una distribución determinada y única de temperatura en todos los puntos interiores una vez que se conoce la temperatura en la superficie; los matemáticos han aprendido con la experiencia que no basta con la intuición física para resolver el problema de Dirichlet. Hilbert lo resolvió[37] satisfactoriamente en 1901 bajo restricciones convenientes y adecuadas para casi toda aplicación física concebible. En dos dimensiones, el problema se reduce al ya descrito a propósito de las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la corriente plana. Su interés histórico para la teoría de funciones reside en que, como veremos, Riemann partió de la intuición física bidimensional para su teoría (1851) de las funciones analíticas.

Ahora, pasamos a ocuparnos de la influencia de la teoría de Cauchy sobre el análisis. Lo que sigue se aplica de igual manera a las otras teorías, que describiremos en seguida, de Riemann y de Weierstrass. En pocas palabras, la teoría cumplía el requisito primordial de toda doctrina que pretenda ser general, unificando, simplificando y extendiendo las teorías especiales que intentaba incluir, facilitando al mismo tiempo demostraciones más estrictas y claras para los resultados conocidos que arrojaban dichas teorías. No podemos consignar más que las tendencias generales.

En un principio, las teorías fueron clasificadas respecto de amplios principios sugeridos por la experiencia. Dos peculiaridades sobresalían por su especial significado: se vio que muchas de las propiedades útiles y matemáticamente interesantes de una función están íntimamente relacionadas con sus singularidades y sus ceros, llamando cero a un valor de la variable para el cual la función se anula. Ya hemos definido los polos. Asimismo, hay otras singularidades que reciben el nombre de esenciales; y un valor z₀ de z en el cual f(z) es analítico, es un punto ordinario. Otro tipo de singularidad, el punto de ramificación,[38] no tiene importancia más que para las funciones multiformes (no uniformes, con muchos valores). Una función multiforme de z tiene más de un valor para por lo menos un valor de z; por ejemplo, w definida por w² = z tiene dos valores, + z1/2, − z1/2, para una z dada. Al variar z, varían los dos valores, engendrando lo que se llama una rama de la función. Un valor b de z, para el cual coinciden dos o más ramas, y en el que se intercambian las ramas al describir z una circunferencia en el plano z con un centro en b, y que no contenga ninguna otra singularidad, recibe el nombre de punto de ramificación. En el ejemplo, cero es un punto de ramificación. Esta clasificación de las singularidades en polos, puntos de ramificación y singularidades esenciales demostró ser muy adecuada para la mayoría de los fines.[39]

Las funciones más sencillas son los polinomios y las funciones racionales construidas como crecientes de polinomios. Se tomó a ambas como punto de partida para la generalización y clasificación de funciones menos elementales, en especial en los trabajos de Weierstrass. Como su teoría se mezcla en este punto con la de Cauchy, la describiremos con brevedad. Parecerá que el esbozo del teorema de Cauchy que vimos con anterioridad se sustenta en la intuición geométrica. Pero esto es un ilusión, ya que se puede evitar con facilidad el recurrir al diagrama de Argand, los contornos y el resto de las imágenes espaciales, como se hace en las exposiciones exactas.

Desconfiando de la intuición geométrica, Weierstrass la descartó por completo construyendo una teoría de funciones estrictamente aritmética. Aunque tardó bastante en publicarse, la influencia que ejerció sobre el análisis del siglo XIX fue profunda y quizá mayor que la de ningún otro individuo, excepto la de Cauchy.[40] Entre 1857 y su retiro parcial en 1890, Weierstrass instruyó intermitentemente a sus alumnos de la Universidad de Berlín en el nuevo análisis que había creado, o estaba creando; las notas de sus conferencias y de sus investigaciones personales difundieron poco a poco el evangelio del rigor de Weierstrass, que no siempre resultaba agradable para algunos, cuyas supuestas demostraciones de teoremas importantes, según se vio, eran incompletas o sofísticas.

Por otra parte, tomando como base su reconstrucción del sistema de números, Weierstrass hizo de las series de potencias la piedra angular de su teoría. Además, introdujo los conceptos fundamentales radio y círculo de convergencia,[41] dio sus definiciones matemáticas y pasó a hacer generalizaciones trascendentes de polinomios y de funciones racionales. Uno de sus objetivos fue el de caracterizar amplias clases de funciones según sus singularidades. Así, por ejemplo, un polinomio no tiene singularidades para valores de la variable situados en la parte finita del plano, pero tiene un polo en el infinito. Weierstrass pasó de esto a la clase de funciones llamadas integrales (o enteras) trascendentes, definidas mediante series de potencias de la forma

con radio de convergencia infinito y una singularidad esencial en el infinito. Ejemplos sencillos de esto son las series de sen z, cos z, ez.

Otro concepto básico de la teoría de Weierstrass es la prolongación analítica. Por ser éste el medio más sencillo de establecer la identidad abstracta de las teorías de Cauchy y de Weierstrass, lo describiremos en pocas palabras; pero ha de tenerse en cuenta que lo que sigue no es más que un ligero esbozo.

Según la teoría de Cauchy, se obtiene con facilidad la representación de una función f(z), analítica en el entorno de un punto c, como series de potencias de la forma

En realidad, esto lo hizo el mismo Cauchy en su demostración (1831) del teorema de Taylor de las funciones analíticas. El círculo de convergencia se centra en c, y se extiende a la singularidad de f(z) más próxima a c. Para puntos interiores al círculo, la serie converge absolutamente; para puntos exteriores la función no está definida; y puede haber o no puntos de la circunferencia para los cuales la función exista. A menos que las singularidades sean densas[42] en toda la circunferencia, la región en la que la función está definida mediante la serie de potencias puede ser susceptible de prolongación, pues si se toma dentro del círculo un punto que no sea el centro y se traza a su alrededor un nuevo círculo tomando como radio la distancia a la singularidad más próxima, la función se puede desarrollar como anteriormente para puntos interiores al nuevo círculo. El proceso se puede repetir para el nuevo círculo, y así sucesivamente. La totalidad de los desarrollos en series de potencias así obtenidas por “prolongación analítica” define la función en todos los puntos de una región a cuyos puntos se pueda llegar siguiendo una curva que no pase por ninguna singularidad de la función. Weierstrass definió una función analítica como una serie de potencias juntamente con todas las que se pueden obtener partiendo de ella por prolongación analítica, según acabamos de describir. De esto se sigue sin dificultad que las regiones analíticas que definió Cauchy son las mismas que las de Weierstrass. No tiene, pues, importancia la terminología que se use, aunque para las propiedades integrales de las funciones, la de Cauchy es superior en opinión de los analistas franceses.

Las funciones trascendentes enteras definidas por series convergentes de potencias ascendentes fueron en parte sugeridas por los polinomios. De manera análoga, las funciones racionales sugirieron las funciones trascendentes que no tienen más singularidades que polos en la parte finita del plano. Éstas reciben el nombre de funciones trascendentes racionales, o funciones meromorfas.[43] El rápido progreso de las funciones elípticas a principios del siglo XIX fue debido, en parte, al descubrimiento que hizo Jacobi de que esas funciones son meromorfas. A este respecto es digno de mención un episodio de especial significado, ya que constituyó el primer ejemplo en que se aplicara con éxito completo la teoría de funciones de variable compleja a la deducción sistemática de una teoría particular. Liouville, en las conferencias que dio en el Collège de France (1847, publicadas en 1851), desarrolló la teoría de las funciones elípticas valiéndose del análisis de Cauchy y de un famoso teorema original suyo: si f(z) es analítica para todos los valores de z, y si |f(z)| está acotada al tender |z| a infinito, entonces f(z) es una constante.

Hay otros tres teoremas de mayor alcance que son dignos de mención. Éstos ilustran una vez más el paso del caso finito de los polinomios y de las funciones racionales al caso infinito correspondiente de las funciones trascendentes. Weierstrass demostró (1876) que una función uniforme cuyas únicas singularidades en la parte finita del plano son polos y con una singularidad esencial en el infinito, es un cociente de dos funciones enteras. También obtuvo una representación en producto infinito de una función analítica en la parte finita del plano, y con una infinidad de ceros distribuidos de tal manera que en todo círculo de radio finito y con centro en el origen no haya más que un número finito de ellos. Esto recuerda el teorema fundamental del álgebra y la familiar descomposición de sen z en producto infinito. Asimismo, hay un tercer teorema que recuerda la descomposición de una fracción racional en fracciones parciales. Mittag-Leffler (sueco, 1846-1927) dio en 1882 un método para construir una función uniforme con una infinidad de polos o singularidades esenciales dadas de las cuales no haya en la parte finita del plano más que un número finito.

En 1850 ya se contaba con el aparato analítico suficiente para abordar ordenadamente muchas funciones especiales. Una serie de Taylor no se adapta a algunas de las funciones clásicas, como la de Bessel. El instrumento necesario para llenar esta laguna lo proporcionó[44] en 1843 Laurent (francés, 1841-1908), cuyo desarrollo en serie da los coeficientes an, bn del desarrollo de una función f(z) en la forma

válida para todos los puntos z del anillo limitado por dos circunferencias concéntricas con centro en c, con tal que f(z) sea analítica para todos los puntos interiores al anillo, y en su contorno.

El gradual apartamiento de la teoría clásica weierstrassiana, movimiento iniciado hacia 1890, proporciona una interesante analogía con los primeros pasos de la teoría de los campos en física. Después de Weierstrass, el análisis se dirigió cada vez más hacia las propiedades integrales de las funciones, ocupándose menos de su comportamiento en el entorno inmediato de un punto dado, para lo que habían bastado los desarrollos en series de potencias. La prolongación analítica había servido para definir una función in toto. Aunque en teoría perfecto, este método tenía serias limitaciones prácticas. El mismo Weierstrass amplió la teoría estrictamente local de su método de aproximación (1885) a las funciones continuas por medio de polinomios, actitud que abrió un ancho camino al análisis que se ocupaba de la representación de funciones de una o de más variables mediante series infinitas de funciones continuas. Ahora bien, partiendo de éstos y de otros modos de representación, por ejemplo, las series divergentes (sumables), se ampliaron los dominios en los que se podía investigar a las funciones, y los entornos de un punto perdieron algunos de sus privilegios exclusivos. Borel (francés, 1871-…) dio un paso adelante en el análisis de las funciones independientes de todo algoritmo particular, en su teoría del crecimiento (croissance). Mientras tanto, no se descuidaba a las series de potencias. La tesis de París de Hadamard de 1892 sobre la serie de Taylor y su prolongación analítica, ya citada a propósito de la definición de los números primos, abrió una nueva era en el estudio de las funciones por medio de sus singularidades. Entre otras cosas casi por entero descuidadas en la teoría antigua, el análisis refinado del siglo XX ha incluido el estudio de las funciones dadas por series de potencias para puntos del círculo de convergencia. Esta indicación del mayor alcance de los métodos modernos sobre los del siglo XIX ha de bastar para indicar que el análisis continuo avanzaba después que los viejos generales se hubieron retirado del campo.

Puesto que los métodos de Cauchy, Riemann y Weierstrass participaron por igual en el enorme desarrollo de la teoría de funciones, realizado entre aproximadamente 1860 y el primer decenio del siglo XX, indicaremos el modo de abordarla de Riemann antes de consignar una de las consecuencias más importantes debidas en parte al conjunto de la teoría. Riemann tenía en el fondo tanto de físico matemático, como de matemático. Su modo de abordar la teoría pudiera haber sido de Lagrange, si este último hubiera aprovechado los claros indicios de una teoría general, implícitos en sus descubrimientos de hidrodinámica y de las funciones armónicas.

Riemann esbozó su teoría al presentar su tesis doctoral (1851), esfuerzo colosal que Gauss elogió con moderado entusiasmo. Gauss, según Riemann, hacía tiempo que proyectaba un trabajo propio siguiendo una orientación semejante. El que nunca llevara a cabo su proyecto puede haber sido debido a que considerara largamente determinadas dificultades muy profundas, como el problema de Dirichlet de la teoría del potencial, que Riemann o bien descuidó o bien dejó para investigarlo en el futuro, pues aunque todos los que las han desarrollado y apreciado mucho lo muy fructíferas y sugestivas que son las creaciones de Riemann, se suele estar de acuerdo en que Riemann proponía más problemas de los que resolvía. Aunque Riemann no se preocupó demasiado del rigor, ni en su tesis ni en sus trabajos subsiguientes, su análisis ha inspirado probablemente tantas matemáticas bien fundadas como los métodos deliberadamente rigurosos de Weierstrass. La teoría de Riemann atrae en particular a los físicos matemáticos y a los analistas dotados de intuición espacial, es decir, a los matemáticos del mismo tipo que él. Sus métodos geométricos han tenido más popularidad entre la escuela alemana que entre la francesa, y pocos matemáticos de habla inglesa han hecho uso de ellos.

Un posible origen mecánico[45] de la definición de Riemann de w como función de la variable compleja z se presenta en el contraste entre las derivadas dw/dz, y dy/dx, en que y es una función real de la variable real x. Omitiendo todos los refinamientos, recordaremos que dy/dx es el límite, al tender ∆x a cero, del cociente de diferencias . Pero ∆x ha de tender a cero tomando valores reales; es decir, que se obliga a ∆x a variar siguiendo el eje real. Siendo z complejo, ∆z puede tender a cero siguiendo una trayectoria cualquiera de las infinitas que hay en el plano z; no se prefija la trayectoria de ∆x, y el valor límite de al tender ∆z a cero no es por necesidad independiente de la trayectoria. Riemann definió w como función de z si, y sólo si, el valor límite dw/dz de es independiente[46] de la diferencial dz. Esto le dio las ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales de Cauchy-Riemann, ya descritas, y por lo tanto también las relaciones con la ecuación de Laplace de dos variables.

La analogía mecánica de la definición de Riemann es evidente. Un campo conservador de fuerzas está caracterizado por la existencia de un potencial V, definido en todo punto (x, y, z) del campo cuyo gradiente (∂V/∂x, ∂V/∂y, ∂V/∂z) da las componentes[47] (X, Y, Z) de la fuerza en (x, y, z). En un campo conservador, el trabajo que hacen las fuerzas del campo sobre un sistema que se mueve desde una configuración a otra, es independiente de la trayectoria, no dependiendo más que de los valores de V en las dos configuraciones. Si la trayectoria es un contorno cerrado, el trabajo total es nulo. Además, en el vacío V satisface la ecuación de Laplace ∇²V = 0. Ya hemos hecho notar la importancia que tiene el caso de las dos variables para las funciones analíticas. No se necesita insistir mucho para ver claro cómo el análisis remeda a la física. Hacía mucho tiempo que esta última era clásica, cuando Riemann definió su dw/dz, por la independencia de la trayectoria por la que ∆z tiende a cero, e incluso cuando Cauchy demostró su teorema de la integral.

Nos falta indicar un posible impulso de la mecánica del siglo XVIII hacia la teoría de funciones de variable compleja. La historia de este detalle es complicada, y no está todavía por completo elaborada. Consignaremos sólo unos cuantos de los incidentes más significativos.[48] Las ecuaciones de Cauchy-Riemann aparecieron en 1746 e incluso quizá en 1743, ya que d’Alembert (1746), Euler (1749) y Lagrange (1762-1765) supieron que cuando f(x + iy) = u + iv, es f(x − iy) = u − iv, y

Lagrange encontró estas ecuaciones[49] en un problema hidrodinámico y llegó a su solución general en la forma

u = iF(x + iy) − iG(x − iy),          v = F(x + iy) + G(x − iy).

Buscó entonces lo que ahora se llama función de corriente. Esto conduce de una manera natural a la integración de las funciones F, G, para valores complejos de las variables. Pero Lagrange evitó con cuidado el signo integral, manejándose en el análisis con las series infinitas. El valor de una función para valores complejos de la variable se obtenía, en efecto, por el desarrollo en serie de Taylor, y Lagrange mostró que se daba cuenta de las imitaciones del análisis. Ya en 1743 hizo notar Clairaut (francés, 1713-1765) en su obra sobre la forma de la Tierra que ∫(u dx + v dy) se anula, en general, cuando la integración es alrededor de un contorno cerrado y que

y d’Alembert observó el caso excepcional u ≡ y/(x² + y²), v ≡ −x/(x² + y²).

Esto último puede tener algo que ver con la tan citada observación de Gauss[50] en su carta del 18 de diciembre de 1811 a Bessel (prusiano, 1784-1846) ya que d’Alembert se interesaba por las funciones de variable compleja f(x + iy) cuando observó su caso excepcional. Gauss afirmó que contaba con una demostración del fundamental teorema de que “la integral de una función alrededor de un contorno cerrado es nula cuando el integrando no se hace infinito en el interior de la región limitada por el contorno”. Esto ocurría 14 años antes de que Cauchy publicara su memoria sobre la integración compleja. Se ha especulado mucho, sin llegar a ninguna conclusión, acerca de por qué Gauss se guardó para sí un teorema de tal magnitud. Quizá sabía que no estaba haciendo sino enunciar de otro modo lo que ya se sabía. O quizá se diera cuenta más tarde de que en realidad se había anticipado. Al parecer abandonó la materia y no hay ninguna prueba de que llegara a demostrar el teorema. Si hubiera conocido en 1811 el teorema (1828) de Green (inglés, 1793-1841) para el plano, hubiera podido demostrar el teorema de la integral inmediatamente. Sin el teorema de Green la demostración es más difícil; y no parece muy probable que Gauss, que se extravió al año siguiente (1812) a propósito del teorema de Abel sobre la serie de potencias, también en proceso de dobles límites, pudiera haber inventado una demostración más profunda para el teorema de la integral. Desde un punto de vista histórico, pues, la cuestión (si es que tiene alguna importancia) parece ser: ¿Cuándo llegó a conocimiento de Gauss el teorema de Green?

Respecto a la integración compleja en sí misma, fue probablemente Euler el primero que obtuvo el valor de una integral definida remplazando una variable real por una variable compleja. Laplace (1782, 1810) investigó la validez del procedimiento. P. Stäckel afirma que fue S. D. Poisson (francés, 1781-1840) quien en realidad usó por primera vez las integrales de línea en el campo complejo.

Por último, Lambert (alemán, 1728-1777), Euler y Lagrange usaron durante el siglo XVIII libremente las funciones de variable compleja. Pero ninguno de esos comienzos se parece mucho a la teoría de funciones de variable compleja que imaginó Cauchy en 1825. Si se admiten como posibles estímulos para la teoría las sugestiones mecánicas que contenía la obra de Clairaut y de Lagrange, ello no es en detrimento de los méritos de los que hicieron de la teoría una de las secciones más importantes del análisis moderno.

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y AUTOMORFAS

La teoría fundamental de funciones encontró durante el siglo XIX sus más extensas aplicaciones en las funciones algebraicas, sus integrales y en las funciones múltiplemente periódicas que surgen del problema de Jacobi de la inversión de esas integrales. A veces se suele llamar (impropiamente) a todo este campo teoría de las funciones abelianas, aunque Abel no conoció las funciones periódicas 2p-ples de p variables, que llevan su nombre, y que se presentan con la inversión de las integrales abelianas. Abel, Jacobi, Göpel (alemán, 1812-1847), Rosenheim (alemán, 1816-1887), Weierstrass, Riemann, Hermite, Weber (alemán, 1842-1913) y multitud de matemáticos menos conocidos dedicaron gran parte de sus mejores esfuerzos a desarrollar la teoría, que respondió sugiriendo nuevos métodos y problemas nuevos de geometría algebraica, teoría general de funciones, topología, números algebraicos y el sistema de los números del análisis.

Por otro lado, recordaremos que Weierstrass dedicó su vida a hacer una investigación sistemática y rigurosa de las funciones abelianas, y fue al buscar fundamentos satisfactorios para el análisis indispensable, cuando se vio obligado a dar rigor al sistema de números reales. El invento más característico de Riemann, el de las superficies de varias hojas que llevan su nombre, fue ideado para hacer más intuitiva la teoría. Parte de la obra más temprana y más sugestiva de Hermite en álgebra, análisis y aritmética, se originó al continuar las contribuciones de Jacobi a las funciones abelianas. Clebsch (alemán, 1833-1872), que sucedió a Riemann en Gotinga, inició una nueva sección de la geometría al aplicar las funciones abelianas a la geometría algebraica. Los problemás topológicos que presentan las superficies de Riemann fueron de los primeros que elevaron el análisis situs de la categoría de entretenimientos triviales a la de matemática seria. En resumen, sería difícil sobrestimar la influencia que han ejercido las funciones algebraicas sobre las matemáticas puras del siglo XX.

Fueron tantos los especialistas y usaron métodos tan diferentes para desarrollar la teoría después de iniciada en 1826, que es imposible describir convenientemente el producto acabado en algo que no sea una voluminosa monografía. Nos limitaremos a recordar los diferentes modos de abordarla y algunos de los principales conceptos fundamentales que nos basten para sugerir que el análisis, la geometría algebraica y la moderna aritmética superior contribuyeron a completar la teoría. Entonces, empezaremos con las superficies de varias hojas de Riemann. Éstas son muy útiles para la representación de las funciones multiformes. No tendría objeto describir con detalle estas superficies, e indicaremos tan sólo lo que su inventor trataba de conseguir: reducir a la uniformidad las funciones multiformes.

Si f(z) es una función de z de n valores (n ≧ 1), se permutan (n > 1) sus n valores o ramas, a las que llamaremos f₁(z), …, fn(z) al describir z un contorno cerrado K, con un punto de ramificación y con ninguna otra singularidad de f(z) contenida en K. Tanto Cauchy como Riemann buscaban una representación geométrica de las ramas de una función. Uno de los objetivos era el de separar las ramas consiguiendo para la multiformidad (n > 1) la sencillez de la uniformidad (n = 1); otro era el de representar las relaciones mutuas de las n ramas respecto de los puntos de ramificación. Cauchy propuso el artificio de los bucles que surgieran de un punto no singular del plano z, llamando bucle a un contorno cerrado que no pase por ninguna singularidad, y que encierre tan sólo una singularidad. Encerrando de este modo en el bucle los puntos de singularidad, las ramas de f(z) se permutan al describir z el bucle. Las permutaciones forman un grupo cuya tabla de multiplicación resume los intercambios de las ramas para todo circuito posible.

El método radicalmente distinto de Riemann presenta a f(z) como función uniforme en una superficie de n hojas. A primera vista el problema de reducir la multiformidad a una imagen de uniformidad parece tan desesperado como la cuadratura del círculo. Riemann lo resolvió en cuatro etapas. En vez de representar z en un plano, se le asignan n planos u hojas, P₁, …, Pn correspondientes cada uno de ellos a una de las n ramas (n > 1) f₁(z), …, fn(z) de f(z). Al variar z sobre una hoja determinada, por ejemplo Pj, f(z) toma tan sólo los valores de la rama correspondiente fj(z). Después se superponen las n hojas en diagrama de Argand; habrá n puntos, por ejemplo, z₁, …, zn uno sobre otro en P₁, … Pn; a esos puntos corresponden los valores de f₁(z), …, fn(z) para el mismo z del diagrama de Argand. En el tercer paso se tienen en cuenta los puntos de ramificación. En un determinado punto de ramificación z₀ del diagrama de Argand son iguales dos o más de los f₁(z₀), …, fn(z₀) y cuando z recorre z₀ se permutan las ramas correspondientes. Entonces, se imagina que las hojas correspondientes a estas ramas “cuelgan juntas” —conectadas— con el punto de ramificación z₀; y lo mismo ocurre con los demás puntos de ramificación de f(z). Por último, hay que proporcionar un paso de una hoja a otra para describir las permutaciones de f₁(z), …, fn(z) cuando en el diagrama de Argand z rodea los puntos de ramificación de una manera cualquiera, o cuando describe algún contorno. Esto se consigue mediante líneas que no necesitan ser rectas pero que no se pueden cortar a sí mismas, llamadas cortaduras de las ramificaciones, y cada una de las cuales une un par de puntos de ramificación (el infinito puede ser un punto de ramificación), o va desde un punto de ramificación al infinito. También, se imagina que a lo largo de cada cortadura de ramificación hay puentes o membranas que conectan las hojas, de tal manera que el intercambio de ramas se puede imaginar en el paso de z desde una hoja a otra en la superficie n-ple. Si en el diagrama de Argand z, al circundar un determinado punto de ramificación cambia una vez de la rama fr(z) a la rama fs(z), en la superficie de Riemann z pasa por un puente, de la hoja Pr a la hoja Ps. Por lo general hay varias maneras de hacer las conexiones. Sin embargo, todas son equivalentes en el sentido de que todas ellas presentan a la f(z) de n valores como función uniforme sobre una superficie de Riemann de n hojas, en que las hojas están conectadas de tal manera que las permutaciones de las ramas se pueden representar de manera consecuente.

Unos 30 años antes de que Riemann imaginara su manera intuitiva de abordar las funciones algebraicas, Abel (1826) dio a toda la teoría su primer impulso con su obra maestra, y concretamente con el gran teorema del cálculo integral, al que Jacobi le dio el nombre de teorema de Abel, en honor de su descubridor, y al que Legendre, empleando las jactanciosas palabras de Horacio, calificó de monumentum aere perennius. Ahora se suele redactar el teorema de Abel con el lenguaje de la geometría algebraica,[51] pero Abel lo presentó de una manera puramente analítica, como una generalización de los teoremas de adición de las integrales elípticas, el primero de los cuales fue enunciado en 1761 por Euler. Asimismo, se ha dicho que la demostración de Abel “no es más que un maravilloso ejercicio de cálculo integral”. Puesto que la exposición geométrica corriente del teorema de Abel exige extensos preliminares, preferimos dar aquí una forma analítica.[52]

Sea f(x, y) un polinomio de la forma

X₀yn + X₁yn⁻¹ + … + Xn,

en que X₀ ≢ 0, X₁, …, Xn son polinomios en x sin ningún factor común en el que figure x. Además, f(x, y) considerado como polinomio en y ha de tener un discriminante que no sea idénticamente nulo. Entonces se dice que y definida por f(x, y) = 0 es una función algebraica de x. En el siguiente enunciado del teorema de Abel es X₀ ≡ 1, y R(x, y) es una función racional cualquiera de x, y. El teorema de Abel es

en que: m es un número entero positivo cualquiera; los límites inferiores de las integrales del primer miembro son arbitrarios; F consta de funciones racionales de x₁, y₁, …, xm, ym, y los logaritmos de esas funciones; u₁, …, uk son valores de x que se pueden determinar como raíces de una ecuación algebraica cuyos coeficientes son funciones racionales de x₁, y₁, …, xm, ym; y v₁, …, vk son los valores correspondientes de y, cada uno de los cuales, por ejemplo vj, se puede determinar como función racional de uj y de x₁, y₁, …, xm, ym.

En esto, las relaciones que determinan (u₁, v₁), …, (uk, vk) de (x₁, y₁), …, (xm, ym) se mantienen durante la integración; esas relaciones determinan los límites inferiores de las k integrales del segundo miembro en función de los límites inferiores arbitrarios de las m integrales del primero, no dependiendo k ni m de la forma de R(x, y), y en general tampoco de los valores de (x₁, y₁), …, (xm, ym), sino tan sólo de la ecuación f(x, y) = 0 que determina y como función algebraica de x.

Esto es un resumen escueto del teorema de Abel en una forma parecida a la que él dio. Una descripción más completa muestra cómo se construyen las ecuaciones determinantes de uj, vj en función de xi, yi. Aquí no podemos dar más que algunas indicaciones del triple desarrollo de las funciones algebraicas y de sus integrales desde que Abel inició la teoría hasta el siglo XX.

Las integrales del tipo que se presenta en el teorema de Abel reciben el nombre de integrales abelianas asociadas con f(x, y) = 0. En el método trascendente para desarrollar la teoría de las funciones algebraicas, las integrales abelianas son fundamentales. Después de Abel, el que cultivó más extensamente este método (1859) fue Riemann, cuya teoría tiene puntos de contacto con la segunda, la teoría geométrico-algebraica. La ecuación fundamental f(x, y) = 0 que define una curva algebraica en el plano x, y, y que también cuando se escribe en la forma X₀yn + X₁yn⁻¹ + … + Xn = 0 muestra y como función de n valores de x, sugiere que esos puntos de contacto eran de esperar. Es decir, que se podía esperar que la superficie de Riemann asociada y la curva algebraica habrían de reflejarse de algún modo una sobre la otra. Antes de indicar a grandes rasgos la base de la correspondencia entre la curva y la superficie, indicaremos el tercero de los métodos clásicos de la teoría de funciones algebraicas, que también está sugerido por la ecuación algebraica fundamental f(x, y) = 0. La totalidad de las funciones racionales de x, y, tal como R(x, y) que se presentan en el enunciado del teorema de Abel constituyen un campo en el sentido técnico del álgebra abstracta, estando definido ese campo particular por f(x, y) = 0. De este modo se sugiere que los métodos de los campos algebraicos y las técnicas de la teoría aritmética de los ideales se pueden extender a los integrandos de las integrales abelianas. Al desarrollar se engendra el tercer tipo de teoría, la teoría aritmética de las funciones algebraicas. Esta teoría multifacética se volvió al análisis, la geometría algebraica y la moderna aritmética superior de los siglos XIX y XX en busca de sugestiones, y correspondió proponiendo numerosos problemas difíciles en cada una de sus subsidiarias.

Por último, originada con Abel en 1826 como generalización del teorema de adición de las integrales elípticas, la teoría de las integrales abelianas sugirió a Jacobi un problema generalizado de inversión análogo al que condujo desde las integrales elípticas a las funciones elípticas. No fue ésta una extensión fácil. Se suele considerar que una de las hazañas más brillantes del análisis del siglo XIX es la inspirada solución del caso más sencillo de Jacobi (1832-1834), prácticamente adivinada después de intentar sin éxito encontrarla de la manera conveniente. Como su naturaleza se puede indicar con brevedad, la describimos a continuación.

Las sumas de las integrales abelianas especiales

en que R(x) es un polinomio de sexto grado, son funciones a las que llamaremos s₁, s₂ de los límites superiores x₁, x₂. Jacobi encontró que las funciones simétricas x₁ + x₂ y x₁x₂ son funciones uniformes cuádruplemente periódicas de s₁, s₂. La analogía parcial con las funciones doblemente periódicas que surgen de la inversión de una integral elíptica sugirió a Jacobi que sus nuevas funciones serían susceptibles de expresarse mediante una apropiada generalización de las funciones elípticas theta. Adivinó que éstas habrían de ser de la forma

∑∑eam² + 2bmn + cn² + 2mu + 2nv,

en que las sumas ∑∑ se refieren a todos los enteros m, a, b, c dependen de los periodos; u, v son funciones lineales de s₁, s₂. Rosenhain (alemán, 1816-1887) demostró que la suposición de Jacobi era correcta (1851). Con ésta y con una investigación anterior (1847) de Göpel (alemán, 1812-1847) se inició la vasta teoría de las funciones periódicas[53] 2p-ples con p variables. Después de los primeros trabajos para p = 2, introdujo Riemann (1857) las funciones correspondientes para cualquier valor de p. Pero sus funciones theta no eran las más generales posibles. El desarrollo de la teoría general de las funciones theta formaba parte del programa a que Weierstrass dedicó su vida; fue llevado a cabo principalmente por él[54] y sus discípulos en la segunda mitad del siglo XIX.

Ahora bien, falta indicar el origen de las relaciones que a través de la ecuación fundamental f(x, y) = 0 y su superficie de Riemann asociada ligan a las funciones algebraicas con la geometría. El concepto fundamental, el de las transformaciones birracionales, engendró una de las divisiones más amplias de la geometría de los siglos XIX y XX. Las transformaciones birracionales, sugeridas por primera vez en un proyecto de Apolonio (siglo II a. C.), estuvieron adormecidas hasta 1824 en que Steiner y después otros aplicaron el tipo especial llamado inversión a la geometría sintética.[55] Pero hasta 1863 no apareció algo que se aproximara a una teoría general, al comenzar el geómetra italiano Cremona (1830-1903) una investigación sistemática de la clase particular de transformaciones birracionales que después han llevado su nombre. Éstas se pueden definir como sigue.

El plano (x, y) se puede transformar en él mismo: a cada punto (x, y) corresponde un punto (x′, y′) en que x′, y′ son funciones racionales de x, y, y recíprocamente; todo esto con la posible excepción de ciertos lugares singulares. Por ejemplo, la transformación x′ = x, y' = x/y y su inversa x = x′, y = x′/y′ establecen una correspondencia biunívoca entre las (x, y) y las (x′, y′) excepto para los puntos de los ejes. Esas transformaciones birracionales de todo el plano, con la posible excepción indicada, se llaman transformaciones de Cremona. Una curva algebraica cuya ecuación esté dada con las coordenadas x, y se designará por C, y de manera análoga para x′, y′ y C′.

Claro está que C y C' se corresponden birracionalmente punto a punto según una transformación de Cremona. Pero C y C′ se pueden corresponder birracionalmente punto a punto según una transformación birracional que no se extienda a todo el plano. En ese caso se dice que la transformación es curva a curva, y se escribe C ∼ C′. Ahora bien, es evidente que esta “equivalencia”, ∼, es un ejemplo de la relación de equivalencia abstracta descrita a propósito del álgebra y la aritmética. Por consiguiente, respecto de ∼, las curvas planas algebraicas se dividen en clases. Todas las curvas de una clase particular se dice que tienen el mismo género. El género es un número entero p no negativo que describiremos enseguida.

Antes de seguir adelante con estas consideraciones, indicaremos por qué se podía prever su importancia para la teoría de las funciones algebraicas, y observaremos una de las razones por la cual algunos han preferido abordar su estudio aritméticamente en vez de hacerlo de una manera algebraico-geométrica.[55]

La teoría de las funciones algebraicas se ocupa en especial de una irracionalidad definida por la ecuación de una curva algebraica C. En particular, se afirmaba en el teorema de Abel que el número k de integrales abelianas que figuran en una cierta suma no depende de la forma particular de la función racional R(x, y) o de x, y que se presentan en el integrando, siendo f(x, y) = 0 la ecuación de C. Esto sugiere que la teoría quedará esencialmente inalterada si se remplaza C por C′, siendo C ∼ C′. Por lo tanto, conviene elegir de entre todas las curvas del mismo género una de las que geométricamente sean “más sencillas”.

Por otro lado, es manifiesto que una curva algebraica cuyas únicas singularidades sean nodos es más sencilla que otra que tenga singularidades de orden superior. Pero una curva algebraica irreducible C es birracionalmente transformable en otra C′ sin otras singularidades que puntos dobles con tangentes distintas, teorema fundamental descubierto, al parecer, por Kronecker[56] en 1858. Las demostraciones de este teorema estaban todavía en 1940 poniendo a prueba a los geómetras algebraicos. Otro teorema que acompaña al anterior, el de Noether (1871), afirma que toda curva algebraica irreducible es transformable mediante una transformación de Cremona en otra cuyas únicas singularidades sean puntos múltiples con tangentes distintas. El método aritmético de las funciones algebraicas se puede desarrollar sin esta, en cierto modo molesta, reducción de singularidades. Pero los geómetras prefieren, como es natural, ejercitar su intuición espacial.[55] El mismo vocabulario de la geometría sugiere también muchas prometedoras líneas de enfoque.

Aquí no podemos dar más que una indicación resumida de las relaciones que ligan la curva algebraica f(x, y) = 0 y la correspondiente de Riemann. La relación en cuestión se refiere al género p de la curva y a la conexión de las superficies.

Ya se han descrito[28] las superficies simplemente conexas. Asimismo, se dice que una superficie es doblemente conexa si mediante una cortadura transversal se la puede hacer simplemente conexa. Por ejemplo, la superficie plana limitada por dos circunferencias concéntricas es doblemente conexa. Si una cortadura hace que una superficie sea doblemente conexa, recibe el nombre de simplemente conexa, y así sucesivamente. Entonces, se puede proporcionar un borde a una superficie que no lo tenga practicando un pequeño agujero en ella; la primera cortadura parte del agujero. Así, una esfera taladrada es simplemente conexa; un arganeo perforado es triplemente conexo. Ahora bien, supondremos que siempre que sea necesario se habrá perforado convenientemente una superficie de Riemann.

La superficie de Riemann correspondiente a una curva C de género p se puede hacer separadamente conexa mediante 2p cortaduras convenientemente definidas. El género de C como en la teoría de las curvas algebraicas planas es el número entero que le falta al número de puntos dobles de C para tener el valor máximo posible dado por las ecuaciones de Plücker.

Si p = 1, las correspondientes integrales abelianas ∫R(x, y)dx son elípticas. Si p = 2, las integrales reciben el nombre de hiperelípticas, y conducen a las funciones cuádruplemente periódicas de dos variables; hay una literatura enorme dedicada tan sólo a este caso especial. Generalmente a cada superficie algebraica corresponde una superficie de Riemann adecuada para todas las curvas que tienen un género dado; de manera recíproca, a una superficie de Riemann corresponde una clase de curvas todas las cuales tienen el mismo género. Una superficie de género p depende de 3p-3 constantes; a cada conjunto de valores de esas constantes corresponde una clase o una infinidad de clases de curvas algebraicas.

Ya hemos dicho lo suficiente de la teoría de las funciones algebraicas para mostrar que constituyen un ejemplo muy corriente del espíritu que animaba a las matemáticas en el siglo XIX. La teoría presentaba muchos ejemplos típicos de generalización. Así, las funciones circulares y las hiperbólicas son casos degenerados de las elípticas, que a su vez no son sino un simple incidente en la teoría de las funciones algebraicas y sus integrales. Asimismo, hubo las correspondientes generalizaciones de las teorías de las curvas algebraicas, las superficies y los agregados de n dimensiones, una de las cuales es digna de que la mencionemos aquí.

El problema de uniformar una curva (agregado unidimensional) es el de encontrar las funciones uniformes adecuadas g(t), h(t) del parámetro t tal que las coordenadas (x, y) de todo punto de la curva estén dadas por x = g(t), y = h(t). La circunferencia x² + y² = 1 se hace uniforme mediante x = sen t, y = cos t; la cúbica sin punto doble, mediante funciones elípticas; la superficie cuártica (agregado bidimensional) con 16 modos (máximo posible), mediante las funciones hiperelípticas theta. De este modo, el hacerlas uniformes se presenta como resultado natural de la teoría de las funciones algebraicas. Uno de los progresos más sorprendentes del análisis del siglo XIX fue la uniformación que hizo Poincaré de toda curva algebraica f (x, y) = 0 por medio de las funciones automorfas que construyó en 1881-1884.

Las funciones automorfas[57] se desarrollaron con rapidez desde 1880 hasta fin de siglo llegando a constituir una sección independiente dentro del análisis, al que contribuyeron en diferentes fases la teoría de grupos, las funciones de variable compleja, las ecuaciones diferenciales, las formas cuadráticas y las geometrías no euclidianas. Después de Poincaré, uno de los que más activamente explotó el nuevo campo fue Klein, cuyo amplio conocimiento de las materias relacionadas le permitieron aplicar su intuición riemanniana a la creación de una teoría unificada, que expuso en un total de 1 296 páginas[58] en octavo, en la que los grupos desempeñan un papel dominante. Fue una síntesis como ésta la que indujo a algunos entusiastas del siglo XIX a profetizar que todas las matemáticas dignas de ser recordadas quedarían en definitiva comprendidas dentro de la teoría de grupos. Al parecer se equivocaron de manera lamentable.

La propiedad característica de las funciones automorfas generaliza la periodicidad. Son concebibles varias de esas generalizaciones; la que nos interesa aquí, una vez representada en el plano de los números complejos z, es la ampliación más sencilla de la periodicidad como se presenta en las funciones circulares (simplemente periódicas). Por ejemplo, sen (z + 2nπ) = sen z para todos los valores enteros de n. También, si E(z) es una función elíptica con los periodos p₁ y p₂,

E(z + np₁) = E(z + np₂) = E(z),

que se puede expresar de la siguiente manera: el valor de E(z) es invariante bajo el grupo de traslaciones z → z + n₁p₁ + n₂p₂ en que n₁ y n₂ recorren todos los valores enteros. Este grupo se engendra por repeticiones de z → z + p₁, z → z + p₂ y sus inversas, z → z − p₁, z → z − p₂. Pero se trata en su mayoría de casos casi triviales de la transformación z → (az + b) / (cz + d), en que ad − bc ≠ 0. Asimismo, hay varias categorías de grupos lineales engendrados por transformaciones de éstas. Con algunas de ellas[59] están asociadas algunas clases determinadas de funciones automorfas f(z), así llamadas porque el valor de f(z) no se altera al remplazar z por cualquier (az + b) / (cz + d) del grupo en cuestión. Para no citar sino un teorema de las funciones automorfas, indicaremos el de que dos cualesquiera de una clase muy general que pertenezcan al mismo grupo están relacionadas por una ecuación algebraica.

Los primeros casos (1858) de funciones que poseen la propiedad en último término mencionada los constituyen las funciones modulares elípticas de Hermite. Éstas están definidas como funciones uniformes F(z) tales que

en que r, s, t, u son enteros y ru − ts = 1 están relacionadas por una ecuación algebraica. Esas funciones modulares engendraron también una teoría desarrollada por Hermite, Dedekind, H. Weber y Klein, entre otros muchos. Hacia 1890 esta especialidad se había desarrollado tanto que hasta el mismo Klein necesitó 1 488 grandes páginas para exponer sus principales características tal como entonces eran. Sus aplicaciones incluyen algunas de interés muy especializado para la aritmética. Pero ni las funciones modulares ni las automorfas encontraron aplicaciones dignas de mención en la ciencia. Lo mismo parece ocurrir con las funciones múltiplemente periódicas y con las funciones theta de más de una variable. Con la excepción de algunas aplicaciones más bien académicas de las funciones de dos variables a la hidrodinámica, no parece que haya ninguna. Sin embargo, esta escasez de aplicaciones puede no ser más que un reflejo del hecho de que pocos hombres de ciencia pueden permitirse dedicar meses enteros a asimilar gruesos volúmenes de análisis que incluso los matemáticos profesionales encuentran algo pesados.

En cambio, a las funciones modulares se debe inicialmente el teorema de Picard[60] (1879), al que se suele considerar como uno de los más hermosos de la parte cualitativa del análisis: en el entorno de una singularidad esencial aislada, una función uniforme toma todos los valores con frecuencia infinita, y con una posible excepción. En el mismo orden de ideas, Landau, generalizando otro teorema de Picard, demostró (1904) que si a₀ es un número cualquiera y a₁ un número cualquiera diferente de cero, existe un número N = N(a₀, a₁) que depende tan sólo de a₀, a₁ tal que la función

f(z) = a₀ + a₁z + a₁z² + …,

regular en el círculo |z| ≧ N toma en este círculo uno de los valores 0, 1. Al lector que quiera ver más teoremas “cualitativos” respecto al comportamiento general de las funciones de variable compleja, posteriores a la época de Weierstrass, hemos de remitirlo al tratado de Landau[61] de 1929. Siendo uno de los analistas más hábiles del siglo XX, Landau se vio obligado a admitir que “la literatura que trata de esos asuntos es muy amplia; los informes individuales son a veces tan largos que se encuentran muchas dificultades para seleccionar los resultados más hermosos y en ajustarles la demostración correspondiente”. Esta franca admisión de un maestro puede servir muy bien como descripción de todas las matemáticas recientes.

También las funciones automorfas contribuyeron al progreso de las matemáticas puras en la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas cuyos coeficientes son funciones algebraicas de la variable independiente. Entonces, es evidente que la teoría de las funciones algebraicas y sus integrales no es más que un caso especial de esto. Riemann inició esta teoría en sus investigaciones de las ecuaciones diferenciales que le sugirieron las series hipergeométricas; fue elaborada por Fuchs (alemán, 1833-1902) y sus discípulos, pero el significado completo de estos primeros trabajos no se manifestó hasta que Poincaré inventó las funciones automorfas. Poincaré demostró que del mismo modo que las funciones elípticas y las abelianas bastan para integrar diferenciales algebraicas, las funciones automorfas sirven para integrar ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos.

Terminamos este esbozo mencionando brevemente otra modificación de la periodicidad. Bohr[62] (danés) siguió en 1923 una dirección radicalmente diferente de las hasta ahora descritas en su teoría de las funciones quasi periódicas f(x) de la variable real x. Esas funciones están definidas por la propiedad de que para todo ε > 0 existe una longitud L ≡ L(ε) tal que todo intervalo (α, α + L) contiene por lo menos un número τ, ≡ τ(f, ε) que satisface la desigualdad |f(x + τ) − f(x)| < ε para todos los valores de x. La teoría que resulta es una generalización del análisis de Fourier. También tiene aplicaciones a las series de Dirichlet, y promete ser útil desde el punto de vista científico. En los primeros nueve años de su existencia, la materia había adquirido tales proporciones que exigió un tratado separado[63] para exponerla convenientemente.

LA PERSECUCIÓN DE LA UNIDAD

Se necesitarían numerosas ampliaciones y modificaciones para hacer que el anterior esbozo de las funciones algebraicas y automorfas fuera exacto o adecuado. Pero por poco adecuado que sea, sugiere la asombrosa fecundidad de los matemáticos eminentes del siglo XIX. Parece que su inventiva no tuvo límites. Sus seguidores los secundaron con eficacia hasta el punto de que hacia 1900, 120 habían hecho contribuciones de suficiente importancia como para que se las incluyera en un tratado corriente de funciones abelianas, y de ninguna manera eran éstos todos los que habían escrito sobre la materia. Por lo tanto, es probable que casi un número igual de geómetras algebraicos había contribuido más o menos directamente al progreso de la teoría de las funciones algebraicas hasta 1900.

Además de los ya mencionados, algunos de los que contribuyeron más fueron Clebsch, Gordan y Roch en 1860-1870; A. Brill y Noether en 1870-1880, y Klein a partir de 1880. Todos eran alemanes y ninguno siguió el método aritmético. La memoria de Roch (1865) sobre el número de constantes arbitrarias de las funciones algebraicas ha asociado su nombre con el de Riemann en un famoso teorema que es uno de los resultados más fundamentales de toda la materia. También es digno de mención Lüroth (alemán, 1844-1910), al que se recuerda por sus investigaciones topológicas (1871) de las superficies de Riemann. A partir de 1880 dos eminentes analistas franceses de aquel tiempo, Poincaré y Picard (1856-1941), entraron en un campo que parece capaz de absorber todo el talento que se quiera poner a contribución. También los italianos siguiendo la tradición de Cremona empezaron a hacer de la geometría algebraica casi un pasatiempo nacional. La magnitud de esos esfuerzos se puede juzgar consultando los tratados (1921-1926) de Severi (italiano, 1879-1940) que todavía de muy joven, a principios del siglo, dio nueva vida a la geometría algebraica. Tampoco al método aritmético le faltó talentos de primera clase: Kronecker en 1862, Weierstrass en 1875-1876 con su aplicación a las funciones analíticas, Dedekind y Weber en 1882, Hensel y Landsberg (alemán, 1865-1912) en 1902, Fields (canadiense, 1863-1936) en 1906, Emmy Noether en 1919, la mayoría de los cuales o sus seguidores continuaron desarrollando el método entre 1860 y 1940.

Los ilustres nombres que acabamos de dar, entresacados de una lista descorazonadoramente extensa, bastan para sugerir que, en 1926, los descubrimientos de Abel de un siglo antes habían llegado a constituir una materia que empezaba a parecer la pesadilla de un neófito de las matemáticas. Si había que dominar toda esta masa de intrincado análisis antes de que un principiante pudiera esperar encontrar algo nuevo y vital, las perspectivas para conseguir que figure nuestro nombre en una nueva lista son verdaderamente oscuras. Expertos de primera fila en cada uno de los diferentes métodos seguían produciendo nuevos teoremas, probablemente de significado profundo, los que sólo podrían entender otros expertos de primera fila después de mucho trabajo.

Interrumpir las investigaciones propias para seguir las de otro es un placer científico que la mayoría de los expertos delegan en sus ayudantes. Por consiguiente, la confusión de lenguas aumenta con el cuadrado del número de los que hablan hasta que tan sólo grupos cada vez más selectos de restringidos especialistas comprenden en realidad los refinamientos de sus esotéricos vocabularios.

Una manera práctica de salir de este atolladero es la de prescindir de él y proseguir a hacer alguna otra cosa. Esto parece que fue lo que ocurrió poco después de 1900 con la teoría de funciones algebraicas y sus integrales. La mayoría de los jóvenes más ingeniosos iniciaron de nuevo sus trabajos en campos nada trillados y posiblemente menos espinosos. No quiere eso decir que se descuidaran las funciones algebraicas después de 1900, ya que se hizo mucho en la materia después de 1920 sobre todo, en que se empezó a sentir el impacto del álgebra y de la aritmética del siglo XX. Pero el carácter de los trabajos nuevos[64] fue perceptiblemente distinto del de los clásicos del siglo anterior. En primer lugar era ejemplo de un rigor nuevo; en segundo, era más general.

Lo que ocurrió con las funciones algebraicas no era excepcional, y no hemos intentado ponerlo en la picota como ejemplo único y aterrador de la fecundidad matemática. Lo hemos mostrado simplemente como producto típico del desarrollo matemático en el siglo XX. Una especialidad tras otra se subdividían en especialidades nuevas y más restringidas, que a su vez se multiplicaban y dividían y así sucesivamente sin ningún principio que inhibiera y regulara su desarrollo.

Algunos de los matemáticos más eminentes, entre los cuales Klein fue el más activo, reconocieron la necesidad de controlar esto de algún modo. En los dos últimos decenios del siglo XIX, el nombre de Klein tenía un significado importante en especial en Alemania y en los Estados Unidos.[65] Algunas de las cátedras más influyentes de matemáticas de las universidades americanas estaban ocupadas por hombres que habían estudiado con Klein entre 1880 y 1900. Y en su propio país hay toda una generación de ingenieros teóricos alemanes y de hombres de ciencia de la industria que recuerdan a Klein con gratitud por sus esfuerzos para hacer que la matemática superior les fuera útil.

En matemáticas puras, el entusiasmo de Klein y su gran encanto personal convirtieron para toda su vida a casi todos sus discípulos. Todavía no se ha determinado el límite exacto entre la instrucción magistral y la propaganda. Klein, uno de los profesores de matemáticas más convincentes que haya existido jamás, persuadía a sus seguidores sin más esfuerzo que el necesario para respirar, de que su receta estaba a punto de introducir orden en el caos, unificando por fin todas las matemáticas, o casi todas. Sus notables conferencias ante el congreso de matemáticos de Chicago, celebrado en relación con la exposición mundial de 1893, disiparon hasta la última sombra de duda de la mente de los más críticos. En perspectiva histórica, esta conversión en masa pierde mucho de milagroso.

Casi desde el principio de su carrera dedicó Klein sus insuperables talentos de organización y de orientación y su amplio conocimiento de las matemáticas contra lo que consideraba los peligros de la especialización. Klein unificaría, por lo menos, algunas de las especialidades o perecería en la tentativa. Para él la clave mágica era la teoría de grupos, y de acuerdo con esto actuó alrededor de medio siglo. Pero la experiencia ha demostrado que igual hubiera sido intentar rechazar la marea creciente del océano Atlántico. La unificación que más éxito tuvo de las que hizo Klein (1872), la de las geometrías de su tiempo, como hemos visto, fue insuficiente para el siglo XX.

Incluso en el siglo XIX pocos de los europeos contemporáneos de Klein asimilaban de buena gana sus métodos singularmente personales. Las matemáticas de Klein exigían bastantes conocimientos de tantas cosas para que se las pudiera dominar en un periodo razonable, y además con frecuencia presuponían una facilidad en lingüísticas espaciales fuera de las facultades de la mayoría de los matemáticos. Al cambiar el siglo, una generación joven y más crítica vio tan sólo confusión y una falta de precisión impresionista donde el viejo maestro había buscado representar los muchos aspectos diferentes de un solo todo. El mismo Klein había ayudado con eficacia al desarrollo de los sistemas que trataba de unificar, y su intuición era casi única en su generación (Poincaré era el rival que más se le acercaba). Careciendo de esas ventajas, los que le siguieron encontraron las obras de Klein casi imposibles de leer, y ahorraron tiempo y esfuerzos utilizando métodos más económicos aunque menos espectaculares. Al sobrevenir a principios de siglo el método abstracto, el que 10 años antes se había encontrado a la cabeza de todos quedaba ahora muy por detrás. Por supuesto que todavía puede la historia demostrar que el retraso fue en el otro sentido y que Klein estaba varias generaciones por delante de sus contemporáneos más jóvenes.

Klein (1849-1925), que abogaba con pasión por las “escuelas” matemáticas dominadas por directores enérgicos, a su muerte había sobrevivido a sus propios discípulos por 10 años o más. Individualistas jóvenes y vigorosos estaban muy atareados buscando la unidad de maneras más sutiles e ideando unificaciones que no se parecían en nada a la síntesis intentada a fines del siglo XIX. La única esperanza de que revivan los métodos de Klein radica en una escuela nueva de impresionistas, tan peculiarmente dotados como el mismo Klein y que tengan su misma concepción de las matemáticas como arte intuitivo más que como ciencia exacta. Las matemáticas, entre tanto, como otras actividades de la civilización occidental, continuarán su lucha desesperada para evitar que la ahogue su propia riqueza.

ABANDONO DE LA INTUICIÓN

La transición abrupta de la manera de pensar intuitiva a la no intuitiva que distinguía gran parte de las matemáticas del siglo XX de las del siglo XIX se pone de manifiesto de manera notable en la forma nueva de abordar una parte de la geometría, y en particular la geometría algebraica, a la que nos hemos referido con frecuencia. Ello se puede atribuir a la geometría, al álgebra abstracta, a la teoría de ideales en los campos de funciones algebraicas y a la teoría de los ideales polinómicos en el grado de desarrollo que han alcanzado a partir de alrededor de 1916, o en parte de la topología, según las preferencias de cada cual. Si se atribuye a la geometría, exige un conocimiento mucho más profundo del álgebra de su época, del que bastaba en una situación análoga en el siglo XIX. También exige cierta familiaridad con la aritmética general que se desarrolló a partir de 1920, teniendo como origen la teoría de Dedekind de los números algebraicos y la teoría de Hensel de los números p-ádicos en el grado de desarrollo que ha adquirido a partir de 1913, incluyendo su ramificación de la teoría de los valores. En los tratados corrientes se encuentra con facilidad todo el material de tipo general necesario, pero el dominarlo presupone una marcada aptitud para la abstracción.

Si se popularizara este modo algebraico aritmético de abordar la geometría algebraica, los libros de texto del futuro de geometría superior contendrán muy pocos términos técnicos que los geómetras del presente y de un pasado inmediato reconozcan como pertenecientes al vocabulario de su materia. Las metáforas de la geometría no serán menos vívidas que antes, pero estarán expresadas en un lenguaje diferente, y tampoco tendrán siempre el mismo significado que el lenguaje antiguo trataba de expresar, ya que se ha demostrado que por lo menos una parte de él significa muy poco si es que significa algo. Una vez más, como hemos hecho tan a menudo en este viaje que nos trae desde el pasado, no queremos dar a entender con nada de esto que se haya dicho la última palabra, ni que lo que el nuevo lenguaje intenta expresar sea por completo consecuente y ni siquiera apenas interesante para los matemáticos de la próxima media generación. Pero mientras los métodos cada vez más refinados de demostración continúen rectificando los descuidos de la obra anterior y consiguiendo descubrimientos más amplios donde aún la intuición más penetrante confundía lo que se puede demostrar con lo que no se puede demostrar, el análisis trabajoso del método algebraico aritmético continuará subsistiendo sin duda alguna. Para el gusto de algunos, esto será menos brillante que la adivinación inspirada; para otros tiene el mérito pedestre de ser parcialmente correcto con menor frecuencia.

Uno de los problemas que el método algebraico aritmético ha renovado es el de la reducción de las singularidades de una superficie algebraica (o en general de una variedad algebraica). El geómetra italiano Segre (1863-1924) inició en 1897 una teoría geométrica de las singularidades de las superficies algebraicas; sus investigaciones y sus enseñanzas influyeron mucho sobre la escuela italiana de geómetras. Levi (1875-¿?), perteneciente a esa escuela, invalidó (1899) el intento de demostración de Kobb (1892) de que el entorno completo de un punto singular de una superficie algebraica se puede representar mediante un número finito de integrales de series de potencias de dos parámetros. El que primero dio una demostración rigurosa (1901) fue el poco conocido analista americano M. Black, a cuyos trabajos, publicados en una revista que pocas veces consultan los matemáticos, no se les dispensó la atención que merecen.

El problema de reducción para S₃ (espacio de tres dimensiones) es análogo al que ya hemos indicado de las curvas algebraicas. El teorema fundamental relativo a las curvas dice que siempre se puede transformar una curva algebraica mediante una transformación birracional en una curva S₃ sin singularidades, y por tanto, por proyección, en una curva plana cuyas únicas singularidades sean puntos dobles. De modo análogo se puede transformar toda superficie algebraica, birracionalmente, en una superficie en S₅ que sólo tenga singularidades ordinarias, es decir, una curva nodal en la que sólo haya un número finito de puntos cuspidales ordinarios y de puntos triples de la curva que también lo sean triples y triplanares de la superficie. Para más detalles, remitimos al lector al Algebraic surfaces (1934) de Zariski (1899-¿?, Polonia, Estados Unidos). Zariski invalidó (1934) en uno de sus puntos esenciales la más impresionante tentativa de demostración hecha empleando métodos más o menos tradicionales de la geometría algebraica, que fue la de Severi de 1914. Entonces, se hizo evidente la necesidad de una mayor precisión y de métodos menos equívocos.

El método algebraico-aritmético se origina, entre otras, en dos fuentes principales: la teoría aritmética de las funciones algebraicas de una sola variable iniciada en 1880 por Dedekind y Weber; el álgebra abstracta moderna tal como la desarrollaron a partir de 1920 Noether, sus discípulos y seguidores. La teoría de Dedekind-Weber fue refundida en 1907 por los matemáticos alemanes Hensel (1861-¿?) y Landsberg (1860), cuya obra fue ampliada en 1908 por Jung (alemán) a funciones de dos variables independientes. Waerden (Holanda, Alemania) extendió ciertos elementos esenciales de la teoría (en particular los divisores) en 1929 a las funciones de n variables independientes. No fue posible hacer un tratamiento aritmético de estas últimas hasta que se hubo desarrollado ampliamente la teoría de los ideales siguiendo la tradición de Noether. Como siempre en este libro, no intentamos enumerar a todos los que han trabajado en este campo y catalogar los frutos de sus prolíficas labores.

Un examen crítico de la literatura de las superficies algebraicas convenció a Zariski de que en 1942 no existía una teoría general de las correspondencias birracionales. Después de expresar esta convicción, Zariski continuó:

Quizás esto parezca una manifestación demasiado atrevida, o una crítica demasiado viva especialmente si se piensa en el papel fundamental que se supone han desempeñado las transformaciones birracionales en la geometría algebraica. Sin embargo, nuestra conclusión está exactamente de acuerdo con los hechos […] Es cierto que los geómetras tienen una idea intuitiva bastante buena de lo que sucede o de lo que puede suceder a una variedad algebraica cuando sufre una transformación birracional; pero la única cosa que saben con cierta seguridad es lo que ocurre en mil y un casos especiales. Todos estos casos, y en ellos se incluyen todas las transformaciones de Cremona, se pueden esencialmente reducir a un caso especial pero muy importante, en el que las variedades que se consideran carecen de puntos singulares. Se pueden dar muchas razones para considerar poco adecuada toda teoría que se haya desarrollado partiendo exclusivamente de las variedades sin puntos singulares […] Si se contara con esa demostración, aún sería aconsejable desarrollar la teoría de las variedades algebraicas, en la medida de lo posible, sin limitarse a los modelos proyectivos sin puntos singulares. Desde un punto de vista aritmético, con toda seguridad que éste sería el programa de trabajo correcto […] Pero resulta, como he experimentado a mi costa, que hay que saber mucho más de lo que sabemos por ahora (1942) acerca de las correspondencias birracionales antes de poder ni siquiera intentar poner en práctica la resolución de las singularidades de las variedades de orden superior. Para esa tentativa es requisito indispensable contar con una teoría general de las correspondencias birracionales.

El mismo año (1942) Zariski simplificó grandemente su demostración aritmética (1931) de que una superficie algebraica extendida a un campo fundamental de característica cero se puede transformar birracionalmente en otra que no tenga puntos singulares. En 1944 publicó una descripción detallada de la reducción de las singularidades de una superficie algebraica.

El problema de la reducción de las singularidades de una superficie algebraica es tan complicado como famoso. Se puede considerar que el haberlo resuelto con éxito es un testimonio de la fuerza que tiene en las matemáticas el razonamiento no intuitivo. No quiere esto decir que falte la intuición de esos razonamientos; quiere decir que ha descendido a niveles más profundos de los que penetraba en el pasado. Comparada con la intuición que se practicaba en la geometría algebraica posterior a 1930, la que bastaba a los geómetras de 1900-1930 parece ingenua. En geometría diferencial la intuición ha sido menos notoria, a menos que la imaginación pueda ser una forma de intuición; algunos decenios de análisis riguroso han influido considerablemente sobre el desarrollo de esa rama de la geometría.

XXII

POR LA FÍSICA AL ANÁLISIS GENERAL
Y LA ABSTRACCIÓN

SE PUEDE decir que una teoría científica ha hecho su principal contribución al progreso de las matemáticas cuando sus conceptos fundamentales han sido formulados matemáticamente. Una teoría sólo tiene interés para el progreso matemático si se necesitan nuevos métodos para resolver problemas complejos. Los progresos importantes de las ciencias exactas han exigido, por lo general, al menos mejoras en los métodos de cálculo, y de este modo se les deben avances a las matemáticas. Hemos visto que la dinámica del siglo XVIII sugirió el cálculo de variaciones del que desciende directamente el análisis general del siglo XX. Un episodio de importancia de esta misma evolución fue la polémica del siglo XVIII sobre el significado de las funciones arbitrarias; empezaremos por ocuparnos de éste.

FUNCIONES ARBITRARIAS

El problema de las cuerdas vibrantes fue el que primero hizo dudar a los matemáticos si habían comprendido bien qué puede ser una función arbitraria en análisis matemático. El que primero estudió el problema de las cuerdas vibrantes fue Taylor, famoso por sus series, en 1713. A él se le debe la primera indicación acerca de una solución mediante funciones geométricas. John Bernoulli (1727) tradujo el problema en una ecuación entre diferencias, pero dada la física de la situación, esto no podía ser más que una burda aproximación a la realidad. Con la intrepidez de físico matemático que le caracterizaba, Daniel Bernoulli prescindió de todos los refinamientos que implica el paso al límite y remplazó las ecuaciones de diferencias por una ecuación diferencial entre derivadas parciales de segundo orden. Diremos incidentalmente que en 1753 destacó el significado físico-matemático de lo que desde entonces se ha llamado principio de superposición. Más tarde volveremos a ocuparnos de ello; fue uno de los más largos pasos hacia adelante que jamás se han dado en la física matemática.

Bajo las hipótesis físicas convenientes, la ecuación del movimiento de una cuerda con extremos fijos, vibrando en un plano, es la ecuación unidimensional de las ondas

en que c es una constante. d’Alembert y Euler en 1747 obtuvieron soluciones de la forma y = f(x + ct) + g(x − ct) en que f, g son funciones “arbitrarias”. La solución de Daniel Bernoulli se expresaba mediante una serie de senos del tipo que ahora lleva el nombre de Fourier. Este conflicto, aparentemente irreconciliable, entre dos soluciones matemáticas del mismo problema “natural”, provocó una controversia que había de durar 20 años.

Bernoulli argüía que su solución había de contener la de Euler y la de d’Alembert. Euler (1753) objetaba que si fuera así, sería posible desarrollar una función “arbitraria” en una serie de senos.[1] Pero esto era paradójico: no todas las funciones son impares y periódicas como parecía implicarse.

Lagrange (1759) casi resolvió la paradoja en su gran memoria sobre la propagación y la naturaleza del sonido. Consideró la cuerda material como caso límite de un conjunto finito de partículas de igual masa, e igualmente espaciadas de una cuerda sin peso. Asimismo, aumentando indefinidamente el número de partículas, dedujo la ecuación diferencial entre derivadas parciales de la cuerda material, como forma límite de su sistema de ecuaciones de diferencia para el caso finito. Por haber empleado la interpolación trigonométrica, casi obtuvo la solución que daría hoy día el análisis de Fourier. Además, postulando un desplazamiento inicial “arbitrario” de la cuerda y una velocidad inicial “arbitraria” en el caso finito, Lagrange obtuvo la solución para la cuerda continua material, como serie trigonométrica. Un pequeño paso más y hubiera aislado los coeficientes de Fourier de desarrollo. Pero su conciencia matemática le impedía intercambiar los operadores

sin justificarlo por la investigación, y por ello no fue un antecesor del análisis de Fourier. Si el objetivo de Lagrange no hubiera sido simplemente el de reconciliar las soluciones de Bernoulli y de Euler, se hubiera anticipado a Fourier, si su conciencia le hubiera dejado.

El que Lagrange no hiciera el fundamental descubrimiento ha sido proclamado por jueces[2] competentes como ejemplo típico de la tentación que representan los estudios históricos para leer el futuro en el pasado, descubriendo motivos ulteriores donde no existían. Cuando, aproximadamente 50 años más tarde, Fourier dio el último paso decisivo, Lagrange objetó. Como miembro del jurado compuesto por él mismo, Legendre y Laplace, indicó que la memoria de Fourier sobre la conducción del calor presentada a la Academia de París estaba falta de pruebas. Si Fourier aspiraba a un premio en matemáticas, no se había dado cuenta bien de la naturaleza de la competición. Si las condiciones prescritas eran suficientemente amplias como para permitir un algoritmo no bien precisado que diera resultados empíricamente correctos, quizás fuera el jurado demasiado exigente. En todo caso se ha dado amplia publicidad al hecho de que la memoria de Fourier fuera rechazada como ejemplo deplorable de lo obtusos que son los académicos y de los pequeños celos de los matemáticos rivales. La historia de las series de Fourier desde 1807 ha demostrado que los académicos sabían lo que se traían entre manos y actuaron en consecuencia.

La solución trigonométrica de Lagrange no resolvía todas las dudas relativas a la representación analítica de las funciones “arbitrarias”, lo cual parece algo extraño dado el catolicismo de Euler en el análisis. El mismo Euler había encontrado en 1754 los coeficientes de Fourier sin tener nada que objetarles, quizás porque aparecieron a propósito de los cuerpos celestes de la mecánica celeste. Posteriormente (1777-1793) obtuvo esos coeficientes por los procedimientos habituales. Pero quedaba para Fourier la tarea, iniciada en 1807 y acabada con su tratado sobre la teoría analítica de la conducción del calor, de 1822, de hacer que la representación de una función “arbitraria” fuera, si no generalmente aceptada, por lo menos digna de ser tenida en cuenta seriamente.

Ya hemos indicado en un capítulo anterior la influencia que ejerció el análisis de Fourier sobre la evolución del rigor. Lo que más nos interesa aquí es la aparición de la idea de la llamada función arbitraria como uno de los primeros pasos hacia el moderno análisis abstracto. También se demostró que una función que en un principio se imaginaba, según la tradición de Euler, como la materialización de un algoritmo, tenía, sin embargo, una representación matemática definida. Tanto el concepto de funcionalidad como las potencialidades del análisis aumentaron enormemente.

De este modo, el problema de contorno asociado con las cuerdas vibrantes con extremos fijos fue origen de mucho análisis clásico. Además, existen otros problemas físicos que han sido igualmente prolíficos de matemáticas puras. A continuación indicaremos como ejemplo típico importante, los pasos principales que condujeron a la teoría matemática de la elasticidad, que es una sección de la mecánica de los medios continuos. Las contribuciones matemáticas que hay que percibir aquí son la generalización de los sistemas de coordenadas rectangulares, y otros de la geometría analítica ordinaria, y de las funciones nuevas que necesitan las correspondientes ecuaciones diferenciales.

CONTRIBUCIONES DE LA ELASTICIDAD

Las bases empíricas de la teoría matemática de la elasticidad datan del siglo XVII. Las observaciones de Galileo (publicadas en 1638) sobre la fractura de las vigas cargadas, y las de Hooke (1678) sobre la elasticidad de los muelles, sugirieron hipótesis físicas susceptibles de formulación matemática. Asimismo, indicaremos que los experimentos de Hooke tuvieron origen económico, pues se emprendieron en relación con los cronómetros marinos. En 1694 y nuevamente en 1705 dio Jaime Bernoulli una exposición matemática de la flexión de una lámina elástica. Esto lo enfrentó con la trascendental curva llamada elástica, que se ha estudiado como aplicación de las funciones elípticas. En el decenio 1741-1751, Daniel Bernoulli, investigando las vibraciones de una barra sujeta por uno de sus extremos, se vio conducido a una ecuación diferencial de cuarto orden, resultado que era como una profecía de las ecuaciones generales de Navier, que habían de aparecer 70 años más tarde. En todos estos primeros trabajos se recurría frecuentemente a hipótesis físicas plausibles y a experimentos de donde tomar los datos. No ocurría lo mismo con algunas de las investigaciones de Euler que eran puramente matemáticas.

Euler, siempre tan atrevido con los algoritmos, a veces confiaba demasiado en sus fórmulas, y seguía imperturbable cuando profetizaban cosas absurdas materialmente. Sin embargo, sus esfuerzos constituyen el siguiente gran paso hacia adelante en las primeras fases de la elasticidad. En 1744 estudió la elástica mediante el cálculo de variaciones, y expresó su ecuación valiéndose de una integral elíptica. En 1771 investigó las matemáticas de las cuerdas flexibles y de las varillas elásticas. Su teoría de 1778 sobre la flexión de las columnas verticales lo condujo mediante una ecuación entre derivadas parciales a los coeficientes de Bessel, y en 1779 dedujo una ecuación de cuarto orden para las vibraciones transversales de una varilla elástica. La obra de Euler sobre las columnas ha conservado su utilidad.

Las contribuciones menos útiles de Lagrange fueron de mayor interés matemático que las de Euler. En 1770-1771 redujo el problema de los muelles doblados a la evaluación de integrales elípticas, estado en que lo dejó, porque las integraciones necesarias “se salen de todos los métodos conocidos”. Ampliando la obra de Euler, Lagrange, en 1770-1773, estudió las columnas engendradas por la revolución de las cónicas alrededor de sus ejes principales y encontró, valiéndose del cálculo de variaciones, una ecuación diferencial no lineal de segundo orden, que no pudo integrar.

Hacia 1800 los dedicados al estudio de la elasticidad habían inventado hipótesis que les permitían dar soluciones parciales de muchos problemas especiales, pero no se había avanzado nada hacia las ecuaciones generales del equilibrio o de las vibraciones de un cuerpo sólido elástico. La contribución matemática de esta primera época fue más por lo que sugirió proféticamente que por los resultados tangibles, y en particular para las ecuaciones diferenciales, problemas de contorno, funciones elípticas y el cálculo de variaciones. Todo lo que se pareciera a un análisis riguroso hasta de problemas especiales quedaba fuera del alcance de las matemáticas de la época. De entre muchos detalles ocurridos entre 1800 y 1820, no mencionaremos más que uno. Poisson (francés, 1781-1840) resolvió en 1818 la ecuación diferencial entre derivadas parciales de cuarto orden (1815) de Plana (italiano, 1781-1864) de las vibraciones de una lámina elástica mediante integrales infinitas con dos funciones arbitrarias. No se discutía la convergencia.

En el decenio 1820-1830, Navier (francés, 1785-1836), Poisson y Cauchy completaron en sus grandes rasgos y de una manera esencial la moderna teoría de la elasticidad. (Es de notar que los tres eran franceses.[3] Aunque el nombre de Poisson es muy familiar para todos los estudiantes de física matemática del mundo entero, ha recibido muy pocos honores de sus compatriotas. Las obras de Cauchy y de otros varios eminentes matemáticos franceses han sido reunidas y publicadas a expensas del gobierno francés. Las de Poisson están todavía dispersas en revistas que son ya difíciles de encontrar.) Se suele considerar como fundador de la teoría moderna a Navier, quien en 1820-1821 obtuvo las ecuaciones generales del movimiento y del equilibrio de un cuerpo sólido elástico. Por tanto, en 1821 la elasticidad había hecho su principal contribución al progreso de las matemáticas.

Su evolución ulterior es típica de la de otras divisiones de la física matemática clásica. Poisson en 1827-1829 y Cauchy en 1830 dieron las soluciones generales de las ecuaciones mediante integrales. Por muy interesantes que sean esas soluciones desde el punto de vista matemático parecen haber atraído a muy pocos ingenieros, que tienen que luchar con el sentido de lo practicable. Para conseguir mayores progresos había que limitar la generalización elaborando problemas a los que se pudiera dar solución. Algunos los sugirieron las exigencias de la ingeniería; la mayoría le parecen a los matemáticos realistas, fabricados por los que se dedicaban a la elasticidad con el objeto expreso de proporcionar a los analistas expertos problemas de contorno de posible solución pero complicados con una mezcla de realidad académica.

Si hoy día los ingenieros de un dique de concreto armado esperaran a que los expertos en elasticidad matemática les proporcionaran un análisis de las fuerzas digno de confianza, no se llegaría a construir el dique Modelos a escala y un laboratorio de fotoelasticidad hacen con facilidad en unos cuantos meses lo que ningún matemático podría realizar en toda una vida de trabajo. Sin embargo, este triunfo de la eficiencia moderna debe mucho a las obras teóricas de Navier, Poisson, Cauchy y otros que desarrollaron la elasticidad matemática y el íntimamente relacionado análisis del movimiento ondulatorio. Cauchy, en particular, al elaborar la teoría sólido-elástica de la luz en 1840-1850, contribuyó a la física a partir de la cual evolucionó la técnica fotoelástica, y aunque hace ya tiempo que se derrumbó la teoría sólido-elástica como el éter luminoso que en otro tiempo apoyaba, ha dejado un importante residuo de métodos matemáticos ampliamente empleados. Éstos se aplican a innumerables empresas de la civilización moderna, desde el proyecto de edificios a prueba de terremotos hasta el de artillería pesada de largo alcance para reducir los edificios a montones de escombros.

LA IMPORTANCIA DE LAS COORDENADAS

Con una excepción que indicaremos más adelante, después de 1830 los progresos de la elasticidad tuvieron mayor interés para los físicos teóricos que para los matemáticos. De Saint-Venant (francés, 1797-1886), principal coordinador y ampliador de la teoría, hizo trabajos que han pasado a ser clásicos en toda la materia, especialmente en sus investigaciones sobre la torsión y la flexión (1855-1864) y en su detallada ampliación del tratado matemático revisado (1862) debido al matemático alemán Clebsch (1833-1872). Franz Neumann (alemán, 1790-1895) analizó la elasticidad de los cristales y Kirchhoff (alemán, 1824-1887) mejoró la teoría general con ciertos detalles. La excepción de mayor interés matemático fue la obra sobresaliente de Lamé (francés, 1795-1870) que en opinión de Gauss fue el mejor matemático francés de su época.

Lamé, graduado de la Escuela Politécnica, e ingeniero civil y de ferrocarriles, fue en 1824 a Rusia con su colega Clapeyron como ingeniero asesor. El interés de Lamé en la elasticidad lo despertó el problema de los puentes colgantes de hierro. Partiendo de ahí, pronto dominó toda la teoría de la elasticidad e hizo muchas mejoras en su tratamiento matemático. No necesitamos citar más que aquella parte de su obra que el mismo Lamé consideraba como su progreso más importante: Las Leçons sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications (a la mecánica, calor, elasticidad) publicadas en 1859. Ésta resumía y extendía toda la obra previa de Lamé sobre su utilísimo invento de las coordenadas curvilíneas. Puesto que la mayor parte de los textos de introducción a la física matemática contienen alguna descripción de esas coordenadas y de sus aplicaciones a los problemas físicos, no los describiremos y daremos en su lugar una traducción libre de la notable predicción que hizo Lamé sobre su importancia científica.

Por si a alguien le parece extraño que hayamos podido fundar un curso en matemáticas en el solo concepto de un sistema de coordenadas, recordaremos que son precisamente esos sistemas los que caracterizan las fases y la evolución de la ciencia. Sin la intervención de las coordenadas rectangulares, el álgebra estaría quizás todavía donde la dejaron Diofanto y sus comentadores, y no contaríamos ni con el cálculo infinitesimal ni con la mecánica analítica. Sin la introducción de las coordenadas esféricas sería absolutamente imposible la mecánica celeste; y sin las coordenadas elípticas, matemáticos ilustres no hubieran podido resolver varios problemas importantes de esta teoría […] Después sobrevino el reinado de las coordenadas curvilíneas reales y sólo con éstas es posible abordar los problemas nuevos (de la física matemática) en toda su generalización. Sí, llegará esta época definitiva, pero tardíamente: los que primero reconocieron esos primeros instrumentos habrán dejado de existir y estarán completamente olvidados, a menos que algún matemático arqueólogo haga revivir sus nombres. Bien, ¿y qué importa con tal de que la ciencia avance?

La ciencia ha progresado como Lamé esperaba y a él mismo lo recuerdan otros además de los aficionados al pasado. Una de sus primeras obras (1839) sobre la conducción del calor en elipsoides lo condujo a las funciones adecuadas para los problemas físicos relacionados con los elipsoides generales, y éstas han inspirado muchas matemáticas puras en ecuaciones diferenciales y en funciones especiales como las funciones (seudo) doblemente periódicas de segunda especie valiéndose de las cuales Hermite (1872) integró la ecuación diferencial físicamente importante que lleva el nombre de Lamé.

Ya indicamos en un capítulo anterior que las coordenadas esféricas y cilíndricas son adecuadas para ciertas aplicaciones de la ecuación de Laplace cuando hay simetría respecto a un punto o respecto a una recta. También señalamos que al transformar la ecuación de Laplace a esos sistemas especiales de coordenadas, las variables de las ecuaciones transformadas son separables y que una de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de segundo orden así obtenidas define las funciones de Bessel. Cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias análogamente deducidas define una especie de funciones adaptables a la solución de problemas de contorno asociados con la ecuación diferencial entre derivadas parciales dada. De este modo, por ejemplo, se debieron a la ecuación de Laplace distintas clases de funciones armónicas de Legendre, Lagrange, Laplace y otros, que surgieron en la mecánica celeste de Newton y que en el siglo XIX demostraron ser indispensables en la teoría de la electricidad y del magnetismo y en otras secciones de la física matemática.

Pero ninguno de esos sistemas especiales de coordenadas con sus funciones propias era adecuado para el tipo de simetría asociado con un elipsoide que tenga sus tres ejes principales diferentes. Para abordar el problema general inventó Lamé sus sistemas coordenados de cuádricas confocales yendo a parar a las funciones armónicas elipsoidales. Como ya se ha indicado, éstas están íntimamente relacionadas con las funciones (seudo) doblemente periódicas, y han originado muchos análisis puros muy interesantes con aplicaciones de la aritmética superior a la aerodinámica.

También en parte se debe a Lamé otros dos puntos de interés considerable. Klein[4] y M. Bôcher[5] (1867-1918, Estados Unidos) demostraron en 1894 que una generalización inmediata de la ecuación diferencial (1838) de Lamé incluye como casos especiales las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden que definen las funciones de Bessel, Legendre, Mathieu y otros varios físicos matemáticos clásicos. De este modo se consiguió un tratamiento unificado.

El segundo punto tiene mucha mayor importancia. Desde que todos, excepto unos cuantos, que aún encuentran útiles sus pintorescas contradicciones, abandonaron el éter, no hay ningún sistema de coordenadas de la cosmología especialmente favorecido. Las coordenadas de Gauss proporcionan el grado necesario de indiferencia, y son análogas a las curvilíneas de Lamé. Recíprocamente, el cálculo tensorial proporciona el algoritmo más sencillo para transformar las ecuaciones de Laplace, las de la elasticidad, y otras de la física clásica a varios sistemas de coordenadas curvilíneas. La física[6] moderna ha justificado la insistencia de Lamé sobre la importancia de las coordenadas.

Al detenernos tanto sobre las aportaciones de Lamé no hemos tratado de dar a entender que ellas o la teoría de la elasticidad sean la única parte de la física del siglo XIX que hayan contribuido memorablemente a las matemáticas. Sin embargo, la obra de Lamé es típica de muchos aspectos: al impulso de la ciencia se debieron directamente extensas partes de las matemáticas puras modernas que posteriormente no muestran sino relaciones muy vagas con la ciencia.

HACIA EL ANÁLISIS FUNCIONAL

Hay otro episodio de la época de Lamé que ilustra aún más claramente la misma tendencia desde la física matemática hacia la matemática pura: empezaron a aparecer las ecuaciones integrales. Nos ocuparemos de ellas con cierto detalle, pues condujeron a acontecimientos de importancia fundamental para la evolución del análisis puro y aplicado y también de la geometría. En el fondo, una vez más, el origen fueron los problemas de contorno de la física.

Asimismo, hay una analogía algebraica que proporciona a la historia un modo de abordar este punto. Se llaman ceros de f(x) a aquellos valores de x para los cuales la función f(x) se anula. En un sentido evidente, un polinomio irreducible está caracterizado por sus ceros. Sturm (suizo, 1803-1855) en 1836 al analizar la transmisión del calor en una varilla no homogénea fue a parar a una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden cuyas soluciones definían una especie de funciones caracterizadas en un cierto intervalo por sus ceros. Un ejemplo muy sencillo de esa ecuación diferencial es la que tiene como soluciones linealmente independientes sen nx, cos nx. En muchos problemas de contorno de la física, como ya se ha indicado en un capítulo anterior, se necesita desarrollar una función “arbitraria” en una serie de funciones construidas a partir de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias, como las que se presentan en la separación de las variables en ciertas ecuaciones diferenciales lineales entre derivadas parciales eligiendo convenientemente las coordenadas. Ejemplo de ello es el desarrollo trigonométrico de Fourier de una función “arbitraria”. El descubrimiento de Sturm inauguró una nueva época en este problema de los desarrollos en serie de la física matemática. Diremos de pasada que un famoso subproducto de las investigaciones de Sturm fue su teorema de la separación de las raíces de una ecuación algebraica. Con su eficacia cien por cien, el teorema de Sturm dejó parcialmente anticuada la anterior tentativa (1796) de Fourier, a la que en algunos libros de texto se asocia injustificadamente con el nombre de Budan (francés).

Diez años antes (1823-1826), Abel había hecho los primeros avances importantes en una teoría que se había de unir con la de Sturm para unificar ciertos tipos científicamente importantes de problema de contorno. Del mismo modo, se acostumbra atribuir el origen de las ecuaciones integrales como sección aparte del análisis a la solución de Abel y subsiguiente generalización del problema clásico de la tautócrona: una partícula que parte del reposo de un punto P situado en un plano vertical y moviéndose en ese plano bajo la acción de la gravedad ha de alcanzar el punto más bajo O de una curva, recorriéndola sin rozamiento, que une P, O en el tiempo f(h), en que h es la altura de P sobre O. Se pide la ecuación de la curva. Si f(h) es constante, la curva es la tautócrona clásica: una cicloide. No necesitamos reproducir las ecuaciones que Abel encontró y resolvió. Su gran mérito estriba en haber reconocido que la más grande de sus ecuaciones, que hoy día lleva el nombre de ecuación integral de Volterra de primera especie, presentaba un problema esencialmente nuevo en el análisis. Una ecuación integral es aquella en que la variable dependiente u(≡ u (x), en que x es la variable independiente) se presenta por lo menos una vez bajo un signo de integral definida.

Las ecuaciones integrales habían aparecido antes de Abel: Laplace (1782) las encontró al resolver ecuaciones entre diferencias y diferenciales; y Fourier, en el resultado que ahora recibe el nombre de fórmula de inversión de Fourier, dio (1820-1822) lo que es probablemente la primera[7] solución de una ecuación integral. Pero ningún analista anterior a Abel percibió que las ecuaciones integrales presentan un problema fundamentalmente nuevo en el análisis. Después volveremos a las relaciones que existen entre esas ecuaciones y los problemas de contorno de la física.

Una ecuación integral lineal general es

f(x) = g(x)u(x) + λK(x, t)u(t)dt

en la que: K(x, t), llamado núcleo, es una función conocida de x, t; f(x), g(x) son funciones conocidas de x; a, b son funciones conocidas de x estando incluido el caso de que una o ambas sean constantes; λ es o bien una constante absoluta o un parámetro. Entonces, se desea resolver la ecuación respecto a u como función de la variable independiente x. Asimismo, hay cuatro casos especiales, los de mayor utilidad, que se han investigado minuciosamente. La ecuación de Volterra (1896) de primera especie tiene g(x) ≡ 0, λ = 1; su ecuación de segunda especie tiene g(x) ≡ 1; en ambas especies es a = 0, b = x. Las de Fredholm (1900-1903) de primera y segunda especies se diferencian de las de Volterra nada más en que los límites a, b de la integral definida son constantes. Si uno, o los dos límites se hacen infinitos o si el núcleo se hace infinito para uno o más puntos del intervalo dado a, b, se dice que la ecuación es singular. La ecuación de Abel (1826) era singular en este último aspecto. Es de notar que en las ecuaciones lineales descritas no figura la incógnita u más que en su primera potencia. También se ha estudiado una generalización de este tipo

u(x) = f(x) + λF[x, t, u(t)]dt

en que F es una función conocida. También hay extensiones a varias variables y a las correspondientes integrales múltiples, así como a sistemas de ecuaciones integrales. La teoría de una sola ecuación lineal ocupa la posición central tanto en el análisis como en sus aplicaciones.

La importancia científica de las ecuaciones integrales, que ya notó Liouville en 1830-1840, pero que tan sólo fue desarrollada en 1904 por Hilbert, es que en muchos casos importantes una ecuación integral es equivalente analíticamente a una ecuación diferencial junto con sus condiciones de contorno. La solución de una ecuación integral da en esos casos la de un problema de contorno. La ventaja de formular ciertos problemas físicos valiéndose de ecuaciones integrales en vez de ecuaciones diferenciales estriba en que mientras que el aumento de número de variables independientes (por ejemplo, de dos a tres en la ecuación de Laplace) acrecienta mucho más las dificultades matemáticas de la formulación diferencial, no ocurre lo mismo[8] con la correspondiente formulación integral. La ecuación integral precipita de una vez para siempre las dificultades[9] esenciales del problema físico general, en vez de aislar más o menos fortuitamente las de cada caso particular. La teoría de las ecuaciones integrales, cuando es aplicable, proporciona un método uniforme para construir las funciones necesarias para los desarrollos de la física matemática por el método de Sturm y sus perfeccionamientos.

Por razones de las que no necesitamos ocuparnos, las funciones que introdujo Sturm reciben el nombre de oscilantes. Siguiendo a Sturm, Liouville en 1837 fue a parar a una ecuación integral lineal, que resolvió por el método (iteración) de sustituciones sucesivas. El problema de Liouville era el de encontrar las soluciones, en caso de que existan, de una ecuación diferencial lineal de segundo orden que adopta valores prefijados, para valores también prefijados de la variable independiente. De esta forma se interesó por las funciones oscilantes de Sturm, y se acostumbra designar la teoría resultante con los nombres de ambos. Neumann aplicó en 1877 al problema de Dirichlet de la teoría del potencial el método de Liouville para resolver su ecuación integral, que da la incógnita u(x) como serie de potencias en λ con funciones de x como coficientes. Las soluciones obtenidas de este modo son convergentes para |λ| < c, en que c es una constante finita. Volterra (1846), Poncairé y otros de fines del siglo XIX emplearon también este método.

El progreso decisivo se realizó en 1900 y fue ampliado en 1903 por Fredholm (sueco, 1866-1927) que consiguió soluciones para sus ecuaciones como cocientes de series de potencias en λ siendo el denominador D(λ) independiente de x. Tanto el numerador como el denominador convergen para todos los valores de λ; si D(λ) = 0 existe una solución solamente en casos excepcionales que da el método. Ya había observado anteriormente Volterra que la ecuación integral de segunda especie de Fredholm se puede obtener como forma límite de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Más adelante se verá claramente el significado peculiar de este detalle. Fredholm llevó esto a cabo y justificó la solución evitando la prueba de convergencia que dio Hilbert en 1904 para este método particular. Dos años más tarde Schmidt demostró los resultados de Hilbert sin recurrir a procesos de paso al límite. De este modo, en 1906 la teoría moderna de las ecuaciones integrales estaba ya iniciada con éxito tras de ocho años de duras pruebas. Varios analistas distinguidos del siglo XIX contribuyeron al éxito final; los ya mencionados señalan fases bien definidas del desarrollo de las ecuaciones integrales que pasaron de no ser sino curiosidades intrigantes a una poderosa disciplina plenamente comprendida.

Poco después de la publicación (1903) del documento fundamental de Fredholm, los matemáticos de casi todas las naciones civilizadas, incluyendo a los Estados Unidos, afluyeron al nuevo campo del análisis que tan inesperadamente se les había abierto. Rápidamente se trazaron las principales vías de acceso a la teoría, especialmente en los trabajos de Schmidt (alemán) en 1907, y a partir de 1904 en los de Hilbert, que en 1912 reunió sus aportaciones en un libro que ya es clásico de la teoría general de las ecuaciones integrales lineales.[10] El resultado de menos de un decenio de esfuerzos intensivos fue una teoría unificada de los problemas de contorno de la física matemática clásica y un método práctico para construir las funciones especiales asociadas con esos problemas.

Para indicar brevemente un rasgo importante de este progreso recordaremos que es la ortogonalidad del seno y del coseno lo que los hace aplicables al desarrollo de las funciones “arbitrarias” en series trigonométricas. También la ortogonalidad es el origen de la utilidad de las funciones de Legendre, y lo mismo ocurre con otra porción de cosas de la física clásica. Las funciones continuas fj(x), j = 1, 2, …, reciben el nombre de ortogonales en el intervalo [a, b] si

fj(x)fk(x)dx = 0,          j ≠ k;

si además

[fj(x)]²dx = 1

se dice que las funciones son normales. La primera investigación sistemática de las funciones ortogonales la llevó a cabo un analista casi olvidado, Murphy (irlandés, 1806-1843) en 1833-1835 poco antes de que Sturm y Liouville iniciaran sus investigaciones sobre las ecuaciones diferenciales. En la teoría de las ecuaciones integrales, las funciones[11] ortogonales encajan de una manera natural en la exposición sistemática de los desarrollos generales relacionados con los problemas de contorno.

FÍSICA CLÁSICA, FENÓMENOS HEREDITARIOS Y LINEARIDAD

Antes de examinar el significado que el desarrollo extraordinariamente rápido que acabamos de indicar tuvo en la evolución del conjunto del análisis, echaremos una mirada retrospectiva sobre lo que se consiguió en aproximadamente un siglo.

La teoría de Sturm-Liouville de 1830-1840 fue el primer paso hacia un tratamiento unificado de los muchos problemas de contorno y de sus soluciones que se habían venido acumulando en las matemáticas aplicadas desde principios del siglo XVIII. Entonces, es significativo que las ecuaciones integrales aparecieran cuando el análisis estaba suficientemente desarrollado como para resolver los difíciles problemas de existencia (convergencia de las soluciones formales), y no fue completamente eficaz hasta que la chispa de Fredholm, iluminando el caos de los detalles, indicó el camino que conducía desde el desorden al orden. Este notable progreso hubiera podido sobrevenir 10 años antes de lo que sobrevino, ya que Poincaré en 1894 había usado las funciones características de los desarrollos en el método de Hilbert-Schmidt. Asimismo, parece que el algorista ocupa en las matemáticas modernas un puesto de no menor importancia que el analista, ya que aunque Fredholm era ante todo un analista, su gran paso hacia adelante partió de un algoritmo que hubiera podido inventar el mismo Euler.

Ya se ha hecho resaltar suficientemente que los problemas físicos que redujo al orden la teoría de las ecuaciones integrales seguían la tradición clásica de la física matemática. El mismo Fredholm (1905) aplicó sus métodos a “la solución de un problema fundamental de elasticidad”. Pero en 1905 ya poseía la física la teoría especial de la relatividad, y desde que empezó el siglo estaba familiarizada con la forma de Planck de la teoría de los quanta. A menos que la matemática reformada de la física clásica demostrara poder ocuparse eficazmente de la nueva física que había de seguir en breve, iba a resultar tan clásica y tan poco interesante para una ciencia progresiva como el éter luminoso.

Una de las anticipaciones más espectaculares de la historia de la física matemática fue la publicación en 1924 del Methoden der mathematischen Physik (tomo 1) de Courant y Hilbert, en el que se agrupaban, constituyendo un solo instrumento de enorme poder por sus aplicaciones a la física en el estado en que se encontraba, los métodos modernos de las transformaciones lineales, las formas bilineales y cuadráticas, los desarrollos de funciones arbitrarias, las ecuaciones integrales y el cálculo de variaciones. Como mejor se aprecia el progreso que constituían los Methoden sobre las obras clásicas anteriores de matemática aplicada, es comparando esta obra con las primeras ediciones de Die partiellen differential-Gleichungen der mathematischen Physik, de Riemann-Weber. Pero a menos de que este análisis sistemático y poderoso fuera más adaptable a una física que se expansionaba explosivamente, el mismo día de su publicación estaría ya anticuado.

Con el advenimiento de la mecánica ondulatoria en la moderna teoría de los quanta tan sólo dos años después de que aparecieran los Methoden, el análisis más poderoso de la moderna física matemática adquirió vida propia. El libro parecía escrito expresamente para los físicos que durante más de 10 años habrían de dedicar sus principales actividades a la mecánica quántica y a sus innumerables aplicaciones. Pero no fue así como lo escribieron, ya que ninguno de los autores tenía en 1924 la más ligera idea de la ecuación de Schrödinger (1926) ni de la física que en ella se había de inspirar.

Diremos de pasada que la mecánica cuántica redimió a las ecuaciones integrales de la inmortalidad académica haciendo que su vástago hiciera trabajo científico productivo, ya que aunque las ecuaciones integrales en sí aparecen explícitamente muy pocas veces en la nueva física, las funciones características de la teoría de Hilbert-Schmidt llegaron a ser un lugar común. Tal fue el éxito de los Methoden que los horripilantes híbridos eigenvalue y eigenfunction desplazaron a todos sus equivalentes expresados en inglés que se habían venido utilizando eficazmente durante 20 años o más. Pero los físicos habían estado demasiado ocupados para percibirlos. Un fatalista podría creer que este triunfo de la predicción matemática estaba predeterminado, pero hay una explicación menos mística que tras un momento de meditación se le ocurrirá a todo escéptico. Hay un detalle, pero importante, de toda la anticipación que es el famoso teorema (1885-1886) de Lord Kelvin y Hadamard del mínimo del valor absoluto de un determinante. Sin éste la forma ahora clásica de la teoría de Fredholm hubiera sido, si no imposible, por lo menos retrasada.

En 1880-1890, y paralelamente a las ecuaciones integrales, entró en las matemáticas aplicadas otro tipo más complicado de ecuación. La incógnita de una ecuación dada puede aparecer por lo menos una vez bajo un signo integral y por lo menos una vez bajo un signo de derivación. A esas ecuaciones les llamó Volterra, que inició su teoría en 1890, íntegro-diferenciales.[12]

Por otra parte, diremos, ya que viene a cuento, que la obra atrevidamente creadora de Volterra en análisis funcional desde su iniciación en 1887 a su madurez en 1930-1940 hace de él uno de los inventores más imaginativos de la historia del análisis. Constantemente se orientaba en problemas científicos. Como ya indicamos a propósito de Fredholm, el análisis no puede vivir sólo por el rigor, ni hay fundamento histórico para anticipar que las ecuaciones sucesivas sean el residuo definitivo que deje el análisis en la matemática. Continuamente se exigen nuevos inventos para mantener la vitalidad y para proporcionarle al rigor y a la abstracción materia para que se nutran de manera continuada. Aunque no se ha acusado de falta de rigor a las prolíficas aportaciones de Volterra, el significado peculiar que tienen para el análisis posterior a la era de Weierstrass es la abundancia de ideas nuevas.

Las ecuaciones íntegro-diferenciales hicieron posible abordar matemáticamente fenómenos como el de la histéresis eléctrica y magnética, en que el estado de un sistema físico depende no sólo del que tenía inmediatamente antes, sino también de todos los anteriores. Volterra llamó hereditarios a los fenómenos condicionados por toda la historia previa del sistema en cuestión. A todo el que haya doblado o retorcido un alambre se le ocurrirán ejemplos que le sean familiares de fenómenos hereditarios de la elasticidad.

La teoría de funcionales, con sus ecuaciones correspondientes, aún más general, fue iniciada por Volterra y la desarrollaron ampliamente él y otros eminentes analistas del siglo XX; incluye las ecuaciones integrales, las ecuaciones íntegro-diferenciales y algunas partes del cálculo de variaciones. En seguida nos ocuparemos de ello. Por el momento señalaremos una importantísima limitación, de la que hasta ahora nadie se da por enterado del análisis clásico que se origina en la física matemática. La inmensa mayor parte del análisis aplicado está sujeto a esa limitación. Si esa restricción fuera una simplificación excesiva de la ciencia física, existe por lo menos la posibilidad de que para el año 2000 el análisis que en 1945 era indispensable para la ciencia esté tan anticuado y sea tan impotente científicamente, como las matemáticas de Babilonia del año 2000 a. C. La ciencia se mueve más aprisa que hace 4 000 años, y en lugar de conseguir la aterradora inmortalidad de la astrología y de la numerología, una descripción falsa del mundo se olvida ahora en 10 años.

Prácticamente toda la física matemática clásica se ha desarrollado partiendo de la hipótesis de linearidad. Hemos de remitir al lector que quiera un enunciado preciso de lo que a este respecto significa linearidad, a los textos de física; a continuación damos una grosera descripción valiéndonos de un ejemplo. La hipótesis de linearidad se llama también, en óptica física, principio de superposición. Como ya hemos indicado más atrás, el principio se remonta a Daniel Bernoulli.[13]

Si las propiedades de un medio elástico son tales que los esfuerzos son lineales en los desplazamientos vectoriales o en sus derivadas sustanciales, se pueden obtener las perturbaciones en un punto cualquiera P del medio superponiendo las perturbaciones que llegan a P procedentes de todos los centros de perturbación de una determinada región. Es decir, que el efecto total de varios desplazamientos se puede obtener por la adición vectorial de cada uno de los desplazamientos. (Esto puede no ser cierto más en primera aproximación.) Dicho más concisamente, los desplazamientos son aditivos. En un sentido análogo, los campos magnéticos y los campos gravitatorios de Newton son aditivos o superponibles. Los campos gravitatorios de Einstein no son aditivos.

Cuando el principio de superposición es válido para una situación física que se pueda traducir en una ecuación diferencial, ésta es lineal. El equivalente matemático del principio se presenta en el hecho elemental de que si U, V son soluciones de una ecuación diferencial lineal y a, b son constantes, también aU + bV es solución. En esto está la raíz de la solución de los problemas de contorno mediante desarrollos de funciones arbitrarias en series de funciones[14] especiales convenientemente definidas. En pocas palabras, si no fuera por el principio de superposición, una gran parte de la física matemática sería radical, y por ahora inimaginablemente diferente de lo que es. Si el principio no estuviera de acuerdo con los refinamientos de la experiencia moderna, las ecuaciones de la física matemática no podrían ser lineales, más que, si acaso, como una primera y nada adecuada aproximación, y todo el ingenioso análisis que ha evolucionado partiendo de la hipótesis de linearidad no es, como mucho, más que una primera aproximación de las matemáticas aplicables del futuro.

Contra esa posibilidad se puede razonar que el principio de superposición funcionó admirablemente desde Daniel Bernoulli a Dirac, y que por lo tanto en cierto sentido[15] ha de describir correctamente algunos fenómenos físicos. Un razonamiento análogo da validez al uso de la mecánica clásica, estadística y ondulatoria, cada una en su propio orden de aproximación a los acontecimientos observables. En lo referente a linearidad, lo que tiene interés desde el punto de vista matemático no es que haya conducido a resultados cuantitativos notablemente precisos, sino si da una descripción cualitativa suficiente de la ciencia que vive y progresa. Ya las ecuaciones de la relatividad general no son lineales; la ecuación fundamental (la de Schrödinger) de la teoría quántica es lineal. Por lo menos un físico competente ha sugerido ya que las ecuaciones básicas de la física no deben ser lineales, y que habrá que rehacer la física matemática. Si prevaleciera esta sugestión (de Einstein), los analistas del siglo próximo tendrán probablemente que hacer frente a problemas más difíciles que los que todos sus predecesores resolvieron con tanto éxito, y el resultado posiblemente sea una matemática diferente por completo de todas las hasta ahora conocidas.

El motivo económico del desarrollo de algunas partes de la matemática pura y aplicada es ya un tema muy gastado. Muchas de las conclusiones serán muy discutidas todavía durante mucho tiempo. Pero hay un aspecto de las matemáticas sistemáticas íntimamente relacionado con este tema que está perfectamente claro.

Si es cierto que hasta las guerras más idealistas están hasta cierto punto enturbiadas por motivos materialistas, con el ansia de ganancias territoriales o de otro botín, hasta ese mismo punto las matemáticas militares tienen su origen en impulsos económicos. Y puesto que frecuentemente la parte esencial del contrato entre las hostilidades y la victoria o la gloria es el tiempo, la consecuencia natural es muchas veces que los gastos significan muy poco para la producción en masa de matemáticas con fines militares.

Los problemas que plantea la guerra moderna suelen ser urgentes, y muy a menudo difíciles, mucho más difíciles que las idealizaciones simplistas de situaciones concretas que imaginan los matemáticos en tiempos de paz y resuelven con toda tranquilidad. Diremos otra vez que los verdaderos problemas de matar o morir pocas veces son tan elegantes matemáticamente como los de la paz letárgica, y exigen para su solución práctica una cantidad prodigiosa de cálculos numéricos para obtener una aproximación suficientemente cercana a lo que puedan ser los hechos escuetos. Asimismo, hay pocos matemáticos que en tiempo de paz disfruten tanto de su trabajo en esa repulsiva faena, como para emprenderla voluntariamente. Pero espoleados por la urgencia de la guerra no tienen más remedio que acometer tan de prisa como puedan la ingrata necesidad. La cooperación obligatoria, la relajación de las restricciones de tipo económico en asuntos como el empleo de regimientos de autómatas (mecánicos y humanos), y la construcción de complicadas máquinas de calcular nuevas que hagan los trabajos menos especializados, multiplican la eficacia de cada matemático (y a veces también su ego) por un factor que puede ser hasta de 10; cuando se le dan los instrumentos adecuados, y trabaja en los establecimientos adecuados, consigue cerca de 10 veces más que si trabajara en una penuria cortés y en erudita soledad. Se consiguen al menos soluciones parciales para los problemas desesperados de sobrevivir o perecer. Paralelamente se abren nuevas vistas matemáticas a regiones distantes que nunca se hubieran podido imaginar, y mucho menos explorar, si no hubiera sido por los impulsos de la guerra. Las matemáticas y las bajas ascienden simultáneamente, y los gastos no se quedan muy atrás.

En la segunda Guerra Mundial la habilidad matemática se cotizaba mucho más que en la primera, y como muchos de los problemas que exigían estudio urgente trataban de los fluidos provistos de viscosidades que no se podían dejar de tener en cuenta, con hechos no menos molestos en otras manifestaciones de la materia bruta en el mundo real, las ecuaciones que había que resolver eran raramente las de la tradición clásica. En particular, se prestó más atención a las ecuaciones no lineales en cuatro o cinco años de guerra, de la que se les hubiera prestado normalmente en medio siglo de paz. De entre todas las masas de cálculos que se hicieron para hacer frente a las necesidades inmediatas quizás hayan surgido por lo menos las características más evidentes de unos cuantos tipos de ecuaciones. Si es así, esos tipos pueden guiar el estudio de las ecuaciones no lineales cuando exista la oportunidad de pensar en otras cosas que en la próxima guerra de un modo parecido a como los problemas de la mecánica y de la gravitación de Newton determinaron el aspecto de una gran parte de la teoría clásica de las ecuaciones diferenciales lineales, tanto ordinarias como entre derivadas parciales. Si las cosas ocurrieran así, quizás el historiador de las matemáticas del futuro encuentre en la segunda Guerra Mundial lo mismo que los historiadores realistas de la técnica han percibido en la primera, ya que si no hubiera sido por las exigencias de la aviación militar en la primera Guerra Mundial, la aviación civil sería todavía el deporte tan azaroso para unos cuantos aficionados intrépidos que era en 1913, y con seguridad que no hubiera estado ni mucho menos a la altura de sus deberes y privilegios en la segunda Guerra Mundial. Pero como ya indicó hace mucho tiempo Charles Lamb en su biografía de Ho-ti, no es obligatorio confiar exclusivamente en este realismo particular para el progreso de la aviación, de las matemáticas ni de ninguna otra cosa.

FUNCIONALIDAD GENERALIZADA

Toda esta continuada actividad de la física matemática dejó, como es natural, un residuo considerable en las matemáticas puras. Lo que en la actualidad parecen ser las aportaciones que tienen más probabilidades de sobrevivir algunos decenios o más son el análisis funcional, el análisis general, los espacios abstractos y varias subdivisiones especializadas de esas amplias teorías. En todas ellas los mayores progresos tuvieron lugar en el siglo XX, aunque el análisis funcional pudiera haber sido cultivado extensamente en el último decenio del siglo XIX si se hubieran apreciado más ampliamente los primeros trabajos de Volterra de 1887.

No podemos dar aquí más que una indicación muy resumida de la naturaleza de esas adquisiciones relativamente tan recientes. Hay una bibliografía de los funcionales hasta 1930 nada más, que contiene 540 títulos, y posteriormente ha habido numerosas contribuciones. La literatura de los espacios abstractos es aún más extensa y todavía (1945) aumenta rápidamente. También florece el análisis general o abstracto. El origen parcialmente científico de todos ellos está bien claro, especialmente cuando se determina su evolución retrospectivamente a través del cálculo de variaciones y las relaciones entre las ecuaciones integrales y los problemas de contorno. Comparado con el impulso de la ciencia, la influencia de problemas más antiguos de las matemáticas puras sobre el desarrollo de las funcionales, los espacios abstractos y el análisis general que ahora son a su vez secciones de la matemática pura, fue completamente despreciable con la sobresaliente excepción de la teoría de Cantor en relación con los espacios abstractos. Antes de Cantor según parece no hubo más que dos fuentes “puras” de menor importancia de análisis funcional, dignas de mención, la segunda de las cuales se podría también asignar a las matemáticas aplicadas.

Euler y otros en el siglo XVIII propusieron problemas geométricos y mecánicos que conducen a ecuaciones en las cuales las incógnitas, como en el cálculo de variaciones, son funciones. Por ejemplo, el problema de Euler de encontrar la ecuación de la curva tal que el cuadrado de la normal en todos sus puntos exceda al cuadrado de la ordenada correspondiente en la constante C conduce a una ecuación que contiene una función incógnita y su derivada. Ésta es una ecuación funcional (“funcional”, como adjetivo) que hay que resolver respecto de la función. Además, los teoremas de adición de las funciones singulares sugieren el problema de encontrar las funciones “más generales” que las satisfagan. En este orden de ideas dio Weierstrass una definición precisa de un teorema de adición y demostró que las funciones elípticas y sus casos degenerados son las únicas funciones de una variable sujeta a las restricciones evidentes de continuidad, uniformidad, etc., que poseen ese teorema de adición.

Durante toda la primera mitad del siglo XIX las ecuaciones funcionales atrajeron a los analistas a los que les gustaban los artificios ingeniosos. Estos trabajos estaban caracterizados por la falta de precisión y porque no apreciaban las dificultades tan serias a que tenían que hacer frente; eran tan ingenuamente ambiciosos y tan poco concluyentes como el ataque desproporcionadamente ambicioso de Euler al análisis diofántico. Parece que no hubo ninguna investigación satisfactoria de una ecuación funcional anterior al estudio[16] de Cauchy (1832) del ejemplo extraordinariamente sencillo e importante[17] f(x + y) = f(x) + f(y).

Otro impulso en la misma dirección fue la teoría de Liouville (1832) de la diferenciación fraccional.[18] Muchos principiantes del cálculo habiendo comprendido el significado de dny/dxn para valores enteros positivos de n se han preguntado qué interpretación se podría dar a este símbolo cuando n no es entero positivo. La ingeniosa solución de Liouville surgió con varios decenios de anticipación y no encontró su lugar adecuado en el análisis hasta el siglo XX.

La segunda posible fuente de análisis funcional moderno que existe en las matemáticas puras es la teoría de probabilidades. Laplace y otros muchos en el siglo XVIII tradujeron asuntos de probabilidad en ecuaciones diferenciales en los que la incógnita es una función, y la variable independiente varía en toda la clase de los números enteros no negativos. Pero asignarle al análisis funcional orígenes tan nebulosos sería un brillante ejemplo de post hoc, ergo propter hoc. Los creadores del nuevo análisis siguieron conscientemente líneas muy diferentes.

El análisis funcional se originó con Volterra en 1887. En sus primeros trabajos, Volterra empleó la terminología funciones que dependen de otras funciones y el caso especial de “funciones de líneas” para lo que después había de recibir el nombre de funcionales (“funcional”, como sustantivo) que le dio Hadamard, uno de los que han contribuido más eminentemente al desarrollo de la moderna teoría. El caso más sencillo de funcional lo engendra una función x(t) definida para todos los valores de t en un intervalo dado [a, b]: se dice que F[x(t)] es un funcional de x(t) cuando su valor depende de todos los valores que tome x(t) en [a, b]. El caso especial x(t) ≡ t da la definición de Dirichlet de función. Es decir, que los funcionales de Volterra son una generalización muy amplia de las funciones del análisis clásico.

Cuando Volterra aisló el concepto general y empezó la sistematización de los funcionales hacía ya mucho tiempo que estaba familiarizado con ejemplos de los mismos que se presentaban en el cálculo de variaciones. Y lo que es más, los funcionales se habían presentado en el análisis, aunque no se les reconociera como tales, en los mismos comienzos del cálculo integral. Así,

x(t)dt,

definido únicamente en el dominio de las funciones integrales x(t) es un ejemplo del funcional F[x(t)] en el “campo funcional” particular de las funciones integrales. Por lo general F[x(t)] está definido solamente cuando x(t) no puede variar más que adoptando las formas de una clase preestablecida de funciones. Las de interés más particular son las de las funciones analíticas, o la clase de todas las funciones continuas, cada una de las cuales define un “espacio” de una infinidad numerable de dimensiones.[19]

Un artificio muy poderoso para generalizar pasando desde el álgebra y el análisis clásico a las situaciones correspondientes de los funcionales es el de remplazar las sumas finitas en que el índice o la variable independiente t tiene un campo de variación que comprende a todos los números enteros 1,…, n, por integraciones definidas en que el campo de variación de t es un intervalo [a, b] en que f(t), g(t) son continuos. Por ejemplo se remplazaría

Ya indicaremos un ejemplo de esta técnica al ocuparnos del paso de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales a una ecuación integral; aquí vemos el significado tan amplio de aquel caso especial. Desde luego que la dificultad está en justificar el proceso del paso al límite. Volterra ha descrito el cálculo funcional como ejemplo de aquella transición de lo finito a lo infinito que caracteriza a gran parte de las matemáticas desde fines del siglo XIX.

El resultado de la investigación de Volterra fue el cálculo funcional, desarrollado por numerosos analistas con rapidez sin precedentes en el primer tercio del siglo XX. Posiblemente las escuelas más activas fueron la italiana, la francesa, la alemana y la americana. Para una valuación imparcial de sus diferentes aportaciones hemos de remitir al lector a la exposición de Volterra.[12] Se puede mencionar entre los que han contribuido más eficazmente hasta 1930 a Volterra, Pincherle (italiano, 1853-1936), Hadamard, Fréchet, Tonelli, Levy (francés) y Evans (1887-¿?, Estados Unidos).

La teoría de funcionales generaliza y amplía gran parte del análisis clásico. Entre sus aplicaciones figuran las ecuaciones integrales, partes del cálculo de variaciones, una generalización de las funciones analíticas, las ecuaciones íntegro-diferenciales, generalizaciones de las diferenciales y derivadas clásicas, las ecuaciones funcionales-derivadas, y los invariantes funcionales; y por lo que a la física se refiere, la dinámica funcional y la teoría de los fenómenos hereditarios.

Recientemente se ha aplicado a la economía matemática, pero todavía es demasiado pronto para predecir si el dominar el cálculo funcional permitirá a la sociedad evitar las depresiones. A este respecto recordaremos cómo poco después de la publicación (1910-1913) de los Principia mathematica los matemáticos optimistas profetizaron que la lógica simbólica ayudaría mucho a los jueces de la Corte Suprema de los Estados Unidos en sus tortuosas deliberaciones. Los profetas, mortalmente serios, todavía no han aprendido a reír en el desierto.

Una propuesta más modesta propugnaba la aplicación del análisis funcional a la bionomía humana. En este aspecto, Volterra (1927) tuvo un éxito algo inquietante al hacer la aplicación a dos especies de poblaciones voraces, por ejemplo, de tiburones, que viven juntas y se mantienen en equilibrio económico estable durante periodos infinitamente largos devorándose mutuamente. Encontró, y se comprobó en el terreno humano en la gran depresión de 1929, que el número de individuos de las dos especies fluctúa indefinidamente. El rasgo de interés social que tienen esas aplicaciones es que el análisis adecuado es enormemente más sutil y más complicado que todo lo que los economistas clásicos del siglo XIX creyeron que bastaría. Para ser un economista matemático se necesita, en el siglo XX, dominar el análisis moderno. La generación joven declara que la economía matemática es una de las pocas secciones de las matemáticas aplicadas en que sería ventajoso arrojar al fuego los libros clásicos de texto.

ANÁLISIS GENERAL, ESPACIOS ABSTRACTOS

El mismo paso de lo finito a lo infinito que caracterizó al análisis general apareció todavía en geometría en la obra de Hilbert sobre las ecuaciones integrales. La generalización de la teoría algebraica de las formas cuadráticas y bilineales (también de las formas hermitianas) de tres a cualquier número finito n de variables fue el tema favorito de muchos de los algebristas del siglo XIX. El álgebra resultante de las formas reales se interpretó con facilidad geométricamente en las hipercuádricas de un espacio de n dimensiones. En realidad, los familiares problemas del caso n = 3 como la determinación de los ejes principales de una cuádrica sugirieron cosas evidentes que hacer en el caso finito general. Gran parte de esta obra fue útil para la mecánica analítica. Lo que parece ser el primer indicio significativo de la ampliación a un espacio de número infinito de dimensiones se presenta en las investigaciones (1877) de Hill (1838-1914, Estados Unidos) sobre la teoría lunar, en las que figuraban sistemas infinitos de ecuaciones algebraicas lineales con infinitas incógnitas. Poincaré (1886) dio rigor a la teoría correspondiente de los determinantes infinitos, y a partir de 1896 von Koch (escandinavo, 1870-1924) y otros muchos la desarrollaron más.

La generalización de las formas cuadráticas y bilineales de tres a un número finito cualquiera de variables es un proyecto casi sin importancia para un algebrista competente. Con la ampliación a una infinidad de variables, hay que considerar[20] la convergencia para dar validez al álgebra formal, y el problema analítico resultante no es fácil para nadie. Hilbert estableció los fundamentos de la teoría para una infinidad de variables en 1906. Como en la generalización algebraica finita, la extensión analítica a una infinidad numerable de variables se puede describir conveniente y sugestivamente mediante imágenes espaciales. La geometría así descrita es la del espacio clásico[21] de Hilbert. Las primeras aplicaciones que tuvo fueron las que le dieron Hilbert y sus seguidores a las ecuaciones integrales; pronto se vio que el análisis y la geometría que se crearon de esta manera tendían a teorías más amplias.

Remitimos al lector que desee descripciones del espacio de Hilbert y de su significado físico, a las obras citadas. En ellas se ve el evidente origen, en parte científico, de la teoría. También vamos a remitir al lector que quiera estudiar el espacio clásico de Hilbert en el sentido de considerarlo como última generalización dimensional posible de la geometría, a una exposición técnica,[22] en que se desarrollan las aplicaciones a la teoría cuántica y se muestra con un ejemplo que en el sentido mencionado “no hay ninguna distinción esencial entre los espacios de una infinidad de dimensiones numerable y los de una infinidad no numerable de dimensiones”.

Lo que nos interesa aquí es el resultado que produjo para las matemáticas puras todo este movimiento. Un rasgo de gran interés es la vuelta en las teorías del análisis general, los espacios abstractos y la topología, a la metodología euclidiana. Esto no tiene nada de particular. Puesto que el objetivo final era una amplia abstracción, no se podía hacerlo de otro modo.

A partir de 1905-1906 y hasta los primeros años del tercer decenio del siglo XX compartieron el nuevo campo dos tipos divergentes de análisis general, debidos, respectivamente, a Moore y a Fréchet. Moore, al parecer, no ha confiado mucho en las imágenes espaciales; Fréchet, fundador de la teoría de los espacios abstractos, parece que ha llegado a algunas de sus ideas más fructíferas de análisis general abstrayendo hábilmente las nociones más corrientes de la geometría elemental y las de la teoría clásica de funciones de variable real en la forma que tenían después de Cantor.

Si esto es justo, indica que queda mucho por hacer en otras secciones mediante procedimientos análogos de abstracción y generalización. Las construcciones rutinarias y los análisis lógicos de los sistemas de postulados no bastan si esas generalizaciones han de dar algo más importante que refundiciones triviales, o simplificaciones útiles de teorías conocidas. El requisito principal es poseer un instinto de cuáles son las características de una situación dada que merecen abstraerse en primer lugar, y para esto no hay reglas fijas. Ya mencionamos a propósito de las generalizaciones de los valores absolutos algunos ejemplos en que se escogió “lo que hacía falta”. Los que han sabido hacer elecciones afortunadas en el arte de la abstracción están de acuerdo en que el éxito sólo viene después de rechazar muchas cosas.

Moore, en sus conferencias de 1906, indicó lo que se puede llamar necesidad histórica de algún tipo de análisis general que se sentía a principios del siglo XX:

En especial durante el último decenio, el estudio de las Ecuaciones Integrales ha sacado a la luz numerosas analogías entre el álgebra n-ple del espacio real de n dimensiones y la teoría de funciones continuas que tienen un intervalo finito de variación en el sistema de los números reales, y la teoría de ciertos tipos de funciones de infinitas variables. Esas analogías tienen su raíz en la analogía clásica de una integral definida y una suma algebraica.

Enunciamos un principio fundamental de generalización por abstracción:

La existencia de analogías entre rasgos importantes de diferentes teorías implica la existencia de una teoría general sobre la que se funden las teorías particulares, y que las unifique respecto a aquellos rasgos importantes […]

Partiendo del continuo ideal con su infinita variedad de funciones y sus singularidades correspondientes, Cantor desarrolló su teoría de las clases de puntos (Punktmengenlchre) con los conceptos: punto límite, clase derivada, clase cerrada, clase perfecta, etc., y su teoría de las clases en general (allgemeine Mengenlehre) con los conceptos: número cardinal, número ordinal, tipo de orden, etc. Esas teorías de Cantor trasudan Matemáticas Modernas. Así hay una teoría de funciones de los conjuntos de puntos […], mientras que la aritmética de los números cardinales y el álgebra y la teoría de funciones de los números ordinales están todavía desarrollándose.

En las diferentes doctrinas y aplicaciones del análisis se presentan generalizaciones menos técnicas o análogas a las variables reales continuas. Una función de varias variables es una función de una sola variable multilateral; una distribución del potencial, o un campo de fuerzas es una función de posición sobre una curva, o una superficie o una región; el valor de la integral definida del Cálculo de Variaciones es una función de la función variable que figura en la integral definida; una integral curvilínea es una función de la trayectoria de integración; una operación funcional es una función del argumento función de la función, etc., etc. […]

También hay extensiones por generalización directa. En todo el análisis se presenta la generalización finita del caso n = 1 al caso n = n… La teoría de funciones (de Hilbert) de una infinidad numerable de variables es otro paso en esta dirección.

Indicaremos una teoría más general que data del año 1906. Reconociendo el papel fundamental que jugó la noción elemento límite (número, punto, función, curva, etc.) en varias ocasiones especiales, ha dado[23] Fréchet, con muchas aplicaciones, una generalización abstracta de una parte considerable de la teoría de Cantor de las clases de puntos y de la teoría de las funciones continuas de las clases de puntos. Fréchet considera una clase general P de elementos p con el concepto límite definido para sucesiones de elementos. No se especifica la naturaleza de los elementos p (es decir, que los elementos son completamente generales o abstractos); el concepto límite no se define explícitamente; se postula como objeto determinado en condiciones fijas. Se dan modificaciones explícitas para las aplicaciones en cada caso, que satisfacen las condiciones.

La primera parte de los párrafos anteriores recuerda a algunas de las secciones de las matemáticas modernas que describimos con anterioridad en otros capítulos como típicas de los amplios desarrollos posteriores a 1800. Antes de continuar con el análisis general haremos resaltar la referencia a la teoría de Cantor y recordaremos que Moore describía la situación en que se encontraban las matemáticas en 1906, un tercio de siglo antes de que se escribiera esto.

El proyecto de un análisis general tiene algo de sublime que por fuerza ha de atraer a todo matemático cuya mentalidad no esté ya en el siglo XIX. Pero las matemáticas de 1906 y las de 1945 no son la misma cosa. Según los gustos, o el temperamento, podemos prescindir del cambio de interés fundamental considerando que no tiene importancia para las matemáticas tal como las practican sus técnicos, o siguiendo a Galileo podemos decir que “sin embargo se mueve”, considerándolo tan válido para las matemáticas como para nuestro planeta. El lema de Moore era “hoy por hoy es suficientemente riguroso”, máxima a la que se adhieren sin reservas la mayoría de los matemáticos. Sin embargo, hay unos cuantos días de diferencia entre 1906 y 1945, y para la escuela crítica, los sublimes proyectos de 1906 recuerdan algo a Lucifer y a Fausto. Hilbert, poco después de 1911, hizo resaltar con su opinión que los problemas más importantes a que ha de hacer frente la venidera generación de los matemáticos estaba en los fundamentos de las matemáticas. Prescindiendo por ahora de eso, continuaremos con lo que la inmensa mayoría de los matemáticos profesionales consideran que ha de tener algún valor duradero del programa de abstracción y generalización iniciado por Fréchet y Moore, y que a partir de 1906 multitud de laboriosos trabajadores han desarrollado formando extensas teorías.

Moore abandonó prácticamente su primera teoría de 1906-1915 en favor de un método menos postulacional y más constructivo, que siguió en su segundo análisis general de 1915-1922. Uno de los objetivos parece haber sido un análisis que dé como casos particulares las teorías especiales citadas en los párrafos que se han tomado de él. La primera teoría se refería a funciones de una variable general en un campo general de variaciones: “este general es el verdadero general, y abarca todos los casos particulares bien definidos de variables y de campo de variación […] Definimos el Análisis General de una manera más precisa como la teoría de los sistemas de funciones, operaciones funcionales, etc., que afecten por lo menos a una variable general en un intervalo de variación”.

Los teoremas[24] de los desarrollos en serie relacionados con las ecuaciones integrales, especialmente la forma que les dio Hilbert en 1904-1910, y la refundición que se hizo en 1909 de la teoría de las formas cuadráticas con una infinidad de variables en la obra de Hellinger (alemán), exigieron modificaciones cada vez más complicadas de los postulados de la primera teoría. Moore empezó en 1915 a refundir su análisis para que cupieran en él las formas cuadráticas de Hilbert y el nuevo tipo de integral que introdujo Hellinger. Esto lo consiguió a expensas de la teoría de las ecuaciones integrales de Fredholm, pero la integración de Lebesgue le dio muchos contactos nuevos. En 1925 la teoría mejorada había sido ampliada por una extensión fundamental del álgebra de las matrices finitas para incluir el caso en que la multiplicación de los elementos no es necesariamente conmutativa. La teoría reconstruida conservó el campo general de variaciones; los valores de las funciones estaban en un sistema de números simplemente isomorfo como números reales, números complejos o cuaternios con coeficientes reales.

Debido en parte a la expresiva, pero extraordinariamente condensada, notación nueva con que Moore presentaba su análisis, su sistema se abrió muy poco camino fuera de su círculo inmediato. También fue necesario retrasar la publicación por modificaciones sucesivas que hizo indispensable un análisis que se desarrollaba continuamente, y que por ahora no ha querido entregar todas sus riquezas a una sola generalización. Parece que queda fuera del alcance del hombre el idear una disciplina matemática tan poderosa que pueda dominar el futuro. No es esto, sin embargo, el objeto de las teorías abstractas. Habrá conseguido su objeto si es que en cierta época alguna teoría abstracta es suficientemente general como para presentar las masas de detalles diferentes como casos particulares de principios fundamentales.

En 1906 indicó Moore que por la mayor generalización de sus elementos básicos, el método de Fréchet era desde un principio más abstracto que el suyo. En lo sucesivo, la teoría[25] de Fréchet, presentada de manera consecuente por un simbolismo con el que estaban familiarizados la mayoría de los matemáticos, se ha ocupado menos de ir incluyendo los tecnicismos nuevos de las teorías especiales según iban surgiendo. Entonces, parece como si hubiera evolucionado partiendo de sus propios impulsos, implantados en ella por una selección singularmente afortunada de las abstracciones iniciales como la de “distancias” y “contorno”.

Los objetivos confesados de la teoría de Fréchet eran en 1928 la adquisición de resultados nuevos y la unificación de las teorías clásicas de funciones y el análisis funcional. Poco le faltó para incluir la moderna topología. La única manera de percibir la medida en que se consiguieron esos dos objetivos es darse cuenta del alcance de los temas que se estudian en los libros típicos dedicados al menos en parte a los espacios abstractos y a sus numerosas aplicaciones y escudriñando la literatura posterior a 1930.

Si no se tuviera en cuenta más que el impulso científico, se sacaría una impresión falsa de los orígenes del análisis general y del espacio abstracto. La más pura de las matemáticas puras, la teoría de las clases (Mengenlehre), participó por igual, o quizás más directamente en la evolución. Las ideas fundamentales de la pertenencia a una clase tal como figura en la lógica matemática elemental (álgebra de Boole), y que aparece frecuentemente en las teorías abstractas, procede principalmente de los conjuntos de puntos de Cantor. La sugestiva terminología geométrica que presupone el llamar a una clase de objetos de una naturaleza no especificada, sujetos a ciertos postulados, “espacio”, como en los sistemas de Fréchet y de Banach, parece ser debida a F. Hausdorff,[26] que en su obra sobre el Mengenlehre (1914-1917) se refirió en este respecto a un “espacio métrico”.

Esta técnica de “geometrizar” las clases demostró ser extraordinariamente fructífera. Por no mencionar más que un campo intensamente cultivado, Banach (polaco, 1892-1941) desarrolló en 1922 una formulación postulacional del sistema que después se ha llamado espacio de Banach. Éste se ocupa de una clase de por lo menos dos elementos completamente arbitrarios, siendo la clase cerrada bajo la adición y la multiplicación por números reales sujetos a ciertos postulados. También postuló Banach un “valor absoluto” para el cual se verifica la desigualdad triangular. Riesz (húngaro, 1880-…) discutió en 1918 entre otros numerosos casos el de la clase de las funciones continuas. Otros casos son los números complejos, los vectores, los cuaternios y las formas de Grassmann. Pero como no está definida la multiplicación de los elementos en el espacio abstracto, no se puede obtener con esa teoría, por ejemplo, el álgebra clásica de los cuaternios. Donde los espacios abstractos tienen aplicación, los teoremas generales permiten demostraciones unificadas y sencillas en los casos especiales.

Por otra parte, hay un concepto, el de las operaciones lineales, que se remonta, con numerosas apariciones esporádicas, hasta Brisson en 1808, que ha demostrado ser particularmente útil al abstraerlo. Sean S y S₁ dos espacios abstractos para los cuales se ha definido una adición asociativa y un elemento cero; sea y = U(x) una función (operación, transformación) que hace corresponder un elemento y de S₁ con un elemento x de S para todo x de S. Si para todo x₁, x₂ de S es U(x₁+x₂) = U(x₁) + U(x₂), se dice que la operación U(x) es aditiva. Si además de S, S₁ son métricos (espacios en los cuales hay definida una relación de “distancia” para cada par de elementos), se pueden definir operaciones continuas U(x). Una operación que es aditiva y continua es llamada lineal. Entre las numerosas aplicaciones de las operaciones lineales hay muchas a las teorías modernas de la integración.

Asimismo, parece como si los conceptos iniciales de Cantor y de Fréchet fueran de una fertilidad inagotable. Así, por ejemplo, a las tentativas para resolver la aparente paradoja de Cantor de que los puntos de un plano se pueden poner en correspondencia biunívoca con los de una línea recta se debe, en parte, la teoría moderna de la dimensionalidad. Los sistemas de coordenadas de la geometría analítica habían sugerido una generalización inmediata a un espacio de n dimensiones, siendo n entero positivo; el espacio clásico de Hilbert extendió esto a una infinidad numerable de dimensiones. Pero Poincaré, en 1912, haciendo resaltar que se necesitaba aclarar la dimensionalidad de un espacio, propuso una definición, que después sufrió las críticas adversas de Brouwer (holandés, 1882-¿?). Finalmente, en 1921, Menger (austriaco, Estados Unidos, 1902-¿?) ideó una definición[27] satisfactoria. Este solo detalle condujo a una amplia teoría.[27] De esta manera es como las matemáticas modernas se fecundan a sí mismas con una fertilidad casi de pesadilla. Ahora, un “espacio” puede tener cualquier dimensionalidad en el campo de los números reales entre −1 y 1 + ∞.

Como último ejemplo de lo que ha surgido del moderno método postulacional, citaremos los espacios abstractos topológicos que se desarrollaron partiendo de la obra de 1914 de Hausdorff. Un espacio topológico, recordaremos, es una clase para la cual está definido el contorno de todo elemento de la clase, lo cual es una abstracción del entorno corriente de la teoría de funciones de variable real y compleja. De este modo, los espacios topológicos son la interpretación matemática de las teorías que se desarrollaron partiendo de los inventos originales de Cantor y de Fréchet.

El desarrollo de los espacios abstractos es un ejemplo típico del internacionalismo de las matemáticas. Los orígenes de la teoría son principalmente alemanes y franceses; entre los que más activamente se dedicaron a ellos figuran (o figuraban hasta el 1º de septiembre de 1939) numerosos polacos, rusos y estadunidenses.

TRES ESTIMACIONES

El esbozo anterior no es más que una escueta indicación de algunos de los rasgos más notables de lo que en 1945 era uno de los movimientos más activos de toda la larga historia de las matemáticas. Aunque inadecuado, puede bastar ese esbozo para ilustrar la profunda diferencia de puntos de vista que existen entre las matemáticas del siglo XIX y las del XX. También, hay muy pocos que tengan el más leve instinto histórico que se imaginen que 1945 marque alguna dirección definitiva. Pero sí parece evidente que el periodo de abstracción fue una fase inevitable para el desarrollo ordenado de todas las matemáticas.

Ahora bien, hay algunos que, hartos del programa de Euclides, suspiran por otro Pitágoras o por otros modernos Euclides que inyecten aunque sólo sea un invento sorprendentemente nuevo, para que las futuras generaciones de euclidianos puedan sistematizarlo y abstraerlo. Dada la entusiasta acogida que encontraron las ecuaciones integrales a principios del siglo, parece probable que todas las ideas nuevas sean recibidas de igual modo. Después de Volterra y de Fredholm, el análisis, algo mortecino, tomó nuevo interés por la vida. Para el futuro siempre existe la esperanza o el temor de que la física exija la no linearidad de Einstein; y lo discreto puede estimular la recuperación de las diferencias finitas y del análisis combinatorio. Si se materializara alguna de esas posibilidades, parece probable que la mayor parte de las técnicas abstractas de 1945 no sean aplicables, ya que en su mayoría evolucionaron partiendo de orígenes cualitativamente diferentes.

Dejando que el imprevisible futuro escriba su propio epitafio, informaremos de tres opiniones emitidas por tres jueces competentes en 1945 sobre el método abstracto en los cuatro primeros decenios (1899-1939) de su periodo moderno de popularidad. La primera fecha es aquella en que Hilbert dio nueva vida y afirmó la técnica postulacional en su obra sobre los fundamentos de la geometría. Como era de esperar en una cuestión que afecta al “valor” problemático de la obra de centenares de personas, abstraccionistas y no abstraccionistas por igual, las opiniones están muy divididas. La línea de separación seguía, aunque no estrictamente, los intereses personales de los jueces. Sin embargo, en dos puntos el veredicto era prácticamente unánime.

Por otra parte, se estuvo de acuerdo en que la técnica postulacional o abstracta había aislado y uniformado muchos modelos de razonamiento matemático que se presentan con frecuencia, bien sea en alguna de las secciones más importantes de la matemática, la geometría o el análisis, bien sea en más de una sección, es decir, en la geometría y en el análisis. La refundición abstracta de problemas concretos de una sección particular revela estos modelos, si es que existen, y entonces la hipótesis y la conclusión no están separadas más que por un paso, en sustitución de los muchos que sería necesario dar si se desarrollara la demostración siguiendo los datos particulares. La técnica se parece a la producción en masa de la industria, y lleva consigo la correspondiente uniformidad del producto. Si los datos ocultan varios modelos abstractos uniformes, la reformulación abstracta del problema indica los tipos de maquinaria que hay que aplicar en el caso particular de cada modelo uniforme. Si existe un modelo que sirva de fundamento a varias secciones, la demostración de una indica el camino a seguir en las otras, y en realidad hace que sean innecesarias las demostraciones separadas de cada una de ellas. Esto es completamente diferente, por ser mucho más general, de las unificaciones del siglo XIX valiéndose de la teoría de grupos. La estructura abstracta común a diferentes problemas no necesita guardar relación alguna con los grupos, y muchas no guardan ninguna. Por otra parte, si existe una relación mediante los grupos, ello no es más que un caso de las identidades posibles de la estructura que revela uniformemente la abstracción.

Todo estudiante que haya adquirido trabajosamente una exposición clásica de la teoría de funciones de variable real, antes de abordar una parte de ese mismo material mediante el método abstracto, convendrá en que el esfuerzo de memoria queda muy reducido y se aumenta correlativamente la percepción de la esencia de las cosas. En 1945 los que principalmente disentían de la doctrina que eso presupone eran los duros partidarios de la disciplina mental que mantenían que la manera adecuada de enseñar las matemáticas es la de hacerlas tan repulsivas y tan aburridas como se pueda. Pero si el objeto es el de recorrer el terreno con un mínimo de impedimento, el método abstracto no tiene rival. Es cierto que en el camino hay que abandonar numerosos detalles interesantes, pero lo mismo ocurre en mecánica cuando se presenta el tema de una manera que llegue a la esencia de las partes vivas de la ciencia física en un tiempo lo más corto posible. Si las matemáticas han de progresar, no pueden embarazarse con el anticuado equipaje que han venido recogiendo en sus viajes desde el pasado.

También se concedía en 1945 de una manera general que el enfoque abstracto ha adquirido muchos resultados que no se hubieran conseguido por los métodos clásicos. Estas mismas adiciones al saber matemático constituyeron el primer punto en disputa.

Los abstraccionistas mantenían que la calidad de los nuevos productos era por lo menos tan buena como la de los antiguos. Los antiabstraccionistas rechazaron vivamente este juicio puramente subjetivo, argumentando con igual subjetividad que la mayoría de los resultados nuevos eran en esencia trivialidades. Esos críticos insistían en que a las “verdaderas” matemáticas ya se les había extraído toda la savia, dejando tan sólo pellejos secos que superficialmente se parecían a bien conocidas proposiciones elementales de la matemática clásica. En resumen, se discutía que hubiera salido algo “verdaderamente nuevo” del método abstracto, y se retaba a los abstraccionistas a mostrar por lo menos un ejemplo de esos teoremas que pretendían tan amplios, que fuera esencialmente diferente de los trillados resultados clásicos generalizados por abstracción. Ha de ser la historia, y no los observadores ociosos, la que decida.

En definitiva, la diferencia de opinión afectaba a la relación del moderno movimiento abstracto con todas las matemáticas anteriores. Los abstraccionistas veían en el movimiento la culminación retrasada de una evolución que durante 6 000 años había andado sin saber a dónde iba, yendo por fin a parar a las “verdaderas matemáticas”. A pesar de esa ceguera por su evidente destino —evidente visto retrospectivamente—, las matemáticas alcanzaron al fin la meta que no percibían. Los más moderados de esta facción admitían que quizá continuara el progreso. Pero el método abstracto de 1899-1945, creían ellos, había fijado de una manera permanente todos los avances futuros.

Los antiabstraccionistas estigmatizaron todo el movimiento como una siniestra vuelta a la estéril época de la crítica y de los comentarios que fueron característicos de la muerte de las matemáticas griegas. El imaginativo siglo XIX, insistían, había sido un eco retrasado de la era arquimediana; el revivir de Euclides del siglo XX era una aberración a las matemáticas encadenadas que Arquímedes había liberado tan sólo para que sus sucesores históricos las volvieran a inmovilizar con las pedanterías del análisis lógico formal. Cualquiera que sea el bando que la historia respalde, si es que respalda alguno, parece muy probable que los principios del siglo XX sean recordados como una de las épocas más importantes del desarrollo de las matemáticas.

Mientras los abstraccionistas y sus oponentes debatían sus diferencias particulares, una tercera facción, numéricamente muy inferior a las otras dos, argumentaba que ambas estaban ciegas a lo único de importancia vital que estaba ocurriendo en las matemáticas. Después de todo, el método abstracto no era fundamentalmente nuevo: lo inventaron los griegos, y los procedimientos modernos no superaban a los de Euclides más que por su mayor precisión. Pero las dudas epistemológicas sobre las conclusiones del razonamiento matemático clásico sí eran de una especie completamente nueva, como las que no se habían producido en ninguna época anterior. Aunque no creían que ese aspecto exterior de las matemáticas quedara muy cambiado por ninguna clase de dudas respecto a su consistencia interna, las críticas de los fundamentos profetizaban una concepción radicalmente nueva de las matemáticas para un futuro no muy distante.

De acuerdo con los profetas, para el año 2000 ya se habrá reunido con el dinosaurio lo último que en matemáticas siga el ideal platónico. Desprovisto de su mística vestidura de eternidad, se reconocerá entonces que las matemáticas son lo que siempre han sido, un lenguaje construido por los hombres, e ideado por los hombres para fines concretos prescritos por ellos mismos. Entonces se habrá desvanecido el último templo de una verdad absoluta juntamente con la nada que enalteció. De acuerdo con los profetas se construirán otros templos, pero no serán los matemáticos quienes los construyan. Las matemáticas como verdad ideal expiraron entre 1900 y 1945, y los que continúan adorando a este ideal no hacen sino asistir a sus prolongados funerales ignorando que su deidad está muerta.

Ese posible resultado de 6 000 años de progresos matemáticos deprimirá a algunos y exaltará a otros. Una vez más será la historia la que decida por sí sola. Hace menos de un siglo, probablemente no se le hubiera ocurrido a ningún matemático esa posibilidad. Parte de las pruebas que apoyan esto han de ser el objeto de nuestro próximo y último capítulo. No es necesario prevenir a ninguno de los que nos haya seguido hasta ahora de que todo lo que estas pruebas garantizan es un juicio aplazado.

XXIII
INCERTIDUMBRE Y PROBABILIDAD

DESDE Pitágoras y Zenón hasta Hilbert y Brouwer los matemáticos han gozado con la flexibilidad de sus razonamientos, y unos cuantos han tratado de comprender el origen de su fuerza. Durante siglos, después de la primera gran edad de las matemáticas en la antigua Grecia, se aceptó sin ponerlo en duda que el razonamiento deductivo, convenientemente aplicado, nunca conduciría a contradicciones. Los elementos dudosos de este credo tan sencillo se ocultan en las palabras convenientemente y nunca, de las cuales la primera está pidiendo una discusión de los principios, y la segunda oculta un infinito en potencia. Con la introducción de los números irracionales que destruyeron la armonía integral del cosmos pitagórico, empezó una controversia que durante 2 000 años ha sido, con intermitencias, muy viva: ¿es el infinito matemático un concepto seguro del razonamiento matemático, seguro en el sentido de que no hayan de surgir contradicciones como consecuencia del uso de este infinito sujeto a ciertas condiciones preestablecidas? (Los “infinitos” de la religión y de la filosofía no interesan en matemáticas.)

Ya hemos visto qué formas adoptaba esta pregunta tan variable en las paradojas de Zenón; en la proporción de Eudoxio; en el análisis submatemático de la Edad Media; en los indivisibles de Cavallieri; en el cálculo de Newton y Leibniz; en el Mengenlehre de Cantor; en las teorías del sistema de números reales propuestas por Cantor, Dedekind y Weierstrass; en la definición de Frege y Russell de los números cardinales como clases, y finalmente en el problema de Hilbert de demostrar la consistencia de la geometría. Ya hicimos notar también que a esas cuestiones estrictamente técnicas de las matemáticas se les debía el escrutinio investigador del razonamiento deductivo hecho en los cuatro primeros decenios del siglo XX, e hicimos observar que sin la ayuda de la lógica matemática no hubiera sido posible una parte del análisis más perspicaz. Por consiguiente, antes de informar sobre algunas de las conclusiones más sugestivas, indicaremos las fases principales que siguió la lógica matemática para llegar a ser una de las principales actividades de las matemáticas recientes. Por razones que indicaremos donde corresponda, haremos después lo mismo para la teoría matemática de la probabilidad. De esta manera llegaremos a las sucesivas situaciones a partir de las cuales podremos describir los más populares de los diferentes credos que existen en 1945 sobre la naturaleza y el significado de las matemáticas. El observador experimentado no extrapolará a 1946 o después.

PREJUICIOS Y ERRORES

Antes de pasar a los detalles, dirigiremos una rápida ojeada hacia delante. Las materias que vamos a describir son posiblemente las de mayor interés para los observadores que se interesen en la influencia de las matemáticas sobre las fluctuaciones de la civilización de mayor importancia que la trillada utilidad para la ciencia y la terminología. Las investigaciones sobre los fundamentos y el significado de las matemáticas han estimulado grandemente desde 1900 a la teoría del conocimiento, y en especial a partir de 1910, fecha en que apareció el primer volumen de los Principia mathematica de Whitehead (inglés, 1861-¿?) y Russell (inglés, 1872-¿?). Un libro anterior de Russell, The principles of mathematics, 1903, probablemente hizo más que ninguna otra obra anterior, con la posible excepción de la Crítica de la razón pura, 1781, de Kant, para interesar a los filósofos en las matemáticas. También irritó a algunos arrancándolos de sus meditaciones filosóficas con manifestaciones tan directas como ésta (de Russell): “La Filosofía de las matemáticas ha sido hasta ahora tan propia para la controversia, tan oscura y tan poco progresiva como las otras ramas de la filosofía”. Si alguien tiene algo que decir, no hay ninguna razón para que no lo diga de manera que aquellos a quienes va dirigido no puedan por menos de entenderlo, aun a riesgo de ser menos cortés de lo que se suele ser en una reunión de sociedad.

En los 34 años que transcurrieron entre la primera edición de los Principles y la segunda (1938, reimpresión con una introducción nueva), la filosofía de las matemáticas se hizo tan propia para la controversia, casi tan oscura, pero de ninguna manera tan poco progresiva como las otras ramas de la filosofía. En realidad avanzaba con rapidez desconcertante a la vez en varias direcciones, como una granada que ha explotado.

Treinta y cuatro años son mucho tiempo para las matemáticas recientes. Así pues, resulta curioso encontrar que muchos filósofos y no pocos matemáticos en 1938 parecían ser tan hostiles a la lógica matemática y a la filosofía matemática como en 1903. Todavía en 1939, un distinguido filósofo liberal estadunidense (del que no damos el nombre porque quizás se despierte antes de morir) proclamaba gozoso que la lógica matemática no había contribuido en nada nuevo ni a las matemáticas ni a la teoría del conocimiento, por lo que se había ahorrado la molestia de tener que aprender el simbolismo necesario. El erudito artículo en que se emitía esta opinión fue cordialmente recibido por los que se las daban de liberales, como juicio competente de un experto.

A nadie más que a un filósofo le corresponde decidir si la lógica matemática ha hecho alguna contribución a la filosofía. Los que quieran formarse una opinión sobre la otra mitad de la anterior decisión adversa pueden recurrir a las revistas de resúmenes analíticos dedicadas a las matemáticas técnicas exclusivamente o a A bibliography of symbolic logic[1] para el periodo 1660-1935 con cuatro suplementos. Figuran en la lista aproximadamente 2 500 obras. Los matemáticos consideran que todas, menos unas cuantas, pertenecen a su materia. Por no citar sino un detalle, toda el álgebra de Boole, con una amplia literatura propia, es de capital importancia para el álgebra abstracta moderna, altamente técnica, descrita en capítulos anteriores. En su versión modernizada, este álgebra tiene importantes aplicaciones a la topología, elaboradas en 1936–1937 por M. H. Stone (Estados Unidos, 1903–¿?). También parece ser fundamental para la aritmética moderna y en particular para la teoría de la estructura aritmética. Si ninguno de estos trabajos fuera nuevo, todos los especialistas que escriben los resúmenes analíticos de la investigación matemática actual serían incompetentes, y eso no parece probable.

En contra del veredito erudito indicado, hay muchos matemáticos profesionales que han actuado a partir de 1912 como si creyeran que las cuestiones de la teoría del conocimiento que han estudiado los que investigan los fundamentos de la matemáticas tienen interés tanto para las matemáticas técnicas como para las nuevas. Por ejemplo, en 1920-1930 dos eminentes matemáticos se excitaron tanto a causa de los extraños conceptos matemáticos del otro, que tuvieron que recurrir a un lenguaje enérgico para expresar sus opiniones. La guerra de palabras entre Hilbert y Brouwer sobre los fundamentos no cabe duda que ocupará su lugar en la historia junto a las grandes polémicas matemáticas clásicas. Tan molestos eran el tumulto y las voces, que hasta los físicos dejaron lo que estaban haciendo para escuchar recelosamente. Su reacción ante la batalla de los gigantes de la matemática es también clásica e ilustra cuán poco afectan las luchas de un conjunto de seres humanos en defensa de sus posesiones más preciadas, a otro conjunto. Al encontrarse a un colega al que se podía suponer enterado, le preguntó Einstein: “¿A cuento de qué viene esa batalla de ranas y ratones entre los matemáticos?”

En 1930-1940, los neutrales vacilaban entre el nerviosismo y la irritación. Los técnicos de la generación vieja persistían en su error heredado de Poincaré de que la lógica matemática es tan estéril como una mula. Poincaré murió en 1912. Unos cuantos, vagamente molestos por los rumores que aun los sordos debieron de oír, se desentendieron de las discusiones sobre los fundamentos como si fuera metafísica, que, por consiguiente, no interesara a los matemáticos. Algunos de los conservadores más influyentes, explotando la creencia popular de que la educación matemática (o científica) es necesariamente una formación valiosa y objetiva, deploraron la publicidad dada a la llamada crisis de las matemáticas, por el posible efecto perturbador que el conocer lo que pasaba a ese respecto podría tener sobre la mentalidad de los “jóvenes”. Algunos de los reaccionarios más atrevidos llegaron incluso a insinuar que todo el movimiento científico no era más que otro asalto de los comunistas, con su filosofía marxista y su dialéctica hegeliana sobre las verdades establecidas por sus antepasados.

A primera vista, esta teoría algo enfermiza puede ser seductora, ya que es innegable que el movimiento crítico de las matemáticas se aproximaba rápidamente a una culminación en 1920-1930, cuando otras muchas cosas que habían parecido muy serias antes de 1914 estaban siendo revaluadas sin respetar lo consagrado por la tradición. De acuerdo con esta teoría, la “revolución” del pensamiento matemático no era sino una escaramuza sin importancia entre lo viejo y lo nuevo, de una revolución incomparablemente mayor. Pero por muy atractiva que pueda ser esta teoría, los hechos comprobables la niegan. En matemática, el cataclismo se inició 40 o 50 años antes de que la guerra de 1914-1918 desviara el pensamiento político, religioso y económico por caminos nuevos y más ásperos.

Se podría mostrar a cada uno de varios incidentes concretos como comienzo de la moderna era de incertidumbre. Para no remontarnos demasiado atrás, y para no mencionar más que a hombres que fueron ante todo matemáticos, recordaremos que Dedekind dudó por lo menos dos años antes de publicar su Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872), cuyos conceptos básicos le habían preocupado en 1858 porque no estaba convencido de que su manera de razonar fuera firme. De nuevo en el prefacio de la tercera edición (1911) de Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), Dedekind reconocía las dudas que habían surgido a partir de 1893 sobre la legitimidad de la posición que había adoptado en aquella obra clásica, y lamentaba que otros trabajos le hubieran impedido completar las difíciles investigaciones que se necesitaba hacer para basar su teoría sobre fundamentos incuestionables. Al solicitar indulgencia por esa omisión, Dedekind, que entonces tenía 80 años, reafirmaba su creencia en la “armonía interna de nuestra lógica”. Se podría, por consiguiente, contar a Dedekind entre los que creían en la firmeza esencial de la manera de razonar en el análisis matemático y particularmente en el uso que se hace del infinito en límites y en continuidad. Sin embargo, a los trabajos que hizo a esos respectos se le deben en parte algunas de las objeciones más radicales de los finitistas, de los cuales Kronecker fue el primero. Como máximo en 1880 ya había negado Kronecker todo significado a matemáticas como las de la teoría de Dedekind de los números irracionales y la continuidad, sin las cuales no existe el análisis clásico, e insistió en que la lógica de ese análisis no es válida.

Ni a Kronecker ni a Dedekind se les ha honrado hasta ahora llamándoles filósofos en el sentido que se le suele dar a esa palabra. Tampoco se les puede considerar comunistas, ya que uno murió en 1891 y el otro en 1916. Y como vimos en otro sitio, fue la paradoja de Burali–Forti la que en 1897 inició el ataque contra la teoría del infinito de Cantor. Asimismo, es interesante recordar que el mismo Cantor encontró esta paradoja en 1895 y se la comunicó a Hilbert en 1896. Cantor murió en 1918; su última obra sobre el Mengenlehre, el Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, apareció en 1895 y 1897. Uno de los tres lemas latinos que aparecían bajo el título es el famoso “Hypotheses non fingo” de Newton.

La inconmovible fe de Dedekind, el poco comprometedor escepticismo de Kronecker y las vagas hipótesis de Cantor, son tres de las principales fuentes de duda respecto a la validez completa de la manera tradicional de razonar matemáticamente, y todas ellas son anteriores al periodo de incertidumbre general que se inició en 1914.

Una vez más, y para no desorientar a “los jóvenes”, repetimos que esas dudas no detuvieron la creación matemática. Los técnicos que trabajaban en la superestructura no arrojaron sus herramientas y descendieron al suelo porque alguno de los puntales necesitara refuerzo. Continuaron sus trabajos altamente especializados, y dejaron aquella tarea a los expertos que sabían lo que se traían entre manos. En 1945 todavía no se había derrumbado el edificio, y aunque los que se ocupaban en elaborar la superestructura raramente se interesaban en lo que hacían los que consolidaban los cimientos, por lo menos habían llegado a tolerar su presencia en el edificio. Los malentendidos y las recriminaciones del primer decenio del siglo XX cedieron en el cuarto ante una primera y grosera aproximación a la armonía; fue casi como si la American Federation of Labor y el Committee for Industrial Organization hubieran acabado por decidir enterrar el hacha de la guerra en algún sitio que no fuera el cráneo de la otra, poniéndose a hacer algo.

LA LÓGICA MATEMÁTICA DESDE LEIBNIZ (1666) A GÖDEL (1931)

A veces se hace una distinción entre la lógica matemática y la lógica simbólica. En esos casos, esta última es “la estructura formal del razonamiento deductivo investigada por el método simbólico”.[1] La lógica matemática es el razonamiento deductivo tal como se presenta en las matemáticas; contiene mucho que no aparecía en la lógica clásica según la tradición de Aristóteles en la Edad Media, y no tiene por qué ser simbólica. En lo que ya se mencionó, hemos prescindido de esa distinción y así continuaremos haciendo en la mayoría de los casos. El texto indicará cuál es el significado pertinente si la distinción es importante. De la historia del método simbólico no seleccionaremos más que los episodios más sobresalientes que han ejercido influencia sobre las creencias de 1940 sobre la naturaleza de las matemáticas, la validez del razonamiento matemático en general y la consistencia de la aritmética en particular, o los que hicieron posible el análisis lógico de las creencias correspondientes.

La historia comienza con brusquedad catastrófica en 1666 con lo que Leibniz llamó su “ensayo de escolar”, De arte combinatoria. Aunque éste no contenía nada determinado de lógica simbólica, es el origen histórico tanto de la lógica simbólica como de la lógica matemática, ya que Leibniz imaginó la posibilidad de una “característica universal” o “tipo de matemáticas universales” en las que un “cálculo de razonamiento” expresado en un simbolismo eficaz sujeto a reglas adecuadas de combinación elaboradas de una vez para siempre guiarían la razón. Entonces los errores, excepto los de hecho, no se podrían deber más que a deslices de cálculo. Esto es lo que ocurre en cualquier clase de matemáticas. La reserva que hace Leibniz se pone de manifiesto dolorosamente en las matemáticas aplicadas, en que un leve error de hecho en las hipótesis científicas puede[2] conducir a conclusiones sin ningún valor, aunque el “cálculo del razonamiento” mediante el cual se deducen las conclusiones sea bueno y esté bien empleado.

El revés que sufrió Leibniz con Huygens (1679) a propósito de la “característica universal”, reseñado en un capítulo anterior, no dejó de beneficiar al ambicioso soñador. Evidentemente Leibniz se puso a trabajar, ya que en 1686 consignó lo que consideraba su primer producto notable. Entre 1679 y fines del siglo dedicó parte del tiempo que le quedaba libre (¿?) a intentar crear una lógica simbólica: enunció en la terminología corriente las propiedades principales de la adición y la multiplicación lógica, la negación, la clase nula y la inclusión de clases, y análogamente indicó la semejanza (identidad abstracta) de ciertas propiedades de inclusión de clases y lo que implicaban para las proposiciones casi de la misma manera que se enuncian hoy día en los textos de lógica simbólica.

El incidente notable que le siguió fue la pretensión de Lambert (1765) de que había demostrado que algunas de las reglas del aritmética y del álgebra se pueden interpretar en un campo más amplio del tipo imaginado por Leibniz. Cualesquiera que sean los méritos de la teoría de Lambert, abortó, cosa que también ocurrió con el “algoritmo lógico” (1803) de Castillon.

La lógica simbólica nació decididamente con el importantísimo folleto de 82 páginas de Boole, The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, 1847. A esto siguió en 1848 un documento de 15 páginas, The calculus of logic, y finalmente en 1854 dio Boole una exposición formal de su sistema en su obra maestra An investigation into the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities.

Russel ha observado (1901) que “las matemáticas puras fueron descubiertas por Boole en una obra que tituló ‘las leyes del pensamiento’ […] Su obra se ocupaba de la lógica formal, y esto es la misma cosa que las matemáticas”. Aunque la identificación de las matemáticas con la lógica formal ha sido discutida entre 1901 y 1945, nadie puso en duda que Boole fuera el verdadero fundador de la lógica simbólica. También fue un místico en un sentido técnico bastante corriente de creer que el conocimiento nos viene por intuiciones inmediatas de existencias extrahumanas.

El contenido de las Laws of thought es prodigiosamente heterogéneo, y abarca desde “los principios fundamentales del razonamiento simbólico y de la expansión[3] o desarrollo de las expresiones en que figuran símbolos lógicos” pasando por “un análisis de una parte de las ‘demostraciones del Ser y Atributos de Dios’ del doctor Samuel Clarke y una parte de la ‘Ethica ordine geometrico demonstrata’ de Spinoza” hasta una culminación algo intrigante “sobre la naturaleza de la ciencia y la constitución del intelecto”. En el último párrafo, Boole observa que “por tanto [éste no es el “por tanto” matemático], quizás lo que ocurre es que a veces encontramos conceptos más justos de la unidad, la conexión vital y la subordinación a un fin moral de las diferentes partes de la Verdad entre los que no reconocen nada más alto que el aspecto cambiante de la humanidad colectiva, que entre los que profesan una alianza intelectual con el Padre de las Luces”. Así eran las matemáticas puras en un reinado del Dios Victoria.

Al crear su sistema, Boole estaba influido por la obra inglesa, en la que había participado sobre el carácter puramente formal o abstracto del álgebra elemental. Por tanto, el buscar una interpretación lógica de las “leyes” de la adición y de la multiplicación con significados apropiados del cero (identidad de adición) y la unidad (la unidad de multiplicación) para completar la interpretación de acuerdo con el álgebra común no era profanar verdades eternas. Puesto que son fáciles de encontrar descripciones completas y elementales del sistema resultante de lógica simbólica en libros de texto y en tratados escritos en casi todos los idiomas civilizados, no describiremos ni el sistema original de Boole ni el álgebra de Boole perfeccionada (en algunos aspectos) en que evolucionó entre 1854 y 1940.

Además, hay dos detalles que tienen interés más que histórico. La interpretación de Boole de “o”, equivalente de la adición lógica, que era menos conveniente que la del álgebra de Boole; tampoco contaba con una operación inversa satisfactoria de la adición lógica. Este último defecto fue subsanado con la llamada diferencia simétrica[4] introducida en 1916 por Daniell (inglés, 1889-¿?). Esto hizo posible incorporar el álgebra de Boole al álgebra moderna de los anillos, los ideales, etc. Para terminar con este aspecto aquí mismo, diremos que la modernización técnica del álgebra de Boole se hizo en gran parte en los Estados Unidos entre 1924 y 1935, con los trabajos de Bernstein (1881-¿?), Stone y von Neumann (húngaro, Estados Unidos, 1903-¿?), entre otros. De mayor interés para los matemáticos profesionales y para los filósofos, es que algunos expertos en cuestiones de los fundamentos de la matemática han menospreciado el álgebra de Boole por ser demasiado matemática y por tener demasiado poco cálculo de la lógica matemática para que pueda ser útil en el análisis de los fundamentos de la matemática. Sin embargo, el álgebra de Boole fue lo primero que materializó el sueño de Leibniz y una de las principales inspiraciones para las más poderosas lógicas matemáticas que la siguieron.

Al mismo tiempo que Boole, dio De Morgan otro gran paso hacia delante con su tratado (1874) Formal logic: or, the calculus of inference, necessary and probable. De Morgan fue más allá que Boole iniciando en 1860 la lógica de las relaciones en el cuarto de una famosa serie de cinco documentos (1846-1860) sobre el silogismo. Por su importancia histórica, recordaremos la ridícula contienda entre De Morgan y el anatómico, botánico, abogado y metafísico escocés W. Hamilton[5] (1788-1856) sobre la cuantificación del predicado. Asimismo, fue el ruido y la furia de esta polémica lo que despertó el interés de Boole por la lógica formal hasta el punto de crear su sistema simbólico. El abogado metafísico, perdiendo la calma y con la mente extraviada, acusó con rabia a De Morgan de plagio. La acusación era un insulto si se considera la calidad de las aportaciones de Hamilton a la lógica.

Después de De Morgan el siguiente avance de importancia hacia la lógica matemática lo hizo Peirce en los Estados Unidos. Por razones que no necesitamos analizar, la obra de Peirce no consiguió el objetivo inmediato a que su penetrante calidad lo hacía acreedor. La explicación que daba el propio Peirce de esa falta de adecuado reconocimiento está contenida en una observación poco académica que se le atribuye de buena fuente: “Mi condenado cerebro tiene una circunvolución que me impide pensar como piensan los demás”. Con unos cuantos ejemplos nos bastará para indicar la calidad de la obra de Peirce. En 1867 percibió varios pares dobles de proposiciones, pero al parecer no dio con las leyes de De Morgan (1847). A partir de esas leyes es muy fácil deducir el principio de la dualidad del álgebra de Boole enunciado por Schröder en 1877 (a cada proposición relativa a la adición y a la multiplicación lógicas les corresponde otra sobre la multiplicación y la adición). En 1870 Peirce describió una nueva acción para la lógica de los relativos “que resultó de una ampliación de los conceptos del cálculo de la lógica de Boole”. La continuó en 1880-1883.

Por otro lado, hay dos detalles que son especialmente dignos de mención, tanto por su significado profético como por su interés técnico. En documentos de 1885 con el subtítulo A contribution to the philosophy of notation Peirce definió los “valores de verdad” de una proposición: una proposición cierta tiene el valor constante v, y una proposición falsa el valor constante f. Al parecer éste es el primer indicio del llamado método de matrices (tablas de la verdad) de la lógica matemática en que los “valores” corrientes son 0 (“falsedad”), 1 (“verdad”) en una lógica de dos valores, y 0, 1,…, n − 1 en una lógica de n valores. A partir de 1930 se imaginaron también lógicas con un continuo de valores de verdad.

La otra novedad profética fue la reducción de Peirce (1880) de las constantes lógicas “y”, “o”, etc., del álgebra de Boole a una sola constante en función de la cual se pueden expresar todas las demás. Esta reducción fue redescubierta en 1913 por Sheffer (Estados Unidos), y fue dicho por Russell de pagar una simplificación más notable de ciertas partes de Principia mathematica. Una reducción análoga se puede efectuar en las lógicas de n valores. Con la publicación de las obras completas de Peirce (volumen 3, 1933, volumen 4, 1934) ocupó éste en el desarrollo de la lógica matemática el lugar que desde mucho antes le correspondía, aunque por una de esas ironías de la historia hubo otros que siguieron sus pasos sin darse cuenta de que ya los había dado él.

En los años 1870 y siguientes se inició una nueva manera de abordar el problema con la obra de MacColl. Apartándose de la tradición de Boole, MacColl (1837-1909, Inglaterra) estuvo a punto de dar con el concepto función proposicional. No conociendo la obra de Boole cuando empezó, MacColl inventó su propia lógica simbólica para que le sirviera de ayuda a sus investigaciones de la probabilidad matemática. Llamó a su sistema cálculo de enunciados equivalentes, y lo aplicó no sólo a la probabilidad sino al cambio de orden de la integración. Esto último era un algoritmo puramente formal sin importancia para el análisis. En su obra posterior, a partir de 1890, MacColl inventó desterrar las constantes absolutas de la lógica y de las matemáticas. Su sugerencia desarrollada no muy satisfactoriamente en su propio sistema, de que los enunciados simbolizados pueden tener un valor de verdad indeterminado, ha reaparecido en una de sus variantes posibles en las lógicas de muchos valores. MacColl fue un lobo solitario de su generación por su insistencia de que las proposiciones y lo que implican son más útiles para la lógica matemática que las clases y la intuición. El que no pudiera hacer que algunas de sus nuevas ideas llegaran a feliz conclusión parece ser debido en parte a una simple falta de facilidad técnica para las manipulaciones elementales algebraicas y a una alergia hacia un simbolismo práctico y expresivo.

En una crítica (1906) a la Symbolic logic and its applications (1906) de MacColl, Russell observó que aquél se diferencia de otros lógicos simbólicos por preocuparse más de las expresiones verbales que de sus significados. Si MacColl hubiera vivido hasta el tercer decenio del siglo XX, habría encontrado compañeros muy distinguidos en este aspecto. En su lucha para salir de los lodazales de la metafísica clásica, los formalistas de la escuela de Hilbert separaron el simbolismo de las matemáticas de su “significado” o “interpretación” tratando de reformular las reglas, de manera que “nunca” produzcan una contradicción. Parece que MacColl se dio cuenta nebulosamente de que hay por lo menos dos problemas de la mayor importancia en la lógica matemática: hacer que el simbolismo y las reglas para su manejo no conduzcan a contradicciones; interpretar el simbolismo y las operaciones mediante las cuales una fórmula se transforma en otra. El primero es el problema formal de las matemáticas; el segundo es un problema de matemática. La distinción no se reconoció en 1906 cuando MacColl terminó su obra. Como veremos, adquirió una importancia primordial en 1931 con la obra de Gödel, que demostraba que en ciertos aspectos un sistema de lógica matemática tiene un interior y un exterior. Además, hay proposiciones de un sistema que no se pueden demostrar mediante el aparato del mismo, siendo necesario salir del sistema en busca de una demostración. Ésta no es más que una burda analogía de la situación que más tarde describiremos con detalle. Por ahora creemos que es justo decir que aunque quizá MacColl no viera claramente dónde iba, pisó en un camino muy prometedor que en sus días era el del futuro de la lógica matemática. Los juicios categóricos en estas cuestiones polémicas corren mayor riesgo de ser invertidos que los de cualquiera otra sección de las matemáticas.

En un sentido, la tradición de Boole terminó en 1905 al acabarse el tratado de 2 033 páginas en cuatro volúmenes de Schröder (alemán, 1841-1902), Vorlesungen über die Algebra der Logik, 1890, 1891, 1895, 1905. En él se organizaba y se exponía la lógica simbólica en el estado en que se encontraba a fines del siglo con la meticulosidad que el mundo erudito había aprendido a esperar de los alemanes del siglo XIX. Si la originalidad de Frege y Peano no hubiera inaugurado un renacimiento en la lógica matemática, Schröder hubiera desafiado a los siglos como lápida del sueño de Leibniz. Pero la lógica matemática era demasiado vigorosa para prestarse a un entierro prematuro bajo 2 000 páginas de meticulosa erudición, fuera de quien fueran éstas. Una vez más se demostró, como en los tres voluminosos tomos que hubieran podido aplastar la teoría de Lie, que la vida útil de una contribución a la literatura técnica de las matemáticas varía a veces inversamente con la longitud de la contribución. Las tentativas hechas en el siglo XX para incluirlo todo y ser definitivas en una sección cualquiera de las matemáticas parecen fútiles, ya que no presuntuosas. Si es que alguna vez resulta posible imprimir 2 000 o 10 000 páginas de lógica matemática que conserven su vitalidad durante una generación, las matemáticas habrán muerto.

Ya hemos observado en otro sitio el comienzo del periodo reciente de la lógica matemática: primero en la obra de Frege (1879, 1884, 1893, 1903) sobre la simbolización y el análisis de los conceptos lógicos y matemáticos y sobre los fundamentos de la aritmética; segundo, en el análisis postulacional de Peano con una elaboración mucho más amplia del simbolismo lógico de lo que hasta entonces se conocía de la aritmética y de la geometría (1889) y en su refundición (con ayuda de colaboradores italianos) de extensas partes de las matemáticas con el nuevo simbolismo en el Formulaire de mathématiques (1895-1899, 1901-1903, 1905-1908) y tercero, en el tratamiento postulacional de Hilbert de los fundamentos de la geometría. Ya se ha indicado la gran importancia que tuvieron esas innovaciones para el álgebra, la geometría y el análisis del siglo XX; no menor fue su importancia para el desarrollo de la lógica matemática a partir de 1900.

Al proyecto de Peano, de traducir en el Formulaire las matemáticas técnicas a símbolos de lógica matemática, que él inventó, se debe la simbolización de las matemáticas más amplia que se ha ideado hasta 1945, en los Principia mathematica (1910, 1912, 1913), de Whitehead y Russell. En ella se ejecutaba con minucioso detalle el programa que había esbozado Russell en sus Principles (1903), “de demostrar que las matemáticas puras tratan exclusivamente de conceptos posibles de definir con un pequeño número de conceptos lógicos fundamentales, y que todas sus proposiciones se pueden deducir de un número muy pequeño de principios lógicos fundamentales; explicar los conceptos fundamentales que se aceptan en matemáticas como no susceptibles de definición” (postulados sin profundizar su análisis). Éste es el programa de la escuela Whitehead-Russell para las matemáticas y sus fundamentos, que Carnap[6] (Austria, Estados Unidos) ha llamado después logicalismo. Según el logicalismo, las matemáticas son una rama de la lógica. Aunque es tonto que nadie, fuera del autor de una filosofía matemática particular, haga afirmaciones respecto al objetivo o a lo conseguido por esa filosofía, es perfectamente comprensible que la lógica sea más básica y anterior a las matemáticas. Si con esto se expresa correctamente la posición del logicalismo, tiene gran importancia aquí, ya que la tesis más matemática de Brouwer es opuesta.

En el intuicionismo de Brouwer las matemáticas son antes que la lógica. Una vez más, y con las reservas arriba indicadas, en el credo de los intuicionistas es artículo de fe el que los seres humanos nacen con una “intuición original” (Urintuition) de una sucesión ilimitada de objetos (¿números?) por adiciones sucesivas de un objeto cada vez. Es decir, el intuicionismo remplaza el pecado original de los teólogos por una aritmética original de los matemáticos. La posición de los intuicionistas en este artículo de su fe puede ser inexpugnable, porque al igual que ningún teólogo ha conseguido hasta ahora demostrar la existencia del pecado original a ningún ser humano que no esté dispuesto a creerlo, tampoco ha habido ningún intuicionista que haya demostrado la existencia de hábitos latentes de un lenguaje numérico en el niño recién nacido. Pero quizás no sea esto el significado del concepto místico intuición original, y quizá lo que ocurra es que el significado interior no sea accesible más que a los místicos matemáticos. Las revelaciones fundamentales de este credo están arropadas por el idioma holandés. Además, existen exposiciones en inglés y en alemán, pero los conversos que conocen bien ambos idiomas y las matemáticas dicen que sólo los que son capaces de pensar en holandés pueden captar los matices de significados más finos sin los que el intuicionismo es incomprensible. Asimismo, parece que es esencial la comprensión correcta de este misterio central para entender la filosofía matemática de los intuicionistas. Los puntos que se discuten no son trivialidades, como indicarán los pocos detalles que examinaremos a continuación.

El credo de los intuicionistas recuerda a Kant por su insistencia en la “intuición” en matemáticas. En un principio, Brouwer se imaginó que la filosofía de Kant había sugerido la suya propia, pero después lo negó enfáticamente y repudió a Kant y casi toda su anticuada metafísica matemática. Los intuicionistas se resienten también intensamente de que se les culpe de misticismo, lo cual, en efecto, puede no tener fundamento. Según algunos intuicionistas, las matemáticas están identificadas (¿intuitivamente?) con “la parte exacta de nuestro pensamiento”, y mantienen que es anterior tanto a la lógica como a la filosofía; afirman que el origen de las matemáticas es “una intuición que nos representa los conceptos matemáticos de una manera inmediatamente clara”; niegan que esta intuición sea en modo alguno mística; simplemente es “la facultad de tratar por separado ciertos conceptos y consecuencias que se presentan normalmente en la manera corriente de razonar”. Al llegar a este punto es interesante confrontar esta negativa y esta afirmación con lo poco que un diccionario corriente inglés (no un diccionario alemán u holandés, sino un diccionario inglés) dice bajo el encabezamiento “misticismo”: “doctrina o creencia de que el conocimiento del Hijo de Dios, de la verdad espiritual, del fondo de la realidad, etc., se consigue por medio de una intuición inmediata, penetración, o iluminación de una manera muy diferente de la percepción o el raciocinio corrientes”. Los “objetos” de que se ocupa la matemática intuicionista se dice que se comprenden de una manera inmediata en el pensamiento, quizás del mismo modo que el místico convencido comprende inmediatamente la inmanencia de la deidad o lo que quiera que sea que comprenda. Esos objetos de los intuicionistas, que recuerdan la desacreditada geometría “sintética a priori” de Kant, aunque no son exactamente lo mismo, son independientes de la experiencia y no tienen existencia independiente del pensamiento. Esto último puede darle la razón a los intuicionistas. Pero si es así, es por un margen muy pequeño. En la insistencia de los intuicionistas sobre las facultades del hombre para imaginar una sucesión de “objetos distintos e individuales” que se puedan obtener agregando objetos indefinidamente y uno de cada vez a los ya imaginados, son vestigios de los dogmas antiguos y medievales. De esta manera, partiendo de “uno” y de la conceptuosa operación de “añadir uno”, el intuicionista intuye la sucesión ilimitada de los números naturales por repetición indefinida de la operación. Ésta es la “intuición original” del intuicionismo. En realidad no es ni mucho menos universal entre los que se encuentran en estado primitivo, que es de suponer, son seres humanos, aunque no tan alejados de los animales superiores como el resto del género humano de 1940. La gente civilizada parece haber adquirido esta “facultad” gracias a una considerable experiencia, y a una inventiva casi inspirada, a menos, desde luego, que esta “facultad” tan adecuada esté por hipótesis latente, aunque inobservable. Un finitista consecuente (como Kronecker) podría decir que la sucesión infinita de los intuicionistas no tiene más que una existencia verbal sobre el papel, sin ningún significado, y no una existencia intuitiva en el cerebro humano. El finitista estricto rechaza el infinito como futilidad perniciosa heredada de filosofías anticuadas y teologías confusas, y puede llegar tan lejos como quiera sin él.

Para concluir este informe de la contienda del intuicionismo contra el misticismo, nos permitiremos consignar una de las poquísimas anécdotas que figuran en este libro. Parodia la indignación de Gordan al leer la demostración de la finitud de Hilbert en el álgebra de los quánticos. Un devoto intuicionista cerró el Nuevo Testamento después de leer el Evangelio de San Juan por primera vez en su vida exclamando extático: “¡Esto no es teología, esto es matemáticas!”

Una sección fundamental de los Principia desarrolla el cálculo de las funciones proposicionales. Así, se llama función proposicional a un enunciado que contenga una variable x tal que se convierta en proposición cuando se da a x algún significado fijo determinado; y “una proposición es todo lo que es cierto o lo que es falso”. Esta última definición (de Russell) puede ser menos inocente de lo que parece, como veremos más adelante a propósito del intuicionismo.

Uno de los fines del cálculo de proposiciones es la solución de ciertas contradicciones de la matemática, como la de Burali-Forti. La solución propuesta apela al llamado principio del círculo vicioso de que todo lo que afecte a toda una colección no ha de ser parte de la misma; o recíprocamente: “si una colección tuviera un total, tendría miembros que sólo se podrían definir en función de ese total, y por tanto dicha colección no tiene total”. Además de este principio, se usan otros dos artificios, una doctrina de tipos y un postulado famoso, el axioma de reductibilidad. Para mayor seguridad describimos el primero con las mismas palabras de su autor.

De este modo [“después de muchas discusiones”] vamos a parar a la conclusión, tanto partiendo del principio del círculo vicioso como de la inspección directa, de que las funciones de las que un objeto dado a puede ser argumento son incapaces de ser argumentos cada una de la otra, y que no tienen ningún término común con las funciones de las que pueden ser argumento. Nos vemos, pues, obligados a construir una jerarquía. Empezando con a y con los otros términos que pueden ser argumentos de las mismas funciones de las que a puede ser argumento, pasamos a las funciones de las que a es un posible argumento, y de allí a las funciones de las que dichas funciones son posibles argumentos, y así sucesivamente.

Partiendo de esto, los autores de los Principia (diremos de pasada que ése es un tipo de “descripción” ampliamente analizado en su obra) separaron las funciones proposicionales en tipos según sus posibles argumentos. El axioma de reductibilidad es la hipótesis de que cada función proposicional de cada uno de los tipos es equivalente a alguna otra función proposicional de alguno de los tipos más bajos. Esto no es más que una descripción muy burda de una cuestión muy sutil que se hace en el original en cinco grandes páginas de exposición. Pero para los que prefieren expresar el axioma en el lenguaje de la lógica clásica, los autores dicen que su “axioma de reductibilidad es equivalente a la hipótesis de que ‘toda combinación o desintegración de predicados es equivalente a un solo predicado’” en la inteligencia de que “la combinación o desintegración se supone dada en contenido”. Este enunciado burdo pero literal del axioma que dieron sus autores sufrió pronto las críticas de inadecuado y de que conducía a conclusiones erróneas, y lo que en 1910 (y en 1925) satisfacía a los autores de los Principia no satisfacía a sus críticos. Con más detalle, aunque todavía no con el suficiente, según algunos de los que objetaban, los autores resumieron su capítulo sobre la jerarquía de los tipos y el axioma de reductibilidad en cuatro declaraciones bastante claras de sus intenciones. Primeramente es necesario recordar la definición de matriz tal como se usa en los Principia: “le daremos el nombre de matriz a toda función de cualquier número de variables, en que no haya ninguna variable manifiesta”, para el significado de manifiesto hemos de remitir al lector a los libros de texto de lógica matemática. En manifestaciones como la de que “para todas las x, f(x)”, la x es manifiesta, y se extiende a todo el dominio de valores para los que f(x) tiene significado. Una analogía matemática es la variable de integración de la integral definida. Los cuatro enunciados son: 1) “una función de primer orden es aquella en que no figuran otras variables que individuos, en forma de variables manifiestas o de argumentos”. 2) “Una función de orden (n + 1) es aquella que tiene por lo menos un argumento o variable manifiesta de orden n, y no contiene ningún argumento ni variable manifiesta que no sea o bien un individuo o una función de primer orden o una función de segundo orden o… o una función de orden n”. 3) “Una función predicativa es una que no tenga variables manifiestas, es decir, es una matriz. Es posible, con pérdida de generalización, no usar otras variables que matrices e individuos, mientras no se necesiten proposiciones variables”. 4) “Toda función de uno o de dos argumentos es formalmente equivalente a una función predicativa del mismo argumento o argumentos”. La cordial invitación a la polémica que hacía la teoría de los tipos de Russell a los filósofos, los lógicos matemáticos, y otros, fue ávidamente aceptada y antes de que apareciera la segunda edición (1925-1927) de los Principia ya se contaba con varias modificaciones o sustitutos de la obra primitiva. El que ninguna de ellas haya escapado sin daño a los estragos de menos de una generación quizás no indica otra cosa que el gran interés que se ha despertado por la lógica matemática desde que la primera edición (1910-1913) de los Principia dio un ritmo más acelerado a los trabajos sobre los fundamentos de la matemática. Una forma práctica de la teoría de los tipos en el estado en que se encontraba en 1940 afirmaba sencillamente que “se considera a cada entidad como perteneciente precisamente a una jerarquía de ‘tipos’, y toda fórmula que represente filiación entre entidades de tipos que no sean ascendentes consecutivos se le rechaza por no tener significado juntamente con el contexto”. Para más detalles se puede consultar a Quine (1936-1940).

Mediante esas hipótesis heroicas se resolvían las contradicciones de una manera parcialmente satisfactoria para algunos durante algún tiempo. En un lenguaje más ortodoxamente matemático, la sucesión 1, 2, 3,… creada por Dios, de Kronecker, exigía la “existencia de una infinidad de funciones proposicionales. Puesto que no resultaban de una manera inmediata, se postuló a las funciones necesarias en el llamado axioma de infinidad que, sin embargo, no resolvía la cuestión de “existencia”. De esta manera, el logicalismo, en lo que se refiere a los números naturales, volvió al análisis submatemático de la Edad Media. Del mismo modo que aquel análisis provocó una polémica interminable, los axiomas de reductibilidad e infinidad dieron lugar a discusiones sin fin.

Otros puntos discutibles de los Principia demostraron ser igualmente estimulantes, como por ejemplo el concepto fundamental de proposición. En este caso la dificultad estaba en la falta de criterios para decidir si ciertas manifestaciones son proposiciones, o si son tonterías o si ni son ciertas ni falsas. Por poco que quede de los Principia revisados de 1925-1927, el original de 1910-1913 conservará su lugar en la historia como la obra que inició una época nueva de la lógica matemática y de los fundamentos de la matemática.

Lo que nos interesa aquí más de la lógica matemática es su influencia sobre las matemáticas y en particular sobre la aritmética. Las polémicas que engendraron los Principia por lo menos despejaron el ambiente, y creencias que parecían razonables en 1913 ya no las sustentaba, un cuarto de siglo después, nadie que razonara. Por ejemplo, algunos filósofos criticaron severamente a Russell por la propensión que tenía a renunciar a sus creencias cuando encontraba que no era posible sustentarlas. Sin darse por enterado de esas críticas, persistió en cambiar de manera de pensar siempre que creía que el cambio conduciría a salud mental. En la segunda edición (1938) de los Principles dio cuenta de uno de esos cambios que es de interés particular para los matemáticos. Después de recordar la influencia de la numerología pitagórica sobre toda la filosofía y las matemáticas subsiguientes, Russell declaró que cuando escribió los Principles en su mayor parte en 1900, “compartía con Frege la creencia en la realidad platónica de los números, que en mi imaginación poblaban el reino sin tiempo del Ser. Era una fe muy confortante que después abandoné con disgusto”. Posiblemente la peculiaridad más característica del género humano es la facultad de encontrar alientos en el material que menos promete. Sin embargo, la fe de Russell en el logicalismo sigue siendo inconmovible, aunque modificada para satisfacer la crítica competente de los detalles. Juntamente con el abandono de la numerología platónica “se han abandonado muchas entidades aparentes como las clases, los puntos y los instantes”. Asimismo, se decía que las clases quedaron abolidas en los Principia; se atribuye a Whitehead la crueldad espartana de abandonar los instantes y las partículas de materia a merced de los elementos, “sustituyéndolos por construcciones lógicas compuestas de acontecimientos”. Desde un punto de vista, la física matemática de la relatividad con sus intersecciones de líneas de mundo y acontecimientos puntuales, y la mecánica cuántica con su exclusiva atención a lo observable, presentan un cuadro análogo de mundo tan poco sustantivo como el sueño de Pitágoras. Si bien ya no todo es número, es matemáticas, y esto, de acuerdo con el logicalismo, y no menos con el número mismo, es lógica. Esta fe es alentadora para los que pueden abrazarla.

Al parecer todo credo produce herejías con tanta abundancia como creyentes. Antes de que los Principia mathematica salieran de la imprenta, Brouwer (1907, 1908, 1912) había desafiado las creencias que casi todos sus predecesores en la matemática aceptaron ciegamente. La única excepción notable a la ortodoxia respetable había sido Kronecker (1823-1891). En su despiadado ataque a Weierstrass, Kronecker declaró que si no dispusiera de los años y de la fuerza necesarias para destruir el análisis matemático, sus sucesores terminarían lo que él había empezado. Aunque ni Brouwer ni ningún otro ha destruido hasta ahora (1945) el análisis matemático, en 1912 pareció que por fin había sobrevenido un sucesor de Kronecker. Primero, la tesis doctoral de Brouwer (1907) trataba de los fundamentos de la matemática. A esto siguió en 1908 una carga en tan sólo seis páginas sobre “lo poco dignos de confianza que son los principios de la lógica”. Después, 15 modestas páginas sobre el intuicionismo y el formalismo[7] consolidaron en 1912 el credo de Brouwer —el intuicionismo— y simultáneamente atacaron las creencias rivales. Asimismo, se recordará que David mató a Goliat con una sola piedra dirigida de su minúscula honda. No quiere decir eso que ni el logicalismo ni el formalismo expiraran ante el impacto de las 15 páginas de Brouwer, pues no fue así. Pero ambos se conmovieron.

Apuntando al mismo corazón de los principios aceptados del análisis, Brouwer negó la validez universal de la ley del medio excluido (en la forma de que una proposición o es cierta o es falsa) en el razonamiento deductivo como ocurre en las matemáticas. El intuicionismo prohíbe en particular hacer una afirmación general sobre una clase infinita a menos que se prescriba un método para demostrar la afirmación en un número finito de pasos; análogamente se denuncia la “existencia” sin “construcción”. Un sencillo detalle de uno de los ejemplos de Brouwer nos servirá de ilustración: “la sucesión de cifras 123456789 se presenta en algún sitio de la representación decimal de (π = 3.1415926…)” no se admite que sea cierto o falso porque no se conoce (1945) ningún método para dilucidarlo. Partiendo de esto es fácil describir con palabras una serie que no se puede demostrar que sea convergente, ni tampoco demostrar su imposibilidad. La afirmación de una serie es convergente si no se admite como proposición en el sentido del logicalismo, y queda la posibilidad de que no sea ni cierta ni falsa. Contrariamente a lo que parece que creyó el Geómetra Eterno de Platón, la lógica de una matemática posible no necesita de las trabas de una “verdad” bivalva; las “matemáticas” pueden ser potencialmente más ricas que el sistema a que aspira el localismo. Otra variante de la lógica tradicional es el teorema de Brouwer de que “A presupone lo absurdo del absurdo de A, pero lo absurdo del absurdo de A no presupone A”. Al llegar a este punto, algunos se sentirán inclinados a abandonar el intuicionismo por absurdo, pero si lo hacen se perderán muchas diversiones provechosas.

Después del asalto de Brouwer siguió Weyl con una subversiva crítica, Das Kontinuum, etc., en la que llegaba a la desconcertante conclusión de que “‘la firme roca’ sobre la que está cimentada la casa del análisis en el sentido del formalismo” parece ilusoria al inspeccionarla críticamente: “esa casa en una parte esencial está construida sobre arena”. Si recordamos una parábola del Nuevo Testamento no hay que advertirnos de cuán tonto puede ser construir una casa sobre arena. Weyl abandonó la casa de los formalistas y se alojó con los intuicionalistas, cosa que también hicieron otros varios matemáticos distinguidos.

Pero la mudanza les costó algo. Por ejemplo, ya no podían creer que los números reales son más numerosos que los racionales; retuvieron de la matemática clásica menos todavía de lo que el gruñón Kronecker les hubiera permitido conservar. Si Kronecker hubiera vivido en 1918, también se hubiera tenido que mudar expulsado por el sheriff que llegó en respuesta a la solicitud de un discípulo. Además de todas esas severas depredaciones, los intuicionistas consiguieron la buena voluntad de Hilbert, fundador y director intransigente de la escuela formalista.

Ya hemos mencionado la “batalla de ranas y ratones” de 1920-1940 entre formalistas e intuicionistas. Ahora tenemos que contestar brevemente la pregunta de Einstein diciendo cuál era el motivo de la batalla. Al contrario que el vejete que no se acordaba de las causas de la batalla de Blenheim, pero sí se acordaba de que alguien había ganado una memorable victoria, nosotros no podemos decir que nadie saliera victorioso, aunque sí sabemos el motivo que ocasionara la gran pelea; fue una guerra a muerte entre el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer por la posesión de las matemáticas. Al parecer no se le ocurrió a ninguno de los combatientes que mientras se ocupaban en exterminar a su enemigo, algún andrajoso seguidor se podría llevar la presa, o que para las matemáticas no tuviera ninguna importancia si se ganaba, se perdía o se empataba en esa guerra. Todo el tumulto se parecía singularmente a las guerras de la Edad Media por sutiles cuestiones de dogmas religiosos, que generaciones posteriores y más sanas se dieron cuenta de que estaban en realidad desprovistas de significado.

El formalismo niega el logicalismo y trata de discutir las conclusiones del intuicionismo; prescinde de las dificultades técnicas de la lógica por considerar que no pertenecen a las matemáticas y tratan de reducir éstas al manejo de símbolos, “señales sin sentido”, de acuerdo con reglas definidas. Las reglas son extraordinariamente sencillas como la que permite la sustitución de un símbolo por otro en una demostración deductiva bajo ciertas condiciones prescritas. Diremos de pasada que el simbolismo contiene muchos menos signos de los que Whitehead y Russell usaron en los Principia mathematica. Como han dicho muchos, el formalismo reduce las matemáticas a una especie de juego de ajedrez; la gente juega al ajedrez y no pregunta cuál es el “significado” de una determinada partida. Por lo tanto, es concebible que algún día se interprete al ajedrez en función del tiempo, de la política o de la psiquiatría; entonces adquirirá un significado. En matemáticas aplicadas no se necesita desde luego interpretar, por ejemplo, las ecuaciones de la física matemática mediante un fenómeno observable del universo físico, y los formalistas dan deliberadamente de lado a esas “interpretaciones”, por no corresponderles a las matemáticas.

Casi todos los matemáticos están de acuerdo con los formalistas hasta cierto punto, ya que no hay nada que exaspere más a un matemático que conozca su oficio que oír calificar a la geometría de ciencia física. Cualquiera que sea la comprensión que los matemáticos tengan de la geometría y cualesquiera que sean sus aplicaciones científicas, no es una ciencia en el sentido en que lo son las mediciones físicas. Todos los aparatos de todos los laboratorios científicos del mundo no bastarían para demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo plano euclidiano es dos ángulos rectos. Si los formalistas consiguen eliminar el malentendido de los ignorantes de que “la geometría es la ciencia física más sencilla”, habrán justificado su existencia. Tampoco tiene objeto zaherir a los formalistas, como han hecho algunos, porque su programa divorcie temporalmente a las matemáticas de la posible utilidad práctica. Si la historia de las matemáticas ha enseñado algo a nuestro género humano que no quiere aprender, ello es la futilidad de intentar dar al mismo tiempo dos pasos en direcciones diferentes. Para progresar, los formalistas se vieron obligados a dar un paso cada vez. El problema fundamental del formalismo, el de demostrar la consistencia del análisis, y de manera más general, de todas las matemáticas, es muy difícil, si bien la mayoría de los expertos competentes lo consideran esencial. También lo es el problema más filosófico del “significado” de las matemáticas. Todavía falta demostrar que el segundo problema no es ficticio, y si no lo es, mostrar de una manera exacta la importancia que tiene para el primer problema. Cualquiera que sea el resultado, los formalistas han actuado suponiendo que “divide y vencerás” es una estrategia tan buena en matemáticas como en la guerra. Cuando examinemos la suerte de las pruebas de consistencia de la aritmética veremos si hasta ahora han vencido.

Ya que hemos mencionado los problemas ficticios, indicaremos de pasada una de las consecuencias más desastrosas del formalismo de Hilbert. Apenas cabe lugar a dudas de que la principal fuente del positivismo lógico reavivado del siglo XX fue el renovado interés en el programa de Euclides que se inició con los Grundlagen de Hilbert en 1899. La técnica postulacional en las matemáticas y el consiguiente análisis lógico más perspicaz de los fundamentos de la matemática inspiraron en particular una obra que sugería una manera más amplia de abordar los problemas de la metafísica: la Logisch-philosophische Abhandlung, 1912, de Wittgenstein (Austria) —reimpresa con una traducción inglesa bajo el título Tractus logico-philosophicus, 1922—. La tesis de Wittgenstein es que las matemáticas son una vasta tautología que no hace más que repetir “a es a” una y otra vez e interminablemente de muchas maneras. Unas matemáticas puras completas serían constituidas por una “sintaxis lógica” de todos los posibles “idiomas simbólicos”. Sin embargo, esto no fue un desastre, aunque sí lo fue su resultado.

El punto de vista de Wittgenstein influyó profundamente sobre los positivistas del llamado Círculo de Viena, grupo extraordinariamente agresivo y no menos progresivo que reclutó en los años siguientes a 1920 Schlick (1882-1936), encabezado por Carnap (Viena, Chicago) después del asesinato de Schlick. El programa de Carnap es mucho más amplio que el de todos los demás que se han dedicado a trabajar en los fundamentos de las matemáticas. También incluye lógica, lenguas, ciencia y, en un sentido algo retorcido que le es peculiar, metafísica. A grandes rasgos, su objetivo es un análisis de las lenguas y de su semántica. En 1934 Carnap resumió y desarrolló sus conclusiones elaborando su sintaxis de “teoremas acerca de teoremas” en su Logische Syntax der Sprache (traducción inglesa, 1937). La importancia que tiene la sintaxis lógica de Carnap para la metafísica se describe en un lenguaje nada técnico en una obra popular corta publicada en 1935 Le problème de la logique de la science. Science formelle et science du réel. En ella encontrará el adepto a la metafísica clásica muchas cosas de interés, entre otras la tesis de que los mayores problemas de la metafísica en que se han ejercitado muchos filósofos desde Platón a la actualidad son problemas ficticios desprovistos de significado. Empezamos a percibir el desastre en la lejanía.

No hay que maravillarse de que los iracundos filósofos maltrataran a los positivistas lógicos tan concienzudamente como sin duda se merecían. Lo que más interesa de esta zurra a diestro y siniestro es que probablemente nunca hubiéramos oído hablar de ella a no ser porque los trabajos de una larga sucesión de matemáticos, desde Pitágoras a Hilbert, inspiraron a unos cuantos espíritus libres a desafiar los dictados de la autoridad tradicional, y a los que alegremente se imaginan que las discusiones sobre el significado de las matemáticas no tiene interés humano, les recordaremos la suerte de Schlick. Estas tesis de los positivistas fueron tan desasosegadoras para algunos reaccionarios, al reducir a tonterías a más de una preciada creencia, que un defensor demasiado celoso de los credos establecidos le disparó un tiro a Schlick. Aunque ese tiro no se oyó en todo el mundo, anunció la iniciación de la campaña más eficaz contra la razón que ha visto el mundo desde los días de Galileo. Los matemáticos, y los que en su conciencia objetaban al oscurantismo, quedaron eficazmente callados. Desde el punto de vista de los autoritarios esto era muy razonable, ya que donde la ignorancia paga dividendos, es locura ilustrar. Pero el darse cuenta de que el miedo y el odio[8] a la ciencia que Galileo creyó haber sofocado había estado en realidad latente durante 300 años provocó una gran conmoción.

En el frente lógico-matemático, y antes de que argumentos más realistas terminaran con las discusiones académicas, Hilbert y Brouwer lucharon valientemente por el honor de sus respectivos credos. Para el observador desinteresado resultaba estimulante este intercambio de groserías entre el veterano prusiano, bien entrado en años, y el resuelto irlandés que todavía no tenía 50, y que no quería dejarse abrumar por la autoridad de una gran tradición. Brouwer, aun concediendo que el proyecto de Hilbert de demostrar que las matemáticas no tienen contradicción mediante su teoría de la demostración tuviera éxito, exclamaba que “de ese modo no se logrará nada de valor matemático; una teoría falsa que no se detiene por una contradicción, no por ello es menos falsa, del mismo modo que la criminalidad no deja de ser criminal porque un tribunal no la reprima”.

Al lenguaje fuerte se le contestaba del mismo modo. “Lo que Weyl y Brouwer están haciendo —gritaba Hilbert—, es principalmente seguir los pasos de Kronecker. Están tratando de establecer las matemáticas arrojando por la borda todo lo que no les conviene y levantando un embargo”. Alarmado por la misma magnitud de lo que los rebeldes echaban al mar, Hilbert, en medio de su ansiedad, dio al intuicionismo, sin intención, un excelente anuncio que atrajo a muchos clientes por sus horribles encantos:

El efecto es desmembrar nuestra ciencia corriendo el riesgo de perder una gran parte de nuestras más valiosas posesiones. Weyl y Brouwer condenan las nociones generales de los números irracionales y de las funciones —aún de las funciones que se presentan en la teoría de números—, los números transfinitos de Cantor, etc., el teorema (fundamental en el análisis) de que un conjunto infinito de números enteros positivos tiene un mínimo, incluso la ley del medio excluido, como, por ejemplo, en la afirmación: o hay un número finito de números primos, o bien hay infinitos. Éstos son ejemplos de teoremas y de modos de razonar prohibidos. Creo que sus esfuerzos serán tan impotentes como los de Kronecker para eludir los números irracionales (Weyl y Brouwer nos permiten conservar un fragmento).

Los ecos del grito final animaron a las desalentadas tropas del formalismo para la victoria final, “el programa de Brouwer no es una revolución, sino tan sólo la repetición de un fútil coup de main con métodos viejos que, aunque emprendido con mucha verbosidad, ha fracasado por completo. Hoy día el Estado está bien armado gracias a los trabajos[9] de Frege, Dedekind y Cantor. Los esfuerzos de Brouwer y de Weyl están condenados de antemano a la futilidad”.

De este modo durante todo el día y por muchos días el ruido de la batalla retumbaba de Amsterdam a Gotinga y viceversa. Los físicos, después de recuperarse de su momentánea alarma por el inusitado fragor que reinaba entre las filas de los matemáticos puros, se mantuvieron aparte para evitar los proyectiles y se estremecieron de risa. Mientras tanto, las facciones opuestas, malgastando sus descargas de epítetos sin dar nunca en el blanco, se pusieron a consolidar sus respectivas ganancias. Los intuicionistas mostraron que se podía revisar una parte asombrosamente grande de las matemáticas acomodándola a su “intuición original” sin salirse de las drásticas limitaciones que imponía el credo del finitismo, y los formalistas continuaron sus trabajos sobre la teoría de la demostración de Hilbert confiando en que estaban a punto de establecer a las matemáticas tradicionales eternamente libres de contradicciones. Simultáneamente la lógica matemática empezó a seguir el camino de todas las matemáticas de la época reciente: empezó a subdividirse y a multiplicarse como una horrible pesadilla.

En 1940 y años siguientes competían para su aceptación universal no sólo los tres credos del logicalismo, el formalismo y el intuicionismo que aturdían a los matemáticos introspectivos que tenían “la voluntad de creer” en algo, no importa qué, sino también cruces entre aquellos tres, con atractivas mutaciones de los originales. Asimismo, se desarrollaron muchas cosas del mayor interés, pero el efecto total fue de anarquía y de confusión ingobernable. Diferencias de opinión irreconciliables entre expertos por igual competentes sugerían que todo el problema de los fundamentos de las matemáticas podría no ser sino otro de los problemas ficticios de la metafísica con un disfraz moderno. De las muchas sugerencias, o profecías, no desarrolladas para rodear este aparente jaque mate, tan sólo nos interesan aquí las de carácter más matemático.

De este modo, se ha sugerido que el curso definitivo de las matemáticas se parecerá al que siguió la geometría después de la invención de las geometrías no euclidianas. Si el objetivo son las aplicaciones científicas quizás no haya necesidad de disponer más que de una sola clase de matemáticas, y no hay razones para creer que una sola matemática pueda abarcar todos los tipos útiles sin contradicciones internas. También, en esa misma dirección, pero profundizando más, se ha sugerido sin mucha firmeza que el disponer de unas matemáticas libres por completo de contradicción es más un lujo que una necesidad para la práctica. Mirando muy lejos, algunos cuya obra los capacita para dar una opinión creen que las paradojas que han infestado las matemáticas desde los tiempos de Zenón no tienen solución y que habrá que abandonar las matemáticas de la continuidad sustituyéndolas por una manera de razonar según la cual no puedan surgir paradojas insolubles. Nadie puede predecir cuál ha de ser ésta, desde luego, dado que sea posible. Quizás valga la pena mencionar que uno de los matemáticos más distinguidos del siglo XX prácticamente abandonó el análisis en el que había trabajado sobresalientemente, porque se convenció de que los fundamentos del análisis son tan poco firmes, que no admiten reparación. (Este tipo de opinión, en general, no gusta nadie de publicarla, ya que mañana podría pensar de otra manera.) Una última posibilidad la sugiere una situación análoga de la mecánica cuántica por existir aparentemente la necesidad de alguna forma de indeterminación en las ciencias físicas; se modifica la clásica alternativa “cierto, falso” con una mezcla de probabilidades. Análogamente quizá las matemáticas dejen de insistir en una lógica de dos valores, desarrollándose de acuerdo con una lógica de tres o más valores.

Por sus relaciones con el problema fundamental de la aritmética de que nos ocuparemos en seguida, conviene mencionar unos cuantos puntos de la época posterior a los Principia. Entre muchas modificaciones y rectificaciones de los Principia mathematica, relativas principalmente a la teoría de los tipos, y al axioma de reductibilidad, la aplicación (1926) que hizo Ramsey (inglés, 1903-1930) de las ideas de Wittgenstein pareció hasta cierto punto prometer liberar de contradicciones a los Principia. Chwistek (polaco) demostró la inconsistencia de un detalle técnico de considerable importancia (la omisión de los indicadores de extensión) en los Principia, proponiendo en 1925 su teoría de los tipos constructivos para salvar la parte de los Principia que quede al rechazar el axioma de reductibilidad (junto con otra hipótesis que no es necesario mencionar). Chwistek encontró necesario inventar un simbolismo nuevo para expresar algunas de sus ideas. En sus esfuerzos para escapar a la teoría de los tipos, Chwistek desarrolló unas metamatemáticas propias (1929-1932), sustituyendo la jerarquía de los tipos por una de lenguaje, en la que todo el lenguaje de la jerarquía es el material del lenguaje inmediato superior. Por razones que quedarán claras cuando describamos la obra de Gödel, ésta y otras tentativas para enmendar los Principia tomaron un nuevo aspecto en 1931.

Quine (Estados Unidos), generalizando los Principia en ciertos aspectos, por ejemplo, con un método para demostrar los teoremas relativos a las relaciones generales entre n términos, desarrolló su System of logistic, 1934, del que ha dicho Whitehead que es un progreso fundamental: “la lógica tradicional aristotélica ocupa su lugar en el moderno desarrollo de la lógica, en una simplificación del problema completo que presenta el sujeto. Esto es análogo a la aritmética de las tribus primitivas comparada con las matemáticas modernas”. El caso n = 2 del sistema de Quine es el que se discute en los Principia.

Entonces, es interesante considerar aquí el tributo que rindió Whitehead a Sheffer y a “la gran escuela de matemáticos polacos” por su “influencia sobre la manera de pensar del Dr. Quine”. El tributo (fechado el 8 de octubre de 1934) termina con la alentadora afirmación de que “hay continuidad en el progreso de los conocimientos ordenados”. Cinco años, menos un mes, más tarde “la gran escuela de matemáticos polacos” estaba siendo bombardeada desde el aire en el progreso de la ignorancia ordenada, es decir, en el progreso general de la civilización europea. Lo que se había tardado 20 años en reunir fue dispersado y en parte destruido en unos 20 días; “la gran escuela de matemáticos polacos” siguió al Círculo de Viena a la muerte o al destierro.

El progreso (de la lógica matemática) que acabamos de indicar seguía la dirección general del logicalismo. El intuicionismo también avanzó, particularmente en la discusión (1930) de Heyting (holandés) de las reglas formales de la lógica intuicionista. Por aquel mismo tiempo Curry (1900-¿?, Estados Unidos) empezó su extensa lógica combinatoria, que también se apartaba de lo corriente. Curry y Church (1903-¿?, Estados Unidos) construyeron (1933) lógicas formales con un amplio grado de libertad para la expresión de sus fórmulas como valores de funciones. Como ejemplo de la rapidez con que las lógicas simbólicas progresaron en 1930 y años siguientes, diremos que Kleene (Estados Unidos) y Rosser (Estados Unidos) demostraron en 1935 la inconsistencia de aquellas dos lógicas. Otro resultado (1942) de Rosser atrajo, por inesperado, mucho la atención de los expertos en lógica matemática. Al intentar evitar la paradoja de Burali-Forti (descrita en un capítulo anterior), Quine, en su Mathematical logic (1940), admitió en realidad la paradoja en una forma disfrazada invalidando con ello algunas partes de su sistema. Según dijo Rosser, la naturaleza del descuido fue la siguiente. Cuatro de los principios fundamentales de la teoría de los números ordinales de las series ordenadas son: 1) A toda serie ordenada le corresponde un solo número ordinal. 2) La serie de los números ordinales es ordenada. 3) Si x es un término de una serie ordenada S, la serie que consta de todos los términos de S anteriores a x es también ordenada y tiene un número ordinal más pequeño que S. 4) Todo número ordinal α es el número ordinal de la serie de todos los ordinales que preceden a α. La paradoja de Burali-Forti establece la incompatibilidad de 1) y 4). Para evitar la paradoja se han intentado dos artificios: una teoría de los tipos que invalide 4); una invalidación efectiva de 1) en ciertos casos típicos. Quine propuso esencialmente una combinación de ambas. No conseguía invalidar 4) ni 1) en ciertos puntos críticos. Mediante una ligera pero significativa omisión en su sistema, Quine soslayó la paradoja. Después se comparaba al sistema unificado con otro, incluido el de Zermelo. Por la adición de dos axiomas, uno de los cuales postula la existencia de una clase más amplia que las demás, el sistema de Zermelo es equivalente al de Quine hasta el punto en que Quine impone los axiomas de elementalidad.

La culminación, lógica aunque no históricamente adecuada, de la lógica simbólica que se desarrolló partiendo del simbolismo de las Laws of thought (1854) originando el sistema de la lógica matemática de los Principia mathematica (1910-1913) de Whitehead y Russell se materializó súbitamente en un documento de dos páginas que publicó Lukasiewicz en 1921 sobre la lógica de tres valores. De una manera prácticamente simultánea y por completo independiente de la obra de Lukasiewicz (publicada en polaco, ya que el autor pertenecía a “la gran escuela de matemáticos polacos”), Post (1897-¿?, Estados Unidos) pasó inmediatamente de la lógica aristotélica de los valores a los sistemas de verdad de m valores, en que m es mayor que uno.

No es necesario comentar el significado matemático de este progreso. La historia, recordaremos, se inició al descubrir Guillermo de Occam la lógica de tres valores. De este modo el análisis submatemático del siglo XIV resurgió en la lógica matemática del XX. Es muy notable el hecho de que una parte de los razonamientos más sutiles de los polacos que desarrollaron las lógicas de muchos valores, al igual que los de Occam, se realizaran sin símbolos. Para el matemático corriente que se ve obligado a manejar símbolos para razonar sin contradicciones, esta hazaña de Occam y de los lógicos polacos es casi increíble. Posiblemente en ambos casos la aplicación es la misma: varios de los lógicos polacos, al igual que Occam, eran católicos, y sin duda dominaban la difícil técnica de razonar con palabras que suele caracterizar a la formación jesuítica o de otras órdenes católicas en lógica como parte de una educación liberal. Pero no parece probable que los razonamientos puramente verbales pudieran llegar más allá del número finito m en los sistemas de verdad de m valores de Post, llegando a la lógica de infinitos valores con un dominio infinito de valores de verdad, que ideó en 1932 Reichenbach (1891-…, Alemania, Estados Unidos) como base para la teoría matemática de probabilidades.

Otro uso posible de las lógicas de muchos valores lo indicó (1933) Zwicky (suizo, 1898-¿?, Estados Unidos), que observó que esas lógicas deberían ser aplicables a la teoría cuántica. La acogida que dieron los físicos a esas lógicas fue análoga a la de las geometrías no euclidianas, hasta que Einstein descubrió a Riemann. A partir de 1940 la física parecía exigir una revisión del concepto del tiempo de Kant, para complementar la repudiación de su teoría del espacio. También Pitágoras pareció estar a punto de moderar la universalidad de su “número como medida y significado de todas las cosas”, y análogamente para Aristóteles y su preciada “identidad”. En los fenómenos macroscópicos no hay dificultad para contar e identificar los objetos en cuestión. Pero se afirma que los quanta de luz no son identificables ni contables, mientras que los electrones no son identificables pero sí contables. Si esas afirmaciones son correctas, la etiqueta inmemorial de “número” ya no es universalmente aplicable. Análogamente el espacio y el tiempo pierden su tradicional universalidad cuando se les lleva hasta el núcleo atómico. En una tentativa para introducir una lógica práctica en la metafísica de la física de los años 1940 y siguientes, publicó Reichenbach en 1944 una descripción de su aplicación de una lógica de tres valores a la teoría cuántica.

Al terminar este repaso de la lógica matemática posterior a los Principia hemos de recordar al distinguido filósofo americano que en 1939 informó a su erudito público de que la lógica matemática no había aportado nada nuevo ni a las matemáticas ni a la teoría del conocimiento. Ahora, pasamos al punto que puede demostrar ser el de mayor interés de todas las matemáticas para el total de su desarrollo desde Leibniz. Éste trata del resultado de las tentativas hechas con todos los refinamientos de la moderna lógica matemática para demostrar la consecuencia de la aritmética. De esta manera, recordaremos que Hilbert en 1898-1899 hizo destacar la importancia fundamental de este problema para la geometría. No es necesario subrayar la importancia que tiene para el análisis.

Herbrand (francés) inició en 1929 y completó esencialmente en 1931-1932 lo que en aquel tiempo pareció una tentativa prometedora, estando relacionada con la técnica del autor para resolver ciertos problemas de metamatemática. Ahora parece que se le ha dado de lado. Gentzen (alemán) siguió en 1936 con una demostración de la consistencia de una parte de la aritmética, que simplificó en 1938. En esta última obra, Gentzen afirmaba su creencia de que la falta de una prueba constructiva en una de las fases de la demostración sería suplida en breve. Por tanto, la demostración no satisfacía del todo las exigencias de Kronecker-Brouwer de la constructibilidad finita. Contrariamente al programa formalista de Hilbert de tratar las cosas infinitas por los mismos métodos que las clases finitas, Brouwer admite una clase infinita tan sólo en el sentido de que dada la clase finita cualquiera, se puede tomar otra clase finita más grande todavía. El “infinito” restringido de Brouwer no había bastado para salvar el abismo de la demostración de Gentzen a principios de 1945. Sus elementos transfinitos los había perfeccionado Gentzen en 1943. El único que puede predecir si esta demostración, la más completa hasta ahora, ha de sobrevivir, es una persona competente para terminarla o para destruirla. Puesto que nosotros no nos encontramos en esa afortunada situación, continuamos en esta dirección hasta el fin de lo que parece ser un callejón sin salida.

En 1945 son muchos los que creen que los esfuerzos para demostrar la consistencia de la aritmética mediante la lógica matemática del tipo desarrollado en los Principia mathematica y en la teoría de la demostración (Beweistheorie) son necesariamente fútiles. El manifiesto oficial de la escuela formalista, los Grundlagen der Mathematik de Hilbert y P. Bernays, apareció en dos voluminosos tomos en 1934 y en 1939. En 1945 no estaba claro el que la obra de 1939 hubiera aclarado el fiasco —palabra de los autores— en que pareció haber caído en 1934 la Beweistheorie. Como observaron los autores, la prueba final de la teoría vendrá cuando se aplique a demostrar la consistencia del análisis. La demostración de Gentzen se aceptaba para la aritmética.

El fiasco aparente estaba ocasionado por un teorema desconcertante que demostró en 1931 Gödel (Austria). De acuerdo con el teorema de Gödel, es imposible en determinados sistemas lógicos demostrar, mediante las reglas del sistema, ciertos teoremas que pertenecen al mismo, y que de otras maneras se puede ver que son ciertos. Éste no es un simple teorema de existencia del tipo no constructivo a que se oponía Kronecker: Gödel construyó un verdadero teorema tal que una prueba formal del mismo conduce a una contradicción. Asimismo, existen afirmaciones sobre las que no es posible decidir: en el interior del sistema hay determinadas manifestaciones que no se pueden ni demostrar ni probar su imposibilidad. Entre los sistemas lógicos para los cuales es válido el teorema de Gödel figura lo que se llama cálculo restringido de funciones preposicionales (la cuantificación se extiende tan sólo a los argumentos de las funciones, no a las funciones). Sin tecnicismos, porque es imposible ser preciso, se puede, en cambio, decir a grandes rasgos que el teorema de Gödel establece la imposibilidad de demostrar la consistencia de todos los sistemas S que contengan lo que esencialmente el sistema de los Principia mathematica, o bien la aritmética, por los métodos de demostración utilizados en S.

Se ha dicho que el teorema de Gödel es el resultado más decisivo a que se ha llegado en la moderna lógica matemática. Para demostrarlo, Gödel inventó un nuevo artificio de simbolismo: sustituyó los símbolos habituales del cálculo proposicional por los símbolos corrientes de los números enteros. Por ejemplo, un teorema susceptible de demostración se presenta mediante una sucesión de números enteros y lo mismo se hace para las aseveraciones relativas al teorema. El resultado es un algoritmo numérico. Podría parecer un círculo vicioso aplicar este artificio a los teoremas de la aritmética. Pero evidentemente es legítimo; cualesquiera otros signos servirían para este mismo objeto que los que representan a los números enteros. También demostró Gödel un teorema más general que el ya mencionado, del que se sigue que no es posible simbolizar el cálculo de las funciones proposicionales de manera que proporcionen el tipo de pruebas de consistencia que se estipula en la teoría de la demostración de Hilbert. Otro obstáculo a la Beweistheorie de 1934 apareció con un teorema que demostró en 1936 Church (1903-¿?, Estados Unidos) sobre la imposibilidad de producir una solución general para un problema central (Entscheidungsproblem) de la teoría de Hilbert tal como se formuló originalmente. Este asunto, demasiado técnico para que lo describamos aquí, se estudia en el Suplemento II de la obra de Hilbert-Bernays de 1939, a la cual remitimos al lector que desee una descripción completa.

Otro resultado relacionado con la posibilidad de una prueba de consistencia para la aritmética se refiere a la resolubilidad potencial de los problemas aritméticos. Entonces, parece razonable definir un teorema aritmético como proposicional de números enteros posible de construir mediante el uso de símbolos lógicos partiendo de las tres relaciones elementales x = y, x = y + z, x = yz. Ahora bien, valiéndose de esta definición y de proposiciones demostradas de Gödel y de Kleene (1909-¿?, Estados Unidos), Skolem demostró que toda ecuación entre dos funciones generales recursivas es equivalente a una proposición aritmética. El conjunto de todas las proposiciones aritméticas se puede, en efecto, numerar. Skolem demostró que no es posible obtener ningún método general para resolver todos los problemas aritméticos. Al igual que el teorema de Gödel, probablemente las conclusiones de este tipo eran inconcebibles para los matemáticos del siglo XIX. Aunque en ningún aspecto tan profunda como la anterior, hay otra suposición del pasado a la que se puede dar con toda facilidad de lado. Poincaré insistía en que el razonamiento matemático por excelencia es un razonamiento recurrente, como en la inducción matemática (o completa). Se podría por tanto imaginar que todo teorema aritmético es susceptible de demostración por intuición matemática, pero no es ése el caso.

El teorema de Skolem está en el campo general de los teoremas de complemento y en todos los problemas de decisión. Kleene (1943) dio una descripción unificada de los teoremas de complemento, y su principal teorema de no equivalencia incluye a los de Gödel y Church. Éstos se refieren a que existe un predicado de una cuantificación para el cual no hay teoría deductiva formal completa, y que también existen predicados de este tipo para los cuales el problema de decisión no tiene solución.

De todo esto parece deducirse que en 1945 todavía no se había demostrado la consistencia de la aritmética. Asimismo, es evidente la importancia potencial que tendría para las matemáticas una de esas demostraciones, o un enunciado aceptable de las condiciones bajo las cuales se pueda conseguir dicha demostración. Hasta ahora se considera el residuo que ha dejado el esfuerzo para construir la demostración como una de las contribuciones más sugestivas que ha hecho la lógica simbólica a las matemáticas en unos dos siglos y medio, desde Leibniz a Gödel.

ÁLGEBRA DE LAS RELACIONES

Se ha descrito (pero no definido) a las matemáticas como estudio de las relaciones. Desde la primera exposición sistemática de una teoría matemática, la de la geometría plana elemental de Euclides, en el siglo IV a. C. al siglo XX, las relaciones han dominado extensas partes del razonamiento matemático, y desde los tiempos más remotos se han reconocido abstractamente las propiedades más sencillas de unas cuantas relaciones. Entre otras relaciones que admitió o usó Euclides, las de igualdad y congruencia de la geometría elemental son ejemplo de la relación general de equivalencia. Euclides incorporó a algunas, pero no a todas las propiedades de equivalencia de igualdad con sus postulados. Las propiedades correspondientes de la congruencia se dieron por supuestas tácitamente siempre que se necesitaban para intentar una demostración, como en la cuarta proposición del primer libro. Aún en el primer decenio del siglo XX no siempre se enunciaban los postulados de igualdad como parte necesaria para la axiomatización de muchas disciplinas. En documentos clásicos sobre los axiomas del álgebra y la geometría, continuaban prescindiendo en el segundo decenio del siglo XX de la necesidad de definir la igualdad mediante un conjunto de postulados antes de utilizar la igualdad para las demostraciones. Aunque es indudable que se debe en parte a los Principia mathematica de Whitehead y Russell la mayor precisión de la axiomatización después de 1929, al parecer tan sólo después de 1930 se generalizó la costumbre de incluir un conjunto completo de postulados de igualdad. Hasta entonces el acostumbrado primer postulado se había venido omitiendo, o incluyéndolo tan sólo implícitamente.

Mientras surgía de esa manera tan poco firme una teoría abstracta de las relaciones matemáticas, alcanzó una cierta madurez una teoría de las relaciones siguiendo la tradición de la lógica matemática, en un álgebra rudimentaria pero adecuada de conceptos como el de inclusión y del producto relativo. Esto posiblemente fue de mayor interés para los lógicos que para los matemáticos. Las técnicas del álgebra abstracta moderna parecieron sugerir muy poco de interés técnico matemático para el estudio lógico de las relaciones como tales, mientras que el álgebra de las clases había quedado encajada en el plan general del álgebra moderna por la obra de Stone y otros; finalmente en 1942 apareció lo que ya era más que un comienzo de una teoría matemática autónoma de las relaciones, en la investigación general de Ore de las propiedades de varias relaciones que se presentan en las teorías matemáticas. En ella se insistía especialmente en el punto de vista algebraico, aunque algunas de las propiedades estudiadas podrían ser de interés para los lógicos.

Las relaciones clásicas de las matemáticas como las de contenido y de intermedio sugirieron a Ore un tipo más general considerándolas como correspondencia A→RA entre conjuntos en que las RA corresponden a un conjunto A y puede depender tanto de los elementos de A como de un cierto agrupamiento u ordenación de los elementos. La notación aRA significa que un elemento a de un conjunto pertenece a un subconjunto RA. Entonces, es posible definir las formas normales de las relaciones partiendo de combinaciones de esas relaciones aRA. Los automorfismos o endomorfismos de una relación R son los de una correspondencia biunívoca o multiunívoca α tal que toda relación aRA entra dentro de otra relación válida, por ejemplo, aαRAα. El problema de determinar todos los automorfismos está relacionado con el de encontrar todas las correspondencias conmutables con una correspondencia dada; y este problema conduce a un estudio de los grupos monómicos y a problemas de una teoría general de valores que amplía la teoría de ecuaciones de Galois.

En un nivel más familiar, la teoría de las relaciones binarias, cuyas primeras investigaciones sistemáticas son las de Peirce y Schröder, se transforma en una teoría de matrices (en el sentido algebraico, no el de los Principia) en un anillo de Boole. Otra manera posible de representar las relaciones binarias es por medio de gráficas; las relaciones simétricas se corresponden a matrices simétricas y a gráficos cuyos bordes se consideran no dirigidos. La representación mediante matrices de las relaciones combina la teoría de las relaciones con la bien desarrollada de espacios vectoriales en anillos especiales. Asimismo, es posible definir para las relaciones la suma, intersección, multiplicación y multiplicación doble; por tanto, existe una teoría de anillo y de ideales de relaciones binarias, pudiéndose transponer algunas partes de la teoría de las álgebras lineales, a la teoría de las relaciones. Pero en otros aspectos, la teoría de las relaciones se diferencia de la teoría clásica de matrices. En esta teoría de las relaciones binarias, los automorfismos tienen gran importancia; los automorfismos se corresponden con las matrices de permutación conmutables con la matriz de relaciones. La semejanza que existe a este respecto con situaciones en cierto modo análogas de la geometría proyectiva y de la teoría quántica es cuando menos sugestiva, y en lo que se refiere a los debates de los metafísicos sobre la naturaleza del “espacio”, puede aludir a una necesidad oculta de una lógica de dos valores.

En la teoría de Ore, las relaciones transitivas están caracterizadas, entre otros modos, como ciertas unidades o como ciertas relaciones de suma; están estrechamente asociadas con los idem-potents de los anillos y de las relaciones. Toda relación transitiva se puede descomponer en una relación de equivalencia y en una relación parcial de orden. Se dan las soluciones completas de varios importantes problemas algebraicos para las relaciones de equivalencia, de manera que el interés pasa a los conjuntos parcialmente ordenados. Como vimos en relación con los enrejados, y como es evidente en gran parte del álgebra abstracta del siglo XX, la geometría abstracta y del análisis abstracto, el ordenamiento parcial ha adquirido una importancia básica para las matemáticas de la época reciente. Los enrejados o estructuras están entre los conjuntos parcialmente ordenados más útiles. Su aparición en la teoría de las relaciones complementa el que se les reconociera primeramente en el álgebra clásica de Boole. No estará de más mencionar que en el dominio de un sistema de verdad de n valores se dispone de un algoritmo algebraico práctico para descubrir y mostrar todas las relaciones de un sistema que tengan características prescritas, como la reflexibilidad, conmutatibilidad, transitibilidad, etcétera.

PRUEBAS DE CONSISTENCIA

Las dificultades técnicas y las observaciones del análisis matemático clásico dieron lugar a algunos de los más sutiles progresos de la lógica matemática del siglo XX. Las reacciones de la lógica resultante sobre el análisis o bien aclararon las oscuridades, o bien revelaron insospechados lapsos en los razonamientos aceptados. Paralelamente se remplazó a los antiguos programas para intentar demostrar ciertas hipótesis primordiales, siempre que sea posible por demostración que conjuntos de postulados en los que figuren por lo menos una de las hipótesis dudosas sean consecuentes. Como ejemplo típico, la hipótesis de Cantor del continuo generalizado, fundamental para el sistema de los números reales, y todos los siglos de análisis y metafísica que han surgido de él, pasaron en 1938 de la primera fase a la segunda. Hasta 1938 se le habían dado muchas vueltas al primer caso de la hipótesis para deducir de él o bien una contradicción o bien un resultado válido. Si se consiguiera esto último y si los pasos que conduzcan a la conclusión son reversibles, la hipótesis estaría demostrada. Sierpinski (polaco), uno de los que ha contribuido más prolíficamente en esta dirección, publicó una amplia exposición de todos los esfuerzos hechos hasta entonces en este aspecto.

En la conferencia de Zúrich de 1938 sobre los fundamentos y la metodología matemática dio Sierpinski un resumen elemental de sus propios intentos y de los de otros para descubrir principios que presupongan, o sean equivalentes, o estén contenidos en la hipótesis del continuo, el axioma de la elección, y otros del mismo género. Poco después una mayoría de los matemáticos polacos tuvieron que ocuparse en cuestiones más urgentes que las especulaciones de dos matemáticos alemanes (Cantor, Zermelo) sobre el continuo. Por ejemplo, Banach, después de haber sido elevado por los rusos, partidores de Polonia, a la rectoría de la Universidad de Varsovia, fue fusilado por un pelotón de compatriotas de Cantor y Zermelo cuando los rusos se retiraron precipitadamente de la parte que les había correspondido de la patria de la víctima. Pero esto no lo decimos más que de pasada como nota de pie de página sobre la cultura europea. Tiene poca o ninguna importancia para el progreso de las matemáticas, a no ser porque nos recuerde que demasiadas notas de pie de página lo que hacen es retrasar la erudición, o prueban pedantería más que saber. Los pesimistas de 1945 profetizaban una avalancha de notas de pie de página hacia el año 1960 que retarde el avance de las matemáticas indefinidamente, y destruyan todo resto de razonamientos lógicos, sanos, matemáticos o de otro tipo que puedan quedar para entonces.

En su forma más suave y tal como la propuso originalmente Cantor, la hipótesis del continuo afirma que todo conjunto no numerable tiene la potencia de continuo. Ahora, recordaremos las definiciones: se dice que dos conjuntos tienen la misma potencia si hay una correspondencia biunívoca entre sus respectivos elementos; se dice que los conjuntos que tienen la misma potencia que el conjunto de los números enteros positivos son numerables; los conjuntos que tienen la misma potencia que el conjunto de todos los números reales se dice que tienen la potencia de continuo. Hasta ahora las tentativas para inventar o descubrir un conjunto de números reales que no sea finito ni numerable y que tampoco tenga la potencia del continuo no han tenido éxito; tampoco se sabe si una u otra de esas características es propiedad inherente de un conjunto. Asimismo, recordaremos que algunos de los sistemas más discutidos del Mengenlehre de Cantor provenían de su definición meticulosamente parafraseada, pero de dudosa comprensión, de Menge (conjunto, clase). Otro enunciado posible de la hispótesis del continuo de Cantor es 2A₀=A₁, en que se escribe la letra hebrea aleph por razones tipográficas como A. Aquí, A₀ es la potencia de un conjunto numerable, y A₁ la del continuo. Todos los conjuntos ordenados no numerables, todos cuyos segmentos sean finitos o numerables tienen la potencia A₁. Para las definiciones de las alephs Aα, α > 1, hemos de remitir al lector a cualquier texto de números transfinitos indicando tan sólo que Borel y otros escépticos negaron hace tiempo todo posible significado a esas alephs, mientras que los que creen en ellas no experimentan ninguna dificultad una vez que han asimilado cuidadosamente A₁. La teoría del continuo generalizada, que incluye la hipótesis de Cantor tal como se enunció más arriba, afirma que 2Aα = Aα₊₁ para toda α. Esto va acompañado por la forma fuerte del axioma de elección que permite la elección simultánea de un elemento de cada conjunto no vacío de la totalidad de los conjuntos, siendo la elección una sola relación. En 1938-1939 (publicado en 1940) Gödel demostró que si es consistente un determinado conjunto de axiomas del Mengenlehre, el conjunto de axiomas formado añadiendo al conjunto original la hipótesis generalizada del continuo y la forma fuerte del axioma de elección también es consistente. Algunos de los axiomas del conjunto original han sido también a veces motivo de polémica, por ejemplo, el axioma de infinidad. Sin embargo, los expertos en los fundamentos del análisis están de acuerdo en que la demostración de Gödel fue un gran paso hacia delante en este territorio tan disputado.

“LOS SÓLIDOS FUNDAMENTOS DE LA NATURALEZA”

“En el sólido fundamento de la naturaleza confía la Mente que construye para ti”, declaró Wordsworth ajustando a veces los actos a las palabras; y también “penetra en lo esencial de las cosas; que la naturaleza sea tu maestro”. Obedeciendo el mandato de Wordsworth, ascenderemos de las regiones subterráneas de la matemática, haremos girar brevemente nuestra mirada en nuestro alrededor para ver qué fue de la mitad “natural” del sueño de Pitágoras.

Aunque profundamente alterado por 25 siglos de cambios incesantes, se puede reconocer aún el sueño. “El sólido fundamento de la naturaleza” se desvaneció bajo nuestros pies cerca de 1930 en una nebulosidad de abstracciones matemáticas llamada teoría cuántica. Aún no está claro si se ha de volver a materializar ni aún en lo “esencial de las cosas”; porque las “cosas” se han desvanecido en “ondas de probabilidad” y la “luz” es una discontinuidad de veloces fotones. Sin embargo, el número todavía gobierna el universo de las ciencias exactas, y desde los comienzos del siglo XX el número ha empezado a penetrar en las ciencias menos exactas. Siempre que se aplica el método estadístico, la probabilidad matemática está implícita, y esta probabilidad se mide con números.

Si la aplicación de la probabilidad matemática a las ciencias físicas las suavizó haciendo de ellas algo menos determinantemente rígido de lo que eran en el siglo XIX, al aplicarla análogamente a las ciencias sociales, las endureció con un toque de determinismo. Un ser humano puede ser todavía tan libre como cuando fue creado, según declara un famoso documento; pero 130 millones de individuos ya no son tan libres como en otro tiempo se imaginaba. La humanidad como masa está gobernada más despóticamente por las leyes del azar que nunca lo estuvo por los decretos de ningún tirano. Si el vacilante género humano ha de obtener de la ciencia algo más que destrucción suicida, quizás sea necesario que el primer paso sea que media docena de seres humanos entre cada 100 comprendan las reacciones de masas de criaturas que, como individuos, muestran a veces que pueden ponerse de pie y andar como hombres. Para comprender y analizar las reacciones de masas, sean éstas de átomos o de seres humanos, se necesita dominar los modernos métodos estadísticos. El método estadístico es la matemática social por excelencia. Por consiguiente, una breve indicación de las principales fases por las que atravesó esta matemática humanizada en su desarrollo será una conclusión de nuestro relato de lo que las matemáticas han hecho, o pueden hacer, por la masa de la humanidad. En el aspecto técnico, la teoría matemática de la probabilidad parece haber contribuido menos a la moderna matemática pura que cualquier otra parte de las matemáticas. También, ha sido como un parásito, que deriva toda su vitalidad de las ciencias a las que se adhiere. Ningún gran método del análisis se ha originado en la teoría de las probabilidades a la manera en que varios se originaron en la astronomía, la mecánica y la física matemática.

Cuatro contribuciones del siglo XVIII y principios del XIX sobresalen sobre todas las demás por su importancia al lado de las modernas. El Ars conjectandi (1713) de Jaime Bernoulli (1654-1705) publicado póstumamente hizo una ciencia matemática de la teoría elemental que tuvo su origen en una disputa de jugadores celebrada el año de su nacimiento. Bernoulli supo prever las consecuencias sociales de la probabilidad, y se dice que tuvo algunas nociones de las probabilidades inversas. También enunció el teorema que lleva su nombre de que aumentando suficientemente el número de observaciones se puede conseguir cualquier grado de precisión prefijado. Anticiparemos que Tchebycheff (1821-1894), fundador de la influyente escuela rusa de probabilidad matemática, generalizó el teorema de Bernoulli con la ley de los números grandes.

El siguiente paso hacia delante lo dio DeMoivre con su Doctrine of chances (1718), al idear nuevos métodos para problemas concretos e inventar medios de aproximación para las funciones de números grandes. Sobre la base de sus aproximaciones (1733) a las sumas de los términos de un desarrollo en serie binómica se suele considerar ahora a DeMoivre como autor de la idea de la importantísima curva de distribución normal.

Puesto que hoy día apenas si se distingue a la sociología de la teología, diremos que DeMoivre limitó sus aplicaciones más ambiciosas de la probabilidad a establecer la credulidad de “Una Gran Primera Causa”. Consideraciones análogas condujeron al reverendo T. Bayes (inglés, ¿?-1761) a su teorema —o fórmula— de la probabilidad inversa, publicada en 1763-1764, sobre las probabilidades de causas desconocidas deduciéndolas de acontecimientos observados. La demostración que dio Bayes de su fórmula descansaba en un postulado nada satisfactorio, y toda la cuestión de la probabilidad inversa fue muy discutida hasta que Fisher (inglés, 1890-) la colocó sobre una base sólida en los primeros años del cuarto decenio del siglo XX. Sin embargo, Bayes tiene asegurada la inmortalidad: fue el primero que empleó la probabilidad matemática inductivamente, “es decir, razonando de lo particular a lo general, o del individuo a la masa”.[9a]

El cuarto progreso sobresaliente de esa época fue la Théorie analytique des probabilités, 1812, de Laplace, cuya tercera edición apareció con todos sus suplementos en 1820. Laplace, precediendo a 700 páginas de razonamientos no siempre lúcidos y de intrincados análisis, observa con optimismo[10] que “en el fondo, la teoría de responsabilidades no es más que sentido común[11] reducido a cálculo”. Esta obra maestra, a la que se suele considerar como la mayor aportación que haya hecho un hombre a la probabilidad, incorpora todos los trabajos previos de Laplace que se extienden durante aproximadamente 40 años. Ahora bien, es imposible dar una idea adecuada de la riqueza de la obra de Laplace en pocas palabras, pero sí se puede decir que la caracterizó el libre uso que hizo del análisis matemático. Laplace no fue el primero que consiguió una distribución continua de la probabilidad, ya que Simpson (inglés, 1710-1761) introdujo la continuidad en la teoría de la probabilidad matemática en 1756. Pero Laplace fue el primero que aplicó el análisis de manera amplia y consecuente a lo que por su misma naturaleza es una sección de las matemáticas combinatorias. Las ganancias que se consiguieron en cuanto a fuerza y flexibilidad fueron inmensas.

Aunque los detalles concretos de la síntesis de Laplace de su propia obra y de las de sus predecesores en probabilidad alcanzan un total impresionante, su suma es apenas comparable en importancia de conjunto a la que tiene la aplicación del análisis infinitesimal a una parte de las matemáticas esencialmente discretas. Ya hemos visto lo que el análisis hizo por la geometría en el siglo XVII y por la geometría diferencial de los siglos XVIII a XX; vimos también cómo el análisis hizo posible dominar vastas secciones de la teoría de números. El progreso de Laplace en metodología transformó análogamente la probabilidad matemática. Laplace, inventando siempre algoritmos eficaces y adecuados para sus problemas, aplicó el método de las funciones generadoras a las probabilidades haciendo libre uso de lo que ahora se llaman transformaciones de Laplace. Estas últimas, como ya indicamos antes, adquirieron una importancia nueva en las matemáticas aplicadas cuando se observó que el cálculo operacional de Heaviside pertenece realmente a esas transformaciones. El método de las funciones generadoras empezó a ser muy discutido con la precaución excesiva que sobrevino como consecuencia de la obra de Cauchy y de Abel sobre la convergencia. Sin embargo, para muchas de las aplicaciones de Laplace del método, la convergencia está fuera de lugar y algunas partes de él se pueden refundir con facilidad valiéndose de lo que Menger ha llamado (1944) análisis algebraico.

En el aspecto histórico, Laplace, en su obra maestra sobre las probabilidades, vence, como de costumbre, la tentación de conceder el crédito debido a sus contemporáneos. Sería un ejercicio muy interesante para algún historiador de las matemáticas separar lo que es incuestionablemente de Laplace de lo que no lo es. Si Laplace no fue el creador del método de resolver las ecuaciones diferenciales lineales mediante integrales definidas, hizo tan amplio uso de él que se le suele atribuir, y lo mismo ocurre con la aplicación de las ecuaciones entre diferencias parciales, que también se atribuyen a Lagrange.

El Essay philosophique sur les probabilités contiene las reflexiones de Laplace sobre la epistemología de las probabilidades. Puesto que este aspecto de las probabilidades es todavía objeto de discusiones por parte de los metafísicos y los matemáticos, no parece probable que Laplace pudiera haber dicho la última palabra. Un detalle bastará para mostrar que puede tener importancia práctica intentar comprender el posible significado de probabilidad en la ciencia y en las matemáticas. Si tan sólo se sabe que un acontecimiento ha tenido lugar n veces, y que ha dejado de ocurrir f veces bajo condiciones dadas, la probabilidad de que vuelva a presentarse la próxima vez en que se consigan esas condiciones es (n + l)/(n + f + 2). Tanto el razonamiento mediante el cual se obtiene esta fórmula como la fórmula en sí han sido rechazados por algunas autoridades y aceptados por otras igualmente competentes. Laplace desbanca la frase tan trillada de que no sabemos si el sol saldrá mañana, dándonos gracias a la fórmula, la alentadora seguridad de que tan sólo hay una probabilidad en 1.826 214 de que el sol no salga mañana. Lagrange, si se le hubiera preguntado, hubiera contestado sencillamente siguiendo su costumbre, y cuando no tuviera fundamento para creer o dejar de creer: “no sé”. Pero el hombre que se convenció a sí mismo de que había demostrado que el sistema solar es una máquina de movimiento continuo matemáticamente determinada (al separarlo del resto del universo de que casualmente forma parte) no experimentaba ninguna duda sobre este punto. Si el examen crítico de los postulados en que se basa la probabilidad al igual que cualquiera otra parte de las matemáticas no ha conseguido otra cosa, por lo menos ha logrado que los astrónomos matemáticos del siglo XX sean menos Jeovás que sus predecesores de los siglos XVIII y XIX al legislar sobre el universo.

El interés de Laplace por la probabilidad estaba subordinado a su pasión por la mecánica celeste. Indirectamente, pues, se debe a los problemas de astronomía dinámica parte de las matemáticas aplicadas a cuestiones económicas, desde el cálculo de las posibilidades de venta, mediante encuestas hechas al azar, de determinada partida de receptores telefónicos producidos en masa, a la predicción, mediante pruebas de inteligencia de las capacidades combativas de toda una promoción de reclutas, llevados a la fuerza a filas en defensa de la democracia. El teorema de Bayes es aplicable en el primero de esos proyectos.

También se debe a la astronomía matemática otra técnica indispensable a las ciencias sociales más exactas, el cálculo del error probable. También se originó en ella el método de los mínimos cuadrados, en el que se necesita encontrar la distribución de las medidas de un dato observado, cuando las medidas difieren a causa de errores de observación. Gauss utilizó el método en 1795, y en 1806 lo reinventó Legendre. Su historia está maleada por una disputa de prioridades, digna por parte de Gauss; amarga, por la de Legendre. En su obra astronómica de 1809, postuló Gauss que cuando se dan un número cualquiera de medidas “igualmente dignas de confianza” de una “magnitud” incógnita, el valor más probable es su media aritmética.

Frases como “igualmente dignos de confianza”, “igualmente probable”, engendraron muchas polémicas sobre el “significado” de la probabilidad, y condujeron en el siglo XX a tentativas para conseguir una teoría consecuente. Parece que los primeros esfuerzos para demostrar la “ley” de distribución normal estuvieron viciados por la hipótesis implícita de que una “ley natural” se puede demostrar matemáticamente sin presuponer nada. Puede parecer absurdo, pero hasta el siglo XX no empezaron los filósofos a tomar en serio la metodología euclidiana. Cuando se reconoció que los postulados han de preceder a la demostración, los postulados que se establecían como base “natural” para una demostración no eran a veces más sencillos que la “ley” que se deseaba probar. Modernamente se tiende más y más a aceptar las “leyes” como hecho de observación.

También, al menos históricamente, se debe a la astronomía dinámica una de las aplicaciones científicas más amplias de la probabilidad en los siglos XIX y XX. Maxwell, en 1857, se interesó por la teoría cinética de los gases (se dice que) como consecuencia directa de su obra sobre la estabilidad de los anillos de Saturno. El origen de la teoría cinética se puede remontar hasta el atomismo de Demócrito, Epicuro y Lucrecio, pero como disciplina matemática se inició con Daniel Bernoulli en 1738, y quien primero la desarrolló extensamente fue Maxwell, a partir de 1859. Otros siguieron pronto a Maxwell, y particularmente Boltzmann (1844-1906, Austria) a partir de 1870. Las fechas son aquí importantes: la primera precede a la rigorización del análisis, y la última cubre el Mengenlehre de Cantor. Este indicio debe bastar para sugerir que una parte fundamental de la teoría de la mecánica estadística, que evolucionó partiendo de la teoría cinética de los gases, no pudo de ninguna manera ser estudiada adecuadamente en sus comienzos. Remitimos al lector el teorema ergódico, o hipótesis ergódica, en cualquiera de sus formas[12]. Un esquema histórico del material correspondiente nos detendría demasiado; lo que nos interesa aquí es la necesidad que existe de un análisis refinado para las aplicaciones científicas modernas de la probabilidad. El primer tratamiento satisfactorio de los teoremas ergódicos[13] se hizo en 1932 con el notable progreso que consiguieron Neumann y Birkhoff.

La discusión rigurosa recurre a varias de las teorías indicadas en capítulos anteriores, por ejemplo, a la de las ecuaciones integrales lineales, a las ecuaciones diferenciales no lineales, al análisis armónico, al espacio de Hilbert y a las teorías modernas de medida e integración. Siguiendo una dirección parecida, Wiener abordó en 1937-1938 el problema de la turbulencia, mencionado en la “Perspectiva general” como básico para la aerodinámica. Parece que entre los anillos de Saturno y los aeroplanos hay todo un abismo; así es, pero se salva mediante el puente de la moderna teoría de la probabilidad matemática.

Hasta 1930, la mecánica estadística era la aplicación física más altamente desarrollada de la probabilidad[14]. La obra más reciente, aparecida en 1945, parece indicar la necesidad de revisar los conceptos fundamentales de la probabilidad en que se apoya la mecánica estadística clásica, tanto en su forma anterior a los quanta como en su forma moderna. Por una curiosa coincidencia histórica, el clásico libro de Gibbs Elementary principles in statistical mechanics fue publicado en 1901, el mismo año en que se publicó la teoría vieja de los quanta, y la forma revisada, iniciada en 1925, había de aclarar mucho de lo que había estado oscuro en la mecánica estadística clásica. Pero probablemente ninguna revisión afecta a la reputación de Gibbs como el más grande físico matemático que habían producido los Estados Unidos hasta 1945, y como uno de los mejores del siglo XIX. Las profundas revisiones de las aplicaciones del siglo XIX de la probabilidad son del mismo género que las del siglo XX en la matemática pura. Éstas afectan toda nuestra perspectiva de la teoría del conocimiento. Pero hemos de seguir adelante, ya que todavía es cierto, como señaló Rusell[15] en 1929, que “la probabilidad es el concepto más importante de la ciencia moderna, especialmente porque nadie tiene ni la más ligera idea de su significado”. La justicia que encierra esta ironía se pone de manifiesto al leer las discusiones sobre el libre albedrío y el determinismo a que afectaba el principio de la incertidumbre de Heisenberg de 1927. Una indeterminación aparentemente inevitable que se presentó en las ciencias físicas se aprovechó para demostrar: 1) que el hombre tiene libre albedrío; 2) que no lo tiene.

Esto nos lleva al punto del desarrollo de la probabilidad que promete ser del mayor significado para la humanidad en masa: el poder numérico estadístico.[16] Entonces, tengan o no tengan los individuos libre albedrío, parece estar perfectamente establecido que las multitudes no lo tienen. Sin embargo, las reacciones más sencillas de las masas de seres humanos a estímulos externos no parecen estar desprovistas por completo de leyes. Una epidemia de tifoidea matará un porcentaje de gente no vacunada que se puede predecir en líneas generales y otro porcentaje de vacunados también groseramente susceptible de predicción, en un mismo contorno. También, los filántropos que insisten en casarse con sus primas débiles mentales para cuidar de ellas pueden esperar un porcentaje de descendientes (generalmente numeroso) débiles mentales que se pueden predecir en líneas generales, y así sucesivamente; parece que no hay escape de las leyes matemáticas del azar.

La historia del método estadístico llenaría un volumen grande. Tan sólo consignaremos cinco de los principales episodios a los que en parte se deben los progresos modernos. El primer análisis estadístico de un censo nacional fue el que hizo Quetelet (belga, 1796-1874) en 1829 del primer censo de Bélgica, anotando la influencia que tenía sobre la mortalidad la edad, el sexo, la estación, la profesión y la situación económica. Es evidente la importancia de ese tipo de análisis para los seguros de vida. Asimismo, se puede decir de la ciencia actuarial en general que ha sido tan meticulosamente explorada que apenas queda nada que atraiga al matemático profesional. Las matemáticas actuariales rutinarias no requieren nada de originalidad, y el hombre valioso es el que tiene suficiente imaginación para idear nuevas normas que puedan aprovechar en su compañía.

A Quetelet se le debe el valioso aunque algo infame concepto hombre medio —l’homme moyen—. Los estudios estadísticos de Quetelet lo convencieron de que hasta cierto punto es posible predecir matemáticamente la criminalidad en una población dada. Escribiendo en la más oscura de las edades de la moralización pietista, tuvo el valor de afrontar a los oscurantistas sentimentales que le llamaron materialista —el epíteto más oprobioso de su época— por sugerir que las cualidades “morales” e “intelectuales” son medibles. El número había invadido los cielos sustituyendo la superstición por la mecánica celeste. Estaba entonces a punto de atacar el último reducto de la ignorancia, la mente humana. La profanación de este sancta santorum fue demasiado para la buena gente de los tiempos de Quetelet. Se necesitó una guerra mundial para enseñar al Homo sapiens que el probar la inteligencia no es inmoral. Las pruebas del ejército de los Estados Unidos en 1917 consiguieron en pocos meses lo que Quetelet y sus sucesores no habían podido hacer en 70 años. Hacia 1919 ya se aceptaba en los Estados Unidos las pruebas de inteligencia sin oposición demasiado violenta como instrumento útil para la educación y la criminología.

Entre los partidarios más ardientes de Quetelet se encontraba Florence Nightingale, que de acuerdo con Pearson opinaba que “para comprender lo que Dios piensa hay que estudiar las estadísticas, ya que son éstas las que dan la medida de sus propósitos”. Como sería imposible dar una recomendación mejor para el estudio de la estadística, pasamos a la siguiente manifestación notable de estas matemáticas divinas, rindiendo tributo final a Quetelet por los 35 años (1837-1871) en que trabajó como un esclavo en antropometría (la medida del hombre).

El que aplicó después la aritmética a los sentimientos íntimos de los seres vivos fue un oscuro pero gran intelectual contemporáneo de Quetelet. Mendel (1822-1884, Austria), abad del monasterio de Brünn, que en 1865-1866 publicó el resultado de sus hermosos experimentos sobre hibridación de los guisantes: Versuch über Pflanzenhybriden. Por primera vez en la historia se ligaba la herencia con las matemáticas. No se conoció la obra de Mendel hasta que en 1900 se descubrieron sus traspapelados documentos. Por entonces ya otros habían encontrado caminos que conducían análogamente a la ciencia llamada genética, pero se suele reconocer universalmente a Mendel como fundador de esa vasta ciencia. En este contexto, sería interesante saber lo que hubiera pensado el abad si hubiera podido prever que se había de emplear su aritmética de la herencia como argumento para la limitación obligatoria de los nacimientos entre los criminales y los deficientes mentales.

Una síntesis intelectual de Quetelet y Mendel apareció en el genio peculiar de Galton[17] (inglés, 1822-1911, primo de Carlos Darwin), que dio el paso siguiente de capital importancia para las matemáticas del hombre con su investigación de las correlaciones (1875-1889). Hacia 1877, ya había llegado Galton a la ley de regresión y a la fórmula del error normal de cálculo. Los datos experimentales a partir de los cuales construyó sus gráficas abarcaban desde los guisantes y las polillas a los perros y a los seres humanos. Aparentemente fue en el periodo 1885-1888 cuando Galton elaboró por primera vez los coeficientes de correlación. En 1889 publicó un resumen de su obra sobre la correlación en Natural inheritance. Sus libros anteriores, Hereditary genius, 1869, y English men of Science, etc., 1874, siguen siendo interesantes de leer, especialmente para los que gustan de discutir el factor ambiente contra el factor herencia. La obra de Galton en conjunto es un argumento en contra de la concepción de la democracia de Rousseau, y posiblemente también contra la, en cierto modo, diluida forma de la doctrina de Rousseau que inspiró a los Padres Fundadores de los Estados Unidos.

El mismo Galton tenía una insaciable curiosidad hacia todo lo que hay bajo el sol. Sus intereses abarcaban la criminología y las huellas digitales; numismática y eugenesia, y otras cuantas que tan sólo se pueden describir con las palabras de De Morgan como “las excentricidades más raras que jamás se han visto”. La fuerza de Galton era doble: había heredado (¿o adquirido?) una inteligencia de primer orden; en su educación aprendió matemáticas, botánica y anatomía. Este matemático-biólogo era el candidato ideal para inventar unas matemáticas sociales: el moderno método estadístico. La pericia matemática de Galton era muy limitada, pero sus ideas eran esencialmente matemáticas, y además, nuevas. Cuando le preocupaba alguna transformación elemental, Galton recurría a sus amigos matemáticos, uno de los cuales era Cayley.

El paso decisivo partiendo de la obra de Galton cristalizó en los estudios de Weldon (inglés, 1860-1906) sobre la variación entre individuos y razas locales. Las “poblaciones” de Weldon eran de camarones y cangrejos. La estadística se la enseñó el maestro, Galton, en persona. Medidas de los órganos de los camarones (1890) convencieron a Weldon de que ciertas características biológicas se pueden expresar por medio de la correlación y la variación. En 1892 ideó un método para calcular los coeficientes de correlación. Diremos de pasada que la perfección de las máquinas de calcular aceleró mucho las aplicaciones de los métodos estadísticos. Weldon no fue educado como matemático, sino como biólogo. En 1901 él y Pearson (inglés, 1857-1936) fundaron Biometrika, revista dedicada a la biometría, “ciencia de la medida de la vida”.

Continuando en la dirección de Weldon, Pearson dio al método estadístico el impulso más fuerte que recibía desde Quetelet. Pearson fue un matemático muy experto antes de pensar en la biometría. Por consiguiente, las matemáticas de estadística le dieron poco quehacer. Sus primeros trabajos[18] versaron sobre física matemática, sobre asuntos como las teorías de los chorros de éter, como él les llamó, para explicar la existencia de la materia. Pero pronto abandonó esos ejercicios puramente académicos cuando encontró que su verdadera vocación estaba en una materia nueva que se estaba justamente iniciando, y tan sugestiva como para dar que pensar a su inquieta imaginación.

A Pearson más que a ningún otro se deben las técnicas matemáticas que emplean la mayoría de los educadores estadunidenses. Se dispone de otros métodos, especialmente los desarrollados con gran habilidad y tacto matemático por la escuela escandinava, pero, por lo general, los estadunidenses han preferido los procedimientos de la escuela inglesa. La preferencia la confirmó la obra de Fisher, especialmente en las aplicaciones a la experimentación agrícola y hortícola. Aunque Fisher siguió direcciones nuevas, se le suele considerar en los Estados Unidos como sucesor de Pearson. Respecto de los procedimientos escandinavos, es justo decir que las diferencias que existen entre ellos y el inglés son más bien cuestión de técnica de cálculo que de ningún concepto estadístico significativo. Las ideas fundamentales, la “filosofía” del moderno método estadístico, se originaron en la escuela inglesa, sin olvidar “al difunto reverendo Mr. Bayes”.

Después de escribir (1940) las anteriores observaciones sobre la obra de Fisher apareció una crítica poco informada sobre su aportación a los métodos estadísticos modernos, donde más daño puede hacer, es decir, en una revista dirigida principalmente a los educadores. Puesto que los análisis estadísticos de datos de examen constituyen una parte tan importante de la técnica educativa, no estará de más citar a un eminente experto estadunidense en teoría de estadística, dando su opinión sobre la crítica mencionada para que no se equivoquen otros además del autor de ese erróneo juicio. Replicando (1943) al desorientado crítico, H. Hotelling (1895-¿?, Estados Unidos) puso las cosas en su punto:

La afirmación de que “excepto en lo que se refiere a la distribución del coeficiente de correlación de números pequeños, no hay una sola cosa que sea fundamentalmente nueva en el sistema Fisher” no hace justicia a la obra de uno de los genios más originales que registra la historia de los métodos estadísticos. Se deben a R. A. Fisher tantos y tan ingeniosos progresos en la teoría de la estadística y en los métodos estadísticos, que es imposible enumerarlos en un breve resumen. Entre ellos se encuentra el uso sistemático del tratamiento del método de la máxima posibilidad, la idea de la estadística suficiente, la demostración de la ineficacia del método de los momentos que se ha usado y enseñado universalmente como único método de ajustar las curvas de frecuencia, las distribuciones exactas no sólo de números pequeños de cualquier tamaño, de los coeficientes de correlación y también de coeficientes de correlación parcial y múltiple, de la razón de variación y de otras estadísticas. Fisher fue el que principalmente introdujo el uso del número correcto de grados de libertad al probar la independencia de las tablas de contingencia y también de proyectos experimentales válidos y eficaces mediante el principio del azar. Ha hecho valiosas aportaciones a las técnicas de cálculo, incluyendo su útil método para encontrar una matriz inversa.

Diremos incidentalmente que la mención de la matriz inversa recuerda que el álgebra de matrices, especialmente en su aspecto de cálculo (en el que el mismo Hotelling ha hecho notables progresos entre sus muchas contribuciones a la teoría y a los métodos estadísticos), es ya un lugar común de la estadística moderna. Los algebristas, por lo general, se han mostrado bastante indiferentes hacia el aspecto de cálculo de las matrices. Todavía falta mucho por hacer; por ejemplo, el reciente interés de los expertos en álgebra moderna, por ejemplo, Albert (1905-¿?, Estados Unidos) por esta parte práctica de la teoría de matrices promete que pronto se contará con algo de lo que se necesita. Las exigencias de la física atómica y molecular son igualmente urgentes.

Algunas de las aportaciones más importantes de Pearson están contenidas en la larga serie de memorias iniciadas en 1894 y que abarcan aproximadamente 20 años con el curioso título Contributions to the mathematical theory of evolution. Los genetistas y otros biólogos prácticos que trabajan con animales y plantas vivos, desde las moscas de la fruta y las familias más grandes de los deficientes mentales humanos, a las primaveras y a las malas hierbas, miran un poco fríamente las tentativas puramente matemáticas de desenredar las enmarañadas complejidades de la herencia. Sin embargo, hasta el experimentalista más endurecido utiliza el método estadístico para interpretar sus hallazgos en genética. El mismo Pearson, al envejecer, parece haber perdido algo de su fe juvenil en que las matemáticas puedan guiar a la biología. Aparentemente no pueden, del mismo modo que tampoco pueden hacer superfluo el uso de los laboratorios físicos.

En el aspecto técnico, Pearson (1893) introdujo el método de los momentos y definió la curva normal y la desviación normal. En 1900 inventó, independientemente, la extraordinariamente útil prueba de “chi al cuadrado” para la bondad de ajuste. En esto se le había anticipado Helmert en 1875. Como indicó Fisher[9a] “el documento de Pearson contenía un grave error que viciaba la mayoría de las pruebas de bondad de ajuste hasta 1921, pero la corrección del error se puede hacer sin más que cambios numéricos de menor importancia”. Esta circunstancia por sí misma sugiere un interesante problema de probabilidad.

La estadística moderna exige muchos conocimientos y mucha pericia a los matemáticos puros que se dedican a ella. Entre los métodos que han encontrado aplicaciones en estadística, se encuentran los de la trigonometría esférica en un espacio de n dimensiones, la topología y los espacios abstractos. Nos bastarán dos detalles de la moderna teoría pura. A Markoff (ruso, 1856-1922) se le debe el concepto probabilidades encadenadas. Esto se refiere a cadenas de probabilidades sucesivas en las que el valor de la probabilidad de una variable en un lugar dado de la cadena depende de los valores obtenidos para las variables anteriores. Las escuelas rusa y francesa han investigado muy ampliamente esas probabilidades. Para una descripción de la obra moderna remitimos al lector a las Recherches théoriques modernes en calcul des probabilités, 1936, de Fréchet. El mismo Fréchet generalizó la teoría clásica de probabilidades como aplicación de sus espacios abstractos. Entre otros teoremas generales, el siguiente es uno de los más curiosos: siempre que la probabilidad p de un acontecimiento determinado no cambia al conocer un número finito de resultados, p no puede ser 0 ni 1. Como último ejemplo de lo inesperado, Borel se convenció a sí mismo de que había demostrado el asombroso teorema de que la mentalidad humana no puede imitar al azar. Sin aventurar ninguna opinión sobre la realidad de este diáfano fantasma del libre albedrío humano, nos limitamos a indicar que el dominio del moderno método estadístico exige una mentalidad muy sutil y muchas matemáticas. La teoría pura pareció en 1930-1940 estar a punto, por fin, de engendrar matemáticas esencialmente nuevas por primera vez en la historia de la probabilidad. En su análisis de los “colectivos”, R. von Mises (alemán) encontró problemas nuevos de convergencia. Para soslayar inacabables discusiones metafísicas sobre el significado de igualmente, probable y azar, Von Mises consideró las sucesiones que se pueden presentar, por ejemplo, al echar un dado, como 6, 6, 2, 1, 4, 3,… Se dice que esa sucesión es un colectivo, y se postula que si entre los primeros n números de un colectivo se presenta m veces un número determinado, entonces m/n tiende a un límite. “La azarosidad” se remplaza por el postulado de que si se forma un colectivo partiendo de otro por selección sin conocer el valor del término elegido, los límites descritos no cambian. Por consiguiente, puede ser posible remplazar la metafísica dudosa de la probabilidad por matemáticas bien fundadas. Si ése es el caso, quizás algún día empecemos a comprender por qué nuestro género humano dotado de razón, como se le suele suponer, se comporta a veces tan poco razonablemente.

MIRADA RETROSPECTIVA

Aquí llegamos al fin de nuestro viaje. Mirando hacia atrás, al largo y tortuoso camino, vemos que las matemáticas en los 6 000 o 7 000 años de progreso conocido han aportado a la civilización dos cosas que prometen valor duradero: el método de razonamiento deductivo, en el estado de desarrollo que ha adquirido en las matemáticas técnicas; la descripción matemática de la naturaleza.

Fue en las matemáticas donde primero se presentó el razonamiento deductivo, y de esa misma fuente han surgido sus sucesivas ampliaciones y perfeccionamientos. En su forma más poderosa, el razonamiento deductivo es matemáticas. El aparato lógico que se emplea en matemáticas es incomparablemente más variado, más sutil y más creador de coordinaciones nuevas que el asociado con cualquier otra rama del saber. Y todavía falta idear un método más eficaz que el matemático que permita a los seres humanos razonar acerca de los resultados de las observaciones y experimentos científicos.

Comparados con estos dos, todo el resto es cuestión de táctica. Así, por ejemplo, el hecho de que el análisis haya demostrado a partir del siglo XVII ser más adaptable que la geometría sintética para la descripción matemática de la naturaleza tiene interés histórico, pero no necesariamente ningún significado duradero. En el pasado la geometría guardaba con las ciencias la misma posición relativa que hoy día el análisis. Dentro de un siglo la topología u otra rama de las matemáticas todavía no creada podría haber revitalizado la geometría y restituirla al favor científico. Pero a menos que el método matemático evolucione transformándose en otro tan distinto de lo que las matemáticas son ahora, como el empirismo que las precedió lo es de las matemáticas, parece probable que la descripción matemática de la naturaleza conservará su significado.

Por otro lado, hay alternativas concebibles, y hasta posibles. Los místicos, para los cuales los hábitos mentales científicos son menos repelentes que la precisión de las matemáticas con su claridad dura y aguda, profetizan un método más intuitivo que los de la ciencia y las matemáticas. Sus adeptos percibirán el universo como “es” sin ningún esfuerzo de los sentidos ni del pensamiento. Asimismo, han sucedido cosas aún más extrañas, y quizá la más rara de todas sea la maravilla de que las matemáticas sean posibles para un género próximo a los monos.

BIBLIOGRAFÍA Y NOTAS

A) ESTUDIOS GENERALES SOBRE LA MATERIA

¹ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Leipzig, 1898-1935; revisada en 1939.

² Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, París, 1904-1915 (incompleta).

³ Bibliotheca mathematica, Estocolmo, Leipzig, 1884-1915.

⁴ Bolletino di bibliografia e storia delle scienze matematiche, Turín, 1898-1917; Bolletino di matematica, 1919.

⁵ Isis, Brujas, 1913.

⁶ Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Berlín, 1929.

⁷ M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Leipzig, 1900-1908, 4 tomos (hasta 1799).

⁸ D. E. Smith, History of mathematics, Boston, 1923-1925, 2 tomos (hasta el cálculo).

⁹ F. Cajori, A history of mathematics, 2ª edición, Nueva York, 1917.

¹⁰ W. W. R. Ball, A short account of the history of mathematics, 5ª edición, Londres, 1912 (1927).

¹¹ Otros que figuran en la bibliografía del capítulo 8.

¹² G. Sarton, Introduction to the history of science, Washington, 1927-1931, 3 tomos (hasta 1300; no se mencionan las matemáticas más que incidentalmente).

¹³ J. Tropfke, Geschichte der elementar-Mathematik, etc., 2ª edición, 1-6 (1921-1924).

¹⁴ R. C. Archibald, Outline of the history of mathematics, 4ª edición, 1939 (Math. Assoc. of Amer.).

¹⁵ Vera Sanford, A short history of mathematics, Boston, 1930.

B) NOTAS A LOS CAPÍTULOS

II

[1] O. Neugebauer, Acta orientalia, Copenhague, 17, 1938, 169.

[2] Neugebauer y otros que figuran en A 6; R. C. Archibald, Isis, 71, 1936, 63.

[3] The Rhind mathematical papyrus, A. B. Chacc, R. C. Archibald, y otros, Oberlin, Ohio, 1927-1929.

[4] S. Clarke y R. Engelbach, Ancient Egyptian Masonry, Oxford, 1930.

[5] W. W. Struve en A, Quellen, 1.

[6] Utilizado por Antifon (hacia 430 a. C.), Bryson (siglo V a. C.), Demócrito (¿460?-¿370? a. C.).

[7] O. Neugebauer, Vorlesungen, 1934, 203, parece más generoso.

III

[1] Bibliografía general: A (Tropfke), las ediciones de T. L. Heath de Euclides, Aristarco, Arquímedes, Apolonio y sus otras obras, todas citadas en A (Smith); cualquiera edición de los Diálogos de Platón; la bibliografía de A 8.

[2] Nada de principal importancia surgió de los números perfectos de los griegos.

[3] Así lo pretenden los historiadores hindúes B. Datta y A. N. Singh; Hist. Hindu Math., Lahore, 1935-1938. F. Cajori, Scientific Monthly, 9, 1919, 458. Algunos atribuyen el sistema de numeración posicional y el cero al ábaco y a otros aparatos aritméticos primitivos.

[4] V. F. Hopper, Medieval number mysticism, Nueva York, 1939.

[5] La República, 546. Timeo, 53-81, para la numerología más madura de Platón; las críticas de Aristóteles en la Metafísica, A, 992a, 1083b, 987b, 1084.

[6] J. H. Jeans.

[7] Republic 527: “este saber al que aspira la geometría es el eterno y no el perecedero y pasajero”. Párrafo que citan con aprobación frecuentemente los románticos; los matemáticos lo desechan como inservible por saber que las matemáticas están hechas por los seres humanos y para necesidades humanas.

[8] Polemístico. Se dice que Dinostrato dio hacia el año 330 (Tropfke, 4200) la primera demostración existente por el método indirecto. Se atribuye a Hipócrates la técnica más general de la reducción equivalente de las proposiciones. Los argumentos que adscriben el método a Platón son vagos; se utiliza para discutir las paradojas de Zenón.

[9] Terminación de las matemáticas, en el año 415 d. C. con la muerte de Hipatia.

[10] Argumentos que figuran en el Aristarco de Heath.

[11] Platón, Teetetes, 147. A propósito de las objeciones matemáticas determinadas hipótesis históricas véase An introduction to the theory of numbers, de G. H. Hardy y E. M., Wright, Oxford, 1938, 42-43, 180-181; Tropfke, 2, 63-64.

IV

[1] Gibbon, Decline and fall of the Roman empire.

[2] “Musulmán” se refiere a una religión común (mahometismo) cualquiera que sea la nacionalidad del individuo.

[3] Cálculos más amplios figuran en Smith, A 8, Sarton, A 12.

[4] Por lo que se sabe de él, el diablo nunca pudo haber sido tan torpe con los números como Gerberto, su supuesto colaborador, lo fue.

[5] Se le atribuye sin mucha certeza una colección de problemas rompecabezas ligeramente tonto. Incluso “para su época” —como se suele decir— matemáticamente tenía muy poca categoría.

[6] A 11, 12, entre muchos.

[7] Los rudimentarios conocimientos de matemáticas que tenía Bacon por lo que parece según sus obras publicadas no garantizan el testimonio que tan frecuentemente se suele citar de que “la matemática es la puerta y la llave de las ciencias”, etc. Es curioso que los juicios más favorables a las matemáticas han procedido (y proceden) de hombres entusiastas que sabían muy poco de esa materia. Para acabar con otro mito, diremos que las acotaciones a las matemáticas que se han publicado de Leonardo da Vinci (1452-1591) son triviales, incluso pueriles y no demuestran absolutamente ningún talento matemático.

[8] El que la última frase no tenga significado no resta nada a lo que quiera que sea que pueda tener.

[9] Mysil katolica wobec logiki wspólczsnej (el pensamiento católico en la lógica moderna), Studia gnesiana, 15, Posen, 1937.

V

[1] En el Decline and fall de Gibbon figura una descripción bastante buena.

[2] Nada más que desde el punto de vista religioso, incluía árabes, persas, etcétera.

[3] Capítulo II.

[4] Casi abandonado.

[5] L. E. Dickson, Hist. theory of numbers, Washington, 2, 1930, 347.

[6] F. Cajori, A 9, 96.

[7] B. Datta en el Bull. Calcuta Math. Soc., 19, 1928, 87 lo cita con aprobación sacándolo de Geschichte der Mathematik, etc., Leipzig, 1874 de H. Hankel; para críticas europeas, véase S. K. Ganguli, ibid., 151; aprobado por Sarton, A 12.

[8] F. Cajori, Hist. math. notations, Chicago, 1928, 1, 84.

VI

[1] Pero, desgraciadamente, no en los libros de texto de enseñanza elemental en que masas de material muerto y de maneras de pensar anticuadas oscurecen lo poco que hay digno de saber y de recordar.

[2] Cálculos adversos son fáciles de conseguir. Como en otras partes, prescindimos aquí de los libros de texto y las compilaciones que por muy famosos y útiles que fueran en sus días no aportaron nada fundamental a las matemáticas. De la misma manera procedemos con sus autores. Así hacemos con L. Pacioli (hacia 1445–hacia 1509, Toscano) cuya “gran obra (1494) resumiendo […] El saber matemático general de su época, es una notable compilación sin nada de originalidad”; A 8.

[3] Algunos prefieren el método (1837) de C. H. Gräffe (suizo, 1799-1873).

[4] Las leyes de difamación prohíben la publicación de los nombres.

[5] En cuanto a método, no en cuanto a tiempo. La obra de Euler sobre las ecuaciones algebraicas sigue la misma tradición prelagrangiana.

[6] Pero no utilizado. El álgebra moderna sigue un camino completamente diferente de los de las cuatro demostraciones de Gauss (de las cuales dos no son buenas).

VII

[1] Philosophiae naturalis principia mathematica.

[2] Como la de Stirling para n!

[3] Tropfke, A 13, 92-100, 104.

[4] J. L. Coolidge, Osiris, 1, 1936, 231-250.

[5] Reproducción en facsímil y traducción inglesa por D. E. Smith y M. L. Latham, Chicago, 1925.

[6] El llamado problema plano de Papo inspiró a Descartes y a varios de sus sucesores: PLi, PMj(i = 1,…, r; j = 1…, s) son los segmentos de recta trazados en una dirección fija desde P en r + s líneas rectas dadas; si

PL₁ · PL₂ … PLr = c. PM₁ · PM₂ … PMs,

en que c es constante, encontrar el lugar geométrico de P. Las ad quatuor lineas de Newton son una solución elegante para r = s = 2.

[7] Apéndice a la primera edición de Optiks: Enumeratio linearum tertii ordinis.

[8] Fermat, Œuvres, 1, 91-100; 3, 161.

[9] Opinión general de los franceses; argumento en contra en 4.

[10] Œuvres, 1, 170-173; 2, 354, 457.

[11] Herón de Alejandría conoció el caso especial de la reflexión en un plano.

[12] Methodus ad disquirendum maximum et minimum, Œuvres, 1.

[13] Si x designa un número, y 1 la unidad de “longitud”, xn designa el número xn × 1.

[14] Teoría de los vórtices.

[15] “El tipo de cuento que se le podría ocurrir a un niño pequeño” —Madeleine Dmytryk.

[16] Leibnizens mathematische Schriften, hsg. C. I. Gerhardt, Berlín, 1850, primera parte, 2º volumen, 20-35, espec. 21.

[17] Entre las aplicaciones proyectadas se encontraba un cálculo lógico de las proposiciones geométricas al que Leibniz llamó analysis situs, y que no tiene ninguna relación con el significado moderno de ese término.

[18] Disquisitiones arithmeticae, Lipsiae, 1801, 74-75 (76): “…et cel Waring fatetur demonstrationem eo difficiliorem videri, quod nulla notatio fingi possit, quae numerum primum exprimat.—At nostro iudicio huiusmodi veritates ex notationibus potius quam notationibus hauriri debebant”. Éste es el único sitio en que en todo lo que publicó se permitió Gauss una ironía y un sarcasmo (también un chiste) quizás para mostrar que era más humano que algunos de sus admiradores. Una opinión contraria sobre la notación especialmente en lo que se refiere al cálculo es la de M. Cantor, A 7.

[19] Véase 7 donde Newton explica su notación.

[20] W. D. Ross, Aristotle selections, Nueva York, 1927, espec. 88-99 (Metaphysics, 1066-1067, 1068-1069; Physics, 231-233, 239-240).

[21] La correspondencia que figura en las Œuvres de Fermat.

[22] De ratiociniis in ludo alaeae.

[23] L. E. Dickson, Hist. theory of numbers, Washington, 1919, 1, 59.

[24] Para un ejemplo espectacular, véase S. Skewes, Jour. London Math. Soc., 8, 1933, 237.

[25] H. J. S. Smith, Coll. math. papers, Oxford, 1894, 1, 42.

[26] Cajori en Napier tercentenary vol., Londres, 1914.

[27] Discorsi e dimostrationi matematice etc., Leiden, 1638, E. Mach, Die Mechanik in ihre Entwickelung, 1883 (traducción, T. J. McCormack), Londres, 1902; A. Einstein y L. Infeld, Evolution of physics, Nueva York, 1938, cap. 1.

[28] A. S. Eddington, The philosophy of physical science, Londres, 1939.

[29] Ambas partes lo disputan erudita y poco conclusivamente.

[30] Portsmouth papers.

[31] Horologium oscillatorium.

VIII

[1] Algunos le atribuyen los exponentes.

[2] La prueba de consistencia se sale del formalismo.

[3] Mémoir sur la théorie des équivalences algébriques. (Exercices d’analyse, etc., 4, 94).

[4] Schriften (ed., Gerhardt) II(3), 12; V(3), 218, 360.

[4a] La de Euler es del 5 de mayo de 1777.

[5] Harmonia, mensurarum, Cambridge, 1722, 28.

[6] No hay que confundirlo con Hors Wessel.

[7] Gauss, Werke, 10₂, corregido por A. Ostrowski.

[8] Textos de álgebra superior moderna escritos después de 1929; un resumen conciso por O. Ore, L’algebre abstraite, París, 1936.

[9] Referencias y evaluación histórica en Gauss, Werke, 10₂, 1923, 56.

[10] Report, British Assoc. Adv. Sci., 3, 1834; Symbolical algebra, 1845.

[11] Los términos conmutativo, distributivo los introdujo en 1814 F. J. Servois (Annales de Gergonne, 5, 1814-1815, 93); asociativo lo introdujo Hamilton.

[12] A 8, 1, 460.

[13] Dedekind, Werke, 3, 335.

[14] Allgemeine Function-Theorie, 1882-54.

[15] Compte rendu du 2me (1900) congrès internationale des mathématiciens, París, 1902, 72.

IX

[1] Previsto por Gauss en 1831; Werke, 2, 176: “Der Mathematik”.

[2] Multiplicación combinatoria.

[3] Números alternados.

[4] Über der Zahlbegriff.

[5] Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, 1844; Die Ausdehnungsiehre, vollstandig und in strenger Form bearbeitet, 1862.

[6] Werke, 8, 357-362, espec. 360.

[7] Möbius intentó sin conseguirlo que Gauss publicara sus pensamientos sobre el análisis situs.

[8] Berichte… der Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, 62, 1910, 189.

[9] Amer. Journ. Math., 4, 1881, 97.

[10] Proc. Amer. Assoc. Adv. Sci., 35, 1886, 37; Collected works de J. W. G., Nueva York, 1928, 2, 90. Vector analysis, New Haven, 1881, 1884.

[11] Life, etc., de P. G. Tait, Cambridge, 1911, 164.

[12] An elementary treatise on quaternions, ed. 3, 1890, VI.

[13] Delle derivazione covariante e contravariante, Padua, 1888.

[14] L. E. Dickson, Algebras and their arithmeties, Chicago, 1923, 200; L. E. D., Trans. Amer. Math. Soc., 4, 1913, 13; E. V. Huntington ibid., 6, 1905, 181.

[15] Œuvres, Cristiania, 1881, 2, 224, 330.

[16] Œuvres, etc.; Journ. des Math., 11, 1846, 395, 417-418.

[17] Primera publicación, 1853; Werke, 4, 1929, 1.

[18] A partir de 1858; Werke, 3, 439.

[19] En 1930-1940 apareció la “estructura” con un significado diferente en el álgebra abstracta; la “estructura” tal como se explica aquí data como máximo de 1912.

[20] Principia mathematica, Cambridge, 1912, 2, 150; B. Russell, The analysis of matter, Nueva York, 1927, cap. 24.

X

[1] Se sigue aquí la historia (1875) de Kronecker; Werke, 1897, 2, 1.

[2] Generalizado en la teoría de los campos relativos.

[3] Véase el Report on the theory of numbers, de H. J. S. Smith, Oxford, 1894, 1, 93. Kummer encontró una analogía curiosa entre las actividades invisibles de sus números ideales implícitos y las del entonces todavía no descubierto elemento fluorina. Los progresos de la aritmética y de la química hicieron que pronto la analogía fuera una tontería, si bien, todavía en 1920 le dio su aprobación un matemático eminente.

[4] Los ideales de un campo numérico dado se clasifican respecto de una cierta relación de equivalencia en número finito de clases; una determinación práctica, en un caso dado de este “número de clase”, es lo más que se puede pretender.

[5] Se ha olvidado inmerecidamente al matemático ruso de 1870-1890, G. Zolotareff.

[6] Descripción crítica en el Bericht über… Zahlkörper, 1, 2, Leipzig, 1930, de H. Hasse (alemán). Las generalizaciones modernas se originan en la teoría de los campos de clase iniciada por Hilbert en 1898; lo más importante son los teoremas de P. Furtwangler (alemán), 1902-1928; T. Takagi (japonés), 1922; E. Artin (Alemania, Estados Unidos), 1927-1928, H. Hasse, 1924-1930. Para esto es fundamental la teoría modernizada de los campos de Galois.

[7] Hija de M. Noether, matemática. Según E. Landau (matemático alemán), “Emmy era el origen de coordenadas de la familia N”.

[8] Werke, 1932, 1, 64.

[9] Acta eruditorum, 2, 1683, 204.

[10] Caso especial de la obra de G. B. Jerrard (inglés), 1832-1835.

[11] Œuvres, 3. Un avance semejante se encuentra en C. A. Vandermonde, Mémoire sur la résolution des équations, París, 1771; G. F. Malfatti (italiano, 1731-1807), De aequationibus (de sexto grado), Siena, 1771; Tentativo per la risoluzione (de las ecuaciones de quinto grado), ibid., 1772.

[12] Coll. Math. Papers, 10, 402: “un grupo está definido por las leyes de combinación de sus símbolos”. Ibid., 403, para lo que se suele llamar teorema de Dyck (Math. Annalen, 20, 1882, 30): todo grupo finito es representable como grupo de permutación.

[13] O. Hölder, 1889.

[14] C. Jordan, Traité des substitutions, París, 1870, 42.

[15] Hay una representación modernizada de la teoría de Galois que parte del grupo de automorfismos de un campo normal (véase A. A. Albert, Modern higher algebra, Chicago, 1937, cap. 8).

[16] En F. Klein, Lectures on the icosahedron (traducción de G. G. Morrice, Londres, 1913, de Das Ikosaeder, etc., 1884), figura una sinopsis con notas históricas.

[17] Moore y Hölder descubrieron casi simultáneamente (1893) el grupo de automorfismos de todo grupo finito, fundamental para el 15.

[18] Notablemente I. Schur (alemán).

XI

[1] Las álgebras sin base finita han sido mucho menos estudiadas.

[2] Principalmente en la teoría de los campos de clase.

[3] Lo que según Milton le dijo Dios a Eva.

[4] En L. E. Dickson, Linear algebras, Cambridge, 1916, figura una exposición y una bibliografía hasta 1916; para 1916-1933, Dickson, Algebras and their arithmetics, Chicago, 1923; para 1923-1934, M. Deuring, Algebren, Berlín, 1935. Análogamente para la teoría de ideales en W. Krull, Idealtheorie, Berlín, 1935.

[5] Amer. Jour. Math., 4, 1881, 229. Previamente por Frobenius, Journ. für Math., 84, 1878, 59.

[6] Las álgebras no asociativas han sido estudiadas menos ampliamente; una muy famosa es la orden 8 de Cayley, que encontró aplicaciones en la teoría de los quanta.

[7] Esto señala el comienzo de la moderna teoría estructural del álgebra lineal asociativa.

[8] De 4, 1916, 66.

[9] Werke, 2, 169.

[10] Hijo del matemático G. B. Birkhoff.

[11] De Ore con unos cuantos cambios verbales para adaptarlo a nuestra terminología. Véase también S. MacLance, Amer. Math. Monthly 46, 1939, 3.

[12] Como ejemplos están el teorema de la descomposición de Jordan-Hölder, anteriormente descrito, y sus perfeccionamientos y el teorema de Wedderburn sobre la estructura de las álgebras lineales.

XII

[1] W. F. Osgood, Functions of real variables, Pekín, 1936.

[2] E. Landau, Grundlagen der Analysis, Leipzig, 1930.

[3] Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno à due nuove scienze, Leiden, 1638, espec. 32-33.

[4] Primera traducción inglesa de 3: Galilacus Galilaeus, Mathematical discourses and demonstrations, etc., Londres, 1665, 25-27. Ésta da una versión mucho más fina de los razonamientos de Galileo sobre el infinito que todas las otras traducciones.

[5] Términos que usan indistintamente algunos autores.

[6] Paradoxien des Unendlichen, 1850 (edición póstuma, F. Prĭnhonsky).

[7] Phil. Werke (Gerhardt, editor), 1, 338. Leibniz tenía razón, pero no por el motivo que él da; véase el fin de este capítulo.

[8] “Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unser Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M gennant werden) zu einen Ganzen.” G. Cantor, Ges. Abhandlungen, Berlín, 1932, 282. De entre una docena de matemáticos y hombres de ciencia que dominen el inglés y el alemán, no hay dos que estén de acuerdo sobre el significado de esta definición; hubo dos que dijeron que no tiene ninguna. Esta definición es una de las fuentes de dificultad de los fundamentos de las matemáticas.

[9] De E. V. Huntington.

[10] E. Borel, Théorie des fonctions, París, 1914, 102-181. En 1940 se presentaron dudas semejantes.

[11] Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, París (3ª edición, 1909, 1, 90).

[12] K. Gödel (1939) trabajó en este campo.

[13] Kronecker puede pretender ser el fundador del “operacionalismo”, que es una filosofia de la ciencia muy popular (1945).

[14] Obras principales: Begriffschrift, 1879; Die Grundlagen der Arithmetik, eine logische-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl, 1884; Grundgesetze der Arithmetik, 1(1893), 2(1903).

[15] Rara vez en las matemáticas.

XIII

[1] También en el Treatise on fluxions de C. Maclaurin, Edimburgo, 1742, clásico de las fluxiones.

[2] Ostwald, Klassiker, etc., número 211.

[3] Analyse des infiniment petits, París, 1730.

[4] Exasperado por algunos de sus discípulos del Canadá, E. H. Moore llamó a la nada el cero canadiense.

[5] Excepciones indicadas a propósito de los desarrollos asintóticos.

[6] La Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné, etc., de Diderot-d’Alembert, París, 1754, Ginebra, 1772; Arts. Limite, differentiel.

[7] Œuvres, 9, 15-20.

[8] Œuvres, 9, 141.

[9] Para una defensa crítica matemática del método de Lagrange cuando era relativamente nuevo, véase A. de Morgan, Penny Encyclopedia, Londres, 1837; Art. Differential Calculus.

[10] Der Polynomische Lehrsatz, etc., von Tetens, Klügel, Krampf, Pfaff und Hindenburg, Leipzig, 1796.

[11] “Is. Über”, L’Intermédiare des Mathématiciens, 23, 1916, 164.

[12] Werke, 3, 123.

[13] Grave descuido que se hace resaltar en un capítulo posterior.

[14] En una demostración del teorema fundamental del álgebra supuso que si f(x) es un polinomio en x, y que si f(a), f(b) son de signos opuestos, para a, b reales y a < b, ha de ser f(c) = 0 para algún c tal que a < c < b.

[15] Se indica en un capítulo posterior.

[16] The analytical theory of heat (traducción de A. Freeman), Cambridge, 1878. Las virtudes que Fourier le atribuye (pág. 7) a las matemáticas son precisamente las que faltan en esta su obra maestra.

[17] Ibid., 168.

[18] Ibid., 184.

[19] Opinión general de los franceses, de la que disiente Darboux.

[20] Véase 17, 185. También Euler casi encontró el teorema. Esto se continúa en un capítulo posterior.

[21] Werke, 1, 135.

[22] Publicado póstumamente en 1867.

[23] H. J. S. Smith, (Coll. papers, 2, 313) en 1881 corrigió y amplió algunos de los enunciados de Riemann.

[24] Compte rendu du 2me congrès internationale des mathématiciens…, 1900; publ., París, 1902; 120-122.

XIV

Para la bibliografía (excepto de la teoría analítica) hasta 1923, véase L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Washington, 1919-1920-1923, tres tomos.

[1] El desastroso sofisma del art. 299 de las Disquisitiones, que percibió por primera vez Dickson en 1921, retardó o desorientó al análisis diofántico durante 120 años; véase Dickson, Modern elementary theory of numbers, Chicago, 1939, cap. 9.

[2] A la que se suele llamar erróneamente ecuación de Pell en honor a un oscuro matemático inglés J. Pell (1610-1685).

[3] Reproducido en 1913.

[4] Como señaló por primera vez Jacobi, Journ. für Math., 30, 1845, 184. Era indispensable el concepto de Weierstrass de los factores primarios.

[5] Las pretensiones históricas en favor del cristalógrafo Bravais basadas en sus trabajos sobre redes cristalinas, parecen fundadas en una falta de comprensión acerca de sobre qué trata la geometría de los números.

[6] Usado por Gauss en 1801 en la composición de las formas cuadráticas binarias.

[7] Suficiente para suponer las raíces de f(z) distintas y c ≠ 0.

[8] Una brillante hipótesis de un eminente historiador americano de las matemáticas atribuye la invención de la congruencia al día de 12 horas y al año de 365 días, hechos que indudablemente conocía Gauss. La misma autoridad percibe grupos finitos en la Babilonia de 2000 a. C., e incluso en los tiempos prehistóricos. Para no quedarse atrás, un especialista alemán atribuye una “conciencia” de teoría de grupos a prácticamente todos los pueblos que han fabricado o usado recipientes, a causa de los dibujos repetidos que decoran la alfarería primitiva. A todo el que conozca personalmente a los indios se le puede perdonar un poco de escepticismo. Ambas hipótesis fueron emitidas como aportaciones serias a la historia de las matemáticas. Quizá lo sean.

[9] History 3, VIII.

[10] Trabajos de Gauss publicados póstumamente sobre los números de clase binarios cuadráticos indican que usó el análisis de manera orgánica en 1834 y quizás antes. Dirichlet tiene la prioridad de publicación y una independencia completa.

[11] Por ejemplo, el teorema de los números primos.

[12] Partiendo de su obra sobre las funciones definidas por series de Taylor, tesis de París, 1898.

[13] Un esquema de la historia hasta 1909 figura incidentalmente en E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Leipzig, 1909, 1, 2. Para evaluaciones de las aportaciones de Tchebycheff, ibid., 1, 11-18; y de las de Riemann, 29-36. Para trabajos relacionados más reciente, Landau Vorlesungen über Zahlentheorie, Leipzig, 1927, 2.

[14] Seis propiedades de ξ(s); Landau, Primzahlen, 31-33.

[15] El punto más importante es encontrar todos los enteros positivos n, o demostrar que no existe ninguno para el cual

en que (N) designa el número entero mayor ≦ que el entero positivo N.

XV

[1] L. E. Dickson, en Miller, Blichfeldt y Dickson, Finite groups, Nueva York, 1916.

[2] Nota histórica en G. Salmon, Geometry of three dimensions, 2ª edición, Dublín, 1865, 422.

[3] Como en el cálculo de variaciones.

[4] Estacionario como en 3.

[5] D. M. Y. Sommerville, St. Andrews, 1911.

[6] La interpretación de una geometría no está en esa geometría. Sobre este aspecto, insistimos con más amplitud en el último capítulo.

XVI

[1] Esta cifra corresponde a las referencias que dan las revistas bibliográficas.

[2] Un cálculo, incluyendo las revistas comerciales, arrojó en 1930 unos 70 000.

XVII

[1] El cálculo de los spinors, lo que más se aproxima a una novedad, no exigió la invención de nada nuevo en matemáticas.

[2] La tan citada observación de d’Alembert, que él le atribuye a un caballero sin nombre, de que se puede considerar a la mecánica como una geometría de cuatro dimensiones, no ejerció ninguna influencia sobre los desarrollos ulteriores.

[3] Casi extinguido en las matemáticas vivas en contraste con la física matemática.

[4] “El único objeto de la física teórica es calcular resultados que se puedan comparar con los experimentales.” P. A. M. Dirac, The principles of quantum mechanics, Cambridge, 1930, 7.

[5] Si hay una función potencial, se dice que el sistema es conservador.

[6] La braquistocrona; arco de una cicloide.

[7] G. D. Birkhoff, Dynamical systems, Nueva York, 1927.

[8] Comparación matemática en 7, 55-58.

[9] Descripción con referencias históricas en E. T. Whittaker, Analytical dynamics, etc., Cambridge, 1917. K. F. Sundman (Finlandia), Acta Soc. Scientatis Fennicae, 1906, 1909, demostró la existencia de una solución analítica, excluyendo el único caso de la triple colisión; véase también Acta Mathematica (Estocolmo), 36, 1912, 105.

[10] Zenodoro (hacia el año 150 a. C.), Arquímedes.

[11] Virgilio, Eneida, I, 369: “taurino quantum possent circumdare tergo”.

[12] Enunciado y resuelto incorrectamente por Galileo en sus Dialogues, 1630.

[13] Se ha discutido mucho la distribución del mérito entre Jaime y Juan.

[14] Una detallada descripción y referencias a las fuentes originales figura en G. A. Bliss, Amer. Math. Monthly, 43, 1936, 598.

[15] Demasiado especializado para examinarlo aquí; véase Bliss, Calculus of variations, Chicago, 1925, 131; O. Bolza, Lectures on the calculus of variations, Nueva York, 1931 (reimpresión de la edición de 1904), 60-63.

[16] El primer curso no fue después de 1872.

XVIII

[1] En los libros de texto de cálculo superior o en los de introducción a la física matemática se describen las funciones especiales mencionadas aquí.

[2] Se inició con Euler (1755) y Lagrange (1778), que obtuvieron las ecuaciones generales por métodos diferentes.

[3] Comm. Sci. Imp. Petrop. (San Petersburgo) 6, publ. 1738.

[4] Leibnizens Ges. Werke, 3ª ed., Halle, 1855, 75.

[5] Novi Comm. Acad. Petrop., 10, publ. 1766, 243.

[6] ∇² en tres dimensiones es el operador de Laplace

y en dos dimensiones

[7] ϰ designa la difusividad; t, tiempo. El primer trabajo de Fourier fue presentado a la Academia de París en 1807 y en forma mejorada en 1811. En su Théorie analytique de la chaleur, 1822, Fourier prescindió prácticamente de las objeciones que suscitaron Laplace, Lagrange y Legendre a sus trabajes anteriores.

[8] Requisito simplificado.

[9] O bien modificando las restricciones impuestas por las exigencias científicas, o pasando de tres variables independientes a n como generalizaciones inmediatas de la ecuación de Laplace y de las correspondientes funciones “armónicas”. Los analistas modernos han dicho que este último tipo de generalización, a pesar de su elegancia, no tiene objeto.

[10] También hizo notables aportaciones a la teoría de los grupos de permutaciones.

[11] En cualquier libro de texto moderno sobre la teoría del potencial figura una exposición detallada.

[12] O. D. Kellog, Foundations of potential theory, Berlín, 1929 (notas históricas).

[13] Así bautizado por W. H. Yonng, Proc. London Math. Soc., 24, 1925-1926. El teorema de “Stokes” debería llevar el nombre de Kelvin (W. Thompson), que ya lo conoció en 1850; véase G. G. Stokes, Mathematical and physical papers, Cambridge, 5, 320.

[14] Véase Young, 13.

[15] No existen derechos de autor para esta filosofía. Hay una generalización parcial mediante abelianas a cualquier número par de dimensiones. No es más tonto que la bobada cuatridimensional del ingeniero inglés J. W. Dunne, o del novelista inglés J. B. Priestly y otros para la interpretación de los sueños. Todo matemático experto podría ser más místico que los místicos del tiempo en su mismo terreno, si valiera la pena. Y pudiera ser que sí la hubiera, ya que ha habido gente culta que pagó de uno a tres dólares por cabeza para escuchar una conferencia de este tipo de “matemáticas superiores”.

[16] Hijo del matemático Conde Riccati.

[17] La mayor parte de la obra de Euler sobre las integrales elípticas apareció en las publicaciones de la Academia de San Petersburgo. Con frecuencia se retrasaba la publicación, de manera que las fechas de recepción e impresión de un manuscrito acabado difieren a veces en dos o tres años.

[18] London Roy. Soc. Phil. Trans., 1771, 1775.

[19] “De reductione… ac hyperbolae”, Novi Comm. Acad. Sci. Petrop., 1766. El párrafo interesante es: “Imprimis autem hic idoneus signandi modus desiderari videtur, eujus ope arcus elliptici aeque commode in calculo exprimi queant, ac jam logarithmi et arcus circulares ad insigne Analyseos per idonea signa in calculum sunt introducti”.

[20] Hecho ya en 1825.

[21] En una carta a Bessel, fecha 30 de marzo de 1828, Gauss (Werke, 10₁, 247) parece implicar que Abel se había anticipado tan sólo a un tercio de su obra (de Gauss). Si esto es lo que Gauss quería decir, no lo comprueba nada de lo que hasta ahora se ha encontrado entre sus papeles. Abel fue mucho más allá de lo que se ha publicado (póstumamente) de la obra de Gauss sobre las funciones elípticas.

[22] Werke, 2, 29. Jacobi descuidó la restricción indispensable al valor simple en su demostración. La bien fundada objeción de A. Göpel (Journ. für Math., 35, 1847, 302) la desecha Jacobi con la increíble acotación “¡¿?!”

[23] Dejó estupefacto a Legendre.

[24] Una descripción modernizada hasta 1927 figura en R. Fueter, Vorlesungen über die singulären Moduln, etc., Leipzig, 1924, 1927.

[25] Su literatura es una masa de notaciones antagónicas.

[26] Funciones meromorfas.

[27] Publicado póstumamente; desarrollado partiendo de su ahora casi abandonada teoría de las medias aritmético-geométricas.

[28] Ésa es la teoría popular y completa de Weierstrass.

[29] Un ejemplo interesante es la superficie de onda en óptica. Las razones en que se basan las aplicaciones geométricas aparecerán a propósito de las funciones algebraicas, que se examinan en un capítulo posterior.

[30] Jacobi dio la primera exposición mediante funciones elípticas. Puesto que la Tierra es un trompo, se han escrito gruesos libros sobre el movimiento de los trompos y los giroscopios, todos abundantemente salpimentados con thetas elípticas y funciones elípticas. Todavía no está claro el porqué ha de dominar nadie esas obras.

XIX

[1] Methodus fluxionum et serierum infinitarum, publ. 1736, compuesto probablemente en 1671.

[2] J. Francesco.

[3] La obra de Leibniz (1692-1694) sobre las envolventes puede, por razones geométricas, aspirar a la prioridad.

[4] Usado por primera vez, al parecer, por Juan Bernoulli en 1697 para resolver la ecuación lineal general de primer orden dy/dx + fy = g (f, g funciones de x nada más). Newton (1687) en su Principia usó un equivalente geométrico en el estudio del movimiento de la Luna.

[5] Un autor estadunidense fue severamente amonestado (1939) por un crítico inglés por utilizar el “americanismo” calculuses en vez de calculi. El plurar calculuses tiene su origen en Inglaterra. Lord Kelvin (muerto en 1907), entre otros hombres de ciencia, dio un golpe de muerte a los pedantes y doctos que se afligen a causa de cálculi.

[6] Ahora se designa frecuentemente mediante una enorme S mayúscula.

[7] Para las fórmulas mencionadas, véase un texto cualquiera sobre la interpolación o sobre las diferencias finitas.

[8] Ars conjectandi, Basilea, 1713.

[9] E. Goursat, Leçons sur le problème de Pfaff, París, 1922; J. M. Thomas, Differential systems, Nueva York, 1937.

[10] Historia, etc., en A. R. Forsyth, Theory of differential equations, Cambridge, 1890, tomo 1.

[11] Publicado en resumen de 1835; más completamente por el Abbé Moigno, 1844, que informó sobre las conferencias de Cauchy.

[12] Para las ecuaciones diferenciales entre derivadas parciales, ha demostrado ser útil prácticamente el método (1908) de W. Ritz, que es un perfeccionamiento del de Lord Rayleigh de 1870, 1899.

[13] Mediante una generalización de las funciones circulares e hiperbólicas generalizadas de Olivier.

[14] P. A. MacMahon, Combinatorial analysis, Cambridge, 1915, tomo 1.

[15] R. A. Fisher, The design of experiments, 2ª edición, Edimburgo, 1937.

[16] Posteriormente dirigente de la política francesa; ocupó cargos de importancia.

[17] Parte de su obra original está reproducida en su Treatise on differential equations, Londres, 1859, Supplementary volume, 1865.

[18] N. W. McLachlan, Complex variable and operational calculus with technical applications, Cambridge, 1939 (con bibliografía, 222 títulos).

[19] E. T. Whittaker, Calcutta Math. Soc. Commemorative Vol., Calcuta, 1930, 216.

[20] En G. Doetsch, Theorie und Anwendung der Laplace Transformation, Berlín, 1937.

[21] El trabajo que ya existía sobre ecuaciones diferenciales bastó para justificar el teorema del desarrollo de Heaviside; véase F. D. Murnaghan, Bull. Amer. Math. Soc., 1927.

[22] Críticas e historia en A. R. Forsyth, Atti del IV (1908) congreso internazionale dei matematici, Roma, 1909, 86; Theory of differential equations, Cambridge, 1906, tomo 6.

[23] J. Hadamard, Lectures on Cauchy’s problem, New Haven, 1923.

[24] Bibliografía en F. R. Moulton, Differential equations, Nueva York, 1930, 375.

[25] O. Veblen.

XX

[1] Una definición general de la invariante algebraica desde el punto de vista moderno figura en H. Weyl, Duke Math. Journ., 5, 1939, 493; también Weyl, The classical groups, etc., Princeton, 1939.

[2] Adaptado de C. J. Keyser, Hibbert Journ., 3, 1904-1905, 313.

[3] Cuadrado del determinante de la transformación; en el ejemplo de Lagrange, el determinante es 1.

[4] El uso moderno favorece “invariante” para ambas especies como en la “teoría de invariantes”.

[5] Un quántico es una forma algebraica como ya se ha definido. La teoría que desarrolló Sylvester tiene un vocabulario exuberante, la mayor parte del cual está ya muerto.

[6] Utilizado en un sentido técnico diferente del álgebra.

[7] De Galileo.

[8] Werke, 2ª ed., Leipzig, 1892, 402.

[9] Tomado de Lie, Theorie der Transformationsgruppen, 3, XVII.

[10] A veces se le asigna al año 1870. La fecha de publicación es 1872, y Klein mismo (Ges. math. abhand., Leipzig, 1921, 1, 411) no pretende un origen anterior, excepto en el aspecto de que imaginó el proyecto incompleto en 1871.

[11] Ese invariante es una integral extendida a una determinada región del espacio de una o más dimensiones, cuyo valor no cambia por transformaciones funcionales de las coordenadas de ningún punto de la región.

[12] O. Veblen y J. H. C. Whitehead, Foundations of differential geometry, Cambridge, 1932, O. Veblen, Atti del congresso internat. dei matematici, Bolonia, 1928, 1, 81.

[13] Historia hasta 1890 por F. Meyer, Bericht, etc., en Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, Berlín, 1, 1890-1891.

[14] A 8, 2, 433.

[15] Según los modestos compatriotas de Seki.

[16] A 8, 2, 701.

[17] Aquí, por brevedad, se incluye la naturaleza del factor en el enunciado; se puede demostrar que ese factor es necesario.

[18] Cayley demostró la finitud de los invariantes de los quánticos de hasta sexto grado, de los covariantes de hasta cuarto grado, y halló los sistemas completos en esos casos.

[19] Hay algo de incertidumbre en cuanto a la fecha, debido a que se publicó después de haberlo explicado en conferencias.

[20] Theorie der binären algebraischen Formen, Leipzig, 1872; Vorlesungen über Geometrie, Leipzig, 1875, 1876.

[21] Se encontraron muchas cosas de interés, como la teoría de Sylvester de las formas académicas y la ley de reciprocidad de Hermite. Pero ahora todo parece muerto, o en el mejor de los casos extrañamente anticuado.

[22] Todavía en 1940 unos cuantos retrasados veteranos y rezagados del Gran Ejército de los Grupos Finitos de 1890 seguían coleccionando grupos especiales como si estuvieran amenazados de morir de hambre, lo cual no era el caso.

[23] H. Weyl, Duke Math., Journ., 5, 1939, 500.

[24] Aquí hay una posible disputa de prioridad; Lie tiene muchos derechos.

[25] Necesitado históricamente por nociones imprecisas, en los primeros tiempos de “grupo”, tal como se suele definir ahora técnicamente. La obra, que se hizo en los primeros tiempos, necesita por este motivo ser refundida en parte.

[26] Theorie der Transfonnationsgruppen, Leipzig, 1893, 3, Vorrede.

[27] H. Weyl, Göttingen Nachrichtung, 1930, 293; 1931, 36.

[28] Por ejemplo, en una región convenientemente restringida las funciones f₁,…, fn que definen la transformación son analíticas con jacobiano no nulo.

[29] Véase 25.

[30] Los r-parámetros han de ser “esenciales”; no todas las transformaciones se han de poder obtener en función de menos de r-parámetros.

[31] Inexacto.

[32] Rigurosamente.

[33] Esto no es más que una descripción a grandes rasgos; véase cualquier libro de texto moderno sobre los grupos de transformaciones.

[34] Ces. Abhand., Leipzig, 1924, 5, 583. La obra de Lie da la mejor descripción histórica de su teoría, ya que siempre era justo, aunque a veces algo menos que generoso para con sus predecesores y contemporáneos.

[35] Traité d’analyse, 2ª ed., t. 3, París, 1908, cap. 17.

[36] Un informe hasta 1924 figura en Proc. Internat. Math. Congress; Toronto, 1924, 1, 473.

[37] Véase 38.

[38] Differential equations from the algebraic standpoint, Nueva York, 1932.

[39] Differential systems, Nueva York, 1937.

[40] Esto es o bien una definición de un cuerpo rígido o un postulado del espacio euclidiano. De manera que en un espacio euclidiano no se puede trasladar un triángulo libremente sin que se alteren ni sus lados ni sus ángulos.

[41] La obra de Weyl sobre la representación de los grupos continuos abrió un nuevo campo.

[42] Por razones evidentes, no se incluye a Hilbert en esta declaración, como tampoco a ninguno de los más eminentes en lógica matemática después de 1909.

[42a] O. Veblen, en Veblen y J. W. Young, Projective geometry, Boston, 1918, t. 2, cap. 3.

[43] J. H. C. Whitehead, Science Progress, 34, 1939, 76.

[44] Terminología de Veblen.

[45] También podría estar incluida la geometría algebraica si la teoría de Cremona y las transformaciones birracionales en espacios de orden superior hubieran estado suficientemente desarrolladas. Se dice que la “transformación de Steiner” se empleó antes de Steiner.

[46] Véase 12, V. y W., 38.

[47] Véase 12, O. Veblen, The invariants of quadratic differential forms, 2ª ed., Cambridge, 1933; T. Y. Thomas, Differential invariants of generalized spaces, Cambridge, 1934. En ambas figuran abundantes referencias.

[48] A. S. Eddington, The mathematical theory of relativity, Cambridge, 1923, 70.

[49] Por ejemplo, a principios de octubre de 1939, las universidades alemanas con la excepción de las de Berlín, Múnich, Jena y Viena fueron cerradas; en total cerraron 22.

[50] Véase 12, V. y W. 17.

[51] Véase 12, V. y W.

[52] Sigue muy estrechamente a S. Leichetz, Topology, Nueva York, 1930.

[53] Werke, 8, 271, 400; 10₂, Abh. 4, 46.

[54] Werke, 5, 605; generalización de la ley fundamental de Ampère. (No intentamos enumerar a todos los que han hecho trabajos sobre los nudos.)

[55] Contiene incidentalmente una función generadora muy curiosa de un tipo poco estudiado.

[56] No lo publicó.

[57] Siguiendo de cerca a J. W. Alexander, Trans. Amer. Math. Soc., 28, 1926, 301.

[58] Como en G. D. Birkhoff, Proc. Edinburgh Math. Soc., 2, 1930, 83.

[59] Cayley (1878) dio publicidad al problema, que ya era conocido en 1840, en Möbius. Veblen (1912) redujo el problema a otro de una geometría finita. Hay una literatura muy extensa y poco concluyente sobre este “último teorema de Fermat” de la topología combinatoria.

[60] Les llamamos así como equivalente de la mengentheoretische alemana.

[61] Lefschetz, 52, 391.

[62] Remontándose a los teoremas de Ampère, Green, Gauss y Stokes (Kelvin) del electromagnetismo.

[63] P. Alexandroff y H. Hopf., Topologie, Berlín, 1935.

XXI

[1] Tomado de un compendio incompleto (1940) de H. Bateman. Probablemente 1 400 es un límite superior.

[2] Función introducida por Leibniz en 1692 con un significado diferente del que le dio el uso posterior. Juan Bernoulli, 1718, dio “una cantidad compuesta de una manera cualquiera con variables y constantes”; Euler en 1748 repitió lo anterior con “una expresión analítica cualquiera”, en vez de “cantidad”.

[3] Œuvres, 6, 348.

[4] K. Knopp, Theory and application of infinite series (traducido por R. C. Young), Londres, 1928. Notas históricas.

[5] Analyse algébrique, París, 1821.

[6] Newton reconoció su importancia en un caso particular.

[7] Leçons sur les séries divergentes, París, 1901.

[8] Véase, para otros de los que contribuyeron, A 8, 2, 507-511.

[9] Se dice que Maclaurin dio un “equivalente geométrico”; pero como lo que interesa aquí es el rigor, es difícil ver lo que aquella manifestación puede significar.

[10] an e−λns, siendo las λn reales, λ₁ < λ₂ < … < λn < …; s complejo.

[11] O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Leipzig, 1913. Bibliografía selecta (hasta 1913), 511-517.

[12] Hay aplicaciones de las partes elementales de la teoría, como, por ejemplo, a la teoría de Gauss de los sistemas de lentes.

[13] Werke, 3 143.

[14] El teorema fundamental de F. Riesz-Fischer data únicamente de 1907; su poderosa generalización de 1923.

[15] E. Saks, Theory of the integral (traducción de R. C. Young), Varsovia, Nueva York, 1937.

[16] Numerosos intentos anteriores de demostración, quizá satisfactorios para su época, no demuestran nada.

[17] Darboux (1875) demostró que la definición de Riemann produce una infinidad de ecuaciones continuas sin derivadas.

[18] Nuestra descripción es intencionalmente ambigua, ya que los principales aún no habían (1945) aclarado qué es lo que hizo cada uno de una manera exacta.

[19] La integración de Lebesgue se puede enunciar en función de la de Riemann, pero la reducción no suele ser práctica.

[20] Journ. für Math., 74, 1872, 188; Annales de l’Ecole Normale, 1895, 51.

[21] Proc. London Math. Soc., 35, 1902, 387.

[22] Math. Annalen, 59, 1904, 516.

[23] Bull. de la Société Math. de France, 1905.

[24] Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires.

[25] También existe una teoría de las funciones no analíticas. Un informe hasta 1930 figura en E. R. Hedrick, Bull. Calcutta Math. Soc., 20, 1933.

[26] Hay muchas definiciones equivalentes. La condición de analítico está definida para una región determinada del plano z.

[27] La integración que se suele exponer es la de Riemann (Werke, 239).

[28] Definiciones, etc., en G. A. Bliss, Algebraic functions, Nueva York, 1933: una región o una superficie S es “conexa” si dos puntos cualesquiera de ella se pueden unir mediante un arco continuo que esté por completo en S. Si S es conexa, y si todo contorno cerrado C de S separa a S en dos partes conexas de las cuales una tiene a C como contorno completo, S es simplemente conexa. Una cortadura que una a dos puntos del borde (si es que lo hay) de una superficie simplemente conexa S corta a S en dos superficies conexas.

[29] Implícito en una memoria de 1814 sobre las integrales definidas, Œuvres, 1, 319; explícitamente en 24, publicado en 1827.

[30] E. Morera, demostró en Lombardi Rendiconti, 22, 1889, 191, un recíproco del teorema de Cauchy.

[31] Pero no preferible; presupone la existencia del desarrollo en serie que se indica. Véase cualquier texto para la definición completa.

[32] Generalizado por Poincaré a funciones de dos variables complejas.

[33] Así le llamó Gauss, Werke, 5, 200.

[34] Werke, 4, 189.

[35] Œuvres, 4, 189.

[36] Werke, 4, 259.

[37] Demostración perfeccionada muchas veces desde 1901. Una descripción hasta 1929 figura en O. D. Kellog, Foundations of potential theory, Berlín, 1929.

[38] Una exposición exacta se puede encontrar en cualquier libro de texto moderno; esto no es más que una descripción.

[39] Es fácil incluir a las singularidades evitables.

[40] Los franceses ponen primero a Cauchy; los alemanes y los estadunidenses de educación alemana, a Weierstrass.

[41] Cauchy había hecho prácticamente lo mismo.

[42] Entre cada dos hay otro.

[43] Término introducido por Briot y Bouquet (que no quisieron dar sus iniciales), Théorie des fonctions elliptiques, 2ª ed., París, 1875, 15.

[44] París, Comptes rendus, etc., 17, 1843, 938.

[45] Werke 5.

[46] Se dice que una función que tiene esta propiedad es monógena; pero no tiene ningún interés que multipliquemos los términos técnicos.

[47] Los detalles de signos y unidades no tienen interés para nosotros.

[48] De notas históricas no publicadas de H. Batteman. La descripción de P. Stäckel, A 3, 1900, 109, es incompleta.

[49] Œuvres, 1, 471.

[50] Werke, 10₁, 365.

[51] Véase Bliss, 28.

[52] H. F. Baker, Abel’s theorem, etc., Cambridge, 1897, 209.

[53] Las funciones theta no son estrictamente periódicas. Los momentos simultáneos de las variables por múltiplos enteros de los (seudo) periodos restituyen la función original multiplicada por una cifra constante. Estrictamente las funciones periódicas 2p-ples son cocientes de las thetas como en el caso particular (p = 1) de las funciones elípticas.

[54] Introdujo las funciones theta de p variables en 1849; Werke, 1, 111.

[55] Para la historia de la geometría algebraica, véase Bull. National (Estados Unidos) Research Council, Washington, 63, 1929; 96, 1934 (por un comité).

[56] Journ. für Math., 91, 1881, 301.

[57] En L. R. Ford, Automorphic functions, Nueva York, 1929, figura una bibliografía (cerca de 300 títulos) hasta 1929.

[58] Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen, (con R. Fricke), Leipzig, 1897, 1912.

[59] Propiamente discontinuas.

[60] También se lo atribuyen algunos a F. Casorati (italiano, 1835-1890).

[61] Darstellung und Begründung einiger neurer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlín, 1929.

[62] Hermano del físico N. Bohr.

[63] A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Cambridge, 1932.

[64] Como ejemplo más bien extremo, compárese la discusión que figura en cualquier edición de la Geometry of three dimensions de Salmon con la de O. Zariski, The reduction of the singularities of an algebraic surface, Annals of Math., 45, 1939, 639.

[65] La aceptación que encontró Klein entre sus colegas alemanes fue lenta; algunos nunca alteraron su primitiva convicción de que lo que hacía Klein no eran matemáticas. Otros le concedían una cierta categoría como expositor de las ideas de otros (Galois, Hermite, Clebsch, Lie, etc.), de una manera peculiarmente individual.

XXII

[1] Descuidó el intervalo restringido en que es válido el desarrollo en serie.

[2] H. Burkhardt, Entwicklungen nach oscillirenden Functionen etc. (historia), Jahresbericht der deutschen Math. Verein., Leipzig, 10, 1908, 33.

[3] Sophie Germain (francesa, 1776-1831) sería también digna de mención, aunque se discutió la validez de su obra.

[4] Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung (conferencias litografiadas), Gotinga, 1894.

[5] Über die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie, Leipzig, 1894, 193-194 (esquema histórico, 195).

[6] Contrario al veredicto de 2, emitido en 1908 antes de que la física “moderna” estuviera bien encaminada.

[7] Disputado por algunos que atribuyen el desarrollo en serie de Taylor con residuo a Juan Bernoulli. El desarrollo en serie se puede formular también como una ecuación integral. Otros lo ponen como ejemplo típico de la clase de la historia de las matemáticas que lee el futuro en el pasado.

[8] De acuerdo con algunos que deben estar retirados. Pero existe la posibilidad de que la ecuación integral correspondiente al caso de dos variables sea difícil.

[9] En sus primeras fases los expertos hicieron mucho lirismo acerca de esto; al enfrentarse con los cálculos inevitables, algunos enmudecieron.

[10] Grundzüge einer allgemeine Theorie der linear Integralgleichungen, Leipzig, 1912.

[11] También funciones bioctogonales para los problemas de contorno en que las ecuaciones diferenciales no son autoadjuntas.

[12] Descripciones históricas, bibliografías y exposiciones de este tema y otros afines figuran en V. Volterra, Leçons sur les équations intégrales et les équations integro-différentielles, París, 1913; Theory of functionals and of integro-differential equations (trans.), Londres, 1930; G. C. Evans, Functionals and their applications, etc., Nueva York, 1918.

[13] Huygens también puede aspirar a la prioridad, pero parece que Bernoulli fue el primero que enunció explícitamente el principio.

[14] Es suficiente, pero no está bien aclarado si es también necesario.

[15] Como aproximación a las “cantidades pequeñas” de primer orden.

[16] Journ. de l’Ecole Polytechnique, 13, 1832, 67.

[17] En la teoría de los operadores lineales reseñada más adelante.

[18] Propuesto por Leibniz para su consideración en 1695; Euler lo estudió en 1729. Nada adecuado era posible en esta fase primitiva y nada salió de las primeras tentativas.

[19] Véase 12, Volterra.

[20] Si hay que imponer una métrica.

[21] Sin calificación, desde 1927, “espacio de Hilbert” es el espacio que J. von Neumann abstrajo del espacio clásico de Hilbert. La teoría está en M. H. Stone, Linear transformations in Hilbert space, Nueva York, 1932. El espacio clásico es el de todos los vectores reales (x₁,…, xn,…) tal que

[22] H. Weyl, Theory of groups and quantum mechanics (traducción de H. P. Robertson), Londres, 1931, espec. 31-40.

[23] Sur quelques points du calcul fonctionel, Palmero Rendiconti, 22, 1906, 1.

[24] Esta descripción está condensada de una sinopsis de R. W. Barnard, en General analysis, 1, 2, Memoirs Amer. Phil, Soc., Filadelfia, 1935, 1939.

[25] En M. Frechet, Les spaces abstraits et leur théorie considérée comme introduction a l’analyse générale, París, 1928, figura una historia hasta 1928 con apreciaciones críticas.

[26] Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig, 1914 (1917). Pero es fácil que entre la voluminosa literatura haya pasado inadvertido algún uso “explícito” del espacio en este sentido.

[27] Para las relaciones históricas y de otros tipos de la obra de Menger con la de otros, y especialmente con la de P. Urysohn (ruso), véase Menger, Dimensiontheorie, Leipzig, 1932.

XXIII

[1] Por A. Church, Jour. Symbolic Logic, 1, 1936; 3, 1938. En esta bibliografía se dan todas las referencias a las obras de lógica en el aspecto que aquí nos interesa.

[2] De ningún modo “debe”. Un pasatiempo muy seductor es exhumar las teorías de la física matemática del pasado y tratar de imaginar por qué tuvieron vida.

[3] Desarrollo de Boole en la lógica simbólica; análogo del teorema de Maclaurin del cálculo de funciones de distintas variables.

[4] C. S. Peirce pudo haberlo tenido antes. En tal caso no fue publicado en donde atrajera la atención del mundo matemático.

[5] No tiene nada que ver con W. R. Hamilton, el matemático.

[6] Foundations of logic and mathematics, Chicago, 1939.

[7] Bull. Amer. Math. Soc. (traducción de A. Dresden), 20, 1913-1914, 81.

[8] En los Estados Unidos abunda mucho (1940).

[9] Si esos trabajos representan la “línea Sigfrido” de los formalistas, sus contrarios tienen ya el exceso de armamento.

9a R. A. Fisher, Statistical methods for research workers, Edimburgo, 1938.

[10] O sardónicamente. Laplace no se dejaba engañar por nadie, ni siquiera por Napoleón. Pasó la Revolución francesa y la Restauración de la monarquía con la cabeza sobre los hombros y con más dinero en el bolsillo que cuando empezó toda queja de él.

[11] El sentido común ha cambiado muchas veces de significado. Hoy día (1945), el sentido común es lo que el llamado hombre de la calle no quiere nunca. Contémplese si no a las masas europeas: el sentido o la falta de él que demuestran sobrepasa a todos los “cálculos”. Por tanto, Laplace debió estar bromeando.

[12] Véase R. C. Tolman, The principles of statistical mechanics, Oxford, 1938.

[13] Exposición e historia en E. Hopf, Ergodentheorie, Berlín, 1937.

[14] Una historia de la probabilidad hasta 1899 figura en E. Czuber, Die Entwicklung der Wahrscheintichkeitstheorie, etc., Jahresbericht der deutschen Math.-Verein., Leipzig, 1899, tomo 7. Esto deja anticuada parte de la obra anterior de I. Todhunter.

[15] En una conferencia.

[16] Una historia en que se presta atención especial a las aplicaciones educativas figura en Helen M. Walker, Studies in the history of statistical method, Baltimore, 1929.

[17] K. Pearson, The life, letters and labours of Francis Galton, Cambridge, 1914.

[18] El entusiasmo de Pearson hacia la física y la dinámica intuitiva de W. K. Clifford, y también la violenta hostilidad de éste hacia las creencias tradicionales, influyeron por lo menos sobre sus primeras maneras de pensar. Tanto Clifford como Pearson eran matemáticos creadores; ninguno encajaba en el trillado ideal del “gran hombre” del “gran matemático” que parece ser la norma aceptada en las descripciones históricas de los matemáticos; y por lo menos uno de ellos hubiera gritado ante la idea de que iba o había de ser objeto de reverencia para las venideras generaciones de estudiantes.

ÍNDICE ANALÍTICO

ábaco: 61, 97, 99, 126

Abel, N. H. (1802-1829): 88, 207-209, 225, 243, 245, 248, 249, 253-255, 409, 411, 422, 423, 452, 488, 489, 490-493, 512, 515, 516, 523, 539, 588, 617 n.; series de potencias, 327, 428, 515, 516; teorema de, 327, 428, 515, 516, 617 n.

Abelardo, P. (1079-1142): 101, 118

absolutismo matemático: 348

absoluto, de Cayley: 343; en geometría, 363-366

absorción: 274

abstracción: 17-18, 28, 179, 225, 227, 241, 265, 271 s.

abstraccionistas: 477

Abul-Wefa (finales del siglo X): 112

Academia: de Berlín: 143; Real de Dinamarca, 187; Real Irlandesa, 189; de París, 142; de Turín, 380; Academia Francesa, 142

aceleración: 172, 173

actuarial, ciencia: 602

Adams, Henry (1838-1918): 101

Adelardo (principios del siglo XI): 96, 98

adición: 80, 182, 183, 224, 569; asociativa, 557; fórmulas, 67-69; lógica, 568-571; teorema, 277, 549; teorema algebraico, 549; vectorial, 214

aggregate: 286

agregado: 214, 266, 371 s.; de espacio-tiempo, 372; de grupos, 455; de n dimensiones, 213, 219-221, 355; de números reales, 214, 355

agricultura: 604

agrimensores (estiradores de cuerdas): 53, 77

Ahmes (hacia 1800 a. C.): 41, 42, 136

ajuste, bondad de: 606

Alabeadas, curvas: 89, 358

Al-Battami (muerto el 929): 112

Albert, A. (1905-¿?): 591-592, 599 n.

Alejandrina, primera escuela: 67; segunda, 68

Alembert, J. le R. d’ (1717-1783): 188, 296, 407, 418, 485, 487, 511, 532, 615 n.

Alembert: principio de: 385 s.

Alexander, J. W. (1888-…): 470, 476, 619 n.

Alexandroff, P. (1896-…): 619 n

álgebra: abstracta: 31, 177, 239, 242, 271, 321, 342, 416, 447, 467, 480, 516, 565, 570; aplicada, 219; árabe, 107-111, 134; aritmética, 198; asociativa, 213 ss., 222, 242; babilónica, 43-48, 135, 285; booleana, 21, 213, 246, 268, 270-277, 556, 565, 569, 593; de Cayley, 279; clases, 592; común, 223 s., 569; conmutativa, 447; división, 263, 264; doble, 189; egipcia, 48; elemental, 178; enrejados, 273; general, 218; geométrica, 221; hindú, 103-115; lineal, 222, 232, 242, 257, 260-265, 272; matriz, 264; moderna, 192, 233, 235, 242, 310, 258, 370, 592; múltiple, 190, 218; n–ple, 553; de los quánticos, 446; retórica, 27, 108, 132 s.; simbólica, 133; sincopada, 133; sub, 276; tensorial, 215, 219; teorema fundamental, 129, 188, 508; vectorial, 178, 198, 216-218

Álgebra de Al-Khowarizmi: 110

Álgebra de Weber: 251, 252

Algebraic surfaces, de Zariski: 527

algoritmo lógico: 568

Almagesto, de Tolomeo: 91, 111

Aluino (735-804): 96, 98

American Journal of Mathematics: 443

Ampère, A. M. (1775-1836): 122, 619 n.

análisis: abstracto: 260, 265, 266, 533, 547 s.; aritmetización, 285-291, 307; armónico, 601; asintótico, 331; cartesiano, 351; clásico, 567; combinatorio, 29 s., 143, 253, 303, 420, 421, 559; consistencia, 581-589; diofántico, 78, 199, 310-315, 550; esencial, 324 ss.; de Fourier, 522, 532; funcional, 538-543, 547-552; fundamentos, 293, 585; general, 265, 395, 433, 547 s., 512-557; lógico, 561; matemático, 27, 48, 50, 230, 299, 579; moderno, 310; no esencial, 324; de la posición, 468, 513 (véase también Topología); postulacional, 346 s.; submatemático, 99-102, 288, 498, 563, 578, 587; tensorial, 369; teorema fundamental, 499; vectorial, 215, 217, 218, 219; weierstrassiano, 307

Analysis situs, de Poincaré: 474

Analyst, de Berkeley: 299

Analytische-geometrische Entwickelungen, de Plücker: 355

anarmónica, razón: 69

Anaximandro (siglo VI d. C.): 100

ángulo: 86-90, 361; agudo, hipótesis del, 339-342; obtuso, hipótesis del, 339-342, 343; proyectivo, 364

anillo bencénico: 446

anillos: 250, 259, 267, 570, 593; ideales de los, 270; de conjuntos, 273, 276

aniquilador: 446

anticristo: 170

Antifon (hacia 430 a. C.): 609 n.

antropometría: 603

Apercu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie, de Chasles: 353

aplicada, álgebra: 219; matemáticas modernas, 169-175

Apolonio (¿260?-¿200? a. C.): 29, 67, 90-93, 123, 146, 168, 260, 353, 359, 363, 609 n.; traducción de, 123

Applications de géométrie et de méchanique, de Dupin: 367

Applications du calcul infinitésimal à la geométrie, de Cauchy: 304

Aquino, santo Tomás de (1226-1274): 96, 102, 147, 174, 288

Arbogast, L. F. A. (1759-1803): 428

árboles, teoría de los, de Cayley: 471

área: 478

Archibald, R. C. (1875-¿?): 609 n.

Argand, J. R. (1768-1822): 187, 193, 216; diagrama, 193, 216, 328, 499

argumento: 248

Aristarco (siglo III a. C.): 121, 609 n.

Aristóteles (384-322 a. C.): 64, 100, 102, 172, 567, 588, 609 n.

arithmetica: 59

aritmética: 177, 203; aditiva, 309; algebraica, 198; analítica, 319, 323-332; comercial, 124; consistencia de la, 278, 568, 588-591; fundamentos, 573; general, 267; generalizada, 242; moderna, 165-168; multiplicativa, 309; original, 574; postulados, 192, 277-279; racional, 224 s., 231 s., 235, 309, 315; superior, 144, 229, 266, 513, 516; teorema fundamental, 59, 229, 231-235, 267

armónicas elipsoidales: 538

Aronhold, S. H. (1819-1884): 443, 444, 445

Arquímedes (¿287?-212 a. C.): 53, 54, 55, 61, 62, 64, 67, 68, 83-86, 89, 93, 143, 158, 164, 278, 317, 318, 378, 411, 494, 561; axiomas, 85, 90, 297, 347, 609 n.

Ars conjectandi, de James Bernoulli: 597

Ars Magna, de Cardano: 121, 126, 128, 183

arte combinatorio (De), de Leibniz: 568

Artin, E. (1898-¿?): 241, 612 n.

Aryabhatta (siglos V a VI d. C.): 105, 137

asociativa, ley: 213-215

Assemblage: 286

astrología: 35

astronomía: 67, 68; dinámica, 173, 376, 599

ateniense, Escuela: 66

atomismo: 53

átomos vórtices: 470

atracción: gravitatoria: 173; inversa a un cuadrado, ley de, 171

Ausdehnungslehre, de Grassman: 213, 219

autobiografía (Recuerdos de mi vida) de Ramón y Cajal: 33

automorfas: 314

aviación: 548

axioma: de Arquímedes: 85, 90, 297, 347, 609 n.; de infinidad, 578; de reductibilidad, 576 s., 585 s.; trivial, 276; de Zermelo, 497 s., 609 n.

axiomática: 274

azar: 164 s., 607

Babilonia: 615 n.

babilónicos: 184

Bachet, el Diofanto de: 165

Bacon, Roger (1214-1294): 100, 610 n.

Baire, R. (1874-1932): 438, 486, 497

Baker, H. F. (1866-¿?): 621 n.

balística: 31, 127, 379

Ball, W. W. R. (1850-1925): 609 n.

Banach, S. (1892-¿?): 265, 273, 557, 594

baricéntrico, cálculo: 211, 358

Barnard, R. W. (1890-¿?): 622 n.

Barrow, I. (1630-1677): 155, 156

base: 238; teorema, 444; teorema de Hilbert, 238-239

Bateman, H. (1882-¿?): 619 n., 621 n.

Bayes, T. (¿?-1761): 597, 599, 604

Bede, el venerable (hacia 673-735): 96, 97

Beiträge zur Geometrie der Lage, de Von Standt: 361

Beltrami, E. (1835-1900): 341, 344

Bemerkungen zu Grundlagenfragen IV, de Menger: 274

benceno, anillo de: 446

Bergson, H. (1859-1941), 93

Berkeley, G. (1685-1753): 298-300; el “nada” de Berkeley, 299

Berlín, Academia de: 142

Bernays, P. (1888-¿?): 589, 590

Bernoulli, Daniel (1700-1782): 380, 386, 397, 417, 516 s., 534, 545, 597

Bernoulli, James, (1654-1705): 388, 392, 394, 398, 406, 417, 422, 486, 488, 534, 597 n.

Bernoulli, John (1667-1784): 187, 297, 388, 392, 417, 421, 486, 531-534, 621 n.

Bernoulli, los: 162, 397, 417, 485, 486

Berstein, B. A. (1881-¿?): 570

Berwick, W. E. H. (1888-1944): 319

Besicovitch, A. S. (1891-¿?): 621 n.

Bessel, F. W. (1784-1846): 397, 511, 617 n.; coeficiente de, 398, 413; funciones de, 398-401, 534, 537, 538; Bessel, ecuaciones de, 398, 418

Betti, E. (1823-1892): 476

Betti, números de: 476, 481

Bézout, E. (1730-1783): 207, 440

Bhaskara (siglo XII): 105-108, 311

Bibliography of symbolic logic: 565

binaria, relación: 204

Binet, J. P. M. (1786-1856): 441

binómicos, coeficientes: 128

binomio, teorema del: 297

biometría: 604

bionomía: 551

Birkhoff, G. (1911-¿?): 270, 273, 274, 276

Birkhoff, G. D. (1884-¿?): 423, 430, 431, 473, 476, 600, 613 n., 615 n., 619 n.

bisiesto, año: 95

bitangentes: 335

Black, C. W. M.: 527

Blichfeldt, H. F. (1874-¿?): 253, 615 n.

Bliss, G. A. (1876-¿?): 395, 616 n., 620 n., 621 n.

Bobillier, E. (1797-1832): 358

Boccaccio (1313-1375): 119

Bôcher, M. (1867-1918): 368, 538

Boecio (hacia 475-554): 63, 96, 97, 98-99, 102

Bohr, H. (1887-¿?): 522

Bohr, N. (1885-¿?): 621 n.

Bois-Reymond, P. du (1831-1889): 192, 291, 489, 491

Bolyali, J. (1802-1860): 25, 341, 342, 348, 365

Bolyali, W. (1775-1856): 25, 189, 275, 341

Bolza, O. (1857-¿?): 393, 395, 616 n.

Bolzano, N. (1781-1848): 164, 286

Bombelli, R. (siglo XVI): 127, 183, 490

Bonaparte, Napoleón (1769-1821): 334, 351, 379-382, 622 n.

Boole, G. (1815-1864): 268, 270-272, 346, 418, 421, 428, 436, 439, 445, 569-573, 622 n.

booleana, álgebra: 21, 213, 246, 268, 270-277, 556, 565, 570, 593

Borel, E. (1871-¿?): 486, 487, 491, 497, 509, 595, 606, 613 n.

Bouquet, J. C. (1819-1895): 621 n.

Bradwardine, Thomas (1290-1349): 147

Brahe, Tycho (1546-1601): 67, 170, 171

Brahmagupta (principios del siglo VII): 105, 183, 311

braquistocrona: 392

Bravais, A. (1811-1863): 614 n.

Brianchon, C. J. (1783-1864): 336, 353

Briggs, H. (1561-1631): 171

Brill, A. (1842-1935): 523

Bring, E. S. (1736-1798): 243, 248

Brioschi, F. (1824-1897): 443

Briot, A. A. (1817-1882): 620 n.

Brisson, B. (1777-1828): 428

Brocard, H. (1845-1922): 335

Broglie, M. de (1875-¿?): 391

Bromwich, T. J. I’A. (1875-1929): 429

Brouillon project, de Desargues: 167

Brouncker, lord W. (1620-1684): 311, 486, 490

Brouwer, L. E. J. (1882-¿?): 476, 477, 482, 498, 558, 563, 565, 574, 579-581, 583-585, 589

Bryson: 609 n.

Budan, F. D.: 539

Burali-Forti, C. (1861-1931): 292, 567, 576, 587

Burali-Forti, paradoja de, 292, 587

Burgi, J. (1552-1632): 172

Burkhardt, H. (1861-1914): 621 n.

Burnside, W. (1852-1927): 250, 460

Bussey, W. (1879-¿?): 347

cadena, de Jordan Hölder: 276

Cajori, F. (1859-1930): 110, 609 n., 610 n., 611 n.

Calcul des fonctions, de Lagrange: 302

cálculo: baricéntrico: 211, 358; controversia, 157; diferencial, 52, 67, 84, 142-144, 230, 295-305; diferencial absoluto, 369, 370; funcional, 550; de inferencia, 570; 84, 295-305; de Leibniz, 162; de Newton, 24, 160, 301; operatorio, 428-429; proposicional, 576, 590; de Ricci, 370; tensorial, 211, 220, 271, 370 ss., 429, 538, de variaciones, 375, 385-388, 391-395, 433, 531, 534 s., 543, 545, 548, 550, 553 s., 555

Cálculo baricéntrico, de Möbius: 211, 358

cálculo griego: 59 ss.

Calculus of Logic, de Boole: 569

calor: conducción del: 305, 398, 437, 532, 537; teoría, 174; teoría de Fourier, 230, 305; teoría flogística, 64

Calvino (1509-1564): 121

campos: 276-414; abstractos, 194, 265; aditivos, 546; algebraicos, 242, 249, 305; completos, 267; conjuntos de, 273; conmutativos, 242; consevadores, 510; cuadráticos, 105, 315; electromagnéticos, 463; finitos, 263; funcionales, 550; de Galois, 242, 263, 321; generalización, 223; gravitatorios, 463, 546; magnéticos, 546; de números, 224; de números algebraicos, 233, 234; postulados, 224; primarios, 267; relativos, 258; sub, 267; super, 267; superponibles, 546; topológicos, 477; unificados, 463

cantidad: 136

cantidades: 304, 307

Cantor, George (1845-1918): 87, 101, 164, 178, 181, 200, 285-291, 292, 295, 306, 475, 476, 485, 495, 549, 553, 554, 555, 557, 563, 567, 584, 594, 595, 600, 613 n.

Cantor, M. (1829-1920): 609 n., 611 n.

característica: 267; universal, 159, 169, 303, 346, 568

Cardano, H. (1501-1576): 121, 126, 127, 129, 138, 164, 183, 185, 243

Carmichael, R. D. (1789-¿?): 423

Carnap, R. (1891-¿?): 573, 582

Carnot, L. N. M. (1753-1823): 351

Carson, J. R. (1887-¿?): 429

Cartan, E. (1869-¿?): 262, 455, 465

cartografía: 365-367

Castillon, G. F. (1708-1791): 568

Cataldi, P. A. (1548-1626): 489

Catalina la Grande (1729-1796): 380

catenaria: 388

Cauchy, A. L. (1789-1857): 25, 162, 174, 185, 186, 205-206, 251, 267, 296, 298, 302-305, 352, 375, 409, 415, 420-423, 425, 441, 452, 483, 484, 486, 487, 488, 490-494, 505-507, 509, 511, 513, 535, 536, 549, 588, 617 n., 620 ns.

Cauchy, fórmula de la integral de, 501; problema de, 432-433; teorema de la integral de, 500

Cavalieri, B. (1598-1647): 52, 146-148, 563

Cayley, A. (1821-1895): 31, 213, 215, 245, 251, 279, 335-339, 351, 352, 355, 358, 362-366, 418, 436, 438-446, 604, 618 n., 619 n.

Cayley, absoluto de: 343; álgebra de, 279

célula: 471

centroide: 85, 89

cero: 40, 61, 191, 213, 231, 265, 266; divisores, 266, 268; pequeño, 297, 505, 539

César, Julio (100-44 a. C.): 95, 466

Cesàro, E. (1859-1906): 492

Cicico (escuela): 66

cíclidas: 368

cicloide: 175, 539

ciclotomía: 242, 254

Cien Años, Guerra de los: 119, 123

científicas, sociedades: 65

científico moderno, método: 173

cilindro: 84

cinemática: 454

círculo: 18, 86-91; arquetipo, 83, 169; cuadratura, 86-88, 421; de convergencia, 506, 509; moderna geometría, 322-324; vicioso, 275

cisoide: 89

Clairaut, a. C. (1713-1765): 418, 474, 511, 512

Clapeyron, B. P. E. (1799-1864): 536

Clarke, S.: 569, 609 n.

clase: 286, 292, 295 (menge), 613 n.; de equivalencia, 284-286, 479; finita, 286; forma, 313; geometrizada, 557; infinita, 179, 181, 182, 236, 285, 579, 589; nula, 268, 589; ordenada, 287; semejanza, 284-286; sub, 269; súper, 269; teoría, 554

clase, pertenencia a una: 235, 556, 568 s.

clases: 271; álgebra, 592; de puntos, 275; número, 314, 325, 326

clases, número de: 329

clasificación: 277

Classical groups, The, de Weyl: 447

claves algebraicas: 205

Clebsch, R. F. A. (1833-1872): 361, 442-445, 513, 523, 536, 621 n.

Clifford, W. K. (1845-1879): 221, 360, 372, 446, 475, 623 n.

coeficientes: de Bessel: 398, 413; binómicos, 128; de Fourier, 533; indeterminados, 154

Cole, F. N. (1861-1927): 252

colectivos: 607

compás: 334

complejo: geométrico, 357; de líneas cuadráticas, 359; funciones de variable compleja, 188, 375, 385, 483, 499; número, 177, 182, 185-190; 205, 227, 266, 556 s.; topológico, 471 s.

Complete system of fluxions, de Maclaurin: 386

composición, teoría de la: 279

cómputo: 309

comunismo: 565-567

concoide: 89

concreción matemática: 225

conexas, superficies: 500, 519, 620 n.

conexibidad: 519

conforme, representación: 414

Congreso Matemático Internacional: 334

congruencia: 177, 479, 591; aritmética, 202-206, 310; binómica, 240, 321-324; gaussiana, 216, 320-324; geométrica, 357; raíces de la, 322

cónicas: 69, 89, 91, 167, 169, 333 ss.

Conjetura de Goldbach: 328

conjunto: 286

conjuntos: anillos de, 273; campos de, 273; de elementos, 271; de Steiner, 337

conmutativa, ley: 200, 213 s.

cono: 84

conservación: 386, 437; sistema, 389

constantes arbitrarias: 151

constantes lógicas: 571

Constantinopla: 118, 120

construcciones: 334-335

constructibilidad: 589; de Cronecker, 291-294

continua, variación: 151

continuidad: 22, 27, 206, 230, 284, 304, 308, 336, 486, 493, 566, 585; principio de la, 167, 353, 477

continuo: 181, 284 s., 288, 289, 291, 306, 554, 580, 594-595; de los números reales, 304

continuos, grupos: 251, 415

contorno: 468, 470, 477, 500, 503, 556, 558

contorno, problemas de: 115, 221, 535, 537-543, 546, 548

contradicción: 585

Contribution to the mathematical theory of evolution, A, de Peirce: 571

convergencia: 476; círculo de, 506, 509; condicional, 317; radio de, 506; criterios de, 489; uniforme, 305, 491; vectorial, 217

Coolidge, J. L. (1873-¿?): 480, 611 n.

coordenadas: 146; cilíndricas, 398, 536; curvilíneas, 536-538; elípticas, 537; esféricas, 398, 537; especiales, 536-539; gaussianas, 220, 538; generalizadas, 220, 386 s.; homogéneas, 150, 358; lineales, 356-359; sistemas de, 355

Copérnico (1473-1543): 67, 121, 170, 172, 342

Corps: 223

Corpus: 223

correlación: 602-604

correspondencia: biunívoca: 154, 226 s., 285, 289; geométrica, 354, 360

cortaduras: 236, 290, 292; ramas, 513-515

cosmología: 339, 365, 370, 373

Cotes, R. (1682-1716): 186, 187

Courant, R. (1888-¿?): 543

Cours d’analyse, de Cauchy: 304

covariancia, principio de la: 437

covariante: 335; algebraicos, 436, 440-447

Cramer, G. (1704-1752): 358, 440

crecimiento: 509

Crelle, A. L. (1780-1855): 245, 382, 423

Cremona, L. (1830-1903): 336, 338, 360 s., 517, 523

criminología: 602, 603

Cristina de Suecia, reina (1626-1689): 148

Crítica de la razón pura, de Kant: 564

Croissance: 509

Cruzadas: 108

cuadradas, raíces: 80

cuadrados: 60; mínimos, 410, 599

cuadrángulo completo: 351

cuadráticas: especiales, 134; n-arias, 318

cuadratriz: 89

cuadratura del círculo: 86-88

cuádricas confocales: 537 s.

cuadrilátero: birrectangular, 340; completo, 351

cuadrivio: 69, 98

cuántica, mecánica: 32, 385, 579, 585

cuánticos: 446; álgebra de los, 446

cuárticas bicirculares: 348 s.

cuaternios: 217-219, 261, 263, 266, 556, 557; de Hamilton, 178, 200, 210, 211-213, 215

Cuba: 86-89, 136

cúbica: 186; binaria, 319

cuerdas vibrantes: 531

Curry, H. B. (1900-¿?): 586

curvas: 477; algebraicas, 151, 518, 519 s.

curvas: alabeadas: 89, 358; continuo, 289; cúbicas, 358; nodales, 527; normales, 606; de Peano, 402; planas, 88, 237; planas algebraicas, 358; planas de tercer grado, 150; planas cuárticas, 252, 335; que ocupan todo el espacio, 289; especiales, 29, 48, 149; tangencia, 291

curvatura: 340, 344, 371, 372, 454, 461; líneas de, 366-368

Curves and surfaces, de J. W. T Youngs: 479

Czuber, E. (1851-1925): 622 n.

Chace, A. B. (1845-1932): 609 n.

Chapman, S. (1888-¿?): 492

chartres: 101

Chasles, M. (1793-1880): 352

chinos: 166

Christoffel, E. B. (1829-1900): 220, 366, 372, 504

Chrystal, G. (1851-1911): 418

Church, A. (1903-¿?): 586, 590, 591, 622 n.

Chwistek, L. (1884-¿?): 585-586

Daniell, P. J. (1889-¿?): 570

Dante (1265-1321): 119

Darboux, J. G. (1842-1917): 252, 351, 368, 394, 418, 493, 614 n., 620 n.

Darwin, C. (1809-1882): 264, 603

Das Kontinuum, de Weyl: 580

Datta, B.: 609 n.

Dedekind, J. W. R. (1831-1916): 74, 178, 181, 188, 191, 200, 208, 222, 225, 229, 231, 234-238, 240, 249, 250, 258, 259, 267, 270, 271-273, 275, 276, 279, 286, 288, 290, 291, 295, 329, 362, 427, 495, 521, 523, 528, 565-567, 584, 612 n.

Dedekind-Weber, teoría: 528

deducción matemática: 193

deductiva, prueba: 14, 15

deductivo, razonamiento: 14, 27, 56, 65, 342, 607

Degen, C. F. (fl. 1817): 279

degeneración: 336

Dehn, M. W. (1878-¿?): 54, 347, 470

Demócrito (¿460?-¿370? a. C.): 53-54, 84, 600, 609

demostración: 14, 48, 80, 527; constructiva, 239; deductiva, 14 s.; existencia de la, 239; histórica, 18 s.; teológica, 238; teoría, 584, 589, 590; trascendental, 292

Denjoy, A. (1884-¿?): 496

derivada: 305; generalizada, 551

Desargues, G. (1593-1662): 142, 145, 167-169

desarguesiano: 167

desarrollo: asintótico: 492; binómico, 597

Descartes, R. (1596-1650): 24, 78, 85, 138, 141, 142, 143, 147-152, 153, 154, 155, 158, 254, 260, 285, 350, 471, 611 n.

descomposición: teoremas de: 272, 273; única, 234

Descriptio, de Brahe: 171

desigualdades: moderna teoría de las: 327; triangulares, 265

desplazamiento: paralelo, 463, 465; virtual, 389, 465

desviación normal: 606

determinantes: 215, 439-552; infinitos, 552; mínimos, 544

determinismo: 596, 601; económico, 379

Deuring, M.: 613 n.

Diadas: 215

diagrama, de Argand: 193, 216, 328, 499; de Wessel, 193, 216

dibujo mecánico: 367

Dickson, L. E. (1874-…): 78, 229, 250, 253, 262, 263, 321, 331, 447, 460, 610 n., 611 n., 612 n., 614 n., 615 n.

Diderot, D. (1713-1784): 614 n.

diferenciación: covariante, 372; fraccional, 549

diferencial: 301, 305

diferenciales, ecuaciones: 539 s.; algebraicas, 522, generalizadas, 551; teoremas de existencia para las, 425; de orden infinito, 433; teoría de Lie, 450-453; lineales, 537; no lineales, 426; teoría estructural, 451-454; método simbólico, 427-430; sistemas, 430-433

diferencias: finitas, 298, 301, 559; simétricas, 570

dimensionalidad: 339, 354-357, 475-477; teoría, 558

dinámica, astronomía: 173, 376, 599

dinámica: 172; cualitativa, 474; funcional, 551; topológica, 174

dinámico, sistema: 386, 389, 390

Dinostratus (hacia 300 a. C.): 609 n.

Diocles (siglo II a. C.): 89

diofántico, análisis: 78, 198, 310-314, 549

Diofanto (siglo III d. C., se supone): 47, 59, 67, 77-79, 108, 136-138, 183, 310; de Bachet, 165

Dios…: dice R. Bacon: 101; G. Boole, 569; S. Clarke, 569; R. Dedekind, 200; el arzobispo Hildeberto, 101; C. G. J. Jacobi, 200; L. Kronecker, 180; G. W. Leibniz, 487; Florence Nightingale, 601-603

Dirac, P. A. M. (1902-¿?): 81, 465, 546, 611 n.

direcciones: 362

Dirichlet, P. G. L. (1805-1859): 225, 234, 242, 306, 315, 316, 319, 323-326, 329, 550; Dirichlet, P. G. L., principio de, 402-405, 417; problema, 402-405, 504, 509, 541

Discorsi, de Galileo: 173

Discours, de Descartes: 148

discreto (discontinuidad): 22, 544

Disquisitiones arithmeticæ, de Gauss: 197, 310, 312, 315, 318, 322, 325, 436

Disquisitiones generales circa superficies curvas, de Gauss: 371

Disraeli, B. (1804-1881): 254

distancia: 172, 265, 362, 372, 476, 556, 557; postulado, 364; proyectiva, 364

distribución normal: 599 s.

distributiva, ley: 214, 600

divergencia vectorial: 217

divisibilidad: 231-234; aritmética, 59, 198, 231, 234 s., 322; generalizada, 231-235

división: 80, 182, 224, 234, 259; de ideales, 235; de trascendentes, 248

divisor: elemental, 320; máximo, 246; normal, 246; de cero, 266, 268

Dmytryk, Madeleine: 611 n.

Dobles seises: 337

Doctrine of chances, de De Moivre: 597

Doetsch, G. (1892-¿?): 617 n.

dominicos: 118

dominio: de integridad: 268; de racionalidad, 223

dorada, sección: 125

Douglas, J. (1897-¿?): 395

Drach, J. (1871-¿?): 452

Dresden, A. (1882-¿?): 622 n.

dualidad: de la dinámica: 390 s.; generalizada, 355; lógica, 571; principio de la, 271, 339, 353-355

Dunne, J. W.: 616 n.

Dyek, W. von (1856-1934): 613 n.

e: 288

Eckart, C. (1902-¿?): 221

economía matemática: 552

ecuaciones: abelianas: 225; algebraicas, 135, 182, 208, 222, 241-250, 336; algebraicas lineales, 222; algebraicas, su solubilidad, 240; de Bessel, 398 s., 418; binómicas, 208, 233, 254, 322; de Cauchy-Riemann, 503, 505, 510, 511; covariantes, 221; de tercer grado, 44, 84, 117, 126-130, 242; cuadráticas, 43, 129; cuárticas, 117, 126-129, 242-243; entre diferencias, 416-424, 531, 539, 550; diferenciales, 121, 301, 367, 369, 385, 415-419, 534, 539, 540, 546, 601; diferenciales entre derivadas parciales, 366, 531, 538; diofánticas, 124, 280, 312; dinámicas, 388; electromagnéticas, 217; exponenciales, 46-47; de Fermat, 311, 320; de Fourier, 399; de Fredholm, 540, 541; funcionales, 548-550; generales algebraicas, 244-245; hipergeométricas, 427; indeterminadas, 77, 104, 310; lineales infinitas, sistema de, 552; integrales, 538-545, 549, 550-554, 555, 558, 601; integrodiferenciales, 544-545; 551; irreducibles, 234, 244; de Lagrange, 387, 389; de Lamé, 536-538; de Laplace, 502, 510, 537, 541; modulares, 249; resolución de Newton, 130-131; no lineales, 547; de noveno grado, 249; de las ondas, 531; ópticas, 42; paramétricas, 289; de Pelli, 105, 107; de Plücker, 357-359, 519; pitagóricas, 314; de quinto grado, 242-243, 247; resolución, 243; de sexto grado, 243; simultáneas lineales, 46, 183; simultáneas lineales de segundo grado, 46; resolución por radicales, 123-127; de solución numérica, 125, 129; de Volterra, 539; de las ondas, 531

Eddington, A. S. (1882-1944): 464, 611 n., 619 n.

Einstein, A. (1878-1955): 34, 81, 175, 221, 366, 372, 463, 464, 465, 545-547, 559, 565, 580, 588, 611 n.

Eisenhart, L. P. (1876): 465

Eisenstein, F. M. G. (1823-1852): 240, 316-320, 439

ejes principales: 552

elasticidad: 533-536, 542-545

electrodinámica: 217

Electromagnetic theory, de Heaviside: 217

electromagnetismo, teoría del: 464

electrones: 588

Elementary principles in statistical mechanics de Gibbs: 601

elementos, conjunto de: 271

Elementos, de Euclides: 19, 53, 59, 74, 77, 61, 92, 99, 155

Elements of quaternions, de Hamilton: 212

elipse: 69

elipsoide: 537

empirismo: 14

energía: cinética: 387; potencial, 387

Engel, F. (1861-¿?): 455-457

Engelbach, R.: 609 n.

English men of science, etc., de Galton: 603

enrejado: 270; algebraico, 270, 272 s.; de Banach, 273, de Dedekind, 270; punto de, 319, 328; especial, 273; vectorial, 273; véase también estructura

enrejados, teoría de los (Lattice Theorie) de Birkhoff: 273

Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo, de Green: 404

ensemble: 286

enteros: 231, 234; algebraicos, 177, 181, 229, 232, 234, 272; complejos, 233; de Gauss, 232 s.; racionales, 204, 231, 234

envolvente: 357, 368

epiciclos de Tolomeo: 121

Epicuro (¿342?-270 a. C.): 600

equivalencia: 518; clases de, 284-286, 479; relación, 177, 197, 223-225, 226 s., 479

Eratóstenes (¿276?-¿195?, a. C.): 67, 99

ergódicos, teoremas: 600

Erlanger Programm, de Klein: 365, 448, 457-464

error: probable: 600

escolásticos: 101

escuelas: Atenas, 66; Cicico, 66; combinatoria, 303; jónica, 66; matemática, 219; primera alejandrina, 67; segunda alejandrina, 68; vienesa, 88

esfera: 84, 343-344

esféricos: 84

esferoides: 84, 89

esfuerzo, mínimo: 379

espacio: 206, 273, 275, 355-357, 371, 461, 464, 468; abstracto, 265, 338-340, 355, 362, 371, 547, 553, 555-557, 606; abstracto topológico, 558: de Banach, 557; cartesiano, 476; de cuatro dimensiones, 357; estructura del, 462; euclidiano, 79, 215; 475-476; geométrico, 462; de Hilbert, 552, 558, 601; de infinitas dimensiones, 552; de Leibniz, 345; modular, 276; de n dimensiones, 213, 385, 553, 606; de Newton, 345; número y, 60; polidimensional, 289; a priori, 350; real, 272, 350; de Riemann, 385

espacio-tiempo: 461; conjunto, 372

espacios: métricos: 496; superiores, 149

espiral: 89

Essai philosophique sur les probabilités, de Laplace: 599

Essai sur les transversales, de Carnot: 350

Essay pour les coniques, de Pascal: 168

estacionarios: 389

estadísticas: 600-603

estructura: 197-199, 221-228, 244, 270-277; algebraica, 268, 270, 321; aritmética, 565; del espacio, 462; general, 226; la misma, 224-228; véase también enrejados

Euclides (¿365?-¿275? a. C.): 17-19, 29, 50, 59, 67, 77, 82, 98, 190, 231, 260, 276, 281, 294, 327, 328, 340, 343-345, 346-348, 363, 365, 558, 561, 591, 609 n.; traducciones, 98, 123

Euclides ab omni naevo vindicatus, de Saccheri: 339, 348

euclidiana, metodología: 188-192, 348, 599

Eudoxio (408-335 a. C.): 38, 57, 66, 74, 77, 81, 84, 172, 181, 283, 290, 291, 296, 378, 563

eugenesia: 603

Euler, L. (1707-1783): 20, 31, 120, 150, 162, 166, 186, 188, 207, 210, 229, 230, 233, 243, 254, 273, 279, 296, 298, 299-301, 309-312, 315, 317, 322, 323-326, 327, 328, 339, 366, 370, 386, 388, 392, 397, 406 - 409, 412, 417, 418, 471, 474, 485, 488, 490, 504, 511, 512, 532, 534, 543, 549, 559, 610 n., 611 n., 614 n., 616 n., 619 n.; y Jacobi, 326; y Maclaurin, 422

Eulerianas: 303

Evans, G. C. (1887-¿?): 621 n.

evolución del concepto de número: 199

evolutas: 175

Exercices de calcul intégral sur divèrs ordres de transcendentes et sur les quadratures, de Legendre: 409

exhaución: 52, 72, 85, 440

existencia: 225, 239, 290-294, 498, 578, 579, 589; teoremas de, 415

extremal: 392

extremos: 388

factores: integrantes, 417; lineales, 129

factoriales: 423

Fagnano, conte di (1682-1755): 406

falsa posición: 42, 48

Faraday, M. (1791-1867): 481

Federico el Grande (1712-1786): 380

fenómenos: 545

Fermat, P. (1601-1665): 31, 59, 142, 144, 146, 151-155, 163-166, 229, 230, 254, 309, 310, 322, 332, 379, 388; Fermat, teorema de, 166, 241, 322, 323; Fermat, último teorema de, 166, 232, 234, 240, 241, 328, 611 n.

Ferrari, L. (1522-1565): 127, 128, 243

Ferrers, N. M. (1829-1908): 326

Ferro, S. del (1465-1526): 127

Fibonacci (1175-hacia 1250): 124, 183, 184, 279, 320; su identidad, 112 s., 279, 320

Fields, J. C. (1863-1936): 253

fijación de puntos, teorema de: 473

filosofía: analítica: 184 s.; sintética, 184 s.

finitismo: 584

finitistas: 566

Fior, A.: 127

Fischer, E. (1875-¿?): 620 n.

Fisher, R. A. (1890-¿?): 597, 603-605, 617 n., 622 n.

física clásica: 542; matemática, 221, 230

flexión: 534, 536

flujo: irrotacional, 502; turbulento, 23, 502 s.

fluxión: 154, 297, 298, 299

foco-directriz: 69

Föppel, A. (1854-1924): 217

Ford, L. R. (1896-¿?): 621 n.

Formal logic, de De Morgan: 570

formalismo: 182-185, 297, 580-583, 584; analítico, 297; de Hilbert, 582

formalistas: 192, 222, 571 s.

formas: 13, 27; algebraicas, 238, 435; aritméticas, 279-281; aritméticas cuadráticas, 310, 314-319; bilineales, 262, 320, 543: binarias cuadráticas, 105, 314, 414; clases, 313; congruentes, 321; cuadráticas, 79, 413, 520, 544; cuadráticas diferenciales, 220; cuadráticas con una infinidad de variables, 554-556; congruentes, 321; diferenciales, 367-373; equivalentes, 313; de Grassmann, 557; con una infinidad de variables, 552-553; lineales, 319; n-aria m-tica, 312; reducción, 312-314; representación, 313

fórmula Euler-Maclaurin: 422

Formulaire, de Peano: 573

Forsyth, A. R. (1858-¿?): 617 n., 618 n.

fotoelástica, técnica: 536

fotones: 596

Fourier, J. B. J. (1758-1830): 174, 180, 230, 305-307, 380, 399, 532, 539, 614 n., 616 n.; coeficientes, 533; fórmula de inversión, 540; series, 290, 304-307, 491, 532

fracciones: 106, 182; continuas, 311, 489-492; generalizaciones, 490

Français, M. J. F.: 428

Francesco, J.: 617 n.

franciscanos: 118

fraseología de Peano: 346

Fréchet (R.) M. (1878-¿?): 265, 266, 355, 476, 479, 484, 496, 551, 554, 555, 556, 606, 622 n.

Fredholm, I. (1866-1927): 540, 541, 542, 543, 555, 558

Freeman, A.: 614 n.

Frege, F. L. G. (1848-1925): 287, 293, 563, 573, 578, 584

Frobenius, G. (1849-1917): 250, 253, 262, 263, 320, 427, 447, 460, 613n.

Fubini, G. G. (1879-1943): 369

Fuchs, L. (1833-1902): 369, 427, 522

fuerza: 173

Fueter, R. (1880-¿?): 617 n.

funcionales: 392, 433, 545, 547-552

funcionalidad generalizada: 548-552

funciones: 62, 151, 285, 296, 300 ss., 584; abelianas, 339, 512, 523; algebraicas, 237, 358, 522, 523, 524; analíticas, 303, 499, 506, 510; arbitrarias, 306, 531; aritméticas, 319; armónicas, 502, 505, 509, 537; automorfas, 174, 427, 429, 519-522; de Bessel, 397-401, 534, 537, 538; beta, 409; circulares, 247, 301, 405, 519; de corriente, 511; elípticas, 247, 300, 303, 317, 325, 359, 405-414, 507, 516, 520, 534, 535, 549; elípticas modulares, 249, 319, 325, 521; elípticas theta, 326, 412, 517; de Euler, 322 ss.; de Fuchs, 426; gamma, 303, 409; generadoras, 422; hiperbólicas, 520, hiperelípticas, 359; de infinitas variables, 554; integrales trascendentes, 507-509; de Lagrange, 388; de Legendre, 537-542; de línea, 392; logarítmicas, 171; de Mathieu, 401, 538; meromorfas, 507; multiformes, 513; ortogonales, 115, 541-543; periódicas, 115; casi periódicas, 522; doblemente periódicas, 174, 247, 405-414, 517; cuadruplemente periódicas, 517, 519; potenciales, 403, 404, 484, 503, 509, 541, 554; proposicionales, 571, 576, 590; racionales, 505; de Riemann, 509 s.; de Riemann, zeta, 328; theta, 303; trascendentes enteras, 507-509; de variables reales, 484-499; vectoriales, 215

Fundamenta mathematicae: 475

Fundamenta nova, de Jacobi: 317, 411

fundamental, teorema: del álgebra: 130, 187, 508; del análisis, 499; de la aritmética, 59, 229, 231-235, 267; del cálculo, 162

fundamentos: 277

Furstenau, E.: 490

Furtwangler, P. (1869-1939): 612 n.

Galileo (1564-1642): 24, 28, 91, 122, 142, 163, 172, 173, 286, 378, 534, 555, 583, 616 n.

Galois, E. (1811-1832): 188, 197, 207-209, 216, 222, 225, 229, 245, 247, 248, 253-255, 369, 450-453, 462; Galois, campos de, 242, 263, 321; Galois, imaginarios de, 323; Galois, teoría de, 222, 225, 229, 240-242, 249, 251, 258, 317, 414, 416, 437, 444, 446, 451, 481, 592, 613n.

Galton, F. (1822-1911): 603-604, 622 n.

ganado, problema del: 84

Gangtili, S. K.: 610 n.

gases, teoría cinética de los: 600

Gauss, C. F. (1777-1855): 25, 54, 59, 61, 67, 94, 122, 130, 134, 158, 165, 177, 180, 186-189, 191, 197, 198, 199, 201-203, 205, 206, 208-209, 210, 216, 222, 228-233, 240, 242, 253-255, 257, 261, 266, 279, 295, 304, 309, 310, 312, 315-318, 323, 326, 327, 328, 330, 331, 339, 366, 370, 389, 393, 402, 407, 409-414, 421, 424, 436, 439, 441, 452, 454, 470, 475-476, 479, 487, 489, 491, 503, 504, 509-512, 536, 600, 610 n., 612 n., 615 n., 617 n., 619 n., 620 n.

Gelfond, A.: 288

generalidad: 28, 89, 179

generalización: 223-224, 235; finita, 554; principio de, 554

genéro: 518-520

genética: 603

Gentzen, G.: 589

geodesia: 67, 371, 394, 454, 504

geodésica: 340, 344, 464

geometría: abstracta, 260, 346, 480; afín, 274, 276; algebraica, 29, 198, 235, 239, 339, 360, 361, 444, 512, 515, 516, 523, 526; analítica, 24, 28, 146, 147-155, 237, 300, 348; babilónica, 49; de los bivectores, 464; codificación de la, 457-461; consistencia, 563; de cuatro dimensiones, de Plücker, 175; de curvas, 360; definición. 434, 457 s., 466; descriptiva, 367; diferencial, 28, 216, 221, 339, 365-373, 385, 393, 529; egipcia, 50 ss.; elíptica, 343; enumerativa, 352, 477; esférica, 543; euclidiana, 339-342, 343-345, 378; finita, 347; fundamentos, 220, 222, 225; hiperbólica, 342, 343; intrínseca, 386; lineal, 356-357; de Mascheroni, 334; métrica, 49, 79, 339, 341 s., 364; n-dimensional, 212-214; no-arquimediana, 85; no-euclidiana, 89, 199, 212, 222, 274s., 337-348, 356, 461 s., 520, 585, 588; no-riemanniana, 29, 366, 462-464; de los números, 318-320; parabólica, 343; postulados, 192 s.; proyectiva, 28, 69, 236, 271, 274, 276, 277, 339, 350-366; proyectiva diferencial, 368-371; pura, 349, 360 s.; pura proyectiva, 359; de Riemann, 371-373, 463, 464, 465; sintética, 27, 67, 90, 607; sintética, proyectiva, 28, 145, 167-169, 347, 356; de superficies, 360; de Veblen, 465

geométrico, objeto: 459, 461

Géométrie, de Descartes: 141, 148

Geometrie der Lage, de Von Standt: 361

Géométrie de position, de Carnot: 350

Geometrie der Wirbelfelder, de Föppel: 217

Gerberto (950-1003): 96-98, 610 n.

Gergonne, J. D. (1771-1859): 353-357, 358, 612 n.

Gerhardt, C. I.: 611 n., 613 n.

Germain, Sophie (1776-1831): 621 n.

Gibbon, E. (1737-1794): 610 n.

Gibbs, J. W. (1839-1903): 215, 217-222, 601

Gilbert, Wm. (1540-1603): 122

Girard, A. (¿1590?-¿1633?): 186, 188

Gödel, K.: 296, 567, 572, 586, 588, 589-590, 591, 595, 614 n.

Goldbach, C. (1690-1764): 328

Goldbach, conjetura de: 328

Gombaud, A.: 164

Göpel, A. (1812-1847): 512, 617 n.

Gordan, P. (1837-1912): 238, 444, 446, 523, 575

Goursat, E. (1858-1936): 617 n.

Gradiente: 510.

Gräffe, C. H. (1799-1873): 610 n.

gráficos químicos: 471

Gran Plaga: 155

Grassmann, H. G. (1809-1877): 178, 190, 205, 208-217, 218, 220, 221, 242, 355, 440

gravitación: newtoniana: 404, 461, 484, 548; teoría relativista de la, 220; universal, 155, 170

Green, G. (1793-1841): 122, 404, 619 n.

Green, G. M. (1891-1919): 368

Green, teorema de: 404, 512

Gregory, D. F. (1813-1844): 191, 428

Grossmann, M. (1878-1936): 221

Grundlagen der Geometrie, de Hilbert: 346, 348, 582, 589

grupos: 250-253, 272, 447; agregado, 214; caracteres, 253; cocientes (o factores), 246; continuos, 251, 415; dobles, 258, 270 s., 275, 279; finitos, 244-245, 272, 279; infinitos, 244; de Lie, 276; lineales, 521; lineales de congruencia, 323; lineales homogéneos, 252-253; orden, 246; ortogonales, 447; de permutación, 243, 251, 253, 447, 460; postulados, 225-227, 251-252; seudo, 461; solubles, 244, 247, 248; subgrupos, 245-250; subgrupos normales, 245, 276; subgrupos propios, 246; simétricos, 244; teoría, 559; topológicos, 477; transformación, 437, 445-457; de traslaciones, 521

Guerra: de los Cien Años: 119, 123; y matemáticas, 546-548; Mundial (segunda), 14, 547

Guichard, C. (1861-1924): 423

Guldin, P. (1577-1643): 69

Haar, A. (1885-¿?): 496

Hadamard, J. (1865-¿?): 327, 370, 475, 488, 498, 509, 544, 550, 551, 618 n.

Halphen, G. H. (1844-1899): 454

Halley, E. (1656-1742): 156, 299

Hamburger, M. (1838-1903): 426

Hamilton, W. (1788-1856): 570

Hamilton, W. R. (1805-1865): 29, 92, 188, 189, 191, 194, 200, 208-217, 218, 219, 220, 223, 242, 389, 474

Hankel, H. (1814-1899): 191, 495

Hardy, G. H. (1877-¿?): 82, 326-329, 331, 492, 610 n.

Harnaek, A. (1885-¿?): 495

Harriot, T. (1560-1621): 184

Harrison, J. (1693-1776): 430

Hasse, H. (1898-¿?): 612 n.

Hausdorff, F. (1868-¿?): 476, 558

Heath, T. L. (1861-1940): 609 n., 610 n.

Heaviside, O. (1850-1925): 217, 428, 598, 617 n.

Hedrick, E. R. (1876-¿?): 620 n.

Hegel, G. W. F. (1770-1831): 93

Heine-Borel, teorema de: 498

Heisenberg, W. (1901-¿?): 221, 601

Helmert, F. R. (1843-1917): 606

Hellinger, E. (1883-¿?): 555

Hensel, K. (1861-¿?): 237, 258, 523, 528

Herbrand, J. (1908-1931): 589

hereditarios, fenómenos: 542, 545; teoría, 551

Hereditary genius, de Galton: 603

herencia: 603, 606

Hermite, C. (1822-1905): 248, 288, 315, 318, 320, 324, 413, 443, 512, 521, 537, 618 n., 621 n.

Heron (200 a. C.): 47, 68

Hertz, H. R. (1857-1894): 389

hexagrama de Pascal: 336, 346

Heyting, A. (1888-¿?): 586

hidrostática: 84

Hierón: 83

Hilbert, D. (1862-1943): 81, 191-193, 194, 222, 225, 236, 238, 239, 242, 249, 258, 260, 274, 278, 330, 344-348, 390, 394, 404, 430, 444, 453, 505, 540-544, 552, 553, 554, 555, 559, 563, 565, 567, 572, 573, 575, 580, 583-585, 588 - 590, 612 n., 619 n.

Hilbert, Schmidt, método: 543

Hildeberto, arzobispo (siglo XI): 101

Hill, G. W. (1838-1914): 431, 552

Hindenburg, C. F. (1741-1808): 303

hindúes: 27, 60-62

Hiparco (segunda mitad del siglo II a. C.): 47, 67, 146, 172

Hipatia (murió el 415 d. C.): 95-96, 610 n.

hipérbola: 69

hiperboloides: 84

hipercuádricas: 552

hiperdeterminantes: 440, 441

hipocicloide: 348

Hipócrates (¿470?-¿? a. C.): 66, 609 n.

hipótesis: subsiguientes, 554-556; de Riemann, 328 s.

Hippias (siglo IV a. C.): 87, 89

Hire, P. de la (1640-1718): 168

histéresis: 545

Hobson, E. W. (1856-1933): 207

Hälder, O. (1859-1937): 247, 272, 460, 492, 613 n., véase también Jordan-Holder, teorema

holónomo: 386-388

homomorfismo: 177

Hooke, R. (1635-1703): 171, 534

Hôpital, G. F. A. l’ (1661-1704): 296, 297, 388

Hopper, V. F.: 609 n.

Hopt, H. (1894-¿?): 619 n., 622 n.

Horacio: 515

Horner, W. G. (1773-1827): 26, 126

horticultura: 604-606

Hotelling, H. (1895-¿?): 605

Hudde, J. (1628-1704): 184

Huntington, E. V. (1874-¿?): 348, 612 n., 613 n.

Hurwitz, A. (1859-1919): 229, 262, 446

Huygens, C. (1629-1695): 158, 165, 175, 295, 568, 622 n.

icosaedro regular: 249, 335

ideal, verdad: 561

ideales: 227, 258, 271, 277, 570; algebraicos, 234 s.; aritméticos, 503; división, 224 s.; número, 234; polinomiales, 238; primos, 181, 235, 272; principales, 235; unidad, 235

Ideas Eternas: 64, 82, 169, 478

idempotentes: 261

identidad: abstracta: 227; analítica, 351; de cuatro o de ocho cuadrados, 279; de Fibonacci, 113, 279, 320

igualdad: 135, 204, 223-225, 590-592

imaginarios: de Galois: 323; geométricos, 350 s., 361 s.; puntos, 352

implicación: 568, 572

imprenta, la, en Europa: 120

incertidumbre, principio de la: 601

incógnitas: 135

indeterminación: 274, 585

indicatriz: 367

indivisibles: 52, 146, 285, 563

Infeld, L. (1898-¿?): 611 n.

Inference, calculus of: 570

infinidad: axioma de: 578; numerable, 163, 287 s.; no numerable, 205

infinidad tripartita de la teología: 64

infinita: sucesión: 166; totalidad, 204

infinitésimos: 302, 308

infinito: 284-286; matemático, 563; paradojas, 307

inflexión: 358

Inquisición: 142

Institutiones calculi differentialis, de Euler: 300

Institutiones calculi integralis, de Euler: 300

integración: de Cauchy: 493 s.; compleja, 511; de Denjoy, 496; de Lebesgue, 496, 555; de Riemann, 494-496; teoría, 494-497, 557

integral: abeliana, 512, 516, 518, 519; definida, 84, 305, 306; elíptica, 174, 248, 301, 405-409, 515, 516, 519, 534; de Hellinger, 555, hiperelíptica, 519; invariante, 394; inversión de la, 409-411; mínimo, 389; de Stieltjes, 489-491

integral: fórmula de Cauchy, 500 s.

Intégrale, longueur, aire, de Lebesgue: 495

inteligencia, pruebas de: 599, 602

interpolación: 46, 421, 488; trigonométrica, 532

intersección, postulados de: 276

intuición: 54, 478: abandono de la, 526-529; analítica, 297; científica, 401-405; del espacio, 461; geométrica, 274 s., 304; original, 574, 584

intuicionismo: 297, 573-576, 579-581, 583-585

intuicionistas: 574-576

invariancia: 239, 244, 251, 464

invariante: 334; algebraico, 221, 352, 435, 453; diferencial, 454; funcional, 551; modular, 321; proyectivo, 69; topológico, 474

inversión: 182-185; geométrica, 359-361, 517; de Jacobi, 516

Investigation into the laws of thought…, de Boole: 271, 569, 587

involución: 167; geométrica, 361 s.

involuta: 175

irreducibles: 231, 232

Isabel de Inglaterra, reina (1533-1603): 122

Isidoro (hacia 570-636): 96

isomorfismo simple: 226

isoperimétricos, problemas: 89, 417

iteración: 541

Jacobi, C. G. J. (1804-1851): 29, 92, 200, 242, 248, 317, 324, 326, 389, 392, 410, 441, 456, 490, 507, 512, 515, 516, 617 n.

jacobianos: 441

Jeans, J. H. (1877-¿?): 609 n.

Jeffreys, H. (1891-¿?): 429

Jensen, J. L. W. V. (1859-1925): 423, 489

jerarquía de tipos: 576

Jerrard, G. B. (¿?-1863): 613

jónica, escuela: 66

Jonquières, E. de: 360

Jordan, C. (1838-1922): 247, 250, 252-253, 272, 289, 336, 460, 474, 613 ns.

Jordan-Hölder, teorema de: 247, 272, 273, 276

Josué: 284

Jung, H. W. E.: 528

Kant, I. (1724-1804): 88, 185, 356, 564, 574, 588

Kantorovich, L.: 273

Karkhi, al (hacia 1010 d. C.): 109, 127

Kekulé, V. S. (1829-1896): 446

Kellogg, O. D. (1878-1932): 616 n., 620 n.

Kelvin, lord (W. Thomson) (1824-1907): 217, 402, 470, 544, 616 n., 617 n., 619 n.; y el problema de Dirichlet, 402-405

Kepler, J. (1571-1630): 67, 146, 167, 169-172, 352; leyes de, 170-173

Keyser, C. J. (1862-¿?): 618 n.

Khayyam, Omar (murió hacia 1123): 88, 111

Khowarizmi, al (primera mitad del siglo IX): 98, 109, 110, 132, 137, 138, 183

Kidinnu (hacia 340 a. C.): 47

Kirchhoff, G. R. (1824-1887): 470, 536

Kirkman, T. P. (1806-1895): 252, 336, 469-471

Kleene, S. C. (1909-¿?): 586, 590, 591

Klein, F. (1849-1925): 221, 227, 249, 250, 251, 335, 339, 341, 363, 364-366, 368, 438, 445, 448, 455-464, 470, 475, 488, 520, 521, 523, 524-526, 538, 613 n., 618 n., 621 n.

Klügel, G. S. (1739-1812): 614 n.

Knopp, K. (1882-¿?): 619 n.

Kobb, G.: 527

Koch, H. von (1870-1924): 552

König, J. (1849-1913): 267

Körper: 223

Kowalewski, Sonja (1850-1891): 432

Krampt, C. (¿?-1812): 614 n.

Kronecker, L. (1823-1891): 180, 185, 188, 192, 197, 205-207, 208, 220, 222, 225, 229, 237, 238, 239, 240, 242, 248, 249, 250, 258, 267, 288, 289-292, 316, 325, 362, 412, 413, 427, 441, 444, 477, 523, 566, 575, 579, 580, 583, 584, 589, 590, 612 n., 614 n.

Krull, W. (1899-¿?): 613 n.

Krummer, E. E. (1810-1893): 208, 229, 231, 232, 233, 240, 318, 489, 612 n.

Kürschak, J. (1864-1933): 265

Lacroix, S. F. (1765-1843): 486

Lagrange, J. L. (1736-1813): 25, 29, 92, 93, 105, 107, 128, 131, 153, 162, 164, 167, 174, 179, 180, 209, 229, 230, 242-248, 254, 296, 298, 301, 302, 303, 306, 309-312, 314, 315, 317, 320, 322, 328-330, 375-380, 386, 388, 390, 393, 394, 395, 398, 404, 418, 421, 423, 435, 439, 440, 441, 445, 474, 484, 485, 490, 504, 509, 511, 512, 531-534, 537, 598, 610 n., 614 n., 616 n., 618 n.

Laguerre, E. (1834-1866): 364, 454, 490

Lamb, Charles: 548

Lambert, J. H. (1728-1777): 341, 406, 504, 512, 568

Lamé, G. (1795-1870): 368, 535-539

Landau, E. (1877-1938): 287, 319, 327, 329, 331, 521, 612 n., 615 n.

Landen, J. (1719-1790): 407

Landsberg, G. (1865-1912): 523, 528

Laplace, P. S. (1749-1827): 120, 122, 162, 164, 180, 202, 376-380, 404, 418, 421, 424, 431, 441, 474, 532, 537, 539, 541, 549, 597-598, 599, 616 n., 622 n.

Lasker, E. (1868-¿?): 267

Latham, Marcia L.: 611 n.

Laurent, H. (1841-1908): 508

Laws of thought, de Boole: 271, 569, 587

Leacock, S. (1869-1944): 259

Lebesgue, H. L. (1875-1941): 486, 494, 495, 498, 620 n.

Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal, de Darboux: 252

Leçons sur les coordonnées curvilignes et leur diverses applications, de Lamé: 536

Lectures on quaternions, de Hamilton: 212

Lefschetz, S. (1884-¿?): 476, 619 n.

Legendre, A. M. (1752-1833): 174, 230, 233, 254, 309, 312, 314-317, 322, 327, 347, 393, 408, 418, 532, 537, 600, 616 n., 617 n.

Leibniz, G. W. (1646-1716): 24, 136, 141, 142, 144, 145, 147, 157-164, 166, 186, 194, 254, 284, 286, 293, 295, 296, 303, 307, 346, 354, 388, 413, 415, 427, 440, 485, 494, 563, 568, 588, 591, 611 n., 617 n., 620 n., 622 n.

Lemoine, E. (1840-1912): 334, 335

Leonardo de Pisa (hacia 1175-1250): 112, 117, 124; véase también Fibonacci

LeRoy, E.: 492

Levi, B. (1875-¿?): 527

Levi-Civita, T. (1873-1941): 221, 464, 466

Levy, P. (1886-¿?): 429, 551

ley: asociativa: 214-215; de atracción inversa a un cuadrado, 171; conmutativa, 197, 213, 214; distributiva, 214, 600; de Kepler, 171-173; de la reciprocidad, de Legendre, 233; de los intervalos musicales, 60; pitagórica, 60

Liber Abaci, de Fibonacci: 112 s., 117, 124

Liber quadratorum, de Fibonacci: 124-125

libertad, grados de: 387

libre albedrío: 601-602, 606

Lie, M. S. (1842-1899): 25, 92, 244, 250, 251, 262, 276, 369, 390, 415, 437, 445, 451-453, 454, 455-457, 458, 573, 618 n., 619 n., 621 n.

límites: 52, 230, 284, 296, 301, 304, 308, 486, 554, 566; teoría de los, 301

Lindemann, C. L. F. (1852-1939): 87, 288

linearidad: 440 s., 542, 544-547, 559

líneas: 275; asintóticas, 367; coordenadas, 356-358; de curvatura, 366-368; geométricas, 356-358; oblicuas, 337

Linneo (1707-1778): 260

Liouville, J. (1809-1882): 288, 507, 540, 549

Liouville, teorema de: 507

Lipschitz, R. (1831-1904): 229, 262, 366, 372, 425

Listing, J. B. (1802-1882): 470

Littlewood, J. E. (1885-¿?): 319, 329, 331, 492

Lobachewsky, N. I. (1793-1856): 25, 199, 341, 343, 348, 365, 462

logaritmos: 131, 170, 171

lógica: un absoluto: 348; aristotélica, 586; combinatoria, 586; de infinitos valores, 588; intuicionista, 586; matemática, 178, 179, 222, 225, 229, 261, 270, 346, 362, 563, 567-607; no-aristotélica, 101 s.; poco dignos de confianza los principios de la, 579; simbólica, 145, 159, 202, 235, 307, 551, 565, 567-607; de tres valores, 587 s.; de varios valores, 570-572

logicalismo: 573, 577-581, 584

Logisch-philosophische Abhandlung, de Wittgenstein: 582

Logische Syntax der Sprache, de Carnap: 582

logística: 59, 60-61, 387

longitudes: 477

Loyola (1491-1556): 121

Lucas, E. A. (1842-1891): 125

Lucrecio (¿95-51? a. C.): 600

lugares geométricos: lineales: 89; planos, 89; en volumen, 89

Luis XVI (1754-1793): 380

Lukasiewicz, J.: 587

lunar, teoría: 430, 552

Lüroth, J. (1844-1910): 523

Lutero, M. (1483-1546): 121

luz: teoría sólido-elástica de la: 536; quanta de, 588

Macaulay, F. S. (1862-1937): 267

MacColl, H. (1837-1909): 571, 572

MacLane, S. (1909-¿?): 613 n.

Maclaurin, C. (1698-1746): 130, 298, 386, 406, 422, 487, 614 n., 620 n., 622 n.; Maclaurin, teorema de, 298

MacMahon, P. A. (1854-1929): 617 n.

MacMillan, W. D. (1871-¿?): 431

Mach, E. (1838-1916): 81, 611 n.

Magnete, De, de Gilbert: 122

magnitudes: 193, 307; algebraicas, 250, 267; ampliadas, 213-215

Magnus, L. I. (1790-1861): 360

Mahavira (siglo IX): 105, 183, 185

Mahoma (siglos VI y VII): 96

Malfatti, G. F. (1731-1807): 613 n.

maratón: 62

marcas: 173

Marcelo (¿268?-208 a. C.): 83

March, H. W. (1878-¿?): 429

Markoff, A. (1856-1922): 606

masa: 136; producción en, 559

Mascheroni, L. (1750-1800): 334; Mascheroni, geometría de, 334

Mason, M. (1877-¿?): 430

matemática: 239 s., 467, 572, 586, 588 s.

Mathematical analysis of logic, de Boole: 569

Mathematical logic, de Quine: 587

matemáticas: abstractas: 347; aplicadas, 169-175; carácter formal, 348; consistencia, 581; fundamentos, 350, 578, 585; y la guerra, 546-548; militares, 547; motivo económico, 546; naturaleza, 567 s.; problema del formalismo, 572; significado, 581-584; universales, 546-548; materia, 60, 579

Mathews, G. B. (1861-1922): 319

Mathieu, E. (1835-1890): 397

matrices: finitas: 556; mecánica de, 216, 221

matrices, método de, 571

matriz: 215, 577; hermitiana, 320

Maupertuis, P. L. M. de (1698-1759): 389

máximos y mínimos: 153, 388, 390 393

Maxwell, J. C. (Clerk Maxwell, J.) (1831-1879): 217, 335, 481, 600

Mayer, A. (1839-1908): 395, 451

McCormack, T. J.: 611 n.

M. C. D. (máximo común divisor): 268

McLachlan, N. W. (1888-¿?): 617 n.

M. C. M. (mínimo común múltiplo): 268, 269

mecánica: 89, 274, 548; analítica, 376-378, 385-388; celeste, 120, 173, 180; cuántica, 221, 253; estadística, 31, 601; de Laplace, 120, 180; de matrices, 216, 221; newtoniana, 164, 173, 213, 377, 385-386, 453; ondulatoria, 221, 543

Mechanica, de Euler: 386

Méchanique analytique, de Lagrange: 386

Medici, familia de los: 120

mediciones: 84; de Arquímedes 55; babilónicas, 48-51, 54; egipcias, 50 s.

medida: 274

Medio Excluido: 101, 579, 584

Menaechmo (¿375?-¿325? a. C.): 66, 84, 468

Mendel, G. (1822-1884): 603

Menelao (siglo I d. C.): 167

Mengenlehre, de Cantor: 182, 290, 475, 556, 563, 567, 595, 600

Menger, K. (1902-¿?): 274, 276, 558, 588, 622 n.

menos, signo: 105 s.

Mente Eterna: 83

Méray, C. (1835-1911): 178, 290

Mercator, N. (1620-1687): 486

Mersenne, M. (1588-1648): 142, 148

metafísica: 86, 582, 584-585

Methoden der mathematischen Physic (tomo 1), de Courant y Hilbert: 543, 544

método: abstracto: 258, 277, 281, 525, 558 s.; algebraico-aritmético, 526; científico moderno, 173; estadístico, 596, 604; fotoelástico, 536; de Hilbert-Schmidt, 543; de matrices, 571; postulacional, 79-82, 130, 222, 339; de proyecciones, 168, 336; uniforme, 44-46, 129

metodología euclidiana: 187-192, 348, 600

Methodus incrementorum directa et inversa, de Taylor: 298, 421

métrica, geometría: 49, 79, 339, 341 n.

métrica proyectiva: 363-366

Meyer, W. F. (1856-1934): 618 n.

Michalski, K.: 102

Michelson-Morley, experimento de: 220

Miguel Ángel (1475-1564): 121

Milton, J. (1608-1674): 613 n.

Miller, G. A. (1863-¿?): 252, 615 n.

mínimo esfuerzo: 379; tiempo, 153

mínimos: 153, 388, 390-393

mínimos cuadrados: 410, 599

Minkowski, H. (1864-1909): 79, 315, 317-319

Mises, R. von (1883-¿?): 607

misticismo: 574

místicos: 608

Mittag-Leffler (1846-1927): 508

Möbius, A. F. (1790-1868): 211, 358, 445, 474, 612 n.

modular, sistema: 238, 258, 271

módulo: 202, 204, 313

Mohr, G.: 334

Moigno, F. N. W. (1804-1884): 617 n.

Moivre, A. de (1667-1754): 186, 597; teorema de, 186

momentos, método de los: 606

Monge, G. (1746-1818): 339, 352, 366-368, 380, 424

monton: 136

Moore, E. H. (1862-1932): 227, 253, 263, 347, 433, 460, 552-556, 613 n., 614 n.

Mordell, L. J. (1888-¿?): 280

Morera, E. (1856-1909): 620 n.

Morgan, A. de (1806-1871): 50, 131, 157, 191, 217, 472, 489, 570, 603, 614 n.

Morrice, G. G.: 613 n.

Morse, M., (1892-¿?): 395

Moulton, F. R. (1872-¿?): 431, 618 n.

movimiento: elíptico: 398; grupos de, 454; postulados, 172-173

Muir, T. (1844-1934): 441

multiplicación: 80, 182, 183, 214, 224, 265-267, 267-272; asociativa, 261; compleja, 325, 412; conmutativa, 200, 263, 268; lógica, 568, 571

Mundial, segunda Guerra: 14, 547

mundo, líneas de: 579

Murnaghan, F. D. (1893-¿?): 429, 617 n.

musicales, ley de los intervalos: 60

musulmanes: 27, 93, 102-115

mutaciones: 211

Mydorge: 142

nacimientos, limitación: 603

“nada”, de Berkeley: 299

Napier, J. (1550-1617): 170, 611 n.

Nasir-Eddin (1201-1274): 112

Natural inheritance, de Galton: 603

naturalismo: 200

navegación: 120, 379

Navier, M. H. (1785-1836): 535, 536

negativos: geométricos: 350; lógicos, 568

negra, muerte: 119, 123

Nemorario, J. (primera mitad del siglo XIII): 122

Nesselmann, G. H. F.: 132

Neue Geometrie des Raumes gegrundet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelemente, de Plücker: 363

Neugebauer, O. (1899-¿?): 38, 47, 609 n.

Neumann, C. (1832-1925): 541

Neumann, F. (1798-1895): 536

Neumann, J. von (1903-¿?): 570, 600, 622 n.

Newton, I. (1641-1727): 20, 24, 28, 33-34, 54, 67, 85, 91, 93, 130, 142, 144, 146, 147, 151, 153, 154-158, 159, 160-162, 163, 164, 170, 173, 177, 254, 284, 285, 295-297, 299, 317, 318, 354, 375, 376, 378, 388, 411, 413, 416, 420, 485, 486, 488, 494, 563, 611 n., 617 n., 619 n.

Nicomaco (siglo I): 63, 98, 99

Nicomedes (siglo II a. C.): 89

Nightingale, Florence (1820-1910): 601-603

Nilpotentes: 261, 264

Niven, I. M. (1915-¿?): 331

Noether, A. E. (Emmy) (1882-1935): 229, 241, 242, 249, 272, 321, 523, 528, 612 n.

Noether, M. (1844-1921): 360, 518, 523, 612 n.

Nonsingular cubic surface, de Segre: 336

no numerable, infinito: 205

Norlund, N. E. (1885-¿?): 424

norma: 320

notación algebraica: 128

notaciones matemáticas, Historia de las, de Cajori: 110

Nudos: 469-471

nula, clase: 268, 568

Numbers, History of the theorie of, de Dickson: 78

numerable, infinito: 163, 288

numeración: decimal: 41; egipcia, 41; griega, 60 s.; hindú, 40, 60-62; maya, 40; sexagesimal, 39; sistemas, 61; valor de la cifra según su posición, 40

numerología: 35, 70, 81, 203, 545, 578; platónica, 578; pitagórica, 69 s., 80, 578

números: 13, 27; algebraicos, 87, 207, 225, 231-234, 240, 329, 513; de Betti, 476, 481; cardinales, 181, 230, 285, 286-288, 293, 554, 563; clases, 329; complejos, 177, 182, 184-190, 205, 227, 266, 556, 557; evolución del concepto de, 198 s.; campo de, 224; cuadrados, 60; figurados, 59; g-ádicos, 258; geometría de los, 318-320; hipercomplejos, 177, 198, 214, 215, 229, 261, 262, 266; irracionales, 22, 46, 70-77, 205, 284, 288, 563, 567, 584; agregado, 213; misticismo, 30, 60, 63; naturales, 180, 230, 231, 283, 578; negativos, 43, 70, 105, 183 s., 191, 205; ordinales, 230, 286-288, 292, 554; p-ádicos, 258; poligonales, 30, 97; puros, 308; racionales, 71, 224, 580; reales, 66, 70, 74, 177, 236, 283, 306, 556, 580, continuo de los números reales, 304; significado, 202; “todos”, 292; trascendentes, 87, 288 s.; transfinitos, 584; triangulares, 60

números hindúes, 61, 110, 124, 258

números: parejas de, 189, 191, 194; de Hamilton, 205, 224

“O”: 570, 571

observables: 274, 579

Occam (hacia 1300-1349): 102, 343, 587

Olivier, T. (1793-1853): 618 n.

onda, superficie de: 359

ondas: ecuación de las: 531; de probabilidad, 596

ondulatoria, mecánica: 221, 543

operaciones: 136; aditivas, 556-558; continuas, 557; funcionales, 554, 555; lineales, 557-558

operadores diferenciales: 445

óptica: 153, 156

órbitas circulares: 121

orden, tipo de: 554

ordinales, números: 230, 286-288, 292, 554; transfinitos, 288

Ore, O. (1899-¿?): 270, 592, 593, 612 n., 613 n.

Oresme (siglo XIV): 146

ortogonales: 115, 542

Osgood, W. F. (1864-1943): 613 n.

Ostrowski, O. (1893-¿?): 266, 612n.

Ostwald, W. (1853-1932): 614 n.

Paciòlo, L. (¿1445?-1514): 183, 610 n.

Padé, H. (1863-¿?): 490

Painlevé, P. (1863-1933): 426

Papo (segunda mitad del siglo III): 68, 88-90, 167, 611 n.

parábola: 69

paraboloide: 84

paradojas: 178; de Burali-Forti, 292, 587; del infinito, 307; de Russell, 293; de Zenón, 72-74, 159, 292, 563

paralelas: 167, 343; postulado, 86-88, 199 s., 341, 348

paralelo, desplazamiento: 463

parejas de números: 189, 191, 194; de Hamilton, 205, 224

parte: 276

particiones: 31, 300, 326

Partiellen differentialgleichungen der mathematischen Physic, Die, de Riemann-Weber: 543

Pascal, B. (1623-62): 31, 142, 145, 164, 167-169, 335, 351, 353

Pasch, M. (1843-1931): 344-346, 347

Pax Romana: 95

Peacock, G. (1791-1858): 190-192

Peano, G. (1858-1932): 278, 289, 344-347, 572, 573

Pearson, K. (1857-1936): 603-606, 623 n.

Peirce, B. (1809-1880): 214, 222, 229, 257, 261, 345

Peirce, C. S. (S.) (1839-1914): 261-263, 570, 593, 622 n.

Pell, J. (1610-1685): 614 n.

péndulo: compuesto, 175; simple, 174

Pensées, de Pascal: 168

periodicidad: doble: 405-414; generalizada, 520; única, 405

permanencia, principio de la: 184, 191

Pearson, O. (1880-¿?): 496, 620 n.

perturbaciones, teoría de las: 174

Petrarca (1304-1374): 119

Pfaff, J. F. (1765-1825): 424

Pfaff, problema de: 424-425

π: 48, 54-55, 87, 288

Picard, E. (1856-1941): 252, 416, 426, 451, 452, 523

Picard, teorema de: 521

Pillai, S. S. (1902-¿?): 331

Pincherle, S. (1853-1936): 423, 551

pirámide: gran: 51, 70; triangular, 49; truncada, 49, 51-54, 473

Pitágoras: 60, 63, 65, 66, 69, 84, 91, 99, 179-183, 230, 281, 362, 558, 563, 583, 596

pitagórica: hermandad, 60, 64, 65, 69, 90 s., 172, 284, 291 s., 296; ley, 60; numerología, 69 s., 81, 578

pitagórico: 30; programa, 193-195, 201, 206, 222; teorema, 19, 48-50, 79, 150, 371

plana, G. A. A. (1781-1864): 535

Planck, M. (1858-¿?): 543

plano finito: 347

Plateau, J. (1801-1883): 395; problema de, 395

Platón (430-349 a. C.): 59, 64, 66, 80-84, 298, 343, 561, 578, 582, 609 n s.; ciencia de, 59

platónica, teoría, de las verdades matemáticas: 64

platónico: idealismo: 82; realismo, 82

platónicos: 55; cuerpos, 80

Plücker, J. (1801-1868): 25, 175, 339, 354-360, 363, 445, 471

Plücker, ecuaciones de: 357-359, 519

Plutarco (¿46?-¿120?): 83

Poincaré, H. (1854-1912): 181-182, 250, 251, 262, 307, 318, 346, 403, 421, 423, 429, 431, 473, 476, 486, 492, 520, 522, 523, 525, 541, 543, 552, 558, 565, 591, 620 n.

Poisson, S. D. (1781-1840): 422, 512, 535, 536

Pol, B. van der: 430

polares: 353; recíprocas, 354

poliedros: 337, 471, 474

polígonos regulares: 208

polinomios: 506-508; aproximación, 508; reducible, 239

polo: 501; analítico, 501 s.; geométrico, 353-355

Poncelet, J. V. (1788-1867): 349-356, 359, 363, 477

Pons asinorum: 99

positivismo lógico: 582

positivistas: 583

Post, E. L. (1897-¿?): 586-588

postulacional, método: 79-82, 130, 222, 339

postulados: 16, 222; correlativos, 226-228; independientes, 347; de la dinámica, 172-173; de las paralelas, 86-88, 199, 340, 348; “unión”, 269

potencial: 403, 404, 484, 503, 509, 541, 554; cinético, 388 s.; función, 387; newtoniano, 474; teoría, 120, 174, 375, 379, 385

potencias: notaciones de las, 136, 154; residuos, 322-324; series de Abel, 327, 428, 515 s.

Practica geometriae, de Fibonacci: 124

pragmatismo: 261

predicado cuantificado: 571

Priestley, J. B. (1894-¿?): 616 n.

primos, números: 231-234; distribución, 324, 327; teorema de los números primos, 327, 328; teorema de los números primos ideales, 329; racionales, 231, 272; teoría, 430

Principia, de Newton: 91, 141, 156, 161, 162, 170, 171, 173, 386

Principia mathematica, de Whitehead y Rusell: 551, 564, 571, 573, 576, 578, 579, 581, 585, 586, 587, 589, 590, 592, 593

principio: de d’Alembert: 385 s.; del cálculo de variaciones, 381-391; círculo vicioso, 476; de continuidad, 167, 352, 477; de covariancia, 437; de Dirichlet, 402-405, 417; de dualidad, 271, 339, 353-355; estacionario, 389; de generalización, 554; de Hamilton, 389; ideal, 235; de incertidumbre, 601; de la permanencia de la forma, 184, 191, de superposición, 531, 545

Prinhonsky, F.: 613 n.

Prinzipien der Mechanik, Die, de Hertz: 389

probabilidad matemática: 165

probabilidades: 30, 144, 163-166, 274, 421, 549, 563, 571, 588, 596-608; distribución continua, 598; sucesivas, 606; inversas, 597; ondas de, 596

probabilidades encadenadas: 606

problema: de Cauchy: 432-433; cuatro ases, 452; de Dirichlet, 402-405, 504, 509, 541; formal matemático, 571; del ganado, 84; isoperimétrico, 89, 417; de Lord Kelvin y Dirichlet, 402-405; Pfaff, 423-425; de Plateau, 395; de los puntos, 164; de los tres cuerpos, 174; de valores de contorno, 115, 221, 399, 535, 537-543, 546, 548; de Waring, 328-331

Problème de la logique de la science, Le: 582

producto: directo: 264; exterior, 214; indeterminado, 214 s., 218; infinito, 300, 326, 489, 508; interior, 214

progresión aritmética: 42, 170; geométrica, 170

Projective geometry, de Hilbert: 274

prolongación analítica: 351-353, 507, 508

prolongaciones: algebraicas: 267; trascendentes, 267

proporción: 48, 89

proporcionales: 74

proposiciones: 575-579; cálculo de, 576

protosimbolismo: 137

proyección: 88 s., 336; método de, 168, 336

prueba de la razón, de Cauchy: 304

pruebas de convergencia: 489

pruebas de inteligencia: 599, 602

Psello (1020-1100): 96

puntos, conjunto de: 163, 286, 289, 306, 472, 475, 482, 495, 554, 557; anillos, 276; medida, 495; teoría, 480

puntos: circulares: 349; clases, 275; dobles, 358, 518; enrejados, 319, 326; límites, 266; ordinarios, 505; problema de los, 164; de ramificación, 505, 513

puntuales, acontecimientos: 579

Quanta: 419

Quanta, teoría: 215, 274, 280, 318, 447, 465, 543, 546, 588, 596

Quaternions, Lectures on, de Hamilton: 242

Quetelet, A. (1796-1874): 602-604

Quine, W. V: 577, 586, 587

racionalidad, dominios de (campos): 223

Radon, J. R. (1887-¿?): 496

Rafael (1483-1520): 121

raíz: 128; negativa, 129, 183, 184; primitiva, 322; de la unidad, 243

√2: 47

raíces, separación de las: 539

Ramanujan, S. (1887-1920): 319, 326, 331

ramas: 513-515; cortaduras, 236, 290, 292

Ramón y Cajal, S.: 33

Ramsey, F. P. (1903-1930): 585

Rayleigh, lord (1842-1919): 617 n.

razón: 49, 173; anarmónica, 69; “misma”, 74, 75; primera y definitiva, 154; transversal, 69, 550, 362

razón, prueba de la, de Cauchy: 304

razonamiento: deductivo: 14, 27, 56, 65, 342, 607; inductivo, 14 s.

Real Academia de Dinamarca: 187

Real Academia irlandesa: 189

reales, funciones de variables: 483-498

realidad: externa: 206; platónica, 578

reciprocidad: 232, 240, 241; bicuadrática, 232, 233, 317; cuadrática, 315, 323; ley de la reciprocidad cuadrática, de Legendre, 233; cúbica, 317

recíprocos, teoría de los: 454

recorde: 138

recta del infinito: 352

Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres, de Dirichlet: 324

Recherches théoriques modernes en calcul des probabilités, de Fréchet: 606

reducción continua: 318, 324

reductibilidad, axioma de: 576, 578, 585-586

Reductio ad absurdum: 66

reflexividad: 204

Regiomontano (= J. Müller) (1436-1476): 131

regla de los signos: 154, 183

regla y compás: 334

regresión: 603

Reichenbach, H. (1891-¿?): 588

Reidemeister, F.: 470

relaciones: 204, 222, 591; de equivalencia, 177, 197, 223-225, 226 s., 479; lógica de las, 570

relatividad: 216, 220, 437, 457, 543, 546; especial, 79, 220; general, 29, 173, 219, 220, 341, 370, 373, 385, 390, 438, 439, 463, 464

reloj de péndulo: 175

representación: conforme, 502-504; continua, 476; paramétrica, 360; teoría de la, 273

residuos: 501

resolvente: 129

restringido, menos: 389

Résumé des leçons donées l’école polytechnique, de Cauchy: 304

Revolutionibus orbium coelestium, De, de Copérnico: 121

Rheticus, G. J. (1514-1576): 131

Riccati, conde (1676-1754): 417, 616 n.

Riccati, V. (1707-1775): 406

Ricci, M. M. G. (1853-1925): 221, 366, 370, 372, 482

Riemann-Christoffel, tensor: 220, 437

Riemann, G. F. B. (1826-1866): 25, 79, 219-221, 237, 306, 317, 324, 329, 339, 343, 365, 366, 370, 371, 372, 403, 417, 437, 454, 464, 475, 481, 484, 493, 494, 504, 509, 511, 512-520, 522, 523, 543, 588, 614 n., 615 n., 620 n.

Riemann, hipótesis de: 327-329

Riesz, F. (1880-¿?): 557, 620n.

Riesz, M. (1886-¿?): 492

rigor: absoluto: 308; de Weierstrass, 506

Ritt, J. F. (1893-¿?): 453

Ritz, W. (1878-1909): 617 n.

rizos: 513

Roberto de Chester (principios del siglo XII): 96, 98

Robertson, H. P. (1903-¿?): 372, 622

Roch, G.: 523

Rosanes, J. (1842-1922): 360

Rosen, F.: 110

Rosenheim, J. G. (1816-1887): 512, 517

Ross, W. D. (1877-¿?): 611 n.

Rosser, J. B. (1907-¿?): 586, 587

rotaciones: 210, 211, 414

Rousseau, J. J. (1712-1778): 180, 203, 603

Royal Society de Londres: 142, 156

Ruffini, P. (1765-1822): 245, 249

Russell, B. (A. W.) (1872-¿?): 226, 293, 307, 563, 564, 572, 573, 576, 577, 578, 581, 587, 592, 601, 612 n.

Sacheri, G. (1667-1733): 339-341, 348, 378

Saint-Venant, B. de (1797-1886): 536

Saks, E.: 620 n.

Salamina: 62

Salmón, G. (1819-1904): 336, 358, 443, 621 n.

Salomón, sello de: 335-338

Sanford, Vera (1891-¿?): 609 n.

Sargon: 203

Sarton, G. (1884-¿?): 609 n., 610 n.

Saturno, anillos de: 600

Scheffers, G. W. (1866-¿?): 262, 455

Schläfli, L. (1814-1895): 471, 474

Schlick, M. (1882-1936): 582-583

Schmidt, E. (1845-1921): 541, 544

Schnirelmann, L. (1905-1938): 328

Schröder, F. W. K. E. (1841-1902): 571, 572, 593

Schrödinger, E. (1887-¿?): 221, 544, 546

Schubert, H. (1848-1911): 352, 477

Schur, I. (1875-¿?): 613 n.

Schwartz, H. A. (1843-1921): 504

Schweikart, F. K. (1780-1857): 342

sección dorada: 125

Sectiones conicae, de De la Hire: 168

Seeber, L. A.: 314

segmento parabólico: 85

Segre, B.: 280, 336, 527

Seidel, P. L. von (1821-1896): 305

Seki Kowa (1642-1708): 440, 618 n.

Selling, E. (1834-1920): 318

semántica: 582

semejanza, clases: 284-286

semisimple: 263

series: 300; de potencias, de Abel, 327, 428, 515 s.; absolutamente convergentes, 491; alternadas, 304; armónicas, 486; binómicas, 421, 487; convergentes, 266, 300, 301, 304, 305, 490 s.; diferenciación por, 491; de Dirichlet, 522; divergentes, 486-488, 490, 491, 509; de Fibonacci, 124-126; de fracciones parciales, 300; de Fourier, 290, 304-307, 491, 532; geométricas, 85; hipergeométricas, 304, 522; infinitas, 85, 299, 485-489, 490-492; integración por, 490; lineales, 360; logarítmicas, 486; de Maclaurin, 130; de potencias, 302, 303, 506-507, 512; recurrentes, 422; suma, 487 s.; de Taylor, 130, 302, 509; trigonométricas, 290, 306, 399, 532, 542

Servois, F. J.: 428

seudoesfera: 341, 344

Severi, F.: 360, 523, 527

Shanks, W. (1812-1882): 55

Sheffer, H. M. (1883-¿?): 571, 586

Sicigias: 442

Siegel, C. L.: 315, 318, 321, 331

Sierpinski, W.: 594

signos, regla de los: 154, 183

silogismos: 308, 570

simbolismo: algebraico: 27, 109; desarrollo, 132-139; lógico, 572; operatorio, 105, 107; de Peano, 346

simetría: 204

simplex topológico: 471

Simpson, T. (1710-1761): 296, 598

Singh, A. N.: 609 n.

singularidad: 499; esencial, 505 s.

sintaxis lógica: 582

sistemas: conservadores, 389; de coordenadas, 355; de ecuaciones diferenciales, 430-433; dinámicos, 386s., 389, 390; modulares, 238, 258, 270; no conservadores, 389; simultáneos, de ecuaciones, 42

Skews, J.: 611 n.

Skolem, T.: 589-591

Smith, D. E. (1860-¿?): 609 n., 610 n., 611 n.

Smith, H. J. S. (1826-1883): 315, 318, 320, 611 n., 612 n., 614 n.

sociales, ciencias: 596

sofistas griegos: 53

sólido elástico: 534-535

sólidos regulares: 80

solución: por radicales: 245; singular, 354; trascendental, 243

Sommerville, D. M. Y. (1879-1934): 615 n.

Sosígenes (siglo I a. C.): 95

Spengler, O. (1880-¿?): 101

Spinors: 465

Stäckel, P. (1862-1919): 512, 621 n.

Staudt, K. C. G. (1798-1867): 361-363

Steiner, J. (1796-1863): 336, 337, 352, 357-360, 363, 517, 619 n.

Steinitz, E. (1871-¿?): 242, 249, 252, 267

Stetigkeit und irrationale Zahlen, de Dedekind: 566

Stevinus (Simon Stevin): 121

Stieltjes, T. J. (1856-1894): 486

Stifel, M. (¿1487?-1567): 183

Stirling, J. (¿1696?-1770): 611 n.

Stokes, G. G. (1819-1903): 305, 616 n.

Stokes, teorema de: 404

Stolz, O. (1842-1905): 495

Stone, M. H. (1903-¿?): 565, 570, 592, 622 n.

Struve, W. W.: 609 n.

Study, E. (1862-1922): 114, 446

Sturm, J. C. F. (1803-1855): 539, 541

Sturm-Liouville, teoría: 543

Sturm, teorema de: 539

subálgebra: 264

subcampo: 267

subclase: 269

sucesión regular: 289

suma directa: 263

sumación; fórmula de Euler: 487

sumeria: 35-38

sundman, K. F. (1873-¿?): 615 n.

supercampos: 267

superclase: 269

superficies: 149, 477, 527; cerradas, 474; conexas, 500, 519, 620 n.; cuárticas, 359, 521; cúbicas, 334-336; de Kummer, 359; de onda, 359; de Riemann, 475, 512-520, 523; triplemente ortogonales, 368

supernaturalismo: 200

superposición, principio de: 531, 545

sustitución racional: 242

sustracción: 80, 182, 224

Sutherland, H. G. (1882-¿?): 34

Swift, J. (1667-1745): 298

Sylow, L. (1832-1918): 251, 437, 460

Sylvester, J. J. (1814-1897): 207, 326, 443, 445, 453, 618 n.

Symbolic logic and its applications, de MacColl: 572

System der analytische Geometrie, de Plücker: 358

System of logistic, de Quine: 586

Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, de Steiner: 359

tablas: aritméticas: 40; logarítmicas, 67, 171; numéricas, 47; trigonométricas, 111-113, 130; de la verdad, 571

Tait, P. G. (1831-1901): 212, 215, 217, 218, 470, 612 n.

Takagi, T.: 612 n.

tangentes dobles: 358

Tartaglia, N. (1500-1557): 126, 127

Tauber, A. (1866-¿?): 327

Tauber, teoremas de: 327

Taurinus, F. A. (1794-1874): 342

tautocrona: 175, 417, 539

tautología: 582

Taylor, B. (1685-1731): 298, 378, 421, 531, 615 n.

Taylor, teorema de: 298, 302

Tchebycheff, P. (1821-1894): 327, 597, 615 n.

tensor de Riemann-Christoffel: 220, 437

tensorial: álgebra, 215, 219; análisis, 369; cálculo, 211, 220, 271, 370, 372, 429, 538

Tentamen, etc., de W. Bolyai: 341

teoremas: de Abel: 327, 428, 514-516; de adición, 278, 549; de adición para las funciones algebraicas, 549; de la base, de Hilbert, 238; del binomio, 297; de cadena, 268; de descomposición, 272; de existencia para las ecuaciones diferenciales, 425; fundamentales, 444; de Fermat, 166, 241, 322, 323; último de Fermat, 166, 232, 234, 240, 241, 327, 611 n.; de Green, 404, 512; de Heine-Borel, 497; de la integral de Cauchy, 501; de Jordan-Holder, 247, 272, 273, 276; de Liouville, 507; de Maclaurin, 298; de Moivre, 186; de los números primos ideales, 327, 329; de Picard, 521; de Pitágoras, 19, 49-50, 79, 150, 371; de puntos invariantes, 473; de Stokes, 404; de Sturm, 539; de Tauber, 327; de Taylor, 298, 302; de Thue, A., 321, 324; véase también Fundamental, teorema

teoría: de los árboles, de Cayley, 471; del calor, 174; de los campos, 229; de las clases, 554; cinética de los gases, 600; de conjuntos de puntos, 480; de Copérnico, 121; de Dedekind-Weber, 528; de la demostración, 584, 589; de la dimensionalidad, 557; de las ecuaciones diferenciales, de Lie, 449-454; del electromagnetismo, 464; de los fenómenos hereditarios, 551; flogística del calor, 64; de Galois, 222, 225, 229, 239-242, 249, 251, 258, 267, 317, 414, 416, 437, 444, 446, 451, 481, 592, 613 n., 621 n.; de grupos, 559; de la integración, 494-497, 557; de los límites, 301; lunar, 430, 552; matemática de la evolución, 605; moderna de desigualdades, 327; del número-clase de las binarias cuadráticas, 331; de los números primos, 430; de las perturbaciones, 174; platónica de las verdades matemáticas, 64; del potencial, 120-121, 174, 375, 385; de probabilidades, 30, 144, 163, 166, 274, 421, 549, 563, 571, 588, 596-598; de los quanta, 215, 274, 280, 318, 446, 465, 543, 546, 588, 596; de los recíprocos, 454; relativista de la gravitación, 220; de la representación, 273; sólido-elástica de la luz, 536; de Sturm-Liouville, 542; de transformación, 369, 412

teoría del conocimiento: 86, 88, 564, 601

terminología uniforme: 134

termodinámica: 31

Termópilas: 62

Tetens, J. N. (1738-1807): 614 n.

Thales (año 600 a. C.): 49, 65, 66, 70, 80, 91

Theaeteto (año 400 a. C.): 80, 610 n.

Theorie der algebraischen Curven, de Plücker: 358

Théorie analytique des probabilités, de Laplace: 597

Théorie des fonctions analytiques, de Lagrange: 302

Théorie, de Fourier: 305

Théorie des nombres, de Legendre: 315

Thomas, J. M. (1898-¿?): 453, 617 n.

Thomas, T. Y. (1899-¿?): 465, 618 n.

Thomson, W., véase Kelvin, lord

Thue, A. (1863-1922), teorema: 321, 324

tiempo: 172, 206, 578; mínimo, 153, 379, 388

Timeo, de Platón: 60

tipos, doctrina de: 576, 585-586

Todhunter, I. (1820-1884): 622 n.

Tolman, R. C. (1881-¿?): 389, 622 n.

Tolomeo (siglo II d. C.): 67, 68, 91, 104, 111, 121, 170

Tolomeo, epiciclos de: 121

Tonelli, L. (1885-¿?): 551

topología: 177, 265, 337, 339, 468-482, 513, 565, 605-608; abstracta, 475 s.; analítica, 472; combinatoria, 472

Torquemada (1420-1498): 121

torsión: 536

trabajos: 509; virtuales, 388

Tractatus logico-philosophicus, de Wittgenstein: 582

Tractriz: 341

traducciones: de Apolonio: 123; de Euclides, 98, 123

Traité d’analyse, de Picard: 252

Traité de dynamique, de Alembert: 386

Traité des fonctions elliptiques et des intégrales culériennes, de Legendre: 409

Traité des propriétés proyectives des figures, de Poncelet: 350, 351

Traité des substitutions et des équations algébriques, de Jordan: 250

Traité du calcul differentiel et du calcul integral, de Lacroix: 486

transformaciones: 465, 478; bicontinuas, 468; birracionales, 339, 350, 354, 360, 517, 527-529; biuniformes, 468; de contacto, 390; de Cremona, 339, 517, 518, 528; funcionales, 372; geométricas, 354; homiomorfas, 469; infinitesimales, 449-451; lineales, 129, 216, 412, 543; cuadráticas, 359; teoría, 369, 412 s.

transformaciones de Laplace: 598

transitividad: 204

transversal, razón: 69, 350 s., 361 s.

trascendentes, prolongaciones: 267; funciones enteras, 507-509; números, 87, 288, 289; pruebas, 292; soluciones, 243

traslaciones de grupo: 521

Treatise on electricity and magnetism, de Maxwell: 217

Treatise on fluxions, de Simpson: 297

Treatise on natural philosophy, de Thomson y Tait: 217

tres cuerpos, problema de los: 174

triángulo: diferencial: 145; moderna geometría del, 333-334

triangular, desigualdad: 557

Triangulis, De, de Regiomontano: 131

triángulos: en perspectiva: 167; semejantes, 50, 70, 347

trigonometría: 30, 67, 130-132; analítica, 185-187, 300; aplicada a la geometría, 150; árabe, 110-115; esférica, 114, 606; hindú, 110-115; no-euclidiana, 340-342; tablas, 111-113, 130

trisección: 86-90

trivio: 69

Tropfke, J. (m. 1939): 609, n., 610 n., 611 n.

Tschirnhaus, E. W. (1651-1708); véase Tschirnhausen, E. W.

Tschirnhausen, E. W. (o Tshirnhaus), (1651-1708): 242, 248

Tucker, R. (1832-1905): 335

turbulencia: 601

Turín, Academia de: 380

Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, de Riemann: 371

Ulam, S.: 496

unidad: 88, 569; raíces de la, 245

unidades: 231, 233; algebraicas, 234, 312, 320; fundamentales, 257, 261; herimatianas, 320-321; de los números hipercomplejos, 214

uniformización: 520

unión, postulados de la: 268-269, 270, 275

Universidad: de Berlín: 393, 506; de Cambridge, 118, 155-156; de Chicago, 393; de Nápoles, 118; de Oxford, 118; de Padua, 118; de París, 118; de Varsovia, 594

universo: 274

Urysohn, P. (1898-1924): 622 n.

vacío: 274

valor: absoluto, 265, 557; medio asintótico, 331

valuaciones: 258

Vallée-Poussin, C. J. de la (1866-¿?): 327

Vandermonde, A. T. (1735-1796): 440, 613 n.

variable: 151, 284, 296, 577; general, 555; multilateral, 554

variables: reales, función de, 484-498; generalizadas, 395; n-, 447; separación de, 417

variación, campo general de: 555; geométrico, 356-358

variaciones: cálculo de, 375, 385-388, 391-395, 433, 531, 534, 543, 545, 548, 550, 554, 604; continuas, 151

variaciones, principios del cálculo de: 385-391

Veblen, O. (1880-¿?): 274, 347, 465, 476, 618 n., 619 n.

vectores: 211, 557; coplanares, 210

vectorial: adición: 214; álgebra, 178, 198, 216-218; análisis, 215, 217-220: convergencia, 217; divergencia, 217: función, 215; enrejado, 273

velocidad: 172, 173

verdad: 569; absoluta, 376, 561; eterna, 28; ideal, 561; bivalva, 580

verdad, sistemas de (de m valores): 587

verdad, tablas de la: 571

verdad, valores de: 571, 585; indeterminados, 571

Veronese, G. (1857-1917): 336, 346

Versalles: 175

Versuch über Pflanzenhybriden, de Mendel: 603

Vessiot, F. (P. J.) (1865-¿?): 451

vienesa, escuela: 88

Vieta, F. (1540-1603): 117, 128-132, 138, 151, 184, 243, 354

Vinci, Leonardo da (1452-1519): 121, 610 n.

Vinogradov, I. M.: 328-329, 331

Virgilio (70-19 a. C.): 616 n.

Volterra, V. (1860-1940): 484, 539-542, 544-554, 558, 621 n.

volúmenes: 478

Vorlesungen über die Algebra der Logik, de Schröder: 572

Vorlesungen über Zahlentheorie, de Dirichlet, Eleventh supplement, de Dedekind: 225

vórtices, átomos: 470

Vortsudien zur Topologie, de Listing: 470

Waerden, B. L. van de: 528

Walker, Helen M. (1891-¿?): 622 n.

Wallis, J. (1616-1703): 138, 187, 311, 421, 488

Wantzel, P. L. (1814-1848): 86, 245

Wearing, E. (1734-1798): 304, 329, 421, 611 n.

Waring, problema de: 329-331

Was sind und was sollen die Zahlen?, de Dedekind: 566

Weber, H. (1842-1913): 251, 252, 512, 521, 523, 528, 543

Wedderburn, J. H. M. (1882-¿?): 262, 272, 613 n.

Weierstrass (1815-1897): 159, 163, 178, 266, 286, 288, 289-292, 296, 320, 393, 403, 432, 485, 491, 495, 504-507, 508, 509, 517, 523, 545, 549, 563, 579, 617 n., 620 n.

Weierstrass, análisis de: 307

Weldon, W. F. R. (1860-1906): 604

Wessel, C. (1745-1818): 186-188, 193, 216

Wessel, Hors: 611 n.

Wessel, diagrama de: 193, 216

Weyl (C) H. (1885-¿?): 447, 464, 466, 467, 580, 583-585, 618 n., 619 n., 622 n.

Whetstone of Witte, Recorde: 138

Whitehead, A. N. (1861-¿?): 226, 564, 573, 578, 581, 586, 587, 592

Whitehead, J. H. C.: 615 n., 617 n.

Whittaker, E. T. (1873-¿?): 615 n., 617 n.

Widmann, J. W. (hacia 1450): 107

Wiener, N. (1894-¿?): 429, 601

Wilczynski, E. J. (1876-1932): 368-370

Wilson, J. (1741-1793): 322

William de Champeaux (1070-1122): 101

William de Occam, véase Occam

Wittgenstein, L.: 585

Woodger, J. H.: 82

Wordsworth, W. (1770-1850): 595-596

Wright, E. M.: 610 n.

Wronski, H. (1778-1853): 303, 441

“Y”: 571

Yenri: 440

Young, J. W. (1879-1932): 274, 347, 619 n.

Young, Rosalind C.: 620 n.

Young, Thomas (1773-1829): 93

Young, W. H. (1863-¿?): 497, 616 n.

Youngs, J. W. T. (1910-¿?): 479

yuxtaposición aditiva: 137

Zahlentheorie, de Dirichlet: 316

Zariski, O. (1899-¿?): 528, 621 n.

Zenón (¿495?-¿435? a. C.): 66, 73, 86, 307, 585, 609 n.

Zenón, paradojas: 73, 159, 292, 563

Zermelo, E. (1871-¿?): 497, 594

Zermelo, axiomas: 497

Zeuthen, H. G. (1839-1920): 352

Zolotareff, G.: 612 n.

Zúrich: 594

Zwicky, F. (1898-¿?): 588