Juegos

de acertijos

enigmáticos

Eric Emmet

Compilado por David Hall y Alan Summers

Grupo: Juegos, Humor y Esoterismo

Subgrupo: Juegos Lógicos, Matemáticos, Psicológicos y otros

VOLUMEN

19

Gedisa editorial

Título del original en inglés:

The Penguin Book of Brainteasers

© by The Estate of Eric Emmet, 1984

Traducción: Margarita Mizraji

Diseño e ilustración de cubierta: Gustavo Macri

Primera edición, Barcelona, 1990

Edición digital: Sargont (2018)

© by Editorial Gedisa, S.A.

Barcelona, España

ISBN: 84-7432-401-7

Depósito legal: B. 41.733 – 1990

Impreso en España

Printed in Spain

Impreso en Romanyá/Valls, S.A.

Capellades (Barcelona)

Índice

Prefacio

Parte I. Acertijos de números cruzados

1. Mayor o menor

2. Un número cruzado (3 por 3)

3. Un número cruzado (5 por 5)

4. Clave cruzada

5. Algunos números muy cruzados

6. Pares y nones

7. Un número más cruzado

Parte II. Criquet

8. Un buen puntaje

9. Un solo ganador

10. Criquet; Cuatro equipos

11. Últimos resultados

12. ¿Y dónde estaba B?

Parte III. Fútbol

13. ¿Puede sacar algunas conclusiones?

14. Pierde C

15. Cuatro equipos: Letras por dígitos, una letra equivocada.

16. Cuatro equipos

17. No se puede hacer uno sin el otro

18. Partidos recíprocos

19. Gana D

20. Fútbol y suma: Letras por dígitos

21. Siete equipos

Parte IV. Fútbol: Nuevo método

22. Todos tienen puntos

23. Tres equipos

24. Tres equipos más

25. Todos puntajes diferentes

26. Un profesor polifacético

27. Más goles

28. Goles sumamente recompensados

Parte V. Todas las cifras incorrectas: División y suma

29. Cuatro dígitos divididos por dos dígitos

30. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

31. Suma: Cuatro números

32. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

33. Suma: Dos números

34. Diferencia de uno

Parte VI. Los acertijos del tío Frangollo

35. Casi correcto

36. Una más incorrecta

37. Fútbol: Cinco equipos, dos cifras equivocadas

38. El tío Frangollo y la tira vertical

39. El tío Frangollo y la tira horizontal

40. La droga de la mentira

41. El tío Frangollo y un afortunado 13

42. Ningún divisor

43. Suma: Letra por dígitos, una letra equivocada

44. La última línea del tío Frangollo es incorrecta

45. Un nuevo frangollo

Parte VII. Letras por dígitos: División, suma y multiplicación

46. H es 3

47. Hileras de ocho

48. Hileras de nueve

49. Multiplicación de siete dígitos

50. Dos hileras

51. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

52. Suma: Dos números

53. Multiplicación de cinco dígitos

54. Otra suma con letras

55. Suma: Cuatro números

56. Multiplicación

Parte VIII. Faltan algunas letras o dígitos

57. División: Faltan algunas cifras

58. Operación de división

59. División larga

60. Multiplicación larga

61. División: Algunas letras por dígitos, algunos faltan

Parte IX. Poesía y miscelánea

62. Sillas alfabéticas

63. Fútbol en verso

64. ¡Qué manera de terminar esta canción!

65. Dos, tres, cuatro, seis

66. ¡Oh, tío! ¡Qué frangollo!

67. La calle de la lógica

68. ¿Suma o resta? Es lo que debe descubrir

69. Hijos y nietos

70. Sume dos veces

71. El profesor y las islas del mundo

Soluciones

Parte I. Acertijos de números cruzados

Parte II. Criquet

Parte III. Fútbol

Parte IV. Fútbol: Nuevo método

Parte V. Todas las cifras incorrectas: División y suma

Parte VI. Los acertijos del tío Frangollo

Parte VII. Letras por dígitos: División, suma y multiplicación

Parte VIII. Faltan algunas letras o dígitos

Parte IX. Poesía y miscelánea

Nota

En este libro el signo ⸫ tiene el sentido de consecuencia lógica y equivale a: “De donde”, “En consecuencia”, “Por tanto”, etcétera. Se ha usado, siguiendo el original inglés, por razón de comodidad, para aligerar el texto y por brevedad. [E.]

Prefacio

Los lectores de los libros anteriores de Eric Emmet se habrán lamentado mucho al enterarse de su muerte ocurrida en marzo de 1980, pero se alegrarán de saber que nos dejó una gran cantidad de acertijos inéditos. Eric disfrutaba absolutamente con la confección de acertijos —lo cual se refleja en la cantidad que produjo— pero no sólo por el simple gusto de hacerlos: quería ayudar a la gente a pensar con claridad. Las respuestas completas son un buen ejemplo de la ruta lógica hacia la solución y el cuidado infinito que ponía Eric para lograr el resultado único.

Hemos compilado este libro a partir de la gran cantidad de problemas originales y, al hacerlo, hemos tratado de mantener una estructura que, esperamos, Eric hubiese aprobado. Durante muchos años nos hemos encargado de controlar una gran cantidad de acertijos para Eric y nos sentimos muy complacidos de tener la posibilidad de continuar con la publicación de esta obra tal como Eric la había planeado.

Tenemos cálculos con números cruzados, suma, multiplicación y división, hay sustitución de números por letras, algunos ejercicios se complican porque faltan letras y otros que se complican, todavía más porque algunas, o todas, las letras están equivocadas. Eric disfrutaba particularmente con la invención de acertijos de fútbol y de criquet y también tenemos una cantidad de esos problemas.

Entre los distintos tipos de acertijos de dificultad variada, todos requieren la claridad de pensamiento que propiciaba Eric. Puede ayudar a la persona no iniciada en la resolución de estos problemas echar un vistazo a la solución y seguir la técnica utilizada: la clave de muchos de los problemas está en encontrar por dónde empezar. Sin embargo, las soluciones no son el único camino para la respuesta correcta sino simplemente una guía.

Muchos de los discípulos de Eric se acordarán de cuando ensayaban su último rompecabezas en las lecciones de los viernes a la noche. No existía mejor estímulo que ofrecer una recompensa económica (por supuesto, relacionada con la dificultad) para la primera solución correcta que ingresara en el buzón antes de las 10 de la mañana del sábado. Los viernes por la noche eran jomadas inusualmente laboriosas.

Después de la compilación de cualquier libro, y en especial de uno de este tipo, viene la tarea de controlar, que le agradecemos especialmente a Nick Taylor-Young, quien ha resuelto todos los problemas para su verificación. Además, también para un libro de estas características, es esencial un trabajo de tipeado muy preciso, lo cual ha sido realizado admirablemente por Eleanor Rose y Sarah Mais. Por último, hemos recibido una gran ayuda de Alex Summers para el control y preparación del manuscrito.

Aileen Emmet siempre había constituido un enorme respaldo para Eric y su pérdida le dejó un inmenso vacío durante los últimos meses de su vida. Al infatigable equipo que formaron Aileen y Eric, tal como los recordamos, le dedicamos esta obra.

I

Acertijos de números cruzados

1. Mayor o menor

(No hay ceros)

Horizontal

1. 3 veces el 3 horizontal.

3. Un múltiplo del 4 vertical.

5. Cada dígito es mayor que el anterior o bien cada dígito es menor que el anterior.

Vertical

1. La suma de los dígitos es 18.

2. Un múltiplo de 3.

4. El cuadrado de un número impar.

Solución

2. Un número cruzado (3 por 3)

(No hay ceros)

Horizontal

1. La suma de los dígitos es 10.

3. Todos dígitos pares.

4. Todos los dígitos impares y cada uno es menor que el anterior.

Vertical

1. El segundo dígito es mayor que cualquiera de los otros dos.

2. Un múltiplo del 3 vertical.

3. El segundo dígito es mayor que el primero.

(Uno de estos números es el mismo que otro invertido.)

Solución

3. Un número cruzado (5 por 5)

(No hay ceros)

Horizontal

1. Todos los dígitos son diferentes y todos impares.

5. La suma de los dígitos es 10.

6. Un cuadrado perfecto.

7. La suma de los dígitos es la misma que la suma de los dos primeros dígitos del 9 vertical.

8. Un múltiplo de 13.

10. Un múltiplo de 6.

12. Un número par, que es el mismo cuando se lo invierte.

Vertical

1. 8 horizontal multiplicado por 10 o menos.

2. Todos dígitos diferentes y en orden descendente.

3. 8 horizontal invertido.

4. Cada dígito es mayor que el anterior.

9. Cada dígito es menor que el anterior.

11. El mismo cuando se lo invierte.

Solución

4. Clave cruzada

(No hay ceros)

Horizontal

1. Cada dígito es impar y es mayor que el anterior.

4. Todos los dígitos son diferentes y éste es un múltiplo del número que es 3 veces mayor que el 1 vertical. Aun cuando se lo invierta.

5. Un cubo perfecto.

Vertical

1. En éste entra el 17.

2. Un múltiplo del 1 vertical.

3. Cada dígito es impar y es menor que el anterior.

Una clave es incorrecta. ¿Cuál es?

¿Con qué dígito debe llenarse cada cuadrado?

Solución

5. Algunos números muy cruzados

Podría decirse —y en realidad se lo ha dicho— que el tío Frangollo tiene la especialidad de complicar las cosas. Hasta el momento esto no ha hecho mella en su carácter imperturbable, pero el otro día, tal vez como resultado de tantas bromas que han aumentado sensiblemente a lo largo de los años, algo estalló.

“Muy bien”, dijo muy enojado, “si ustedes dicen que complico las cosas las voy a complicar verdaderamente.” Y se puso a confeccionar un acertijo de números cruzados en el que todas las claves individuales eran incorrectas. Y esta vez no había ningún error en los errores.

El acertijo era el siguiente:

(No hay ceros)

Horizontal

1-2-3. Un múltiplo que no sea ni de 3 ni de 5 ni de 7.

4-5-6. La suma de los dígitos es mayor que 5.

7-8-9. El último dígito es menor que la suma de los dos primeros.

Vertical

1-4-7. La suma de los dígitos es menor que 19.

2-5-8. La suma de los dígitos es mayor que la suma de los dígitos del 3 vertical.

3- 6. Un número impar.

Encuentre la solución del tío Frangollo.

Solución

6. Pares y nones

(No hay ceros)

Horizontal

1. Un múltiplo del 6 horizontal.

4. Todos los dígitos impares y todos diferentes.

6. Par.

8. Un múltiplo de la raíz cúbica del 4 vertical.

9. Un número primo.

10. Todos los dígitos impares y todos diferentes.

11. El mismo cuando se lo invierte.

Vertical

1. Un cuadrado perfecto.

2. Un factor o un múltiplo del 10 vertical.

3. Cada dígito es mayor que el anterior.

4. Un cubo perfecto.

5. Los dígitos están en orden descendente.

7. Un cuadrado perfecto.

10. Un múltiplo o un factor del 2 vertical.

Solución

7. Un número más cruzado

(No hay ceros)

Una de las claves siguientes es incorrecta. ¿Cuál es?

Horizontal

1. Cada dígito es menor que el anterior.

4. Un factor primo de los 2 últimos dígitos del 8 horizontal.

5. Un múltiplo de 9.

6. Todos los dígitos pares y todos diferentes.

8. La suma de los dígitos es la misma que la suma de los dígitos del 2 vertical.

9. Un múltiplo de 19.

10. Dos veces el cuadrado de la raíz cúbica del 3 vertical.

Vertical

1. El último dígito es igual a la diferencia entre la suma del primero y segundo dígitos y la suma del tercer y cuarto dígitos.

2. El mismo cuando se lo invierte.

3. Un cubo perfecto.

7. Un cuadrado perfecto cuando se lo invierte.

8. Par.

Encuentre lo más que pueda de la solución correcta.

Solución

II

Criquet

8. Un buen puntaje

En una competición de criquet cuatro equipos —A, B, C y D— jugaron todos entre sí una vez. Los puntos se adjudicaron del modo siguiente:

Al equipo que gana: 10.

Al equipo que gana las primeras entradas en un partido empatado: 6.

Al equipo que pierde las primeras entradas en un partido empatado: 2.

A cada equipo en un empate: 5.

Al equipo que pierde: 0.

A, B, C y D obtienen 16, 11, 21 y 6 puntos respectivamente, y le decimos que A ganó un partido.

Encuentre el resultado de cada partido.

Solución

9. Un solo ganador

A, B, C y D todos han jugado al criquet entre sí una vez. Los puntos se adjudicaron del modo siguiente:

Al equipo que gana: 10.

Al equipo que gana las primeras entradas en un partido empatado: 6.

Al equipo que pierde las primeras entradas en un partido empatado: 2.

A cada equipo en un empate: 5.

Al equipo que pierde: 0.

A, B, C y D obtuvieron 10, 11, 17 y 14 puntos respectivamente, y le decimos que sólo un partido fue ganado completamente.

Averigüe el resultado de cada partido.

Solución

10. Criquet: Cuatro equipos

A, B, C y D van a jugar todos al criquet entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos —o posiblemente todos— los partidos, A había obtenido 18 puntos, B, 17 y C, 21 puntos. Pero me temo que no pude averiguar cuántos puntos había obtenido D. Los puntos se adjudican del modo siguiente:

Al equipo que gana: 10.

Al equipo que gana las primeras entradas en un partido empatado: 6.

Al equipo que pierde las primeras entradas en un partido empatado: 2.

A cada equipo en un empate: 5.

Al equipo que pierde: 0.

Averigüe los resultados de todos los partidos que se jugaron.

Solución

11. Últimos resultados

A, B, C y D juegan una competencia de criquet entre todos en la cual finalmente todos van a jugar entre sí una vez. Los puntos se adjudican del modo siguiente:

Al equipo que gana: 10.

Al equipo que gana las primeras entradas en un partido empatado: 6.

Al partido que pierde las primeras entradas en un partido empatado: 2.

A cada equipo en un empate: 5.

Al equipo que pierde: 0.

Las últimas noticias que tengo sobre los puntos que lograron son las siguientes:

A: 21

B: 10

C: 9

D: 6

Averigüe el resultado de cada partido.

Solución

12. ¿Y dónde estaba B?

A, B, C y D han jugado todos entre sí una vez al criquet. Los puntos se adjudicaron del modo siguiente:

Al equipo que gana: 10.

Al equipo que gana las primeras entradas en un partido empatado: 6.

Al equipo que pierde las primeras entradas en un partido empatado: 2.

A cada equipo en un empate: 5.

Al equipo que pierde: 0.

Estoy en condiciones de revelarle que A, C y D obtuvieron 18, 17 y 10 puntos respectivamente, pero todo lo que puedo decir acerca de los puntos de B es que son más de 7 y menos de 11.

Averigüe el resultado de cada partido.

Solución

III

Fútbol

13. ¿Puede sacar algunas conclusiones?

Cuatro equipos de fútbol —A, B, C y D— van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos —o tal vez todos— los partidos, se puede confeccionar una planilla como la siguiente en la que aparecen algunos detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, empatados, goles a favor, goles en contra y puntos:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

14. Pierde C

Cinco equipos de fútbol —A, B, C, D y E— van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos de los partidos tenemos una planilla como la siguiente en la que aparecen algunos detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, etc.:

¿Puede averiguar el puntaje de cada partido?

Solución

15. Cuatro equipos: Letras por dígitos, una letra equivocada

Cuatro equipos de fútbol —A, B, C y D— van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos —o quizá todos— los partidos se confeccionó una planilla en la que aparecen algunos detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, etc. Pero cuando digo una planilla tal vez eso resulte un tanto confuso, porque no sólo los dígitos (de 0 a 9) fueron reemplazados por letras, sino que además una de las letras era incorrecta en una de las ocasiones en las que aparecía (si aparecía más de una vez). Cada letra debe representar al mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes deben representar a dígitos diferentes.

La planilla era la siguiente:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

¿Cuál es la letra equivocada? ¿Cuál debe ser? Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

16. Cuatro equipos

Cuatro equipos de fútbol van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos de los partidos tenemos una planilla como la siguiente en la que figuran los detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, etc.:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

17. No se puede hacer uno sin el otro

En la siguiente planilla futbolística y operación de suma, se han reemplazado por letras los dígitos (de 0 a 9). La misma letra representa al mismo dígito todas las veces que aparece y diferentes letras representan a diferentes dígitos.

Finalmente los tres equipos van a jugar entre sí una vez... tal vez ya lo han hecho.

(i)

(ii)

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

Averigüe los puntajes de los partidos de fútbol y anote la suma sustituyendo las letras por los números correspondientes.

Solución

18. Partidos recíprocos

Tres equipos, A, B y C van a jugar entre sí al fútbol dos veces. Después de haberse jugado algunos de los partidos resultó interesante advertir que cuando dos equipos habían finalizado los dos partidos que tenían que jugar entre sí, ninguno de ellos marcó el mismo número de goles en el segundo partido que en el primero. También es interesante consignar que no hubo dos partidos exactamente con el mismo puntaje.

A continuación transcribo todos los detalles que pude descubrir.

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

19. Gana D

Cinco equipos de fútbol —A, B, C, D y E— van a jugar todos entre sí una vez.

Después de jugarse algunos de los partidos tenemos una planilla como la siguiente con algunos detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, etc.:

Averigüe el resultado de cada partido.

Solución

20. Fútbol y suma: Letras por dígitos

En la siguiente planilla futbolística y operación de suma se han reemplazado por letras los dígitos (de 0 a 9). La misma letra representa al mismo dígito todas las veces que aparece y diferentes letras representan a diferentes dígitos.

Finalmente los cuatro equipos tienen que jugar entre sí una vez.

(i)

(ii)

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto para cada equipo en caso de empate.)

Averigüe los puntajes de los partidos de fútbol y efectúe la suma sustituyendo las letras por los números.

Solución

21. Siete equipos

Siete equipos de fútbol —A, B, C, D, E, F y G— van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos de los partidos tenemos una planilla como la siguiente en la que se registran algunos detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, etc.:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

IV

Fútbol: Nuevo método

22. Todos tienen puntos

El nuevo campeonato de fútbol, en el que valen los goles tanto como los partidos ganados o empatados, ha tenido un éxito importante. En la última competencia entre cuatro equipos, cada uno marcó por los menos 1 gol cada vez que jugó, aunque en cada partido no se convirtieron más de 5 goles.

En este campeonato se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol realizado. Después de haberse jugado todos los partidos menos 1, la situación de los cuatro equipos era la siguiente:

A: 26 puntos

B: 4 puntos

C: 18 puntos

D: 20 puntos

Resultó interesante advertir que D no perdió ningún partido, y que cada equipo tuvo una cantidad diferente de goles en contra.

¿Cuál fue el puntaje de cada partido?

Solución

23. Tres equipos

Tres equipos, A, B y C, han jugado entre sí al fútbol una vez. Se otorgaron 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol convertido. Se espera que con este nuevo método se conviertan más goles y por lo tanto el fútbol resulte más atractivo y concurra más gente a los partidos. Parece que en alguna medida esto ya está sucediendo, puesto que en este campeonato cada equipo marcó por los menos 1 gol en cada partido.

Los puntos conseguidos fueron:

A: 25

B: 8

C: 9

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

24. Tres equipos más

Tres equipos, A, B y C, van a jugar todos al fútbol entre sí una vez. Se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol convertido, cualquiera sea el resultado del partido. Después de jugarse algunos de los partidos, o tal vez todos, los puntos eran los siguientes:

A: 21

B: 20

C: 4

En ninguno de los partidos se marcaron más de 6 goles.

¿Cuál fue el puntaje de cada partido?

Solución

25. Todos puntajes diferentes

Lo interesante del nuevo método futbolístico es que los goles valen independientemente de quien gane el partido. Como resultado —ya que lo que interesa en el juego son los goles— se ha producido un gran entusiasmo y un aumento en la cantidad de goles.

Con este nuevo método se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos para cada equipo en caso de empate y 1 punto por cada gol convertido. En un campeonato reciente entre cuatro equipos —A, B, C y D— que jugaron entre sí una vez, los puntos logrados fueron los siguientes:

A: 25

B: 34

C: 6

D: 20

Cada equipo convirtió por lo menos 1 gol en cada partido y —un dato interesante— el puntaje fue diferente en cada partido.

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

26. Un profesor polifacético

Durante mucho tiempo he conocido —y también lo han sabido sus otros admiradores —el interés del profesor Sabelotodo por el fútbol. Pero debo admitir que no me esperaba que conociera los nuevos experimentos futbolísticos para producir más goles y atraer a más gente.

Con este nuevo método, se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol convertido.

Me encontré a este personaje observando los puntos obtenidos por cuatro equipos que habían jugado todos entre sí una vez. Los puntos eran los siguientes:

A: 8

B: 19

C: 8

D: 57

“¿Por qué son todos tan descuidados”, dijo, “incluyéndolo a usted, mi querido inspector Simple?”

“Una de estas cifras es incorrecta. Pero”, continuó, “si le doy la información de que es posible descubrir cuál, entonces a usted le será posible descubrirla”.

Este comentario críptico fue demasiado para mí. Pero, con la esperanza de que no sea demasiado para algunos de mis lectores, les transmito la información. Dos cosas que sé son que cada equipo marcó por lo menos 1 gol en cada partido y que en ningún partido se marcaron más de 10 goles.

¿Cuál es la cifra equivocada? ¿Y qué información puede dar sobre los puntajes de cada partido?

Solución

27. Más goles

El nuevo método para recompensar los goles convertidos en los partidos de fútbol va cada vez mejor. Con este método se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol convertido. Uno puede hacerse una idea del éxito del método a partir del hecho de que en el último campeonato entre 5 equipos, cuando se habían jugado algunos de los partidos, cada equipo había convertido por lo menos 1 gol en cada partido. Finalmente tienen que jugar todos entre sí una vez.

Los puntos logrados fueron los siguientes:

A: 11

B: 8

C: 12

D: 5

E: 43

En ningún partido se convirtieron más de 9 goles.

¿Cuál fue el puntaje de cada partido?

Solución

28. Goles sumamente recompensados

El nuevo método para recompensar los goles en los partidos de fútbol ahora ha mejorado todavía más. Según este método se adjudican 10 puntos por ganar, 5 puntos por empate y 1 punto por cada gol convertido. Y ahora va a haber una bonificación de un punto más por 2 goles sucesivos, 3 puntos más por 3 goles sucesivos y 5 puntos por 4 goles sucesivos, y así sucesivamente.

Tres equipos, A, B y C, han jugado todos entre sí una vez. Los puntos totales obtenidos, incluidas las bonificaciones, son:

A: 16

B: 20

C: 11

Cada equipo obtuvo una bonificación y hubo una bonificación (pero sólo una) en cada partido.

Ambos equipos marcaron por lo menos 1 gol en cada partido.

¿Cuáles fueron los puntajes de cada partido?

Solución

V

Todas las cifras incorrectas: División y suma

29. Cuatro dígitos divididos por dos dígitos

En la siguiente operación de división,1 obviamente incorrecta, el esquema es correcto pero todas las cifras están equivocadas.

La división correcta da exacta. En el resultado (cociente) los dígitos tienen una diferencia de una unidad solamente, pero todos los otros dígitos pueden variar completamente.

Averigüe las cifras correctas.

Solución

30. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

En la siguiente operación de división, obviamente incorrecta, el esquema es correcto pero todas las cifras individuales están equivocadas.

La división correcta da exacta. En el resultado los dígitos tienen una diferencia de una unidad solamente, pero todos los otros dígitos pueden variar completamente.

Averigüe las cifras correctas.

Solución

31. Suma: Cuatro números

En la siguiente operación de suma todos los dígitos están equivocados. Pero el mismo dígito incorrecto está en lugar del mismo dígito correcto todas las veces que aparece, y el mismo dígito correcto siempre está representado por el mismo dígito incorrecto.

Encuentre la operación de suma correcta.

Solución

32. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

En la siguiente operación de división, obviamente incorrecta, el esquema es correcto pero todas las cifras individuales están equivocadas.

La división correcta, por supuesto, da exacta. En el resultado los dígitos tienen una diferencia de una unidad solamente, pero todos los otros dígitos pueden variar completamente.

Averigüe las cifras correctas.

Solución

33. Suma: Dos números

En la siguiente operación de suma cada uno de los dígitos es incorrecto. Pero el mismo dígito incorrecto está en el lugar del mismo dígito correcto todas las veces que aparece, y el mismo dígito correcto siempre está representado por el mismo dígito incorrecto.

Encuentre la operación de suma correcta.

Solución

34. Diferencia de uno

En la siguiente operación de división, obviamente incorrecta, el esquema es correcto pero todas las cifras tienen una diferencia de uno, es decir, tienen una diferencia de una unidad más o una menos que las cifras correctas. La operación da exacta.

Encuentre las cifras correctas.

Solución

VI

Los acertijos del tío Frangollo

35. Casi correcto

“Bueno, está casi correcto”, dijo el tío Frangollo cuando me entregó uno de sus estropeados trozos de papel donde se suponía que figuraban algunos detalles de los resultados de los partidos de fútbol que habían jugado cinco equipos que tenían que jugar entre sí una vez.

Las cifras que se podían leer eran las siguientes:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

En realidad posteriormente descubrí que sólo una de las cifras era incorrecta. ¿Cuál es?

Averigüe los puntajes de todos los partidos que se habían jugado.

Solución

36. Una más incorrecta

Algunas de las cifras del último acertijo del tío Frangollo eran ilegibles y otras directamente no estaban. Hice todo lo posible por presentarle a su público todo el material correcto pero lamentablemente debo decir que fracasé otra vez. Cuatro equipos de fútbol tenían que jugar entre sí una vez, y las cifras que me dieron sobre la cantidad de partidos jugados, ganados, perdidos, etc. eran las siguientes:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

Sólo después descubrí que una de las cifras era incorrecta, de modo que en realidad no sabemos si todos los partidos se habían jugado o no.

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

37. Fútbol: Cinco equipos, dos cifras equivocadas

Cinco equipos de fútbol van a jugar entre sí una vez. Después de haberse jugado algunos de los partidos encontramos una planilla en la que figuran algunos detalles de los partidos jugados, ganados, perdidos, etc. Pero lamentablemente el tío Frangollo había complicado las cosas y dos de las cifras eran incorrectas.

Esta es la planilla que encontramos:

(Se adjudicaron 2 puntos por ganar y 1 punto a cada equipo en caso de empate.)

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

38. El tío Frangollo y la tira vertical

Me temo que es típico del tío Frangollo que se le haya roto la hoja de papel en la que aparecían los detalles de la cantidad de partidos jugados, ganados, perdidos, empatados, etc. por tres equipos de fútbol locales que finalmente tenían que jugar entre sí una vez. No solamente el tío la rompió, sino que además tiró la mitad al fuego que parece arder eternamente en la chimenea de su casa. El trozo desgarrado era una tira vertical y la única información que quedó fue la de los goles a favor, los goles en contra y los puntos.

La situación no se facilitó mucho ya que los dígitos además habían sido reemplazados por letras.

Lo que quedó fue lo siguiente:

Designe a los equipos como A, B y C, en ese orden, y averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

39. El tío Frangollo y la tira horizontal

La última vez fue vertical, pero nadie puede acusar al tío Frangollo de ser coherente y esta vez fue horizontal. Me refiero al modo en que rompió el trozo de papel en el que figuraban los detalles de los partidos que habían jugado entre sí cuatro equipos locales, A, B, C y D.

Todo lo que quedó fue lo siguiente:

Se sabe que todavía faltaba jugar un partido. En cada partido no se convirtieron más de 7 goles.

Con la información de que es posible descubrir el puntaje de cada partido usted tiene que ser capaz de descubrirlo.

¿Cuál fue el puntaje de cada partido?

Solución

40. La droga de la mentira

Como sabrán mis lectores, el tío Frangollo siempre está a la vanguardia de las nuevas ideas. Recientemente ha estado experimentando con una droga de la mentira, que está destinada a falsear los comentarios de las personas. El tío combinó esto con su permanente interés por el fútbol, lo cual le permitió obtener algunos resultados muy interesantes.

A las secretarias de cuatro equipos de fútbol locales, a los que denominaremos A, B, C y D, se les administró una dosis de esta droga y luego se les pidió que anotaran la cantidad de partidos jugados, ganados, perdidos, empatados, los goles a favor, los goles en contra y los puntos obtenidos por sus respectivos equipos, que en ese momento disputaban un campeonato entre sí. Resultó de interés advertir que la droga tuvo un éxito completo y todas las cifras fueron falsas: en realidad todas tenían una diferencia de uno, es decir, uno más o uno menos que el número correcto. Pero yo no sabría decir si esto ocurrió accidentalmente o si el fabricante de la droga lo logró intencionalmente.

Las cifras que presentaron las cuatro secretarias eran las siguientes:

(Se adjudican 2 puntos por ganar y 1 punto por empate.)

Averigüe el puntaje de todos los partidos jugados.

Solución

41. El tío Frangollo y un afortunado 13

Como mis lectores sabrán, el tío Frangollo siempre está a la búsqueda de nuevas ideas. El acertijo que acaba de inventar es la más larga operación de multiplicación que haya hecho. Pero (¿qué le pasó?) no hay errores. Como es la primera operación de este tipo, mi tío pensó que sería una buena idea dar la información de que el resultado final es divisible por 13.

Las letras están en lugar de dígitos (del 0 al 9) y la misma letra representa al mismo dígito todas las veces que aparece.

Anote la operación completa.

Solución

42. Ningún divisor

El tío Frangollo se ha puesto a hacer una operación de división en la que los dígitos se han reemplazado por letras. Pero lamentablemente, ya sea por accidente o a propósito, no ha colocado el divisor.

Lo que quedó fue lo siguiente:

Encuentre el divisor y todos los dígitos de la operación.

Solución

43. Suma: Letras por dígitos, una letra equivocada

Últimamente el tío Frangollo ha adquirido una gran habilidad para efectuar operaciones de suma en las que los dígitos se han reemplazado por letras. En estos cálculos la misma letra debe estar en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece, y diferentes letras deben representar a dígitos diferentes.

Adviértase que digo “deben”. Aquellos que conocen bien al tío no se sorprenderán al enterarse de que ha complicado las cosas una vez más, y que una de las letras de la operación siguiente está equivocada.

La operación es ésta:

Averigüe cuál es la operación correcta.

Solución

44. La última línea del tío Frangollo es incorrecta

“Si sabe lo que está sumando podrá sumarlo”, dijo el tío Frangollo cuando le presenté la queja de que, si bien las dos primeras líneas de su operación de suma eran legibles, la última línea horizontal no lo era. Por supuesto, comprendo lo que quiere decir, pero él parece olvidarse de que en su operación de suma los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes están en el lugar de dígitos diferentes.

Sin embargo, en la última línea horizontal, el tío Frangollo se confundió totalmente y, puesto que cuatro de las letras eran ilegibles, las he reemplazado por blancos. La operación aparece del modo siguiente:

[A partir de los comentarios que me hizo el tío pude deducir que en la operación final aparecen los 10 dígitos (0 al 9).]

Averigüe cuál es la operación de suma correcta.

Solución

45. Un nuevo frangollo

En la siguiente operación de suma, en la que se han reemplazado los dígitos por letras, me temo que hay un error. Las dos primeras líneas horizontales son correctas, pero en la tercera línea horizontal se ha deslizado un error y una de las letras es incorrecta. Aparte de este lamentable error (debido, por supuesto, al tío Frangollo) cada letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes están en el lugar de dígitos diferentes.

Encuentre el error y anote la operación de suma correcta.

Solución

VII

Letras por dígitos: División, suma y multiplicación

46. H es 3

En la siguiente multiplicación cada letra representa a un dígito diferente. Le podemos decir que H es 3.

Anote la operación sustituyendo las letras por los números correspondientes.

Solución

47. Hileras de ocho

En la siguiente operación de suma los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Encuentre los dígitos que están representados por las letras.

Solución

48. Hileras de nueve

En la siguiente operación de suma los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y diferentes letras representan a dígitos diferentes.

Encuentre los dígitos que están representados por las letras.

Solución

49. Multiplicación de siete dígitos

En la siguiente operación de multiplicación los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo número todas las veces que aparece y letras diferentes reemplazan a dígitos diferentes.

Podemos decirle que A no es mayor de 5.

Encuentre los dígitos que están representados por las letras.

Solución

50. Dos hileras

En la siguiente operación de suma los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Encuentre los dígitos que están representados por las letras.

Solución

51. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

En la siguiente operación de división cada letra representa a un dígito diferente.

Encuentre la operación de división reemplazando todas las letras por los dígitos correspondientes.

Solución

52. Suma: Dos números

En la operación de suma siguiente los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Anote la suma con los números que han sido reemplazados por las letras.

Solución

53. Multiplicación de cinco dígitos

En la siguiente operación de multiplicación los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Anote la suma reemplazando las letras por los dígitos correspondientes.

Solución

54. Otra suma con letras

En la siguiente operación de suma los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Encuentre los dígitos que están representados por las letras.

Solución

55. Suma: Cuatro números

En la siguiente operación de suma los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Anote la suma reemplazando las letras por los números correspondientes.

Solución

56. Multiplicación

En la siguiente operación de multiplicación los dígitos han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo número todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

Anote la suma reemplazando las letras por los dígitos correspondientes.

Solución

VIII

Faltan algunas letras o dígitos

57. División: Faltan algunas cifras

La siguiente operación de división muy larga, en la que faltan algunas cifras, da exacta.

Encuentre las cifras que faltan.

Solución

58. Operación de división

Averigüe los dígitos que faltan.

Solución

59. División larga

En la siguiente operación de división faltan la mayor parte de los dígitos pero algunos se han reemplazado por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece.

Encuentre la operación correcta.

Solución

60. Multiplicación larga

En la siguiente operación de multiplicación la mayor parte de los dígitos han sido reemplazados por letras.

Anote la multiplicación completa.

Solución

61. División: Algunas letras por dígitos, algunos faltan

En la siguiente operación de división algunos dígitos faltan y otros han sido reemplazados por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece.

Averigüe la operación correcta.

Solución

IX

Poesía y miscelánea

62. Sillas alfabéticas

Alf, Bert, Charlie, Duggie, Ernie y Fred están sentados alrededor de una mesa circular. No hay dos hombres que estén sentados uno al lado del otro cuyos nombres tengan letras iniciales contiguas alfabéticamente.

Duggie está sentado enfrente de Alf, quien tiene a su derecha al esposo de la hermana de Ernie.

Haga un esquema para mostrar dónde se sienta cada uno respecto de Duggie.

Solución

63. Fútbol en verso

Fútbol, fútbol es la historia,

Cinco equipos jugarán entre sí una vez.

Algunos tendrán éxito y gloria,

y algún otro quedará sin brillantez.

Los llamaremos A, B, C

y D, y al otro (¡lo adivinó!) E.

E les jugó a todos, pero no adquirió fama

pues nunca ganó y no puso ganas.

Y A y B, sí señor, y también D

tuvieron goles en contra, 3,4 y 3

en cada caso, respectivamente, como se ve.

C sólo ganó un simple partido, nada más,

sin empates ni goles en contra cada vez.

Los partidos de A, y los goles y los que ganó B además,

Todos fueron el mismo número par, así es.

Sólo nos queda por decir

A marcó tres goles, C marcó cuatro

y D, el cuarto equipo, empató una vez.

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

64. ¡Qué manera de terminar esta canción!

Cinco equipos, esta vez, jugarán entre sí una vez.

Pero ¿cuándo, oh cuándo? En verdad no se nos dijo mucho.

¿Cuántos partidos han jugado? ¿Quién sabe?

Esa columna, me temo, está totalmente en blanco;

no así la que nos dice los puntos.

A, C y D lograron dos puntos cada uno, mientras que B

y luego el quinto equipo, E, lograron cinco y uno.

A y D empataron cada uno un par mientras que B

y E empataron uno. B y A no perdieron ninguna vez;

pero C y E perdieron dos y tres.

Qué, sí, por supuesto, respectivamente.

Ya cambié el ritmo una vez, lo hago otra vez y digo,

los partidos jugados por A, B, E, fueron dos, tres y cuatro.

E tuvo catorce goles en contra mientras que D logró cuatro a favor.

Cinco, dos y cuatro fueron los goles marcados a favor por B, C y E.

Mientras que siete y dos para A y C fueron sus goles en contra.

¡Ah! a propósito, tengo que decir

cuando A ganó, logró dos puntos.

Y si el partido se empata, bueno, entonces,

los puntos están empatados también.

Y ahora debo confesar,

y esto me pone muy triste.

De estas cifras una está equivocada,

¡Qué manera de terminar esta canción!

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

65. Dos, tres, cuatro, seis

En esta larga operación de división, me temo,

La mayor parte de las cifras simplemente no están.

Dos y tres y cuatro y seis,

Uno de éstos está mal. Pero ¿cuál?

Tres y seis y cuatro y dos,

¿Cree que es demasiado poco?

¿Por qué no le doy algo más

Que seis y dos y tres y cuatro?

Darle cuatro, usted concordará,

Es mejor que darle tres.

Mire el esquema por favor,

Todas las cifras van así:

¿Cuál es la cifra incorrecta? Encuentre la operación de división correcta.

Solución

66. ¡Oh, tío! ¡Qué frangollo!

¡Oh, tío! ¡Qué frangollo! ¡Lo hiciste otra vez!

Te pedí que trataras y además te aseguraras

De que no había ningún error. Pero lamento comprobar

Un error se ha deslizado, como sin duda aceptarás.

Pero mejor debo explicar cómo es este acertijo.

Fútbol es la respuesta, y faltan algunos datos.

¡Y trataremos de olvidar que mi tío va al revés!

Cuatro equipos tienen que jugar entre sí una vez.

A, B y D tienen uno, cuatro y seis goles a favor

Respectivamente. Y A tiene uno en contra, nada más.

D tuvo cinco en contra mientras que D, sólo tres.

Dos partidos jugados, dos partidos empatados, ése es C.

B perdió dos partidos y no obtuvo ningún punto, mientras que A y D lograron tres y cinco puntos cada uno, pero digamos—

Y digamos otra vez, y póngalo en su lista,

De las cifras, una está mal. Y luego, una vuelta final.

A usted le toca descubrir

Si todos jugaron entre sí una vez.

(Se adjudican 2 puntos por ganar y un punto a cada equipo por empate.)

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

67. La calle de la lógica

Le pregunté a mi amor cuál era el número de su casa, en la calle de la lógica.

“Pruébame”, replicó, “cuánto me adoras si lo calculas;

No sólo operaciones, sino también debes pensar, y de este modo unes

La claridad y fuerza de la intuición con mi posición.”

Y dócilmente le contesté:

“Mi adorada, dame los datos fácticos

Y hablaremos de metafísica después.”

Directo al grano se precipitó:

“Mi morada tiene tres cifras, todas diferentes.

Y aumentan, creo, como tu amor por mí.

¿Tiene factores? Sí, dos diferentes;

Números primos ambos, mayores que diez más tres.

Suma los dígitos y te encontrarás

Una operación que está en la mitad superior de lo que te imaginas.”

¿Cuál es el número de la casa de mi cunada?

Solución

68. ¿Suma o resta? Es lo que debe descubrir

Letras en vez de dígitos, pero ¿quién sabe cuál en lugar de cuál?

Debe usar su ingenio y luego decidir.

Letras diferentes, dígitos diferentes, pues yo tengo

de haber hecho el acertijo, verdadero orgullo.

E y R, I y C forman el nombre,

Y la segunda línea es similar,

Con dos letras parecidas

Pues E y R son I y P, y luego las mismas.

Con una R, una V y un par de E

La operación se completa; pero ahora sí

¿usted suma o resta? Es lo que debe descubrir

Si una cosa no se puede, entonces será la otra.

¿Suma o resta? Anote la operación sustituyendo las letras por los números correspondientes.

Solución

69. Hijos y nietos

Muchos años han pasado desde el momento en que fundé mi fábrica, y resulta muy agradable enterarse de que por lo menos algunos de mis primeros empleados ahora son abuelos. Alf, Bert, Charlie, Duggie y Ernie tienen entre todos seis hijos llamados:

Peter,

Quentin,

Roland,

Samuel,

Tristan,

Uvedale.

Y estos seis hijos tienen entre todos siete hijos llamados:

Ivan,

Justin,

Kenneth,

Larry,

Michael,

Nicholas,

Orlando.

Le puedo decir que los hijos de Bert, Charlie y Duggie, si es que tienen alguno, eran Peter, Quentin y Tristan; que los hijos de Alf, Bert, Charlie y Ernie, si es que tienen alguno, eran Peter, Roland, Samuel y Uvedale; que los hijos de Alf, Bert y Duggie, si es que tienen alguno, eran Quentin, Roland, Samuel y Tristan; que los hijos de Bert, Duggie y Ernie, si es que tienen alguno, eran Quentin, Tristan y Uvedale.

También le puedo decir que los hijos de Quentin, Roland y Tristan, si es que tienen alguno, eran Ivan, Nicholas y Orlando; que los hijos de Peter, Roland, Samuel y Uvedale, si es que tienen alguno, eran Justin, Kenneth, Larry y Michael; que los hijos de Quentin, Tristan y Uvedale, si es que tienen alguno, eran Ivan, Kenneth, Nicholas y Orlando; que los hijos de Peter, Samuel y Tristan, si es que tienen alguno, eran Justin, Larry, Michael y Orlando.

Uno de éstos, Alf, Bert, Charlie, Duggie y Ernie, no tiene hijos. ¿Cuál de ellos? Y uno de éstos, Peter, Quentin, Roland, Samuel, Tristan y Uvedale, no tiene hijos. ¿Cuál de ellos? (Ninguno tiene más de dos hijos.)

¿Quién es el abuelo de Kenneth y quién es el abuelo de Orlando?

Solución

70. Sume dos veces

Presentamos aquí dos operaciones de suma en las que los dígitos se han reemplazado por letras. La misma letra está en el lugar del mismo dígito todas las veces que aparece y letras diferentes representan a dígitos diferentes.

(i)

(ii)

Averigüe cuáles son los dígitos representados por las letras.

Solución

71. El profesor y las islas del mundo

Algo que puedo decir sobre mi jefe —el profesor Sabelotodo— es que siempre está dispuesto a ponerse a tono con los nuevos tiempos (en realidad podría decir muchas otras cosas, pero mejor no ahora). También le gusta mucho viajar y es especialmente aficionado a las islas. Tal vez esto se debe a que piensa que una isla es una idea nueva y creo que es fácil comprenderlo.

Su última visita fue a la Isla de la Casi Perfección, donde sus habitantes tratan como locos de mejorarlo todo de cualquier manera todos los días y, por supuesto, como ellos mismos dicen, uno de estos días van a dejar de lado el “casi”.

Por mi parte soy bastante aficionado al fútbol y pude explicarle al profesor las nuevas ideas que surgen en esta materia. Con el transcurso del tiempo se ha hecho cada vez más evidente que lo que al público más le gusta son los goles y en esta isla lo que buscan es la mayor felicidad para la mayor cantidad de gente. Con el fin de que se los convierta más frecuentemente, la cantidad de goles ha aumentado mucho y ahora los partidos duran bastante más.

Por supuesto, el profesor se dio cuenta inmediatamente del asunto.

“Mi querido inspector Simple”, dijo, “esto significa que tendremos más y mejores acertijos. Ya no tendrá éxito el que adivine y ahora tendrán mucho más éxito los que verdaderamente usen el cerebro que Dios les dio. Deme un trozo de papel, mi querido Simple”, dijo, “y ahora mismo armaremos un bonito acertijo muy fácil.”

Y, como siempre, cumplió su palabra. Aquí está el acertijo en el cual tres equipos, A, B y C finalmente van a jugar entre sí una vez (o tal vez ya lo han hecho). La información dada me parece muy complicada y a la vez bastante insuficiente pero tal vez mis lectores quieran echarle un vistazo y ver qué piensan.

Averigüe el puntaje de cada partido.

Solución

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Soluciones

1. Mayor o menor

(i) 4 vertical es el cuadrado de un número impar, debe ser 25, 49 u 81. Pero por 5 horizontal, la segunda cifra de 4 vertical no puede ser 9 ni 1.

⸫ 4 vertical debe ser 25.

(ii) 3 horizontal es un múltiplo del 4 vertical (es decir, de 25), ⸫ puesto que no hay ceros debe terminar en 5.

⸫ 3 horizontal es (‒25).

⸫ 1 horizontal es (‒25) multiplicado por 3.

⸫ 3 horizontal debe empezar con 1, 2 o 3, y 1 horizontal debe empezar con 3, 6 o 9.

Pero la suma de los dígitos de 1 vertical es 18, y si 3 horizontal comenzaba con 1 o 2 y 1 horizontal comenzaba con 3 o 6, la tercera cifra de 1 vertical sería 10 o más.

⸫ 3 horizontal debe ser 325; 1 horizontal debe ser 975 y 1 vertical es 936.

(iii) La tercera cifra de 5 horizontal debe ser menor que 5. Y puesto que 2 vertical es un múltiplo de 3, debe ser 552.

Solución completa

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2. Un número cruzado (3 por 3)

Los dígitos de 1 horizontal deben ser ambos pares o ambos impares, puesto que sumados dan 10. ⸫ 1 horizontal no puede ser el mismo que el 3 vertical invertido (pues por 3 horizontal y 4 horizontal el primer dígito del 3 vertical es par y el segundo impar).

3 horizontal y 4 horizontal no puede ser el mismo cuando se lo invierte, ya que todos los dígitos de 3 horizontal son pares, y todos los dígitos de 4 horizontal son impares.

Si 1 vertical fuera el mismo que 3 horizontal invertido, entonces todos los dígitos de 1 vertical serían pares. Pero sabemos que el tercer dígito de 1 vertical es impar (véase 4 horizontal). Del mismo modo, 1 vertical no puede ser el mismo que 4 horizontal invertido, y 2 vertical no puede ser el mismo que 3 horizontal ni que 4 horizontal invertido.

⸫ los únicos números que pueden ser los mismos cuando se los invierte son 1 vertical y 2 vertical.

⸫ puesto que todos los dígitos de 4 horizontal son impares, los dígitos de 1 horizontal deben ser ambos impares.

⸫ deben ser 1 y 9, o 3 y 7, o 5 y 5. Pero no 5 y 5 (véase 4 horizontal); y no 1 y 9, porque los últimos dígitos de 4 horizontal serían entonces 1 y 9 o 9 y 1, y ninguno de los dos es posible. ⸫1 horizontal debe ser 37 (no 73, véase 4 horizontal).

⸫ el primer dígito de 4 horizontal sólo puede ser 9.

Puesto que 2 vertical (7‒3) es un múltiplo de 3 vertical (‒9) ⸫ 2 vertical debe ser 3 vertical multiplicado por 7, 17, 27, etcétera.

Supongamos que 3 vertical fuera 89 (el primer dígito debe ser par). Entonces 89 × 7 = 623. No. el primer dígito no es 8.

Supongamos que 3 vertical fuera 49. Entonces 49 × 7 es demasiado pequeño, 49 × 17= 833, y es demasiado grande ⸫ 3 vertical sólo puede ser 29. Y 29 × 27 = 783 ⸫ 2 vertical es 783 y 1 vertical es 387.

Solución completa

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3. Un número cruzado (5 por 5)

(i) 6 horizontal es un cuadrado. No puede terminar en 1 ni en 9 (véase 4 vertical), ⸫ debe ser 16, 25, 36 o 64. ⸫ la segunda cifra de 4 vertical es 4, 5 o 6; ⸫ la última cifra de 4 vertical es 5 o más; es decir, la primera cifra de 8 horizontal es 5 o más, ⸫ la segunda cifra de 3 vertical es 5 o más.

6 horizontal debe ser 64.

⸫ la primera cifra de 8 horizontal es 6, ⸫ 8 horizontal es 65,

⸫ 3 vertical es 56. Y la primera cifra de 4 vertical es 1 o 3 (véase 1 horizontal).

(ii) 12 horizontal debe terminar en 2 (véase 12 horizontal y 9 vertical). ⸫ comienza con 2. Y la segunda cifra de 9 vertical debe ser 3 o 4.

(iii) Consideremos 1 vertical. Puesto que no hay ceros, debe terminar en 5 (un múltiplo de 65); y puesto que comienza con un número impar debe ser 195 o 325 (no 585, puesto que 3 vertical comienza con 5).

5 horizontal no puede comenzar con 9, porque la segunda cifra sería entonces 1, pero esto no es posible (véase 2 vertical).

⸫ 1 vertical es 325 y 5 horizontal es 28, y 2 vertical debe comenzar con 9. Y puesto que 3 es la primera cifra de 1 horizontal,

⸫ 4 vertical comienza con 1 y 1 horizontal termina en 7.

(iv) Consideremos 7 horizontal. Debe ser 53 o 54, pero no es 53 (véase 2 vertical), ⸫ 54; 9 vertical es 542 y 2 vertical es 98432. 10 horizontal debe ser 36, ⸫ 11 vertical es 66 y 12 horizontal es 2662.

Solución completa

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4. Clave cruzada

Primero debemos buscar la clave incorrecta.

Consideremos 5 horizontal y 3 vertical. Si ambas son verdaderas, entonces 5 horizontal sólo puede ser 27 (no 64 porque cada dígito de 3 vertical es impar). Pero 3 vertical no puede entonces ser correcta porque, si lo fuera, su tercer dígito no podría ser mayor que 5.

⸫ o 3 vertical o 5 horizontal debe ser incorrecta y todas las otras claves deben ser correctas.

1 vertical es un múltiplo de 17, y por 1 horizontal y 4 horizontal el primer dígito es impar y el segundo es par. ⸫ sólo puede ser 34.

4 horizontal es un múltiplo de 37 (34 + 3). Y la primera cifra es 4. Las únicas posibilidades son 407, 444 y 481. Pero no hay ceros y los dígitos son todos diferentes. 4 horizontal sólo puede ser 481.

⸫ 3 vertical debe ser la clave incorrecta, puesto que cada dígito no puede ser menor que el anterior. ⸫ 5 horizontal es correcta y debe ser 27 o 64. Pero no es 64, pues no hay un múltiplo de 34 que sirva para 2 vertical. Y 2 vertical sólo puede ser 782 (34 × 23). 1 horizontal sólo puede ser 379.

Solución completa

3 vertical es incorrecta.

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5. Algunos números muy cruzados

(i) Por 3-6 (6) debe ser 2, 4, 6 u 8. Por 4-5-6 la suma de (4) (5) y (6) debe ser menor que o igual a 5. ⸫ puesto que no hay ceros (6) debe ser 2 y (4) y (5) deben ser cada uno 1 o 2. (Colóquelos en el diagrama como se muestra.)

(ii) Por 1-4-7 (1) + (4) + (7) = 19 o más. Y puesto que (4) es 1 o 2, ⸫ (1) y (7) deben ser cada uno 8 o 9. (Colóquelos en el diagrama como se muestra.)

(iii) 1-2-3 deben ser múltiplos de 3, 5 y 7; ⸫ múltiplo de 105.

Y puesto que (1) es 8 o 9, ⸫ debe ser 105 × 3 o 105 × 9. Pero 105 × 8 (840) tiene un 0, ⸫ 1-2-3 es 105 × 9, o sea 945.

(iv) La suma de los dígitos de 2-5-8 < 5 + 2, ⸫ (8) debe ser 1 o 2.

(v) Por 7-8-9 (9) debe ser > 8 o 9 + 1 o 2, ⸫ (9) debe ser 9, ⸫ (7) debe ser 8 y (8) debe ser 1.

(vi) 1-4-7 debe ser 928, ⸫ 4-5-6 debe ser 212.

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6. Pares y nones

(i) Consideremos 7 vertical (un cuadrado). El primer dígito debe ser par (6 horizontal), y el segundo dígito debe ser 1, 3, 7 o 9 (9 horizontal). El único cuadrado que satisface estas condiciones es 676 (el cuadrado de 26).

(ii) 3 vertical debe terminar en 6 (véase 11 horizontal). 1 horizontal es un múltiplo de 6 horizontal, ⸫ es par. ⸫ 3 vertical sólo puede ser 23456.

(iii) Al considerar 4 horizontal vemos que 4 vertical debe comenzar con 1, 5 o 7 (no 3 porque 3 es la segunda cifra de 3 vertical, y no es 9 porque no hay cubo de 9—). Pero no 1 (4 vertical sería entonces 125 y 57 no es primo). Y no 5 (4 vertical sería entonces 512 y 27 no es primo). ⸫ 4 vertical es 729 (cubo de 9). ⸫ 8 horizontal es 45.

(iv) Consideremos 5 vertical. El primer dígito debe ser mayor que 5, y puesto que 4 vertical comienza con 7, ⸫ 5 vertical debe ser 95―.

(v) 1 vertical es cuadrado y debe terminar en 1 o 5 (véase 4 horizontal ― éstos son los dos únicos que quedan), ⸫ es 81 o 25.

Si 25, entonces 1 horizontal es 2―2 y éste debe ser un múltiplo de 26. Para que un múltiplo de 26 termine en 2 debemos multiplicar por 2 o 7: pero 26 × 7 = 182; 26 × 17 = 442; 26 × 2 = 52; 26 × 12 = 312. ⸫ 1 vertical no es 25. Pero si 1 vertical es 81, entonces 1 horizontal, 832, cumple las condiciones ― y no hay ninguna otra cosa que las cumpla.

⸫ 4 horizontal debe ser 71539.

(vi) 10 vertical es un múltiplo o un factor de 2 vertical. No hay factores de dos dígitos de 35, excepto él mismo. Los únicos múltiplos de dos dígitos de 35 son él mismo y 70, pero no hay ceros.

⸫ 10 vertical debe ser 35.

(vii) Por 5 vertical y 10 horizontal se sigue que 10 horizontal es 351 y 5 vertical es 951.

Solución completa

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7. Un número más cruzado

(i) Primero debemos tratar de encontrar la clave incorrecta: 9 horizontal debe ser 19, 38, 57, 76 o 95. En todos los casos el primer dígito es impar. Pero 8 vertical es par. ⸫ o bien 9 horizontal u 8 vertical es la clave incorrecta. ⸫ todas las otras claves son correctas.

(ii) Consideremos 3 vertical (un cubo). El primer dígito debe ser 6 o menos (véase 1 horizontal), y el último dígito debe ser par (véase 6 horizontal), ⸫ 3 vertical debe ser el cubo de 6 (216) o de 8 (512). En ambos casos el segundo dígito debe ser 1, por lo tanto 5 horizontal es 81 y el cuarto dígito de 2 vertical es 8.

(iii) Consideremos 10 horizontal. Si 3 vertical es 512, entonces “dos veces el cuadrado de la raíz cúbica” es 2 × 8 × 8 = 126. Pero esto tiene 3 cifras, ⸫ 3 vertical no puede ser 512, ⸫ debe ser 216, y 10 horizontal es 2 × 6 × 6 = 72. ⸫ el primer dígito de 2 vertical es 7, y 1 horizontal es 9872.

(iv) El primer dígito de 7 vertical debe ser 2, 4 u 8 (véase 6 horizontal). Pero un cuadrado perfecto no puede terminar en 2 u 8 (véase 7 vertical), ⸫ 7 vertical debe ser 46.

(v) Consideremos 2 vertical y 8 horizontal. 2 vertical es 7, 8, 2 u 8, 8, 7, de modo que la suma de los dígitos da por lo menos 32. 8 horizontal es —―68 de modo que los dígitos sólo pueden sumar 32 si los dos primeros dígitos son ambos 9. ⸫ 8 horizontal debe ser 9968 y el tercer dígito de 2 vertical debe ser 2; ⸫ el primer dígito de 6 horizontal es 8.

(vi) Consideremos 4 horizontal. Los últimos dos dígitos de 8 horizontal son 68, que es 2 × 2 × 17. ⸫ 4 horizontal debe ser 17.

(vii) Consideremos 1 vertical. El último dígito debe ser 1.

(viii) 9 horizontal debe terminar en 9, 8, 7, 6 o 5, no en 1 (véase (i)). ⸫ 9 horizontal es la clave incorrecta. Para que 8 vertical fuese correcta la segunda cifra podría ser 2, 4, 6 u 8.

Solución completa

9 horizontal es la clave incorrecta.

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8. Un buen puntaje

(i) Puesto que A ganó un partido y obtuvo 16 puntos, ⸫ debe de haber perdido 1 (0 punto) y ganado 1 en las primeras entradas (6 puntos).

(ii) C obtuvo 21 puntos y sólo pudo haberlos logrado en 3 partidos obteniendo 10, 6 y 5.

C vs A no pudo haber sido empate (A no empató ninguno) y no lo pudo haber ganado C en las primeras entradas (A no perdió ninguno en las primeras entradas).

⸫ C derrotó a A (10 puntos para para C, 0 para A).

(iii) Con 6 puntos D no pudo haber empatado ninguno, ⸫ partido empatado fue el de B vs C (5 puntos cada uno).

⸫ C vs D (6 puntos) lo ganó C en las primeras entradas.

⸫ puesto que D logró 2 puntos en el partido con C, tiene que haber logrado sus otros 4 puntos por una derrota en las primeras entradas en el partido con A y una derrota en las primeras entradas cuando jugó con B. Y el partido que ganó A fue contra B.

Solución completa

A vs B: A ganó

A vs C: A perdió

A vs D: A ganó en las primeras entradas

B vs C: empate

B vs D: B ganó en las primeras entradas

C vs D: C ganó en las primeras entradas

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9. Un solo ganador

(i) Consideremos los puntos de B (11). La única manera de obtenerlos en 3 partidos es 6, 5, 0.

Consideremos los puntos de A (10). Podría ser 10, 0, 0; o 5, 5, 0; o 2, 2, 6. Pero las dos primeras posibilidades significarían que se ganaron 2 partidos por lo menos (porque si A tiene 0 algún otro tiene 10).

⸫ los puntos de A deben ser 2,2, 6.

B vs A lo debe haber ganado B en las primeras entradas.

(ii) Si D hubiera empatado un partido (5 puntos), entonces tendría que haber logrado 9 puntos en 2 partidos. Pero esto no es posible. ⸫ el partido que empató B fue el que jugó contra C.

⸫ B vs D lo ganó D.

⸫ D obtuvo 2 puntos de cada uno de los partidos que jugó, contra A y contra C.

Y C vs A lo ganó C en las primeras entradas.

Solución completa

A vs B: B ganó en las primeras entradas

A vs C: C ganó en las primeras entradas

A vs D: A ganó en las primeras entradas

B vs C: empate

B vs D: D ganó

C vs D: C ganó en las primeras entradas

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10. Criquet: Cuatro equipos

(i) Si A, B, C y D hubieran jugado todos entre sí, se hubieran jugado 6 partidos y el mayor número posible de puntos hubiese sido 60.

De hecho A, B y C obtuvieron 56 puntos (18 + 17 + 21), de modo que se jugaron todos los partidos. (6).

(ii) Si todos los partidos se hubiesen ganado o empatado, los puntos de cada equipo serían múltiplos de 5. Pero ni los puntos de A, B ni C son múltiplos de 5. ⸫ cada uno de estos equipos debe haber jugado por los menos 1 partido en el cual un equipo logró 6 y el otro 2. ⸫ se deben haber jugado por lo menos 2 de estos partidos.

Pero no se pudieron haber jugado más de 2, porque los 56 puntos de A, B y C sólo son 4 menos que el total posible de 60, y a un partido ganado en las primeras entradas se le adjudican 8 puntos (6 + 2) en vez de 10. ⸫ D no obtuvo ningún punto y perdió los 3 partidos. Los 17 puntos de B deben hacer sido 10 por ganar, 5 por un empate y 2 por una derrota en las primeras entradas. Los 21 puntos de C deben haber sido 10 por ganar, 5 por un empate y 6 por ganar una vez en las primeras entradas. Los 18 puntos de A deben haber sido 10 por ganar, 6 por ganar una vez en las primeras entradas y 2 por una derrota en las primeras entradas.

(iii) ⸫ B vs C fue un empate. A vs B lo ganó A en las primeras entradas. C vs A lo ganó C en las primeras entradas.

Solución completa

A vs B: A ganó en las primeras entradas

A vs C: C ganó en las primeras entradas

A vs D: A ganó

B vs C: empate

B vs D: B ganó

C vs D: C ganó

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11. Últimos resultados

(i) Si todos hubiesen jugado entre sí, se hubiesen jugado 6 partidos y el total de puntos sería por lo menos 48 (si todos los partidos estuviesen empatados) y un máximo de 60 (si todos los partidos estuviesen terminados).

En realidad el total de puntos (21 + 10 + 9 + 6) es 46 ⸫ 1 partido no se había jugado.

(ii) Puesto que A ha obtenido más de 20 puntos, ha jugado 3. Y debe haber ganado 1(10 puntos), ganado 1 en las primeras entradas (6 puntos) y empatado 1 (5 puntos).

C tiene 9 puntos. No hay ningún modo en que pueda haberlos logrado en 2 partidos, ⸫ debe haber jugado 3. Empató 1 y perdió 2 en las primeras entradas.

⸫ el partido que no se ha jugado es el B vs D.

(iii) ⸫ puesto que D sólo ha jugado 2, debe haber logrado sus 6 puntos al haber ganado una vez en las primeras entradas. Pero no puede haber sido contra A (que no perdió ninguno en las primeras entradas), ⸫ D vs A lo ganó A. Y D vs C lo ganó D en las primeras entradas.

(iv) Los 10 puntos de B no pueden provenir de un partido ganado puesto que ni A ni C perdieron ninguno.

⸫ ambos partidos de B frieron empatados.

⸫ A vs C lo ganó A en las primeras entradas.

Solución completa

A vs B: empate

A vs C: A ganó en las primeras entradas

A vs D: A ganó

B vs C: empate

C vs D: D ganó en las primeras entradas

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12. ¿Y dónde estaba B?

Si todos los 6 partidos se hubiesen ganado, se hubiesen obtenido 60 puntos. En realidad los puntos fueron por lo menos 53 (18 + 17 + 10 + 8) y un máximo de 55 (18 + 17 + 10 + 10). Pero, como el total de los puntos debe ser un número par, sólo puede ser 54 y, puesto que es 6 puntos menor que la cifra posible, 3 partidos deben haber sido empatados (10 puntos si el partido se ha completado, pero sólo 8 puntos (6 + 2) si no).

D obtuvo 10 puntos. Tiene que haber sido o bien 0,5 5 o 2, 2, 6.

Supongamos 2, 2, 6. Entonces los otros 3 partidos tienen que haber sido ganados o empatados.

⸫ 2 de los 3 partidos de A habrían sido ganados o empatados. Pero con 18 puntos, A no puede haber ganado 2 y no hay modo de que haya empatado 1. (18 ‒ 5 = 13, y no es posible obtener 13 puntos en 2 partidos.)

⸫ los puntos de D tienen que haber sido 0, 5, 5. Y puesto que A no puede haber empatado 1, debemos tener:

⸫ los otros 3 partidos no se completaron y un equipo debe haber obtenido 6 puntos y el otro 2 puntos.

Puesto que C obtuvo 17 puntos, C vs A y C vs B fueron ambos ganados en las primeras entradas por C. Y puesto que A obtuvo 18 puntos, A vs B fue ganado por A en las primeras entradas.

Solución completa

A vs B: A ganó en las primeras entradas

A vs C: A perdió en las primeras entradas

A vs D: A ganó

B vs C: B perdió en las primeras entradas

B vs D: empate

C vs D: empate

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13. ¿Puede sacar algunas conclusiones?

Consideremos C. No ganó ninguno pero obtuvo 2 puntos; ⸫ debe haber empatado 2. Pero no contra D que no obtuvo ningún punto. ⸫ C vs A y C vs B fueron ambos empates y C no jugó con D.

Consideremos B. Obtuvo 5 puntos y B vs C fue un empate; ⸫ B vs A y B vs D los ganó ambos B.

Consideremos A. Empató con C y perdió con B y tuvo 4 goles a favor y 4 en contra. ⸫ debe haber ganado contra D. (De otra manera los goles en contra serían más que los goles a favor.)

Sabemos ahora quién jugó con quién y el resultado de cada partido.

C empató los 2 partidos que jugó, marcó 4 goles a favor. Y puesto que el total de goles a favor debe ser el mismo que el total de goles en contra, ⸫ B tuvo 2 goles en contra. Puesto que B sólo tuvo 2 goles en contra, ⸫ B vs C debe ser 2-2, 1-1 o 0-0. Pero no es 0-0, pues C vs A sería entonces 4-4, y esto no es posible porque A marcó por lo menos 1 de sus 4 goles al derrotar a D.

Si B fuera 1-1, entonces C vs A sería 3-3, A vs B sería 0-1 y A vs D sería 1-0. Por los goles a favor y en contra de B, B vs D sería 3-1. Pero esto no es posible porque los goles a favor y en contra de D deberían ser 0-3 (no 1-4).

⸫ nuestra suposición era equivocada y B vs C no puede ser 1-1.

⸫ B vs C sólo puede ser 2-2.

⸫ C vs A es 2-2.

B sólo tuvo 2 goles en contra, ⸫ B vs A es ?-0. Y puesto que A tuvo 4 goles a favor, ⸫ A vs D es 2-?. Y puesto que D no tuvo ningún gol a favor, A vs D es 2-0. ⸫ A vs B es 0-2. ⸫ B vs D es 1-0.

Solución completa

A vs B: 0-2

A vs C: 2-2

A vs D: 2-0

B vs C: 2-2

B vs D: 1-0

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14. Pierde C

(i) B jugó 4, ⸫ ha jugado todos. ⸫ el partido de C fue contra B y el puntaje fue 1-3.

(ii) D tuvo 2 goles a favor y 1 en contra, y perdió 0 y empató 0. ⸫ jugó sólo 1 partido y el puntaje fue 2-1, y este partido debe haber sido contra B. (Si hubiera jugado 2 partidos no podría haber ganado ambos, puesto que los goles a favor son sólo 1 más que los goles en contra.)

(iii) A empató 0, ⸫ debe haber jugado 2 partidos y ganó 1 por 1-0 y perdió el otro por 0-1.

Uno de estos partidos debe haber sido contra B y, puesto que B perdió sólo 1 partido (vs D, 1-2), B vs A fue 1-0.

(iv) Ahora tenemos

El otro partido de A debe haber sido contra E y el puntaje fue 1-0. Y puesto que B jugó con todos jugó con E, y puesto que B tuvo 9 goles a favor y 5 en contra, ⸫ el puntaje en B vs E fue 4-2.

Solución completa

A vs B: 0-1

A vs E: 1-0

B vs C: 3-1

B vs D: 1-2

B vs E: 4-2

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15. Cuatro equipos: Letras por dígitos, una letra equivocada

Primero debemos tratar de averiguar algo más sobre la letra equivocada.

Consideremos C. Si ganó x y obtuvo x puntos, x sólo podría ser O (si ganó uno hubiese tenido por lo menos 2 puntos). Pero si x fuera 0, entonces lo que jugó B estaría equivocado, puesto que B tuvo goles a favor y en contra.

⸫ o bien lo que ganó C (x) o los puntos de C (x) o lo que jugó B (x) deben estar equivocados. ⸫ todo lo demás es correcto.

Supongamos que el x correcto fuera 0. Entonces B no hubiese tenido ningún punto. Pero esto no es posible porque B tuvo y goles a favor e y goles en contra, y por lo tanto debe haber logrado por lo menos 1 punto. ⸫ x no es 0.

E y (lo que jugó C) no puede ser 0, porque C tuvo goles a favor y goles en contra.

y, t, p y el x correcto deben ser 0, 1, 2 y 3 en algún orden, porque el número de partidos jugados, ganados, perdidos y empatados por cualquiera de los equipos no puede ser mayor de 3. Y puesto que ni x ni y pueden ser 0, ⸫ debe ser o t o p.

Y puesto que x es 1 o más, ⸫ o bien lo que ganó C o los puntos de C deben estar equivocados. ⸫ lo que jugó B es correcto. Supongamos que lo que jugó B (x) fuera 1, entonces B hubiese obtenido x puntos y por lo tanto hubiese empatado 1. Pero esto no es posible, puesto que los empates de B (p) entonces también serían 1. ⸫ x no puede ser 1.

Supongamos que x fuera 3. Entonces B hubiese obtenido 3 puntos (x). ⸫ hubiese ganado 1 y empatado 1 (no podría haber empatado 3, pues p y x no pueden ser ambos 3). Pero esto no es posible con y goles a favor e y en contra.

⸫ x sólo puede ser 2.

B jugó 2 y obtuvo 2 puntos. Si hubiese empatado 2, p también sería 2. Y puesto que no es así, B debe haber ganado 1 y perdido 1 y p debe ser 0.

Si t (los empates de A) fuera 3, entonces A tendría que haber empatado con todos los otros tres. Pero sabemos que B no empató ninguno.t debe ser 1, ⸫ y debe ser 3.

D perdió 2 y no obtuvo ningún punto, ⸫ sólo puede haber jugado 2.

C jugó 3 y B jugó 2, A debe haber jugado 1 o 3 (para que el número total de partidos jugados sea par). A empató 1 y obtuvo 1 punto y tuvo h goles a favor y h en contra. ⸫ si hubiese jugado 3 hubiese ganado 1 y perdido 1 también y por lo tanto tendría que haber logrado 3 puntos. ⸫ A sólo puede haber jugado uno.

Puesto que tuvo h goles a favor y h en contra, fue un empate. Y puesto que C jugó todos los otros, A vs C fue un empate. D no obtuvo puntos, ⸫ perdió ambos partidos.

Tenemos pues:

Ahora podemos ver que C obtuvo 5 puntos, ⸫ la letra equivocada era la de los puntos de C (x).

Debería ser 5, no 2(x).

Puesto que p (los goles a favor de D) es 0, ⸫ D vs B y D vs C son ambos 0-? Y puesto que B tuvo 3 goles en contra, B vs C es ?-3.

A vs C es h-h, y C tuvo h goles en contra, ⸫ C vs B y C vs D fueron ambos ?-0. ⸫ B vs C es 0-3 y B vs D es 3-0. Sabemos que h (goles a favor y en contra de A) es más de 3.

Supongamos que fuera 5. Entonces, puesto que D tuvo h goles en contra, y D vs B fue 0-3, ⸫ D vs C sería 0-2. Pero los goles a favor de C (g) serían entonces 10 (5 + 3 + 2), lo cual no es posible. Y si h fuera más de 5 la situación sería peor; ⸫ h debe ser 4.

⸫ A vs C es 4-4, y puesto que h es 4, D vs C es 0-1 y g es 8.

Solución completa

La letra equivocada es la de los puntos de C; deben ser 5, no 2(x).

A vs C: 4-4

B vs C: 0-3

B vs D: 3-0

C vs D: 1-0

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16. Cuatro equipos

D ganó 2, ⸫ debe haber perdido 1 para que los goles a favor sean iguales a los goles en contra. ⸫ D los jugó todos y no empató ninguno.

B no obtuvo puntos, ⸫ no empató vs C. ⸫ el partido empatado de C debe haber sido vs A. Y puesto que B no obtuvo puntos, D vs B lo ganó D.

A sólo jugó 2, ⸫ A no jugó con B, como tuvo que hacerlo con D. B jugó 1 o 2 partidos. Supongamos que B jugó 1 (vs D), entonces el puntaje de ese partido fue ?-4. Pero D sólo convirtió 3 goles, ⸫ B vs D no puede haber sido el único partido de B. ⸫ B jugó con C y C ganó este partido puesto que B no obtuvo puntos. El total de goles en contra debe ser igual al total de goles a favor, ⸫ A y B entre ellos marcaron 5 goles (5 + 7 + 3 = 3 + 4 + 5 + 3). B tuvo 4 goles en contra en 2 partidos que perdió, B no pudo haber convertido más de 2 goles (y podría haber marcado menos). ⸫ A convirtió por lo menos 3 goles. Pero si A convirtió 3 goles, entonces ambos partidos jugados por él hubiesen sido empatados. Pero esto no es posible, porque no hay ninguno que pudiese ser su contrario para el segundo partido empatado. ⸫ A debe haber marcado más de 3 goles.

⸫ A vs D lo ganó A.

⸫ puesto que D ganó 2 partidos, D vs C lo ganó D.

Consideremos C. Puesto que empató 1, perdió 1 y ganó 1, y tuvo 7 goles a favor y 5 en contra, ⸫ el partido que ganó (vs B) fue ganado por un margen de por lo menos 3 goles. Pero B perdió los dos partidos (vs C y vs D) y tuvo 4 goles en contra. ⸫ B vs C debe haber sido ?-3, y B vs D debe haber sido ?-1. Y puesto que sabemos que D ganó este partido, debe haber sido 0-1. Y puesto que C derrotó a B por un margen de por lo menos 3 goles, ⸫ C vs B fue 3-0. D marcó 3 goles, 1 contra B, por lo menos 1 contra C (D ganó este partido), ⸫ queda 1 o 0 contra A.

Supongamos que fuera 1x (de modo que A vs D fue ?-1). Entonces A vs C hubiese sido 2-2, y C hubiese marcado 2 goles vs D (7 goles en total). Y puesto que D ganó este partido el puntaje hubiese sido por lo menos 3-2. Pero esto no es posible porque D sólo marcó 3 goles en total (y 1 fue contra B).

⸫ D no marcó ningún gol vs A, ⸫ 2 goles vs C.

⸫ puesto que A tuvo 3 goles en contra, A vs C fue 3-3.

⸫ C convirtió un gol vs D (7 en total). ⸫ C vs D fue 1-2, y D vs A fue 0-2.

Solución completa

A vs C: 3-3

A vs D: 2-0

B vs C: 0-3

B vs D: 0-1

C vs D: 1-2

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17. No se puede hacer uno sin el otro

En (i), puesto que sólo pueden jugarse 3 partidos, el total de puntos no pueden ser más de 6 (2 por cada partido).

Por (ii), d, x y t no puede ser ninguno 0. ⸫ sólo pueden ser l, 2 y 3 (l + 2 + 3 = 6). Y por la segunda línea vertical en (ii), t debe ser 3, y d y x deben ser 1 y 2 o 2 y 1.

Los partidos ganados por C (p) deben ser 0, 1 o 2. Pero no pueden ser 1 ni 2. ⸫ p = 0. Y puesto que C no ganó ninguno, x debe ser 1 (no 2, porque si C hubiese empatado los dos partidos que jugó, los goles a favor serían los mismos que los goles en contra). ⸫ d deben ser 2. Y por (ii) m = 5.

B obtuvo 3 puntos y C obtuvo 1 punto, ⸫ o B vs C fue un empate, o B y C empataron ambos con A. Pero esto no es posible, porque los goles a favor de A no son iguales a sus goles en contra. ⸫ B vs C fue 0-0 y C vs A fue 0-3.

B vs A fue (m)-y. Y puesto que sabemos que B ganó este partido, y sólo puede ser 4. ⸫ B vs A fue 5-4.

Solución completa

(i)

A vs B: 4-5

A vs C: 3–0

B vs C: 0-0

(ii)

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18. Partidos recíprocos

(i) C jugó 3. ⸫ A y B una vez cada uno y uno de ellos dos veces.

(ii) A ganó 1 y empató 1 y tuvo el mismo número de goles a favor que de goles en contra, ⸫ A jugó por lo menos 3. ⸫ B jugó por lo menos 1 vs A y 1 vs C.

(iii) Si B hubiera jugado 2 partidos o bien contra A o contra C hubiera marcado por lo menos 1 gol (véanse las condiciones). Pero B no convirtió ningún gol. ⸫ B jugó sólo 1 vs A y 1 vs C. ⸫ el tercer partido de C fue vs A, no B. ⸫ A jugó 2 vs C y 1 vs B.

(iv) Los partidos jugados son entonces:

A

(v) Sabemos que B no empató ninguno, ⸫ B perdió ambos partidos y puesto que “no hubo 2 partidos exactamente con el mismo puntaje”, los puntajes deben haber sido 0-1 y 0-3.

A debe haber marcado por lo menos 1 gol en los 2 partidos vs C (véanse las condiciones) y, puesto que A sólo marcó 3 goles en total, ⸫ A vs B fue 1-0, B vs C fue 0-3 y A empató uno de sus partidos vs C y perdió el otro. (Ahora sabemos el resultado de todos los partidos.)

(vi) Si el partido empatado por A vs C fue 1-1, entonces según las condiciones el partido que perdió A podría ser 0-2 o 2-3, pero en cualquiera de estos dos casos los goles de A a favor y en contra estarían equivocados. Si el partido empatado por A fue 2-2, entonces el otro partido de A vs C sería 0-1. Pero esto es lo mismo que el de A vs B.

⸫ el partido empatado por A vs C debe ser 0-0.

⸫ el partido que perdió A vs C fue 2-3.

Solución completa

A vs B: 1-0

B vs C: 0-3

A vs C: 0-0

A vs C: 2-3

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19. Gana D

(i) Consideremos A. No ganó ninguno ni empató ninguno, pero los goles que tuvo en contra fueron sólo 1 más que sus goles a favor. ⸫ sólo puede haber perdido 1, ⸫ jugó 1 y el puntaje fue 3-4.

(ii) C sólo tuvo 2 goles en contra. ⸫ no jugó con A, que marcó 3 goles en su partido.

⸫ C jugó con todos los otros tres equipos.

Y, puesto que D sólo jugó 1 partido, el puntaje fue 2-1, ⸫ D vs C fue 2-1. Y A no jugó con D.

Y, puesto que A tuvo 4 goles en contra en su único partido, y E sólo marcó 3 goles, ⸫ A no jugó con E. ⸫ A vs B fue 3-4. Y el partido de D vs C fue el único partido de D.

(iii) C sólo tuvo 2 goles en contra. ⸫ B y E ambos tuvieron 0 puntos (D marcó 2). B no empató ninguno, ⸫ C vs E fue un empate (0-0).

Y puesto que los goles de E fueron 3-2, ⸫ E jugó con B y el puntaje fue 3-2.

Y, puesto que C marcó 4 goles, ⸫ C vs B fue 3-0.

Solución completa

A vs B: 3-4

B vs C: 0-3

B vs E: 2-3

C vs D: 1-2

C vs E: 0-0

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20. Fútbol y suma: Letras por dígitos

En (ii) g debe ser par (i + i).

⸫ puesto que en (i) g debe ser 0, 1, 2 o 3 (porque ninguno puede jugar más de 3 partidos), g debe ser 0 o 2. Pero no es 0, porque D obtuvo algunos puntos, ⸫ g = 2. ⸫m (lo que jugó A) debe ser 1 o 3 (no 0, porque A tuvo goles en contra).

Supongamos que m fuera 1. Entonces los puntos de D serían 1, ⸫ D hubiese empatado 1. ⸫ y (los empates de D) deberían ser 1, pero m e y no pueden ser ambos 1. ⸫ m no puede ser 1 y m = 3.

⸫ puesto que D obtuvo 3 puntos, debe haber empatado 1, y = 1.

En (ii), puesto que g = 2, y s no puede ser 1, s = 6. Y puesto que x no puede ser 0, 1, 2 ni 3, ⸫ x debe ser 4. Y como hay que llevarse 1 de la segunda línea vertical, p = 9.

Los puntos de A no pueden ser 1, 2, 3, 4 ni 6. Puesto que no pueden ser más de 6 (3 partidos), deben ser 0 o 5.

El número de partidos jugados no puede ser más de 3 + 3 + 2 + 2, o sea 10. Pero los puntos (si A obtuvo 5) serían 5 + 2 + 2 (por lo menos) + 3, o sea 12. Pero deberían ser los mismos, porque cada partido aparece dos veces y hay 2 puntos por cada partido.

⸫ los puntos de A no pueden ser 5 y deben ser 0. ⸫ t = 0. Supongamos que B obtuvo sus 2 puntos en 2 empates, entonces, puesto que sus goles a favor son diferentes de sus goles en contra, tendría que haber jugado 3, y C tendría que haber jugado 2. ⸫ (3 + 3 + 2 + 2), o sea 10 partidos tendrían que haberse jugado.

Pero los puntos no podrían ser más de (0 + 2 + 3 + 3), o sea 8. Y esto no es posible (véase lo anterior). ⸫ B debe haber obtenido sus 2 puntos en un partido ganado, y el partido empatado por D fue vs C.

Los puntos fueron (0 + 2 + 3 + 3), o sea 8. ⸫ puesto que C jugó 2 partidos, B sólo jugó 1, lo cual nos da en la columna de jugados (3 + 1 + 2 + 2), o sea 8.

⸫ puesto que B sólo jugó 1, debe haber sido vs A.

⸫ B vs A fue 6 = 3.

⸫ B marcó 6 goles contra A y, puesto que A perdió sus partidos vs C y vs D, C y D deben haber marcado cada uno por lo menos 1, dando un total de 8 goles contra A. h (los goles en contra de A) no pueden ser 9, porque p es 9.

⸫ h sólo puede ser 8. Y A vs C y A vs D son ambos 0-1.

C tuvo 4(x) goles en contra. Ninguno de ellos fue convertido por A, ⸫ C vs D debe haber sido 4-4.

Solución completa

(i)

A vs B: 3-6

A vs C: 0-1

A vs D: 0-1

C vs D: 4-4

(ii)

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21. Siete equipos

Consideremos C. No perdió ninguno, de modo que se adjudicó puntos por cada partido jugado. Tuvo 5 goles a favor y 5 en contra. ⸫ debe haber obtenido sus 3 puntos en 3 empates (si hubiese ganado 1 y empatado 1, también tendría que haber perdido 1, para que sus goles a favor fueran los mismos que sus goles en contra).

⸫ C jugó 3 y empató 3.

A sólo jugó 1 y tuvo 4 goles a favor y 2 en contra; ⸫ no empató ninguno. Y puesto que B no obtuvo puntos, tampoco empató ninguno. E jugó 2 y obtuvo 4 puntos, ⸫ no empató ninguno. ⸫ el partido que empató C debe haber sido vs D, vs F y vs G.

G sólo jugó 1 partido (vs C) y fue un empate. G vs C fue 3-3 (G tuvo 3 goles en contra). F jugó 2 y empató 1 y no tuvo ningún gol a favor y 8 en contra, ⸫ el partido empatado por F (vs C) fue 0-0 y perdió uno (0-8). El puntaje del tercer partido empatado por C (vs D) fue 2-2. Puesto que ninguno, ni A, ni B, ni C, ni E ni G tuvieron tanto como 8 goles a favor, F sólo pudo haber perdido con D. ⸫ F vs D fue 0-8; y F no jugó con nadie más.

La situación ahora es la siguiente:

E sólo jugó 2 partidos y puesto que obtuvo 4 puntos, los ganó ambos. A sólo jugó un partido y lo ganó. E no puede haber jugado con A. ⸫ los 2 partidos que ganó E sólo pueden haber sido vs B y vs D.

El partido que jugó A sólo puede haber sido vs B o vs D.

Supongamos que fue vs B. Entonces A no jugó con D, el otro partido perdido por D fue vs B. Pero esto no es posible, porque B no obtuvo ningún punto. ⸫ el partido de A debe haber sido vs D (⸫ A vs D fue 4-2).

Sabemos que D perdió 2 partidos (vs A y vs E); pero puesto que obtuvo 3 puntos al ganar contra F y al empatar vs C, no puede haber jugado con B, ya que B no obtuvo ningún punto.

⸫ B sólo jugó 1 partido vs E y el puntaje fue 3-?. Y puesto que E tuvo 3 goles en contra, E vs D fue ?-0. Y puesto que D tuvo 8 goles en contra, D vs E fue 0-2. ⸫ E vs B fue 4-3.

Solución completa

A vs D: 4-2

B vs E: 3-4

C vs D: 2-2

C vs F: 0-0

C vs G: 3-3

D vs E: 0-2

D vs F: 8-0

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22. Todos tienen puntos

(i) Se han jugado todos los partidos excepto 1. ⸫ se habían jugado 5 partidos y se adjudicaron 50 puntos por partidos ganados y empatados. El total de puntos es de 68, ⸫ se marcaron 18 goles. Cada equipo había jugado por lo menos 2 partidos y por lo tanto había marcado por lo menos 2 goles. Si tomamos esto en cuenta, es fácil ver que tenemos:

(ii) C ganó 1, y empató 1 y marcó 3 goles. ⸫ C sólo jugó 2 partidos (son necesarios 2 goles por ganar y 1 por empate). D ganó 1 y empató 1 y no perdió ninguno. ⸫ D sólo jugó 2 partidos. ⸫ C no jugó con D. ⸫ los partidos empatados por C y por D deben haber sido ambos vs A.

(iii) B jugó y perdió con A, C y D. ⸫ sabemos el resultado de cada partido. Y puesto que C sólo marcó 3 goles, ⸫ C vs A fue 1-1, y C vs B fue 2-1. Y tenemos:

(iv) A vs D debe ser 1-1 o 2-2 (no más de 5 goles en cada partido).

Supongamos 1-1. Entonces puesto que A marcó 6 goles, A vs B fue 4-1; y puesto que B marcó 4 goles, ⸫ B vs D fue 2-?.

Consideremos los goles de D. 1 vs A, ⸫ 4 vs B; B vs D fue 2-4. Pero no se marcaron más de 5 goles en cada partido. ⸫ nuestra suposición es incorrecta; ⸫ A vs D debe haber sido 2-2.

(v) ⸫ A vs B fue 3-1 o 2; y D vs B fue 3-2 o 1. Si A vs B fue 3-1, entonces A tuvo 4 goles en contra; y si D vs B fue 3-2, entonces D tiene 4 goles en contra.

Pero no hay dos equipos que tengan el mismo número de goles en contra. ⸫ A vs B debe ser 3-2, y D vs B debe ser 3-1.

Solución completa

A vs B: 3-2

A vs C: 1-1

A vs D: 2-2

B vs C: 1-2

B vs D: 1-3

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23. Tres equipos

(i) 3 partidos fueron jugados, ⸫ se adjudicaron 30 puntos por ganar o empatar. A sólo puede haber obtenido 20 de ellos, al derrotar tanto a B como a C, y B y C deben haber logrado 5 cada uno (B vs C: empate).

(ii) B marcó 3 goles (8-5), ⸫ B vs C fue 2-2 o 1-1, y B vs A fue 1-? o 2-?.

De modo que tenemos:

(iii) Supongamos que B vs fue 1-1. Entonces B vs A fue 2-?, y C vs A fue 3-? (C marcó 4 goles). ⸫ puesto que A derrotó a B y a C, debe haberse adjudicado por lo menos 3 + 4 = 7 goles. Pero sólo marcó 5. ⸫ B vs C no puede haber sido 1-1, ⸫ B vs C fue 2-2. ⸫ B vs A fue 1-?, y C vs A fue 2-?. ⸫ A vs B debe haber sido 2-1, y A vs C, 3-2.

Solución completa

A vs B: 2-1

A vs C: 3-2

B vs C: 2-2

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24. Tres equipos más

(i) Consideremos C. No puede haber ganado ni empatado ningún partido. Pero debe haber jugado con A y B, porque si sólo hubiese perdido con uno de ellos, el puntaje de ese partido hubiese sido 4-5 o más (pero no se marcaron más de 6 goles en cada partido).

Si C hubiese marcado 3 goles en alguno de estos partidos, el puntaje hubiese sido 3-4 o más. ⸫ C marcó 2 goles vs A, y 2 goles vs B.

(ii) Consideremos B. Derrotó a C, pero éste no puede haber sido su único partido, porque hubiese tenido que marcar 10 goles en él. ⸫ B también jugó con A. Pero no puede haber ganado este partido porque entonces no habría marcado ningún gol en ninguno de los partidos.

Y no puede haberlo perdido, porque no puede haber marcado más de 4 goles vs C (C marcó 2) y el puntaje en B vs A tendría que haber sido por lo menos 6-7. ⸫ B vs A fue empate.

(iii) B debe haber marcado por lo menos 3 goles para derrotar a C.

⸫ B no puede haber marcado más de 2 goles vs A. Supongamos que A vs B fuera 1-1, entonces A vs C sería 5-2, lo cual no es posible. ⸫ A vs B fue 2-2. ⸫ A vs B fue 2-2. ⸫ A vs C fue 4-2; y B vs C fue 3-2.

Solución completa

A vs B: 2-2

A vs C: 4-2

B vs C: 3-2

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25. Todos puntajes diferentes

6 partidos se jugaron y ⸫ fueron adjudicados 60 puntos por ganar o empatar.

A no pudo haber logrado más de 20 puntos por ganar o empatar, B no puede haber logrado más de 25 puntos (no 30, porque en ese caso se hubiera adjudicado por lo menos 6 puntos por sus goles al ganar 3 partidos), C no obtuvo puntos por ganar o empatar y D no pudo haber obtenido más de 15. Esto da (20 + 25 + 15), o sea 60 y ⸫ esto debe haber sido lo que ocurrió.

Ahora tenemos:

D obtuvo 15 puntos por ganar o empatar pero no pudo haber empatado 3 partidos, porque C no obtuvo puntos por ganar o empatar, ⸫ D ganó 1 y empató 1, B debe haber empatado 1 (25 puntos por ganar o empatar) y A podría haber empatado 2 (1 vs B y 1 vs D).

Supongamos que el único partido empatado fue el de B vs D. Entonces A ganó 2 y perdió 1. Uno de los que ganó A podía haber sido 2-1, pero el otro debe ser por lo menos 3-?. ⸫ A marcó 5 goles en estos 2 partidos, pero también debe haber marcado por lo menos 1 gol en el partido que perdió vs B. ⸫ esto no es posible, ⸫ A debe haber empatado 2 (vs B y vs D) y ganado 1 vs C. Y los puntajes de estos 3 partidos sólo pueden haber sido 1-1, 2-1 y 2-2, aunque todavía no sabemos cuál de los partidos empatados fue 1-1 y cuál 2-2.

Sabemos que B jugó sus partidos contra C y D, y que C perdió los 3 partidos.

Consideremos D. Puesto que A vs C fue 2-1, D debe haber marcado por lo menos 3 goles contra C. Pero como sólo marcó 5 goles en total, D vs A haber sido 1-1 y D vs B debe haber sido 1-?. ⸫ A vs B debe haber sido 2-2, y D vs C fue 3-?.

B marcó 9 goles, 2 contra A, y ⸫ 7 contra C y D. B vs D no puede ser 2-1, porque A vs C es 2-1, ⸫ B vs D es 3-1 o 4-1 y B debe haber marcado 4 o 3 goles contra C.

C marcó 1 gol vs A. ⸫ 5 vs B y vs D. Pero no más de 2 goles vs D, y ⸫ 3 vs B. ⸫ C vs D fue 2-3, C vs B fue 3-4 y B vs D fue 3-1.

Solución completa

A vs B: 2-2

A vs C: 2-1

A vs D: 1-1

B vs C: 4-3

B vs D: 3-1

C vs D: 2-3

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26. Un profesor polifacético

(i) Las cifras de A y de C (8) son las mismas. ⸫ si una de estas cifras está equivocada no sería posible descubrir cuál. ⸫ deben ser correctas las dos. ⸫ la que está equivocada es o bien la cifra de B o la de D.

(ii) 6 partidos se jugaron. ⸫ 60 puntos fueron adjudicados por ganar o empatar. A y C sólo podían haber logrado 10 de estos puntos entre ellos. D sólo pudo haber obtenido 30 de ellos (aun si hubiese ganado todos los 3 partidos que jugó). ⸫ B debe haber obtenido 20 por ganar o empatar. Pero la cifra de B es sólo 19, ⸫ la cifra de B está equivocada y todas las restantes son correctas.

(iii) ⸫ D obtuvo 30 puntos por ganar y 27 por goles. ⸫ el puntaje de D en todos los 3 partidos fue 9-1. La situación de A y la de B debe ser la misma, ⸫ empataron entre sí y marcaron 1 gol en cada partido. ⸫ tenemos:

(iv) No podemos saber los puntajes de B vs A y B vs C, aunque sabemos que B ganó ambos. Los puntajes en cada caso podrían estar entre 2-1 y 9-1. ⸫ B obtuvo 20 puntos por ganar y por lo menos 5 puntos por goles, y podría haber logrado tanto como 19 por goles. ⸫ los puntos de B están entre 25 y 39.

Solución completa

La cifra de B estaba equivocada (debe estar entre 25 y 39 inclusive).

A vs B: 1-2 a 9

A vs C: 1-1

A vs D: 1-9

B vs C: 9 a 2-1

B vs D: 1-9

C vs D: 1-9

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27. Más goles

(i) D obtuvo 5 puntos y ⸫ no pudo haber ganado ni empatado ninguno, pero debe haber jugado por lo menos 2 partidos. (Si D hubiese jugado sólo 1 y lo hubiese perdido, el puntaje hubiese sido por lo menos 5-6, pero esto no es posible.) A obtuvo 11 puntos, ⸫ no pudo haber ganado 1 (eran necesarios 10 + 2 puntos); pero debe haber jugado por lo menos 2 partidos y podría haber empatado 1.

⸫ A no puede haber jugado con D.

(ii) B obtuvo 8 puntos, ⸫ no pudo haber ganado uno, ⸫ no jugó con D. ⸫ D jugó con C y con E y perdió ambos partidos. C obtuvo 12 puntos y derrotó a D, ⸫ el puntaje de este partido fue 2-1, y éste fue el único partido de C. ⸫ A, que “jugó por lo menos 2 partidos”, jugó solamente con B y con E.

La situación ahora es la siguiente:

(iii) D vs C fue 1-2, ⸫ D vs E fue 4-5. Sabemos que E jugó con A y D. Supongamos que éstos fueran los 2 únicos partidos de E. Entonces el mayor puntaje posible es (10 + 5) (vs D) y (10 + 8) (vs A), o sea 33. Pero E obtuvo 43 puntos, ⸫ E jugó con B.

Ahora sabemos quién jugó con quién.

(iv) Consideremos A vs B. Ninguno de los dos equipos pudo haber ganado este partido, ⸫ fue un empate. Y ni A ni B pueden haber empatado otro partido. ⸫ E derrotó a A y E derrotó a B.

Ahora sabemos el resultado de cada partido.

(v) A obtuvo 5 puntos en un empate vs B, ⸫ A marcó 6 goles. Pero A no puede haber marcado más de 4 goles en el partido perdido vs E. ⸫ A vs B fue por lo menos 2-2. B sólo obtuvo 3 goles; ⸫ 1 vs E y sólo 2 vs A.

⸫ A vs B fue 2-2, ⸫ A vs E fue 4-5.

⸫ E marcó 3 goles vs B. ⸫ E vs B fue 3-1.

Solución completa

A vs B: 2-2

A vs E: 4-5

B vs E: 1-3

C vs D: 2-1

D vs E: 4-5

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28. Goles sumamente recompensados

(i) 3 partidos fueron jugados, ⸫ hubo 30 puntos por ganar o empatar.

A no podía haber obtenido más de 10 puntos por ganar o empatar.

B no podía haber obtenido más de 15 puntos por ganar o empatar.

C no podía haber obtenido más de 5 puntos por ganar o empatar.

Pero esto da 30. ⸫ tenemos:

(ii) Consideremos B. Debe haber empatado 1 (vs C) y ganado 1 (vs A). B vs C debe haber sido por lo menos 2-2 (hubo una bonificación en cada partido). B vs A debe haber sido 2-1 (con una bonificación para B).

Ahora tenemos:

(b = bonificación)

Puesto que B no obtuvo una bonificación en B vs C, ⸫ la obtuvo C.

(iii) A vs C lo ganó A, y A obtuvo una bonificación. Pero C no. ⸫ C marcó 3 goles. ⸫ A vs C debe haber sido 4-3, con una bonificación de 1 para A.

Solución completa

A vs B: 1-2

A vs C: 4-3

B vs C: 2-2

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29. Cuatro dígitos divididos por dos dígitos

Consideremos (i). Puesto que (iii) tiene tres cifras y (v) sólo tiene dos, ⸫ (i) debe ser 32 (recuérdese que las cifras de (i) tienen una diferencia de 1 solamente). ⸫ (iv) y (v) son dos veces el divisor, deben terminar en un número par. Pero no 8 ni 4, porque (iv) y (v) terminan en 8 y 4; y no en 2 (porque ésta es la última cifra en (ii) y habría que bajarla a (iv)). Y el divisor no puede terminar en 0, porque (iii) termina en 0.

⸫ (iv) y (v) terminan en 6. ⸫ el divisor termina en 3 u 8. Pero no es 8, porque ésta es la cifra dada. ⸫ el divisor termina en 3.

Si el divisor fuera 33, entonces (iii) sería 99, pero (iii) tiene tres cifras. Y si el divisor fuera 53, entonces (iv) y (v) hubiesen tenido tres cifras (53 veces 2 = 106).

⸫ el divisor debe ser 43. Y sabemos que (iii) y (v) son 43 veces 3 y 2.

Sumamos de abajo hacia arriba y tenemos:

Solución completa

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30. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

Puesto que (iii) tiene tres cifras y (v) sólo tiene dos, ⸫ las primeras dos cifras de (i) deben ser 4 y 3 (no 3 y 4). Puesto que (v) (dos cifras) es 3 veces el divisor, ⸫ el divisor debe ser menor que 34 (34 veces 3 = 102).

Y puesto que 4 veces el divisor es más de 100 (véase (iii)). ⸫ el divisor es más de 25. Y puesto que la primera cifra dada en el divisor es 3, ⸫ el divisor es 25, 26, 27, 28 o 29.

La última cifra de (i) debe ser 1 o 3. Si fuera 3, entonces (vi) y (vii) comenzarían con 8 o 7 (3 × 25 = 75; 3 × 29 = 87). Pero (vi) y (vii) efectivamente comienzan con 8 y 7.la última cifra de (i) no es 3, y debe ser 1. ⸫ (vi) y (vii) son el divisor. ⸫ el divisor no es 26, ni 25 ni 28 (última cifra de (ii)), ni 29 (el divisor se da como 39).

⸫ el divisor es 27. Sabemos que (iii), (v) y (vii) son 27 × 4, 3 y 1.

Sumamos de abajo hacia arriba obtenemos:

Solución completa

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31. Suma: Cuatro números

En (i) y (iii) están sumados los mismos cuatro dígitos, y puesto que no hay nada para llevarse de (i), la suma de estos dígitos es menor que 10. Ninguno de ellos puede ser 0, porque no tendría sentido que alguna de las cifras de (i) fuese 0, lo menos que pueden ser es (1 + 1 + 2 + 3), o sea 7.

Pero puesto que 7 es la cifra dada en (iv), los dígitos correctos deben ser 8 o 9. En (i) están sumados los mismos cuatro dígitos pero el resultado es diferente, ⸫ debe haber algo para llevarse de (ii).

⸫ la última cifra de (iv) (7) debe ser 8; y la primera cifra de (iv) (8) debe ser 9.

Supongamos que el 2 en (iii) estuviera en lugar de 3. Entonces tendríamos, por lo menos (3 + 3 + 1 + 2), o sea 9. Pero la última línea vertical suma 8. ⸫ 2 debe estar en lugar de 1. ⸫ 4 y 1 en (iii) sólo pueden estar en lugar de 2 y 4. ⸫ 4 debe estar en lugar de 2; y 1 debe estar en lugar de 4.

Y tenemos:

Los dígitos que faltan son 0, 3, 5, 6 y 7. Y sabemos que hay que llevarse 1 de (ii). Supongamos que la segunda cifra de (iv) fuera 0, entonces la cifra que está encima sería por lo menos (3 + 3 + 6 + 5), o sea 17 (es demasiado).

La segunda cifra de (iv) no puede ser 3 (cifra dada).

Supongamos que la segunda cifra de (iv) fuese 5. Entonces los dos primeros dígitos de (ii) no podrían ser 0 (porque entonces sólo tendríamos (0 + 0 + 6 + 7), o sea 13, en vez de 15).

Si los dos primeros dígitos fueran 3, los otros tendrían que sumar 9, pero esto no es posible, porque no debemos tener otro 3. Los primeros dos dígitos no pueden ser 5, porque estamos suponiendo que el último dígito es 5. Los primeros dos dígitos no pueden ser 6, porque ésta es la cifra dada. Si los dos primeros dígitos fueran 7, entonces los otros dos tendrían que sumar 1, lo cual no es posible.

Supongamos que la segunda cifra de (iv) fuera 6. Entonces los dos dígitos superiores (5 y 0) tendrían que estar en lugar de dígitos que sumaran un número par. Los dígitos que faltan son 0, 3, 5 y 7. ⸫ 0 no puede ser uno de los dos últimos dígitos, porque 0 + (3, 5 o 7) sería impar. ⸫ (ii) sería por lo menos 3 + 3 + 5 + 7, o sea 18 —pero esto es demasiado ((0 + 0 + 5 + 7) sería demasiado poco).

⸫ la segunda cifra de (iv) sólo puede ser 7. Las primeras dos cifras verticales no pueden ser 0 ((0 + 0 + 6 + 7) = 13), ni 5 ((5 + 5 + 0 + 7), no es aceptable, porque si 3 está en lugar de 7 otro no puede estar. Y las dos primeras cifras de (ii) no pueden ser 6 (cifra dada); ni 7, porque si 3 está en lugar de 7 otro no puede estar.

⸫ (ii) sólo puede ser:

(Nótese que puesto que 5 no puede ser la tercera cifra vertical, porque ésta es la cifra dada, ⸫ debe ser la cuarta.)

Solución completa

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32. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

Será conveniente efectuar un esquema además de las cifras dadas, en el cual se puedan insertar las cifras correctas a medida que se descubren.

Del modo siguiente:

Puesto que de los dígitos en (i) tienen sólo una diferencia de 1, ⸫ la última cifra de (i) debe ser 2. El divisor no comienza con 1 (cifra dada). Si el divisor estuviera entre 20 y 29, (vi) y (vii) comenzaría con 4 o 5, pero éstas son cifras dadas, ⸫ el divisor no comienza con 2.

Puesto que el divisor × 2 sólo tiene dos cifras, ⸫ el divisor es menor de 50. ⸫ (iii) debe ser el divisor × 3 (porque el divisor entra más de una vez en un número de tres cifras).

⸫ el divisor es 30, 31, 32 o 33 (no 34, porque 34 veces 3 = 102). Pero no 30 (véase la segunda cifra de (iii)), y no 32, porque 32 veces 2 termina en 4, que es la segunda cifra de (vi); y no 33, porque 33 veces 2 termina en 6, que es la segunda cifra de (vii).

⸫ el divisor debe ser 31. ⸫ (iii) es 93 y (vi) y (vii) son 62.

(v) debe ser 31 veces 6 u 8, pero no es 8 porque ésta es la última cifra de (v); ⸫ (v) es 31 veces 6, o sea 186.

Sumamos de abajo hacia arriba y obtenemos:

Solución completa

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33. Suma: Dos números

En (i) 4 debe ser 1. Y puesto que (ii) no puede ser

(porque 9 es la cifra dada), ⸫ debe ser

y hay que llevarse 1 de (iii).

⸫ en (iii) 7 debe representar 5 o más. Pero no 5, porque la última cifra de (iii) sería entonces 0 o 1 (ambos imposibles). Y 7 no puede estar en lugar de 8, porque 9 está en lugar de 8. Y 7 no puede representar 9, porque la cifra inferior de (iii) sería entonces 8 (que lo tenemos) o 9, y estamos suponiendo que 7 representa 9. ⸫ debe ser

La cifra de abajo en (v) (2) debe ser par, y no puede ser 0 ni 2 ni 6 ni 8. ⸫ debe ser 4. ⸫ (v) debe ser

Si fuera

entonces los dígitos en (iv) serán 5, 7 y 9; y no habría que llevarse 1 de (v) a (iv). Pero sin llevarse 1, dos dígitos impares sumarán uno par, no uno impar. ⸫ esto no es posible. ⸫ (v) debe ser

⸫ (iv) debe ser 2 o 3 y 5 y 9 (los únicos dígitos que faltan). 9 + (2 o 3) + 1 (que llevamos) = 12 o 13 (no 15); 9 + 5 + 1 (que llevamos) = 15 (no 12 o 13).

Pero si 9 está debajo de la línea, entonces no puede haber nada para llevarse y podemos tener 5 + 3 + 1 (que llevamos) = 9. Pero puesto que 5 + 3 son las cifras dadas, debe ser 3 + 5.

Solución completa

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34. Diferencia de uno

La segunda cifra de (i) no puede ser 0 y por lo tanto debe ser 2. Y la segunda cifra de (iv) y (v) debe ser 2. (iv) y (v) son el divisor 2 veces, ⸫ el divisor debe terminar en 1 o 6. Pero no 1, 6.

La primera cifra del divisor no puede ser 5, porque (iv) y (v) tendrían entonces tres cifras (5‒ × 2 = ‒ ‒).

⸫ el divisor es 36.

La primera cifra en (1) es 6 u 8. Supongamos 8. Entonces 36 × 8 = 288. Pero a las cifras de (iii) no les falta a todas 1.

⸫ (i) es 62, y (iii) es 216.

Solución completa

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35. Casi correcto

Primero debemos buscar la cifra incorrecta: si a lo que jugó A se lo cambiara y no fuera 3, entonces una de las otras cifras también habría que cambiarla. Y lo mismo se aplica a lo que A perdió, empató y a sus puntos.

Y también vale para lo que B, D, y E jugaron, ganaron, perdieron, empataron y los puntos que tienen.

Pero no vale para C; ⸫ el error debe estar en lo que ganó o perdió C, o en uno de los goles a favor o goles en contra. Y todas las otras cifras son correctas.

El total de partidos jugados debe ser par, porque cada partido aparece dos veces. ⸫ C debe haber jugado 2 o 4. El total de puntos debe ser par, porque se adjudican 2 puntos por cada partido, y el total es igual al de los partidos jugados. ⸫ los puntos de C deben ser 3 (si C jugó 2) o 5 (si C jugó 4).

Supongamos que C jugó 2 y obtuvo 3 puntos. Sabemos que no empató ninguno (cifra dada) y D no puede haber empatado ninguno, porque no obtuvo puntos.

⸫ los 2 partidos empatados por A deben haber sido vs B y vs C. ⸫ el otro partido de C debe haber sido vs B, que jugó todos, y C habría perdido este partido, porque B ganó todos los partidos que jugó excepto el que empató vs A. ⸫ C no pudo haber logrado 3 puntos. ⸫ C debe haber jugado 4 y obtuvo 5 puntos.

Consideremos D. No obtuvo puntos, ⸫ perdió ambos partidos, y éstos deben haber sido vs B y vs C, que jugaron todos. ⸫ D no jugó con A ni E. ⸫ E jugó con A, B y C. Sabemos que A perdió vs E, porque A obtuvo sus 2 puntos con 2 empates, vs B y vs C. ⸫ E perdió vs B y vs C (porque E sólo obtuvo 2 puntos). Y puesto que B y C jugaron ambos 4 partidos, jugaron entre sí, y B ganó el partido, porque logró 7 puntos.

De modo que tenemos:

Y el error está en los partidos que ganó C. Deben ser 2, no 1, ⸫ todas las otras cifras son correctas.

E perdió 2 (vs B y vs C) y tuvo 2 goles en contra. ⸫ E vs B fue 0-1 y E vs C fue 0-1. ⸫ E vs A fue 3-0.

C tuvo 2 goles en contra. Ninguno hecho por E, pero por lo menos 1 hecho por B que lo derrotó. ⸫ C vs D fue 2-1 o 1-0 (D tuvo 3 goles a favor y 5 en contra y por lo tanto perdió ambos partidos por un simple gol). Si D vs C fue 0-1, entonces D vs B sería 3-4. Pero B vs D no puede ser 4-3, porque B tuvo 1 vs E, y por lo menos 1 vs C (ganó este partido), ⸫ no más de 3 vs D ya que B marcó 5 goles a favor. ⸫ C vs D debe haber sido 2-1.

⸫ D vs B fue 2-3.

⸫ por los goles a favor de B, B vs C fue 1-0 y B vs A fue 0-0. Y por los goles en contra de C, C vs A fue 0-0.

Solución completa

La cifra incorrecta era la de Ganados de C; debe ser 2, no 1.

A vs B: 0-0

A vs C: 0-0

A vs E: 0-3

B vs C: 1-0

B vs D: 3-2

B vs E: 1-0

C vs D: 2-1

C vs E: 1-0

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36. Una más incorrecta

Primero tratemos de averiguar algo más sobre la cifra que está equivocada. Si las cifras dadas para los partidos jugados fueran correctas, entonces lo que jugó B tendría que ser 2 (para que el total fuera par). Pero si B jugó 2, no podría haber empatado 2 y obtener 4 puntos (y tuvo 5 goles a favor y 3 en contra).

⸫ el error debe estar o bien en los partidos jugados o en los detalles de B. ⸫ todo lo demás es correcto.

A obtuvo 5 puntos, ⸫ debe haber jugado 3, ganado 2 y empatado 1. ⸫ lo que jugó A es correcto. ⸫ A jugó con C. Y puesto que A sólo tuvo 3 goles en contra y C tuvo 6 goles a favor, ⸫ C debe haber jugado más de 1 partido. ⸫ C jugó 2 o 3.

Supongamos que el empate de B (2) fuera incorrecto. Entonces todo lo demás es correcto. ⸫ los puntos de B (4) están bien, y si B no empató 2 sólo puede haber logrado 4 puntos al ganar 2. Y puesto que no perdió ninguno, sólo puede haber jugado 2. Y puesto que ganó ambos partidos no puede haber jugado con A. Pero A jugó todos los partidos. ⸫ el empate de B (2) debe ser correcto. Y puesto que D no obtuvo puntos, no empató ninguno, ⸫ B vs A y B vs C fueron ambos empates. Y A ganó los otros 2 partidos, vs C y vs D.

Si los puntos de B fueran incorrectos y todo lo demás estuviera correcto, entonces o bien B jugó sólo 2 y los goles a favor y en contra están equivocados, o B debe haber perdido 1 (no 0, cifra dada), ⸫ los puntos de B deben estar correctos y B vs D lo ganó B.

Ahora podemos ver o bien lo que jugó C o lo que jugó D debe ser la cifra incorrecta, porque la suma de los partidos jugados debe ser par.

Consideremos C vs D. Si este partido fue jugado, entonces tendría que haberlo ganado C, porque D no obtuvo ningún punto. Pero C no ganó ningún partido. ⸫ C no jugó con D. lo que jugó D es la cifra incorrecta, debe ser 2, no 3.

Ahora sabemos quién jugó con quién y el resultado de cada partido.

Consideremos C vs B (empate). B sólo tuvo 3 goles en contra, ⸫ el puntaje de este partido no puede haber sido más de 3-3.

Supongamos que C vs B fue 2-2. Entonces el puntaje del otro partido de C (vs A) hubiera sido 4-6. Pero esto no es posible, porque A sólo tuvo 3 goles en contra. Y si el puntaje de C vs B fuera menos de 2-2, la situación sería peor.

⸫ C vs B sólo puede ser 3-3, ⸫ C vs A fue 3-5.

Y puesto que A sólo tuvo 3 goles en contra, ⸫ A vs B fue 0-0, y A vs D fue ?-0. Puesto que B tuvo 5 goles a favor y 3 en contra, B vs D fue 2-0. Y puesto que D tuvo 8 goles en contra, D vs A fue 0-6.

Solución completa

A vs B: 0-0

A vs C: 5-3

A vs D: 6-0

B vs C: 3-3

B vs D: 2-0

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37. Fútbol: Cinco equipos, dos cifras equivocadas

Consideremos D. Si hubiera ganado 2 y empatado 1, hubiese tenido 5 puntos, no 6 una de las cifras de D debe estar equivocada.

Consideremos A. Si hubiera jugado 3 y empatado 2 y perdido 0, entonces debe haber ganado 1 y sus goles a favor no podrían ser iguales a sus goles en contra. ⸫ hay un error en las cifras de D y en las de A. ⸫ todas las otras cifras son correctas.

B perdió 3 y tuvo 3 goles a favor y 5 en contra. ⸫ puesto que (5-3) es sólo 2, B también debe haber ganado 1. B y E jugaron ambos con todos los otros cuatro equipos.

Puesto que C sólo jugó 2, con B y E. D no jugó con C, de modo que sólo jugó 2 o 3. Si sólo hubiera jugado 2, entonces por lo menos dos de las cifras de D estarían equivocadas (sus puntos y o bien los partidos que ganó o los empates). ⸫ D también debe haber jugado con A, y sabemos que los que jugó A (3) es correcto. Ahora sabemos quién jugó con quién.

Puesto que D jugó 3, no podría tener 6 puntos a menos que los partidos que ganó y los empates estuvieran ambos equivocados. ⸫ los puntos de D deben ser la cifra incorrecta, y deben ser 5 y no 6.

Supongamos que los empates de A fueran la cifra incorrecta de A. Entonces A tendría que haber ganado 3 (el total de partidos empatados debe ser par, la cifra de lo que perdió A tampoco se puede cambiar, y B no puede haber empatado 1; véanse sus goles a favor y en contra). Pero si A ganó 3, entonces los partidos ganados serían 8 y los perdidos serían 6. (Recuérdese que C jugó 2, empató 0 y obtuvo 2 puntos. ⸫ ganó 1 y perdió 1.) Y del mismo modo, si se cambiaran los partidos perdidos por A, el total de partidos ganados y perdidos no sería el mismo, el error de A debe estar en los goles a favor o en contra de A.

Puesto que A empató 2, ⸫ A vs D fue un empate, y A vs E fue un empate. Y A vs B lo ganó A.

D perdió los otros 2 partidos, vs B y vs E.

C ganó 1 y perdió 1, y el puntaje total fue 6-3. ⸫ C ganó un partido por lo menos por 4 goles. Pero éste no puede haber sido vs B, que sólo tuvo 5 goles en contra, 3 de los cuales por lo menos deben haberse producido en los 3 partidos que perdió.

C derrotó a E y perdió con B. ⸫ B vs E fue ganado por E.

Ahora sabemos el resultado de cada partido.

Consideremos E. Tuvo 5 goles en contra. C ganó el partido vs E por lo menos por 4 goles, y E también fue derrotado por D. ⸫ E vs C fue 0-4, y E vs D fue 0-1. ⸫ E vs A fue 0-0, y E vs B fue ?-0. Puesto que C vs E fue 4-0, ⸫ C vs B fue 1-2.

Consideremos B. Puesto que B vs C fue 2-1, y el total de los goles de B fueron 3 a favor y 5 en contra, ⸫ cada uno de los 3 partidos que perdió B los perdió por 1 gol. ⸫ B vs E fue 0-1. B vs D debe ser 1-2 o 0-1. Supongamos que fuera 0-1. Entonces D vs A sería así 5-5 (D tenía 5 goles en contra). Pero esto no es posible, porque los goles de A a favor y en contra entonces estarían ambos equivocados. ⸫ B vs D debe ser 1-2, y B vs A es 0-1. Puesto que D vs B es 2-1, ⸫ D vs A es 4-4.

Solución completa

Las cifras equivocadas son:

(i) Los goles a favor de A: deben ser 5, no 4.

(ii) Los puntos de D: deben ser 5, no 6.

A vs B: 1-0

A vs D: 4-4

A vs E: 0-0

B vs C: 2-1

B vs D: 1-2

B vs E: 0-1

C vs E: 4-0

D vs E: 1-0

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38. El tío Frangollo y la tira vertical

B debe haber obtenido por lo menos 1 punto (x goles a favor y x goles en contra). Si B hubiera obtenido 2 puntos, entonces o tendría que haber empatado 2 partidos o tendría que haber ganado 1 y perdido 1 (no podría haber obtenido más de 2 puntos).

Puesto que sólo se habían jugado algunos de los partidos, sólo se pueden haber obtenido 4 puntos por 2 partidos (no 1 partido, porque los tres equipos tenían todos goles a favor o goles en contra o puntos). Si B obtuvo 2 puntos, entonces A y C habrían logrado 2 puntos entre ellos. Pero esto sólo podría haber sido 0 y 2, o 1 y 1; y en cada caso dos equipos habrían obtenido el mismo número de puntos. Pero son diferentes, ⸫ los puntos de B (p) deben ser 1.

Y los puntos de A y de C (m y x) deben ser 0 y 3 o 3 y 0.

Supongamos que m = 3 y x = 0. Entonces C no hubiera obtenido puntos y no tendría goles en contra. Pero esto no es posible, porque g sería entonces mayor que 0 y C habría logrado entonces algunos puntos.

⸫ m debe ser 0 y x debe ser 3. C con 3 puntos debe haber jugado 2 partidos, y éstos fueron los únicos partidos jugados. A vs C fue 0-1 y B vs C fue 3-3, ⸫ g (los goles a favor de C) fue 4.

Solución completa

A vs C: 0-1

B vs C: 3-3

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39. El tío Frangollo y la tira horizontal

Sólo será posible “averiguar el puntaje de cada partido” si las cifras de los partidos jugados, ganados, perdidos, empatados, etc. por C son las mismas que las de D. Porque de otro modo no habría razón por la cual debieran intercambiarse las cifras de C y D; pero si son las mismas no importará que se las intercambie. Con este supuesto, y sólo con este supuesto, será “posible averiguar el puntaje de cada partido”.

A empató 2 partidos, ⸫ A vs C y A vs D deben ser ambos empates, y los puntajes deben ser los mismos. Los puntajes no podrían ser 0-0, porque A vs B sería entonces 7-5 (es demasiado). Ni tampoco el puntaje podría ser 1-1, porque A vs B sería entonces 5-3 (es demasiado). Ni tampoco puede ser 3-3, porque A sólo tuvo 5 goles en contra, no 6. ⸫ los puntajes de A vs C y de A vs D fueron 2-2.

⸫ el puntaje de A vs B fue 3-1.

⸫ B marcó 4 goles vs C y D (5 menos 1), y B tuvo 2 goles en contra convertidos por C y D (5 menos 3). ⸫ los puntajes de B vs C y de B vs D fueron 2-1.

Solución completa

A vs B: 3-1

A vs C: 2-2

A vs D: 2-2

B vs C: 2-1

B vs D: 2-1

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40. La droga de la mentira

Teniendo en mente que todas las cifras tienen una diferencia de 1, podemos decir que las cifras de A, B y C deben ser:

D podría haber jugado 1 o 3. Si hubiera jugado 3, o debe haber ganado 2, perdido 0 y empatado 1, o ganado 0, perdido 2 y empatado 1. Si hubiera ganado 2 y empatado 1, hubiera obtenido 5 puntos, pero sabemos que sólo logró 1 punto. Y si hubiera perdido 2 y empatado 1, hubiese tenido más goles en contra que goles a favor. Pero los goles que tiene son 3 o 5 a favor, y 1 o 3 en contra.

D no puede haber jugado 3, ⸫ jugó 1. Y sus cifras son:

A jugó 3, ⸫ el partido de D fue vs A y el puntaje fue 3-3. ⸫ el otro partido empatado fue B vs C y, puesto que B no tuvo goles en contra, el puntaje fue 0-0. Y el partido de B vs A debe haber sido 1-0.

C vs B fue 0-0, ⸫ C vs A (el único otro partido de C) fue 2-4.

Solución completa

A vs B: 0-1

A vs C: 4-2

A vs D: 3-3

B vs C: 0-0

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41. El tío Frangollo y un afortunado 13

p, la primera cifra de (v) sólo puede ser 1. ⸫ r en (vi) debe ser 9 porque 1 + r = 11, y hay que llevarse 1 de (vii).

En (ix) y + x = m o m + 10 (no puede haber nada para llevarse de (x)).

En (vii) y (ix) se suman en total los mismos dos números (x e y). ⸫ t ‒ m debe ser 1 (sabemos que p es 1 y que r es 9, ⸫ t y m no son ni 1 ni 9, ni tampoco ninguno de ellos puede ser 0, porque t sólo podría ser 0 (o sea 10 con 1 que nos llevamos) si m fuera 9.

No es posible que k o d fueran 0, porque entonces no habría nada para llevarse de (viii). ⸫ x, y k, d, t y m deben ser 6 de los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Supongamos que y y x fueran 7 y 8. Entonces m sería 5 y t sería 6. Lo máximo que podrían ser entonces k y d serían 3 y 4, lo cual no es suficiente (no habría nada para llevarse).

Supongamos que y y x fueran 6 y 8. Entonces m sería 4 y t sería 5, y lo máximo que podrían ser entonces k y d serían 7 y 3, lo cual daría t en (viii) 1 en vez de 5.

Supongamos que y y x fueran 8 y 5. Entonces m sería 3 y t sería 4. Y k y d podrían ser entonces 6 y 7, lo cual daría t en (viii) 4. Pero esto sólo sería correcto si (v) (114431) fuera múltiplo de 13. Pero si dividimos vemos que no es.

Supongamos que y y x fueran 7 y 5. Entonces m sería 2 y t sería 3, y entonces k y d podrían ser 8 y 4. (v) sería entonces 113321, y ésta es la única otra posibilidad. Si lo dividimos por 13, vemos que entra exactamente 8717 veces. ⸫ (v) sólo puede ser 113321.

Sabemos ahora que t = 3 y m = 2.

(iv) es menor que (iii), de modo que el primer dígito de (ii) debe ser 1 o 2.

Supongamos que fuera 1. Entonces el primer dígito de (i) sería 9 (porque éste es el primer dígito de (iv)). Pero 3 × 9 es 27, y (iii) no empezaría entonces con 1 como debiera. (ii) sólo puede ser 23.

Para conseguir (i) debemos dividir 113321 por 23. Y esto nos da 4927. ⸫ 3 × 4927 = 14781; 2 × 4927 = 9854.

Solución completa

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42. Ningún divisor

(Se aconseja al lector que prepare un esquema, como el que se presenta a la derecha de la operación, donde pueda insertar los dígitos a medida que los descubre.)

Por (ii), (iii) y (iv) g + g = m, ⸫ m = 28.

Por (vii), (ix) y (x) m + m = p, ⸫ p = 2m = 4g.

Por (vi), (vii) y (viii) p + p = b, ⸫ b = 2p = 4m = 8g.

⸫ g = 1, m = 2, p = 4, b = 8. Y puesto que la última cifra de (i) es 1, y (xi) es 21, ⸫ el divisor es 21. Puesto que en (v) m = 2, ⸫ d = 3. Puesto que (v) es 12, ⸫ a = 6. Y x (la segunda cifra del dividendo) es 0.

Solución completa

El divisor es 21.

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43. Suma: Letras por dígitos, una letra equivocada.

Busquemos primero la letra incorrecta.

Consideremos (iii). Si es correcto, entonces S debe representar 0 o 9 (con 1 que nos llevamos de (iv)). Si S = 0, entonces

(ix) no puede ser correcto, porque sólo está bien si K = 0. Si el error está en (ix), entonces todo lo demás es correcto. ⸫ todas las S de (iii) son 0, y no hay nada para llevarse a (ii).

Veamos si esto es posible. Tenemos

Y L ‒ T debe ser 5, de modo que 2L ‒ 2T es 10. L es mayor que 5, ⸫ B es impar, ⸫ debe haber algo para llevarse de (iii). ⸫ S no puede ser 0, porque si lo fuera habría un error en (i) o en (ii) y uno en (ix). ⸫ si (iii) es correcto, S tendría que ser 9; pero en ese caso la S de (viii) no puede ser correcta, a menos que haya un error en (ix).

⸫ el error debe estar en (iii), (viii) o (ix). ⸫ no hay error en otra parte.

⸫ (i) y (ii) debe ser

porque L y B serían entonces lo mismo.

Pero por (v):

En (iv) H = 9, ⸫ S no es 9; el error debe estar en (iii). ⸫ (viii) y (ix) son correctos.

⸫en (ix) K = 0. En (vi) M = 4 (no puede ser 5, pues no hay nada para llevarse de (vii)). ⸫ en (viii) S = 8.

Los únicos dígitos excluidos ahora son 1, 3 y 6. ⸫ en (vii) E = 1, D = 3 (1 + 2 = 3). ⸫ en (ix) A = 6. S en (viii) es 8. ⸫ dos de las S en (iii) deben ser 8;

? no puede ser 9; puesto que hay algo para llevarse a (ii), ? no puede ser 0.

⸫ sólo podemos tener

Solución completa

La tercera S de (iii) está equivocada; debería ser 6 (no 8).

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44. La última línea del tío Frangollo es incorrecta

Aquí arriba hay seis letras diferentes (E, H, K, M, R y X) y puesto que los 10 dígitos están todos incluidos, los blancos deben ser todos diferentes entre sí y diferentes de los dígitos representados por las letras. Lo máximo que puede llevarse cuando se suman dos dígitos es 1. ⸫ (i) debe ser 1.

Por (viii) E es par (K + K); y por (i) y (ii) debe ser 5 o más. E es 6 u 8. Si E fuera 8, entonces K de (viii) sería 4 o 9. Y si E fuera 8 en (ii), entonces K sería 6 o 7.

⸫ E no puede ser 8, y debe ser 6. ⸫ K en (ii) y (viii) debe ser 3. Y hay 1 para llevarse de (iii) a (ii).

Puesto que E es 6 y K es 3, ⸫ la séptima cifra de (ix) es 9. Y en (vi) X es 2 (6 + 6 = 12), y nos llevamos 1 a (v). Puesto que nos llevamos 1 de (iii) a (ii), ⸫ H debe ser por lo menos 7. Pero si H es 7 o más no nos podemos llevar nada de (iv). ⸫ H sólo puede ser 8 (no 9, porque el séptimo dígito de (ix) es 9). ⸫ el tercer dígito de (ix) es 0. M en (iv) debe ser 4 o 5.

Supongamos que M fuera 5. Entonces R en (v) sería 4 o 7 (los únicos dígitos que faltan). Pero no 4, porque el quinto dígito de (ix) sería entonces 9, pero esto no es posible porque el séptimo dígito de (ix) es 9. ⸫ A y R no podrían ser 7, porque estamos suponiendo que no hay nada para llevarse de (v).

M no puede ser 5. ⸫ M debe ser 4. Y hay algo para llevarse de (v). ⸫ R = 7, y el quinto dígito de (ix) es 5.

Solución completa

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45. Un nuevo frangollo

Primero debemos tratar de descubrir algo más sobre la letra incorrecta, teniendo en mente que está en la última línea horizontal.

H en (ii) debe ser 5 o más para producir la primera de las letras de (ix) en la tercera hilera horizontal. Si H fuera 5, entonces el error estaría en (ix) (B + B debe ser par).todo lo demás estaría correcto.

⸫ B en (ii) tendría que ser 0 o 1; pero no 0, porque entonces en (iii) H sería 0 o 1, y estamos suponiendo que H es 5. Y si B en (ii) fuera 1, entonces H sería 2 o 3. ⸫ H no puede ser 5.

Supongamos que H fuera 6 en (ii). Entonces B en (ii) sería 2 (no 3, porque si B en (iii) fuera 2 o 3 no podríamos llevamos nada de (iii) a (ii)). ⸫ H en (iii) sería 4 (no 5, véase (iv)). Y esto podría ser un error. Pero si H fuera 6 en (ix), B sería 3 u 8. Pero B en (ii) sería 2. ⸫ habría por lo menos dos errores, H no puede ser 6.

Si H fuera 7, habría un error en (ix); y B sería 4 o 5 en (ii), pero B tendría que ser 3 u 8 en (iii).⸫ H no puede ser 7.

Si H fuera 9, habría un error en (ix); y B sería 8 en (ii) (no 9 porque H es 9), pero habría que llevarse 1 de (iii), lo cual da B 9.

⸫ H sólo puede ser 8.

⸫ en (ix) B debe ser 4 o 9. Y en (ii) B tendría que ser 6 o 7. ⸫ el error está en (ii) o (ix) y todo lo demás es correcto.

⸫ en (i) M = 1. B en (iii) debe ser 4 o 9, y no nos podemos llevar uno de (iv) porque 8 es par. ⸫ E en (iv) sólo puede ser 9, y nos llevamos 1 de (v). Puesto que E es 9, ⸫ B debe ser 4. ⸫ D en (viii) es 2 o 7. Pero no 2, porque en (v) si D fuera 2 no nos llevaríamos 1 a (iv). ⸫ D = 7. En (v) G debe ser 1 o 2, pero no 1, porque M es 1, ⸫ G = 2. En (vii) M es 1, y puesto que A no puede ser más de 6, ⸫ no nos podemos llevar 1 a (vi). ⸫ en (vi) P debe ser 6, y T debe ser 0 (sabemos que nos llevamos 1 de (vi) a (v)). ⸫ en (vii) A debe ser 3, y X debe ser 5. ⸫ el error está en (ii). ⸫ B debe ser P (6).

Solución completa

La B de (ii) está equivocada; debe ser P (6).

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46. H es 3

Lo máximo que podemos llevamos cuando se multiplica un número por 3 es 2 (3 × 9 = 27). ⸫ P en (ii) debe ser 1 o 2.

Si P fuera 1, entonces X en (ii) sería 3 (3 × 1 = 3). Pero H y X son diferentes.

⸫ P sólo puede ser 2. ⸫ X en (ii) es 6. ⸫ Y en (ii) es 8 (3 × 6 = 18). ⸫ M en (ii) es 5 [(3 × 8) + 1 = 25].

Solución completa

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47. Hileras de ocho

Por los primeros dígitos de (i), (ii) y (iii) no nos podemos llevar 1 cuando se suman D y C. ⸫ no nos llevamos 1 de los últimos dígitos de (i) y (ii). ⸫ D + C = E.

⸫ N debe ser 0. Consideremos la quinta columna.

Consideremos la cuarta columna.

puesto que N = 0, ⸫ D = 5.

Y por la sexta columna G = 6; y por la tercera columna C = 4 por la última columna E = 9. Y en la segunda columna (considerando cuáles dígitos han quedado excluidos) H debe ser 3, y P debe ser 7.

Solución completa

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48. Hileras de nueve

Consideremos la primera cifra de (i), (ii), (iii) y (iv). M debe ser 1, 2 o 3 [de otra manera habría otra cifra en (iv)]. Si M = 3, entonces G sería 1, y F sería también 3. ⸫ M no es 3.

Si M = 2, entonces la primera cifra de (iv) (F) sería 6 [no podríamos llevamos uno de la segunda columna (M + M + M)].

Y por los últimos dígitos verticales G sería 4 (3 veces 4 = 12). ⸫ el penúltimo dígito de (iv) sería 3 (3 veces 4 + 1).

Pero de acuerdo con nuestro supuesto F = 6, no 3.

⸫ nuestro supuesto es erróneo. ⸫ M no es 2. ⸫ M = 1, G = 7 (3 veces 7 = 21), y F = 3.

Por la séptima columna (7 + 3 + 3 + 2 (que nos llevamos)) es seguida por V. ⸫ V = 5 (y nos llevamos 1).

⸫ por la segunda columna T debe ser 4 (puesto que V = 5). Por la sexta línea vertical 3 + 4 + 1 + 1 = C, ⸫ C = 9; y por la quinta columna W = 6.

Consideremos la tercera columna. 6 + E + Y + (tal vez) 1 = 14, y 0, 2 y 8 son los únicos dígitos que faltan.

Es fácil ver que E e Y deben ser 0 y 8 (aunque todavía no sabemos cuál es cuál).

⸫ X = 2, y por la cuarta columna Y = 2 + 2 + 3 + l = 8. ⸫ E = 0.

Solución completa

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49. Multiplicación de siete dígitos

Puesto que A es 5 o menos, ⸫ la primera cifra de (ii), (V) no puede ser más de 2 [(5 × 2) + 4 = 29]. Pero no es posible que V sea 2, porque 5 × 2 = 10, 4 × 2 = 8, 3 × 2 = 6, 2 × 2 = 4, y en ningún caso el último dígito de (ii) es el mismo que el multiplicador (A no puede ser 1).

V = 1 (no 0, porque el último dígito de (ii) sería entonces 0). ⸫ los primeros dos dígitos de (ii) son 11, y A debe ser 3 (3 × 3 = 9, y deberíamos llevamos 2 para que dé 11).

S = 9 [penúltimos dígitos en (ii), 3 × 3 = 9]. ⸫ K = 7 (3 × 9 = 27).

Consideremos T (el segundo dígito de (i)). Puesto que debemos llevamos 2 después de multiplicar por 3, T debe ser 7, 8 o 9. Pero no 7 ni 9 (éstos son K y S), ⸫ T = 8.

⸫ ahora sabemos todo sobre (i). Multiplicamos por 3 y obtenemos C = 6, E = 5 y J = 4.

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50. Dos hileras

Consideremos la última columna: E + E = E. E debe ser 0.

Consideremos la penúltima columna

debe ser 5, y adviértase que nos llevamos 1.

Consideremos

Puesto que nos llevamos 1, X es impar. Pero X no es 1, porque V sería más de 4, entonces 5, y A es 5. Y X no puede ser porque por los primeros dígitos de (i), (ii) y (iii) 5 + X = W, y W debe ser menor que 10. ⸫ X = 3, y V = 1 o 6.

Ahora tenemos:

Supongamos V = 1. Entonces tenemos 3 + 5 = T; ⸫ T = 8 (no nos llevamos 1, porque V = 1).en la primera línea vertical 5 + 3 = W, ⸫ W debe ser 9 (no 8, porque T = 8).

Consideremos

X = 3, y S no puede ser más de 7. Si S =7, H = 0 o 1. Pero E = 0 y V = 1. ⸫ nuestra suposición es incorrecta. ⸫ V = 6, T = 9 y W = 8.

Consideremos

D debe ser par, pero no 6 ni 8. ⸫ 2 o 4. Supongamos 4, entonces S = 2, y X + S = H se vuelve 3 + 2 = 5. Pero A es 5, no H. ⸫ nuestro supuesto es incorrecto, y D = 2. ⸫ S = 1, y H = 4.

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51. Cinco dígitos divididos por dos dígitos

(Se aconseja al lector preparar un esquema, como el que presentamos a la derecha, donde puedan insertarse los dígitos a medida que se descubren.)

(v) el divisor, ⸫ a = 1 (la segunda cifra de (i)). Por (iv) y (v). g = 2.

Por (iv), (v) y (vi), j = 9, ⸫por (vii) q = 8. ⸫ (ix) es 12 × 8, o sea 96, ⸫ p = 6. Por (ii), (iii) y (iv) b = 0.

En (vii) 8‒ debe ser 12 × 7, ⸫ h = 7 y m = 4 ⸫ en (ii) d = 5. Por (vi), (vii) y (viii) r = 3.

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52. Suma: Dos números

Por (iii) H es par (D + D).

Y por (i) X = H + 1 (no nos podemos llevar más de 1 de (ii)).

Puesto que nos llevamos 1 de (ii), ⸫ X + H + (tal vez) 1 por (iii) es 10 o más.

⸫ H no es 2. Si H fuera 4, y X fuera 5, tendríamos que llevamos 1 de (iii), pero esto no es posible, porque D sería entonces 0.

Supongamos que H fuera 8, y X fuera 9. Entonces D en (iii) sería 4 o 9. Pero en (ii) X + H (tal vez) 1, sería 17 o 18. ⸫ H no es 8.

⸫ H debe ser 6, y X = 7 y D = 3.

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53. Multiplicación de cinco dígitos

M en (ii) no puede ser 0 ni 1. Supongamos que fuera 3. Entonces B en (i) es por lo menos 2. ⸫ R en (iii) sería 6. ⸫ R (la primera cifra de (i)) sería 6, y habría otra cifra en (iii). Y si M en (ii) fuera más de 3, la situación sería peor. ⸫ M en (ii) debe ser 2.

⸫R en (iii) debe ser par. No puede ser 0, porque R en (i) no puede ser 0. ⸫ R debe ser por lo menos 4. Y no puede ser más de 4, porque en ese caso habría otra cifra en (iii) (porque R es la primera cifra en (i) ). ⸫ R = 4. Y en (i), puesto que B no puede ser 2, debe ser 7. ⸫ B en (iii) es 7.

⸫ H en (i) es 8 (2 × 8 = 16, y 1 que nos llevamos da 17).

⸫ G en (iii) es 5 (2 × 2 = 4, y 1 que nos llevamos da 5). Sabemos que T en (iii) debe ser 8 o 9 (2 × 4 = 8). Pero puesto que H es 8, T debe ser 9 y tendremos que llevamos 1.

⸫ E en (i) es 6 (2 × 6 = 12).

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54. Otra suma con letras

Consideremos la última columna. (A + A + A) es seguida por B.

Consideremos la penúltima columna. (A + A + A) es seguida por R. ⸫ deberíamos habernos llevado 1 o 2 de la última columna, ⸫ A es mayor de 3.

Consideremos la primera columna. A + B + B + (tal vez 1 o 2) = D. ⸫ A no puede ser 9. Si A fuera 8, entonces B sería 4: imposible. Si A fuera 7, entonces B sería 1, pero nos llevaríamos por lo menos 1 de la segunda columna (7 + 7 + ?), de modo que la primera columna sería por lo menos (7 + 1 + 1 + 1).

Si A fuera 6, B sería 8: imposible. Si A fuera 5, B sería 5. ⸫ A = 4, B = 2 por la penúltima columna, R = 3. ⸫ por la antepenúltima columna, H = 9, ⸫ (X + X + X) = 3, ⸫ X = 1.

La primera columna = (4 + 2 + 2). Sabemos que D no es 9. ⸫ D = 8.

En la tercera columna 3 + G + 4 = 14, ⸫ G = 7, ⸫ P = 0.

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55. Suma: Cuatro números

La primera cifra de (v) debe ser 1 (lo máximo que puede llevarse de la segunda columna. ⸫ E = 1.

⸫ (v) comienza con 11; y Y debe ser 9, y debemos habernos llevado 2 de la tercera columna (Y + Y).

⸫ P debe ser 0 (9 + 9 + 2 = 20); y aun si fuera posible que nos lleváramos 3 de la cuarta columna, P no puede ser 1, porque lo es E.

⸫ nos llevamos 2 de la cuarta columna (K + K + K), y por la última columna sabemos que K es par (1 + X + 1 + X). ⸫ K = 8 (no 6, porque aunque 6 + 6 + 6 + 2 = 20, y 6 + 6 + 6 + 3 = 21, 0 y 1 son P y E).

La última columna suma 8, 18 o 28. Pero no 28, porque puesto que E = 1, X sería 13, lo cual es imposible. Y no 18, porque X sería entonces 8 (1 + 8 + 1 + 8 = 18), y K = 8. ⸫ la última columna suma 8, X = 3, y D = 4.

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56. Multiplicación

Consideremos las últimas letras de (i) y (iii) y T en (ii): T × T sólo puede producir-T, si T es igual a 0, 1, 5 o 6. 0 y l claramente no son posibles aquí. ⸫ T debe ser 5 o 6.

Supongamos que T fuera 5. Si B fuera 9 (iii) comenzaría con 45 o algo más. Si B fuera 6 (iii) comenzaría con 30 o algo más. Podemos ver por estos ejemplos que cuanto menor es B, más probable es que tengamos B al comienzo de (iii).

Supongamos que B fuera 1 (y T siguiera siendo 5). Entonces (i) podría empezar con 198 y (iii) comenzaría entonces con 990, pero entonces tendría solamente 7 cifras en vez de 8. Y vemos que no es posible que T sea 5. ⸫ T sólo puede ser 6.

Si B fuera 2 y X fuera 9 (iii) comenzaría con 174, pero debe comenzar con 2. B sólo puede ser 1.

Puesto que T es 6, tendremos que llevamos 3 de la última columna (6 × 6 = 36), Y puesto que el penúltimo dígito de (i) es B (1), D en (iii) es (6 + 3), o sea 9. Si (i) comenzara con 187, (iii) comenzaría con 1122. Pero M no puede ser 1, porque B es 1. M sólo puede ser 0.

⸫ (iii) comienza con 10, y B es 1, nos hemos llevado 4 (6 × 1 = 6, y 4 da 10).

⸫ X (la segunda letra de (i) debe ser 8 o 7 (no 9, porque D es 9; no 6 porque T es 6; y es fácil ver que no puede ser menos de 6).

Si X (la quinta letra de (i)) fuera 8, entonces P [la sexta letra de (iii)] sería 8 (6 × 8 = 48, y sabemos que no hay nada para llevarse de la columna siguiente). Pero P y X no pueden ser ambas 8.

⸫ X sólo puede ser 7. Y puesto que 6 × 7 = 42, P = 2, 6 × 9 = 34, y 4 da 58. ⸫ Y = 8; y 6 × 8 = 48, más 5 da 53. ⸫ R = 3. 6 × 7 = 42, y nos llevamos 5, ⸫ X = 7, como debería ser.

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57. División: Faltan algunas cifras

Si ‒ 5 (iii) se resta de ‒ ‒ ‒, el resultado es una sola cifra.

⸫ la primera cifra de (ii) es 1, y (iii) debe ser 95. 95 = 19 × 5, ⸫ el divisor debe ser 19 y la primera cifra de (i) es 5.

Sumamos de abajo hacia arriba y obtenemos:

Solución completa

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58. Operación de división

Puesto que (vi) y (vii) terminan en 7 (última cifra de (ii)), el divisor es impar.

Puesto que (iii) (dos cifras) es el divisor × 2, es par; y puesto que va debajo de las tres cifras de (ii) ⸫ el divisor × 3 o más tiene tres cifras.

⸫ (vi) y (vii) debe ser el divisor × 1.el divisor termina en 7. Si el divisor fuera 37 se dividiría entre las primeras dos cifras de (iv) y la tercera cifra no sería necesaria.

Y puesto que el divisor × 2 tiene sólo dos cifras, debe ser 47.

⸫(iii) es 94.

(v) no puede ser 47 × 8, o sea 376, porque (vi) tendría entonces tres cifras. ⸫ (v) debe ser 47 × 9, o sea 423.

Sumamos de abajo hacia arriba y obtenemos:

Solución completa

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59. División larga

Por el divisor y (iii), el divisor debe ser menor de 50 (porque puesto que p y m son diferentes, (iii) debe ser el divisor x, por lo menos, 2). ⸫ p en (viii) es menor de 5.

Supongamos que el divisor comience con 1. Entonces (vii) no podría ser más de 19 × 9, o sea 171. Y puesto que x en (vi) sería entonces 2, (viii) sería por lo menos 31 (202 ‒ 171), lo cual sería mayor que el divisor, ⸫ el divisor no puede comenzar con 1.

Supongamos que p fuera 1. Entonces la primera cifra de (i) sería impar. Pero no 1, porque (iii) no es el divisor. Si la primera cifra de (i) fuera 3, entonces (iii) sería un múltiplo de 3. Pero no 51 (17 × 3), porque el divisor no comienza con 1. (iii) sólo podría ser 81 (27 × 3), y si el divisor fuera 27 (v) sólo podría ser 162 (27 × 6). Pero × en (vi) no podría ser entonces 2. ⸫ p no puede ser 1.

Si el divisor comenzara con 4, entonces (iii) sería por lo menos 8‒. Y puesto que p es por lo menos 2, esto no es posible, porque la primera cifra de (ii) sería entonces por lo menos 2 + 8. ⸫ el divisor debe comenzar con 2 o 3. Si p fuera 3, entonces x en (vi) sería 4. Pero el divisor no puede ser mayor de 39, y 39 × 9 = 351. Pero entonces no sería posible que x en (vi) fuera 4. ⸫ p no puede ser 3 (y claramente no puede ser más). ⸫ p = 2, x = 3.

Supongamos que el divisor fuera 29. Entonces (vii) no podría ser más de 261 (29 × 9). Pero entonces (vi) no podría comenzar con 3. ⸫ la primera cifra del divisor debe ser 3. ⸫ la primera cifra de (i) debe ser 2, porque si fuera 3 (iii) comenzaría con 9, lo cual no es posible.

⸫ el divisor debe ser 36 o 31 (36 × 2 = 72; 31 × 2 = 62). Si fuera 36, entonces (iv) sería 26‒, y (v) sería 252 (36 × 7). Pero entonces no sería posible que el primer dígito de (vi) fuera 3.

⸫ el divisor debe ser 31 y (iii) es 62. (vii) debe ser 279 (31 × 9), y el último dígito de (i) es 9, y puesto que x es 3, (viii) es 24, (iv) es 21‒, ⸫ (v) debe ser 186 (31 × 6).

Sumamos de abajo hacia arriba y obtenemos:

Solución completa

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60. Multiplicación larga

x, el primer dígito de (v) sólo puede ser 1. x en (ii) es 1. ⸫ (iv) es (i) × 1. ⸫ la última letra de (i) es g, y en (iii) tenemos g × g = g (g ‒ g).

⸫ g no puede ser 1, porque x es 1, ⸫ g debe ser 5 o 6 (5 × 5 = 25; o 6 × 6 = 36).

Supongamos que g fuera 5. Los últimos dos dígitos de (i) serían 15, y los últimos dos dígitos de (iii) serían 75, y entonces no nos llevaríamos nada y, la segunda letra de (iv) (y por lo tanto de (i)) sería entonces 0 o 5). Pero no 5, porque estamos suponiendo que g es 5. ⸫ y tendría que ser 0. Pero no es posible que y, al comienzo de (iii), sea 0. ⸫ nuestra suposición es incorrecta, y g debe ser 6.

⸫ los últimos dos dígitos de (i) son 16, y los últimos dos dígitos de (iii) son 96. ⸫ m = 9, ⸫ p = 5.

Lo máximo que puede ser y (la primera cifra de (iii)) es 4, porque 69 × 6 = 414. Pero esto no es posible, porque y en (iii) y en (iv) debe ser la misma. ⸫ y debe ser menor de 4. ⸫ d (la segunda cifra de (v)) debe ser 0 (3 + 6 + 1 = 10). Y a partir de esto podemos ver que y sólo puede ser 3). ⸫ (iii) es 37896.

Solución completa

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61. División: Algunas letras por dígitos, algunos faltan

Puesto que el divisor termina en y, y (iii) termina en b, (iii) no es el divisor, ⸫ el divisor es menor de 50; e en (vii) debe ser por los menos 1, ⸫ d en (vi) debe ser por lo menos 2. Y la primera cifra de (iv) debe ser por lo menos 2. ⸫ la primera cifra de (iii) no puede ser mayor de 7 (2 + 7 = 9).el divisor no puede ser mayor de 39. Si el divisor fuera 19, lo máximo que podría ser (v) es 171. Pero d en (v) es por lo menos 2.

⸫ la primera cifra del divisor debe ser 2 o 3; (iii) no es el divisor, ⸫ y no es 1. Si y fuera 2, entonces e y d serían 3 y 4 (por (vi) y (vii) d ‒ e =1).

Pero esto no es posible, porque 39 × 9 = 351, de modo que d no podría ser 4. ⸫ y no es 2. Si y fuera 4, entonces la primera cifra de (iii) sería por lo menos 8. Pero esto no es posible, porque la primera cifra de (ii) tendría que ser entonces 10 o más.

⸫ y debe ser 3. ⸫ e = 1, y d = 2. Y en (iii) b = 9 (3 × 3), ⸫ el divisor debe ser 23 (33 sería demasiado grande). ⸫ (iii) es 69; 23 × 9 = 207, ⸫ 207 es la única posibilidad para (v). Y puesto que (vii) es el mayor múltiplo de 23 que tenga como primera cifra 1, debe ser 23 × 8 (184). Sumamos de abajo hacia arriba y obtenemos:

Solución completa

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62. Sillas alfabéticas

E no puede seguir a D (seguir a D en el alfabeto); y E no está a la derecha de A (está el marido de la hermana de E); ⸫ E está a la izquierda de A.

C no puede estar al lado de D. ⸫ C debe estar a la derecha de A.

B no puede estar al lado de C, ⸫ por eliminación debe estar F, y B está a la derecha de D.

Solución completa:

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63. Fútbol en verso

Primero vamos a exponer lo que sabemos sobre partidos jugados, ganados, perdidos, etc. E jugó 4 y perdió 0; A, B y D tuvieron 3, 4 y 3 goles en contra. C ganó 1, y no tuvo goles en contra ni ningún empate; y tuvo 4 goles a favor. Los partidos de A, los que ganó B y los goles a favor de B fueron todos los mismos número pares. No fueron 4, porque si B ganó 4 y tuvo 4 goles a favor, no hubiese podido tener 4 goles en contra. ⸫ los partidos de A, los que ganó y los goles a favor de B fueron todos 2.

A convirtió 3 goles, D tuvo 1 empate. ⸫ tenemos:

E jugó 4 partidos, ⸫ jugó con todos los otros

Consideremos C. No empató ninguno y, puesto que no tuvo goles en contra, ⸫ no perdió ninguno. ⸫ sólo jugó 1 y el resultado fue 4-0. Y debe haber sido vs E, ⸫ C vs E fue 4-0.

Consideremos B. Ganó 2 y, puesto que sólo marcó 2 goles, el puntaje en cada uno de estos partidos fue 1-0. Sabemos que B no jugó con C, ⸫ B sólo puede haber jugado 3 partidos. ⸫ el puntaje en su tercer partido fue 0-4. Este no puede haber sido vs A, porque A sólo marcó 3 goles. ⸫ B vs A fue 1-0.

E no ganó ningún partido, ⸫ E vs B debe haber sido 0-1 (y no 4-0); ⸫ B vs D fue 0-4.

Consideremos A. Sólo jugó 2 partidos. Uno de ellos fue vs B (0-1), y el otro fue vs E, y el puntaje debe haber sido 3-2. (Y A no jugó con D).

Consideremos D. Sabemos que empató un partido. Este debe haber sido vs E. Y puesto que D tiene 3 goles en contra, y el puntaje del otro partido de D vs B fue 4-0, ⸫ D vs E fue 3-3.

Solución completa

A vs B: 0-1

A vs E: 3-2

B vs D: 0-4

B vs E: 1-0

C vs E: 4-0

D vs E: 3-3

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64. ¡Qué manera de terminar esta canción!

La información que se nos da es la siguiente:

Primero debemos buscar la cifra incorrecta.

Consideremos E.

Si una de estas cifras fuese cambiada ―por ej., jugados 4― entonces por lo menos una de las otras cifras tendría que ser modificada también.

Nuevamente, si una de estas cifras fuese cambiada, por lo menos una de las otras cifras tendría que ser modificada también. Pero sabemos que sólo una cifra es incorrecta, ⸫ las cifras dadas para E y A deben ser correctas.

E jugó con todos los otros cuatro, y ambos partidos (2) jugados por A fueron empatados. ⸫ E vs A fue un empate. ⸫ E perdió todos sus otros partidos, vs B, C y D.

Consideremos D. Se nos dijo que empató 2 y obtuvo 2 puntos. Pero sabemos que D derrotó a E. ⸫ o bien los empates de D o los puntos de D deben ser las cifras incorrectas. ⸫ todas las otras cifras son correctas.

Consideremos C. Perdió 2 y tuvo 2 goles en contra, ⸫ los resultados de los 2 partidos que perdió fueron 0-1. Y puesto que A empató ambos partidos, y C derrotó a E, ⸫ C vs B fue 0-1, y C vs D fue 0-1. ⸫ C vs E fue 2-0. Y C no jugó con A.

⸫ Sabemos que D derrotó a C y a E. ⸫ los puntos de D (2) deben estar equivocados.

⸫ todo lo demás es correcto. ⸫ D empató 2, D vs A y D vs B fueron ambos empates. ⸫ los puntos de D deben ser 6 (no 2).

Y puesto que A sólo jugó 2, A no jugó con B.

Sabemos ahora quién jugó con quién y los resultados de cada partido.

Así:

Supongamos que E vs A fuese 3-3 (no puede ser más de 4-4). Entonces D vs A sería 4-4 (A tuvo 7 goles en contra).

Y supongamos que D vs B fuese 0-0. Entonces D vs E sería 2-? (D tuvo 7 goles a favor). Y E vs D sería ?-2, y puesto que E tuvo 13 goles en contra, E vs B sería ?-6. Pero esto no es posible, porque B sólo marcó 5 goles. Y si E vs A fuera 3-3 y D vs B fuera 1-1, entonces E vs B sería ?-7. ⸫ E vs A no puede ser 3-3 o menos, ⸫ E vs A debe ser 4-4, y D vs A es 3-3.

Puesto que E marcó 4 goles vs A, convirtió 0 vs B y D.

Supongamos que D vs B fue 1-1. Entonces D vs E sería 2-0, y E vs B sería 0-5. Pero esto no es posible, porque B sólo marcó 5 goles y convirtió 1 vs C.

⸫ D vs B sólo puede ser 0-0. ⸫ B vs E fue 4-0, y D vs E fue 3-0.

Solución completa

A vs D: 3-3

A vs E: 4-4

B vs C: 1-0

B vs D: 0-0

B vs E: 4-0

C vs D: 0-1

C vs E: 2-0

D vs E: 3-0

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65. Dos, tres, cuatro, seis

Primero debemos encontrar la cifra incorrecta: 6 en el divisor y 3 en (v) no pueden ser ambos correctos, porque cualquier múltiplo de un número par es par. Y 4 en (i) y 3 en (v) no pueden ser ambos correctos, porque cualquier número multiplicado por 4 debe ser par. Pero sólo una cifra es incorrecta.

⸫ debe ser el 3 en (v).

⸫ puesto que 6 y 4 son correctos, la última cifra de (v) debe ser 4.

⸫ (iv) y (v) son ‒24, y éste es el resultado de-6 × 4, (iv) y (v) deben ser por lo tanto 224 y el divisor debe ser 56.

⸫ (iii) es 56, y la primera cifra de (i) es 1.

Sumamos desde abajo y obtenemos:

Solución completa

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66. ¡Oh, tío! ¡Qué frangollo!

Los hechos dados son los siguientes:

Busquemos primero la cifra incorrecta.

Si C jugó 2 y empató 2, entonces sus goles a favor deben ser los mismos que sus goles en contra. Pero los otros goles a favor (1 + 4 + 6) no suman lo mismo que los otros goles en contra (1 + 5 + 3) (el total de goles a favor siempre debe ser el mismo que el total de goles en contra, porque cada gol aparece dos veces).

⸫ o bien los que jugó C (2), o los empatados (2), o una de las cifras de los goles a favor o en contra debe ser incorrecta. ⸫ todas las otras cifras son correctas.

Consideremos B. Perdió 2 y, puesto que no obtuvo puntos, ⸫ sólo pudo haber jugado 2. ⸫ sus goles a favor deben ser por lo menos 2 menos que sus goles en contra. Pero son 4 a favor y 5 en contra. ⸫ o bien los goles a favor de B (4) o los goles en contra de B (5) deben estar equivocados. ⸫ todas las otras cifras son correctas.

Consideremos A. Obtuvo 3 puntos y tuvo 1 gol a favor y 1 en contra. ⸫ debe haber jugado 3 partidos, y los puntajes fueron 1-0, 0-0, 0-1. ⸫ A jugó con todos los otros y, puesto que C empató ambos partidos jugados, A vs C fue 0-0. D obtuvo 5 puntos, ⸫ ganó 2 y empató 1. ⸫ A vs D fue 0-1. ⸫ A vs B fue 1-0.

Consideremos C. Jugó 2 y empató 2. Pero no vs B que no obtuvo puntos. ⸫ C no jugó con B. Y C vs D fue empate.

D logró 6 goles a favor, 1 vs A, ⸫ 5 vs B y C; y B y C marcaron 3 vs D.

Supongamos que D vs C fue 0-0. Entonces D vs B sería 5-3; y los goles a favor y en contra de B serían 3-6 (recordemos que B vs A fue 0-1). Pero en este caso los goles a favor y en contra de B estarían ambos equivocados. D vs C no fue 0-0.

Supongamos que D vs C fue 2-2. Entonces D vs B sería 3-1; y los goles a favor y en contra de B serían 1-4. Pero en este caso los goles a favor y en contra de B estarían ambos equivocados. D vs C no fue 2-2. (Y si D vs C fue 3-3 o más la situación sería peor.)

D vs C sólo puede ser 1-1. ⸫ D vs B fue 4-2. Y los goles a favor y en contra de B fueron 2-5. ⸫ la cifra incorrecta son los goles a favor de B; deben ser 2, no 4.

Solución completa

La cifra incorrecta son los goles a favor de B, deben ser 2, no 4.

A vs B: 1-0

A vs C: 0-0

A vs D: 0-1

B vs D: 2-4

C vs D: 1-1

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67. La calle de la lógica

La casa tiene tres cifras diferentes y “aumentan”, o sea, cada una es mayor que la precedente, ⸫ el número debe estar entre 123 y 789. ⸫ la suma de los dígitos está entre 1 + 2 + 3 (o sea 6), y 7 + 8 + 9 (o sea 24). Para que la suma esté “en la mitad superior de lo que te imaginas” debe ser mayor de 15.

Sabemos también que el número tiene 2 factores diferentes números primos y que ambos son mayores que 13.

Dejando de lado los números pares y los múltiplos de 5, las posibilidades, con sus factores, son las siguientes:

169 (13 × 13)

369 (3 × 3 × 41)

489 (3 × 163)

179 (Ninguno)

379 (Ninguno)

567 (3 × 3 × 3 × 3 × 7)

189 (3 × 3 × 3 × 7) 

389 (Ninguno)

569 (Ninguno)

259 (7 × 37)

457 (Ninguno)

579 (3 × 193)

269 (Ninguno)

459 (3 × 3 × 3 × 17) 

589 (19 × 31)

279 (3 × 3 × 31)

467 (Ninguno)

679 (7 × 97)

289 (17 × 17)

469 (7 × 67)

689 (13 × 53)

367 (Ninguno)

479 (Ninguno)

789 (3 × 263)

El número de la casa es, por lo tanto, 589.

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68. ¿Suma o resta? Es lo que debe descubrir

Supongamos que restamos. Entonces por la última columna E sería 0. ⸫ en la primera columna E sería 0, pero entonces restar no sería posible porque (ii) sería mayor que (i). ⸫ debe tratarse de una operación de suma.

Consideremos la última columna y la tercera columna. Por la última columna E es par, ⸫ no podemos llevamos nada a la tercera columna. ⸫ C = 1, 2, 3 o 4.

Pero puesto que I y C no son lo mismo, ⸫ debemos llevarnos algo de la tercera columna. ⸫ I = 6, 7, 8 o 9.

Consideremos la primera columna. E es por lo menos 2, e I es por lo menos 6. Y si E fuera 4, entonces I sería 7, lo cual no es posible. ⸫ E = 2, C = 1, I = 6.

R en (iii) debe ser 8 o 9. Supongamos 9. Entonces en la segunda columna 9 + 1 (que nos llevamos de la tercera columna) + P = V. Pero esto no es posible, porque P y V serían entonces lo mismo. ⸫ R = 8, P = 0, V = 9.

Solución completa

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69. Hijos y nietos

La posición de los abuelos y sus nietos es la siguiente:

(i)

B

┐

C

├

P, Q, T

C

┘

(ii)

A

┐

B

├

P, R, S, U

C

│

E

┘

(iii)

A

┐

B

├

Q, R, S, T

D

┘

(iv)

B

┐

D

├

Q, T, U

E

┘

Con el fin de averiguar quién es el padre, digamos, de P, primero buscamos los lugares en los que P está ausente. Y vemos que P no está en (iii) y (iv). ⸫ sabemos que el padre de P no es A, B, D ni E. debe ser C.

Del mismo modo el padre de Q no es A, B C ni E; ⸫ debe ser D.

Y el padre de R no es B, C, D ni E; ⸫ debe ser A.

Y el padre de S no es B, C, D ni E; ⸫ debe ser A.

Y el padre de T no es A, B, C ni E; ⸫ debe ser D.

Y el padre de U no es A, B, C ni D; ⸫ debe ser E.

Y vemos que B no tiene hijos.

La posición de P, Q, R, etc. y de sus hijos es la siguiente:

(i)

Q

┐

R

├

I, N, O

T

┘

(ii)

P

┐

R

├

J, K, L, M

S

│

U

┘

(iii)

Q

┐

T

├

I, K, N, O

U

┘

(iv)

P

┐

S

├

J, L, M, O

T

┘

Utilizando un argumento similar obtenemos:

El padre de I no es P, R, S, T ni U; ⸫ es Q.

El padre de J no es Q, R, T ni U; ⸫ es P o S.

El padre de K no es P, Q, R, S ni T; ⸫ es U.

El padre de L no es Q, R, T ni U; ⸫ es P o S.

El padre de M no es Q, R, T ni U; ⸫ es P o S.

El padre de N no es P, R, S, T ni U; ⸫ es Q.

El padre de O no es P, R, S ni U; ⸫ es Q o T.

Pero sabemos que ninguno tenía más de dos hijos, y como Q tiene como hijos a I y N, no puede tener también a O. ⸫ el padre de O es T.

Y, como J, L y M tiene como padre a P o a S, ⸫ dos de ellos deben tener a uno y el tercero al otro. P y S tienen ambos uno o más hijos.

⸫ el que no tiene hijos es R.

Solución completa

Bert no tiene hijos; Roland no tiene hijos. El abuelo de Kenneth es Ernie. El abuelo de Orlando es Duggie.

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70. Sume dos veces

(i)

(i)

(ii)

(ii)

Es importante tener un esquema, como el que presentamos aquí, y llenar los blancos a medida que se descubren.

Consideremos la cuarta columna de (ii)

Por la primera columna de (i), h + b + ? 1 = r. ⸫ r es por lo menos 3. Por la primera columna de (ii), r + p + ? 1 = a, ⸫ a es por lo menos (3 + 4 + ? 1), o sea, 7 + ? 1 (recuérdese que todas las letras deben representar dígitos diferentes). Pero por la quinta columna de (i), a debe ser par, ⸫ a = 8.

⸫ por la tercera columna de (ii) h = 2. Y por la tercera columna de (i) p + p = 10, ⸫ p = 5. Y por la quinta columna de (i), m = 4, y por la segunda columna, c = 7. Por la primera columna de (ii), r = 3 o 2; pero no 2, porque h = 2. ⸫ r = 3.por la primera columna de (i), b = 1. Y por la segunda columna de (ii), q = 6.

Solución completa

(i)

(ii)

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71. El profesor y las islas del mundo

El total de goles a favor debe ser igual al total de goles en contra, ⸫ B tuvo 33 goles en contra.

C empató 1, pero los goles a favor de C no son iguales a los goles en contra, ⸫ C jugó 2. Y puesto que ni los goles a favor de A ni los de B son iguales a sus goles en contra, cualquiera de ellos que hubiese empatado con C jugó 2 partidos.

⸫ todos ellos jugaron 2, porque los partidos jugados deben ser un número par.

B tuvo 26 goles a favor, y A y C tuvieron 22 y 23 goles en contra, ⸫ el puntaje de A vs C fue 22 + 23 ‒ 26, o sea 19. Pero éste no puede ser un empate, porque el total de goles debe ser par.

⸫ C vs B debe haber sido el partido que fue empatado.

B y C tuvieron 33 + 23 goles en contra, y A tuvo 28 goles a favor. ⸫ los goles marcados en B vs C fueron 33 + 23 ‒ 28, o sea 28.

⸫ B vs C fue 14-14. ⸫ C vs A fue 10-9 (24-14 vs 23-14), y A vs B fue 19-12 (28-9 vs 22-10).

Solución completa

A vs B: 19-12

A vs C: 9-10

B vs C: 14-14

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Editorial Gedisa ofrece los siguientes títulos sobre

JUEGOS LOGICOS, MATEMATICOS, PSICOLOGICOS Y OTROS

pertenecientes a sus diferentes colecciones y series

(Grupo “Juegos, Humor y Esoterismo”)

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Juegos para devanarse los sesos

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Juegos. Los mágicos números del Dr. Matrix

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El libro de los tests. Conózcase a usted mismo

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El libro de los tests. Usted y los otros

Nota

1 Por razones de diagramación las operaciones de división en este libro se han ordenado de manera diferente a la habitual (y se han respectado en la traducción), colocando primero el divisor, luego el dividendo y encima de éste el cociente. Así, por ejemplo, en este caso la operación es:

2192 / 38 = 23 [T.]