El árbol de Emmy

Emmy Noether,
la mayor matemática de la historia

Eduardo Sáenz de Cabezón

Para Adriana, Claudia, Dorleta, Edith, Elena, José, Laura, Noemí, Rocío y Sílvia.

Un árbol con hilos

Este es un libro sobre Emmy Noether y es también un libro sobre mujeres matemáticas. La idea de escribir este libro surgió tras una serie de tuits que dediqué a mujeres matemáticas durante un mes a finales de 2017. Cada día tuiteaba el nombre y la fotografía de una matemática relevante y pedía a la gente que aportara información sobre ellas. Fue una experiencia muy interesante. El grupo de divulgadores científicos llamado Los Tres Chanchitos (Enrique Borja, Clara Grima y Alberto Márquez) se lo tomó con mucho entusiasmo y entre los tres acabaron produciendo unos magníficos hilos de Twitter sobre la ciencia que produjo cada una de las matemáticas que yo nombraba. Cuando, a la vista de esta iniciativa, María Alasia y Jordi Nadal, de Plataforma Editorial, me ofrecieron la posibilidad de escribir un libro sobre mujeres matemáticas, inmediatamente tuve dos cosas claras: por un lado, la base del libro debía ser Emmy Noether, la matemática que más admiro y probablemente la científica cuyos logros están a mayor distancia de su reconocimiento, distancia que se debe exclusivamente al hecho de ser mujer. Y, por otro lado, los hilos de Los Tres Chanchitos debían estar presentes, para que quien leyera el libro pudiera asomarse, siquiera un poco, a la ciencia que desarrollaron las mujeres que pueblan este libro y se despertara cierto interés por sus matemáticas además de por sus personas.

Este libro es pues un árbol con hilos. Cada capítulo va recorriendo la vida de Emmy Noether, y al hilo de esa vida, que es el tronco principal del libro, van surgiendo en un aparte las vidas de otras mujeres que de forma excepcional contribuyeron a la historia de las matemáticas. Finalmente, cada capítulo contiene algunos de aquellos hilos de Twitter que Los Tres Chanchitos escribieron sobre las matemáticas de estas mujeres, la ciencia que desarrollaron, algunas de sus contribuciones. Estos hilos pueden leerse de forma independiente al resto del libro, ya sea de paso al atravesar los capítulos o al finalizar la lectura de todo el libro.

Que esta pequeña obra sirva para dar a conocer a la mujer que me descubrió el poder del pensamiento abstracto y me llevó a dedicarme a las matemáticas.

1.

Transformación

Una mujer sentada en el banco de un parque. Las manos sobre el regazo, la mirada indiferente posada sobre el árbol que tiene delante. Una mirada sin presencia, sin contacto, un mero fenómeno físico sin implicación de la conciencia. Ni la del árbol, por supuesto, ni la de la mujer. En realidad, a esta mujer le daría lo mismo que el árbol no estuviera allí y al árbol no le importa nada la presencia de esta mujer ni la de ninguna otra. No hay contacto entre ellos y, sin embargo, se encuentran uno frente a otro, simétricos, dos formas de vida aparentemente estáticas que ocultan una intensidad difícil de apreciar desde fuera.

Sabemos poco sobre esta mujer sentada en el parque, pero pronto sabremos más. Apenas nos interesan de momento su nombre, su edad y las circunstancias de esta tarde de abril. Su nombre es relevante porque se trata de una mujer real, incluso conocida, se llama Emmy. Emmy Noether. No podemos inventar su nombre, y tal vez es lo único que no podamos inventar en esta escena. Pero nada nos impide imaginarla en un parque, sentada en un banco, mirando a un árbol. Tal vez ni siquiera esté mirando, a veces en nuestro campo visual se hallan cosas o árboles o personas a las que en realidad no somos conscientes de estar viendo.

La edad de esta mujer nos importa menos, pero es un dato que tampoco podemos inventar, que nos impide olvidar que estamos hablando de una persona real que habitó un tiempo y un espacio concretos, las fronteras de una vida que terminará demasiado pronto. Es arriesgado decir demasiado en esta frase porque la palabra implica una valoración sobre la duración de la vida, algo que no nos corresponde en ningún caso. Es demasiado pronto porque hubiéramos preferido que Emmy viviera más, como se verá. Acaba de cumplir cincuenta y tres años hace unos días y, desde luego, no ha malgastado el tiempo que hasta el momento se le ha concedido.

Finalmente, las circunstancias de esta tarde responden también a datos históricos, aunque los hechos no ocurrieran tal como nos vienen a la imaginación. Estamos a principios del mes de abril de 1935 y a Emmy le acaban de diagnosticar un tumor pélvico. No sabemos si la noticia le fue comunicada por la mañana ni si la tarde después de que el diagnóstico le fuera revelado Emmy se sentó en un banco de un parque de la ciudad en la que vivía en ese momento, Bryn Mawr, en los Estados Unidos de América. Este de Bryn Mawr es, por cierto, otro dato histórico. Ignoramos completamente si los hechos incluyen que mirara un árbol o que sus manos estuvieran sobre su regazo. Un tumor pélvico. Un diagnóstico así ineludiblemente convierte la propia muerte en algo tangible y concreto. Pasa de ser una idea a ser un dato, adquiere dimensiones mensurables, espacio y tiempo más o menos cercanos, pero ya presentes. ¿En qué momento pensamos conscientemente, por primera vez, que también nosotros vamos a morir? Demasiado pronto. Somos mudos ante la muerte, apenas podemos balbucear algo sobre ella, pero, desde luego, no nos deja sordos. La muerte, la muerte propia, nos habla con claridad, nos hace preguntas y nos invita a valoraciones. ¿Qué cambios ha experimentado el mundo por el hecho de que yo haya permanecido, vivido, actuado en él durante treinta, cuarenta, ochenta o cincuenta y tres años?

Sepamos un poco más sobre esta mujer que estamos imaginando sentada en un banco. Dispongamos un tablero de coordenadas. En esta época el nombre lo marca todo. Noether es un nombre alemán. Hace apenas un año y medio que Emmy vive en los Estados Unidos de América. Recordemos que estamos en 1935 y es preciso saber que Emmy es judía. Hitler es Reichskanzler desde enero de 1933. No lo hemos dicho todavía y conviene hacerlo cuanto antes: Emmy Noether es profesora de matemáticas. Precisemos: es matemática. Ocurre que hay disciplinas cuyo nombre coincide con el de la mujer que se dedica a ellas, como la matemática o la música. Por eso algunas mujeres se sienten extrañas o presuntuosas diciendo: «Soy matemática» o «Soy música». Emmy es matemática. Dejémoslo claro: es una de las mentes más brillantes de su tiempo, y el suyo fue un tiempo de mentes que brillaron intensamente. ¿Cuál de todas es la coordenada principal que nos permite entender a esta mujer? ¿Hay alguna más importante que las demás? ¿Es Emmy fundamentalmente una mujer judía? ¿Es ante todo una judía alemana? ¿Es su genialidad lo que destaca? ¿Es su peculiar profesión de matemática? Quizá podemos decir que en esta escena imaginada ella es ante todo una mujer a la que acaban de diagnosticar un cáncer. Y eso siempre conlleva la asunción de una forma distinta de soledad. Emmy nunca fue una mujer solitaria, fue una mujer única, es verdad, pero no solitaria. Algo así como un árbol, porque todo árbol es, en realidad, una colectividad, aunque no tenga otros árboles alrededor, aunque esté plantado en medio de un parque y tenga una mujer sentada enfrente que ni siquiera lo ve.

Emmy se pone las gafas, se levanta del banco y se dirige a casa. Hay cosas que dejar preparadas antes de la operación.

2.

Inmovilismo

De Samuel a Nöther y de Nöther a Noether. El bisabuelo tuvo que cambiar de apellido. No estaban permitidos los apellidos judíos en el Gran Ducado de Baden. Un edicto que desconecta a los hijos de Abraham de sus antiguas raíces. Los judíos de Baden se sienten en este final de siglo, que es en realidad el final de toda la historia, como ramas sueltas de un árbol más antiguo que esa historia que les niega asiento. Elías Samuel pasó a apellidarse Nöther. Y su hijo Max volvió a cambiar el apellido, de Nöther a Noether. Max Noether, el padre de Emmy, es matemático, y este es, por supuesto, un hecho relevante en este relato. Emmy, la única niña de Max y Amalia, la mayor de cuatro hermanos, es una muchacha despierta, inteligente, suavemente tenaz y que disfruta del baile y de los estudios. Es bonito imaginarla bailando sola: el cuerpo robusto, los brazos fuertes, las manos abiertas y con las gruesas gafas y la sonrisa franca desde la que eligió asomarse al mundo. También podemos imaginarla bailando con alguno de sus hermanos, o en uno de esos bailes tradicionales en grupo en que los movimientos siguen pautas antiguas. La creatividad en la ejecución de los giros establecidos y los gestos fijos de los bailes tradicionales son fruto exclusivo de la personalidad del danzante. De la danzante, en este caso, a la que podemos visualizar ejecutando suavemente, con los ojos cerrados, las vueltas y los saludos. Hay personas que bailando solas inventan el ritmo de todos.

A Emmy también le gusta estudiar y pasa la mayor parte del tiempo repasando las lecciones. No le resulta difícil comprender las materias, identifica con facilidad las ideas principales y las secundarias, las relaciones entre ellas, los puntos clave. Es rápida, muy rápida. Su forma de aprender consiste en reducir toda la materia a un esqueleto esencial a partir del cual reconstruye cada detalle. Es capaz de razonar con agudeza y su retentiva es notable. Emmy estudia y su rostro despliega la misma sonrisa limpia y despreocupada con la que disfruta del baile. En medio del desconcierto de la pubertad, el estudio es un refugio, un lugar en el que todo depende todavía de la voluntad y el esfuerzo. La adolescencia es en el ambiente prusiano siempre una rebelión. Lo es en cualquier parte del mundo, pero más aún en Prusia, donde cada desviación de la rigidez se califica de extravagancia. Las lecciones son castigo y abrigo. Sin sacudidas imprevistas, sin alteraciones vergonzantes, el estudio es un entorno controlado, mientras que el cuerpo se empeña en ser un extraño que quiere acapararlo todo.

En casa de Max Noether, en Erlangen, son frecuentes las visitas de colegas y amigos. Otros matemáticos cuya conversación incluye a veces discusiones sobre conceptos especializados, asuntos de una ciencia que todos consideran más una forma de vida que una profesión, una forma de ver el mundo que busca describir lo esencial que subyace a lo cambiante. Charlan también sobre el incierto futuro, la preocupante situación política en el cambio de siglo o sobre la universidad y sus pequeñas intrigas. La política, la administración y las antiguas universidades son máquinas pesadas, presas de su propia inercia, a las que resulta muy difícil hacer cambiar de dirección. Terribles máquinas ciegas que no reparan en la existencia de los hombres y las mujeres que las forman. No es fácil obligarlas a modificar el sentido de su movimiento, no al menos luchando contra la inercia.

Los matemáticos son aparentemente ajenos a la marcha de estos mecanismos, ante los que solo cabe la resignación. Pero nada más lejos de la realidad, son seres analíticos que no se pliegan con facilidad a lo arbitrario de la historia, que se alinean con los idealismos antes que con el pragmatismo de la política definida como compromiso de gestión e intrigas. La conversación sube de tono cada poco y Emmy simula escandalizarse ante los inofensivos arrebatos de estos artistas que ejercen un arte todavía desconocido para ella.

Muy probablemente podemos encontrar en la conversación en casa de los Noether a Felix Klein, uno de los pocos que se atreven realmente a cambiar el sentido del movimiento de algunas de esas pesadas máquinas. Klein quiere refundar la geometría, Klein quiere vientos nuevos en las matemáticas y en las universidades. Klein está llamado a ser el mejor matemático de su época. Klein lo cuestiona todo, lo mejora todo, habla como quien tiene autoridad. Emmy no es indiferente a éste a quienes todos parecen respetar y que comparte con su padre el pan y la sal, cuyas frecuentes visitas son siempre bienvenidas. Felix Klein ya no vive en Erlangen, pasó apenas tres cursos en la ciudad, unos años antes de la llegada de la familia Noether, casi una década antes de nacer Emmy. Pero de alguna manera sigue presente en la universidad. Klein el revolucionario llegó a la Friedrich-Alexander Universität con apenas veintitrés años y en un discurso memorable desarrolló el que se llegó a llamar programa de Erlangen , la unificación de la geometría, el buque insignia del método moderno en matemáticas. Felix Klein mantiene una buena amistad con Max Noether, y no será la última vez que lo veamos aparecer en esta historia.

Pero, de todas formas, aquel discurso revolucionario de Klein fue pronunciado hace casi treinta años, estamos ya en el año 1900, el siglo termina y Emmy está convirtiéndose en toda una mujer. ¿Así que piensas estudiar, Emmy? Eso es estupendo. ¡Profesora, excelente! ¡Qué suerte van a tener las niñas a las que des clase! Es una de esas adolescentes que se sienten cómodas en compañía de los adultos. Sabe ser incluida en la conversación y sabe estar presente sin intervenir, atenta a las palabras y atenta también a que la mesa esté dispuesta, las copas llenas, que no falte pan. Sabe ser ignorada y sabe también hacerse oír en los momentos en que es escuchada. Cuidado porque está dejando de ser una niña y se encuentra en el momento en que tomará la decisión de construirse un carácter propio o renunciar a él. En esta época, y acaso en todas, el carácter de una mujer se define desde los otros, los adjetivos son más bien descripciones de la forma de adaptarse a su papel en la sociedad más inmediata, casi la única a la que puede adaptarse. Así, Emmy será amable o sumisa, hacendosa o discreta, encantadora o arisca, mandona o atenta. Todo lo demás resulta extravagante o irrelevante.

En el ambiente en el que Emmy crece, las matemáticas son una presencia natural y amable, parte del decorado, parte del alimento del que se nutre el espíritu de la casa de los Noether, que es un espíritu de presencia poderosa. Hay familias que no importan nada a nadie, ni siquiera a sus miembros, lugares en los que uno recibe un apellido y se reúne ocasionalmente para celebrar un cumpleaños o un funeral, sistemas que pueden funcionar durante años sin el menor rozamiento. Y hay familias que son ecosistemas de crecimiento y referencias, que se construyen a partir de las coordenadas de sus miembros y que forman parte de ellos tanto como a la inversa. Emmy aprende en casa la legitimidad de sus propios deseos y la solidez de su voluntad. Lo mismo ocurre con una cierta forma de bondad, de generosidad, una firme benevolencia que pasará también a ser parte de la personalidad de esta jovencita que empieza a estar preparada para caminar con naturalidad y fuerza por paisajes sin caminos, por lugares por los que se supone que no debería transitar.

Llegan los exámenes que le darán acceso a la enseñanza de idiomas en el instituto femenino y, por supuesto, Emmy los supera con excelentes calificaciones. Pero esta mujer decidida quiere modificar el camino que de alguna manera le ha sido marcado por nadie en concreto. Con una sonrisa seria y limpia lo anuncia claramente: quiere estudiar matemáticas en la universidad. ¡Un cambio de dirección! La gran máquina de la historia no va a tolerarlo tan fácilmente. ¡Matemáticas! Es una relativa sorpresa. ¿Quién conoce a una mujer matemática? ¿Puede siquiera una mujer entrar en la universidad? No, Emmy, no puede ser. El Senado alemán ha declarado hace apenas dos años que la admisión de mujeres en las aulas «destrozaría el orden académico». La gran máquina no va a reparar en la existencia de Emmy. No se puede y no se puede. Punkt! Pero Max, el padre, sonríe y asiente. La gran máquina no conoce a Emmy, él sí. La sonrisa de Emmy es como raíz que busca alimento. Calladamente firme y sin violencia sabe hacerse siempre un camino, y el pavimento tendrá que adaptarse a su empuje o agrietarse. Por supuesto que no será un paseo despejado de dudas. ¿Quién es siempre capaz de distinguir la constancia de la obstinación, la firmeza de la arrogancia, la decisión de la impertinencia?

En la historia de las matemáticas ha habido muchas mujeres y hombres que han hecho labor callada, de quienes la historia no se acuerda y quizá no se acordará nunca. De entre quienes la historia sí recuerda, la primera mujer de quien tenemos noticia es En-Hedu’Anna, que vivió en Sumeria hace más de cuatro mil años. Hedu’Anna fue la primera persona de la historia en firmar sus escritos. La suma sacerdotisa del templo de Ur se dedicó a la astronomía y a las matemáticas, a la poesía y al gobierno de las vastas extensiones de tierra alrededor del templo de la diosa de la luna, Inanna. Contribuyó a las mediciones de los movimientos de los cuerpos celestes, en particular de la luna, que los sumerios nos dejaron como herencia en los inicios de la civilización. Esas mediciones inauguraron nuestra medida del tiempo, basada en la ciencia que estudia los movimientos de los planetas y las estrellas.

Lo que nos ha llegado de algunas de las antiguas matemáticas y astrónomas griegas está sumido en la leyenda. A Theano se le atribuyen algunos escritos sobre el número, y parece que fue miembro de la escuela pitagórica (algunos sugieren que incluso la dirigió). No se tienen claros ni el lugar ni el momento de su nacimiento ni tampoco los de su muerte. Parece que hubo dos personas llamadas Téano y no es fácil saber a cuál de las dos pertenecen los fragmentos que se conservan. Algo parecido ocurre con Aglaónike, la que es considerada la primera astrónoma de la antigua Grecia. Apenas nos han llegado referencias sobre ella o evidencias que nos permitan conocer su labor. La Grecia antigua contó con varias mujeres en sus aportaciones a las matemáticas y a la ciencia, pese a que no siempre se las considerara como iguales en las labores intelectuales.

La primera mujer considerada matemática como tal por la historia fue Hipatia de Alejandría, que vivió de forma intensa y murió violentamente entre los siglos IV y V de nuestra era. La historia de la Antigüedad es difícil de verificar pero las primeras fuentes fiables que nos hablan de una mujer matemática son las que se refieren a Hipatia. Fue una mujer brillante que se dedicó a la enseñanza de las matemáticas y la filosofía. Escribió tratados de astronomía, de álgebra y de geometría y comentó, por ejemplo, Los Elementos , de Euclides, o la Aritmética , de Diofanto. Hipatia fue una de las grandes maestras de la Antigüedad y su escuela filosófica en Alejandría, dentro de la corriente neoplatónica, alcanzó una notoriedad y un prestigio notables. Realizó estudios e inventos relacionados con la astronomía que fueron quizá su mayor contribución a la ciencia. Sus contribuciones matemáticas se encuentran en sus comentarios, en particular, en el de la Aritmética , de Diofanto. Hipatia fue un personaje influyente en la cultura y en la política de Alejandría. En las luchas por el poder político, cultural y religioso cayó víctima de un grupo de fanáticos. Según el historiador Orestes Eclesiástico, la más respetada de entre las sabias griegas fue asesinada en una iglesia. Hipatia y su muerte se han convertido en un símbolo del daño que provoca la intolerancia y de la reivindicación del papel de las mujeres en el mundo científico.

Después de Hipatia no tenemos registros de muchas más mujeres dedicadas a las matemáticas. Seguro que las hubo, brillantes o no tanto, pero la historia quiere que no sea hasta el siglo XVII , mil trescientos años después de Hipatia, cuando nos encontramos con otra gran maestra dedicada a las matemáticas: la italiana Maria Gaetana Agnesi. Fue una niña prodigio, una mujer religiosa muy dedicada a los demás. Y dejó para la historia el primer libro completo de cálculo diferencial e integral, una obra pionera, clara y aguda, que facilitó la comprensión del cálculo de Newton y Leibniz. Es una de pocas, probablemente la primera mujer matemática con reconocimiento en Occidente. Poco a poco se abrirán paso otras. Muy poco a poco. Algunas de las más grandes tuvieron incluso que esconderse bajo nombres masculinos para hacerse un lugar. Quizá la más célebre, y aquella cuyas matemáticas han sido más influyentes, fue Sophie Germain, también conocida como Monsieur Le Blanc. Este señor blanco, sin acceso a una educación formal, de manera autodidacta y apartada por la jerarquía académica, mantuvo correspondencia con Lagrange y Gauss, dos de los mayores matemáticos de la historia, y logró el premio extraordinario de la Academia de Ciencias de París. Su trabajo, junto al de otros científicos e ingenieros, permitió la construcción de la torre Eiffel, el símbolo de París. Los nombres de aquellos científicos e ingenieros están inscritos en la torre, por encima del arco inferior, pero el de Sophie Germain no está junto a ellos. Un vacío inexcusable que resulta una sombra en la Ciudad de la Luz.

3.

Giro

¿Quién no ha querido alguna vez ser otro? Disfrutar de las aptitudes o las ventajas de otra condición. Tener lo que otro tiene, poder lo que otro puede, saber lo que otro sabe, ser capaz de aquello de lo que no se es capaz y otro sí. Querer ser otro forma parte de ser uno mismo, nos ayuda a identificar en qué direcciones querríamos estirar las propias capacidades, nos permite asumir las propias limitaciones y dirigir los esfuerzos de nuestra permanente lucha interior.

Las aulas de la ilustre Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg registran una nueva presencia. Se trata de algo verdaderamente inusual. Una mujer se sienta en los escaños de los solemnes salones en que se imparten las lecciones de matemáticas. Ah, pero una mujer no puede matricularse en la Universität, ¿no? No, por supuesto que no, eso destrozaría el orden académico, ya lo sabemos. Aunque, tal vez, bien pensado, el orden académico quedaría intacto si esa mujer solamente acudiera a las clases como oyente, ¿verdad? El frágil orden académico resistirá si la mujer en cuestión no cursa oficialmente ningún estudio, si no tiene derecho de admisión, si no aparece en las listas oficiales, si no hay una casilla para sus calificaciones, si no ha de recibir un título … Si solamente se le permite estar, sentarse, asistir, atender, razonar, memorizar, aprender. Destacar.

En medio de aquellos grupos de muchachos serios y esforzados Emmy Noether destaca. Y no es solo por el hecho evidente de ser mujer. Emmy es brillante. Su habilidad para las matemáticas recuerda a la de las grandes aves que planean en el aire de altura, no hay en ella altivez y tampoco angustia, se diría que ha nacido para ello, aunque, por supuesto, eso no la exime de tener que alcanzar cada nuevo logro a base de un esfuerzo tenaz. Es su primer contacto con una matemática exigente, interminables cálculos que demandan una concentración total.

Viéndola es curioso pensar que el hecho de ser mujer tenga alguna influencia en su modo de afrontar las matemáticas. ¿Saben las pizarras que son los ojos de una mujer los que las escrutan? ¿Cambian las soluciones de una ecuación o las propiedades del álgebra si es una mujer o un hombre quien las desentraña? Día tras día, una semana tras otra, Emmy acude a las clases y asimila con facilidad los nuevos conceptos, sigue entusiasta los razonamientos. No se trata únicamente de calcular, no, el pensamiento matemático comienza a desplegar ante ella su poder y su belleza. Aprende. Aprende rápido, sí. Se puede decir que Emmy estudia como baila, como bailaba de niña. Las matemáticas se asemejan para ella a esas danzas tradicionales que tanto le gustaron siempre. Ejecuta con precisión las vueltas y los saludos en el momento exacto. Sabe qué teorema, qué idea ha de aplicar en cada problema, y empieza a descubrir con placer la creatividad que se esconde en las interminables demostraciones, en las cadenas lógicas de argumentos que recorre en silencio marcando el ritmo con el pie. Apenas nota que todas las cabezas se vuelven a su paso.

Paul Gordan y Max Noether, el padre de la mujer que establece este involuntario pulso con el orden académico, responden por ella ante la Universität y su inercia. Ambos son intachables profesores de matemáticas. Gordan es conocido como «el rey de los invariantes» y le asiste un prestigio intelectual que, se asume, va acompañado de una catadura moral inmaculada. Es un hombre respetado, tanto en la Universität como en la comunidad matemática. Un buen aval, sin duda. Max Noether es, claro, su padre, y es también uno de los mayores matemáticos del país, un orgullo para la Universität. Intachable también.

Es pronto aún para decir que Emmy es matemática o que lo vaya a ser en algún momento. Aún tendrán que pasar unos años, pocos en realidad, para que podamos considerarla como tal, pero el ambiente en el que ha crecido y, sobre todo, sus estudios en la Universidad de Erlangen-Nürnberg le están permitiendo conocer la situación de la matemática de su tiempo. Weierstrass reina en Berlín y, junto a Kummer y Kronecker, es la referencia que marca el paso de las investigaciones que se realizan en Europa. Su opinión es siempre escuchada, casi diríamos obedecida. Apenas hay lugar para otras corrientes que no sean la de este trío de Berlín , aunque pronto veremos que un rumor que será definitivo se alza en Göttingen. La matemática de Weierstrass y la escuela de Berlín es exigente y árida, sólida, axiomática, en cierto modo inaccesible. Sin duda es una matemática adecuada para el espíritu prusiano de la Europa central que asiste al terrible alumbramiento del siglo XX . Max Noether y Paul Gordan son dos buenos exponentes de esta matemática berlinesa. El «rey de los invariantes» y su amigo y buen colega Max son, en todos los sentidos, los principales garantes de Emmy Noether, que continúa su camino constante y callado hacia su propio destino matemático. Pasa dos años estudiando en Erlangen, donde complementa sus estudios de matemáticas con la historia y la lengua. Comparte sus avances con Fritz, su hermano, que –cómo hemos podido dejar de mencionarlo– es también estudiante de matemáticas en Erlangen. No podemos evitar pensar por un momento en los sentimientos de Fritz. Él no ha tenido ninguna dificultad para matricularse en la universidad, para atender a las clases o rendir los pertinentes exámenes, para obtener sus calificaciones. Es un estudiante aplicado, sí, pero él no brilla como Emmy. Es posible que las asimetrías entre ambos hermanos engendren envidias de distinto tipo, ¿no es natural envidiar las facilidades que otros tienen, debidas únicamente a la circunstancia fortuita del nacimiento? En un caso, ser un hombre, en el otro, ser brillante. No hay nada admirable en el hecho de ser hombre, ¿lo hay acaso en el hecho de estar dotada con una inteligencia despierta y tenaz? Está claro que no es lo mismo, pero la cualidad de admirable o el mérito de serlo dependen más bien de lo que uno y otra hacen con su respectiva dotación. No hay en este mundo, y mucho menos en esta época, ninguna vida fácil. Fritz y Emmy saben que necesitan aprender a vivir mientras asimilan las duras y hermosas matemáticas que ambos aman. Pero aquí Emmy sí que tiene una ventaja decisiva: ella sabe bien cómo vivir, por muy difíciles que sean las circunstancias.

Y estas circunstancias, sorprendentemente, van cambiando, aunque algunas cosas permanezcan invariantes: la Universität permite a Emmy hacer un examen oficial de ingreso que ella, por supuesto, aprueba. Eso sí, la asistencia efectiva a clase seguirá dependiendo del catedrático al cargo. El orden establecido no se deja modificar tan fácilmente. Y entonces, apenas aprobado el examen oficial de acceso, ocurre lo inesperado –aunque no del todo sorprendente–. Comenzado el año 1903, Felix Klein le abre las puertas de Göttingen. Klein, el brillante, el revolucionario, el gran Klein ha oído hablar de Emmy y ha recordado el momento en que la aguda hija de Max los hizo reír a todos, menos al padre, con esa ocurrencia de querer ser matemática. Las matemáticas están cambiando y Göttingen es el epicentro del cambio, está a punto de transformarse en el lugar en el que la ciencia va a hacer su verdadera entrada en el siglo XX . Göttingen se está convirtiendo en el lugar en el que hay que estar para formar parte de la transformación. Felix Klein quiere que Emmy Noether se acerque a la nueva corriente que él mismo inició con aquella conferencia en Erlangen hace más de treinta años. Un discurso histórico pronunciado en la misma Universität de la que Emmy está a punto de despedirse sin saber que en menos de un año regresará.

Pero, por el momento, la dirección del viaje apunta hacia Felix Klein. La del viaje de Emmy y la del viaje de las matemáticas de comienzos de siglo. En Göttingen había vivido el infinito Gauss, el genio precoz y constante que dominó las matemáticas del siglo XIX . El príncipe de los matemáticos asentó la geometría sobre bases firmes. Fue muchas cosas, lo hizo todo en aritmética, casi todo en la teoría de números y en geometría fue el último de los grandes griegos, un titán. Apenas un año antes de la muerte de Gauss, y cincuenta años antes de la llegada de Emmy, Bernhard Riemann, otro gigante, pronunció en Göttingen su tesis de habilitación, su examen para ser profesor. Y la suya fue la tesis de habilitación más famosa de todos los tiempos. En ella Riemann redescubría la geometría, reinventaba el concepto de distancia y llevaba las matemáticas donde nadie las había llevado antes. Y al mismo tiempo llevaba a Göttingen al centro del mundo. Y desde ese centro Klein llama a Emmy. Antes de que Emmy naciera, y mientras ella era una niña, Felix Klein trabajó con los matemáticos de media Europa y fue capaz, en su programa de Erlangen, de unificar las visiones de la geometría que surgían en el continente. Los matemáticos estaban inventando nuevos mundos, sin saber aún que lo que estaban haciendo era descubrir este. El reino de los matemáticos vivía un momento de euforia y optimismo, la matemática se sentía omnipotente y así lo expresaba con sus palabras y sus obras el que ya empezaba a ocupar el trono. El rey David Hilbert decía –también desde Göttingen, claro– que «sabremos», tarde o temprano sabremos, podremos saberlo todo, podremos demostrarlo todo. Se equivocaba.

Y es aquí adonde llega Emmy, destinada a ser protagonista no solo de la nueva matemática, sino de la nueva física, aunque eso, de momento, aún tenga que esperar.

Dos años antes del nacimiento de Emmy Noether, otra mujer había tenido la desfachatez de estudiar matemáticas en la universidad. La historia de Charlotte Angas Scott es digna de ser contada. Charlotte ingresó en el Girton College, en Cambridge, una institución que ya entonces luchaba por la igualdad de la educación superior. Claro, el orden establecido no se dejó cambiar tan fácilmente tampoco en este caso. Las mujeres podrían examinarse, sí, pero no ser admitidas en la universidad. Tenían sus propios examinations for women , aunque algunas de ellas pidieron y pudieron hacer los exámenes oficiales, pese a que no se las contara en las listas de graduados. Charlotte Scott fue una de estas pioneras, y en 1880 se presentó a los Tripos, un famoso examen de graduación en matemáticas que era, por supuesto, exclusivamente masculino. En aquellos exámenes, los estudiantes con mejor nota conformaban la lista de honor, la lista de los wranglers , y sus nombres se leían en público para ser vitoreados por la universidad. En 1880, el resultado de Charlotte Scott la situaba como octava wrangler . Pero era mujer y, oficialmente, su resultado no existía. Cuando el encargado de leer la lista en la ceremonia pasó el séptimo nombre e iba a leer el octavo, la multitud de estudiantes coreó entusiasmada: «¡Scott de Girton! ¡Scott de Girton!» una y otra vez, y aplaudieron y vitorearon a aquella mujer que así ocupaba su puesto en la lista de honor. El éxito de Scott hizo que se admitiera a mujeres en los Tripos, aunque con su propia lista separada y sin los mismos honores que recibían los hombres. La admisión plena no llegó hasta 1948. Scott siguió luchando, aunque, para tener un título universitario, tuvo que ir a la Universidad de Londres, que sí que admitía a mujeres, y examinarse de nuevo. Lo hizo e incluso obtuvo el doctorado en 1885 (cuando Emmy apenas cumplía tres años de edad). No fue la única circunstancia en la que Scott precedió a Noether: Charlotte fue una de las fundadoras de Bryn Mawr, el último destino de Emmy.

4.

Ciclo

El camino se va construyendo como un eco de las pisadas de la caminante. Hace apenas tres años que se sentó por primera vez en las aulas de la Universität y demostró calladamente que el orden académico asimilaba sin alteraciones la presencia femenina. Hace tan solo unos meses que Felix Klein la ha acogido en Göttingen, donde las matemáticas están preparando un renacimiento del que ella está llamada a ser protagonista. Emmy comienza a asumir su papel en la historia. Los acontecimientos van conformándose para que esta mujer pueda desplegar su valor y transformar el mundo al que llegó hace poco más de veinte años. Ya estamos en el camino correcto. Ha costado muchos esfuerzos e incomprensiones, pero Emmy Noether ya está en Göttingen junto a Klein.

Y, sin embargo, en menos de medio año y cuando todos los vientos soplaban en la dirección del futuro, Emmy Noether regresa de nuevo a Erlangen, a casa, al pasado. Resulta que la Universität ha abierto sus puertas a las mujeres. ¿Quién lo habría imaginado? La gran máquina ha cambiado. Emmy vuelve, pero no a recorrer el camino recién abierto, sino uno que no ha sido abierto todavía: quiere hacer allí un doctorado en matemáticas. Ahora sí que queda claro que esta mujer quiere ser matemática, ¿no conoce los límites? Emmy, no todo se puede. Has logrado mucho, pero está bien darse cuenta de dónde están las limitaciones, es una muestra de sensatez. Prácticamente no hay precedentes; Felix Klein –quién si no– admitió al doctorado a una inglesa, la señora Young, que no tenía permitido doctorarse en Cambridge. Y años antes, también en Göttingen, se concedió el título de doctora a Sofía Kovalevskaya, la estudiante favorita del sagrado Weierstrass, que gobernaba desde Berlín. Pero Kovalevskaya ni siquiera estuvo presente, eso fue una excepción. Excepciones, sí. Caminantes que dejaron huella, no camino. Este camino no se puede transitar, Emmy, no existe. Y Emmy sonríe, seria, y se dirige apaciblemente a Erlangen con la decisión tomada: será doctora en matemáticas.

El doctorado es el máximo grado académico, el período en el que la persona se pone bajo la tutela de un matemático y comienza a recorrer los caminos de la creación para alcanzar –digámoslo bajito por si el orden establecido anda cerca escuchando– la autonomía investigadora. Conviene, por tanto, elegir bien. Por lo general, el tutor propondrá la línea por investigar, hará las presentaciones en los círculos matemáticos, ayudará cuando sea necesario, estimulará y dejará a solas, exigirá y colaborará, incorporará a su estudiante en los procesos de su propia investigación y en los de las de sus colegas. En la mayoría de los casos, la investigación llevada a cabo para la tesis doctoral será continuada en la carrera del futuro matemático. Se incorporará al grupo de su tutor o, al menos, mantendrá un contacto con él, ya de igual a igual, de investigador a investigador. Colegas. Por eso es fundamental elegir a un tutor adecuado. Es en el doctorado donde el matemático nace y se hace.

Emmy Noether hará su doctorado con Paul Gordan. Es sorprendente y paradójico. ¿Decepcionante? Un poco quizá, aunque es una decisión paradigmática que revela mucho sobre quién fue Emmy Noether. En estos años en que Europa, y Prusia como nadie, viven el dificilísimo comienzo de siglo, las matemáticas están viendo palidecer un paradigma que se resiste a dar paso a otro. En medio, gestionan la transición con mano amable Felix Klein y David Hilbert. A un lado están los viejos y fructíferos métodos del trío de Berlín y también de Paul Gordan, el rey de los invariantes. Este rey es un matemático notable. Orfebre de las ecuaciones y autor de fórmulas interminables, delicadas sucesiones de razonamientos y cálculos que dan razón explícita de los pocos secretos que con tanto esfuerzo logra extraer a los objetos matemáticos. Rigor y método, no se permite uno el lujo de entregarse a la intuición y a sus argumentos engañosos. Del otro lado, el grupo de Göttingen, los herederos del gran Riemann, liderados por Hilbert y Klein, por Minkowski, los que están ya construyendo las matemáticas que necesitará el siglo XX . ¿Por qué entonces Emmy, a quien Klein quiere en Göttingen, regresa a Erlangen, bastión mustio de un orden que cae, y se pone bajo la tutela de Gordan? ¿Es acaso porque es mujer? ¿Conviene tener cerca de casa a la única hija mujer de unos padres ya mayores y enfermos? ¿Es un cierto sentimiento de deuda impagada con aquel que fue su valedor en los primeros años de universidad? Lo cierto es que Erlangen ha abierto sus puertas a las mujeres y Emmy vuelve a casa. Quizá lo que ocurre es que no es finalmente la heroína audaz que mira siempre hacia delante, la que lucha por lo que merece, la poderosa que reivindica su poder. Parece que nos encontramos ante un caso más de mujer brillante que, por imposición o por elección propia (si acaso eso puede siempre distinguirse), amputa sus propias alas y decide volar más bajo de lo que podría, y se refugia en esos valores que tradicionalmente le están asignados. Matemática, sí, pero en casa y con la mano atenta a los padres. Innovadora, claro que sí, pero no revolucionaria. Un doctorado desde casa y casi en familia parece algo adecuado dentro de la excentricidad. De todos modos, no toda historia de renuncia es una historia de frustración, por supuesto que no. No bajemos totalmente el telón sobre esta vida. La carrera investigadora de Emmy Noether va a ser prototipo del cambio que la matemática mundial va a experimentar en los próximos veinticinco años. Y para eso hay que empezar donde empezó, en casa, bajo el seguro alero del rey de los invariantes.

Léase despacio y dejando huecos para respirar: Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form . Este es el título completo de la tesis doctoral de Emmy Noether, que, bajo la dirección del septuagenario Paul Gordan, fue completada en 1907, defendida el 13 de diciembre y evaluada sobresaliente cum laude ; ¿alguien lo dudó en algún momento? Páginas y páginas de cálculos interminables, meticulosos, puntillosos, detallistas hasta el extremo que dieron como resultado su contribución principal: los 331 invariantes de la forma bicuadrática ternaria. Una joya pulida de la casa Gordan. No ha decepcionado, la joven Emmy ha sabido someter su voluntad al estilo de Gordan y ha asumido con abnegación monástica la pesada cantinela de las fórmulas, ha bailado un baile monótono que exige la máxima concentración. Max Noether está orgulloso. Emmy no lo estará nunca, no de esa tesis.

Emmy se acomoda entonces en el minúsculo hueco que el sistema establecido ha accedido a abrir para ella. Ya está, ha alcanzado la madurez investigadora, publica incluso un artículo de investigación sobre invariantes, ha alcanzado un techo que puede parecer pálido y de consolación, pero que era inalcanzable cuando esta carrera comenzó. Al contrario que sus compañeros varones, Emmy no puede dar clases, este es un límite claro. De todas formas y de vez en cuando, cada vez más frecuentemente, sustituye al padre enfermo en sus clases y con sus estudiantes, incluso con los de doctorado. La Universität lo consiente, es una especie de enfermera que incluye en sus cuidados reemplazar en clase la voz apagada del padre. Y así Emmy cumple veintiocho años, ya no es una jovencita y ha pagado sus excesos académicos con un destino de cuidados, silencio y ¿soledad? Sigue siendo alegre, por supuesto, pero por primera vez echa la vista atrás conjugando el pluscuamperfecto: hubiera podido ser .

La primera mujer en alcanzar el doctorado en matemáticas fue la rusa Sofía Kovalevskaya. Un caso excepcional en todos los sentidos, una auténtica pionera y, junto a Emmy Noether, una de las mujeres matemáticas más influyentes de la historia. Fue una niña precoz de manual, con su anécdota increíble incluida: cuando su familia se mudó al campo, no alcanzó el papel para empapelar el cuarto de los niños y lo hicieron con escritos antiguos, que resultaron ser las conferencias sobre cálculo diferencial e integral del gran matemático Mijaíl Ostrogradski. Una habitación así habría causado pesadillas en casi cualquier niño, pero la pequeña Sofía quedó fascinada por aquellas fórmulas incomprensibles, que quedaron grabadas en su mente, aunque no consiguiera descifrarlas. Cuando tomó sus primeras clases de cálculo diferencial, la rapidez con que lo incorporaba asombró a su profesor, que decía que parecía que ella lo supiera de antemano. Sofía veía adquirir sentido a las viejas imágenes de su habitación de niña. En Rusia no podía estudiar, así que se casó para huir y viajó a Alemania, donde se encontró, igual que le pasaría a Emmy Noether, con que a duras penas le era permitido asistir como oyente a las clases. Sofía Kovalevskaya era audaz, rebelde y combativa, un carácter fuerte que decidió lanzarse directamente a la cumbre, y solicitó clases particulares nada menos que al emperador de Berlín, Karl Weierstrass. Este, tal vez por quitársela de encima –tal vez era su modo usual de filtrar estudiantes–, le dio una lista de problemas de los que tenía destinados a sus estudiantes avanzados. Sofía presentó soluciones a todos esos problemas que no solo eran correctas, sino que mostraban una mente ingeniosa, creativa y absolutamente deslumbrante. A partir de ahí, Weierstrass la adoptó como alumna y se convirtió en su mentor. Cuatro años más tarde, los logros de Sofía eran tales que Weierstrass los consideraba dignos de obtener un título. Lo solicitó a Göttingen (en Berlín eso era imposible), donde se le concedió el doctorado, y para ello bastó uno de los tres trabajos que presentó. No tuvo que examinarse ni acudió a Göttingen. Pero una cosa es ser doctora en matemáticas y otra poder trabajar como tal. Tras su doctorado, y sin encontrar trabajo como matemática, Kovalevskaya se dedicó a las artes, la filosofía, la literatura y la vida de la alta sociedad de San Petersburgo hasta que el gran matemático sueco Mittag-Leffler la convenció, instigado por Weierstrass, que nunca la olvidó, para que volviera a las matemáticas. Tras varias estancias en Berlín y París, Sofía Kovalevskaya se convirtió en la primera matemática en ocupar un puesto de profesora en una universidad, en Estocolmo. Kovalevskaya fue no solo la primera doctora en matemáticas y la primera en ser profesora en una universidad, sino, además, la primera en ser parte del comité editorial de una revista matemática. Fue quizá la primera mujer que, pese a todo, trabajó en cierto pie de igualdad con sus colegas hombres, aunque le hiciera falta acumular muchos más méritos que a la mayoría de sus compañeros para alcanzar ese supuesto privilegio. Su muerte a los cuarenta y un años, plena de vida y capacidad intelectual, fue llorada en toda Europa por aquellos que fueron sus amigos, desde Weierstrass y Poincaré hasta Darwin, Ibsen o Dostoyevski.

No fue una luz tan intensa como la de Kovalevskaya, pero antes de Emmy Noether otra gran mujer obtuvo el doctorado en matemáticas de la mano de Klein en Göttingen. Fue Grace Chisholm Young, que estudió en el Girton College de Cambridge, como la famosa Charlotte Scott, y que, pese a los avances previos y a su agudeza incontestable, no pudo hacer el doctorado en su universidad. Así que Klein, el de la mano abierta, convencido del sinsentido de dejar al talento fuera, tenga el sexo que tenga, le ofreció Göttingen. Fue la primera mujer que lo consiguió de la forma habitual, doce años antes que Emmy Noether. Grace Chisholm tuvo, como sigue ocurriendo con tantas mujeres científicas, dos vidas simultáneas: la de científica y la de madre y esposa. La una a expensas de la otra. Crio y educó a seis hijos que llegaron a ser científicos de prestigio: dos mujeres matemáticas y una física. Dos de los varones fueron uno matemático y otro químico. Al otro se lo llevó la Primera Guerra Mundial. Escribió más de doscientos artículos científicos y varios libros junto a su marido, también matemático, aunque el nombre de Grace solo figura en unos pocos. En una carta, él, William, le decía: «Ambos deberíamos firmar nuestros artículos, pero, si así fuera, ninguno de los dos se vería beneficiado. No. Para mí los laureles ahora, y el conocimiento. Para ti solo el conocimiento. […] En la actualidad no puedes desarrollar una carrera pública. Tú tienes a tus hijos. Yo puedo, y lo hago».

5.

Núcleo

Las masas de los acontecimientos, las grandes, las pequeñas y las minúsculas, transforman el continuo de espacio y tiempo de la historia y dibujan nuestros caminos de manera casi siempre irreversible. Quien sabe leer esas extrañas órbitas cambiantes puede transitarlas con voluntad propia, mientras que el resto son arrastrados como rocas ciegas en ciclos condenados a repetirse. Las masas de cuatro acontecimientos conformaron la improbable órbita que hizo a Emmy Noether entrar en el lugar que le esperaba en la historia. La insignificante pero cercana masa de la jubilación de Paul Gordan, la masa oscura, enorme y terrible de la Gran Guerra, la creciente masa de las nuevas matemáticas, esa nueva geometría que viene surgiendo en Göttingen desde el viejo Gauss dirigida por Riemann y Klein, y también la súbita y explosiva masa de la teoría de la relatividad de Albert Einstein.

Esta trayectoria comienza con Emmy Noether recién doctorada. Sustituye a su padre Max cada vez más frecuentemente en sus clases y la Universität hace la vista gorda ante ese desacato. Ayuda en casa, cuida de la madre y poco a poco se apaga para el mundo de las matemáticas, cuyas estrellas están naciendo en otras galaxias no tan lejanas, pero inalcanzables. Pero entonces, ¡atención!, un leve acontecimiento perturba la continuidad de la historia, una insignificancia imperceptible más allá de la apartada Erlangen. El maestro Paul Gordan se jubila en 1910 a los setenta y tres años de edad y desde Göttingen llega un dinámico joven a sustituirlo. Se llama Ernst Fischer y se convertirá en el desencadenante del punto de no retorno de esta historia. Fischer ha estudiado con Minkowski, que anda implicado hasta el cuello en esa revolución de la geometría que están llevando a cabo Klein y los otros. La conexión con Emmy es inmediata: ella pregunta, él no para de contarle, de explicarle lo que está ocurriendo allá, allá donde ella debería estar. Emmy bebe cada palabra que Ernst pronuncia sobre las ideas de Hilbert, su trabajo con el físico Schwarzschild, los asuntos en los que anda metida la nueva guardia de Göttingen. Se ven todos los días, pero eso no basta, también se escriben todos los días. Postales. De Erlangen a Erlangen. Entre dos personas que comparten universidad y paseos. Postales. Postales apretadas de razonamientos y cálculos.

Despacio, Emmy alza su figura científica. Empieza a formar parte de la sociedad matemática, es incorporada al famoso Circolo Matematico di Palermo, es miembro de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, la sociedad matemática alemana, se la requiere en Viena, da conferencias… Es admitida, convocada y acude a esos foros de discusión en los que la matemática se materializa. Mira atrás para despedirse de los invariantes, de Gordan, y vuelve enseguida la mirada hacia delante. Esas conversaciones febriles, esas postales y las largas sesiones de estudio y trabajo dan como fruto un artículo de Emmy en Mathematische Annalen que lleva por título «Körper und Systeme rationaler Funktionen». Este ya no es un artículo de la matemática que se extingue, es la entrada de una nueva danzante en esa matemática que baila al compás de lo que sucede en Göttingen. Inspirada por sus conversaciones con Fischer, Emmy Noether pone su primer paso firme en la órbita de la historia. Y entonces estalla la Gran Guerra.

Fischer se va al frente. Volverá. Schwarzschild se va al frente. Morirá. Cada día el azar lanza una moneda que decide el destino de miles. El continuo del espacio y el tiempo de la historia se deforma por completo. Los hombres se van a la guerra, veinte millones morirán en el conflicto más sangriento que ha visto la humanidad. Prusia se despedaza y la vida cotidiana se suspende en ese estado incierto en que lo habitual no sabe distinguir qué es lujo y qué es necesidad. Todo adquiere un carácter de superfluo que tiñe de culpabilidad cualquier intento por mantener las actividades que no están relacionadas directamente con la guerra. Por ejemplo, las de una matemática en Erlangen. Podemos imaginarla yendo cada día de casa a la Universität y de vuelta a casa. Los pasillos y las aulas despoblados, las calles con un silencio diferente al habitual. Cada ausencia es una angustia. La actividad mental es un refugio, las matemáticas, una trinchera de aislamiento que absorbe el pensamiento y le permite soportar el oleaje producido por las ondas expansivas de esta explosión en la historia. En abril de 1915, apenas diez meses después del disparo fatídico que inició la guerra, Emmy recibe una invitación de Göttingen. Los dos titanes de la nueva matemática, Hilbert y Klein, escriben una invitación conjunta a esta mujer que vive semienterrada en Erlangen. La motivación es doble: por un lado, es preciso cubrir las bajas que la guerra –a la que se van sumando más y más países– está dejando entre el alumnado y el profesorado. Por otro, ha surgido un asunto increíblemente atractivo: hay algo que no termina de cerrarse en la teoría de la relatividad de Einstein y hace falta inventar una nueva matemática. Hilbert está dedicando a ello lo mejor de su capacidad y es preciso sumar las mejores mentes al esfuerzo.

Emmy mira a casa. Los padres son mayores, los hermanos están enfermos o en el frente. Y, sin embargo, todos le dicen que acuda a la llamada, que no dude, que esta sí que es su trayectoria, que habite su puesto en la historia, que vaya. Y ella va.

Emmy Noether comienza a trabajar con Klein y Hilbert, sobre todo con Hilbert, cuyos resultados ya conoce y sobre los que ella misma ha construido algunos nuevos. Acaba de desplegar sus poderes en la escena, ahora sí, junto a quien va a poder desarrollarlos. Y entonces, de nuevo, el vuelo interrumpido, apenas dos meses después de que Emmy comenzara su nueva vida, Ida Amalia Kaufmann, su madre, muere en Erlangen. Un acontecimiento final cuya masa debe atraer de forma definitiva a la hija a casa. Una vez más, un punto terminal se interpone entre Emmy y la trayectoria que estaba trazándose para ella con tanto cuidado. Lo dijimos antes y es bueno repetirlo ahora: quien sabe leer las extrañas órbitas cambiantes de la vida puede transitarlas con voluntad propia. Max Noether no permite el desastre y envía a su hija de regreso a Göttingen. Es precisamente el anciano padre quien mejor sabe que esa mujer no puede quedarse a cuidar del anciano padre, tareas mayores la requieren. Si alguien conoce a Emmy Noether es Max Noether. Él sonreía cuando todos decían «no se puede» y de nuevo sonríe ahora al dejarla marchar. Claro que se puede, ya puede. La vida duplicada a la que parece abocada por mujer y por matemática se despeja en una dirección. Irá y volverá muchas veces entre Göttingen y Erlangen, por supuesto. Pero, ahora sí, Emmy va a acometer su tarea.

Hace ya unos años que los físicos y los matemáticos andan buscando una formulación adecuada para las ideas de Einstein. En 1905, mientras Emmy andaba enredada en los invariantes de las formas bicuadráticas ternarias, Einstein publica cuatro trabajos en lo que se conoce como annus mirabilis . En dos de estos trabajos tiene su origen la teoría de la relatividad. Einstein ha cambiado el modo de hacer física y ha cambiado la comprensión del universo. Pero esta nueva comprensión necesitaba una compleja formulación matemática que al principio el propio Einstein se resistía a admitir. El primero que se dio cuenta de que la teoría de la relatividad necesitaba encajar el espacio y el tiempo en una extraña geometría de cuatro dimensiones fue Hermann Minkowski, profesor de Einstein y de Fischer, el compañero de Emmy. Y esa extraña geometría no era otra que la que había iniciado Gauss, desarrollado Riemann y comprendido Klein. Minkowski, Hilbert y Klein daban largos paseos por los alrededores de Göttingen hablando de ciencia y de vida, de guerra lo menos posible y de geometría, por supuesto. La cosa estaba clara: esta nueva física necesitaba una nueva matemática, y esta era muy complicada. Fue una época de recelos y disputas: los matemáticos y los físicos a ambos lados de una frontera invisible de reproches e incomprensiones, por más que ambos colectivos se supieran condenados a entenderse. Hasta que finalmente se entendieron.

Mientras Emmy estaba en Erlangen por la muerte de su madre, Albert Einstein visitó Göttingen en el verano de 1915 para dar una serie de charlas sobre la relatividad. Hilbert entendió perfectamente el problema matemático que se abría ante sus ojos y habló con Einstein. Desde ese verano, ambos gigantes, por separado y en paralelo, empeñaron sus esfuerzos en desentrañar la matemática del universo. Trataban de dar una forma matemática correcta y desarrollada a las geniales intuiciones de aquel físico insólito. En otoño Einstein reconoce que la teoría de la relatividad general presentada en verano en Göttingen adolece de deficiencias de las que no sabe dar cuenta. Hilbert se ha dado cuenta por su parte y ha decidido lanzar un ataque definitivo para resolver la cuestión. Noether trabaja en el equipo de Hilbert. Casualmente, la teoría de invariantes desempeña un papel clave en el acercamiento de Hilbert. ¡Ese fue el tema de su tesis cuando, para sorpresa de todos, Emmy regresó a Erlangen con Gordan! ¡Por eso Hilbert y Klein la habían llamado a Göttingen! Emmy Noether es la última heredera del rey Gordan y la primera que supo interpretar la vieja teoría en el nuevo marco que Hilbert ha desarrollado y que Fischer tan meticulosamente le explicó en sus paseos y sus postales. No hay presente que no nazca del pasado. Einstein, por su parte, trata de encontrar la solución por otros medios dentro de la física. Resulta que puede explicar las anomalías en la órbita de Mercurio que no se someten a la física de Newton. El mes definitivo es noviembre de 1915. Día 22, ¡Hilbert lo ha logrado! Ante la Academia de Ciencias de Göttingen expone en una conferencia la relación entre la geometría y la física, argumentos elegantes, poderosos, las matemáticas son correctas y, por tanto, la física es correcta. Día 25, ¡Einstein lo ha logrado! De una forma completamente distinta, con argumentos físicos y matemáticos, tras el éxito con las observaciones astronómicas y experimentos, el artífice de la teoría ha logrado dotarla de la solidez necesaria. Prácticamente al unísono, las voces de los dos héroes cantan victoria. Einstein hace aún más grande su irrupción en la historia de la física, que ya nunca será la misma. Para él el merecido mérito.

Klein, ya un anciano, disfruta de la situación en Göttingen, que ha pasado a ser el centro mundial no solo de las matemáticas, sino de la física. Emmy está plenamente instalada, está escalando cimas científicas a las que nadie se había acercado antes. Pero no todo es euforia. Emmy no tiene siquiera un trabajo real en Göttingen. La autoridad académica no permite que ninguna mujer dé clase en las universidades alemanas. Emmy, como siempre, sonríe. Ella sabe que acabará haciéndolo. Desde Erlangen, el viejo Max, que se está apagando, sonríe también.

La era de las pioneras acabó prácticamente con Emmy Noether y sus contemporáneas. Ya en el primer tercio del siglo XX todos los aspectos que conforman la vida de los matemáticos se fueron poblando de mujeres, quizá algo más rápidamente que otros ámbitos de la vida científica y académica. Las matemáticas fueron apareciendo cada vez más en las aulas, como alumnas y como maestras, y muy poco a poco, demasiado lentamente, fueron apareciendo en las sociedades matemáticas, en los congresos en los que se producen los principales intercambios de ideas, en los comités editoriales de las revistas matemáticas, en fin, en la vida cotidiana de esta especie de sociedad secreta universal. Hubo, entre otras, dos figuras que atravesaron el siglo, pudieron sortear la guerra y las enfermedades y tuvieron presencia en prácticamente todos los ámbitos de las matemáticas.

Una de ellas fue Olga Taussky-Todd. Contemporánea de Emmy Noether aunque más joven, llegó a ser alumna suya en Göttingen y estuvo muy influenciada por Emmy, que, cuando la conoció, estaba en la plenitud de su prestigio. La historia de Olga Taussky-Todd es la de una carrera exitosa en matemáticas. Recorrió el siglo XX de un extremo a otro y fue testigo de la naturalización de la presencia de las mujeres en todos los foros matemáticos. O casi. Leamos sin artículos determinados ni pronombres esta seca enumeración de algunos hitos de su vida: nace en 1906 y en 1924 se doctora bajo la dirección de Philipp Furtwängler en Viena (su tesis está dedicada a la teoría de números), su trabajo se ve influenciado por el de Hahn y Noether y se erige como figura prominente del álgebra lineal y sus aplicaciones (si uno quiere términos técnicos: teoría real y compleja de matrices). Pasa por Göttingen, donde se le encarga hacer una revisión de los trabajos de Hilbert. En 1934 la situación política fuerza su emigración a los Estados Unidos y de ahí a Inglaterra, donde se casa con J. Todd, con quien escribe varios artículos matemáticos de forma conjunta, pese a provenir de ramas matemáticas dispares. Trabaja durante la Segunda Guerra Mundial en el Ministerio de Producción Aeronáutica en Inglaterra y, tras la guerra, en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas y en la Oficina de los Estándares de los Estados Unidos. Durante esos años, contribuye al renacimiento, junto a un grupo sobresaliente de matemáticos, de la teoría de matrices, que se asocia de modo íntimo con el nacimiento de la era de los computadores. Se le contrata en el Instituto de Tecnología de California, Caltech, una de las instituciones más prestigiosas del mundo. Allí imparte clases y dirige tesis, y se retira en 1977, aunque mantiene de todas formas una actividad matemática incesante. A lo largo de su carrera escribe más de trescientos artículos sobre teoría de matrices y teoría de números. Recibe en 1971 el premio Ford de la Sociedad Estadounidense de Matemática y se le elige para la Academia Austríaca de Ciencias (1975), para la Academia Bávara de Ciencias (1985) y para la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia (1991). Su país le honra con la Cruz de Honor en 1978. Recibe doctorados honoris causa por la Universidad de Viena y la de California del Sur. Pertenece a los consejos de la Sociedad Matemática de Londres y la Sociedad Estadounidense de Matemática.

Esta es la historia de una persona dedicada a las matemáticas con un desempeño sobresaliente, que ha alcanzado prácticamente todas las cotas del éxito en su disciplina ya sin las terribles trabas de una Kovalevskaya o una Noether, ni que decir de la ocultación de la identidad de Sophie Germain. De todas formas, el peso de esa historia que, con su inercia, se resiste a los cambios también la afectó; ni siquiera se libró de él cuando fue profesora en Girton, el college femenino de Cambridge: las directoras académicas recomendaban a las estudiantes elegir a profesores varones para sus tesis en lugar de a la brillante Taussky, no fuera a ser que tener a una mujer como tutora fuera a dañar su currículum. Cuando, junto a su marido, llegó a Caltech, él tuvo inmediatamente un contrato como professor y ella en la categoría inferior, research associate . Piedras que todavía dificultan el camino. Pero el camino existe, y Olga Taussky lo recorrió como pocas otras personas. Y en ese camino se empeñó siempre en ayudar a otras mujeres y en tratar de facilitar el trayecto a las más jóvenes. Marjorie Senechal, una matemática estadounidense que acudía por primera vez a un encuentro de la Sociedad Estadounidense de Matemática, se sentía sola y lejos de casa en un mundo de hombres. Olga Taussky estaba allí, en plena madurez de su carrera y tras acercarse a ella, le dijo sonriendo: «¡Qué bueno tener a otra mujer aquí! ¡Bienvenida al mundo de las matemáticas!». Ese encuentro marcó la carrera de Senechal.

En nuestros días hay prestigiosos ciclos de conferencias, o lectures , que llevan los nombres de los matemáticos más grandes de la historia. En 1981, Olga Taussky-Todd impartió la segunda edición de la Conferencia Noether de la Sociedad Estadounidense de Matemática. En 2007, el Consejo Internacional para las Matemáticas Industriales y Aplicadas instauró una serie de conferencias con el nombre de Olga Taussky-Todd.

Mary Cartwright, por su parte, nació con el cambio de siglo y vivió casi hasta el fin del siguiente. Se graduó en Oxford y se doctoró con uno de los príncipes de la disciplina, el gran Hardy, quien la puso en contacto con Littlewood, su compañero inseparable. En aquella época se decía que los mejores matemáticos de Inglaterra eran tres: Hardy, Littlewood y Hardy-Littlewood, como firmaban sus artículos, escritos a cuatro manos. Con ellos trabajó apenas unos años después de que Hardy y Littlewood tuvieran la experiencia de descubrir, admirar y colaborar con uno de los más puros genios de la historia de la matemática: Srinivasa Ramanujan. Mary Cartwright fue profesora en Cambridge, junto a Littlewood. La misma Cambridge que cincuenta años antes ni siquiera incluía a las mujeres en la lista de triunfadores en sus exámenes de matemáticas. La historia se mueve y los efectos de esos movimientos, sean repentinos o progresivos, tardan en llegar y hay que empujarlos, pero llegan. Mary Cartwright, al igual que Olga Taussky-Todd, intervino de forma protagonista en prácticamente todos los ámbitos de la vida matemática. Tuvo una vida investigadora fructífera y profunda, fue la primera mujer miembro de la Royal Society, presidenta de la Mathematical Association y finalmente la primera mujer en presidir la Sociedad Matemática de Londres en 1951, algo impensable apenas unos años antes. Obtuvo algunos de los más prestigiosos premios matemáticos (la medalla Sylvester y la medalla Morgan) y en 1969 la reina la convirtió en dame Mary Cartwright (equivalente femenino de sir ) y le concedió la máxima distinción británica al nombrarla comandante del Imperio británico.

Los matemáticos se reúnen en sociedades. Son grupos más o menos antiguos, más o menos amplios, que se encargan de velar por la comunidad matemática, organizan encuentros y publicaciones, dan amparo a actividades científicas, divulgativas, distribuyen noticias… Su labor es muy importante y usualmente son sociedades nacionales, aunque las hay supranacionales, como la Sociedad Matemática Europea. Emmy Noether fue miembro de varias de estas sociedades, y ya hemos visto que Mary Cartwright llegó a presidir la Sociedad Matemática de Londres. La incorporación progresiva de las mujeres a las sociedades matemáticas durante el siglo XX es parte de ese recorrido por una composición natural de la comunidad matemática. Hoy no se entienden las sociedades matemáticas sin las matemáticas. Algunas de ellas, como la Real Sociedad Matemática Española, tienen comisiones dedicadas a actividades específicas sobre mujeres y matemáticas. Quizá la sociedad matemática más influyente en nuestros días sea la Sociedad Estadounidense de Matemática (AMS, por sus siglas en inglés). A lo largo de su historia la han presidido tres mujeres, y todas en los últimos treinta años. La primera fue Julia Bowman Robinson, testigo y partícipe de los cambios del siglo XX , el del final de las pioneras. Julia Robinson tuvo una vida bastante complicada en lo personal por la muerte de sus padres y fue siempre una personalidad conciliadora, no solo en cuanto a las labores propias de la presidenta de la AMS, sino también en su forma de trabajar en matemáticas. Se dedicó con intensidad al décimo de los problemas que Hilbert expuso ante el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 y que marcaron tan intensamente la actividad matemática del siglo XX . El décimo problema de la lista, que tiene que ver con ecuaciones diofánticas, un tipo especial de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros, fue resuelto por el soviético Yuri Matiyasévich, con quien Julia Robinson colaboró de manera intensa en los años más duros de la Guerra Fría. Su contribución a la solución del décimo problema de Hilbert fue reconocida con la incorporación a la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos. También fue la primera mujer matemática en ser miembro de esta academia, con lo que acotó un poco más la lista de lugares donde hacen falta pioneras. Hoy en día, el nombre de Julia Robinson se asocia a una beca para estudiantes de matemáticas y, sobre todo, a un festival de matemáticas que se celebra en numerosos países: el Julia Robinson Math Festival, uno de los pocos eventos internacionales que fomenta la convivencia y la diversión a través de las matemáticas, en lugar de la competición en la resolución de problemas. Julia Robinson también fue designada para impartir una conferencia Noether, fue la tercera, en el año 1982, apenas tres años antes de morir de leucemia.

No son estas personas extraordinarias las que escriben la historia, sino que más bien son los trazos que las vidas de multitudes dejan escritos en el tiempo. Durante el siglo XX mujeres como Taussky, Cartwright, Noether y otras miles han formado parte de la sociedad matemática de un modo cada vez más intenso y más natural. Algunas de ellas destacan porque fueron personas extraordinarias y de sus logros se hace eco la memoria colectiva. Pero los mecanismos de la gran máquina no se mueven por la acción única de individualidades sobresalientes. Son, sobre todo, los pequeños giros de palancas escondidas, las constantes modificaciones de los diminutos engranajes y bielas en esa máquina ciega los que la hacen girar y avanzar en direcciones que la propia máquina no contiene. La historia de las mujeres en matemáticas, también y sobre todo, es la de muchas que abandonaron o no llegaron, la de muchas que renunciaron, que no destacaron, que escucharon «te lo dije», que dijeron «no se puede» y no pudieron. De ellas surgen los movimientos que dirigen el tiempo hacia lugares mejores.

6.

Simetría y conservación

Es el tiempo de la madurez. Emmy Noether adquiere la materialidad de los sabios y un modo distinto de presencia entre sus pares. Una forma diferente de estar, pero, sobre todo, una forma diferente de ser percibida. No se trata del hecho de que esté cambiando el modo en que es recibida como mujer en un mundo de hombres, no es eso. Hace tiempo que no se la ve como a una intrusa, ya pasaron los años de la sorpresa y los del recelo, ha dejado de ser un hecho curioso . No, no es eso, se debe más bien a la talla de su pensamiento, ya se empieza a ver su tamaño, comienzan a hacerse evidentes las dimensiones de esta mujer despreocupada y de sonrisa permanente. Einstein, el que todo lo ve antes, lo dice pronto: «Estoy impresionado de que alguien pueda comprender este asunto desde un punto de vista tan general. No le haría ningún daño a la vieja guardia de Göttingen aprender un par de cosas de la señorita Noether».

Cuando a finales de 1915 Hilbert y Einstein logran dar razón matemática de la teoría de la relatividad, Emmy estaba a punto de dar un paso adelante que sería definitivo para la formulación matemática de la física. Su juventud matemática había transcurrido, recordemos, entre los confortables invariantes de Gordan, aquellas cadenas interminables de fórmulas explícitas, talladas letra a letra, coeficiente a coeficiente, número a número, con precisión y paciencia de tejedor. Al mismo tiempo, Hilbert estaba desarrollando un instrumental matemático menos artesanal y de vuelos más altos, una visión más formal, más abstracta, sí, más intuitiva y más potente. Emmy se encontró por casualidad en medio de esos dos mundos. Mientras paseaba y se carteaba con Ernst Fischer conoció el trabajo de Hilbert, ella que conocía como nadie el trabajo de Gordan. Y quiso esa casualidad que resultara ser precisamente ella la que tenía agazapadas unas alas que le iban a permitir volar más alto que a cualquier otro. Emmy tiene un talento poco común, una nueva característica que ha pasado a formar parte de las generaciones posteriores. Las especies adquieren las capacidades de aquellos individuos que mejor se adaptan a las condiciones cambiantes del mundo en el que viven. Así surgen nuevas formas de vida y versiones evolucionadas de las especies que hasta el momento poblaban el ecosistema. Lo que era una singularidad de algunos individuos se convierte, generaciones después, en algo definitorio de su grupo, de su naturaleza. Las matemáticas del siglo XX están dando un vuelco. Hay una nueva forma de hacer, un nuevo ecosistema en el que la avanzadilla ya ha puesto los pies y que exigirá nuevas capacidades a esta especie matemática que ingresa a un nuevo mundo. Y Emmy tiene eso que hace falta. Todos lo tienen, es verdad, pero en ella es una hipertrofia, una mutación, un rasgo fenotípico que se revela ideal para la matemática moderna. La matemática es abstracta y general, en ello radica su belleza, su poder y su dificultad. Conforme uno se adentra en las matemáticas, encuentra que al principio todo son números, relaciones entre cantidades y medidas concretas, luego resulta que todo son letras, relaciones entre números, y más adelante descubre que todo son diagramas y flechas, relaciones entre conceptos, relaciones entre relaciones. Siempre ha sido así, pero no siempre lo ha sido de igual forma. Emmy, como casi nadie en su tiempo, es capaz de pensar en términos de conceptos y relaciones; ya se ha desasido de las fórmulas y de la generalización de las fórmulas. Hasta ahora estaba caminando, con notable éxito, por un mundo en el que no necesitaba sus alas. Bailaba mirando sus pies, contando los pasos, llevando el compás con la cabeza, pero ahora deja a la música ser dueña de su voluntad, se funde con ella, y el ritmo y la melodía son indistinguibles de su respiración. Al asomarse a ese encuentro de física y matemáticas que se dio en torno a la formulación de la teoría de la relatividad, se ha alzado como por instinto para encontrar su medio natural. Tiene la sensación de que ha llegado a un lugar en el que se la esperaba, a un hogar que la historia había preparado para ella. Y el resultado es un hito que marcará la historia de la ciencia. En 1918, Emmy Noether enuncia y demuestra lo que ya para siempre serán los Teoremas de Noether, la quintaesencia de lo que significa comprender la física con lenguaje matemático. Tomemos aliento, estamos contemplando la conquista de una cumbre insospechada. Cuando la comprensión científica del mundo logra dar una formulación matemática a un fenómeno universal, ya hablemos de la gravitación o del electromagnetismo, la humanidad siente afinarse su lente para la observación de la naturaleza y sus leyes. Esos son sin duda los grandes logros científicos. Cuando Einstein formuló y demostró su teoría de la relatividad, el paso fue de titán, de un tamaño apenas sin precedentes, quizá solo el de Newton, que lo inventó todo de la nada. Einstein fue capaz de predecir no solo lo que vamos a observar, sino cómo observarlo. No ya las leyes que rigen un fenómeno, sino leyes que rigen conjuntos de fenómenos que se coordinan entre sí para dar forma a la realidad que podemos observar e incluso a gran parte de la que no podemos aún observar. Emmy Noether fue capaz de desentrañar las leyes que rigen a las propias leyes. Y fue capaz dar a esa ley de leyes una formulación matemática precisa, rigurosa y sin ambigüedades. Nadie había sido capaz de ver las cosas desde esa altura. Parece imposible que alguien alcanzara ese punto de mira. Es un salto que esquiva los lentos ritmos de la evolución. Son los ojos de quien tiene una forma de mirar desconocida hasta el momento. Los Teoremas de Noether son la cumbre de la visión matemática de la física y fueron expuestos por Emmy en dos artículos de 1918, el año en que Alemania firma el armisticio de la Primera Guerra Mundial y se pone a los pies de sus vencedores. Entre el impresionante y detallado andamiaje matemático de estos teoremas podemos vislumbrar humildemente en qué consiste la ley de leyes de la física. Las palabras son simetría y conservación .

Recordemos que en sus inicios Emmy había trabajado en invariantes. La propia palabra es muy clara: aquello que no varía, que permanece inmune a los cambios. Es la esencia de la simetría. Para los matemáticos, la simetría es esa cualidad que tienen los objetos de mantener algunas de sus propiedades cuando se los somete a cambios. Véase un cuadrado: sus cuatro lados iguales dispuestos sobre un tablero o un papel. Si el espectador cierra los ojos y una mano hábil girara ese cuadrado exactamente noventa grados, nadie descubriría el cambio al volver a posar la mirada sobre el papel. El cuadrado es invariante ante ese giro de noventa grados, es parte de su simetría. Sin embargo, si la mano lo hubiera girado en un ángulo de sesenta o cuarenta y tres grados, cualquiera, al abrir de nuevo los ojos, vería que el cuadrado ha sufrido un movimiento. No es completamente simétrico, hay cambios que no soporta. Sustituyamos entonces el cuadrado por un círculo. Ahora no importa cuál sea el giro: noventa, sesenta, cuarenta y tres; si cerramos los ojos, al volver a abrirlos no notaremos nada, parecerá que nadie lo ha movido. El círculo soporta más giros que el cuadrado, más cambios. Es más simétrico. Y más aún una esfera, que podemos girar en cualquier dirección espacial. Emmy, que vive una época de cambios de los que ella misma es protagonista e incluso artífice inadvertida, está acostumbrada a descubrir invariantes. Donde hablábamos de cuadrados podemos hablar de ecuaciones y donde decíamos giros podemos pensar en extrañas operaciones con esas ecuaciones o con otros objetos matemáticos más complicados. La descripción matemática de la simetría es el sutil terreno en el que se mueve Emmy.

La física también tiene su propia idea de invariante. En todo fenómeno físico hay algo que se conserva, los cambios no lo son del todo. Una bola que parte del reposo desde una altura indicada con la letra h minúscula en el cuaderno de cualquier estudiante de física ve su energía potencial transformarse en cinética al ir adquiriendo velocidad mientras pierde altura. Para resolver el problema de su cuaderno, el estudiante deberá tener en cuenta que la cantidad total de energía se conserva en todo momento. Así podrá poner un signo igual en sus ecuaciones, hacer las cuentas con cuidado y tener la satisfacción de un pequeño triunfo escolar. Las leyes de conservación son los invariantes de la física, ese signo de igualdad, esa energía que se mantiene aunque se transforme.

El hecho de que haya una bola que cae desde una altura h en el cuaderno del estudiante de física no parece tener ninguna relación con la simetría, es raro preguntarse por las simetrías de un hecho como el de que algo esté cayendo. Conservación sí, eso lo admitimos, pero ¿simetría? Emmy lo tiene claro, es de una simplicidad revolucionaria: simetría y conservación son la misma cosa. Donde hay una simetría, hay una conservación. El encuentro entre ambas formas de invariancia se produce precisamente en las ecuaciones. Hace falta tener mucha familiaridad con ellas para entender algo así, pero estamos ante una mujer con una capacidad hiperdesarrollada, que nació y se hizo matemática, que piensa en términos abstractos con esa naturalidad que permite al esfuerzo alcanzar la recompensa a sus empeños.

En 1918 Emmy Noether expresó como nadie antes o después de ella la ley que cumplen todas las leyes de la física: consideremos un sistema físico y su comportamiento, tomemos su expresión matemática. Podemos describir las simetrías de esa expresión matemática, sus invariantes, y eso nos permite describir los invariantes del sistema físico, la conservación en ese sistema. Este viaje de ida y vuelta entre simetría y conservación sirve para una bola que cae desde una altura h y también para la teoría de la relatividad de Einstein. Esa es la grandeza de los Teoremas de Noether, esa es su afilada y simple visión de la globalidad. Einstein se asombra de que alguien pueda comprender el asunto desde un punto de vista tan general. Emmy ha traído una luz al lugar donde conviven la física y las matemáticas. Ha dejado al descubierto sus relaciones.

La mujer que ha descubierto y formulado lo que no cambia ha sido precisamente la protagonista del cambio. No hay simetría que la contenga. No hay conservación que pueda contener la fuerza de esta inteligencia ni la paciencia de su determinación. Emmy Noether enuncia y demuestra uno de los resultados más profundos de la historia de las matemáticas. La universidad, mientras tanto, no tiene un puesto de trabajo para ella, no la admite ni siquiera como profesora adjunta, no le otorga ni la más mínima de las responsabilidades docentes. El argumento es devastador: «No podemos permitir que nuestros soldados se vean, al volver del frente, a los pies de una mujer». No deben verse humillados estudiando bajo la tutela de una mujer, no importa que sea una de las personas más brillantes que ha pisado estos edificios, qué más da que Emmy Noether esté cambiando la forma de hacer matemáticas de un modo que ya nunca se abandonará. Mientras Alemania es humillada a los pies de Europa, las leyes de la física se rinden a los pies de esta alemana, pero la Universität no, la pesada maquinaria no se inclina ante la evidencia. Es injusto e irritante. Nadie la ve llorar, no se queja, si hay lágrimas, las deja salir solo en privado y las seca rápidamente. Es preciso volver al trabajo, la matemática no espera, la música no cesa y hay muchos pasos que dar aún en este baile del que se ha convertido en reina. No es la primera vez que se le ponen delante obstáculos insalvables que acaba salvando nadie sabe cómo.

Pero Hilbert no lo soporta, no consiente que se asesine a la razón en su presencia. Klein no lo soporta. Ambos estallan en las reuniones del claustro de la universidad. Ya se sabe que Hilbert siempre tuvo sus propias ideas sobre el orden establecido, sobre el propio país, sobre la guerra. La palabra traidor es quizá demasiado fuerte para decirse en público, pero en privado es lo que muchos piensan. No firmó la declaración con la que el mundo de la cultura y la ciencia se alineaba con la política alemana de la guerra. Fueron la de Einstein y la suya las ausencias más destacadas en aquella lista nefasta, y eso nunca se dejó pasar. Por otra parte, qué puede esperar el claustro de Felix Klein. Ha admitido al doctorado a varias rusas, norteamericanas e incluso a una inglesa. Desde varias direcciones estos dos hombres pretenden romper el orden establecido. No y no. El claustro de Göttingen no permitirá que una mujer imparta clases. Hilbert deja para la historia una frase que, aunque clara, resultó inútil: «No veo que el sexo de la candidata sea un argumento contra su admisión como profesora, después de todo, la universidad no es una casa de baños». A veces miramos nuestras decisiones pasadas con bochorno y una cierta perplejidad. El arrepentimiento es casi siempre inútil, pero resulta una especie de consuelo que nos dice que en algo somos ahora mejores o al menos diferentes. Es difícil no sentir ese bochorno ante esta decisión por la que una de las mentes matemáticas más geniales de la historia se ve obligada a permanecer en un rincón del aula. Se anuncian las clases del seminario de física matemática a cargo del profesor David Hilbert y en letra pequeña se advierte que será asistido por la doctora Emmy Noether. La realidad es que es ella quien da las clases. Sin permiso y sin sueldo. Y decenas de matemáticos de todo el mundo acuden a ponerse a sus pies.

7.

Abstracción

Pongamos música alegre. Alguna composición clásica basada en las melodías populares alemanas. Luce el sol, es primavera, el momento de cumplir las promesas. Imaginemos a Emmy Noether con su sonrisa expansiva, su cara grande, redonda y magnéticamente sonriente, su cuerpo ancho, su alma inmensa. Está sentada a la mesa del jardín, rodeada de profesores y estudiantes, y la vida ocurre en torno a ella: la conversación y la luz, la risa y el aire. Es una mujer plena que inunda de plenitud su espacio y su tiempo.

Por supuesto, la inercia del orden establecido no ha variado en su ceguera. Emmy da clases a escondidas, de forma no oficial, desde 1917. En 1919 por fin la Universidad de Göttingen admite, tras severas tramitaciones, examen de habilitación y consecución de todas las firmas y sellos pertinentes, que Emmy Noether sea admitida como Privatdozent : es la primera mujer habilitada para dar clases en la Georg-August Universität Göttingen. Pero no nos dejemos deslumbrar: se le permitía dar clases, es verdad, pero sin sueldo. A cambio, sus estudiantes tenían permitido pagarle una gratificación. A los treinta y siete años, la más brillante de las mujeres matemáticas puede recibir los aguinaldos de sus estudiantes. Es su primer puesto oficial. Para tener un sueldo habrá de esperar a los cuarenta y uno, cuando Courant, que en 1923 dirigía el Instituto de Matemáticas de Göttingen, consigue por fin que se le asigne una paga, la única que tendrá en su vida en Alemania. Un sueldo insuficiente, ridículo, que, aun así, habrá de renovar cada año. Y todo es exclusivamente por el hecho de ser mujer.

En una especie de movimiento antisimétrico la carrera matemática de Emmy Noether se eleva por encima de su tiempo y lo hace con un estilo propio. Como siempre, ella es suavemente diferente. Acostumbra a dar paseos con sus estudiantes, que llevan las camisas remangadas en una especie de reflejo del aspecto descuidado de su maestra. Llegan estudiantes de muchos países a quienes ella acoge, enseña y cuida, con lo que supera las distancias de lo que en la época se supone que ha de ser la relación entre profesor y estudiante. Emmy es distinta en todo, y uno se siente tentado de pensar que ella es mejor en todo. Está siempre dispuesta a las discusiones, acoge a estudiantes y profesores en casa o en la universidad, en las aulas o en el jardín. La suya es una generosidad que es reflejo de una bondad intrínseca, esencial, que la define. Sus clases son difíciles, no elige ese método expositivo que guía al estudiante desde los principios básicos y le va presentando la argumentación lógica que le permita asumir la materia con más facilidad. Emmy no digiere primero y muestra después. Sus desordenadas lecciones son un lío monumental, porque acompaña en el descubrimiento de la materia, de lo que se sabe y de lo que no se sabe aún. Es dura en la discusión, aunque alentadora del talento y, sobre todo, de la creatividad. Algunos abandonan, para ellos es insoportable y ella no espera a nadie. Quienes tienen la capacidad y el coraje de seguir sus clases ya nunca se separarán de ella. Y ella los cuidará más allá de lo exigible. Esta forma de ser y de trabajar reúne en torno a Emmy a un grupo compacto, los chicos de Emmy . Sin darse cuenta, están siendo testigos del paso por la historia de una luz que brilla pese a toda oscuridad, destinada a apagarse demasiado pronto, es verdad, pero que imprimirá para siempre un color distinto a las matemáticas. En broma la llaman madre y probablemente es una buena forma de expresar la forma de hacer y de ser de esta mujer extraordinaria.

Si Emmy es madre, lo es más como origen que como cuidadora. En estos años de trabajo precario y paseos, Emmy Noether, además de desvelar para siempre la naturaleza de las leyes de la física, está inventando la matemática que la sucederá. Ha vuelto su mirada abstracta al álgebra de la que nació y, al mirarla, la va a transformar. Si preguntamos a los algebristas contemporáneos, nos dirán que la palabra adecuada no es iluminar, sino alumbrar. Hacer nacer. Emmy Noether está inventando el álgebra moderna. Entre 1919 y 1920 esa niña que bailaba comienza a componer su propia música. Una música que se basa en las tradiciones anteriores, que reinterpreta y hace nuevas a partir de sus elementos esenciales. Apenas terminada la Primera Guerra Mundial, y con su mundo todavía humillado, vestido de muerte y decepción, una judía alemana está creando una matemática desconocida, está dando un impulso único a una disciplina milenaria. Claro que no está sola, por supuesto, ella sabe que no es la inventora de todo. Pero casi. Su mente abstracta, la que supo descubrir qué tenían en común todas las leyes de la física, ha vuelto su mirada hacia las bases de las matemáticas. Y está descubriendo qué significa de manera más profunda contar, qué significa dividir y multiplicar. Echemos un vistazo. Las operaciones básicas sobre los números enteros, digamos sumar y multiplicar, los dotan de una estructura gracias a la que podemos hacer averiguaciones globales, podemos enunciar propiedades y teoremas más allá del simple resultado de un cálculo. El más sobresaliente es seguramente el teorema fundamental de la aritmética: todo número entero se puede obtener de modo único como producto de números primos. Este tipo de propiedades son el campo de investigación de decenas de matemáticos. De ellas nace la importancia de los números primos, las sucesiones, las conjeturas. La belleza de los teoremas de Euclides, la riqueza del teorema de Fermat, las nuevas clases de números ideadas por Gauss, las teorías de Kummer, las obras de arte de Hardy, de Ramanujan…, todo un mundo nace de la estructura de los números enteros, un territorio que seguiremos explorando durante siglos y que ha dado algunos de los momentos más hermosos de la historia de las matemáticas. Emmy Noether entendió como nadie que ese mundo es solo uno de los muchos posibles. Fijó sus ojos en la estructura y la vio desnuda, sin los números, o, más bien, permitió que donde estaban los números cupieran conjuntos más generales, otras estructuras. Despojó al álgebra de la carne de los números y supo ver –y expresar con todo rigor– el alma que había debajo. Propuso un juego nuevo y nuevas formas de jugarlo.

En 1921 Emmy publica un artículo que cambiará el curso de las matemáticas. Lleva trabajando en eso acaso toda la vida. ¿Cuándo podemos decir que comienza el proceso de producción de nuestras obras? Es casi imposible desentrelazar el hilo de pensamientos e imágenes mentales, las causas y las referencias que nos han llevado a nuestras ideas originales. En toda composición de un músico laten las nanas que escuchó en la cuna. Cuando un matemático formula un teorema nuevo, sus ancestros pueden seguramente rastrearse hasta los principios más básicos, escuchar en el enunciado los ecos de la voz de Euclides, de Pitágoras o de Arquímedes, es como un juego de muñecas rusas que se abren hacia atrás en el tiempo para buscar sus indivisibles piezas lógicas. No hay disciplina más íntimamente abrazada a su historia que la matemática. Nada se pierde en ella, todo permanece. Por otra parte, es preciso señalar lo obvio: los teoremas son enunciados por personas, cada una de ellas con su propia historia de miedos y felicidades, cada una con su camino trazado de la mano de quienes las acompañaron durante años de vida o con quienes apenas cruzaron un momento casi imperceptible pero clave. Somos función de nuestra propia biografía, que a veces resulta en ideas propias, la encarnación de lo humano. ¿Es posible desmadejar esa red de circunstancias para identificar en ellas los átomos básicos de nuestro propio pensamiento, de nuestra identidad? Es la vida de Emmy la que se hace carne en sus teoremas. Y en 1921, a los treinta y nueve años de una edad en que se juzga que cualquier matemático es demasiado viejo para producir nada original, esta niña que lleva una vida bailando a contratiempo produce uno de los trabajos más influyentes de la historia. «Idealtheorie in Ringbereichen», publicado en Mathematische Annalen , tiene dentro el espíritu y el trabajo de Hilbert y de Dedekind, y a partir de ellos podríamos seguir el hilo hasta los antiguos. Pero en sus ideas nuevas late también la niña que quiso ser matemática en lugar de maestra de inglés y la muchacha que, sin perder la sonrisa, escudriñaba, sola entre tantos, las pizarras de los salones de la Friedrich-Alexander Universität Erlangen-Nürnberg. En los conceptos que se despliegan por vez primera en las cuarenta y dos páginas del artículo está también la mano tendida de Klein, las postales intercambiadas con Fischer, está la muerte de la madre, el hermano enfermo al que nunca deja de lado, está su otro hermano, Alfred, que también murió, hace apenas tres años, y aquel con el que iba a sus primeras clases en la universidad que no la quería. Si uno pudiera ver bien, vería entre las líneas de argumentaciones impecables las mañanas de dudas, las tardes de dudas, las noches de dudas, y la determinación de una familia que nunca tuvo dudas. Quizá es mejor que no podamos ver nunca esas cosas que no están escritas en cada trabajo. La coronación de Emmy Noether comienza en 1921. A mediados de diciembre muere en paz en su casa de Erlangen Max Noether, el mejor padre de la Tierra, el querido Väterchen , tras haber sido testigo de lo que siempre supo.

Son años de una productividad extraordinaria. Emmy produce sus mejores resultados, es prolífica y aguda, impensable para una matemática después de los cuarenta. Estos moldes tampoco son para ella. Sus estudiantes, sus chicos, la idolatran y, aunque uno pueda sentir que exageran, que es la adoración a la madre, los hechos hablan. En 1914 un joven matemático, Kurt Hentzelt, partió a la guerra y dejó sin terminar la publicación de los resultados de su tesis, que pretendía enviar a los Mathematische Annalen . Hentzelt muere en la guerra. Emmy recoge el trabajo inconcluso como si fuera el cuerpo del joven Kurt, lo limpia de barro, le recompone la forma, lo acicala y lo deja listo para la publicación en Annalen . Resultado: el trabajo del soldado caído se publica póstumamente bajo el título «Über eine Arbeit des im Kriege gefallegen K. Hentzelt zur Eliminationstheorie». La historia sigue: al trabajar en el cuidado de las ideas de Hentzelt, Emmy descubre una dirección nueva y la sigue, y encuentra nuevos resultados. Se afana en ellos y escribe un artículo propio. A la vez, y sin saberlo, su joven compañero, uno de sus chicos, Bartel van der Waerden, ha leído el artículo sobre la obra de Hentzelt y ha seguido, en paralelo y de forma independiente a la gran maestra, una línea de pensamiento similar que lo lleva a parecidas conclusiones. Emmy expone sus ideas en una clase, alguien se lo cuenta a Van der Waerden, por entonces un chiquillo de veintiún años. Emmy, la maestra, ya tiene su artículo casi listo para los Annalen , pero al saber que Van der Waerden tiene también el suyo escondido tras la decepción de no haber llegado primero, retira su artículo y deja que sea él quien lo publique. Ni duda ni gesticula, en lo que dura un parpadeo deja que su chico obtenga el mérito que merecen sus esfuerzos. Bartel todavía no había presentado su tesis doctoral.

Pongamos música alegre, sí, una música alemana, pongamos música alegre por última vez. Göttingen cumple todas sus promesas, da gusto pasear y el sol alumbra la camaradería de una generación irrepetible. Es un momento dulce para hacer matemáticas y, aunque el mundo, sin ser consciente de ello, está a punto de ver morir su inocencia, parece que disfruta de una tregua en la que los sabios pueden dedicarse a la construcción de mundos ideales. Estamos en 1932 y Emmy Noether acaba de llegar a Zúrich. Va a celebrarse el Congreso Internacional de Matemáticos. Cada cuatro años los matemáticos del mundo se reúnen, se saludan, verifican su mutua existencia. Se envidian y se admiran, e intercambian sus conocimientos con la franqueza de las verdades inmutables. Cada cuatro años se hace recuento de bajas y se exponen los progresos de esta disciplina que sigue siendo más una forma de vida que una ciencia. No puede faltar nadie, quien tiene algo que decir ha de hacerlo ahí. Emmy estuvo hace cuatro años en Bolonia junto a Hilbert, pues ya entonces era una matemática respetada y admirada por toda la comunidad. Mirar la lista de ponentes principales impresiona, cada sección del congreso tiene nombres que uno lee como la lista de los dioses griegos o la de los emperadores chinos, como si estuvieran escritos con una caligrafía perdurable: Banach, Borel, Élie Cartan, Hadamard, el mismo Hilbert, Sierpin´ski, Fubini, Weyl…, y entre ellos Emmy Noether. Pero este año es diferente. Emmy no acude a Zúrich como ponente en una de las sesiones. En 1932, por primera vez en la historia, una mujer pronuncia una de las conferencias plenarias en el Congreso Internacional de Matemáticos. Ha triunfado sobre la máquina y su inercia invencible. Sin altas voces ni manoteos violentos, con una firmeza y un talento que han rendido al tiempo y sus cegueras, Emmy ha alcanzado su lugar. La élite de las matemáticas, en su momento de plenitud, atiende y aplaude la conferencia de la fundadora de un nuevo modo de hacer: «Hyperkomplexe Systeme und ihre Beziehungen zur kommutativen Algebra und zur Zahlentheorie».

Quizá el momento en que más patente se hace la sociedad matemática es en el Congreso Internacional de Matemáticos. Se celebra cada cuatro años, desde 1936 se conceden en este congreso las medallas Fields (hasta cuatro por congreso), el más conocido de los premios matemáticos. El hecho de que Emmy Noether impartiera una conferencia plenaria en aquel congreso de Zúrich de 1932 es un hito en la historia. Harán falta casi sesenta años para que otra mujer sea conferenciante plenaria en el Congreso Internacional de Matemáticos. Karen Uhlenbeck, que lo ha logrado todo en el mundo de las matemáticas, fue, sorprendentemente, la segunda conferenciante plenaria en el congreso internacional. El avance de esa presencia femenina en la sociedad matemática durante el siglo XX no fue tan claro después de todo, lento, muy lento en algunas dimensiones. La charla de Karen Uhlenbeck en el congreso internacional de Tokio en 1990 se tituló «Aplicaciones del análisis no lineal en topología». Karen Uhlenbeck siempre fue consciente de que todo tendría que ganárselo un punto por encima de sus méritos. Y todo lo ganó. Es seguramente la matemática más importante de la segunda mitad del siglo XX y la primera parte del XXI . Es una de las fundadoras del análisis geométrico y ha hecho aportaciones decisivas en su área y en conexiones con otras. Ha sido profesora de pleno derecho en varias de las universidades más importantes de los Estados Unidos y es profesora invitada del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, al que Emmy Noether apenas tuvo acceso. Siempre ha sido consciente de su papel como modelo para aspirantes a investigadores en matemáticas, en particular mujeres, y ha hecho esfuerzos muy activos para la aceleración de la presencia de mujeres en todos los ámbitos de la vida matemática. Siempre ha luchado para que esa presencia no se limite a aquellas que son especialmente brillantes, o valientes, o luchadoras, o que son capaces de hacer las renuncias que sean necesarias para abrirse el hueco que les pertenece. Karen Uhlenbeck ha batallado siempre por una presencia global y natural, en todos los niveles, no solo de aquellas matemáticas que son excelentes. Aunque ella misma lo es: en 2019 recibió el premio más importante de las matemáticas, el Premio Abel, que es lo más parecido que tiene la comunidad matemática a un Premio Nobel. Uno de los pocos ámbitos matemáticos que aún no tenía presencia femenina. Uhlenbeck fue la primera mujer en recibir el Premio Abel desde que se instauró en 2003. Y ella, que ha recibido la Medalla Nacional de Ciencias de los Estados Unidos, que ha recibido doctorados honoris causa de Harvard, de Princeton, de Míchigan, etcétera, que ha sobresalido como casi ninguno de sus pares en las matemáticas del final del siglo XX , es plenamente consciente de la significación que el Premio Abel tiene como fin de una era.

Junto a Uhlenbeck brilla Ingrid Daubechies, que fue la primera presidenta de la Unión Matemática Internacional. Al igual que Uhlenbeck, ha hecho lo que pocos matemáticos antes que ella, y lo que ninguna matemática antes que ella, con lo que de nuevo muestra de esa aceleración que es el fruto de lo que consiguieron las pioneras del siglo XX . Ingrid Daubechies se ha dedicado siempre a la matemática aplicada y, cuatro años después de la conferencia plenaria de Karen Uhlenbeck, ella misma fue conferenciante plenaria en el siguiente Congreso Internacional de Matemáticos, en Zúrich. Ya no hizo falta esperar sesenta años. Daubechies, como Uhlenbeck, son dos representantes de la excelencia en la matemática moderna. Ella ha obtenido también los premios y honores que están reservados solo a los más sobresalientes.

Que dos mujeres excelentes lo hayan alcanzado todo no quiere decir que todo esté alcanzado, por supuesto. Ahora que no quedan por romper apenas ninguna de esas barreras simbólicas en el mundo de las matemáticas como son los premios, las responsabilidades, etcétera, podemos volver el foco donde siempre debió estar: a la presencia cotidiana de quienes hacen matemáticas sin la condición de genios o estrellas. Karen Uhlenbeck habla frecuentemente del éxito de las personas imperfectas; ella, que siempre tuvo que superar sus dificultades para trabajar con otra gente, sabe que es en el terreno de nuestras imperfecciones donde más fácilmente podemos encontrarnos con los otros.

8.

Sistema

Para muchos no es una mujer de trato fácil. Produce incomodidad, resulta afilada o torpe, descoordinada con respecto a las formas que muchos guardan, más por costumbre que por decisión, y que parecen inmutables. Que es una matemática extraordinaria está fuera de cuestión, y ese es el matiz que suaviza todo juicio sobre ella. Sus matemáticas son de un nivel sobresaliente, no se puede negar (algunos lo quisieran). Y eso produce el mismo fastidio que recibir en la mesa a un familiar rico al que no se soporta, de esos que se empeñan en darnos palmadas en la espalda con una camaradería que no existe y que marcan una cierta forma de superioridad. Emmy es una mujer enérgica, de voz acampanada y gestos amplios. Tiene una risa estentórea que aparece a veces de forma inesperada para subrayar frases que no tienen gracia, más por un acto reflejo que por la voluntad de reír. Es difícil de convencer, expresa sus ideas de forma vehemente, y deja poco resquicio a la contradicción. No nos dejemos engañar, no es una persona impositiva ni rígida, es su forma de expresarse la que la hace aparecer así ante quienes deciden quedarse en la superficie del trato. Casi todos, en realidad.

Su extraordinaria inteligencia hace que sienta que siempre tiene razón, pero a la vez está siempre dispuesta a ceder ante los buenos argumentos, si acaso alguien se siente con el valor o la paciencia de presentárselos. Aquella timidez y modestia de su adolescencia han dejado paso a una mujer que se afirma desde dentro. Ella ha soportado y superado todas las barreras sociales, científicas y académicas, y eso la hace olvidar a veces que los frenos existen, aunque sea en forma de convenciones sociales. Su descuido se interpreta como arrogancia, es a veces irritante, y este rasgo en ocasiones enmascara su profunda bondad. Se siente sin límites y parece una niña consentida. Es simpática y exagerada, sus maneras se corresponden con la fuerza creadora que tiene dentro y que ni ella misma sabe contener.

El final de la década de 1920 y el comienzo de la de 1930 son para Emmy Noether una época de plenitud científica. Hace contribuciones que fundan una forma de hacer matemáticas que ya nunca dejará de usarse. Sus ideas ponen los fundamentos del álgebra moderna y construye conceptos que serán cotidianos para los matemáticos de las décadas venideras. Mientras tanto su país está hundido, el pesimismo y la humillación sufridos tras la guerra se convierten en un resentimiento que acompaña cada día las comidas escasas y los insomnios frecuentes de millones de alemanes. Ese resentimiento se va armando, conversación a conversación, en un discurso de odio que toma forma material, una masa oscura que palpita cada vez más fuerte. Se comienza a cancelar la razón, la violencia se adueña del discurso y pronto pasará a la acción. En Göttingen, como en casi toda Alemania, la preocupación y la prudencia van construyendo algo que cada vez se parece más al miedo. Miedo a los vecinos y a los estudiantes, miedo a los compañeros y miedo a uno mismo. Emmy lo percibe, pero no le da importancia, quizá es una forma más de ese sentimiento que tiene de omnipotencia. La infantil insensatez de que la bondad puede con todo. Hay un cierto tipo de odio que solo puede comprenderse si de alguna forma se comparte su naturaleza. Ya sea para combatirlo o para adherirse a él, hace falta tener dentro un molde para su sombra. Emmy no entiende ese odio hijo de la resignación y nieto de la humillación que crece en Alemania. No lo entiende porque su naturaleza le es ajena. No lo ve, no siente su amenaza. Ocurre con tantos y tantos alemanes; este odio nuevo se muestra tan sinsentido que parece inocuo por sorprendente, por exagerado, por absurdo. A golpes ese odio obligará a posicionarse a todo el mundo muy pronto. Ahoga a su paso la capacidad de reacción, y de eso se vale en su expansión. Cuando uno quiere darse cuenta, pasa a formar parte de él y se convierte en su cómplice, su víctima o su brazo ejecutor. Pero es tan difícil distinguir, es tan tarde siempre para reaccionar… Un sentimiento de culpa sin identificar paraliza y ensombrece las calles de Göttingen. Los escasos gritos iluminan una sombra de silencio en la que la mayoría es sorda, un alud de ceniza ahoga las gargantas que luego llorarán por no haber negado antes. Emmy no es ajena al ambiente político, se alía con la socialdemocracia, vuelve los ojos hacia el comunismo que empieza a organizar a la querida Rusia, se asusta cuando comienza a medirse el porcentaje de sangre judía que se permite en la universidad. Escucha perpleja que un grupo de estudiantes ha pintado una horca en casa del profesor Landau.

La vida cotidiana sigue pese a todo. Paga el alquiler, compra el pan, se apresura bajo la lluvia o aminora el paso para disfrutar del sol, se detiene siempre a conversar. Recuerda a menudo a su padre y hay muchos días que parecen exactamente iguales al anterior. Felix Klein muere un martes por la tarde y Emmy siente en el estómago la ausencia de aquel que, desde antes de que ella naciera, ha influido tan definitivamente en su vida. Cada día acude a trabajar al Instituto de Matemáticas ahora que por fin es una realidad. El viejo proyecto de Klein ha podido ser llevado a cabo por su sucesor, Richard Courant. Göttingen sigue siendo el centro matemático del mundo, y Emmy es una de sus principales estrellas. Como si viviera en otro calendario y en otra geografía, en estos años Emmy toma posesión de la identidad que ha ido construyendo desde que era una niña que decidió estudiar matemáticas cuando no le estaba permitido. Emmy es matemática. En estos años de preparación de la gran oscuridad del mundo que ella habita, Emmy Noether está modificando la estructura de las matemáticas. Día a día, en sus cuadernos y pizarras, en el desorden de sus explicaciones y en las conversaciones con sus estudiantes sobre un álgebra que, a golpe de tiza, pluma y palabra, se va a convertir en pieza central de las matemáticas de los siglos por venir. Hace unos pocos años dibujó con precisión la línea que une la física y la matemática. Ahora está inventando formas que antes solo se intuían, crea líneas nuevas de formas insospechadas.

Viaja mucho, y al principio es ella la primera sorprendida, parece que no basta con acudir a escucharla a Göttingen, la reclaman en muchos lugares, imparte cursos en Frankfurt y en Moscú, invitada por Alexandrov. En su casa pasa horas, habla y ríe sentada en el sillón que él ha comprado para ella. Es feliz. Moscú la fascina, el orden y la sistematización comunista de la ciudad la impresionan. La llaman también desde Frankfurt, allá querrían que Emmy fuera profesora de su universidad, pero habrán de conformarse con un breve curso. Otros lugares se quedan con las ganas. Ella prefiere estar en Göttingen con sus estudiantes, sus chicos. Organiza encuentros en su casa, algo así como fiestas de matemáticos donde se habla de todo y en las que se mezclan estudiantes y catedráticos. Emmy reproduce el ambiente alegre de las conversaciones en torno a la mesa de su padre en Erlangen y lo llena de su poderosa personalidad. Somos porque otros fueron con nosotros. Hilbert se hace mayor, el que ha reinado sobre las matemáticas del principio de siglo se retira y deja su puesto a Weyl, que continúa empeñado en que la vergonzosa situación laboral de Emmy trate de acercarse a lo que su valía merece. Apenas logra mejoras que nos parecen indignas, la máquina de la tradición expone su ridículo a la mirada del futuro.

Mientras tanto, ella sigue inventando el mundo. Es preciso decirlo despacio. Emmy Noether modificó el mapa de las matemáticas al colocar en un lugar central el álgebra abstracta que ella estaba construyendo a partir de lo que unos pocos hicieron antes. Así como las culturas del mundo crean mitologías que encarnan sus miedos y sus logros en historias, los matemáticos concentran en narrativas diferentes los paisajes del pensamiento lógico. Las matemáticas son variadas, muy ricas, con áreas distantes que se ocupan de objetos diferentes; la geometría y el cálculo, la teoría de números, la lógica, la topología o la probabilidad se han desarrollado a lo largo de la historia según avanzábamos en la comprensión de este edificio enorme. Van cambiando los intereses, claro, y algunas ramas que quedaron relegadas adquieren de nuevo vigor por el impulso de algún problema relevante o de una figura destacada. Otras pasan a un papel discreto después de haber recibido la atención de todos. El tipo de geometría en que se ocuparon los griegos no era el que interesaba a los grandes franceses del siglo XIX ni era la geometría que construyeron Riemann y Hilbert. Hay veces también en que un gran teorema, un resultado importante, une a varias ramas. Estos son los favoritos de los matemáticos, cuando se dan cuenta de que hay conexiones inexploradas entre rincones aparentemente alejados entre sí. Y algunas veces acudimos al nacimiento de una de esas ramas, nunca desde cero, claro está, pero con la suficiente identidad para que distingamos una forma de hacer diferente, un área nueva. Emmy Noether alumbró el álgebra abstracta, que durante el siglo XX adquirió un papel central en las matemáticas de todo el mundo. Su compañero Emil Artin se dio cuenta de que hacía falta escribir esta nueva forma de hacer, sistematizarla. Organizar sus propias ideas y, sobre todo, las de Emmy, escribir algo así como un manual de álgebra moderna. Que este árbol nuevo tuviera ya un lugar donde asentar sus raíces y crecer. Emmy no lo va a escribir, está claro, así que Artin se pone a la tarea ayudado por uno de los chicos de Emmy, su favorito, Bartel van der Waerden. Ella está contenta: Bartel es sistemático y agudo, ha asimilado las enseñanzas de Artin y las suyas, sabe escribir y, sobre todo, es consciente de la importancia de lo que están haciendo. Aquella que fue una muchacha aislada que miraba las pizarras de la Universität se encuentra ahora en el centro del mundo de las matemáticas tras haber alcanzado lo que pocos en la historia. Y la comunidad se lo reconoce. Ha impartido su charla plenaria en el Congreso Internacional de Matemáticos. En ese mismo 1932 le comunican desde Leipzig que Artin y ella han sido galardonados con el Premio Ackermann-Teubner al desarrollo de las matemáticas. Se tumba en la cama y antes de dormir se permite disfrutar de su satisfacción. Emmy nunca ha escuchado las voces que decían: «No se puede», «Tú no lo tienes permitido», «Eso nunca se ha hecho así». Es sorda a cualquier discurso que pretenda limitarla.

Hitler sube entonces el volumen de su voz.

Las circunstancias en las que muchas mujeres se abren paso en sus carreras siguen siendo desfavorables en muchos lugares. Emmy Noether nunca tuvo un puesto académico o laboral acorde a su valía, y eso se debió exclusivamente al hecho de ser mujer. Nunca, ni en Erlangen ni en Göttingen ni en los Estados Unidos. El hecho de que algunas figuras sobresalientes por sus capacidades y su carácter, como Emmy Noether o Sofía Kovalevskaya evidencien esta injusticia es solamente la cara más llamativa de una realidad cotidiana demasiado común. A veces los avances se producen, es verdad, a partir de los casos extraordinarios, llamativos o inusuales, que son capaces de inspirar movimientos más profundos en los ámbitos en los que la mayoría de la gente nos movemos. Cuando la iraní Maryam Mirzakhani se convirtió en 2014 en la primera mujer en la historia en ganar la medalla Fields, se transformó en uno de esos iconos que producen acciones en muchos ámbitos. La medalla Fields es, junto al Premio Abel, el más importante de los galardones matemáticos. Es un premio con ciertas peculiaridades: se concede cada cuatro años, dentro de los congresos internacionales de matemáticos. Se concede a un máximo de cuatro personas que hayan hecho contribuciones destacadas a las matemáticas y se concede solamente a menores de cuarenta años. La primera vez que la medalla Fields se concedió fue en 1936, a Ahlfors y Douglas. Desde entonces, con algunos años de interrupción, más de cincuenta matemáticos han recibido este famoso premio. Algunos de los nombres más grandes de las matemáticas del siglo XX han sido precoces medallistas Fields: Jean-Pierre Serre, sir Michael Atiyah, Alexander Grothendieck o el niño prodigio Terry Tao forman parte de una lista en la que por el momento, solamente hay una mujer: Maryam Mirzakhani.

Los ganadores de las medallas Fields han de haber conseguido logros matemáticos importantes a una edad muy temprana, algo que parece ser propio de la actividad matemática. En todo caso, abundan entre estos medallistas jóvenes prodigios, y Maryam Mirzakhani era uno de ellos. Fue precoz en todo, destacó desde muy joven. Nacida en Irán, ganó la olimpiada matemática nacional y se presentó a la internacional para representar a su país. Obtuvo una puntuación casi perfecta (un 41 de 42 puntos posibles) y ganó una medalla de oro, lo que la convirtió en la primera iraní en lograrlo. Al año siguiente logró una puntuación perfecta y ganó dos medallas de oro. Estudió en Irán y emigró después a los Estados Unidos, e hizo su tesis doctoral en Harvard. En su carrera de matemática excelente se cruzaron la medalla Fields y el cáncer. Ambos antes de los cuarenta. Maryam se ha convertido en los últimos años en un icono de las mujeres en ciencia. Nadie busca nunca ser un icono de nada, y no son los iconos los que dan contenido a las causas, pero, en este mundo que anda ávido de genios y de personas excelentes a las que admirar, Mirzakhani lo tenía todo. Tuvo incluso la muerte esa prisa que tiene a veces por llevarse algunas luces intensas de modo que su brillo queda permanentemente encendido. Fue la última en llegar a ese grupo de matemáticas que fueron pioneras en el siglo XX y que poco a poco alcanzaron los reductos simbólicos de los premios, las conferencias plenarias, los papeles directivos en sociedades y agrupaciones. Todas ellas fueron mujeres y matemáticas excelentes, extraordinarias, y a quienes en la mayoría de los casos apenas les bastó su brillantez para alcanzar lo que se les debía. Han sido muchos los avances; los tiempos de las dificultades que Emmy Noether tuvo ya pasaron. Ella fue probablemente la mejor matemática que ha habido y, aunque recibió como tal todos los honores, nunca alcanzó a tener un puesto normal como profesora, un sitio adecuado en el que dar clase e investigar. El orden establecido cedió en algunas cosas, muy llamativas, es verdad, pero, en las que quizá son más importantes porque suponen cambios en la estructura de lo cotidiano, esa antigua inercia venció incluso a Emmy Noether. No debió nunca hacer falta ser excelente, brillante, luchadora… para ocupar un puesto en las aulas, como estudiante o docente. No es en los premios donde está el cambio necesario que acabará del todo con esta asimetría.

9.

Heimweh

Es 10 de mayo de 1933. Llueve torrencialmente en Erlangen, la Universität está vacía y solo esta lluvia ha impedido que Erlangen se sume a la jornada de quema de libros en las ciudades universitarias alemanas. Dos días más tarde, bajo un cielo en calma resignada, se alza en la Friedrich-Alexander Universität Erlangen una picota ante la que arden los libros de autores judíos, de autores marxistas, de autores pacifistas o de quienes no son agradables al régimen que desde enero comanda Hitler.

En Göttingen, el Instituto de Matemáticas, ese paraíso del pensamiento, ha perdido su muralla protectora. Emmy ha dejado de ser invisible. Es judía, es pacifista y no ha ocultado sus simpatías hacia los socialdemócratas y los marxistas. Y es mujer. Apenas dos semanas antes de la quema de libros, el 26 de abril de 1933, esa «judía con una filosofía de vida marxista» es suspendida de sus funciones. No es completamente consciente del peligro que corre. Siente que no tiene tanto que perder, ella no tiene una cátedra, su patrimonio es pequeño, no va a perder lo que nunca se le concedió. Todavía en ese momento mantiene la intención de hacerse a un lado y esperar, segura de que esa locura momentánea va a pasar. Pero su entorno se moviliza rápidamente para encontrar un puesto digno de ella en cualquier otro lugar del mundo. Jamás lo ha tenido en Alemania. Jamás lo tendrá fuera de Alemania tampoco. Se intenta en Moscú, Oxford la quiere, pero no termina de concretarse, parece que falta financiación. En los Estados Unidos no es fácil, están recibiendo muchas peticiones, hay restricciones. Princeton parece un destino probable, no tiene las cuotas de judíos que aún conservan las grandes universidades norteamericanas. Además, Einstein acaba de llegar allá tras pasar todo el año recorriendo Europa en busca de un lugar para él y tratando de que los Gobiernos de los diferentes países acojan a científicos judíos huidos o expulsados de Alemania.

En octubre, Emmy embarca hacia los Estados Unidos, pero con la mirada puesta aún en Alemania, adonde espera regresar pronto. Ha dejado los muebles en su casa en Göttingen, ni siquiera lo ha empaquetado todo: «No hace falta, enseguida las cosas volverán a ser como antes y estaré de regreso en Göttingen antes de darme cuenta». El viaje es más largo, pero esto es como esas estancias en Moscú o Frankfurt, una temporada fuera, nada más. No llega a Princeton pero está cerca. Bryn Mawr es un college para mujeres, la primera institución de enseñanza superior en ofrecer el doctorado a mujeres y que será en las décadas posteriores alma mater de muchas eminencias femeninas. Hasta aquí llega la mano de Felix Klein: la directora del Departamento de Matemáticas es Anna Wheeler, una de esas norteamericanas a las que Klein había abierto las puertas de Göttingen treinta años atrás. Mientras sus compañeros huidos recalan en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, en un ambiente investigador y científico del más alto nivel, Emmy es recibida por la señora Wheeler y su departamento: cuatro docentes y cinco estudiantes que ponen su mejor sonrisa para recibir a una eminencia alemana con la que apenas saben qué hacer. Allí no han oído hablar del álgebra abstracta. El silencio y las acogedoras sonrisas del pequeño equipo de Bryn Mawr tratan de disimular lo decepcionante del momento. ¿Ella habla inglés? ¿A qué está acostumbrada? ¿Se avendrá a dar clase en este centro? Emmy también sonríe y se deja llevar por los pasillos y los jardines de una universidad hermosa y muy cuidada. Imagina esos corredores poblados por las conversaciones de Weyl o Artin, de Courant y Van der Waerden, los encuentros con los físicos, un paseo con Hilbert o Landau…, pero no están, ninguno de ellos está.

Mientras Alemania se iba hundiendo en su propio diálogo con el miedo, Emmy ha vivido unos años de esplendor. En el oasis de Göttingen eran menos evidentes los signos de lo que estaba ocurriendo y, además, las matemáticas son tan absorbentes, tan importantes que una se olvida de todo, y parece que la realidad comparte de algún modo esa perfección en la que lo que tiene que ser es y lo que no, no, porque no tiene que ser. Las matemáticas tienen problemas muy difíciles, es verdad, pero poco a poco una los va desentrañando, comprendiendo su esencia más profunda, hasta que de algún modo se hace evidente y entonces todo tiene sentido. Donde parecía haber contradicción, no la hay, las oscuridades se vuelven argumentos, cada pieza ocupa de modo automático su lugar una vez que se ha aclarado la orografía de la lógica. ¿Por qué iba a ser distinto en Alemania? Las cosas son extremadamente difíciles ahora, es cierto. Parece que la sinrazón está venciendo y amenaza con quedarse. Pero todos sabemos que el pueblo alemán es racional y civilizado, que en el mundo moderno en el que vivimos esta exagerada versión del nacionalismo y la raza no tiene lugar ni sentido. Bryn Mawr es bonito, la gente es muy agradable y tratan a Emmy extraordinariamente bien. Incluso ha empezado a dar clase en Princeton, una vez por semana se desplaza al Instituto de Estudios Avanzados y respira de nuevo ese ambiente que sigue reservado a los hombres, pero al que ella pertenece, que la escucha, la comprende y la estimula. Empieza a encontrarse bien allí y no se anima a aceptar todavía una cátedra de álgebra en Moscú. Más tarde, más tarde quizá sí. Emmy alberga siempre el deseo de volver a Alemania, seguro que no es para tanto. Regresa en verano. Con la excusa de arreglar las cosas en la casa de Göttingen, de ver a Artin, de visitar a lo poco que queda de la familia… Lo que ella necesita de verdad es caminar esas calles en las que fue feliz hace apenas un par de años, escuchar de nuevo el eco de las conversaciones que quedaron alojadas en las paredes del Instituto de Matemáticas. La nostalgia exige presencia y visita. La palabra es heimweh , dolor del hogar. Emmy siempre ha mirado hacia delante sin miedo y con una especie de optimismo inconsciente que ha logrado siempre validar. Y, a la vez, ha construido en estos años un verdadero hogar en Göttingen. No está hecho de las piedras y las ventanas; como cualquier otro hogar, está fabricado de los momentos en que la palabra vida adquirió su verdadero significado. No añora un lugar, añora la vida. Los edificios y los nombres de las calles duelen solo porque evocan los paseos y, mientras pasea por el fantasma de Göttingen en 1934, Emmy Noether llora emocionada al revivir las pueriles anécdotas que aún recorren sus venas y que son activadas por el cartel azul de la Bunsenstrasse. No está acostumbrada a que la realidad le muestre su terquedad, pero debe admitirlo. Göttingen ya no existe. Klein ha muerto. Alemania ya no existe, 1932 ya no existe, Emmy Noether ya no existe. Es preciso comprender esta nueva forma de la realidad en la que el vacío no es esperanza, sino derrota. Hace falta cerrar la casa, despedir al hermano que, él sí, ha decidido marchar a Rusia. No hay ni siquiera unas ruinas que llorar. Las paredes y los nombres de las calles están allí, pero ya no significan nada porque no significan nadie.

Cuando contemplamos desde el futuro los últimos años o meses de la vida de alguien, lo hacemos con una especie de solemnidad por saber que son los últimos. Como si de alguna manera esa persona los hubiera debido vivir con un humor distinto al saber ella también que eran los últimos. Le exigimos que culmine su obra, que nos dé un resumen con el que interpretar y condensar su carácter, sus aportaciones, su persona incluso. Pero siempre es tarde para eso y, además, es una necedad. ¿Qué más nos da saber que Emmy regresó a Bryn Mawr, que a su regreso se encontró allí con Olga Taussky-Todd, que sintió la necesidad de comenzar de nuevo a luchar contra el orden establecido, su viejo enemigo? ¿Qué atractivo tiene preguntarnos si se sentía vencida o esperanzada? No nos sirve de nada el interés morboso por saber si su carácter había cambiado, si volvió de Alemania deprimida o valiente. Si se apreciaba en su sonrisa de siempre algún leve cambio que fuera signo de una derrota interior.

Apenas nos sirve un poquito inventar que, a los pocos días de volver de Alemania, esta mujer de la que ahora sabemos tantas cosas se sentó en un parque frente a un árbol a aprender a reaccionar a un diagnóstico. Es triste pero hermoso sentir que la acompañamos al levantarse sola y dirigirse a casa a preparar las cosas para la operación. No sabemos nada de ese momento, pero se nos permite imaginar que aquella que fue la más grande de las matemáticas no vivió su último día sabiendo que lo era.

Epílogo

Emmy Noether es una de las grandes mentes científicas de todos los tiempos, acaso la más brillante de las mujeres, aunque no se puedan establecer comparaciones ciertas entre diversas áreas o entre los logros de distintas épocas. Pese a todo, es básicamente desconocida por el gran público y acaso por la mayoría de los científicos y buena parte de los matemáticos. Quizá de haber existido un Premio Nobel de Matemáticas ella lo hubiera ganado en una o dos ocasiones al menos y ahora sería tan conocida como Marie Curie. Pero no es así. De todas formas, existen varias biografías de Emmy Noether con las que se pueden ampliar detalles e información sobre ella y su trabajo. Se la incluye, por supuesto, cuando se hacen recopilaciones de mujeres matemáticas o científicas y en los libros de historia de las matemáticas. Por si acaso alguien quiere continuar conociendo a esta mujer extraordinaria, los siguientes libros son un buen lugar donde comenzar:

David Blanco Laserna, Emmy Noether, matemática ideal , Tres Cantos: Nivola, 2005. Se trata de una biografía completa y bien documentada. Bien escrita y con muchas referencias históricas y culturales.

Edith Padrón, Vida de Emmy Noether , Madrid: Eila, 2010.

Algunas recopilaciones:

José Ferreirós y Antonio Durán (eds.), Matemáticas y matemáticos , Sevilla: Universidad de Sevilla, 2003.

Amelia Verdejo Rodríguez, Mujeres matemáticas: las grandes desconocidas , Vigo: Universidade de Vigo, 2017.

Marta Macho Stadler (coord.), Mujeres matemáticas, trece matemáticas, trece espejos , Boadilla del Monte: SM, 2018.

Joaquín Navarro, Mujeres matemáticas , Barcelona: RBA, 2019.

Para tener un conocimiento profundo del teorema de Noether, el siguiente libro es muy completo (aunque técnico):

Dwight E. Neuenschwander, Emmy Noether’s Wonderful Theorem , Baltimone: The John Hopkins University Press, 2011.