Guardiana abstracta que controla el avance de oscuridad.

Las matemáticas vigilan tu salud

Modelos sobre epidemias y vacunas

Clara Grima y Enrique F. Borja

Prólogo

Las matemáticas salvan vidas. Aunque puede que tú, querido lector, estés en desacuerdo con esta afirmación. Tal vez pienses que las matemáticas te arruinaron la vida durante la adolescencia. Pero la verdad es que las matemáticas te mantienen vivo a cada paso que das. Son las matemáticas las que permiten que los arquitectos puedan calcular la carga de los edificios y de este modo evitar que se derrumben. Cuando cruzas un paso de cebra, el semáforo está en verde el tiempo necesario para que puedas cruzar sin que te atropellen. Y, sobre todo, son las matemáticas las que hacen posible que un cajero automático te expenda dinero si te has quedado sin blanca y, tras haber ligado, necesitas comprar preservativos. Como te decía, querido lector, las matemáticas te salvan la vida a diario.

Así pues, cuando Clara y Enrique me pidieron que prologase este libro que tienes en tus manos, o bien que sujetas con una prótesis, en caso de no tener brazos —prótesis que han sido diseñadas y fabricadas gracias a las matemáticas—, sentí una inmensa alegría —las matemáticas me ayudaron a calcular que mi alegría era mayor que cuando me enteré de mi tercer embarazo pero menor que cuando me compré mi última videoconsola; o, como lo expresaríamos matemáticamente, «3.er embarazo < prólogo < videoconsola»—. Me dije que gracias a esa gran matemática que es Clara y a ese gran físico que es Enrique, ambos enormes divulgadores, por fin quedaría demostrado que las matemáticas salvan vidas, y que para lograr tal objetivo se desentrañaría cómo estas intervienen en el campo de la medicina. Eso sí, cuando digo «campo de la medicina», no me refiero a la gente que toma pastillas «cada dos por tres», ni tampoco me refiero a esos exfumadores que se aplican parches de nicotina diciendo que «a la tercera va la vencida», pero luego van a una boda, recaen y «se quedan más anchos que largos». Más bien me refiero a todo lo que la medicina ha logrado aplicando las matemáticas. En breve descubrirás la relación entre estas y la medicina en cuanto a prevención de epidemias y colchón de vacunación, así como el motivo por el que algunas personas, a pesar de las pruebas científicas, optan por prescindir de las vacunas.

Puede que te parezca un tema complicado, pues en efecto lo es, pero los autores lo han explicado de tal modo que podría entenderlo hasta un niño de primaria, e incluso alguien con predisposición a llevar una corona en su cabeza. Partiendo de la base, te mostrarán las matemáticas en toda su sencillez, desnudas, sin ornamentos. Te irán proponiendo ejercicios para que, si así lo deseas, juegues y experimentes con ellas. Y, cuando por fin hayas dominado el concepto, aumentarán paulatinamente la dificultad, envolviendo en capas esa desnudez de las matemáticas para que, en última instancia, puedas entender su complejidad final. Así que permíteme un consejo: este libro es para leerlo con cuaderno, lápiz, goma de borrar y mucha tranquilidad. Solo así podrás disfrutarlo como merece. Y te resultará divertido, créeme. No hay nada como la satisfacción personal de lograr entender algo que siempre se nos ha atragantado, ya sean las matemáticas, ya sea la relación con una suegra. Lo primero se consigue resolviendo ejercicios; y lo segundo, resolviendo divorcios. ¡Qué maravillosa ironía es el divorcio! Una división en la pareja que multiplica la alegría entre ambos. Las matemáticas salvan vidas de forma insospechada, como ves.

Aunque tal vez creas, querido lector, que exagero llevada por mi admiración profesional hacia Clara y Enrique. Por eso debo aclarar que mi amor a las matemáticas se remonta a mi infancia. Y gracias a esta lectura he comprendido que, cuando en aquella época vendía papeletas para el viaje de fin de curso, fue la teoría de grafos la que me permitió llegar a más gente, ya que a cada conocido le daba 10 papeletas para que se las vendiera a sus conocidos. De este modo, el viaje de estudios acabó saliéndome gratis, lo cual equivale a pagar cero euros… ¡Benditas matemáticas!

También las matemáticas me ayudaron en aquella excursión con los scouts, cuando saqué una barra de chocolate y todos empezaron a pedirme un trozo. Fue tan sencillo como contar cuántas personas había en el autobús —unas 70— y comprobar que la pastilla de chocolate tenía 12 partes divisibles. Tocábamos a 1 parte por cada 6 personas, más o menos. Gracias a las divisiones matemáticas, aprendí que nunca puedes sacar un dulce en público durante una excursión si no hay suficiente para compartir. Y que los niños de 9 años saben manejar una navaja si de ese modo pueden conseguir chocolate.

Incluso ahora, en mi etapa adulta, disfruto enseñando matemáticas a mis hijos pequeños y, sobre todo, a mi hijo adolescente. Practicar las matemáticas con él me ayuda a aliviar la tensión acumulada durante la semana. Como el otro día, sin ir más lejos, cuando me senté junto a su metro setenta y dos de altura a explicarle las ecuaciones de segundo grado. En un momento dado, harto y frustrado porque no lograba entender mis explicaciones, gritó que para qué narices quería él estudiar ecuaciones. Le di un pescozón. «¡¿Por qué me pegas?!», preguntó él. «Para despejarte la incógnita», respondí ya libre de tensiones.

Gracias a las matemáticas, sé que mis posibilidades de llegar a ser concejal tienden a cero tras este chiste, pero que las simpatías de más de un padre y más de un profesor crecen exponencialmente al imaginarse la escena. Porque, querido lector, las matemáticas también sirven para soñar lo imposible e imaginar lo inimaginable, como estar conectados a través de máquinas que procesan la información en micras de segundo. Y si no, que se lo digan a Ada Lovelace, matemática que vivió menos de 40 años pero que aun así tuvo tiempo, en la primera mitad del siglo XIX, de desarrollar el primer algoritmo cuya finalidad era ser procesado por una máquina. Es decir, que Lovelace fue la primera programadora de ordenadores de la historia. Y pese a su incalculable aportación como matemática, obsérvese su insuficiente popularidad, lo cual nos demuestra algo que todos sabemos: las mujeres siempre tardamos más en hacernos valer y nuestro trabajo suele estar menospreciado y pasar desapercibido. Pues bien, a ese mismo obstáculo se enfrentan las matemáticas, tan integradas en otros campos que parece que no existieran. En cualquier caso, querido lector, ahora vas a descubrir, gracias a Clara y Enrique, que no solo los médicos salvan vidas. A partir de ahora, recordarás con otros ojos a quien te impartía clases de Matemáticas en la escuela. Porque las matemáticas salvan vidas.

Introducción

El libro que tienes en tus manos trata de enfermedades, epidemias y vacunas, como habrás podido deducir del subtítulo. Pero su tema principal es la matemática. Sí, es un libro que tiene por objetivo principal descubrirte qué puede hacer la matemática para salvarnos la vida en lo que a epidemias se refiere.

Por si no te habías dado cuenta, te estamos escribiendo directamente a ti. Sabemos que esta forma de escribir es demasiado «personal», demasiado cercana. El caso es que a nosotros nos gusta escribir así, al contrario de lo que se opina generalmente en el mundo editorial, y por ello desde aquí queremos expresar nuestro más profundo agradecimiento a Laura Morrón, nuestra editora, y a Next Door, por la libertad que nos han dado. También queremos pedir perdón por el atrevimiento de tratarte con tamaña cercanía sin conocernos de nada. Al fin y al cabo, y siendo justos, nosotros estamos exponiendo nuestro conocimiento y nuestro desconocimiento ante un perfecto desconocido. Creemos que por esa parte estamos empatados.

Aquí no vas a encontrar descripciones de enfermedades, ni de síntomas, ni de tratamientos. Lo que está escondido en estas páginas es una breve, y esperamos que amena, introducción a la epidemiología matemática y otras cuestiones relacionadas. Nuestra meta al escribir este libro, así como esperamos la tuya al leerlo, es entender, divertirnos y aprender sobre modelos matemáticos que se aplican al control de la evolución de una enfermedad. Ni más ni menos.

No te preocupes, que nadie te va a examinar tras leer estas páginas. Además, todo lo que necesitas saber para llegar hasta el final está explicado en el libro. Siempre será de agradecer que ya hayas peleado con ecuaciones y demás, pero con que te asegures de leer con el cerebro puesto no debería haber problema alguno. También tienes la opción de acusar a los autores de completos ineptos en caso de que no te enteres de nada, y asunto zanjado.

El asunto que nos traemos entre manos se nos antoja espectacularmente hermoso. Cuando profundices en el libro, descubrirás cómo partiendo de unas ideas muy sencillas se pueden obtener conclusiones muy potentes relacionadas con el comportamiento de las enfermedades. Vas a degustar cómo se despliega todo el poder matemático para enfrentarse a problemas que distan mucho de ser los típicos en los que uno esperaría encontrar fórmulas y ecuaciones. Nos parece prodigioso que podamos hacerlo, y por eso queremos compartirlo contigo.

Hemos estado muy tentados de introducir capítulos sobre distintas enfermedades como la viruela, el sarampión o el ébola y comparar su evolución con lo que aprendemos de los modelos matemáticos. Pero finalmente hemos optado por no hacerlo. Las razones son simples: por un lado, la extensión del libro excedería lo deseable; por otro lado, aquí se van a introducir muchos conceptos e ideas que necesitarán de una breve pero intensa reflexión, con lo que agobiar a nuestros queridos lectores con comparativas entre modelos y realidad se nos antojaba un completo abuso de su tiempo. Tal vez en futuras ediciones retomemos la idea, pero no esta vez.

Como dijo un tal Hawking, cada ecuación o fórmula en un libro de ciencia dirigido al público general divide por dos el número de lectores. Aun así, en este libro hay muchas fórmulas, y están ahí porque nos gusta quedarnos con la mitad de lectores que quieren que les cuenten las cosas como son de verdad, más allá de unos cuantos ejemplos simpáticos, unas alambicadas analogías y varias anécdotas históricas. Aquí solo se habla de matemáticas.

Llegados a este punto, quizá te preguntes cómo consumir este libro. Lo ideal sería que te hicieras con lápiz y papel e intentaras, a las bravas, reproducir los pocos cálculos que hay. Estamos seguros de que se te dibujará una gran sonrisa de satisfacción cuando consigas hilvanar un modelo matemático a tu aire y sin más ayuda que la de este humilde libro.

Sí, sí, sabemos que te mueres de ganas por profundizar en eso de las matemáticas y las enfermedades. Así que no te haremos esperar más. En el libro encontrarás, nada más empezar, cuatro capítulos donde hablaremos de teoría de grafos, teoría de juegos, funciones y ecuaciones diferenciales —aunque no se diga—. Si con esa retahíla de nombres no te mueres de ganas de ir al primer capítulo no sabemos qué más te puede dar el empujón. El objetivo es llenar nuestras mochilas con los conocimientos mínimos necesarios para afrontar la tarea de modelar la evolución de enfermedades con hermosas matemáticas.

El quinto, el sexto y el séptimo capítulo son la esencia del libro. En ellos construiremos —sí, tú también— modelos matemáticos simples para describir cómo evoluciona una enfermedad, cuándo se producen epidemias y si matemáticamente hablando es tan bueno vacunarse como dicen. Empezaremos con modelos simples y luego los trasladaremos a poblaciones estructuradas en forma de grafos.

El octavo capítulo es una maravilla que, sin duda alguna, te sabrá a poco. En él te vas a enfrentar a unas cuantas verdades que probablemente ya has intuido alguna vez, pero que aquí verás bajo una perspectiva matemática. En concreto, nos centraremos en el movimiento antivacunas. Sin alarmismos ni sermones, con matemáticas y poco más.

No te entretenemos más, pues debes de tener ganas de empezar este viaje. Que disfrutes la lectura. Ah, y no olvides pasar por la bibliografía si quieres seguir informándote sobre estos temas.

Capítulo 1:

Mundos pequeños y amigos populares

Comenzamos nuestro recorrido por esas matemáticas que se encargan de velar por nuestra salud presentando a unos simpáticos objetos matemáticos de apariencia simple pero con una potencia fascinante en el modelado y resolución de problemas, en ocasiones, endiabladamente complicados: los grafos. La teoría de grafos nos brinda una forma de pensar de indudable valor a la hora de entender, por ejemplo, la estructura de las redes sociales en general. Las redes sociales virtuales —como Facebook o Twitter— son elementos omnipresentes en nuestra sociedad actual, pero en realidad una red social puede estar compuesta por las amistades en el patio de un colegio o cualquier conjunto de individuos que se relacionan, dos a dos, siguiendo una determinada norma.

Teoría de grafos: Un aperitivo

La teoría de grafos, en pocas palabras, se ocupa de representar gráfica y ordenadamente las relaciones, dos a dos, entre elementos —individuos— de un determinado conjunto —comunidad—. Formalmente, un grafo es una pareja de conjuntos: un primer conjunto a cuyos elementos llamamos vértices o nodos y un segundo conjunto cuyos elementos son parejas de vértices del primero, a las que llamamos aristas y que representan la existencia de algún tipo de relación entre ambos elementos.

Podemos visualizar un grafo mediante un conjunto de puntos, que representarían los vértices del grafo unidos entre sí por esa serie de líneas llamadas aristas, como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1. Grafo de cuatro vértices y cuatro aristas.

Imaginemos que tenemos cuatro individuos y que queremos ver las relaciones de amistad entre ellos. Los individuos son Ana, Berto, Clara y Daniel. Resulta que Ana es amiga de Berto y Clara. Berto también es amigo de Clara. Por último, Daniel y Clara también son amigos.

Para hacer la cosa más matemática y, por lo tanto, más clara, vamos a utilizar simplemente las iniciales de nuestros protagonistas en la construcción del grafo: Ana se representará por A, Berto por B, Clara por C y Daniel por D. Ahora podemos dar una tabla, como la que se muestra en la figura 1.2, para identificar quién es amigo de quién.

Figura 1.2. En esta tabla se muestran las relaciones de amistad entre nuestros cuatro protagonistas. En la diagonal hemos puesto cruces porque no consideramos que nadie sea amigo de sí mismo —no solemos leer a Paulo Coelho—. Esta tabla es una forma de ofrecer el grafo de relaciones entre los individuos de nuestra muestra.

Esta tabla condensa —de forma muy elegante, a nuestro parecer— la relación entre los elementos involucrados en la población que estamos estudiando y nos dice cuál es la relación que cada uno de ellos mantiene con todos los demás. Tal vez podamos expresar esto de una forma más matemática aún. Tan solo vamos a reemplazar los síes por 1 y los noes y cruces por 0, como hemos hecho en la figura 1.3.

Figura 1.3. Tabla matemática que nos da las relaciones entre los individuos que conforman la población de estudio.

¿Qué tiene que ver esta tabla con eso de los grafos? Bueno, la cosa no puede ser más sencilla. En esta tabla, que los expertos suelen llamar matriz de adyacencia, se establecen quiénes son los individuos de la muestra que estamos estudiando y cuáles son las relaciones entre ellos. Podemos disponer los individuos de nuestro estudio como puntos gordos o los vértices de un grafo, la elección es libre, da igual cómo se haga. Nosotros hemos elegido la disposición de la figura 1.4.

Figura 1.4. Disposición de los nodos del grafo que vamos a construir a partir de la gráfica.

En la figura 1.4 hemos dispuesto los nodos de un grafo. El siguiente paso es plasmar la relación «son amigos» entre los individuos de la comunidad que estamos estudiando. Es evidente que si A es amigo de B, entonces B es amigo de A. La amistad, la de verdad, es una relación mutua entre dos personas. Si en la tabla hay un 1 en la posición (A, B) entonces también debe de haber un 1 en la posición (B, A). Esa relación entre el elemento A y el elemento B se representa en el grafo mediante una arista, una línea, que une dichos nodos. Siguiendo esa regla, el grafo obtenido será el dado por la figura 1.5.

Figura 1.5. Una posible representación del grafo de la tabla.

La posición de los nodos carece de importancia en este contexto, pues lo único que importa aquí es la relación entre los mismos. Lo importante de un grafo no es su forma pictórica —entre otras cosas, porque hay infinidad de formas de representarlo—, sino lo que podríamos llamar su estructura de relaciones, porque es verdad que la información de un grafo está en su tabla de relaciones —o en su matriz de adyacencia, si queremos ser formales—.

Fijémonos en que en el ejemplo que hemos puesto el grafo inicial representado en la figura 1.1 tiene la misma estructura. Un hecho distintivo es que entre los elementos A-B-C aparece un triángulo. Da igual cómo lo representemos, ya que ese triángulo aparecerá independientemente del dibujo concreto que tracemos para el grafo. Ese triángulo es importante porque nos indica que hay una relación de amistad, dos a dos, entre A, B y C; y que cada uno de ellos es amigo de los otros dos. Llegados a este punto, trataremos de corregir un error muy extendido socialmente: en ocasiones, nos referimos a una relación como la mostrada en la figura 1.6 con el término triángulo amoroso y, evidentemente, es incorrecto.

Figura 1.6. Una representación de las relaciones en un mal llamado triángulo amoroso.

En este tipo de relaciones, las de la figura 1.6, en realidad estamos hablando de un grafo amoroso. En concreto, de un K1,2 amoroso, que es como se designa matemáticamente a este grafo. Y además, suena más moderno.

Pero sigamos. El tipo de grafo que estamos usando en los ejemplos iniciales se conoce como grafo no dirigido o, simplemente, grafo, ya que las aristas indican una relación mutua entre los nodos que unen. Esta relación mutua puede ser de amistad, de pertenencia a la misma clase del cole o de coincidencia en el año de nacimiento, por ejemplo. Puede servir cualquier variable que se nos ocurra, siempre que la relación sea mutua y simétrica. Un ejemplo de red social muy conocida con un grafo no dirigido es Facebook, donde se establecen relaciones de «amistad». Y evidentemente, la amistad es una relación simétrica, o al menos eso es lo que nos gusta creer.

A poco que recapacitemos, descubriremos que no todas las relaciones son mutuas ni simétricas. Por ejemplo, podríamos poner el siguiente caso abusando de la amabilidad de nuestros amigos Ana, Berto, Clara y Daniel. Lo que vamos a establecer ahora son las relaciones de admiración —profesional, deportiva o de otro tipo— entre ellos:

Ana admira a Berto y a Clara.

Berto admira a Clara y a Daniel.

Clara solo admira a Berto.

Daniel admira a todos sus compañeros.

Ahora la relación elegida para construir nuestro grafo es «admirar a». Esta relación no tiene por qué ser mutua y simétrica. ¿Te atreves a construir la tabla de relaciones o matriz de adyacencia en este caso? La solución está dada en la figura 1.7 que representa a Ana con la A, a Berto con la B, a Clara con la C y a Daniel con la D.

Figura 1.7. Esta es la tabla de la relación «admirar a» según las instrucciones dadas en el texto.

Como se observa en la figura 1.7, la estructura de la tabla no es simétrica, como ocurría en el caso anterior, porque la relación elegida tampoco lo es. Para representar gráficamente este tipo de situaciones, hemos de darles a las aristas un sentido, es decir, hemos de indicar de qué nodo sale y a qué nodo llega la arista para indicar el sentido de la relación establecida entre dichos nodos. Si hacemos eso, nuestro grafo quedaría tal y como se ve en la figura 1.8. Eso sí, debemos tener cuidado con el sentido de lectura de la tabla. El sentido natural es empezar por las filas e ir comprobando cada columna. Así, empezamos por la fila superior, la fila de Ana, la primera fila o fila A, y vamos viendo con qué elementos de las restantes columnas tiene la relación de admiración. El sentido de lectura en el caso anterior no era tan importante, gracias a la simetría de la relación con la que se conformaba el grafo, pero en este nuevo caso sí seremos cuidadosos con este detalle.

Figura 1.8. Grafo de las relaciones de admiración entre nuestros protagonistas.

No debería sorprender a nadie saber que a este tipo de grafos se les denomine grafos dirigidos. Los ejemplos populares que podemos ofrecer son Twitter e Instagram, ya que en ambas redes sociales tú puedes seguir a alguien que no tiene por qué seguirte a ti.

La definición de grafo y sus propiedades son fáciles de enunciar y de entender, lo que lo convierte en un bello campo de las matemáticas. Sin embargo, su potencia a la hora de resolver problemas es una de las maravillas conquistadas por la mente humana. Los grafos se emplean profusamente en sociología, en computación y en el estudio de redes sociales, mercados y empresas, entre muchos otros ámbitos. Desgraciadamente, aún no han logrado introducirse en los temarios de Matemáticas de colegios e institutos, lo cual sería altamente provechoso en pleno siglo XXI.

Un detalle de los grafos: La valencia de un nodo

La teoría de grafos es una monumental obra matemática que no podemos abarcar íntegramente en este libro. Su grado de formalidad y sus requerimientos técnicos pueden ser tan altos como queramos: en ella se necesitan elementos de la teoría de probabilidades, el álgebra, la combinatoria, las funciones generatrices y una larga lista de exquisiteces matemáticas. Dicho en otras palabras: pese a usar abundantes dibujitos, se trata de una matemática tan compleja como la que más. Tal vez te parezca que esta reivindicación nos ha salido de las entrañas y que posiblemente no venía a cuento, pero ahí queda.

Aunque no podemos ahondar en toda la teoría de grafos, sí que vamos a introducir un par de conceptos que nos serán de utilidad en la segunda parte de este libro. Nos referimos a la valencia —o grado— de un nodo y a la valencia media —o grado medio— de los nodos de un grafo. Para simplificar al máximo la discusión, ahora nos centraremos en grafos no dirigidos. En el siguiente capítulo nos encontraremos con algunas otras ideas fundamentales de la teoría de los grafos y las redes complejas.

Valencia de un nodo

La valencia de un nodo es simplemente el número de aristas que conectan con ese nodo. Más fácil, imposible.

Volvamos a nuestro ejemplo representado en la figura 1.5 y preguntémonos por la valencia del nodo que representa a Berto. Para empezar, conviene que recordemos que a Berto le hemos asignado el nodo identificado con la letra B. Así pues, nos situamos en dicho nodo y contamos las aristas que conectan con el mismo. Esa sería la versión pictórica para calcular la valencia del nodo que representa a Berto. Podríamos también emplear la tabla de relación o la matriz de adyacencia para calcular dicha valencia. En ese caso, lo único que tenemos que hacer es sumar el número de elementos igual a 1 que hay en la segunda fila o en la segunda columna, la que queramos, ya que la tabla es simétrica. Independientemente de cómo lo hagamos, el resultado es siempre el mismo: la valencia del nodo B, que representaremos por kB, es igual a 2. Por lo tanto, la valencia del nodo B se escribe kB = 2. Podemos verlo en la figura 1.9.

Figura 1.9. Cálculo de la valencia del nodo B de este grafo.

Así podemos hacer una lista de todas las valencias de los nodos de este grafo:

El nodo A tiene valencia 2, kA = 2.

El nodo B tiene valencia 2, kB = 2.

El nodo C tiene valencia 3, kC = 3.

El nodo D tiene valencia 1, kD = 1.

A la vista de esta información, podemos afirmar que el nodo C es el más conectado con esta red o grafo. Por contra, el nodo D es el que menos conexiones ha establecido en la red. En términos de popularidad, considerada simplemente como número de conexiones o valencias, podemos afirmar que en este grafo el nodo C es mucho más popular que el nodo D. De todos modos, la cuestión de la popularidad de un nodo en una red es un tema muy importante, y por tanto lo desarrollaremos con más profundidad en el siguiente capítulo.

Valencia media de los nodos

A veces es interesante saber cuál es la valencia media de los nodos de un grafo. Esta valencia media se calcula simplemente sumando las valencias individuales de cada nodo y dividiendo el resultado por el número total de nodos presentes en el grafo.

En nuestro caso, la valencia media de los nodos del grafo resultaría de sumar 2 + 2 + 3 + 1 y dividirlo por 4 nodos, que son todos los que existen en la red que estamos estudiando. El resultado de la valencia media de los nodos de nuestro grafo es 2, lo cual se suele representar como <k> = 2. La información que obtenemos de esto es la conexión típica en el grafo que estamos estudiando.

Para grafos dirigidos, la cuestión es más sutil, ya que para un nodo se puede definir la valencia de entrada —de todas las aristas que apuntan a dicho nodo— y la valencia de salida —de todas las aristas que salen de dicho nodo—. Consecuentemente, se podrá hablar de valencias medias de entrada y de salida. No ahondaremos más en esto porque no emplearemos mucho más los grafos dirigidos, de modo que nos basta con que los conozcas.

Tus amigos tienen más amigos que tú

El título de esta sección hace referencia a la conocida como paradoja de la amistad. En lenguaje llano, esta paradoja expresa justamente este hecho: «Tus amigos tienen más amigos que tú. De media».

La afirmación es demoledora, para unos más que para otros, pero no es de extrañar que cuando entramos en una red social como Facebook o Twitter tengamos la sensación de que nuestros amigos son más populares, o bien tienen más amigos en Facebook o más seguidores en Twitter.

Este hecho se ve refrendado por la teoría de grafos, aunque su formulación ha de ser un poco más formal. La paradoja de la amistad se puede expresar del siguiente modo: «El número promedio de amigos de tus amigos es siempre mayor que tu número de amigos en el grafo».

En principio suena un poco a supercalifragilisticoespialidoso, pero vamos a analizarlo con más detalle —y un ejemplo— para probar que esta afirmación no tiene nada de paradójica, a poco que indaguemos en ella.

¿Cómo calculamos ese número promedio, la media de amigos de tus amigos? Para ello vamos a seguir los siguientes pasos:

1.- Le pedimos a cada miembro del grupo que nombre a sus amigos. El resultado está en la figura 1.10.

Figura 1.10. Cada nodo nombra a sus amigos.

En total se nombra a 8 amigos. Evidentemente, el nodo C aparece como amigo en 3 ocasiones y el nodo D solo aparece como amigo de alguien en una ocasión. Pero aquí lo que nos interesa es el número total de amigos nombrados por todos los miembros de nuestra red.

2.- Ahora a esos amigos nombrados les pedimos que nos digan cuántos amigos tienen, es decir, les preguntamos por la valencia de su nodo. Esa información aparece en la siguiente figura al lado de cada nodo:

Figura 1.11. Cada amigo de cada nodo nos dice cuántos amigos tiene. Y sí, hay que contarlos cada vez que sean nombrados.

Resulta muy sencillo: tan solo hemos de contar el total de amigos que dicen tener los amigos nombrados anteriormente por los nodos preguntados en primer lugar. Vamos a representarlo en una tabla, pues suele quedar todo más ordenado.

Individuo | N.º de amigos | N.º de amigos de sus amigos | Media de amigos de sus amigos
A | 2 | 2, 3 | 5 / 2 = 2,5
B | 2 | 2, 3 | 5 / 2 = 2,5
C | 3 | 2, 2, 1 | 5 / 3 = 1,6
D | 1 | 3 | 3 / 1 = 3

Como vemos, salvo el individuo C, el resto tiene menos amigos que la media de amigos de sus amigos. Dicho de otra manera, salvo el individuo C, todos están afectados por la paradoja de la amistad. A decir verdad, la paradoja de la amistad afecta a un porcentaje muy alto de nodos del grafo, pero unos cuantos se salvan, y los modernos llaman a estos nodos afortunados influencers.

No te preocupes si has llegado hasta este punto y sientes cierto desasosiego. Eso no significa que seas menos popular que tus amigos. Basta que tengas un amigo muy popular entre tus círculos de cualquier red de tu gusto para que sea nombrado muchas veces y haga que se tenga que contar muchas veces su respuesta de entre su propio número de amigos, es decir, su valencia en el nodo. Ese es todo el secreto. Así pues, lo que la paradoja de la amistad implica es que la mayoría de nosotros —salvo los influencers— tenemos un amigo —o varios—mucho más popular que nosotros, y es él quien hace que, al calcular la media, esta tenga un valor más alto.

Es imposible comprobar entre todos los seres humanos la hipótesis que estamos discutiendo. Para ello deberíamos tener una base de datos con todos los humanos incluidos y con todos los amigos de todos y cada uno de nosotros. Esa es una tarea que por el momento no está a nuestro alcance. Sin embargo, la aparición de las redes sociales en Internet ha hecho posible que podamos acercarnos cada vez más a esclarecer si esta hipótesis es cierta o no. En 2011 se hizo un estudio en todo Facebook, donde se consideraron 721 millones de usuarios que habían establecido 69 000 millones de amistades. Este trabajo llevado a cabo por Ugander, Karrer, Backstrom y Marlow, todos ellos empleados de Facebook, constató que el 93 % de los usuarios tienen menos amigos que el promedio de amigos de sus amigos. Estimaron que el usuario típico de Facebook tenía un promedio de 190 amigos y que el número promedio de los amigos de sus amigos ascendía a 635. Sin duda, las redes sociales en Internet son un gran laboratorio para comprobar las ideas de la teoría de grafos.

Aunque aún no se haya probado la afirmación de que tus amigos tienen más amigos que tú, en el sentido explicado, todos los estudios con distintos grafos que modelan distintas relaciones parecen indicar que es totalmente cierta.

Este hecho es el fundamento de muchas campañas de venta. El ejemplo típico es la técnica de venta de una conocida marca de fiambreras y utensilios de cocina. Esta técnica consiste en hacer que alguien invite a sus amigos a su casa —en definitiva que nombre a sus amigos— y venderles a estos últimos, de modo que el que ha nombrado recibe regalos simplemente por invitar a sus amigos a su casa. La razón ahora ha de quedar clara, tus amigos tienen más amigos que tú. Todas las campañas de «Trae dos amigos y te sale gratis tal cosa o te regalamos tal o cual otra» se fundamentan en este resultado de la teoría de grafos, lo sepan o no quienes participan en dichas campañas.

Un mundo realmente pequeño

Vivimos en una etapa de la historia donde la globalización campa a sus anchas. Como individuos, estamos más conectados con el resto del mundo que en cualquier otro tiempo pasado. Parece ser como si hoy día pudiéramos contactar con cualquiera en un número muy pequeño de pasos. Simplemente tenemos que encontrar un amigo que conozca a un amigo que conozca a un amigo que…

«Estamos más conectados con el resto del mundo que en cualquier otro tiempo pasado».

Desde finales de la década de los 60 del pasado siglo, se ha puesto sobre la mesa una hipótesis que aún no hemos podido comprobar. La hipótesis en cuestión dice: «Cualquier persona del mundo puede contactar con cualquier otra en 6 pasos como máximo, es decir, con 5 intermediarios o menos».

Esta es la famosa hipótesis de los seis grados de separación o del mundo pequeño. La idea parece atractiva, pero nos resistimos a aceptarla. ¿Cómo voy a contactar con Obama, por ejemplo, en seis pasos o menos? Sí, cuesta aceptar esa hipótesis sin poner objeción alguna. Pero aquí cabe contar una anécdota que protagonizó Alberto Márquez, matemático español de la Universidad de Sevilla, experto en grafos y geometría computacional, mientras impartía un curso de esta temática.

Al explicar Alberto la hipótesis del mundo pequeño o de los seis grados de separación, un alumno lo retó a demostrar que él, el alumno, estaba conectado con Kim Jong-un, el dictador norcoreano, en seis pasos o menos. Alberto, que sabía que este alumno —de la Universidad de Alicante— jugaba al baloncesto, comenzó un pequeño interrogatorio con una inocente pregunta:

—Juegas al baloncesto, ¿verdad?

La respuesta del alumno fue afirmativa.

A partir de este dato, Alberto hilvanó el siguiente camino hacia Kim Jong-un:

Demasiado impresionante para nuestro gusto. A nosotros nos da que pensar.

Evidentemente, es imposible comprobar la veracidad de esta hipótesis de los seis grados de separación, porque para ello también deberíamos tener acceso a la mencionada base de datos con todos los seres humanos vivos en este momento y todas sus relaciones de amistad. En efecto, hoy por hoy, eso no es manejable. De hecho, posiblemente ni tú mismo sepas hacer la lista de toda la gente que conoces.

Lo que sí podemos afirmar, como en el caso anterior, es que todos los estudios realizados con poblaciones mucho más pequeñas indican no solo que la idea puede ser acertada, sino que es posible que el número de pasos necesarios para contactar con cualquier persona sea sensiblemente menor que 6. En un estudio llevado a cabo en 2012 en Facebook, derivado del anterior, se dedujo que la separación típica entre cualquier usuario de Facebook con cualquier otro rondaba el 4,74. Es decir, la distancia es menor que 5 y, de hecho, solo se necesitarían 3,74 intermediarios para contactar con cualquiera. Eso nos presenta un mundo mucho más pequeño de lo que cabría esperar. Recordemos que la muestra de usuarios de Facebook equivale a un 10 % de la población mundial actual, lo cual empieza a ser significativo. En 2011, en Twitter, la separación media entre dos usuarios, de los 500 millones de usuarios de esta red social, era de 3,43 usuarios. Interesante. O tal vez no.

Capítulo 2:

Redes complejas y grafos

Somos conscientes de que, una vez expuestos a la teoría de grafos, el ansia por saber más es irrefrenable. Nos pasa a todos, pero no os preocupéis, pues aquí vamos a darle otra vuelta de tuerca al tema. Los grafos, como ya hemos repetido muchas veces, son unas maravillosas criaturas matemáticas con las que representar y entender el comportamiento, estructura y función de las redes complejas.

Por red compleja entendemos un grafo que presenta estructuras que no se dan en los casos más simples de grafos. Un grafo simple, por ejemplo, es una malla. Sin ánimo de ofender tu inteligencia, vamos a poner una figura, la 2.1, en la que se representa una malla.

Figura 2.1. Aquí una malla, un grafo de lo más simplón.

Este grafo tiene propiedades que saltan a la vista: por ejemplo, cualquier trozo que tomemos de él, cualquier subgrafo, como se dice, es totalmente idéntico al grafo total. Además, la valencia de todos y cada uno de los nodos del grafo es 4. Esto lo convierte en un grafo bastante monótono.

En la realidad, nos encontramos con que los grafos que describen distintas interacciones entre individuos carecen de estas propiedades. Los grafos reales presentan estructuras. Hay nodos con valencia muy alta y otros con valencia muy baja. Se ven componentes del grafo con sus nodos muy conectados entre sí pero poco conectados con el resto. Es decir, la estructura del grafo es compleja, de ahí el término red compleja. Un ejemplo, simplificado, eso sí, se presenta en la figura 2.2.

Figura 2.2. Ejemplo de red compleja, donde se aprecia que hay nodos muy conectados y otros menos conectados. Además, aparecen agrupaciones o comunidades.

En este capítulo, breve pero intenso, vamos a introducir dos conceptos. Por un lado, vamos a presentarte algunas propiedades de las redes complejas que nos ayudarán a entender su estructura. Por otro lado, vamos a hablar de las posibles formas de modelar el crecimiento de un grafo.

Las cositas de las redes complejas

Lo que pretendemos en esta sección es proporcionar una batería de nombres e ideas sobre los grafos, es decir, lo mínimo exigible para poder hablar de redes complejas. Ni más, ni menos.

Subgrafo

Sin ánimo de ponernos exquisitos y formales, diremos que un subgrafo es un subconjunto de los nodos y aristas de un grafo dado. Es decir, un pedacito de grafo. Tomemos como ejemplo el grafo de la figura 2.3.

Figura 2.3. Ejemplo sencillo de grafo de red compleja. Nótese que hay partes del grafo «desconectadas» entre sí. No te preocupes, son cosas que pasan. Lo que ves representado es un grafo por sus propios fueros.

Tomemos un subgrafo de dicho grafo de ejemplo como se indica en la figura 2.4.

Figura 2.4. Subgrafo de un grafo dado.

Por tanto, lo único que necesitamos para poder hablar de subgrafos es que hayamos elegido un conjunto de nodos del grafo inicial y un conjunto de aristas de dicho grafo. Obviamente, si elegimos aristas para que formen parte del subgrafo, los nodos que están conectados por ellas han de formar parte del propio subgrafo. Pero eso ya lo intuíamos todos.

Camino

Un camino entre dos nodos de un grafo se define como la secuencia de aristas que conectan dichos nodos. Evidentemente, en un mismo grafo pueden existir distintos caminos que conecten dos nodos elegidos del grafo. En la siguiente figura, la 2.5, indicamos dos caminos entre dos nodos de nuestro grafo de ejemplo.

Figura 2.5. Los dos nodos remarcados en negro se pueden unir por dos caminos en este grafo. Los caminos están resaltados en gris y negro, respectivamente, y el sentido de su recorrido queda indicado por flechas.

Como supondrás, puede ocurrir que dados dos nodos de un grafo, no haya ningún camino que los conecte. Así es la vida.

Un concepto interesante asociado al de camino es el de longitud del camino. La longitud de un camino no es más que el número de aristas que hemos de recorrer para llegar del nodo inicial al nodo final del camino. En la figura 2.5 tenemos, por tanto, un camino de longitud 1 y un camino de longitud 8 entre los dos nodos seleccionados.

Otro concepto importante es el de camino de longitud mínima, que, como su propio nombre indica, es aquel camino, de entre todos los posibles entre dos nodos del grafo, cuya longitud es la menor posible.

Grafo conexo

Aquí el nombre nos da una pista sobre el significado de este concepto. Decimos que un grafo es conexo si dados dos vértices cualesquiera de la red, estos se encuentran, o bien conectados, o hay al menos un camino que los une. Es decir, podemos ir de cualquier nodo a cualquier otro dentro del grafo.

El grafo que estamos empleando como ejemplo hasta ahora es no conexo, ya que hay nodos que no se pueden conectar mediante ninguna secuencia de aristas en el propio grafo.

Componentes

Llamamos componente de un grafo a un subgrafo conexo. Es decir, dentro de cada componente, siempre podemos conectar dos cualesquiera de sus nodos por al menos un camino. Las componentes, sin embargo, no están conectadas entre sí. En la figura 2.6 indicamos las componentes existentes en nuestro grafo de ejemplo.

Figura 2.6. Resaltadas las componentes del grafo ejemplo.

Componente gigante

Con este concepto nos enfrentamos a un problema que se presenta bastante a menudo. El nombre de un objeto matemático no significa exactamente aquello que intuimos de él en términos coloquiales.

Podríamos pensar que la componente gigante es la mayor componente del grafo. Pero nos estaríamos equivocando en cuanto a formalidad matemática. Decimos que un grafo tiene una componente gigante cuando se verifica lo siguiente: «Una componente gigante es una componente que tiene una fracción fija de los nodos de un grafo».

Así de simple. Bueno, no tan simple, porque para entender el significado de la componente gigante hemos de pensar en grafos que evolucionan en el tiempo, de forma que aparecen nuevos nodos que se conectan al grafo de alguna forma —puede que aparezcan y no se conecten, con lo que el nuevo nodo sería una componente en sí mismo—.

Así pues, puede ocurrir que tengamos una componente que inicialmente contiene el mayor número de nodos del grafo. Esa sería la mayor componente del grafo. Sin embargo, encontramos que hay una componente que contiene una fracción fija de los nodos: ⅓, ¼ o cualquier otra fracción. ¿Qué significa eso? Que en la evolución del grafo, los nuevos nodos se distribuirán de forma que la fracción de nodos en dicha componente se mantenga fija. Esa es la componente gigante, que no tiene por qué ser la mayor componente del grafo.

Eso sí, si dejamos que el grafo evolucione durante el suficiente tiempo, suele ocurrir que la componente gigante es la componente más grande del grafo. Esto aumenta la probabilidad de encontrar al menos un camino que conecte cualquier par de puntos escogidos al azar del grafo. En la figura 2.7 se muestra la componente gigante —porque sabemos que contiene una fracción constante de los nodos— en un grafo evolucionado con lo que es, a su vez, la mayor componente de dicho grafo.

Figura 2.7. Grafo evolucionado que contiene una componente gigante. En esta situación, dicha componente también es la mayor componente del grafo. En la situación descrita, podemos ir de un nodo del grafo a una fracción significativa del total de nodos.

Comunidades

Un concepto relacionado con el de componente es el de comunidad. Una comunidad es una parte del grafo con nodos muy conectados entre sí, densidad de aristas alta y poca conexión con el resto del grafo. En la siguiente figura, la 2.8, tenemos un ejemplo de grafos con comunidades —por supuesto, se la hemos pedido prestada a la Wikipedia—.

Figura 2.8. Grafo con tres comunidades.

Diámetro

El diámetro de un grafo nos da una idea de su tamaño. El diámetro se define como el tamaño máximo —ojo, que vienen curvas— de todos los caminos de longitud mínima entre todos los posibles pares de nodos en el grafo. ¿Cómo te quedas?

Es decir, el diámetro del grafo nos dice cuál es el más grande de los caminos de longitud mínima existentes en el grafo entre cualquier par de nodos o, dicho de otro modo, la distancia entre los dos vértices más alejados entre sí en dicho grafo.

¿Cuánto mola un nodo?

Uno de los primeros problemas que nos podemos plantear frente a un grafo es determinar qué importancia tiene un nodo en él. Esto puede corresponder a cuán popular es dicho nodo en el grafo. Además, resulta esencial determinarlo para saber qué ocurriría al quitarlo del grafo, por poner un ejemplo.

Por ello se han definido distintos modos de contabilizar la importancia de un nodo en un grafo. Aquí vamos a describir someramente tres de dichas definiciones para poder entender, al menos de forma general, el espíritu del problema al que nos enfrentamos.

La primera definición ya la hemos anticipado en el capítulo anterior y es justamente la primera que se nos vendría a la cabeza. Es la definición dependiente del grado o valencia del nodo en cuestión. Esta es una simple caracterización de la importancia de un nodo y considera que a mayor valencia del nodo elegido, mayor será su importancia en el grafo. La lógica de este razonamiento es bastante evidente, ya que si tiene un grado muy alto significa que muchos otros nodos están conectados con él.

La segunda definición que queremos presentar usa la idea de caminos. Diremos que un nodo es más importante en el grafo si tiene, en promedio, una distancia más corta a cualquier otro nodo en el grafo que el resto de nodos presentes. Cuanto menor sea el promedio en distancias al resto de nodos, más importante es el nodo considerado.

Por último, vamos a hablar de la importancia de ser intermediario. ¿Qué significa eso? Veámoslo a continuación:

1.- Tomemos un nodo cualquiera del grafo.

2.- Ahora vayamos tomando pares aleatorios de nodos en el grafo distintos del anterior.

3.- Calculemos los caminos mínimos entre dichos pares y calculemos el número de caminos mínimos entre todos esos pares que pasan por el primer nodo elegido.

Evidentemente, a mayor número de caminos mínimos que pasen por un nodo dado, mayor será su importancia en la red.

Esta última definición de importancia o popularidad de un nodo en un grafo se basa en que en las redes no solo existe su estructura, sino que además sobre ella pasan cosas. Por ejemplo, en una red social hay flujos de información y en una red de entidades económicas hay flujos de dinero. Esos flujos discurren por las aristas del grafo que modela la red —social o no— que estemos estudiando. Usualmente, los flujos tenderán a ir por caminos mínimos con el objeto de minimizar energía, reducir errores en la transmisión de información o reducir costes, entre otros motivos. Por lo tanto, que un nodo se encuentre en una encrucijada de caminos mínimos hace de él mismo un nodo especial e importante en el grafo.

Digamos que las dos primeras definiciones son meramente estructurales y la última tiene en consideración la posible utilidad que tiene la red en la transmisión de tal o cual característica de interés.

Dime cómo te distribuyes y te diré cómo eres

Ahora vamos a concentrarnos en un problema realmente importante a la hora de caracterizar los grafos: las distintas formas posibles de distribuir las valencias de sus nodos. Dado que nos estás leyendo tú, y para nosotros eres lo más importante, hemos de hacerte una confesión: en este apartado se va a introducir el concepto de distribución. Tal vez la solemnidad de este aviso te parezca irrelevante, pero lo cierto es que casi hemos llegado a las manos por este tema. Ten en cuenta que este libro fue escrito a medias entre una matemática y un físico. Digamos que la una es más amiga de la formalidad y el otro —no diremos quién es quién— es más laxo en lo tocante a la formalidad lógico-matemática. Al final hemos llegado a un cordial acuerdo y ya nos hablamos de nuevo casi con total normalidad. Pero no te agobiaremos más con los entresijos de la escritura del libro, así que vayamos al grano.

Una distribución de valencias en un grafo es una herramienta que nos dice cuántos nodos tienen una valencia k dada. O dicho de otra forma, nos dice qué fracción de nodos del grafo tiene una valencia k específica. Y para rematar, la distribución nos ayuda a calcular qué probabilidad hay de que al elegir al azar un nodo de un grafo este tenga una determinada valencia k. Si bien todas estas formas de entender las distribuciones son equivalentes en un sentido laxo, lo cierto es que cada una de ellas es más apropiada en función de cómo estemos considerando el grafo, si este tiene un número pequeño, grande o infinito de nodos, etc. Sería genial poder entrar de lleno en el terreno de las distribuciones de probabilidad. Sería genial, pero no lo vamos a hacer. En realidad, si ya sabes lo que son, te aburriríamos mucho, y si no lo sabes, te aburriríamos aún más. Así que nos quedaremos con la versión simple presentada, aunque esperamos que no errónea, de estos bichos, con lo que tendremos una idea aproximada de lo que son y para qué sirven.

Grafos homogéneos

Los grafos son homogéneos cuando todos los nodos tienen aproximadamente los mismos valores para las distintas características del grafo, como las que hemos definido anteriormente. Concentrándonos en el grado de un grafo, resulta que en los grafos homogéneos casi todos los vértices tienen la misma valencia o grado.

Eso significa que si estudiamos cuántos nodos tienen una valencia determinada, encontraremos que muchos de ellos tendrán una valencia parecida y pocos tendrán una valencia mucho mayor o mucho menor. Esto es lo que se representa en la siguiente figura 2.9.

Figura 2.9. Distribución de grados de nodos para un grafo homogéneo. En este caso tenemos que hay muchos nodos con un valor de k=100 y valores cercanos. Esto significa que la valencia media del grafo es de 100.

A partir de esta distribución de los grados de los nodos de un grafo, podríamos encontrar varias cuestiones significativas. A saber:

1.- En este tipo de grafos, usualmente hay una componente que contiene la mayor proporción de los nodos y pocas componentes pequeñas.

2.- En los grafos homogéneos, no suelen aparecer comunidades. Esto es lógico porque, como hemos descrito, las comunidades son subgrafos muy conectados entre sí y poco conectados con el resto del grafo. Pero si el grafo es homogéneo, hay pocas posibilidades de que esto ocurra.

3.- Por último pero no menos importante¹, está el hecho de que hay un promedio en la valencia de los nodos muy bien definido.

Por desgracia, los grafos que encontramos representando situaciones reales no son de este tipo. Esto no resta importancia a este tipo de grafos, que suelen ser descritos de una forma simple, matemáticamente hablando, y que nos proporcionan un buen laboratorio para probar nuestras ideas y métodos matemáticos, ya que usualmente es posible resolver con ellos muchos problemas de forma exacta. Pero nadie dijo que esta fuera la última palabra.

Grafos libres de escala

Estos grafos, los libre de escala, son los más representativos que encontramos al intentar modelar matemáticamente situaciones reales como las redes sociales, las redes de citas entre científicos que trabajan en un tema determinado y citan sus artículos entre ellos, etc. Antes de entrar en harina, vamos a aprovechar nuestra experiencia en redes sociales. Seguro que cierto conocimiento o experiencia en la materia debes de tener, independientemente de que sea mayor o menor. Y por ello, estamos convencidos de que habrás notado que usualmente en las redes sociales hay muchos usuarios con pocas conexiones con otros usuarios y pocos usuarios con un número de conexiones desmesuradamente grande. Por ejemplo, en Facebook hay poca gente con un número insultantemente elevado de amigos y mucha gente con un número relativamente pequeño, tal vez menor o igual a 100, de amistades feisbuqueras —que la RAE nos la perdone y que la Fundéu BBVA nos la bendiga—.

Por lo tanto, el perfil típico de una red compleja que se asemeje a una red real es como el representado en la figura inferior 2.10.

Figura 2.10. Distribución de la valencia de nodos en un grafo libre de escala. Hay muchos nodos de poca valencia y pocos nodos de muchísima valencia.

Pero nos queda por responder qué significa que un grafo sea libre de escala. Para ello, vamos a simplificar un poco la representación anterior y vamos a tomar la curva que describiríamos si uniéramos con una suave línea continua los puntos medios de las barras de la representación de la figura 2.10. Eso precisamente es lo que hemos hecho en la figura 2.11.

Figura 2.11. El perfil de la distribución de grados del ejemplo anterior simplificado a una curva.

Lo que significa que sea libre de escala es que si hacemos un zoom en el eje horizontal y vemos cómo queda la gráfica, lo que obtenemos es exactamente una copia de la original. Es decir, podemos estudiar cuántos nodos hay con valencias desde k = 100 000 a k = 100 o podemos buscar cuántos hay con valencias desde k = 3000 a k = 2500. Si graficamos las distribuciones obtendríamos exactamente el mismo resultado. Ojo, en esos ejemplos estamos considerando que hay el suficiente número de nodos como para poder tener esas valencias de las que estamos hablando. En definitiva, da igual la escala a la que miremos la distribución de grados o valencias, pues esta siempre luce igual. En la figura 2.12 tenemos una representación de lo que acabamos de describir.

Figura 2.12. Significado pictórico-visual de la libertad de escala.

Nos tendrás que perdonar si ahora mismo no recuerdas el tema de las funciones y demás. Para paliarlo, tenemos un bonito capítulo, el cuarto, en el que hablamos de funciones desde la base, muy gradualmente. Sí, ya sabemos que está fatal eso de hacer que los lectores vayan saltando de un capítulo a otro por el libro, pero no podemos explicarlo todo a la vez. Además, si eres más o menos de nuestra edad, recordarás aquellos maravillosos libros de Elige tu propia aventura —sí, nosotros también fuimos a EGB— donde cada ciertas páginas tenías que decidir entre distintas opciones que te enviaban a distintos puntos del libro. Piensa que esto es similar: si quieres refrescar el tema de las funciones, ve al cuarto capítulo. Aquí te esperamos.

Esta distribución de valencias de nodos se puede expresar de una forma sencilla, siguiendo una ley de potencias. Es decir, la distribución es una función proporcional a k elevada a una determinada potencia negativa de un número real que representaremos por γ. Por lo tanto, si representamos la distribución de valencias o grados por F(k) esta será F(k) ∝ k-𝛾, donde el símbolo, ∝, se lee «proporcional a». En los grafos reales que se han estudiado se ha encontrado que el valor de γ siempre se sitúa entre 2 y 3.

Los grafos libres de escala tienen un puñado de propiedades muy interesantes que pasamos a enumerar:

1.- La distancia media entre nodos es pequeña. Esto da lugar a que aparezca el fenómeno del mundo pequeño.

2.- En este tipo de grafos se forman comunidades de manera natural.

3.- Curiosamente, se ha demostrado que para grafos que siguen una distribución como ley de potencias con valor de la potencia comprendido entre 2 y 3, siempre aparece una componente gigante. Por lo tanto, para redes grandes con muchísimos nodos siempre hay una componente que contiene una fracción importante de nodos del grafo en cuestión.

4.- También se ha encontrado que los nodos de muy alta valencia no se conectan frecuentemente entre sí dentro de una red de este tipo.

Todas estas particularidades se encuentran en las redes reales, con lo que estos modelos de grafos libres de escala son particularmente interesantes. Por supuesto que no son la última palabra y que tan solo son aproximaciones a los grafos que representan las situaciones reales que encontramos en nuestras distintas redes. Sin embargo, en ocasiones son una excelente aproximación a la realidad, y así lo consideraremos en lo que sigue.

Nota

1.Nota de los autores: Teníamos que decirlo.

Capítulo 3:

Jugando a decidir

En este capítulo nos vamos a enfrentar a la teoría de juegos. A pesar de lo que pueda sugerir su nombre, la teoría de juegos es algo muy serio, que se plantea cómo formalizar matemáticamente situaciones de conflicto en las que las personas involucradas esperan sacar algún beneficio. Esto hace que la teoría de juegos sea empleada para analizar la toma de decisiones frente a determinados problemas por parte de individuos, empresas, grupos de personas, etc. Esta teoría se usa con gran profusión en muy diversas áreas, como economía, marketing, política internacional, ecología o epidemiología. Referida al tema que nos ocupa, la teoría de juegos será una herramienta muy poderosa para entender diversas actitudes hacia las vacunas como medio de control de epidemias.

A lo largo de este capítulo vas a conocer la teoría de juegos en su variante más simple. Para ello estableceremos las definiciones indispensables para controlar la jerga inicial de esta teoría y deduciremos algunas propiedades y características de los juegos, que serán importantes en el tema central de este libro.

¿Qué es un juego?

Un juego matemático se compone de estos elementos:

1.- Jugadores: Son los individuos, empresas, países, etc. que se enfrentan en una situación de conflicto.

2.- Reglas: Su función es establecer los posibles comportamientos de los jugadores.

3.- Estrategias: Son las posibles posturas o acciones que puede asumir un jugador durante el juego. Las estrategias se toman en función de la información de que disponga cada jugador sobre las posibles estrategias del resto de participantes en el juego, sobre los posibles beneficios que se puedan obtener y los costes en los que pueda incurrir.

4.- Beneficios: Cada estrategia lleva asociado un beneficio para el jugador. El beneficio de elegir una estrategia u otra, de entre todas las posibles en un juego dado, depende de la elección de estrategia por parte de los demás rivales. Los beneficios pueden ser tan mundanos como una recompensa monetaria o tan etéreos como la satisfacción personal. Los costes se pueden considerar beneficios negativos.

Usualmente, se considera que los jugadores son entes inteligentes y egoístas. Esto significa que cada jugador seleccionará la estrategia que le proporcione la mayor ganancia posible. Mientras no se diga lo contrario, esa será nuestra postura frente a los jugadores de los ejemplos que iremos presentando en este capítulo. Sabemos que esta es una simplificación brutal, aunque no en tu caso, ya que, por supuesto, eres un ser totalmente inteligente y racional.

Los juegos se pueden clasificar de diversas formas dependiendo de las características que les asignemos. Así podemos hablar de juegos simultáneos si todos los jugadores involucrados eligen a la vez su estrategia o de juegos secuenciales si un jugador decide su estrategia después de que lo haya hecho el jugador que le precede. Si cada jugador conoce todos los detalles y reglas del juego, todas las estrategias posibles y todos los posibles beneficios, diremos que estamos ante un juego con información completa, lo cual raramente sucede, y mucho menos en la vida real. En la bibliografía comentada encontrarás material para ampliar la información sobre los tipos de juegos y sus características.

Un ejemplo simple y jugoso: el dilema del prisionero

Supongamos que tenemos a dos detenidos por la policía: Clara y Juan. Están acusados de un pequeño delito del que la policía no tiene pruebas definitivas, por lo que se necesita una confesión para poder imputarles el delito. Clara y Juan son aislados el uno del otro, de forma que no pueden intercambiar información durante los interrogatorios. La policía informa a cada uno de ellos por separado de que, aunque el delito por el que han sido detenidos está penado con 5 años de cárcel, les proponen el siguiente trato:

• Si ambos confiesan el delito, les rebajarán la pena 1 año a cada uno. De este modo, tendrán 1 año de libertad como beneficio.

• Si uno confiesa y el otro no, el que ha confesado tendrá una rebaja de 5 años en la pena y el otro la cumplirá íntegra. El que ha confesado ganará 5 años de libertad, y el otro, ninguno.

• Si ninguno confiesa, obtendrán una rebaja de la pena de 3 años. Es decir, ambos tendrán una ganancia de 3 años de libertad.

Imaginemos que podemos hablar con Clara y ella nos dice cómo ve este conflicto, o mejor dicho, este juego. Ella nos dice que tiene dos estrategias: Guardar Silencio (S) o Confesar (C). Si ella guarda silencio, o bien puede ganar 3 años de libertad frente a su situación actual si Juan tampoco confiesa, o bien puede no ganar nada si Juan la traiciona y él sí confiesa el delito. Por otro lado, si Clara decide confesar, ganará o bien 1 año de libertad si Juan también confiesa, o bien 5 años en el caso de que Juan confíe en ella y guarde silencio.

Dado que estas descripciones de los juegos son un poco liosas, es mejor disponer de los datos de las ganancias en función de las estrategias de los jugadores en un formato mucho más cómodo de leer. Lo mejor en estos casos es hacer una tabla donde se indiquen las estrategias de cada jugador y sus beneficios en función de la estrategia decidida por el otro jugador.

En la figura 3.1 tenemos una forma más amable y aclaratoria de presentar los beneficios de cada jugador en este juego según las estrategias por las que se decanten a la hora de jugar.

Figura 3.1. Tabla de ganancias de los jugadores de nuestro ejemplo, en la que se establece cuántos años de libertad ganan cada uno, cuánta rebaja en sus penas, respecto a la estrategia que elija el oponente.

A la vista de la figura 3.1, no es difícil percatarse de que lo más provechoso para ambos, en conjunto, es adoptar la estrategia de guardar silencio. Es decir, de forma global lo que vemos es que la colaboración entre ambos es la estrategia más provechosa en conjunto. Siguiendo una estrategia colaborativa, la de guardar silencio confiando en la lealtad del compinche, se logra que cada uno gane 3 años de libertad. Desgraciadamente, los jugadores usualmente buscan su provecho individual sin pensar en el grupo. Si nos fijamos en Clara, como una de los contendientes, lo que ella percibe de este juego es lo que se muestra en la figura 3.2.

Fig 3.2. Esta es la tabla de beneficios para las diferentes estrategias que puede tomar Clara. La estrategia de confesar es la más provechosa para ella. Independientemente de lo que haga Juan, Clara tendrá una mayor ganancia confesando que permaneciendo en silencio. Para Juan, el caso es totalmente análogo.

Para Clara, el asunto no admite discusión: adoptar la estrategia de guardar silencio siempre es menos provechoso que confesar independientemente de lo que haga Juan. Si Juan guarda silencio, Clara puede ganar 5 años de libertad confesando en vez de 3 guardando silencio. Si, por el contrario, Juan confiesa, Clara ganaría un año de libertad al hacer lo mismo que su compinche, pero ningún año si decide guardar silencio. Por lo tanto, para Clara guardar silencio no es una opción.

Podríamos haber desarrollado esta discusión exactamente igual si nos hubiéramos fijado en Juan en vez de en Clara. Así, en contra de lo que nos sugeriría una visión de conjunto del juego que favorecería que ambos guardaran silencio, la combinación de estrategias frente a las que no cabe mejora alguna supone que tanto Clara como Juan confiesen el delito. Esa es la solución que dicta el egoísmo y la inteligencia de nuestros jugadores. Si lo vemos en términos de colaborar con el contrincante o traicionarlo, está claro que en un único juego de este tipo la traición es lo que genera la solución más provechosa para cada uno de ellos.

En la discusión que hemos desarrollado sobre este juego hemos llegado a la conclusión de que la estrategia «Confesar/Confesar» es la mejor para cada uno de los jugadores presentes. Sin embargo, cualquier cambio de la misma provocaría una disminución de los beneficios teniendo en cuenta que el otro contrincante se presupone inteligente y egoísta. Cuando en un juego se presenta este tipo de situación se dice que hemos encontrado un equilibrio de Nash. Si te preguntas a qué se debe la adopción del nombre Nash, te diremos que es porque quien se percató de la existencia de este tipo de equilibrios en estos juegos fue el matemático John Nash, cuya vida inspiró la película Una mente maravillosa, basada en el libro homónimo.

Juegos evolutivos

Ahora vamos a ampliar un poco nuestro catálogo de juegos. En la sección anterior hemos visto un juego que se puede considerar simultáneo y de información completa. Los jugadores toman las decisiones simultáneamente, cada uno en su cuarto de interrogatorio, y conocen las ganancias y estrategias posibles. Además hemos supuesto que cada jugador es inteligente y egoísta, lo que lo lleva a tomar la mejor estrategia para sí mismo sin pensar en el conjunto.

En esta sección nos ocuparemos de un caso diferente, pues nos vamos a centrar en juegos donde existe una población de jugadores y estos interactúan unos con otros en múltiples ocasiones. Los jugadores tienen memoria, es decir, recuerdan las decisiones tomadas y los resultados obtenidos en anteriores encuentros con otros contrincantes. Debido a esto, se puedan dar casos de juegos en los que se produzcan cambios en las estrategias y haya cierta evolución. De este tipo de juegos se ocupa la teoría de juegos evolutivos.

«La teoría de juegos será una herramienta muy poderosa para entender diversas actitudes hacia las vacunas como medio de control de epidemias».

Los participantes de estos juegos no tienen la opción ni tan siquiera de elegir su estrategia, ya que les viene dada. El problema básico es saber si una determinada estrategia presente en algunos miembros de la población sobrevive con el paso del tiempo o si, por el contrario, es reemplazada por otra. Veamos un ejemplo de este tipo de juegos.

Estrategias fijadas

Un ejemplo arquetípico de estos juegos nos lo ofrece la biología. Supongamos que tenemos unos bichos que se reproducen por división y que expresan genes que determinan su color: negro o blanco. Imaginemos que estamos estudiando una comunidad de estos bichos que habita la superficie de una pared blanca. Ciertamente, ser negro o blanco se puede considerar una estrategia de supervivencia, ya que en esta pared blanca objeto de nuestro estudio un bicho blanco será más difícil de detectar por un depredador que un bicho negro. Por otro lado, estas estrategias no se adquieren como resultado de una decisión previa, puesto que el color de los bichos lo determina su genética, es decir, algo que les viene prefijado.

Veamos algunos casos posibles:

1.- Todos los bichos de la pared son blancos, figura 3.3.

Figura 3.3. Población de bichos blancos sobre pared blanca.²

En este caso, los bichos están bien camuflados en la pared, de modo que los depredadores tienen problemas para zampárselos y, como resultado, es muy posible que los bichos pervivan en este entorno. Podríamos decir que en esta población los individuos han adoptado la estrategia más favorable, aunque sabemos que no ha sido algo consciente, ya que se debe puramente a su genética.

2.- Todos los bichos son negros, figura 3.4.

Figura 3.4. Población de bichos negros sobre pared blanca.²

La vida en esta comunidad es más complicada. Podríamos considerar que han elegido la estrategia equivocada. Dado que estos individuos están muy expuestos a sus depredadores, su supervivencia como población dependerá, por un lado, de la tasa de depredación a la que están sometidos, y por el otro, de su tasa de reproducción. Sea como sea, esta es una situación mucho más complicada que la anterior.

3.- En una población de bichos negros aparece una mutación que genera algunos individuos blancos, figura 3.5.

Figura 3.5. En una población de bichos negros, aparece una mutación en algunos individuos que los vuelve blancos.

En este caso podemos considerar, bajo la óptica de la teoría de juegos, que ha habido por parte de algunos individuos un cambio de estrategia. Realmente, este es un proceso aleatorio, pero aquí estamos pensando en términos de la teoría matemática de juegos.

Lo que suponemos ahora es que los bichos que expresan la mutación a blancos se ven favorecidos por el entorno. En nuestro marco de trabajo, podemos pensar que su estrategia les reporta mayor beneficio. Están sometidos a una menor presión depredadora, con lo que pueden reproducirse con mayor facilidad que sus congéneres negros. Si dejamos pasar el tiempo, podemos esperar que los bichos blancos invadan el entorno, es decir, que se conviertan en los miembros más numerosos de la comunidad, ya que la estrategia de ser negro está muy castigada.

4.- En una población con bichos blancos, aparecen algunos bichos negros a causa de una mutación, figura 3.6.

Figura 3.6. Población de bichos blancos donde aparece una mutación que da algunos individuos negros.

Si se nos presenta este caso, sin duda podemos concluir que los bichos cuya genética los vuelve negros han adoptado una mala estrategia en este contexto. Es muy poco conveniente ser negro en esta pared blanca y sus probabilidades de reproducirse y transmitir su información genética son muy pequeñas. La comunidad seguirá siendo blanca y los negros no podrán colonizarla e imponer su característica genética.

Ni que decir tiene que toda esta discusión puede desarrollarse tan formalmente como queramos. Por suerte, las ideas son tan maravillosamente simples y potentes que este tipo de discusión cualitativa nos permite disfrutar de los razonamientos matemáticos subyacentes sin necesidad de enfrascarnos en farragosas expresiones y fórmulas.

Al igual que en la sección anterior hemos definido el equilibrio de Nash como la combinación de estrategias que los contendientes no pueden mejorar, aquí hemos dejado ver otro concepto importante: la estrategia evolutivamente estable.

En este marco, se dice que una estrategia es evolutivamente estable cuando al ser adoptada por una población no puede ser invadida por organismos que adoptan una estrategia alternativa. En nuestro ejemplo, ser blanco es la estrategia evolutivamente estable.

Decisiones, opiniones, modas

Como hemos visto, los juegos evolutivos buscan establecer qué tipo de estrategias permiten a los individuos de una población obtener el máximo beneficio dentro del conjunto de la población. En este tipo de juegos no se presupone que los individuos tomen la decisión basándose en un razonamiento inteligente que busque el máximo beneficio. Las estrategias se desarrollan de forma fijada. El ejemplo más obvio pero potente lo encontramos en la expresión de características genéticas que no pueden ser cambiadas de forma dramática una vez establecidas. Que aparezcan nuevas estrategias se corresponde con el caso de la aparición de mutaciones que por su propia naturaleza son aleatorias y de consecuencias no previsibles en primera instancia. Habrá mutaciones que favorezcan la adaptación de los individuos de una población que las sufran y otras que reduzcan tal adaptación al medio.

Pero no solo los problemas biológicos, que son un motivo muy importante, son los que hacen interesantes los juegos evolutivos. Resulta que la aceptación y el ejercicio de ciertas estrategias por parte de los elementos de una determinada población respecto a un determinado problema se pueden modelar según la teoría de juegos evolutiva. Son varios los temas que se pueden ver dentro del esquema de esta rama de la teoría de juegos, desde corrientes políticas hasta la decisión sobre la vacunación de nuestros hijos. Profundizaremos sobre este aspecto de la teoría de juegos y la decisión de vacunar o no vacunar en relación a determinadas enfermedades en el último capítulo de este libro.

Nota

2.Nota de los autores: Hemos distribuido los bichos de forma asimétrica para que notes cómo se incomoda tu cerebro, que es un obseso de la simetría. ¿Nos perdonas?

Capítulo 4:

Curvas, subidas y bajadas: funciones y derivadas

Algunas cuestiones previas

Antes de empezar a discutir los distintos modelos matemáticos sobre la transmisión de enfermedades, definamos algunos conceptos básicos relacionados con los objetos matemáticos denominados funciones, ya que nos serán muy útiles en lo sucesivo. También queremos hacer una confesión:

En este capítulo y en los siguientes aparecerán fórmulas matemáticas.

Esperamos que la información que acabamos de darte no te persuada para que abandones la lectura de este libro. Ten en cuenta que lo mejor está por llegar. Además, las fórmulas matemáticas que aparecerán en lo que sigue son ecuaciones que describen la evolución de las enfermedades en los distintos modelos. Nuestra intención no es otra que proporcionarte las herramientas necesarias para que puedas construir cada una de las expresiones matemáticas y fórmulas que están por aparecer sin tener que darles más que un par de vueltas a las meninges³.

En el tema que nos ocupa, muchas de las expresiones matemáticas pueden ser explicadas mediante palabras y más palabras. Muchos expertos en divulgación opinan que conviene olvidarse de las fórmulas matemáticas y concentrarse en su descripción para no asustar a ningún potencial lector. Por contra, nosotros opinamos que si uno puede entender la descripción en palabras, el entendimiento de la expresión matemática descrita ha de ser directo. Pero que sea directo no significa que sea trivial. Nosotros nos esforzaremos por explicarlas lo mejor posible y esperamos de ti que te esfuerces por entenderlas. Ya desde el mismo título, hemos querido dejar claro que este es un libro sobre epidemias, enfermedades, vacunas y matemáticas, así que ahora esperamos que ni vosotros ni nosotros nos pongamos tiquismiquis con las fórmulas y otras minucias. Eso sí, toda fórmula será ampliamente descrita para que tú, intrépido y curioso lector, puedas deducirla con poco esfuerzo. No subestimes tu capacidad para deducir los modelos matemáticos que vamos a presentarte. Conseguirlo proporciona un subidón intelectual, al menos, inmediato. Y eso no te lo quita nadie.

Funciones

En este capítulo vamos a lidiar con funciones matemáticas, por lo que conviene que les dediquemos unas palabras a estas maravillas.

La idea general que subyace tras el concepto de función es la de una transformación de números. Sí, una función es una máquina a la que introducimos números y que, siguiendo unas reglas definidas, nos devuelve otros números. Eso es lo que representamos en la figura 4.1.

Figura 4.1. Un esquema, trillado hasta la saciedad y no muy trabajado, del concepto de función.

Ni que decir tiene que esto no es una definición formal, ni tampoco lo pretende, pero sí es cierto que captura la esencia de las funciones, lo cual es más que suficiente para nuestros propósitos.

Pongamos un ejemplo más concreto. Supongamos que tenemos la función dada en la figura 4.2, a la que hemos introducidos los números -3, -1, 0, 2, 7 y nos ha devuelto los números 9, 1, 0, 4, 49, respectivamente.

Figura 4.2. Ejemplo de entrada y salida de una función. Por pereza, solo hemos utilizado números enteros, pero esto funciona con cualquier número real.

Los resultados indican el funcionamiento de la función. Por desgracia, resulta complicado conocer la función dando tan solo un puñado de números y su resultado tras haber sido procesados por la función. En este ejemplo podemos intuir que lo que hace la función que nos traemos entre manos es elevar al cuadrado cada número que le introducimos, según muestra la figura 4.3.

Figura 4.3. La función anterior desenmascarada, f(x) = x².

La función con la que estamos tratando es f(x) = x² que lo que hace es elevar al cuadrado cualquiera que sea el número que introduzcamos en x. A la x la denominaremos la variable de la función.

Un aspecto importante al tratar con funciones es entender las gráficas que generan. En nuestro caso, para f(x) = x², podemos hacer una representación de los valores que devuelve la función para cualquier valor que tome la variable. La gráfica de la función que estamos manejando se puede ver en la figura 4.4.

Figura 4.4. Aspecto gráfico de la función f(x) = x².

Las gráficas nos ofrecen mucha información de las funciones. Los valores que puede tomar la variable se disponen en el eje horizontal. Los valores que devuelve la función para cada valor de la variable se representan en el eje vertical. El sentido de lectura de una gráfica es de izquierda a derecha, de los valores más pequeños de la variable a los mayores. Así, si elegimos un punto en el eje horizontal, estamos asignando un valor de la variable x. En la figura 4.4 hemos elegido el valor x = 5. Para saber qué valor devuelve la función, la curva representada, solo tenemos que trazar una línea vertical que pase por el x = 5 y ver dónde se produce el corte con la curva de la función. A partir del punto de corte obtenido lanzamos una línea horizontal para ver en qué punto del eje vertical, el que contiene los valores de la función, se encuentra. En nuestro ejemplo, el valor de la función cuando x = 5, que se representa como f(5), es 25, es decir, f(5) = 25.

Es importante distinguir entre el valor que le damos a la variable y el valor que devuelve la función. En nuestro ejemplo anterior, el reflejado en la figura 4.4, tenemos:

• Valor de la variable x = 5.

• Valor que devuelve la función, f(5) = 25.

En esta sección hemos introducido el concepto de función, pero, como veremos en la siguiente, con eso no basta. Hemos de añadir un concepto más para sacar mayor provecho de la información contenida en una función.

El cambio es lo que importa

Imaginemos que queremos invertir dinero en una empresa. Según nuestros asesores, hay dos posibles candidatas: la empresa A y la empresa B. Los datos muestran que a día de hoy ambas empresas tienen un valor de 2,2 millones de euros. ¿En qué empresa deberíamos invertir? La respuesta la obtendremos después de echar un vistazo y reflexionar sobre la figura 4.5.

Figura 4.5. Aquí se muestra el capital de ambas empresas en el momento en el que queremos invertir en ellas. En la parte inferior se representan las futuras evoluciones del valor de las empresas.

Si solo nos fijamos en el valor de cada una de las empresas, no podemos decidir en cuál de ellas invertir. Afortunadamente, nos han proporcionado la figura 4.5, donde además del valor que tiene ahora el capital de cada empresa se nos muestra su futura evolución. Si consideramos las gráficas inferiores que representan cómo evolucionará el capital de cada empresa con los meses, la decisión está clara: tendremos que invertir en la empresa B, ya que su tendencia es crecer.

En este ejemplo estamos usando, sin saberlo, funciones y derivadas. Una función nos dice qué valor tiene una determinada magnitud —el capital de una empresa, en nuestro ejemplo— para distintos valores de otras magnitudes —en nuestro caso, el tiempo—. Así podríamos representar C(t) como la función capital de la empresa que depende de la variable tiempo; C(t) representa el valor del capital en el instante t. Las derivadas nos informan de cómo cambia la función al hacer un cambio en las variables de las que depende. Si representamos el cambio del valor de las empresas, el capital, por dC(t), la derivada nos dice cuánto vale dicho cambio al efectuar un cambio pequeño en la variable de la que depende, representado por dt. En nuestro ejemplo, la derivada dC(t)/dt nos indica cómo cambia C(t), el valor del capital, al variar el tiempo, dt.

Vamos a profundizar con varios ejemplos en esto de las derivadas como indicadoras de la tendencia al cambio en una función.

Supongamos que tenemos una función que nos informa sobre la evaluación de la producción de un determinado artículo de una empresa con el tiempo en unidades de meses. Vamos a denominar dicha función P(t). Los responsables de la empresa han afrontado un proceso de modernización de la maquinaria. Imaginemos que empezamos a contar el tiempo en el momento de la reapertura de la empresa, con todas las máquinas nuevas. Ese será el instante t = 0. Evidentemente, la empresa existía antes de la modernización, con lo que en este caso tiene sentido que haya tiempos negativos, pues simplemente indican los meses anteriores a la modernización. Los empresarios organizaron todo para que la producción se redujera progresivamente mientras se iban cambiando las máquinas hasta llegar a cero y tras la reapertura se volvió a producir cada vez más rápido mientras se ponía todo a punto. La función producción P(t) en ese intervalo de tiempo viene dada por la figura 4.6.

Figura 4.6. Función del ejemplo explicado en el texto sobre la producción de una empresa.

Siguiendo el sentido de lectura establecido anteriormente, es fácil ver que la función decrece inicialmente y luego crece. Si estudiamos los valores de la derivada dP(t)/dt, cómo cambia la producción en cada instante de tiempo, estableceremos dos regiones. La primera es la parte en la que la función decrece, y ahí encontraremos que dP(t)/dt < 0, ya que cuando hacemos un incremento del tiempo, por pequeño que sea, un dt, el valor de la producción decrece, es decir, pasa de un nivel mayor a un nivel menor, por lo que dP(t) será negativo. En la segunda parte la función crece, y eso se identifica porque ahí dP(t)/dt > 0. Por supuesto, la explicación es totalmente análoga al caso anterior. Eso es lo que hemos representado en la figura 4.7.

Figura 4.7. La función en la que hemos identificado dos regiones respecto a su decrecimiento parte de la izquierda, y su crecimiento parte de la derecha. En cada región están indicados los signos de la derivada de dicha función.

Así que una cuestión importante que debemos tener en cuenta cuando tratemos con funciones es la del signo de su derivada en cada punto de la misma. En el ejemplo anterior representado en la figura 4.7, podemos dividir la función en dos trozos. Por un lado, tenemos la parte izquierda, que iría idealmente desde el -∞ hasta el 0 en la variable que nos ocupa, que contiene a todos los puntos en los que la función decrece. Es decir, su derivada es negativa en todos esos puntos. Por otro lado, tenemos la parte de la derecha, desde el 0 hasta ∞ en la variable, que la conforman aquellos puntos en los que la función tiene la tendencia a crecer. Es decir, los puntos, referidos a la variable en cuestión, en los que la derivada es positiva.

Existe un detalle escondido en esta discusión que acabamos de desarrollar. Si la función pasa de una región en la que decrecía —donde su derivada es negativa— a una región en la que crece —donde su derivada es positiva—, es necesario que haya pasado por un punto en el que la derivada sea igual a 0. Esto es así porque todas las funciones con las que vamos a encontrarnos en este libro cumplen que tanto ellas como sus derivadas varían continuamente. Por lo tanto, si hay un cambio de signo en la derivada, necesariamente se ha tenido que pasar por el 0. Piensa en un ascensor, si te sirve de analogía: para subir del sótano a la primera planta, hay que pasar por la planta baja. Pues bien, en ese punto, donde la derivada vale 0, que es justo donde la función pasa de decrecer a crecer, tiene que ser el valor más bajo que toma la función, un mínimo en la zona en la que la estamos estudiando. De forma análoga, si una función tiene una región en la que se pasa de crecer a decrecer, pasará también por un punto en el que la derivada sea 0, pero en este caso indicará que se trata de un máximo de la función. Así que debemos tener especial cuidado con los puntos en los que las derivadas de las funciones se anulan, porque son puntos especiales. Ojo.

Hasta aquí hemos establecido los rudimentos más básicos y elementales de las funciones y sus derivadas. Ahora, con toda esta batería de conocimientos bullendo en nuestras cabezas, vamos a conocer unas cuantas funciones interesantes. Con esto ejercitaremos nuestras nuevas capacidades matemáticas y descubriremos algunas cosas que serán extremadamente útiles en nuestra verdadera tarea.

Un ramillete de funciones interesantes

Un consejo antes de empezar con esto: fíjate en las gráficas, porque ahí está toda la magia de lo que queremos contar.

1er caso: La función constante

Supongamos que queremos estudiar la función que nos da el número de dedos de los pies en el tiempo de una persona típica. Vamos a tomar a un individuo estándar y anodino, uno que no haya sufrido accidentes que le hayan hecho perder algún dedo ni tampoco tenga ninguna peculiaridad genética al respecto. Denominemos la función D(t). Esta D(t) es igual a 10, independientemente del valor de t que introduzcamos en la función. Así, D(t) = 10 para todo valor de t y, por tanto, es una función constante, como vemos en la figura 4.8.

Figura 4.8. Una función constante, una línea recta horizontal.

Esta función es constante, por lo que la función es insensible a cualquier cambio que hagamos en la variable, dt. Eso significa que la función tiene una derivada nula en todos y cada uno de sus puntos.

Permítenos que insistamos en esta importante lección:

Las funciones constantes tienen derivadas nulas en todos sus puntos.

Eso es lógico porque si una función es constante, ni crece ni decrece, y por tanto su derivada no podrá tomar valores positivos ni negativos. Así pues, la única opción es que sea nula para todos los valores de la variable.

2.º caso: Una función de crecimiento constante

Supongamos que somos premiados por un banco, —cuando se te pase la risa, continúa— con un sueldo para toda la vida —lo sabemos, estás pensando en café—. Cada segundo de nuestra vida nos ingresan en una cuenta una pequeña cantidad de dinero. ¿Cómo podemos representar esta situación con una función? Si definimos la función del dinero en la cuenta del premio por C(t) esta crecerá a un ritmo constante como el que se representa en la figura 4.9.

Figura 4.9. Gráfica de una función de crecimiento constante.

Aquí vemos cómo la función crece por igual en todos los instantes de tiempo, y el resultado es que la gráfica de la función es una línea recta con una determinada pendiente. En lo referente a la derivada, eso tiene dos implicaciones. Por un lado, la derivada será positiva en todos los puntos, pues la función crece. Pero, por otro lado, la función crece de la misma forma en todos los puntos, lo que se traduce en que la derivada tiene un valor constante.

Supongamos que nuestra función tiene una derivada igual a 3: dC/dt = 3. Ahora imaginemos que conocemos a otra chica que también ha sido agraciada con el premio bajo exactamente las mismas condiciones. La única diferencia es que ella ingresa inicialmente 100 euros en la cuenta donde va a recibir el premio otorgado por el banco. ¿Qué será diferente en su función de capital respecto a la nuestra? La respuesta está representada en la figura 4.10.

Figura 4.10. Dos funciones de crecimiento constante. Ambas tienen el mismo crecimiento, por lo que son dos rectas paralelas. La única diferencia es que en la función de arriba el valor en t = 0 es 100 y en la de abajo el valor de la función correspondiente es 0.

Se aprecia que ambas funciones crecen por igual. La única diferencia es que ella tenía 100 euros iniciales en la cuenta, mientras que tú no los tenías. Por lo tanto, la derivada de su función es exactamente igual a la derivada de la tuya. Ambas derivadas son positivas, ambas son constantes y, como hemos imaginado, ambas valen 3. La consecuencia visual es que tenemos dos bonitas rectas paralelas.

Ahora le daremos otra vuelta de tuerca al asunto. Resulta que el dueño del banco es un enamorado de las matemáticas, así que te ofrece el mismo premio que antes pero poniéndote como condición que decidas entre dos opciones. Para que puedas decidir, te muestra las gráficas de la evolución del dinero en la cuenta del premio de las dos posibles opciones, tal y como se ve en la figura 4.11.

Figura 4.11. Dos funciones de crecimiento constante. La función de arriba tiene un crecimiento mayor que la de abajo.

Deberíamos tomar nuestra decisión basándonos en la siguiente pregunta: ¿crecen ambas funciones? Aquí la respuesta es un rotundo sí. Es decir, para las dos opciones tenemos un crecimiento de la función que las representa, por lo que su derivada es positiva en todos los puntos.

¿Por cuál nos decantamos? Por la de crecimiento más rápido, es decir, por la que tenga una derivada positiva mayor en todos sus puntos. Si llamamos C₁(t) a la función representada por la línea superior en la figura 4.11 y C₂(t) a la función representada por la línea inferior, está claro que:

Así pues, la decisión es lógica: nos decantaremos por la opción 1.

Evidentemente, podemos encontrarnos con situaciones en las que tengamos una pérdida continua y constante. Supongamos que alguien está en paro y no recibe ningún ingreso, pero tiene unos gastos fijos mensuales. La gráfica que sigue su capital en función del tiempo será una línea con pendiente negativa, derivada menor que cero en todos sus puntos y constante como la representada en la figura 4.12.

Figura 4.12. Función de decrecimiento constante.

En resumen, si nos encontramos con que tenemos una función del tiempo de la que conocemos su cambio, es decir, su derivada en todos los puntos, y esta es constante, entonces sabemos qué tipo de función es, como vemos en la figura 4.13.

Figura 4.13. Tabla resumen de las funciones de crecimiento/decrecimiento constante. En la tabla se indican los signos de la derivada de dichas funciones y sus posibles gráficas.

Dato importantísimo

No sabemos si hemos sido lo bastante insistentes como para que te hayas percatado de la importancia de lo que acabamos de discutir. Lo que estamos diciendo es que tan solo con conocer la derivada, aun cuando no tengamos ni idea de su función, podemos deducir el comportamiento de dicha función desconocida. Si la derivada es una constante, la función vendrá asociada a una línea recta. Oh, ¿no es maravilloso?

Esto, que se repite en muchas ocasiones —y aquí nos vamos a encontrar con unas cuantas—, en realidad es lo que subyace a eso que se llama resolver e interpretar ecuaciones diferenciales. ¿Cómo te quedas?

3er caso: Funciones de crecimiento y decrecimiento exponencial

Unas funciones que son extremadamente útiles para la descripción de muchos procesos que abarcan desde la física hasta la biología, pasando por el resto de campos del conocimiento humano, son las que representan crecimientos y decrecimientos exponenciales. Estas funciones tienen unas propiedades muy interesantes en lo relativo a su cambio, su derivada, como descubriremos en breve.

Vamos a recuperar una bonita historia sobre el origen del ajedrez. Se cuenta que hace mucho mucho tiempo, vivía en la India un poderoso mandatario cuyos poder y riqueza eran inimaginables. Desgraciadamente, este mandatario padecía de un insoportable aburrimiento crónico, pues aún no se habían inventado los teléfonos móviles. Para solucionar este pequeño problema, convocó a todos los sabios de su región para que diseñaran un juego con el que entretenerse. Al cabo de un tiempo, uno de los sabios le entregó el juego del ajedrez. El mandatario quedó tan encantado con el juego que convocó al inventor de este y prometió otorgarle aquello que deseara para premiarlo por su invención. El sabio pidió por su trabajo una recompensa aparentemente humilde. Lo que deseaba era que se le concediera un grano de arroz por el primer escaque del tablero del juego. Dos granos de arroz por el segundo escaque. Cuatro por el tercero. Ocho por el cuarto, y así sucesivamente duplicando el número anterior de granos de arroz por cada escaque del tablero, como vemos en la figura 4.14. El gran señor se quedó extrañado y complacido por tan nimia petición, así que encargó a sus contables que calcularan el número total de granos de arroz que se le habrían de entregar al sabio. Al poco tiempo, aprendió una valiosa lección: ni tan siquiera él mismo, el poderoso mandatario, con toda su riqueza y poder, podría satisfacer tal deseo. El número de granos de arroz que se necesitarían para poder pagar al sabio sobrepasaba con mucho toda la producción mundial de arroz. El poderoso hombre tuvo que claudicar ante la grandeza del crecimiento exponencial.

Figura 4.14. Un grano de arroz en el primer escaque, dos en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente.

¿Sabéis por qué pasaba eso?

El secreto está en el tipo de crecimiento que se da en este caso. En cada casilla del tablero se duplica el número de la anterior. En la primera casilla ponemos 1 = 2⁰ granos de arroz. En la segunda casilla tendremos 2 · 1 = 2 = 2¹ granos de arroz. En la tercera casilla tendremos 2 · 2 · 1 = 2² granos de arroz. Siguiendo este procedimiento, en la casilla número 64 tendremos que disponer 2⁶³ granos de arroz que son 9 223 372 040 000 000 000 granos de arroz. Tal vez te preguntes si ese número es muy grande o no. Baste decir que con solo esos granos de arroz, los de la última casilla, se le podría dar un kilo de arroz a cada habitante del planeta durante aproximadamente 300 años, y eso sin contar todas las demás casillas.

Este tipo de comportamientos, los de crecimiento exponencial, son muy populares en la naturaleza. Un ejemplo útil y temible al mismo tiempo es el de las reacciones nucleares de fisión. Hay determinados núcleos que son susceptibles de dividirse en otros dos núcleos más pequeños, de forma que en el proceso se emite una determinada cantidad de energía. Este proceso de división de un núcleo en dos más pequeños o de fisión nuclear se da en un determinado tipo de uranio. Para que el uranio fisionable sufra este proceso, ha de recibir el impacto de un neutrón, una partícula nuclear neutra, con una determinada energía. Cuando el neutrón impacta con la energía adecuada contra un núcleo de uranio fisionable, este último se divide en dos núcleos más pequeños, emite energía y expulsa dos neutrones efectivos, que salen despedidos a gran velocidad. Si tenemos una muestra abundante de uranio fisionable, esos dos neutrones encontrarán otros dos núcleos que se fisionarán emitiendo dos neutrones cada uno, para sumar un total de cuatro en juego. Entonces, el proceso entra en una cascada donde el número de neutrones se dobla a cada paso, como en el cuento del ajedrez. En este proceso, llamado reacción en cadena, se libera una brutal cantidad de energía que el mundo ha aprendido a usar para distintos fines, no todos ellos de elevado carácter moral.

¿Cuál es la tasa de crecimiento más rápida posible en este tipo de comportamientos? En los ejemplos anteriores, en los que los granos de arroz o los neutrones doblan su número a cada paso, la razón de crecimiento es igual a 2. Pero puede ocurrir que el crecimiento sea continuo, es decir, que no vaya a saltos en los que en cada paso doble la cantidad anterior, sino que vaya creciendo de forma continua. Matemáticamente, se puede demostrar que la razón que da el crecimiento más rápido para el comportamiento descrito es el número de Euler, el número e. Este número tiene infinitos decimales y no puede ser expresado como una fracción simple, como ocurre con el número pi. El valor aproximado es de 2,718281828459045235… Por lo tanto, la función f(t) = et nos da el crecimiento más rápido que se puede obtener en procesos descritos por funciones simples, ya que en cada paso infinitesimalmente pequeño multiplicamos el resultado del paso anterior, que está infinitamente cerca, por la razón de crecimiento máximo, el número e. Esta función se denomina exponencial y su gráfica viene representada en la figura 4.15.

Figura 4.15. Función exponencial.

Si te lo preguntas, te diremos que sí, que existen funciones que crecen mucho más rápido que la exponencial pero son funciones bastante más complicadas. La función exponencial es la función simple de crecimiento más rápido, pero no es la función que crece más rápido. Hay infinitas funciones, más retorcidas, que superan sobradamente a la exponencial en lo que a crecimiento se refiere.

A la vista de la figura 4.15, son evidentes algunas de las interesantísimas propiedades de la exponencial. En concreto, la función siempre es creciente, por lo que su derivada df/dt siempre será positiva. Eso es lo que podemos deducir de la gráfica.

Pero hay otra sorpresa, y bastante impactante. Si tenemos en cuenta que la derivada da el crecimiento de una función, la derivada de una función exponencial como la del ejemplo de la figura nos dirá que el crecimiento es justamente exponencial. Es decir, cuando aumentamos levemente el valor de la variable, la función crece de forma exponencial. Por lo tanto, podemos concluir que la derivada de la función exponencial es justamente una función exponencial. Así obtenemos un interesante resultado:

La derivada de la función exponencial es justamente una función exponencial.

Y ese es un resultado que simplifica mucho la vida.

Si en el exponente de la exponencial, donde está la dependencia con el tiempo, introducimos un signo menos, f(t) = e-t, el resultado será una función que nos da el decrecimiento más rápido posible, en términos de funciones elementales, en aquello que estemos representando por la función, y será un decrecimiento exponencial, como vemos en la figura 4.16.

Figura 4.16. Decrecimiento exponencial.

Una cuestión importante es que, como cualquier otro número, el número e elevado a 0 es igual a 1. Eso quiere decir que para la función f(t) = et tendremos el valor f(0) = e⁰ = 1. En el instante inicial tendremos una población, de aquello que estemos representando con la función, de 1. ¿Qué ocurre si queremos que sea otro valor distinto? ¿Qué ocurre si el valor inicial de una población es 100, 1000 o 3456? La respuesta es simple: basta con multiplicar la exponencial por ese valor para que sea nuestro valor inicial. En la figura 4.17 tenemos un ejemplo para un valor inicial distinto de 1.

Figura 4.17. Exponencial con valor inicial de 20. Hemos extendido el rango de la variable a valores negativos para ver cómo efectivamente la función corta el eje vertical en el valor 20.

Por lo tanto, tenemos que las funciones del tipo f(t) = Aet también son de crecimiento exponencial, pero con un valor de la población de elementos para el valor 0 de la variable representados por el número A, que generalmente para nosotros siempre será positivo y real, aunque esto no sea ni por asomo una obligación. En este tipo de funciones se sigue verificando que la derivada nos devuelve como resultado la misma función.

Como hemos insistido en esta parte, la exponencial nos da el máximo crecimiento posible para cualquier tipo de población que esté representada por una función simple. Sin embargo, esto no acaba aquí. En cierto sentido, podemos «acelerar» o «frenar» ese crecimiento haciendo que el cambio sea más acusado o menos acusado. Eso se consigue manipulando el exponente de la exponencial. Si empleamos una función del tipo f(t) = Aert, tendremos un parámetro r que será un número real, positivo para crecimiento exponencial o negativo para decrecimiento exponencial, de forma que ocurrirán tres situaciones.

1.- La primera situación es la que hemos visto ya, cuando r = 1, donde tenemos un crecimiento exponencial.

2- Si el parámetro es mayor que 1, r > 1, el crecimiento seguirá siendo exponencial pero mucho más acusado.

3.- Si, por contra, r < 1, el crecimiento exponencial será mucho más suave.

Estas situaciones se representan en las figuras 4.18 y 4.19.

Figura 4.18. Tres exponenciales para valores de r = 2 en la curva superior, r = 1 en la curva intermedia y r = 0,5 en la curva inferior. Se aprecia cómo el crecimiento es, respectivamente, mucho más acusado cuando r > 1 y mucho más suave cuando r < 1, diferenciándose de lo que ocurre en el caso de r = 1.

Figura 4.19. Aquí se observa claramente, para un rango más amplio en el eje de la variable, que la función con r > 1, representada aquí por la gráfica superior para un r = 2, domina rápidamente a las otras dos, con r = 1 y r = 0,5. Es decir, su crecimiento es mucho más salvaje.

¿Cómo será la derivada para el caso en el que r no sea igual a la unidad? Primero te vamos a presentar el resultado.

La derivada de una exponencial con un exponente multiplicado por un número constante r es igual a la misma exponencial multiplicada por dicha r.

Como ves, la derivada de una exponencial, en el caso más general para r distinto de la unidad, es igual a la misma exponencial multiplicada por r. La razón de este resultado se debe al significado que le estamos asignando a la exponencial et, que es que en cada instante de tiempo el valor de nuestra población se multiplica por e. Sin embargo, si tenemos la exponencial e2t y suponemos que la variable nos indica tiempos, para simplificar la discusión, cada instante de tiempo para esta función equivale a 2 instantes para la otra con r = 1. Esto implica que el crecimiento de dicha función se «acelera», como ya hemos visto en las distintas figuras. Para el caso de r < 1 la situación es inversa, pues es como si dividiéramos el instante de tiempo y, por ello, el crecimiento es mucho más moderado. El parámetro r controla la rapidez o lentitud con que se produce el comportamiento exponencial.

Para finalizar con nuestra amiga la función exponencial, recuperemos por un momento la siguiente relación:

Podemos decir que:

La derivada de una exponencial es proporcional a la exponencial, donde el coeficiente de proporcionalidad, r, es el número que se encuentra en el exponente.

Cuando nos encontremos con una ecuación que involucra una derivada de una función desconocida, pero de la que sabemos que su resultado es proporcional a dicha función, ya sabemos que la forma de la función será f(t) = Aert. Y esa es una información muy interesante que nos conviene retener.

4.º caso: Función logística

Para acabar con la presentación de algunas funciones, nos vamos a detener en la función logística. Esta función también es conocida como función S, dada su forma característica, que veremos en breve.

La función logística aparece en muchos campos cuando se intentan representar los crecimientos de determinadas poblaciones. De hecho, su origen se remonta a los estudios que en el siglo xix se realizaban sobre crecimiento de poblaciones bajo unas condiciones dadas de espacio y recursos. Su forma matemática no es tan simple como las funciones anteriormente presentadas, así que nos limitaremos a conocer su gráfica y su derivada, que son los dos elementos que necesitamos controlar para extraer la información que nos interesa.

Antes de presentar la forma de la función, vamos a plantearnos la siguiente situación:

Supongamos que estamos en un salón de actos con 100 personas y tenemos una cantidad ingente de canicas en una bolsa. Seleccionamos a una persona al azar y le damos una canica. Ahora esta persona tiene permitido tomar otra canica de la bolsa y entregársela a otra persona únicamente si esta última no tenía ya una canica. Una vez haya cogido su canica, esta tercera persona repetirá el proceso. Cada persona que recibe una canica ha de seguir el mismo juego: irá a la bolsa y le entregará una canica a alguien que aún no tenga canica, y así sucesivamente. ¿Cómo se comportará la gráfica que representa el número de personas que poseen canicas en el salón de actos?

Pensando un poco —un ejercicio muy recomendable esto de pensar—, podemos intuir que inicialmente el número de personas con canicas es nulo. Nadie tiene canicas. En cuanto le damos una canica a una persona escogida al azar, empieza el juego. Ahora bien, esa persona tiene a otras 99 para entregarles canicas y le dará una de la bolsa a cualquiera de su elección. Ahora hay dos personas que pueden entregar canicas y 98 que no. Si seguimos esta cadena, podemos suponer que el crecimiento del número de personas con canicas será muy suave al principio, pero que rápidamente crecerá de forma análoga a la exponencial. ¿Se puede mantener ese crecimiento en el juego indefinidamente? Pues al pensar un poco más —cuidado ahí—, vemos claramente que la respuesta es negativa. La condición de que solo pueden entregar canicas a aquellos que no tengan ninguna previamente es determinante. Si seguimos la evolución del juego planteado, podremos intuir que llegará un momento en el que muchas personas tengan canicas y querrán entregar más canicas, pero el número de posibles candidatos a recibirlas será cada vez más reducido, por lo que el crecimiento sufrirá un freno importante. Finalmente, el crecimiento se parará por completo, y el juego también, cuando todos los participantes tengan una canica en su poder.

Si hemos seguido esta cadena de razonamientos, es posible que hayamos notado como en nuestra cabeza se dibujaba una función con forma de S. Es que somos unos idealistas y confiamos plenamente en ti. De todas formas, hemos dibujado la función logística, como vemos en la figura 4.20.

Figura 4.20. La forma típica de la función logística.

Como se muestra en la figura 4.21, la función al principio intenta parecerse a una exponencial, pero su crecimiento se ve suavizado hasta que llega a una zona de saturación.

Figura 4.21. Los distintos crecimientos contenidos en la función logística.

Tan solo nos queda un elemento para tener todo lo que necesitamos de la función logística: su derivada. Si s(t) es una función logística, entonces su derivada tiene el siguiente aspecto:

Así es como luce la derivada de la función logística. La N que aparece en la expresión es una constante cuyo significado dependerá del problema concreto en el que aparezca esta derivada.

La potencia de este resultado reside en lo siguiente. Imaginemos que nos piden encontrar una función que cumple que su derivada tiene la estructura anterior. A saber, es la propia función multiplicada por la diferencia entre una constante N y dicha función. Entonces, sin ninguna duda, podemos decir que la función desconocida no es otra que la función logística. En los modelos que vamos a manejar en este libro la N representa el número total de individuos de la población de interés.

Esta derivada también puede presentarse multiplicada por una constante real K y sigue siendo la derivada de una función logística.

Por lo tanto, esta no es más que otra forma posible de la derivada de la función logística.

Una vez alcanzado este punto álgido del libro, podemos estar seguros de que tenemos el suficiente arsenal de resultados matemáticos como para afrontar el estudio de epidemias y temas relacionados desde este punto de vista.

Nota

3.Nota de los autores: Esto no ha de tomarse en sentido literal, a ser posible.

Capítulo 5:

Epidemias y sus modelos

En este quinto capítulo vamos a encontrarnos de lleno con el meollo de este libro: la propagación, dinámica, comportamiento y posible control de las enfermedades. Cuando pensamos en enfermedades y epidemias, se nos viene a la cabeza la investigación farmacológica, nuevos tratamientos, nuevas vacunas, medicina, biociencias, etc. Pocas veces, por no decir ninguna, pensamos en las matemáticas como una herramienta a nuestra disposición para aprender sobre enfermedades y sobre el control de las mismas.

El objetivo de esta parte del libro es introducirnos en la epidemiología matemática. Las matemáticas son un poderoso lenguaje que se aplica a todas las disciplinas y actividades humanas. Su utilidad y potencia a la hora de resolver problemas estriba en su maravillosa naturaleza lógica y en su capacidad para localizar los elementos esenciales de un problema y las relaciones entre ellos. Con las matemáticas podemos predecir cómo se comportará una enfermedad en determinadas circunstancias o cuándo se producirá una epidemia, y eso nos ayudará a entender por qué es tan importante la vacunación. Evidentemente, las matemáticas por sí solas no curan enfermedades ni nos protegen de sucumbir ante una epidemia desconocida, pero lo que sí hacen es mostrarnos cómo luchar contra ellas y cómo atajarlas lo más rápidamente posible.

A lo largo de este capítulo iremos viendo cómo modelizar enfermedades y epidemias desde un punto de vista matemático. No nos centraremos en ninguna enfermedad infecciosa en particular. Nuestro objetivo es aprender a construir modelos que nos permitan describir la propagación de una enfermedad y la posible aparición de una epidemia. Para ello, vamos a tratar pormenorizadamente los dos modelos más simples en epidemiología matemática. Luego discutiremos cómo extrapolar estos modelos a situaciones más complejas.

«Con las matemáticas podemos predecir cómo se comportará una enfermedad en determinadas circunstancias».

Podemos afirmar sin ruborizarnos que los modelos siempre son idealizaciones que difícilmente dan cuenta de todas las características de los casos reales. Sin embargo, veremos que esos modelos esconden muchas ideas provechosas que nos ayudarán a entender mejor el comportamiento y control de enfermedades y epidemias.

Si has llegado hasta este punto del libro, puedes estar seguro de que, con los elementos que hemos ido acumulando hasta este capítulo, estás más que preparado para afrontar este nuevo desafío.

Los protagonistas

Para poder entender y elaborar modelos sobre cómo se propaga una enfermedad en una población, lo primero que necesitamos es justamente eso, una población. Nuestras poblaciones tendrán el aspecto típico representado por la figura 5.1.

Figura 5.1. Nuestra población típica. Se puede observar que hay tres tipos de bichos.

En la figura 5.1 podemos apreciar distintos tipos de individuos marcados con distintos colores. El color de los bichos de nuestra población no es gratuito, sino que será un elemento importante para poder hacer buenos modelos. Vamos a conocerlos un poco mejor en la figura 5.2.

Figura 5.2. Aquí tenemos a los tres protagonistas más importantes de nuestra historia. En blanco tenemos a los bichos susceptibles de contraer una enfermedad dada. En negro tendremos los que ya están infectados, que generalmente supondremos que son los que también pueden infectar. Por último, en gris tendremos a los que se han recuperado de la enfermedad.

En la figura 5.2 aparecen los individuos clasificados según su relación con la enfermedad. Desgranemos un poco lo que significa cada término y color e introduzcamos algunos símbolos matemáticos, que para eso estamos leyendo este libro.

1.- Susceptibles: Marcados en blanco en la figura 5.2, los individuos susceptibles serán todos aquellos que pueden contraer una enfermedad infecciosa pero que aún no se han infectado. Son aquellos que, por una causa u otra, no son inmunes a la enfermedad. Al número de individuos susceptibles en cada instante de tiempo en una población los denotaremos por la función S(t).

2.- Infectados: Estos individuos, marcados en negro en la figura, por supuesto son aquellos que han contraído la enfermedad. En realidad, tendríamos que diferenciar entre infectados e infecciosos, ya que hay enfermedades que pueden ser contagiadas antes de que un individuo presente la enfermedad en sí misma. Para mantener la discusión en los términos más simple posibles, vamos a suponer que el carácter de infectado e infeccioso se da simultáneamente. Al número de infectados por una enfermedad en una población los representaremos por la función I(t).

3.- Recuperados: Estos son los individuos etiquetados por el color gris en la figura 5.2. Siendo formales, estos son aquellos individuos de una población que han sufrido la enfermedad pero que ya no la transmiten. Eso puede ocurrir por dos motivos: o bien se han recuperado de la enfermedad por completo y la han eliminado totalmente, o bien han fallecido y, por tanto, han perdido la capacidad de contagiar a otros elementos de la población. Es más reconfortante pensar en la primera opción. Al número de recuperados en una población por unidad de tiempo los denotaremos por la función R(t).

Sabemos que es un poco impersonal lo que viene a continuación, pero dado que estamos tratando, o más bien queremos tratar, con modelos matemáticos, se nos ocurren pocas cosas más asépticas que eso. Con ello nos referimos a que en nuestros modelos, en general, tendremos en cuenta la relación entre tres grupos: el grupo de los susceptibles, el de los infectados y el de los recuperados. Es decir, nosotros hemos de pensar en la población como tres bloques que interactúan entre sí, tal y como se muestra en la figura 5.3.

Figura 5.3. Nuestra población será subdividida en tres grupos: el de los susceptibles, el de los infectados y el de los recuperados.

Cocinando modelos

Nuestra tarea ahora es proponer modelos que nos digan cómo cambia con el tiempo el número de individuos en cada grupo de la población. Es decir, estamos interesados en encontrar cómo son las derivadas —te las explicamos en el capítulo anterior, ¿recuerdas?, seguro que sí, no hace tanto de aquello— de las funciones S(t), I(t), R(t).

En definitiva, nuestro objetivo es determinar cómo se comportan estas derivadas.

Si conocemos el comportamiento de las derivadas, conoceremos también si el número de individuos en cada grupo crece o decrece y, con las herramientas que hemos ido aprendiendo hasta llegar aquí, podremos determinar si se producirá una epidemia o si mantendremos bajo control la enfermedad.

Otro punto importante a la hora de elaborar modelos epidemiológicos es determinar cómo se propaga la enfermedad. Para ello, hemos de imponer condiciones sobre el contacto entre los distintos individuos y sobre lo fácil o difícil que sea contagiar a un individuo susceptible. Todo ello aparecerá en el modelo como parámetros y condiciones sobre las distintas derivadas que queremos plantear. En este punto podríamos elucubrar teóricamente todo lo que quisiéramos, pero lo más conveniente es empezar a cocinar modelos por nosotros mismos. Y como dijo alguien: «Empieza por el principio, y cuando llegues al final… te paras»⁴.

Modelo SI

Para empezar, vamos a concentrarnos en el modelo más simple que se nos ocurra. Este es el modus operandi típico en la parte de la investigación científica que se ocupa de diseñar modelos. Primero, se diseña un modelo lo suficientemente simple como para permitirnos extraer todas las conclusiones posibles, y luego ya nos ocuparemos de situaciones más complicadas. El modelo que nos vamos a plantear es aquel en el que los elementos de la población solo pueden estar en dos estados: o bien susceptibles, o bien infectados. De ahí su denominación, modelo SI.

Para empezar, vamos a asumir una determinada población con N individuos. Nadie entra ni sale de la población, no hay nacimientos ni muertes. Por lo tanto, N es una cantidad constante. Sabemos que esta es una gran simplificación, porque en la realidad las poblaciones están sujetas a variaciones por muchos motivos —las más evidentes son los nacimientos y las muertes, los viajes, etc.—. Pero, como hemos dicho, conviene que simplifiquemos esto tanto como sea posible, así que consideraremos que el número de elementos total es constante.

Podemos asumir que esta restricción sobre el número total de individuos de la población de interés tiene sentido si es aplicada a una enfermedad cualquiera que se propaga rápidamente. Eso hace que el número de recuperados, si consideramos un intervalo de tiempo lo suficientemente corto, sea nulo. Como resultado, en un instante determinado nuestra población estará compuesta por individuos susceptibles e individuos infectados, como se ve en la figura 5.4.

Figura 5.4. Población típica, en un instante determinado, para el modelo SI.

Si aplicamos todo nuestro conocimiento matemático, de inmediato dividiremos la población en dos grupos de individuos: los susceptibles, cuyo número en cada instante de tiempo vendrá dado por S(t), y los infectados, con la función I(t) para su número en cada instante. Y como somos muy despiertos, deducimos que, dado que N es el número de individuos totales en todo instante, en nuestro modelo se ha de cumplir que S(t) + I(t) = N. Por lo tanto, tenemos dos funciones desconocidas, por ahora, pero sabemos que han de cumplir una restricción, su suma ha de ser constante e igual al número de elementos de la población en todo instante.

Llegados a este punto, hemos de preguntarnos cómo se transmite la enfermedad e intentar que esa transmisión aparezca en las ecuaciones que van a gobernar el modelo de evolución de la misma en nuestra población. Para empezar con la tarea, seguiremos nuestra filosofía de simplificar al máximo. Por este motivo, vamos a suponer, por ahora, que cada vez que un susceptible y un infectado tienen contacto se produce la transmisión de la enfermedad. Por otro lado, supondremos que en la población se da una mezcla homogénea de infectados y susceptibles, es decir, que la probabilidad de que un susceptible pase a ser infectado es la misma para todos los miembros de la población. Según esto, estamos suponiendo que cada vez que un elemento de S contacta con un elemento de I, se produce un contagio, de forma que obtenemos dos elementos de I en el proceso. Esto es lo que se representa, en un formato que recuerda a la forma de escribir reacciones químicas, en la figura 5.5.

Figura 5.5. Cuando un infectado contacta con un susceptible, lo infecta, por lo que ya tenemos dos infectados.

Vamos a seguir introduciendo condiciones en nuestro modelo, que para eso es nuestro. Supondremos que cada individuo infectado puede contactar con cualquiera de los susceptibles —esto no cambia respecto a lo que hemos hecho hasta ahora—. Todos se conocen, todos contactan, así que podemos considerar que susceptibles e infectados se mezclan todos con todos. Las distintas formas de contactar entre susceptibles e infectados en cada instante vendrá dada por el producto S(t)I(t). Eso es porque al multiplicar el número de elementos en S(t) por los de I(t) en cada instante, lo que estamos haciendo en realidad es dar cuenta de todas las posibles formas que tienen de contactar entre ellos.

Aquí tenemos que hacer una parada técnica. Sabemos que en todo el modelo las funciones S(t) e I(t) son funciones que dependen del tiempo, de modo que vamos a simplificar la notación a simplemente función S y función I. Así pues, no te sorprendas cuando empleemos las dos notaciones indistintamente y sin previo aviso. Podríamos decir que es un delicado detalle técnico o algo así, pero en realidad, como habrás supuesto, es pura vagancia. Los ingleses, que son más modernos, suelen decir for short.

Ahora estamos en disposición de responder a estas preguntas: ¿cómo se comportan las derivadas de S y de I?, ¿cómo cambia el número de individuos en cada grupo de la población con el tiempo? La respuesta no puede ser más sencilla: si cada vez que un infectado y un susceptible se encuentran este último queda infectado, el número de elementos de S decrece con el tiempo. Y ese decrecimiento solo puede ser debido a la mezcla entre susceptibles e infectados, es decir, al producto SI. Ha de resultar insultantemente evidente que el número de infectados debe crecer exactamente de la misma forma que decrece el número de susceptibles. Por lo tanto, las derivadas que da como resultado nuestro modelo, por el momento, son las indicadas a continuación.

Como se observa, hay un cambio de signo en el comportamiento de las dos derivadas referidas. Esto es lógico y solo quiere decir que lo que crece una es justamente lo que decrece la otra. Si el conjunto S pierde un miembro es porque lo ha ganado I, no hay más. La cuestión fundamental es que, en todo momento, S + I = N, así que lo que crece I es justo lo que decrece S, y viceversa.

Ya hemos establecido la forma de las derivadas de las funciones S e I. Sabemos que una ha de crecer lo mismo que decrezca la otra. Por eso la derivada de S es negativa, porque indica que el número de susceptibles disminuye proporcionalmente a la mezcla entre individuos susceptibles e infectados. El comportamiento de la función I, por su parte, es justo el opuesto: crece exactamente como decrece S, ya que el número de infectados aumenta al disminuir el de susceptibles. En todo el proceso, como hemos impuesto, S + I = N para todo instante.

Aún podemos darle una vuelta más al modelo. Para ello, vamos a introducir un parámetro que controle a cuántos susceptibles es capaz de contagiar un infectado. En cierto sentido, vamos a introducir lo fácil o difícil que es que se produzca la transmisión de la enfermedad. Evidentemente, eso dependerá de la enfermedad en cuestión que estemos considerando, es decir, dependerá de la biología. Pero, dado que estamos hablando de matemáticas, lo mejor que podemos hacer es intentar reducir todo eso a un parámetro.

Como hemos dicho, habrá enfermedades que sean difíciles de transmitir y otras que sean muy contagiosas. Así pues, introduciremos un número que denotaremos por una letra griega, que eso gusta mucho en matemáticas: la letra β. Esta letra da cuenta de a cuántos susceptibles puede contagiar un único infectado. El parámetro β puede tomar valores que van desde cero hasta infinito. Si el parámetro tiene un valor de 2, significa que cada infectado es capaz de infectar de forma efectiva a dos susceptibles. Evidentemente, cuanto mayor sea su valor, más temible será la propagación de la enfermedad. ¿A que es impresionante lo que se puede describir con un parámetro de estos?

Ahora la cuestión es dónde introducimos ese parámetro, y la respuesta es simple: en la mezcla entre susceptibles e infectados, SI. Es justamente en la mezcla, cuando contactan elementos de S con elementos de I, cuando se producen las infecciones, así que es casi trivial introducir el parámetro justo en ese término de nuestras ecuaciones. De hecho, no había muchos más sitios donde ponerlo. Por lo tanto, en realidad las derivadas vendrán dadas por el producto βSI, que es la mezcla entre los individuos de S y los de I y la facilidad de contagio de la enfermedad.

Ahora estamos felices y contentos, hemos conseguido extraer de nuestro modelo las derivadas que nos dan el comportamiento en el tiempo de las funciones S e I. Desgraciadamente, la felicidad es muy fugaz. ¿Acaso tenemos la menor idea de cómo se comportan S e I? ¿Podríamos representar esas funciones? Tanto S como I son funciones desconocidas, así que tendremos que aguzar el ingenio para determinar qué aspecto tienen y cómo se comportan en una gráfica.

Tal vez lo mejor ahora sea usar nuestra poderosa intuición matemática y responder tras un tiempo de profunda reflexión: ¿a qué se parece este problema?, ¿hemos visto un ejemplo análogo en este libro? En este momento es cuando los que aquí escriben esperan que pienses y hojees el libro compulsivamente buscando alguna pista que te conduzca al final del laberinto en el que nos encontramos. Tras ello, lo ideal sería que todos gritáramos «¡Canicas!».

Efectivamente, en algún punto del capítulo anterior hemos hablado de un juego imaginario con canicas. El comportamiento del modelo SI es exactamente igual. Supongamos que tenemos nuestra población total, en la que todos son susceptibles de contraer una determinada infección. Imaginemos un grupo de colegiales, el aula donde estudian y un resfriado, por ponernos en contexto. Considerando que se cumplen las condiciones del modelo SI, no es difícil encontrar la similitud con el juego de las canicas. Si un determinado individuo de la población, o un número pequeño de ellos, contrae de alguna forma la enfermedad, empezará un proceso de contagio. Es meridianamente claro que este proceso no puede durar para siempre, porque hay un número finito de individuos en la población. Por lo tanto, al principio ha de crecer mucho el número de infectados, casi exponencialmente, y luego suavizarse hasta saturarse cuando el número de infectados sea el de la población total. Sin ningún género de dudas por nuestra parte, podemos intuir que la función I(t) ha de ser una función logística.

¿Podemos deducir eso del propio modelo?

La respuesta es sí. Echemos un ojo al esqueleto matemático de nuestro modelo:

Lo primero que vemos es que ninguna de esas derivadas tiene la forma de la derivada de una función logística, que escribimos a continuación de nuevo.

Además, en las derivadas de la función S aparece una dependencia en la función I y viceversa. Se dice entonces que tenemos que resolver ecuaciones acopladas, ya que para obtener la forma de una de las funciones necesitamos saber la de la otra función. Este es un problema no siempre fácil de resolver —de hecho, pocas veces lo es—. Pero hete aquí que tenemos un ingrediente que tal vez nos sea útil, y es que la suma de S e I siempre es constante e igual al número total de individuos de la población. Por lo tanto, podemos expresar una función, por ejemplo la I, en términos de la otra, ya que se ha de cumplir en todo instante que I = N - S. Por lo tanto, aunque en las ecuaciones aparezcan las funciones I y S, en realidad basta conocer solo una de ellas para resolver todo el problema.

Está claro que no nos van a dar ningún galardón matemático por esta manipulación, pero no por ello deja de ser importante en nuestro modelo. Insistiremos en que eso indica que las funciones S e I no son independientes, sino que están relacionadas entre sí. Conocida una, conocidas ambas. Eso nos permite reescribir la derivada —o ecuación diferencial, si nos venimos muy arriba— para la función I, del modo indicado a continuación. Tan solo hemos de utilizar la relación S = N - I.

En este momento, ha de ser más que evidente que estas dos expresiones de la derivada temporal de la función que representa el número de infectados son totalmente equivalentes.

Y ya estamos más cerca de nuestro objetivo, porque somos capaces de expresar la derivada temporal de la función I(t) en términos de una constante y la propia función I(t). Para más fortuna, notamos que la derivada expresada solo en términos de la función I(t) tiene el aspecto de la derivada de una función logística:

Si observamos las expresiones anteriores, podemos concluir que, efectivamente, estamos ante toda una función logística. Evidentemente, la función S(t) se podrá obtener de esta, si resolviéramos apropiadamente la ecuación, lo cual no nos preocupa por el momento, y tendría un comportamiento totalmente simétrico. La gráfica de estas dos funciones es la dada en la figura 5.6.

Figura 5.6. El comportamiento en el tiempo de la función del número de Susceptibles y el número de Infectados en el modelo SI.

A través de lo que hemos ido descubriendo en el modelo SI, podemos establecer que el comportamiento cualitativo para las funciones S(t) e I(t) es el representado en la figura 5.6. Evidentemente, al inicio de la infección es muy fácil que se produzca el contagio, ya que hay muchos susceptibles con los que interactuar. Por eso I(t) presenta un fuerte crecimiento inicial y S(t) presenta el correspondiente decrecimiento. Llega un punto en el que empieza a haber muchos infectados y pocos susceptibles de infectarse, con lo que el crecimiento se suaviza hasta llegar a detenerse cuando la totalidad de la población está infectada, es decir, cuando I(t) = N y, por tanto, S(t) = 0.

Antes de concluir con este simple modelo, vamos a vislumbrar el efecto que tiene el parámetro β en el comportamiento del número de infectados. Para ello, vamos a graficar tres funciones I(t) con valores del parámetro de 0,5, 1 y 2. El resultado se muestra en la figura 5.7.

Figura 5.7. Comportamiento de la función I(t) para diversos valores del parámetro de contagio β.

La figura 5.7 es muy reveladora porque muestra, como discutimos anteriormente, que el parámetro β controla la capacidad de transmisión de la enfermedad. Para valores de β > 1, la enfermedad se propaga muy rápidamente. Para valores de β < 1, la enfermedad no se contagia fácilmente y la propagación es muy lenta. Está claro que en este modelo donde solo hay susceptibles e infectados, al final, si esperamos el suficiente tiempo, todos los miembros de la población acabarán en el conjunto I.

Hemos presentado con éxito el modelo SI. De hecho, esperamos que hayas sido capaz de deducir las partes esenciales del modelo por ti mismo. Ciertamente, es un modelo muy simplificado, pero en el que hemos podido apreciar la potencia de estos métodos en la descripción de la propagación de enfermedades infecciosas. Afortunadamente, no hay muchas enfermedades que sigan este modelo durante un intervalo prolongado de tiempo. Nuestro organismo nos capacita para desarrollar inmunidad frente a la enfermedad y poder librarnos de ella. En situaciones menos favorables, la enfermedad va acabando con los contagiados y los expulsa, de malas maneras, del grupo I(t). Eso nos obliga a ampliar nuestro modelo un poco más incluyendo este comportamiento más cercano a la realidad.

Modelo SIR

En esta sección nos planteamos construir un modelo en el que tengamos en cuenta la posibilidad, o bien de recuperación, o bien de fallecimiento, de los individuos afectados por una enfermedad infecciosa, además de los susceptibles y de los propiamente infectados e infecciosos. Para ello, usaremos a todos los protagonistas introducidos al principio del capítulo en la figura 5.2.

Como antes, los individuos susceptibles son los propensos a contraer la enfermedad que será transmitida por un infectado. Los infectados son aquellos que sufren la enfermedad y son capaces de transmitirla. Los recuperados son todos aquellos individuos que han sufrido la enfermedad pero que se han recuperado o han muerto, por lo que en ninguno de ambos casos se transmite ya la enfermedad. Aquí debemos suponer que, una vez que un individuo de la población se ha recuperado, adquiere inmunidad permanente a la misma y nunca más vuelve a padecerla. Esta es otra condición ideal en el problema que nos planteamos, aunque no la cumplen todas las enfermedades reales. Sin embargo, nos vamos a agarrar a ella como a un clavo ardiendo para seguir simplificando al máximo las matemáticas.

Al igual que hicimos en el modelo SI, vamos a establecer las condiciones que queremos para este nuevo modelo. Haremos una lista para tener claras cada una de las mismas.

1.- El número de individuos de la población permanece constante, N. No consideramos nacimientos, muertes, migraciones ni ningún otro factor demográfico.

2.- Un susceptible adquiere la enfermedad al entrar en contacto con un infectado. Cada infectado tendrá posibilidad de infectar a un número de susceptibles en el transcurso de la enfermedad. Esa información la codificaremos en un parámetro β que puede tomar los mismos valores que en el modelo SI. En esta ocasión, la fracción de individuos susceptibles —número de susceptibles dividido por N— en cada instante se representa por la función S(t). Para la fracción de infectados en el tiempo usaremos la función I(t).

3.- Ahora es posible que, de toda la población de infectados, algunos individuos se recuperen. Esto ocurre por una determinada razón que controlaremos con un parámetro denotado por γ. Este parámetro puede tomar cualquier valor real positivo. Para representar la fracción de recuperados en el transcurso del tiempo, emplearemos la función R(t).

Hemos de precisar un poco la información contenida en el punto 2. Generalmente, en estos modelos se trabaja con fracciones de susceptibles, infectados y recuperados, respectivamente. Eso quiere decir que lo que nos interesa es el tanto por ciento de miembros de la población que pertenecen a cada una de esas clases en cada instante. Si fuéramos lo suficientemente finos, tendríamos que llamar con letras mayúsculas, S(t), I(t) y R(t) a los números de elementos de cada una de esas clases y por las letras correspondientes en minúscula a las fracciones o proporciones en cada caso. Por ejemplo, i(t) sería I(t)/N, donde el número total de infectados sería dividido por el número total de individuos de la población. Lo mismo pasaría para s(t) y r(t). Sin embargo, como a partir de ahora, y mientras no se diga lo contrario, hablaremos de proporciones, vamos a abusar de la notación y representar las fracciones de miembros de cada clase por letras mayúsculas. Esperamos que puedas perdonarnos esta falta de formalidad matemática. Queremos aclarar que este abuso de notación se ha llevado a este texto por insistencia cansina de uno de sus autores, y que la otra ha hecho de tripas corazón y ha aceptado, con tal de no discutir más de lo necesario con un físico sin sensibilidad para la profunda belleza de la abstracta formalidad matemática.

Nuestra población y la estructura de nuestro modelo matemático quedan indicados en la figura 5.8.

Figura 5.8. Población típica del modelo SIR y su relación matemática entre los distintos grupos: susceptibles, infectados y recuperados.

Nuestro primer objetivo es plantear las derivadas de las funciones desconocidas S(t), I(t), R(t). Es decir, encontrar las ecuaciones diferenciales que gobiernan la evolución de nuestro modelo. Para afrontar esta tarea, usaremos nuestra intuición y nuestro conocimiento previo, como seguramente ya esperabas. Recuerda que aquí usamos las proporciones de individuos en cada uno de esos grupos.

Empezaremos por la función R(t), o simplemente R. Está claro que los recuperados han de ser previamente infectados y que hay una determinada probabilidad para que un infectado pase a ser un recuperado. Todo eso está controlado por el parámetro γ. Por lo tanto, el número de recuperados aumentará con el tiempo a costa de disminuir el número de infectados y solo dependerá de ese número, es decir, de la función I(t) —o I, para abreviar—. Es decir, para que consideremos a alguien como recuperado, previamente ha de haber estado infectado. Pero eso es independiente del número de susceptibles que haya en la población. Por lo tanto, podemos concluir que la derivada de la función R será:

Si nos centramos ahora en la función S, estaremos de acuerdo en que esta función decrece con el tiempo, ya que los susceptibles pasan a ser infectados a razón indicada por el parámetro β. Como en el caso del modelo SI, se supone que los contactos son totalmente aleatorios, así que al considerar una mezcla total de individuos tenemos que considerar el producto SI. La derivada de la función S ha de ser negativa, ya que la función es decreciente y proporcional a SI, a la mezcla de susceptibles con infectados:

Para terminar con las ecuaciones, tenemos que construir la derivada que rige el comportamiento de la función I. Dado que hemos determinado las de S y R, el trabajo está hecho. I ha de aumentar tanto como disminuya S y disminuir tanto como aumente R. El asunto está claro y la derivada toma este aspecto:

Pero todavía queda una condición que ha de ser satisfecha en cada instante: que la suma de individuos en el grupo de susceptibles, infectados y recuperados sea igual al número total de individuos de la población a la que aplicamos el modelo. Por lo tanto, S + I + R = N. Si en vez de números totales pensamos en fracciones, la relación queda S + I + R = 1, ya que todas quedan divididas por N. Podemos resumir nuestro modelo de la siguiente forma:

Es muy interesante que recapacitemos sobre la potencia de estos métodos y la simplicidad inherente a los mismos para construir modelos matemáticos que te dan la evolución de los susceptibles, infectados y recuperados bajo determinadas condiciones. Casi sin darnos cuenta, hemos aprendido a traducir nuestras hipótesis sobre el comportamiento de los distintos grupos a ecuaciones matemáticas que involucran funciones, derivadas, parámetros, etc. Cualquier otro modelo que se nos ocurra se podrá construir del mismo modo, lo cual es asombrosamente simple y maravilloso al mismo tiempo.

Desgraciadamente, en este caso no podemos obtener de forma sencilla soluciones de las ecuaciones, es decir, la forma de las funciones S, I y R. Se dice que no existe la solución analítica de estas ecuaciones. Entonces, ¿para qué sirve todo esto? Mantengamos la calma: que no exista una solución analítica no significa que tampoco exista ningún tipo de solución. Lo que implica es que hay que recurrir a métodos de aproximación y a cálculos por ordenador. Gracias a eso, podemos obtener la forma gráfica de las funciones.

Supongamos que tenemos un programa que resuelve este problema y que nos devuelve la gráfica de la figura 5.9.

Figura 5.9. Resultado de la solución aproximada empleando un programa matemático implementado en sagemath.org. En el programa, la población total N = 10000, β = 0,1, γ = 0,001, el valor inicial de los infectados I(t=0) = 1.

¿Lo mostrado en la figura 5.9 es consistente con nuestra intuición sobre el comportamiento del modelo SIR? Bien, discutamos esta pregunta teniendo a mano la gráfica.

a)Inicialmente, tenemos una población formada fundamentalmente por individuos susceptibles: S(t = 0) ≈ 1. Es decir, que el tanto por ciento de individuos en ese grupo en el instante inicial es aproximadamente el 100 %. En ese mismo instante, R(t = 0) = 0, ya que, al no haber infectados, tampoco hay opción a tener recuperados en la población.

b)Suponemos que en el tiempo inicial, t = 0, aparecen unos pocos infectados, I(t = 0) ≈ 0. Podemos imaginar que aparece un infectado entre toda la población, y entonces la proporción es aproximadamente del 0 %, pero no es totalmente 0.

c)El infectado comenzará a propagar la enfermedad entre los susceptibles y, por lo tanto, S decrecerá e I aumentará consecuentemente. R empieza a crecer tan pronto como lo haga I.

d)En los primeros estadios de la evolución de la enfermedad, la fracción de infectados aumenta rápidamente, a la vez que disminuye la de los susceptibles. Por lo tanto, la fracción de recuperados también aumenta, aunque a una velocidad inferior a aquella con la que se propaga la enfermedad.

e)Debido a la disminución del número de susceptibles, bien porque están infectados, bien porque se han recuperado de la enfermedad y ya no la pueden padecer de nuevo en este modelo, el comportamiento de I(t) cambia de tendencia y comienza a decrecer. Aunque este sea el caso, siempre que haya infectados habrá individuos que se recuperen, por lo que R(t) sigue creciendo.

f)Es muy interesante notar que, dado que I(t) pasa de crecer a decrecer, necesariamente ha de pasar por un pico, un máximo, a partir del cual el número de infectados decae con el tiempo.

g)En un intervalo temporal largo, el número de recuperados se va acercando al número total de individuos de la población, con lo que tanto S(t) como I(t) se acercan a cero.

Esta es, en líneas muy generales, la idea que tenemos del modelo, y es justo lo que encontramos en las gráficas de las funciones S, I y R mostradas en la figura 5.9. Parece que nuestro modelo capta perfectamente la esencia de la situación descrita.

Una cuestión interesante de este modelo es que se pueden dar situaciones, para determinadas combinaciones de los valores de los parámetros, en las que el número de susceptibles nunca tiende a 0. Eso implica que el número de recuperados nunca alcanza el número de individuos de la población total. Si este es el caso, implica que la epidemia no ha podido contagiar a todo el mundo, ya que hay individuos que nunca han sufrido la enfermedad. Estos individuos difícilmente se contagiarán, porque el número de recuperados es muy elevado y estos ni sufren la enfermedad ni la transmiten. Por lo tanto, aunque quede una pequeña fracción de individuos infectados, estos no serán efectivos a la hora de transmitir la enfermedad, porque será poco probable que se encuentren con susceptibles sanos.

Epidemia y número de reproducción

Una epidemia se presenta cuando una enfermedad se extiende por encima de lo esperado para la misma. Esta definición quizá es un poco superficial, pero captura la esencia de lo que es una epidemia.

La definición formal debe incluir datos sobre la ubicación geográfica, la incidencia de la enfermedad —es decir, el número de nuevos casos de la enfermedad que aparecen en un intervalo fijado—, la prevalencia —que es el número de afectados en un instante dado—, etc.

Nosotros hablaremos de epidemia o brote epidémico cuando la función I(t) tenga un crecimiento fuerte y alcance a una alta proporción de individuos de la población de nuestro modelo. Haremos eso porque en nuestro modelo el número de individuos totales está fijado al valor N y no se contemplan variaciones en el mismo. Nos planteamos, por tanto, si nuestro modelo SIR puede pronosticar cuándo se producirá una epidemia o no en los términos explicados.

La clave del asunto estriba en encontrar bajo qué condiciones y de qué modo crece la función I(t). Como ya hemos aprendido, una función es creciente cuando su derivada es positiva. Por lo tanto, nuestra tarea ahora está clara: veamos cuándo la derivada de la función I es positiva e intentemos sacar conclusiones de nuestro modelo.

Tomemos la derivada de la función I:

Imponer que esta derivada sea positiva, dI/dt > 0, implica que el término de la derecha sea positivo, es decir:

Lo interesante es predecir si habrá un rápido crecimiento en los primeros instantes tras la aparición de la enfermedad, lo que significa que queremos estudiar esa relación para un t ≈ 0, es decir, que emplearemos S(t ≈ 0) e I(t ≈ 0).

En nuestro modelo hemos considerado que S(t ≈ 0) ≈ N e I(t ≈ 0) ≈ 1. Entendemos que esas funciones representan número de susceptibles y número de infectados, y no proporciones, con lo que esa expresión queda como:

Si sumamos el parámetro γ en los dos miembros y dividimos todo por el parámetro β, nos queda una relación entre el número inicial de susceptibles y los parámetros del modelo SIR:

Si se cumple esta relación, entonces podemos asegurar un rápido crecimiento de la función I(t) y podremos afirmar que estamos ante un brote epidémico. Esto se debe a que dicha condición tan solo es una forma interesante de presentar que la derivada de la función I(t) es positiva y de rápido crecimiento, y justo de esa idea hemos derivado la expresión anterior.

Es interesantísimo que el modelo nos haga pensar que el problema para determinar la aparición de una epidemia no esté tanto en el número de infectados en un instante como en el número de susceptibles. Si este número inicial de susceptibles S(0) supera un determinado valor, entonces se dará una epidemia. Debemos mantener esta idea muy presente en nuestras cabecitas. Que se dé un alto número de infectados, en las condiciones de nuestro problema, depende de cuántos susceptibles haya inicialmente en relación con los valores de los parámetros de infección y recuperación del problema concreto que estemos estudiando como modelo SIR.

El modelo implica que para evitar epidemias hay que reducir el número de individuos susceptibles de contagio en una población. En la realidad también esperamos tratamientos eficaces contra la enfermedad para tratar a los enfermos y medidas de contención para evitar riesgos de contagio. Pero, según nuestro modelo, además de tratar a quienes ya se han contagiado, una estrategia fundamental para evitar epidemias es reducir el número de susceptibles.

Lo importante aquí es que para decidir si existirá epidemia o no solo hay que ver el cociente γ/β. Este es un cociente muy importante y se suele reescribir como 1/R₀. R₀ se denomina número de reproducción —y en ocasiones número básico de reproducción— y, evidentemente, es R₀ = β/γ. Su nombre se debe a que contiene la información de cuántos susceptibles son contagiados de la enfermedad en promedio por un solo infectado. Por ejemplo, si R₀ = 3 significa que un infectado es capaz de producir tres nuevos infectados en el transcurso del desarrollo de la enfermedad. Pero cada uno de esos tres nuevos infectados, a su vez, podrá infectar a otros tres susceptibles, y así sucesivamente. Así que no hay que ser un genio para deducir que cuanto mayor sea el valor del número de reproducción básico, más virulenta será la enfermedad que estemos describiendo matemáticamente.

Si volvemos a pensar en términos de fracciones de individuos respecto al total de la población, tendremos que inicialmente la fracción de susceptibles es S(0) ≈ 1, lo que quiere decir que casi toda la población es susceptible. Entonces, podemos obtener una condición sobre el número básico de reproducción de la enfermedad usando esa información:

Siguiendo estos pasos, nos vemos obligados a concluir que la condición para que aparezca un brote epidémico es que el número básico de reproducción sea mayor que 1. Por lo tanto, para un número de reproducción menor que 1, la enfermedad no supondrá un importante problema para el conjunto de la población.

Comprobemos que nuestro modelo se comporta de ese modo. Para ello, usaremos el programa para resolver el modelo SIR imponiendo valores de los parámetros que nos den un número básico de reproducción mayor que 1 en un caso y menor que 1 en el otro caso. Los resultados se muestran en la figura 5.10.

Figura 5.10. Dos evoluciones de dos enfermedades con dos conjuntos distintos de valores para los parámetros. En la superior, el número básico de reproducción es mayor que 1, y en la inferior es menor que 1.

El resultado mostrado en la figura 5.10 no deja lugar a dudas: cuando R₀ es menor que 1, la enfermedad no se propaga con virulencia y el número de susceptibles apenas cambia, con lo que hay pocos afectados.

La medida de R₀ no es fácil porque en situaciones reales hay muchos factores que tener en cuenta, desde complicaciones de la enfermedad hasta cuestiones acerca de la distribución geográfica, estacionalidad, edad y sexo de los afectados, y una larguísima lista más. En la figura 5.11 tenemos una estimación de su valor para algunas enfermedades conocidas.

Figura 5.11. Valores del número básico de reproducción de algunas enfermedades conocidas. Datos tomados de Wikipedia con origen en la OMS.

Otros modelos

El modelo SIR tampoco es perfecto, ya que no considera variaciones en la población, ni estacionalidad, ni posibles recaídas, etc. Lo bueno es que la epidemiología matemática, que es lo que estamos estudiando aquí, cada vez tiene mayor control sobre los modelos, que cada vez son más cercanos a la realidad.

Buceando por la red, podréis encontrar otros muchos modelos como el SIS, en el que los infectados se pueden recuperar pero en lugar de tener inmunidad permanente se vuelven de nuevo susceptibles. También tenemos el SIRS, donde los infectados pueden sanar y ganar inmunidad pero los propios recuperados pueden volver a ser susceptibles de contagio. Con las herramientas proporcionadas en este libro, estamos más que preparados para entender los distintos modelos y sus formulaciones matemáticas.

No es nuestra intención convertir esto en un libro de texto donde se traten todos los posibles modelos y extensiones de la epidemiología matemática. Nuestro objetivo, que humildemente creemos haber cumplido, es mostrar que con un poco de intuición y unas cuantas ideas matemáticas se puede hacer mucho para entender este interesante campo de investigación. Con ello hemos querido demostrar dos argumentos. Por un lado, que las matemáticas son comprensibles y extremadamente útiles con solo un poco de esfuerzo cerebral por nuestra parte. Por otro lado, hemos querido mostrar lo mucho que se puede aprender de modelos sencillos. Lo que sí necesitamos es tomar conciencia de una cuestión esencial que hemos introducido en los sencillos modelos presentados hasta ahora, y que es uno de sus puntos más débiles. Hasta ahora, hemos supuesto que en una determinada población cualquier infectado puede tener contacto con cualquier susceptible. Esa es una dramática simplificación. En la realidad, uno no está en contacto más que con un determinado conjunto de personas, que suelen ser las mismas casi siempre. Evidentemente, podemos estar expuestos a otro tipo de contactos si visitamos un país nuevo, o en un avión, un autobús, un tren, etc. Para afrontar estas situaciones y poder construir modelos más realistas, conviene que usemos la teoría de grafos, en las que cada individuo es un nodo del grafo y las aristas del mismo representan los contactos con otros individuos de la población. Esto hace que el problema sea mucho más interesante y mucho más complicado. Nos adentraremos en este ámbito en el séptimo capítulo.

Ahora, para ser consistentes con el título del libro, lo mejor es que dediquemos un tiempo a pensar en las vacunas y sus efectos, para lo cual haremos uso de los modelos que hemos introducido.

Nota

4. Cuando acabes este libro, ve corriendo a leer Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas, si no lo has leído ya.

Capítulo 6:

Vacunas

Ha llegado el momento de introducir el efecto de las vacunas en los modelos matemáticos que estamos usando, para así entender la evolución de las enfermedades y su propagación. Como en los casos vistos hasta ahora, hay muchas formas de implementar la vacunación en los modelos matemáticos y, también como en los casos vistos hasta ahora, vamos a introducir el modelo más simple posible. Nos apoyaremos en lo que hemos aprendido del modelo SIR para estudiar en el mismo el efecto de una campaña de vacunación que otorgue inmunidad a los individuos de una población. Llamaremos a este modelo SIR-ν.

A estas alturas del libro, parece de todo punto innecesario insistir en la elegancia que tienen estos modelos y en la asepsia inherente a todo su diseño y estudio. Esto está directamente entroncado con el carácter matemático. Las matemáticas son un lenguaje que se articula sobre relaciones formales, donde las afirmaciones son verdad si pueden ser deducidas de otras afirmaciones previas, todo ello siguiendo un conjunto de reglas bien definidas. Esto convierte las matemáticas en un lenguaje donde el significado brilla por su ausencia. A un nivel lógico, poco importa lo que signifiquen las expresiones matemáticas, pues lo importante es que sean consistentes y coherentes con toda la construcción de las que han sido derivadas. Esto es lo que posibilita que las matemáticas puedan usarse en cada rincón del conocimiento humano. Por eso podemos encontrar las mismas expresiones y fórmulas en campos tan dispares como la economía, la sociología, la biología, la química, etc. Por lo tanto, las matemáticas en sí mismas carecen de características ideológicas o de sesgos. Son las interpretaciones que hacemos de las aplicaciones matemáticas a los distintos ámbitos de conocimiento las que se pueden ver sesgadas o dotadas de un sentido ideológico u otro.

La parrafada precedente es una reflexión que hemos querido hacer ante lo que vamos a descubrir en este capítulo. Lo que vamos a ver es que introducir el efecto de las vacunas en los modelos matemáticos discutidos anteriormente produce efectos dramáticos. Las conclusiones extraídas de dichos modelos son lo que son, es decir, resultados matemáticos. Que los interpretemos de una forma u otra es un problema totalmente ajeno y alejado del espíritu matemático. Como es evidente, en este capítulo, en este tema, la asepsia matemática también es un elemento central. Se introducirán las vacunas como términos en ecuaciones y veremos cómo esto afecta al número de susceptibles, infectados y recuperados de los que hemos hablado. Así que aquí presentamos las matemáticas, y si no te gustan las conclusiones, lo sentimos, pero en esta ocasión no podemos ofrecer otras.

El efecto de las vacunas

Lo que vamos a hacer ahora es tomar el modelo SIR, ya estudiado anteriormente, como modelo de la evolución de una enfermedad a la que nos debemos enfrentar. Dentro de este modelo, vamos a pensar cómo introducir el efecto de una campaña de vacunación. Nuestros elementos no son otros que la fracción de población susceptible, S(t), infectada, I(t), y recuperada, R(t). Esos viejos conocidos.

Como ya hemos dicho, el modelo SIR no es un modelo muy realista, pero hay determinadas enfermedades, como el sarampión, que se aproximan mucho a un comportamiento SIR. La vacuna contra el sarampión se lleva administrando desde hace décadas en los países desarrollados, y por eso la prevalencia de esta enfermedad no suele ser muy elevada. Pero para no pillarnos los dedos con enfermedades reales, vamos a situarnos en un contexto que podamos controlar. Como de costumbre, nos iremos al maravilloso mundo de lo ideal.

Nuestro modelo va a consistir en los siguientes puntos:

1.- Tomamos todas las condiciones del modelo SIR.

2.- Existe una vacuna para la hipotética enfermedad para la que vamos a construir el modelo. Desgraciadamente, la enfermedad ha aparecido de forma repentina y no tenemos vacunas para todos, así que solo podremos proporcionársela a una determinada parte de la población. Denotaremos con p a la fracción de vacunados, cuyo valor va de 0 a 1, de no vacunar a nadie a vacunar a todo el mundo. Por tanto, la fracción de vacunados entre los individuos potencialmente susceptibles será pS(t).

«Las matemáticas en sí mismas carecen de características ideológicas o de sesgos».

3.- Supondremos una efectividad del 100 % de la vacuna, así que un individuo vacunado no es susceptible de contagio. Por lo tanto, en este modelo los realmente susceptibles no vendrán dados simplemente por S(t), sino por aquellos que no han sido vacunados, es decir, (1 − p)S(t).

¿Cómo hemos de modificar el modelo SIR para dar cuenta de esta nueva situación? Suponemos que, con todo lo que has aprendido, ni siquiera haría falta que te diésemos la respuesta, pero entonces el capítulo quedaría demasiado corto. Así pues, no nos queda más remedio que desarrollar un poco el tema.

Recordemos el modelo SIR, para que no andes hojeando de un lado a otro:

La única diferencia que vamos a tener en este caso, como ya hemos dicho, es que ahora los individuos realmente susceptibles son todos aquellos no vacunados cuya fracción es (1 − p)S(t). Por lo tanto, para introducir el efecto de la vacunación en el modelo SIR y convertirlo en un SIR-ν solo hay que reemplazar en las derivadas del modelo la función S, la que da la fracción de susceptibles, por (1 − p)S, que son los realmente susceptibles en este caso. Así el modelo queda de la siguiente forma:

Ya tenemos construido nuestro modelo, que contempla la vacunación de una fracción p de la fracción de susceptibles. Más fácil, imposible.

Consecuencias de la vacunación

Veamos si podemos extraer las consecuencias de haber introducido una campaña de vacunación en nuestro modelo. Lo que queremos saber concretamente es si el hecho de vacunar se traduce en una disminución del riesgo de brote epidémico. En nuestro modelo, eso irá controlado por un análogo al número básico de reproducción R₀ que denominaremos R₀ν.

Para extraer este parámetro, haremos exactamente lo mismo que hicimos en el modelo SIR. Buscaremos cuándo la derivada de la fracción de infectados, I(t), es positiva e indica el crecimiento de la función. Eso implica que el término de la derecha de la derivada de dicha función ha de ser positivo:

Especializamos la expresión para el tiempo inicial sabiendo que S(t ≈ 0) ≈ N, I(t ≈ 0) ≈ 1. Eso nos queda así:

De esta última expresión es fácil obtener la condición sobre S(0):

Como hicimos anteriormente, diremos que la fracción de la derecha es igual a 1/R₀ν.

Como generalmente, al aparecer una enfermedad S(t ≈ 0) ≈ 1 en términos de fracciones de población, podemos imponer:

Parece que no hemos ganado mucho respecto al modelo SIR, ya que esta condición es totalmente análoga a la que encontramos en dicho modelo. Se producirá una epidemia si el número básico de reproducción es mayor que 1. Pero antes de echar las campanas al vuelo, es más que conveniente comparar el R₀ν con el R₀.

A la vista de la relación entre los números básicos de reproducción de ambos modelos, podemos extraer alguna conclusión. Dado que p es un número positivo comprendido entre 0 y 1, (1 − p) será un número menor que uno. Dudamos que esta afirmación nos haga merecedores de la medalla Fields, uno de los premios más prestigiosos del mundo matemático, pero nos va a ser muy útil.

La principal consecuencia que podemos extraer es que el número básico de reproducción en un modelo SIR con vacunación será menor que el análogo en el modelo SIR puro. El efecto se debe a que estamos eliminando individuos susceptibles de la población al inmunizarlos frente a dicha enfermedad. Como dijimos en el capítulo anterior al tratar el SIR, el elemento clave para disminuir la posibilidad de un brote epidémico está en reducir la población de susceptibles de contraer la enfermedad. Eso es justo lo que hacen las vacunas. ¿Habéis sentido ese escalofrío? Sí, es lo que se siente ante la magnificencia y coherencia de las matemáticas.

El modelo nos dice de forma meridianamente clara que vacunar a la población es muy recomendable. Vacunar reduce el riesgo de epidemia. Eso es matemático.

¿Cuántas vacunas?

En el modelo que estamos trabajando, no se vacuna a toda la población. Eso es lo que ocurre típicamente en nuestro mundo. Por lo general, o bien no hay vacunas para todo el mundo, o bien hay un porcentaje de la población que no puede ser vacunado por problemas específicos como alergias, intolerancias u otras contraindicaciones médicas. Entonces surge el problema de averiguar a qué fracción de la población hay que vacunar para asegurar que no habrá una epidemia.

Resolver esa incógnita que se nos plantea es casi inmediato en nuestro modelo. La clave del asunto es conseguir que R₀ν < 1. Entonces nos vamos a plantear para qué valor de p, fracción de vacunación de la población, nos encontramos en el caso límite R₀ν = 1. Es decir, vamos a calcular qué valor de p hace que el número básico de reproducción tome el valor 1. Si determinamos dicho valor, quedará claro que cualquier valor por encima que le demos al parámetro p conseguirá hacer que el R₀ν sea menor que 1 y, por tanto, que no tengamos riesgo de epidemia.

Si imponemos que R₀ν = 1 tenemos que:

Si multiplicamos ambos miembros por γ, los dividimos por β y reajustamos para que p quede en un miembro y todo lo demás quede en el otro, obtenemos este resultado:

Esto implica que, una vez conocidas las razones de contagio y recuperación del modelo, podemos estimar cuál es la fracción mínima de población que debería vacunarse para evitar una epidemia.

Si somos avispados, encontraremos que la fracción de vacunación recomendable depende del número básico de reproducción del modelo SIR puro que representaremos por R₀SIR.

Una vez conocido ese número R₀SIR, podremos decidir a qué fragmento de la población se debería vacunar para evitar una epidemia. Evidentemente, cuanto mayor sea el R₀ del SIR puro, más virulenta es la enfermedad, y el porcentaje que vacunar para conseguir eliminar la posibilidad de una epidemia será consecuentemente mayor.

Pongamos algún ejemplo gráfico para aclarar lo discutido en este capítulo. Para ello, vamos a considerar un modelo SIR puro cuyos parámetros más importantes tengan los siguientes valores:

a)Población total: N = 100 000

b)Tasa de transmisión: β = 0,1

c)Tasa de recuperación: γ = 0,01

Para estos datos, el R₀ = 10, lo que implica que habrá un fuerte brote de la enfermedad y que afectará a un elevado número de individuos. El resultado se puede ver en la figura 6.1.

Figura 6.1. Resultado de un modelo SIR sin vacunación con N = 10000, β = 0,1 y γ = 0,01. En el pico de la enfermedad, hay más de 6000 personas afectadas de un total de 10000.

Ahora analicemos el modelo introduciendo dos casos: uno con una fracción de vacunación de 0,3 y otro con un valor de p de 0,7. Los resultados se muestran en la figura 6.2.

Figura 6.2. Perfiles de las funciones S(t), I(t), R(t) cuando hay una fracción de vacunación de 0,3 —30% de la población— en la parte de arriba y con una fracción de vacunación de 0,7 —70% de la población— en la parte de abajo. Se ha indicado con una línea discontinua el nivel máximo de afectados en el SIR sin vacunación para los valores de parámetros discutidos en el texto.

Se observa claramente que aunque el pico existe, no es tan alto como en el SIR puro. Es decir, las epidemias son mucho más suaves en modelos con vacunación. Recordemos, además, que el valor del número de reproducción del modelo SIR sin vacunación discutido tenía un valor de R₀ = 10. Ese es justamente el valor del R₀SIR que debemos emplear para determinar la fracción de vacunados que asegure que no se producirá una epidemia. En las condiciones descritas, el valor de p que evita que se produzca una epidemia sería de 0,9, según las expresiones que hemos discutido anteriormente. Si elaboramos las gráficas con ese valor de p, obtenemos la figura 6.3.

Figura 6.3. Comportamiento de una enfermedad con una fracción de vacunación de 0,9.

Se observa un dramático efecto, pues la enfermedad es casi inexistente. Usando nuestros profundos conocimientos, podríamos haberlo predicho. Si vacunamos a una fracción de 0,9 del total de la población, es decir, un 90 % de vacunados, hemos reducido de una manera drástica el número de individuos susceptibles de ser infectados, y por lo tanto, ahora la enfermedad lo tiene muy difícil para prosperar.

En grupo, mucho mejor

En este capítulo hemos estudiado el efecto de las campañas de vacunación en la evolución y el control de una epidemia. Hemos descubierto que vacunar reduce la capacidad de una enfermedad de propagarse salvajemente entre la población, es decir, reduce el riesgo de epidemias.

Otro aspecto de vital importancia es que, para cada enfermedad, la fracción de población vacunada cuenta con un umbral mínimo que nos asegura la casi total inexistencia de la enfermedad. Dicho en otras palabras, en general las campañas de vacunación, aunque masivas, no pueden cubrir por un motivo u otro a la totalidad de la población. Pero si nos aseguramos un porcentaje de vacunación, que variará de una enfermedad a otra, tendremos bajo control la enfermedad y su propagación. El hecho clave es que si una fracción elevada de la población es inmune a la enfermedad, eso hace que actúen de escudo frente a aquellos que no han podido vacunarse. A esto lo llamamos inmunidad grupal. Pero hemos de insistir en este punto en que una población tiene inmunidad de grupo solo si se vacuna a un porcentaje de la población, que vendrá determinado por las características de cada enfermedad. Si una parte de la población, por ínfima que nos parezca, decide no vacunarse, se pone en riesgo a sí misma y a todo el conjunto, especialmente en aquellos casos en los que la vacunación está prohibida por cualquier motivo médico.

Reflexionemos sobre ello tomando el caso del sarampión. Como vimos en la tabla de los valores del número básico de reproducción que presentamos en el capítulo anterior, el R₀SIR del sarampión estaba estimado entre 12 y 18. Como dijimos, estimar el valor exacto es complicado por diversos motivos, de modo que solo se pueden dar, por regla general, intervalos o valores aproximados de dicho parámetro. Para ponernos en el mejor de los casos, tomaremos que el R₀SIR del sarampión es 12. Con ese valor, el segmento de población que debería ser vacunada se obtiene de la fórmula:

En dicha fórmula, sustituyendo el valor del parámetro de reproducción estimado en el modelo SIR puro se obtiene:

Es decir, que para asegurar que no se darán epidemias de sarampión, la población vacunada contra dicha enfermedad ha de ser de alrededor del 92 %, en el mejor de los casos. Eso significa que casi el total de la población ha de estar vacunada para encontrarse a salvo de epidemia de esta enfermedad. Si tan solo el 10 % de la población estuviera sin vacunar, se podrían dar casos de epidemias. Ahora bien, este tipo de datos es un tanto engañoso, porque tendemos a pensar en poblaciones grandes —por ejemplo, en España—. Pero esos requisitos de vacunación no hacen referencia a un número total específico de población. Puede que los no vacunados se concentren en un área determinada —una ciudad, un pueblo, un colegio, etc.—, y que localmente la tasa de vacunación sea muy inferior a la requerida para estar a salvo de epidemias. En esos casos, podemos enfrentarnos a brotes peligrosos dentro de esos ámbitos geográficos.

Capítulo 7:

Epidemias y vacunas en grafos

En los dos capítulos anteriores hemos estudiado modelos simples de propagación de enfermedades con y sin vacunación de los individuos que conforman la población. En esos casos hemos sido capaces de formular las ecuaciones que controlan la evolución de la enfermedad en una población y de obtener, a partir de ellas, interesantes conclusiones. Sin embargo, la historia no acaba ahí.

Una hipótesis esencial que hemos empleado en todos los casos anteriores es que los elementos susceptibles y los infectados se mezclan de forma homogénea. Es decir, que cualquier infectado tiene probabilidad de infectar a cualquier susceptible. Esta es, sin ninguna duda, una condición muy fuerte que difícilmente se presenta en una situación real. Para ser honestos, en nuestra vida diaria tenemos contacto con unas cuantas personas y estas a su vez con otro grupo muy reducido, considerando el total de la población. Es decir, los contactos entre personas no son nada homogéneos en el sentido anterior.

Por lo tanto, para que nuestros modelos reflejen con mayor fidelidad las situaciones reales, hemos de introducir justo las interacciones altamente heterogéneas entre los individuos de una población. Eso no implica sino estudiar cómo se produce la propagación de una enfermedad en una población con estructura de red social o grafo, donde los individuos interactúan solamente con un número reducido de personas.

Lo que nos planteamos en este capítulo es precisamente el estudio de la epidemiología en grafos que representen redes sociales. Esto enriquece el problema y abre un nuevo abanico de posibilidades. Si bien es cierto que las ideas establecidas en los capítulos precedentes no dejan de ser válidas del todo, requieren de refinamientos para poder ser aplicadas y analizadas en esta nueva situación. A lo largo del capítulo, comprobaremos cómo el estudio de la propagación de enfermedades en redes complejas introduce matices que han de tenerse muy en cuenta a la hora de intentar controlar un brote epidémico.

Por desgracia, el nivel de sofisticación matemática se eleva considerablemente y los modelos, aun los más simples, no pueden resolverse de forma analítica. Es lo que solemos llamar a mano. Para su estudio, se hacen necesarias múltiples herramientas de aproximación y cálculo asistido por ordenador. Pero como no todo van a ser malas noticias, también es cierto que con un poco de intuición y de imaginación se pueden prever los comportamientos que estos modelos describen sin necesidad de entrar en toda la parafernalia de cálculos explícitos. Lo único que necesitaremos para aprovechar a fondo este capítulo son los conocimientos sobre redes complejas y modelos epidemiológicos que hemos ido tratando con anterioridad.

Difusión en grafos: La percolación

Antes de entrar de lleno en el tema que nos interesa, detengámonos a pensar un poco en agua fluyendo por cañerías. No te preocupes, que no se va a convertir esto en un texto de fontanería para principiantes. Simplemente, nos viene al pelo para lo que queremos averiguar sobre enfermedades en redes complejas.

Lo dicho: pensemos que tenemos una red de tuberías como la indicada en la figura 7.1. Ante esa situación, es pertinente preguntarse si el agua puede fluir a cualquier punto de la red considerando que el flujo comienza en cualquier otro punto de la misma. Este interesante problema se denomina problema de percolación.

Figura 7.1. Red de tuberías.

Lo primero que intuimos en el ejemplo de la figura 7.1 es que el agua podrá fluir desde cualquier punto de la red hasta cualquier otro punto, siempre que haya un camino de tuberías que los conecte. Esto condensa la idea esencial en todos los problemas de percolación.

Los problemas de percolación se presentan en multitud de ámbitos. Podríamos preguntarnos si en una red eléctrica la electricidad es capaz de llegar a todos los puntos de la red, si un fluido es capaz de difundirse a través de un sólido poroso, si en un sistema de servidores la información es capaz de ir a todos y cada uno de ellos, etc. Todos ellos son problemas de percolación y, por supuesto, lo será todo aquel problema que implique determinar si una determinada propiedad puede difundirse por un sistema que dependa de puntos conectados entre sí de alguna forma, ya sea físicamente o no.

En muchas ocasiones, lo interesante es determinar cuan robusta es una red tras la pérdida de puntos a partir de los que se puede generar la difusión de alguna característica o tras la pérdida de los canales de transmisión. En el ejemplo anterior de las tuberías, el problema se podría expresar de las dos formas siguientes:

1.- ¿Cuántas ramas de tubería se pueden eliminar, por obturación o rotura, de forma que el agua pueda seguir llegando a todas las juntas o terminales?

2.- ¿Cuántas juntas se pueden eliminar, por fallo de algún tipo, de forma que el agua pueda seguir fluyendo por toda la red?

La primera pregunta hace referencia al daño que puede soportar la red de tuberías sin que se comprometa el suministro de agua a todos los puntos de interés. La segunda hace referencia a los puntos de ramificación que distribuyen el agua por toda la red.

Este es un formidable problema físico y matemático que, como hemos comentado, aparece en muchos ámbitos. Imaginemos que tenemos un sistema de servidores de internet conectados por fibra óptica, o un sistema de routers que conforman una red conectada por wifi. En el caso de los servidores, podríamos preguntarnos: ¿cuántos servidores podemos eliminar de forma aleatoria de la red sin comprometer el flujo de información a todos los puntos de la misma?, ¿cuántas líneas de fibra podemos eliminar sin comprometer el flujo de información a la mayor parte posible de la red? La extrapolación de estos problemas a situaciones análogas es directa, y no se nos escapa su interés tanto teórico como práctico.

Como ya habrás supuesto, el hábitat natural de este problema es la teoría de grafos. Si pensamos en un grafo como un conjunto de nodos conectados por aristas dos a dos siempre que esos nodos tengan el tipo de relación que nos interese, la traducción del problema es directa.

En los primeros capítulos, para hablar de grafos nos hemos centrado fundamentalmente en su estructura, su distribución de valencias, las medidas de centralidad o popularidad de sus nodos, etc. Esas características se derivan de las propiedades de conformación del propio grafo. Pero no solo de la estructura viven los grafos, o al menos no nos interesamos en ellos solo por eso. Una parte esencial es que lo grafos representan relaciones entre individuos, y que en esas relaciones hay flujos de información, contactos físicos, etc. Por lo tanto, los grafos también son los moldes por los que fluyen informaciones, rumores, amores y enfermedades, por comentar solo unos cuantos elementos.

Si pensamos en redes sociales como Facebook, Twitter, Instagram o alguna otra por el estilo, el grafo es importante no solo porque nos dice cómo están relacionados sus integrantes, sino también porque nos da las posibles formas en las que puede fluir la información. Si tenemos un grafo de relaciones reales, este nos dirá quién se relaciona con quién en una determinada población.

Evidentemente, la estructura del grafo influye en cómo se difunde la información o en cómo se relacionan sus integrantes, y viceversa. En una red social como las del párrafo anterior, un nodo muy activo tendrá más opciones de crear más conexiones con otros nodos y, por tanto, el flujo de información también tendrá efecto en cómo evoluciona la estructura del grafo. Esta es una relación de doble sentido.

Ahora bien, si tenemos un grafo como el dado por la figura 7.2, y suponemos que por él se da un flujo de alguna propiedad, podemos preguntarnos si se dará o no un proceso de percolación de dicha propiedad. Es decir, podemos estudiar si esa propiedad fluirá por el grueso del grafo.

Figura 7.2. Grafo con tres componentes conexas.

Supondremos que sobre el grafo dado por la figura 7.2 se está produciendo algún tipo de transmisión de datos. Podemos pensar que los nodos representan servidores de internet y que las aristas representan las conexiones vía fibra óptica, por centrar el caso.

¿Se puede dar un fenómeno de percolación en el grafo de la figura 7.2? Para responder esta pregunta, hemos de afinarla un poco. Decimos que se produce percolación en un grafo cuando la cantidad que se difunde por él, de nodo a nodo a través de las aristas, puede alcanzar una fracción alta de los nodos totales del mismo.

Dado que, a estas alturas del libro, ya podemos considerarnos expertos en grafos, deduciremos que se dará un proceso de percolación en un grafo evolucionado cuando tengamos una componente conexa gigante que acumule una alta proporción de nodos. En una componente dada, siempre hay caminos que nos llevan de un nodo elegido al azar en dicha componente a cualquier otro nodo de la misma. Por tanto, la existencia de una componente gigante en un grafo evolucionado es la condición para que se pueda dar la percolación de una determinada propiedad.

A la vista del grafo del ejemplo representado en la figura 7.2, observamos que existe una componente conexa mucho mayor que las otras dos restantes. Supondremos que esa es la componente gigante. Por lo tanto, podemos concluir que en ese grafo se puede dar la percolación. Si volvemos a nuestro ejemplo de servidores y flujo de información por cables de red óptica, podremos asegurar que la información alcanzará a una alta proporción de los nodos del grafo que representa esta red compleja. Eso sí, bajo la condición de que los nodos y las aristas, servidores y cables en nuestro ejemplo, estén en perfecto estado.

Ahora supongamos que nuestra red se ve sometida a un ataque que elimina nodos de forma aleatoria. ¿Se podrá seguir difundiendo la información por el grueso de la red? ¿Hasta qué nivel de daño? Es decir, nos estamos preguntando sobre la resistencia que tiene la red a ataques que eliminen nodos de forma aleatoria. En nuestro ejemplo, supondría inutilizar los servidores de forma aleatoria.

Inutilizar un nodo implica que este se inactiva. Es como si dejara de existir en la red, y por tanto todas las aristas o conexiones con sus nodos vecinos, aquellos a los que están conectados, desaparecen. En la figura 7.3 se representan en gris los nodos inactivados y sus aristas eliminadas.

Figura 7.3. Grafo donde se han eliminado nodos y todas las aristas que conectan con ellos. Los elementos eliminados se representan en gris.

Las redes complejas que nos interesan tienen ciertas propiedades que ya presentamos en el segundo capítulo. Una de las propiedades más importantes es su distribución de grados o valencias. En las redes complejas, esta distribución sigue una ley de potencias en las que el grado o valencia k de los nodos está elevado a una potencia negativa de un número real que suele estar comprendido entre 2 y 3. Como dijimos, estas redes presentan casi siempre una componente gigante con una alta proporción de los nodos de la red, se crean comunidades y hay muchos nodos con valencias bajas y pocos nodos con valencias altas.

En lo relativo a la percolación, lo interesante de este tipo de redes, considerando que contengan un número ingente de nodos, es que son altamente resistentes a una eliminación aleatoria de los nodos del grafo que las representa. Es decir, si se eliminan nodos de forma aleatoria, y no en una enorme proporción, la componente gigante pervive al ataque, con lo que se asegura un flujo de información a una alta proporción de nodos del grafo. Si se quisiera inutilizar completamente la red siguiendo este procedimiento de eliminación aleatoria, se debería inutilizar gran parte de los nodos de la red.

Sin embargo, estas redes presentan una debilidad inherente a los procesos de ataque si estos, en lugar de inutilizar nodos de forma aleatoria, lo hacen de forma dirigida intentando eliminar primero los nodos de mayor valencia. En caso de sufrir un ataque de este tipo, donde los primeros objetivos son los nodos más populares en la red, los cálculos muestran que en las redes que siguen una distribución de valencias del tipo ley de potencias, con potencias entre 2 y 3, bastaría con eliminar menos del 10 % de los nodos más populares para conseguir romper la componente gigante en componentes conexas pequeñas y desconectadas entre sí. De este modo, se inutilizaría por completo la función de la red en cuanto a difundir datos o cualquier otro tipo de propiedad.

Enfermedades en grafos

Ha llegado el momento de hablar de enfermedades en este nuevo contexto. Como resultará evidente, ahora vamos a representar una población de individuos junto a sus relaciones, lo cual determinará un grafo. Debe quedar claro que un mismo individuo puede formar parte de distintos grafos. Basta con pensar que si somos miembros de distintas redes sociales como Twitter, Linkedin, Facebook, Instagram, etc., somos nodos en distintos grafos y con distinto grado de conexión con el resto de usuarios de cada una de las redes sociales. En el caso de las enfermedades, ocurre exactamente lo mismo. Dependiendo del tipo de enfermedad, el grafo que deberemos considerar será distinto. En lo relativo al grafo de interés para estudiar su propagación, no es lo mismo una enfermedad por transmisión aérea que una por transmisión sexual. Por ello, un primer paso para estudiar la evolución de una enfermedad contagiosa en grafos es precisamente determinar cuál es el grafo relevante para tal dolencia infecciosa.

Otro elemento importante es, como en el caso anterior, conocer el tipo de modelo relativo a los posibles estados de los individuos que vamos a utilizar. Es decir, si el modelo es SI, SIR o cualquier otra variante. Veremos cómo, dependiendo del modelo que usemos, se obtienen comportamientos cualitativamente distintos y, a veces, sorprendentes.

En este tema, ya hemos comentado lo complicada que es la tarea de establecer modelos matemáticos con sus bonitas ecuaciones y que, además, sepamos resolver a mano. Haberlos haylos, pero su formulación y su proceso de resolución se alejan mucho de los humildes objetivos de este nuestro libro. Sin embargo, sí es posible extraer conclusiones sobre el comportamiento de una enfermedad propagándose por un grafo cuando ha transcurrido un largo tiempo desde la aparición de los primeros casos. A eso lo llamamos, técnicamente, comportamiento asintótico. Ahí lo dejamos. Y después de esta jerga matemática, qué mejor que ponernos manos a la obra.

El grafo que debemos tener en la cabeza

Antes de que empecemos a divagar sobre nuestro tema, vamos a establecer los elementos esenciales que debería tener el grafo que represente las relaciones en la red relevantes para la transmisión de una determinada enfermedad. Esta red, como suele ocurrir en las redes reales, ha de tener una distribución de grados de sus nodos que siga una ley de potencias, es decir, ha de ser una red libre de escala. Además, como también suele ocurrir en situaciones de redes reales, la potencia ha de estar comprendida entre 2 y 3.

Una vez dicho esto, estamos seguros de que ya has cargado toda la información que hemos acumulado acerca de este tipo de redes y que hemos descrito en varias partes del libro. Insistimos en que esto es importante para todo lo que veremos a continuación, ya que muchos de los comportamientos que vamos a descubrir son propios de este tipo de redes. Así pues, a partir de este momento, cuando hablemos de grafo o de red nos estaremos refiriendo específicamente a este tipo, a los libres de escala con potencias entre 2 y 3. Queda dicho.

Modelo SI en grafos: Comportamiento asintótico

Como antes, el modelo SI hace referencia a que, en lo relativo a una enfermedad, solo tenemos dos estados posibles para los individuos de una población: o bien son susceptibles de contagio, o bien son infectados que pueden transmitirla. Esto no cambia respecto a los modelos introducidos anteriormente. Lo que sí cambia es que ahora los infectados no tienen libertad de interactuar con todos los susceptibles, ya que la mezcla no es homogénea entre elementos de S y elementos de I. Al trabajar en un grafo, un infectado solo podrá transmitir la enfermedad a sus vecinos en el grafo, es decir, a aquellos individuos susceptibles que vengan representados en la red con un nodo unido por una arista. Ya que la existencia de una arista implica que entre los nodos unidos por ella se puede producir el contagio.

Así, una situación típica que podemos encontrarnos en este tipo de modelo en un instante dado es la que se muestra en la figura 7.4. En ella, representamos los nodos susceptibles por nodos blancos y los nodos infectados por nodos negros.

Figura 7.4. Situación en un tiempo dado de un grafo en el que se está propagando una enfermedad que responde al modelo SI. Los nodos negros representan a individuos infectados y los nodos blancos a individuos susceptibles.

Ahora nos podemos preguntar si para este modelo se dará una epidemia o no. Es decir, ¿alcanzará a la enfermedad a una alta proporción de nodos en el grafo? La respuesta en este caso es que depende.

En el caso descrito en el quinto capítulo, con mezcla homogénea de la población, un modelo SI siempre acaba con el total de la población infectada. Lo rápido o lento que se alcanza el límite de infectados dependerá de la virulencia de la enfermedad que se cuantificaba por el parámetro β. En el modelo continuo y homogéneo, β nos informaba sobre la razón de contactos en los que se producía la transmisión de la enfermedad entre un infectado y cualquier susceptible. Por lo tanto, podemos afirmar que en el modelo SI homogéneo siempre se produce una epidemia que alcanza al total de la población tarde o temprano. Aquí no hay depende que valga.

Pero la historia en grafos es bastante distinta. Para empezar, la β en un modelo SI en grafos significa la razón de contagios entre un nodo infectado y sus nodos vecinos susceptibles. Es decir, la probabilidad con que un infectado transmitirá la enfermedad a un vecino sano en la red. Es una diferencia sutil pero importante.

En el grafo, que se produzca una epidemia, es decir, que haya una alta proporción de nodos afectados, dependerá de que, dados uno o varios nodos infectados al azar, existan caminos por el grafo que puedan llegar a dicha alta proporción de nodos. O expresado de forma más concreta, que los nodos infectados pertenezcan a una componente gigante que contenga la mayoría de los nodos de la red. Si ese es el caso, si aparecen infectados en la componente gigante, tarde o temprano la enfermedad afectará a toda esa componente y podremos hablar de epidemia.

Sin embargo, aún hay más. Puede ocurrir que los infectados aparezcan en componentes menores. En tal situación, la enfermedad tendrá poco recorrido y solo acabará afectando a una proporción muy reducida de nodos de la red. No podremos hablar, por lo tanto, de una epidemia como Snow⁵ manda. Si las componentes son tales, es decir, si no están conectadas de ningún modo unas con otras —lo que las convertiría en comunidades, y no en componentes en sentido estricto—, el contagio en una componente pequeña se quedará confinado en ella y no afectará al grueso de la población.

Como acabamos de ver, aun en el simple modelo SI, desconocemos si se producirá una epidemia. Todo depende de dónde empiece el brote y en qué tipo de componente se sitúe. Este es un cambio sustancial respecto al modelo homogéneo descrito con anterioridad.

El modelo SIR: Comportamiento asintótico

En el modelo SIR hay una variación respecto al anterior. Como ya sabes, en este modelo se puede dar el paso de infectado a recuperado, y la rapidez o la tasa con la que se dan tales recuperaciones van determinadas por el valor del parámetro γ. Lo que nos interesa aquí es que en el modelo SIR un infectado solo está en ese estado durante un intervalo finito de tiempo, tras el cual puede pasar a un estado recuperado y dejar de transmitir la enfermedad. Es decir, el estado I es transitorio, lo cual conduce a un hecho interesante.

Dado que ahora estamos pensando en grafos, un infectado solo tiene opción de infectar a aquellos individuos con los que está conectado en el grafo, es decir, sus vecinos en la red. Pero dado que solo hay un tiempo finito en el que es posible transmitir la enfermedad, puede que algún vecino de un infectado no sea contagiado en ningún momento. Esta es una diferencia importante respecto al modelo SI, en el que si esperamos el suficiente tiempo, todos los vecinos de un nodo infectado son contagiados tarde o temprano.

Para tener en cuenta este nuevo comportamiento, vamos a introducir la probabilidad con la que se transmite la enfermedad de un nodo infectado a un nodo susceptible vecino como ɸ. Con objeto de no complicar la discusión, supondremos que esa es la probabilidad de transmisión de la enfermedad entre cualquier nodo infectado y cualquiera de sus vecinos en todo el grafo. Evidentemente, ɸ tomará valores comprendidos entre 0 y 1, como buena probabilidad que es. Por supuesto, la probabilidad de no ser contagiado será, por tanto, 1 − ɸ.

No entraremos en el cálculo de esta probabilidad, pero baste decir que sí, que se puede calcular en este modelo. Como supondrás, su valor va a depender de las tasas de contagio y, especialmente, de la tasa de recuperación de dicha enfermedad.

En este momento, es pertinente que nos planteemos la siguiente cuestión: ¿cómo afecta este comportamiento a la posibilidad de que se presenten epidemias en la población? Ahora, el valor de ɸ será un factor determinante para responder esta cuestión. Para ver cómo influye esta probabilidad a la hora de resolver esta pregunta, tomemos nuestro grafo de ejemplo, pero con todas las aristas desactivadas, es decir, como si no fuesen operativas, según vemos en la figura 7.5.

Figura 7.5. Grafo de ejemplo con las aristas desactivadas indicadas en gris.

En la figura 7.5, se desactivan las aristas porque sabemos que entre dos nodos conectados hay una determinada probabilidad de que exista o no exista transmisión de la enfermedad. Es decir, de que la arista que los une esté operativa/activada o no lo esté.

Así que para ver qué efecto tiene ɸ en la posibilidad de que se pueda dar una epidemia, lo mejor es darle distintos valores. Esos valores, por supuesto, son la probabilidad con la que una arista estará activa o no lo estará. Por ejemplo, si tenemos una enfermedad con ɸ = 0,2, esto significa que si esperamos a que evolucione, solo el 20 % de las conexiones del grafo estarán activas. En la figura 7.6, mostramos cómo quedaría nuestro grafo de ejemplo para dos valores de esta probabilidad.

Figura 7.6. Aspecto de nuestro grafo base para una activación de aristas correspondientes a ɸ = 0,2, en la parte superior, y ɸ = 0,5, en la parte inferior.

Lo que observamos en la figura 7.6 es que para ɸ = 0,2 se crean componentes pequeñas y dispersas entre sí. Sin embargo, para ɸ = 0,5 ya aparece una componente conexa grande que contiene caminos capaces de conectar una gran parte de los nodos de dicha componente que suponemos es la gigante. Debe resultar meridianamente claro que lo expuesto en la figura 7.6 solo son dos ejemplos de todos los posibles: uno para ɸ = 0,2 y otro para ɸ = 0,5. Sin embargo, las conclusiones son claras: para valores altos de ɸ, se dará la presencia de una componente gigante por la que se pueda propagar la enfermedad. De hecho, dependiendo del grafo de relaciones y de la enfermedad, se establece un valor mínimo o crítico a partir del cual aparece tal componente gigante y, por tanto, se puede dar un proceso epidémico si uno de sus nodos es afectado por la enfermedad. Este valor crítico de la probabilidad de transmisión de la enfermedad, representado por ɸC, es difícil de calcular. Su cálculo involucra depuradas técnicas procedentes de las matemáticas y la física estadística, la física de muchos constituyentes interactuando entre sí, y corresponde a determinar a partir de qué situación podemos esperar la percolación de una determinada característica en el grafo. En este caso, lo que se podrá difundir a una alta proporción de nodos en el grafo será la enfermedad infecciosa que estemos considerando.

Por lo tanto, en el modelo SIR debemos tener en cuenta dos condiciones. Al igual que en el modelo SI, se presentará epidemia si existe una componente gigante que aglutine una alta proporción de nodos y en su seno aparecen infectados. Pero, a diferencia del modelo anterior, la componente gigante solo aparece si el grafo y la enfermedad lo permiten, en el sentido de que la probabilidad de contagio entre nodos infectados y nodos susceptibles, la ɸ, sea mayor que un determinado valor crítico, ɸC, que dependerá de los detalles del problema concreto al que nos estemos enfrentando.

Cuanto más lejos, mejor

Como hemos discutido, al considerar las relaciones de contactos que pueden transmitir una enfermedad en términos de redes complejas, la posibilidad de que se produzca una epidemia se reduce a determinar si existe una componente gigante que contenga una alta proporción de los nodos totales de la red. Pero podemos decir que eso es una afirmación global, es decir, es algo relativo al total de dicha red en su conjunto. Pero ¿qué le pasa por la cabeza a cada nodo cuando hay riesgo de epidemia? No olvidemos que los nodos aquí suelen representar personas, y es a ellas a quienes tenemos en mente mientras escribimos. Si fueran animales o plantas, el asunto cambiaría un poco y dependería de si están o no a cargo de humanos. Por el momento, seguiremos pensando en seres humanos, que no es poco.

Como hemos dicho ya, y es evidente para todos, una misma persona puede estar inserta en distintas redes complejas: sus amistades, conocidos, redes sociales, etc. Así pues, para un nodo o un conjunto de nodos en una determinada red compleja, podemos intentar determinar a cuántas otras redes pertenece. Esto da lugar a redes o grafos en multicapas. En la figura 7.7 hemos representado un caso simple: para un nodo indicado en gris, hemos dispuesto dos capas, una representando una red social que utiliza y otra representando una red a la que pertenece y en la que se puede propagar una determinada enfermedad —a esta última la hemos llamado red epidemiológica—.

Figura 7.7. Disposición en multicapa de un par de grafos a los que pertenece el nodo resaltado en el dibujo. La capa superior es un extracto del grafo de una red social por internet y el inferior es el nodo de relaciones reales con otros miembros de la población entre los que se puede propagar una enfermedad.

Como habíamos anticipado, los grafos son dinámicos en el sentido de que su conformación puede variar según la información o los flujos de distintas características que se den en su seno. Por ejemplo, dados los grafos representados en la figura 7.7, supongamos que en la red social por internet se empieza a hablar de la posibilidad de brote de una enfermedad que se transmite por el aire. El nodo resaltado en dicha figura adquiere dicha información y puede tomar la decisión de «alejarse» del resto de nodos de su red epidemiológica. ¿Qué significa esto? Bueno, es bastante sencillo, a poco que lo pensemos. Un nodo se infectará si tiene vecinos infectados que pueden transmitir la enfermedad. Por lo tanto, cuantas mayores conexiones tenga con otros individuos de la red epidemiológica, más opciones tendrá de contagiarse. Es decir, los nodos populares están más expuestos a las enfermedades que los nodos menos populares, ya que los primeros tienen mayor tasa de contacto con otros nodos de la red. Entonces, el nodo en cuestión puede proceder a distanciarse de la red, en el sentido de eliminar conexiones con el resto de la misma. Por ejemplo, para la enfermedad que se transmite por el aire, puede reducir sus reuniones con otra gente, ponerse una mascarilla, etc. Eso literalmente corta conexiones en la red y, por lo tanto, reduce la popularidad del nodo. Otro ejemplo es usar preservativos en las relaciones sexuales, ya que eso corta las aristas en el grafo de transmisión de enfermedades que se propagan por esta vía.

Como añadido, si una alta proporción de nodos empiezan a tomar actitudes profilácticas, puede ocurrir que el grafo se atomice, en el sentido de romper la componente gigante que contenga la mayor proporción de nodos en componentes más pequeñas.

Así pues, a ojos de la teoría de redes complejas, lo que persiguen todos esos consejos que se propagan cuando hay riesgo de brotes infecciosos es reducir la popularidad de los nodos de la red y reducir el tamaño de las componentes conexas de la red de interés.

Vacunando en grafos

Ha llegado el momento de hablar de vacunas en grafos. Aquí también nos vamos a encontrar con algunas sorpresas. Si nos aceptas un consejo, te vendrá de perlas releer la primera sección de este capítulo. Eso ya como tú veas. El caso es que vacunar en este contexto es exactamente lo mismo que hacer que fallen los servidores en el ejemplo de la primera sección del capítulo.

Dado un grafo, vacunar no es sino suprimir un nodo del grafo por el que se puede propagar la enfermedad para la que está dirigida la vacuna y, por tanto, cortar todas las conexiones de transmisión de la misma con sus vecinos. ¿Cuál se te ocurre que puede ser el problema? Oh, sí, el problema es que las redes reales suelen ser del tipo libre de escala, es decir, que tienen una distribución de grados o valencias que siguen una ley decreciente potencial con un exponente que usualmente toma valores por encima de 2 y 3. Y ya sabes los problemas que presentan esos tipos de redes.

Como somos unos soletes, os recordamos que las redes libres de escala con ese tipo de exponentes eran extremadamente robustas ante la pérdida de nodos aleatorios. Es decir, que aun cuando eliminemos nodos de forma aleatoria, siempre habrá una componente gigante con la mayor proporción de nodos de la red, a no ser que la eliminación sea masiva.

En el contexto donde nos encontramos, eso se traduce así:

1.- Eliminar nodos es vacunar a los individuos que representan.

2.- La vacunación, o bien es a gran escala, o bien no parece que vaya a servirnos de mucho para evitar epidemias.

En enfermedades conocidas y en aquellas para las que existen vacunaciones planificadas, como el sarampión, a lo largo del tiempo se ha conseguido tener vacunada a la mayor parte de la población y con ello evitar el peligro de epidemias indeseables y de desastrosas consecuencias.

El problema se nos presenta cuando aparece una enfermedad para la que no se está preparado y, si es posible, hay que fabricar a marchas forzadas vacunas. En ese caso tendremos dos detallitos que pueden amargarnos la vida. Por un lado, el número de vacunas de las que podemos disponer de inmediato será poco elevado, con lo que resultará imposible vacunar al grueso de la población. Aunque tuviéramos muchas vacunas, no es muy factible vacunar a un gran segmento de la población rápidamente. Por otro lado, con un número pequeño de vacunas respecto al total de la población, no sería de mucha ayuda vacunar aleatoriamente a los ciudadanos.

Suponemos, y quizá nos estamos precipitando, que ahora mismo has esbozado una sonrisilla de satisfacción porque esperas que afirmemos que la solución es sencilla. Vacunemos a los nodos más populares de la red, a aquellos con mayores valencias, los que están más expuestos a contactos potencialmente contagiosos. Eso sería de gran ayuda, dado que las redes reales son muy sensibles a este tipo de eliminación de nodos dirigida a los de mayor grado. Con eso, con un pequeño porcentaje de población vacunada siguiendo este inteligente plan, conseguiríamos reducir enormemente el riesgo de epidemias. No está nada mal, es una gran idea.

Pero…

Lo sentimos, en estos momentos en los que parece que se llega al clímax siempre hay un pero. El problema es el siguiente: ¿quién diantres⁶ es un nodo popular en la red de interés? Para responder a eso tendríamos que:

a)Conocer la red completa.

b)Saber todos y cada uno de los individuos que conforman la red.

c)Saber todos los contactos, nodos vecinos en el grafo, de todos los individuos de la red.

d)Elegir a los más populares.

Si conseguimos hacer todo eso, habremos ganado la partida a la enfermedad y habremos cortado el paso a una posible epidemia. Eso si lo conseguimos, que no será el caso. Por el momento, no tenemos opción de hacer todo eso, ya que las bases de datos manejables serían insultantemente grandes.

Pero que no cunda el pánico. Existe toda una rama de investigación sobre vacunación óptima en redes reales. Los métodos son variados, pero todos comparten más o menos la misma filosofía. El secreto está en aprovechar el hecho de que tus amigos tienen más amigos que tú. En el sentido que fue explicado en el primer capítulo y demás.

Lo que se hace es seleccionar aleatoriamente una determinada proporción de nodos del grafo. A estos se les pregunta: ¿quiénes son tus amigos? Entonces, cada nodo nos dará el nombre de sus amigos, y será a estos a quienes se vacune. Pues bien, resulta que con tan solo hacer eso se puede probar que los amigos nombrados por los seleccionados al azar son muchísimo más populares en promedio que estos primeros. Por lo tanto, vacunar a los amigos nombrados es una forma mucho más segura de intentar frenar una posible epidemia, porque estaremos eliminando nodos más populares que los que hubiéramos eliminado si se hubiese vacunado al azar.

Como hemos dicho, hay diversas metodologías. Por ejemplo, una vez nombrados los amigos por parte de los seleccionados al azar, podemos volver a preguntar a los primeros nombrados por sus amigos. Esas y otras modificaciones un tanto más técnicas mejoran mucho el efecto que tiene la vacunación de unos pocos elementos de la red sobre la propagación de una determinada enfermedad.

Pero el asunto no acaba ahí. De hecho, aún queda un aspecto interesante. Resulta que si empieza a haber rumores de un pequeño brote de una enfermedad en una determinada población, podemos hacer un uso maravilloso del procedimiento descrito más arriba. Podemos seleccionar a un grupo de nodos al azar y preguntarles por sus amigos. Una vez tengamos sus nombres, podemos monitorizar la salud del grupo seleccionado al azar y del grupo de nombrados por estos para ver cuándo enferman. Los resultados de estudios de este tipo llevados en 2010 en Harvard con una población de unos 750 estudiantes, de los cuales unos eran los seleccionados al azar y otros eran los nombrados por estos para un brote de gripe en dicha universidad, demostraron que el grupo de nombrados enfermaba casi dos semanas antes que el grupo de elegidos al azar. Esto se debe a que, casi con total seguridad, los nombrados eran más populares y tenían mayor vida social. En la figura 7.8 se muestran los perfiles de las curvas que dan el número de afectados por la gripe en el grupo elegido al azar y en el grupo de nombrados por estos.

Figura 7.8. Curvas de afectados por una enfermedad en función del tiempo. La curva clara es la relativa al grupo seleccionado al azar. La curva oscura es la relativa al grupo nombrado por el grupo aleatorio. Se observa cómo la proporción de afectados comienza a ser significativa en el grupo de nombrados mucho antes que en el grupo aleatorio.

La importancia de todo esto ha de resultar evidente. Estos procedimientos pueden identificar sensores en la población, individuos que enfermarán antes que el resto y que, por lo tanto, si son monitorizados adecuadamente, pueden servir para poner en funcionamiento los distintos protocolos de contención de epidemias que se estimen oportunos. De hecho, este grupo de sensores son los primeros que deberían ser tratados o vacunados para empezar a luchar contra un posible brote epidémico.

Sin duda, el tema de la epidemiología en grafos es profundamente hermoso. Sus matemáticas, cuando nos ponemos con lápiz, papel y ordenador, son de un alto nivel de sofisticación, pero en cierto sentido también son amables. Como hemos visto en este capítulo, con un poco de intuición podemos aplicar al tema de las enfermedades una batería de conceptos provenientes del mundo de los grafos, para así establecer resultados que son lógica y formalmente reproducidos en modelos más serios y elaborados —en otras palabras, más fórmulas—.

Notas al pie

5. Nota de los autores: John Snow fue un médico inglés, considerado el padre de la epidemiología moderna por sus estudios durante el brote de cólera de Londres en 1854. Dichos estudios lo llevaron a descubrir la forma de trasmisión de dicha enfermedad gracias a, debemos decirlo, razonamientos geométricos.

6. Nuestra querida editora suspiró de alivio cuando leyó ese diantres en lugar de un exabrupto más castizo.

Capítulo 8:

Opiniones, noticias, mayorías y vacunas

En los capítulos anteriores hemos visto cómo surge de nuestros modelos el concepto de inmunidad grupal y cómo las vacunas ayudan a controlar o incluso erradicar una enfermedad. No hay que recurrir a estos argumentos para defender a capa y espada, por el bien de la sociedad, la vacunación controlada mediante los debidos controles científicos y médicos. Sin embargo, en los últimos tiempos se perciben ciertos movimientos autodenominados antivacunas, que proclaman que las vacunas producen más perjuicios que beneficios.

En este capítulo vamos a analizar, también con ideas matemáticas, por qué ocurre esto y por qué nos parece que hay tanta gente en contra de las vacunas. Ni que decir tiene que, como el resto del libro, este capítulo pretende ser objetivo y aséptico. Nuestra postura al respecto es clara: hay que vacunar, porque el beneficio social es mucho mayor que los riesgos que corremos al prescindir de la vacunación. Una vez aclarada nuestra postura, nos gustaría comentar que no pretendemos convencer a nadie ni decir que las vacunas son 100 % seguras, como tampoco es 100 % seguro cruzar una calle o comer pollo. Pero lo que sí es innegable es que quienes se niegan a vacunar tampoco forman un número tan elevado, aunque lo parezca. Otra cuestión es que, aunque no sean tantos, tal vez sean los suficientes como para provocar un problema a nivel social y, lo más irónico, son quienes están en mayor riesgo. A la vista de modelos y argumentos cuantitativos, podemos decir que eliminar las campañas de vacunación no es una elección asumible por ninguna sociedad.

La racionalidad miope y el egoísmo

Imaginemos que durante una ola de calor un ayuntamiento decide poner puntos de agua fresca en distintos lugares de una ciudad. En esos puntos hay neveras de las que podemos tomar libremente una botella de agua fresca y, a cambio, solo se nos pide que depositemos 20 céntimos. El problema es que nadie vigila dichos puntos.

Es evidente que, desde un punto de vista social, la medida es bastante beneficiosa. También es evidente que habrá personas que necesiten el agua pero que no dispongan de 20 céntimos. El ayuntamiento ha previsto todo eso, ya que ha establecido un porcentaje de botellas tomadas de los puntos de abastecimiento que no requerirán pago. Todo irá bien y el sistema será económicamente sostenible, siempre y cuando el número de botellas no pagadas no sean muy superiores a las previstas.

¿Qué ocurre si, por causas en las que no vamos a entrar, mucha gente empieza a consumir esas botellas sin aportar los 20 céntimos? Seguramente, el programa se debería cancelar por falta de fondos para mantener tal medida de protección social. Casi con absoluta seguridad, todos convendremos en que si el sistema falla es por un desmesurado egoísmo individual y una falta de civismo.

Este ejemplo se puede extrapolar a las campañas de vacunación. El agua disponible la proporciona todo el grupo, ya que es con el dinero de todos con lo que se puede mantener ese programa de ayuda pública. En el caso de las vacunas, lo que proporciona el grupo es justamente la inmunidad grupal. Ahora bien, sabemos que un porcentaje de la población no se puede vacunar por algún motivo médico. Estos están protegidos por el resto del grupo. El problema se produce cuando, por otras cuestiones que vamos a analizar, se decide libremente no vacunar, y esto ocurre en un porcentaje que, aunque pequeño, puede poner en riesgo la estabilidad de todo el sistema.

Las familias tienen la facultad de decidir si vacunan o no a sus miembros, que en este caso suelen ser los más jóvenes de la unidad familiar. Esta decisión se puede estudiar desde la óptica de la teoría de juegos. Recordemos que en dicha teoría se supone que los participantes toman la mejor opción basándose en la información de la que disponen, es decir, son seres totalmente racionales. Por lo tanto, hemos de considerar que la decisión de vacunar o no vacunar es una decisión racional a todos los efectos.

Uno de los elementos esenciales de la teoría de juegos es que los jugadores pueden construir su función de ganancias o su función de pérdidas. Como supondrás, estas son totalmente equivalentes, pues lo que se gana es lo que no se pierde, y viceversa, así que dichas funciones se pueden considerar opuestas entre sí.

En el contexto que nos ocupa, el de enfermedades y vacunas, las familias han de sopesar cuáles son las posibles pérdidas en las que se puede incurrir. Para simplificar, hay dos posibles fuentes de problemas que podemos considerar como pérdidas en este juego. Por un lado, tendremos el riesgo de contagio de una enfermedad para la que existe vacuna. Por otro, tenemos el riesgo a sufrir efectos secundarios adversos tras la administración de la vacuna.

Si representamos por U la función de pérdida posible en esta situación, podemos concluir que formalmente tendrá dos términos:

No hay que ser un lince para suponer que todo el mundo quiere minimizar el posible valor de U, es decir, mantener el riesgo total en su valor mínimo. Para simplificar la notación, representaremos por RC el riesgo de contagio y por RES el riesgo por efectos secundarios de las vacunas. Por lo tanto, las familias han de estimar tanto RC como RES.

Aquí es donde surge el problema. Una familia típica no tiene un gran control de la información veraz disponible sobre el RC y el RES de una determinada enfermedad. Usualmente, solo podemos manejar lo que percibimos a nuestro alrededor, y eso no siempre es la mejor información posible.

En un entorno usual de un país desarrollado, el riesgo de contagio de una enfermedad —como, por ejemplo, el sarampión— que percibimos a nuestro alrededor, lo que denotaremos por RCP, es muy pequeño, por no decir inexistente. Por supuesto, esto ha sido gracias a las campañas de vacunación que se han llevado a cabo durante décadas.

Por contra, en los últimos tiempos ha aumentado nuestra percepción sobre el riesgo de sufrir efectos secundarios adversos, denotado por RESP. Eso se debe a dos motivos bien identificados. El primero es que cada vez hay un mayor control de las vacunas por parte de organismos oficiales, con lo que, evidentemente, aumenta el número de casos declarados de tales efectos secundarios. Los casos más graves saltan a los medios y llegan a oídos del grueso de la población. El segundo motivo es la presencia en redes sociales y medios de comunicación de personas que alertan contra las vacunas, casi siempre sin aportar argumentos científicos sólidos.

Así que para una familia tipo podemos poner su función de pérdida percibida frente a la vacunación de la siguiente forma, que es muy visual:

Es decir, la percepción sobre el riesgo de sufrir efectos secundarios adversos es mucho mayor que la de contagiarse de una enfermedad que está bajo control. Pero hemos de insistir en que esas estimaciones solo son percepciones generalmente desinformadas.

Si el objetivo es minimizar las potenciales pérdidas de forma egoísta, la conclusión está clara. Lo más racional, a la vista de la información percibida, es dejar de vacunar. Nadie puede negar que se llega a esta conclusión a partir de un argumento totalmente racional y previsto por la teoría de juegos. El problema es que la información manejada para construir la función de pérdida potencial es de muy mala calidad, por lo general. Por ello técnicamente se habla de racionalidad miope en este tipo de malabares lógicos.

La denominación de racionalidad miope está muy bien elegida, pues hacer una estimación visual de nuestra función de pérdidas potenciales como la indicada más arriba implica varias cuestiones:

1.- No nos damos cuenta de que el hecho de que RCP sea muy pequeño es debido precisamente a que se han conseguido altas tasas de vacunación contra una determinada enfermedad. Por ello, existe una fuerte inmunidad grupal que nos protege en conjunto de la propagación de dicha enfermedad.

2.- No se tiene en cuenta que bastan pequeñas variaciones de la proporción de población vacunada para incurrir en nefastas consecuencias para el control de una posible epidemia.

3.- Las fuentes en las que se suele adquirir la información sobre los riesgos de las vacunas son generalmente las menos idóneas.

4.- No se piensa a largo plazo, es decir, no nos planteamos qué ocurrirá si muchas más personas toman exactamente la misma decisión racional con la misma información disponible.

La combinación de estos cuatro puntos ocasiona la miopía racional, que a su vez nos puede llevar a decidir algo que claramente es una desventaja para todos. Y ojo, porque ninguno de nosotros estamos a salvo de estas cosas, ya que informarse como es debido implica un esfuerzo activo que raramente realizamos.

La evolución de una opinión

Lo que hemos tratado anteriormente se puede considerar un juego estático en el que los jugadores toman la decisión de vacunar o no vacunar de forma individual y en virtud de la información que estén manejando. Lo que hemos sugerido es que existe un equilibrio de tipo Nash basado en la percepción de riesgos, que por lo general no se corresponde con la realidad. Por tanto, un jugador racional se adherirá a la estrategia que lo lleve al equilibrio porque, según su percepción, cualquier desviación incrementa el riesgo de pérdidas.

Aunque es muy importante lo que decida un jugador, en este caso podemos considerarlo una unidad familiar típica, no debemos olvidar que este juego se desarrolla en equipo. En esta situación, es pertinente aplicar algo de lo que sabemos sobre juegos evolutivos. Estos juegos fueron descritos en el tercer capítulo, por lo que tal vez sea buena idea refrescar la memoria. En el ejemplo tratado en aquel capítulo, teníamos una población de bichos con mutaciones que les conferían distintos colores. La estrategia evolutivamente estable era aquella que permitía que la población de bichos con un determinado color se reprodujera con mayor éxito que el resto dependiendo del color del entorno.

Si esto lo extrapolamos a las vacunas, el papel que desempeñaban las mutaciones en el ejemplo descrito lo desempeñarán ahora las opiniones sobre si vacunar o no. Podemos considerar que un cambio de opinión es análogo a una mutación espontánea en una población determinada. Por tanto, la reproducción de los individuos se traduce ahora en la imitación de un determinado comportamiento basado en un conjunto de opiniones, que se extiende por la población total.

Supongamos que tenemos una población donde todos los individuos están vacunados, salvo unos pocos que por motivos médicos no se pueden vacunar. Siempre que la proporción de vacunados esté por encima de un determinado umbral, podremos contar con la inmunidad grupal para asegurar que una enfermedad dada está bajo control. En la figura 8.1, representaremos a los vacunados por V —de vacunados, como habrás deducido— y a los protegidos por la inmunidad grupal por P —no creemos necesario explicar el significado de dicha notación—.

Figura 8.1. Población de vacunados y protegidos por la inmunidad grupal.

En la población representada por la figura 8.1, aparecen elementos que deciden no vacunar. Estos habrán tomado la decisión basándose en cualquier argumento o información que han leído o escuchado por cualquier medio. Lo que nos interesa ahora es que dicha aparición se puede considerar como un hecho aleatorio, como una mutación. Representamos esto en la figura 8.2, donde los que toman la opción de no vacunar están identificados por la letra N.

«Informarse como es debido implica un esfuerzo activo que raramente realizamos».

Figura 8.2. En la población anterior, surge la opción de no vacunar.

Llegados a este punto, ya tenemos todos los ingredientes necesarios para aplicar lo aprendido hasta ahora. Para empezar, si partimos de la situación representada en la figura 8.2, la opción de no vacunar es evidentemente una estrategia mucho mejor que la de vacunar. La estrategia de prescindir de la vacunación hace que esos individuos se libren de los potenciales efectos secundarios que puede tener una vacuna y, además, se siguen beneficiando de la inmunidad que les confiere el grupo.

El resto de individuos pueden estimar que la estrategia de no vacunar es mucho más beneficiosa, por lo que se puede dar un proceso de imitación que equivale a que los individuos N se reproduzcan con éxito en este ambiente.

Estamos convencidos de que, a estas alturas, encuentras bastante obvia la conclusión a la que queremos llegar. Seguro que intuyes el peligro del proceso de imitación, que puede dar lugar a una colonización de los N en nuestra población de estudio. Desgraciadamente, eso acarrearía a largo plazo consecuencias indeseadas, como la propagación de una epidemia. Esto es justamente lo que estamos viendo en los últimos años. Se están dando casos de epidemias de enfermedades que considerábamos prácticamente erradicadas en los países desarrollados, debido a que se crean comunidades donde la postura de no vacunar es considerada como una estrategia mucho más eficiente, en términos de la teoría de juegos evolutivos, que la postura de vacunar.

Llegados a este punto, podría ocurrir que nos exigieras algo totalmente razonable, como es que te expliquemos el modo en que se propagan las noticias o los rumores en una población. Ante todo, muchas gracias por confiar en nuestra capacidad para poder explicar eso. De hecho, lo consideramos un tema muy interesante, pero no va a hacer falta que lo expliquemos. La cuestión es que estudiar la propagación de opiniones, noticias y rumores por poblaciones o por redes sociales es un problema análogo al de la transmisión de enfermedades. Es decir, la propagación de una noticia o un rumor se considera un proceso similar al de la evolución de una epidemia. Por ejemplo, podemos considerar que dado un individuo, este puede estar en tres estados respecto a una determinada información. Puede ser susceptible a ella, en el sentido de que está abierto a dicha información, la está buscando o está siendo expuesto a ella. Puede ser un elemento informado, es decir, ha hecho suya la información y la está diseminando entre sus conocidos. Y por último, puede ser refractario, en el sentido de que ahondando en la información decide que no merece ser propagada. Claramente, tenemos una situación muy similar al modelo SIR que hemos trabajado. Claro está que cambian algunas palabras, existen algunos matices y hay algunas diferencias, pero el grueso es exactamente igual a lo que hemos explicado aquí. Si quieres profundizar en el tema, no te preocupes, pues te daremos pistas en la bibliografía.

Noticias y demás

Como hemos ido comentando, un factor muy importante para la toma de decisiones es la información disponible y el impacto de dicha información. Actualmente, estamos sometidos a un bombardeo continuo de información que nos llega por muy diversos canales. Seguro que eres usuario de una o varias redes sociales y que has generado, participado o contemplado la aparición de una noticia viral que se propaga a una velocidad endiablada por las redes y llega a millones de personas en un tiempo muy breve. Ya sabes, una epidemia informativa.

Esto, en sí mismo, no es ni bueno ni malo, pero tiene una influencia brutal en la toma de decisiones personales. Para el caso que nos ocupa, podemos poner dos ejemplos de tuits totalmente inventados, pero que se podrían dar un día cualquiera en la red social del pajarito. Lo vemos en la figura 8.3.

Figura 8.3. Dos ejemplos inventados de tuits que podrían darse en la realidad.

¿Cuál de los dos tuits mostrados en la figura 8.3 sería más impactante? ¿Cuál tendría más probabilidades de volverse viral? Objetivamente hablando, el primer tuit es impresionante de todo punto. Cada día podemos asegurar que no muere ningún ser humano a causa de la viruela. Igualmente, podríamos poner otros ejemplos de enfermedades tal vez no erradicadas, pero sí con una incidencia muy reducida gracias a las campañas de vacunación. Sin embargo, poniendo los pies en nuestras redes, el segundo tuit sería mucho más impactante y, posiblemente, se propagaría de forma salvaje. No es necesario subrayar cuan preocupante es que se produzca un caso de ese tipo, pero si nos atenemos a los hechos y ponemos la noticia en perspectiva, esa noticia no es más inquietante que otra sobre alguien que ha muerto por atragantarse con un huesecillo de pollo mientras comía.

Como ya hemos dicho anteriormente, las vacunas no están libres de riesgos, pueden contaminarse, puede que haya individuos —que los hay— alérgicos o intolerantes a ellas, y puede que haya lamentables casos de muertes u otros serios problemas de salud producidos por una vacuna. Pero si nos ceñimos a los números totales, veremos como esos casos son una marcada minoría en los porcentajes de vacunaciones actuales. Ningún control es suficiente para garantizar la absoluta seguridad de una vacuna, y aunque se controla y se seguirá controlando cada una de las vacunas que llegan a la sociedad, eso no eliminará los tristes casos en los que todo vaya mal.

Pero volvamos a lo que nos ocupa. Una noticia es un hecho sorprendente que escapa de los márgenes de lo que consideramos normal, típico, estándar o como queramos llamarlo. Por eso es noticia una muerte o un grave problema de salud producido por una vacuna: porque lo normal, lo típico o lo estándar es que la vacuna cumpla su cometido y nos proteja de la enfermedad para la que ha sido diseñada.

El verdadero problema no es la noticia en sí, sino cómo usemos esa información para tomar según qué decisiones personales. En las secciones anteriores, hemos dado unas cuantas pinceladas sobre el uso de la teoría de juegos en los problemas de decisión frente a las vacunas. El caso es que en 2004 se publicó en la revista PNAS un artículo firmado por los matemáticos canadienses Chris Bauch y David Earn, en el que se establecía la siguiente conclusión:

Considerando familias típicas con la información usual, si se les deja libertad de vacunar o no a sus miembros la teoría de juegos establece que nunca se alcanza el nivel de vacunación óptimo para mantener una enfermedad bajo control.

Este resultado de 2004 dependía de un modelo de juego muy simple, pero a posteriori y hasta la fecha se han introducido modelos cada vez más complejos, todos los cuales apuntan a la misma conclusión. Si existe la opción individual de no vacunar, entonces nunca se alcanzará el nivel óptimo de seguridad, es decir, la proporción de la población vacunada siempre estará un poco por debajo del umbral a partir del cual podemos asegurar que mantendremos una buena inmunidad grupal y evitaremos la aparición de epidemias masivas.

Pero los modelos también indican otro dato. Una mejor información por parte de los organismos responsables acerca de todos los aspectos de las vacunas repercutiría en un aumento de la participación voluntaria en las campañas de inmunización. Ni que decir tiene que existen entidades que se dedican justo a eso. En EE. UU. se encuentra el Centro para el Control de Enfermedades y la Prevención —Center for Disease Control and Prevention, o CDC, por sus siglas en inglés— y en Europa contamos con el Centro Europeo para la Prevención y Control de Enfermedades —European Center for Disease Prevention and Control, o ECDC, por sus siglas en inglés—. Por otro lado, cada país suele disponer de diversas instituciones médicas que informan sobre los programas de vacunación, los posibles problemas que pueden derivarse de las vacunas, estadísticas históricas, etc. Estos organismos tienen la responsabilidad de formar al público y de explicar los conceptos para que se entienda la importancia de las vacunas. Ni que decir tiene que también deben controlar la seguridad de las vacunas y alertar ante cualquier problema, por mínimo que sea. Te recomendamos que visites sus páginas web para comprobar la cantidad de información que proporcionan acerca de enfermedades infecciosas, métodos de control y vacunas.

Puede que no sean tantos

En los últimos tiempos hemos percibido, al menos los autores de este libro, un aumento de la presencia de noticias sobre los movimientos antivacunas y un aumento del número de personas que optan por no vacunarse o por no vacunar a sus hijos.

Ciertamente, están ahí, eso no se puede discutir. Pero tampoco deja de ser cierto que cualquier acción o presencia mediática de las opciones antivacunas causará gran impacto por los motivos explicados en la sección anterior. En ocasiones, la difusión de estas opiniones es tan insistente que da la impresión de que hay una amplia mayoría de personas en contra de las vacunas. Afortunadamente para todos nosotros, no existe tal mayoría, pero de todos modos esto nos va a servir para explicar un concepto que deberíamos tener muy presente cuando nos movamos por las redes sociales: la ilusión de la mayoría.

Supongamos que somos miembros de una red social. No hay mucho que suponer, porque todos estamos inmersos en redes sociales, y no solo virtuales. La estructura de esa red es como la que se indica en la figura 8.4, donde se han coloreado los nodos en función de si están a favor o en contra de las vacunas.

Figura 8.4. Grafo que representa en los nodos a los individuos de una población y en las aristas la relaciones existentes entre ellos. El color negro indica que no se está a favor de las vacunas y el color blanco indica que sí se está a favor. Este grafo ha sido tomado de: LERMAN, K., YAN, X. y WU, X., «The “Majority Illusion” in Social Networks», PLoS One, vol. 11, (2), 2016, e0147617.

A simple vista, podemos decir que en el grafo que representa las relaciones de la población hay una amplia mayoría de personas a favor de la vacunación. Sin embargo, al preguntarles a estas personas, nos dirán que en su entorno predomina la opinión contraria. Esto se debe a que casi todos los nodos blancos, o lo que es lo mismo, casi todas las personas a favor de las vacunas, están conectados principalmente a nodos negros, es decir, a personas en contra de las vacunas. Por lo tanto, a los integrantes de esta red les parece que la mayoría está en contra de las vacunas. Afortunadamente, tan solo es una ilusión.

El problema aquí surge al darnos cuenta de que esta ilusión de la mayoría surge porque hay nodos, personas, muy influyentes debido a que están conectados a multitud de otros nodos del grafo. Esto, como ya hemos comentado, combinado con la sensación de seguridad al estar inmersos en una confortable inmunidad grupal y con el salto a los medios de noticias negativas respecto a las vacunas, puede hacer que se produzca un cambio de parecer en las personas de esta población.

La solución a esto es, como casi siempre, tomar cierta distancia, informarse bien, aunque cueste un poco de esfuerzo, y ver si lo que se nos muestra como una aplastante mayoría, o al menos como una alta presencia, no es más que un artefacto, una bonita ilusión generada por las gracias de la teoría de grafos. Puede que tan solo sea mucho ruido y pocas nueces.

Para concluir, podemos pensar que las vacunas no solo son un extraordinario logro de la medicina y las biociencias que ha mejorado notablemente nuestra calidad de vida. También son un claro ejemplo donde la cooperación se premia globalmente. Que la mayoría de nosotros estemos vacunados, sobre todo gracias a nuestros padres, es un increíble acto de altruismo social, por muy tentador que resulte a nivel individual traicionar al grupo en este aspecto.

Nos seguimos leyendo…

Bibliografía

En este libro se han presentado las herramientas matemáticas y los modelos más simples que nos permiten entender la propagación de enfermedades infecciosas y el efecto de las vacunas. Este era nuestro humilde objetivo.

Como podrás suponer, hay una cantidad ingente de modelos, muchos más complejos, y de temáticas tratadas. Por ejemplo, modelos en los que se adquiere inmunidad frente a una determinada enfermedad únicamente durante un intervalo de tiempo o modelos en los que las vacunas no son efectivas al 100 %, que es lo que se ha supuesto en los temas tratados en estas páginas.

Además, un libro como este no se escribe solo con el genio de los autores, si es que los autores tienen de eso. Por lo tanto, es de recibo reconocer las deudas intelectuales que hemos contraído con los especialistas de este campo de quienes hemos aprendido y tomado ideas. Nuestro trabajo ha consistido simplemente en traducir y hacer entendibles temas ciertamente técnicos y alambicados desde el punto de vista matemático.

Por eso, en esta bibliografía pretendemos dar mérito y reconocimiento a todas las fuentes que hemos consultado durante la escritura de este volumen. Nuestra idea es comentar brevemente cada una de las referencias indicando qué aspectos han sido esenciales para nosotros y qué podrás encontrar en ellas, en caso de que decidas visitarlas.

1.- NEWMANN, M. E. J.,
Networks: An Introduction, Oxford, Oxford University Press, 2010.

Para los que aquí escriben, esta es la biblia del tema de las redes complejas. Todo lo que quieras saber sobre ellas está en este libro. Supone un perfecto punto de partida para adentrarte en el mundo de los grafos y su uso en el estudio de redes complejas.
En él encontrarás una detallada presentación de este campo a medio camino entre las matemáticas y la física. Y, como no podía ser de otro modo, el capítulo 17 se dedica completamente al tema de las epidemias.
Este recomendable libro ocupa un lugar privilegiado de nuestras bibliotecas, pues lo consideramos una joya para aprender, profundizar y ponerse al día. Te prepara para enfrentarte a los trabajos más punteros y actuales en la investigación de redes complejas, lo cual, por supuesto, abarca la epidemiología matemática.

2.- GRIMA, C.,
Vivir en un mundo pequeño. La matemática de las redes sociales, Colección: El mundo es matemático, vol. 52, National Geographic, RBA, 2017.

Se trata de un volumen completamente divulgativo sobre teoría de grafos y redes sociales. En él podréis encontrar una amplia introducción a temas que van desde la definición de grafos hasta el uso de las redes sociales para detectar emergencias humanitarias. Sin duda, una apuesta segura para saber más detalles de los grafos y redes complejas, su evolución y sus características.

3.- POUNDSTONE, W.,
El dilema del prisionero: John von Neumann, la teoría de juegos y la bomba,
traducción de Daniel Manzanares Fourcade, Alianza Editorial, 2015.

En este libro se hace una contundente presentación de la teoría de juegos y su importancia en distintos ámbitos. Con gran claridad expositiva, Poundstone nos lleva a los entresijos de los juegos matemáticos y de sus hipótesis iniciales. Todo ello está aderezado con un magnífico perfil biográfico del que se considera padre de la teoría: John von Neumann.

4.- PRISNER, E.,
Game Theory Through Examples, Colección: Classroom
Resource Materials, vol. 13, The Mathematical Association of America, 2014.

Una delicia de libro donde se expone la teoría de juegos basándose en ejemplos. Este volumen pertenece a una colección diseñada para proporcionar temas de investigación y motivación matemática a alumnos de los niveles estadounidenses análogos a nuestra secundaria y bachillerato.

5.- BROOM, M., RYCHTÁŘ, J., Game-Theoretical Models in Biology, CRC Press, 2013.

Si te interesa la teoría de juegos evolutivos, este es tu libro. Todo un primer paso para introducirse en las entrañas matemáticas de esta teoría y de su uso en biología. Quizá es un libro técnico y duro, pero presenta una gran amplitud de temas biológicos vistos desde la óptica de la teoría de juegos. Hemos disfrutado mucho su lectura, ya que es uno de esos trabajos donde se puede percibir la utilidad de las matemáticas en ámbitos que, en un primer momento, pueden parecer ajenos a ellas.

6.- PASTOR-SATORRAS, R., CASTELLANO, C., VAN MIEGHEM, P., y VESPIGNANI, A.,
«Epidemic Processes In Complex Networks», Reviews of Modern Physics, vol. 87, 31 agosto, 2015, 925.

Este artículo revisa el tema de la propagación de enfermedades en redes complejas, como su propio título indica. Como todos los artículos de revisión, presenta de forma muy completa las líneas de investigación más populares en el campo tratado y las referencias bibliográficas más importantes. Estamos en deuda con esta revisión, ya que hemos consultado muchas de sus fuentes bibliográficas para escribir este libro. Se trata de un artículo fundamental por ser actual y haber sido escrito por especialistas en el tema que han hecho aportaciones fundamentales a este campo científico. Especialmente reseñable es el doctor Romualdo Pastor-Satorras, que desarrolla su investigación en la Universidad Politécnica de Barcelona, en el Departament de Física i Enginyeria Nuclear. Este investigador ha contribuido notablemente a la epidemiología en grafos y tiene varios modelos con su nombre.

7.- CHRISTAKIS, N. A. y FOWLER, J. H.,
«Social Network Sensors for Early Detection of Contagious Outbreaks», PLoS ONE, vol. 5(9), 2010, e12948.

Este espectacular trabajo representa el punto de partida investigativo en la determinación de sensores en redes complejas para tratar de predecir una epidemia, pues los sensores son elementos de cierta popularidad en la red compleja estudiada. El resultado de este artículo muestra cómo estos sensores adquieren la enfermedad mucho antes que el resto de la población y, por lo tanto, cuál es su vital importancia a la hora de controlar un brote infeccioso.

8.- BAUCH, C. T. y EARN, D. J. D.,
«Vaccination and the Theory of Games», PNAS, vol. 11, 9, 2004, 13391-13394.

Este es uno de esos artículos que se citan por el nombre de los autores. Es decir, que los que se dedican a este tema de vacunas y epidemias desde el punto de vista matemático se refieren al mismo como «el Bauch-Earn». Sin duda, lo que se concluye del artículo es sorprendente y descorazonador, en cierto sentido. Usando juegos estáticos, se deduce que no es posible alcanzar una fracción de vacunados que sea segura frente a una enfermedad confiando únicamente en las decisiones que los individuos toman sobre este tema. El artículo ha generado una corriente de investigación muy interesante que trata de dilucidar cuáles son las condiciones que se deben conseguir para que una campaña de vacunación sea efectiva.

9.- BAUCH, C.T. Y BHATTACHARYYA S.,
«Evolutionary Game Theory and Social Learning Can Determine How Vaccine Scares Unfold», PLoS Comput Biol, vol. 8, (4), 2012 e1002452.

En este artículo, los autores muestran cómo las campañas de vacunación voluntarias prácticamente imposibilitan llegar a unas tasas de vacunación óptimas para asegurar el control de una determinada enfermedad. El trabajo se fundamenta en la teoría de juegos evolutivos y establece las condiciones por las que se dan comportamientos que se oponen a las vacunas y los efectos que esto produce.
Los resultados de este trabajo son interesantes y su lectura es provechosa para entender las dinámicas de aceptación y rechazo de la vacunación. Es un artículo al que merece la pena dedicar tiempo de lectura y reflexión.

10.- POLETTI, P.,
Human Behaviour in Epidemic Modelling, Tesis doctoral en Matemáticas, Universidad de Trento, 2010.

Esta tesis doctoral es un magnífico trabajo que nos ayuda a entender cómo el comportamiento y la toma de decisiones afectan al control de epidemias. Sus resultados son interesantes en dos ámbitos. Por un lado, en esta tesis se repasan y se proponen resultados sobre el distanciamiento de los elementos de una red compleja disminuyendo la tasa de contagio. Por otro, se hace una profunda revisión y se plantean nuevos modelos para comprobar cómo las decisiones individuales afectan a las campañas de vacunación.

11.- LERMAN, K., YAN, X. y WU, X.,
«The “Majority Illusion” in Social Networks», PLoS One, vol. 11, (2), 2016, e0147617.

Aquí se pone de manifiesto el problema ilusorio de la mayoría de redes sociales. El artículo es muy completo porque empieza a discutir un ejemplo simple, el que hemos usado en estas páginas, y luego analiza situaciones de redes reales. La conclusión es muy clara e interesante: a veces, las mayorías no son más que una ilusión. De obligada lectura.

12.- LÓPEZ-GOÑI, I.,
Virus y pandemias, Glyphos-Naukas, 2015.

En este hermoso libro escrito por un magnífico divulgador e investigador español encontrarás todo aquello que no hemos tratado aquí sobre enfermedades reales. Te sumergirá en el mundo de los virus y de muchas enfermedades originadas por ellos. Sin duda, un magnífico complemento al libro que tienes en tus manos.