A Andrea,

mi atractor extraño

PRÓLOGO

La física es como el sexo. A veces nos proporciona algo útil, pero no es por eso que la practicamos.

Richard Feynman

Cuando tras el éxito de La seducción de las matemáticas me preguntaron a qué disciplina me dedicaría a continuación, no tuve que darle muchas vueltas: estaba claro que la elegida sería la física. He estudiado matemáticas, que para mí sigue siendo la reina de las ciencias (y a ella le dedicaría yo la cita de Feynman que encabeza este prólogo), pero la física me fascina tanto como aquella. Si la matemática permite crear, prácticamente a partir de nada más que un seso de mamífero formado por la evolución, los universos mentales más complejos, los físicos dan un paso más y dicen: somos capaces de describir el mundo —tal vez incluso el mundo entero— con ecuaciones y modelos matemáticos. Porque las demás ciencias naturales, como es sabido, no son más que prolongaciones de la física: la química se ocupa de las reacciones entre moléculas que describe la física; la biología es la ciencia de la vida, que se puede describir mediante reacciones químicas, que a su vez se remiten a la física. Con ello no pretendo en absoluto levantar la bandera del reduccionismo total: a partir de un determinado grado de complejidad la física se pierde, no en vano el demonio de Laplace es un ser fabuloso (véase la página 189). Sin embargo, la física subyace efectivamente a todos los fenómenos de este mundo, incluida la génesis del universo entero.

Pero no se preocupe, que en La seducción de la física no voy a hablar de los modelos físicos que utilizan los teóricos del big bang o de las supercuerdas. Al igual que La seducción de las matemáticas, este libro trata principalmente de aquellos fundamentos científicos que el no iniciado es capaz de entender. Dejando de lado los capítulos 8 y 14, que se adentran en la teoría de la relatividad y de la física cuántica, esto significa que nos ocupamos de un mundo en el que prácticamente todos los fenómenos se explican por la colisión de masas pequeñas o grandes. Para describir ese mundo nos bastan magnitudes como la fuerza, la aceleración y la energía, bien en un plano macroscópico —como cuando chocan dos automóviles—, bien en un plano microscópico: la temperatura es la energía cinética media de partículas que nos imaginamos como pequeñas pelotas de goma, y la presión es el efecto del choque de estas pelotas contra la pared de un recipiente. El libro muestra hasta qué punto nos basta un modelo físico tan ingenuo, capaz de explicar por qué vuelan los aviones y cómo es posible que funcione un móvil perpetuo. Esto podría ampliarse también a fenómenos eléctricos y magnéticos, que en este libro solo se mencionan de pasada.

Pero las moléculas no son pelotas de goma, sino que se componen de átomos y estos, a su vez, están formados por partículas elementales todavía más pequeñas. Y si el lector sigue pensando que el núcleo de un átomo es como un conglomerado diminuto de neutrones y protones que recuerda a una mora alrededor del cual orbitan, a cierta distancia, los electrones como mosquitos alrededor de una bombilla, sepa de entrada que también esto no es más que una imagen auxiliar destinada a estimular nuestra fantasía. En la física «real», todas esas bolitas se deshacen en un momento dado en ondas que vibran en el espacio vacío y no describen más que probabilidades. Los físicos son incapaces de imaginar esto de un modo concreto y mantienen un debate casi religioso sobre cómo hay que interpretar los resultados de la teoría, desde luego confirmados experimentalmente (véase el capítulo 14).

Al igual que su predecesor matemático, el libro dedicado a la física también contiene fórmulas. Sigo creyendo que una buena fórmula matemática y física aclara mejor una relación que una frase bonita. Por otro lado, sé muy bien que las fórmulas no se pueden leer como un texto entretenido, que obligan a detenerse y a veces incluso a tomar papel y lápiz para calcular alguna cosa. Por eso he resaltado los pasajes en que se trata de calcular. El lector puede pasarlos por alto o reservarlos para más adelante, que no por ello dejará de comprender la argumentación del capítulo. Claro que no son del todo prescindibles, pues de lo contrario ya habría prescindido yo de ellos.

La seducción de la física no es un libro de texto ni un tratado completo. Lo que pretendo es explicar algunos conceptos de la física a la luz de unas historias divertidas, o refrescar la memoria sobre ellos, y si usted echa de menos algún aspecto, será porque no se me ha ocurrido ninguna historia divertida en relación con el mismo o porque el libro ya no daba más de sí. Mi tarea no es desarrollar un programa de estudio, sino que estaré contento si consigo divertirle un poco y despertar su curiosidad para que trate de rellenar por su cuenta los huecos que haya detectado.

Quiero dar las gracias en este punto a mi agente Heike Wilhelmi y a mi corrector Frank Strickstrock, de la editorial Rowohlt; a Bernd Schuh y Max Rauner por su lectura del manuscrito y sus importantes comentarios científicos; a Rüdiger Dammann, de Booklett, quien tuvo la idea original de La seducción de las matemáticas; sin él no existiría La seducción de la física. Y a mi hijo Lukas Engelhardt por el retoque de los gráficos en este libro.

CHRISTOPH DRÖSSER

Hamburgo, octubre de 2010

1    NO TE PRECIPITES

O QUÉ «EUREKA» NI QUÉ NARICES

Arquímedes va y viene, visiblemente agitado. En realidad, esa tarde tenía previsto tomar un baño caliente para relajarse y por eso ha ido antes de lo habitual a la casa de baños. Los demás hombres, que también han acudido para escapar del bullicio de las calles de Siracusa y tal vez también del régimen doméstico de sus esposas, le miran de reojo. ¿Cómo relajarse si ese hombre desprecia olímpicamente el consejo de Homero de aprovechar el baño como «remedio contra el trabajo que debilita el espíritu»? Con una mano sujeta el paño que cubre su desnudez y camina de un lado para otro, sudoroso y jadeante. No es un espectáculo bonito de ver, pero nadie se atreve a decirlo en voz alta; al fin y al cabo, ese Arquímedes no solo es un pensador admirado por todos, sino también un buen amigo del rey Hierón II.

Y es el pensamiento en este rey el que no deja que Arquímedes se tranquilice. No se trata de los fantásticos artefactos de guerra que ha de construir el inventor para su rey, quien ha de defender su territorio frente a romanos y cartagineses, pues los planos de las catapultas y los espejos ya están casi listos; solo falta que los obreros los materialicen, y Arquímedes no duda de que sus invenciones revolucionarias funcionarán. Lo que le abruma es un problema aparentemente sencillo que le ha planteado el rey esa mañana.

Hierón II, también llamado «el Joven», es un guerrero de tomo y lomo y cree ver un enemigo detrás de cada matorral. Arquímedes es uno de los pocos en quien el rey confía, pero el orfebre Filipos, que tiene una pequeña tienda en una callejuela cutre de la ciudad antigua, no forma parte de este círculo. A este Filipos le había entregado Hierón dos minas de oro puro (hoy diríamos que alrededor de un kilogramo) para que fabricara con ellas una corona. El rey pretende depositarla en el famoso santuario de Apolo, desde luego que con acompañamiento de fanfarrias y celebraciones, pues se trata de que todos los ciudadanos de Siracusa vean cuán devoto es su monarca.

Filipos ha creado una corona maravillosa y a cambio ha recibido un pago bastante escueto por su labor; la corona pesa exactamente dos minas. Hasta aquí, ningún problema, todos podrían estar contentos… pero Hierón no se fía. ¿Es posible, le ha preguntado esta mañana a Arquímedes, que el orfebre se haya guardado una parte del oro y la haya sustituido por plata? Nada más que un décimo de mina, equivalente a diez dracmas, convertirían a ese menesteroso en un hombre rico. Y a simple vista no sería posible descubrir la impureza del oro.

—No me fío de ese Filipos, —le ha dicho Hierón a Arquímedes—. Toma, llévate la corona al taller, examínala tanto como quieras, pero por favor, que quede igual que como está, pues es maravillosa. Mañana me dirás si es de oro puro o si Filipos ha hecho trampa.

Y en señal de confianza en el sabio, el rey le ha entregado también un lingote de oro que pesa tanto como la corona.

Si Arquímedes pudiera fundir la corona de oro, no habría ningún problema. Todo el mundo sabe que el oro pesa más que la plata, es decir, que un lingote de plata que pesa lo mismo que uno de oro tiene que ser más grande o, si ambos son del mismo tamaño, el de plata ha de pesar menos. La diferencia es notable: el oro pesa casi el doble que la plata. Por tanto, Arquímedes tendría que fundir la corona, formar un lingote y comparar el volumen del mismo con el que le ha dado Hierón. Arquímedes ya ha resuelto problemas matemáticos más difíciles.

El problema es que no puede destruir la hermosa corona, cuya forma refinada, con las hojas de laurel en ligero relieve, es demasiado complicada como para desarrollar una fórmula matemática adecuada. ¿Cómo comparar entonces el volumen de la corona con el del lingote de oro? Un grito de dolor interrumpe las cavilaciones de Arquímedes.

—Por Zeus, Arquímedes, ¡mira dónde pisas! —El anciano poeta Teócrito se sujeta el pie: por lo visto, el sabio pensativo le ha pisado el dedo pequeño.— Hace ya diez minutos que vas sin descanso de un lado para otro, —le reprocha Teócrito— estás alterando nuestro reposo, y encima vas y me pisas en el pie. Cuando se va al baño hay que dejar los problemas y preocupaciones fuera. Por eso aquí solo hay hombres y por eso seguimos las reglas que respetamos desde los tiempos de Hipócrates. Una de ellas dice que en el baño ha de reinar la calma.

Arquímedes mira compungido al suelo. Él también respeta al viejo poeta, que por lo demás tiene toda la razón cuando menciona las viejas costumbres. Aunque eso de la separación de sexos convendría repensarlo alguna vez…

—¡Y mira qué aspecto tienes! —sigue clamando el anciano, que parece estar cada vez más furioso—.

Estás chorreando de sudor, el paño se te pega al cuerpo. Tal vez debieras hacer aquello por lo que has venido. Allí, al otro lado, un esclavo acaba de preparar un baño caliente, y todos los que están aquí te cederán gustosos el paso.

—Tienes razón, Teócrito —dice Arquímedes en voz baja—. No cabe duda de que el baño caliente no solo limpiará mi cuerpo, sino también mi mente.

—Esperemos —gruñe Teócrito y da por concluida la conversación.

El agua emite vapor en el pilón de mármol que está lleno hasta un palmo del borde. Arquímedes entrega el paño a uno de los esclavos y se mete en la bañera, poniendo cuidado en hacer el menor ruido posible. Después se reclina con un suspiro de placer, cierra los ojos y sumerge todo el cuerpo en el agua.

¡Chop! Todas las cabezas se giran hacia él cuando el agua sube por encima del borde de la bañera y cae ruidosamente al suelo. Está visto que Arquímedes ha calculado mal y el palmo de aire que había entre el nivel del agua y el borde del pilón no ha bastado para compensar el volumen del cuerpo del sabio. Mientras trata de dilucidar si en los últimos meses ha engordado un par de libras, se le ocurre otra idea: está visto que su cuerpo desaloja agua, tanta agua como volumen tiene. Si la bañera hubiera estado llena hasta el mismo borde, entonces se habría desbordado exactamente tanta agua como volumen tiene el cuerpo de Arquímedes…

—¡Eureka! ¡Ya lo tengo! —exclama Arquímedes. Se pone de pie en la bañera, sale completamente mojado de ella y corre en pelota picada sobre las baldosas—. ¡Eureka! ¿Cómo no se me había ocurrido antes?

Cuando se percata de la severa mirada de Teócrito, Arquímedes agarra su toalla y se la coloca no sin dificultad alrededor de la cadera. De no ser así, tal vez habría salido totalmente desnudo a la calle.

—¡Gracias, Teócrito! Gracias a tu consejo he hallado la solución del problema. ¡Muchas gracias! Y a todos vosotros, que paséis una tarde tranquila. —Y ya sale el sabio corriendo por la puerta. Los hombres de la casa de baños mueven la cabeza de un lado para otro y entonces se instala la calma en la casa de baños.

De nuevo en su taller, Arquímedes pone de inmediato manos a la obra para llevar a la práctica su idea luminosa. La experiencia de la casa de baños le ha enseñado que se puede medir el volumen de un cuerpo sumergiéndolo en un recipiente lleno de agua hasta el borde, recogiendo el agua que se desborda y determinando su volumen. La corona y el lingote de oro pesan exactamente lo mismo, y si ambos son de oro puro, tendrían que desalojar la misma cantidad de agua. En cambio, si el oro de la corona está adulterado, esta debería desalojar una mayor cantidad de agua.

Arquímedes trastea entre los utensilios de la estantería hasta encontrar una fuente de barro redonda en la que se puede sumergir totalmente la corona, y desde luego el lingote. Coloca la fuente sobre una cazuela plana para recoger en ella el agua desalojada. Entonces llena la fuente de agua hasta el borde.

Primero mete con cuidado la corona dentro de la fuente para que se sumerja totalmente. La superficie del agua se expande entonces como una piel sobre el borde de la fuente y finalmente sale un chorrito de agua por un lado, como en un tiesto en el que se ha metido demasiada agua al regar. Arquímedes espera a que deje de fluir agua y vierte entonces la que ha caído en la cazuela en un vaso de vino. Le asombra la poca agua que hay.

Acto seguido saca la corona de oro de la fuente y vuelve a llenarla de agua hasta que el nivel sube hasta el borde. Entonces introduce el lingote de oro. Piensa que la superficie del agua se levantará un poco antes de desbordarse, como en la primera prueba, pero esta vez el agua sale de inmediato, debido a la ola provocada por el lingote al hundirse y por el hecho de que el borde de la fuente estaba mojado. Arquímedes vierte entonces el agua desalojada en un segundo vaso de vino. Ahora puede colocar los dos vasos uno al lado de otro y comparar los volúmenes de agua que contienen. Resulta que el primer vaso está un poco más lleno que el segundo. Pero ¿se han realizado las dos pruebas realmente en condiciones idénticas?

Lo que más sorprende a Arquímedes es la poca cantidad de agua que se ha desbordado, una porción diminuta del volumen total de la fuente. Él mismo tampoco está totalmente convencido de su experimento: demasiadas posibilidades de error para poder emitir un juicio con certeza. Y de ese juicio podría depender la vida del orfebre Filipos.

—Qué eureka ni qué narices —gruñe Arquímedes—. Me parece que he cantado victoria antes de tiempo. Pero sin duda tiene que haber un método más elegante para determinar la diferencia entre el oro puro y el falso…

EL EMPUJE ASCENSIONAL SACA LA VERDAD A FLOTE La historia que acabo de contar se basa en un relato que nos legó el escritor romano Vitruvio en el siglo I a.C. Era arquitecto y por tanto estaba al corriente de los avances de la ciencia de su época, pero su descripción del experimento de Arquímedes es bastante deficiente. En particular, su relato no explica precisamente el descubrimiento del llamado «principio de Arquímedes».

Lo que en la historia de Vitruvio parece entusiasmar tanto a Arquímedes es la observación bastante simple de que al sumergir un cuerpo de más volumen se desaloja más agua. Si se sabe que la plata tiene una densidad menor que el oro y por tanto un objeto de plata ocupa más volumen que un objeto de oro del mismo peso, la cuestión ya raya lo banal. El principio de Arquímedes, en cambio, es un teorema sobre el empuje ascensional que experimenta cualquier cuerpo sumergido en agua o en cualquier otro líquido:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

El mecanismo por el que se genera esta fuerza de empuje lo describo en detalle en el capítulo 6. Del teorema enunciado se derivan cosas como la siguiente: un barco se sumerge en el agua hasta el punto en que el peso del agua que desaloja es igual a su propio peso. También significa que un objeto de plata experimenta en el agua un mayor empuje ascensional que un objeto de oro del mismo peso, justamente porque desaloja más agua. Para ser exactos, lo mismo ocurre en el aire, aunque está claro que el aire desalojado pesa tan poco que esa magnitud resulta insignificante en cualquier cálculo o medición que se haga.

Este descubrimiento no es baladí. En su momento chocó sin duda con la intuición y supuso un avance científico decisivo, sin el cual muchas invenciones, incluido el avión moderno, serían inimaginables.

Pero examinemos primero hasta dónde habría llegado Arquímedes en su primer intento de solución: las coronas de oro que se hacían en la Grecia antigua para honrar a los dioses tenían un diámetro máximo de 20 centímetros. Adoptaremos ahora las unidades métricas modernas y supondremos que la corona encargada por el rey Hierón era de ese tamaño y tenía una masa de 1.000 gramos. Para calcular el volumen hemos de conocer la densidad de ambos materiales. El oro tiene una densidad de 19,3 g/cm³ y la plata de 10,5 g/cm³.

El volumen de una corona de oro puro es fácil de calcular: basta dividir 1.000 gramos entre la densidad para obtener 51,8 centímetros cúbicos.

Supongamos que en la corona adulterada el orfebre fraudulento hubiera sustituido 100 g de oro por plata. Esos 100 g de plata tienen un volumen de 100/10,5 = 9,5 cm³. El oro sustituido por la plata tiene un volumen de 5,2 cm³, por lo que resulta un excedente de 4,3 cm³. Este es el volumen adicional que tendría la corona falsificada.

Para sumergir la corona de oro totalmente en el agua, el recipiente redondo ha de tener un diámetro mayor; la corona entra perfectamente en una fuente de 25 cm de diámetro. Si está llena de agua hasta el borde, ¿cuánto asciende el nivel del agua?

La corona de oro tiene un volumen de 51,8 cm³, que se distribuyen ahora sobre la superficie A del agua. Primero hemos de calcular la superficie con ayuda de la conocida fórmula a partir de un radio de 12,5 cm:

A = π · r² = 3,14 · 156,25 = 490,8

(Redondearé todos los números que resultan de los cálculos en este libro sin dejar de utilizar el símbolo de la igualdad, pues no se trata de valores matemáticamente exactos, sino, en la mayoría de los casos, de datos aproximados.)

De modo que los 51,8 cm³ de agua que desaloja la corona se distribuyen sobre esta área de 490,8 cm², lo que supone un ascenso del nivel de casi exactamente un milímetro.

Por consiguiente, en términos matemáticos la subida del nivel de agua es mínima. En la práctica, la cuestión es más complicada: tal como se explica en la historia, el agua tiene una tensión superficial que hace que encima del líquido se forme como una «piel» que se levanta por encima del borde del recipiente. ¡Puede ocurrir incluso que al sumergir la corona de oro no se derrame ni una gota de agua!

Pero incluso si se derramara agua, la diferencia entre la corona de oro puro y la adulterada es mucho más pequeña. La corona aleada con plata tiene en nuestro ejemplo un volumen suplementario de 4,3 cm³, que repartidos sobre la superficie suponen que el nivel del agua no sube más que 0,09 milímetros en comparación con el ascenso de nivel que resultaría con la corona de oro puro:¡una décima de milímetro! Ningún juez conocedor de las matemáticas aceptaría esto como prueba de un presunto fraude, teniendo en cuenta además la imprecisión de los instrumentos de medición.

Así que para demostrar que hubo un robo de oro hay que emplear un método de medición más preciso. Arquímedes tiene uno disponible en virtud del teorema que lleva su nombre: basta con que determine el empuje ascensional que experimentan los distintos materiales sumergidos en agua.

Para ello ha de equilibrar primero la corona con el lingote de oro que le ha dado Hierón en una balanza de dos platillos como las que solían utilizarse comúnmente en aquella época. Tanto la corona como el lingote tiene una masa de 1.000 g y el empuje ascensional del aire es insignificante. La balanza, por tanto, ha de estar equilibrada.

Acto seguido se introduce la balanza en un recipiente de agua, de manera que tanto la corona como el lingote queden totalmente sumergidos en el líquido. Si ambos son de oro puro, tendrán el mismo volumen y experimentarán por tanto el mismo empuje ascensional. La balanza, por tanto, permanecerá equilibrada.

¿Qué sucede, sin embargo, si la corona no es de oro puro? Sucede que en este caso tiene un volumen mayor y desaloja más agua y, por tanto, de acuerdo con el principio de Arquímedes, experimentará un mayor empuje ascensional, con lo que la balanza se inclinará hacia el lado del lingote.

¿Ocurre esto realmente en la práctica? Para calcularlo hemos de sustituir la masa de los dos objetos por el peso. Esta es una de las primeras cosas que aprendemos en clase de física y que a pesar de ello solemos olvidar en la vida cotidiana. Decimos que uno pesa 80 kilogramos, pero el kilogramo es una unidad de masa. Esta masa la conservamos incluso si nos vamos, por ejemplo, de viaje a la Luna, pero allí la balanza no indicaría más que una sexta parte de nuestro peso en la Tierra. La balanza no mide la masa, sino la fuerza que ejerce la masa sobre el platillo, y esa fuerza varía en función de las circunstancias de cada lugar. Trate el lector de subirse a una balanza estando debajo del agua: le indicará que su peso es cero, ya que el empuje ascensional equivale casi exactamente al peso del cuerpo en el aire.

Cuando yo iba a la escuela todavía se utilizaba como unidad de peso el kilopondio, lo que resultaba cómodo, porque al menos un cuerpo de densidad elevada pesaba en el aire, por cada kilogramo de masa, casi exactamente un kilopondio. Hoy en día, en física todas las fuerzas se miden en Newton (N), y de momento nos basta saber que un kilogramo de oro, plata o agua en la Tierra pesan unos 9,8 Newton.

Ahora podemos calcular:

El lingote y la corona adulterada pesan 9,8 Newton cada uno. Debajo del agua, sin embargo, experimentan diferentes empujes ascensionales: el lingote de oro desaloja 51,8 cm³ de agua, es decir, una masa de 51,8 g (las unidades físicas se basan a menudo en el agua) y pesa entonces 0,5 N. Esto significa, que la gravedad del lingote sumergido se ha reducido a 9,3 N.

La corona adulterada tiene 4,3 cm³ de volumen, o sea, 56,1 cm³, y el agua que desaloja pesa 0,55 N. Por consiguiente, la corona sumergida solo pesa 9,25 N, de modo que la balanza se inclina hacia el lado del lingote.

¿Se puede medir realmente esta diferencia con las balanzas que había en la época de Arquímedes? La diferencia es de 0,05 Newton, lo que equivale a una masa de unos cinco gramos, y una balanza bien calibrada es capaz de medirla.

Esta prueba fehaciente la habría aceptado cualquier juez de Siracusa.

Este método elegante incluso habría funcionado si el rey Hierón hubiera sido más rácano y le hubiera entregado de referencia un lingote de oro de tan solo 100 gramos. En este caso, el sabio no podría haber sacado ninguna conclusión con el método del agua desbordada. Pero es perfectamente posible equilibrar pesos desiguales utilizando una balanza de brazos ajustables, ya que este tipo de balanza se rige por el principio de la palanca: la fuerza que actúa sobre el brazo derecho de la palanca multiplicada por la longitud del brazo derecho es igual a la fuerza que actúa sobre el brazo izquierdo de la palanca multiplicada por la longitud del brazo izquierdo. Para expresarlo con una fórmula:

F₁ · l₁ = F₂ · l₂

F₁ y F₂ designan la gravedad de cada uno de los objetos, y l₁ y l₂ representan las longitudes de los brazos de la balanza.

Si el brazo l₁ tiene una longitud diez veces superior a l₂, la balanza permanece equilibrada, y cuando se sumerge en agua se podrá demostrar, incluso en este caso, si la corona es de oro puro o no. ¡Eureka!

EJERCICIO Ahora le toca a usted: siempre se dice que lo que asoma de un iceberg fuera del agua es una séptima parte. El hielo tiene una densidad menor que el agua (de mar), por eso flota y desaloja exactamente tanta agua como la que corresponde a su peso. Pero ¿se trata realmente de una séptima parte si partimos de que la densidad del agua de mar es de 1,02 g/cm³ y la del hielo es de 0,9 g/cm³?

2    EL ÚLTIMO DESCENSO

O CÓMO ES QUE LOS GORDOS

BAJAN MÁS RÁPIDO

Es un gran momento en la vida de cualquier chico cuando gana por primera vez a su padre a la carrera. ¡Por fin le puedo! Saborea entonces las mieles del triunfo, no por haber ganado al otro, sino porque esa victoria simboliza una transición: la de la infancia a una etapa en la que a uno ya le consideran hecho y derecho, por lo menos físicamente.

Es un momento de sentimientos encontrados en la vida de cualquier hombre cuando por primera vez su hijo le gana a la carrera. No es el sentimiento de haber perdido una competición, pues al fin y al cabo siempre se desea lo mejor para los propios descendientes, y eso de modo incondicional. No es eso, pero esa derrota se le antoja irreversible: el hijo ganará a partir de ahora todas las carreras y cada vez con más ventaja. También para el adulto simboliza una transición.

En eso está pensando Esteban Fernández Ochoa durante la cena con su hijo Eduardo en el restaurante La vaquera, cerca de la estación de esquí de Cerler, en el Pirineo oscense, mientras engulle una buena porción de tarta de Santiago. La jornada en la pista de esquí les ha supuesto mucho esfuerzo y ambos tienen ahora unas agujetas de caballo, pero a Fernández Ochoa le duele además la certeza de que su hijo esquía mejor que él y, sobre todo, más rápido.

Hace ya doce años que padre e hijo empezaron a ir juntos a esquiar. Una vez al año se van por una semana de Zaragoza, donde viven, al valle de Benasque, a

Andorra o a Baqueira-Beret. Fernández Ochoa todavía recuerda cómo enseñó por primera vez a su hijo Eduardo a ir en trineo, descendiendo por la pendiente con el niño agarrado entre las piernas.

Ya la tercera vez que fueron, el niño se aburría de ir siempre con el padre y prefería descender por la pista compitiendo con otros de su edad. El padre se lo tomaba con filosofía, pero en el último descenso del día, cuando volvían juntos, le gustaba demostrar una vez más su pericia, sobre todo en las partes más empinadas. Quería dejar claro quién de los dos era el más experimentado as del esquí.

Pero hoy no ha habido demostración que valga. La última vez que han descendido, Eduardo se le ha adelantado, y aunque le ha gritado que no arriesgara tanto, se ha dado cuenta de que el problema no era la temeridad de su hijo. Al contrario, el joven de 16 años ha descendido con una seguridad y elegancia digna de encomio, mientras que él ha tenido a veces la sensación de estar al límite de su capacidad.

—¡Qué pasada de descenso! —exclama Eduardo, todavía embriagado por la velocidad y, desde luego, por el hecho de haber llegado el primero a la estación del valle—. La nieve perfecta, el tiempo excelente, así da gusto esquiar.

—Desde luego —asiente el padre, y espera que haya sonado como una expresión de entusiasmo.

—Mañana hacemos una carrera, ¿vale? —le reta Eduardo—. En la pista de eslalom, donde por un euro te cronometran. ¿Te parece?

—Trato hecho —responde el padre—. Yo pago, y el que pierda invita al ganador a una buena merienda.

—Pues ya es mía —dice Eduardo riendo. El padre sonríe sin decir nada.

Durante la noche nieva y a la mañana siguiente hace de nuevo un tiempo ideal para la práctica del esquí: cielo azul, nieve polvo fresca, las pistas en su punto. Padre e hijo esquían todo el día juntos, hacen una breve pausa a mediodía y por la tarde van a la pista de eslalom acotada para los turistas.

Y como era de prever, ocurre lo que ambos ya habían previsto: Fernández Ochoa no tiene ninguna posibilidad frente a su hijo, los doce años de enseñanza no han sido en vano y Eduardo sortea ágilmente los palos y realiza el recorrido dos segundos más rápido que su padre, quien además llega jadeante a la meta. Repiten la prueba, pero no hay nada que hacer y la realidad se impone: Eduardo ha dejado definitivamente atrás a su padre.

—Bueno, con esto queda aclarada la cuestión de quién es el mejor esquiador —dice Eduardo con un poco de altanería en la voz—. Bajemos ahora mismo, que quiero mi premio.

—Tienes razón —contesta el padre, que todavía respira un poco con dificultad—, aunque puedes ahorrarte ese tonillo —en su voz resuena cierto rencor de mal perdedor—. Pero no bajemos por la pista negra, que yo ya estoy un poco cascado. Propongo que vayamos por el largo descenso del bosque.

—Pues claro, ¡está hecho! —responde el hijo—. ¿Quieres que lo hagamos también a la carrera, a ver quién llega antes?

En ese momento se le cruza una idea por la cabeza a Esteban, una idea que viene acompañada de una agradable sensación de revancha. Fernández Ochoa es profesor de física, y el físico que lleva dentro atisba ahora una última oportunidad de revertir la derrota de hoy.

—De acuerdo, pero seguiremos estas reglas: arriba nos colocamos uno al lado del otro y nos dejamos caer simplemente por la pendiente, sin empujarnos con los palos ni dar pasos. Y el que llegue primero abajo no solo habrá ganado la carrera, sino toda la competición del día.

—Todo o nada, ¿eh? —se ríe el hijo—. Esto ya no tiene nada que ver con la pericia o el deporte, simplemente nos dejamos llevar por la gravedad pendiente abajo. —Luego reflexiona un momento—. Tú sabes más física que yo, pero hace dos años estudiamos los planos inclinados en el colegio y la conclusión fue que en ellos ocurre lo mismo que en la caída libre: todos los cuerpos se deslizan o ruedan abajo a la misma velocidad, siempre que la fricción sea igual. Puesto que nuestros esquís son iguales, lo que ocurrirá es que un gordo como tú llegará a la meta exactamente al mismo tiempo que un flaco como yo.

—Si tú lo dices —replica el padre, que no puede evitar una sonrisa irónica—. Y eso del gordo haré como que no lo he oído. Soy más grande que tú y un poco más corpulento. Probémoslo.

Ambos se colocan juntos en lo alto de la pista larga y clavan los palos en la nieve para mantenerse en el sitio. Cuando el padre dice ¡ya! Levantan los palos y los esquís se ponen en movimiento con una lentitud casi ridícula. Pero al cabo de unos metros, padre e hijo van tomando velocidad. La pista está señalizada de color azul, pero en ningún momento se inclina tanto como para que un esquiador experimentado tuviera que trazar curvas: basta con dejar que los esquís «corran», poniendo cuidado en no perder el control.

Después de un par de centenares de metros, Eduardo se da cuenta que aunque su padre no sea el mejor esquiador de los dos, todavía le gana en física: centímetro a centímetro le va adelantando el viejo, y al llegar a la mitad de la pista, que tiene dos kilómetros de longitud, el padre ya le lleva una ventaja de diez metros. Eduardo se pone de cuclillas sobre los esquís, pero Esteban también lo hace. Todo lo que prueba el joven, desde inclinarse hasta el extremo o poner los esquís en cuña, no le sirve de nada: el padre es más veloz y llega a la meta con una ventaja de 25 metros.

—¡Qué pasada de carrera! —exclama Fernández Ochoa, que disfruta visiblemente con su último triunfo.

—Bueno, el gordo gana —murmura Eduardo—. Vamos a merendar y me explicas por qué un esquiador que pesa más llega antes abajo que uno que pesa menos.

Por cierto que la merienda también la acaba pagando el padre.

EL AIRE FRENA ¿Desciende un esquiador pesado realmente a mayor velocidad que otro ligero, siempre que las demás condiciones sean idénticas? Antes de analizar el caso de los esquiadores, veamos un caso distinto y más sencillo: el de una pendiente infinita, o sea, la caída vertical libre de dos objetos. ¿Cae un objeto pesado más lentamente que uno ligero? Antiguamente esto le parecía tan claro a la gente que a nadie se le ocurría comprobarlo mediante un experimento. Cuenta la leyenda que fue Galileo Galilei quien demostró las leyes de la caída libre de los cuerpos, dejando caer simultáneamente diversas bolas de distinto peso desde lo alto de la torre de Pisa: todas ellas tocaban el suelo al mismo tiempo.

Pero probablemente esto no sea más que una leyenda, y eso por más de una razón: en primer lugar, porque entonces todavía no existían relojes que permitieran medir con precisión movimientos tan rápidos. Por eso, Galileo utilizó planos inclinados sobre los que dejaba rodar las bolas hacia abajo.

Y en segundo lugar, el propio Galileo anduvo equivocado durante mucho tiempo. En su obra temprana titulada De motu, escrita hacia 1590, trató de rebatir la tesis (errónea) de Aristóteles de que la velocidad de caída de un cuerpo depende de su peso. El joven Galileo desarrolló una teoría compleja, aunque por desgracia también errónea, según la cual no era el peso, sino la densidad de un cuerpo la que determina la velocidad de caída.

Sin embargo, a Galileo le gustaba experimentar y lo hacía con mentalidad abierta, de modo que se percató de que la realidad no corroboraba su teoría: «Porque si tomamos dos cuerpos diferentes que tengan características tales que el primero caiga dos veces más rápido que el segundo, y los dejamos caer desde una torre, el primero no llega al suelo mucho antes que el segundo». Una conclusión dolorosa que no le dejó tranquilo hasta que años después descubrió la verdadera ley de la caída libre de los cuerpos, según la cual todos los cuerpos caen a la misma velocidad, por lo menos si se dejan de lado las fuerzas de la fricción.

¿A qué se debe esto? Tiene que ver con la inercia de las masas. Todas las masas tienen inercia, es decir, tienden a conservar su estado actual y se resisten a cambiarlo. Esto se aplica tanto a las masas estáticas como a las masas que se mueven a una velocidad constante. Por tanto, hay que aplicarles una fuerza para superar esa inercia, y esa fuerza es proporcional a la masa; para una masa dos veces mayor, la fuerza necesaria será igualmente dos veces mayor.

En el campo gravitatorio de la Tierra siempre actúa una fuerza sobre los cuerpos: la fuerza de gravedad. Puesto que la masa y el peso son proporcionales, a menudo se confunden una con otro. Antes existía la unidad del kilopondio (kp) para el peso, y 1 kp equivalía casi exactamente al peso de una masa de 1 kg. Los valores de la escala de una balanza, por ejemplo, no deberían indicarse en kilogramos, pues con ella se mide la fuerza que ejerce el cuerpo sobre la balanza y no su masa.

Si se conoce la fuerza (F) y la masa (m), entonces se puede calcular la aceleración (a) que experimenta un cuerpo cuando se suelta dentro de un campo gravitatorio. La fórmula es:

F = m · a

o bien, despejando a:

a = F / m

Sin embargo, puesto que F y m son proporcionales entre sí, el quebrado del miembro derecho de la ecuación tiene el mismo valor para todas las masas, es decir, todos los cuerpos experimentan la misma aceleración.

Para indicar la aceleración, que en el campo gravitatorio de la Tierra es una constante, se utiliza habitualmente la letra g, la llamada aceleración terrestre. Su valor es de aproximadamente 9,8 m/s².

Quisiera hacer dos comentarios al respecto. El primero es que resulta muy práctico, aunque sea pura casualidad, que el valor de g se aproxime mucho a 10, pues esto facilita enormemente muchos cálculos en física. Por ejemplo, una masa de 1 kilogramo pesa 9,8 o alrededor de 10 Newton.

En segundo lugar, la unidad m/s² choca para muchas personas con los límites del sentido común: ¿qué demonios significa «segundo elevado al cuadrado»? ¿Un tiempo bidimensional? No. La aceleración es una medida de la variación de la velocidad. Por tanto, 9,8 m/s² significa «9,8 metros por segundo por segundo», es decir, la velocidad aumenta cada segundo en 9,8 m/s. Cuando dejamos caer una masa, al cabo de un segundo tiene una velocidad de 9,8 m/s, al cabo de dos segundos se ha acelerado a 19,6 m/s y así sucesivamente.

A muchas personas no les parece plausible que la aceleración terrestre sea igual para todos los cuerpos, pues no en vano se contradice con toda una serie de fenómenos que observamos todos los días. Por ejemplo, un globo inflado de aire cae más lentamente que una bola de acero y una pluma desciende más pausadamente al suelo que una moneda. En ambos casos, la lentitud de la caída se explica por la resistencia que opone el aire a la masa de un cuerpo. Así, por ejemplo, si se desinfla el globo, al caer experimentará una resistencia mucho menor del aire y caerá al suelo casi como una piedra. En cuanto a la pluma, ¿qué alumno no recuerda el experimento en clase de física en que se deja caer una pluma y una moneda dentro de un gran tubo de vidrio? En la primera prueba, la pluma desciende más lentamente, pero después de vaciar de aire el tubo de vidrio, tanto la pluma como la moneda caen al suelo a la misma velocidad.

Para seguir con el ejemplo de la pluma: ¿cae una pluma pequeña a la misma velocidad que una grande? Imaginemos una pluma diminuta del edredón y después una gran pluma de pato, como las que se empleaban antiguamente para escribir. Mientras que la pluma pequeña parece flotar realmente en el aire y a veces incluso asciende por efecto de alguna corriente, la grande cae sin hacer aparentemente mucho caso del aire. Parece que la resistencia del aire no le afecta tanto. Algo muy parecido ocurre con los dos esquiadores de distinto peso: el más ligero se ve más afectado por la resistencia del aire.

Todo esto también se puede cuantificar. Para eso pasaremos ahora de la caída vertical al plano inclinado, o lo que es lo mismo, a la pendiente por las que descienden nuestros esquiadores.

En la caída libre es la totalidad de la gravedad de un cuerpo la que tiene un efecto acelerador, mientras que en el plano inclinado solo lo es en parte; cuanto menos empinada sea la pendiente, tanto menor será esta llamada fuerza descendente.

El esquiador (el conjunto formado por la persona y los esquís) tiene un centro de gravedad, que incluso puede estar situado fuera del cuerpo del esquiador y sobre el que actúan todas las fuerzas que vamos a examinar acto seguido. Tenemos en primer lugar la fuerza de gravedad FG, que tira del cuerpo hacia el centro de la Tierra. Las fuerzas tienen la bonita propiedad de dejarse descomponer fácilmente, con ayuda de un paralelogramo, en sus distintas componentes. En este caso nos interesa la fuerza FH, que actúa paralelamente a la pendiente. Por eso descomponemos el vector de la fuerza de gravedad en dos componentes: la fuerza descendente FH de la pendiente y la fuerza FS, que actúa sobre los esquís.

¿Qué impide a nuestros dos esquiadores coger cada vez más velocidad durante el descenso? Puesto que se dejan caer —según lo acordado— como dos sacos de patatas por la pendiente y no ejercen ninguna fuerza propia, solamente hay dos fuerzas que se oponen al descenso hacia el valle: la fricción de los esquís sobre la nieve y la resistencia del aire.

Llamaremos FR a la fuerza de fricción y FL a la resistencia del aire. La fuerza total F que tira de los esquiadores pendiente abajo será:

F = FH – FR – FL

Y la aceleración a se calcula con ayuda de la ecuación que ya hemos visto anteriormente:

Para calcular las tres fuerzas parciales FH, FR y FL hemos de recurrir a la trigonometría, es decir, al cálculo con senos y cosenos. En el caso que nos ocupa nos bastará saber que el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo equivale al cociente del lado opuesto y de la hipotenusa (el lado largo). El ángulo α que describe la inclinación de la pendiente aparece también en el paralelogramo de fuerzas, de modo que obtenemos:

sen α = FH /FG

FH = FG · sen α = m · g · sen α

Como vemos, en este caso intervienen tanto la masa del esquiador como la aceleración terrestre.

¿Con qué fuerza frena la fricción de los esquiadores? Esto depende de muchos factores, como el estado de la nieve y la temperatura exterior. Según el estado de la nieve, debajo de los esquís se forma una película de agua, de manera que se deslizan con gran rapidez. Sin embargo, si se forma demasiada agua, esta película frena de nuevo al esquiador.

¿Depende la fricción de la masa? Esta cuestión es tema de controversia entre los expertos esquiadores. En nuestro caso supondremos que cuanto mayor sea la masa, más grande será la fricción, como ocurre con la fricción en seco sobre un plano inclinado. Todas las condiciones circunstanciales se integran en un factor μ, el coeficiente de fricción. Del peso del esquiador solo se tiene en cuenta la parte FS, que empuja verticalmente sobre los esquís:

FR = FS · μ = FG · cos α · μ = m · g · cos α · μ

Los esquís solo resbalan si la fuerza descendente de la pendiente es mayor que la fuerza de fricción. Si examinamos estas dos fuerzas, veremos que ambas (si la inclinación es constante y las condiciones de la nieve permanecen invariables) son proporcionales a la masa y solo se diferencian por un factor constante. La fuerza resultante sigue siendo proporcional a la masa y se mantiene invariable durante todo el descenso, lo que significa que ambos esquiadores experimentan la misma aceleración constante y por tanto su velocidad debería crecer desmesuradamente.

Pero precisamente esta aceleración continua se contradice con la experiencia práctica. Particularmente en las pendientes poco inclinadas, la aceleración deja de actuar en algún momento: el esquiador alcanza una velocidad límite a partir de la cual ya no se acelera más. En pendientes muy inclinadas puede ocurrir que en un momento dado alcanza tal velocidad que ya no es capaz de mantenerse sujeto a los esquís, pero al menos teóricamente también existe una velocidad límite. Ni siquiera en la caída libre vertical se acelera el cuerpo continuamente, como puede confirmar cualquier paracaidista.

Lo que explica este fenómeno es que la segunda fuerza que frena el descenso, la resistencia del aire, aumenta mucho a medida que crece la velocidad. Calcular concretamente la resistencia del aire es tarea muy compleja, pues las distintas fuerzas que la componen dependen de numerosos factores, entre ellos, de si el cuerpo tiene una forma aerodinámica. Esta está incluida en el llamado «coeficiente de resistencia del aire» cw, que a veces se menciona en la publicidad de los automóviles aerodinámicos y que solo se puede determinar experimentalmente en el túnel de viento. Si este coeficiente es conocido, podemos definir la resistencia del aire del modo siguiente:

FL = cw · A · v²

En esta fórmula, v es la velocidad y A la superficie del esquiador «expuesta al viento». Podemos imaginárnosla como la sombra que proyectaría el esquiador si se le alumbrara de frente. Si la superficie es grande, quiere decir que el viento de cara tiene una mayor superficie de ataque y por tanto frena más. Este es el principio que se aprovecha en el paracaídas.

En la ecuación se ve que la fuerza de resistencia del viento aumenta mucho a medida que crece la velocidad. Si se duplica la velocidad, la resistencia del aire aumenta mucho más que el doble. Pero dado que la fuerza descendente de la pendiente (menos la fricción) se mantiene constante durante todo el descenso, incluso el esquiador más aerodinámico, que se pone de cuclillas para minimizar su superficie A, notará que en un momento dado la resistencia del aire aumenta tanto que compensa exactamente la fuerza descendente y la fricción. Entonces ya no actúa ninguna fuerza sobre el esquiador y su masa inercial se desplaza a velocidad constante en dirección al valle.

Para expresarlo matemáticamente, la aceleración será:

¿Y qué ocurre ahora con los dos esquiadores de distinto peso? Hay personas de todos los tamaños y grosores. Para el cálculo supondremos que el padre es un 10 % más grande que el hijo y que su cuerpo es una ampliación a escala del joven. Esto es simplificar mucho, pues al fin y al cabo, por muchas razones, las personas menudas no son personas grandes reducidas en proporción. (Esto se ve particularmente bien en los bebés: en las pinturas antiguas, el Niño Jesús aparece a menudo como un pequeño adulto, y hoy en día esto nos parece involuntariamente ridículo.) Pero para el cálculo nos viene de perlas:

Se ve que con una ampliación a escala, todas las medidas aumentan un 10 %, no solo la altura, sino también la anchura y la profundidad. En la realidad esto también es así, no en vano los adultos tienen las caderas más anchas y los muslos más gruesos que los niños.

Así, si el padre es un 10 % más grande que el hijo, entonces también pesará un 10 % más, ¿no? Esto es un error muy común. Ocurre que el 10 % de más hay que sumarlo en las tres direcciones del espacio. Esto se ve más fácilmente en cuerpos regulares, como por ejemplo en un cubo: un cubo de 1 metro de lado tiene un volumen de 1 metro cúbico, pero un cubo de 1,10 metros de lado tiene un volumen de 1,1 · 1,1 · 1,1 = 1,33 metros cúbicos.

En cuerpos irregulares como los de nuestros esquiadores idealizados ocurre lo mismo, por lo que el volumen y por tanto la masa del padre es 1,33 veces mayor que la del hijo.

Si m es la masa del hijo y m’ la del padre, tendremos:

m’ = 1,33 · m

Ahora podemos calcular la aceleración del padre en comparación con la del hijo:

La magnitud de m’ es conocida, pero ¿y la de A’? A y A’ son las superficies que oponen el hijo y el padre, respectivamente, al viento de cara durante el descenso. Basta contemplar las dos siluetas de la figura anterior para ver que a fin de calcular la proporción entre las dos superficies hemos de multiplicar 1,1 por 1,1: por tanto, A’ equivale a 1,21 veces A.

La fórmula se presenta ahora así:

En la ecuación sigue apareciendo el factor v’², que no va ser fácil eliminar (para los más avanzados: para ello hay que saber resolver ecuaciones diferenciales). Sin embargo, podemos pensar que para cualquier velocidad v se cumple lo siguiente: si el padre desciende a esta velocidad, entonces tiene una aceleración mayor que el hijo a la misma velocidad, porque se resta menos del miembro izquierdo (la aceleración no frenada por la fuerza de gravedad). Esto ya es así al comienzo, con v = 0, y se aplica a todas las velocidades, así que el hijo simplemente no puede ir más rápido que el padre.

A partir de las ecuaciones también se puede calcular la velocidad límite de los esquiadores, que se alcanza cuando la aceleración se reduce a cero. En el caso del hijo tendremos:

m · g · (sen α – cos α · μ) – cw · A · v² lim = 0

Si despejamos vlim:

Corolario: el padre alcanza realmente, a pesar de su mayor peso, una velocidad límite un 5 % más elevada.

Para calcular ahora concretamente cuánta ventaja le saca el padre al hijo al llegar a la meta habría que aplicar todavía un poco más de matemática superior a estas fórmulas. El matemático Norbert Herrmann lo ha hecho (con ecuaciones un poco modificadas) y ha calculado, para dos esquiadores de 80 y 110 kilogramos de peso, que el gordo le saca al delgado, en un tramo de 1 kilómetro, unos 16 metros de ventaja. Así que unos kilitos de más bien pueden ser un punto a favor en los descensos en esquí.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: Sin duda ya lo ha hecho usted alguna vez: sentado en una silla puede desplazarse por la habitación a base de pequeños empujoncitos con el cuerpo sin apoyarse con los pies en el suelo. De este modo se pone en movimiento una masa y para ello hace falta que actúe una fuerza exterior. Sin embargo, las fuerzas que emplea usted son fuerzas internas del sistema formado por la persona y la silla. ¿De dónde proviene la fuerza exterior que le traslada por la habitación?

3    LA FUERZA DE

      LOS DOS CABALLOS

O PRUEBA DE RESISTENCIA

PARA PANTALONES AZULES

Hace un bonito día de comienzos del verano de 1886 y Levi Strauss y Jacob Davis están sentados delante de la tienda del primero en la calle Fremont de San Francisco. Están disfrutando el descanso del mediodía y el hecho de que se ha disipado la niebla que ha invadido durante toda la mañana la bahía de San Francisco.

—Has visto —gruñe Strauss—, en la calle Lombard venden jeans a 99 centavos.

Da una chupada a su cigarro y forma de mala gana un anillo de humo en el aire.

—Sí, lo he visto —contesta Davis. Strauss le conoce desde hace 14 años, cuando vino a verle para exponerle una idea: después de que los buscadores de oro y los mineros se hubieran quejado repetidamente de que los bolsillos de sus pantalones azules acababan siempre desgarrándose debido a las duras condiciones de su trabajo, se le había ocurrido reforzar las costuras con remaches. Davis había sido sastre en Reno, en el Estado de Nevada, y era tan pobre que ni siquiera tenía dinero para pagar las tasas para solicitar una patente. Ambos se pusieron de acuerdo: Strauss pagó los 68 dólares que costaba la patente y nombró a Davis director de producción de los pantalones.

—¡Mira que llamarlos jeans! —dice Strauss con tono despectivo. En realidad, esta palabra designa pantalones hechos con tela de geanes, de origen genovés, pero los pantalones azules que han hecho famoso a Levi Strauss son de denim francés, palabra que se deriva de Serge de Nîmes. Y Strauss insiste en llamar «monos» a sus pantalones, aunque en realidad no llevan peto. Este inmigrante de origen alemán se ha hecho rico con la idea de fabricar pantalones especiales para las duras condiciones de trabajo en el oeste, con un tejido de lino que antes solo se utilizaba para hacer velas de barco. Cuando se acabó el lino, se le ocurrió emplear el denim teñido de azul.

Los Levi’s son el principal producto de Strauss y él insiste mucho en la calidad. Selecciona la tela con el mismo esmero que el hilo naranja con el que se cosen los pantalones. Esto ha convertido a su empresa en líder del mercado, pero un Levi’s cuesta 1,46 dólares y la competencia trata de arrebatarle cuotas de mercado ofreciendo precios de dúmping. Sin embargo, sus pantalones son de tejidos de menor calidad y los cosen en talleres de Chinatown, el barrio de la ciudad habitado por asiáticos, donde explotan vilmente a los trabajadores. Incluso se atreven a copiar la idea patentada de los remaches, a pesar de que 12 años atrás Strauss ya consiguió defender con éxito sus derechos en los tribunales.

—No te tomas suficientemente en serio a esos baratilleros —dice Davis—. Todavía eres líder del mercado, pero eso puede cambiar de un día para otro. No hay tantas diferencias visibles en unos pantalones azules, y los clientes no perciben la calidad.

—¿Qué no hay diferencias? Tenemos nuestros remaches y el dibujo que bordamos en los bolsillos de atrás —protesta Strauss—. Un Levi’s es inconfundible.

—Para ti y para mí, sí, pero no para un simple minero o un buscador de oro —replica Davis—. Y esos son nuestros clientes, ¿o acaso crees que las señoras de la alta sociedad, que saben apreciar la calidad de las telas, andarán pronto por ahí con pantalones de trabajo azules?

Strauss suelta una carcajada solo con imaginarlo.

—Vale, tienes razón. ¿Se te ocurre algo para conseguir que nuestro producto sea todavía más inconfundible?

—¿Cuál es nuestro principal argumento publicitario? La tela resistente y la buena hechura —dice Davis—. Sí, le he estado dando vueltas.

Saca un pedazo de papel doblado del bolsillo del pantalón.

—Mira esto: cosemos en cada pantalón una etiqueta de cuero con un dibujo simbólico. El pantalón está atado a una estaca y ni siquiera un caballo es capaz de desgarrarlo por mucho que tire de él.

Strauss observa el dibujo.

—No es mala idea —dice—. Esto me recuerda a una historia de mi tierra natal, Alemania. ¿Has oído hablar alguna vez de Otto von Guericke?

—¿Otto qué?

—Otto von Guericke, un erudito de la ciudad de Magdeburgo que hace más de 200 años demostró la fuerza de la presión atmosférica juntando dos semiesferas y extrayendo el aire atrapado en su interior. Después puso a 16 caballos, 8 a cada lado, a tirar de las semiesferas, pero no lograron separarlas. Las imágenes de aquel acontecimiento le hicieron famoso en todo el mundo; bueno, al menos en Europa —cuenta Strauss, que incluso después de llevar 40 años viviendo en América está orgulloso de su Baviera natal.

—Pero 16 caballos serían demasiado para un pantalón, eso no se lo cree nadie —objeta Davis.

—No quiero decir que pongamos 16 caballos, sino dos, uno a cada lado —dice Strauss—. Déjame ver tu dibujo: quedaría mucho mejor con dos caballos, más simétrico, y sobre todo también más dinámico. Dos caballos que tiran de un Levi’s, y encima espoleados por dos vaqueros con látigos, ¡y el pantalón resiste!

—Es cierto, quedaría mejor —asiente Davis—. Pero ¿aguantaría el pantalón? Con un caballo estoy bastante seguro, pero ¿con dos? ¿Si se aplica el doble de fuerza sobre el pantalón?

—No olvides una cosa: en la publicidad no se trata de decir la verdad, sino de convencer —repone Strauss—. ¿Y de verdad crees que es el doble de fuerza? No estoy tan seguro. En todo caso, mi variante me parece bastante más convincente que la tuya.

Mientras Strauss habla, Davis ya ha dibujado con unos cuantos trazos el nuevo logotipo.

—Es verdad, queda mejor —dice—. Imagina esto impreso sobre cuero, lo que también aumentará el valor del pantalón. ¡No me sorprendería nada que un día la gente fina anduviera realmente por el paseo del puerto con pantalones de denim!

A Strauss le entra de nuevo la risa.

—Mientras lleven nuestro emblema, me parece estupendo.

PRUEBAS DE DESGARRO Y COLISIONES FRONTALES ¿Se rompe el pantalón antes si tiran de él dos caballos? Para responder a esta pregunta hemos de remitirnos al tercer principio de Newton, que habla de acción y reacción. «Las fuerzas siempre ocurren en pares», escribió Newton en 1726. «Si un objeto A ejerce una fuerza sobre un objeto B (acción), entonces una fuerza equivalente, pero en sentido opuesto, actúa desde el objeto B sobre el objeto A (reacción).»

Entenderemos más fácilmente este principio si observamos situaciones en que intervienen pocas fuerzas y sobre todo ninguna fricción. El mejor ejemplo son dos masas en el espacio, pongamos que la Tierra y el Sol. Entre ambos cuerpos celestes actúa la fuerza de gravedad y, efectivamente, el Sol atrae a la Tierra con la misma fuerza que la Tierra al Sol. Esto no significa, por supuesto, que si los dos cuerpos volaran uno al encuentro del otro chocarían a mitad de camino, ya que la misma fuerza provoca en el Sol una aceleración mucho menor que en la Tierra, pues aceleración es fuerza dividida por masa. En lo esencial la Tierra se precipitaría contra el Sol, pero para ser exactos, ambos cuerpos se encontrarían en el centro de gravedad común del sistema Tierra-Sol. Lo mismo ocurre cuando dejamos caer al suelo la célebre manzana de Newton: cae sobre la Tierra, pero esta también cae, aunque mínimamente, sobre la manzana.

En la ley de acción y reacción no existe ningún principio causante: la gravedad impera simplemente entre los dos cuerpos, y el grande atrae al pequeño como el pequeño al grande.

Algo parecido ocurre cuando el caballo tira de la estaca fija por medio de las cuerdas y del pantalón interpuesto. Es cierto que es el caballo el que aporta con su musculatura toda la energía de la operación, pero la estaca tira del caballo con la misma fuerza que el caballo de la estaca. Dado que esta última está hincada en el suelo y el caballo también está unido al suelo a través de sus herraduras, en todo el dispositivo experimental no se moverá nada mientras resista el pantalón. El pantalón mismo soporta la fuerza de tracción en ambas direcciones, por lo que la suma de fuerzas es igual a cero, aunque evidentemente existe una tensión (véase la página 76), que se calcula dividiendo la fuerza de tracción por el área transversal del pantalón.

¿Y si ahora ponemos a un segundo caballo a estirar del pantalón en la dirección contraria? En principio no cambia nada: el segundo caballo desempeñar ahora la función de la estaca. Es posible que a primera vista esto choque con nuestra intuición, pues no en vano la estaca no «hace» nada, mientras que el caballo sí hace fuerza. Tal vez la cosa se aclare si imaginamos una transición gradual de una situación a otra. Supongamos que el caballo está atado a la estaca y tira de ella, y acto seguido un hombre (fuerte) lo desata de la estaca y lo enjaeza a los arreos del segundo caballo; si lo hace con habilidad, el primer caballo no notará nada, y el pantalón tampoco.

Un problema muy parecido es el que plantea la siguiente pregunta: ¿es una colisión frontal entre dos coches peor que el choque contra un muro? El escenario —macabro, pero por suerte solamente teórico— nos muestra un coche cuyos frenos han dejado de funcionar y cuyo conductor tiene la opción de precipitarse a una velocidad de 50 kilómetros por hora contra un muro o contra otro coche del mismo modelo que viene en sentido contrario a la misma velocidad. ¿En cuál de los dos casos saldrá peor parado nuestro conductor?

Dejando de lado el hecho de que en el coche que viene en sentido contrario también viajan seres humanos que sufrirían las secuelas del accidente, a menudo se argumenta que el choque contra el muro se produce a una velocidad de 50 km/h, mientras que los dos automóviles llevan una velocidad relativa de 100 km/h, lo que hace que la colisión resulte «dos veces más fuerte». ¿Es eso cierto?

Examinemos primero el choque contra el muro.

¿Qué fuerza actúa sobre el vehículo y por tanto sobre el conductor? El coche lleva al principio una velocidad de 50 km/h, que después del choque se ha reducido a cero. Esto significa que se ha producido una «aceleración negativa» del automóvil y la fuerza se calcula por tanto multiplicando la masa por la aceleración. La magnitud de esta aceleración depende en gran medida de la deformación del vehículo: si la carrocería es muy rígida, el coche se detiene casi instantáneamente, pero si cuenta con una zona de amortiguación relativamente grande, se detiene más «suavemente». Por tanto, si después del accidente el coche está muy abollado, es más bien una buena señal, siempre que, desde luego, el habitáculo de los pasajeros esté en buena medida intacta.

Para expresar todo esto en fórmulas: fuerza es masa por aceleración.

F = m · a

Suponiendo que la velocidad durante la colisión se reduce linealmente de 14 m/s (que equivalen a 50 km/h), tendremos que

Por tanto, lo que interesa es que Δt, es decir, el tiempo que transcurre entre el primer contacto con el muro y la parada total del vehículo, sea lo mayor posible. Y esto se consigue con una zona de amortiguación deformable, que se comprima casi completamente y absorba la energía del golpe. Un habitáculo de pasajeros rígido garantiza entonces que el conductor no quede también «comprimido».

¿Qué hay de la acción y la reacción? La misma fuerza que actúa sobre el coche también actúa sobre el muro, pero dado que este está fijado al suelo, esa fuerza actúa en la práctica sobre el conjunto de la Tierra. Por tanto, el resultado es, dada la magnitud de la masa terrestre, un movimiento tan pequeño que se puede ignorar: el muro permanece inmóvil.

¿Qué ocurre cuando chocan dos coches frontalmente?

Al comienzo ambos coches llevan una velocidad de 50 km/h (en sentidos opuestos) y al final ambos la han reducido a cero. Puesto que los dos tienen la misma masa y circulan a la misma velocidad, ninguno de los dos aparta al otro de su camino, sino que ambos se detienen en el mismo punto de colisión, que en la figura está señalado con una línea vertical discontinua.

Esto significa que para el coche que viene de la izquierda no hay diferencia si choca contra un muro o contra esa línea imaginaria, en la que en ese preciso instante se halla otro coche. La fuerza que repercute en él es como siempre el producto de la masa y la aceleración, y su aceleración (negativa) sigue siendo la misma. El principio de la acción y la reacción hace que la misma fuerza actúe en sentido contrario sobre el segundo automóvil y le cause el mismo daño.

El resultado cambia si se examinan los balances energéticos de ambos accidentes: en el primer caso, la energía cinética del vehículo se transforma por completo en «energía interior», es decir, la energía necesaria para deformar la carrocería, y cierta cantidad de calor. En el segundo caso, al principio tenemos la doble cantidad de energía cinética, porque se desplazan dos coches, y por tanto se transforma el doble de energía. El percance hace más ruido y se deforma el doble de masa. Y las compañías de seguros registran el doble de daños.

Todo esto es válido a condición de que ambos vehículos tengan la misma masa y velocidad y sean del mismo modelo. Cualquier variación de alguno de estos parámetros —por ejemplo, si nuestro coche choca con otro más veloz, pesado o rígido— altera la situación. Pensemos en lo que ocurriría si el muro macizo se precipitara contra nosotros a una velocidad de 50 km/h: las consecuencias, efectivamente, serían bastante más graves.

Para volver a Levi Strauss: dos caballos no solo resultan más decorativos que uno solo, sino que tampoco suponen un peligro mayor para el pantalón. Y la demostración de Otto von Guericke con los 16 caballos resultó seguramente más impresionante que si hubiera puesto a 8 caballos a tirar de las semiesferas sujetas a una pared, pero la fuerza que intervino habría sido la misma.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: Sobre los platillos de una balanza hay dos relojes de arena del mismo tamaño y que contienen la misma cantidad de arena (véase el dibujo). Ahora damos la vuelta a uno de los relojes, de manera que la arena que contiene empieza a descender. ¿Se inclina la balanza a un lado durante el proceso?

4    LA MUJER

      DE VEINTE METROS

O EL TAMAÑO IMPORTA

Cuando Jorge Alpuente entra en el Café Comercial de la Glorieta de Bilbao en Madrid, Mariano Guridi ya le está haciendo señas con la mano desde lejos. Guridi, que como siempre lleva un jersey negro de cuello vuelto y encima una americana también negra, es un productor de televisión de éxito y Alpuente es su guionista predilecto. Ambos han quedado para hablar del nuevo guion de Alpuente. Al lado de Guridi está sentado un hombre delgado de unos treinta y tantos años que lleva gafas y a quien Alpuente no ha visto nunca.

—Jorge, siéntate —invita Guridi al recién llegado con su voz atronadora—. Quiero presentarte a Román Górriz, o mejor dicho, al profesor Górriz, para ser exactos.

—Encantado, me llamo Alpuente —dice el interpelado y saluda al desconocido, con cuya presencia no había contado. En realidad está acostumbrado a comentar sus escritos con Guridi a solas, no en vano ambos forman un equipo compenetrado y nunca ha habido problemas serios entre ellos.

—El profesor Górriz… ¿o puedo decir Román?, vale, Román es físico y le he pedido que eche una ojeada a tu guion —explica Guridi.

—Hum. Vale —gruñe Alpuente.

—Sabes, hasta ahora has escrito más bien sobre temas policiacos, pero ahora estás metiéndote en el mundo de la ficción científica, y he pensado que estaría bien que escucháramos a un experto.

Alpuente pide un cortado. El asunto no le gusta nada. ¿A qué viene eso de consultar a un experto para esos telefilmes de trama bastante simple que escribe para Guridi? En relación con las intrigas policiacas tampoco ha preguntado nadie si la balística de los proyectiles se ajusta exactamente a las leyes de la física.

—No pongas esa cara —exclama Guridi y le da unas palmaditas en la espalda a su guionista—. Sabes muy bien cuánto admiro a Stanley Kubrick.

¡Ah, era eso! Ahora Alpuente lo entiende todo: Guridi es un fan de Kubrick y su película preferida es 2001 – Odisea en el espacio, y es sabido que el famoso cineasta cuidó minuciosamente todos los detalles para asegurarse de la plausibilidad de su intriga científica. Por ejemplo, cuando algo explota en el espacio no hace ruido, ya que en el vacío no se pueden propagar las ondas sonoras.

—Ya sé —dice Alpuente, que sigue estando un poco molesto—, pero tú también sabes que aquí no estamos haciendo cine de arte y ensayo, sino comedias de trompazo y tentetieso, o sea, más Santiago Segura que Stanley Kubrick.

—Tienes toda la razón —admite Guridi—, pero un poco de asesoramiento científico tampoco hará mal, al fin y al cabo podemos hacerle caso o no.

Traen el café y cuando todos están servidos, Guridi mira inquisitivamente a Alpuente. —¿Cuento la historia? Bien —comienza Alpuente—. Lo que se pretende es hacer una parodia de las películas de monstruos de décadas pasadas, como Godzilla y King Kong y otras, sin dejar de lado el elemento erótico. Hubo ahí por los años cincuenta una película, El ataque de la mujer de 50 pies, cuya estructura básica vamos a retomar. —Alpuente mira de reojo a Guridi y añade—: Los derechos se pueden adquirir por nada.

Alpuente saca de la cartera una hoja de papel donde está impresa una copia del antiguo cartel anunciador de la película: una mujer bonita y ligera de ropa está de pie encima de una autopista y agarra los coches como si fueran de juguete.

—¿Así que la cosa va de una mujer gigante? —pregunta el productor.

—Sí, y he pensado en que se podría ofrecer el papel a Carolina Cerezuela —dice Alpuente—. La mujer está casada y no es feliz, su marido la engaña y un día aterriza un ovni; en el original fue en algún punto del desierto de Arizona, yo he pensado en la zona de Torrelodones o así.

Los otros dos hombres se miran de soslayo, pero Alpuente ya ha cogido carrerilla y no se detiene.

—El caso es que la mujer se acerca al ovni, de donde sale un alienígena y la toca. En casa le cuenta la extraña historia a su marido —por cierto que he pensado en Arturo Valls—, que cree que se ha vuelto completamente loca, lo que le viene de perlas, pues desea separarse de ella para irse a vivir con su amante. Pero cuando quiere inyectarle una sobredosis de un calmante, se da cuenta de que ella ha aumentado diez veces de tamaño.

—Y acto seguido ella sale a la calle y arma la marimorena —adivina Guridi, quien ya calcula mentalmente el coste de los efectos especiales.

—Exactamente, ¡en el centro de Madrid! ¿Te imaginas la impresión que causará ver el Palacio de Cristal hecho añicos? —se entusiasma Alpuente.

—Muy bien, pero ¿qué tiene de especial tu remake? —pregunta el productor—. Si Telecinco quiere emitir El ataque de la mujer de 50 pies, basta con que compre el original, lo que no le costará gran cosa, y no necesita poner Madrid patas arriba.

—No, nuestra película es una parodia, juega con los tópicos del género —explica Alpuente—. Habrá montones de alusiones que los cinéfilos captarán a la primera. Conoces la escena de Marilyn Monroe sujetándose el vestido que se le levanta sobre la rejilla del metro, pues imagínate lo mismo, pero con una mujer de 20 metros en medio del intercambiador de Nuevos Ministerios.

—Me pregunto si Carolina estaría dispuesta —dice Guridi.

—Seguro que sí. Además, al final escala como King Kong a lo alto del Pirulí. La gente se partirá de risa, puedes estar seguro.

—¿Y a quién lleva agarrado bajo el brazo? —indaga el productor—. Ya sabes, el que haría de mujer blanca en King Kong.

—Ese no puede ser otro que Hugo Silva —responde Alpuente con una sonrisa irónica—. Hará de investigador científico que descubre el antídoto, entonces ella recupera el tamaño normal y vivieron felices y comieron perdices.

Guridi está pensativo. Se le ve en la cara que está desarrollando mentalmente la escena final con Carolina Cerezuela y Hugo Silva y todavía no está del todo seguro si esa sería de verdad su pareja ideal.

—Pero ya que hablamos de científicos —dice de pronto—, Román, todavía no has dicho nada. ¿Qué le parece la historia a un científico como tú? Pero no me digas que los alienígenas no existen. Eso es algo que hay que aceptar.

El físico sonríe con cierta timidez.

—Bueno, con respecto al argumento en sí, poco tengo que decir, no soy experto en estas cuestiones. Y seguro que no esperan ustedes que explique de una manera plausible por qué la mujer se vuelve tan grande de la noche a la mañana. Pero sí quisiera comentar un par de cuestiones que tienen que ver con la física.

—Adelante, no te cortes —le anima Guridi.

—Hoy en día la gente está muy habituada a las animaciones digitales, los juegos de ordenador, los monstruos y esas cosas, de ahí también que sea más crítica que hace 50 años cuando en una escena el guion se salta las leyes de la física —prosigue Górriz—. Por eso todo el mundo se dará cuenta de inmediato que la señora Cerezuela estará pisoteando un paisaje de juguete y no la ciudad de Madrid.

—¿Por qué, si en realidad no es más que una cuestión de escala? —objeta Guridi.

—Pues no —le contradice el físico—. Los procesos físicos no se dejan aumentar o reducir simplemente a escala, como si se tratara de una imagen ampliada o una miniatura. ¿Se parece un elefante a un ratón? No, y eso es así porque en lo grande imperan condiciones distintas que en lo pequeño.

—¿Qué significa esto para nuestra película? —pregunta Guridi.

—Afecta sobre todo a las proporciones —contesta Górriz—. Si la mujer de la película es diez veces más grande que una mujer normal, ¿cuánto más pesará que esta última?

—¿Diez veces más, quizá? —apunta Alpuente.

—Pues no. Lo que pasa es que no solo es diez veces más alta, sino también diez veces más ancha y diez veces más gruesa, y eso significa que su volumen, y por tanto también su peso, es mil veces mayor.

—Ni me lo imaginaba —reconoce Alpuente—. Pero ¿cómo afecta esto a Carolina Cerezuela?

—Ese peso multiplicado por mil han de soportarlo de alguna manera las piernas —dice el físico—. ¿Qué determina la capacidad de carga de las piernas? No solo el volumen y la longitud, sino también la superficie transversal. Esta es bidimensional, que en este escalado solo aumenta 100 veces, de modo que de pronto las piernas han de soportar diez veces más peso y se romperían como palillos.

—¿Realmente diez veces más? —pregunta Guridi incrédulo.

—Podemos calcularlo —dice Górriz. Saca un cuaderno de su cartera y copia sobre el papel, con unos cuantos hábiles trazos, la imagen de la figura femenina del cartel de la película.

—Esta es la figura de una mujer normal —dice—. Casi la totalidad del peso del cuerpo descansa sobre las dos piernas, o para ser más exactos, sobre los huesos de los muslos, ya que los músculos que los rodean no sujetan nada. ¿Cuál es el grosor de un fémur? Digamos que 4 centímetros de diámetro en el punto más delgado. Esto nos da una sección transversal de 13 centímetros cuadrados en cada pierna, o sea, 26 en total.

Los dos hombres de la televisión se miran: no solo les asombra la habilidad del científico para el cálculo, sino también la buena mano que tiene para dibujar la silueta de una mujer atractiva.

—Si ahora escalamos la figura por el factor 10, de modo que pasa a pesar mil veces más —prosigue Górriz, que ahora se halla plenamente en su elemento—, y seguimos suponiendo que la carga estructural sobre los huesos no debe aumentar más, entonces los dos fémures han de tener una sección transversal de 13.000 centímetros cuadrados, lo que equivale a un círculo con un diámetro de… a ver, un momento… ¡1,3 metros! Y eso por no hablar más que del hueso. Si partimos del hecho de que la musculatura también habría de aumentar, resulta que cada muslo deberá tener un diámetro de unos seis metros.

El físico agarra otra hoja de papel y dibuja una figura deforme con piernas enormemente gruesas.

—Este sería más o menos su aspecto. Recuerda bastante a los saurios de Parque jurásico, con la única diferencia de que sus piernas han de ser todavía más fuertes.

Guridi y Alpuente miran el dibujo estupefactos.

—Bueno, las actrices no suelen hacer ascos a interpretar papeles de mujeres gruesas —dice Guridi—, pero con este aspecto seguro que Carolina se niega a caminar entre las maquetas.

—Sí, y con semejante monstruo prefiero no imaginar la escena del vestido que revolotea con el aire —añade Alpuente irritado—. Lo único que puedo decir es que no voy a entregar un guion que sea correcto desde el punto de vista de la física. No tuvo que hacerlo el autor de King Kong, y cuando Jonathan Swift escribió sus Viajes de Gulliver, tampoco consultó a ningún asesor científico.

Recoge las hojas de su manuscrito y se pone la chaqueta.

—Así pues, Mariano —dice al productor con la voz un poco alterada—, piénsate si lo que queremos hacer es algo ligero y entretenido o un documental de física. Luego hablamos por teléfono.

Sin otro saludo, el guionista abandona el café.

—¡Otro cortado! —pide Guridi a la camarera y acto seguido se dirige al físico que permanece sentado a la mesa—. Entiéndelo, Jorge es a veces un poco sensible. Por cierto, ¿qué opinas de Stanley Kubrick?

DE PEQUEÑOS Y GRANDES ANIMALES Imaginemos que de la noche a la mañana se duplicaran de repente todas las medidas longitudinales del universo: usted sería el doble de grande, al igual que todas las demás personas y el planeta en que vivimos; la distancia de la Tierra con respecto al Sol sería dos veces más grande y también su duplicarían las dimensiones de las estrellas y las galaxias. ¿Se notaría la diferencia?

Claro que habría que dar por supuesto que las leyes naturales se mantuvieran iguales, pues de lo contrario la pregunta tampoco tendría sentido: un mundo en que todo duplica su volumen, pero las leyes se adaptan de manera que todo queda como antes, no es un mundo distinto, en todo caso no según algún criterio que pudiéramos aplicarle.

Empecemos con la medición de longitudes: en este aspecto no notaríamos ninguna diferencia. Un objeto que antes medía 1 metro de longitud seguiría pareciéndonos 1 metro de largo, ya que todas las cintas métricas también habrían crecido. La velocidad de la luz se habría reducido a la mitad, pero en nuestra vida cotidiana no desempeña un papel muy importante.

Las que sí habrían cambiado serían todas las magnitudes que crecen exponencialmente con la longitud. Veamos el siguiente cubo cuando sus dimensiones se duplican o triplican:

¿Cómo han variado los lados, las áreas y el volumen del cubo? La siguiente tabla lo indica:

En nuestro mundo «duplicado», por tanto, todos los objetos ocuparían 8 veces más espacio, no solo el doble. Y puesto que la masa varía con el volumen, también se multiplicaría por 8.

¿Significa esto que cada objeto pesaría en la Tierra ocho veces más que antes? Peor aún: puesto que la masa de la Tierra también se habría octuplicado, su fuerza de atracción también sería ocho veces mayor. Aunque al mismo tiempo estaríamos el doble de lejos del centro del planeta, pero dado que la fuerza de atracción es proporcional al cuadrado de la distancia, todavía sería el doble de grande que antes. Esto significa que una masa 8 veces mayor experimenta una gravedad 16 veces más grande.

Esto se calcula del modo siguiente: la fuerza que actúa sobre la misma masa en el campo gravitacional de un planeta es proporcional a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Es decir:

Si la nueva masa M’ equivale a 8 · M y el nuevo radio es r’ = 2 · r, obtendremos:

Imaginemos un puente colgante, un diseño elegante cuyo peso soportan cuatro cables de acero de diez centímetros de diámetro cada uno. Si doblamos el tamaño del puente, la fuerza de gravedad que experimentará será 16 veces mayor, que tirará de cuatro cables de 20 centímetros de diámetro cada uno. La resistencia de un cable depende de su sección transversal, que solo se ha cuadruplicado. Por tanto, la carga ejercida sobre los cables es cuatro veces mayor, y si el ingeniero no ha diseñado el puente con un amplio margen de seguridad, su obra no tardará mucho en colapsarse.

Así que nos despertaríamos en un mundo reducido a escombros, pues la mayoría de los edificios se habrían hundido. Ni siquiera los árboles podrían tenerse en pie. Los aviones se caerían del cielo porque si bien es verdad que la fuerza ascensional crece con la superficie de sustentación, el peso de la nave también se habría multiplicado por 16.

Y nosotros mismos tendríamos mucha dificultad para mantenernos erguidos. Un hombre de 75 kilos pesaría ahora 1,2 toneladas, un peso que sus piernas, demasiado delgadas, no podrían sostener. Lo mismo ocurriría con los animales, cuya estructura resultaría demasiado débil y serían incapaces de desplazarse. Ni siquiera acostados lograrían sobrevivir, pues los órganos internos no estarían hechos para las nuevas dimensiones. Por tanto, no solo notaríamos que nuestro mundo se habría «duplicado» de la noche a la mañana, sino que además apenas sobreviviríamos a este fenómeno.

Casi todas las culturas conocen historias de gigantes y enanos, y en la mayoría de los casos esos seres son simplemente ampliaciones o reducciones a escala de seres humanos, ajenas a las leyes de la física. El héroe de Jonathan Swift, Gulliver, viaja una vez al país de Liliput, donde todo es doce veces más pequeño, y otra vez al país de Brobdingnag, donde todo es doce veces más grande que en nuestro mundo (la escala se debe a que una pulgada en el mundo pequeño equivale a un pie en el mundo grande). Sin embargo, ya Galileo Galilei había descubierto siglos antes que semejantes escalados no pueden funcionar. Por ejemplo, constató que un perro pequeño bien podía cargar con otros dos perros sobre el lomo, pero un caballo no sería capaz de llevar a otro caballo en la grupa. Una hormiga incluso es capaz de aupar un objeto 50 veces más pesado que ella misma sin que la aplaste.

Claro que la diferencia entre animales grandes y pequeños no se limita a la estatura. Por ejemplo, un caballo no sobrevivirá la caída desde un primer piso, mientras que un perro probablemente sí. La mayoría de los gatos sobreviven una caída desde las plantas superiores de los bloques de pisos, y no solo porque tienen la habilidad de girarse en el aire para caer siempre sobre las patas. Se puede lanzar un ratón desde un avión sin que se mate al caer sobre el suelo. Esto se debe sobre todo a que la velocidad límite que alcanzan los cuerpos ligeros en la atmósfera es más baja, ya que la resistencia del aire compensa la aceleración de la caída (véase el capítulo 2).

Por tanto, los liliputienses pueden saltar del tejado de sus casas al suelo sin dañarse, pero a cambio tienen una desventaja distinta: como muestra el cuadro de los cubos, la proporción entre superficie y volumen de un cubo aumenta a medida que disminuye su tamaño, y lo mismo cabe decir, por supuesto, de los cuerpos de animales y personas. Los mamíferos tienen una temperatura corporal constante y son más calientes que su entorno, por lo que continuamente irradian calor a través de su superficie exterior. Los seres más menudos, con su superficie relativamente más grande, se enfrían más rápidamente, lo que explica, entre otras cosas, por qué las mujeres son más frioleras que los hombres. Los liliputienses necesitarían un metabolismo bastante más intenso que las personas de estatura normal para mantener su temperatura corporal, por lo que tendrían que estar comiendo todo el rato, hasta llegar a una cantidad diaria ¡equivalente a su peso corporal! En las regiones frías del planeta no hay mamíferos menudos, y el mamífero más pequeño que existe es la musaraña: un tamaño menor dejaría de ser eficiente. Todos los animales menores son heterotermos, es decir, su temperatura corporal tiende a ser la misma que la de su entorno.

He encontrado una tabla en la que se compara el metabolismo de un toro con el de 300 conejos, que en conjunto tienen aproximadamente la misma masa que el astado. Mientras que el toro ingiere cada día unos 7,5 kilogramos de alimentos, los 300 conejos comen unos 30 kilogramos y queman las calorías correspondientes. Para mantener un metabolismo tan intenso, los corazones de los animales pequeños han de latir a mayor velocidad que los de los grandes. El corazón de una ballena, por ejemplo, late unas 15 veces por minuto, el de un ser humano unas 70 veces y el de una musaraña casi 1.000 veces. Esto a su vez se refleja en la esperanza de vida: los animales más pequeños viven menos tiempo. Los mamíferos aguantan por lo visto de mil a dos mil millones de latidos del corazón.

Si relacionamos tanto el número de latidos como la producción de energía de los animales con su tamaño, obtendremos un cuadro sorprendentemente coherente:

¿Cómo podemos describir esta relación y explicarla? En el siglo XIX, el científico alemán Max Rubner lo intentó concentrándose en la pérdida de calor a través de la superficie, que aumenta con la longitud según una función cuadrática, mientras que la masa aumenta según una función cúbica.

Si L es la longitud de un animal, m la masa, S la superficie e I la energía que produce, obtendremos la siguiente relación según Rubner:

I ~ S ~ L²

m ~ L³

El signo ~ significa «proporcional», es decir, igual salvo por un factor constante. Si queremos calcular I exclusivamente en función de la masa, la ecuación será:

Esto significa que la producción de energía de un animal no aumenta al mismo ritmo que la masa, sino más lentamente, como indica el exponente 2/3.

Es una explicación elegante, pero… lástima que no encaje con la observación empírica. El biólogo suizo Max Kleiber realizó en la década de 1930 una serie de mediciones minuciosas y concluyó que el exponente en cuestión no era de 2/3, sino de 3/4. Por consiguiente, la producción de energía no aumenta proporcionalmente a la superficie corporal, sino un poco más rápidamente.

¿A qué se debe esto? La respuesta a esta pregunta no se pudo formular hasta el año 1997, y concretamente lo hizo un grupo de científicos capitaneado por Geoffrey West, del Los Alamos National Laboratory de EE.UU. Su hipótesis es la siguiente: la demanda energética no viene determinada por la superficie corporal, sino por el esfuerzo necesario para aportar nutrientes al conjunto de organismo a través de los sistemas vasculares. Calcular el escalado de tales sistemas estructurados en red es tarea complicada, ya que no aumentan a escala; por ejemplo, los vasos capilares de un elefante no son más grandes que los de un ratón. De ahí ese exponente no «redondo» que relaciona el aumento de la superficie con el de la masa. Mientras tanto se ha podido demostrar que esta «ley de los 3/4» no solo se aplica a los mamíferos, sino a todos los seres vivos. ¡Una regla realmente universal!

LOS PEORES GAZAPOS DEL CINE DESDE EL PUNTO

DE VISTA DE LA FÍSICA

Estallidos en el espacio

En las películas de ficción científica se dispara a mansalva, pero en realidad en el espacio vacío no se oyen ruidos. A diferencia de la luz, el sonido necesita un medio de transporte. También las sacudidas que se sienten a bordo de una nave espacial cuando explota un pequeño planeta cercano son irreales, pues las ondas de choque también necesitan un medio para propagarse.

La bala que tumba a la víctima

En las películas, cuando una persona recibe un balazo suele salir volando por el aire: se cae de un balcón o arremete contra un escaparate. Sin embargo, de acuerdo con el principio newtoniano de acción y reacción, el golpe de una bala no es más fuerte que el retroceso que experimenta quien sostiene el arma, y este no suele caerse para atrás.

El automóvil que explota

Cuando en una persecución por una carretera llena de curvas el coche de los malos se sale de la calzada y cae por la pendiente, suele inflamarse y explotar formando una bola de fuego. En realidad, en muy pocos casos se incendiaría, y además un coche en llamas no explota. Este mito ya ha hecho que muchas personas no se atrevan a acercarse a un automóvil ardiendo para ayudar a los ocupantes atrapados en su interior.

El cigarrillo en el charco de gasolina

Otro mito que suele verse en las escenificaciones de accidentes de circulación: el coche pierde gasolina y alguien echa por descuido una colilla encendida, provocando una terrible explosión. En realidad, es muy difícil encender un charco de gasolina, y la brasa de un cigarrillo, desde luego, no bastaría.

Los silenciadores hacen «plop»

Los disparos con arma de fuego son ruidosos, pues generan tres fuentes de ruido: la ignición de la carga explosiva, el aire comprimido que sale del cañón y, en su caso, la detonación del proyectil cuando rompe la barrera del sonido. Los silenciadores solo pueden amortiguar la segunda de estas fuentes, y el sonido del disparo no será ni mucho menos tan suave como en las películas. La finalidad principal de los silenciadores no consiste en ocultar crímenes, sino en proteger los oídos de los tiradores.

Rayos láser visibles

Cuando se libran batallas futuristas en el espacio o la caja fuerte de un banco aparece protegida por sistemas de seguridad de alta tecnología, a menudo vemos una maraña de rayos láser rojos o verdes. Sin embargo, los rayos de luz no son visibles desde los lados, tanto si son rayos láser como los de una bombilla normal. Únicamente se pueden ver si chocan con partículas en el aire, como por ejemplo cuando atraviesan una acumulación de niebla o humo.

5    FÍSICA DE CHARCUTERÍA

O POR QUÉ LAS SALCHICHAS

SIEMPRE SE ROMPEN A LO LARGO

Este viernes, al caer la noche, no hay mucho movimiento alrededor del Carrito de Guillermo. Como tiene por costumbre, el vendedor de salchichas ha instalado su puesto en los alrededores de la plaza Mayor de Valladolid, pero todavía son las nueve y las calles están relativamente vacías. Más tarde, hacia la medianoche, la zona se llenará de gente que va de marcha y los hay que entre copa y copa engullen un «perrito caliente» de los que sirve Guillermo para reponer fuerzas.

Guillermo es un salchichero que no oculta su buen nivel educativo, como demuestra el letrero con los productos que ofrece y sus precios, donde palabras como «Frankfurt» y «Bratwurst» están escritas correctamente. En efecto, nuestro hombre ha estudiado física, pero en un momento dado, hacia finales de la década de 1980, estuvo metido en un movimiento de okupas y entre unas cosas y otras dejó la carrera en suspenso, aunque le faltara poco para terminar. Aquellas movidas pasaron a la historia, pero ya no volvió a pensar en la licenciatura. Un día vio que vendían un puesto de salchichas cerca de donde vivía y no le dio muchas vueltas.

Varias veces ha intentado Guillermo aplicar sus conocimientos de física a la gastronomía. Por ejemplo, ha llegado a introducir en cada extremo de una salchicha un alambre, ha conectado los hilos a una clavija y ha enchufado esta a la red eléctrica. Las salchichas se calentaban por dentro que daba gusto, justo en su punto, y por fuera se podían coger con la mano sin quemarse los dedos. Sin embargo, a algunos clientes este método les pareció un tanto extraño, tal vez les recordara a la picana o a la silla eléctrica y les daba repelús meterse en la boca una salchicha por la que acababa de pasar una corriente de 220 voltios. Desde entonces, el puesto de Guillermo es igual que todos los demás, aparte quizá de la correcta escritura de los hombres extranjeros.

Ahora se acerca un cliente y ambos hombres entablan una conversación bastante escueta.

—Hola.

—Hola.

—¿Lo de siempre?

—Lo de siempre.

Guillermo no necesita intercambiar muchas palabras con Juan, un asiduo desde hace 15 años que hace un lustro se pasó de la salchicha al curry a la de Frankfurt; este fue el único cambio sustancial que ha habido en la relación entre ambos en todo ese tiempo. En la vida de Juan sí han cambiado bastantes cosas: ha ascendido a director creativo (o algo así) de la agencia de publicidad en la que trabaja, y la vivienda que tenía alquilada en su época de estudiante es ahora de su propiedad. Pero una vez a la semana, cuando menos, va al puesto de Guillermo a comerse una salchicha.

La decisión de pasarse a la de tipo Frankfurt fue cosa de Guillermo.

—¿Por qué inundas siempre la salchicha en esa salsa roja? —le preguntó Guillermo una noche—. ¡Así no sabe a nada! La gente piensa que una salchicha es algo primitivo y todas saben igual, pero se equivoca, pues hay grandes diferencias. Y esta sabe mejor tal cual está, únicamente con un poco de mostaza.

Desde entonces, Juan pide siempre una salchicha de Frankfurt, que se llama así en todo el mundo menos en Alemania, donde las llaman «de Viena».

Juan toma un trago de su lata de cerveza que le ha puesto Guillermo delante sin mediar palabra y da un mordisco a la salchicha. Con el trozo de carne todavía en la boca manifiesta su aprobación con un sonido bilabial. Durante un rato sigue masticando y saboreando el tentempié, mientras observa en silencio la calle. Desde la esquina donde se halla el puesto de Guillermo se ven bastantes terrazas, pero de momento todavía no hay gran cosa que ver en ellas. Cuando ha terminado de comer, le pregunta al propietario del puesto:

—Dime, Guillermo, ¿cuál es el secreto de que tus salchichas salgan tan buenas? Admito de buena gana que he intentado en casa hacerlas igual de buenas.

—¿Y qué tal te salieron? —le pregunta a su vez Guillermo.

—Bueno, compré un par a un carnicero que realmente es conocido por la buena calidad de sus productos, y puse una de ellas en un cazo con agua y la herví.

Guillermo suelta una carcajada.

—Pues para empezar ya cometiste varios errores. Claro que está bien que te fijes en la calidad, porque por mucho que las salchichas parezcan todas iguales, su contenido varía de lo lindo. Una salchicha de Frankfurt auténtica, por ejemplo, contiene carne de porcino y de vacuno, y un buen carnicero respeta este precepto. Pero por muy buena que sea, una salchicha te sabrá sosa si la preparas como dices.

—¿Por qué? ¿Es posible cometer un error al hervir una salchicha? —Juan, soltero de vocación, había dado por supuesto que la preparación de una salchicha no tiene mayor dificultad que poner agua a hervir.

—Pues porque en el agua le sacas todo el sabor. Mira el agua en que pongo las salchichas. ¿Qué ves? —pregunta Guillermo.

—Hum, como un caldo bastante turbio —contesta Juan—. Deberías cambiar el agua de vez en cuando.

—¡Craso error! —exclama Guillermo con tono profesoral—, pues ese caldo hace que el sabor se quede dentro. Claro que de todos modos hay que cuidar la higiene. Cuando en casa metes la salchicha en el agua, de momento pierde gran cantidad de sales, grasas y otras sustancias que confieren el sabor a la salchicha. Ocurre que la piel que la envuelve no es del todo hermética, sino una membrana que deja pasar las moléculas. ¿Has oído hablar alguna vez de ósmosis?

Ahí asoma de nuevo el alma del científico que Guillermo quiso ser una vez. Cuando ve la mirada un poco desconcertada de su amigo publicitario, explica:

—Ósmosis significa que a un lado y otro de la membrana tiende a equilibrarse la concentración, por ejemplo, de sales. En este caldo ya he estado calentando salchichas durante todo el día, que han emitido gran cantidad de esas sustancias al agua, por lo que esta está saturada y ya no las extrae de las salchichas. Así estas conservan su sabor.

—¿Quieres decir que tengo que hervir diez salchichas para comerme una? —pregunta Juan.

—No, por supuesto, pues hay un truco. Un colega físico, bueno, un profesor de física de Viena que también es buen cocinero, la llama la «salchicha expiatoria»: cortas una salchicha en trozos pequeños y la hierves bien en el agua que luego utilizarás para escaldar la salchicha. Así evitas que pierda el sabor.

—¿Y la salchicha expiatoria la tiro? —indaga Juan.

—Claro —replica Guillermo—, la calidad tiene su precio. Pero también puedes dársela al perro o al gato para comer.

Empieza a lloviznar y Juan se pega al mostrador del puesto para protegerse bajo el toldo. Después de tomar otro buen trago de cerveza, expresa otra duda:

—Muy bien, lo del sabor está claro. Ahora quisiera que me aclararas otra cosa.

—Parece que quieras sonsacarme todos mis secretos y después… ¿adiós cliente? —dice Guillermo desconfiado.

—Tonterías. Al fin y al cabo no vengo simplemente para alimentarme —contesta Juan. La conversación entre los dos hombres adquiere casi un aire de intimidad, pero el publicitario se apresura a volver a lo práctico—. Mi problema es que por lo menos la mitad de mis salchichas se abren al prepararlas.

—Esto ya lo pensé cuando me dijiste que las hervías. Seguramente subes el fuego hasta que el agua hierve a borbotones, ¿no?

—Claro —dice Juan—, me gustan bien calientes.

—Calientes sí, pero el agua no debe hervir —explica Guillermo—. Esto ya es física elemental: a los 100 grados no solo hierve el agua del cazo, sino también la del interior de la salchicha. Y cuando el agua se convierte en vapor, se expande enormemente y genera una presión en la salchicha que llega a superar la resistencia de la piel, que acaba rompiéndose. La temperatura óptima para calentar salchichas es de 90 grados. Lo mejor es hervir el agua, retirarla del fuego y entonces meter la salchicha.

—Sí, parece lógico —dice Juan—. ¿Y para entender esto tuviste que estudiar cuatro años de física?

—No, claro que no —se ríe Guillermo—. Esto es de sentido común. Pero para otra cuestión sí hace falta saber un poco de física. Dime, ¿cómo se rompen tus salchichas?

—¿Qué quieres decir con eso de cómo se rompen? ¿Si hacen «catacroc»? No, simplemente se rasga la piel —Juan no sabe adónde quiere ir a parar Guillermo.

—No, quiero que me digas en qué dirección: ¿longitudinal o transversal?

—La piel se rasga en sentido longitudinal, claro. ¿Cómo si no quieres que se abra? No he visto todavía ninguna salchicha cuya piel se desgarre en sentido transversal a su eje. Salvo si la doblas, entonces sí se rompe transversalmente.

—Exactamente —confirma Guillermo—, cuando la salchicha se calienta demasiado, se abre longitudinalmente, no en sentido transversal. En realidad, esto es extraño, pues la presión en el interior de la salchicha es la misma en todas partes y no apunta en una dirección determinada. Sin embargo, en física se conoce la llamada tensión, y esta…

Guillermo se ha dado cuenta de que Juan ha dejado de prestarle atención y ha girado varias veces la cabeza; por lo visto hay ahí algo interesante que ver.

—Oye —le dice Juan—, eso de la tensión me lo explicas la próxima vez. Ahora tengo que irme.

—Claro, claro —suspira Guillermo—. Son cuatro euros cincuenta.

Juan pone un billete de cinco euros sobre el mostrador.

—Ya está bien. Hasta la próxima, entonces. Estoy ansioso por conocer tu explicación.

Dicho esto, desaparece en la noche.

TENSIÓN EN EL AMBIENTE Espero que el lector esté menos distraído que Juan y tenga unos minutos para que indaguemos por qué la salchicha se rompe en sentido longitudinal.

De entrada es cierto que la presión se distribuye uniformemente en el interior del embutido. Cuando este se calienta, aumenta la presión interior, sobre todo cuando el líquido que contiene se convierte en gas. Entonces la salchicha necesita expandirse y la piel se lo impide.

Sin embargo, la presión no actúa del mismo modo en todos los puntos de la piel. Para comprenderlo hemos de ocuparnos del concepto de tensión en la física. La tensión se mide con las mismas unidades que la presión, es decir, en fuerza por unidad de superficie, pero mientras que la presión actúa sobre la superficie de la piel, la tensión lo hace sobre su grosor. Por ejemplo, una piel delgada se rompe antes que otra gruesa bajo la misma presión, precisamente porque su sección transversal es menor y por tanto la tensión que actúa sobre el material, que por lo demás es idéntico al de la piel gruesa, es mayor.

Si la salchicha fuera esférica, entonces la tensión sería realmente igual en todos los puntos, no en vano una esfera carece de puntos especialmente destacados en la superficie. Para calcular la tensión imperante en el interior de la salchicha, primero simplificaremos su forma, es decir, la enderezaremos de manera que parezca un cilindro con los extremos semiesféricos. Dejaremos estos extremos de lado, pues lo que nos interesa es la tensión en el interior de la parte cilíndrica. Ahora nuestra salchicha tiene el siguiente aspecto:

Tiene la longitud l, el diámetro d y el grosor de la piel es h. No se sorprenda que podamos asomarnos al interior de la salchicha: solo se trata de ilustrar la explicación, y en realidad la salchicha está totalmente cerrada.

Al calentarse la salchicha aumenta la presión interior p, que activa fuerzas que actúan en todas direcciones, siendo siempre la misma fuerza por unidad de superficie.

Lo primero que nos interesa es la tensión que actúa en sentido longitudinal de la salchicha, que tiende a estirarla. Para ello examinaremos la sección transversal de la salchicha en cualquier punto:

La fuerza que actúa en sentido longitudinal equivale a la presión multiplicada por la superficie transversal:

Flong = p · Atrans

La superficie se calcula también con la fórmula del círculo:

Esta fuerza tira entonces de la piel de la salchicha, es decir, del círculo blanco de la figura. La superficie del mismo se podría calcular exactamente, pero dado que la piel es relativamente delgada en comparación con el diámetro de la salchicha, simplificaremos la fórmula y multiplicaremos el grosor de la piel por la circunferencia del relleno de la salchicha:

Ah ≈ π · d · h

(El signo de igualdad ondulado significa «aproximadamente»; los físicos lo emplean a menudo cuando quieren ahorrarse el esfuerzo de calcular algo con toda precisión.)

La tensión es entonces la fuerza dividida por la superficie de la sección transversal de la piel:

¿Cuál es la fuerza que tira de la piel en sentido transversal? Para ello cortaremos mentalmente la salchicha a lo largo.

De nuevo se trata de calcular la fuerza que actúa sobre la superficie de la sección transversal:

Ftrans = p · Along

En este caso, las superficies son más fáciles de calcular:

Along = d · l

Ah = 2 · h · l

De nuevo aplicamos toda la fuerza sobre la diminuta superficie transversal de la piel:

¿Qué se desprende de las dos ecuaciones resultantes?

– La longitud l de la salchicha no aparece; por tanto, la longitud de la salchicha no afecta para nada a la tensión.

– Cuando mayor sea la presión interior y el diámetro de la salchicha, tanto mayor será la tensión. – La tensión en sentido longitudinal tiene un divisor dos veces mayor que la que actúa en sentido transversal, por lo que es la mitad de grande; tenemos

Strans = 2 · Slong

Esto significa que la presión interior tira de la piel con el doble de fuerza en sentido transversal que en sentido longitudinal, y por tanto la salchicha se rompe más fácilmente a lo largo que a lo ancho.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: Un hombre fuerte sujeta un listín telefónico de 2 kg de peso con dos cuerdas que cuelgan verticalmente (véase el dibujo). Con cada brazo ha de ejercer una fuerza de 10 Newton. Ahora separa los brazos hasta que las cuerdas estén en posición horizontal. ¿Cuánta fuerza habrá de ejercer con cada brazo para sujetar el peso del listín telefónico?

6    EN LA OFICINA

      DE PATENTES

O ENERGÍA DE LA NADA

Dos hombres están sentados en la sala de espera de la Oficina Española de Patentes y Marcas en Madrid. El lugar no tiene el aspecto que cabría imaginar de un organismo oficial: no huele a legajos, es luminoso, la instalación es moderna, pero acogedora, e incluso hay maceteros con plantas.

La mayoría de las sillas alineadas junto a la pared están vacías; por lo visto, la idea de que las oficinas de patentes están abarrotadas de extravagantes inventores que sujetan complicados mecanismos entre las manos está anticuada. Normalmente, la comunicación entre los solicitantes y la oficina se produce por vía electrónica.

Sin embargo, estos dos hombres se han presentado hoy en persona para respaldar su solicitud de viva voz. Uno tiene unos 65 años de edad, el cabello ralo, y lleva la ropa típica del jubilado: pantalones marrones, chaqueta marrón, camisa de cuadros y calzado cómodo. El otro hombre está en la treintena, lleva traje y corbata y el abundante cabello peinado hacia atrás y sujeto con fijapelo.

—Con permiso, me llamo Isidro Albéniz, de la empresa Energisol —se presenta el más joven.

—Encantado, soy Gustavo Peral —dice el hombre mayor—, pero no tengo ninguna empresa, soy inventor autónomo.

—¿Y qué quiere patentar, si no es indiscreción?

—No me importa decírselo; de todos modos ya no me haré rico con mi invención —responde Peral con una sonrisa—. Se trata para mí de un pasatiempo. Me dedico a los imanes y he llegado a la conclusión de que pueden utilizarse para mantener un objeto permanentemente en movimiento.

—Ah, eso me suena —dice Albéniz con una gran sonrisa—. Jim Botón y Lucas el maquinista, ¿lo ha leído? Allí se habla de un perpetumóvil...

—Sí, siempre me lo comentan cuando me pongo a hablar de imanes —contesta Peral con una sonrisa un poco forzada—. El imán que cuelgan delante de las narices de la locomotora Emma y la arrastra sin parar hacia delante. Pero eso solo funciona con los perros a los que se ata un palo a la espalda de manera que siempre tienen un pedazo de carne bamboleándose delante del hocico. Y con perros no precisamente listos.

El joven se le acerca un poco.

—Pero tiene que ver con energía libre, ¿no? ¿Es un móvil perpetuo?

—¡Psssst! —Peral mira desconfiado alrededor—. Esa palabra no debe utilizarla nunca aquí. ¿No ha leído la Hoja de instrucciones para solicitantes de patentes? Allí aparece expresamente, entre las invenciones no patentables, la siguiente: «Una máquina que trabaja sin aportación de energía — móvil perpetuo». Aquí ya me han dado calabazas una vez por usar formulaciones imprudentes.

—Pero usted confía en su invención, ¿no? —Albéniz está ahora muy interesado—. Enséñeme.

El hombre mayor saca de su cartera un modelo de madera y metal.

—Todavía no funciona, estoy esperando que me llegue uno de esos superimanes que he encargado en China. Pero el mecanismo está claro.

Peral coloca el modelo sobre la mesa y saca del bolsillo del pantalón una bola de acero de aproximadamente un centímetro de diámetro.

—Bueno. Esto de aquí es un plano inclinado. Encima del taco este se coloca el imán superfuerte. Será tan fuerte que podrá atraer la bola metálica y hacer que suba por el plano inclinado. Sin embargo, antes de alcanzar el imán, la bola cae por el agujero, rueda por esta especie de rampa hacia abajo y vuelve al punto de partida. Y entonces vuelve a comenzar todo el proceso.

—¿No será el imán tan fuerte que haga que la bola pase por encima del agujero sin caer dentro? —pregunta Albéniz escéptico.

—No creo; en todo caso, puedo agrandar el agujero —repone Peral con seguridad.

—¿Y para qué sirve esto? Este mecanismo no realiza ningún trabajo. —El joven no le ve ninguna utilidad aprovechable a la invención.

—De momento se trata de un estudio, de lo que llaman «prueba de concepto». Si funciona, se puede modificar de manera que sean muchas las bolas que asciendan en fila por el plano inclinado y que al caer impulsen una rueda dentada, y ya tendríamos una máquina que se mueve continuamente. ¡Energía de la nada!

—Hum, no suena mal —dice Albéniz—. Pero tenga cuidado con eso de «energía de la nada», que esas expresiones causan alergia a los de la oficina de patentes.

—Gracias por el consejo, lo tendré en cuenta —dice Peral—. ¿Y qué lleva usted en la cartera?

Pero antes de que Albéniz pueda contestar, se abre la puerta del despacho de la empleada y una mujer de unos 40 años de edad asoma la cabeza.

—Señor Peral, por favor.

—Bueno, se lo contaré en otra ocasión —dice Albéniz—. Le deseo mucha suerte.

En realidad está contento de que no haya tenido que mostrar su invención al curioso jubilado. Al fin y al cabo, se trata de su secreto comercial, el fundamento de la empresa Energisol, con la que Albéniz y otros dos socios pretenden ganar mucho dinero. El mundo necesita energía, y la máquina cuyos planos lleva en la cartera habrá de contribuir a resolver el problema.

Albéniz saca la carpeta con los planos de la cartera y recita de nuevo para sus adentros el discurso de presentación que tiene pensado hacer. En la cita de hoy se decidirá todo y uno no puede venir titubeando, sino que las frases que salgan de su boca han de ser claras y contundentes.

—Sobre una cinta transportadora que circula verticalmente dentro de un recipiente lleno de agua —murmura Albéniz— está montado un número par de cilindros que llevan un émbolo que se desplaza prácticamente sin fricción. Las cámaras de los émbolos de cada dos cilindros situados en lados opuestos están comunicadas entre ellas mediante un tubo flexible y contienen conjuntamente tanto aire como para que uno de los émbolos salga del cilindro y el otro se meta en su cilindro respectivo. En los cilindros del lado derecho, los émbolos presionan hacia abajo y empujan el aire al cilindro opuesto del lado izquierdo, donde el propio peso del émbolo tira de él hacia abajo, de manera que la cámara del cilindro tiene el volumen de aire máximo. Puesto que cada cilindro experimenta un empuje ascensional equivalente al peso del agua desalojada, los cilindros del lado izquierdo del mecanismo experimentan, debido a su mayor volumen, un mayor empuje ascensional, por lo que la cinta transportadora se mueve en el sentido de las agujas del reloj, girando continuamente…

En este instante se abre de nuevo la puerta del despacho y sale el inventor jubilado. Albéniz deduce de la cara que pone que la cosa no ha ido bien.

—¿Qué, no ha habido suerte?

—Qué va, no hay manera. Apenas he pronunciado las palabras «sin aportación de energía externa», la funcionaria ha dicho no sé qué de la segunda ley de la termodinámica y que mi máquina atentaría contra las leyes de la naturaleza. ¡Sin ni siquiera probarla!

—Pero usted tampoco ha conseguido ponerla en marcha, ¿no? —pregunta Albéniz escéptico.

—Es que estoy esperando que me lleguen mis superimanes chinos —contesta Peral. Se siente un poco contrariado, piensa que no le toman en serio y que le tratan como a un bicho raro.

—La daré un consejo para la próxima vez —dice el joven emprendedor dinámico y saca un trozo de papel de su cartera—. No presente su máquina como un mecanismo generador de energía… Mire esto.

Peral lee con interés el título de la solicitud de patente de Albéniz:

—«Aparato de entretenimiento que sorprenderá a todos los espectadores.» Pero no cabe duda de que tendrá algo que ver con la energía, ¿no es verdad? ¿Dónde dice algo sobre el balance energético?

—Eso lo he escondido en las notas al pie —dice Albéniz con una sonrisa de oreja a oreja—. En la descripción de este pequeño interruptor.

Peral ha de sacar sus gafas de leer de la cartera para poder descifrar la letra pequeña que describe la función del interruptor:

—«Mecanismo para evitar el movimiento permanente de la máquina.» O sea, ¿un interruptor que impide que el móvil perpetuo se ponga en marcha?

—Exactamente. Por tanto, el aparato no funciona permanentemente y no se contradice con las condiciones de patentabilidad, así que me tienen que conceder la patente.

Y antes de que el jubilado desmoralizado pueda despedirse de él, Albéniz ya ha desaparecido tras la puerta del despacho.

EL VIEJO SUEÑO DEL MOVIMIENTO PERPETUO La humanidad sueña desde hace tiempo con una máquina que trabaje sin parar y sin necesidad de aportarle energía. Todo comenzó con el indio Bhaskara, que hacia el año 1100 inventó la primera máquina que supuestamente se movía permanentemente. Estaba formada por unas pesas móviles colgadas de una rueda, que con su movimiento hacían que la rueda siempre llevara más peso en un lado que en otro y por tanto girara continuamente.

Es una idea muy similar a la del móvil perpetuo que ha ideado el señor Albéniz en nuestra historia. En los siglos siguientes se expandió también por Europa y fascinó incluso a grandes pensadores como Leonardo da Vinci. En aquel entonces, la física todavía no estaba tan desarrollada como para descartar la existencia de este tipo de máquinas. Pero incluso después de que en el siglo XIX se hubieran formulado las leyes de la termodinámica que demostraban la imposibilidad de casi todos los diseños de móviles perpetuos, el flujo de invenciones de toda clase de artilugios supuestamente funcionales no cesó. Precisamente ahora, cuando la humanidad busca desesperadamente una energía limpia que satisfaga nuestra sed de energía sin dañar el clima, por doquier surgen páginas web cuyos autores aseveran que han resuelto el problema. Busque en Google con el término «energía libre».

Las oficinas de patentes tienen efectivamente unas directrices que dicen que esta clase de aparatos ni siquiera se examinan. Los diseñadores de móviles perpetuos entran en la misma categoría que los cuadradores de círculos, que pretenden haber resuelto un problema matemático del que está demostrado desde hace tiempo que no tiene solución.

Pero antes de tratar de la imposibilidad de los móviles perpetuos en general, examinemos un poco más de cerca las máquinas presentadas por los dos inventores en la oficina de patentes de nuestra historia. Empecemos por el aparato magnético del señor Peral. En realidad no es una idea suya, sino que se concibió mucho antes de que él naciera: la describió por vez primera el obispo inglés John Wilkins (1614-1672), cofundador de la Royal Society, en su libro Mathematical Magick, Or, The Wonders That May Be Performed By Mechanical Geometry. Wilkins escribió que ese móvil perpetuo fue diseñado en 1562 por Johannes Taisnierus, y expuso de paso también por qué no podía funcionar: la fuerza del imán sería en el extremo de arriba tan grande que la bola no caería por el agujero, sino que lo pasaría literalmente por alto y se quedaría pegada al imán.

Pero el asunto tampoco se puede despachar con tanta facilidad, no en vano el señor Peral ya ha abordado este argumento. Veamos las fuerzas que intervienen:

En el plano inclinado, sobre la bola actúa una fuerza descendente FH constante (véase la página 37), que constituye una determinada fracción de la fuerza de gravedad FG que depende del ángulo de inclinación del plano. Al pie de la pendiente actúa sobre la bola una fuerza magnética F1 que ha de ser mayor que FH para que la rueda empiece a ascender. La fuerza magnética crece a medida que la bola rueda hacia arriba, es decir, la acelera. Sin embargo, no cabe duda de que se puede hallar un punto en que la fuerza de gravedad todavía sea mayor que la componente vertical de la fuerza magnética y el agujero sea suficientemente grande para que la bola se cuele por él. Acto seguido baja rodando por la rampa, en cuyo extremo inferior hay que encontrar un diseño adecuado para que vuelva al punto de partida; la solución del señor Peral con el segundo agujero no es muy convincente, pero seguro que se podría idear una. Tan pronto la bola ha vuelto al punto de partida, el proceso comienza de nuevo.

¿Dónde está el error? Para poder detectarlo tendremos que explicar unas cuantas cosas sobre la conservación de la energía. Veamos una bola que va y viene sobre un plano semiesférico:

Al principio se sujeta la bola en la posición A y luego se suelta, con lo que se acelera, alcanza su máxima velocidad en el punto B, se desacelera hasta detenerse en el punto C y desciende de nuevo rodando. Según el tamaño de la bola y la fricción, este vaivén puede durar algún tiempo; de hecho, si no existiera la fricción, la bola no dejaría nunca de rodar. Sin embargo, este artilugio no es un móvil perpetuo, pues la bola no realiza ningún trabajo, sino que conserva todo el rato su energía. En cambio, si accionara en su desplazamiento una pequeña rueda dentada con la que, por ejemplo, se podría generar electricidad, entonces se desaceleraría sensiblemente y en el lado opuesto ya no subiría hasta el punto C.

Por tanto, la energía es algo así como trabajo en potencia o trabajo acumulado. La misma bola sujeta en la posición A ya es portadora de energía, precisamente porque uno la puede soltar y dejar rodar hacia abajo, donde puede realizar un trabajo. Una bola quieta en el punto B, en cambio, no tiene en relación con este sistema ninguna utilidad.

Para la bola de nuestro sistema existen dos formas de energía: la energía de posición o potencial y la energía de movimiento o cinética.

La energía de posición se genera por el hecho de elevarla a una determinada altura. El nivel cero que se elija para ello es aleatorio y podemos suponer que es el punto más bajo de la semiesfera, tanto si realizamos la prueba junto al mar como en lo alto de un rascacielos.

La energía potencial se calcula a partir del trabajo necesario para llevar la bola a la altura respectiva. Trabajo es igual a fuerza por recorrido y la fuerza es la gravedad de la bola. Esta ya la conocemos desde el capítulo 2: masa multiplicada por aceleración terrestre.

Por consiguiente, la energía potencial V de la bola en la posición A o C será:

V = h · m · g

En la posición B, la energía potencial es igual a cero.

La energía cinética de una masa se calcula con arreglo a la siguiente fórmula:

En los puntos A y C la bola está parada, y por tanto su energía cinética es igual a cero. ¿Qué energía cinética tiene en el punto B? Después de calcular un poco con las fórmulas de la caída acelerada, resulta que la velocidad de la bola al pasar por B es la siguiente:

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de T, resulta que la energía cinética tiene en el punto más bajo el mismo valor que la energía potencial en el más alto. Por tanto, no se ha producido más que una transformación de estas dos formas de energía.

Independientemente de dónde se halle la bola en su trayectoria, la suma de energía potencial y energía cinética siempre es igual. Es lo que los físicos llaman «conservación de la energía» y es precisamente esta conservación de la energía la que impide que funcionen la mayoría de los móviles perpetuos.

Está claro que la bola no seguirá rodando para siempre a un lado y otro, sino que debido a las fuerzas de fricción llegará un momento en que se detendrá, concretamente en el punto B y con una velocidad igual a cero. De este modo ha perdido su energía cinética, y la energía potencial también ha desaparecido. ¿Qué ha ocurrido con la energía? La fricción genera calor y, efectivamente, la energía de la bola se ha transformado en energía térmica. Esta apenas se percibirá en la realidad, ya que la cubeta está en contacto con el aire y disipa rápidamente hasta el mínimo calentamiento. Sin embargo, en un sistema realmente cerrado la energía se conservaría en esta forma.

La conservación de la energía también implica que si la bola llega de nuevo a un punto en el que ha estado antes, puede tener como máximo la misma velocidad que antes, puesto que la proporción de la energía potencial es la misma. Lo más probable es que sea más lenta debido a las pérdidas por fricción.

La bola del móvil perpetuo de Peral está sometida a la acción de dos fuerzas: por un lado, la fuerza conocida que procede del campo gravitacional terrestre, y por otro la que ejerce el imán. Este campo también es «conservador», es decir, en él rigen las mismas leyes de la conservación de la energía que en el campo gravitacional terrestre. En física, las fuerzas no tienen problema en superponerse, de manera que podemos examinar ambos campos de fuerzas por separado. Y entonces llegamos pronto al resultado: si la energía se conserva en cada uno de los dos campos, entonces también lo hace en el conjunto del sistema. Teóricamente, la bola podría, como un péndulo, recorrer varias veces el sistema (aunque no he oído hablar de ningún experimento en que haya funcionado de verdad), pero en este proceso no absorbe energía adicional, por lo que en la siguiente pasada no será más rápida, y sobre todo no puede llevar a cabo ningún trabajo. El supuesto móvil perpetuo se ha quedado en nada.

Para quien considere que esto es demasiado abstracto plantearé una reflexión más: en el punto de partida, antes de empezar a ascender por el plano inclinado, la bola tenía la velocidad cero. Por tanto, una vez ha dejado atrás el camino de retorno por la rampa curvada, no puede ser más rápida que cero, de modo que volverá justito al punto de partida, igual que la bola de la cubeta, que alcanza justito a subir por la pared opuesta. Basta con que entre en juego un mínimo de fricción para que no logre recorrer todo el camino, sino que volverá hacia atrás. Existe efectivamente un punto estable, por decirlo así un punto de energía cero, en la rampa curvada. Podemos plantearlo de esta manera:

Al comienzo de la caída, en el punto B, la fuerza de gravedad es mayor que la componente vertical de la fuerza magnética, de modo que la bola cae hacia abajo y desciende rodando por la rampa. Al final de esta vuelve a situarse en el plano inclinado, y la fuerza del imán es superior a la fuerza descendente sobre el plano inclinado (en el extremo de la rampa curvada, esta fuerza descendente incluso es igual a cero). Por consiguiente, tiene que haber un punto intermedio, C, donde la fuerza descendente es exactamente igual que la fuerza magnética paralela a la rampa. Y este es precisamente el punto en el que en un momento dado se detendrá la bola.

¿Es al menos la invención de Albéniz un genial móvil perpetuo? Diremos que el invento tampoco es suyo, sino bastante anterior, y fue patentado en Londres en 1830. Incluso en nuestros días aparece continuamente gente mañosa que logra engatusar a los empleados de las oficinas de patentes con máquinas de este tipo.

Existen muchos supuestos móviles perpetuos que funcionan con empuje ascensional. Esto se debe probablemente a que un cuerpo menos denso que el agua experimenta una fuerza que lo empuja hacia arriba tan pronto se sumerge en agua. Esta fuerza contrarresta la gravedad y parece venir de la nada, pero en realidad no tiene ni pizca de enigmática.

El empuje ascensional se produce porque la presión en el agua aumenta con la profundidad. Podemos imaginar, para entenderlo más fácilmente, que sobre cada centímetro cuadrado de la superficie de un objeto sumergido en agua pesa una «columna» de agua de 100 centímetros cúbicos por cada metro de profundidad, por lo que una fuerza de aproximadamente 1 Newton empuja el objeto hacia abajo.

Lo que muchos olvidan en este planteamiento es que la presión actúa en todas direcciones: ¡la presión a cierta profundidad del agua también empuja hacia arriba! Por esto, un cuerpo sumergido experimenta un empuje ascendente más fuerte que el empuje descendente que ejerce la columna de agua de encima.

La diferencia entre la fuerza que empuja desde arriba y la que lo hace desde abajo es exactamente el peso del agua que se hallaría entre el lado superior y el lado inferior del cuerpo y que este ha desalojado. Aunque las fuerzas que actúan desde los lados también son diferentes, no contribuyen al empuje ascensional. Esto se ve bien en un cuerpo regular como el del dibujo, pero funciona igualmente con cualquier geometría.

¿Qué empuje ascensional experimentan los cilindros de la máquina de Albéniz? No hace falta que examinemos todos los cilindros, basta con que nos centremos en dos de ellos, unidos entre sí por un conducto de aire.

Si dejamos de lado el peso del aire, los dos cilindros y sus émbolos tienen la misma masa y por tanto la gravedad de uno viene compensada por la del otro. Sin embargo, el émbolo izquierdo experimenta un empuje ascensional (A₁) mayor que el derecho (A₂), ya que desplaza más agua. La diferencia A₁ – A₂ es la fuerza neta que hace que el cilindro de la izquierda suba efectivamente y que el de la derecha baje. Esta fuerza equivale al peso del agua que ha sido desplazada por el volumen de aire V. Por tanto, la fuerza ascendente es:

A = A₁ – A₂ = FG = m · g = ρ · V · g

(La letra griega ρ, que se pronuncia «ro», designa la densidad de una materia. La densidad del agua es casi exactamente igual a 1.)

Vemos que existe efectivamente una energía excedentaria que es igual al trabajo que se realiza durante todo el ascenso. Trabajo es fuerza por desplazamiento, y si designamos con h la altura del conjunto de la máquina, entonces obtenemos:

A · h = ρ · V · g · h

Esto significa que la máquina realiza un trabajo sin precisar ningún accionamiento. ¿Dónde está la trampa?

¿O no existe ninguna?

El problema radica en que en la parte superior e inferior los cilindros cambian de lado y en este proceso un émbolo se mete y el otro sale del cilindro. Esto parece producirse por el mero efecto de la gravedad, pero en realidad es fruto de un trabajo.

Cuando se mueven los émbolos, transportan un volumen V de aire de arriba abajo. Esto no tiene por qué interesarnos mucho, ya que el aire apenas pesa. Sin embargo, ocurre una cosa más, que los diseñadores de este tipo de móviles perpetuos suelen omitir de buena gana, porque escapa a nuestra percepción: cuando el émbolo de arriba se mete en el cilindro y por tanto este reduce su volumen, este volumen que falta ha de llenarse con agua, que como es natural procede del entorno inmediato. Al mismo tiempo, el émbolo que sale del cilindro de abajo desplaza agua. Por consiguiente, se produce un transporte de una cantidad de agua equivalente al volumen V a lo largo de toda la altura de la máquina. Para ello se requiere trabajo, y ese trabajo equivale a la gravedad del agua multiplicada por la altura h. Resulta, por tanto, el mismo trabajo o la misma energía que acabamos de ganar gracias al movimiento ascendente, así que el saldo es igual a cero.

Alternativamente también se puede explicar el proceso del modo siguiente: el émbolo de abajo ha de superar al salir una presión del agua mayor que la que ayuda al émbolo superior a entrar, pues se halla a mayor profundidad. Esta explicación también resulta en la misma cantidad de trabajo que hay que realizar.

A fin de cuentas, las explicaciones son bastante simples, pero esto no ha evitado que generaciones enteras de inventores hayan seguido diseñando móviles perpetuos de este tipo. Y continuamente se conceden patentes. Nada menos que en el año 2003 lo logró el inventor Mijaíl Smerechanski en Francia (patente francesa n.º 2830575).

Tanto la invención de Gustavo Peral como la de Isidro Albéniz son lo que se llaman «móviles perpetuos de primera clase». Este nombre se debe a que se trata de artilugios que atentan contra la primera ley de la termodinámica, que dice, por expresarlo en un lenguaje comprensible, que en un sistema físico cerrado no se genera ni se destruye energía, sino que esta únicamente se transforma (de energía potencial en energía cinética, de energía cinética en calor, etc.). Claro que en la práctica apenas existen sistemas realmente cerrados, si prescindimos, por supuesto, del universo. Antiguamente se solía argumentar que la propia naturaleza es un móvil perpetuo perfecto: se mueve constantemente, genera continuamente nueva vida y nunca descansa. Pero está claro que nuestro planeta no es ni mucho menos un sistema cerrado: a través de la radiación solar recibe continuamente energía, unos 175 millones de gigawatios por segundo, y esta es la energía que a fin de cuentas impulsa todos los procesos vitales. 175 millones de gigawatios/segundo equivalen a unos 49.000 millones de kilovatios/hora.

También existen «móviles perpetuos de segunda clase», aparatos cuyo mecanismo atenta contra la segunda ley de la termodinámica. Se trata de una ley un poco más complicada y de la que se han dado varias formulaciones: el desorden en el mundo va en aumento. El calor no se deja transformar sin más en otras formas de energía. Existe una «dirección» en la evolución del mundo que no se puede invertir.

En resumidas cuentas, la segunda ley de la termodinámica es más bien un enunciado estadístico. La energía térmica no es otra cosa que energía cinética en el plano microscópico: partículas atómicas se desplazan sobre trayectorias balísticas que pueden describirse con ayuda de las leyes de la mecánica (que esto no es así lo sabemos desde que se formuló la teoría cuántica, véase el capítulo 14, pero para la termidonámica nos basta). Chocan entre ellas, sobre todo si se trata de gases, y debido a que casi siempre nos encontramos con numerosas partículas, podemos estudiar su comportamiento y sacar conclusiones.

Imaginemos, por ejemplo, que en un rincón de un recipiente lleno de aire introducimos cierta cantidad de un gas caliente. Caliente: esto significa que las partículas de gas tienen una velocidad elevada en comparación con las de aire, que son relativamente lentas. Estas partículas aceleradas se ponen a circular a todo trapo por el recipiente y chocan entre ellas, como también con las partículas de aire. Las partículas rápidas transmiten energía a las lentas, y así se produce una situación en la que, en primer lugar, los dos gases están bien mezclados y, en segundo lugar, su velocidad media es igual en todas las partes del recipiente. Así, el aire se ha calentado un poco y el gas caliente se ha enfriado.

Este proceso se puede calcular con arreglo a las leyes de la probabilidad. El caso inverso, que un gas mixto de temperatura uniforme se separa en sus componentes con distintas temperaturas es teóricamente posible, pero astronómicamente improbable. Sería como si un puñado de niños pequeños estuvieran jugando en la piscina de pelotas de colores del paraíso infantil de Ikea y al final todas las pelotas quedaran separadas y ordenadas por colores. Esto simplemente no ocurre.

Sin embargo, de un gas uniformemente tibio no se puede extraer energía. Las máquinas térmicas, como una locomotora de vapor o el motor de dos tiempos, funcionan con gradientes de temperatura, es decir, con componentes con distintos grados de calor. Los diversos procesos de transformación de la energía no son equivalentes; tan pronto como ya no quede más que «calor de escape», este ya no dará mucho de sí.

El ejemplo más famoso de un móvil perpetuo (teórico) que atenta contra esta ley es el «demonio de Maxwell». Fue el físico James Clerk Maxwell quien formuló el problema en 1871: imaginemos una cámara con dos compartimentos que contienen gas a la misma temperatura y a la misma presión. Entre ambos compartimientos hay una diminuta compuerta que solamente deja pasar una molécula del gas. Esta compuerta la controla un «demonio», un mecanismo no definido con más detalle que tiene la siguiente característica: cada vez que se acerca en la cámara izquierda una partícula acelerada, es decir, una partícula más rápida que el promedio de todas las demás, la deja pasar a la cámara derecha. De derecha a izquierda solo deja pasar, en cambio, las partículas que son más lentas que la media. La temperatura es siempre una velocidad media, e incluso en un gas frío hay partículas rápidas y en un gas caliente partículas lentas.

El proceso de selección hace que en el compartimento izquierdo baje la temperatura y que en el derecho suba. De modo que el demonio ha transformado un gas tibio en uno caliente y otro frío, y esta diferencia se puede aprovechar para realizar trabajo.

Maxwell no formuló ninguna norma para el diseño de su demonio, pero continuamente ha habido personas mañosas que han intentado construir un mecanismo de este tipo, que por supuesto deben poder funcionar sin depender de la aportación de energía del exterior. El último fue un inventor llamado Sanjay Amin, quien concibió en 1999 una «máquina entrópica». Claro que una vez examinada por unos físicos, estos dictaminaron que era imposible que funcionara.

Los devotos del móvil perpetuo y aficionados esperanzados suelen alegar que las leyes de la naturaleza que se aducen para denegar la existencia de los móviles perpetuos no son más que obras humanas y que por tanto son revisables. En el fondo tienen razón, pues todos los descubrimientos de la física se basan en observaciones y si se observa un fenómeno nuevo hay que estar dispuestos a corregir las leyes. Ahora bien, el listón para esta revisión está puesto bastante alto. A menudo se dice, por ejemplo, que Einstein tumbó las leyes de Newton, pero lo cierto es que para casi todos los fines prácticos, inclusive en este libro, las leyes newtonianas siguen aportando una descripción bastante precisa. Y la ley de conservación de la energía, con la que se pueden rebatir la mayoría de móviles perpetuos, no es una afirmación dogmática de un físico cualquiera que no admitiera la existencia de ninguna «energía libre». Al contrario, se puede calcular explícitamente para todas las formas de energía comunes, y en 1912 la matemática alemana Emmy Noether incluso demostró matemáticamente que en un sistema físico que cumpla ciertas condiciones muy generales —cierta homogeneidad del espacio-tiempo y la vigencia de las leyes de la naturaleza en el conjunto del universo— siempre tienen que regir este tipo de leyes de conservación.

Hay una objeción a la posibilidad de que exista un móvil perpetuo que a mí me parece la más convincente. Isidro Albéniz ha incorporado a su aparato un interruptor que hay que accionar para detener el movimiento perpetuo (otro detalle tomado de una solicitud de patente real). El interruptor sería absolutamente necesario en un móvil perpetuo que funcionara realmente, pues de lo contrario el aparato produciría continuamente energía excedentaria que, si no se extrajera del mismo, por ejemplo en forma de electricidad, permanecería en su interior. De este modo, el aparato se calentaría cada vez más y llegaría un momento en que se fundiría o explotaría.

E incluso si se extrajera energía del aparato, esta permanecería dentro del universo y con el tiempo haría que todo el cosmos fuera calentándose. Suponiendo que en el universo haya civilizaciones más avanzadas que la nuestra y que por tanto contaran con móviles perpetuos desde hace tiempo, no cabe duda de que tendríamos que notar algo de este calentamiento.

No, en el siglo XXI sigue siendo válido lo que ya dictaminó la Académie Française en el año 1775: «La construcción de un movimiento perpetuo es imposible».

EJERCICIO Ahora le toca a usted: al salir de casa olvida usted cerrar la puerta de la nevera. Cuando vuelve al cabo de dos horas, ¿está la cocina más fría o más caliente que antes? (En este ejemplo partiremos de que la cocina es un sistema cerrado en el sentido de que no se calienta ni se refrigera desde el exterior.)

7    EL MURO

O LO QUE EL VIENTO SE LLEVÓ

—En Alemania ya tienen que poner la calefacción —dice Martin Ticker, y Miki, su mujer, asiente con un gesto. Con los ojos cerrados y la cara girada hacia la luz, ella está gozando con los cálidos rayos del sol de otoño.

Es el primer domingo de octubre y en Mallorca todavía es muy posible disfrutar de un día cálido y soleado en esta época del año. Ticker recorre con la vista su nueva finca y se le ve en la cara que está satisfecho y orgulloso. Las fachadas conservan el tradicional estilo mallorquín, pero en el interior todo es ultramoderno: por suerte, las ordenanzas de construcción municipales no dicen nada sobre el mobiliario. En la piscina el agua se riza ligeramente con la brisa y el sol se refleja en la superficie.

La finca de la pareja se halla sobre un montículo encima del pueblo de Sant Joan, a un par de kilómetros de la carretera de Palma a Manacor. Desde aquí no hay vistas al mar, pero a cambio el Balneario n.º 6, el famoso Ballermann, queda muy lejos, al igual que otros centros turísticos. Un sitio ideal para los alemanes que acuden regularmente a la isla como el matrimonio Ticker: el aeropuerto está a 20 minutos en coche, pero el lugar es muy tranquilo y bastante selecto. Los alemanes que uno se encuentra por la zona suelen vivir en una de las masías renovadas que salpican el paisaje: pensionistas, profesionales liberales o gente como Ticker, que se gana la vida como agente inmobiliario. Y que se ha reservado para sí la finca más bonita.

La mirada de Ticker se desplaza hacia el este, donde normalmente alcanzaba hasta el pueblo, bastante pintoresco, por cierto, de Sant Joan, pero ahora ha quedado obstaculizada por una pantalla acústica. Él no la quería, pero Miki es muy sensible al ruido.

—Las fiestas de los españoles me parecen muy sugerentes —había dicho—, pero yo no me vengo a Mallorca para tener aquí el mismo fondo sonoro que en el centro de Düsseldorf.

Ella es once años más joven que él, pero a veces Ticker encuentra que Miki es un poco… tiquismiquis.

Martin Ticker suspira para sus adentros. Ha estado buscando durante mucho tiempo alguna alternativa para no tener que colocar un muro de hormigón como los que suelen poner a lo largo de las autopistas. El modelo «Selva Negra» está formado por listones de madera de alerce sin tratar, tiene 40 centímetros de espesor y está relleno de balas de paja. Aun así, esa monstruosidad de dos metros y medio de altura le ha convertido en el hazmerreír del vecindario. Los mallorquines hablan del mur, el muro. Alemania y muro: está bien que la gente pueda alimentar sus prejuicios, piensa Ticker con un poco de amargura.

El matrimonio se ha instalado hace pocos días y este fin de semana el mur pasará su prueba de fuego. Como todos los años por estas fechas se va a celebrar la torrada d’es botifarró, una fiesta popular donde se hacen morcillas a la parrilla, se bailan danzas populares y se bebe vino a raudales. Sant Joan tiene apenas 2.000 habitantes, pero es seguro que hoy se juntarán en la plaza del pueblo por lo menos el doble de personas.

En realidad, a Martin Ticker también le habría gustado acudir al pueblo y mezclarse entre la gente, pero Miki había dejado claro que no le cuesta nada prescindir de «esta clase de fiestas populares». Así que ahora están sentados los dos en el nuevo hogar tomando un desayuno a media mañana y disfrutando con el sol, la suave brisa del este y el silencio.

—Bum, bum, bum-bum-bum.

Miki se yergue asustada en su tumbona. Está visto que en el pueblo ha empezado a tocar la banda municipal. El «bum» procede de los golpes de tambor, pero al cabo de poco también se oyen guitarras y trompetas y los típicos cantos mallorquines.

—¡Martin! —exclama Miki, y en su voz resuena cierto reproche. Un tonillo ligeramente histérico, a juicio de Ticker—. Martin, ¿oyes eso?

El marido hace como si aguzara el oído, pero también a él le ha llegado el sonido de la música.

—Ahora que lo dices. Por lo visto ha comenzado la torrada.

—Martin, ¿para qué hemos hecho colocar ese muro? Nos garantizaron que amortiguaría todos los ruidos —protesta Miki.

—Tal vez tendríamos que haber optado por el hormigón en vez de esta variante ecológica —murmura Martin.

—Madera u hormigón, da lo mismo. ¡El caso es que hemos pagado decenas de miles de euros por esa pared y a cambio quiero tener tranquilidad! —Miki levanta la voz—. ¿Cómo es posible que el ruido traspase el muro?

—El ruido no traspasa el muro, sino que lo rodea —contesta Ticker. Antes de trasladarse a Mallorca estuvo trabajando unos años para una empresa que instalaba hilo musical y tuvo que adquirir algunos conocimientos básicos sobre la propagación de las ondas sonoras.

—¿Lo rodea? —pregunta su mujer, incrédula—. No entiendo gran cosa de física, pero que yo sepa las ondas sonoras se propagan en línea recta.

—En principio es cierto, pero también existen fenómenos como la refracción y la difracción, y por eso al aire libre nunca reina el silencio absoluto ni siquiera tras un muro absolutamente insonorizado. Son sobre todo las ondas de baja frecuencia las que se dispersan y por eso nos llega especialmente ese «bumbum» de los tambores.

—Pero yo no solo oigo «bumbum» —objeta la mujer—, sino también «teteré», guitarras y voces. Casi tengo la impresión de estar entendiendo conversaciones entre la gente de allí abajo.

—Para eso tendrías que aprender primero algunas frases de español —observa Ticker secamente. No ha podido evitar esta punzada, porque mientras él ha acudido durante los últimos meses a un curso nocturno de lengua castellana, entre otras cosas para poder negociar con los propietarios de terreno del lugar, Miki opinó que podía prescindir de ello porque «de todos modos allá abajo todos hablan alemán».

—Pero tienes razón —continúa Ticker—, hoy se oye realmente todo lo que viene del pueblo, a pesar del muro. Diría que el viento nos trae el ruido. Hoy está soplando con fuerza del este y por eso nos llegan los sonidos.

—¿El viento transporta el sonido? —pregunta su mujer, poniendo cara de no creerle—. Ya he oído hablar de eso, pero siempre me ha parecido un cuento infantil. El sonido es de por sí bastante rápido…

—… 343 metros por segundo o más de 1.200 kilómetros por hora… —confirma el marido, que sigue citando de su curso de acústica.

—… y ¿qué velocidad tiene el viento? Quizá 50 kilómetros por hora, más no. La diferencia tampoco es tan grande. ¿Y por eso nos llega mejor el sonido?

—No tiene nada que ver con la velocidad —dice Martin Ticker—. Si no recuerdo mal, se trata de un fenómeno de refracción. Es como cuando metes una cuchara en un vaso de agua y parece que está torcida.

Por la cara de su mujer se da cuenta de que su explicación no ha sonado nada plausible.

—Da lo mismo… El caso es que este viento de popa hace que el sonido no solo llegue más lejos, sino también que rodee los obstáculos —prosigue—, como por ejemplo nuestra pantalla acústica.

—Por mí puedes echar de nuevo una ojeada a tus libros —responde Miki con cierto retintín—, en todo caso parece que es verdad. Mira por dónde estamos ahora sentados en nuestra hermosa finca y podemos pasarnos el día escuchando el jolgorio de allí abajo en el pueblo.

—¿Y qué? —dice Ticker—. Ocurre que por aquí también viven otras personas. Autóctonos de verdad. Y la famosa fiesta de la morcilla no se celebra más que una vez al año. ¡Viene gente de toda la isla! Si no podemos apagar el ruido, probablemente la mejor estrategia sea zambullirnos en el gentío.

—Tal vez tengas razón —Miki también se ha puesto a reflexionar. Quizá no estaría mal contemplar a estos españoles un poco más de cerca—. Dame un cuarto de hora para cambiarme. Pero no tendré que comer morcilla, ¿no?

—No —se ríe Martin—, sin duda también habrá otras cosas.

Media hora después, los Ticker estacionan su Porsche Cayenne en el amplio aparcamiento a la entrada del pueblo. Dicen que han visto a Miki bailar hasta altas horas de la noche.

REFRACCIÓN DE LAS ONDAS: POR QUÉ EL SONIDO DOBLA LAS ESQUINAS ¿Por qué el ruido de la fiesta popular molesta a Martin y Miki Ticker a pesar de que se han instalado una pantalla acústica? ¿Se debe al propio muro, que a pesar de las promesas publicitarias sí deja pasar el sonido, o son otras las razones?

El sonido se propaga por ondas y las ondas se desplazan en línea recta. Ingenuos que somos, solemos imaginar que esto sucede del mismo modo que con la luz visible, es decir, en forma de «rayos sonoros» que parten de la fuente de ruido y chocan con objetos que impiden su paso. Si todo funcionara como estaba previsto, la pareja de alemanes podría estar sentada en una especie de «sombra acústica» y ningún ruido procedente de Sant Joan perturbaría su descanso.

Sin embargo, del mismo modo que a la sombra de un foco de luz tampoco reina la oscuridad absoluta —es sabido que incluso uno puede broncearse en la sombra—, detrás de una pantalla acústica tampoco impera el silencio absoluto. La visión ingenua de los «rayos sonoros» que se desplazan en línea recta no es completa. El sonido es, efectivamente, una onda, y por eso también experimenta fenómenos como la dispersión, la refracción y la difracción, que hacen que los sonidos también «doblen las esquinas».

¿Cómo hemos llegado a imaginarnos el sonido como un fenómeno de radiación? En el caso de la luz, esta idea tiene sentido, pues, como es notorio, la luz consiste en ondas y partículas (véase el capítulo 14), y esas partículas vuelan en línea recta desde el Sol a nuestro planeta. Sin embargo, para poder explicar determinados fenómenos hemos de tener en cuenta también el carácter de onda de la luz: los rayos de luz existen realmente porque describen las trayectorias de los fotones.

En cambio, no existen partículas de sonido que salgan disparadas de una fuente sonora hacia nosotros. El sonido es la propagación de sutiles diferencias de presión en el aire. La membrana de un altavoz, por ejemplo, vibra hacia delante y atrás, y cuando se abomba hacia fuera comprime un poco el aire y en ese lugar aumenta la presión. Esta presión se propaga en todas direcciones porque, debido al empujón que les ha propinado la membrana, las moléculas de aire colisionan con sus vecinas y les transmiten la energía recibida. La molécula en cuestión no llega muy lejos, sino que pronto recibe un empujón aleatorio en sentido contrario. La onda sonora se expande en el mar de aire de modo similar a una onda en el agua, en la que cada molécula de agua permanece más o menos en su sitio. (Digo «similar» porque hay una diferencia importante: las ondas de agua son de tipo transversal, en las que las partículas vibran transversalmente al sentido de propagación de la onda. Las ondas sonoras, en cambio, son longitudinales, y en ellas las partículas de aire vibran adelante y atrás en la dirección en que se propaga la onda.)

Según este planteamiento, de entrada una onda sonora se expande en forma de esfera alrededor de la fuente. Sin embargo, los choques entre las partículas de aire no se producen estrictamente en la dirección de propagación, sino aleatoriamente en todas las direcciones. Fue el físico neerlandés Christiaan Huygens quien ya descubrió en el siglo XVII que en realidad hay que ver en cada punto del frente de una onda un punto de partida de una nueva onda. Una partícula de aire que colisiona no sabe si el empuje lo ha recibido directamente de la fuente sonora o si ya es el enésimo eslabón de una larga cadena de choques sucesivos.

¿Es posible calcular semejante cascada de ondas superpuestas? Por fortuna sí lo es, puesto que muchas de estas llamadas ondas elementales se anulan mutuamente. Cuando el pico de una onda coincide con el valle de otra de la misma magnitud, el resultado es cero. Esto hace que en caso de libre propagación en el espacio se forman realmente esferas de ondas expansivas y cabe imaginar la existencia de los correspondientes «rayos de sonido» perpendiculares a aquellas. El principio de Huygens se pone de manifiesto en esquinas, cantos y otros obstáculos. Esto hace que por suerte oigamos en la ciudad la sirena de una ambulancia, por ejemplo, incluso si el vehículo viene de una calle lateral y no tenemos contacto visual con él.

Las ondas sonoras que llegan al cruce de calles son a su vez fuente de nuevas ondas sonoras, de modo que los conductores que circulan por la calle transversal perciben el sonido y frenan a tiempo para ceder el paso a la ambulancia. Este fenómeno por el que las ondas rodean los obstáculos, se denomina difracción.

Las luces de la ambulancia, en cambio, no las ven los conductores, a menos que se reflejen en los coches o escaparates. La luz no dobla las esquinas. ¿No experimentan difracción los rayos de luz? Sí, pero a una escala muy distinta. Se producen fenómenos de difracción cuando el obstáculo es más o menos igual de grande que la longitud de onda. Una onda sonora típica, como por ejemplo el la normal, tiene una longitud de onda de unos 70 centímetros. Una onda de luz media de color amarillo, en cambio, tiene una longitud de tan solo 580 nanómetros, un poco más de media milésima de milímetro. La difracción de la luz se observa sobre todo cuando se hace pasar un rayo de luz por estrechas hendiduras (véase la página 213).

Además, la difracción no es igual con todas las ondas sonoras. Los tonos más agudos que podemos oír tienen una longitud de onda de tan solo unos 2 centímetros, los más graves de 20 metros. Los sonidos graves sufren una difracción mayor que los agudos, o dicho de otro modo: la pantalla acústica de la familia Ticker retiene casi totalmente los sonidos agudos, pero los graves escalan literalmente el muro y pasan al otro lado. El «bumbum» de los tambores llega a sus oídos, mientras que los tonos agudos de las trompetas quedan casi anulados. Si tiene usted en casa un equipo Dolby Surround con cinco pequeños altavoces y un gran subwoofer, tal vez le haya asombrado que según las instrucciones podía usted colocar el altavoz de graves en cualquier lugar de la estancia, mientras que los de agudos debían situarse en puntos muy precisos. La razón de ello es que los tonos graves se abren camino hasta nuestro oído prácticamente desde cualquier lugar, mientras que en el caso de los graves conviene recibir el sonido siempre por la vía directa.

Si la difracción de la luz solo se produce en el ámbito microscópico, ¿por qué entonces en la sombra no reina la oscuridad absoluta? Esto se debe a otro fenómeno de las ondas: la dispersión. En la Luna, por ejemplo, la cara oculta, que se halla a la sombra del Sol, está completamente a oscuras, porque allí existe un vacío casi perfecto y no hay nada que perturbe el paso de la luz. La atmósfera terrestre, en cambio, no es totalmente homogénea, sino que se compone de numerosas partículas pequeñas que pueden interponerse en el camino de un rayo de luz y llegar incluso a desviarlo. También en este caso hay que decir que el fenómeno es más claro cuando la longitud de onda equivale más o menos al tamaño de la partícula y que los rayos de distinta longitud de onda se dispersan con distinta intensidad. Esto explica por qué el cielo es azul y el atardecer es rojo.

Las ondas sonoras, debido a su magnitud, no se dispersan al chocar con moléculas de aire individuales, sino con turbulencias atmosféricas, pequeños torbellinos del tamaño de unos centímetros, que pueden ayudar a que el ruido supere los obstáculos.

¿Por qué estas turbulencias dispersan las ondas sonoras? Pues porque en ellas el aire tiene una densidad distinta y la densidad del aire condiciona la velocidad del sonido. La existencia de distintas velocidades de propagación hace que las ondas se refracten, y esta refracción es la causa de que el viento transporte los sonidos de la banda municipal hasta la casa del señor y la señora Ticker.

Permítame algunas disquisiciones sobre la refracción de la luz. En el agua, por ejemplo, la velocidad de la luz es un cuarto más lenta que en el aire. Esto hace que los rayos de luz que inciden oblicuamente en el agua den la sensación de que experimentan una inflexión. Por eso vemos, por ejemplo, una inflexión en una cuchara metida en un vaso de agua.

¿Cómo se explica esta refracción? Christiaan Huygens no solo descubrió el principio de las «ondas elementales» que lleva su nombre, sino que dedujo del mismo que al final la luz que atraviesa dos medios ópticos de distinta densidad (o sea, medios con distintas velocidades de la luz) no elige el camino más corto en el espacio, sino el más rápido. Así podemos explicar la trayectoria de los rayos de luz mediante una anécdota que planteé en mi libro La seducción de las matemáticas como problema para el lector:

David Hasselhoff está tumbado en la playa de Malibú y ve que en el mar está Pamela Anderson pidiendo socorro. Es cuestión de segundos. El vigilante atlético corre más rápido en la arena que lo que nada en el agua. La estrategia óptima para socorrer a Pamela no es el camino más corto (1), pero tampoco el que implica que tenga que nadar menos (2), sino una variante intermedia (3). Este trayecto, que se puede calcular como problema matemático del valor extremo, es el que requiere menos tiempo.

Para quien sienta cierta incomodidad ante esta explicación (¿cómo sabe la luz cuál es el camino más rápido?) tengo preparada otra, basada igualmente en las ondas elementales de Huygens: un frente de ondas, que a efectos prácticos se pueden considerar paralelas, alcanza la interfaz entre dos medios ópticos, de los que el inferior es más denso que el superior. Cada onda alcanza la interfaz primero con su lado derecho (1), donde se genera una nueva onda elemental, que se propaga a menor velocidad. En el tiempo que tarda el borde izquierdo del frente de ondas en recorrer la distancia d₂ hasta llegar a la interfaz, la nueva onda solo recorre la distancia d₁, que es menor. Mientras tanto, cada cresta de las ondas sucesivas genera nuevas ondas elementales que se unen para formar un nuevo frente que guarda un determinado ángulo con respecto al primero. Al penetrar en un medio ópticamente más denso, la onda se refracta en dirección a la vertical; si el nuevo medio es más «diluido», la refracción se produce en la dirección contraria.

También las ondas sonoras se refractan en las interfaces entre medios de distinta velocidad de propagación del sonido, aunque al aire libre es difícil que coincidan directamente dos capas de aire de diferente densidad. En la atmósfera, las transiciones son más fluidas, por lo que no se producen refracciones bruscas, sino suaves y continuas: los rayos sonoros se curvan.

¿Cómo es posible que haya distintas velocidades del sonido en el aire? En primer lugar, debido a las diferencias de temperatura. El aire frío no conduce tan bien el sonido como el aire caliente; se podría decir que las moléculas del aire frío son más «estáticas» que las del aire caliente. Normalmente, a mayor altitud, más frío es el aire, por lo que los rayos sonoros se refractan hacia arriba. Si en cambio se produce lo que se denomina una «inversión térmica», en la que una capa de aire caliente se sitúa encima de otra de aire frío, entonces la refracción apunta hacia abajo, y las ondas sonoras llegan más lejos, en parte incluso sorteando obstáculos.

La situación cambia cuando hay viento: si bien este no altera la densidad del aire, sí que influye en la velocidad efectiva del sonido, aunque en un porcentaje muy bajo. Casi siempre el viento es más lento junto al suelo que a mayor altitud, como sabe cualquier que haya hecho volar alguna vez una cometa. Por consiguiente, en este caso resulta un perfil asimétrico de propagación del sonido, en el que todas las ondas se refractan en la dirección del viento.

Y esta es la razón por la que el viento hace que los sonidos, agradables o molestos, se oigan efectivamente desde más lejos. No solo les imprime mayor velocidad, sino que además tuerce las ondas de manera que estas salvan incluso obstáculos como el muro ecológico plantado por Martin y Miki Ticker en Sant Joan.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: sin duda ha oído hablar usted del efecto de que después de aspirar un vaso de helio uno adquiere una voz de tipo «Micky Mouse». ¿Puede explicar usted por qué sucede esto?

8    LA HERMANA GEMELA

REJUVENECIDA

O VIAJE PARADÓJICO

A TRAVÉS DEL TIEMPO

Hace un día caluroso en Baikonur cuando vuelve la embajadora, la primera persona que ha acudido a establecer contacto personal con otra civilización. Con los «otros». Toda la humanidad sigue con interés el acontecimiento, aunque con bastante menos entusiasmo que cuando partió la nave espacial.

La enviada especial se llama Alice Wilson, tiene la nacionalidad estadounidense y 38 años de edad, aunque biológicamente solo tenga 34 (como veremos más adelante). Ha estado ausente durante once años, en un viaje que nunca antes había hecho otro ser humano. Ha realizado el periplo por el espacio en representación de 8.000 millones de terrícolas y 142 países del mundo (todos menos Corea del Norte). Se trataba de verse cara a cara con los «otros».

Las señales inteligentes de Alfa Centauri B se habían recibido en la Tierra en el año 2020. Hasta los científicos del SETI en California (SETI es la sigla de search for extraterrestrial intelligence, búsqueda de inteligencia extraterrestre) se quedaron boquiabiertos cuando, después de 60 años de búsqueda infructuosa, recibieron el primer mensaje de otra civilización, nada menos que de la estrella más cercana a nuestro sistema solar. Alfa Centauri B se halla tan solo a cuatro largos años luz de distancia de la Tierra, y esto significaba que al menos teóricamente existía la posibilidad de trasladarse efectivamente a la estrella y visitar en persona a sus habitantes.

La señal como tal no era un mensaje propiamente dicho, sino más bien un grupo de datos inservibles, probablemente un fragmento perdido en el espacio de una emisión de televisión o una cuña radiofónica. Imposible descifrarlo, pero estaba claro que se trataba de señales artificiales que portaban información.

El Consejo de Seguridad de las Naciones Unidas se reunió al día siguiente y, cosa sorprendente, no tardó mucho en acordar una respuesta común de toda la humanidad a este descubrimiento más importante de la historia: primero, que respondemos; y segundo, que vamos.

La respuesta consistió en una serie de señales análogas como las que ya se habían emitido anteriormente al espacio: simples fórmulas matemáticas, emitidas en la misma frecuencia que el mensaje recibido —el teorema de Pitágoras, el sistema periódico de los elementos— con la esperanza de que alguien en el planeta de Alfa Centauri B captara la señal y la interpretara. No era posible enviar mensajes más complicados, en particular el anuncio de «¡Vamos!», debido a la falta de una lengua común.

Cualquier diálogo habría sido un arduo propósito: una información habría tardado cuatro años en llegar a destino y la respuesta de los nuevos interlocutores se habría demorado otros cuatro años. En numerosos ciclos de ocho años habría que desarrollar entonces una lengua común antes de poder enviar la primera información propiamente dicha. No, la humanidad tiene que ir, decidió también la Asamblea General de las Naciones Unidas. La Secretaria General de la ONU, Aung San Suu Kyi, pronunció un fogoso discurso que recordó a muchos el que protagonizó John F. Kennedy cuando anunció en su día el programa lunar de Estados Unidos. Y al igual que Kennedy, la birmana fijó un plazo de diez años, esta vez para el conjunto de la humanidad.

El centro de desarrollo del Proyecto Alfa se situó en Ginebra, justo al lado del instituto de investigación nuclear CERN, pues allí se fraguó la tecnología: para poder realizar el viaje dentro de un plazo factible para un ser humano había que dar un enorme salto en el desarrollo de la técnica. El vehículo espacial más rápido que existía era la sonda Pioneer I , lanzada en la década de 1960, que surcaba el universo a una velocidad de 63.000 kilómetros por hora gracias al impulso que le había dado la gravitación de los planetas. A este ritmo, el viaje a Alfa Centauri B tardaría 70.000 años, así que no cabía duda: hacía falta un nuevo sistema propulsor.

Los ingenieros del CERN lograron efectivamente poner a punto, a lo largo de la década siguiente, un motor de materia-antimateria que permitía acelerar una cápsula espacial a una velocidad equivalente al 80 % de la velocidad de la luz, por lo que el viaje a la estrella habitada solo tardaría ya cinco años, un año más que una señal luminosa o radioeléctrica.

El vehículo futurista fue construido en su mayor parte por ingenieros chinos, pero ¿quién iba a ser el astronauta ocupante de la cápsula? Desde muy pronto se había acordado que solo fuera una persona, debido al gran riesgo que suponía y a la advertencia de los psicólogos de que ninguna tripulación soportaría viajar conjuntamente durante cinco años en la estrecha cápsula sin que acabara a navajazos.

Después de que fracasaran las negociaciones diplomáticas para determinar quién iba a representar dignamente a la humanidad, pues ninguna de las grandes naciones quiso ceder voluntariamente, se aprobó la sugerencia de la Secretaria General Suu Kyi de resolver la cuestión en una especie de casting en que pudiera votar toda la humanidad por Internet o a través de su teléfono móvil. Millones de personas se ofrecieron para la misión, que era casi propia de un comando suicida. Incluso después de una criba médica muy estricta quedaban miles de candidatas y candidatos, cuyo número fue reduciéndose a lo largo de numerosos programas de tipo Operación Triunfo, seguidos masivamente por televisión en todo el mundo. Los y las pretendientes tuvieron que demostrar sus destrezas de supervivencia y su capacidad de comunicarse con personas que hablaban una lengua que desconocían totalmente. Finalmente, para asombro de los comentaristas, quedaron dos candidatos que no solo eran hermanos, sino encima gemelos: Alice y Bob Wilson, de 27 años de edad, originarios de Virginia, EE.UU. Apenas nadie creía que llegaran a la final dos representantes de un país tan desprestigiado a escala internacional como Estados Unidos. Puede que fuera el ideal de belleza occidental, todavía predominante en todas partes, el que inclinó la balanza a favor de la rubia Alice con su cuerpo de modelo y del atlético Bob con su prominente barbilla.

La competición final entre ambos hermanos fue un baño de lágrimas. Los dos aseguraron que no querían perjudicar al hermano o a la hermana, pero uno de ellos tenía que quedarse en casa. La humanidad votó a favor de Alice, y Bob recibió, a modo de consolación, el encargo de dirigir la central de comunicaciones en tierra, que debía mantener el contacto por radio con la nave espacial cada vez más lejana. El viaje iba a durar cinco años y estaba previsto que Alice permaneciera durante un año en el planeta que giraba alrededor de Alfa Centauri B aproximadamente a la misma distancia que la Tierra del Sol, para obtener el máximo de información sobre sus habitantes y después volver a la Tierra durante otros cinco años.

Por supuesto, desde el comienzo se habló mucho de la «paradoja de los gemelos». Según la teoría de la relatividad de Einstein, después de la misión el gemelo Bob, que iba a permanecer en tierra, habría envejecido once años, pero para Alice solo habrían pasado siete años y por tanto habría envejecido menos. Adquirieron gran popularidad unos cursos en línea sobre la teoría de la relatividad, y muchas personas habrían deseado tener gemelos monocigóticos para poder comprobar empíricamente la validez de la teoría.

Miles de millones de personas contemplaron en directo cómo el 20 de noviembre de 2029 Alice Wilson abrazó por última vez a su hermano antes de introducirse en la cápsula espacial Eagle 2. Fue el primer acontecimiento que realmente casi todos y cada uno de los habitantes de la Tierra siguieron por televisión. La audiencia fue mayor que la de la Copa del Mundo de fútbol o el primer alunizaje, 60 años antes. En todo el planeta, en cada ciudad y cada pueblo, cesó el trabajo y la vida pública quedó paralizada. En muchos lugares se habían instalado grandes pantallas y los bares y restaurantes estaban llenos de personas mirando el televisor para contemplar en directo la partida de la embajadora de la humanidad.

La nave espacial desapareció como una bola de fuego en la tupida capa de nubes que cubría el cielo encima de la estación espacial de Baikonur. A partir de entonces se hizo bastante pronto el silencio en torno a la misión, a Alice y a los extraterrestres.

Los mensajes en vídeo que enviaba la astronauta cada semana fueron perdiendo audiencia. El caso es que había pocas cosa que contar. En la nave espacial transcurrieron tres años, en la Tierra cinco, pero dado que la nave estaba cada vez más lejos de la Tierra, el tiempo se dilató todavía más. En la Tierra la gente volvió a centrarse más en los problemas terrestres, como por ejemplo, el combate contra el cada vez más agudo calentamiento planetario mediante la formación artificial de nubes. Al cabo de nueve años llegó entonces la noticia: «El águila ha llegado». También se recibieron las primeras fotografías de Pandora, como había sido bautizado el planeta en alusión a la película Avatar.

Bob sintió escalofríos al ver las primeras imágenes. Estas habían estado viajando durante cuatro años.

Era posible que su hermana ya estuviera muerta desde hacía tiempo, asesinada por extraterrestres furiosos que no querían tolerar la presencia de invasores en su mundo. ¿O acaso ya había emprendido el viaje de vuelta, tal como estaba previsto, mientras él miraba todavía las fotografías que había tomado ella durante su estancia?

Alice tenía órdenes estrictas de comportarse en Pandora tan pacíficamente como fuera posible. Llevaba consigo toda clase de obsequios de cortesía, grabaciones de las más grandes obras musicales de su planeta de origen, por si los «otros» disponían del sentido del oído. Pero todo eso se lo podría haber dejado en casa, igual que las películas y libros, pues no encontró a nadie a quien pudiera entregar en mano (o en alguna extremidad parecida) esos testimonios de nuestra cultura.

La embajadora había elegido para que se posara la nave una zona rocosa del hemisferio norte del planeta seco, de donde se emitían muchas de las extrañas señales que se habían captado en la Tierra. Pero no descubrió nada que se pareciera a una ciudad. Halló una red de vías que recordaban a carreteras, por las que circulaban una especie de máquinas que por lo visto se movían autónomamente, es decir, robots con ruedas. Cuando por razones de prudencia envió primero su propio vehículo autónomo a explorar el terreno, este a duras penas logró evitar la colisión con uno de los robots: los «indígenas» no le prestaban atención. Lo mismo le ocurrió también a ella cuando emprendió sus primeras expediciones por Pandora.

Observó que los robots transportaban piedras en un lugar a otro. De vez en cuando desaparecían tras grandes portales que conducían al subsuelo. Durante todo el año intentó Alice echar un vistazo al mundo subterráneo, pero no lo logró. Cada vez que se acercaba con su vehículo a uno de los portales, este se cerraba. Cuando en una ocasión se acercó a pie, con su traje espacial, a un portal, casi la arrolla un robot.

Estas fueron a lo largo de todo un año las únicas ocasiones en que su presencia en el planeta provocó alguna reacción por parte de los «indígenas». Todos los mensajes que emitió por radio quedaron sin respuesta. Por lo visto, las señales de Pandora, que ya conocían en la Tierra, eran informaciones que intercambiaban los robots entre sí. Por lo demás se limitaban a ir y venir sin cesar de un lado para otro, sin que Alice (ni cuatro años después, los científicos) lograran detectar en ello algún propósito concreto.

¿Qué mundo era ese en que ahora se hallaba? Estaba claro que las máquinas eran obra de seres inteligentes, pero ¿dónde estaban quienes las construyeron? ¿Moraban allí en el subsuelo de este inhóspito planeta? ¿No era esto más que una colonia de robots dedicada a extraer productos minerales? ¿O acaso los «otros» habían abandonado hacía tiempo ese mundo y sus criaturas metálicas seguían operando como si nada, se alimentaban de energía solar y se reparaban mutuamente, sin ningún propósito? A medida que avanzaba el año que dedicó a investigar, tanto más tendía Alice a dar por buena esta última hipótesis.

Se pasó las últimas semanas recogiendo muestras. No había gran cosa que valiera la pena llevar de vuelta: unas muestras de rocas de un planeta en gran parte ralo y algunos componentes de máquinas de metal y de un plástico desconocido por ella, que por lo visto habían perdido los robots. Después, tal como estaba programado, partió de nuevo con su nave espacial rumbo a la Tierra.

Este viaje de vuelta ha durado de nuevo, para ella, tres años, pero entre la recepción de las últimas fotografías de Pandora y el aterrizaje de Alice en la Tierra solo ha transcurrido un año. La reciben con alegría varias decenas de miles de personas y todo el mundo está contento de que su embajadora haya vuelto sana y salva. Ella tiene ahora 34 años de edad y su hermano gemelo 38, y las revistas del corazón discuten si debido a la fatigas del viaje no aparenta realmente haber envejecido once años como todos sus congéneres. Pese a todo, se respira un ambiente más bien deprimido: resulta que la humanidad se ha decidido a entablar contacto con una civilización ajena en el universo y al final hay más preguntas que respuestas; los «otros» no han dicho esta boca es mía. El análisis de las muestras minerales y de los extraños artefactos tampoco resolverá el enigma.

Bob está muy contento de poder abrazar de nuevo a su hermana. La envidia fraterna que había sentido cuando ella ganó el concurso para la selección del representante de la humanidad se ha disipado desde hace tiempo. Cuando ambos descienden por la pasarela que conduce de la nave espacial al centro de control, y que ahora se parece más a un plató, Bob susurra al oído de su hermana:

—Podrías haber enviado mensajes más a menudo. Dijiste que me felicitarías cada año por tu cumpleaños.

—Pero Bob, sabes muy bien que yo solo he cumplido años siete veces, mientras que tú, once —responde su hermana gemela.

—Sí, pero de esos siete, en los primeros diez años solo llegaron cuatro. Entonces te diste cuenta y enviaste los que faltaban en intervalos más breves —afirma Bob y pone cara de sentirse realmente contrariado.

—¡Bob! ¿Ya has olvidado todo aquello de Einstein y la relatividad que nos enseñaron? —replica su hermana, ahora más joven, riéndose—. Todo esto tiene su explicación. Luego te lo demuestro con todos los detalles, que ahora toca celebrar.

CABALGAR SOBRE UN RAYO DE LUZ En esta historia encontramos algunas indicaciones relativas al espacio y al tiempo que están en contradicción con nuestra experiencia cotidiana. Esto se debe a que cuando algo se acelera a una velocidad cercana a la de la luz ocurren cosas extrañas: el espacio se acorta, el tiempo se dilata y ya no se puede hablar de acontecimientos simultáneos. Conocemos estos fenómenos gracias a la teoría especial de la relatividad, publicada por Albert Einstein en 1905, y aunque algunas de las tesis que formuló el genial empleado de oficina de patentes en un trabajo más bien breve suenen a pura fantasía, se han verificado perfectamente mediante experimentos y pueden considerarse ciencia demostrada.

Pero antes de sumergirnos en ese extraño mundo, permanezcamos por un momento en el que conocemos y que se rige por las leyes convencionales de la física. Es decir, en un mundo en que las cosas se mueven con relativa lentitud, y en el que los 63.000 km/h de la sonda Pioneer todavía entran dentro de lo que se considera normal.

Partamos de la observación de que desde el punto de vista de la física no es posible distinguir un movimiento constante (sin aceleraciones) del estado estático. Esto se constata a veces en una estación, cuando uno está sentado en un tren y en la vía de al lado hay otro tren parado. Cuando empiezan a moverse ambos trenes entre sí, a menudo uno se siente confuso y no sabe si es el propio tren el que se ha puesto en marcha o el otro. Un sistema físico que se halla en una situación de este tipo, es decir, que no está influido por fuerzas externas ni experimenta ninguna aceleración, se denomina en física sistema inercial, y la teoría especial de la relatividad describe la conversión matemática recíproca de las coordinadas de dos de estos sistemas inerciales.

Todas las reflexiones se desarrollan en el ámbito del «espacio-tiempo», que es una creación matemática formada por las tres dimensiones conocidas del espacio y además el tiempo. Puesto que nos cuesta imaginar cuatro dimensiones y en la página plana de un libro ya resulta difícil representar las tres dimensiones, prescindiremos en primer lugar de dos dimensiones espaciales. Ahora el espacio no está formado más que por una línea en que uno puede desplazarse hacia uno u otro lado. Esto nos bastará para estudiar la aventura espacial de Alice, que vuela en dirección al planeta Pandora y luego vuelve. A esta dimensión espacial le añadimos el tiempo como segunda dimensión y entonces podemos representar todo lo que ocurre en este mundo en un diagrama espaciotemporal: en la abscisa o coordenada horizontal tenemos nuestro espacio y en la ordenada registramos el tiempo. Esta es la situación cuando una nave espacial abandona la Tierra:

Al comienzo, digamos que en el tiempo 0, tanto la Tierra como la nave espacial se hallan juntas en el origen y acto seguido la nave sale volando a una velocidad constante v. Dejaremos de lado el hecho de que el cohete ha de acelerarse primero hasta que la nave alcance esa velocidad de crucero.

Al cabo de un tiempo t, la Tierra sigue estando en el mismo sitio en que se hallaba antes, en el punto 0, mientras que la nave se ha desplazado y ha alcanzado el punto x.

Esta es la idea que tiene un habitante de la Tierra: nosotros permanecemos fijos y el cohete se desplaza. La astronauta a bordo de la nave espacial, sin embargo, ve las cosas de distinto modo: puede considerar que su nave permanece fija y que la que se aleja es la Tierra.

¿Cómo se transponen acontecimientos de un sistema de coordenadas (planeta estático) a otro (nave espacial estática)? Si consideramos que nuestro sistema solar se halla en el origen, con ayuda de la velocidad v conocida podemos calcular qué distancia ha recorrido la nave espacial: velocidad es distancia dividida por tiempo, de modo que

x = v · t

La Tierra se aleja de la nave espacial a la velocidad exactamente inversa, por lo que su desplazamiento será el siguiente:

x’ = – v · t’

¿Qué significa t’ en esta ecuación? Es el tiempo que mide el reloj a bordo de la nave espacial y que en este mundo «ingenuo» convencional es un tiempo absoluto, es decir, exactamente el mismo que en la Tierra. Así que podemos partir del supuesto de que t = t’.

Es importante constatar que en el tramo diagonal no transcurre más tiempo que en el vertical, ya que en un diagrama espaciotemporal un trayecto más largo no equivale a un tiempo mayor.

Todavía parece esto bastante razonable, y en todo caso se puede dudar de si tiene sentido considerar la nave, por decirlo así, como centro del universo y hacer que todos los cuerpos celestes bailen alrededor de ella. Esto nos recuerda a la concepción ptolemaica del mundo, en la que la Tierra se hallaba en el centro y los demás planetas describían órbitas en parte muy complejas alrededor de ella. Desde el punto de vista físico todo esto está en orden, pero una visión en la que el Sol ocupa el centro (con respecto a todos los acontecimientos de nuestra vecindad cósmica) facilita enormemente el cálculo.

Albert Einstein llevó a cabo entonces uno de sus famosos experimentos mentales: ¿qué ocurriría si cabalgáramos sobre un rayo de luz? O dicho de otro modo: supongamos que una nave espacial se aleja de la Tierra a la velocidad de la luz y enciende una lámpara que alumbra en todas direcciones. ¿Adónde llega la luz de la lámpara y cuándo? Desde un objeto estático, la luz se difunde en todas direcciones y alcanza en un momento dado (si no se interpone nada en su camino) cualquier punto del universo. Pero «estático» y «en movimiento constante» es en principio lo mismo, y desde el punto de vista de la nave el efecto sería el siguiente:

La luz se propaga en el espacio a la velocidad de la luz (un año en la coordenada de tiempo equivale en este gráfico a un año luz en la coordenada de espacio) y poco a poco llena la totalidad del espacio. Sin embargo, al mismo tiempo la Tierra se aleja de la nave a la velocidad de la luz, por lo que la luz no puede penetrar nunca más allá de la Tierra. Existe una especie de «pared luminosa estática» en el punto de partida de la nave.

Esto suena muy extraño. Es más: no se observa en la naturaleza ni siquiera con objetos muy veloces. Como sucedáneo podríamos contentarnos con la explicación de que existe efectivamente un lugar absoluto, un «éter», que llena el espacio y por el que se orienta la luz. Pero entonces la nave escaparía de su propia luz e iría empujando delante de ella, como un avión supersónico, un «rayo superlumínico», lo cual tampoco suena plausible.

Hacia finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX, los físicos estuvieron reflexionando mucho sobre este problema, y Einstein lo resolvió de un plumazo cuando declaró que el tiempo es relativo. Si abandonamos la idea de un tiempo absoluto que transcurre con la misma rapidez en todas partes, entonces se disipan todas las contradicciones.

Desde el punto de vista terrestre, el viaje se presenta de momento de manera idéntica a la de la visión «ingenua»: la nave se aleja a una velocidad equivalente a 0,8 veces la de la luz. Recorre en cinco años un trayecto de cuatro años luz. (Esto no significa que si se pudiera seguir su trayectoria con un telescopio la veríamos posarse en el punto de destino al cabo de cinco años, ya que cualquier noticia de su llegada tardaría en arribar a la Tierra, debido al recorrido de las señales, nada menos que nueve años.)

La relatividad entra en escena cuando contemplamos el viaje desde el punto de vista de la tripulante de la nave, pues para ello hemos de aplicar las llamadas ecuaciones de transformación de Lorentz. Estas ecuaciones nos permiten sustituir la transformación «ingenua» de dos sistemas inerciales, expresada más arriba con fórmulas. La transformación de Lorentz describe la conversión de coordenadas de lugar y tiempo del modo siguiente:

x’ = γ · (x – v · t) t’ = γ · (t – v/c² · x)

La letra griega gamma (γ) designa el llamado «término relativista»:

donde c es la velocidad de la luz (que según Einstein es una constante). ¿Qué magnitud es esa tan extraña? Si la velocidad relativa v de ambos sistemas de referencia es mucho menor que la velocidad de la luz, entonces v²/c² tiene un valor muy reducido y la raíz equivale prácticamente a 1, lo mismo que γ. Cuanto más se aproxime v a c, tanto más se acercará el valor de v²/c² a 1, con lo que la raíz resulta cada vez menor y por tanto γ cada vez mayor. En nuestro caso tendremos que

¿Qué indica entonces el reloj de Alice? ¿Cuánto tiempo transcurre mientras navega hacia Pandora? Dejaremos de lado en este cálculo el tiempo que transcurre hasta que la nave alcanza la velocidad de crucero y el de la fase de desaceleración, considerando tan solo el movimiento constante entre ambos planetas. En este caso, Alice se halla en un sistema inercial y por tanto podemos calcular, a partir de la ecuación anterior, cuánto tiempo t’ transcurre en su reloj.

Nos centramos en el momento de la llegada de la nave a Pandora y queremos saber en qué coordenadas de lugar y tiempo se halla la viajera en ese instante. En el antiguo sistema de coordenadas, por tanto, x = 0 y t = 5. En el sistema terrestre tenemos entonces que x = 4 años luz y t = 5. En la nave que viaja, las coordenadas son:

x’ = γ · (4 – 4) = 0

El lugar es 0, sin duda, porque la nave es el origen del sistema de coordenadas. Pero el tiempo es de 3 años y no 4.

¡Para Alice solo han transcurrido tres años! Esta es la llamada dilatación del tiempo de la teoría de Einstein, que implica que el tiempo transcurre con distinta rapidez en uno y otro sistema. He aquí de nuevo el gráfico visto desde el sistema Tierra y con las marcas de los años:

Llegados a este punto, a más de uno le saldrá humo de la cabeza y otros protestarán: alto ahí, los dos sistemas son equiparables, pues si Alice se aleja de la Tierra con el 80 % de la velocidad de la luz, la Tierra también se aleja de Alice a esa misma velocidad. ¿No se puede argumentar entonces que en la Tierra el tiempo transcurre más lentamente que en la nave? Este argumento es la razón por la que la historia de Alice y Bob suele denominarse «la paradoja de los hermanos gemelos». ¿Cómo es posible que para Alice pase menos tiempo que para Bob y para Bob pase menos tiempo que para Alice? Y ¿cuál de los dos ha envejecido menos cuando se abrazan de nuevo?

El error de planteamiento de esta paradoja aparente reside en el supuesto ingenuo de que está claro cuándo podemos calificar de «simultáneos», en el mundo de la relatividad, dos acontecimientos en distintos sistemas inerciales. ¡Pero no es así!

Desde el punto de vista de Bob, la nave de Alice se posa en Pandora al cabo de exactamente 5 años. Ambos instantes son para él «simultáneos». Pero también Alice puede preguntarse en cualquier momento qué estará haciendo su hermano Bob «en este preciso instante», en particular cuando llega a Pandora al cabo de 3 años. Y puede calcular que hasta entonces para Bob solo han transcurrido, debido a la dilatación del tiempo, 3/γ años, es decir, ¡1,8 años! Este es en su sistema el instante «simultáneo» con su llegada.

¿Qué significa esto cuando contemplamos la totalidad del viaje? ¿Qué implica para Alice? Esta cambia varias veces de sistema inercial a lo largo de su viaje. Primero se aleja de la Tierra, y en este sistema transcurren en la Tierra tan solo 1,8 años, mientras ella navega durante 3 años. Pero entonces vuelve al sistema «estático», es decir, durante el año de estancia en Pandora permanece en el mismo sistema inercial que la Tierra. Para ello tiene que frenar en seco y sus coordenadas se ven fuertemente sacudidas. En este proceso transcurren aparentemente en la Tierra 3,2 años y entonces podemos hablar realmente de simultaneidad mientras en la Tierra transcurre el sexto año. Acto seguido, Alice emprende el viaje de retorno, tiene que acelerar fuertemente para alcanzar de nuevo la velocidad de 0,8c, y durante este acelerón el tiempo en la Tierra también da un salto de gigante. Durante los tres años de viaje de vuelta de la nave, dentro de su sistema de referencia tan solo transcurren de nuevo, en la Tierra, 1,8 años. Por tanto, así es como se presenta la cuestión para Alice:

Por cierto que el salto de tiempo viene acompañado también de un salto de distancia: durante el viaje de ida, la Tierra se aleja de la nave, aparentemente, tan solo 2,4 años luz, es decir, la distancia que recorre durante 3 años a 0,8c. Después de frenar se halla de pronto a una distancia de 4 años luz. Y en el viaje de vuelta ocurre lo mismo a la inversa.

No olvidemos que a diferencia de Bob, Alice no se halla todo el tiempo dentro de un mismo sistema inercial, y por eso experimenta esos extraños saltos, que en realidad son movimientos causados por la aceleración y deceleración.

Incluso si existiera el motor imaginario de materia-antimateria del CERN, capaz de acelerar la nave con inusitada rapidez a su velocidad punta, si la nave está tripulada habría que tener mucho cuidado. Suponiendo que la aceleración máxima que puede soportar un ser humano sin grave perjuicio para su salud es diez veces la aceleración terrestre, entonces cada maniobra de aceleración y desaceleración tardaría más o menos un mes.

Por último, veamos cuándo llegaron las felicitaciones de cumpleaños que han intercambiado Alice y Bob durante todo este tiempo:

Así que mientras Alice recibe durante los tres años que dura su viaje de retorno nueve felicitaciones en intervalos regulares, Bob solamente recibe, durante toda la ausencia de Alice, seis felicitaciones, tres de ellas en el último año. Claro que no tiene motivos para estar enfadado, pues Alice siempre ha enviado sus felicitaciones con regularidad, y si estas han llegado tan a deshora, se debe tan solo a las extrañas peculiaridades de la teoría de la relatividad.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: una nave espacial vuela a alta velocidad del planeta A al planeta B y emite cada 6 minutos una breve señal radioeléctrica. En el planeta B, estas señales se reciben con un retraso de 3 minutos. ¿Con qué demora se captan en el planeta A?

9    EL GUATEQUE

O BOBADAS CON LAS PAJAS LARGAS

Los vecinos de un bloque de la Vía Augusta de Tarragona cultivan una bonita tradición: una vez al año celebran todos los inquilinos juntos una fiesta. El moderno edificio de los años noventa está habitado principalmente por profesionales de la medicina, la abogacía y los medios de comunicación, y en este mundillo se tiene interés por conocer a los vecinos. La condición social de estas familias no la simbolizan tanto los automóviles híbridos estacionados junto al bordillo como las sillitas Bugaboo aparcadas al pie de la escalera.

Los Galvany, de la planta baja, han ofrecido su jardín y los críos de los vecinos se han pasado toda la tarde alborotando, compitiendo y engullendo grandes cantidades de bocadillos y dulces. Pero después, ya cerca de las nueve, los adultos han puesto fin a la algarabía y han enviado a los menores a casa a dormir, a costa de no pocos llantos y protestas. A los más pequeños los ha acompañado el padre o la madre para acostarles y cantarles una nana. En cambio, los hermanos gemelos Alba y Albert se tienen que ir solos, pues sus padres consideran que con diez años ya tienen edad para eso. Como van juntos, no les entrará el miedo.

Aunque ambos se han cepillado los dientes y se han puesto el pijama, no piensan irse a dormir. No solo porque de la fiesta en el jardín sube bastante ruido —los mayores han puesto música y algunos están bailando—, sino también porque están demasiado excitados. Después de llevar un rato leyendo en la cama, Alba pregunta a su hermano:

—¿Apagamos la luz?

—¿Tienes sueño? —pregunta a su vez Albert. Acaban de dar las 11 de la noche.

—Más bien no. Pero sabes, apagaremos la luz de todos modos y entonces podemos mirar desde el balcón sin que los mayores nos vean.

Los niños se levantan, apagan todas las luces y se deslizan con sigilo por el salón hasta el balcón. El piso de la familia está en la tercera planta, desde donde los pequeños pueden contemplar muy bien la fiesta sin temer que les vean en la oscuridad.

Después de observar el trajín durante un rato, les invade de nuevo el aburrimiento. Al fin y al cabo, no tiene nada de emocionante ver a los mayores bebiendo, charlando y bailando.

—Hey, tengo una idea —susurra Albert al oído de su hermana. Su sonrisa pícara delata que se le ha vuelto a ocurrir algo estrafalario.

—¿Qué es? —pregunta Alba—. Pero que sepas que si es muy peligroso yo no quiero saber nada.

—De peligroso, nada. No se trata de trepar por la barandilla del balcón o cosas así —la tranquiliza Albert—. ¿Ves allá, justo debajo de nosotros, esas dos fuentes con ponche, uno rojo y otro amarillo?

—El rojo es sangría, y contiene alcohol —contesta Alba—, y el amarillo es limonada.

—Da lo mismo. ¿Crees que podríamos beber algo de esas fuentes con unas pajas largas sin que los mayores se dieran cuenta?

—Pero ¿qué clase de pajas? —pregunta Alba estupefacta.

—No se trata de una paja como las demás, pero ya sabes que papá guarda en su despacho un par de rollos de estos tubitos de plástico transparentes, seguro que funciona —explica Albert.

El padre de los gemelos es autónomo y comercia con productos sanitarios, y a veces guarda aparatos y accesorios en su despacho, situado en la propia vivienda. Desde hace una semana están allí los tubos de PVC de los que habla Albert.

—Son rollos de 12 metros de tubo cada uno, lo he visto —añade Albert—, y si después los lavamos y volvemos a enrollar, seguro que papá ni se da cuenta.

—Son suficientemente largos, eso sí —comenta Alba—. Aquí cada planta mide como tres metros y medio, y si añadimos los dos techos que hay entre ellas… pero ¿crees que lo conseguiremos sin que nadie lo note?

—En la oscuridad nadie podrá ver los tubos hasta el último segundo —contesta Albert—. Será cuestión de elegir el momento adecuado.

Sin esperar la respuesta, el chico va a buscar los dos rollos de tubo transparente del despacho de su padre.

—Apostaremos a ver quién lo consigue antes. ¿Quién irá a por la bebida roja y quién por la amarilla? —pregunta Albert, y por el brillo de sus ojos Alba sabe muy bien que le gustaría probar el alcohol prohibido.

—Lo echaremos a suertes —propone la hermana; después de jugar tres veces a piedra, papel o tijera, es a ella a quien le toca elegir—. Me quedo con la roja —susurra con expresión triunfal.

—No sabía que te gustara tanto el alcohol —dice el hermano con asombro, pues Alba siempre ha estado en contra de probar ni siquiera un trago de vino.

—Siempre hay una primera vez —responde Alba con una sonrisa que Albert no sabe cómo interpretar.

Los niños siguen observando un rato el trajín de la fiesta. Está visto que los mayores ya han bebido bastante del líquido rojo, pues las conversaciones suben de volumen y en la pista, donde normalmente están los muebles de rattan, unos cuantos vecinos se desmelenan bailando para asombro de los críos.

Acto seguido, el señor Roca, que está haciendo de pinchadiscos, pone I will survive, de Gloria Gaynor, y todos se levantan de sus asientos para ir a la pista. Junto a la mesa de la comida y las bebidas no queda nadie.

—¡Ahora o nunca! —susurra Albert. Rápidamente los niños desenrollan los tubos de plástico. Desde arriba no es nada fácil acertar con el extremo inferior en la fuente de la bebida, pero al poco rato lo consiguen.

—¡Vale! —dice Alba, y ambos se meten el otro extremo del tubo en la boca y empiezan a sorber. Sorben. Y sorben. Es asombroso cuánto aire hay en un tubo de estos, que solo tiene unos milímetros de diámetro. Al principio ni siquiera pueden ver si consiguen que suba el líquido por los tubos, pero después ven que el nivel ya está en la segunda planta. ¡Funciona!

Albert mira con los ojos muy abiertos a su hermana. Esto significa: «¡Quedan tres metros!» Los niños tienen la cara enrojecida y empiezan a sentir dolor en las mejillas. El líquido rojo y el líquido amarillo suben cada vez más lentamente. Diez centímetros antes de llegar al borde de la barandilla del balcón, Albert ya no puede más. Por mucho que se esfuerce, el nivel del líquido deja de moverse. Llega un momento en que el chico no aguanta más y aparta la boca del tubo para meterse aire en los pulmones.

Alba, en cambio, no se rinde. Mira a su hermano y este cree notar en su mirada un aire de victoria. Entonces el líquido rojo llega efectivamente hasta la boca de Alba y esta escupe de inmediato la sangría.

—¡Ej, qué asco! —dice—, ¡qué mal sabe!

Pero no cabe duda de que ha ganado la apuesta. ¿Habrán notado algo allí abajo? Los niños asoman con cuidado la cabeza, pero todo no ha durado más que tres minutos y todos los mayores siguen en la pista de baile. Alba y Albert enrollan de nuevo los tubos con sigilo. Por lo visto nadie ha notado nada.

Albert está derrotado. Estaba convencido de que ganaría a su hermana y, mira por dónde, no lo ha logrado. Alba le rodea los hombros con el brazo.

—No te lo tomes así. Si has perdido no es por culpa tuya.

—¿Qué quieres decir?

—Yo seguramente tampoco habría podido con la limonada y por eso he elegido la sangría, aunque el alcohol lo encuentro de veras asqueroso —explica Alba. Albert se queda boquiabierto.

—¿Significa que la sangría es más fácil de sorber? —pregunta incrédulo.

—Exactamente —contesta Alba—. Si el otro día hubieras estado más atento en clase de física, lo habrías sabido. Pero te lo explicaré mañana; ahora hemos de recoger, que mamá y papá no tardarán en subir.

Los gemelos consiguen efectivamente borrar todas las huellas de su experimento y devolver los rollos de tubo a su sitio. Después se acuestan y todavía están despiertos cuando sus padres entran en la vivienda un poco achispados.

—Estaba fuertecita la sangría —oyen decir a la madre y después se duermen.

¿TIRAR O EMPUJAR? Que no es posible sorber un líquido hasta cualquier altura es un hecho que nuestro sentido común se empeña en negar. Puesto que «tiramos» del líquido, ¿por qué iba a haber un límite, con tal de que apliquemos fuerza suficiente? La respuesta, por supuesto, es que no estiramos nosotros, sino que el aire que nos rodea empuja, y su fuerza es limitada.

Vivimos inmersos en un océano de aire. Ese aire tiene masa y esa masa genera presión por efecto de la gravitación terrestre. Sin embargo, los humanos se habían formado durante milenios una idea muy distinta. Nuestra experiencia cotidiana nos dice que el aire no pesa, que no cae al suelo, y por eso no notamos su masa. ¿Cómo se explicaban entonces los científicos del pasado que los líquidos ascendieran por una paja y que se pudiera sacar agua de un pozo con ayuda de una bomba de aspiración?

Durante más de dos mil años se dio por válida la explicación del filósofo griego Aristóteles, cuyas enseñanzas frenaron el progreso científico en esta y otras cuestiones. A Aristóteles le resultaba totalmente ajena la idea de que se pudiera adquirir conocimientos por medio de la experimentación y solía elaborar sus conclusiones sobre las cosas del mundo por la vía del puro razonamiento, cometiendo en muchos casos verdaderos errores garrafales (dicen que todavía hoy existen filósofos que siguen este método). Por ejemplo, manifestó lisa y llanamente que los hombres tienen más dientes que las mujeres; ni al gran filósofo ni a sus seguidores se les ocurrió jamás la simple idea de contarlos. La aspiración natural de todo cuerpo en movimiento es el reposo, afirmó Aristóteles, y esta creencia prevaleció durante siglos hasta que se descubrió que una masa en movimiento conserva el movimiento uniforme a menos que intervenga una fuerza que lo frene.

La posibilidad de aspirar líquidos por un tubo ascendente tenía su explicación, según Aristóteles, en el horror vacui, la aversión de la naturaleza al vacío, que no debe existir. Cuando se extrae el aire de una paja, en el interior de esta empieza a formarse un vacío, y la naturaleza lo impide haciendo que suba el líquido. Según este principio, debería ser posible sorber agua hasta cualquier altura.

A comienzos de la Edad Moderna, sin embargo, se observó que en la práctica esto no funciona. En la minería de carbón, por ejemplo, a menudo había que extraer agua infiltrada y no había bomba que lo consiguiera más allá de cierta altura. Esto se atribuía entonces a deficiencias del diseño de los mecanismos, como por ejemplo que a partir de cierto vacío la bomba dejaba de ser estanca, pero ya empezaron a manifestarse las primeras dudas con respecto a la teoría del «horror al vacío».

Por ejemplo, por parte de Galileo Galilei. Aunque este defendía por un lado la doctrina, por otro constató que no era posible aspirar una columna de agua a más de diez metros de altura. ¿Acaso a la naturaleza le repelía el vacío tan solo hasta cierto punto? Galilei no resolvió esta contradicción; tal vez no quiso exasperar todavía más a las autoridades eclesiásticas, que ya estaban bastante resentidas con sus observaciones astronómicas a través del telescopio.

Fue su alumno Evangelista Torricelli quien finalmente rompió con la bobada del horror vacui y afirmó que una columna de líquido no es estirada hacia arriba por la amenaza de que se forme un vacío, sino que es empujada hacia lo alto por el peso del aire. Para ello propuso en 1643 un experimento con mercurio, un metal que pesa mucho más que el agua (un centímetro cúbico pesa casi 14 gramos). Si se llena de mercurio un recipiente tubular de vidrio de aproximadamente 1 metro de largo y se coloca boca abajo en una fuente que también contiene mercurio, la presión del aire circundante solo es capaz de mantener una columna de mercurio de 76 centímetros. El metal líquido sale del tubo hasta que el nivel se sitúa en esta altura, y encima se forma efectivamente un vacío.

Los planteamientos revolucionarios de Torricelli fueron combatidos ferozmente, y cuentan que René Descartes dijo que si había algún vacío en algún lugar, este se hallaba en la cabeza de Torricelli. Pero después terció el prominente científico Blaise Pascal y se puso del lado del italiano.

Mientras tanto se había llevado a cabo el experimento propuesto por Torricelli, pero numerosos eruditos pusieron en duda de que encima de la columna de mercurio se formara realmente un vacío. Muchos opinaban que el espacio se había llenado de ciertos vapores. Pascal realizó entonces, delante de 500 espectadores, un experimento con dos tubos de vidrio de 12 metros de altura; uno de ellos lo llenó de agua y el otro, de vino. Puesto que el vino se evapora antes que el agua, los defensores de la teoría del vapor pensaban que la columna de vino se estabilizaría en un nivel más bajo que la de agua. Pero sucedió justo lo contrario, como también en el caso de los hermanos gemelos de nuestra historia.

El experimento de Pascal titulado «vide dans le vide» (vacío en el vacío) demostró de una vez por todas que es realmente la presión del aire la que hace que se eleven los líquidos. Pascal introdujo uno de los manómetros de Torricelli —es decir, un tubito lleno de mercurio dentro de una cubeta con mercurio— en un recipiente más grande que contenía también el metal líquido y estaba cerrado por abajo con una membrana. Este conjunto lo sumergió luego en un cubo grande de mercurio (figura 1). Hoy en día, vista la toxicidad del mercurio, no se experimentaría sin más con estas cantidades.

Mientras aguante la membrana no ocurre gran cosa (figura 2). Sin embargo, si se retira o se rasga la membrana, entonces desciende el nivel de mercurio en el recipiente grande y se forma un vacío en su interior (figura 3). Esto se ve también por el hecho de que desciende el nivel de mercurio en el manómetro pequeño. Si se sopla ahora aire en el recipiente grande con ayuda de un tubo en forma de U, se compensa la diferencia de presión (figura 4) y el nivel en el manómetro vuelve a subir. El experimento demuestra que este nivel de mercurio depende exclusivamente de la presión del aire circundante y no de unos supuestos temores de la naturaleza ante el vacío.

¿Cuánto pesa el aire encima de nosotros? En condiciones normales, en la superficie del suelo el aire tiene una densidad de alrededor de 1,3 kilogramos por metro cúbico. Si examinamos una columna de aire de 1 metro sobre una superficie de 1 centímetro cuadrado, su masa es de alrededor de un décimo de gramo. Esto no parece mucho, pero la atmósfera tiene varios kilómetros de altura, aunque con la altura pierde densidad. La presión atmosférica en el suelo es de unos 1,013 barios, lo que significa que cada centímetro cuadrado soporta una carga de unos 10 Newton (N), lo que equivale a una masa de 1 kilogramo. Dicho de otro modo: sobre un metro cuadrado descansan ¡10 toneladas de aire! Si esta enorme presión no nos aplasta se debe al hecho de que en el interior de nuestro cuerpo reina la misma presión y por tanto se genera una fuerza compensatoria.

Ahora tenemos todos los elementos para calcular hasta qué altura puede sorber Albert su limonada (supondremos que la limonada tiene la misma densidad que el agua). En el exterior, la presión atmosférica pl es de 10,13 N/cm². Dentro de la paja, la presión ps, que presiona desde arriba sobre la columna de líquido, es más baja. Puesto que un centímetro cúbico de agua pesa un gramo y por tanto tiene una gravedad de 0,0098 Newton, la presión pw de la columna de agua es igual a h · 0,0098 N/ cm², siendo h la altura en centímetros.

pw + ps = pl

h · 0,0098 + ps = 10,13

En esta ecuación se ve que cuanto menor es la presión interior ps que crea Albert al sorber de la paja, tanto más aumenta h y sube el nivel del líquido. Pero incluso si el chico extrae hasta la última gota de aire de la paja y genera un vacío perfecto, es decir, una presión interior igual a cero, la columna no subirá nunca de un determinado nivel, que será:

1.034 centímetros son exactamente 10,34 metros: justo la altura de la barandilla del balcón.

¿Qué ocurre con la sangría? El alcohol es más ligero que el agua, pues tiene una densidad de 0,79 gramos por centímetro cúbico. Supongamos que la sangría tiene una graduación alcohólica del 10 %; en este caso, 1 centímetro cúbico pesa exactamente 0,98 gramos, es decir, un 2 % menos que el agua. Esto significa que la columna de sangría puede elevarse a mayor altura, concretamente un 2 % más, es decir, hasta 10,54 metros o 20 centímetros más que la limonada.

Vemos, por tanto, que he elegido las circunstancias de la historia específicamente para darle a Alba la ventaja decisiva. A esto hay que añadir que en la práctica tampoco es posible alcanzar semejantes alturas, pues generar un vacío perfecto sorbiendo de una paja no solo es imposible para los niños. Si la presión desciende por debajo de un determinado nivel (en el caso del agua es de unos 0,02 barios), el líquido se evapora; entonces la bomba no aspira más que gas y el nivel de líquido no sigue ascendiendo.

Las fuerzas que ejerce el peso del océano de aire sobre nosotros son bastante impresionantes, tanto más si nos sumergimos en agua. Más de un buceador aficionado quisiera que su snorkel fuera un poco más largo para poder acercarse un poco más al fondo marino y seguir respirando. Imaginemos que hubiera snorkels de 1 metro de longitud. Cuando un buceador se sumerge 1 metro por debajo de la superficie, la presión del medio que le rodea suma la presión atmosférica más una columna de agua de 1 metro, que pesa 100 gramos por centímetro cuadrado o 1 Newton. Los pulmones del buceador, en cambio, se comunican a través del snorkel con la atmósfera y está por tanto tan solo bajo presión atmosférica. Esta diferencia puede parecer pequeña, pero si tenemos en cuenta toda la superficie del tórax, puede ser significativa. Supongamos que esta superficie es de 30 por 30 centímetros; entonces, el tórax ha de soportar una sobrepresión de 90 Newton, y esto es como si se sentara sobre nuestro pecho un hombre de 90 kilos de peso. Respirar en estas condiciones sería poco menos que imposible. A dos metros de profundidad, la presión podría ser realmente mortal. Por esta razón, para bucear a mayores profundidades se necesitan botellas de aire comprimido que lo introducen con sobrepresión en los pulmones.

Hoy en día ya no tenemos miedo al vacío: envasamos nuestros alimentos en vacío y no nos sorprende que podamos ver a través de un tubo de vidrio vacío que prácticamente no contiene nada; no en vano la luz, a diferencia del sonido, no necesita ningún medio para propagarse. Así resulta casi irónico que los físicos hayan llegado a lo largo del último siglo a la conclusión de que no puede existir un vacío perfecto. Del principio de indeterminación de Heisenberg se desprende que en una zona del espacio en la que no hay partículas ni radiación se generan y desaparecen continuamente y de modo espontáneo partículas elementales. Este ruido de fondo de la materia se denomina energía del punto cero, y existen incluso inventores que buscan la manera de aprovechar esta energía. Esto permitiría construir un verdadero móvil perpetuo (véase el capítulo 6), pero el grueso de los físicos todavía se muestran escépticos al respecto. El caso es que por lo visto la naturaleza siente de verdad horror ante el vacío absoluto.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: si colocamos un posavasos (de esos que sirven con la jarra de cerveza) sobre un vaso lleno de agua, lo apretamos con la mano, damos la vuelta al vaso y retiramos la mano, casi siempre el posavasos se mantiene adherido al vaso y el agua no se sale. ¿A qué se debe? ¿Qué ocurre si el vaso de agua solo está medio lleno?

10    EN EL ECUADOR

O EL TRUCO DEL REMOLINO DE AGUA

La primera de las hasta ahora 650 columnas sobre cuestiones científicas que he escrito en el semanario Die Zeit abordó en 1977 la siguiente cuestión: ¿gira el remolino que se forma en la bañera cuando dejamos salir el agua en un sentido en el hemisferio norte y en sentido contrario en el hemisferio sur? Es una cuestión que sigue intrigando a muchas lectoras y lectores y mi respuesta claramente negativa de entonces no deja de suscitar dudas. Uno de los argumentos que se aducen: he estado de vacaciones en el ecuador y allí un indígena nos ha demostrado que el agua gira en un sentido cuando estamos a unos metros al norte de la línea y en sentido contrario cuando estamos unos metros más al sur. Y cuando estamos exactamente en el ecuador, no gira. En muchos casos, el hábil artista remata su actuación colocando un huevo sobre la punta de un clavo de manera que se mantenga en equilibrio, cosa que según él no es posible en ningún lugar de la Tierra que no sea el ecuador.

Se trata del enigmático efecto de Coriolis, o fuerza de Coriolis, a la que se atribuyen toda clase de fenómenos. Incluso el cómico británico Michael Palin, conocido por la serie de Monty Python, fue víctima de uno de esos trucos. En su serie documental Pole to Pole, sobre un viaje del polo norte al polo sur, conoce en el pueblo keniano de Nanyuki a un individuo llamado Peter McLeary. Este demuestra, en un bar abandonado que se halla supuestamente justo en el ecuador, ante los turistas que se acercan y a cambio de una buena propina, en qué consiste el efecto de Coriolis.

McLeary utiliza para ello una palangana llena de agua sobre la que flotan un par de cerillas. Se aparta unos pasos al norte del ecuador y dice: «Si vacían ustedes un lavabo al norte del ecuador, observarán que el agua siempre gira en el sentido de las agujas del reloj». Y efectivamente, cuando saca el tapón del fondo de su palangana, las cerillas de la superficie del agua empiezan a girar en el sentido de las agujas del reloj. Cosa que es sorprendente, pues, como veremos más adelante, en realidad la fuerza de Coriolis debería hacer que giraran en sentido contrario.

—Este fenómeno se debe a la rotación de la Tierra —explica McLeary—. El efecto se refuerza cuanto más nos alejamos hacia el norte o hacia el sur y se debilita a medida que nos acercamos a la línea.

Acto seguido, McLeary cruza el ecuador, se detiene a diez pasos al sur de la línea y demuestra que ahora el agua gira en sentido contrario al de las agujas del reloj. Finalmente se coloca exactamente en la latitud cero y todos pueden ver que el agua sale de la palangana sin que se forme ningún remolino.

—¡Funciona! —exclama Michael Palin satisfecho, y por desgracia cambia de tema.

He aquí unas instrucciones para quien, viviendo cerca del ecuador, quiera ganarse unas monedas (las he retomado del sitio web Bad Coriolis de Alistair Fraser):

En primer lugar necesitamos, por supuesto, un ecuador. No hace falta que sea el auténtico, pues el experimento también funciona en Santiago de Compostela o en Santiago de Chile. Coloque al público de manera que a su izquierda esté el norte y a su derecha el sur.

Para llevar a cabo la demostración necesitamos una palangana cuadrada llena de agua (funciona mejor que con una redonda), en cuyo fondo se practica un agujero de no más de medio centímetro de diámetro, para que el agua salga lentamente. No hace falta ningún tapón, basta con tapar el agujero con el dedo y retirarlo oportunamente. También necesitamos un par de cerillas, pétalos de flor o pimienta molida, algo que flote para que nos indique el sentido de giro del remolino.

1. Sitúese mirando hacia el sur y explique al público en qué consiste el experimento. Entonces vire en redondo (sin que parezca antinatural y sin verter agua de la palangana) y camine unos pasos hacia el norte y vire de nuevo a la izquierda, de manera que vuelva a estar de cara al público.

2. Los dos virajes a la izquierda han hecho que el agua empiece a rotar ligeramente en sentido contrario al de las agujas del reloj. Aparte el dedo del desagüe y verá cómo los elementos flotantes giran en este sentido.

3. Vuelva lentamente a la línea que representa el ecuador (el agua debe dejar de girar) y sitúese mirando hacia el norte. Procure que todos los movimientos parezcan espontáneos y naturales. Ahora haga lo mismo que antes, pero en sentido contrario: vire a la derecha, dé unos pasos hacia el sur y vuelva a virar a la derecha, mirando de nuevo al público.

4. El agua debe haber recibido impulso suficiente para girar en el sentido de las agujas del reloj.

5. La última parte es la más difícil, pero puede usted explicar al público que conviene darle tiempo al agua para que se calme. Sitúese —evitando los movimientos bruscos— en el centro del local, exactamente encima del supuesto ecuador, y retire el dedo del agujero del fondo. Si el orificio es suficientemente pequeño, tardará un rato hasta que se forme más o menos por casualidad un remolino, pero entonces ya habrá dado usted por concluido el experimento, gozado con los aplausos y pasado la gorra.

LA FUERZA DE CORIOLIS: UNA CUESTIÓN DEL PUNTO DE VISTA La fuerza de Coriolis es objeto de muchas historias y rumores. La mera cuestión de si se trata de una «verdadera» fuerza o tan solo de una fuerza «aparente» puede ocupar horas de discusión entre los físicos, pero aquí no vamos a abordarla porque en la Tierra es una fuerza muy real, ya que aparta los cuerpos de su trayectoria rectilínea.

La fuerza de Coriolis interviene porque la Tierra es un sistema rotativo que en nuestra vida cotidiana, sin embargo, consideramos estático. Desde Einstein nos hemos acostumbrado a considerar todo como algo relativo y a que prácticamente cualquier punto puede considerarse el centro del universo, aunque en realidad esto solo es válido en los sistemas inerciales (véase el capítulo 8). Estos últimos son sistemas sobre los que no actúa fuerza alguna y que se hallan en reposo (como diría un observador situado dentro del sistema) o en movimiento uniforme y rectilíneo (como lo puede ver tal vez un observador desde otro sistema).

El problema que tenemos los terrícolas es que desde nuestro punto de vista la Tierra está quieta, y antiguamente se consideraba efectivamente que era el centro del universo, describiéndose las órbitas de los planetas a base de complicadas fórmulas matemáticas. Sin embargo, nuestro planeta, que rota sobre su propio eje y gira alrededor del Sol no es un sistema inercial. Únicamente se mantiene en su órbita porque actúa sobre él la fuerza de gravedad del Sol, y un cuerpo que se halla en la Tierra también gira una vez al día sobre el eje del planeta porque hay fuerzas que actúan sobre él. En todo caso podríamos considerar que un sistema inercial es el conjunto del sistema solar, si dejamos de lado las fuerzas que dentro de la galaxia actúan a su vez sobre dicho sistema.

Mientras que la transposición de las coordenadas entre dos sistemas inerciales es bastante sencilla, siempre que la velocidad relativa no sea demasiado grande, no es tan fácil poner en consonancia las coordenadas de un sistema rotatorio como la Tierra con las del espacio circundante.

Empecemos con un plano bidimensional y contemplemos un disco que gira. Muestra la imagen de la Tierra que tendría un observador situado sobre el polo norte, pero únicamente como si fuera un dibujo (el disco debe ser lo más plano posible). En el borde, concretamente en la posición de las 12 horas (en el dibujo se trata de un punto en el ecuador de la Tierra) hay un hombre que lanza una pelota en dirección al polo norte. Dejaremos de lado la fricción y la resistencia del aire y supondremos que la pelota vuela (contrariamente a lo que sucede en la realidad) a una velocidad constante. El disco gira en el sentido contrario al de las agujas del reloj y necesita para un cuarto de vuelta el mismo tiempo que requiere la pelota para ir del ecuador al polo norte.

El observador que se halla en el espacio encima del polo contempla un proceso muy simple: la pelota vuela en línea recta del ecuador al polo. Durante el vuelo, el disco sigue girando, y cuando la pelota llega a su destino, la persona que la ha lanzado se encuentra en el punto de las 9 horas. No se puede decir que sea un milagro de la física.

Pero ¿cómo lo ve el lanzador de la pelota que se halla sobre el disco? También él observa cómo la pelota vuela hacia el polo norte y la ve llegar. Sin embargo, para él la pelota no vuela en línea recta, sino que describe una curva constante a la derecha. Por eso el lanzador concluye que en este punto tiene que intervenir una fuerza que desvía la pelota de su trayectoria rectilínea. El observador del espacio negaría rotundamente que hubiera una fuerza que incide en la trayectoria de la pelota: de ahí la expresión «fuerza aparente», aunque en el disco los efectos de dicha fuerza sean muy reales.

¿Qué sucede si el lanzador se halla en el polo norte y lanza la pelota en dirección al punto de las 12 horas en el ecuador? Entonces errará el tiro si antes no se lo piensa bien, pues el disco bajo sus pies no deja de girar y la pelota daría en el punto correspondiente a las 3 horas.

Y ¿qué ocurre sobre el disco si la pelota no se lanza en sentido radial? Imaginemos que el lanzador se halla a mitad de camino entre el polo norte y el ecuador y lanza la pelota hacia la derecha, es decir, en lo que en el mapa sería el este.

Para el observador externo, la pelota sale volando hacia la derecha y se sale del disco. Para el lanzador que se halla encima del disco, describe una larga curva a la derecha antes de abandonar el disco.

El hecho de que en este ejemplo la pelota se salga del disco ya indica que no se trata de un modelo realista de la esfera terráquea. El disco es plano y no incide ninguna fuerza, en particular la gravitación. Aun así, podemos constatar el siguiente principio: sobre un disco que gira en el sentido contrario al de las agujas del reloj, todos los objetos que se desplazan uniformemente se desvían a la derecha, tanto da si lo hacen hacia el centro de rotación como si se alejan del mismo.

¿Cómo se presenta ahora la situación en una esfera que rota como es la Tierra? En primer lugar, entra en escena la tercera dimensión, además de la fuerza de gravedad. Para simplificar podemos partir del supuesto de que las masas que se desplazan sobre la superficie terrestre están «ancladas» a la misma por efecto de la gravedad, que las desvía constantemente de la trayectoria rectilínea a una trayectoria curva. Si por ejemplo una masa que se halla sobre el ecuador se desplaza a lo largo al mismo, no seguiría una trayectoria tangencial, como sería el caso del modelo del disco, sino que describiría una curva conforme a la curvatura de la Tierra. Pero esto es todo: en este caso no interviene la fuerza de Coriolis.

En principio, las masas que se desplazan del ecuador en dirección a los polos o a la inversa pueden contemplarse del mismo modo que en el modelo del disco; al fin y al cabo, las miramos, por decirlo así, desde arriba, es decir, no percibimos la trayectoria curva que sigue la curvatura de la Tierra, y el desvío es el mismo: siempre a la derecha.

La situación más complicada encima del planeta es la de un desplazamiento de este a oeste que no tiene su punto de partida en el ecuador. Hay quien opina que en este caso no incide la fuerza de Coriolis, sino que la masa se desplaza en línea recta, siguiendo la trayectoria de un paralelo, por el hecho de que la rotación del planeta va en la misma dirección que el movimiento de la masa y por tanto no desviaría su trayectoria a la derecha o a la izquierda.

El error de este planteamiento queda claro si por un momento imaginamos que la Tierra dejara de rotar. El polo norte y el polo sur dejarían entonces de ser puntos particulares del globo terráqueo. ¿En qué dirección se desplazaría una masa —digamos que una nube— empujada desde Berlín hacia el oeste? La nube no se mantendría constantemente sobre el mismo paralelo que marca los 52 grados de latitud norte, sino que haría lo mismo que una masa empujada desde el polo en dirección al ecuador o a la inversa: describiría una gran circunferencia alrededor del centro de la Tierra. Esto significa que si bien al principio se desplazaría estrictamente hacia el oeste, después viraría hacia el sur y en un momento dado cruzaría por encima del ecuador.

En un mapa plano, la trayectoria parecería efectivamente estar torcida, pero sobre una esfera es la más rectilínea que cabe imaginar. Por esto los aviones que vuelan de Europa a Estados Unidos suelen tomar la ruta del norte, casi tocando Islandia y Groenlandia. Este sería exactamente el trayecto que recorrería un misil balístico disparado desde Europa con destino a Norteamérica y no tiene nada que ver con el aplanamiento de la Tierra en los polos: las grandes circunferencias son el camino más corto entre dos puntos de una esfera, y equivalen a la recta en un plano bidimensional.

Por consiguiente, salvo en el ecuador no hay en la Tierra ningún desplazamiento este-oeste que sea «rectilíneo». Pero si la nube no se desplaza de este a oeste, quiere decir que vuelve a estar afectada por la fuerza de Coriolis tan pronto como volvemos a poner en marcha la rotación de la Tierra. Entonces se produce una desviación de la gran circunferencia, que en el hemisferio norte siempre es una desviación a la derecha y en el hemisferio sur una desviación a la izquierda.

Donde más claramente se notan los efectos de la fuerza de Coriolis es en el caso de los fenómenos meteorológicos, sobre todo en los anticiclones y las borrascas. Incluso podríamos decir que sin la fuerza de Coriolis no tendríamos en nuestro planeta la meteorología que conocemos. Cuando en algún lugar de la Tierra se produce una diferencia de presión, por ejemplo debido al calentamiento del aire provocado por la insolación, entonces el aire fluye de la zona de alta presión a la de baja presión: eso es lo que llamamos viento. Si no se produjera la desviación causada por la fuerza de Coriolis, el aire fluiría directamente y casi sin llamar la atención del anticiclón a la borrasca. Pero debido precisamente a esa desviación se producen los espectaculares arremolinamientos que observamos en los mapas del tiempo.

El chorro de aire siempre se desvía en el hemisferio norte a la derecha, por lo que el remolino gira alrededor de una borrasca en el sentido de las agujas del reloj, ¿no es cierto? ¡Ojo! Lo cierto es justo lo contrario. El aire se acerca al centro de la borrasca ligeramente desviado a la derecha y pasa de largo, pero acto seguido la succión de la baja presión lo atrae de nuevo y por tanto describe una curva a la izquierda. En el hemisferio sur ocurre justo lo contrario.

¿Y qué ocurre con el remolino del lavabo? Es cierto que la fuerza de Coriolis también actúa sobre el agua, pero el lavabo es tan pequeño y la velocidad del movimiento del agua al salir por el desagüe es tan reducida que el efecto prácticamente no se nota frente a todos los demás factores que influyen en el movimiento del agua, como los remolinos que se generan al llenar el recipiente o debido a la forma del mismo, aparte de los giros bruscos que realiza nuestro hombre del ecuador cuando hace una demostración.

Por mucho que la física permita calcular el efecto a base de fórmulas matemáticas, el tema de los remolinos del agua en el lavabo se ha convertido en una leyenda urbana imposible de erradicar. Una vez recibí una llamada de una colaboradora del programa de televisión Sendung mit der Maus: «Señor Drösser, haga algo, que Armin está a punto de explicar delante de la cámara que el remolino de agua gira en el hemisferio sur en sentido contrario». Se trataba nada menos que de Armin Maiwald, un presentador que ha embelesado a varias generaciones de niños con sus programas de índole científica, pero que en el caso del remolino del lavabo se mostró inmune a todos los consejos. La colaboradora me contó que Armin había vivido un tiempo en Australia y estaba firmemente convencido de que allí, por efecto de la fuerza de Coriolis, el agua gira en sentido contrario al que lo hace en nuestras latitudes.

Propuse a la redacción una prueba muy sencilla, para la que no hacía falta viajar a Australia: que los niños hicieran el experimento en casa con toda clase de recipientes; según Armin, en la gran mayoría de los casos el remolino tendría que girar en sentido contrario al de las agujas del reloj. Si el fenómeno no tiene nada que ver con la situación geográfica, en cambio, habría más o menos tantos remolinos que girarían en un sentido como los que lo harían en sentido contrario.

La dirección del programa rechazó la propuesta porque la estadística que habría que realizar a partir de las respuestas de los espectadores ocasionaría un trabajo excesivo. Sin embargo, una vez hice la prueba en un programa de Radio Eins y el resultado fue que 248 remolinos giraron en el sentido de las agujas del reloj y tan solo 204 en el sentido contrario, que sería el supuestamente «correcto».

Por consiguiente, en nuestro lavabo de casa la fuerza de Coriolis no interviene para nada. A pesar de ello, algunos científicos han tratado de reproducir su efecto en un recipiente de agua, y, según un artículo publicado en 1962 en la revista Nature, con éxito. El meteorólogo Ascher Shapiro realizó el experimento con un recipiente exactamente circular de 180 centímetros de diámetro y de fondo totalmente plano. El orificio de desagüe se hallaba justo en el centro y era tan pequeño que el recipiente tardaba 20 minutos en vaciarse. Una vez lleno, los científicos dejaron reposar el agua durante 24 horas para eliminar los efectos de los movimientos propios del agua. El propio Shapiro calcula que la fuerza de Coriolis no representa en este experimento más que unas tres diezmillonésimas de la fuerza de gravedad que actúa sobre el agua. A pesar de ello informó de que el agua en su «lavabo» empezó a girar visiblemente en sentido contrario al de las agujas del reloj. Tres años más tarde, científicos australianos realizaron el mismo experimento en su país y detectaron un giro en el sentido de las agujas del reloj.

Claro que estas pruebas se realizaron en condiciones científicamente controladas. La próxima vez que viaje usted a una zona ecuatorial y tenga la oportunidad de asistir a una demostración de la fuerza de Coriolis, puede estar usted seguro de que se trata de un truco, tanto como el del huevo que mantiene el equilibrio sobre el ecuador.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: en invierno los días son más cortos que las noches en cualquier lugar de la Tierra, salvo en el ecuador, donde los días son siempre igual de largos. ¿Qué ocurre con el crepúsculo, independientemente del lugar en que nos hallemos en la Tierra?

a) El crepúsculo es más breve en invierno.

b) El crepúsculo es más breve en verano.

c) El crepúsculo es más breve al comienzo de la primavera y del otoño.

11    EN EL CUARTO

      DE LOS NIÑOS

O LA SEUDOCIENCIA (IN)SANA

Matías Parlón está irritado. Su esposa ha fijado cita con el médico nada menos que el miércoles por la tarde y a él le toca cuidar del niño. Biel, de siete años de edad, ha terminado de hacer los deberes y ahora juega con la nueva lanzadera espacial de Lego.

En casa de los Parlón, los papeles están claramente repartidos: el hombre trae el dinero —es asesor de inversiones— y la mujer se ocupa de las tareas del hogar y del niño que tienen en común. Aunque Matías ha instalado su despacho, para mayor comodidad, en la espaciosa vivienda propia, la puerta que da al mismo es como un muro cortafuegos frente a la vida familiar. Durante ocho horas al día está terminantemente prohibido molestar a papá, al menos de lunes a viernes. Pero este miércoles le toca estar con el hijo.

Sentado en el rincón, un poco encogido sobre la silla de plástico para niños, sostiene en la mano derecha la Blackberry, su cordón umbilical con el mundo de los negocios que cada par de minutos emite un pitido para indicar que ha llegado un nuevo correo electrónico. Además, es imprescindible estar siempre al tanto de las cotizaciones bursátiles.

El hijo canturrea mientras se concentra en las instrucciones de montaje, pues un modelo de este tipo requiere toda la atención. Entonces se vuelve hacia su padre.

—Papá, ¿puedo preguntarte algo?

—Síii… —el padre no responde de inmediato, pues estaba absorto en la lectura de un mensaje.

—¿Por qué en verano hace más calor que en invierno?

El padre deposita la Blackberry sobre la mesa.

—Muy sencillo —contesta, orgulloso de contribuir una vez más a la educación de su vástago—. La Tierra gira alrededor del Sol, eso ya lo sabes. Sin embargo, la órbita que describe no es circular, sino elíptica, es decir, que tiene forma de huevo. Esto lo descubrió un tal Kepler.

Parlón está sorprendido de que el nombre le haya salido tan espontáneamente de la boca.

—El Sol no se halla exactamente en el centro de la elipse, sino un poco desplazado, y por eso la Tierra está a veces más cerca del Sol y a veces más lejos. Cuando está lejos, es invierno, y cuando está cerca, es verano.

—Ah —dice Biel, aparentemente satisfecho con la explicación. Inserta la última pieza en su modelo de lanzadera espacial, la agarra con una mano y la lleva volando por el salón mientras simula el ruido de un motor. Después deposita la lanzadera suavemente sobre la alfombra.

—¿Puedo preguntar otra cosa?

—Claro —responde Parlón. Una tarde así de padre e hijo puede incluso resultar interesante.

—¿Por qué los astronautas flotan en el aire cuando están en la estación espacial? —Biel mira con los ojos muy abiertos al padre que lo sabe todo.

—La gravedad, hijo mío —Parlón coge carrerilla—, se debe, como ya sabes, a la atracción de la Tierra. Esta atracción pierde fuerza de forma muy rápida a medida que te alejas de la superficie. «Con el cuadrado de la distancia», como dicen los científicos. Por eso, a varios miles de kilómetros de distancia ya no se nota para nada.

—¿De verdad? ¿Ni siquiera un poco?

—Nada de nada. Lo puedes ver perfectamente cuando ves a los astronautas por televisión —le confirma el padre.

Biel hace despegar de nuevo verticalmente su lanzadera espacial y la eleva hacia el espacio imaginario, para después hacerla descender de nuevo suavemente como un planeador. Mientras, el padre escribe con los dos pulgares un mensaje para un cliente en su teléfono móvil.

—¿Papá?

Ahora Parlón sí se siente un poco irritado por la interrupción. Además, no está del todo seguro de que su explicación de la ingravidez fuera realmente correcta. ¿A qué altura se encuentra en realidad la estación espacial? Pero el niño parece haber aceptado la respuesta y no es cuestión de socavar la autoridad de uno mismo.

—¿Sí-í?

—Una pregunta más y te dejo trabajar —dice el hijo—. Cuando la lanzadera desciende de nuevo a la superficie, vuela como un planeador, y eso que tiene unas alas muy pequeñas. ¿Cómo puede funcionar? ¿Por qué un avión no se cae al suelo, si pesa mucho más que el aire?

—Bueno, esto es complicado —contesta el padre, que ahora tiene que reflexionar. ¿Cómo era eso de la presión del aire? Había ese físico holandés… ¡eso es: Bernoulli!

Parlón suelta la Blackberry y agarra el cuaderno de dibujo del hijo y un rotulador.

—Tienes razón, el avión pesa más que el aire, o sea, que tiene más densidad, y por eso necesita una fuerza que lo mantenga en el aire. Y esa fuerza se genera de acuerdo con el llamado principio de Bernoulli.

Dibuja sobre el papel, con unos cuantos trazos, el perfil del ala de un avión.

—El ala de un avión no consiste en una placa de Lego con esas protuberancias, sino que tiene un perfil. Si la cortamos por la mitad, veríamos el perfil así: por arriba está curvado y por abajo, plano. Esto significa que el aire que pasa por encima del ala ha de recorrer una distancia mayor que el aire que pasa por debajo. Para que los dos flujos de aire vuelvan a juntarse detrás del ala, el aire de arriba ha de fluir más rápidamente. Y el tal Bernoulli descubrió que la presión del aire es tanto menor cuando más rápidamente fluye. Esto quiere decir que abajo la presión es mayor que arriba, y esa presión mantiene el avión en el aire.

—¿De veras? —pregunta el hijo—. ¿Ese poquito de aire sostiene todo el avión?

—Así es, suena extraño, ¿no te parece? —dice el padre—. Por eso al principio la gente creía que era un milagro.

Matías Parlón está verdaderamente contento con el día de hoy, aunque no haya podido realizar todas las llamadas que le habría gustado. El hijo necesita al padre, piensa, y seguro que su mujer no habría sabido contestar a cuestiones físicas tan complejas con la misma precisión que él y de modo que el niño lo entendiera a pesar de todo.

El hijo se concentra de nuevo en su juguete y da un par de vueltas más con su lanzadera. El padre vuelve a manipular su Blackberry con los pulgares.

—¿Papá?

—¿Sí, hijo mío? —pregunta Parlón armándose de paciencia. ¿Qué querrá ahora? ¿Teoría de la relatividad?

—¿Cómo sabe el aire de arriba que ha de fluir más rápido para alcanzar al de abajo?

Ahí el padre ya no sabe muy bien qué contestar.

—¿Sabes, Biel? —responde—. A veces preguntas por preguntar. ¡Es así y no hay que darle más vueltas!

NEWTON CONTRA BERNOULLI No hay nada como una sana semiciencia. El padre de Biel ha conseguido meter un poco de terminología científica en sus explicaciones al niño, pero todo lo que ha dicho es falso.

No entraré en la cuestión de las estaciones del año, seguro que el propio lector conoce la respuesta correcta, ¿o me equivoco? La última Copa del Mundo de fútbol nos lo mostró claramente: mientras en Europa era verano, en Sudáfrica reinaba el crudo invierno. En realidad, cuando en el hemisferio norte es invierno la Tierra se halla más cerca del Sol que en verano, pero la distancia con respecto a nuestra estrella no tiene nada que ver con las estaciones. La razón radica en la inclinación del eje de rotación de la Tierra.

¿Qué decir de la fuerza de gravedad en la estación espacial internacional? Es cierto que la gravedad disminuye, como ha explicado correctamente el señor Parlón, en proporción al cuadrado de la distancia. ¿Qué significa esto? En la superficie de la Tierra nos hallamos a unos 6.500 kilómetros de distancia del centro de nuestro planeta, que es también su centro de gravedad, y en ella impera una aceleración normal g de unos 9,8 m/s². En un punto situado a una distancia x veces mayor del centro de la Tierra, la aceleración gx será más pequeña, y se calcula del modo siguiente:

Esta fórmula nos permite calcular la magnitud de la fuerza de gravedad a distintas distancias de la Tierra:

Es cierto que la fuerza de atracción terrestre disminuye rápidamente, pero la estación espacial internacional se halla a una altitud de 400 kilómetros, donde la gravedad todavía equivale al 89 % de la que impera en la superficie del planeta. No cabe duda de que en estas condiciones todo es más llevadero, pero lo que se dice flotar, no flota nadie.

Ni siquiera la estación misma se mantendría en el aire, sino que caería de nuevo a la Tierra, de ahí que no esté «colgada» del cielo en una órbita geoestacionaria, sino que da vueltas al planeta a una velocidad constante. Esta velocidad está ajustada de manera que la fuerza centrífuga que genera compensa exactamente la fuerza de atracción terrestre. También se puede formular de esta manera: si bien la estación espacial cae constantemente hacia la Tierra, al mismo tiempo se aleja de ella en dirección vertical, así que, si se me permite decirlo así, «cae alrededor de la Tierra».

Vayamos a los números. La fuerza centrífuga F de una masa que gira alrededor de la Tierra se calcula con la siguiente fórmula:

F = m · ω² · r

donde ω (la letra griega omega) es la llamada «velocidad angular». No se mide la distancia que se recorre por unidad de tiempo, sino el ángulo del arco: una vuelta completa equivale al valor de 2π. Y r es la distancia del centro de la Tierra.

La fuerza de gravedad se calcula, como ya se ha señalado repetidamente en este libro, del modo siguiente:

G = m · gx

No olvidemos que en este caso hemos de calcular con la aceleración reducida que impera en la altitud de la estación espacial. Si equiparamos las dos fuerzas, tendremos:

Este resultado indica el «ángulo por segundo» que debe recorrer la nave y es un valor bastante pequeño. Esto se verá mejor si calculamos cuánto tiempo necesitará la estación espacial para dar una vuelta a la Tierra. Para ello se divide 2π por este valor, lo que nos da 5.712 segundos o un poco más de una hora y media, lo que coincide bastante con lo que tarda realmente la estación espacial internacional.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: con la misma fórmula también se puede calcular la velocidad que debería tener la bala de una pistola aquí en la Tierra para que no cayera al suelo sino que diera una vuelta entera al planeta y le diera al autor del disparo en la espalda. Para simplificar el cálculo no tendremos en cuenta la resistencia del aire.

Veamos ahora los aparatos que vuelan más bajo: ¿qué hay de la explicación de por qué vuelan los aviones? Puesto que Parlón ha mencionado al físico Bernoulli, digamos algo sobre su descubrimiento.

Daniel Bernoulli se ocupó en el siglo XVIII de la dinámica de los fluidos, un problema físico que en su época era sumamente complejo. No todos sus hallazgos coinciden con nuestra intuición: no en vano su principal descubrimiento, la ecuación que lleva su nombre, dice que cuanto mayor sea la velocidad de flujo, tanto menor será la presión del medio, y no mayor, como cabría suponer. Al fin y al cabo, cuando abrimos más un grifo notamos más presión en la mano, ¿no?

Examinemos el comportamiento del agua que fluye a través de un tubo de determinado diámetro que se estrecha en un punto. ¿Qué es lo que ocurre?

Cierta cantidad de agua en forma de disco con el volumen V se acerca por la izquierda y tiene que pasar por el «cuello de botella». Por detrás viene más agua que presiona y como los líquidos casi no se comprimen, el disco no puede simplemente hacerse más pequeño, sino que tiene que alargarse, y en vez de la longitud s₁ tiene ahora la longitud s₂. Pero para que a pesar de todo pase la misma cantidad de agua por el tubo en la misma unidad de tiempo, las moléculas de agua han de acelerar la marcha. Por consiguiente, la velocidad del líquido en el tramo estrecho, v₂, es superior a la velocidad inicial v₁.

Esto también se puede expresar con precisión matemática. El volumen del disco de agua permanece igual, por tanto

A₁ · s₁ = A₂ · s₂

Las velocidades de flujo son v₁ = s₁/t y v₂ = s₂/t. Por consiguiente:

A₁ · v₁ · t = A₂ · v₂ · t

Reordenamos y obtenemos

Esto significa que la velocidad de flujo aumenta en la misma proporción que se reduce la sección transversal del tubo.

Sin embargo, para que se aceleren las moléculas, necesitan energía, y esta no sale gratis. La única fuente disponible es la presión que impera en el líquido, lo que significa que en el cuello de botella el agua que fluye tiene una presión menor que en las partes del tubo más anchas.

Para quien no acabe de entenderlo, he aquí una explicación de las fórmulas:

En el agua impera una presión que actúa en todas direcciones (la llamada presión estática). En particular, el agua ha de desplazarse en contra de esta presión, para lo que ha de realizar trabajo, es decir, fuerza por desplazamiento:

W₁ = F₁ · s₁

W2 = F₂ · s₂

Sin embargo, las fuerzas equivalen a la presión estática multiplicada por el área de la sección transversal (véase el capítulo 5 sobre la presión en el interior de la salchicha).

W₁ = A₁ · p₁ · s₁ = V · p₁

W2 = A₂ · p₂ · s₂ = V · p₂

W₁ – W2 = V · (p₁ – p₂)

V es el volumen del disco de agua, que permanece constante. La diferencia de estas dos energías es la energía cinética que hace que se aceleren las moléculas de agua. Esta energía cinética ya la conocemos del capítulo 6, donde hablamos del móvil perpetuo, y se calcula a partir de la masa y la velocidad:

K₁ = ½ · m · v₁²

K₂ = ½ · m · v₂²

K₂ – K₁ = ½ · m · (v₁² – v₂²)

Podemos equiparar ambas energías:

W₁ – W2 = K₂ – K₁

V · (p₁ – p₂) = ½ · m · (v₂² – v₁²)

La masa del disco de agua equivale al volumen multiplicado por la densidad ρ:

V · (p₁ – p₂) = ½ · V · ρ · (v₂² – v₁²)

p₁ – p₂ = ½ · ρ · (v₂² – v₁²)

p₁ + ½ · ρ · v₁² = ρ2 + ½ · p · v₂²

La expresión ½ · ρ · v² se denomina asimismo presión dinámica, que notamos, por ejemplo, cuando un chorro de agua que fluye más rápidamente choca con nuestro cuerpo con más ímpetu. La ecuación de Bernoulli nos demuestra que la suma de presión estática y presión dinámica es invariable.

Volvamos al ala del avión y a la cuestión de cómo se sustenta en el aire. El padre de Biel sostiene que el empuje ascensional que experimenta el avión se debe a que el aire ha de recorrer en el mismo tiempo una distancia mayor en la parte superior del ala que en la parte inferior, por lo que ha de fluir con mayor rapidez y por tanto se reduce la presión y el ala hace que el avión ascienda. Dejando de lado el hecho de que esto no responde a la sagaz pregunta del niño de cómo sabe el aire de arriba que ha de encontrarse con el aire de debajo del ala, este empuje ascensional no sería suficiente para mantener el avión en el aire. He realizado el cálculo y la conclusión es que si la distancia por el lado superior del ala es un 5 % mayor, de acuerdo con las ecuaciones de Bernoulli, un pequeño avión Piper comercial tendría que volar a una velocidad diez veces superior a la del sonido para que la fuerza ascensional generada bastara para mantener el avión en el aire.

Por tanto, la explicación de Parlón de por qué vuela un avión no puede ser correcta, por mucho que se repita cientos y miles de veces en libros infantiles, en Internet e incluso en libros de texto de física. Por eso, algunos aducen otra teoría y dicen: nada de Bernoulli, es Newton quien explica por qué vuela un avión. Concretamente, la ley de la acción y la reacción: a cada fuerza corresponde una contrafuerza (véase el capítulo 3). El ala de un avión, según este argumento, no se halla en posición horizontal, sino siempre un poco inclinada, de manera que el aire choca contra su lado inferior. Las moléculas de aire rebotan como pequeñas bolas de billar y esto genera la fuerza correspondiente que empuja el avión hacia arriba. Cualquiera de nosotros puede comprobar este efecto si sacamos la mano por la ventanilla de un coche en marcha. Tan pronto como se inclina un poco hacia atrás, el aire la empuja hacia arriba.

Esta teoría tiene su enjundia. Los defensores de Bernoulli, por ejemplo, no sabrían explicar cómo pudo levantar el vuelo el primer avión de los hermanos Wright, cuyas alas tenían un perfil plano curvado en el que la distancia por el lado superior era exactamente igual a la del lado inferior. Y los acróbatas del aire consiguen muchas veces volar con sus aviones cabeza abajo, y según la teoría de Bernoulli tendría que producirse en este caso una inversión del empuje ascensional y el avión estrellarse contra el suelo. Con la explicación de Newton, en cambio, se podría hacer volar hasta la puerta de un garaje, siempre que el ángulo de inclinación fuera correcto.

¿Quién tiene razón, por tanto, Bernoulli o Newton? Para salvar el honor de ambos físicos hemos de decir que ninguno de los dos se ocupó de artilugios voladores y que sus dos leyes naturales son correctas, pero la cuestión es: ¿cuál de ellas se aplica en este caso? Respuesta: ambas.

Veamos en primer lugar cómo fluye el aire alrededor del ala de un avión. El dibujo siguiente es una simulación del flujo de aire en un programa digital de túnel de viento:

¿Qué vemos en este gráfico?

• Los «paquetes de aire» se hacen encima del ala, efectivamente, más largos y estrechos. Esto significa que aumenta su velocidad y disminuye la presión. Es cierto que encima del ala se genera un empuje ascensional. ¡Un tanto para Bernoulli!

• Realmente se desplazan masas de aire. Primero un poco hacia arriba (en la «punta» del ala), pero después en su totalidad hacia abajo. Esta acción genera una reacción en sentido contrario, es decir, una fuerza que empuja el ala hacia arriba. ¡Un tanto para Newton!

• Pero lo más importante es que las moléculas de aire que siguen caminos distintos al chocar con la punta del ala no vuelven a juntarse detrás de esta. No existe ningún acuerdo secreto entre ellas, al contrario: el aire que pasa por encima del ala es mucho más rápido que el que pasa por debajo, más incluso de lo que cabría esperar por el «desvío». En realidad, puede llegar a fluir dos veces más rápido.

El hecho de que no es el perfil del ala el responsable de que se acelere el flujo de aire en el lado superior se demuestra también al observar simulaciones de otras situaciones de vuelo, como por ejemplo la de un ala invertida o la de una «puerta de garaje voladora».

Justamente en el caso del «ala» que no presenta perfil alguno se ve que lo que importa es el ángulo de inclinación.

¿Cómo hace este que se genere el empuje ascensional?

Lo mejor es subdividir la corriente de aire en tres partes: el aire que fluye por debajo del ala, la parte central que choca contra la punta del ala y se desvía, y la parte superior que no entra directamente en contacto con el ala.

El aire que pasa por debajo del ala se rige, como ya se ha explicado, por la ley de Newton. El aire es desviado y, de acuerdo con el principio de acción y reacción, el ala es empujada hacia arriba. Las diferencias de presión apenas influyen en esta parte del fenómeno.

El aire que fluye por encima del ala podría no experimentar efecto alguno, pero entonces se generaría un vacío encima del ala inclinada. Debido a esta depresión, se desvía aire de arriba abajo y se acelera, y al mismo tiempo el ala es «aspirada» y recibe un empuje ascensional. Este «apego» del aire a la superficie del ala se atribuye a menudo al efecto Coanda, que hace que las corrientes de gases y líquidos se «peguen» a las superficies redondeadas, pero en el caso que nos ocupa no hace falta que nos metamos en esos berenjenales.

La parte central de la corriente, es decir, el aire que choca directamente contra la punta del ala y se desliza sobre la superficie de la misma, es dominio de Bernoulli. En esta parte las moléculas de aire se desvían de su trayectoria rectilínea y quedan «aprisionadas» entre la superficie del ala y las capas superiores del aire. De este modo se estrecha su zona de paso, con lo cual se aceleran y disminuye la presión. El resultado también es que se forma un vacío que refuerza el empuje ascensional.

En resumidas cuentas, podemos establecer, a modo de regla empírica, que el aire de debajo del ala genera más o menos un tercio del empuje ascensional y el aire de encima, los otros dos tercios. La forma curva del ala no es aleatoria, pero su ventaja estriba sobre todo en que reduce la resistencia al aire. Simplemente es más aerodinámica que una tabla recta y evita la formación de turbulencias como las que se observan de modo incipiente en el perfil de flujo de la «puerta de garaje». Porque todo lo que se ha dicho hasta ahora solo funciona con corrientes «laminares», es decir, lisas y obedientes. Las turbulencias y los remolinos, en cambio, son el diablo para los pilotos.

Las corrientes constituyen uno de los fenómenos físicos más complejos y por esta razón aquí solo hemos tocado de pasada las leyes de la aerodinámica, pues la realidad es mucho más complicada. De todos modos, estas explicaciones funcionan y no hace falta convertir las moléculas de aire en seres inteligentes que esperan en el otro extremo del ala a las compañeras que han ido por el otro lado.

12    ¿MERA CASUALIDAD?

O EN EL CASINO CON

UN ORDENADOR EN EL ZAPATO

En mi libro La seducción de las matemáticas hay un capítulo que trata del juego de la ruleta. En él explico por qué todos los trucos para «reventar la banca» basados en el análisis de series de números están condenados al fracaso. Una rueda de ruleta bien calibrada produce realmente una serie de números aleatorios y los premios están calculados de manera que la banca siempre conserva una pequeña ventaja. Lo más importante es que no es posible inferir del pasado —es decir, de los números premiados con anterioridad— qué va a suceder en el futuro. El plato de la ruleta no tiene memoria.

Está claro que las matemáticas no ayudan a vencer en este juego de azar. ¿Es posible que la física sí lo haga? ¿Acaso nuestro mundo no se rige por las leyes de la física, que en su conjunto son bastante conocidas? ¿Es posible calcular, si se conocen las condiciones de partida, la trayectoria de la bola de la ruleta y predecir de este modo en qué casilla numerada se detendrá?

Este tema me fascina desde hace más de 20 años. En aquel entonces estaba yo investigando para escribir un artículo sobre la teoría del caos y me topé con un libro del escritor estadounidense Thomas Bass, titulado The Eudaemonic Pie, donde el autor explica la historia de un grupo de estudiantes que en la década de 1970 intentaron desvalijar los casinos de Las Vegas con ayuda de unos microordenadores de fabricación propia ocultos en sus zapatos. Mediante unos conmutadores que manejaban con los dedos de los pies y unos zumbadores pegados al cuerpo para transmitir las señales pretendían calcular la trayectoria de la bola de la ruleta y apostar así al instante por el número ganador. Al final, los jóvenes fracasaron a causa de los problemas con los equipos informáticos, ya que una y otra vez se fundían los conectores, causándoles en parte dolorosas quemaduras, hasta que finalmente abandonaron la idea (y se convirtieron en científicos serios en el campo novedoso de la teoría del caos).

Sin embargo, estos estudiantes demostraron en una serie de ensayos que en principio su sistema funcionaba, y desde entonces han transcurrido 30 años en los que los ordenadores han experimentado un desarrollo espectacular. No sería de extrañar que en algún lugar del mundo hubiera imitadores que intentaran algo parecido con la tecnología de hoy. Claro que no lo pregonarían a bombo y platillo, ya que en los casinos está prohibido utilizar dispositivos técnicos de cualquier tipo y no es aconsejable tenérselas que ver con los seguratas de las casas de juego estadounidenses.

En el año 2005, el matemático y teórico de la ruleta Pierre Basieux me puso en contacto con una pareja que efectivamente experimenta con estos aparatos electrónicos en Alemania, y ambos me propusieron acompañarles una vez al casino, una oferta que no podía yo rechazar. Esta es la historia de Rita Lob y Robert Senf, que en realidad, claro está, no se llaman así.

Mis acompañantes han elegido para hoy un casino situado cerca de Dortmund. Se halla en un feo edificio de los años setenta, en el que las mesas de juego están repartidas en una sala que con sus tonos marrones transpira tristeza y en la que el olor a tabaco impregna todo. Rita y Robert han puesto a punto sus equipos antes de apearse del coche. Robert Senf lleva un ordenador de bolsillo de marca Palm, en el que introducirá datos a través de un conmutador que lleva en el zapato. Rita Lob lleva, oculto bajo la melena rubia, un auricular a través del cual el ordenador en miniatura le transmite el resultado calculado. Los dos entran en el casino como si no se conocieran y no intercambian palabra entre ellos, pues nadie debe darse cuenta de que están compinchados. No cometen nada ilegal —en todo caso incumplen el reglamento interno del casino por llevar encima dispositivos técnicos—, pero la empresa se reserva el derecho de admisión y podría denegárselo para siempre. Entonces tendrían que decir adiós a su sueño de hacerse ricos, al menos en los casinos de la región que pertenecen a la misma cadena.

La noche comienza de forma harto aburrida: se trata de esperar. Durante una hora y media permanecen los dos junto a la ruleta aparentando desinterés y limitándose a mirar. Pero de pronto, la rubia espigada hace sudar a los croupiers apostando en cada tirada, y siempre cuando la bola ya esté rodando.

—21 – 4 – 4— exclama segundos antes de que el croupier indique con la frase «rien ne va plus» que ya no se admiten más apuestas. 21 – 4 – 4 significa que en total apuesta nueve fichas, una al 21 y otras tantas en cada uno de los cuatro números situados a derecha e izquierda del 21. Puesto que en la ruleta los números están ordenados de forma aleatoria, el croupier, por muy profesional que sea, no tiene tiempo para colocar las fichas sobre el tapete verde en el lugar que les corresponde. Sin embargo, el «jefe de mesa» situado en el extremo memoriza la apuesta.

Después de perder las primeras apuestas, Rita empieza a ganar, pero no una vez tras otra, sino más o menos cada tercera tirada, aunque estadísticamente, por su forma de jugar solo tendría que ganar una de cada cuatro apuestas (puesto que sus nueve fichas abarcan casi un cuarto de las 37 casillas de números).

—La señora utiliza realmente todos los trucos —dice uno de los croupiers, cuando Rita confunde una vez dos fichas. La suave burla revela también cierto reconocimiento de la manera de jugar, por lo demás muy profesional, de Rita.

El empleado del casino ni siquiera sospecha, desde luego, cuánta razón tiene. Porque la jugadora no apuesta a la buena de Dios, sino siguiendo estrictamente las órdenes acústicas que recibe a través de su auricular inalámbrico del ordenador de Robert Senf. Cuando oye dos tonos bajos y uno alto, significa que ha de apostar por el 21, número que según los cálculos del ordenador tras las primeras vueltas de la bola sobre el plato será el agraciado. Esta es la razón por la que Rita realiza su apuesta tan tarde, en un momento en que el resultado ya está predeterminado. El «único» problema estriba en calcular la trayectoria compleja de la bola con suficiente precisión.

Ocasionalmente cunde el nerviosismo alrededor de la mesa. Cuando sale dos veces seguidas el mismo número o cinco veces seguidas el negro, por ejemplo, acuden rápidamente los jugadores de toda la sala. Unos quieren aprovechar la ocasión que supuestamente les brinda la «racha» que acaba de iniciarse, mientras que otros apuestan en sentido contrario, ya que la famosa «ley de los grandes números» habrá de inclinar de alguna manera el fiel de la balanza hacia el otro lado. Esto produce satisfacción a la banca, pues alimenta la ilusión de que la única manera de ganarle por la mano al azar pasa por las llamadas permanencias, los resultados registrados de las jugadas anteriores.

Los casinos están tan seguros de que sus ruletas producen resultados realmente aleatorios que incluso admiten apuestas cuando la bola ya está rodando, es decir, cuando ya están dadas todas las magnitudes físicas que determinarán el resultado. La velocidad de la bola, la velocidad a la que gira el plato en sentido contrario y la fricción: a partir de ahora se trata de un proceso estrictamente determinista en el que ya no interviene el libre albedrío. Si se conocieran exactamente todos los datos, tendría que ser posible predecir el resultado ¿no es cierto?

La verdad es que no es tan sencillo. La evolución de la bola se desarrolla en dos fases muy distintas. Primero rueda tranquila y uniformemente en el borde del plato, un movimiento que es perfectamente calculable si se miden bien los parámetros. Sin embargo, después viene la fase «caótica», que comienza cuando la bola abandona su trayectoria en el borde superior del plato y choca con uno de los «rombos», esas pequeñas protuberancias que hacen que la bola se ponga a brincar y dar saltos. En algún momento alcanza las casillas con los números, donde también puede seguir saltando por encima de algunas. Caótico significa que aunque la bola siga obedeciendo a las leyes de la física, cualquier pequeña diferencia de las magnitudes de partida, como por ejemplo el ángulo con el que choca contra el rombo, da lugar a una gran diferencia en el resultado. Nadie es capaz de calcular esto mentalmente, y menos aún en el casino, donde está prohibido utilizar medios técnicos. Desde el rombo contra el que choca, la bola puede ir a parar a cualquiera de las 37 casillas numeradas.

Pero no lo hace con la misma probabilidad. Esto al menos es lo que afirma el matemático Pierre Basieux, en cuyo método se basa el dispositivo electrónico de Robert Senf y su amiga. Basieux no es un desconocido en los casinos de Alemania, no en vano apenas hay otra persona que conozca mejor que él la mecánica del plato de la ruleta y la balística de la bolita blanca. Desde hace decenios se embolsa buenas cantidades de dinero jugando a la ruleta, bien calculando mentalmente la trayectoria de la bola para predecir el resultado, bien utilizando medios tecnológicos auxiliares. A veces ha asesorado a algún casino, verificando la calidad de los platos de ruleta.

Son muchos los que ya han tratado de ganar a la ruleta con ayuda de dispositivos técnicos. Algunos lo han intentado a base de manipular el equipo; por ejemplo, compinchándose con un croupier para que cambie la bola de marfil por otra de núcleo metálico, sobre la que se actúa entonces con fuertes imanes. En el caso de Pierre Basieux, en cambio, se trata de la pura observación de la tirada de la bola, ajena a toda influencia externa. El matemático comenzó en 1978 a traducir sus hallazgos en dispositivos técnicos auxiliares. En aquel entonces ya se comercializaban pequeños ordenadores de bolsillo, aunque todavía no eran capaces de realizar cálculos tan complejos como los actuales. En 1983, finalmente, logró perfeccionar su método para que emitiera pronósticos bastante certeros. Basieux fue al casino de Bad Wiessee, apostó continuamente el importe máximo y acabó ganando nada menos que 185.000 marcos alemanes (unos 92.000 euros). Su «imprudencia juvenil», como califica retrospectivamente su debut, le mereció un titular en el periódico Abendzeitung de Múnich… y la prohibición de acceder de nuevo al casino de Bad Wiessee. Actualmente, los casinos de Baviera le admiten de nuevo en sus salas de juego, aunque a condición de que apueste antes de que la bola empiece a rodar.

Su método consiste en primer lugar en tratar de predecir con cuál de los rombos colisionará la bola al descender del borde del plato y determinar qué números se encuentran por debajo de dicho rombo. Dado que hasta ese momento todos los movimientos son regulares, es decir, no caóticos, este pronóstico se puede hacer con bastante precisión, siempre que los parámetros se midan con la suficiente exactitud. El observador (que puede colaborar con un cómplice o hacer él mismo las apuestas) lleva en el zapato un conmutador oculto y pulsándolo repetidamente con los dedos introduce los datos de la velocidad de la bola y del plato de la ruleta. Para ello ha de fijarse en algún punto llamativo del borde del plato y pulsar el conmutador cada vez que este punto pasa junto a un lugar de referencia. La primera pulsación marca el comienzo de la medición. La segunda indica la duración de la primera vuelta. La tercera, la de la segunda vuelta, que será más larga que la de la primera, con lo que el ordenador calcula el grado de desaceleración de la rotación del plato.

En la fase de medición, que para el testigo ajeno resulta sumamente aburrida y que abarca una 45 tiradas, se registra además con qué rombo ha colisionado la bola cada vez en primer lugar. Estos datos se utilizan después para el cálculo de los pronósticos por parte del ordenador de bolsillo, dado que en el juego real este no realiza complejos cálculos balísticos, sino que selecciona entre los ejemplos medidos en la primera fase aquel en que la bola giraba con la misma velocidad. Acto seguido ajusta todos los demás datos y predice tanto el «rombo de colisión» como el «número de colisión» que se encuentra justo debajo.

Sin embargo, la compañera del observador no quiere saber con qué rombo chocará la bola, sino en qué casilla se detendrá. Ahora se trata, por tanto, de predecir de alguna manera el resultado de la segunda fase «caótica». Para ello, previamente se han analizado cientos de tiradas en el mismo tipo de plato y con la misma clase de bola y se ha registrado a qué distancia ha ido a parar finalmente la bola con respecto al número de colisión. En este caso no cabe esperar un pronóstico exacto, pues se trata simplemente de un cálculo de probabilidades. En el peor de los casos, estas están uniformemente repartidas entre todas las 37 casillas, por lo que es imposible predecir nada. No obstante, el principal hallazgo de Basieux es que normalmente no se da esta distribución uniforme, sino que hay casillas con más probabilidades que otras y una escala que va del mínimo al máximo. En el caso del plato del casino al que acompañé a Rita Lob y Robert Senf, por ejemplo, con sus doce rombos, existe un máximo claro: 19 casillas más allá del rombo de colisión. Dado que la ventaja estadística del casino es muy estrecha, cualquier probabilidad que sea un poco mejor que la distribución uniforme basta para convertir una pérdida previsible en una ganancia.

Así que el ordenador de Senf calcula la casilla que tiene más probabilidades de acoger finalmente la bola y transmite el pronóstico por medio de una señal acústica al auricular oculto que lleva Rita en la oreja. Entonces es cuestión de actuar con rapidez. Pocas veces el pronóstico acierta con total exactitud, pues se trata de un resultado estadístico, pero aunque solo lo hiciera en una de cada 20 tiradas —y no en una de cada 37, como sería de esperar si fuera totalmente aleatorio—, la jugadora tiene una cómoda ventaja frente a la banca. Sin embargo, ha de contar con tener que atravesar fases relativamente prolongadas de ausencia de aciertos y necesita por tanto cierto colchón financiero. Para repartir un poco el riesgo, no solo apuesta por el número pronosticado, sino también por los cuatro colindantes a uno y otro lado, de ahí su exclamación «21 – 4 – 4».

Después de que Rita Lob estuviera apostando durante alrededor de una hora en casi cada tirada, su compañero se va de la mesa de la ruleta. Es la señal de partir. En el aparcamiento hacen balance: 240 euros de ganancia en tres horas, una cantidad que apenas alcanza para un sueldo medio por persona y hora si se tienen en cuenta los gastos y preparativos. En el balance del casino, esos 240 euros ni se notarán, pero Robert Senf está satisfecho: la experiencia ha demostrado que el sistema funciona en ese casino. La próxima vez aumentarán las apuestas.

Ganar a la ruleta es un trabajo duro. Primero hay que invertir en la propia formación, bien incurriendo en pérdidas iniciales, bien pagando los honorarios de instrucción que cobran Basieux o Senf, lo que en total sale por unos 3.500 euros. El futuro jugador conoce así los pequeños trucos de la ruleta, se familiariza con la mecánica del aparato, aprende a registrar los datos que determinan la trayectoria de la bola y a aprovechar los pequeños defectos e irregularidades del plato. «Si no dominas esto», dice Basieux, «no vale la pena ni que lo intentes.»

El viejo maestro, que ahora tiene 65 años de edad, apenas ya va al casino a jugar, y cuando lo hace no lleva su equipo. Los largos años de experiencia han afinado tanto su mirada que no necesita ningún ordenador para sacarle una pequeña ventaja a la banca. Apuesta importes reducidos para no llamar la atención, pero las ganancias que obtiene, según él, le bastan para poder dedicarse a escribir sus libros, en los que disecciona todos los aspectos del juego. Para aquellos que quieren ganarle por la mano al casino con ayuda del ordenador de bolsillo y el pequeño emisor de señales, Basieux formula un consejo que él siempre se ha tomado muy en serio: «Respeta siempre el undécimo mandamiento: no te dejes atrapar».

CIENCIA ES PREDICCIÓN DEL FUTURO ¿Qué nos deparará el futuro? Esta es una de las preguntas que se formulan los humanos desde tiempos ancestrales. Poder vislumbrar el futuro y al menos predecirlo a grandes rasgos es una aptitud importante para la supervivencia, que alcanza desde pronósticos a muy corto plazo («Cuando oigo un determinado crujido en el sotobosque, de inmediato veo saltar un tigre dientes de sable entre los matorrales») hasta perspectivas a muy largo plazo: ¿qué tiempo hará mañana o la semana que viene? ¿Bastará la cosecha para pasar el invierno? ¿Encontraré pareja y tendré hijos?

Quien tiene maña para estas predicciones cuenta con una ventaja en el proceso de selección natural, como muestra el ejemplo del tigre dientes de sable, y el psicólogo David Huron propone incluso elevar esta capacidad de anticipación al rango de un sentido, el «sentido de futuro». Por cierto que Huron investiga sobre música y cree que esta nos fascina especialmente, entre otras cosas, porque con ella entrenamos lúdicamente nuestro sentido de futuro. La música es un ruido ordenado que se desarrolla en el tiempo, y mientras la escuchamos nos dedicamos a formular continuamente hipótesis sobre cómo continuará una melodía o una armonía. Si se cumple esta expectativa, lo consideramos agradable, y si se frustra (dentro de un orden), nos produce un estímulo que hace que la música siempre despierte nuestro interés (para más detalles al respecto, véase mi libro La seducción de la música).

La necesidad de saber más sobre el futuro está en el origen de las religiones, las supersticiones (horóscopos)… y también las ciencias. Los hallazgos científicos tienen casi siempre la estructura «si-entonces»: si junto estos tres productos químicos, entonces explotan en una reacción violenta. Si cuelgo una carga el doble de pesada de un muelle de acero, entonces este se extiende dos veces más. Si no esterilizo los instrumentos médicos, entonces se propagan infecciones. Quien es capaz de predecir el futuro con la suficiente precisión, puede hacerse rico y famoso. Esto funciona también con falsos pronósticos, que deben ser lo más ambiguos posible o situarse tan lejos en el futuro que la gente los haya vuelto a olvidar cuando llega el momento y no se cumplen: numerosos astrólogos que cobran cuantiosos honorarios predicen continuamente que el año siguiente, por ejemplo, tal o cual político importante será víctima de un atentado, y tan solo unos pocos escépticos sinceros recuerdan al público, un año después, que la predicción se ha quedado en papel mojado.

En particular la física y la astronomía, derivada de la primera, han sido a lo largo de milenios una historia de éxito en la formulación de pronósticos: ya los antiguos griegos eran capaces de predecir exactamente la trayectoria de los astros en el firmamento, y para el hombre de la calle de entonces tenía que sonar a magia que uno de aquellos sabios supieran predecir exactamente la fecha y el minuto en que al año siguiente se produciría un eclipse de sol, pongamos por caso. Si hasta las grandes evoluciones del mundo pueden calcularse con tanta precisión, ¿acaso no ha de ser posible hacerlo también con las pequeñas cosas de la vida cotidiana, y en última instancia con la trayectoria de la bola de la ruleta o los resultados de los sorteos de lotería?

En especial los siglos XVIII y XIX fueron la gran época de la idea de que el mundo entero se asemeja en principio a un mecanismo de relojería muy preciso que actúa mecánicamente de acuerdo con unas leyes muy estrictas. Esas leyes, a su vez, pueden describirse matemáticamente con ayuda de las llamadas ecuaciones diferenciales, y esas ecuaciones pueden resolverse y de este modo permiten predecir exactamente el futuro del mundo. Esta cosmovisión alcanzó su cénit con un párrafo que escribió en 1814 el matemático y astrónomo francés Pierre-Simon de Laplace: «Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en un momento dado supiera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría expresar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos celestes y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos».

Este «intelecto» se ha hecho famoso con el nombre de «demonio de Laplace» y, al igual que su colega, el demonio de Maxwell (véase la página 62), es un ser ideal que por desgracia no funciona en la realidad. Y ello no por una, sino por varias razones. Resulta bastante trivial la objeción práctica de que nadie conoce realmente el estado actual del universo con la suficiente precisión, ni dispone de la necesaria potencia de cálculo para predecir el futuro a partir de esos datos. Con las teorías físicas del siglo XX se formularon dos argumentos fundamentales contra el determinismo de Laplace: la teoría de la relatividad dice que debido al carácter limitado de la velocidad de la luz, solo podemos recibir información sobre una parte del espacio-tiempo y siempre habrá partes que serán desconocidas para nosotros (véase el capítulo 8). La teoría cuántica, en particular el principio de incertidumbre de Heisenberg, establece que no podemos medir al mismo tiempo el lugar y la velocidad de una partícula con cierta precisión, que era justamente lo que se supone que tenía que hacer el demonio de Laplace.

Los investigadores sobre la teoría del caos ni siquiera tienen que recurrir a estas ramas esotéricas y bastante crípticas para el profano, pues consiguen demostrar que incluso en un mundo que se rija exclusivamente por las conocidas leyes de la mecánica newtoniana, tales pronósticos están condenados al fracaso. Hay procesos que son muy sensibles a las perturbaciones de las condiciones de partida, y cualquier pequeña alteración de las mismas da lugar a grandes diferencias del resultado. La ruleta bien sirve de ejemplo: la trayectoria de la bola después de colisionar con uno de los rombos depende de cómo colisione, y cualquier diferencia, por pequeña que sea, del ángulo con que se tope contra el rombo puede hacer que salga disparada en una dirección o en otra. Dado que en todo cálculo las condiciones de partida solo se conocen con una exactitud aproximada, es imposible calcular un pronóstico preciso. La pregunta interesante en el caso de la ruleta y que anima a hábiles tramposos del mundo entero es esta: ¿es posible determinar, a base de mediciones y cálculos, al menos cierta probabilidad mayor que me proporcione una determinada ventaja frente a la banca?

El ejemplo paradigmático de un sistema físico que responde sensiblemente a cualquier cambio de las condiciones de partida es el tiempo meteorológico. Los profesionales dominan bastante bien las previsiones a corto plazo, pero tan pronto se les pregunta por el tiempo que hará la semana que viene, la previsión tiene más de adivinanza que de predicción científica. En el año 1961, el meteorólogo estadounidense Edward Lorenz experimentó con un modelo de cálculo meteorológico formado por seis ecuaciones diferenciales. Una vez quiso ahorrarle trabajo al ordenador y al efectuar el segundo cálculo de comprobación introdujo, en vez del valor 0,506127 para una determinada magnitud, el número 0,506, que es más corto. Es decir, cambió el valor en una proporción mínima y supuso que el resultado solo variaría muy poco del obtenido en el primer cálculo. Tanto más se sorprendió al ver que el ordenador predijo un tiempo completamente distinto. Esto es exactamente el caos, o mejor dicho, el llamado caos determinista. Aunque se trata de procesos totalmente determinados, o sea, prefijados por unas reglas, el resultado es incierto.

Para describir el comportamiento de un sistema dinámico, los físicos suelen utilizar el llamado espacio fásico. Se trata de un espacio matemático que en algunos casos presenta muchísimas dimensiones, exactamente las que se precisan para describir el conjunto del sistema. Veamos por ejemplo el caso de un simple péndulo: en vez de describir la trayectoria de la masa del péndulo dentro del espacio, se reproducen en el espacio fásico el ángulo y la velocidad máximas. Más no hace falta para describir el péndulo.

El gráfico ilustra el caso de un péndulo no amortiguado, es decir, el caso idealizado en que se prescinde de la fricción. La curva que describe este péndulo en el espacio fásico representa una elipse más o menos grande, que será tanto más pequeña, cuanto menor sea la fuerza con que se lanza (1), y tanto más grande, cuanto más impulso se le dé (2).

En la realidad, sin embargo, todos los péndulos se van frenando a causa de la fricción. Después de pasar por el punto cero, en el otro lado no alcanza nunca la misma altura que la de partida, por lo que la trayectoria realista en el espacio fásico se parece más a una espiral, hasta que llega un momento en que el péndulo se detiene en el punto cero.

Este punto cero se denomina en este caso un «atractor», un estado en el que confluyen las trayectorias en el espacio fásico, cualquiera que sea su punto de partida.

Todo espacio fásico tiene la peculiaridad de que en la trayectoria que describe un sistema no existen intersecciones. Esto se debe a que el espacio describe completamente el sistema: cuando este se halla en un estado determinado, con ello queda totalmente determinado su desarrollo, no puede evolucionar en dos direcciones distintas. Por ejemplo, el péndulo: cuando se impulsa desde un determinado ángulo y adquiere una determinada velocidad, solo puede seguir oscilando de una única manera.

Esto hace que los atractores en el espacio fásico bidimensional sean relativamente aburridos: pueden estar formados por una curva cerrada como la elipse en el caso del péndulo sin fricción, o por un punto como el punto cero en el péndulo frenado por la fricción.

En espacios fásicos de más dimensiones, en cambio, los atractores pueden adoptar formas muy distintas. El atractor que halló Edward Lorenz para su modelo meteorológico y que lleva su nombre es una forma geométrica muy compleja y constituye el ejemplo más famoso de «atractor raro».

El estado de este sistema puede girar durante mucho tiempo en el lado izquierdo siguiendo trayectorias relativamente similares, y luego pasar de repente al «ala» derecha y viceversa. Esto tiene que ver única y exclusivamente con mínimas variaciones de la trayectoria y, con ellas, de los valores medidos en la realidad. De ahí que el modelo meteorológico de Lorenz diera con los valores redondeados unos resultados completamente distintos.

Se podría objetar que entonces lo que hay que hacer es medir los datos de partida con creciente precisión. Sin embargo, los ordenadores solo calculan con un determinado número de cifras detrás de la coma. A veces ocurre que distintos ordenadores que utilizan el mismo valor de partida llegan a resultados diferentes, por el hecho de que en las operaciones intermedias un ordenador ha de practicar continuamente redondeos. Por consiguiente, hasta los mejores superordenadores tendrán que luchar continuamente con el caos.

Fue Edward Lorenz quien expresó asimismo la idea del efecto mariposa: el aleteo de una mariposa en el Amazonas puede provocar un huracán en el Caribe. Por cierto que se trata de una metáfora, y ningún experto cree hoy realmente que el aleteo de una mariposa puede tener efectos tan enormes.

Un objeto de apasionado debate entre los meteorólogos, en cambio, es la cuestión de si existe un límite de principio más allá del cual no es posible formular una previsión del tiempo detallada que resulte fiable. Dicho de otro modo: ¿Es posible contener el efecto mariposa hasta el punto de que dentro de unos años o decenios tendremos previsiones del tiempo realmente buenas para la semana siguiente, el mes siguiente o incluso para todo el verano?

En el ámbito de la meteorología también se ve muy bien que el caos no es siempre igual, ni mucho menos. Existen periodos de estabilidad atmosférica que previsiblemente se mantendrán invariables durante días. Hay regiones enteras del mundo que son sumamente aburridas desde el punto de vista meteorológico, como por ejemplo, las zonas desérticas del Sahel, donde cualquiera que en un caluroso día de verano pronostique que tres días más tarde seguirá luciendo el sol y hará calor no cosechará más que bostezos. En Centroeuropa, donde chocan a menudo el aire frío polar y los cálidos vientos subtropicales, el tiempo cambia con mucha mayor frecuencia, aunque también en esas latitudes se puede estabilizar ocasionalmente una profunda borrasca, marcando el tiempo durante varios días. Entonces, las predicciones meteorológicas no entrañan dificultad alguna y una pequeña desviación en el modelo matemático no tiene repercusiones importantes.

Si el objetivo de la ciencia es predecir el futuro, ¿de qué nos sirve entonces la constatación de que un sistema es caótico y por tanto imprevisible por principio? De bien poco en la mayoría de los casos. El ruido que se montó en torno a la teoría del caos hace 20 años no ha producido muchos resultados tangibles. El hecho de saber que también las cotizaciones bursátiles obedecen a determinadas leyes caóticas no genera directamente beneficios. Los estudiosos del caos supieron predecir la crisis financiera mundial tan poco como los astrólogos, o sea, nada.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: un péndulo invertido (sujeto a una barra rígida) es un artilugio sumamente inestable. Es muy difícil mantenerlo en pie y al mínimo movimiento se cae.

En cambio, si se sujeta a una placa que vibra en sentido vertical, se estabiliza la posición vertical. ¿Cómo funciona esto? ¿Cuánto ha de vibrar la placa en comparación con el péndulo para que funcione?

13    EL VITICULTOR BORRACHO

O CÓMO EL HIELO

PUEDE PROTEGER DE LAS HELADAS

Los viticultores del pueblecito riojano se juntan al caer la tarde en el bar para echar una ronda. Durante el día han estado trabajando en sus viñedos y, dado que el sol de marzo ya ha empezado a apretar de lo lindo, han conectado los sistemas de riego. Se sirven generosamente del vino joven del año pasado y a algunos ya se les empieza a trabar la lengua. En el televisor colgado de la pared encima del mostrador están dando las noticias de la emisora regional, y en el parte meteorológico el presentador de turno anuncia heladas nocturnas. Esto es muy raro en primavera en La Rioja, pero estas heladas ya han destrozado más de una vez la cosecha del año. Cuando florecen las cepas, están expuestas a las inclemencias del tiempo sin protección alguna.

—¡Los aspersores! —exclama uno de los agricultores—. Si las flores están mojadas y hiela, se echará todo a perder.

Se oye un murmullo en toda la sala y casi todos agarran sus chaquetas y salen corriendo, se montan en sus motos o sus pequeñas furgonetas y salen a los campos para cerrar los grifos de los aspersores, con la esperanza de adelantarse al frío.

Solo uno de los viticultores permanece en el bar; por lo visto, Luis ha bebido más de la cuenta y no se ha enterado de nada de lo que ha pasado, pues está sentado en un rincón y ronca. No se despierta ni siquiera cuando los demás vuelven y el local se llena de nuevo de ruidosos bebedores. Por suerte, ya entrada la noche acude la mujer de Luis, lo mete en el coche y se lo lleva a casa. Los aspersores en el viñedo de Luis, sin embargo, siguen echando agua.

A la mañana siguiente, los viticultores comprueban que su salida nocturna no sirvió de nada. Gran parte de las flores de las cepas no han resistido la helada inesperada de 7 grados bajo cero y han sucumbido. Luis, que ha dormido la mona y se ha levantado tarde, teme que tampoco sus viñas hayan sobrevivido. Acude con el coche al viñedo y observa que las cepas están cubiertas por una gruesa capa de hielo. Tanto mayor es su asombro cuando después de varias horas de insolación se funde el hielo y las flores asoman de nuevo: están vivas, son las únicas que han sobrevivido en todos los viñedos del lugar. ¿Es posible que el hielo haya protegido las flores de la helada?

EL HIELO LIBERA CALOR Hoy en día, los viticultores y fruticultores ya están acostumbrados a proteger las delicadas flores de sus viñas y árboles en primavera con una capa de hielo frente a las heladas nocturnas. El arte está en hallar la dosis adecuada, pues si la capa protectora de hielo es demasiado gruesa, esto tampoco le hace nada bien a la flor, por supuesto, e incluso es posible que se rompa alguna rama a causa del peso del hielo.

Pero ¿cómo es posible que el hielo caliente? Por un lado, la savia de las plantas no se compone de agua pura, que se hiela a cero grados; contiene sales y azúcar, que hacen que el punto de congelación sea inferior en un par de grados. Así, bajo la capa de hielo, que no está a menos de cero grados, la planta puede sobrevivir perfectamente. A esto se añade que el hielo es un mal conductor térmico y es capaz de retener el frío exterior durante mucho rato.

Con el tiempo también se enfría la capa de hielo, y en este caso las flores de las plantas también morirían, aunque fuera con retraso. Sin embargo, si se sigue regando por aspersión, se genera efectivamente calor. Para comprenderlo examinaremos primero el caso inverso: qué pasa cuando se calienta una materia sólida de manera que se vuelva líquida y finalmente se evapore. El diagrama de energía y temperatura es en este caso más o menos el siguiente:

A una temperatura inferior a cero grados, el agua se halla en estado sólido, es decir, en forma de hielo. Si se le aporta energía, el hielo se calienta. Al alcanzar los cero grados, comienza a fundirse. Este proceso de fusión requiere energía para romper los cristales de hielo en los que están aprisionados los átomos. Por esta razón, la temperatura de la mezcla de hielo y agua se mantiene en cero grados, aunque se siga aportando energía, hasta que se haya fundido todo el hielo. Esta energía de fusión se puede cuantificar exactamente: 333 julios por gramo.

El agua se calienta si se aporta calor de modo constante, y lo hace más lentamente que el hielo, pues su capacidad térmica es más elevada. A una temperatura de 100 grados ocurre algo parecido que en el punto de fusión: para que el agua se transforme en vapor es preciso superar las fuerzas que mantienen estrechamente unidas las moléculas en estado líquido. De nuevo es preciso infundir cierta cantidad de energía para lograr la transición de un estado a otro. La energía de evaporación del agua es de 2.257 julios por gramo. Solo entonces comienza el vapor a seguir calentándose.

La ley de la conservación de la energía establece que si se invierte este proceso, con cada paso se libera de nuevo la misma energía que previamente se había aportado. Esto se aplica a los procesos de enfriamiento dentro de cada uno de los tres estados, pero también se aplica a la condensación (conversión de vapor en agua) y la solidificación (conversión del agua en hielo). Cuando el agua se congela sobre las flores, libera energía, que equivale no solo a la diferencia de temperatura con el entorno, sino a la suma de esta y una porción suplementaria, el llamado calor de solidificación o cristalización, que ayudará a proteger las flores.

El viticultor hará bien en dosificar el riego de manera que pueda mantenerlo durante toda la noche. De este modo se transforma continuamente agua en hielo y se genera ininterrumpidamente este calor de solidificación. Si no lo hace, existe el peligro de que se produzca otro proceso: el de sublimación, es decir, la conversión directa de hielo en vapor, sin pasar por la fase líquida. Este fenómeno se observa, por ejemplo, en la ropa que se tiende en el exterior cuando la temperatura está bajo cero. Aunque al principio se hiele y quede tiesa como un palo, después se queda seca. Y este proceso de sublimación requiere energía (concretamente, la suma de energía de fusión y de evaporación), que extrae, entre otras, de la propia planta, de manera que esta puede enfriarse hasta límites peligrosos.

UNA SUSTANCIA MUY ESPECIAL Los procesos descritos hasta ahora son los que tienen lugar en condiciones de presión atmosférica normal de alrededor de 1 bario. Sin embargo, esta presión influye mucho en el comportamiento de una materia, y por ello los físicos dibujan los llamados diagramas fásicos, que indican en qué estado se halla una sustancia bajo cualquier combinación de temperatura y presión. El plano es como un mapa dividido en tres secciones: el reino sólido, el líquido y el gaseoso. Los límites entre ellos describen las fases de transición entre los distintos estados de agregación de una sustancia. Trazando una recta a la altura de la presión de 1 bario, se obtienen los conocidos cambios de fase del agua bajo presión normal, es decir, el punto de fusión a cero grados y el punto de ebullición de 100 grados.

En todos los diagramas fásicos existe un punto en el que lindan los tres «reinos». Bajo la temperatura y la presión correspondientes, la sustancia puede hallarse en cualquiera de los tres estados de agregación. El agua tiene este llamado punto triple a una temperatura de casi cero grados y una presión muy baja de tan solo 0,006 barios.

Una propiedad sorprendente del agua es la que se ve a lo largo de la línea discontinua del gráfico anterior: bajo temperaturas inferiores a cero grados existe primero una zona de presión muy baja en la que el agua tiene forma de vapor. Si se incrementa la presión, el agua se solidifica, es decir, se «resublima», pero si acto seguido se somete este hielo a una presión muy alta, de pronto se vuelve líquido. Esto se debe a la llamada anomalía de la densidad del agua. Casi todas las demás materias tienen su máxima densidad en estado sólido, el líquido suele ser menos denso y el gas, por supuesto, es el menos consistente. No ocurre lo mismo con el agua: cuando el hielo se funde a cero grados, la densidad aumenta rápidamente, alcanzando el máximo a una temperatura de 4 grados.

Por tanto, si comprimimos hielo, las moléculas tratan de juntarse más dentro de la estructura cristalina, pero no pueden porque las distancias en esta estructura no son muy variables. Sin embargo, existe una alternativa en la que la densidad es mayor, que es el estado líquido, de manera que el hielo sometido a presión se torna líquido. Así es como funciona, por ejemplo, el patinaje sobre hielo.

La causa de esta anomalía del agua estriba en el hecho de que las moléculas de agua pertenecen a la llamada categoría de los dipolos: los dos átomos de hidrógeno no están vinculados al átomo de oxígeno en puntos diametralmente opuestos, sino más bien como las orejas de un oso de peluche. Puesto que en los átomos de hidrógeno existe un excedente de carga eléctrica positiva y en el átomo de oxígeno un excedente de carga eléctrica negativa, se generan potentes fuerzas de atracción electromagnéticas entre las moléculas. Estas forman, en estado líquido, en el que pueden desplazarse libremente, «racimos» muy densos, desde luego más densos que los cristales de hielo geométricos.

No es exagerado decir que sin esta anomalía del agua no habría vida en la Tierra. En primer lugar, a las temperaturas imperantes en la Tierra no sería líquida, sino gaseosa, como el dióxido de carbono, que es más pesado. Dado que el agua pesa más que el hielo, este siempre flota en la superficie, lo que hace, por ejemplo, que los lagos se congelen siempre de arriba abajo. Muy rara vez se hielan hasta el fondo, lo que permite a la flora y la fauna sobrevivir en el fondo a las fuertes heladas; si estas masas de agua, en cambio, se congelaran de abajo arriba, cada invierno morirían todos los seres vivos de su interior. En estas circunstancias no cabe duda de que la evolución no podría haber producido el ser humano.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: si en un día frío se coloca en el exterior una olla con agua caliente y otra olla con la misma cantidad de agua fría, puede ocurrir que el agua caliente se congele antes que el agua fría. ¿Cómo es posible?

14    EL CULTO CUÁNTICO

O SUICIDIO POR LA CIENCIA

El cuadro que ven horroriza a los detectives: en la vivienda de tres habitaciones en que han irrumpido los agentes hay cinco cadáveres, tres hombres y dos mujeres. Aparentemente todos han muerto de un disparo en la cabeza. Hay sangre por todas partes.

Una vecina ha oído los disparos y alarmado a la policía. Ahora han llegado los detectives de la brigada de homicidios y han empezado a buscar pistas.

—Una historia muy extraña —dice el subcomisario Herrero a su jefe, Darío Beltrán—. Los cinco están muertos, de un disparo en la cabeza. No hay otras señales de violencia en los cuerpos y la única arma que hemos hallado es esa pistola tan rara que hay allí, sujeta a un dispositivo mecánico.

Beltrán pasa al salón y contempla la extraña máquina de matar. La pistola es una Llama de 9 milímetros y está montada sobre un mecanismo que acciona el gatillo y que a su vez está acoplado a una pequeña caja aparentemente electrónica, dotada de un par de interruptores y una pequeña pantalla numérica.

—¿No hay señales de violencia, dices? —pregunta Beltrán—. ¿Tampoco estaba violentada la puerta?

Herrero niega con la cabeza.

—¿Qué se sabe de las víctimas? —quiere saber el comisario.

—Poca cosa, de momento. Sus edades oscilan entre 25 y 45 años, alto nivel educativo, todos con título universitario, físicos, matemáticos, filósofos y cosas por el estilo. Ninguno tiene antecedentes policiales, no consta nada sobre ellos en el registro de penados.

—Hum. No me extrañaría nada que las balas que llevan en la cabeza hayan salido todas de esta máquina infernal —murmura Beltrán—. ¿Sabe alguien qué clase de aparato es este?

Herrero se encoge de hombros. No entiende mucho de técnica, como la mayoría de los compañeros. En toda la comisaría no hay más que una conexión a Internet. Habrá que pedir que venga un experto de la ciudad, y esto todavía puede tardar.

Beltrán va y viene por el salón. ¿Es posible que no se trate de un asesinato, sino de un suicidio colectivo? No sería la primera vez que unos chalados se quitan la vida esperando acceder a un mundo mejor. Pasa la mirada por los lomos de los libros de la estantería. Junto a unas cuantas novelas de ciencia ficción predominan los mamotretos de carácter científico: El universo elegante, El loco mundo de los universos paralelos, Interpretaciones ideológicas de la teoría cuántica. Nada de títulos esotéricos que denotaran alguna tendencia destructiva.

Mientras reflexiona, oye un grito agudo reprimido. Beltrán se vuelve y ve, junto a la puerta del salón, a una mujer joven que se tapa la cara con las manos y solloza para sus adentros.

Beltrán se acerca de inmediato a ella.

—Lo han hecho, lo han hecho de verdad —gime la mujer con la voz entrecortada por los sollozos.

—Pase y siéntese —trata el comisario de tranquilizar a la recién llegada. Le rodea los hombros con el brazo y la conduce a la cocina. Para ahorrarle la terrible visión de la masacre y también para poder hablar con ella sin que nadie les moleste.

—Beltrán, de la brigada de homicidios —se presenta. El comisario odia estas situaciones en las que tiene que hacer de agente frío y ajeno a todo sentimiento, mientras que para su interlocutora se está hundiendo todo un mundo—. Dígame por favor quién es usted y qué relación tenía con las víctimas.

—Me llamo Marina Espasa —dice la mujer, que mientras tanto se ha calmado un poco y a quien Beltrán pone 25 años de edad—. Soy hermana de Andrés Espasa, el propietario del piso. El antiguo propietario.

De nuevo se pone a llorar.

—Ha dicho algo así como «lo han hecho». ¿Quién ha hecho qué? —pregunta Beltrán en voz baja, tratando de no parecer demasiado seco.

—Andrés era físico —dice Marina Espasa después de tranquilizarse de nuevo un poco—. Estaba especializado en física cuántica y se dedicaba también a las consecuencias filosóficas de todo eso. Yo estudié filología y no entiendo nada de esas historias, pero por lo visto los físicos siguen teniendo dificultades para interpretar las consecuencias de la teoría cuántica. Andrés me contó una vez la historia del gato de Schrödinger; se trata de un gato que está encerrado en una caja y que está vivo y muerto al mismo tiempo hasta que se levanta la tapa.

—Hum —murmura Beltrán. La física no había sido su fuerte en la escuela y tampoco ahora tiene ganas de ocuparse intensamente de esta rama de la ciencia, a menos que sea importante para resolver el caso.

—A ver si sé explicarlo —prosigue la mujer, sin dejarse desanimar por el manifiesto desinterés de Beltrán—. En la caja hay un dispositivo en el que se desintegra un átomo, o puede que no se desintegre; la probabilidad de que esto suceda en la hora siguiente es del 50 %. Si se desintegra el átomo, un contador Geiger lo registra y este activa a su vez, a través de un relé electrónico, un martillo que rompe una ampolla que contiene ácido clorhídrico, y el gato muere al instante.

Déjala que hable, piensa Beltrán sin decir nada, aunque no tenga nada que ver con el caso. Lo ha observado a menudo en las personas que han sufrido un choque emocional.

—Siga, siga. ¿Quiere que le sirva un té?

—Sí, gracias —dice la mujer con la mirada perdida en la lejanía; se ve que le cuesta recordar los tecnicismos con que su hermano siempre la abrumaba—. El átomo es un sistema que obedece a la mecánica cuántica, o algo así, que se desintegra y al mismo tiempo no se desintegra, y ambos estados se superponen de alguna manera. Solo cuando alguien lo observa se estabiliza en uno de los dos estados. Esto significa que mientras nadie abra la caja, el átomo está desintegrado y no desintegrado, la ampolla está intacta y rota y el gato está vivo y muerto. Solo cuando miramos dentro de la caja se fija claramente su estado.

—Menuda tontería —se le escapa a Beltrán.

—¿Verdad? —dice Marina Espasa, cuyo rostro parece ahora esbozar una sonrisa—. Por supuesto que nadie se lo ha creído nunca de verdad, pero por lo visto la teoría cuántica es la teoría física más comprobada que existe y de alguna manera hay que acomodarse a lo que dice. Lo que acabo de describir es la llamada interpretación de Copenhague, pero existen asimismo explicaciones alternativas, y una de ellas es la llamada teoría de los múltiples universos de un tal Hugh Everett.

Beltrán recuerda haber visto ese nombre en el lomo de uno de los libros de la estantería.

—Según esta teoría, no existe esta superposición de dos estados, sino que tras cada suceso cuántico el universo se parte en dos: en uno se desintegra el átomo y el gato muere, mientras que en el otro no se desintegra el átomo y el gato sobrevive.

—Suena muy extraño —murmura Beltrán, quien ahora quisiera saber qué tiene que ver todo esto con el caso. Al fin y al cabo, no se trata de cuadrúpedos hipotéticamente muertos, sino de cinco cadáveres humanos muy reales; un caso del que se hará eco toda la prensa nacional, y esta no querrá que les explique una historia sobre el gato de ese físico de apellido impronunciable—. ¿Cree usted que estas teorías tienen algo que ver con lo que ha ocurrido hoy aquí?

—Desde luego —dice Espasa—, ahora mismo se lo explico. La mayoría de los físicos parten de que no es posible determinar si la interpretación clásica de esta historia es correcta, es decir, la del gato que vive y está muerto, o si lo es la teoría de los múltiples universos. No obstante, mi hermano leyó un artículo de un tal Max Tegmark, un físico sueco, que afirma que sí es posible verificar la teoría de los múltiples universos, y hay quien la interpreta incluso en el sentido de que te garantiza la inmortalidad.

Al escuchar la palabra «inmortalidad», Beltrán comienza a cavilar. Esto le suena mucho a una secta esotérica, y las víctimas han experimentado por lo visto de una manera brutal que son realmente mortales. Contempla a la hermana del físico con mirada inquisitiva. Marina Espasa toma un trago de té y dice:

—Hay que meterse en la piel del gato, me ha dicho Andrés una y otra vez. ¿Cómo vive el animal el experimento? Si es correcta la interpretación clásica, entonces muere en la mitad de los casos. Pero si es cierta la teoría de los múltiples universos, entonces el gato sobrevive subjetivamente en todos los casos, si es que todavía existe un gato.

—Ahora me he perdido —dice Beltrán resignado.

—Ese Tegmark ha inventado una llamada «máquina de suicidio cuántico», o MSC, como la llamaba Andrés. Consiste en una pistola cuyo gatillo está acoplado a un dispositivo electrónico. Tan pronto se pulsa el botón de un mando a distancia, la máquina cuántica mide el espín de un fotón cualquiera. Esto no hace falta que lo entienda usted, pero ese espín puede ir en una dirección o en otra, a la izquierda o a la derecha, y la probabilidad de ambas es la misma. Si el espín va a la derecha, la máquina no hace más que «clic», pero si va a la izquierda, acciona el gatillo de la pistola y se dispara la bala.

—¿Quiere decir esto que más o menos en la mitad de todos los casos se produce un disparo? ¿Como en la ruleta rusa, pero con muchas menos probabilidades de sobrevivir? —pregunta Beltrán. Poco a poco la conversación deriva hacia un terreno en el que se siente como en casa.

—Eso es —contesta Espasa—. Si prueba usted la máquina y tiene suerte, tal vez haga «clic» dos o tres veces, pero en algún momento no cabe duda de que hará fuego. Que no dispare diez veces consecutivas tiene una probabilidad de uno por mil. Pero piense en la teoría de los múltiples universos: cada vez que se acciona el botón del mando, la medición cuántica divide el mundo en dos universos, después en cuatro, luego en ocho y así sucesivamente, y las consecuencias de los clic y los disparos le muestra en cuál de los múltiples universos ha ido usted a parar.

—Todo esto todavía me suena bastante engañoso, pues por lo visto el resultado es el mismo— murmura Beltrán.

—No cuando está usted sentado delante de la máquina y el arma le apunta a la cabeza —replica la mujer—. Si acciona usted el botón, siempre oirá tan solo un «clic». Porque en el universo paralelo en que se dispara la bala, usted muere de inmediato y no oye nada. Imagine que lo hace usted diez veces: después de la última se halla usted en aquel de los 1.024 universos en el que ha hecho diez veces «clic» seguidas. Todas las demás versiones de su persona están muertas y no tienen conciencia de la situación. Esto al menos lo ha interpretado mi hermano en el sentido de que la teoría cuántica le convierte en inmortal.

—¿Y entonces ha convertido esta idea en un culto? —pregunta Beltrán, quien desea llevar con cuidado la conversación a los terribles sucesos del día.

—¿Culto? Yo no lo llamaría así. Pero habló de ello con unos amigos. Se reunían a menudo para discutir sobre los últimos trabajos científicos. Álex, el filósofo, Olga, la matemática, Dora, otra física teórica. Y Alberto, el físico experimental que se encarga en el laboratorio de los dispositivos de ensayo. Fue él quien tuvo la idea de construir la máquina MSC.

—Y usted, ¿estaba al tanto de todo esto? —pregunta Beltrán, ahora con un punto más de énfasis. Marina le mira a los ojos y se percata de lo que está pensando el comisario.

—¿Quiere decir que tendría que haber avisado a la policía? Yo no sabía que lo estaban planeando en serio —dice entre sollozos—. Y en las últimas tres semanas, Andrés no se puso en contacto conmigo. A lo sumo le he visto en compañía de los otros cuatro, incluso en el comedor universitario se sentaban juntos y conversaban entre ellos. Pero que lo harían de verdad…

En este momento entra el subcomisario Herrero en la cocina.

—Jefe, hemos encontrado una carta junto al ordenador. Me parece que es una especie de confesión.

Beltrán mira el papel. Una hoja blanca de formato DIN A4, impresa por una cara con un breve texto seguido de las firmas manuscritas de las cinco víctimas. Habrá que pedirle al grafólogo que compruebe la autenticidad de las firmas. El comisario lee en voz alta:

Queremos pedir perdón expresamente por las molestias que les causamos y el dolor que infligimos a nuestros amigos y parientes. Si encuentran esta carta, quiere decir que se ha producido lo que era de esperar con una probabilidad del 99,9 por ciento: estamos todos muertos. Cada uno de nosotros ha accionado la máquina MSC como máximo diez veces colocándose delante de la pistola, con una probabilidad del 50 por ciento cada vez de que se produjera el disparo.

Somos partidarios convencidos de la teoría de los múltiples universos y por tanto ahora existe un sinnúmero de mundos, algunos en los que solo han muerto cuatro de nosotros y uno ha sobrevivido y otros en los que han fallecido uno, dos o tres. Cada uno de nosotros sigue viviendo en alguna parte, incluso en varias a la vez. Y existe un universo en el que seguimos vivos todos nosotros. En ese mundo contaremos nuestra historia, que hemos documentado mediante un vídeo. Y al menos allí este será el golpe de gracia para la interpretación de Copenhague y la demostración definitiva de la teoría de los múltiples universos, salvo para unos cuantos desaprensivos que creen más en una casualidad sumamente improbable cuya probabilidad es de 1 a 2⁵⁰ o 1 a 1.000.000.000.000.000.000. Este paso decisivo para la ciencia justifica nuestra acción, aparte de la prueba de que los seres humanos pueden ser realmente inmortales. A quienes han permanecido aquí les saludamos desde otro mundo, en el que seguimos sintiéndonos unidos a ellos.

Beltrán deja la hoja sobre la mesa. Marina Espasa mueve la cabeza de un lado a otro en silencio. El dolor está cediendo ante un sentimiento de rabia. Da un fuerte golpe con el puño sobre la mesa.

—¡Cuánto egoísmo! —exclama—. Aunque la teoría sea cierta, ¿han pensado alguna vez esos cinco en que por mucho que subjetivamente todos ellos sobrevivan, hacen infelices a miles de millones de personas en miles de millones de mundos? ¿Cómo se puede ser tan obcecado?

Beltrán se limita a mover la cabeza. Hasta ahora pensaba que la física era una ciencia muy racional que se ocupa con toda precisión y de forma verificable de las cosas de este mundo, de este mundo. Y en este mundo hay ahora cinco muertos.

—Herrero —dice levantando la voz—, ¡nos vamos! Creo que este no es un asunto para la brigada de homicidios.

¿QUÉ ES UN OBSERVADOR? Bienvenido, querido lector, a un mundo extraño, el mundo de la teoría cuántica. Como ya se menciona en nuestra historia, forma parte de las teorías más verificadas de la física y al mismo tiempo es la más incomprendida. «Cierra la boca y calcula», contestan muchos profesores cuando un estudiante pregunta qué significan en realidad esas leyes. Claro que también los físicos han reflexionado sobre su significado y dos de las interpretaciones se mencionan en la historia; ambas dejan al profano con una sensación de inquietud.

La mejor manera de ilustrar las leyes de la física cuántica consiste en un experimento clásico, elegido en 2002 por los lectores de la revista Physics World el experimento más bonito de todos los tiempos: el llamado experimento de la doble rendija. Originalmente se trataba de dilucidar si la luz debe considerarse una onda o una partícula (y seguramente usted ya conoce la respuesta: ¡ambas cosas!).

Un foco de luz (monocolor, es decir, de una determinada longitud de onda) se coloca delante de una barrera con dos rendijas que no deja pasar la mayor parte de la luz. Detrás de la barrera se coloca, a cierta distancia, una pantalla. ¿Qué se ve en esta última?

Contemplemos primero la luz como un fenómeno de partículas: el foco es una especie de ametralladora que dispara en todas direcciones los llamados fotones, o partículas de luz. En este caso, en la pantalla de atrás deberían aparecer dos bandas iluminadas.

En cambio, si contemplamos la luz como una onda, se produce un fenómeno que ya hemos visto en el capítulo 7: los distintos picos y valles de las ondas se superponen como dos olas de agua que se cruzan en la superficie de un estanque: cuando choca un pico con otro pico, el resultado es un pico dos veces más alto, y cuando choca un valle con otro valle, el resultado es un valle dos veces más profundo. Pero si chocan un pico con un valle, las dos ondas se anulan recíprocamente. Esto se denomina interferencia.

Como ya se vio en el caso de la pantalla acústica, detrás de un obstáculo, que en este caso es la rendija, podemos ver la onda como si el obstáculo fuera la nueva fuente.

El modelo de onda produce un dibujo de franjas de luz en la pantalla, con una muy intensa en el centro (adonde en realidad no debería llegar la luz) y otras cada vez más tenues hacia ambos lados.

Por tanto, se diría que el modelo de onda se lleva la palma. ¿Se podría explicar este dibujo también con el cañón de partículas? Esto se complica, pues habría que hacer rebotar las partículas en los bordes de las rendijas de una manera compleja y hacerlas colisionar además entre ellas.

Sin embargo, las partículas vuelven a entrar en escena cuando se atenúa el foco de luz, es decir, cuando se reduce progresivamente la cantidad de luz que emite. Entonces se perciben efectivamente, en una pantalla sensible, puntos de luz diferenciados, producidos por los fotones incidentes. Esto no se puede explicar con el modelo de ondas, de modo que ahora prevalece la teoría de las partículas.

Si se disparan de esta manera un gran número de partículas sobre la doble rendija, con el tiempo se produce de nuevo el conocido dibujo de franjas. Por tanto, las partículas de luz se comportan como si fueran parte de una onda. Se interfieren con otras partículas de luz, pero no está del todo claro qué debemos imaginar por este fenómeno; en todo caso, las partículas sin carga no se anulan recíprocamente cuando colisionan entre ellas.

Pero ¿qué significa que «se interfieren con otras partículas»? Podemos desacelerar la ametralladora de tal manera que los fotones salgan realmente uno detrás de otro. De este modo, en cada momento no hay más que una «bala» recorriendo el camino, pero a pesar de todo el resultado es el dibujo de franjas. Esto solo puede interpretarse en el sentido de que la partícula ¡se interfiere consigo misma!

¿Qué significa esto? ¿Ha pasado el fotón por la rendija superior o por la inferior? No lo sabemos. Y se puede decir incluso con cierto grado de certeza que ha pasado por ambas y por tanto ha influido en su propia trayectoria. Cada una de las rendijas tenía una probabilidad del 50 % de que el fotón pasara por ella, pero dado que nadie lo ha observado, tampoco se puede saber por cuál de ellas ha pasado realmente.

Durante un tiempo se intentó explicar esta extraña dualidad en el sentido de que la partícula, por decirlo de alguna manera, «cabalga» sobre la onda, pero esta interpretación ha sido rechazada. No, la teoría cuántica dice claramente: no debemos imaginar las partículas elementales como balas de pistola o pelotas de tenis. Se definen por una llamada función de onda, y esta da determinadas probabilidades con respecto a su ubicación, pero la partícula no está en ninguno de esos lugares mientras no se mida en uno de ellos. Solo cuando se mide —en este caso, cuando se interpone una pantalla en su camino— se deshace la probabilidad y la partícula ocupa un lugar definitivo. En la pantalla se ve un punto de luz.

No cuesta mucho admitir que esta extraña dualidad de onda y partícula se dé en el caso de la luz, es decir, de los fotones carentes de masa, pero lo cierto es que todas las partículas elementales tienen esta particularidad, incluidas las que componen la materia. En 1961 se llevó a cabo el experimento de la doble rendija con electrones, que también muestran el típico dibujo de interferencias. Y hace algunos años han disparado a través de una doble rendija moléculas complejas, llamadas buckyballs, que constan de 120 átomos. También en este caso hubo interferencia.

Esto significa que toda la materia tiene carácter de onda. ¿Hasta qué punto se pueden ampliar los objetos que se disparan a través de la doble rendija? ¿Funciona también con virus? ¿Con bacterias? ¿Con gatos? ¿Con personas?

Otra pregunta asociada es esta: ¿Qué hace que la función de onda se colapse? ¿Qué supone una «observación»? Algunos defensores de la interpretación de Copenhague lo han explicado en el sentido de que un ser consciente ha de realizar una medición. Contra esta idea se dirige el experimento mental de Erwin Schrödinger con el gato, que propuso en el año 1935. Lo curioso de esta historia es que vinculó un suceso del mundo cuántico (el átomo que se desintegra) con un suceso de nuestro mundo cotidiano (un gato envenenado con ácido clorhídrico). La excusa de los físicos de que en el microcosmos rigen leyes distintas que en el macrocosmos dejó de ser convincente.

La pregunta que formuló Schrödinger con su paradoja es: ¿En qué consiste la «observación» que hace que se colapse la función de onda? ¿Ocurre como en la antigua adivinanza zen: cuando cae un árbol en el bosque y no hay nadie que lo oiga, hace ruido? ¿Qué grado de inteligencia ha de tener el observador? ¿No bastaría la de un gato?

La idea de que hace falta realmente un ser inteligente que realiza una medición conduce a conclusiones bastante absurdas. El físico John Stewart Bell escribió en 1990: «¿Qué es exactamente lo que cualifica a los sistemas físicos para desempeñar el papel de “medidor”? ¿Estuvo la función de onda preparada durante miles de años hasta que apareció un ser vivo unicelular? ¿O acaso tuvo que esperar un poco más, a que apareciera un sistema más cualificado… con el grado de doctorado?».

Si se coloca junto a la doble rendija un instrumento de medición que observa las partículas que las cruzan para determinar a través de cuál de ellas ha pasado cada una, entonces el dibujo que aparece en la pantalla deja de ser un dibujo de interferencia y vuelve a mostrar las dos bandas como las que produce el modelo de la «ametralladora». Diríase que las partículas se dan cuenta de que las miden y han de decidirse por una de las dos rendijas, estando obligadas a abandonar la superposición de ambos estados. Pero esto ocurre independientemente de si está presente o no un observador humano. El fenómeno se da incluso cuando todos abandonan el laboratorio y el resultado se comprueba posteriormente.

Lo que hace que se colapse la función de onda, según la interpretación que prevalece actualmente, no es la presencia de un observador, sino la interacción con otros sistemas físicos, y sin esa interacción no es posible ninguna medición. En el caso del gato de Schrödinger, dicha interacción ya se produce cuando el contador Geiger registra la desintegración del átomo. Entonces ya no hace falta una persona que abra la tapa de la caja para matar al gato.

Cuanto más grande es un objeto físico, tanto más difícil es evitar tales interacciones con el entorno. Por eso resultará bastante difícil que un físico logre hacer pasar un gato al mismo tiempo por dos rendijas.

Pero esto no significa que reine el consenso entre los físicos. Existe el grupo de los defensores de la teoría de los universos paralelos. Si la interpretación de la teoría cuántica es una cuestión científica o no y si es posible en general diferenciar experimentalmente las diversas interpretaciones entre sí es objeto de arduo debate entre los físicos actuales. Si los universos paralelos están por principio separados de nosotros de manera que nunca podremos tener noticia de ellos, ¿tiene relevancia para la ciencia saber si existen o no? Y ¿qué significa entonces que «existen»?

El experimento mental del suicidio cuántico propuesto por Max Tegmark en 1997 debe contemplarse en este contexto. El autor escribió en el artículo en cuestión que la opción entre la interpretación de Copenhague y la teoría de los múltiples universos es en última instancia una cuestión de gustos, pues las dos interpretaciones producen exactamente los mismos resultados experimentales, al menos objetivamente. En el plano subjetivo sería efectivamente posible vivir en un multiverso la experiencia paradójica que esperaban los suicidas de nuestra historia. No cabe duda de que el profesor Tegmark no supuso que alguien realizara alguna vez de verdad ese experimento.

EJERCICIO Ahora le toca a usted: según las estadísticas, de 1.000 bebés nacidos hoy seguirán viviendo, dentro de 80 años, la mitad. Un hipotético elemento radiactivo denominado octogintium tiene un periodo de semidesintegración de 80 años, es decir, al cabo de 80 años se habrán desintegrado la mitad de sus átomos. ¿Qué se puede decir de estos dos «procesos de desintegración»?

a) El porcentaje de personas y átomos que sobreviven es más o menos igual en todo momento.

b) Durante los primeros 80 años hay más personas supervivientes que átomos; después ocurre lo contrario.

c) Durante los primeros 80 años hay más átomos supervivientes que personas; después ocurre lo contrario.

LAS DOCE PRINCIPALES

O LAS FÓRMULAS FÍSICAS

MÁS IMPORTANTES

Uno puede pasar muchos años estudiando física y continuamente aparecen nuevas ecuaciones. ¿Cómo se puede determinar cuáles son las más importantes? Hay unas cuantas fórmulas que se utilizan muy a menudo, y entre ellas he seleccionado las que me parecen más importantes.

1. Movimiento uniforme

(v: velocidad, s: distancia, t: tiempo)

El movimiento a velocidad constante es la forma «natural» del movimiento de todos los objetos cuando no actúa sobre ellos ninguna fuerza. Al igual que todas las ecuaciones siguientes, esta también se puede transformar para calcular, por ejemplo, la distancia recorrida cuando se conoce la velocidad y el tiempo.

2. Movimiento acelerado

(s: distancia, v₀: velocidad inicial, a: aceleración, t: tiempo)

Un movimiento acelerado uniformemente se produce cuando sobre una masa actúa una fuerza constante, por ejemplo cuando un cuerpo cae sin fricción en el campo gravitatorio de la Tierra. Con ayuda de esta ecuación se calcula, por ejemplo, qué distancia recorre dicho cuerpo en tres segundos (siendo v0 = 0).

3. La 2.ª ley de Newton

(F: fuerza, m: masa, a: aceleración)

Probablemente es la ley más importante de la mecánica clásica: una fuerza que actúa sobre una masa produce un movimiento acelerado. Esta ecuación lo cuantifica. ¿Cuánta fuerza hay que emplear para acelerar un coche de 1 tonelada de masa en 10 segundos a 100 km/h?

4. Trabajo

(W: trabajo, F: fuerza, s: desplazamiento)

Trabajo es fuerza multiplicada por desplazamiento. Un ejemplo clásico: levantamos una masa a una determinada altura y para ello hemos de trabajar todo el rato contra la fuerza de gravedad. Para el doble de altura de elevación hemos se aplicar, por supuesto, el doble de esfuerzo. Si dejamos de lado las fuerzas de fricción, no realizamos ningún trabajo si desplazamos una masa a la misma altura de A a B.

5. Energía potencial y cinética

(E: energía, m: masa, g: aceleración terrestre, h: altura, v: velocidad)

La energía es, por decirlo así, el «trabajo posible» que encierra una masa. Su magnitud es igual a este trabajo. Por ejemplo, cuando se ha levantado una masa a una determinada altura, su energía potencial equivale exactamente al trabajo realizado (la fuerza necesaria para ello se puede expresar también, de acuerdo con la ecuación n.º 3, con m · a). Si se deja caer la masa desde la altura h, la energía se halla —si por ejemplo le cae a alguien en la cabeza— en el movimiento.

6. Gravitación

(F: fuerza, m₁ y m₂: dos masas, r: distancia entre ellas, G: constante gravitacional)

Conocemos la gravitación principalmente en la forma de la fuerza de atracción terrestre, pero Newton descubrió que dos masas cualesquiera se atraen. Esto quiere decir que todo cuerpo en el universo «siente» a todos los demás, aunque esta fuerza disminuye rápidamente con la distancia: cuando se duplica esta, la fuerza se reduce a un cuarto. En lenguaje matemático se dice que «disminuye con el cuadrado de la distancia».

7. Resistencia eléctrica

(R₁, R₂, … Rn: varias resistencias eléctricas; Rserie: resistencia de una conexión en serie; Rparalela: resistencia de una conexión paralela.)

La fórmulas básicas para calcular la resistencia de un circuito eléctrico complejo.

8. La ley de Ohm

(U: tensión, R: resistencia, I: intensidad)

La fórmula fundamental de la electricidad: calcula qué tensión hace falta para generar una determinada intensidad eléctrica con una resistencia dada. O para calcular cualquiera de las tres magnitudes si se conocen las otras dos.

9. Potencia eléctrica

(P: potencia, U: tensión, R: resistencia, I: intensidad)

Esta ecuación se emplea para calcular la potencia eléctrica necesaria para realizar trabajo. La potencia es trabajo por unidad de tiempo y se mide en vatios; por eso el trabajo se mide en potencia por tiempo, y la unidad es el watio por segundo o el kilovatio por hora.

10. Transformación de Lorentz

(v: velocidad, t, t’: tiempo, c: velocidad de la luz, γ: factor de Lorentz)

Estas ecuaciones se precisan cuando existen masas que se mueven a alta velocidad, cercana a la velocidad de la luz. Entonces ocurren cosas extrañas, las velocidades ya no se pueden sumar, el tiempo se expande, las distancias se acortan. Las respectivas conversiones se efectúan con arreglo a la transformación de Lorentz.

11. Ecuación de Einstein

(E: energía, m: masa, c: velocidad de la luz)

La más famosa de las fórmulas de Einstein, que establece que en principio la masa y la energía son lo mismo; por ejemplo, en el Sol se transforma masa en energía radiante, y la ecuación indica cómo se convierte la masa en energía y viceversa con ayuda del factor constante c².

12. Principio de incertidumbre de Heisenberg

(Δx: desviación del lugar de una partícula, Δp: desviación del impulso de una partícula: h: constante de Planck)

No se trata de una ecuación, sino de una inecuación, que establece que el producto del miembro izquierdo siempre es mayor que un valor constante, aunque sea muy pequeño. Esto significa que si queremos medir la ubicación de una partícula de forma precisa, es decir, con un Δx reducido, entonces el desvío de la medición de su impulso, Δp, será tanto mayor. La precisión en el caso de ambas magnitudes es por principio imposible.

EJERCICIOS: SOLUCIONES

En www.planetadelibros.com/la-seduccion-de-lafisica-libro-67630.html figuran cálculos detallados sobre cuestiones diversas.

Página 15 – Supongamos para simplificar que un iceberg pequeño tiene una masa de 1.000 toneladas. Su volumen será entonces de 1.111 metros cúbicos. Desaloja una cantidad de agua de mar de 1.000 toneladas, que tienen un volumen de 980 metros cúbicos. Por tanto, 131 metros cúbicos están fuera del agua y representan entre una novena y una octava parte del volumen total. Este valor puede oscilar en la realidad, y sobre todo la densidad del hielo puede ser menor si hay mucho aire encerrado en el iceberg.

Página 25 – Los empujoncitos sobre la silla desplazan el centro de gravedad del sistema hombre-silla. Puesto que el centro de gravedad tiende a conservar su posición en el espacio, la posición de la silla variaría muy poco con cada sacudida; la adherencia entre la silla y el suelo lo impide. Hace falta un impulso muy fuerte para superarla, y entonces la silla se desplaza deslizándose. Fuertes sacudidas en una dirección y suaves movimientos en la dirección contraria permiten desplazarse sobre el suelo. Dicho de otro modo: la adherencia es la fuerza exterior que produce el movimiento.

Página 32 – Podemos ver el reloj de arena como una «caja negra», un sistema cerrado cuya masa no varía a lo largo del experimento. Por eso, en ambos casos actúa la misma fuerza, y la balanza permanece en posición horizontal. Podemos omitir las fuerzas generadas por el movimiento de los granitos de arena, porque si la arena cae uniformemente, dichas fuerzas se compensan: la arena que cae dentro del reloj ejerce tanta fuerza sobre el suelo del mismo que la que se pierde por la caída de los granitos. Al comienzo del experimento todavía no caen granos y por eso la balanza se desvía un poco hacia arriba, y al final los últimos granitos que caen provocan una ligera desviación hacia abajo.

Página 50 – Aunque parezca fácil, ni siquiera el más forzudo lograría colocar la cuerda con el listín telefónico en posición horizontal. Esto se puede ilustrar dibujando un paralelogramo de fuerzas: mientras la cuerda tenga un ángulo de menos de 90 grados con respecto a la vertical, ninguna componente de la fuerza de tracción tira del listín para arriba. Cuando la cuerda está estirada, la fuerza de tracción forma un ángulo recto con la vertical, por lo que no contrarresta el peso.

Página 63 – No existe una «energía fría», sino solamente máquinas que se las ingenian para transformar la energía térmica. El frigorífico extrae energía calorífica del interior y la evacúa por el lado de atrás al exterior. En este proceso «consume» energía eléctrica, que también se convierte en calor. Por tanto, a fin de cuentas después hay más calor que antes. Si dejamos abierta la puerta de la nevera, este proceso se refuerza todavía más, pues el termostato no apaga en ningún momento el proceso de refrigeración y la nevera sigue funcionando continuamente a plena potencia. Por tanto, la cocina se calienta.

Página 72 – La «voz de Micky Mouse» que se adquiere al respirar helio no se debe a un aumento de la frecuencia de la voz. Las cuerdas vocales no vibran en una atmósfera de hielo con mayor o menor rapidez que en el aire. Sin embargo, debido a que el sonido se propaga más rápidamente en el helio que en el aire (a 981 metros en vez de 343 metros por segundo), cambian las condiciones de resonancia en la cavidad bucal, se refuerzan otras frecuencias armónicas de la voz y cambia el timbre de esta. Para comprobar que no cambia la altura del tono basta cantar una canción: no tenemos ningún problema en hacerlo con el tono habitual.

Página 85 – La señales llegan al planeta A cada 12 minutos. (Cálculo detallado en el sitio web.)

Página 94 – También funciona si el vaso solo está parcialmente lleno. Desde fuera aprieta la presión atmosférica sobre el posavasos, desde dentro la presión del aire encerrado en el interior y la columna de agua relativamente pequeña. Esto hace que primero ceda un poco la tapa, pero tan pronto como el agua ha descendido un poco (y la tensión superficial todavía le impide salir entre el borde del vaso y el posavasos), aumenta el volumen del aire encerrado y disminuye su presión; con un poco de habilidad se consigue mantener todo en equilibrio sin que se salga el agua.

Página 102 – La respuesta c es la correcta: el crepúsculo es más breve al comienzo de la primavera y del otoño. (Cálculo detallado en el sitio web.)

Página 107 – La velocidad teórica que debería tener una bala para dar una vuelta a la Tierra se calcula con la misma fórmula con la que hemos calculado la duración de una vuelta de la estación espacial internacional. El valor resultante es de 27.360 km/h. Es también la velocidad que precisa un cohete para escapar del campo gravitacional de la Tierra.

Página 125 – La solución matemática exacta de la estabilidad del péndulo invertido rebasaría el marco de este libro. No obstante, desde el punto de vista cualitativo podemos decir que si la aceleración en sentido vertical que experimenta el péndulo a causa de la vibración es mayor que la aceleración terrestre, este efecto de la gravitación queda compensado y el péndulo no se tumba.

Página 130 – La cuestión de por qué el agua caliente se congela en determinadas circunstancias más rápidamente que el agua fría ha provocado vehementes discusiones entre los físicos. La explicación más sencilla del fenómeno es que mientras el agua todavía se halla en estado líquido, siempre se evapora una parte, y el agua caliente se evapora más rápidamente que la fría. Esto hace que al final tenga que congelarse una parte menor del agua que antes estaba caliente que de la fría, por lo que es posible que el proceso tenga lugar con mayor rapidez.

Página 141 – El proceso de desintegración de partículas radiactivas no tiene nada que ver con la «extinción» de una determinada población de seres humanos o animales. Un átomo tiene siempre la misma probabilidad de desintegrarse y «no sabe» cuánto tiempo lleva esperando el momento. Los seres vivos envejecen y por eso aumenta la probabilidad de que mueran (mortalidad) con la edad. Esto significa, con respecto al problema planteado, que durante los primeros 80 años mueren menos personas que los átomos que se desintegran, pero después la población humana disminuye con mayor rapidez. Al cabo de 160 años todavía quedará un cuarto de los átomos, pero difícilmente alguna de las personas.

FUENTES

NO TE PRECIPITES El primer relato de la historia del «Eureka» fue, como se señala en el texto, de Vitruvio (siglo I a.C.). El matemático Chris Rorres, de la Universidad de Nueva York, ha colgado en Internet un sitio web sobre Arquímedes con muchas informaciones bibliográficas y científicas, en particular sobre el problema de la corona de oro.

EL ÚLTIMO DESCENSO Los aspectos físicos de la práctica del esquí están bien descritos en el artículo «Biomechanische Aspekte des Skirennsports», publicado en el sitio web de la Asociación de Esquiadores de Alemania. El matemático Norbert Herrmann ha abordado el mismo problema en su libro Mathematik ist wirklich überall (Oldenburg Verlag, 2009) con fórmulas un poco distintas, pero ambos llegamos a los mismos resultados.

LA FUERZA DE LOS DOS CABALLOS El sitio web answers.com ofrece informaciones sobre la historia de la empresa Levi’s, tomadas de varias bases de datos de economía.

LA MUJER DE 20 METROS He aquí dos bonitos artículos sobre el escalado equivocado en el cine: «The Biology of B-Movie-Monsters», de Michael C. LaBarbera, University of Chicago Digital Library; «Godzilla versus Scaling Laws of Physics», de Thomas R. Tretter, The Physics Teacher 43, p. 530. Y este es un tratado sobre las leyes del escalado de seres vivos: «Life’s Universal Scaling Laws», de Geoffrey B. West y James H. Brown, Physics Today 57/9, p. 36.

FÍSICA DE CHARCUTERÍA Todo lo que hay que saber sobre la salchicha está en el sitio web wurstakademie.com.

EN LA OFICINA DE PATENTES Un excelente sitio web privado que explica todo sobre el móvil perpetuo, incluida una amplia bibliografía y vínculos de Internet, es el sitio de Hans-Peter Gramatke.

EL MURO (Casi) todo sobre la propagación del ruido está en la tesis doctoral de Sebastian Hampel: «Numerische Simulation der Schallausbreitung unter Berücksichtigung meteorologischer Einflüsse» (Universidad Técnica de Brunswick). Para una información más compacta, véase el sitio web del Centro Aeroespacial de Alemania (Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt (DLR): «Hängt der Lärm vom Wetter ab?»

LA HERMANA GEMELA REJUVENECIDA En el sitio web www.relativitaetsprinzip.info se encuentra una buena exposición sobre la paradoja de los gemelos (incluso una de trillizos).

EN EL ECUADOR La mejor fuente sobre todas las falsas ideas en torno a la fuerza de Coriolis es el sitio web «Bad Coriolis», de Alistair B. Fraser. Para una explicación exhaustiva del efecto, véase Anders Persson, «The Coriolis Effect – a conflict between common sense and mathematics», disponible en el sitio web del Instituto Meteorológico Noruego.

EN EL CUARTO DE LOS NIÑOS En Internet podemos encontrar montones de explicaciones sobre las razones de que los aviones vuelen, pero ¡cuidado!, muchas son erróneas. Para una excelente sinopsis de todo lo que tiene que ver con la aerodinámica del vuelo (y más cosas), véase el documento web «See How It Flies», de John S. Denker.

¿MERA CASUALIDAD? Pierre Basieux ha escrito toda una serie de libros sobre la física de la ruleta (todos editados en alemán).

EL VITICULTOR BORRACHO En el sitio web de enseñanza de la física se relata una anécdota parecida, referida a viticultores de la Toscana.

EL CULTO CUÁNTICO El extraño planteamiento del suicidio cuántico lo desarrolló Max Tegmark en el artículo «The Interpretation of Quantum Mechanics: Many Worlds or Many Words?», publicado en Fortschritte del Physik 46, pp. 855-862.

PROBLEMAS En Internet se encuentran muchísimos sitios con toda clase de problemas de física, pero quiero recomendar en particular un libro que no solo plantea problemas interesantes, sino que además explica las soluciones de un modo excelente: Lewis C. Epstein, Thinking Physics (Insight Press, 2002).

La seducción de la física

Christoph Drösser

No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su incorporación a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, sea éste electrónico, mecánico, por fotocopia, por grabación u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del editor. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal)

Título original: Der physic-verführer. Versuchsanordnungen für alle Lebenslagen

Publicado originalmente por Rowohlt Taschenbuch Verlag

© del diseño de la portada, Mauricio Restrepo, 2012

© de la imagen de la portada, Miriam Bauer, 2012

© de la fotografía del autor, Jochen Quast

© © 2010: Rowohlt Verlag GmbH

© de la traducción: Sergio Pawlowsky, 2012

© Editorial Planeta, S. A., 2012

Editorial Ariel es un sello editorial de Planeta, S. A.

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Primera edición en libro electrónico (epub): junio 2012

ISBN: 978-84-344-0418-2

Conversión a libro electrónico: Newcomlab, S. L. L.

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