Después del dinero y el enchufe, nada abre tantas puertas como el ingenio. Ser ingenioso es casi tan útil como ser guapo, y en ocasiones incluso más. Una solución ingeniosa a un problema inesperado puede suministrarte un empleo, librarte de una bofetada o, llegado el caso, salvarte la vida como a Ulises.

Igual que una dieta adecuada y un poco de ejercicio mejoran la forma física de cualquiera, el aprendizaje y el entrenamiento pueden mejorar la forma mental del más lerdo, y eso es precisamente lo que pretende este libro: ofrecer alimento y gimnasia para el espíritu. Por una parte, encontrarás en él una serie de juegos y trucos que te permitirán divertir o burlar a propios y extraños; por otra, una selecta colección de problemas de ingenio que debes intentar resolver por ti mismo antes de incorporarlos a tu arsenal.

Todos han sido especialmente pensados para devolver vigor y agilidad a las abotargadas neuronas del hombre de hoy.

Carlo Frabetti

Manual del ingenioso

Cómo ganar puntos y quedarse con el personal

ePub r1.1

Titivillus 12.03.2023

Carlo Frabetti, 1989

Ilustraciones: Luis Pérez Ortiz

Diseño de cubierta: Wunderman

Editor digital: Titivillus

ePub base r2.1

Instrucciones de uso y abuso

Después del dinero y el enchufe, nada abre tantas puertas como el ingenio. Ser ingenioso es casi tan útil como ser guapo, y en ocasiones incluso más. Una solución ingeniosa a un problema inesperado puede suministrarte un empleo, librarte de una bofetada, ganarte el respeto de los demás o, llegado el caso, hasta salvarte la vida, como a Ulises.

Aunque cabe preguntarse si el ingenioso nace o se hace, y en qué medida los genes y la etapa infantil de formación de la personalidad condicionan nuestro ingenio futuro, es indudable que el aprendizaje y el entrenamiento pueden mejorar la forma mental, igual que una dieta adecuada y un poco de ejercicio mejoran la forma física de cualquiera.

Este libro te ofrece alimento y gimnasia para tu espíritu: por una parte, encontrarás en él una serie de juegos y trucos (e incluso trampas, para qué negarlo) que te permitirán, en un momento dado, ganar una consumición en el bar, divertir a tus amigos o burlar a tus enemigos (o viceversa); por otra, una selecta colección de problemas de ingenio que debes intentar resolver por ti mismo antes de incorporarlos a tu arsenal.

Los problemas se distinguen de los juegos y trucos porque llevan, a continuación del título, un número dentro de un círculo, que remite a la sección de «pistas» y a la de soluciones (y eventuales moralejas). Si un problema se te resiste (y te aseguro que más de uno se te resistirá), no corras a buscar la solución en las páginas correspondientes, y si estás realmente desesperado pasa antes por la sección de «pistas» e inténtalo de nuevo con esta pequeña ayuda adicional. No se trata de una simple cuestión de amor propio: si un problema se te resiste es, muy probablemente, porque en el camino de la resolución se interpone un vicio de pensamiento, un obstáculo mental. Leyendo la solución rodearás el obstáculo, pero resolviéndolo por ti mismo lo demolerás hasta los cimientos. Y destruir nuestros obstáculos mentales es una de las cosas más positivas y gratificantes que podemos hacer, la única que puede allanarnos el camino del ingenio.

En el sencillo esquema problema-pista-solución-moraleja se halla compendiada la gran aventura del pensamiento, y cada vez que alguien desarrolla ese proceso por sí mismo está participando activamente en esa aventura, la más apasionante de todas.

Este libro no hará de ti un Voltaire si eres un Guerra, pero tal vez te ayude a descruzar algunos cables y agilizar unas cuantas neuronas, amén de suministrarte no pocos recursos para divertir, asombrar o burlar a propios y extraños; si lo consigue, mis esfuerzos se verán ampliamente recompensados. Sobre todo si el libro se reedita…

CARLO FRABETTI

JUEGOS

Con lápiz y papel

«En verdad os digo que si no os hiciereis como estos pequeñuelos no entraréis en el reino de los cielos…» ¿Te suena, escéptico lector?

Pues bien, los pasatiempos y problemas de este capítulo parecen juegos de niños (pajaritas de papel, cerditos en el corral, unir puntos…), de ésos que los tiernos infantes improvisan en el colegio para sacarle algún provecho al papel y al lápiz (o bolígrafo), único material lúdico del que disponen en su cautiverio; pero te aseguro que si no aprendes a jugar como ellos no entrarás en el reino del ingenio…

La huidiza pajarita 1

Tal vez no sepas hacer pajaritas de papel, pero seguro que las has visto mil veces y crees saber cómo son, presuntuoso lector; pues bien, intenta dibujar una y te darás cuenta de que no es tan fácil como creías… Es más, si te tuviera delante apostaría contigo a que no eres capaz de dibujar con un mínimo de fidelidad el perfil de una pajarita.

Y eso es lo que tú puedes hacer con altas probabilidades de ganar: apostar con alguien a que no sabe dibujar una pajarita de papel, con la seguridad de que ganarás en el noventa por ciento de los casos. (La gracia de esta apuesta estriba en que casi todos creen saber dibujarla hasta que lo intentan).

En las páginas de soluciones encontrarás una fórmula infalible para dibujar pajaritas fidedignas; pero no olvides pasar antes por la sección de «pistas». (Como verás, ni siquiera contemplo la posibilidad de que lo logres tú solo… a no ser que seas funcionario y te pases la vida haciendo papiroflexia a costa del contribuyente).

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Dibujar un sobre de un solo trazo 2

La figura de un sobre abierto es mucho más fácil de recordar y dibujar que la de la pajarita de papel; pero lo que no resulta tan sencillo es dibujarlo de un solo trazo y sin que el lápiz vuelva a pasar por una línea ya trazada (y sin levantar el lápiz del papel, por supuesto, condición implícita en lo de «de un solo trazo», pero que conviene aclarar para los listillos).

Se trata de un pasatiempo muy conocido, pero que poca gente comprende en profundidad (como lo comprenderás tú, afortunado lector, cuando leas las páginas de soluciones) y que se presta a divertidas variantes.

Por ejemplo, ¿podrías efectuar el dibujo pedido partiendo del vértice superior del sobre (1)? ¿Y partiendo de los puntos 2 ó 3? ¿Y de 4 ó 5?

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Unir nueve puntos 3

Se trata de unir los nueve puntos de la figura con cuatro trazos rectilíneos continuos, es decir, sin levantar el lápiz del papel ni recorrer dos veces un mismo trazo.

Este bellísimo problema fue utilizado por algunas grandes empresas para evaluar el pensamiento creativo del personal altamente cualificado;> su único inconveniente es que en la actualidad ya es muy conocido, y puede que incluso tú, despistado lector, lo conozcas. De no ser así, te recomiendo encarecidamente que no te rindas tras unos pocos intentos infructuosos: si hallas la solución por ti mismo te garantizo un pequeño orgasmo mental.

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Nueve cerditos en un corral 4

Con un poco de imaginación, visionario lector, verás en la figura un corral cuadrado con nueve cerditos disciplinadamente dispuestos en su interior. (Cuando tú propongas el rompecabezas para deleite y/o desconcierto de tus amigos, puedes utilizar una servilleta de papel como corral y nueve monedas como cerditos).

Pues bien, el granjero quiere que cada cerdito esté separado de todos los demás, pero sólo puede construir dos corrales cuadrados (además del ya existente). ¿Cómo se las arreglará para conseguir su objetivo?

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El test de giotto

He aquí una eficaz trampa «cazafantasmas», muy adecuada para poner en evidencia a fanfarrones y tramposos (¿cómo tú, sinuoso lector?).

Puedes empezar contando la anécdota (al parecer verídica) de la extraordinaria pericia de Giotto, que era capaz de trazar circunferencias perfectas a mano alzada, sin utilizar compás ni otros instrumentos. (También puedes contar la anécdota —probablemente falsa— de la moneda pintada: se cuenta que en una ocasión Giotto, a la hora de pagar en una posada, pintó sobre la mesa una moneda de oro tan real que engañó al posadero).

Luego dices (esto es pura invención) que la habilidad de Giotto para trazar circunferencias se atribuye a su gran armonía interior (ya se sabe, lo redondo se asocia a la perfección), y que algunas personas, sin saberlo, tienen este don, que puede detectarse mediante un sencillo test.

Es probable que alguien con un alto concepto de sí mismo se ofrezca voluntario para la prueba, que consiste en lo siguiente: con un compás (tú no eres Giotto, humilde lector) trazas una circunferencia en un papel, y luego le dices al voluntario que apoye la punta de un lápiz sobre un punto cualquiera de la circunferencia y cierre los ojos. «Ahora, con los ojos cerrados, intenta marcar con cruces diez puntos de la circunferencia. Si aciertas cinco o más eres un tipo excepcional», le dices con gran seriedad.

Si varias de sus cruces (aunque sólo sean tres) caen sobre la circunferencia, significa que ha mirado subrepticiamente por debajo de las pestañas, y puedes demostrar que es un farsante (si se atreve a negarlo) haciéndole repetir la prueba con los ojos vendados.

Como trazar una linea recta sin regla

Aunque Einstein ha demostrado que la línea recta no existe en nuestro universo, se puede conseguir una buena aproximación sin necesidad de regla, y es bastante más fácil que la proeza de Giotto.

Para ello has de trazar la línea sobre una mesa rectangular o apoyando el papel sobre un libro: se trata simplemente de usar el canto de la mesa o del libro como guía para el dedo meñique doblado, mientras el índice, el medio y el pulgar sujetan firmemente el lápiz y deslizas la mano lo más rígida posible. Es más fácil de hacer que de explicar, y si lo haces disimuladamente nadie se dará cuenta del truco, con lo que podrás presumir de un pulso extraordinariamente firme y un gran «sentido de la rectitud» (lo cual es casi tan basto como hacer trampas en el test de Giotto, engañoso lector).

Los papeles invertidos

No, no se trata de que Julieta trepe al balcón de Romeo ni nada por el estilo, sino de un sencillo truco (que no es tal) con papel y lápiz, donde el papel no juega su papel habitual ni el lápiz tampoco.

Recorta dos rectangulitos de papel de distinto tamaño y, a ser posible, de distinto color. Pon el rectángulo mayor sobre el menor y enróllalos juntos alrededor de un lápiz. Al desenrollarlos, ¡oh prodigio!, los papeles habrán invertido sus posiciones, es decir, el menor quedará encima del mayor.

¿Qué ha ocurrido? En realidad, nada. Los conceptos «encima» y «debajo» dejan de tener sentido al enrollar juntos los dos papeles (el lápiz no juega más papel que el de soporte para facilitar el enrolle); simplemente, tenemos dos espirales de papel enlazadas, donde la mayor envuelve completamente a la otra simplemente porque es más larga. Por eso al desenrollar el doble rollo el papel pequeño queda dentro, es decir, «encima». Trivial, pero efectista.

Romper un lápiz con una hoja de papel

He aquí un juego de los de papel y lápiz un tanto atípico, pues en este caso no será el lápiz quien hiera la superficie del papel con su afilada punta, sino todo lo contrario: el papel herirá al lápiz (con tu ayuda y la de la presión atmosférica).

Pon un lápiz sobre una mesa de forma que sobresalga más de la mitad del mismo. Encima de la parte que queda sobre la mesa pon una caja de cerillas o cigarrillos, o algún otro objeto pequeño para que el lápiz no caiga, y afirma que, golpeando el extremo sobresaliente del lápiz con la suficiente fuerza y rapidez, es fácil romperlo.

Si algún incauto prueba, lo único que conseguirá es catapultar por los aires la caja de cerillas o cualquier otra cosa que hayas usado para sujetar el lápiz.

Cuando los demás se den por vencidos, lo harás tú, pero sujetando el extremo del lápiz con una hoja de papel apoyada sobre él. Puedes alegar que una hoja es aún más ligera que una caja de cerillas, y que prefieres hacerlo así porque tu golpe va a ser tan fulminante que otro objeto que no sea el papel puede convertirse en un peligroso proyectil.

Conviene que adornes tu golpe con un grito de karateca y tu mejor expresión de ferocidad. El lápiz se romperá porque la presión atmosférica que actúa sobre la superficie relativamente grande del papel (que tendrá que ser por lo menos de tamaño folio) impide que el extremo del lápiz cubierto se levante bruscamente. (El truco resulta aún más aparatoso si en vez de un lápiz utilizas una regla plana de madera).

Que el humo no ciegue tus ojos

¿Tienes problemas con el tabaco, vicioso lector? Si los tienes y alguien te los agrava insistiéndote en que deberías dejarlo, puedes contestarle a la manera de Mark Twain, fumador empedernido, que solía decir: «Dejar de fumar es lo más sencillo del mundo; es tan fácil que yo lo hago varias veces al mes».

Pero tanto si te decides a dejar de fumar como si no, puedes utilizar los cigarrillos (preferiblemente los ajenos) para improvisar una serie de juegos y trucos que consolidarán tu prestigio, amén de suministrarte alguna que otra dosis de humo gratis.

El cigarrillo doblado

Todos los fumadores saben lo frágil que es un cigarrillo (aunque no tanto como la salud que quebranta): la menor violencia ejercida sobre él hace que se rasgue el fino papel que envuelve el tabaco, dejándolo inservible para otra cosa que no sea liar un canuto. Por eso, si afirmas que puedes doblar un cigarrillo sin romperlo hasta hacer que se toquen sus extremos, nadie te creerá. Sin embargo, para conseguirlo no tienes más que enrollar apretadamente a su alrededor el papel de celofán que suele recubrir los paquetes de cigarrillos. Una vez envuelto de esta manera, el cigarrillo se puede doblar hasta casi hacer un nudo con él. Tras los aplausos, puedes desdoblarlo, desenvolverlo y fumártelo tranquilamente.

Como fumar sin gastar

Bueno, en realidad esta técnica es sobradamente conocida y tiene un sinfín de practicantes: evidentemente, la forma más sencilla de fumar sin gastar consiste en gorronear cigarrillos ajenos.

Pero hay métodos más sutiles. Por ejemplo, poniendo tu mejor cara de virtuoso y ahorrativo, puedes afirmar que eres capaz de dar varias caladas a un cigarrillo encendido sin que su longitud disminuya en un solo milímetro. Naturalmente, no te creerán. Enciéndelo (con cuidado) por la mitad: podrás dar varias caladas sin alterar su longitud (no has dicho que el cigarrillo iba a quedar intacto, sino sólo que no menguaría).

Hay una variante que exige echarle aún más cara y cuyo único objeto es conseguir un cigarrillo gratis. En este caso puedes asegurar que el cigarrillo quedará intacto, o incluso que aumentará de longitud, o que pasará de negro a rubio, o lo que se te ocurra. Una vez conseguido el cigarrillo para el «experimento», te lo fumas tranquilamente y al final dices: «Vaya, esta vez no me ha salido; no lo entiendo, siempre me sale bien… ¿Me das otro cigarrillo, para volver a probar?»

El encendedor atractivo

Puedes empezar diciendo algo así como que, si tanta gente fuma, es porque entre los cigarrillos y los encendedores hay una especie de fuerza magnética o atracción sexual que los impulsa a juntarse constantemente, y en realidad los fumadores no son más que instrumentos al servicio de este instinto de acoplamiento encendedor-cigarrillo, igual que los insectos que llevan el polen de los estambres a los pistilos…

Al principio pensarán que intentas hacerte el gracioso sin demasiado éxito, y puede que suene alguna risita condescendiente, que dará paso a la perplejidad en cuanto procedas, muy serio, a demostrar tu afirmación. Para lo cual no tienes más que colocar un cigarrillo sobre una mesa, paralelamente al borde más cercano a ti, y usar un encendedor a modo de imán: el cigarrillo seguirá al encendedor rodando dócilmente… siempre que tú, con una leve sonrisa, soples discretamente, dirigiendo el aire a la línea de contacto del cigarrillo con la mesa.

La leve sonrisa es muy importante (también puede servir una expresión de profunda concentración), pues has de mantener los labios en una posición que no induzca a sospechar que estás soplando. Con un poco de entrenamiento aprenderás a soplar sin hacer casi ruido y sin poner cara de estar hinchando un globo, con lo que conseguirás un truco de gran efecto a pesar de su extremada sencillez.

Fumarse un lápiz

He aquí un truco tan sencillo como espectacular, muy adecuado para cuando se acaba el tabaco en una reunión, o le pides un cigarrillo a alguien y, alegando que no tiene (o que ya está bien de gorronear), no te lo da. Poniendo cara de resignación, te llevas un lápiz (o cualquier otro objeto, preferiblemente alargado) a los labios y dices: «En ese caso, no tendré más remedio que fumarme este lápiz».

Acto seguido enciendes una cerilla, la acercas a la punta del lápiz, la apagas con gesto indolente y exhalas una bocanada de humo.

¿Cómo lo has hecho? Muy sencillo: al encender la cerilla inhalas por la nariz el humo de su combustión (para lo cual acercarás las manos a la cara antes de encender la cerilla, gesto común entre los fumadores); luego lo exhalas por la boca con aire de placer y el efecto está asegurado.

No intentes hacerlo con un encendedor, pues su llama casi no produce humo, y por muy fuerte que inhales lo más que conseguirás es tragar fuego. Pero ése es otro truco.

Apagar un cigarrillo soplando

Todo el mundo sabe que si se sopla un cigarrillo encendido se aviva todavía más su combustión; así que si desafías a alguien a que apague un cigarrillo soplando, o afirmas que tú puedes hacerlo, lo más probable es que te digan que es imposible.

Sin embargo, es fácil de hacer, y sin truco o trampa propiamente dichos: no tienes más que llevarte el cigarrillo a los labios como si fueras a dar una calada, y en lugar de aspirar soplas con fuerza, como si de un pito se tratara. Al cabo de medio minuto como máximo (conviene que te llenes bien los pulmones de aire antes de empezar a soplar, por si acaso) el cigarrillo estará apagado.

Los cigarrillos tocones 5

Pide a alguien que saque seis cigarrillos (si estás con varias personas puedes hacer una pequeña colecta para no sangrar a un solo donante) y desafía a los presentes a disponerlos de forma que cada uno de ellos toque a los otros cinco.

Tanto si alguien lo logra (no es demasiado difícil) como si no, afirma que tú puedes disponer siete cigarrillos de forma que cada uno de ellos toque a los otros seis.

Naturalmente, una vez terminado el juego te guardas los cigarrillos como quien no quiere la cosa.

(No mires las páginas de soluciones con la justificación de no tener tabaco a mano. Si ése es tu único problema, intenta dibujar los cigarrillos).

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Cerillas: semillas de fuegos y juegos

Ya me perdonarás, amable lector, el titulillo en pareados trisílabos, pero al pensar en las cerillas se me inflama la inspiración poética.

Y es que las cerillas son objetos fascinantes, y no sólo para los niños y los pirómanos: además de utilísimas (y peligrosísimas) generadoras de fuego, son pequeños módulos lineales siempre al alcance de la mano, con los que realizar todo tipo de juegos y figuras (los palillos o mondadientes también sirven, pero tienen menos morbo y además están cayendo en desuso).

No es extraño que las cerillas se vengan utilizando tradicionalmente para plantear todo tipo de trucos, acertijos y problemas lógico-geométricos que un ingenioso que se precie no puede ignorar. Algunos de los que siguen son muy conocidos (auténticos clásicos), otros no tanto, y todos ellos te pueden hacer pasar dos ratos agradables: el primero al intentar resolverlos, y el segundo al divertir, asombrar o burlar con ellos a amigos y enemigos.

Las botellas robadas 6

He aquí un clásico bastante conocido y de sencilla resolución, que muy bien puede servirte para introducir en una tertulia el tema de los juegos con cerillas. Cuando tus amigos se hayan confiado, podrás machacarlos más fácilmente con otros pasatiempos aparentemente triviales, pero mucho más difíciles.

En su versión tradicional, el problema de las botellas robadas dice así:

Un señor muy aficionado al vino había dispuesto en una despensa sus valiosas botellas de la forma que se indica en la figura (cada cerilla, evidentemente, representa una botella); de este modo, sabía que tenía que haber once botellas en cada lado de su formación cuadrada, y de vez en cuando las contaba, lado tras lado, para cerciorarse de que su criado (igualmente aficionado a la bebida) no le robaba ninguna. Sin embargo, el astuto criado se las arregló para sustraer cuatro botellas sin que dejara de haber once en cada lado. ¿Cómo lo hizo?

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Con doce cerillas 7

Con doce cerillas se pueden formar varios polígonos cuyas áreas equivalgan a un número entero de cuadraditos de lado igual a una cerilla. Así, por ejemplo, se puede construir un cuadrado con tres cerillas en cada lado, cuya área será de nueve unidades cuadradas. También se puede formar, con un poco más de imaginación, una cruz griega como la de la figura, de cinco unidades cuadradas de superficie.

¿Podrías construir, habilidoso lector, utilizando las doce cerillas en toda su longitud, un polígono cuya superficie sea de cuatro unidades cuadradas?

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Cuatro cuadrados 8

Con las mismas doce cerillas del problema anterior (si la frustración y la rabia de no hallar la solución no te han llevado a destrozarlas, irascible lector) forma cuatro cuadrados adyacentes, como se indica en la figura. Moviendo sólo tres cerillas, convierte los cuatro cuadrados en tres.

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Veinticuatro cerillas 9

Ahora necesitas el doble de cerillas, y tendrás que tomarte la molestia de colocarlas como se indica en la figura, paciente lector, es decir, formando una cuadrícula de nueve cuadrados adyacentes. Sí, es un poco pesado colocar tantas cerillas, pero este pasatiempo vale por tres:

a) Quita ocho cerillas de forma que queden sólo dos cuadrados (y ninguna cerilla suelta, se entiende).

b) Quita ocho cerillas de forma que queden tres cuadrados.

c) Quita cuatro cerillas de forma que queden cinco cuadrados.

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Sobra un cuadrado 10

Cambiando de sitio dos cerillas, convertir estos cinco cuadrados en cuatro, también iguales. (Como siempre, se han de usar todas las cerillas y en toda su longitud).

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Un pez escurridizo 11

Con ocho cerillas forma la estilizada silueta de un pez que ves en la figura. A partir de esta configuración, se plantean dos pasatiempos, el segundo algo más difícil de resolver que el primero:

a) Moviendo dos cerillas, conseguir que el pez nade en dirección perpendicular a la actual.

b) Moviendo tres cerillas, conseguir que el pez nade en dirección contraria.

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La aceituna en el tenedor 12

Este es sin duda uno de los grandes clásicos de los juegos lógico-geométricos con cerillas, y uno de los más elegantes e instructivos. Su único inconveniente es que a estas alturas ya es muy conocido.

Si no lo conoces, te recomiendo vivamente, perplejo lector, que no corras a mirar la solución tras unos cuantos intentos fallidos: todo el tiempo que le dediques a este pequeño problema se traducirá en vigorizante gimnasia para tus oxidadas neuronas.

Se trata, simplemente, de meter la aceituna dentro de la U del tenedor moviendo sólo dos cerillas. Tras la operación, el tenedor ha de ser idéntico al inicial, y, por supuesto, no se puede mover la aceituna.

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Cuatro triángulos equiláteros 13

Moviendo tres cerillas, convertir la casita en cuatro triángulos equiláteros. (Las cerillas se han de usar en toda su longitud).

Si no conoces este problema y le dedicas unos minutos, tal vez llegues a la conclusión, apresurado lector, de que es imposible. Si tienes cierto sentido matemático, incluso puede que llegues a demostrar que es imposible. Y, sin embargo…

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Una cruz convertida en estrella

Nada que ver con el típico caso del cristiano que se convierte en marxista: la estrella es de cuatro puntas.

Rompe por la mitad cuatro cerillas de madera, pero evitando que las dos mitades queden separadas del todo. Disponlas sobre una superficie lisa en ángulo recto, formando una cruz como se indica en la figura, y apuesta a que puedes convertir la cruz en una estrella sin tocar las cerillas.

Para conseguirlo no tienes más que dejar caer unas gotas de agua o cualquier otro líquido en el centro de la cruz: al humedecerse, la madera tenderá a adoptar su forma original y los extremos de las cerillas se juntarán, formando las puntas de una estrella.

Las cerillas recicladas

Tras soltar un pequeño rollo sobre la sociedad de despilfarro y lamentar la cantidad de cosas útiles que tiramos por el simple capricho de cambiarlas por otras más nuevas, pones el ejemplo de las cerillas: «En las cerillas usadas —afirmas con convicción— queda suficiente fósforo activo como para usarlas por segunda vez, y, sin embargo, todo el mundo las tira tras un solo uso».

Alguno de los presentes (probablemente todos) pondrá en duda tu afirmación, directamente, se reirá de ella, risa que tú harás que se congele en sus labios por el expeditivo procedimiento de coger una cerilla usada y encenderla tranquilamente frotándola contra el rascador.

¿Cómo lo has hecho? Nada más sencillo: con un rotulador negro pintas la cabeza y parte de la madera de una cerilla sin usar, para que parezca carbonizada. Unos minutos antes de hacer el truco la dejas subrepticiamente en un cenicero, donde se confundirá con otras cerillas usadas y colillas. En el momento crucial la coges del cenicero (fijándose bien no es difícil distinguirla de las cerillas realmente usadas) y la enciendes para estupor de la concurrencia. Es preferible preparar varias cerillas trucadas, pero no conviene dejar más de una a la vez en el cenicero, para evitar comprobaciones después de la primera exhibición.

Monadas con monedas

Si las cerillas tienen un atractivo especial, tan ordenadas en sus cajitas y todas iguales, ¿qué decir de las monedas, esos pequeños módulos metálicos redondos y rodantes, apilables, utilizables como fichas, y que además son símbolo e instrumento del poder adquisitivo, es decir, del «Poder» con mayúscula?

No hay que extrañarse, pues, de que los juegos, trucos y pasatiempos con monedas se remonten a la más remota antigüedad y sigan teniendo plena vigencia en nuestros días.

En las páginas siguientes encontrarás algunos instructivos problemas y sencillos trucos para vaciar los bolsillos de tus amigos de esas monedas que, aunque no dan la felicidad, consuelan de no tenerla…

Con doce monedas 14

Para empezar, dos problemas relativamente (sólo relativamente) sencillos que te servirán de precalentamiento para algunos de los siguientes, algo más difíciles:

a) Coloca doce monedas en cuatro filas (rectas, naturalmente) de forma que haya cuatro monedas en cada fila.

b) Coloca las mismas doce monedas (u otras, si andas tan bien de líquido) en tres filas de cinco monedas cada una.

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Cinco por cuatro, diez 15

Saca (o mejor pide) diez monedas (preferentemente iguales, para mayor armonía de la composición) y disponlas en cinco líneas rectas, de forma que haya cuatro monedas en cada línea. ¿Imposible? No tanto como cubrir todas las líneas del presupuesto mensual con los cuatro duros del sueldo…

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Tres vasos y diez monedas 16

No guardes las diez monedas del pasatiempo anterior, ecuánime lector, pues vas a realizar con ellas otra hazaña inverosímil: repartirlas entre tres vasos de forma que en cada vaso haya un número impar de monedas.

Si hay algún listillo presente te dirá que es imposible dividir un número par en tres impares, pero tú le demostrarás que puedes efectuar el reparto anunciado.

¿Cómo?

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La inversión del triangulo 17

No, todavía no guardes las diez monedas. Disponlas en formación de bowling, como se indica en la figura, es decir, formando un triángulo equilátero con una moneda en el centro.

Moviendo sólo tres monedas, consigue que el triángulo quede invertido, o sea con un vértice hacia arriba.

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Las cinco monedas reordenadas 18

Coge tres monedas de un tipo y dos de otro (por ejemplo, tres pesetas y dos duros) y alinéalas sobre la mesa, alternadas y tocándose entre sí, como se indica en la figura. Con sólo tres movimientos hay que conseguir que las tres pesetas queden delante y los dos duros detrás, formando una nueva hilera de monedas contiguas, como se ve en la figura inferior. En cada movimiento se han de desplazar simultáneamente dos monedas contiguas, sin separarlas ni alterar su orden, poniéndolas a continuación (ya sea a la derecha o a la izquierda) de otra de las monedas.

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Las seis monedas reordenadas 19

Una variante algo menos conocida del pasatiempo anterior: dispón tres monedas de un tipo y tres de otro (por ejemplo, tres pesetas y tres duros) en hileras tal como se indica en la figura, es decir, las tres pesetas delante y los tres duros detrás. Con sólo tres movimientos como los descritos en el juego anterior conseguir que las monedas queden alternadas (duro-peseta-duro-peseta…).

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Seis monedas en circulo 20

Se colocan seis monedas iguales en estrecho contacto en dos filas adyacentes, tal como se indica en la figura. En sólo tres movimientos hay que convertir esta doble fila en un círculo (o hexágono, si se prefiere) de monedas contiguas como el de la segunda figura. En cada movimiento sólo se puede mover una moneda, y además ésta, en su nueva posición, ha de tocar a dos de las otras monedas, que de este modo determinarán rígidamente su emplazamiento.

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Transmision de energía

Pide tres monedas iguales, preferentemente grandes (de 25, 50 >ó 100), y colócalas tocándose en hilera sobre una superficie lisa (en una mesa con mantel la cosa no funciona). Afirma que puedes mover la moneda C sin tocarla ni con la mano ni con ningún otro objeto, y sin mover tampoco la moneda B, que está en contacto con ella. Puedes aderezar el truco (que en realidad no es tal) con un pequeño rollo sobre la transmisión de energía entre objetos iguales, etcétera.

La forma de lograr tu objetivo es la siguiente: presiona fuertemente con un dedo la moneda B contra la mesa, separa unos centímetros la moneda A e impúlsala con los dedos de la otra mano de forma que choque contra B. La vibración del choque hará que C se separe de B como repelida por una fuerza magnética: sencillo, pero espectacular.

El dinero no ocupa lugar

Tras hacer esta sorprendente afirmación, invita a alguien a que llene del todo un vaso de agua. Acto seguido pregunta cuántas monedas creen los presentes que pueden meterse en el vaso lleno sin que el agua rebose. No es probable que alguien piense que sea posible meter más de diez monedas pequeñas (de una peseta, por ejemplo) sin mojar la mesa. Apuesta por lo contrario, o propón que te den todas las monedas que seas capaz de meter en el vaso sin derramar agua.

Por increíble que parezca, en un vaso de tamaño normal lleno de agua se pueden meter unas cincuenta monedas de una peseta sin que rebose. La explicación está en la tensión superficial del agua, que hace que su superficie tome una forma convexa, por lo que llega a sobresalir del borde del vaso una cantidad no despreciable de líquido antes de derramarse.

Para lograr meter el mayor número de monedas has de introducirlas en el agua muy cerca del borde del vaso y sin tocar con los dedos la superficie líquida, para no romper la «membrana» formada por la tensión superficial.

La moneda cargada

Este sencillísimo y sorprendente truco se basa, como dice Benavente en La malquerida, en «engañar con la verdad».

Pide a los presentes que pongan sobre la mesa unas cuantas monedas cada uno, hasta reunir unas diez o doce. Luego afirma que eres capaz de detectar cuál de entre esas monedas eligen gracias a la energía de que quedará cargada. Te vuelves de espaldas o incluso sales de la habitación, indicándoles que, tras escoger una de las monedas, se la pasen de mano en mano para «cargarla» y te avisen en cuanto la vuelvan a dejar sobre la mesa. Para sorpresa de todos (tal vez incluso para tu propia sorpresa), al tocar las monedas detectarás la elegida.

En realidad, les has dicho la pura verdad: al tocarla varias personas, la moneda queda cargada de energía… térmica, es decir, se calienta ligeramente en contacto con las manos, y como las demás estarán más frías, distinguirás con facilidad la moneda elegida.

Aprovecha el asombro general para guardarte todas las monedas en el bolsillo como quien no quiere la cosa.

Dinero maravilloso

Cualquiera puede hacer maravillas con el dinero, siempre que disponga de la cantidad suficiente; pero tú serás capaz de hacerlas con un único billete de mil, cuyas cualidades ocultas (amén de las obvias) te garantizarán la rendida atención de los concurrentes.

Pues si ya las monedas resultan altamente sugestivas, ¿qué decir de esos suaves billetes verdes como la esperanza y como ella huidizos?

Bueno, de entrada se puede decir de un billete de mil que es un tatami o dominó (ver capítulo «Dominar el dominó») de papel, de unos 7 por 14 centímetros y aproximadamente una décima de milímetro de grosor y un gramo de peso. Por eso a un millón de pesetas se lo suele llamar cariñosamente «un kilo»: porque eso es precisamente lo que pesan mil billetes de mil (he aquí un dato trivial que, sin embargo, mucha gente desconoce y que puede servir como introducción a los juegos con billetes que aprenderás en las próximas páginas).

Un consejo: no hagas estos trucos con cualquier clase de público, y sobre todo elige con cuidado a tus víctimas… Hay personas que se ponen muy nerviosas cuando entra en juego el papel moneda…

El dinero vuela

Saca (o pide) un billete de mil, preferentemente nuevo, y desafía a los presentes a «cazarlo al vuelo» de la siguiente manera: tú lo sostienes por un extremo y el aspirante a cazabilletes pone los dedos pulgar e índice de su mano más hábil a ambos lados del billete, sin tocarlo. En el momento en que tú, sin previo aviso, sueltes el billete, él tendrá que intentar atraparlo cerrando los dedos todo lo de prisa que pueda, pero sin desplazar la mano.

Cuesta creerlo, pero es prácticamente imposible cazar un billete de esta manera, y puedes apostar tranquilamente lo que quieras (el propio billete usado para el experimento, por ejemplo) a que tu víctima no lo conseguirá.

El experimento resulta aún más sorprendente con un folio, que al ser mucho más grande que un billete, parece todavía más fácil de atrapar, y, sin embargo, se desliza suavemente entre los frustrados dedos de quien intenta cazarlo al vuelo. Debo advertirte, sin embargo, querido lector, que con un folio el truco no es infalible: algunas personas de reflejos extraordinariamente rápidos logran atraparlo.

El billete doblado y redoblado

Si doblamos por la mitad un billete de mil pesetas se convierte en un cuadrado casi perfecto de unos 7 cm. de lado; si volvemos a doblarlo tendremos un rectángulo de 7 × 3,5; si lo doblamos por tercera vez obtendremos un cuadradito de 3,5 × 3,5, y así… ¿hasta el infinito? No, mucho antes el progresivo aumento del grosor del billete doblado y redoblado nos impedirá seguir doblándolo. Concretamente, doblarlo seis veces ya es una proeza, y siete resulta totalmente imposible. (Si no me crees, desconfiado lector, y eres el feliz poseedor de un billete de mil, puedes comprobarlo fácilmente).

¿Ya lo has comprobado? ¿A que resulta increíble lo rápidamente que aumenta la dificultad con cada doblez? Si apuestas (por ejemplo, el billete mismo) a que nadie es capaz de doblar un billete de esta forma siete veces seguidas, tu ganancia es segura.

Con un folio, a pesar de que es mucho más grande que un billete de mil e igual de fino o más, es imposible llegar al octavo doblamiento.

El billete recontrarredoblado 21

Supongamos por un momento que la limitación que acabamos de ver en el pasatiempo anterior no existe y que pudiéramos seguir doblando y redoblando el billete a voluntad. Es evidente que con cada doblez duplicamos el grosor: un billete de mil tiene aproximadamente 0,1 mm (una décima de milímetro) de grosor, por lo que doblado una vez tendrá dos décimas de milímetro, doblado dos veces cuatro décimas, y así sucesivamente.

Supón que eres extraordinariamente forzudo y logras doblar el billete cincuenta veces consecutivas… ¿Puedes hacer una estimación, a ojo de buen cubero, del grosor que alcanzaría ese hipotético billete recontrarredoblado?

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El poder del dinero

Pon sobre una mesa o sobre la barra del bar dos vasos de la misma altura separados unos diez centímetros y, tras señalar la gran resistencia del papel moneda, asegura que un billete de mil puesto a modo de puente sobre los dos, vasos puede sostener un tercer vaso. Te dirán que es imposible, y hasta puede que algún ingenuo lo intente infructuosamente. «Es que lo pones mal», dile, y apuéstate el billete mismo a que tú lo consigues… Para lo cual no tienes más que doblar el billete en forma de acordeón por el lado más largo, tal como se indica en la figura, y aguantará sin problema el peso del vaso. (Seis o siete dobleces son suficientes).

No te entretengas en desdoblar el billete antes de guardártelo en el bolsillo, pues tu víctima podría aprovechar para arrebatártelo con un gesto brusco y antideportivo.

El superpoder del dinero

He aquí un «más difícil todavía» muy adecuado para ejecutar después del truco anterior:

Tras insistir sobre la extraordinaria resistencia del papel moneda, declara que, usando un billete de mil a modo de «hacha», puedes partir un lápiz por la mitad.

Como en el juego anterior no has hecho ninguna trampa propiamente dicha, creerán que esta vez también te vas a limitar a aplicar alguna técnica de doblamiento o similar, y pensarán (con razón) que lo que ahora afirmas no es posible (o sentirán tal curiosidad por ver cómo lo haces que estarán dispuestos a pagar por ello); en cualquier caso, aceptarán la apuesta, y tú, para asombro general, no doblarás el billete de ninguna forma extraña: te limitarás a cogerlo como si fuera la hoja de un cuchillo y descargarás un contundente golpe sobre el lápiz (que tú mismo, con la otra mano, u otra persona puede sujetar apretándolo firmemente sobre una mesa de cuyo borde se dejará sobresalir algo más de la mitad del lápiz, parte en la que descargarás el golpe).

La técnica (totalmente fraudulenta) consiste en sacar el dedo índice a la vez que se descarga el golpe, para retirarlo inmediatamente después de roto el lápiz. Como el billete oculta el dedo, y dada la rapidez del golpe, nadie se dará cuenta (sólo tu conciencia, miserable lector, si aprovechas el vil truco para quedarte con el billete de mil).

El billete de tántalo

Puedes empezar llevando la conversación al tema de la flexibilidad y la forma física. Pregunta si alguno de los presentes es capaz de flexionar la cintura hasta tocar el suelo con los dedos, sin doblar las rodillas; la proeza no es tan difícil, por lo que seguramente habrá alguno que dirá que sí. Entonces le invitas a hacer una demostración. Pones a tu víctima contra la pared, con los talones pegados a la misma, y dejas en el suelo, ante la punta de sus pies, un billete de mil. «Si lo coges sin desplazar los pies y sin doblar las rodillas, es tuyo», le dices.

No te preocupes, tu dinero está más seguro que en un banco suizo. ¿Por qué? Muy sencillo: cuando flexionamos el tronco hacia adelante, aunque parece que las piernas se mantienen verticales, en realidad las inclinamos hacia atrás para compensar el desplazamiento del centro de gravedad, pues de lo contrario caeríamos de bruces… que es lo que le sucederá a tu víctima si su avidez por agarrar el billete es más fuerte que su instinto de conservación.

Apurar los vasos

Cigarrillos, cerillas, monedas, billetes… ¿Qué queda? Quedan los vasos. Teniendo en cuenta, sobre todo, que tus principales terrenos de pruebas como aprendiz de ingenioso serán los locales públicos y las reuniones de amigos, los vasos (llenos o vacíos) no faltarán a tu alrededor.

Aprende a usarlos, vicioso lector, para algo más que para destrozarte el hígado…

Con el vaso boca abajo

Este sencillo truco puede servirte como introducción para otros pasatiempos con vasos, o como tarjeta de visita en una reunión en la que pienses ejercer de ingenioso y presunto violador de las leyes (de la física).

Tapa la boca de tu vaso lleno (no hace falta que esté lleno del todo) con un posavasos, preferentemente plastificado, apoya la palma de la mano sobre éste y voltea el vaso con rapidez. Puedes retirar la mano sin miedo: la presión atmosférica impedirá que caiga el posavasos y se derrame el líquido. Puedes pasearte así, tranquilamente, con tu vaso invertido. Incluso puede que te sirva para ligar…

El vaso tapado

Pon un posavasos (o un platito) sobre la boca del vaso lleno de tu amigo, y sobre el posavasos un vaso vacío. Desafíale a que beba el contenido de su vaso cogiéndolo con una sola mano y sin tocar el posavasos ni el vaso vacío.

Cuando desista, demuéstrale cómo hacerlo: junta dos sillas como se indica en la figura, coge el vaso de tu víctima y pasa la mano por la rendija entre los respaldos, de forma que el posavasos con el vaso vacío quede apoyado sobre los mismos. Luego, para completar la demostración, te bebes el contenido del vaso.

El test del corcho en el vaso

En un bar o en cualquier reunión donde haya circulado el alcohol, haz un comentario sobre lo mal que los presentes resisten la bebida. Cuando te pregunten en qué basas tu apreciación, di que te has dado cuenta de que a todos les tiembla imperceptiblemente el pulso y/o les falla el sentido de la vertical. Alguno protestará, y entonces le propones que se someta al «test del corcho»: llenas un vaso de agua casi hasta arriba, se lo das a tu víctima propiciatoria indicándole que lo sujete lo más vertical y firmemente que pueda. «Voy a poner un trocito de corcho sobre el agua —anuncias—; si mantienes el vaso quieto y vertical, el corcho se quedará en el centro; de lo contrario, se pegará a la pared del vaso».

Aunque tu víctima sea la mismísima Estatua de la Libertad en lo que a estabilidad física se refiere, el corcho se pegará al borde del vaso. Cuando todos hayan intentado en vano superar el test, llenas otro vaso de agua, pero esta vez hasta arriba (hasta el mismísimo borde), pones el corchito y superas el test sin problema, aunque seas el menos morigerado de los presentes o el Parkinson te amenace.

La explicación es bien sencilla: si el vaso no está lleno hasta arriba, la adherencia del agua con el cristal hace que la superficie líquida sea ligeramente cóncava, lo que obliga al corcho (que por flotación tiende a subir lo más posible) a ir siempre hacia los bordes. Por el contrario, cuando el vaso está completamente lleno, la tensión superficial del agua hace que su superficie sea convexa, por lo que ahora la parte más alta es el centro, y ahí se queda el corcho.

Vasos alternantes 22

Dispón en hilera sobre una mesa o barra de bar seis vasos, alternativamente vacíos y llenos (de lo que quieras: en este caso el contenido es irrelevante). Moviendo un solo vaso, hay que conseguir que los tres llenos queden juntos a un lado y los tres vacíos al otro.

Este es un buen problema para plantearlo después de los de desplazamientos de monedas… Pero de momento no te diré por qué, ansioso lector, pues ello equivaldría a darte una pista, y para eso está la sección correspondiente.

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Los tres vasos boca arriba

Este es un juego muy tonto y muy conocido, pero con el que todavía se consigue embromar a más de uno, sobre todo si está un poco achispado.

Se colocan tres vasos (vacíos, naturalmente) tal como se indica en la figura: dos boca abajo y en medio uno boca arriba.

Con dos rápidos movimientos, volteando cada vez dos vasos, uno con cada mano, hay que conseguir que queden los tres boca arriba. La cosa no puede ser más fácil: volteamos primero el primero y el segundo y luego el segundo y el tercero.

Acto seguido invitamos a nuestra víctima a hacer lo mismo, pero, con suprema malicia, le ponemos los vasos dos boca arriba y en medio uno boca abajo (como un momento antes estaban los tres boca arriba, no es probable que se dé cuenta del cambio). Huelga decir que con esta situación de partida la jugada es imposible, no ya en dos movimiento, sino en los que sea.

Insisto en que el éxito de este tradicional cazabobos reside en la rapidez de ejecución (y el achispamiento de la víctima).

Como llenar un vaso boca abajo

Es un típico truco de sobremesa, más viejo que la tos, pero de gran efecto.

En el momento en que alguien está escanciando agua en un vaso, comentas que con el vaso boca arriba es muy fácil y le desafías a hacerlo con el vaso boca abajo. Te dirán que es imposible, y tú demostrarás lo contrario (por el simple placer del lucimiento personal o tras apostar algo) del siguiente modo:

Pones medio centímetro de agua en un plato y en medio «plantas» una cerilla de modo que la cabeza sobresalga sin mojarse. Si es una cerilla etimológicamente coherente, es decir, con el rabo de papel encerado, es muy fácil doblarlo para convertirlo en un soporte adecuado. Si el rabo es de madera, quebrándolo con cuidado en dos puntos y en direcciones perpendiculares, también lo conseguirás sin dificultad. Una vez plantada la cerilla, la enciendes con otra y rápidamente la cubres con un vaso vacío, dejándolo boca abajo sobre él plato con agua. Al consumir el oxígeno del aire que hay dentro del vaso, la cerilla crea un vacío parcial con la consiguiente disminución de la presión, por lo que la mayor presión atmosférica del exterior «empujará» el agua del plato dentro del vaso, con gran estupor de quienes no estén familiarizados con el tema.

Como vaciar un vaso boca abajo

Parece lo más fácil del mundo, pues un vaso boca abajo tiende a vaciarse solo… Pero precisamente por eso es difícil hacerlo de forma controlada, como comprobará el amigo al que le gastes la siguiente broma:

Aprovechando una de esas visitas al lavabo que todos los bebedores (sobre todo los de cerveza) realizan con cierta frecuencia, coge el vaso lleno de tu amigo, cúbrelo con una bolsita de patatas vacía (o cualquier otro envoltorio de plástico), apoya firmemente la palma de una mano sobre el plástico y con la otra voltea con rapidez el vaso. Sujeta los bordes salientes de la bolsita alrededor del vaso deslizando la mano que ahora tienes debajo, y apoya el vaso boca abajo sobre la barra o la mesa (tiene que ser una superficie lisa). Si eres muy hábil (no es difícil, pero requiere cierto entrenamiento) puedes incluso retirar la bolsa de plástico de debajo del vaso, una vez apoyado, con un tirón seco y rápido (sobre todo es muy importante que el tirón sea «seco»).

Cuando tu amigo vuelva se quedará un tanto desconcertado. Dile desenfadadamente que si no le apetece su bebida te la tomarás tú: deslizando el vaso invertido hasta el borde de la barra o mesa, puedes hacer caer su contenido en un vaso vacío puesto oportunamente debajo (que luego te lo bebas o no depende de lo limpia que esté la mesa y de tus escrúpulos personales, así como de que tu amigo no te ponga el vaso por sombrero).

Como inmovilizar a una persona con dos vasos

Por ejemplo, a alguien que está bebiendo demasiado.

Pídele que apoye ambas manos sobre una mesa o sobre la barra del bar, con las palmas hacia abajo, ponle sobre el dorso de cada mano un vaso lleno (de cerveza, vino o cualquier otra bebida, pero no de agua) y dile que se libre sin ayuda ajena y sin derramar el contenido de los vasos (el respeto de los bebedores por el contenido de un vaso, cuando es alcohólico, hará casi innecesaria esta segunda condición). Se puede quedar así hasta que cierren el bar.

Si la víctima aún conserva el sentido del equilibrio, no es necesario que apoye las manos: le pides que las extienda con las palmas hacia abajo y le plantas un vaso sobre el dorso de cada mano, como si llevara una bandeja invisible. Es aún más divertido.

El vino aguado

Este truco, aunque también puede servir para ganar una apuesta, tiene por objeto abochornar a alguien (especialmente al dueño de un bar), por lo que te recomiendo, osado lector, que no lo hagas si no tienes mucha confianza con la víctima (o muchas ganas de recibir una bofetada).

Bebe un buen sorbo de tu vaso de vino blanco o cerveza (tiene que ser una bebida de color claro), como para que el cuarto superior del vaso quede vacío, y, poniendo cara de catador profesional, di que el vino (o la cerveza) está aguado. Para demostrarlo, coge un vaso vacío cuya boca sea algo más pequeña que la del tuyo, e introdúcelo boca abajo en el vino. La fina película de vino (o cerveza) que se formará entre ambos vasos parecerá agua sucia.

Puedes acompañar el experimento de alguna explicación seudocientífica sobre la tensión superficial del agua, que la hace separarse de la cerveza (o el vino) por capilaridad, etc. A no ser que veas que el dueño del bar empieza a arremangarse la camisa, en cuyo caso es mejor que te apresures a decir que se trata de un simple efecto óptico.

Como acoplar dos vasos llenos de agua

Este truco es muy adecuado para hacerlo a continuación de otros de inversión de vasos llenos, pues tus víctimas pensarán que se basa en algún recurso similar y puede que lleven a cabo divertidos (y catastróficos) intentos con bolsitas de plástico, posavasos, etc.

Desafía a los presentes a poner un vaso lleno de agua boca abajo sobre otro también lleno, acoplando sus bocas para formar un único recipiente, como se ve en la figura.

Cuando todos hayan desistido, llenas de agua una pileta o lavabo, sumerges ambos vasos en el agua y, antes de sacarlos, juntas sus bocas (naturalmente, los vasos han de ser iguales, para que sus bocas ajusten perfectamente). Manteniéndolos firmemente unidos, los sacas del agua y los depositas sobre una mesa, sin derramar ni una gota.

La moneda en los vasos acoplados

Un espectacular «más difícil todavía» para efectuar a continuación del juego anterior.

Tras depositar los dos vasos acoplados llenos de agua, apuesta a que puedes introducir una moneda de una peseta en el vaso inferior sin tocar el vaso de arriba ni derramar el agua.

No es difícil, pero requiere un poco de práctica, por lo que es mejor que te entrenes en casa antes de exhibirte: golpea suavemente con un cuchillo el vaso inferior, cerca de la boca; mediante una serie de suaves golpecitos lograrás que el vaso superior se desplace ligeramente, dejando una fina ranura por donde podrás introducir la peseta.

Como broche final di que puedes vaciar el vaso de arriba sin tocar ninguno de los dos (no intentes ganar más apuestas: a estas alturas ya te creerán capaz de cualquier cosa). Para ello, no tienes más que soplar en la ranura por donde has introducido la peseta, y el agua contenida en el vaso de arriba se derramará por el otro lado.

Dominar el dominó

El dominó por parejas, aunque no alcance el nivel de sutileza y complejidad del bridge, es un juego apasionante que requiere no poca perspicacia y concentración, por lo que no es extraño que cuente con tantos adeptos.

Las siguientes páginas te permitirán, la próxima vez que alguien saque la tradicional cajita de madera de tapa deslizante con las veintiocho fichas para proponer unas manos, lucir tu dominio del dominó (antes, después o en vez de la partida, si no te sientes muy seguro como jugador), con una serie de trucos y pasatiempos que ni siquiera los jugadores habituales suelen conocer.

Si, además, quieres dártelas de erudito, no tienes más que designar algunas de las fichas con sus poéticos nombres chinos (el dominó, como casi todo, ya era conocido en China varios siglos antes de que se empezara a jugar en Europa); así, el seis doble es «el cielo», el uno doble (o pito doble, para los viciosos) es «la tierra», el cinco doble es «la flor de ciruelo», el seis-cinco es «la cabeza de tigre»…

Cadenas cerradas

Cualquier jugador de dominó sabe que con las 28 fichas se puede formar una (mejor dicho, muchas distintas) cadena ininterrumpida siguiendo las reglas del juego. Lo que pocos saben es que cualquiera de estas cadenas se puede cerrar sobre sí misma como la de la figura, lo que equivale a decir que todas las cadenas posibles tienen el mismo número en sus dos extremos.

No, desconfiado lector, no intentes construir todas las cadenas posibles para comprobar si mi afirmación es cierta: suponiendo que pudieras hacer una por minuto, tardarías unos quince millones de años en completar tu inútil tarea, pues hay casi ocho billones de combinaciones posibles (exactamente, 7 959 229 931 520). Y digo que la tarea sería inútil, amén de fatigosa, porque, sin necesidad de llevar a cabo una comprobación exhaustiva, se puede demostrar la cerrabilidad de todas las cadenas por la vía lógica.

Para facilitar la comprensión del asunto, quitemos primero todas las dobles, con lo que nos quedarán 21 fichas en las que cada número se repite 6 veces y en 6 fichas distintas. Como es una cantidad par, y los números iguales se agrupan por parejas, sea cual sea el número que en un momento dado de la construcción de la cadena aparezca en el extremo, habrá otra ficha que lo contenga, y la cadena podrá continuar hasta que se acaben las fichas. Y como la cadena se forma adosando dos a dos números iguales y cada número se repite las mismas veces, en ambos extremos de la cadena tiene que haber el mismo número.

¿Aún no lo ves claro, obtuso lector? Bien, supongamos que en los extremos de la cadena hay números distintos, por ejemplo un 5 y un 3. Todos los cincos del interior de la cadena van por parejas (ya que la cadena se forma precisamente adosando números iguales), luego dentro de la cadena hay un número par de cincos… más uno que tenemos en el extremo, nos da un número total de cincos impar (y lo mismo pasa con los treses);> pero como sabemos que cada número se repite seis veces, esto es imposible, luego en los extremos de la cadena no puede haber números distintos;> por lo tanto, tiene que haber números iguales que, a modo de broche, permitan cerrar la cadena adosándolos entre sí. (Las fichas dobles que hemos quitado al principio para simplificar las podemos insertar, una vez formada la cadena, entre cualquier par de fichas que contengan el mismo número).

La ficha oculta 23

Lo que acabamos de ver permite realizar el llamativo truco (que, como la mayoría de los de este libro, no es tal truco, sino simple e ingeniosa aplicación de la lógica) de la ficha oculta.

Di a los presentes que, sin que tú la veas, sustraigan una de las 28 fichas del dominó. Te pones de espaldas o sales de la habitación tras pedirles que formen una cadena ininterrumpida con las 27 fichas restantes.

—Tal vez no se pueda —es posible que objete alguien—, pues falta una ficha.

—Podréis —replicas tú con aplomo. (Si vas de fantasma total, puedes añadir que piensas dirigirlos mentalmente, o que ya has adivinado qué ficha falta, aunque aún no lo quieres anunciar, y que por eso estás seguro de que se puede formar la cadena).

En cuanto te digan que la cadena está lista, te vuelves, echas una rapidísima ojeada a la formación de fichas y, en menos de un segundo, dices cuál es la ficha que falta.

¿Cómo lo has hecho?

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La ficha escamoteada

He aquí una variante más mágico-tramposa del truco anterior:

Sin que los demás se den cuenta, sustraes una ficha del dominó, te fijas en cuál es (supongamos que es la 3-4) y te la guardas en el bolsillo o en cualquier otro lugar de donde luego puedas sacarla con discreción. Escribes algo en un papel, lo doblas y lo dejas encima de la mesa, anunciando que se trata de uno de tus habituales pronósticos infalibles. Pides que formen una cadena con las fichas de dominó (ellos no saben que falta una) y, una vez finalizada, les tiendes el papel con el pronóstico, en el que leerán asombrados: «En los extremos de la cadena habrá un 3 y un 4» (y así será, como deberías saber si has resuelto o leído la solución del pasatiempo anterior).

Aprovechando el momento de estupor, te guardas algo en el bolsillo (por ejemplo, el papel con el pronóstico, o el lápiz que has usado para escribirlo), sacas la ficha escamoteada y, poniendo las manos sobre las otras en el tradicional gesto de mezclarlas, la juntas a las demás por si a alguien se le ocurre hacer una comprobación.

Si te pillan en el momento de devolver la ficha escamoteada, o si alguien se da cuenta al hacer la cadena de que falta una ficha, siempre puedes salvar la cara sacando la ficha escamoteada, alegando que te proponías hacer un truco instructivo y pasando a la variante anterior.

El marco de fichas 24

En la figura vemos un marco cuadrado formado, observando las reglas del juego, con las 28 fichas del dominó. Como ya sabemos, no es sino uno de los muchos posibles.

¿Puedes, paciente lector, formar un marco cuadrado análogo a éste, pero en el que cada lado sume la misma cantidad de puntos, por ejemplo, 44?

En caso afirmativo, ¿cuántos puntos sumarán los cuatro vértices del marco?

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Sin lineas de fractura 25

He aquí un interesante puzzle en el que las fichas de dominó se utilizan como meros módulos o piezas de construcción:

¿Se puede formar con fichas de dominó un rectángulo tal que no haya ninguna recta, ni horizontal ni vertical, que una dos lados opuestos del mismo?

Por ejemplo, en la figura vemos una línea vertical que divide al rectángulo por la mitad: si las fichas de dominó fueran ladrillos, esa línea supondría una debilidad estructural, una «línea de fractura» a evitar.

Este tipo de problema (mencionado por Martin Gardner en uno de sus apasionantes libros de pasatiempos matemáticos) se les plantea continuamente a los japoneses cuando recubren suelos con tatamis, que son rectángulos de dos por uno, como las fichas de dominó, pues en estos recubrimientos, tanto por estética como para dar más solidez a la composición, conviene evitar las líneas de fractura.

Con las 28 fichas de un juego de dominó tienes más que suficiente, hacendoso lector, para construir uno de estos rectángulos sin debilidades estructurales. Suponiendo, claro está, que en tu cerebro no haya demasiadas líneas de fractura…

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Apuestas imperdibles

No es probable, ambicioso lector, que te hagas rico con los trucos que siguen, aunque en el siglo pasado, cuando era cuestión de honor pagar una deuda de juego, podrías haber amasado una fortuna con ellos. En estos tiempos de obsceno pragmatismo y merma de los valores espirituales, es probable que más de uno se niegue a pagar alegando que le has tendido una trampa verbal (o de otro tipo). Paciencia: en el peor de los casos, y en espera de tiempos mejores, siempre podrás aprovechar la ocasión para lucirte hablando sobre el fascinante e inagotable tema de la ambigüedad del lenguaje, base de la poesía, del discurso amoroso y de la mayoría de los trucos subsiguientes.

Pero, antes que nada, ¿qué es una apuesta imperdible? Literalmente, aquella en la que no se puede perder, es decir, en la que tú, que serás quien la plantee, tendrás la seguridad absoluta de ganar. ¿Cómo? Empecemos con un ejemplo que, además, remite a uno de los temas capitales de la lógica moderna: la autorreferencia.

La afirmación misteriosa

En un trozo de papel escribes una breve frase, doblas el papel, lo pones encima de la mesa y le dices a tu víctima: «He escrito aquí una afirmación que puede ser cierta o no; te desafío a que adivines si es verdadera o falsa. Y a pesar de que ambas cosas son igualmente probables, estoy tan seguro de poder condicionar tu respuesta con mi poder mental, que te apuesto diez contra uno a que no aciertas».

La víctima pensará que tiene un cincuenta por ciento de probabilidades de acertar, por lo que aceptará la apuesta.

Una vez formalizada la apuesta, la víctima dirá que la afirmación oculta es cierta o falsa, según le parezca, y tú desdoblarás el papel ante sus ojos, donde pondrá lo siguiente: «Vas a decir que mi afirmación es falsa». Si ha dicho «falsa», la afirmación es verdadera (puesto que afirma que va a decir eso), luego pierde. Si ha dicho «verdadera», la afirmación del papel es falsa (puesto que predice lo contrario), luego también pierde.

Es probable que la víctima se niegue a pagar el importe de la apuesta alegando que le has tendido una trampa (cosa que, en puridad, no es cierta); en ese caso, apabúllale sin piedad citando el Teorema de Incompletitud de Gödel, formulado en 1931, que ha revolucionado la lógica al demostrar que en todo sistema hay proposiciones «indecidibles». Si te pide una explicación detallada, dile que es un tema muy abstruso (realmente lo es) y que, encima de que se niega a pagarte lo que has ganado honradamente, no le vas a dar clase gratis.

Cara o cruz

Sin necesidad de recurrir a las sutilezas de la lógica moderna, se puede ganar fácilmente a «cara o cruz» (si el contrincante es algo despistado) gracias a la conocida regla de que dos negaciones equivalen a una afirmación. Es un truco viejísimo y a menudo empleado por los niños, pero todavía eficaz, y que consiste, sencillamente, en lanzar la moneda al aire diciendo: «Si sale cara gano yo, si sale cruz pierdes tú». Si sale cara se dice: «Cara, gano yo». Si sale cruz: «Cruz, pierdes tú».

Es frecuente que la víctima no se dé cuenta ni siquiera después de finalizar la maniobra. Si se da cuenta (tampoco esto es infrecuente, para qué nos vamos a engañar) se la apacigua diciendo que era una prueba para evaluar su perspicacia: «Te felicito, sólo una de cada diez personas se da cuenta del truco».

Acto seguido se lanza la moneda «en serio», mejor dicho, se hace rodar sobre la mesa, diciendo esta vez: «Si sale cara gano yo, si sale cruz ganas tú». Y sale cara. ¿Por qué? Porque se trata de una moneda muy especial, a la que, con una lima, le has biselado el canto, de forma que al hacerla rodar sobre una mesa caiga siempre con la cara hacia arriba. (Conviene que tengas dos monedas biseladas en sentidos contrarios, por si el otro pide cara. También conviene que tengas un buen abogado, por si te pillan haciendo este truco, que, huelga señalarlo, entra de lleno en las competencias del tahúr).

La copa bajo el sombrero

Ahora que vuelven los sombreros, puedes burlar a más de un petimetre (o calvo vergonzante) que acabe de pedir una copa en el bar, apostando a que puedes beberte el contenido de su copa, oculta bajo su sombrero (o el tuyo, si el calvo vergonzante eres tú) sin tocarlo.

Una vez tapada la copa con el sombrero, pones cara de intensa concentración, juntas los labios y succionas aire como si estuvieras bebiendo con una invisible pajita un líquido igualmente invisible. «Ya está», anuncias con cara de satisfacción. Tu víctima levantará el sombrero para comprobar si la copa está vacía, momento que aprovecharás para cogerla sin tocar el sombrero y apurarla antes de que el otro te la arrebate airado.

No es probable que te pague lo que hayáis apostado, pero la copa gratis ya no te la quita nadie.

Sin tocar la copa

Si eres muy osado, puedes plantear este truco como un «más difícil todavía» después del de la copa bajo el sombrero. Si tu víctima te supera en estatura, es mejor que lo reserves para otra ocasión.

Apuesta veinte duros, poniendo ruidosamente la moneda sobre la barra del bar, a que te bebes la copa de tu víctima sin tocarla en absoluto (o a la vez que cantas La Traviata, o dando un triple salto mortal: lo que quieras). Si la víctima acepta, bébete la copa tranquilamente, cogiéndola de la forma habitual y sin cantar ni hacer nada de lo que has dicho; el otro te dirá que no has cumplido, tú lo admites y le das los veinte duros.

Huelga señalar que esta apuesta sólo tiene sentido cuando te apetece tomarte la copa y ésta vale más de veinte duros.

Vaciar la copa en diez segundos

Empieza diciendo, en un bar o una tertulia de amigos, que en realidad beber es una tarea más lenta de lo que parece. Si se te da bien la oratoria seudocientífica, suelta un pequeño rollo sobre el mecanismo de la deglución, la delicada tarea de la epiglotis, etcétera, y si alguien se muestra incrédulo, apuéstale algo a que no vacía su copa en diez segundos. Si acepta, encarga a un testigo imparcial que cronometre. Cuatro o cinco segundos son más que suficientes para vaciar una copa, y tu víctima tardará eso, o probablemente menos aún, ya que intentará beber lo más rápido posible. Cuando termine le dices con toda naturalidad que ha perdido la apuesta, puesto que tenía que tardar diez segundos en apurar su copa y lo ha hecho en menos de lo estipulado.

Con los ojos cerrados

Tras hablar unos minutos sobre tu extraordinario poder de sugestión, apuéstale a alguien que, sin tocarle ni someterle a coacción alguna, puedes hacerle abrir los ojos antes de treinta segundos a partir del momento en que los cierre. Una vez concertada la apuesta, le dices, reloj en mano: «Empiezo a cronometrar, ya puedes cerrar los ojos». En cuanto tu víctima cierre los ojos, le dices: «No, así no». Por alguna razón psicológica no estudiada lo suficiente, la inmensa mayoría de las personas abren los ojos al oír este comentario…, con lo cual pierden la apuesta.

Cuentos y cuentas

Contar chistes y chascarrillos —por no hablar de refranes y adivinanzas—, e incluso recurrir a las citas literarias o filosóficas, es impropio del verdadero ingenioso, y sólo en casos excepcionales podrá rebajarse a utilizar tan vulgares recursos. (Sería como si un gourmet ofreciera a sus invitados platos precocinados o como si un dandy se vistiera en los grandes almacenes).

Pero hay un tipo de «relato prefabricado» que casi siempre es oportuno y bien acogido en toda clase de reuniones (excepto en las de bobos; pero ¿qué hace un ingenioso profesional como tú en una reunión de bobos?), y que puede elevar rápidamente el nivel intelectual y/o lúdico de cualquier velada. Me refiero, naturalmente, a esos cuentos con enigma que se resuelven mediante el ingenio y, a lo sumo, unas cuantas operaciones sencillas.

El repertorio de estos cuentecillos es, por suerte, muy amplio y variado, y se remonta a los orígenes mismos de la cultura, por lo que no te será difícil, insaciable lector, hallar más alimento para tu espíritu (y el ajeno) si los que te ofrezco a continuación logran estimular tu apetito. Con el tiempo y la práctica podrás introducir tus propias variantes en los temas clásicos e incluso inventar nuevos «cuentos de cuentas» con los que enriquecer el acervo popular… Pero, para empezar, intenta resolver los siguientes acertijos sin correr a mirar las páginas de soluciones.

El testamento del jeque 26

Al morir, el jeque ordena que se distribuyan sus camellos entre sus tres hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque tiene once camellos, con lo que el reparto se hace realmente difícil, pues no es cosa de cortar a trozos ningún animal.

Los tres hermanos están discutiendo acaloradamente cuando ven llegar a un viejo beduino, famoso por su sabiduría (pero Alá es más sabio), montado en su camello. Le piden consejo, y el beduino dice:

Si vuestro padre hubiera dejado doce camellos en lugar de once no habría problemas.

Cierto, pero sólo tenemos once —responden los hermanos.

—Pues bien, tomad mi camello para completar la docena y efectuad el reparto —ofrece el anciano.

Ah, no, no podemos consentir que te quedes sin tu camello —protestan los hermanos.

No os preocupéis, que yo nada he de perder con la operación —les asegura sonriendo el beduino. Y, efectivamente, así es.

¿Cuál es la explicación?

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La cadena de plata 27

Un caminante llega a una posada y se dirige al posadero en estos términos:

—¿Me darías alojamiento por una semana a cambio de esta cadena de plata?

El posadero examina la cadena, que tiene siete eslabones. Considerando que un eslabón por día es suficiente, responde:

—De acuerdo, pero me has de pagar por adelantado.

El caminante, ofendido por la desconfianza del posadero, replica:

—Ni hablar. Si tú no te fías de que yo te vaya a pagar, ¿por qué habría de fiarme yo de que, una vez hayas cobrado, me tratarás de forma satisfactoria?

Como ninguno de los dos da su brazo a torcer, al final acuerdan que el caminante, en vez de pagar de una sola vez, al principio o al final, lo hará día a día. Se impone, por tanto, romper la cadena.

¿Cuál es el mínimo número de eslabones que tendrá que abrir el caminante para dar uno diario al posadero?

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El paseante y la colina 28

He aquí un bonito problema planteado por Lewis Carroll, maestro de ingenios, en uno de sus peculiares relatos:

Un hombre sale de su casa a las tres y sigue un camino que es llano durante un trecho y luego conduce hasta la cumbre de una colina. Tras llegar a la cumbre, el paseante desanda el camino hasta casa, en donde está de regreso a las nueve. Su velocidad es de 4 kilómetros por hora en llano, 3 kilómetros por hora andando cuesta arriba y 6 kilómetros por hora cuesta abajo.

Hallar la distancia recorrida por el paseante, así como la hora a la que llegó a la cumbre de la colina, con media hora de aproximación.

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La tortilla de los excursionistas 29

Tres amigos, Antonio, Bernardo y Carlos, van de excursión. A la hora de comer deciden, para mayor comodidad, preparar un plato único reuniendo provisiones de los tres. Como llevan huevos, resuelven hacer una gran tortilla, que se repartirán a partes iguales. Antonio aporta cinco huevos y Bernardo tres.

—Yo no llevo huevos —dice Carlos—, así que pondré dinero; tomad cuarenta pesetas.

¿Cómo deben repartirse Antonio y Bernardo los ocho duros?

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La paloma y los trenes 30

Dos trenes avanzan en direcciones contrarias por vías contiguas, uno a 70 y el otro a 50 kilómetros por hora. Siempre sobrevolando las vías, una paloma va de la locomotora del primer tren a la del segundo, nada más llegar da media vuelta y regresa a la del primero, y así va volando de locomotora a locomotora.

Sabiendo que vuela a 80 kilómetros por hora y que cuando inició su vaivén la distancia entre ambas locomotoras era de 60 kilómetros, ¿cuántos kilómetros habrá volado la paloma cuando los dos trenes se encuentren?

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La cabellera de la princesa 31

Hay un famoso cuento de hadas sobre una princesa tan preocupada por su abundante y hermosa cabellera rubia que cada día se hacía contar los cabellos, pues había observado que diariamente se le caían unos cuantos (como a todo el mundo;> pero ya se sabe que las princesas tienden a considerarse especiales).

Para tranquilidad de la princesa, la cuenta se mantenía siempre alrededor de los 200 000 cabellos (cantidad algo superior a la normal, pero nada inverosímil), por lo que no parecía probable que fuera a perder su dorado atributo.

Teniendo en cuenta que el cabello humano crece aproximadamente un centímetro al mes, y que a la princesa se le caían —cosa normal— unos cien pelos diarios, ¿cuánto medía su cabellera?

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El adivino de la feria 32

Tres amigos se pasean por una feria y de pronto ven un barracón desierto y silencioso en el que un gran cartel multicolor anuncia a un adivino con turbante. La entrada vale doscientas pesetas.

—Vamos a entrar ahí —propone uno de ellos—. Al menos no tendremos que hacer cola.

Los otros están de acuerdo, así que se acercan a la taquilla y el que ha hecho la propuesta saca mil pesetas y se las da al cobrador, que no es otro que el adivino anunciado en el cartel. Antes de que el cliente pueda decir nada, el adivino le da tres entradas y las cuatrocientas pesetas de vuelta.

¿Cómo sabe el adivino que los tres van juntos y, lo que es más, que el que le ha dado las mil pesetas pensaba pagar por sus dos compañeros? ¿Es correcta su deducción o se ha pasado de listo (mejor dicho, de adivino)?

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El menú misterioso 33

Cinco extranjeros llegan a una posada. En el menú hay nueve platos. Como los extranjeros no entienden una palabra, piden un plato cada uno sin saber qué clase de comida corresponde a cada nombre. El posadero les trae los cinco platos y los deja juntos sobre la mesa, sin aclararles cuál le corresponde a cada uno. Los extranjeros se reparten los platos como mejor les parece, y el hecho de no saber el nombre de lo que están comiendo no les impide disfrutar de la excelente comida, por lo que deciden volver a la misma posada en días sucesivos.

El menú es el mismo todos los días, y a la cuarta vez que comen allí cada uno de los viajeros puede pedir con conocimiento de causa lo que más le apetece, pues ya saben qué plato corresponde a cada nombre.

¿Qué pidieron en cada una de las comidas anteriores? (Cada viajero pide un solo plato en cada comida).

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El palacio de las mil puertas 34

Un palacio tiene un gran número de habitaciones comunicadas entre sí, y algunas también con el exterior, mediante las correspondientes puertas. Cada habitación tiene un número par de puertas.

El exterior del palacio está perfectamente custodiado por 33 guardianes, de forma que ninguna puerta de acceso carece de guardián. Uno de los guardianes ha de ausentarse urgentemente y no se le puede remplazar.

¿Cómo se las arreglarán los restantes para que ninguna puerta quede sin guardián?

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La conspiración cuidadosa 35

Una organización clandestina se compone de 15 activistas y un determinado número de coordinadores, que es el máximo compatible con las siguientes normas de seguridad: ningún coordinador ha de conocer la lista completa de los 15 activistas; ninguna pareja de coordinadores ha de poder reconstruir la lista completa; cualquier grupo de tres coordinadores ha de poder reconstruir la lista completa.

¿Cuál de estas normas es innecesaria? ¿Cuántos coordinadores hay?

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La travesía del desierto 36

Tres exploradores han quedado aislados en el desierto, sin ningún medio de transporte, a seis días de marcha de la población más próxima. La situación parece desesperada, pues aunque les queda agua y comida para una semana, cada uno de ellos sólo puede cargar con las provisiones necesarias para que una persona sobreviva cuatro días.

¿Tienen alguna posibilidad de salvarse?

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Estrategia segura

En la jerga de la teoría de juegos (una rama fundamental de la matemática moderna, pese a su nombre aparentemente frívolo, con importantes aplicaciones en campos como el bélico y el financiero) se llama juegos «de estrategia segura» a aquéllos en que, jugando correctamente, uno de los jugadores (normalmente el que hace el primer movimiento, aunque no siempre) tiene asegurada la victoria.

Veamos un ejemplo sencillo, que es además, en sus distintas variantes, un juego para dos jugadores típico de bar o de tertulia de amigos:

Se ponen veinte cerillas (o palillos, monedas, fichas, etc.) en fila sobre la mesa. Cada jugador, por turno, quita de una a tres cerillas, y pierde el que se queda con la última cerilla.

Tras jugar un par de veces, el menos astuto se da cuenta de que si le quedan cinco cerillas ha perdido: si coge una, el otro coge tres y le deja la última; si coge dos, el otro coge otras dos; si coge una, el otro coge tres.

Para ganar, pues, hay que dejarle al otro cinco cerillas. Pero para dejarle cinco, antes has de dejarle nueve (así, si coge una, tú coges tres y le dejas cinco; si coge dos, coges otras dos; si coge tres, coges una).

Y, análogamente, para dejarle nueve antes has de dejarle trece, y antes diecisiete.

De modo que el primer jugador gana seguro quitando tres cerillas en su primera jugada, y luego haciendo cada vez que las que quita el otro más las que quita él sumen cuatro.

Generalizando (generalizar es la pasión y la razón de ser de los matemáticos), siempre hay que dejarle al otro 1 + 4n cerillas, siendo n un número entero cualquiera. Si, por ejemplo, se partiera de 30 cerillas en lugar de 20, en la primera jugada habría que quitar una para dejarle al otro 29, que es un número de la forma 1 + 4n (1+4 × 7)=29.

El NIM

El juego anterior es una versión muy elemental del nim, un antiguo juego de origen probablemente chino y que aparece reiteradamente en la mítica película de Resnais El año pasado en Mariembad.

En su versión más difundida, se parte de 12 fichas (o monedas, cerillas, piedras, etc.) dispuestas en tres filas de 3, 4 y 5 piezas, respectivamente. Cada uno de los dos jugadores retira, alternativamente, una o varias fichas de una misma fila horizontal. Como en el juego de las veinte cerillas, pierde el que se ve obligado a coger la última ficha.

Del mismo modo que en el juego anterior perdía el que se encontraba con 5 cerillas sobre la mesa (y previamente con 9, 13, 17), en el nim, aunque menos obvias, también hay una serie de «situaciones perdedoras» que remiten unas a otras.

La situación perdedora más obvia es encontrarse con 3 fichas, una en cada fila:

Evidentemente, si dejamos a nuestro contrincante ante esta situación está perdido, ya que sólo puede coger una de las fichas (puesto que están en filas distintas), y cogiendo otra le dejamos la última.

Otra clara situación perdedora es:

El que juega puede coger una o dos de una fila; en el primer caso quitamos las dos de la otra fila y le dejamos la última; en el segundo caso quitamos una de las dos fichas que quedan y también le dejamos la última.

Análogamente, son situaciones perdedoras:

pues haga lo que haga el otro se pueden convertir automáticamente en una de las dos anteriores.

Menos obvia es la situación perdedora que se obtiene al quitar dos fichas de la fila de tres en la primera jugada:

Pero tras unos minutos de análisis no es difícil ver que, haga lo que haga el otro ahora, en nuestra siguiente jugada le podemos dejar fácilmente una de las cinco situaciones perdedoras que ya hemos visto.

Por lo tanto, en el nim siempre gana el primer jugador llevándose en la primera jugada dos fichas de la fila de tres (y jugando luego correctamente, por supuesto).

Naturalmente, ávido lector, no puedes insistir en empezar siempre tú y encima hacer cada vez la misma jugada inicial. Pero, a no ser que el otro conozca el truco (mejor dicho, la técnica, porque aquí no hay trampa ni cartón), o sea extremadamente inteligente, ganarás con facilidad todas o casi todas las partidas, incluso dejando empezar al otro y/o haciendo distintas jugadas iniciales.

Una versión algo más complicada del nim, que se encuentra incluso en versiones comerciales (por ejemplo, en forma de juego magnético de bolsillo), consta de cinco filas de fichas, de 5, 4, 3, 2 y 1 fichas respectivamente:

No es difícil ver que añadiendo dos filas de una ficha a las anteriores situaciones perdedoras (que, por supuesto, siguen siéndolo para esta variante) se obtiene una nueva gama de situaciones perdedoras:

Pero a estas alturas, inquieto lector, te estarás preguntando: ¿Y no hay una estrategia general que sirva para ganar siempre, sea cual fuere el número de filas y el número de fichas por fila? Pues sí, sí la hay, aunque llegar a dominarla requiere un pequeño esfuerzo y algunas consideraciones matemáticas (elementales, eso sí). Si quieres alcanzar una maestría absoluta y definitiva en este tipo de juegos, sígueme hasta el siguiente apartado.

La estrategia binaria

Con lo aprendido hasta ahora y unos minutos de práctica tienes más que suficiente para dominar las variantes más usuales del nim; pero si quieres ser infalible en cualquiera de sus modalidades concebibles tendrás que convertirte en un pequeño ordenador, es decir, tendrás que operar con números binarios.

¿Qué son los números binarios? Bien, un ingenioso de la era de la informática no puede ignorar este tema, así que, aunque no te interese especialmente lograr el dominio absoluto del nim, harás bien en enterarte.

Decimos que utilizamos el sistema de numeración decimal porque en los números, tal como los escribimos habitualmente, las cifras representan potencias sucesivas de 10, en sentido creciente de derecha a izquierda. Así, 532 significa que tenemos 2 unidades, 3 decenas y 5 centenas (decenas de decenas); expresado de forma más matemática: 532 = 5 × 10² + 3 × 10 + 2.

Para expresar los números en sistema decimal (o, lo que es lo mismo, «en base diez») nos basta con diez cifras, que representan los números del uno al nueve más el cero, puesto que al llegar al diez lo expresamos como una unidad de segundo orden (una decena); por eso lo escribimos así, 10: la cifra de la derecha (0) indica que no hay ninguna unidad «suelta», mientras que la segunda cifra a partir de la derecha (1) indica que tenemos una unidad de segundo orden, es decir, una decena (puesto que la base es diez). Si la base fuese cinco en lugar de diez (cosa que probablemente habría ocurrido de tener los hombres una sola mano en vez de dos), el número 13, por ejemplo, significaría que tenemos 3 unidades y 1 «cinquena», es decir, equivaldría a ocho (y a lo mejor dejaría de ser un número aciago).

En base dos sólo son necesarias dos cifras, el 1 y el 0; 2 en base 2, naturalmente, es 10 (1 pareja y O unidades); tres es 11 (1 pareja y 1 unidad); cuatro es 100 (1 pareja de parejas, O parejas y O unidades); cinco es 101, etc.

Para pasar un número cualquiera a la base dos, o, lo que es lo mismo, al sistema binario hay que descomponerlo en potencias de 2, lo cual es más fácil de hacer que de explicar. Por ejemplo, 9 =2³+ 1 (2³=2 × 2 × 2 = 8), luego 9 en binario será 1001 (los dos ceros intermedios indican que no hay ningún 2² ni ningún 2, es decir, ninguna pareja ni pareja de parejas: sólo una unidad y una «pareja de parejas de parejas»). En la práctica lo haríamos así:

El último cociente es la primera cifra de la izquierda, a la que siguen los restos de las sucesivas divisiones en orden inverso. Otro ejemplo:

Trece en base dos en 1101 (2³+2²+ 1=8+ +4+ 1).

¿Por qué usan los ordenadores el sistema binario en vez del decimal, que es mucho más compacto (un número grande, en base dos, requiere un montón de ceros y unos)? Muy sencillo: porque en vez de dedos tienen conmutadores electrónicos, susceptibles de hallarse en dos estados distintos (como el interruptor de una lámpara, que puede estar encendida o apagada). Haciendo corresponder el 0 a uno de los estados y el 1 al otro y combinando entre sí miles de conmutadores se puede realizar, en sistema binario, todo tipo de operaciones a las velocidades vertiginosas de los impulsos eléctricos. Para nuestra mayor comodidad, luego los ordenadores traducen los resultados en números decimales (o en palabras), pero todo su «discurso interior» se desarrolla en el sistema binario; lo que en la jerga de la informática se denomina el «lenguaje máquina» se basa en un alfabeto elemental de sólo dos signos.

Este preámbulo no era imprescindible para jugar al nim, pero sí para manejarse en el mundo moderno.

Volviendo al juego: la estrategia binaria para ganar siempre al nim, en cualquiera de sus variantes, es la siguiente: escribimos en base dos el número de fichas de cada fila, los disponemos uno sobre otro como para hacer una suma y sumamos cada columna. Por ejemplo, en el caso del nim tradicional, de tres filas de 5, 4 y 3 fichas, tendríamos:

Pues bien, si todas las columnas suman números pares o ceros estamos ante una situación perdedora; si alguna de las columnas da una suma impar, la situación no es perdedora, luego es ganadora, pues haciendo una jugada adecuada podemos convertirla en perdedora para el otro jugador. En el caso que nos ocupa vemos que la columna del centro suma 1, luego la situación es ganadora para el que le toca jugar, cosa que ya sabíamos por el análisis anterior, pues hemos visto que quitando dos fichas de la fila de tres se tiene la victoria asegurada.

Comprobémoslo por el sistema binario: quitando dos fichas de la fila de tres queda la formación 5-4-1, que en base dos da:

Todas las sumas de las columnas dan par o cero, luego la situación es perdedora para el que tiene que jugar ahora, cosa que ya sabíamos. Por cierto, si el paciente lector se molesta en comprobarlo, verá que la única forma de convertir la situación inicial 5-4-3 en perdedora es pasar a 5-4-1, pues es la única que no da ninguna suma impar al aplicarle la prueba binaria.

A modo de epilogo: como utilizar tus conocimientos estratégicos y todo lo demás

Bien, ambiguo lector, éstos son algunos de los recursos que la ciencia y el ingenio ponen a tu alcance. Cómo los utilices, depende de ti y de tus circunstancias. Puedes usarlos para ganar una copa en el bar, o para pretender que posees poderes mentales, o para dártelas de estratega infalible. O bien puedes empezar asombrando a la concurrencia con tu pericia, para luego explicar la base científica de tus trucos y lucir tus conocimientos sobre lógica, física, matemáticas… Con lo que, además de ingenioso, sutil y erudito, parecerás honrado. No olvides que, en ocasiones, hasta la sinceridad puede hacerte ganar puntos.

PISTAS

Cuando a alguien le plantean un rompecabezas es frecuente que, si se le resiste, pida (o implore incluso): «Dame una pista». Pues bien, a continuación, confuso lector, te ofrezco una serie de orientaciones para facilitarte la resolución de los problemas propuestos a lo largo del libro. Aunque mi encarecido consejo, tal como te decía en la introducción, es que no recurras a estas «pistas» (y menos aún al capítulo de soluciones), salvo en caso de extrema necesidad (por ejemplo, si empieza a salirte un hilillo de humo de una oreja), pues la satisfacción y la puesta a punto mental que obtendrás resolviendo los problemas sin ayuda bien merecen un poco de esfuerzo y de paciencia…

Juego 1 - Prueba a «enjaular» la pajarita en un cuadrado dividido en cuatro partes iguales por dos segmentos perpendiculares a modo de barrotes. <<

Juego 2 - ¿Te has fijado en cuántos segmentos concurren en cada vértice del sobre? <<

Juego 3 - No te impongas condiciones que el problema no exige. Los vértices de la línea quebrada no tienen por qué coincidir necesariamente con algunos de los puntos a unir. <<

Juego 4 - Nada te impide meter un corral dentro de otro, de forma que… <<

Juego 5 - Prueba con dos grupos de tres cigarrillos. <<

Juego 6 - Las botellas de las esquinas se cuentan dos veces. <<

Juego 7 - No tiene por qué ser un polígono regular, ni siquiera simétrico. ¿Has probado con triángulos? <<

Juego 8 - Como hay doce cerillas y sólo han de quedar tres cuadrados (cada uno de los cuales tiene cuatro lados) no puede haber lados comunes, es decir, una cerilla no puede pertenecer a dos cuadrados a la vez (y no estar loca). <<

Juego 9 - Los cuadrados pueden intersectarse y/o ser de distinto tamaño, si no se especifica lo contrario. <<

Juego 10 - ¿Has contado las cerillas? ¿Cuántos lados compartidos podrán tener cuatro cuadrados? <<

Juego 11 - Es evidente que en ambos casos tienes que «partirle la cara» al dichoso pececito. <<

Juego 12 - La cerilla que hace de mango del tenedor no puede seguir cumpliendo esa función, luego… <<

Juego 13 - Puesto que eres un ser de tres o más dimensiones (de lo contrario no podrías estar leyendo este libro), no tienes por qué limitar tus esfuerzos al plano de la mesa. <<

Juego 14 - Recuerda que en una formación poligonal las de las esquinas se cuentan dos veces. <<

Juego 15 - Las líneas se tendrán que cruzar, de forma que una misma moneda pertenezca a más de una línea. <<

Juego 16 - Los vasos no tienen por qué estar uno al lado del otro… ¿Qué puedes hacer con ellos? <<

Juego 17 - ¿Te has fijado en lo fácilmente que la moneda del vértice inferior puede convertirse en el vértice superior? <<

Juego 18 - No tienes por qué empezar por dos monedas de un extremo. <<

Juego 19 - No tienes por qué no empezar por dos monedas de un extremo. <<

Juego 20 - ¿Has numerado las monedas en tu cabeza? ¿Por qué no pruebas a empezar por el principio, como en los cuentos? <<

Juego 21 - ¿Recuerdas la famosa leyenda de los granos de arroz que se van duplicando en las casillas de un tablero de ajedrez? Las progresiones geométricas engañan mucho… <<

Juego 22 - Sólo puedes mover un vaso, pero ése puedes moverlo como quieras… <<

Juego 23 - Si se añadiera la ficha oculta, la cadena se cerraría, puesto que estarían las 28 fichas. ¿Cómo tendrán que ser, pues, los extremos de la cadena incompleta? <<

Juego 24 - ¿Cuántos puntos suman las 28 fichas del dominó? ¿Cuánto suman cuatro lados de 44 puntos cada uno? <<

Juego 25 - Prueba con un rectángulo de 6 × 5 (tomando como unidad el lado menor de una ficha). <<

Juego 26 - ¿Cuánto da un medio más un cuarto más un sexto? <<

Juego 27 - Dar dos eslabones unidos y recibir uno de vuelta es lo mismo que dar uno. Por tanto, no es necesario que todos los eslabones queden sueltos. <<

Juego 28 - ¿Cuánto tarda el paseante en andar y desandar cada kilómetro? <<

Juego 29 - No te dejes engañar por las apariencias. ¿Cuántos huevos se ha comido cada uno? <<

Juego 30 - ¿Cuánto tiempo ha estado volando la paloma? <<

Juego 31 - ¿Por qué no empiezas por calcular la vida media de un cabello principesco? <<

Juego 32 - El que paga saca mil pesetas; pero no necesariamente un billete de mil pesetas. <<

Juego 33 - Si, por ejemplo, tres de los viajeros piden un plato llamado A y los otros dos un plato llamado B, del que traigan tres iguales será el A y del que traigan dos el B. Sigue razonando en esta línea… ¿O debo decir empieza a razonar? <<

Juego 34 - Ten en cuenta que cada puerta interior corresponde a dos habitaciones, y cada puerta exterior, a una. <<

Juego 35 - Cada pareja de coordinadores ha de ignorar la identidad de un activista, y el activista desconocido ha de ser distinto para cada pareja. <<

Juego 36 - En un momento dado un explorador puede ceder raciones a otro. <<

SOLUCIONES
Y
MORALEJAS

1

La estructura geométrica de una pajarita de papel, sin ser complicada, lo es más de lo que pudiera parecer a primera vista, lo suficiente como para que sea difícil recordarla recurriendo a la mera memoria visual. He aquí una sencilla construcción geométrica que permite reproducirla sin dificultad:

Dibujamos un cuadrado y lo dividimos en cuatro cuadrados iguales. Descartamos uno de los cuartos de arriba, por ejemplo, el de la derecha, y los otros tres, que forman una L, los dividimos en cuatro partes cada uno trazando sus dos diagonales. Obtendremos así 12 triángulos isósceles rectángulos iguales, de los que descartamos los siguientes: el de la izquierda del cuadrado superior, el de abajo del cuadrado de en medio y el de arriba y el de la derecha del cuadrado inferior derecho. Lo que queda es la pajarita de papel, con las señales de los dobleces y todo.

Moraleja: Sólo los tontos se fían de su memoria, como decía… (¡Vaya!, se me ha olvidado quién lo decía).

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2

Por cada uno de los segmentos que confluyen en un vértice del sobre, el lápiz puede «llegar» a ese punto o «marcharse» de él. Como hay dos vértices en los que confluyen tres segmentos (el 4 y el 5), uno de ellos tiene que ser el punto inicial del recorrido del lápiz y el otro el punto final, puesto que si el punto inicial fuera otro cualquiera, el lápiz tendría que llegar-salir-llegar tanto al punto 4 como al 5, es decir, tendría que haber dos puntos finales del recorrido (pues una vez el lápiz ha llegado al punto 3 o al 4 por segunda vez ya no le quedan caminos por donde volver a salir), lo cual es imposible.

Una vez establecido esto, no es difícil dibujar el sobre de un solo trazo según distintos recorridos, por ejemplo, 4-5-2-3-1-2-4-3-5 ó 4-3-5-4-2-3-1-2-5.

Moraleja: No pierdas el tiempo intentando resolver por tanteo lo que puede someterse al implacable escrutinio de la lógica.

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3

La dificultad de muchos problemas de ingenio estriba en el hecho de que, inconscientemente, nos imponemos más condiciones de las que en realidad hay en el enunciado. En éste de los nueve puntos, un verdadero clásico en su género, la condición innecesaria que muchos se imponen es la de que todos los vértices de la línea quebrada que ha de unir los puntos coincidan con algunos de éstos, y de este modo el problema no tiene solución. Sin embargo, prescindiendo de esta autolimitación arbitraria, no es difícil hallar la solución:

Moraleja: No te pongas más obstáculos de los que ya te pone la vida.

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4

El segundo corral cuadrado se forma uniendo los puntos medios de los lados del primero, y el tercero, uniendo los puntos medios de los lados del segundo; con esta sucesión de cuadrados inscritos el uno en el otro la superficie total se divide en nueve parcelas aisladas, cada una con un cerdito dentro.

Las nueve parcelas no son iguales ni en forma ni en tamaño, pero el granjero sólo pretendía aislar a los cerditos, no repartir el espacio equitativamente.

Moraleja: Si eres un cerdito, no esperes justicia del granjero.

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5

En el caso de seis cigarrillos, el problema, como se ve en la figura, tiene solución para cualesquiera dimensiones relativas de los cilindros (dentro de márgenes razonables, claro: no serviría con cigarrillos cuyo diámetro fuera muy superior a su longitud; pero eso no serían cigarrillos, sino monedas de tabaco).

En el caso de siete, la razón entre la longitud del cigarrillo y su diámetro tiene que ser superior a 6 (más exactamente, a 7 √3/2). En la práctica, la relación suele ser aproximadamente de 8 a 1, por lo que la solución es perfectamente viable (suponiendo, virtuoso lector, que tengas la habilidad de disponer los siete cigarrillos como se indica en la figura).

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6

Se trata, sencillamente, de poner una botella más en cada esquina; de este modo hay cuatro botellas más que se cuentan dos veces (ya que cada esquina pertenece a dos lados), luego se pueden sustraer cuatro botellas sin que el obtuso señor lo note.

Moraleja: Si tienes que hacer de criado, procura que tu señor sea aficionado al buen vino y retrasado mental.

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7

Si con las 12 cerillas formamos un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 (cosa perfectamente factible, puesto que se cumple el teorema de Pitágoras: 5²=4²+ 3²), el área de dicho triángulo será 3 × 4/2 = 6 «cerillas cuadradas». Si en dicho triángulo desplazamos tres cerillas como se indica en la figura, le habremos restado dos unidades cuadradas, luego la figura resultante tiene una superficie de cuatro unidades cuadradas, como se pedía.

Moraleja: Donde menos se espera, salta Pitágoras.

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8

Puesto que hay 12 cerillas y tienen que quedar tres cuadrados, éstos no podrán tener lados comunes, ya que tienen cuatro lados cada uno y 3 × 4 = 12. Por lo tanto, sólo podrán tocarse por los vértices. Sabiendo esto, se facilita mucho la operación, que da como resultado la disposición de la figura.

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9

Sin comentarios.

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10

Facilita mucho la resolución de este «clásico» de los rompecabezas con cerillas (que, curiosamente, poca gente logra resolver) el caer en la cuenta de que hay 16 cerillas (casi nadie se molesta en contarlas, y son demasiadas para captar su número a golpe de vista), lo que significa que, al igual que en el problema 8, los cuatro cuadrados no pueden tener ningún lado común, puesto que entonces sobrarían tantas cerillas como lados hubiera compartidos por dos cuadrados adyacentes; por lo tanto, los cuatro cuadrados sólo se pueden tocar por los vértices, como en la figura.

Moraleja: Cuenta las cerillas antes de usarlas.

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11

Sin comentarios.

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12

La pequeña dificultad de este problema (en el que muchos se atascan) estriba en que un pincho del tenedor se ha de transformar en mango y viceversa, previo deslizamiento de la base un trecho igual a media cerilla: inconscientemente se tiende a pensar que si una cerilla se desplaza lo ha de hacer una distancia equivalente a un número entero de cerillas.

Moraleja: In medio stat virtus.

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13

La pequeña «trampa» de este problema consiste en que no se puede resolver en el plano de la mesa, sino que hay que componer con las seis cerillas una figura tridimensional, concretamente un tetraedro regular.

Moraleja: Ante un problema difícil, nunca te aplanes.

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14

Las filas no tienen por qué ser paralelas: pueden (y en este caso deben) tener puntos (monedas) comunes.

Moraleja: Olvídate del ejército (las filas no tienen por qué ser paralelas).

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15

Hay que colocar las monedas en los vértices de una estrella de cinco puntas, como se indica en la figura. (Hay otras soluciones basadas en deformaciones de esta estrella).

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16

Mete, por ejemplo, tres monedas en un vaso, cinco en otro y dos en el tercero. Luego metes uno de los dos primeros vasos en el tercero, y de este modo se cumple la condición: dentro de cada vaso hay un número impar de monedas.

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17

Las dos monedas de los extremos de la fila de cuatro se llevan a ambos lados de la fila de dos, y la de abajo se lleva arriba, como se indica en la figura. (Es decir, hay que desplazar los tres vértices del triángulo formado por las monedas).

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18

Llamemos a las monedas A, B, C, D y E, según su orden de colocación en la hilera inicial. Tienes que hacer los siguientes movimientos:

1. Lleva C y D a la derecha de E.

2. Lleva E y C a la derecha de B.

3. Lleva A y B al espacio que queda entre C y D.

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19

Llamando A, B, C, D, E y F a las monedas según su orden de colocación en la hilera inicial, los movimientos que has de hacer son los siguientes:

1. Lleva A y B a la derecha de F.

2. Lleva F y A a la derecha de B.

3. Lleva C y D al espacio que queda entre E y B.

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20

Los tres movimientos son los siguientes:

1. Pon la moneda A sobre (y en contacto con) B y C.

2. Pon B sobre (y en contacto con) D y E.

3. Pon D entre (y en contacto con) B y A.

Si quieres aparentar que estás puesto en topología, puedes decir a tu auditorio que la situación inicial es un caso de «empaquetamiento denso» de círculos en el plano (empaquetar densamente significa meter el mayor número posible de unas cosas dentro de otras); y en la situación final cabe una séptima moneda en el centro de la formación, donde encajará exactamente (puedes demostrarlo metiendo limpiamente en el hueco la séptima moneda), con lo que el empaquetamiento conserva su «densidad».

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21

A cada doblamiento se duplica el grosor (por algo «doblar» y «doble» tienen la misma etimología). Si dobláramos el billete 50 veces habría que multiplicar 0,1 mm × 2 × 2 × 2 × 2… otras tantas veces consecutivas, es decir, por 2⁵⁰ (dos a la quincuagésima potencia). Si quieres entretenerte en hallar el resultado con tu ordenador o calculadora de bolsillo (o con papel y lápiz, para más precisión, ya que el visor de tu calculadora no tiene espacio para tantos dígitos), comprobarás, paciente lector, que 0,1 mm × 2⁵⁰ da cerca de 120 millones de kilómetros, casi casi la distancia de la Tierra al Sol.

Moraleja: Las apariencias engañan y las progresiones geométricas anonadan.

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22

Te decía que es un buen rompecabezas para plantearlo después de los de desplazamientos de monedas porque, como en éstos no hay «gato encerrado», tu víctima pensará que tampoco lo hay en el de los vasos. Y, sin embargo, sí lo hay: la aviesa solución consiste en vaciar el contenido del segundo vaso dentro del quinto, tras lo cual se lo devuelve vacío a su lugar; sólo se ha tocado un vaso, y ahora tenemos tres vacíos a la izquierda y tres llenos a la derecha.

Moraleja: No limites tus movimientos ni los de tus vasos.

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23

Puesto que, como hemos visto, toda cadena formada con las 28 fichas es siempre cerrada, si quitamos una ficha cualquiera, por ejemplo, el 3-4, podemos imaginar que la quitamos de un circuito cerrado formado con todas las fichas, por lo que las 27 restantes siguen formando una cadena, aunque ahora ya no se puede cerrar, pues quedan un 3 y un 4 desapareados, que serán precisamente los puntos que quedarán en ambos extremos de la cadena, y de ahí que sea tan fácil adivinar de un simple vistazo qué ficha falta.

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24

Para construir un marco como el de la figura, cada uno de cuyos lados suma 44 puntos, habrás necesitado un juego de dominó y un poco de paciencia; pero para contestar la segunda pregunta basta con una pizca de ingenio: la suma de los cuatro lados del marco buscado será 44 × 4 = 176 puntos; pero de este modo contamos dos veces los puntos de las esquinas, por lo que 176 tiene que ser superior a la suma de todos los puntos de las 28 fichas en tantos puntos como sumen las esquinas (si fuera inferior, el marco pedido sería imposible de construir, y si fuera igual, en las cuatro esquinas tendría que haber sendas blancas). Es fácil calcular la suma de los puntos de las 28 fichas, que es 168. Por tanto, en nuestro caso los puntos de las esquinas sumarán 176-168= 8 puntos.

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25

Tomando como unidad el lado menor de una ficha de dominó, el rectángulo mínimo sin líneas de fractura que se puede formar es el de seis por cinco. El de cinco por cinco es evidentemente imposible, puesto que tiene un número impar de casillas (llamando casilla al cuadradito igual a media ficha), y es fácil ver, examinándolos individualmente, que los rectángulos menores (seis por cuatro, cinco por cuatro, etc.) sin líneas de fractura son inviables.

Con 15 fichas de dominó podemos formar, entre otros, los dos rectángulos de 6 × 5 de la figura.

Con 24 fichas se pueden formar rectángulos de 6 × 8 sin líneas de fractura. (Se puede demostrar que, en todos ellos, cada línea del retículo corta exactamente a dos fichas, como en el de la figura).

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26

El beduino cede su camello, con lo que habrá 12; el primogénito recibe la mitad, 6; el segundo, una cuarta parte, 3, y el tercero, un sexto, 2. Como 6 + 3 + 2 = 11, el beduino recuperará su camello y todos contentos.

La explicación estriba en que la mitad de una cosa más su cuarta parte más su sexta parte no es igual a la totalidad de la cosa:

1/2 + 1/4 + 1/6=11/12

Por lo tanto, sobra 1/12, es decir, el camello cedido por el beduino.

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27

Basta con abrir un eslabón, el tercero a partir de uno de los extremos; de este modo tendremos tres trozos de cadena: uno de un eslabón, otro de dos y otro de cuatro.

El primer día el caminante le entrega al posadero el eslabón abierto.

El segundo día le da el trozo de dos eslabones y el posadero le devuelve el eslabón suelto, que es lo mismo que dar un eslabón.

El tercer día el caminante vuelve a dar el eslabón suelto.

El cuarto día da el trozo de cuatro eslabones y el posadero le devuelve los otros tres.

Y así sucesivamente.

Moraleja: Si piensas antes de trabajar, trabajarás menos. (A no ser que te lo pienses muchísimo, porque entonces no trabajarás nada).

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28

Cada kilómetro que el paseante recorre en llano le cuesta un cuarto de hora a la ida y un cuarto de hora a la vuelta; cada kilómetro de la colina le cuesta veinte minutos al subirlo y diez al bajarlo; es decir, andar y desandar cada kilómetro, tanto si es en llano como en cuesta, le lleva media hora. Como ha caminado durante seis horas, habrá recorrido 24 kilómetros, 12 de ida y 12 de vuelta.

Suponiendo que los 12 kilómetros fueran en llano, tardaría tres horas en la ida; suponiendo que los 12 fueran de cuesta, tardaría cuatro horas. Como la ida es parte en llano y parte cuesta arriba, tardará un tiempo superior a tres horas e inferior a cuatro. Luego podemos decir, con media hora de aproximación (o, lo que es lo mismo, con menos de media hora de error) que llegó a la cumbre de la colina a las seis y media.

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29

Puede parecer a primera vista que hay que dar 5 duros al que pone 5 huevos y 3 duros al que pone 3 huevos, pero a poco que se piense se verá que no es así.

Entre los tres comen 8 huevos, lo que quiere decir que salen a 8/3 de huevo cada uno. Si Carlos paga 8 duros por sus 8/3, se está valorando cada tercio de huevo a 5 pesetas, o, lo que es lo mismo, cada huevo a 15 pesetas, y a este precio habrán de cobrar los otros dos los huevos que ponen de más, que, evidentemente, son los que aportan menos los que comen: 5 - 8/3 en el caso de Antonio y 3 - 8/3 en el caso de Bernardo, es decir, 7/3 y 1/3, respectivamente, por lo que corresponden 35 pesetas a Antonio y 5 a Bernardo.

Moraleja: La relación entre los huevos y el dinero no siempre es la que parece.

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30

Puesto que los trenes viajan en direcciones contrarias a 50 y 70 kilómetros por hora respectivamente, se acercan el uno al otro a la velocidad relativa de 120 kilómetros por hora, luego tardarán media hora en recorrer los 60 kilómetros que los separan al iniciar la paloma su ir y venir. En esa media hora la paloma, cuya velocidad es de 80 kilómetros por hora, habrá recorrido 40 kilómetros.

Razonando de esta manera, el problema es sencillísimo, pero muchos no caen en la cuenta y piensan que hay que calcular los sucesivos trechos de ida y vuelta de la paloma y luego sumarlos todos, lo que da lugar a una complicada función integral, imposible de resolver sin un cierto dominio de las matemáticas.

A propósito de este acertijo se cuenta una divertida anécdota: un amigo se lo planteó a un famoso matemático, y éste, tras cavilar unos segundos, dio la respuesta correcta. «¿Cómo has tardado tanto?», preguntó el amigo. Y el matemático contestó excusándose: «Bueno, no es tan fácil calcular una integral mentalmente».

Moraleja: Cuando el cálculo lleva mucho trabajo, busca un atajo, busca un atajo.

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31

De los 200 000 cabellos que hoy tiene la princesa, los últimos en caer serán los que le han salido este mismo día. Puesto que caen 100 diarios, la caída de los 200 000 que tiene hoy terminará dentro de dos mil días (claro que para entonces tendrá otros 200 000 que le habrán ido saliendo al mismo ritmo que se caen, de lo contrario se quedaría calva). Es decir, dentro de dos mil días caerán los que le han salido hoy, que equivale a decir que la edad media de un cabello es de dos mil días. Como el cabello crece un centímetro al mes, en ese tiempo crecerá unos 70 centímetros (66,6 si queremos manejar cantidades exactas), y ésa será precisamente la longitud de la cabellera de la princesa (en lo que a su aspecto global se refiere, claro, porque en realidad tendrá pelos de todas las longitudes; si las cabelleras normales son más homogéneas es porque el cabello se suele cortar manteniéndolo muy por debajo de sus posibilidades teóricas de crecimiento).

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32

Hay un caso en el que el adivino no se pasa de listo: si el que paga le entrega dos billetes (o monedas) de 500 pesetas, pues entonces es obvio que quiere más de dos entradas (y tres como máximo, pues no hay nadie más que ellos), ya que de lo contrario hubiera entregado sólo un billete (o moneda).

Moraleja: Nunca des por supuesto nada que no se desprenda necesariamente del enunciado.

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33

Numerando los platos del 1 al 9, una posibilidad sería:

—En la primera comida piden 1-2-3-4-4, con lo que averiguan qué es el plato número 4, ya que es el único repetido.

—En la segunda comida piden 1-5-6-7-7, con lo que identifican el plato 1 (ha salido en ambas comidas) y el 7 (repetido en ésta).

—En la tercera comida piden 2-5-8-9-9, con lo que averiguan qué es 2 (común con la primera comida), 5 (común con la segunda), 9 (repetido esta vez), y 3, 6 y 8, cada uno perteneciente a una de las tres comidas, por este mismo orden, y nunca repetidos.

Hay otras soluciones (aparte de las homólogas a ésta que se obtienen sustituyendo unos platos-números por otros y siguiendo la misma pauta), que el meticuloso lector puede entretenerse en buscar.

Moraleja: La lógica es un lenguaje universal que te permite comer en cualquier sitio.

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34

Llamemos I al número de puertas interiores y E al de puertas que dan al exterior. Cada habitación tiene un número par de puertas, y cada puerta interior corresponde a dos habitaciones, luego 21+ E ha de ser un número par. Pero como 2I es par cualquiera que sea el valor de I, E también tiene que ser par. Por lo tanto, si con 33 guardianes no queda ninguna puerta sin guardián, tiene que sobrar al menos uno, por lo que los 32 que quedan al marcharse su compañero no tendrán ningún problema para guardar todas las puertas exteriores.

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35

La primera condición es innecesaria (mejor dicho, es innecesario formularla explícitamente), pues va implícita en la segunda: si ninguna pareja puede conocer la lista completa, tampoco puede conocerla un coordinador aislado, pues de lo contrario la conocerían todas las parejas en que uno de los dos fuera el «enterado».

Cada pareja de coordinadores ha de ignorar la identidad de al menos un activista. Por otra parte, el activista desconocido ha de ser distinto para cada pareja, pues de lo contrario habría tríos de coordinadores incapaces de completar la lista. Por lo tanto, el número de parejas de coordinadores ha de ser, como máximo, igual al número de activistas: 15. Ahora bien, 15 es el número de parejas distintas que pueden formarse con 6 elementos (6 × 5/2 = 15), luego habrá 6 coordinadores.

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36

Los tres exploradores emprenden el camino juntos, con cuatro raciones de víveres cada uno. Tras un día de marcha les quedarán tres raciones por cabeza; uno de los exploradores entrega dos de sus raciones a sus compañeros —una a cada uno— y con la que le queda regresa al campamento. Los otros dos siguen, y al cabo del segundo día estarán de nuevo con tres raciones por cabeza; uno le entrega una ración al otro y con las dos que le quedan regresa al campamento, del que ahora se halla a dos jornadas. Con cuatro raciones, el último explorador puede recorrer las cuatro jornadas de marcha restantes, y tiene día y medio (pues la séptima ración del campamento se la reparten los otros dos) para ir en auxilio de sus compañeros con algún medio de transporte.

Moraleja: Es tarea de la mente racionar racionalmente.

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CARLO FRABETTI (Bolonia, Italia, 1945). Es un escritor, guionista de televisión y crítico de cómics residente en España y que escribe habitualmente en castellano. Matemático, cultiva asiduamente la divulgación científica y la literatura infantil y juvenil. Constituye, junto a Mariano Ayuso, Luis Conde Martín, Jesús Cuadrado, Ignacio Fontes, Pacho Fernández Larrondo, Federico Moreno, Ludolfo Paramio y Pedro Tabernero, la segunda generación de teóricos del cómic surgida en España.