En este segundo volumen de los Tratados de Arquímedes, con el que la Biblioteca Clásica Gredos concluye la publicación de la primera traducción directa del griego al español de sus obras, se presenta el resto de sus estudios sobre figuras curvilíneas, la Cuadratura de la parábola (primera cuadratura de una figura limitada parcialmente por curvas) y Sobre las líneas espirales, y sus obras teóricas de tema mecánico, el Equilibrio de las figuras planas (en el que se contiene el famoso principio de hidrostática que lleva su nombre) y Sobre los cuerpos flotantes.

Junto a esos trabajos, este volumen incluye otras obras menores pero que nos dan una idea de la gran curiosidad de Arquímedes y de la variedad de temas que atraían su atención: el Arenario, en donde, en razón de la exposición de un sistema de notación numérica de su invención, Arquímedes nos ofrece las noticias más antiguas y fidedignas sobre Aristarco y su teoría heliocéntrica; los curiosísimos Problema de los bueyes y Stomachion, aparentes pasatiempos matemáticos; el Método, cuyo texto, hallado a principios del siglo XX, tanto nos ha ilustrado respecto al método heurístico arquimedeo…

La traducción ha podido beneficiarse de las investigaciones más recientes, especialmente de la relectura del palimpsesto de Jerusalén llevada a cabo por R. Netz, cuyas novedades, significativas sobre todo en lo relativo al Stomachion y al Método, han sido tenidas en cuenta e incluidas en esta versión.

Arquímedes

Tratados II

Biblioteca Clásica Gredos: 378

ePub r1.0

Titivillus 26.04.2023

Título original: Tratados II

Arquímedes, 2009

Traducción: Paloma Ortiz García

Introducciones y notas: Paloma Ortiz García

Asesor para la sección griega: Carlos García Gual

Revisión de la traducción: María Luisa Puertas Castaños

Editor digital: Titivillus

ePub base r2.1

SOBRE LAS LÍNEAS ESPIRALES

INTRODUCCIÓN

El tratado Sobre las líneas espirales es uno de los que conservan el dialecto dórico materno de su autor, y este hecho ha sido a veces interpretado como indicio de que la obra obtuvo menos difusión en la Antigüedad tardía y en los primeros siglos del Imperio Bizantino. En efecto, Eutocio no llegó a conocerlo, pues cuando afirma que Arquímedes había descubierto «una recta igual a la circunferencia dada de un círculo»[1] aduce como fuente la Vida de Arquímedes escrita por Heraclidas y perdida para nosotros. Tal vez fue precisamente esa menor difusión la que permitió que el tratado conservara su forma lingüística original, al revés de lo que les ocurrió a los tratados de mayor éxito —Sobre la esfera y el cilindro y la Medida del círculo, principalmente— que fueron vertidos al dialecto común (koinè diálektos) generalizado como lengua literaria desde época alejandrina.

El tratado va precedido de una carta, dirigida al estudioso alejandrino Dosíteo, que es un testimonio de suma importancia para la datación de las obras de Arquímedes: de acuerdo con los datos que nos proporciona, antes de enviar a Dosíteo este trabajo ya le había mandado los enunciados y soluciones de la medida de la superficie y el volumen de la esfera —es decir, ya había compuesto el libro Sobre la esfera y el cilindro— y también le había enviado sus hipótesis sobre el volumen del segmento del paraboloide y de la proporción que guardan dos segmentos cortados del mismo paraboloide, si bien de esto último aún no le había remitido las demostraciones.

Pero el escrito que le remite ahora contiene «un género distinto de problemas, que nada tienen en común con los que acabo de mencionar» —dice—; se ocupa de la definición y propiedades de la curva que hoy recibe el nombre de «espiral de Arquímedes», con el objetivo, como solía ser en los trabajos geométricos griegos, de obtener su cuadratura. Y es que la espiral de Arquímedes es una curva de su invención, de generación mecánica, producida por un punto que se desplaza a velocidad uniforme («que se desplaza uniformemente», dice Arquímedes) por una semirrecta, uno de cuyos extremos permanece fijo mientras la semirrecta se desplaza, también a velocidad uniforme, en sentido circular[2].

Los principales resultados obtenidos, que Arquímedes, como suele, anticipa en la carta, son los siguientes:

—El área comprendida por la espiral y la semirrecta tras recorrer el primer giro completo es la tercera parte del círculo descrito con centro en el origen de la espiral y teniendo por radio el segmento recorrido por el punto en ese primer giro[3].

—La longitud del segmento perpendicular a la semirrecta principio del giro, prolongado hasta que corte a la tangente de la espiral en el punto último del primer giro es igual a la circunferencia del círculo descrito con centro en el origen de la espiral y teniendo por radio el segmento recorrido en ese primer giro por el punto que se va desplazando[4].

—El área añadida en el tercer giro de la espiral es el doble del área comprendida por la espiral en el segundo giro; el de la cuarta, el triple, y así, sucesivamente, el área añadida en un giro n de la espiral es el múltiplo n-1 del área añadida en el segundo giro. Y el área comprendida en el primer giro es la sexta parte del área añadida en el segundo giro[5].

—Si se toman segmentos consecutivos de la espiral descrita en su primer giro (s1’ S₂) y se trazan dos círculos (c1’ C₂) con centro en el origen de la espiral y radio las rectas que delimitan los segmentos (r1’ R₂), las áreas resultantes de restar a los sectores circulares las correspondientes áreas de los segmentos de espiral (a1’ A₂) cumplen que

A₂ : a₁ :: 〈r₁ + [2/3 (R₂ - r₁)]〉 : 〈r₁ + [1/3 R(₂ - r₁)]〉[6].

Las demostraciones de esos enunciados van precedidas, siguiendo, de nuevo, la costumbre de Arquímedes, de once proposiciones de carácter auxiliar. Las dos primeras son teoremas relativos a la recta por la que se desplaza un punto de manera uniforme: en la primera demuestra la proporcionalidad existente entre los segmentos recorridos por el punto que se desplaza y los tiempos empleados en recorrerlos; la segunda, que si dos puntos van recorriendo una línea cada uno con movimiento uniforme, y en cada línea se toman dos segmentos, si los primeros segmentos son recorridos en el mismo tiempo que los segundos, los segmentos tomados guardarán la misma razón. Las proposiciones 3 a 9 tienen carácter de problemas —es decir, demuestran la posibilidad de llevar a cabo determinadas construcciones— y versan sobre los segmentos cortados por los círculos y sus tangentes en otros segmentos dados, y tienen en común estar resueltos mediante construcciones de neûsis[7]. Cierran la primera parte del tratado dos teoremas (props. 10 y 11) sobre las progresiones por diferencia.

La segunda parte del tratado se abre con siete definiciones relativas a la generación y las partes de la espiral, y les siguen diecisiete proposiciones más en las que estudia las propiedades de las tangentes a la espiral y mide la longitud de los giros de la espiral comparándolos con los círculos que los comprenden (props. 12-20) y, por último, mide el área de la curva en sus giros sucesivos y el área del segmento de espiral (props. 21-28).

Este tratado es el primer estudio a fondo sobre tangentes a una curva diferente del círculo: en todos los textos griegos conocidos, una curva plana es el límite o parte del límite entre dos regiones del plano, una de las cuales —la figura propiamente dicha— sólo puede contener segmentos de rectas, y no rectas ilimitadas. Una tangente a una curva es, por tanto, una recta ilimitada siempre exterior a la figura. Esa concepción exige que se establezca la existencia de la tangente y su unicidad. Esta segunda parte consiste en demostrar que toda otra recta que pase por el punto de contacto penetra en la figura. Así actúan Euclides, Apolonio y Arquímedes, los tres matemáticos que se ocuparon de estas cuestiones —para los casos, respectivamente, del círculo, las cónicas y la espiral.

Arquímedes no desvela el análisis que le permitió encontrar la tangente a su espiral, pero la elegancia de las síntesis de sus razonamientos en esta obra ha alcanzado los elogios generalizados de los comentaristas.

Arquímedes a Dosíteo, ¡salud! II 2

De los teoremas que envié a Conón, respecto a los cuales me encargas constantemente que te escriba las demostraciones, la mayoría las tienes escritas en lo que te llevó Heraclidas y algunas 5 otras te las escribo y envío en este libro.

No te extrañes si dejo pasar mucho tiempo antes de publicar las demostraciones. Ocurre que esto ha tenido lugar porque yo quería primero entregarlas a los que se dedican a las matemáticas y 10 prefieren hacer la investigación. ¡Cuántos de los teoremas geométricos que al principio parecen de difícil acceso reciben con el tiempo su resolución! Conón concluyó su vida sin haber tenido tiempo bastante para esta investigación. De otro modo, tras resolver 15 todas estas cuestiones y haber propuesto muchas otras, las habría puesto en claro y habría hecho avanzar muchísimo la geometría. Sé que tenía una inteligencia poco corriente para las matemáticas y una excelente afición al estudio. Pero habiendo transcurrido muchos años tras la muerte de Conón, no tengo noticia de que 20 nadie haya logrado ningún avance en ninguno de los problemas.

Yo, por mi parte, quiero proponerlos uno por uno, porque resulta que añadí a la lista dos problemas de los que yo aún no había determinado completamente la solución, para que los que andan diciendo que lo descubren todo pero no dan a conocer 25 ninguna demostración queden refutados por haber admitido 4 que habían descubierto imposibles.

Intentaré aclarar cuáles son estos problemas y de cuáles tienes enviadas las demostraciones y de cuáles te las envío en este libro.

5 El primero de los problemas era: dada una esfera, hallar un área plana igual a la superficie de la esfera, que es lo primero que quedó aclarado al publicar el libro sobre la esfera; pues una vez demostrado que la superficie de toda esfera es el cuádruple 10 del círculo máximo de los de la esfera[1], es evidente que es posible hallar un área plana igual a la superficie de la esfera.

El segundo: dado un cono o un cilindro, hallar una esfera igual al cono o al cilindro[2].

El tercero: cortar una esfera dada mediante un plano de 15 manera que sus segmentos guarden entre sí la razón indicada[3].

El cuarto: cortar una esfera dada mediante un plano de manera que los segmentos de su superficie guarden entre sí la razón que se indique[4].

El quinto: hacer que un segmento de esfera dado[5] sea semejante a un segmento de esfera dado[6].

20 El sexto: dados dos segmentos de la misma esfera o de otra, hallar un segmento que sea él mismo semejante a uno de los segmentos pero que tenga la superficie igual a la superficie del otro segmento[7].

El séptimo: de una esfera dada cortar mediante un plano un segmento de tal manera que el segmento guarde con el cono que 25 tenga la misma base que el segmento e igual altura la razón indicada, mayor que la de 3/2[8].

De todos los mencionados, las demostraciones te las llevó Heraclidas. Lo que se hallaba después de esto, era falso; y es: si una esfera es cortada mediante un plano en partes desiguales, el 30 segmento mayor guardará con el menor una razón que será el cuadrado de la razón de la superficie mayor con la menor. 6 Que esto es falso es evidente por los teoremas que había enviado antes, pues entre ellos se encuentra el siguiente: si una esfera es cortada en partes desiguales mediante un plano perpendicular a uno de los diámetros de la esfera, el segmento mayor en 5 superficie guardará con el menor la misma razón que el segmento mayor del diámetro con el menor, y el segmento mayor de la esfera guardará con el menor una razón menor que el cuadrado de la razón que guarda la superficie mayor con la menor, pero mayor que esa razón 〈elevada a〉 tres medios[9].

10 Y de los problemas, también el que estaba puesto el último era falso, el de que si el diámetro de una esfera es cortado de manera que el cuadrado construido sobre el segmento mayor sea el triple del cuadrado construido sobre el segmento menor, y trazado un plano por el punto[10] corta a la esfera perpendicularmente 15 al diámetro, la figura que constituye el segmento mayor de la esfera es la mayor de todos los segmentos que tienen la misma superficie. Es evidente que esto es falso por los teoremas que 20 envié antes: pues está demostrado que el hemisferio es el mayor de los segmentos de esfera comprendidos por la misma superficie[11].

Después de eso, los problemas que propuse sobre el cono[12] eran los siguientes: si permaneciendo fijo el diámetro de una parábola se hace a ésta girar de modo que el diámetro sea el eje, 25 llámese paraboloide[13] a la figura descrita por la parábola, y si un plano es tangente a la figura del paraboloide y otro plano, trazado paralelo al plano tangente, corta un segmento del 30 paraboloide, llámese base del segmento cortado al plano que lo corta y vértice al punto en el que el otro plano es tangente al 8 paraboloide[14]. Que si la figura indicada es cortada por un plano perpendicular al eje, la sección será un círculo, es evidente[15]; pero que el segmento cortado será una vez y media el cono que 5 tiene la misma base que el segmento e igual altura, hay que demostrarlo[16].

Y que si se cortan dos segmentos de un paraboloide mediante planos trazados de cualquier manera, las secciones serán elipses, es evidente[17]; pero que si los planos secantes no son 10 perpendiculares al eje los segmentos guardarán entre sí la razón que guardan entre sí los cuadrados construidos sobre las rectas trazadas paralelas al eje desde los vértices hasta los planos secantes, hay que demostrarlo[18], pero las demostraciones de esto aún no te las he enviado.

Después de esto, proponía estos problemas sobre la espiral, que son un género distinto de problemas que nada tienen en 15 común con los que acabo de mencionar, y cuyas soluciones te he escrito en este libro. Son los siguientes: si se hace girar uniformemente una línea recta, permaneciendo fijo en un plano uno de sus extremos, y se la hace llegar de nuevo a la posición de la que partió y, al mismo tiempo que la línea es transportada, 20 un punto se mueve uniformemente por la recta partiendo del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano.

Afirmo que el área comprendida por la espiral y la recta que se ha hecho volver a la posición de la que partió, es la tercera 25 parte del círculo descrito con centro en el punto que permanece fijo y radio la recta recorrida por el punto en un giro de la recta[19].

Y si una recta es tangente a la espiral en el último extremo producido en la espiral y desde su extremo fijo[20] se traza otra 30 recta perpendicular a la línea que se ha hecho girar y volver a su posición inicial, de modo que alcance a la tangente, afirmo que 10 la recta trazada[28] es igual a la circunferencia del círculo[22].

Y si la recta que se hace girar y el punto que se desplaza por ella describen varios giros y vuelven de nuevo al lugar del que 5 partieron, digo que el área añadida en el tercer giro será el doble del área comprendida por la espiral en el segundo giro; y la del cuarto, el triple; y la del quinto, el cuádruple; y, sucesivamente, 10 las áreas añadidas en los giros posteriores serán múltiplos, según la serie de los números, del área añadida en el segundo giro; y el área comprendida en el primer giro es la sexta parte del área añadida en el segundo giro[23].

15 Y si en la espiral descrita en un giro se toman dos puntos, y desde ellos se trazan rectas hasta el extremo que ha permanecido fijo de la línea que se hace girar, y con centro en el punto que 20 ha permanecido fijo y radios las rectas trazadas hasta el extremo que ha permanecido fijo de la recta se describen dos círculos, y se prolonga la menor de las rectas trazadas, afirmo que el área comprendida por el arco del círculo mayor que está hacia el mismo lado que la espiral entre las rectas y la espiral y la 25 recta prolongada guardará con el área comprendida por el arco del círculo menor y la propia espiral y la recta que une los extremos de éstos[24] la razón que guarda el radio del círculo menor 30 más dos tercios del exceso en que excede el radio del círculo 12 mayor al radio del círculo menor con el radio del círculo menor más un tercio del exceso mencionado[25].

Las demostraciones de estas y otras cuestiones sobre la espiral están escritas en este libro, y las precede, como en las demás 5 obras de geometría, lo que es de necesidad para su demostración.

Asumo aquí también el siguiente postulado de los que figuran en los libros publicados anteriormente: en las líneas desiguales y las áreas desiguales, es posible que el exceso en que excede la mayor a la menor, sumado repetidamente a sí mismo, 10 exceda a cualquier magnitud propuesta de las que decimos que guardan razón[26].

PROPOSICIÓN 1

Si un punto moviéndose se desplaza uniformemente por una 15 línea[27] y en ella se toman dos líneas, las líneas tomadas guardarán entre sí la misma razón que los tiempos en los que el punto las recorrió.

Desplácese un punto uniformemente por la línea ΑΒ, y tómense en ella dos líneas ΓΔ, ΔΕ y sea ΖΗ el tiempo en el que el 20 punto recorrió ΓΔ y sea ΗΘ en el que recorrió ΔΕ.

Se ha de demostrar que la línea ΓΔ guarda con la línea ΔΕ la misma razón que el tiempo ΖΗ con el ΗΘ.

25 Compónganse las líneas ΑΔ, ΔΒ de las líneas ΓΔ, ΔΕ en cualquier composición de tal manera que ΑΔ exceda a ΔΒ y que cuantas veces forma parte la línea ΓΔ de la ΑΒ, otras tantas forme parte el tiempo ΖΗ del tiempo ΛΗ y que cuantas veces forma parte la línea ΔΕ de la ΔΒ, otras tantas forme parte el 30 tiempo ΘΗ del tiempo ΚΗ.

Dado que se ha supuesto que el punto se ha desplazado 14 uniformemente por la línea ΑΒ, es evidente que en cuanto tiempo ha recorrido ΓΔ, en otro tanto ha recorrido cada una de las líneas iguales a ΓΑ. Está claro también que la línea compuesta ΑΔ ha 5 sido recorrida en tanto tiempo cuanto es el tiempo ΛΗ, puesto que la línea ΓΔ está contenida tantas veces en la línea ΑΔ como el tiempo ΖΗ en el tiempo ΛΗ. Por la misma razón también la línea ΒΔ ha sido recorrida en tanto tiempo cuanto es el tiempo 10 ΚΗ. Puesto que la línea ΑΔ es mayor que la ΒΔ, es evidente que el punto recorre la línea ΔΑ en un tiempo mayor que la ΒΔ. De modo que el tiempo ΛΗ es mayor que el tiempo ΚΗ.

Del mismo modo se demostrará también que si de los tiempos ΖΗ, ΗΘ se componen tiempos en cualquier composición de 15 modo que el uno exceda al otro, también la línea homóloga del tiempo que sea mayor, será mayor que las líneas compuestas de las líneas ΓΔ, ΔΕ según la misma composición.

20 Es evidente por tanto que la línea ΓΔ guardará con la ΔΕ la misma razón que el tiempo ΖΗ con el tiempo ΗΘ [Elem. V, def. 5].

PROPOSICIÓN 2

Si, habiéndose desplazado con movimiento uniforme cada uno de dos puntos por una línea —que no sea la misma—, se 25 toman en cada una de las líneas dos líneas, de las cuales las primeras son recorridas por los puntos en tiempos iguales que las segundas, las líneas tomadas guardarán entre sí la misma razón.

Desplácese uniformemente un punto por la línea ΑΒ y otro 30 por la línea ΚΛ, y tómense en la línea ΑΒ dos líneas ΓΔ. ΔΕ, 16 y en la ΚΛ 〈otras dos〉 ΖΗ, ΗΘ, y el punto que se desplaza por la línea ΑΒ recorra la línea ΓΔ en el mismo tiempo en que el 5 otro, transportado por ΚΛ, recorre ΖΗ, e igualmente recorra el punto la línea ΔΕ en el mismo tiempo en que el otro 〈recorre〉 ΗΘ.

Se ha de demostrar que ΓΔ guarda con ΔΕ la misma razón que ΖΗ con ΗΘ.

Sea ΜΝ el tiempo en que el punto ha recorrido la línea ΓΔ; 10 en ese tiempo también el otro punto recorre ΖΗ. De nuevo, sea ΝΞ el tiempo en que el punto recorrió ΔΕ; y en ese tiempo el otro punto recorre ΗΘ; por tanto la línea ΓΔ guardará con la 15 ΔΕ la misma razón que el tiempo ΜΝ con el ΝΞ, y la línea ΖΗ con la ΗΘ la misma 〈razón〉 que el tiempo ΜΝ con el ΝΞ [Prop. 1].

Luego es evidente que la línea ΓΔ guardará con la ΔΕ la misma razón que la ΖΗ con la ΗΘ.

PROPOSICIÓN 3

Dados unos círculos en un número cualquiera, es posible 20 tomar una recta que sea mayor que 〈la suma de〉 las circunferencias de los círculos.

Pues si se circunscribe un polígono a cada uno de los círculos, es evidente que la recta compuesta de 〈la suma de〉 todos los perímetros será mayor que 〈la suma de〉 todas las circunferencias 25 de los círculos [Esf. cil. I 1].

PROPOSICIÓN 4

Dadas dos líneas desiguales, una recta y una circunferencia de círculo, es posible tomar una recta menor que la mayor de 30 las líneas dadas pero mayor que la menor.

18 Si se suma a sí mismo el exceso en que excede la línea mayor a la menor cuantas veces 〈sea menester para que〉 exceda a la recta y se divide la recta en otras tantas partes iguales, el segmento[28] será menor que el exceso.

5 En el caso de que la circunferencia fuera mayor que la recta, añadiendo un segmento a la recta, es evidente que será mayor que la menor de las líneas dadas, pero menor que la mayor.

En el caso de que fuera menor, añadiendo un segmento a la circunferencia será, de manera semejante, mayor que la menor 10 pero menor que la mayor, pues la línea añadida será menor que el exceso.

PROPOSICIÓN 5

Dado un círculo y una recta tangente al círculo, es posible trazar 15 desde el centro del círculo una recta hasta la tangente de manera que la recta entre la tangente y la circunferencia del círculo guarde con el radio una razón menor que 〈la que guarda〉 con cualquier arco de círculo dado el arco de circunferencia 〈comprendido〉 20 entre el punto de contacto y la recta trazada[29].

Sea ΑΒΓ un círculo dado y su centro Κ, y sea ΔΖ tangente al 25 círculo en el punto Β, y dese también un arco cualquiera de circunferencia de círculo.

Es posible tomar una recta mayor que el arco dado; y sea Ε la 30 recta mayor que el arco dado. Desde el centro Κ trácese una recta ΑΗ paralela a ΔΖ, y sea ΗΘ 20 igual a Ε y tendente a Β[30]. Una vez trazada desde el centro Κ hasta Θ, prolónguese.

En efecto, ΘΖ guarda con ΘΚ la misma razón que ΒΘ con ΘΗ. 5 Por tanto ΖΘ guarda con ΘΚ una razón menor que el arco ΒΘ con el arco dado, porque la recta ΒΘ es menor que el arco ΒΘ [Esf cil. I, post. 1] y la recta ΘΗ es mayor que el arco dado [Elem. V 8]. Por tanto ΖΘ guarda con el radio una razón menor que 10 el arco ΒΘ con el arco dado.

PROPOSICIÓN 6

Dado un círculo y en el círculo una cuerda menor que el diámetro, es posible trazar desde el centro del círculo hasta su circunferencia una recta que corte a la cuerda dada en el 15 círculo de manera que la recta tomada entre la circunferencia y la cuerda dada en el círculo guarde la razón que se indique con la recta que une el extremo de la incidente[31] —el extremo que está en la circunferencia— con un extremo de la cuerda dada en el 20 círculo, si la razón dada es menor que la que guarda la mitad de la cuerda dada en el círculo con la perpendicular trazada 25 hasta ella desde el centro[32].

Dese el círculo ΑΒΓ y su centro Κ y sea dada en él una cuerda ΓΑ menor que el diámetro y la razón que guarda Ζ con Η, 30 menor que la que guarda ΓΘ con ΚΘ y, siendo perpendicular ΚΘ[33], trácese desde el 22 centro ΚΝ paralela a ΑΓ, y ΓΛ perpendicular a ΚΓ.

Y los triángulos ΓΘΚ, ΓΚΛ son semejantes [Elem. I 29]. Entonces ΓΘ es a ΘΚ como ΚΓ a ΒΛ [Elem. VI 4], Por tanto, Ζ guarda con Η una 5 razón menor que ΚΓ con ΓΛ. Guarde ΚΓ con una recta mayor que ΓΛ la razón que guarda Ζ con Η [Elem. V 10], Guárdela con ΒΝ, y entre la circunferencia y la recta póngase ΒΝ pasando 10 por Γ —es posible que la corte así—. Y caerá fuera, puesto que es mayor que ΓΛ. Puesto que ΚΒ guarda con ΒΝ la misma razón que Ζ con Η, también ΕΒ guardará con ΒΓ la misma razón que Ζ con Η [Elem. VI 2].

PROPOSICIÓN 7

15 Con los mismos datos y prolongada la cuerda en el círculo, es posible trazar desde el centro hasta la cuerda prolongada una recta de manera que la 〈parte de la〉 recta 〈que queda〉 entre la circunferencia y la prolongación[34] guarde la razón que se indique con la que une el extremo de la recta cortada dentro 20 〈del círculo〉 con el extremo de la prolongación, si la razón dada es mayor que la que guarda la mitad de la cuerda dada en el círculo con la perpendicular trazada desde el centro hasta ella[35].

25 Sean los mismos datos y sea prolongada la línea en el círculo y sea la razón dada la que gualda Ζ con Η, mayor que la que guarda ΓΘ con ΘΚ.

30 Entonces también será mayor que la que guarda ΚΓ con ΓΛ. 24 Y la razón que guarde Ζ con Η será la que guarde ΚΓ con una recta menor que ΓΛ [Elem. V 10]. Guárdela con ΙΝ tendente a Γ —es posible cortarla así—. Y caerá por dentro de ΓΛ, puesto que es menor que ΓΛ. Entonces, puesto que ΚΓ guarda con ΙΝ la misma razón que Ζ con Η, 5 también ΕΙ guardará con ΙΓ la misma razón que Ζ con Η[36].

PROPOSICIÓN 8

10 Dado un círculo y en el círculo una cuerda menor que un diámetro y otra línea tangente al círculo en el extremo de la dada en el círculo, es posible trazar desde el centro del círculo una recta hasta la cuerda de manera que la 〈parte〉 tomada de ella[37] entre la circunferencia del círculo y la cuerda dada en el 15 círculo guarde con la 〈parte〉 tomada de la tangente la razón que se indique, si la razón fuera menor que la que guarda la mitad de la dada en el círculo con la perpendicular trazada hasta ella desde el centro del círculo[38].

20Sea ΑΒΓΔ el círculo dado, y dese en el círculo una recta ΓΑ menor que el diámetro, y sea ΞΛ tangente al círculo en el punto Γ, y sea la razón que guarda Ζ con Η menor que la que guarda ΓΘ con ΘΚ. Será también menor que la que guarda ΓΚ con ΓΛ, 25 si se traza ΚΛ paralela a ΘΓ. Guarde ΚΓ con ΓΞ la misma razón que Ζ con Η. Y ΞΓ es mayor que ΓΛ [Elem. V 10]. Trácese por ΚΛΞ una circunferencia de círculo.

Puesto que ΞΓ es mayor que ΓΛ y que ΚΓ, ΞΛ son perpendiculares 30 entre sí, cabe que pongamos otra línea ΙΝ igual a ΜΓ tendente 26 a Κ. Entonces el rectángulo comprendido por ΞΙΛ guarda con el comprendido por ΚΕ, ΙΛ la misma razón que la recta ΞΙ con la ΚΕ y el rectángulo comprendido por ΚΙΝ guarda con el comprendido por ΚΙ, ΓΛ la misma razón que 5 ΙN con ΓΛ. De manera que también ΙΝ es a ΓΛ como ΞΙ a ΚΕ. De manera que también ΓΜ es a ΓΛ y ΞΓ a 10 ΚΓ y a ΚΒ como ΞΙ es a ΚΕ y la restante ΙΓ guarda con ΒΕ la misma razón que ΞΓ 15 con ΓΚ y que Η con Ζ. Por tanto, ΚΝ incide en la tangente y la recta ΒΕ —la que está entre la circunferencia y la recta— guarda con la tomada de la tangente la misma razón que Ζ con Η.

PROPOSICIÓN 9

20 Con los mismos datos y una vez prolongada la cuerda dada en el círculo, es posible trazar una recta desde el centro del círculo hasta la cuerda prolongada, de manera que la 〈parte〉 que queda entre la circunferencia y la prolongación[39] guarde la 25 razón indicada con la tomada de la tangente hasta el punto de contacto, si la razón dada es mayor que la que guarda la mitad de la cuerda dada en el círculo con la perpendicular trazada hasta ella desde el centro[40].

30 Sea ΑΒΓΔ un círculo dado y en el círculo trácese una cuerda ΓΑ menor que el diámetro, y sea ΞΓ tangente al círculo en el punto Γ y sea la razón que guarda Ζ con Η 28 mayor que la que guarda ΓΘ con ΘΚ.

Y será mayor que la que guarda ΚΓ con ΓΛ. Guarde ΚΓ con ΓΞ la misma razón que Ζ con Η —pues ésta es menor que ΓΛ—. Trácese de nuevo 5 un círculo por los puntos Ξ, Κ, Λ. Puesto que ΞΓ es menor que ΓΛ [Elem. V 10] y ΚΜ, ΞΓ son perpendiculares entre sí, es posible disponer 10 una recta ΙΝ igual a ΓΜ y tendente a Κ. Puesto que el rectángulo comprendido por ΞΙΛ es al comprendido por ΛΙ, ΚΕ como la 15 recta ΞΙ a la ΚΕ, mientras que el comprendido por ΚΙΝ es igual al comprendido por ΞΙΛ [Elem. III 35] y el comprendido por ΚΙ, ΓΛ es igual al comprendido por ΛΙ, ΚΕ —porque ΚΕ es a ΙΚ como ΛΓ es a ΛΙ—, entonces ΞΙ es a ΚΕ como el rectángulo 20 comprendido por ΚΙΝ es al comprendido por ΚΙ, ΓΛ —es decir, como ΝΙ a ΓΛ; es decir, como ΓΜ a ΓΛ—. Y por otro lado, también ΓΜ es a ΓΛ como ΞΓ a ΚΓ [Elem. III 35] —esto es, a ΚΒ—. Por tanto, ΞΙ es a ΚΕ como ΞΓ a ΚΒ, y la restante ΙΓ es a la restante ΒΕ como ΞΓ a ΓΚ. Y la razón que guarda ΞΓ con ΓΚ es 25 la que guarda Η con Ζ. Y ΚΕ incide en la recta prolongada, y la recta ΒΕ —entre la prolongada y la circunferencia— guarda 30 con ΓΙ —la 〈parte〉 tomada de la tangente— la misma razón que Ζ con Η.

PROPOSICIÓN 10 30

Si se dispone sucesivamente un número cualquiera de líneas que se excedan unas a otras en lo mismo y el exceso es igual a la menor, y se disponen otras líneas iguales a ellas en número y cada una igual en magnitud a la mayor, y a los cuadrados construidos sobre las que son iguales a la mayor se les añade el cuadrado construido sobre la mayor y el rectángulo comprendido por la menor y una recta igual a la suma de todas las 10 que se exceden entre sí en lo mismo será el triple de la suma de todos los cuadrados construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo.

Sean Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ un número cualquiera de rectas dispuestas sucesivamente que se exceden entre sí en lo mismo, 15 y sea Θ igual al exceso y añádase a Β una recta Ι igual a Θ, a Γ añádase Κ igual a Η, a Δ añádase Λ igual a Z, a Ε añádase Μ igual a Ε, a Ζ añádase Ν igual a Δ, a Η añádase Ξ igual a Γ, a Θ añádase Ο igual a Β. Las rectas resultantes serán iguales entre sí y a la mayor.

20 Así pues, se ha de demostrar que si a los cuadrados construidos sobre todas las rectas Α y las líneas resultantes se les añaden el cuadrado de lado Α y el rectángulo comprendido por Θ y la recta igual a la suma de todas las rectas A, B, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, será el triple de la suma de todos los cuadrados construidos sobre Α, Β, Γ, Δ, 25 Ε, Ζ. Η, Θ.

El cuadrado de lado ΒΙ es igual a la suma de los cuadrados de lado Ι, Β más dos rectángulos comprendidos por Β, Ι; el cuadrado de lado ΚΓ es igual a la suma de los cuadrados de lado Κ, Γ más dos rectángulos comprendidos por Κ, Γ; e igualmente 32 los cuadrados construidos sobre las otras rectas iguales a Α son iguales a la suma de los cuadrados construidos sobre sus 5 segmentos más dos rectángulos comprendidos por sus segmentos. Por consiguiente, si a los cuadrados construidos sobre Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ y a los cuadrados construidos sobre Ι, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, Ο se les añade el cuadrado construido sobre Α son el doble de los cuadrados construidos sobre Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ 10.

Queda demostrar que si al doble de los rectángulos comprendidos por los segmentos 〈que forman〉 cada línea de las iguales a Α se les añade el rectángulo comprendido por Θ y una 15 recta igual a 〈la suma de〉 todas las Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, 〈la suma〉 es igual a los cuadrados construidos sobre Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Η, Θ.

Puesto que los dos rectángulos comprendidos por Β, Ι son iguales a los dos comprendidos por Β, Θ, y los dos comprendidos por Κ, Γ son iguales al comprendido por Θ y el cuádruple de 20 Γ —por ser Κ el doble de Θ—, y los dos comprendidos por Δ, Λ son iguales al comprendido por Θ y el séxtuple de Δ —por ser Λ el triple de Θ—, e igualmente el doble de los otros rectángulos comprendidos por los segmentos[41] son iguales al rectángulo 25 comprendido por Θ y una recta múltiplo de la recta siguiente, constantemente, según la serie de números pares, entonces, si se añade a la suma de todos los cuadrados el rectángulo comprendido por Θ y una recta igual a 〈la suma de〉 todas las Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, será igual al rectángulo comprendido por Θ y una 30 recta igual a la suma de todas: Α y el triple de Β y el quíntuple de Γ y, constantemente, el múltiplo de la línea siguiente según la 34 serie de los números impares. Y la suma de los cuadrados de Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ es igual al rectángulo comprendido por esas 5 mismas líneas, pues el cuadrado de lado Α es igual al rectángulo comprendido por Θ y una recta igual a la suma de Α más la suma de todas las restantes cada una de las cuales es igual a Α —porque Θ mide a Α el mismo número de veces que Α a la suma de las que son iguales a ella más Α—. De modo que el cuadrado 10 de lado Α es igual al rectángulo comprendido por Θ y por una recta igual a Α más el doble de Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. Pues la suma de todas las rectas iguales a Α excepto Α es el doble de Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. Y de manera semejante el cuadrado de lado Β es 15 igual al rectángulo comprendido por Θ y por una recta igual a Β más el doble de Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ; y, de nuevo, el cuadrado de lado Γ es igual al rectángulo comprendido por una recta igual a Γ más el doble de Δ, Ε, Ζ, Η, Θ; y de manera semejante también los cuadrados que tienen por lado las otras rectas son iguales a los rectángulos comprendidos por Θ y una recta igual a ella misma 20 más el doble de las restantes.

Es evidente, por tanto, que la suma de los cuadrados construidos sobre todas ellas son iguales al rectángulo comprendido por Θ y por una recta igual a la suma de Α más el triple de Β y el quíntuple de Γ y el múltiplo correspondiente de la siguiente 〈recta〉 según la serie de los números impares.

COROLARIO25

A partir de esto está claro que la suma de todos los cuadrados 36 construidos sobre las que son iguales a la mayor son menores que el triple de los cuadrados construidos sobre las rectas que se exceden entre sí en lo mismo —puesto que añadiendo ciertas áreas es el triple— pero mayores que el triple de 〈la suma de〉 los 〈cuadrados〉 de las restantes salvo el que tiene por 5 lado la mayor, puesto que los cuadrados añadidos son menores que el triple del cuadrado construido sobre la mayor.

Así pues, si se construyen figuras semejantes sobre todas las rectas —sobre las que se exceden entre sí en lo mismo y las que son iguales a la mayor— las figuras construidas sobre las que son iguales a la mayor serán menores que el triple de las figuras 10 construidas sobre las que se exceden entre sí en lo mismo, pero mayores que el triple de las restantes salvo la figura construida sobre la mayor. Pues las figuras semejantes guardarán la misma razón que los cuadrados [Elem. VI 20].

PROPOSICIÓN 11

15 Si se ponen en serie líneas en un número cualquiera que se excedan entre sí en lo mismo, y se ponen otras líneas en número menor en uno que las que se exceden entre sí en lo mismo y cada una igual en magnitud a la mayor, 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre las que son iguales a la mayor guardará con 20 〈la suma de〉 los cuadrados de las que se exceden entre sí en lo mismo menos 〈el cuadrado de〉 la menor una razón menor que la que guarda el cuadrado construido sobre la mayor con 〈la figura〉 igual a la suma del rectángulo comprendido por la mayor y la menor más la tercera parte del cuadrado construido sobre el exceso en que excede la mayor a la menor, pero 〈una razón〉 25 mayor que esa misma razón con 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre las rectas que se exceden entre sí en lo mismo 38 excepto el cuadrado construido sobre la mayor.

Sean rectas en un número cualquiera que se excedan entre sí en lo mismo dispuestas en serie: ΑΒ que excede a ΓΔ, ΓΔ a ΕΖ, ΕΖ a ΗΘ, ΗΘ a ΙΚ, Κ a 5 ΛΜ, ΛΜ a Ξ; añádase a ΓΔ la recta ΓΟ, igual a un exceso; a ΕΖ, la recta ΕΠ, igual a dos excesos; a ΗΘ, la recta ΗΡ, igual a tres excesos; y de la misma manera a las otras. Las 10 resultantes serán iguales entre sí y a la mayor.

Se ha de demostrar que la suma de los cuadrados construidos sobre todas las resultantes guardan con la suma de todos los cuadrados construidos sobre todas las que se exceden entre sí en lo mismo excepto el cuadrado construido sobre ΝΞ una razón 15 menor que la que guarda el cuadrado de lado ΑΒ con un área igual a la suma del rectángulo comprendido por ΑΒ, ΝΞ más la tercera parte del cuadrado de lado Νϒ, pero una razón mayor que esa misma razón con los cuadrados construidos sobre esas mismas rectas excepto el cuadrado de lado ΑΒ.

20 De cada una de las rectas que se exceden entre sí en lo mismo tómese una recta igual al exceso. La razón que guarda el cuadrado de lado ΑΒ con la suma del rectángulo comprendido por ΑΒ, ΦΒ más la tercera parte del cuadrado de lado ΑΦ, ésa 25 es la razón que guarda el cuadrado de lado ΟΔ con 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΟΔ, ΔΧ más la tercera parte del cuadrado de lado ΧΟ y[42] el cuadrado de lado ΠΖ con el rectángulo comprendido por ΠΖ, ΨΖ más la tercera parte del cuadrado de lado ΨΠ y[43] los cuadrados construidos sobre las 30 otras rectas con las áreas tomadas de manera semejante. Y la suma de los cuadrados construidos sobre todas las rectas ΟΔ, 40 ΠΖ, ΡΘ, ΞΚ, ΤΜ, ϒΞ guardarán con la suma de todos los rectángulos comprendidos por ΝΞ y todas las rectas iguales a las líneas indicadas más las 〈respectivas〉 terceras partes de los cuadrados de lado ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ ϒΝ la misma razón que 5 el cuadrado de lado ΑΒ con la suma del rectángulo comprendido por AB, ΦΒ más la tercera parte del cuadrado de lado ΦΑ [Elem. V 12].

Si se demuestra que el rectángulo comprendido por ΝΞ y una recta igual a 〈la suma de〉 ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΞΚ, ΤΜ, ϒΞ más la 10 tercera parte de los cuadrados construidos sobre ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ, ϒΝ, es menor que 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, pero mayor que 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ, se habrá demostrado lo propuesto [Elem. V 8].15

En efecto, el rectángulo comprendido por ΝΞ y una recta igual a la suma de ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΣΚ, ΤΜ, ϒΞ más la tercera parte de los cuadrados construidos sobre ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ, 20 ϒΝ es igual a 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ʕΜ, ΝΞ más el rectángulo comprendido por ΝΞ y una recta igual a 〈la suma de〉 ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ, ϒΝ más 25 la tercera parte de los cuadrados construidos sobre ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ, ϒΝ, mientras que 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ es igual a 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre ΒΦ, ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, ʕΜ más los cuadrados construidos sobre ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΠΩ, ΙϠ, Λʕ 30 más el rectángulo comprendido por ΒΦ y el doble de la suma de ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ [Elem. II 4].

42 Los cuadrados construidos sobre cada una de las rectas iguales a ΝΞ son comunes, mientras que el rectángulo comprendido por ΝΞ y una recta igual a la suma de ΟΧ, ΠΨ, ΩΡ, ϠΣ, ʕΤ, ϒΝ es menor que el comprendido por ΒΦ y una recta doble de la suma de ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ por ser las líneas 5 recién mencionadas iguales a ΓΟ, ΕΠ, ΡΗ, ΙΣ, ΛΤ, ϒΝ pero mayores que las restantes, mientras que los cuadrados construidos sobre las rectas ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ son mayores que la tercera parte de los cuadrados construidos sobre ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ, ϒΝ —pues esto se ha demostrado en las 10 proposiciones anteriores [Prop. 10, corol.]—. Luego las áreas mencionadas son menores que los cuadrados construidos sobre ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ.

Y demostraremos lo restante, que es mayor[44] que los cuadrados construidos sobre ΓΑ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ.

15 De nuevo, los cuadrados construidos sobre ΓΑ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ son iguales a 〈la suma de〉 los cuadrados construidos sobre ΧΓ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ más los construidos sobre ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΔ, ʕΜ, ΝΞ más el rectángulo comprendido por ΝΞ y el doble de la suma de todas las rectas ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ [Elem. 20 II 4] y los cuadrados construidos sobre ΧΔ, ΨΖ, ΩΘ, ϠΚ, Μʕ, ΝΞ son comunes, y el rectángulo comprendido por NE y por una recta igual a 〈la suma de〉 todas las rectas ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΣϠ, Τʕ, ϒΝ es mayor que el rectángulo comprendido por ΝΞ y el doble de 〈la suma de〉 todas las rectas ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ. Y, por otro lado, también 〈la suma de〉 los cuadrados construidos 25 sobre ΧΟ, ΨΠ, ΩΡ, ϠΣ, ʕΤ, ϒΝ es mayor que el triple de los cuadrados construidos sobre ΓΧ, ΕΨ, ΗΩ, ΙϠ, Λʕ, pues esto también se ha demostrado [Prop. 10, corol.].

44 Luego las áreas mencionadas son mayores que los cuadrados construidos sobre ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΙΚ, ΛΜ, ΝΞ.

COROLARIO

Y, por consiguiente, si se construyen figuras semejantes sobre 5 todas las rectas —las que se exceden entre sí en lo mismo y las que son iguales a la mayor— 〈la suma de〉 todas las construidas sobre las que son iguales a la mayor guardará con 〈la suma de〉 las construidas sobre las que se exceden entre sí en lo mismo salvo la figura construida sobre la menor una razón menor 10 que el cuadrado construido sobre la mayor con un área igual a la suma del rectángulo comprendido por la mayor y 〈la suma de〉 la menor más la tercera parte de la figura construida sobre el exceso en que la mayor excede a la menor, pero una razón mayor que ésa con las figuras construidas sobre esas mismas rectas salvo la 〈construida〉 sobre la mayor. Pues las figuras semejantes 15 guardarán la misma razón que los cuadrados.

DEFINICIONES

1. Si se traza una línea recta en un plano y, permaneciendo fijo uno de sus extremos y haciéndola girar un número cualquiera de veces, vuelve de nuevo a la posición de la que partió y, al mismo tiempo que se hace girar la línea, se desplaza por la 20 recta un punto a velocidad uniforme partiendo del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano.

2. 25 Llámese principio de la espiral al extremo de la recta que permanece fijo mientras ésta se desplaza.

3. Y principio del giro a la posición de la línea en la que la recta empezó a girar.

4. 46 Llámese recta primera a la que recorre en el primer giro el punto que se desplaza por la recta, y segunda a la que recorre el mismo punto en el segundo giro y, de manera semejante, 5 llámese a las otras con nombres homónimos de esos giros.

5. Llámese área primera a la comprendida por la espiral descrita en su primer giro y la recta primera, y área segunda a la comprendida por la espiral descrita en su segundo giro y la 10 recta segunda, y llámese así sucesivamente a las demás.

6. Y si desde el punto que es principio de la espiral se traza una línea recta, llámese lo de delante de esta recta a lo que está hacia el lado hacia el que se produce el giro, y lo de detrás a lo 15 que está hacia el otro lado.

7. Llámese círculo primero al trazado con centro en el punto que es principio de la espiral y con la recta primera por radio; círculo segundo al trazado con el mismo centro y con el doble de esa recta por radio, y los demás sucesivos a éstos, de la 20 misma manera.

PROPOSICIÓN 12

Si a la espiral descrita en un giro cualquiera la cortan un número cualquiera de rectas que parten del principio de la espiral 25 y forman unas con otras ángulos iguales, se excederán entre sí en lo mismo.

Sea una espiral en la que inciden ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΑΖ, que forman unas con otras ángulos iguales.

Se ha de demostrar que ΑΓ excede a ΑΒ en lo mismo que ΑΔ a 30 ΑΓ y lo mismo las otras.

48 El tiempo en que la recta desplazada en sentido circular llega desde ΑΒ hasta ΑΓ es el mismo que el tiempo en que, al desplazarse el punto que está en la recta, 5 recorre el exceso en que ΓΑ excede a ΑΒ, mientras que el tiempo en que se desplaza desde ΑΓ hasta ΑΔ es el mismo que aquél en que recorre el exceso en que ΑΔ excede a ΑΓ. Y la línea que 10 se desplaza circularmente recorre en el mismo tiempo desde ΑΒ hasta ΑΓ que desde ΑΓ hasta ΑΔ, puesto que los ángulos son iguales. Por tanto, el punto que se desplaza por la recta recorre en el mismo tiempo el exceso en que ΓΑ excede a ΑΒ que el exceso 15 en que ΑΔ excede a ΑΓ. Por tanto ΑΓ excede a ΑΒ en lo mismo que ΑΔ a ΑΓ [Prop. 1], y lo mismo las restantes.

PROPOSICIÓN 13

Si una recta es tangente a la espiral, lo será en un solo punto.

20 Sea una espiral en la que estén los puntos Α, Β, Γ, Δ, y sea el principio de la espiral el punto Α y sea ΑΔ el principio del giro y sea tangente a la espiral una recta ΖΕ.

Digo que le será tangente en un solo punto.

25 Séale tangente, si es posible, en dos puntos Γ, Η y trácense ΑΓ, ΑΗ y córtese por la mitad el ángulo comprendido por ΑΗ, ΑΓ, y sea Θ el punto en que corta a la espiral la recta que corta por la mitad al ángulo.

Entonces ΑΗ excede a ΑΘ en lo mismo que ΑΘ a ΑΓ, puesto que contienen respectivamente ángulos iguales [Prop. 30 12], De manera que 〈la suma de〉 ΑΗ, ΑΓ es el doble de ΑΘ. 50 Pero es mayor[45] que el doble de la recta que corta por la mitad al ángulo en el triángulo[46]. Por tanto es evidente que el punto en que la recta ΑΘ corta a la ΓΗ está entre los puntos Θ, Α. Luego ΕΖ corta a la espiral, ya que uno 5 de los puntos de la línea ΓΘΗ es interior a la espiral. Pero se había supuesto que era tangente. Luego ΕΖ es tangente a la espiral en un solo punto.

PROPOSICIÓN 14

Si dos rectas que parten del punto que es principio de la espiral cortan a la espiral trazada en su primer giro y son 10 prolongadas hasta la circunferencia del círculo primero, las rectas que cortan a la espiral guardarán entre sí la misma razón que los arcos de círculo que quedan entre el extremo de la espiral 15 y los extremos de las rectas prolongadas que resultan en la circunferencia, tomados los arcos hacia lo de delante desde el extremo de la espiral.

20 Sea ΑΒΓΔΕΘ una espiral trazada en su primer giro, y sea el punto Α el principio de la espiral, y sea la recta ΘΑ el principio del giro, y sea ΘΚΗ el círculo primero e incidan las rectas ΑΕ, ΑΔ en 25 la espiral desde el punto Α, y lleguen por el exterior hasta la circunferencia del círculo en los puntos Ζ, Η.

Se ha de demostrar que ΑΕ guarda con ΑΔ la misma razón 30 que el arco ΘΚΖ con el arco ΘΚΗ.

52 Al desplazarse en círculo la línea ΑΘ, está claro que el punto Θ se ha ido desplazando a velocidad uniforme por la circunferencia del círculo ΘΚΗ, mientras que el punto Α que se desplaza 5 por la recta recorre la línea ΑΘ; y el punto Θ desplazándose por la circunferencia del círculo recorre el arco ΘΚΖ mientras que el punto Α recorre la recta ΑΕ; y, de nuevo, el punto Α recorre la línea ΑΔ y el Θ el arco ΘΚΗ, al desplazarse cada uno a velocidad uniforme.

10 Está claro por tanto que ΑΕ guarda con ΑΔ la misma razón que el arco ΘΚΖ con el arco ΘΚΗ[47] [Prop. 2].

De la misma manera se demostrará también que, si una de las que inciden en la espiral incide en el extremo de la misma, 15 sucede lo mismo.

PROPOSICIÓN 15

Si rectas que parten del principio de la espiral trazada en su segundo giro inciden en ella, las rectas guardarán entre sí la 20 misma razón que los arcos indicados[48] tomados juntamente con[49] la circunferencia entera del círculo.

Sea una espiral en la que figuran ΑΒΓΔΘ, trazada en su primer giro ΑΒΓΔΘ, y ΘΛΕΜ en el segundo, e incidan en ella las rectas ΑΕ, ΑΛ.

Se ha de demostrar que ΑΑ 25 guarda con ΑΕ la misma razón que el arco ΘΚΖ más la circunferencia entera del círculo con el arco ΘΚΗ más la circunferencia entera del círculo.

El punto Α, al desplazarse por la recta, recorre la línea ΑΛ en el 30 mismo tiempo que el punto Θ, al desplazarse por la circunferencia del círculo, recorre entera la circunferencia del círculo y 54 además el arco ΘΚΖ; y, de nuevo, el punto Α recorre la recta ΑΕ y el punto Θ la circunferencia entera del círculo y además ΘΚΗ, desplazándose cada uno a velocidad uniforme.5

Está claro por tanto que la línea ΑΛ guarda con la ΑΕ la misma razón que el arco ΘΚΖ más la circunferencia entera del círculo con el arco ΘΚΗ más la circunferencia entera del círculo [Prop. 2].

* * *

10 Del mismo modo se demostrará que, si unas rectas inciden en la espiral trazada en su tercer giro, guardarán entre sí la misma razón que los arcos indicados tomados juntamente con el doble de la circunferencia entera del círculo.

15 De manera semejante se demuestra también que las rectas que cortan a las otras espirales guardan la misma razón que los arcos indicados tomados juntamente con la circunferencia entera del círculo 〈multiplicada〉 tantas veces como el número del giro menos una, incluso si una de las rectas que corta a la espiral 20 lo hace en su extremo.

PROPOSICIÓN 16

Si una línea recta es tangente a la espiral trazada en su primer giro y desde el punto de tangencia se traza una línea recta hasta el 25 punto que es principio de la espiral, los ángulos que forma la tangente con la línea trazada serán desiguales y será obtuso el que está hacia lo de delante y agudo el que está hacia lo de detrás.

56 Sea una espiral en la que figuran Α, Β, Γ, Δ, Θ, trazada en su primer giro, y sea el punto Α el principio de la espiral, y la recta ΑΘ el principio del giro y ΘΚΗ el círculo primero y sea una línea 5 recta ΕΔΖ tangente a la espiral en el punto Δ, y desde Δ hasta Α trácese ΔΑ.

Se ha de demostrar que ΔΖ forma con ΑΔ un ángulo obtuso.

Trácese un círculo ΔΤΝ con centro en Α y radio ΑΔ. Por fuerza el arco de este círculo que 10 mira hacia delante cae dentro de la espiral, mientras que 15 el que mira hacia lo de detrás, fuera, porque de las rectas que inciden en la espiral partiendo de Α, las que inciden en lo de 20 delante son mayores que ΑΔ, mientras que las que inciden en lo de detrás, menores.

Que el ángulo comprendido por ΑΔΖ no es agudo es evidente, 25 puesto que es mayor que el del semicírculo[50], y que no es recto se demuestra así:

Pues sea, si es posible, recto.

Entonces la recta ΕΔΖ es tangente al círculo ΔΤΝ [Elem. III 16, corol.]. Y es posible trazar una recta desde Α hasta la tangente de modo que la recta que queda entre la tangente y el arco de circunferencia guarde con el radio del círculo una razón 30 menor que la que guarda el arco que queda entre el punto de tangencia y la recta incidente con el arco dado [Prop. 5]. Sea la 58 incidente la recta ΑΙ.

Ésta cortará a la espiral en el punto Λ y al arco de círculo ΔΝΤ en el punto Ρ. Y guarde la recta ΡΙ con la ΑΡ una razón menor que la que guarda el arco ΔΡ con el arco ΔΝΤ. Y 5 entonces la recta entera ΙΑ guarda con la ΑΡ una razón menor que la que guarda el arco ΡΔΝΤ con el arco ΔΝΤ, es decir, la que guarda el arco ΣΗΚΘ con el arco ΗΚΘ. Y la razón que guarda el arco ΣΗΚΘ con el arco ΗΚΘ es la que guarda la recta ΑΛ con 10 la ΑΛ —pues eso se ha demostrado [Prop. 14]—; por tanto ΑΙ guarda con ΑΡ una razón menor que ΛΑ con ΑΔ. Lo cual es imposible, pues ΡΑ es igual a ΑΔ [Elem. V 8].

Por tanto, el ángulo comprendido por ΑΔΖ no es recto. Y se había demostrado que tampoco es agudo. Luego es obtuso; de 15 manera que el restante es agudo.

De manera semejante se demostrará que también ocurrirá lo mismo si la recta tangente es tangente a la espiral en su extremo.

PROPOSICIÓN 17

Y efectivamente ocurrirá lo mismo si la recta es tangente a la espiral trazada en su segundo giro. 20

Sea la recta ΕΖ tangente en el punto Δ a la espiral trazada en su segundo giro, y constrúyase lo demás igual que en lo anterior[51].

25 De manera semejante, la parte de la circunferencia del círculo ΡΝΔ que mira hacia lo de delante caerá dentro de la espiral, mientras que la que mira a lo de detrás, fuera. Por tanto, el ángulo comprendido por ΑΔΖ no es recto, sino obtuso.

Pero sea, si es posible, recto.

Entonces ΕΖ será tangente al círculo ΡΝΔ en el punto Δ [Elem. III 30 16, corol.]. Trácese de nuevo ΑΙ hasta la tangente, 60 y corte a la espiral en el punto Χ y a la circunferencia del círculo ΡΝΔ en el punto Ρ, y guarde ΡΙ con ΡΑ una 5 razón menor que la que guarda el arco ΔΡ con la circunferencia entera del círculo ΔΡΝ más el arco ΔΝΤ —pues se ha demostrado que esto es posible [Prop. 5].

10 Y entonces la recta entera ΙΑ guarda con la recta entera ΑΡ 15 una razón menor que el arco PΔNT más la circunferencia entera del círculo, con el arco ΔNT más la circunferencia entera del círculo. Pero la razón que guarda el arco 20 Ρ más la circunferencia entera del círculo ΔΝΤΡ con el arco ΔΝΤ más la circunferencia entera del círculo ΔΝΤΡ es la misma razón que guarda el arco ΣΗΚΘ más la circunferencia entera del círculo ΘΣΗΚ con el arco ΗΚΘ más la circunferencia entera del círculo ΘΣΗΚ, y la razón que guardan los arcos indicados en último lugar es la razón que guarda la recta ΧΑ con la recta ΑΔ25 —pues esto se ha demostrado [Prop. 15]. Luego ΙΑ guarda con ΑΡ una razón menor que ΑΧ con ΑΔ. Lo cual es imposible[52].

Es evidente, por tanto, que el ángulo comprendido por ΑΔΖ es obtuso. De modo que el restante es agudo.

30 Lo mismo sucederá también si la recta tangente es tangente a la espiral en su extremo.

62 De la misma manera se demostrará también que si una recta es tangente a la espiral trazada en cualquier giro y lo es en su extremo, formará ángulos desiguales con la recta trazada desde el punto de tangencia hasta el principio de la espiral y que el 5 ángulo que mira hacia lo de delante es obtuso y el que mira hacia lo de detrás es agudo.

PROPOSICIÓN 18

Si una línea recta es tangente a la espiral trazada en su primer giro en el extremo de la espiral, y desde el punto que es 10 principio de la espiral se traza una perpendicular a la recta principio del giro, la recta trazada cortará a la tangente, y la recta entre la tangente y el principio de la espiral será igual a la circunferencia del círculo primero.

15 Sea ΑΒΔΓΘ una espiral, y sea el punto Α el principio de la espiral, y la línea ΘΑ el principio del giro; sea ΘΗΚ el círculo primero y sea ΘΖ una recta tangente a la espiral en el punto Θ, y desde el punto Α trácese ΑΖ perpendicular a ΘΑ. Ésta llegará a cortar a ΘΖ, puesto que ΖΘ, ΘΑ contienen un ángulo agudo 20 [Prop. 16; Elem. I, post. 5]. Córtela en el punto Ζ.

Se ha de demostrar que ΖΑ es igual a la circunferencia del círculo ΘΚΗ.

Pues si no, o bien es mayor o es menor.

Sea primero, si es posible, mayor.

25 He tomado una recta ΛΑ menor que la recta ΖΑ, pero mayor que la circunferencia del círculo ΘΗΚ [Prop. 4] y hay un círculo ΘΗΚ y en el círculo, una línea ΘΗ menor que el diámetro, y 64 la razón que guarda ΘΑ con ΑΛ es mayor que la que guarda la mitad de ΗΘ con la perpendicular trazada desde Α hasta ella[53], 5 por lo cual 〈es mayor〉 también que la que guarda ΘΑ con AZ. Por tanto, es posible trazar una recta desde Α hasta la prolongación de la recta ΑΝ de modo que ΝΡ —la 〈que queda〉 entre el arco y la recta prolongada— guarde con ΘΡ la misma razón que ΘΑ con ΑΛ [Prop. 7].

Por tanto, ΝΡ guardará con ΡΑ la misma razón que la recta 10 ΘΡ con ΑΛ. Pero ΘΡ guarda con ΑΛ una razón menor que el arco ΘΡ con la circunferencia del círculo ΘΗΚ, pues la recta ΘΡ es menor que el arco ΘΡ, mientras que la recta ΑΛ es mayor que 15 la circunferencia del círculo ΘΗΚ. Por tanto, ΝΡ guardará con ΡΑ una razón menor que el arco ΘΡ con la circunferencia del círculo ΘΗΚ. Y entonces la recta entera ΝΑ guarda con ΑΡ una razón menor que el arco ΘΡ más la circunferencia entera del 20 círculo con la circunferencia del círculo ΘΗΚ. Y la razón que guarda el arco ΘΡ más la circunferencia entera del círculo ΘΗΚ con la circunferencia del círculo ΘΗΚ, es la que guarda la recta ΧΑ con ΑΘ —pues eso se ha demostrado [Prop. 15]—. Luego ΝΑ guarda con ΑΡ una razón menor que ΧΑ con ΑΘ. Lo cual es imposible,25 pues ΝΑ es mayor que ΑΧ mientras que ΑΡ es igual a ΘΑ.

Luego ΖΑ no es mayor que la circunferencia del círculo ΘΗΚ.

Sea ahora, si es posible, menor ΖΑ que la circunferencia del círculo ΘΗΚ.

30 De nuevo he tomado una recta ΑΛ mayor que ΑΖ pero menor que la circunferencia del círculo ΘΗΚ [Prop. 4], y desde Θ 66 trazo ΘΜ, paralela a ΑΖ. De nuevo hay un círculo ΘΗΚ y en el círculo, una línea ΘΗ menor que el diámetro y otra tangente al círculo[54] en el punto Θ [Elem. III 16, corol.], y la razón que guarda ΑΘ con ΑΛ es menor que la que guarda la mitad de ΗΘ 5 con la perpendicular trazada hasta ella desde Α, puesto que también es menor que la que guarda ΘΑ con ΑΖ.

Por tanto, es posible trazar. ΑΠ desde Α hasta la tangente de manera que ΡΝ —la 〈que queda〉 entre la recta que hay en el círculo y el arco— 10 guarde con ΘΠ —la recta cortada de la tangente— la misma razón que guarda ΘΑ con ΑΛ [Prop. 8].

La recta ΑΠ cortará al círculo en Ρ y a la espiral en Χ. Y, tomando la proporción en alternancia, ΝΡ guardará con ΡΑ la misma razón que ΘΠ con ΑΛ. Pero ΘΠ guarda con ΑΛ una 15 razón mayor que el arco ΘΡ con la circunferencia del círculo ΘΗΚ. Pues la recta ΘΠ es mayor que el arco ΘΡ, mientras que la recta ΑΛ es menor que la circunferencia del círculo ΘΗΚ. Luego ΠΡ guarda con ΑΡ una razón mayor que el arco ΘΡ con 20 la circunferencia del círculo ΘΗΚ. De modo que ΡΑ guarda con ΑΝ una razón mayor que la circunferencia del círculo ΘΗΚ con el arco ΘΚΡ. Y la razón que guarda la circunferencia del círculo ΘΗΚ con el arco ΘΚΡ es la misma que la que guarda la 25 recta ΘΑ con ΑΧ —pues eso se ha demostrado [Prop. 14]—. Luego Α guarda con ΑΝ una razón mayor que ΘΑ con ΑΧ. Lo cual es imposible.

68 Luego ΖΑ no es mayor ni menor que la circunferencia del círculo ΘΗΚ. Luego es igual.

PROPOSICIÓN 19

Si una recta es tangente en el extremo de una espiral trazada 5 en su segundo giro y desde el principio de la espiral se traza una recta perpendicular a la recta principio del giro, ésta incidirá en la tangente, y la recta entre la tangente y el principio 10 de la espiral será el doble de la circunferencia del segundo círculo.

Sea ΑΒΓΘ una espiral trazada en su primer giro, y ΘΕΤ en su segundo giro, y sea ΘΚΗ su círculo primero y ΤΜΝ el segundo, 15 y sea ΤΖ una línea tangente a la espiral en el punto Τ, y trácese ΖΑ perpendicular a ΤΑ. Ésta incidirá en ΤΖ, puesto que ya se ha demostrado que el ángulo comprendido por ΑΤΖ es agudo [Prop. 17].

Se ha de demostrar que la recta ΖΑ es el doble de la circunferencia del círculo ΤΜΝ.

20 Pues si no es el doble, es mayor que el doble o menor que el doble.

Sea primero, si es posible, mayor que el doble, y tómese una recta ΛΑ menor que la recta ΖΑ, pero mayor que el doble de la circunferencia del círculo ΤΜΝ [Prop. 4].

25 Hay un círculo ΤΜΝ y en el círculo una línea dada ΤΝ menor que el diámetro, y la razón que guarda ΤΑ con ΑΛ es mayor que la que guarda la mitad de ΤΝ con la perpendicular trazada 30 desde Α hasta ella. Por tanto es posible trazar ΑΣ desde Α hasta 70 la prolongación de ΤΝ de manera que ΡΣ —la 〈que queda〉 entre el arco y la prolongación[55]— guarde con ΤΡ la misma razón que ΤΑ con ΑΛ [Prop. 7].

Entonces ΑΣ cortará al círculo en el punto Ρ y a la espiral en Χ. Y, tomando la proporción en alternancia[56], ΡΣ guardará con ΤΑ la misma razón que ΤΡ con ΑΛ. Pero 5 ΤΡ guarda con ΑΛ una razón menor que el arco ΤΡ con el doble de la circunferencia del círculo ΤΜΝ, pues la recta ΤΡ es menor que el arco ΤΡ, mientras que la recta ΑΛ es mayor que el doble de la circunferencia del círculo ΤΜΝ. Por tanto ΡΣ guarda con 10 ΑΡ una razón menor que el arco ΤΡ con el doble de la circunferencia del círculo ΤΜΝ. Por tanto, la recta entera ΣΑ guarda con la ΑΡ una razón menor que el arco ΤΡ más el doble de la 15 mencionada circunferencia del círculo ΤΜΝ con el doble de la indicada circunferencia del círculo ΤΜΝ. Y la razón que guardan estos arcos 〈y circunferencias〉 es la razón que guarda ΧΑ con ΑΤ —pues esto se ha demostrado [Prop. 15 (54, 19)]—. Luego ΑΣ guarda con ΑΡ una razón menor que ΧΑ con ΤΑ, lo 20 cual es imposible.

Luego la recta ΖΑ no es mayor que el doble de la circunferencia del círculo ΤΜΝ.

De modo semejante se demostrará que tampoco es menor que el doble. Por tanto es evidente que es el doble.

25 Por el mismo medio se ha de demostrar también que, si una recta es tangente en el extremo de la espiral a una espiral trazada en cualquier giro y una recta trazada desde el principio de la espiral perpendicular a la recta principio del giro corta a la tangente, 72 será múltiplo de la circunferencia del círculo denominado según el número del giro en el mismo número[57].

PROPOSICIÓN 20

5 Si una línea recta es tangente a la espiral trazada en su primer giro, pero no en el extremo de la espiral, y se traza una recta desde el punto de tangencia hasta el principio de la espiral y con centro en el principio de la espiral y radio la recta trazada se traza un círculo y desde el principio de la espiral se 10 traza una recta perpendicular a la trazada desde el punto de tangencia hasta el principio de la espiral, ésta cortará a la tangente, y la recta entre el punto de corte y el principio de la espiral será igual al arco de circunferencia del círculo trazado —el 〈que esta〉 entre el punto de tangencia y el de corte en el 15 que el círculo trazado corta a la recta origen de la traslación, tomando el arco hacia lo de delante desde el punto en la recta principio del giro.

Sea una espiral en la que figura ΑΒΓΔ, trazada en su primer 20 giro y sea tangente a ella la recta ΕΖ en el punto Δ, y desde Δ hasta el principio de la espiral trácese ΑΔ, y con centro en Α y radio ΑΔ trácese el círculo ΔΜΝ, y corte éste a la recta principio del giro en el punto Κ y trácese ΖΑ perpendicular a ΑΔ.

25 Que la cortará[58] es evidente [Prop. 16], Pero que la recta ΖΑ es igual al arco ΚΜΝΔ hay que demostrarlo.

74 Pues si no, o bien es mayor o es menor.

Sea primero, si es posible, mayor, y tómese una recta ΛΑ menor que ΖΑ pero mayor que el arco ΚΜΝΔ [Prop. 4].

5 De nuevo, ΚΝΜ es un círculo, y en el círculo hay una línea ΔΝ menor que el diámetro, y la razón que guarda ΔΑ con ΑΛ es mayor que la que guarda la mitad de ΔΝ con la perpendicular trazada desde Α hasta ella. Por tanto, es posible trazar ΑΕ desde Α hasta la prolongación de ΝΔ, de manera que ΕΡ guarde con 10 ΔΡ la misma razón que ΔΑ con ΑΛ —pues se ha demostrado que esto es posible [Prop. 7].

Por tanto, ΕΡ guardará con ΑΡ la misma razón que ΔΡ con ΑΛ. Pero ΔΡ guarda con ΑΛ una razón menor que el arco ΔΡ con el arco ΚΜΔ, puesto que ΔΡ es menor que el arco ΔΡ 15 mientras que ΑΛ es mayor que el arco ΚΜΔ. Por tanto la recta ΕΡ guarda con ΡΑ una razón menor que el arco ΔΡ con el arco KMΔ. De manera que también AE guarda con AP una razón menor que el arco ΚΜΡ con el arco ΚΜΔ. Y la razón que 20 guarda el arco ΚΜΡ con el arco ΚΜΔ es la que guarda ΧΑ con ΑΔ [Prop. 14]. Por tanto ΕΑ guarda con ΑΡ una tazón menor que ΑΧ con ΔΑ. Lo cual es imposible.

25 Luego ΖΑ no es mayor que el arco ΚΜΔ. Y de la misma manera que en las proposiciones anteriores se demostrará que tampoco es menor. Luego es igual.

Por el mismo medio se demostrará también que, si una recta es tangente a una espiral trazada en su segundo giro, pero no en el extremo de la espiral, y se construye lo demás igual[59], la 30 recta entre el punto de corte con la tangente y el principio de la 76 espiral es igual a la circunferencia entera del círculo trazado más el arco entre los puntos indicados, tomado el arco de la misma manera.

Y que si una recta es tangente a una espiral trazada en cualquiera 5 de sus giros, pero no en el extremo de la espiral, y se construye lo demás igual, la recta entre los puntos indicados es múltiplo, en un número menos que el que indican los giros, de la 10 circunferencia del círculo trazado, e igual 〈a esto〉 más el 〈arco〉 tomado de modo semejante entre los puntos indicados[60].

PROPOSICIÓN 21

Si se toma el área comprendida por la espiral trazada en su primer giro y la recta primera 〈tomada〉 en la que es principio 15 del giro, es posible circunscribir a esa área una figura plana e inscribir otra, compuestas de sectores semejantes, de modo que la figura circunscrita sea mayor que la inscrita en un área menor 20 que cualquier área propuesta.

Sea una espiral, en la que figura ΑΒΓΔ, trazada en su primer 25 giro y sea el punto Θ el principio de la espiral y ΘΑ la recta principio del giro y ΖΗΙΑ el círculo primero y ΑΗ, ΖΙ diámetros de éste, perpendiculares entre sí. Una vez cortado repetidamente 30 por la mitad el ángulo recto y el sector que comprende el 78 ángulo recto, lo que quede del sector será menor que el área propuesta [Elem. X 1]. Resulte el sector ΑΘΚ menor que el área propuesta. Córtense los cuatro ángulos rectos en ángulos 5 iguales al comprendido por ΑΘ, ΘΚ, y trácense hasta la espiral las rectas que forman los ángulos. Sea Λ el punto en el que ΘΚ corta a la espiral, y con centro en Θ y radio ΘΛ trácese un círculo. La parte de su circunferencia que está hacia lo de delante caerá dentro de la espiral, y la que está hacia lo de detrás, fuera. 10 Trácese el arco hasta donde corte a ΘΑ[61] y hasta la recta que corta a la espiral después de ΘΚ.

Y, de nuevo, sea Ν el punto en que ΘΜ corta a la espiral, y con centro en Θ y 15 radio ΘΝ trácese un círculo hasta que el arco del círculo corte a ΘΚ y a la recta que corta a la espiral a continuación de ΘΜ y, de manera semejante, por todos los otros puntos en que las rectas que forman los ángulos iguales cortan a la espiral trácense círculos[62] con centro en Θ hasta que 20 cada arco corte a la recta precedente y a la siguiente. En torno al área tomada habrá, entonces, una figura circunscrita compuesta de sectores iguales y otra inscrita.

25 Se demostrará que la figura circunscrita es mayor que la inscrita en un área menor que la propuesta.

Pues el sector ΘΛΟ es igual al ΘΜΛ, y el ΘΝΠ igual al ΘΝΡ, y el ΘΧΣ igual al ΘΧΤ, y cada uno de los demás sectores que hay en la figura inscrita es igual al sector de la figura circunscrita con el que tiene un lado común. Es evidente, por 30 tanto, que todos y cada uno de los sectores son iguales a todos y 80 cada uno. Por tanto, la figura inscrita en el área es igual a la figura circunscrita al área salvo el sector ΘΑΚ, pues éste es el único de los de la figura circunscrita que no ha sido tomado.

5 Es evidente por tanto que la figura circunscrita es mayor que la inscrita en el sector ΑΚΘ, que es menor que el área propuesta.

COROLARIO

10 A partir de esto es evidente que es posible trazar como se ha dicho una figura en torno al área indicada de manera que la figura circunscrita sea mayor que 〈tal〉 área en menos que cualquier área propuesta y, a la vez, inscribir 〈una figura〉 de modo que, de manera semejante, el área sea mayor que la figura inscrita 15 en menos que cualquier área propuesta.

PROPOSICIÓN 22

Si se toma el área comprendida por la espiral trazada en su segundo giro y, en la recta que es principio del giro, la recta 20 segunda, es posible circunscribir a ella una figura plana compuesta de sectores semejantes, e inscribir otra de modo que la figura circunscrita sea mayor que la inscrita en menos que cualquier área propuesta.

Sea una espiral, en la que figura ΑΒΓΔΕ, trazada en su segundo25 giro y sea el punto Θ el principio de la espiral y ΑΘ la recta principio del giro y, en la recta principio del giro, sea ΕΑ la recta segunda, y sea ΑΖΗ el círculo segundo y ΑΓΗ, ΖΙ diámetros del mismo, mutuamente perpendiculares.

Una vez cortado de nuevo 30 por la mitad el ángulo recto y 82 el sector que comprende el ángulo recto, el área restante será menor que la propuesta [Elem. X 1].Y resulte el sector ΘΚΑ menor que el área propuesta. Una vez divididos los ángulos rectos en ángulos iguales al comprendido por ΚΘΑ y construido lo demás del mismo 5 modo que en lo anterior [Prop. 21], la figura circunscrita será mayor que la figura inscrita en menos que el sector ΘΚΑ, pues será mayor que el exceso en que el sector ΘΚΑ excede al sector ΘΕΡ.

COROLARIO 10

Está claro, por consiguiente, que es posible tanto que la figura circunscrita sea mayor que el área tomada en menos que el área propuesta como que, a la inversa, el área tomada sea mayor que la figura inscrita en menos que cualquier área propuesta. 15

Por el mismo medio, está claro que si se toma el área comprendida por la espiral trazada en cualquiera de sus giros y la recta 〈tomada en la que es〉 principio de la traslación denominada según ese mismo número, es posible circunscribirle una 20 figura plana como se ha indicado, de manera que la figura circunscrita sea mayor que el área tomada en menos que cualquier área propuesta y, a la vez, inscribir 〈otra〉 de manera que el área tomada sea mayor que la figura inscrita en menos que cualquier área propuesta.25

PROPOSICIÓN 23

Si se toma el área comprendida por una espiral menor que la trazada en su primer giro —que no tenga por extremo el origen de la espiral— y por las rectas trazadas desde los 30 extremos de la espiral, es posible circunscribir a 〈tal〉 área una 84 figura plana compuesta de sectores semejantes e inscribir otra, de manera que la figura circunscrita sea mayor que la inscrita en menos que cualquier área propuesta.

5 Sea una espiral en la que figura ΑΒΓΔΕ, y sean sus extremos Α, Ε, y sea Θ el origen de la espiral, y trácense ΑΘ, ΘΕ. Trácese un círculo con centro en Θ y radio ΘΑ, y corte a ΘΕ en Ζ, Cortando por la mitad repetidamente el ángulo de vértice 10 en Θ y el sector ΘΑΖ, el área restante será menor que la propuesta. Sea el sector ΘΑΚ menor que el área propuesta.

Del mismo modo que en las demostraciones anteriores, trácense círculos que pasen por los puntos en los que las rectas que forman los ángulos iguales de 15 vértice en Θ cortan a la espiral, de manera que cada uno de los arcos corte a la recta anterior y a la siguiente. Habrá una figura plana circunscrita al área comprendida 20 por la espiral ΑΒΓΔΕ y las rectas ΑΘ, ΘΕ, compuesta de sectores 25 semejantes, y otra circunscrita, y la circunscrita excede a la inscrita en un área menor que el área propuesta. Pues el sector ΘΑΚ es menor.

COROLARIO

30 A partir de esto, está claro que es posible circunscribir al 86 área dicha una figura plana como se ha indicado, de manera que la figura circunscrita sea mayor que el área[63] en un área menor que cualquier área propuesta y, a la vez, inscribir 〈otra〉 de manera que el área indicada sea mayor que la figura inscrita en 5 menos que cualquier área propuesta.

PROPOSICIÓN 24

El área comprendida por la espiral trazada en su primer giro y por la recta primera 〈tomada〉 en la recta principio del giro es la tercera parte del círculo primero[64].10

Sea una espiral en la que figura ΑΒΓΔΕΘ, trazada en su primer giro, y sea el punto Θ el origen de la espiral, ΘΑ la recta primera 〈tomada〉 en la recta principio del giro y ΑΚΖΗΙ el círculo primero, y sea el círculo en el que figura ʕ la tercera 15 parte de éste.

Se ha de demostrar que el área propuesta es igual al círculo ʕ.

Pues si no, o bien es mayor o menor.20

Sea primero, si es posible, menor.

Entonces, es posible circunscribir una figura plana compuesta de sectores semejantes al área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕΘ y la recta ΘΑ de manera que la figura circunscrita 25 sea mayor que el área en menos que el exceso en que excede el 30 círculo ʕ al área indicada [Prop. 21, corol.]. Circunscríbase, y 88 sea ΘΑΚ el mayor de los sectores que componen la figura indicada y ΘΕΟ el menor.

Es evidente, por tanto, que la figura circunscrita es menor que el círculo ʕ [por hipót.]. Prolónguense las rectas que 5 forman los ángulos iguales con vértice en Θ hasta que incidan en la circunferencia del círculo.

Hay unas líneas que desde Θ inciden en la espiral y que se exceden entre sí en lo mismo, de las cuales la mayor es ΘΑ y la menor ΘΕ, y la menor es igual al exceso. Y hay otras líneas que 10 desde Θ inciden en la circunferencia del círculo, iguales en número a aquéllas e igual cada una en magnitud a la mayor, y a partir de todas ellas se han construido sectores semejantes, tanto a partir de las que se exceden entre sí en lo mismo como a 15 partir de las que son iguales entre sí y a la mayor. Luego 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales a la mayor es menor que el triple de los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo —pues esto se ha demostrado [Prop. 10, corol.]—.

Y 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales entre sí y a la mayor es 20 igual al círculo ΑΖΗΙ, mientras que 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo es igual a la figura circunscrita. Por tanto, el círculo ΑΖΗΙ es menor que el triple de la figura circunscrita; pero era el triple del círculo 25ʕ. Luego el círculo ʕ sería menor que la figura circunscrita; pero no lo es, sino que es mayor.

Luego el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕΘ y la recta ΑΘ no es menor que el área ʕ.

90 Y tampoco es mayor.

Pues sea, si es posible, mayor.

De nuevo, es posible inscribir una figura en el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕΘ y la recta ΑΘ de manera que 5 el área indicada sea mayor que la figura inscrita en menos que aquello en lo que excede el área indicada al círculo ʕ [Prop. 21, corol.]. Inscríbase, y sea ΘΡΞ el mayor de los sectores de que está compuesta la figura inscrita, y ΟΘΕ el menor. Es 10 evidente que la figura inscrita es mayor que el círculo ʕ. Prolónguense las rectas que forman los ángulos iguales con vértice en Θ hasta que incidan en la circunferencia del círculo.

De nuevo hay ciertas líneas que se exceden entre sí en lo mismo, las que inciden en la espiral desde Θ [Prop. 12], de las cuales ΘΑ es la mayor y ΘΕ la menor, y la menor es igual al 15 exceso, y hay otras rectas, las que desde Θ inciden en la circunferencia del círculo ΑΖΗΙ iguales a aquéllas en número, y en magnitud igual cada una a la mayor, y se han construido sectores semejantes sobre todas ellas, tanto sobre las que 20 son iguales entre sí y a la mayor como sobre las que se exceden entre sí en lo mismo.

Por tanto 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales a la mayor es mayor que el triple de 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo, excepto el construido sobre la mayor —pues esto se ha demostrado [Prop. 10, corol.]—. Y, por otro lado, 〈la suma de〉 los 25 sectores construidos sobre las que son iguales a la mayor es 92 igual al círculo ΑΖΗΙ, mientras que 〈la suma de〉 los construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo, excepto el construido sobre la mayor, es igual a la figura inscrita. Por tanto el círculo ΑΖΗΙ es mayor que el triple de la figura inscrita; y es 5 el triple del círculo ʕ. Luego el círculo ʕ es mayor que la figura inscrita. Pero no lo es, sino que es menor.

Luego el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕΘ y la recta ΑΘ tampoco es mayor que el círculo ʕ. Luego es igual[65].10

PROPOSICIÓN 25

El área comprendida por la espiral trazada en su segundo giro y por la recta segunda 〈tomada〉 en la recta principio del 15 giro, guarda con el círculo segundo la misma razón que guarda 7 con 12, que es la misma que guarda la suma del rectángulo comprendido por el radio del círculo segundo y el radio del 20 círculo primero más la tercera parte del cuadrado construido sobre el exceso en que excede el radio del círculo segundo al radio del círculo primero con el cuadrado construido sobre el radio del círculo segundo[66].

Sea una espiral en la que figura ΑΒΓΔΕ, trazada en su segundo 25 giro, y sea el punto Θ el origen de la espiral, y la recta ΘΕ una recta primera 〈tomada〉 en la recta principio del giro, y ΑΕ la recta segunda en la recta principio del giro, y sea ΑΖΗΙ el círculo segundo, y ΑΗ, ΙΖ diámetros de éste perpendiculares entre sí.

30 Se ha de demostrar que el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y la recta ΑΕ guarda con el círculo ΑΖΗΙ la razón de 7 a 12.

Sea un círculo ʕ y sea el cuadrado construido sobre el radio del círculo ʕ igual al rectángulo comprendido por 5 ΑΘ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado construido sobre ΑΕ. El círculo ʕ guardará con el ΑΖΗΙ la razón de 7 a 12, puesto que el cuadrado de su radio guarda esa razón con el cuadrado del radio del círculo ΑΖΗΙ[67] [Elem. XII 2].

10 Por tanto, se demostrará que el círculo ʕ es igual al área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y la recta ΑΕ.

Pues si no, o bien es mayor o menor.

Sea primero, si es posible, mayor.

Es posible circunscribir al área una figura plana compuesta de sectores semejantes de modo que la figura circunscrita sea 15 mayor que el área en menos que aquello en lo que excede el círculo ʕ al área [Prop. 22, corol.]. Circunscríbase, y de los sectores que componen el área circunscrita sea ΘΑΚ el mayor y ΘΟΑ el menor. Es evidente que la figura circunscrita es 20 menor que el círculo. Prolónguense las rectas que forman los ángulos iguales con vértice en Θ hasta que incidan en la circunferencia del segundo círculo.

Hay ciertas líneas que se exceden entre sí en lo mismo [Prop. 12], las que inciden en la espiral desde Θ, de las cuales la mayor 25 es ΘΑ y la menor ΘΕ, y hay otras rectas, las que desde Θ 96 inciden en la circunferencia del círculo ΑΖΗΙ, en número menores en una que aquéllas y en magnitud iguales entre sí y a la mayor, y se han construido sectores semejantes sobre las que son iguales a la mayor y sobre las que se exceden entre sí en lo mismo, 5 pero no se ha construido 〈ninguno〉 sobre la menor. Luego 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales a la mayor guarda con 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo menos 〈el construido sobre〉 la menor una razón menor que el cuadrado construido sobre la mayor, ΘΑ, con la suma del rectángulo comprendido 10 por ΑΘ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado de lado ΕΑ —pues esto se ha demostrado [Prop. 11, corol.]—. Y el círculo ΑΖΗΙ es igual a 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales entre sí y a la mayor, mientras que la figura 15 circunscrita es igual a 〈la suma de〉 los sectores construidos a partir de las que se exceden entre sí en lo mismo menos 〈el construido sobre〉 la menor. Luego el círculo guarda con la figura circunscrita una razón menor que la del cuadrado de lado ΑΘ con la suma del rectángulo comprendido por ΑΘ, ΘΕ más la 20 tercera parte del cuadrado de lado ΑΕ. Y la razón que guarda el cuadrado de lado ΘΑ con 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΘΑ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado de lado ΑΕ es la que guarda el círculo ΑΖΗΙ con el círculo ʕ [Elem. V 7, corol.]. Por tanto, el círculo ΑΖΗΙ guarda con la figura circunscrita 25 una razón menor que con el círculo ʕ. De modo que el círculo ʕ es menor que la figura circunscrita [Elem. V 10], Pero no lo es, sino que es mayor.

Luego el círculo ʕ no es mayor que el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y la recta ΑΕ[68].

30 Y tampoco es menor.

Pues sea, si es posible, menor.

98 De nuevo, es posible inscribir en el área comprendida por la espiral y la recta ΑΕ una figura plana compuesta de sectores semejantes de manera que el área comprendida por la espiral 5 ΑΒΓΔΕ y la recta ΑΕ sea mayor que la figura inscrita en menos que aquello en lo que excede esa misma área al círculo ʕ [Prop. 22, corol.]. Inscríbase, y sea ΘΚΡ el mayor de los sectores que componen la figura inscrita y ΘΕΟ el menor[69]. Es evidente 10 que la figura inscrita es mayor que el círculo ʕ. Prolónguense las rectas que forman los ángulos iguales con vértice en Θ hasta que incidan en la circunferencia del círculo.

De nuevo hay unas líneas que se exceden entre sí en lo mismo, las que desde Θ inciden en la espiral [Prop. 12], de las cuales la mayor es ΘΑ y la menor ΘΕ y hay otras líneas, las que 15 desde Θ inciden en la circunferencia del círculo, en número inferiores en una a aquéllas y en magnitud iguales entre sí y a la mayor, y se han construido sectores semejantes sobre las que se exceden entre sí en lo mismo y sobre las que son iguales a la 20 mayor.

Luego 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales a la mayor guarda con 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo menos el construido sobre la mayor una razón mayor que el cuadrado de lado ΘΑ con la suma del rectángulo comprendido por ΑΘ, ΘΕ más la tercera 25 parte del cuadrado de lado ΕΑ [Prop. 11, corol.]. Y la figura inscrita en el área es igual a 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo menos el construido sobre la mayor, mientras que el círculo es igual a 〈la 100 suma de〉 los otros sectores. Por tanto, el círculo ΑΖΗΙ guarda con la figura inscrita una razón mayor que el cuadrado de lado ΘΑ con 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΘΑ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado de lado ΑΕ, es decir, mayor que 〈la 5 que guarda〉 el círculo ΑΖΗΙ con el círculo ʕ. Luego el círculo ʕ es mayor que la figura inscrita [Elem. V 10], Lo cual es imposible, pues era menor.

Luego el círculo ʕ tampoco es menor que el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y la recta ΑΕ. De modo que es igual.10

COROLARIO

Por el mismo medio se demostrará también que el área comprendida por la espiral trazada en cualquiera de sus giros y la 15 recta denominada según el mismo numero que el giro, guarda con el círculo denominado según el mismo número que el giro la 〈misma〉 razón que la suma del rectángulo comprendido por el radio del círculo del mismo número y el radio del círculo 20 de un número inferior en uno al de los giros más la tercera parte del cuadrado construido sobre el exceso en que excede el radio del círculo mayor de los indicados al radio del círculo menor de 25 los indicados, con el cuadrado construido sobre el radio del círculo mayor de los indicados[70].

PROPOSICIÓN 26

El área comprendida por la espiral menor que la trazada en un giro, que no tenga por extremo el origen de la espiral, y por 102 las rectas trazadas desde sus extremos hasta el origen de la espiral, guarda con el sector que tiene el radio igual a la mayor de las rectas trazadas desde los extremos hasta el origen de la 5 espiral y el arco que queda entre las rectas indicadas hacia el lado de la espiral, la misma razón que guarda 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por las rectas trazadas desde los extremos hasta el origen de la espiral más la tercera parte del cuadrado construido sobre el exceso en que excede la mayor de 10 las rectas indicadas a la menor con el cuadrado construido sobre la mayor de las rectas que unen los extremos con el origen de la espiral[71].

Sea una espiral en la que figura ΑΒΓΔΕ, trazada en menos de un giro, y sean sus extremos Α, Ε, y sea el punto Θ el origen 15 de la espiral, y con centro en Θ y radio ΘΑ trácese un círculo e incida ΘΕ en su circunferencia en el punto Ζ.

Se ha de demostrar que el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y las rectas ΑΘ, ΘΕ guarda con el sector ΑΘΖ la 20 misma razón que guarda la suma del rectángulo comprendido por ΑΘ,ΘΕ más la tercera parte del cuadrado construido sobre ΕΖ, con el cuadrado construido sobre ΘΑ.

Sea un círculo en el que figura ʕΧ el cuadrado de cuyo radio sea igual al rectángulo comprendido por ΑΘ,ΘΕ más la tercera 25 parte del cuadrado construido sobre ΕΖ, y con vértice en su centro un ángulo igual al de vértice en Θ.

El sector ʕΧ guarda con el sector ΘΑΖ la misma razón que el rectángulo comprendido por ΑΘ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado 30 construido sobre ΕΖ con el cuadrado construido sobre ΘΑ, pues los cuadrados construidos sobre sus radios guardan entre sí esa razón. 104

Se demostrará que el sector Χʕ es igual al área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y las rectas ΑΘ, ΘΕ.

Pues si no, es mayor o menor.

Sea primero, si es posible, mayor.5

Es posible circunscribir al área indicada una figura plana compuesta de sectores semejantes de manera que la figura circunscrita sea mayor que el área indicada en menos que aquello en lo que el sector ʕΧ excede al área indicada [Prop. 23, corol.]. Circunscríbase, y sea ΘΑΚ el mayor de los sectores de que está 10 compuesta, y ΘΟΔ el menor. Así pues, es evidente que la figura circunscrita es menor que el sector Χʕ. Trácense las rectas que 15 forman los ángulos iguales con vértice en Θ hasta que incidan en el arco del sector ΘΑΖ. Entonces hay unas rectas que se exceden entre sí en lo mismo, las que desde Θ cortan a la espiral [Prop. 12], de las cuales ΘΑ es la mayor y ΘΕ la menor, y hay 20 otras rectas en número menor en uno que aquéllas, y en magnitud iguales entre sí y a la mayor, las que desde Θ inciden en el arco del sector ΑΘΖ, menos ΘΖ, y se han construido sectores semejantes sobre todas las que son iguales entre sí y a la mayor 25 y sobre las que se exceden entre sí en lo mismo, pero no se ha construido ninguno sobre ΘΕ. Por tanto, los sectores construidos sobre las que son iguales entre sí y a la mayor guardan con los sectores construidos sobre las que se exceden entre sí en lo mismo menos el sector construido sobre la menor una razón 30 menor que el cuadrado de lado ΘΑ con 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΑΘ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado 106 de lado ΕΖ [Prop. 11, corol.]. Y el sector ΘΑΖ es igual a 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales entre sí y a la mayor, mientras que la figura circunscrita lo es a 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden entre 5 sí en lo mismo. Por tanto, el sector ΘΑΖ guarda con la figura circunscrita una razón menor que el cuadrado de lado ΘΑ con la suma del rectángulo comprendido por ΘΑ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado de lado ΖΕ. Y la razón que guarda el cuadrado de lado ΘΑ con la suma indicada es la misma que la 10 que guarda el sector ΘΑΖ con el sector Χʕ. De modo que el sector Χʕ es menor que la figura circunscrita [Elem. V 10], Pero no lo es, sino que es mayor.

Por tanto, el sector Χʕ no será mayor que el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y las rectas ΑΘ,ΘΕ.

Y tampoco es menor.

Pues sea menor, y constrúyase lo demás igual.

15 De nuevo es posible inscribir en el área una figura plana compuesta de sectores semejantes, de manera que el área indicada 20 sea mayor que la figura inscrita en menos que aquello en lo que esa misma área excede al sector Χʕ [Prop. 23, corol.].

Inscríbase, y sea ΘΒΓ el mayor de los sectores de que se compone la figura inscrita y ΟΘΕ el menor. 25 Es evidente, por tanto, que la figura inscrita es mayor que el sector Χʕ. Por tanto, de nuevo hay ciertas líneas que se 30 exceden unas a otras en lo mismo, las que desde Θ inciden en la espiral [Prop. 12], de las cuales ΘΑ es la mayor y ΘΕ 108 la menor, y hay también otras líneas que desde Θ inciden en el arco del sector ΘΑΖ, excepto la ΘΑ, en número menores en una que las que se exceden unas a otras en lo mismo y en magnitud iguales 5 entre sí y a la mayor, y sobre cada una se han construido sectores semejantes, pero no se ha construido 〈ninguno〉 sobre la mayor de las que se exceden unas a otras en lo mismo. Por tanto, 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que son iguales entre sí y a la mayor guarda con 〈la suma de〉 los sectores construidos sobre las que se exceden unas a otras en lo mismo menos el construido sobre la mayor, una razón 10 mayor que el cuadrado de lado ΘΑ con 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΘΑ, ΘΕ más la tercera parte del cuadrado de lado ΕΖ [Prop. 11, corol.]. De manera que también el sector ΘΑΖ guarda con la figura inscrita una razón mayor que con el sector Χʕ. De modo que el sector Χʕ es mayor que la figura 15 inscrita [Elem. V 10]. Pero no lo es, sino que es menor.

Luego el sector Χʕ tampoco es menor que el área comprendida por la espiral ΑΒΓΔΕ y las rectas ΑΘ, ΘΕ. Luego es igual.

PROPOSICIÓN 2720

De las áreas comprendidas por las espirales y las rectas 〈tomadas en la que es principio〉 del giro, la tercera es el doble de la segunda; la cuarta, el triple; la quinta, el cuádruple, y así sucesivamente, 25 la siguiente será múltiplo de la segunda según la serie de los números, y la primera área es la sexta parte de la segunda.

Sea la espiral propuesta trazada en su primer giro, en el segundo 30 y en los siguientes en un número cualquiera, y sea el punto Θ el origen de la espiral, y la recta ΘΕ el principio del 110 giro, y de las áreas sea Κ la primera, Λ la segunda, Μ la tercera, Ν la cuarta, Ξ la quinta.

Se ha de demostrar que el área Κ es la sexta parte de la siguiente; Μ el doble de Λ; Ν el 5 triple de Λ; y la siguiente en la sucesión, múltiplo de Λ según la serie de los números.

Que Κ es la sexta parte de Λ se demuestra así:

Puesto que se ha demostrado que el área ΚΛ guarda con el 10 círculo segundo la misma razón que guarda 7 con 12 [Prop. 25][72], el segundo círculo guarda con el primer círculo la razón de 12 a 3, pues está claro. Y el primer círculo guarda con el área 15 Κ la razón de 3 a 1 [Prop. 24], luego el área Κ es un sexto de Λ. Y a la vez, se ha demostrado que el área ΚΛΜ guarda con el tercer círculo la misma razón que guarda la suma del rectángulo 20 comprendido por ΓΘΒ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΒ con el cuadrado de lado ΓΘ [Prop. 25, corol.]. Y el tercer círculo guarda con el segundo círculo la razón del cuadrado de lado ΓΘ al cuadrado de lado ΘΒ [Elem. XII 2], mientras 25 que el segundo círculo guarda con el área ΚΛ la razón del cuadrado de lado ΒΘ con la suma del rectángulo comprendido por ΒΘ, ΘΑ más la tercera parte del cuadrado de lado ΑΒ [Prop. 25]. Luego también el área 〈suma de〉 ΚΛΜ guarda con el área 〈suma de〉 ΚΛ la razón de 〈la suma〉 del rectángulo comprendido por ΓΘ, ΘΒ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΒ con 〈la suma〉 del rectángulo comprendido por ΒΘ, ΘΑ más la 30 tercera parte del cuadrado de lado ΑΒ. Y éstas guardan entre sí la razón de 19 a 7. De manera que también el área ΚΛΜ guarda 112 con el área ΛΚ[73] la misma razón que 19 a 7. Luego la propia área Μ guarda con el área ΚΛ la razón de 12 a 7 [Elem. V 17]. Y el área ΚΛ guarda con el área Λ la razón de 7 a 6. Por tanto 5 es evidente que Μ es el doble de Λ [Elem. V 22].

Y se demostrará que las áreas siguientes guardan[74] la razón de los números sucesivos:

Pues el área ΚΛΜΝΞ guarda con el círculo cuyo radio es ΘΕ la misma razón que la que guarda la suma del rectángulo comprendido por ΕΘ, ΘΔ más la tercera parte del cuadrado de 10 lado ΔΕ con el cuadrado de lado ΘΕ [Prop. 25, corol.]. Y el círculo cuyo radio es ΘΕ guarda con el círculo cuyo radio es ΘΔ la misma razón que el cuadrado de lado ΘΕ con el cuadrado de lado ΘΔ [Elem. XII 2], mientras que el círculo cuyo radio es 15 ΘΔ guarda con el área ΚΛΜΝ la misma razón que el cuadrado de lado ΘΔ con la suma del rectángulo comprendido por ΘΔ, ΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΔΓ [Prop. 25, corol.]. Por tanto, el área ΚΛΜΝΞ guarda con el área ΚΛΜΝ la 20 razón que guarda 〈la suma del〉 rectángulo ΘΕ, ΘΔ más la tercera parte del cuadrado de lado ΔΕ con 〈la suma del〉 rectángulo ΔΘ, ΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΔΓ. Por descomposición[75], también el área Ξ guarda con el área ΚΛΜΝ la razón del exceso entre 〈la suma〉 del rectángulo comprendido 25 por ΕΘ, ΘΔ más la tercera parte del cuadrado de lado ΕΔ y 〈la suma〉 del rectángulo comprendido por ΔΘ, ΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΔ con 〈la suma〉 del rectángulo 114 comprendido por ΔΘ, ΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΔΓ. Por tanto una suma excede a la otra en lo mismo que el rectángulo comprendido por ΕΘΔ al comprendido por ΔΘΓ, y lo excede en el rectángulo comprendido por ΔΘ, ΓΕ.

5 Luego el área Ξ guarda con el área ΚΛΜΝ la razón del rectángulo comprendido por ΘΔ, ΓΕ con el comprendido por ΔΘ, 10 ΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΔ.

Por los mismos razonamientos se demostrará también que el área Ν guarda con el área ΚΛΜ la misma razón que el rectángulo comprendido por ΘΓ, ΒΔ con la suma del rectángulo comprendido por ΓΘΒ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΒ.

Luego el área Ν guarda con el área ΚΛΜΝ la misma razón que el rectángulo comprendido por ΘΓ, ΒΔ con 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΘΓ, ΒΔ más el rectángulo comprendido por ΘΓ, ΘΒ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΒ[76]. Y 〈la suma de〉 estas áreas[77] es igual a 〈la suma〉 del rectángulo comprendido 15 por ΔΘ, ΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΔ. Puesto que el área Ξ guarda con ΚΛΜΝ la misma razón que el rectángulo comprendido por ΘΔ, ΓΕ con la suma del rectángulo AΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓA, y el área KΛMN guarda con 20 N la razón de la suma del rectángulo ΔΘΓ más la tercera parte del cuadrado de lado ΓΔ con el rectángulo comprendido por ΘΓ, ΔΒ [Elem. V 7, corol.], entonces Ξ guarda con Ν la misma razón que el rectángulo comprendido por ΘΔ, ΓΕ con el rectángulo comprendido por ΘΓ, ΔΒ [Elem. V 22]. Y el rectángulo comprendido por ΘΔ, ΓΕ guarda con el rectángulo comprendido por ΘΓ, ΔΒ la 25 misma razón que ΘΔ con ΘΓ, puesto que ΓΕ, ΒΔ son iguales.

Está claro por tanto que también Ξ guarda con Ν la misma razón que ΘΔ con ΘΓ.

Del mismo modo se demostrará también que Ν guarda con Μ la misma razón que ΘΓ con ΘΒ, y que Μ guarda con Λ la 116 razón de ΒΘ a ΑΘ. Y las rectas[78] ΔΘ, ΓΘ, ΒΘ, ΑΘ están en la razón de los números consecutivos.

PROPOSICIÓN 28

5 Si en una espiral trazada en cualquiera de sus giros se toman dos puntos que no sean los extremos y desde los puntos tomados se trazan rectas hasta el origen de la espiral, y con centro en el origen de la espiral y radios las rectas trazadas desde los puntos hasta el origen de la espiral se trazan círculos, el área comprendida por el mayor de los arcos de los que están 10 entre las rectas y 〈el segmento de〉 la espiral que queda entre esas mismas rectas y la recta prolongada[79] guardará con el área comprendida por el arco menor y la misma espiral y las 15 rectas que unen sus extremos, la misma razón que el radio del círculo menor más dos tercios del exceso en que excede el radio del círculo mayor al radio del círculo menor, con el radio del círculo menor más un tercio de ese mismo exceso[80].20

Sea una espiral en la que figura ΑΒΓΔ trazada en un giro, y tómense en ella dos puntos Α, Γ de manera que el punto Θ sea 25 el origen de la espiral, y desde Α, Γ trácense rectas hasta Θ, y con centro en Θ y con ΘΑ, ΘΓ como radios trácense círculos.

Se ha de demostrar que el área Ξ guarda con el área Π la misma razón que guarda la 118 suma de ΑΘ más dos tercios de ΗΑ con la suma de ΑΘ y un tercio de ΗΑ.

Se ha demostrado que el área ΝΠ guarda con el sector ΗΓΘ la misma razón que 5 guarda 〈la suma del〉 rectángulo comprendido por ΗΘ, ΑΘ más la tercera parte del cuadrado de lado ΑΗ con el cuadrado de lado ΗΘ [Prop, 26], Luego la propia área Ξ guarda con el área ΝΠ la misma razón que el rectángulo ΘΑΗ más dos tercios del cuadrado de lado ΗΑ con la suma del rectángulo comprendido 10 por ΑΘΗ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ. Y puesto que el área ΝΠ guarda con el sector ΝΠΞ la misma razón que la suma del rectángulo comprendido por ΘΑ, ΘΗ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ con el cuadrado de lado 15 ΘΗ, mientras que el sector ΝΠΞ guarda con el sector Ν la misma razón que el cuadrado de lado ΘΗ con el cuadrado de lado ΘΑ, entonces también el área ΝΠ guardará con el área Ν la misma razón que guarda la suma del rectángulo comprendido por ΘΑ, ΘΗ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ con el cuadrado de lado ΘΑ [Elem. V 22]. Por tanto el área ΝΠ guarda con el área Π la razón que guarda la suma del rectángulo 20 comprendido por ΗΘΑ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ con la suma del rectángulo comprendido por ΗΑ, ΘΑ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ. Entonces, puesto 25 que el área Ξ guarda con el área ΝΠ la misma razón que guarda la suma del rectángulo comprendido por ΘΑΗ más dos tercios 30 del cuadrado de lado ΗΑ con la suma del rectángulo 120 comprendido por ΗΘΑ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ, mientras que el área ΝΠ guarda con el área Π la misma razón que la suma del rectángulo 5 comprendido por ΗΘΑ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ con la suma del rectángulo comprendido por ΑΗΘ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ [Elem. V 22], entonces también Ξ guardará con Π la misma razón que guarda la suma del rectángulo ΘΑΗ más dos tercios del cuadrado de lado ΗΑ con la suma del rectángulo comprendido por ΘΑΗ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ. Y la suma del rectángulo comprendido por ΘΑΗ más dos tercios del cuadrado de 10 lado ΗΑ guarda con la suma del rectángulo comprendido por ΘΑΗ más la tercera parte del cuadrado de lado ΗΑ la misma razón que guarda la suma de la recta 15 ΘΑ más dos tercios de la ΗΑ, con la suma de la recta ΘΑ más la tercera parte de la ΗΑ.

Es evidente por tanto que también el área Ξ guarda con el área Π la misma razón que la suma de la recta ΘΑ más dos tercios de la recta ΗΑ con la suma de la recta ΘΑ más la tercera 20 parte de la recta ΗΑ.

SOBRE EL EQUILIBRIO DE LAS FIGURAS PLANAS O LOS CENTROS DE GRAVEDAD DE LAS FIGURAS PLANAS

INTRODUCCIÓN

Con los dos libros Sobre el equilibrio de las figuras planas se inicia para la cultura occidental la física matemática, pues contiene el primer caso de aplicación sistemática de los conocimientos geométricos al mundo material. La alternativa metodológica que supuso esta obra queda puesta de relieve cuando la comparamos con los desarrollos previos de la mecánica y la física en el mundo griego. El método empleado por Arquímedes, puramente matemático, no tiene nada que ver con las anteriores líneas de desarrollo de la Mecánica griega, a las que tenemos acceso mediante las noticias sobre las construcciones instrumentales de Arquitas, el enfoque puramente racional y teórico que se plasma en la Física aristotélica o la observación curiosa y las explicaciones ingenuas de la Mecánica pseudo-aristotélica[1].

El tratado no contiene definiciones, verdadera anomalía respecto a la forma canónica del tratado matemático, como se puede ver en los Elementos de Euclides, en los restantes tratados de Arquímedes y en la obra de Apolonio. También Eutocio, cuando comentó la obra a principios del siglo VI, ya las echó en falta; por eso al principio de su Comentario (264, 10-15) se cree en la necesidad de aclarar: «Arquímedes en este libro considera centro de inclinación[2] de una 〈figura〉 plana al punto colgada del cual permanece paralela al horizonte, y centro de peso o de gravedad al punto colgada del cual la balanza está paralela al horizonte».

La ausencia de definiciones ha servido de argumento para afirmar que el Libro I del Equilibrio de las figuras planas puede ser una forma abreviada de alguna otra de las obras no conservadas de Arquímedes sobre estas mismas cuestiones, pues él mismo menciona repetidamente títulos de trabajos no conservados —Elementos de Mecánica y Equilibrios[3]— que podrían referirse a otra u otras obras sobre mecánica, como sostuvieron Heath y Heiberg. Basándose en ese planteamiento, A. G. Drachmann[4] estudió los textos sobre mecánica de Herón y Papo y, comparándolos entre sí y con los datos de otras fuentes, intentó entresacar la parte de los mismos que tiene su origen en Arquímedes. Por ese medio llegó a la conclusión de que debieron de ser tres las obras perdidas de Arquímedes sobre estas cuestiones: una sobre los centros de gravedad, relacionada con el Libro I del Equilibrio de las figuras planas, otra sobre las balanzas —cuyo título se nos ha conservado en griego —Perì zygôn—, y una tercera, sobre los apoyos, mencionada solamente por Herón. Otros autores —Toeplitz, Stein, Dijksterhuis— entienden que también cabe que las definiciones —«centro de gravedad», «peso», «estar en equilibrio»— sean otras tantas incógnitas para cuya resolución los postulados sirven como ecuación. Dijksterhuis, en concreto, propone la explicación de que Arquímedes tenía en mente una balanza ideal, que él veía mentalmente inclinada o en equilibrio por obra de pesos (en forma de figuras planimétricas) colgados de ella, de tal modo que los postulados no contienen sino la formulación de los resultados de las observaciones más simples que estaba en su mano hacer bajo esa óptica, y que la claridad de las imágenes así obtenidas anuló el deseo de ofrecer definiciones abstractas de los términos empleados[5].

J. L. Berggren[6] no hace especial hincapié en ese hecho, pero, aplicándose a la estructura, estilo y contenido del Libro I, duda de la autoría de Arquímedes para el mismo, al menos en la presente forma. Aunque su postura resulta chocante por la divergencia manifiesta con la de otros tratadistas, merece la pena presentar al menos los datos más significativos que expone. En primer lugar, lo que Heiberg edita como postulados y proposiciones 1 y 2 no presenta numeración en los manuscritos —que dan el número 1 a lo que Heiberg llama proposición 3—, y las referencias de Eutocio coinciden con las de la tradición —es decir, Eutocio llama proposición 4 a la que los manuscritos llaman proposición 4—; el carácter introductorio de esa parte inicial le hace pensar que se trata de un simple prefacio introducido en el texto por un compilador. Además, el análisis de la conexión lógica entre los postulados y las demostraciones hace ver que los postulados 2 y 3 no se utilizan en absoluto en las demostraciones; el contraste a ese respecto entre la presente obra y el tratado Sobre las líneas espirales deja patente la anomalía. En cuanto a la prueba de la ley de la palanca en las proposiciones 6 y 7, de cuyas dificultades haremos mención más adelante, Berggren trae a colación dos testimonios, el Líber de Canonio y un texto en árabe que lleva por título Libro de Euclides sobre la balanza, textos ambos que contienen la afirmación de que esta ley ya había sido probada por Euclides. Basándose en todo ello, Berggren llega a afirmar que «su forma presente es la de un texto escolar», y que, en su opinión, «no es una obra auténtica de Arquímedes». El último aserto parece excesivo, teniendo en cuenta que el Libro I está bien documentado en la tradición manuscrita, pero sus argumentos, densos, pero claros y concisos, no dejan de ser convincentes. Caso de ser cierta su suposición, hay que situar la refección del Libro I en fecha anterior a la de Eutocio, pues éste lo conoció en la misma forma que nosotros. Para el Libro II entiende que «presenta todos los signos de ser un buen texto de origen auténticamente arquimedeo».

Sea lo que sea de esta cuestión de autenticidad, tal y como nos ha llegado el tratado, el Libro I se abre con siete postulados cuya calidad de tales ya fue puesta en duda en época antigua; Eutocio nos transmite la noticia de que Gémino reclamaba que Arquímedes había llamado «postulados» a los «axiomas», pues «que los pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio es un axioma, igual que lo de después»; Proclo se expresa en el mismo sentido: «Arquímedes al empezar los Equilibrios dice: “Postulamos que los pesos iguales están en equilibrio a distancias iguales”. Sin embargo, cualquiera llamaría a eso un axioma»[7].

Tras los postulados vienen quince proposiciones en las que haciendo uso de una balanza ideal que nunca menciona y considerando unas figuras planas que son en realidad sólidos aplanados de densidad homogénea, prueba que los pesos en equilibrio a distancias iguales son iguales (prop. 1), que los pesos desiguales a distancias iguales no están en equilibrio, sino que se producirá una inclinación hacia el mayor (prop. 2) y que los pesos desiguales a distancias desiguales estarán en equilibrio con el peso mayor pendiente de la distancia menor (prop. 3). En las dos proposiciones siguientes se determinan los centros de gravedad de la suma de dos y tres magnitudes iguales; siguen dos corolarios que generalizan estos resultados para números pares e impares de magnitudes.

La proposición 6 contiene lo que se considera el más importante de los resultados obtenidos por Arquímedes: la proporción inversa entre los brazos de la balanza en equilibrio y los pesos de las magnitudes conmensurables correspondientes (en la prop. 7 extiende la demostración al caso de las magnitudes inconmensurables). El argumento empleado para demostrar la tesis propuesta en esta proposición, fundamental no sólo para el desarrollo de lo expuesto en este tratado, sino también en Sobre los cuerpos flotantes, fue considerado un paralogismo por el historiador de la mecánica E. Mach; Dijksterhuis, cuyo razonamiento viene siendo admitido unánimemente, opone que Arquímedes basó esta prueba en la premisa de que la influencia de un peso suspendido de una balanza en equilibrio depende del peso del cuerpo y de la posición de su centro de gravedad, premisa que había explicitado en su postulado 6, en donde había afirmado que el equilibrio de la balanza no se altera si los pesos suspendidos de ella son sustituidos por otros pesos iguales a los primeros y suspendidos de los mismos lugares[8].

En la prop. 8 determina el centro de gravedad de una magnitud de la que se resta una parte, y en las siguientes proposiciones, hasta el final del tratado, se investigan los centros de gravedad del triángulo, el paralelogramo y el trapecio.

Si al Libro I le cuadra bien el título por el que hoy lo conocemos, al Libro II, sin embargo, le iría mejor el de «Equilibrio del segmento parabólico», pues el tratado entero se consagra a esa cuestión. Da la sensación de que estos estudios de Arquímedes sobre problemas de equilibrio estuvieron en estrecha relación con la intuición del resultado de la cuadratura de la parábola, lo que luego se convertiría en su afamado Método, y que a partir de ahí se le abrieron las puertas para estudios relacionados, primero, con otros fenómenos relativos a los sólidos generados por la revolución de las cónicas y, después, a los grandes descubrimientos sobre la esfera y el cilindro, hallazgos que constituyen lo fundamental de los tratados Sobre la esfera y el cilindro, Sobre conoides y esferoides y Sobre los cuerpos flotantes, aunque las conclusiones que podemos obtener de ello no nos permitan más que separar en el tiempo la redacción del Libro I y el Libro II de este tratado, como ya vieron Heath, Claggett y Dijksterhuis[9].

En el Libro II, mediante investigaciones parciales, entre las que se señalan metodológicamente las relativas al centro de gravedad de la figura rectilínea formada por el triángulo inscrito en el segmento parabólico y los triángulos repetidamente inscritos en las áreas restantes —lo que Arquímedes llama «figura rectilínea inscrita propiamente»—, la demostración de que el centro de gravedad del segmento parabólico se encuentra sobre su diámetro y la de que los centros de gravedad de dos segmentos parabólicos semejantes cortan a los diámetros de los mismos en la misma razón, Arquímedes se va aproximando a lo que ha de ser el culmen del tratado: la prop. 8, en la que se prueba que el centro de gravedad del segmento parabólico corta al diámetro del segmento de modo que la parte de éste que está hacia el vértice del segmento es una vez y media la parte del mismo que está hacia la base. Con las proposiciones 9 y 10, la primera de ellas con carácter de lema y fama de ser uno de los pasajes más ásperos de lectura en toda la literatura matemática griega, y la segunda destinada a la determinación del centro de gravedad del tronco de segmento parabólico, se cierra el tratado, al que Ver Eecke calificó de «principal título de Arquímedes para entrar en la inmortalidad».

LIBRO I

1. Postulamos que los pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio, y que los pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio, sino que el de mayor longitud se inclina 5 hacia el peso.

2. Y que, si estando en equilibrio unos pesos a ciertas distancias, se incrementa uno de los pesos, no mantienen el equilibrio, sino que se inclinan hacia el peso al que se le añadió algo.

103. E igualmente, que si de uno de los pesos se quita algo, no mantienen el equilibrio, sino que se inclina hacia el peso del que no se quitó nada.

4. Y que si las figuras planas iguales y semejantes se hacen coincidir una con otra, también los centros de gravedad 15 coinciden uno con otro.

5. En las figuras desiguales pero semejantes los centros de gravedad estarán dispuestos de modo semejante. Y afirmamos que unos puntos están dispuestos de manera semejante en figuras semejantes cuando al trazar desde ellos rectas hacia los ángulos iguales forman ángulos iguales con los lados homólogos.20

6. Si unas magnitudes están en equilibrio a ciertas distancias, también las iguales a ellas estarán en equilibrio a las mismas distancias.

126 7. En toda figura cuyo perímetro es cóncavo hacia el mismo lado, es de necesidad que el centro de gravedad esté dentro de la figura.

Supuesto esto

PROPOSICIÓN 15

Los pesos en equilibrio a distancias iguales son iguales.

Pues si fueran desiguales, al quitar del mayor el exceso, los resultantes no estarán en equilibrio, puesto que estando en equilibrio se ha quitado algo de uno de ellos [Post. 3].

10 De manera que los pesos en equilibrio a distancias iguales son iguales.

PROPOSICIÓN 2

Los pesos desiguales a distancias iguales no están en equilibrio, sino que se inclinarán hacia el mayor.

15 Pues al quitar el exceso estarán en equilibrio, dado que los pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio [Post. 1], Entonces, al añadir lo quitado se inclinará hacia el mayor, puesto que estando en equilibrio se ha incrementado uno de los dos [Post. 2].

PROPOSICIÓN 3

Los pesos desiguales a distancias desiguales estarán en 20 equilibrio, y el mayor peso 〈penderá〉 de la distancia menor.

Sean Α, Β pesos desiguales y sea Α el mayor y estén en equilibrio a las distancias ΑΓ, ΓΒ.

Se ha de demostrar que ΑΓ es menor que ΓΒ.

Pues no sea menor.

Si se quita el exceso en que Α excede a Β, se inclinará hacia Β, 25 puesto que se ha quitado de uno de ellos cuando estaban en 128 equilibrio [Post. 3]. Pero no se inclinará. Pues o bien, si ΓΑ es igual a ΓΒ, estarán en equilibrio[1] [Post. 1],o bien, si ΓΑ es mayor que ΓΒ, se inclina hacia Α, pues los pesos iguales a distancias desiguales 5 no están en equilibrio, sino que se inclinan hacia el que pende de la distancia mayor [Post. 1]. Por eso ΑΓ es menor que ΓΒ.

Y también es evidente que los pesos que están en equilibrio a distancias desiguales son desiguales, y es mayor el que pende de la distancia menor10.

PROPOSICIÓN 4

Si dos magnitudes iguales no tienen el mismo centro de gravedad, el punto medio de la recta que une los centros de gravedad de las magnitudes será el centro de gravedad de la 15 magnitud compuesta de ambas magnitudes[2].

Sea Α el centro de gravedad de la magnitud Α, y Β el de Β, y una vez trazada la recta ΑΒ córtesela por el punto Γ.

20 Digo que Γ es el centro 〈de gravedad〉 de la magnitud compuesta de ambas magnitudes.

Pues si no, sea Δ el centro de gravedad[3], si es posible[4].

Puesto que el punto Δ es el centro de gravedad de la magnitud 25 compuesta de las magnitudes Α, Β, sostenida en Δ estará en equilibrio. Luego las magnitudes Α, Β, estarán en equilibrio a las distancias ΑΔ, ΔΒ. Lo cual es imposible [Post. 1][5].

130 Por tanto es evidente que Γ es el centro de gravedad de la magnitud compuesta de las magnitudes Α, Β.

PROPOSICIÓN 5

5Si los centros de gravedad de tres magnitudes están dispuestos en línea recta y las magnitudes tienen el mismo peso, las rectas entre los centros también son iguales y el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todas las magnitudes 10 será el mismo punto que también es centro de gravedad de la magnitud de la posición central.

Sean Α, Β, Γ tres magnitudes, y sus centros de gravedad los puntos Α, Β, Γ dispuestos en línea recta, y sean Α, Β, Γ iguales y sean ΑΓ, ΓΒ rectas iguales.

Digo que el punto Γ es el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todas las magnitudes15.

Puesto que las magnitudes Α, Β tienen el mismo peso, el punto Γ será su centro de gravedad, ya que ΑΓ, ΓΒ son iguales [Prop. 4], Y el punto Γ es el centro de gravedad de Γ.

20 Luego también es evidente que el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todas las magnitudes será el punto que también es centro de gravedad de la magnitud de la posición central.

COROLARIO 1

A partir de esto está claro que si los centros de gravedad de un número impar de magnitudes están dispuestos en línea recta 25 y si las magnitudes que distan lo mismo de la que está en el centro tienen el mismo peso, también las rectas que están entre 132 los centros 〈de gravedad〉 son iguales, y el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todas las magnitudes será el punto que también es centro de gravedad de la magnitud de la posición central.

COROLARIO 2

5 Y si las magnitudes están en número par y sus centros de gravedad están en línea recta y las que están en la posición central y las que distan lo mismo de ellas tienen el mismo peso, también las rectas que están entre los centros 〈de gravedad〉 son iguales y el centro de gravedad de la magnitud compuesta de 10 todas las magnitudes será el punto medio de la recta que une los centros de gravedad de las magnitudes como está escrito más adelante.

PROPOSICIÓN 6

Las magnitudes conmensurables están en equilibrio a distancias 15 que guardan la razón inversa de la de los pesos.

Sean Α, Β magnitudes conmensurables cuyos centros de gravedad son Α, Β y sea Ε Δ una distancia, y sea Α a Β como la longitud ΑΓ a la longitud ΓΕ.

Se ha de demostrar que Γ es el centro de gravedad de la magnitud 20 compuesta de ambas magnitudes Α, Β.

Puesto que Α es a Β como la longitud ΔΓ a la ΓΕ y Α es conmensurable con Β, entonces también ΓΔ es conmensurable con ΓΕ, es decir, la recta con la recta [Elem. X 11], de modo que hay 25 una medida común a ΕΓ, ΓΔ. Sea N, y pónganse cada una de las rectas ΔΗ, ΔΚ iguales a ΕΓ, y ΕΛ igual a ΔΓ. Y puesto que ΔΗ 134 es igual a ΓΕ, también ΔΓ es igual a ΕΗ. De manera que también ΛΕ es igual a ΕΗ. Luego ΛΗ es el doble de ΔΓ y ΗΚ el de ΓΕ. De manera que Ν mide a cada una de las rectas ΛΗ, ΗΚ, 5 puesto que mide a sus mitades [Elem. X 12]. Y puesto que Α es a Β como ΔΓ a ΓΕ, mientras que ΔΓ es a ΓΕ como ΛΗ a ΗΚ —puesto que cada una es el doble de cada una—, por tanto también Α es a Β como ΛΗ a ΗΚ. Sea Α múltiplo de Ζ tantas veces cuantas lo es ΛΗ de Ν. Entonces ΛΗ es a Ν como Α a Ζ [Elem. 10 V, def. 5]. Y también ΚΗ es a ΛΗ como Β a Α. Por tanto, ex aequali[6], ΚΗ es a Ν como Β a Ζ. Por tanto ΚΗ es múltiplo de Ν tantas veces como Β de Ζ. Y se había demostrado que también Α era múltiplo de Ζ, de manera que Ζ es medida común de Α, Β. 15 Dividida ΛΗ en rectas iguales a Ν y Α en partes iguales a Σ, los segmentos de ΛΗ iguales en magnitud a Ν serán iguales en número a los segmentos de Α que son iguales a Ζ. De manera que si en cada uno de los segmentos de ΛΗ se pone una magnitud 20 igual a Ζ con su centro de gravedad en la mitad del segmento, la suma de todas de las magnitudes es igual a Α, y el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todas ellas será el punto Ε. Pues todas las magnitudes son pares en número y las que están por cada lado de Ε son iguales en número por ser igual ΛΕ a ΗΕ25.

136 De la misma manera se demostrará que también si en cada uno de los segmentos de ΚΗ se pone una magnitud igual a Ζ con su centro de gravedad en la mitad del segmento, la suma de todas las magnitudes será igual a Β y el centro de gravedad de la 〈magnitud〉 compuesta de todas ellas será el punto Δ. 5 Por tanto, Α estará puesto sobre Ε y Β sobre Δ. Y entonces habrá unas magnitudes en número par, iguales entre sí, dispuestas en línea recta, cuyos centros de gravedad distan entre sí lo mismo. Y es evidente que el centro de gravedad de la 10 magnitud compuesta de todas ellas es el punto medio de la recta que contiene los centros 〈de gravedad〉 de las magnitudes que están en el centro. Y puesto que ΛΕ es igual a ΓΔ y ΕΓ igual a ΔΚ, entonces la recta entera ΛΓ es igual a la ΓΚ. De manera que el punto Γ es el centro de gravedad de la 〈magnitud 15 compuesta〉 de todas.

Luego si Α está situado en Ε y Β en Δ, estarán en equilibrio en Γ[7].

PROPOSICIÓN 7

Y también, de modo semejante, si las magnitudes son inconmensurables, estarán en equilibrio a distancias que guarden la razón 20 inversa de las magnitudes.

Sean ΑΒ, Γ magnitudes inconmensurables, y ΔΕ, ΕΖ las distancias, y guarde ΑΒ con Γ la misma razón que la distancia ΕΔ con la ΕΖ.

Digo que E es el centro de gravedad de la magnitud compuesta de la suma de las dos magnitudes ΑΒ, Γ.

26 Pues si ΑΒ puesto en Ζ no está en equilibrio con Γ puesto en Δ, o bien ΑΒ es demasiado grande para estar en equilibrio con Γ, o no.

138 Sea demasiado grande, y quítese de ΑΒ una magnitud menor que el exceso en que ΑΒ es demasiado grande para estar en equilibrio con Γ de modo que la magnitud restante Α sea conmensurable con Γ.

Puesto que las magnitudes Α, Γ son conmensurables y Α 5 guarda con Γ una razón menor que ΔΕ con ΕΖ, las magnitudes Α, Γ no estarán en equilibrio a las distancias ΔΕ, ΕΖ, puesto Α en Ζ y Γ en Δ [Prop. 6].

Por la misma razón, tampoco ocurrirá eso si Γ es demasiado grande para estar en equilibrio con ΑΒ[8].

PROPOSICIÓN 8

10 Si de una magnitud se quita una magnitud que no tenga el mismo centro que la magnitud entera, una vez prolongada la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y de la restada hacia el lado en que está el centro de la magnitud 15 entera, y tomada una parte de la prolongación de la recta que une los centros indicados de modo que 〈esa parte〉 guarde con la recta que está entre los centros la misma razón que la que guarda el peso de la magnitud quitada con el peso de la restante, el centro de gravedad de la magnitud restante será el extremo de la recta tomada20.

Sea Γ el centro de gravedad de una magnitud ΑΒ, y quítese de ΑΒ la magnitud ΑΔ, cuyo centro de gravedad sea Ε, y una vez trazada y prolongada la recta ΕΓ, tómese ΓΖ de modo que 140 guarde con ΓΕ la misma razón que la magnitud ΑΔ con la ΔΗ.

Se ha de demostrar que el punto Ζ es el centro de gravedad de la magnitud ΔΗ.

5 Pues no sea así, sino, si es posible, el punto Θ.

Puesto que Ε es el centro de gravedad de la magnitud ΑΔ y el punto Θ el de ΔΗ, el centro de gravedad de la magnitud suma de las dos ΑΔ, ΔΗ estará sobre la recta ΕΘ una vez cortada de manera que sus segmentos guarden la proporción inversa de la que guardan las magnitudes 〈pero el punto Γ se encuentra en la recta ΕΖ cortada de tal modo que sus segmentos están en proporción 10 inversa con las magnitudes[9]〉. De manera que el punto Γ no estará en el punto de corte correspondiente al indicado. De modo que el punto T no será el centro 〈de gravedad〉 de la magnitud compuesta por las magnitudes ΑΔ, ΔΗ, es decir, de la ΑΒ. Pero lo es, porque así se había supuesto.

15 Luego el punto Θ no es el centro de gravedad de la magnitud ΔΗ.

PROPOSICIÓN 9

En todo paralelogramo, el centro de gravedad está situado en la recta que une los puntos medios de los lados opuestos entre sí del paralelogramo.

20 Sea el paralelogramo ΑΒΓΔ, y trácese ΕΖ entre los puntos medios de ΑΒ, ΓΔ.

Digo que el centro de gravedad del paralelogramo ΑΒΓΔ estará en la recta ΕΖ.

Pues no lo sea, sino que, si es posible, sea Θ, y trácese ΘΙ 142 paralela a ΑΒ. Si se corta sucesivamente por la mitad ΕΒ, la recta restante será menor que ΙΘ. Y divídanse cada una de las rectas ΑΕ, ΕΒ en rectas iguales a ΕΚ, y desde los puntos de corte trácense paralelas a ΕΖ5.

El paralelogramo entero quedará dividido en paralelogramos iguales y semejantes al ΚΖ[10]. Entonces, si se hacen coincidir unos con otros los paralelogramos iguales y semejantes al ΚΖ, también los centros de gravedad coincidirán unos con otros [Post. 4]. Y habrá unas magnitudes —los paralelogramos 10 iguales al ΚΖ— pares en número y sus centros de gravedad estarán situados en una recta, y las magnitudes que están en el centro y todas las que están por cada lado de las del centro son ellas mismas iguales y las rectas que están entre los centros de gravedad son iguales. Luego el centro de gravedad de la magnitud 15 compuesta de todas ellas estará en la recta que une los centros de gravedad de las áreas que están en el centro [Prop. 5, corol. 2], Pero no lo está, pues el punto Θ está fuera de los paralelogramos que están en el centro.

20 Por tanto es evidente que el centro de gravedad del paralelogramo ΑΒΓΔ está en la recta ΕΖ.

PROPOSICIÓN 10

El centro de gravedad de todo paralelogramo es el punto en que se cortan las diagonales.

25 Sea el paralelogramo ΑΒΓΔ y en él la recta ΕΖ que corta por la mitad a los lados ΑΒ, ΓΔ y la recta ΚΛ que corta por la mitad a las rectas ΑΓ, ΒΔ.

Y el centro de gravedad del paralelogramo ΑΒΓΔ está en la 144 recta ΕΖ —pues eso se ha demostrado [Prop. 9]—. Por la misma razón, está también en la recta ΚΛ. Luego el punto Θ es el centro de gravedad. Y las diagonales del paralelogramo se cortan en el punto Θ.

De modo que queda demostrado lo propuesto.

DE OTRA MANERA5

Cabe también demostrar lo mismo de otra manera.

Sea el paralelogramo ΑΒΓΔ y sea ΔΒ su diagonal.

Entonces los triángulos ΑΒΔ, ΒΔΓ son iguales y semejantes 10 entre sí [Elem. I 34]. De modo que si se hacen coincidir los triángulos uno con otro también sus centros de gravedad coincidirán uno con otro [Post. 4], Sea el punto Ε el centro de gravedad del triángulo ΑΒΔ y córtese por la mitad el lado ΔΒ por el punto Θ y trácese ΕΘ y prolónguese y tómese ΖΘ igual a ΘΕ. 15 Si se aplica el triángulo ΑΒΔ al triángulo ΒΔΓ y se coloca el lado ΑΒ sobre el ΑΓ y el ΑΔ sobre el ΒΓ, coincidirá también la recta ΘΕ sobre la ΖΘ y el punto Ε caerá sobre el punto Ζ. Y también sobre el centro de gravedad del triángulo ΒΔΓ [Post. 4].

〈Así el punto Ζ es el centro de gravedad del triángulo ΒΔΓ[11]〉. Puesto que el punto Ε es el centro de gravedad del triángulo 20 ΑΒΔ y el punto Ζ el del ΔΒΓ, es evidente que el centro de gravedad de la magnitud compuesta por ambos triángulos es el 146 punto medio de la recta ΕΖ, que es precisamente el punto Θ.

PROPOSICIÓN 11

Si hay dos triángulos semejantes entre sí y en ellos puntos dispuestos de manera semejante respecto a los triángulos y un punto es el centro de gravedad del triángulo en el que está, 5 también el punto restante es el centro de gravedad del triángulo en el que está[12].

12 Sean dos triángulos ΑΒΓ, ΔΕΖ, y sea ΑΓ a ΔΖ como ΑΒ a ΔΕ y como ΒΓ a ΕΖ, y sean Θ, Ν puntos dispuestos de manera 15 semejante en los triángulos indicados[13], y sea Θ el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ.

Digo que también el punto Ν es el centro de gravedad del triángulo ΔΕΖ.

Pues no lo sea, sino que, si es posible, sea Η el centro de 20 gravedad del triángulo ΔΕΖ, y trácense ΘΑ, ΘΒ, ΘΓ ΔΝ, ΕΝ, ΖΝ, ΔΗ, ΕΗ, ΖΗ.

Puesto que el triángulo ΑΒΓ es semejante al triángulo ΔΕΖ y los puntos Θ, Η son los centros de gravedad y puesto que los centros de gravedad de las figuras semejantes están dispuestos 25 de manera semejante[14] [Post. 5], entonces el ángulo correspondiente a ΗΔΕ es igual al correspondiente a ΘΑΒ. Pero el ángulo comprendido por ΘΑΒ es igual al comprendido por ΕΔΝ[15]. 148 Por tanto también el ángulo comprendido por ΕΔΝ es igual al comprendido por ΕΔΗ, el mayor al menor. Lo cual es imposible. Así que no es posible que el punto Ν no sea el centro de gravedad del triángulo ΔΕΖ. Luego lo es.

PROPOSICIÓN 12 5

Si hay dos triángulos semejantes y el centro de gravedad de un triángulo está en la recta que ha sido trazada desde un ángulo hasta el punto medio de la base[16], también el centro de gravedad 10 del triángulo restante está en la recta trazada de modo semejante.

Sean ΑΒΓ, ΔΕΖ dos triángulos y sea ΑΓ a ΔΖ como ΑΒ a ΔΕ y como ΒΓ a ΖΕ [Elem. VI 4], y una vez cortada ΑΓ por la mitad por el punto Η, trácese ΒΗ, y esté el punto Θ, centro de 15 gravedad del triángulo ΑΒΓ, en la recta ΒΗ.

Digo que el centro de gravedad del triángulo ΕΔΖ está en la recta trazada de manera semejante.

Córtese la recta ΔΖ por la mitad por el punto Μ y trácese ΕΜ, y hágase que la recta ΒΗ sea a ΒΘ como ΜΕ a ΕΝ, y 20 trácense ΑΘ, ΘΓ. ΔΝ, ΝΖ.

Puesto que ΑΗ es la mitad de ΓΑ y ΔΜ la mitad de ΔΖ, entonces también ΒΑ es a ΕΔ como ΑΗ a ΔΜ. Y los lados que 150 comprenden ángulos iguales son proporcionales. Luego el ángulo ΑΗΒ es igual al ΔΜΕ [Elem. VI 6], y ΑΗ es a ΔΜ como BH a EM [Elem. VI 4], Y también ΒΗ es a ΒΘ como ΜΕ a ΕΝ. Y entonces, ex aequali, ΑΒ es a ΔΕ como ΒΘ a ΕΝ. Y los 5 lados que comprenden ángulos iguales son proporcionales. Y si esto es así, el ángulo ΒΑΘ es igual al ΕΔΝ [Elem. VI 6]. De manera que también el ángulo restante ΘΑΓ es igual al ángulo ΝΔΖ. Por la misma razón, el ángulo ΒΓΘ es igual al ΕΖΝ y el 10 ΘΓΗ igual al ΝΖΜ. Y se había demostrado también que el ΑΒΘ era igual al ΔΕΜ. De manera que también el ángulo restante ΘΒΓ es igual al ΝΕΖ. Por todas estas razones los puntos Θ, Ν están dispuestos de manera semejante[17]. Así pues, 15 dado que los puntos Θ, Ν están dispuestos de manera semejante y Θ es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ, entonces también el punto Ν es el centro de gravedad del triángulo ΔΕΖ [Prop. 11].

PROPOSICIÓN 13

20 En todo triángulo, el centro de gravedad está en la recta que se traza desde el ángulo hasta el centro de la base[18].

Sea el triángulo ΑΒΓ y en él la recta ΑΔ hasta el punto medio de la base ΒΓ.

25 Se ha de demostrar que el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ está en la recta ΑΔ.

152 Pues no sea así, sino, si es posible, sea el punto Θ, y por él trácese ΘΙ paralela a ΒΓ. Cortando sucesivamente por la mitad ΔΓ en algún momento la recta restante será menor que ΘΙ. Y divídanse 5 cada una de las rectas ΒΔ, ΔΓ en rectas iguales, y por cada uno de los puntos de corte trácense paralelas a ΑΔ, y trácense ΕΖ, ΗΚ, ΛΜ. Éstas serán paralelas a ΒΓ. El centro de gravedad del paralelogramo ΜΝ está en la recta ϒΣ, y el centro de gravedad del 10 paralelogramo ΚΞ está en la recta Τϒ, y el del paralelogramo ΖΟ, en la recta ΤΔ [Prop. 9]. Luego el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todos ellos está en la recta ΣΔ [Prop. 4]. Sea Ρ, y trácese la recta ΡΘ y prolónguese, y trácese ΓΦ paralela a ΑΔ.

El[19] ΑΔΓ guarda con todos los triángulos construidos a partir de ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ semejantes al ΑΔΓ la misma razón que 15 guarda ΓΑ con ΑΜ, porque ΑΜ, ΜΚ, ΖΓ, ΚΖ son iguales. Y puesto que también el triángulo ΑΔΒ guarda con todos los triángulos semejantes[20] construidos sobre ΑΛ, ΛΗ, ΗΕ, ΕΒ la misma razón que ΒΑ con ΑΛ, entonces el triángulo ΑΒΓ guarda con 20 todos los triángulos mencionados[21] la misma razón que guarda 154 ΓΑ con ΑΜ. Pero ΓΑ guarda con ΑΜ una razón mayor que ΦΡ con ΡΘ. Pues la razón de ΓΑ a ΑΜ es la misma que la de la recta[22] ΦΡ con ΡΠ[23]. Luego también el triángulo ΑΒΓ guarda con los 5 mencionados una razón mayor que la de ΦΡ con ΡΘ. De modo que también, por descomposición[24], los paralelogramos ΜΝ, ΚΞ, ΖΟ guardan con los triángulos restantes una razón mayor que la de ΦΘ con ΘΡ. Esté ΧΘ con ΘΡ en la razón de los 10 paralelogramos a los triángulos. Puesto que hay una magnitud, el triángulo ΑΒΓ, cuyo centro de gravedad es el punto Θ y de ella se ha restado la magnitud compuesta por los paralelogramos ΜΝ, ΚΞ, ΖΟ y el punto Ρ es el centro de gravedad de la magnitud restada, 15 entonces el centro de gravedad de la magnitud restante, compuesta por los triángulos que quedan en torno, está situado en la recta ΡΘ prolongada y tomada 〈de ella una parte〉 que guarde con ΘΡ la misma razón que guarda la magnitud restada con la restante [Prop. 8], Por tanto, el punto Χ es el centro de gravedad de la 20 magnitud compuesta por las figuras que quedan en torno. Lo cual es imposible. Pues todas están en el plano hacia el mismo lado de la recta trazada por el punto Χ paralela a ΑΔ[25].

25 Luego es evidente lo propuesto.

LO MISMO, DE OTRA MANERA

Sea el triángulo ΑΒΓ, y trácese la recta ΑΔ hasta la mitad de ΒΓ.

Digo que el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ está en la recta ΑΔ.

30 156 Pues no sea así, sino que, si es posible, sea Θ, y trácense las rectas ΑΘ, ΘΒ, ΘΓ y las rectas ΕΔ, ΖΕ hasta el centro de ΒΑ, ΑΓ, y paralelas a ΑΘ trácense ΕΚ, ΖΛ, y trácense ΚΛ, ΛΔ, ΔΚ, ΑΘ, ΜΝ.

5 Puesto que el triángulo ΑΒΓ es semejante al triángulo ΔΖΓ 10 porque el lado ΒΑ es paralelo al ΖΔ, y el punto Θ es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ, entonces el punto Λ es el centro 15 de gravedad del triángulo ΖΔΓ [Prop. 11], pues los puntos Θ, Λ están dispuestos de manera semejante en cada uno de los triángulos[26]. Por la misma razón, el punto Κ es el centro de gravedad del triángulo ΕΒΔ. De modo que el centro de 20 gravedad de la magnitud compuesta por los triángulos ΕΒΔ, ΖΔΓ está en el centro de la recta ΚΛ [Prop. 11][27]. Y Ν es el punto medio de ΚΛ, puesto que ΒΕ es a ΕΑ como ΒΚ a ΘΚ y ΓΖ es a ΖΑ como ΓΛ a ΛΘ [Elem. VI 2]. Y si esto es así, ΒΓ es paralela 25 a ΚΛ. Y ΔΘ ha sido trazada. Luego ΒΔ es a ΔΓ como ΚΝ a ΝΛ. De manera que el punto Ν es el centro de gravedad de la magnitud compuesta por los dos triángulos mencionados. Y el punto Μ es el centro de gravedad del paralelogramo ΑΕΔΖ [Prop. 30 10]; de manera que el centro de gravedad de la magnitud compuesta por todas 〈las magnitudes dichas〉 está en la recta ΜΝ 158 [Prop. 4], Y el punto Θ es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ. Luego al prolongar la recta ΜΝ pasa por el punto Θ. Lo cual es imposible. Luego no cabe que el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ no esté en la recta ΑΔ5.

Luego está en ella.

PROPOSICIÓN 14

En todo triángulo el centro de gravedad es el punto en el que coinciden las rectas trazadas desde los ángulos hasta el 10 centro de los lados.

Sea el triángulo ΑΒΓ, y trácese ΑΔ hasta el centro de ΒΓ, y ΒΕ hasta el centro de ΑΓ15.

En efecto, el centro de gravedad del triángulo estará sobre cada una de las rectas ΑΔ, ΒΕ —pues eso se ha demostrado [Prop. 13].

20 De modo que el punto Θ es el centro de gravedad.

PROPOSICIÓN 15

En todo trapecio que tenga dos lados paralelos entre sí el 25 centro de gravedad está en la recta que une los puntos medios de las paralelas, cortada de modo que el segmento de ella que tiene por extremo el punto medio de la menor de las paralelas guarde con el otro segmento la razón que guarda la recta igual 30 a la suma del doble de la paralela mayor más la menor con el doble de la menor más la mayor de las paralelas.

160 Sea ΑΒΓΔ un trapecio con los lados ΑΔ, ΒΓ paralelos, y trácese ΕΖ que una los puntos medios de ΑΔ, ΒΓ.

Es evidente que el centro 〈de gravedad〉 del trapecio está en 5 la recta ΕΖ. Pues si prolongas las rectas ΓΔΗ, ΖΕΗ, ΒΑΗ, es evidente que llegarán al mismo punto, y el centro de gravedad del triángulo ΗΒΓ estará en la recta ΗΖ y, de manera semejante, el centro de gravedad del triángulo ΑΗΔ en la recta ΕΗ [Prop. 13] y por tanto el centro de gravedad del resto del trapecio 10 ΑΒΓΔ estará en la recta ΕΖ [Prop. 8], Una vez trazada ΒΔ, córtesela en tres partes iguales por los puntos Κ, Θ, y por esos puntos trácense las rectas ΛΘΜ, ΝΚΤ paralelas a ΒΓ, y trácense ΔΖ, ΒΕ, ΟΞ. Entonces, el centro de gravedad del triángulo ΔΒΓ estará en la recta ΘΜ, puesto que ΘΒ es la tercera parte de 15 ΒΔ[28]. Y el centro de gravedad del triángulo ΔΒΓ está en la recta ΔΖ [Prop. 13]. De manera que el punto Ξ es el centro de gravedad del triángulo indicado.

Por el mismo razonamiento, también el punto Ο es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΔ. 20 Luego el centro de gravedad de la magnitud compuesta por los triángulos ΑΒΔ, ΒΔΓ —que es el trapecio— está en la recta ΟΞ. Y el centro de gravedad del trapecio indicado está también en la recta ΕΖ; de manera que el punto Π es el centro de 162 gravedad del trapecio ΑΒΓΔ. Y el triángulo ΒΔΓ guarda con el ΑΒΔ la razón de ΟΠ a ΠΞ [Props. 6 y 7], Pero el triángulo ΒΔΓ es al triángulo ΑΒΔ como ΒΓ a ΑΔ [Elem. VI 1], y ΟΠ es a ΠΞ 5 como ΡΠ a ΠΣ. Por tanto, ΒΓ es a ΑΔ como ΡΠ a ΠΣ. De modo que también dos 〈veces〉 ΒΓ más ΑΔ es a dos 〈veces〉 ΑΔ más ΒΓ como dos 〈veces〉 ΡΠ más ΠΣ es a dos 〈veces〉 ΠΣ más ΠΡ. Pero dos 〈veces〉 ΡΠ más ΠΣ es la suma ΣΡΠ, esto es, ΠΕ, 10 y dos 〈veces〉 ΠΣ más ΠΡ es la suma ΡΣΠ, esto es, ΠΖ.

Luego ha quedado demostrado lo propuesto.

LIBRO IIII 164

PROPOSICIÓN 1

Si dos áreas comprendidas por una recta y una parábola, que podemos aplicar a la recta dada[1], no tienen el mismo centro 5 de gravedad, el centro de gravedad de la magnitud compuesta por ambas estará sobre la recta que une sus centros de gravedad cortando la recta mencionada de manera que sus segmentos 10 sean inversamente proporcionales a las áreas.

Sean ΑΒ, ΓΔ dos áreas como se ha indicado y sean sus centros de gravedad los puntos Ε, Ζ, y guarde ΖΘ con ΘΕ la razón que guarda ΑΒ con ΓΔ.

Se ha de demostrar que el punto Θ es el centro de gravedad 15 de la magnitud compuesta por las dos áreas ΑΒ, ΓΔ. 166

Sean cada una de las rectas ΖΗ, ΖΚ iguales a ΕΘ, y ΕΛ igual 5 a ΖΘ —es decir, a ΗΕ—. Por tanto ΛΘ también será igual a ΚΘ, y además ΛΗ será a ΗΚ como ΑΒ a ΓΔ. Pues cada una es el doble de cada una. Aplíquese a la recta ΛΗ el área de ΑΒ por ambos lados de ΛΗ de modo que el rectángulo ΜΝ sea igual al 10 ΑΒ. Entonces el punto Ε será el centro de gravedad de ΜΝ; complétese el rectángulo ΝΞ, y ΜΝ guardará con ΝΞ la razón que guarda ΛΗ con ΗΚ. Y también el área ΑΒ guarda con ΓΔ la razón de ΛΗ a ΗΚ. Y entonces ΑΒ es a ΓΔ como ΜΝ a ΝΞ; y lo mismo tomando la proporción en alternancia[2]. Luego el 15 área ΑΒ es igual a ΜΝ. Luego también ΓΔ es igual a ΝΞ, y su centro de gravedad es el punto Ζ. Y puesto que la recta ΛΘ es igual a ΘΚ y la recta entera ΛΚ corta por la mitad a los lados opuestos, el punto Θ es el centro de gravedad del rectángulo entero ΠΜ. Pero ΜΠ es igual a la suma de las dos áreas ΜΝ, ΝΞ.

20 De modo que el punto Θ es también el centro de gravedad del área compuesta por las dos ΑΒ, ΓΔ.

PROPOSICIÓN 2168

Si en un segmento comprendido por una recta y una parábola se inscribe un triángulo que tenga la misma base que el 5 segmento e igual altura, y de nuevo en los segmentos restantes se inscriben triángulos que tengan las mismas bases que los segmentos e igual altura, y sucesivamente se inscriben triángulos en los segmentos restantes del mismo modo, dígase que la figura resultante está inscrita propiamente[3].

10 Es evidente que, en la figura así inscrita, las rectas que unen los vértices de los ángulos más próximos al vértice del segmento y 〈las que unen〉 los contiguos serán paralelas a la base del segmento y serán cortadas por la mitad por el diámetro[4] del segmento y cortarán al diámetro en la razón de los números 15 impares sucesivos, atribuyendo la razón 1 al vértice del segmento. Esto se demostrará en su orden correspondiente[5].

Y si en un segmento comprendido por una recta y una parábola se inscribe propiamente una figura rectilínea, el centro de 20 gravedad de la figura inscrita estará en el diámetro del segmento.

Sea el segmento ΑΒΓ como se ha dicho, e inscríbase en él propiamente una figura rectilínea ΑΕΖΗΒΘΙΚΓ.

Se ha de demostrar que el centro de gravedad de la figura rectilínea está en la recta ΒΔ25.

Puesto que el centro de gravedad del trapecio ΑΕΚΓ está en la recta ΛΔ, y el centro del trapecio ΕΖΙΚ está en la recta ΜΛ, 170 y el centro del trapecio ΖΗΘΙ está en la recta ΜΝ, y el centro de gravedad del triángulo ΗΒΘ está en la recta ΒΝ, es evidente que también el centro del gravedad de la figura rectilínea entera 5 está en la recta ΒΔ.

PROPOSICIÓN 3

Si en cada uno de dos segmentos semejantes comprendidos por una recta y una parábola se inscribe una figura rectilínea 10 propiamente y si las figuras rectilíneas inscritas tienen el mismo número de lados, los centros de gravedad de las figuras rectilíneas cortan de modo semejante a los diámetros de los segmentos.

Sean dos segmentos ΑΒΓ, ΞΟΠ e inscríbanse en ellos 15 figuras rectilíneas propiamente y tengan el número de lados igual una y otra, y sean los diámetros de los segmentos las rectas ΒΔ, ΟΡ, y trácense las rectas ΕΚ, ΖΙ, ΗΘ y las rectas ΣΤ, ΥΦ, ΧΨ.

Entonces, puesto que la recta ΒΔ es cortada por las paralelas en la razón de la serie consecutiva de los números impares, e 〈igualmente〉 la recta ΡΟ, y sus segmentos[6] son iguales en 20 número, es evidente que los segmentos de los diámetros guardarán la misma razón y que las paralelas guardarán la misma razón[7]. 172 Y los centros de gravedad de los trapecios ΑΕΚΓ y ΞΣΤΠ estarán sobre las rectas ΛΔ, ΩΡ dispuestos de manera semejante, puesto que las rectas ΑΓ, ΕΚ guardan la misma razón que las 5 rectas ΞΠ, ΣΤ. Y, de nuevo, los centros de gravedad de los trapecios ΕΖΙΚ, ΣϒΦΤ dividirán de modo semejante a las rectas ΛΜ y ΩϠ y los centros de gravedad de los trapecios ΖΗΘΙ, ϒΧΨΦ dividirán de manera semejante a las rectas ΜΝ, ʕϠ y los centros de gravedad de los triángulos ΗΒΘ, ΧΟΨ estarán 10 dispuestos de manera semejante en las rectas ΒΝ, Οʕ —en efecto, los trapecios y los triángulos guardan la misma razón.

Es evidente por tanto que el centro de gravedad de toda la figura rectilínea inscrita en el segmento ΑΒΓ corta a ΒΔ de manera semejante a como el centro de gravedad de la figura 174 inscrita en el segmento ΞΟΠ 〈corta〉 a ΟΡ. Que es lo que había que demostrar.

PROPOSICIÓN 4

El centro de gravedad de todo segmento comprendido por una recta y una parábola está en el diámetro del segmento5.

Sea ΑΒΓ un segmento como se ha dicho, cuyo diámetro sea BA.

Se ha de demostrar que el centro de gravedad del segmento indicado está en la recta ΒΔ.

10 Pues si no, sea el punto Ε, y trácese por él ΕΣ paralela a ΒΔ, e inscríbase en el segmento el triángulo ΑΒΓ que tenga la misma base e igual altura, y guarde el triángulo ΑΒΓ con el área Κ 15 la razón que guarda ΓΖ con ΖΔ. Inscríbase además propiamente una figura rectilínea en el segmento de manera que los segmentos que quedan en torno sean menores que Κ. Y el centro de gravedad de la figura inscrita está en la recta ΒΔ. Sea Θ, y trácese la recta ΘΕ y prolónguese y trácese ΓΛ paralela a ΒΔ.

20 Entonces es evidente que la figura rectilínea inscrita en el segmento guarda con los segmentos que quedan una razón mayor que el triángulo ΑΒΓ con el área Κ. Pero el triángulo ΑΒΓ 176 es a Κ como la recta ΓΖ a la ΖΔ. Por tanto, también la figura rectilínea inscrita guarda con los segmentos que quedan en torno una razón mayor que ΓΖ con ΖΔ —es decir, que ΛΕ con ΕΘ—. Guarde entonces ΜΕ con ΕΘ la misma razón que la 5 figura rectilínea con los segmentos. Puesto que el punto Ε es el centro de todo el segmento y Θ el de la figura rectilínea inscrita en él, es evidente que el centro de gravedad de la magnitud restante compuesta de los segmentos que quedan en torno está en la prolongación de la recta ΘΕ una vez tomada de ella una recta que guarda con ΘΕ la razón de la figura rectilínea inscrita con 10 los segmentos que quedan en torno. De manera que el punto Μ sería el centro de gravedad de la magnitud compuesta por los segmentos que quedan en torno. Lo cual es imposible, pues todos los segmentos que quedan en torno estarán hacia el mismo 15 lado de la recta trazada paralela a ΒΔ pasando por Μ.

Luego es evidente que el centro de gravedad estará en la recta ΒΔ.

PROPOSICIÓN 5

Si en un segmento comprendido por una recta y una parábola se inscribe propiamente una figura rectilínea, el centro de 20 gravedad del segmento entero estará más cerca del vértice del segmento que el centro 〈de gravedad〉 de la figura rectilínea inscrita.

Sea ΑΒΓ un segmento como se ha dicho, y su diámetro ΔΒ, e inscríbase en él propiamente un primer triángulo ΑΒΓ, y 25 córtese ΒΔ por el punto Ε de manera que ΒΕ sea el doble de ΕΔ. Entonces el punto Ε es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ. 178 Córtense por la mitad cada una de las rectas ΑΒ, ΒΓ por los puntos Ζ, Η; y por los puntos Ζ, Η trácense ΖΚ, ΛΗ paralelas a ΒΔ.

5 Entonces el centro de gravedad del segmento ΑΚΒ estará en la recta ΖΚ [Prop. 4], mientras que el centro de gravedad del segmento ΒΓΛ estará en la recta ΗΛ. Sean[8] los puntos Θ, Ι, y trácese la recta ΘΙ. Y puesto que ΘΖΗΙ es un paralelogramo y ΝΗ es igual a ΖΝ, entonces también ΧΘ es igual a ΧΙ. De modo que el centro de gravedad de la magnitud compuesta por 10 ambos segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ es el punto medio de ΘΙ[9], esto es, el punto Χ. Puesto que el punto Ε es el centro de gravedad del 15 triángulo ΑΒΓ y el punto Χ el de la magnitud compuesta por los dos 180 segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ, es evidente que el centro de gravedad de todo el segmento ΑΒΓ está sobre la recta ΧΕ, es decir, entre los puntos Χ, Ε. De modo que estaría más cerca del vértice del segmento el centro de gravedad del segmento entero que el del triángulo inscrito propiamente.

5 Inscríbase de nuevo en el segmento propiamente una figura rectilínea pentagonal ΑΚΒΛΓ y sea ΒΔ el diámetro del segmento entero y sean ΚΖ, ΛΗ los diámetros de cada uno de los 10 segmentos[10]. Sea pues el punto Θ el centro de gravedad del segmento y el punto Ι el del triángulo y, a su vez, sea el punto Μ el centro 15 de gravedad del segmento ΒΛΓ y Ν el del triángulo. Y el punto Χ será el centro de gravedad de la magnitud compuesta por los dos segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ, y el punto Τ el de la magnitud compuesta por los dos triángulos ΑΚΒ, ΒΛΓ.

Entonces, puesto que a su vez el punto Ε es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ y el punto Χ el de los dos 20 segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ, es evidente que el centro de gravedad del segmento ΑΒΓ entero está sobre la recta ΧΕ cortada de tal modo que el segmento de ésta[11] que tiene por extremo el punto Χ 182 guarde con el segmento menor la misma razón que la que guarda el triángulo ΑΒΓ con la suma de los segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ.

Y el centro de gravedad del pentágono ΑΚΒΛΓ está sobre la 5 recta ΕΤ cortada de tal manera que el segmento de ésta[12] que tiene por extremo el punto Τ guarde con el restante la misma razón que la que guarda el triángulo ΑΒΓ con los triángulos ΑΚΒ, ΒΛΓ. Puesto que el triángulo ΑΒΓ guarda con 〈la 10 magnitud compuesta por〉 los triángulos ΚΑΒ, ΛΒΓ una razón mayor que con 〈la magnitud compuesta por〉 los segmentos, es evidente que el centro de gravedad del segmento ΑΒΓ está más cerca del vértice Β que el de la figura rectilínea inscrita.

Y cabe el mismo razonamiento para todas las figuras rectilíneas inscritas propiamente en los segmentos.

PROPOSICIÓN 6

Dado un segmento comprendido por una recta y una parábola, es posible inscribir en el segmento propiamente una figura rectilínea de manera que la recta 〈que queda〉 entre los 20 centros de gravedad del segmento y de la figura rectilínea inscrita sea menor que cualquier recta propuesta.

Sea dado un segmento ΑΒΓ como se ha dicho, cuyo centro de gravedad sea Θ e inscríbase en él propiamente el triángulo 25 ΑΒΓ, y sea Ζ la recta propuesta, y guarde el triángulo ΑΒΓ con el área Χ la misma razón que ΒΘ con Ζ. Inscríbase en el 184 segmento ΑΒΓ propiamente una figura rectilínea ΑΚΒΛΓ de modo que los segmentos que quedan en torno sean menores que el área Χ, y sea Ε el centro de gravedad de la figura rectilínea inscrita.

Digo que la recta ΘΕ es menor que la recta Ζ.

5 Pues si no, o bien es igual o es mayor. Puesto que la figura rectilínea ΑΚΒΛΓ guarda con los segmentos que quedan en torno una razón mayor que la del triángulo ΑΒΓ con el área Χ —es decir, que la de ΘΒ con Ζ— también ΒΘ guarda con Ζ 10 una razón no menor que la que guarda con ΘΕ, por no ser menor ΘΕ que Ζ; entonces con más razón la figura rectilínea ΑΚΒΛΓ 15 guarda con los segmentos que quedan en torno una razón mayor que la de ΒΘ con ΘΕ; de modo que si hacemos que otra recta sea a ΘΕ como la figura rectilínea ΑΚΒΛΓ es a los segmentos que 20 25 quedan en torno[13], será mayor que ΘΒ. Guarde esa razón ΗΘ con ΘΕ. Por tanto el punto Η es el centro de gravedad de la magnitud compuesta por los segmentos que quedan en torno; lo que es imposible, pues están hacia el mismo lado de la recta[14] trazada paralela a ΑΓ por el punto Η.

Por tanto es evidente que la recta ΘΕ es menor que la Ζ. Y 30 esto es lo que había que demostrar.

PROPOSICIÓN 7186

Los centros de gravedad de dos segmentos semejantes comprendidos por una recta y una parábola cortan a los diámetros en la misma razón.

5 Sean ΑΒΓ, ΕΖΗ dos segmentos como se ha dicho, cuyos diámetros sean ΒΔ, ΖΘ, y sea el punto Κ el centro de gravedad del segmento ΑΒΓ, y Λ el de ΕΖΗ.

Se ha de demostrar que los puntos Κ, Λ cortan a los diámetros en la misma razón.

10 Pues si no, sea ΖΜ a ΜΘ como ΚΒ a ΚΔ, e inscríbase propiamente en el segmento ΕΖΗ una figura rectilínea de modo que la recta que queda entre el centro[15] del segmento y el de la figura 15 rectilínea inscrita sea menor que ΛΜ, y sea el centro de gravedad de la figura inscrita el punto Ξ, e inscríbase en el segmento ΑΒΓ una 20 〈figura rectilínea〉 semejante a la[16] del segmento ΕΖΗ[17].

25 El centro de gravedad de ésta está más cerca del vértice que el del segmento. Lo cual es imposible [Prop. 5].

Por tanto es evidente que ΒΚ guarda con ΚΔ la misma razón que ΖΛ con ΛΘ.

PROPOSICIÓN 8

30 El centro de gravedad de todo segmento comprendido por 188 una recta y una parábola corta al diámetro del segmento de modo que la parte de éste que está hacia el vértice del segmento es una vez y media la parte del mismo que está hacia la base.

5 Sea el segmento ΑΒΓ como se ha dicho y sea ΒΔ su diámetro y el punto Θ su centro de gravedad.

Se ha de demostrar que ΒΘ es una vez y media ΘΔ.

Inscríbase propiamente en el segmento ΑΒΓ el triángulo ΑΒΓ, cuyo centro de gravedad sea Ε, y córtense por la mitad 10 cada una de las rectas ΑΒ, ΒΓ, y trácense ΚΖ, ΗΛ. Y ésas son los diámetros de los segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ. Sea entonces el punto Μ el centro de gravedad del segmento ΑΚΒ, y el punto Ν el de ΒΛΓ, y trácense ΖΗ, ΜΝ, ΚΛ.

Por tanto, el punto Χ es el centro de gravedad de la 15 magnitud compuesta por ambos segmentos. Puesto que ΒΘ es a ΘΔ como ΚΜ a ΜΖ y, por composición y tomando la proporción en alternancia[18], ΒΔ es a ΚΖ como ΔΘ a ΜΖ y, por otro lado, ΒΔ es el cuádruple de ΚΖ —pues esto se demuestra al final, donde figura el signo signo— entonces ΔΘ también es el cuádruple de ΜΖ. De modo que también la restante ΒΘ es el cuádruple de la 20 restante ΚΜ, es decir, de ΣΧ. Y por tanto la suma de las restantes ΒΣ, ΧΘ es el triple de ΣΧ. Sea ΒΣ el triple de ΣΞ. Y 190 entonces ΧΘ también es el triple de ΞΧ. Y puesto que ΒΔ es el cuádruple de ΒΣ —pues también eso se demuestra— y, por otro lado, ΒΣ es el triple de ΣΞ, entonces ΞΒ es la tercera parte de 5 ΒΔ. Y también ΕΔ es la tercera parte de ΔΒ, puesto que el punto Ε es el centro de gravedad del triángulo ΑΒΓ. Y entonces la recta restante ΞΕ es la tercera parte de ΒΔ. Y puesto que el punto Θ es el centro de gravedad del segmento entero, mientras que el centro de gravedad de la magnitud compuesta por los dos 10 segmentos ΑΚΒ, ΒΛΓ es el punto Χ y el del triángulo ΑΒΓ el punto Ε, entonces el triángulo ΑΒΓ será a los segmentos restantes como ΧΘ a ΘΕ. Y el triángulo ΑΒΓ es el triple de los segmentos[19]; luego ΧΘ es el triple de ΘΕ. Y se había demostrado que ΧΘ era también el triple de ΧΞ; luego ΞΕ es el quíntuple de 15 EΘ —es decir, ΛE el quíntuple de ΕΘ, pues es igual a ella—; de manera que ΔΘ es el séxtuple de ΘΕ. Y ΒΔ es el triple de ΔΕ; 20 luego ΒΘ es una vez y media ΘΔ.

Que es lo que había que demostrar.

PROPOSICIÓN 9

Y si cuatro líneas están en proporción continua y con la razón que guarda la menor con el exceso en que la mayor excede 25 a la menor se toma una recta que guarde esa razón con los tres quintos del exceso en que excede la mayor de las proporcionales a la tercera, y con la razón que guarda la recta igual al doble de la mayor de las proporcionales más el cuádruple de la 30 segunda, más el séxtuplo de la tercera más el triple de la cuarta 192 con una recta igual al quíntuple de la mayor más el décuplo de la segunda más el décuplo de la tercera más el quíntuple de la cuarta se toma una recta que guarde esa razón con el exceso en 5 que la mayor de las proporcionales excede a la tercera, la suma de las dos rectas tomadas será dos quintos de la mayor[20].

10 Sean cuatro líneas proporcionales ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, y guarde ΖΗ con los tres quintos de ΑΔ la razón que guarda ΒΕ con ΕΑ; y guarde ΗΘ con ΑΔ la razón que guarda una recta igual a la suma del doble de ΑΒ más el cuádruple de ΒΓ más el séxtuplo de ΒΔ más el triple de ΒΕ con una recta igual a la suma del quíntuple de ΑΒ más el décuplo de ΓΒ más el décuplo de ΒΔ más el quíntuple de ΒΕ15.

Se ha de demostrar que ΖΘ es los dos quintos de ΑΒ.

Puesto que ΑΒ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ son proporcionales[21], también ΑΓ, ΓΔ, ΔΕ están en la misma razón[22], y la 20 suma de ΑΒ, ΒΓ guarda con ΒΔ —es decir, el doble de la suma de ΑΒ, ΒΓ con el doble de ΒΔ— la misma razón que ΑΔ con ΔΕ, y también[23] la suma de ΔΒ, ΒΓ 194 con ΕΒ y todos con todos[24]. Por tanto ΑΔ guarda con ΔΕ la misma razón que la recta igual a la suma del doble de ΑΒ más el triple de ΓΒ más ΔΒ con una recta igual a la suma del doble de ΒΔ más ΒΕ; y la 5 razón que guarda una recta igual a la suma del doble de ΑΒ más el cuádruple de ΒΓ más el cuádruple de ΒΔ más el doble de ΒΕ con la recta igual a la suma del doble de ΔΒ más ΕΒ será la que guarde ΔΑ con una recta menor que ΛΕ.

10 Guárdela con ΔΟ. Y la suma de ambas[25] guardará con las primeras la misma razón: por tanto, ΟΑ guardará con ΑΔ la misma razón que una recta igual a la suma del doble de ΑΒ más el cuádruple de ΓΒ más el séxtuplo de ΒΔ más el triple de ΒΕ con la recta compuesta del doble de la suma de ΑΒ, ΕΒ más el 15 cuádruple de la suma de ΓΒ. ΒΔ.

Y ΑΔ también guarda con ΗΘ la misma razón que el quíntuple de la suma de ΑΒ, ΒΕ junto con el décuplo de la suma de 20 ΓΒ, ΒΔ con la recta compuesta por el doble de ΑΒ más el cuádruple de ΓΒ más el triple de ΕΒ más el séxtuplo de ΒΔ.

Si se ordenan las razones de modo disímil —es decir, en proporción perturbada[26]— y se toma la proporción ex aequali, ΟΑ guarda con ΗΘ la misma razón que el quíntuple de la suma 25 de ΑΒ, ΒΕ junto con el décuplo de la suma de ΓΒ, ΒΔ con la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ más el cuádruple de la suma de ΓΒ, ΒΔ.

196 Pero la recta compuesta por el quíntuplo de la suma de ΑΒ, ΒΕ junto con el décuplo de la suma de ΓΒ, ΒΔ guarda con la compuesta por el doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ más el cuádruple 5 de la suma de ΓΒ, ΒΔ la razón de cinco a dos. Por tanto ΑΟ guarda con ΗΘ la razón de cinco a dos.

A la vez, puesto que ΟΔ guarda con ΔΑ la misma razón que 〈la suma de〉 ΕΒ más el doble de ΒΔ con una recta igual a la 10 compuesta por el doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ más el cuádruple de la suma de ΓΒ, ΒΔ, y, por otro lado, ΑΔ es a ΔΕ como la recta compuesta por el doble de ΑΒ más el triple de ΓΒ más ΒΔ es a una recta igual a 〈la suma de〉 ΕΒ más el doble de ΒΔ, entonces, puesto que las razones están ordenadas de modo disímil 15 —es decir, en proporción perturbada—, 〈por la propiedad〉 ex aequali, ΟΔ es a ΔΕ como el doble de ΑΒ junto con el triple de ΒΓ más ΒΔ es a la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ más el cuádruple de ΓΒ, ΒΔ. De manera que también 20 ΟΕ es a ΕΔ como la suma de ΓΒ más el triple de ΒΔ más el doble de ΕΒ es al doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ más el cuádruple de la suma de ΓΒ, ΒΔ.

Además ΔΕ es a ΕΒ como ΑΓ a ΓΒ, puesto que también por composición[27], y el triple de ΓΔ es al triple de ΛΒ como el doble de ΔΕ es al doble de ΕΒ. De modo que también la recta 198 28 compuesta por ΑΓ más el triple de ΓΔ más el doble de ΔΕ la guarda[28] con la compuesta por ΓΒ más el triple de ΔΒ más el doble de ΕΒ.

5 Así, estando de nuevo las razones ordenadas de modo disímil —es decir, en proporción perturbada—, 〈por la propiedad〉 ex aequali ΕΟ guardará con ΕΒ la misma razón que ΑΓ más el triple de ΓΔ más el doble de ΔΕ con 〈la recta〉 doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ junto con el cuádruple de la suma de ΓΒ, ΒΔ. Por 10 tanto, la recta entera ΟΒ guarda con ΒΕ la misma razón que la recta igual al triple de ΑΒ más el séxtuplo de ΓΒ más el triple de ΒΔ con el doble de la suma de ΑΒ, ΒΕ más el cuádruple de la suma de ΓΒ, ΒΔ.

15 Y puesto que las rectas ΕΔ, ΔΓ, ΓΑ están en la misma razón y también cada una de las sumas de ΕΒ más ΒΔ, de ΔΒ más ΒΓ y de ΓΒ más ΒΑ, también ΕΔ será a ΔΑ como la suma de ΕΒ, ΒΔ a la suma de ΔΒ, ΒΓ más la suma de ΓΒ, ΒΑ[29].

200 Por tanto, también por composición ΑΕ es a ΑΔ como la suma de ΕΒ, ΒΔ más la suma de ΑΒ, ΒΓ y más la suma de ΓΒΔ —lo cual es la suma de ΕΒΑ más el doble de la suma de ΑΒΓ— es a la suma de ΒΔ, BA más el doble de ΒΓ5.

De modo que también el doble guardará con el doble la misma razón: es decir, que como ΕΑ es a ΑΔ así será el doble de la suma de EBA más el cuádruple de la suma de ΓΒΔ al doble de la suma de ΑΒΔ más el cuádruple de ΓΒ10.

De modo que también ΕΑ es a los tres quintos de ΑΔ como la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒΕ más el cuádruple de la suma de ΓΒΔ a los tres quintos de la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒΔ más el cuádruple de ΓΒ15.

Pero ΕΑ es a los tres quintos de ΑΔ como ΕΒ a ΖΗ. Y, por tanto, ΕΒ es a ΖΗ como el doble de la suma de ABE más el 20 cuádruple de la suma de ΑΒΕ a los tres quintos de la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒΔ más el cuádruple de ΓΒ.

Y se había demostrado que ΟΒ era a ΕΒ como el triple de la suma de ΑΒΔ más el séxtuplo de ΓΒ al doble de la suma de 25 ΑΒΕ más el cuádruple de la suma de ΓΒΑ.

Y por tanto, ex aequali, ΟΒ es a ΖΗ como la recta compuesta 202 por el triple de la suma de ΑΒΔ más el séxtuplo de ΓΒ a los tres quintos de la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒΔ más el cuádruple de ΓΒ.

5 Pero la recta compuesta por el triple de la suma de ΑΒΔ más el séxtuplo de ΓΒ guarda con la recta compuesta por el doble de la suma de ΑΒΔ más el cuádruple de ΓΒ la razón de tres a dos, mientras que con los tres quintos de la misma[30] guarda la razón de cinco a dos.

10 Y se había demostrado que también ΑΟ guarda con ΗΘ la razón de cinco a dos. Luego la recta ΒΑ entera guarda con la recta ΖΘ entera la razón de cinco a dos.

Y si eso es así, ΖΘ es dos quintos de ΑΒ. Que es lo que había que demostrar.

PROPOSICIÓN 10

15 En todo tronco restado de una parábola, el centro de gravedad 204 está en la recta que es el diámetro del tronco situado del modo siguiente: dividida la recta en cinco partes iguales, en la quinta parte central, de modo que su segmento más próximo a la base menor del tronco guarde con el segmento restante la 5 misma razón que la que guarda el sólido que tiene por base el cuadrado construido sobre la mayor de las bases del tronco y por altura una recta igual a la suma del doble de la menor de las bases más la mayor con el sólido que tiene por base el cuadrado construido sobre la menor de las bases del tronco y por altura una recta igual a la suma del doble de la mayor de ellas 10 más la menor.

Sean en una parábola dos rectas ΑΓ, ΔΕ, y sea ΒΖ el diámetro del segmento ΑΒΓ —es evidente también que ΗΖ es el 15 diámetro del tronco ΑΔΕΓ[31]—. Y, cortada la recta ΗΖ en cinco partes iguales, sea ΘΚ la quinta parte central, y guarde ΘΙ con ΙΚ la misma razón que la que guarda el sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΑΖ y por altura una recta igual a la suma del 20 doble de ΔΗ más ΑΖ con el sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΔΗ y por altura una recta igual a la suma del doble de ΑΖ más ΔΗ.

25 Se ha de demostrar que el punto Ι es el centro de gravedad del tronco ΑΔΕΓ.

206 Sea ΜΝ igual a ΖΒ, y ΝΟ igual a ΗΒ, y tómese ΝΞ, media proporcional de las rectas ΜΝΟ, y la cuarta proporcional ΤΝ[32]; y como ΤΜ es a ΤΝ, así sea ΖΘ a una recta a partir de Ι, caiga donde caiga el otro punto —pues es indiferente que esté entre 5 Ζ, Η o entre Η, Β; 〈pongamos que sea〉 ΙΡ.

Y puesto que ΖΒ es un diámetro en un segmento de parábola, o bien ΒΖ es el diámetro principal de la parábola[33] sido trazada paralela al diámetro, y las rectas ΑΖ, ΔΗ son cuerdas conjugadas al diámetro[34], puesto que son paralelas a la tangente a la parábola en el punto Β.

Si esto es así, ΑΖ es a ΔΗ en potencia[35] como ΖΒ es a ΒΗ en longitud, esto es, como ΜΝ a ΝΟ. Y ΜΝ es a ΝΟ en longitud 15 como MN a NS en potencia. Y, por tanto, ΑΖ es a ΔΗ en potencia como ΜΝ a ΝΞ en potencia. De modo que también en longitud están en la misma razón. Y, por tanto, el cubo de arista ΑΖ es al cubo de arista ΔΗ como el cubo de arista ΜΝ al cubo de 20 arista ΝΞ. Pero el cubo de arista ΑΖ es al cubo de arista ΔΗ como 208 el segmento ΑΒΓ es al segmento ΔΒΕ, mientras que el cubo de arista ΜΝ es al cubo de arista ΝΞ como ΜΝ a ΝΤ. De modo que también, por descomposición, el tronco ΑΔΕΓ es al segmento ΔΒΕ como ΜΤ a ΝΤ, es decir, como 3/5 de ΗΖ a ΙΡ. 5 Y puesto que el sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΑΖ y por altura la recta compuesta por el doble de ΔΗ más ΑΖ guarda con el cubo de arista ΑΖ la razón del doble de ΔΗ más ΑΖ con ΖΑ —de modo que también la que guarda el doble de 10 ΝΞ más ΝΜ con ΝΜ—, entonces también el cubo de arista ΑΖ es al cubo de arista ΔΗ como ΜΝ a ΝΤ, y el cubo de arista ΔΗ es al sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΔΗ y por altura la recta compuesta por el doble de ΑΖ más ΔΗ como ΔΗ 15 a la recta compuesta por el doble de ΑΖ más ΔΗ, de modo que también están en la razón de ΤΝ a la recta compuesta por el doble de ΟΝ más ΤΝ, y entonces tenemos cuatro magnitudes —el sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΑΖ y por altura la recta compuesta por el doble de ΔΗ más ΑΖ y el cubo de 20 arista ΑΖ y el cubo de arista ΔΗ y el sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΔΗ y por altura la recta compuesta por el doble de ΑΖ más ΔΗ— proporcionales a cuatro magnitudes tomadas de dos en dos —la recta compuesta por el doble de ΝΞ 25 más ΝΜ, y otra magnitud, la recta ΜΝ, y otra a continuación, 210 la recta ΝΤ, y por último la recta compuesta por el doble de ΝΟ más ΝΤ.

Ex aequali, por tanto, resultará que el sólido que tiene por base el cuadrado de lado ΑΖ y por altura la recta compuesta por el doble de ΔΗ más ΑΖ es al sólido que tiene por base el 5 cuadrado de lado ΔΗ y por altura la recta compuesta por el doble de ΑΖ más ΔΗ como la recta compuesta por el doble de ΝΞ más ΜΝ es a la recta compuesta por el doble de ΝΟ más ΝΤ. 10 Pero el sólido indicado es al sólido indicado como ΘΙ a ΙΚ. Y por tanto ΘΙ es a ΙΚ como la recta compuesta a la recta compuesta. De modo que también serán proporcionales si tomamos la proporción en composición y multiplicamos por cinco los antecedentes; por tanto ΖΗ es a ΙΚ como el quíntuple de la 15 suma de ΜΝΤ más el décuplo de la suma de ΝΞ, ΝΟ al doble de ΟΝ y ΝΤ. Y ΖΗ es a ΖΚ —que es dos quintos de ella[36]— como 〈la recta compuesta por〉 el quíntuple de la suma de ΜΝΤ más el décuplo de la suma de ΞΝΟ a 〈la recta compuesta por〉 20 el doble de suma de MNT más el cuádruple de la suma de ΞΝΟ. Entonces, ΖΗ será a ΖΙ como el quíntuple de la suma de ΜΝΤ más el décuplo de la suma de ΞΝΟ a la recta compuesta por el doble de ΜΝ más el cuádruple de ΝΞ más el séxtuplo de ΟΝ 25 más el triple de ΝΤ.

Puesto que ΜΝ, ΝΞ, ΟΝ, ΝΠ son cuatro rectas en proporción continua y ΝΤ es a ΤΜ como una recta tomada ΡΙ a los tres 30 quintos de ΖΗ —es decir, de ΜΟ— y, por otro lado, la recta compuesta por el doble de ΝΜ más el cuádruple de ΝΞ más el 212 séxtuplo de ΝΟ más el triple de ΝΤ es a la recta compuesta por el quíntuple de la suma de ΜΝΤ más el décuplo de la suma de ΞΝΟ como otra recta tomada ΙΖ es a ΖΗ —es decir, a ΜΟ— 5 entonces, por lo dicho anteriormente, ΡΖ será dos quintos de ΜΝ —es decir, de ΖΒ.

De modo que el punto Ρ es el centro de gravedad del segmento ΑΒΓ.

Sea además el punto Χ el centro de gravedad del segmento ΔΒΕ. Entonces el centro de gravedad del tronco ΑΔΕΓ estará 10 en la recta trazada como prolongación de ΧΡ que guarde con ella[37] la misma razón que guarda el tronco con el segmento restante. Y es el punto Ι[38], puesto que ΒΡ es los tres quintos de ΖΒ y ΒΧ es los tres quintos de HB y, por tanto, XP es los tres quintos de la recta restante ΗΖ.

15 Entonces, puesto que el tronco ΑΔΕΓ es al segmento ΔΒΕ como ΜΤ a ΤΝ, mientras que ΜΤ es a ΤΝ como los tres quintos de ΗΖ —que es ΧΡ— es a ΡΙ, entonces también el tronco ΑΔΕΓ será al segmento ΔΒΕ como ΧΡ a ΡΙ.

20 Y el punto Ρ es el centro de gravedad del segmento entero, y el punto Χ el centro de gravedad del segmento ΔΒΕ.

Entonces está claro también que el punto Ι es el centro de gravedad del tronco ΑΔΕΓ.

ARENARIO

INTRODUCCIÓN

Frente a la mayor parte de las obras conservadas de Arquímedes, que, en forma de tratado, tienen por destinatarios a sus colegas matemáticos, el Arenario se nos presenta como una carta dirigida a un destacado hombre político, Gelón de Siracusa, Este personaje, hijo del tirano Hierón II y corregente con él durante unos veinticinco años, falleció en 216 a. C., fecha que nos sirve como término ante quem para la datación de la obra. El texto conserva casi plenamente el dialecto de Siracusa, y ese hecho nos lleva a pensar que no se contó entre los trabajos de Arquímedes que más interés suscitaron en el mundo bizantino. Su contenido, de carácter divulgativo —y es el único de los escritos suyos conservados al que podemos aplicar ese calificativo—, es resumido por Arquímedes al principio de la epístola: «Creen algunos, rey Gelón, que es infinito en cantidad el número de los granos de arena… Y hay también algunos que suponen que no es que sea infinito, sino que no ha recibido nombre ninguna cifra tan elevada que exceda esta cantidad… Pero yo intentaré hacerte ver —mediante demostraciones geométricas que podrás comprender— que algunos de los números a los que he dado nombre y que he dado a conocer en los libros que dediqué a Zeuxipo superan no sólo el número de granos de arena igual en magnitud a la Tierra colmada…, sino también el de un volumen igual al mundo».

El sistema de denominación de los números aludido por Arquímedes, del que parece estar tan satisfecho, no tuvo mucho éxito, pues no fue adoptado por los matemáticos posteriores, pero su enorme potencialidad queda bien puesta de relieve en este trabajo.

La lengua griega carecía de palabras para expresar números elevados[1]. El geómetra puede, en general, pasarse sin los números, pero el físico no. No es de extrañar, por tanto, que Arquímedes, interesado en ambas ramas del saber, echase en falta una nomenclatura con la que poder traducir sus cálculos en palabras de modo claro y conciso.

El tema aparentemente banal de la obra —¿a quién se le ocurre contar los granos de arena?— y su brevedad no deben llevamos a creer que carece de interés. Sin duda, no tiene la valía matemática de los grandes tratados[2], pero como fuente de información es ciertamente insustituible. Uno de los pasajes más curiosos de la obra es el que relata cómo, con una peana y dos carretes, Arquímedes se construyó una dioptra que le permitió establecer que el ángulo que ocupa el Sol en la eclíptica es «menor que una parte del recto dividido en 164 partes, pero mayor que una parte del recto dividido en 200 partes», aproximación más que razonablemente buena teniendo en cuenta la humildad de los medios empleados.

Un segundo pasaje digno de especial consideración es el relativo a Aristarco y su concepción heliocéntrica del mundo, pues es la única mención precisa y suficientemente amplia de esta hipótesis que encontramos en toda la literatura antigua, y la que le ha valido a Aristarco el sobrenombre de «el Copérnico de la Antigüedad»[3]. Arquímedes lo menciona para usar su teoría como recurso auxiliar: en su intención de sorprender al destinatario —y a sus restantes lectores potenciales— expresando un número verdaderamente muy elevado, no se conforma con el recuento de la arena de la Tierra, una vez colmados «todos los mares y las oquedades hasta una altura igual a la de las más altas montañas», sino que pretende dar el número de granos necesario para llenar el mundo. Los astrónomos de su tiempo llamaban «mundo» a la esfera que, con centro en el centro de la Tierra, tenía por radio la recta que iba del centro del Sol al centro de la Tierra; pero Arquímedes buscará un mundo de dimensiones mucho mayores que las generalmente admitidas por sus contemporáneos. Y aquí es donde entra la hipótesis de Aristarco: según él, los astros fijos y el Sol permanecían inmóviles, y la Tierra se desplazaba según una circunferencia con el Sol como centro; además, la esfera de los astros fijos, situada en torno al mismo centro que el Sol, era de un tamaño tal que el círculo por el que se desplazaba la Tierra guardaba con la distancia a los astros fijos una razón como la que guarda el centro de la esfera con su superficie.

La afirmación de que la órbita de la Tierra en torno al Sol guarda con la esfera de las estrellas fijas la misma proporción que el centro respecto a la esfera no es aceptable geométricamente, objeta Arquímedes: «puesto que el centro de la esfera no tiene ningún tamaño, tampoco cabe aceptar que guarde ninguna razón con la superficie de la esfera»; pero inmediatamente a continuación explica que el razonamiento de Aristarco se ha de interpretar en el sentido de que, «puesto que suponemos que la Tierra es como el centro del mundo, la razón que guarda la Tierra con lo que nosotros llamamos mundo es la misma razón que guarda la esfera en la que está el círculo según el cual se supone que la Tierra se desplaza con la esfera de los astros fijos». Por mucho que nos parezca hoy —como se lo parecía a los matemáticos antiguos— que la expresión es poco acertada, expresiones similares aparecen en las obras de Euclides, Gémino, Ptolomeo, Cleomedes y en el segundo presupuesto de la obra conservada de Aristarco, lo que nos hace pensar que se trataba de un «cliché» de los astrónomos antiguos, lo que explica que Arquímedes se avenga con tanta facilidad a aceptar un aserto matemáticamente improcedente.

La tercera información significativa que aporta la obra nos lleva a un terreno distinto del de la ciencia. Arquímedes nos transmite que un astrónomo, Fidias, había realizado observaciones y cálculos que le llevaron a afirmar que el diámetro del Sol era doce veces mayor que el de la Luna. La noticia podría no tener más interés si no fuera porque ese Fidias era el padre de Arquímedes[4], lo que nos permite comprender mejor el interés de Arquímedes por las cuestiones matemáticas y su presencia temporal en la Alejandría de vida científica animada por el Museo y sus ilustres visitantes.

ARENARIOII 216

I 1 Creen algunos, rey Gelón[1], que es infinito en cantidad el número de los granos de arena —me refiero no sólo a la que hay en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la de toda la Tierra 5 habitada y no habitada—. Y hay también algunos que suponen que no es que sea infinito, sino que no ha recibido nombre ninguna cifra tan elevada que exceda esta cantidad. 2 Está claro que quienes opinan así considerando la cantidad de granos de arena 10 reunida en un volumen tan grande como el volumen de la Tierra, si llenaran con él todos los mares y las oquedades de la Tierra hasta una altura igual a la de las más altas montañas, podrán aún mucho menos decir un número que exceda la magnitud de aquél.

16 3 Pero yo intentaré hacerte ver —mediante demostraciones geométricas que podrás comprender— que algunos de los números a los que he dado nombre y que he dado a conocer en los libros que dediqué a Zeuxipo superan no sólo el número de 20 granos de arena igual en magnitud a la Tierra colmada, como dijimos, sino también el de un volumen igual al mundo. 218

4 Te consta que la mayor parte de los astrónomos llaman «mundo» a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual a la recta que hay entre el centro del Sol y el 5 centro de la Tierra, pues eso ya lo has aprendido de las demostraciones escritas por los astrónomos.

Aristarco de Samos dio a conocer escritos con unas hipótesis en las que resulta, a partir de sus supuestos, que el mundo es múltiplo de lo recién indicado, 5 pues supone que los astros 11 fijos y el Sol permanecen inmóviles, y que la Tierra se desplaza según una circunferencia de círculo en torno al Sol, el cual está situado en el centro de su curso, y que la esfera de los astros fijos, 15 situada en torno al mismo centro que el Sol, es de un tamaño tal que el círculo según el cual supone que se desplaza la Tierra guarda con la distancia de los astros fijos una razón como la que guarda el centro de la esfera con su superficie.

20 6 Es más que evidente que esto es imposible: puesto que el centro de la esfera no tiene ningún tamaño tampoco cabe aceptar que guarde ninguna razón con la superficie de la esfera[2]. Pero hay que admitir que Aristarco razonó así: puesto que suponemos que la Tierra es como el centro del mundo, la razón que 25 guarda la Tierra con lo que nosotros llamamos mundo es la misma razón que guarda la esfera en la que está el círculo según el cual se supone que la Tierra se desplaza con la esfera de los astros fijos. Adapta las demostraciones de los fenómenos[3] a este supuesto y, sobre todo, resulta evidente que supone que la magnitud 30 de la esfera en la que hace que se mueva la Tierra es igual a lo que nosotros llamamos «mundo».

220 7 Afirmamos que, incluso si hubiera una esfera de arena tan grande en magnitud como Aristarco supone que es la esfera de las estrellas fijas, también así podremos demostrar que algunos de los números con nombre a los que hacíamos referencia al principio[4] 5 exceden en cantidad el número de granos de arena que contiene una magnitud igual a la de la esfera dicha, bajo los siguientes supuestos:

8 En primer lugar, que el perímetro de la Tierra es de 300 miríadas[5] de estadios y no mayor, aunque algunos[6] han intentado demostrar, como también tú sabes, que es de 30 miríadas de 10 estadios. Pero yo, yendo más allá y poniendo el tamaño de la Tierra en el décuplo de lo que opinaban mis predecesores, supongo que es de 300 miríadas de estadios y no más[7].

15 Después de esto, que el diámetro de la Tierra es mayor que el diámetro de la Luna y que el diámetro del Sol es mayor que el diámetro de la Tierra, asumiendo en esto igualmente lo mismo que la mayoría de los astrónomos anteriores.

9 Después de esto, que el diámetro del Sol es treinta veces mayor que el diámetro de la Luna y no más, aunque entre los 20 astrónomos anteriores Eudoxo hizo ver que era nueve veces mayor; Fidias, mi padre, que doce veces, y Aristarco intentó demostrar que el diámetro del Sol era más de dieciocho veces mayor 25 que el de la Luna, pero menor que veinte veces más[8]. Y yo, yendo también más allá que éste, para que quede demostrado lo 222 que propongo sin lugar a debate, supongo que el diámetro del Sol es treinta veces mayor que el diámetro de la Luna, y no más.

5 10 Además de esto, que el diámetro del Sol es mayor que el lado del polígono[9] de mil lados inscrito en un círculo máximo de los del mundo. Esto lo supongo tras haber descubierto Aristarco que el Sol se nos aparece como un setecientosveinteavo de un arco del Zodíaco y yo, tras reflexionar sobre esta observación 10 y recurriendo a instrumentos, intenté tomar del modo que sigue el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo. 11 Tomarlo de modo preciso no es fácil porque ni la vista ni las manos ni los instrumentos mediante los cuales ha de tomarse son fiables para mostrarlo con precisión.

15 Pero en el momento presente no es oportuno alargarse especialmente sobre estas cuestiones, puesto que cosas semejantes han sido señaladas repetidamente. Para la demostración de lo propuesto me basta con tomar un ángulo que no sea mayor que el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo y después 20 tomar otro ángulo que no sea menor que el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo.

12 Tras disponer una regla larga sobre una peana vertical situada en un lugar desde donde se pueda ver el Sol cuando está 25 a punto de levantarse y poner en pie sobre la regla un cilindrito torneado, inmediatamente después de la aparición del Sol[10], cuando éste está junto al horizonte y se puede mirar de frente, se vuelve la regla hacia el Sol y se coloca el ojo sobre el extremo de la regla. El cilindro, puesto entre el Sol y el ojo, tapa el 30 Sol. Apartando entonces[11] poco a poco el cilindro de la vista en el momento en que una pequeña parte del Sol empieza a 224 vislumbrarse por cada lado del cilindro, éste queda fijado. 13 Si entonces ocurre que la vista empieza a ver desde un punto, una vez trazadas rectas tangentes al cilindro desde el extremo de la regla en el lugar en que el ojo estaba fijado, el ángulo comprendido 5 por las rectas trazadas es menor que el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo, porque se ve un poco del Sol por cada lado del cilindro. Puesto que los rayos visuales ven no desde un punto, sino a partir de cierta magnitud, se toma una 10 magnitud redonda no menor que el ojo y poniendo la magnitud en el extremo de la regla en el lugar en que se había puesto el ojo, una vez trazadas rectas tangentes a la magnitud y al cilindro, el ángulo comprendido por las tangentes trazadas es menor 15 que el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo.

14 La magnitud que no es menor que el ojo se halla del modo siguiente: se toman dos cilindros finos del mismo grosor uno que otro, uno blanco y otro no, y se colocan ante el ojo —el blanco separado del ojo, el que no es blanco tan cerca del ojo 20 como sea posible, incluso tocando el rostro—. Si los cilindros tomados son más estrechos que el ojo, el cilindro más próximo es abarcado por el ojo y por detrás de él se ve el blanco: si son 25 mucho más estrechos, entero, y si no son mucho más estrechos, se ven algunas partes del cilindro blanco por cada lado del que está más cerca del ojo; y si estos cilindros se toman del tamaño adecuado, uno de ellos con su grosor tapa al otro y no más. La magnitud adecuada para el grosor de los cilindros que cumplen 226 este requisito no es menor que el ojo.

15 Y el ángulo que no es menor que el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo se toma así: si sobre la reglilla 5 se separa el cilindro del ojo de manera que el cilindro cubra la vista del Sol entero, una vez trazadas rectas tangentes al cilindro desde el extremo de la regla en el lugar en que estaba situado el 10 ojo, el ángulo comprendido por las rectas trazadas no es menor que el ángulo que ocupa el Sol y que tiene por vértice el ojo.

16 Midiendo un ángulo recto mediante los ángulos así tomados, el del vértice resultó menor que una parte de las 164 en que 15 quedaba dividido el recto, mientras que el ángulo menor era mayor que una parte de las 200 en que quedaba dividido el recto. Es evidente por tanto que el ángulo con vértice en el ojo que ocupa el Sol es menor que una parte del recto dividido en 164 partes, pero mayor que una parte del recto dividido en 200 partes[12].

21 17 Si se dan por confirmados estos datos, se demuestra que el diámetro del Sol es mayor que el lado del polígono de mil lados inscrito en el círculo máximo de los 〈de la esfera〉 del mundo.

25 Considérese trazado un plano que pase por el centro del Sol y el centro de la Tierra y por el ojo cuando el Sol está un poco por encima del horizonte, y corte al mundo el plano trazado según el círculo ΑΒΓ, y a la Tierra según el círculo ΔΕΖ, y al Sol según 228 el círculo ΣΗ, y sea Θ el centro de la Tierra y Κ el del Sol y sea Δ el ojo y desde Δ trácense las rectas ΔΛ, ΔΞ, tangentes al círculo 5 ΣΗ, y séanle tangentes en los puntos Ν y Τ, y desde Θ trácense las rectas ΘΜ, ΘΟ y séanle tangentes en Χ y Ρ, y corten las rectas ΘΜ, ΘΟ al círculo ΑΒΓ en los puntos Α y Β.

18 Entonces ΘΚ es mayor que ΔΚ, dado que se ha supuesto que el Sol está por encima del horizonte[13]. De modo que el ángulo comprendido por ΔΛ, ΔΞ es mayor que el ángulo 10 comprendido por las rectas ΘΜ, ΘΟ [Ópt. 24]. Por otro lado, el ángulo comprendido por ΔΛ, ΔΞ es mayor que un doscientosavo de un recto, pero menor que una parte de un ángulo recto dividido en 164 partes, pues es igual al ángulo con vértice en el ojo que ocupa el Sol. De modo que el ángulo comprendido por 15 ΘΜ, ΘΟ es menor que una parte del ángulo recto dividido en 164 partes, y la cuerda ΑΒ es menor que la cuerda que subtiende a un sector de la circunferencia del círculo ΑΒΓ dividida en 656 partes. 19 Y el perímetro de la figura poligonal indicada[14] 20 230 guarda con el radio del círculo ΑΒΓ una razón menor que la de 44 a 7, porque el perímetro de todo polígono inscrito en un círculo guarda con el radio una razón menor que la de 44 a 7 —ya sabes que hemos demostrado que la circunferencia de 5 todo círculo es mayor que el triple del diámetro más algo menos de la séptima parte [Med. círc. 3], y el perímetro del polígono inscrito es menor que ella [Esf. cil. I, corol. a los postulados]—; por tanto, ΒΑ guarda con ΘΚ una razón menor que la de 11 a 1148. 20 De modo que ΒΑ es menor que la centésima parte de 11 ΘΚ. Y el diámetro del círculo ΣΗ es igual a ΒΑ, porque ΦΑ, su mitad, es igual a ΚΡ —pues siendo iguales ΘΚ, ΘΑ, desde sus extremos se han trazado perpendiculares que subtienden el mismo ángulo.

15 Así pues, es evidente que el diámetro del círculo ΣΗ es menor que la centésima parte de ΘΚ. Y el diámetro ΕΘϒ es menor que el diámetro del círculo ΣΗ, puesto que el círculo ΔΕΖ es menor que el círculo ΣΗ [por hipót.]. Por tanto la suma de Θϒ, ΚΣ es menor que la centésima parte de ΘΚ. De modo que ΘΚ 20 guarda con ϒΣ una razón menor que la de 100 a 99. 21 Y puesto que ΘΚ no es menor que ΘΡ [Elem. III 8] mientras que Σϒ es menor que ΔΤ, entonces ΘΡ guardaría con ΔΤ una razón menor que la de 100 a 99. Y puesto que, siendo triángulos 25 rectángulos ΘΚΡ, ΔΚΤ, las rectas ΚΡ, ΚΤ son lados iguales, mientras que ΘΡ, ΔΤ son desiguales y ΘΡ es mayor, el ángulo 232 comprendido por ΔΤ, ΔΚ guarda con el ángulo comprendido por ΘΡ, ΘΚ una razón mayor que la de ΘΚ a ΔΚ, pero menor que la de ΘΡ a ΔΤ; —pues si los catetos[15] correspondientes de dos 5 triángulos rectángulos son iguales mientras que los otros son desiguales, el ángulo mayor de los adyacentes a los lados desiguales guarda con el menor una razón mayor que la mayor de las hipotenusas con la menor, pero menor que el cateto mayor con el cateto menor[16]—. 22 De modo que el ángulo comprendido por ΔΛ, ΔΞ guarda con el ángulo comprendido por ΘΟ,ΘΜ 11 una razón menor que ΘΡ con ΔΤ, la cual precisamente[17] guarda una razón menor que la de 100 a 99. De modo que también el ángulo comprendido por ΔΛ, ΔΞ guarda con el ángulo 15 comprendido por ΘΜ, ΘΟ una razón menor que la de 100 a 99.

Y puesto que el ángulo comprendido por ΔΛ, ΔΞ es mayor que la doscientosava parte de un recto, el ángulo comprendido por ΘΜ, ΘΟ sería mayor que 99 partes del recto dividido en 20 veinte mil; de modo que es mayor que una parte del recto dividido en 203. Por tanto la recta ΒΑ es mayor que la cuerda que subtiende a un sector de la circunferencia del círculo ΑΒΓ dividida en 812 partes.

25 Y el diámetro del Sol es igual a ΑΒ[18]; por tanto es evidente que el diámetro del Sol es mayor que el lado del polígono de mil lados.

II 1 Supuestos estos resultados, se demuestra también lo siguiente, que el diámetro del mundo es menor que el diámetro de la Tierra multiplicado por diez mil y también que el diámetro del mundo es menor que cien miríadas de miríadas de estadios30.

Dado que se ha supuesto que el diámetro del Sol no es mayor que treinta veces el diámetro de la Luna y que el diámetro 234 de la Tierra es mayor que el diámetro de la Luna, está claro que el diámetro del Sol es menor que treinta veces el diámetro de la Tierra.

5 A la vez, puesto que se ha demostrado que el diámetro del Sol es mayor que el lado del polígono de mil ángulos inscrito en un círculo máximo de los del mundo, está claro que el perímetro del polígono de mil lados indicado es menor que mil veces 10 el diámetro del Sol. Y el diámetro del Sol es menor que treinta veces el diámetro de la Tierra; de modo que el perímetro del polígono de mil lados es menor que treinta mil veces el diámetro de la Tierra. 2 Entonces, puesto que el perímetro del polígono de mil lados es menor que treinta mil veces el diámetro de la 15 Tierra, pero mayor que el triple del diámetro del mundo —pues se ha demostrado que el diámetro de todo círculo es menor que la tercera parte del perímetro de cualquier polígono, equilátero y de mayor número de ángulos que el hexágono, inscrito en el 20 círculo[19]—, el diámetro del mundo sería menor que diez mil veces el diámetro de la Tierra.

Por consiguiente se ha demostrado que el diámetro del mundo es menor que diez mil veces el diámetro de la Tierra.

3 A partir de ello está claro que el diámetro del mundo es menor que cien miríadas de miríadas de estadios.

25 Dado que se ha supuesto que el perímetro de la Tierra no es mayor que trescientas miríadas de miríadas de estadios y que el perímetro de la Tierra es mayor que el triple del diámetro por ser la circunferencia de cualquier círculo mayor que el triple del 30 diámetro, está claro que el diámetro de la Tierra es menor que cien miríadas de estadios. Puesto que el diámetro del mundo es menor 236 que 10.000 veces el diámetro de la Tierra, esta claro que el diámetro del mundo es menor que 100 miríadas de miríadas de estadios.

4 Respecto a las medidas y distancias, ésas son mis hipótesis, 5 y en cuanto a la arena, lo que sigue: si hay una magnitud no mayor que una semilla de adormidera compuesta de granos de arena, el número de éstos no será mayor que diez mil y el diámetro de la semilla de adormidera no será menor que un cuarentavo de pulgada[20].

10 Esto lo supongo atendiendo a la siguiente observación: sobre una regla pulida se dispusieron semillas de adormidera en línea recta en fila de a una y tocándose unas a otras y veinticinco semillas de adormidera ocuparon una longitud mayor que una pulgada. Poniendo que el diámetro de la semilla de adormidera es menor, tomo como hipótesis que es un cuarentavo de pulgada y no menor, y con ello pretendo demostrar lo 15 propuesto sin lugar a discusión.

III 1 Hasta aquí lo que admito como hipótesis. Pero supongo que también es útil que hable sobre la denominación de los números —entre otras cosas, para que no se pierdan los que no han tenido acceso al libro que dediqué a Zeuxipo por no haberse 20 dicho de antemano en este libro nada sobre esa cuestión—. 2 Ocurre, en efecto, que los nombres de los números que nos han sido transmitidos llegan hasta las miríadas y por encima de las miríadas sabemos decir un número hasta las miríadas de 25 miríadas. Llámese pues primeros a los números indicados hasta la miríada de miríadas.

La miríada de miríadas de los números primeros llámese unidad de los números segundos, y cuéntense las unidades 238 de 〈números〉 segundos y, a partir de las unidades, las decenas, centenas y millares y miríadas hasta las miríadas de miríadas[21].

De nuevo, a la miríada de miríadas de los números segundos 5 llámesela unidad de los números terceros, y cuéntense las unidades de los números terceros y, a partir de las unidades, las decenas, centenas, millares y miríadas hasta las miríadas de miríadas.

3 Del mismo modo, llámese también unidad de los números cuartos a la miríada de miríadas de los números terceros, y a las 10 miríadas de miríadas de números cuartos llámeselas unidad de los números quintos, y avanzando así sucesivamente tengan los números nombres que lleguen hasta las miríadas de miríadas de los números del ordinal correspondiente a la miríada de miríadas[22].

Conocidos también hasta ese punto los números, cabe avanzar 16 aún más: 4 llámese a los números indicados hasta ahora «del primer período», y llámese al último número del primer período unidad de los números primeros del segundo período; y de nuevo, llámese unidad de los números segundos del segundo período a la miríada de miríadas de los números primeros del segundo 21 período. De modo semejante, también al último número de éstos llámesele unidad de los números terceros del segundo período y así sucesivamente, según avanzan los números tengan los nombres del segundo período hasta las miríadas de miríadas de 25 números del ordinal correspondiente a la miríada de miríadas. De nuevo, al último número del segundo período llámesele unidad del tercer período, y así sucesivamente avanzando hasta las miríadas de miríadas de los números del ordinal de la miríada de miríadas del período de la posición de la miríada de miríadas.

240 5 Una vez que éstos han recibido nombre de este modo, si no hay números dispuestos en proporción sucesivamente a partir de la unidad, y el inmediato a la unidad es la decena, los ocho primeros de ellos junto con la unidad pertenecerán a los llamados primeros números; los otros ocho siguientes a éstos, a los 5 llamados segundos, y los demás, según el mismo sistema que éstos, pertenecerán a los denominados con el nombre correspondiente a la distancia entre la octada de sus números y la primera octada de números.

10 El octavo número de la primera octada de números es mil miríadas, y el primero de la segunda octada, puesto que es el décuplo del anterior, será diez mil miríadas: éste es la unidad de los números segundos. Y el octavo de la segunda octada es mil miríadas de números segundos. De nuevo, el primero de la tercera octada, puesto que es el décuplo del anterior a él, será diez 15 mil miríadas de los números segundos. Y éste es la unidad de los números terceros. Y es evidente que las octadas de cualquier magnitud serán como se ha dicho.

20 6 Y es útil conocer también lo siguiente:

Si habiendo números en proporción a partir de la unidad se multiplican entre sí algunos de la misma serie proporcional, el resultado pertenecerá a la misma serie proporcional y distará del mayor de los factores cuanto dista de la unidad en la serie 25 proporcional el menor de los factores, pero de la unidad distará uno menos que el número suma de los que separan a los factores de la unidad[23].

242 7 Sean Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι, Κ, Λ ciertos números en proporción a partir de la unidad y sea Α la unidad y multiplíquese Δ por Θ y sea Χ el resultado. Tómese de la serie en proporción Λ que diste de Θ tantos elementos cuantos dista Δ de la unidad.

5 Se ha de demostrar que Χ es igual a Λ.

Puesto que, habiendo números en proporción, Δ dista de Α lo mismo que Λ de Θ, el número Δ guarda con Α la misma razón que Λ con Θ; por otra parte, Δ es el Δ-múltiplo de Α; luego Λ es el Δ-múltiplo de Θ; de modo que Λ es igual a Χ.

11 8 Está claro por tanto que el resultado pertenece a la proporción y que dista del mayor de los factores los mismos elementos que dista el menor de la unidad.

Y es evidente también que dista de la unidad uno menos del 15 número suma de ambos (de los que distan de la unidad Δ y Θ). Pues Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ son tantos elementos cuantos dista Θ de la unidad, mientras que Ι, Κ, Λ son uno menos de los que dista Δ de la unidad. Pues junto con Θ son otros tantos.

21 IV 1 Supuesto lo primero y demostrado lo segundo, se demostrará lo propuesto[24].

Dado que se ha supuesto que el diámetro de la semilla de adormidera no es menor que un cuarentavo de pulgada, está claro que una esfera que tenga por diámetro una pulgada no es 25 mayor que como para contener sesenta y cuatro mil semillas de adormidera; pues es múltiplo el número 〈de veces〉 dicho de la 244 esfera que tiene por diámetro un cuarentavo de pulgada —pues ya se ha demostrado que las esferas guardan entre sí una razón que es la de los cubos de sus diámetros—. 2 Dado que se ha supuesto que el número de granos de arena que caben en el tamaño de una semilla de adormidera no es superior a diez mil, está claro que si se llenara de granos de arena una esfera que 5 tuviera una pulgada de diámetro, el número de granos de arena no sería mayor que diez mil por sesenta y cuatro mil. Y este número es 6 unidades de los números segundos y cuatro mil miríadas de los primeros. Por tanto es menor que 10 unidades 10 de los números segundos.

La esfera de 100 pulgadas de diámetro es múltiplo 100 miríadas de veces de la esfera de una pulgada de diámetro —por guardar entre sí las esferas una razón que es el cubo de la de sus diámetros—. Así que, si hubiera una esfera de arena del tamaño 15 de una esfera de 100 pulgadas de diámetro, está claro que el número de granos de arena será menor que el número resultante de multiplicar las diez unidades de números segundos por cien miríadas.

21 3 Puesto que las diez unidades de números segundos es el décimo número proporcional a partir del primero en la proporción en la que cada término es el décuplo del anterior, mientras que las cien miríadas son el séptimo término a partir de la unidad en esa misma serie proporcional, está claro que el número resultante será el décimo sexto de esa serie proporcional a partir de la unidad —pues se ha demostrado que dista de la unidad uno 25 menos que el número suma de los que distan de la unidad los factores.

246 De estos dieciséis, los ocho primeros junto con la unidad pertenecen a los llamados primeros; los ocho siguientes, a los segundos, y el último de ellos es mil miríadas de números segundos.

Es evidente por tanto que la cantidad de granos de arena que ocupan una magnitud igual a una esfera que tenga 100 5 pulgadas de diámetro es menor que mil miríadas de números segundos.

4 De nuevo, la esfera que tiene diez mil pulgadas de diámetro es múltiplo 100 miríadas de veces de la esfera que tiene 10 100 pulgadas de diámetro. Así que, si hubiera una esfera de arena del tamaño de una esfera que tuviera de diámetro diez mil pulgadas, está claro que el número de granos de arena sería menor que el resultado de multiplicar las mil miríadas de números 15 segundos por 100 miríadas.

Y puesto que las mil miríadas de números segundos son el número décimo sexto a partir de la unidad en la serie proporcional, mientras que las 100 miríadas son el séptimo a partir de la unidad en esa misma serie proporcional, está claro que el resultado será el vigésimo segundo elemento a partir de la unidad de los de esa misma serie proporcional.

20 5 De estos veintidós, los ocho primeros junto con la unidad pertenecen a los llamados primeros; los ocho que siguen a estos, a los llamados segundos y los seis restantes a los llamados terceros; y el último de ellos es diez miríadas de los números terceros.

25 Está claro que la cantidad de granos de arena de una magnitud igual a una esfera de diez mil pulgadas de diámetro es inferior a 10 miríadas de números terceros. Y puesto que la esfera de 30 un estadio de diámetro es menor que la esfera de diez mil pulgadas de diámetro[25], también es evidente que la cantidad de granos de 248 arena que ocupa una magnitud igual a la esfera de un estadio de diámetro es inferior a 10 miríadas de números terceros.

6 De nuevo, la esfera que tiene 100 estadios de diámetro es múltiplo 100 miríadas de veces de la esfera que tiene de diámetro 5 un estadio. Si hubiera una esfera de arena del tamaño de una esfera de 100 estadios de diámetro, está claro que el número de granos de arena será inferior al número resultante de multiplicar 10 las diez miríadas de números terceros por 100 miríadas.

Y puesto que las diez minadas de números terceros son el término vigésimo segundo de la serie proporcional a partir de la unidad, mientras que las 100 miríadas son el séptimo término a partir de la unidad en la misma serie proporcional, está claro que el resultado será el vigésimo octavo a partir de la unidad en la misma serie proporcional.

16 7 De estos veintiocho, los ocho primeros junto con la unidad pertenecen a los llamados primeros, mientras que los otros ocho siguientes a éstos, a los segundos, y los ocho que siguen a éstos a los terceros, y los cuatro restantes a los llamados cuartos; y el último de ellos es mil unidades de números cuartos20.

Está claro por tanto que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a la esfera de 100 estadios de diámetro es inferior a mil unidades de los números cuartos.

8 De nuevo, la esfera que tiene diez mil estadios de diámetro es múltiplo 100 miríadas de veces de la esfera que tiene 100 25 estadios de diámetro. Si hubiera una esfera de arena del tamaño de una esfera de diez mil estadios de diámetro, está claro que la cantidad de granos de arena será inferior al número resultante 30 de multiplicar las mil unidades de los números cuartos por 100 miríadas.250

Como las mil unidades de números cuartos son el término vigésimo octavo a partir de la unidad en la serie proporcional, mientras que las cien miríadas son el séptimo a partir de la unidad en la misma serie proporcional, está claro que el resultado será el trigésimo cuarto elemento a partir de la unidad de esa 5 misma serie proporcional.

9 De estos treinta y cuatro elementos, los ocho primeros con la unidad pertenecen a los números primeros; los siguientes ocho a los segundos y los otros ocho después de éstos a los terceros y los ocho después de éstos a los cuartos, y los dos 10 restantes pertenecerán a los llamados quintos; y el último de ellos es diez unidades de números quintos.

Por tanto es evidente que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a la de la esfera de diez mil estadios 15 de diámetro será inferior a diez unidades de números quintos.

10 De nuevo, la esfera de 100 miríadas de estadios de diámetro es múltiplo 100 miríadas de veces de la esfera de diez mil estadios de diámetro. Si hubiera una esfera de granos de arena 20 del tamaño de una esfera de 100 miríadas de estadios de diámetro, es evidente que el número de granos de arena será inferior al número resultante de multiplicar las diez unidades de números quintos por cien miríadas.

25 Y puesto que las diez unidades de números quintos son el trigésimo cuarto elemento a partir de la unidad en esta serie proporcional mientras que las 100 miríadas son el séptimo elemento a partir de la unidad en la misma serie proporcional, está claro que el resultado será el cuadragésimo elemento a partir de la unidad en esta misma serie proporcional.

30 11 De estos cuarenta elementos, los ocho primeros junto con la unidad pertenecen a los llamados números primeros; los 252 otros ocho después de éstos, a los segundos y los otros ocho después de éstos a los terceros y los ocho de después de los terceros a los cuartos, y los ocho después de éstos a los llamados quintos; y el último de ellos son mil miríadas de números quintos.

5 Es evidente por tanto que el número de granos de arena que ocupa una magnitud igual a la esfera de 100 decenas de miles de estadios de diámetro es inferior a mil miríadas de números quintos.

12 Y la esfera de una miríada de miríadas de estadios de 10 diámetro es múltiplo cíen miríadas de veces de la esfera de 100 miríadas de estadios de diámetro. Si hubiera una esfera de arena del tamaño de una esfera de una miríada de miríadas de estadios de diámetro, está claro que la cantidad de granos de arena será 15 inferior al número resultante de multiplicar las mil miríadas de números quintos por cien miríadas.

Y puesto que las mil minadas de números quintos es el cuadragésimo elemento proporcional a partir de la unidad, mientras que las cien miríadas es el séptimo a partir de la unidad en esa misma serie proporcional, está claro que el resultado será el 20 cuadragésimo sexto elemento a partir de la unidad.

13 De estos cuarenta y seis, los ocho primeros junto con la unidad pertenecen a los llamados números primeros; los ocho después de éstos, a los segundos y los otros ocho después de éstos, a los terceros y los otros ocho después de los terceros, a 25 los cuartos y los ocho después de los cuartos, a los quintos y los seis restantes pertenecen a los llamados sextos. Y el último de ellos es diez miríadas de números sextos.

Es evidente por tanto que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a la esfera de una miríada de miríadas 30 de estadios de diámetro es inferior a 10 miríadas de 254 números sextos.

14 Y la esfera de 100 miríadas de miríadas de estadios de diámetro es múltiplo 100 miríadas de veces de la esfera de diez mil miríadas de estadios de diámetro. Así que, si hubiera una 5 esfera de granos de arena del tamaño de una esfera de 100 miríadas de miríadas de estadios, está claro que la cantidad de granos de arena será inferior al número resultante de multiplicar las 10 miríadas de números sextos por 100 miríadas10.

Y puesto que las diez miríadas de números sextos son el cuadragésimo sexto elemento proporcional a partir de la unidad, mientras que las 100 miríadas son el séptimo elemento a partir de la unidad en esa misma serie proporcional, está claro que el resultado será el quincuagésimo segundo elemento a partir de la unidad en esa misma serie proporcional.

16 15 De estos cincuenta y dos, los cuarenta y ocho junto con la unidad son los llamados primeros, segundos, terceros, cuartos, quintos y sextos, y los cuatro restantes pertenecen a los llamados séptimos, y el último de ellos son mil unidades de los 20 números séptimos.

Está claro por tanto que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a la esfera de cien miríadas de miríadas de estadios de diámetro es inferior a 1.000 unidades de números séptimos.

16 Puesto que se ha demostrado que el diámetro del mundo 25 es menor que diez mil veces 100 miríadas de estadios, está claro también que la cantidad de granos de arena que ocupa un volumen igual al mundo es inferior a 1.000 unidades de números séptimos.

Por tanto, ha quedado demostrado que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a lo que la mayor 30 parte de los astrónomos llaman mundo es inferior a 1.000 unidades de números séptimos.

256 Y se demostrará también que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a una esfera del tamaño de la que Aristarco supone para la esfera de las estrellas fijas es inferior a mil miríadas de números octavos.

5 17 Dado, por una parte, que supone que la Tierra guarda con lo que llamamos mundo la misma razón que la que guarda el indicado mundo con la esfera de las estrellas fijas que Aristarco propone como hipótesis, y que los diámetros de las esferas guardan 10 entre sí la misma razón; y que, por otra parte, se ha demostrado que el diámetro del mundo es menos de diez mil veces el diámetro de la Tierra, entonces es evidente también que el diámetro de la esfera de las estrellas fijas es menor que el diámetro del mundo multiplicado por diez mil. 18 Y puesto que las esferas 15 guardan entre sí una razón que es el cubo de la de sus diámetros, está claro que la esfera de los astros fijos que Aristarco propone como hipótesis es menor que una miríada de miríadas de veces el mundo multiplicado por diez mil. Y se ha demostrado que la cantidad de granos de arena que contiene una magnitud igual al 20 mundo es inferior a 1.000 unidades de números séptimos.

Está claro que si hubiera una esfera de granos de arena del tamaño de la que Aristarco supone para la esfera de los astros fijos, el número de granos de arena será inferior al número resultante de multiplicar las mil unidades[26] por la miríada de miríadas multiplicada por diez mil.

26 19 Y puesto que las 1.000 unidades de números séptimos son el quincuagésimo segundo elemento proporcional a partir de la unidad, mientras que la miríada de miríadas multiplicada por diez mil es el décimo tercer elemento a partir de la unidad en esa misma serie proporcional, está claro que el resultado será el sexagésimo cuarto elemento a partir de la unidad de esa 30 misma serie proporcional; y éste es el octavo de los números octavos, que sería mil miríadas de números octavos.258

Es evidente por tanto que la cantidad de granos de arena que ocupa una magnitud igual a la esfera de los astros fijos que Aristarco supone como hipótesis es inferior a 1.000 miríadas de números octavos.

5 20 Y esto, rey Gelón, supongo que no le parecerá fácilmente creíble al vulgo, que no ha tenido contacto con las matemáticas, pero a quienes han participado de ellas y han reflexionado sobre las distancias y tamaños de la Tierra y el Sol y la Luna y el mundo entero les resultará creíble gracias a la demostración10.

Por eso precisamente pensé que tampoco a ti dejaría de convenirte conocer estos resultados.

CUADRATURA DE LA PARÁBOLA

INTRODUCCIÓN

Entre las líneas de investigación seguidas por los matemáticos griegos, una de las que más ocasiones les dio para hacer brillar sus talentos fue, sin duda, la relacionada con la medida de las superficies y volúmenes delimitados total o parcialmente por curvas. Esto queda puesto de relieve por hechos como la posición preeminente que la cuadratura del círculo ocupa entre los problemas clásicos de la matemática griega o a la vista de la temática de las obras geométricas de Arquímedes: la medida del círculo, la esfera y el cilindro, conoides y esferoides, la medida de la parábola, las espirales. Cuando Arquímedes, según los relatos de Plutarco y Cicerón[1], pidió que figurara en su tumba la relación entre el cilindro y la esfera inscrita en él (uno de los principales resultados del tratado Sobre la esfera y el cilindro), nos da otra muestra de ello.

Y es que todos los intentos de medir o «cuadrar» superficies y volúmenes delimitados por curvas anteriores a Arquímedes habían obtenido hasta entonces resultados insuficientes. El propio Arquímedes nos hace, con su siempre sorprendente concisión, un resumen de esos resultados en la carta a Dosíteo que precede a este tratado: se había conseguido demostrar «que los círculos guardan entre sí una razón que es el cuadrado de la de sus diámetros y que las esferas guardan entre sí una razón que es el cubo de la de sus diámetros… y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cilindro e igual altura»[2], pero se había fracasado en «demostrar que era posible hallar un área rectilínea igual a un círculo dado o a un segmento dado de círculo»; y lo que es más: Arquímedes no tiene noticia de que «ninguno de los de antes intentara cuadrar el segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo». Y ese descubrimiento es el que comunica en este tratado: «todo segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura que el segmento». Éste fue el primero de los resultados que obtuvo gracias a su afamado método mecánico y Arquímedes debía de sentir un aprecio especial por él, pues lo hace constar dos veces en su correspondencia, una vez en esta carta a Dosíteo y otra en la carta a Eratóstenes que precede al Método

Ésa es probablemente la razón de que Arquímedes incluya en esta obra tanto el procedimiento mecánico como la demostración geométrica pertinente, y eso es lo que da un carácter especial a la Cuadratura de la parábola, que es, junto con el Método, la obra de Arquímedes que más de cerca nos permite seguir el hilo de su pensamiento.

El tratado se abre con la exposición de ciertas propiedades de la parábola (props. 1-5)[3], a las que sigue el tratamiento mecánico de la cuestión (props. 6-17). En estas proposiciones recurriendo a teoremas ya probados en otros estudios sobre mecánica[4] va estudiando el equilibrio de triángulos rectángulos, triángulos obtusángulos y trapecios con otras magnitudes dadas (props. 9-13); estudia a continuación las condiciones de equilibrio de un triángulo rectángulo que comprende un segmento parabólico —el triángulo tiene la misma base que el segmento, la altura paralela al eje del segmento y tangente al segmento en uno de los extremos de su base y la hipotenusa tangente al segmento en el otro extremo de su base— con los trapecios construidos, según ciertos requerimientos, sobre segmentos iguales de la base del segmento parabólico, y llega a la conclusión de que el triángulo rectángulo en cuestión es inferior al triple de la suma de los trapecios considerados (prop. 14); en la prop. 15 hace un estudio semejante, pero con el segmento parabólico comprendido ahora por un triángulo obtusángulo, y llega de nuevo a la conclusión de que el triángulo es inferior al triple de la suma de los trapecios considerados; en la prop. 16 pasa a estudiar el equilibrio del segmento de parábola situado en el interior de un triángulo rectángulo como en la proposición 14 con un área igual a la tercera parte del triángulo rectángulo considerado, y llega a la conclusión de que el segmento parabólico y el área indicada se equilibrarían. El sistema seguido por Arquímedes hasta aquí parece un recurso al método de ensayo y error del que sólo se nos dieran a conocer los ensayos acertados.

A continuación, tomando como base cierta los resultados obtenidos —a pesar de ser consciente de que son matemáticamente insuficientes— la proposición 17, última de la primera parte, discurre ya por el camino geométrico: en ella prueba, sin recurrir a balanzas ni equilibrios, que el triángulo construido como en las proposiciones 14 y 16 es el cuádruple del triángulo inscrito en el segmento parabólico con la misma base que el segmento y la misma altura. Con ello queda alcanzado el resultado de la investigación, y puede iniciar la demostración sabiendo cuál es la tesis a la que se debe encaminar, tal y como él mismo lo cuenta en la carta que precede al Método: «Algunas de las cosas que primero se me mostraron por medio de la mecánica luego las demostré por medio de la geometría, porque la teoría por este método carece de demostración; y es más fácil avanzar en la demostración de los hallazgos mediante cierto conocimiento gracias a este método que hacer la investigación sin conocer nada».

Así, al final de esta proposición aparecen las definiciones de los conceptos de base, altura y vértice del segmento parabólico, que encabezan la parte propiamente geométrica del tratado, las props. 18-24.

Con la economía de medios que le caracteriza y en un camino aparentemente zigzagueante, en ellas resuelve la determinación del vértice del segmento (prop. 18); demuestra que la longitud de la recta trazada en el segmento parabólico desde el punto medio de la base hasta la parábola es cuatro tercios de la trazada desde el punto medio de la mitad (prop. 19); que el triángulo inscrito en el segmento, con su misma base y altura, es mayor que la mitad del segmento (prop. 20); que el triángulo inscrito en el segmento del modo indicado es el óctuplo de cada uno de los triángulos inscritos de modo semejante en los segmentos que deja a su alrededor (prop. 21); en la prop. 22 demuestra que si en el segmento parabólico se disponen áreas sucesivamente en la razón de cuatro a uno y la mayor de las áreas es igual al triángulo que tiene la misma base que el segmento y la misma altura, la suma de todas las áreas será menor que el segmento[5]; en la prop. 23 prueba que el resultado de la suma de una serie de elementos en la proporción de cuatro a uno más la tercera parte de la menor es cuatro tercios de la mayor y en la prop. 24 alcanza la demostración del resultado anticipado en la prop. 18.

El texto conserva el dialecto dorio de Arquímedes, mas no sucede así con el título —Eutocio lo cita en sus Comentarios llamándolo Sobre la sección del cono rectángulo[6]—, que debió de ser alterado en algún momento de la transmisión adaptándolo a la terminología acuñada por Apolonio. Para referirse a la parábola Arquímedes usa a lo largo de toda la obra la expresión orthogoníou kónou tomá («sección del cono rectángulo»), y hemos optado por conservar el arcaísmo terminológico dado que su uso no estorba la comprensión del texto[7]. Para el título conservamos el término empleado en griego por respeto al original y a la tradición de los traductores anteriores.

Arquímedes a Dosíteo, ¡salud! II 262

Al oír que había muerto Conón, cuya amistad nunca me faltó, y que tú habías conocido a Conón y que estabas familiarizado 5 con la geometría, me entristecí por el difunto en su calidad de amigo y de hombre que ha llegado a ser admirable en matemáticas, y me propuse enviarte por escrito, igual que solía escribir a Conón, teoremas matemáticos que antes no habían sido 10 estudiados, pero que ahora han sido estudiados por mí, habiéndolos descubierto primero mediante el método mecánico y habiéndolos demostrado después por el método geométrico.

Algunos de los que se ocuparon de la geometría en fechas anteriores intentaron demostrar que era posible hallar un área 15 rectilínea igual a un círculo dado o a un segmento dado de círculo, y después de eso intentaron cuadrar el área comprendida por una sección cónica en general[1] y una recta, pero aceptaron 264 lemas[2] difícilmente admisibles, por lo cual la mayoría consideró que no lo habían descubierto.

Desde luego[3], no sabemos de ninguno de los de antes que intentara cuadrar el segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo[4], que es lo que yo ahora he descubierto. 5 Se demuestra que todo segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura que el segmento, aceptando para la demostración el siguiente lema: en las 10 superficies desiguales, es posible que el exceso en que excede la mayor a la menor, si se va sumando a sí mismo, exceda a cualquier área limitada propuesta. También los geómetras anteriores utilizaron este lema, y demostraron que los círculos guardan entre sí una razón que es la de los cuadrados construidos 15 sobre sus diámetros y que las esferas guardan entre sí una razón que es la de los cubos construidos sobre sus diámetros, y también que toda pirámide es la tercera parte del prisma que 20 tiene la misma base que la pirámide e igual altura. Y que todo cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base que el cilindro e igual altura lo demostraron admitiendo un lema semejante al mencionado. Y ocurre que se da crédito a cada uno de los teoremas antedichos no menos que a los que se demuestran sin este lema. Basta, pues, con que los que publico sean 25 llevados a un grado de credibilidad semejante.

266 Tras redactar la demostración de éste, te lo envío primero como fue resuelto mediante la mecánica, y después también como se demuestra mediante la geometría. Van al principio también algunos puntos elementales de cónicas[5] que son necesarios para la demostración.

Que sigas bien.

PROPOSICIÓN 15

Si hay una sección de un cono rectángulo, en la que figura ΑΒΓ. y ΒΔ es paralela al diámetro[6] o el propio diámetro y la recta ΑΓ es paralela a la tangente en Β a la sección, ΑΔ será igual a ΑΓ Y si ΑΔ es igual a ΑΓ, 10 serán paralelas ΑΓ y la tangente en Β a la sección [Apolonio, Cónicas I 46].

PROPOSICIÓN 2

Sí ΑΒΓ es una sección de cono rectángulo y la recta ΒΔ es paralela al 15 diámetro o el propio diámetro y ΑΔΓ es paralela a la tangente en Β a la sección cónica, y ΕΓ es tangente 20 a la sección cónica en Γ las rectas ΒΔ, ΒΕ serán iguales

[Apol., Cón. 135].

PROPOSICIÓN 3

Si ΑΒΓ es una sección de cono rectángulo y la recta ΒΔ es paralela al diámetro o el propio diámetro y se trazan unas rectas ΑΔ, ΕΖ 268 paralelas a la tangente en Β ala sección del cono, ΒΔ será a ΒΖ como el cuadrado de ΑΔ al cuadrado de ΕΖ [Apol., Cón. I 20].

Estas cosas se demuestran en los Elementos de Cónicas.

PROPOSICIÓN 4

5 Sea ΑΒΓ un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo y desde el punto medio de ΑΓ trácese ΒΔ paralela al diámetro o sea ella misma el diámetro, y prolónguese la recta ΒΓ una vez trazada.

Si se traza otra recta ΖΘ paralela a ΒΔ que corte a la recta que pasa por Β, Γ, guardará la misma razón ΖΘ con ΘΗ que ΔΑ 10 con ΔΖ.

Trácese ΚΗ paralela a ΑΓ por el punto Η. Entonces ΒΔ será a ΒΚ en longitud como el cuadrado de ΔΓ al cuadrado de ΚΗ —pues esto se ha demostrado [Prop. 3]—. Por tanto, ΒΓ será a 15 ΒΙ en longitud como el cuadrado de ΒΓ al cuadrado de ΒΘ —pues ΔΖ, ΚΗ son iguales—. Por tanto las líneas ΒΓ, ΒΘ, ΒΙ están en proporción. De modo que ΒΓ guarda con ΒΘ la misma razón que ΓΘ con ΘΙ. Por tanto, ΓΔ es a ΔΖ como ΘΖ a ΘΗ. Y 270 ΔΑ es igual a ΔΓ.

Por tanto es evidente que ΔΑ guarda con ΔΖ la misma razón que ΖΘ con ΘΗ.

PROPOSICIÓN 5

5 Sea un segmento ΑΒΓ comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo, y desde Α trácese ΖΑ paralela al diámetro y desde Γ trácese ΓΖ tangente a la sección cónica en el punto Γ. Si en el triángulo ΖΑΓ se trazara una recta paralela a ΑΖ, la recta será cortada por la 10 sección del cono rectángulo en la misma razón que ΑΓ por la recta trazada, y el segmento de ΑΓ que está junto a Α se corresponderá con el segmento de la recta trazada que está junto a Α.

Trácese una recta ΔΕ paralela a ΑΖ, y corte primero ΔΕ a ΑΓ por la mitad15.

Puesto que ΑΒΓ es una sección de un cono rectángulo y ΒΔ ha sido trazada paralela al diámetro y dado que ΑΔ, ΔΓ son iguales, la tangente en Β a la sección del cono rectángulo será paralela a ΑΓ. A la 20 vez, puesto que ΔΕ es paralela al diámetro y dado que desde Γ 25 se ha trazado ΓΕ tangente a la sección del cono rectángulo en el punto Γ, mientras que ΔΓ es paralela a la tangente en Β, la recta ΕΒ será igual a ΒΔ. De modo que ΑΔ guarda con ΔΓ la misma razón que ΔΒ con ΒΕ.

Ha quedado demostrado el caso de que la recta trazada corte por la mitad a ΑΓ.

272 Y si no es así, trácese otra recta ΚΛ paralela a ΑΖ.

Se ha de demostrar que ΑΚ guarda la misma razón con ΚΓ que ΚΘ con ΘΛ.

Puesto que ΒΕ es igual a ΒΔ, también ΙΛ es igual a ΚΙ, pues 5 ΛΚ guarda con ΚΙ la misma razón que ΑΓ con AA. Y también KΙ guarda con ΚΘ la misma razón que ΔΑ con ΑΚ —pues se ha demostrado en la proposición anterior—. De modo que ΚΘ guarda con ΘΛ la misma razón que ΑΚ con ΚΓ.

Por tanto, ha quedado demostrado lo propuesto.

PROPOSICIÓN 610

Considérese el plano[7] propuesto[8] perpendicular al horizonte[9], y[10] de la línea ΑΒ considérese hacia abajo la parte que está 15 hacia el lado de Δ, y la del otro lado, hacia arriba, y sea un triángulo rectángulo ΒΔΓ con el ángulo recto con vértice en Β y el lado ΒΓ igual a la mitad de la balanza[11], y suspéndase el triángulo de los puntos Β, Γ y suspéndase otra área Ζ de la otra parte 20 de la balanza, del punto Α, y quede en equilibrio el área Ζ colgada del punto Α con el triángulo ΒΔΓ en la posición en que está ahora.

Afirmo que el área Ζ es la tercera parte del triángulo ΒΔΓ.

Dado que se ha supuesto que la balanza está en equilibrio, la línea ΑΓ sería paralela al horizonte 25 y las rectas trazadas perpendiculares a ΑΓ en el plano perpendicular al horizonte serán 274 perpendiculares al horizonte. Córtese la línea ΒΓ por el punto Ε de modo que ΓΕ sea el doble de ΕΒ y trácese la recta ΚΕ paralela a Β y córtesela por la mitad por el punto Θ. Entonces el punto Θ es el centro de gravedad del triángulo 5 ΒΔΓ —eso se ha demostrado en la Mecánica[12]—. Por tanto, si se soltara la sujeción del triángulo ΒΔΓ en los puntos 10 Β, Γ y se colgara del punto Ε, el triángulo permanecerá como está. Pues todo objeto colgado permanece en el punto en que está colgado de modo que el punto de suspensión y el centro 15 de gravedad del objeto colgado estén en perpendicular —pues esto también se ha demostrado[13]—. Así pues, dado que el triángulo ΒΔΓ tendrá la misma posición en la balanza, el área Ζ estará igualmente en equilibrio. Puesto que el área Ζ colgada del punto Α y el triángulo ΒΔΓ colgado de Ε están en equilibrio, es evidente que las longitudes[14] estarán en proporción inversa y que 20 ΑΒ es a ΒΕ como el triángulo ΒΔΓ al área Ζ. Y ΑΒ es el triple de ΒΕ; luego también el triángulo ΒΔΓ es el triple del área Ζ.

Y es evidente también que guardarán el equilibrio si el triángulo ΒΔΓ fuera el triple del área Ζ25.

PROPOSICIÓN 7

Sea de nuevo la línea ΑΓ una balanza y sea Β su punto medio, y esté suspendida del punto Β[15], y sea ΓΔΗ un triángulo 30 obtusángulo que tenga por base ΔΗ y por altura una recta igual 276 a la mitad de la balanza, y cuélguese el triángulo ΔΓΗ de los puntos ΒΓ, y esté en equilibrio el área Ζ colgada del punto Α con el triángulo ΓΔΗ en la posición que ocupa ahora.

De la misma manera se 5 demostrará que el área Ζ es la tercera parte del triángulo ΓΔΗ.

Cuélguese también del punto Α otra área que sea la tercera parte del triángulo ΒΓΗ y el triángulo ΒΔΓ estará en equilibrio 10 con ΖΛ. Puesto que el triángulo ΒΓΗ se equilibra con Λ, mientras que el ΒΓΔ se equilibra con ΖΛ, y ΖΛ es la tercera parte del triángulo ΒΓΔ, está claro también que el triángulo ΓΔΗ es el triple de Ζ.

PROPOSICIÓN 8 15

Sea ΑΒΓ una balanza y Β su punto medio, y esté suspendida del punto Β, y sea ΓΔΕ un triángulo rectángulo que tenga recto el ángulo de vértice en Ε, y cuélguese en la balanza de los puntos 20 Γ, Ε, y el área Ζ cuélguese del punto Α y esté en equilibrio con ΓΔΕ en la posición que ocupa ahora, y guarde el triángulo ΓΔΕ con el área Κ la razón que guarda ΑΒ con ΒΕ.

Digo que el área Ζ es menor que el triángulo ΓΔΕ pero mayor que Κ.

25 Tómese el centro de gravedad del triángulo ΔΕΓ y sea Θ, y trácese ΘΗ paralela a ΔΕ.

Puesto que el triángulo ΓΔΕ está en equilibrio con el área Ζ, guarde el área ΓΔΕ con el área Ζ la misma razón que ΑΒ con ΒΗ. 278

De manera que Ζ es menor que ΓΔΕ. Y puesto que el triángulo ΓΔΕ guarda con Ζ la misma 5 razón que ΒΑ con ΒΗ y con Κ la misma que ΒΑ con ΒΕ, está claro que el triángulo ΓΔΕ 10 guarda con Κ una razón mayor que con Ζ. De modo que Ζ es mayor que Κ.

PROPOSICIÓN 9

Sea de nuevo ΑΓ una balanza y Β su punto medio, y ΓΔΚ un triángulo obtusángulo que tenga por base ΔΚ y por altura 15 ΕΓ, y cuélguese de la balanza por los puntos Γ, Ε y cuélguese el área Ζ del punto Α y esté en equilibrio con el triángulo ΔΓΚ en la posición en que está ahora, y guarde el triángulo ΓΔΚ con Λ la razón que guarda ΑΒ con ΒΕ.

Digo que Ζ es mayor que Λ pero menor que ΔΓΚ20.

Se demostrará de manera semejante a la proposición anterior.

PROPOSICIÓN 10

25Sea de nuevo ΑΒΓ una balanza y Β su punto medio, y ΒΔΗΚ un trapecio que tenga rectos los ángulos con vértices en los 280 puntos Β, Η y el lado ΚΔ inclinado[16] hacia Γ, y guarde el trapecio ΒΔΗΚ con Λ la razón que guarda ΑΒ con ΒΗ, y cuélguese de la balanza el trapecio ΒΔΗΚ por los puntos Β, Η, y cuélguese también el área Ζ por el punto Α y quede en equilibrio con el 5 trapecio ΒΔΗΚ en la posición que se ha supuesto ahora.

Digo que el área Ζ es menor que el área Λ.

Córtese ΑΓ por el punto Ε de manera que ΕΗ guarde con ΒΕ la razón que guarda la suma del doble de ΔΒ más ΚΗ con la 10 suma del doble de ΚΗ más ΒΔ, y córtese en dos partes iguales por el punto Θ la recta ΕΝ, trazada paralela a ΒΔ por el punto Ε; y Θ es el centro de gravedad 15 del trapecio ΒΔΗΚ —pues esto se ha demostrado en la Mecánica [Equil. plan. I 15]—. Entonces, si se cuelga del punto Ε el trapecio ΒΔΗΚ y se suelta de los puntos Β, Η sigue 20 teniendo la misma posición por la misma razón que en lo anterior[17] y está en equilibrio con el área Ζ. Puesto que el trapecio ΒΔΗΚ colgado de Ε está en equilibrio con el área Ζ colgada de Α, la recta ΑΒ será a ΒΕ Como el trapecio ΒΔΗΚ al área Ζ.

25 Luego el trapecio ΒΔΗΚ guarda con el área Ζ una razón mayor que con Λ, puesto que también ΑΒ guarda con ΒΕ una razón mayor que con ΒΗ. De modo que Ζ será menor que Λ.

PROPOSICIÓN 11

Sea de nuevo ΑΓ una balanza y Β su punto medio, y sea 282 ΚΔΤΡ un trapecio con los lados ΚΔ, ΤΡ inclinados hacia Γ, y los lados ΔΡ, ΚΤ perpendiculares a ΒΓ, e incida ΔΡ en el punto Β y guarde el trapecio ΔΚΤΡ con el área Λ la misma razón que guarda ΑΒ con ΒΗ, y cuélguese el trapecio ΔΚΤΡ de la balanza 5 por los puntos Β, Η y el área Ζ por el punto Α y quede en equilibrio el área Ζ con el trapecio ΔΚΡΤ en la posición en que está ahora.

De modo semejante a las proposiciones anteriores se demostrará que el área Ζ es menor que Λ.

PROPOSICIÓN 12

10 Sea de nuevo ΑΓ una balanza y Β su punto medio, y sea ΔΕΚΗ un trapecio que tenga rectos los ángulos de vértice en Ε, Η y las líneas ΚΔ, ΕΗ inclinadas hacia Γ, y guarde 15 el trapecio ΔΚΕΗ con el área Μ la misma razón que guarda ΑΒ con ΒΗ, y guarde el trapecio ΔΚΕΗ con el área Λ la misma razón que guarda ΑΒ con ΒΕ, y cuélguese de la balanza el trapecio AKEH por los puntos Ε, Η y el 20 área Ζ cuélguese del punto Α y esté en equilibrio con el trapecio en la posición que ahora se supone.

Digo que Ζ es mayor que Λ, pero menor que Μ25.

Pues tomé el centro de gravedad del trapecio ΔΚΕΗ, sea el punto Θ —se tomará de la misma manera que en la proposición anterior [Equil plan. I 15]— y trazo la recta ΘΙ paralela a ΔΕ. 30 Si el trapecio se colgara de la balanza por el punto Ι y se soltara 284 de Ε, Η, permanecerá en la misma posición y estará en equilibrio con Ζ por las mismas razones que en lo anterior. Y puesto que el trapecio colgado por el punto Ι está en equilibrio con Ζ 5 colgado por el punto Α, el trapecio guardará con Ζ la misma razón que ΑΒ con ΒΙ.

Está claro por tanto que el trapecio ΔΚΕΗ guarda con Λ una razón mayor que con Ζ, pero con Μ una menor que con Ζ. De modo que Ζ es mayor que Λ, pero menor que M.

PROPOSICIÓN 13 10

Sea de nuevo ΑΓ una balanza y esté Β en su punto medio, y sea ΚΔΤΡ un trapecio de modo que sus lados ΚΔ, ΤΡ estén inclinados hacia Γ, mientras que los lados ΔΤ, ΚΡ son perpendiculares 15 a ΒΓ, y cuélguese de la balanza por los puntos Ε, Η, y el área Ζ cuélguese por el punto Α y esté en equilibrio con el trapecio ΔΚΤΡ en la posición en que está ahora, y guarde el trapecio ΔΚΤΡ con el área Λ la razón que guarda ΑΒ con ΒΕ, y guarde ese mismo trapecio con Μ la razón que guarda ΑΒ con ΒΗ.

20 De manera semejante a la proposición anterior se demostrará que Ζ es mayor que Λ pero menor que Μ.

PROPOSICIÓN 14

25 Sea ΒΘΓ un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo. Sea primero ΒΓ perpendicular al diámetro y desde el punto Β trácese ΒΔ paralela al diámetro, y desde el punto Γ trácese ΓΔ tangente a la sección del cono en el 286 punto Γ. Entonces ΒΓΔ será un triángulo rectángulo. Divídase ΒΓ en un número cualquiera de segmentos iguales ΒΕ, ΕΖ, ΖΗ, ΗΙ, ΙΓ y desde los puntos de corte trácense paralelas al diámetro 5 ΕΣ, ΖΤ, Ηϒ, ΙΞ y desde los puntos en que éstas cortan a la sección del cono trácense líneas que se unan con Γ y prolónguense.

Digo que el triángulo ΒΔΓ es menor que el triple de 〈la suma de〉 los trapecios ΚΕ, ΛΖ, ΜΗ, ΝΙ más el triángulo ΞΙΓ, pero 10 mayor que el triple 〈de la suma〉 de los trapecios ΖΦ, ΗΘ, ΙΠ más el triángulo ΙΟΓ.

Trácese la recta ΑΒΓ y tómese ΑΒ igual a ΒΓ, y considérese ΑΓ una balanza. Su punto medio será Β; y cuélguese[18] del punto Β, y cuélguese de la balanza también el triángulo ΒΔΓ 15 por los puntos Β, Γ, y del otro lado de la balanza cuélguense por el punto Α las áreas Ρ, Χ, Ψ, Ω, signo, y esté en equilibrio el área Ρ con el trapecio ΔΕ en esa posición, el área Χ con el trapecio ΖΣ, 20 el área Ψ con el ΤΗ, el área Ω con el ϒΙ, el área signo con el triángulo ΞΙΓ.

Entonces también estará en equilibrio el todo con el todo. De manera que el triángulo ΒΔΓ sería el triple del área 〈suma de〉 ΡΧΨΩsigno. Y puesto que ΒΓΘ es un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo y desde el punto 25 Β ha sido trazada ΒΔ paralela al diámetro y desde el punto Γ ha sido trazada ΓΔ tangente a la sección del cono en el punto Γ y se ha trazado también otra recta ΣΕ paralela al diámetro, ΒΓ guarda con ΒΕ la misma razón que ΣΕ con ΕΦ. De modo que también ΒΑ guarda con ΒΕ la misma razón que el trapecio ΔΕ 30 con el ΚΕ.

288 Del mismo modo se demostrará que la recta ΑΒ guarda con ΒΖ la misma razón que el trapecio ΣΖ con el ΛΖ; con la recta ΒΗ, la 〈misma〉 que el trapecio ΤΗ con el ΜΗ; con la recta ΒΙ, la 〈misma〉 que el trapecio ϒΙ con el ΝΙ. Por tanto, puesto que ΔΕ 5 es un trapecio que tiene rectos los ángulos de vértice en Β, Ε y los lados inclinados hacia Γ, y un área Ρ colgada de la balanza por el punto Α está en equilibrio con él estando el trapecio en la posición en que está ahora, y puesto que la recta ΒΑ es a la recta 10 ΒΕ como el trapecio ΔΕ es al ΚΕ, entonces el área ΚΕ es mayor que el área Ρ —pues eso también se ha demostrado [Prop. 10].

De nuevo, también el trapecio ΖΣ, que tiene rectos los ángulos de vértice en Ζ, Ε y el lado ΣΤ inclinado hacia Γ, está en equilibrio con el área Χ colgada de la balanza por el punto Α, 15 estando el trapecio en la posición en que está ahora, y ΑΒ es a ΒΕ como el trapecio ΖΣ es al ΖΦ. mientras que ΑΒ es a ΒΖ como el trapecio ΖΣ es al ΛΖ. Entonces el área Χ sería menor que el trapecio ΛΖ, pero mayor que el ΖΦ —pues eso también se ha demostrado [Prop. 12].

20 Por la misma razón, también el área Ψ será menor que el trapecio ΜΗ, pero mayor que el ΘΗ; y el área Ω será menor que el trapecio ΝΟΙΗ, pero mayor que el ΠΙ; y de la misma manera 290 también el área signo será menor que el triángulo ΞΙΓ, pero mayor que el ΓΙΟ.

Por tanto, puesto que el trapecio ΚΕ es mayor que el área Ρ y el trapecio ΛΖ es mayor que Χ y el ΜΗ es mayor que Ψ y el ΝΙ es mayor que Ω y el triángulo ΞΙΓ es mayor que signo, es 5 evidente que la suma de todas las áreas indicadas es mayor que el área 〈suma de〉 ΡΧΨΩsigno. Y el área ΡΧΨΩsigno es la tercera parte del triángulo ΒΓΔ. Luego está claro que el triángulo ΒΓΔ es menor que el triple de 〈la suma de〉 los trapecios ΚΕ, ΛΖ, ΜΗ, ΝΙ más el triángulo ΞΙΓ. A la vez, puesto que el trapecio ΖΦ es menor 10 que el área Χ y el ΘΗ menor que el área Ψ y el ΙΠ menor que el área Ω, y el triángulo ΙΟΓ menor que el área signo, es evidente que 〈la suma de〉 todas las figuras indicadas es menor que el área signoΩΨΧ.

Así pues, es evidente también que el triángulo ΒΔΓ es mayor que el triple de 〈la suma de〉 los trapecios ΦΖ, ΘΗ, ΙΠ más 15 el triángulo ΙΓΟ, pero menor que el triple de los antes mencionados.

PROPOSICIÓN 15

20 Sea de nuevo ΒΓΘ un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo y no sea la recta ΒΓ perpendicular al diámetro. Es de necesidad entonces que la recta trazada desde el punto Β paralela al diámetro por el mismo lado en que está el segmento o la trazada desde Γ formen con la recta ΒΓ un ángulo obtuso. Sea la que está en Β la que forme el ángulo 25 obtuso y desde Β trácese ΒΔ paralela al diámetro y desde Γ trácese ΓΔ tangente en el punto Γ a la sección del cono y divídase ΒΓ en un número cualquiera de segmentos iguales ΒΕ, ΕΖ, ΖΗ, ΗΙ, ΙΓ, y por los puntos Ε, Ζ, Η, Ι trácense paralelas al diámetro las rectas ΕΣ, ΖΤ, Ηϒ, ΙΞ, y desde los puntos en que éstas cortan a 292 la sección del cono trácense rectas hasta Γ y prolónguense.

Afirmo también ahora que el triángulo ΒΔΓ es menor que 5 el triple de 〈la suma de〉 los trapecios ΒΦ, ΛΖ, ΜΗ, ΝΙ más el triángulo ΓΙΞ, pero mayor que el triple de 〈la suma de〉 los trapecios ΖΦ, ΗΘ, ΙΠ más el triángulo ΓΟΙ.

Prolónguese en ambos sentidos ΔΒ. Tras haber trazado la 10 perpendicular ΓΚ he tomado ΑΚ igual a ΓΚ. Considérese de nuevo ΑΓ una balanza y Κ su punto medio y cuélguese[19] del punto Κ y cuélguese también el triángulo ΓΚΔ de la mitad de la balanza por los puntos Γ, Κ, estando como está ahora, y de la otra parte de la balanza cuélguense del punto Α las áreas Ρ, 15 Χ, Ψ, Ω, signo y esté en equilibrio el área Ρ con el trapecio ΔΕ en la posición en que está ahora, el área Χ con el trapecio ΖΣ, el área Ψ con el ΤΗ, el área Ω con el ϒΙ y el área signo con el triángulo ΓΙΞ. También estará en equilibrio el total con el total. De modo que también el triángulo ΑΒΓ será el triple del área 〈suma de〉 20 ΡΧΨΩsigno [Prop. 7]. De manera semejante a la proposición anterior se demostrará que el trapecio ΒΦ es mayor que el área Ρ, y que el trapecio ΘΕ es mayor que el área Χ, pero el área ΖΦ es menor[20]; y que el trapecio ΜΗ es mayor que el área Ψ, pero el 294 trapecio ΗΘ menor[21]; y además, que el trapecio ΝΙ es mayor que el área Ω, pero el ΠΙ, menor 〈que ella〉; y que el triángulo ΞΙΓ es mayor que el área signo, pero el triángulo ΓΙΟ, menor 〈que ella〉.

Por tanto, está claro.

PROPOSICIÓN 16

Sea de nuevo ΒΘΓ un segmento comprendido por una recta 5 y una sección de cono rectángulo, y trácese por el punto Β la recta ΒΔ paralela al diámetro y desde el punto Γ la recta ΓΔ tangente a la sección del cono en el punto Γ, y sea el área Ζ la tercera parte del triángulo ΒΔΓ.

10 Digo que el segmento ΒΘΓ es igual al área Ζ.

Pues si no es igual, ciertamente es mayor o menor.

Sea primero, si es posible, mayor.

El exceso en que excede el segmento ΒΘΓ al área Ζ sumado a sí mismo llegará a ser mayor que el triángulo ΒΓΔ. Y es posible tomar un 15 área menor que el exceso que sea parte[22] del triángulo ΒΔΓ.

Sea el triángulo ΒΓΕ menor que el exceso indicado y parte del triángulo ΒΓΔ. Entonces, la recta ΒΕ será la misma parte de la 20 recta ΒΔ. Divídase ΒΔ en las partes 〈correspondientes〉 y sean Η, Ι, Κ los puntos de las divisiones, y desde los puntos Η, Ι, Κ trácense rectas que los unan con Γ. Éstas cortan a la sección del cono, puesto que la recta ΓΔ es tangente a ella en el punto Γ. Y 296 por los puntos en que las rectas cortan a la sección trácense paralelas al diámetro las rectas ΜΦ, ΝΡ, ΞΘ, ΠΟ. Éstas serán también paralelas a ΒΔ.

Puesto que el triángulo ΒΓΕ es menor que el exceso en que el segmento ΒΘΓ excede al área Ζ, está claro que la suma del 5 área Ζ más el triángulo ΒΓΕ es menor que el segmento. E igual al triángulo ΒΓΕ es 〈la suma de〉 los trapecios por los que pasa la sección del cono —ΜΕ, ΦΛ, ΘΡ, ΘΟ— más el triángulo 10 ΓΟΣ, pues el trapecio ΜΕ es común, el ΜΛ es igual al ΦΛ y el ΛΞ es igual al ΘΡ y el ΧΞ es igual al ΟΘ y el triángulo ΓΧΠ 〈igual〉 al triángulo ΓΟΣ. Y el área Ζ es menor que 〈la suma de〉 los trapecios ΜΛ, ΞΡ, ΠΘ más el triángulo ΠΟΓ. Y el triángulo ΒΔΓ es el triple del área Ζ. Así que el triángulo ΒΔΓ es menor 15 que el triple de los trapecios ΜΛ, ΡΞ, ΘΠ más el triángulo ΠΟΓ. Lo cual es imposible, pues se había demostrado que era mayor que el triple.

Por tanto el segmento ΒΘΓ no es mayor que el área Ζ.

Afirmo que tampoco es menor.

20 Pues sea, si es posible, menor.

De nuevo, sumado a sí mismo el exceso en que excede el área Ζ al segmento ΒΘΓ, excede también al triángulo ΒΔΓ. Y es posible tomar un área menor que el exceso que sea parte 25 del triángulo ΒΔΓ. Sea el triángulo ΒΓΕ menor que el exceso y parte del triángulo ΒΔΓ y constrúyase igual lo demás.

Puesto que el triángulo ΒΓΕ es menor que el exceso en que excede el área Ζ al segmento ΒΘΓ, 〈la suma del〉 triángulo ΒΕΓ 298 y el segmento ΒΘΓ son menores que el área Ζ. Y el área Ζ también es menor que 〈la suma de〉 los cuadriláteros ΕΜ, ΦΝ, ΨΞ, ΠΤ más el triángulo ΒΠΣ. Pues el triángulo ΒΔΓ es el triple del área Ζ, pero menor que el triple de las áreas indicadas, como se demostró en la proposición anterior a ésta[23]5.

Por tanto, 〈la suma〉 del triángulo ΒΓΕ más el segmento ΒΘΓ es menor que 〈la suma de〉 los cuadriláteros ΕΜ, ΦΝ, ΞΨ, ΠΤ más el triángulo ΓΠΣ Por tanto, restando en común[24] el segmento, el triángulo ΓΒΕ sería menor que las áreas que 10 quedan en torno. Lo cual es imposible, pues se había demostrado que el triángulo ΒΕΓ era igual a 〈la suma de〉 los trapecios ΕΜ, ΦΛ, ΘΡ, ΘΟ más el triángulo ΓΟΣ, que son mayores que las áreas que quedan en torno.

Por tanto, el segmento ΒΘΓ no es menor que el área Ζ. Y se había demostrado que tampoco era mayor. Luego el segmento 15 es igual al área Ζ.

PROPOSICIÓN 17

Demostrado esto, está claro que todo segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura que 20 el segmento.

Sea un segmento comprendido por una recta y una sección de un cono rectángulo, y sea su vértice el punto Θ, e inscríbase en él el triángulo ΒΘΓ que tenga la misma base e igual altura que el segmento. Puesto que el punto Θ es el vértice del 25 segmento, la recta trazada desde Θ paralela al diámetro corta por la mitad a ΒΓ, y la recta ΒΓ es paralela a la tangente a la sección 300 en el punto Θ. Trácese ΕΘ paralela al diámetro y desde Β trácese también ΒΔ paralela al diámetro y, desde Γ, ΓΔ tangente a la sección del cono en el punto Γ.

5 Puesto que ΚΘ es paralela al diámetro y ΓΔ tangente a la sección en el punto Γ, y ΕΓ es paralela a la tangente a la sección en el punto Θ, el triángulo ΒΔΓ es el cuádruple del triángulo ΒΘΓ. Y puesto que el triángulo ΒΔΓ es el triple del segmento ΒΘΓ y el cuádruple del triángulo 10 ΒΘΓ, es evidente que el segmento ΒΘΓ es cuatro tercios del triángulo ΒΘΓ.

De los segmentos comprendidos por una recta y una línea curva, llamo base a la recta; altura, a la perpendicular 15 mayor trazada desde la curva hasta la base del segmento; vértice, al punto desde el cual se traza la perpendicular mayor.

PROPOSICIÓN 18

Si en un segmento que está comprendido por una recta y 20 una sección de un cono rectángulo se traza una recta paralela al diámetro desde la mitad de la base, el vértice del segmento será el punto en el que la recta trazada paralela al diámetro corta a la sección del cono.

Sea ΑΒΓ un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo, y desde 25 el centro de ΑΓ trácese ΔΒ paralela al diámetro.

302 Puesto que en una sección de cono rectángulo ha sido trazada ΒΔ paralela al diámetro y las rectas ΑΔ, 5 ΑΓ son iguales, es evidente que ΑΓ y la tangente a la sección del cono en el punto Β son paralelas.

Está claro por tanto que de las perpendiculares trazadas desde la sección del cono hasta ΑΓ la mayor será la trazada desde Β.

Por tanto Β es el vértice del segmento.

PROPOSICIÓN 19 10

En un segmento comprendido por una recta y una sección de un cono rectángulo la recta trazada desde el punto medio de la base[25] será en longitud cuatro tercios de la trazada desde el punto medio de la mitad[26].

15 Sea ΑΒΓ un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo, y trácese la recta ΒΔ paralela al diámetro desde el punto medio de ΑΓ, la recta ΕΖ desde el punto medio de ΑΔ y trácese también ΖΘ paralela a ΑΓ.

20 Puesto que en una sección de cono rectángulo ha sido trazada ΒΔ paralela al diámetro y las rectas ΑΔ, ΖΘ son paralelas a la tangente en el punto Β, es evidente que ΒΔ guarda con ΒΘ en longitud la misma razón que ΑΔ con ΖΘ en cuadrado. 25 Por tanto, ΒΔ es el cuádruple de BΘ en longitud.

Está claro por tanto que BA es en longitud cuatro tercios de ΕΖ.

PROPOSICIÓN 20

30 Si en un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo se inscribe un triángulo que tenga la misma 304 base que el segmento y la misma altura, el triángulo inscrito será mayor que la mitad del segmento.

Sea ΑΒΓ un segmento como se ha dicho e inscríbase en él 5 el triángulo ΑΒΓ que tenga la misma base que el segmento entero e igual altura.

Puesto que el triángulo tiene la misma base y la misma altura que el segmento, por fuerza el punto Β será el vértice del segmento. Por tanto, la recta ΑΓ es 10 paralela a la tangente a la sección en el punto Β. Por el punto Β trácese ΔΕ paralela a ΑΓ, y desde los puntos Α, Γ trácense ΑΔ, ΓΕ paralelas al diámetro. Éstas caerán fuera del segmento.

15 Puesto que el triángulo ΑΒΓ es la mitad del paralelogramo ΑΔΕΓ. está claro que es mayor que la mitad del segmento.

COROLARIO

20 Demostrado esto, es evidente que es posible inscribir en este segmento un polígono de tal manera que los segmentos que quedan en torno sean menores que cualquier área propuesta. Por ello está claro que, restada continuamente un área que sea mayor que la mitad, al disminuir continuamente los segmentos 25 restantes, llegaremos a hacerlos menores que cualquier área propuesta.

PROPOSICIÓN 21 306

Si en un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo se inscribe un triángulo que tenga la misma base que el segmento y la misma altura, y en los segmentos restantes se inscriben otros triángulos que tengan la misma 5 base que los segmentos y la misma altura, el triángulo inscrito en el segmento entero será el óctuplo de cada uno de los triángulos inscritos en los segmentos que quedan en torno.

10 Sea ΑΒΓ un segmento como se ha dicho y córtese ΑΓ por la mitad por el punto Δ, y trácese ΒΔ paralela al diámetro; entonces el punto Β es el vértice del segmento [Prop. 18], Luego el triángulo ΑΒΓ tiene la misma base que el segmento y la misma 15 altura. Córtese de nuevo ΑΔ por la mitad por el punto Ε y trácese ΕΖ 20 paralela al diámetro, y córtese ΑΒ por el punto Θ. Entonces el punto Ζ es el vértice del segmento ΑΖΒ. Y el triángulo ΑΖΒ tiene la misma base que el segmento[27] y la misma altura.

Se ha de demostrar que el triángulo 25 ΑΒΓ es el óctuplo del triángulo ΑΖΒ.

Así, ΒΔ es cuatro tercios de ΕΖ [Prop. 19] y el doble de ΕΘ. Luego ΕΘ es el doble de ΘΖ. De manera que también el triángulo ΑΕΒ es el doble del ΖΒΑ, pues el triángulo ΑΕΘ es el doble del ΑΘΖ, y el ΘΒΕ el doble del 30 ΖΘΒ. De modo que el triángulo ΑΒΓ es el óctuplo de ΑΖΒ.

De manera semejante se demostrará que también es 〈el 308 óctuplo〉 del 〈triángulo〉 inscrito en el segmento ΒΗΓ.

PROPOSICIÓN 22

Si hubiera un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo y se dispone un número cualquiera de áreas sucesivamente en la razón de cuatro a uno y la mayor de las áreas fuera igual al triángulo que tiene la misma base que el segmento y la misma altura, la suma de todas las áreas será menor que el segmento.

10 Sea ΑΔΒΕΓ un segmento comprendido por una recta y una sección de un cono rectángulo, y sean Ζ, Η, Θ, Ι un número cualquiera de áreas dispuestas sucesivamente y sea el cuádruple el antecedente del consecuente, y sea Ζ la mayor, y sea Ζ 15 igual al triángulo que tiene la misma base que el segmento e igual altura.

Digo que el segmento es mayor que 〈la suma de〉 las áreas Ζ, Η, Θ, Ι.

Sea el punto Β el vértice del segmento entero y los puntos Δ, Ε los de los segmentos que quedan en torno. Puesto que el triángulo ΑΒΓ es el óctuplo de cada uno de los triángulos ΑΔΒ, 20 ΒΕΓ, está claro que es el cuádruple de la suma de ambos.

Y puesto 25 que el triángulo ΑΒΓ es igual al área Ζ, según eso también 〈la suma de〉 los triángulos ΑΔΒ, ΒΕΓ son iguales al área Η. Del mismo modo se demostrará también que 〈la suma de〉 los triángulos inscritos en los segmentos que quedan en torno con la 30 misma base que los segmentos y la misma altura son iguales al 310 área Θ, y que 〈la suma de〉 los triángulos inscritos en los segmentos resultantes posteriormente son iguales al área Ι.

Luego la suma de todas las áreas propuestas anteriormente será igual a un polígono inscrito en el segmento.

Luego está claro que es menor que el segmento.

PROPOSICIÓN 23 5

Si se disponen sucesivamente magnitudes en la razón de cuatro a uno, todas las magnitudes más la tercera parte de la menor sumadas en una sola serán cuatro tercios de la mayor.

10 Sean pues Α, Β, Γ, Δ, Ε un número cualquiera de magnitudes dispuestas sucesivamente, cada una el cuádruple de la siguiente, y sea Α la mayor, y sea Ζ la tercera parte de Β; Η la tercera parte de Γ; Θ la tercera parte de Δ; Ι la tercera parte de Ε.

15 Puesto que Ζ es la tercera parte de Β y Β la cuarta parte de Α, la suma de Β, Ζ es la tercera parte de Α. Por la misma razón, 〈la suma de〉 Η, Γ es la 〈tercera parte〉 de Β y 〈la suma de〉 Θ, Δ 〈la tercera parte〉 de Γ y 〈la suma de〉 Ι, Ε la 〈tercera parte〉 de Δ. Y la suma de todas las magnitudes Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ, Ι es la tercera parte de la suma de Α, Β, Γ, Δ. Y 〈la suma de〉 las propias 20 magnitudes Ζ, Η, Θ es la tercera parte de las propias Β, Γ, Δ. Luego también las restantes Β, Γ, Δ, Ε, Ι son la tercera parte de la magnitud restante Α.

Es evidente, por tanto, que la suma de todas las magnitudes Α, Β, Γ, Δ, Ε más Ι —es decir, la tercera parte de Ε— es cuatro tercios de Α[28].

PROPOSICIÓN 24 312

Todo segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base que él e igual altura.

5 Sea ΑΔΒΕΓ un segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo, y sea ΑΒΓ un triángulo que tiene la misma base que el segmento e igual altura, y sea el área Κ cuatro tercios del triángulo ΑΒΓ.

10 Se ha de demostrar que es igual al segmento ΑΔΒΕΓ.

Pues si no es igual, es mayor o menor.

Sea primero mayor, si es posible, el segmento ΑΔΒΕΓ que el área Κ.

He inscrito los triángulos ΑΔΒ, ΒΕΓ, como se ha dicho, y he inscrito también en los segmentos que quedan en torno otros 15 triángulos que tienen la misma base que los segmentos y la misma altura, y en los segmentos que van resultando sigo inscribiendo constantemente dos triángulos que tienen la misma base que los segmentos y la misma altura.

20 Los segmentos que van quedando serán menores que el exceso en que excede el segmento ΑΔΒΕΓ al área Κ. De manera que el polígono inscrito será mayor que Κ. Lo cual es imposible. Dado que hay unas áreas dispuestas sucesivamente en la 314 razón de cuatro a uno —en primer lugar, el triángulo ΑΒΓ, cuádruple de los triángulos ΑΔΒ, ΒΕΓ [Prop. 21]; después, éstos mismos son el cuádruple de los triángulos inscritos en los segmentos siguientes y así sucesivamente—, está claro que la suma 5 de todas las áreas es menor que cuatro tercios de la mayor; y el área Κ es cuatro tercios del área mayor; por tanto el segmento ΑΔΒΕΓ no es mayor que el área Κ.

Sea, si es posible, menor.

Póngase el triángulo ΑΒΓ igual al área Ζ; el área Η, la cuarta parte de Ζ y, de manera semejante, el área Θ 〈la cuarta parte〉 de 10 Η y pónganse constantemente de modo sucesivo hasta que la última resulte menor que el exceso en que el área Κ excede al segmento, y sea Ι menor[29]. Así, 〈la suma de〉 las áreas Ζ, Η, Θ, Ι más la tercera parte de Ι es cuatro tercios de Ζ. Y el área Κ también 15 es cuatro tercios de Ζ. Por tanto, el área Κ es igual a 〈la suma de〉 las áreas Ζ, Η, Θ, Ι más la tercera parte de Ι. Puesto que el área Κ excede a la suma de las áreas Ζ, Η, Θ, Ι en una magnitud menor que Ι y al segmento en una magnitud mayor que Ι, está claro que 〈la suma de〉 las áreas Ζ, Η, Θ, Ι es mayor que el 20 segmento. Lo cual es imposible, pues se había demostrado que si había un número cualquiera de áreas dispuestas en la razón de cuatro a uno y la mayor era igual al triángulo inscrito en el segmento, la suma de todas las áreas sería menor que el segmento. Luego, el segmento ΑΔΒΕΓ no es menor que el área Κ.

25 Y se había demostrado que tampoco era mayor. Luego es igual al área Κ. Y el área Κ es cuatro tercios del triángulo ΑΒΓ. Luego también el segmento ΑΔΒΕΓ es cuatro tercios del triángulo ΑΒΓ.

SOBRE LOS CUERPOS FLOTANTES

INTRODUCCIÓN

El tratado Sobre los cuerpos flotantes es, junto con el Equilibrio de las figuras planas, una de las dos obras de tema físico debidas a Arquímedes. En él se contienen los más antiguos estudios científicos sobre hidrostática y la expresión del principio fundamental de dicha materia, el bien conocido «principio de Arquímedes» cuyo descubrimiento inmortalizó la anécdota sobre la corona de Hierón que Plutarco nos ha transmitido[1].

Su texto parecía haberse conservado sólo en la traducción latina de Guillermo de Moerbeke hasta que el descubrimiento del palimpsesto permitió a Heiberg recuperar buena parte del texto griego[2] y dio a conocer la demostración de la proposición 8 del Libro I, que faltaba en la versión latina. Más recientemente, el equipo dirigido por Netz ha podido leer pasajes del palimpsesto que Heiberg tuyo que dar por imposibles y, al parecer, han sido publicados en una edición no venal. Lamentablemente, no hemos podido consultarla, de modo que nuestra traducción refleja el texto, en parte griego, en parte latino, editado por Heiberg y recoge las ilustraciones publicadas por ese mismo estudioso.

El texto conserva el dialecto dorio de Arquímedes y se compone de dos libros. En el primero, un breve preámbulo recoge la hipótesis —que usa como postulado— de que en los líquidos, la parte menos presionada es empujada por la más presionada, y que cada una de las partes es presionada verticalmente por el líquido que está por encima de ella[3]. A partir de esta hipótesis, las nueve proposiciones de que consta el Libro I avanzan como si fueran fruto del método deductivo —un poco al modo en que veíamos que se desarrollaba el tratado astronómico de Euclides sobre los Fenómenos[4]—, aunque en realidad los enunciados propuestos y demostrados proceden con toda probabilidad de observaciones sistemáticas repetidas —radicalmente diversas, no obstante, del método experimental, que no sería definido y utilizado en las investigaciones científicas hasta dos milenios más tarde.

Las proposiciones 1 y 2 conducen a la afirmación de que «la superficie de todo líquido en estado de inmovilidad tiene la figura de una esfera cuyo centro es el centro de la tierra»; en la proposición 3 se determinan las condiciones de estática de las magnitudes de igual peso específico[5] que el fluido en que se las sumerge; las proposiciones 4 y 5 estudian ciertas particularidades de la estática de las magnitudes de menor peso específico que el fluido, y en las proposiciones 6 y 7 se formula el «principio de Arquímedes» de modo separado para los casos de magnitudes de peso específico menor (prop. 6) y mayor (prop. 7) que el fluido en que se las sumerge. Por último, las proposiciones 8 y 9 se refieren a la posición de equilibrio de un casquete esférico de peso específico inferior al del fluido, de acuerdo con el principio, expresado al principio de la obra, de que el empuje del fluido sobre el sólido se ejerce sobre el centro de gravedad del mismo y siguiendo la vertical.

El Libro II se abre con la demostración de que el sólido de menor densidad que el líquido en que es depositado guarda en peso con el líquido desalojado la misma razón que guarda la parte sumergida del sólido con el sólido entero. Las otras nueve proposiciones que componen esta parte del tratado se ocupan en exclusiva del estudio de la estática del segmento recto de paraboloide de revolución: las proposiciones 2 y 3 estudian los casos en que el eje del segmento de paraboloide no es mayor que una vez y media el parámetro; las proposiciones 4 y 5, cuando el eje es mayor que una vez y media el parámetro; las proposiciones 6 a 9, diversas situaciones cuando el eje es mayor que una vez y media el parámetro pero menor que 15/4 del mismo y, por último, la proposición 10 determina las distintas posiciones en que queda flotando el segmento de paraboloide cuando el eje del mismo es mayor que 15/4 del parámetro.

A pesar de que la lectura del tratado se hace especialmente costosa —en parte, en razón de la falta absoluta de terminología en este campo del conocimiento, que fuerza al autor a emplear constantemente largas perífrasis— hay que reconocer en esta obra la muestra más elevada de la genialidad de Arquímedes. No obstante lo significativo de sus descubrimientos, los hallazgos dados a conocer en este tratado quedaron prácticamente en el olvido hasta el Renacimiento, cuando, a mediados del siglo XVI, la imprenta puso a disposición de los estudiosos la traducción latina de Moerbeke, dando pie a nuevas investigaciones en esta materia —como el descubrimiento de la paradoja hidrostática (Stevin, 1586) o los trabajos de Pascal, ya en el siglo XVII.

Aun cuando fueron ignorados durante casi dos milenios, los libros Sobre los cuerpos flotantes han sido valorados en términos laudatorios por los mejores especialistas. Así Dijksterhuis pondera que «ésta es la parte del trabajo de Arquímedes que suscita la más elevada admiración del matemático de hoy, tanto por la elevada calidad de los resultados obtenidos, que parecen estar mucho más allá de la palidez de los de la matemática clásica, como por la genialidad del argumento» y Ver Eecke subraya el interés de la obra desde el punto de vista de la ingeniería al afirmar que de estas proposiciones se desprende la teoría del metacentro, que permitiría a la construcción naval superar el estadio del mero empirismo.

LIBRO I

II 316 Supóngase que el líquido tiene una naturaleza tal que de las partes suyas que yacen por igual y son continuas, la menos presionada es empujada por la más presionada, y que cada una de 5 sus partes es presionada verticalmente por el líquido que está por encima de ella a menos que el líquido esté encerrado en un recipiente y sea presionado por alguna otra cosa.

PROPOSICIÓN 1

Si hay una superficie cortada mediante un plano que, 10 pasando siempre por el mismo punto, produce como sección[1] un arco de círculo cuyo centro es el punto por el que es cortada mediante el plano, la superficie será una esfera.

Sea pues una superficie cortada mediante un plano que, 15 pasando por el punto Κ, produce siempre como sección un arco de círculo, y sea Κ el centro de éste.

Si esta superficie no es una superficie de esfera, las líneas que van del centro a la superficie no serán todas iguales 20.

Así, sean en la superficie unos puntos A, B, G, D y unas 319 rectas desiguales ΑΚ, ΚΒ y por las mismas ΚΑ, ΚΒ trácese un plano y produzca como sección en la superficie la línea DABG; ésta es un círculo y su centro el punto K, dado que así se había supuesto la superficie. Luego las rectas KA, KB no son desiguales.

5 Luego por fuerza la superficie es superficie de una esfera.

PROPOSICIÓN 2

La superficie de todo líquido en estado de inmovilidad tendrá la figura de una esfera que tendrá por centro el mismo que la tierra.

10 Supóngase un líquido en estado de inmovilidad[2] y córtese su superficie mediante un plano que pase por el centro de la tierra, y sea K el centro de la tierra y la sección de su superficie la línea ABGD.

Digo que la línea ABGD es un arco de círculo y K su centro.

Pues si no es así, las rectas trazadas desde K que inciden en 15 la línea ABGD no serán iguales.

Tómese pues una recta que sea mayor que unas y menor que otras de las que desde K inciden en la línea ABGD, y con centro en K y por radio la línea tomada trácese un círculo. Entonces la circunferencia del círculo caerá en parte por fuera de la línea 20 ABGD y en parte por dentro, puesto que el radio es 320 mayor que unas y menor que otras de las que inciden hasta la línea ABGD. Sea pues ZBH la circunferencia del círculo descrito, y desde B trácese una recta hasta K, y trácense ZK, KEL que formen ángulos iguales[3], y también con centro K trácese un 5 arco XOP en el plano y en el líquido.

Así, ciertas partes del líquido yacen por igual y son continuas según el arco XOP alternativamente: algunas son presionadas según el arco XO por el líquido que corresponde al lugar ZB, y 10 otras según el arco OP por el líquido que corresponde al lugar BE; por tanto, son presionadas de modo desigual las partes del líquido correspondientes al arco XO[4] y las 15 correspondientes al ΟΠ. De modo que las menos presionadas serán empujadas por las más presionadas. De modo que el líquido no está en reposo. Pero se había supuesto que estaba dispuesto de modo que permanecía inmóvil. Por tanto es de necesidad que la línea ΑΒΓΔ sea un arco de círculo y que K sea su 20 centro.

Del mismo modo se demostrará también que, si la superficie del líquido es cortada de otra manera mediante un plano que pase por el centro de la tierra, la sección será un arco de círculo y su centro será el 〈punto〉 que también es centro de la tierra.

25 Por tanto, es evidente que la superficie de un líquido en estado de inmovilidad tiene la figura de una esfera con el mismo centro que la tierra, puesto que es de tales características que 〈cortada por el mismo punto〉 produce como sección una circunferencia de un círculo que tiene por centro el punto por el que pasa el plano mediante el cual es cortada [Prop. 1]30.

PROPOSICIÓN 3

De las magnitudes sólidas, las que tienen el mismo peso que el líquido, depositadas en el líquido, se sumergirán de modo 322 que no sobresalgan en absoluto de la superficie del líquido y ya no serán llevadas más hacia abajo[5].

Deposítese en un líquido una magnitud sólida de las que tienen el mismo peso que el líquido y, si es posible, sobresalga 5 algo de ella por encima de la superficie del líquido, y esté el líquido en tal situación que permanezca inmóvil. Considérese un plano trazado pasando por el centro de la tierra y por el líquido y por la magnitud sólida, y sea el arco ΑΒΓΔ la sección de la 10 superficie del líquido y la figura ΕΖΘΗ la de la magnitud sólida, y sea K el centro de la tierra. Y del sólido esté la parte ΒΓΗΘ en el líquido, y la parte ΒΕΖΓ, fuera.

Considérese la figura sólida comprendida por una figura semejante a una pirámide que 15 tenga por base el paralelogramo que está en la superficie del líquido y por vértice el centro de la tierra, 〈y sea〉 donde figura el arco ΑΒΓΔ 〈la sección del pla〉no y las rectas ΚΛ, ΚΜ las de las caras de la pirámide. Con centro en K descríbase la superficie 20 de otra esfera en el líquido que está por debajo del sólido ΕΖΗΘ y córtese mediante un plano, y tómese también otra pirámide igual y semejante a la que comprende el sólido y contigua a ella, y sean las rectas KM, KN la sección de sus caras, y en el líquido considérese tomada del líquido una magnitud ΡΣΓϒ, igual y semejante a la parte del sólido correspondiente a 25 Β, Η, Θ, Γ que está en el líquido.324

Las partes del líquido que están en la primera pirámide por debajo de la superficie en donde figura el arco ΞΟ y las que están en la otra, en donde figura ΠΟ, yacen por igual y son 5 continuas. Pero no reciben la misma presión, pues la correspondiente a ΞΟ recibe la presión del sólido ΘΗΕΖ y la del líquido que está entre las superficies correspondientes a ΞΟ, ΛΜ y a las caras de la pirámide, mientras que la correspondiente a ΠΟ, la del líquido que está entre las superficies correspondientes a 10 ΠΟ, ΜΝ y a las caras de la pirámide. Y el peso del líquido correspondiente a ΜΝ, ΟΠ será menor, pues, por una parte, el correspondiente a ΡΣΤϒ es menor que el sólido ΕΖΗΘ —pues es igual al correspondiente a ΗΒΓΘ por haber supuesto que el sólido es igual en magnitud y del mismo peso 〈que el líquido〉— y, por otra parte, 〈lo restante es igual a lo restante〉. Por tanto, es 16 evidente que la parte correspondiente al arco ΟΠ será empujada por la correspondiente al arco ΟΞ, y el líquido no estará inmóvil. Pero se ha supuesto que estaba inmóvil.

20 Luego no sobresaldrá de la superficie del líquido nada de la magnitud sólida. Y el sólido, una vez sumergido, no será llevado hacia abajo, pues todas las partes del líquido que yacen por igual recibirán la misma presión por ser del mismo peso el sólido y el líquido.

PROPOSICIÓN 4 25

De las magnitudes sólidas, la que es más liviana que el líquido, depositada en el líquido, no se sumergirá entera, sino 326 que una parte de ella quedará por fuera de la superficie del líquido.

Sea una magnitud sólida más liviana que el líquido y, una vez depositada en el líquido, quede sumergida entera, si es posible, 5 y no quede nada de ella por fuera de la superficie del líquido y esté el líquido en estado tal que permanezca inmóvil.

Considérese un plano trazado pasando por el centro de la tierra y por el líquido y por la magnitud sólida y corte este plano 10 a la superficie del líquido según el arco ΑΒΓ y a la magnitud sólida según la figura donde está Z, y sea K el centro de la tierra; considérese una pirámide que comprenda a la figura Z, como la 15 de antes [Prop. 3], que tenga por vértice el punto K y corte a sus caras el plano ΑΒΓ según las rectas AK, KB y tómese otra pirámide igual y semejante a ésta, y corte el plano las caras de ésta según las rectas ΚΒ, ΚΓ, y trácese en el líquido la superficie 20 de otra esfera, con centro en K, por debajo de la magnitud sólida, y córtela[6] el mismo plano según el arco ΞΟΠ, y considérese también una magnitud —la de H— tomada del líquido, comprendida en la segunda 25 pirámide, igual al sólido Z.

Las partes del líquido de la primera pirámide por debajo de la superficie correspondiente al arco ΞΟ y las del líquido de la segunda por debajo de la superficie correspondiente al arco ΟΠ yacen por igual y 328 son continuas una con otra. Pero no reciben igual presión, pues el de la primera pirámide recibe la presión de la magnitud sólida Z y la del líquido que lo rodea y que está en el espacio de la pirámide señalado por A, B, O, Ξ, mientras que el de la otra 5 pirámide recibe la presión del líquido que lo rodea y que está en el espacio de la pirámide señalado por Π, Ο, Β, Γ; por otro lado, el peso correspondiente a 〈Z es menor que el peso correspondiente a〉 H, dado que es igual a ésta en magnitud, pero que se ha supuesto que la magnitud sólida era más liviana que el 10 líquido, y que los pesos del líquido que rodea las magnitudes Z, H en cada una de las pirámides son iguales. Por tanto, recibirá mayor presión la parte del líquido que queda bajo la superficie correspondiente al arco ΟΠ; por tanto, el que recibe menor presión será empujado y el líquido no permanecerá inmóvil; pero se había supuesto que sí15.

Luego no se sumergirá entero, sino que habrá una parte de él que quede fuera de la superficie del líquido.

PROPOSICIÓN 5

De las magnitudes sólidas, la que sea más liviana que el líquido, depositada en el líquido, se sumergirá en la medida en 20 que un volumen del líquido igual al volumen de la parte sumergida tenga un peso igual al de la magnitud entera.

Constrúyase lo mismo que en las proposiciones anteriores y esté inmóvil el líquido, y sea la magnitud ΕΖΗΘ más liviana que el líquido.

Puesto que el líquido está inmóvil, las partes de él que yacen 25 por igual estarán recibiendo la misma presión. Por tanto, el líquido que está por debajo de la superficie correspondiente al 330 arco ΞΟ y al ΠΟ estará recibiendo la misma presión. De modo que el peso por el que están presionados es igual. Y también el peso del líquido que hay en la primera pirámide menos el del sólido ΒΗΘΓ es igual al peso 〈del líquido de la otra pirámide〉 5 menos el del líquido ΡΣΓϒ. Es evidente por tanto que el peso de la magnitud ΕΖΗΘ es igual al peso del líquido ΡΣΓϒ.

Está claro por tanto que un volumen de líquido tan grande como el de la parte sumergida de la magnitud sólida tiene el mismo peso que la magnitud entera.

PROPOSICIÓN 6 10

Los sólidos más livianos que el líquido, forzados dentro del líquido, son desplazados hacia arriba con una fuerza tan grande como el peso en que es más pesado que la magnitud el líquido que tiene igual volumen que la magnitud.

15 Sea A una magnitud más liviana que el líquido y sea B el peso de la magnitud en la que figura A, y sea ΒΓ el del líquido[7] que tiene igual volumen que A.

Se ha de demostrar que la magnitud A forzada dentro del líquido será desplazada hacia arriba con tanta fuerza como tenga 20 el peso Γ.

Tómese una magnitud, en la que figura Δ, que tenga un peso igual a Γ. La magnitud compuesta de las dos magnitudes en las que figuran A, Δ es más liviana que el líquido, pues ΒΓ es el 25 peso de la magnitud compuesta de ambas, mientras que el peso 332 del líquido que tiene el mismo volumen que ésta[8] es mayor que ΒΓ, por ser ΒΓ el peso de la magnitud que tiene el mismo volumen que A. Depositada en el líquido la magnitud compuesta de las dos magnitudes A, Δ se sumergirá en una medida tal que 〈un volumen de líquido〉 como el de la parte sumergida de la 5 magnitud tenga igual peso que la magnitud entera —pues esto se ha demostrado [Prop. 5]—. Sea el arco ΑΒΓΔ la superficie de un líquido.

Puesto que un volumen del líquido tan grande como la magnitud A tiene igual peso que las magnitudes A, Δ, está claro que la parte sumergida de éste será la magnitud A y que la parte 10 restante de éste, en la que figura Δ, estará entera por encima de la superficie del líquido. Pues si el sólido queda sumergido[9] †…† se sigue †…† demostrado esto. Está claro, por tanto, que la magnitud A es desplazada hacia arriba †…† desde arriba Δ hacia abajo, puesto que ninguna de las dos magnitudes era 16 desplazada por la otra. Pero Δ ejerce presión hacia abajo con tanto peso como Γ. Pues se había supuesto que el peso de la figura en la que está Δ era igual a Γ.

Luego es evidente lo que había que demostrar.

PROPOSICIÓN 7 20

Las magnitudes más pesadas que el líquido, depositadas en el líquido, se desplazarán hacia abajo hasta llegar al fondo, y en el líquido serán más livianas en un peso igual al del líquido 334 de volumen igual al volumen de la magnitud sólida.

5 Que se desplazarán hacia abajo hasta llegar al fondo, es evidente, pues las partes del líquido por debajo de ésta[10] experimentarán mayor presión que las partes que yacen por igual que ellas, dado que se ha supuesto que la magnitud sólida es más pesada que el líquido.

Que serán más livianas como se ha dicho, se demostrará.

10 Sea A una magnitud que es más pesada que el líquido, y sea ΒΓ el peso de la magnitud en la que figura A, y B el del líquido de igual volumen que A.

Se ha de demostrar que la magnitud A, estando en el líquido, tendrá un peso igual a T.

16 Tómese una magnitud, en la que figura Δ, 〈más liviana que el líquido de volumen igual a ella, y sea〉 igual al peso B el peso de la magnitud en la que figura Δ, y sea el peso del líquido de volumen igual a la magnitud Δ igual al peso ΒΓ.

20 Sumadas en una sola las magnitudes en las que figuran A, Δ, la magnitud suma de ambas será del mismo peso que el líquido, pues el peso de las magnitudes sumadas es igual a los pesos ΒΓ y B sumados, mientras 25 que el peso del líquido de volumen igual a la suma de las dos magnitudes es igual a esos mismos pesos.

Así pues, una vez depositadas las magnitudes en el líquido, 336 pesarán lo mismo que el líquido y no se desplazarán hacia arriba ni hacia abajo [Prop. 3]. Por lo cual la magnitud en la que figura Α será desplaza〈da hacia abajo y, con la misma fuerza〉, la magnitud en la que figura Δ tira de ella hacia arriba, mientras que la magnitud en la que figura Δ, puesto que es más liviana 5 que el líquido, será desplazada hacia arriba con la misma fuerza que tiene el peso Γ —pues se ha demostrado que las magnitudes sólidas más livianas que el líquido metidas por la fuerza dentro del líquido son llevadas hacia arriba con una fuerza igual al peso en que el líquido de igual volumen que la magnitud es más 10 pesado que la magnitud [Prop. 6]. Y el líquido del mismo volumen que Δ es más pesado que la magnitud Δ en el peso Γ.

Así, es evidente también que la magnitud en la que figura A será desplaza〈da hacia abajo con un peso igual al de Γ〉.

* * *

Supóngase que cada una de las magnitudes desplazadas 〈hacia arriba, de las que están en un líquido〉, son llevadas hacia 15 arriba según la vertical trazada pasando por su centro de gravedad.

PROPOSICIÓN 8

Si una magnitud sólida, más liviana que el líquido, con figura de casquete esférico, es depositada en un líquido de tal 20 manera que la base del casquete no esté en contacto con el líquido, la figura se mantendrá derecha de tal modo que el eje del casquete esté vertical; y si la figura fuese arrastrada por alguna fuerza de modo que la base del casquete entre en contacto con el líquido, no permanecerá inclinada si se deja libre, sino que 25 volverá a ponerse derecha.

338 Considérese una magnitud como la que se ha dicho deposita〈da〉 en el líquido, y considérese un plano trazado 〈por el eje del〉 casquete y el centro de la tierra, y sea la sección de la superficie del líquido el arco ΑΒΓΔ, y la de la figura depositada 5 en el líquido, el arco ΕΖΗΘ, y sea ΘΖ el eje del casquete; el centro de la esfera está, naturalmente, en la recta ΘΖ.

En primer lugar, si el casquete es mayor que un hemisferio, sea K y esté la figura inclinada si es posible, ya sea inclinada 10 por alguna cosa, ya por sí misma.

Se ha de demostrar que no permanecerá quieta, sino que volverá a ponerse derecha de modo que los puntos Ζ, Θ estén en vertical.

Dado que se ha supuesto que la 15 figura está inclinada, los puntos Z, Θ no están en vertical. Por los puntos Κ y Λ trácese la recta ΚΛ, y supóngase que el punto Λ es el centro de la tierra. La figura tomada del líquido comprendida por la superficie del líquido tiene su eje en la recta ΚΛ —pues si las superficies de dos esferas 20 se cortan entre sí, la sección es un círculo perpendicular a la recta que une los centros de las esferas[11]—. Así, el centro de gravedad de la figura tomada del líquido correspondiente al arco ΒΝΓ está en la recta ΚΛ: sea P. Y el 25 centro de gravedad del casquete entero, el correspondiente al arco ΘΗΖΕ, está en la recta ΖΘ: sea Ξ. Por tanto, el centro de gravedad del 〈resto de la figura, que está por fuera〉 de la superficie 340 del líquido, está en la prolongación de la recta ΡΞ, tomando de ella una recta, ΣΞ, que guarde con la recta ΞΡ la misma razón que guarda el peso del casquete correspondiente al arco ΒΝΓ con el peso de la parte que está fuera del líquido —pues 5 esto se ha demostrado [Equil. Plan. I 8]—. Sea Σ el centro de la figura indicada. Puesto que el peso de la figura que queda fuera del líquido es desplazado hacia abajo según la recta ΛΣ. mientras que la parte que está en el líquido es desplazada hacia arriba según la recta PK [Prop. 7, 336,14 y ss.], es evidente que la figura 10 no permanecerá quieta, sino que las partes de la misma que están hacia E Serán desplazadas hacia abajo mientras que las que están hacia H, hacia arriba, y serán desplazadas siempre en la misma dirección hasta que ΖΘ esté vertical. Y una vez que ΖΘ esté vertical, los centros de gravedad de la parte que está en el líquido y de la que está fuera estarán en la misma vertical, pues estarán en la recta ΖΘ. Así, los pesos se 15 presionarán el uno al otro en sentidos opuestos según la misma vertical, impulsado el uno hacia abajo y el otro hacia arriba. De modo que la figura permanecerá quieta, pues ninguna de las dos partes será empujada por la otra.

20 Lo mismo sucederá también si la figura fuera un hemisferio o menor que un hemisferio.

PROPOSICIÓN 9

Y también si fuera depositada en el líquido una figura que fuera más liviana que el líquido de manera que su base entera esté en el líquido, la figura se mantendrá derecha de modo que 25 su eje esté en vertical.

342 Considérese una magnitud como la que se ha dicho depositada en el líquido y considérese también un plano trazado pasando por el eje del casquete y por el centro de la tierra, y sea el arco ΑΒΓΔ la sección de la superficie del líquido; el arco EZH 5 y la recta EH, la sección de la figura, y sea ΖΘ el eje del casquete.

Si es posible, no esté ΖΘ en vertical.

Se ha de demostrar que la figura no permanecerá quieta, sino que volverá a estar derecha.

10 El centro de la esfera está en la recta ΖΘ (de nuevo, sea primero la figura mayor que un hemisferio), y sea el punto K. Trácese la recta ΚΛ por el punto K y por el punto Λ, centro de la tierra.

La figura comprendida por la superficie del líquido exterior 15 al líquido, tiene su eje en la recta que pasa por K y, por la misma razón que en lo anterior [Prop. 8], su centro de gravedad está en la recta NK: sea P. Y el cen〈tro de gravedad〉 del casquete entero 〈está en la recta ΖΘ〉 entre los puntos K, Z: sea T. Luego el 20 centro de la figura restante, la que está en el líquido, estará en la recta TP, una vez prolongada y tomada de ella una recta que guardará con TP la misma razón que la que guarda el peso del segmento exterior al líquido con el peso de la figura que está en 25 el líquido. Y sea O el centro de la figura indicada[12], y sea ΟΛ 344 una vertical que pase por O. El peso del casquete que está fuera del agua será desplazado hacia abajo según la recta ΡΛ, mientras que el de la figura que está en el agua será desplazado hacia arriba según la recta ΟΛ [prop. 7, 336, 14 y ss.].

Por tanto la figura no permanecerá quieta, sino que las partes 15 de la figura del lado de H serán desplazadas hacia abajo mientras que las del lado de E hacia arriba y eso ocurrirá constantemente hasta que ΘΖ esté en vertical.

LIBRO II

PROPOSICIÓN 1

Si una magnitud que es más liviana que el agua es depositada en el líquido guardará en peso con el líquido la misma 5 razón que guarda la parte sumergida de la magnitud con la magnitud entera.

Deposítese en el líquido una magnitud sólida, ΦΑ, que sea más liviana que el líquido, y sea Α la parte sumergida de la misma, y Φ la de fuera del líquido.

Se ha de demostrar que ΦΑ guarda en peso con el líquido de igual volumen la misma 11 razón que guarda Α con ΦΑ.

Tómese una magnitud de líquido, NΙ, de volumen igual ΦΑ, y sea N igual a Φ e Ι igual a Α y, además, sea B el peso de la magnitud ΦΑ y ΡΟ el de ΝΙ y Ρ el de Ι15.

Por tanto, ΦΑ guarda con NΙ la misma razón que B con PO. Pero puesto que la magnitud ΦΑ, que era más liviana que el líquido, había sido depositada en el líquido, es evidente que el volumen de la magnitud sumergida tiene igual peso que la magnitud ΦΑ —pues eso se 20 ha demostrado [C. flot. I 5]—. Luego el peso B es igual al P, 348 puesto que el peso B es el de la magnitud ΦΑ entera, mientras que P es el peso del líquido Ι, el cual era igual a la magnitud que tenía el mismo volumen que la magnitud sumergida A.5 Por tanto, la magnitud ΦΑ es en peso a la NΙ como el peso P al PO. Y la razón que guarda P con PO es la misma razón que guardan Ι con ΙN y A con ΦΑ.

Luego se ha demostrado lo propuesto.

PROPOSICIÓN 2

10 El segmento recto de un paraboloide, cuando tiene un eje que no es mayor que una vez y media el parámetro[1], cualquiera que sea la razón que guarde en peso con el líquido, depositado en el líquido de manera que su base no esté en contacto 15 con el líquido, si se pone inclinado no permanecerá inclinado, sino que volverá a ponerse derecho (y digo que tal segmento está derecho siempre que el plano que lo ha cortado sea paralelo a la superficie del líquido)[2].

Sea un segmento de paraboloide como el que se ha indicado 20 y esté inclinado.

Se ha de demostrar que no permanecerá así, sino que volverá a ponerse derecho.

Cortado éste mediante un plano que pase por el eje y perpendicular al 〈plano que está sobre la superficie〉 del líquido, 350 sea la parábola ΑΠΟΛ la sección del segmento, y sea NO el eje del segmento y diámetro de la parábola, y sea ΝΟ la sección de la superficie del líquido.

Puesto que el segmento no está derecho, la recta ΑΛ no sería paralela a la recta ΙΣ. De modo que ΝΟ no formará un ángulo recto con ΙΣ. Trácese 5 pues paralela[3] la recta ΚΩ, tangente a la parábola en el punto Π y desde el punto Π trácese ΠΦ paralela a ΝΟ. La recta ΠΦ corta por la mitad a ΙΣ —pues eso se ha demostrado en las Cónicas [Cuadr. parab. 1]—. Córtese ΠΦ de modo que ΠΒ sea el doble de ΒΦ, y córtese ΝΟ por el punto Ρ de modo que también ΟΡ sea el doble de ΡΝ. 11 El punto Ρ será el centro de gravedad del segmento mayor del sólido, y el punto Β el del correspondiente a ΙΠΟΣ —pues se ha demostrado en los Equilibrios que el centro de gravedad 15 de todo segmento de paraboloide se encuentra en su eje, cortado de tal manera que el segmento del eje que está hacia el vértice sea el doble que el segmento restante[4]—. Una vez restado el segmento sólido correspondiente a ΙΠΟΣ del segmento entero, el centro de gravedad estará en la recta ΒΓ —pues eso 20 se ha demostrado en los Elementos de mecá〈nica[5] que si se resta una magnitud que no〉 tiene el mismo centro de gravedad que la magnitud entera, el centro de gravedad de la magnitud 25 restante estará sobre la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y la magnitud restada prolongada hacia el lado en que se encuentra el centro de gravedad de la magnitud entera[6]—. Prolónguese ΒΡ hacia Γ, y sea Γ el centro de gravedad de la magnitud restante. Puesto que ΝΟ es una vez y media 30 ΟΡ pero no es mayor que una vez y media el parámetro, es 352 evidente que ΡΟ no es mayor que el parámetro. Por tanto, ΠΡ forma con ΚΩ ángulos desiguales, y el ángulo ΡΠΩ es agudo. Por tanto, la perpendicular trazada desde Ρ hasta ΠΩ caerá 5 entre Π, Ω. Caiga como ΡΘ. Por tanto, ΡΘ es perpendicular al plano †paralelo†[7] en el que está ΣΙ, que está sobre la superficie del líquido. Desde Β, Γ trácense unas rectas paralelas a ΡΘ. La parte de la magnitud que está fuera del líquido será desplazada 10 hacia abajo según la vertical trazada pasando por Γ —pues se ha supuesto que cada uno de los pesos es llevado hacia abajo según la vertical que pasa por su centro[8]—, mientras que la magnitud que está en el líquido, puesto que es más liviana que el líquido, será desplazada hacia arriba según la vertical trazada 15 pasando por Β. Puesto que reciben empujes opuestos pero no según la misma vertical, 〈la figura no permanecerá quieta, sino que la parte que está hacia〉 Α será llevada hacia arriba, mientras que la que está hacia Λ hacia abajo, y eso será así siempre hasta que vuelva a ponerse derecha.

PROPOSICIÓN 3 20

Un segmento recto de un paraboloide, cuando su eje no sea mayor que una vez y media el parámetro, cualquiera que sea la razón que guarde en peso con el líquido, depositado en el líquido de manera que su base entera esté en el líquido, si se pone 25 inclinado, no se mantendrá inclinado, sino que volverá a una posición tal que su eje esté vertical[9].

354 Deposítese un segmento como el que se ha dicho en el líquido y esté su base en el líquido y, cortado mediante un plano que pase por el eje y perpendicular a la superficie del líquido, sea su sección la parábola ΑΠΟΛ, y sea ΠΦ el eje del segmento y diámetro de la 5 parábola, y sea ΙΣ la sección de la superficie del líquido.

Puesto que el segmento está inclinado, el eje no estará vertical. Por tanto, ΠΦ no formará ángulos iguales con ΙΣ. Trácese una 〈recta ΚΩ paralela a ΙΣ y tangente en〉 el punto Ο a la parábola ΑΠΟΛ, y sea Ρ 10 el centro de gravedad del sólido ΑΠΟΛ y Β el del sólido ΙΠΟΣ y, una vez trazada ΒΡ, prolónguese y sea Γ el centro de gravedad del sólido ΙΣΛΑ.

De la misma manera[10] se demostrará que el ángulo comprendido por ΡΟ, ΟΚ es agudo y que la perpendicular trazada desde 15 Ρ hasta ΚΩ caerá entre los puntos Κ, Ο; sea ΡΘ. Si desde los puntos Γ, Β se trazan unas paralelas a ΡΘ, la parte que queda comprendida en el líquido será desplazada hacia arriba según la recta trazada pasando por Γ, mientras que la de fuera del líquido hacia abajo según la recta trazada pasando por Β, y el sólido ΑΠΟΛ 21 no permanecerá así en el líquido, sino que la parte que está hacia Α tendrá un desplazamiento hacia arriba, mientras que la que está hacia Α, hacia abajo, hasta que la recta ΠΦ esté vertical.

PROPOSICIÓN 4

25 El segmento recto de paraboloide, siempre que sea más liviano 356 que el líquido y tenga su eje mayor que una vez y media el parámetro, cuando guarde en peso con el líquido de igual volumen una razón no menor que la que guarda el cuadrado construido sobre el exceso en que el eje es mayor que una vez y 5 media el parámetro con el cuadrado construido sobre el eje, depositado en el líquido de modo que su base no esté en contacto con el líquido, si se pone inclinado no permanecerá inclinado, sino que volverá a ponerse derecho[11].

10 Sea un segmento de paraboloide como el que se ha dicho y, una vez depositado en el líquido, si es posible, no esté derecho, sino inclinado, y una vez cortado mediante un plano que pase por el eje y perpendicular a la superficie del líquido[12], sea la 15 sección del segmento la parábola ΑΡΟ [Con. esf. 11 a], y la recta ΝΟ el eje del segmento y diámetro 〈de la parábola〉 y sea ΙS la sección de la superficie del líquido. Así, si el segmento no está recto, la recta NO no formará con IS ángulos iguales. Trácese una recta ΚΩ tangente a la parábola en el punto P y paralela a IS, y desde P, igualmente paralela a ON, trácese PF, 20 y tómense los centros de gravedad; y R será el centro del sólido APOL y B será el centro de la parte de éste que está dentro del líquido; y trácese una recta uniendo los puntos BR y prolónguese hasta G, y sea G el centro de gravedad del sólido que está por encima del líquido [Equil. plan. I 8].

Y dado que NO es una vez y 357 media RO[13] y, por otra parte, mayor que una vez y media el parámetro, está claro que RO es mayor que el parámetro. Sea RM igual al parámetro y OM, el doble de HM. Por lo cual resulta que NO es una vez y media RO; HO, 5 una vez y media OM, y la restante, NH, es una vez y media la restante —es decir, RM—. Por tanto, el eje es mayor en la recta HO que una vez y media el parámetro —es decir, RM—. Y dado que se había supuesto que el segmento guardaba en peso con el líquido una proporción no menor que la que guarda el cuadrado 10 construido sobre el exceso en que el eje excede a una vez y media 358 el parámetro con el cuadrado construido sobre el eje, es evidente que el segmento guarda en peso con el líquido una proporción no menor que el cuadrado construido sobre HO con el cuadrado construido sobre NO. Y la proporción que guarda en 5 peso el segmento con el líquido es la que guarda la parte sumergida del segmento con el segmento entero —pues eso se ha demostrado [Prop. I]—. Pero la proporción que guarda la parte sumergida del segmento con el segmento entero es la que guarda el cuadrado construido sobre PF con el cuadrado construido sobre NO —pues se ha demostrado en el tratado Sobre conoides que 10 si de un paraboloide se cortan dos segmentos mediante dos planos trazados de cualquier manera, los segmentos guardarán entre sí la misma proporción que guardan los cuadrados construidos sobre sus ejes [Con. esf. 24]—. Luego el cuadrado construido sobre PF no guardará con el cuadrado construido sobre NO una 15 proporción menor que la que guarde el cuadrado construido sobre HO con el cuadrado construido sobre NO; por tanto, PF no es menor que HO [Elem. V 7-8] ni BP menor que MO; por tanto, si desde M se traza una recta hasta NO caerá entre B y P. Por tanto, dado que PF es paralela al diámetro mientras que MT es 20 perpendicular al diámetro, y RM es igual al parámetro, la recta que va de R a T, una vez trazada y prolongada, formará ángulos rectos con la tangente en P; por lo cual formará ángulos iguales con IS y con la superficie del líquido que pasa por IS. Y si por 25 B, G se trazan paralelas a RT, formarán ángulos rectos con la superficie del líquido y la parte del sólido paraboloide sumergida 359 en el líquido será desplazada hacia arriba según la paralela a RT que pasa por B, mientras que la parte de fuera del líquido será desplazada hacia abajo en el líquido según la prolongación de la paralela a RT que pasa por G, y eso será así siempre hasta 5 que el paraboloide vuelva a ponerse derecho.

PROPOSICIÓN 5

Un segmento recto de un paraboloide cuando, siendo más liviano que el líquido, tenga un eje mayor que una vez y media el parámetro, si guarda en peso con el líquido una proporción 10 no mayor que la que guarda el exceso en que es mayor el cuadrado construido sobre el eje que el cuadrado construido sobre el exceso en que el eje es mayor que una vez y media el parámetro con el cuadrado construido sobre el eje, depositado en un líquido de manera que su base entera esté en el líquido, si se 15 pone inclinado no permanecerá inclinado, sino que volverá a una posición tal que su eje esté vertical[14].

Deposítese pues en el líquido un segmento como el que se ha dicho y esté su base entera en el líquido, y cortado el segmento mediante un plano que pase por el eje perpendicular a la superficie del líquido, su sección será una parábola [Con. esf. 11 a], y sea APOL, y sea NO el eje 20 〈del segmento〉 y diámetro 〈de la parábola〉, y sea IS la sección de la superficie del líquido.

Y puesto que el eje no está vertical, la recta NO no formará con IS ángulos iguales. Trácese pues ΚΩ tangente a la parábola APOL en el punto P y paralela a IS, y por el punto P 30 trácese PF paralela a NO, y tómense los centros de gravedad, y sea R el centro de APOL y B el de la parte de fuera del líquido y, una vez trazada BR, prolónguese hasta G, y sea G el centro de gravedad del sólido sumergido en el líquido [cf. Equil. plan. I 8] y tómese una recta RM igual al parámetro, y sea OM el 360 doble de HM y constrúyase lo demás de modo semejante a las proposiciones anteriores [Prop. 4].

Dado que se ha supuesto que el segmento guarda en peso con el líquido una proporción no mayor que la proporción que 5 guarda el exceso en que es mayor el cuadrado construido sobre NO que el construido sobre HO con el cuadrado construido sobre NO, mientras que la proporción que guarda en peso el segmento con el líquido de igual volumen es la misma que guarda la parte sumergida del segmento con el sólido entero —pues eso se demostró en el primer teorema—, entonces la magnitud 10 sumergida del segmento guarda con el segmento entero una proporción no mayor que la proporción indicada; luego el segmento entero guarda con la parte del segmento que queda fuera del líquido una proporción no mayor que la que guarda el cuadrado construido sobre NO con el cuadrado construido sobre HO. Luego el segmento entero guarda con la parte del segmento 15 que queda fuera del líquido la misma proporción que guarda el cuadrado construido sobre NO con el cuadrado construido sobre PF [Con. esf. 24]; luego el cuadrado construido sobre NO guarda con el cuadrado construido sobre PF una proporción no mayor que el cuadrado construido sobre NO con el cuadrado 20 construido sobre HO. Luego PF no es menor que OH; por lo cual tampoco PB es menor que MO. Luego si desde M se traza una perpendicular hasta RO, incidirá en BP entre B y P; incida en T. Y puesto que en una parábola la recta PF es paralela al 25 diámetro RO, mientras que MT es perpendicular al diámetro y RM es igual al parámetro, está claro que RT, prolongada, forma ángulos rectos con ΚΡΩ; luego también con IS. Luego RT es 361 perpendicular a la superficie del líquido, y las paralelas a RT trazadas por los puntos B, G, prolongadas, serán perpendiculares a la superficie del líquido.

Por consiguiente, la parte del segmento que queda fuera del líquido es llevada hacia abajo del líquido según la vertical trazada 5 por el punto B, mientras que la parte que está dentro del líquido es desplazada hacia arriba según la vertical que pasa por G, y el segmento sólido APOL no permanecerá quieto, sino que se moverá dentro del líquido hasta que la recta NO esté vertical.

PROPOSICIÓN 6

10 Un segmento recto de un paraboloide cuando siendo más liviano que el líquido tenga el eje mayor que una vez y media el parámetro pero menor que la recta que guarde la proporción de quince a cuatro con él, depositado en el líquido de manera que su base esté en contacto con el líquido, no se mantendrá inclinado de manera que su base esté en contacto con el líquido en 15 un punto[15].

Sea un segmento como el que se ha dicho y, una vez depositado en el líquido, esté, como se ha explicado, de modo que su base esté en contacto con el líquido en un punto, y cortado el segmento por el eje mediante un plano perpendicular a la 20 superficie del líquido, sea la parábola APOL la sección en el segmento [Conoid. 11 a], AS la de la superficie del líquido, y sea NO el eje del segmento y diámetro 〈de la parábola〉, y córtese[16] por el punto F de modo que OF sea el doble de FN y por el punto Ω de modo que NO guarde con FΩ la proporción de quince a cuatro, y trácese ΩK 25 perpendicular a NO. Así, NO guarda una proporción mayor con FΩ que con el parámetro. Sea FB igual al parámetro, y trácese una recta PC paralela a AS y tangente a la parábola en el punto P y también una recta PI 30 paralela a NO.

En primer lugar, corte la recta PI a KΩ.

Puesto que en el segmento APOL, comprendido por una recta y una parábola, hay una recta KH paralela a AL, una recta PI 362 paralela al diámetro y cortada por KΩ y una recta AS paralela a la tangente en P, por fuerza la recta PI o bien guardará con PH 5 la misma proporción que NO guarda con ΩΟ o bien una proporción mayor —esto se demostró en un lema[17]— y ΩΝ es una vez 10 y media ΩΟ; luego IP es una vez y media HP o es mayor que 15 una vez y media; luego PH es el doble de HI o menor que el doble. Sea PT el doble de TI; entonces, el centro de gravedad de la parte que está en el líquido es el punto T; y una vez trazada 20 TF prolónguese, y sea el centro de gravedad de la parte que está fuera del líquido el punto G [Equil. plan. I 8] y desde B trácese la recta BR perpendicular a NO. Así, puesto que PI es paralela al diámetro NO mientras que BR es perpendicular al diámetro y FB es igual al parámetro, está claro que FR, una vez prolongada, 363 forma ángulos iguales con la tangente a la parábola APOL en el punto P; por lo cual también los formará con AS y con la superficie del agua. Así, las paralelas a FR trazadas por T, G 5 serán también perpendiculares a la superficie del agua, y la magnitud del sólido APOL sumergida en el líquido será desplazada hacia arriba según la vertical 10 que pasa por T, mientras que la parte fuera del líquido será desplazada hacia dentro del líquido según la vertical que pasa por G.

Luego el sólido APOL se 15 dará la vuelta y su base no estará en contacto con la superficie del líquido en un punto.

De nuevo, si PI no cortara a la línea ΚΩ, como se describe en la segunda figura, está claro que el punto T, que es el centro de gravedad de la magnitud sumergida, 20 caerá entre P e I, y lo demás se demostrará de manera semejante.

PROPOSICIÓN 7 364

El segmento recto de un paraboloide, cuando es más liviano que el líquido y tiene el eje mayor que una vez y media el parámetro, 5 pero menor que como para guardar con el parámetro la razón de 15 a 4, depositado en el líquido de manera que su base entera esté en el líquido, nunca tomará una posición tal que su base esté en contacto con la superficie del líquido, sino que estará entera en el líquido sin tocar en ningún punto la superficie[18].10

Sea un segmento como el que se ha dicho y, una vez depositado en el líquido como se ha indicado, esté en una posición tal que su base esté en contacto con la superficie del líquido.

15 Se ha de demostrar que no estará quieto, sino que se volcará hacia arriba de tal manera que su base no toque en ningún punto la superficie del líquido.

Una vez cortado mediante un plano perpendicular a la superficie del líquido, sea la sección la parábola ΑΠΟΛ, y 20 sea ΣΛ la sección de la superficie del líquido, y sea ΠΦ el eje del segmento y diámetro[19], y de nuevo córtese ΠΦ, primero, por el punto P de modo que ΡΠ sea el doble de ΡΦ y, luego, por el punto Ω de manera que ΠΦ guarde con ΡΩ la razón de 15 25 a 4, y trácese ΩΚ perpendicular a ΠΦ. Entonces ΡΩ será 365 menor que el parámetro. Tómese PH igual al parámetro, y trácense TO tangente a la parábola en el punto O y que sea paralela a ΣΛ y NO paralela a ΠΦ, y corte NO a ΚΩ, primero, en el punto I.

6 De manera semejante a la proposición anterior se demostrará que NO o bien es una vez y media OI o bien mayor que una vez y media. En efecto, OI es menor que el doble de IN. Sea OB el doble de BN y constrúyase igual[20].

De la misma manera 10 se demostrará que ΡΘ forma ángulos rectos con TO y con la superficie del líquido y, una vez trazadas paralelas a ΡΘ desde los puntos B, Γ, serán perpendiculares a la superficie del líquido.

Así pues, el segmento de fuera del líquido será desplazado hacia abajo en el líquido 15 según la vertical que pasa por B, mientras que el que está en el líquido será desplazado hacia arriba según la vertical que pasa por Γ. Así pues, está claro que el sólido se inclinará de manera que su base no toque en ningún punto la superficie del líquido, puesto que ahora, 〈estando en contacto〉 en un punto se des〈plaza hacia abajo〉, hacia el lado de Λ.

21 Y está claro que si ON no corta a ΩΚ, se demostrará lo mismo.

PROPOSICIÓN 8 368

El segmento recto de paraboloide cuando tenga el eje mayor que una vez y media el parámetro pero menor que como para guardar con el parámetro la razón de 15 a 4, cuando el 5 peso guarde con el líquido una razón menor que la que guarda el cuadrado construido sobre el exceso en que el eje es mayor que una vez y media el parámetro con el cuadrado construido sobre el eje, depositado en el líquido de manera que su base no 10 esté en contacto con el líquido, ni volverá a ponerse derecho ni permanecerá inclinado, a menos que su eje forme con la superficie del líquido un ángulo igual al que vamos a decir[21].

15 Sea un segmento como se ha dicho y sea ΒΔ igual al eje y BK el doble de ΚΔ, y KP igual al parámetro, y sea TB una vez y media BP y ΤΔ una vez y media KP, y la razón que guarda en peso el segmento con el líquido guárdela el cuadrado construido 20 sobre ΦΧ[22] con el cuadrado construido sobre ΔΒ, y sea Φ 〈el doble de X. Así, es evidente que〉 ΦΧ guarda con ΔΒ una razón menor que la que guarda TB con ΒΔ —pues TB es el exceso en que el eje es mayor que una vez y media el parámetro—, luego ΦΧ es menor que ΒΓ. De modo que también Φ es 370 menor que BP. Sea ΡΨ igual a Φ, y trácese perpendicular a ΒΔ una recta ΨΕ tal que el cuadrado construido sobre ella equivalga a la mitad del rectángulo comprendido por KP, ΒΨ y trácese BE.

5 Se ha de demostrar que el segmento depositado en el líquido como se ha dicho tomará una posición inclinada de modo que su eje forme con la superficie del líquido un ángulo igual al EBΨ.

Deposítese en el líquido un segmento y no esté en contacto 10 su base con la superficie del líquido y, si es posible, no forme el eje con la superficie del líquido un ángulo igual al de vértice en B, sino, primero, mayor.

Cortado el segmento mediante un plano que pase por el eje y perpendicular a la superficie del líquido, sea la parábola 15 ΑΠΟΛ su sección, y séalo ΞΣ en la superficie del líquido, y sea el eje y diámetro[23] NO. Trácense también la recta Πϒ paralela a ΞΣ y tangente a la parábola ΑΠΟΛ en el punto Π, la recta ΠΜ paralela a NO y la recta ΠΙ perpendicular a NO, y sea ΟΩ 20 igual a BP y ΩΘ igual a PK y ΩΗ perpendicular al eje.

Dado que se ha supuesto que el eje del segmento formaba con la superficie del líquido un ángulo mayor que el de vértice en B, está claro que el ángulo de vértice en ϒ del triángulo ΠΙϒ es mayor que el ángulo B; y el cuadrado construido sobre ΠΙ 372 guarda con el cuadrado construido sobre Ιϒ una razón mayor que el cuadrado construido sobre ΕΨ con el cuadrado construido sobre ΨΒ. Pero la razón que guarda el cuadrado construido sobre ΠΙ con el cuadrado construido sobre Ιϒ es la misma que 5 guarda la recta KP con la recta ϒΙ, mientras que la razón que guarda el cuadrado construido sobre ΕΨ con el cuadrado construido sobre ΨΒ es la misma que guarda la mitad de la recta KP con la recta ΨΒ. Luego KP guarda con ϒΙ una razón mayor que la mitad de KP con ΨΒ. Luego, por un lado, ϒΙ es menor que el 10 doble de ΨΒ y, por otro, Ιϒ es el doble de OI; por tanto, OI es menor que ΨΒ; de modo que ΙΩ es mayor que ΨΡ; y ΨΡ es igual a Φ; luego ΙΩ es mayor que Φ. Y dado que se ha supuesto que el segmento guardaba en peso con el líquido la misma razón que el cuadrado construido sobre ΦΧ con el cuadrado 15 construido sobre ΒΔ, y que la razón que guarda en peso el segmento con el líquido es la razón que guarda su parte sumergida con el segmento entero y, a la vez, que la razón que guarda la parte sumergida con el segmento entero es la que guarda el cuadrado construido sobre ΠΜ con el cuadrado construido sobre ON, 20 entonces la razón que guarda el cuadrado construido sobre ΦΧ con el cuadrado construido sobre ΒΔ es la misma razón que guarda el cuadrado construido sobre ΜΠ con el cuadrado construido sobre ON. Por tanto, ΦΧ es igual a ΠΜ. Y se había demostrado que ΠΗ era mayor que Φ. Por tanto está claro que 25 ΠΜ es menor que una vez y media ΠΗ y que ΠΗ es mayor que el doble de HM. Sea pues ΠΖ el doble de ZM; el centro de gravedad del sólido será el punto Θ, mientras que el centro de gravedad de la parte que está en el líquido será Z. Y el centro de gravedad de la magnitud restante estará en la prolongación 30 de la recta que une ΖΘ [Equil. plan. I 8], Prolónguese hacia Γ.

374 Del mismo modo[24] se demostrará que ΘΗ es perpendicular a la superficie del líquido y que la parte del segmento que está dentro del líquido será desplazada hacia fuera del líquido según la perpendicular a la superficie del líquido trazada por Z, 5 mientras que la parte de fuera del líquido será desplazada hacia dentro según la trazada por Γ. Y el segmento no permanecerá quieto según la inclinación supuesta.

Ni tampoco volverá a ponerse derecho.

Está claro por lo siguiente: puesto que de las verticales trazadas por los puntos Z, Γ, la trazada por Z cae hacia el lado de 10 ΓΖ en que está Λ, mientras que la que pasa por Γ cae hacia el lado en que está A, por lo indicado anteriormente está claro que el centro Z será desplazado hacia arriba mientras que el Γ hacia 15 abajo. De modo que las partes de la magnitud entera que están del lado de A serán desplazadas hacia abajo.

Esto era útil para la demostración.

De nuevo supóngase lo demás lo mismo, pero el eje del segmento con la superficie del líquido for〈me un ángulo menor que el de vértice en B.

20 Y〉 el cuadrado construido sobre ΠΙ guarda con el construido sobre Ιϒ 〈una razón menor〉 que la del cuadrado construido sobre ΕΨ con el cuadrado construido sobre ΨΒ. Por tanto también KP guarda con ϒΙ una razón menor que la que guarda la mitad de KP con ϒΒ. Luego Ιϒ será mayor que el doble de ΨΒ. 25 Luego ΩΙ es menor que ΨΡ. Por consiguiente, ΠΗ será menor 376 que Φ. Y ΜΠ es igual a ΦΧ. Por consiguiente, está claro que ΠΜ es mayor que una vez y media ΠΗ y que ΠΗ es menor que el doble de HM. Sea ΠΖ el doble de ZM. De nuevo el punto 5 Θ será el centro de gravedad de la figura entera, y Z el de la parte que está en el líquido. Una vez trazada ΖΘ y prolongada, el 〈centro de gravedad de la parte que está fuera del líquido estará sobre la prolongación. Sea Γ y trácense per〉pendiculares a la superficie del líquido que pasen por los puntos Z, Γ, paralelas a ΗΘ. Está claro que el segmento entero no permanecerá 10 quieto, sino que se inclinará de modo que el eje forme con la superficie del líquido un ángulo mayor que el que forma ahora.

Puesto que el segmento no se mantendrá estable ni cuando el eje forme con el líquido un ángulo mayor que B ni cuando lo forme menor, está claro que se mantendrá estable cuando forme 15 ese ángulo.

Pues así ΙO será igual a ΨΒ y ΩΙ igual a ΨΡ y ΠΗ igual a Φ; por tanto, ΜΠ es una vez y media ΠΗ y ΠΗ el doble de HM. Luego el punto H es el centro de gravedad de la parte que está 378 en el líquido, de modo que ésta será desplazada hacia arriba según la misma vertical por la que la parte exterior es desplazada hacia abajo; luego permanecerá quieta, pues ambas partes se empujan mutuamente en sentidos opuestos.

PROPOSICIÓN 9 5

El segmento recto de un paraboloide, cuando tenga el eje mayor que una vez y media el parámetro, pero menor que como para guardar[25] la razón de 15 a 4,y en peso guarde con el 10 líquido una razón mayor que la que guarda el exceso en que es mayor el cuadrado construido sobre el eje que el cuadrado construido sobre el exceso en que el eje es mayor que una vez y media el parámetro con el cuadrado construido sobre el eje, depositado en el líquido de tal manera que su base entera esté 15 en el líquido, si se pone inclinado ni irá a la posición en que su eje esté vertical ni permanecerá inclinado, a menos que su eje forme con la superficie del líquido un ángulo igual al tomado del mismo modo que en la proposición anterior[26].20

Sea un segmento como el que se ha dicho y póngase la recta ΔB igual al eje del segmento, y sea BK el doble de KΔ, y sea KP igual al parámetro y sea TB una vez y media BP, y la razón que guarda 25 en peso el segmento con el líquido sea la que guarda el exceso en que excede el cuadrado construido sobre ΒΔ al cuadrado construido sobre ΦΧ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, y sea Φ el doble de X.

Está claro que el exceso en que excede el cuadrado construido 30 sobre ΒΔ al construido sobre BT guarda con el cuadrado construido 380 sobre ΒΔ una razón menor que la que guarda el exceso en que excede el cuadrado construido sobre ΒΔ al cuadrado construido sobre ΦX con el cuadrado construido 5 sobre ΒΔ —pues la recta BT es el exceso en que el eje del segmento es mayor que una vez y media el parámetro—. Por tanto, el cuadrado construido sobre ΒΔ excede al construido sobre ΦX en una magnitud mayor que aquella en la que excede el cuadrado construido sobre ΒΔ al cuadrado construido sobre BT. De modo que ΦX es menor que BT; luego también Φ es menor que BP.

10 Sea pues PΨ igual a Φ, y trácese perpendicular a ΒΔ la recta ΨΕ de modo que su cuadrado equivalga a la mitad del rectángulo comprendido por KP, ΨB.

Digo que el segmento depositado en el líquido de manera que su base entera esté en el líquido estará en una posición tal que su 15 eje forme con la superficie del líquido un ángulo igual a B.

Deposítese pues el segmento como se ha dicho en el líquido y no forme el eje con la superficie del líquido un ángulo igual a B, sino, primero, mayor.

Cortado éste[27] mediante un plano perpendicular a la 20 superficie del líquido, sea la sección del segmento la parábola ΑΠΟΛ [Con. esf. 11 a]; la recta TI, la de la superficie del líquido, y sea NO el eje[28] y diámetro, y córtese por los puntos Ω, Θ, como antes[29], y trácense también las rectas ϒΠ, paralela a TI y 25 tangente a la parábola en el punto Π, y ΠΜ[30] paralela a NO y PS 382 perpendicular al eje. Así, puesto que el eje del segmento forma con la superficie del líquido un ángulo mayor que B, de modo semejante el ángulo SϒP será mayor que el ángulo B [Elem. I 29]; luego el cuadrado construido sobre PS guarda con el 5 cuadrado construido sobre Sϒ una proporción mayor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΨΕ con el cuadrado construido sobre ΨΒ[31]; luego también KR guarda con Sϒ una proporción mayor que la mitad de KR con ΨB; luego Sϒ es menor que el doble de ΨΒ [Elem. V 10] y SO menor que ΨΒ; luego ΣΩ 10 es mayor que ΡΨ y ΠΗ mayor que Φ. Y puesto que el segmento guarda en peso con el líquido la misma razón que el exceso en que el cuadrado construido sobre ΒΔ es mayor que el cuadrado construido sobre ΦX con el cuadrado construido sobre BΔ y, por otro lado, la razón que guarda en peso el segmento con el 16 líquido es la misma que guarda la parte sumergida del segmento con el segmento entero, está claro que la parte sumergida guardará con el segmento entero la misma razón que guarda el exceso en que excede el cuadrado construido sobre ΒΔ al 20 cuadrado construido sobre ΦX con el cuadrado construido sobre ΒΔ. Por consiguiente, el segmento entero guardará con la parte de fuera del líquido la razón que guarda el cuadrado construido sobre ΒΔ con el cuadrado construido sobre ΦX. Y la razón que 25 guarda el segmento entero con la parte de fuera del líquido es la que guarda el cuadrado construido sobre NO con el cuadrado construido sobre ΠΜ. Luego ΜΠ es igual a ΦΧ. Y se ha demostrado que ΠΗ era mayor que Φ. Luego MH es menor que X. 〈Por tanto, ΠΗ es〉 mayor 〈que el doble〉 de 〈HM. Sea ΠΖ el 30 doble de ZM y, una vez trazada ΖΘ, prolónguese hacia Γ. 384 Entonces Θ será el centro de gravedad del segmento entero, y el de la parte de fuera〉 del líquido será 〈Z, y el de la parte de dentro estará en la recta ΘΓ. Sea〉 Γ.

〈Del mismo modo que en las proposiciones anteriores[32] se demostrará que ΘΗ〉 es perpendicular a 〈la superficie del líquido 5 y que las líneas〉 trazadas 〈paralelas a ΘΗ pasando por Z, Γ〉 serán perpendiculares también ellas a la superficie del líquido. Por tanto, el segmento que queda por fuera del líquido será desplazado hacia abajo según la vertical que pasa por Z, mientras que el de dentro será desplazado hacia arriba según la que pasa por 10 Γ. Así, la figura entera no permanecerá sin inclinarse. Ni tampoco se volcará lo de abajo arriba de modo que el eje quede perpendicular a la superficie del líquido, puesto que la parte que está hacia 〈Λ será llevada hacia abajo, mientras que la parte que está hacia A será desplazada hacia arriba〉, por razonamientos análogos a los expresados en las proposiciones previas.

15 Y si el eje forma con el líquido un ángulo menor que B, se demostrará de manera semejante a las proposiciones anteriores que el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará hasta que el eje forme con la superficie del líquido un ángulo igual a B.

PROPOSICIÓN 10 20

El segmento recto de paraboloide, cuando, siendo más liviano que el líquido, tenga un eje mayor que como para guardar con el parámetro la razón de 15 a 4, depositado en el líquido de modo que su base no esté en contacto con el líquido, unas 25 veces se quedará derecho y otras inclinado; a veces, inclinado de tal modo que su base esté en contacto con la superficie del líquido en un punto, y eso lo hará en dos inclinaciones; a veces, 386 quedará inclinado de modo que de su base se moje un espacio mayor; a veces, inclinado de manera que su base no esté en contacto en ningún punto con la superficie del lí〈quido. La razón que guardará en〉 peso con el líquido cada uno de ellos se 6 pondrá de manifiesto ahora[33].

Sea un segmento como se ha dicho y, cortado mediante un plano perpendicular a la superficie del líquido, sea la sección en 10 superficie la parábola ΑΠΟΛ, y sea ΒΔ el eje[34] y diámetro de la parábola, y córtese ΒΔ por el punto K de modo que BK sea el doble de ΚΔ, y por el punto T de manera que ΔΒ guarde con KT la razón de 15 a 4. Es evidente que KT es 15 mayor que el parámetro. Sea KP igual al parámetro, y sea ΡΣ la mitad de BP; y ΣΒ es una vez y media BP. Una vez trazada AB y construida la perpendicular TE[35], trácese EZ paralela a ΒΔ, y 20 cortada de nuevo por la mitad la recta AB por el punto Θ, trácese ΘΗ paralela a ΒΔ, y tómese la parábola ΑΕΙ de diámetro EZ y la parábola ΑΘΔ de diámetro ΘΗ de modo que las parábolas 388 AEI, ΑΘΔ sean semejantes a la parábola ΑΒΛ. La parábola AEI se describirá pasando por K, y la perpendicular trazada desde P a ΒΔ cortará a la parábola AEI. Córtela en los puntos ϒ, 5 Γ y por los puntos ϒ, Γ trácense las rectas ϒΧ, ΓΝ paralelas a ΒΔ, y corten éstas a la parábola ΑΘΔ en los puntos Ξ, Φ, y trácense ΠΨ, Οʕ tangentes a la parábola ΑΠΟΛ en los puntos O, Π. Así, han sido dados tres segmentos, ΑΠΟΛ, AEI, ΑΘΔ, 10 comprendidos por rectas y parábolas, rectos y semejantes, pero desiguales, y de cada base se han tomado las rectas ΝΞ, ΝΓ, NO, trazadas a partir de N; por tanto, ΟΓ guardará con ΓΞ la razón compuesta de la que guarda ΙΛ con ΛΑ y la que guarda 15 ΑΔ con ΔΙ. Y ΛΙ guarda con ΛΑ la razón de dos a 5, pues como dos a 5 son TB a ΒΔ, y también EB a BA y ΔΖ a ΔΑ; y ΛΙ, ΛΑ 390 son el doble de éstas[36]. Y ΑΔ guarda con ΔΙ la razón de cinco a 1, y la razón compuesta de la que guarda dos con 5 y de la que guarda cinco con uno es la misma que la que guarda dos con 1; 5 luego ΟΓ es el doble de ΓΞ. Por la misma razón también Πϒ es el doble de ϒΦ. Y puesto que ΔΣ es una vez y media KP, es evidente que ΒΣ es el exceso en que el eje es mayor que una vez y media el parámetro.

10 Así, si el segmento guarda en peso con el líquido la razón que guarda el cuadrado de lado ΒΣ con el cuadrado de lado ΒΔ o una razón mayor que ésa, si se deposita el segmento en el líquido de modo que la base del segmento no esté en contacto con el líquido, se mantendrá derecho[37].

Pues se ha demostrado antes [Prop. 4] que[38] un segmento con el eje mayor que una vez y media el parámetro, si guarda en 15 peso con el líquido una razón no menor que la que guarda el cuadrado construido sobre el exceso en que el eje es mayor que una vez y media el parámetro con el cuadrado construido sobre el eje, depositado en el líquido de la manera que se ha dicho, se 20 mantendrá derecho.

Y cuando el segmento guarde en peso con el líquido una razón menor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΣΒ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, pero mayor que el cuadrado construido sobre ΟΞ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, si se lo deposita inclinado en el líquido de tal manera 25 que su base no esté en contacto con el líquido, tomará una posición inclinada de tal manera que su base no toque la superficie del líquido en ningún punto y su eje forme con la superficie del líquido un ángulo mayor que el de vértice en ʕ[39].

392 Si el segmento guarda en peso con el líquido la razón que guarda el cuadrado construido sobre ΞΟ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, depositado en el líquido inclinado de tal manera que su base no esté en contacto con el líquido, se mantendrá inclinado de manera que su base toque en un punto la 5 superficie del líquido y su eje forme con la superficie del líquido un ángulo igual al de vértice en ʕ[40].

Y si el segmento guarda en peso con el líquido una razón menor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΞΟ con 10 el cuadrado construido sobre ΒΔ, pero mayor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΠΦ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, depositado en el líquido y puesto inclinado de manera que su base no esté en contacto con el líquido, se mantendrá 15 inclinado de modo que su base sea cortada por el líquido en un espacio mayor[41].

Y si el segmento guarda en peso con el líquido la razón que guarda el cuadrado construido sobre ΠΦ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, depositado en el líquido y puesto inclinado 20 de manera que su base no esté en contacto con el líquido, se mantendrá inclinado de manera que su base esté en contacto en un punto con la superficie del líquido y su eje forme un ángulo igual al de vértice en Ψ[42].

25 Y si el segmento guarda en peso con el líquido una razón menor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΠΦ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, depositado en el líquido y puesto inclinado de manera que su base no esté en contacto con 30 el líquido, se mantendrá inclinado de tal manera que su eje forme 393 con la superficie del líquido un ángulo menor que Ψ que su base no esté en contacto en ningún punto con la superficie del líquido[43].

Esto se demostrará a continuación:

394 En primer lugar[44], guarde el segmento en peso con el líquido una razón mayor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΞΟ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, pero menor que la que guarda el cuadrado construido sobre el exceso en que el 5 eje es mayor que una vez y media el parámetro con el cuadrado construido sobre ΒΔ, y supóngase construida la figura anterior[45] y la razón que guarda en peso el segmento con el líquido sea la que guarde el cuadrado construido sobre Ψ con el cuadrado construido sobre ΒΔ. Y Ψ es mayor que ΞΟ, pero menor que el exceso en que 10 el eje es mayor que una vez y media el parámetro. Insértese entre las parábolas ΑΠΟΛ, ΑΞΔ[46] una recta NO igual a Ψ y corte esa misma recta a la parábola restante en el punto Ϡ, y a la recta Rς en el 15 punto Β’.

20 Se demostrará que ΟϠ es el doble de ϠΝ como se demostró que Mς era el doble de ςΧ[47], y desde Ο trácese una recta Οʕ 25 tangente a la parábola APOL, una recta OC perpendicular a 395 BD y trácese una recta uniendo A con N; entonces AN, QN serán iguales, pues dado que en los segmentos semejantes APOL, AXD han sido trazadas AN, AQ desde las bases hasta las parábolas formando ángulos iguales con las bases, las rectas QA, AN guardarán la misma razón que LA, AD según la 5 construcción de la segunda figura; luego AN es igual a QN y paralela a Οʕ.

Se ha de demostrar que, depositado en el líquido de modo que su base no esté en contacto en ningún punto 〈con el líquido, se mantendrá inclinado de modo que su base no esté en 10 contacto en ningún punto con la superficie del líquido y〉 el eje 396 forme con la superficie del líquido un ángulo agudo mayor que ʕ[48].

Deposítese, pues, y esté en una posición tal que su base esté en contacto con la superficie del líquido en un punto, y cortado 5 el segmento mediante un plano que pase por el eje y perpendicular a la superficie del líquido, sea la sección del segmento la parábola APOL [Con. esf. 11a] y la de la superficie del líquido la recta OA, y sea BD el eje[49] y diámetro, y córtese BD por los puntos K, R, según se ha dicho[50]10 y trácese también PG paralela a la recta AO y tangente a la parábola APOL en el punto P, y la recta PT paralela a BD y la recta 15 PS perpendicular a BD.

Puesto que el segmentó guarda en peso con el líquido la misma razón que el cuadrado construido sobre Ψ con el cuadrado 20 construido sobre BD y, por otro lado, la razón que guarda el segmento con el líquido es la que guarda la parte sumergida con el segmento entero [Prop. 1] y la que guarda la parte sumergida con el segmento entero es la que guarda el cuadrado construido sobre TP con el cuadrado construido sobre DB [Con. esf. 24], entonces Ψ será igual a TP. Y por 25 tanto NO es igual a TP; por lo cual los segmentos APQ, APO son iguales [Con. esf. 24]. Puesto que OA, AQ han sido trazadas en los segmentos iguales y semejantes APOL, AMQL desde los extremos de sus bases y los segmentos cortados forman con los diámetros 30 ángulos iguales según la construcción de la tercera figura[51], entonces los ángulos de vértice en ʕ, G son iguales. Por tanto, 397 ʕΒ, GB son iguales; por lo cual también SR es igual a CR, PZ igual a OB’ y ZT a B’N. Y dado que OB’ es menor que el doble de B’N, está claro que PZ es menor que el doble de ZT. Sea pues PΩ el doble de ΩΤ y una vez trazada ΚΩ prolónguese hasta E. 5 Entonces K será el centro de gravedad de la figura entera y Ω el centro de la parte que está dentro del líquido, y el de la parte que queda fuera estará en la línea KE; y sea E [Equil. plan. I 8], Por otro lado, KZ será perpendicular a la superficie del líquido; 10 por lo cual lo mismo sucederá con las paralelas a KZ trazadas por los puntos E, Ω. Luego el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará de modo que su base no esté en contacto con la superficie del líquido en ningún punto, dado que ahora está inclinada y está en contacto con ella en un punto.

Luego es evidente que el segmento quedará estable de manera que su eje forme con la superficie del líquido un ángulo 15 mayor que ʕ.

Y guarde en peso el segmento con el líquido la razón que guarda el cuadrado 20 construido sobre XO con el construido sobre BD, y póngase en el líquido inclinado de este modo[52].

25 Cortado mediante un plano que pase por el eje y perpendicular a la superficie del líquido, sea la sección del sólido 30 la parábola APOL y OΙ la de la superficie del líquido, y sea 398 BD el eje del segmento y diámetro de la sección, y córtese BD como antes[53] y trácese PN paralela a ΙO y tangente a la parábola 5 en el punto P, y sea PT paralela a BD y PS perpendicular a BD.

Se ha de demostrar que el segmento no permanecerá inclinado así, sino que se inclinará hasta que su base esté en contacto en un punto con la superficie del líquido.

Constrúyase lo que se dispuso en la figura anterior[54] CO perpendicular a BD y, una vez trazada AX, prolónguese hasta Q; entonces AX será igual a XQ; y trácese Oʕ paralela a AQ.

15 Y dado que se supone que el segmento guarda en peso con el líquido la razón que guarda el cuadrado construido sobre XO con el cuadrado construido sobre BD, también el segmento sumergido guarda esta razón con el segmento entero [Prop. 1], esto 20 es, la del cuadrado construido sobre TP con el cuadrado construido sobre BD [Con. esf. 24] y PT será igual a XO. Y puesto que los diámetros de los segmentos ΙBO, ABQ son iguales, también lo serán los segmentos 25 [Con. esf. 24], De nuevo, puesto que en los segmentos iguales y semejantes APOL, AOQL han sido trazadas las rectas AQ, ΙO, que cortan segmentos iguales, pero uno desde el extremo de la base y otro no desde el extremo, está claro que forma con el diámetro del segmento entero un ángulo agudo 30 menor la que ha sido trazada desde el extremo de la base. Y puesto que el ángulo de vértice en ʕ es menor que el de vértice en N, 399 BC es mayor que BS, mientras que CR es menor que RS; por lo cual también Oʕ es menor que ΡϠ 〈y ʕΧ〉 mayor que ϠT. Y puesto que Oʕ es el doble de ʕX, es evidente que PϠ es mayor que el doble de ϠT. Sea pues PH el doble de HT[55] y trácese 5 HK y prolónguese hasta Ω. El punto K será el centro de 10 gravedad del segmento entero y H el de la parte que está en el líquido, y el de la parte de fuera estará en la recta KΩ. Sea Ω.

15 De la misma manera[56] se demostrará que la recta KϠ es perpendicular a la superficie del líquido y que también lo son las paralelas a KϠ que pasan por los puntos H, Ω. Así, es evidente que el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará 400 hasta que su base esté en contacto en un punto con la superficie del líquido, como[57] se 5 demostrará sobre la tercera figura[58] tal y como se expresa en el tercer teorema[59], y el segmento permanecerá en esa posición.

En los segmentos iguales APOL, AOQL[60] habrán sido trazadas desde los extremos de sus bases las rectas AQ, AO, que cortan 〈segmentos〉 iguales; de manera semejante 10 a lo anterior[61] se demostrará que APQ es igual a APO; por tanto AO, AQ formarán ángulos agudos iguales con los diámetros de los segmentos, puesto que los ángulos de vértice en N, ʕ son 15 iguales [Elem. I 29]. Y 〈sea ΡϠ el doble de〉 ϠT; una vez trazada 20 la recta ϠK y prolongada hasta Ω, el punto K será el centro de gravedad del segmento entero, Ϡ el de la parte del segmento que está dentro del líquido, y el de la parte que queda fuera estará 401 en la línea ΚΩ; y sea Ω [Equil. plan. 18], Y a la superficie 〈del líquido le es perpendicular〉 KϠ[62]. Así, la parte que está en 5 el líquido será desplazada hacia arriba y la 〈que está fuera〉 será desplazada hacia abajo según la misma recta.

Luego permanecerá quieto 〈el segmento y〉 la 〈base estará 10 en contacto en un punto con la〉 superficie del líquido, y el eje 〈del segmento〉 formará con la superficie del líquido un ángulo igual al descrito anteriormente.

15 De nuevo[63], guarde en peso el segmento con el líquido una proporción menor que la que guarda el cuadrado construido sobre NT[64] con el cuadrado construido sobre BD, y la razón que guarda en peso el segmento con el líquido sea la que guarda el cuadrado construido sobre Ψ 〈con el cuadrado construido sobre BD〉.

20 Entonces Ψ es menor que TN. Insértese entre los segmentos 402 AMD, APOL una recta PI paralela a BD que, prolongada, sea igual a Ψ; corte a la parábola intermedia en el punto ϒ, y a la recta XR en el punto H. Que Πϒ es el doble de ϒΙ se demostrará 5 como se demostró que ΓΟ era el doble de ΓX[65]. Trácese la recta ΠΩ tangente a la parábola ΑΠΟΛ en el punto Π y la recta ΠΕ perpendicular a ΒΔ, y una vez trazada IA 〈prolónguese〉 hasta X. La recta AI será igual a IX y la AX paralela a ΠΩ.

Se ha de demostrar que el segmento, depositado en el líquido 10 e inclinado de tal modo que su base no esté en contacto con el líquido, permanecerá inclinado de modo que su eje forme con la superficie del líquido un ángulo 〈menor que Φ y su base no estará en contacto en ningún punto con la superficie del líquido.

15 Deposítese, pues, en el líquido y esté en una posición tal que su base〉 esté en contacto en un punto con la superficie del líquido, y una vez cortado el segmento mediante un plano perpendicular a la superficie del líquido y que pase por el eje, sea la sección de la superficie del segmento la parábola ΑΗΒΛ, y 20 la recta AZ la de la superficie del líquido y sea el eje[66] y diámetro 404 de la sección la recta ΒΔ, y córtese ΒΔ por los puntos K, P de modo semejante a lo anterior[67], y trácese HΙ paralela a AZ y 5 tangente a la parábola en el punto H, y trácese, por otra parte, HT paralela a BD y HS perpendicular a BD.

Así, puesto que el segmento guarda en peso con el líquido la razón que guarda el cuadrado construido sobre Ψ con el cuadrado 10 construido sobre BD, y, a la vez, el segmento guarda en peso con el líquido la razón que guarda el cuadrado construido sobre HT con el cuadrado construido sobre BD, por las mismas razones que en lo anterior[68], está claro que HT es igual a Ψ [Elem. V 9]; por lo cual también los segmentos AHZ, APQ son iguales 15 [Con. esf. 24][69].

Y puesto que en los segmentos iguales y semejantes APOL, AHZL se han trazado desde los extremos de sus bases las rectas AQ, AZ que cortan segmentos iguales, está claro que formarán ángulos iguales con los diámetros de los segmentos. 405 Entonces también son iguales los ángulos con vértice en Ι, Ω de los triángulos HΙS, PΩE; 〈por tanto,〉 también serán iguales SB, EB; por lo cual también serán iguales SR a ER y HϠ a PH y ϠT a HΙ[70]. Y puesto que Ρϒ es el doble de ϒΙ, está claro 5 que es menor que el doble de ϠT. Sea una recta Hϒ que sea el doble de ϒT y, una vez trazada, trácese ϒKC; entonces, los centros de gravedad son K el del segmento entero e ϒ el de la parte de dentro del líquido; y el de la parte de fuera está en la línea KC, y sea C [Equil. plan. I 8], Y por el teorema 10 precedente[71] será evidente que el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará de modo que su base no toque la superficie del líquido en ningún punto.

Y se demostrará que quedará en una posición tal que su eje forme con la superficie del líquido un ángulo menor que Φ.

Quede, si es posible, en una posición tal que forme un 15 ángulo no menor que el ángulo Φ, y lo demás constrúyase igual que 406 en la tercera figura[72].

Se demostrará del mismo modo que ΘΗ es igual a Ψ[73]; de modo que también es igual a ΙΠ. Y puesto que el ángulo Λ no es menor que el ángulo Φ, entonces tampoco ΓΒ es mayor que 5 ΣΒ, ni ΓΡ menor que ΣΡ ni ΗϠ menor que Θʕ. Y puesto que ΙΠ es una vez y media Πϒ, que Πϒ es menor que Θʕ, que ΗΘ es igual a ΠΙ y que ΗϠ no es menor que Θʕ, ϠH será mayor que Πϒ. Luego HϠ es mayor que el doble de ϠΘ. Sea Ηϒ el doble 10 de ϒΘ, y una vez trazada ϒΚ, prolónguese. De manera semejante a lo anterior[74], es evidente que el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará de modo que su eje 〈forme un 15 ángulo menor que Φ〉 con la superficie del líquido.

Se demostrará también de manera semejante[75] 〈que〉 si el segmento guarda en peso con el líquido la misma razón que el cuadrado construido sobre NT con el cuadrado construido sobre BD, depositado en el líquido de manera que su base no 20 esté en contacto con la superficie del líquido, se mantendrá inclinado de manera que su base esté en contacto con la superficie del líquido en un punto, y que su eje formará con la superficie del líquido un ángulo igual al ángulo de vértice en Φ.

Sea de nuevo[76] un segmento que guarde en peso con el líquido una razón mayor que la que guarda el cuadrado construido 25 sobre ΖΠ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, pero menor que la que guarda el cuadrado construido sobre ΞΟ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, y guarde el cuadrado construido 408 sobre Ψ con el cuadrado construido sobre ΒΔ la razón que guarda en peso el segmento con el líquido.

Es evidente que Ψ es mayor que ΖΠ pero menor que ΞΟ [Elem. V 10]. Insértese en el espacio entre los[77] ΑΞΔ y ΑΠΟΛ una recta ΦΙ, igual a Ψ y paralela 5 a ΒΔ, que corte a la parábola de en medio en el punto ϒ. De nuevo se demostrará que Φϒ es el doble de ϒΙ como se demostró que ΟΓ es el doble de ΞΓ[78]. Desde Φ trácese ΦΩ tangente al segmento ΑΠΟΛ en el punto Φ. De la misma manera que en lo anterior[79] se demostrará que AΙ es igual a XΙ y que AX es paralela a ΦΩ.

10 Se ha de demostrar que si se deposita el segmento en el líquido de modo que su base no esté en contacto con la superficie del líquido y se pone inclinado, se inclinará de modo que su base sea cortada por el líquido en un espacio mayor.

15 Deposítese, pues, en el líquido, como se ha dicho, y esté primero inclinado de tal modo 〈que su base en ningún punto〉 esté en contacto con la superficie del líquido, y una vez cortado mediante un plano que pase por el eje y perpendicular a la superficie del líquido, en la superficie del segmento resulta 20 como sección la parábola ΑΒΓ y en la del líquido la recta EZ, y sea ΒΔ el eje[80] y diámetro[81], y córtese ΒΔ por los puntos K, P de modo semejante a lo anterior[82], y trácense también la recta ΗΛ paralela a EZ y tangente a la sección[83] ΑΒΓ en el punto H, 410 la recta ΗΘ paralela a ΒΔ y la recta ΗΣ perpendicular a ΒΔ.

Puesto que el segmento guarda en peso con el líquido la razón del cuadrado construido sobre Ψ con el cuadrado construido sobre ΒΔ, es evidente que Ψ es igual a ΗΘ, pues se 5 demostrará de la misma manera que en lo anterior[84]. De modo que ΗΘ también es igual a ΦΙ y, por tanto, los segmentos AΦX, EBZ son iguales entre sí. Y puesto que en los segmentos iguales y semejantes ΑΠΟΛ, ΑΒΓ han sido trazadas las rectas AX, EZ 10 que cortan segmentos iguales, y una de ellas desde el extremo de la base, la otra no desde el extremo, la que ha sido trazada desde el extremo de la base formará con el diámetro del segmento un ángulo agudo menor. Y puesto que el ángulo Λ del triángulo ΗΛΣ es mayor que el ángulo Ω del triángulo ΦΤΩ, 15 está claro que Βς es menor que BT, que ςΡ es mayor que PT y que HϠ es mayor que ΦΗ. Por tanto ϠΘ es menor que HΙ. Y puesto que Φϒ es el doble de ϒΙ, es evidente que HϠ es mayor que el doble de 〈ϠΘ. Sea HA’ el doble〉 de A’Θ. A partir de 20 esto, está claro que el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará hasta que su base toque en un punto la superficie del líquido.

Tóquela en un punto como se dibujó en la tercera figura[85], y lo demás constrúyase igual.

25 De nuevo se demostrará que 412 ΘΗ es igual a ΦΙ y que los segmentos ΑΦΧ, ABZ son iguales entre sí. Y puesto que en los segmentos iguales y semejantes ΑΠΟΛ, ΑΒΓ han sido trazadas las rectas AX, AZ que cortan segmentos iguales, forman ángulos iguales con los diámetros 5 de los segmentos. Por tanto, los ángulos de vértice en Λ, Ω de los triángulos ΛΗΣ, ΦΤΩ son iguales, y la recta ΒΣ es igual a la BT, y la recta ΣΡ igual a la PT y la recta ΗϠ igual a la ΦΗ y la recta ϠΘ igual a la HΙ. Puesto que Φϒ es el doble de ϒΙ, está claro que HϠ es mayor que el doble de ϠΘ. Sea pues Ηsigno 10 el doble de signoΘ. Y de nuevo, a partir de esto, está claro que el segmento no permanecerá quieto, sino que se inclinará hacia el lado de A. Dado que se había supuesto que el segmento estaba en contacto con el líquido en un punto, está claro que la base estará comprendida por el líquido en un espacio mayor[86].

STOMACHION

INTRODUCCIÓN

Al igual que ocurría con el Método, la tradición nos había conservado memoria del título de este escrito. En textos del poeta Ausonio y de los gramáticos Ennodio, Atilio Fortunaciano y Mario Victorino[1] se mencionaba un loculus archimedius compuesto de «catorce láminas de marfil incluidas en una forma cuadrada»; Atilio Fortunaciano afirma que «solía aprovecharnos muchísimo para reforzar la memoria cuando éramos niños», y otros de los autores indican que las láminas podían utilizarse para componer con ellas diversas figuras —de nave, de espada, de arbolillo, de casco, de puñal, de columna…—. A falta de más testimonios, parecía que se trataba de una especie de rompecabezas o puzzle, un juego infantil que los antiguos usaran como estímulo de la imaginación o de las capacidades de intuición espacial, del que Arquímedes hubiera hecho materia para la investigación matemática, pero sin que supiéramos exactamente en qué sentido. En 1899, el orientalista Suter dio a conocer en traducción alemana un pasaje, conservado sólo en árabe[2], en el que, bajo el título Sobre la división de la figura Stomachion[3] en catorce figuras que guardan relación con ella, en una única proposición se resuelve la división de un rectángulo, con un lado doble del otro, en siete partes conmensurables con la figura completa, de dos maneras distintas, y con ello la división en catorce partes del cuadrado formado por dos rectángulos iguales, todas ellas conmensurables con dicho cuadrado.

El descubrimiento del palimpsesto de Jerusalén sacó a la luz, en estado especialmente lacunoso, ciertos pasajes en griega —que no conservan el dialecto dorio original— en los que leemos una breve presentación del tratado, homogénea en estilo con las que anteceden a otras obras de Arquímedes, parte del desarrollo de un primer teorema —de carácter propedéutico, según afirma el propio Arquímedes— y, por último, la parte correspondiente al trazado de la figura de un segundo teorema que parece ocuparse de la división de un cuadrado en cinco partes conmensurables con la figura completa de dos maneras distintas, con lo que se obtiene la división en diez partes del rectángulo formado por los dos cuadrados así divididos.

Heiberg entendía que el tratado podía tener por tema el establecimiento de la conmensurabilidad entre las piezas del juego y el cuadrado que se podía obtener con ellas y, basándose en la noticia de los gramáticos latinos, pensaba que la proposición conservada en árabe —la división de una figura en catorce partes— podía ser la proposición última del tratado. A pesar de esa afirmación, reconoce que alguna de las expresiones del pasaje introductorio le producían perplejidad[4]. También Dijksterhuis manifestaba su desconcierto[5]: «no puede asegurarse si el resultado (scil., el que se obtiene en el fragmento en árabe) era el pretendido o si desempeñaba algún papel y, en ese caso, cuál, en la investigación tal como fue anunciada».

El estado de la cuestión ha dado un vuelco importante gracias a los estudios que se vienen llevando a cabo desde la recuperación del palimpsesto. El artículo publicado por Netz, Acerbi y Wilson[6] sugiere que el Stomachion podría ser un estudio sobre un problema de combinatoria: el número de maneras posibles en las que puede formarse un cuadrado a partir de catorce figuras dadas. Los autores basan su hipótesis en los siguientes argumentos principales: aunque se creía que no existía una combinatoria griega, una anécdota relatada por Plutarco da testimonio de los conocimientos de combinatoria de Hiparco[7]; además, en el pasaje II 416, 16 —que Heiberg dio por ilegible— ha podido leerse la expresión «multitud de figuras», lo que les lleva a considerar que el tratado versa sobre el número de maneras en que pueden disponerse las catorce piezas del stomachion manteniendo la figura global de un cuadrado; en tercer lugar, el hecho de que el camino seguido por Arquímedes en el Stomachion pudo muy bien ser el mismo que empleó para probar la existencia de los trece sólidos semirregulares[8]: «el estudio, en términos generales, de ciertos condicionamientos en las posibles combinaciones de los ángulos y después, considerando esos condicionamientos, enumerar los casos posibles».

Esta hipótesis es, desde luego, más sugerente que admitir como resultado definitivo del tratado la división del cuadrado en siete partes conmensurables entre sí y con la figura entera y permite superar el estado de perplejidad expresado por Dijksterhuis. Pero no se puede dejar de reconocer que lo que de verdad interesaría al mundo matemático sería entrar en contacto con los razonamientos aducidos por Arquímedes en ese estudio; la mala fortuna de que el escriba del palimpsesto utilizara sólo uno de los folios de este tratado no ha permitido ir más allá.

Para la traducción hemos seguido la edición de Heiberg, que recoge el texto griego del palimpsesto, y la traducción alemana publicada por Suter, e incluye figuras preparadas por Heiberg y Heegaard a partir de los datos del texto. Indicamos mediante la cursiva los pasajes ilegibles para Heiberg y publicados ahora en el citado artículo de Netz, Acerbi y Wilson; indicamos en nota las divergencias entre ambas ediciones cuando exigen interpretaciones contrapuestas. En cuanto a la puntuación, el original griego está escrito en columnas cuyas líneas contienen de 21 a 26 letras sin separación de palabras, espíritus, acentos ni puntuación de ninguna clase; hay cierta tendencia a editar los textos matemáticos sin puntos y aparte, siguiendo el modelo de los manuscritos, pero hemos optado por incluir puntos y aparte donde las pausas de sentido parecían exigirlo. Para el título hemos optado por conservar la transcripción del griego, sumándonos en ello a la tradición establecida por los traductores de Arquímedes a otras lenguas modernas.

EL STOMACHION DE ARQUÍMEDESII 416

Como el llamado stomachion contiene variadas posibilidades de estudio de la transposición de las figuras que lo componen, consideré necesario exponerlo estudiando en primer lugar la magnitud de la figura entera[1] y las partes en que se divide y a qué figura 〈es semejante〉 cada una de ellas[2]; y luego también 6 queda dicho, además, cuáles son los ángulos que se toman juntos y cómo[3] para conocer el encaje de las figuras surgidas de ellos, y si los lados que se generan en las figuras están en línea 10 recta o si pasa desapercibido a la vista que les falta un poco, porque estas cosas requieren habilidad; y si les falta muy poco y pasa desapercibido a la vista, no por eso se han de rechazar las[4] que componen.

15 A partir de éstas[5] resulta una multitud de no pocas figuras por ser posible desplazarlas a otro lugar de la figura igual y de ángulos iguales… tomada de otra manera y tomando otra posición… A veces también de dos figuras que tomadas juntas en una figura son iguales 20 y semejantes a una figura o también de dos figuras 418 que tomadas juntas son iguales y semejantes a dos figuras se compone por transposición[6] un número mayor de figuras.

Anteponemos al tratado una demostración relativa a esto.

6 Sea ΖΓ un paralelogramo rectangular[7] y córtese en dos partes iguales EZ por el punto K y desde los puntos Γ, B[8] trácense ΓK, BE.

Se ha de demostrar que TB es mayor que BH.

Prolónguense ΓΚ, BZ y coincidan en el punto Δ y trácese la recta ΓΗ.

10 Puesto que EK es igual a KZ, también ΓΕ —esto es, BZ— es igual a ZΔ. De modo que ΓΖ es mayor que ΖΔ. Por tanto también el ángulo comprendido por ΖΔΓ es mayor que el comprendido por ΖΓΔ. Y los comprendidos por ΗΒΔ y ΖΓΒ son iguales, pues cada uno de ellos es medio recto. Luego el comprendido por ΓΗΒ también es mayor que el ΗΓΒ, puesto que el comprendido por ΓΗΒ es igual a los dos internos y opuestos 15 —los comprendidos por ΗΒΔ, ΗΔΒ—. De modo que ΓΒ es mayor que BH. Luego, si se corta ΓΗ por la mitad por el punto X, el ángulo comprendido por ΓΧΒ será obtuso —puesto que ΓΧ es igual a XH y XB es común, los dos son iguales a los dos[9]— y la base ΓΒ es mayor que la BH. Luego también el ángulo es 20 mayor que el ángulo[10]. Por tanto, el comprendido por ΓΧΒ es obtuso y su contiguo es agudo. Por otro lado, el comprendido por ΓΒΗ es medio recto —pues se ha supuesto que el paralelogramo es equiángulo— y el comprendido por BXH es agudo.

25 Y además tampoco son iguales los restantes ΓΒΗ[11], y ésta[12] 25 se compone y se divide con la siguiente 〈parte〉[13].

Sea AB un área rectangular con un lado doble que el otro… 420 que tiene el lado ΓΑ doble que el ΓΒ y que tiene por diámetro la línea AB con el espesor no…[14] poder encajarse por tener la disposición de las secciones en línea recta.

6 Córtese ΓΑ por la mitad por el punto E y por el punto E trácese EZ paralela a ΒΓ. Entonces, ΓΖ, ZA son cuadrados. Trácense los diámetros ΓΔ, BE, ΕΔ y córtense por la mitad los lados ΓΗ, ΕΔ por los puntos Θ, X, y trácense ΒΘ, XZ, y 10 por los puntos 〈X〉, K trácense las rectas K〈Λ, X〉Ξ[15] paralelas a ΒΔ. Por el teorema anterior, por tanto, es evidente que el ángulo de vértice en Θ del triángulo ΒΓΘ es obtuso y el restante agudo. Y también es evidente que es mayor…[16].

* * *

EL LIBRO DE ARQUÍMEDES15 SOBRE LA DIVISIÓN DE LA FIGURA STOMACHION EN CATORCE FIGURAS QUE GUARDAN RELACIÓN CON ELLA[17]

Trazamos un paralelogramo, sea el ABGD, cortamos por la mitad BG por el punto E, trazamos EZ perpendicular a BG, trazamos las diagonales AG, BZ y ZG, cortamos igualmente 20 por la mitad BE por el punto H y trazamos HT perpendicular a BE; entonces ponemos la regla en el punto H y la dirigimos hacia el punto A y trazamos HK, cortamos por la mitad AL por el punto M y trazamos BM, y de ese modo el rectángulo AE ha 421 sido dividido en siete partes. Cortamos ahora por la mitad GD por el punto N y lo mismo ZG por el punto C, trazamos EC, colocamos la regla en los puntos B y C y trazamos CO; trazamos además CN, y de ese modo también el rectángulo ZG, si bien de una manera distinta al primero, ha sido dividido en 5 siete partes y, con ello, el cuadrado entero en catorce partes.

Ahora demostraremos que cada una de las catorce partes guarda con el 10 cuadrado entero una relación de conmensurabilidad.

Puesto que ZG es la diagonal del rectángulo ZG, entonces el triángulo DZG 15 es la mitad de ese rectángulo 422 y, por tanto, la cuarta parte del cuadrado. Pero el triángulo GNC es un cuarto del triángulo DZG, puesto que si prolongamos EC, llega al punto D, y entonces el triángulo GDC es la mitad del DZG e igual a la suma de los dos triángulos GNC y DNC; por tanto, el triángulo GNC es 1/16 del cuadrado5.

Si además suponemos que la línea OC llega hasta el punto B, como efectivamente fue trazada, entonces la línea NC es paralela al lado BG del cuadrado o del triángulo OBG; entonces se tiene la proporción [Elem. VI 2] BG : NC :: GO : NO. Y BG 10 es el cuádruplo de NC, luego también GO es el cuádruplo de NΟ; por tanto, GN es el triple de NO y el triángulo GNC es igual al triple de ONC [Elem. VI 1], Y dado que, como hemos demostrado, el triángulo GNC es 1/16 del cuadrado, entonces el triángulo ONC es 1/48 del cuadrado15.

Puesto que, además, el triángulo GDZ es 1/4 del cuadrado y, por tanto, GNC es 1/16 del mismo y el triángulo NCO 1/48 del mismo, entonces queda que el cuadrilátero DOCZ es igual a 1/6 del área del cuadrado.

Según la hipótesis[18], si la línea NC va más lejos pasando por 20 el punto F, CF sería paralela a GE; por tanto, se tiene la proporción [Elem. VI 4] EG : CF = EQ :: CQ = GQ : FQ. Puesto que EQ = 2CQ y GQ = 2FQ[19], entonces el triángulo EQG es el doble de cada uno de los triángulos GCQ y EFQ [Elem. VI 1], Y está claro que el triángulo EGZ = 2EFG [Elem. VI 1], puesto que ZE 25 = 2FE. Pero el triángulo EGZ es igual a 1/4 del cuadrado, luego el triángulo EFG es 1/8 de ese mismo cuadrado. Pero éste[20] es el triple de cada uno de los dos triángulos EFQ y GCQ; por tanto, cada uno de estos dos triángulos es 1/24 del cuadrado 423 AG. Y el triángulo EGQ es el doble de cada uno de los dos triángulos EFQ y GCQ; por tanto, es 1/12 del cuadrado.

Puesto que además ZF = EF, entonces el triángulo ZFG es igual al EFG [Elem. VI 1]; y si restamos[21] los triángulos GCQ = EFQ, entonces queda el cuadrilátero FQCZ igual al triángulo 5 EGQ; por tanto, también el cuadrilátero FQCZ es igual a 1/12 del cuadrado AG.

Tenemos ahora el rectángulo ZG dividido en siete partes y pasamos ahora a la partición del otro rectángulo.

Puesto que BZ y EC son dos diagonales paralelas [Elem. VI 2] y ZF es igual a EF, entonces el triángulo ZLF es igual a EFQ [Elem. 10 VI 19], con lo cual el triángulo ZLF = 1/24 del cuadrado AG.

Puesto que BH = HE, entonces el triángulo BEZ es el cuádruple del triángulo BHT; por tanto, cada uno de los mismos es rectángulo[22]. Pero puesto que el triángulo BEZ es 1/4 del cuadrado ABGD, entonces el triángulo BHT es 1/16 del mismo. Según nuestra hipótesis, si la línea HK va más allá, pasa por el 15 punto A; por tanto se tiene la proporción [Elem. VI 4] AB : HT = BK : KT.

Pero AB = 2HT[23], luego también BK = 2KT, con lo cual BT = 3KT; por tanto el triángulo BHT es el triple del triángulo KHT [Elem. VI 1], Y puesto que el triángulo BHT es 1/16 del cuadrado entero, entonces el triángulo KHT es 1/48 del mismo. 20 Y el triángulo BKH es el doble del triángulo KHT [Elem. VI 1], luego es igual a 1/24 del cuadrado.

Puesto que, además, BL = 2ZL[24] y AL = 2LF, entonces el triángulo ABL es el doble del triángulo ALZ y el triángulo ALZ el doble del ZLF [Elem. VI 1], Y puesto que, por otra parte, el triángulo ZLF es 1/24 del cuadrado entero, entonces el 25 triángulo ALZ es 1/12 del mismo y, por tanto, el triángulo ABL es 1/6.

Pero el triángulo ABM es igual al triángulo BML [Elem. VI 1], por tanto cada uno de estos dos triángulos es 1/12 del cuadrado.

424 Y queda que el pentágono LFEHT es igual a la mitad de un sexto más la mitad de un octavo del cuadrado entero[25].

Por consiguiente, hemos dividido en siete partes el cuadrado AE, con lo cual la figura completa ABGD ha sido dividida en catorce partes que guardan razón con ella; lo que había que 5 hacer.

EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES SOBRE LOS TEOREMAS MECÁNICOS, A ERATÓSTENES

INTRODUCCIÓN

El Método es, sin duda, la obra de Arquímedes que en los últimos tiempos más interés ha despertado tanto entre los especialistas como, en general, entre el público culto: la peripecia casi novelesca que ha rodeado su transmisión ha contribuido enormemente a ello, y probablemente es el tratado arquimedeo que más tinta ha hecho correr en los poco más de cien años que han transcurrido desde que Heiberg lo dio a conocer[1]. Sus apariciones y desapariciones y las dificultades inherentes a la lectura del palimpsesto que la ha conservado la rodean de un halo de misterio que podría llevarnos a creer que Arquímedes trató su método como sí pretendiera mantenerlo en el terreno de lo arcano. Pero nada más lejos de la verdad. De hecho, tan pronto como Arquímedes alcanzó por este método el primer resultado significativo, la cuadratura del segmento parabólico, ya mencionó a sus corresponsales alejandrinos el «método mecánico» (Cuadr. paráb. 266, 1 y ss.), y en el propio Método afirma: «al redactar el método he pretendido sacarlo a la luz a la vez porque previamente había hablado en favor de él —no fuera que les pareciera a algunos que había estado hablando palabras vanas— y al mismo tiempo porque estaba convencido de que arrojaría no pequeña utilidad para la matemática», de lo que podemos deducir que en algún otro escrito no conservado ya había aludido más ampliamente a este recurso. Además, el texto fue objeto de estudio y comentario en la Antigüedad, pues Herón lo cita en sus Métrica y la Suda nos informa de que en el siglo I a. C. el astrónomo y matemático Teodosio redactó un comentario sobre esta obra. Su difusión fue tal que en el curso de las sucesivas copias llegó a perder los rasgos dialectales dorios que todavía Eutocio en el siglo VI consideraba característicos del siracusano; incluso fue reescrita en el dialecto común helenístico-romano —caso que no se dio, por ejemplo, con el tratado Sobre las líneas espirales— y en su texto se introdujeron, como en el resto de las obras conservadas, glosas y peculiaridades terminológicas ajenas a Arquímedes[2].

El tratado conserva la carta con que fue remitido a Eratóstenes, que no era la primera correspondencia cruzada entre ambos, pues Arquímedes afirma haberle enviado antes los enunciados de los teoremas que había descubierto y haberle invitado a descubrir las demostraciones por sí mismo.

La carta anticipa y destaca los contenidos más significativos del escrito al que acompaña: por primera vez en sus investigaciones sobre cubaturas Arquímedes ha conseguido hallar equivalencias exactas entre sólidos comprendidos parcialmente por curvas —la uña cilíndrica y la doble bóveda cilíndrica— y sólidos limitados exclusivamente por rectas y aprovecha la comunicación de estos hallazgos para mostrar a Eratóstenes este método, de utilidad «para poder investigar algunos asuntos matemáticos por medio de la mecánica» y del que espera que sirva a algunos para descubrir «incluso otros teoremas que aún no se me han ocurrido».

Siguen once lemas y quince proposiciones[3], de las cuales las 6, 7, 13, 14 y 15 presentan importantes lagunas[4]. En las primeras once proposiciones Arquímedes ejemplifica el uso de su método exponiendo los razonamientos mecánicos que le llevaron a descubrir las hipótesis de ciertos teoremas que luego demostró geométricamente, «porque la investigación por este método carece de demostración; y es más fácil avanzar en la demostración tras haber alcanzado por anticipado cierto conocimiento de las cuestiones gracias a este método que hacer la investigación sin conocer nada». Va recorriendo así los principales hallazgos de otros tratados suyos conservados —la medida del segmento parabólico y de la superficie de la esfera[5]; las de los volúmenes de la esfera, el elipsoide, el paraboloide, el casquete esférico y de los segmentos de hiperboloide y de elipsoide[6]— y no conservados —determinación de los centros de gravedad del segmento de paraboloide, de la semiesfera, del casquete esférico y del segmento de elipsoide y del hiperboloide[7]—. A continuación figura el estudio de la medida de la uña cilíndrica[8] por el método (props. 12-14) y la correspondiente demostración geométrica (prop. 15). Éste es el final del texto recuperado. Debían de seguir a éstas otras proposiciones en las que se realizaran los mismos estudios sobre la doble bóveda cilíndrica y, probablemente, la repetición de la demostración geométrica relativa a la medida del segmento parabólico, pues así se lo anuncia Arquímedes a Eratóstenes en la misiva que le envía. Cabe la posibilidad de que se incluyeran otras demostraciones, ya que generalmente Arquímedes en estas cartas no hace enumeración completa del contenido de los tratados, y el texto, calculando las posibilidades de contenido de un rollo antiguo, podría perfectamente haber tenido hasta el doble de la extensión de lo que nos ha llegado: pero no es posible afirmar nada con certeza sobre ese punto.

El método que Arquímedes da a conocer es un recurso que él mismo considera insuficiente para la demostración, pero útil a efectos heurísticos: mediante secciones de las figuras de n + 1 dimensiones que se propone estudiar, alcanza relaciones de igualdad o proporcionalidad entre las secciones resultantes (ahora de n dimensiones) de la figura en cuestión y las secciones de otra figura cuya medida es conocida, relaciones que quedan medidas calculando los equilibrios ideales de las mismas en una balanza también ideal; el argumento siguiente es: puesto que las figuras en cuestión (de n +1 dimensiones) podrían «completarse» mediante series de secciones (de n dimensiones) trazadas del mismo modo, se puede descubrir la medida —en igualdad o proporción— de la figura objeto de estudio. Ahora bien, ¿quién, entre los matemáticos griegos de la Antigüedad, aceptaría como planteamiento geométrico que la superficie se compone de líneas o que el sólido se compone de planos? Esa cuestión estaba tratada y debatida desde antes de que Euclides redactase sus Elementos[9]; de ahí que se haya interpretado que el recurso a los indivisibles es la razón de la «insuficiencia» probatoria del método, más que el recurso a la mecánica.

Efectivamente, ésa es la posición de Dijksterhuis[10], aunque otros autores, como Sato y Knorr[11], llegan a la conclusión de que los matemáticos griegos aceptaban como válidos los argumentos con indivisibles. Por su parte, R. Netz, K. Saito y N. Tchernetska[12], a tenor del texto de la prop. 14 que ellos han recuperado, plantean la cuestión en términos más complejos. Mientras que en las proposiciones 1-13 Arquímedes emplea tanto la mecánica como los indivisibles, la proposición 14 recurre sólo a los indivisibles; la presencia de una única palabra, de lectura dudosa[13], les lleva a entender que Arquímedes utiliza el lema 11 para la suma de una serie proporcional infinita (en Con. esf. 1 Arquímedes había demostrado la validez del lema para series finitas); de aceptar su lectura e interpretación, sería necesario, como ellos sugieren, replantear no sólo la estructura general del Método, sino también la interpretación de la prehistoria del cálculo. La cuestión, sin duda, merece un debate más extenso —que debería incluir tanto los aspectos paleográficos como los matemáticos—, debate que aún no ha podido tener lugar en razón de lo reciente del hallazgo.

Por último, una breve nota textual: a primera vista, no habiendo más que un único manuscrito, el palimpsesto, debería ser un caso sencillo, pero el estado en que el texto ha podido ser recuperado dista de ser el ideal[14] y los materiales que pone ante nuestros ojos nos enfrentan a múltiples dificultades. Adelantábamos antes que algunas de las proposiciones se conservan en estado lacunoso: fueron objeto de estudio para Zeuthen, que intentó recrear las demostraciones, y Heiberg ofrece la versión latina de esa recreación[15]. En nuestra traducción figuran en redonda los pasajes procedentes del texto griego y en cursiva los pasajes traducidos a partir de la versión latina de Zeuthen reproducida por Heiberg. En cuanto a la proposición 14, los folios en los que figuraba se hallaban en un estado tan deteriorado que Heiberg renunció incluso a fotografiarlos, y su texto era tan incompleto que ni siquiera era posible seguir el curso de los razonamientos. Como adelantábamos más arriba, esos folios han podido ser leídos recientemente gracias a los avances logrados en los procesos de tratamiento informático de imágenes, y Netz, Saito y Tchernetska han publicado el texto completo de esta proposición en los artículos citados (cf. n. 12). Las diferencias entre este texto y el recuperado por Heiberg son tales que se hace imposible completar la lectura más antigua con la más reciente, de modo que nos ha parecido lo más oportuno ofrecer la traducción de esta última en Apéndice.

II 426 EL MÉTODO DE ARQUÍMEDES SOBRE LOS TEOREMAS MECÁNICOS, A ERATÓSTENES

Arquímedes a Eratóstenes, salud.

5 Te envié antes los teoremas que había descubierto escribiéndote los enunciados, invitándote a descubrir sus demostraciones que, hasta el momento, no te había comunicado. Los enunciados de los teoremas que te mandé eran los siguientes.

Del primero: si en un prisma recto que tiene por base un paralelogramo[1] se inscribe un cilindro con sus bases en los 10 paralelogramos opuestos y sus generatrices en los restantes planos del prisma, y por el centro del círculo que es base del cilindro y por un lado del cuadrado del plano opuesto se traza un 15 plano, el plano trazado cortará del cilindro un segmento, que está comprendido por dos planos y la superficie del cilindro —uno, el trazado; el otro, aquél en que está la base del cilindro; la superficie, la que está entre los planos dichos—, y el segmento 20 cortado del cilindro será la sexta parte del prisma entero.

Del otro teorema el enunciado es el siguiente: si en un cubo se inscribe un cilindro con sus bases en los paralelogramos opuestos y su superficie tangente a los cuatro planos 25 restantes, y en el mismo cubo se inscribe otro cilindro con sus 428 bases en otros paralelogramos y su superficie tangente a los cuatro planos restantes, la figura comprendida por las superficies 5 de los cilindros que está en ambos cilindros es dos tercios de todo el cubo.

Ocurre que estos teoremas son distintos de los que descubrí primero, pues aquellas figuras —los conoides y los elipsoides y sus segmentos— las comparábamos en magnitud con figuras de 11 conos y cilindros y se halló que ninguna de ellas era igual a una figura sólida comprendida por planos, mientras que cada una de estas figuras, comprendidas por dos planos y superficies de 15 cilindro, ha sido hallada igual a una de las figuras sólidas comprendidas por planos.

Tras redactar las demostraciones de estos teoremas en este libro, te las mandaré[2].

Y al ver, como digo, que eres estudioso y que destacas considerablemente en filosofía y que aprecias la investigación 20 matemática cuando es el caso, probé a escribirte y a definir en este mismo libro la peculiaridad de cierto método mediante el cual, cuando te lo haya proporcionado, te será posible disponer de recursos para poder investigar algunos asuntos matemáticos 25 por medio de la mecánica. Estoy persuadido de que esto es no menos útil también para la demostración de estos mismos teoremas, pues algunas de las cosas que primero se me mostraron por medio de la mecánica luego las demostré por medio de la geometría, porque la investigación por este método carece de 30 demostración; y es más fácil avanzar en la demostración tras haber alcanzado por anticipado cierto conocimiento de las 430 cuestiones gracias a este método que hacer la investigación sin conocer nada.

… por lo cual, de estos teoremas sobre el cono y la pirámide cuya demostración Eudoxo fue el primero en descubrir, que el 5 cono es la tercera parte del cilindro y la pirámide lo es del prisma, cuando tienen la misma base e igual altura, atribuiría uno no pequeña parte a Demócrito, el primero que manifestó sin demostración el aserto relativo a dicha figura.

10 Pues a mí me ocurre en el caso del teorema que ahora edito que su descubrimiento ha sido semejante a los recién mencionados: al redactar el método he pretendido sacarlo a la luz a la vez porque previamente había hablado en favor de él —no fuera que les pareciera a algunos que había estado hablando palabras vanas— y al mismo tiempo porque estaba convencido de 15 que arrojaría no pequeña utilidad para la matemática. Pues sostengo que algunos, bien de los presentes, bien de los venideros, mediante el método que doy a conocer descubrirán incluso otros teoremas que aún no se me han ocurrido.

Así, escribo en primer lugar lo que también lo primero se me hizo patente mediante la mecánica: que todo segmento de la 20 sección de un cono rectángulo es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura, y después de eso, cada uno de los teoremas obtenidos mediante el mismo método. Al final del libro escribo las demostraciones geométricas de aquellos teoremas cuyos enunciados te envié antes26.

LEMAS[3]

1. Si de una magnitud se quita una magnitud y el mismo punto es centro de gravedad de la magnitud entera y de la quitada, 432 el mismo punto es centro de gravedad de la magnitud restante.

2. Si de una magnitud se quita una magnitud y el centro de gravedad de la magnitud entera y la magnitud quitada no es el 5 mismo punto, el centro de gravedad de la magnitud restante se encuentra en[4] la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y de la magnitud quitada, una vez prolongada y quitada 10 de ella[5], que guarde con la recta situada entre los dichos centros de gravedad la misma razón que guarda el peso de la magnitud quitada con el peso de la magnitud restante.

3. Si en cualquier número de magnitudes el centro de gravedad[6]15 está sobre la misma recta, también el centro de gravedad de la magnitud compuesta de todas ellas estará sobre la misma recta[7].

4. El centro de gravedad de toda recta es el punto medio de la recta[8] [Equil. plan. 14].

20 5. El centro de gravedad de todo triángulo es el punto en el que se cortan las rectas trazadas desde los ángulos del triángulo hasta los puntos medios de los lados[9] [Equil. plan. 114].

6. El centro de gravedad de todo paralelogramo es el punto en el que se cortan las diagonales [Equil. plan. 110].

26 7. El centro de gravedad dé un círculo es el centro del círculo.

8. El centro de gravedad de todo cilindro es el punto medio del eje.

30 9. El centro de gravedad de todo prisma es el punto medio del eje.

434 10. El centro de gravedad de todo cono está en su eje dividido de tal manera que el segmento del lado del vértice sea el triple que el resto.

11. Usaremos también el siguiente teorema[10]: si un número 5 cualquiera de magnitudes guardan de dos en dos, las dispuestas de modo semejante, la misma razón que otras magnitudes, iguales en número, y las primeras magnitudes guardan con otras magnitudes las razones que sea —bien todas, bien algunas de ellas— y las segundas magnitudes están en las mismas razones con otras magnitudes, la suma de todas las primeras magnitudes guardará 10 con la suma de todas las magnitudes correspondientes la misma razón que guarda la suma de todas las segundas magnitudes con todas las magnitudes correspondientes [Con. esf. 1].

PROPOSICIÓN 1

15 Sea el segmento ABΓ contenido por la recta AΓ y por la sección ABΓ de un cono rectángulo; y córtese ABΓ por la mitad por el punto Δ y trácese la recta ΔBE paralela al diámetro y trácense AB, BΓ.

Digo que el segmento ABΓ es cuatro tercios del triángulo ABΓ.

20 Desde los puntos A, Γ trácense la recta AZ, paralela a ΔBE, y la ΓZ, tangente a la sección, y prolónguese ΓB hacia K, y sea KΘ igual a ΓK. Considérese ΓΘ una balanza y K su punto medio y MΞ una paralela cualquiera a EΔ.

436 Puesto que ΓBA es una parábola y ΓZ le es tangente y ΓΔ es una ordenada, EB es igual a BΔ —pues esto se demuestra en los Elementos[11]—. Por ello y porque las rectas ZA, MΞ son paralelas 5 a EΔ, MN es igual a NΞ y ZK a KA. Y puesto que ΓA es a AΞ como MΞ a ΞO[12] y, por otro lado, ΓA es a AΞ como ΓK a KN [Elem. VI 2; V 18] y ΓK es igual a KΘ, entonces, ΘK es 11 a KN como MΞ a ΞO. Y puesto que el punto N es el centro de gravedad de la recta MΞ, ya que MN es igual a NΞ [Lema 4], entonces si ponemos TH igual a ΞO y como centro de gravedad de ella[13] el punto Θ, de modo que TΘ sea igual a ΘH, TΘH estará 15 en equilibrio con MΞ, si permanece en el mismo lugar, por haber sido cortada ΘN de modo inversamente proporcional a los pesos TH, MΞ, y ΘK será a KN como MΞ a HT [Equil. plan. I 6-7], De manera que el centro de gravedad del peso compuesto por ambas es K [Lema 3].

20 De modo similar, cuantas paralelas a EΔ se tracen en el triángulo ZAΓ, si permanecen en su mismo sitio, estarán en equilibrio con las rectas tomadas de ellas en la sección una vez transportadas a Θ de tal manera que el centro de gravedad del peso de ambas sea K.

Y puesto que el triángulo ΓZA está compuesto por las rectas 25 que hay en el triángulo ΓZA, mientras que el segmento ABΓ está compuesto por las rectas de la sección tomadas de manera semejante a ΞO, entonces el triángulo ZAΓ, si permanece en su mismo sitio, estará en equilibrio, con relación al punto K, con el segmento de la sección en torno al centro de gravedad Θ, de modo que el centro de gravedad de la suma de 30 ambos[14] sea K.

Córtese ΓK por el punto X de manera que ΓK sea el triple que KX; entonces el punto X será el centro de gravedad del 438 triángulo AZΓ —ya está demostrado en los libros Sobre el equilibrio [Lema 5]—. Puesto que el triángulo ZAΓ, si permanece en su mismo sitio, se equilibra, en relación al punto K, con el segmento BAΓ en torno al centro de gravedad Θ y puesto que X 5 es el centro de gravedad del triángulo ZAΓ, entonces el triángulo AZΓ es al segmento ABΓ situado en torno al centro Θ como ΘK es a XK. Y ΘK es el triple de KX. Luego también el triángulo AZΓ es el triple del segmento ABΓ. Y además, por otro 10 lado, el triángulo ZAΓ es el cuádruple del triángulo ABΓ, por ser igual ZK a KA y AΔ a AΓ[15]; luego el segmento ABΓ es cuatro tercios del triángulo ABΓ[16].

PROPOSICIÓN 2

16 Lo anterior no queda demostrado mediante lo que se ha dicho ahora, pero ha producido cierta impresión de que la conclusión es verdadera. Por eso nosotros, al ver que no queda demostrado pero sospechando que la conclusión es verdadera, pondremos en su lugar la demostración geométrica que 20 descubrimos, la que publicamos hace tiempo[17].

Que toda esfera es el cuádruple del cono que tiene su base igual a un círculo máximo de la esfera y altura igual al radio de la esfera, y que el cilindro que tiene su base igual a un círculo 25 máximo de la esfera y altura igual al diámetro de la esfera es una vez y media la esfera, se estudia por este método así:

30 Sea una esfera en la que ABΓΔ es un círculo máximo y AΓ, 440 BΔ son diámetros perpendiculares entre sí y sea en la esfera un círculo de diámetro BΔ perpendicular al círculo ABΓΔ y, a partir de este círculo perpendicular[18], constrúyase un cono con el 5 punto A como vértice y, una vez trazada su superficie, córtese el cono mediante un plano paralelo a la base por el punto Γ. Producirá un círculo perpendicular a AΓ, y EZ será su diámetro. A partir de este círculo constrúyase un cilindro de eje igual 10 a AΓ y sean EΛ, ZH las generatrices del cilindro. Y prolónguese ΓA y sea igual a ella AΘ, y considérese ΓΘ una balanza y su punto medio A, y trácese una recta MN que sea paralela a BΔ y corte ésta al círculo ABΓΔ en los puntos Ξ, O y al diámetro AΓ 15 en el punto Σ, y a la recta AE en el punto Π y a la recta AZ en el punto P y sobre la recta MN álcese un plano perpendicular a AΓ; éste producirá como sección en el cilindro un círculo, cuyo diámetro será MN y en la esfera ABΓΔ otro círculo cuyo diámetro será ΞO, y en el cono 21 AEZ otro círculo cuyo diámetro será ΠΡ.

Y puesto que el rectángulo comprendido por ΓA, AΣ es igual al comprendido por MΣ, ΣΠ —pues AΓ es igual a ΣM y AΣ es igual a ΠΣ [Elem. VI 4]— 25 y, a la vez, el cuadrado de lado AΞ —es decir, la suma de los cuadrados de lados ΞΣ, ΣΠ [Elem. I 47]—, es igual al rectángulo comprendido por ΓA, AΣ [Elem. VI 8, corol.], entonces el rectángulo comprendido por MΣ, ΣΠ es igual a la suma de los cuadrados de lados ΞΣ, ΣΠ. Y puesto que ΓA es a AΣ como MΣ a ΣΠ y, por otro lado, ΓA es igual a AΘ, entonces ΘA es a AΣ como MΣ es a ΣΠ —esto es, como el cuadrado de lado MΣ al rectángulo comprendido por MΣ, ΣΠ—. Y se había demostrado 30 que la suma de los cuadrados de lados ΞΣ, ΣΠ era igual al rectángulo comprendido por ΜΣ, ΣΠ. Luego AΘ es a AΣ como el cuadrado de lado MΣ a la suma de los cuadrados de lados ΞΣ, 442 III. Por otra parte, el cuadrado de lado MΞ es a la suma de los cuadrados de lados ΞΣ, ΞΠ como el cuadrado de lado MN a la suma de los cuadrados de lados ΞO, ΠP [Elem. V 15] y, a su vez, el cuadrado de lado MN es a la suma de los cuadrados de lados ΞO, ΠP como el círculo de diámetro MN —en el cilindro— es a la suma de los dos círculos, el de diámetro ΠP —en 5 el cono— y el de diámetro ΞO —en la esfera— [Elem. XII 2]: luego ΘΑ es a ΑΣ como el círculo en el cilindro es a la suma de los círculos en la esfera y el cono.

10 Por consiguiente, puesto que ΘA es a AΣ como el propio círculo del cilindro, si permanece en su mismo sitio, es a la suma de los dos círculos que tienen por diámetros ΞO, ΠP, una vez transportados y puestos en Θ, de tal manera que Θ sea el centro de gravedad de cada uno de ellos, estarán en equilibrio con relación al punto A[19]15.

De la misma manera se demostrará también que, si en el paralelogramo ΛZ se traza otra paralela a EZ y por la recta trazada se construye un plano perpendicular a AΓ, el círculo producido en el cilindro, si permanece allí mismo, estará en equilibrio respecto al punto A con la suma de los dos círculos, el 20 producido en la esfera y el del cono, una vez transportados y puestos en la balanza en el punto Θ, de tal manera que el punto Θ sea el centro de gravedad de cada uno de ellos.

Y una vez completados el cilindro y la esfera y el cono mediante 25 los círculos tomados de esa manera, el cilindro, si permanece en su mismo sitio, estará en equilibrio respecto al punto A con ambos, la esfera y el cono, una vez transportados y puestos en la balanza en el punto Θ, de tal manera que Θ sea el 29 centro de gravedad de cada uno de ellos. Y puesto que los sólidos indicados están en equilibrio respecto al punto A, si el cilindro 444 permanece con centro de gravedad en K, y la esfera y el cono se transportan, como se ha dicho, al centro de gravedad Θ, ΘA será a AK como el cilindro a la suma de la esfera y el cono [Equil. plan. I 6-7]. Y ΘA es el doble de AK; luego también el 5 cilindro es el doble de la suma de ambos, la esfera y el cono; y a la vez es el triple del propio cono [Elem. XII 10]. Luego tres conos son iguales a esos mismos dos conos más dos esferas. Réstense en común los dos conos[20]; entonces, un cono, el que en sección por el eje da el triángulo AEZ, es igual a las dos esferas mencionadas. Y el cono que en sección por el eje da el 10 triángulo AEZ es igual a ocho conos que tengan por sección en el eje al triángulo ABΔ [Elem. XII 12], por ser EZ el doble de BΔ. Luego los ocho conos mencionados son iguales a dos esferas; 15 luego la esfera cuyo círculo máximo es ΑΒΓΔ es el cuádruple del cono que tiene por vértice el punto A y por base el círculo de diámetro BΔ que es perpendicular a AΓ.

20 Por los puntos B, Δ trácense en el paralelogramo ΛZ las rectas ΦBX, ΨΔΩ paralelas a AΓ y considérese un cilindro que tenga por bases los círculos de diámetros ΦΨ, XΩ y por eje AΓ.

Puesto que el cilindro que en sección por el eje da el paralelogramo ΦΩ es el doble del cilindro que en sección por el eje da 26 el paralelogramo ΦΔ [Elem. XII 14] y este mismo es el triple del cono que en sección por el eje da el triángulo ABΔ —como en los Elementos [Elem. XII 10]— entonces el cilindro que en 30 sección por el eje da el paralelogramo ΦΩ es el séxtuplo del cono que en sección por el eje da el triángulo ABΔ. Y se había demostrado que la esfera cuyo círculo máximo es ABΓΔ era el 446 cuádruple de este cono. Luego el cilindro es una vez y media la esfera, que es lo que había que demostrar.

5 Una vez estudiado esto, que toda esfera es el cuádruple del cono que tiene por base su círculo máximo y la altura igual al radio de la esfera, se me ocurrió que la superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los de la esfera. Y es que mi suposición había sido que, puesto que todo círculo es igual a 10 un triángulo que tiene por base la circunferencia del círculo y la altura igual al radio del círculo[21], también toda esfera es igual al cono que tiene por base la superficie de la esfera y la altura igual al radio de la esfera 15.

PROPOSICIÓN 3

Por este método se estudia también que el cilindro que tiene la base igual al círculo mayor de un elipsoide de revolución y la altura igual al eje del elipsoide es una vez y media el elipsoide20.

Una vez estudiado esto, es evidente que al ser cortado cualquier elipsoide mediante un plano que pase por el centro y perpendicular al eje, la mitad del elipsoide es el doble del cono que tiene la misma base que el segmento y el mismo eje[22]25.

Sea, pues, un elipsoide y córtelo un plano que pase por su eje y resulte en su superficie la elipse ΑΒΓΔ y sean los diámetros[23] de ésta AΓ, BΔ y su centro K, y sea en el elipsoide un círculo 30 de diámetro BΔ perpendicular a AΓ, y considérese un cono 448 que tiene por base el círculo indicado y por vértice el punto A, y una vez trazada la superficie del cono, córtese éste mediante un plano paralelo a la base que pase por el punto Γ. Su sección 5 será un círculo perpendicular a AΓ, y su diámetro será EZ. Por otro lado, sea también un cilindro que tenga por base el mismo círculo cuyo diámetro es EZ y por eje la recta AΓ y, una vez prolongada ΓA, sea AΘ igual a ella, y considérese ΘΓ una balanza 10 y A su punto medio, y trácese la recta MN paralela a EZ en el paralelogramo ΛZ, y por MN constrúyase un plano perpendicular a AΓ: éste producirá en el cilindro como sección un círculo cuyo diámetro será MN, en el elipsoide producirá 15 como sección un círculo cuyo diámetro será ΞO y en el cono producirá como sección un círculo cuyo diámetro será ΠP[24].

Y puesto que ΓA es a ΑΣ como EA es a AΠ [Elem. VI 4], es decir, como MΣ a ΣΠ [Elem. V 18; VI 4] y, por otra parte, ΓA es igual a AΘ, entonces 20 ΘA es a AΣ como MΣ es a ΣΠ. Y MΣ es a ΣΠ como el cuadrado de lado MΣ es al rectángulo comprendido por MΣ, ΣΠ.

Por otro lado, los cuadrados de ΠΣ, ΣΞ son iguales al rectángulo comprendido por MΣ, ΣΠ. Puesto que el rectángulo comprendido por AΣ, ΣΓ es al cuadrado de lado ΣΞ como el rectángulo comprendido por AK, KΓ —es decir, el cuadrado de 25 lado AK— es al cuadrado de lado KB[25]; y por otro lado el cuadrado de lado AK es al cuadrado de lado KB como el cuadrado de lado AΣ es al cuadrado de lado ΣΠ [Elem. VI 4]; entonces, tomando la proporción en alternancia[26], el cuadrado de lado AΣ será al rectángulo comprendido por AΣΓ como el cuadrado de lado ΠΣ al cuadrado de lado ΣΞ. Por otro lado, el cuadrado 450 de lado AΣ es al rectángulo comprendido por ΑΣΓ como el cuadrado de lado ΣΠ al rectángulo comprendido por ΣΠ, ΠM [Elem. VI 4]. Luego el rectángulo comprendido por ΜΠ, ΠΣ será igual al cuadrado de lado ΞΣ [Elem. V 9]. Súmese en común[27] el cuadrado de lado ΠΣ; entonces, el rectángulo comprendido por MΣ, ΣΠ será igual a la suma de los cuadrados de lados ΠΣ, ΣΞ [Elem. II 3]. Luego ΘA es a AΣ como el cuadrado 5 de lado MΣ es a los cuadrados de lados ΠΣ, ΣΞ. Y el cuadrado de lado ΜΣ es a la suma de los cuadrados de lados ΣΞ, ΣΠ como el círculo que hay en el cilindro y cuyo diámetro es MN es a la suma de los dos círculos que tienen por diámetros ΞO, ΠP [Elem. XII 2], De manera que el círculo que tiene por 10 diámetro MN, si permanece en el lugar en que está, se equilibrará, respecto al punto A, con la suma de los dos círculos cuyos diámetros son ΞO, ΠP, una vez trasladados y puestos en la balanza en el punto Θ, de manera que Θ sea el centro de gravedad de cada uno de ellos. En efecto[28], una vez trasladados los dos círculos cuyos diámetros son ΞO, ΠP, el centro de gravedad de la 15 suma de ambos es Θ [Cf. Lema 1], Y, por tanto, ΘA es a AΣ como el círculo cuyo diámetro es MN es a la suma de los dos círculos cuyos diámetros son ΞO, ΠP.

De la misma manera se demostrará también que si en el paralelogramo ΛZ se traza alguna otra paralela a EZ y desde la 20 recta trazada se construye un plano perpendicular a AΓ, el círculo resultante en el cilindro, si permanece en su mismo sitio, estará en equilibrio respecto al punto A con los dos círculos resultantes en el elipsoide y en el cono una vez trasladados al punto Θ de la balanza de modo que Θ sea el centro de gravedad de 26 cada uno de ellos.

Por consiguiente, una vez completados el cilindro y el elipsoide y el cono mediante los círculos tomados, el cilindro, si permanece en el lugar en que está, estará en equilibrio, respecto 452 al punto A, con la suma del elipsoide y el cono una vez transportados y colocados en la balanza en el punto Θ, de tal manera que Θ sea el centro de gravedad de cada uno de ellos.

Y el punto K es el centro de gravedad del cilindro [Lema 8] 5 y, como se ha dicho, el centro de gravedad del elipsoide y el cono juntos es el punto Θ. Por consiguiente, ΘA es a AK como el cilindro es a la suma del elipsoide y el cono; por otro lado, AΘ es el doble de AK; luego también el cilindro es el doble de 10 la suma del elipsoide y el cono.

Luego el cilindro es igual a la suma de dos conos más dos elipsoides; y el cilindro es igual a la suma de esos mismos tres conos [Elem. XII 10]; luego tres conos son iguales a dos conos y dos elipsoides. Réstense en común[29] los dos conos. Entonces 15 el cono restante, cuya sección por el eje da el triángulo AEZ, es igual a dos elipsoides; y ese mismo cono[30] es igual a ocho conos cuya sección por el eje da el triángulo ABΔ; luego los ocho conos indicados son iguales a dos elipsoides; luego también 20 cuatro conos son iguales a un elipsoide.

Por tanto el elipsoide es el cuádruple del cono cuyo vértice es el punto A y su base el círculo de diámetro BΔ, que es perpendicular a AΓ; y la mitad del elipsoide es el doble del dicho cono.

25 Y por los puntos B, Δ trácense en el paralelogramo ΛZ las rectas ΦX, ΨΩ paralelas a AΓ y considérese un cilindro cuyas bases son los círculos que tienen por diámetros las rectas ΦΨ, ΧΩ y por eje la recta AΓ.

30 Puesto que el cilindro cuya sección por el eje da el paralelogramo ΦΩ es el doble del cilindro por cuyo eje pasa el paralelogramo 454 ΦΔ [Elem. XII 13] —ya que tienen iguales sus bases y un eje doble del otro eje— este mismo cilindro, cuya sección por el eje da el paralelogramo ΦΔ, será el triple del cono cuyo vértice es el punto A y su base el círculo de diámetro ΒΔ, que es perpendicular a ΑΓ [Elem. XII 10]; luego el cilindro cuya sección por el eje da el paralelogramo será el séxtuplo del cono 5 indicado. Y se había demostrado que el elipsoide era el cuádruple del mismo cono; luego el cilindro es una vez y media el elipsoide.

PROPOSICIÓN 4

Que todo segmento cortado de un paraboloide de revolución mediante un plano perpendicular al eje es una vez y media el 11 cono que tiene la misma base y el mismo eje que el segmento, se estudia por este método así:

15 Sea un paraboloide de revolución y córtelo por el eje un plano y produzca como sección en la superficie [Con. esf. 11a] la sección de cono rectángulo ABΓ, y córtelo también otro plano perpendicular al eje y sea la sección común la recta BΓ; sea ΔA el eje del segmento y prolónguese ΔA hacia Θ y póngase 20 AΘ igual a ella y considérese AΘ una balanza, y su punto medio A; y sea la base del segmento el círculo de diámetro BΓ, que es perpendicular a AΔ, y considérese el cono que tiene por base un círculo cuyo diámetro es BΓ y por vértice el punto A; sea, por 25 otro lado, el cilindro que tiene por base el círculo cuyo diámetro es BΓ y por eje AΔ; y en el paralelogramo trácese 456 MN que sea paralela a BΓ; y por MN constrúyase un plano perpendicular a AΔ; éste producirá en el cilindro como sección un círculo cuyo diámetro es MN, y en el segmento del paraboloide producirá como 5 sección un círculo cuyo diámetro es ΞO [Con. esf. 11a].

Y puesto que BAΓ es la sección de un cono rectángulo, AΔ es un diámetro, y puesto que ΞΣ, BΔ han sido trazadas 10 ordenadamente, ΔA es a AΣ como el cuadrado de lado BΔ al cuadrado de lado ΞΣ. Y ΔA es igual a AΘ. Luego ΘA es a AΣ como el cuadrado de lado MΣ es al cuadrado de lado ΣΞ[31]. Por otro lado, el cuadrado de lado MΣ es al cuadrado de lado ΣΞ como el círculo que está en el cilindro, cuyo diámetro es MN, es al círculo que 15 está en el segmento del paraboloide, cuyo diámetro es ΞO [Elem. XII 2], Luego ΘA es a AΣ como el círculo cuyo diámetro es MN es al círculo cuyo diámetro es ΞO. Luego el círculo cuyo 20 diámetro es MN, el del cilindro, si permanece en el lugar en que está, estará en equilibrio, respecto al punto A, con el círculo cuyo diámetro es ΞO, una vez transportado éste y puesto en la balanza en el punto Θ, de modo que Θ sea su centro de gravedad; y el centro de gravedad del círculo cuyo diámetro es MN es Σ [Lema 7], mientras que el centro de gravedad del círculo cuyo 25 diámetro es ΞO, una vez transportado, es Θ; y ΘA guarda con AΣ la razón inversa de la que guarda el círculo cuyo diámetro es MN con el círculo cuyo diámetro es ΞO[32].

De manera semejante se demostrará también que si en el 30 paralelogramo EΓ se traza alguna otra paralela a BΓ y por la 458 recta trazada se construye un plano perpendicular a AΘ, el círculo resultante en el cilindro, si permanece en su mismo sitio, se equilibrará respecto al punto A con el resultante en el segmento 5 del paraboloide una vez trasladado a la balanza al punto Θ, de manera que Θ sea su centro de gravedad.

Y así, una vez completados el cilindro y el segmento del paraboloide, el cilindro, si permanece en su mismo sitio, se equilibrará, respecto al punto A, con el segmento del paraboloide, una vez trasladado éste y puesto en la balanza en el punto Θ, de tal manera que Θ sea su centro de gravedad.

Y puesto que las magnitudes mencionadas se equilibran respecto al puntó A y el punto K es el centro de gravedad del cilindro, al estar cortada por la mitad AΔ en el punto K [Lema 8], y 10 el centro de gravedad del segmento trasladado es Θ, la recta ΘA guardará con la AK la razón inversa de la que guarda el cilindro con el segmento. Y ΘA es el doble de AK; luego también el cilindro es el doble del segmento. Pero ese mismo cilindro es el 15 triple del cono que tiene por base el círculo cuyo diámetro es BΓ y por vértice el punto A [Elem. XII 10].

Es evidente, por tanto, que el segmento es una vez y media el mismo cono.

PROPOSICIÓN 5

20 Que en un segmento de un paraboloide de revolución, cortado por un plano perpendicular al eje, el centro de gravedad está sobre la recta que es el eje del segmento, si se corta dicha recta de manera que la parte que queda hacia el vértice sea el 25 doble que la parte restante, se estudia por este método así:

Sea un segmento de un paraboloide de revolución cortado mediante un plano perpendicular al eje y córtelo por el eje otro plano y produzca como sección en la superficie la sección 30 ABΓ de un cono rectángulo [Con. esf. 11a], y sea BΓ la 460 sección común del plano que ha cortado el segmento y del que ahora lo corta; sea el eje del segmento y diámetro de la sección ABΓ la recta AΔ y, prolongada ΔA, póngase igual a ella la recta AΘ; considérese AΘ una balanza y A su punto medio, y sea también un cono inscrito en el segmento y sean sus generatrices BA, AΓ y trácese en la sección del cono rectángulo una recta ΞO paralela a BΓ y corte ésta[33] a la sección del cono 5 rectángulo en los puntos Ξ, O y a las generatrices del cono en los puntos Π, P.

Puesto que en la sección del cono rectángulo las rectas ΞΣ, 10 ΒΔ han sido trazadas perpendiculares al diámetro, entonces ΔΑ es a ΑΣ como el cuadrado de lado ΒΔ al cuadrado de lado ΞΣ [Cuadr. paráb. 3], Por otro lado, ΔΑ es a ΑΣ como ΒΔ a ΠΣ [Elem. VI 4]; y ΒΔ es a ΠΣ como el cuadrado de lado ΒΔ es al rectángulo comprendido por ΒΔ, ΠΣ. Luego también el cuadrado de lado ΒΔ será al cuadrado de lado ΞΣ como el cuadrado de lado 15 ΒΔ al rectángulo comprendido por ΒΔ, ΠΣ. Luego el cuadrado de lado ΞΣ es igual al rectángulo comprendido por ΒΔ, ΠΣ [Elem. V 9], Luego las rectas ΒΔ, ΣΞ, ΣΠ están en proporción[34]> [Elem. VI 17], y por ello ΒΔ es a ΠΣ como el cuadrado de lado ΞΣ es al cuadrado de lado ΣΠ [Elem. V def. 9], Por otro 20 lado, ΒΔ es a ΠΣ como ΔΑ es a ΑΣ, es decir, como ΘΑ es a ΑΣ. Luego ΘΑ es a ΑΣ como el cuadrado de lado ΞΣ es al cuadrado de lado ΣΠ.

Constrúyase por ΞO un plano perpendicular a ΑΔ: éste producirá en el segmento del paraboloide de revolución un círculo cuyo diámetro será ΞΟ [Con. esf. 11a], y en el cono producirá 25 un círculo cuyo diámetro será ΠΡ [Elem. XII 2]. Y puesto que ΘΑ es a ΑΣ como el cuadrado de lado ΞΣ es al cuadrado de lado ΣΠ y, por otro lado, el cuadrado de lado ΞΣ es al cuadrado de lado ΣΠ como el círculo cuyo diámetro es ΞO es al círculo cuyo diámetro es ΠP, entonces ΘA será a AΣ como el círculo 462 cuyo diámetro es ΞO es al círculo cuyo diámetro es ΠP. Luego el círculo cuyo diámetro es ΞO, si permanece en su mismo sitio, estará en equilibrio, respecto al punto A, con el círculo cuyo diámetro es ΠP, una vez trasladado éste al punto Θ de la 5 balanza de manera que Θ sea su centro de gravedad.

Puesto que el centro de gravedad del círculo cuyo diámetro es ΞO, si permanece en su mismo sitio, es Σ, mientras que, como se ha dicho, el centro de gravedad del círculo cuyo diámetro es ΠP, una vez trasladado, es Θ, y puesto que ΘA guarda con AΣ una razón inversa de la que guarda el círculo cuyo 10 diámetro es ΞO con el círculo cuyo diámetro es ΠP[35], entonces estarán en equilibrio respecto al punto A.

De la misma manera se demostrará también que si en la sección del cono rectángulo se traza alguna otra recta paralela a BΓ y por la recta trazada se construye un plano perpendicular a 15 AΔ, el círculo resultante en el segmento del paraboloide, si permanece en su mismo sitio, estará en equilibrio, respecto al punto A, con el círculo resultante en el cono, una vez trasladado y puesto en el punto Θ de la balanza, de manera que Θ sea su centro de gravedad.

20 Por consiguiente, una vez completados el segmento y el cono mediante los círculos, la suma de todos los círculos del segmento, si permanecen en su mismo sitio, estará en equilibrio, respecto al punto A, con la suma de todos los círculos del cono, una vez trasladados y puestos en el punto Θ de la balanza de manera que su centro de gravedad sea Θ.

26 Por consiguiente, también el segmento del paraboloide de revolución, si permanece en su mismo sitio, está en equilibrio respecto al punto A con el cono, trasladado y puesto en el punto Θ de la balanza de manera que su centro de gravedad sea Θ.

30 Puesto que el centro de gravedad de ambas magnitudes tomadas como una sola es A y puesto que el centro de gravedad del cono trasladado es Θ, entonces el centro de gravedad de la magnitud restante está sobre la recta AΘ prolongada hacia A y tomada de ella la recta AK de tal longitud que AΘ guarde con 35 ella[36] la misma razón que guarda el segmento con el cono 464 [Lema 2], Y el segmento es una vez y media el cono [Prop. 4]; luego también ΘA es una vez y media AK y K es el centro de gravedad 5 del paraboloide, una vez cortada AΔ de tal manera que la parte que tiene hacia el vértice del segmento sea el doble de la que está hacia la parte restante del segmento.

PROPOSICIÓN 6

En toda semiesfera el centro de gravedad está en la recta que es su eje, una vez cortada de tal manera que el segmento de la 11 misma que está hacia la superficie de la semiesfera guarde con el segmento restante la razón de cinco a tres.

Sea una esfera y córtela un plano por el centro y resulte en 15 la superficie el círculo ABΓΔ como sección; sean AΓ y BΔ diámetros del círculo perpendiculares entre sí; por BΔ constrúyase un plano perpendicular a AΓ; y sea un cono que tenga por base el círculo de diámetro BΔ y por vértice el punto A; sean BA, AΔ 21 las generatrices del cono; y prolónguese ΓA y póngase AΘ igual a ΓA y considérese la recta ΘΓ una balanza y A su punto medio; y trácese en el semicírculo BAΔ la recta ΞO que sea 25 paralela a BΔ; corte ésta al contorno del semicírculo en los puntos 466 Ξ, O; a las generatrices del cono en los puntos Π, P; a la recta AΓ en el punto E; y por la recta ΞO constrúyase un plano perpendicular a la recta AE. Este plano producirá como sección en la semiesfera un círculo cuyo diámetro será ΞO, y como 5 sección en el cono un círculo cuyo diámetro será ΠP.

Y puesto que AΓ es a AE como el cuadrado de lado ΞA al cuadrado de lado AE [Elem. VI 31; VI 8, corol.; V def. 9], mientras que la suma de los cuadrados de lados AE, EΞ es igual al cuadrado de lado ΞA [Elem. I 47] y, por otra parte, EΠ es igual a AE [Elem. VI 4], entonces AΓ es a AE como la suma de los cuadrados de lados ΞE, EΠ al cuadrado de lado EΠ. Y la suma de 10 los cuadrados de lados ΞE, EΠ es al cuadrado de lado EΠ como el círculo de diámetro ΞO más el círculo de diámetro ΠP al círculo de diámetro ΠP [Elem. XII 2], y ΓA es igual a AΘ. Luego ΘA es a AE como el círculo de diámetro ΞO más el círculo 15 de diámetro ΠP al círculo de diámetro ΠΡ. Luego ambos círculos, los que tienen por diámetros ΞO, ΠP, si permanecen en su mismo lugar, estarán en equilibrio, respecto al punto A, con el círculo de diámetro ΠP, una vez trasladado y puesto en el punto Θ, de 20 tal manera que Θ sea su centro de gravedad. Y puesto que E es el centro de gravedad de los dos círculos que tienen por diámetros ΞO, ΠP, si permanecen en su mismo sitio, [Lema 7], mientras que Θ lo es del círculo cuyo diámetro es ΠP, una vez trasladado, entonces EA es a AΘ como el círculo cuyo diámetro es ΠP es a 25 la suma de los círculos cuyos diámetros son ΞO, ΠP.

De manera semejante también, si se traza en la semicircunferencia[37] otra paralela a BHΔ, y por la recta trazada se construye 30 un plano perpendicular a AΓ, la suma de los dos círculos —el generado en la semiesfera y el del cono—, si permanecen en su mismo sitio, estará en equilibrio, respecto al punto A, con el círculo generado en el cono, una vez trasladado y puesto en el 468 punto Θ de la balanza.

Una vez completados la semiesfera y el cono mediante los círculos, todos los círculos de la semiesfera más los del cono, si permanecen en su mismo sitio, estarán en equilibrio, respecto 5 al punto A, con todos los círculos del cono, una vez trasladados y puestos en la balanza en el punto Θ, de tal manera que su centro de gravedad sea Θ. De manera que la semiesfera más el cono, si permanecen en su mismo sitio, estarán en equilibrio, 10 respecto al punto A, con el cono, una vez trasladado y puesto en la balanza en el punto Θ, de tal manera que su centro de gravedad sea el punto Θ[38].

Sea el cilindro MN, colocado en Θ, igual al cono ABΔ y córtelo un plano perpendicular al eje de tal manera que el cilindro M esté en equilibrio, respecto al punto A, con el cono; entonces, la parte restante N estará en equilibrio con la semiesfera. Tómese entonces en la recta AH el punto Φ de tal manera que AΦ = 3 ΦH; entonces será el centro de gravedad del cono [Lema 10].

Tómese, además, el punto X de manera que AH : ΑX = 8 : 5. 15 Puesto que el cilindro M está en equilibrio, respecto al punto A, con el cono ABΔ, el cilindro M será al cono ABΔ como ΦA : ΘA, es decir, como 3 : 8. Y el cono ABΔ es igual al cilindro MN; luego el cilindro MN es al cilindro M como 8 : 3. Por consiguiente [Elem. V 17], el cilindro N es al cilindro MN como 5 : 8; o el cono ABΔ es al cilindro N como 8 : 5, es decir, como AH 20 : AX. Y puesto que la esfera es cuatro veces mayor que el cono que tiene por base el círculo de diámetro BΔ y por eje AH [Prop. 2], entonces la semiesfera será al cono ABΔ como 2 : 1, es decir, como AΘ : AH Y entonces, ex aequali[39], la semiesfera será al cilindro N como AΘ : AX. Y el cilindro N, cuyo centro de gravedad es Θ, estará en equilibrio con la semiesfera respecto al punto A. Luego el centro de gravedad de la semiesfera es el punto X, que corta al eje de tal manera que la parte colocada hacia la superficie de la semiesfera guarda con la restante la razón de 5 : 3.

PROPOSICIÓN 7

26 Por este método se estudia también que todo casquete esférico guarda con el cono que tiene la misma base y el mismo eje 470 que el casquete, la misma razón que guarda la suma del radio de la esfera más la altura del casquete restante con la altura del casquete restante[40]5.

Sea, pues, una esfera cuyo círculo máximo sea ABΓΔ y sean, por otra parte, diámetros perpendiculares entre sí AΓ, Tϒ, y córtela un plano perpendicular a AΓ que produzca un casquete que tenga como base el círculo de diámetro BΔ, y corte BΔ a la recta AΓ en H y sobre ese círculo constrúyase un cono que tenga por vértice A. Además, constrúyase sobre el círculo de diámetro Tϒ un cono que tenga el mismo vértice, y una vez trazada la superficie de éste, el plano trazado por BΔ produzca en el cono como sección un círculo de diámetro EZ: y en el mismo plano, con centro H y radio igual a la recta AΓ trácese un círculo de diámetro KΛ, y sobre él constrúyase un cilindro que tenga por eje AH, del cual sea ΦA el paralelogramo que lo atraviesa por el eje. Por otro lado, prolongada la recta AΓ por ambos extremos, sea ΓΩ igual al radio de la esfera y sea AΘ = AΓ, y considérese la recta ΓΘ una balanza y A su punto medio. En el paralelogramo ΦΛ trácese la recta MN paralela a la recta BΔ, 10 y desde MN constrúyase un plano perpendicular a AΓ. Éste 15 producirá en el cilindro como sección un 20 círculo cuyo diámetro es MN, y en el casquete de la esfera producirá como sección un círculo cuyo diámetro es ΞΟ, y en el cono cuya base es el círculo de diámetro EZ y su vértice el punto A producirá un círculo 25 cuyo diámetro es ΠP.

De manera semejante a lo anterior, se demostrará que el círculo cuyo diámetro es MN, si permanece en su mismo sitio, está en equilibrio, respecto al punto A, con la suma de los dos círculos de diámetros ΞO, ΠP, una vez transportados al punto Θ de la 30 balanza, de manera que el centro de gravedad de cada uno de ellos sea Θ. Y lo mismo con todos los círculos, Y una vez completados 472 el cilindro y el cono y el casquete de la esfera mediante los círculos, el cilindro, si permanece en su mismo sitio, estará en equilibrio con la suma del cono más el casquete de la esfera, una 5 vez trasladados y puestos en el punto Θ de la balanza.

Córtese la recta AH por los puntos Φ, X, de manera que AX sea igual a XH, y que HΦ sea la tercera parte de AH. Entonces X será el centro de gravedad del cilindro [Lema 8] por ser el punto medio del eje AH. Puesto que las magnitudes indicadas 10 están en equilibrio respecto al punto A, el cilindro sera a la suma del cono cuya base tiene por diámetro EZ más el casquete esférico BAΔ como ΘA es a AX. Y puesto que HA es el triple de HΦ, el rectángulo comprendido por ΓH. HΦ es la tercera parte del comprendido por AH, HΓ [Elem. VI 8, corol.; VI 17].15 Pero el cuadrado de lado HB es igual al rectángulo comprendído por AH, HΓ [Elem. VI 8, corol.; VI 17]. Luego el rectángulo comprendido por ΓH, HΘ será también la tercera parte del cuadrado de lado BH. Y AH² = 3 AH × HΦ = 3 AX × AΦ, puesto que AH : AX :: AΦ : ΦH = 2. Y puesto que ΘA = KH y AH = HE, entonces como ΘA² : 1/3 AH², así será el cilindro cuya base es el círculo de diámetro KΛ al cono AEZ. Y el cuadrado de ΘA : 25 1/3 AH² :: ΘA² : AX × AΦ por lo cual ΘA² : AX × AΦ como el cilindro al cono. Se había demostrado también que ΘA es a AX como el cilindro cuya base es el círculo de diámetro KΛ es al casquete ABΔ de la esfera más el cono. Y ΘA = AΓ = AΦ + ΦΓ por lo cual ΘA² : AΦ × AX + ΦΓ × AX como el cilindro es al casquete ABΔ más el cono AEZ. Por tanto, será ΘA² : ΦΓ × AX como el cilindro al casquete. Pero como ΘA² : 1/3 BH², así es el cilindro al cono ABΔ; y ΘA² : 1/3 BH² :: ΘA² :: ΓH × HΦ luego, como ΦX × AX :: ΓH × HΦ así es el casquete ABΔ al cono ABΔ.

Y puesto que AH = 2AX = AΦ + ΦH = 3 ΦH, y ΦΓ = ΦH + HΓ = 1/3 AH + HΓ, será ΦΓ × AX = 1/3AH × 3/2ΦH+HΓ × 3/2 ΦH = ΦPH × (1/2 AΓ + HΓ) = ΦH × HΩ.

Luego como HΩ : HΓ, así es el segmento ABΔ al cono ABΔ.

PROPOSICIÓN 8

474 8 De manera semejante se estudia también por este mismo método que todo segmento de elipsoide cortado mediante un 10 plano perpendicular[41] guarda con el cono que tiene la misma base y el mismo eje[42] la misma razón que guardan la suma de la mitad del eje del elipsoide más el eje del segmento opuesto con el eje del segmento opuesto15.

PROPOSICIÓN 9

El centro de gravedad de todo casquete esférico está sobre la recta que es el eje del casquete dividida de tal manera que la 20 parte de ella que está hacia el vértice del casquete guarde con la parte restante la razón que guardan la suma del eje del casquete más el cuádruple del eje del casquete opuesto con la suma 25 del eje del casquete más el doble del eje comprendido por el casquete opuesto[43].

Sea una esfera y mediante un plano perpendicular córtese de ella un casquete y, cortada la esfera por el centro mediante otro plano[44], sea el círculo ABΓΔ su sección en la superficie y sea la recta BΔ su sección en el plano que ha cortado el casquete; 476 y sea la recta ΓA un diámetro perpendicular a BΔ y córtela en el punto H, de modo que la recta AH será el eje del casquete cuyo vértice es el punto A, y HΓ el eje del casquete opuesto. 5 Córtese la recta AH en el punto X de manera que AX sea a XH como la suma de AH más el cuádruple de HΓ es a la suma de AH más el doble de HΓ.

Digo que X es el centro de gravedad del casquete cuyo vértice es el punto A…[45].

15 Y prolónguese AΓ y póngase AΘ igual a ella y sea ΓΞ igual al radio de la esfera y considérese ΓΘ una balanza y su punto medio A; trácese también un círculo en el plano que cortó el casquete, con centro en H y radio igual a AH, y sobre este círculo 21 constrúyase un cono que tenga por vértice el punto A, y sean AE, AZ las generatrices del cono, y trácese KΛ paralela a EZ y corte a la superficie del casquete en los puntos K, Λ; a las generatrices 25 del cono AEZ en los puntos P, O, y a la recta AΓ en el punto Π.

Puesto que AΓ es a AΠ como el cuadrado de lado KA al cuadrado de lado AΠ [Elem. III 31; VI 8, corol.; V def. 9] y dado que la suma de los cuadrados de lados AΠ, ΠK es igual al cuadrado de lado KA [Elem. I 47] y el cuadrado de lado ΠO es igual al cuadrado de lado AΠ [Elem. VI 4], y puesto que también el cuadrado de lado EH es igual al cuadrado de lado AH, entonces también ΓA es a AΠ como la suma de los cuadrados 30 de lados KΠ, ΠO al cuadrado de lado ΟΠ. Por otra parte, la suma de los cuadrados de lados KΠ, ΠO es al cuadrado de lado ΠΟ como la suma del círculo de diámetro KΛ más el círculo de diámetro OP al círculo de diámetro OP [Elem. XII 2], y ΓA es igual a AΘ. Luego ΘA es a AΠ como la suma del círculo de 478 diámetro KΛ más el círculo de diámetro OP es al círculo de diámetro OP.

Por consiguiente, puesto que la suma de los círculos de diámetros KΛ, OP es al círculo de diámetro OP como AΘ es a ΠA, trasládese el círculo de diámetro OP y póngase en el punto Θ de la balanza, de modo que Θ sea su centro de gravedad. Por tanto, ΘA es a AΠ como la suma del círculo de diámetro KΛ más el 5 círculo de diámetro OP, si permanecen en su mismo sitio, al círculo de diámetro OP, una vez trasladado y puesto en el punto 10 Θ de la balanza, de manera que Θ sea su centro de gravedad. Entonces, los círculos —el del casquete BAΔ más el del cono AEZ— están en equilibrio, respecto al punto A, con el del 15 cono AEZ. Y de manera semejante todos los círculos del casquete BAΔ y del cono AEZ, si permanecen en su mismo sitio, están en equilibrio respecto al punto A con todos los círculos del cono AEZ, una vez trasladados y colocados en el punto Θ de la balanza, de manera que Θ sea su centro de gravedad.

20 De modo que la suma del casquete esférico ABΔ más el cono AEZ, si permanecen en su mismo sitio, están en equilibrio, respecto al punto A, con el cono EAZ, una vez trasladado y puesto en el punto Θ de la balanza, de manera que Θ sea su centro de gravedad.

Sea el cilindro MN igual al cono que tiene por base el círculo 26 de diámetro EZ y por vértice el punto A, y córtese la recta AH por el punto Φ de manera que AH sea el cuádruple de ΦH; entonces, el punto Φ es el centro de gravedad del cono EAZ —ya 480 lo escribimos antes [Lema 10]—. Y córtese el cilindro MN mediante un plano que lo corte perpendicularmente[46], de manera que el cilindro M esté en equilibrio con el cono EAZ.

Puesto que la suma del cono EAZ más el casquete ABΔ, si 5 permanecen en su mismo sitio, están en equilibrio con el cono EAZ, una vez trasladado y puesto en el punto Θ de la balanza, de modo que Θ sea su centro de gravedad, y ya que el cilindro MN es igual al cono EAZ y cada uno de los cilindros M, N están puestos en el punto Θ y el cilindro MN está en equilibrio 10 con ambos[47], también N estará en equilibrio, respecto al punto A, con el casquete esférico. Y el casquete esférico BAΔ es al cono cuya base es el círculo de diámetro BΔ y su vértice el punto A como la recta ΞH a HΓ —ya lo escribimos antes [Prop. 7]—. Y 15 el cono BAΔ es al cono EAZ como el círculo de diámetro BΔ es al círculo de diámetro EZ [Elem. XII 11]; y el círculo es al círculo como el cuadrado de lado BH es al cuadrado de lado HE [Elem. XII 2]; y el rectángulo comprendido por ΓH, HA es igual al cuadrado de lado BH [Elem. III 31; VI 8, corol.], y el cuadrado de lado HA es igual al de lado HE; y el rectángulo comprendido por ΓH, HA es al cuadrado de lado HA como la 21 recta ΓH es a HA. Luego el cono BAΔ es al cono EAZ como la recta ΓH a HA.

Y se había demostrado ya que el cono BAΔ es al casquete BAΔ como la recta ΓH a HΞ; luego, ex aequali el casquete BAΔ 25 es al cono EAZ como la recta ΞH a HA. Y puesto que la recta AX es a XH como la suma de la recta HA más el cuádruple de HΓ es a la suma de AH más el doble de HΓ, tomando la proporción invertida [Elem. V 7, corol.] la recta HX será a XA como la suma del doble de la recta ΓH más la recta HA a la suma 30 de la recta cuádruple de la recta ΓH más HA. Por composición [Elem. V 18], HA es a AX como la suma del séxtuplo de ΓH 482 más el doble de HA es a la suma de HA más el cuádruple de HΓ. Y HΞ es la cuarta parte de la suma del séxtuplo de HΓ más el doble de HA, mientras que ΓΦ es la suma del cuádruple de HΓ más HA: esto es evidente[48]. Luego HA es a AX como ΞH es a 5 ΓΦ [Elem. V 15]. De manera que también [Elem. V 16] ΞH es a HA como ΓΦ a XA. Y también se había demostrado que ΞH es a HA como el casquete cuyo vértice es el punto A y su base el círculo de diámetro BA es al cono cuyo vértice es el punto A 10 y su base el círculo de diámetro EZ. Luego el casquete BAΔ es al cono EAZ como ΓΦ es a XA.

Y puesto que el cilindro M está en equilibrio, respecto al punto A, con el cono EAZ y el punto Θ es el centro de gravedad del cilindro, mientras que el punto Φ lo es del cilindro, entonces 15 el cono EAZ es al cilindro M como ΘA es a AΦ —es decir, como ΓA a AΦ—. Y el cilindro MN es igual al cono EAZ. Luego, por descomposición[49] [Elem. V 17] el cilindro MN es al 20 cilindro N como la recta AΓ a ΓΦ, Y el cilindro MN es igual al cono EAZ; luego el cono EAZ es al cilindro N como la recta ΓA es a ΓΦ —es decir, como ΘA a ΓΦ—. Y se había demostrado también que el casquete BAΔ es al cono EAZ como la recta ΓΦ 25 a XA; luego, ex aequali, el casquete ABΔ será al cilindro N como la recta ΘA a AX. Y se había demostrado que el casquete BAΔ está en equilibrio[50], respecto al punto A, con el cilindro N, y el centro de gravedad del cilindro N es Θ. Luego el punto X es el centro de gravedad del casquete BAΔ[51].

PROPOSICIÓN 10

De manera semejante a esto se estudia también que el centro de gravedad de todo segmento de elipsoide de revolución está 484 sobre la recta que es el eje del segmento, dividida la recta de tal manera que la parte de ella que está hacia el vértice del segmento guarde con la parte restante la razón que guardan la suma del 5 eje del segmento más el cuádruple del eje del segmento opuesto con la suma del eje del segmento más el doble del eje comprendido en el segmento opuesto.

PROPOSICIÓN 11

10 También se estudia por este método que todo segmento de un hiperboloide de revolución guarda con el cono que tiene la misma base y el mismo eje que el segmento, la misma razón que guardan la suma del eje del segmento más el triple de la recta añadida al eje[52], con la suma del eje del segmento del 15 hiperboloide más el doble de la recta añadida al eje; y que el centro de gravedad del hiperboloide 〈se encuentra[53]〉 sobre el eje, una vez cortado de tal manera que el segmento que está hacia el vértice guarde con el segmento restante la razón que guarda la suma del triple del eje más el óctuplo de la recta añadida con la suma del eje del mismo hiperboloide más el cuádruple de la 21 recta añadida al mismo.

Y otras muchas más cosas… estudiadas… dejaremos de lado[54]…, puesto que el método ha sido ejemplificado mediante lo dicho anteriormente.

PROPOSICIÓN 1225

Por este método se estudia que, si en un prisma recto que tiene cuadrados como bases se inscribe un cilindro con sus bases en los cuadrados opuestos y su superficie[55] tangente a las cuatro caras[56] restantes, y por el centro del círculo que es la base 486 del cilindro y por un lado del cuadrado opuesto se traza un plano, la figura cortada[57] por el plano trazado es la sexta parte del prisma entero. Tras mostrarlo, volveremos atrás para la 5 demostración geométrica.

Considérese un prisma recto que tenga por bases cuadrados y un cilindro inscrito en el prisma, según se ha dicho; una vez 10 cortado el prisma por su eje mediante un plano perpendicular al plano que corta del cilindro el segmento, sea el paralelogramo 15 AB la sección del prisma que contiene el cilindro y sea la recta BΓ la sección común al plano que ha cortado del cilindro el segmento y al plano trazado, a través del eje, perpendicular al plano que ha cortado del cilindro el segmento; y sea la recta ΓΔ el eje del prisma y del cilindro y córtela 20 por la mitad y perpendicularmente la recta EZ, y por EZ constrúyase un plano perpendicular a ΓΔ.

Éste producirá como sección en el prisma un cuadrado y como sección en el cilindro un círculo. Sea el cuadrado MN la sección del prisma y el círculo ΞΟΠΡ la del cilindro; y sea el círculo tangente a los 26 lados del cuadrado en los puntos Ξ, O, Π, P; y sea la recta KΛ la sección común al plano que ha cortado del cilindro el segmento y al plano trazado por EZ perpendicular al eje del cilindro. 30 La recta ΠΘΞ[58] la corta por la mitad. Trácese en el semicírculo 488 OΠP una recta ΣT perpendicular a ΠX y prolónguese el plano construido por ΣT perpendicular a ΞΠ por ambos lados del plano en que está el círculo ΞΟΠΡ. En el semicilindro cuya 6 base es el semicírculo OΠP y su altura el eje del prisma producirá como sección un paralelogramo del cual un lado será igual a ΣT y el otro será igual a la generatriz del cilindro; y en el segmento cortado del cilindro producirá como sección también un 10 paralelogramo, del cual un lado es igual a ΣT y el otro igual a Nϒ. Quede así trazada en el paralelogramo ΔE la recta Nϒ, paralela a BΩ, de modo que corte la recta ΕΙ igual a la recta ΠX.

Y puesto que EΓ es un paralelogramo y NΙ es paralela a ΘΓ y EΘ, ΓB han sido trazadas pasando por ellas, EΘ es a 15 ΘΙ como ΩΓ es a ΓN —es decir, como BΩ a ϒN [Elem. VI 4]—. Por otro lado, BΩ es a ϒN como el paralelogramo resultante en el semicilindro es al paralelogramo resultante en el segmento cortado del cilindro [Elem. VI 1] —pues ΣT 20 es el mismo lado de ambos paralelogramos—. Y EΘ es igual a ΘΠ, e ΙΘ es igual a XΘ. Y puesto que ΠΘ es igual a ΘE, entonces ΘE es a ΘX como el paralelogramo resultante en el semicilindro al resultante en el segmento cortado del cilindro25.

Considérese trasladado el paralelogramo que hay en el segmento y puesto en Ξ de manera que su centro de gravedad sea Ξ, y considérese además que ΠΞ es una balanza y que su punto medio es Θ. El paralelogramo del semicilindro, si permanece 30 en su mismo lugar, estará en equilibrio, respecto al punto Θ, con el paralelogramo resultante en el segmento del cilindro, 490 una vez transportado y puesto en el punto Ξ de la balanza, de manera que el punto Ξ sea su centro de gravedad. Y puesto que X es el centro de gravedad del paralelogramo resultante en el 5 semicilindro [Lema 6], mientras que Ξ es el centro de gravedad del paralelogramo resultante en el segmento cortado, una vez transportado, y dado que ΞΘ guarda con ΘX la misma razón que el paralelogramo cuyo centro de gravedad dijimos que era 10 X con el paralelogramo cuyo centro de gravedad dijimos que era Ξ, entonces el paralelogramo cuyo centro de gravedad es X estará en equilibrio, respecto al punto Θ, con el paralelogramo cuyo centro de gravedad es Ξ.

15 De la misma manera se demostrará también que cuando en el semicírculo OΠP sea trazada otra recta perpendicular a ΠΘ, y desde la recta trazada se construya un plano perpendicular a ΠΘ y sea prolongado por ambos lados del plano en donde está el círculo ΞΟΠΡ, el paralelogramo producido en el semicilindro, 20 si permanece en el lugar en que está, estará en equilibrio respecto al punto Θ con el paralelogramo producido en el segmento cortado del cilindro una vez transportado y puesto en la balanza en el punto Ξ de manera que su centro de gravedad sea el punto Ξ.

25 Y también, por tanto, todos los paralelogramos resultantes en el semicilindro, si permanecen en su mismo sitio, estarán en equilibrio, respecto al punto Θ, con todos los paralelogramos resultantes en el segmento cortado del cilindro, una vez transportados y puestos en la balanza en el punto Ξ.

30 De manera que el semicilindro, si permanece en su mismo 492 sitio, estará en equilibrio, respecto al punto Θ, con el segmento cortado[59], una vez transportado y puesto en la balanza en el punto Ξ, de manera que su centro de gravedad sea el punto Ξ.

PROPOSICIÓN 13

5 Sean de nuevo el paralelogramo MN perpendicular al eje y el círculo ΞΟΠΡ[60], y trácense las rectas ΘM, ΘH y por ellas constrúyanse planos perpendiculares al plano en el que está 10 semicírculo OΠP y prolónguense los dichos planos en ambos sentidos. Habrá un prisma que tendrá una base igual al triángulo ΘMH y una altura igual al eje del cilindro; y este prisma es la cuarta parte del prisma entero que contiene al cilindro [Elem. XI 32]. Trácense unas rectas en el semicírculo OΠP y en el 15 cuadrado MN, las rectas KΛ, Tϒ equidistantes de la recta ΠΞ; éstas cortan a la semicircunferencia correspondiente al semicírculo OΠP en los puntos K, T; al diámetro OP, en los puntos Σ, Z y a las rectas ΘH, ΘM, en los puntos Φ, X[61]; y por las rectas 20 KΛ, Tϒ constrúyanse planos perpendiculares al diámetro OP y prolónguense por ambos lados del plano en el que está el círculo ΞΟΠΡ.

El uno producirá como sección, en el semicilindro que tiene por base el semicírculo OΠP y por altura la misma que la del cilindro, un paralelogramo, un lado del cual es igual a la recta KΣ y el otro es igual al eje del cilindro, y en el prisma ΘHM producirá, de manera semejante, un paralelogramo, un lado del 25 cual será igual a la recta ΛX y el otro igual al eje[62]; por las mismas razones, en el mismo semicilindro habrá un paralelogramo, un lado del cual es igual a la 30 recta TZ y el otro igual al eje del cilindro, y en el prisma habrá 494 un paralelogramo un lado del cual será igual a ϒΦ y el otro igual al eje del cilindro[63].

Por lo cual los centros de gravedad de los paralelogramos que están sobre ΣK, ZT[64] son los puntos medios de las rectas ΣK, ZT [Lema 6], y el centro de gravedad de la suma de ambos paralelogramos es el punto A’, en el cual la recta que une los centros de gravedad de los paralelogramos corta a la recta ΘΠ [Lema 3]. Por la misma razón, el centro de gravedad de los dos paralelogramos XΛ, ϒΦ es el punto B’, en el cual la recta que une los puntos medios de las rectas XΛ, ϒΦ corta a la recta ΞΘ.

Entonces, (los paralelogramos que están sobre ΣK + ZT): (paralelogramos que están sobre XΛ, ϒΦ) = ΣK : AX [Elem. VI 1] = ΣK : ΛX [Elem. VI 1] = ΣK : ΣP [Elem. VI 4; I 33] = ΣK² : ΣP × ΣK [Elem. V 15] = ΣP × ΣO : ΣP × ΣK [Elem. III 31; VI 17; VI 8 corol.] = ΣO : ΣK = ΣP + 2 ΣΘ : ΣK = ΛX + 2 XΣ : ΣK [Elem. VI 4] = 1/2 ΛX + XΣ : 1/2 ΣK = B’Θ : A’Θ.

Por tanto, esos paralelogramos están en equilibrio respecto al punto Θ.

Y lo mismo valdrá para todos los paralelogramos construidos de la misma manera; por lo cual, también el semicilindro y el prisma HΘM, una vez completados mediante esos paralelogramos, están en equilibrio respecto al punto Θ. Pero el semicilindro está en equilibrio, respecto al punto Θ, con el segmento de cilindro, colocado en Ξ [Prop. 12]; y ΘΞ = ΠΘ; por lo tanto, el segmento colocado en Π está en equilibrio con el prisma HΘM. Y el centro de gravedad del prisma está situado en la recta ΞΘ [Lema 9]cortada de tal manera que la parte que está hacia Θ sea el doble de la restante [Lema 5]; luego el segmento del cilindro: prisma HΘM = 2/3 ΞΘ : ΠΘ = 2 : 3.

Y el prisma HΘM es la cuarta parte del prisma entero; luego el segmento del cilindro es su sexta parte.

PROPOSICIÓN 14[65]

5 Sea un prisma recto que tiene por bases cuadrados y sea una de sus bases el cuadrado ABΓΔ, e inscríbase un cilindro en el prisma, y sea la base del cilindro el círculo EZHΘ tangente a los lados del cuadrado ABΓΔ en los puntos E, Z, H, Θ, y por su centro y por un lado, el 10 correspondiente a ΓΔ, del cuadrado situado en el plano opuesto a ABΓΔ, trácese un plano.

Éste cortará del prisma entero otro prisma que será la cuarta parte 15 del prisma entero; éste estará comprendido él mismo por tres paralelogramos y dos triángulos opuestos entre sí. 20 Trácese en el semicírculo EZH una sección de un cono rectángulo, y sea la recta ZK la parte de diámetro comprendida en la sección y trácese en el paralelogramo ΔH la recta MN que sea 496 paralela a KZ. Ésta cortará a la semicircunferencia en el punto Ξ, y a la sección del cono en el punto Λ.

Y el rectángulo comprendido por MNΛ es igual al cuadrado de lado NZ: eso es evidente[66]. Por eso MN será a NΛ como el 5 cuadrado de lado KH al cuadrado de lado ΛΣ [Elem. VI 17; V def. 9].

Y por la recta MN constrúyase un plano perpendicular a EH. Este plano producirá como sección, en el prisma cortado del prisma entero, un triángulo rectángulo, del cual uno de los lados que forman el ángulo recto será MN; el otro[67] —en el 10 plano construido a partir de ΓΔ, trazado perpendicular a ΓΔ desde N—, será igual al eje del cilindro; la hipotenusa estará en el propio plano secante. En el segmento cortado del cilindro por el plano trazado por la recta EH y el lado correspondiente a 15 ΓΔ del cuadrado opuesto, producirá como sección también un triángulo rectángulo, del cual uno de los lados que forman el ángulo recto será MΞ; el otro —en la superficie del cilindro— 20 será la recta trazada por Ξ perpendicular al plano KN; la hipotenusa estará en el plano que lo corta.

De manera semejante, puesto que el rectángulo comprendido por MN, MΛ es igual al cuadrado de lado MΞ —pues esto es evidente[68]— MN será a MΛ como el cuadrado de lado MN es al cuadrado de lado MΞ [Elem. VI 17; V def. 9], Por otro 25 lado, el cuadrado de lado MN es al cuadrado de lado MΞ como el triángulo sobre MN, el resultante en el prisma, es al triángulo sobre MΞ, el restado en el segmento por la superficie del cilindro [Elem. VI 19]; por tanto, MN es a MΛ como el triángulo es al triángulo.

30 De manera semejante demostraremos también que, si se traza alguna otra recta paralela a KZ en el paralelogramo circunscrito 498 a la sección[69] y por la recta trazada se construye un plano perpendicular a EH, el triángulo producido en el prisma será al 5 triángulo producido en el segmento quitado del cilindro como la recta trazada paralela a KZ en el paralelogramo ΔH a la recta limitada por la sección EHZ del cono rectángulo y el diámetro EH, Una vez completado el paralelogramo ΔH mediante las 10 rectas trazadas paralelas a KZ y el segmento comprendido por la sección del cono rectángulo y el diámetro mediante las rectas tomadas en el segmento…[70].

20… de las rectas trazadas paralelas a KZ en el paralelogramo ΔH; y todos los triángulos del prisma serán a todos los triángulos del segmento cortado del cilindro como todas las rectas del 25 paralelogramo ΔH a todas las rectas situadas entre la sección del cono rectángulo y la recta EH.

Y el prisma está compuesto de los triángulos que hay en el prisma, el segmento está compuesto de los triángulos del segmento cortado del cilindro, el paralelogramo ΔH está compuesto de las paralelas a KZ que hay en el paralelogramo ΔH, y el 30 segmento[71] está compuesto de las rectas situadas entre la sección del cono rectángulo y la recta EH.

Luego el prisma es al segmento cortado del cilindro como el paralelogramo ΔH al segmento EZH comprendido por la 35 sección del cono rectángulo y la recta EH. Y el paralelogramo ΔH es una vez y media el segmento comprendido por la sección del cono rectángulo y la recta EH —eso ya está demostrado en lo 500 que dimos a conocer anteriormente[72]—, luego también el prisma es una vez y media el segmento cortado del cilindro. Luego el segmento del cilindro es a dos como el prisma a tres; y el 5 prisma es a tres como el prisma entero, el que contiene al cilindro, es a doce —por ser el uno cuatro veces el otro—. Luego el segmento cortado del cilindro es a dos como el prisma entero a doce; de manera que el segmento cortado del cilindro es la 10 sexta parte del prisma.

PROPOSICIÓN 15

Sea un prisma recto que tiene por bases cuadrados, de las cuales una sea el cuadrado ABΓΔ, e inscríbase en el prisma un cilindro cuya base sea el círculo EZH. Éste es tangente a los lados del 15 cuadrado en los puntos E, Z, H, Θ; sea su centro el punto K y por el diámetro EH y por un lado del cuadrado opuesto, el correspondiente al lado ΓΔ, trácese un plano. Este plano corta un prisma del prisma entero y del cilindro un segmento de cilindro20.

Digo que se demostrará que este segmento cortado del cilindro mediante el plano trazado es la sexta parte del prisma entero.

Demostraremos en primer lugar que es posible inscribir una 25 figura sólida en el segmento cortado del cilindro y circunscribir otra compuesta por prismas que tengan la misma altura y que tengan como bases triángulos semejantes de manera que la figura circunscrita exceda a la inscrita en un volumen menor que 30 cualquier magnitud propuesta[73]…

502 En el semicírculo EZH córtese repetidamente el diámetro EH en dos partes iguales y por los puntos de corte trácense en el semicírculo rectas secantes paralelas a la recta KZ y por los puntos en los que estas rectas cortan a la semicircunferencia trácense rectas paralelas a la recta EH y prolónguense hacia uno y otro lado hasta que corten a las dos rectas paralelas a la recta KZ y más próximas a ella; y constrúyanse, a partir de una y otra serie de paralelas, planos perpendiculares al plano del semicírculo; estos planos producirán, tanto en el interior como en el 503 exterior del cilindro, prismas que tienen igual altura y que tienen por bases triángulos rectángulos construidos sobre las rectas paralelas a la recta KZ. Y una vez cortada la recta EH en dos partes iguales sucesivamente hasta que los dos prismas situados junto a KZ sean menores que la magnitud dada, la figura sólida circunscrita al segmento de cilindro y compuesta por prismas excederá a la figura inscrita del mismo modo en un volumen menor que la magnitud dada; y la excederá precisamente en los dos prismas situados Junto a KZ puesto que a todos los restantes prismas de la figura circunscrita les corresponden otros tantos prismas iguales de la figura inscrita.

Por otra parte, una vez trazada en el semicírculo la sección del cono rectángulo EZH y una vez trazadas y prolongadas las rectas paralelas a la recta EH por los puntos en los que la sección es cortada por las paralelas a la recta ZK, como antes dijimos, se producirá una figura circunscrita al segmento de la sección de cono rectángulo y otra inscrita, compuestas de paralelogramos ambas, de las cuales aquélla excede a ésta en los dos paralelogramos situados junto a ZK, y los paralelogramos, tomados de uno en uno, se corresponderán con cada uno de los prismas de las figuras sólidas a las que hicimos referencia.

Entonces, si el segmento cortado del cilindro no es igual a la sexta parte del prisma entero, es o mayor o menor.

Sea primero, si es posible, mayor.

Entonces, el prisma cortado mediante el plano oblicuo es menor que una vez y media el segmento de cilindro.

En éste inscríbase una figura sólida y circunscríbase otra, como dijimos, de manera que la figura circunscrita exceda a la 505 inscrita en un volumen menor que el de cualquier magnitud dada.

Puesto que ya habíamos demostrado [Prop. 14] que las rectas trazadas en el paralelogramo ΔH son a las rectas cortadas entre la sección del cono rectángulo y la recta EH como cada uno de los triángulos del prisma cortado mediante el plano oblicuo es a cada uno de los triángulos del segmento cortado del cilindro —es decir, como cada uno de los prismas del prisma cortado mediante el plano oblicuo a cada uno de los prismas de la figura sólida inscrita [Elem. XI 32]— menos dos, y también las rectas aquellas son entre sí como los paralelogramos en los que ha sido cortado el paralelogramo ΔH son a los paralelogramos de la figura inscrita en la sección de cono [Elem. VI 1] menos dos, entonces el prisma cortado mediante el plano oblicuo será a la figura inscrita como el paralelogramo ΔH a la figura inscrita en la sección de cono. Y puesto que el prisma cortado mediante el plano oblicuo es menor que una vez y media el segmento de cilindro, el prisma este excede a la figura inscrita en un volumen menor que cualquier magnitud dada, y 504 5 el prisma cortado mediante el plano oblicuo será menor que una vez y media el sólido inscrito en el segmento cortado del cilindro. Pero se había demostrado que el prisma cortado por el plano 10 oblicuo es al sólido inscrito en el segmento cortado del cilindro como el paralelogramo ΔH a los paralelogramos inscritos en el segmento comprendido por la sección de cono rectángulo y la recta EH.

Luego el paralelogramo ΔH es menor que una vez y media 15 los paralelogramos que hay en el segmento comprendido por la sección del cono rectángulo y la recta EH. Lo cual es imposible, 20 puesto que en otra parte[74] se ha demostrado que el paralelogramo ΔH es una vez y media el segmento comprendido por la sección del cono rectángulo y la recta EH.

Luego no es mayor el segmento del cilindro que la sexta parte del prisma entero.

Sea pues, si es posible, menor.

507 Entonces, el prisma cortado por el plano oblicuo es mayor que una vez y media el segmento del cilindro.

Sean, pues, de nuevo, una figura sólida inscrita y otra circunscrita del modo que dijimos, y demostraremos del mismo modo que cada uno de los prismas del prisma cortado mediante el plano oblicuo es a cada uno de los prismas de la figura circunscrita al segmento de cilindro, como cada uno de los paralelogramos comprendidos en el paralelogramo ΔH es a cada uno de los paralelogramos de la figura circunscrita al segmento comprendido por la sección del cono rectángulo y la recta 506 14 EH. Por lo cual [Lema 11] también todos los prismas que están en el prisma cortado mediante el plano oblicuo guardarán con todos los prismas que hay en la figura circunscrita al segmento de cilindro la misma razón que guarden todos los paralelogramos comprendidos en el paralelogramo ΔH con todos los paralelogramos que hay en la figura circunscrita al segmento 20 comprendido por la sección de cono rectángulo y la recta EH; es decir, que el prisma cortado mediante el plano oblicuo guardará con la figura circunscrita al segmento de cilindro la misma 25 razón que el paralelogramo ΔH con la figura circunscrita al segmento comprendido por la sección del cono rectángulo y la recta EH. Y el prisma cortado mediante el plano oblicuo es mayor que una vez y media la figura sólida circunscrita al segmento 30 de cilindro.

507 Luego también el paralelogramo ΔH será mayor que una vez y media la figura circunscrita al segmento comprendido por la sección de cono rectángulo y la recta EH. Lo cual es imposible, puesto que habíamos demostrado que el paralelogramo ΔH es una vez y media el segmento comprendido por la sección de cono rectángulo y la recta EH.

Luego el segmento de cilindro tampoco es menor que la sexta parte del prisma entero.

Y puesto que no es ni mayor ni menor, es igual a la sexta parte del prisma, como había que demostrar.

APÉNDICE

PROPOSICIÓN 14[75]

Sea un prisma recto que tenga por base un cuadrado, y sea 110r, 1 una de sus bases el cuadrado ABΓΔ, e inscríbase en el prisma un cilindro, y sea la base del cilindro el círculo EZHΘ, tangente al cuadrado; y por el centro de éste y por el lado correspondiente a ΓΔ del cuadrado situado en el plano opuesto a ABΓΔ constrúyase un plano. Éste cortará del prisma entero otro prisma, que será la cuarta parte del prisma entero. Este último estará comprendido por tres paralelogramos y dos triángulos opuestos entre sí. Trácese en el semicírculo EZH una sección de cono rectángulo: su diámetro será ZK, y sea ZK el parámetro[76], y en 105v, 1 el paralelogramo ΔH trácese una recta MN paralela a KZ. Ésta cortará a la semicircunferencia en el punto Σ, y a la sección de cono en el punto Λ. Y el rectángulo comprendido por MNΛ es igual al cuadrado de lado NΣ —pues esto es cosa cierta.

Por esta razón la recta MN será a NΛ como el cuadrado de lado MN al cuadrado de lado NΣ. Y por MN constrúyase un plano perpendicular a EH. El plano producirá como sección en 110r, 2 el prisma cortado del prisma entero un triángulo rectángulo del cual uno de los lados que forman el ángulo recto será MN, el otro será la recta trazada perpendicular a ΓΔ en el plano construido desde M pasando por ΓΔ, igual al eje del cilindro, y la hipotenusa estará en el propio plano secante. Producirá[77] también como sección, en el segmento cortado del cilindro por el plano trazado por EH y por el lado del cuadrado opuesto a ΓΔ, un triángulo rectángulo, del cual uno de los lados que forman el ángulo recto será NΣ, el otro será la recta trazada en la superficie del cilindro desde el punto Σ perpendicular al plano ΔH, y la 105v, 2 hipotenusa estará en el plano secante, y los triángulos son semejantes.

Y puesto que el rectángulo comprendido por MN, NΛ es igual al cuadrado de lado NΣ —esto está claro, como se ha dicho—, la recta MN será a la NΛ como el cuadrado de lado MN al cuadrado de lado NΣ; y por otro lado el cuadrado de lado MN es al cuadrado de lado NΣ como el triángulo construido sobre MN —en el prisma entero cortado— al triángulo construido sobre NΣ —el que está en el segmento cortado, el restado del cilindro[78]—. Por tanto, MN es a NA como el triángulo es al triángulo.

De la misma manera se demostrará también que, si se traza cualquier otra recta paralela a KZ en el paralelogramo ΔH, y 110v, 1 por la recta trazada se construye un plano perpendicular a EH, el triángulo resultante en el prisma será al triángulo que está en el segmento cortado del cilindro como la recta trazada en el paralelogramo ΔH que sea paralela a KZ a la recta tomada de la sección HZ de cono rectángulo más el diámetro EH.

Una vez completado el paralelogramo ΔH mediante las rectas trazadas paralelas a KZ, y el segmento comprendido por la sección de cono rectángulo y el diámetro EH mediante las rectas tomadas en el segmento; completado también, por otro lado, el prisma mediante los triángulos resultantes en él, y el 105r, 1 segmento cortado del cilindro[79], hay unas magnitudes iguales entre sí —los triángulos que hay en el prisma— y hay otras magnitudes —que son las rectas que son paralelas a ZKΘ en el paralelogramo AH—, las cuales son también iguales entre sí e iguales en número[80] a los triángulos que hay en el prisma. Y habrá otros triángulos —los que están en el segmento cortado— iguales en número[81] a los triángulos resultantes en el prisma. Y unas rectas, tomadas de las trazadas paralelas a KZ entre 110v, 2 la sección del cono rectángulo y la recta EH, son iguales en número a las trazadas paralelas a KZ en el paralelogramo ΔH. Y todos los triángulos que están en el prisma son a todos los triángulos restados en el segmento cortado del cilindro como todas las rectas que están en el paralelogramo ΔH a todas las rectas que están entre la sección del cono rectángulo y la recta EH. Y el prisma está compuesto de los triángulos que hay en el prisma, y el segmento cortado[82] de los que están en el segmento cortado del cilindro; y el paralelogramo ΔH, de las rectas 105r, 2 paralelas a KZ en el paralelogramo ΔH; y el segmento de parábola, de las rectas que están entre la sección de cono rectángulo y la recta EH.

Por tanto, el prisma es al segmento cortado del cilindro como el paralelogramo ΔH al segmento EZH comprendido por la sección de cono rectángulo y la recta EH. Y el paralelogramo ΔH es una vez y media el segmento comprendido de 158r, 1 esa manera por la sección de cono rectángulo y la recta EH. —Pues eso se ha demostrado en lo publicado antes.

Por tanto también el prisma es una vez y media el segmento cortado del cilindro. Por tanto, el segmento cortado del cilindro es a dos como el prisma es a tres; y el prisma es a tres como el prisma entero circunscrito al cilindro entero es a 12, por ser el uno 4 veces el otro. Luego el segmento cortado del cilindro es a dos como el prisma entero es a 12. De modo que el segmento cortado del cilindro entero es la sexta parte del prisma entero.

LIBRO DE LOS LEMAS

INTRODUCCIÓN

El Libro de los lemas ocupa un lugar particular dentro del corpus arquimedeo en el sentido de que es la única de las obras incluidas en el mismo para la que no disponemos en absoluto de texto griego. Lo conocemos gracias a una versión árabe, una traducción realizada por uno de los más destacados matemáticos árabes del siglo IX: Thabit ibn-Qurra (826-901). Este personaje, nacido en Harran (actualmente en Turquía), fue también estudioso de la astronomía y, además, fundó y dirigió en Bagdad una escuela de traductores del sirio y del griego[1]. A su traducción antepuso un prefacio que es la fuente más significativa en relación con esta obra. Según ese prefacio, la atribución a Arquímedes de la obra no vendría de la tradición, sino de un doctor Almochtasso, comentarista del libro, que es quien sostiene esa autoría y que alaba el libro porque sus proposiciones, «bellísimas», son «de máxima utilidad respecto a los principios de la geometría… que los profesores de esta elevadísima ciencia cuentan entre las cosas intermedias que conviene que se lean entre los Elementos de Euclides y el Almagesto». Entre los Lemas[2] Thabit ibn-Qurra encontró referencias a otros lemas de los que se afirmaba que estaban incluidos en otras obras[3] y, naturalmente, da por sentado que se trata de obras de Arquímedes; pero ésta es la única fuente que menciona tales títulos. El traductor árabe cuenta también que Abusahal Alkuhi compuso un libro que tituló Ordenación del libro de los lemas de Arquímedes, y que él unió parte del comentario de Alkuhi a los pasajes oscuros. De todo este relato parece deducirse 1) que la atribución de esta obra a Arquímedes no está basada en la tradición, sino en la opinión de un personaje tenido por experto, 2) que el interés del tratado residía en su utilidad propedéutica, 3) que el autor del original sobre el que trabajó ibn-Qurra menciona como propias obras cuyos títulos no figuran entre los que la tradición atribuye a Arquímedes y 4) que, en una línea de actuación característica de los matemáticos árabes, ibn-Qurra enriqueció el texto donde consideró que era menester: datos todos ellos que nos llevan a rechazar la autoría de Arquímedes para este tratado.

Puede parecer sorprendente, entonces, que Heiberg lo incluyera en su edición, pero no lo es tanto si consideramos, primero, que se deben editar como obras de un autor aquellas que la tradición le atribuye, independientemente de que los estudios que se lleven a cabo sobre ellas puedan ponerlo en duda o, incluso, demostrar lo contrario[4]. En segundo lugar tenemos que el contenido matemático de la obra se ajusta bien, en general, a la tradición griega, y que en este libro se tratan las curvas denominadas arbelo y salino[5], cuya definición se atribuye de modo expreso a Arquímedes[6]. Ambas curvas pertenecen a un género de construcciones a base de semicírculos, emparentadas con las lúnulas de Hipócrates de Quíos, cuyo estudio tenía por finalidad alcanzar la medida del círculo. Y tanto el arbelo como el salino permiten la medida del círculo, aunque no su cuadratura[7]. Tenemos además el testimonio de Papo, que conocía el arbelo, al que se refiere como archaía prótasis («antiguo enunciado») y se ocupa de él en Collectio Mathematica IV 14 y ss. y IV 208 y ss. El tratamiento de esta materia en Papo es tan próximo al que encontramos en el Libro de los lemas que ha hecho pensar a los estudiosos que debió de haber una fuente común para ambos desarrollos, fuera un tratado del propio Arquímedes o, lo que es más probable teniendo en cuenta la forma que ofrece la versión de que disponemos, algún género de compilación posterior en la que se incluyeran partes de algún trabajo del siracusano.

El resto de las proposiciones, todas de geometría plana y carácter auxiliar, han sido repetidamente alabadas por su elegancia; el comentario más en pormenor de las mismas puede encontrarse en las notas de la traducción de Ver Eecke (cf. vol. I, Bibliografía).

El texto editado por Heiberg reproduce la traducción latina de Abraham Ecchellensis, editada por Borelli en Florencia, 1661[8].

PROPOSICIÓN 1II 510

Si dos círculos son tangentes entre sí, como los dos círculos AEB, CED en el punto E, y sus diámetros son paralelos, como lo son los dos diámetros AB, CD, y se unen los dos puntos B, D y el punto de tangencia E 〈mediante las rectas〉Ι DE, BD, la línea BE será recta.

Sean G, F los dos centros y trácese la recta GF y prolonguémosla hasta E [Elem. III 12] y tracemos DH paralela a GF. Y puesto que HF es igual a GD, y GD, EG son iguales, entonces de las rectas iguales FB, FE quedarán GF —es decir, DH— y HB, las cuales serán iguales, y los dos ángulos HDB, HBD, iguales. Y puesto que los dos ángulos EGD, EFB son rectos y los dos ángulos 511 EGD, DHB son iguales, quedarán dos ángulos GED, GDE, los cuales serán iguales entre sí y a los dos ángulos HDB, HBD; por tanto el ángulo EDG es igual al ángulo DBF. Y el ángulo comprendido por GDB es común; luego los dos ángulos GDB, FBD —que son iguales a dos rectos [Elem. I 29]— serán iguales a los dos ángulos GDB, GDE. Por 512 tanto, estos mismos son también iguales a dos rectos; luego la línea EDB es recta.

Y esto es lo que pretendíamos[1].

PROPOSICIÓN 2

Sea CBA un semicírculo al que sean tangentes DC, DB, y BE perpendicular a AC, y tracemos AD: BF será igual a FE.

Demostración: tracemos AB y prolonguémosla en línea recta y tracemos CD hasta que la[2] corte en G y tracemos CB.

Y puesto que el ángulo CBA está en el semicírculo, es recto [Elem. III 31], y el restante CBG es recto [Elem. I 13] y DBEC es un paralelogramo rectángulo[3]. Por tanto, en el triángulo rectángulo GBC se ha trazado BD perpendicular a la base en el punto B, y BD, DC serán iguales, puesto que son tangentes al círculo; luego CD también es igual a DG del modo que demostramos en las proposiciones que concluimos Sobre los rectángulos[4]. Y puesto que en el triángulo GAC la línea BE ha sido trazada paralela a la base y la línea DA ha sido trazada desde el punto medio D y cortando a la paralela en F, entonces BF será igual a FE.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 3513

Sea CA un segmento de círculo y B un punto en él en cualquier parte, y BD una perpendicular a AC; y sea el segmento DE igual al DA y el arco BF igual al arco BA; en cualquier caso, CF será igual a CE[5].

Demostración: tracemos las líneas AB, BF, FE, EB. Y puesto que el arco BA es igual al arco BF, la 〈cuerda〉 AB será igual a la BF. Y puesto que AD es igual a ED y los dos ángulos D son rectos, y DB común, entonces AB es igual a BE [Elem. I 4]: además, BF, BE son iguales y los dos ángulos BFE, BEF son iguales. Y puesto que el cuadrilátero CFBA está en el círculo, el ángulo CFB más el ángulo CAB opuesto a él, más el ángulo BEA, son iguales a dos rectos [Elem. III 22], Pero el ángulo CEB más el ángulo BEA son iguales a dos rectos; luego los dos ángulos CFB, CEB son iguales. Y quedan CFE, CEF iguales; luego CE es igual a CF.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 4

Sea ABC un semicírculo y estén sobre el diámetro AC dos semicírculos, de los cuales sea uno AD y otro DC, y sea DB una perpendicular; en cualquier caso, la figura resultante, a la que Arquímedes llama arbelo —es la superficie comprendida por el arco de un semicírculo mayor y las dos circunferencias de los semicírculos menores— es igual a un círculo cuyo diámetro es la perpendicular DB.

514 Demostración: puesto que la línea DB es media proporcional entre las dos líneas DA, DC [Elem. VI 13], habrá una figura plana, AD sobre DC[6], igual al cuadrado de lado DB [Elem. VI 17].

Y sumemos el rectángulo AD, DC con los dos cuadrados de lado AD, DC; sea el doble de la figura plana más los dos cuadrados AD, DC —es decir, el cuadrado de lado AC [Elem. II 4]— igual al doble del cuadrado DB más los dos cuadrados de lado AD, DC. Y la razón entre los círculos es la misma que la razón entre los cuadrados [Elem. XII 2][7]; luego el círculo cuyo diámetro es AC es igual al doble del círculo cuyo diámetro es DB más los dos círculos cuyos diámetros son AD, DC, y el semicírculo AC es igual al círculo cuyo diámetro es DB más los dos semicírculos AD, DC. Restemos en común[8] los dos semicírculos AD, DC; queda que la figura a la que contienen los semicírculos AC, AD, DC —y es la figura a la que Arquímedes llamaba arbelo— es igual al círculo cuyo diámetro es DB.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 5

Si hay un semicírculo AB y en cualquier parte en su diámetro está marcado un punto C y sobre el diámetro se construyen dos semicírculos AC, CB; y desde C se traza CD perpendicular a AB y, a uno y otro lado, se describen dos círculos tangentes a ella[9] y tangentes a los semicírculos, en cualquier caso aquellos dos círculos son iguales.

Demostración: sea uno de los círculos tangente a DC en E y al semicírculo AB en F y al semicírculo AC en G y tracemos el diámetro HE; será paralelo al diámetro AB, puesto que los dos ángulos HEC, ACE son rectos [Elem. I 28], Y tracemos FH, HA; entonces la línea AF es recta, como se ha dicho en la proposición 1. Y AF, CE se cortan en D, puesto que parten de los ángulos A, C, menores que dos rectos [Elem. I, post. 5]. 515 Y tracemos también FE, EB; entonces EFB también es recta, como dijimos [Prop. 1], y es perpendicular a AD, puesto que el ángulo AFB es recto, porque está en el semicírculo AB [Elem. III 31], Y tracemos HG, GC; también HC será una recta. Y tracemos EG, GA; EA será una recta; y prolonguémosla hasta I y tracemos BI, la cual también será perpendicular a AI [Elem. III 31] y tracemos DI.

Y puesto que AD, AB son dos rectas y desde D se ha trazado DC perpendicular a la línea AB, y desde B se ha trazado BF perpendicular a DA, las cuales se cortan mutuamente en E, y prolongada AE hasta I es perpendicular a BI, BID serán rectas[10], como demostramos en las proposiciones que concluimos en la exposición del tratado Sobre triángulos rectángulos[11]. Y puesto que los dos ángulos AGC, AIB son rectos, en cualquier caso 516 BD, CG son paralelas [Elem. I 28], y la proporción de AD a DH, que es como AC a HE, es como la proporción de AB a BC[12]; luego el rectángulo AC, CB es igual al rectángulo AB, HE [Elem. VI 16].

Y de modo semejante se demuestra, para el círculo LMN, que el rectángulo AC, CB es igual al rectángulo formado por AB y su diámetro; y a partir de ahí se demuestra también que los dos diámetros de los círculos EFG, LMN son iguales; luego los dos círculos son iguales.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 6

Si hay un semicírculo ABC y en su diámetro se toma un punto D, y AD fuera una vez y media DC, y sobre AD, DC se trazan dos semicírculos y entre los tres semicírculos se pone un círculo EF tangente a ellos y en él se traza el diámetro EF paralelo al diámetro AC, debemos hallar la razón entre el diámetro AC y el diámetro EF.

Tracemos pues dos líneas AE, EB, y dos líneas CF, FB; CB, AB serán rectas, como se ha dicho en la primera proposición. Tracemos además dos líneas FGA, EHC y se demostrará que también son rectas; de modo semejante, tracemos las dos 517 líneas DE, DF y tracemos DI, DL y EM, FN y prolonguémoslas hasta O, P.

Y puesto que, en el triángulo AED, AG es perpendicular a ED y DI también es perpendicular a AE, y ya se habían cortado mutuamente en M, entonces EMO será también perpendicular, como demostramos en la exposición que hicimos sobre las propiedades de los triángulos y cuya demostración precede en la proposición anterior; de modo semejante, también FP será perpendicular a CA. Y puesto que los dos ángulos de vértice en L y en B son rectos [Elem. III 31], DL será paralela a AB e, igualmente, DI a CB; por tanto la razón de AD a DC es como la razón de AM a FM [Elem. VI 2] —es decir, como la razón de AO a OP—, y la razón de CD a DA como la de CN a NE —es decir, como la razón de CP a PO—. Y AD era una vez y media DC; luego AO es una vez y media OP y OP una vez y media CP. Luego tres líneas, AO, OP, PC son proporcionales y en la misma medida en la que PC es cuatro, OP será seis y AO nueve, y CA diecinueve. Y puesto que PO es igual a EF, la proporción de AC a EF será la de diecinueve a seis.

Por tanto, hemos hallado la proporción requerida.

Y además, si la razón de AD a DC fuera cualquier otra, como de cuatro a tres, o de cinco a cuatro, o alguna otra, se juzgará y razonará como se ha dicho.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 7

Si se traza un círculo en torno a un cuadrado y otro dentro de él, en cualquier caso el circunscrito será el doble del inscrito.

Sea pues el círculo que comprende al cuadrado AB el círculo AB, y esté inscrito 〈el círculo〉 CD y sea AB el diámetro del cuadrado y también el diámetro del círculo circunscrito, y tracemos el diámetro CD del círculo inscrito paralelo a AE, la cual es igual a él.

518 Y puesto que el cuadrado AB es el doble del cuadrado AE [Elem. I 47] —o sea, del DC— y la razón entre los cuadrados construidos sobre los diámetros de los círculos es la misma razón que guarda el círculo con el círculo [Elem. XII 2], entonces el círculo AB es el doble del círculo CD.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 8

Si en un círculo una línea AB parte de cualquier punto y es prolongada en línea recta y se le añade BC, igual a un semidiámetro del círculo, y desde C se traza una recta hasta el centro del círculo, que es D, y se prolonga hasta E, el arco AE será el triple del arco BF.

Tracemos pues EG paralela a AB y unamos DB, DG.

Y puesto que los dos ángulos DEG, DGE son iguales, el ángulo GDC será el doble del ángulo DEG [Elem. I 32]. Y puesto que el ángulo BDC es igual al ángulo BCD, y el ángulo CEG es igual al ángulo ACE [Elem. I 29], el ángulo GDC será el doble del ángulo CDB y el ángulo BDG entero será el triple del ángulo BDC, y el arco BG, igual al arco AE, será el triple del arco BF [Elem. III 26].

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 9

Si dos líneas AB, CD se cortan mutuamente en el interior de un círculo, pero no en el centro, en ángulos rectos, en cualquier caso los dos arcos AD, CB son iguales a los dos arcos AC, DB.

Tracemos el diámetro EF paralelo a AB, de modo que corte en dos partes iguales a CD por el punto G; 〈el arco〉 EC será igual al ED [Elem. III 3].

Y puesto que tanto el arco EDF como el arco ECF son semicírculos y el arco ED es igual al arco EA más el arco AD, el arco CF más los 519 dos arcos EA, AD es igual a un semicírculo. Y el arco EA es igual al arco BF; luego el arco CB más el arco AD es igual a un semicírculo. Y quedan los dos arcos EC, EA —es decir, el arco AC— que, más el arco DB, son iguales a aquél.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 10

Si hay un círculo ABC y 〈una recta〉 DA tangente a él y 〈una recta〉 DB secante a él y DC igualmente tangente, y se traza CE paralela a DB y se traza EA que corte a DB en E y desde F se traza FG perpendicular a CE, en cualquier caso la cortará en dos partes iguales en G.

Tracemos AC.

Y puesto que DA es tangente y AC secante al círculo, el ángulo DAC será igual al ángulo inscrito en el segmento alterno AC —esto es, el ángulo AEC [Elem. III 32]— y es igual al ángulo AFD, puesto que CE, BD son paralelas [Elem. I 29]; luego los ángulos DAC, AFD son iguales. Y en los dos triángulos DAE AHD hay dos ángulos AFD, HAD iguales y el ángulo D es común; por lo cual habrá un rectángulo FD, DH igual al cuadrado 〈de lado〉 DA 520 —es decir, al cuadrado 〈de lado〉 DC— y puesto que la razón de FD a DC es la misma que la de CD a DH [Elem. VI 17] y el ángulo D es común, los triángulos DFC, DCH serán semejantes [Elem. VI 6] y el ángulo DFC igual al DCH, el cual es igual al ángulo DAH. Y éste es igual al ángulo AFD; luego los dos ángulos AFD, CFD son iguales. Y DFC es igual al ángulo FCE [Elem. I 29]; y el ángulo DFA era igual al ángulo AEC; luego en el triángulo FEC[13] hay dos ángulos C, E, iguales, y dos ángulos 〈de vértice en〉 G rectos, y el lado GF es común; por lo cual CG será igual a GE [Elem. I 26], Luego CE es cortada por la mitad en el punto G.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 11

Si en un círculo dos rectas AB, CD se cortan mutuamente en ángulos rectos en el punto E —que no sea el centro—, en cualquier caso la suma de todos los cuadrados 〈construidos sobre〉 AE, BE, EC, ED es igual al cuadrado construido sobre el diámetro.

Tracemos el diámetro AF y tracemos las líneas AC, AD, CF, DB.

Y puesto que el ángulo AED es recto, será igual al ángulo ACF [Elem. III 31], Y el ángulo ADC es igual al AFC, puesto que están sobre el arco AC [Elem. III 27]; y en los dos triángulos ADE, AFC quedan dos ángulos iguales CAF, DAE; y habrá igualmente dos arcos CF, DB iguales [Elem. III 26] —es decir, que sus dos cuerdas son iguales [Elem. III 29]—. Y los dos cuadrados de DE, EB 〈sumados〉 son iguales al cuadrado de BD [Elem. I 47] —es decir, al de CF—, y los dos cuadrados de AE, EC 〈sumados〉 son iguales al cuadrado de CA y los dos cuadrados de CF, CA son iguales al cuadrado de FA, es decir, al cuadrado del diámetro; por tanto 〈la suma de〉 todos los cuadrados AE, EB, CE, ED es igual al cuadrado construido sobre el diámetro.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 12

Si hubiera un semicírculo de diámetro AB, y desde C se trazan 521 dos líneas tangentes a él en los dos puntos D, E y se trazan EA, DB, que se corten mutuamente en F, y se traza CF y se prolonga hasta G, CG será perpendicular a AB.

Tracemos DA, EB[14].

Y puesto que el ángulo BDA es recto [Elem. III 31], los dos ángulos restantes, DAB, DBA, del triángulo DAB serán iguales a un recto. Y el ángulo AEB es recto; por tanto son iguales a él. Y sumemos el ángulo FBE en común[15]; 〈la suma de los〉 dos ángulos DAB, ABE es igual a 〈la suma de los ángulos〉 FBE, FEB —es decir, al ángulo DFE externo al 〈triángulo〉 FBE [Elem. I 32]—. Y puesto que CD es tangente al círculo y DB secante a él, el ángulo CDB es igual al ángulo DAB e igualmente el ángulo CEF es igual al ángulo EBA [Elem. III 32]; luego los dos ángulos CEF, CDF 〈sumados〉 son iguales al DFE. Y esto es evidente a partir de nuestro tratado Sobre las figuras cuadriláteras, porque si entre dos líneas iguales que se cortan en un punto, como son las líneas CD, CE, se trazan dos líneas que se corten mutuamente, como son las dos líneas DF, EF y hay un ángulo contenido por ellas, como es el ángulo F, igual a los dos ángulos que se producen entre las dos líneas se cortan mutuamente, como son los dos ángulos E, D, a la vez habrá una línea que sale del punto de encuentro hasta el punto de sección, como es la línea CF, igual a una y otra de las líneas que se encuentran, como CD o CE; por tanto, CF será igual a CD; luego el ángulo CFD es 522 igual al ángulo CDF —es decir, al ángulo DAG—. Pero el ángulo CFD más el ángulo DFG es igual a dos rectos; luego el ángulo DAG más el ángulo DFG es igual a dos rectos; y quedan en el cuadrilátero ADFG dos ángulos, ADF, AGF, iguales a dos rectos. Pero el ángulo ADB es recto; luego el ángulo AGC es recto y CG perpendicular a AB.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 13

Si dos líneas AB, CD se cortan mutuamente en un círculo y AB es un diámetro del mismo pero CD, no, y desde los dos puntos A, B se trazan dos perpendiculares a CD —que sean AE, BF—, en cualquier caso cortarán de ella 〈las rectas〉 iguales CF, DE.

Tracemos EB y desde I, que es el centro, tracemos IG perpendicular a CD y prolonguémosla hasta H en la recta EB.

Y puesto que IG es una perpendicular a CD desde el centro, la corta por la mitad en G [Elem. III 3]; y puesto que IG, AE son dos perpendiculares a ella, serán paralelas [Elem. I 28], y puesto que BI es igual a IA, BH será igual a HE [Elem. VI 2]; y por causa de la igualdad de éstas y puesto que BF es paralela a HG, FG será igual a GE, y de las líneas iguales GC, GD quedan 〈los segmentos〉 iguales FC, ED.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 14

Si hay un semicírculo AB y de su diámetro AB se cortan líneas iguales AC, BD y sobre esas líneas se construyen los semicírculos 523 AC, CD, DB y el centro de los dos semicírculos AB, CD es el punto E, y EF es perpendicular a AB y se prolonga hasta G, el círculo de diámetro FG es igual a la superficie contenida por el semicírculo mayor y los dos semicírculos que están en su interior y el semicírculo de en medio que está fuera de él. Y ésta es la figura a la que Arquímedes llama el salino.

Puesto que DC está cortada por la mitad en E y se le ha añadido CA, 〈la suma de〉 los dos cuadrados de lados DA, CA será el doble de 〈la de〉 los dos cuadrados DE, EA [Elem. II 10]. Pero FG es igual a DA; luego 〈la suma de〉 los dos cuadrados FG, AC es el doble de 〈la de〉 los dos cuadrados DE, EA; y puesto que AB es el doble de AE y también CD el doble de ED, 〈la suma de los〉 dos cuadrados AB, DC será el cuádruple de 〈la de〉 los dos cuadrados DE, EA —es decir, el doble de 〈la de〉 los dos cuadrados GF, AC—. De modo semejante también los dos círculos de diámetros AB, DC son el doble de 〈la suma de〉 aquéllos cuyos diámetros son GF, AC; y la mitad de 〈la suma de〉 aquéllos cuyos diámetros son AB, CD es igual a 〈la suma de〉 los dos círculos de diámetros GF, AC. Pero el círculo de diámetro AC es igual a 〈la suma de〉 los dos semicírculos AC, BD; luego si de ellos quitamos los dos semicírculos AC, BD que son comunes, resulta que la figura contenida por los cuatro 524 semicírculos AB, CD, DB, AC —que es la que Arquímedes llama salino— es igual al círculo cuyo diámetro es FG.

Y esto es lo que pretendíamos.

PROPOSICIÓN 15

Si hay un semicírculo AB y AC es la cuerda de un pentágono y AD es la mitad del arco AC, trácese CD y prolónguese de modo que llegue a E y trácese DB, la cual corte a CA en F, y desde F trácese FG perpendicular a AB; la línea EG será igual al semidiámetro del círculo.

Tracemos pues la línea CB y sea H el centro, y tracemos HD, DG y AD.

Y puesto que el ángulo ABC, cuya base es el lado del pentágono[16], es dos quintas partes de un recto [Elem. III 20], cualquiera de los dos ángulos CBD, DBA es la quinta parte de un recto. Y el ángulo DHA es el doble del ángulo DBH [Elem. III 20]; luego el ángulo DHA es dos quintas partes de un recto. Y puesto que en los dos triángulos CBF, GBF los dos ángulos B son iguales y G, C son rectos y el lado FB es común, BC será igual a BG [Elem. I 26], Y puesto que en los dos triángulos CBD, GBD dos lados CB, BG son iguales y, de modo semejante, los ángulos de vértice en B 〈son iguales〉 y el lado BD es común, los dos ángulos BCD, BGD serán iguales [Elem. I 4]. Y cualquiera de ellos es seis quintas partes de un recto[17] y es igual al ángulo DAE externo del cuadrilátero BADC, que está en el 525 círculo[18]; luego resulta que el ángulo DAB es igual al ángulo DGA, y DA será igual a DG. Y puesto que el ángulo DHG es dos quintas partes de un recto y el ángulo DGH seis quintas partes de un recto, queda que el ángulo HDG es dos quintas partes de un recto, y DG será igual a GH. Y puesto que ADE es externo al cuadrilátero ADCB, que está en el círculo[19], es igual al ángulo CBA, y es dos quintas partes de un recto e igual al ángulo GDH. Y puesto que en dos triángulos EDA, HDG hay dos ángulos EDA, HDG iguales y lo mismo los dos ángulos DGH, DAE y los dos lados DA, DG, 〈entonces〉 EA será igual a HG [Elem. I 26], Y sumemos AG en común[20]; EG será igual a AH.

Y esto es lo que pretendíamos.

Y a partir de ello queda de manifiesto que la línea DE es igual al semidiámetro del círculo, porque el ángulo A es igual al ángulo DGH y, por tanto, la línea DH será igual a la línea DE. Y afirmo que EC queda dividida en extrema y media razón en el punto D, y que el segmento mayor es DE[21]; y esto porque ED es una cuerda de hexágono [Elem. IV 15, corol.] y DC, la del decágono, y esto ya está demostrado en el libro de los Elementos[22].

Y esto es lo que pretendíamos.

PROBLEMA DE LOS BUEYES

INTRODUCCIÓN

El Problema de los bueyes está formado por veintidós dísticos elegiacos que transforman en problema matemático el pasaje homérico de Odisea XII, 260 y ss.: «Luego, cuando hubimos escapado de la terrible Caribdis y de Escila, pronto llegamos a una isla espléndida. Allí estaban las vacas de amplia testuz y los gruesos y muchos rebaños de Helios Hiperión»[1]. En los manuscritos[2] su texto va precedido de un epígrafe del que obtenemos la mayor parte de los datos conocidos sobre el poema.

De acuerdo con él, el epigrama contiene un problema que Arquímedes envió a sus colegas alejandrinos en una carta a Eratóstenes. Este erudito alejandrino (Cirene 276-Alejandría circa 195) es el único de los corresponsales de Arquímedes sobre el que estamos relativamente bien informados: geógrafo y astrónomo —es famosa su medida de la circunferencia de la Tierra—, erudito y filólogo —dirigió la Biblioteca de Alejandría aproximadamente desde 235 a. C. hasta su muerte— fue también un matemático no despreciable, al que debemos la «criba de Eratóstenes» y una resolución del «problema délico»[3]. Arquímedes debió de apreciar sus conocimientos en este terreno, pues le hizo destinatario no sólo de este Problema, sino también de su famoso Método[4].

La cuestión que propone el poema es la de averiguar el número de reses que componían los ganados del Sol. El problema está planteado en dos partes bien diferenciadas mediante una doble apelación al lector, contenidas respectivamente en los versos 1-30 y 31-44. La primera parte pide determinar por separado el número de los toros y vacas blancos, negros, rubios y a manchas que componen los ganados del Sol, dadas determinadas condiciones de conmensurabilidad entre las cifras correspondientes: un sistema de siete ecuaciones lineales y ocho incógnitas cuya resolución permitiría a quien la resolviera «no ser llamado ignorante ni inexperto en números». Si llamamos respectivamente B, N, R, P a los toros, blancos negros, rubios y pintos y b, n, r, p a las vacas de esos mismos pelajes, las ecuaciones se plantean como sigue:

(1) B = (1/2 + 1/3) N + R

(2) N = (1/4 + 1/5) P + R

(3) P = (1/6 + 1/7) B + R

(4) b = (1/3 + 1/4) (N + n)

(5) n = (1/4 + 1/5) (P + p)

(6) p = (1/5 + 1/6) (R + r)

(7) r = (1/6 + 1/7) (B + b)

En la segunda parte se añaden dos condiciones, que convierten la cuestión en un problema de análisis indeterminado: la suma del número de toros blancos y negros ha de ser un número cuadrado y la de los rubios y a manchas, un número triangular; es decir, se cumple que

(8) B + N = x²

(9) R + P = y (y + 1) : 2

Si el lector consiguiera también resolver esta parte, podría «jactarse de ser portador de la victoria y ser plenamente tenido por fecundo en esta sabiduría».

El poema va acompañado de un escolio que, sin indicación del método empleado ni de los cálculos efectuados, ofrece una solución incompleta del problema: en él se nos dan las cifras de vacas y toros de cada uno de los cuatro pelajes y el escoliasta concluye afirmando escuetamente que con esos números también se cumplen las condiciones propuestas en la segunda parte, pero no es cierto que se obtengan el número cuadrado y el triangular requeridos.

A pesar del epígrafe que precede al poema y de que un escolio a Platón[5] menciona ya un «problema de los bueyes de Arquímedes», la autenticidad de la autoría ha sido repetidamente puesta en duda[6], en parte por razones lingüísticas (el uso del dialecto jonio y la forma versificada) y en parte por razones matemáticas (la sencillez relativa de resolución de la primera parte del problema frente a la notable dificultad de la segunda). Se plantean, pues, dos cuestiones de autenticidad: la del poema y la del problema.

Algunos autores, como Hesselmann, Heiberg y Krumbiegel, se manifiestan a favor de la autoría de Arquímedes tanto para el poema como para el problema. En apoyo de la autenticidad del problema aducen el testimonio inequívoco del mencionado escolio a Platón; para sustentar la del poema, Heiberg responde a la objeción de la forma versificada invocando los paralelismos de otros matemáticos antiguos que también presentaron sus problemas en verso —así el ya mencionado epigrama de Eratóstenes con la solución al problema délico y el conocido epigrama de Diofanto (Arithmetica V 33)[7]— y argumentando que el uso del dialecto jónico queda justificado en razón de que es el tradicional en esta clase de composiciones. Que el problema se nos presente como dirigido a Eratóstenes, cuya correspondencia con Arquímedes es un dato probado, es hoy otro argumento en favor de su origen arquimedeo.

Los argumentos de Heiberg en cuanto a la composición del poema están fundamentados, pero no son conclusivos: no podemos dejar de tener en cuenta el irrefutable testimonio de Eutocio, que afirma de forma tajante que las obras de Arquímedes estaban escritas en el dialecto dorio propio de Siracusa[8]. Tampoco es de despreciar el dato de que, con las excepciones mencionadas de Eratóstenes y Diofanto, la mayor parte de los epigramas de tema matemático plantean cuestiones que no pasan de ser problemas elementales próximos a la categoría de «pasatiempos» y son, en general, bastante posteriores a Arquímedes. En consecuencia, debemos seguir considerando razonable la duda sobre la autoría de Arquímedes respecto a la composición del poema.

En el aspecto matemático, se había objetado que la resolución del problema exigía el manejo de cifras tan elevadas y un conocimiento tal de los números poligonales que no podían estar al alcance de Arquímedes. Heiberg responde a la primera objeción aduciendo que el sistema de notación numérica ideado por Arquímedes, del que tenemos testimonio en el Arenario, anulaba la primera de estas dificultades, y a la segunda, recordando que el tratamiento minucioso de los números poligonales que hace Nicómaco de Gerasa en sus Arithmetica, conocimiento que sin duda hunde sus raíces en fechas notablemente más antiguas, ponía al siracusano en situación de resolver las dos últimas cuestiones planteadas en el Problema.

A estos argumentos hay que añadir que la determinación del número de toros y vacas de cada pelaje, es decir, la resolución de la primera parte, pertenece a un tipo de problema, de origen egipcio, clásico en la matemática griega elemental y testimoniado ya en Platón (Leyes 819a-c)[9]; en ese sentido, el Problema de los bueyes encaja bien en la tradición. Por otro lado, la dificultad de esta parte no va más allá del hecho de ser un sistema de ecuaciones algo más largo de lo habitual, y el manejo de las cifras resultantes en esta primera parte no es mucho más complejo que los cálculos que requiere la determinación del valor de π que encontramos en Medida del círculo[10].

En la segunda parte, sin embargo, las dificultades matemáticas se mezclan con las filológicas. En primer lugar, la expresión «si los toros de pelaje blanco mezclaban su número con los negros, se mantenían continuamente de la misma medida en profundidad y anchura» (isómetroi eis báthos eis eûrós te, vv. 34-35) puede interpretarse como «formaban un número rectangular» (es decir, un número no primo), como lo interpretó Wurm, o, de un modo más exigente, interpretarlo como «formaban un número cuadrado», como lo interpretó Amthor[11]. Según la solución dada por este último autor, una sola de las incógnitas, una vez resuelta, ocuparía más de 82 páginas de 2.500 cifras, y escribir todos los resultados —sólo los resultados— requeriría un volumen de… ¡más de 600 páginas! Heath[12] llama al planteamiento de Amthor «The complete problem», pero, a la vez, afirma: «One may well be excused for doubting whether Archimedes solved the complete problem, having regard to the enormous size of the numbers and the great difficulties inherent in the work»[13].

Si unimos a esto que Arquímedes en una ocasión envió teoremas con soluciones falsas a sus corresponsales de Alejandría «para que los que andan diciendo que lo descubren todo pero no dan a conocer ninguna demostración queden refutados por haber admitido que han descubierto imposibles»[14], da la sensación de que la posición de Heath está bastante justificada. Pero también se ha de tener en cuenta el siguiente dato filológico: en el epígrafe que precede al Problema se emplea el término exeurón (lit. «tras haber hallado»). Esta palabra, en principio, puede interpretarse como «planteó», o bien como «planteó y resolvió». Arquímedes emplea ese verbo sólo en otra ocasión (Sobre los conoides y esferoides, 246, 8-10), y allí significa, sin lugar a dudas, «descubrir la solución». Por eso no debemos descartar que Arquímedes resolviera el problema, independientemente de que le remitiera la solución a Eratóstenes o no. Ciertamente, no es el único caso en que Arquímedes entra en el terreno fangoso del cálculo numérico: ténganse presentes sus aproximaciones de √3 en la Medida del círculo, los cálculos que figuran en el Arenario y los libros que envió a Zeuxipo sobre los nombres de los números[15]. Aunque éste no es un argumento conclusivo, si a esto le unimos la sorprendente capacidad de relación del personaje y su facilidad para expresar las relaciones matemáticas en cifras sencillas, no es aventurado pensar que Arquímedes tenía el problema resuelto y cabe aún esperar que de la colaboración entre filólogos y matemáticos surjan nuevas aproximaciones a su solución definitiva.

PROBLEMA QUE ARQUÍMEDES DESCUBRIÓ[1]II 528 Y ENVIÓ EN DÍSTICOS, EN UNA CARTA A ERATÓSTENES DE CIRENE, A LOS QUE SE OCUPABAN EN ALEJANDRÍA DE INVESTIGAR ESTOS ASUNTOS

5 Tras dedicarle tus desvelos, si participas de la sabiduría, haz la cuenta, extranjero, de la cantidad de los bueyes del Sol que pacían en las llanuras de la siciliana isla Trinacia[2] repartidos en cuatro hatos diferentes en pelaje: uno blanco como la leche, reluciente otro de color negro; otro, rubio y otro, a 10 530 manchas.

En cada hato había pesados toros cuyo número guardaba la siguiente conmensurabilidad: ten presente, extranjero, que los blancos eran iguales a la mitad más la tercera parte de los toros negros más todos los rubios; y que los negros iguales a la cuarta 5 parte más la quinta parte de los de color mezclado, más todos los rubios. Mira con atención que los de color variado restantes eran iguales a la sexta parte más la séptima de los 10 blancuzcos más los rubios todos.

Para las bovinas hembras éste era el caso: las de blanco pelaje eran exactamente iguales a la tercera parte más la cuarta parte del rebaño negro entero; y las negras, a su vez, se igualaban a la cuarta parte más la quinta parte de las de color 15 mezclado cuando venían todas al pasto juntamente con los toros. Las de manchas eran de igual número †dividido en cuatro partes†[3] a la quinta parte más la sexta del rebaño de rubios. Las 20 rubias se contaban iguales a la mitad de la tercera parte más la séptima parte del rebaño blanco.

Y tú, extranjero, si llegaras a decir exactamente cuántas eran las reses del Sol —por su lado el número de los fuertes toros, por su lado las hembras cuantas había en cada grupo según su color—, no serías llamado ignorante ni inexperto en números.

25 Pero tampoco, desde luego, te contarían en el número de los sabios. Así que venga, indica todas estas condiciones de los bueyes del Sol: pues si los toros de pelaje blanco mezclaban su número con los negros, se mantenían continuamente de la misma 532 medida en profundidad y anchura[4], y por todas partes los extensos campos llenaban de la superficie de Trinacia. A su vez, si reunidos en un solo grupo los rubios y pintos estaban caprichosamente empezando por uno, completaban como figura 5 un triángulo[5] sin que hubiera que añadir y sin que sobraran toros de otros colores.

Y una vez que hayas descubierto esto y lo hayas reunido en pensamientos y hayas dado, extranjero, las medidas todas de la multitud, vete jactándote de ser portador de la victoria y sé plenamente tenido por fecundo en esta sabiduría.

ESCOLIO10

Mediante el poema Arquímedes mostró claramente el problema: se ha de saber lo que dice, que ha de haber cuatro rebaños de bueyes: uno de toros y vacas de pelaje blanco, de los cuales la cantidad reúne 14 miríadas dobles y 582 simples y 15 7.360 unidades[6]; otro, igualmente de toros y vacas de color negro, cuyo número es de 9 miríadas dobles y 8.830 sencillas y 800 unidades[7]; otro, de toros y vacas pintos, cuyo número es de 8 miríadas dobles y 6.991 sencillas y 400 unidades[8]. El 20 número de los de pelaje rubio del rebaño restante reúne 7 miríadas dobles y 6.708 sencillas y 8.000 unidades[9]. De modo que el número de los cuatro rebaños reúne 40 miríadas dobles y 3.112 sencillas y 6.560 unidades. 533

Y el rebaño de los toros de pelaje blanco tiene 8 miríadas dobles y 2.931 sencillas y 8.560 unidades, y las vacas 5 miríadas dobles y 7.650 sencillas y 8.800 unidades[10], y el rebaño de los toros de color negro tiene 5 miríadas dobles y 9.684 5 sencillas y 1.120 unidades, y las hembras 3 miríadas dobles y 9.145 sencillas y 9.680 unidades[11]; el rebaño de los toros de pelaje a manchas tiene 5 miríadas dobles y 8.864 sencillas y 10 4.800 unidades, y las hembras 2 miríadas dobles y 8.126 sencillas y 5.600 unidades[12]; y el rebaño de los toros de color rubio tiene 3 miríadas dobles y 3.195 sencillas y 960 unidades, y las hembras 4 miríadas dobles y 3.513 sencillas y 7.040 unidades[13].

15 Y el número de los toros de pelo blanco es igual a la mitad más la tercera parte del número de los toros negros más el rebaño entero de los de color rubio[14]; y el número de los de color negro es igual a la cuarta parte más la quinta parte de los toros 20 a manchas más el número total de los de color rubio[15], y el número de los toros a manchas es igual a un sexto más un 534 séptimo de los toros de pelaje blanco más el número total de los toros rubios[16].

Y, de nuevo, el número de las vacas blancas es igual a la tercera parte más la cuarta parte del rebaño entero de los negros[17], mientras que el de las negras es igual a la cuarta parte 5 más la quinta parte del rebaño entero de los de manchas[18] y el de las de manchas es igual a un quinto más un sexto del total de los bueyes rubios[19]. De nuevo: el número de las vacas rubias era igual a un sexto más un séptimo del total del rebaño de los bueyes blancos[20].

10 Y el rebaño de los toros de pelaje blanco sumado al de los toros negros forma un número cuadrado[21] mientras que el rebaño de los toros rubios sumado al rebaño de los de manchas forma un número triangular[22], como exigen las condiciones propuestas para cada color15.

FRAGMENTOS

SOBRE LOS POLIEDROS 536

1. Papo, Collectio V 34, pág. 352. Éstas son no sólo las cinco figuras recogidas por el divinísimo Platón —es decir, el tetraedro, el hexaedro, el octaedro y el dodecaedro y, el quinto, el icosaedro—, sino también las trece en número descubiertas por Arquímedes, comprendidas por polígonos equiláteros y equiángulos, pero no semejantes entre sí.

El primero es el octaedro comprendido por 4 triángulos y 4 hexágonos.

Después de éste, los tres sólidos de catorce caras, de los cuales el primero está comprendido por 8 triángulos y 6 cuadrados; el segundo, por 6 cuadrados y 8 hexágonos, y el tercero, por 8 triángulos y 6 octógonos.

Después de éstos hay dos de veintiséis caras, de los cuales el primero está comprendido por 8 triángulos y 18 cuadrados y el segundo por 12 cuadrados, 8 hexágonos y 6 octógonos.

537 Después de éstos hay tres de treinta y dos caras, de los cuales el primero está comprendido por 20 triángulos y 12 pentágonos, el segundo por 12 pentágonos y 20 hexágonos y el tercero por 20 triángulos y 12 decágonos.

Después de éstos hay uno de treinta y ocho caras, comprendido por 32 triángulos y 6 cuadrados.

Después de éste hay dos de sesenta y dos caras, de los cuales el primero está comprendido por 20 triángulos y 30 cuadrados y 12 pentágonos y el segundo por 30 cuadrados y 20 hexágonos y 12 decágonos.

Después de éstos hay un último de noventa y dos caras, el cual está comprendido por 80 triángulos y 12 pentágonos.

Cuántos ángulos sólidos tiene cada una de estas 13 figuras poliédricas y cuántas aristas, se estudia del siguiente modo: sencillamente, en cuantos poliedros los ángulos sólidos están comprendidos por tres planos, una vez contados todos los ángulos planos que tienen todas las caras del poliedro, está claro que el número de los ángulos sólidos es la tercera parte del número resultante y en cuantos poliedros el ángulo sólido está comprendido por cuatro planos, una vez contados todos los ángulos planos que tienen las caras del poliedro, la cuarta parte del número resultante es el número de ángulos sólidos del poliedro. De manera semejante, en cuantos poliedros el ángulo sólido está comprendido por 5 ángulos planos, la quinta parte de la cantidad de ángulos planos es el número de la cantidad de los ángulos sólidos.

La cantidad de aristas que tiene cada uno de los poliedros la hallaremos del siguiente modo: una vez contadas todas las aristas 538 que tienen los planos que contienen al poliedro, está claro que su número es igual a la cantidad de ángulos planos, pero puesto que cada una de sus aristas es común a dos planos, está claro que las aristas del poliedro son la mitad de esa cantidad.

El primero de los trece poliedros semirregulares[1], puesto que está comprendido por 4 triángulos y 4 hexágonos, tiene 12 ángulos sólidos y 18 aristas, pues de los cuatro triángulos los ángulos son 12 y las aristas 12, mientras que de los 4 hexágonos los ángulos son 24 y las aristas 24; resultando el número total 36, es de necesidad que el número de los ángulos sólidos sea la tercera parte del número antedicho, puesto que también cada uno de sus ángulos sólidos está comprendido por 3 ángulos planos, mientras que la cantidad de las aristas es la mitad del número —esto es, de 36—, de modo que son 18 aristas.

El primero de los de catorce caras está comprendido por 8 triángulos y 6 cuadrados, de modo que tiene 12 ángulos sólidos, pues cada uno de sus ángulos está comprendido por cuatro ángulos planos, y tiene 24 aristas; el segundo de los de catorce caras, puesto que está comprendido por 6 cuadrados y 8 hexágonos, tendrá 24 ángulos sólidos, pues cada uno de sus ángulos está comprendido por 3 ángulos planos, y aristas tiene 36; 〈el tercero de los de catorce caras, puesto que está comprendido por 8 triángulos y 6 octógonos, tendrá 24 ángulos sólidos y 36 aristas〉[2].

539 El primero de los de veintiséis caras, puesto que está comprendido por 8 triángulos y 18 cuadrados, tendrá 24 ángulos sólidos y 48 arista; el segundo de los de veintiséis caras, puesto que está comprendido por 12 cuadrados y 8 hexágonos y 6 octógonos, tendrá 48 ángulos sólidos y 72 aristas.

El primero de los de treinta y dos caras, puesto que está comprendido por 20 triángulos y 12 pentágonos, tendrá 30 ángulos sólidos y 60 aristas; el segundo de los de treinta y dos caras, puesto que está comprendido por 12 pentágonos y 20 hexágonos, tendrá 60 ángulos sólidos y 90 aristas; el tercero de los de treinta y dos caras, puesto que está comprendido por 20 triángulos y 12 decágonos, tendrá 60 ángulos sólidos y 90 aristas.

El de treinta y ocho caras, puesto que está comprendido por 32 triángulos y seis cuadrados, tendrá 24 ángulos sólidos y 60 aristas.

El primero de los de sesenta y dos caras, puesto que está comprendido por 20 triángulos y 30 cuadrados y 12 pentágonos, tendrá 60 ángulos sólidos y 120 aristas; el otro de los de sesenta y dos caras, puesto que está comprendido por 30 cuadrados y 20 hexágonos y 12 decágonos, tendrá 120 ángulos sólidos y 180 aristas.

Y el de noventa y dos caras, puesto que está comprendido por 80 triángulos y 12 pentágonos, tendrá 60 ángulos sólidos y 150 aristas[3].

540 2. Scholia Vaticana in Pappum III, pág. 1.171. α′ El octaedro tiene 4 triángulos y 4 hexágonos, 18 aristas y 12 ángulos sólidos, y cada ángulo sólido está comprendido por tres ángulos planos, de los cuales dos son del hexágono y uno del triángulo, de modo que faltan para los cuatro rectos dos terceras partes de un ángulo recto. Éste se genera a partir de la primera pirámide[4] cortando sus aristas en 3 partes iguales y trazando por los puntos de corte planos que dejen fuera los ángulos.

β′ El de catorce caras[5] está comprendido por 8 triángulos y por 6 cuadrados, tiene 24 aristas y 12 ángulos sólidos y cada ángulo sólido está comprendido por 4 ángulos planos, de los cuales 2 son de cuadrados y dos de triángulos, de modo que para los cuatro rectos faltan dos terceras partes de un ángulo recto. Éste se genera a partir del cubo, partiendo por la mitad sus aristas y trazando por los puntos de corte planos que dejen fuera los ocho ángulos.

γ′ El de catorce caras[6] está comprendido por 6 cuadrados y por 8 hexágonos, tiene 36 aristas y 24 ángulos sólidos y cada ángulo sólido está comprendido por tres ángulos planos, de los cuales dos son de hexágonos y uno de cuadrado. Éste se genera a partir del octaedro, partiendo en tres partes iguales cada una de sus aristas y trazando por los puntos de corte planos y quedando fuera los 6 ángulos.

δ′ El tercero[7], puesto que está comprendido por 8 triángulos y 6 octógonos, tendrá 24 ángulos sólidos. Cada uno está comprendido por tres ángulos planos, de los cuales dos son de 541 octógonos y uno de triángulo; y tiene 36 aristas. Éste resulta del cubo, cortando cada una de sus aristas de manera que resulten tres segmentos de los cuales el de en medio es el doble de cada uno de los de los extremos en potencia[8].

ε′ El de veintiuna caras[9] resulta del de catorce caras comprendido por 8 triángulos y 6 cuadrados, cortando cada una de sus aristas por la mitad y trazando planos por los puntos de corte y…

3. Herón, Definitiones 104, pág. 66, 1. Arquímedes afirma que ha descubierto que en total son trece las figuras que pueden inscribirse en la esfera, añadiendo ocho a las cinco mencionadas[10].

Id. pág. 66, 4: de los cuales también Platón conocía el de catorce caras y que era de dos clases, el uno compuesto de ocho triángulos y seis cuadrados, de tierra y aire, como ya sabían algunos de los antiguos, y el otro de ocho cuadrados y 6 triángulos, lo que parece bastante difícil.

SOBRE LA MEDIDA DEL CÍRCULO 542

4. Diófanes 20a[11]. Arquímedes demostró que 30 triángulos equiláteros son iguales a 13 cuadrados[12].

5. Herón, Métrica I 37, pág. 86, 22. Arquímedes dejó demostrado en la Medida del círculo que todo sector es la mitad del 〈área〉 comprendida por el arco del sector y el radio del círculo en el que está el sector[13].

SOBRE PLINTIDIOS Y CILINDROS

6. Herón, Métrica I 26, pág. 66, 13. El propio Arquímedes demuestra en Sobre plintidios[14] y cilindros que el perímetro de todo círculo guarda con el diámetro una razón mayor que la que guarda 211.855 con 67.441, pero menor que la que guarda 197.878 con 62.321[15].

〈SOBRE LAS SUPERFICIES Y LOS CUERPOS IRREGULARES〉[16] 543

7. Herón, Métrica I 39, pág. 90, 5. Es menester, según creo, hablar en relación con las superficies irregulares, pues es preciso medirlas. Si la superficie es plana y la línea que la comprende es irregular, será preciso tomar algunos puntos contiguos a la propia línea de modo que las líneas rectas que los unan uno tras otro no se aparten mucho de la forma de la línea que los comprende y así medirlo como un polígono, dividiéndolo en triángulos. Pero si la superficie no es plana, sino como una estatua de forma humana u otra cosa semejante, es preciso tomar papiro lo más fino posible o un lienzo y extenderlo alrededor por partes sobre su superficie hasta que quede envuelto y luego, desplegando el papiro o el lienzo sobre un plano, medirlo como 〈superficie〉 comprendida por una línea irregular como se ha dicho antes, y mostrar lo que ocupa la superficie. Y si hay otras superficies o formas de superficies, se medirán según lo antedicho.

Herón, Métrica II 1, pág. 92, 3. Tras la medición de las superficies rectilíneas y no rectilíneas, en lo que sigue hemos de ir a los cuerpos sólidos, cuyas superficies medimos en el libro anterior a éste, tanto las planas como las esféricas como las cónicas y cilíndricas, y además de éstas, las irregulares, cuya invención, dado que es sorprendente, algunos la atribuyen a Arquímedes, refiriéndolo de acuerdo con la tradición. Pero venga de Arquímedes o de algún otro, es necesario describir también éstas.

544 8. Herón, Métrica II 20, pág. 138, 6. Una vez medidos los cuerpos sólidos regulares, suponemos que es razonable tratar de pasada la medición de los irregulares, como los que tienen forma de raíz o de piedra, pues algunos cuentan que Arquímedes ideó un método para tales asuntos. Pues si lo que se ha de medir es fácil de transportar, será necesario, tras construir una cisterna de ángulos rectos por todas partes capaz de contener lo que queremos medir, llenarla de agua e introducir dentro el cuerpo irregular. Está claro que el agua se verterá en una cantidad igual de grande que el volumen del cuerpo introducido en el agua, y que una vez sacado de nuevo el cuerpo fuera de la cisterna será lo que falte. Entonces, si medimos el espacio que se ha vaciado, mostraremos que el volumen del cuerpo introducido era de ese tamaño. Pero también es posible medirlo de otro modo: si al cuerpo irregular se le aplica cera o barro de modo que quede cubierto y en ángulo recto por todas partes y, tras medir eso retiramos el barro y formando un cuerpo en ángulos rectos lo medimos y lo restamos del medido previamente, mostraremos que lo que queda es el volumen del cuerpo. El método de aplicar algo alrededor ha de usarse con los cuerpos que no pueden ser transportados[17].

APÉNDICE A SOBRE LA ESFERA Y EL CILINDRO, LIBRO II

9. Sobre la esfera y el cilindro II 4, pág. 192, 5. De cada una de estas cuestiones se darán al final el análisis y la síntesis[18].

A ZEUXIPO 545

10. Arenario I 3, pág. 216,17… de los números a los que he dado nombre y que he dado a conocer en los libros que dediqué a Zeuxipo…

Arenario III 2-4, pág. 216, 17. Pero supongo que también es útil que hable sobre la denominación de los números —entre otras cosas, para que no se pierdan los que no han tenido acceso al libro que dediqué a Zeuxipo por no haberse dicho de antemano en este libro nada sobre esa cuestión.

MECÁNICA

11. Herón, Mechanica I 24, pág. 62, 22. Nadie negará que sólo en los sólidos se habla de peso e inclinación. En las figuras geométricas sólidas y planas, cuando decimos que un punto es 546 el centro de inclinación y gravedad, eso lo aclaró Arquímedes suficientemente. Por esa causa se debe también saber lo que ahora vamos a exponer. Posidonio, un estoico, definió con precisión el centro de gravedad e inclinación y dijo: el centro de gravedad o inclinación es un punto tal que, cuando el peso es colgado de ese punto, queda dividido en dos partes iguales. Por eso Arquímedes y sus adeptos en Mecánica especificaron y precisaron una diferencia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad. En lo que concierne al punto de suspensión, éste es un punto en el sólido o no sólido que cuando se suspende de él el objeto que se ha de suspender, sus partes se encuentran en equilibrio —con eso quiero decir que no oscila y no se inclina—. Porque el equilibrio se produce cuando un objeto es igual a otros en peso, como es el caso en las balanzas, cuando están suspendidas paralelas al plano del horizonte o a uno de los planos paralelos al mismo. Así, Arquímedes dice: Los pesos se equilibran respecto a una línea o a un punto. El peso se equilibrará respecto a una línea cuando el peso esté sobre dos puntos de una línea de modo que la línea no se incline y el plano trazado por esa línea perpendicular al horizonte permanezca perpendicular, como quiera que la línea sea desplazada. Cuando decimos «el peso se inclina», nos referimos sólo a su desplazamiento hacia abajo, es decir, a su movimiento hacia la Tierra. En lo que concierne al equilibrio en un punto, se produce cuando el peso es colgado de él y las partes del cuerpo, en 547 cada movimiento que hace, permanecen en armonía mutua. Un peso mantiene el equilibrio con otro cuando ambos están suspendidos de dos puntos de una línea, dividida en dos mitades y en el punto de corte de esa línea, y esa línea está paralela al horizonte, puesto que las magnitudes de los pesos guardan una con otra la razón inversa de las magnitudes de sus distancias a sus respectivos puntos de suspensión. Que de esta manera los pesos suspendidos guardan el equilibrio uno con otro en la inclinación lo demostró Arquímedes en sus escritos Sobre el equilibrio de las figuras, en los que entran en aplicación las palancas.

Cf. Papo VIII 5 (pág. 1.030, 11). Y decimos que el centro de gravedad de cada cuerpo es un punto situado dentro de él, colgado del cual idealmente el peso suspendido deja de moverse y conserva la posición del principio sin volcarse en su suspensión. Este punto se halla no sólo en los cuerpos regulares, sino también en los de formas irregulares, y el modo de hallarlo es el siguiente…[19].

Id. VIII 8, pág. 1.034, 1. Lo que mejor resume la materia relativa a los centros de gravedad sería esto, pero aprenderías lo elemental, que está explicado por este medio, si encontraras los libros de Arquímedes Sobre los equilibrios.

Simplicio, In Aristotelis de caelo, pág. 543, 24. Lo relativo 548 a los centros de gravedad, sobre lo cual Arquímedes y otros muchos han escrito mucho y muy ameno, tiene por objetivo cómo hallar el centro de gravedad de un objeto dado, es decir, un punto en el cuerpo que si se ata de él una cuerdecita el cuerpo estará en el aire sin inclinarse.

12. Arquímedes, Cuadratura de la parábola 6, pág. 274, 12. Pues todo objeto colgado permanece en el punto en que está colgado de modo que el punto de suspensión y el centro de gravedad del objeto colgado estén en perpendicular —pues esto también se ha demostrado.

13. Arquímedes, Sobre los cuerpos flotantes II 2, pág. 350, 13. Pues se ha demostrado en los Equilibrios que el centro de gravedad de todo segmento de paraboloide se encuentra en su eje, dividido de tal manera que el segmento del eje que está hacia el vértice sea el doble que el segmento restante.

14. Papo VIII 24, pág. 1.068, 19. Que los círculos mayores prevalecen sobre los círculos menores cuando su movimiento de rotación se produce en torno al mismo centro estaba demostrado en el Sobre las balanzas de Arquímedes y las Mecánicas de Filón y Herón.

15. Papo VIII 19, pág. 1.060, 2. Mover un peso dado con la fuerza dada pertenece a la misma rama de estudios; se dice que esto fue un descubrimiento mecánico de Arquímedes, en relación con el cual se cuenta que dijo: «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo».

549 16. Herón, Mechanica I 25, pág. 70, 4. Es muy necesario ofrecer algunas aclaraciones sobre el peso, el transporte y el traslado con respecto a la cantidad, como corresponde a una introducción. Pues Arquímedes ya introdujo un método seguro sobre este aspecto en el libro suyo que lleva el título Sobre los apoyos. De ello pasaremos por alto lo que necesitamos para otras cosas y utilizaremos lo que se refiere a la cantidad, como corresponde a quienes estudian la cuestión. El punto de vista general es el siguiente: averiguaremos cuánto peso recae sobre cada columna cuando uno tiene muchas columnas a discreción y quiere poner sobre ellas riostras o un muro y precisamente en el mismo o distinto lugar de las de los extremos, de modo que se eleve por encima de una de ellas o por encima de las dos por igual y cuando la distancia entre las columnas es igual o distinta.

CATÓPTRICA

17. Teón, Comentario al Almagesto de Ptolomeo I, pág. 10, ed. Basil. Y los rayos que desde ella[20] recaen sobre el aire, al sufrir la refracción y formar un ángulo mayor que el que tiene su vértice en el ojo, como lo afirma también Arquímedes demostrándolo en los libros sobre Catóptrica, que también las cosas sumergidas en el agua parecen más grandes, y que cuanto más abajo van, más grandes 〈parecen〉…

… y refráctense como 〈los ángulos〉 EΘA, EKB, como indica Arquímedes en los libros sobre Catóptrica; como decíamos.

550 18. Olimpiodoro, Comentario a los Meteorológicos de Aristóteles, pág. 211, 18, ed. Busse. Y especialmente Arquímedes demuestra eso mismo, que el rayo visual se refracta, mediante el anillo sumergido en una vasija.

Pseudo-Euclides. Catóptrica, postulado 6. Si se deposita algo en un vaso y se toma una distancia tal que ya no se vea, estando a la misma distancia, si se vierte agua se verá el objeto depositado.

19. Escolio a Pseudo-Euclides, Catóptrica, pág. 348, 17. Arquímedes dice así: El ángulo Z es igual al E o menor o mayor. Sea primero mayor Z que E; entonces el E es menor. Supóngase de nuevo que A es el ojo y desde el ojo de nuevo refléjese 〈el rayo visual〉 hacia el objeto visto B. Entonces el ángulo E será mayor que el Z. Y era menor. Lo cual es imposible[21].

20. Apuleyo, Apología 16. A los cuales[22] les es necesario otro razonamiento aparte del que acabo de mencionar: por qué al mirar en los espejos planos se ven las cosas casi igual y como retratos; en los hinchados y esféricos todo más pequeño y, al contrario, en los cóncavos, más grande; cuándo y por qué lo de la izquierda se intercambia con lo de la derecha; cuándo en el mismo espejo una imagen se esconde al fondo, cuándo se muestra fuera; por qué los espejos cóncavos, si se mantienen frente al sol, encienden la yesca que se pone cerca; qué produce que cuando el arco iris se muestra variadamente entre las nubes se vean dos soles de aspecto parejo y, aparte, otros muchos 551 fenómenos del mismo jaez, cosas que trata Arquímedes de Siracusa en un volumen ingente.

21. Pseudo-Psello, Synops. mathem., pág. 73, ed. Xylandri. Es posible también, sobre todo a falta de dioptra, usar un método, como efectivamente lo hizo Arquímedes, que, cuando unos le preguntaron cuál sería la magnitud de la pirámide que estaba a la vista, clavando rápidamente en el suelo el bastón derecho junto a la sombra de la pirámide que producía el sol, razonó que las sombras tenían en un extremo, de modo semejante, el bastón y la pirámide, y construyó a continuación dos triángulos equiángulos; la razón que guarda con el propio bastón la sombra producida en el suelo por el bastón es la misma que guarda con la propia pirámide la sombra producida en el suelo por la pirámide; y a renglón seguido, mediante la medición de la sombra de la pirámide indicó la altura de la pirámide a los que le preguntaban.

SOBRE CONSTRUCCIÓN DE ESFERAS

22. Carpo según Papo VIII 3 (pág. 1.026, 9). Carpo de Antioquía afirma en un pasaje que Arquímedes de Siracusa compuso un solo libro de materia mecánica[23], el de Sobre la construcción de esferas, pero no consideró oportuno componer tratados sobre nada de lo demás.

552 Cf. Proclo, In Euclid. (pág. 41, 16), La construcción de esferas a imitación de los giros celestes, tal y como Arquímedes se ocupó de ella.

Cf. Hipólito, Refutat. omn. haeres. (ed. Duncker, pág. 66, 52). Y la distancia desde la superficie de la Tierra hasta el círculo de la Luna Aristarco de Sainos escribe que son…[24], mientras que Arquímedes que son 554 miríadas de estadios y 4.130 unidades[25] y desde el círculo lunar hasta el círculo del Sol 5.026 miríadas de estadios y 2.065 unidades; desde éste hasta el círculo de Venus 2.027 miríadas de estadios y 2.065 unidades, y desde éste hasta el círculo de Mercurio 5.081 miríadas y 7.165 unidades y desde éste hasta el círculo Empíreo 4.054 estadios y 1.108 unidades, y desde éste hasta el círculo de Júpiter 2.027 553 miríadas de estadios y 5.065 unidades, y desde éste hasta el círculo de Saturno 4.037 miríadas de estadios y 2.065 unidades, y desde éste hasta el círculo del Zodíaco y la última órbita 2.008 miríadas de estadios y 40.005 unidades[26]. Arquímedes expone las distancias mutuas entre los círculos y las profundidades de las esferas, y el perímetro del Zodíaco ocupa 4 números segundos[27] de estadios y 4.731 miríadas; de modo que ocurre que la recta que va del centro de la Tierra hasta la superficie de la última[28] será un sexto del número dicho[29] y el que va de la superficie de la Tierra sobre la que caminamos hasta el Zodíaco, un sexto del recién mencionado, restando del número cuatro miríadas de estadios que van desde el centro de la Tierra hasta su superficie. Desde el círculo de Saturno hasta la Tierra afirma que la distancia en estadios es de dos unidades de números segundos y 2.269 miríadas y 2.711 unidades, y del círculo de Júpiter hasta la Tierra en estadios dos unidades de números segundos y 277 miríadas y 646 unidades, y desde el empíreo hasta la Tierra una unidad de números segundos y 3.241 miríadas y 8.581 unidades y desde el Sol hasta la Tierra una unidad de números segundos y 2.160 miríadas y 4.454 unidades, y desde el Resplandeciente[30] hasta la Tierra 5.268 miríadas y 8.259 unidades, y desde Venus hasta la Tierra 5.081 miríadas y 5.170… Así da Arquímedes las distancias y profundidades de las esferas… y los números expuestos por Arquímedes y las razones expresadas por los demás respecto a las distancias, si no están en razones acordes[31] —es 554 decir, en las 〈razones〉 dobles y triples indicadas por Platón— sino halladas fuera de esos acordes, no se podría mantener que el conjunto está construido en armonía… porque es fácil darse cuenta de que los restantes números indicados por Arquímedes[32] sobre las distancias entre los planetas no están en razones acordes, reflexionando qué relación mutua guardan y en qué razones están[33].

SOBRE LA DURACIÓN DEL AÑO

Hiparco en Ptolomeo, Almagesto III 1 (pág. 124, 93). A partir de estas observaciones está claro que las diferencias entre los años son en cualquier caso pequeñas, pero sobre los solsticios espero que tanto nosotros como Arquímedes no hayamos errado en la observación y en el cálculo en la cuarta parte de un día.

Cf. Amiano Marcelino XXVI 1, 8. Que la duración del giro del año es ésa lo afirman los antiguos expertos en el movimiento del mundo y de las estrellas, entre los cuales destacan Melón y Euctemón e Hiparco y Arquímedes, cuando el Sol, por la ley eterna de las cosas sublimes, recorrido el cielo de los signos[34], al que la lengua griega llama Zodíaco, en trescientos sesenta y cinco días medidos con sus noches vuelve al mismo punto solsticial.

ÍNDICE DE NOMBRES

SOBRE LAS LÍNEAS ESPIRALES

Arquímedes. 2, 1.

Conón, 2, 2, 13, 19.

Dosíteo, 2, 1.

Heraclidas, 2, 4; 4, 28.

ARENARIO

Aristarco de Sainos, 218, 7, 22; 220, 2, 22; 222, 6; 256, 2, 8, 16, 22; 258, 3.

Eudoxo, 220, 21.

Fidias, 220, 21.

Gelón, 216, 1; 258, 5.

Luna, 220, passim; 222, 2; 234, 1,2; 258, 9.

Sicilia, 216, 3.

Siracusa, 216, 3.

Sol, 218, passim; 220, passim; 222, passim; 224, passim; 228, 1, 15; 232, 25, 31; 234, passim; 258, 9.

Tierra, 216, passim; 218, passim; 220, passim; 234, passim; 236, 2; 258, 9.

Zeuxipo, 216, 18; 236, 20.

Zodíaco, 222,9.

CUADRATURA DE LA PARÁBOLA

Arquímedes, 262, 2.

Conón, 262, 3, 4,9.

Dosíteo, 262, 2.

SOBRE LOS CUERPOS FLOTANTES

Cónicas, 350, 8.

Elementos de mecánica, 350, 21.

Equilibrios, 350, 14.

Sobre conoides, 358, 9.

STOMACHION

Arquímedes, 416, 1.

MÉTODO

Arquímedes, 426, 1, 3.

Demócrito, 430, 7.

Eratóstenes, 426, 2, 3.

Eudoxo, 430, 2.

LIBRO DE LOS LEMAS

Arquímedes, 513; 514; 523; 524.

PROBLEMA DE LOS BUEYES

Alejandría, 528,2.

Arquímedes, 528, 2; 532, 11.

Eratóstenes, 528, 2.

Sol, 528, 5; 530, 21, 26.

Trinacia, 528, 8; 532, 1.

FRAGMENTOS

Aristarco de Samos, 552.

Arquímedes, 536; 541; 542; 543; 544; 546; 547; 548; 549; 550; 551; 552; 553; 554; Catóptrica, 549; Equilibrios, 548; Medida del círculo, 542; Sobre los apoyos, 549; Sobre las balanzas, 548; Sobre la construcción de esferas, 551; Sobre el equilibrio de las figuras, 547; Sobre los equilibrios, 547; Sobre plintidios y cilindros, 542.

Carpo de Antioquía, 551.

Empíreo, 552.

Euctemón, 554.

Filón, 548; Mecánica, 548.

Júpiter, 552; 553.

Herón, 548; Mecánica, 548.

Hiparco, 554.

Luna, 552.

Mercurio, 552.

Metón, 554.

Platón, 536; 541; 554.

Posidonio, 546.

Resplandeciente, 553.

Saturno, 552; 553.

Sol, 552; 553; 554.

Tierra, 546; 552; 553.

Venus, 552; 553.

Zeuxipo, 545.

Zodíaco, 554.

Notas

[1] HEIBERG, ed. cit., III 228,20-26. <<

[2] Para situar un poco mejor esta curva, recordemos que Papo (Collectio Mathematica IV 270-272) distingue tres clases de problemas geométricos: los problemas «planos» (epípeda), que pueden resolverse mediante rectas y círculos, los «sólidos» (stereá), que requieren para su solución el uso de superficies de figuras sólidas, especialmente el cono, y los «lineales» (grammiká), en los que se asumen para la construcción otras líneas curvas cuyo origen es más complicado y menos natural, dado que se generan a partir de superficies más irregulares y movimientos más complicados. Entre las curvas de la clase lineal incluye Papo la espiral junto con la cuadratriz, la concoide y la cisoide. <<

[3] Prop. 24. <<

[4] Prop. 18. <<

[5] Prop. 27. <<

[6] Prop. 28. <<

[7] Vid. vol. I, INTRODUCCIÓN, págs. 41-42 y la bibliografía mencionada allí. <<

[1] En el tratado Sobre la esfera y el cilindro las demostraciones relativas a la medida de la superficie y el volumen y de la esfera aparecen en ese orden (respectivamente Sobre la esfera y el cilindro I 33 y I 34). Pero las intuiciones que le condujeron a las demostraciones habían seguido el camino inverso, como testimonia el propio Arquímedes en Método 2: «Una vez visto esto, que toda esfera es el cuádruple del cono que tiene por base su círculo máximo y la altura igual al radio de la esfera, se me ocurrió que la superficie de toda esfera es el cuádruple del círculo máximo de los de la esfera. Y es que mi suposición había sido que, puesto que todo círculo es igual a un triángulo que tiene por base la circunferencia del círculo y la altura igual al radio del círculo, también toda esfera es igual al cono que tiene por base la superficie de la esfera y la altura igual al radio de la esfera». <<

[2] Esf. cil. II 1. <<

[3] Esf. cil. II 4. <<

[4] Esf. cil. II 3. <<

[5] Un segmento dado «en volumen», hay que entender. <<

[6] Esf. cil. II 5. <<

[7] Esf. cil. II 6. <<

[8] Esf. cil. II 7. <<

[9] Esf. cil. II 8. Los términos exactos que emplea Arquímedes para «cuadrado de la razón» y «razón elevada a tres medios» son, respectivamente diplásios lógos (literalmente «razón duplicada») y hemiólios lógos (literalmente, «razón sesquiáltera»). <<

[10] Por el punto «de corte en el diámetro», se entiende. <<

[11] Esf. cil. II 9. <<

[12] Heiberg sospecha que quizá haya que sustituir «cono» por «conoide», y Heath asume esa propuesta de corrección. <<

[13] Gr. orthogónion konoeidés; cf. vol. I, INTRODUCCIÓN, pág. 48. <<

[14] Con. esf., en la carta que precede al tratado, 248, 1-9. <<

[15] Con. esf. 11. <<

[16] Con. esf. 21. <<

[17] El de cualquier manera que emplea aquí Arquímedes no ha de ser interpretado en el sentido de «en todos los casos», pues en el enunciado de Sobre los conoides y esferoides 12, donde se prueba el aserto, Arquímedes precisa la condición de que el plano no pase por el eje ni sea paralelo ni perpendicular a él. <<

[18] Con. esf. 24. <<

[19] Espir. 24. <<

[20] El extremo fijo es el «de la espiral», se entiende. <<

[21] La recta trazada «en último lugar», se entiende. <<

[22] Espir. 18. <<

[23] Espir. 27. <<

[24] «Éstos» se refiere a los arcos de circunferencia y espiral en cuestión. <<

[25] Espir. 28. <<

[26] El postulado figura, con ligeras variaciones, en Esf. y cil. I, post. 5 (vid. también nota al pasaje) y en la carta que antecede a Cuadratura de la parábola (264, 9-12). <<

[27] «Una línea recta», entiéndase. <<

[28] Se refiere a cada uno de los segmentos resultantes de dividir la recta como se ha indicado. <<

[29] El problema que se pretende resolver consiste en construir una recta que desde el centro del círculo corte a la tangente —en la ilustración, ΚΖ— de modo que se cumpla que la razón ΚΖ: ΚΘ es menor que la razón entre el arco ΒΘ y el arco dado —al que Arquímedes no da nombre, y del que dice sólo que es menor que el segmento Ε. <<

[30] Para estas construcciones de líneas tendentes, cf. en vol. I, Introducción, págs. 41 y 42 lo referente a las neûsis. <<

[31] «La incidente» se refiere a «la recta que se ha de trazar desde el centro hasta la circunferencia cortando a la cuerda dada en el círculo». <<

[32] El problema pretende, dado un círculo ΑΒΓ con centro en Κ y una cuerda ΑΓ cuyo punto medio sea Θ, la construcción de una recta ΚΒ que corte en Β a la circunferencia y en Ε a la cuerda ΑΓ de tal modo que se cumpla que ΒΕ : ΒΓ :: Ζ : Η. Tal y como se expresa Arquímedes, el problema no admite una solución general, sino que requiere un diorismo: para que se pueda llevar a cabo la construcción es menester que Ζ : Η > ΑΘ : KΘ. <<

[33] «Perpendicular a ΑΓ», se entiende. <<

[34] Entiéndase: «entre la circunferencia y el extremo exterior de la prolongación de la cuerda». <<

[35] Con la misma restricción que en la proposición anterior y partiendo de la misma construcción —dada la razón Ζ : H y dado un círculo ΑΒΓ con centro en Κ y una cuerda ΑΓ cuyo punto medio sea Θ— plantea ahora el siguiente problema: una vez prolongada la cuerda como ΑΓΕ, trazar una recta ΚΕ, que corte a la circunferencia en Ι, de tal modo que se cumpla que ΕΙ : ΓΙ :: Ζ : Η. <<

[36] Heiberg lo justifica haciendo notar que los triángulos ΓΙΕ, ΚΙΝ son semejantes, por lo que ΚΙ : ΙΝ :: ΕΙ : Π, y ΚΙ, ΚΓ son iguales. <<

[37] Es decir, «de la recta que se pretende trazar». <<

[38] Con la misma restricción que en las proposiciones 6 y 7 y partiendo de nuevo de la construcción de la proposición 6 —dada la razón Ζ : Η y dado un círculo ΑΒΓ con centro en Κ y una cuerda ΑΓ cuyo punto medio sea Θ— y una vez trazada ΞΑ tangente al círculo en el punto Γ, construir una recta ΚΝ que corte a la cuerda en el punto Ε, al círculo en el punto Β y a la tangente en el punto Ι, de tal modo que se cumpla que ΒΕ : ΙΓ :: Ζ : Η. <<

[39] Entiéndase: «entre la circunferencia y el extremo exterior de la prolongación». <<

[40] Siempre con la restricción expresada en la proposición 6 y con la misma construcción —dada la razón Ζ : Η y un círculo ΑΒΓ con centro en Κ y una cuerda ΑΓ con punto medio en Θ— y una vez prolongada la cuerda y trazada ΞΑ, tangente al círculo en el punto Γ, trazar desde el centro una recta que corte al círculo en Β, a la prolongación de la cuerda en Ε y a la tangente en Ι de manera que ΒΕ : ΓΙ :: Ζ : Η. <<

[41] Entiéndase: «por los segmentos que componen cada una de las rectas». <<

[42] Entiéndase «y esa misma razón es la que guarda». <<

[43] Entiéndase «y la misma que guardan también». <<

[44] Ha de sobreentenderse como sujeto «el rectángulo comprendido por ΝΞ y una recta igual a 〈la suma de〉 ΟΔ, ΠΖ, ΡΘ, ΣΚ, ΤΜ, ϒΞ más la tercera parte de los cuadrados construidos sobre ΟΧ, ΠΨ, ΡΩ, ΕϠ, Τʕ, ϒΝ», como se indica en 40,7. <<

[45] Como sujeto ha de sobreentenderse «la suma de ΑΗ, ΑΓ». <<

[46] Arquímedes aplica el teorema que dice que si un ángulo de un triángulo es cortado por la mitad, la suma de los lados que lo forman es mayor que el doble de la bisectriz, aunque ni Euclides ni el propio Arquímedes lo demuestran. <<

[47] [Eso se ha demostrado aparte, en las proposiciones previas]. <<

[48] Tal y como se describían en la proposición 14, es decir, los arcos en sentido hacia delante que van del extremo de la espiral hasta los extremos de las rectas prolongadas donde coinciden con la circunferencia. <<

[49] Es decir, «sumados a». <<

[50] Heiberg indica: «Se refiere al ángulo comprendido por la recta ΑΔ y el arco ΔΡΓ, mayor que cualquier ángulo agudo rectilíneo [cf. Elem. III 16]; por lo cual es evidente que este ángulo, siendo parte del ΑΔΖ, ciertamente no es agudo [Elem. I, noción común 8]». <<

[51] Como en la Proposición 16. <<

[52] [Pues ΡΑ es igual a ΑΔ, mientras que ΙΑ es mayor que ΑΧ]. <<

[53] Es decir, «hasta ΗΘ». <<

[54] La recta ΘΜ. <<

[55] «La prolongación de ΤΝ», se entiende. <<

[56] Es decir, considerando que el antecedente es al antecedente como el consecuente al consecuente; cf. vol. I, Introducción, pág. 51. <<

[57] Cf. Props. 15 y 17. <<

[58] «A la tangente ΕΖ», se entiende. <<

[59] «Igual que en esta misma proposición», se entiende. <<

[60] Cf. props. 15 y 17. <<

[61] [En el punto Ο, el arco ΟΜ]. <<

[62] Gr. kýkloi: en realidad se refiere a «arcos de circunferencia» (cf. figura). <<

[63] «De la espiral», se entiende. <<

[64] En la carta que precede al tratado figura otro enunciado; Papo ofrece también una demostración de este aserto en Collectio Mathematica IV 34. <<

[65] [Al área comprendida por la espiral y la recta ΑΘ]. <<

[66] Llamando E₂ al área comprendida por la espiral y la recta segunda, C₁ al círculo primero y R₁ a su radio y C₂ al círculo segundo y R₂ a su radio, lo que se quiere demostrar es que E₂ : C₂ :: 7 : 12 :: (R₂ × R₁) + [(R₂ - R₁)² / 3] :: R₂². <<

[67] En aplicación de Elem. XII 2, ʕ : ΑΖΗΙ :: ΑΘ × ΘΕ + (1/3 AE²) :: AΘ², y de acuerdo con la proposición 15, ΘΕ = ΑΕ; por tanto, 2 ΘΕ² + (1/3 ΘΕ²) :: 4 ΑΕ² :: 6 ΘΕ² + ΘΕ² :: 12 ΑΕ² :: 7 : 12. <<

[68] Por errata figura «ΑΖ» en el texto griego de Heiberg; en la versión latina, sin embargo, aparece correctamente «AE». El texto griego y la versión francesa de Mugler contienen la misma errata. Sin embargo, todo aparece correctamente en la segunda parte de la demostración (II 100 10). <<

[69] En la figura correspondiente a esta parte de la demostración, la edición de Heiberg —seguido por Mugler— presenta como ΖΖ el diámetro del círculo que en nuestra figura aparece como ΖΙ; corregimos esa anomalía siguiendo a Ver Eecke. <<

[70] Generalizando el resultado de la proposición, resulta la fórmula En : Cn :: (Rn × Rn-1) + [(Rn Rn-1)² / 3] :: Rn². <<

[71] Sea Es el segmento de espiral menor que un círculo, S el segmento de círculo descrito en la hipótesis y R₁ y R₂ (con R₁ < R₂) las rectas trazadas desde el origen de la espiral que delimitan el segmento de espiral; se pretende demostrar que Es : S :: R₁ × R₂ + [1/3 (R₂ - R₁)²] : R₂². <<

[72] En aplicación de Elem. XI 2, dado que ΘΒ = 2ΘΑ. <<

[73] Como más atrás, se refiere a las áreas resultantes de la suma de las áreas mencionadas. Las referencias semejantes a éstas que se hacen más adelante en esta misma proposición deben entenderse en el mismo sentido. <<

[74] Sobreentiéndase «con el área Λ». <<

[75] Si ciertas magnitudes son proporcionales en composición —es decir, tomando la suma del antecedente más el consecuente como una sola magnitud respecto al consecuente—, también lo son al descomponerlas, cf. vol I, Introducción, pág. 52. <<

[76] [Y lo mismo tomando la proporción invertida]. <<

[77] Es decir, Κ + Λ + Μ + Ν. <<

[78] [ΕΘ]. <<

[79] Falta la indicación de que el radio del círculo menor ha de prolongarse hasta la circunferencia del círculo mayor: ésa sería la «recta prolongada» a que se refiere el texto. <<

[80] Si llamamos R al radio del círculo mayor, r al radio del círculo menor; S al segmento comprendido por el círculo mayor, la espiral y la prolongación del radio menor; y s al segmento comprendido por la espiral, el arco de círculo menor y la parte del radio mayor comprendida entre el círculo menor y el punto de corte de la espiral y el círculo mayor, se trata de demostrar que S : s :: r + 2/3 (R - r) : r + 1/3 (R - r). <<

[1] Son varios los problemas de esta última obra que se ocupan de asuntos relacionados con el equilibrio, la balanza y la palanca —de la que se dice que «viene a ser una balanza que tiene abajo el soporte y dividida en partes desiguales» (850a 34-35)—. En concreto, el tratadista afirma en el problema 3 que, en el funcionamiento de la palanca, «están en proporción inversa el peso movido respecto al que mueve y la longitud respecto a la longitud», anticipación de lo que se considera la aportación fundamental de Arquímedes en el presente tratado.

Para la contribución más señalada de Arquitas a la matemática y la mecánica —su solución del problema délico—, cf. vol. I, págs. 376-378; la Física y la Mecánica mencionadas están traducidas en esta misma colección, respectivamente BCG 203 y BCG 277. <<

[2] Designado con la expresión kéntron rhopês —referida al movimiento inducido por la gravedad que desplaza el cuerpo hacia abajo—, frente a la expresión kéntron báreos («centro de gravedad») que usa Arquímedes. <<

[3] Cita esos títulos en Cuerpos Flotantes II 2 (respectivamente en 350, 14 y 350, 21-22); en Método I (438, 2) se refiere a obras sobre el mismo tema llamándolos «los libros sobre el equilibrio». <<

[4] «Fragments from Archimedes in Heron’s Mechanics», Centaurus 8 (1963) 91-146. <<

[5] Cf. DUKSTERHUIS, op. cit., págs. 294-298. <<

[6] «Spurious Theorems in Archimedes’ Equilibrium of Planes: Book I», Archiv for History of Exact Sciences 16 (1976) 87-103. <<

[7] EUTOCIO, Com. al Libro I del Equilibrio de las figuras planas, 266 1-5; PROCLO, In Euclidis, 181, 18. <<

[8] Cf. DUKSTERHUIS, op. cit., págs. 289-304, donde analiza y critica ampliamente los argumentos relativos a estos debates. <<

[9] Cf. vol. I, págs. 25-33. <<

[1] [Los pesos iguales a distancias iguales]. <<

[2] Arquímedes era consciente de que no sólo importan las magnitudes consideradas, sino también el punto del que están suspendidas. <<

[3] [De la compuesta de las dos magnitudes Α, Β]. <<

[4] [Pues ya se ha demostrado antes que está en la recta ΑΒ]. <<

[5] [Pues las magnitudes iguales no están en equilibrio a distancias desiguales]. <<

[6] Dada una serie proporcional, tomar una proporción ex aequali consiste en tomar los extremos con omisión de los medios; cf. vol. I, Introducción, págs. 52-53. <<

[7] Es decir, «con el punto Γ como fulcro». <<

[8] La prueba ha sido repetidamente considerada oscura e imperfecta; Heiberg la completa en el sentido siguiente: puesto que Α : Γ< ΔΕ : ΕΖ, se inclinará hacia el punto Δ, lo cual es imposible, puesto que de ΑΒ se ha quitado menos del exceso. En el caso de que Γ sea mayor, debemos seguir el mismo razonamiento; y entonces, puesto que ΑΒ no es ni mayor ni menor, la proposición queda probada. <<

[9] Heiberg entiende que existe una laguna en el texto, y la suple con lo que figura entre corchetes angulares. <<

[10] Es decir, «al de diagonal ΚΖ». <<

[11] Heiberg, considerando que Arquímedes no hubiera dejado de incluir esta conclusión en el razonamiento, introduce esta frase en la versión latina y reconstruye su texto griego. <<

[12] [Decimos que unos puntos están dispuestos de manera semejante respecto a figuras semejantes cuando las rectas trazadas desde ellos hacia los ángulos iguales forman ángulos iguales con los lados homólogos]. <<

[13] [Respecto a los triángulos ΑΒΓ, ΔΕΖ]. <<

[14] [De modo que formen ángulos iguales con los lados homólogos cada uno con cada 〈par de lados〉]. <<

[15] [Porque los puntos Θ, Ν están dispuestos de manera semejante]. <<

[16] Ha de entenderse que se refiere al lado opuesto al ángulo en cuestión. <<

[17] [Forman ángulos iguales con los lados homólogos]. <<

[18] Como más atrás (Prop. 12), se refiere al lado opuesto al ángulo en cuestión. <<

[19] [Triángulo]. <<

[20] «Semejantes al propio triángulo ΑΔΒ», se entiende. <<

[21] Es decir, «con los triángulos construidos sobre ΑΜ, ΜΚ, ΚΖ, ΖΓ, ΑΛ, ΛΗ, ΗΕ, ΕΒ». <<

[22] [Entera]. <<

[23] [Porque los triángulos son semejantes].

Eutocio comenta: «Pues si imaginas que las rectas ΡΦ, ΓΑ, una vez prolongadas, se cortan, por las propiedades de las paralelas ΦΡ será a ΡΠ como ΓΔ a ΔΩ; pero ΓΔ es a ΔΩ como ΓΑ a ΑΜ; por tanto, ΓΑ es a ΑΜ como ΦΡ a ΡΠ; y ΦΡ guarda con ΡΠ una razón mayor que la de ΦΡ con ΡΘ. Luego también ΓΑ guarda con ΑΜ una razón mayor que la de ΦΡ con ΡΘ». <<

[24] Cf. vol. I, Introducción, pág. 52. <<

[25] [Es decir, hacia una de los lados]. <<

[26] [Puesto que forman ángulos iguales con los lados homólogos, pues eso es evidente]. <<

[27] [Puesto que los triángulos ΕΒΔ, ΖΔΓ son iguales]. <<

[28] [Y ΜΘ ha sido trazada por el punto Θ paralela a la base]. <<

[1] «Aplicar un área a una recta dada» consiste en construir un rectángulo del área indicada usando la recta dada como uno de los lados del rectángulo. La construcción pedida deriva de Cuadratura de la parábola 17. <<

[2] Cf. vol. I, Introducción, pág. 51. <<

[3] Gr. gnorímos engráphein. La expresión que Arquímedes define aquí no encontró uso en la matemática griega fuera de este tratado y el Comentario de Eutocio al mismo. <<

[4] En Sobre conoides y esferoides (246, 16-18) Arquímedes explica: «Llamo diámetro en todo segmento 〈de sección cónica〉 a la recta que corta por la mitad todas las rectas trazadas paralelas a su base»; cf. vol. I, Introducción, pág. 47. <<

[5] Estas demostraciones no figuran en las obras conservadas. <<

[6] «Los segmentos de las rectas ΒΔ, ΡΟ», se entiende. <<

[7] Puesto que, en aplicación de la prop. 2,

ΒΝ : ΝΜ : ΜΛ : ΛΔ = 1 : 3 : 5 : 7 = Oʕ : OʕϠ : ϠΩ : ΩΡ, entonces ΒΝ : ΒΜ : ΒΛ : ΒΔ = 1 : 4 : 9 : 16 = Oʕ : OϠ: ΟΩ : ΟΡ.

Y en aplicación de Cuadrat. paráb. 3,

ΗΝ² : ΖΜ² : ΕΛ² : ΑΔ² = ΒΝ : ΒΜ : ΒΛ : BΒΔ = Oʕ : OϠ : ΟΩ : ΟΡ = Χʕ² : ϒϠ² : ΣΩ² : ΞΡ².

Por tanto, ΗΘ : ΖΙ : ΕΚ : ΑΓ = ΧΨ : ϒΦ : ΣΤ : ΞΠ. (Nota de Heiberg). <<

[8] Entiéndase: «los centros de gravedad de los segmentos mencionados». <<

[9] [Puesto que los segmentos son iguales]. <<

[10] [Y puesto que en el segmento ΑΚΒ se ha inscrito propiamente una figura rectilínea, está más cerca del vértice el centro de gravedad del segmento entero que el de la figura rectilínea]. <<

[11] «El segmento de la recta ΧΕ», se entiende. <<

[12] «El segmento de la recta ΤΕ», se entiende. <<

[13] [Puesto que Θ es el centro de gravedad del segmento ΑΒΓ, una vez prolongada ΕΘ y tomada de ella una recta que guarde con ΕΘ la misma razón que la figura rectilínea ΑΚΒΛΓ con los segmentos que quedan en torno]. <<

[14] [En el segmento]. <<

[15] «De gravedad», se entiende. <<

[16] [Figura rectilínea inscrita]. <<

[17] [Es decir, propiamente, de manera similar]. <<

[18] La composición de una razón consiste en tomar el antecedente más el consecuente como una sola magnitud en relación con el consecuente; para las proporciones tomadas en alternancia, cf. vol. I, Introducción, pág. 52. <<

[19] [Puesto que el segmento entero es cuatro tercios del triángulo ΑΒΓ]. <<

[20] La proposición 9 tiene carácter de lema; en otros tratados —Conoides y esferoides, Espirales—, Arquímedes anticipa estas demostraciones auxiliares del tratado, aunque aquí considere que su lugar adecuado es inmediatamente antes de la proposición en que ha de usarla. HEATH (op. cit., pág. 216) ofrece la prueba en expresión algebraica; DUKSTERHUIS (op. cit., pág. 356), al presentar las proposiciones 9 y 10, hace ver que comparte su opinión, y se expresa en los siguientes términos: «tal como están (scil. “las proposiciones 9 y 10”), son casi la cosa más indigesta de todas las matemáticas griegas: en la proposición 9 se formula como teorema la reducción de una expresión dada, que se presenta en la proposición 10, y se prueba sintéticamente antes de que tengamos ninguna idea de los motivos para ocuparse precisamente de esta complicada cuestión. No llegamos a conocer estos motivos hasta que encontramos que el argumento de la proposición 10, asimismo perfectamente sintético, conduce a la expresión en cuestión». A continuación, Dijksterhuis resume las dos proposiciones en un único argumento analítico (págs. 356-360).

Lo que Arquímedes propone es lo siguiente: si tenemos cuatro líneas en proporción A, B, C, D, de las que A es la mayor y D, la menor, hay que hallar dos rectas x e y que cumplan que

D : (A - D) :: x : 3/5 (A - C)

y que

2A + 4B + 6C + 3D : 5A + 10B + 10C + 5D :: y : (A - C)

Una vez determinadas x e y se cumplirá que x + y = 2/5 A. <<

[21] Ha de entenderse que lo son en proporción continua: ΑΒ : ΒΓ :: ΒΓ : ΒΔ :: ΒΔ : ΒΕ. <<

[22] Es decir, ΑΓ : ΓΔ :: ΓΔ : ΔΕ. <<

[23] Sobreentiéndase: «guardan esa razón». <<

[24] Entiéndase: «〈la suma de〉 todos 〈los antecedentes〉 con 〈la suma de〉 todos 〈los consecuentes〉». <<

[25] «Ambas»; ΑΔ y ΔΟ. <<

[26] Hay motivos para dudar de la pureza del texto: dado que se repite dos veces la misma indicación utilizando la primera vez la terminología arquimedea («de modo disímil») y la segunda la euclidiana («en proporción perturbada»), la expresión entre rayas podría tener carácter de glosa. Cf. ARQUÍMEDES, Sobre los conoides y esferoides, Prop. 29, 414, 2 y n. 115 en vol. I, pág. 340. Para la expresión ex aequali, cf. vol. I, Introducción, págs. 52-53. <<

[27] Entiéndase: «puesto que también por composición ΔΒ es a ΕΒ como ΑΒ a ΓΒ». <<

[28] Entiéndase: «la razón de ΔΕ a ΕΒ». <<

[29] Es decir: ΕΔ : ΔΓ :: ΔΓ : ΓΑ :: ΕΒ + ΒΔ : ΔΒ + ΒΓ :: ΔΒ + ΒΓ : ΓΒ + ΒΑ. <<

[30] «La misma» se refiere al «doble de la suma de ΑΒ más ΒΔ más el cuádruple de ΓΒ». <<

[31] [Y que ΑΓ, ΔΕ son paralelas a la tangente a la parábola en el punto Β]. <<

[32] Es decir, «de ΜΝ, ΝΟ, ΝΞ». <<

[33] Gr. archikâ tâs tomâs, expresión poco frecuente que, según MUGLER. Dictionnaire de la terminologie mathématique des grecs, carece de valor terminológico. <<

[34] La definición figura en APOLONIO, Cónicas I 4: «En toda línea curva que está en un plano, llamo diámetro a la recta que, trazada desde la curva, corta por la mitad a todas las rectas dentro de la curva paralelas a una recta, y llamo vértice de la línea al extremo de esa recta 〈es decir, “del diámetro”〉 en la línea, y digo que cada una de las paralelas ha sido trazada conjugada al diámetro». <<

[35] Comparar rectas en potencia es sinónimo de comparar los cuadrados construidos sobre ellas, es decir: ΑΖ² : ΔΗ² :: ΖΒ : ΒΗ. <<

[36] «ΖΚ = 2/5 ΖΗ», se entiende. <<

[37] Es decir, con ΧΡ. <<

[38] Entiéndase: «el que cumple esas condiciones». <<

[1] Sólo contaban con términos patrimoniales hasta mýrioi —«diez mil, miríada»— y en compuestos más modernos no iban más allá de la myriás myriádon —«miríada de miríadas». <<

[2] Prácticamente todos los teoremas de que se sirve para alcanzar sus resultados figuran entre los más divulgados de los recogidos en los Elementos de Euclides. <<

[3] Contemporáneo de Arquímedes mayor que él (circa 310-230 a. C.), su cronología se determina gracias a que Ptolomeo menciona su observación del solsticio de verano de 280 a. C. (Almagesto, 3.2). Vitruvio lo alaba como uno de los pocos hombres que poseían un conocimiento igualmente profundo de las diversas ramas de la matemática; no obstante este juicio favorable, la única obra suya que se nos conserva es el tratado Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna. <<

[4] El texto de los mss. presenta en este punto una palabra incomprensible, ακουπατρος, que fue corregida por los editores en ἁροû πατρóς. La corrupción en los manuscritos por la confusión entre las formas cursivas de κ y μ no es rara (cf. REYNOLDS y WILSON Scribes and Scholars, Oxford, 1968, cap. 6.viii [trad. esp. A. BRAVO, Madrid, Gredos]), y este hecho nos permite deducir que el error en la copia debió producirse después del siglo IX, cuando se generalizó el uso de la cursiva en los mss. <<

[1] Cf. Introducción a este tratado, pág. 127. <<

[2] Única referencia precisa antigua al sistema heliocéntrico de Aristarco; cf. la introducción a este tratado, pág. 128. <<

[3] El término «fenómenos» se ha de interpretar en su sentido técnico de «hechos astronómicos observables»; éstos eran los que los astrónomos griegos intentaban explicar matemáticamente. <<

[4] Es decir, los que Arquímedes había dado a conocer en sus escritos a Zeuxipo. <<

[5] Aun cuando el DRAE sólo reconoce el significado «cantidad muy grande, pero indefinida» para el término «miríada», es bien conocido del hablante culto medio el significado «diez mil» que se atribuye al lexema «miria-» en compuestos en el sistema métrico decimal (valor que también recoge el DRAE). Más adelante, Arquímedes usará repetidamente la expresión μυριάδες μυριάδων: traducirla por «decenas de millar de decenas de millar» conduce a una especie de interminable juego de palabras que sólo contribuye a oscurecer los prístinos razonamientos del siracusano; de ahí que hayamos optado por permitirnos esta libertad terminológica. <<

[6] Para Heiberg, podría referirse a Dicearco, el geógrafo y erudito discípulo de Aristóteles. <<

[7] El estadio, como las demás medidas en la Antigüedad, era variable dependiendo de las ciudades; en época clásica contenía 600 pies, de lo que resulta un estadio de 192 m (aprox.) si tomamos el pie de Olimpia (320 mm), o de 177,5 m (aprox.) si tomamos el de Atenas, (295,7 mm). Con esas medidas, los cálculos que Arquímedes nos transmite como habitualmente aceptados en su tiempo dan un perímetro que oscila entre los 53.250 y los 57.600 km, y diez veces más con las cifras que él propone, entre 532.500 y los 576.000 km (¡!); la cifra hay que entenderla en el sentido que él mismo indica, de manifiesta exageración, con vistas a presentar la potencia del sistema de denominación de los números inventado por él.

El cálculo que las fuentes antiguas atribuyen a Eratóstenes, 252.000 estadios, arroja unos resultados mucho más próximos a los cálculos actuales, entre 44.730 y 48.384 km. <<

[8] La relación real entre los diámetros de la luna y el Sol es, aproximadamente, de 1/400. Los cálculos de Aristarco se nos han conservado en su tratado Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna (texto y trad. en TH. L. HEATH, Aristarchus of Samos, 1959 rp.). <<

[9] «Polígono regular», se entiende. <<

[10] Era costumbre en la Antigüedad llevar a cabo las observaciones en el momento de la salida del Sol, dado que no disponían de medios para protegerse la vista. <<

[11] [Del cilindro]. <<

[12] De los cálculos de Arquímedes resulta para el Sol una medida angular entre 27′ y 32′ 1″. La medida angular del Sol en la eclíptica es, en realidad, variable, dependiendo de la distancia entre el Sol y la Tierra en el momento de la medición, pero a la distancia media de la Tierra al Sol se calcula hoy un diámetro de 31′ 59,26″.

El ángulo del polígono de mil lados inscrito en la circunferencia tiene 21′ 36″. <<

[13] Es decir, el ángulo ΘΔΚ sería recto si el centro Κ del Sol estuviera exactamente sobre el horizonte (la tangente ΚΔ al círculo de centro en Θ sería perpendicular al radio ΘΔ); pero puesto que Κ está por encima del horizonte, el ángulo ΘΔΚ es obtuso; luego, en efecto, ΘΚ > ΔΚ. <<

[14] Es decir, el polígono de mil lados. <<

[15] Aquí, como un poco más adelante, la expresión usada por Arquímedes para referirse a los catetos es «grammâ tân perì tân orthân gonían» («recta de las que están en torno al ángulo recto»). <<

[16] La prueba de este aserto puede deducirse de EUCLIDES, Elem. VI 33. <<

[17] Es decir, «ΘΡ con ΔΤ». <<

[18] Es decir, al diámetro del círculo ΣΗ. <<

[19] Cf. Elem. IV 15, corol. <<

[20] La «pulgada» (dáktylos) era la medida más pequeña de longitud entre los griegos (en torno a 2 cm). <<

[21] En resumen, los números primeros, N₁, cumplen la condición de ser tales que 10⁸ > N₁ ≥ 1; en los números segundos, N₂, que 10¹⁶ > N₂ ≥ 10⁸; en los números terceros, N₃, que N₃ ≥ 10¹⁶ y N₃ < 10²⁴… hasta llegar a los números del ordinal correspondiente a la decena de millar de miríadas, N100.000.000, N100.000.000 ≥ 10799.999.992 y N100.000.000 < 10800.000.000. Los mencionados N₁, N₂, N₃… N100.000.000 formarían el conjunto de los números del primer período, P1, y 10800.000.000 sería la unidad de los números primeros del segundo período, P₂ (N₁); los números segundos del segundo período, P₂ (N₂), estarían en el intervalo (10800.000.000)⁸ ≤ P₂ (N₂) < (10800.000.000)¹⁶. El primer número del tercer período, P₃, sería (10800.000.000)800.000.000; de modo que el número más elevado al que Arquímedes da nombre «las miríadas de miríadas de los números del ordinal decena de millar de miríadas del periodo de la posición decena de millar de miríadas», P100.000.000 (N100.000.000), sería en expresión de T. L. Heath, «la unidad seguida de 80.000 millones de millones de ceros». <<

[22] El griego emplea en este punto myriákismyriostôn, adjetivo correspondiente al número cardinal mýrioi myriádes (decena de millar de miríadas), derivado del adverbio multiplicativo myriákis («diez mil veces») y el ordinal myriostós («el que ocupa la posición diez mil»); la facilidad del griego para la construcción de numerales ordinales a partir de los numerales cardinales contrasta con la escasa flexibilidad del español a ese respecto: «A partir de “mil” dejan ya de formarse ordinales compuestos orgánicos. Los ordinales no existentes se suplen con el número cardinal correspondiente solo o con las expresiones “el que hace [o ‘está’] el número…”» (cf. en M. MOLINER, Diccionario de uso del español². Madrid, Gredos, 1998, el vol. II, APÉNDICE II «Desarrollos gramaticales», pág. 1.529). Parte de la dificultad para la traducción de este pasaje procede, justamente, de esta particularidad lingüística del español. <<

[23] Nuestro equivalente, más generalizado, se expresa diciendo que la multiplicación de potencias de la misma base tiene como resultado otra potencia de la misma base cuyo exponente es suma de los factores. El pasaje ha sido considerado una sorprendente anticipación por parte de Arquímedes de una de las propiedades básicas de los logaritmos (en este caso de base 10): «el logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de sus logaritmos», lo cual permite reducir multiplicaciones a sumas. <<

[24] Se refiere a lo que ofreció al principio del tratado, a saber, «que algunos de los números a los que he dado nombre… superan no sólo el número de granos de arena igual en magnitud a la Tierra colmada… sino también el 〈número de granos de arena〉 de un volumen igual al mundo» (216,17-218, 1). <<

[25] Recuérdese que el estadio equivalía, aproximadamente, a 192 m y que diez mil pulgadas (unos 2 cm cada una) serían unos 200 m. <<

[26] «De números séptimos», se entiende. <<

[1] Cf. vol. I, Introducción, págs. 14-15. <<

[2] Euclides recoge las demostraciones pertinentes en Elementos XII 2, XII 18 y XII 10, respectivamente. <<

[3] Las que se enuncian en las proposiciones 1-3 debían de ser conocidas, pues Arquímedes remite a unos Elementos de cónicas para las demostraciones de las mismas. <<

[4] Bajo referencias a una obra de título Mecánica menciona teoremas conservados en Equilibrio de las figuras planas. <<

[5] El aserto aparece en forma general en ARISTÓTELES, Física III 206b6-10: «si en una magnitud finita se toma una cantidad y se sigue tomando en la misma proporción, siempre que no se tome la misma fracción del todo, no se recorrerá hasta el final la magnitud finita». <<

[6] Concretamente en uno de los pasajes relativos a Cuerpos flotantes II 8, bajo la forma Perì tês orthogoníou kónou tomês (es decir, utilizando ya el dialecto de la koiné en lugar del dorio tâs… tomâs); el título que figura en los manuscritos es Tetragonismòs parabolès. <<

[7] Al revés de lo que sucedía en Sobre conoides y esferoides (cf. vol. I, Introducción, págs. 47-48). <<

[1] Aceptamos la conjetura hypò tâs kathólou kónou tomâs propuesta por CH. MUGLER, «Sur un passage d’Archiméde», Revue des Études Grecques 86 (1973) 45-47. Los mss. ofrecen la lectura tâs toû hólou kónou tomâs (literalmente, «la sección de un cono entero»), considerada incomprensible por todos los editores ya que 1) no puede referirse a una parábola, puesto que Arquímedes dice que él es el primero en intentarlo; 2) ni tampoco a la sección que corta al cono entero —es decir, a la elipse, interpretando que la «línea recta» seria un eje o un diámetro—, ya que, como objeta Heiberg, la expresión tâs toû oxygoníou kónou tomâs significa siempre «la elipse entera», no uno de sus segmentos. En defensa de su conjetura Mugler argumenta que, como el círculo puede ser considerado también una cónica —resultante de la intersección del cono por un plano perpendicular al eje—, la distinción establecida por Arquímedes toma la forma de una oposición entre la cuadratura de la cónica especial que es el círculo, de una parte, y la cuadratura de las secciones cónicas en general —la elipse, la hipérbola y la parábola— (recuérdese que Arquímedes no puede tener en mente las curvas en el sentido de las definiciones dadas por Apolonio, posterior a él). <<

[2] El gr. lêmma designa un teorema auxiliar al que se recurre en una demostración. <<

[3] Acepto la conjetura δὴ propuesta por MUGLER, art. cit., en sustitución de la lectura δὲ que ofrecen los mss. <<

[4] Sobre el uso de «parábola» y «sección del cono rectángulo», cf. la INTRODUCCIÓN a este tratado, págs. 158-159. <<

[5] Esos «puntos elementales» (gr. stoicheîa) son las tres primeras proposiciones, de las que figura sólo el enunciado. Las demostraciones de las mismas las conocemos en la versión de Apolonio de Perga, aunque es probable que figurasen en otras obras «elementales» sobre cónicas que no han llegado hasta nosotros, como las que sabemos que escribieron Euclides y Aristeo. <<

[6] Se refiere al diámetro principal de la parábola, es decir, al eje; cf. vol. I, Introducción, págs. 47-48, y también Equilibrio de las figuras planas II 10 y n. 32. <<

[7] [El que está en la parte teórica]. <<

[8] [Visto]. <<

[9] Recuérdese que Arquímedes es consciente de que la posición del cuerpo que pende de uno de los brazos de la balanza es significativa al efecto de obtener o conservar el equilibrio de la misma. <<

[10] [Luego]. <<

[11] [Evidentemente, siendo igual ΑΒ a ΒΓ]. <<

[12] La demostración figura en Equilibrio de las figuras planas 114. <<

[13] Esa demostración no ha llegado hasta nosotros; Heiberg supone que Arquímedes se refiere a una obra anterior sobre los centros de gravedad. <<

[14] «De los brazos de la balanza», se entiende. <<

[15] [El triángulo ΓΔΗ]. <<

[16] Gr. neúousan, aquí con su significado literal. <<

[17] Cf. Prop. 7 (274, 12 y ss.). <<

[18] «La balanza», se entiende. <<

[19] «La balanza», se entiende. <<

[20] «Menor que Χ», se entiende. <<

[21] Entiéndase «menor que el área Ψ». <<

[22] El término empleado aquí por Arquímedes es méros; su equivalente más próximo en terminología moderna sería «submúltiplo», con la particularidad de que el término «submúltiplo» se emplea de modo casi exclusivo para números, no para magnitudes geométricas. Del uso del término méros en la matemática antigua pueden verse ejemplos en EUCLIDES, Elementos I def. 17, post. 5, props. 7, 36; VII defs. 3 y 4 y props. 4, 5, 7, etc. Cf. en esta misma colección (BCG 191) la traducción de M. L. PUERTA CASTAÑOS, Madrid, 1994. <<

[23] En las props. 14 y 15. <<

[24] Es decir, «restando en ambos miembros de la desigualdad». <<

[25] «Paralela al diámetro», se entiende. <<

[26] «Desde el centro de la mitad de la base», se entiende. <<

[27] [ΑΖΒ]. <<

[28] Una demostración más general en EUCLIDES IX 35: «Si tantos números como se quiera están en proporción continua, y del segundo y del último se quitan números iguales al primero, el exceso del segundo al primero será como el exceso del último a 〈la suma de〉 todos los anteriores a él». Para la generalización de esta proposición puede verse STAMATIS, Γενὶκευσις ἑνὸς θεωρήματος τοῦ Ἀρχιμήδους, Πλάτων 15 (1963), fasc. 29-30, 165-168, y DUKSTERHUIS, op. cit., págs. 129-130. <<

[29] Entiéndase: «menor que el exceso». <<

[1] Cf. vol. I, Introducción, págs. 9-10 y 15-16. <<

[2] Cf. vol. I, Introducción, págs. 54 y ss., especialmente págs. 60-63. <<

[3] Sobre las dificultades suscitadas por este postulado puede verse el comentario de DUKSTERHUIS, op. cit., págs. 377-379. <<

[4] Ver BCG 277, págs. 241-324. <<

[5] Noción descubierta por Arquímedes, según testimonia la anécdota de la corona de Hierón, pero a la que el siracusano no llegó a dar un nombre con categoría terminológica. <<

[1] A partir de aquí y hasta el final de la proposición 1, así como buena parte de la proposición 2 (es decir, el pasaje que va de 318, 12 hasta 320, 15) se nos ha conservado como fuente única el texto latino de la versión de Guillermo de Moerbeke. <<

[2] Lat. consistens ita, ut maneat inmotus; gr. (según se desprende de la parte de la proposición conservada en griego), kathestakôs hoste akíneton ménein. <<

[3] «Con BK», se entiende. <<

[4] A partir de este punto volvemos a contar con texto griego. <<

[5] HEIBERG recoge como locus similis el siguiente pasaje de HERÓN (Pneumática I, pág. 24, 11): «Arquímedes demostró en los Cuerpos flotantes que los cuerpos del mismo peso que el líquido ni sobresaldrán del líquido ni se sumergirán, ni tampoco, por tanto, ejercerán presión sobre lo que está debajo». <<

[6] Debe cortar «la superficie de esta segunda esfera», se entiende. <<

[7] «El peso del líquido», se entiende. <<

[8] Es decir, «que ΒΓ». <<

[9] Heiberg, sin ofrecer una conjetura que colme las pequeñas lagunas, restituye en su versión latina el sentido siguiente; «Pues si el sólido se sumerge de otra manera, se sigue una contradicción con lo demostrado anteriormente. Está claro por tanto que la magnitud A es desplazada hacia arriba con una fuerza tan grande como la presión que ejerce desde arriba Λ hacia abajo, puesto que ninguna de las dos magnitudes…». <<

[10] «De la magnitud en cuestión», se entiende. <<

[11] Aunque esto puede deducirse en aplicación de ciertos contenidos de los Elementos de Euclides, la literatura matemática griega no nos ha conservado ninguna demostración directa de ello. <<

[12] Es decir, «de la parte de la figura sumergida en el líquido». <<

[1] Gr. tâs méchri toû áxonos —literalmente «la que va hasta el eje»—, es decir, la recta que va, siguiendo una generatriz, de la cúspide de la parábola a incidir en el eje del cono, o sea, hasta la cúspide del mismo. Siguiendo a Ver Eecke y Mugler y en aras de una mayor claridad hemos optado por reemplazar la perífrasis antigua por el término actual. <<

[2] Lo que Arquímedes propone, llamando Ps al peso del segmento, Pl al peso del líquido, E al eje y p al parámetro, es el estudio del caso en que E < 3/2 p; aunque Arquímedes no lo explícita en esta proposición ni en la siguiente, hay que incluir la condición de que Ps : Pl < 1. <<

[3] «Paralela a ΙΣ», se entiende. <<

[4] La versión que ha llegado hasta nosotros del Equilibrio de las figuras planas no llega a estudiar los casos de los sólidos de revolución construidos a partir de las secciones cónicas; tampoco en Conoides y esferoides encontramos proposición alguna que pueda ser de aplicación al aserto, pero el caso sí se estudia mediante el método mecánico en Método 5. <<

[5] Cf. vol. I, Introducción, pág. 24. <<

[6] Más detalladamente, en Equilibrio de las figuras planas I 8 se demuestra que «Si de una magnitud se quita una magnitud que no tenga el mismo centro que la magnitud entera, una vez prolongada la recta que une los centros de gravedad de la magnitud entera y de la restada hacia el lado en que está el centro de la magnitud entera, y tomada una parte de la prolongación de la recta que une los centros indicados de modo que 〈esa parte〉 guarde con la recta que está entre los centros la misma razón que la que guarda el peso de la magnitud quitada con el peso de la restante, el centro de gravedad de la magnitud restante será el extremo de la recta tomada». <<

[7] Colmamos la laguna del texto siguiendo la versión latina de Heiberg. <<

[8] En el postulado que sigue a Cuerpos flotantes I 7. <<

[9] Es decir, el mismo caso que en la proposición anterior pero para otra posición del segmento recto de paraboloide. <<

[10] «De la misma manera que en la proposición anterior», se entiende. <<

[11] El caso estudiado es el de que E > 3/2 p, si Ps : Pl ≥ [E − (3/2 p]² : E². <<

[12] El largo pasaje que va de 356, 14 hasta 363, 21 (la mayor parte de esta prop. 4 y las 5 y 6 completas) tiene como fuente el texto latino de la versión de Guillermo de Moerbeke. <<

[13] Cf. en este mismo tratado la prop. 2, 350, 14 y ss. y nota. <<

[14] El caso estudiado es el de que E > 3/2 p, si Ps : Pl ≤ − (E − 3/2 p)² : E². <<

[15] Estudia el caso, para cualquier Ps : Pl 〈l, de que E〉 3/2 p y E : p < 15 : 4. <<

[16] «Córtese el diámetro», se entiende. <<

[17] Lema perdido para nosotros. HEATH (The works…, pág. 273) y VER EECKE (op. cit., págs. 432-433) ofrecen demostraciones del aserto. <<

[18] Se trata de las mismas condiciones que en la proposición anterior para otra posición del segmento recto de paraboloide. <<

[19] «De la parábola», se entiende. <<

[20] Como en la proposición anterior, 362, 17 y ss.; cf. prop. 2, 350, 13 y ss. <<

[21] Se estudia el caso de que, por una parte, E > 3/2 p y E : p < 15 : 4 y, por otra, Ps : Pl < (E − 3/2 p)² : E². <<

[22] Es decir, «sobre el segmento Φ + Χ». <<

[23] [Del segmento]. <<

[24] Cf. prop. 4, 358, 22-24. <<

[25] «Con el parámetro», se entiende. <<

[26] Las condiciones propuestas son: E > 3/2 p; E : p < 15 : 4; Ps : Pl > E² − (E − 3/2 p)² : E². <<

[27] «El segmento», se entiende. <<

[28] [De la parábola]. <<

[29] Cf. prop. 8 (370, 12) y ss. <<

[30] Para el texto que va de aquí a 382, 10 nos servimos de la versión latina de Guillermo de Moerbeke. <<

[31] Cf. prop. 8 (370, 23 y ss.). <<

[32] Cf. prop. 4, 358, 17 y ss. <<

[33] La proposición contempla seis casos —cuyos enunciados se completan más adelante (390, 9-393, 2)— que tienen en común la condición de que E : p > 15 : 4. <<

[34] «Del segmento», se entiende. <<

[35] «Perpendicular a BΔ», se entiende (el punto T aparece en la figura, que lleva letras latinas, como C). El punto T se ha tomado de modo que ΔΒ : KT :: 15 : 4. <<

[36] «El doble de ΔΖ y ΔΑ» respectivamente, se entiende. <<

[37] Primer caso: Ps : Pl ≥ (E − 3/2 p)² : E². <<

[38] [Si]. <<

[39] Segundo caso: ΟΞ² : E² < Ps : Pl < (E − 3/2 p)² : E². <<

[40] Tercer caso: Ps : Pl :: ΞΟ² : E². <<

[41] Cuarto caso: ΠΦ² : E² < Ps : Pl < ΞΟ² : E². <<

[42] Quinto caso: Ps : Pl :: ΠΦ² : E². <<

[43] Sexto caso: Ps : Pl < ΠΦ² : E². <<

[44] Comienza aquí la demostración del segundo caso. <<

[45] Cf. la figura de la pág. 231. <<

[46] El largo pasaje que sigue (394, 13-399, 6) procede de la versión latina de Moerbeke. <<

[47] Cf. 390, 4. <<

[48] Este ángulo es denominado Ψ en la primera figura de la ilustración. <<

[49] [De la sección]. <<

[50] Es decir, «de modo que BK. sea el doble de KD y que DB guarde con KR la proporción de 15 a 4»; cf. más atrás 386, 12 y ss. <<

[51] Se refiere a la figura de esta página. <<

[52] Demostración del tercer caso. Como en la figura de la pág. 238. <<

[53] Es decir, de tal modo que BK = 2 KD Y que DB : BR :: 15 : 4 (cf. más atrás 386, 12 y ss.). <<

[54] La de la pág. 235. <<

[55] Volvemos a contar con texto griego a partir de este punto. <<

[56] Cf. prop. 4 (358, 17 y ss.). <<

[57] De 400, 6 a 400, 24, laguna en la lectura de Heiberg, colmada con el texto latino de Moerbeke. <<

[58] La de esta página. <<

[59] Enunciado en 390, 31 y ss. <<

[60] Cf. figura de la pág. 237. <<

[61] Cf. 396, 24 y ss. <<

[62] A partir de este punto contamos de nuevo con texto griego. <<

[63] Demostración del sexto caso. Este párrafo, ilegible (hasta 402, 2) para Heiberg en el palimpsesto, procede de nuevo de la versión latina de Moerbeke. <<

[64] La recta que aparece como NT en la figura de la pág. 241 es la misma que PF (o sea, ΠΦ) en la figura de la pág. 231. <<

[65] Cf. más atrás, 388, 1-390, 4. <<

[66] «Del segmento», se entiende. <<

[67] Cf. más atrás 386, 12 y ss.: los puntos K, R han de estar situados de tal modo que BK = 2 KD y que DB : BR :: 15 :4.

A partir de aquí y hasta 405, 15 dependemos de nuevo del texto latino de Moerbeke. <<

[68] Prop. 1; cf. 396, 19 y ss. <<

[69] Cf. la figura de la pág. 241. <<

[70] Cf. más atrás 397, 1 y ss. <<

[71] Cf. más atrás, 397, 9 y ss. <<

[72] Cf. la figura de la pág. 236. <<

[73] Cf. más atrás, 396, 24 y ss. <<

[74] Cf. más atrás, 397, 6 y ss. <<

[75] Demostración del quinto caso. <<

[76] Pasa ahora a demostrar el cuarto caso. <<

[77] [Segmentos]. <<

[78] Cf. más atrás, 390, 4 y ss. <<

[79] Cf. más atrás, 395, 7 y ss. <<

[80] [De la sección]. <<

[81] [Del segmento]. <<

[82] Cf. de nuevo más atrás, 386, 12 y ss.: los puntos K, R han de estar situados de tal modo que BK = 2 KD y que DB : BR:: 15 : 4. <<

[83] [Trazada desde]. <<

[84] Cf. más atrás, 396, 15 y ss. <<

[85] «La tercera figura pertinente a este caso», se entiende; se refiere a la de esta página. <<

[86] El ms. que contiene la traducción de Moerbeke continúa con el siguiente colofón: «Aquí concluye el libro segundo de los Cuerpos sumergidos en un líquido de Arquímedes. Su traducción se completó el día diez de diciembre del año del Señor de 1269». <<

[1] Todas estas noticias son casi coincidentes en el tiempo, pues Ausonio y Mario Victorino vivieron en el siglo IV; para Atilio Fortunaciano, aunque su datación es incierta, suele proponerse una fecha no muy anterior; Ennodio estuvo activo en el primer cuarto del siglo V. <<

[2] En Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik IX (1899) 491 y ss.; el texto se conserva en dos códices de Berlín (Mf. 258 y Mq. 559), en el Bodleiano 960 y en otro códice del Instituti rerum Indiae Londinensis. Suter preparó su versión a partir de los códices de Berlín. <<

[3] El significado exacto del nombre Stomachion es una de las cuestiones filológicas pendientes; las fuentes latinas no emplean un nombre específico para designarlo, y por los textos griegos no podemos saber mucho más, ya que el término stomáchion, prácticamente un hápax, es un diminutivo de stómachos («orificio, estómago, garganta, parte de atrás del cuello»); stómachos, a su vez, deriva de stóma («boca»). El significado literal de stomáchion podría ser, por tanto, «huequito, boquilla», pero no se ve qué relación puedan tener estos términos con el contenido del juego. No parece del todo convincente la interpretación de Netz, «dolor de estómago», como si fuera derivado de stomachikós, que no sólo significa «dolor de estómago», sino también «bueno para el estómago». Más sobre el nombre en Hermes XLII, pág. 240 y ss. <<

[4] Concretamente donde Arquímedes habla de la transposición y sustitución de las partes; lo que Heiberg dice, literalmente, es: «Lo que se pretenda con esto es cosa bastante oscura» (Quod haec sibi velint, satis obscurum est). <<

[5] Op. cit., págs. 408-409 y otra vez en la pág. 412. <<

[6] «Towards a Reconstruction of Archimedes’ Stomachion», Sciamvs 5 (2004), 67-99. <<

[7] La anécdota, que figura en Plutarco (De stoicorum repugnantiis 1047c-e y Quaestiones convivales VIII 9, 732 f), nos transmite unos cálculos de Hiparco en los que éste determina el número de conjunciones que la lógica estoica permite formar con diez asertos sin negación (103049) o con ella (310954). Los artículos de Stanley («Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough», The American Mathematical Monthly 104 [1997], 344-50) y Habsieger, Kazarian y Lando («On the Second Number of Plutarch», The American Mathematical Monthly 105 [1998], 446) han puesto de relieve el significado combinatorio de esos resultados; el contexto filosófico y matemático en que Hiparco pudo desarrollar sus cálculos ha sido puesto de relieve por Acerbi («On the shoulders of Hipparchus. A Reappraisal of Ancient Greek Combinatorics», Archive for History of Exact Sciences 57 [2003], 465-502). <<

[8] No se nos conserva la prueba, pero sí la enumeración de estos sólidos: vid. más adelante los fragmentos Sobre los poliedros, págs. 361-365. <<

[1] La cursiva indica las lecturas de Netz, Acerbi y Wilson en pasajes que Heiberg daba por lacunosos; los corchetes angulares encierran, según costumbre, las conjeturas de los editores; cuando se trata de conjeturas de Heiberg no añadimos más indicaciones; lo hacemos constar en nota cuando las conjeturas proceden de la lectura de Netz-Wilson.

En el palimpsesto, laguna de 6-8 letras en Stoma…on; Netz, Wilson, Acerbi se preguntan si habría que suplirlo con Stomachion prôton («primer libro del Stomachion»). <<

[2] Tanto la lectura de Netz, Acerbi y Wilson (tíni metrouménou) como la de Heiberg (tíni homoiouménou) están basadas en conjeturas; preferimos el texto de Heiberg por entender que la otra alternativa comporta un error sintáctico (siempre metreîsthai hypó tinos, no metreîsthaí tíni). <<

[3] Así siguiendo el texto de Netz, Acerbi y Wilson. Con las conjeturas de Heiberg habría que interpretarlo «cuáles son los ángulos que tomados de dos en dos forman dos rectos». <<

[4] Entiéndase: «las figuras». <<

[5] «De estas piezas», se entiende. <<

[6] Traduzco la lectura de Heiberg ek tês metathéseos; con la lectura ektòs metathéseos de Netz, Acerbi y Wilson habría que traducir «aparte de la transposición». <<

[7] El «paralelogramo rectangular» indicado tiene que ser necesariamente un cuadrado. <<

[8] Heiberg corrige acertadamente en Γ, Β, la lectura Γ, Ε del palimpsesto. Téngase presente que en los textos en uncial es fácil la confusión entre Β y Ε si se debilita la tinta en las curvas de la Β. <<

[9] Entiéndase: «dos lados del triángulo ΓΧΒ iguales a dos lados del triángulo ΧΗΒ». <<

[10] Entiéndase: «el ángulo ΓΧΒ mayor que el ángulo ΧΗΒ». <<

[11] El artículo femenino nos indica que las letras ΓΒΗ se refieren, probablemente, a las rectas ΓΒ, ΒΗ o a los ángulos de vértice en Γ, Β, Η, pero en su estado presente el texto es ininteligible: de un lado, que ΓΒ > ΒΗ ya había quedado demostrado antes, luego no parece razonable que se repita la indicación; de otro, los ángulos de vértice en Γ, Β, Η no desempeñan ningún papel en la demostración —al menos en lo que queda del texto. <<

[12] Entiéndase: «esta figura». <<

[13] La laguna señalada aquí por Heiberg, de más de cinco líneas, sólo ha podido ser parcialmente colmada por la lectura de Netz, Acerbi y Wilson.

Esta frase permite ver la transición entre la primera y la segunda proposiciones conservadas, aunque no encontramos argumentos para afirmar si recoge el final de la primera o expone la hipótesis de la segunda (lo segundo sería más verosímil, pero el texto es insuficiente). <<

[14] Quedan aquí dos líneas que parecen definitivamente irrecuperables. <<

[15] Entre corchetes, lectura dudosa y conjetura de Netz, Acerbi y Wilson. <<

[16] Con estas palabras termina la única hoja del palimpsesto que contiene texto del Stomachion. Los puntos Λ, Ξ que se mencionan en la frase anterior no figuran en la ilustración que aparece en el palimpsesto. <<

[17] Precede al texto árabe de la proposición: «¡En el nombre de dios misericordioso y clemente! Señor, concédeme éxito y no me lo hagas difícil». <<

[18] Puesto que DG, ZE son iguales entre sí y ambas, así como la recta ZG han sido cortadas por la mitad por los puntos N, F, C, respectivamente. <<

[19] Porque EG = 2CF. <<

[20] «El triángulo FEG», se entiende. <<

[21] «Si los restamos respectivamente de los triángulos mencionados ZFG y EFG», se entiende. <<

[22] Por tanto BEZ, BHT son equiángulos y guardan la razón de BE² : BH² [Elem. VI 19]. <<

[23] Porque BZ ha sido cortada por el punto T en dos partes iguales. <<

[24] M Puesto que los triángulos ABL, ZFL son equiángulos y AB = 2ZF; entonces, vid. Elem. VI 4. <<

[25] Dicho pentágono es igual a 1/2 AG / (1/12 + 1/12 + 1/12 + 1/16 + 1/24) AG = AG (1/2 / 17/48) = 7/48 AG = (1/2 (1/6) + 1/2 (1/8)) AG. <<

[1] La suerte y avatares corridos por el palimpsesto en que se nos ha conservado la obra, conocidos en lo fundamental gracias a las noticias en los medios de comunicación, fueron presentados en la Introducción (vol. I, págs. 54-63, especialmente 58-60). El reciente libro de R. NETZ y W. NOEL The Archimedes Codex (Londres, 2007; hay traducción española) informa de los pormenores de la reaparición del palimpsesto y los métodos empleados para llevar a cabo una segunda lectura del mismo. <<

[2] Así, por ejemplo, se emplea dos veces el término parabolé —436, 1 y en 499, 32—, desconocido para Arquímedes, pues fue acuñado por Apolonio. Ídem con los términos plagía y orthía para designar los ejes de una elipse en 448, 25-26. <<

[3] La numeración es obra de Heiberg, pues no figura en el original; señalan NETZ, SAITO, TCHERNETSKA en «A New Reading of Method Proposition 14; Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest» (Part 2), Sciamvs 3 (2002), 109-125, que en algún caso esa división del texto puede oscurecer un tanto el plan de la obra pero es de necesidad conservarla, a falta de otra edición, a efectos de referencia. <<

[4] La numeración tanto de los lemas como de las proposiciones fue obra de Heiberg. <<

[5] Prop. 1 y Cuadr. paráb. 14-24 y prop. 2 y Esf. cil. 133, respectivamente. <<

[6] Volumen de la esfera: prop. 2 y Esf. cil. I 33; del elipsoide: prop. 3 y Con. esf. 27 (para el semielipsoide); del paraboloide: prop. 4 y Con. esf. 21; del casquete esférico: prop. 7 y Esf. cil. II 2; del segmento de hiperboloide: prop. 11 y Con. esf. 25; del segmento de elipsoide: prop. 8 y Con. esf. 29. <<

[7] Props, 5, 6, 9, 10 y 11 respectivamente. Por cierto que la presencia de estos teoremas en el Método es el argumento definitivo para afirmar la existencia de obras perdidas de Arquímedes en el terreno de la estática, obras en las que debían de encontrarse las demostraciones geométricas de estos mismos supuestos. <<

[8] Para la descripción de esta figura y de la doble bóveda cilíndrica, cf. 426, 10 y ss. <<

[9] Muestra evidente de ello la tenemos en ARISTÓTELES, Sobre las líneas indivisibles, publicado en esta misma colección (BCG 277), págs. 21-53. <<

[10] Op. cit., pág. 336. <<

[11] T. SATO, «A Reconstruction of The Method Proposition 17, and the Development of Archimedes’ Thought on Quadrature», Historia Scientiarum 31 (1986), 61-86 y 32 (1987), 61-90; W. KNORR, «The Method of Indivisibles in Ancient Geometry», en Vita Mathematica: Historical Research and Integration with Teaching, ed. R. CALINGER, 67-86. <<

[12] «A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest» (Part 1), Sciamvs 2 (2001), 9-29 y «A New Reading of Method Proposition 14: Preliminary Evidence from the Archimedes Palimpsest» (Part 2), Sciamvs 3 (2002), 109-125. <<

[13] Pléthei («en número»), fol. 110v, col. 2, lín. 4. <<

[14] Hagamos notar, por ejemplo, que la traducción de Heath, añadida como apéndice a su The Works of Archimedes (cf. Bibliografía), fue realizada sobre la primera edición publicada por Heiberg (Hermes 42 [1907], 243-297), que difiere no poco de la aparecida en Archimedes opera omnia… que es la que ha servido de base a la presente versión. De ahí que no coincidan la numeración y el contenido de las proposiciones. <<

[15] Fueron publicadas en Leipzig en 1906-1907 y han sido reimpresas en ARCHIMEDES, Werke, Darmstadt, 1967 junto con otros tratados arquimedeos comentados. <<

[1] Así en el original griego, aunque por el sentido es evidente que se refiere a un cuadrado. Lo mismo sucede algo más adelante, en 426, 24 y 428, 2. <<

[2] Cf. Introducción, págs. 268-269. <<

[3] El título «Lemas» (Lemmata) y la numeración de los mismos, así como la de las proposiciones, no figura en los mss., sino que fue introducida por Heiberg. Esta numeración se ha convertido en canónica a efectos de referencia pero, como advierte Netz (Sciamvs 2, pág. 11), puede oscurecer la estructura de la obra.

Los enunciados que figuran en este apartado tienen el carácter de demostraciones auxiliares para el contenido de las proposiciones. <<

[4] Sobreentiéndase: «el extremo de». <<

[5] Sobreentiéndase: «una recta». <<

[6] «El centro de gravedad de cada una de ellas», se entiende. <<

[7] Se da por supuesto lo mencionado en Sobre el equilibrio de las figuras planas I 4 y 13, II 2 y 5. Vid. también I 5. <<

[8] Recuérdese que el concepto de eutheîa en griego se corresponde más bien con el nuestro de «segmento». <<

[9] Es decir, las medianas del triángulo. <<

[10] [Del tratado escrito anteriormente Sobre conoides]. La mención del tratado en el texto es probablemente una glosa (acertada). <<

[11] Heiberg considera la frase una interpolación, y supone que la referencia se refiere a los Elementos de cónicas de Euclides o Aristeo. La demostración figura en Cuadratura de la parábola, 2. <<

[12] [Eso se demuestra en un lema]. La frase es una interpolación; el lema, si existió, no se nos ha conservado. <<

[13] Es decir, de TH. <<

[14] Es decir, de la magnitud compuesta por ambas figuras —el triángulo más el segmento de la sección parabólica—, situada en la posición en que ahora está el triángulo. <<

[15] Anota Heiberg: «De la proporción ΔΓ : AΓ :: ΔB : AK resulta que ΔB = 1/2 AK = 1/4 AZ», (es decir, los dos triángulos ABΓ y AZΓ tienen la misma base AΓ, pero el segundo tiene la altura cuatro veces mayor que el primero). <<

[16] [Esto, en efecto, es evidente]. <<

[17] La demostración se encuentra en Cuadrat. paráb. 14-24, donde Arquímedes da dos demostraciones rigurosas y completamente distintas. Heiberg piensa que esta demostración anunciada debía de encontrarse en la parte final de este tratado, que no se nos ha conservado. <<

[18] Es decir, «tomando ese círculo como base». <<

[19] Entiéndase que el equilibrio se produce entre el círculo en el cilindro, de un lado, y los círculos en el cono y la esfera tomados como una sola magnitud, de otro.

Heiberg sospecha que en este pasaje se ha podido producir alguna alteración del texto, ya que el original presenta anomalías sintácticas. <<

[20] Es decir, «réstense dos conos de ambos miembros de la igualdad». <<

[21] Med. círc. 1. <<

[22] Es decir, «la misma altura». <<

[23] O «ejes». <<

[24] El plano indicado, como se ve en la figura, cortará a la recta AΓ en el punto Σ. <<

[25] [Pues ambas razones son como la del eje mayor al eje menor]. <<

[26] Cf. vol. I, Introducción, pág. 51. <<

[27] Es decir, «súmese a ambos términos de la igualdad». <<

[28] Sustituimos δέ del ms. por δή, siguiendo la conjetura de Heiberg. <<

[29] Es decir, «réstense de los dos miembros de la igualdad». <<

[30] El generado por el triángulo AEZ, se entiende. <<

[31] En Cuadr. paráb. 3 aparece enunciado como proposición el argumento aquí empleado, pero para la demostración remite a los libros (perdidos) de Cónicas. <<

[32] Es decir, que los brazos de la palanca son inversamente proporcionales a los círculos situados en sus extremos. <<

[33] Es decir, ΞO. <<

[34] Entiéndase: «en proporción continua», es decir, BΔ : ΣΞ :: ΣΞ : ΣΠ. <<

[35] Cf. n. 32. <<

[36] Es decir, «con AK». <<

[37] En este pasaje, de lectura dudosa, Heiberg propone «sección del cono rectángulo» tanto en la edición griega como en la versión latina. Fue seguido en ello por Mugler en el texto griego y en su traducción; no obstante, corregimos el error, manifiesto, por sugerencia de M. Martínez —precedido por Ver Eecke (trad. cit., vol. II, pág. 498). <<

[38] El palimpsesto griego es lacunoso a partir de este punto y hasta el final de la proposición (la parte correspondiente a los fols. 170v col. 2; 163r col. 2 —donde se lee poco más de una decena de palabras—; 157r col. 1). Presentamos en cursiva la traducción de la reconstrucción sugerida por Heiberg a tenor de la prop. 9 (478, 23 y ss). <<

[39] Para la proporción ex aequali (di’ ísou), Cf. vol. I, Introducción, pág. 52. <<

[40] El texto —ilegible— de 160v col. 2 y 157v col. 1 contenía la descripción de la construcción de la figura. Ofrecemos la versión propuesta por Heiberg siguiendo la pauta de Prop. 2 (438, 29 y ss). Nótese la anomalía de que en el diagrama se emplea la letra Φ dos veces, para designar dos puntos diferentes: el extremo inferior izquierdo del rectángulo de diámetro ΦΛ —que se usa solamente en la descripción de la construcción— y un punto de corte de la recta AH tal y como se describe en 472, 5-7 —al que se hace referencia a partir de ahí y hasta el final de la proposición. <<

[41] Perpendicular «al eje», se entiende. <<

[42] «Que el segmento», se entiende. <<

[43] La laguna que sigue ha sido suplida por Heiberg a tenor de Prop. 10 (482, 31 y ss.). <<

[44] Plano que ha de ser perpendicular al anterior. <<

[45] Sigue una laguna de aproximadamente 11 líneas en el palimpsesto; hasta ahora no ha sido posible colmarla. <<

[46] «Perpendicularmente al eje», se entiende. <<

[47] Es decir, con el casquete ABΔ y el cono AEZ mencionados en el párrafo anterior. Heiberg teme, no obstante, que se haya producido algún error bien en la transmisión del texto, bien en su propia lectura. <<

[48] Heiberg explica la evidencia haciendo ver que 3/2 HΓ + 1/2 HA = HΓ + 1/2 (ΓH + HA) = HΓ + 1/2 AΓ = HΓ + ΓΞ; y HΓ + 1/4 HA = ΓH + HΦ; o, de otro modo: 2 AH + 6 AΓ = 2 AΓ + 4 ΓH = 4 ΓΞ + 4 ΓH = 4 HΞ; AH + 4 ΓH = 4 ΦH + 4 ΓH = 4 ΓΦ. <<

[49] Para la descomposición de razones, cf. vol. I, Introducción, pág. 52. <<

[50] «Si permanece en su sitio», hay que entender. <<

[51] [La figura]. <<

[52] Cf. Con. esf. 25; la recta añadida (o «añadida al eje») es la que une el punto más elevado de la hipérbola con el punto de intersección de las asíntotas; cf. vol. I, Introducción, págs. 48-49. <<

[53] Así suple Heiberg en su versión latina la ausencia de verbo en el original. <<

[54] Tomo la conjetura perileípsomen propuesta por Heiberg en lugar de la lectura perilépsomen del palimpsesto. <<

[55] «Superficie lateral», se entiende. <<

[56] [Paralelogramos]. <<

[57] «Cortada del cilindro», se entiende. <<

[58] El punto Θ designa el centro del círculo. <<

[59] «Cortado del cilindro», se entiende. <<

[60] Hace referencia al cuadrado y el círculo, resultantes de la sección del prisma y el cilindro, de la construcción descrita en la proposición 12 (486, 8-25). <<

[61] Como se ve en la figura —reconstruida por Heiberg, pues no aparece en el palimpsesto—, la recta KΛ corta a ϒH en el punto X y la Tϒ corta a ΘM en el punto Φ. <<

[62] «Del cilindro», se entiende. <<

[63] Falta el resto de la proposición hasta el final; incluimos la reconstrucción publicada por Heiberg. <<

[64] Entiéndase: «de diagonales ΣK, ZT». <<

[65] Para la traducción del texto resultado de la nueva lectura del palimpsesto, vid. Apéndice. <<

[66] Apolonio, I 11. <<

[67] «El otro cateto», se entiende. <<

[68] Heiberg anota: Puesto que MΞ² = MH × ME (Elementos III 31; VI 8, corolario; VI 17) = HK² + MK² (Elementos II 5) = MN² + MN × NΛ = MN × (MN + NΛ). <<

[69] «A la sección de cono rectángulo», entiéndase. <<

[70] El fol. 105r, col. 1 (dieciséis líneas de texto del palimpsesto), resultó ilegible para Heiberg. <<

[71] [De la parábola]. <<

[72] Cuadr. paráb. 24. <<

[73] El texto que sigue es, en su mayor parte, ilegible. Imposible reconstruir el texto, Heiberg lo suple con un intento de reconstrucción de la demostración a tenor de Con. esf. 19 y 25. <<

[74] Cuadrat. paráb. 24. <<

[75] La numeración marginal de referencia es la de los artículos citados en la Introducción a este tratado, n. 12 (pág. 271): las primeras tres cifras indican el número del folio en el palimpsesto; «r» y «v» indican si se trata de la cara anterior («recto») o posterior («verso») del folio; la cifra última, si es la primera o la segunda columna de las dos que contiene cada cara del folio. <<

[76] Literalmente «la (recta) a cuyo cuadrado equivalen las trazadas en la sección»; cf. vol. I, Introducción, pág. 47). <<

[77] Sobreentiéndase como sujeto «el plano construido pasando por MN y perpendicular a EH». <<

[78] Sustituyo la lectura conjetural y dudosa tò apò… aphereménon (líneas 10-11) por mi propia conjetura tôi apò… aphereménoi. <<

[79] Sospecho que se han perdido algunas palabras del original, pues esperaríamos encontrar aquí la indicación de cuáles son las secciones que completan la figura, como en el resto del tratado. <<

[80] La expresión «en número» es conjetura de los editores. <<

[81] La expresión «en número» es, de nuevo, conjetura de los editores. <<

[82] «Del cilindro», se entiende. <<

[1] Entre sus traducciones —de obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo y Eutocio— se ha de destacar la de los libros V-VII de las Cónicas, única versión conservada de esa parte de la obra de Apolonio. <<

[2] En el sentido que los matemáticos griegos daban al término, el de proposición auxiliar necesaria para el desarrollo de otra proposición. <<

[3] Así, cuando el autor se refiere a las «proposiciones sobre los rectángulos» (prop. 2), o a «nuestra exposición sobre los triángulos» (props. 5 y 6) o a «las proposiciones sobre los cuadriláteros» (prop. 12). <<

[4] Dicho de otro modo: no es admisible que cada crítico, fiándose de sus más recientes investigaciones, edite las obras bajo el nombre del autor que le parezca más oportuno. <<

[5] El nombre del arbelo (gr. arbelós) significa «cuchilla de zapatero» y se le aplicó por la semejanza de la figura con el utensilio, según un escolio a las Theriaca de Nicandro, 423. La definición se da en la prop. 4, y en las props. 5 y 6 se prueban sus propiedades fundamentales.

La definición del salino (gr. sálinon) y su propiedad fundamental se tratan en la prop. 14. El significado y origen del nombre no están claros, como lo demuestra la variedad de teorías emitidas, ninguna de las cuales ha conseguido aquiescencia general: Cantor lo deriva del gr. sálos («línea de ondas»); Heath considera que es la forma helenizada de la palabra latina salinum («salero»), por su semejanza con dicho objeto; Heiberg pensó que podía derivar del gr. sélinon («apio») por su similitud con las frondas de esa planta. <<

[6] Para Cantor, seguido por Heath y Heiberg, también procede de Arquímedes la proposición 8, que resuelve la trisección del ángulo mediante neûsis (prop. 8; para las construcciones de neûsis, cf. vol. I, Introducción, págs, 41-42). <<

[7] La medida del círculo mediante estas curvas se prueba, respectivamente, en las props. 4 y 14. <<

[8] Había sido precedida poco antes por la edición de Foster (Londres 1659, con traducción de Gravii), El texto de la versión árabe se conserva en tres manuscritos de la Biblioteca Mediceo-Laurenciana de Florencia. <<

[1] Papo asume el resultado de esta proposición en conexión con el arbelo y la demuestra para el caso de que los círculos sean tangentes externamente. <<

[2] «A la prolongación de AB», se entiende. <<

[3] No es necesario que las rectas BD, DC sean perpendiculares entre sí ni que BD sea paralela a AC ni DC paralela a BE. El error ha sido notado por traductores y comentaristas. La proposición, sin embargo, es verdadera, y fue demostrada por Torelli. <<

[4] Para el libro Sobre los rectángulos, cf. la Introducción a este tratado, pág. 324 y n. 3. <<

[5] La figura ABFC que ofrece el códice es un semicírculo, pero la afirmación es cierta respecto a cualquier arco de círculo. En PTOLOMEO, Almagesto I 10, se considera esta misma proposición para el caso del semicírculo: el objetivo de Ptolomeo es conectar mediante una ecuación la longitud de la cuerda de un arco y de la cuerda del arco que sea la mitad de él. <<

[6] Es decir, «el rectángulo AD, DC». <<

[7] Se entiende: «la misma que la de los cuadrados construidos sobre sus diámetros». <<

[8] Se entiende: «de ambas igualdades». <<

[9] Es decir, a CD. <<

[10] Es decir, «BD, DI están en línea recta». <<

[11] En cuanto al libro Sobre triángulos rectángulos, cf. la Introducción a este tratado, pág. 324, n. 3. La demostración ofrecida la dio Almochtasso al probar que las alturas del triángulo acutángulo se cortan en el mismo punto. <<

[12] A partir de Elem. VI 2, por composición. <<

[13] Sic. Se refiere a los dos triángulos FEG, FCG. <<

[14] En el diagrama que ofrece Heiberg aquí —al igual que en el que ofrece Mugler— no aparece la línea DA, ignoro si porque no figura tampoco en los mss. o por error tipográfico; sí aparece en el diagrama que acompaña a la versión de Heath. <<

[15] Es decir, «a los dos miembros de la igualdad». <<

[16] Entiéndase: «una cuerda igual al lado del pentágono regular inscrito en el círculo». <<

[17] Puesto que DCA = 1/2 DHA [Elem. III 20] y FCB = 90°. <<

[18] Es decir, «que puede ser inscrito en el círculo». <<

[19] Como antes, entiéndase «que puede ser inscrito en el círculo». <<

[20] Es decir, «a los dos miembros de la igualdad». <<

[21] Es decir, que CD : DE :: DE : EC. <<

[22] Elem. XIII 9. <<

[1] Trad. de C. GARCÍA GUAL, Madrid, 2004. <<

[2] De transmisión independiente del resto de las obras de Arquímedes, esta obra se nos ha conservado en el Gudianus Graecus 77 (siglo XV, siglado G) y el Parisinus graecus 2448 (siglo XIV, siglado P). <<

[3] La criba de Eratóstenes es un método para hallar números primos: una vez escrita la sucesión de los números naturales, se van tachando cada segundo número a partir del 2, cada tercero a partir del 3, cada cuarto a partir del 4, y así sucesivamente. Si se quiere llegar a obtener la lista de los primos hasta n, es preciso continuar la operación hasta que se llega a un número cuyo cuadrado es superior a n. El método fue descrito por Nicómaco de Gerasa, Introductio Arithmetica I 13, 2-4.

Su solución al problema délico nos ha sido transmitida por EUTOCIO —Comentarios, 88, 4 y ss. (ed. Heiberg), cf. vol. I, págs. 378-383— junto con el epigrama, dedicado a Ptolomeo III Evergetes y a su hijo, en el que refuta las soluciones anteriores. <<

[4] La variedad de sus inquietudes intelectuales hizo que recibiera el mote de péntahtlos; a pesar de destacar en todos los campos de su actividad, no llegó a ser el mejor en ninguna: de ahí que su segundo apodo fuera Bêta («el segundo»). <<

[5] Escolio a PLATÓN, Cármides (91, ed. RUNK). <<

[6] Para un resumen de la cuestión de la autoría hasta finales del siglo XIX puede verse KRUMBIEGEL-AMTHOR, «Das Problema bovinum des Archimedes», Zeitschrift für Mathematik und Physik (Historische-Litterarische Abteilung) 25 (1880) 121-136 y 156 y ss. <<

[7] Para el epigrama de Eratóstenes, cf. ARQUÍMEDES, Tratados, vol. I, págs. 378-383 y, en ese mismo vol., Introducción, págs. 80-85; para el de Diofanto, vid. BACHET, Comm. a Dioph. Arithm., loc. cit. Para la consideración de otros epigramas de tema matemático, tenidos generalmente por menos significativos a este respecto, vid. HEATH, A History of Greek Mathematics, vol. II, págs. 441-442 y KRUMBIEGEL, art. cit. <<

[8] EUTOCIO, Com. al Libro II de Sobre la esfera y el cilindro, 132, 6-7 (cf. vol. I, pág. 392). <<

[9] Vid. HEATH, A History of Greek Mathematics, vol. II, págs. 440 y ss. <<

[10] Vid. vol. I, Medida del círculo 3 (págs. 246-249) y EUTOCIO, Comentario a la medida del círculo (págs. 421-434). <<

[11] HEATH, The Works of Archimedes, págs. 320-326, da un resumen de los resultados obtenidos por ambos autores. <<

[12] The works of Archimedes, Dover Publications, Mineola-Nueva York, 2002 (rp. ed. 1897), págs. 324-326. <<

[13] El peso de la opinión de este gran historiador de la matemática griega es innegable y su influencia es perceptible en algún trabajo más reciente, como el de P. SCHREIBER («A note on the Cattle Problem of Archimedes», Historia Mathematica 20 [1993], 304-306), que sostuvo que el problema es de resolución imposible. Para él, la solución dada por los matemáticos modernos es errónea, pues contradice una condición mencionada en el texto por no haber tenido en cuenta el planteamiento exacto del problema. Parte de sus argumentos filológicos, basados en cierta interpretación de los vv. 7-8, ha sido refutada por C. F. y W. C. WATERHOUSE, «On the Cattle Problem of Archimedes», Historia Mathematica 1995 (22) 2 186-187. <<

[14] En la carta que precede a Espirales, II 2, 24-4, 1. <<

[15] Arquímedes se refiere a ellos en Arenario, 3 (II 216, 17-218, 1). <<

[1] Cf. la Introducción a este tratado, pág. 350-351. <<

[2] Aunque la isla Trinacia que menciona Homero es imposible de identificar, el nombre Trinacia pasó, en fechas posteriores, a designar a Sicilia. <<

[3] Repetidamente se ha sospechado que el término tetrachêi del original es una corrupción, pero las enmiendas propuestas hasta ahora no han sido plenamente convincentes. <<

[4] Los griegos llamaban números cuadrados a aquellos que, si en una figura se representa cada unidad por un punto, tenían forma de cuadrado: son cuadrados perfectos y la tabla de los mismos puede obtenerse de la suma de la serie de los números impares: 1, 4 (= 1 + 3), 8 (= 1 + 3 + 5), 16 (1 +3 + 5 + 7)… <<

[5] Los números triangulares tenían como característica que, si se representaba cada unidad del número mediante un punto, resultaba una figura de triángulo. La tabla de los números triangulares se obtiene mediante la suma de la serie de los números naturales; así, son triangulares 1, 3 (= 1 + 2), 6 (= 1 + 2 + 3), 10 (= 1 + 2 + 3 + 4), 15 (= 1 + 2 + 3 + 4 + 5)… <<

[6] Lo que el escoliasta llama «miríadas dobles» coincide con lo que Arquímedes llamaba en el Arenario «números primeros», es decir, la miríada de miríadas (10⁸); por tanto, el rebaño blanco consta de 1.400.000.000 + 5.820.000 + 7.360 = 1.405.827.360 cabezas de ganado (es el 80-múltiplo de la solución de lo que Heath llama el «Problema de Wurm» en The Works of Archimedes, págs. 320-323). <<

[7] El número de reses de color negro es de 900.000.000 + 88.300.000 + 800 = 988.300.800 (también es el 80-múltiplo de la solución de Wurm). <<

[8] Las reses pintas son 800.000.000 + 69.910.000 + 400 = 869.910.400. <<

[9] El rebaño rubio, por último, está formado por 700.000.000 + 67.080.000 + 8.000 = 767.088.000cabezas de ganado. <<

[10] Respectivamente, 829.318.560 toros blancos y 576.508.800 vacas blancas. <<

[11] Es decir, 596.841.120 toros negros y 391.459.680 vacas negras. <<

[12] Los toros pintos son 588.644.800 y las vacas pintas 281.265.600. <<

[13] En el rebaño rubio, 331.950.960 toros y 435.137.040 vacas. <<

[14] Efectivamente, 829.318.560 = 596.841.120/2 + 596.841.120/3 + 331.950.960 = 298.420.560 + 198.947.040 + 331.950.960. <<

[15] Efectivamente, 596.841.120 = 588.644.800/4 + 588.644.800/5 + 331.950.960= 147.161.200 + 117.728.960 + 331.950.960. <<

[16] 588.644.800 = 829.318.560/6 + 829.318.560/7 + 331.950.960 = 138.219.760 + 118.474.080 + 331.950.960. <<

[17] 576.508.800 = 988.300.800/3 + 988.300.800/4 = 329.433.600 + 247.075.200. <<

[18] 391.459.680 = 869.910.400/4 + 869.910.400/5 = 217.477.600 + 173.982.080. <<

[19] 281.265.600 = 767.088.000/5 + 767.088.000/6 = 153.417.600 + 127.848.000. <<

[20] 435.137.040 = 1.405.827.360/6 + 1.405.827.360/7 = 234.304.560 + 200.832.480. <<

[21] 829.318.560 + 596.841.120, que no es un número cuadrado. <<

[22] 331.950.960 + 588.644.800 = 920.595.760, que no es un número triangular. <<

[1] Gr. anomoiogenôn, literalmente «no homogéneos»; respeto el nombre de «semirregulares» consagrado en castellano para denominar a estos poliedros. <<

[2] Entre corchetes traducimos la conjetura recogida por Heiberg en su aparato crítico y debida a Hultsch y Eisenmann, que se basaron en el pasaje correspondiente del frg. 2. <<

[3] Para Heiberg todos estos detalles han de ser atribuidos al trabajo de Arquímedes, no al de Papo. <<

[4] Es decir, «a partir del tetraedro». <<

[5] Entiéndase «el primero de los de catorce caras». <<

[6] «El segundo», se entiende. <<

[7] «De los de catorce caras», se entiende. <<

[8] Comparar segmentos en potencia equivale a comparar los cuadrados construidos sobre ellos, es decir, que la arista ha de partirse en los segmentos a, b, c (siendo b el de en medio) de modo que b² = 2a² = 2c². <<

[9] Se refiere al primero de los de veintiuna caras. <<

[10] Error evidente de Herón el atribuir a Arquímedes el descubrimiento de otros ocho poliedros que pueden inscribirse en la esfera; las explicaciones de Papo no dejan lugar a dudas. <<

[11] En Diophantus, ed. Tannery II, pág. 22 16. <<

[12] Heiberg lo relaciona con los cálculos para la aproximación a √3 en la forma √3 = 26 : 15. <<

[13] Encontramos aquí la base documental en la que se asienta la hipótesis —expresada en primer lugar por Tannery— de que la forma en que conocemos el tratado sobre la Medida del círculo es una forma abreviada de la que debió de tener el original de Arquímedes. <<

[14] En su clasificación de los números, Nicómaco de Gerasa llama plintidios (plinthídes, plinthídia; literalmente «ladrillos») a los números que resultan de multiplicar un número cuadrado por otro menor (ej., 4 × 4 × 2). <<

[15] Heiberg entiende que se ha producido una corrupción en la transmisión de los numerales, pues tal y como están ambos dan un valor superior al de π; propone, con argumentos aceptables paleográficamente, corregir la segunda de las cantidades en 67.444 y la tercera en 195.878. Tannery, también con argumentos razonables, había propuesto corregir la primera de las cifras en 211.882 y la tercera en 195.872. <<

[16] El título no procede de los testimonios en griego, sino que ha sido introducido por Heiberg. <<

[17] Los términos en que se expresa Herón evidencian que los métodos expuestos se le atribuían a Arquímedes sólo por tradición histórica. <<

[18] Estas demostraciones ya en el siglo II a. C. no figuraban en su lugar en las ediciones vulgares; Eutocio las halló y las incluyó con sus propias palabras en su Comentario. Cf. vol, I, Introducción, pág. 81 y 391-404. <<

[19] Tras ese inciso, continúa la explicación en el pasaje siguiente. <<

[20] «Ella» se refiere a «la vista»; Teón, como Ptolomeo, sigue la más difundida de las teorías antiguas sobre la visión, la que sostiene que ésta se produce cuando los rayos que parten del ojo van a dar en los objetos vistos. <<

[21] Por el mismo razonamiento vemos que tampoco Z es mayor que E; luego es igual. <<

[22] Se refiere a los filósofos. <<

[23] Cf. Papo, VIII 2 (pág. 1.026, 2): «Llaman mecánicos también a los que saben construir esferas mediante las cuales se representa una imagen del cielo mediante un movimiento de agua uniforme y en circuito cerrado». <<

[24] Heiberg omite el pasaje relativo a Aristarco. <<

[25] Para la longitud del estadio, cf. Arenario 220, 10 y n. 7. <<

[26] La lectura ,με (40.005) es dudosa, según el propio Heiberg; Duncker propuso la conjetura ,βε (2.005). <<

[27] Para los números segundos, cf. Arenario 236, 28 y n. 21. <<

[28] «De la última esfera», se entiende. <<

[29] Tomando π = 3. <<

[30] I. e. «Mercurio». <<

[31] Es decir, «en razones de las que se pueda derivar una armonía musical». <<

[32] A excepción del de la Luna. <<

[33] Heiberg trae a colación el pasaje de Macrobio, Comentario al «Sueño de Escipión» de Cicerón, II 3: «Arquímedes creyó, en efecto, haber descubierto el número de estadios que dista la Luna de la superficie de la Tierra y Mercurio de la Luna, Venus de Mercurio, el Sol de Venus, Marte del Sol, Júpiter de Marte, Saturno de Júpiter; pero desde la órbita de Saturno hasta el propio cielo en que se desplazan las estrellas consideró que había medido todo el espacio mediante sus cálculos. Sin embargo, la mensuración de Arquímedes fue rechazada por los platónicos por no respetar los intervalos dobles y triples». <<

[34] Es decir, «el círculo de las estrellas fijas». <<