El arenario es una obra de Arquímedes en la que el autor intenta establecer un límite superior para el número de granos de arena necesarios para llenar el universo. Para hacer esto tuvo que estimar el tamaño del universo según el modelo vigente en ese momento y, además, inventar una manera de expresar números muy grandes.

Arquímedes

El arenario

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Skynet 01.03.2020

Título original: The Sand Reckoner of Archimedes

Arquímedes, 1897

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El arenario

Algunos creen, rey Gelón, que el número de los granos de arena es una cantidad infinita: hablo no solamente de la que está alrededor de Siracusa y de toda Sicilia, sino de toda la tierra tanto habitada como deshabitada. Hay algunos que no creen que sea infinito, sino que no hay ningún número nombrado que supere esta cantidad. Es evidente que los que de tal modo opinan si imaginaran reunido un volumen de arena de una magnitud igual al volumen de la Tierra, llenando todos los mares y todas las cavidades de la Tierra hasta la misma altura de las cimas de las montañas, con más razón no creerían que pudiera nombrarse ningún número que superara esta cantidad. Yo sin embargo trataré de probarte con demostraciones geométricas que puedas seguir, que algunos de los números nombrados por mí y explicados en los escritos dirigidos a Zeuxipo no solamente superan el número de los granos de arena de una magnitud igual a la de la Tierra llena tal como hemos dicho, sino de una magnitud igual a la del cosmos.

Ya sabes que la mayoría de los astrónomos llaman cosmos a la esfera cuyo centro es el centro de la Tierra y cuyo radio es igual al segmento entre el centro del Sol y el centro de la Tierra. Esto lo conoces por las demostraciones escritas de los astrónomos. Pero Aristarco de Samos editó un libro con algunas hipótesis, en el cual se deduce de las premisas que el cosmos es muchas veces mayor de lo que hemos dicho ahora. Supone en efecto que las estrellas fijas y el Sol permanecen inmóviles, mientras que la Tierra gira alrededor del Sol según la trayectoria de un círculo, estando situado el Sol en el centro de la órbita, y que la esfera de las estrellas fijas que tiene el centro cerca del Sol es de una tal magnitud, que el círculo según el cual se supone que gira la Tierra, tiene la misma razón respecto a la distancia de las estrellas fijas, que la que tiene el centro de la esfera a la superficie. Esto evidentemente es imposible, puesto que el centro de la esfera no tiene tiene magnitud, ni puede pensarse que tenga ninguna razón con respecto a la superficie de la esfera. Hay que ver que Aristarco pensaba esto: puesto que suponemos que la Tierra es el centro del cosmos, la razón que tiene la Tierra con respecto al cosmos de que hablamos, es la razón que tiene la esfera, en la que hay un círculo según el cual se supone que gira la Tierra, con respecto a la esfera de las estrellas fijas. De este modo ajusta a la hipótesis las demostraciones de los fenómenos, y sobre todo parece que supone la magnitud de la esfera en la cual hace mover la Tierra, igual al cosmos de que hablamos.

Decimos pues que si se hiciera una esfera de arena de una magnitud tal como la esfera que Aristarco supone de las estrellas fijas, puede demostrarse igualmente que algunos de los números antedichos que poseen nombre superan en cantidad el número de los granos de arena con una magnitud igual a la de la esfera citada, suponiendo lo siguiente:

En primer lugar que el perímetro de la Tierra es de 3 000 000 de estadios[1] y no más; aunque algunos tratan de demostrar, como tú también sabes, que es de 300 000 estadios. Yo, superando esto y poniendo la magnitud de la Tierra en diez veces lo propuesto por los anteriores, supongo que el perímetro de la misma es 3 000 000 de estadios y no más.

Después, que el diámetro de la Tierra es mayor que el de la Luna, y que el diámetro del Sol es mayor que el diámetro de la Tierra, tomando lo mismo que la mayoría de los astrónomos anteriores.

Después, que el diámetro del Sol es unas treinta veces mayor que el diámetro de la Luna y no más; aunque de entre los astrónomos anteriores, Eudoxo declara que es unas nueve veces mayor, Fidias, mi padre, unas doce veces, y Aristarco ha tratado de demostrar que el diámetro del Sol es mayor que dieciocho veces el diámetro de la Luna y menor que veinte veces. Yo, sin embargo, superando esto para que lo propuesto quede demostrado sin discusión, supongo que el diámetro del Sol es treinta veces mayor que el diámetro de la Luna y no más.

Además, el diámetro del Sol es mayor que el lado del polígono de mil lados inscrito en el círculo máximo del cosmos. Supongo esto por haber encontrado Aristarco que el Sol aparece como una setecientosveinteava parte del círculo del Zodíaco; yo mismo traté de encontrar experimentalmente, observando de esta manera, el ángulo al cual se ajusta el Sol con el vértice en el ojo. No es fácil encontrar esto con exactitud porque ni el ojo, ni las manos, ni los instrumentos mediante los cuales hay que hacerlo son dignos de confianza para mostrarlo con exactitud. No es oportuno ahora hablar más acerca de esto, sobre todo porque ya se ha explicado a menudo. Me basta para la demostración de lo propuesto tomar un ángulo que no sea mayor que el ángulo al cual se ajusta el Sol con el vértice en el ojo, y, además, tomar otro ángulo que no sea menor que el ángulo al cual se ajusta el Sol con el vértice en el ojo.

Poniendo pues una larga vara sobre un pie vertical, situado en un lugar desde donde pueda verse el Sol al levantarse, y poniendo un cilindro pequeño y torneado perpendicularmente sobre la vara directamente después de la salida del Sol, cuando está sobre el horizonte y se le puede mirar, se gira la vara hacia el Sol y se pone el ojo sobre el extremo de la vara. El cilindro situado en medio del Sol y de la vista tapa el Sol. Retirando, pues, el cilindro del ojo, en el momento en que empieza a aparecer un poco de sol a ambos lados del cilindro, se para el cilindro. Si sucediera entonces que el ojo observara desde un punto, trazando rectas desde el extremo de la vara en el lugar en que está el ojo que rozaran el cilindro, el ángulo comprendido entre las rectas trazadas sería menor que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo, ya que se ve algo del Sol a ambos lados del cilindro. Puesto que los ojos no miran desde un punto, sino desde una cierta magnitud, se toma una magnitud circular no menor que el ojo, y se pone esta magnitud sobre el extremo de la vara, en el lugar en que está el ojo; trazando rectas que rocen esta magnitud y el cilindro, el ángulo comprendido entre las rectas es menor que el ángulo, al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo. La magnitud no menor que el ojo se encuentra de este modo. Se toman dos cilindros delgados de igual grosor, el uno blanco y el otro no, y se ponen delante del ojo, el blanco separado de él y el no blanco tan cercano al ojo que toque el rostro. Si los cilindros tomados son más delgados que el ojo, éste abarca el cilindro más cercano y ve todo el blanco, si son mucho más delgados, se ve parte del blanco a ambos lados del cilindro cercano al ojo; tomando ambos cilindros con un grosor adecuado el uno tapa al otro sin más. Una magnitud tal como el grosor de los cilindros que cumplen esto con mayor razón no será menor que el ojo. El ángulo que no es menor que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo, lo tomé de esta manera. Separando del ojo el cilindro sobre la vara de modo que tapara el cilindro todo el Sol y trazando rectas desde el extremo de la vara, en el lugar en que está el ojo, que rocen el cilindró, el ángulo comprendido entre las rectas trazadas no es menor que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo. Midiendo con un ángulo recto los ángulos así tomados, el ángulo a partir del punto resultó menor que una parte del ángulo recto dividido en 164 partes y el otro ángulo menor resultó mayor que una parte del recto dividido en 200 partes. Es evidente, pues, que el ángulo al cual se adapta el Sol con el vértice en el ojo es menor que una parte del ángulo recto dividido en 164 partes y mayor que una parte del ángulo recto dividido en 200 partes.

El resultado del experimento era mostrar que el ángulo subtendido por el diámetro del Sol era menor que 1/164 y mayor que 1/200 parte de un ángulo recto.

Hay que demostrar que (suponiendo esto) el diámetro del Sol es mayor que el lado de un polígono de 1000 lados, inscrito en un círculo máximo del «cosmos», o universo.

Supongamos que el plano del papel sea el plano que pasa por el centro del Sol, el centro de la Tierra y el ojo, en el momento en que el Sol acaba de levantarse por encima del horizonte. Corte el plano la Tierra en el círculo EHL y el Sol en el círculo FKG, los centros de la Tierra y del Sol son C, O respectivamente y E la posición del ojo.[*]

Corte, además, el plano la esfera del «cosmos» (es decir la esfera cuyo centro es C y radio CO) en el círculo máximo AOB.[*]

Dibujemos desde E dos tangentes al círculo FKG que lo toquen en P, Q y desde C dos tangentes más al mismo círculo, tocándolo en F, G respectivamente.[*]

CO encuentra las secciones de la Tierra y el Sol en H, K respectivamente; y prolongando CF, CG, encuentran el círculo máximo AOB en A, B.[*]

Unamos EO, OF, OG, OP, OQ, AB, y hagamos encontrar AB con CO en M. CO > EO puesto que el Sol está precisamente encima del horizonte. Por lo tanto

∧ PEQ > ∧ FCG[*]

Y

∧ PEQ > R/200

pero

< R/164 (donde R representa un ángulo recto).

Así, pues,

∧ FCG < R/164 a fortiori

y la cuerda AB subtiende un arco del círculo máximo que es menor que 1/656 de la circunferencia de este círculo, es decir:

AB < (lado de un polígono de 656 lados inscrito en el círculo).

El perímetro de cualquier polígono inscrito en el círculo máximo es menor que 44/7 CO.

Por lo tanto AB/CO < 11/1148, a fortiori, AB < CO/100 .......... (α).

Además, puesto que CA = CO, y AM es perpendicular a CO, mientras que OF es perpendicular a CA,

AM = OF.[*]

Por lo tanto AB = 2AM = (diámetro del Sol)

Así pues, (diámetro del Sol) < CO/100; por (α) y a fortiori, (diámetro de la Tierra) < CO/100

De aquí CH + OK < CO/100, o sea que HK > 99 CO/100, o bien CO/HK > 100/99

Y CO > CF, mientras que HK < EQ.

Por lo tanto CF/EQ < 100/99 .......... (β).

En los triángulos rectángulos CFO, EQO, de los lados en los ángulos rectos, OF = OQ, pero EQ < CF (puesto que EO < CO).

Por lo tanto ∧ OEQ / ∧ OCF > CO/EO, pero < CF/EQ.

Doblando los ángulos, ∧ PEQ / ∧ ABC < CF/EQ < 100/99; por (β)

Pero ∧ PEQ > R/200, por hipótesis

por lo tanto ∧ ABC > 99 R/200 > R/203. Se deduce que el arco AB es mayor que 1/812 de la circunferencia del círculo máximo AOB.[*]

De aquí, a fortiori AB > (lado del polígono de mil lados inscrito en el círculo máximo) y AB es igual al diámetro del Sol como hemos demostrado antes. Pueden demostrarse ahora los siguientes resultados:

(diámetro del «cosmos») < 10 000 (diámetro de la Tierra), y (diámetro del «cosmos») < 10 000 000 000 estadios.

Supongamos para abreviar que dc representa el diámetro del «cosmos», ds el del Sol, dt el de la Tierra, y dl el de la Luna.

Por hipótesis ds ≤ 30 dl, y dt > dl, por tanto ds < 30 dt.

Por la última proposición ds > (lado del polígono de mil lados inscrito en el círculo máximo) de modo que (perímetro del polígono de mil lados) < 1000 ds y < 30 000 dt.

Pero el perímetro de un polígono regular con más de seis lados inscrito en un círculo es mayor que el del hexágono regular inscrito, y por lo tanto mayor que tres veces el diámetro. De aquí (perímetro del polígono de mil lados) > 3dt

Se deduce que dc < 10 000 dt. (Perímetro de la Tierra) ≥ 3 000 000 estadios. (Perímetro de la Tierra) > 3dt

Por lo tanto dt < 1 000 000 estadios, de donde dc < 1 000 000 000 estadios.

Supongamos una cantidad de arena no mayor que una semilla de adormidera e imaginemos que no contiene más de 10 000 granos.

Supongamos también que el diámetro de la semilla de adormidera no puede ser menor que 1/40 de la anchura de un dedo.

Órdenes y períodos de números

Tenemos tradicionalmente números hasta la miríada (10 000); podemos por lo tanto expresar números hasta la miríada de miríadas (100 000 000). Llamemos a estos números números de primer orden.

Supongamos que 100 000 000 sea la unidad del segundo orden y hagamos consistir el segundo orden en los números desde esta unidad hasta (100 000 000)².

Sea éste de nuevo la unidad del tercer orden de los números que acaban con (100 000 000)³; y así sucesivamente hasta alcanzar el orden 100.000.000 de los números que acaban por (100 000 000)100 000 000, que llamaremos P.

Supongamos que los números de 1 a P que acabamos de describir forman el primer período.

Sea P la unidad de primer orden del segundo período, y hagámosle consistir en los números desde P hasta 100 000 000 P.

Sea el último número la unidad del segundo orden del segundo período, y hagámosle acabar en (100 000 000)² P.

Podemos continuar de esta manera hasta alcanzar el orden 100 000 000 del segundo período que acaba en (100 000 000)100 000 000 P, o P².

Tomando P² como la unidad del primer orden del tercer período continuamos el mismo proceso hasta que lleguemos al orden 100 000 000 del tercer período que acaba en P³.

Tomando P³ como la unidad del primer orden del cuarto período continuamos el mismo proceso hasta que lleguemos al orden 100 000 000 del período 100 000 000 que acaba en P100 000 000.

El esquema de los números descritos así se puede ver más claramente mediante el uso de índices:

PRIMER PERÍODO |  |  |
Primer orden | Números | de | 1 a 10⁸
Segundo orden | “ | “ | 10⁸ a 10¹⁶
Tercer orden | “ | “ | 10¹⁶ a 10²⁴
(10⁸) ésimo orden | “ | “ | fórmula (llamémosle P)
SEGUNDO PERÍODO |  |  |
Primer orden | Números | de | P · 1 a P · 10⁸
Segundo orden | “ | “ | P · 10⁸ a P · 10¹⁶
(10⁸) ésimo orden | “ | “ | fórmula (o P²)
(10⁸) ÉSIMO PERÍODO |  |  |
Primer orden | Números | de | fórmula
Segundo orden | “ | “ | fórmula
(10⁸) ésimo orden | “ | “ | fórmula (o P10⁸)

La prodigiosa extensión de este esquema se apreciará al considerar que el último número del primer período estaría representado por un 1 seguido por 800 000 000 cifras, mientras que el último número del período (10⁸) precisaría 100 000 000 veces más de cifras, es decir 80 000 billones de cifras.

Octadas

Consideremos la serie de términos en proporción continua de los cuales el primero es 1 y el segundo 10 (es decir la progresión geométrica 1, 10¹, 10²,... La primera octada de estos términos (1, 10¹, ... ,10⁷) pertenece al primer orden del primer período antes descrito, la segunda octada (10⁸, 10⁹,..., 10¹⁵) al segundo orden del primer periodo siendo en cada caso el primer término de la octada la unidad del orden correspondiente. Similarmente para la tercera octada, y así sucesivamente. Podemos poner de la misma manera un número cualquiera de octadas.

Teorema

Si hay un número cualquiera de términos de una serie en proporción continua, por ejemplo; A₁, A₂, A₃, ..., Am, ..., An, ...,Am + n - 1, ..., de los cuales A₁ = 1, A₂ = 10 (o sea que la serie forma una progresión geométrica 1, 10¹, 10², ..., 10m - 1, ..., 10n - 1, ..., 10m + n -2, ...,) y si se toman y multiplican dos términos Am, An, el producto Am · An será un término de la misma serie y distará A₁ en un número de términos menos uno que la suma de los números de términos con que Am y An distan respectivamente de A₁.

Tomemos el término que dista de An el mismo número de términos que Am dista de A₁. Este número de términos es m (contando el primero y el último). De este modo el término tomado dista m términos de An y por tanto es el término Am + n -1.

Hemos de demostrar por lo tanto que

Am · An = Am + n -1

Ahora bien, términos igualmente distantes de otros términos en la proporción continua son proporcionales

Así pues

Pero Am = Am · A₁, puesto que A₁ = 1

Por lo tanto Am + n - 1 = Am · An

El segundo resultado es ahora obvio porque Am dista m términos de A₁. An dista n términos de A₁ y Am + n -1 dista (m + n -1) términos de A₁

Una vez supuesto esto en parte, y en parte demostrado, demostraremos lo propuesto. Puesto que se supone que el diámetro de la semilla de adormidera no es menor que una cuadragésima parte de dáctilo, es evidente que la esfera que tiene el diámetro de un dáctilo no es mayor que si contuviera seis miríadas y cuatro mil semillas de adormidera (64 000). Este número es varias veces la esfera que tiene el diámetro de una cuadragésima parte de dáctilo. Está demostrado, en efecto, que las esferas tienen entre sí una razón triple que la de los diámetros. Puesto que suponemos que el número de los granos de arena en un volumen igual al de la semilla de adormidera no es mayor que mil, es evidente que si se llenara de arena la esfera con un diámetro de un dáctilo, el número de los granos de arena no sería mayor que una miríada de veces seis miríadas y cuatro mil (640 000 000). Este número es seis unidades de los segundos números y cuatro mil miríadas de los primeros. Es menor, pues, que diez unidades de los segundos números. La esfera que tiene un diámetro de cien dáctilos es cien miríadas de veces la esfera con un diámetro de un dáctilo, porque tiene entre sí una razón tres veces mayor que la de los diámetros. Si se hiciera, pues, una esfera de arena con un volumen como el de la esfera que tiene un radio de cien dáctilos, es evidente que el número de los granos de arena sería menor que el número resultante de multiplicar diez unidades de los segundos números por cien miríadas. Puesto que las diez unidades de los números segundos es el número diez después de la unidad en la analogía de diez en diez, y las cien miríadas son el séptimo a partir de la unidad según la misma analogía, es evidente que el producto obtenido será el dieciséis a partir de la unidad según la misma analogía. Está demostrado, en efecto, que para uno dista la unidad tantos lugares menos uno como sean el número suma de los dos con el que distan a partir de la unidad los números multiplicados entre sí. Los primeros ocho de estos dieciséis junto con la unidad son los que se llaman primeros, los otros ocho que siguen a éstos son los segundos y el último de ésos es mil miríadas de los segundos números. Está claro, pues, que la cantidad de arena con un volumen igual al de la esfera de cien dáctilos de diámetro es menor que mil miríadas de los números segundos. De nuevo la esfera con un diámetro de una miríadas de dáctilos es cien miríadas de veces la esfera con un diámetro de cien dáctilos. Si se hiciera, pues, una esfera de arena con un volumen como el de la esfera cuyo diámetro es de una miríada de dáctilos, es evidente que el número de los granos de arena de esta esfera será menor que el obtenido multiplicando mil miríadas de los segundos números con cien miríadas. Puesto que las mil miríadas de los segundos números son el número dieciséis a partir de la unidad en la analogía y las cien miríadas son el sexto a partir de la unidad en la misma analogía, es evidente que el número obtenido multiplicando será el veintidós a partir de la unidad en la misma analogía. De estos veintidós los ocho primeros junto con la unidad son los llamados números primeros, los ocho siguientes son los llamados números segundos, los seis restantes son llamados terceros, y el último de ellos vale diez miríadas de los números terceros. Está claro, pues, que la cantidad de arena con un volumen igual al de la esfera con un diámetro de una miríada de dáctilos es menor que diez miríadas de los números terceros.

Y puesto que la esfera que tiene un diámetro de un estadio es menor que la esfera que tiene un diámetro de unas miríadas de dáctilos es evidente que también la cantidad de arena con un volumen igual al de la esfera con un diámetro de un estadio es menor que diez miríadas de los números terceros. De nuevo, la esfera que tiene un diámetro de 100 estadios es cien miríadas de veces mayor que la esfera que tiene un diámetro de un estadio. Si se hiciera, pues, una esfera de arena de una magnitud como la que tiene el diámetro de cien estadios, es evidente que el número de los granos de arena será menor que el número obtenido multiplicando diez miríadas de los números terceros por cien miríadas.

Y puesto que las diez miríadas de los números terceros es el veintidós según la analogía después de la unidad, y las cien miríadas el siete después de la unidad según la misma analogía, es evidente que, el número obtenido será el veintiocho después de la unidad según la misma analogía. De estos veintiocho, los ocho primeros junto con la unidad son de los llamados primeros, los ocho siguientes de los segundos, y los ocho siguientes de los terceros, y los cuatro restantes de los llamados cuartos, y el último de ellos es mil unidades de los números cuartos. Está claro, pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la de la esfera de un diámetro de cien estadios es menor que mil unidades de los números cuartos. De nuevo la esfera que tiene un diámetro de una miríada de estadios es cien miríadas de veces mayor que la esfera que tiene un diámetro de cien estadios. Si se hiciera, pues, una esfera de arena con una magnitud tal como la esfera que tiene un diámetro de mil estadios, es evidente que la cantidad de arena será menor que el número obtenido multiplicando mil unidades de los números cuartos por cien miríadas. Puesto que las mil unidades de los números cuartos son el veintiocho después de la unidad según la analogía, y las cien miríadas el siete después de la unidad según la misma analogía, es evidente que el número obtenido será según la misma analogía el treinta y cuatro después de la unidad. De estos treinta y cuatro, los ocho primeros junto con la unidad son de los números llamados primeros, los ocho siguientes de los segundos, los ocho siguientes de los terceros, los ocho siguientes de los cuartos y los dos restantes serán de los números llamados quintos, y el último de ellos es diez unidades de los números quintos. Es evidente, pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la esfera que tiene un diámetro de una miríada de estadios será menor que diez unidades de los números quintos. De nuevo, pues, la esfera que tiene un diámetro de cien miríadas de estadios es cien miríadas de veces mayor que la esfera que tiene un diámetro de una miríada de estadios. Si, pues, se hiciera una esfera de arena de una magnitud tal como la de la esfera que tiene un diámetro de cien miríadas de estadios, es evidente que sería menor que el número de granos de arena obtenido multiplicando diez unidades de los números quintos con cien miríadas.

Y puesto que las diez unidades de los números quintos es el treinta y cuatro después de la unidad según la analogía, y las cien miríadas el siete después de la unidad según la misma analogía, es evidente que el número obtenido según la misma analogía será el cuarenta después de la unidad. Los ocho primeros de estos cuarenta junto con la unidad son de los números llamados primeros, los ocho siguientes de los segundos, los ocho siguientes de los terceros, los ocho siguientes a estos terceros los cuartos, los ocho siguientes de los llamados quintos, y el último de ellos es mil miríadas de los números quintos. Está claro, pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la esfera que tiene un diámetro de cien miríadas es menor que mil miríadas de los números quintos. La esfera que tiene un diámetro de una miríada de miríadas es cien miríadas de veces mayor que la esfera que tiene un diámetro de cien miríadas. Si, pues, se hiciera una esfera de arena de magnitud tal como la de la esfera que tiene un diámetro de una miríada de miríadas de estadios, está claro que será menor la cantidad de arena que el número obtenido multiplicando mil miríadas de los números quintos por cien miríadas. Puesto que mil miríadas de los números quintos es el cuarenta después de la unidad según la analogía, y cien miríadas el siete después de la unidad según la misma analogía, es evidente que el número obtenido será el cuarenta y seis después de la unidad. De estos cuarenta y seis los ocho primeros junto con la unidad son de los llamados primeros, los ocho siguientes de los segundos, y los ocho siguientes de los terceros, los ocho siguientes a estos terceros, de los cuartos, y los ocho siguientes a los cuartos de los quintos, los seis restantes son de los llamados sextos, y el último de ellos es diez miríadas de los números sextos. Está claro pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la esfera que tiene un diámetro de una miríada de miríadas de estadios es menor que diez miríadas de los números sextos. La esfera que tiene un diámetro de cien miríadas de miríadas es cien miríadas de veces mayor que la esfera que tiene un diámetro de una miríada de miríadas. Si se hiciera, pues, una esfera de arena de una magnitud tal como la de la esfera que tiene un diámetro de cien miríadas de miríadas de estadios, está claro que la cantidad de arena sería menor que el número obtenido multiplicando diez miríadas de los números sextos por cien miríadas. Puesto que las diez miríadas de los números sextos es el cuarenta y seis después de la unidad según la analogía y las cien miríadas el siete después de la unidad según la misma analogía, es evidente que el número obtenido será el cincuenta y dos después de la unidad según la misma analogía. De estos cincuenta y dos los cuarenta y ocho primeros junto con la unidad son los que se llaman primeros, segundos, terceros, cuartos, quintos y sextos, los cuatro restantes son de los llamados séptimos y el último de ellos es mil unidades de los números séptimos. Está claro, pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la esfera que tiene un diámetro de cien miríadas de miríadas es menor que mil unidades de los números séptimos. Puesto que está demostrado que el diámetro del cosmos es menor que cien miríadas de miríadas de estadios, es evidente que también la cantidad de arena con una magnitud igual a la del cosmos es menor que mil unidades de los números séptimos. Queda demostrado, pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a lo que la mayoría de los astrónomos llaman cosmos es menor que mil unidades de los números séptimos. Hay que demostrar, también, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la esfera tal como Aristarco supone que es la esfera de las estrellas fijas, es menor que mil miríadas de los números octavos. Puesto que se supone que la Tierra tiene la misma razón con respecto a lo que llamamos cosmos, que la razón del llamado cosmos con respecto a la esfera de las estrellas fijas, que Aristarco supone, y que los diámetros de las esferas tienen la misma razón entre sí. Se demuestra que el diámetro del cosmos es una miríada de veces mayor que el diámetro de la Tierra. Es evidente, pues, que también el diámetro de la esfera de las estrellas fijas es menor que mil veces el diámetro del cosmos. Puesto que las esferas tienen entre sí tres veces la razón de los diámetros, está claro que la esfera de las estrellas fijas, que supone Aristarco, es menor que una miríada de miríadas de miríadas de veces el cosmos. Se demuestra, pues, que la cantidad de arena con una magnitud igual a la del cosmos es menor que mil unidades de los números séptimos. Es evidente que si se hiciera una esfera de arena de una magnitud tal como la que Aristarco supone que tiene la esfera de las estrellas fijas, el número de los granos de arena será menor que el número obtenido multiplicando mil unidades por una miríada de miríadas de miríadas.

Y puesto que mil unidades de los séptimos son el cincuenta y dos después de la unidad según la analogía, y la miríada de miríadas de miríadas el trece después de la unidad según la misma analogía, es evidente que el número obtenido será el sesenta y cuatro después de la unidad según la misma analogía. Este es el octavo de los octavos, lo que sería mil miríadas de los números octavos. Está claro ahora que la cantidad de arena con una magnitud igual a la esfera de las estrellas fijas que supone Aristarco, es menor que mil miríadas de los números octavos. Estas cosas, rey Gelón, a la multitud y a los que no están acostumbrados a las matemáticas creo que parecerán increíbles, sin embargo a los iniciados y a los que reflexionan sobre las distancias y las magnitudes de la Tierra, el Sol y la Luna y todo el cosmos serán creíbles mediante las demostraciones. Por eso pensé que no sería inadecuado que consideraras estas cosas.

Aplicación al número de arena

El diámetro de la semilla de adormidera es ≤ 1/40 (ancho del dedo); y puesto que las esferas están entre sí en razón triple de sus diámetros, se deduce que

(esfera de un diámetro del ancho de un dedo) ≤

≤ 64 000 semillas de adormidera ≤

≤ 64 000 × 10 000 ≤

≤ 640 000 000 =

= 6 unidades de segundo orden +

+ 40 000 000 de unidades de primer orden

(a fortiori) < 10 unidades de segundo orden de números

Incrementamos ahora gradualmente el diámetro de la esfera supuesta, multiplicándolo por 100 cada vez. Así pues, recordando que la esfera está multiplicada por 100³ o 1 000 000, el número de granos de arena que contendría una esfera con cada diámetro sucesivo sería el siguiente:

Diámetro de la esfera
Número correspondiente de granos de arena

(1) 100 dedos
< 1 000 000 × 10 unidades de segundo orden
< (término 7.° de la serie) × (término 10.° de la serie)
< término 16.° de la serie [o sea 10¹⁵]
< (10⁷ o) 10 000 000 unidades de segundo orden

(2) 10 000 dedos
< 1 000 000 × (último número)
< (término 7.° de la serie) × (término 16.°)
< 22.° término de la serie [o sea 10²¹]
< (10⁵ o) 100 000 unidades de tercer orden

(3) 1 estadio (< 10 000 dedos)
< 100 000 unidades de tercer orden

(4) 100 estadios
< 1 000 000 × (último número)
< (término 7.° de la serie) × (término 22.°)
< 28.° término de la serie [o sea 10²⁷]
< (10³ o) mil unidades de cuarto orden

(5) 10 000 estadios
< 1 000 000 × (último número)
< (término 7.° de la serie) × (término 28.°)
< 34.° término de la serie [o sea 10³³]
< 10 unidades de quinto orden

(6) 1 000 000 estadios
< (término 7.° de la serie) × (término 34.°)
< 40.° término de la serie [o sea 10³⁹]
< (10⁷ o) 10 000 000 unidades de quinto orden

(7) 100 000 000 estadios
< (término 7.° de la serie) × (término 40.°)
< 46.° término de la serie [o sea 10⁴⁵]
< (10⁵ o) 100 000 unidades de sexto orden

(7) 10 000 000 000 estadios
< (término 7.° de la serie) × (término 46.°)
< 52.° término de la serie [o sea 10⁵¹]
< (10³ o) mil unidades de séptimo orden

Pero por una proposición anterior

(diámetro del «cosmos») < 10 000 000 000 estadios.

De aquí que el número de granos de arena que contendría una esfera del tamaño de nuestro cosmos es menor que 1000 unidades del séptimo orden de números (o 10⁵¹).

De esto podemos demostrar además que una esfera del tamaño atribuido por Aristarco a la esfera de las estrellas fijas contendría un número de granos de arena menor que 10 000 000 unidades de octavo orden de los números (o 1056 + 7 = 10⁶³).

Porque por hipótesis

(tierra) / («cosmos») = («cosmos») / (esfera de las estrellas fijas)

Y (diámetro del «cosmos») < 10 000 (diámetro de la tierra); de donde (diámetro de la esfera de estrellas fijas) < 10 000 (diámetro del «cosmos»)

Por tanto

(esfera de las estrellas fijas) < (10 000)³ × («cosmos»)

Se deduce que el número de granos de arena que contendría una esfera sería igual al de la esfera de las estrellas fijas

<(10 000)³ × 1000 unidades de séptimo orden

< (término 13 de la serie) × (término 52 de la serie)

< término 64 de la serie [o sea 10⁶³]

< (10⁷ o) 10 000 000 unidades de octavo orden de números.

Comentario

Semillas de adormidera y números grandes

Entre las muchas contribuciones de Arquímedes a las matemáticas, el Arenario ocupa un alto puesto como libro de gran interés y de importancia histórica. Describe un nuevo sistema para generar y expresar números muy grandes.

Los griegos usaban las veintisiete letras de su alfabeto como numerales, un sistema perfectamente satisfactorio cuyo único defecto real era la ausencia de un signo para el cero. Para el número 10 000, que los griegos llamaban miríada, se usaba la letra M; ésta podía combinarse con otras letras y signos para hacer números mayores, por ejemplo:

Mρν.,ξτηχò = 1 507 984

Por supuesto, es pesado expresar números muy grandes en cualquier notación ordinaria, tanto en la nuestra como en la de los griegos. Arquímedes inventó un procedimiento que incluía índices para reducir el problema a dimensiones más manejables. Hasta el punto en que lo desarrolló, el sistema de octadas de Arquímedes proporcionó un número que en nuestra notación precisaría 80 000 billones de dígitos. Esta aritmética podría elaborarse más allá de las octadas para hacer números tan largos como se quiera, pero el monstruo que había producido Arquímedes le sirvió ampliamente para su demostración de los granos de arena necesarios para llenar todo el universo. Empezando con el número de granos de arena que puestos uno al lado de otro medirían la longitud de una semilla de adormidera, Arquímedes continúa con su ejercicio hasta que tiene el universo entero tan repleto como el cubo de un niño en la playa. Parece que los números grandes tenían una especial fascinación para Arquímedes, como demuestra no sólo este «tour de forcé», sino su famoso «problema del ganado», cuyas soluciones consistían en ocho números que, según se ha calculado, si se escribiesen precisarían casi de 700 páginas del tipo de impresión apretado de los libros de tablas logarítmicas. Uno puede permitirse dudar de que Arquímedes haya resuelto el problema hasta el último dígito.

Hay que decir unas palabras acerca de las medidas astronómicas usadas en la demostración del Arenario. Diversos astrónomos habían calculado hacia mediados del siglo III a. C. los diámetros del Sol, de la Luna y de la Tierra. Arquímedes se refiere a la obra de Eudoxo, de Fidias (su propio padre) y de Aristarco de Samos, llamado a veces el Copérnico de la antigüedad. De aquí procede la importancia histórica del Arenario. Porque es en este libro, como indica Sir Thomas Heath, donde uno se entera de que Aristarco concebía el universo con el Sol en el centro, y los planetas, incluyendo la Tierra, girando a su alrededor, y que había descubierto que el diámetro del Sol es 1/720 del círculo del zodíaco, o sea medio grado —una apreciación admirablemente aproximada. Pasaron casi 1800 años antes que las profundas conjeturas de Aristarco sobre cosmología, abandonadas poco después de presentadas, fueran revividas por el mismo Copérnico.

ARQUÍMEDES DE SIRACUSA (Siracusa, Sicilia), (ca. 287 a. C.-ibidem, ca. 212 a. C.) fue un físico, ingeniero, inventor, astrónomo y matemático griego. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno de los científicos más importantes de la Antigüedad clásica. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática y la explicación del principio de la palanca. Es reconocido por haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y el tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos han probado las afirmaciones de que Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles fuego utilizando una serie de espejos.

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia.​ Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número pi. También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Notas

[*] El estadio era una unidad de longitud griega, que tenía como patrón la longitud del estadio de Olimpia, que equivalía a 174,125 metros. <<

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