¿Qué son las matemáticas? ¿Para qué sirven? ¿Por qué es importante conocer su historia? Estas son algunas de las preguntas a las que da respuesta esta obra que nos narra de forma concisa la historia de esta ciencia desde la Prehistoria hasta nuestros días. Pero esta narración no es solamente una superposición de personajes históricos y de sus felices descubrimientos, sino que es una reivindicación de los componentes emocionales, incluso irracionales, que muchas veces han acompañado las actitudes apasionadas de estos célebres personajes que se han empeñado en buscar soluciones a los más diversos problemas.

Antonio J. Durán destaca y reivindica con este libro la «inmortalidad» de las ideas matemáticas por encima de otro tipo de lenguajes: «se recordará a Arquímedes aun cuando Esquilo haya sido olvidado, pues los lenguajes perecen mientras que las ideas matemáticas no mueren nunca».

Antonio J. Durán Guardeño

Crónicas matemáticas

Una breve historia de la ciencia más antigua y sus personajes

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Titivillus 02.09.2023

Antonio J. Durán Guardeño, 2018

Editor digital: Titivillus

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Quiero contarles una historia… porque todos tenemos siempre una historia

NINA SIMONE

Prólogo muy menudo

En 1976, en el Festival de Jazz de Montreux (Suiza), la cantante y pianista Nina Simone interpretó una versión libre de la canción Stars de Janis Ian. Fue una interpretación memorable, profunda e inspirada, que curiosamente comenzó con una regañina que Nina Simone dirigió a una espectadora que no acababa de sentarse. En la canción de Janis Ian, que ya contiene una gran carga emocional y autobiográfica, Simone introdujo bastantes improvisaciones, sobre todo desde que, hacia la mitad de la canción, tarareó con un susurro de voz: «Pero lo que quiero decir es esto», y siguió: «Quiero contarles una historia… porque todos nosotros tenemos una historia». La expresión «contar una historia» sobrevoló una y otra vez la interpretación de Simone: «Ellos tienen una historia», «Estoy intentando contarles mi historia», «Todos nosotros tenemos siempre una historia»… Muy emotivo, incluso si tenemos en cuenta que al traducir la letra de la canción al castellano se pierde el matiz entre las palabras inglesas «story» y «history»; y es «story» el término que cruza una y otra vez la canción de Janis Ian, y todavía hace sentir más su peso en la interpretación de Nina Simone.

Vienen a cuento estas reflexiones porque dan el tono de lo que esta breve historia de las ideas matemáticas pretende ser. No será sólo un libro de historia, en su acepción primera del diccionario de la RAE: «Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados» —que coincide con el inglés «history»—. También lo será de historias, en la acepción sexta del diccionario: «Relación de cualquier aventura o suceso» —y que corresponde con el inglés «story»—; o, por precisar más, esas historias serán narraciones sobre algunas de las personas que han hecho matemáticas a lo largo de los últimos tres milenios; historias sobre las personas pero también sobre sus circunstancias. Y, naturalmente, esas historias se contarán manteniendo en lo posible sus componentes emocionales —siempre las tienen, aunque no siempre se cuentan—. Y es que, desde mi punto de vista, las circunstancias emocionales de las personas que han dedicado parte de su vida, o su vida entera en algunos casos, a las matemáticas son muy necesarias cuando se trata de narrar historia, aunque sea breve, de las matemáticas, la ciencia lógica y abstracta por antonomasia.

¿Qué es, pues, lo que un lector va a encontrar en las páginas de esta breve crónica de las ideas matemáticas y sus protagonistas?

He dividido el libro en tres partes, de las cuales las dos últimas contienen propiamente una historia de las ideas matemáticas, distribuidas en las diversas áreas que componen las matemáticas, y siguiendo el orden cronológico, o casi. Soy un convencido de que las matemáticas son parte de la cultura, por lo que haré un esfuerzo por encuadrarlas adecuadamente en la historia de la humanidad, mostrando la influencia que acontecimientos fundamentales, como la Revolución Francesa o las guerras mundiales del siglo XX, tuvieron sobre ellas. Además, claro está, de establecer conexiones con otras ciencias —sobre todo la física— y áreas de la cultura —como la filosofía, o la pintura—.

He vertebrado la historia tomando el siglo XVII como eje. Antes de ese siglo las matemáticas consistían esencialmente en dos áreas separadas: aritmética/álgebra y geometría. Esta situación cambió en el siglo XVII, cuando la geometría analítica estableció una fuerte conexión entre el álgebra y la geometría; y, además, nació el cálculo infinitesimal, que luego derivó en el análisis matemático, la tercera de las áreas fundamentales de las matemáticas.

Esto produjo cambios sustanciales en las matemáticas que se hicieron en los siglos XVIII y XIX, donde se dio un mestizaje muy enriquecedor —el análisis se alió con la geometría analítica para producir la geometría diferencial, por citar sólo un ejemplo—, hasta que la llegada del siglo XX, y la axiomatización de muchas de las estructuras abstractas surgidas en los dos siglos anteriores, detuvo y, hasta cierto punto, revirtió ese mestizaje.

Naturalmente, la producción matemática no ha sido uniforme a lo largo de los más de tres mil años que se recorrerán en la segunda y tercera parte de este libro, ni homogénea su distribución geográfica. Hubo momentos estelares como el protagonizado por los griegos entre los siglos V y II a. C., y momentos de profunda decadencia como los vividos en Europa durante buena parte de la Edad Media. Aunque sí es cierto que a partir del siglo XVI ha habido un crecimiento continuado de la producción matemática; lo que explica que la segunda parte de esta obra abarque de las cavernas al siglo XVII, y la tercera, del siglo XVIII a nuestros días. O casi, porque conforme nos adentramos en el siglo XX, la progresiva especialización y abstracción, y el incremento exponencial de la producción matemática, hacen imposible darle cabida en una historia breve y básica como esta.

Lo que sí he procurado es incluir un catálogo de problemas, todo lo extenso que me permite el perfil de esta obra, sobre los que se sigue investigando hoy en día con denuedo, por la sencilla razón de que seguimos desconociendo su solución. Esto es algo fundamental porque, si bien este es un libro de historia, las matemáticas son sobre todo futuro: la increíble vitalidad de que goza hoy esta ciencia milenaria deviene precisamente de un catálogo interminable de problemas sin resolver. Y, aunque muchos de ellos vienen de lejos, ese catálogo se renueva continuamente por el propio desarrollo interno de las matemáticas y, también, por los problemas que el resto de las ciencias y la tecnología, donde las matemáticas son fundamentales, le acaban planteando.

El lector atento habrá ya observado que he dejado para el final describir lo que haré en la primera parte de este libro: será un amplio preámbulo donde trataré algunos asuntos que no son propiamente historia, pero sí relevantes tanto para entender las matemáticas como su desarrollo histórico. En la primera parte describiré qué son las matemáticas y para qué sirven, y discutiré la importancia que tiene esa componente emocional a la que me refería al principio de este prólogo. Porque eso marcará la filosofía con que he escrito este libro: será una breve historia de las ideas matemáticas, pero analizadas en su contexto histórico y arropadas por sus circunstancias emocionales. Todo lo cual conformará un mosaico de historias rico e interesante, que va desde que la humanidad habitaba las cavernas hasta nuestros días.

Quiero señalar por último que este libro es tributario de la docena larga que, fruto de mis desvelos por la historia y la divulgación de las matemáticas, en particular, y de la ciencia, en general, he publicado en las últimas dos décadas. Además, naturalmente, de lo aprendido en historias generales de las matemáticas y otras ciencias, particulares de alguna de sus áreas o alguno de sus problemas, estudios biográficos y misceláneas; sin olvidar, claro está, el débito que tengo con las fuentes originales —por más que a eso se añada la satisfacción impagable que siempre produce su lectura y consulta—.

Parte I

Qué son las matemáticas y para qué sirven

Siendo muy sintéticos y un poco imprecisos, podemos afirmar que las matemáticas, o al menos lo que se ha venido entendiendo por matemáticas en el mundo occidental desde los últimos dos milenios y medio, pueden definirse como la búsqueda y el descubrimiento de secretos ocultos en sistemas de objetos que responden a un cierto patrón más o menos conocido, secretos que una vez descubiertos hay que demostrar usando un depurado razonamiento lógico. Los sistemas de objetos donde se ocultan secretos de interés matemático pueden ser de lo más variado. Los hay de tipo geométrico, como triángulos o círculos, o de tipo numérico, como los familiares números 0, 1, 2, 3… que usamos para contar, o las fracciones que con ellos podemos formar, o los más complicados que usamos para medir distancias —que incluyen los números irracionales √2, √5 … o los trascendentes como π o e. Históricamente, estos sistemas geométricos y numéricos fueron los primeros que se consideraron, pero conforme los siglos iban desgranándose fueron estudiándose otros más complejos y abstractos.

He aquí dos ejemplos del tipo de secretos que un matemático busca descubrir en un sistema de objetos que responden a un cierto patrón más o menos conocido. El primer ejemplo es el de mayor solera histórica de todas las matemáticas, y afecta a un sistema de objetos geométricos: todos los triángulos, uno de cuyos ángulos es recto —ese es el patrón conocido—. El secreto en cuestión oculto en ese sistema de objetos responde a la pregunta: ¿habrá alguna relación especial entre los lados de cada uno de tales triángulos? La respuesta es que sí y se la conoce como «teorema de Pitágoras», aunque esa relación era ya conocida por matemáticos babilonios más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras. Lo que establece una antigüedad de, al menos, tres milenios y medio para ese resultado matemático —sobre todo esto daré más detalles en la sección § 1.1—.

El segundo ejemplo prometido tiene como ambiente el familiar sistema de los números enteros: el secreto que queremos descubrir consiste en dar con todos los números enteros que son, a la vez, producto de dos y tres enteros consecutivos. Es un problema mucho más reciente. La primera referencia que yo he encontrado es del siglo XX —aunque no descarto que haya sido considerado algunos siglos, o incluso decenas de siglos, antes—. Lo resolvió L. J. Mordell en 1963: «El problema me fue propuesto por el profesor Burton Jones —escribió Mordell—, quien lo recibió del señor Edgar Emerson». Diré mucho más sobre este problema, y otros parecidos, en la sección § 7.5.

Así pues, los matemáticos nos dedicamos a buscar secretos en sistemas de objetos más o menos abstractos. Pero hay algo más, algo que tiene que ver con actitudes de tipo emocional. Habitualmente esa búsqueda de secretos es apasionada, a veces casi podría calificársela de irracional; la célebre frialdad lógica de las matemáticas sólo reside en las demostraciones, pero a menudo brilla por su ausencia en la indagación y descubrimiento de los secretos. Esta presencia de lo apasionado en las matemáticas se suele pasar por alto en las historias de esta ciencia, aunque personalmente me parece algo fundamental, porque, de un lado, lo emocional y lo racional se entrecruzan en las matemáticas de forma a la vez intrincada e intensa, y es precisamente en esa mezcla de lo emocional y lo racional donde se esconde la esencia de la condición humana. La conclusión es que una historia de las matemáticas, aunque sea breve como esta, que atienda adecuadamente los aspectos emocionales además de los racionales, puede ayudarnos a comprender algo mejor nuestra naturaleza como especie.

Si hay un concepto matemático donde se den cita con especial intensidad estos aspectos emocionales, ese es el de infinito. El infinito es como un nido de víboras, y a la inteligencia humana le ha costado milenios meter ahí la mano; para domarlo se han necesitado buenas dosis de pasión, locura, valentía, ciencia y arte.

A los aspectos emocionales de las matemáticas y al infinito le dedicaré el primer capítulo de este libro.

El segundo capítulo de esta primera parte estará dedicado a mostrar que las matemáticas son más que un puro divertimento. A pesar de que, en buena manera, consisten en elucubrar con objetos cuyo carácter abstracto los aleja del mundo real que nos rodea, las matemáticas tienen aplicaciones. La dicotomía entre lo puro y lo aplicado ha transitado toda la historia de las matemáticas, a veces de forma un tanto esquizofrénica como si de la pugna entre el doctor Jekyll y el señor Hyde se tratara. Una circunstancia especialmente relevante en esa disputa es hasta qué punto la inmensa utilidad que las matemáticas tienen para estudiar la naturaleza es sorprendente —el Nobel de Física Eugene Wigner llegó a calificar esa utilidad de «irracional»—. Otra cuestión que trataré es la del valor estético de las matemáticas, porque, a mi entender, las matemáticas son un arte con aplicaciones, lo que establece una conexión muy íntima con la parte emocional del ser humano —a la que me refería unas líneas más arriba—, y aumenta el halo «irracional» que tiene su utilidad para explicar la naturaleza —como si la paleta de colores que usó Van Gogh pudiera explicar el espectro de la luz blanca—. Andrés Trapiello escribió: «La poesía es verdad indemostrable». La poesía pretende, según el diccionario, manifestar la belleza o el sentimiento estético por medio de la palabra, en verso o en prosa. Las matemáticas, a fin de cuentas, son verdades demostradas, por lo que su universo no debe andar demasiado alejado del poético.

No pretendo en estos dos primeros capítulos enhebrar un elaborado discurso teórico, ni amontonar tesis, argumentos o proclamas; el propósito será ilustrar mis razones con un puñado de bien escogidos ejemplos que, en este caso, corresponderán con apuntes biográficos de algunos grandes matemáticos. Así, en el primer capítulo comparecerán tres de los más grandes matemáticos del último siglo y medio: Cantor, Hardy y Ramanujan; mientras que en el segundo capítulo lo harán dos de los situados en el podio supremo: Arquímedes y Gauss.

Capítulo 1

¿Prudencia contra pasión?

§ 1.1. Apolo y Dionisos

No es raro encontrarse con los griegos al comienzo de una historia de las matemáticas, aunque lo habitual es darse de bruces con «matemáticos griegos» y no, como es el caso de este libro, con dos «dioses griegos»: Apolo y Dionisos, representante el primero de los comportamientos serenos y prudentes, y el segundo de los irracionales y apasionados. Pero para responder cabalmente a la pregunta «¿qué son las matemáticas?» es imprescindible procurar que los lectores reflexionen sobre la prudencia y la pasión, y quizá nada mejor que apelar a la capacidad explicativa y de síntesis de los mitos griegos para iniciar esa reflexión.

Apolo, después de Zeus, acaso sea el más importante de todos los dioses griegos; y a pesar de ser, con toda probabilidad, una incorporación asiática, es el más griego de los dioses. Hijo de Zeus y Leto, a Apolo se le consagró el santuario más célebre y celebrado de todos los santuarios griegos: el de Delfos, supuestamente tras matar allí con sus flechas al monstruo-serpiente Pitón; en el santuario se ubicaba el omphalos, u ombligo del mundo. Según cuenta Robert Graves en Los mitos griegos: «En la época clásica, la música, la poesía, la filosofía, la astronomía, las matemáticas, la medicina y la ciencia se hallaban bajo la dirección de Apolo. Como enemigo de la barbarie, defendía la moderación en todas las cosas». Sereno, distante, prudente, Apolo representa el conocimiento contemplativo. Por contra Dionisos —o Baco, nombre por el que también se le conoce— es el dios más singular del panteón griego, un dios que tuvo un doble nacimiento o, si se prefiere, una muerte y posterior resurrección. Sus orígenes son tracios y, de su compleja teogonía, a mí me interesa resaltar aquí el mito que lo describe como hijo de Zeus y Perséfone. De niño, Dionisos fue raptado por los titanes; hay distintas versiones sobre el rapto y los posteriores acontecimientos, pero todas ellas pintan una cruel y terrible tragedia: con sus rasgos blanqueados con yeso, los titanes engañan al dios niño con regalos y lo atraen utilizando el reflejo de su rostro infantil en un espejo, después lo descuartizan y devoran asados sus miembros. Para cuando son alcanzados por el rayo vengador de Zeus y reducidos a cenizas, sólo queda del horrendo festín el corazón de Dionisos, que su padre come para devolverlo así a la vida. Muerte y resurrección. Y un corolario: el nacimiento de los humanos, que nos cuenta así Carlos García Gual en su Diccionario de mitos: «De la ceniza de los fieros titanes nacieron los hombres, con un fondo bestial y titánico, pero también con cierta esquirla dionisíaca. Es decir, con una propensión a la hybris, al desenfreno y a la violencia, pero con un impulso divino en su alma».

La dimensión ritual y mistérica de lo dionisíaco, que late en el origen del mito, contrasta con la de los otros dioses griegos, en especial con la serenidad de Apolo. Tomando como punto de partida esas diferencias entre Apolo y Dionisos, Friedrich Nietzsche (1844−1900) estableció una dicotomía entre lo apolíneo y lo dionisíaco. Lo primero, lo propio del dios Apolo, es lo que tiene mesura y serenidad; es, como escribió Nietzsche: «La libertad bajo la ley». Lo segundo, lo propio de Dionisos, es el desenfreno, la embriaguez, lo que desborda la medida y el orden. La prudencia es virtud apolínea, mientras que la pasión es dionisíaca.

Bertrand Russell, en su magnífica Historia de la filosofía occidental, insistiendo en la dicotomía entre lo apolíneo y lo dionisíaco escribió: «Muchas cosas admirables de las obras humanas llevan en sí un elemento de embriaguez —mental, no alcohólica—, donde la prudencia es barrida por la pasión. Sin el elemento dionisíaco, la vida carecería de interés; con él, es peligrosa. La prudencia contra la pasión: este conflicto se extiende por toda la historia. Es un conflicto en el cual no debíamos tomar parte por uno o por otro bando resueltamente».

En esa batalla entre prudencia y pasión, ¿de qué parte caerían las matemáticas? Seguramente son mayoría los que opinan que las matemáticas son la prudencia contra la pasión. En mi opinión, eso es bastante equivocado, pues ese conflicto late también, y con muchísima fuerza, en el corazón de un matemático, porque para hacer matemáticas hay que mantener un exquisito equilibrio entre prudencia y pasión, lo que es tanto como decir aguantar el desgarro que producen Apolo y Dionisos tirando cada uno para su lado. Y es que las matemáticas no son sino un equilibrio inestable entre prudencia y pasión, una mezcla sutil de cautela y de afición vehemente, un diálogo a media voz hecho con templanza dialéctica, y un afecto del ánimo profundamente embriagador y desordenado.

Escribía unas páginas más arriba que, en una primera aproximación, las matemáticas pueden definirse como la búsqueda y descubrimiento de secretos ocultos en objetos o sistemas de objetos que responden a un cierto patrón más o menos conocido, secretos que, una vez descubiertos, hay que demostrar usando la más pura lógica. Explicaré más detalladamente todo esto con un ejemplo —el teorema de Pitágoras—, para después analizar cómo la dicotomía entre prudencia y pasión ayuda a entender más cabalmente ese esquema de lo que son las matemáticas.

El teorema de Pitágoras es uno de los pocos resultados matemáticos que forman parte de lo que se ha dado en llamar el «imaginario colectivo», esa supuesta colección de enseñanzas, conocimientos y datos que todos, o casi todos, albergamos de forma común en nuestra memoria. El teorema establece que en todo triángulo rectángulo —esto es, uno de sus ángulos es recto— el lado mayor al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Como ya escribí antes, a pesar de llamarse teorema de Pitágoras, esa relación entre los lados de un triángulo rectángulo era ya conocida por matemáticos babilonios más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras. En efecto, tenemos constancia escrita de que en Mesopotamia, décadas antes de que el rey Hammurabi reinara en Babilonia, había matemáticos que sabían que si los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 4, entonces su hipotenusa mide 5; y si estos miden 119 y 120, entonces la hipotenusa mide 169; o si miden 65 y 42, entonces la hipotenusa mide 97. Cabe pues concluir que los babilonios habían descubierto ese secreto tan bien escondido en un triángulo rectángulo. Ahora bien, a partir de los primeros matemáticos griegos, y Pitágoras fue el más importante de ellos —aunque su figura es más mítica que histórica—, además de descubrir secretos ocultos, el matemático tiene que hacer algo más: tiene que «demostrar» la veracidad de ese secreto que dice haber encontrado. Pitágoras y sus seguidores propusieron algo de lo que no se ha encontrado rastro en ninguna civilización anterior a los griegos. Primero afirmaron que la relación entre los catetos y la hipotenusa no sólo se da en unos cuantos triángulos rectángulos, sino en todos los triángulos rectángulos que puedan existir; y, segundo, proporcionaron una «demostración» de ese hecho.

Es muy posible que los matemáticos babilonios comprobaran que en muchos casos concretos de triángulos rectángulos, como los ejemplos anteriormente citados, se verifica esa relación entre los catetos y la hipotenusa. Pitágoras, en cambio, se cuestionó si esa propiedad era cierta en «todos» los triángulos rectángulos. Naturalmente esto es algo muy ambicioso; y hay, además, algo pretencioso en plantearse si la propiedad vale o no en «todos» los triángulos rectángulos, porque es evidente que no se pueden dibujar y medir todos los triángulos rectángulos, ¿cómo saber entonces que esa propiedad se verifica en todos? Consecuente con su pretensión, Pitágoras propuso entonces que para que este tipo de afirmaciones ambiciosas se puedan tomar en serio, hay que justificarlas adecuadamente, dar algún tipo de razón que vaya más allá de comprobar lo que ocurre en unos cuantos casos particulares. En otras palabras, dar un razonamiento que nos convenza, fuera de toda duda, de la verdad de nuestra afirmación. Esto es lo que se llama, en matemáticas, una demostración. En una demostración se parte de uno o varios hechos evidentes y mediante una cadena de razonamientos, cada uno de los cuales se deduce lógicamente de los anteriores, se alcanza otro hecho no evidente cuya verdad queda entonces establecida. Una demostración es algo cualitativamente muy diferente a la comprobación de unos cuantos casos. Esa exigencia que los matemáticos griegos se impusieron hace que sus matemáticas tengan un olor y un sabor muy distinto al que tenían las matemáticas de babilonios y egipcios. Y ese oler y saber distinto nos está señalando algo fundamental: que los griegos parieron unas matemáticas distintas, cualitativamente distintas, a las que hicieron otras culturas anteriores. Unas matemáticas muchísimo más sofisticadas y ambiciosas, y cuyas características son prácticamente idénticas a las que nosotros seguimos haciendo hoy en día.

¿Qué tiene todo esto que ver con la pelea entre la prudencia y la pasión representadas por la dicotomía entre lo apolíneo y lo dionisíaco? Como escribí antes, un matemático es un detective que busca secretos, un descubridor, en suma. Y en el proceso de búsqueda prima el elemento pasional, dionisíaco, porque en el proceso que lleva a hacer un gran descubrimiento matemático, como en el que lleva a hacer un descubrimiento geográfico, hay mucho de aventura. Lo que requiere apasionarse por lo buscado, una buena dosis de tesón, bastante fe y mucha confianza en que seremos capaces de encontrarlo —pasión, fe y confianza a menudo bastante irracionales—; no es raro que también se requieran grandes cantidades de imaginación, sobre todo para descubrir caminos nuevos que nos lleven al objetivo cuando encontremos bloqueados los que seguíamos; por supuesto, requiere energía y cierta embriaguez del espíritu que nos haga más soportable la fatiga y aleje de nosotros el desaliento.

Pero no sólo se trata de encontrar secretos: una vez descubiertos, esos secretos tienen que ser demostrados usando la más pura lógica. Y aquí es donde entra en juego el elemento apolíneo de la prudencia, porque cuando de demostrar se trata, hay que ser fríos, calculadores, escrupulosos con la lógica; prudentes, en suma.

Si apelamos al diccionario de la RAE, encontraremos que «prudencia» es «templanza, cautela, moderación», y «sensatez y buen juicio»; mientras que «pasión» es «cualquier perturbación o afecto desordenado del ánimo» y «apetito o afición vehemente a una cosa». Es por ello que, en matemáticas, hay que ser pasionales en la búsqueda de secretos pero prudentes cuando se trata de establecer su validez mediante una demostración. Lo que nos vuelve a llevar al enfrentamiento entre lo apolíneo y lo dionisíaco. La demostración debe estar guiada por la «libertad bajo la ley» lógica, mientras que en la indagación impera cierta embriaguez y desenfreno que desborda la medida y el orden.

§ 1.2. Las matemáticas y sus circunstancias

Consideraré ahora otro de los aspectos de las matemáticas más desconocidos y poco tratados: el conglomerado emocional que las rodea. Si paramos al azar a alguien por la calle y le preguntamos por la condición humana y las matemáticas, seguramente diría que son asuntos ajenos uno del otro. Y, posiblemente, esa sería también la respuesta de más de un matemático. Las matemáticas tienen fama de ser un conjunto de abstracciones que guardan poca o ninguna relación con los sentimientos de los humanos. Pero, tal y como ya apunté unas páginas antes, las matemáticas y sus circunstancias emocionales son capaces de ayudarnos a revelar lo que somos y, por tanto, sirven también para que los humanos nos podamos comprender mejor a nosotros mismos, para profundizar, en suma, en el conocimiento de la condición humana.

Ya sé que esto suena raro, y que nuestro viandante imaginario dirá que cómo pueden las matemáticas, que en buena medida no entendió cuando se las enseñaron en la escuela, hacerle conocer mejor el género humano. Y seguro que más de un matemático, que sí comprende los misterios de su ciencia, tampoco alcanzará a ver cómo puede esta iluminar ese pozo oscuro que es la naturaleza humana. Para los escépticos debo recalcar que esa capacidad iluminadora la poseen las matemáticas cuando le añadimos sus circunstancias. Por circunstancias de un teorema, por ejemplo, me refiero a los entresijos históricos en que se desenvolvieron el autor, o los autores, de ese teorema, ya fuera la persona que lo conjeturó, aquella que lo demostró o lo refutó, o aquellas otras que intentaron una cosa u otra sin éxito, si alguna hubo.

Entiendo que las circunstancias de las matemáticas son, en cierta forma, similares a las circunstancias que describió Ortega y Gasset como compañeras inseparables para entender el yo. Esas circunstancias de las matemáticas tienen mucho que ver con la historia de las matemáticas, pero, tal y como yo lo entiendo, no son la misma cosa.

Ahora puedo precisar algo mejor esa afirmación, inverosímil para nuestro viandante y dudosa incluso para más de un matemático incrédulo, de que las matemáticas pueden ayudarnos a entender mejor lo que somos. Yo tengo para mí que de la confrontación del mundo abstracto de las matemáticas y el mundo emocional donde moran quienes las descubren o las inventan, se desprende una luz que puede ayudar a alumbrar las más recónditas profundidades de la naturaleza humana; no en vano, casi más que ninguna otra creación humana, las matemáticas son hijas de nuestra mente —en su forma más descarnada y solitaria—, y, no lo olvidemos, es nuestro cerebro lo que nos hace ser lo que somos.

Como el lector estará comprobando, ese puente que tienden las matemáticas entre la parte más abstracta y la más emocional del cerebro humano es, en cierta forma, consustancial a la dicotomía ya discutida entre lo apolíneo y lo dionisíaco, o entre prudencia y pasión.

Como expliqué antes, este libro no pretende enhebrar un elaborado discurso teórico sobre las matemáticas y su historia, ni amontonar razones, argumentos o proclamas a favor de algunas tesis aquí defendidas. En la manera de lo posible, su propósito será ilustrarlas con un puñado de bien escogidos ejemplos, en su mayoría biografías de matemáticos relevantes. Que el lector después saque sus propias conclusiones. En el caso de la dicotomía tan fundamental en matemáticas entre la prudencia y la pasión, así como en lo relativo a sus circunstancias emocionales, hay varios ejemplos de matemáticos de diversas épocas que se pueden tomar como modelo. Por diversas razones, una de las cuales es que corresponden a la más cercana historia de las matemáticas del siglo XX, yo he elegido a G. Harold Hardy (1877−1947) y Srinivasa Ramanujan (1887−1920). Para resaltar la complejidad de la naturaleza humana, tan presente en las circunstancias de las matemáticas, he procurado dotar a los apuntes biográficos de los matemáticos, en particular a los que siguen de Hardy y Ramanujan, de cierta tensión narrativa, especialmente en momentos de intensidad emocional —tanta hay en este caso, que la historia sirvió de guion en 2015 de una película británica protagonizada por Dev Patel (Ramanujan) y Jeremy Irons (Hardy); a mi modo de ver, la película es algo floja y no refleja ni de cerca la complejidad y profundidad de una historia tan apasionante—.

§ 1.3. Ramanujan y Hardy

En la historia de las matemáticas no escasean los personajes singulares; los ha habido con una intensa vida emocional, además de científica, rajados otros de parte a parte por las circunstancias históricas, políticas y sociales que les tocó en suerte o en desgracia vivir; unos, quizá los más, han tirado a eremíticos mientras que otros, los menos, no han rehuido fiestas ni saraos. De todos los matemáticos de primera fila que ha habido a lo largo de la historia, Ramanujan ha sido, sin duda, el más singular, o por ser más preciso: el más inexplicable. Precisamente porque en él, el elemento apasionado, lo dionisíaco, alcanza proporciones difícilmente imaginables. Uno de sus primeros biógrafos supo condensar en una frase el ímpetu con que transcurrió su vida: «Como un meteoro, Srinivasa Ramanujan apareció súbitamente en el firmamento matemático, cruzó raudo la corta duración de su vida, se consumió y desapareció con igual rapidez».

Nacido en 1887 en un pueblo al sur de Madrás en una familia de brahmines pobres, Ramanujan fue incapaz de obtener siquiera el equivalente al título de bachiller, y no tanto por razones económicas, sino porque nunca le interesó ningún otro estudio que no fueran las matemáticas. Fue un muchacho «especial» que cayó bajo el embrujo de los números y logró levantar de la nada un soberbio edificio matemático. Y lo hizo solo, sin la ayuda de nadie, sentado a la puerta de su casa, escribiendo en una pizarra y borrando con el codo. Hasta ese momento, su mayor fuente de conocimiento matemático había sido un singular libro, escrito por George S. Carr y publicado en 1880, que consistía en unos cinco mil resultados encadenados uno detrás de otro; resultados que correspondían, mayormente, a fórmulas, ecuaciones o teoremas agrupados según las áreas más tradicionales y básicas de las matemáticas: álgebra, geometría, trigonometría, cálculo infinitesimal, etc. El libro no contenía demostraciones, aunque ocasionalmente se indicaba cómo unos resultados podían ser deducidos de otros; era, en cierta forma, un libro anticuado y seguramente inapropiado para aprender matemáticas a finales del siglo XIX, y que hoy es conocido únicamente porque fue el que inflamó el apasionado romance que Ramanujan mantuvo con las matemáticas a lo largo de su muy corta vida.

Cuando los teoremas y fórmulas de Ramanujan empezaron a trascender, la pequeña comunidad científica de Madrás —o Chennai, por usar el nombre actual de la ciudad— fue incapaz de determinar si estaba ante un genio o ante un loco. Comprendiendo que nadie en su entorno más cercano podía entender sus fórmulas, Ramanujan decidió enviarlas a Cambridge, centro entonces de las matemáticas inglesas. Pero ni la primera carta que envió, ni la segunda, surtieron ningún efecto, porque los catedráticos ingleses a quienes iban destinadas estaban demasiado ocupados para intentar comprender lo que un desconocido oficinista del puerto de Madrás les enviaba. La tercera carta cayó en mejores manos, las de G. Harold Hardy. Tenía entonces treinta y cinco años y ejercía de pacifista en tiempos de guerra, de estilista de las matemáticas y de gourmet de los números. Fue, según su propia estimación, el quinto mejor matemático puro de su tiempo. Lo de establecer rankings era muy del gusto de Hardy —lo que quizá revele un carácter competitivo—. En otra ocasión Hardy elaboró un ranking sobre habilidad matemática natural, donde él mismo se atribuía 25 puntos sobre 100, mientras que a su más estrecho colaborador, John Littlewood, le atribuyó 30, y al alemán David Hilbert, el matemático más ilustre de la época, 80. La máxima puntuación de 100 puntos se la otorgó a Srinivasa Ramanujan.

Hardy se tomó el trabajo de leer la carta de Ramanujan, entre sorprendido e incrédulo por lo que allí estaba escrito —«Ciertamente la carta más extraordinaria que haya recibido jamás», afirmaría después Hardy—. Pero hizo más, se tomó la molestia de estudiar a fondo lo que el oficinista indio le había enviado —para lo que buscó la ayuda de su colega Littlewood—, y cuando calibró que estaba ante la obra de un genio, removió cielo y tierra hasta que consiguió llevar a Ramanujan a Cambridge. Lo que no fue fácil, porque había problemas religiosos que se interponían. Ramanujan, aunque muy pobre, pertenecía a la casta más selecta de la India, la de los brahmines. Y un brahmín ortodoxo, y Ramanujan lo era, tenía prohibido cruzar los mares, algo que se consideraba tan repugnante como comer vaca o casarse con una viuda. Desobedecer la proscripción de no cruzar los mares significaba desairar la casta y acarreaba una sentencia de ostracismo: eventuales problemas para acceder a los templos, negación de ayuda para el funeral de los familiares muertos, renuncia de las hijas casadas a visitarte por miedo a contaminarse. Gandhi, que cruzó los mares para estudiar derecho en Inglaterra unas décadas antes, vivió una situación parecida, y fue excluido de su casta. De hecho, muchos de los parientes brahmines de Ramanujan no asistieron a su funeral, porque el proceso de purificación que la madre había decidido aplicarle a su hijo cuando volvió de Inglaterra no se pudo realizar por su pésimo estado de salud.

A Hardy, estos escrúpulos religiosos le disgustaron bastante, porque él era más que ateo. Dejó de creer en Dios siendo estudiante del Trinity College de Cambridge. Consecuente como era, le dijo al decano que no volvería a ir a la capilla, algo obligatorio en el college; a lo que el decano respondió que no se opondría si, a cambio, Hardy ponía a sus padres en antecedentes. El decano y, por supuesto, Hardy sabían que estos eran muy religiosos, y que el ateísmo del hijo les iba a causar dolor. Después de pensarlo mucho, Hardy les escribió y, efectivamente, les causó gran dolor; como alguien dijo, un dolor que a nosotros, más de un siglo y cuarto después, nos es difícil imaginar. Así que Hardy no sólo dejó de creer en Dios, sino que a partir de entonces lo consideró su enemigo personal. Algo ciertamente incongruente que provocó más de una anécdota jugosa, como cuando salía bien abrigado y cargado con un paraguas en las tardes soleadas: no es que Hardy fuera más precavido de la cuenta, es que pensaba que si Dios lo veía pertrechado con un paraguas no se iba a tomar la molestia de estropear la tarde con lluvia.

El problema religioso que impedía a Ramanujan cruzar los mares acabó arreglándose, pero no sin trabajo. La principal guardiana de la ortodoxia religiosa de Ramanujan fue su madre, la formidable Komalatammal. Ella había hecho de Ramanujan lo que, en cierta forma, él llegó luego a ser; tal fue la influencia que buena parte de los gustos del hijo fueron calcados de los de la madre —astrología, numerología y, naturalmente, gastronomía—. La semejanza alcanzaba también al parecido físico. Se conservan tres fotografías de Ramanujan —todas ellas tomadas en Inglaterra— y una de

Komalatammal; suficientes para mostrar que se parecían como dos gotas de agua, tanto en los rasgos como en la complexión. Komalatammal había hecho también de su hijo un ferviente brahmín, inculcándole amor, respeto y veneración por los dioses preferidos de su casta, repulsión por las castas inferiores, y directamente asco por los parias o intocables, las madres y abuelas lograban inculcar esa repugnancia por los intocables a base de obligar a los niños a realizar una complicada, aburrida y larga sesión de baño cada vez que habían tocado a uno de ellos; «polución» denomina el hinduismo a ese contacto, y «purificación» al baño ritual necesario para revertiría; en fin, cosas de las religiones.

Para facilitar la partida de Ramanujan hacia Inglaterra, la diosa tutelar de la familia indujo en Komalatammal un trance muy vivido en el que vio a Ramanujan iluminado por un halo y rodeado de sabios europeos, y escuchó que la diosa le ordenaba no interponerse entre su hijo y el propósito de su vida. Para confirmar la visión de su madre, Ramanujan fue en peregrinación a un templo de la diosa situado a 350 kilómetros al suroeste de Madrás. Ramanujan estuvo allí tres días, durmiendo en las escalinatas del templo y contemplando cómo eran exorcizadas un grupo de mujeres. La noche del último día tuvo un sueño en el que recibió, como si fuera un destello, una revelación que le eximía del mandato de no cruzar los mares. Aunque, antes de partir para Inglaterra, Ramanujan tuvo que aprender a marchas forzadas costumbres occidentales: vestir pantalones, camisas, corbatas y chaquetas, andar con calcetines y zapatos e, incluso, llevar sombrero; todo lo cual, según confesión propia, fue una verdadera tortura, porque hasta entonces solía vestir un ligero y cómodo dhoti, la pieza rectangular de tela que se enrolla a la cintura y se pliega a través de las piernas hasta formar esa especie de pantalones holgados típicos de los indios, andaba con sandalias, cuando no descalzo, y, de vez en cuando, se encasquetaba un turbante. También le instruyeron en el uso de los cubiertos, pues Ramanujan comía con los dedos, como solía, y suele todavía, ser habitual en la India. Finalmente sufrió una humillación adicional; Ramanujan tenía kutumi, o sea, una típica coleta india. Un amigo de Ramanujan pensó que aquello sería un problema en Inglaterra, y le persuadió, o acaso le forzó —los primeros biógrafos de Ramanujan no se ponen de acuerdo sobre esto—, a que se la cortara. Ramanujan lo sintió como una amputación, hasta el punto de no poder evitar que unas lágrimas se deslizaran por sus mejillas mientras el barbero procedía. El kutumi tiene cierto significado religioso, así que Ramanujan ocultó el hecho tanto a su madre como a su esposa, que no lo supieron hasta su regreso de Inglaterra.

Ramanujan se había casado en 1909, aunque sería mejor decir que su madre lo había casado. En 1908, la madre de Ramanujan, preocupada por ver a su hijo sin otra ocupación ni preocupación que hacer números sentado en el porche de su casa, decidió que las cosas debían cambiar; y la forma de cambiarlas, entendía ella, era casándolo. No mucho tiempo después había encontrado una buena candidata; Janaki Ammal (1899−1994) se llamaba, y pertenecía a una próspera familia venida a menos. Los horóscopos de los novios parecían favorables, y la boda se celebró en 1909. Como solía suceder en la India de esos días, y aún sucede hoy a menudo, sobre todo en las zonas rurales, los novios se conocieron el mismo día de la boda: él tenía entonces veintiún años y ella once recién cumplidos. Posiblemente la boda fuera ilegal, pues los ingleses habían ido decretando leyes durante todo el siglo XIX para intentar evitar la inveterada costumbre india de casar a las niñas antes de la pubertad —la ley, evidentemente, no se cumplía, como hoy tampoco se cumplen, o no siempre ni en todo el territorio indio, las que intentan suprimir los privilegios y discriminaciones de casta—. Como era habitual en ese tipo de matrimonios, Janaki siguió viviendo con sus padres mientras fue impúber, con intermitentes visitas a su familia política; familia que tuvo entonces una baza más con que presionar a Ramanujan para que buscara trabajo: había ahora una esposa a la que mantener. Cuando Ramanujan fue contratado en 1912 como oficinista en el puerto de Madrás, Janaki se fue a vivir con él. Con él y con la suegra. Según recordó la propia Janaki años después, Komalatammal dormía entre ella y su marido, y cuando regresaba por unos días a Kumbakonam —donde residía el resto de su familia—, el puesto lo ocupaba la abuela de Ramanujan. Nada de esto era raro en la India. Janaki permaneció en la India cuando Ramanujan se fue a Inglaterra.

Allí, a la Universidad de Cambridge en concreto, llegó en 1914, casi coincidiendo con el comienzo de la primera guerra mundial, y cuando Hardy, su figura todavía no desgastada por la posición pacifista que mantuvo durante la guerra, reinaba en todo lo referente a las matemáticas.

Hardy tenía, en opinión de Bertrand Russell, la clase de ojos brillantes que sólo las personas muy inteligentes tienen. Acaso no fuera un genio como lo fue Einstein pero, para muchos, tuvo una faceta donde lo superó: su capacidad para convertir cualquier trabajo intelectual en una obra de arte. Capacidad que dejó bien patente en un librito que escribió unos años antes de morir, A Mathematician’s Apology es su título, y, según Graham Greene, es la mejor descripción de lo que significa ser un artista creador.

Hardy lideró las matemáticas inglesas desde la primera década del siglo XX hasta el comienzo de la segunda guerra mundial. Autor de más de trescientos artículos de investigación y once libros, su producción científica fue muy extensa y cubre casi cualquier rama del análisis matemático y la teoría de números. Para él las matemáticas tenían mucho de competición —ser el primero en la historia en resolver un problema de reconocida dificultad—; su vivencia matemática fue, mayormente, estética. «Las configuraciones construidas por un matemático, lo mismo que sucede con las de un pintor o un poeta, deben poseer belleza», escribió en A Mathematician’s Apology. La pasión que sintió Hardy por las matemáticas lo consumió. Al final de su vida, cuando ya su energía mental no daba para producir matemáticas, acabó deprimido e intentó suicidarse.

Hardy recibió una excelente educación inglesa, primero en el colegio de Surrey, al oeste de Londres, donde sus padres trabajaban como maestros; después, con trece años obtuvo el primer puesto de entre 102 candidatos para estudiar en Winchester, en un prestigioso colegio privado. Y, finalmente, ingresó con diecinueve años en el Trinity College de Cambridge —el college donde dos siglos y pico antes se había formado y había trabajado Isaac Newton—.

Hardy vivió casi exclusivamente por y para las matemáticas. Tuvo el tipo de frialdad que el imaginario colectivo asocia con lo típicamente inglés, además de un carácter algo histriónico y excéntrico. Su odio por los espejos —cuando llegaba a un hotel los tapaba con toallas— le obligaba a afeitarse al tacto; odio que hizo extensivo a algunos aparatos mecánicos: nunca usó reloj ni estilográfica. Y tampoco usó el teléfono, salvo en situaciones extremas y sólo para hablar él. Aparte de las matemáticas, su otra gran afición fue el criquet, un juego casi tan arcano como las propias matemáticas.

Hardy fue buen amigo de Bertrand Russell, seguidor de sus posturas pacifistas durante la primera guerra mundial, y un leal defensor de la integridad y universalidad de la hermandad matemática. El ambiente que se vivió en Cambridge durante la primera guerra mundial lo decidió a cambiar de universidad, aceptando en 1919 una cátedra en Oxford. Volvió a Cambridge doce años después. Echaba de menos estar en el centro de la matemática inglesa, entonces en Cambridge; y, también, la seguridad que tenía allí de seguir en su alojamiento del college una vez jubilado. Hardy permaneció siempre soltero, y los últimos años los pasó cuidado por su hermana Gertrude, a quien había dejado tuerta jugando de niño descuidadamente con un bate de criquet —el accidente nunca rompió la excelente relación que los hermanos mantuvieron toda su vida—.

Hardy fue un gran conversador, aunque acaso su aparente sinceridad y gracejo tapara más que mostraba; como consecuencia, fue amigo de muchos pero íntimo de muy pocos, como dijo alguien. Hardy perteneció al exclusivo club de los Apóstoles, una singular hermandad secreta creada en Cambridge que contó con miembros de gran solera y prestigio intelectual: Edward M. Foster, John Maynard Keynes, Bertrand Russell, Ludwig Wittgestein, Lytton Strachey y otros componentes de lo que luego se llamaría el grupo de Bloomsbury. «No había tabús —escribió Russell sobre los Apóstoles—, ni limitaciones, nada se consideraba escandaloso, ni se levantaba ninguna barrera a la libertad de reflexión y discusión».

A pesar de que muchos de los Apóstoles no fueron homosexuales, una cierta corriente gay atravesó la hermandad. Foster, Keynes y Strachey lo fueron y, posiblemente, también Hardy, aunque su discreción hace difícil saberlo con certeza. Según Littlewood, con quien colaboró durante cuarenta años: «Hardy fue un homosexual no practicante»; lo más parecido a un affaire que se le conoce fue que en 1903 compartió habitaciones y una gata con Russell Gaye, un experto en clásicos grecolatinos. «Eran absolutamente inseparables —escribió sobre ellos el marido de Virginia Woolf—, y raramente se les veía hablando con otra gente» —seis años después Gaye se suicidó—. «Es difícil saber si Hardy fue un homosexual practicante —escribió Robert Kanigel en la biografía de Ramanujan—; pudo llevar tanto una vida asexuada como una intensa vida sexual secreta tan bien oculta que incluso sus amigos nada supieron de ella y quienes sí supieron nada dijeron». La única crónica que tenemos de Hardy como actor sexual se refiere a una reunión de los Apóstoles en 1899, cuando, tras una discusión sobre la masturbación, se votó si era buena como medio pero mala como fin, a lo que Hardy votó que sí.

Contamos con un notable testimonio que atestigua el estado de excitación que la carta de Ramanujan a Hardy creó en este y en su colega Littlewood. Es de Bertrand Russell; en una carta del 2 de febrero de 1913 dirigida a su amante Ottoline Morrell le cuenta: «Encontré a Hardy y a Littlewood en un estado de excitación salvaje, porque creen haber dado con un nuevo Newton, un oficinista hindú de Madrás que gana 20 libras al año. Escribió a Hardy contándole algunos resultados que ha obtenido; Hardy piensa que son magníficos, especialmente si se tiene en cuenta que el hombre sólo tiene estudios primarios. Hardy ha escrito a la Oficina India y espera tenerlo aquí pronto. Por ahora, esto es confidencial, pero me entusiasmó la noticia».

La primera guerra mundial trastocó los planes de Hardy sobre Ramanujan. Este quedó prácticamente aislado en Cambridge con Hardy como única posibilidad de cooperación matemática; por un lado, Littlewood se incorporó pronto a la guerra, y, por otro, Hardy tenía en mente conectar a Ramanujan con el potente grupo alemán de Gotinga que hacía teoría de números —una de las grandes aficiones de Ramanujan—, cosa que la guerra obviamente imposibilitó.

Hardy pudo comprobar que Ramanujan era un diamante en bruto: tenía una intuición monstruosamente afinada para números y fórmulas, aunque desconocía conceptos y herramientas básicas que cualquier aspirante aplicado a matemático debe dominar en los primeros años de la carrera. Pero el milagro se produjo, lo imposible sucedió, porque Ramanujan, que se había formado matemáticamente a sí mismo en el porche de su casa en el sur profundo de la India, fue capaz de colaborar fructíferamente y en pie de igualdad con Hardy, uno de los más logrados frutos del prestigioso sistema educativo inglés.

La relación matemática entre Hardy y Ramanujan fue extraordinaria, no tanto la humana, que fue algo fría; «Ramanujan era indio —escribió Hardy décadas después—, y supongo que siempre es un poco complicado para un inglés y un indio entenderse propiamente». Hardy siempre la consideró un episodio fundamental en su vida: «Mi asociación con Ramanujan —confesó Hardy en cierta ocasión— ha sido el único incidente romántico de mi vida. A él le debo más que a nadie en el mundo, con una sola excepción». Y no sólo eso: Hardy se enorgulleció tanto de haber colaborado con Ramanujan que situó esa colaboración como una medida de su valía personal: «Todavía me digo, cuando estoy deprimido o tengo que escuchar a alguien vanidoso y aburrido: “Bueno, he hecho algo que usted nunca podría haber hecho, que es haber colaborado tanto con Littlewood como con Ramanujan en, digamos, igualdad de condiciones”», escribió en A Mathematician’s Apology.

En esa relación la dicotomía entre prudencia y pasión quedó repartida entre los dos protagonistas, Ramanujan fue el apasionado, el dionisíaco, y Hardy el prudente, el apolíneo. Analizaré con algo más de detalle este reparto de roles comentando el más importante de los resultados obtenidos por Hardy y Ramanujan. El problema en cuestión consiste en calcular las particiones de un número, o sea, contar las distintas formas en que un determinado número puede escribirse como suma de otros. El problema aparece propuesto por Leibniz a uno de sus discípulos científicos en una carta fechada el año 1696. Pero no fue, sin embargo, hasta mediados del siglo XVIII cuando se hizo algún progreso, y este vino de manos del gran Leonhard Euler que, aunque encontró fórmulas para calcular las particiones de forma recurrente, no fue capaz de dar con una fórmula aproximada para el cálculo de las particiones. El problema, pues, ya llevaba dos siglos largos preocupando a los mejores matemáticos cuando Hardy y Ramanujan le hincaron el diente.

Pensemos, por ejemplo, en el número 4; en este caso, mediante un cálculo directo sencillo podemos escribir

4 = 4,

4 = 3 + 1,

4 = 2 + 2,

4 = 2 + 1 +1,

4 = 1 + 1 + 1 + 1.

Y no hay más formas de partirlo como suma de otros que esas 5. Para simplificar, si tenemos un número genérico n, representaremos por p(n) el número correspondiente a sus particiones; así p(4) = 5.

El número de particiones de un número aumenta considerablemente conforme el número se hace mayor y, obviamente, cada vez cuesta más trabajo calcularlo. Antes de la existencia de ordenadores se había calculado —apoyándose en los trabajos de Euler— que

p(100) = 190.569.292,

p(200) = 3.972.999.029.388.

Pero, ni siquiera usando el más potente de los ordenadores de este mundo, podríamos seguir calculando el número de particiones correspondiente a números mucho mayores a base de generarlas todas y contarlas —aun ayudándose de las fórmulas de Euler—. La solución del problema consiste, pues, en dar con una fórmula que permita conocer de manera exacta, o al menos aproximada, las particiones de un número.

En un alarde de espíritu dionisíaco, Ramanujan pensaba que podría ser capaz de encontrar una fórmula que permitiera calcular de forma exacta el número de particiones de un número, sin necesidad de calcular antes estas. De hecho, el germen de esa fórmula estaba ya implícito en su primera carta a Hardy. Hardy, más mesurado y prudente, pensaba que lo más que se podría lograr era dar con una buena aproximación.

Y eso fue, precisamente, lo que lograron ambos trabajando juntos en Cambridge: una fórmula que permite calcular p(n) de forma aproximada. A pesar de ser obviamente un problema aritmético, ellos usaron técnicas analíticas para estudiarlo, en la línea que había inaugurado Dirichlet un siglo antes y que se dio en llamar teoría analítica de números —que será tratada en la sección § 8.2.2—. Merece la pena escribir aquí esa fórmula —o, al menos, una versión simplificada—:

donde las letras π y e representan, respectivamente, las dos constantes matemáticas más célebres. El signo ~ señala que lo que hay del lado izquierdo se parece al derecho en un cierto y preciso sentido que no hace falta explicar aquí. Por ejemplo, el lado derecho de la fórmula anterior para n = 100 vale 190.568.944,8, mientras que para n = 200 vale 3.972.998.993.185,9 … compárense con los valores exactos de p(100) y p(200) escritos anteriormente.

Hardy y Ramanujan hicieron algo más, dieron con un procedimiento para, en sucesivos pasos, acercarse más y más al valor exacto de p(n) —mucho más de lo que permitía la aproximación escrita más arriba—. En concreto, su fórmula aproximada les permitió encontrar p(100) y p(200) con un error de cuatro milésimas —lo que, dado que ambos números son enteros, equivale a encontrarlos exactamente—. «Esperábamos un resultado bueno —escribió Hardy muchos años después—, con un error del orden de las decenas, pero nunca habíamos imaginado alcanzar un resultado tan exacto como ese.» Hardy estaba tan sorprendido con lo que habían obtenido que su espíritu prudente empezó a ceder ante las acometidas dionisíacas de Ramanujan, hasta el punto de que acabó reconociendo que aquel método podía llevarlos a una fórmula exacta de p(n): «Esos resultados sugieren muy claramente —se lee en el artículo de Hardy y Ramanujan— que es posible obtener una fórmula para p(n) que no sólo dé cuenta de su orden de magnitud o su estructura, sino que también pueda ser usada para calcular su valor exacto para cualquier número n. Pensamos que esto podría hacerse sin ningún cambio fundamental en nuestro análisis, aunque requeriría una revisión muy cuidadosa de nuestros argumentos».

Esa revisión se produjo, de hecho, década y media después; por partida doble, además. Tanto el matemático alemán Hans Rademacher como el noruego Atle Selberg revisaron los argumentos de Hardy y Ramanujan y dieron con la fórmula exacta para las particiones de un número. Rademacher publicó su fórmula en 1937, pero no así Selberg; Selberg encontró por casualidad la referencia al artículo de Rademacher, vio allí publicada la fórmula que él también acababa de encontrar y renunció a publicar sus resultados. Sin embargo, con ocasión del centenario del nacimiento de Ramanujan, Selberg habló de sus resultados y sobre por qué, en su opinión, Hardy y Ramanujan se quedaron tan cerca de dar ellos mismos con la fórmula. Su veredicto fue clarísimo: «La responsabilidad fue de Hardy: si hubiera confiado más en Ramanujan tengo pocas dudas de que habrían acabado encontrando la fórmula exacta». Que es tanto como decir que, en este caso, la pasión se dejó vencer por la prudencia, y aun llegando muy lejos no alcanzó el objetivo final ya casi al alcance de las manos.

Ramanujan estuvo en Inglaterra casi cinco años —durante los cuales se desarrolló la primera guerra mundial—, aunque los dos últimos los pasó enfermo e internado en varios sanatorios; la soledad, el clima húmedo de la campiña inglesa y los rigores de una dieta inflexible —Ramanujan era, por razones religiosas y culturales, estrictamente vegetariano—, agravada por la escasez de alimentos apropiados durante la guerra, lo hicieron enfermar de un mal que ninguno de los varios médicos que lo atendieron supo diagnosticar adecuadamente.

Ramanujan regresó a la India en 1919, pero lo hizo para morir. Salió de su país orondo y lozano y volvió consumido por la enfermedad; salió siendo un desconocido y volvió convertido en celebridad: fue elegido miembro de la Royal Society de Londres, el miembro más joven de su centenaria historia y el segundo de nacionalidad india —el primero fue elegido en 1841—, y el primer indio en ser nombrado fellow del Trinity College de Cambridge; el Times de Madrás le dedicó un artículo al poco de llegar, donde se podía leer: «Como alguien en Cambridge ha afirmado, desde Newton no ha habido nadie igual, lo que, no necesita decirse, es el mayor de los elogios». Ramanujan murió en abril de 1920 con treinta y dos años de edad. De no haber muerto «Habría llegado a ser el matemático más grande de su tiempo», por decirlo en palabras de Hardy.

Además de sus trabajos publicados —mayormente durante su estancia en Inglaterra—, ya fuera con Hardy o en solitario, Ramanujan dejó una colección de cuadernos repletos de fórmulas y teoremas. Hasta muy recientemente, la comunidad matemática no ha llegado a entender el pleno significado de muchas de las fórmulas de Ramanujan; y ese significado es de tal transcendencia y profundidad que ha acabado aupándolo al Olimpo de los más grandes matemáticos de la historia.

En esos cuadernos, el carácter apasionado de Ramanujan para con las matemáticas, su faceta de Dionisos de los números es absolutamente deslumbrante y alcanza cotas difícilmente imaginables. Uno de los resultados donde mejor se aprecia esto es en sus series para el número n.

Dado que el número π no es racional —esto es, no es un cociente de números enteros—, encontrar aproximaciones fraccionarias o, lo que es igual, cifras decimales exactas del número π, ha sido una tarea que ha fascinado a buen número de personas, matemáticos y no, a lo largo de la historia. Aun con los modernos computadores electrónicos, calcular eficientemente cifras decimales del número π depende, en buena medida, de la representación de π que usemos, sobre todo si queremos alcanzar o ir más allá de los varios billones de cifras exactas conocidas. Todavía hoy estos cálculos tienen interés, porque, cada vez que se desarrolla un nuevo procesador electrónico, una forma de medir su capacidad de cálculo es comprobando la eficacia que tiene calculando cifras decimales del número π. Y buena parte de las representaciones de π que hoy se usan para hacer esos cálculos se basan en las obtenidas por el ingenio prodigioso de Ramanujan.

Calcular cifras exactas del número n requiere disponer de buenas representaciones de ese número; para conseguir esas representaciones son necesarias ideas matemáticas a menudo muy brillantes. Una vez se tiene una de estas representaciones del número π, el proceso del cálculo efectivo de cifras exactas es ya meramente calculístico y, a menudo, no necesita de excesivo ingenio, aunque sí del tesón que pone un mulo para hacer girar una noria —sobre todo en los tiempos donde había que hacer las cuentas a mano—. El número de cifras exactas y la eficiencia con que se pueden calcular depende, desde luego, de la facilidad y rapidez para realizar cálculos que la tecnología permita en un determinado momento; pero, sobre todo, depende de la representación que se use del número n. Habitualmente ocurre que una determinada representación agota su capacidad de producir cifras exactas, y los grandes récords en el cálculo de cifras suelen corresponder más con el hallazgo de mejores representaciones para n que con el desarrollo de computadores más potentes.

A lo largo de la historia, algunos de los más grandes matemáticos han aportado su granito de arena al cálculo de cifras exactas del número n, sobre todo encontrándole buenas representaciones. Es el caso de Arquímedes, al que se debe la más célebre aproximación del número π de la Antigüedad, 22/7.

En tiempos más recientes las aproximaciones del número π se han calculado usando sumas infinitas. Por ejemplo, la primera suma infinita cuyo valor es el número n la descubrió el escocés James Gregory a mediados del siglo XVII —redescubierta por Leibniz unos años después—:

La serie de arriba, sin embargo, es pésima para el cálculo aproximado del número π, debido a que los sumandos decrecen muy lentamente; por ejemplo, se necesitan sumar cerca de mil términos para encontrar un valor aproximado mejor que el de Arquímedes.

El mismísimo Newton desarrolló un procedimiento para encontrar series muy apropiadas para el cálculo aproximado del número π, y con una de ellas le calculó varias docenas de decimales. Una variación de las series de Newton fue usada, poco después, por John Machín, profesor de astronomía en Londres, para calcular cien cifras decimales exactas del número π —todo un récord en la época—; la serie en cuestión es la siguiente:

Hasta la irrupción de los modernos computadores a mediados del siglo XX, se habían calculado poco más de quinientas cifras exactas de n. En 1949, usando el primero de ellos, el ENIAC, se calcularon más de dos mil; en 1961 ya se habían calculado más de 100.000 —usando un IBM y más de nueve horas de cálculo—; el primer millón se alcanzó en 1973, hacia 1986 ya se habían calculado, con un ordenador de la NASA, cerca de treinta millones de cifras decimales de π, y en los albores del tercer milenio ya son varios de billones las conocidas —a finales de 2009 se consiguió un récord usando un ordenador doméstico y más de cuatro meses de computación—.

En mayor o menor medida, todos los cálculos aproximados del número π llevados a cabo durante los siglos XVIII, XIX y casi todo el siglo XX se basan en variantes de la serie (1.3). Entonces Ramanujan entró en acción.

Ramanujan produjo casi dos docenas de misteriosas series para el inverso del número n. He aquí una de ellas donde los sumandos que aparecen en esa suma son las fracciones obtenidas poniendo n = 0, 1, 2, 3 … en la fórmula

(2n)!³ (5+42n)/(n!)⁶ 212n+4

Esa fórmula, y otras de similar estilo, aparecen misteriosamente en uno de los cuadernos de Ramanujan, sin ninguna demostración; cosa, por otro lado, habitual en los cuadernos y en él. En 1914 Ramanujan las publicó en una revista de investigación inglesa, en esta ocasión con algunas indicaciones de cómo componer una demostración, cuyos argumentos principales parecen salidos de la chistera de un mago y es difícil, si no imposible, entender cómo se le pudieron ocurrir a Ramanujan. Esas expresiones, de hecho, no fueron cabalmente entendidas hasta los años ochenta, coincidiendo con el centenario del nacimiento de Ramanujan y cuando los procedimientos para el cálculo aproximado del número n recobraron interés a rebufo del vertiginoso desarrollo de los computadores electrónicos. Con las fórmulas de Ramanujan, y otras similares que se descubrieron entonces, se consiguió calcular miles de millones de cifras exactas del número n, lo que permitió alcanzar varios récords en las cifras conocidas de la más célebre de las constantes matemáticas.

Pero ¿de dónde sacó Ramanujan sus fórmulas? Esta es una de las preguntas más inquietantes y llenas de misterio que podemos hacernos sobre el proceso creativo en ciencia y, en particular, en matemáticas, y sobre la presencia de elementos dionisíacos en el proceso de descubrimiento matemático —apasionamiento por lo buscado, tesón irracional para persistir en la búsqueda, grandes dosis de imaginación e inteligencia, que no excluyen las connotaciones mágicas, y cierta embriaguez del espíritu—. En este sentido, Ramanujan es un caso extremo, excepcional, hasta el punto de que, aun siendo un científico, un matemático, se puede llegar a percibir su producción más como la obra de un mago que la de un genio. Es precisamente esa condición de mago de los números, de las fórmulas, una de las circunstancias que hacen de él el matemático más inexplicable que haya existido jamás; la otra circunstancia es el hecho de haber conseguido buena parte de sus descubrimientos sin haber recibido ningún tipo de formación matemática específica. Y quizá ambas cosas estén inextricablemente unidas entre sí, y también al carácter dionisíaco de sus descubrimientos.

En 1907, Ramanujan abandonó sus estudios oficiales; tres o cuatro años antes había caído bajo el embrujo de las matemáticas y desde entonces había cosechado fracaso tras fracaso académico. Ese mismo año, Ramanujan empezó a escribir sus «cuadernos». Los «cuadernos» matemáticos de Ramanujan son uno de los documentos matemáticos más importantes del siglo XX. En ellos encontramos multitud de fórmulas, prácticamente sin ninguna demostración o sugerencia de cómo pudo encontrarlas: pura pasión sin rastro casi de prudencia.

Se conservan tres cuadernos —publicados en dos volúmenes en edición facsímil en 1957—; el primero tiene casi doscientos folios, el segundo otros tantos y el tercero apenas veinte. El segundo cuaderno es una copia ampliada y mejorada del primero; según comentó uno de sus amigos, Ramanujan se decidió a hacerla por motivos de seguridad y, al principio, pretendió que fuera una copia fiel, pero conforme iba copiando no pudo resistir la tentación de mejorar sus resultados y ampliarlos con otros nuevos.

Tras dejar el instituto en 1907, Ramanujan se dedicó en cuerpo y alma a las matemáticas. Sin ninguna guía ni otro consejo más allá de su pura intuición y gusto personal, empezó por recoger en los cuadernos resultados que seguramente había encontrado durante sus últimos años en el colegio. Así, los cuadernos comienzan con unas disquisiciones dedicadas a la construcción de cuadrados mágicos —números insertos en una retícula cuadrada, la suma de cuyas líneas verticales, horizontales y diagonales es siempre la misma—.

Pero esos juegos matemáticos de aficionado pronto dieron paso a problemas matemáticos más complicados y profundos que incluían teoría de números, sumas y productos infinitos, cálculo de integrales, funciones especiales, aproximaciones de funciones y otros asuntos de gran enjundia matemática.

Esos años en que estuvo redactando los cuadernos fueron, en un sentido, duros para Ramanujan; pero, en otro sentido, quizá los más felices de su vida. Duros en el sentido económico y material, porque su familia apenas conseguía dinero para alimentos y, con seguridad, debían quejarse por la actitud del hijo; no sólo había desaprovechado la oportunidad de obtener un título que le hubiera facilitado un trabajo bien remunerado —para los estándares indios—, sino que, además, en vez de buscar trabajo o alguna ocupación remunerada, se dedicaba a hacer cuentas sentado en el porche de su casa, y a anotar números y fórmulas en unos cuadernos. La penuria económica llegó a ser tal que Ramanujan tuvo que ganarse unas rupias dando clases particulares. El asunto no fue, precisamente, un éxito, pues Ramanujan se empeñaba en enseñarle a sus alumnos matemáticas superiores en vez de las que a ellos les exigían en la escuela; y, así, claro está, los alumnos no le duraban mucho.

Pero fueron, a su vez, los más felices en el plano intelectual, porque durante esos años Ramanujan se dedicó a lo único por lo que sentía verdadera pasión: a hacer matemáticas; y a hacerlas compulsivamente. Nada raro, por otra parte, pues, cuando les coges afición, esa es la única manera de hacer matemáticas, como sabe cualquiera que a ellas se haya dedicado alguna vez. «Ramanujan había encontrado un hogar en las matemáticas —escribió Robert Kanigel—, tan completamente confortable, además, que difícilmente quería nunca salir de él. Le satisfacían intelectual, estética y emocionalmente.»

En esos períodos de creación, de profunda concentración, Ramanujan se olvidaba incluso de comer; pero, en su casa de Kumbakonam, tenía a su madre y su abuela cuidando de él. La mujer de Ramanujan contó una vez lo tierno de la escena: «A menudo, las matemáticas le absorbían hasta el punto de que se olvidaba de las comidas. En algunas ocasiones, su abuela o su madre le tenían incluso que dar de comer; para no interrumpir la corriente de su pensamiento, le iban poniendo en la mano bolas de arroz mezclado con sambhar, rasam o cuajada, que él comía mecánicamente. También les solía pedir que lo despertaran a media noche, para seguir con su trabajo ayudado por el silencio y el frescor de la noche».

A partir de 1910, Ramanujan trató de sacar algo de rédito al material matemático que había conseguido. Con sus cuadernos bajo el brazo, a manera de tarjeta de presentación, Ramanujan visitó a varios matemáticos indios. Ninguno llegó a entender las matemáticas de Ramanujan ni, mucho menos, apreciar su calidad. Tampoco supieron determinar si era un loco o un genio pero, al menos, Ramanujan logró, tras varias visitas, la ayuda de Ramachandra Rao. Rao describió años después la escena, tierna y surrealista a la vez, de su primer encuentro con Ramanujan: «En la plenitud de mi madurez matemática, condescendí a que Ramanujan me visitara. Un tipo pequeño y tosco, gordo, mal afeitado y no precisamente limpio, con un rasgo conspicuo, sus ojos brillantes, entró con un raído cuaderno bajo el brazo. “Déjame ver el cuaderno”, le pedí. Tras echarle una ojeada le dije: “Mi conocimiento matemático no da para entender este material”. “Señor, sólo son unos pocos resultados sencillos”, me contestó. “Serán sencillos, pero me han dicho que no se encuentran en los libros que se han consultado”, le dije. Ramanujan era miserablemente pobre, pero no quería ninguna distinción, sólo tiempo libre. En otras palabras, que se le proveyera de un poco de comida sin otro compromiso por su parte que seguir con sus ensoñaciones matemáticas». Rao accedió a pasarle unas pocas rupias de su propio bolsillo, apenas nada, pero suficiente para que Ramanujan pudiera salir de casa de sus padres en Kumbakonam y mudarse a una casa mísera y mal ventilada en Madrás.

Allí siguió jugando sin aparente cansancio con números y fórmulas. Para los cálculos se ayudaba de un pequeño pizarrín de 50 por 30 centímetros —que todavía hoy se conserva—, que luego solía borrar con el codo; el papel lo racionaba con el mismo desordenado afán que un avaro aplica a su dinero. El único esparcimiento de Ramanujan era pasear por la playa de Triplicane al frescor de la noche y conversar con sus amigos. Uno de ellos contó luego la siguiente conversación:

—Ramanujan, todo el mundo dice que eres un genio.

—¿Un genio? Pregúntale mejor a mi codo.

—¿Qué le pasa a tu codo? ¿Por qué lo tienes tan sucio y desollado?

—Es el precio que pago por ser un genio. Día y noche los paso haciendo cálculos sobre mi pizarra; y he descubierto que borrar con el codo es más rápido que andar buscando el trapo y borrar con él. Lo malo es que tengo que borrar cada pocos minutos.

—Pero si tantos cálculos tienes que hacer, ¿por qué usas un pizarrín? ¿Por qué no usas papel?

—Cuando la comida misma es un problema —contestó Ramanujan—, ¿cómo voy a gastar dinero en papel?

La situación mejoró ligeramente cuando, en marzo de 1912, Ramanujan consiguió un puesto de contable en el puerto de Madrás. Aunque su voracidad por el papel continuó: «Unos años después me lo encontré por casualidad cerca del puerto de Madrás —contó un amigo—, donde Ramanujan trabajaba. Estaba recogiendo papel de embalar. “Lo necesito para los cálculos que requieren mis problemas de matemáticas”, me explicó. Después supe que para ahorrarse papel solía sobrescribir en tinta roja comentarios u otros problemas sobre lo ya escrito».

A partir de sus comienzos de contable en el puerto de Madrás, sus amigos indios incrementaron sus esfuerzos para decidir sobre el alcance y la naturaleza del talento matemático de Ramanujan; todavía no sabían si se las entendían con un genio, un loco o, simplemente, un habilidoso calculista. Para averiguarlo implicaron a matemáticos ingleses de la Universidad de Madrás, e incluso del University College de Londres. Pero lo único que se pudo conseguir fueron pronunciamientos y recomendaciones vagas, cuando no equívocas, del tipo de: «Me da la impresión de que tiene cerebro, aunque quizá sea semejante al de uno de esos calculistas»; o: «Indudablemente tiene gusto por las matemáticas y parece que habilidad también. Quizá no se le debería desalentar en su tarea». En vista de que nadie en la India parecía comprender sus matemáticas, algunos le aconsejaron que escribiera a Cambridge, o a algún otro lugar similar de Occidente, y pidiera ayuda allí. Así fue como Ramanujan empezó a enviar cartas a Cambridge, hasta que una de ellas llegó a las manos de Hardy.

Ramanujan fue matemático, a pesar de lo cual es imposible describir o entender su trabajo sin que medie una comparación con el proceso de creación artística. Podemos pensar que Ramanujan movía los números como si fueran las cuencas de cristal de un caleidoscopio, y el juego de colores obtenido lo sustanciaba en una fórmula que era anotada cuidadosamente en sus cuadernos. O podemos pensar en un poeta que distribuye adjetivos, verbos y nombres buscando la combinación más adecuada para describir un sentimiento, una vivencia, un instante, que finalmente quedan atrapados en la sonoridad de un par de versos; igualmente Ramanujan distribuía números por aquí y por allá, y dejándose llevar por no se sabe qué tipo de sensibilidad lograba sintetizar con ellos una fórmula que bien podría describir lo que unos números sentían por los otros. Podemos también pensar en un compositor, que teclea notas en un piano buscando la melodía precisa que transforme en sonido la emoción que en ese momento le cruza el ánimo; y podemos imaginarnos a Ramanujan pulsando números hasta componer con ellos una melodía que palpita en el interior de la correspondiente fórmula.

¿Y la lógica, y el razonamiento deductivo propio del discurso matemático?, preguntará algún lector. Ocurre que no es el razonamiento deductivo o la lógica rigurosa la mejor manera de explicar las matemáticas de Ramanujan. En sus cuadernos no hay demostraciones; a veces, pero sólo unas pocas veces, hay alguna que otra indicación del camino que le llevó a descubrir sus fórmulas y resultados, pero son estas indicaciones no más que unos breves bosquejos mayormente oscuros e incomprensibles, un rastro apenas visible y sumamente complicado de seguir.

Después de la muerte de Ramanujan, han sido varios los matemáticos que han intentado demostrar las fórmulas que el genio indio incluyó en sus cuadernos, dedicándole a ello buena parte de sus trayectorias científicas; el último ha sido Bruce C. Berndt (1939-), profesor de matemáticas de la Universidad de Illinois, y antes que él ya lo intentaron, entre otros, el propio Hardy, B. M. Wilson, o G. N. Watson, profesor de la Universidad de Birmingham. El profesor Berndt ha escrito cinco libros, aparecidos entre 1986 y 1998 —aparte de incontables artículos—, donde pone en orden las matemáticas contenidas en los cuadernos de Ramanujan; esos cinco libros abarcan cerca de dos mil quinientas páginas donde se demuestra, con toda la artillería matemática desarrollada por Occidente en varios siglos, las fórmulas que Ramanujan encontró trabajando en la más absoluta soledad del sur profundo de la India. No todo lo que encontró Ramanujan era original; fue inevitable que redescubriera muchas fórmulas ya conocidas en Occidente. Hardy estimó que los dos tercios de su producción en India eran redescubrimientos, aunque a Berndt esta cifra le parece demasiado alta y quizá un tercio se ajuste más a la realidad. Lo de redescubrir era inevitable pues, tal y como vívidamente lo describió Hardy: «Ramanujan sufrió una desventaja imposible, un pobre y solitario hindú machacándose el cerebro contra el saber acumulado de Europa».

Después de dedicarle media vida a los cuadernos de Ramanujan, Bruce Berndt escribió: «Todavía no entiendo sus matemáticas del todo. Puedo ser capaz de demostrar sus resultados, pero no sé de dónde vienen ni dónde se acomodan entre las demás matemáticas. Muchas de las conjeturas de Ramanujan no se han demostrado todavía, pero son muchas más las que seguimos sin comprender cabalmente. El proceso creativo de Ramanujan sigue siendo un enigma oculto por una cortina que apenas ha sido descorrida».

Como apuntó Robert Kanigel, quizá la mejor manera de abordar el genio matemático de Ramanujan sea apelando a la distinción entre genio científico ordinario y genio científico mágico que Mark Kac estableció en su autobiografía: «En ciencia, al igual que en otros campos de la empresa humana, hay dos clases de genios, los “ordinarios” y los “magos”. Un genio ordinario es un tipo que sería tan bueno como usted o como yo, en el supuesto de que nuestra capacidad mejorara en varios órdenes de magnitud. El funcionamiento de su mente no es ningún misterio. Una vez comprendemos lo que él ha hecho, nos gana la impresión de que nosotros también lo podríamos haber hecho. La cosa es diferente con los magos. La forma en que trabaja su mente es, a todos los efectos, incomprensible. Incluso después de haber comprendido lo que han hecho, el proceso que han seguido queda en la más absoluta oscuridad. Rara vez, si alguna, tienen discípulos porque no se les puede emular, y es terriblemente frustrante para una mente joven y brillante hacer frente a la forma misteriosa en que la mente de un mago trabaja». Ramanujan fue uno de estos magos, quizá el de mayor calibre que han producido las matemáticas.

Comparemos, por ejemplo, las fórmulas anteriores, numeradas con las etiquetas (1.2), (1.3) y (1.4), para el cálculo del número n. Las dos primeras, numeradas con las etiquetas (1.2) y (1.3) unas páginas atrás, provienen de la serie

En el siglo XIV, el matemático indio Madhawa había reconocido en esa serie una de las funciones trigonométricas básicas, a la que llamamos acrotangente; descubrimiento que volvería a hacer el escocés James Gregory dos siglos y medio después. El valor del arcotangente en 1 es π/4, así que cuando insertamos en la serie anterior el valor x = 1, obtenemos la serie (1.2) de James Gregory para π. Como se dijo antes, esa serie es pésima para calcular cifras decimales del número π, porque los sumandos se hacen pequeños muy lentamente. Newton tuvo una idea genial, y encontró un truco para poder usar esa misma serie pero evaluada en un número x mucho más pequeño que 1. Ahí tiene su origen la serie (1.3) recogida unas páginas atrás: una simple ojeada muestra que esa serie es una combinación de la que se obtiene en la serie (1.5) al poner x = 1/5 y x = 1/239. Esa idea de Newton es el tipo de idea genial ordinaria que uno, a poco que tenga cierto conocimiento matemático, entiende cuando se la explican.

Las series de Ramanujan, en cambio, corresponden al tipo de idea genial mágica, totalmente dionisíaca sin elemento apolíneo alguno. Ramanujan sólo sugirió de forma muy vaga e imprecisa de dónde podrían venir. De hecho, la primera demostración detallada que permitió empezar a entender cabalmente las series de Ramanujan se debe a los hermanos Jonathan y Peter Borwein, y data de mediados de los años ochenta —o sea, tres cuartos de siglo después de que Ramanujan las encontrara—: «Probablemente las matemáticas todavía no han sentido el impacto pleno del genio de Ramanujan —escribieron los Borwein en 1988—. Desafortunadamente Ramanujan solía listar sus resultados con pocas indicaciones de cómo los había demostrado; así, una simple línea en sus “cuadernos” puede fácilmente necesitar muchas páginas de comentarios». A pesar de todo, no entendemos aún por completo el camino que Ramanujan recorrió hasta dar con sus series. Hardy, sin embargo, insistió más de una vez en que Ramanujan pensaba como los demás matemáticos; y, sin embargo, más de una vez también dejó constancia de esa inexplicable intuición que el genio indio tenía: «Me preocupaba que —escribió Hardy en cierta ocasión— si le insistía excesivamente sobre la necesidad de demostrar y otros asuntos parecidos que Ramanujan encontraba fastidiosos, podría destruir su confianza o romper el hechizo de su inspiración».

Pero ¿y Ramanujan?, pensará algún lector, ¿no explicó nunca de dónde le venía la inspiración? Ciertamente, alguna que otra vez se refirió a eso, pero sus razones son un enigma más que una explicación. Un enigma, además, con tanto sabor religioso que bordea lo grotesco. Algunos de los que conocieron a Ramanujan nos lo describen como una persona profundamente religiosa, mística e, incluso, supersticiosa —valga la redundancia—; uno de ellos, un profesor indio de matemáticas, llegó a decir: «Fue un místico, un verdadero místico en el pleno sentido del término. Fue intensamente religioso, casi supersticioso en algunas prácticas diarias; no tomaba, por ejemplo, comida que no hubiera sido preparada por alguien de su confianza. Nadie podrá negar que fue muy intuitivo y que alcanzaba a ver la verdad de las cosas como en un destello. Veía la verdad y la reconocía, aunque encontraba difícil explicarla a los demás en términos lógicos». A este profesor, Ramanujan le confesó: «Señor, una ecuación no tiene sentido para mí a menos que exprese un pensamiento de Dios». La frase dejó perplejo al profesor, que vio en ella: «La esencia de la verdad acerca de Dios, del Hombre y del Universo, y al Ramanujan más verdadero: filósofo, místico y matemático».

Pero, con todo, la explicación más surrealista de la capacidad matemática de Ramanujan implica de nuevo a la diosa tutelar de su familia. Porque Ramanujan confesó a algunos amigos que era esa diosa, la que había provocado las visiones en su madre y en él mismo eximiéndole del mandato de no cruzar los mares, la que le ayudaba también en sus investigaciones matemáticas y le confería perspicacia matemática en sueños. Y lo hacía del modo más sorprendente e inesperado que quepa imaginar: la diosa escribía fórmulas matemáticas en la lengua de Ramanujan mientras este dormía.

Bastantes de los sueños matemáticos de Ramanujan destilan un ligero sabor gore; probablemente sea debido a la señal con que el dios que se los provocaba suele, según los expertos, autentificar los sueños que provoca: esta señal consiste en ver durante el sueño gotas de sangre que flotan. El sueño más sanguinario de los que contó Ramanujan coincidió con una ocasión en que durmió en la misma habitación que un santón: «Su presencia me estimuló —contó a un amigo el propio Ramanujan—, y mientras dormía tuve una experiencia poco usual. Había una especie de tamiz rojo formado por lo que parecía un manantial de sangre que flotaba. Mientras la observaba fijamente, una mano empezó a escribir en el tamiz. Presté toda mi atención porque esa mano estaba escribiendo resultados sobre integrales elípticas. Las fórmulas quedaron prendidas en mi mente. Tan pronto como me desperté me puse compulsivamente a escribirlas».

Janaki, la mujer de Ramanujan, veía el asunto de la religiosidad de su marido de otra manera. En una entrevista que le hizo Bruce Berndt en 1984 —Janaki tenía entonces ochenta y tres años— dijo: «Mi marido era un astrólogo ansioso que disfrutaba haciendo predicciones; de hecho pronosticó que él mismo moriría antes de cumplir los treinta y cinco años. Pero Ramanujan no era particularmente religioso. Nunca tenía tiempo de ir al templo porque siempre andaba obsesionado con las matemáticas. Mi suegra y yo teníamos siempre que andar detrás de él para que comiera, porque nunca encontraba tiempo para comer cuando estaba concentrado con las matemáticas. Incluso estando en cama mortalmente enfermo, seguía haciendo matemáticas contra los deseos del médico».

A pesar de que, según Janaki, al final «sólo era piel y huesos», de que continuamente se quejaba de dolores, la muerte lo sorprendió con el lápiz en la mano. Como Mozart, al que la muerte se llevó en plena juventud cuando componía su Réquiem, a Ramanujan la parca lo encontró en pleno proceso creativo, haciendo matemáticas de la más alta calidad y originalidad, ayudado, como escribió alguien, «tanto por su reciente colaboración con Hardy como por el genio excéntrico y salvaje de su juventud».

§ 1.4. El infinito

Como se explicó antes, ese conflicto entre prudencia y pasión que existe en las matemáticas tiene mucho que ver con la estructura descubrimiento/demostración. Fueron los griegos los que impusieron la necesidad de añadir una demostración para validar un descubrimiento matemático, y esta necesidad les llevó a adentrarse por un camino que las matemáticas nunca antes habían transitado: pasaron de ser una herramienta utilitaria para asuntos mundanos —llevar las cuentas de un negocio, calcular cuánto se separa una escalera de la pared, reconstruir una parcela cuyas lindes desdibujó la última crecida del Nilo— a un sofisticado constructo intelectual cuya función primordial debía ser la formación de la mente humana y la iluminación del mundo perfecto del cual el que nos muestran los sentidos no es sino una mala copia deformada —Platón dixit—: las matemáticas debían ser la guía que nos ayudara primero a alcanzar y, después, a movernos en el mundo perfecto de las ideas. Pero la importancia de la demostración y la solidez lógica sufrió fuertes vaivenes a lo largo de la historia, como veremos en la segunda y tercera parte de este libro. Encontramos épocas —o autores— donde prima la demostración —lo apolíneo— mientras en otras triunfa el descubrimiento, con o sin demostración —lo dionisíaco—. Eso queda meridianamente claro cuando se compara la matemática griega con la barroca. Para los griegos la demostración fue reina, y el elemento dionisíaco por excelencia de las matemáticas, el infinito, se relegó al ostracismo. En los siglos XVII y XVIII, lo infinitamente grande y lo infinitesimalmente pequeño fueron señores y la demostración escasa. Lo apolíneo empapa la consideración clásica de la cultura griega, «entendiéndose el término clásico como equivalente —escribió el filósofo Ferrater Mora—, entre otros, a “justo”, “mesurado”, “tranquilo”, “bien redondeado”, “perfecto”, etc.»; calificativos todos ellos que cuadran perfectamente para las matemáticas que encontramos en los Elementos de Euclides —o, mejor dicho, para la forma en que Euclides decidió presentarnos esas matemáticas—. Pero a lo «clásico» se opone lo «romántico»: «Se contraponía así —sigo con Ferrater— la cultura griega como cultura clásica a la cultura “romántica”, en la que se hacían intervenir, entre otras cosas, la desmesura y el ansia de infinito». Y aquí quedan perfectamente descritas las matemáticas del barroco, las de, por citar acaso el nombre más representativo, Leonhard Euler.

Como acabo de escribir, hay un concepto matemático fundamental donde se dan la mano las dicotomías prudencia/pasión, descubrir/demostrar: el infinito, el concepto que, en cierta forma, separa las matemáticas de la lógica, o de lo que clásicamente se ha entendido por lógica. A él le dedicaré la última parte de este capítulo.

Que se sepa, los griegos fueron los primeros en tener devaneos con el infinito; lo que les costó una buena dosis de escándalos, polémicas y disputas. El infinito estaba implicado en las paradojas de Zenón de Elea, y también en la irracionalidad de √2 que √2 pueda ser representado por una fracción fue un resultado que los pitagóricos descubrieron muy pronto y que les causó gran desconcierto —se darán más detalles en la sección § 4.1—; entre otras cosas porque detrás se esconde el infinito. Una fracción queda descrita por dos números enteros: su numerador y su denominador; pueden ser, desde luego, números de muchísimas cifras, de millones de cifras, pero son dos números. En cambio √2 no se puede describir de esa forma: puedo marcar una diferencia pequeñísima, insignificante, y dar una fracción que difiera de √2 menos que esa diferencia, pero esa fracción no será igual a √2 que se necesitará otra fracción si quiero disminuir más la diferencia fijada.

Ahí está el infinito: a una fracción seguirá otra y luego otra y otra más después, y podrán diferir muy poco de √2 casi nada, pero después de una tendré que dar otra porque no podré encontrar ninguna que sea igual a √2.

Con esos antecedentes, se optó por desgarrar el infinito y separarlo en dos partes; una apolínea, el infinito en potencia, y otra dionisíaca, el infinito en acto. El sempiterno «sentido común» aristotélico fue el cuchillo que se usó para sajar al monstruo. Por un lado era imposible negar la existencia de procesos que no tienen fin: «En lo pequeño no existe lo extremadamente pequeño, sino algo cada vez más pequeño», escribió Anaxágoras, y, también, «en lo grande siempre hay algo más grande». De manera que Aristóteles, en el libro III de la Física, le dio carta de naturaleza: «Es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles», de manera que «el infinito existe potencialmente», esto es, «el infinito es o por adición o por división». Ahora bien, el infinito en sí, como cosa completa, no iba a estar permitido: «No es posible que el infinito exista como un ser en acto o como una sustancia y un principio. La magnitud no es actualmente infinita, aunque infinitamente divisible».

Así, la regulación aristotélica impide considerar un segmento como una colección de infinitos puntos alineados, pero sí permite divisiones del segmento por la mitad, digamos, tantas veces como se quiera; prohíbe considerar a los números formando un todo acabado, aunque admite que existan números tan grandes como se desee. «Esta argumentación no priva a los matemáticos de sus especulaciones al negar la existencia actual del infinito —escribió Aristóteles— porque no tienen necesidad de este infinito, ya que no hacen uso de él, sino sólo, por ejemplo, de una línea finita que se prolongue tanto como ellos quieran».

El mandato aristotélico formulaba el infinito como una negación: «lo que no tiene límites». Esta definición por negación aparece claramente en la etimología griega del término infinito: aneipov —ápeiron—, formado por el prefijo de negación a, la raíz peiro —límite— y el sufijo neutro n. La etimología latina es una copia de la griega: infinitio, donde vuelve a aparecer el prefijo de negación in, la raíz finí —límite— y, finalmente, el sufijo de abstracción tío. La palabra infinitio fue un «invento» de Cicerón —aparece por primera vez en su obra De finibus (libro 1, cap. 21)—.

Así, el infinito, en potencia o en acto, fue convertido por Aristóteles en un monstruo con dos cabezas, y espantó a los griegos hasta elevar el miedo que le tuvieron al rango de leyenda. Y lo que infundía miedo era tanto enfrentarse al infinito como contravenir la prohibición de Aristóteles. Y así los matemáticos griegos respetaron la prohibición aristotélica, aunque con algunas señaladas excepciones. Una fue la de Arquímedes, aunque esa rebeldía fue cometida, más o menos, en la «intimidad». Los argumentos de Arquímedes aparecen en el Método, un libro-carta que Arquímedes envió al bibliotecario de Alejandría y que estuvo perdido hasta que a principios del siglo XX se encontró en un palimpsesto de Constantinopla, sobre el Método se darán más detalles en las secciones § 4.2, § 4.4 y § 5.3.1.

Cuando en Oriente árabes y asimilados empezaron a recuperar el legado griego, mantuvieron la prohibición aristotélica con el infinito, pero también con excepciones. Una de ellas fue Thabit ibn Qurra (s. IX), que hizo unas reflexiones sobre el infinito sumamente interesantes. Contravino a Aristóteles afirmando que el infinito en acto es admisible, que la comparación entre infinitos es también posible —emparejando sus elementos— y, por tanto, es posible establecer jerarquías de tamaño entre ellos —aunque los ejemplos que manejó Ibn Qurra fueron algo contradictorios—.

Pero el uso del infinito en acto también contravenía a Euclides, que en sus Elementos incluye como noción común o axioma que «el todo es mayor que la parte». Quien supo explicar esto mejor que nadie fue Galileo en sus Discorsi (1638): puesto que cada número genera un cuadrado distinto —el dos genera el cuatro, el tres el nueve, el cuatro el dieciséis, etc.— y a su vez cada cuadrado viene generado por un único número, podemos emparejar los números con sus cuadrados concluyendo que habrá tantos cuadrados como números; pero es de todo punto obvio que los números cuadrados son sólo una parte de los números —el dos, el tres, el cinco, el siete son números pero no cuadrados— y, en consecuencia, concluimos que hay más números que cuadrados —el todo es mayor que la parte—. Nos encontramos pues con la paradoja de que los números son, a la vez, tantos y más que los cuadrados. Galileo concluía que «los atributos de mayor, menor e igual no se aplican a los infinitos».

Pero para cuando Galileo hizo estos razonamientos, la prohibición aristotélica había sido ya superada, y el infinito había penetrado de forma determinante no sólo en las matemáticas sino también en otros ámbitos de la cultura. Y fue la de la religión una de las puertas de acceso que usó el infinito.

Precisamente, las elucubraciones de Ibn Qurra sobre el infinito se hicieron en un contexto religioso: Thabit, que perteneció a la secta de los sabeos adoradores de astros de Harrán, tuvo un alumno cristiano, y fue discutiendo con él sobre la controversia teológica relativa a la enumeración de las almas, y al conocimiento por Dios de la infinidad de seres singulares, donde hizo sus comentarios sobre el infinito.

El infinito es un adjetivo muy suculento para atribuirlo a la divinidad, más aun si se trata de calificar los atributos de una divinidad absoluta como la judeo-cristiana. Los teólogos pronto se dieron cuenta de la utilidad del infinito en acto para justificar determinados postulados bíblicos. El infinito fue de los conceptos que requirieron ciertos retoques conforme fue absorbido por el pensamiento cristiano. Este proceso de absorción de parte de la filosofía griega se inició con san Agustín, que deglutió todo lo que encontró comestible del pensamiento de Platón —versión Plotino—, y culminó con Tomás de Aquino haciendo lo propio con el pensamiento de Aristóteles.

La regulación aristotélica del infinito fue, en parte, modificada por Tomás de Aquino. Este consideraba a Dios como el primer infinito, plenamente y en toda línea: el infinito en acto. Según los escolásticos, Dios es de una personalidad voraz; nada le es ajeno y necesita alimentarse con el conocimiento absoluto de todo lo que existe. Y recíprocamente, lo existente existe por ser materia de conocimiento para Dios. En particular, Dios conoce la totalidad de los números como un todo, digamos que todos están presentes a la vez en el pensamiento de Dios; por tanto, esta presencia sería un ejemplo de un infinito en acto. El pensamiento filosófico de Tomás de Aquino admitía la existencia del infinito en acto, aunque, eso sí, únicamente conocible por Dios y fuera del alcance de la mente humana.

Los escolásticos vetaron al hombre el entendimiento del infinito en acto, pero el mismo hecho de introducirlo en la discusión teológica eliminó parte del «horror infiniti» del mundo griego. El infinito como atributo de Dios aparece con bastante frecuencia en los filósofos del siglo XVII. Así lo encontramos en Descartes: «Por Dios entiendo una sustancia infinita, eterna, inmutable, independiente, omnisciente, omnipotente», y también: «Reservamos solamente para Dios la calificación de infinito, tanto en razón de que no observamos límites en sus perfecciones, como también a causa de que estamos muy seguros de que no puede tenerlos»; en Spinoza: «Entiendo por Dios un ser absolutamente infinito, es decir, una sustancia constituida por una infinidad de atributos, cada uno de los cuales expresa su esencia eterna e infinita»; y también en Leibniz: «Cabe juzgar que esa Sustancia Suprema, que es única, universal y necesaria debe ser incapaz de límites y contener tanta realidad cuanta sea posible».

Algunos de esos filósofos que hacían comparecer al infinito para describir a Dios fueron también científicos y matemáticos, y la implicación más o menos explícita del infinito en acto en todas esas elucubraciones sobre la esencia de Dios fue, como acabo de escribir, un tónico que les permitió superar el «horror infiniti» que aquejó a los griegos. De esta forma se empezaron a usar, con enorme éxito, las cantidades infinitamente grandes y pequeñas —los infinitésimos o infinitesimales— como herramientas para el tratamiento de diversos problemas matemáticos —para el trazado de tangentes a curvas, problemas de máximos y mínimos, el cálculo de áreas y volúmenes, etc.— y físicos —el movimiento planetario, la dinámica, la cinemática, la óptica, etc.—. Estas técnicas matemáticas cristalizarían a finales del siglo XVII con la invención del cálculo infinitesimal, uno de cuyos inventores fue, precisamente, Leibniz; y el otro, Newton, también fue un redomado teólogo y creyente en un Dios omnipotente —al cálculo infinitesimal le dedicaré más de la mitad del capítulo 5—.

El veneno alucinógeno de la víbora infinita era, pues, la sangre que fluía por las venas y arterias del cálculo infinitesimal; se da la paradoja de que, a pesar de recibir su alimento y su fuerza de un ente tan metafísico y ajeno al mundo natural como el infinito, casi más teológico que científico, el cálculo infinitesimal ha sido la herramienta matemática más potente y eficaz jamás creada para el estudio de la naturaleza. Durante los siglos XVII y XVIII los matemáticos fueron conscientes de que no llegaban a entender la esencia de esos objetos infinitos en acto —incluso se manifestaron serias dudas sobre la solidez y validez lógica de su uso—; pero no por eso renunciaron a recoger los frutos que su presencia ofrecía. En la pelea que tuvo lugar dentro del corazón de esos matemáticos entre lo apolíneo —la demostración— y lo dionisíaco —el descubrimiento— ganó, por mucho, lo segundo.

Las manipulaciones con los infinitesimales culminaron en la figura de Leonhard Euler (1707−1783). Frente al escrúpulo con que los griegos manejaron el infinito —en potencia, no en acto—, Euler lo usó de manera casi morbosa convirtiéndolo en una poderosa herramienta de descubrimiento: el uso de los infinitos —grandes y pequeños— permitió al matemático suizo descubrir resultados profundos y difíciles en apenas unos pocos renglones, dejando además al descubierto el esqueleto de ideas que propiciaron el descubrimiento. Es tal la desmesura de Euler, prevalece de tal manera su sentido de lo dionisíaco, que sus matemáticas con los infinitos llegan a tener valor estético. Desde luego participan de lo sublime, la categoría estética de Kant, en cuanto que «producen un sentimiento de dolor y, al mismo tiempo, un placer despertado, una conmoción, un movimiento alternativo, rápido, de atracción y repulsión de ese mismo objeto»; y tienen la fuerza necesaria para generar en nosotros esa conmoción en la que Theodor Adorno sitúa el logro estético: la capacidad de producir algún tipo de escalofrío.

Los infinitos, tal y como los usaron Euler y los matemáticos del XVIII, eran, desde luego, en acto. Sin embargo, la primera formulación rigurosa y con bases lógicas adecuadas del cálculo infinitesimal —culminó a mediados del siglo XIX, véase la sección § 6.1— utilizó el infinito en potencia; concretamente sustituyendo las cantidades infinitesimales por procesos de paso al límite que respetaban escrupulosamente la prohibición aristotélica del infinito en acto. Los infinitésimos pasaron a ser variables que tienden a cero, esto es, entidades infinitamente pequeñas en potencia.

Otra vía de penetración del infinito en acto en la cultura occidental se produjo a través de la pintura del Quatroccento italiano, donde aparece implícitamente con el uso de la perspectiva: el infinito se materializa en forma de punto de fuga central donde concurren las rectas paralelas entre sí y perpendiculares al plano del cuadro. Así, las matemáticas como herramienta artística fueron usadas por Filippo Brunelleschi (1377−1446), Leone Bañista Alberti (1406−1472) y, sobre todo, Piero della Francesca (1410−1487). Sin olvidar al mejor matemático de entre todos los artistas del Renacimiento: Albert Durero (1471−1528). El uso del infinito permitió al arte del Renacimiento convertir «el espacio en el que se disponen las cosas en un elemento infinito, continuo y homogéneo», por decirlo en palabras de Joan Sureda —de todo lo cual se dará más detalle en la sección § 7.1—.

Pero la incomodidad sobre el infinito se mantuvo, los matemáticos no renunciaron a ello, pero paradojas como la de Galileo hacían que lo manejaran con la nariz tapada.

Hasta que, a mediados del siglo XIX, algunos matemáticos empezaron a entender que donde Galileo había visto una paradoja que impedía aplicar a los infinitos los atributos de mayor, menor e igual, no había tal, sino la propiedad intrínseca y característica de los conjuntos infinitos, y que, por tanto, estos podían ser estudiados matemáticamente. Entre ellos estuvieron Bernhard Bolzano, Richard Dedekind y, sobre todo, Georg Cantor.

Así, Richard Dedekind (1831−1916) ascendió la paradoja de Galileo a la categoría de definición de conjunto infinito: aquel que tiene los mismos elementos que una de sus partes. Esta definición supuso, por un lado, quebrar una situación de facto, y, por otro, una definición precisa de lo que es un conjunto infinito que permite su tratamiento matemático. Es más afinada que la consideración aristotélica del infinito como lo que no tiene límites. Así, el conjunto de los números es infinito porque tiene igual número de elementos que el conjunto de los números cuadrados, que es una de sus partes.

Sin embargo, el principal protagonista del sometimiento del monstruo, en la manera en que ese monstruo se ha dejado someter, fue Georg Cantor (1845−1918).

Georg Cantor fue una figura pletórica y excesiva, una personalidad desmesurada, una mente dionisíaca que las zarpas de la locura acabaron desgarrando. Acuñó un aforismo lleno de hermosura que sintetiza la característica que distingue a las matemáticas de las demás ciencias: «La esencia de las matemáticas es la libertad».

La revolución que Cantor puso en marcha acabó cambiando la forma de hacer matemáticas: Cantor inició un proceso de abstracción caracterizado por la aparición de pruebas de existencia no constructivas, y que potenció el que ya vivió el álgebra en la segunda mitad del siglo XIX con el descubrimiento de numerosas estructuras algebraicas abstractas —más detalles en el capítulo 8—. Después de Cantor, los matemáticos hemos acabado por admitir que la existencia de un determinado objeto matemático puede quedar garantizada aunque no se especifique cómo se puede construir dicho objeto. Significativamente, este proceso de abstracción en las matemáticas es contemporáneo con lo acontecido en escultura, música o pintura; en especial con estas dos últimas, donde se dan reveladoras similitudes en la concepción del discurso musical, por un lado, y del espacio, por otro, que no por insospechadas son menos sustanciosas.

Cantor nació en San Petersburgo en 1845, de padre danés y madre alemana, pero vivió casi toda su vida en Alemania. Los nazis incluyeron las matemáticas de Cantor entre las de tipología judía —las consideraron especialmente «degeneradas»—, pero no parece que Cantor tuviera ascendencia judía —a pesar de lo cual los nazis retiraron un busto de Cantor erigido en Halle con motivo de su septuagésimo aniversario—. Su padre era protestante, y su madre católica antes de casarse, y después protestante como el marido.

A Cantor padre le hubiera gustado que su hijo fuera ingeniero, y ejerció cierta presión para conseguirlo. Encontramos una buena muestra de ella en una carta que le dirigió en 1860. Allí se leen continuas alusiones a Dios —«creador del universo», «padre de todas las criaturas»— que a Cantor hijo, sin duda, le debieron afectar, pues toda su vida fue un decidido creyente; profesó el protestantismo, coqueteó con el catolicismo, y llegó a ser gran conocedor, y defensor, de la teología de Tomás de Aquino —aborreció, seguramente por razones religiosas, la teoría de la evolución de Darwin—. Aunque no debe extrañar esta fe ciega en Dios en quien hizo del infinito su oscuro objeto de deseo. También mencionaba Cantor padre en su carta los peligros que acechan al hombre para impedirle alcanzar su destino —«escondidos en la más profunda oscuridad», «enemigos, secretos o declarados, que nos vigilan»—; era una manera de preparar las últimas líneas de la carta que acababa con una recomendación digna de Vito Corleone: «La familia espera de ti que llegues a ser, si Dios así lo quiere, una rutilante estrella en el firmamento de la ingeniería». Pero Cantor desoyó los consejos del padre y, aunque llegó a ser una estrella brillante, no lo fue de la ingeniería sino de las matemáticas: ha pasado a la historia como el paladín que se propuso domeñar al infinito y creó, de paso, la teoría de conjuntos.

Los primeros escarceos de Cantor con el infinito le llevaron a indagar si los distintos conjuntos de números a su disposición tenían o no igual número de elementos. Para comparar esos conjuntos usó la herramienta del emparejamiento, pues entendía que dos conjuntos tienen igual número de elementos si se pueden emparejar sus elementos sin que falten ni sobren elementos en ninguno de los dos conjuntos. De esta forma, Cantor emparejó los números naturales con los números enteros, primero, y con los racionales, después.

A Cantor, sin embargo, estos resultados no le llegaban a satisfacer del todo, porque para poder hacer matemáticas con el infinito necesitaba cierta variedad, pero en vista de lo que iba obteniendo empezó a preocuparse pensando que quizá todos los infinitos iban a ser igual de grandes.

Cantor obtuvo esos resultados a principios de la década de 1870. Hasta entonces había estudiado problemas de teoría de números y análisis matemático que le habían permitido conseguir un puesto de profesor en la Universidad de Halle, al principio sin sueldo, aunque hacia 1874 ya había estabilizado su situación, siendo nombrado catedrático en 1879. Cantor siempre permaneció en Halle, a pesar de su interés por llegar a Berlín o a Gotinga, universidades que le cerraron sus puertas por el rechazo que el tipo de investigación que Cantor comenzó a hacer con el infinito generó en sus colegas más influyentes.

En 1872, Cantor conoció en Suiza a Richard Dedekind y comenzaron una larga amistad que vivió momentos mejores y peores —cuando se conocieron, Dedekind tenía cuarenta y un años y Cantor veintisiete—; a Cantor no le gustó que Dedekind rehusara en 1882 un puesto en Halle para el que él mismo le había recomendado, y a Dedekind le gustó menos aún que Cantor usara algunos de los resultados que le había sugerido en sus cartas sin el correspondiente agradecimiento. Dedekind estuvo también muy interesado por las cuestiones del infinito, y cabe atribuirle una parte del impulso inicial de lo que después sería la teoría de conjuntos —así como en el proceso de abstracción del álgebra; más en la sección § 8.3—. Como escribí antes, a él se debe la definición de un conjunto infinito como aquel que se puede emparejar con una de sus partes; definición de la que ya disponía en 1872, aunque no la publicó hasta 1888. A diferencia de Cantor, Dedekind era más logicista que platónico, lo que quiere decir que Dedekind necesitaba una demostración de la existencia del infinito en acto, existencia que Cantor daba por supuesto. Dedekind, de hecho, propuso tal demostración basada en la lógica y en su definición de infinito. Este intento recuerda el argumento ontológico de san Anselmo (s. XI) en favor de la existencia de Dios; el conjunto infinito de Dedekind era: «El universo mental, es decir, la totalidad de todas las cosas que pueden ser objeto de mi pensamiento». Ni el intento de Dedekind de mostrar la existencia lógica de un conjunto infinito en acto, ni otros parecidos, han tenido éxito; para consternación de Dedekind, o del querido y admirado Bertrand Russell, las cuestiones del infinito están entre las que, hoy por hoy, establecen la independencia de la república de las matemáticas frente a las agresiones imperialistas de la lógica.

Cantor tomó por costumbre enviarle a Dedekind sus descubrimientos solicitándole opinión sobre la solvencia de sus demostraciones; los originales de estas cartas quedaron entre los papeles de Dedekind, y su contenido matemático se ha publicado de forma razonablemente completa. De las respuestas de Dedekind se conservaron mayormente borradores. A pesar de que la correspondencia es irregular, con períodos de intercambio intenso y largos años sin ninguna carta, ese material ha permitido conocer bien la forma en que Cantor fue haciendo sus primeros descubrimientos.

En la dicotomía entre prudencia y pasión, Dedekind fue el prudente, el clásico, el apolíneo, el apegado al rigor lógico, mientras Cantor fue el apasionado, el romántico, el dionisíaco, el obsesionado por descubrir mundos nuevos. El primer atisbo de que esos mundos existían lo tuvo Cantor a finales de 1873, cuando hizo su primer descubrimiento decisivo: por fin encontró dos infinitos distintos.

Cantor mostró que el conjunto de los números naturales no se puede emparejar con el de los puntos de un segmento; el 7 de diciembre le envió a Dedekind la demostración pidiéndole que fuera «el más indulgente de los críticos». Al día siguiente recibió una carta de Dedekind con felicitaciones.

La primera demostración que Cantor le envió a Dedekind es bastante complicada, pero diecisiete años después, en 1891, Cantor encontró una demostración asombrosamente sencilla de ese hecho fundamental. La formuló en el primer encuentro de la recién creada Sociedad Matemática Alemana —sociedad que Cantor ayudó a crear e impulsó como una manera de contrarrestar el peso que tenían los matemáticos de la Universidad de Berlín—.

Eso quiere decir que no todos los infinitos son igual de grandes. El infinito de los números naturales es más pequeño que el de los puntos de un segmento. Al primero lo llamamos el «infinito numerable» y ha resultado ser el infinito más pequeño de todos. Al infinito de los puntos de un segmento lo llamamos el «continuo».

Pero, para empezar a construir su edificio, Cantor necesitaba algo más que dos infinitos distintos: necesitaba poder mostrar que había muchísimas más clases distintas de infinitos, necesitaba un procedimiento para construir infinitos cada vez más grandes.

Dar ese paso le costó a Cantor bastantes años de trabajo. Inicialmente (1874) pensó que esa escala de infinitos la iba a poder lograr considerando los puntos de un segmento, los de un cuadrado, los de un cubo, etc. Tardó más de tres años en descubrir que todos esos infinitos son iguales. Algo que le pareció tan increíble que, en junio de 1877, le envió una carta a Dedekind con la demostración… y un ruego: «Mientras no me haya dado usted su aprobación de esta demostración sólo podré decir: ¡lo veo pero no lo creo!».

Cantor tardó casi veinte años desde que encontró dos infinitos distintos hasta que pudo mostrar que los había tan grandes como se quisiera. De hecho, construyó su teoría de los infinitos suponiendo, sin demostración alguna, ese hecho crucial. La solución la encontró usando lo que hemos acabado llamando las partes de un conjunto: el conjunto de las partes del conjunto A es el nuevo conjunto que se obtiene al considerar todos los conjuntos que podemos formar con los elementos de A; si llamamos P(A) a las partes de A, entonces, si A = {1,2,3} tendríamos:

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Cuando el conjunto de partida es finito, pongamos con un número genérico n de elementos, el conjunto de sus partes tiene exactamente 2n elementos.

Si partimos de un conjunto A infinito, Cantor probó que el infinito correspondiente al conjunto de las partes de A es siempre mayor que el de partida. Para lo que usó su procedimiento diagonal: supongamos que haya un emparejamiento de un conjunto A con el conjunto de sus partes P(A). Cada elemento x de A tendrá como pareja un conjunto X formado por elementos de A. Definimos ahora una parte de A que no va a tener pareja: es el conjunto que llamo Y, y está formado por aquellos elementos x de A que no están en su correspondiente pareja X. En efecto, si un elemento x de A está en su pareja X, entonces, por definición de Y, ese x no estará en Y. Luego X ≠ Y, pues x es un elemento de X pero no de Y. Por otro lado, si un elemento x de A no está en su pareja X, entonces, por definición de Y, ese x estará en Y. Y otra vez X ≠ Y pues x es un elemento de Y pero no de X. Eso muestra que ningún elemento x de A puede tener como pareja al conjunto Y. La suposición de partida es pues imposible, y podemos concluir que el infinito correspondiente a P(A) es siempre mayor que el de A.

La palabra alemana para infinito es unendlich, y responde a la misma regla formativa que la correspondiente palabra griega o latina: negar (un) lo finito o limitado (endlich). Cantor empezó usando el término unendlich pero hacia 1883 propuso usar la palabra latina transfinitum: más allá de lo limitado. Quería así anular la sombra que la negación implícita en el nombre «infinito» pudiera arrojar sobre el concepto.

Tras dedicar un cuarto de siglo a estudiarlos, Cantor logró ordenar el universo de los infinitos: como si fuera un desfile de monstruos, los dispuso unos a continuación de otros, en un orden parecido —esto es sólo una manera de hablar— a como están ordenados los números, y estipuló cómo se podían sumar, multiplicar, elevar unos infinitos a la potencia de otros, etcétera. Y también diseñó una atractiva forma para escribir los distintos infinitos usando la primera letra del alfabeto hebreo, llamada «aleph»: . Así, propuso escribir el infinito más pequeño —el que corresponde a los números naturales, en la forma ℵ₀. A este infinito le sigue otro mayor, el ℵ₁, y a este el ℵ₂, y después viene un tercero, el ℵ₃, y así los distintos tamaños de infinitos se van ordenando en una cadena ininterrumpida. Pero no piense el lector que acaban con los números, pues hay un infinito mayor que todos los ℵn, cualquiera que sea el número n, al que Cantor asignó el símbolo ℵw, a partir del cual comenzaría otro tramo de infinitos: ℵw, ℵw+1, ℵw+2…, al cabo de los cuales nos esperaría otro monstruo ℵw·2, para empezar otro nuevo tramo, tras el que vendría un monstruo aún mayor…

Fuera de ese desfile de infinitos queda lo que Cantor llamó «multiplicidades incompletables», un infinito absoluto como lo calificó él, fuera de cualquier control o dominio matemático —no digamos ya lógico—: «Lo absoluto —escribió Cantor en 1883— sólo puede ser reconocido, pero nunca conocido, ni siquiera aproximadamente conocido». El infinito que a Cantor le interesaba está situado entre lo finito y lo absoluto. El infinito absoluto está emparentado con esas entelequias inmensas e inimaginables como el conjunto de todos los conjuntos, o el conjunto de los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, por citar sólo dos ejemplos; esta última monstruosidad es la protagonista de la paradoja que Bertrand Russell —que comentaré por extenso en la sección § 9.3 en relación con el logicismo—.

Cantor conoció la paradoja de Russell y otras cuantas que surgieron durante el cambio del siglo XIX al XX, y que supusieron una seria crisis de fundamentos para las matemáticas. Pero a Cantor nunca le preocuparon esas paradojas porque siempre tuvo la convicción de que no afectaban al tipo de conjuntos e infinitos que él estudió, sino a esas entidades excesivas y monstruosamente enormes emparentadas con lo absoluto, esa cosa que podemos reconocer pero no conocer. Los infinitos absolutos, señores de un harén completo de paradojas, nunca preocuparon a Cantor: como los escolásticos, Cantor los desterró a los exclusivos dominios de la mente tortuosa de Dios.

Y la alusión a Dios no es gratuita. Las paradojas surgieron por la consideración un tanto ingenua de que un conjunto es cualquier colección de cosas; esa era, precisamente, la definición de Gottlob Frege que la paradoja de Russell demolió. Esa paradoja tiene una formulación similar a las que se pueden proponer para contradecir el carácter omnipotente de Dios —otra ingenuidad—: ¿puede Dios crear una piedra que Él mismo no pueda levantar? Si la puede crear ya hay algo que Dios no puede hacer: levantar esa piedra; si no la puede crear, también hay algo que no puede hacer: crearla.

El tipo de problemas a los que se enfrentó Cantor, especialmente el de la hipótesis del continuo —¿es el infinito de los puntos de una recta igual a ₁?— no se resuelve contemplando el mundo que nos rodea, sino penetrando en las profundidades más recónditas de la mente humana. Ocurre a menudo en matemáticas que, en ese esfuerzo por desentrañar las interioridades de un problema, uno nunca sabe el tamaño de la madeja en que el problema está envuelto, ni la cantidad de hilo que tendrá que desmadejar para ver si al otro lado viene la solución, pues ni siquiera tiene certeza alguna, cuando tira esforzadamente de un hilo, de que vaya a haber algo al otro extremo. Esa situación provoca una enorme tensión psicológica. Puede ocurrir que uno se pase semanas, meses, e incluso años, trabajando esforzadamente en la resolución de un problema sin que en todo ese tiempo se tenga la más mínima indicación de si está cerca o lejos de resolverlo. Si al final lo consigues resolver, pasando a menudo en apenas un instante de no tener nada a tenerlo todo, la recompensa es de una salvaje intensidad emocional, una descomunal descarga de placer casi físico que te desgarra el cuerpo en súbitas oleadas de incontrolable complacencia. Esa intensidad —esa especie de orgasmo a medio camino entre lo físico y lo metafísico— admite mala comparación a lo que se siente en otros procesos creativos, donde la dulce ambrosía que produce el acto creativo se saborea más prolongadamente en el tiempo pero, por lo mismo, es de un sabor más diluido.

Lo malo es que puede ocurrir, y ocurre, que cuando, después de gastar una enormidad de tiempo y energía nada se obtiene, y el problema en el que nos hemos dejado la piel a tiras queda tan irresuelto como estaba cuando empezamos a atacarlo, la frustración, la explosiva mezcla de cansancio mental y físico, de impotencia, y sentido del fracaso, puede acabar pasando factura.

En los momentos en que uno ataca con más ferocidad un problema ocurre que, mucho antes de que los ojos del rostro se abran a la luz exterior cada nuevo día después del sueño, los de la mente, casi ajenos a nuestro yo consciente, ya llevan rato escrutando el problema que queremos resolver. Al sentir cómo las brumas del sueño se retiran de nuestro cerebro, al sentir cómo recuperamos la conciencia después del sueño, lo primero que advertimos es que, como el dinosaurio del microcuento de Monterroso, el problema todavía está ahí. Esa obsesión es a menudo incontrolable, y se parece al águila que devora hambrienta las entrañas de Prometeo en el célebre mito griego. Cuando al despertar lo primero que percibimos es que, lo queramos nosotros o no, el problema sigue atorado en el engranaje de nuestras neuronas, uno cree sentir lo mismo que debía de sentir Prometeo cuando cada amanecer sus ojos se abrían y lo primero que alcanzaban a ver era la silueta del águila acercándose desde la lejanía.

Cantor, a mediados de 1884, sufrió su primer colapso mental, una crisis de la que apenas se sabe que duró más o menos dos meses y llegó tan fulminantemente como se fue. A partir de entonces, la personalidad de Cantor, ya de por sí controvertida y con pronunciadas tendencias místicas, se hizo aún más excéntrica. En cierta forma, abandonó la investigación matemática como primera actividad, y se dio a otros menesteres intelectuales de índole bastante más dudosa. Como resultado de esos estudios llegó a sostener y defender que Francis Bacon fue el autor de las obras de Shakespeare y que José de Arimatea era el padre carnal de Jesucristo.

Por esas mismas fechas, Cantor estaba también en lo más crudo de su batalla con el establishment matemático alemán. El tipo de resultados tan contraintuitivos le generó a Cantor no pocas críticas, sobre todo de matemáticos de mayor edad, y un fuerte enfrentamiento contra muchos de sus colegas alemanes. Esas peleas estuvieron en buena medida provocadas por la dedicación de Cantor a las cuestiones del infinito y la defensa de la consideración única y exclusiva de la realidad inmanente de los conceptos matemáticos, sin ninguna obligación de examinarlos a la luz de su realidad tangible o aplicada. Pocas dudas caben sobre el hostigamiento que Cantor sufrió: su investigación fue calificada a menudo de insignificante y carente de todo interés; cuando sus esfuerzos empezaron a reconocerse, las malas lenguas pusieron en boca de Henri Poincaré (1854−1912), uno de los gigantes matemáticos del momento, una célebre infamia: «Las generaciones venideras considerarán la teoría de conjuntos de Cantor como una enfermedad de la que uno tiene que recuperarse». Aunque también es cierto que poco a poco, y gracias al cambio generacional, se fue reconociendo la importancia de la teoría de conjuntos, ese territorio donde finalmente Hilbert ubicó el paraíso de los matemáticos.

Cantor acabó recibiendo reconocimientos internacionales por su obra; pero esos reconocimientos quedaron oscurecidos por el aumento que con los años sufrieron sus crisis mentales, sobre todo a partir de 1899, a consecuencia de las cuales fue internado en clínicas de reposo cada dos o tres años aquejado de manías persecutorias y cuadros maníaco-depresivos. No fue extraño que recibiera la noticia de la concesión de los honores en el manicomio de la Universidad de Halle.

¿Fue su pelea con el infinito lo que causó la enfermedad mental de Cantor? Hay que tener precaución con este tipo de preguntas. Es innegable que cierta tentación melodramática puede inclinarnos a contestar afirmativamente a esa pregunta. Y no han sido pocos los autores que se han dejado arrastrar por ella hasta convertir en un hito del folclore matemático que la enfermedad mental de Cantor la provocó su obsesión por la hipótesis del continuo. Quizá fuera Bertrand Russell quien más colaboró con esa causa —tal vez inadvertidamente—. Cantor visitó por primera vez Gran Bretaña en septiembre de 1911, al haber sido invitado a los fastos por el quingentésimo aniversario de la creación de la Universidad de St. Andrews en Escocia —esta universidad lo nombró al año siguiente doctor honoris causa—; después viajó a Londres y escribió a Russell un par de cartas proponiendo un encuentro con él, que finalmente no se produjo. El caso es que Russell incluyó en su autobiografía, publicada en 1967−1969, una referencia a esas dos cartas y al comportamiento un tanto excéntrico de Cantor —quizá consecuencia de la excitación que le produjo pisar por primera vez la tierra de Shakespeare y Bacon—. «Georg Cantor fue, en mi opinión —escribió Russell—, uno de los mejores cerebros del siglo XIX. Después de leer la siguiente carta, nadie se sorprenderá de saber que estuvo buena parte de su vida en un asilo para lunáticos.» Al respecto de este comentario, el historiador británico de las matemáticas Ivor Grattan-Guinness, uno de los que primero levantaron su voz contra las razones matemáticas de la locura de Cantor, escribió en 1971: «Las dos cartas de Cantor tienen un carácter innegablemente errático: de hecho, los manuscritos son todavía más reveladores. Muestran varios de los hábitos que tenía cuando la agitación se apoderaba de él. La caligrafía es muy florida y los renglones tienden a irse hacia arriba conforme progresan en la página; y no sólo continúan en los márgenes —algo típico de Cantor— sino que en una página de la segunda carta llegó a escribir de arriba a abajo sobre otros renglones que iban, según lo habitual, de izquierda a derecha. Hay, incluso, un párrafo de la carta que está escrito en el dorso del sobre».

Es muy posible que la enfermedad mental de Cantor tuviera causas genéticas. «La falta de evidencia documental combinada con la naturaleza rudimentaria de los tratamientos psicológicos en esa época impide una evaluación profesional definitiva de la enfermedad mental de Cantor —escribió Grattan-Guinness—. Los ataques empezaban de repente, habitualmente en otoño, y mostraban fases de excitación y exaltación. Finalizaban también de repente al inicio de la primavera o del verano, y algunas veces le seguía lo que ahora entendemos que debía de ser la fase depresiva. Lo que se interpretaba entonces como una cura, durante la cual Cantor pasaba el tiempo en casa sentado en silencio horas y horas; pero entonces esta fase también finalizaba de repente y Cantor volvía a su trabajo y ocupaciones».

Aunque las causas genéticas no quitan que la tirantez de sus relaciones académicas o la tensión de su pelea con el infinito agudizaran o precipitaran sus crisis mentales. Desde 1878 Cantor estuvo batallando para demostrar la hipótesis del continuo; naturalmente no se dedicó exclusivamente a investigar ese problema, pero es indiscutible que le dedicó años completos de esfuerzo tan intenso y apasionado como estéril. Y no es menos cierto que cualquier noticia sobre la resolución del problema le causó siempre una profunda impresión: «En agosto de 1904 —escribió Grattan-Guinness—, asistió al tercer Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Heidelberg con sus hijas Else y Anna-Marie. Aunque no presentó ninguna comunicación, se anunciaron en el congreso algunos resultados controvertidos que en parte implicaban que su hipótesis del continuo era falsa. Sus exhortaciones a los participantes para que encontrasen algún error en esos resultados fueron recordadas durante mucho tiempo. Cantor sufría los primeros síntomas de otro de sus ataques, y un mes después fue ingresado otra vez en una clínica».

Y si tanta dedicación a los problemas matemáticos del infinito fue perturbadora para la estabilidad emocional de Cantor, no lo fueron menos otras tragedias de la vida como la que sufrió en 1899 cuando Rudolf, el más joven de sus seis hijos, murió a los trece años de edad.

En mayo de 1917 Cantor fue otra vez ingresado, contra su voluntad, en el manicomio de la Universidad de Halle; según Grattan-Guinness: «La guerra provocó escasez de alimentos, y Cantor adelgazó y fue presa, además del cansancio y la enfermedad, también del hambre. Por Año Nuevo, Cantor envió a su mujer las últimas cuarenta hojas del calendario del año anterior, dándole a entender que había vivido esos días; pero el 6 de enero murió de repente y sin dolor de un ataque al corazón. Fue enterrado en Halle cerca de su hijo Rudolf».

Capítulo 2

¿Sirvienta o señora?

§ 2.1. En honor del espíritu humano

¿Son las matemáticas un puro divertimento, un juego de indagación en sistemas de objetos que por su carácter abstracto están alejados del mundo real que nos rodea —incluyendo en ese mundo tanto los fenómenos naturales como los sociales—? ¿Tienen utilidad las matemáticas? ¿Deben tener utilidad las matemáticas? ¿Deben servir a las otras ciencias o ser señora de su propio destino?

Este dilema ha atravesado, con mayor o menor vehemencia, toda la historia de las matemáticas y de la ciencia. Como botón de muestra he aquí la respuesta que Carl Gustav Jacobi (1804−1851) envió a Joseph Fourier (1768-1830) sobre esta cuestión: «El señor Fourier opina que la finalidad primordial de las matemáticas consiste en su utilidad pública y en la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debería haber sabido que la finalidad única de la ciencia es la de rendir honor al espíritu humano y que, por ello, una cuestión sobre números vale tanto como una cuestión sobre el sistema del mundo». Como se ve, hay algo esquizoide en ese conflicto que convierte a la utilidad de las matemáticas en una especie de Jekyll y Hyde de la filosofía de la ciencia.

No se puede negar que las matemáticas están llenas de conceptos abstractos que parecen no ser de este mundo; también hay que reconocer que el peso de su importantísima componente estética ha sido fundamental en su desarrollo. Dada esa falta de utilidad o finalidad y la importancia de lo estético, es muy tentador decir que las matemáticas son un arte —Kant definía el sentido de lo estético como una finalidad sin fin—.

De hecho, Karl Popper —el más influyente filósofo de la ciencia del siglo XX— dijo que las matemáticas ni siquiera son una ciencia, o no en el sentido en que las otras ciencias lo son. Primero, porque la preocupación máxima de las matemáticas no parece ser el estudio y conocimiento de la realidad; y, segundo, porque una de las características principales de las teorías científicas —según Popper— no es su verificabilidad sino su falsabilidad, esto es, para que una teoría pueda ser considerada científica debe existir la posibilidad de que la confrontación experimental con la realidad física demuestre su falsedad. Y esto no parece ocurrir con las teorías matemáticas cuya validez o invalidez no viene determinada por los éxitos experimentales sino por la solidez lógica de las demostraciones.

Claro que todas esas afirmaciones admiten matices —muchos—. Empezando porque no todos los conceptos ni teorías matemáticas fueron desarrolladas desde la lógica. Piénsese, por ejemplo, en lo ocurrido con el infinito —como hubo ocasión de explicar en la sección § 1.4—. O con el desarrollo del cálculo infinitesimal durante el final del siglo XVII, todo el siglo XVIII y el primer tercio del siglo XIX —como se verá en las secciones § 5.3 y § 6.1—. Durante todo ese período, esa fundamental teoría matemática se desarrolló sin unas bases lógicas sólidas que la sustentaran y usando un concepto tan fantasmal como los infinitesimales. A pesar de esa debilidad lógica, el cálculo infinitesimal era una herramienta tan potente, de tanta utilidad —no sólo para el desarrollo del análisis matemático, sino también para la geometría y, sobre todo, para la naciente física matemática o la astronomía—, que pocos matemáticos, si alguno, dejó de utilizarla porque su fundamentación lógica fuera débil. Se la utilizaba por su potencia y porque, en apariencia, producía resultados válidos. El cálculo infinitesimal muestra, además, que a fin de cuentas las matemáticas también tienen aplicaciones fuera de ellas mismas; son útiles para muchas otras ciencias, y eso hace que sea hasta cierto punto inapropiado decir que las matemáticas no son ciencia.

Y, volviendo a las cuestiones estéticas —innegables—, sería mejor decir que las matemáticas son un arte con aplicaciones —por más que estemos forzando la idea kantiana del arte como finalidad sin fin—.

De hecho, las matemáticas tuvieron en origen una clara utilidad práctica. Como se verá en la sección § 3.1, los números fueron consustanciales al incipiente comercio que se produjo tras el desarrollo de la agricultura y la ganadería —piénsese, por ejemplo, en los magníficos sistemas numéricos desarrollados en Mesopotamia—. Y qué decir de la geometría: un término que se construye con las palabras «geo», tierra, y «metría», medida. Esa etimología delata bien a las claras los propósitos prácticos que la trajeron al mundo. La geometría nació con las manos manchadas de barro: y ese barro no es otro que el limo que arrastra el Nilo. Contó Heródoto que Ramsés II distribuyó la tierra entre los egipcios en parcelas cuadradas por las que tenían que pagar una tasa; cuando el Nilo se desbordaba, los dueños de unas parcelas exigían una reducción de la tasa atendiendo a la tierra que el río se había llevado, mientras que los recaudadores exigían a los dueños de otras un aumento con arreglo a la nueva tierra depositada. El aumento o reducción del impuesto era decidido finalmente por las medidas que los agrimensores reales tomaban en las parcelas. «Así fue, en mi opinión —escribió Heródoto—, como nació la geometría que después pasó a Grecia.»

Este aspecto aplicado de las matemáticas fue después criticado por Platón, para quien las matemáticas debían ser un sofisticado constructo intelectual cuya función primordial debía ser la formación de la mente humana: una guía que nos ayudara primero a alcanzar y, después, a movernos en el mundo perfecto de las ideas. Incluso Aristóteles abogó por asignar a las matemáticas un valor de conocimiento sin finalidad, de ciencia «que no se aplica ni a los placeres ni a las necesidades de la vida».

A pesar del peso intelectual que Platón y Aristóteles tuvieron en la Grecia clásica —y que han seguido teniendo después—, siempre ha habido matemáticos, incluso en Grecia, que no dieron la espalda a estos aspectos aplicados de las matemáticas. Y entre ellos brillan las cuatro estrellas más fulgurantes del firmamento matemático: Arquímedes, Newton, Euler y Gauss. Usaremos a continuación a Arquímedes y Gauss para profundizar en la doble personalidad, pura y aplicada, que tienen las matemáticas. La fama de Arquímedes como ingeniero militar fue casi mayor que la que tuvo como matemático. La leyenda cuenta maravillas del poder sobrehumano que su capacidad inventiva le otorgaba, hasta el punto de elevarlo casi a la categoría de semidiós: «Todos los secretos del universo le eran a Arquímedes conocidos —escribió Silio Itálico en sus Guerras Púnicas (siglo I d. C.)—. Sabía cuándo los oscuros rayos del Sol naciente presagiaban la tempestad, si la Tierra estaba fija o suspendida por su eje, por qué el mar extendido sobre el globo se mantenía encadenado a su superficie, cuáles eran las causas de la agitación de las olas y de las diferentes fases de la Luna, qué ley seguía el océano en el flujo y reflujo de las mareas. Fama tenía de haber contado las arenas de la tierra; él, que supo poner a flote una galera con el esfuerzo de una sola mujer; él, que hizo subir rocas amontonadas en contra de la pendiente del terreno». Lo de subir y bajar grandes pesos, ya sea una galera o una roca, ha llamado siempre la atención de los cronistas; en Vida de Marcelo Plutarco hace también mención a esos hechos, en especial a la levitación casi mágica del barco: «Arquímedes, pariente y amigo de Hierón, le escribió que, con una potencia dada, se puede mover un peso igualmente dado; y jugando, como suele decirse, con la fuerza de la demostración, le aseguró que si le dieran otra Tierra movería esta tomando la otra como punto de apoyo. Maravillado Hierón, y pidiéndole que lo verificara con obras e hiciese ostensible cómo se movía alguna gran mole con una potencia pequeña, Arquímedes tomó un gran transporte de tres velas del arsenal del rey, que fue sacado a tierra con mucho trabajo y a fuerza de un gran número de brazos; lo cargó de gente y del peso que solía echársele, y sentado lejos de él, sin esfuerzo alguno y con sólo mover con la mano el cabo de una máquina de gran fuerza atractiva, Arquímedes lo llevó así derecho y sin detención, como si corriese por el mar. Se pasmó el rey y, convencido del poder del arte, encargó a Arquímedes que le construyese toda especie de máquinas de sitio, bien fuese para defenderse o bien para atacar».

Hierón, rey de Siracusa y aliado de los romanos, no necesitó de estas máquinas, pero sí sus sucesores que se aliaron con los cartagineses provocando el asalto de Siracusa por las tropas de Marcelo. Plutarco narró verdaderas escenas dantescas provocadas por el furor destructivo de los ingenios bélicos de Arquímedes: «Al acometer los romanos por dos partes, fue grande el sobresalto de los siracusanos y su inmovilidad a causa del miedo, creyendo que nada había que oponer a tal ímpetu y a tantas fuerzas; pero poniendo en juego Arquímedes sus máquinas atacó a un mismo tiempo el ejército y la armada de los romanos. Al ejército, con armas arrojadizas de todo género y con piedras de una mole inmensa, despedidas con increíble violencia y celeridad, las cuales, no habiendo nada que resistiese a su paso, obligaban a muchos a la fuga y rompían la formación. En cuanto a las naves, las máquinas de Arquímedes asían a unas por medio de grandes maderos con punta, que repentinamente aparecieron en el aire saliendo desde la muralla, y, alzándose en alto con unos contrapesos, las hacían luego sumirse en el mar; y, a otras, levantándolas rectas por la proa con garfios de hierro semejantes al pico de las grullas, las hacían caer en el agua por la popa, o las atraían, arrastraban y estrellaban contra las rocas y escollos que abundaban bajo la muralla, con gran ruina de la tripulación. Hubo incluso alguna nave que fue suspendida en alto dentro del mismo mar, y arrojada en él y vuelta a levantar, de manera que sus marineros fueron estrellados o expelidos en un espectáculo terrible, hasta que la nave vino a caer vacía sobre los muros, o se deslizó por soltarse el garfio que la asía. Marcelo traía sobre el puente una máquina llamada sambuca, por la semejanza de su forma con aquel instrumento músico; mas cuando todavía estaba bien lejos de la muralla, se lanzó contra ella una piedra de peso de diez talentos, y luego una segunda y otra tercera, de las cuales algunas, cayendo sobre la misma máquina con gran estruendo y conmoción, destruyeron el piso, rompieron su enlace y la desquiciaron del puente; con lo que, confundido y dudoso Marcelo, se retiró a toda prisa con las naves y dio orden para que también se retirasen las tropas».

A pesar de todo lo cual, según Plutarco, a Arquímedes lo que realmente le interesaban eran los asuntos de la geometría más pura —de nuevo la utilidad de las matemáticas oscilando entre Jekyll y Hyde—: «En cuanto a Arquímedes, fue tanto su juicio, tan grande su ingenio y tal su riqueza en teoremas, que sobre aquellos artilugios que le habían dado el nombre y gloria de una inteligencia sobrehumana no permitió dejar nada escrito; y es que tenía por innoble y ministerial toda ocupación en la mecánica y todo arte aplicado, y ponía únicamente su deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevan consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil». Y es cierto que ningún escrito se ha conservado de Arquímedes sobre ingeniería militar, aunque eso poco significa, porque la forma milagrosa en que han llegado hasta nosotros las obras de Arquímedes que hoy en día conocemos nos dice que no hay que descartar que dejara escritos sobre asuntos más aplicados por el hecho de que no hayan sobrevivido —véase, para más detalle, la sección § 4.4—.

Una de las obras conservadas tiene, de hecho, un sabor aplicado diferente al resto. Es una obrita muy sugerente de apenas media docena de páginas —posiblemente no sean sino un extracto de una obra más extensa que se perdió—, que trata del cálculo aproximado del número π.

Hacia el siglo IV a. C. los griegos ya habían descubierto que el área de cualquier círculo y el cuadrado levantado sobre su radio guarda siempre la misma proporción, con independencia del tamaño del círculo. A esa proporción es a la que llamamos hoy número π. Ese resultado nunca satisfizo a los matemáticos griegos, porque ellos buscaban construir con regla y compás un cuadrado de igual área que un círculo dado, cosa que nunca lograron por la sencilla razón de que esa construcción es imposible; pero eso no se supo hasta finales del siglo XIX, aunque se sospechó mucho antes —de todo esto escribiré por extenso en las secciones § 4.2 y § 8.2—.

Uno de los que posiblemente sospecharon la imposibilidad de cuadrar el círculo fue Arquímedes. Entonces se le ocurrió hacer algo en cierta forma ajeno a la pureza que Platón había establecido para la geometría: a Arquímedes le dio por hacer una cuadratura aproximada del círculo. O sea, encontrar una aproximación para el número π. Para ello, lo primero que hizo fue demostrar que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es siempre la misma, sea cual sea el tamaño de la circunferencia. Además, Arquímedes mostró que esa razón es idéntica a la que la que hay entre el área del círculo y el cuadrado levantado sobre su radio.

Arquímedes aproximó entonces la longitud de la circunferencia mediante un polígono regular de 96 lados, y encontró que el número π está entre las fracciones 223/71 y 22/7. Lo que está bastante bien: las primeras diez cifras decimales de π, 22/7 y 223/71 son, respectivamente, 3,1415926535, 3,1428571428 y 3,1408450704.

Hay que tener en cuenta que aproximaciones para el número π se habían calculado en otras culturas; pero no son tan afinadas como esta de Arquímedes. Por ejemplo, la Biblia da implícitamente el valor 3 para π. Para su templo de Jerusalén, Salomón ordenó construir un gran depósito de agua —un «mar»— para purificar lo impuro, sostenido sobre el lomo de doce bueyes de bronce; en el Libro Primero de los Reyes (7:23) se dan las medidas de ese mar: «Hizo el mar de metal fundido, que medía diez codos de diámetro, cinco de altura y treinta de circunferencia». Dado que π es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, deducimos de esa descripción que para Salomón, o para Yahvé —que a fin de cuentas reveló la Biblia—, el número π vale 3. A mí, personalmente, me sorprende una aproximación tan pobre, si tenemos en cuenta que Salomón tuvo fama de sabio y Yahvé de omnisciente —aunque sabido es que la fama no siempre responde a hechos ciertos—.

Volviendo a Arquímedes, a su aproximación cabe hacerle una lectura muy interesante. Para obtenerla, Arquímedes tuvo que lidiar con el cálculo aproximado de raíces y tuvo que hacer bastantes sumas, multiplicaciones y divisiones; tuvo, en definitiva, que mancharse las manos con el mismo barro que manchaba las manos de los agrimensores reales egipcios cuando calculaban el limo que el Nilo había depositado o se había llevado de una parcela.

Ese dilema de si las matemáticas son sirvienta o señora sobrevuela muchas de las numerosas anécdotas que han servido para hacer tan popular la figura de Arquímedes a lo largo de los siglos. ¿Quién no conoce eso de «dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra»? ¿O la de los espejos incendiarios o ustorios? Esta última, por ejemplo, cae decididamente del lado de la leyenda y del mito. Las fuentes históricas más cercanas a Arquímedes en el tiempo no hacen mención alguna a los espejos incendiarios, aunque sí nos narran sus hazañas bélicas en términos bastante exagerados y grandilocuentes. Son autores muy posteriores los que añadieron ese episodio al ya bien repleto zurrón de los ingenios bélicos arquimedianos. Es dudoso también que Arquímedes contara con la tecnología necesaria para fabricar tales espejos. Aunque tal vez sí que conociera el fundamento científico del invento, y acaso sea por eso que se le atribuye su uso como arma de guerra.

Y la filosofía del científico aplicado vuelve a aparecer en la más célebre de las leyendas sobre Arquímedes: la que cuenta cómo descubrió la falsedad de la corona de Hierón, usando la diferente densidad del oro y la plata, con el archiconocido colofón del «¡eureka!» —que después se ha elevado a rango de grito de guerra de los científicos—; así lo narró Vitrubio en el noveno de Los diez libros de Arquitectura: «Reinando Hierón en Siracusa, se propuso ofrecer en un cierto templo una corona de oro a los dioses inmortales. Acordó con un artesano la confección de la obra mediante una buena suma de dinero y la entrega de la cantidad de oro en peso. El artesano cumplió los plazos de entrega, encontrando el rey la corona perfectamente realizada. Pero, habiendo sospechado que el artesano podía haber sustituido parte del oro por plata, el rey, indignado ante el presunto engaño, pero no teniendo medios para demostrar el fraude del artesano, encargó a Arquímedes que aplicara su inteligencia a dilucidar el asunto. Preocupado Arquímedes por el tema, y habiendo entrado un día por azar en una casa de baños, advirtió que cuanto más se sumergía en el agua mayor cantidad de ella salía de la tina. Esta observación le dio la luz para resolver la cuestión; de modo que, loco de alegría por el descubrimiento, saltó fuera de la bañera, y tal como estaba, totalmente desnudo corrió hacia su casa clamando: ¡eureka, eureka!».

El hecho de mostrársenos Arquímedes en su desnudez no es único de esta anécdota, y ya lo encontramos de esa guisa en otras de inequívoco sabor hedonista: «Arquímedes, halagado y entretenido de continuo por una sirena doméstica y familiar —contó Plutarco en Vida de Marcelo—, se olvidaba del alimento y no cuidaba de su persona; y llevado por fuerza a ungirse y bañarse, formaba figuras geométricas en el mismo hogar, y después de ungido tiraba líneas con el dedo, estando verdaderamente fuera de sí, y como poseído de las musas, por el sumo placer que en estas ocupaciones hallaba».

He ahí de nuevo esa ambivalencia entre lo puro y aplicado que hace de Arquímedes un matemático tan singular en el mundo griego. Ambivalencia que incluso se extiende a su muerte, hasta el punto de que esa muerte es una de las imágenes con más poder simbólico que nos haya legado el mundo clásico. Se narra en varias crónicas de la Antigüedad y ha sido representada en los más variados formatos a lo largo de la historia, desde un célebre mosaico rescatado en Pompeya, hasta los frescos de Pellegrino Tibaldi en la biblioteca del monasterio de El Escorial, o al óleo de Delacroix.

Se produjo en el año 212 a. C., cuando Siracusa, aliada de Cartago, después de un asalto fracasado y tras un largo asedio, cayó en manos del general romano Claudio Marcelo, y sus tropas se aprestaron al pillaje y a la rapiña. En ese saqueo fue asesinado Arquímedes —tenía, a la sazón, más de setenta años—. El cronista Valerio Máximo fue quien, dos siglos después, supo describir el suceso con mayor dramatismo: «Un soldado, que había penetrado en la casa de Arquímedes para saquearla, levantó sobre él su espada preguntándole quién era. Arquímedes, totalmente dedicado al problema cuya solución buscaba, no atinó a decirle su nombre, sino que mostrándole con las manos las líneas dibujadas sobre la arena, le dijo: “Por favor, no borres eso”. Y el soldado, viendo en esta respuesta un insulto al poder de los vencedores, le cortó la cabeza; y la sangre de Arquímedes se confundió con la labor de su ciencia». También son interesantes las tres versiones que narró Plutarco: «Hallábase éste casualmente entregado al examen de cierta figura matemática, y fijos en ella su ánimo y su vista, no sintió la invasión de los romanos ni la toma de la ciudad. Presentósele repentinamente un soldado, dándole orden de que le siguiera a casa de Marcelo; pero él no quiso antes de resolver el problema y llevarlo hasta la demostración; con lo que, irritado el soldado, desenvainó la espada y le dio muerte. Otros dicen que ya el romano se le presentó con la espada desenvainada en actitud de matarle, y que al verle le rogó y suplicó se esperara un poco, para no dejar inacabado y oscuro lo que estaba investigando; de lo que el soldado no hizo caso y le pasó con la espada. Todavía hay acerca de esto otra relación, diciéndose que Arquímedes llevaba a Marcelo algunos instrumentos matemáticos, como cuadrantes solares, esferas y escuadras, con los que adaptaba a la vista la magnitud del Sol, y que dando con él los soldados, como creyesen que dentro llevaba oro, le mataron». Todas ellas con un denominador común: Arquímedes mártir de la ciencia pura, situando la búsqueda de la verdad por encima de la conservación de la propia vida.

La utilidad de las matemáticas ha sido a lo largo de la historia como un guardiana. Fue porque son útiles en el comercio, o para ordenar las tierras tras las crecidas del Nilo, la razón por la que babilonios o egipcios las cultivaron. La influencia de Platón en el mundo intelectual griego hizo que esa utilidad se menospreciara. Influencia que fue renovada en el Renacimiento con la recuperación en Europa de los saberes griegos. Pero las matemáticas son útiles, y el interés por esa utilidad acabó resurgiendo con fuerza. Precisamente fue la facilidad para hacer cálculos del sistema de numeración inventado por hindúes y traído a Occidente por los árabes, y la importancia de esos cálculos para la contabilidad ligada al desarrollo comercial que vivía Europa desde mediados del siglo XIII, lo que acabó imponiendo ese sistema de numeración en Europa.

Pero el gran foco de aplicación de las matemáticas fue la física moderna nacida de la revolución científica de los siglos XVI y XVII. Para esa física, las matemáticas son más que útiles: son imprescindibles.

Según el diccionario de la RAE, la física es «la ciencia que estudia las propiedades de la materia y de la energía, y las relaciones entre ambas». La física moderna nace con Galileo y, sobre todo, con Newton. Y no por casualidad ambos fueron también matemáticos. En el caso de Newton, para desarrollar los estudios sobre la gravitación universal y sus consecuencias para el movimiento en la Tierra y en los cielos, que le acabaron dando merecida e imperecedera fama, necesitó previamente inventar el cálculo infinitesimal, la herramienta matemática más potente para el estudio de los procesos físicos que observamos en la naturaleza. De hecho, la impronta matemática aparece en el mismo título de su obra cumbre: Philosophice naturalis principia mathematica, o sea, Principios matemáticos de la filosofía natural.

Newton es un buen ejemplo de ese centauro mitad matemático mitad físico, porque para aquellos que piensen que Newton fue exclusivamente un físico —filósofo natural, sería mejor decir— o, en todo caso, un matemático aplicado, conviene recordar lo que escribió D. T. Whiteside, editor de sus manuscritos matemáticos: «Nunca se debe olvidar que las matemáticas tuvieron para Newton, antes y más allá de su lugar como caja de herramientas de la verdad, una belleza interior y un vigor independiente de todas las motivaciones externas y aplicaciones. Para los que son insensibles a la elegancia y potencia de las matemáticas como disciplina intelectual en su propio derecho, ahí tenéis a un matemático “puro”, con el sentido de la vieja frase, a veces completamente absorbido en su torre de marfil en Cambridge elaborando teoremas y propiedades y algoritmos y construcciones elegantes por su propio sabor; y cuán magníficamente practicó su talento y habilidad. En su día, no hubo en el mundo matemático más dotado, ni más ampliamente versado; ninguno más apto en álgebra, más diestro en geometría, más habilidoso ni sabio en las sutilezas de la variación infinitesimal».

Euler también tuvo devoción por la aplicación de las matemáticas —llegó a escribir un excelente tratado matemático sobre la construcción de barcos—. También muy significativo es el caso de Gauss.

§ 2.3. Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777−1855) carga con uno de los títulos honoríficos más cursis de la historia de la cultura: «príncipe de los matemáticos». Es la amanerada forma de decir que Gauss encabeza todos los rankings de la excelencia matemática.

El primer año del siglo XIX fue un año prodigioso para Gauss, que a mí me servirá para ejemplificar el dilema sobre la personalidad dual de las matemáticas: señora y sirvienta. En 1801, Gauss publicó un extraordinario libro dedicado a la considerada rama más pura y «espiritual» de las matemáticas: la teoría de números —que discutiré en la sección § 8.2—. Pero el mismísimo mes en que salió de imprenta su libro utilizó las matemáticas para rendir a la astronomía de observación un increíble servicio que le dio a Gauss fama mundial en todos los observatorios astronómicos.

Vayamos por partes. De entrada, no me gustaría proyectar una imagen de Gauss demasiado romántica, dado que él, a pesar de vivir en pleno romanticismo, no lo fue; como tampoco fue revolucionario en una época llena de revoluciones. Gauss tuvo, en cierta forma, una mentalidad más dieciochesca. Nunca le atrajeron las revoluciones —más bien le espantaron—. Se acomodó bien al sistema feudal político imperante en aquella época en los estados alemanes que, por otro lado, no lo trató mal: el duque de Brunswick le pagó sus estudios, primero en Brunswick y luego en Gotinga —a pesar de que Gauss fue allí contra los deseos del duque—, y lo mantuvo después hasta que Gauss fue nombrado director del Observatorio Astronómico de Gotinga. Esa estructura del mundo, en la que se sentía cómodo, se vino abajo como consecuencia de las invasiones napoleónicas, lo que siempre le generó fobia por cualquier tipo de revolución y, de paso, por los franceses.

El extraordinario libro que publicó Gauss en 1801 es, naturalmente, Disquisitiones Arithmeticae. Es todo un clásico de la ciencia que, como suele ocurrir con los clásicos, son muchos los que lo citan pero pocos los que lo han leído —y menos aún los que lo han estudiado, aunque se trata, en este caso, de un clásico de lectura seca y difícil—. Gauss publicó el libro en latín, un latín refinado que le revisó F. Meyerhoff, un amigo de la infancia, como la mayor parte de sus trabajos posteriores, a pesar de que era una costumbre ya algo desfasada por esa época —un indicativo más de la mentalidad dieciochesca de Gauss—. El libro contiene sus investigaciones sobre teoría de números, y culmina con una aplicación a la construcción de polígonos regulares con regla y compás, véase la sección § 8.2.

Gauss dijo en cierta ocasión: «Las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de números es la reina de las matemáticas» —como se ve, Gauss tenía también una vena cursi—, aunque después de publicadas las Disquisitiones ya jamás le dedicaría tanto tiempo y energías a la teoría de números. A Gauss, la publicación le supuso también alcanzar una gloria matemática difícilmente esperable a su corta edad —veinticuatro años—; aunque a Gauss esta gloria no le sorprendió: seguramente por las veredas de ese su precoz cerebro de veintipocos años ya llevaba circulando algún tiempo la sospecha de que, al igual que Arquímedes y Newton, él sería también un illustrissimus de las matemáticas.

Hay una célebre anécdota, probablemente cierta, aunque no necesariamente, que da noticias de la precocidad matemática de Gauss. La historieta cuenta que un día su maestro, queriéndose tomar un descanso durante la clase, ordenó a sus alumnos que sumaran los cien primeros números; esperaba que la tarea les llevara un buen rato. No contaba con las habilidades matemáticas de Gauss, que a la sazón contaba diez años de edad. Gauss, en vez de ponerse a sumar los números tan dócilmente como una mula da vueltas alrededor de una noria, miró la suma con ojos de matemático —esto es, buscando algún patrón de comportamiento reconocible que nos permita entender mejor las cosas—. Encontró entonces que sumando el primer y el último sumando de la suma se obtiene 101; igual que si sumamos el segundo y el penúltimo sumandos, e igual que si sumamos el tercero y el antepenúltimo. Gauss encontró un patrón común en esa suma: si sumamos las parejas de números situados en igual posición respecto al primer y al último sumandos, el resultado es siempre el mismo: 101. Dado que podemos formar 50 de esas parejas, la suma de los primeros cien números será 50 ∙ 101 = 5.050.

En 1796, el «príncipe de los matemáticos» se debatía entre estudiar matemáticas o filología; para el 30 de marzo de ese año ya había despejado la incógnita: estudiaría matemáticas. Ese día Gauss escribió la primera entrada de un diario muy especial; un diario donde fue anotando buena parte de sus descubrimientos e ideas matemáticas desde 1796 hasta 1814. El diario tiene 19 páginas y 146 entradas, y permaneció perdido entre los papeles que legó Gauss a sus descendientes hasta que se descubrió en 1898 en poder de uno de sus nietos; fue publicado en 1901. Desde entonces se ha convertido en un verdadero fetiche matemático: tiene entradas más o menos explícitas, como la escrita el 18 de julio de 1796 y que dice «EUREKA! núm: Δ + Δ + Δ». La entrada rinde tributo a la célebre expresión arquimediana: ¡eureka!, y después dice que todo número es la suma de tres números triangulares. Hay otras entradas que todavía nadie ha podido entender; una escrita el 21 de octubre de 1796 dice: «Vicimus GEGAN», o sea, «Conquistamos GEGAN», pero qué significa ese «GEGAN», que Gauss había conquistado con diecinueve años y medio, nadie aún lo ha podido descubrir. A pesar de que Gauss no desarrolló muchas de las ideas contenidas en las entradas de su diario, a pesar de que nada publicó sobre ellas, demuestran que Gauss tenía en mente a principios del siglo XIX buena parte de las matemáticas que se desarrollarían después durante ese siglo.

La primera entrada del diario, la que Gauss escribió el 30 de marzo de 1796, reza: «Los principios sobre los que la división de la circunferencia depende, y una división geométrica de la misma en 17 partes, etc.». Gauss había descubierto un secreto matemático que había permanecido oculto durante dos mil años. Naturalmente, ese descubrimiento lo decidió a estudiar matemáticas.

El problema de dibujar usando regla y compás un polígono regular con determinado número de lados es un problema geométrico endiabladamente complicado que obsesionó a los griegos y a mucha otra gente después de ellos. Tan endiabladamente complicado que, desde que los pitagóricos descubrieran cómo dibujar un pentágono regular, nada nuevo se había descubierto en dos mil trescientos años, que ya son años. Hasta que entró en juego Gauss. Usando su prodigiosa dosis de ingenio matemático, Gauss redujo el problema de la construcción de un polígono regular con un número genérico de lados, pongamos n, al problema algebraico de estudiar determinadas propiedades de la ecuación xn − 1 = 0. De esta forma, Gauss descubrió que si un número n tiene una descomposición en factores primos de la forma n = 2m p₁ p₂ … pk, donde cada uno de los números primos p₁, p₂, … pk que aparecen en esa descomposición verifica que si le restamos 1, lo que queda es una potencia de 2, entonces se puede construir con regla y compás un polígono regular de n lados, y cómo se haría la construcción. Gauss también apuntó, aunque no demostró, que el número n necesariamente debe tener también esa forma para que se pueda construir con regla y compás un polígono regular de n lados. Por ejemplo, en el caso en que el número de lados n sea un número primo, si al restarle 1 lo que queda es una potencia de 2, podremos construir con regla y compás un polígono regular de n lados. De esta forma, podemos dibujar un triángulo equilátero porque al restarle 1 a 3 lo que queda es 2 que, obviamente, es una potencia de 2. También podemos construir un pentágono regular porque al restarle 1 a 5 lo que queda, 4, es una potencia de 2. En cambio no podemos dibujar un polígono regular de 7 lados porque al restarle 1 a 7 lo que queda, 6, no es una potencia de 2. Por la misma razón, tampoco podemos construir un polígono regular de 11 lados, ni de 13; pero sí de 17 lados porque 17 − 1 = 2⁴.

Pocos ejemplos como este muestran la faceta platónica de las matemáticas, pues es difícil imaginar qué utilidad práctica, o en otras ciencias, pueda tener este resultado de Gauss, más allá, claro está, de ese «En honor del espíritu humano». Y siendo muy de loar ese espíritu de profundizar en el conocimiento, las matemáticas son poliédricas, y tienen también una faceta aplicada: precisamente el mismo mes de la publicación de las Disquisitiones, Gauss protagonizó otra genialidad que dejó a los astrónomos del mundo con la misma cara de sorpresa que se le tuvo que quedar a su maestro. Esa genialidad tiene mucho que ver con la eficacia de las matemáticas para estudiar el mundo físico que nos rodea. La historia es ciertamente singular y empezó a convencer al mundo de que, antes de iniciar un proceso científico o tecnológico —ya sea localizar un cuerpo en el sistema solar o construir un avión—, tal vez merezca la pena hacer antes unos cuantos cálculos matemáticos.

El 13 de marzo de 1781, William Herschel logró descubrir lo que parecía un nuevo planeta del sistema solar. Herschel había nacido en Hannover cuarenta y tres años antes pero, horrorizado tras participar en 1757 en una batalla contra los franceses con gran mortandad de soldados, decidió mudarse a Inglaterra buscando, además de paz, desarrollar una carrera como músico. Tuvo éxito, pues en 1765 era organista en Halifax, y al año siguiente director de orquesta en Bath. Sus aficiones astronómicas comenzaron en 1773 y fueron, más que la música, las que le hicieron pasar a la historia. No es para menos, nadie había sido capaz en muchos miles de años de añadir un planeta más a la lista de los cinco conocidos desde la más remota Antigüedad: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno; y, de hecho, una vez que Herschel comunicó su descubrimiento en abril de 1781, los astrónomos de Europa tardaron varios meses en convencerse de que el nuevo cuerpo solar era un planeta y no un cometa. La cuestión no deja de ser paradójica: Herschel descubrió el nuevo planeta gracias a las mejoras técnicas que había conseguido introducir en los telescopios que él mismo fabricaba, aunque el planeta se puede ver a simple vista cuando atraviesa algunas partes de su órbita; de hecho, Johann Bode, a la sazón director del Observatorio Astronómico de Berlín, logró identificar al nuevo planeta en tablas astronómicas existentes, aunque en todas ellas lo habían confundido con una estrella.

Herschel lo bautizó como el «Georgian planet», en honor de Jorge III de Inglaterra y, supongo, de la pensión de doscientas libras que el rey había decidido otorgar a Herschel; pero el nombre no prosperó, y al final, siguiendo la más tradicional y neutra mitología clásica, al nuevo planeta se le llamó Urano.

El descubrimiento de Urano permitió fortalecer una regla empírica, propuesta poco tiempo antes, que determinaba la distancia de los planetas al Sol. Esa ley, llamada de Titius-Bode, no tiene más fundamento científico que la extrapolación de las distancias al Sol de los planetas conocidos. La ley de Titius-Bode establecía que, de haber un planeta más allá de Saturno, el radio medio de su órbita debía de medir 2.940 millones de kilómetros, más o menos; y resultó que esa era una buena aproximación para la distancia que Urano dista del Sol. Pero la misma ley también vaticinaba la existencia de otro planeta situado entre Marte y Júpiter; las órbitas de estos planetas están demasiado separadas entre sí —casi 550 millones de kilómetros— y había sitio allí para otro planeta. Concretamente, la ley de Titius-Bode establecía que ese planeta podría distar del Sol 420 millones de kilómetros, aproximadamente. En 1796, en un congreso astronómico, se recomendó su búsqueda, a raíz de lo cual muchos de los observatorios astronómicos de la época apuntaron sus telescopios a la órbita marcada tratando de encontrarlo. Pero buscar un planeta con el único dato de su supuesta distancia al Sol es como buscar una aguja en un pajar, y fueron pasando los años sin que el éxito sonriera a los esforzados «policías celestiales» —apelativo que gustaban de usar—.

La suerte cambió el 1 de enero de 1801. Ese día, Giuseppe Piazzi, desde el modesto observatorio de Palermo, localizaba entre Marte y Júpiter lo que en un principio le pareció un cometa, pero que después resultó ser otra cosa. Piazzi lo observó durante varias noches más, pero el objeto se fue acercando al Sol y dejó de ser visible.

El nuevo habitante del sistema solar acabó siendo bautizado como Ceres, diosa de las semillas, una versión romana de la Deméter griega. Muchos pensaron que el objeto encontrado por Piazzi sería el planeta cuya existencia predecía la ley de Titius-Bode.

Los datos que había podido recoger Piazzi eran muy escasos y hacían extremadamente complicado el cálculo de su órbita; no obstante, los astrónomos hicieron los cálculos. Se estimaba que el objeto volvería a ser visible ese año a principios de septiembre, pero llegada esa fecha Ceres no aparecía por ningún sitio.

Gauss, que por entonces era matemático pero no astrónomo, entró en acción. Es posible que se enterara del problema ese mismo septiembre. Para octubre había desarrollado un método para calcular la órbita de un cuerpo celeste moviéndose alrededor del Sol conocidas unas pocas observaciones. El método consiste en un inteligente y sofisticado procedimiento matemático para resolver las complicadas ecuaciones necesarias para determinar la órbita. Además de finura astronómica, el método tiene, sobre todo, finura matemática.

Gauss envió sus cálculos a Franz von Zach, director del Observatorio Astronómico de Gotha; el 7 de diciembre de 1801 localizó a Ceres justo donde las matemáticas de Gauss habían predicho que estaría, aunque debido al mal tiempo no pudo verificar el hallazgo hasta el 31 de diciembre de 1801.

Gauss publicó su método ocho años después, siendo ya director del Observatorio Astronómico de Gotinga, en un librito de título La teoría del movimiento de los cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en secciones cónicas. El método, llamado de los mínimos cuadrados, permite determinar la órbita del cuerpo celeste a partir de tan sólo tres o cuatro buenas observaciones, y es todavía hoy utilizado para determinar órbitas de satélites artificiales —diré algo más sobre el librito y el método en la sección § 9.1—.

La demora en la publicación del método se debió al perfeccionismo de Gauss. Una de sus divisas era «Pauca et matura» («poco pero bien hecho»). Así que durante ocho años fue puliendo su método y llevándolo a un grado de perfección muy de su gusto. En el prefacio, Gauss justificó el retraso: «En la esperanza de que una profundización en este estudio permitiría llevar su solución a un mayor grado de generalización, simplicidad y elegancia». Sin embargo, esa perfección matemática que Gauss finalmente alcanzó no es del agrado de todo el mundo: «Los triunfos computacionales de Gauss —escribió Ivars Peterson en El reloj de Newton— le trajeron un reconocimiento inmediato y duradero como el mejor matemático de Europa y una posición confortable como profesor de astronomía y director del Observatorio de Gotinga, donde vivió modestamente durante el resto de su larga y productiva vida. Sin tener ninguna prisa por ver sus ideas publicadas, tanto en matemáticas, astronomía como en física, Gauss reelaboró implacablemente sus resultados una y otra vez hasta que estaban pulidos a la perfección. Clarificando sus pensamientos paso a paso y eliminando todo menos los elementos esenciales, borraba todas las trazas de la trayectoria que había seguido para llegar a sus descubrimientos. Ningún andamio estropeó jamás las elegantes estructuras que había construido tan pacientemente. Este austero estilo, que ahora permanece en matemáticas, puede ser uno de los legados menos felices de Gauss. Para los no iniciados, la rígida abstracción que conlleva gran parte de la matemática contemporánea es virtualmente impenetrable. Sólo un pequeño grupo de selectos se atreve a afrontar sus densas y fuertemente entretejidas espesuras».

Después de que Ceres fuera redescubierto gracias a los cálculos de Gauss, se comprobó que era demasiado pequeño para ser un planeta —tiene poco más de 900 kilómetros de diámetro; compárese con los casi 3.500 que tiene la Luna—; tanto que los astrónomos encontraron inapropiado denominarlo «planeta». Herschel propuso llamarlo «asteroide», lo que molestó un tanto a Piazzi que prefería el apelativo de «planetoide». Pronto se descubrieron otros asteroides —el nombre de Piazzi no prosperó—; el bien surtido panteón clásico proveyó nombres para todos ellos: Pallas, Juno, Vesta.

Gauss se encargó de calcular la órbita de todos ellos conforme fueron siendo descubiertos —de 1802 a 1807— y, por esa razón, se le concedió el honor de bautizar a uno de ellos: Vesta.

Luego se han descubierto miles más que forman el cinturón de asteroides entre Marte y Júpiter, un lugar donde no es sorprendente encontrarse con ciertas zonas en las que más de un asteroide tiene un movimiento caótico. En un principio se pensó que esos asteroides podían ser los restos de un planeta que se había desintegrado —acaso por el choque con un cometa—, aunque hoy día se piensa que son la evidencia de un planeta que no llegó a formarse.

Las Disquisitiones Arithmeticae y los cálculos astronómicos que le permitieron localizar a Ceres conforman un ejemplo magnífico para ilustrar la manera en que Gauss entendió las matemáticas; son una ciencia con dos caras: por un lado son un juego del espíritu, por otro, una herramienta eficaz e imprescindible para estudiar y comprender la naturaleza.

Para los amantes del género gore, añadiré que todavía se conserva el prodigioso objeto que alcanzó esas excepcionales cumbres matemáticas. Me refiero, naturalmente, a los sesos de Gauss, que forman parte de la colección anatómica de la Universidad de Gotinga; allí se guarda la inquietante colección de sesos que Rudolf Wagner, un craneómetra que vivió durante el siglo XIX, reunió de entre el profesorado de dicha universidad. Wagner, en la línea de Paul Broca, pretendía demostrar la relación directa entre el tamaño del cerebro de un individuo y su grado de inteligencia. Por cierto, el cerebro de Gauss no es, en cuestión de tamaño, demasiado sorprendente: 1.492 gramos, poco mayor que la media; lo que supuso una cierta desilusión para Wagner, Broca y sus seguidores —aunque no fue la peor—. El cerebro de Gauss sí que es excepcionalmente intrincado y muy pródigo en circunvoluciones.

§ 2.4. La irracional eficacia de las matemáticas

Las ciencias, ya sean de la naturaleza, ya sean las llamadas ciencias sociales, o la ingeniería, elaboran teorías o modelos de los fenómenos que quieren estudiar. Esos modelos son fundamentalmente matemáticos: grosso modo consisten en un conjunto de ecuaciones matemáticas de cierto tipo cuyas soluciones aportan información, total o parcial, del fenómeno en cuestión. Establecido el modelo, este se analiza y estudia usando herramientas matemáticas. En ocasiones —las menos—, las matemáticas permiten encontrar explícitamente las soluciones, lo que habitualmente proporciona un conocimiento bastante completo del fenómeno; otras veces, las matemáticas permiten encontrar soluciones aproximadas que, sin ser exactas, proporcionan un buen conocimiento del fenómeno en cuestión; otras, aun sin conocer siquiera soluciones aproximadas, se puede obtener información relevante para el correspondiente fenómeno.

No hay que confundir el fenómeno que se estudia, ya sea físico, económico o social, con el modelo matemático elaborado para su estudio. El modelo no es el fenómeno: el modelo es una representación del fenómeno. Y no es descartable que el modelo sea una mala representación del fenómeno; cuando eso pasa, la información que extraigamos del modelo, que es lo que se estudia matemáticamente, puede no corresponder con lo que le ocurre al fenómeno en cuestión. Piénsese que configurar una teoría o un modelo obliga, a menudo, a olvidarse de muchos detalles de los objetos cuyo comportamiento se quiere estudiar, de otra forma sería imposible detectar regularidades básicas y abstraer de ellas los conceptos y leyes fundamentales que los rigen. A veces esa simplificación es necesaria, porque si no se generarían modelos tan complicados que serían casi imposibles de estudiar; pero esa simplificación puede acabar generando modelos que representen mal o incluso muy mal el fenómeno que se estudia. Según Popper, lo que caracteriza a la ciencia no es la posibilidad de mostrar que un modelo representa perfectamente un determinado fenómeno —según él eso es un imposible—; lo que caracteriza a la ciencia es la posibilidad de que un experimento muestre que el modelo no representa al fenómeno. En palabras más técnicas: lo científico es la posibilidad de mostrar la falsedad del modelo. Así, la ciencia debe elaborar experimentos que permitan comprobar si lo que dice el modelo corresponde con lo observado en el fenómeno. Si eso ocurre, la confianza en el modelo aumentará, sin llegar nunca a ser total; si, por contra, la predicción hecha a partir del modelo contradice lo que se observa en el fenómeno, la ciencia estará obligada a elaborar un nuevo modelo que tendrá que ser sometido a la misma prueba. Se hace necesaria una aclaración final sobre la relación entre modelos, teorías y fenómenos. Cuando las predicciones de un modelo matemático no concuerdan con el fenómeno que se estudia, no es porque haya errores en las matemáticas usadas para estudiar el modelo —eso es muy infrecuente que ocurra—, sino porque el modelo no representa adecuadamente al fenómeno.

Desde la época de Newton, la física ha mostrado una gran eficacia en la elaboración de teorías y modelos para comprender la realidad física que nos rodea. Y las matemáticas, sus conceptos y herramientas, no han hecho sino crecer y ganar protagonismo en cada nueva teoría física. Y basten como ejemplos las dos grandes teorías físicas del siglo XX: la relatividad general de Einstein o la física cuántica; hasta tal punto llegan las cosas que no es exagerado afirmar que la teoría de Einstein transmutó la física en geometría —se darán detalles en la sección § 7.4—.

Esta necesidad imprescindible de las matemáticas para explicar la naturaleza encierra un gran misterio: ¿por qué los conceptos matemáticos se adaptan tan bien al estudio de la realidad? Es lo que el físico Eugene Wigner (1902−1995) denominó «La irracional eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales». Wigner nació en Budapest; a principios de los años veinte se fue a Alemania, primero a Berlín y después a Gotinga, donde empezó sus investigaciones en mecánica cuántica e intentó colaborar con David Hilbert. Tras la subida de Hitler al poder en 1933, Wigner, que era judío aunque convertido al luteranismo, dejó definitivamente Alemania y se estableció en Estados Unidos —trayectoria vital casi idéntica a la que siguieron otros de sus ilustres compatriotas, como John von Neumann, Edward Teller o Gabor Szégo—. Cuando se descubrió la fisión del uranio a finales de 1938, y temeroso del uso bélico que los nazis pudieran darle, formó parte, junto con Albert Einstein, del grupo de científicos que advirtieron de ese peligro al presidente Roosevelt; después se implicó activamente en la fabricación de las primeras bombas atómicas. Por sus contribuciones al conocimiento de la estructura del núcleo atómico, Wigner recibió el premio Nobel de Física en 1963. Tres años antes publicó un artículo titulado «La irracional eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales».

La tesis de Wigner, en sus propias palabras, afirma: «La enorme utilidad de las matemáticas en las ciencias naturales es una circunstancia que bordea el misterio; un hecho para el que no hay una explicación racional». En palabras de Wigner: «Al físico le interesa descubrir las leyes de la naturaleza inanimada». La eficacia de las teorías físicas para explicar la naturaleza es por tanto buscada, por eso es más difícil asignarle el calificativo de irracional. Lo irrazonable acontece porque, en bastantes ocasiones, el físico acaba echando mano de las matemáticas y de sus conceptos, que no han sido creados para explicar ninguna realidad física exterior, sino que han sido paridos a la luz de un razonamiento interior y abstracto, y en muchas ocasiones son más fruto de un capricho estético que de otra cosa. Wigner consideraba que las matemáticas son «la ciencia de hacer operaciones sumamente hábiles con conceptos y reglas inventados precisamente para ese propósito». ¿Por qué entonces han acabado teniendo un protagonismo tan imprescindible para explicar la realidad física? No hay que olvidar que, además, los físicos a veces usan determinadas teorías matemáticas porque no tienen otra cosa mejor a su disposición.

Pero hay aún otra circunstancia que hace todavía más irracional esa eficacia de las matemáticas en el mundo natural. Y esa circunstancia tiene que ver con el asunto de la belleza.

Dice el diccionario de la RAE que las matemáticas son una ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. Aunque debería, no se incluye en esa definición un hecho fundamental: que, a menudo, es la emoción estética, el sentido de la belleza, la que guía al matemático cuando deduce o decide qué propiedades de los números o los entes abstractos va a estudiar. Los académicos de la lengua, más apegados a las cosas de las letras que a las de los números, no parecen haber advertido la inextricable ligazón entre matemáticas y belleza, de la que alguien dijo que era la verdadera guía en los grandes, y no tan grandes, descubrimientos matemáticos.

Esa importancia de los valores estéticos en las matemáticas, que las sitúa a medio camino entre el arte y la ciencia —arte con aplicaciones, como ya tuve ocasión de escribir—, refuerza la inevitable trabazón entre la ciencia abstracta por excelencia y la sensibilidad emocional propia de la especie humana —a la que dediqué el primer capítulo de este libro—. «Puede ser sorprendente ver invocada la sensibilidad emocional a propósito de demostraciones matemáticas —escribió Henri Poincaré—, las cuales parecería que pueden interesar únicamente al intelecto. Esto sería olvidar el sentimiento de la belleza matemática, de la elegancia geométrica, que constituye un verdadero sentido de lo bello, conocido por todos los matemáticos y que con seguridad pertenece a la sensibilidad emocional.» El que la belleza de las matemáticas sea difícil de apreciar —porque no se percibe por un acto de percepción sensorial, como ocurre con la música o la pintura, sino por un proceso de pensamiento discursivo—, no la hace menos real.

En la dicotomía entre si las matemáticas son señora o sirvienta, los argumentos estéticos siempre han caído del lado de la pureza de las matemáticas. Como tantas otras cosas en la cultura occidental, la existencia de esa conexión entre belleza y matemáticas empezó a interiorizarse a raíz de los juicios de esos grandes creadores de opinión que fueron los filósofos clásicos griegos, especialmente Pitágoras, Platón y Aristóteles. Para Platón, las cualidades de medida y proporción, esencia de la matemática griega, son sinónimo de belleza; mientras que, para Aristóteles, «Las formas que mejor expresan la belleza son el orden, la simetría, la precisión. Y las matemáticas son las que se ocupan de ellas especialmente». Después han sido legión los científicos y pensadores que a lo largo de la historia han loado la belleza de las matemáticas. «La geometría es el arquetipo de la belleza del mundo», escribió el astrónomo, astrólogo y matemático Johannes Kepler en el siglo XVII; y, más recientemente, ya en el siglo XX, nos encontramos con frases como esta del filósofo y lógico Bertrand Russell: «Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza». Aunque quizá su máximo defensor fue Hardy. Su magnífico A Mathematician’s Apology es, casi desde la primera hasta la última palabra, una defensa del valor estético de las matemáticas: «La belleza es la primera piedra de toque; en el mundo no hay un lugar permanente para las matemáticas desagradables desde el punto de vista estético», escribió Hardy; y también: «Las configuraciones construidas por un matemático, lo mismo que sucede con las de un pintor o un poeta, deben poseer belleza; las ideas, los colores y las palabras deben ensamblarse de un modo armonioso». Y de su inutilidad. A menudo, la insistencia de Hardy en la inutilidad de las «verdaderas» matemáticas ha sido considerada una muestra más de su faceta extravagante y provocadora. Porque es casi una provocación escribir «Las auténticas matemáticas no repercuten de ningún modo sobre la guerra. Nadie ha podido descubrir ninguna finalidad bélica ni ninguna aplicación a la guerra que pueda derivarse de temas tales como la teoría de números o la relatividad, y parece bastante improbable que nadie pueda hacerlo en un futuro próximo» casi a la vez que en Estados Unidos ponían en marcha el proyecto Manhattan y fabricaban las primeras bombas atómicas. Pero, ironías de la vida, lo primero que reseña la Encyclopaedia Britannica en su biografía de Hardy es la llamada ley de Hardy-Weinberg, a la que en una entrada posterior la Britannica dedica más espacio que al propio Hardy, para decir: «Hardy dio poco valor a esta ley, pero su importancia es central en el estudio de muchos problemas genéticos, incluyendo la distribución del Rh según grupos sanguíneos y las enfermedades hemolíticas». Aunque, para mí, la impúdica loa de Hardy a la inutilidad de las matemáticas tiene otro sentido que el de ser un mero rasgo de histrionismo: Hardy, a su manera, estaba declarando que en cuestiones de estética era un seguidor de Kant, o sea, defendía que las matemáticas son más arte —finalidad sin fin— que ciencia.

El caso es que también encontramos argumentos estéticos en otras ciencias, en particular en la física. Esos argumentos se han hecho más intensos conforme la física se ha ido matematizando más y más, hasta el punto que, sin exagerar, podemos decir que son una clara contaminación matemática de la física. Por citar sólo unos cuantos ejemplos, Paul Dirac (1902−1984), uno de los gigantes de la mecánica cuántica, premio Nobel de Física en 1933 y cuñado de Wigner, escribió: «Toda ley física debe tener belleza matemática», y también: «Es más importante conseguir elegancia en las propias ecuaciones que hacer que concuerden con los experimentos. Si no existe acuerdo total entre los resultados del propio trabajo y los experimentos no debemos caer en el desánimo, porque la discrepancia se puede deber muy bien a aspectos secundarios que no se tienen en cuenta adecuadamente y que se solucionarán con el mayor desarrollo de la teoría. Así fue como se descubrió la mecánica cuántica».

En esto último coincidió con Albert Einstein. Einstein pasó de ser un descreído de las matemáticas, de su simplicidad y belleza —«¡La belleza, señores, la dejaremos para los zapateros y para los sastres! El objeto de nuestra investigación ha de ser siempre la verdad», se le escuchó decir al inicio de su carrera como profesor—, a confiar en ellas como inspiración y guía de la indagación científica: «Estoy convencido de que podemos descubrir, por medio de construcciones matemáticas puras, los conceptos y las leyes que los vinculan mutuamente y que nos proporcionan la clave para la comprensión de los fenómenos naturales. La experiencia nos puede sugerir los conceptos matemáticos apropiados, pero con toda seguridad será imposible deducirlos a partir de ella. Por supuesto, la experiencia sigue siendo el único criterio de utilidad física de una construcción matemática. Pero el principio creativo reside en las matemáticas», afirmó, y también: «Creo que la naturaleza es la realización de las ideas matemáticas más simples concebibles». Para Einstein, el límite a la creatividad matemática lo determinaba la confrontación de la teoría física con el hecho experimental: «Todo conocimiento de la realidad parte de la experiencia y acaba en ella»; aunque a veces dio más valor a la consistencia y simplicidad: «No considero que el significado mayor de la teoría de la relatividad general sean algunos diminutos efectos observables, sino la gran simplicidad de sus fundamentos y su consistencia». Einstein acabó defendiendo que las leyes de la física —como si de metáforas se tratase— eran una invención libre del espíritu humano, guiado por razones de estética y simplicidad matemática, que debían ser comprobadas por la observación; así lo expresó en varias ocasiones, como en esta cita tomada de su libro La evolución de la física —escrito con su colaborador Leopold Infeld y publicado en 1938—: «La ciencia no es simplemente una colección de leyes, un catálogo de hechos sin relación. La ciencia es la creación de la mente humana, con ideas y conceptos imaginados en libertad». En la última cita, Einstein entona para la física el grito de guerra de Cantor: «La esencia de las matemáticas es la libertad».

«La naturaleza parece aprovecharse de las representaciones matemáticas simples de las leyes de la simetría —escribió el también Nobel de Física C. N. Yang—. Cuando uno se para a contemplar la elegancia y hermosa perfección del razonamiento matemático implicado, y lo contrasta con sus consecuencias físicas complejas y trascendentales, nunca deja de desarrollar un sentido profundo de respeto por las leyes de la simetría». Y citemos como último ejemplo uno de los libros de Frank Wilczek, premio Nobel de Física en 2004, cuyo título, El mundo como obra de arte, es toda una declaración de intenciones. En ese libro, Wilczek explica de manera magnífica la importancia fundamental que en el desarrollo de la física —de cómo hemos ido desentrañando los secretos de la naturaleza— ha tenido el sentido de lo estético, de lo bello. Wilczek sintetiza ese sello artístico de la naturaleza en dos conceptos: «simetría —amor por la armonía, el equilibrio y la proporción— y economía —satisfacción en producir efectos abundantes a partir de unos medios muy limitados—». Y, en buena medida, ese ideal de belleza lo ha heredado la física de las matemáticas.

Y aquí resurge de nuevo con fuerza la cuestión de la irracional eficacia de las matemáticas. Las cuestiones estéticas, incluidas las matemáticas, corresponden a la subjetividad humana y deberían ser una mala guía para explicar la naturaleza; y, sin embargo, todo parece indicar lo contrario: «El matemático juega un juego cuyas reglas ha inventado él mismo —cito otra vez a Dirac—, mientras que el físico juega un juego en el que las reglas las determina la naturaleza; sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, se hace cada vez más evidente que las reglas que el matemático ha encontrado interesantes son las mismas que la naturaleza ha elegido».

La presencia de las matemáticas también es abrumadora en la ingeniería. Esto no es nuevo, lleva ya ocurriendo varios siglos. De hecho, uno de los centros matemáticos más fértiles de los últimos dos siglos se encuentra en la École Polytechnique, un nuevo tipo de universidad creado en París en los inicios de la Revolución Francesa y mimado después por Napoleón, para la formación de ingenieros al servicio del estado francés —diré algo más sobre esto en la sección § 6.1—. Cada día que pasa, las matemáticas se hacen más y más imprescindibles para la ingeniería y el desarrollo tecnológico, ya sea para diseñar puentes, coches, barcos, aviones, ya para desarrollar motores eficientes de búsqueda en las casi infinitas páginas de internet.

Uno de los secretos de este éxito de las matemáticas corresponde con el ajuste fino de los modelos matemáticos con la realidad que se pretende estudiar: como expliqué antes, cuanto mejor describa el modelo la realidad, mayor utilidad podrán prestar las matemáticas para predecir adecuadamente el comportamiento de esa realidad. Pero hay otro factor fundamental, aunque más reciente, que explica este éxito: los ordenadores. No es exagerado decir que este elemento ha venido a revolucionar buena parte de las matemáticas en las últimas décadas. De los ordenadores, al matemático le interesa principal, aunque no únicamente, su brutal potencia de cálculo, muy conveniente cuando las matemáticas se aplican a las otras ciencias y a la tecnología. En efecto, como se explicó antes, la modelización matemática de un fenómeno a menudo se concreta en un conjunto de ecuaciones que suelen ser increíblemente difíciles de resolver. De hecho, lo habitual es que sea imposible su resolución «exacta» —entendiendo exacto en un sentido más o menos intuitivo que no es necesario especificar aquí, pero que sí requiere de comillas para evitar confusiones—. Pero, a menudo, para las aplicaciones, no hace falta conocer de forma exacta esas soluciones, y basta con calcularlas de manera aproximada. Naturalmente, cuanto más ajustada sea la aproximación, mejor —piénsese, por ejemplo, en la modelización del estallido de algún tipo de bomba, o la predicción del tiempo meteorológico—. Ahora bien, la aproximación de soluciones suele exigir una brutal capacidad de cálculo numérico. Esa capacidad está habitualmente fuera de lo que un cerebro humano puede hacer. Y eso es lo que ha cambiado en las últimas décadas con los ordenadores: en manos del matemático, los ordenadores son esclavos, más o menos dóciles, sobre cuyas espaldas cargamos el penoso trabajo de hacer la ingente cantidad de cuentas que esas aplicaciones requieren. Pero esa increíble mejora en la capacidad de cálculo ha abierto la posibilidad de aplicar las matemáticas de manera eficiente en multitud de campos donde antes no se podía. Y no es raro que ese sea un camino de ida y vuelta: al aplicar las matemáticas surgen problemas nuevos de indudable interés teórico. Lo que contribuye al avance de las matemáticas en honor del espíritu humano.

Pero los ordenadores empiezan a poder hacer muchas más cosas que cálculo numérico. Llevan ya tiempo haciendo también cálculo simbólico. Y muchos algoritmos empiezan también a imitar e incluso superar procesos complejos que hasta hace poco tiempo se pensaba que sólo podían realizar seres humanos. Eso está produciendo alguna —bastante, en algunos casos— inquietud en la sociedad: ¿no acabará esa eficacia de los ordenadores por eliminar cientos de miles de puestos de trabajo que hasta ahora ejercían los humanos? Una preocupación digna de tenerse en cuenta en sociedades donde, como la española, el paro suele golpear duramente —diré más sobre esto en la sección § 9.3—.

Como se ve, la dicotomía de si las matemáticas son señora o sirvienta llega a nuestros días, amplificada con la entrada en juego de los ordenadores. Y en pocos sitios se ejemplificó mejor que en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM en sus siglas inglesas) celebrado en Madrid en agosto del 2006 —del que fui testigo directo como miembro de su comité ejecutivo—.

Los ICM son los congresos más importantes de los matemáticos desde que en 1897 se celebrara el primero en Zúrich; como una vez escribió alguien: «Los ICM no son congresos de matemáticas, esa ciencia altamente organizada, sino de matemáticos, esos individuos caóticos que la crean y la conservan». Ninguna de las otras ciencias tiene un congreso similar. Los ICM, como las Olimpiadas, se celebran cada cuatro años; la comparación no es ociosa, porque para los matemáticos los ICM tienen una importancia similar a la de los Juegos Olímpicos para los atletas: la investigación matemática es, también, competición, y en los ICM se exponen los logros más importantes de cada cuatrienio. EL ICM de Madrid fue el primero celebrado en una ciudad española —ya fueron sedes, entre otras, Berkeley, Berlín, Cambridge, Edimburgo, Estrasburgo, Kioto, Moscú, París, Pekín, Roma o Zúrich—. Ligadas a los ICM están las medallas Fields: desde que se concedieron por primera vez en 1936, se considera la máxima distinción que un matemático puede recibir.

En Madrid, el rey Juan Carlos tenía que hacer entrega de las cuatro medallas Fields del período 2002-2006, pero sólo entregó tres, porque, por primera vez en la historia de las Fields, uno de sus ganadores renunció a ella. El protagonista del suceso fue el excéntrico matemático ruso Grigori Perelman (1966-).

Perelman se hizo acreedor de la medalla por su demostración de la conjetura de Poincaré: un dificilísimo problema sobre la caracterización topológica de una hiperesfera en dimensión cuatro, que el matemático francés Henri Poincaré había planteado un siglo atrás —trataré la conjetura en la sección § 9.2—. Perelman acumulaba ya una buena dosis de rarezas; por ejemplo, después de haber pasado unos años en Estados Unidos, renunció en 1995 a varias ofertas de las más prestigiosas universidades americanas, lo que incluía espléndidos sueldos, para volver al también muy prestigioso, pero infinitamente menos pudiente, Instituto Steklov de su San Petersburgo natal —puesto al que también renunció en diciembre de 2005—. A costa de perder miles de dólares cada mes, Perelman regresó a Rusia buscando sosiego para trabajar.

Perelman le aseguró al presidente de la Unión Matemática Internacional, cuando este trató de convencerlo para que aceptara la medalla, que no quería convertirse en una mascota al servicio del show business que, según él, representan los ICM y las Fields: «Esa medalla es irrelevante para mí. Si mi demostración es correcta ningún reconocimiento más es necesario». Precisamente esa actitud, que tanto cuadra con el estereotipo que se tiene de los matemáticos, lo convirtió en lo que él no quería ser, y provocó que el ICM de Madrid tuviera una repercusión mediática como ningún otro ICM ha tenido nunca.

Perelman renunció también a la compensación económica que las Fields llevan asociadas: 11.000 euros escasos. No es mucho, pero el caso es que también acabó renunciando al millón de dólares otorgado por el Instituto Clay de Matemáticas a quienes resolvieran alguno de los llamados problemas del milenio.

El Instituto Clay lo fundó en 1998 el magnate bostoniano Landon T. Clay. Aprovechando la conmemoración del año 2000 como año mundial de las matemáticas, el Instituto Clay seleccionó los siete retos todavía sin resolver que consideraba más fundamentales para las matemáticas, y se comprometió a pagar un millón de dólares a quien resolviera alguno de ellos. Casi todos esos retos serán descritos en la última parte de esta breve historia de las matemáticas. La conjetura de Poincaré y la hipótesis de Riemann son dos de los siete problemas del milenio —los únicos que todos los matemáticos consultados incluyeron en sus listas—.

La iniciativa del Instituto Clay imitaba la que tuvo David Hilbert en 1900, cuando propuso una lista de 23 problemas que, a su entender, eran los retos más importantes que las matemáticas debían afrontar en el siglo XX —algo se dirá sobre esto en la sección § 9.3—. Hilbert no era millonario y no ofreció dinero, ni mucho ni poco, a quien resolviera alguno de esos retos. «Poderoso caballero es don dinero», escribió nuestro Quevedo, pero Hilbert sabía que, cuando un matemático decide dejarse las neuronas buscando la solución de un problema profundo y difícil, no es dinero lo que busca. Así que no está nada claro que la recompensa del Instituto Clay sirva para acelerar la solución de los siete problemas del milenio; o quizá habría que decir que está clarísimo que de poco va a servir, si tenemos en cuenta el soberano desprecio que Perelman, vencedor del primero y, por ahora, único problema resuelto, ha hecho de la recompensa ofrecida.

Perelman y la conjetura de Poincaré representan una de las máscaras de las matemáticas: su faceta más pura; problemas que, por su índole abstracta, los matemáticos somos incapaces de explicar al resto de los congéneres —ejercida, además, por gente rara, algo a lo que la prensa mundial sacó mucha punta—. Pero, pocas veces como en el ICM de Madrid, se pudo ver tan nítidamente a los matemáticos actuando con otra de sus máscaras. El primer día del congreso hubo dos conferencias plenarias; una dedicada a la conjetura de Poincaré. La otra, con mucha menos resonancia mediática, se dedicó a uno de los más esperanzadores avances de las matemáticas: sus aplicaciones en el campo de la salud. En esa conferencia se mostró un modelo matemático manejable de la circulación sanguínea humana. El conferenciante, el italiano Alfio Quarteroni (1952-), es el polo opuesto a Perelman: mientras este trabaja en soledad y apenas necesita otra cosa material que papel, lápiz y una papelera, Quarteroni dirige todo un equipo de matemáticos y técnicos informáticos, y está en permanente contacto con los cuatro grandes hospitales —dos en Italia y dos en Suiza— con los que colabora para cotejar la eficacia de su modelo —más sobre esto en la sección § 6.2—. Mientras Perelman se puede permitir el lujo de renunciar al dinero buscando sosiego y aislamiento, a Quarteroni le es imprescindible conseguir la financiación necesaria, pública y privada, para llevar adelante su costosa investigación.

Dada la eficacia mostrada por las matemáticas en las ciencias de la naturaleza, se ha pretendido establecer modelos matemáticos para estudiar también problemas de las llamadas ciencias sociales. La denominación «ciencias sociales» es algo confusa, pues cuando se habla de «ciencias sociales» lo que realmente se quiere decir es «estudios sociales» que pretenden usar, a menudo sin conseguirlo, el método científico. La eficacia de las matemáticas es aquí menor porque con frecuencia ocurre que los modelos matemáticos usados no se corresponden bien con la realidad: no fallan las matemáticas —nunca lo hacen—, lo que ocurre es que el modelo difiere —a veces bastante— de la situación que se quiere estudiar. Buenos modelos para estudiar fenómenos sociales son mucho más difíciles de establecer porque, a menudo, desconocemos las leyes generales que rigen esos fenómenos —en el supuesto, que ya es mucho suponer, que tales leyes existan—. A pesar de lo cual, los científicos sociales sacan rendimiento a las matemáticas: pretenden transmitir a la correspondiente ciencia social una fiabilidad que, a todas luces, no llega a tener —piénsese, por ejemplo, en la economía—. No se debe olvidar que, a veces, oculto tras ese fallido uso de las matemáticas hay un claro propósito de manipulación. Sobre esa manipulación que se puede lograr con las matemáticas advierte el escritor argentino Martín Caparrós en su libro El hambre. Es un libro muy impresionante que no está dedicado a la versión más brutal —¡y mediática!— del hambre: la hambruna; o, puesto en el «burocratés» usado por la FAO: «malnutrición coyuntural aguda». El libro de Caparrós trata sobre «malnutrición estructural», por seguir con el burocratés. El hambre, tal y como la describe Caparrós: «No es el drama, la catástrofe, la irrupción espectacular del desastre, sino la normalidad insidiosa de vidas en que no comer lo necesario es lo más habitual». La hambruna es excepcional, y cada año puede afectar a unos cincuenta millones de personas. El hambre, la malnutrición estructural, afecta cada año a cuarenta veces más personas: dos mil millones. La hambruna mata, en proporción, más que el hambre, pero al ser cuarenta veces más los afectados por hambre crónica, esta causa, en términos absolutos, muchísimos más muertos y enfermos. Quizá por eso Caparrós dedica este libro a analizar el hambre y no la hambruna en nuestro mundo. Las frases anteriores acaban de llenarse de números. Aparentemente, una herramienta aséptica que usamos para contar hambrientos. El libro de Caparrós está plagado de números… y de avisos de la manipulación que con ellos se puede realizar. «Si este libro fuera valiente —si yo fuera valiente— no incluiría ningún número», afirma Caparrós; y antes: «Me refugio, canalla, en la cuevita de la cantidad». Por eso Caparrós, escribiendo sobre los hambrientos del mundo, tiene una y otra vez que avisar sobre los números, sobre la manipulación que con ellos se puede perpetrar: «Pero los números suelen ser, también, lo sabemos, el refugio de ciertos canallas».

Parte II

Del siglo XVII a las cavernas

Podemos decir, sin exagerar, que hasta el siglo XVII las matemáticas se podían dividir en tres disciplinas: la aritmética, el álgebra y la geometría —o incluso dos, pues aritmética y álgebra fueron casi lo mismo durante muchos siglos—.

La aritmética tiene que ver con los números y sus operaciones. Los devaneos de la humanidad con los números responden a la necesidad de contar, y se pierden en la noche de los tiempos; la aritmética llegó a hacerse muy necesaria hace unos diez mil años, cuando nos convertimos en agricultores y ganaderos, y luego se convirtió en imprescindible, cuando el comercio evolucionó más allá del mero trueque.

El álgebra supuso una extensión de la aritmética que se acabó visualizando en el siglo XVII mediante la introducción de símbolos, que venían a representar números, y su manipulación. Nuestra relación con el álgebra es también muy antigua, aunque su concreción como disciplina matemática fue mucho más lenta, desde sus iniciales balbuceos en Babilonia —resolución de ecuaciones de primer y segundo grado— hasta su concreción en el siglo XVII con el desarrollo de la simbología moderna, pasando por Diofanto o Al-Jwarismi, del título de uno de cuyos libros deriva, precisamente, la palabra «álgebra».

La geometría es también muy antigua, y responde a la necesidad de medir. A nivel muy elemental, fue practicada por egipcios, babilonios, indios y otras culturas; en Grecia alcanzó cotas de inigualable esplendor: desde sus brillantes inicios con Pitágoras o Tales hasta la madurez de Euclides o Apolonio, y la cumbre suprema de Arquímedes.

Aritmética y álgebra habían sido, y lo eran a principio del siglo XVII, disciplinas íntimamente relacionadas; no así la geometría, que parecía habitar un universo casi disjunto con la aritmética y el álgebra. Pensemos en un objeto geométrico, una circunferencia, por ejemplo. Es, por definición, la curva del plano formada por los puntos equidistantes de uno al que llamamos su centro. Cuando pensamos en una circunferencia visualizamos un dibujo: un fino trazo simétrico que se cierra sobre sí mismo y está igualmente curvado en cada una de sus partes. Pensemos ahora en un objeto algebraico, en una ecuación, por ejemplo x² + y² = 1. Como hemos dicho, álgebra y aritmética están íntimamente conectadas, de manera que asociada a esa ecuación están las parejas de números que la verifican. Por ejemplo, x = 3/5, y = 4/5; naturalmente esa ecuación admite muchas más soluciones: x = 5/13, y = 12/13, o también x = 7/25, y = 24/25. En realidad esa ecuación tiene infinitas soluciones fraccionarias, todas las cuales se pueden generar mediante la fórmula

donde m y n son dos números enteros cualesquiera —no nulos a la vez—. En la capacidad de producir esas fórmulas genéricas reside parte de la potencia del álgebra, cuando se la compara con la aritmética. Pero no acaba aquí la historia, pues la ecuación x² + y² = 1 admite más soluciones que las racionales, por ejemplo x = √2/2, y = √2/2; y todavía más si permitimos que x e y sean números complejos: x = (2 + i)/√6, y = (2 - i)/√6.

Esos ejemplos, la circunferencia y la ecuación x² + y² = 1, con sus infinitas soluciones, no parecen tener ninguna relación. Pertenecen a ámbitos aparentemente distintos, la circunferencia al de los diseños gráficos —geometría—, y la ecuación y sus soluciones a las relaciones genéricas entre números —álgebra—. Es un buen ejemplo para mostrar que álgebra y geometría habitan universos disjuntos, y, en lo esencial, así se habían visto las cosas desde la Antigüedad hasta principios del siglo XVII —la simbología que he usado para manejar la ecuación corresponde a bien entrado ese siglo—. Esa situación dio un vuelco espectacular hacia la cuarta década del siglo XVII, cuando se estableció un puente que venía a mostrar que el álgebra y la geometría estaban, en realidad, íntimamente relacionadas, o, por usar una metáfora más apropiada, son dos caras de una misma moneda. Por ejemplo, ese puente establece una relación indisoluble entre la circunferencia y la ecuación x² + y² = 1.

La pieza clave para construir el puente que une geometría y álgebra consiste en la identificación de parejas de números reales (x,y) y puntos del plano. Para ello dibujamos dos rectas perpendiculares sobre un plano a las que llamaremos «ejes», y «origen» a su punto de corte. Dado un punto P del plano, le asociamos una pareja de números (x,y) del siguiente modo: proyectamos el punto P sobre los ejes, el número x será la distancia de la proyección sobre el eje horizontal al origen, con signo positivo o negativo según la proyección esté a la derecha o la izquierda del origen; de manera semejante, el número y será la distancia de la proyección sobre el eje vertical al origen, con signo positivo o negativo según la proyección esté arriba o abajo del origen (véase la figura 3.1). De igual manera se ve que toda pareja de números reales (x,y) representa un punto P del plano.

Figura 3.1

Con esa convención, consideremos todas las parejas de números reales (x,y) que verifican la ecuación x² + y² = 1. Representamos todas esas parejas en el plano según el convenio anterior. Es fácil ver, usando el teorema de Pitágoras, que todos esos puntos representados en el plano están a la misma distancia del origen: distan una unidad del origen; y viceversa. Dicho de otra forma, los puntos de la circunferencia con centro en el origen y radio uno son precisamente los puntos cuya representación (x,y) verifica la ecuación x² + y² = 1. Con ese simple aunque ingenioso artificio, hemos obrado una especie de milagro: mostrar que los dos universos aparentemente disjuntos del álgebra y la geometría tienen una profunda conexión.

Ese puente entre álgebra y geometría, al que hoy llamamos «geometría analítica», acabaría fecundando y cambiando las matemáticas. Por eso he elegido el siglo XVII como fecha vertebradora de esta historia breve de las ideas matemáticas.

La geometría analítica fue fundamental en el nacimiento de una nueva disciplina matemática. Inicialmente se la llamó «cálculo infinitesimal», y después «análisis matemático», y es, entre otras cosas, la herramienta más eficiente que han producido las matemáticas para el estudio de la naturaleza. Unas décadas antes del nacimiento del cálculo, Galileo había escrito su célebre frase: «La filosofía está escrita en ese grandioso libro que está continuamente abierto antes nuestros ojos, al que llamo universo. Pero no se puede descifrar si antes no se comprende el lenguaje y se conocen los caracteres en que está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, siendo sus caracteres triángulos, círculos y figuras geométricas. Sin estos medios es humanamente imposible comprender una palabra: sin ellos, deambulamos vanamente por un oscuro laberinto». Y Galileo tenía razón, el lenguaje de la naturaleza es matemático, sólo que sus caracteres no son triángulos, círculos y figuras geométricas, sino los que provee el cálculo infinitesimal: sin el cálculo infinitesimal, no existiría la física moderna, y de hecho y no por casualidad, Newton, uno de los inventores del cálculo, es también uno de los padres de la física moderna.

La segunda parte de esta breve historia de las matemáticas narrará cómo se fueron urdiendo los mimbres de la aritmética, el álgebra y la geometría desde las cavernas hasta el siglo XVII, y cómo de esa urdimbre surgió la geometría analítica y el cálculo infinitesimal.

Capítulo 3

De la logística al álgebra renacentista

§ 3.1. Logística

«Logística» es la palabra que usaban los pitagóricos para referirse a los cálculos con números, sobre todo en lo relativo al comercio y otras tareas de índole práctica; reservaban la palabra «aritmética» para referirse a los temas más sofisticados de la teoría de números. Dado que comenzaré esta historia muchos miles de años antes del nacimiento de Pitágoras, conviene avisar del anacronismo de usar esa palabra, «logística», para referirme a los manejos aritméticos de, por ejemplo, los babilonios. Pero entiendo que es mejor hacerlo así porque aclara la cuestión de cuándo se empezó a hacer teoría de números en matemáticas más allá de las operaciones aritméticas.

Es cierto que el término «logística» tuvo una connotación peyorativa pues, en la disyuntiva platónica, queda del lado de los asuntos prácticos, mientras que la teoría de números entra en el más elevado nivel del pensamiento puro; dicho de otro modo, la teoría de números sería un arte mientras que la logística se quedaría en artesanía. Aunque si se lee a Platón con el debido cuidado, hay aspectos aplicados de la aritmética que no le disgustaban, en concreto ponía al mismo nivel el uso militar y filosófico de los números; así se lee en la República: «Debemos intentar persuadir a los que estén destinados a ser hombres principales de nuestro estado para que aprendan aritmética, pero no sólo como aficionados, sino que deben proseguir su estudio hasta ver la naturaleza de los números sólo con la mente; y no, una vez más, como los mercaderes o los tenderos al por menor, con la vista puesta en comprar o vender, sino por su utilidad militar y para el alma misma». Para conjurar ese aspecto peyorativo sobre la logística que efectivamente se observa en Platón —con la salvedad de las aplicaciones militares—, bastará con que se siga leyendo para comprobar que, a quien esto escribe, la logística, en el sentido de las operaciones aritméticas básicas, le merece todo el respeto del mundo, especialmente porque disponer de una manera eficiente de manejar los números y operar con ellos es una cuestión de la mayor importancia; tanto, que es una condición necesaria para el desarrollo de la ciencia en el sentido moderno del término: la ciencia necesariamente tiene que ser cuantitativa, y necesita de un sistema eficiente para operar con números. Para que la ciencia moderna pudiera empezar a nacer en Europa a principios del siglo XVII, fue antes necesario disponer de un sistema de numeración posicional con cero —como el que los árabes trajeron a Europa desde la India—, y dominar la algorítmica de sus operaciones; no debe olvidarse que ese sistema fue diseminándose por Europa, definitiva aunque paulatinamente desde mediados del siglo XV, gracias a los libros de cuentas demandados por banqueros, mercaderes y tenderos.

§ 3.1.1. De la mano que cuenta a la mano que escribe

No se me ocurre nada mejor para empezar a hablar de los números que cederle la palabra a Pablo Neruda, y dejar que su poema Una mano hizo el número, abra esta sección:

28325674549

Una mano hizo el número.

Juntó una piedrecita

con otra, un trueno

con un trueno, un águila caída

con otra águila,

una flecha con otra

y en la paciencia del granito

una mano

hizo dos incisiones, dos heridas,

dos surcos: nació el

número.

Creció el número dos y luego

el cuatro:

fueron saliendo todos

de una mano:

el cinco, el seis,

el siete,

el ocho, nueve, el cero,

como huevos perpetuos

de un ave

dura

como la piedra,

que puso tantos números

sin gastarse, y adentro

del número otro número

y otro adentro del otro,

prolíferos, fecundos,

amargos, antagónicos,

numerando,

creciendo

en las montañas, en los intestinos,

en los jardines, en los subterráneos,

cayendo de los libros,

volando sobre Kansas y Morelia,

cubriéndonos, cegándonos, matándonos

desde las mesas, desde los bolsillos,

los números, los números,

los números.

En pocos textos como en estos versos se sugiere esa propiedad intrínseca de los números (naturales) de ir uno detrás de otro desde un comienzo que Neruda, de forma tan poética como coherente con la historia, sitúa en la mano y no en el cero. Sin mencionarse siquiera, se entrevé en el poema esa infinitud de los números que tanto obsesionó a Borges. Un poema, en fin, que, alargando la metáfora, bien podría pasar como álter ego literario de los más técnicos axiomas de Peano y que sitúa los comienzos de la relación humana con los números —la humanidad de los números— lejos, muy lejos en el tiempo…

Es muy posible que las representaciones de manos humanas en cuevas paleolíticas del norte de España y sur de Francia —«en la paciencia del granito», que decía el poeta— sean un vestigio del esfuerzo intelectual que llevó a nuestros antepasados cavernícolas a discernir e individualizar el número 3 del 5 o del 4. De ser esto cierto, haría de la pintura y la aritmética una especie de Rómulo y Remo que la creatividad humana encontró al final de las manos y amamantó juntos hace algunas decenas de miles de años, antes incluso de que aprendiéramos a enterrar a nuestros muertos. Las manos nunca han dejado de ser una herramienta privilegiada para relacionarnos con los números —y obviamente para pintar—: los niños siguen usando los dedos para iniciarse con los números, primero para mostrar y reconocer su edad cuando apenas saben hablar y después, ya en la escuela, para aprender a sumarlos y restarlos.

Probablemente, en aquellas épocas olvidadas del Paleolítico no hicieran falta muchos números para llevar la cuenta de la caza y la recolección. Tal vez la presencia de esos primeros números entre nosotros siquiera requirió de palabras para nombrarlos y bastara entonces con algunos signos que, sin duda, tuvieron a las manos por protagonistas. Eco de tales usos encontramos hoy en algunas tribus de Oceanía, África y América, donde el nomenclátor de los números es despachado con nombres para el 1, 2 y 3, más allá de los cuales apenas se matiza con palabras como «algunos» y «muchos»; sin embargo, algunas de esas mismas tribus cuentan con procedimientos aritméticos corporales, articulados en torno a los dedos de las manos, y a veces también de los pies, que les permiten contar sin palabras hasta más allá de la treintena.

La necesidad de números creció conforme los cazadores fueron convirtiéndose en pastores; y en pastores eficientes que hacían crecer y crecer el número de cabezas de sus rebaños. Debió de ser en esa trashumancia de oficios cuando los números fueron bautizándose de manera masiva y desarrollándose las primeras argucias para ayudarse en una incipiente y necesaria contabilidad. Así se empezaron a hacer los surcos e incisiones en huesos y bastones de madera que menciona Neruda en su poema, y a usarse cálculos, cuentas y piedrecitas —«huevos perpetuos de un ave dura como la piedra»—. Sin duda, entonces la humanidad empezó a agradecer lo «prolíferos y fecundos» que son los números, capaces de proveer y proveer sin fin ni aparente cansancio, fertilidad esta en la que hoy, tal vez por habernos acostumbrado a ella, apenas se repara.

Pero la humanidad empezó realmente a depender de los números cuando, además de con pastores, empezó a contar entre sus huestes también con agricultores. La agricultura tuvo como efectos colaterales —que decimos hoy— el sedentarismo, el comercio y la necesidad de conocer mejor el ciclo de las estaciones, esto es, el calendario.

La vida empezó entonces a complicarse y hubo que inventar la escritura —y, en consecuencia, la lectura— para hacerla algo más llevadera. Con toda seguridad, los números están en el origen de la escritura. Los registros escritos más antiguos conservados, en tablillas de arcilla que se remontan al año 3000 a. C. o incluso algo antes, contienen primitivos diseños numéricos sumerios y operaciones aritméticas sobre intercambios comerciales. Estos intercambios eran presumiblemente trueques, y en las tablillas constan las cantidades y los productos —cebado, por ejemplo— intercambiados.

Todo esto sugiere razonablemente que el comienzo de la escritura bien pudo ser como sigue. Situémonos en alguna aldea del sur de Mesopotamia —pongamos Urú, o Elam, si se prefiere más precisión— a mediados del cuarto milenio a. C., cuando todavía la humanidad no sabía escribir. Una familia ha enviado a uno de sus miembros para que compre cabras en una aldea vecina —o cierta cantidad de trigo y cebada, tanto da—. La familia, y esto es lo importante, quiere tener la seguridad de que el enviado va a traer a la casa familiar tantas cabras como le fueran vendidas. Para ello, el vendedor guarda en un recipiente sellado de arcilla una piedrecita por cada cabra vendida, de manera que cuando las cabras lleguen a la familia compradora se pueda comprobar que hay tantas cabras como piedras en la vasija. En cierto momento, a alguien se le ocurrió presionar contra el recipiente de arcilla fresca las piedras que iba metiendo dentro, de manera que al volverlas a sacar encajaran fuera y se tuviera mayor seguridad de que el contenido de la vasija de arcilla no había sido manipulado. Después, otro alguien se dio cuenta de que, una vez marcadas fuera, ya no era necesario meter las piedras dentro del recipiente. Precisamente con esas marcas empezó la representación de los números y, a la par, la escritura empezó a ser engendrada. A la vez que se representaba un número se tenía que representar también el objeto al que ese número hacía referencia. Porque además de comprar cabras, aprovechando el desplazamiento también se compraban ovejas, y no en igual número. De manera que había que señalar que el número 10, pongamos por caso, se refería al número de cabras compradas, mientras que el 15 hacía referencia al de ovejas; para lo cual nada mejor que añadir al lado de las marcas para el 10 un signo que se convino viniera a significar cabra, y al lado de las marcas para el 15 otro distinto que iba a significar oveja. Con el transcurso del tiempo, esos primeros signos, presumiblemente simples pictogramas para representar objetos, pasaron a representar sonidos, bien palabras o bien sílabas, evolucionando además al diseño cuneiforme —hacia el 2500 a. C.—, más fácil de imprimir sobre arcilla.

Este proceso que antepone por poco la representación escrita de números a la escritura en sí, y todo ello teniendo como motor al comercio —más o menos primitivo o incipiente—, es bastante universal. Se ha producido a todo lo largo y ancho de la geografía y la historia humanas, desde Mesopotamia, Egipto o China —donde la contigüidad espacial puede explicar la similitud del proceso—, hasta Mesoamérica —cuyo aislamiento geográfico de esas civilizaciones (y también la discontinuidad temporal) quiebran toda posible influencia—. En América del Sur tenemos un caso especialmente clarificador que muestra que la escritura de números parece haber sido históricamente más importante y necesario que la de objetos y conceptos, y esto propició que fuera abordada de forma previa. Se trata de los incas, una sociedad muy avanzada que no llegó a desarrollar la escritura, a pesar de crear un imperio extenso y vertebrado en una zona tan escarpada y difícil de comunicar como la cordillera de los Andes. Sí tenían, en cambio, un sofisticado sistema para representar números y poder así transmitir información de una punta del imperio a la otra. Se trataba de los quipu. Quipu es una palabra quechua que significa «nudo»; un quipu es un manojo de cuerdas sobre las que se hacían nudos —de ahí el nombre—. A menudo estaba formado por una cuerda principal, más gruesa, de la que colgaban otras cuerdas más finas en número y longitud variables, y a veces teñidas en distintos colores. Un quipu podía tener desde tres o cuatro cuerdas secundarias hasta varios miles. Los números eran representados por nudos en las cuerdas: la distinta altura a que estaba el nudo sobre la cuerda, y las distintas clases de nudos, dotaban al sistema de bastante versatilidad para representar números grandes. El inca Garcilaso de la Vega (c. 1498−1536) aseguró que el sistema para representar números de los quipus incas era posicional —como el de babilonios e indios—: «Los ñudos se daban por su orden de unidad, decena, centena, millar, decena de millar, y pocas veces o nunca pasaban a la centena de millar. En lo más alto de los hilos ponían el número mayor, que era el decena de millar, y más abajo el millar, y así hasta la unidad. Los ñudos de cada número y de cada hilo iban parejos unos con otros, ni más ni menos que los que pone un buen contador para hacer una suma grande». Los quipus servían para almacenar y transmitir informaciones diversas, ya fuera para registrar censos de poblaciones, ya fuera la pena de cárcel impuesta a unos presos —sobre esto último escribió el Inca Garcilaso: «Los ñudos de tales y tales colores decían los delitos que se habían castigado, y ciertos hilillos de diferentes colores, que iban asidos a los cordones más gruesos, decían la pena que se había dado y la ley que se había ejecutado; y de esta manera se entendían, porque no tuvieron letras.»—.

§ 3.1.2. Los números: así en el cielo como en la tierra

El progreso de la agricultura —imprescindible (además de causa) para sostener las altas densidades de población asentadas en las ciudades— requirió conocer, con cuanta más precisión mejor, cómo se sucedían las estaciones a lo largo del año, empezando, naturalmente, por determinar cuántos días tenía ese año y cuántos las estaciones de que se componía. Esta curiosidad interesada por predeterminar el ciclo solar y poder así sacar el correspondiente rendimiento al conocimiento preciso de los ciclos de siembra y recolección, llevó a la necesidad de disponer de calendarios fiables. Para estas sofisticaciones que la civilización necesitaba para progresar, son imprescindibles los números, las cuentas y otras orgías y manipulaciones que con ellos se pueden hacer. No ha habido, de hecho, cultura que haya controlado —de forma más o menos precisa— el calendario que no haya desarrollado a la par un sistema eficaz para representar y hacer operaciones con los números.

Ese fue, por ejemplo, el caso de sumerios y babilonios: la base 60 que usaron para escribir los números —cuya herencia es todavía hoy perceptible en su uso para dividir horas en minutos y segundos, o en la medida de ángulos— puede plausiblemente haber tenido su origen en la astronomía, toda vez que el número 60 —y sus partes y múltiplos— es especialmente adecuado para medir, en una primera aproximación, buena parte de las divisiones temporales relacionadas con el ciclo solar y, por ende, del calendario. Dividir la circunferencia en 360 grados, como seguimos hoy haciendo por influencia babilónica, equivale a asignar al grado el valor angular recorrido —más o menos— por el Sol en la eclíptica durante un día.

Los astrónomos babilonios desarrollaron el primer sistema posicional conocido hacia finales del siglo XIX a. C. Como se ha dicho, era un sistema de base sexagesimal, lo que complicó su manejo al tener que usar demasiados símbolos básicos; esas cifras básicas, del 1 al 59, se construían utilizando caligrafía cuneiforme por repetición, usando un símbolo específico para uno y otro para diez; así el número 59 se escribía repitiendo cinco veces el símbolo del diez y nueve veces el símbolo para el uno, mientras que para el número 61 ya se usaba el sistema posicional y se escribía como el símbolo para el uno y, dejando una cierta separación, se repetía otra vez el símbolo para el uno.

Durante bastante tiempo, el sistema babilonio no tuvo un símbolo para el cero —donde nosotros escribimos un cero ellos dejaban un espacio vacío—, lo que aumentó la dificultad de su uso. Este defecto pareció resolverse hacia el siglo III a. C., cuando empezaron a usarse símbolos para el cero que se habían usado antes como separadores en textos ya fueran científicos o literarios.

Los babilonios fueron más allá de la aritmética y llegaron a plantearse y resolver problemas algebraicos cuya solución requería ecuaciones —y sistemas— de primer, segundo e, incluso, tercer grado. Un ejemplo típico de problema que sabían resolver y que da lugar a una ecuación de segundo grado es: hallar un número que sumado a su inverso dé un número dado. Desarrollaron incluso una primitiva simbología —utilizando antiguos pictogramas sumerios para las incógnitas—. También conocían la relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo —lo que hoy llamamos el «teorema de Pitágoras»—, toda vez que en algunas de sus tablillas —como la Plimpton 322— aparecen multitud de ternas de números x, y, z que se corresponden con los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo y, por tanto, verifican x² + y² = z². A esas ternas hoy las llamamos «ternas pitagóricas», y los listados que aparecen en las tablillas sugieren que los matemáticos babilonios pudieron traspasar la frontera de la logística y adentrarse en el reino platónico de la teoría de números.

Los babilonios fueron grandes astrónomos y astrólogos. Y la sofisticación alcanzada por su sistema de numeración debe mucho a la necesidad que sintieron de ordenar el calendario y a la fascinación por las artes mágicas y adivinatorias que asociaron con los cuerpos celestes.

El calendario tuvo casi la misma importancia en la vecina civilización egipcia y, por tanto, la astronomía y los cálculos numéricos asociados. Egipto debe su ser a la inundación anual del Nilo. Esta inundación había que saber predecirla convenientemente; primero para anticiparse y evitar daños, y después porque había que tener todo listo para la siembra.

Digamos que la clave para determinar un buen calendario radica en el mejor o peor conocimiento que tengamos de la duración exacta del año trópico —esto es, el tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del Sol por el mismo punto equinoccial; luego está el año sidéreo: el tiempo que tarda el Sol en volver a pasar sobre el fondo de una misma estrella; la relación entre ambos, teniendo en cuenta estimaciones actuales, es de 0,999961123…—. Los calendarios sumerios y babilónicos usaban una estimación de 360 días, muy cómoda para su sistema sexagesimal, pero que acumulaba en pocos años semanas y semanas de imprecisión que había que corregir para hacer viable su uso. Los egipcios mejoraron la estimación adoptando 365 días para la duración del año que dividieron en 12 meses de 30 días, más 5 días agrupados al final del año —su calendario les dio para cierto lucimiento: basta ver la cara de pasmo de los turistas cuando, el primer día del verano, ven en las profundidades de un templo egipcio al último rayo del Sol poniente besar la frente de un faraón—.

El problema es que el año trópico no se puede medir exactamente en días, de hecho la estimación egipcia suponía un desfase de diez días cada cuarenta años, aproximadamente.

La magnitud de ese error motivó la creación del calendario juliano, vigente hasta finales del siglo XVI. El calendario juliano se elaboró basándose en los cálculos del astrónomo griego Sosígenes de Alejandría, que estimaban para el año trópico una duración de 365 días y 6 horas. De esta manera, el emperador Julio César decretó en 46 a. C. que, tras cada tres años de 365 días, seguiría uno de 366 —el año bisiesto, que acumulaba en un día las seis horas de desfase de cuatro años consecutivos—.

Otra civilización donde los números y la astronomía alcanzaron sofisticaciones, que siguen hoy sorprendiendo, floreció un par de milenios más tarde que babilonios y egipcios, y bastantes miles de kilómetros y todo un océano más al oeste. Se trata de los mayas, que convirtieron en religión la medida del tiempo y su transcurrir; quizá porque ese transcurrir permite la continuidad y el suceder de la vida. Probablemente fuera la agricultura —en este caso del maíz— la impulsora de esa pasión por medir el tiempo, tan determinada y hasta contaminada por influjos religiosos.

Naturalmente, para el estudio y la predicción astronómica, los mayas necesitaron de los números. Desarrollaron de hecho varios sistemas de numeración. Uno más primitivo basado en el principio aditivo —similar, por tanto, a la numeración romana—; y otro mucho más sofisticado, similar al nuestro actual aunque con base 20, siguiendo el principio de posición y el uso del cero. En este caso los números se representaban por glifos, en su mayor parte rostros humanos o humanoides, algunos de inusitada fiereza, otros más dulces y relajados. Estos símbolos para los números conforman una singular galería de dioses que nos recuerda, una vez más, el carácter religioso de la escritura y los cómputos mayas.

Todo esto les permitió elaborar unos afinados calendarios astronómicos con predicción de eclipses, ciclos lunares y fases de Venus, Mercurio y Marte, pero también otros más extravagantes con presagios astrológicos.

Además de dos sistemas de numeración, los mayas también dispusieron de dos calendarios. Uno ritual llamado tzolkín con 260 días agrupados en 20 nombres o días del mes y 13 números. Los mayas erigieron por toda Mesoamérica una red de impresionantes centros ceremoniales, muchos de los cuales todavía se conservan hoy en mejor o peor estado: Uxmal y Chichén Itzá en Yucatán, Palenque en Chiapas, Tikal en Guatemala y Copán en Honduras, etc. El calendario tzolkín era fundamental para fijar las fiestas y rituales religiosos celebrados en estos grandes centros de ceremonias, donde no fueron extraños los sacrificios humanos.

Los mayas también tuvieron un calendario solar llamado Haab con 365 días divididos en 18 meses —uinal, en lengua maya— de 20 días, más 5 días extras a los que llamaban uayeb, o «aquellos que no tienen nombre». Los nombres de los días estaban cargados de significado para los mayas, de ahí que esos uayeb, al carecer de nombre, fueran días de mala suerte.

Atendiendo a estos dos calendarios, cada día recibía dos nombres, cada uno de los cuales estaba formado por el nombre del mes y el nombre del número correspondiente. Para los mayas tenía especial significado el lapso de tiempo necesario para que los nombres y números de los días volvieran a repetirse en ambos calendarios. Un simple cálculo muestra que esto sucedía cada 18.980 días, esto es, cada 52 haab del calendario solar —descontados los uayeb— o, simultáneamente, cada 73 tzolkín del calendario ritual.

En su obsesión por el calendario, los sacerdotes mayas se distinguían poco de sus colegas católicos —a uno de cuyos conspicuos ejemplares se debe la quema de buena parte de los espléndidos códices mayas porque, según escribió, «no tenían cosa en que no hubiese superstición y falsedades del demonio»—. Y es que la Iglesia católica ha sido una de las tantas religiones que ha sentido verdadera fijación por ligar sus fiestas rituales al Sol y la Luna. A esa obsesión se debe precisamente nuestro calendario actual. El calendario juliano fue adoptado por la Iglesia católica en el concilio de Nicea —325 d. C.—. Teniendo en cuenta los datos actuales, la duración del año trópico es unos 11 minutos menor a la estimación de Sosígenes adoptada por Julio César, esto es, el error acumulado por el calendario juliano añadía un día de más cada 132 años. Los días de más, acumulados, suponían un problema para la determinación de fechas religiosas importantes para la Iglesia católica —la de la Pascua y otras fechas litúrgicas móviles que dependen del equinoccio de primavera—: piénsese que cuando el calendario indicaba el 21 de marzo en un año cualquiera del siglo XVI, era, en realidad, el 11 de marzo —diferencia ya apreciable toda vez que en el auténtico 21 de marzo, supuestamente el equinoccio de primavera, la duración del día y la noche debería ser idéntica—; precisamente este problema apareció en la dedicatoria que Copérnico hizo de su De revolutionibus al papa Pablo III como la más importante de las razones que le llevaron a abordar su reforma de la astronomía ptolemaica: «Porque los matemáticos están tan inseguros sobre los movimientos del Sol y de la Luna, que no pueden ni demostrar ni observar la duración constante del año estacional».

Después de siglos postergando la reforma, esta culminó finalmente en 1582, bajo mandato del papa Gregorio XIII —de ahí el nombre de calendario gregoriano con el que es conocido— y la dirección de los astrónomos del jesuita Collegio Romano. Se estipuló para la duración del año 365 días, 5 horas, 48 minutos y 46 segundos, y se dictaminó recuperar los diez días de desfase —se pasó del 5 de octubre de 1582 al 15 de octubre— y convertir tres años bisiestos en normales cada cuatro siglos —concretamente, de los años terminados en 00 serán bisiestos aquellos cuyas cifras de centenas y millares sean múltiplo de cuatro: así, 1700, 1800 y 1900 no fueron años bisiestos, mientras que el 2000 sí lo fue—.

Ya ven, detrás de los dioses y las cosas del cielo casi siempre hay un número y, como dijo el poeta, adentro del número otro número y otro adentro del otro, prolíferos, fecundos…

Se da también la circunstancia de que cuando una sociedad humana ha llevado los intercambios comerciales entre sus miembros más allá del trueque ha necesitado, y por tanto ha desarrollado por sí, o copiado de otros, sistemas más o menos sofisticados para manejar los números. Ocurrió así en Babilonia, Egipto, India, China, Mesoamérica, etc.

A esta asociación de comercio y aritmética, precisamente, se debe la difusión por Occidente de nuestro actual sistema de numeración. A menudo se piensa que fueron las necesidades matemáticas las que obligaron a desarrollarlo y facilitaron su difusión, y que esas mismas necesidades matemáticas acabaron haciéndolo de uso universal. Nada más falso y alejado de la realidad histórica, hasta el punto de que, sin incurrir en exageración alguna, se puede afirmar que nuestro sistema de numeración ha sido un regalo que los matemáticos han recibido de la sociedad; y si se quiere algo más de precisión, sustitúyase sociedad por comerciantes, mercaderes y banqueros.

Como es bien sabido, nuestro actual sistema de numeración es de origen hindú, es posicional —el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa— y usa el cero. Así, en el número 121, la cifra 1 más a la derecha vale una unidad, mientras la cifra 1 más a la izquierda vale cien unidades, y la cifra 2 central dos decenas. O sea, el número se describe indicando cuántas unidades, decenas, centenas, y cualquier otra potencia de diez lo forma. El cero es entonces necesario para indicar la falta de una de esas potencias en la representación de un número. Así, si un número está formado por una unidad y dos centenas, hay que indicar que no se requieren decenas para representarlo, para lo cual es necesario disponer de una cifra que denote la «nada»; ese número en cuestión quedaría entonces representado en la forma 201.

El sistema hindú cuajó durante el período de esplendor cultural e intelectual que tuvo lugar en todo el valle del Ganges desde mediados del siglo III d. C. hasta mediados del siglo VI d. C. —dinastía de los Gupta—, coincidiendo con una fuerte expansión comercial, tanto con el Oriente próximo, como con Bizancio —no por casualidad se inició y desarrolló en esa época la gran astronomía trigonométrica hindú de clara influencia griega.

Poco a poco, los matemáticos hindúes fueron dominando los números en general y, en particular, el cero. Así, Bramagupta, en torno al 628 d. C., explicó el cero como el resultado de restar un número de sí mismo; también usó los números negativos, que los griegos habían evitado y que luego llevaría muchos siglos introducir y hacerlos de uso común en Europa. Mahavira, en torno al año 1000, estableció claramente las reglas para el uso del cero en las operaciones: un número multiplicado por cero da como resultado cero, mientras que un número menos cero es igual al mismo número. Por último Baskhara, hacia el 1114, estableció que un número dividido por cero es igual a infinito.

Para escribir las diez cifras a partir de las cuales se puede representar cualquier número, los hindúes tuvieron la buena idea de no usar letras de su alfabeto. Usaron símbolos que derivaban de la escritura brahmi, surgida en el siglo III a. C. para escribir el sánscrito. Las cifras brahmi evolucionaron y se diversificaron dando lugar en los siglos IV y V a las cifras gupta, y a partir del siglo vil a las nagari, que fueron precisamente las que tomaron inicialmente los árabes.

Tras su conversión al islam en el siglo VII, los árabes iniciaron una expansión hacia el Oriente que los llevó a territorio hindú. A través de esa frontera se filtró el sistema hindú de numeración, de forma que, ya a finales del siglo VIII, los musulmanes lo habían asimilado.

Del primer cuarto del siglo IX data una de las mejores aritméticas que los árabes compusieron. Su autor fue Al-Jwarismi o Al-Khuwarizmi (780-850), el gran matemático y astrónomo árabe, uno de los padres del álgebra. Al Jwarismi trabajó en Bagdad en la Casa de la Sabiduría. Esta institución fue creada por Al Mamún, el gobernador que aparece en las Mil y una noches, para el conocimiento y desarrollo de la filosofía, la astronomía, las matemáticas y otras ciencias. El libro de aritmética de Al-Jwarismi lo conocemos por una versión latina del siglo XIII, pues no se ha conservado en su versión árabe. En él se explica la forma de representar números usando el sistema y las cifras hindúes, y la forma de hacer las cuatro operaciones —suma, resta, multiplicación y división—.

La forma de representar los números que los árabes aprendieron en el Oriente circuló hasta la otra punta de sus dominios; y así, a través del norte de África, el sistema de numeración hindú llegó a España en el siglo IX. El diseño de las diez cifras que los árabes nos trajeron a Occidente deriva directamente de las cifras nagari de los hindúes, aunque adaptadas a la caligrafía árabe.

Estas fueron precisamente las cifras que el monje Vigilán escribió en su monumental Codex Vigilanus, compuesto en el desaparecido monasterio de San Martín de Albelda, en La Rioja, hacia el año 976. Es posible que el monje Vigilán aprendiera esa forma de escribir los números en el monasterio de Santa María de Ripoll, cerca de Vic. Ello ilustra el esfuerzo de los monjes cristianos del noreste de la Península por asimilar la cultura científica de Al-Ándalus y su transmisión posterior al resto de Europa. Unos años antes de que Vigilán visitara Ripoll, allí aprendió los números Gerberto de Aurillac, que después sería papa con el nombre de Silvestre II. Gerberto fue quien primero impulsó la introducción en Europa de los numerales árabes, aunque como parte de un nuevo tipo de ábaco que usaba el principio posicional aunque no el cero, innecesario en un ábaco.

Aunque se conservan en el Oriente —India principalmente— diversos registros anteriores al Codex Vigilanus donde se usan signos con cierto parecido con nuestras cifras para indicar una fecha o las dimensiones de un templo —es el caso de unas lápidas en los templos de Gwalior datadas el año 876—, es el Codex Vigilanus el documento más antiguo de cuantos se conservan que, mencionando de manera explícita los números, reproduce las nueve cifras —no aparece el 0— en forma muy parecida a como hoy lo hacemos.

Pues bien, desde finales del siglo X, cuando Vigilán incluyó esa mención a los números hindúes en su Codex, hasta que la aritmética hindú se hizo de uso prácticamente universal en Europa, bien entrado el Renacimiento, pasaron quinientos años en los que con los números no se hicieron matemáticas, sino que sirvieron de manera esencial para el desarrollo del comercio. Dicho en términos pitagóricos, nuestro sistema de numeración debe su difusión por Europa a necesidades relacionadas con la logística y no a la ayuda que la aritmética pudiera aportar al perfeccionamiento del espíritu. Así, no es de extrañar que la figura cumbre de la aritmética medieval fuera Fibonacci (c. 1170−1240), hijo de comerciantes y comerciante él mismo.

Durante esos cinco largos siglos se produjo en Europa una batalla entre algoristas, esto es, aquellos que usaban para las cuentas el sistema hindú de numeración y los numerales árabes, y abacistas, esto es, aquellos que hacían las cuentas con el viejo sistema romano mejorado con artilugios como el ábaco, o las mesas de cálculo. Lo que al inicio del Renacimiento vino a decantar la victoria del lado de los algoristas frente a los abacistas fueron, ni más ni menos, las necesidades contables que el desarrollo del comercio durante la baja Edad Media había generado.

Cuando la actividad comercial empezó a transformarse en Europa a partir de los siglos XII y XIII, la simplificación de las operaciones aritméticas que permite el sistema hindú se tornó imprescindible. Ocurrió entonces que los mercaderes dejaron de acompañar a las caravanas, se hicieron sedentarios, asentaron los negocios en sus ciudades y establecieron sucursales en la ruta, creando así vastas redes comerciales de intercambio. Todo ello propició la creación de las primeras entidades bancarias con instrumentos comerciales más complicados como las letras de cambio. Esta transformación, fundamental para la expansión del comercio, generó una contabilidad mucho más compleja que requirió entonces de los poderosos métodos de cálculo que la aritmética hindú permite.

Imagine el lector a un comerciante veneciano, o genovés o florentino, mercadeando con Bizancio, con el Mediterráneo turco e incluso con China, llevando esclavos, vino, sal o paños, y trayendo especias, seda, trigo o porcelanas. Imagine que, ya de Venecia a Génova o Florencia, la forma de medir y pesar las mercaderías era distinta. Variaban también las monedas que cada república o reino acuñaba y fundía con aleaciones elegidas a su gusto o provecho.

Y si esto, digo, era así entre repúblicas vecinas, imagínese ahora el lector lo que ocurriría con los pesos, las medidas y las monedas de un lado al otro del Mediterráneo y más lejos todavía hasta llegar a la India o la China. Añádanse a esto los distintos aranceles y tasas aplicados por unos y por otros, aquí y allá. ¿Quiénes sino los números y la aritmética podían poner orden donde tanto caos y minucias contables se acumulaban?

Esta es la sencilla razón que hizo que el sistema hindú arraigara antes en el norte de Italia o en las ciudades de la Hansa que en otras regiones de Europa. La zona hanseática dejó además una marca todavía hoy reconocible en la aritmética.

En la Hansa, los abanderados de los números fueron los rechenmeisters, o maestros calculistas: funcionarios encargados por la respectiva ciudad de la contabilidad, sobre todo la relativa a la organización de los puertos, salida y entrada natural del comercio entre las ciudades de la liga. Los rechenmeisters escribieron muchas de las aritméticas impresas en Alemania durante el primer siglo de la imprenta, y fueron los inventores de buena parte de los símbolos que hoy usamos para representar las operaciones de la aritmética: es la marca a la que me refería arriba. ¿Cómo expresar mediante símbolos que dos números van a ser sumados, multiplicados o divididos? Ya los babilonios y egipcios habían inventado ideogramas para indicar cuándo dos cantidades se sumaban o restaban. Especialmente gráfico era el signo egipcio: un par de piernas caminando hacia delante indicaban una suma y caminando hacia atrás una resta. En las primeras aritméticas mercantiles publicadas en el Renacimiento se optó por declarar con palabras la operación que se iba a hacer con los números. Pero este exceso retórico era engorroso y confuso. En Italia y otros países se optó, desde finales del siglo XV hasta principios del XVII, por indicar las operaciones mediante abreviaturas: así, la letra tildada p, inicial de plus y la m, inicial de minus, se usaron para señalar sumas y restas, respectivamente, y una r era el signo habitual para la raíz cuadrada. Pero fueron los rechenmeisters de la Hansa quienes mostraron más imaginación en el diseño de los símbolos de la aritmética. Mientras cuadraban balances contables en sus oscuras oficinas de los muelles, cayeron en la cuenta de que, para indicar sumas y restas, acaso pudieran servir aquellos signos usados en el puerto para indicar excesos o mermas en los pesos de las cajas y embalajes. Estos símbolos no eran otros que la cruz + para indicar un exceso y el guion − para indicar una merma. Así, algunos rechenmeisters empezaron a usar esos símbolos hacia el final del siglo XV para indicar con el + una suma y con el − una resta. Primero los usaron en textos manuscritos; después los símbolos pasaron a la imprenta, y acabaron con el tiempo haciéndose universales.

A las razones comerciales se unieron las derivadas de la reforma del calendario —ya en mente de los jerarcas de la Iglesia—, y de las incipientes exploraciones geográficas por barco —que necesitaban observaciones y tablas astronómicas más precisas para ayudar en la navegación—; esto último muy ligado también al comercio.

La intensa relación que mantuvieron el comercio y la aritmética hindú escrita con cifras árabes quedó reflejada en el Renacimiento con la impresión, nada más desarrollada la imprenta, de numerosas aritméticas mercantiles. Estos libros, más que de matemáticas lo eran de cuentas —de nuevo es muy clarificadora aquí la distinción pitagórica entre la aritmética y la logística—, y, además de enseñar la aritmética, contenían multitud de ejemplos útiles para usos contables: cambio de monedas, cálculo de aleaciones, de trueques, de repartos proporcionales, cálculo de precios y beneficios, problemas de finanzas, cálculo de intereses, e, incluso, información sobre costumbres crediticias y letras de cambio en diferentes ciudades europeas. Referencia se ha hecho ya a las aritméticas publicadas en Alemania por los reichenmeisters —célebres son la de Johann Widman escrita en alemán y publicada en Leipzig en 1489, o la de Christoph Rudolff que vio la luz en Estrasburgo en 1525, y no sigo por no hacer la lista demasiado larga—; y sería imperdonable no hacer mención de la Summa de arithmetica, geometría, proportioni et proportionalita (1494), del italiano Luca Pacioli. La Summa fue la mayor síntesis matemática impresa en el siglo XV. De las cinco partes que contiene el libro, las que aquí me interesa reseñar son las dedicadas a la aritmética y, sobre todo, la llamada De computis et scripturis, dedicada a las aplicaciones mercantiles de la aritmética —dejaré para más adelante las menciones a la parte dedicada a la regla de la cosa o arte mayor, que supuso ver impresos los primeros balbuceos del álgebra—.

Acaso sea exagerado decir que, con el De computis et scripturis, fray Luca Pacioli inventó la contabilidad moderna, aunque sea esta una exageración tan módica y esquelética que casi se puede considerar ecuánime. Quizá tanto como decir que su influencia ha llegado hasta el siglo XX, en parte ayudada por las 34 traducciones —a catorce lenguas— que De computis et scripturis ha tenido. El fraile Pacioli explicó en su libro la contabilidad de doble entrada, que venía usándose en Italia desde mediados del siglo XIV, convirtiéndola en contabilidad por partida doble —o veneciana—, esto es, se anotaban tanto abonos como cargos, o en otras palabras el activo y el pasivo o el haber y el debe; e incluía también los correspondientes ejemplos sobre cambio de monedas, medidas y pesos que Pacioli tomó de algunos manuscritos que circulaban entre mercaderes y comerciantes. De computis et scripturis es un magnífico y detallado tratado sobre la teneduría de libros contables, y tal vez por eso haya sobrevivido activo muchos más siglos de los que acaso su autor llegara nunca a imaginar.

Puede compararse cualquiera de las aritméticas comerciales renacentistas con los Elementos de Euclides —impreso por primera vez en Venecia en 1482—, donde, como dijo alguien, no se usan más números que los necesarios para numerar proposiciones y teoremas. Esta no presencia de los números en los Elementos viene a reflejar la diferencia que la matemática griega estableció entre la logística y la teoría de números —que sí contienen los Elementos: allí se demuestra, por ejemplo, que el número de primos es infinito—. Como ya se dijo, eso viene a reflejar que los matemáticos griegos consideraron las cuentas cosa más de mercaderes o tenderos que de filósofos y matemáticos —aunque hubo excepciones notables como fue el caso de Arquímedes—, lo que tal vez explique el penoso sistema de numeración que usaron —penoso en comparación con el de los hindúes—. Sobre todo esto diré mucho más en el siguiente capítulo.

Coincidiendo con el desarrollo de la imprenta, un último y curioso beneficio le supieron arrancar los gremios del comercio y la banca a los números: esa profusión de libros de cuentas publicados en el Renacimiento fue usada por comerciantes y banqueros para mejorar su imagen pública. En efecto, en la República, Platón había catalogado como subalternos a los trabajadores manuales, comerciantes y artesanos incluidos, habiendo sido los números y las cuentas que estos practicaban expulsados, como se acaba de decir, del paraíso de las verdaderas matemáticas ejercidas por filósofos y matemáticos. Esta mala imagen no hizo sino agravarse cuando la mitología cristiana retrató a su líder expulsando a golpes a los mercaderes del templo. Así, durante la Edad Media europea, los oficios de comerciantes y mercaderes estuvieron contaminados por el oprobio que la práctica de la usura había arrastrado a lo largo de los siglos. Acaso el hecho de que se identificara a los usureros con los judíos había empeorado algo más las críticas sobre la moralidad de los prestamistas. Esta situación se mantenía todavía en los inicios del Renacimiento, lo que no dejó de reflejarse en las primeras aritméticas mercantiles. Así, para conjurar el pecado de avaricia, encontramos invocaciones a Dios, la Virgen o Jesucristo al inicio de las más antiguas aritméticas comerciales publicadas, como si fuera una manera de exorcizar las posibles interpretaciones torcidas que se pudiera hacer de los cálculos de intereses y ganancias. Esto también pudo ser por influencia indo-arábiga. Los textos indios, aún los de matemáticas, solían contener invocaciones a los dioses, y la principal versión latina del libro de Al-Jwarismi sobre los números indios comienza también con una alabanza y agradecimientos a Alá —por más que en el islam los asuntos comerciales eran muy bien considerados, no debe olvidarse que Mahoma fue mercader antes que profeta—.

Conforme avanzaba el siglo XVI, esa aprensión fue cediendo, y acaso el hecho de que algunos curas y frailes escribieran ese tipo de aritméticas sirviera para relajar las consideraciones morales que cupiera hacer, por más que estos autores procedieron en sus libros sin parar mientes en si los cálculos de precios que proponían podían considerarse justos o no, o si los intereses calculados entraban o no en la usura, o si los beneficios computados caían o no dentro del pecado de avaricia. El tratamiento aséptico de los asuntos contables que la aritmética permitía, sobre todo en lo relativo a préstamos y cálculo de beneficios y ganancias, ayudó también a superar las connotaciones amorales de estos oficios. La publicación de las aritméticas mercantiles sirvió finalmente para mejorar la apreciación social de mercaderes y comerciantes. Una parte del prestigio social que tenía el libro en el Renacimiento acabó trasvasándose a esos gremios que eran, a fin de cuentas, los usuarios y, en cierta forma, protagonistas de los textos. La mejor consideración del dinero, propiciada por el incipiente capitalismo renacentista, acabó permitiendo el ascenso en la jerarquía social de determinados oficios y actividades manuales. Así, ese matrimonio de conveniencia que formaron la aritmética y el comercio acabó, para beneficio de mercaderes y banqueros, siendo sellado y confirmado por la imprenta.

Hasta tal punto gozaron de buena reputación los libros de cuentas que no era raro verlos aparecer en cuadros y retratos como elementos de prestigio: es el caso de Luca Pacioli que prefirió hacerse un retrato, no orando ni meditando, ni tan siquiera enseñando las verdades reveladas del evangelio, sino las verdades demostradas de los Elementos de Euclides; además, contra lo que ordena la regla franciscana, Pacioli exhibía ostentosamente lo que acaso fuera una de sus más preciadas posesiones: en su retrato aparece, cerrado, la Summa de arithmetica. Y no fue el único: Hans Holbein el Joven incluyó en su composición Los embajadores un ejemplar —entre otros libros— de la aritmética mercantil escrita por Pedro Apiano.

§ 3.1.3. Logaritmos, números irracionales y negativos

El manejo con el sistema posicional de numeración heredado de los hindúes, tan útil para mercaderes, comerciantes y banqueros, fue en los inicios del Renacimiento ciencia de vanguardia. Pero si los adscribimos al ámbito de la logística, podemos decir que hasta el descubrimiento de los logaritmos a principios del siglo XVII no se empezó a hacer propiamente matemáticas con el sistema de numeración hindú.

Los logaritmos fueron invento del noble escocés John Napier e, independientemente, del suizo Joost Bürgi. La invención de los logaritmos tiene mucho que ver con su propiedad principal, la de convertir productos en sumas:

log(xy) = log x + log y

Esta propiedad es muy útil cuando uno quiere multiplicar números con muchas cifras y no tiene a mano ni calculadoras ni ordenadores. Desde la antigua Grecia, esto de multiplicar números de muchas cifras era tarea habitual en los observatorios astronómicos, y cualquier idea que simplificara esos tediosos cálculos se consideraba bienvenida. Hasta la invención de los logaritmos la reducción de productos a sumas se hacía usando las fórmulas trigonométricas que expresan un producto de senos y cosenos de ángulos en términos de las razones trigonométricas de sumas y diferencias de esos ángulos. A ese método se le denominó «prostafairesis»: usando las tablas trigonométricas el producto de dos números de muchas cifras era reducido a tres sumas y una sencillísima división por dos. Los logaritmos permiten reducir el producto a una suma. En efecto, supóngase que se quieren multiplicar dos números a y b con muchas cifras; usando una tabla de logaritmos buscamos log a y log b. Bastará ahora sumar esos dos logaritmos y buscar en una tabla inversa de logaritmos el número c cuyo logaritmo sea esa suma, ya que usando la fórmula anterior tenemos

log c = log a + log b = log(ab),

y por tanto c = ab —con tanta aproximación como tenga la tabla de logaritmos—. Así, mediante las tablas de logaritmos, el producto se ha reducido a una suma.

Así pues, los logaritmos en su origen no nacieron como la función a la que hoy estamos acostumbrados; eran unas tablas de números, algo misteriosas, que facilitaban el cálculo de productos y cocientes de números de muchas cifras. Para elaborar esas tablas Napier usó diversos artificios cinemático-geométricos, muchos y tediosos cálculos, y toda la potencia que el sistema hindú de numeración permitía para hacer los cálculos. Ese artificio cinemático hizo que Napier, sin proponérselo, inventara los logaritmos con base el número e —inicialmente no fue consciente de la relación inversa del logaritmo con la función exponencial—. El libro de Napier con sus tablas de logaritmos apareció en 1614. Pocos años después, y a sugerencia del inglés Henry Briggs, Napier cambió la escala de sus logaritmos, adaptándolos a la base 10, de manera que el logaritmo de 10 vale 1. Nacieron así los logaritmos en base 10, llamados también logaritmos vulgares. El propio Briggs fue el primero en elaborar una tabla con los nuevos logaritmos —tenía una precisión de catorce cifras decimales—.

En el párrafo anterior, he hecho adrede mención al aspecto «misterioso» de las tablas de logaritmos. Todavía había en el siglo XX mentes preclaras a las que ese aspecto misterioso causaba pavor, como nuestro ilustre Azorín: «Y abro precipitadamente un libro terrible que se titula Tablas de logaritmos vulgares —escribió en Las confesiones de un pequeño filósofo—. Esto de vulgares me chocaba extraordinariamente: ¿por qué son vulgares estos pobres logaritmos? ¿Cuáles son los selectos y por qué no los tengo yo para verlos? Enseguida echaba la vista sobre este libro y me ponía a leerlo fervorosamente; pero tenía que cerrarlo al cabo de un instante, porque estas columnas largas de guarismos me producían un gran espanto». ¡Pobre Azorín!, sólo le faltó escribir que él era de letras.

Hay una conexión entre la prostafairesis y Napier: una conexión que casi podría servir de guion para una superproducción de aventuras hollywoodiense. A finales del siglo XVI reinaba en Escocia Jacobo VI; era hijo de María Estuardo y alcanzó también el trono de Inglaterra en 1603. En 1589 se decidió que el rey debía casarse con Ana de Dinamarca. La boda se hizo primero por poderes, hasta que una expedición fue a buscar a la ya reina a Dinamarca. En esa expedición participó John Craig, médico del rey y amigo de John Napier. Debido a unas tormentas, el barco se vio forzado a buscar refugio en la isla de Hveen, situada entre las costas de Dinamarca y Suecia, y que había sido cedida en usufructo al astrónomo Tycho Brahe por el rey Federico II. Allí había erigido Brahe el mejor observatorio astronómico de la época.

Brahe ha sido el mejor astrónomo de observación, antes de la invención del telescopio; cuenta la leyenda que perdió parte de la nariz en un duelo a cuenta de la existencia de los números imaginarios; la sustituyó por una prótesis de plata… o de oro… Aunque quizá fuera de cobre, o al menos a esa conclusión llegaron en 1901 cuando, con motivo del tercer centenario de la muerte de Brahe, decidieron abrir su tumba para comprobar si entre los huesos del astrónomo había o no alguna prótesis nasal. Sea cual fuera el material de la prótesis de Brahe, le tuvo que dar un aspecto de lo más inquietante.

Brahe llamaba a su observatorio Uraniborg, «castillo del cielo»; se había construido con los planos del arquitecto masón Hans van Steenwinkel, llenos de simetrías y dimensiones de intención simbólica y esotérica. Contaba con comodidades y lujos poco usuales en el siglo XVI: se decía que las habitaciones tenían agua corriente, y que vivían en él enanos clarividentes y alces gigantescos que calmaban su sed con cerveza en vez de con agua —parece ser que el animal predilecto de Brahe se desnucó una noche al rodar borracho por unas escaleras—. En el exterior había pajareras, cenadores, miradores y un jardín de hierbas medicinales que surtía la botica construida en los sótanos del castillo; Brahe y, sobre todo, su hermana Sophia —que fue uno de sus principales asistentes— fueron muy aficionados a la botánica y la alquimia. Brahe llegó incluso a construir un sistema de represas en la isla para alimentar un molino de papel que proveía su imprenta particular.

Del paraíso que Brahe se construyó en Hveen le echaron finalmente sus excesos y el joven rey Christian IV —hijo y sucesor de Federico II—. Brahe dejó su isla en 1597 camino de Alemania. La ira de los campesinos de Hveen, a quienes Brahe había estrujado a base de impuestos y tasas que recaudaba con enorme voracidad y haciendo uso de una crueldad inhumana, provocó la destrucción parcial de sus castillos al poco de abandonarlos Brahe; el paso del tiempo se encargó de rematar la tarea. Con todo, una visita a la isla de Hveen merece aún hoy la pena: a hora y media en ferry de Copenhague, puedes alquilar una bicicleta y recorrer todos sus rincones en seis o siete horas. Aunque del observatorio de Brahe sólo quedan unas pocas ruinas, son tan evocadoras que cuando el viento sopla entre ellas parece querer emular los gritos que Brahe daba a sus ayudantes pidiendo más esmero en las observaciones.

Durante su breve estancia en Uraniborg, el médico escocés amigo de Napier aprendió el método de prostafairesis que enseñó a Napier a su vuelta a Escocia. Napier pensó entonces que el método todavía se podía simplificar si se desarrollaba una herramienta para transformar directamente productos en sumas. Se aplicó entonces a ello, y fruto de sus desvelos fueron los logaritmos.

A partir del Renacimiento, y gracias a la influencia indo-arábiga, los irracionales fueron manejados con más libertad, aunque se los siguió mirando con recelo. A principios del siglo XVII empezaron a manejarse desarrollos decimales, siendo el belga Simón Stvein (1548−1620) uno de sus abanderados: «Los números decimales son una clase de aritmética basada en la idea de la progresión en base 10, haciendo uso de los numerales árabes —escribió en De Thiende, donde desarrolló la idea—; de tal modo que cualquier número puede ser escrito y cualquier operación que encontremos en los negocios puede ser hecha sólo con enteros, sin la ayuda de fracciones». Pero el hecho de que los decimales de los irracionales —2, por ejemplo— fluctuaran sin un período reconocible los emparentaba con el infinito, y hacía difícil para muchos matemáticos tratar a √2 como a 1/5. Entre estos últimos encontramos a Newton, nada más y nada menos, que entendía que √2 sólo tenía sentido al ser considerado como una magnitud geométrica continua, que era la forma habitual en que los irracionales eran considerados. Hasta el siglo XVIII no se acabó con estas distinciones, al probarse que las más célebres constantes matemáticas eran irracionales: Euler probó que el número e es irracional, mientras que el alemán Johann Heinrich Lambert probó la irracionalidad del número π. También contribuyó a la aceptación como números de los irracionales el hecho de obtenerlos mediante procedimientos aritméticos infinitos, ya fueran sumas o productos infinitos de racionales, ya fueran fracciones continuas.

El matemático hindú Aryabhata ya había usado fracciones continuas —finitas— en el siglo VI d. C. Y, ya en Occidente, Rafael Bombelli las usó a finales del XVI para aproximar raíces, encontrando que

A su vez, y a mediados del siglo XVII, John Wallis (1616−1703) halló que

4/π = 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9 × …/2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 × …,

mientras que James Gregory mostró que

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − …

La aceptación de los números negativos guarda cierto parecido con la de los irracionales. Puesto que los griegos consideraban los números asociados a medidas, es claro que para ellos todos fueran positivos. A los números negativos les quedaba un largo camino hasta ser considerados normales y ser utilizados en igualdad de condiciones con los positivos. Como se explicó antes, ese camino se inició en Oriente, donde los hindúes ya usaban números negativos allá por el siglo VII d. C. Aunque mantuvieron, al igual que después los matemáticos del islam, cierto recelo a la hora de considerar las soluciones negativas de una ecuación.

El rechazo a los números negativos persistió en Europa durante el Renacimiento, lo que supuso cierto retraso en el descubrimiento de importantes resultados algebraicos —como las relaciones entre las raíces de un polinomio y los coeficientes del mismo—. El rechazo de los números negativos persistió en Europa durante los siglos XVII y XVIII. Sin embargo, puesto que las operaciones funcionaban bien y eran claramente fiables, se usaban sin preocupación, aunque no había una idea muy clara de su concepto. Como muestra del espíritu de la época, citaré el artículo sobre números negativos que D’Alembert escribió para la Encyclopédie: «Las reglas algebraicas de operación con números negativos son generalmente admitidas por todos y reconocidas como exactas, cualquiera que sea la idea que podamos tener de lo que estas cantidades son».

§ 3.2. El álgebra renacentista italiana

El problema matemático más importante resuelto durante el siglo XVI fue el de las ecuaciones de grado tercero y cuarto. La manera de resolver ecuaciones de segundo grado era ya conocida por algunas civilizaciones antiguas —Mesopotamia—, y desde luego por los griegos.

La fórmula para resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado fue un éxito colectivo de los algebristas italianos del Renacimiento, y aunque ambas soluciones aparecieron por primera vez en el libro Ars magna de Gerolamo Cardano, publicado en 1545, Cardano no fue el descubridor de ninguna de ellas. Según los indicios disponibles, el primero que encontró una fórmula para resolver determinados tipos de ecuaciones de tercer grado fue Scipione del Ferro, profesor de matemáticas en Bolonia; esto pudo ocurrir hacia 1500. Sin embargo, Del Ferro no publicó su solución, aunque se la enseñó a su discípulo Antonio María del Fiore. Esa actitud de no publicar los descubrimientos era algo habitual durante el siglo XVI y la primera mitad del XVII: por una parte no existía todavía la red de revistas científicas que empezó a desarrollarse a mediados del XVII —ligadas, en buena medida, a la creación de las primeras academias y sociedades científicas—, y por otra los descubrimientos se mantenían secretos para desafiar con ellos a los rivales y adquirir prestigio al vencerlos —lo que habitualmente acarreaba buenas perspectivas para conseguir un puesto en alguna universidad—. Lo cual, como ahora se verá, tuvo el inconveniente de generar dudas y disputas sobre a quién asignar la prioridad de los descubrimientos.

Otro descubridor de la fórmula para resolver una ecuación cúbica fue Niccolo de Brescia, más conocido por el sobrenombre de Tartaglia; el mote hacía referencia a su tartamudez: se la produjo la herida que recibió siendo niño cuando un soldado francés le rajó la cara con una espada. Tartaglia es un buen prototipo del científico renacentista autodidacta: aprendió por sí mismo a leer y escribir, y también latín y griego —su madre, viuda y pobre, poca educación pudo pagarle—. Tartaglia llegó a ser profesor de matemáticas y enseñó en Venecia y en Brescia.

En torno a 1534, Tartaglia hizo público que había encontrado un método para resolver la ecuación de tercer grado, aunque cuando hizo el anuncio, su método era todavía bastante imperfecto. Del Fiore, al enterarse, comunicó que él ya disponía de la solución. Tartaglia, que sabía que Del Fiore era un matemático más bien mediocre, lo retó a un concurso público que demostrara cuál de los métodos era más efectivo.

Como comentaré después, en aquella época el manejo de las ecuaciones era muy engorroso porque todavía no se había desarrollado la notación algebraica moderna.

El reto entre Del Fiore y Tartaglia se fijó para el 22 de febrero de 1535 en Venecia. Unas semanas antes del concurso, Tartaglia se enteró de que Del Fiore podía haber aprendido el método que decía tener de Scipione del Ferro, su maestro; conociendo la calidad matemática de Del Ferro, Tartaglia sintió miedo de que Del Fiore lo venciera. Como Tartaglia mismo confesaría después, ese miedo le sirvió de inspiración, y en tan sólo diez días consiguió llevar su método a un notable grado de perfección.

Reunidos los contendientes el 22 de febrero, cada uno le propuso al otro treinta problemas: el que resolviera un mayor número en el plazo de treinta días sería el ganador. Los problemas de Tartaglia eran variados, de geometría, álgebra y aritmética, mientras que los de Del Fiore correspondían todos a ecuaciones de tercer grado de las que Tartaglia podía resolver con su método. Según las crónicas, Tartaglia los tenía todos resueltos al cabo de dos horas, mientras que Del Fiore no logró resolver ninguno de los propuestos por su contendiente.

La apuesta de tan singular concurso era la siguiente: el ganador alcanzaría fama en la región —y, acaso ayudado por ella, un puesto de profesor en alguna de las universidades del norte de Italia—, mientras que el perdedor tenía que pagar un banquete al que el ganador podía invitar a tantos amigos como problemas hubiera resuelto. Tartaglia, en una calculada decisión, mitad generosa mitad pura soberbia, perdonó a Del Fiore el pago del banquete.

Las noticias de su victoria se extendieron por todo el norte de Italia. En esos momentos Tartaglia andaba enfrascado con unas traducciones de obras de Arquímedes; a finales del siglo XIX se descubrió que dichas traducciones fueron copiadas, al menos en parte, de otras anteriores cuyos manuscritos fueron entonces descubiertos en el Vaticano y en Madrid. Tartaglia no sólo no agradeció lo que había tomado de otros, sino que incluyó un párrafo dando a entender las dificultades que había tenido que superar: «Por casualidad vinieron a mis manos ciertos fragmentos de obras del celebrado filósofo Arquímedes, que difícilmente podían ser leídos y que fueron escritos por una mano griega. Dediqué todo mi esfuerzo, mi celo y cuidado para traducir a nuestra lengua las partes de esos libros que pudieran ser leídas, lo que fue una dificilísima tarea». Dado que Tartaglia copió hasta las erratas, esa frase ha pasado a convertirse en un clásico del descaro. Absorbido como estaba con sus traducciones, Tartaglia rehusó hacer público su método para resolver la ecuación cúbica: cuando acabara de traducir, aseguró, pensaba escribir un libro sobre álgebra donde lo incluiría —confiando con ello convertir el libro en un éxito de ventas—. Tartaglia no tardaría en arrepentirse de esa demora.

Aquí es donde entra en escena Gerolamo Cardano.

Por los años en que ocurrió la disputa entre Tartaglia y Del Fiore, Cardano preparaba su Ars magna; al enterarse del concurso tan brillantemente ganado por Tartaglia pensó, ¿qué mejor forma de culminar un libro sobre álgebra que incluir un método para resolver ecuaciones de tercer grado? Cardano se puso entonces en contacto con Tartaglia que, naturalmente, no accedió a desvelarle su descubrimiento. Pero tanto insistió Cardano, tantos fueron sus ruegos y promesas solemnes de que guardaría en secreto su descubrimiento, que Tartaglia le hizo partícipe a medias de su fórmula mediante unos versos. Son los siguientes:

Cuando está el cubo con las cosas preso

y se iguala a algún número discreto

busca otros dos que difieran en eso.

Después tú harás esto que te espeto

que su producto siempre sea igual

al tercio cubo de la cosa neto.

Después el resultado general

de sus lados cúbicos bien restados

te dará a ti la cosa principal.

El verso no es, precisamente, cristalino, pero a poco que se revise y, sobre todo, con nuestro actual uso del álgebra simbólica, un lector avezado no tardará en descubrir la solución que esconde, obteniendo para las raíces de la ecuación x³ + px = q la fórmula

Cardano, y su discípulo Ludovico Ferrari, entraron entonces en contacto con Annibale della Nave, yerno y también discípulo de Scipione del Ferro; este les permitió buscar entre los papeles de su suegro y, allí, Cardano y Ferrari encontraron un método que resultó ser el mismo que el de Tartaglia. Cardano consideró entonces que quedaba eximido de cumplir las promesas hechas a Tartaglia, y publicó el método para resolver la ecuación de tercer grado en su libro; aunque, eso sí, explicó quiénes lo habían descubierto antes: «Scipione del Ferro de Bolonia descubrió hace más de treinta años esta fórmula y se la dio a Antonio del Fiore de Venecia, cuyo concurso con Niccolo Tartaglia de Brescia dio a este ocasión de descubrirla. Me la dio en respuesta a mis peticiones, aunque ocultando la demostración. Armado de esta asistencia, busqué su demostración. Fue muy difícil. A continuación sigue mi versión».

Aunque Cardano reconoció lo que debía a Tartaglia y a los que le precedieron en la solución de la cúbica —ya en la introducción del Ars magna había hecho otro tanto—, es fácil imaginar el desconsuelo, la desesperación y el enfado de Tartaglia. Consideró aquello como un robo; su primera intención fue escribir una historia de su descubrimiento, pero desechó la idea y se decidió por insultar a Cardano por medio de cartas impresas que distribuía entre todos aquellos a los que pensaba podían interesar esos asuntos. Cardano optó por no contestar, o, mejor dicho, dejó el asunto en manos de Ferrari, que recusó las acusaciones de Tartaglia.

Tartaglia, recordando su éxito con Del Fiore, decidió retarlos con una lista de 31 problemas; recibió de Ferrari otros 31 y quedaron en encontrarse el 10 de agosto de 1548 en Milán para dirimir el asunto. Acuciado por la multitud allí reunida —llegó a estar presente el gobernador del Milanesado, que actuó como juez de la contienda—, desbordado por un joven y brillante Ferrari, Tartaglia sufrió una humillante derrota, llegando a huir de la ciudad en mitad del concurso por miedo a represalias físicas. Después de recuperarse, Tartaglia decidió escribir un libro e incluir su método. Sin embargo, murió en 1557 mientras lo redactaba, poco antes de llegar a la parte donde estudiaría las ecuaciones cúbicas. Hoy, muchos atribuyen la resolución de la ecuación de tercer grado a Cardano —a fin de cuentas apareció en su libro— y pocos saben que fueron Tartaglia y Del Ferro los autores del descubrimiento.

También apareció la solución de la ecuación de grado cuarto en el libro de Cardano. En este caso fue su colaborador, Ludovico Ferrari, el descubridor, reduciendo la ecuación a una de grado tres.

Fiel a la filosofía de arropar esta breve historia de las matemáticas con su contexto histórico y emocional, abriré aquí una digresión sobre Cardano.

Hay que empezar advirtiendo que todo intento de reflejar en unos breves párrafos la personalidad abrumadora de este genio del Renacimiento, mezcla de místico, médico, matemático, mago y pícaro —todo ello aliñado con un ápice de locura—, es tarea imposible; quizá incluso innecesaria, pues disponemos de su colorista e inclasificable autobiografía: De propia vita —hay edición castellana en Alianza, de donde se han tomado las citas que siguen—. Me contentaré pues con apuntar algunos hechos significativos de su vida, procurando, en la medida de lo posible, tomarlos directamente de De propia vita.

Sobre su nacimiento, Cardano escribió: «Después de probar mi madre en vano diversos abortivos —según oí contar— nací el año 1501, el día 24 de septiembre, cuando todavía no había transcurrido íntegra la primera hora de la noche, sólo poco más de su mitad, aunque sin llegar todavía a las dos terceras partes». Cardano fue hijo ilegítimo —de ahí las referencias explícitas a su nacimiento no deseado— de un abogado amigo de Leonardo da Vinci y una viuda «irascible, inteligente, memoriosa, de baja estatura, gorda, devota»; las referencias tan precisas al momento de su nacimiento las usó posteriormente para elaborar su horóscopo, del que más adelante se ofrecerá algún detalle. Estudió primero en Pavía y después en Padua entre 1520 y 1526, año en que obtuvo el título de doctor en Medicina.

Para el resto de los apuntes biográficos me apoyaré en el siguiente catálogo de desgracias que describe en el capítulo de su biografía que tituló Sobre mí mismo: «Desgracias son la muerte —y muerte violenta— de uno de mis hijos, la vida disipada del otro, la esterilidad de mi hija, mi impotencia sexual, la constante pobreza, pleitos, acusaciones, percances, enfermedades, peligros, cárcel, la injusticia de verme postergado tantas veces y frente a tantos hombres inferiores a mí. Pero no puedo con razón quejarme de mi suerte».

Añadiré ahora algunos detalles a ese esquema. «La injusticia de verme postergado tantas veces y frente a tantos hombres inferiores a mí» hace referencia a las varias veces —1529 y 1537— que, por ser hijo ilegítimo, le fue impedido ejercer la medicina por el colegio de médicos de Milán hasta que fue finalmente admitido en 1539. En ese período ejerció, entre otras cosas, de profesor de matemáticas en una escuela de Milán. «Impotencia sexual» hace referencia a la que sufrió durante una etapa de su vida; sus causas las explicó así en el horóscopo que sigue a la descripción de su nacimiento: dado que ese día «Júpiter estaba en ascendente junto con Venus, que dominaba todo mi horóscopo, no pasé sin cierto daño en mis genitales, de modo que desde los veintiún años a los treinta y uno no pude realizar el coito»; el mismo año de su curación se casó. «Cárcel»: Cardano fue encarcelado por la Inquisición en 1570, acusado de haber realizado el horóscopo de Jesucristo; después de abjurar fue liberado pero perdió la cátedra de medicina que en esos momentos ocupaba en la Universidad de Bolonia —el escándalo no impidió, sin embargo, que al año siguiente entrara al servicio del papa como astrólogo, entre otras cosas—. «Desgracias son la muerte —y muerte violenta— de uno de mis hijos»: se refiere aquí Cardano a uno de los episodios más amargos de su vida, la condena y posterior ejecución de su hijo mayor acusado de haber envenenado a su esposa; «la vida disipada del otro, la esterilidad de mi hija»: pues eso, ninguno de sus tres hijos hizo la felicidad de Cardano, aunque en parte él se consideraba responsable: «Mi mayor equivocación estuvo en la educación de mis hijos, porque la educación puede mucho». A pesar del catálogo de infortunios, Cardano no fue del todo infeliz: «Aunque la palabra felicidad anda reñida con nuestra condición de hombres, sin embargo, por estar más cerca de la verdad decir que podemos, al menos en parte, ser dichosos, diré que también a mi modo lo he sido».

Cardano siempre se enorgulleció de sus habilidades médicas —sobre todo de la curación del arzobispo de Edimburgo— y astrológicas que, además, le hicieron célebre en su época: «Así pues, tres fueron las veces que en cincuenta y tres años de ejercicio de la medicina me he equivocado, mientras que Galeno no reconoció sus errores porque había cometido tantos, que el reconocerlos no le podía servir de excusa».

Las siguientes citas son ilustrativas del carácter ambicioso, polémico, irónico y, también, juicioso de Cardano:

«La idea y el deseo de perpetuar mi nombre se apoderaron tan pronto de mí como tarde estuve en condiciones de aspirar a tal cosa. Y es que yo veía claramente que hay dos clases de vida, una elemental que compartimos con los animales y plantas y otra que es exclusiva del hombre, que lo que busca con sus acciones es gloria».

«Admito como el mayor y más raro de mis extravíos una irreprimible tendencia a no decir nada con más agrado que aquello que molesta a mis interlocutores. Persevero a sabiendas y gustoso en este defecto mío. No se me escapa cuántos enemigos me he granjeado».

«De vez en cuando también me he visto afectado de enamoramientos heroicos hasta abrigar pensamientos suicidas. Pero tales cosas supongo que les ocurren a todos, aunque no las cuenten en los libros».

«La amistad, incluso la falsa, no la rasgaré, sino que la descoseré.»

De los más de doscientos libros que escribió Cardano tres fueron de matemáticas: Practica arithmetica (1539), Ars magna (1545) y Liber de ludo aleae. El primero es una obra menor dedicada a la aritmética, aunque no hay que olvidar que la aritmética fue la gran aportación matemática de la Edad Media que el Renacimiento se encargó de difundir. El tercero fue un libro sobre probabilidades —del que daré más detalle en la sección § 9.1—. Ars magna fue la gran síntesis del álgebra renacentista, el libro que hizo entrar a Cardano en la historia de las matemáticas. Aunque la gran aportación del libro, la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, no fue original de Cardano. Al final del Ars magna Cardano escribió: «Escrito en cinco años puede que dure varios siglos». Sin embargo, la obra envejeció pronto; por dos razones: por un lado, al carecer de una notación adecuada, Cardano —al igual que todos sus contemporáneos— tuvo que usar un lenguaje retórico que quedó pronto anticuado al desarrollarse y consolidarse a principios del siglo XVII la notación que dio al álgebra toda la potencia de su generalidad; por otro lado, la deficiente comprensión de los números negativos le hizo considerar una multiplicidad sin fin de casos. Así, en apenas un siglo, el Ars magna se había convertido en un libro de lectura difícil y tediosa.

Así fue Cardano: capaz de explicar cómo se resuelven las ecuaciones de tercer y cuarto grado, pero también de hacerse un horóscopo a sí mismo —por no hablar del de Jesucristo—, pronosticarse el día de su muerte para el 21 de septiembre de 1576 y ¡acertar! Morris Kline logró describir adecuadamente cómo las matemáticas de Cardano estuvieron contaminadas del Renacimiento: «Las matemáticas no eran un método para él; eran un talento mágico especial y una forma de especulación cargada emocionalmente».

§ 3.3. La aparición de los números complejos

Los números complejos también aparecen en el Ars magna, aunque Cardano no llegó a entender su verdadero valor. Cardano los consideró cuando se planteó el problema de dividir el número 10 en dos partes cuyo producto sea 40. Al resolver la correspondiente ecuación x (10 − x) = 40, obtuvo las soluciones 5 + √15 y 5 − √15, de las que dijo que eran «torturas mentales tan sutiles como inútiles».

Desde luego eran sutiles, pero de ninguna manera inútiles, como mostraría pocos años después el también italiano Rafael Bombelli. A él se debe la primera consideración relevante sobre los números complejos —apareció publicada en su L’algebra de 1572—. La cuestión tenía que ver con la resolución de un tipo especial de ecuación cúbica: al aplicar la fórmula para resolver la ecuación x³ = 15x + 4, Bombelli encontró que la solución era

Siguiendo, como él mismo dijo, «una idea loca», Bombelli decidió no rehuir las raíces cuadradas de −1. Por contra, se decidió por indagar en las operaciones que podía hacer con estos nuevos números y procedió a operar formalmente con las expresiones de la forma a + b√−1, sin preocuparse demasiado por su significado. En concreto, encontró que

Al sustituir en la fórmula anterior para x, las raíces de −1 se cancelan y queda

Y, como es fácil de comprobar, efectivamente x = 4 es una solución de la ecuación x³ = 15x + 4.

Así pues, usando una idea loca, Bombelli había podido encontrar una raíz positiva de la ecuación x³ = 15x + 4, que era lo que le interesaba. A Bombelli, aun no sabiendo cuál era la naturaleza de esos números imaginarios que había necesitado para resolver la ecuación, no le quedó más remedio que concluir que, fueran lo que fuese, eran desde luego, útiles.

Iniciaban de esta forma los números complejos un largo y tortuoso camino lleno de incomprensiones: de «cosa tan sutil como inútil» los calificó Cardano, Descartes los apabulló con el nombre de «imaginarios», y Leibniz, más poético, los tildó de «anfibios entre el ser y el no ser».

§ 3.4. El álgebra simbólica

El álgebra no acabó de convertirse en una disciplina propia de las matemáticas hasta que no desarrolló un simbolismo adecuado que permitiera tratar de forma general una multiplicidad de casos análogos; ahí radica buena parte de su eficacia, al permitir desarrollos algorítmicos muy potentes para tratar y resolver del mismo modo familias completas de problemas que, de otra manera, tendrían que ser abordados por una multitud de procesos específicos.

Si convenimos que el álgebra consistió en sus orígenes en la manipulación y resolución de ecuaciones polinómicas, tendremos que admitir que ya los babilonios hicieron álgebra con la prescripción de sus recetas para resolver ecuaciones de primer y segundo grado; también hay álgebra en los Elementos de Euclides —en su estilo geométrico— y, desde luego, y más claramente, en Diofanto, en las matemáticas hechas en la India y, después, en el islam y sus aledaños. Y, cómo no, en el Renacimiento, cuando se resolvieron las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y, a su rebufo, se empezaron a manipular por primera vez los números complejos y sus operaciones. De todo lo cual se ha dado noticia más o menos detallada en las páginas anteriores. Pero si un lector no avisado decide echar hoy en día un vistazo a la Aritmética de Diofanto, o al Al-jabr de Al-Jwarismi, o incluso al Ars magna de Cardano o al L’algebra de Bombelli, le costará reconocer que lo que se hace en esos libros es, al menos en parte, lo que hoy llamamos álgebra, porque en todos ellos falta la simbología actual, una simbología que no acabó de florecer hasta la tercera o cuarta década del siglo XVII, y sólo después de recorrer un penoso camino hecho de pequeños avances que se inició con Diofanto mil quinientos años antes y que, en su fase final, duró casi medio siglo.

Poco sabemos de la vida de Diofanto (s. III d. C.), más allá de un trabalenguas algebraico que asegura que se casó, tuvo un hijo y murió con ochenta y cuatro años. Su gran obra es la Aritmética, de la que únicamente han sobrevivido de fuentes griegas seis de los trece libros que la componían, más cuatro en traducción árabe —encontrados en un manuscrito en Irán en 1969—. La obra consiste en una colección de problemas algebraicos, cada uno de los cuales se resuelve por un procedimiento heurístico particular; por lo general son ecuaciones, o sistemas de ecuaciones, en muchos casos indeterminados, de cuyas soluciones a Diofanto sólo le interesan las enteras o fraccionarias, pero siempre positivas. El libro de Diofanto es singular en la matemática griega por varias razones. Primero porque su tratamiento no es geométrico sino algebraico. Y segundo porque introduce abreviaturas para el manejo de las ecuaciones. Por ejemplo, en la definición II del libro I, Diofanto escribió: «Denominaré así dynamis al cuadrado y lo denotaré mediante una letra Δ con un superíndice γ, es decir Δγ. El producto de un cuadrado por su lado es el cubo, cuya notación será la letra K con un superíndice γ, es decir Kγ. El producto del cuadrado por sí mismo es el cuadrado-cuadrado, que se denotará mediante una doble Δ con un superíndice γ, es decir ΔγΔ». Diofanto sigue explicando cómo se denota el cuadrado-cubo y el cubo-cubo, y después cómo denotar la propia incógnita y un término constante: «El número a secas, que consta de una cantidad de unidades indeterminada se llamará simplemente número, y se denotará mediante el signo ς. Y aún queda otro signo para denotar una cantidad de unidades determinada y constante, una letra M con un superíndice o, es decir Mo». Es muy interesante que Diofanto considere potencias cuartas, quintas y hasta sextas de la variable —a las que llama cuadrado-cuadrado, cuadrado-cubo y cubo-cubo, respectivamente—, porque fue algo único en el pensamiento fundamentalmente geométrico de la matemática griega, donde las potencias correspondían con dimensiones y, por tanto, no tenía sentido considerar potencias superiores a las tres dimensiones espaciales. La notación de Diofanto varía según los manuscritos que se manejen, yo he reflejado aquí la que recoge el más antiguo de los manuscritos que contienen los libros conservados de la Aritmética en griego —es del siglo XIII y se conserva en el Palacio Real de Madrid—. Diofanto estableció también simbología para el signo menos y para fracciones, no así para el signo más, que se hacía simplemente por yuxtaposición. Así, lo que Diofanto escribía como

sería para nosotros x³ + 13x² + 5x + 2; para traducir la fórmula anterior hay que tener en cuenta que las letras del alfabeto griego, con raya arriba, se usaban para escribir los números: así α era la forma griega de escribir el 1, β el 2, y así sucesivamente hasta llegar a θ para 9, con símbolos especiales para las decenas y las centenas, por ejemplo ι era el 10 y ρ el 100, y que su sistema de numeración era aditivo, por lo que ιγ es el número 13.

La simbología de Diofanto, aunque algo imperfecta, fue una contribución muy original que no tuvo continuidad posterior. Tampoco entre los matemáticos del islam, a pesar de que hubo traducciones de la Aritmética de Diofanto al árabe desde el siglo IX. No fue traducida del griego al latín hasta muy tarde —en comparación con otras obras griegas—. Bombelli publicó en su L’algebra buena parte de los problemas de los primeros libros mezclados con los suyos; aunque la primera edición de los seis libros conservados de la Aritmética se debe a Wilhelm Holzmann, más conocido como Xylander, que la tradujo y publicó, con comentarios, en 1575. Casi medio siglo después, en 1621, Bachet de Méziriac publicó otra traducción —basada en la de Xylander— que tuvo más repercusión. Pierre de Fermat compró un ejemplar en cuyos márgenes fue anotando comentarios, sugerencias y nuevos problemas. Uno de ellos daría lugar a su célebre teorema/conjetura —será tratado con cierto detalle en la sección § 8.2—.

El islam hizo importantes aportaciones al álgebra, pero ninguna a la cuestión de la simbología. Podemos poner como ejemplo el primer libro de álgebra que produjo el mundo musulmán; se trata posiblemente del más importante de cuantos escribió Al-Jwarismi, que lleva por título Kitab al-jabr wa al-muqabalah, que podría ser traducido por el Libro de la restitución y el cotejo; la misma palabra, «álgebra», proviene de la corrupción del «al-jabr» que aparece en el título del libro de Al-Jwarismi. «Al-jabr» puede ser traducido por «restitución» o «reparación». Ese significado dio lugar a la segunda acepción castellana de «álgebra»: «Arte de restituir a su lugar los huesos dislocados», y de ahí «algebrista»: «Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos»; ambas acepciones están hoy en desuso, pero ese fue el sentido con que Cervantes usó una de ellas en el Quijote: «Hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado».

Sin precisar demasiado, ambas expresiones que dan título al libro de Al-Jwarismi hacen referencia al hecho de que en una ecuación podemos pasar un término de uno a otro miembro cambiándolo de signo. «Al-jabr» y «al-muqabalah» son las herramientas básicas para la resolución de ecuaciones. Al-Jwarismi, como el resto de los matemáticos árabes, manejaba las ecuaciones de forma retórica. La incógnita no se representaba por ninguna letra, sino que se apelaba a ella bajo el nombre de «cosa», o también de «raíz»; por ejemplo, lo que hoy nosotros expresamos como x² + 10x = 39, para Al-Jwarismi era: «Un cuadrado más diez veces su raíz igual a treinta y nueve»; y lo que Al-Jwarismi describía como «diez menos la cosa por diez más la cosa», nosotros hoy lo escribimos como (10 − x) (10 + x). He aquí un ejemplo de esta álgebra retórica tomado del libro de Al-Jwarismi —se recomienda al lector traducirlo al lenguaje de nuestra álgebra simbólica, y apreciar las diferencias—. El problema pide «Calcular dos cantidades, la diferencia entre ellas es de dos dirhams, y al dividir la menor entre la mayor sale medio dírham». La solución de Al Jwarismi: «Toma una de las dos cantidades como la cosa y la otra como la cosa más dos dirhams. Divides la cosa entre la cosa más dos dirhams, y sale de la división medio dírham. Y ya sabes que, cuando multiplicas, lo que te sale de la división por el divisor vuelve a salir la cantidad que has dividido, que es la cosa. Y dices: una cosa más dos dirhams por un medio es igual a media cosa más un dírham. Y esto es igual a la cosa. Resto la mitad de la cosa de la cosa y sale que un dírham es igual a la mitad de la cosa. Multiplicas por dos y sale que la cosa es igual a dos dirhams, y la otra cantidad es igual a cuatro».

Una retórica muy parecida encontramos en los libros de Cardano, Tartaglia o Bombelli. Por ejemplo, la ecuación que hoy escribimos como x³ + px + q = 0 se expresaba en la forma retórica: «el cubo, la cosa y un número igual a nada». Esta retórica, junto con las reticencias a manejar números negativos, suponía una traba para que el álgebra desplegara su potencial generalizador. Así, la ecuación anterior de tercer grado generaba en la época tres ecuaciones que recibían cada una un tratamiento distinto:

x³ + px + q = 0: «el cubo, la cosa y un número igual a nada»;

x³ + px = q: «el cubo y la cosa igual a un número»;

x³ = px + q: «el cubo igual a la cosa y un número».

El esfuerzo que llevó del álgebra retórica a la simbólica fue un proceso lento. Como comenté en la sección § 3.1.2, los primeros avances se hicieron en la notación para las operaciones algebraicas, algunas de las cuales —los símbolos «+» y «−» para suma y resta— se remontan a finales del siglo XV, aunque no fueron de uso extendido hasta bien entrado el siglo siguiente. Para las potencias y raíces se empezaron a usar abreviaturas y hasta el siglo XVII no hubo símbolos generalmente aceptados, que son los que hoy usamos.

François Viète (1540−1603) fue el gran impulsor de la simbología en el álgebra, dándose cuenta de la importancia de usar letras para representar, no sólo la incógnita de una ecuación, sino también coeficientes generales. Con Viète, el álgebra se separa de la aritmética. Para distinguirlas, Viète acuñó el término logística numerosa para referirse a la aritmética, que trata con números; por otro lado estaba la logística speciosa, que era un método más general para trabajar con expresiones que, eventualmente, representaban valores numéricos. Pero todavía fue necesaria otra generación de matemáticos, Thomas Harriot (1560−1621), William Oughtred (1574−1660), Albert Girard (1595−1632) o, sobre todo, René Descartes (1596−1650), para que el primitivo arte de la regla de la cosa se acabara convirtiendo en el álgebra simbólica. Cualquiera que se asome a la Géométrie de Descartes, con las incógnitas denotadas por las últimas letras del alfabeto latino x, y, z, y las constantes por las primeras a, b, c, encuentra ya un sabor muy parecido a los libros modernos de álgebra, aunque una lectura más atenta descubrirá todavía algún que otro atavismo —las variables sólo representaban números positivos— que fue desapareciendo conforme se desarrollaba el siglo XVII.

Capítulo 4

El paraíso geométrico de los griegos

En el primer capítulo de este libro escribí que las matemáticas consisten en la búsqueda y el descubrimiento de secretos ocultos en sistemas de objetos que responden a un cierto patrón más o menos conocido, secretos que una vez descubiertos hay que demostrar usando un depurado razonamiento lógico. Y en el capítulo segundo discutí la irrazonable utilidad que las matemáticas tienen para estudiar el mundo natural que nos rodea. En mayor o menor medida, esta descripción de lo que las matemáticas son se conformó hacia el siglo VI a. C., en la constelación de ciudades griegas que jalonaban el Mediterráneo desde Jonia hasta Sicilia. A partir de entonces y durante casi un milenio, los griegos crearon un vergel matemático fértil, frondoso y espléndido, que siguió alimentando a Occidente y Próximo Oriente otros mil años más, cuando ya de aquellas ciudades apenas quedaban un puñado de ruinas. Nuestra exploración del paraíso griego seguirá tres rutas marcadas por esa descripción de las matemáticas: demostrar, descubrir y, también, explicar el mundo; y concluirá con algunas consideraciones sobre las fuentes que nos han permitido conocer la producción matemática griega, incluyendo el papel que tuvo el islam en esa transmisión de conocimiento.

Pero antes de iniciar el camino no debemos olvidar que las matemáticas fueron uno entre los varios éxitos culturales que alcanzaron los griegos —filosofía, literatura, arquitectura, política…—, y que esos éxitos acabarían marcando indeleblemente el devenir intelectual de Occidente: «Los griegos edificaron una civilización y una cultura originales —escribió Morris Kline—, de las más impresionantes de toda la historia de la humanidad, la que más ha influido en el desarrollo de la cultura occidental moderna».

§ 4.1 Demostrar

Esa palabra, «demostrar», marca la diferencia esencial entre las aportaciones iniciales de los primeros matemáticos griegos y lo que llevaban haciendo muchos siglos antes en Mesopotamia o Egipto. Tomemos tres de los primeros resultados atribuidos a Tales o Pitágoras:

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia tiene recto el ángulo opuesto al diámetro.

Los ángulos de todo triángulo suman dos ángulos rectos.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos —el llamado «teorema de Pitágoras»—.

Como comenté en el capítulo 1 y en la sección § 3.1.2, hay suficientes ejemplos de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo —el tercero de los resultados anteriores— en tablillas babilónicas escritas más de mil años antes de que naciera Pitágoras, como para dar por hecho que los babilonios conocían ese resultado. Y, probablemente, también conocían muchos casos de los otros dos resultados. Lo que establece la diferencia entre las matemáticas que empezaron a hacer los griegos y las anteriores está marcado por el término «todo triángulo» que se repite en los tres enunciados: lo que se afirma es que esas propiedades no sólo se dan en unos cuantos ejemplos sino en todas las situaciones descritas por las hipótesis.

El tipo de afirmaciones que empezaron a poblar la matemática griega inicial tiene una ambición, una grandeza, que no se encuentra en ningún otro sitio con anterioridad. Pero para que esa grandeza no se torne en pedantería, vanidad o jactancia, es necesario responder de entrada a una inevitable pregunta: ¿cómo podemos estar seguros de que esas afirmaciones son ciertas en «todos» los casos? Los griegos propusieron entonces que cada afirmación ambiciosa que estableciera un resultado válido para «todos» los objetos de una misma clase debía ir acompañada de una demostración. ¿Y qué es una demostración? Pues una cadena de razonamientos, cada uno de los cuales se deduce lógicamente de los anteriores, que parte de uno o varios hechos evidentes, y cuyo último eslabón es la afirmación en cuestión que se quiere demostrar. Como se ve, una demostración es algo cualitativamente muy diferente a la comprobación de unos cuantos casos. La demostración fue un invento de los primeros matemáticos griegos, y con ella nacen las matemáticas en el sentido en que las entendemos hoy.

No por casualidad, matemáticas y filosofía nacieron juntas en Grecia. La demostración da respuesta a un gusto por lo universal, confía en la fuerza de la razón e implica una necesaria actitud crítica que sólo da por supuesto lo muy evidente. Esas características se daban también en la actitud que originó la filosofía en Grecia justo en la misma época; de hecho, según Ferrater Mora, entre lo que caracteriza a la filosofía, desde sus primeros pasos en Grecia, se distingue su manifiesto interés por lo universal, el que subraye la superioridad de la razón, que es decididamente crítica, y que no da nada por supuesto —por más que en la filosofía caben características contrarias a estas, como señaló también Ferrater Mora—.

No sólo comparten filosofía y matemáticas esa serie de propósitos comunes, sino que los primeros filósofos fueron, a la vez, los primeros matemáticos: Tales y Pitágoras. Ambos son figuras medio míticas —más el segundo que el primero—, perdidas en la bruma de los tiempos, y forjadas a golpe de leyenda más que de historia. Como ya anticipé, la segunda parte de esta breve historia de las matemáticas acaba en el siglo XVII, un siglo muy especial para la ciencia, entre otras cosas porque en él se produjo el «sorpasso» sobre las matemáticas que habían practicado los griegos: después de dos mil años, Occidente traspasaba de forma esencial la frontera matemática que los griegos habían marcado. Quizá por eso, no deba sorprendernos demasiado que también en el siglo XVII filosofía y matemáticas compartieran otra vez protagonistas —Descartes y Leibniz, por citar los ejemplos más señalados—. Hay algo significativo y profundo en esas dos conexiones, aparte de la interesante simetría que establece para el período histórico que queda emparedado entre esos dos momentos: los inicios comunes de matemática y filosofía en Grecia con los inicios comunes de la matemática y la filosofía modernas en el siglo XVII.

Con Pitágoras, o la figura mítica y colectiva que se oculta tras ese nombre, se inicia la tríada de elementos «demostrar, descubrir y explicar el mundo». Pero, en apenas un siglo, la conjunción de esos tres elementos entró en crisis, mostrando la profundidad conceptual que esconden.

Pitágoras fue uno de los creadores del pensamiento científico, en cuanto que meditación racional sobre la naturaleza. Los pitagóricos propusieron los números naturales como herramienta para la comprensión del mundo. Esta idea de que las cosas del mundo se reducen a números pudo tener su origen en el descubrimiento de las relaciones numéricas entre la longitud de una cuerda y el sonido que produce al vibrar. Pitágoras encontró —o al menos a él se atribuye el hallazgo— que la relación armónica entre el tono y la cuarta, la quinta y la octava corresponde con cuerdas cuya longitud está en la proporción dada por el número 12 con los números 9, 8 y 6, respectivamente. Los pitagóricos encontraron oculta tras la armonía musical una estructura matemática, y también entendieron que los números establecían la armonía en los cielos, pues aseguraban que las constelaciones celestes quedan determinadas por el número de estrellas que la forman y la figura geométrica que adoptan. La geometría, decían, también se reduce a números.

Pero ¿cómo pueden los números 1, 2, 3, 4… —los que sirven para contar— dar cuenta también de la geometría? Según ellos, porque esos números bastaban para la operación geométrica más simple de todas: medir segmentos. Dados dos segmentos, decían los primeros pitagóricos, siempre habrá una unidad de medida —posiblemente muy, muy pequeña— que mida a los dos un «número» exacto de veces: cada segmento quedará entonces perfectamente determinado por ese número. La existencia de esa unidad de medida común parece algo muy evidente, pero es muy posible que, conforme pasaban los años, los pitagóricos sintieran la obligación de demostrarla; o dicho de otro modo: dados dos segmentos, había que mostrar un procedimiento para construir o calcular la unidad de medida común. Por ejemplo: ¿cómo se calcula la unidad de medida común para el lado y la diagonal de un cuadrado?, ¿o de un pentágono regular? —los pitagóricos no tardaron mucho en descubrir cómo construir un pentágono regular con regla y compás; de hecho, lo convirtieron en una especie de logo para su secta—. Y aquí fue cuando los pitagóricos chocaron con la fuerza de la demostración, porque lo que acabaron descubriendo, porque lo demostraron, fue que no siempre existe una unidad de medida común para dos segmentos. En particular, nunca hay una unidad de medida común para el lado y la diagonal de un cuadrado.

Hardy eligió la demostración de ese resultado como uno de los dos ejemplos que ofrece en A Mathematician’s Apology de «teoremas matemáticos auténticos» —el otro es la existencia de infinitos números primos—. De ellos dice: «Son teoremas “simples”, tanto en su idea como en su ejecución, pero no hay ninguna duda de que son teoremas de la mayor categoría. Cada uno de ellos conserva la frescura y el significado del momento de su descubrimiento: y los más de 2.000 años transcurridos no los han desgastado un ápice».

La demostración que encontraron los pitagóricos de que no existe una unidad de medida común para el lado y la diagonal de un cuadrado no debía de diferir mucho de la siguiente: pensemos en un cuadrado cuyo lado tenga una longitud l y su diagonal mida d; la relación entre los lados de todo triángulo rectángulo nos dice que l y d están relacionados por la fórmula d² = 2l². Supongamos ahora que hubiera una unidad común de medida para lado y diagonal, y que el lado fuera n veces esa unidad y la diagonal m. Podemos suponer que m y n no son ambos números pares —bastaría entonces tomar como unidad de medida el doble de la inicial—. La relación entre lado y diagonal da m² = 2 n². Esto nos dice que m² es par, lo que es tanto como decir que m es par, y, por lo tanto, m es el doble de otro número m = 2 k; entonces 4 k² = 2 n², lo que simplificando da 2 k² = n², y nos dice que n2 es par, y, en consecuencia, n debe ser par. Y hemos llegado a un desastre lógico, porque m y n no eran ambos números pares. En consecuencia, la suposición de que existe una unidad de medida común para el lado y la diagonal de un cuadrado es falsa.

Un episodio del folclore de las matemáticas griegas cuenta que los pitagóricos acabaron asesinando a Hipaso de Metaponto, un miembro de su secta, por haber dado a conocer fuera ese descubrimiento. El que esto sea leyenda o historia poco importa, pues en ambos casos simboliza la magnitud de la tragedia para el planteamiento científico de Pitágoras: malamente el mundo va a estar regido por los números naturales si estos son incapaces de resolver el problema de la medida común entre el lado y la diagonal de un cuadrado.

La existencia de segmentos inconmensurables —así se llamó a los que no admitían una unidad de medida común—, o la existencia de números irracionales que decimos hoy —la demostración anterior equivale a decir que √2 no puede ser representado por una fracción—, llevó a la incipiente matemática griega a una crisis y, de paso, supuso la prohibición aristotélica del infinito en acto —se necesitan infinitos números para representar con ellos a √2; recuerde el lector lo escrito al respecto en la sección § 1.4—.

Aunque las crisis no siempre se superan, aquella primera crisis de fundamentos que vivió la matemática sí, pero no sin consecuencias. La salida la encontró Eudoxo de Cnido, un aventajado alumno de la Academia de Platón que vivió en el siglo IV a. C., con la teoría de magnitudes. Fue una solución brillante, concretada en dos definiciones y un lema, que permitían comparar magnitudes inconmensurables y escapar de las acechanzas del infinito. Tal y como después las recogió Euclides en los Elementos, las definiciones afirman: «Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra»; y: «Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par, que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente» —en esta última, los lectores aventajados podrán reconocer la noción de cortadura de números racionales que Richard Dedekind usó en el siglo XIX para construir los números reales a partir de los racionales—. El lema fue la base de lo que en el siglo XVII se dio en llamar método de exhaución: «Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada».

Un cúmulo de circunstancias históricas hizo que la salida de Eudoxo al problema de los segmentos inconmensurables acabara por reconducir la matemática griega hacia la geometría, dejando el álgebra y la aritmética prácticamente sin cultivar —y a la logística en un estado no mucho más avanzado de lo que estuvo en Egipto, y más retrasado que en Babilonia—.

Por un lado, como mostraba la inconmensurabilidad del lado y la diagonal de un cuadrado, la medida de segmentos estaba fuera del alcance de la aritmética —los números naturales y racionales, y las operaciones entre ellos—, salvo que admitiéramos nuevos números —los irracionales— que, a juicio de los griegos, estaban demasiado contaminados por el infinito como para ser aceptables. Así, Aristóteles dividió las cantidades en dos clases irreconciliables: por un lado iban las discretas que se podían manejar con números, por otro lado estaban las magnitudes continuas —como los segmentos o las áreas—; estas últimas, a diferencia de las discretas, podían dividirse una y otra vez indefinidamente. Las magnitudes continuas podían manejarse con las herramientas prescritas por Eudoxo.

Tampoco los griegos desarrollaron un sistema de numeración que facilitara los cálculos aritméticos. Manejaron un sistema aditivo —primitivo y tosco—, que usaba las letras de su alfabeto como símbolos básicos para los números —para diferenciar el número de la letra, solían añadir rayas encima; véase lo dicho en la sección § 3.4—. Se dio el caso de que, después de las conquistas de Alejandro Magno, importaron el sistema sexagesimal babilónico para los cálculos astronómicos: siguieron usando su sistema de representación aditivo para escribir los números pero, cuando había que hacer cuentas, traducían al sistema sexagesimal, operaban con ese sistema posicional, y luego volvían a traducir los resultados al suyo.

La aritmética, además, tenía una componente práctica innegable que estaba en su mismo origen y fue la razón principal por la que babilonios y egipcios la practicaron. Eso era un demérito a los ojos de Platón, que estableció que la función principal de las matemáticas no era de orden práctico, sino que debía ser la formación de la mente humana, la guía que nos ayudara, primero, a alcanzar y, después, a movemos en el mundo perfecto de las ideas —recuérdese lo escrito al principio de la sección § 3.1—.

Las matemáticas griegas surgieron algo cambiadas tras superar la crisis de los inconmensurables. La exigencia por demostrar empezó a superar la aventura por descubrir —tan pesada carga fue una de las razones que acabaron por asfixiar la creatividad matemática griega—, y se entibió, aunque ni mucho menos desapareció, la cuestión de usarlas para explicar el mundo. El modelo de todo lo cual fueron los Elementos de Euclides.

Los Elementos son el libro de matemáticas más célebre que hayan visto los tiempos. Su autor fue Euclides, y de él apenas se sabe que fue coetáneo de Tolomeo (367-283 a. C.), el lugarteniente de Alejandro Magno que había conseguido Egipto en el reparto de poder tras la muerte en Babilonia (323 a. C.) del gran conquistador griego. Tolomeo también se apoderó del cadáver de Alejandro —que enterró en Menfis—: era un símbolo de primer orden para legitimar la dinastía que fundó en Egipto. Precisamente Euclides formó parte de la escuela de Alejandría, la ciudad que Alejandro fundó en 331 y donde Tolomeo asentó la capital de su reino egipcio.

No se sabe cuándo compuso Euclides los Elementos, pero se acostumbra a fechar su redacción en torno al 300 a. C. Esta magna obra está compuesta por trece libros, o capítulos, donde se expone sistemáticamente un cuerpo de resultados que se levantan sobre un puñado de axiomas, postulados y definiciones, aplicando principios lógicos y deductivos. De Euclides se valora la elección de esos axiomas, postulados y definiciones, y la labor de recopilación y ordenación de resultados y descubrimientos geométricos ajenos —se surte de técnicas y teoremas obtenidos por los pitagóricos, Eudoxo o Teeteto—, más que sus contribuciones matemáticas propias, aunque también las hizo.

En los Elementos, las cantidades aparecen convenientemente separadas en continuas y discretas —según la distinción aristotélica—, pero aun las discretas se trataban de forma geométrica —correspondían a longitudes de segmentos conmensurables—; nunca está de más señalar que no hay números en los Elementos, salvo los usados para numerar los axiomas, los teoremas o los lemas. Los libros I, II, III, IV, V y VI corresponden con resultados sobre longitudes y áreas —magnitudes—; por ejemplo, el teorema de Pitágoras se incluye en el libro I, la construcción del pentágono regular en el IV, la propuesta de Eudoxo para resolver la crisis de los inconmensurables en el V. Los libros VII, VIII y IX se dedican a lo que hoy llamamos «teoría de números»; por ejemplo, incluyen el algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor, o la infinitud de los números primos. El libro X se dedica a la clasificación de los inconmensurables, y los XI, XII y XIII a la geometría del espacio. Los Elementos culminan con el estudio de los poliedros regulares o sólidos platónicos, o sea, un volumen limitado por caras planas que son polígonos regulares y en cuyos vértices se juntan igual número de caras. Es posible que los pitagóricos supieran cómo construir algunos de estos poliedros regulares aunque, con bastante seguridad, fue Teeteto (415-369 a. C.), un contemporáneo de Platón que colaboró con él en la Academia que había fundado en Atenas, quien logró construir los únicos cinco poliedros regulares —convexos— que existen: el tetraedro —que tiene cuatro caras triangulares—, el cubo o hexaedro —con seis caras cuadradas—, el octaedro —con ocho caras triangulares—, el dodecaedro —con doce caras pentagonales— y el icosaedro —con veinte caras triangulares—. Se dice, no sin cierta razón, que Euclides concibió buena parte del contenido de sus Elementos de manera que sirvieran de guía para la construcción de los cinco poliedros regulares; esa construcción, así como la comparación de la longitud de las aristas de los poliedros cuando se inscriben en la misma esfera y la demostración de que no hay más poliedros regulares que los cinco antedichos, supone, de hecho, la culminación de los trece libros de Euclides. Desde la Antigüedad los poliedros regulares han encendido la imaginación de científicos y artistas. Sirvieron para representar los cuatro elementos básicos de Empédocles: Platón identificó el tetraedro con el fuego, el cubo con la tierra, el octaedro con el aire y el icosaedro con el agua, a los que se unió la quintaesencia —la sustancia de la que estaban hechos los objetos del cielo— identificada con el dodecaedro. Antes de descubrir las verdaderas leyes del movimiento planetario, Kepler los usó como modelo para construir una representación tan hermosa como falsa de las órbitas de los planetas alrededor del Sol. ¿Y qué decir del uso simbólico que un artista tan del siglo XX como Salvador Dalí hizo en algunos cuadros del dodecaedro?

Para calibrar el influjo cultural que la obra de Euclides ha generado en sus más o menos dos mil trescientos años de existencia, citaré por extenso un párrafo de El papel de las matemáticas en el desarrollo de la ciencia de Salomón Bochner: «La obra de Euclides se convirtió en uno de los mayores best sellers de todos los tiempos, resistiendo intactos todos los tumultos, destrucciones y analfabetismos varios, tanto del disolvente Imperio Romano como de la Alta Edad Media, de las Cruzadas y de las terribles plagas y hambres de la Baja Edad Media. Y, desde los comienzos de la imprenta, Euclides ha sido publicado en tantas ediciones y en tantas lenguas como no lo ha sido probablemente ningún otro libro, exceptuada la Biblia. Euclides atravesó ileso la revolución científica del siglo XVII, e incluso el descubrimiento de las geometrías no-euclídeas durante la primera mitad del siglo XIX no afectó al brillo de la imagen de Euclides ni de sus Elementos. Pueblos y ciudades americanas continuaron dándole el nombre de Euclides a calles y avenidas, mucho más a menudo que el de Platón o Aristóteles. Y Abraham Lincoln, en su biografía de campaña de 1860, escrita por él mismo y publicada bajo el nombre de John L. Scripps, del Chicago Press y Tribune, se atrevía a afirmar de sí mismo que “estudió y casi llegó a dominar los seis libros de Euclides desde que fue elegido miembro del Congreso”. Esta afirmación de Lincoln de que “casi había llegado a dominar” esos libros es sin duda una de las más atrevidas, y a la vez una de las más simpáticas que se han hecho en campaña, de todos los anales de las elecciones presidenciales americanas. Vale la pena reflexionar un poco sobre el hecho de que, en los Estados Unidos de 1860, un consumado político populista de la entonces frontera del medio-oeste pensara que añadir a una mezcla de cabañas de troncos y muchas leguas de ferrocarril seis libros de Euclides haría la mezcla más aceptable al electorado a lo largo y ancho del país».

§ 4.2. Descubrir

Naturalmente, para demostrar un resultado primero hay que descubrirlo. Babilonios, chinos o egipcios habían descubierto secretos matemáticos muchos milenios antes que los griegos —el mismísimo teorema de Pitágoras, como ya se ha repetido varias veces—. Sin embargo, en esto del descubrir los griegos también marcaron distancias siderales con cualquier otra civilización que se la compare, en lo cuantitativo y en lo cualitativo, además. Por un lado, el volumen de su producción matemática no admite comparación; por otro, muchos de sus resultados poseen una profundidad matemática nunca antes vista, su descubrimiento requirió superar dificultades nunca antes superadas e insólitas dosis de imaginación hasta entonces desconocidas, y su demostración requirió el desarrollo de técnicas sofisticadísimas jamás antes consideradas.

Entre los secretos que más fascinaron a los griegos se encuentran los que se ocultan tras las construcciones geométricas con regla y compás. En concreto hubo tres de estas construcciones que se convirtieron en objeto de deseo para ellos y, aunque no las llegaron a resolver, motivaron una parte importante de sus descubrimientos geométricos; por todo ello se los llamó «los tres problemas clásicos de la matemática griega», y consistían en idear construcciones con regla y compás para (1) cuadrar el círculo, (2) duplicar el cubo y (3) trisecar un ángulo. A estos tres, también se unió el problema de la construcción mediante regla y compás de polígonos regulares. Hay que insistir en que lo que hace a estos problemas tan difíciles de resolver —en realidad, imposibles— es respetar la norma de que sólo se puede usar regla y compás. De otra forma, los problemas admiten soluciones más o menos ingeniosas y, de hecho, los griegos encontraron bastantes; por ejemplo, veremos más adelante de qué ingeniosa manera resolvió Arquímedes el problema de la trisección usando compás y una regla marcada. Como acabo de escribir, los tres problemas clásicos son imposibles de resolver, y lo mismo ocurre con la construcción de polígonos regulares, salvo que su número de lados sea de una forma muy particular —tal y como describí en la sección § 2.3—. Pero demostrarlo llevó más de dos mil años, como se explicará en la sección § 8.2, y la solución vino del álgebra, no de la geometría. Ahí reside buena parte de la magia de las matemáticas: partes aparentemente desconectadas están unidas de forma tan intensa como profunda, de manera que un problema evidentemente geométrico, como estas particulares construcciones con regla y compás, puede requerir técnicas puramente algebraicas para ser resuelto.

El origen del problema de la cuadratura del círculo se remonta a los últimos años de Pericles (495-429 a. C.). Después de la etapa gloriosa del apogeo de Atenas, llegó la guerra con Esparta y Pericles se atrincheró dentro de sus murallas. La estrategia podría haber sido buena, pero estalló una epidemia de peste y la ciudad no aguantó. Pericles fue depuesto y murió poco después a consecuencia de la epidemia. «Los ciudadanos de Atenas —escribió Bertrand Russell—, como los de otras ciudades en otras épocas y continentes, mostraron cierta hostilidad a los que intentaron introducir un nivel más elevado de cultura que al que estaban acostumbrados. Cuando Pericles envejeció, sus contrarios empezaron una campaña contra él, atacando a sus amigos. Acusaron a Fidias de haber malversado el oro con el que debía adornar sus estatuas. Dieron una ley permitiendo la denuncia de los que no practicaban la religión. Bajo esta ley persiguieron a Anaxágoras, que fue acusado de enseñar que el Sol era una piedra al rojo vivo.» Quizá sea esta de Anaxágoras una de las primeras ocasiones —quizá la primera de la que hay constancia en el mundo occidental— en que lo religioso, constituido en poder fáctico, pretendió reprimir a lo científico. El caso es que el filósofo Anaxágoras acabó en la cárcel acusado de impío. A él se debe el descubrimiento de que la Luna no tiene luz propia sino que refleja la que recibe del Sol, de lo que acabó deduciendo una explicación racional para los eclipses: la Tierra o la Luna ocultan el Sol. Posiblemente los que lo enviaron a prisión nunca supieron a qué dedicó Anaxágoras una parte del tiempo que allí estuvo hasta que Pericles lo liberó —Anaxágoras volvió a Jonia, donde había nacido, y sobrevivió a Pericles en un año—; porque en la cárcel el filósofo se dedicó a cuadrar el círculo. Así que este problema tiene su origen, como el Quijote, en una prisión.

En la misma formulación de este problema late con fuerza la nueva personalidad que la revolución pitagórica había impreso en las matemáticas: no se trataba de medir aproximadamente el área de un círculo, tal y como se habían planteado por razones prácticas egipcios o babilonios, sino de medirla en términos exactos, para lo cual había que transformar el círculo —un recinto que no está delimitado por segmentos rectos— en un cuadrado, o en otra figura limitada por lados rectos.

Antes de que los griegos se dieran cuenta de lo endiabladamente complicada —en realidad imposible— que es la cuadratura del círculo, un contemporáneo de Anaxágoras consiguió algunos resultados esperanzadores. Este personaje, tan oculto como Anaxágoras entre las brumas donde la leyenda se confunde con la historia, se llamó Hipócrates de Quíos —y no hay que confundirlo con el más célebre Hipócrates de Cos, reputado como padre de la medicina y autor del famoso juramento hipocrático que realizan los médicos—. Hipócrates mostró que al calcular la razón entre el área de un círculo y la del cuadrado levantado sobre su radio, el resultado será siempre el mismo, sea cual sea el tamaño del círculo, aunque no se ha conservado cómo hizo este descubrimiento. A ese «número» que se obtiene al dividir el área de un círculo cualquiera entre su radio al cuadrado es al que hoy llamamos π. El que la razón entre el área de cualquier círculo y el cuadrado levantado sobre su radio fuera siempre la misma, con independencia del tamaño del círculo, no resolvía, tal y como lo entendían los griegos, el problema de la cuadratura del círculo, porque esa razón —nuestro número π— mostró ser una cantidad muy poco razonable, tanto que a los griegos π siempre les pareció sospechoso y nunca consideraron que fuera un número, porque nunca lograron mostrar que fuera una fracción —no lo es—, de hecho Hipócrates logró también cuadrar varias figuras curvilíneas cercanas al círculo, lo que dio esperanzas de que este también pudiera ser cuadrado. Esas figuras fueron las primeras de la historia en ser cuadradas aun siendo sus lados curvos; son todas de la misma familia y, por razones obvias que ahora se verán, se las llamó «lúnulas». He aquí el ejemplo más sencillo (figura 4.1): partimos de un semicírculo con diámetro AB; en el semicírculo se ha inscrito el triángulo isósceles ABC —que tiene dos lados iguales: AC = AB—. Con centro en el punto medio del lado AC se ha trazado una media circunferencia que une los puntos A y C, y define la lúnula sombreada en negro. Hipócrates probó entonces que el área de la lúnula es exactamente igual a la mitad del área del triángulo ABC —es un bonito reto que el lector no debe privarse de intentar—.

Figura 4.1

El origen del problema de la duplicación del cubo es más especial. Una delegación solicitó al oráculo de Apolo en Delos cómo se podría poner fin a una epidemia de peste que estaba diezmando la población; la respuesta fue la duplicación del altar cúbico dedicado a aquel dios: «Cuando el dios anunció a la gente de Delos por medio del oráculo que para acabar con la plaga debían construir un altar de tamaño doble del que existía —escribió Teón de Esmirna—, cayeron en gran perplejidad, tratando de encontrar la forma en que un sólido podía ser duplicado, yendo a preguntar a Platón sobre el problema. Él les dijo que el dios había dado esta respuesta no porque quisiera un altar de tamaño doble, sino porque él deseaba, al presentar este problema ante ellos, reprochar a los griegos su negligencia con las matemáticas y su menosprecio de la geometría». Platón tenía razón, si es que Platón realmente dijo tal cosa, pues los mayores éxitos matemáticos de los griegos fueron posteriores a sus grandes éxitos en filosofía, política, literatura, escultura o arquitectura —Euclides, Arquímedes o Apolonio fueron posteriores a Sócrates, Platón, Aristóteles, Pericles o Fidias—.

Aparte de estos orígenes más o menos mitológicos, los tres problemas son pasos naturales tras los primeros logros de la matemática griega. Por ejemplo, una aplicación sencilla del teorema de Pitágoras dice que la diagonal de un cuadrado viene a resolver el problema de duplicarlo; de forma parecida se puede ver que la diagonal de un cubo sirve, no para duplicar el cubo, sino para triplicar el área del cuadrado que es cara del cubo. ¿Cómo, entonces, se podría duplicar el volumen de un cubo? Los pitagóricos no debieron tardar en encontrar la forma de bisecar un ángulo con regla y compás; qué hay más natural, entonces, que preguntarse cómo dividirlo en tres ángulos iguales. De la misma forma, tras descubrir cómo dibujar con regla y compás un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono o un hexágono regulares —todo lo cual ya sabían hacer las primeras hornadas de pitagóricos—, por qué no seguir indagando cómo dibujar un polígono regular de siete —o más— lados. Es muy posible que el problema de la trisección de un ángulo estuviera también motivado por la construcción de polígonos regulares: el polígono regular de nueve lados se puede construir trisecando el ángulo central de un triángulo equilátero, y lo mismo el polígono regular de quince lados a partir del pentágono, y así sucesivamente.

Para resolver estos tres problemas, los griegos introdujeron y estudiaron varias curvas de diferente importancia.

La más antigua de ellas fue la cuadratriz: la definió Hipias de Elis en el siglo V a. C. y parece que fue su única contribución a las matemáticas. Hipias fue un sofista algo fatuo a quien Platón criticó en dos diálogos. La cuadratriz se define por un recurso dinámico. Se considera un cuadrante de círculo inscrito en un cuadrado; se desplaza la base del cuadrado hacia abajo con velocidad constante y, a la vez, el radio del círculo gira en sentido de las agujas del reloj con velocidad angular constante y comenzando en el lado izquierdo del cuadrado, de manera que lado y radio tardan igual tiempo en recorrer cuadrado y cuadrante, respectivamente: la cuadratriz es el lugar geométrico de los puntos de corte del lado con el radio —figura 4.2—. De manera obvia, la cuadratriz permite dividir un ángulo en cualquier proporción dada, y por lo tanto, permite su trisección. Sorprendentemente, también permite cuadrar el círculo.

En el siglo III a. C., Nicomedes definió, mediante un artefacto mecánico, la concoide, con la que se podía trisecar un ángulo y, también, duplicar el cubo —de Nicomedes poco más se sabe además de que fue el padre de la concoide—.

Figura 4.2

En el siglo II a. C., Diocles definió la cisoide para duplicar el cubo. Por comentarios muy posteriores (s. VI d. C.), debidos a Eutocio y recogidos en la obra Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes, sabemos que, además de definir la cisoide, Diocles había demostrado la propiedad focal de los espejos parabólicos de concentrar los rayos incidentes en el foco —probablemente fue el primero en hacerlo— y que había resuelto el problema propuesto por Arquímedes de cortar una esfera por un plano de manera que los volúmenes tuvieran una razón dada. Sus obras parecían no haber sobrevivido, hasta que en 1976 se encontró en Irán un manuscrito árabe que contenía todos esos resultados.

Las curvas más importantes del mundo griego, las cónicas, también surgieron para dar respuesta a uno de los tres problemas clásicos: el de la duplicación del cubo. La duplicación del cubo es equivalente al de la construcción de dos medias proporcionales —posiblemente fue Hipócrates quien primero hizo este descubrimiento—, o sea: dados dos números positivos a y b con a < b, insertar entre ellos x e y, x < y, de manera que

a/x = x/y = y/b.

Esto último da x² = ay, y² = bx, xy = ab, de donde x³ = a²b; tomando a = d, b = 2d, se tiene x³ = 2d³, de manera que x es la longitud del lado del cubo cuyo volumen es el doble del cubo de lado d. Ahora bien, las ecuaciones x² = ay, y² = bx, xy = ab, corresponden con las de dos parábolas y una hipérbola, respectivamente, de manera que el problema de la duplicación del cubo se puede resolver en términos de la intersección de cónicas. Esto fue descubierto por Menecmo, un discípulo de Eudoxo que vivió en el siglo IV a. C. y del que se cuenta, quizá con escaso fundamento, que fue tutor de Alejandro Magno. Naturalmente, Menecmo no usó la simbología anterior, ni tampoco la nomenclatura de parábola o hipérbola, pero sí descubrió cómo generar las curvas que intervenían en el problema de las dos medias proporcionales a partir de un cono. Menecmo partió de un cono recto —de una sola hoja— al que cortó con un plano perpendicular a su generatriz; sin mucha imaginación, Menecmo llamó sección de cono obtuso, recto y agudo a las curvas obtenidas según el ángulo del cono fuera obtuso, recto y agudo. Estas son, respectivamente, nuestras hipérbola, parábola y elipse. No se conserva ninguna obra de Menecmo, y las noticias sobre sus éxitos matemáticos las tenemos por los comentarios de Eutocio, mencionados unas líneas más arriba. Las cónicas sirven también para resolver el problema de la trisección del ángulo —como punto de intersección de una hipérbola y una circunferencia—, pero esto fue mostrado por Pappus, siete siglos después de los trabajos de Menecmo, y cuando la matemática griega estaba ya moribunda.

A partir de Menecmo, las cónicas fueron convirtiéndose poco a poco en objetos de culto para la matemática griega, hasta el punto de que ninguna otra familia de curvas fue tan exhaustivamente estudiada. Las Cónicas de Apolonio de Pérgamo es sin duda la joya más deslumbrante de esta ansia por descubrir los secretos de estas curvas. De su autor apenas sabemos dónde nació, que vivió en el siglo III a. C. y era un cuarto de siglo más joven que Arquímedes, que aprendió y enseñó en Alejandría, y que tuvo un hijo al que también llamó Apolonio. Sabemos también que Apolonio escribió muchas otras obras hoy perdidas —Pappus mencionó seis, de alguna de las cuales dio bastantes detalles, aunque con seguridad fueron algunas más—, y que tuvo fama de ser también un gran astrónomo.

Las Cónicas de Apolonio incluían ocho libros, de los cuales sólo los cuatro primeros son conocidos en versiones griegas, del quinto al séptimo hay versiones árabes, y el octavo se da por perdido —aunque Edmund Halley, en su grandiosa edición príncipe de 1710, propuso una posible reconstrucción—.

En el aproximadamente siglo y cuarto que separa a Menecmo de Apolonio, las cónicas fueron estudiadas por Euclides y Arquímedes, entre otros, y se sabe que el primero les dedicó un libro hoy perdido, del cual Apolonio debió de recoger parte de su contenido en los tres primeros libros —resultados de tangentes, asíntotas de la hipérbola, propiedades focales—, aunque esos libros contienen también material original. Por ejemplo, en el libro I Apolonio mostró que todas las cónicas se podían generar en un mismo cono —recto u oblicuo— variando el ángulo del plano de corte con respecto a la generatriz del cono; como el cono considerado era doble, Apolonio fue el primero en dar cuenta de las dos ramas de la hipérbola —figura 4.3—.

Figura 4.3

También a él se debe el nombre de hipérbola, parábola y elipse —Arquímedes, por ejemplo, usó la nomenclatura de sección de cono obtuso, recto y agudo acuñada por Menecmo—, aunque el análisis del manuscrito árabe con obras de Diocles antes mencionado puede arrojar alguna duda sobre esta atribución —quizá no suficientemente fundamentada—. El parecido de los nombres que acuñó Apolonio para las cónicas con los de las figuras retóricas hipérbole, parábola y elipsis no es casual. Del análisis geométrico de las cónicas como corte de un plano con un cono, Apolonio encontró la relación que, usando coordenadas y simbología moderna, hoy escribimos así:

y² = px    (para la parábola)

y² = px + p/dx²    (para la hipérbola),

y² = px − p/dx²    (para la elipse),

donde p y d son dos parámetros característicos de cada cónica —d es lo que llamamos diámetro y p es (el doble de) lo que Apolonio llamó parámetro de las ordenadas—. Esas ecuaciones reflejan la propiedad fundamental de cada cónica, y una vez las obtuvo, Apolonio las usó para deducir otras propiedades de las cónicas, renunciando al cono que las define. Ahora bien, los pitagóricos habían desarrollado una terminología para la resolución geométrica de ecuaciones cuadráticas —después recogida en el libro VI de los Elementos de Euclides—, que usaba los términos parábola, hipérbola y elipse, y que Apolonio reutilizó para dar nombre a las cónicas. Concretamente, fijémonos en la primera de las tres ecuaciones de arriba: esa ecuación caracteriza la coordenada y de la parábola como el lado de un cuadrado de área igual que la del rectángulo de lados p y x; en este sentido, esas dos áreas han sido equiparadas, y a eso los pitagóricos lo llamaron «parábola», que en griego significaba precisamente «equiparación», y de donde deriva también la etimología para la figura retórica del mismo nombre. Si ahora nos fijamos en la segunda de las tres ecuaciones, vemos que, en el caso de la hipérbola, el área del cuadrado de lado y excede a la del rectángulo de lados p y x; a eso los pitagóricos lo llamaron «hipérbola», que en griego significaba «exceso», y de donde deriva también la etimología para la figura retórica «hipérbole». Finalmente, la tercera de las tres ecuaciones anteriores dice que, en el caso de la elipse, el área del cuadrado de lado y es deficiente en relación con la del rectángulo de lados p y x; a eso los pitagóricos lo llamaron «elipse», que en griego significaba «deficiencia» u «omisión», y de donde deriva también la etimología para la figura retórica «elipsis».

Las Cónicas son una de las cumbres de la matemática griega, en especial el libro V, que anticipa relevantes problemas geométricos cuya frontera no se traspasaría hasta dos mil años después; Thomas Heath, uno de los grandes historiadores de la matemática griega, escribió: «El libro V trata sobre normales a las cónicas consideradas como las líneas de mayor y menor distancia trazadas desde un punto particular a la curva. Incluye una serie de proposiciones que, aun desarrolladas desde el más puro método geométrico, conducen a la determinación de la evoluta de cada una de las tres cónicas. Esto es tanto como decir que las ecuaciones cartesianas de las evolutas pueden ser fácilmente derivadas de los resultados obtenidos por Apolonio. No hay duda de que ese libro es casi completamente original y supone un verdadero tour de force».

Aunque la figura de Arquímedes fue tratada por extenso en la sección § 2.2, tenemos ahora que volver a hablar de él porque, de todos los matemáticos griegos, fue el que más destacó en el arte de descubrir. Naturalmente, hizo sus pinitos sobre los tres problemas clásicos y, de hecho, estudió en profundidad la espiral, que usó para cuadrar el círculo. La espiral puede también ser usada para dividir un ángulo en cualquier razón dada, y por tanto para trisecarlo. La siguiente ingeniosa y elegante forma de trisecar un ángulo aparece en el llamado Libro de los lemas, una colección de resultados atribuidos a Arquímedes que han llegado a nosotros sólo en versiones árabes. Usa el añadido de dos marcas sobre la regla: el ángulo EOA que queremos trisecar lo hemos colocado en una circunferencia de centro O y radio 1, cuyo diámetro EOB prolongamos en la recta r —suponemos que el ángulo mide más de 0º y menos de 90º—. En nuestra regla tenemos dos marcas a distancia 1. Colocamos la regla sobre el punto A de la circunferencia con las marcas a la derecha; movemos ahora la regla mediante giro y deslizamiento —siempre haciéndola pasar por A— hasta que la primera marca quede sobre la circunferencia —en un punto que llamamos C— y la segunda sobre la recta r —en un punto que llamamos D—. Esto produce los triángulos isósceles AOC y OCD —véase la figura 4.4—; un sencillo análisis de la figura muestra que el ángulo COB es un tercio del ángulo EOA. Obsérvese que el procedimiento para determinar la recta donde se ubican los puntos C y D es mecánico y no corresponde a una construcción canónica con regla y compás.

Figura 4.4

En la escala de interés que acabó autoimponiéndose la matemática griega, este tipo de construcción iba en último lugar: las construcciones más interesantes eran las puras que se hacían con regla y compás, después venían las que se ayudaban de alguna cónica y, por último, las que utilizaban una argucia mecánica como la mostrada en la construcción anterior. Esto dio lugar a una clasificación de las curvas en planas —recta y circunferencia: las estudiadas en los Elementos de Euclides—, sólidas —las cónicas: objeto de atención de las Cónicas de Apolonio— y mecánicas —espiral de Arquímedes, cisoide de Diocles, concoide de Nicomedes o cuadratriz de Hipias—. Esta clasificación se mantuvo hasta el siglo XVII, cuando la irrupción de la geometría analítica y el cálculo infinitesimal acabó liberando a las curvas de ese apretado, incómodo y, si se me permite la expresión, castrante corsé.

Arquímedes no escribió ningún gran tratado de síntesis del tipo de los Elementos o las Cónicas. Por comparación con estos, sus trabajos son concisos, pero plantean y resuelven problemas sumamente difíciles y originales, que incluyen problemas con un fuerte sabor aplicado, como sus estudios sobre centros de gravedad, palancas —mecánica— o equilibrio de cuerpos flotantes —que dio origen a la hidrostática—.

En el cálculo de áreas y volúmenes, la constelación de descubrimientos que logró Arquímedes es ciertamente excepcional y le dio fama imperecedera; entre ellos se encuentra:

área de la primera vuelta de una espiral: un tercio del primer círculo;

superficie de la esfera: cuatro veces el círculo máximo;

segmento de parábola: cuatro tercios la del triángulo inscrito de forma que un vértice coincida con el vértice del segmento de parábola;

segmento de paraboloide de revolución: tres medios del cono de igual base y altura;

relación entre las superficies y los volúmenes de una esfera y el cilindro circunscrito: dos a tres en ambos casos.

Este último resultado le gustó tanto a Arquímedes que lo eligió como epitafio para su tumba. Cuenta la leyenda que esa inscripción permitió a Cicerón, siglo y medio después del asesinato de Arquímedes durante el sitio de Siracusa, encontrar su tumba entre zarzas, matorrales y maleza. No sé dónde leí que, de esa forma, Cicerón pasó al folclore matemático como el único romano que hizo una aportación de interés a las matemáticas.

Es clásica la contraposición de las figuras de Euclides y Arquímedes: prototipo de maestro el primero, modelo de científico el segundo, que inauguró una dualidad en matemáticas entre los que las crean y los que las enseñan. Sin embargo, a pesar de lo sucinto de las obras de Arquímedes y a que están dedicadas a mostrar grandes descubrimientos, su redacción es similar en estilo a la de los Elementos de Euclides; y algo parecido ocurre con las Cónicas de Apolonio, incluso en aquellas partes dedicadas a detallar los más luminosos y originales hallazgos. Me refiero al cuidado y escrúpulo que tanto Arquímedes como Apolonio pusieron en la demostración de los resultados descubiertos, pero sin desvelar cómo pudieron hacer tales descubrimientos. Hasta el punto de que cualquiera que se adentre en esas obras podrá seguir y comprobar la corrección de las demostraciones, pero será incapaz de entrever siquiera el camino que llevó a los descubrimientos. Siempre se puede decir que Arquímedes o Apolonio llegaron a ellos por intuición, o porque eran grandes genios de las matemáticas. Pero tanto la intuición como la genialidad tienen sus límites, y la cantidad y magnitud de los descubrimientos de ambos parece estar más allá de esos límites, por generoso que se sea con ellos.

De hecho, en el mundo griego se sospechaba que podían disponer de un método secreto para descubrir. Y así lo expuso explícitamente Plutarco sobre Arquímedes: «Ciertamente, en toda la geometría es imposible encontrar problemas más difíciles e intrincados manejados en términos tan simples y puros, como en sus trabajos. Algunos atribuyen esto a su genio natural. Otros mantienen que una fenomenal industria está detrás de la aparente falta de esfuerzo con que obtiene sus resultados». Esas sospechas resurgieron con fuerza en el siglo XVII, cuando Occidente recuperó y estudió en profundidad las obras de Arquímedes. Así, Evangelista Torricelli (1608−1647) afirmó: «Los geómetras antiguos empleaban en sus demostraciones un método diferente al seguido en la fase inventiva y procedían así, entre otras razones, para ocultar el secreto de su arte». Wallis era de la misma opinión: «Al parecer, Arquímedes ocultó adrede las huellas de su investigación, como si hubiera sepultado para la posteridad el secreto de su método de investigación». Y Barrow, incluso, especulaba con la posibilidad de que hubieran descubierto y mantenido oculta el álgebra: «Al no poder imaginar que ingenio mortal pueda llegar a tanto mediante la virtud del razonamiento, estoy seguro de que Arquímedes se vio ayudado por el álgebra, a la que conocía en secreto y que ocultaba estudiadamente».

A pesar de lo que pudieran contener las obras matemáticas griegas perdidas, esas reflexiones de Barrow parecen algo exageradas, pues los manejos algebraicos más avanzados que encontramos en Grecia fueron tardíos: son los de Diofanto, que comenté en la sección § 3.4. Es cierto que parte del planteamiento de algunos libros de las Cónicas guarda bastante similitud conceptual con la geometría analítica desarrollada en el siglo XVII, pues aunque Apolonio se mantuvo fiel a la geometría sintética griega, la elección de ejes de referencia —diámetro y tangente en uno de sus extremos, por ejemplo— para describir las propiedades geométricas de una cónica es conceptualmente idéntica a la elección de un sistema de coordenadas para calcular sus ecuaciones.

Pero lo que podría valer para Apolonio no vale para Arquímedes, pues incluso la incipiente álgebra que podemos encontrar en Diofanto es insuficiente para explicar los descubrimientos de Arquímedes. Como veremos en la sección § 4.4, tras la recuperación del Método a principios del siglo XIX, hoy sabemos que Arquímedes pudo usar un incipiente método heurístico/mecánico basado en los infinitesimales para hacer sus descubrimientos.

Aparte del Método de Arquímedes, tan sólo en Pappus, cuando la matemática griega empezó a entonar su canto del cisne allá por el siglo IV d. C., encontramos un esfuerzo por mostrar un posible camino para llegar a un descubrimiento. Este método, llamado de análisis, frente a la síntesis usada por los griegos en sus demostraciones, consistía, grosso modo, en suponer la existencia de la solución de un problema y analizar sus consecuencias; uno puede llegar entonces a una contradicción o a un resultado conocido y previamente demostrado. En el primer caso se puede concluir por reducción al absurdo la falsedad de la solución de partida. En el segundo caso, si la inferencia se puede invertir, habríamos encontrado una vía para demostrar la validez de la solución del problema —se procedería entonces por síntesis y, en muchos casos, las huellas de cómo se llegó a la solución quedarían ocultas—; si la inferencia no se puede invertir, no tendríamos demostración, pero tal vez sí una indicación o sugerencia de cuál podría ser la solución del problema, o una buena pista que nos llevara a un descubrimiento.

Pappus expuso esta metodología en el libro VII de su Colección matemática. Este es el último gran tratado matemático producido por los griegos. Contiene resultados interesantes sobre problemas isoperimétricos, centros de gravedad, o sobre cónicas —que escaparon a la sagacidad de Apolonio—, y resultados parciales sobre el lugar geométrico de n rectas —para cuatro rectas el problema pide calcular el lugar geométrico de los puntos P de tal forma que el producto de los segmentos PA y PB, trazados con un ángulo fijo a dos de ellas, es proporcional al producto de los segmentos PC y PD trazados a las otras dos con el mismo ángulo—. Este problema de Pappus tendría después un gran protagonismo cuando surgió la geometría analítica, y Descartes mostró que su geometría de coordenadas permitía resolver algo que había estado fuera del alcance de la geometría sintética griega —se darán más detalles en la sección § 5.2.3—.

Aunque su calidad matemática se queda lejos de la producción de Arquímedes o Apolonio, la importancia de la Colección matemática es grande, y no sólo por explicar la técnica del «análisis». La obra de Pappus recoge información, a veces detallada, de algunas obras perdidas de la matemática griega —sobre sólidos arquimedianos, o sobre trabajos de Euclides, Apolonio, Eratóstenes…— y otra valiosa información de tipo histórico.

§ 4.3. Explicar el mundo

En su origen, la matemática griega aspiró a explicar el mundo —ese afán estaba en los genes de los pitagóricos y su esfuerzo por reducirlo todo a número—, y en este sentido los griegos fueron creadores del pensamiento científico en cuanto meditación racional sobre la naturaleza, aunque su sentido de lo científico difiera del nuestro —por mucho en algunas disciplinas, como la física, y por muy poco en otras, como las matemáticas—. Aquí nos vamos a centrar en lo referente a la astronomía, por más que esa explicación matemática del mundo fuera más vasta y abarcara la música, la mecánica o la hidrostática.

El mismísimo y fundamental concepto de cosmos, universo ordenado, armonioso pero, sobre todo, entendible, fue invento de los primeros filósofos y matemáticos griegos. Los griegos no inventaron la astronomía. Babilonios y egipcios, por citar sólo dos ejemplos, ya eran entendidos en astronomía. Medían, por ejemplo, la altura de algunas constelaciones de estrellas, y se servían de su posición para determinar la época del año en que se encontraban, para tareas agrícolas o para orientarse, sobre todo en la mar. Pero, si hacemos caso de las fuentes históricas conservadas, a ningún babilonio ni a ningún egipcio se le ocurrió pensar que el movimiento de las constelaciones y los planetas en el cielo tenía que estar regido por unas leyes numéricas o geométricas.

Fueron los griegos los primeros en postular la inteligibilidad y compresión del cosmos, atribuyéndole un comportamiento regido por leyes cognoscibles y expresables en términos matemáticos. Ese fue el paso fundamental que dieron Pitágoras y otros filósofos: creyeron que detrás de los movimientos aparentemente complejos de los astros en el cielo había leyes que nosotros podíamos conocer. Y todavía más: leyes simples, elegantes, armoniosas, expresables con números y figuras geométricas. Llevamos más de dos mil quinientos años conviviendo con esa idea genial de la existencia de leyes que rigen el comportamiento de la naturaleza y todavía deberíamos ser capaces de maravillarnos con ella. De hecho, los mejores científicos de la historia no han dejado de maravillarse, y, para muestra, baste recordar una de las citas más célebres de Albert Einstein: «El mayor misterio del mundo es que resulta comprensible», y esto le generaba un cierto sentimiento religioso: «La investigación científica puede reducir la superstición, al estimular a la gente a que piense y considere las cosas en términos de causas y efectos. Es verdad que, detrás de todo trabajo científico de elevado nivel, subyace una convicción, cercana al sentimiento religioso, de la racionalidad e inteligibilidad del mundo».

Los pitagóricos propusieron las primeras leyes que daban cuenta de las regularidades observadas en los astros que se mueven en el cielo. Es verdad que fueron leyes equivocadas, pero lo importante es que los pitagóricos señalaron un camino nuevo y fructífero, y echaron a andar por él. Desde los pitagóricos, y a lo largo de más o menos siete siglos, los griegos compusieron un relato soberbio sobre el cosmos. Estaba basado en la idea pitagórica de un universo regido por leyes sencillas, junto con la aplicación de lo que podríamos llamar sentido común, esto es, cierta fidelidad a la información que la vista y los otros sentidos nos proporcionan sobre la naturaleza.

Después de los pitagóricos, Platón estableció con más precisión qué debía entenderse por leyes sencillas: para la explicación sólo se podían usar movimientos circulares, velocidades constantes —estas velocidades hay que entenderlas como angulares: a igualdad de tiempo los astros recorren la misma distancia sobre la cúpula celeste, o el mismo ángulo visto desde la Tierra— y siempre en la misma dirección. Para determinar los detalles, los griegos usaron observaciones astronómicas tanto propias como heredadas de otras civilizaciones —principalmente de la babilonia—.

La explicación griega del cosmos tenía dos partes que se suponían complementarias, pero que acabaron enfrentadas. Por un lado, la parte astronómica, que daba cuenta de los detalles del movimiento aparente de los astros en el cielo; por otro lado, la parte cosmológica, que pretendía explicar cómo se producían físicamente esos movimientos. La parte astronómica culminó en el siglo II d. C. cuando Claudio Ptolomeo compuso su gran obra: el Almagesto. La parte cosmológica la culminó Aristóteles (IV a. C.) en su libro Del cielo.

La que nos interesa aquí es la parte astronómica porque esencialmente fue geometría y trigonometría. A grandes rasgos, la astronomía geométrica griega se conformó como sigue. Podemos dividir a los personajes celestes entonces conocidos en varias categorías. Por un lado tenemos la pareja de protagonistas estelares: el Sol y la Luna. Después tenemos cinco secundarios de lujo, los cinco planetas conocidos desde la más remota Antigüedad: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno; hay que tener en cuenta, sin embargo, que conforme los astrónomos griegos fueron afinando sus teorías para explicar los movimientos celestes, los planetas tomaron también carácter de protagonistas. Finalmente había una cohorte de extras formada por miles y miles de estrellas. Su papel fue siempre auxiliar pues, por un lado, su movimiento era muy simple y, por otro, componían el fondo sobre el que se veía moverse a los otros personajes.

Inicialmente, la astronomía griega fue desarrollada por los pitagóricos y luego por matemáticos formados en la Academia de Platón; durante ese tiempo se usaron esferas para describir el movimiento de los astros. Tras fundarse Alejandría y convertirse en centro de la ciencia griega, la astronomía pasó a ser desarrollada, desde el siglo III a. C. al II d. C., principalmente por astrónomos alejandrinos —Apolonio, Hiparco y Ptolomeo fueron los más destacados—, sustituyéndose entonces las esferas por circunferencias; las segundas eran más manejables aunque las primeras tenían más sentido cosmológico.

Los griegos, dejándose llevar por lo que vemos en el cielo, supusieron que las estrellas se hayan ubicadas en una esfera, todas por tanto a igual distancia de la Tierra; haciendo rotar esa esfera hacia el oeste una vez cada 24 horas escasas, el modelo geocéntrico griego explicó de manera sencilla y elegante el movimiento de las estrellas; el movimiento de la esfera explicaba el de todas las estrellas evitando tener que hacerlo individualmente —innecesario pues todas parecen moverse al unísono al mantener invariables sus posiciones relativas, de ahí que los griegos se refirieran a las estrellas como estrellas fijas—. Esa esfera de las estrellas suponía los límites del cosmos: más allá no había nada, ni siquiera espacio vacío.

Los demás personajes celestes se mueven entre la Tierra y la esfera de las estrellas, ya que los vemos desplazarse sobre el fondo de las estrellas. El más manifiesto de ellos es el Sol. Si cada día al ponerse el Sol anotamos sobre el fondo de las estrellas el sitio exacto por donde se puso, observaremos que ese punto avanza cada día más o menos un grado hacia el este, para acabar al cabo de aproximadamente un año completando una vuelta. Ese camino anual del Sol a través de las estrellas se denomina eclíptica. Si la dibujamos sobre la esfera de las estrellas, la eclíptica determina un círculo máximo —su centro coincide con el de la esfera—; la eclíptica está algo inclinada con respecto al ecuador de la esfera de las estrellas, formando con este, como los griegos determinaron, un ángulo de cerca de 24 grados.

La eclíptica fue la línea imaginaria fundamental que usaba la astronomía griega para explicar el movimiento del Sol y, en cierta forma, también del resto de los cuerpos intermedios —la Luna y los planetas—. En una primera aproximación, los griegos ubicaron el Sol en una esfera que rotaba cada día sobre la Tierra, a la vez que el Sol se movía cada día sobre esa esfera un poco menos de un grado hacia el este siguiendo la eclíptica hasta volver al sitio inicial al cabo de 365 días y pico; ese movimiento del Sol sobre la eclíptica marcaba a la postre el paso de las distintas estaciones sobre la Tierra. El movimiento de la Luna, algo más errático que el del Sol, fue descrito de la misma forma pero estableciendo para el desplazamiento sobre la eclíptica un período mucho más corto: unos 27 días. Hay que reseñar que para los griegos el Sol no era una estrella, ni la Luna nuestro satélite.

Este esquema inicial sufrió modificaciones posteriores para dar cuenta de algunas irregularidades en el movimiento del Sol y de la Luna. Para ello se diseñaron diversos artificios geométricos que incluían órbitas excéntricas y epiciclos. Por ejemplo, se suponía que la Tierra no estaba exactamente en el centro de la circunferencia por donde orbitaba el Sol —órbita excéntrica— lo que, ajustando adecuadamente la distancia entre la Tierra y el centro de esa órbita, permitía dar cuenta de las diferencias en la duración de las estaciones. También se podía dar cuenta de esa diferencia suponiendo que el Sol se movía sobre una pequeña circunferencia —epiciclo— cuyo centro lo hacía sobre la eclíptica —deferente—, y ajustando el radio del epiciclo. Este tipo de artificios pudieron ser desarrollados por Apolonio o, incluso, por alguno de sus predecesores.

Aparte del Sol y la Luna, en el cielo nocturno hay cinco secundarios de lujo: los planetas. Se parecen a las estrellas porque son, al igual que ellas, puntos de luz más o menos brillante en el cielo; pero guardan con ellas una diferencia fundamental: cambian de posición cada noche con respecto a las estrellas. Así, por ejemplo, Venus es unas veces visible al anochecer en el oeste coincidiendo con la puesta del Sol y otras al amanecer en el este, anticipando su salida. Debido a este vagar entre las estrellas, los griegos los llamaron astros errantes o planetas. Los planetas fueron los astros que más dolores de cabeza dieron a los astrónomos, hasta acabar por ello siendo los grandes protagonistas del cosmos griego. La razón es que el movimiento de los planetas presenta una singularidad con respecto al del Sol y la Luna: la retrogradación. Al igual que el Sol y la Luna, la posición de los planetas entre las estrellas parece moverse un poco cada noche hacia el este siguiendo, más o menos, la eclíptica; sin embargo, de tanto en tanto, los planetas cambian el sentido de su marcha y, durante un breve lapso de tiempo —el período de retrogradación—, van hacia el oeste, para después retomar de nuevo la marcha hacia el este completando una especie de bucle. Es más, durante esta retrogradación, el planeta —sobre todo Venus y Marte— aumenta su brillo, lo que se interpretaba como que en esos momentos está más próximo a la Tierra que durante el resto de su órbita. Esta retrogradación sucede de manera más o menos periódica aunque diferente para cada planeta.

Incluir la retrogradación en el planteamiento geocéntrico complicó bastante la geometría del modelo. Para describir este movimiento los griegos incluyeron en su sistema de esferas una esfera por cada planeta; esta esfera rotaba cada día de este a oeste, y con ella se explicaba el movimiento de rotación diario del planeta alrededor de la Tierra. Sobre esta esfera se marcaba la eclíptica, aunque el planeta no se movía sobre ella, sino que lo hacía sobre un epiciclo cuyo centro estaba sobre un punto de la eclíptica marcada sobre la primera esfera. Combinando de manera adecuada tanto el radio del epiciclo como el movimiento del planeta sobre el epiciclo y el del centro del epiciclo sobre la eclíptica, se podía conseguir el efecto de retrogradación del planeta.

Esencialmente, el sistema usaba ocho esferas: la propia esfera terrestre, seis para los astros y la de las estrellas fijas; pero a estas había luego que añadir los correspondientes epiciclos para explicar la diferente duración de las estaciones o la retrogradación de los cinco planetas.

Con Ptolomeo culminaron siete siglos de astronomía geocéntrica griega. El resultado fue realmente soberbio, y se concretó en la Sintaxis matemática, más conocida como Almagesto; ese nombre, que significa el más grande, se debe a que los árabes, para distinguir el tratado de Ptolomeo de otros escritos, denominaban a este megiste, esto es, el mayor.

Pero para que la coreografía marcada para los planetas en el Almagesto se pareciera razonablemente a las observaciones hubo que complicar bastante el modelo, que acabó incluyendo deferentes y epiciclos, órbitas excéntricas, dobles epiciclos y ecuantes.

La astronomía griega permitía predecir la posición de los personajes celestes en el futuro —y saber también por dónde andaban en el pasado—. Por ejemplo, Hiparco de Rodas elaboró en el siglo II a. C. unas tablas de posiciones solares diarias hasta el siglo IV d. C. Estas predicciones permitieron anticipar eclipses, alineaciones de planetas y otras efemérides planetarias. Estas predicciones tuvieron gran importancia por razones astrológicas, pues a menudo los poderosos apelaban a la astrología para iniciar una guerra o fundar una ciudad.

Desde el tiempo de los babilonios y hasta bien entrado el siglo XVII, la astrología fue la otra cara de la astronomía. Para mejor describir el camino del Sol por las estrellas —lo que luego los griegos llamaron eclíptica—, los babilonios dividieron la región del cielo por donde transcurre en doce zonas, una por cada ciclo lunar del año. Esa división de la eclíptica dio lugar al Zodíaco; de hecho, los signos del Zodíaco provienen de las doce constelaciones ubicadas sobre la eclíptica y vienen determinadas por el período del año cuando el Sol las atraviesa en su camino a través de las estrellas. Posiblemente fuera la regularidad que los movimientos celestes mostraban, y su utilidad y eficacia para decidir el ritmo de las faenas agrícolas —además del cóctel de sentimientos que provoca el esplendor de un cielo nocturno sin contaminación lumínica—, la que llevó a aquellos primeros observadores del cielo a pensar que allí arriba estaba de alguna manera escrito el futuro de lo que iba a ocurrir aquí abajo. Así, el estudio de cómo se mueven los astros en el cielo —la astronomía— pronto se vio acompañado de otro arte, el de interpretar aquellos movimientos y traducirlos en profecías para los acontecimientos terrestres —la astrología—. Astronomía y astrología fueron cogidas de la mano durante bastantes milenios —de hecho, la astronomía fue conocida en tiempo de los griegos como «astrología natural», mientras que la astrología propiamente dicha era la «astrología judicial»—. Sólo se separaron en el siglo XVII, cuando triunfó la revolución científica puesta en marcha por Copérnico; hasta entonces no era raro que los grandes astrónomos fueran también grandes astrólogos: tal fue el caso de Ptolomeo y de Kepler, por poner sólo dos destacados ejemplos. Ptolomeo, aparte de autor del Almagesto, fue también autor del Tetrabiblos, un tratado de astrología casi tan difundido como su obra cumbre astronómica. Y ambos fueron traducidos casi a la vez al árabe en el siglo VIII, del árabe al latín y del griego al latín en el XII; y el Tetrabiblos al castellano en el XIII por iniciativa de Alfonso X el Sabio.

Para que el sistema geométrico que transcendía la astronomía griega tuviera capacidad predictiva hubo que desarrollar una herramienta que permitiera dar cuenta de las posiciones de los astros en el cielo y poder manipular y hacer cálculos con ellas. Esa herramienta numérica fue la trigonometría.

Se suele considerar a Hiparco (s. II a. C.) el padre de la trigonometría. A él se debe la elaboración de la primera tabla trigonométrica, esto es, una tabla que asociaba a ángulos las longitudes de la cuerda que sustentan en una circunferencia. Hiparco dividía el diámetro de la circunferencia en 120 unidades y la circunferencia en 360 grados, y tomaba el ángulo centrado con respecto al diámetro, lo que hace que la tabla de Hiparco no corresponda con los valores del seno de dicho ángulo, sino que difiere en un factor 1/120.

Hiparco también modificó el sistema de coordenadas usado por los babilonios para fijar una estrella en el cielo. Este se basaba en la eclíptica, sobre la que se medía la longitud —en sentido contrario a las agujas del reloj—, mientras que la latitud se medía usando arcos perpendiculares a la eclíptica. Hiparco cambió la eclíptica por el ecuador celeste.

No debe extrañar al lector que la figura cumbre de la trigonometría griega fuera Ptolomeo. En el Almagesto encontramos una tabla mejorada de razones trigonométricas, junto con los métodos empleados para elaborarla, encontrándose entre esos métodos numerosas fórmulas trigonométricas —seno y coseno de sumas y diferencias, de ángulos mitad y doble, etc.—. Por razones obvias, la trigonometría esférica, de mayor utilidad para la astronomía que la plana, tuvo también gran desarrollo en el mundo griego.

La trigonometría se reintrodujo en Europa occidental a finales del siglo XII, a través de las traducciones del Almagesto —se tradujo en Sicilia del griego al latín en 1160, y del árabe al latín en Toledo en 1175—. Vino mejorada por los matemáticos del islam, que enriquecieron con la avanzada trigonometría que habían desarrollado los hindúes desde casi los inicios de nuestra era —hay constancia de tablas trigonométricas hindúes en el siglo IV d. C.—. Una vez reintroducida en Europa, siguió desarrollándose durante el Renacimiento, cuando precisamente se acuñó el término trigonometría, y a cuyo desarrollo contribuyeron especialmente Regiomontano y Viète.

Los griegos diseñaron procedimientos muy ingeniosos para calcular el tamaño relativo entre la Tierra y la Luna, o la Tierra y el Sol, o entre sus órbitas, basados en aplicar a ciertas observaciones la teoría más o menos elemental de las proporciones. La fiabilidad de estos resultados variaba según la precisión de la observación sobre la que se basaba, por lo que la validez de los cálculos griegos dependió mucho de qué tamaños relativos se estuvieran calculando.

Otro asunto mucho más complicado es el cálculo de distancias absolutas, ya fuera la distancia de la Tierra al Sol o a la Luna, o el tamaño del universo —en el caso griego, la distancia a la que estaban las estrellas—. El problema en este caso es incomparablemente más complicado y, por lo general, los griegos erraron bastante en sus cálculos. Para calibrar la dificultad del problema, baste considerar que cálculos razonablemente correctos de las distancias absolutas dentro del sistema solar no estuvieron disponibles hasta bien entrado el siglo XVIII. Y la cuestión es todavía más peliaguda si se trata del tamaño del universo, en cuyo caso hay que remontarse a mediados del siglo XX, cuando se establecieron los admitidos actualmente, sin descartar naturalmente que esos datos hayan de ser revisados a la luz de nuevos descubrimientos.

§ 4.4. La transmisión del legado griego

Hay un hecho común que afectó a la producción intelectual de civilizaciones como la babilónica, la egipcia y otras tantas de la Antigüedad, y, también, al legado cultural grecolatino —el que solemos calificar de clásico—. Me refiero a los cataclismos que hicieron desaparecer culturas enteras o que provocaron la pérdida de buena parte de esa tradición cultural; ocurrió con la poesía, el teatro, el arte, la historia o la filosofía; y, naturalmente, con las matemáticas. Y basta pensar el trabajo que dio, y sigue dando, reconstruir la información diseminada en los restos arqueológicos conservados cuando, en muchos casos, hasta ha habido que descifrar lenguas e idiomas que habían sido completamente olvidados. Pero, aparte de sobre la pérdida de buena parte de ese legado cultural, quisiera llamar la atención sobre el hecho mucho más simple y prosaico, y también más dramático, que supuso la pérdida definitiva de una parte de aquellos logros intelectuales al desaparecer el soporte material donde estaban contenidos. Si desaparecieron ciudades enteras tragadas por el polvo y la tierra que levantaron los remolinos de la historia, si se hundieron sólidas murallas como si fueran de papel, condenando al olvido los nombres de los reyes esculpidos sobre ellas, o los detalles de las batallas que ganaron y de los pueblos que sojuzgaron, si perecieron edificaciones y esculturas de dioses que se creían invencibles y eternos, ¿qué decir de objetos mucho más delicados como tablillas de arcilla, papiros o pergaminos?

Naturalmente, esos cataclismos históricos afectaron también a las matemáticas, que además se escribían en los soportes más vulnerables —precisamente en tablillas, papiros y pergaminos—; y recordarlo tiene su importancia, porque nos hace ver que las matemáticas son también un producto de la cultura humana, una de las varias creaciones intelectuales de la humanidad. Este hecho elemental, esta verdad de pero grullo, se olvida a menudo; y, como consecuencia, tampoco se le presta la debida atención a una de sus consecuencias: las matemáticas han sido afectadas por los mismos avatares históricos que han actuado sobre el resto de las realizaciones intelectuales, manuales, técnicas o de cualquier otro tipo atribuibles a los humanos. Este olvido produce una distorsión en cómo se perciben las matemáticas: se las suele situar en una esfera de pensamiento abstracto alejado del mundanal ruido y de las miserias, pero también de los placeres, que aquejan al mundo y a sus más vulgares moradores. Nada más contrario a la verdad; y no sólo porque a lo largo de toda su historia el proceso de creación matemática con frecuencia ha hundido sus raíces en los desafíos intelectuales provenientes de la física, la ingeniería, las necesidades bélicas e, incluso, aunque esto más recientemente, de las llamadas ciencias de la vida o de las ciencias sociales, sino por el hecho más prosaico y frívolo de que la misma transmisión del saber matemático ha quedado afectada, dramáticamente afectada en muchas ocasiones, por el entorno histórico y su devenir. Tanto los cálculos de los escribas babilonios, como los grandiosos teoremas de Arquímedes y los otros matemáticos griegos, quedaron tan a merced de los vendavales de la historia como las obras satíricas de Aristófanes o las esculturas de Fidias: fueron hojas que llevó el viento de aquí para allá, muchas de ellas acabaron perdiéndose para siempre mientras que otras se recuperaron de puro milagro.

Esto pone de manifiesto que para comprender cabalmente lo que he contado en esta breve historia de las ideas matemáticas sobre los griegos —y también sobre babilonios o egipcios—, hay que tener en cuenta un factor importante: lo que he narrado aquí —como lo que se puede encontrar en cualquiera de las historias escritas por otros autores— se hace a partir de las fuentes conservadas, que obviamente no coinciden con lo que realmente se produjo en su día; esto obliga a interpretar lo conservado y, como toda interpretación, puede ser fuente de inexactitudes y errores. Eso hubiera requerido muchos más detalles y matices en algunas de las afirmaciones contenidas en las secciones anteriores, cosa que no se hizo dado el carácter introductorio y breve de esta historia.

Por varias razones, la advertencia anterior es particularmente oportuna en el caso de los griegos; por un lado, por la magnitud y complejidad de su producción matemática, y, por otro, porque las fuentes más antiguas conservadas son, con seguridad, copias de copias de los manuscritos originales, copias hechas cientos de años —a veces más de mil años— después de muertos los matemáticos cuyas obras contienen esas copias. De todas formas, no debe alarmarse el lector en exceso, pues el análisis histórico llevado a cabo casi desde el Renacimiento, y sobre todo en el último siglo y medio, hace que la narración que he hecho sea bastante plausible y sólida.

Para que el lector pueda juzgar adecuadamente hasta qué punto la conservación del legado griego pendió de un hilo —de un solo hilo—, y por fidelidad a la filosofía de esta breve historia, narraré, aunque sea sin entrar en detalles, la forma casi milagrosa en que han llegado hasta nosotros las principales obras de Arquímedes.

Seguramente Arquímedes escribió todas o la mayor parte de sus obras en la soledad —científica— de su Siracusa natal. Allí nació en 287 a. C., aunque estudió de joven en Alejandría, centro del saber matemático y científico del helenismo —lo sería ininterrumpidamente desde su fundación por Alejandro Magno hasta el siglo V d. C.—. De allí volvió a Siracusa, donde vivió la mayor parte de su vida. Como ya se dijo, la producción científica que conservamos de Arquímedes se compone de monografías de investigación, por decirlo con términos actuales, que fue realizando a lo largo de su vida y que desde Siracusa hizo llegar a Alejandría. Es muy posible que cada una de las obras de Arquímedes siguiera su propio camino hasta Alejandría, sin llegar a formar en vida suya, ni inmediatamente después, un corpus conjunto. La envergadura matemática de las obras de Arquímedes es considerable, muy superior a la de los Elementos de Euclides; el nivel elemental de buena parte de los Elementos hace suponer que menudearan por aquí y por allí copias de ellos, lo que no sucedió con las más sofisticadas obras arquimedianas —aptas sólo para los muy entendidos—. Esta dispersión de las obras de Arquímedes fue sin duda responsable de la pérdida de algunas de ellas y del deterioro sufrido por otras —se han conservado una docena de obras, entre grandes y menores—. Deterioro que ya es reconocible medio siglo después de su muerte, donde hay constancia de autores que no pudieron encontrar algunos de sus teoremas. Por otras citas sabemos, sin embargo, que todavía en los siglos III y IV d. C. se conservaban obras de Arquímedes hoy desaparecidas, que pudieron perderse en la devastación de las bibliotecas alejandrinas del año 391 d. C.

En el primer tercio del siglo VI se produjo un intento de reunir, ordenar y comentar sistemáticamente las obras de Arquímedes; no se puede asegurar que este fuera el primero de tales intentos, pero tampoco hay constancia de ninguno anterior. Ahora ya no estamos en Alejandría, sino en Constantinopla, justo cuando el Imperio Romano de Oriente se está transformando en Bizancio. Hubo entonces un renacer del interés por la gran matemática clásica que, sin producir matemáticas de relevancia, tuvo la virtud de preservar algunas obras fundamentales para la posteridad: ese fue el caso de las obras de Arquímedes —también de las que se conservan de Apolonio—. Este renacer fue una especie de responso por la ciencia griega en un momento histórico en que se hizo evidente el destino que le esperaba. El emperador Justiniano ordenó entonces la clausura de la Academia de Platón y otros centros científicos y filosóficos acusados de impartir enseñanzas paganas. Tres años después, el emperador se propuso reconstruir la basílica de Constantino: será la nueva Santa Sofía. Precisamente fueron los arquitectos de la nueva basílica, Antemio de Tralles e Isidoro de Mileto, quienes promovieron la conservación del legado científico griego. Uno de sus discípulos, llamado Eutocio, recopiló las obras de Arquímedes que pudo y comentó tres de ellas —también los primeros cuatro libros de las Cónicas de Apolonio: los únicos que se han conservado en copias griegas—.

Dos siglos después, Bizancio volvió a conocer un período de esplendor cultural, militar y religioso. Se compuso entonces un tratado con las obras disponibles de Arquímedes, las que Eutocio comentó —incluyendo sus comentarios— y otras de las que este no dispuso. Al fruto de ese esfuerzo debe su existencia uno de los manuscritos documentados que nos han permitido conocer las obras de Arquímedes. A ese manuscrito lo llamaré A.

No fue extraña en el siglo IX esta labor de compilación y copia de material antiguo, usando, además, la nueva caligrafía cursiva minúscula en vez de la clásica letra griega mayúscula proveniente de la Antigüedad clásica. Lo que sí seguía siendo poco habitual era la recopilación de obras de un solo autor —el caso, precisamente, del manuscrito A de Arquímedes—, en una época donde los tratados se organizaban buscando preferiblemente un tema común que un único autor.

Por indicios indirectos podemos suponer que en esa misma época, o algo antes o acaso poco después, se compuso un códice sobre mecánica y óptica que incluía también obras de Arquímedes. A este códice lo llamaré B.

Un siglo después, esto es, en torno al 975, un tercer manuscrito que contenía obras de Arquímedes, al que llamaré C, fue copiado en Constantinopla; de nuevo presenta la rareza de ser un monográfico sobre Arquímedes, y van dos, lo que viene a demostrar el interés que había por su obra. Así pues, los manuscritos más antiguos de los que tenemos constancia histórica fueron compuestos en Constantinopla en el siglo X, o, estirando mucho, en el IX. Antes tuvo que haber otros que, remontando el tiempo, llegaron hasta los escritos originales que compusiera Arquímedes allá por el siglo III a. C., pero hoy todos esos manuscritos se dan por desaparecidos.

Los tres manuscritos guardaban entre sí cierta independencia, acaso heredera de su origen, pues no contenían las mismas obras de Arquímedes, presentando cada cual cierta singularidad en relación con los otros.

Los códices A y B, bien juntos bien por separado, pasaron en el siglo XII de Constantinopla a Sicilia, la tierra natal de Arquímedes, y sólo cabe conjeturar sobre el camino que siguieron. Desde finales del siglo XI, y tras treinta años de guerra contra los árabes, los normandos fueron dueños de la isla, que reunificaron con el sur de Italia en un solo reino medio siglo después. A partir de entonces fueron continuos los choques militares con Bizancio, en los que como botín no era raro tomar obras de arte y manuscritos que contenían la vieja ciencia y filosofía griegas. Tal vez los manuscritos A y B llegaron a Sicilia después de la tercera cruzada. Pero también pudieron llegar a Sicilia tras la cuarta cruzada que saqueó Constantinopla a principios del siglo XIII, o, acaso, cuando se decretó la sexta cruzada. Aunque también pudieron llegar los códices a Sicilia más calladamente, sin que mediara guerra ni cruzada alguna. ¿Quién lo puede saber?

Sabemos que los códices A y B pasaron de Sicilia a la corte papal de Viterbo —unos 70 kilómetros al noroeste de Roma—, donde estaban ya en 1269 cuando, en buena parte, son traducidos allí al latín por Guillermo de Moerbeke. Los manuscritos debieron de pasar de Viterbo a Asís, y, en 1368, pasaron de Asís a Roma. A partir de ahí nada más se sabe del códice B, que desapareció sin dejar otro rastro que lo traducido por Moerbeke. También en ese momento se perdió la pista al códice A. Dado lo descuidada que estuvo la biblioteca papal en Asís, bien pudo pasar que los manuscritos fueran sustraídos allí y no en Roma.

En ese momento, la cadena de manuscritos griegos y copias de manuscritos griegos que nos lleva a Arquímedes se rompió, y definitivamente rota pudo haber quedado. Pero hubo suerte, y el eslabón que suponía el códice A pudo ser engarzado de nuevo en la cadena: la pista del manuscrito, y el manuscrito mismo, se volvió a recuperar hacia 1450; estaba entonces en poder del papa Nicolás V. El manuscrito volvió después a cambiar varias veces de dueño, antes de que se le perdiera definitivamente la pista hacia mediados del siglo XVI.

Afortunadamente para el conocimiento de las obras de Arquímedes, desde un siglo antes un extraño virus había entrado en las venas de los poderosos, a los que les dio por enviar emisarios por doquier para localizar y copiar manuscritos en cuyas entrañas de pergamino se conservaran trozos, grandes o pequeños, del saber clásico, ya fuera ciencia griega o retórica latina. Eso permitió al códice A engendrar una docena de hijos, uno de los cuales se usó para la edición príncipe de las obras de Arquímedes impresa en Basilea en 1544.

El códice C fue el último de los tres códices bizantinos de Arquímedes en ser compuesto, y es el único cuyo paradero conocemos hoy en día. Es también el que menos influencia ha tenido a lo largo de la historia, debido a que ha permanecido oculto hasta que fue descubierto en 1906. Sabemos que, dos siglos y medio después de compuesto, alguien decidió que había otras cosas más interesantes que escribir que lo que aquel manuscrito contenía, de manera que ese alguien se aplicó en raspar por doquier su contenido para reutilizar de nuevo el pergamino. Al manuscrito de Arquímedes se unieron folios de otros cuatro libros; los folios de pergamino fueron inevitablemente barajados, cortados y nuevamente encuadernados, lo que tuvo como consecuencia que el nuevo texto se escribiera perpendicular a los restos del antiguo. En suma, un devoto copista convirtió en palimpsesto el manuscrito de Arquímedes, y escribió sus oraciones cristianas sobre los más finos y compuestos razonamientos matemáticos que había producido el mundo griego.

Hasta que fueron sacadas otra vez a la luz en 1906 por el erudito danés Johan Ludwig Heiberg (1854−1928). Heiberg reconoció que lo que se ocultaba en aquel palimpsesto era, nada más y nada menos, que una colección de obras de Arquímedes, de las cuales dos, el Método y el Stomachion —aunque de este último sólo se conservaba un fragmento mínimo—, no estaban contenidas en ninguno de los manuscritos hasta entonces conocidos de Arquímedes, y otra, Sobre los cuerpos flotantes, era sólo conocida a partir de la traducción latina medieval de Moerbeke. Poco después, el palimpsesto desapareció de nuevo, para volver a aparecer en 1998 en Nueva York. Ese año se subastó en Christie’s, no sin las quejas del gobierno y el patriarcado griegos que denunciaron que se estaba subastando un objeto robado, y fue adquirido por un coleccionista americano anónimo que pagó por él algo más de dos millones de dólares. Pocos meses después de adquirirlo, el coleccionista depositó el palimpsesto en el Walters Art Museum de Baltimore para su custodia, conservación y estudio.

Tras Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo, la matemática griega inició una decadencia paulatina. Posiblemente porque pocos más descubrimientos se podían hacer dentro del corsé de la geometría sintética, y sin nuevos descubrimientos las matemáticas languidecen como los humanos sin oxígeno. Los pinitos algebraicos de Diofanto o la apuesta por los métodos analíticos de Pappus supusieron aire fresco, pero insuficiente para revivir al moribundo. A esta causa interna se unieron un cúmulo de otras circunstancias: disminución del apoyo de reyes y poderosos —especialmente en Alejandría—, reducción del número de estudiosos —lo que pudo producir discontinuidades en el proceso de transmisión del conocimiento entre generaciones—, y la irrupción de conflictos entre la ciencia griega y el cristianismo.

Ese conflicto tuvo dos momentos muy simbólicos. El primero fue el asesinato de Hipatia en marzo de 415. En una lectura simplificada, el episodio cabe interpretarlo como la primera represión de la jerarquía católica contra los científicos, a los que se consideraba el último reducto del paganismo. Aunque es mucho más complejo que eso; hubo, desde luego, reflejos de misoginia pero, también, derivaciones políticas, al estar Hipatia entre los bandos enfrentados de Orestes, el prefecto romano, y Cirilo, el patriarca —después san Cirilo—. Todo lo cual fue magistralmente recogido en la versión que dio Edward Gibbon en su Historia de la decadencia y caída del Imperio Romano: «Hipatia, hija de Teón, el matemático, fue iniciada en los estudios del padre; elucidó con sus glosas eruditas la geometría de Apolonio y Diofanto, y enseñó públicamente, en Atenas y en Alejandría, la filosofía de Platón y Aristóteles. En todo el esplendor de su belleza y madura en la sabiduría, rechazó, como doncella modesta, a quienes la requerían de amores y se consagró a la instrucción de sus discípulos; las personas más ilustres por su rango o sus méritos ansiaban visitar a la filósofa; y envidiaba Cirilo el boato de las comitivas que se agolpaban con caballos y esclavos a las puertas de su academia. Cundió el rumor entre los cristianos de que la hija de Teón era el único obstáculo para que prefecto y patriarca se reconciliasen; y aquel obstáculo se apartó con gran celeridad. En un día aciago de Cuaresma, Hipatia fue arrebatada de su carruaje, desnudada y arrastrada hasta la iglesia, donde las manos de Pedro el Lector y una horda de salvajes fanáticos sin piedad la asesinaron de manera inhumana: le arrancaron la carne de los huesos con afiladas conchas de ostras, y sus miembros, todavía estremecidos, fueron entregados a las llamas. El justo progreso de las pesquisas y el castigo consiguiente se detuvieron mediante oportunos sobornos; pero el asesinato de Hipatia ha dejado una marca indeleble en la personalidad e integridad religiosa de Cirilo de Alejandría».

Un siglo largo después se produjo otro hecho simbólico, al que ya he hecho referencia: el cierre decretado por el emperador Justiniano en 529 de todas las escuelas filosóficas griegas, por considerarlas paganas, incluida la Academia de Platón y los centros científicos de la Biblioteca de Alejandría. Buena parte de los filósofos y científicos afectados buscó refugio en la Persia de los sasánidas, reviviendo la tradición helenística de esa zona. En efecto, amplios territorios de Siria y Persia habían sido ligeramente helenizados tras las conquistas de Alejandro Magno y la instauración después, durante casi un siglo, del imperio seléucida. Siria quedó en la órbita de Roma y después de Bizancio, mientras que Persia formó parte del imperio parto desde mediados del siglo III a. C. hasta el III d. C., momento en que la dinastía persa de los sasánidas tomó el poder hasta la conquista del país por los árabes. Eso originó varios centros importantes del saber que sirvieron de correa de transmisión del saber griego al islam.

Significativos son los casos de Jundisapur y Harrán.

Jundisapur, que estaba en el Juzistán aunque su ubicación no ha sido cabalmente determinada, acogió a buena parte de los filósofos y científicos expulsados y se convirtió en el principal centro médico del mundo durante los siglos VI y VII. También se enseñó allí filosofía, y se llevó a cabo una importante labor de traducción, principalmente del griego y el sánscrito al siríaco —una de las lenguas cultas de la época— y al pahlevi —una forma escrita del idioma persa que usa el alfabeto arameo—.

Harrán está situada en la cabecera del río Éufrates —al sureste de la actual Turquía— y, según la Biblia, allí fue donde Abraham tuvo la inspiración de su fe monoteísta. Tras el cierre de las academias de Constantinopla, Atenas y Alejandría, Harrán, venciendo la competencia de Antioquía, se convirtió durante un breve período de tiempo en la heredera de la tradición científica y cultural de Alejandría. Ese momento coincidió con la conquista por los árabes a principios del siglo VIII d. C. Harrán produjo algunos excelentes astrónomos y matemáticos como Thabit ibn Qurra (836-901) y al-Battani (850-929), o Albategnius, como fue conocido durante la Edad Media, y también hubo durante el siglo VI tradición de traductores; se hicieron entonces traducciones del griego al siríaco de obras de Galeno y Aristóteles, entre otros autores.

Cuando los árabes conquistaron Persia, asimilaron esa inquietud intelectual y también la promovieron, convirtiéndose entonces en el mortero donde se fusionaron la ciencia griega y la india. Europa occidental debe buena parte de la recuperación del legado griego a las conquistas del islam, que acabaron conectando el Oriente Próximo y Medio con España y Sicilia, los dos focos principales por los que el legado penetró en Europa —este fue también el medio por el que el sistema de numeración hindú, posicional y con cero, llegó a Europa—.

Aunque la labor de los científicos del islam fue mucho más meritoria que esta mera labor de amalgama y transmisión, y justo es reconocerlo. Por un lado, tomaron de los griegos el gusto por los desarrollos teóricos, más allá de que tuvieran o no aplicaciones prácticas, y de los indios sus tendencias más aplicadas; con esos mimbres crearon una ciencia donde era igualmente importante la teoría y las aplicaciones, en una forma parecida a como fue entendida en Europa a partir del Renacimiento y la revolución científica posterior que dio origen a la ciencia moderna. «Las matemáticas del islam —escribió el historiador Jens Høyrup— poseen ciertos rasgos que no tuvo ninguna cultura anterior, pero que comparten con la temprana ciencia moderna». Y esos rasgos, principalmente la conjunción de teoría y aplicaciones y su enriquecimiento mutuo, fueron hasta tal punto importantes que algunos historiadores, como Hoyrup, hablan de un milagro científico islámico —producido entre los siglos IX, X y XI— tan necesario para el surgimiento de la ciencia moderna como el acontecido en Grecia en los siglos V, IV y III a. C.

Capítulo 5

De la geometría analítica al cálculo infinitesimal

§ 5.1. La revolución del siglo XVII

El término «revolución científica» hace referencia a los cambios fundamentales que propiciaron el nacimiento de la ciencia moderna entre mediados del siglo XVI y finales del XVII. La parte más conocida es la que afecta a la astronomía y su travesía del geocentrismo griego al heliocentrismo copernicano, primero, a las leyes keplerianas, después, y a la gravitación newtoniana, finalmente. Pero la revolución fue mucho más profunda y amplia. En lo que al mundo físico respecta, no sólo afectó a nuestra explicación de cómo y por qué se mueven los objetos celestes, sino también a las mismísimas leyes del movimiento en la Tierra, con la demolición de las simpatías aristotélicas en pro de las leyes cuantitativas de Galileo, primero, y la unificación newtoniana, después. Cambios también profundos, aunque sin llegar a lo ocurrido en física y astronomía, vivió la medicina —con el descubrimiento, por poner un ejemplo, de la circulación de la sangre—, la tecnología o la navegación.

Todo ello cambió la ciencia, y su estatus en relación con otras parcelas de la cultura, las instituciones y los centros de poder. El más apreciable de esos cambios fue su enfrentamiento con la religión. La ciencia empezó a exigir un espacio de libertad por encima de lo religioso. Demandó, por un lado, que la verdad razonada no estuviera supeditada a la verdad revelada, y estableció, por otro, que la validez de una teoría científica no la determina su adecuación a la doctrina de una autoridad, ya sea esta Aristóteles o la palabra de dios, sino la adecuación de sus predicciones con lo que se observa en la naturaleza.

Naturalmente, las matemáticas no quedaron ajenas a esa revolución. Todo lo contrario: favorecieron a la vez que sufrieron esos cambios revolucionarios. Así, el lugar de privilegio que la geometría griega disfrutaba todavía en las matemáticas a mediados del siglo XVI pasó al álgebra, a la geometría analítica y al cálculo infinitesimal. El resultado fue revolucionario: los problemas que interesaban a los matemáticos de finales del siglo XVII se parecían muy poco a los que interesaban a sus colegas de inicios de siglo, y todavía menos se parecían las técnicas algebraico-analíticas manejadas cuando el siglo moría a las geométricas usadas en sus comienzos. Pero las matemáticas fueron también protagonistas de la revolución, porque, sin el desarrollo del cálculo infinitesimal, hubiera sido imposible culminar los cambios en la astronomía.

De manera que, antes de narrar esos cambios fundamentales en las matemáticas, conviene comentar algunos aspectos particulares sobre la situación científica en Europa al inicio del siglo XVII.

En primer lugar conviene aclarar que las matemáticas, y en general la ciencia, no estaban profesionalizadas, como hoy en día, ni la labor científica se vertebraba en torno a las universidades, ni tampoco había unos cauces para difundir los nuevos resultados —incluso podríamos hablar de falta de costumbre para hacer esto—. Casi ninguno de los personajes que aparecerán en las siguientes páginas se dedicaba a las matemáticas de manera profesional: unos eran juristas, otros arquitectos, hubo también diplomáticos, filósofos y teólogos, pero pocos, muy pocos, se ganaban la vida como matemáticos o tenían relación con las universidades —de hecho, cuando se use la palabra «matemático» en este texto, se estará indicando que el personaje en cuestión hizo contribuciones de interés matemático, aunque profesionalmente, o científicamente, se dedicara a otras labores—.

Y si fueron unos tiempos aquellos —hasta el último cuarto del siglo XVII, más o menos— en los que no es cuestión fácil señalar la diferencia entre ser aficionado a las matemáticas y ser profesional de ellas —o sea, ganarse el sustento con ellas—, es incluso difícil precisar lo que significaba el término matemáticas, pues coexistían diferentes formas, técnicas y modos de proceder claramente diferenciados entre sí y, a veces, difícilmente reconciliables. Sin ánimo de ser exhaustivo, se puede señalar a:

los algebristas retóricos —cosistas— al estilo de Cardano;

los que seguían el patrón geométrico griego —con Federico Commandino (1509−1575) como principal representante—, y renunciaban implícita o explícitamente a mezclarlo con el álgebra;

los que tomando como punto de partida la matemática griega pretendían introducir nuevos métodos que la potenciaran y, eventualmente, superaran —Viète fue quizá el primero—;

los astrónomos; de hecho, la denominación «matemático» se aplicaba más a estos últimos que al resto, a los que comúnmente se llamaba geómetras.

Los astrónomos eran los más «profesionales» —piénsese en Galileo, nombrado por Cósimo II de Médicis «primer filósofo y matemático» de la Toscana a raíz de sus primeros descubrimientos con el telescopio, o en Brahe y Kepler, los «matemáticos imperiales» de Rodolfo II—, mientras que entre los «geómetras» no eran infrecuentes los «aficionados» al estilo de Fermat —o el inventor de los logaritmos, John Napier, un noble escocés—. Esta situación puede tener sus desventajas, pero tiene una ventaja que no conviene olvidar: al dedicarse «por afición» a las matemáticas eran más libres para elegir los problemas que querían estudiar y resolver, especialmente si, como era el caso de Fermat, se gozaba de una más que buena situación económica. Conviene no olvidar el impulso que dio Fermat a la teoría de números, la rama más «pura» de las matemáticas, frente a la falta de entusiasmo que mostraron la mayor parte, si no todos, sus contemporáneos —Pascal, Wallis, van Schooten, Huygens…—.

Esta situación generaba una serie de inconvenientes. La investigación se estructuraba en grupos aglutinados en torno a algún científico o personaje interesado en la ciencia; grupos estos a menudo aislados unos de otros, cuando no enfrentados, ya fuera por cuestiones patrióticas o por disputas generadas por los concursos y retos científicos frecuentes en la época. Esto producía una mala difusión de los nuevos resultados que se iban obteniendo. Lo habitual era comunicarlos por carta a algún amigo o conocido; después, con el tiempo —en ocasiones tras demasiado tiempo—, estos conocimientos quizá cristalizaban en forma de libros, para los que tampoco estaba asegurada una difusión efectiva. En estas circunstancias, la mejor manera de conseguir una formación matemática adecuada no era yendo a la universidad sino buscándose un preceptor.

Los principales círculos matemáticos de la primera parte del siglo XVII fueron la Accademia dei Lincei (Academia de los Linces), a la que perteneció Galileo, fundada en Roma en 1601 y desaparecida treinta años después. Aunque quizá el más importante círculo se agrupó en torno al franciscano, orden de los mínimos, Marín Mersenne (1588−1648). Asentado en París desde la segunda década del siglo, Mersenne formó un grupo de matemáticos y científicos que se reunían semanalmente. Pero, sobre todo, Mersenne sirvió de vínculo entre muchos filósofos y científicos europeos, manteniendo correspondencia habitual con Desargues, Fermat, Pascal —que empezó a asistir a las reuniones del círculo de Mersenne al final de la década de 1630 siendo aún adolescente—, Descartes y Galileo —contribuyendo también, en el caso de los dos últimos, a difundir la obra filosófica y matemática de uno, y la astronómica del otro—. Aparte de esta importante labor organizadora, Mersenne también hizo algunas contribuciones menores en matemáticas y acústica.

También hay que mencionar al grupo de científicos que a mediados de siglo se reunía en Londres y que acabó dando origen a la Royal Society, la academia científica más antigua que sigue hoy en ejercicio. Según la propia Royal Society: «Sus orígenes se remontan a un “colegio invisible” de filósofos naturales que se empezaron a reunir a mediados de la década de 1640 para discutir y promover esa nueva filosofía del conocimiento del mundo natural a través de la observación y experimentación, que hoy llamamos ciencia». La fundación oficial de la Royal Society se produjo en noviembre de 1660. Seis años después se creó en París la Académie Royale des Sciences —venía a ser una continuación institucionalizada de las reuniones del por entonces ya desaparecido grupo de Mersenne—.

Al inicio del siglo XVII se había recuperado ya esencialmente todo el legado matemático y científico griego que sobrevivió al terremoto cultural que trajo consigo la Edad Media, entre ellos algunos autores que casi no fueron tratados por los árabes —Pappus y Diofanto, principalmente—. Así, y por señalar sólo los ejemplos más significativos, la edición príncipe de Arquímedes apareció en Basilea en 1544 —incluyendo los comentarios de Eutocio—. Los cuatro primeros libros de las Cónicas de Apolonio —los únicos conservados en versión griega— se imprimieron por primera vez en 1537, pero hasta 1566 no aparece la importante versión de Commandino, y hubo que esperar a 1661 para ver impresos los libros V al VII sólo conservados en versiones árabes, y hasta 1710 no apareció la edición príncipe de Halley. La primera impresión de los seis libros conservados de la Aritmética de Diofanto apareció en 1575, en edición y traducción —al latín— de Xylander. Finalmente, en 1589 apareció la primera impresión de la Colección matemática de Pappus, en edición de Commandino. Esto supuso que los matemáticos de la generación de Fermat fueran los primeros de Occidente, no sólo en conocerlos, sino también, en dominarlos. Conviene incidir en esto último, porque aunque a lo largo del siglo XVI, e incluso antes, se tenía en Occidente un buen conocimiento y dominio de los Elementos de Euclides y otras obras básicas, se tardaría aún unas décadas en dominar obras más profundas y difíciles como eran las de Arquímedes. La asimilación de estas últimas fue esencial para el descubrimiento del cálculo infinitesimal; de hecho, algunos de los precursores más significativos del cálculo tuvieron a su cuidado ediciones de las obras de Arquímedes —Wallis o Barrow, por ejemplo—. Baste decir que el autor más citado en todo el siglo XVII en relación con el cálculo de áreas y volúmenes fue Arquímedes.

Sin embargo, había un aspecto de la matemática de Arquímedes, y en general de toda la matemática griega, que cambió radicalmente en el siglo XVII. Se trata del rigor lógico. Las matemáticas que se hicieron durante el XVII fueron, con diferencia, mucho menos rigurosas que las hechas por los griegos; aparentemente, esto supuso un retroceso aunque, en realidad, fue ese cambio de actitud el que permitiría finalmente la superación, después de más de mil años, de los límites marcados por la matemática griega y, en particular, el descubrimiento del cálculo infinitesimal. En la dicotomía descubrir/demostrar de la que hablé en el capítulo 1, los matemáticos del XVII estaban interesados, sobre todo, en descubrir y, no tanto, en demostrar sus descubrimientos de forma impecablemente lógica, como hacían los griegos.

¿Por qué este cambio de actitud? Se pueden alegar razones de distinto tipo, por ejemplo de índole filosófica: la presión de la filosofía de Platón, responsable en gran medida de esa necesidad de rigor presente en la matemática griega, era más llevadera en el siglo XVII. O de contexto histórico; una parte de las grandes aportaciones históricas de los siglos XVI y XVII fueron descubrimientos de todo tipo: geográficos —se descubre América a finales del XV fruto, además, no del rigor lógico, sino más bien del error de Colón en el cálculo del radio de la Tierra—, científicos —la teoría heliocéntrica de Copérnico—, médicos —la circulación de la sangre— o, también, tecnológicos —la invención de Gutenberg de la imprenta de tipos móviles, o el del microscopio y telescopio—. Pero lo importante es que los matemáticos prefirieron concentrar sus esfuerzos y energías en el desarrollo de métodos adecuados para descubrir aunque fueran poco rigurosos.

Esto propició un uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas, permitiendo, de esta forma, que las cantidades infinitesimales e infinitamente grandes se convirtieran en herramientas potentísimas. Primero para resolver problemas particulares de cálculo de áreas, volúmenes, tangentes, centros de gravedad, máximos y mínimos, etc., labor esta desarrollada por una pléyade de matemáticos durante los tres primeros cuartos del XVII. Después como herramientas conceptuales que permitieron desarrollar hasta dos versiones, parecidas pero no iguales, del cálculo infinitesimal: la de Newton y la de Leibniz. Y, finalmente, ya en el siglo XVIII, para que Euler, sin duda el gran genio en el manejo de los infinitos, fundara el análisis matemático como el estudio de las funciones mediante métodos infinitesimales.

Recuérdese también la razón «teológica» que permitió el uso del infinito en el siglo XVII con bastante más liberalidad que en el mundo griego. Tuvo que ver con la consideración del infinito como atributo del Dios absoluto cristiano, y como se trató en la sección § 1.4 no hay necesidad de añadir aquí nada más sobre ese asunto.

§ 5.2 La geometría analítica

Durante todo el siglo XVI y la primera parte del XVII, el álgebra vivió un proceso de perfeccionamiento progresivo, tanto en sus aspectos conceptuales como en los referidos a la notación; en ese proceso hay también que incluir los avances en la aritmética numérica logrados en Occidente tras heredar el sistema de numeración indio, posicional y con cero. Todo lo cual fue impulsado tanto por razones comerciales —que ya se trataron en la sección § 3.1—, como científicas, conforme la nueva ciencia cuantitativa de Galileo o Kepler se fue imponiendo a la cualitativa heredada de los griegos. Se puede considerar que el nacimiento de la geometría analítica fue un paso más en ese proceso, una especie de culminación de ese proceso.

Como se vio en el capítulo 3, el perfeccionamiento del álgebra fue un logro bastante colectivo, con contribuciones de muchos matemáticos, aunque en el nacimiento de la geometría analítica fueron fundamentales los franceses Pierre de Fermat y René Descartes —el que fueran dos los recolectores muestra hasta qué punto la fruta estaba madura y lista para su cosecha—.

§ 5.2.1. Fermat

Como ya se ha contado, a lo largo de la primera mitad del siglo XVII los matemáticos occidentales empezaron a superar el legado griego, no sólo en aritmética numérica o álgebra, sino también en aquellas disciplinas donde los griegos fueron maestros. En ese momento histórico encontramos a Pierre de Fermat (1601−1665). Fermat contribuyó de manera decisiva a la creación durante el siglo XVII de las dos herramientas matemáticas que supusieron, tras dos mil años de historia, la superación conceptual y operativa de la matemática griega: la geometría analítica y el cálculo diferencial. Ambos logros basados en aspectos matemáticos —habría que decir también metafísicos e, incluso, ontológicos— que los griegos dejaron casi vírgenes: la generalidad del álgebra —y en menor medida la aritmética— en el caso de la geometría analítica, y la potencialidad de los procesos infinitos junto con la consideración del infinito en acto —prohibido por Aristóteles— en el caso del cálculo. La biografía de Fermat es insulsa —más si se la compara, por ejemplo, con la singular y ajetreada de Cardano—. Fermat nació el 20 de agosto de 1601 en Beaumont de Lomagne en una familia acomodada. Estudió leyes y acabó siendo jurista y parlamentario en Toulouse, puesto que ocupó hasta su muerte —pasando entonces el cargo a su hijo mayor—. Se casó a los treinta años y tuvo cinco hijos; llegó a escribir poesía en francés, latín y castellano. Nunca tuvo apuros económicos. Pierre de Fermat hizo matemáticas simplemente por afición.

Digamos que en la clasificación de los matemáticos que hicimos en la sección § 5.1, Fermat entraba de lleno en el grupo tercero: los que tomando como punto de partida la matemática griega pretendían introducir nuevos métodos que la potenciaran y, eventualmente, superaran. Por la influencia que el Arte analítico de Viète ejerció en Fermat, podemos considerarlo discípulo de Viète, aun cuando Fermat tuviera sólo dos años a la muerte de aquel. El Arte analítico señalaba que el estudio de los griegos era el punto de partida para hacer matemáticas, aunque sólo el punto de partida.

Hacia el final de la década de 1620, Fermat entró en contacto con el círculo de discípulos de Viète en Burdeos —donde este había trabajado y donde, finalmente, murió—. Fermat aprendió de estos, y de los libros de Viète, qué había que estudiar y, quizá no menos importante, cómo había que estudiar a los griegos. Especial influencia ejercieron en Viète —y después en Fermat— la Aritmética de Diofanto y, sobre todo, la Colección matemática de Pappus. Como ya se comentó en el capítulo 4, estos textos suponían una diferencia con la matemática griega anterior, en cuanto que daban información sobre cómo abordar la solución de problemas: aparecía en ellos un, digamos, análisis geométrico muy diferente a las deducciones sintéticas de teoremas al estilo de los Elementos o las obras conocidas de Arquímedes. Viète había procedido también a una algebrización —Diofanto fue, en este caso, importante— de ese análisis geométrico griego buscando en la generalidad del álgebra un método más eficaz de investigación. El álgebra resultante —digamos mejor el arte analítico, pues Viète consideraba bárbaro el término álgebra— fue más sofisticada que la italiana, con ciertas mejoras en la notación —uso de vocales mayúsculas para las incógnitas y consonantes mayúsculas para los parámetros—; aunque arrastraba todavía la importante traba de la homogeneidad que delataba su origen geométrico griego, y la persistencia en el estudio de casos similares por el rechazo de los números negativos.

En manos de Fermat, las ideas seminales del Arte analítico de Viète pronto germinaron en métodos más potentes para el cálculo de máximos y mínimos o tangentes. Hacia 1629, Fermat conseguiría con su geometría analítica lo que Viète quiso pero no pudo lograr. Este logro de Fermat se inició cuando quiso reconstruir la obra perdida Lugares planos de Apolonio, a partir de lo que se suponía que esta obra contenía. En 1636 expuso sus ideas en la obra Ad locos planos et solidos isagoge. En la introducción Fermat escribió: «Cuando dos magnitudes incógnitas aparecen en una ecuación, tendremos un lugar geométrico, describiendo el extremo de una de las magnitudes incógnitas una recta o una curva». En la obra, Fermat identificó un lugar geométrico, una curva, con una ecuación algebraica en dos variables, viniendo los valores numéricos de esas variables determinados por un sistema de ejes. En realidad, el sistema de ejes no está explícito en Fermat; él usó uno sólo para la coordenada horizontal, quedando el eje vertical implícito en sus razonamientos; este eje vertical no es necesariamente perpendicular al horizontal —lo que hoy llamamos «coordenadas oblicuas»—. Fermat, como Viète, entendía que los números negativos no debían ser considerados soluciones de una ecuación, por lo que la relación entre curvas y coordenadas se reducía a lo que ocurría en el primer cuadrante. Fermat mostró que las ecuaciones lineales de la forma Ax + By + C = 0 correspondían a rectas, mientras que las cuadráticas Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 describían las diferentes familias de cónicas. Por ejemplo, xy = A, x² + B² = Ay² eran hipérbolas, x² + Ay² = B² eran elipses o circunferencias —caso de ser A = 1—, y x² = Ay eran parábolas. Fermat también mostró cómo reducir la ecuación cuadrática general a alguno de estos casos.

Conviene comentar aquí uno de los rasgos más significativos de su carácter de «aficionado»: la no publicación de sus trabajos. Porque Fermat nunca llegó a publicar, en vida, ninguno de sus resultados: fue su hijo mayor quien publicó póstumamente (1674) gran parte de la obra matemática de Fermat —antes, en 1670, había hecho una edición del ejemplar anotado por Fermat de la Aritmética de Diofanto, editada por Bachet de Méziriac, que incluía la formulación de su célebre teorema/conjetura, y que se tratará en la sección § 8.2—. En cualquier caso, buena parte de sus trabajos se habían difundido prácticamente por toda Europa a través del círculo de Mersenne, con quien Fermat entró en contacto hacia 1636 por mediación de Pierre de Carcavi —la primera carta conservada lleva fecha de 26 de abril de 1636—. Por más que Fermat fuera urgido a publicar sus trabajos, nunca lo hizo. Y no es que Fermat quisiera pasar desapercibido —la comunicación con Mersenne y sus amigos garantizaba a sus trabajos una aceptable difusión—, más bien era muy remiso a realizar el trabajo de revisión, ordenación y pulido necesario para la publicación —digamos que esta faceta aburría a Fermat, que prefería dedicar su esfuerzo a la más excitante tarea de buscar la solución de los problemas—.

Fermat fue una figura clave en esta transición de las matemáticas griegas a las modernas. Fermat entendió que las matemáticas debían ser mucho más que una admiración por los esplendores pasados —la matemática griega en su caso—, debían consistir en un avance continuo buscando la resolución de problemas —él siempre ha tenido fama de ser lo que en inglés se llama un problem solver—, para lo que era imprescindible el desarrollo de técnicas nuevas que garantizaran el progreso perpetuo del arte. En este sentido hay que añadir que Fermat estuvo presente, en mayor o menor medida, en todas y cada una de las grandes teorías matemáticas —salvo la geometría proyectiva— que surgieron, o resurgieron, durante el prodigioso siglo XVII: la geometría analítica —como se está comentando en esta sección—, el cálculo infinitesimal, el cálculo de probabilidades y la teoría de números —de todo lo cual se dará noticia más adelante—.

§ 5.2.2. Descartes

La vida de Descartes contrasta, por aventurera, con la funcionarial de Fermat. Y no digamos ya después de muertos: se puede decir sin exagerar que los huesos de Descartes protagonizaron más aventuras que Fermat en toda su vida. Descartes fue enterrado en Estocolmo en 1650, donde residía tras entrar unos meses antes al servicio de la reina Cristina de Suecia. El clima frío del norte, junto con los madrugones que los hábitos espartanos de la reina impusieron a Descartes, le doblaron la salud y lo llevaron a la tumba en poco tiempo. Dieciséis años después, sus restos fueron robados por encargo del embajador francés, trasladados a Francia y enterrados en la iglesia de Sainte-Geneviéve en París —hoy en día desaparecida—. De allí fueron exhumados durante la Revolución Francesa y llevados al Panthéon, para ser una vez más desenterrados y sepultados después en la abadía de Saint-Germain-des-Prés. Pero, en este último traslado, se descubrió que el cráneo de Descartes había desaparecido, para aparecer años después en una subasta en Suecia. Tras algunos avatares hoy descansa, separado de los otros restos, en el Museo del Hombre de París… sólo que desde hace unos años se sospecha que el caos revolucionario hizo que los restos desenterrados de Sainte-Geneviéve no fueron realmente los de Descartes. «La tendencia cartesiana a primar la mente por encima de la materia (la mente por encima del cuerpo) encuentra, por tanto, su remate metafórico —escribió Russell Shorto, autor de Los huesos de Descartes—. El cráneo (la representación de la mente), sometido a una serie de análisis científicos de creciente complejidad y considerado auténtico, se conserva como una reliquia en el Museo del Hombre. En cuanto al cuerpo, la pista se interrumpe abruptamente y se pierde en el olvido. Quizá deba ser así. Polvo eres y en polvo te convertirás.»

La propia vida de Descartes fue casi tan ajetreada como la historia posterior de sus huesos. Formado por los jesuitas en La Flèche, fue soldado —participó en varias campañas en diferentes ejércitos durante la guerra de los Treinta Años— y, por momentos, pendenciero, hasta que se decantó por la filosofía y las matemáticas. Renovó la filosofía occidental, medio podrida por siglos de tradición escolástica, y, temiendo la represión de la Iglesia católica —a pesar de que sus razonamientos incluían el de la existencia de Dios—, se exilió voluntariamente en la tolerante Holanda, donde publicó la mayoría de sus obras, alguna de las cuales, Meditaciones filosóficas, por ejemplo, acabaron condenadas en el Índice de libros prohibidos; no conviene tampoco idealizar en demasía la situación en los Países Bajos: «Aun en Holanda Descartes se vio sometido a ataques vejatorios —escribió Bertrand Russell al respecto—, no por parte de la Iglesia romana, sino de los fanáticos protestantes. Se decía que sus opiniones llevaban al ateísmo, y hubiera sido perseguido de no haber mediado el embajador de Francia y el príncipe de Orange».

La mala salud que el fundador del racionalismo tuvo de joven le llevó a adquirir la costumbre de permanecer en cama hasta tarde. Aunque, de las varias ocupaciones que se pueden hacer en la cama, Descartes adoptó la de meditar. Y de esas reflexiones surgieron posteriormente la duda metódica, el «pienso, luego existo», la razón como guía fundamental del pensamiento —tomando como modelo el razonamiento matemático guiado por la lógica— y, también, y es lo que aquí nos interesa más, la geometría analítica.

Pocos ejemplos más ilustrativos de esa insensata separación entre ciencias y letras que nos aqueja desde hace ya varios siglos, y ha dado lugar al estereotipo de las dos culturas, que la mutilación de los apéndices científicos con que Descartes acompañó una de sus obras más relevantes e influyentes: el Discurso del método. Desde hace mucho tiempo es habitual eliminar de esa obra los Meteoros, la Dióptrica y la Geometría, que venían a aplicar a la ciencia el método que Descartes exponía y desarrollaba en el Discurso. La primera frase que Bertrand Russell le dedicó a Descartes en su Historia de la filosofía occidental es una buena manera de calibrar hasta qué punto filosofía y ciencia se funden y se enriquecen mutuamente en la obra cartesiana: «A René Descartes se le considera habitualmente como el fundador de la filosofía moderna y, a mi juicio, justamente. Es el primer hombre de alta capacidad filosófica cuyo criterio está influido de modo profundo por la nueva física y la nueva astronomía».

En la Geometría, Descartes tomó como punto de partida la ya bastante depurada álgebra que el Renacimiento había puesto a su disposición, especialmente tras las contribuciones de Viète. La insistencia de Descartes en el desarrollo de un método cierto y fácil —como señala en la regla IV de las Reglas para la dirección del espíritu—, remite a la importancia que Viète vio en los tratados griegos tardíos de Diofanto o Pappus, por más que Descartes negó la influencia de Viète a quien, aseguraba, no leyó hasta después de la publicación del Discurso del método (1637).

El objetivo de Descartes fue aplicar la generalidad de razonamiento que permite el álgebra como método para solucionar problemas de geometría, mejorando la especificidad propia de las técnicas geométricas —donde cada problema se resuelve mediante un razonamiento casi exclusivo—. Frente a la novedosa perspectiva que Fermat había desarrollado en Ad locos planos et solidos isagoge —una ecuación en dos variables determina una curva—, obra que Descartes conocía a través del círculo de Mersenne, el enfoque de la Geometría es más conservador. Así, Descartes hizo más hincapié en la construcción geométrica de las soluciones de una ecuación —algo sobre lo que ya había tradición árabe— que en la manipulación algebraica de objetos geométricos. Introdujo, sin embargo, la misma importante innovación usada por Fermat: usar coordenadas. Mediante unos (implícitos) ejes coordenados, que podían ser oblicuos, Descartes asociaba a una curva una ecuación algebraica. Afirmó, sin demostración, que las ecuaciones cuadráticas en dos variables correspondían con las cónicas de los griegos. Esto le permitió tratar exhaustivamente la versión del problema de Pappus con cuatro rectas, y mostrar que su solución es una cónica. Incidentalmente, la Geometría supuso un avance importante en la simbología algebraica, que todavía hoy disfrutamos, y así seguimos reservando las últimas letras del alfabeto latino x, y, z para denotar variables, y las primeras a, b, c para denotar cantidades constantes o parámetros. Descartes también empezó a usar la notación a³, a4 … para denotar las potencias de un número —usó aa para el cuadrado—, desconectando además de su sentido geométrico; así aa debe ser entendido como un número sin dimensiones, y no como la medida de una superficie, y por lo mismo a³ es un número y no la medida de un volumen. Eso permitía usar a⁴, y otras potencias mayores, sin temor a traspasar el umbral de las tres dimensiones.

Una de las indiscutibles ventajas que tiene la geometría analítica es la facilidad para introducir curvas nuevas en el mundo matemático. Esto supuso una seria dificultad para la geometría de los griegos, razón por la cual estos manejaron un catálogo de curvas muy restringido, frente a la riqueza que empezó a surgir en el siglo XVII. Descartes, sin embargo, entendió sólo a medias esta riqueza. Por ejemplo, los griegos clasificaban las curvas en planas —las estudiadas en los Elementos: recta y circunferencia—, sólidas —cónicas— y mecánicas —espiral de Arquímedes, cisoide de Diocles, concoide de Nicomedes o cuadratriz de Hipias—; estas últimas llamadas así porque se definían usando algún tipo de mecanismo que iba más allá de la construcción con regla y compás o las secciones de un cono. Ahora bien, desde el punto de vista de la geometría analítica lo importante no es tanto la construcción sino la fórmula algebraica que representa la curva. Por ejemplo, la cisoide y la concoide quedan representadas —usando lo que hoy llamamos «coordenadas cartesianas»— mediante las ecuaciones

(x − b)² (x² + y²) − ax² = 0,

y² (2 a − x) = x³,

donde a y b son los parámetros característicos de las curvas en cuestión. Así, las ecuaciones para las cónicas y la cisoide o la concoide son del mismo tipo: un polinomio en dos variables igualado a cero; a efectos de clasificación, la única diferencia es el grado de ese polinomio —grado dos para las cónicas, tres para la concoide y cuatro para la cisoide—. De acuerdo con esta circunstancia, Descartes propuso denominar curvas «geométricas» a aquellas cuya ecuación se reducía a un polinomio en dos variables igualado a cero, y «mecánicas», a las demás —ahí entrarían la espiral y la cuadratriz—. Pero Descartes dio un paso más, afirmando que sólo son aceptables las curvas geométricas y, aunque él mismo y sus seguidores hicieron poco caso de esta afirmación —pues estudiaron la cicloide o espirales, incluidas las logarítmicas—, fueron autores posteriores quienes reivindicaron el paraíso completo de curvas que la geometría analítica ponía a disposición de los científicos. En este sentido cabe destacar a Leibniz, que acuñó los términos curvas «algebraicas» y «trascendentes» —en sustitución de los cartesianos «geométricas» y «mecánicas»—, nomenclatura que todavía seguimos usando hoy, y defendió que las transcendentes tenían tanto interés matemático como las algebraicas.

Así, gracias a la geometría analítica, el catálogo de curvas y las correspondientes funciones para manejarlas se fue enriqueciendo considerablemente a lo largo del siglo XVII: cardioides, catenarias, foliums, lemniscatas, limaçons, óvalos, parábolas de Newton, tractices… y, por supuesto, la curva más sexy de aquel momento: la cicloide —descrita por un punto de una circunferencia que rueda sin deslizamientos—. Significativo es el caso de las llamadas hoy funciones elementales: trigonométricas, exponenciales y logaritmos. Desde los griegos la trigonometría había sido una ciencia computacional al servicio de la astronomía, y no fue hasta el siglo XVII que las, hasta entonces llamadas líneas trigonométricas, fueran consideradas como curvas y, después, con la llegada del cálculo infinitesimal como funciones. Así, G. P. de Roberval (1602−1675) consideró un arco de la curva seno y le calculó su cuadratura, y no mucho tiempo después, James Gregory desarrolló el arco tangente en serie de potencias, y Newton y Leibniz el resto de las funciones trigonométricas —Leibniz, incluso, mostró el carácter trascendente de la función seno—. Algo parecido le ocurrió a los logaritmos —y la exponencial—: surgieron como un artificio contable para simplificar multiplicaciones y divisiones de números de muchas cifras; más que una función, los logaritmos eran un listado numérico que se atesoraba en forma de tablas. Empezó a considerárselos como una curva cuando Grégoire de Saint-Vincent (1584−1667) —tutor en la corte de Felipe IV durante unos años— mostró que el área bajo una hipérbola viene dada por un logaritmo; poco tiempo después Mercator los desarrolló en serie de potencias, alcanzando así el estatus de función.

Es interesante destacar que buena parte de las curvas se introdujeron, o redescubrieron, al estudiar problemas propuestos por la nueva ciencia que surgía de la revolución científica postcopernicana —tanto o más preocupada por los aspectos cuantitativos que por los cualitativos—. Así, se identificó a la parábola como la trayectoria seguida por la bala de un cañón —en ausencia de rozamiento—, al coseno hiperbólico como la catenaria —curva formada por un cable suspendido por dos puntos; más detalles en el capítulo 8—, o los óvalos, estudiados por Descartes tanto en la Geometría como en la Dióptrica en relación con el diseño de lentes para enfocar rayos incidentes. «El mérito más importante de la geometría analítica fue dotar a la ciencia del utillaje matemático que siempre había necesitado —escribió Morris Kline en El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días—, y que se había empezado a exigir abiertamente en el siglo XVII: herramientas cuantitativas.»

A pesar de su increíble potencia, la geometría analítica se fue abriendo paso lentamente a lo largo del siglo XVII. Por un lado había razones de tipo lógico para desconfiar de esta aproximación algebraica de la geometría. La geometría griega se consideraba una disciplina matemática sustentada por una trabazón lógica impecable, mientras que había serias dudas sobre los fundamentos de algunos elementos del álgebra y la aritmética, como la naturaleza lógica de los números negativos o los irracionales; de manera que desde el punto de vista del fundamento lógico repugnaba sustituir la geometría por el álgebra. Por otro lado, hacía falta un cambio de mentalidad para apreciar las increíbles posibilidades que ese puente entre álgebra y geometría iba a permitir. Naturalmente, ese cambio lo fue provocando el propio estudio de la geometría analítica, pero este se retrasó por una causa doble. Por un lado, la versión de Fermat circuló muy restringidamente en versiones manuscritas y no llegó a la imprenta hasta 1679; por otro lado, aunque el libro de Descartes se publicó en 1637, apareció en francés en vez de en latín. Descartes, además, optó por ser muy parco con los detalles e innecesariamente oscuro con las explicaciones, de manera que muy pocos estuvieron en condiciones de entender lo que allí se hacía —de lo cual Descartes llegó incluso a alardear, siguiendo la muy poco razonable máxima de que lo que no se entiende es más meritorio y profundo—. Esta situación empezó a remediarse con la publicación de las ediciones sucesivas de la versión latina y comentada de la Geometría por Frans van Schooten (1615-1660), las obras de John Wallis y las de otros autores.

El retraso en la publicación de sus descubrimientos tuvo como consecuencia la pérdida de influencia de Fermat en los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVII y, naturalmente, en los que siguieron —con la única excepción de la teoría de números, como se verá en la sección § 8.2—; también le supuso cierta desventaja a la hora de reclamar la paternidad de sus resultados. Es desde luego el caso de la geometría analítica, normalmente atribuida a Descartes, aunque Fermat enviara su versión a Mersenne a finales de 1636 o principios de 1637, antes, pues, de la publicación del Discurso del método cartesiano y sus célebres apéndices. En este caso, el triunfo de Descartes también se explica por la mejor notación que desarrolló frente al excesivo apego que mantuvo Fermat a la de Viète, lo que hizo su versión —y en general sus otros trabajos— más difíciles de seguir y entender. La aparición de ambas geometrías provocó un enfrentamiento epistolar entre Fermat y Descartes. No fue exactamente por motivos de prioridad en el descubrimiento, aunque algo hubo de eso. Se inició por unas críticas de Fermat a la Dióptrica y la Geometría cartesianas —en este último caso por no contener nada sobre máximos y mínimos o tangentes—; la respuesta de Descartes fue áspera —celoso quizá por la pérdida de protagonismo que la aparición de la geometría analítica de Fermat ocasionaría a la suya—, y su crítica afectó a prácticamente todos los trabajos conocidos de Fermat. Sus matemáticas, arguyó Descartes, no tenían método, ni generalidad, ni formaban un sistema; eran, en definitiva, poco más que suerte. La perdedora en la disputa fue la fama de buen matemático que por entonces ya se había ganado Fermat, que se vio algo dañada.

§ 5.3. El cálculo infinitesimal

El cálculo infinitesimal es una herramienta científica y tecnológica de primer nivel: sin duda la más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza que hayan desarrollado jamás los matemáticos.

El proceso de gestación y alumbramiento del cálculo infinitesimal fue muy dilatado en el tiempo: desde que la matemática quedó preñada, si se me permite el símil, en el siglo III a. C. cuando Arquímedes usó los primeros argumentos infinitesimales para el cálculo de áreas, hasta que Newton y Leibniz le sirvieron de comadrones, pasaron casi dos mil años. A los que hubo que añadir siglo y medio más hasta que Cauchy y Weierstrass domesticaron a los infinitésimos encontrándoles una adecuada formulación lógica.

En el siglo anterior a Newton y Leibniz se acumularon y asentaron muchas y muy diversas ideas y teorías matemáticas: la recuperación del legado griego, especialmente de las obras de Arquímedes; la disponibilidad de un sistema de numeración más sofisticado que el de griegos o romanos; y, sobre todo, el desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron un manejo algebraico de las curvas, posibilitando el tratamiento algorítmico de los problemas de tangentes, cuadraturas, centros de gravedad, máximos y mínimos, etc. El álgebra simbólica y la geometría analítica supusieron, en definitiva, el lenguaje idóneo con el que poder describir las primeras horas en la vida del cálculo. Necesitó también el cálculo, para nacer, de la aportación de muchos científicos, concretada, esencialmente durante la primera mitad del siglo XVII, en un vasto conjunto de resultados y en la resolución de muy diversos problemas específicos.

El nacimiento del cálculo fue un proceso enormemente complejo, intenso y apasionante, no sólo desde el punto de vista científico, sino también y aun en mayor medida, desde el punto de vista histórico. Se vio afectado por grandes hechos de la historia de la humanidad, simbolizados en la pérdida y recuperación de la cultura clásica griega, el desarrollo de la revolución científica, o, por poner otro ejemplo, los problemas de aislamiento derivados de la situación política —y las guerras— en la Europa del siglo XVII; pero también por otras miserias humanas, digamos menores, como las intrigas de unos científicos contra otros, las peleas, los insultos y las disputas.

Dejando a un lado sus orígenes místicos —una especie de magia negra basada en el poder prodigioso del infinito—, el cálculo infinitesimal, tal y como hoy lo entendemos, lo forman dos territorios aparentemente separados: el cálculo diferencial —cuyo concepto fundamental es la derivada— y el cálculo integral; a lo que hay que añadir el puente que los une: el teorema fundamental del cálculo, que establece que derivar e integrar son procesos inversos.

Lo que hace tan versátil al cálculo infinitesimal es la gran variedad de procesos matemáticos, físicos, tecnológicos, económicos y de otra muy diversa índole que se corresponden con el cálculo de una derivada, de una integral, o están íntimamente relacionados con una derivada, una integral o una mezcla de ambas.

La derivada, por ejemplo, es un concepto fundamental también de la física, pues da cuenta de conceptos como el de velocidad o aceleración instantáneas —y, por tanto, con el de fuerza—. No es pues extraño que la mayor parte de las leyes físicas se expresen en términos de ecuaciones diferenciales —donde se mezclan funciones y sus derivadas; se tratarán en detalle en la sección § 6.2—. Pero la derivada también se puede interpretar en términos de cálculo de la tangente a una curva, lo que la hace igualmente un concepto fundamental de la geometría.

He aquí otro ejemplo, de muchos posibles, de la versatilidad del cálculo: ¿a quién, en la práctica médica altamente tecnificada de hoy en día, no le han hecho una resonancia magnética o una tomografía? Esos procedimientos consisten en ondas que entran y salen de nuestro cuerpo y, en cierta forma, lo que cada onda hace cuando nos atraviesa es una integral, cuyo valor es la diferencia de intensidad con la que la onda sale después de habernos atravesado respecto de la que tenía al entrar; lo que la máquina hace es adivinar el interior de nuestro cuerpo teniendo en cuenta los valores de todas esas integrales.

La física moderna nace, de hecho, con Newton, y no es por casualidad que Newton sea también uno de los inventores del cálculo infinitesimal; según su propio testimonio, las ideas que culminarían con el descubrimiento de su método de cálculo nacieron mezcladas con sus primeras reflexiones sobre la gravedad, y esa rudimentaria versión inicial del cálculo infinitesimal le debió de servir a Newton para hacer uno de sus grandes descubrimientos: la deducción, usando las leyes de Kepler, del movimiento planetario, de la ley del inverso del cuadrado de las distancias para la atracción gravitatoria.

Algo parecido ocurrió con la otra versión del cálculo infinitesimal, la de Leibniz; poco después de que vieran la luz los dos artículos seminales en que lo dio a conocer —en 1684 y 1686—, ya fue usado su método de cálculo para resolver muchos y diversos problemas mecánicos —la braquistócrona, por ejemplo— que hasta entonces se habían mostrado intratables, incluso para genios de la talla de Leonardo da Vinci o Galileo.

El cálculo es eficaz también para tratar problemas a medio camino entre la física y la ingeniería, como el cálculo del centro de gravedad de un cuerpo —tan necesario para la construcción de barcos—, el cálculo de la posición que adopta un cable tendido entre dos postes —imprescindible en el tendido de líneas eléctricas aéreas—, el cálculo de la distribución de la temperatura en una placa metálica a la que se aplica una fuente de calor, la determinación del movimiento de fluidos —primordial, entre otros muchos campos, en el diseño de aviones—. Y se podría seguir añadiendo problemas a la lista de los que requieren del cálculo para su resolución hasta hacerla prácticamente infinita.

§ 5.3.1. De Arquímedes al siglo XVII: los precursores

Ya vimos cómo Aristóteles prohibió a los matemáticos griegos utilizar el infinito en acto, y cómo Eudoxo logró sortear al monstruo escondido en las cantidades inconmensurables usando el principio de continuidad: «Toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracción de una cantidad determinada» —también llamado «axioma de Arquímedes»—. El principio aparece posteriormente en los Elementos de Euclides como una definición: «Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra». A partir de este axioma, Eudoxo generó el llamado «método de exhaución», un método riguroso de demostración para los cálculos de áreas y volúmenes, que usaría para demostrar rigurosamente, entre otras cosas, que los círculos son entre sí como los cuadrados de sus diámetros —siendo esa proporción común el número π—; resultado y método que después recogería Euclides en los Elementos.

Pero quien supo hacer uso magistral del método de exhaución fue, sin duda, Arquímedes. Con él demostró una constelación de resultados sobre áreas y volúmenes que le dio fama imperecedera y que ya comentamos en la sección § 4.2. En algunos de estos resultados —el del área de la espiral, por ejemplo—, el proceso de exhaución que utilizó Arquímedes contiene aproximaciones para calcular el área que son absolutamente análogas a las que actualmente se usan para calcular, mediante una integral, el área de una curva dada en coordenadas polares, y son equivalentes a las aproximaciones por rectángulos habituales para construir la integral definida de una función en un intervalo.

Hay aún otra importante razón que nos permite dar a Arquímedes el título de primer precursor del cálculo integral. Lamentablemente, esta razón no tuvo ninguna influencia histórica en los matemáticos posteriores a Arquímedes. Me estoy refiriendo a las contribuciones contenidas en el Método, su obra perdida y recuperada por Heiberg en 1906. En esa obra, Arquímedes consideró un área como una colección de segmentos —por ejemplo, un rectángulo sería la colección de los segmentos paralelos a uno de sus lados—, o un volumen como una colección de áreas —por ejemplo, un cilindro sería la colección de los círculos paralelos a su base—. Se trata de una idea que no volvió a aparecer en matemáticas hasta ¡dos mil años después de Arquímedes!, ya en el siglo XVII.

Salvando a Arquímedes, son más bien escasas las aportaciones directamente relacionadas con el cálculo infinitesimal hechas con anterioridad al siglo XVII. Se pueden mencionar las del escolástico parisino Nicolás de Oresme (1323−1382). Entre ellas se encuentra un germen primitivo del concepto de función y su representación gráfica: «Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento». También contribuyó al estudio incipiente de las sumas infinitas o series, demostrando, por primera vez en la historia, que la suma

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + …

vale infinito.

De los procedimientos surgidos en el primer tercio del siglo XVII para resolver problemas de cuadraturas y cubaturas, el que más influencia tuvo fue el de los indivisibles del jesuato Bonaventura Cavalieri (1598−1647), discípulo de Galileo y profesor en Bolonia. Cavalieri consideró las áreas formadas por segmentos, y los volúmenes formados por trozos de áreas planas: al conjunto de segmentos que forman un área plana lo denominó omnes linae (todas las líneas). Digamos que el interés de estas omnes linae reside en que podemos comparar el área de dos figuras planas comparando sus correspondientes omnes linae. El método de indivisibles de Cavalieri tenía poca generalidad de uso, excesiva dependencia de razonamientos y procedimientos geométricos, y gran debilidad lógica. Pero, desde luego, permitió descubrir nuevas cuadraturas y cubaturas que situaban este aspecto de las matemáticas, después de dos mil años, más allá de los logros conseguidos por los griegos. Tanto Fermat como Pascal y Wallis, sin entrar en los infinitesimales de G. P. de Roberval, transformaron en aritméticos los procedimientos geométricos de Cavalieri, ampliando, en consecuencia, la generalidad y potencia de su uso. Así John Wallis, uno de los fundadores de la Royal Society de Londres, expurgó los indivisibles de Cavalieri de su ganga geométrica asignándoles valores numéricos; convirtió de esta forma las manipulaciones geométricas para el cálculo de áreas en cálculos aritméticos más un primitivo proceso de paso al límite. Wallis hizo ya un uso descarado de los procesos infinitos —vale la pena recordar que a él le debemos el símbolo con que hoy representamos el infinito: ∞—, dando un paso más en el proceso de pérdida de rigor en favor de métodos más potentes para descubrir. Un buen exponente de esos cambios puede observarse si se comparan los títulos de las obras de Cavalieri y Wallis: Geometría indivisibilibus…, la del primero, frente a Arithmetica infinitorum, la del segundo; esto es, la generalidad de los cálculos aritméticos y algebraicos frente a la especificidad de la geometría, la potencia y fertilidad del infinito para descubrir frente a las limitaciones que impone el rigor tal y como lo entendían los griegos. Ilustrativo del pensamiento de su época es la opinión que le merecía a Wallis el problema del rigor lógico de su método: «Este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido método de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas en el lector. Cualquiera ducho en la materia puede realizar tal prueba». Esta es una de las pocas veces que aparecen las palabras prueba o demostración en el libro de Wallis. Los métodos aritméticos de Wallis para el cálculo de áreas influyeron enormemente en Newton, quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron sus orígenes en el cuidadoso estudio que hizo del libro de Wallis cuando era estudiante en Cambridge.

La aparición del tratado arquimediano Sobre el equilibrio de los planos motivó que algunos matemáticos dedicaran sus esfuerzos a la determinación de centros de gravedad, problema muy relacionado con el cálculo de áreas y volúmenes —entre ellos, Francesco Maurolico (1494−1575), y Federico Commandino, dos de los traductores de Arquímedes al latín, y también Simón Stevin o el suizo Paul Guldin (1577−1643)—.

Pasaré ahora a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes que conforman, junto con los de áreas y volúmenes, los problemas principales cuyo estudio cristalizó finalmente con el nacimiento del cálculo.

El mismo concepto de tangente heredado de los griegos —recta que corta a la curva en un punto— empezó a ser problemático, pues la facilidad para introducir nuevas curvas, que permitía la geometría analítica de Fermat y Descartes, supuso una ampliación del número de las consideradas y estudiadas por los matemáticos y científicos.

Fueron varios más los matemáticos que aportaron métodos novedosos para el cálculo de tangentes usando ideas distintas, aunque prácticamente todos basados en el uso, y abuso, de las cantidades infinitesimales: así podríamos citar a Fermat y su método de adigualdades, válido también para estudiar problemas de máximos y mínimos y para rectificar curvas; a Roberval y su método cinemático, también usado por Galileo y Torricelli y, en la Antigüedad griega, por Arquímedes para calcular la tangente a la espiral; Descartes y su método del círculo, presentado en la Geometría; y Barrow, J. Hudde (1628−1704) o R. de Sluse (1622−1685) con sus métodos pseudodiferenciales. Comentaré los de Fermat con algo más de detalle. Partiendo de la teoría de ecuaciones de Viète, Fermat desarrolló un método de máximos y mínimos —que pudo tener más o menos listo hacia 1629, estando todavía en Burdeos—; de él derivaría después el método de tangentes —expuesto por primera vez en una carta a Mersenne en 1638—. En estas primeras versiones ambos métodos fueron aplicados a curvas algebraicas. Fermat revisó posteriormente sus métodos de máximos y mínimos y tangentes haciéndolos más eficaces, con aplicaciones exitosas a algunas curvas transcendentes. Aunque estos métodos de Fermat no estaban basados en los infinitesimales —no son necesarios para curvas algebraicas y, para las trascendentes, Fermat los evitó sustituyendo longitudes de arco por la parte correspondiente de las tangentes— son un antecedente del cálculo diferencial, en el que Newton reconoció haberse inspirado para desarrollar su método de fluxiones. Aunque todo esto no es suficiente para nombrarlo, como hicieron algunos matemáticos franceses del XVIII, inventor del cálculo. Y seguiría sin ser suficiente si añadimos las contribuciones de Fermat al cálculo de áreas y volúmenes, centros de gravedad o rectificación de curvas.

Todos los métodos mencionados presentaban similares inconvenientes, funcionaban más o menos bien para curvas algebraicas, aunque necesitaban una adaptación particular conforme se cambiaba la curva en cuestión, adaptación de gran complejidad o, incluso imposible, para curvas trascendentes. Todos los métodos quedarían unificados bajo los conceptos de diferencial, de Leibniz, y de fluxión, de Newton, y las reglas para su cálculo —esto es, algo parecido a nuestra actual derivada y las reglas para derivar—; la ventaja conseguida es consecuencia de usar los procedimientos más generales del álgebra frente a los más específicos de la geometría. Volviendo la historia del revés, compárese la especificidad del cálculo geométrico de las tangentes a una curva: un procedimiento radicalmente distinto para cada curva —cada cónica, por ejemplo, requiere un procedimiento diferente—, frente al mismo cálculo mediante un proceso analítico, esto es, el cálculo de la derivada de una función: todas se hacen más o menos igual, basta aplicar el proceso algorítmico generado a partir de las reglas de derivación. Si volvemos a colocar la historia del derecho, podremos ahora calibrar la importancia que tuvo la capacidad unificadora de los procedimientos del álgebra que la geometría analítica llevó al ámbito geométrico: permitió descubrir las reglas generales escondidas tras la enorme cantidad de casos particulares acumulados en los tres primeros cuartos del siglo XVII. Ese descubrimiento convirtió a Newton y Leibniz en los padres del cálculo.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados de siglo una modalidad diferente de importancia histórica: se trata de los problemas inversos de tangentes, o sea, la determinación de una curva conociendo alguna propiedad que posean sus tangentes. El primero en plantear uno de estos problemas fue Florimond de Beaune (1601−1652), jurista y discípulo de Descartes; quizá el más conocido de los propuestos por de Beaune fue el de calcular la curva de subtangente constante. El mismo Descartes intentó resolver el problema sin éxito, quedaría la gloria de su resolución para Leibniz: como se verá más adelante, apareció resuelto en la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal, y le sirvió a Leibniz para mostrar al mundo la potencia de su método de cálculo infinitesimal.

Uno de los elementos esenciales, e ineludible, para poder descubrir el cálculo lo constituía el reconocimiento de que los problemas de tangentes y los de cuadraturas son inversos; en términos actuales, se trata de la relación inversa entre derivación e integración; esto es, lo que llamamos, con razón, teorema fundamental del cálculo. Ya fueron conscientes de este hecho Fermat, Torricelli, y sobre todo, Barrow, que llegó incluso a demostrar geométricamente la relación inversa del cálculo de tangentes y áreas. ¿Qué le faltó, pues, a Barrow, para descubrir el cálculo infinitesimal? Nada más, y nada menos, que pasar del problema concreto del cálculo de tangentes al más general del cálculo de la variación de una función —esto es, sintetizar el concepto de fluxión de Newton, o el, ligeramente diferente, de diferencial de Leibniz—, y desarrollar un método algorítmico para este cálculo —las reglas para derivar—. Pero, para hacer esto, Barrow necesitaba la geometría analítica, que le habría permitido manejar las curvas —objetos geométricos— mediante fórmulas —objetos algebraico-analíticos—. Hubiera pasado así del problema de tangentes a curvas, al problema de derivadas de funciones —que diríamos hoy—. El tratamiento algebraico era también imprescindible para el desarrollo de las reglas de derivación. Por otro lado, sin haber reducido el proceso de cálculo de tangentes —derivación— a un método algorítmico de fácil uso y con posibilidades de ser invertido —lo que hoy llamamos «cálculo de primitivas»—, de poco ayudaba saber que los problemas de tangentes y cuadraturas son inversos; por esto Barrow no calibró la importancia esencial del resultado que había demostrado. A Barrow no le gustaba la algebrización de la geometría de Fermat y Descartes, franceses ambos, lo que acabó costándole la paternidad del cálculo. Quedaría ese honor para Leibniz y Newton.

En el ambiente de revolución científica que recorrió todo el siglo XVII, acabó de nacer el cálculo; asistieron el parto dos comadrones de lujo: Isaac Newton y Gottfried W. Leibniz. Se puede hablar de cálculo cuando son sintetizados dos conceptos —digamos, para entendernos, los antecedentes de nuestras derivadas e integrales—, se desarrollan unos algoritmos para su cálculo —las reglas de derivación— y se establece el carácter inverso de dichos conceptos —esto es, lo que hoy llamamos «teorema fundamental del cálculo»—. Para resolver los problemas de tangentes, máximos y mínimos, cuadraturas, centros de gravedad, etc., que habían ocupado a sus predecesores, basta ahora poner en funcionamiento estos conceptos básicos, debidamente interpretados, mediante la manipulación algorítmica que permiten sus reglas de cálculo.

§ 5.3.2. Newton

Isaac Newton es uno de los más, si no el que más, célebres y celebrados científicos de cuantos ha visto la historia. Aunque a menudo suele pasarse por alto, es, de todos ellos, quien más debe su bien ganada fama de científico a su capacidad y creatividad matemáticas: fue su habilidad como matemático, y los descubrimientos que esta posibilitó, la que, en buena medida, le permitieron marcar diferencias con otros científicos contemporáneos, sobre todo en la elaboración de su obra cumbre: los Principia. O dicho de otra forma, Newton descubrió el sistema del mundo, lo que según el acertado dicho de Lagrange lo convirtió en el más afortunado de los científicos porque sólo hay un sistema del mundo por descubrir: y fue precisamente la ventaja de Newton sobre sus contemporáneos en el dominio de las matemáticas la que le permitió afianzar ese descubrimiento. En palabras de R. Westfall —el autor de la mejor biografía sobre Newton—: «Las matemáticas fueron, sobre todo lo demás, la primera gran pasión intelectual de Newton. De las matemáticas aprendió criterios de rigor que le sirvieron durante el resto de su peregrinaje intelectual. Newton iba a viajar por muchos extraños océanos del pensamiento, singladuras de las que más de un aventurero del siglo XVII no regresó. Si Newton no sólo regresó, sino que volvió a casa portando beneficios, quizá fuera porque la dura disciplina de las matemáticas hizo su singladura bastante diferente».

La filosofía de esta breve historia de las ideas matemáticas obliga a narrar las contribuciones matemáticas de Newton aliñadas con sus circunstancias emocionales. En el caso de Newton esto es especialmente importante, por cuanto la personalidad del sabio inglés es de las más complejas y retorcidas de toda la historia de la ciencia. Aldous Huxley resumió en una demoledora frase, quizá excesiva, los infortunios de Newton como ser humano; lo hizo a principios de la década de 1930 con motivo de una entrevista que mantuvo con el periodista y divulgador científico J. W. N. Sullivan tras escribir su impagable novela Un mundo feliz: «Si desarrolláramos una raza de Isaac Newtons, esto no sería progreso. Pues el precio que Newton tuvo que pagar por ser un intelecto supremo fue que era incapaz de amistad, amor, paternidad y muchas otras cosas deseables. Como hombre fue un fracaso; como monstruo fue soberbio».

Newton nació el día de Navidad de 1642 en Woolsthorpe, una aldea de la comarca de Lincolnshire —se suele afirmar que fue el mismo año de la muerte de Galileo, aunque se hace algo de trampa, pues lo de Galileo va con el calendario gregoriano, entonces en vigor en Italia, mientras que lo de Newton va con el juliano, entonces en vigor en Inglaterra; según el calendario gregoriano Newton nació el 4 de enero de 1643—.

Newton fue hijo póstumo y único de un labrador medio analfabeto, Isaac Newton también de nombre. Su madre, Hannah Ayscough de soltera, después Hannah Newton, era de familia letrada pero algo venida a menos en lo económico. Se volvió a casar con un severo pastor anglicano llamado Barnabas Smith cuando Newton apenas tenía tres años de edad. Barnabas se llevó a vivir a Hannah, ahora convertida en Smith, a su vicaría, pero no así al niño Newton, que quedó al cuidado de su abuela materna. Por entonces el señor Smith rondaba los sesenta años, lo que no impidió dejar embarazada por tres veces a la madre de Newton antes de morir siete años después de haberla desposado.

En la década de los sesenta del siglo XX, el profesor Frank E. Manuel realizó unos estudios psicológicos sobre Newton. Manuel señaló que esos dos acontecimientos —el avatar de la muerte de su padre antes de su nacimiento, y el trauma de la separación de su madre al contraer matrimonio con el pastor Smith— marcaron profundamente la compleja personalidad del genio inglés; especialmente en lo que se refiere a la forma en que Newton entendió todos sus estudios e investigaciones posteriores —ya fueran científicas, históricas, alquímicas o teológicas—, o en cómo trató a todo aquel que osó discutir con él sobre esas investigaciones o competir por la prioridad de algún descubrimiento.

Según el profesor Manuel, toda la trayectoria vital de Newton fue un perenne diálogo con Dios Padre —una sublimación del padre desaparecido— buscando la verdad, ya fuera a través de la ciencia, la teología o la alquimia. Esa actitud mística hace más entendible la agresividad tremenda que Newton mostró toda su vida ante las críticas a su producción científica —por mínimas que fueran—; esto le acabó generando una fobia visceral y absurda cada vez que alguien le proponía publicar alguno de sus descubrimientos. La consecuencia fueron unos enormes retrasos en la publicación de su producción científica, en general, y matemática, en particular: algunos tratados no se publicaron hasta cuatro y cinco décadas después de compuestos, mientras que bastantes otros quedaron, incluso, sin publicar. Todo eso allanó, por poner un par de ejemplos de importancia, el camino para la disputa por el descubrimiento del cálculo infinitesimal con Leibniz, y alimentó también el odio feroz que sintieron mutuamente Isaac Newton y Robert Hooke. Según F. Manuel: «La corrupción de un texto de las escrituras, el fallo de un experimento, o la ligereza en su interpretación no eran sólo una violación del método científico, sino pecados, como levantar falso testimonio. Tales mentiras eran, en muchos aspectos, el más negro de los crímenes, porque violaban y ensuciaban la verdad de la creación de Dios»; y también: «El error científico era asimilado al pecado, porque era la consecuencia de la pereza por su parte y una falta en su servicio a la Divinidad. Y, para Newton, un pecado no era un acto de fragilidad humana que podía ser olvidado, sino un signo de que el culpable estaba poseído por el mal».

Por otro lado, la separación de la madre a los tres años de edad fue traumática y marcó la personalidad de Newton, haciéndolo extremadamente susceptible ante cualquier acto que pudiera interpretarse como desposeerlo de lo que le pertenecía, lo que cuadra a la perfección con las enconadas disputas sobre la prioridad que mantuvo a lo largo de su vida, tanto con Hooke como con Leibniz.

Los estudios de Frank Manuel son un episodio singular de la historiografía newtoniana —su A portrait of Isaac Newton, del que hemos reproducido algunas citas, es la guía para adentrarse en la atormentada psicología de Newton; una guía interesante y sorprendente, aunque truculenta en ocasiones—. Y no es precisamente la imagen de un niño normal y feliz la que surgió de los estudios del profesor Manuel, sino más bien la de un ser atormentado por el pecado, torturado por la soledad y en el que anidaba un odio feroz contra los que él hacía responsables de su profunda infelicidad.

Para calibrar cabalmente el trauma que las segundas nupcias de su madre supusieron para Newton conviene mencionar un examen de conciencia suyo que se ha conservado. Concretamente es un listado de los pecados más graves que había cometido Newton en los primeros veinte años de su vida y que Newton escribió en uno de sus cuadernos. Ese cuaderno contiene también otra información valiosa como listados de gastos y recibos en Cambridge entre 1665 y 1669, o ejercicios de hebreo, idioma que Newton aprendió porque lo necesitaba para sus exégesis bíblicas. Entre los pecados hay una referencia a pensamientos y actos impuros, aunque los más reveladores son los pecados números trece y catorce, por cuanto muestran que la separación forzada de su madre, tan cruel, había acabado por agriarle a Newton el carácter de por vida. Esos pecados dicen, respectivamente: «Amenazando a mi padre y madre Smith con quemarlos dentro de su casa», y «Deseando la muerte y esperándola para alguien». En las diferentes disputas por prioridades científicas que jalonan su vida, Newton siempre optó por no reconocer ningún mérito a quienes él consideraba «segundos inventores». Así, en 1715 Newton escribió refiriéndose a Leibniz y al descubrimiento del cálculo infinitesimal: «Porque segundos inventores no tienen derechos». Ante frases como esa es inevitable no pensar que el fantasma del reverendo Smith, el segundo marido de su madre, rondaba por el inconsciente de Newton.

Su madre regresó a casa de los Newton, viuda de nuevo, en 1653. Traía consigo los tres vástagos habidos con el reverendo Smith durante sus siete años de unión, más unos pocos cientos de libros que Newton heredó de su padrastro; mayormente eran de teología, y sin duda engendraron y alimentaron una afición por la Biblia que Newton cultivó durante toda su vida. «Recobrar a su madre a la edad de once años —escribió Frank Manuel—, justo antes de la pubertad, acentuó el sentimiento de posesión de Newton y pudo malograr su capacidad de amar sexualmente a cualquier otra persona el resto de su vida.» De hecho, parece que Newton mostró en más de una ocasión cierto orgullo acerca de su virginidad, lo que es otra buena muestra de su puritanismo militante. «Isaac Newton murió virgen —escribió Frank Manuel—. Este dictamen podría ser defendido en una corte de justicia inglesa apelando a la palabra de dos testigos. Por un lado, un anciano pariente con quien se sinceró ya mayor y al que aseguró que nunca había violado la castidad, y quien trasmitió el cotilleo sobre esa victoria moral al poeta Thomas Maude; por otro, el doctor Richard Mead, médico y amigo de Newton: fue interrogado al respecto por Voltaire, que después pregonó el asunto al mundo entero.»

Tras formarse en la escuela local de Grantham, Newton llegó a Cambridge en 1661 y allí emprendió una carrera meteórica que lo llevó a la cátedra lucasiana de matemáticas y filosofía natural en tan sólo ocho años.

Parte de este éxito meteórico lo debió Newton al descubrimiento del cálculo.

Las primeras ideas de Newton sobre el cálculo se remontan a los anni mirabiles (1665−1666). En un manuscrito de Newton fechado unos años antes de su muerte en 1727, escribió: «A comienzos de 1665, descubrí el método de las series aproximativas y la regla para reducir cualquier potencia de un binomio a dichas series. En el mes de mayo de ese mismo año, descubrí el método de las tangentes de Gregory y Sluse, y, en noviembre, obtenía el método de las fluxiones. En enero del año siguiente, desarrollé la teoría de los colores, y, en mayo, había comenzado a trabajar en el método inverso de fluxiones. Ese mismo año, comencé a pensar en la gravedad extendida a la órbita lunar, y a partir de la regla de Kepler deduje las fuerzas que mantienen a los planetas en sus órbitas».

Su primera obra sobre el cálculo, titulada De analysi per aequationes numero terminorum infinitas, fue finalizada en 1669, aunque no se publicó hasta 1711. La obra tuvo un efecto importante en la vida profesional de Newton: probablemente le ayudó a conseguir la cátedra lucasiana de Cambridge. En el verano de 1669, Barrow, que llevaba ocupando la cátedra desde su fundación cinco años antes, estaba pensando en renunciar —era, más que un matemático, un teólogo, y quería dedicarse a su vocación—. Barrow leyó el De analysi en forma manuscrita, y comprendió que estaba ante un matemático de primer orden, así que cuando renunció el 29 de octubre de 1669, propuso a Newton para que lo sustituyera en la cátedra.

El contenido del De analysi estaba mediatizado por la serie para el logaritmo que publicó Nicolás Mercator en su Logarithmotechnia y los rumores y suposiciones que se hiciera Newton sobre las investigaciones que otros pudieran haber realizado o estar realizando. El contenido y planteamiento del De analysi tienen valor constituyente y, haciéndolo público, al menos restringidamente, Newton se convirtió en descubridor del cálculo infinitesimal y el De analysi en carta magna de lo que significó la nueva disciplina. En la primera parte del tratado, Newton muestra cómo, usando desarrollos en serie de potencias, puede extenderse el cálculo de cuadraturas a gran variedad de funciones, basándose en la cuadratura básica de axmn. Puede dar la impresión de que Newton intentaba calcular el área encerrada por determinadas curvas aunque, tal y como yo lo entiendo, Newton hizo mucho más que eso: quiso mostrar, en esa primera parte del De analysi, un procedimiento de actuación con carácter general y un cierto valor de abstracción más allá de su primera interpretación como cálculo de un área: «Los problemas de longitud de las curvas, de cantidad y superficie sólida, así como de centro de gravedad, pueden todos reducirse al cabo a inquirir la cantidad de superficie plana terminada en una línea curva», escribió Newton en unos párrafos especialmente significativos. Con todos sus defectos, con el De analysi, el cálculo infinitesimal es ya una realidad. Y es que el De analysi es un magnífico ejemplo para apreciar en todo su esplendor ese acto supremo que supone la creación en matemáticas: leer el texto de Newton nos permite convertirnos en testigos, revivir, en cierta forma, el alumbramiento del cálculo infinitesimal en versión newtoniana. Así, cuando nos sumergimos en las páginas del De analysi, e intentamos reconocer en el cálculo recién nacido que allí muestra Newton los caracteres del cálculo adulto que el lector actual ha conocido/aprendido primero, nos ocurre como cuando se contemplan fotografías de la niñez de alguien a quien sólo se ha conocido de mayor —los padres, por ejemplo— y vamos reconociendo, tras aquellos rasgos infantiles que muestran las imágenes, los más familiares del ser maduro en que esa persona ha acabado convirtiéndose —como editor y anotador de la primera traducción del De analysi al castellano, no puedo dejar de recomendar su lectura en la edición que publicó en 2003 la Real Sociedad Matemática Española y la SAEM Thales—.

La segunda obra de Newton, la más importante que dedicara al cálculo infinitesimal, el De methodis serierum et fluxionum, fue escrita dos años después, pero no se publicó hasta 1736. En De methodis Newton presenta sus conceptos de fluente —digamos que una variable considerada como función del tiempo— y fluxión de la fluente —la derivada de la variable con respecto al tiempo—. Es importante reseñar —pues como se ha dicho antes, es lo que lo convirtió en uno de los descubridores del cálculo— que Newton presentó los conceptos de fluente y fluxión con entidad propia, como elementos de una teoría, y con unas reglas algorítmicas de fácil uso para calcular la fluxión de una fluente; después las aplicó para resolver problemas de tangentes, cuadraturas o máximos y mínimos. Sobre las cuadraturas escribió: «Problema 9: determinar el área de cualquier curva propuesta. La resolución del problema está basada en el establecimiento de la relación de la cantidad fluente y su fluxión»; esto es, invertir el proceso de cálculo de fluxiones —nosotros hoy diríamos invertir el proceso de la derivación, o calcular una primitiva—. Aparece, en definitiva, el teorema fundamental del cálculo como herramienta eficiente para resolver problemas de áreas.

Para demostrar la potencia de su cálculo infinitesimal, Newton lo aplicó en De methodis a casi todos los problemas de cálculo de áreas, tangentes, etc., que habían ocupado a sus antecesores del cálculo durante casi un siglo, resolviéndolos uno tras otro. El De methodis, sin embargo, no se publicaría hasta varios años después de la muerte de Newton.

¿Por qué tardó Newton tanto tiempo en permitir la publicación de sus primeros libros sobre el cálculo infinitesimal? Ya he comentado que la peculiar personalidad de Newton promovía una cierta reticencia a la hora de hacer públicos sus resultados, tendencia que sin duda agravaron las varias polémicas que sostuvo tras hacer públicos sus primeros trabajos. Respecto al cálculo, la aprehensión de Newton era todavía mayor habida cuenta de la debilidad lógica que tuvo en sus inicios. El concepto de fluxión y las reglas para su cálculo, igual que la diferencial de Leibniz o los múltiples artificios infinitesimales de sus predecesores, se basaban en las llamadas «cantidades infinitesimales». Estos infinitésimos eran números indefinidamente pequeños, prácticamente cero, lo que permitía simplificarlos cuando convenía, pero como no eran cero podían aparecer como denominadores de un cociente. Newton, sin éxito, trató de evitar su uso y, de hecho, en otro de sus trabajos sobre el cálculo, el De quadratura curvarum publicado en 1704 como apéndice de su Opticks, se acercó con sus incrementos evanescentes al concepto de límite que, bien entrado el siglo XIX, usarían Bernhard Bolzano y, sobre todo, Augustin Cauchy para fundamentar el cálculo infinitesimal.

Así pues, Newton, consciente del problema de la floja fundamentación lógica de su cálculo de fluxiones, fue especialmente reacio a publicar nada sobre él, aunque siempre hubo unas pocas copias manuscritas de estos trabajos circulando entre sus amigos. Este temor sin duda influyó, también, en la redacción de su obra cumbre: los Principia. Newton optó por un lenguaje geométrico al estilo griego, más hermético y oscuro, pero más riguroso desde el punto de vista lógico; de hecho eliminó casi todo rastro de su cálculo infinitesimal, que es probable, aunque no seguro, usara para obtener una parte de los resultados contenidos en los Principia. A lo largo del siglo XVIII, el contenido de los Principia fue reescrito y ampliado por varios científicos usando ya explícitamente el análisis matemático —en la sección § 6.2, se mostrará con cierto detalle cómo se obtiene la forma de las órbitas planetarias usando el cálculo y la ley de gravitación universal—.

De todas formas, un retazo de su cálculo sí que dejó en los Principia: supuso, pues, la primera aparición impresa, aunque de forma muy lateral, de un resultado de Newton sobre el cálculo infinitesimal y fue en 1687, tres años después de que Leibniz publicara en las Acta Eruditorum su primer artículo sobre el cálculo diferencial. Se trata concretamente del lema II de la sección II del libro II, donde se recoge de forma un tanto enigmática el equivalente a nuestras reglas para derivar un producto y para derivar potencias.

Tres décadas y media estuvo Newton en Cambridge, y fueron sobre todo años de soledad dedicados compulsivamente a la investigación… pero no sólo, ni siquiera mayormente, a la investigación científica.

Los biógrafos de Newton de los siglos XVIII, XIX y de la primera mitad del XX imaginaron al genio, durante su estancia en Cambridge, refugiado en la soledad de sus cuartos, concentrado en sus estudios de óptica, física y matemáticas, con los que consiguió a la postre su impresionante contribución al corpus científico. Lúe durante los dos primeros de esos siglos cuando se forjó la visión de Newton como puro genio científico.

Sin embargo, la visión que de Newton tenemos hoy en día es distinta, mucho más completa y compleja. Como el enorme volumen de sus manuscritos ha mostrado, en Cambridge y después también, Newton se dedicó, además de a la ciencia, a muchos otros asuntos de índole bastante menos científica. En ese sentido, los manuscritos de su etapa en Cambridge hablan mayormente de un hombre esforzándose por desentrañar, siempre con denuedo, el resultado de sus experimentos alquímicos, buscando razones y argumentos que le afianzaran en su fe arriana, siempre indagando, investigando la verdad o, puesto en los términos acaso más auténticos tratándose de Newton, manteniendo un perenne diálogo con Dios Padre.

La enorme estatura científica de Newton, su posición descollante en la historia de la ciencia, sólo comparable a Arquímedes, Einstein o Darwin, deriva de su obra publicada, en especial los Principia (1687), la Opticks (1704) y sus escasos tratados sobre el cálculo infinitesimal. Sin embargo, el conocimiento cabal de la complejísima personalidad newtoniana no se ha alcanzado hasta hace apenas medio siglo y ha sido fruto del estudio de la ingente cantidad de manuscritos que Newton nos legó.

Frente al científico por antonomasia, al padre de la física moderna, al descubridor de la ley de la gravedad, al autor de sesudos estudios sobre la naturaleza de la luz y los colores, al inventor del cálculo infinitesimal, frente a la imagen de héroe de la razón con clarividencia genial, que tanto promocionó el propio Newton, sus manuscritos contraponen un personaje más complejo y, por lo mismo, más real. Por un lado muestran que no sólo estuvo interesado en asuntos científicos —aunque tuvo épocas—, sino que mayormente dedicó su tiempo a oscuros problemas teológicos, a practicar una alquimia a medio camino entre lo experimental y lo místico. Los manuscritos muestran que Newton, además de ser autor de los Principia o la Opticks, lo fue también de abstrusas cronologías bíblicas, de delirantes disquisiciones sobre la naturaleza más o menos divina de las tres personas de la Trinidad cristiana, temas todos de dudosa categoría científica —incluso para su época—, pero a los que Newton dedicó muchas más páginas que a la ciencia.

Frente a su impecable y exitosa trayectoria profesional, ya fuera como joven catedrático lucasiano en la Universidad de Cambridge, como pulcro miembro del Parlamento inglés, como escrupuloso funcionario del Tesoro, o como todopoderoso presidente de la Royal Society, los manuscritos de Newton nos muestran su secreto inconfesable: un arrianismo convencido, meditado, que lo acompañó toda su vida desde su juventud y que, por ley, lo podía haber apartado de todos sus cargos en caso de haberse conocido —el arrianismo rompe con el dogma de la Trinidad, pues considera que Jesús, aunque hijo de Dios, no es él mismo Dios; recibe el nombre de Arrio (256-336), que fue presbítero de Alejandría. El arrianismo fue inicialmente considerado herético en el primer concilio de Nicea (325), y definitivamente en el primer concilio de Constantinopla (381)—.

Todo lo cual está implícito en una célebre cita de John Maynard Keynes —el no menos famoso economista que fue uno de los primeros en bucear entre los manuscritos de Newton—: «Newton no fue el primero de la edad de la razón —escribió Keynes—. Fue el último de los magos, el último de los babilonios y sumerios, la última gran mente que se asomó al mundo visible e intelectual con los mismos ojos que aquellos que empezaron a construir, hace 10.000 años, nuestro patrimonio intelectual».

Finalmente, los manuscritos también cuestionan la visión de un Newton genial que creó sin apenas esfuerzo un colosal Corpus científico. Por el contrario, su esfuerzo fue continuo y agotador; este trabajar sin parar —que tan acertadamente recogió Westfall en el título de su biografía de Newton, Never at rest— aparece claramente reflejado en los manuscritos de Newton. En ese sentido cabe interpretar la archifamosa historia de la manzana. La espeluznante sencillez de tan célebre anécdota ha sido utilísima a lo largo de la historia para popularizar la figura de Newton como personaje genial. Algo parecido había ocurrido ya antes con Arquímedes y la anécdota del ¡eureka!

Newton posiblemente comprendió muy bien que el halo genial que desde tiempos inmemoriales había rodeado a Arquímedes tenía que ver con la excelencia de sus descubrimientos pero, también, con ciertas llamativas historias recogidas por los cronistas de la Antigüedad. La más célebre de ellas es la del ¡eureka!: ¿qué persona, independientemente de su nivel cultural, no la conoce hoy en día? Newton logró dar con una historia que, a la postre, iba a tener tanta o más capacidad que el ¡eureka! arquimediano: la historia de la manzana. Y he escrito «logró dar», porque fue el propio Newton quien, ya septuagenario, se dedicó a contar la anécdota a todo aquel que se ponía a tiro —hasta cuatro versiones independientes se han conservado, todas ellas contadas por un Newton ya anciano—. Una de ellas se la contó a William Stukeley, un paisano de Newton que estaba preparando una biografía suya. Newton se la contó poco antes de morir y, naturalmente, Stukeley la incluyó en su Life of Newton (1752): «Después de comer, estando el tiempo cálido, fui al jardín a tomar el té con sir Isaac; bajo la sombra de unos manzanos, nos quedamos solos él y yo. Entre otras cosas, me dijo que justo en esa misma situación fue como se le había ocurrido la noción de gravitación. Fue sugerida por la caída de una manzana cuando estaba sentado en actitud contemplativa. Por qué la manzana siempre desciende perpendicularmente hasta el suelo, se preguntó a sí mismo. ¿Por qué no va hacia otro lado o hacia arriba? Seguramente la razón es que la tierra la atrae. Debe haber una potencia de atracción en la materia: y la suma de la potencia de atracción de la Tierra debe estar en el centro de la Tierra, y no en otro lado de la Tierra. Por eso esta manzana cae perpendicularmente o hacia el centro de la Tierra. Hay una potencia, como esa que aquí llamamos gravedad, que se extiende a todo el universo». Tal y como Newton contó la historia de la manzana, da la impresión de que fue ver caer la manzana y toda la dinámica del movimiento planetario quedó clara en su mente. Pocas cosas hay más alejadas de la verdad que esa visión simplista del Newton que todo lo debe a la inspiración genial.

Tras publicar los Principia, Newton perseveró por encontrar un cargo en Londres; consiguió su propósito a través de la influencia de Charles Montagu (1661−1715), primer conde de Halifax. Elegido miembro del Parlamento en 1689, Montagu había sido nombrado lord del Tesoro en 1692; en 1697 llegó a responsable máximo del Tesoro y líder de la Cámara de los Comunes. Montagu conocía a Newton desde la década anterior y se volvieron a encontrar en el Parlamento; posiblemente fueron sus afinidades políticas y el prestigio científico de Newton los que decidieron a Montagu a nombrarle director de la Casa de la Moneda inglesa en 1696. Nueve años después, Newton volvería a rentabilizar esa sintonía política con Montagu quien, en un reparto partidista de prebendas, logró que la reina Ana nombrara a Newton sir en una ceremonia en el Trinity College de Cambridge, donde también un hermano de Montagu fue nombrado sir y el propio Montagu recibió un doctorado honorífico.

Es célebre la maliciosa interpretación que hizo Voltaire del nombramiento de Newton como director de la Casa de la Moneda: «Pensaba en mi juventud —escribió en sus Cartas filosóficas— que Newton debía su fortuna a sus enormes méritos. Había supuesto que la Corte y la ciudad de Londres le habían nombrado gran maestre del reino por aclamación. Nada de eso. Isaac Newton tenía una encantadora sobrina, Madame Conduitt; ella le gustaba mucho al Canciller de Hacienda, Halifax. El cálculo infinitesimal y la gravitación le habrían servido de poco sin su bonita sobrina». Voltaire, o exageró el chisme o no estuvo bien informado del todo, porque cuando Newton fue nombrado director de la Casa de la Moneda su sobrina contaba diecisiete años, y es posible que lord Halifax nunca la hubiera visto, aunque es verdad que existió después una fuerte relación afectiva entre ellos hasta el punto de que, cuando Halifax murió en 1715, la sobrina de Newton heredó de él una verdadera fortuna: «En señal del sincero amor —escribió Halifax en su testamento—, afecto y estima que durante tanto tiempo he recibido de su persona y como una pequeña recompensa por el placer y la felicidad que de su conversación he recibido». Como maliciosamente señaló un enemigo de Newton, demasiado dinero sólo por la excelencia de su conversación.

Newton ascendió de director a intendente de la Casa de la Moneda en 1699. En los veintiocho años que lo ocupó —hasta su muerte—, ganó cada año un promedio de más de dos mil libras, la mayor parte por acuñación de moneda: una cantidad al alcance de muy pocos de los altos funcionarios de la corona.

Newton acabó controlando férreamente la ciencia inglesa desde la Royal Society. Había accedido a la presidencia de la sociedad en 1704, facilitado el camino por la muerte de Robert Hooke el año anterior.

Robert Hooke es quizá el mejor de los científicos ingleses del siglo XVII… exceptuando, naturalmente, a Isaac Newton. Hooke vivió sus últimos años amargado y resentido al ser consciente de esa excepción, y de que Newton trascendería las fronteras de la ciencia para ser un personaje célebre de la historia: pareció adivinar que, andando el tiempo, pocos, fuera del estrecho mundo de la ciencia, sabrían quién fue Robert Hooke, mientras el nombre de Isaac Newton iba a ser célebre incluso entre los no letrados. Cuando Hooke murió era apenas piel y huesos, consumido por la diabetes y por su odio a Newton. La disputa científica de Newton con Hooke, y también alguna otra, se podía haber suavizado con un agradecimiento adecuado por parte de Newton de lo que debía a otros colegas, como en su día le recomendara Halley. Pero Newton fue siempre muy remiso a agradecer a otros ningún tipo de inspiración o motivación para sus descubrimientos —por más que luego exigiera a los otros el correspondiente reconocimiento de lo que a él presuntamente le debían—. A pesar de lo cual no es infrecuente, paradojas de la vida, encontrar atribuida a Newton la célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es porque me subí a hombros de gigantes», como agradecimiento y reconocimiento de lo que aprendió de otros.

La frase tiene precisamente que ver con su primera disputa con Hooke. Newton, de hecho, la envió a Hooke en un intercambio epistolar habido en 1676 que permitió distender, al menos formalmente, la pelea mantenida entre ambos sobre la naturaleza de la luz y los colores. La frase no es original de Newton, y se puede rastrear atrás en el tiempo hasta Juan de Salisbury (s. XII), quien, en su Metalogicon (1159), citando a Bernardo de Chartres escribió: «Somos como enanos sentados sobre los hombros de gigantes para ver más cosas que ellos y ver más lejos, no porque nuestra visión sea más aguda o nuestra estatura mayor, sino porque podemos elevarnos más alto gracias a su estatura de gigantes».

La frase, tal y como la escribió Newton, suele ser interpretada como una muestra de agradecimiento de Newton hacia Hooke, a cuyos hombros Newton figuradamente se había encaramado para ver más lejos. Pero la frase admite también otra interpretación más retorcida debida a F. Manuel. La interpretación de Manuel toma como base el hecho de que Robert Hooke era de baja estatura y algo jorobado; es la siguiente: «Puesta donde corresponde, en la atmósfera psicológica de su correspondencia de 1676, esa frase tributo tiene un significado bastante más complicado, incluso ambiguo; es una espada de doble filo. La imagen de un enano, no mencionado explícitamente, subido a hombros de un gigante suena como una abrupta salida de tono, hasta que uno se da cuenta de que hay, por parte de Newton, algo malicioso en la aplicación a su relación con Hooke de este vulgarizado símil. A primera vista parece como si Newton estuviera llamando a Hooke un gigante y sugiriendo que él es meramente un enano en comparación; pero la hipérbole iba, después de todo, dirigida a un hombre de baja estatura y jorobado, y hay aquí un tono de burla, consciente o inconsciente, como cuando se llama flaco a un hombre gordo y así se resalta su obesidad». Westfall no comparte la interpretación de Manuel, porque Newton no era tan esquinado en sus ataques: «Cuando atacaba, agachaba la cabeza y cargaba».

La elección de Newton como presidente de la Royal Society fue una buena noticia para la sociedad, presidida hasta entonces por personajes de más peso político que científico; el absentismo de las reuniones de la sociedad de esos presidentes «florero» se hizo legendario: alguno hubo que no asistió a ninguna reunión en cinco años de mandato. Newton, en cambio, estuvo presente en una media de tres de cada cuatro reuniones. Se propuso, además, mejorar el funcionamiento nombrando responsables de experimento para cada una de las divisiones científicas que introdujo.

A la vez, Newton procuró aumentar su dominio sobre la sociedad nombrando, a la menor ocasión, gente de su absoluta confianza para los puestos ejecutivos conforme estos iban quedando libres. En apenas cinco años, Newton se hizo con el control absoluto de la sociedad. Posición de fuerza que no dudó en usar en las dos desagradables peleas que ensombrecieron y amargaron los veinte últimos años de su vida. Una la mantuvo con John Flamsteed, astrónomo real, al tratar de controlar Newton la publicación del catálogo de estrellas que Flamsteed había elaborado tras pacientes observaciones durante décadas; en este conflicto, Newton mostró lo peor de sí mismo en un período de su vida, alcanzados ya honores y reconocimientos, en el que controlaba de forma abusiva y absolutista la ciencia inglesa. La otra fue la que le enfrentó a Leibniz por la prioridad en el descubrimiento del cálculo.

§ 5.3.3. Leibniz

Si abundante fue la producción manuscrita inédita de Newton, la de Leibniz no le fue a la zaga, incluso la superó amplísimamente en algunos aspectos, como por ejemplo en la correspondencia. El conocimiento de los manuscritos de Leibniz no ha cambiado demasiado, sin embargo, nuestra visión del genio alemán, aunque sí ha aclarado y arrojado luz sobre determinados aspectos de su producción intelectual. En opinión de Bertrand Russell, ha servido para mostrarnos lo mejor de la filosofía de Leibniz que, al no ser apropiada para hacerlo popular entre las princesas o para ganar dinero, quedó guardada en sus cajones; también ha contribuido, por poner un ejemplo relevante para este libro, a esclarecer cómo descubrió el cálculo infinitesimal y que el proceso fue independiente al seguido por Newton.

La variadísima fecundidad de Leibniz nos muestra algo que ya sabían sus contemporáneos: que era un maestro de todos los oficios o, como reza la Encyclopaedia Britannica, uno de los más poderosos espíritus de la civilización occidental.

En un mundo como el de hoy que tiende, acaso de manera insensata, a la especialización extrema, sorprende por contraste una mentalidad como la de Leibniz, que de todo quiso saber y en todo algo aportar, ya fuera a aquello por lo que hoy es más reconocido —la filosofía, o la metafísica, o la física, o las matemáticas—, como a otras actividades aparentemente más alejadas de lo intelectual —prensas hidráulicas, drenado de minas mediante molinos de viento, geología, o producción de lino—. Pero en este entender y opinar de todo, mayormente aunque no siempre con agudeza y profundo sentido, encontramos algunas ideas centrales y constantes, como su búsqueda de la Characteristica universalis, o lenguaje universal, que debía ser simbólico y preciso como un bisturí; junto al ars combinatoria, o sistema deductivo, permitiría, según Leibniz: «Hacer los razonamientos tan tangibles como los de las matemáticas, de suerte que podamos descubrir un error a simple vista, y que cuando haya disputas entre gentes podamos simplemente decir “calculemos”, a fin de ver quién tiene razón». Fue precisamente su versión del cálculo infinitesimal, tan plena en magníficas notaciones, un canto a la búsqueda de la Characteristica universalis que pusiera orden entre el maremágnum de resultados sobre cuadraturas, tangentes, máximos y mínimos, centros de gravedad, etc.; ese eco de lo universal lo encontramos en escritos que Leibniz redactó al final de su vida, donde viene a reconocer que, a fin de cuentas, su contribución al cálculo infinitesimal fue un lenguaje que permitió tratar unificadamente multitud de problemas que antes recibían tratamientos dispares.

También se aprecia esa obstinación por la armonía universal reflejada en su obsesión por reunificar las iglesias cristianas —con el eco político de fondo de la unificación de los estados alemanes—, aunque sólo fuera para presentar un frente común de batalla contra el turco infiel. Leibniz trató primero de reunir católicos con protestantes —él era luterano; en varias ocasiones renunció a puestos tan atractivos para él como bibliotecario jefe en el Vaticano o en la Académie Royale des Sciences de París por estar condicionados a que se convirtiera al catolicismo—; y luego, más modesta pero igualmente imposible, a luteranos con calvinistas; para lo cual desarrolló una intensa labor pública a medio camino entre la teología y la diplomacia, y no cejó en hablar con unos y otros, proponer estrategias y diseñar procedimientos —compárese con el solitario e ignoto arrianismo de Newton.

Nada consiguió, aunque no es previsible que tamaño fracaso disminuyera un ápice su optimismo desaforado —otra de sus señas de identidad—, porque ya es ser optimista haber nacido en una Alemania devastada por la guerra de los Treinta Años y escribir (Ensayos de Teodicea): «Entre una infinidad de mundos posibles, el que hay es el mejor de todos; de otro modo Dios no se hubiera determinado a crear ninguno, y vosotros estáis allí en la fuente de la felicidad». «Nuestro mundo, aunque contiene el mal —explicó Bertrand Russell sobre el principio leibniziano—, tiene mayor abundancia de bien sobre mal que cualquier otro mundo posible; este es, por consiguiente, el mejor de todos los mundos posibles y el mal que contiene no proporciona ningún argumento contra la bondad de Dios. Este argumento satisfizo evidentemente a la reina de Prusia. Sus siervos continuaron soportando el mal mientras ella continuó disfrutando del bien, y era reconfortante que un gran filósofo le asegurara que era justo y lícito.» No tuvo Voltaire que exagerar demasiado la caricatura cuando decidió vestir a Leibniz con los ropajes del preceptor Pangloss de Cándido: «Pangloss enseñaba metafísica-teólogo-cosmolonigología, y probaba por modo admirable que no hay efecto sin causa, y que en este mundo, el mejor que se pueda imaginar, el castillo del señor barón era el más hermoso de todos, y la baronesa la mejor baronesa de cuantas existían».

Ahora conviene aludir, aunque sea brevemente, a la infancia de Leibniz; una infancia que no fue tan rica en traumas como la de Newton. Leibniz sí conoció a su padre, profesor de moral de la Universidad de Leipzig y también jurista; la madre de Leibniz fue su tercera esposa. El padre murió en 1652 cuando Leibniz tenía seis años de edad. Le dejó una buena biblioteca, a la que Leibniz sólo tuvo acceso cuando cumplió ocho años, y que sirvió al precoz niño para formarse, aunque también asistió a la escuela. En 1661, ingresó en la Universidad de Leipzig como estudiante de leyes. En 1666 intentó doctorarse aunque fue rechazado por su excesiva juventud —o bien por la enemistad con la mujer del decano de Derecho, como en otras ocasiones contó Leibniz—.

Pasó entonces a la Universidad de Altdorf en Nüremberg, donde sí pudo hacerlo con un trabajo sobre algunos casos difíciles en derecho. En Altdorf le ofrecieron un puesto en la universidad que Leibniz rehusó; Leibniz nunca se mostró muy entusiasmado con las universidades de su época —tal vez con razón—, apostando por crear instituciones alternativas para el desarrollo de la ciencia y el pensamiento, ya fueran revistas para su difusión —léase las Acta Eruditorum, que ayudó a crear en su Leipzig natal—, ya fueran sociedades o academias científicas, como la de Berlín, de la que fue presidente desde su creación en 1700, o la de San Petersburgo cuya creación, poco tiempo después de la muerte de Leibniz, debe mucho sin duda a los consejos del alemán al zar Pedro I.

Leibniz entró al servicio del elector de Maguncia. Esto le permitiría, a la postre, visitar París en 1672 en labores diplomáticas, y allí permaneció hasta octubre de 1676; la visita fue fundamental para su formación, sobre todo científica y, desde luego, matemática, porque fue en los últimos meses en París cuando descubrió el cálculo infinitesimal.

«En el caso de casi todos los otros matemáticos importantes —escribió J. E. Hofmann, el gran estudioso de la primera mitad del siglo XX de las matemáticas de Leibniz— la grande passion es ya reconocible durante la pubertad y conduce en el período inmediatamente siguiente a ideas nuevas y decisivas. En el caso de Leibniz este significativo período biológico transcurrió sin ninguna experiencia matemática especial». En este sentido, como en muchos otros, la formación y trayectoria de Leibniz fue bien distinta de la de Newton.

Cuando llegó a París a los veintiséis años, Leibniz apenas conocía, y mal, el primer libro de los Elementos de Euclides, y sabía poco más que la aritmética aprendida en la escuela; por poner otro ejemplo: la edición de Van Schooten de la Géométrie de Descartes, que hojeó en la universidad, le había parecido demasiado complicada.

Leibniz escribió después que debía su introducción en la matemática avanzada al ejemplo y preceptos de Christian Huygens (1629−1695) —con quien contactó en otoño de 1672—; siguiendo las recomendaciones del holandés, Leibniz estudió a Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes y Sluse, a los que añadió Mercator y Barrow. Especialmente relevante fue el estudio del Traité des sinus du quart de circle, de Pascal, donde aprendió el uso de lo que después denominaría el triángulo característico —este es un triángulo rectángulo con hipotenusa sobre la tangente a la curva y catetos los diferenciales de x e y respectivamente —véase la figura 5.1—. Años después, en una carta a Jakob Bernoulli, uno de sus primeros discípulos, le comentaría que fue este trabajo de Pascal el que, como un relámpago, le hizo ver con claridad que los problemas de tangentes y cuadraturas eran inversos, añadiendo que Pascal tuvo que tener una venda en los ojos para no haberlo visto él mismo. El triángulo característico lo usó Leibniz a lo largo de 1673 para hacer algunos descubrimientos importantes, como su método de transmutación —algo así como la integración por partes actual—, que le permitió, entre otras cosas, calcular el desarrollo en serie para el arco tangente, a partir del cual obtuvo su célebre serie para el número π.

Figura 5.1

Después de sus estudios y descubrimientos sobre cuadraturas, estudió los problemas de tangentes, siendo su principal influencia el método de Sluse. Hofmann, basándose en un detallado estudio de los manuscritos de Leibniz de esta época, concluyó que sus fuentes no fueron ni Newton ni Barrow, sino los antes mencionados, a los que habría que añadir Huygens.

Se puede datar en los días finales de octubre y los primeros de noviembre de 1675 el nacimiento del cálculo infinitesimal leibniziano —si no fuera arriesgado, e incluso incorrecto, poner fecha de nacimiento a un descubrimiento como el del cálculo—. El caso es que, en los manuscritos conservados de esos días, Leibniz introdujo su notación para el cálculo: los célebres símbolos ∫, estilización de la letra inicial de la palabra latina summa, y la letra d para denotar diferenciales; se encuentran en un manuscrito fechado el 29 de octubre de 1675. Con ellos engrasó el proceso algorítmico que a la postre marcaría las diferencias con lo que sus predecesores habían manejado, indagó sobre las reglas que lo rigen e identificó los procesos de integración y diferenciación como inversos. En palabras de Hofmann: «Una vez que este primer y crucial paso hacia la algebrización de problemas infinitesimales se había dado, una nueva visión se desveló a un hombre experimentado en identificar elementos característicos y generales entre una mezcolanza de cosas similares. Tuvo una idea clara de lo mucho que todavía faltaba en su cálculo, pero sabía que sus defectos podían ser remediados y que el camino a un nuevo mundo había sido abierto».

La clave bien pudo estar en la investigación sobre los problemas inversos de tangentes que Leibniz había retomado en octubre de 1675, tras su éxito inicial un año antes al determinar una curva dada su subnormal y su posterior estancamiento.

Para que Leibniz pudiera ver, de entre la maraña de resultados geométricos sobre cuadraturas, centros de gravedad, tangentes, problemas inversos de tangentes, etc., de sus predecesores, los patrones comunes que le llevaron a sintetizar los procesos de integración y diferenciación, fue fundamental el uso del lenguaje algebraico del que Leibniz se hizo buen perito durante las investigaciones sobre la resolución de ecuaciones realizadas los meses anteriores a octubre de 1675.

Para entonces, Leibniz mantenía relaciones fluidas con los matemáticos británicos. Había visitado Londres en 1673 e ingresado en la Royal Society gracias a su máquina de calcular. También había protagonizado varios incidentes con algunos de ellos, fruto de su diletantismo y de la falta de conocimiento matemático que entonces tenía. Incidentes que los ingleses no dejaron de reprocharle durante la polémica por la invención del cálculo. De hecho, Leibniz comunicó lo esencial de su método a Newton en sus respuestas a las cartas que este le envió —usando una vía indirecta— en junio y octubre de 1676. Ese intercambio epistolar entre Newton y Leibniz fue crucial en la disputa posterior sobre la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal.

Leibniz entró al servicio del duque Johann Friedrich, elector de Hannover, y, aunque consiguió prorrogar cuanto pudo su estancia en París, emprendió el regreso a Alemania el 4 de octubre de 1676. Nunca más volvería a la ciudad donde, en los momentos de más presión y pesar por su futuro laboral, descubrió el cálculo infinitesimal. No volvió directamente a Hannover, sino que lo hizo por Londres y Ámsterdam. En Londres estuvo diez días y, entre otras cosas, tuvo acceso a una copia manuscrita del De analysi, entre otros tratados, e incluso tomó notas, aunque sólo de los desarrollos en serie —sobre los que Newton tenía clara ventaja— pero no del cálculo de fluxiones. Cuando veinticinco años después empezara la polémica por la prioridad en el descubrimiento del cálculo, lo que Leibniz viera o no viera durante esta su segunda visita a Londres iba a ser determinante.

En 1677, ya en Hannover, Leibniz tenía las fórmulas correctas para el cálculo de la diferencial de productos, cocientes y potencias, fórmulas que encontró no sin esfuerzo y tras ensayos y errores.

En 1680 tenía prácticamente completo su método de cálculo y, en manifiesta diferencia con las reticencias de Newton para dar sus trabajos a la imprenta, publicó su primer artículo sobre él en 1684: es, también, la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. El artículo, de tan sólo seis páginas —de la 467 a la 473 del tomo de 1684 de las Acta Eruditorum—, recoge de manera muy esquemática, sin demostraciones y prácticamente sin ejemplos, el cálculo diferencial de Leibniz; fue un trabajo muy oscuro y difícil —«un enigma más que una explicación», dijeron de él los hermanos Bernoulli, los primeros en aprender el cálculo de Leibniz—, dificultad aumentada por las erratas de impresión.

Especial mención merece uno de los escasos ejemplos recogidos en el artículo, al que Leibniz le dedica los últimos renglones. Se trata de la solución del problema inverso de tangentes propuesto por De Beaune y que, como Leibniz diligentemente nos informa, Descartes intentó pero no resolvió: «Me agrada añadir como apéndice la solución del problema que Descartes, a propuesta de De Beaune, intentó pero no resolvió: encontrar una línea de tal naturaleza que el corte de su tangente con el eje sea siempre igual a un segmento de longitud constante». Escasamente media docena de renglones, toda una demostración de la potencia de su método, le llevó a Leibniz, con su cálculo diferencial, encontrar la solución: el logaritmo.

No se debe tampoco pasar por alto la singularidad de la vía que usó Leibniz para difundir su cálculo diferencial. Publicó su trabajo en las Acta Eruditorum, esto es, una revista científica que él mismo había ayudado a crear en 1682: un signo de los nuevos tiempos que empezaba a vivir la ciencia.

Un signo que Leibniz repetiría dos años después, en 1686, publicando también en las Acta Eruditorum su segundo artículo —la segunda publicación de la historia también— sobre el cálculo, en este caso, integral. Es en este artículo donde aparece por primera vez impresa su notación integral, aunque por razones de pobreza tipográfica se usó una f, la s sorda de la época, en lugar del signo ∫ que usaba Leibniz en sus manuscritos o, una vez corregida la deficiencia, en impresiones posteriores. También aparece la letra d simbolizando la diferencial, aunque Leibniz ya había usado esa notación en su primer artículo de 1684. En su segundo artículo, Leibniz insiste en la relación inversa de diferenciación e integración —el teorema fundamental del cálculo—.

En cuanto al nombre que le dio a su cálculo, Leibniz tomó la expresión latina para diferencia —differentia— y, de ahí, su cálculo diferencial; a sugerencia de Johann Bernoulli, Leibniz sustituiría su expresión inicial de cálculo sumatorio por el de cálculo integral.

Aparte de estos dos artículos seminales, Leibniz publicó bastantes más sobre el cálculo infinitesimal —hasta 27 contó el profesor Cuesta Dutari entre 1684 y 1708 sólo en las Acta Eruditorum—. Como ya se comentó, en esto también fueron diferentes los descubridores del cálculo: Leibniz prefirió los artículos en revistas científicas para la difusión de sus resultados —era una forma más flexible y rápida de darlos a conocer—, mientras que Newton se inclinó por publicarlos en forma de libro —lo que le permitía retrasar la publicación a su antojo—.

Los Brunswick de Hannover se convertirían en los patronos de Leibniz para el resto de su vida, aunque su carrera en la casa de Hannover no fuera todo lo próspera que a él le hubiera gustado. En 1678, además de bibliotecario pasó a ser también consejero privado, y, en 1685, historiador de la familia. Aunque el rango de actividades que desarrolló para sus patronos fue mucho más vasto: asesoró en cuestiones educativas, ejerció de ingeniero y geólogo en las minas del Harz, donde diseñó molinos de viento para drenar las minas —lo que le causó más de un disgusto y quebranto económico, pues los molinos nunca llegaron a funcionar bien y Leibniz tuvo que sufragar parte de la inversión—, prensas hidráulicas, relojes y otros artilugios mecánicos —no se olvide su máquina de calcular—.

Aunque tal vez su mayor logro para los Brunswick lo alcanzó como historiador: indagando sin descanso en viejos manuscritos de monasterios bávaros y palacios italianos —e, incluso, en los epitafios de tumbas perdidas en ignotos cementerios carmelitas— logró demostrar que sus patronos estaban emparentados con la casa de Este, una rancia familia de príncipes originarios de Módena. Las investigaciones permitieron a la postre a los Brunswick reclamar y conseguir un nuevo electorado en Alemania —el noveno—.

La relación de Leibniz con los Hannover fue buena hasta que, tras la muerte de Ernesto Augusto en 1698 tuvo que lidiar con su sucesor —e hijo— Jorge Luis. El futuro rey Jorge I de Inglaterra nunca congenió con Leibniz, a pesar de las magníficas relaciones que el filósofo mantenía con la madre y la hermana del elector. El elector no apreciaba la calidad intelectual de Leibniz, y sólo parecía importarle que los estudios históricos sobre su casa no progresaran lo suficiente. Añádase a esto que nunca encontraba a Leibniz cuando lo buscaba, porque este aprovechaba cualquier excusa para alejarse de Hannover: que si a Berlín para atender los asuntos de la Academia de Ciencias, que si a Viena para atender al emperador —fue nombrado consejero áulico del Sacro Imperio Romano Germánico con efectos desde enero de 1712—, que si a ver al zar Pedro el Grande de Rusia aprovechando que pasaba por allí —fue consejero privado suyo desde 1711, en especial para la promoción de las matemáticas y la ciencia en Rusia y la reforma del derecho y la administración—, que si cumplimentar a otros príncipes o princesas, electores o electoras, de los que una Alemania fragmentada en mil reinos, obispados-principados, ciudades-estados y estados no andaba escasa.

El trato afable y encantador, del que mayormente hizo gala Leibniz a lo largo de su vida, le permitió granjearse amistades y cultivar relaciones a todo lo largo y ancho de Europa. Y no es que no tuviera enemigos, ni protagonizara disputas, ni su conducta en ocasiones estuviera exenta de honestidad, pero su personalidad nunca mostró la complejidad psicológica de la de Newton.

La disputa entre Newton y Leibniz por la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal acaso sea la más célebre de toda la historia de la ciencia. En cierta forma marcó el procedimiento para resolver —o al menos intentarlo— disputas similares que después se han producido; recordemos que ahí quedó establecida la después tan repetida sentencia: «Los segundos inventores no tienen derechos», tal y como la escribió Newton. No es este el sitio para tratarla, aunque conviene apuntar que la polémica reflejó adecuadamente la singularidad de sus protagonistas; puso de manifiesto, en definitiva, algunas de las más apasionantes complejidades de estos dos genios de la ciencia y el pensamiento. La polémica mostró al Newton colosal, vengativo y complejo; nos mostró al científico, aunque leyendo entre líneas se puede advertir también al mago y, sobre todo, al místico. En los escritos que Newton dedicó al tema, se escenifica una especie de adelanto del juicio final donde cada cual rinde cuentas y son sus hechos pasados los que lo salvan o condenan. Percibimos, casi en cada palabra que Newton escribió sobre la polémica, la profunda religiosidad con que Newton entendía cada hecho de la vida, incluido el hecho científico. Mientras Newton, «cuando atacaba, agachaba la cabeza y cargaba» —por repetir la frase de Richard Westfall—, Leibniz fue más sibilino e incisivo, aunque menos obsesivo —incluso se permitió bromear sobre el asunto de la polémica—.

Las diferencias entre los entierros de Newton y Leibniz son muy simbólicas de lo que fueron sus trayectorias vitales, y por eso cerraré esta sección con una breve referencia a cómo fueron despedidos ambos de este mundo.

Isaac Newton, aquel que en genio sobrepasó a la clase humana, el que fue summus para Gauss, está enterrado en la abadía de Westminster. La tumba de Newton está instalada en una coqueta capillita gótica. «Lo que de Newton es mortal» reposa en un sarcófago de mármol negro con vetas marrones, arropado por un grupo escultórico, quizá de dudoso gusto. De la magnificencia del entierro de Newton nos queda la descripción de Voltaire: «Vivió honrado por sus compatriotas y fue enterrado como un rey que ha hecho el bien a sus súbditos».

Bien distintos a los de Newton fueron los honores que se rindieron a Leibniz tras su muerte el 14 de noviembre de 1716. Leibniz regresó a Hannover a mediados de ese año, tras pasar más de año y medio en Viena, y cuando el rey ya había partido para Inglaterra. A Leibniz le hubiera gustado acompañar a su patrón a Inglaterra cuando este accedió al trono; fue la época más dura de la disputa con Newton sobre la prioridad en el descubrimiento del cálculo, y Leibniz sugirió veladamente el agrado que le produciría presentarse en el mismísimo país donde le tenían por enemigo, arropado e integrado en la corte de su rey —y más de un partisano de Newton así lo temía—, al que repetidamente solicitó el puesto de historiógrafo de Inglaterra. Por más que Leibniz hubiera defendido en 1700 brillantemente la causa de los Hannover a la sucesión inglesa, Jorge I no quería a su historiador en Inglaterra distraído en peleas con los nativos a cuenta del cálculo infinitesimal mientras su árbol genealógico languidecía por falta de atención. Así que le ordenó quedarse en Hannover, exiliado en su propia tierra, casi en arresto domiciliario tras prohibirle explícitamente (1715) viajes largos, y retirarle el sueldo durante dos años y medio después de haber prolongado Leibniz en demasía una estancia en Viena.

Leibniz fue enterrado sin pompa y apenas circunstancia, bajo los cánticos de un coro infantil y rodeado de sus parientes y conocidos más próximos, sin presencia de representante alguno de la corte a pesar de que por esos días el rey y su séquito estaban de caza en una finca cercana. Durante más de medio siglo su tumba careció de inscripción alguna, a pesar de que su único sobrino había heredado de Leibniz unos buenos dineros, por no citar a la casa de Hannover a la que tan bien había servido durante tantas décadas.

§ 5.3.4. Las series de potencias

Las sumas infinitas, o series, fue otro de los caminos que usó el infinito para colarse en las matemáticas. De hecho, poco tardaron los griegos tras crear las matemáticas en tener los primeros devaneos con las sumas infinitas. Aparecen, de manera más o menos camuflada, en algunas de las aporías de Zenón de Elea (490-430 a. C.) contra la pluralidad y el movimiento. En particular, es meridianamente clara la presencia de una suma infinita en la aporía de Aquiles y la tortuga: la aporía de Zenón supone implícitamente que el resultado de sumar un número infinito de términos tiene necesariamente que ser infinito. Apenas dos siglos después de que Zenón propusiera sus aporías, Arquímedes sumaba, con resultado finito, una suma infinita. La serie que sumó Arquímedes era una progresión geométrica de razón 1/4 —la necesitó para uno de sus cálculos del área de un segmento de parábola—.

No conozco, sin embargo, ninguna desautorización de Zenón, argumentando que una suma con infinitos sumandos puede tener resultado finito, anterior a la de Saint-Vincent, veinte siglos después de la suma de Arquímedes y ya en pleno Barroco.

A finales del XVII las series ya eran de uso más o menos generalizado, y preludiaban la Edad de Oro que vivieron durante el Barroco y la Ilustración. A mediados del siglo XVII se empezaron a descubrir los desarrollos en serie de potencias para las funciones elementales. Después de la serie geométrica que expresa el desarrollo en potencias para 1/(1 − x), se descubrió la serie de potencias para el logaritmo, publicada primero por Nicolás Mercator (1620-1687) en 1668. Mercator, danés de origen, residió buena parte de su vida en Inglaterra, donde latinizó su apellido Kauffman en Mercator. Marchó finalmente a Francia, comisionado por Colbert para diseñar los juegos de agua en Versalles, donde murió poco después de llegar, no sin antes haberse peleado con su jefe. Para entonces, James Gregory también había publicado la serie de potencias para el arcotangente, aunque hay referencias fiables a esta serie atribuyéndola al matemático indio Madhava (1340−1425).

Pero el gran impulsor de las series de potencias fue Isaac Newton. De hecho, las series de potencias fueron una de las vías que permitieron a Newton descubrir el cálculo infinitesimal. Así, la serie para el logaritmo ya aparece en manuscritos de Newton de 1665. A través de Barrow, Newton conoció la serie de Mercator unos meses después de publicada, lo que posiblemente ayudó a la composición del De analysi, temeroso Newton de que Mercator pudiera obtener también el desarrollo en serie de potencias para el binomio, que Newton había encontrado en 1665, y, a partir de ahí, descubrir un método de cálculo infinitesimal tal y como él había hecho. En el De analysi también incluyó Newton el desarrollo en serie de potencias para la exponencial, seno y coseno —que obtuvo aplicando al desarrollo del logaritmo y de los arcos el método para invertir series por aproximaciones sucesivas—. No incluyó Newton en el De analysi el desarrollo del binomio, aunque ya lo había descubierto, dándolo a conocer por primera vez en una de las cartas que envió a Leibniz en 1676.

Aunque no tuvieron un papel tan relevante en el descubrimiento de su versión del cálculo, Leibniz encontró también los desarrollos en serie para las funciones elementales, que pudo tener listos hacia la época del intercambio epistolar con Newton (1676).

Precisamente, las series de potencias marcan una de las diferencias entre los cálculos de Leibniz y Newton, aunque hubo otras importantes que muestran hasta qué punto ambos eran conceptualmente distintos.

A partir de 1666 Newton consideraba las curvas —fluentes— como generadas por un punto en movimiento: acuñó entonces su concepto de fluxión —derivada con respecto al tiempo; nótese que la fluxión de una fluente en un instante (la velocidad instantánea) vuelve a ser un número—, desarrolló los correspondientes algoritmos para el cálculo de las fluxiones —el equivalente a nuestras reglas del cálculo para derivar sumas, productos, cocientes, etc.— y mostró que, para calcular el área que encierra una curva, basta con calcular una fluente que la tenga por fluxión —calcular una primitiva, que decimos ahora, y aplicar el teorema fundamental del cálculo—. Es precisamente aquí donde las series de potencias mostraban su utilidad: para calcular la fluente de la fluxión se desarrollaba esta última en serie de potencias y se integraba término a término usando la regla de integración de potencias —dicho sea esto con brutal y anacrónica llaneza—.

Leibniz, en cambio, consideraba las curvas como poligonales de lados rectos de longitud infinitesimal, cuya prolongación generaba la tangente en cada punto a la curva, y de cuya geometría, descrita a través de las relaciones algebraicas explícitas en la fórmula que define la curva, se obtiene la correspondiente relación entre los diferenciales; definió los conceptos de diferencial e integral —es un decir: más correcto que definir sería decir que describió su funcionamiento; contrariamente a lo que pasaba en Newton, el diferencial de una función era una cantidad infinitesimal—, mostró que son inversos el uno del otro —teorema fundamental del cálculo—, y desarrolló el correspondiente proceso de cálculo de diferenciales —reglas de derivación— y los diferenciales de las funciones elementales; esto último de manera mucho más simbólica que Newton: Leibniz prefería expresiones cerradas mejor que desarrollos en series. En este proceder analítico está buena parte de la aportación de Leibniz.

Es significativo de la diferencia entre sus métodos de cálculo que Leibniz siempre separara el descubrimiento de los desarrollos en series de potencias del descubrimiento del cálculo infinitesimal: el primero lo adjudicaba, sin excesivos problemas y aun durante la etapa más dura de la disputa, a Newton, mientras que del segundo llegó a decir en plena pelea que era invento suyo, e incluso que Newton lo había desarrollado a partir de las cartas que habían intercambiado. Por el contrario, Newton siempre insistió en que tanto los desarrollos en series como el cálculo infinitesimal eran un todo y que Leibniz, habiendo aprendido de él los primeros, era también deudor suyo en el descubrimiento del cálculo diferencial.

Parte III

Del siglo XVIII a nuestros días (o casi)

Igual que en la segunda parte, abordaré la tercera parte de esta breve historia separando las matemáticas por ramas. En este caso, no será posible mantener este criterio de forma estricta pues, como comentaré un poco más adelante, quizá la característica fundamental que las matemáticas heredaron del siglo XVII fue el mestizaje.

Tras el nacimiento del cálculo infinitesimal en el último cuarto del siglo XVII, una nueva rama se agregó al árbol de las matemáticas: el análisis, que, con sus diferenciales e integrales como herramientas fundamentales, permitía estudiar los procesos de cambio esenciales para resolver problemas básicos de la física y la mecánica que, hasta entonces, se habían mostrado intratables. Las herramientas del análisis se aplicaron también para estudiar funciones entre números complejos, encontrándose la enorme sorpresa de que esa teoría es por completo diferente a la que se obtiene cuando se trabaja con números reales; era tal la elegancia de la variable compleja que se habló de ella como «la alegría matemática del siglo» —del XIX, se entiende—.

El desarrollo de la geometría analítica dejó obsoletos los venerables métodos de la geometría sintética, que prácticamente se abandonó. A rebufo de los estudios de perspectiva llevados a cabo por los artistas del Renacimiento, surgió la geometría proyectiva, que tras un vacío en el siglo XVIII eclosionó en el XIX. Casi a la vez, y tras dos milenios intentando demostrar infructuosamente el postulado de las paralelas euclídeo, surgieron las primeras geometrías que directamente lo contradecían. Mientras tanto, progresivamente el análisis había venido desde el siglo XVII permeando el estudio de curvas y superficies, hasta que en las primeras décadas del XIX Gauss dio cuerpo a la geometría diferencial de superficies, extendida después por Riemann a la geometría de variedades. Este nuevo instrumento puso de manifiesto la riqueza de geometrías distintas con que podía dotarse a un mismo espacio y hacía patente el problema, ya intuido a principios del XIX, de cuál de ellas correspondía a nuestro universo.

El álgebra siguió la estela del siglo XVI tratando de buscar fórmulas para resolver las ecuaciones de grado quinto y superiores. Se acabó mostrando empeño imposible, pero en el camino el álgebra cambió por completo al detectar que, debajo de ese y otros problemas, algunos de ellos derivados de la teoría de números, latían determinadas estructuras comunes, que pasaron a ser el objeto de estudio de la nueva álgebra surgida a lo largo del siglo XIX.

Dedicaré también algunas páginas a otras ramas como la probabilidad, la topología o la lógica matemática, que cristalizaron en uno u otro momento entre los siglos XVII y XIX.

Como escribí antes, será muy difícil mantener separadas las distintas ramas en que las matemáticas han acabado estructurándose, porque hay entre ellas un alto grado de mestizaje que en este caso es, como en muchos otros aspectos humanos, muy enriquecedor. Ya he hablado de cómo la geometría se mezcló con el análisis para dar lugar a la geometría diferencial, y hablaré en su momento de cómo las estructuras abstractas del álgebra acabaron permeando la geometría para provecho mutuo, o cómo la topología enriqueció determinadas estructuras algebraicas en beneficio del análisis. Las matemáticas se hicieron mestizas y con ello se enriquecieron; se favoreció, además, del desarrollo de otras ciencias, fundamentalmente de la física, lo que hizo surgir nuevos problemas de interés matemático que impulsaron el desarrollo de las propias matemáticas. No en vano, las matemáticas mestizas generadas a lo largo del siglo XIX y primeras décadas del XX generaron las herramientas necesarias para la formulación y desarrollo de las nuevas y potentes teorías físicas del siglo XX: la relatividad general de Einstein y la mecánica cuántica.

Como debe ser breve, nuestra historia no se podrá adentrar demasiado en el siglo XX, porque la progresiva profesionalización hizo estallar la producción matemática, además de iniciar un camino hacia la especialización que vino a romper la dinámica mestiza del siglo XIX. Como escribí en la introducción de este libro, las matemáticas tienen historia pero, sobre todo, tienen futuro que, en buena medida, queda plasmado en los difíciles y apasionantes retos que afronta. Esos retos se concretan en un amplio y variado catálogo de problemas de los que todavía desconocemos su solución, o en las numerosas y fascinantes conjeturas que esperan ser probadas o refutadas. Por eso, en las páginas que siguen describiré tantos de esos problemas y conjeturas como las limitaciones inherentes al carácter básico y breve de esta historia me permitan.

Capítulo 6

Análisis: el lenguaje de la naturaleza

Al inicio del capítulo 3, recordaba la célebre frase en la que Galileo afirmó que el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático; se refería a triángulos, círculos y figuras geométricas que, de forma algo naif, sirven efectivamente para describir algunos fenómenos físicos. Cuando Galileo acuñó esa frase, todavía faltaban bastantes décadas para el descubrimiento del cálculo infinitesimal y su transformación posterior en análisis matemático, herramienta que iba a dar un sentido tan literal, profundo y trascendente a la frase de Galileo como este jamás hubiera imaginado.

He aquí un ejemplo de los muchos disponibles para ilustrar este hecho. Se trata del problema de la catenaria: ¿cuál es la curva que forma la caída libre de una cadena o cable flexible sujeto por sus extremos? El problema ya interesó a Leonardo da Vinci y al mismo Galileo, que pensaron, erróneamente, que debía de ser una parábola. Los dos carecían de la herramienta necesaria para resolverlo: el cálculo infinitesimal, que permite una precisa formulación de ese problema físico en lenguaje matemático, como paso previo a su resolución. Jakob Bernoulli, el primer discípulo matemático de Leibniz, lanzó en 1690 un reto a los científicos del momento para que resolvieran el problema. Al año siguiente se publicaron en las Acta Eruditorum las soluciones aportadas por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli, el hermano menor de Jakob, todos los cuales identificaban correctamente la catenaria como el coseno hiperbólico. Usando coordenadas cartesianas, podemos llamar (x, y(x)) a los puntos de la curva catenaria —véase la figura 6.1—: su identificación equivale a determinar la función y(x) cuya representación gráfica corresponde con dicha curva.

Figura 6.1

Las leyes de la física y los conceptos del cálculo permiten formular una ecuación para la función y(x) que resuelve el problema de la catenaria: esta ecuación tiene la forma

a²(y’)² − y² + a² = 0,

donde y’ es la derivada de la función y, mientras que a denota una constante característica del cable que cuelga —para ser precisos: a es el cociente entre la componente horizontal de la tensión, que es constante, y el peso por unidad de longitud—. A una ecuación como la anterior, donde aparecen ligadas una función y(x) y su derivada y’(x), se la llama «ecuación diferencial». Que esa ecuación diferencial en concreto describa la solución al problema de la catenaria es un buen ejemplo de hasta qué punto tenía razón Galileo cuando afirmó que el libro de la naturaleza está escrito en lenguaje matemático.

Naturalmente, para completar la solución del problema de la catenaria hay que identificar la función que se esconde detrás de esa ecuación. Esto no es sencillo de hacer, pero en este caso se puede, y lo que se obtiene es el coseno hiperbólico, o dicho de otra forma, la siguiente combinación de exponenciales:

y(x) = a cosh x/a = a ex/a + e−x/a/2.

Pero en este capítulo no se hablará sólo de ecuaciones diferenciales. También veremos cómo los conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal fueron evolucionando desde su primitiva y vaga concepción hasta su formulación precisa en el primer cuarto del siglo XIX, y cómo a lo largo de ese prodigioso siglo el análisis de funciones entre números reales se enriqueció con el análisis de funciones entre números complejos. En este último caso, se mostrará cómo análogas definiciones generan teorías y resultados radicalmente distintos —debido a las diferencias geométricas entre la recta y el plano—. En la última sección dedicaremos unas páginas al cálculo de variaciones —otro ámbito de promiscuidad entre física y matemáticas— y al nacimiento del análisis funcional.

Todas esas matemáticas se presentarán trufadas con sus circunstancias sociales y emocionales —la Revolución Francesa sobrevolará todo el capítulo y, en la última sección, también entreveremos el horrible rostro de la segunda guerra mundial—. Para ser consecuentes con esta filosofía, dedicaremos lo que resta de introducción a glosar vida y milagros de los Bernoulli.

Los Bernoulli son, sin duda, la saga familiar más famosa de toda la historia de las matemáticas, estando alguno de sus miembros entre los grandes matemáticos del último tercio del siglo XVII y todo el siglo XVIII. Los fundadores de la saga fueron los hermanos Jakob y Johann Bernoulli —que comparecieron unas páginas más arriba en relación con la catenaria—.

El mayor de ellos, Jakob Bernoulli, nació en Basilea a principios de 1655, en el seno de una próspera familia de comerciantes, refugiados originarios de Flandes que emigraron a Suiza a mediados del siglo XVI huyendo de las persecuciones religiosas y la guerra entre España y Holanda. Contra la voluntad de su padre, que quería que estudiara teología, Jakob se decidió por las matemáticas y la astronomía, e hizo de esa decisión la divisa de su vida: Invito patre sidera verso («Contra el deseo de mi padre estudio las estrellas»). En 1687 consiguió un puesto en la Universidad de Basilea. Estudió las obras de Wallis, Barrow, Descartes y Leibniz. De este último aprendió el cálculo, convirtiéndose junto con su hermano Johann en figuras clave de su desarrollo, perfeccionamiento y expansión. También hizo contribuciones relevantes a la probabilidad —que serán tratadas en la sección § 9.1—. Murió en 1705 en Basilea. Emulando a Arquímedes, quiso que le grabaran en su lápida una espiral logarítmica con la inscripción Eadem mutata resurgo («Aun siendo modificada resurjo invariada»), que venía a resaltar las notables propiedades de invariancia de esta curva que Jakob había descubierto.

Nacido en 1667, el menor en edad de los Bernoulli estudió medicina en la Universidad de Basilea, pero, como en el caso de su hermano, y para dolor de su padre, pronto cambió esos estudios por los de matemáticas. Su hermano le enseñó el cálculo infinitesimal; y, por su parte, durante una estancia en París en 1692, lo enseñó a un noble francés, el marqués de L’Hôpital. Según contó el propio Johann, el marqués era un buen matemático, pero por entonces nada sabía del recién creado cálculo. Al parecer, el marqués se sentía muy orgulloso de un método que había desarrollado para calcular la curvatura de una curva algebraica en algunos puntos particulares. En uno de sus primeros encuentros, el marqués mostró su método a Johann Bernoulli, quien le propuso un ejemplo a modo de prueba. Le llevó al marqués cerca de una hora resolver el sencillo ejemplo de Bernoulli. Para ilustrar la enorme potencia que tenía el nuevo cálculo, Bernoulli le mostró cómo en pocos minutos se podía encontrar la curvatura a una curva genérica en uno cualquiera de sus puntos, y para cotejar ambos métodos propuso ahora como ejemplo una curva que escapaba a las posibilidades del método del marqués. «Le produjo tanta sorpresa —explicó después Bernoulli—, que desde ese momento el marqués quedó hechizado con el nuevo análisis de lo infinitamente pequeño y entusiasmado con la idea de aprenderlo de mí.» Producto de esas enseñanzas fue el primer libro publicado sobre el cálculo de Leibniz; apareció con el título de Analyse des infiniment petits y bajo la autoría del marqués, que había llegado a un acuerdo económico con Johann Bernoulli para usar los descubrimientos de este. En ese libro se recoge el resultado de Bernoulli que conocemos hoy como «regla de L’Hôpital».

De 1695 a 1705, Johann Bernoulli estuvo enseñando matemáticas en la universidad holandesa de Groningen. A la muerte de su hermano en 1705, pasó a ocupar el puesto de este en Basilea, y allí dio poco después clases particulares al joven Leonhard Euler —Johann era amigo del padre de Euler, Johann Bernoulli tuvo una fuerte personalidad y temperamento. Célebre fue su participación en la disputa por la prioridad del descubrimiento del cálculo infinitesimal del lado de Leibniz, sobre todo por el juego sucio que desplegó, que incluyó ataques furibundos contra Newton hechos de forma anónima o en cartas privadas dirigidas a Leibniz, mientras públicamente o en cartas a Newton o sus seguidores vertía halagos casi babosos en favor el genio inglés. Son también famosas las peleas que mantuvo con otros miembros de su familia, en especial con su hermano Jakob o su hijo Daniel. «Algunas de sus cartas matemáticas —escribió al respecto E. T. Bell— están erizadas con el rudo lenguaje que habitualmente está reservado para los ladrones de caballos.» Una de dichas peleas tuvo que ver con la identificación de la catenaria. Como escribí unas páginas antes, fue Jakob quien propuso el problema en 1690 y, aunque dijo haberlo resuelto también, no publicó su solución junto con las que recibió de Leibniz, Huygens y Johann. El orgulloso Johann no desaprovechó la ocasión para desmentirlo: «Los esfuerzos de mi hermano no tuvieron éxito —explicó Johann en una carta, años después de la muerte de Jakob—. Es verdad que me costó resolver el problema y que me robó toda una noche, pero a la mañana siguiente, lleno de alegría, corrí a mi hermano, quien todavía estaba pugnando míseramente con este nudo gordiano sin conseguir nada, siempre pensando como Galileo que la catenaria era una parábola. ¡Para!, ¡para!, le dije, no te tortures más tratando de probar que la catenaria es una parábola, porque es enteramente falso. Y entonces me dejas pasmado diciéndome que mi hermano había encontrado un método para resolver el problema. Te pregunto, ¿piensas realmente que, si mi hermano hubiera encontrado un método para resolverlo, habría sido tan condescendiente conmigo como para no aparecer entre los que lo resolvieron, y cederme a mí la gloria de aparecer solo como uno de los que primero lo resolvieron, junto a los señores Huygens y Leibniz?».

Tres de los hijos de Johann Bernoulli fueron también matemáticos, el más afamado de los cuales fue el ya mencionado Daniel Bernoulli (1700-1782); hizo contribuciones importantes en hidrodinámica y elasticidad, y fue también un habilidoso físico experimental que anticipó la ley de atracción para cargas eléctricas —proporcional a ellas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia—.

Su padre había dispuesto que Daniel se dedicara a los negocios, pero la tradición familiar le hizo desobedecer al padre y convertirse en matemático. En 1725 ganó el premio de la Académie de París, tras lo que fue contratado por la Academia de San Petersburgo, donde también acabaron sus dos hermanos y Euler. A Daniel no le gustaron los aires rusos, y regresó a Basilea en 1734 a pesar de que eso le supuso tener que enseñar durante años botánica, y luego fisiología. El año de su regreso tuvo también una monumental bronca con su padre. Ambos habían presentado sendos trabajos sobre órbitas planetarias a la Académie de París; la calidad de los dos trabajos hizo que el premio fuera compartido. A Johann no le gustó nada compartir el premio, ni siquiera con su hijo que, además, ante la mala perspectiva económica tras volver de Rusia, vivía con el padre, de manera que al irascible Johann no se le ocurrió otra cosa que expulsar al hijo de su casa. Daniel tenía otro carácter, y, cuando cuatro años después publicó Hydrodinamica, su libro más célebre, se presentó a sí mismo como «Daniel Bernoulli, hijo de Johann».

§ 6.1. Domando los infinitésimos

El cálculo infinitesimal venía viciado de origen; durante su etapa larvada, que ocupó los primeros tres cuartos del siglo XVII, momento en que Newton y Leibniz lo hicieron explícito, hasta su desarrollo y perfeccionamiento posterior durante todo el siglo XVIII, el cálculo estuvo «contaminado» por las cantidades infinitamente pequeñas —los infinitésimos o infinitesimales— e infinitamente grandes. Una cantidad infinitesimal es una cantidad indefinidamente pequeña, pero sin llegar a ser cero. El ser diferente de cero le permitía aparecer como denominador en cocientes, y al ser indefinidamente pequeña se podía tomar como cero cuando interesaba simplificar las expresiones. Por su parte, una cantidad infinitamente grande queda invariante cuando se le agrega un número normal, lo que quiere decir que si N es uno de estos números infinitamente grandes, entonces nos encontramos con la inquietante igualdad N + 1 = N.

Naturalmente, con estas peculiares propiedades, el significado real de las cantidades infinitamente pequeñas o grandes fue cuestionado en numerosas ocasiones. El cálculo infinitesimal fue a menudo atacado por basarse en las cantidades infinitesimales. La pregunta era: ¿cómo puede dar resultados correctos un método que se basa en un concepto tan oscuro desde el punto de vista lógico?

El problema de la fundamentación afectaba también al manejo de series, o sea, de sumas infinitas de números. Fueron cobrando un protagonismo cada vez mayor, sobre todo en el siglo XVIII, pero nadie había definido con precisión qué significaba una suma infinita de números. De manera que las series se manejaron de forma casi libre, y el no caer en contradicciones dependía mayormente en la solvencia del matemático que hacía la manipulación, y en la interpretación que, casi siempre implícitamente, le daba a sus manejos.

Los matemáticos que empezaron a usar razonamientos infinitesimales en el siglo XVII —Kepler, Cavalieri, Fermat, Wallis, Pascal o Barrow— apelaron en numerosas ocasiones a que ellos no hacían otra cosa que no hubiera hecho ya Arquímedes, aunque sin tomarse la molestia de rubricar con demostraciones rigurosas los resultados obtenidos, como sí hizo el griego.

Tampoco los fundadores del cálculo dieron una justificación adecuada a sus métodos; tanto Newton como Leibniz fueron conscientes de su debilidad lógica, y cada uno a su manera trató, si no de resolver, al menos de suavizar el problema.

De esta manera, Newton intentó evitar el uso de las cantidades infinitesimales con un proceso de paso al límite, pero no tuvo demasiado éxito en el intento, aunque esos esfuerzos de Newton sirvieron de inspiración para la fundamentación lógica de Cauchy. Así, Newton pergeñó el concepto de «cantidad evanescente» y el de «proporciones últimas de cantidades evanescentes», por los que Newton parecía referirse a un proceso de paso al límite para justificar la indeterminación 0/0 a la que se llega cuando se calcula una derivada, aunque nunca logró definir adecuadamente a qué se estaba refiriendo.

Las cantidades infinitesimales eran más imprescindibles en el cálculo de Leibniz que en el de Newton. Por ejemplo, aparecían en la propia concepción de las curvas que Leibniz tenía. Para Newton eran generadas por un punto en movimiento: «Considero las cantidades matemáticas no como constituidas de partes muy pequeñas, sino como descritas por un movimiento continuo»; mientras que para Leibniz estaban formadas por segmentos rectos de longitud infinitesimal: «Para encontrar la tangente, trazar la recta que una dos puntos de una curva que estén a una distancia infinitamente pequeña, o el lado prolongado de un polígono de infinitos ángulos, que para nosotros equivale a la curva», escribió Leibniz en 1684. Y todavía más clara aparece esta concepción de curva en el libro Analyse des infiniment pettits, del marqués de L’Hôpital (1696), que en su postulado segundo establecía: «Supondremos que una línea curva puede ser considerada como el agregado de un número infinito de líneas infinitamente pequeñas: o, lo que es lo mismo, como un polígono con un número infinito de lados, cada uno de ellos de longitud infinitesimal, que determinan la curvatura de la línea por los ángulos entre estos lados».

Leibniz justificó los razonamientos infinitesimales de forma similar a lo hecho por otros colegas que le precedieron: «Uno toma cantidades tan grandes, o tan pequeñas, como sea necesario para que el error sea menor que cualquier cantidad dada, de manera que uno difiere del estilo de Arquímedes sólo en la expresión, siendo nuestro método más acorde con el arte de la invención». Leibniz puso el dedo en la llaga, en aquella época se estaba más interesado en descubrir que en demostrar.

A pesar del espectacular avance que para la ciencia y las matemáticas supuso el cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, las numerosas críticas sobre la falta de solidez de los fundamentos del cálculo estaban justificadas.

Sin duda, la crítica más dura se produjo en Inglaterra, y estuvo firmada por el obispo y filósofo George Berkeley (1685−1753). Refiriéndose al método de calcular fluxiones usando los incrementos evanescentes escribió: «Debe ser reconocido que Newton usaba las fluxiones como el andamiaje para su edificio, para deshacerse o para librarse de ellas tan pronto como las cantidades finitas proporcionales a ellas fueran encontradas. Pero, siendo entonces estas cantidades finitas encontradas con la ayuda de fluxiones, cualquier cosa que siga de tales cantidades y proporciones debe ser adscrito a las fluxiones; y por tanto estas deben ser previamente comprendidas. ¿Y qué son estas fluxiones? Las velocidades de incrementos evanescentes. ¿Y qué son estos mismos incrementos evanescentes? No son ni cantidades finitas ni cantidades infinitamente pequeñas, ni tampoco se reducen a la nada. ¿No podríamos llamarlos los fantasmas de cantidades desaparecidas?».

§ 6.1.1. Euler

Si Newton y Leibniz son considerados como los fundadores del cálculo, Leonhard Euler (1707−1783) lo es del análisis, toda una rama de las matemáticas que en particular engloba los métodos infinitesimales del cálculo diferencial e integral. En este sentido, sus libros Introductio in analysin infinitorum (1748), Institutiones calculi differentialis (1755) e Institutiones calculi integralis (1768−1770) son las piezas clave que dieron una estructuración adecuada a la nueva disciplina, a los que habría que unir los tratados sobre fluxiones publicados por Thomas Simpson (1737) y Colin Maclaurin (1742) en Inglaterra, o el de María Gaetana Agnesi Instituzioni Analitiche (1748). Agnesi (1718−1799) fue una niña prodigio que quiso hacerse monja, pero a la que su padre convenció para estudiar ciencia, alcanzando ya de adolescente un excelente nivel en mecánica, lógica, zoología o mineralogía. Miembros de la Académie des Sciences de París dijeron que su texto era el que permitía un conocimiento más profundo y rápido de los conceptos del análisis. A pesar de ser mujer, el papa Benedicto XIV la animó a ocupar la cátedra de matemáticas en la Universidad de Bolonia, pero ella prefirió dedicar sus desvelos a trabajos de caridad, especialmente tras la muerte de su padre en 1752, y nunca llegó a ocupar la cátedra boloñesa.

Introductio in analysin infinitorum de Euler, publicada en 1748, supone el nacimiento del análisis; fue para el análisis lo que los Elementos de Euclides para la geometría de los griegos. E. W. Hobson escribió: «Difícilmente podemos encontrar otra obra en la historia de las matemáticas que produzca en el lector una impresión tan fuerte de la genialidad de su autor como produce la Introductio», y como editor y anotador de la primera traducción de la Introductio al castellano, no puedo más que coincidir con esta apreciación.

En este tratado, Euler situó a la función como el objeto de estudio del análisis, sistematizando los trabajos de sus predecesores sobre las funciones elementales y estudiándolas sin recurrir al cálculo diferencial o integral. Hizo, sin embargo, un uso casi obsceno de las cantidades infinitamente grandes y pequeñas, y evitando, en la manera de lo posible, los argumentos geométricos —dibujos— en favor de los analíticos —fórmulas—. La estructuración del cálculo diferencial la llevó a cabo en la segunda obra de su trilogía. A pesar de que Euler era descendiente científico de Leibniz —nieto, podríamos decir, pues recibió clases particulares de Johann Bernoulli—, en Institutiones calculi differentialis Euler retomó la diferencial en el sentido de diferencia, aunque introdujo un cambio en el cálculo leibniziano que lo aproximó a la interpretación de los «incrementos evanescentes» de Newton.

Ante la eterna duda de qué eran los infinitesimales, Euler pensaba que lo realmente importante no estaba en saber qué eran, sino cómo se comportaban. En este sentido, para Euler las cantidades infinitesimales eran cero, o acabarían siendo cero; lo importante era que estas cantidades eran susceptibles de tener cocientes unas con otras. Estos cocientes, que en principio son 0/0, pueden representar una cantidad finita perfectamente determinada. Así los diferenciales dx, dy son importantes en cuanto definen un cociente dy/dx que puede ser determinado. El cálculo es precisamente un método para determinar este cociente cuando los incrementos se desvanecen: «Un método para determinar la proporción de los incrementos evanescentes, estos que las funciones toman cuando la variable de la función se modifica por uno de tales incrementos», escribió en su Institutiones calculi differentialis. Es decir, en el análisis de Euler empieza a surgir el cociente de incrementos

f(x+Δx) − f(x)/Δx

que dará origen a la derivada de una función, concepto que iba a sustituir a las diferenciales dx, dy, que ocupan los puestos de honor en el cálculo de Leibniz. Este cambio, que Euler introdujo, acercó los conceptos del cálculo diferencial de Leibniz a la idea de límite que luego usaría Cauchy para fundamentarlo.

La última obra de la trilogía de Euler, el Institutiones calculi integralis, trata del cálculo integral. Este se entendía explícitamente como la operación inversa a la diferenciación. Aunque todavía tenía el sentido geométrico de área, la integración había perdido el carácter autónomo que Leibniz defendió, y que ayudó a recuperar Cauchy con su construcción de la integral definida.

Euler es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y, sin duda, el mejor de todo el siglo XVIII. Su biografía muestra bien a las claras la situación de la ciencia en Europa: su avance se hacía desde las academias de ciencias no desde las universidades —con la posible excepción de Inglaterra, donde las universidades consiguieron cierto nivel científico—; los descubrimientos se trasmitían a través de bien organizadas revistas científicas generalistas —donde se publicaban resultados de todas las ciencias— y, cuando una disciplina alcanzaba cierto grado de estructura y coherencia, en libros.

Euler nació en Basilea en 1707; estudió teología en la universidad local y estaba predestinado a suceder a su padre, que era pastor calvinista, pero las matemáticas se cruzaron en su camino. Contó con la ayuda de Johann Bernoulli, amigo de su padre, para convencerle, y además recibió clases particulares suyas desde los diecisiete años. El irascible Johann reconoció en Euler a un genio: para él ya siempre sería el matemático más grande.

Euler fue amigo de los hijos de Johann, que lo atrajeron a la Academia de San Petersburgo, donde llegó en 1727 para incorporarse a la sección médica. Llegó a Rusia con mal pie, pues precisamente el día de su llegada murió la zarina Catalina I, viuda del zar Pedro el Grande. Los años que siguieron fueron malos, debidos a las circunstancias políticas, con espías pululando por todas partes y no pocas purgas.

Cuando Daniel Bernoulli dejó la academia en 1733, Euler ocupó su puesto en la sección de matemáticas y, además, se casó. Dos años después perdió la visión del ojo derecho, casi a la vez que publicada la Mechanica, iluminándola con la luz del cálculo infinitesimal hasta convertirla en parte de las matemáticas más que de la física. «Los Principia de Newton podrían haber sido escritos por Arquímedes —escribió E. T. Bell—, ningún griego habría podido escribir la Mechanica de Euler.»

Cansado de la situación en Rusia, Euler aceptó la invitación que Federico II de Prusia le hizo en 1741 para incorporarse a la Academia de Berlín, aunque sin romper sus lazos con la de San Petersburgo, donde siguió enviando numerosos trabajos por los que recibía una compensación económica —Euler siguió siendo muy estimado en Rusia, hasta el punto de que fue indemnizado por la emperatriz rusa cuando sus tropas saquearon una granja de su propiedad durante una guerra con Prusia—.

Los años de Euler en Berlín no fueron felices. El rey había atraído a Euler hacia la academia por recomendación de D’Alembert, y por su fama de ser intelectualmente muy brillante; al estadista le agradaba rodearse de gente sabia, disfrutaba del trato y la conversación con gentes de espíritu elevado, pero el trabajo de Euler no le entretenía. Federico prefería a los filósofos de brillante conversación como Voltaire antes que a los matemáticos, especialmente si estos eran apocados. De sus tiempos en Rusia, Euler había aprendido a ser prudente y callado; preguntado una vez por su timidez respondió: «Es porque vengo de un país donde, quien habla, es colgado». A pesar de la cantidad, calidad y belleza de la producción científica de Euler, el rey no estaba satisfecho con su «cíclope matemático», como despectivamente lo apodaba —recuérdese que Euler era tuerto—.

Y fue mucha la miel que destiló la prodigiosa capacidad de trabajo de Euler, que tuvo fama de poder trabajar concentrado mientras sostenía un bebé en el regazo y sus hijos —tuvo trece— jugaban vociferando a su alrededor. «Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran o las águilas se sostienen en el viento», escribió sobre él el astrónomo y físico francés François Arago. Euler ha sido el más prolífico matemático de todos los tiempos, y se le supone una producción anual de ochocientas páginas. La Asociación suiza de Ciencias decidió publicar sus obras completas en 1909. Más de un siglo después, incluso con la ayuda de asociaciones matemáticas de numerosos países, la edición está todavía incompleta. O sea, que esa reencarnación de Euler a través de la edición de sus obras completas ya dura más años que los vividos por Euler, en los que él solo produjo lo que ahora a tantos les está llevando tanto tiempo editar; lo que debería convencer a los incrédulos de que algo hay de divino en la naturaleza de Euler. La grandiosa producción de Euler incluye trabajos en prácticamente todas las ramas de las matemática y la física matemática, desde grandes tratados hasta lecciones populares de ciencia, filosofía y física, pasando por innumerables artículos pletóricos de originalidad matemática, como el cálculo de la suma de las potencias pares de los números naturales, la determinación de la recta de Euler en un triángulo, o la solución del problema de los puentes de Königsberg —por citar sólo tres ejemplos de casi infinitos; el último se tratará en la sección § 9.2—.

En 1766, Euler aceptó la invitación que Catalina la Grande le hizo desde Rusia para incorporarse de nuevo a la Academia de San Petersburgo. Los problemas con Federico de Prusia y la relativa tranquilidad política en Rusia facilitaron esta decisión. De estupendo se puede calificar el recibimiento que se le dispensó: la propia Catalina le cedió a uno de sus cocineros.

Desgraciadamente, ese mismo año se enteró Euler de que una afección de cataratas le estaba dejando ciego. La noticia pronto se extendió por Europa; D’Alembert, Lagrange y otros grandes del momento la recibieron con tristeza. Sin embargo, el genio de Euler superó esta grave deficiencia física y, valiéndose de una pizarra donde poder escribir con grandes caracteres y dictando sus memorias, la producción científica de Euler no disminuyó. Al contrario, al tener que dictarla, esta ganó en calidad pedagógica. Y usando su excepcional memoria y su facilidad para los cálculos mentales, siguió calculando y calculando hasta morir: «El 7 de septiembre de 1783, después de haber disfrutado haciendo unos cálculos sobre la ley de globos ascendentes en su gran pizarra, almorzó con Lexell y su familia, hablando del planeta de Herschel y los cálculos que determinaban su órbita —escribió Nicolás de Condorcet en su elogio póstumo—. Un poco después solicitó que acomodaran a su nieto entre sus brazos; mientras jugaba con el niño y tomaba su té, la pipa que sostenía en su mano cayó y cesó de calcular y de respirar».

§ 6.1.2. El cálculo en la Revolución Francesa

Avanzado el siglo XVIII, y ya en el continente, Jean le Rond D’Alembert (1717−1783), una figura de mucho más peso matemático que Berkeley, se mostró sumamente crítico con las cantidades infinitesimales: «Una cantidad es algo o nada; si es algo, aún no se ha desvanecido; si no es nada, ya se ha desvanecido literalmente. La suposición de que hay un estado intermedio entre estos dos es una quimera».

D’Alembert perteneció al grupo de científicos y filósofos, como Rousseau, Diderot, Voltaire, que propiciaron el camino a los cambios políticos que desembocaron en la Revolución Francesa. D’Alembert, Rousseau y Diderot fueron los responsables del nacimiento de la Encyclopédie; en particular, D’Alembert escribió buena parte de los artículos matemáticos. Tras nacer en París en noviembre de 1717, fue abandonado por su madre, la marquesa de Tencin, en las escalinatas de la iglesia de St. Jean Baptiste le Rond en París, de donde tomó el nombre, y acabó en un orfanato. La madre de D’Alembert, que de joven fue monja, tuvo luego muchos e importantes amantes, entre los que se contaban un famoso cardenal y el regente de Francia. En 1726 fue encarcelada en la Bastilla y condenada a muerte por un falso crimen; gracias a la intervención de su hermano, otro cardenal, salvó la vida. El padre de D’Alembert fue un amante modesto de la marquesa, el caballero Destouches-Canon, aunque mostró más interés por el niño, ya que lo sacó del orfanato y lo dio en adopción a la mujer de un vidriero. Gracias a su influencia, el joven D’Alembert pudo cursar estudios en un prestigioso centro de estudios jansenista, y cuando aquel murió, le legó, sin revelar su identidad, una importante cantidad de dinero. Cuando D’Alembert llegó a ser un personaje famoso, su madre, la marquesa, intentó aproximarse a su hijo, siendo rechazada por este, que prefirió seguir llamando madre a la adoptiva. D’Alembert hizo importantes aportaciones en mecánica, astronomía y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales —hablaré de ellas en la siguiente sección—.

D’Alembert, en la Encyclopédie, dio una primitiva definición de límite, que Cauchy tomaría como punto de partida de su fundamentación del cálculo: «A una cantidad se la llama límite de una segunda cantidad variable si la segunda puede aproximarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada, sin llegar nunca a coincidir con ella». En su artículo Diferenciales, en la misma Encyclopédie, indicó el camino para dar un fundamento riguroso al cálculo: «Newton no consideraba el cálculo diferencial como el estudio de las cantidades infinitamente pequeñas, sino como el método de primeras y últimas razones, o, lo que es lo mismo, el método para hallar los límites de las razones. Uno siente que la admisión de las cantidades infinitamente pequeñas sólo sirve para abreviar y simplificar los razonamientos; pero el cálculo diferencial no necesita suponer la existencia de tales cantidades; y, más aún, este cálculo consiste meramente en la determinación algebraica del límite de una razón».

Otra línea distinta siguió Lagrange, que, en su libro Théorie des fonctions analytiques publicado en 1797, usó el desarrollo en serie de potencias para definir la derivada. A Lagrange se debe, precisamente, el nombre de «derivada» y la notación del apostrofe f’ para denotar la derivada de la función f. Sin embargo, su intento fue infructuoso y abocado al fracaso porque, como pondría Cauchy después de manifiesto, una función no tiene siquiera que coincidir con la serie de potencias obtenida a partir de ella.

A manera de anécdota, citaré que los esfuerzos de Lagrange para fundamentar el cálculo fueron muy apreciados por Karl Marx, el filósofo fundador del marxismo. Aunque tarde, 1863−1883, cuando los trabajos de Weierstrass ya habían puesto bases sólidas al análisis, Marx mostró gran interés por la fundamentación del cálculo, llegando incluso a escribir algunos trabajos sobre los conceptos de derivada y de diferencial. Marx consideraba tres períodos en la evolución del cálculo, el cálculo diferencial místico de Leibniz y Newton, el cálculo diferencial racional de D’Alembert y el puramente algebraico de Lagrange. De los matemáticos del primer período dijo: «Ellos mismos creían en el misterioso carácter del cálculo recién descubierto, que producía resultados ciertos por un procedimiento matemático positivamente falso». Sin embargo, fue más condescendiente con D’Alembert y Lagrange: «D’Alembert, despejando al cálculo diferencial de su ropaje místico, ha dado un enorme paso adelante. Lagrange tomó como punto de partida el teorema de Taylor, que es el más general y extenso, y al mismo tiempo una fórmula operacional del cálculo diferencial».

En la primera mitad del siglo XIX se produjo la definitiva fundamentación rigurosa del cálculo infinitesimal. Fue esencialmente Cauchy en sus cursos en la École Polytechnique quien inició esta tarea, y Weierstrass quien la finiquitó, aunque también fueron muy interesantes las contribuciones de Bernhard Bolzano (1781−1848) sobre funciones continuas que, sin embargo, pasaron desapercibidas por publicarse en una oscura revista de Praga.

Pero, antes de describir la contribución de Cauchy, conviene dedicar unos párrafos a la École Polytechnique, porque su creación supuso un cambio de rumbo en la institucionalización de las matemáticas.

La Revolución Francesa había puesto especial empeño en guillotinar a las 22 universidades que por entonces existían en Francia. La medida tuvo ventajas y desventajas. Entre estas últimas se puede citar que durante un tiempo produjo escasez en la provisión de maestros y algún déficit en su formación, aspectos ambos que el sistema universitario anterior a la revolución atendía razonablemente bien. Aunque acaso las ventajas fueran más: quizá no haya otra forma de quebrar la inercia conservadora, corporativista y endogámica cuando se apodera de una universidad, lo que no es raro que ocurra, que no sea ordenar su cierre y posterior disolución.

Como ya se dijo, en la Europa del siglo XVIII, con la posible excepción de Inglaterra, las universidades languidecían atrapadas por un escolasticismo rancio y moribundo; controladas en buena parte por la Iglesia, estaban ayunas de ciencia y más preocupadas por «vocear las quididades del ente, o el principio quod de la generación del Verbo», como denunció el ilustrado español Pablo de Olavide. De hecho, durante el siglo XVIII la nueva ciencia no se desarrolló en las universidades sino en las Academias de Ciencias, ya fueran la Royal Society de Londres, la de París, la de Berlín, o la de San Petersburgo. Así, los grandes matemáticos del siglo XVIII, Euler, D’Alembert o Lagrange, no fueron profesores universitarios sino que se ganaron la vida trabajando en las academias a sueldo del rey de turno.

Por completar el panorama, diremos que la enseñanza de las matemáticas en las universidades francesas de antes de la revolución, cuando la había, tenía casi el mismo nivel que lo enseñado en los centros específicos de formación de maestros —principalmente en manos de los jesuitas—. Con diferencia, los centros donde la enseñanza de las matemáticas tenía más nivel eran las escuelas de ingeniería —entonces fuera del sistema universitario—; las dos principales, Ponts et Chausées y la escuela de ingenieros militares de Méziéres —en esta última enseñó Gaspard Monge (1746−1818)—, fueron fundadas en 1747 y 1748, respectivamente.

La situación cambió con la creación en 1794 de la École Polytechnique. Desde su fundación, las matemáticas tuvieron un papel fundamental en la École, no por casualidad contó entre sus fundadores con un buen ramillete de matemáticos, entre ellos, Carnot, Monge, o Lagrange —que se incorporó siendo casi sexagenario—; de entre los cuales Carnot fue el más débil desde el punto de vista científico, pero el más influyente políticamente hablando, pues tuvo una implicación decisiva en la Revolución Francesa, primero con cargos en el Comité de Instrucción Pública, después votando por la muerte del rey, y finalmente siendo nombrado ministro de la Guerra.

Después de unos difíciles comienzos, la École Polytechnique se configuró como el centro de partida donde se impartía una formación científica general y de calidad a los futuros ingenieros antes de que recibieran las enseñanzas específicas en las écoles d’application —que era los centros especializados: Ponts et Chaussées, Mines, ingenierías militares, etc.—. Así, en la École Polytechnique se ofrecían dos años preparatorios para ingenieros civiles o militares, siendo las matemáticas la principal materia que se enseñaba. Desde un inicio, la tensión fue evidente entre los que defendían la enseñanza de unas matemáticas más aplicadas frente a los que apostaban por una sólida formación en ramas más teóricas —la sempiterna discordia sobre si las matemáticas deben ser sirviente o señora, a la que dediqué el capítulo 2—. Entre los primeros estaba Monge, muy implicado y comprometido con la creación de la École, mientras que Lagrange, también profesor fundador, se contaba entre los segundos. Al final fue Laplace quien inclinó la balanza hacia el lado de los teóricos —influencia que Cauchy ayudaría a consolidar cuando ejerció allí de profesor en la década 1820−1830—. Laplace tuvo en la École bastante influencia aunque nunca llegó a enseñar allí, si bien durante algún tiempo participó como examinador en las pruebas de ingreso. En las primeras décadas de la École, el análisis matemático ocupaba cerca de un 30 % del currículum del primer año, en clara competencia con la geometría descriptiva de Monge, a la que se dedicaba el 26 %. En el segundo año, el análisis se llevaba el 18 % del currículum y la geometría descriptiva el 3 %. La mecánica —entonces parte de las matemáticas— recibía también atención importante: 17 % en el primer año y 22 % en el segundo. Compárese con la atención recibida por la física, 5 % y 7 % en el primer y segundo año, o la química, 5 % en cada año.

Pero volvamos a las aportaciones de Cauchy a la fundamentación del cálculo, quien logró generar una corriente de pensamiento matemático preocupada por elevar el nivel de rigor hasta entonces exigido en las demostraciones. Corriente que marcaría el discurrir de las matemáticas durante todo el siglo XIX.

Clara muestra de este empeño de Cauchy fueron las clases que, para desesperación de sus alumnos, impartió de 1817 a 1830 en la École Polytechnique y, sobre todo, los textos que publicó. Los más importantes para la historia que aquí nos trae son el Course d’Analyse (1821) y los Resumé des leçons sur le calcul infmitesimal (1823).

Como base para fundamentar el cálculo infinitesimal, Cauchy proponía el concepto de límite, y usándolo definió los infinitésimos como variables que tienden a cero. Análogamente, para el manejo de series propuso la definición de límite de una sucesión que, tras el añadido de los epsilones de Weierstrass, es hoy de uso común. Cauchy definió la suma de una serie como el límite de la sucesión de sumas parciales y estableció también que sólo cabía hablar de suma de una serie cuando fuera convergente, acabando así con la tradición de manipulación casi libre de series divergentes tan característico del análisis durante todo el siglo XVIII; las series divergentes, sin embargo, volvieron a tener cierto protagonismo entre finales del siglo XIX y principios del XX, cuando se recuperó, fundamentó y amplió casi todo lo hecho con ellas en el XVIII. Los trabajos de Cauchy acerca de la convergencia de series crearon gran revuelo en su momento. Célebre es la anécdota que cuenta que tras la reunión de la Académie des Sciences donde Cauchy expuso sus ideas sobre la convergencia de series, Laplace, totalmente preocupado, se recluyó en su casa, y hasta que comprobó que todas las series que usaba en su Mécanique céleste eran convergentes, no respiró tranquilo.

En los Resumé, Cauchy definió la derivada tal y como hoy lo hacemos. Allí encontramos también la definición de la integral de una función continua f como el límite de las sumas de Cauchy

f(a)(x₁ − a) + f(x₁)(x₂ − x₁) + … + f(xn−1)(b − xn−1),

siendo a < x₁ < x₂ < … < xn−1 < b una partición del intervalo [a, b], tomando límite cuando la amplitud de la partición tiende a cero. El libro se completa con la definición y estudio de integrales impropias, valor principal e integrales singulares, el teorema fundamental del cálculo, fórmula de Taylor, etc. Fue aquí donde Cauchy mostró una función,

f(x) = e−1/x²,

que define en 0 una serie de potencias cuya suma no es igual a la función de partida, mostrando así la imposibilidad de asentar el cálculo infinitesimal sobre bases sólidas siguiendo la idea de Lagrange.

La integral de Cauchy fue extendida para funciones más generales a mediados del siglo XIX por Riemann, y ampliada unas décadas después por Thomas J. Stieltjes (1856−1894). Para propósitos prácticos, la integral de Riemann suele ser suficiente, pero el marco teórico definitivo no se consiguió hasta los años finales del siglo XIX y primeros del XX, cuando Émile Borel (1871−1956) y Henri Lebesgue (1875−1941) impulsaron las teorías modernas de la medida y la integración.

Los esfuerzos de Cauchy por justificar de manera lógicamente adecuada el cálculo infinitesimal supusieron un paso de gigante, pero un paso que no fue definitivo. Niels Abel, el gran matemático noruego, fue uno de los primeros en señalar la importancia de los trabajos de Cauchy en pro del rigor, a la vez que advertía de que no eran suficientes, sino más bien un avance en una lucha colectiva que, en análisis, no culminaría hasta mediados del siglo XIX con los trabajos de Weierstrass —y, si queremos incluir una construcción precisa de los números reales, habría aún que retrasar dos décadas más esa culminación—. El mismo Abel mostró, en un artículo publicado en 1826, que uno de los teoremas del Cours d’Analyse de Cauchy «admitía excepciones» —apréciese lo diplomático de la frase—. Con todo, lo que realmente muestra que los esfuerzos de Cauchy por instaurar un nivel adecuado de rigor en el análisis fueron más un paso en una evolución que una estación de llegada, es que los historiadores de las matemáticas no se han llegado a poner de acuerdo sobre si ese y otros teoremas de Cauchy son o no erróneos. Esta aparente contradicción en las explicaciones de los historiadores se debe a que las definiciones que Cauchy incluyó en su Cours son imprecisas, «intrínsecamente vagas», como las calificó el historiador Ivor Grattan-Guinness.

Durante la primera mitad del siglo XIX comenzó a pensarse, hasta llegar al convencimiento, que los postulados de la geometría de Euclides no eran verdades a priori, y que negaciones de esos mismos postulados —sobre todo del de las paralelas— podían generar geometrías tan válidas como la euclídea —se tratará con más detalle en la sección § 7.2—. Como consecuencia inmediata, esto supuso un terremoto en los asuntos relacionados con el rigor matemático. La validez no empírica de todos aquellos resultados que se habían sustentado en razonamientos de tipo geométrico quedaba en entredicho. De esta forma, la geometría euclídea perdía su carácter como paradigma de disciplina no empírica sobre la que sustentar de forma rigurosa cualquier otra. Su lugar fue ocupado rápidamente por la aritmética, es decir, el sistema de los números naturales.

En este sentido, Karl Weierstrass (1815−1897) revisó la definición de límite de Cauchy, eliminando los elementos con sabor geométrico que aparecían en dicha definición —tales como «aproximan indefinidamente» o «disminuyen indefinidamente», o «menores que cualquier cantidad dada»—, y sustituyéndolos por expresiones aritméticas basadas en las ahora clásicas expresiones algebraicas del épsilon y el delta.

Desde finales de 1850 hasta finales de 1880, Weierstrass estuvo impartiendo clases en la Universidad de Berlín; aunque no publicó sus lecciones, estas definiciones nos han llegado a través de sus numerosos alumnos. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, Alemania fue afianzándose como el centro del saber matemático, quitándole el puesto a Francia, lo que aseguró una eficaz difusión de la aritmetización del análisis de Weierstrass.

No quisiera terminar esta sección sin mencionar el desorden histórico con el que hoy se enseñan los conceptos del cálculo: primero se introducen los límites y después las derivadas e integrales. Desde Cauchy, la costumbre es hacerlo así, y se consigue una cierta economía lógica con ese planteamiento… Aunque quien esto escribe discrepa de los efectos beneficiosos que las economías lógicas tienen en la enseñanza de algo tan sutil y complejo como el cálculo infinitesimal, en particular, y las matemáticas, en general.

§ 6.2. El esplendor de las ecuaciones diferenciales

Tras el descubrimiento del cálculo infinitesimal en el tercer cuarto del siglo XVII y su transformación en análisis a lo largo del siglo XVIII y principios del XIX, fueron casi incontables los problemas físicos traducidos al lenguaje de las ecuaciones diferenciales, ya fueran ordinarias —la incógnita es una función de una variable que aparece mezclada en la ecuación con su derivada o derivadas sucesivas—, ya fueran en derivadas parciales —la incógnita es una función de varias variables que aparece mezclada en la ecuación con sus derivadas y derivadas sucesivas con respecto a las distintas variables—, o ya fueran sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias o en derivadas parciales —varias funciones incógnitas, de una o varias variables, mezcladas con sus derivadas en varias ecuaciones—.

Entre esos problemas, tenemos los que buscan determinar una curva conociendo alguna propiedad física característica, como el de la catenaria —y sus diversas variantes: cadena con densidad constante o variable, elástica o inelástica…—, o el de la braquistócrona, curva por la que un cuerpo que cae por gravedad desciende a velocidad máxima entre dos puntos no situados en vertical, y cuya solución es la cicloide. Ese problema fue propuesto por Johann Bernoulli en 1696, uno de cuyos objetivos era saber si Newton era capaz o no de resolverlo. Newton estuvo a la altura y resolvió el problema en apenas una tarde, a pesar de haber regresado cansado a su casa tras un atareado día de acuñación de moneda en el Tesoro inglés. Newton publicó anónimamente la solución en la revista de la Royal Society, pero las escasas ochenta palabras que utilizó fueron suficientes para que Bernoulli adivinara quién era el autor: «Tanquam ex ungue leonem», afirmó —«Reconocerás al león por sus garras»—. Otro problema que acabó proponiéndose a Newton como reto fue el de las trayectorias ortogonales a una familia de curvas, relacionado con la trayectoria que sigue la luz en un medio no uniforme; el problema había sido resuelto para algunos casos particulares por Leibniz, y fue en relación con él donde se empezaron a usar por primera vez derivadas parciales y cálculo en varias variables.

Otros problemas que se modelizaron con ecuaciones diferenciales fueron los de elasticidad, péndulos, resistencias o calor, como la descripción de la forma de una vela bajo la presión del viento, o la forma que adopta una cuerda que vibra, o la difusión del calor en una placa metálica que se calienta —que dan origen a ecuaciones de segundo orden: en la ecuación aparecen las derivadas segundas de la función—, o la descripción del desplazamiento transversal de una barra elástica.

Y, naturalmente, estaban los problemas asociados a la nueva visión del universo que había traído consigo la revolución de la astronomía. Como es bien sabido, para las matemáticas de los Principia Newton prefirió el lenguaje de la geometría sintética al estilo griego. En los momentos álgidos de la disputa con Leibniz, Newton dijo con frecuencia que había usado su cálculo fluxional para deducir gran parte de los resultados de los Principia, pero que luego los presentó con lenguaje geométrico; aunque no se ha encontrado ninguna prueba manuscrita de esto, es bien cierto que los patrones del cálculo infinitesimal se pueden reconocer debajo del maquillaje geométrico de los Principia.

Conforme el siglo XVIII avanzaba, los métodos analíticos fueron considerados para el estudio del movimiento planetario, siendo Daniel Bernoulli uno de los primeros en estudiar el movimiento de dos cuerpos usando el correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales asociado, y recibiendo por ello el premio de la Académie de París en 1734 —y que le acarreó como daño colateral que su irascible padre le expulsara de su casa—; estudios más amplios y profundos, incluyendo el problema de los tres cuerpos y la teoría de perturbaciones, fueron posteriormente considerados por los más grandes matemáticos del siglo XVIII, como Euler, Lagrange o Laplace.

Merece la pena desarrollar con cierto detalle cómo el cálculo infinitesimal permite, primero, plantear el problema del movimiento planetario para dos cuerpos en forma de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden a partir de las leyes del movimiento de Newton y la gravitación universal; y, después, resolverlo para descubrir qué forma adoptan las órbitas. Si el lector no está muy acostumbrado a los manejos matemáticos, puede saltarse estos párrafos, pero el esfuerzo de tratar de entenderlos es muy gratificante: estamos ante una cumbre científica de primer nivel que, además, es pura magia, y uno de los ejemplos supremos que muestran hasta qué punto estuvo acertado Galileo afirmando que las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza —por más que el genio italiano no se estuviera refiriendo a las ecuaciones diferenciales—.

Para simplificar supongamos que uno de los cuerpos, de masa M, permanece fijo en el origen de coordenadas, y que el otro, de masa m, se mueve en un plano —esto no haría falta suponerlo, porque la gravitación entre dos cuerpos produce siempre movimientos en un plano; es, además, relativamente fácil de demostrar pero no entraré aquí en ese detalle—. Pongamos ahora X(t) = (x(t), y(t)) para las coordenadas del cuerpo móvil en el instante t, y sea

r(t) = √x²(t) + y²(t)

la distancia que los separa. Según la ley de gravitación universal, la fuerza ejercida sobre el cuerpo móvil irá en dirección contraria al vector unitario X(t)/r(t) —que da la dirección hacia el otro cuerpo— y será inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; esto da

donde G es la constante de gravitación universal. Pero, por otro lado, sabemos que la fuerza es masa por aceleración, y que la aceleración es la derivada segunda con respecto al tiempo; esto da

F = m( x’’(t), y’’(t) )

Igualando las dos expresiones para las fuerzas obtenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

x’’ = −kx/r³,    y’’ = −ky/r³,

donde, para simplificar, he escrito k = GM. Una vez expresado el problema del movimiento de dos cuerpos bajo los efectos de la gravedad en forma de ecuaciones, hay ahora que resolverlas. En este caso, eso no es excesivamente difícil. El sistema es mejor manejarlo en coordenadas polares, por lo que si llamamos, como antes, r(t) a la distancia entre los cuerpos en el instante t, y θ(t) al ángulo que forma el segmento que une los cuerpos con el eje, y tenemos en cuenta que

x = r cos θ,   y = r sen θ,

un cálculo muestra que las dos ecuaciones diferenciales anteriores se pueden reducir a la forma

r’’ − (θ’)² r = −k/r²,   r θ’’ + 2r’ θ’ = 0.

La segunda ecuación da inmediatamente que θ’ = c/r², donde c es una constante de integración. Escribiendo ahora t como función de θ, y haciendo r = r(t(θ)), obtenemos, tras manipulaciones relativamente sencillas con las dos ecuaciones, la nueva ecuación

esta ecuación es lineal en 1/r, tiene coeficientes constantes, y es fácil de integrar, obteniéndose finalmente

r(θ) = c² / k/1 + e cos θ,

donde e es una constante de integración que depende de la velocidad inicial que se le suponga al cuerpo móvil. Eso permite identificar la trayectoria, porque esa función r(θ) tiene la forma de la ecuación polar de una cónica con foco en la posición que ocupa el cuerpo fijo y excentricidad e; por tanto, será una circunferencia para e = 0, una elipse para 0 < e < 1, una parábola para e = 1, y una hipérbola para 1 < e.

Mucho más complicado, porque no admite soluciones que puedan ser expresadas en términos de las funciones elementales, es el problema del movimiento de tres cuerpos por efecto de la gravedad —como el sistema Sol, Tierra y Luna, suponiendo despreciable el efecto de los otros planetas—. Euler hizo contribuciones al cálculo aproximado de soluciones y las aplicó al movimiento lunar: permitieron al astrónomo Tobias Mayer calcular la posición de la Luna con suficiente exactitud como para permitir un considerable avance en la precisión del cálculo de la longitud de un barco en alta mar. Estos cálculos le valieron a la viuda de Mayer un premio de tres mil libras y trescientas para Euler, pagadas por el Parlamento Británico por las mejoras que sus cálculos supusieron en la resolución del problema de la longitud. Lagrange calculó de forma exacta algunas soluciones especiales del problema de los tres cuerpos —algunas de las cuales se corresponden con situaciones reales del sistema solar, como se descubrió a principios del siglo XX para el caso del Sol, Júpiter y un pequeño asteroide de nombre Aquiles—. A finales del siglo XIX, Poincaré advirtió la existencia de inestabilidad en el sistema solar estudiando las ecuaciones del problema de tres cuerpos, impulsando así la teoría del caos en los sistemas complejos —pequeñas variaciones pueden implicar grandes efectos, o, como explicó E. N. Lorenz en la segunda mitad del siglo XX: «El aleteo de una mariposa en Brasil puede generar un tornado en Texas»—.

El problema todavía más general de n cuerpos que se mueven por efecto de la gravedad dio lugar a la teoría de perturbaciones, con contribuciones de Clairaut, Euler, Laplace, y, sobre todo, de Lagrange, cuyos fundamentos y desarrollo matemático pulió en la segunda edición de su obra magna, la Mécanique analytique —completada en 1782, la primera edición apareció en 1788 y la segunda en 1811 (primer volumen) y 1816 (segundo volumen)—. A mediados del siglo XIX, la teoría de perturbaciones logró un éxito realmente increíble al descubrir la ubicación de un nuevo planeta, al que se llamó Neptuno, usando solamente las irregularidades detectadas en la órbita de Urano —descubierto por William Herschel en 1781—; para lo cual los astrónomos Urbain Leverrier y John Adams, de manera independiente, tuvieron que resolver un complicadísimo problema inverso de perturbaciones de órbitas planetarias —es un problema inverso porque intenta averiguar la causa conociendo algunos de sus efectos, en este caso se determinó la posición del nuevo planeta conociendo las perturbaciones que causaba en la órbita de Urano—.

Lo dicho hasta ahora permite afirmar que las ecuaciones diferenciales fueron un nuevo tipo de objeto matemático descubierto a finales del siglo XVII, de enorme importancia en tanto que permiten expresar en lenguaje matemático muy diversos y fundamentales problemas de la física. Conforme el siglo XVIII se desplegaba, se las empezó a estudiar aisladamente, estuvieran o no conectadas con problemas físicos. Inicialmente se buscaba alguna solución particular, y después se desarrollaron métodos que permitieron resolver tipos de ecuaciones que compartieran algunas características comunes —por ejemplo: ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas con coeficientes constantes, resueltas completamente por Euler hacia 1743—, ya fuera encontrando familias de soluciones o soluciones singulares. Una ecuación diferencial no define a una sola función; por ejemplo la ecuación diferencial más simple y’(x) = f(x), donde fes una función continua definida en un intervalo [a, b], admite infinitas soluciones:

Para calcular una en concreto necesitamos saber, además de la ecuación diferencial, alguna propiedad más de la solución; en nuestro ejemplo bastaría saber el valor que toma en un punto, ya que esto determina de manera unívoca la constante c. A mayor orden de la ecuación diferencial, mayor número de condiciones habrá que imponer para determinar de manera unívoca una solución. A este tipo de problemas, que consiste en fijar determinadas condiciones sobre los valores que toma una solución y sus derivadas se le llama de valores iniciales o de Cauchy, pues al matemático francés se deben los primeros estudios generales del problema —esas condiciones suelen afectar al valor de la solución y/o sus derivadas en una cantidad finita de puntos aislados, o bien en curvas, superficies o hipersuperficies, dependiendo de que la ecuación sea ordinaria o en derivadas parciales—.

Algunos métodos de resolución dieron lugar a la introducción de nuevas funciones, como fue el caso de la integración de ecuaciones buscando la solución en forma de desarrollo en serie de potencias con coeficientes indeterminados. De esa forma, Euler empezó el estudio de numerosas familias de funciones especiales —llamadas así para distinguirlas de las funciones trascendentes elementales—; por citar sólo dos ejemplos, consideremos las dos siguientes ecuaciones de segundo orden —donde a, b, c son parámetros—:

x² y’’ + x y’ + (x² − a²) y = 0,

x(1 − x) y’’ + [c + (a + b + 1)x] y’ − aby = 0.

Esas ecuaciones son hoy conocidas como ecuaciones de Bessel e hipergeométrica, respectivamente, y sus soluciones dan lugar a la función de Bessel y a la función hipergeométrica de Gauss. Los nombres hacen referencia a Friedrich W. Bessel (1784−1846) astrónomo de Königsberg y a Gauss, que hicieron estudios mucho más completos que los de Euler sobre dichas ecuaciones —el primero en relación con el movimiento planetario—.

A lo largo del siglo XIX, la lista de funciones especiales —conectadas por lo general con la física matemática— se hizo casi inabarcable. Por razones de melancolía profesional no puedo dejar de mencionar aquí las llamadas familias clásicas de polinomios ortogonales asociadas a los nombres de Legendre —los de este tipo también los estudió Gauss—, Jacobi, Edmond Laguerre (1834−1886) o Hermite, todos los cuales pueden verse como casos especiales de los problemas estudiados por los franceses Charles Sturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809−1882). En la segunda década del siglo XX, casi todas esas familias clásicas de polinomios aparecieron de manera estelar cuando se estudiaron los modelos básicos en mecánica cuántica —oscilador armónico unidimensional y átomo de hidrógeno— a partir de la ecuación diferencial en derivadas parciales propuesta por Erwin Schrödinger (1887−1961).

Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales fueron consideradas a la par que las ordinarias, y por las mismas razones: eran indispensables para el estudio y resolución de numerosos problemas de la física. El primer estudio relevante sobre ellas tuvo como protagonista el problema de la cuerda vibrante, por el que se quiere determinar el movimiento de una cuerda sujeta por sus extremos que vibra después de sufrir una modificación inicial —se estudiaron también varias generalizaciones: cuerdas con diferente grosor, membranas que vibran, etc.—. Las vibraciones de la cuerda de una guitarra o un violín son ejemplos prácticos del problema de la cuerda vibrante. Este fue un problema donde, en cierta forma, las matemáticas volvían a sus más remotos orígenes, por la inevitable conexión con los descubrimientos pitagóricos de la relación de los primeros armónicos con las proporciones entre los números 9, 8 y 6 con el 12. Pero, ahora, las matemáticas llevaban en sus alforjas todo un arsenal de potentísimas herramientas, que hubieran hecho sin duda las delicias de Pitágoras, y que permitían sintetizar en una ecuación el problema de la vibración de la cuerda: apliquemos a una cuerda de longitud l, situada sobre el eje horizontal y fija por los extremos —que suponemos están sobre 0 y l—, una deformación que viene dada por la función f(x), que es conocida, y dejemos entonces que la cuerda vibre a partir de esa posición inicial.

Figura 6.2. Estado inicial de la cuerda

Figura 6.3. Vibración de la cuerda en el instante t

Si llamamos y(x, t) al desplazamiento del punto x de la cuerda en el instante t, entonces se debe cumplir

∂²y/∂t² = a²∂²y/∂x²,

donde a es una constante propia de la cuerda; también se deben cumplir las llamadas condiciones iniciales, esto es, y(0,t) = y(l,t) = 0 al estar la cuerda fija por los extremos,

∂y(x,0)/∂t = 0

al estar inicialmente inmóvil —la velocidad es la derivada con respecto al tiempo—, e y(x,0) = f(x) para dar cuenta de la deformación inicial. A la ecuación anterior se la llama ecuación de ondas y es una de las más importantes de toda la física matemática; la versión tridimensional de la ecuación de ondas —la anterior es el caso de dimensión uno— tuvo, por ejemplo, un protagonismo estelar en el fundamental descubrimiento de Maxwell de que la luz es un fenómeno electromagnético.

Hacia mediados del siglo XVIII, D’Alembert encontró una solución sumamente elegante: mostró que las condiciones del problema implican que la deformación inicial f debe ser impar, periódica de período 2l, y entonces la solución al problema de la cuerda vibrante viene dada por

Para llegar a esta conclusión, D’Alembert, en el espíritu de la época, consideraba las funciones definidas por una única fórmula algebraicoanalítica, de manera que si dos funciones coincidían en un intervalo tenían que coincidir en toda la recta real.

Euler, muy interesado también en el problema, discrepó de D’Alembert, no en la resolución, sino en la forma de entender lo que era una función, por más que en algunas de sus obras —en la Introductio, por ejemplo— había coincidido con D’Alembert. Euler defendió que también debían ser admitidas funciones que vengan dadas por varias fórmulas —definidas a trozos, como decimos hoy en día—, y que por lo tanto no se podía concluir que la función de partida f fuera impar ni periódica de período 2l.

Para redondear el asunto, un tercero entró en disputa: Daniel Bernoulli, que resolvió el problema de manera enteramente distinta. Partió de que la deformación inicial se podía representar en la forma

f(x) = Σ an sennπx/l,        (6.1)

viniendo entonces la solución dada por

y(x,t) = Σ an sennπx/lcosnπat/l.

La solución de Bernoulli no hizo sino enconar la pelea —a la que pronto se unió Lagrange—, con la mala fortuna de que los geniales contendientes se perdieron en disquisiciones metafísicas sobre lo que era o no era una función, en vez de analizar los interesantísimos problemas matemáticos implícitos en la solución de Bernoulli.

De hecho, al tipo de desarrollo (6.1) para una función f se le llama hoy una serie de Fourier, en razón de que fue Joseph Fourier (1768−1830) quien hizo un primer estudio sistemático de ellos. Nacido en 1768 en Auxerre, Fourier se debatió durante un tiempo entre hacerse monje o matemático, hasta que la revolución se cruzó en su camino y vio la luz: «Cuando se desarrollaron las ideas de igualdad, fue posible concebir la sublime esperanza de establecer entre nosotros un gobierno libre de reyes y curas, y liberarnos de ese doble yugo que había usurpado el suelo de Europa. Esa causa prendió en mí, pues es la más grande y bella que una nación puede acometer». Como no hay parto sin dolor, durante el Terror salvó la cabeza por un pelo. En la École Nórmale de París recibió clases de Lagrange, Laplace y Monge. Se unió a la campaña de Napoleón en Egipto, quien a su regreso le encomendó tareas administrativas en Grenoble. Durante esos años inició sus estudios sobre la difusión del calor, modelizada por otra ecuación clásica en derivadas parciales, que para el caso de una placa —dimensión dos— toma la forma

∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² = k²∂T/∂t,

donde T(x, y, t) es la función que mide la temperatura en el punto (x, y) de una placa en el instante t. Culminó sus estudios con la publicación en 1822 de Théorie analytique de la chaleur, tras varios encontronazos con Lagrange, Laplace y Legendre, que le criticaron falta de rigor en sus trabajos iniciales.

Como parte fundamental de su método, Fourier consideró desarrollos como el (6.1) de una función f en términos de las funciones trigonométricas. Entre otras cosas, Fourier identificó cómo se pueden calcular los coeficientes an a partir de la función f:

Dejó, asimismo, muchísimos problemas pendientes. Por ejemplo, el de la convergencia de la serie, sobre el que laboraron después Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), Ulisse Dini (1845−1918) y otros muchos matemáticos, y que no se consideró satisfactoriamente resuelto hasta el año 1966 con el gran teorema del matemático sueco Lennart Carleson (1928-) —por este, y otros resultados, Carleson recibió en 2006 el premio Abel, uno de los más prestigiosos en matemáticas—.

Los trabajos de Fourier abrieron un amplísimo campo de trabajo: el de la representación de funciones usando sistemas como el formado por las funciones trigonométricas. Elasta entonces únicamente se habían usado series de potencias, que sólo permiten representar funciones muy regulares. Las series de Fourier amplían enormemente la clase de funciones que admite esas representaciones. Desarrollos de este tipo se siguen estudiando hoy en día por razones de su enorme utilidad práctica, una de las cuales es la manipulación, almacenamiento y distribución digital de fotografías, canciones o películas —piénsese que una fotografía se puede representar por una función discreta de dos variables que asocie a cada punto el número que codifique el color con el que hay que rellenar el correspondiente pixel—. Por poner sólo un ejemplo, las ondículas son un tipo de funciones que permiten obtener sistemas de representación muy útiles para la compresión de datos —ya sean imágenes o sonido—, y también para el diagnóstico médico por imagen o la detección de ondas gravitacionales —el francés Ives Meyer recibió, de hecho, el premio Abel en 2017 por sus trabajos sobre ondículas—.

Los problemas matemáticos generados por las series de Fourier sirvieron de motor para el desarrollo y la fundamentación del análisis. Como ya se ha apuntado, la evolución del concepto de función estuvo íntimamente ligado al de las series trigonométricas consideradas por Daniel Bernoulli y luego por Fourier. Esos desarrollos plantearon el problema de qué había que entender por función, de forma que el concepto cambió desde la concepción más restrictiva de las que admitían una expresión analítica a trozos, que fue el considerado implícitamente durante el siglo XVIII, hasta la más laxa actual de simple asociación de valores, venga o no determinada por una fórmula; de hecho, esa definición hoy habitual se debe a Lobachevski y Dirichlet, que la propusieron de manera independiente en sendos artículos dedicados al estudio de problemas sobre series de Fourier. También la construcción rigurosa de los números reales a partir de los racionales, llevada a cabo en el tercer cuarto del siglo XIX, tuvo innegables conexiones con las series de Fourier. La construcción de Georg Cantor, por ejemplo, apareció en un artículo sobre series de Fourier. La mismísima teoría de conjuntos de Cantor, que desde principios del siglo XX sirve de ambiente para desarrollar las matemáticas, tuvo su origen en los trabajos de Cantor sobre problemas de unicidad de la serie de Fourier.

La ecuación del potencial o de Laplace es otra de las ecuaciones fundamentales de la física matemática. Modeliza, por ejemplo, las soluciones estacionarias de la ecuación de ondas o del calor —aquellas que no dependen del tiempo—, pero tiene también importancia fundamental en variable compleja —se tratará en la siguiente sección—. Para funciones z(x,y) de dos variables, la ecuación de Laplace se escribe como

∂²z/∂x² + ∂²z/∂y² = 0,

y dio lugar al problema de Dirichlet: dada una región del plano y una función sobre la frontera —por ejemplo: un círculo y una función sobre la circunferencia—, encontrar la solución de la ecuación de Laplace en la región que coincide con la función dada en la frontera. Para resolverlo, se desarrollaron herramientas tan sofisticadas y potentes como la función de Green, introducida por el matemático autodidacta inglés George Green (1793−1841) en un panfleto impreso en 1828 y pagado de su propio bolsillo. Allí incluyó varios teoremas que relacionaban integrales sobre un volumen y sobre la superficie de ese volumen, así como sobre una superficie plana y sobre la curva que le sirve de frontera, y aplicó sus herramientas a problemas de electricidad y magnetismo. Un teorema de ese tipo, conocido hoy como de la divergencia, ya había aparecido en trabajos de Gauss y del ruso Mikhail Ostrogradsky (1801−1861) —son, en cierta forma, generalizaciones del teorema fundamental del cálculo—; George G. Stokes (1819−1903) añadiría a mediados del siglo XIX otro célebre teorema de este tipo, que lleva hoy su nombre, y relaciona las integrales sobre superficies de volúmenes tridimensionales y la curva que sirve de frontera a la superficie. Todos ellos quedarían unificados en los trabajos del italiano Vito Volterra (1860−1940) sobre hipersuperficies en dimensión arbitraria.

También en el siglo XVIII se empezaron a estudiar sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, inicialmente en relación con la mecánica de fluidos, que trata de describir el movimiento de un fluido —ya sea líquido o gas— bajo la acción de determinadas fuerzas. Dependiendo de las propiedades del fluido, aparecen distintos tipos de ecuaciones. La clasificación básica separa los fluidos en newtonianos y no newtonianos. Grosso modo, en los fluidos newtonianos la viscosidad —que es una medida de su resistencia a deformarse por tensiones, ya sean cortantes o de tracción— es constante a lo largo del tiempo; se llaman newtonianos porque en ellos se cumple la ley de Newton que establece que la velocidad de deformación es proporcional a la fuerza aplicada. Ejemplos de fluidos newtonianos son el agua, el aire, o el alcohol, mientras que la sangre o la pasta dental son no newtonianos. Entre los fluidos newtonianos cabe distinguir aquellos sin viscosidad frente a los que tienen viscosidad. En mecánica de fluidos Euler inició el baile en 1757 con su ecuación del movimiento para fluidos no viscosos, a la que se unió ya en el siglo XIX la ecuación de Navier-Stokes para los viscosos, formulada de manera independiente por el francés L. M. H. Navier (1785−1836) en 1821 —usando una analogía formal con la teoría de la elasticidad y por la hipótesis de moléculas animadas por fuerzas repulsivas—, y el inglés G. G. Stokes en 1845, sobre la base de la mecánica del continuo.

Otro tipo de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales son las relativas al medio elástico, cuyo estudio siguió un camino lleno de escollos, muchos de ellos conceptuales, pues en ellas estuvo implicado el éter, sustancia tan fundamental para los físicos del siglo XIX como fantasmagórica, hasta que quedó arrinconada en las cunetas de la historia de la ciencia cuando el experimento de Michelson-Morley y la teoría de la relatividad especial de Einstein mostraron que no existía.

Y aún hay otros sistemas fundamentales de ecuaciones en derivadas parciales, como son las ecuaciones del electromagnetismo formuladas en los inicios del tercer cuarto del siglo XIX por el escocés James C. Maxwell (1831-1879), y la ecuación de ondas de la mecánica cuántica que el austríaco Erwin Schrödinger introdujo en la segunda década del siglo XX.

Todo lo cual muestra hasta qué punto las ecuaciones diferenciales convirtieron en profética la frase de Galileo. Las últimas ecuaciones mencionadas son además ecuaciones fundamentales para dos teorías físicas, el electromagnetismo y la mecánica cuántica, protagonistas de sendas revoluciones tecnológicas, con un profundo impacto social durante el último siglo y cuarto —radio, televisión, ordenadores, telefonía móvil, exploración del interior del cuerpo humano para diagnosis médica…—. Esos cambios se deben a la física teórica y experimental, y a la ingeniería, pero a menudo se olvida que también las matemáticas tienen su parte alícuota de responsabilidad en ese éxito colectivo de la ciencia y la tecnología, en tanto en cuanto que la formulación y el estudio de las correspondientes ecuaciones diferenciales ha sido causa y razón de buena parte de los descubrimientos.

De los métodos más o menos particulares para resolver algún tipo de ecuación diferencial —ya fuera ordinaria o en derivadas parciales—, a lo que se dedicaron en buena parte los esfuerzos durante el siglo XVIII, se pasó progresivamente en el XIX a estudios más generales —resultados sobre existencia y unicidad de soluciones, teoría de singularidades, invariancias bajo grupos de transformaciones, teorías cualitativas a la manera de Poincaré o Aleksandr Liapunov (1857−1918) sobre el comportamiento y otras características de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias…—.

Cauchy contribuyó al estudio de la existencia y unicidad de soluciones con trabajos pioneros, al igual que Rudolph Lipschitz (1832−1903) o Liouville. En el caso de ecuaciones en derivadas parciales —que incluye el estudio de las condiciones que pueden garantizar unicidad—, los trabajos de Cauchy fueron mejorados por Sofia Kovalevskaya (1850−1891). Nacida en Moscú, se casó a los dieciocho años, mitad por conveniencia, mitad por obligación. El matrimonio fue una fuente continua de problemas y dolor —su marido, de hecho, acabó suicidándose catorce años después—, pero le permitió estudiar matemáticas en Heidelberg, o al menos intentarlo, porque por esa época las mujeres tenían prohibido estudiar en la universidad. Sofía consiguió hacerlo de manera extraoficial y, por recomendación de su tutor, se mudó a Berlín en 1871 buscando la tutela científica de Weierstrass. A mediados de la década de 1880 se incorporó a la Universidad de Estocolmo, donde llegó a ser catedrática —la segunda mujer en Europa en lograrlo—. A pesar de que murió con tan sólo cuarenta y un años, recibió varios premios y reconocimientos —fue nombrada académica en Rusia, para lo que hubo que cambiar los estatutos de la academia—.

Problemas sobre existencia y unicidad de ecuaciones en derivadas parciales, en especial los relacionados con la ecuación de Euler, Navier Stokes y tipos similares, o sobre la existencia y estudio de turbulencias en las soluciones, siguen hoy abiertos. De hecho, uno de los siete problemas del milenio del Instituto Clay —escribí sobre ellos al final de la sección § 2.4— corresponde a demostrar la existencia o no de soluciones infinitamente derivables para la ecuación de Navier-Stokes —con determinadas condiciones de contorno, y para fluidos incompresibles—, ya sea en todo el espacio o en el cubo unidad —caso periódico—.

La irrupción de los ordenadores desde mediados del siglo XX, y el crecimiento continuo de su potencia de cálculo, ha producido una verdadera revolución en el estudio aproximado de las soluciones de ecuaciones diferenciales, ya sean ordinarias o en derivadas parciales. Este estudio está siendo de enorme utilidad en ingeniería. Piénsese, por ejemplo, que la ecuación de Navier-Stokes es fundamental en la moderna industria aeronáutica para el diseño y la construcción de aviones.

Este tipo de aplicaciones alcanza también a la medicina, por citar otro ejemplo que está teniendo gran recorrido en los últimos años: por ejemplo, en la modelización del flujo de la sangre dentro de venas y arterias —sobre lo que algo se dijo al final de la sección § 2.4 en relación con el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Madrid en 2006—. La complejidad de este problema es monumental, requiere de un completo equipo de especialistas para desarrollarlo —médicos, informáticos, matemáticos, etc.—; con todo, los conocimientos teóricos y el estado de la computación actual obligan a hacer simplificaciones que sólo permiten un estudio aproximado que no siempre es satisfactorio. Por ejemplo, en las venas y arterias de grosor no demasiado fino, el problema se modeliza con las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos newtonianos, porque ahí la sangre se comporta aproximadamente como un fluido newtoniano, a pesar de no serlo —en puridad, la sangre ni siquiera es un fluido: es una suspensión de partículas en un fluido, el plasma—. A pesar de estas simplificaciones, algunos resultados obtenidos empiezan a ser significativos. Según Alfio Quarteroni, el matemático que lidera estos estudios, el estado de la cuestión permite simulaciones precisas de la realidad, que pueden servir de entrenamiento a futuros cirujanos. También pueden anticipar y recomendar cómo proceder en una operación real; pensemos en un cirujano que tiene que insertar un bypass y tiene varias opciones para ubicarlo: «Las investigaciones numéricas pueden ser de ayuda para el cirujano —escribió Quarteroni—, pues muestran cómo puede verse afectada después la circulación de la sangre según las diferentes opciones disponibles».

En una breve historia de las matemáticas como esta, ni se puede ni se debe ir más allá de estas escuetas pinceladas sobre un tema que, como el de las ecuaciones diferenciales, daría para varios gruesos volúmenes.

No se apene el lector, pues nos adentraremos ahora en «la alegría matemática del siglo».

§ 6.3. «La alegría matemática del siglo»

Me refiero, naturalmente, a la teoría de funciones entre números complejos.

Los números complejos aparecieron en el panorama matemático a mediados del siglo XVI —véase la sección § 3.3—, y aparecieron para quedarse, a pesar de la repugnancia lógica y la desconfianza que inmediatamente generaron. A principios del siglo XVIII se pasó de las operaciones algebraicas con ellos —sumas, multiplicaciones o divisiones— a las trascendentes. Así, dado que cuando se calcula la integral de funciones racionales, descomponiéndolas en fracciones simples, aparece un logaritmo, se suscitó la polémica acerca del significado de los logaritmos de números negativos y complejos. Leibniz y Johann Bernoulli mantuvieron un acalorado intercambio de cartas sobre el asunto; el primero sostenía que los logaritmos de números negativos eran imaginarios —dándole un doble significado al término: por un lado imaginario significaría «sin existencia real» y, por otro, «número complejo»—, mientras que el segundo afirmaba que debían de ser reales.

Con la publicación en 1745 de la correspondencia entre Leibniz y Johann Bernoulli, la polémica se volvió a reabrir, y propició un agrio intercambio epistolar entre Euler y D’Alembert. En 1746 Euler alcanzó a resolver el problema y así se lo comunicó a D’Alembert en carta fechada el 29 de diciembre de ese año: el logaritmo de cada número tiene un número infinito de valores diferentes, entre los cuales sólo uno puede ser real, y esto ocurre sólo cuando el número es positivo, y dio las fórmulas correctas para su cálculo. Sus razonamientos no convencieron, sin embargo, a D’Alembert, que seguía manteniendo opiniones similares a las de Johann Bernoulli, y defendiendo con (equivocados) argumentos metafísicos, analíticos y geométricos que log(−1) = 0.

Al mismo tiempo que resolvía la cuestión de los logaritmos complejos, Euler hizo lo propio con las potencias complejas: en una carta a Christian Goldbach, fechada en 1746, le exponía que (√−1)√−1 = e−π/2; pocos años después daría para (√−1)√−1 los infinitos valores (√−1)√−1 = e−π/2 + 2kπ, y también la expresión general para la potencia con base y exponente complejos.

Antes, Euler había dado con la fórmula

eix = cos x + i sen x,

que dedujo del hecho de que la parte derecha e izquierda de la igualdad verifican la misma ecuación diferencial, y que muestra cómo los números complejos son un puente que conecta la función exponencial y las trigonométricas. Si en esa fórmula se hace x = π, se obtiene una de las ecuaciones más hermosas de las matemáticas, donde quedan ligadas sus más célebres constantes: eiπ + 1 = 0.

El impulso definitivo para aclarar la metafísica de los números complejos vino de manos de Gauss. Aunque hubo versiones anteriores —la del danés Gaspard Wessel (1745−1818) y la del suizo Jean-Robert Argand (1768−1822)—, Gauss popularizó la interpretación geométrica de los números complejos como puntos del plano, los denominó de esta forma e hizo de uso común la letra i, que había introducido Euler, para denotar a √−1. Así, sobre un plano donde se han situado unos ejes coordenados perpendiculares, el número complejo a + ib, representa al punto del plano con coordenadas (a, b). De esta forma, las unidades 1, −1, √−1, −√−1 las podemos interpretar como indicadores de dirección en el plano: 1 significa «ir hacia la derecha», −1 significa «ir hacia la izquierda», √−1 «ir hacia arriba» y −√−1 «ir hacia abajo».

Las operaciones con números complejos pueden ahora ser interpretadas en términos geométricos. Para sumar dos números complejos u y w se forma el paralelogramo, dos de cuyos lados son los segmentos que unen u y w con el origen de coordenadas; la suma u + w es entonces el vértice de ese paralelogramo opuesto al origen. Y el resultado de multiplicar los números complejos u y w es el punto del plano cuya distancia al origen es el producto de las distancias al origen de u y w, y tal que el segmento que lo une al origen forma un ángulo con el eje horizontal igual a la suma de los ángulos que forman con dicho eje los segmentos que unen u y w con el origen. Esta interpretación permite una explicación geométrica que aclara por qué √−1 ∙ √−1 = −1, o, lo que es lo mismo, explica la esencia fundamental de √−1. En efecto, como √−1 dista una unidad del origen y forma con este y el eje un ángulo de 90 grados, multiplicar un número complejo por √−1 significa, según acabamos de explicar, aplicarle un giro de 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj; entonces, el resultado de multiplicar √−1 por sí mismo consiste en girar 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj la dirección «ir hacia arriba», lo que da «ir hacia la izquierda», o sea, −1.

Gauss, además, explicó como nadie la importancia que habían podido tener los calificativos «imaginario» o «imposible» para dificultar la comprensión de los números complejos: «Que hasta ahora una sombra de falsedad haya oscurecido a los números imaginarios es debido, en gran parte, a una nomenclatura inapropiada. Si no se hubiera llamado a +1, −1, √−1, unidades positiva, negativa e imaginaria —o incluso imposible—, sino unidades directa, inversa y lateral, es posible que nunca se hubiera abatido sobre √−1 tal oscuridad».

§ 6.3.1. Cauchy

Pero todavía persistía a principios del siglo XIX un miedo reverencial a lo que los números complejos pudieran significar. El mismo Cauchy, uno de los padres de la teoría de funciones de variable compleja, estuvo aquejado casi toda su vida de ese miedo. Miedo que es bien manifiesto en su Cours d’Analyse, donde los números complejos son introducidos como expresiones simbólicas de la forma a + b√−1 carentes de significado o sentido real: «Esas expresiones no pueden ser interpretadas de acuerdo a las convenciones establecidas y no representan nada real. Por esta razón los denominaremos expresiones imaginarias». Es de reseñar que a Cauchy le costara bastante tiempo asimilar el concepto de número complejo como entidad realmente existente y fundamentada, y no como mera «expresión simbólica», o como «una herramienta, un instrumento de cálculo cuya introducción en las fórmulas permite obtener más rápidamente la solución real del problema que uno está tratando». Sólo hacia mediados de siglo, después de llevar más de tres décadas desarrollando la teoría de funciones de variable compleja, y pasadas cuatro décadas desde que se introdujera la interpretación geométrica de los números complejos, llegó Cauchy tras «nuevas y maduras reflexiones» a considerar los números complejos como un sistema de números bien fundamentado, lejos del carácter fantasmal que habían arrastrado desde su nacimiento en el siglo XVI.

Augustin Louis Cauchy nació en 1789, unos meses después del estallido de la Revolución Francesa. En el folclore de la historia de las matemáticas, Cauchy aparece situado en el grupo de cabeza de los grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XIX, y se le atribuye un impulso decisivo en pro del rigor lógico de los razonamientos matemáticos —que ya se comentó en la sección § 6.1—. Se suele también destacar de Cauchy que fue un personaje culto, versado e interesado en lenguas clásicas. En las convicciones religiosas, se nos describe como un intolerante católico y, en lo político, como un fanático defensor del derecho divino de los Borbones a ocupar el trono de Francia; «Sus colegas le objetaron con frecuencia su obstinada santurronería y su agresivo fanatismo religioso», se lee al respecto en la Encyclopaedia Britannica —fue, pues, una especie de reverso de lo que supusieron Monge, Fourier o Lagrange—. A pesar de su valía científica, su carrera académica estuvo muy ligada a los continuos vaivenes políticos que sufrió Francia en las primeras décadas del siglo XIX. Después de la restauración borbónica en 1815 tras la batalla de Waterloo, Cauchy consiguió un puesto en la École Polytechnique, accedió a la Académie de París —sustituyendo a Monge que había sido depurado por motivos políticos—, al Collège de Francia y a la Facultad de Ciencias de París.

No sabemos cuántos de estos éxitos debió al maratón de rezos en el que participó en septiembre de 1815: «Habrá usted sin duda oído —escribió Cauchy por esas fechas a un amigo—, que hemos estado rezando más de cuarenta horas; han sido oraciones de arrepentimiento por los excesos y crímenes cometidos durante la revolución. Así debe ser, y nadie debería nunca dejar de rezar: ¡hay tanto que enderezar en Francia!». Y si los rezos no surtían efecto, siempre se podía echar mano de una moderada dosis de violencia: en las cruciales elecciones celebradas en 1830, no todo el mundo podía votar, pero Cauchy era uno de los privilegiados que sí podía: «El señor Cauchy —contó un periódico de la época el mismo día de las elecciones—, un miembro de la Académie des Sciences, fue llamado a depositar su papeleta de voto y encontró dos listas en la mesa. El señor Cauchy expresó a voces su indignación viendo una lista de candidatos liberales situada junto a la de los monárquicos. Agarró entonces la lista y la arrugó en sus manos. El presidente le reconvino y le recordó que de igual manera que él era libre de votar a quien le pareciera mejor, debía dejar a los otros electores la posibilidad de escribir correctamente el nombre de los candidatos de su elección. Pero el señor Cauchy, sin prestar atención a esas observaciones, seguía vociferando y gesticulando vehementemente a la vez que arrugaba más y más la lista. Tuvieron que llamar otra vez al orden al señor Cauchy, conminarle a que devolviera la lista a su sitio y rogarle que se fuera una vez hubiera votado». A Cauchy le iba mucho en esas elecciones: el rey Carlos X las perdió, dio un golpe de Estado, pero París se sublevó y el último rey Borbón de Francia tuvo que exiliarse.

Cauchy también se exilió voluntariamente con su rey, y perdió todos los cargos que ocupaba. En 1833, el exrey llamó a Cauchy a su lado para que fuera preceptor de Enrique, duque de Burdeos, que se había convertido en el delfín de Francia. El duque era un niñato maleducado y consentido que hizo pasar a Cauchy los peores años de su vida —incluidos los que vivió bajo la revolución—. Es difícil no sentir simpatía por el pobre y estirado Cauchy, que tuvo que aguantar de su amado príncipe todo tipo de humillaciones y abusos. Soportó que el regio alumno lo bombardeara en clase con bolas de nieve que traía de sus paseos, y, en otra ocasión, que el duque lo agarrara por el cuello y lo echara de clase de un empellón en uno de sus frecuentes arrebatos de ira; la reacción de Cauchy ante semejante ofensa fue pedirle excusas y preguntarle al regio agresor qué había hecho para disgustarlo. Otras veces, el propio Cauchy tenía que ponerse a recoger, rodilla en tierra, los objetos que al mimado jovenzuelo se le hubiera antojado tirar al suelo. En el otoño de 1838, el duque de Burdeos cumplió dieciocho años y dio por terminada su formación. Cauchy, seguro que temiendo que le pudieran encargar la educación de algún otro Borbón, aprovechó la circunstancia para regresar a París.

Sólo recuperó su puesto en la Académie, porque los otros requerían de un juramento de fidelidad que Cauchy se negó a hacer. Murió en 1857.

A la par que se aclaraba la metafísica de los números complejos, se empezó a discutir y desarrollar la teoría de funciones de variable compleja. El fruto de esos desvelos es una de las teorías matemáticas más elegantes y, si se la compara con la teoría de funciones de variable real, más sorprendentes, toda vez que, con análogas definiciones de partida, las teorías difieren notablemente. Morris Kline supo sintetizar a la perfección todo esto: «La teoría de funciones de variable compleja fue la creación más original del siglo XIX, una de las más fértiles de las matemáticas, ha sido llamada la alegría matemática del siglo. Y ha sido aclamada como una de las teorías más armónicas de las ciencias abstractas».

En la teoría se funden tres orígenes diferentes, cada uno de los cuales está asociado al nombre de tres excelentes matemáticos: Cauchy, Riemann y Weierstrass.

Si partimos de una función de variable compleja f(z) y sustituimos la variable compleja z por la expresión u + v√−1 —donde u se denomina la parte real y v la parte imaginaria—, acabaremos pudiendo escribir la función f(z) en la forma f(z) = U(u,v) + V(u,v) √−1 para ciertas funciones U y V de las dos variables reales u y v. Cuando la función f admite derivada con respecto a la variable compleja z —esto es, existe el límite de

f(z + h) − f(z)/h

cuando el número complejo h tiende a cero—, se puede comprobar que esas funciones U y V están ligadas por un par de ecuaciones en derivadas parciales

∂U/∂u = ∂V/∂v,    ∂U/∂v = −∂V/∂u,

que se conocen como ecuaciones de Cauchy-Riemann. Lo que no está nada claro es que partiendo de una expresión en la forma U(u,v) + V(u,v) √−1, podamos empaquetar las dos variables reales u y v de manera que resulte una función de la variable compleja z = u + v√−1. Para que esto ocurra es suficiente con que las funciones U y V estén ligadas mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Antes que Cauchy, D’Alembert y Euler habían ya anticipado la importancia de esas ecuaciones; D’Alembert en cuestiones de hidrodinámica y Euler para evaluar, usando funciones complejas, integrales de funciones reales. Bajo ciertas condiciones geométricas del dominio donde trabajemos, las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden acoplar en forma de la ecuación de Laplace

∂²U/∂u² + ∂²U/∂v² = 0,

que, como ya mencionamos, rige numerosos procesos físicos en electrodinámica y mecánica de fluidos —lo que significa que las funciones de variable compleja son herramientas importantes para resolverlos—.

Lo realmente sorprendente es que las ecuaciones de Cauchy-Riemann no sólo controlan todo lo relacionado con la derivación de una función compleja, sino también cuestiones fundamentales sobre integración compleja. Cuando queremos calcular la integral de una función compleja entre dos números complejos a y b, aparece un problema inexistente con funciones de una variable real: en el plano hay una infinidad de caminos que llevan de a a b, mientras que en la recta sólo hay un camino que lleva de un punto a otro. Parece razonable exigir como condición de regularidad a una función de variable compleja que el valor de la integral no dependa del camino que se siga para ir del punto inicial al final. Fue Gauss quien primero apreció la importancia de este hecho, y así lo comunicó a Bessel en una carta fechada en 1811: «Yo afirmo que la integral ∫f(x)dx siempre vale lo mismo siguiendo dos caminos diferentes si f(x) no vale nunca ∞ dentro de la región encerrada entre las dos curvas. Esto es un teorema muy hermoso del que creo poder dar una demostración no demasiado difícil en el momento oportuno». Gauss también añadió que si f(x) toma el valor infinito, entonces ∫f(x)dx puede tener muchos valores, dependiendo de si uno elige un camino que dé una, dos o más vueltas alrededor del punto donde f(x) toma el valor infinito.

La importancia para el cálculo de integrales de funciones reales de estas observaciones de Gauss es clara: si uno quiere calcular una integral sobre el eje real podría elegir un camino adecuado en el plano complejo que permita un cálculo más eficiente de la integral a través de ese camino alternativo.

Gauss, sin embargo, no se dio prisa en dar con esa demostración y, mucho menos, en publicar o desarrollar sus ideas —la atmósfera científica que le rodeaba en la plácida Gotinga, la ciudad alemana de cuyo observatorio astronómico Gauss fue director durante décadas, tampoco ejercía sobre él ninguna presión—. Perdió así la paternidad de «la alegría matemática del siglo».

Cauchy inició sus estudios sobre funciones de variable compleja a sugerencia de Laplace, quien, al igual que Euler, había usado funciones complejas para el cálculo de integrales, aunque reconociendo que los resultados obtenidos a través de sus métodos necesitaban una demostración de validez.

Frente a la apacible vida provinciana de Gauss, cuando Cauchy inició sus investigaciones sobre funciones de variable compleja vivía en París, centro científico del mundo por entonces, sujeto a una enorme presión por dar a conocer resultados nuevos que le permitieran conseguir una posición, bien en la Académie, bien en la École Polytechnique, o en cualquier otra institución donde pudiera dedicarse a lo que más le atraía en ese momento: hacer matemáticas. Todo ello, además, en un momento en que la conformación de las instituciones científicas y de educación superior, y la profesionalización de las matemáticas, estaban transformándose a pasos agigantados en Francia debido a los cambios impulsados por la revolución y el primer imperio —cambios que después acabarían reproduciendo otros países y que supusieron el punto de partida y el fundamento de la situación actual—. Cauchy, pues, afiló su pluma y produjo, desde 1814 y durante las siguientes tres décadas largas, varias memorias y numerosos artículos sobre funciones de variable compleja —como aseguró Hans Freudenthal, la teoría de funciones de variable compleja, hasta las superficies de Riemann y exceptuando el teorema de Laurent y poco más, se debe casi por entero al trabajo de Cauchy—. Quizá nadie como Hadamard supo sintetizar en una sola frase lo que Cauchy consiguió con su teoría de funciones de variable compleja: «El camino más corto entre dos verdades en el dominio de los números reales pasa a través del plano complejo».

Cauchy exprimió las ecuaciones de Cauchy-Riemann y mostró cómo pueden usarse para calcular integrales definidas de funciones reales usando caminos a través del plano, expuso también su cálculo de residuos, «una nueva clase de cálculo similar al cálculo infinitesimal», y su uso para calcular integrales reales, sumar una multitud de series, integrar ecuaciones lineales con coeficientes constantes, tanto diferenciales como en diferencias, o resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. Por todo ello, Cauchy dio a su teoría de residuos más importancia que a la expresión que hoy llamamos «fórmula de Cauchy para funciones holomorfas», que explota la estrecha relación entre diferenciación e integración de funciones de variable compleja —y a la que Cauchy llegó usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann y lo que hoy conocemos como «teorema de Green»—. La fórmula de Cauchy se ha convertido en el punto de partida moderno para el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja. A partir de ella se puede demostrar uno de los resultados más espectaculares de la variable compleja: toda función holomorfa —o sea, derivable, pero expresado en la jerga de la variable compleja— se puede desarrollar en serie de potencias. Nada de lo cual es cierto para funciones de variable real.

§ 6.3.2. Weierstrass y Riemann

Las series de potencias fueron el instrumento que usó Weierstrass para su estudio de las funciones de variable compleja. Karl Weierstrass nació el 31 de octubre de 1815 en Westfalia. Siguiendo los consejos de un padre dominante, estudió leyes y finanzas en Bonn, como preparación para lo que debería haber sido una gris carrera de funcionario. Weierstrass no encontró nada excitantes los estudios que su padre le había obligado a hacer, y prefirió dedicar su tiempo al arte de la esgrima y el buen beber. Al cabo de cuatro años, regresó a su casa siendo un gran espadachín y un excelente bebedor, pero sin ningún título que su padre pudiera calificar de provechoso.

En 1839 comenzó estudios en Münster para graduarse como profesor de enseñanza secundaria. Allí conoció a C. Gudermann, que iba a descubrir al matemático que Weierstrass llevaba dentro. Gudermann le trasladó a Weierstrass su interés por la teoría de funciones elípticas que habían desarrollado Abel y Jacobi. Desde el anonimato de su instituto, Weierstrass logró importantes resultados sobre funciones elípticas que acabó publicando en 1854. Fue entonces nombrado doctor honoris causa por la Universidad de Königsberg y, en 1856, consiguió un puesto en la Universidad de Berlín, desde donde se integró en la estructura matemática del momento. Los siguientes años fueron de intenso trabajo, hasta el punto de necesitar una cura de reposo. Pero no se recuperaría de sus problemas nerviosos. De regreso a la universidad sufrió algunos desvanecimientos en clase, que le obligarían a desarrollar un método muy especial para la enseñanza. Elegía a uno de sus alumnos y le iba dictando en clase. Es en esos años cuando introdujo las definiciones del tipo épsilon-delta en los límites y su aritmetización del análisis a la que me referí en la primera sección de este capítulo. También en esos años desarrolló sus trabajos en la teoría de las funciones de variable compleja que le permiten aparecer, junto a Cauchy y Riemann, como fundadores de dicha teoría. Murió en Berlín en 1897 con ochenta y dos años. Aparte de sus méritos como creador matemático, Weierstrass es considerado uno de los mejores enseñantes de la historia de las matemáticas. Famosa es la camaradería con que Weierstrass gustaba tratar a sus alumnos, entre los que se cuentan E. Heine (1821−1881), G. M. Mittag-Leffler (1846−1927), O. Stolz (1842−1905) y, su preferida, Sofía Kovalevskaya.

El desarrollo en serie de potencias para una función analítica es local, vale en un círculo de convergencia en torno al punto donde se hace el desarrollo. Pero si cambiamos de punto dentro de ese disco encontramos sucesivos desarrollos que podrían permitir extender la función a regiones más amplias. Puede ocurrir que estas extensiones sucesivas acaben por retornar a regiones del plano donde ya teníamos definida la función, y entonces se abren dos posibilidades: encontramos los mismos valores para la función o distintos, el primer caso define las funciones univaluadas —cuyos ejemplos más sencillos son los polinomios, pero, también, las funciones racionales, exponenciales y funciones trigonométricas directas (seno, coseno y tangente)—, y el segundo las multivaluadas —cuyo caso más sencillo es la función raíz cuadrada, pero, también, las raíces de órdenes superiores, logaritmos y funciones trigonométricas inversas—.

Las funciones holomorfas en todo el plano complejo se llaman funciones enteras; son la generalización natural de los polinomios y están definidas por una serie de potencias convergente en todo el plano complejo. Al igual que los polinomios, que pueden ser expresados en forma de productos cuyos factores se definen a partir de las raíces del polinomio, Weierstrass mostró cómo las funciones enteras también admiten desarrollos en productos infinitos definidos a partir de sus raíces; en este caso pueden ser infinitas raíces —aunque sin puntos de acumulación en el plano—, y puede aparecer también un factor de tipo exponencial. Durante la segunda parte del siglo XIX se lograron importantísimos y sorprendentes resultados sobre funciones enteras. El teorema de Liouville (1847) es uno de ellos: establece que una función entera no constante no puede estar acotada —y que permite una demostración muy sencilla del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio tiene tantas raíces complejas como indique su grado (contando multiplicidad)—. Otros son los teoremas de Émile Picard (1856−1941) sobre el rango de valores que pueden tomar las funciones complejas; por ejemplo, las funciones enteras no constantes tienen que tomar todos los valores complejos con la posible excepción de uno. Cuando digo teoremas sorprendentes me refiero a que son absolutamente falsos para funciones reales derivables en toda la recta —a pesar de que estas funciones se definen de forma totalmente análoga a las enteras—.

Las funciones holomorfas en todo el plano salvo en una conjunto sin puntos de acumulación finitos son llamadas meromorfas, y Weierstrass mostró que eran necesariamente cociente de funciones enteras. Resultados de representación para funciones meromorfas, similares a los que verifican las funciones racionales, fueron probados por Mittag-Lefñer en el último cuarto del siglo XIX.

También son destacados los trabajos de Weierstrass sobre funciones elípticas. Las integrales elípticas aparecen al evaluar la longitud de un arco de elipse —de ahí el nombre, aunque también guardan estrecha relación con problemas físicos como el cálculo del período del péndulo simple—. Son del tipo

donde R(x) es una función racional y P(x) un polinomio a lo más cuatro. Vienen a generalizar las integrales que dan lugar a las funciones arcoseno y arcocoseno, para las que el polinomio P(x) tiene grado dos:

Las integrales elípticas fueron estudiadas inicialmente por el matemático aficionado Giulio Cario de Toschi di Fagnano (1682−1766), y después por Euler y, sobre todo, por Adrien-Marie Legendre (1752−1833), que batalló con ellas durante cuatro décadas sin dar con el secreto que encerraban; este fue descubierto por Abel y Jacobi, matemáticos una generación más jóvenes. Consideremos la función

—uno de los tres tipos a que Legendre redujo las integrales elípticas—. Si pensamos en la integral (6.2) para el arcoseno, caeremos en la cuenta de que la función que realmente tiene más riqueza de propiedades es la función inversa de la definida por la integral, esto es, el seno: u = sen v. Esto es lo que entendieron Niels Abel (1802−1829) y C. G. J. Jacobi (1804−1851), y, consecuentemente, se propusieron estudiar, no la integral elíptica v = F(u) definida por (6.3), sino la función inversa u = F⁻¹(v). Ese mostró ser el enfoque adecuado, y a las funciones resultantes se las llamó funciones elípticas. Así, entre otras cosas, Abel las extendió al plano complejo, mostrando que eran funciones meromorfas doblemente periódicas —frente a la periodicidad simple de las funciones seno y coseno— y encontrando fórmulas de adición para ellas similares —es un decir— a las que verifican las funciones trigonométricas.

Abel murió muy joven, con veintisiete años, y tuvo serios problemas para que se le reconociera la enorme calidad de sus trabajos matemáticos. Especialmente en relación con las funciones elípticas hay un episodio dramático del que fueron protagonistas Legendre y Cauchy. Abel fue un matemático precoz; nacido en Noruega en 1802 y de orígenes modestos, consiguió con veintipocos años financiación para estudiar matemáticas en Alemania y Francia. En el verano de 1826, Abel llegó a París, y envió en octubre de ese año un manuscrito con sus resultados sobre las funciones elípticas al secretario de la Académie des Sciences, que lo remitió a Legendre y a Cauchy para su revisión. Legendre posiblemente era el más capacitado para entender el trabajo de Abel, pues él mismo había desarrollado la teoría de integrales elípticas, y este trabajo de Abel justamente suponía el enfoque correcto de la teoría de Legendre. Hasta principios del siglo XX se pensaba que ni Legendre ni Cauchy habían informado sobre esta obra de Abel, porque Cauchy la había extraviado. Sin embargo, posteriores descubrimientos, entre ellos la propia memoria manuscrita de Abel, han cambiado la visión que de estos hechos se tenía. La historia es como sigue: Legendre, que contaba entonces setenta y cuatro años, tuvo enormes dificultades para entender la letra de Abel, que además usó una tinta muy aguada para escribir su manuscrito. Así lo contó el propio Legendre en un informe anónimo: «Esta memoria ha sido encargada en principio al señor Legendre que la ha examinado, pero viendo que la escritura era poco legible y los caracteres algebraicos a menudo mal formados, la remitió a su colega el señor Cauchy, con el ruego de que se encargara del informe».

Cauchy, que contaba treinta y siete años, debía de haber apreciado la importancia de aquel trabajo, pero lamentablemente no le prestó la necesaria atención. Algo que Abel ya había adivinado: «Cauchy es un necio —le escribió a un amigo—, y uno no puede entenderse con él, aunque es el matemático que hoy día mejor sabe cómo deben tratarse las matemáticas. He realizado un trabajo sobre ciertas clases de funciones trascendentes que presentaré a la Académie. Se lo mostré a Cauchy pero seguramente no lo mirará. Y puedo decir sin falsa modestia que el trabajo es bueno. Siento gran curiosidad por saber el juicio de la Académie». Abel nunca lo supo. Sintiéndose enfermo, consultó a varios médicos, que le diagnosticaron tuberculosis. Sin dinero y sin esperanzas de encontrar un puesto en alguna universidad, ya fuera en Alemania o en Francia, regresó en 1827 a Noruega, donde moriría año y medio después.

¿Qué fue de la memoria que había presentado a la Académie? Como ya hemos visto, Cauchy no le había prestado suficiente atención, aunque tampoco la había perdido. Dejemos que Legendre siga contando la historia: «El señor Cauchy olvidó durante mucho tiempo la memoria del señor Abel, de la cual era depositario. No fue hasta el mes de marzo de 1829 que los dos comisarios supieron, por el aviso que uno de ellos recibió de un sabio de Alemania, que la memoria del señor Abel, que había sido presentada a la Académie, contenía, o debía contener, unos resultados de análisis muy interesantes, y que estaba sorprendido de que no se hubiera hecho de esto un informe».

Este «sabio de Alemania» era Jacobi, que también estaba desarrollando la teoría de las funciones elípticas, y que se encontró con la referencia del trabajo de Abel en uno de sus artículos posteriores; Jacobi preguntó entonces a Legendre: «¿Cuál es ese descubrimiento de Abel? ¿Cómo es posible que ese descubrimiento, quizás el más importante que haya sido hecho en nuestro siglo, habiendo sido enviado a su Académie hace dos años, haya escapado a la atención de sus colegas?». Una vez devuelto a la vida el olvidado trabajo de Abel, esto es lo que, según Legendre, ocurrió: «Bajo ese aviso, el señor Cauchy buscó la memoria, la encontró y se dispuso a hacer un informe sobre ella, pero los comisarios se vieron retenidos considerando que el señor Abel había publicado ya una parte de la memoria, y que el autor probablemente continuaría hasta hacer aparecer el resto, y que entonces el informe de la memoria, que no podía ser sino verbal, estaría fuera de lugar. En este estado de cosas sabemos súbitamente de la muerte del señor Abel, pérdida muy penosa para la ciencia y que puede hacer ahora el informe necesario para conservar, si ha lugar, este trabajo, que es de los principales de su autor». De esta manera, la memoria de Abel apareció, Legendre y Cauchy hicieron su informe, y esta fue finalmente publicada en 1841 por la Académie; desgraciadamente, doce años después de la muerte de su autor.

Jacobi, por su parte, relacionó las funciones elípticas con las llamadas «funciones theta», uno de cuyos ejemplos básicos viene dado por la serie

Las funciones theta son más simples que las elípticas, admiten desarrollos en productos infinitos, por ejemplo

y tienen interesantes conexiones con teoría de números.

Jacobi también demostró que una función meromorfa no puede tener más de dos períodos, y que la razón entre ellos no puede ser real. Esto abrió un nuevo frente de estudio, el de las funciones complejas doblemente periódicas —que pasaron a heredar el nombre de «funciones elípticas»—, donde laboraron, entre otros, Liouville y Weierstrass. Weierstrass estudió el desarrollo en serie de potencias de las funciones doblemente periódicas y las describió en términos de la función que hoy denotamos por ℘(z), y a la que llamamos «función pe de Weierstrass». Dicha función verifica la ecuación diferencial

(y’)² = 4y³ − g₂y − g₃,        (6.4)

donde g₂ y g₃ son números complejos denominados «invariantes de la función» —y que verifican g₂³ − 27g₃² ≠ 0.

La visión de Riemann de las funciones de variable compleja es la más geométrica, e inicialmente intuitiva, de las tres que estamos considerando —y acabó teniendo profundas conexiones con la topología, cuando esta empezó a desarrollarse como nueva rama de las matemáticas a finales del siglo XIX y principios del XX—. En su tesis doctoral (1851), Riemann introdujo el concepto fundamental que hoy conocemos como «superficie de Riemann» para estudiar las funciones multivaluadas; la tesis se hizo bajo la supervisión nominal de Gauss, que quedó bastante satisfecho —cosa no fácil de lograr—: «La disertación presentada por el señor Riemann ofrece convincentes evidencias de una creativa, verdadera y activa mente matemática, y una originalidad gloriosamente fértil —escribió el príncipe de los matemáticos, y añadió—: La presentación es perspicaz y concisa, y, por momentos, bella».

El concepto de superficie de Riemann es difícil, y su consideración escapa a los propósitos básicos de este libro, aunque algo se puede decir si nos restringimos al ejemplo más sencillo de la función z. Con su noción de superficie de Riemann, el matemático alemán pretendía asociar a la raíz cuadrada un dominio de definición que evitara los problemas que el carácter bivaluado de esta función presenta: si consideramos definida la función en todo el plano complejo, fijando una elección determinada de una de las dos raíces de un número complejo, nos encontramos que al dar una vuelta alrededor del origen se genera una discontinuidad pues no hay manera de evitar pasar de un valor de la raíz al otro. Para solucionar este serio inconveniente, Riemann pensó en distinguir las dos raíces situándolas en dos copias del plano complejo, que estarían pegadas entre sí por una línea de corte que permitiera pasar de un plano al otro y volver al primero conforme giramos en torno al origen: a la estructura resultante es a lo que se denomina superficie de Riemann para la función z; necesita cuatro dimensiones para existir, pero tiene la ventaja de que, con ese dominio, la función raíz cuadrada puede ser tratada como una función compleja univaluada. Naturalmente, la situación se complica al aumentar el orden de multivaluación de la función —pensemos en raíces terceras o cuartas, y no digamos ya si consideramos logaritmos—, o aumentan los puntos de ramificación —al considerar, por ejemplo, raíces de polinomios—. Para calibrar la forma intuitiva como Riemann introdujo este complicado concepto, reproduciré aquí una de sus descripciones: «En una parte del plano para la cual existan dos o más prolongaciones de la función, la superficie será doble o múltiple; consistirá allí en dos o más hojas, cada una de las cuales representa una rama de la función. En torno a un punto de ramificación de la función, una hoja de la superficie se prolongará en otra, de modo que en el entorno de tal punto la superficie puede ser considerada como una superficie helicoidal, con un eje en dicho punto normal al plano (x,y) y con un paso de hélice de altura infinitamente pequeña. Si la función toma de nuevo su valor precedente tras varias revoluciones de z en torno al punto de ramificación, habrá de suponerse que la hoja superior de la superficie se prolonga en la inferior pasando a través de las restantes». Merece la pena mencionar que esta cita está tomada de un trabajo de Riemann de 1857 sobre funciones abelianas, que son una generalización de las integrales y funciones elípticas extendidas a funciones de la forma u = ∫R(z,w)dz donde w y z están relacionados por una ecuación algebraica. De ahí saldrían teoremas como el de Riemann-Roch, de tan largo aliento como profundo sentido topológico: determina la dimensión del espacio de funciones meromorfas sobre la superficie que tienen, a lo más, un conjunto especificado finito de polos.

Riemann también llamó la atención de la relación de las funciones analíticas con las aplicaciones conformes. Una aplicación conforme es aquella que preserva ángulos. Por razones obvias, las aplicaciones conformes habían sido estudiadas en relación con la confección de mapas de la superficie terrestre; aquí existe el problema adicional de que un mapa es una superficie plana y la superficie terrestre no. Las proyecciones estereográficas usadas en la antigua Grecia —por Ptolomeo y otros— o la de Mercator, por ejemplo, son conformes —lo que hace que sea muy fácil marcar itinerarios con una dirección fija en un mapa realizado con ellas—, pero distorsionan las distancias —por eso en los mapas, que habitualmente usan alguna de ellas, los territorios incrementan su área conforme nos acercamos a los polos—.

Por su propia definición, una función analítica con derivada no nula es necesariamente conforme. La importancia de este hecho, que ya era conocido por Euler o Gauss, fue puesta de manifiesto por Riemann en forma de un célebre teorema que lleva su nombre, y que afirma que entre dos regiones simplemente conexas del plano complejo siempre se puede establecer una biyección conforme definida por una función analítica —grosso modo, una región simplemente conexa es aquella que no tiene agujeros—. La demostración de Riemann se basó en el llamado «principio de Dirichlet» —Riemann acuñó el término— que era incorrecto con la generalidad con que lo usó Riemann —como Weierstrass mostró algo después—; una demostración completa no se consiguió hasta principios del siglo XX —el mismo problema con el principio de Dirichlet también afectó a la demostración del teorema de Riemann-Roch antes mencionado—.

§ 6.4. Del cálculo de variaciones al análisis funcional, pasando por la Segunda Guerra Mundial

A lo largo del siglo XVIII se empezó a desarrollar otra disciplina matemática muy ligada a las ecuaciones diferenciales; me refiero al cálculo de variaciones. Algunos de los problemas que la originaron provenían de la física, como el siguiente, propuesto y resuelto por Newton en los Principia —y con obvias aplicaciones en la fabricación de barcos—: ¿cuál debe ser el contorno de una superficie de revolución que se mueve a velocidad constante en la dirección de su eje para que presente la mínima resistencia al movimiento? Otro ejemplo de este tipo es el de la braquistócrona, o curva por la que un cuerpo cae por gravedad a velocidad máxima entre dos puntos.

El cálculo de variaciones también aborda problemas geométricos, como el de las geodésicas: dada una superficie y dos puntos cualesquiera sobre ella, ¿cuáles son las curvas sobre la superficie que dan la mínima distancia entre los puntos? Y también los llamados «isoperimétricos», del que el siguiente es un ejemplo: de todas las curvas planas cerradas con longitud fija, ¿cuál encierra un área máxima? —que se suele relacionar con la historia de la fundación de Cartago por la reina Dido, a la que permitieron asentarse en el trozo de terreno que pudiera ser delimitada por la piel de un buey: Dido ordenó hacerla tiras muy finas y marcó con ellas su territorio—.

Todos esos problemas admiten una formulación análoga que busca una curva que minimiza o maximiza una determinada integral. Por ejemplo, el problema de Newton equivale a buscar la curva y(x) que haga mínima la integral

Euler desarrolló las primeras técnicas unificadas para tratar estos problemas, si bien utilizó en sus investigaciones una complicada mezcla de argumentos geométricos y analíticos que distaban de ser un método sistemático. Esta sistematización, basada en procesos puramente analíticos, la llevó a cabo Lagrange a mediados del siglo XVIII, con mejoras posteriores por parte de Jacobi y Weierstrass, entre otros.

El desarrollo del cálculo de variaciones acabó poniendo de manifiesto un principio físico fundamental: el de mínima acción. Grosso modo establece que la naturaleza siempre actúa de manera económica, minimizando su acción. En más o menos esos términos lo expusieron Pierre Louis de Maupertuis (1698−1759) y Euler en 1744, aunque ya Leibniz lo había formulado cuatro décadas antes. Todos ellos usaron razones teológicas para justificarlo: «Ya que la fábrica del universo es más que perfecta y es el trabajo de un Creador más que sabio —escribió Euler—, nada en el universo sucede en el que alguna regla de máximo o mínimo no aparezca».

Lagrange reformuló después el principio de mínima acción en los términos más precisos de acción estacionaria, y lo culminó Hamilton en el segundo cuarto del siglo XIX. Usando el cálculo de variaciones y el principio de acción estacionaria, Lagrange sintetizó y amplió la mecánica newtoniana en su obra más importante: Mécanique analytique. Lagrange sintió una profunda admiración por Newton y su obra, y a menudo lo citaba como el más grande genio que jamás hubo existido. Aseguró también, con gran ironía, que había sido por eso el más feliz de los científicos, pues sólo hay un sistema del mundo por descubrir. El cálculo de variaciones estaba todavía muy vivo a principios del siglo XX; de hecho, los problemas 19 y 23 de la lista de Hilbert caían dentro de este campo —sobre la lista de Hilbert recuérdese lo dicho al final de la sección § 2.4; se darán más detalles en la sección § 9.3—.

Lagrange cuidó en especial la estética de los resultados, logrando una obra de gran belleza que fue calificada por Hamilton de «poema científico». Del libro se desprenden los nuevos rumbos que el análisis había traído a las matemáticas, lo que hizo explícito Lagrange en el prefacio con una simple frase: «Nadie espere encontrar dibujos en esta obra. Los métodos que expongo no demandan ni construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos, sino únicamente operaciones algebraicas analíticas sujetas a un procedimiento uniforme y regular».

Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turín, de padre francés y madre italiana. Fue el menor de once hermanos y el único de ellos que sobrevivió más allá de la infancia. Su padre, que había hecho fortuna con un matrimonio ventajoso, la perdió en especulaciones; el propio Lagrange, mostrando una fina ironía, que junto con la modestia fue uno de sus rasgos de personalidad, se mostraría poco contrariado por este hecho: «Si hubiera tenido fortuna no me habría inclinado por las matemáticas».

Lagrange, desde sus inicios, fue un analista. Euler quedó muy impresionado con los primeros resultados del joven Lagrange sobre el cálculo de variaciones, lo felicitó e incluso retrasó la publicación de uno de sus trabajos para que Lagrange recibiera toda la gloria del descubrimiento: «Vuestra solución del problema isoperimétrico no deja nada que desear, y me regocijo de que este tema del que sólo yo, desde las primeras fases, me preocupaba, haya sido llevado por vos al más alto grado de perfección —le escribió—. La importancia de la materia me ha estimulado a trazar de ella, con la ayuda de vuestras luces, una solución analítica, a la que no daré ninguna publicidad hasta que vos mismo hayáis publicado la serie de vuestros descubrimientos para no arrebataros ninguna parte de la gloria que os he debido».

D’Alembert también apoyó con mucho entusiasmo a Lagrange, del que llegó a ser buen amigo. Junto con Euler, preparó el camino para que Lagrange lo sustituyera en Berlín, cuando, harto de Federico de Prusia, Euler regresó a San Petersburgo. El rey escribió una solemne carta a Lagrange invitándole a ocupar el puesto de Euler, pues «el matemático más grande de Europa debía estar junto al rey más grande». Lagrange pasaría veinte años en Berlín, y llegó a tener cierta amistad con Federico, que encontró el cambio de matemático muy de su gusto, pues prefería la ironía de Lagrange a la rígida moral protestante de Euler. A la muerte de Federico de Prusia en 1786, Lagrange regresó a París, donde fue recibido con grandes honores, siéndole habilitadas unas habitaciones en el palacio del Louvre como residencia.

Lagrange representa bien los cambios ocurridos en la profesionalización de las matemáticas durante el siglo XVIII. Trabajó buena parte de su vida en la Academia de Berlín a sueldo del rey de Prusia, pero al poco de volver a Francia se integró en el nuevo sistema universitario, siendo profesor de las École Nórmale y Polytéchnique. Por encargo de la revolución participó también en el comité para renovar y unificar el sistema de pesos y medidas, que culminó con la creación del sistema métrico decimal que hoy usamos.

Coincidiendo con los prolegómenos de la revolución, Lagrange pasó por unos momentos de profunda depresión. Los años del Terror fueron muy duros para él y, aunque su vida no llegó a correr peligro, perdió a varios amigos en la guillotina, entre ellos al químico Lavoisier, sobre cuya ejecución escribió: «Ha sido necesario sólo un momento para hacer caer esa cabeza, y quizás cien años no bastarán para producir una semejante». Murió en 1812; pocos días antes afirmó: «La muerte no es para temerla, y siempre que venga sin dolor es una última función que no es ni penosa ni desagradable. La muerte no es más que el reposo absoluto del cuerpo».

En el cálculo de variaciones, en las investigaciones sobre ecuaciones diferenciales —en particular los relacionados con problemas de tipo Sturm-Liouville—, y en otras disciplinas que fueron desarrollándose durante la segunda mitad del siglo XIX —como el estudio de ecuaciones integrales—, empezaron a aparecer transformaciones más o menos específicas que operaban sobre funciones, en forma, de alguna manera similar, a como las funciones mismas actúan sobre los números. También aparecieron transformaciones que asignaban a las funciones un número, para las cuales se acuñó el término de «funcional» en las últimas décadas del siglo XIX. Por esa época, las matemáticas vivían un proceso de abstracción progresiva, con el surgimiento de estructuras algebraicas y topológicas abstractas; se buscaba con ellas dar un tratamiento unificado a situaciones aparentemente diferentes pero que atendían a la misma estructura subyacente. En el caso del análisis, este proceso dio lugar al nacimiento del análisis funcional durante las primeras décadas del siglo XX.

En este sentido, Maurice Fréchet (1878−1973) introdujo los espacios métricos (1906) en general, y particularizó el concepto para espacios cuyos elementos son funciones o sucesiones. Posteriormente surgirían estructuras más concretas como los espacios de Banach y de Hilbert.

La teoría básica de los espacios de Hilbert se desarrolló inicialmente en la primera década del siglo XX a partir de dos ejemplos fundamentales: las sucesiones de cuadrado sumable y las funciones cuyo módulo al cuadrado es integrable. En 1927, John von Neumann (1903−1957) los axiomatizó partiendo del concepto de producto escalar completo en un espacio vectorial, lo que permite medir ángulos entre vectores y asignarles una longitud. En particular, en un espacio de Hilbert se puede definir la «ortogonalidad» —vectores perpendiculares— y tratar las propiedades comunes de los sistemas ortogonales —de los cuales el sistema trigonométrico de Fourier y las ondículas son sólo dos ejemplos—. Von Neumann, nacido en Budapest en 1903, hizo sus aportaciones mientras visitaba la Universidad de Gotinga y fue él quien los bautizó con el nombre de espacios de Hilbert —por la conexión que tenían con el estudio hilbertiano de las ecuaciones integrales—. La motivación para su estudio provenía, sin embargo, de la mecánica cuántica: los espacios de Hilbert eran el contexto perfecto para una formulación precisa de los postulados mecánico-cuánticos, especialmente de la versión matricial desarrollada unos años antes por Werner Heisenberg (1901−1976), también en Gotinga.

Los espacios de Banach son más generales que los de Hilbert —todo espacio de Hilbert es de Banach, pero no al revés— y corresponden con la estructura de norma completa —grosso modo, la norma es una forma de asignarle una longitud a cada elemento del espacio—. Fueron introducidos casi simultáneamente en los primeros años de la década de los veinte por Stefan Banach (1892−1945), Hans Hahn (1879−1934), Eduard Helly (1884-1943) y Norbert Wiener (1894−1964), aunque fueron los trabajos de Banach y su escuela los que más influencia tuvieron.

La filosofía de esta breve historia de las ideas matemáticas obliga a acabar este capítulo con las trágicas vicisitudes que vivió Banach y los miembros de su escuela matemática durante la segunda guerra mundial.

Banach nació en Cracovia en 1892. Su padre se llamó Stefan Greczek, aunque Banach prefirió usar el apellido materno, o al menos el que consta para ella en el certificado de nacimiento: «hijo de Katarzyna Banach». Su madre lo abandonó a los pocos días de nacer; nunca estuvo casada con el padre de Banach y poco se sabe de ella —nada, en realidad—: por más esfuerzos que hizo su hijo por saber, fue puro misterio.

Banach acabó de profesor de matemáticas en Lwów (1922), y allí fundó un potente grupo de análisis matemático —Lwów era entonces una ciudad polaca, pero hoy forma parte de Ucrania—. Los sábados por la tarde solían reunirse en un aula de la universidad —los sábados eran por entonces días lectivos—; lo peculiar fue que la parte más fructífera de esas reuniones tenía lugar no en la universidad, sino en algunos cafés de los alrededores, donde la discusión matemática solía prolongarse varias horas más. En el uso sistemático que de los cafés hicieron como refugio científico se ve la impronta de Banach, porque pocas cosas hubo que le gustaran tanto a Banach como hacer matemáticas en un café. Sin exageración se podría decir que el grupo encontró la atmósfera apropiada para florecer en el Café Escocés, un local decorado al estilo vienés, con pequeños veladores de mármol blanco, un material excelente que nuestros matemáticos no pudieron resistirse a adornar cada tarde con una buena dosis de fórmulas y ecuaciones; escritas, eso sí, a lápiz.

Las tertulias matemáticas transcurrieron a lo largo de la década de los treinta del siglo XX y hasta la ocupación nazi de la ciudad a mediados de 1941. De lo sucedido en estas tertulias tenemos noticias por Stanislaw Ulam (1909−1984), uno de los matemáticos que participó en ellas. Ulam era judío y emigró a Estados Unidos en 1936, pues no veía mucho futuro en Polonia para un judío matemático; cuando estalló la segunda guerra mundial, participó en Los Álamos en la fabricación de las primeras bombas atómicas, y posteriormente, y de manera destacada, en las de hidrógeno.

En la tertulia de Banach en Lwów participaron también genios matemáticos de otras latitudes, como John von Neumann, Pavel Alexandrov (1896−1982) o Sergéi Sobolev (1908−1989), por citar sólo tres ejemplos —estos últimos matemáticos rusos, que no faltaron en la tertulia desde finales de 1939 hasta mayo de 1941, cuando, tras el reparto de Polonia entre Hitler y Stalin, Lwów fue ocupada por tropas soviéticas—. Von Neumann visitó en varias ocasiones Lwów y, naturalmente, participó en las discusiones del café. Según contó Ulam, en una de esas ocasiones: «Banach y otros matemáticos emborracharon a Von Neumann con vodka hasta el extremo de que tuvo que dejar la mesa para visitar los servicios; pero volvió y continuó con la discusión matemática sin haber perdido capacidad para razonar». Como se ve, a veces ocurre que hay que hacer matemáticas estando bebido, aunque no es lo más conveniente ni provechoso. Banach, como Von Neumann, tuvo fama de buen bebedor; su hermanastra escribió: «Mi hermano bebía cantidades ingentes de café y alcohol, aunque tenía una increíble capacidad de aguante. Una vez participó en un congreso en Georgia. Allí tienen por tradición brindar durante la comida de celebración por la salud de los participantes: la norma es un brindis por participante, y hay que vaciar de un trago el correspondiente vaso del fuerte vodka georgiano. Banach sobrevivió a todos los participantes locales de la reunión, y se sostuvo sobre sus pies mientras los otros matemáticos desaparecían uno a uno bajo la mesa». Yo no estuve, evidentemente, en esa comida, pero he participado en Moscú en alguna comida parecida, y doy fe de que las cosas acaban sucediendo tal y como la hermanastra de Banach las cuenta en su historia.

Las tertulias matemáticas celebradas en el Café Escocés de Lwów acabaron trascendiendo el ámbito local hasta llegar a fecundar una parte no despreciable de las matemáticas hechas en el último cuarto del siglo XX, sobre todo en el ámbito del análisis funcional. El portentoso objeto que permitió tal prodigio fue un modesto cuaderno; una simple libreta que se ha acabado convirtiendo en uno de los más célebres y celebrados documentos matemáticos: es el Cuaderno Escocés. Una tarde Banach se presentó en el café con un cuaderno sólido y bien encuadernado donde, pocas horas después, anotó de su puño y letra un primer problema que él mismo propuso. Era el 17 de julio de 1935 y, lo que después se ha dado en llamar el Cuaderno Escocés, recogía el primero de los 197 problemas que lo componen.

El Cuaderno Escocés sobrevivió a la guerra, y una trascripción le fue enviada desde Polonia a Ulam en 1956; Ulam, que trabajaba por entonces en el laboratorio nuclear de Los Álamos, lo tradujo al inglés e hizo imprimir algunos centenares de copias pagadas de su propio bolsillo. De esa edición, llevó ejemplares al Congreso Internacional de Matemáticos que se celebró en Edimburgo en 1958 —los escoceses quedaron un tanto defraudados al saber que el nombre del cuaderno no hacía referencia a Escocia sino a un café de Lwów—. A partir de ahí, el Cuaderno Escocés empezó a ejercer su influencia sobre la comunidad matemática. Desde Los Álamos se enviaron ejemplares de esa impresión, y de otra posterior hecha en 1977, a quien la solicitó. Así siguió distribuyéndose privadamente por universidades de aquí y de allá, hasta que una más cuidada edición, que incluía artículos de algunos protagonistas de la historia, estuvo comercialmente disponible tras el congreso dedicado en Texas, en mayo de 1979, a los problemas matemáticos del Cuaderno Escocés. Problemas que han alimentado los desvelos matemáticos de una parte del gremio en el último cuarto del siglo XX; y todavía algunos pocos lo siguen haciendo, pues su solución es aún desconocida.

Del grupo que frecuentó las tertulias matemáticas de los cafés de Lwów, algunos han tenido larga y fructífera vida, aunque buena parte de ellos fueron víctimas de esa irracional eficacia que tenemos los seres humanos para destrozarnos los unos a los otros.

Stefan Kaczmarz (1895−1940) fue, quizá, el primer integrante de la tertulia en caer en mayo de 1940, cuando todavía sus amigos seguían reuniéndose en el Café Escocés. Kaczmarz era miembro de los servicios de inteligencia polacos y pereció en la llamada «matanza de Katyn»; allí, agentes del NKVD soviético —un germen de lo que después sería el KGB— inmolaron a 15.000 víctimas —20.000 según otras fuentes—, entre las que había soldados y oficiales del ejército polaco, agentes de inteligencia, policías, espías, y civiles corrientes y molientes.

En 1941, los nazis, tras tomar Lwów, perpetraron en la universidad una masacre en la que fueron asesinadas 45 personas, entre profesores, científicos de la Escuela Politécnica y familiares, varios de los cuales eran miembros de la tertulia matemática del Café Escocés. Esa masacre no fue fruto del acaloramiento durante la batalla sino de una meticulosa y fría preparación, buscando eliminar a las elites intelectuales polacas.

Finalmente, les tocó el turno a los miembros judíos de la tertulia matemática. Stanislaw Saks (1897−1942) y Juliusz Schauder (1899−1943) fueron ejecutados por la Gestapo: uno el 23 de noviembre de 1942 en Varsovia, el otro posiblemente en octubre de 1943. Hermán Auerbach (1901-1942), prisionero primero en el gueto de Lwów, fue asesinado en Belzec, el primero de los campos de exterminio que los nazis hicieron funcionar en Polonia.

La invasión alemana de la URSS cogió a Banach en Kiev; a pesar de las previsibles represalias que le esperaban en Lwów por su relación amistosa con los soviéticos, Banach pudo coger el último tren y regresó a su ciudad: allí estaba su mujer, su hijo, así como su padre y un hermanastro, que se habían refugiado en Lwów antes de que Cracovia, donde vivían, cayera en manos de los ejércitos nazis. Banach fue arrestado por la Gestapo pero puesto en libertad algunas semanas después. Desde el otoño de 1941 y hasta el final de la ocupación alemana en julio de 1944, Banach se prestó a alimentar piojos con su propia sangre en un instituto bacteriológico de la universidad. Esto le acabó provocando una degradación física considerable. La mujer de un colega lo describe en esos años como «un hombre exhausto, hambriento y sombrío, aunque antes de la guerra había sido de complexión muy robusta».

La Universidad de Lwów había desarrollado una vacuna eficaz contra el tifus, transmitido por piojos infestados. Para la fabricación de la vacuna había que criar una gran cantidad de piojos que debían ser amamantados con sangre humana. Entre los que estuvieron alimentando piojos se encontraba buena parte de la intelectualidad de Lwów, lo que incluía a los profesores de la universidad —Banach y otros matemáticos entre ellos—. Para la crianza y alimentación de los piojos se había inventado un ingenioso sistema. Consistía en pequeñas cajas de madera del tamaño de una caja de cerillas, selladas con parafina para evitar la fuga de los insectos; una de sus caras, protegida por una puertecita, era de una malla finísima que sólo permitía a los piojos asomar la cabeza para alimentarse. En estas cajas se depositaban entre 400 y 800 larvas, junto con unos hilos de lana para que depositaran los huevos cuando crecieran. Entre siete y once de estas cajas se colocaban, sujetas con una banda elástica y con la puertecita abierta, sobre las piernas de los alimentadores.

El primer capítulo de este libro se dedicó a mostrar que en las matemáticas se produce un conflicto permanente entre la prudencia y la pasión; una pasión que es muy similar a la fiebre creadora que se da en los artistas, sean pintores, compositores o poetas. Hay mucha gente que cree que las matemáticas son algo tan frío que no pueden generar ningún tipo de pasión. No es cierto: ¿qué, si no la más arrebatadora de las pasiones, puede hacer olvidar a unas personas que tienen adheridos a su pantorrilla unos pocos de miles de piojos chupándoles la sangre?: «Yo tenía que supervisar una unidad de crianza cuyos alimentadores eran casi todos matemáticos de la célebre Escuela de Lwów, incluyendo al mundialmente famoso profesor Stefan Banach —escribió décadas después un testigo de los hechos—. Era intelectualmente muy estimulante, aunque también algo surrealista, escucharlos discutir acerca de las fronteras de las matemáticas, de topología y de teoría de números, mientras estaban alimentando piojos. Más todavía, tenía que ser muy escrupuloso con ellos en el control del tiempo, pues en el fervor de sus discusiones seguían con las cajitas adheridas a las piernas durante más de 45 minutos, sobrealimentando a los piojos. Eso tenía terribles consecuencias, porque nuestros piojos de laboratorio habían perdido su instinto natural de dejar de comer, y continuaban chupándoles la sangre hasta que la ingente cantidad que almacenaban en sus intestinos los hacía reventar».

Capítulo 7

La geometría del mundo

Tras culminar la recuperación del legado griego en el siglo XVI, los matemáticos empezaron a advertir que la geometría sintética griega estaba agotada, ya fuera por falta de problemas o porque sus métodos no alcanzaban para resolver los existentes. Pero la metodología griega todavía encontró uso en un par de contextos geométricos que acabaron teniendo profundas consecuencias.

Por un lado en la geometría proyectiva, que vino a estudiar problemas matemáticos asociados con los estudios de perspectiva que los artistas del Renacimiento desarrollaron; con la perspectiva pretendían una representación más fiel del espacio tridimensional en las dos dimensiones de un cuadro. Esta geometría de la proyección y la sección se inició en el siglo XVII, interrumpió después su desarrollo casi siglo y medio, hasta que eclosionó durante las primeras décadas del siglo XIX. Hasta mediados del ese siglo sus técnicas eran esencialmente herederas de la geometría sintética griega, para después ir progresivamente algebrizándose en un proceso parecido al que dio origen a la geometría analítica.

Por otro lado, entre los axiomas que Euclides había elegido para levantar el edificio de la geometría griega en los Elementos, había uno que siempre se consideró demasiado complicado, y nunca faltaron los que quisieron demostrarlo a partir de los otros postulados, o sustituirlo por uno más simple. Pero en el siglo XVIII se empezó a tomar conciencia de que ese postulado se podía sustituir por otro para obtener una geometría diferente a la euclídea pero aparentemente igual de sólida desde el punto de vista de la lógica. Ese proceso culminó en el siglo XIX con el nacimiento de las geometrías noeuclídeas de Gauss, Lobachevski y Bolyai. Curiosamente, en sus inicios, las técnicas usadas para desarrollar estas geometrías eran sintéticas, como las griegas.

A la vez que ocurría todo esto, el análisis fertilizó la geometría analítica, permitiendo un estudio mucho más exhaustivo y eficaz de curvas y superficies. Este proceso lo culminó Gauss en las primeras décadas del siglo XIX con la geometría intrínseca de superficies, que después expandiría Riemann para tratar variedades geométricas de cualquier dimensión. La geometría riemanniana unificó el tratamiento de las geometrías, ya fueran euclídeas o no euclídeas, y puso los cimientos matemáticos sobre los que luego Einstein levantaría su teoría de la relatividad general.

§ 7.1. La geometría proyectiva

En la magnífica Historia del Arte de Gombrich se lee: «Giotto redescubrió el arte de crear la ilusión de profundidad sobre una superficie plana». Eso ocurría a principios del siglo XIV y suponía el inicio de un movimiento que, en pintura, vendría a sustituir el simbolismo y la figuración del gótico por el intento de representación cabal de la realidad. Brunelleschi, Uccello y Masaccio dieron los primeros pasos hacia esa conquista de la realidad, para lo cual empezaron a estudiar los principios de la perspectiva y a usarlos en sus obras. Leone Battista Alberti (1404−1472) y Piero della Francesca (1410-1492) compusieron tratados detallados sobre los fundamentos matemáticos de la perspectiva, sobre lo que también escribieron dos de los más grandes artistas del Renacimiento: Leonardo da Vinci y Albert Durero. «Leonardo creía que la pintura debe ser una reproducción exacta de la realidad, y que la perspectiva matemática lo permitiría», escribió Morris Kline, lo que casi equivale a la frase de Galileo aplicada a las artes: las matemáticas, habría venido a decir Leonardo, forman parte del lenguaje de la pintura.

El fundamento matemático de la perspectiva se basa en los conceptos de proyección y sección. La proyección es el conjunto de semirrectas que parten del ojo humano y acaban en los objetos que vemos; si cortamos ese cono de visión con un plano, los puntos de intersección de las semirrectas con ese plano componen una sección. Identificando el plano de corte con el lienzo, se concluye que lo representado en un cuadro es una sección de la proyección y, por tanto, el secreto para la representación fiel de la realidad se esconde en las matemáticas de las proyecciones y las secciones. El problema fundamental que plantea la perspectiva es: ¿qué relación matemática hay entre dos secciones de la misma imagen, tanto si corresponden con proyecciones desde el mismo o diferente punto de vista? La perspectiva no incluye como objeto de estudio la visión estereoscópica, por la que el cerebro humano crea una ficción tridimensional al procesar las dos imágenes ligeramente desplazadas que recibe de los ojos; según Alberti, esos efectos había que conseguirlos en pintura con la gradación de luces y sombras y tonalidades de color.

El tratamiento matemático de la perspectiva generó durante el siglo XV una primera tanda de manuales prácticos para artistas y, posteriormente, una nueva disciplina matemática conocida como «geometría proyectiva». Se inició en el siglo XVII, con los trabajos de Desargues y Pascal, para luego apagarse hasta ser retomada otra vez con fuerza en el siglo XIX.

A Girard Desargues (1591−1661) se le deben los primeros teoremas en geometría proyectiva, además de algunas consideraciones teóricas de importancia. El primer rudimento de perspectiva que a uno le enseñan en la escuela es que dos rectas paralelas, salvo que sean paralelas al lienzo, se tienen que cortar en el plano del cuadro, definiendo de esta forma un punto de fuga. Esto, que ya lo explicaba Alberti en sus manuales de perspectiva, lo tradujo Desargues en el punto del infinito con que enriqueció cada recta del plano —por razones distintas, este añadido ya había sido considerado por Kepler unos años antes—; esto le permitía concluir que dos rectas paralelas se cortan en ese punto adicional. Dado que hay una infinidad de direcciones, hay una infinidad de puntos del infinito, que Desargues supuso estaban alineados en una recta, que representaría la línea del horizonte de la sección. De esta forma, también dos planos paralelos se acaban cortando en la recta común de sus puntos del infinito. La adición de los puntos del infinito permitió a Desargues no tener que distinguir los casos de rectas secantes y paralelas.

El teorema más célebre de Desargues establece una condición necesaria y suficiente para que dos triángulos, estén o no en el mismo plano, correspondan a secciones distintas del mismo triángulo —véase la figura 7.1—: la condición es que los tres puntos de corte de los lados correspondientes de los triángulos estén alineados.

Figura 7.1

Es obvio que la distancia entre dos puntos varía de una sección a otra, por lo que no es un invariante de la geometría proyectiva. Sin embargo, Desargues fue capaz de encontrar un invariante que viene definido en términos de distancia entre puntos, y que correspondía a una razón que ya había sido considerada por matemáticos griegos —Pappus y Menelao—: la razón doble de cuatro puntos alineados. Si tenemos cuatro puntos A, B, C y D en la misma recta, la razón doble se define como el cociente

AC × BD/AD × BC

donde AC representa la distancia orientada entre los puntos A y C —esto es, se fija una dirección en la recta y la distancia se toma positiva si C está después de A en la recta, y negativa si C está antes—.

Desargues también mostró que las cónicas son otro invariante proyectivo: cualquier cónica es equivalente a una circunferencia; más precisamente, si una circunferencia no toca la recta del infinito de su sección, será vista como una elipse en otra sección, si es tangente a la recta del infinito será entonces vista como una parábola, y si corta a la recta del infinito entonces será vista como una hipérbola. De aquí se deduce que si una propiedad invariante por proyecciones es válida para una circunferencia también lo es para el resto de las cónicas.

El gusanillo de la geometría proyectiva lo logró inocular Desargues al joven místico Blaise Pascal (1623−1662). Nacido en Clermont-Ferrant, su familia se trasladó a París siendo Pascal todavía un niño. Su familia era católica, e inclinada hacia una nueva doctrina que por aquella época empezaba a tomar cierto auge en Francia; se trataba del jansenismo, que, fundado por Cornelius Jansen algunos años antes, defendía que el hombre únicamente podía salvarse del infierno por la intervención de la divina gracia, y que esta intervención estaba prefijada y no dependía de las buenas obras que se hicieran. Pascal profesó gran admiración por esa doctrina, y sus reflexiones sobre ella le procuraron más de un arrebato místico; no es descartable que la pésima salud de Pascal, que sufría graves problemas digestivos que a la postre le causarían la muerte con treinta y nueve años, tuviera tanto o más que ver con sus éxtasis que la fe jansenista. En 1654 tuvo un accidente mientras conducía un coche de caballos del que salió ileso; esto le procuró un delirio místico que lo llevó a ingresar en el convento de Port Royal, que se había convertido en el principal centro de las ideas jansenistas. Allí meditó sobre la grandeza y miseria del hombre y compuso sus principales obras filosófico-religiosas: Las provinciales y Pensamientos.

Pero Pascal también fue un prometedor científico y matemático; fue un destacado precursor del cálculo infinitesimal, de la geometría proyectiva y de la probabilidad, hizo contribuciones en hidrodinámica y fue también un habilidoso experimentador, que construyó la primera máquina de calcular —para ayudar a su padre que era tasador de impuestos—. Aunque se quedó en eso, en prometedor: «El más grande podría haber sido de toda la historia de las matemáticas», en opinión de E. T. Bell. De hecho, Nietzsche vio en Pascal el modelo de genio capado por la religión: «El cristianismo se ha puesto de parte de todo lo débil, de todo lo bajo, de todo lo fracasado —escribió en El Anticristo—; ha convertido en un ideal la oposición a los instintos tendentes a conservar la vida fuerte; ha echado a perder hasta la razón de las naturalezas más fuertes intelectualmente al inducirlos a que consideremos que los valores supremos de la intelectualidad son algo pecaminoso, algo que descarría, una tentación. El ejemplo más lamentable es Pascal, quien creía que su razón estaba corrompida por culpa del pecado original, cuando por lo que lo estaba era precisamente por su cristianismo» —con lo que, hasta cierto punto, coincidía Bertrand Russell: «Pascal sacrificó su magnífico talento matemático a su Dios, atribuyéndole por tanto una barbaridad que era una ampliación cósmica de sus enfermizas torturas mentales»—.

Siendo todavía un niño, Pascal acompañó a su padre a las reuniones científicas de Mersenne —véase la sección § 5.1—, de la que aquel era asiduo. Allí conoció a Desargues y bajo su influencia compuso, con tan sólo dieciséis años, una obra, hoy perdida, sobre cónicas consideradas como invariantes proyectivos; un año después escribió un opúsculo de ocho páginas titulado Ensayo sobre las cónicas —perdido después y recuperado en 1779—. Ambas obras contenían lo que ahora conocemos como «teorema de Pascal»: los tres puntos de corte de los lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica están alineados. No sabemos los detalles de la demostración, pero sí que usó un razonamiento proyectivo: estableció su resultado para la circunferencia y lo extendió a las demás cónicas considerando que es invariante por proyecciones.

La nueva disciplina de la geometría proyectiva recibió poca más atención durante el siglo XVII; en parte porque Desargues usó una terminología rara en sus libros, en parte porque seguía utilizando lenguaje propio de la geometría sintética griega, en parte porque no pudo competir con el creciente protagonismo de la geometría analítica.

El interés por la geometría proyectiva se avivó en las primeras décadas del siglo XIX, al calor de los estudios de Monge sobre geometría descriptiva; fue además campo de batalla para las últimas escaramuzas entre la geometría sintética griega y la analítica.

A pesar de que la geometría analítica se había hecho omnipresente en matemáticas desde finales del siglo XVII, la geometría sintética al estilo griego había seguido siendo practicada y produciendo resultados interesantes; sólo en el triángulo se pueden mencionar el descubrimiento de la recta de Euler, de la circunferencia de los nueve puntos, o la propiedad de cortarse los trisectores adyacentes de sus vértices en los vértices de un triángulo equilátero.

Entre los defensores a ultranza de la elegancia y solidez de la geometría al estilo griego encontramos a varios de los campeones de la geometría proyectiva durante el siglo XIX: Jean-Victor Poncelet (1788−1867), Jacob Steiner (1796−1863) o Michel Chasles (1793−1880).

Tras formarse en la École Polytechnique, Poncelet estudió ingeniería militar, se licenció con el grado de teniente y se incorporó en junio de 1812 al ejército de Napoleón que se aprestaba a invadir Rusia. Un tiempo después fue capturado por las tropas rusas y estuvo prisionero más de un año. Lo dedicó a reflexionar sobre la geometría, pero no recordando bien lo que había aprendido en la École, el fruto de sus desvelos tuvo que ver más con la geometría proyectiva de Desargues que con la griega.

Al igual que su compatriota dos siglos antes, Poncelet se propuso estudiar invariantes de secciones de la misma figura, sin importar si corresponden con proyecciones desde el mismo o diferente punto de vista. Poncelet enriqueció este renacer de la geometría proyectiva con dos nuevos principios: el de continuidad y el de dualidad.

Poncelet formuló el principio de continuidad de forma algo vaga: «Si una figura es derivada de otra mediante un cambio continuo y la última es tan general como la anterior, entonces cualquier propiedad de la primera figura puede ser establecida inmediatamente para la segunda». El principio, que había sido ya considerado en sentido filosófico por Leibniz, fue criticado por ser más un método heurístico para descubrir que un principio válido para demostrar —que es el sentido en que lo utilizaba Poncelet—. Michel Chasles, que prosiguió los estudios de Poncelet, veía el principio de continuidad como la forma natural de incluir en geometría los elementos que correspondían con números complejos en el tratamiento algebraico. «Los elementos imaginarios pertenecen a una condición o estado de una figura en la cual ciertas partes son no existentes —explicó Morris Kline—, siempre que estas partes sean reales en otro estado de la figura».

El principio de dualidad fue considerado por Poncelet en relación con el polo y la polar asociadas a una cónica. Dado un punto P fuera de una cónica, la polar es la recta que une los puntos donde las tangentes desde P tocan a la cónica; respectivamente, dada una recta que corte a una cónica en dos puntos, su polar es el punto de corte de las tangentes a la cónica en esos puntos. Obviamente hay una relación dual entre polo y polar, que Poncelet usó para derivar teoremas nuevos. Poncelet se quedó corto y, como Joseph Diaz Gergonne (1771−1859) apuntó, no se necesitaba una cónica para establecer esa dualidad: en geometría proyectiva plana, punto y recta podían intercambiar su papel para producir teoremas duales —por ejemplo, el teorema de Pascal da por dualidad el de Charles Brianchon (1783−1864), que este demostró en 1806 siendo alumno de Monge en la École Polytechnique: en el hexágono formado por seis rectas tangentes de una cónica, las tres diagonales que unen vértices opuestos se cortan en un punto—. El alemán Jacob Steiner desarrolló con más plenitud este concepto pero sin llegar a dar una justificación del mismo.

Esa justificación llegaría con la irrupción de los métodos algebraicos en la geometría proyectiva, el primero de cuyos abanderados fue el astrónomo y matemático alemán August Ferdinand Möbius (1790−1868), aunque quien dio con el enfoque más eficiente fue su compatriota, y físico experimental, Julius Plücker (1801−1868). Plücker usó coordenadas homogéneas, y con ellas estudió desde el punto de vista proyectivo curvas más generales que las cónicas —de órdenes tres y cuatro—, así como superficies, y también el problema de intersección entre curvas de grados arbitrarios.

Las coordenadas homogéneas permiten la siguiente justificación de la dualidad entre puntos y rectas en el plano proyectivo. En este caso, los puntos vienen representados por ternas de coordenadas (x, y, z) con el convenio de que las coordenadas (x, y, z) y (ux, uy, uz) representan el mismo punto. La ecuación de una recta viene entonces dada por la ecuación homogénea ax + by + cz = 0. Ahora bien, esa ecuación ax + by + cz = 0 puede ser interpretada de una forma dual: si fijamos (a, b, c), la ecuación dice que los puntos de coordenadas (x, y, z) están sobre una recta; pero, si fijamos (x, y, z), entonces la ecuación dice que las ternas (a, b, c) corresponden con todas las rectas que pasan por (x, y, z). Esa interpretación permite justificar la dualidad entre puntos y rectas usada por Poncelet o Steiner.

Las cuestiones métricas llegaron a la geometría proyectiva a lo largo de la segunda mitad del siglo XIX. La longitud, obviamente, no es un invariante proyectivo, pero uno de los más importantes invariantes, la razón doble, se define en términos de longitud. Esto mantuvo oculto el hecho de que la geometría proyectiva es más fundamental que la euclídea —en el sentido de que los conceptos proyectivos preceden y no se sustentan en los euclídeos—. El primero que laboró para mostrar esta relevante circunstancia fue Karl von Staudt (1798−1867), que logró definir la razón doble sin usar longitudes. Von Staudt se basó en construcciones geométricas que, una vez pasadas por el filtro de las coordenadas homogéneas, dan la siguiente definición para la razón doble de los puntos de coordenadas (a₁, a₂), (b₁, b₂), (c₁, c₂), (d₁, d₂) en términos de productos y cocientes de determinantes:

Definió entonces los cuartetos armónicos como conjuntos de cuatro puntos cuya razón doble vale −1, y desarrolló la geometría proyectiva plana tomando como base las aplicaciones que preservan los cuartetos armónicos.

Pero, en sus construcciones geométricas, Von Staudt siguió usando paralelas, que no son un invariante proyectivo. En el último tercio del siglo XIX, Félix Klein (1849−1925) eliminó ese defecto, además de mostrar, mejorando los trabajos del francés Edmond Laguerre y del inglés Arthur Cayley (1821−1895), cómo se podía introducir una métrica en la geometría proyectiva. Para ello, partimos de una cónica, que para simplificar supondremos que es una circunferencia, y definiremos la distancia sólo entre puntos de su interior; dados dos de tales puntos P y Q, consideramos la recta que los une, que cortará a la circunferencia en R y S —véase la figura 7.2—.

Figura 7.2

Entonces, la distancia entre P y Q se define como d(P, Q) = c log [P, Q, S, R], donde [P, Q, S, R] es la razón doble de los puntos P, Q, S y R, y c es simplemente una constante que permite normalizar la distancia a conveniencia. No es difícil mostrar que esa fórmula define una distancia —diferente a la habitual distancia euclídea, pero verificando como esta la desigualdad triangular: la distancia entre dos puntos es a lo más la suma de las distancias de esos puntos a un tercero—. Obsérvese que, aunque los puntos interiores de la circunferencia son un espacio limitado, la distancia entre ellos se hace infinita conforme los puntos se acercan a la circunferencia —porque entonces la distancia euclídea entre P y R o Q y S se reduce a cero y la razón doble de los cuatro puntos se va a infinito—. Al estar definida en términos de la razón doble, esa distancia es un invariante proyectivo. Ahí aguardaba, además, una sorpresa, pues, como mostró el italiano Eugenio Beltrami (1835−1900), ese espacio proyectivo con esa distancia proporciona un modelo para la geometría no euclídea desarrollada por Gauss, Lobachevski y Bolyai. Lo que nos lleva a la más profunda y revolucionaria innovación del siglo XIX: el descubrimiento y estudio de las geometrías no euclídeas —que tanta influencia tuvo en acontecimientos científicos tan fundamentales como el advenimiento de la relatividad general de Einstein—.

§ 7.2. Las geometrías no euclídeas

En los más antiguos comentarios conservados de la geometría euclídea, ya se objetó alguna imperfección —Pappus, por ejemplo, hizo alguna crítica—, y se apuntó después que quizá requería de algún axioma adicional —para asegurar, por ejemplo, que dos circunferencias, cada una de las cuales pasa por el centro de la otra, se cortan—. A pesar de lo cual la geometría euclídea se había considerado muy fiable. Más todavía, desde la composición de los Elementos por Euclides, se consideraba a la disciplina el modelo de rigor matemático, el triunfo de la demostración.

Se entendía también que la geometría euclídea del espacio correspondía con las características del espacio físico que nos rodea, lo que le daba un plus de veracidad —que, por ejemplo, no tenía un álgebra por donde pululaban entidades tan poco fiables y extrañas como las raíces cuadradas de números negativos—. Esta veracidad y fiabilidad de la geometría acabó teniendo, además, el aval de la física y la filosofía. El espacio tridimensional euclídeo se encarnó en el espacio absoluto de la física newtoniana, y este diseño euclídeo del mundo había sido bendecido por filósofos tan diferentes como T. Hobbes (1588−1679), J. Locke (1632−1704) o Leibniz, aunque no por David Hume (1711−1776) —en quien, por cierto, encontró inspiración Einstein antes de desarrollar la teoría especial de la relatividad—. Más todavía, Immanuel Kant (1724−1804), el más influyente filósofo del siglo XVIII, había establecido en su Crítica de la razón pura que el espacio euclídeo era la forma de organización espacial preexistente en nuestra mente, y por tanto el conocimiento que de él tenemos es previo a nuestra experiencia del mundo; adaptamos pues nuestra experiencia del espacio físico al molde euclídeo, y, puesto que se deja adaptar, debe de ser porque ese espacio es euclídeo.

Pero, a pesar de todo este consenso sobre su solidez, la geometría euclídea tenía un lunar: el postulado de las paralelas. Y no es que se dudase de su certeza, sino que se le consideraba demasiado complicado —especialmente cuando se le comparaba con la evidencia inmediata que caracteriza a los otros cuatro postulados—: «Si una recta, al incidir sobre dos rectas, hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos —fue la formulación elegida por Euclides—, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos».

¿Qué hacer, pues, con el postulado de las paralelas? Casi desde su nacimiento se barajaron dos opciones: bien demostrarlo usando los otros axiomas, de manera que quedara incorporado a la geometría como teorema —de hecho, la proposición 17 del libro I de los Elementos es una especie de recíproco del postulado—; bien dar con otro axioma, de cuya evidencia inmediata nadie pudiera dudar, y que implique el de las paralelas. Precisamente, el postulado se llama de las paralelas, aunque no aparecen en la formulación de Euclides, porque equivale a afirmar que, por un punto que no está en una recta, se puede trazar una y sólo una recta paralela a la dada —algo ya conocido por Ptolomeo, y posiblemente mucho antes—.

A lo largo de los siglos no fueron pocos ni poco importantes quienes encontraron equivalencias para el postulado. He aquí un par de ejemplos. Legendre, que peleó con el postulado durante décadas, encontró que era equivalente a la existencia de una circunferencia que pase por tres puntos dados no alineados; o Gauss, que probó que equivalía a la construcción de un triángulo cuya área sea mayor que cualquier área dada. No fue extraño, aunque hubo excepciones, que quienes encontraban una formulación equivalente se dieran por satisfechos, alegando que la suya era la tan ansiada y buscada formulación autoevidente, aunque no lo fuera. De manera que poco más se consiguió aquí que un larguísimo listado de equivalencias del postulado.

Más consecuencias tuvo la otra opción: tratar de demostrar el postulado usando el resto de los axiomas euclídeos. Aquí también se hicieron grandes esfuerzos, sin éxito aparente, por más que algunos contendientes se autoproclamaran ganadores del reto. Este fue el caso de Gerolamo Saccheri (1667−1733), que supuso que el axioma no era cierto y trató de encontrar una contradicción. Lo que encontró fueron bastantes resultados raros, pero en absoluto contradictorios. Saccheri los encontró tan repugnantes que clamó que eran falsos, y publicó en 1733 un libro de inequívoco título: Euclides vindicado de todo reproche.

La estela de Saccheri fue seguida por varios autores, algunos de los cuales empezaron a ver las cosas de forma diferente. Johann Lambert (1728-1777), por ejemplo, trabajó con varias negaciones del postulado y, en un caso, encontró teoremas que guardaban cierto parecido con lo que ocurría sobre la superficie esférica, mientras que en otro le pareció que lo que encontró debía de corresponder a una superficie esférica de ¡radio imaginario!; para el estudio de tal objeto introdujo las funciones trigonométricas cuyo argumento es imaginario, y que hoy conocemos por «funciones hiperbólicas». Lambert, a diferencia de Saccheri, no creyó haber encontrado una contradicción; al contrario, pensó que determinadas negaciones del postulado de las paralelas podían llevar a geometrías sólidas desde el punto de vista lógico, pero incompatibles con la realidad.

A conclusiones todavía más interesantes llegó Ferdinand Schweikart (1780−1859). Trabajó con la hipótesis de que la suma de los ángulos de un triángulo no es igual a dos rectos; a la teoría que obtuvo la llamó «geometría astral», porque pensaba que tal cosa podía ocurrir en las profundidades del universo en triángulos formados por estrellas. Contagió su afición a un sobrino, Franz Taurinus (1794−1874), que desarrolló una especie de trigonometría no euclídea, encontrando todavía más semejanzas de las que encontró Lambert con lo que supuestamente debería de ocurrir en una superficie esférica de radio imaginario. También concluyó que sus resultados debían de corresponder con una geometría con fundamento lógico, aunque, a diferencia de su tío, pensaba que no eran aplicables a este mundo.

Lambert, Schweikart y Taurinus acabaron convencidos de que el postulado de las paralelas no se podía deducir de los otros, y de que su negación generaba geometrías con perfecto fundamento lógico.

Como se ve, la fruta estaba madura, y pronto un tropel de recolectores se aprestaron a cosecharla. Entre ellos estaba, nada más y nada menos, que Gauss.

Pocos detalles sabemos de las investigaciones de Gauss sobre geometría no euclídea, porque nunca publicó nada y ha sido poco lo que se encontró entre sus manuscritos y notas privadas. Fue muy discreto con ese asunto, y sólo lo comentó en cartas a amigos; en 1829 le escribió a Bessel que no publicaría nada porque «temía el clamor de los beodos» —que eran originarios de Beocia, una región de la antigua Grecia cuyos habitantes tenían entre los atenienses fama de estúpidos—. Lo cierto es que a Gauss sus conclusiones le parecían demasiado revolucionarias, no sólo desde el punto de vista matemático, sino también del físico y del filosófico, e iban en contra de las, por entonces, intocables doctrinas de Kant.

Gauss estaba convencido de la independencia del postulado de las paralelas con respecto a los otros axiomas euclídeos, y de que sus negaciones generaban geometrías lógicamente coherentes. Pero, todavía más, no veía ninguna razón por la que alguna de esas geometrías no euclídeas no fuera la que corresponde a nuestro mundo físico; contraviniendo a Kant, Gauss pensaba que para determinar esa fundamental cuestión científica había que recurrir al experimento. Se sabe, de hecho, que aprovechando sus habilidades topográficas trató de medir los ángulos de un gigantesco triángulo formado por tres montañas —cuyos lados tenían 69, 85 y 197 kilómetros—; halló que la suma superaba los dos rectos, pero por una cantidad tan pequeña que entraba de sobra en los errores achacables al proceso de medida.

Uno de los amigos a los que Gauss mencionó sus estudios sobre geometría no euclídea fue el húngaro Farkas Bolyai, que también había hecho sus pinitos con el postulado de las paralelas. Bolyai contagió el gusanillo a su hijo János Bolyai (1802−1860), aunque sin querer; cuando se enteró del interés de este por el asunto le escribió: «Olvídalo. Témelo como a las pasiones sensuales, porque, lo mismo que ellas, puede llegar a absorber todo tu tiempo y privarte de la salud, de la paz de espíritu y de la felicidad de la vida». Y algo parecido a eso ocurrió. János Bolyai acabó componiendo un pequeño tratado sobre lo que él llamó geometría absoluta, desarrollada a partir de una negación del postulado de las paralelas —por un punto se pueden trazar infinitas paralelas a una recta dada—, que apareció en 1832 como apéndice en una publicación de su padre. La publicación llegaba tarde. Por un lado, Farkas envió los resultados de su hijo a Gauss, pidiéndole su opinión: «Si comienzo diciendo que soy incapaz de elogiar este trabajo, por un momento ciertamente quedarás sorprendido —le respondió Gauss—. Pero no puedo decir otra cosa, porque alabarlo sería alabarme a mí mismo. El trabajo en su conjunto, el camino hecho por tu hijo, los resultados que obtiene, coinciden casi enteramente con las meditaciones que parcialmente han ocupado mi mente durante los últimos 30 o 35 años». Por otro, en 1829, el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792−1856) había publicado un artículo —al que siguieron varios más y un libro de sonoro título, Pangeometrie (1855)— donde se adelantaba a los resultados de Bolyai hijo. Todo lo cual provocó la frustración de János, que no volvió a publicar matemáticas nunca más.

Lobachevski hizo sus investigaciones en Kazán, la capital de Tartaristán, de cuya universidad Lobachevski fue profesor. A pesar de los cerca de tres mil kilómetros que la separan de Gotinga, donde trabajaba Gauss, hubo una conexión de primer orden entre ambos, a través de Johann Bartels (1769-1836), buen amigo de Gauss que fue contratado por la Universidad de Kazán para mejorar la instrucción en matemáticas y fue allí el maestro de Lobachevski.

Los resultados de Lobachevski y Bolyai fueron muy parecidos —Bolyai, de hecho, llegó a pensar que Lobachevski le había copiado— y, presumiblemente, también a los de Gauss. Todos ellos suponían que para un punto A que está a una distancia a de la recta r hay un ángulo π(a) menor que un recto, que marca un límite para las rectas que pasan por A y cortan a r —figura 7.3—, lo que supone que hay infinitas rectas por A que son paralelas a r.

Figura 7.3

A partir de ahí lograron una gran cantidad de resultados, algunos de los cuales ya se encontraban en trabajos de Lambert o Taurinus, pero otros eran nuevos. Los tres identificaron la función π(a), que mide el ángulo límite, en términos de a,

tan π(a)/2 = e−a

y desarrollaron una trigonometría para los triángulos de este plano no euclídeo —encontrando de nuevo que era similar a la trigonometría esférica si se supone que el radio es un número imaginario—. Para la longitud de una circunferencia de radio r, Lobachevski encontró la fórmula π(er − e − r) —si el radio r tiende a cero ese valor equivale al de la geometría euclídea: 2πr—. Como curiosidad, Bolyai también demostró que en esta geometría no euclídea, el problema de la cuadratura del círculo se puede resolver usando herramientas euclídeas.

Al igual que Gauss, Lobachevski y Bolyai pensaban que su geometría podría corresponder a la del mundo físico, lo que tendría que ser determinado experimentalmente. Esto era demasiado para la comunidad científica de la época —muy influenciada por Kant—, más teniendo en cuenta la modestia matemática de los padres de la criatura —la opinión de Gauss no era pública—. Como consecuencia, los trabajos de Lobachevski y Bolyai pasaron sin pena ni gloria.

Tan sólo cuando tras la muerte de Gauss se publicó su correspondencia, y se tuvo disponible la potentísima geometría que Riemann había desarrollado a rebufo de la geometría diferencial de Gauss para superficies —se tratará en la siguiente sección—, los matemáticos comprendieron, no sin cierto horror, que la venerada geometría de Euclides no era sino una de muchas otras posibles. Esto supuso un serio trastorno en las cuestiones del rigor. La geometría de Euclides había sido hasta entonces el modelo de rigor, hasta el punto de que toda teoría que no admitiera, o de la que no se conociera una reescritura en términos de esa geometría, atraía sobre sí las sospechas de estar mal fundamentada. Este aval quedó herido de muerte cuando se comprobó que tan fundamentado está suponer el postulado de las paralelas como su negación. El lugar de la geometría fue rápidamente ocupado por la aritmética que, curiosamente, no tenía fundamento lógico alguno a mediados del siglo XIX; sin embargo, su simplicidad, la aparente inocuidad de sus conceptos y el hecho de que los números naturales y las operaciones con ellos estuvieran más allá de todo razonamiento empírico motivaron su elección. A lo largo de las primeras décadas del siglo XX, ese papel acabó recayendo en la teoría de conjuntos, y los asuntos de fundamentación de las matemáticas quedaron cerrados con la propuesta formalista de David Hilbert. Como se explicará en la sección § 9.3, fue un cierre en falso.

Las dudas sobre la solidez lógica de las geometrías no euclídeas se fueron resolviendo en la segunda mitad del siglo XIX, conforme se fueron encontrando modelos euclídeos para ellas.

El primero fue propuesto por Riemann en 1854. Pensemos en la superficie esférica, que obviamente es un objeto euclídeo —y, de hecho, los griegos la estudiaron, encontrando resultados tan hermosos como el de Arquímedes sobre su área—. Pero la geometría de la superficie esférica puede interpretarse de forma que sirva de modelo a una geometría no euclídea. Para ello basta considerar que las curvas que sobre ella ejercen el papel de rectas —en el sentido de que dan la mínima distancia entre puntos— son las circunferencias máximas —definidas como los cortes de los planos que pasan por el centro de la esfera con su superficie—. Así visto, tenemos una colección de puntos —los de la superficie esférica— y una colección de rectas —las circunferencias máximas sobre la esfera— que verifican todos los axiomas de Euclides salvo dos. Falla el axioma de Euclides que establece que por dos puntos pasa una sola recta; eso no ocurre en la superficie esférica: por dos puntos sobre la esfera pasa sólo un círculo máximo, con la excepción de los puntos diametralmente opuestos, por los que pasan infinitos círculos máximos —Klein modificó dos décadas después el modelo para que cumpliera este axioma: basta considerar media superficie esférica, incluyendo el borde pero identificando los puntos diametralmente opuestos—. Y falla también el axioma de las paralelas, porque dos circunferencias máximas siempre se cortan, por lo que no hay rectas paralelas en esta geometría. De este modelo cabe deducir que, si la negación de esos dos axiomas junto con los otros de Euclides diera lugar a una contradicción, esa contradicción ya estaría presente en esos otros axiomas aceptados de Euclides, puesto que la negación de esos dos axiomas son teoremas en la geometría de la superficie esférica.

A su vez, Beltrami mostró que la métrica proyectiva de Klein en el interior de una cónica —descrita al final de la sección anterior— es un modelo para la geometría no euclídea de Gauss, Lobachevski y Bolyai. En efecto, consideremos como puntos los puntos interiores de la circunferencia y como rectas las secantes de esa circunferencia: se da la circunstancia de que, dados dos puntos, de todas las curvas que los unen son las rectas las que tienen menor longitud, medida ahora según la distancia de Klein.

Figura 7.4

En este caso se verifican todos los axiomas de Euclides, excepto el de las paralelas: dado un punto P y una recta r que no lo contenga, hay infinitas rectas paralelas a r que pasan por P. En efecto, como muestra la figura 7.4, hay dos rectas límite, las que unen P y los puntos de corte, R y S, de r con la circunferencia, de manera que cualquier recta s por P que no esté entre esos dos segmentos, ambos incluidos, corta a r en un punto que no está en el interior de la circunferencia; pero ese punto no pertenece al espacio y, por tanto, s y r son rectas paralelas en esa geometría.

§ 7.3 La geometría diferencial de Gauss

A lo largo del siglo XVII la geometría analítica arrumbó a la geometría al estilo griego, y aunque esta última todavía produjo resultados interesantes durante los siglos XVIII y XIX, no dejaron de ser meras curiosidades, los últimos resplandores de unas ascuas que se apagan.

Como herramienta para el manejo de curvas y superficies, la geometría analítica fue fundamental en el desarrollo del cálculo, pero como disciplina autónoma su estudio fue languideciendo durante el siglo XVIII, aunque fue practicada con éxito por los mejores matemáticos del período: Newton y Euler.

Al primero se debe la clasificación de las curvas de tercer orden —definidas por un polinomio de grado tres en dos variables—. Newton estuvo intermitentemente laborando sobre la clasificación durante un cuarto de siglo, hasta que la dio por concluida en 1695, cuando ya era un descreído de la geometría analítica; la volvió entonces a guardar en un cajón, y no la publicó hasta 1704, como apéndice de la Opticks. Newton dividió las cúbicas en 72 especies, de cada una de las cuales incluyó la gráfica de un ejemplar, que componen una galería no exenta de elegancia —se pueden disfrutar en la edición facsímile que editó la Real Sociedad Matemática Española y la SAEM Thales en 2003—. Poco más enseñó Newton que estas gráficas, porque fue muy parco en detallar cómo había hecho la clasificación, o cómo había obtenido algunos notables teoremas que la acompañaban —como el que establece que todas las cúbicas se podían obtener por proyección de las que llamó «cinco parábolas divergentes», que corresponden a los cinco casos de ecuación y² = ax³ + bx² + ex + d—. A Newton se le escaparon seis especies, que fueron descubriéndose a lo largo del siglo XVIII. No me resisto a incluir el incidente que Newton tuvo con Roger Cotes (1682−1716), a cuenta de su clasificación de las cúbicas. Cotes, que estuvo a cargo de la segunda edición de los Principia, cometió el terrible error de escribir a Newton en abril de 1712 reportando una «imperfección» en la clasificación newtoniana de las curvas de tercer orden. Aun teniendo en cuenta que la imperfección no era tal, el picajoso Newton se excedió en el castigo. Su soberbia no encajó bien la sutil crítica de Cotes, y cortó de raíz la intensa comunicación que hasta entonces mantenían sobre los Principia. Más todavía, eliminó el prefacio de la segunda edición que contenía un comentario elogioso, absolutamente merecido por otra parte, sobre la labor de Cotes como colaborador, y también suprimió del texto una referencia a Cotes; hasta su muerte con treinta y tres años en 1716, el pobre Cotes estuvo lamiéndose las heridas causadas por el revolcón que recibió de Newton.

Euler, en el segundo tomo de la Introductio, clasificó a su vez las superficies cuadráticas —definidas por un polinomio en tres variables de grado dos—, para lo cual realizó un trabajo previo sobre las ecuaciones de superficies. Euler encontró seis especies: cono, cilindro, elipsoide, hiperboloide de una y dos hojas, paraboloide hiperbólico —que él descubrió— y cilindro parabólico.

Pero la geometría analítica como disciplina autónoma fue poco a poco arrinconada por el poderío que se obtiene aplicando los procesos del análisis a la geometría, lo que, en manos de Gauss, acabó generando una nueva rama de las matemáticas: la geometría diferencial —el nombre se lo puso Beltrami a finales del siglo XIX—.

El cálculo de tangentes de curvas planas ayudó a nacer al cálculo infinitesimal, toda vez que la tangente a la curva está íntimamente ligada al concepto de derivada —esta última es la pendiente de la recta tangente—, por lo que, en sus inicios, el cálculo fue tributario de la geometría. Pero pronto la situación cambió, y el cálculo infinitesimal proveyó artillería para abordar dos difíciles problemas geométricos: el del cálculo de la longitud y el de la curvatura.

Si tenemos una curva en el plano parametrizada por las ecuaciones x = x(t), y = y(t), donde t recorre un intervalo [a, b] de la recta real, la longitud de la curva se calcula integrando el elemento de longitud de arco, cuyo cuadrado viene dado por ds² = dx² + dy²; la longitud viene entonces dada por

Grosso modo, la curvatura mide cuánto se separa una curva de su recta tangente, y está ligada a la circunferencia osculatriz —llamada así por Leibniz a finales del siglo XVIII—: la circunferencia osculatriz es la que más se pega a una curva en un punto —ninguna otra circunferencia tangente a la curva en ese punto se interpone entre la curva y la circunferencia osculatriz—. La curvatura es el inverso del radio de la circunferencia osculatriz, de manera que, cuanto más pequeño es ese radio, más se separa la curva de la recta tangente, y por tanto mayor es su curvatura en ese punto. Huygens, Newton y Johann Bernoulli encontraron la fórmula correcta para el cálculo de la curvatura de una curva definida por la función y = f(x) en el punto x = a:

La curvatura caracteriza a una curva plana, excepto por su posición en el plano. Como se ve, el problema geométrico de calcular una curva conociendo su curvatura k(a) en cada punto x = a, se reduce a la resolución de la ecuación diferencial

—las condiciones iniciales, el valor de y(x) e y’(x) en un punto, determinarán la posición de la curva en el espacio—.

Alexis Clairaut (1713−1765) inició en el segundo tercio del siglo XVIII el estudio de curvas en el espacio, apuntando que habría dos curvaturas en este caso: la curvatura propiamente dicha —medida de la separación con la recta tangente—, y la torsión —que mide en cada punto cuánto se aleja la curva de ser plana—. En la década final de su vida, Euler encontró la fórmula para calcular la curvatura, mientras que el ingeniero francés Michel Ange Lancret (1774−1807) logró dar con la fórmula para calcular la torsión en 1806. Cauchy sistematizó y modernizó el tratamiento de las curvas en el espacio, y finalmente Joseph Alfred Serret (1819−1885) y Fréderic-Jean Frénet (1816-1900) demostraron que una curva —salvo posición en el espacio— viene determinada por su curvatura y torsión en cada punto.

La teoría de superficies, que Gauss acabaría revolucionando, fue un hueso más duro de roer. Desde finales del siglo XVII se había venido estudiando el problema de las geodésicas: las curvas sobre una superficie que dan la mínima distancia entre puntos, con resultados particulares de los hermanos Bernoulli —esencialmente sobre superficies de revolución—, Euler —que usó el cálculo de variaciones— y Clairaut logrados en la primera mitad del XVIII.

En 1760, Euler definió y estudió las curvaturas principales en un punto, que son las de las curvas que se generan como intersección de la superficie y cada uno de los planos que pasan por el punto y son perpendiculares al plano tangente. Entre otras cosas, en 1760 demostró que esas curvaturas alcanzan un máximo y un mínimo, y que los planos correspondientes son perpendiculares —resultados mejorados un par de décadas después por Jean Baptiste Meusnier (1754−1793)—.

Las superficies desarrollabas y las regladas también fueron objeto de estudio durante el siglo XVIII, sobre todo en el último tercio. Las primeras se pueden cortar y desarrollar sobre un plano —como el cilindro, por ejemplo—; la característica de las segundas es que por cada punto pasa una recta contenida en la superficie. Euler mostró que las tangentes a una curva en el espacio forman una superficie desarrollable. Gaspard Monge llevó a cabo un estudio más completo de este tipo de superficies, usando técnicas analíticas y geométricas. Describió, mediante ecuaciones en derivadas parciales, las ecuaciones generales de las superficies desarrollares y las regladas, integrando estas últimas y mostrando que una superficie desarrollable es reglada pero no al revés.

Parte del estudio de las superficies, llevado a cabo en este período, tuvo que ver con la mejora en la elaboración de mapas —un asunto que venía de muy antiguo, y del que algo se dijo al final de la sección § 6.3.2—. Obviamente, las superficies ideales para ser representadas en un mapa son las desarrollables. Lamentablemente, ese no es el caso de la esfera terrestre que, por razones obvias, es la que más interesa representar por medio de mapas.

Eso llevó a estudios específicos sobre el tema, el más completo de los cuales se debió a Lambert, que publicó en 1772 todo un libro sobre aplicaciones conformes de la esfera en el plano y otros asuntos de cartografía teórica. Euler, cómo no, también dedicó esfuerzos al tema y, de hecho, ayudó a Joseph-Nicolas Delisle (1688−1768) a realizar un mapa del imperio ruso durante su primer período en la Academia de San Petersburgo.

Podemos decir que, hasta principios del siglo XIX, una superficie era vista y estudiada desde fuera, como un objeto de dos dimensiones inmerso en el espacio tridimensional euclídeo, como la envoltura de un sólido —esa es, precisamente, la primera acepción de la palabra «superficie» según el diccionario de la RAE: «Límite o término de un cuerpo, que lo separa y distingue de lo que no es él»—. Asociado a un punto de la superficie está el plano tangente y el vector normal, que determina la dirección perpendicular al plano tangente. Según la concepción que de las superficies se tenía en el siglo XVIII, superficie y plano tangente coinciden en un entorno infinitesimal del punto en cuestión; por contra, el vector normal se proyecta perpendicular a ese plano, y, por lo tanto, a la superficie. Así pues, el vector normal se proyecta fuera de la superficie, y certifica así la existencia del espacio tridimensional que acoge a la superficie, y desde el que nosotros la observamos y la estudiamos.

Gauss vino a cambiar esa situación en 1827 con la publicación de otra de sus grandes obras: Disquisitiones generales circa superficies curvas.

Lo que propuso Gauss fue una visión de la superficie desde dentro, intrínseca, como si fuéramos seres de dos dimensiones viviendo sobre ella. Esto quiere decir que nos podemos desplazar por ella combinando únicamente dos direcciones: arriba/abajo e izquierda/derecha, y cualquier otra dirección independiente de esas dos nos es desconocida; en particular, la del vector normal —pues esta se proyecta fuera de la superficie—. Al desplazarnos por una superficie podemos también medir distancias sobre ella. Gauss estaba interesado en estudiar propiedades intrínsecas de la superficie, o sea, y dicho de forma muy simplificada, propiedades geométricas de la superficie que pudieran determinarse con la única información que proporciona vivir sobre ella sin necesidad de mirarla desde fuera —renunciando, por lo tanto, al vector normal, que al ser perpendicular a la superficie necesita una dimensión que es ajena a los habitantes de la superficie—. Los resultados de Gauss mostraron que hay información esencial de la superficie que, a pesar de necesitar el vector normal para su definición, podía calcularse y conocerse de forma intrínseca —renunciando, por tanto, al vector normal—.

Curiosamente, la inspiración para sus teorías le llegó a Gauss mientras recorría a lomos de mulas la región de Hannover haciendo estudios geodésicos; pero le llegó despacio, sin prisas, en pequeñas dosis que fue recibiendo durante los diez largos veranos que dedicó a sus mediciones geodésicas. Fue ese cuidadoso medir distancias en el suave paisaje ondulado de la Baja Sajonia el que le convenció de que ahí se escondían jugosos secretos de la geometría de superficies.

Una de las formas habituales en que Euler, Clairaut o Monge manejaban las superficies era mediante una parametrización x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), donde u y v toman valores en una cierta región del plano. Esa expresión nos permite conocer las tres coordenadas (x, y, z) de cada punto de la superficie; lo que presupone tres ejes coordenados exteriores a la superficie sobre los que medir las coordenadas. De hecho, a partir de la parametrización podemos calcular, en cada punto, tanto el plano tangente como el vector normal. Gauss quería trabajar no con esa información —la superficie vista desde afuera— sino con información intrínseca: cómo medir distancias sobre la superficie. Esto se consigue a partir del llamado «elemento de longitud de arco»

ds² = dx² + dy² + dz²,

de forma análoga a como se calcula la longitud de una curva plana —véase la fórmula (7.1)—.

Ahora bien, usando las ecuaciones paramétricas de la superficie podemos escribir el elemento de arco en la forma

ds² = E(u, v)du² + 2F(u, v)dudv + G(u, v)dv²,

donde E(u, v) = xu² + yu² + zu², F(u, v) = xu xv + yu yv + zu zv, G(u, v) = xv² + yv² + zv², donde xu denota la derivada parcial de x = x(u, v) con respecto a u, y análogamente con el resto.

Ese es el punto de partida de Gauss —lo que hoy conocemos como «primera forma fundamental»—: lo importante para él son las funciones E, F, G que permiten medir distancias sobre la superficie, y no las funciones x, y, z que dan las coordenadas de los puntos de la superficie. Las funciones E, F, G también permiten el cálculo del área de porciones de superficie; así, si la región U sobre la superficie está parametrizada en, pongamos, el rectángulo A = [a, b] ∙ [c, d] del plano, el área de U se puede calcular mediante la fórmula

Gauss definió entonces la curvatura (total) de una superficie en un punto. Lo hizo comparando con la esfera de radio uno: usando el vector normal a la superficie desplegó trozos de esta sobre la esfera. Más concretamente: dado un punto P sobre la superficie, se considera un entorno U, y en cada punto Q de ese entorno se toma el vector normal a la superficie —normalizado a longitud uno—; trasladando cada uno de esos vectores al centro de la esfera, se obtiene un conjunto de puntos n(U) sobre la esfera de radio uno. Gauss comparó las áreas de n(U) y U tomando el cociente, y finalmente definió la curvatura como el límite de ese cociente cuando el entorno U se reduce al punto P. Gauss encontró entonces la siguiente expresión analítica de la curvatura:

donde las funciones L, M y N vienen definidas por los determinantes

y se llaman «funciones de la segunda forma fundamental».

Gauss también demostró que esa curvatura es el producto de las dos curvaturas principales estudiadas por Euler —lo que muestra que es una medida razonable de la curvatura de una superficie—. Es un resultado bonito, pero insatisfactorio desde el punto de vista de lo que Gauss se proponía, porque obviamente la curvatura es un concepto que se ha definido a partir del vector normal y, por tanto, no es, de partida, un concepto intrínseco de la superficie. De hecho, las funciones L, M y N vienen definidas en términos de las coordenadas x, y, z, de la superficie, y no de las funciones intrínsecas E, F, G. Gauss no se arredró, y mostró que, sorprendentemente, la curvatura k(u,v) sólo depende de las funciones E, F, G mediante la fórmula

donde H = √EG − F² y, como antes, el subíndice u denota la derivada parcial de la correspondiente función con respecto a u. Es decir, a pesar de que en la propia definición de curvatura se usa de manera determinante el vector normal, lo que es tanto como decir la forma en que la superficie está inmersa en el espacio de tres dimensiones, la curvatura es una propiedad intrínseca que podrían calcular los habitantes que viven sobre ella —a pesar de no poder percibir la dimensión en la que se proyecta el vector normal—. Gauss encontró este resultado tan impresionante que lo calificó como Theorema Egregium, o sea, «teorema egregio». En particular, el teorema implica que si se modifican las variables u y v de manera isométrica, esto es, estableciendo una biyección que deje invariante el elemento de longitud de arco, la curvatura de la nueva superficie no varía. Así, si doblamos una superficie, sin encogerla ni dilatarla, tendrá la misma curvatura que la original; lo que no deja de ser un hecho sumamente sorprendente: dado que una hoja de papel —un plano— tiene curvatura cero, cualquier superficie obtenida al arrugar una hoja de papel tendrá, por raro que parezca, curvatura cero. También se deduce del resultado de Gauss que una esfera —que tiene curvatura constante positiva— no puede ser representada en un plano —que tiene curvatura cero— de forma que se conserven las distancias, y por lo tanto es imposible elaborar un mapa de la superficie de la Tierra con esa propiedad.

Gauss también estudió las geodésicas sobre una superficie —aunque no usó ese nombre, que acuñó Liouville en 1850—, estableciendo una relación entre la suma de los ángulos en triángulos geodésicos y la curvatura total en el triángulo. Más concretamente: si T es un triángulo cuyos lados son geodésicas sobre la superficie, entonces

donde k(u,v) es la curvatura, dA es el elemento de área que, como vimos antes, viene dado por

dA = √E(u,v)G(u,v) − F²(u,v) dudv

y α, β, γ son los ángulos del triángulo.

En las siguientes décadas, algunos huecos dejados por Gauss en su investigación fueron rellenándose. Por ejemplo, la relación entre las funciones E, F, G de la primera forma fundamental y las L, M, N de la segunda. En concreto, si tenemos en cuenta las dos fórmulas anteriores para la curvatura, se deduce que la función LN − M² depende de E, F, G y la forma en que lo hace. Tres décadas después, los italianos Gaspare Mainardi (1800-1879) y Delfino Codazzi (1824−1875) encontraron, de forma independiente, dos ecuaciones más en derivadas parciales que ligan las funciones L, M, N con las E, F, G. El matemático francés Pierre Ossian Bonnet (1819−1892) demostró en 1867 que esas tres ecuaciones caracterizan los dos tríos de funciones E, F, G y L, M, N correspondientes a una superficie en tres dimensiones.

§ 7.4. Riemann y la geometría: el camino a la relatividad general

En 1854, casi tres décadas después de que Gauss publicara su obra cumbre sobre geometría diferencial de superficies, se iba a incorporar a la Universidad de Gotinga un nuevo privatdozent —una especie de profesor ayudante sin sueldo, sólo lo que voluntariamente le quisieran pagar los alumnos—. Atendía al nombre de Bernhard Riemann (1826−1866). Para acceder a ese puesto, el candidato tenía que presentar una tesis de habilitación, además de impartir una lección inaugural. La tesis trató sobre series de Fourier, y en ella Riemann definió la integral que hoy lleva su nombre —y a la que ya se hizo referencia en la sección § 6.1—. Para la lección inaugural, Riemann presentó tres posibles temas; lo habitual era que se hubiera elegido el primero de ellos o, en todo caso, el segundo, pero Gauss, que era quien elegía, prefirió el tercero de los propuestos, que llevaba el título Sobre las hipótesis que forman los fundamentos de la geometría. Gauss conocía bien a Riemann —había supervisado su tesis doctoral en 1851—, lo tenía en alta estima, y no pudo resistirse a saber qué tenía que decir aquel joven sobre geometría. El que Gauss eligiera el tercero de los temas que había propuesto, el que tenía menos preparado, le creó cierta angustia al candidato; claro que causarle angustia a Riemann no parecía algo complicado.

Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Hannover. Fue el segundo de los seis hijos de un pastor protestante; se acostumbró cada día a examinar su conciencia «ante la mirada de Dios», y, sobrepasada la treintena, contempló la posibilidad de escribir una obra filosófica, con base matemática y posiblemente física, sobre la corrección de la historia bíblica de la creación y otros mitos cristianos —no lo llegó a hacer, aunque sí escribió filosofía en la que se pueden encontrar residuos de esas ideas—. Riemann tuvo un carácter retraído, melancólico, modesto, y con tendencias hipocondríacas y depresivas. «Hay que hacer todo lo posible para arrancar a un hombre tan excelente y científicamente tan importante como Riemann de su estado actual, realmente infeliz —escribió Dedekind a su familia, con motivo de haberle cedido a Riemann una casa en las montañas del Harz para que se recuperara del agotamiento y colapso que le produjo acabar sus estudios sobre funciones abelianas (véase la sección § 6.3)—; pero no debe percibir dicho objetivo con claridad; siempre ha sido difícil hacerle un favor, y sólo es posible conseguir que acepte alguna amabilidad cuando consigue uno convencerle de que lo hace tanto en interés propio como en el suyo; odia causar molestias a otras personas.»

Salvo los seis últimos años de su corta vida, Riemann sufrió dificultades y penurias económicas. A pesar de la pobreza de su familia, inició estudios de teología en la Universidad de Gotinga que, de haberlos terminado, le hubieran garantizado acceso rápido a un sueldo como pastor; pero las matemáticas se cruzaron en su camino y la verdadera vocación pudo más. Tras estudiar un tiempo con Gauss, Riemann pasó a la Universidad de Berlín —la mejor, por entonces, de Alemania—, donde tuvo como profesores a toda una constelación de figuras matemáticas: Jacobi, Dirichlet, Steiner y Gotthold Eisenstein (1823−1852). Volvió a Gotinga en 1850; allí defendió en 1851 su tesis doctoral bajo la supervisión, probablemente nominal, de Gauss, y consiguió un puesto de privatdozent en 1854. La situación económica de Riemann fue de paupérrima a lo directamente miserable, especialmente cuando, tras la muerte de un hermano y una hermana —en 1858—, se tuvo que hacer cargo de la familia; todo lo cual lo acabó sumiendo en una profunda depresión.

Gauss murió en 1855 y su puesto fue ocupado por Dirichlet, que murió a su vez cuatro años después, lo que permitió a Riemann ser catedrático con tan sólo treinta y tres años. La consiguiente mejora de su situación económica se reforzó en lo personal tres años después, cuando contrajo matrimonio con la amiga de una de sus hermanas —la fama de retraído que Riemann tenía en el trato con las mujeres hace probable que su hermana ejerciera como celestina—. Pero las penalidades sufridas en las décadas anteriores acabaron pasando factura, y Riemann enfermó de tuberculosis. Los siguientes años pasó temporadas largas en Italia, donde su salud se recuperó algo. Allí trabó amistad con Enrico Betti (1823−1892), Beltrami y otros matemáticos italianos. La tuberculosis, sin embargo, fue una condena a muerte, que le alcanzó junto al lago Maggiore en junio de 1866, cuando se dirigía de nuevo a Italia.

Pero volvamos a 1854, y al momento en que Gauss eligió el tercero de los temas que Riemann había propuesto para su lección inaugural como privatdozent. El asunto angustió a Riemann; por un lado había preparado los dos primeros y esbozado sólo el tercero, pensando que Gauss seguiría la tradición de elegir uno de esos; por otro, esos días andaba enfrascado en estudios sobre física, y le costó trabajo concentrarse y preparar su lección sobre geometría. Pero al final lo hizo, y lo hizo de manera magistral; de lo acontecido en la lección tenemos el relato detallado que hizo Dedekind: «Riemann complicó de un modo esencial la preparación de su lección sobre las hipótesis de la geometría, debido a su esfuerzo por resultar tan fácil de comprender como fuera posible a todos, incluyendo los miembros de la Facultad no versados en matemáticas; con ello, empero, el tratado se convirtió en una admirable obra maestra también en lo tocante a exposición, pues, sin comunicar la investigación analítica, indica con tanta precisión el camino seguido por la misma, que es posible rehacerla completamente siguiendo dichas prescripciones. Contra la costumbre habitual, Gauss no había elegido el primero de los tres temas propuestos, sino el tercero, ya que estaba deseando escuchar cómo un hombre tan joven podría tratar un tema tan difícil; la lección, que superó todas sus expectativas, le dejó completamente asombrado, y a la vuelta de la sesión de Facultad le habló a Wilhelm Weber de la profundidad de los pensamientos expuestos por Riemann con el mayor reconocimiento y con una excitación rara en él».

Riemann amplió y detalló sus propuestas sobre la geometría en 1861, en un trabajo sobre conducción del calor que presentó a un premio de la Académie de París. Pero sus ideas tardaron en diseminarse, porque su lección inaugural no se publicó hasta 1868, dos años después de su muerte, y, al no ganar el premio de la Académie, el trabajo presentado quedó inédito y no se publicó hasta 1876 —cuando se editaron sus obras completas—.

Riemann propuso las variedades n-dimensionales como el objeto de estudio de la geometría. De una variedad de dimensión n conocemos que cada punto viene dado por n coordenadas x₁, …, xn, y la forma de medir distancias entre sus puntos, definida por el elemento de longitud de arco

donde gij son funciones de las coordenadas. El espacio euclídeo corresponde con el caso n = 3 y gij = 1, y la geometría diferencial de Gauss sería un caso particular cuando n = 3. Pero Riemann, a diferencia de Gauss, distinguió entre la variedad y las métricas ds² que se pudieran establecer sobre ella; la variedad sería para Riemann un concepto topológico que adquiriría características propiamente geométricas al ser dotado de una métrica.

Riemann extendió el concepto de curvatura de Gauss para variedades n- dimensionales, asociando a cada punto de la variedad infinitas superficies bidimensionales generadas por ciertas geodésicas que pasan por el punto. Cada una de esas superficies bidimensionales tiene una curvatura gaussiana, que pueden ser generadas por n(n − 1)/2 de esas curvaturas, si la variedad tiene dimensión n. La curvatura pasó así a ser un conjunto de números —un tensor, si queremos ser más precisos con la estructura de este conjunto de números— en vez del valor único de la curvatura gaussiana. Pero, al igual que ocurre con las superficies bidimensionales, el tensor de curvatura es una característica intrínseca de la variedad —sólo depende de las funciones gij—.

Riemann discutió también las variedades de curvatura k constante, mostrando que, en un sistema de coordenadas adecuado, venían dadas por

y estudio qué cambios de coordenadas dejaban invariante el elemento de longitud de arco, y por tanto la geometría intrínseca de la variedad.

Un siglo después de la lección inaugural de Riemann, el matemático estadounidense John F. Nash (1928-2015) demostró un sorprendente teorema que asegura que toda variedad de Riemann es isométrica a una subvariedad de un espacio euclídeo, a costa de aumentar la dimensión del espacio euclídeo sobre la variedad de origen. Unos años más tarde, Nash empezó a mostrar comportamientos extraños, manías persecutorias y otros desarreglos de la conducta. Se le diagnosticó esquizofrenia, luchó contra la enfermedad durante un cuarto de siglo, y acabó recuperándose hacia finales de la década de los ochenta. En 1994 recibió el premio Nobel de Economía por sus contribuciones al problema de la negociación en teoría de juegos y sus aplicaciones en el comercio —hechas casi medio siglo antes—. Nash alcanzó la celebridad mundial a raíz de la película biográfica Una mente maravillosa, dirigida por Ron Howard y en la que Russell Crowe interpretó el papel de John Nash. La película se basó en la excelente biografía de Nash escrita por Sylvia Nasar y publicada en 1998; en las primeras líneas del prólogo, Nasar describe una estremecedora escena en la que Nash habla con George Mackey, un colega suyo de Harvard, poco tiempo después de que las primeras dentelladas de la esquizofrenia hubieron empezado a destrozar su mente:

«Mackey no pudo contenerse más; su voz sonó ligeramente quejumbrosa, pero hizo un esfuerzo por resultar amable:

»—¿Cómo es posible? —empezó a decir—, ¿cómo es posible que usted, un matemático, un hombre consagrado a la razón y a la demostración lógica… cómo es posible que haya creído que los extraterrestres le estaban enviando mensajes? ¿Cómo puede haber creído que los alienígenas lo habían reclutado para salvar el mundo? ¿Cómo es posible…?

»Nash levantó por fin la vista y contempló a Mackey fijamente, sin pestañear y con una mirada tan fría e inexpresiva como la de un pájaro o una serpiente; luego, como si hablara para sí mismo, en tono razonable y con su cadencia sureña lenta y suave, dijo:

»—Porque las ideas que concebí sobre seres sobrenaturales acudieron a mí del mismo modo en que lo hicieron mis ideas matemáticas, y por esa razón las tomé en serio.»

Nash recibió el premio Abel en 2015 por los importantes resultados matemáticos que había obtenido antes de caer enfermo. Murió en un accidente de tráfico en Estados Unidos cuando volvía a su casa del aeropuerto tras recoger el premio en Noruega.

La geometría intrínseca permite desarrollar modelos para las geometrías no euclídeas, algo que señaló claramente Riemann en 1854, y que pasó desapercibido al sagaz Gauss. Como ya comenté en la sección § 7.2, Riemann mostró cómo la geometría intrínseca sobre la superficie esférica es un ejemplo de geometría no euclídea, pues en él no existen rectas paralelas, al cortarse todas las circunferencias máximas —que, al ser las geodésicas de esa superficie, son las análogas a las rectas del plano—. Beltrami mostró en 1866 que la geometría no euclídea de Gauss, Lobachevski y Bolyai tiene un modelo parcial en la geometría intrínseca de la pseudoesfera. La pseudoesfera se obtiene al hacer girar sobre el eje OY la curva tractriz de ecuaciones

La pseudoesfera tiene curvatura de Gauss constante y negativa igual a −1/k², véase la figura 7.5.

Figura 7.5

Beltrami construyó otros modelos riemannianos para la geometría no euclídea de Gauss, Lobachevski y Bolyai, como el semiplano superior con la métrica

ds² = dx² + dy²/y².

Este espacio se conoce con el nombre de «semiplano de Poincaré», y sus geodésicas son las rectas perpendiculares al eje OX y las semicircunferencias con centro en el eje OX.

Eugenio Beltrami, a quien Riemann había tratado en Italia, y Elwin Christoffel (1829−1900) fueron los primeros en continuar los estudios de Riemann. Después siguieron muchos otros, entre los que hay que destacar a los italianos Gregorio Ricci-Curbastro (1853−1925) y su discípulo Tulio Levi-Civita (1873−1941), que desarrollaron lo que hoy en día se conoce como «cálculo o análisis tensorial». Inicialmente, ese análisis fue llamado «cálculo diferencial absoluto» porque, a diferencia del habitual cálculo diferencial, el cálculo tensorial provee herramientas que son independientes de la elección de coordenadas y, por tanto, permiten estudiar los invariantes diferenciales de la geometría riemanniana. Como ahora contaré, estas herramientas fueron esenciales para la formulación de la relatividad general de Einstein.

Desde el mismo momento en que se empezó a sospechar la existencia de geometrías consistentes que no verificaban el postulado de las paralelas, algunos matemáticos empezaron a cuestionar el carácter euclídeo del espacio físico en que vivimos —algo que había sido dogma de fe hasta entonces—. Ya comenté cómo Schweikart postulaba que su geometría astral no euclídea podía ser cierta en regiones lejanas del universo, y el mismísimo Gauss midió triángulos entre montañas para ver si sus ángulos sumaban o no 180 grados. Riemann dedicó párrafos muy significativos en su lección inaugural como privatdozent a tan fundamental asunto, dejando claro que esa cuestión tenía que ser determinada experimentalmente, desautorizando de esta forma los apriorismos de Kant. De hecho, el último párrafo de su lección fue bastante premonitorio: «La decisión acerca de estas cuestiones sólo podrá encontrarse abandonando la anterior concepción de los fenómenos, bien contrastada en la experiencia, cuya base fue establecida por Newton, y reformándola poco a poco merced a los hechos que no permite explicar. Las investigaciones que, como la aquí desarrollada, parten de conceptos generales, sólo pueden servir para que dicho trabajo no se vea entorpecido por las limitaciones de los conceptos, y para que los prejuicios transmitidos no impidan el avance en el conocimiento de las conexiones entre las cosas. Esto nos lleva al dominio de otra ciencia, al terreno de la física, en el que, dada la naturaleza de la ocasión en que hoy nos encontramos, no podemos penetrar». Hablando en términos bíblicos —por tanto, exagerados—, Riemann parece aquí profetizar la buena nueva de una revolución en física: sesenta y un años después, la historia iba a darle la razón con la teoría de la relatividad general.

Einstein erigió su teoría sobre dos principios físicos fundamentales: el de equivalencia y el de relatividad general.

El primero lo encontró en noviembre de 1907, y afirma: «Es posible sustituir un campo gravitacional homogéneo por un sistema de referencia uniformemente acelerado, siendo este último caso susceptible de tratamiento teórico hasta cierto grado». Esta versión seminal del principio de equivalencia establece que los fenómenos mecánicos en un campo gravitacional homogéneo de valor constante —como el que, grosso modo, afecta a un hombre en la Tierra— son indistinguibles de los medidos en un sistema de referencia no afectado por ningún campo gravitatorio que se mueva con aceleración constante igual también al valor del campo gravitacional. Posteriormente, Einstein extendió la equivalencia a todos los campos gravitacionales —sean o no uniformes— y a todos los fenómenos físicos —no sólo los mecánicos—.

El principio de equivalencia permite «explicar» una casualidad sorprendente de la mecánica newtoniana: la igualdad entre masa inercial y masa gravitatoria. La masa inercial mide la resistencia que opone un objeto a ser movido, mientras que la masa gravitatoria mide su capacidad para atraer a otros cuerpos y su facilidad para ser atraído por otros. Para Einstein esta igualdad no era una casualidad, sino reflejo de un principio básico de la naturaleza, el principio de equivalencia; dicho en otras palabras, la igualdad sería consecuencia de la equivalencia de la fuerza de atracción gravitatoria en la Tierra con un movimiento uniformemente acelerado.

El segundo principio, el de relatividad general es, en cierta forma, un principio democrático: las leyes de la física no deben privilegiar ningún estado de movimiento concreto, o sea, no deben depender de la situación de movimiento del observador. Para Einstein, el principio de relatividad general era también estético. Lo que hacía muy difícil dar respuesta a la pregunta fundamental: ¿hasta dónde llevar ese principio democrático/estético? En el proceso de creación de su teoría, Einstein dudó varias veces si la invariancia debía afectar a cualquier estado de movimiento o sólo a algunos especiales. Es muy arriesgado dar respuesta a esta pregunta apelando a consideraciones de elegancia, ya que estas son tan delicadas como cuestionables en ciencia; pero, por otra parte, no había entonces ningún sustento experimental para saber hasta dónde extender el principio de relatividad. La cuestión acabó resolviéndola Einstein dejándose guiar por la heurística matemática del cálculo diferencial absoluto que Ricci y LeviCivita habían desarrollado para estudiar variedades riemannianas.

Porque, aparte del principio de equivalencia y el de relatividad general —presentes ambos desde el inicio—, Einstein necesitó un tercer ingrediente para desarrollar la teoría general de la relatividad. Se trata de cómo dar forma matemática a esos principios, cómo encontrar unas ecuaciones matemáticas que, respetando esos principios, reflejen adecuadamente el comportamiento del universo. Ese problema lo resolvió a finales de 1911, cuando comprendió que la física debía ser transformada en geometría.

Eso, justamente, es lo que había hecho Hermann Minkowski (1864-1909), que había sido profesor de Einstein en Zúrich, con la relatividad especial einsteniana en 1907. Un año después, poco antes de morir, en una conferencia titulada «Espacio y tiempo» pronunciada en Colonia en septiembre de 1908, Minkowski logró exponer su idea con la justa dosis de poesía para que sus palabras transcendieran el ámbito científico: «¡Señores! Las ideas de espacio y tiempo que quiero presentar ante ustedes han surgido del terreno de la física experimental y es ahí donde radica su fuerza. Y son ideas radicales: a partir de ahora, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y solamente una especie de unión de los dos conservará la independencia». Dicho con brutal sinceridad, esa «especie de unión» entre espacio y tiempo la consiguió Minkowski usando un espacio de cuatro dimensiones dotado con una geometría casi euclídea. Más explícitamente, Minkowski mostró que para calcular distancias en el espacio asociado a la relatividad especial no podemos separar por un lado las coordenadas espaciales de la temporal, sino que hay que considerar las cuatro coordenadas según la métrica riemanniana dada por

ds² = dx² + dy² + dz² − c²dt²,

donde c es la velocidad de la luz.

A Einstein no le gustó inicialmente la idea de Minkowski, y se refirió a ella en términos algo despectivos: «Desde que los matemáticos la han tomado con la teoría de la relatividad, ni yo mismo la entiendo», contó alguien que dijo, añadiendo que ese tratamiento matemático le parecía una «erudición superflua». Pero luego tuvo que rectificar, cuando comprendió que la transformación de la física en geometría, explícita en el espacio/tiempo de Minkowski, señalaba el camino correcto para la formulación matemática de la relatividad general: «Sin las importantes ideas de Minkowski —dijo después—, la teoría general de la relatividad quizá se habría quedado en pañales».

Se puede explicar en pocas palabras qué papel tienen los principios de equivalencia y relatividad general en la conversión de la física en geometría. Sea cual sea la composición material de un cuerpo y la cantidad de materia que tenga, sabemos que desciende con la misma velocidad cuando es sometido al campo gravitatorio de la Tierra; da igual que esté hecho de plomo, de madera o de paja, o de que sea una gigantesca roca del tamaño de una iglesia o una simple canica del tamaño de un grano de arroz —esto no es sino otra manera de ver el principio de equivalencia—. Si pensamos en el movimiento de caída como una curva descrita por las coordenadas tanto espaciales como temporales del cuerpo que cae, esa invariancia de la velocidad sugiere que, casi más que una propiedad de la materia, la gravitación es una propiedad geométrica del espacio y del tiempo. Es como si comprobamos que los ángulos de un triángulo suman 180 grados, siendo indiferente si el triángulo está hecho de madera, de aluminio, de plástico, o simplemente pintado sobre una hoja de papel: al final acabamos pensando que esa propiedad de los triángulos no viene determinada por la materia de que estén compuestos. Es decir, el principio de equivalencia nos acaba llevando a la geometría del espacio/tiempo; mejor dicho, a una geometría curvada del espacio/tiempo. Pero no nos dice cómo de curvado es ese espacio/tiempo; para saberlo tenemos que echar mano del otro principio básico de la gravitación einsteniana: el principio de relatividad general. Dependiendo de hasta dónde extendamos la invariancia de las leyes físicas —si a cualquier tipo de movimiento en que se halle el observador o sólo para algunos, los que tienen aceleración constante, por ejemplo—, el principio de relatividad nos dirá cómo se curva entonces el espacio/tiempo.

De esto es de lo que tomó conciencia Einstein hacia 1911: su teoría de la relatividad general debía de consistir en unas ecuaciones matemáticas que permitieran calcular de qué forma el espacio/tiempo es curvado por la materia que contiene —ya sea el Sol, los planetas, o una galaxia completa—. Según Einstein, es la materia la que da forma a ese espacio/tiempo y, a su vez, es la geometría de ese espacio/tiempo la que forzará a la materia a moverse siguiendo sus líneas geodésicas —esto es, las curvas sobre ese espacio/tiempo con menor longitud—.

El problema para Einstein fue que en 1911 no conocía los trabajos de Riemann ni los de Ricci y Levi-Civita: «Tuve en primer lugar la idea decisiva de la analogía existente entre los problemas matemáticos relacionados con la teoría y la teoría de superficies de Gauss en 1912 —reconocería Einstein con posterioridad—, después de mi vuelta a Zúrich, sin que por entonces conociera los trabajos de Riemann, Ricci o Levi-Civita». En Zúrich, Einstein se alió con Marcel Grossmann (1878−1936), que había sido compañero suyo de estudios, y se había después especializado en geometría diferencial.

Para describir la geometría del espacio/tiempo, Einstein usó un espacio de cuatro dimensiones, x₁, x₂, x₃, x₄, las tres primeras miden la ubicación espacial y la cuarta la temporal, y una métrica riemannianas

que vendría a determinar la geometría del espacio/tiempo. Las gab son funciones desconocidas que hay que encontrar a partir del contenido material y energético de un sistema —que puede ser el universo completo o una de sus partes (el sistema solar, por ejemplo)—. Para calcular esas funciones, Einstein tuvo que determinar las ecuaciones que las ligan con el contenido material y energético del sistema. A partir de 1912, Einstein peleó denodadamente por formular esas ecuaciones, con numerosos titubeos sobre el alcance que debía de dar al principio de relatividad general. Finalmente Einstein parió sus ecuaciones el 25 de noviembre de 1915, tras un intensísimo y emocionante esfuerzo final hecho a lo largo de ese mes de noviembre, cuando en un ciclo de cuatro conferencias en la Academia de Berlín llegó a presentar varias versiones erróneas —muy acuciado porque sabía que también David Hilbert batallaba por presentar sus propias ecuaciones—. En ese largo proceso de génesis de la relatividad general, el aparataje matemático de Riemann, Ricci y Levi-Civita fue fundamental para Einstein. Así lo explicó José Manuel Sánchez Ron en El origen y desarrollo de la relatividad: «En esos años aparecen y juegan un papel esencial, sin la menor duda, argumentos de orden físico, pero existe una dinámica, una heurística matemática, que es la que dirige o establece, en la mayor parte de las ocasiones, cuál es el siguiente paso a dar. Existían motivos físicos para buscar un tensor de segundo orden, pero ¿por qué seleccionar precisamente el tensor de Ricci? La respuesta es obvia, porque existía un aparato matemático, previamente desarrollado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita, con algunas de las características deseadas por Einstein».

§ 7.5. Del programa de Erlangen a la fundamentación de la geometría euclídea

Como hemos visto, a lo largo del siglo XIX se desarrollaron distintos tipos de geometrías: proyectiva, no euclídea y diferencial. Aunque diferentes en origen, conforme el siglo avanzaba se fueron descubriendo sorprendentes conexiones entre ellas; por ejemplo, los modelos proyectivos o riemannianos para las geometrías no euclídeas. Partiendo del hecho de que en todas esas geometrías había importantes cuestiones que tenían que ver con invariantes —por ejemplo: invariancia de la razón doble bajo proyección y sección en la geometría proyectiva, o invariancia de la curvatura bajo cambios isométricos de coordenadas en la geometría de superficies de Gauss—, Félix Klein formuló en 1872 un principio básico que permitía unificar lo que tenían en común todos esos estudios. Para Klein, el propósito de una determinada geometría consistiría en buscar los invariantes que subyacen a un determinado grupo de transformaciones; dado que la geometría quedaría determinada por el grupo de transformaciones, la relación entre ellos permitiría jerarquizar las distintas geometrías. Klein propuso estas ideas en una conferencia con motivo de su incorporación a la Universidad de Erlangen; por eso, a las propuestas de Klein se las acabó conociendo como el «programa de Erlangen».

Por ejemplo, la geometría euclídea del plano consistiría en buscar los invariantes del grupo de transformaciones del plano que conservan ángulos y distancias —viene a sintetizar la idea implícita en los Elementos de que las propiedades de un triángulo o una cónica no varían por el lugar que ocupen en el plano—. A ese tipo de transformaciones se les llama «movimientos», y son las traslaciones, los giros, las simetrías y las combinaciones de ellos. En términos algebraicos, un movimiento viene dado por las ecuaciones

u = ax + by + c,    v = dx + ey + f

donde a, b, c, d, e, f son los parámetros que definen el movimiento, que verifican ae − bd = 1. Si sólo suponemos que ae − bd ≠ 0, entonces obtenemos un grupo de transformaciones más general —incluye, por ejemplo, las homotecias, que no son movimientos—; esas transformaciones ya no conservan ángulos ni distancias. La geometría resultante de estudiar los invariantes de ese grupo es la geometría afín —la palabra «afín» fue usada por Euler en el segundo volumen de su Introductio—; cada tipo de cónica es un invariante de la geometría afín, aunque no los parámetros métricos de la cónica: las elipses se convierten en elipses pero la relación entre sus ejes puede variar —un circunferencia se puede, por ejemplo, convertir en una elipse—. Grosso modo, la geometría afín es la euclídea eliminando los postulados tercero —trazado de circunferencias— y cuarto —igualdad de los ángulos rectos—. Al ser el grupo de movimientos un subgrupo del de transformaciones afines, la geometría euclídea sería un caso especial de la afín.

A su vez, la geometría proyectiva viene asociada al grupo de transformaciones que conservan la razón doble y las cónicas —aunque una cónica puede variar su tipología—, y cuya fórmula algebraica es

donde los aij son los parámetros que definen cada transformación, y el determinante formado con ellos es no nulo. Como movimientos y transformaciones afines son subgrupos de las transformaciones proyectivas, de ahí se sigue que la geometrías euclídea y afín son casos especiales de la proyectiva.

El grupo modular fue especialmente estudiado dentro del programa de Erlangen. Consiste en las funciones racionales

donde a, b, c, d son números enteros que satisfacen ad − bc = 1, y forman un grupo con respecto a la composición de funciones. El grupo modular es un subgrupo destacado del grupo de isometrías del semiplano de Poincaré —que, como se vio en la sección anterior, es un modelo para la geometría no euclídea de Gauss, Lobachevski y Bolyai—. El grupo modular —y también sus subgrupos— lleva asociadas estructuras geométricas de gran belleza: son teselaciones del semiplano superior que se obtienen partiendo de un conjunto semilla y de los aplicados de ese conjunto por los elementos del grupo modular. Para el grupo modular, una semilla es el conjunto S formado por el trozo de la banda −½ ≤ x < ½ exterior al círculo unidad —pero incluyendo la parte del círculo correspondiente a −½ ≤ x < 0—. Se tiene entonces que si w₁ y w₂ son dos elementos distintos del grupo modular entonces w₁(S) ∩ w₂(S) = ∅, siendo además el semiplano superior la unión de todos los conjuntos disjuntos w(S), cuando w recorre el grupo modular. Como en el semiplano de Poincaré las geodésicas son las rectas perpendiculares al eje OX y las semicircunferencias con centro en el eje OX, la teselación generada por el grupo modular está compuesta por triángulos geodésicos: lo es la semilla S —es el triángulo geodésico con vértices en los puntos (−1 + i √3)/2, (1 + i √3)/2 e ∞—, al igual que el resto de las teselas w(S) —todas las cuales tienen igual área en la métrica del semiplano de Poincaré—. Para dar una idea de la riqueza geométrica del diseño generado por el grupo modular he incluido en la figura 7.6 algunas de las teselas; son las áreas definidas por líneas gruesas —como el grupo modular está generado por las funciones A(z) = z + 1 y B(z) = −1/z, he indicado en el interior de cada tesela qué combinación de las funciones A y B la genera—. Una última observación: el corte de las circunferencias de la teselación con el eje real produce todos los números racionales.

Figura 7.6

Uno de los invariantes interesantes asociados al grupo modular son las funciones modulares. Dado un subgrupo Γ del grupo modular y un número natural k, una función modular λ para Γ y k es una función analítica en el semiplano superior que verifica la invariancia

para cada función racional

az + b/cz + d

del subgrupo Γ. Siempre existe una función modular asociada a cualquier subgrupo del grupo modular y cualquier número par k.

Para el grupo modular y k = 0, se puede construir una función modular usando la función pe de Weierstrass: dado un número complejo z del semiplano superior, consideremos la función pe de Weierstrass con períodos z y 1; entonces definimos

λ(z) = g₂³/g₂³ − 27g₃²,

donde g₂, g₃ son los invariantes de la correspondiente función pe de Weierstrass —ver (6.4)—; cualquier otra función modular del grupo modular y k = 0 es una función racional de esta. Por razones obvias, a la expresión que define esa función modular se le suele llamar «invariante absoluto», y fue discutido por Dedekind en 1877; la teselación de la figura 7.6 apareció un año después en un artículo de Klein —que daba el crédito a Dedekind—.

El problema de Erlangen acabó también motivando el estudio de invariantes en transformaciones algebraicas de mayor grado, que ya había sido tratado en Gran Bretaña por George Boole (1815−1864) y Cayley. A lo largo de la segunda mitad del siglo XIX se encontraron muchos invariantes, y de forma natural fue emergiendo el problema fundamental de encontrar un sistema completo de invariantes. En este contexto, Hilbert demostró en 1888 su célebre teorema de la base. La novedad estaba en el enfoque, y en el hecho de que la prueba de Hilbert no era constructiva: establecía la existencia de la base pero no decía cómo construirla. La demostración era insultantemente sencilla, lo que llevó a decir a Paul Gordan (1837−1912) —que había sudado tinta para establecer algunos resultados parciales del problema—: «Eso no son matemáticas, es teología»; aunque acabó rectificando: «Me he convencido a mí mismo de que la teología tiene también sus ventajas».

El estudio de invariantes estaba conectado de forma natural con problemas tratados por Riemann en la teoría de funciones abelianas. De esa conexión acabó surgiendo una nueva rama de las matemáticas llamada geometría algebraica, que estudia mediante técnicas algebraicas las propiedades geométricas de las estructuras asociadas a los ceros de polinomios en varias variables. El carácter básico de este libro impide adentrarse en ese camino, más allá de decir que ha sido una activa y distinguida rama de investigación durante todo el siglo XX y lo que llevamos del XXI. De hecho, dos de los siete problemas del milenio del Instituto Clay —véase el final de la sección § 2.4— tienen que ver con la geometría algebraica: uno pide demostrar o refutar la conjetura de Hodge y otro la de Birch y Swinnerton-Dyer. El primero es probablemente el problema más técnico de los siete del milenio, y los preliminares necesarios para enunciarlo hacen que quede fuera de una breve historia de las ideas matemáticas como esta. Pero el segundo sí puede ser expuesto aquí, al menos simplificando y/o eludiendo los aspectos más técnicos.

Para ello hay que empezar hablando de las curvas elípticas: son de la forma

y² = x³ + ax + b,

donde el polinomio de la derecha tiene tres raíces distintas —esto equivale a decir que

Δ = 4a³ + 27b² ≠ 0;        (7.2)

al número Δ se le suele llamar «discriminante de la curva»—; un ejemplo de curva elíptica aparece en la figura 7.7. Se las llama «elípticas» porque pueden ser parametrizadas usando la función pe de Weierstrass —véase la sección 6.3.2—: si escribimos x = ℘(z), y = ℘'(z), la ecuación diferencial (6.4) para la función ℘(z) se convierte en la ecuación de la curva elíptica.

Las curvas elípticas, con el añadido del punto del infinito, tienen una muy interesante estructura de grupo. Para simplificar, llamemos E a la curva elíptica junto con el punto del infinito. Dado un punto P en E denotamos por −P el punto simétrico del P con respecto al eje de abscisas; −P también está en E, por ser E una curva simétrica con respecto a ese eje. El simétrico del punto del infinito es el propio punto del infinito. Definimos ahora una operación en la curva cuyo elemento neutro o cero va a ser el punto del infinito. Para ello tomamos dos puntos P y Q distintos de E —que no sean el punto del infinito—; la recta que los une cortará a la curva elíptica en otro punto R —que será el del infinito si los puntos son simétricos con respecto al eje de abscisas—; definimos entonces P + Q = −R —véase la figura 7.7—. Si P y Q coinciden, definimos su suma usando la recta tangente a £ en vez de la recta que une P y Q.

Figura 7.7

Las fórmulas de adicción para la función pe de Weierstrass muestran que esta suma sobre la curva elíptica es la inducida por la suma de números complejos y la parametrización antes comentada.

En general, encontrar puntos de coordenadas enteras o racionales sobre una curva elíptica, suponiendo que los parámetros a y b son números enteros o racionales, es un problema sumamente complicado donde la teoría de curvas elípticas interacciona con la teoría de números —un ejemplo más del mestizaje de las distintas ramas de las matemáticas al que me referí al inicio de la tercera parte de este libro—. De hecho, la demostración de Andrew Wiles (1953-) del célebre teorema/conjetura de Fermat —que trataré en la sección § 8.2— transitó por ese camino. No hace falta de todas formas apelar al teorema de Fermat para mostrar las conexiones obvias entre las curvas elípticas y la teoría de números. Consideremos, por ejemplo, el siguiente típico problema de teoría de números —es el que propuse justo al inicio del primer capítulo de este libro—: determinar los números enteros que son, a la vez, producto de dos y tres números consecutivos —como por ejemplo el 6 o el 210: 6 = 2 ∙ 3 = 1 ∙ 2 ∙ 3, 210 = 14 ∙ 15 = 5 ∙ 6 ∙ 7.

Obviamente el problema se reduce a encontrar las soluciones enteras de la ecuación y(y + 1) = (x − 1)x(x + 1), que, tras el cambio de variable z = y − 1/2, lleva a la curva elíptica z² = x³ − x + 1/4.

Resulta que los puntos de coordenadas racionales de una curva elíptica, a los que denotaremos por E(ℚ), forman un subgrupo del grupo antes definido. En particular, esto permite una estrategia para encontrar estos puntos sobre la curva: si tenemos uno de estos puntos P, entonces todos sus múltiplos —con respecto a la aritmética sobre la curva— vuelven a tener coordenadas racionales. En 1922 Louis Mordell (1888−1972) encontró la estructura del grupo E(ℚ); en particular, demostró que tiene un número finito k de generadores independientes de orden infinito —además de, posiblemente, un número finito de generadores de orden finito—. A ese número k se le llama rango de E(ℚ). Se tiene entonces que k = 0 si y sólo si E(ℚ) es finito. Por lo general es muy complicado calcular el rango k de E(ℚ).

La búsqueda de puntos de una curva elíptica con coordenadas enteras es otro problema sumamente complicado. En este caso, Carl Ludwig Siegel (1896−1981) demostró en 1929 que sólo puede existir una cantidad finita de puntos de coordenadas enteras en una curva elíptica —Siegel demostró su resultado para curvas mucho más generales—. Pero el problema de calcularlos suele ser tremendamente difícil. En el caso del problema propuesto un párrafo más arriba, Mordell demostró en 1963 que los únicos enteros que son a la vez producto de dos y tres números enteros consecutivos son el 0, el 6 y el 210.

Un problema relacionado es estudiar las soluciones enteras módulo un primo p de la ecuación que define la curva elíptica. Si a y b son enteros, escribamos Np para denotar el número de soluciones de la ecuación

y² ≡ x³ + ax + b módulo p

Por ejemplo, es fácil concluir que, módulo 2, las soluciones enteras de nuestra curva elíptica y(y + 1) = (x − 1)x(x + 1) son (0,0), (0,1), (1,0) y (1,1); módulo 3 tenemos (0,0), (0,2), (1,0), (1,2), (2,0) y (2,2); módulo 5 tenemos (0,0), (0,4), (1,0), (1,4), (2,2), (4,0) y (4,4); finalmente, módulo 7 tenemos (0,0), (0,6), (1,0), (1,6), (2,2), (2,4), (6,0) y (6,6); lo que daría N₂ = 4, N₃ = 6, N₅ = 7, N₇ = 8.

La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer establece la conexión entre la sucesión de números Np y el rango k de E(ℚ). Para ello se define la función compleja

—como queda indicado, el producto se extiende a todos los primos p que no dividan a 2Δ, donde Δ es el discriminante (7.2) de la curva elíptica—.

El producto que define a la función L converge para Re s > 3/2, pero la función admite prolongación analítica a todo el plano. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, propuesta por Bryan John Birch (1931-) y Henry Swinneton-Dyer (1927-) en la década de los sesenta, dice que la función L(s) tiene un cero de orden exactamente k en s = 1, donde k es el rango de E(ℚ).

Hay un millón de dólares esperando a quien lo demuestre.

Hay otra célebre conjetura que establece una relación entre curvas elípticas y funciones modulares a través de los números Np: la conjetura de Taniyama-Shimura. Hace honor a los matemáticos japoneses Yutaka Taniyama (1927-1958) y Goro Shimura (1930-), que la propusieron en 1957. Al año siguiente, Taniyama cayó en una profunda depresión, y se suicidó: «Hasta ayer no tenía intención definitiva de suicidarme —escribió en una fría nota de suicidio—. Algunos habrán notado que últimamente me he encontrado cansado, física y mentalmente. Pero la causa de mi suicidio ni yo mismo la entiendo bien, porque no es el resultado de ningún incidente particular, de ningún problema específico. Simplemente, he perdido la confianza en mi futuro». Taniyama tenía una novia, Misako Suzuki, con quien tenía pensado casarse; un mes después Misako siguió los pasos de Taniyama: «Nos prometimos uno a otro que no importara donde estuviéramos, nunca nos separaríamos —dejó escrito—. Ahora que se ha ido, debo ir a unirme con él».

Unas páginas antes expliqué cómo construir una función modular a partir de la función pe de Weierstrass, que sirve para parametrizar las curvas elípticas. No es pues extraño que curvas elípticas y funciones modulares estén conectadas. Lo que establece la conjetura de Taniyama-Shimura es que lo están de una forma mucho más profunda. Dado un número natural s, consideremos el subgrupo Γs del grupo modular formado por las funciones racionales

w(z) = az + b/cz + d,

con a, b, c, d enteros, c divisible por s y ad − bc = 1.

Una función modular λ para Γs y 2, debe verificar

para cada función racional

az + b/cz + d

del subgrupo Γs. En particular verifica λ(z) = λ(z + 1), por lo que se le puede asociar un desarrollo de Fourier de la forma

donde λn son los coeficientes de Fourier de la función modular λ.

La conjetura de Taniyama-Shimura asegura que dada una curva elíptica E, existe un número s y una función modular λ para Γs y 2 de manera que los coeficientes de Fourier de λ verifican λp = p − Np, si p es primo.

La conjetura fue demostrada por Andre Wiles en 1993−1994 —no sin cierto suspense— para un cierto tipo de curvas elípticas. Como contaré en la sección § 8.2, de ella se deduce el teorema/conjetura de Fermat.

No podemos acabar este capítulo sobre geometría sin volver la vista a la venerable geometría griega. El siglo XIX, con el desarrollo de las geometrías no euclídeas, le pasó por encima a Euclides con las consecuencias ya comentadas de pérdida de confianza. Se empezó a dudar de que los postulados de Euclides, sobre todo el de la paralelas, correspondiera con las características del espacio físico en que vivimos, y se acabó mirando con lupa la estructura lógica de los Elementos, buscando, y encontrando, defectos. No eran defectos graves, y tampoco la crítica era nueva —como comenté al inicio de la sección § 7.2—: Pappus, Proclo, Peletier, Clavius, Leibniz, Schopenhauer o Gauss es una lista incompleta de matemáticos y filósofos, que van del siglo III a la primera mitad del XIX, que señalaron máculas en los Elementos. La diferencia es que, a finales del siglo XIX, la preocupación por los fundamentos de las matemáticas había alcanzado cotas nunca antes vistas, de manera que varios matemáticos procedieron a una revisión en profundidad de los Elementos. Y no fueron cualesquiera: Giuseppe Peano (1858−1932) y David Hilbert, en 1894 y 1899, respectivamente, presentaron conjuntos completos de axiomas, junto con los conceptos básicos —y, por tanto, indefinidos— sobre los que erigir de manera impecablemente lógica la geometría euclídea.

Pero el carácter abstracto de las nuevas matemáticas abrió otros frentes. La aparición de curvas que llenaban todo el espacio —la más famosa de las cuales fue construida por Peano en 1890, y retocada por Hilbert en 1891—, por ejemplo, acabó por hacer tambalearse el concepto de dimensión, que fue reconsiderado por Félix Hausdorff en las primeras décadas del siglo XX, y que daría lugar a la geometría de los fractales iniciada por Benoît Mandelbrot (1924-2010) medio siglo después. De las ecuaciones al álgebra abstracta, pasando por la teoría de números.

El álgebra también cambió profundamente del siglo XVII a finales del XIX; conceptualmente, en sus objetivos, sus técnicas y métodos, casi nada tiene en común el álgebra del inicio con la del final de ese período.

Los problemas fundamentales del álgebra durante los siglos XVII y XVIII tenían que ver con la resolución de ecuaciones polinómicas o sistemas de ellas. A lo que se añadieron los problemas de la teoría de números que, tras el impulso de Fermat, se consideraban a medio camino entre el álgebra y la aritmética.

La resolución de ecuaciones tuvo un desenlace inesperado: se demostró que, a partir de las de grado quinto, inclusive, no podía existir una fórmula general para resolverlas en términos de sumas, productos o raíces —como sí había para las de grado uno, dos, tres y cuatro—. Galois, de hecho, demostró más: ideó un procedimiento constructivo para decidir qué ecuaciones admitían tal fórmula. Lo sorprendente es que tras ese procedimiento se empezaron a descubrir una serie de estructuras algebraicas que aparecían en muchos otros sitios distintos de las matemáticas. Algo parecido ocurrió con la teoría de números, sobre todo en los esfuerzos para demostrar el gran teorema/conjetura propuesto por Fermat en los márgenes demasiado estrechos de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto.

Así, a lo largo del siglo XIX, el álgebra pasó de interesarse por los problemas concretos de las ecuaciones polinómicas o las que aparecían en teoría de números, al estudio y desarrollo de esas estructuras algebraicas que parecían subyacer tras casi cualquier problema matemático concreto. Los algebristas iniciaron el siglo XIX batallando contra los polinomios y lo acabaron en los campos de batalla de la teoría de grupos, cuerpos, anillos o espacios vectoriales.

Capítulo 8

De las ecuaciones al álgebra abstracta, pasando por la teoría de números

El álgebra también cambió profundamente del siglo XVII a finales del XIX; conceptualmente, en sus objetivos, sus técnicas y métodos, casi nada tiene en común el álgebra del inicio con la del final de ese período.

Los problemas fundamentales del álgebra durante los siglos XVII y XVIII tenían que ver con la resolución de ecuaciones polinómicas o sistemas de ellas. A lo que se añadieron los problemas de la teoría de números que, tras el impulso de Fermat, se consideraban a medio camino entre el álgebra y la aritmética.

La resolución de ecuaciones tuvo un desenlace inesperado: se demostró que, a partir de las de grado quinto, inclusive, no podía existir una fórmula general para resolverlas en términos de sumas, productos o raíces —como sí había para las de grado uno, dos, tres y cuatro—. Galois, de hecho, demostró más: ideó un procedimiento constructivo para decidir qué ecuaciones admitían tal fórmula. Lo sorprendente es que tras ese procedimiento se empezaron a descubrir una serie de estructuras algebraicas que aparecían en muchos otros sitios distintos de las matemáticas. Algo parecido ocurrió con la teoría de números, sobre todo en los esfuerzos para demostrar el gran teorema/conjetura propuesto por Fermat en los márgenes demasiado estrechos de su ejemplar de la Aritmética de Diofanto.

Así, a lo largo del siglo XIX, el álgebra pasó de interesarse por los problemas concretos de las ecuaciones polinómicas o las que aparecían en teoría de números, al estudio y desarrollo de esas estructuras algebraicas que parecían subyacer tras casi cualquier problema matemático concreto. Los algebristas iniciaron el siglo XIX batallando contra los polinomios y lo acabaron en los campos de batalla de la teoría de grupos, cuerpos, anillos o espacios vectoriales.

§ 8.1. La resolución de ecuaciones

Las grandes expectativas que los éxitos en la resolución de las ecuaciones cúbica y cuártica a mediados del siglo XVI auguraban en el estudio de las ecuaciones polinómicas no acabaron de cumplirse. Aparte de desarrollar métodos potentes, como el de Newton, para la resolución aproximada de ecuaciones —polinómicas o no—, poco se hizo hasta finales del siglo XVIII.

A principios de ese siglo surgió la sospecha de que todo polinomio con coeficientes reales se puede descomponer en factores simples y cuadráticos —que aparecen al agrupar una raíz compleja y su conjugada—. Hubo, sin embargo, quien pensaba que dicha descomposición no siempre iba a ser posible, entre ellos Leibniz, Nicolau II Bernoulli o Goldbach. Euler fue de los primeros en postular la validez de la descomposición, y también D’Alembert, aunque sin el soporte de una demostración. La cuestión era tan importante que dio lugar al llamado «teorema fundamental del álgebra»: un polinomio con coeficientes complejos tienen tantas raíces como indica su grado —contando multiplicidades—. El primero en postularlo fue Albert Girard (1629), aunque de forma algo confusa: «Todas las ecuaciones del álgebra tienen tantas soluciones como muestre el término de mayor grado, excepto las incompletas». Una formulación parecida aparece en la Géométrie de Descartes (1637). A lo largo del siglo XVIII, se presentaron varias «demostraciones» incompletas; D’Alembert, por ejemplo, propuso una en 1748, y Euler otra en 1751, pero ambas tenían serias lagunas. La tesis de Gauss (1799) estaba dedicada a demostrar el teorema fundamental del álgebra —parece que fue él el primero en usar esa denominación—; incluía críticas bien fundadas sobre las debilidades de las demostraciones anteriores aunque, en puridad, la suya propia hubiera requerido justificación adicional —según los niveles modernos de rigor—. Por si acaso, Gauss encontró a lo largo de su vida tres demostraciones más del teorema.

Pero el mayor objeto de deseo algebraico desde mediados del siglo XVI fue encontrar una fórmula que permitiera resolver la ecuación de quinto grado, y las de grados mayores, en términos de los coeficientes. Se daba por supuesto que, al igual que ocurría con las ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grados, esa fórmula existía, aunque podría ser una muy complicada combinación de operaciones algebraicas —incluyendo la extracción de raíces de grado cada vez mayor— y, quizá por eso, se resistía tanto a ser encontrada. Los trabajos de Lagrange iban a cambiar esencialmente esa situación en el último tercio del siglo XVIII. La clave, para Lagrange, estaba en el estudio de las permutaciones entre las soluciones de la correspondiente ecuación —algo que también apuntó, de forma menos clara y no tan elaborada, el violinista, químico y matemático francés Alexandre Vandermonde (1735−1796)—.

Pensemos en las cuatro raíces x₁, x₂, x₃, x₄ del polinomio de cuarto grado p(x) = (x − x₁) (x − x₂) (x − x₃) (x − x₄). Obviamente, si permutamos las raíces entre sí, el polinomio no varía, y en consecuencia tampoco sus coeficientes, que son los datos que conocemos para calcular las raíces. Esto se puede ver de otra forma: las relaciones de Cardano-Viète, que expresan los coeficientes del polinomio en términos de las raíces, son simétricas en las raíces, y por tanto invariantes por permutaciones de las mismas. Consideremos ahora el caso particular cuando x₃ = x₂; es decir, el polinomio anterior tiene dos raíces iguales. En este caso, las permutaciones que intercambien la raíz x₃ con la x₂, o dejan invariante a x₁ y x₂, tendrán especial relevancia para ese polinomio, puesto que respetan esa característica particular de tener dos raíces iguales. Ahora bien, el conjunto de todas las permutaciones de un número fijo de elementos tiene una estructura matemática muy especial, a la que hoy llamamos «grupo»; se caracteriza porque dos permutaciones se pueden combinar para obtener otra permutación —aunque esta combinación no es conmutativa: importa el orden en que se hace—, y porque para cada permutación existe otra que deshace lo que hace la primera, dejando los elementos igual que estaban. Si de todas las permutaciones consideramos el conjunto de aquellas que intercambian dos elementos prefijados o dejan estos dos elementos invariantes, este conjunto repite la misma estructura de grupo, por lo que se llama un subgrupo del grupo de permutaciones. Al grupo de permutaciones que se puede realizar con un conjunto de elementos se le llama el «grupo simétrico», porque cada permutación establece una especie de simetría entre sus elementos.

Lagrange fue el primero en darse cuenta de la importancia que el grupo de permutaciones asociado a una ecuación y la estructura de sus semigrupos tenía para la resolución de la ecuación. Lagrange no usó el nombre de «grupo», ni aisló las propiedades esenciales que lo definen, pero para el caso de las permutaciones sí obtuvo algunos resultados de carácter general, como el hecho de que el número de elementos de un subgrupo de permutaciones divide al número de elementos del grupo. Lagrange también estudió la relación entre dos funciones f(x₁, x₂, …, xn) y g(x₁, x₂, …, xn) de las raíces de un polinomio de grado n, sabiendo cómo se comportan cuando se permutan las raíces. Entre otras cosas mostró que, si la función f es invariante por todas las permutaciones que dejan invariante a g —y posiblemente algunas otras más que cambian a g—, entonces la función f es una función racional de la función g y de los coeficientes del polinomio. En cambio, si f toma r valores distintos en el conjunto de todas las permutaciones que dejan invariante a g, entonces f satisface una ecuación de grado r cuyos coeficientes son funciones racionales de g y los coeficientes del polinomio de partida, y que puede ser explícitamente construida.

Esta nueva perspectiva permitió a Lagrange un análisis muy detallado de los casos conocidos de segundo, tercer y cuarto grado; en particular, le permitió explicar cómo encontrar el camino que lleva a las misteriosas fórmulas que resolvían las ecuaciones —uno de cuyos casos es la fórmula (3.1) de la sección § 3.2—. Pero cuando Lagrange aplicó su método a la ecuación de quinto grado, lo que obtuvo fue algo increíblemente complicado, sin indicación alguna de cómo llegar a la solución. Eso le llevó a concluir que, muy posiblemente, a diferencia de lo que ocurría con grados menores, no había una fórmula algebraica para resolver la quíntica.

Casi treinta años después, el médico, filósofo y matemático Paolo Ruffini (1765−1822) profundizó en el estudio de los grupos de permutaciones —aunque él tampoco usó esa terminología— iniciado por Lagrange, y creyó haber demostrado que, efectivamente, la ecuación general de quinto grado no puede ser resuelta mediante radicales —esto es, partiendo de los coeficientes y usando para construir la fórmula sólo sumas, productos, cocientes y raíces—. Ruffini solicitó que se reconociera su resultado; sin éxito, sus trabajos pasaron sin pena ni gloria, hasta el punto de que fueron necesarias varias décadas para descubrir que había una seria laguna en su demostración.

Poco después de la muerte de Ruffini, Abel entró en escena. Partiendo de los trabajos de Lagrange y de Gauss —sobre ecuaciones ciclotómicas—, trató de encontrar una fórmula para resolver la ecuación de quinto grado; creyó haberlo logrado, pero finalmente acabó convencido de que tal fórmula no existía. Abel presentó varias demostraciones de esa imposibilidad, la primera en 1826, y aunque también adolecen de algunas deficiencias, se consideran suficientemente satisfactorias como para adscribirle la fama de haber establecido la imposibilidad de resolver mediante radicales las ecuaciones de grado quinto —y superior—. Abel supuso la existencia de una fórmula que permitiera calcular las raíces de cualquier polinomio de grado quinto: una especie de torre construida con distintos niveles de expresiones algebraicas de los coeficientes de la ecuación. Grosso modo, Abel mostró que si un nivel de esa torre es invariante para una permutación de las raíces, entonces también lo es el nivel siguiente de la torre —eso permitía rellenar el vacío en la demostración de Ruffini, cuyos trabajos Abel no conocía—; a partir de lo cual Abel derivó una contradicción, mostrando la imposibilidad de que tal fórmula general pueda existir. Por supuesto, sí que puede existir una fórmula para resolver por radicales algunos casos particulares de ecuaciones, como las que tienen la forma xp − 1 = 0, estudiadas por Gauss en relación con la construcción con regla y compás de polígonos regulares —y que trataré en la sección siguiente—. Como curiosidad comentaré que Charles Hermite (1822−1901) demostró en 1858 que la ecuación quíntica admite solución general usando la función modular asociada al grupo modular de la que hablé en la sección § 7.5.

§ 8.1.1. Galois

Quedaba pues pendiente el importante problema de caracterizar qué ecuaciones en concreto podían ser resueltas por radicales. La respuesta completa la encontró Évariste Galois, el más romántico —en el sentido literal del término— de los matemáticos. Galois nació en un pueblo cerca de París el 25 de octubre de 1811, en el seno de una familia republicana. Fue educado por su madre, hasta que a los doce años ingresó en una escuela de París, el liceo Louis-le-Grand, de la que habían sido alumnos Voltaire, Robespierre y Victor Hugo. Allí empezaron sus problemas debido a la mediocridad de los maestros, que no supieron ver al genio matemático que tenían entre sus manos. Por contra, Galois, en los primeros años de su adolescencia, iba siendo consciente de su calidad como matemático. Decidió ingresar en la École Polytechnique. Iniciaba así su particular guerra contra el mundo, perdiendo la primera batalla: Galois, poco preparado aún para la exigente École, no pasó los exámenes de ingreso; era el año 1827. De vuelta a su escuela, empezó a estudiar el problema de la resolución de las ecuaciones algebraicas, el que le proporcionaría el puesto de honor que hoy ocupa en la historia de las matemáticas.

Galois, animado por L. P. E. Richard, un maestro que se había incorporado a la escuela de Galois y que entendió su genio, preparó sus mejores trabajos para presentarlos a la Académie des Sciencies. Los trabajos de Galois le fueron entregados a Cauchy, que prometió presentar un informe a la Académie, de manera que, para tener sus trabajos a mano, se los llevó a su casa. Pero Cauchy nunca presentó informe alguno sobre los trabajos de Galois y de ellos nunca más se supo. ¿Los extravió? Es la versión más extendida, quizá también la más plausible, aunque podría también haber ocurrido que los leyera, le parecieran interesantes, aunque escritos con poco cuidado, y aconsejara directamente a Galois que los rescribiera mejor al objeto de presentarlos a alguno de los premios que ofrecía la Académie.

Ese mismo año, 1829, Galois sufrió una pérdida fundamental en su vida: su padre se suicidó tras haber sido sometido a una campaña de acoso y desprestigio por parte de facciones conservadoras y clericales de su pueblo, del que era alcalde. Poco después, Galois intentó por segunda vez ingresar en la École Polytechnique; el episodio acabó en un completo desastre, y, ante la obstinación de uno de los examinadores, Galois le arrojó el borrador de la pizarra donde estaba examinándose. Naturalmente Galois no pasó tampoco esa vez el examen de ingreso.

Al año siguiente, en 1830, Galois consiguió entrar en la École Nórmale, con menos prestigio que la Polytechnique, pero donde podía estudiar con beca —algo que le era casi imprescindible después de la situación de penuria en que quedó su familia tras el suicidio del padre—. Ese año, Galois presentó a los premios de la Académie sus trabajos retocados, pero el secretario, Fourier, se llevó el artículo a su casa para leerlo con más tranquilidad, con la mala suerte de que algunos días después Fourier, que contaba sesenta y dos años, murió, y los trabajos de Galois se perdieron —el premio le fue concedido a Jacobi y, a título póstumo, a Abel—.

1830 fue año de revolución en Francia —la que llevó a Cauchy al exilio—. Galois, que ya había manifestado sus inclinaciones republicanas, se lanzó fervientemente a defender la república. Como consecuencia de sus actividades políticas, fue expulsado de la École Nórmale.

En 1831, Galois envió por tercera vez un artículo a la Académie; se trataba nada menos que de su memoria sobre la solución general de ecuaciones, lo que ahora se conoce como la teoría de Galois. En este caso, el encargado del artículo, S. D. Poisson (1781−1840), no lo perdió, pero lo encontró incomprensible, y el trabajo fue rechazado.

En ese año de 1831, debido a sus posiciones políticas, Galois fue encarcelado en varias ocasiones. La primera de ellas después de un brindis en una reunión de republicanos, a la que asistió Alejandro Dumas, que luego describiría los hechos en sus memorias. Durante una de sus estancias en prisión, Galois intentó suicidarse.

Al año siguiente, Galois se vio envuelto en un duelo, un duelo que ha acabado convirtiéndose en uno de los episodios más románticos de la historia de las matemáticas. En la numerosa bibliografía acerca de Galois han sido muchos y variados los motivos que se han dado para explicar ese desafío: que Galois fue víctima de los monárquicos, que fue una agente provocadora, que fue por una prostituta, que fue una conspiración del gobierno, etc. La hipótesis más razonable, y mejor documentada, es la que apunta a un duelo por razones amorosas. En una carta dirigida a unos amigos, Galois escribió: «Muero víctima de una infame coqueta. Perdón para aquellos que me matarán, porque actuarán de buena fe». En otra carta leemos: «He sido provocado por dos patriotas. Me he batido a mi pesar, habiendo apurado todas las posibles vías de reconciliación».

Investigaciones fiables afirman que la «infame coqueta» fue Sthephanie Felice Poterin du Motel, hija de un médico en cuya pensión vivió Galois los últimos meses de su vida. Al parecer fue Galois quien provocó el duelo. Se conoce, además, la identidad del oponente, Pescheux d’Herbinville, que también era un conocido republicano, al igual que Galois. El 30 de mayo de 1832, Galois perdió la última batalla con la vida, fue herido en el lance y murió al día siguiente.

Sin embargo, Galois ganó la guerra de la historia. En una carta dirigida a un amigo, escrita durante la noche del 29 de mayo, esto es, la noche previa al duelo, Galois escribió con febril ansiedad tres memorias que le otorgan el sitio de honor que ocupa en la historia de las matemáticas. En sus propias palabras: «Mi querido amigo: He hecho algunos nuevos descubrimiento en análisis. Algunos son relativos a la teoría de ecuaciones; otros con funciones integrales. En la teoría de ecuaciones, he buscado descubrir las condiciones bajo las que una ecuación algebraica es resoluble por radicales, y esto me ha dado la oportunidad de estudiar la teoría y describir todas las posibles transformaciones de una ecuación, incluso cuando esta no sea resoluble por radicales. Es posible hacer tres memorias de todo esto. La primera está escrita, y, a pesar de lo que Poisson ha dicho de ella, la mantengo, con las correcciones que he hecho. La segunda contiene algunas interesantes aplicaciones de la teoría de ecuaciones. La tercera memoria es relativa a integrales. Pídele públicamente a Jacobi o a Gauss sus opiniones, no acerca de la verdad, sino de la importancia de los teoremas. Después habrá, espero, gente que encuentre beneficio en descifrar este lío. Un efusivo abrazo. E. Galois».

Al entierro celebrado el día 2 de junio asistieron varios miles de republicanos.

Siguiendo el deseo expresado en su carta, sus obras fueron recopiladas por su hermano y un amigo, y enviadas a Jacobi y Gauss. Finalmente llegaron a manos de Liouville, quien se tomó el trabajo de estudiarlas, y reconoció su importancia. Las publicó en 1846.

La teoría de Galois para la resolución de ecuaciones polinómicas necesitó del estudio y desarrollo de dos estructuras algebraicas asociadas: la de grupos y la de cuerpos. Como ya he comentado, la de grupos tiene su origen en los trabajos de Lagrange y de Ruffini sobre grupos de permutaciones. Partiendo de lo conseguido por este último, Cauchy hizo notables contribuciones en la segunda década del siglo XIX, y sobre todo hacia 1840, un poco antes de que Liouville publicara los trabajos de Galois. Estos contenían también muchos resultados notables, entre ellos el concepto de subgrupo normal H de un grupo G de permutaciones: H es normal si verifica que gH = Hg para cada permutación g del grupo G.

La otra estructura fundamental en la teoría de Galois es la de cuerpo; corresponde a un conjunto con dos operaciones, cada una de las cuales tiene estructura de grupo —eliminando la exigencia de inverso para el cero—, y una relación de distributividad entre las dos operaciones. Los números racionales, los reales y los complejos son ejemplos de cuerpos, así como los cuerpos finitos que corresponden con los restos al dividir los números enteros por un primo —todos ellos con las habituales operaciones de suma y multiplicación—. Están también los cuerpos que manejó Galois en sus estudios; por un lado, el de todas las expresiones racionales que se pueden formar con los coeficientes de una ecuación, y por otro, los cuerpos de extensión que se pueden formar a partir de uno dado, por el procedimiento de añadir alguna expresión irracional de alguno o algunos elementos del cuerpo que queremos extender.

Siguiendo a Lagrange, la idea de Galois fue asociar a cada ecuación un grupo G de permutaciones y estudiar su «solubilidad». Sin entrar en detalles técnicos, un grupo finito G se llama soluble si admite una cadena de subgrupos {1} = G₀ ⊆ G₁ ⊆ … ⊆ Gn = G, de forma que Gi sea un subgrupo normal de Gi+1 y el cociente entre el número de elementos de Gi+1 y Gi sea un número primo pi. Galois demostró que si el grupo G asociado a una ecuación es soluble, a partir de la correspondiente cadena de subgrupos se puede formar una torre de cuerpos; el primero de estos está formado por las expresiones racionales de los coeficientes de la ecuación, y los otros añadiendo sucesivas raíces de orden pi de elementos del cuerpo anterior; el último cuerpo, además, contiene todas las soluciones de la ecuación. Como consecuencia, esa torre de cuerpos muestra cómo construir las soluciones de la ecuación partiendo de los coeficientes y usando sólo operaciones algebraicas —sumas, productos y raíces—. Galois cerró el círculo mostrando que la solubilidad del grupo G asociado a una ecuación es justamente la condición que permite resolver la ecuación dada mediante radicales.

La teoría de Galois es de una belleza arrebatadora, y muestra cómo la resolución por radicales de una ecuación equivale a la existencia de suficiente simetría en la forma en que podemos intercambiar sus soluciones. Todavía hoy hay importantes problemas abiertos en la teoría de Galois, como el llamado «problema inverso de Galois», que pregunta si todo grupo finito G es el grupo de Galois asociado a alguna torre de cuerpos de extensión de los números racionales.

§ 8.1.2. Determinantes, matrices, cuaterniones y vectores

A lo largo de los siglos XVIII y XIX también se logró desarrollar las herramientas para un estudio eficiente de los sistemas de ecuaciones lineales. Estas herramientas son los determinantes y las matrices. Hoy en día los enseñamos invirtiendo ese orden —primero se definen las matrices y luego los determinantes—, y ese cambio de orden es significativo de la forma en que surgen y se desarrollan las ideas matemáticas: los determinantes aparecieron primero porque emergen cuando se busca una solución explícita de un sistema de ecuaciones. Esto muestra, una vez más, que la resolución de problemas es el motor que va generando nuevas matemáticas, que a menudo van surgiendo con bastante desorden, ya sea lógico o metodológico. En el caso que nos ocupa, no hay tampoco que olvidar lo que escribió Morris Kline: «Determinantes y matrices representan únicamente innovaciones del lenguaje. Por sí mismas no dicen directamente algo que no esté ya dicho por las ecuaciones o transformaciones, aunque en formas mucho más amplias. Sin embargo, ambos conceptos han demostrado ser herramientas altamente útiles y son hoy día parte del aparato de las matemáticas».

Los antiguos babilonios ya sabían cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con unas pocas incógnitas —dos, tres, incluso se han encontrado con cinco y diez incógnitas, este último relacionado con cuestiones astronómicas—, y también los griegos. Pero no fue hasta finales del siglo XVII cuando los determinantes fueron introducidos para dar fórmulas cerradas de resolución para sistemas con pocas incógnitas. Leibniz introdujo la primera notación más o menos sistemática para determinantes en 1693, y a mediados del siglo XVIII el suizo Gabriel Cramer (1704−1752) estableció, para sistemas de cuatro o cinco ecuaciones, la regla que hoy lleva su nombre, por más que ya había sido publicada con anterioridad por Maclaurin. En 1764, Jean Bezout (1730-1783) introdujo determinantes de orden arbitrario y mostró cómo la anulación del determinante de un sistema homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas es necesario para que existan soluciones distintas de cero. Ocho años después, Vandermonde publicó la primera obra sistemática sobre determinantes en sí mismos, aparte de su uso para resolver sistemas de ecuaciones —a los que él también los aplicó—.

Cauchy presentó en 1815 el primer tratado moderno sobre determinantes, y los bautizó con ese nombre. Incluye, entre otros resultados, que un determinante es nulo si contiene dos filas o dos columnas iguales, la fórmula para desarrollar determinantes pivotando sobre una fila o columna, y el teorema que hoy llamamos de Binet-Cauchy, que establece que el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes —y que había sido enunciado unos años antes por P. M. Binet (1786−1856), aunque no demostrado—.

Ni Binet ni Cauchy usaron la referencia al producto de matrices, porque las matrices no nacieron hasta la segunda mitad del siglo XIX. La palabra «matriz» la usó en 1850 James Joseph Sylvester (1814−1897) para referirse a «una disposición oblonga de términos, pongamos que con m filas y n columnas, con el que se pueden formar varios determinantes», estos últimos eran lo que a él le interesaba —Sylvester solía bromear afirmando que fue una especie de Adán matemático, pues creó casi tanta terminología matemática como debió de crear el primero de los hombres para bautizar la flora y fauna del paraíso—. Pero hasta 1855 y, sobre todo en 1858, no se hizo con las matrices algo más que ponerles nombre. La iniciativa se debe a Cayley, considerado el padre de la teoría de matrices, a quien se deben las definiciones de las operaciones con matrices, y otros conceptos básicos como el de polinomio característico. A partir de ahí, la teoría de matrices fue desarrollándose progresivamente conforme avanzaba el siglo: estudiándose las formas canónicas, o la noción de rango, por mencionar sólo un par de ejemplos significativos de tales avances.

Camille Jordán (1838−1922), por ejemplo, publicó en 1870 sus resultados sobre la forma canónica a que puede reducirse toda matriz; con la que están muy estrechamente relacionados los conceptos fundamentales de autovalor y autovector de una matriz. Hay que aclarar —en línea con el párrafo citado de Kline sobre que determinantes y matrices son una innovación del lenguaje—, que ambos conceptos habían ya aparecido en otros contextos diferentes; por ejemplo, en los trabajos de D’Alembert y Euler sobre resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, o en el estudio de perturbaciones ejercidas entre sí por sistemas de (seis) planetas correspondientes a períodos largos.

Por otro lado, Ferdinand Frobenius (1849−1917) introdujo la noción de rango en 1879. Antes había introducido el concepto de independencia lineal, para ecuaciones lineales con n incógnitas y n-tuplas (x₁, x₂, …, xn) que representan soluciones del sistema. Usándolo estableció la relación entre el rango de las matrices formadas por los coeficientes de las ecuaciones y el número de soluciones linealmente independientes que esas ecuaciones admiten —completando así resultados previos de los ingleses Henry Smith (1826−1883) y Charles Dodgson (1832−1898), este último más conocido por el seudónimo de Lewis Carroll con el que escribió las novelas que narran las aventuras de Alicia en el país de las maravillas—.

Las matemáticas muestran aquí otra pirueta sobre la metodología con la que se enseñan hoy en día las matrices. Habitualmente se las asocia a los espacios vectoriales de dimensión finita; las filas o las columnas de las matrices son vectores, las matrices vienen a representar aplicaciones lineales entre ellos, y el rango viene a medir la dependencia lineal entre los vectores que las forman. La conexión es tan fuerte y natural que parece que matrices y vectores nacieron juntos. Nada más ajeno a la historia: fueron los físicos los que parieron a los vectores, y los derivaron a partir de un concepto mucho más complicado que el de vector, que tampoco tuvo ninguna relación en origen con las matrices. Me estoy refiriendo a los cuaterniones de Hamilton.

Cuando se difundió la interpretación de los números complejos como puntos del plano y el significado geométrico que tenían las sumas, productos y cocientes que con ellos se podía hacer, algunos matemáticos se plantearon buscar similares representaciones para los puntos del espacio. El resultado de esta búsqueda fueron los cuaterniones de William Hamilton (1805−1865), que no sirven para representar el espacio de tres dimensiones sino el de cuatro, y que se pueden sumar, multiplicar y dividir. Según confesión propia, la idea crucial se le ocurrió mientras cruzaba el puente Broom de Dublín paseando con su mujer el 16 de octubre de 1843 —hay una placa conmemorativa en el puente—: «Saqué entonces una libreta del bolsillo —escribiría después Hamilton—, que todavía existe, e hice una anotación. Sentí en ese momento que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores».

El descubrimiento de los cuarteniones se produjo en la corriente que quería fundamentar el álgebra sobre la idea de permanencia de la forma, que impulsaron en Inglaterra George Peacock (1791−1858) y Augustus de Morgan (1806−1871), entre otros, en la cuarta década del siglo XIX. Grosso modo, su idea consistía en establecer una axiomática simbólica que viniera a recoger las propiedades observadas en las operaciones con las diferentes clases de números manejados hasta entonces —enteros, racionales, reales y complejos—. En cierta forma, esos axiomas vendrían a ser el equivalente algebraico a los venerados axiomas euclídeos para la geometría. Pero, al igual que los axiomas euclídeos sufrieron por esos mismos días la erosión producida por el nacimiento de las geometrías no euclídeas, los del álgebra vivieron algo parecido con el nacimiento de los cuaterniones. Porque uno de los axiomas considerados era la conmutatividad de las operaciones algebraicas. Pero resultó que el producto de cuaterniones tiene una importante diferencia con respecto a las familias de números hasta entonces conocidas: no es conmutativo, esto es, su resultado depende del orden de los factores. Un cuaternión es una expresión de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c, d son números reales e i, j, k tienen un papel similar a la unidad imaginaria compleja —por ejemplo, i² = j² = k² = −1—, pero siguen reglas multiplicativas no conmutativas, por ejemplo, jk = i pero kj = −i. Esto es lo que descubrió Hamilton paseando con su mujer por Dublín, y el descubrimiento le costó tanto porque antes tuvo que despojar su mente del burka de la propiedad conmutativa —si se me permite el símil—. Los cuaterniones admiten una conjugación similar a la de los números complejos: si llamamos u = a + bi + cj + dk, entonces el conjugado de u se define como u* = a − bi − cj − dk, y verifica

uu* = a² + b² + c²+ d².

Si u ≠ 0, uu* es, por tanto, un número real positivo; de ahí se sigue un procedimiento fácil para calcular el inverso para el producto del cuaternión u: basta dividir el conjugado u* por el número real uu*.

El alemán Hermann Grassmann (1809−1877) produjo, casi a la vez que Hamilton, una extensión de los complejos más sofisticada, aunque mucho más oscura, a cuyos personajes él llamó «hipernúmeros» y uno de cuyos casos particulares corresponde con los cuaterniones hamiltonianos. Los hipernúmeros vivieron el sueño de los justos, hasta que reaparecieron en el análisis tensorial de Ricci, porque sus tensores pueden ser también considerados como ejemplos de hipernúmeros.

¿Y por qué detenerse en los cuaterniones? ¿No sería también estupendo poder representar los puntos de un espacio de dimensión cinco, o superior, con números que se puedan sumar, multiplicar y dividir? Así nacieron en la década de 1840 los octoniones; tuvieron dos padres, Cayley y John T. Graves (1806−1870) —un amigo de Hamilton—, que los construyeron casi a la vez de forma independiente. Los octoniones representan el espacio de dimensión ocho, se pueden sumar, multiplicar y dividir, pero su producto ya no es conmutativo ni asociativo. Al igual que los números complejos y los cuaterniones, los octoniones tienen también una conjugación que permite el cálculo fácil del inverso para la multiplicación.

Y aquí se acabó el cuento, porque Adolf Hurwitz (1859−1919) demostró en 1898 que sólo se pueden representar con números los espacios de dimensión uno, dos, cuatro y ocho —con los números reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones, respectivamente—, de manera que las operaciones de suma y multiplicación —y la conjugación asociada— tengan las propiedades mínimas para que puedan ser llamadas operaciones con números. Aunque, si relajamos o modificamos las condiciones requeridas, la cuestión admite, y de hecho tuvo, continuación, y dio lugar a la teoría de álgebras lineales asociativas —entre otras extensiones que no tienen cabida en esta breve historia de las matemáticas—.

En la década de 1860, el físico escocés James Clerk Maxwell derivó las célebres ecuaciones del electromagnetismo. Para ello necesitó el concepto fundamental de campo de fuerzas, que Michael Faraday (1791−1867) había intuido, pero no pudo desarrollar por falta de conocimientos matemáticos. Maxwell los tenía —fue, de hecho, un excelente matemático—, pero el campo de fuerzas depende a su vez de otro concepto aún más básico: el de vector. El concepto de vector, aunque implícitamente aparecía en muchos contextos matemáticos y físicos, no había sido tratado explícitamente, o no con la suficiente sencillez. En los cuaterniones de Hamilton estaba presente de forma más explícita —vectores de dimensión cuatro—, y también, aunque de forma críptica y más que misteriosa, en los hipernúmeros de Grassmann —en este caso, en dimensión arbitraria—. Maxwell conocía tanto los trabajos de Grassmann como los de Hamilton, y tomó de este último el tratamiento vectorial que necesitó; pero de una forma que hoy se nos antoja extraña, porque, en esencia, sólo usó los últimos tres términos, bi + cj + dk, de los cuaterniones —a los que Hamilton precisamente había llamado «parte vectorial», mientras que al número a lo había llamado «parte escalar»—. Naturalmente, Maxwell procedió así porque lo que necesitaba eran vectores de tres dimensiones.

El análisis vectorial tridimensional propiamente dicho —lo que incluye los conceptos de nuestros actuales productos escalar y vectorial— fue desarrollado por el matemático, físico y químico Josiah Gibbs (1839−1903) y por el ingeniero y físico Oliver Heaviside (1850−1925) en la penúltima década del siglo XIX; al primero se debe también la explicación del llamado «fenómeno de Gibbs», que da cuenta de la turbulencia que presenta una serie trigonométrica en la vecindad de una discontinuidad de la función que la define. Pocos años después, en 1888, Giuseppe Peano comenzó a desarrollar los fundamentos abstractos de los espacios vectoriales.

El estudio de las soluciones de ecuaciones polinómicas acabó por sintetizar dos estructuras algebraicas abstractas: la de grupo y la de cuerpo; a su vez, los vectores tridimensionales generados por los cuaterniones acabaron generando otra estructura algebraica abstracta: la de espacio vectorial.

Poco a poco, y conforme el siglo XIX se diluía en el XX, el álgebra fue transformándose en el estudio de esas estructuras abstractas. Especialmente cuando muchas otras fueron surgiendo de una de las más antiguas ramas de las matemáticas: la teoría de números.

§ 8.2. La teoría de números

La teoría de números es una disciplina matemática con un nombre equívoco para los no matemáticos; a veces los no iniciados piensan equivocadamente que la teoría de números es la aritmética, pero no es así. La teoría de números responde preguntas sobre los números naturales, enteros o racionales, de índole mucho más sofisticada, profunda y fundamental, que los habituales —y aburridos— problemas aritméticos que todo quisque hemos enfrentado en los primeros años de la escuela —estos entrarían en lo que los pitagóricos llamaron «logística»; véase la sección § 3.1—.

Problemas típicos en teoría de números son:

Dada una ecuación, buscar las soluciones que sean números naturales. Por ejemplo, dada la ecuación x² + y² = z², encontrar soluciones x, y, z que sean números naturales. Ídem para la ecuación x² − 2y² = 1.

Buscar si un número admite representaciones diversas a partir de operaciones aritméticas elementales. Por ejemplo, cuándo puede un número escribirse como suma de dos cuadrados, o de tres cuadrados, etc. O de cuántas formas puede un número escribirse como suma de otros números —ya sea admitiendo repeticiones o sin admitirlas—. O qué números son a la vez producto de dos y tres números consecutivos.

Buscar números con características aritméticas prefijadas. Por ejemplo, buscar números «perfectos». Un número es perfecto si es la suma de todos sus divisores —excluido el propio número—; como por ejemplo el número 6, pues 6 = 1 + 2 + 3.

Podemos afirmar que el concepto fundamental de la teoría de números es el de número primo. Por lo tanto, son problemas de teoría de números todos aquellos que tengan que ver con números primos: cómo saber si un número es o no primo, cómo generar números primos… Siendo el problema más ilustre de todos ellos el de determinar la forma en que los números primos se camuflan entre los otros números.

La teoría de números goza de una merecida fama, hasta el punto de que Gauss la coronó como reina de las matemáticas. Salvo lo cursi de la expresión, nada hay que objetar: en ningún otro sitio de las matemáticas se encuentran problemas tan fáciles de formular y tan difíciles de resolver. No es extraño que un problema de apariencia sencilla e inofensiva requiera para su solución de una sinfonía de ideas inusitadamente profundas que acaban recorriendo buena parte de la geografía matemática —se empieza en la aritmética y se puede acabar en la variable compleja, pasando por la geometría algebraica, la topología combinatoria o el análisis armónico—. Hay que reconocer que el valor estético de las matemáticas alcanza en esas monumentales sinfonías, o en las piezas más breves llenas de ingenio y lucidez tan características y abundantes en la teoría de números, una intensidad deslumbrante.

Podemos decir que fueron los pitagóricos quienes inauguraron la teoría de números como rama distinguida de las matemáticas —al separarla de la simple aritmética apelando a esta última con el apelativo de «logística»—. Por ejemplo, encontraron que una forma de generar números x, y, z que son soluciones de la ecuación x² + y² = z² es tomar dos números cualesquiera m y n y usar la fórmula x = m² − n², y = 2mn, z = m² + n² —no es descartable que ese artificio fuera ya usado por los babilonios—. A los números x, y, z se los llama «terna pitagórica», por la obvia conexión con el teorema de Pitágoras —x, y, z serían las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo—.

Aunque con el tratamiento geométrico propio de la matemática griega, la teoría de números aparece en los Elementos de Euclides, a la que se dedican los libros VII, VIII y IX. Citaré dos resultados relevantes de lo allí considerado.

Se demuestra de forma maravillosamente simple que los números primos son infinitos: si fueran sólo una cantidad finita, los podríamos ordenar todos en una lista: p₁, p₂, …, pn, y formar con ellos el número p = p₁p₂…pn + 1; ahora bien, como este número es claramente mayor que cualquiera de los primos de la lista, no puede ser primo, y habría por tanto un número primo q que lo divide; pero ese número q no puede estar en la lista de los primos, porque obviamente cada número primo de nuestra lista no divide a p —pues el resto de la división es siempre 1—. Esto es claramente contradictorio, porque hemos encontrado un primo que no está en nuestra lista formada con todos los números primos. Podemos concluir, por tanto, que no puede haber una cantidad finita de números primos. Hardy eligió este teorema de Euclides como uno de los dos ejemplos que ofrece en A Mathematician’s Apology de «teoremas matemáticos auténticos» —el otro es la irracionalidad de que √2 ya se trató en la sección § 4.1—. La infinitud de los números primos es la puerta de entrada al núcleo más profundo de la teoría de números.

El otro ejemplo de teoría de números que mencionaré de los Elementos es el procedimiento para generar números perfectos: si 2n − 1 es primo, entonces 2n−1(2n − 1) es un número perfecto, lo que permite generar los cuatro primeros números perfectos: 6, 28, 496, 8.128, correspondientes a n = 2, 3, 5, 7. Posiblemente los griegos también conocieron el quinto número perfecto: 33.550.336, que corresponde a n = 13. Los siguientes no se conocieron hasta principios del siglo XVII, cuando Pietro Cataldi (1548−1626) encontró el sexto y séptimo, que corresponden a n = 17,19. Euler, por su parte, demostró el recíproco del resultado de Euclides, los únicos números perfectos pares tienen la forma 2n−1(2n − 1) donde 2n − 1 es primo. Como mencioné anteriormente, una de las características de la teoría de números es su capacidad para proponer problemas de enunciado sencillo que son endiabladamente difíciles de resolver. Por ejemplo, la definición de lo que es un número perfecto es elemental, y la entiende un niño de diez años; sin embargo aún hoy desconocemos la respuesta a muchas preguntas elementales sobre números perfectos: ¿hay algún número perfecto que sea impar?, ¿hay infinitos números perfectos? —a fecha de junio de 2017, cuando escribía esta frase, sólo se conocían 49 números perfectos—.

Pero el gran tratado griego sobre teoría de números fue la Aritmética de Diofanto. Ya se comentó en la sección § 3.4 la singularidad de Diofanto y su libro en la matemática griega, como único practicante de una incipiente álgebra simbólica. Dado que, mayormente, lo que hizo Diofanto en su libro fue encontrar soluciones enteras o racionales —aunque siempre positivas— de ecuaciones indeterminadas, claramente sus problemas caen dentro de la teoría de números. Hilbert propuso en el problema 10, de su lista de 23, encontrar un algoritmo que determine en un número finito de pasos si una ecuación diofántica dada admite solución; Yuri Matiyasevich (1947-) mostró en 1970 la inexistencia de tal algoritmo.

La Aritmética es un compendio de 189 problemas de muy variado pelaje, que Diofanto resuelve usando métodos heurísticos y muy específicos para cada problema —«deslumbra más que deleita», escribió Morris Kline—. En este sentido, y por su tratamiento algebraico, la Aritmética se asemeja más a una colección de tablillas babilónicas que a una obra griega.

Aquí sólo comentaré uno de los problemas de Diofanto, por la relación que tiene con el teorema/conjetura de Fermat que trataré dentro de poco; se trata del octavo del libro II: «Descomponer un cuadrado dado en dos cuadrados». En notación moderna, el problema consiste en dado un número racional a encontrar dos números racionales x, y tales que a² = x² + y². A su estilo, Diofanto supone que a = 4 y escribiendo y = 2x − 4, reduce el problema a resolver la ecuación 5x² = 16x que da la solución particular x = 16/5, y = 12/5. La idea de Diofanto se generaliza de manera obvia, y permitiría encontrar las soluciones

x = 2ma/m² + 1,    y = a(m² − 1)/m² + 1,

donde m es cualquier fracción —la que él encuentra corresponde a los valores a = 4 y m = 2—. A pesar de no ser este uno de los más endiablados problemas que propuso y resolvió Diofanto, en el manuscrito del Palacio Real de Madrid, que contiene la versión griega más antigua conservada con los seis primeros libros de la Aritmética, alguien escribió al margen: «Que tu alma, Diofanto, sea con Satanás por la dificultad de los otros teoremas y, sobre todo, por la de este». Si fuéramos supersticiosos o religiosos —tanto da—, diríamos que ese alguien estaba profetizando la venida al mundo del gran Pierre de Fermat.

En el islam también se cultivó la teoría de números, aunque muy a la estela de los griegos. Por citar un ejemplo, Thabit ibn Qurra descubrió un criterio para la determinación de números amigos que generaliza el criterio de Euclides antes comentado para números perfectos. Dos números se dicen amigos si cada uno es suma de los divisores propios del otro —divisores propios de un número: los divisores excluido el número—; por ejemplo el 220 y el 284 —son los dos números amigos más pequeños—. El criterio de Ibn Qurra aparece en su tratado Sobre la derivación fácil de números amigos y es el siguiente: si p = 3 ∙ 2n−1 − 1, q = 3 ∙ 2n − 1 y r = 9 ∙ 22n−1 − 1 son números primos, entonces el par 2n ∙ p ∙ q y 2n ∙ r son números amigos. El caso n = 2 da el ya mencionado par 220, 284, mencionado por Jámblico (s. IV d. C.) en sus comentarios a la Aritmética de Nicómaco. Para n = 3, 5, 6, 8, 9 no se verifican las hipótesis porque p, q, r no son todos primos. El caso n = 4 da el par 17.296 y 18.416; aunque las primeras referencias a este par aparecen en fuentes árabes del siglo XIV —siendo Fermat, precisamente, el primero en mencionarlo en fuentes occidentales—, Hogendijk lo ha adjudicado recientemente (1985) a Thabit —aunque el par no aparece específicamente en ningún tratado de Thabit—. El segundo menor par de números amigos está formado por 1.184 y 1.210 —no corresponde al esquema de Ibn Qurra—. Fue descubierto por el italiano Niccoló Paganini cuando tenía dieciséis años de edad; de él poco más se sabe que hizo ese descubrimiento, y que compartió nombre con el notable violinista y compositor, aunque no parece que tuvieran ningún parentesco.

Hasta el siglo XVII, la teoría de números no se constituyó como rama independiente de las matemáticas, siendo Pierre de Fermat su gran impulsor. Y fue la edición de Bachet de Méziriac de la Aritmética de Diofanto, la primera que incluyó el texto en griego, la que inoculó en Fermat su afición por la teoría de números. Cuando Fermat estudió el problema de Diofanto que acabo de comentar —descomponer un cuadrado en suma de dos cuadrados—, se le ocurrió cómo generalizarlo: ¿por qué no estudiar la descomposición de un cubo como suma de dos cubos, o la de una potencia cuarta como dos potencias cuartas, etc.? Tras darle vueltas al asunto durante un tiempo, Fermat volvió al libro y escribió: «Es imposible dividir un cubo en dos cubos, ni un bicuadrado en dos bicuadrados, ni en general una potencia superior al cuadrado, hasta el infinito, en dos potencias del mismo grado: he encontrado una demostración verdaderamente admirable, pero el margen de este libro es demasiado estrecho para contenerla». He aquí el teorema/conjetura que ha dado a Fermat más fama que todos sus demás logros juntos.

De todas las áreas en las que Fermat trabajó, fue en la teoría de números donde su influencia se notó más; aunque esta influencia no se debe a sus contribuciones sino más bien al estímulo que misteriosamente supo ejercer sobre las generaciones que le siguieron. Y digo misteriosamente porque a ningún matemático contemporáneo de valía logró contagiar Fermat su amor por la teoría de números, y no fue por falta de intentos: ahí están sus cartas a Pascal, Wallis, Van Schooten y Huygens —estos últimos consideraron la teoría de números carente de interés—. Lo que a la postre fue una ventaja para Fermat, porque nadie acabó publicando un texto que anulara la influencia de los resultados que él mal contaba en cartas o márgenes —como ya se comentó en el capítulo 5 que le ocurrió con el resto de su producción—. Más bien al contrario, si atendemos al éxito de interés acumulado por su célebre teorema/conjetura: su solución en 1993−1994 por Andrew Wiles ha sido de los escasísimos logros matemáticos que han logrado difusión masiva en los medios de comunicación.

Más que detallar la producción de Fermat en teoría de números intentaré responder a la pregunta: ¿Era Fermat sincero cuando decía que tenía la demostración de un resultado que establecía como teorema? A pesar de las apariencias —y de las frustraciones que generó entre matemáticos e historiadores posteriores—, yo me inclinaría a decir que sí, que cuando Fermat decía tener una demostración o la tenía o, al menos, creía que la tenía. Alguien podría decirme que se ha demostrado la falsedad de algunos resultados conjeturados por Fermat, y por lo tanto no debía de tener ninguna demostración de ellos; por ejemplo, Fermat conjeturó que los números de la forma 22n + 1 son primos, y Euler probó en 1732 que para n = 5 se obtiene el número 4.294.967.297 que admite la factorización 641 ∙ 6.700.417. Este ejemplo no vale porque Fermat nunca aseguró tener una demostración: «Estoy casi persuadido —escribió a Bernard de Frenicle—, he excluido un número tan grande de divisores por un método infalible que me sería difícil retractarme».

Todos los teoremas de Fermat, aquellos de los que dijo disponer de una demostración, han sido finalmente demostrados: incluido su gran teorema/conjetura, aunque en este caso se hayan necesitado más de tres siglos y medio, el esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos para lograrlo, y la demostración transite unos caminos inimaginablemente alejados de los números y la aritmética. ¿Es razonable pensar, entonces, que Fermat disponía de una demostración maravillosa, aunque el margen de la Aritmética de Diofanto era insuficiente para contenerla? Digamos que es razonable pensar que Fermat lo creía así. La conjetura de Fermat establece que la ecuación xn + yn = zn no admite soluciones enteras para x, y, z cuando n es mayor que 2 —exceptuando las triviales—. Pues bien, Fermat ideó el método de descenso infinito —suponía la existencia de una solución, y construía una formada por números positivos estrictamente más pequeños, lo que obviamente conduce a una contradicción—, con el que pudo haber demostrado su conjetura para los valores n = 3 y 4. La demostración del caso n = 4 está, de hecho, casi implícita en otro margen del libro donde mostró por descenso infinito que la ecuación x⁴ + y⁴ = z² no tiene soluciones enteras; y del caso n = 3, Euler encontró una demostración usando descenso infinito que razonablemente Fermat pudo haber encontrado antes —como ya he repetido en varias ocasiones, Fermat no solía dar a conocer sus demostraciones—. A partir de esos dos casos, que Fermat cita numerosas veces en su correspondencia mientras que el caso general sólo aparece en el célebre margen, pudo caer en la tentación de pensar que había encontrado el principio general para una demostración; y es que, si atendemos a la afortunada frase de André Weil (1906−1998): «¿Cómo podía adivinar Fermat mientras escribía en aquel estrecho margen de la Aritmética de Diofanto que lo estaba haciendo para la eternidad?».

Tres generaciones de matemáticos pasaron antes de que la teoría de números fuera otra vez considerada seriamente; entonces, el amor de Fermat por la reina de las matemáticas se reencarnó en Euler. Sólo me voy a detener en un resultado de Euler, sobre todo para explicar cómo fue usado en 1978 para desarrollar un método para cifrar mensajes; ese método se ha acabado convirtiendo en una herramienta fundamental para la seguridad de muchas transacciones económicas, sobre todo a partir de la aparición del comercio electrónico. Es un ejemplo que viene a mostrar que hasta las partes más recónditas y puras de las matemáticas son susceptibles de acabar teniendo las más insospechadas aplicaciones.

El resultado de Euler tiene que ver con el llamado teorema «pequeño» de Fermat: si p es un primo que no divide a a, entonces divide a ap−1 − 1. Euler fue el primero en publicar una demostración de este resultado; fue en 1736, casi un siglo después de que Fermat lo comunicara por carta a uno de sus amigos —sin demostración que, según Fermat, era demasiado larga para ser incluida en la carta—. Casi treinta años después, Euler generalizó el teorema usando lo que hoy llamamos la «función indicatriz» φ de Euler —la notación para la función es de Gauss—: dado un entero positivo n, φ(n) es el número de enteros positivos menores o iguales que n que son coprimos con n —esto es, no tienen factores comunes con n—. Obviamente, un número p es primo si y solo si φ(p) = p − 1. Euler demostró que si a y n son coprimos entonces n divide a aφ(n) − 1. Usando la notación de congruencias que popularizaría Gauss, lo que dice el teorema de Euler es que si a y n son coprimos, entonces

aφ(n) ≡ 1 (mód n).

Voy ahora con la aplicación de este resultado al cifrado de mensajes.

En la criptografía tradicional, emisor y receptor usaban la misma clave para cifrar y descifrar mensajes. Una de las debilidades radicaba, por tanto, en que en el proceso de comunicarse la clave entre las partes, esta pudiera ser interceptada por terceros. Esa debilidad empezó además a ser fundamental cuando en el último tercio del siglo XX las transacciones electrónicas empezaron a dar sus primeros pasos. Iba a ser necesario entonces repartir muchas claves entre bancos o comercios entre sí y con los clientes, con la altísima posibilidad de que muchas de ellas fueran interceptadas por terceros. Para evitar esta situación se inventó la criptografía de clave pública. La idea es que una parte de la clave es pública —en el sentido de que puede ser conocida por terceros— y la otra secreta. La parte pública de la clave se usa para cifrar los mensajes; pero, para descifrarlos, se necesita la parte secreta de la clave. No hace falta por tanto comunicar con terceros la parte secreta: basta con que la conozca el receptor para descifrar el mensaje.

En 1978, los investigadores del MIT R. L. Rivest (1947-), A. Shamir (1952-) y L. M. Adleman (1945-) desarrollaron un sistema de clave pública basado en el anterior teorema de Euler. A ese sistema se le denomina RSA —las iniciales de los apellidos de sus autores—, y ha sido, y continúa siendo, uno de los más usados en las últimas décadas. Después se ha sabido que un sistema muy parecido al RSA había sido desarrollado en 1973 por los servicios secretos británicos.

Grosso modo, el sistema RSA funciona como sigue. El punto de partida son dos números primos p y q grandes —varios cientos de cifras—; a partir de ellos definimos el número m = pq, lo que da para la función indicatriz de Euler el valor φ(m) = (p – 1)(q – 1). Finalmente se elige otro entero e, que sea coprimo con φ(m) —habitualmente se toma e = 2¹⁶ + 1 = 65.537—, y usando el algoritmo de Euclides, se busca d tal que ed ≡ 1 (mód φ(m)). Esto último equivale a decir que ed = φ(m)k + 1, para cierto número entero k. Como p y q son primos, tenemos que p = 2p₁ + 1 y q = 2q₁ + 1; para aumentar la seguridad del sistema RSA habitualmente se escogen p y q de manera que p₁ y q₁ sean también primos —tales números son llamados «primos de Germain»—.

La parte secreta de la clave son los números primos p, q y el entero d; mientras que la parte pública de la clave son los números m y e. Alguien podría objetar que se pueden descubrir p y q factorizando m, ya partir de ahí encontrar también el número d. Ahora bien, dada la forma en que se han elegido los primos p y q, y con los actuales algoritmos y potencia de cálculo, factorizar m puede llevar tanto tiempo que, de facto, el sistema se puede considerar seguro. Y lo mismo ocurre con el cálculo de φ(m), imposible de hacer conociendo sólo m en un tiempo razonable. Así que, aunque se conozca el número e —es un dato de la parte pública de la clave—, sin conocer φ(m) tampoco es factible dar con el número d. O sea, la parte pública de la clave no permite, a efectos prácticos, calcular la parte secreta.

Para cifrar un mensaje se procede como sigue. Basta explicar cómo se cifra un número P que sea menor que m, pues el mensaje se puede reducir a números de ese tamaño. Suponemos que p y q no dividen a P —la posibilidad de que eso ocurra es despreciable—; entonces sólo hay un número C verificando

C ≡ Pe (mód m);

ese número se puede, además, calcular sin demasiada dificultad, a partir de m y e, la parte pública de la clave, y P. Por lo tanto, todo el que conozca la parte pública de la clave puede elaborar a partir de P un mensaje cifrado C, que es el que se transmite al receptor.

Para recuperar el mensaje P desde el C, hay que tener en cuenta que

Cd ≡ (Pe)d ≡ Ped ≡ Pφ(m)k + 1 ≡ (Pφ(m))kP (mód m).

Todo lo cual se deduce de forma inmediata de las definiciones anteriores. El teorema de Euler dice que Pφ(m) ≡ 1 (mód m), por lo tanto (Pφ(m))k ≡ 1 (mód m), y entonces Cd ≡ P (mód m), que muestra que el mensaje original P es el resto de dividir Cd entre m; algo que puede hacer el receptor, y sólo él, pues es el único que conoce la parte secreta de la clave: el número d.

Obviamente, la seguridad del sistema RSA depende de los algoritmos para calcular los factores primos de un número, o también, para la computación de la función indicatriz de Euler, por lo que una mejora significativa de tales algoritmos, tan alejados en apariencia de la realidad, podría suponer un verdadero terremoto en el comercio electrónico mundial.

Añadiré, como anécdota, que Rivest, Shamir y Adleman propusieron en 1978 un mensaje cifrado usando su método y predijeron que se tardarían 40.000 billones de años en descifrarlo. Para descifrar el mensaje había simplemente que encontrar los factores primos que descomponían el número conocido propuesto por Rivest, Shamir y Adleman: un número relativamente modesto con sólo 129 dígitos. Sin embargo, en 1993, una colaboración libre de cientos de usuarios de internet debidamente dirigidos puso en marcha un proceso que acabó descubriendo en tan sólo ocho meses los números primos secretos que descomponían el número de Rivest, Shamir y Adleman. ¿Quiere esto decir que el método de clave pública RSA ha sido vencido? Ni mucho menos, en su ayuda viene el teorema de Euclides: dado que hay infinitos números primos, podemos elegir números primos todavía más grandes que los elegidos por los inventores de la clave RSA. Números suficientemente grandes como para que sea virtualmente imposible factorizarlos en un tiempo que ponga en peligro el cifrado de mensajes usándolos. Eso es lo que se hace hoy en día.

En las últimas décadas le ha salido un competidor al sistema RSA. No cabe detallarlo aquí, pero sí mencionar que se basa en las soluciones enteras, módulo un primo p, de una curva elíptica con coeficientes enteros, y su estructura de grupo —véase, al respecto, lo que se escribió en la sección § 7.5 en relación con las conjeturas de Birch y Swinnerton-Dyer, y Taniyama-Shimura—.

Lagrange y Legendre fueron los principales seguidores de la estela de Euler en teoría de números. Ellos y otros matemáticos de su época consiguieron una serie de resultados brillantes, aunque dispersos y aislados. Formularon también importantes conjeturas, alguna de las cuales sigue hoy sin resolverse, como la que Christian Goldbach (1690−1764) envió a Euler en una carta de junio de 1742, y que establece que todo número par es la suma de dos números primos —incluido por Hilbert en el problema 8 de su lista de 23 problemas—.

Las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss vinieron a poner orden y concierto en la teoría de números, y establecieron su rumbo durante bastantes de las décadas que siguieron a su publicación en 1801; según Morris Kline: «Gauss estableció la notación; sistematizó y extendió la teoría existente; clasificó los problemas que debían ser estudiados y los métodos conocidos para atacarlos e introdujo nuevos métodos». Y todo ello lo hizo Gauss antes de cumplir veintiún años.

Las tres primeras secciones de las Disquisitiones son de carácter introductorio: conceptos y resultados elementales sobre congruencias y residuos, incluyendo la factorización en primos de los números enteros —implícita ya en los Elementos de Euclides—, el teorema pequeño de Fermat y el de Wilson —todo primo p divide a (p − 1)! + 1—, por poner algunos ejemplos.

La cuarta sección incluye la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática —según Gauss esta ley es «una de las más elegantes de su género»—. Como el mismo Gauss explicó, la ley se remonta a Euler, que fue el primero en apuntarla, pero sin prueba; Legendre había propuesto una primera demostración en 1785, pero como él mismo confesó, basada en resultados no demostrados —Gauss incluyó otra demostración de la ley en la sección V, y llegó a encontrar seis más a lo largo de su vida—. Dados p y q, primos impares distintos, se dice que p es residuo cuadrático de q si la ecuación x² = p (mód q) tiene solución. La ley de reciprocidad cuadrática establece la relación precisa que hay entre p y q para que ambos sean o no residuo cuadrático uno del otro: si p y q tienen ambos resto 3 al dividirlos por 4, entonces p es residuo cuadrático de q si y sólo si q no es residuo cuadrático de p; en otro caso, p es residuo cuadrático de q si y sólo si q es residuo cuadrático de p.

La sección V es la más voluminosa de todo el libro —ocupa las tres quintas partes, y esto sin contar la sección VI que es, en cierta manera, un apéndice de la V—. Está dedicada a la teoría de formas cuadráticas binarias que comenzara a estudiar Lagrange tres décadas antes y, en menor medida, cuadráticas ternarias; grosso modo Gauss estudia cómo representar números mediante expresiones de la forma ax² + 2bxy + cy² (binarias) y ax² + 2bxy + 2cxz + 2dyz + ey² + fz² (ternarias). Una parte de la sección V desarrolla la manipulación algebraica de estas formas —incluyendo las definiciones de orden, género y carácter, y la composición de formas; todo con gran influencia posterior—. Sin embargo, lo que le interesaba a Gauss no era el álgebra de las formas sino su aplicación a la resolución de problemas de la aritmética; estas aplicaciones completan la sección: se solucionan diversas ecuaciones diofánticas, se da otra demostración del teorema de reciprocidad cuadrática, se estudia la representación de números como suma de tres cuadrados, se demuestra que todo número admite una descomposición como suma de tres números triangulares y, también, como suma de a lo más cuatro cuadrados —resultados que había enunciado Fermat y todavía estaban pendientes de demostración—, etc. Digamos que un primer borrador muy parcial de estas secciones pudo estar listo hacia el verano de 1796, en el invierno de 1798−1799 se añadió lo referente a las formas ternarias y hacia 1800 pudieron estar definitivamente listas. Hay datación precisa para algunos de los resultados; la descomposición en suma de tres números triangulares aparece anotada en el diario de Gauss en la forma «EUREKA! Núm = Δ + Δ + Δ», y lleva fecha 18 de julio de 1796.

La sección VII y última es bastante homogénea y autocontenida con respecto al resto —de hecho fue escrita antes de que hubiera una versión definitiva de la V—, y podría decirse que es la más popular, si no fuera atrevimiento usar este calificativo para otro resultado matemático que no sea el teorema de Pitágoras. Está dedicada a las ecuaciones ciclotómicas, de la forma xn − 1. Como las n soluciones complejas de esa ecuación son los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio 1, el problema de resolver xn − 1 está conectado con el viejo problema griego de la construcción con regla y compás de polígonos regulares.

Las construcciones con regla y compás pueden describirse en términos algebraicos: requieren intersecciones de rectas, rectas y circunferencias, o dos circunferencias, lo que equivale algebraicamente a la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales, lineal y cuadrático o, dos ecuaciones cuadráticas. Por tanto, en la descripción de las coordenadas de los puntos del plano que se pueden construir con regla y compás sólo pueden intervenir las operaciones de la aritmética —sumas, productos y divisiones— y las raíces cuadradas. Por ejemplo, el punto de coordenadas

se puede construir con regla y compás; si uno tiene la paciencia de multiplicar el número complejo que representa ese punto cinco veces por sí mismo obtendrá como resultado 1; eso quiere decir que ese número complejo es una raíz de la ecuación x⁵ − 1, y, por tanto, uno de los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia de radio 1, lo que nos asegura que, como ya sabían los griegos, el pentágono regular se puede construir con regla y compás.

El resultado estrella de la sección VII demuestra que siempre se puede construir, con regla y compás, un polígono regular de n lados cuando n = 2np₁p₂ … pk, donde p₁, p₂, … pk son números primos de Fermat distintos, esto es, números primos de la forma 22n + 1.

Para ello, Gauss mostró que las soluciones de xp − 1, p primo, son expresiones racionales de soluciones de ecuaciones cuyos grados son los divisores primos de p − 1, y cuyos coeficientes son expresiones racionales de las soluciones de las ecuaciones precedentes, que acaban también siendo resolubles por radicales. Cuando el primo p tiene la forma 22n + 1, todas las ecuaciones consideradas tienen grado dos, y por tanto las soluciones de xp − 1 se pueden expresar iterando operaciones aritméticas y raíces cuadradas, y son por tanto construibles con regla y compás. Gauss señaló también, aunque sin demostrarlo —«los límites de este trabajo excluyen esta demostración aquí»—, que esa forma particular del número n no es sólo suficiente sino también necesaria.

Y, como aplicación, Gauss mostró la forma en que puede ser construido un polígono de 17 lados —22² + 1 lados—. Para darle solera y prestancia a su construcción, Gauss añadió: «Es ciertamente atónito que, aunque la divisibilidad geométrica de una circunferencia en 3 y 5 partes fuera ya conocida en el tiempo de Euclides, nada fuera añadido a este descubrimiento en dos mil años. Y que todos los geómetras hayan afirmado que, excepto para este número de partes y las que se derivan directamente de ellas, no hay otras que puedan ser geométricamente construidas». Según reza en el diario de Gauss, hizo su descubrimiento el 30 de marzo de 1796; tenía entonces diecinueve años.

El matemático francés Pierre Wantzel (1814−1848) demostró en 1837 que, efectivamente, la condición de Gauss es también necesaria para la construcción de polígonos regulares de n lados. En ese mismo artículo, Wantzel demostró la imposibilidad de dos de los tres venerables problemas que tanto habían interesado a los griegos: la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Wantzel no usó los grupos asociados a las ecuaciones —Galois había desarrollado su teoría pero esta durmió el sueño de los justos hasta que Liouville empezó a publicarla en 1846—, sino que trabajó, como Gauss, con lo que ahora llamamos «cuerpos de extensión». Las coordenadas de un número que se puede construir con regla y compás forman una torre donde en cada piso sólo hay operaciones aritméticas y eventualmente una raíz cuadrada de los elementos de los pisos precedentes; si formamos con esos pisos cuerpos de extensión —añadiendo la raíz cuadrada de los elementos precedentes, si la hubiere—, se obtendrá finalmente una extensión cuyo grado con respecto al cuerpo de partida, los racionales en este caso, será necesariamente una potencia de 2. Ahora bien, la ecuación asociada a la duplicación del cubo es x³ − 2 = 0, que es irreducible —no se puede factorizar en polinomios de menor grado con coeficientes racionales—. Por tanto, el cuerpo que se obtiene añadiendo a los racionales ∛2 tiene orden 3, que no es una potencia de 2, por lo tanto, no se puede duplicar el cubo con regla y compás.

Algo parecido ocurre con la trisección del ángulo. Consideremos el ángulo A; trisecarlo equivale a construir con regla y compás el ángulo A/3 y, esto, obviamente, equivale a poder construir con regla y compás el coseno y el seno de ese ángulo. Ahora bien, si llamamos x = sen(A/3), la fórmula para el seno del ángulo triple establece para x la ecuación 4x³ − 3x − a = 0, donde a = sen A. Pongámonos en el caso más sencillo de que a sea un número racional. Por ejemplo, el ángulo a trisecar sea 60 grados, en cuyo caso a = ½. La ecuación para x es entonces irreducible, y el cuerpo que se obtiene añadiendo x tiene orden 3, que no es una potencia de 2, y por lo tanto el ángulo de 60 grados no se puede trisecar con regla y compás.

La demostración de la imposibilidad de cuadrar el círculo tardó todavía medio siglo en lograrse. La ecuación asociada al problema es x² − π = 0, pero no sirve pues sus coeficientes no son números racionales —la irracionalidad de π la había demostrado Johann Lambert en 1761—. De manera que para poder aplicar los argumentos anteriores había primero que dilucidar si había un polinomio con coeficientes enteros del que π fuera raíz. Los números que satisfacen esa condición se llaman «algebraicos», y los que no, «trascendentes». Gracias a los estudios de Cantor sobre el infinito, sabemos hoy que «casi» todos los números reales son trascendentes —los algebraicos son numerables y los transcendentes no numerables—, pero suele ser endiabladamente complicado demostrar que un número concreto es transcendente —el problema 7 de la lista de 23 de Hilbert trata sobre la trascendencia de un número de la forma ab, donde a es algebraico y b algebraico irracional, resuelto en 1934 por A. Gelfond (1906−1968) y T. Schneider (1911−1988)—. Desde el siglo XVIII se sospechaba que las principales constantes, como π o e, por ejemplo, iban a ser trascendentes, pero el caso es que los primeros números de los que se supo que son trascendentes fueron construidos ad hoc por Liouville en 1844, y tienen la forma

a₁/10 + a₂/102! + a₃/103! + …,

donde los ai son enteros arbitrarios entre 0 y 9 —de los cuales una cantidad infinita tienen que ser distintos de 0, de otra forma se obtiene un número racional—.

La trascendencia de e la demostró Hermite en 1873 y, siguiendo su estela, la de π la demostró Ferdinand Lindemann (1852−1939) en 1882. De ahí se sigue la imposibilidad de cuadrar el círculo.

Se cerraba así un problema matemático que había nacido dos mil quinientos años antes. Este problema sirve además para ilustrar una de las características más importantes y genuinas de las matemáticas: la existencia de conexiones muy profundas que permiten resolver un problema utilizando herramientas muy alejadas del ambiente en que ese problema se plantea. Ya sea la cuadratura del círculo, ya la construcción de polígonos regulares, son obviamente problemas geométricos; sin embargo, para resolverlos, ya fuera demostrando su imposibilidad o la construcción explícita del polígono de 17 lados, hubo que trasformar el problema en términos algebraicos: si la solución de una determinada ecuación polinómica se podía o no expresar usando números racionales, las operaciones de la aritmética y raíces cuadradas. Y esto último se resuelve poniendo en juego estructuras algebraicas abstractas —los cuerpos de extensión— y apelando a la factorización en primos del orden del último cuerpo en relación con el primero.

Dejando a un lado la cuadratura del círculo —que está afectada por la singularidad del número π—, tanto la duplicación del cubo, como la trisección de un ángulo, o la construcción de polígonos regulares han acabado resolviéndose de forma similar: usando las mismas ideas y técnicas, aunque aplicadas a ecuaciones polinómicas diferentes. Aquí se muestra otra característica fundamental de las mejores ideas matemáticas: su generalidad. Tres problemas geométricos que de partida son absolutamente diferentes corresponden finalmente a estructuras algebraicas muy parecidas.

Según explicó Hardy en su libro A Mathematician’s Apology, estas dos características de las ideas matemáticas, generalidad y profundidad, proporcionan a las matemáticas buena parte de su valor estético.

§ 8.2.1. La demostración del teorema de Fermat

Acabaré esta sección mostrando, de forma necesariamente esquemática, el camino que llevó hasta la demostración del gran teorema de Fermat. El lector podrá comprobar, de forma todavía más explícita que en los problemas de construcciones con regla y compás, la profundidad y la generalidad de algunas de las ideas que han sido necesarias para vencer ese reto. Inicialmente, el teorema de Fermat hace referencia a la existencia o no de soluciones a un simple problema aritmético; buscamos tres números x, y, z de forma que, al multiplicarlos por sí mismos un cierto número n de veces, la suma de las potencias de los dos primeros iguale la potencia del tercero: xn + yn = zn. En contraste con esa simplicidad aritmética de partida, para resolverlo habrá que encadenar un sinfín de ideas que conectarán la aritmética elemental con otras ramas sofisticadísimas de las matemáticas, que incluyen el álgebra abstracta, la variable compleja o la geometría algebraica. Todo lo cual prueba la enorme profundidad y generalidad de esas ideas; siguiendo a Hardy, no es pues exagerado comparar el valor estético de esa sinfonía de ideas con el de las más bellas e inspiradas composiciones musicales de Bach, Mozart o Beethoven.

En los dos siglos siguientes a Fermat, lo único que se logró fue demostrar el teorema para dos o tres exponentes más: Euler lo demostró en 1770 para n = 3, reconociendo que, probablemente, Fermat pudo haber hecho la misma demostración. A partir de este resultado, se sigue que el teorema de Fermat vale para todos los múltiplos de 3 —en realidad, basta con demostrar el teorema de Fermat cuando n es un número primo—.

A principios del siglo XIX, Sophie Germain (1776−1831) apuntó algunas ideas para tratar el caso bajo la hipótesis de que n y 2n + 1 fueran a la vez primos —hoy se conoce a esos números como «primos de Germain» y, como se explicó unas páginas antes, tienen cierto protagonismo en el sistema de clave pública RSA—. Las ideas de Germain no fueron suficientes como para demostrar el teorema para esos casos, pero imponían restricciones fuertes para la existencia de soluciones. La descripción de la muerte de Arquímedes durante el sitio de Siracusa parece que fue lo que desató la pasión de Germain por las matemáticas. Fue autodidacta, porque al ser mujer tenía vetado el acceso a la universidad —ella hubiera querido formarse en la École Polytechnique—. Germain mantuvo correspondencia científica con ilustres matemáticos de la época —aunque dada su condición femenina, con algunos usó el seudónimo M. Le Blanc—, entre ellos, Lagrange, Legendre y Gauss, todos los cuales alabaron su calidad matemática. En 1807, las tropas francesas ocuparon Brunswick, donde vivía Gauss. Germain conocía al general francés al mando de las tropas —era amigo de su familia— y, recordando la suerte de Arquímedes, le pidió que fueran clementes con Gauss —de quien ya había leído sus Disquisitiones Arithmeticae—. Gauss acabó conociendo esta intermediación, al igual que era una mujer la que se carteaba con él bajo el nombre de M. Le Blanc, lo que le llevó a expresar una opinión sin duda sorprendente dado el ambiente misógino de la época: «Una persona de su sexo, en razón de nuestras costumbres y prejuicios, encuentra infinitamente más dificultades que un hombre para familiarizarse con estas investigaciones tan espinosas. Si, a pesar de ello, vence esos obstáculos y logra penetrar en las partes más profundas de esas investigaciones, lo que está mostrando es un coraje noble, un talento extraordinario y un genio superior».

Siguiendo la estela de Germain, Legendre y Dirichlet demostraron en 1825 el caso n = 5, un joven Dirichlet con veinte años aportó una demostración con una laguna que rellenó un por entonces anciano Legendre de setenta años. Siete años después, Dirichlet logró demostrar el caso n = 14, y, en 1847, el francés Gabriel Lamé (1795−1870) hacía lo propio con n = 7. Todos estos casos se resolvieron por métodos elementales más o menos basados en el descenso infinito de Fermat. Cuando digo «elementales» quiero decir que sólo usaban álgebra elemental junto con manipulaciones más o menos ingeniosas, pero sin otro aparato ni conceptos matemáticos. No confundir elemental con sencillo: las demostraciones de estos casos son extremadamente complicadas y, lo que a fin de cuentas es peor, exclusivas para los casos particulares que venían a resolver: no admitían, en otras palabras, ningún tipo de generalización ni extensión para otros valores del exponente n.

En 1847 se produjo una primera e importante ruptura con respecto a los iniciales métodos elementales. Ese año, Lamé propuso una «demostración» para todos los valores de n. En la «demostración» se consideraba el conjunto de números de la forma r + sα + … + tαn−1, donde r, s, …, t son enteros y α es una raíz n-ésima primitiva de la unidad —o sea, verifica αn = 1, y αm ≠ 0 si m < n—. En ese conjunto, que hoy denotamos por ℤ[α], se pueden definir los números primos y la factorización en números primos de manera análoga a como se hace con los números enteros. Gauss había considerado el caso α = √−1 dos décadas antes, buscando generalizar la ley de reciprocidad cuadrática —de hecho, a los números de la forma r + s√−1, donde r, s son enteros, se los llama «enteros de Gauss»—; en particular Gauss había demostrado que cada número en ℤ[√−1] puede ser descompuesto de manera única como producto de primos. Precisamente Lamé supuso que lo mismo ocurría en ℤ[α], y a partir de esta propiedad ponía en marcha un método de descenso infinito que le permitía demostrar el teorema de Fermat. Siguiendo a Lamé, Cauchy presentó una demostración usando también la unicidad de la descomposición.

No fueron los únicos en hacer esa suposición. Cinco años antes, Ernst Kummer (1810−1893) había hecho un estudio detallado de los conjuntos ℤ[α], también para demostrar el teorema de Fermat, y había también supuesto de entrada la factorización única. Le sacó del error Dirichlet informándole de que, en general, la factorización no es única en ℤ[α]. Un ejemplo sencillo es el número 6, que en ℤ[√−5] admite dos factorizaciones distintas como producto de primos: 6 = 2 ∙ 3 = (1 + √−5) ∙ (1 − √−5).

Los trabajos de Kummer mostraban el error de Lamé y Cauchy; el primero se rindió a la evidencia, pero Cauchy laboró todavía un tiempo tratando sin éxito de salvar su demostración. En cierta forma, este fracaso sugería que no mucho más lejos se iba a llegar en la demostración del teorema de Fermat usando métodos elementales.

Para 1844, Kummer empezó a desarrollar una teoría de «números ideales» para superar la dificultad que plantea la no unicidad de la factorización en primos. De hecho, Kummer consiguió éxitos muy notables, y empleando estos métodos, que dejan ya de ser elementales —usan, por ejemplo, números complejos y estructuras especiales que van más allá de la aritmética en la que se enuncia el teorema de Fermat—, logró demostrar el teorema de Fermat para toda una familia de números: los llamados primos regulares —cuya definición precisa no hace falta exponer aquí—. Para 1874 Kummer había encontrado que, de los primos menores que 164, no son regulares 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149 y 157: para todos los demás primos vale el teorema de Fermat.

Dedekind profundizó la idea de números ideales de Kummer —este no había llegado siquiera a definirlos, más allá de ilustrar su idea con ejemplos—, y sintetizó y estudió toda una serie de estructuras, anillo, ideales, dominios de factorización única…, que venían a unirse a las de grupo, cuerpo o espacio vectorial, y que, como veremos en la sección § 8.3, acabarían por ser el territorio natural donde se desarrollaría el álgebra moderna de los siglos XX y lo que va del XXI.

Las ideas puestas en juego por Kummer para demostrar el teorema de Fermat parecían agotadas un siglo después, y hacia 1950 se empezó a tener la sensación de que poco más se podía lograr con ellas.

Durante la segunda mitad del siglo XX se ensayaron otras técnicas novedosas y sofisticadas, como las basadas en haces de recubrimientos de curvas —A. Grothendick (1928-2014) y J. P. Serre (1926-) donde se mezclan la topología y la geometría algebraica—. Se estuvo muy cerca de demostrar el teorema de Fermat: en 1983, Gerd Faltings (1954-) demostró que si el teorema de Fermat falla para un n, entonces el número de soluciones de la ecuación xn + yn = zn debe ser finito. Se llegó casi a tocar la demostración completa del teorema pero, una vez más, el resultado de Fermat mantenía su estatus de conjetura.

Por esos mismos años se descubrió un insospechado camino para abordar la demostración. Ese camino pasaba por la conjetura de Taniyama Shimura que se expuso en la sección § 7.5. La historia comenzó en 1982 en Oberwolfach, un pequeño pueblo situado en la Selva Negra alemana dedicado casi exclusivamente a acoger encuentros científicos. Allí Gerhard Frey (1944-) asoció a cada número n para el que falla el teorema de Fermat una curva elíptica: si existen números enteros α, β, γ —primos entre sí— verificando αn + βn = γn entonces la curva elíptica asociada es

y² = x(x + αn)(x – βn).

Frey «demostró» en su conferencia que esa curva no verifica la conjetura de Taniyama-Shimura; pero en su prueba había un error. Cuatro años más tarde, en 1986, y siguiendo el camino sugerido por J. P. Serre, Ken Ribet (1948-) logró demostrar que efectivamente las sospechas de Frey eran ciertas y la curva elíptica asociada al teorema de Fermat no verificaba la conjetura de Taniyama-Shimura. Por lo tanto, el teorema de Fermat es una consecuencia de esa conjetura.

Dicho de otra forma, la conjetura de Taniyama-Shimura ofrece un atajo para llegar a la demostración del teorema de Fermat. Ese es el atajo que sigilosamente siguió Andrew Wiles durante ocho años. Digo sigilosamente, porque desde que se enteró del resultado de Ribet, Wiles tomó dos decisiones; una fue dedicar todo su tiempo a demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura; la otra, mantener en secreto la primera decisión. Wiles, nacido en Cambridge, Inglaterra, en 1953, era desde unos años antes profesor en la Universidad de Princeton. Con su segunda decisión buscaba evitar presiones, aislarse, que nadie le preguntara si avanzaba o no en sus investigaciones; lo consiguió sólo a medias, porque no tardaron en surgir las sospechas y los recelos: obviamente sus colegas empezaron a notar algo raro y, además, al concentrarse en el reto de la conjetura de Taniyama-Shimura y guardarse para sí todos sus avances, el número de sus publicaciones en ese período se resintió sensiblemente —algo que podría requerir de alguna explicación en un centro de élite como Princeton—.

A Wiles su apuesta le acabó saliendo bien, y para 1993, tras siete años de esfuerzos y aislamiento, estaba listo para anunciar que había «demostrado» la conjetura de Taniyama-Shimura para una clase de curvas elípticas entre las que se encontraban las de Frey. Después de tres siglos y medio, el reto de Fermat parecía haberse superado, y para junio de 1993 se escenificó adecuadamente el acontecimiento en forma de conferencia en la Universidad de Cambridge; en la ciudad que lo vio nacer, Wiles mostró al mundo su «demostración». Pero la historia no termina aquí, porque pocos meses después, en el cuidadoso proceso de revisión a que se sometió la prueba de Wiles, se encontró en ella una laguna. Wiles volvió al tajo, pero esta vez sintiendo los ojos del universo matemático bien fijos sobre él. Tras otro año adicional de trabajo, tuvo lista la demostración completa en octubre de 1994 —incluía la superación de la laguna, que logró con la ayuda de Richard Taylor (1962-), un antiguo alumno suyo de doctorado—.

La pequeña —o gran— laguna en la demostración inicial de Wiles tuvo sin embargo una curiosa consecuencia: por su culpa a Wiles no se le concedió la medalla Fields, el máximo galardón que un matemático puede recibir —véase lo escrito al final de la sección § 2.4—. Hay una regla no escrita que establece que los ganadores de la medalla Fields no deben superar la edad de cuarenta años a comienzos del año en que la reciben. Como Wiles nació en 1953, podría haber recibido la medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticas que se celebró en 1994 en Zúrich. En el siguiente, celebrado en Berlín en 1998, Wiles era demasiado viejo para la medalla Fields, pero se le concedió un premio especial. Apostaría a que Wiles pensó casi lo mismo que Perelman cuando renunció a recoger su medalla Fields en Madrid: «Esa medalla es irrelevante para mí. Si mi demostración es correcta ningún reconocimiento más es necesario».

Justo tras demostrarse el teorema de Fermat, otro matemático aficionado propuso una conjetura relacionada con el teorema y del que este se deduciría. Es la llamada «conjetura de Bale», propuesta por el banquero estadounidense Andrew Bale en 1997. La conjetura dice que si tres números enteros positivos x, y, z verifican la ecuación xa + yb = zc, donde a, b, c son tres enteros positivos mayores que 2, entonces x, y, z tienen algún factor primo en común. El teorema de Fermat corresponde con el caso a = b = c. Bale ofreció, en 1997, cinco mil dólares a quien lo resolviera. Con el paso de los años, la recompensa subió a cincuenta mil dólares, después a cien mil y finalmente, en junio de 2013, Bale ofreció un millón de dólares por su solución —ya sea en positivo o en negativo—. En junio de 2017, cuando escribo estas líneas, la conjetura sigue sin respuesta.

§ 8.2.2. La teoría analítica de números

Si se me permite el juego de palabras, en teoría de números los primos son los reyes. Cómo generar números primos, cómo saber si un número es primo, cómo encontrar los factores primos de un número, son problemas sobre los que los matemáticos llevan laborando miles de años por amor al conocimiento —aunque, tras el desarrollo de sistemas criptográficos como el RSA, estudiar esos problemas tenga ahora otros objetivos más mundanos—.

Desde que Euclides demostró que hay infinitos primos, descubrir cómo se camuflan estos entre los otros números se ha acabado convirtiendo en el problema más importante de toda la teoría de números. Un simple vistazo a los primeros treinta o cuarenta primos muestra algo obvio: mientras los números se van desgranando con su uniforme suceder, los primos son cada vez más escasos. Pero ¿cómo de escasos?, ¿cómo es de uniforme la separación entre los primos?

Pensemos, por ejemplo, en otros números que también se hacen escasos: los cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25… En este caso tenemos una fórmula explícita para generar estos números: n², que nos dice precisamente cómo de escasos son, y cómo de separados están unos de otros. No se conoce ninguna fórmula útil para generar todos los números primos, ni tan siquiera que sólo genere primos, aunque hipótesis no han faltado: ya se comentó la conjetura de Fermat sobre los números 22n + 1, que Euler se encargó de destrozar. A Euler (1744), precisamente, se debe un resultado que da una idea de que los números primos van a abundar más de lo que lo hacen los cuadrados: si escribimos los números primos en forma de sucesión creciente, pk, entonces la serie de sus inversos diverge

Dado que la serie de los inversos de los cuadrados converge, Euler dedujo: «El número de primos excede el de cuadrados». Euler mostró todavía más, que la forma en que diverge la serie anterior es extremadamente lenta: del orden del logaritmo del logaritmo del número de sumandos.

Euler obtuvo sus resultados de una fórmula que liga los números primos con las sumas de los inversos de las potencias de los números:

Euler inauguraba así lo que hoy conocemos como «teoría analítica de números», esto es, el uso de técnicas del análisis matemático para el estudio de propiedades aritméticas. Otro ejemplo de teoría analítica de números es la fórmula de Ramanujan y Hardy para aproximar el número de particiones de un número, y el modo en que la obtuvieron —es la fórmula (1.1) de la sección § 1.3—.

Hay quien prefiere situar el nacimiento de la teoría analítica de números un siglo después de los resultados de Euler. Concretamente en 1837, cuando Dirichlet demostró una notable conjetura de Euler y Legendre: en toda progresión aritmética a, a + b, a + 2b, a + 3b, …, donde a y b no tienen factores comunes, hay infinitos números primos —también demostró que la serie de los inversos de los primos en esa progresión aritmética diverge—. Dirichlet usó ciertas funciones meromorfas complejas que hoy se conocen como «series L de Dirichlet».

Recientemente se ha demostrado una especie de recíproco del teorema de Dirichlet. Ben Green y Terence Tao demostraron en 2004 que la sucesión de primos contiene progresiones aritméticas tan largas como se quiera —o sea, fijado un N cualquiera existen números a y b tal que los números a + bn, n = 0, …, N, son todos primos—. Ambos eran entonces insultantemente jóvenes: veintisiete y veintinueve años, respectivamente. Dos años después, Tao recibió la medalla Fields en el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid. En 1976, el húngaro Paul Erdös (1913−1996) ofreció tres mil dólares a quien demostrara que en toda sucesión de números enteros positivos nk verificando

hay progresiones aritméticas tan largas como se quiera —de donde se deduciría el teorema de Green-Tao—. Erdös ha sido sin duda uno de los científicos más singulares de la historia, una especie de matemático errante que no tuvo más hogar que las propias matemáticas. Uno de los más prolíficos de la historia, probablemente el que más proponiendo conjeturas y acertijos matemáticos; sus colaboradores se cuentan por centenares —del orden de quinientos—, y tal profusión ha dado lugar al llamado «número de Erdös»: Erdös tiene número de Erdös 0, y si el número de Erdös más bajo de los colaboradores de un autor es n, entonces el número de Erdös de ese autor es n + 1. Erdös solía ofrecer premios en metálico por resolver sus numerosas conjeturas, normalmente calderilla; no así en este caso, uno de los de más cuantía.

Para cuando Dirichlet demostró su teorema, ya circulaba una conjetura sobre cómo se camuflan los primos entre los otros números. Si llamamos π(x) al número de primos menor o igual que el número x, entonces π(x) se parece cada vez más a la función x/log x conforme x se va haciendo grande; más precisamente,

Euler, Legendre y Gauss sospecharon todos esta conjetura fundamental en teoría analítica de números, que hoy se conoce como el «teorema de los números primos».

Conviene recordar lo que ese límite quiere decir: cuando x se va haciendo grande numerador y denominador se parecen, porque su cociente se aproxima a 1. Pero se parecen en términos relativos: la diferencia entre esos números es pequeña cuando se compara con cualquiera de ellos. Lo que no quiere decir que la diferencia sea pequeña. Por ejemplo, para x = 10⁶, el cociente entre π(x) y x/log x vale aproximadamente 1,037 —un número próximo a uno—, y la diferencia vale 6.116, que es pequeña en comparación con 10⁶; si tomamos x = 10¹², el cociente vale aproximadamente 1,017 y la diferencia vale 1.416.705.193, que no es en absoluto un número pequeño pero que sí lo es en comparación con 10¹².

En vez de la función x/log x, Gauss prefería usar la función que hoy denotamos por Li(x), y llamamos «logaritmo integral»:

ambas se comportan igual en el infinito, por lo que se pueden usar indistintamente en el límite (8.1) anterior. Pero si miramos la diferencia con π(x), la función Li(x) es mejor que x/log x: por ejemplo, la diferencia entre Li(x) y π(x) vale 129 para x = 10⁶, mientras que para x = 10¹² es de 38.262 —en ambos casos se ha redondeado la diferencia al entero más cercano—. La comparación de las funciones π(x) y Li(x) entre 0 y 1.000 se puede ver en la figura 8.1.

Figura 8.1

El ruso Pafnuti Chebyshev (1821−1894) se acercó mucho a la demostración del teorema de los números primos: mostró en 1854 que

0,922 < π(x)/x / log x < 1,105.

En 1896, el teorema fue demostrado de manera independiente por Jacques Hadamard (1865−1963) y Charles de la Vallée Poussin (1866−1962).

Pero, para entonces, había sido propuesta una hipótesis muchísimo más fuerte sobre la distribución de los números primos, una hipótesis que todavía hoy sigue pendiente de demostración o refutación, y se ha convertido en el objeto de deseo más codiciado, no sólo de la teoría de números, sino posiblemente de todas las matemáticas. Me refiero, naturalmente, a la hipótesis de Riemann. Es el problema número 8 de la lista propuesta por Hilbert en 1900, y fue elegido también por el Instituto Clay como uno de sus siete problemas del milenio —junto con la conjetura de Poincaré, el único de los siete retos que todos los matemáticos consultados incluyeron en sus listas; véase el final de la sección § 2.4—. Son muchos los matemáticos que creen que es el problema abierto más importante que tienen hoy en día las matemáticas —al menos las matemáticas puras—.

La hipótesis de Riemann tiene que ver con la función

Esa es la función que Euler había utilizado para demostrar que la serie de los inversos de los números primos diverge. Euler jugó con ella, en la prodigiosa manera en que se jugaba con las series en el siglo XVIII —sobre todo él—, logrando varios resultados muy relevantes. Así, calculó los valores de la función ζ(z) cuando z es un número par, descubriendo una sorprendente conexión con el número π que quita el aliento; por ejemplo, ζ(2) = π²/6. La historia de esa suma se remonta a 1673. Un poco antes, Leibniz había logrado sumar la serie

obteniendo para su suma el valor 1; quedó tan satisfecho, y era tanto su optimismo, que creyó poder sumar cualquier serie que le propusieran. En 1673 visitó Londres, y no se privó de comentar allí tamaña fanfarronería. Cuando regresó a París, no tardó en llegarle carta de Inglaterra donde le proponían que sumara la serie

fácil, debió de pensar Leibniz, teniendo en cuenta que los sumandos son muy parecidos a los de la serie que ya había sumado. Pero el truco que permitía sumar la primera —descomponer en fracciones simples— no valía para la segunda, y Leibniz fracasó estrepitosamente en el cálculo de su suma. La serie había sido ya considerada por el italiano Pietro Mengoli (1650) y por Wallis (1655), que lo más que hizo fue dar la aproximación 1,645 para su suma —mejorada por James Stirling (1692−1770) en 1730: 1,644934066—. Los hermanos Bernoulli heredaron el problema, tratando de resolverlo sin éxito, y, con muchísima probabilidad, Newton también intentó hincarle el diente. Hasta que llegó Euler, y con su magia mostró que la suma de la serie es, nada más y nada menos, que π²/6. Euler encontró también el valor exacto de ζ(2n) cualquiera que sea el número natural n. Curiosamente, casi nada se sabe sobre los valores que toma la función ζ(z) en los números impares: tan sólo que ζ(3) es irracional —demostrado por Roger Apéri (1916−1994) en 1979— y poco más.

Euler hizo algo más de magia con la función ζ(z). Por ejemplo, para z real conjeturó la ecuación

donde Γ(z) es la función gamma, que extiende al factorial, y que Euler mismo había definido para números complejos. Si ponemos z = 2 en esa ecuación, y tenemos en cuenta que conocemos todos los valores de la derecha, obtenemos el notable resultado

1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12,        (8.4)

que correspondería con el valor de ζ(−1), si no fuera porque la serie correspondiente —la parte izquierda de la igualdad (8.4)— es divergente. La divergencia de series no fue un problema que amilanara a Euler, ni a ningún matemático del siglo XVIII —como ya se explicó en la sección § 6.1—, pero implica que la fórmula anterior requiere explicación adicional.

A la función ζ(z) se la denomina hoy función zeta de Riemann, porque fue el matemático alemán quien la estudió en profundidad, de forma fundamentada y, además, propuso en 1859 el enigma todavía sin resolver sobre dónde se esconden sus ceros.

Riemann partió de la fórmula (8.2) para la función zeta. Esa fórmula sólo tiene sentido cuando la parte real del número complejo z es mayor que 1, pues es para esos valores cuando la serie que define la función es convergente. Riemann mostró que, sin embargo, la función se puede extender a todo el plano complejo, obteniéndose una función meromorfa que vale infinito sólo en z = 1, y que coincide con la serie cuando la parte real del número complejo z es mayor que 1. Riemann demostró también la ecuación funcional (8.3). De forma sencilla, esa ecuación nos da alguna información sobre dónde se anula la función zeta: por un lado, se anula en los enteros pares negativos z = −2k, k = 1, 2, …, que son los llamados ceros triviales de la función zeta; por otro, la ecuación implica que la función zeta sólo puede anularse cuando la parte real del número complejo z es mayor o igual que 0 y menor o igual que 1 —lo que se ha dado en llamar «la banda crítica» de la función zeta—.

En su artículo de 1859, Riemann hizo una hipótesis sobre la ubicación de los ceros no triviales de la función zeta: veía muy probable que todos tuvieran parte real igual a 1/2. Y añadió: «Sería deseable una prueba rigurosa de esto; mas yo, tras algunos breves intentos en vano, he dejado a un lado su búsqueda provisionalmente, dado que parecía superflua para el objetivo inmediato de mi investigación». Ese objetivo era mostrar cómo esos ceros determinan la distribución de los números primos. Para los manejos de Riemann es mejor usar una variante del logaritmo integral:

el problema del logaritmo en t = 1 se evita usando un tecnicismo habitual (el valor principal de Cauchy) que no hace falta especificar aquí—.

Lo que Riemann mostró es cómo llegar a la función π(x) usando los ceros no triviales de la función zeta. Grosso modo, Riemann introdujo una función auxiliar Π(x) que relacionó, por un lado, con π(x), y, por otro, con los ceros de la función zeta usando la función Li(x). De forma más precisa, por un lado, la función π(x) se obtiene de la Π(x) mediante la fórmula

donde μ(n) es la función de Möbius definida como

—para cada valor de x la serie (8.5) es en realidad una suma finita, pues Π(x) = 0 cuando x está entre 1 y 2—. Por otro lado, la función Π(x) se expresa en términos de los ceros de la función zeta del siguiente modo:

donde ρ son los ceros no triviales de la función zeta de Riemann —ordenados en orden creciente de sus partes reales y agrupando los ceros conjugados—. El símbolo ≈ viene a decir que esa fórmula es casi, pero no exactamente, una igualdad —su diferencia nunca llega a ser mayor que 2, por lo que, para el propósito de este libro, el lector puede pensar que la fórmula anterior es una igualdad—. En las figuras 8.2, 8.3 y 8.4, se puede ver cómo la mezcla de las fórmulas (8.5) y (8.6) permite aproximaciones cada vez mejores a la función π(x) usando los ceros no triviales de la función zeta de Riemann; en la figura 8.2 se ha tenido en cuenta el primer cero de la función zeta, en la 8.3 los diez primeros ceros, y en la 8.4 los cuarenta primeros ceros —compárese con la aproximación de la función Li(x) en la figura 8.1—.

Figuras 8.2, 8.3 y 8.4

Aunque Riemann no demostró el teorema de los números primos, sus dos fórmulas muestran de dónde sale la aproximación de π(x) por Li(x): corresponde a tomar el primer sumando en las fórmulas (8.5) y (8.6). De hecho, el teorema de los números primos equivale a decir que los ceros de la función zeta de Riemann están en el interior de la banda crítica, esto es, su parte real es positiva y estrictamente menor que 1 —ese fue, de hecho, el camino que siguió Hadamard para demostrar el teorema de los números primos—.

Más todavía, según demostró Helge von Koch (1870−1924) en 1901, la hipótesis de Riemann es equivalente a la existencia de una constante C tal que

|π(x) − Li(x)| ≤ √x log x.

Hay razones diversas en favor de la validez de la hipótesis de Riemann.

Algunas son de tipo teórico. A lo largo del siglo XX se ha desarrollado toda una teoría de funciones de Riemann asociadas a variedades algebraicas sobre cuerpos finitos. Para esas funciones de Riemann se ha formulado la correspondiente hipótesis sobre la ubicación de los ceros, que fue finalmente demostrada por Pierre Deligne (1944-) entre 1974 y 1980 —en lo que seguramente es uno de los más extraordinarios resultados matemáticos del siglo XX—. Eso no demuestra que la hipótesis de Riemann sea cierta, pero desde luego la avala —sea lo que sea lo que un «aval» pueda significar en matemáticas—.

Otras evidencias son de tipo numérico. Se han encontrado los primeros miles de millones de ceros de la función zeta, todos los cuales se alinean obedientemente sobre la recta crítica. El cálculo de los primeros ceros de la función zeta se ha encontrado precisamente en documentos manuscritos de Riemann. Sabemos, además, porque Hardy lo demostró en 1914, que la función zeta tiene infinitos ceros en la recta crítica. Demostrar la hipótesis de Riemann fue el mayor objeto de deseo matemático de Hardy. En Año Nuevo de 1920, Hardy le envió una postal a un amigo que incluía los seis deseos que quería realizar ese año. El primero era: «Demostrar la hipótesis de Riemann», el tercero: «Encontrar un argumento que convenza al gran público de que Dios no existe», el quinto: «Ser proclamado primer presidente de la Unión Soviética, Gran Bretaña y Alemania»; su sexto y último deseo: «Matar a Mussolini». Su pasión por la hipótesis de Riemann generó una de las anécdotas más suculentas de la historia de las matemáticas. Justo antes de embarcarse para un viaje a Dinamarca, Hardy envió una postal en la que aseguraba haber demostrado la hipótesis de Riemann. Caso de desaparecer en un hipotético naufragio del barco, su prestigio convencería a sus colegas de que, efectivamente, había resuelto el problema más importante de las matemáticas; pensarían que sólo la mala suerte le había impedido hacer pública una demostración que, con seguridad, se había hundido con él. El barco, afortunadamente, no se hundió. Luego Hardy explicó que todo había sido una treta para tener una travesía tranquila: para evitar que Hardy entrara en el panteón de la fama matemática, Dios, su archienemigo, calmó los vientos y las aguas del mar del Norte, y le obsequió con la más tranquila de las singladuras.

Hay que ser, sin embargo, precavidos con las evidencias de tipo numérico, porque también sabemos que la función zeta es muy esquiva para este tipo de evidencias. Por ejemplo, el gran Gauss había conjeturado que la función Li(x) siempre iba a ser mayor que la π(x); de hecho, con los datos numéricos disponibles hoy día, da la impresión de que eso es así, y que la diferencia Li(x) − π(x) va a ir creciendo progresivamente a infinito. Pero no convendría apostar por eso, porque John Littlewood (1885−1977) demostró en 1914 que, si seguimos contando primos con paciencia, llegará un momento en que π(x) será mayor que Li(x), y que hay infinitas oscilaciones en el tamaño de ambas cantidades. Si algún lector pregunta por cuánta paciencia habrá que tener para ver cómo el número de primos supera a Li(x) por primera vez, la respuesta es que muchísima: hay esperanzas de que eso ocurra en las cercanías de x = 10³⁷⁰, pero vamos a tardar muchísimo tiempo en tener computadoras que permitan hacer esos cálculos.

§ 8.3. El álgebra abstracta

Los distintos avances del álgebra durante el siglo XIX, tanto en la teoría de ecuaciones, como en la teoría de números, en especial en relación con la búsqueda de una demostración para el teorema/conjetura de Fermat, pusieron de manifiesto la existencia de estructuras comunes en muchos de los problemas particulares tratados. Grupos, cuerpos, anillos, espacios vectoriales…, y las correspondientes subestructuras. Todas ellas se definen como propiedades características de una o varias operaciones que se pueden hacer con una familia de objetos. Se fue observando que, aunque esos objetos y la manera en que se opera con ellos fuese muy diferente, había un sustrato de propiedades comunes que se podían abstraer para generar la correspondiente estructura algebraica, de manera que todas las propiedades que se demostraran allí serían automáticamente heredadas por todos los ejemplos particulares de estas estructuras abstractas. Desde finales del siglo XIX, el álgebra empezó a conformarse como la rama de las matemáticas que estudia esas estructuras abstractas.

La de grupo fue la primera estructura algebraica en estudiarse, y en cierta forma, sirve de modelo para explicar cómo funcionó el proceso de abstracción, también en las otras estructuras. Los grupos recibieron su impulso inicial del estudio de grupos de permutaciones que inició Lagrange y continuaron, entre otros, Ruffini, Abel, Cauchy y Galois, buscando, en mayor o menor medida, dar respuesta a la pregunta de cuándo una ecuación polinómica podía ser resuelta por radicales. El estudio fue sistematizado y extendido por Camille Jordán (1838−1922) en los primeros años de la segunda mitad del siglo XIX. Se empezó entonces a disponer de más ejemplos de grupos: los cuaterniones, las matrices con determinante no nulo —estos no conmutativos para la multiplicación—, los grupos de transformaciones que Klein usó para redefinir lo que había que entender por geometría, las congruencias y la composición de formas estudiadas por Gauss en sus Disquisitiones, los grupos continuos introducidos por Sophus Lie (1842-1899) para el estudio de ecuaciones diferenciales —en relación con los cuales Hilbert propuso el problema número 5 de su lista de 23 problemas para el siglo XX, y que fue resuelto en 1952 por Andrew Gleason (1921-2008) y por Deane Montgomery (1909−1992) y Leo Zippin (1905−1995)—…

En ese catálogo los hay finitos, infinitos, conmutativos, no conmutativos, discretos, continuos… Pero tras todos ellos había una operación que atendía al mismo conjunto de propiedades básicas comunes. Sintetizarlas llevó casi medio siglo. Las primeras propuestas se hicieron a mediados del siglo XIX, fueron las de Cayley y Dedekind para grupos finitos; ambas, adelantadas a su tiempo, tuvieron poco eco. Después siguieron L. Kronecker (1823−1891), W. von Dyck (1856−1934), y, ya a principio del siglo XX, E. V. Huntington (1874−1952), E. H. Moore (1862−1932) o L. E. Dickson (1874−1954). Al final del proceso se llegó a la síntesis hoy habitual: un grupo es un conjunto con una operación asociativa, con elemento neutro y en la que cada elemento tiene un inverso.

A la vez que se avanzaba en destilar las propiedades esenciales que definían un grupo, se empezaron a estudiar problemas y obtener resultados válidos en la estructura abstracta que se iba sintetizando. Así, Von Dyck explicitó y estudió el concepto de generadores de un grupo, o Ludwig Sylow (1832−1918) estudió el número y orden de los subgrupos de un grupo finito, por citar sólo dos ejemplos de estos estudios pioneros en la teoría abstracta de grupos.

No puedo acabar esta breve mención a la teoría de grupos sin mencionar el teorema de clasificación de los grupos finitos simples. Los grupos finitos simples son a los grupos finitos como los números primos a los números: podemos formar todos los grupos finitos a partir de ellos. Aunque la clasificación se inició desde el mismo momento en que se empezaron a estudiar los grupos de permutaciones allá por finales del siglo XVIII, podemos reducir la búsqueda explícita de tal clasificación a la segunda mitad del siglo XX. La clasificación se dio por concluida en 2004, tras algún cierre en falso anterior, aunque ha habido alguna corrección menor en 2008. Se puede decir sin exageración que el teorema de clasificación es monstruosamente enorme: en su primera versión, la clasificación es una obra colectiva con contribuciones de cerca de cien matemáticos, compuesta por cientos de artículos diferentes que ocupan decenas de miles de páginas publicadas; es muy posible que ningún matemático las haya leído todas completas. La clasificación requirió del impulso final de Daniel Gorenstein (1923−1992), que en 1972 planteó un ambicioso programa para culminar la clasificación. Gorenstein propuso, a principios de la década de 1990, buscar una prueba de «segunda generación», que permitiera reducir el enorme tamaño de la primera y hacerla accesible a futuras generaciones. Se alió con Richard Lyons (1945-) y Ronald Solomon (1948-) —ellos dos, junto con Michael Aschbacher (1944-) y Stephen Smith (1948-) se consideran los únicos matemáticos que entienden en su totalidad la demostración—. Para 2005 habían publicado seis volúmenes, y suponen que se necesitarán casi otros tantos para completarla; en total unas cinco mil páginas. El problema es que la tarea es lenta, y la edad de los principales implicados, preocupante.

De forma parecida a los grupos, se fueron sintetizando otras estructuras algebraicas. La de cuerpo, a partir de los cuerpos infinitos de números racionales, reales o complejos, a los que se unieron los cuerpos de extensión que aparecieron en el estudio de Gauss de las ecuaciones ciclotómicas o en la teoría de Galois, los cuaterniones, o los cuerpos finitos de congruencias módulo un número primo —todos ellos introducidos en el siglo XIX—, o los cuerpos p-ádicos que introdujo Kurt Hensel (1861−1941) en los albores del siglo XX. La de anillos e ideales, que surgieron a raíz de los problemas de factorización única relacionados con el teorema de Lermat, la de espacios vectoriales y álgebras, ya fueran asociativas o no asociativas —estas últimas ligadas a las transformaciones infinitesimales que Sophus Lie introdujo en el último cuarto del siglo XIX—. La abstracción completa de estas estructuras fue ya un producto del siglo XX. Aparte de originar los problemas propios de estudiar qué propiedades de los ejemplos concretos correspondían a la estructura abstracta, también generaron numerosos problemas que consisten en estudiar la teoría que surge al cambiar una estructura clásica por otra distinta del mismo tipo: por ejemplo, en vez de estudiar matrices con entradas complejas, estudiarlas con entradas en un anillo o cuerpo arbitrario, o teoría de Galois para polinomios con coeficientes en un cuerpo finito.

Para el proceso de abstracción que sufrió el álgebra, y en general todas las ramas de las matemáticas, en la segunda mitad del siglo XIX y en las primeras décadas del XX, tuvo a la vez que desarrollarse un espacio ambiente que permitiera el manejo abstracto de los conceptos. Por ejemplo, para pasar de la estructura particular de un grupo de permutaciones a la estructura abstracta de grupo, hay que poder sustituir una permutación concreta de la familia por un elemento de un conjunto abstracto. Ese lenguaje, que permitió expresar adecuadamente los conceptos en abstracto, se desarrolló en el último tercio del siglo XIX, culminó en los primeros años del XX, y no es otro que la teoría de conjuntos. Se ha convertido en un lugar común de la historia de las matemáticas reconocer a Georg Cantor, de cuya vida y obra di suficientes detalles en la sección § 1.4, como el gran padrino de la parafernalia conjuntista. Sin embargo, la criatura tuvo otro promotor al que se le suelen reconocer mucho menos sus fundamentales contribuciones al nacimiento de la teoría de conjuntos. Se trata de Richard Dedekind, que no por casualidad ayudó también al nacimiento de buena parte de las estructuras abstractas que he comentado en los párrafos anteriores, ya fueran los grupos, cuerpos —el nombre, por cierto, es suyo— y, fundamentalmente, anillos e ideales. Como escribió José Ferreirós en su Labyrinth of Thought, el más completo estudio hecho hasta la fecha sobre el nacimiento de la teoría de conjuntos: «Una parte esencial del enfoque de Dedekind fue el punto de vista conjuntista, que empleó en toda clase de contextos, pero particularmente en su desarrollo de los sistemas de números y en sus investigaciones en álgebra y teoría de números».

Los procesos de abstracción tienen sus peligros. El siguiente párrafo de Morris Kline los describe bien y, aunque se refiere al álgebra, se podría aplicar a casi cualquier otra rama de las matemáticas: «El álgebra abstracta ha terminado por subvertir su propio papel dentro de la matemática. Sus conceptos se formularon para unificar dominios matemáticos aparentemente diversos y completamente separados, tal como hizo, por ejemplo, la teoría de grupos. Una vez formuladas las teorías abstractas, los matemáticos olvidaron los campos concretos originales y concentraron su atención únicamente en las estructuras abstractas. Con la introducción de cientos de conceptos subordinados, la materia se ha desarrollado como los hongos en un desorden de desarrollos menores que tienen poca relación unos con otros y con los campos concretos originales. La unificación ha cedido su lugar a la diversificación y a la especialización». A esto, John von Neumann lo llamaba «procesos de barroquización de las teorías matemáticas», y confesaba que, cuando llegaban a esos extremos, era mejor cambiar de aires.

De todas maneras, quisiera hacer hincapié en que no hay incompatibilidad entre esos procesos de abstracción —antes de barroquizarse— y la brillantez y profundidad de las matemáticas que pueden resultar de ellos. Ni en lo que al conocimiento puro se refiere, ni tampoco en sus aspectos aplicados. Y no hay mejor ejemplo de esto que Emmy Noether (1882−1935), una de las grandes protagonistas del proceso de abstracción del álgebra en las primeras décadas del siglo XX, autora también de un profundo teorema sobre las conexiones íntimas entre las simetrías matemáticas de las leyes físicas y la existencia de cantidades asociadas que permanecen invariantes.

Emmy Noether nació en Erlangen en 1882. Unas décadas antes, había empezado a cambiar en Europa la denegación al estudio universitario que hasta entonces sufrían las mujeres. Desde 1861 les estuvo permitido a las mujeres el acceso a las universidades en Francia, desde 1878 en Inglaterra, desde 1885 en Italia. Alemania tardó algo más; allí había voces especialmente críticas con la igualdad: «Muchos hombres sensatos hablan de rendir nuestras universidades a la invasión de las mujeres, falsificando así el carácter distintivo de estos centros —escribía en la época un eminente historiador—. Esto es una ignominiosa muestra de debilidad moral que sólo responde a las demandas ruidosas de la prensa. Es increíble la debilidad intelectual de semejante posición porque las universidades son mucho más que meras instituciones donde se enseña ciencia y erudición. Está en la propia naturaleza de las universidades pequeñas ofrecer a los estudiantes un ambiente de camaradería de inestimable valor para construir el carácter de un hombre joven».

A pesar de todo, a Emmy Noether le permitieron en 1900 estudiar como oyente en la universidad de su ciudad natal. Aunque no pudo, en principio, examinarse —los responsables de la universidad pensaban que otra cosa rompería el orden académico de la casa—. En ese momento había dos mujeres entre casi mil estudiantes masculinos. Tras pasar un año por Gotinga, Noether volvió a Erlangen en 1904, una vez se permitió a las mujeres examinarse. Tras doctorarse, estuvo allí dando clases, pero sin sueldo.

En 1915, Noether se fue a Gotinga a trabajar con David Hilbert, uno de los pocos defensores de la plena integración de las mujeres en la universidad. Allí y en esos años demostró su teorema sobre simetría e invariancia; y allí pasaron también los años sin que la dejaran enseñar a pesar de los desvelos de Hilbert, a pesar de la lógica aplastante que usaba para defender el derecho de Noether a dar clases: «No veo por qué el sexo de la candidata es un argumento contra su nombramiento como profesora —dijo en cierta ocasión—. Después de todo somos una universidad y no un establecimiento de baños». Mientras Hilbert decía esto, otros catedráticos, justo después de la primera guerra mundial, alegaban: «¿Deben los soldados, que vuelven de la disciplina y las penurias de la guerra, verse ahora en las clases bajo la autoridad de una mujer?». Hasta 1923 no consiguió Emmy Noether un nombramiento como profesora asociada no oficial; y a Richard Courant (1888−1972), a la sazón director del Instituto de Matemáticas, le costó mucha pelea conseguir que Noether pudiera cobrar por su trabajo una paga; era escasa, pero al menos regular.

De esta mujer dijo un célebre matemático francés: «Fue la mejor matemática de su tiempo, y uno de los mejores matemáticos (sin distinción de sexo) del siglo XX»; uno no menos conocido, holandés en este caso y alumno de Noether, escribió: «El que fuera una persona tan excepcional no fue consecuencia exclusiva de su talento matemático excepcional, sino más bien de su creatividad personal vista como un todo, de su forma de pensar y de la fuerza de su determinación»; Einstein la calificó como «el genio creador más importante y significativo que las matemáticas han producido desde que se permitió a las mujeres acceder a la educación superior»; y Hermann Weyl (1885−1955), el más distinguido discípulo de Hilbert, solicitó para ella un mejor puesto al ocupar él una cátedra en Gotinga en 1930: «Me avergonzaba ocupar una posición privilegiada frente a Emmy Noether, porque yo sabía que ella era, como matemático, superior a mí en muchos aspectos. Tradición, prejuicios, consideraciones externas a lo científico, inclinaban la balanza en contra de la grandeza y méritos científicos de Emmy. En mis años en Gotinga (1930-33), ella configuró el centro de actividad matemática más fuerte, tanto si consideramos la fertilidad de su investigación científica como su influencia sobre un amplio círculo de discípulos».

En la Alemania nazi se la acusó de comunista por el simple hecho de que se había ganado la admiración científica de buena parte de la entonces importantísima escuela matemática rusa asentada en Moscú. Su líder, Pavel Alexandrov, dijo de ella: «Emmy Noether fue la más grande de las mujeres matemáticas, creadora de una de las más brillantes escuelas matemáticas de Europa, una gran científica, magnífica profesora y una inolvidable persona. Emmy amó a la gente, a la ciencia y a la vida con todo el fervor, alegría, generosidad y cariño con que un alma profundamente sensible (y femenina) es capaz». La comunidad matemática le reconoció a Emmy Noether sus méritos invitándola a impartir sendas conferencias en los Congresos Internacionales de Bolonia (1928) y Zúrich (1932).

Pero en 1933, un año después de recibir la consideración de los matemáticos en Zúrich, Emmy Noether fue expulsada de Gotinga tras aplicar Hitler las leyes raciales. Decidió tomar el camino del exilio. Sus amigos rusos intentaron crearle un puesto en Moscú, pero las autoridades soviéticas lo denegaron. A través de la Fundación Rockefeller —que ayudó a la ciencia alemana durante los serios problemas económicos que sufrió Alemania tras la primera guerra mundial (casi medio millón de dólares aportó en 1933) y contribuyó en la década de los veinte a la construcción del Instituto de Matemáticas de Gotinga—, Noether consiguió a finales de 1933 un trabajo en la Universidad de Bryn Mawr, un pequeño pueblo de Pensilvania; era un puesto algo precario, pero lo aceptó consciente de que, con cincuenta años y siendo mujer, su situación era harto difícil. Murió en 1935.

Del teorema de Noether se deduce que de la invariancia respecto a traslaciones y rotaciones devienen las leyes de conservación del momento lineal y angular, respectivamente, y de la invariancia respecto al tiempo, la ley de conservación de la energía. El teorema de Noether ha permitido a los físicos agudizar su perspicacia en lo relativo a las fundamentales leyes de conservación. «La idea de que la conservación de la energía es un principio fundamental no surgió hasta mediado el siglo XIX —escribió al respecto el Nobel de Física Frank Wilczek (1951-)—. E, incluso entonces, por qué tendría que cumplirse eso era un completo misterio, hasta el descubrimiento de Noether. Ni siquiera hoy creo que hayamos llegado al fondo del asunto.» Y también: «El teorema de Noether, al conectar las leyes de conservación con simples aspectos cualitativos de la realidad física, ofrece una percepción profunda en el porqué de la existencia de estas leyes. En las fronteras de la física moderna, el teorema de Noether se ha convertido en una herramienta esencial de descubrimiento».

En la década de los sesenta del siglo XX, una parte del proceso de abstracción matemática llegó incluso a la enseñanza primaria. La idea cuajó en Francia por influencia de Nicolás Bourbaki, el colectivo creado en la década de 1930 y al que han pertenecido muchos de los grandes matemáticos franceses del siglo XX; los Bourbaki se propusieron, y en gran medida llevaron a cabo, la reescritura de buena parte de las ramas de las matemáticas como construcciones puramente formalistas desde bases abstractas. Aunque fue la llamada «comisión Lichnerowicz» del gobierno francés —presidida durante siete años por el matemático André Lichnerowicz (1915−1998)— la responsable última de que nociones básicas de teoría de conjuntos y algunas estructuras algebraicas —anillos, grupos, cuerpos— hicieran su aparición estelar en las escuelas de medio mundo. A aquel engendro se le llamó la «matemática moderna». Quien esto escribe la sufrió, y ni tiene buen recuerdo ni buena opinión de lo que supone someter a niños de nueve, diez u once años a esos niveles de abstracción.

Naturalmente, el proceso fue mucho más virulento en los niveles universitarios. He mencionado repetidas veces en este libro la importancia que el valor estético tiene en matemáticas. Recuerdo ahora que, en buena medida, el arte significa la aportación del artista. Pensamos que a la hora de enseñar la ciencia, en general, y las matemáticas en particular, se puede prescindir de los científicos o de los matemáticos, y, de hecho, se suele hacer. Eso me parece una mala idea, porque va en detrimento de la apreciación del valor estético de las matemáticas. Si lo comparamos con la literatura, la pintura y la escultura, la cosa es clara. Queremos leer la Odisea, el Quijote o Cien años de soledad, o los cuentos de terror de Poe, no versiones resumidas o actualizadas o cómo se podrían contar hoy esas historias. Nos interesan los cuadros de Velázquez o las esculturas de Bernini, no copias al gusto moderno de esas obras de arte. Ahora comparemos con lo que ocurre en matemáticas.

Hay muchos resultados matemáticos que, contados en la forma como sus autores los descubrieron son verdaderas joyas artísticas. Y, sin embargo, solemos hurtar esa forma original en que los resultados fueron encontrados para enseñar en clase reescrituras actuales que son, en muchos casos, de dudoso gusto. Nos enfadaríamos mucho si vamos a Egipto, Petra o Chichen Itzá y nos quisieran mostrar reproducciones modernas con aditamentos de acero y cristal, en vez de los edificios construidos por esas civilizaciones —incluso si están en ruinas—. Pero nosotros no tenemos empacho en mutilar los razonamientos de Euler, destrozar buena parte del arte de Arquímedes o modernizar a Gauss. Naturalmente, lo que digo es una cuestión de proporción. Es evidente que no podemos enseñar todo lo que se ha hecho en matemáticas en la forma original en que se hizo; pero de ahí a no enseñar nada en la forma original en que los artistas lo parieron —o manteniendo al menos cierto aroma de época— media un abismo. En cierta forma, podemos culpabilizar al bourbakismo mal entendido, o quizá bien entendido pero mal usado, como casi exclusiva herramienta metodológica para la enseñanza universitaria de las matemáticas, de esa renuncia a mostrar la parte artística de las matemáticas. Se dijo «¡Abajo Euclides!», pero en realidad significó «¡Abajo Euclides y Arquímedes y Newton y Euler y Gauss y etcétera!». No me puedo extender sobre este asunto en esta breve historia de las matemáticas, así que voy a acabar parafraseando el artículo «Chisteras en la playa» de Julio Camba (1882−1962), el gran periodista gallego, para explicar la forma en que yo veo la invasión bourbakista de finales de los sesenta, y haciendo alguna propuesta de cómo se puede mejorar la situación. Con la llegada del bourbakismo a España —que a fin de cuentas fue una corriente francesa—, pasó igual que pasaba cuando, según el capitán Cook, llegaba una chistera a una isla de Polinesia habitada por aborígenes. Contó el capitán Cook que eso le ocurrió en varias ocasiones y en todos los casos los aborígenes se comportaron igual: se acercaban recelosos a la chistera, le daban primero una patada, después la olían, etc., hasta que comprendían que la chistera era un signo de autoridad y un instrumento de mando; y colocándose ese símbolo de poder se iban al poblado a proclamar sus derechos y a exigir la obligada sumisión para la chistera y para sí mismos. Hoy ya nos hemos acostumbrado a la chistera bourbakista, y los que lucen raros son los matemáticos que no la llevan puesta cuando enseñan. A mí me gustaría que la historia de las matemáticas nos sirviera para eliminar la chistera bourbakista, pero yo soy un exagerado. De manera que ya me conformaría con que la historia de las matemáticas sirviera para modernizar la chistera o, al menos, para colocarle una flor que la haga menos rígida y más atractiva.

Capítulo 9

Probabilidad, topología y fundamentos

Entre el siglo XVII y finales del XIX, las matemáticas se enriquecieron no sólo con el mestizaje entre sus diferentes ramas tradicionales, sino también con el añadido de otras nuevas. Aquí trataré muy someramente tres de ellas: probabilidad, topología y lógica matemática.

La probabilidad, el tratamiento matemático del azar, fue desarrollándose progresivamente al hilo del estudio de problemas concretos ligados con juegos de dados y naipes. Luego se empezaron también a considerar otro tipo de problemas de más enjundia e interés social: demografía, salud pública, seguros, loterías, etc. Más que un cuerpo teórico bien estructurado, la probabilidad consistió, hasta su formulación axiomática por Kolmogórov en la tercera década del siglo XX, en una serie de métodos particulares para tratar una diversidad cada vez más amplia de problemas, si bien es cierto que tras esas técnicas iban descubriéndose cada vez más teoremas y conceptos generales.

La topología estudia las invariancias por transformaciones que aplican puntos próximos en puntos próximos. Como tal, permeó numerosas cuestiones analíticas, geométricas o combinatorias: cada vez que un problema tenía que ver cualitativamente con proximidades —sin importar el cómputo cuantitativo de distancias—, allí se escondía un problema topológico. La topología cristalizó en la segunda mitad del siglo XIX; de una parte en la versión combinatoria impulsada por Riemann o Poincaré, y de otra en la conjuntista más ligada al desarrollo del análisis funcional y la teoría de conjuntos.

El descubrimiento de las geometrías no euclídeas, y las paradojas que acosaban a la teoría de conjuntos, hicieron que las matemáticas tuvieran que enfrentar, a finales del siglo XIX, el problema de sus fundamentos lógicos. Las matemáticas, como tales, nacieron ligadas a la idea de demostración, y, en cierta forma, eso es lo que entró en crisis: ¿qué había que entender por una demostración? De los varios enfoques propuestos, el más activo y más influyente fue el formalismo de Hilbert. El programa de Hilbert recibió un serio correctivo con los teoremas de incompletitud de Gödel que, sin embargo, supusieron la mayoría de edad de la lógica matemática como una más de sus ramas.

§ 9.1. Probabilidad

No es raro que la probabilidad genere controversia. Se entiende que la probabilidad es el tratamiento matemático de lo aleatorio, del azar, que, por definición, es casual y fortuito: parece que caemos entonces en la contradicción de pretender anticipar sobre algo que es imposible de predecir; lo cual, según más de uno, demostraría que esta rama de las matemáticas porta en sí misma la semilla de la incongruencia o, cuanto menos, de la discordia. La probabilidad hay que entenderla como una medida de la posibilidad que tiene un hecho de ocurrir. Desde hace al menos un par de siglos atiende a las mismas reglas de inferencia lógica que el resto de las matemáticas, y, cuando sus resultados son establecidos como teoremas, vienen avalados mediante una demostración. La probabilidad es, pues, tan sólida como la geometría. Dicho de otra forma, los teoremas demostrados de la probabilidad tienen la misma certeza que los teoremas demostrados de la geometría de Euclides. Otra cosa es la interpretación de la realidad que podamos inferir usando técnicas probabilísticas; en este caso, cabe aplicarle las exigencias del método científico —contrastar con la realidad—, de igual manera que decidir si la geometría de Euclides corresponde o no con el espacio físico que nos rodea requiere pasar por el filtro experimental.

La probabilidad tiene un pariente todavía más controvertido: la estadística, que según el diccionario es: «La rama de las matemáticas que utiliza grandes conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades». De nuevo, la controversia no la produce la estadística, o sus métodos, sino la interpretación que de sus resultados se quiera hacer. A menudo, además, esas interpretaciones las hacen quienes saben poco o nada de las técnicas estadísticas usadas para manejar los datos; y tampoco es raro que se busque manipular torciendo los datos estadísticos. Esto que digo es bien conocido, y de ahí la cierta mala fama que la estadística ha heredado de los que hacen un mal uso de ella. Estas manipulaciones no son anecdóticas, y van más allá del chapucero uso que de las estadísticas suelen hacer los políticos o los medios de comunicación —graves ya de por sí—; afecta a ámbitos tan sensibles como todo lo relacionado con la salud, desde la medicina preventiva hasta la industria farmacéutica, donde los enormes intereses económicos en juego sienten la tentación de corromper los estrictos controles del método científico. No cabe en una breve historia de las matemáticas ir mucho más allá en estos análisis, por lo que no añadiré más sobre esas controversias, salvo parafrasear la cita de Martín Caparrós con la que concluía el segundo capítulo de este libro: «Pero las estadísticas suelen ser, también, lo sabemos, el refugio de ciertos canallas».

Los primeros libros sobre probabilidad tienen cierto parecido con los primitivos manejos numéricos y algebraicos que los babilonios dejaron escritos en sus tablillas: eran colecciones de problemas, recetas para resolver situaciones relacionadas con juegos de azar —dados, naipes…—, donde los conceptos se manejaban de forma intuitiva y, a veces, errada.

De la vida del inclasificable Gerolamo Cardano ya se dieron detalles por extenso en la sección § 3.2. Fue matemático, médico, filósofo, astrólogo… y también jugador. Escribió, de hecho, el primer libro sobre probabilidades Liber de ludo aleae, que refleja la pasión de Cardano por el juego —y sus trampas—, aunque, según confesión propia: «No fue afición al juego la mía ni ansias de dinero, sino amargura y escapatoria». Cardano manejó el concepto intuitivo de probabilidad como cociente de casos favorables entre casos posibles, aunque cometió algún que otro error al calcular probabilidades de sucesos compuestos, por ejemplo, para la probabilidad de sacar al menos una vez un determinado número en tres tiradas consecutivas de un dado da el valor 1/2 en vez del correcto 91/216.

El libro de Cardano apenas tuvo trascendencia pues, aunque compuesto en 1564, no fue publicado hasta 1663. Para entonces ya había material disponible mucho más interesante que el Liber de ludo alae. Por un lado, estaban las cartas cursadas en 1654 entre Fermat y Pascal, y por otro el librito que publicó Huygens en 1657.

Antoine de Gombaud (1607−1684), chevalier de Méré, fue jugador, matemático aficionado y un cortesano de éxito de Luis XIV, a quien las malas lenguas dijeron que cedió más de una amante. A mediados del siglo XVII le preguntó a su amigo Pascal sobre diversos problemas de juegos de azar, que él mismo había estudiado y sobre cuya solución no estaba muy seguro —era errónea, de hecho—. Los juegos y las cuestiones sobre los que preguntó De Méré debían de ser bastante populares en esos siglos, porque los mismos o similares habían sido tratados con mejor o peor fortuna por Pacioli, Tartaglia o incluso Galileo. Pascal, que en 1654 contaba escasamente treinta años, decidió contrastar sus soluciones con Fermat, dada su mayor sapiencia y fama matemáticas. De una u otra forma, los problemas que discutieron tenían que ver con varios conceptos importantes en probabilidad, como el de sucesos independientes. He aquí uno de los problemas que discutieron y resolvieron acertadamente: si un jugador logra obtener un seis en ocho lanzamientos de un dado, entonces se lleva el total de la apuesta contra la banca, en caso contrario lo pierde todo; supongamos que el jugador haya lanzado tres veces el dado sin obtener ningún seis y, por cierto motivo, haya que interrumpir el juego. ¿Cómo debe repartirse entonces la apuesta entre el jugador y la banca?

Los problemas combinatorios asociados a estas cuestiones probabilísticas llevaron a Pascal a estudiar las propiedades de lo que hoy se conoce como el «triángulo de Pascal», a pesar de que dicho triángulo aritmético se había venido estudiando por matemáticos de muy diversas latitudes —desde China hasta Europa— desde el siglo XI. Para confeccionar el triángulo, empezamos con un uno en la primera fila y vamos añadiendo filas, de manera que un número de una fila es la suma de los dos de la fila anterior entre los que se encaja:

1

11

121

1331

14641

El número situado en el lugar k de la fila n resulta ser el número combinatorio

que cuenta el número de combinaciones de k elementos que se pueden formar con n elementos dados —sin repetir elementos—.

Muy acorde con su espíritu místico —véase la sección § 7.1—, Pascal propuso una explicación probabilística de por qué es mejor creer en Dios que no hacerlo —en el Dios cristiano, naturalmente—. Uno puede actuar como si Dios no existiese o siendo respetuoso con su doctrina; si Dios no existe, cualquiera de esas actitudes produce el mismo rendimiento: ninguno; pero, si Dios existe, la recompensa recibida por actuar de acuerdo a su doctrina sería infinita. Dado que la segunda actitud produce ganancia —infinita, además— y la primera no, creer en Dios y obrar en consecuencia es, según Pascal, la más inteligente de las opciones. Pero, puestos a conseguir la máxima ganancia, a lo que el razonamiento de Pascal incita es a creer en un dios/chollo: esto es, un dios que lo ofrezca todo sin exigir nada a cambio.

La correspondencia entre Pascal y Fermat —que no se conserva completa— circuló de forma restringida —en la forma habitual en que circulaban manuscritos matemáticos durante el siglo XVII—. A su calor, Huygens escribió un pequeño tratado De ratiociniis in aleae ludo, que fue el primer libro publicado (1657) sobre probabilidad, y el más usado durante el siguiente medio siglo. Es una colección de problemas similares a los tratados por Pascal y Fermat y no un estudio teórico sistemático, aunque en las detalladas explicaciones aparecen interesantes consideraciones sobre conceptos probabilísticos importantes, como el de valor esperado.

A lo largo del siglo XVIII, la probabilidad siguió estudiándose y desarrollándose, aunque siempre en relación con cuestiones prácticas y concretas. A los juegos de azar se unieron también otros problemas más interesantes y complejos, y a los que contribuyeron matemáticos de la talla de Jakob y Daniel Bernoulli, de Moivre, D’Alembert o Euler. Se trataron problemas de justicia criminal, estudios de mortalidad, loterías —como forma de recaudación de impuestos para sufragar gastos de guerra—, o medicina. En este último caso destacan los estudios probabilísticos para determinar si era o no preferible usar la variolización para enfrentar la viruela, una de las enfermedades que causaba más mortandad en la época —la variolización fue un antecedente rudo de las vacunas, muy incierto y agresivo—.

Empezaron también a descubrirse teoremas con cierta generalidad, como la ley de los grandes números descubierta por Jakob Bernoulli y que incluyó en su libro Ars Conjectandi —publicado postumamente en 1713—: si repetimos un mismo proceso aleatorio con dos posibles resultados —lanzar una moneda, por ejemplo—, el número de veces que se produce uno de los dos resultados dividido por el de repeticiones convergerá a la probabilidad de dicho resultado, conforme el número de repeticiones tienda a infinito —en términos modernos, esta sería la versión de la ley de los grandes números para la distribución binomial más sencilla, la estudiada por Bernoulli, aunque el teorema es cierto con muchísima más generalidad—. La denominación «ley de los grandes números» se debe a Poisson; Bernoulli bautizó a su teorema con la más pomposa apelación de «teorema áureo». Bernoulli también hizo cálculos sobre el número de repeticiones necesarias para que el error fuera menor que una cierta cantidad dada. En el libro aparecen los hoy llamados números de Bernoulli, que usó para expresar sumas de potencias de números naturales consecutivos como un polinomio del número de sumandos.

Abraham de Moivre (1667−1754), en su libro The doctrine of chances, publicado en 1718, mejoró los cálculos de error de Bernoulli aproximando la distribución binomial por la normal. El libro era, de nuevo, una colección de problemas, en la línea de los ya comentados, pero en su detallada resolución aparecían algunas reglas, patrones y conceptos generales.

Ni Bernoulli, ni De Moivre, trataron las importantes cuestiones relativas a las probabilidades condicionadas o, en otras palabras, la inferencia estadística, que establece cómo calcular la probabilidad de un suceso condicionado a la ocurrencia de otro. El problema fue estudiado por Thomas Bayes (1702−1761), un pastor presbiteriano que escribió un par de libros más o menos relacionados con las matemáticas —los presbiterianos, al igual que los congregacionalistas, baptistas o metodistas, formaban parte de los llamados «inconformistas», porque discrepaban del gobierno y usos de la Iglesia de Inglaterra—. Lo que hoy conocemos como teorema de Bayes, que establece que las probabilidades condicionadas de dos sucesos son proporcionales a las de ambos sucesos, fue encontrado entre los papeles del pastor Bayes y publicado tres años después de su muerte.

En 1812 se publicó Teoría analítica de las probabilidades del marqués de Laplace, que iba a ser la obra que, en gran medida, determinaría el devenir de la probabilidad durante buena parte del siglo XIX.

Laplace vivió todo el convulso período revolucionario francés, así como el ascenso y la caída de Napoleón, y la posterior restauración borbónica, y supo, como pocos, surfear tamaña tempestad histórica, política y social manteniéndose, por así decir, siempre en la cresta de la ola de la influencia político-científica. Miembro desde muy joven de la Académie des Sciences, fue también examinador de matemáticas en varias academias militares, entre ellas la de Artillería de París, en la que Napoleón Bonaparte pasó por sus manos cuando era allí cadete en 1785. Laplace aguantó bien el período revolucionario, implicándose activamente en todas las iniciativas científicas del nuevo régimen, y alcanzó su cima con Napoleón. En 1799, nada más alcanzar el poder, Napoleón nombró a Laplace ministro del Interior, aunque sólo duro seis semanas en el cargo. ¿Por qué tan poco tiempo? Décadas después, Napoleón escribió en sus memorias que Laplace era un político torpe que se perdía en sutilezas cada vez que había que actuar; en sus propias palabras: «Quería llevar el espíritu de los infinitesimales a la administración». Aunque quizá sea más correcto afirmar que Napoleón usó el prestigio de Laplace en su favor: lo nombró inmediatamente después de dar su golpe de Estado, posiblemente para atraerse el favor del influyente sector científico donde Laplace tanto peso tenía, y sabiendo que sólo lo mantendría hasta consolidar su poder, hecho lo cual lo cesó y puso en su lugar a alguien de más confianza: a su hermano Lucien Bonaparte. Napoleón, sin embargo, honró a Laplace nombrándole primero senador, después presidente del Senado —puestos ambos tan bien pagados que lo convirtieron en un hombre rico—, y finalmente conde del Imperio. Laplace, a su vez, incluyó aduladoras dedicatorias a Napoleón, «el pacificador de Europa», tanto en el tercer tomo de su Mecánica celeste (1802) como en su Teoría analítica de las probabilidades —discretamente eliminadas en posteriores ediciones impresas durante la restauración borbónica—. Tras la desastrosa campaña de Rusia, Laplace inició un alejamiento del emperador y un acercamiento a los que trabajaban por la restauración borbónica. Cuando esta se produjo, Laplace fue nombrado marqués. De la relación entre Napoleón y Laplace ha quedado para la historia una anécdota sobre la picardía del primero preguntando y la agudeza del segundo respondiendo: cuando Laplace ofrendó a Napoleón un ejemplar de uno de sus libros de astronomía, este preguntó: «Me han dicho que en este gran libro que habéis escrito sobre el sistema del mundo no se menciona a Dios, su creador», a lo que Laplace respondió: «Sire, no he necesitado de esa hipótesis». Como ocurre con bastantes de las mejores frases de la historia, esta posiblemente sea apócrifa; del encuentro de Laplace con Napoleón, que tuvo lugar en 1802, fue testigo directo William Herschel, el descubridor de Urano, que lo contó en uno de sus diarios, y aunque Laplace y Napoleón discutieron sobre quién había creado el universo —una cadena de causas naturales, que también era responsable de su preservación, según Laplace; eso más la intervención divina, según Napoleón y el propio Herschel—, no parece que Laplace empleara esa brillante frase como respuesta.

No deja de ser algo paradójico que Laplace influyera tanto en el desarrollo de la probabilidad, habiendo sido uno de los grandes campeones del determinismo. En 1814 publicó su Ensayo filosófico sobre las probabilidades, que fue la versión para aficionados de su mucho más profundo y técnico Teoría analítica. Allí dejó escrita de forma explícita su filosofía determinista en una reveladora frase: «Podemos pensar el estado presente del universo como efecto de su pasado y causa de su futuro. Si un intelecto pudiera en cierto momento conocer todas las fuerzas que mantienen a la naturaleza en movimiento y todas las posiciones de los cuerpos que componen la naturaleza, y si ese intelecto fuera suficientemente vasto como para analizar esos datos, podría abarcar en una sola fórmula tanto los movimientos de los más grandes cuerpos del universo como de los más minúsculos átomos; para tal intelecto nada sería incierto y el futuro junto con el pasado se haría presente ante sus ojos». De hacer caso a esta cita, ¿dónde estaría lo azaroso? Según Laplace, lo aleatorio sería una medida de nuestra ignorancia: si supiéramos al detalle la fuerza, dirección y topografía de la mesa sobre la que se arroja un dado, y tuviéramos la habilidad y potencia para resolver las correspondientes ecuaciones, podríamos determinar el resultado de la tirada. Como nada de eso está a nuestro alcance, no nos queda otro remedio que conformarnos con determinar probabilidades. Bajo esa perspectiva, Laplace hizo gran parte de sus estudios sobre probabilidad, que incluyeron aplicaciones al cálculo de parámetros y medidas astronómicas, demografía, teoría de la decisión, seguros, credibilidad de testigos en juicios, determinación de las mareas atmosféricas —fluctuaciones de la presión atmosférica debidas a la acción gravitatoria del Sol y la Luna—, o efectos terapéuticos de versiones mejoradas de la variolización —estudios estos mucho más completos y afinados que los hechos por Daniel Bernoulli o D’Alembert—.

A Laplace y a Gauss se debe la introducción de la distribución normal, con su característica campana de Gauss —De Moivre había mostrado que hay multitud de procesos aleatorios que adoptan la característica forma de campana asociada a la distribución normal, pero no había estudiado esta última—. La distribución normal está asociada a la exponencial

donde μ es el valor esperado asociado al proceso aleatorio —que coincide con el punto donde la campana alcanza su valor máximo—, y σ la varianza, que establece la anchura de la campana y es una medida de dispersión entre los distintos valores obtenidos y el valor esperado. Laplace formuló una primera versión del teorema central del límite, que establece una propiedad de universalidad para la distribución normal: bajo condiciones muy laxas, la distribución normal siempre aparece como límite de la media aritmética de una sucesión de variables aleatorias. En relación con el estudio de la distribución normal, Laplace calculó el valor de la integral

Gauss introdujo la distribución normal como una medida del error cometido al tomar como valor de una cantidad desconocida la media aritmética de varias medidas aproximadas disponibles; lo hizo en el mismo tratado donde explicó el método de mínimos cuadrados —otra herramienta estadística fundamental— que había usado para localizar la órbita de Ceres a partir de las escasas observaciones del astrónomo Piazzi —véase al respecto la sección § 2.3—.

Laplace reconsideró y profundizó buena parte de los estudios sobre probabilidad hechos por sus predecesores, entre ellos la probabilidad condicionada de Bayes y el problema de la aguja de Buffon. Este último es especialmente relevante, pues supuso el primer caso estudiado de probabilidad geométrica —no discreta, por tanto—. El problema lo propuso y resolvió Georges Louis Leclerc (1707−1788), conde de Buffon, más conocido como naturalista y botánico, aunque también tuvo interés por las matemáticas. El problema consiste en calcular la probabilidad de que una aguja de longitud/arrojada sobre una superficie donde haya marcadas líneas paralelas separadas una distancia d corte a alguna de las líneas —pongamos para simplificar que d > l. La solución es 2l/dπ Laplace estudió el mismo problema cambiando líneas paralelas por un retículo de líneas perpendiculares. También señaló que el resultado de Buffon permitía obtener aproximaciones experimentales del número π. En este sentido es famoso el experimento realizado por el matemático Mario Lazzarini en 1901, que logró seis cifras exactas de π para ello usó una aguja de 2,5 centímetros con separación entre las líneas paralelas de 3 cm; hizo con ella 3.408 lanzamientos y en 1.808 ocasiones la aguja cortó a alguna de las líneas paralelas. Esto da para π un valor estadístico de 3,1415929. Sorprendente… quizá demasiado: porque o Lazzarini tuvo mucha suerte o, más probablemente, hizo trampas. En efecto, basta crecer o decrecer en una unidad el número de veces que la aguja toca las líneas paralelas para obtener valores muy pobres de π: 3,1398, 3,1433, respectivamente; además, si uno hace la cuenta con cuidado, resulta que la aproximación estadística que encontró Lazzarini, presuntamente por azar, coincide con la fracción 355/113, que se puede generar a partir de los aproximantes de una fracción continua que converge a π, y que era conocida en Europa desde principios del siglo XVII y en China desde el siglo V de nuestra era.

A lo largo del siglo XIX se hicieron en física algunos descubrimientos y se desarrollaron algunas disciplinas donde la probabilidad empezó a ser una herramienta fundamental. Piénsese en el descubrimiento del movimiento azaroso de unos granos de polen suspendidos en agua, que hoy conocemos como «movimiento browniano» en honor del botánico escocés Robert Brown (1773−1858), que lo descubrió y describió en el segundo cuarto del siglo XIX. O, dentro de la termodinámica, piénsese también en el desarrollo, y los éxitos, de la mecánica estadística —el término lo acuñó J. Gibbs en 1884—, en relación con la cual empezaron a surgir leyes físicas estadísticas, ya fuera la distribución de velocidades moleculares formulada por Maxwell, ya fuera la interpretación probabilística del segundo principio de la termodinámica que ofreció Ludwig Boltzmann (1844−1906) —el iniciador, propiamente dicho, de la mecánica estadística—.

Todo lo cual, de una u otra forma, tenía que ver con la estructura atómica de la materia. Que la materia estaba formada por átomos fue una especulación iniciada por Leucipo en Grecia que tuvo entonces poco recorrido. Poco después de iniciarse la química moderna, John Dalton (1766-1844) propuso a comienzos del siglo XIX una teoría atómica inicialmente naif, que poco a poco fue tomando impulso, especialmente con el descubrimiento de la radiactividad a finales de ese siglo, y con la mejora de la tecnología experimental. Precisamente, Einstein explicó el movimiento browniano, en uno de sus magistrales artículos de 1905, en base a las colisiones microscópicas de las moléculas de agua con la, por comparación, gigantesca partícula de polen. La explicación de Einstein supuso un espaldarazo para la incipiente teoría atómica de la materia: cuando algunos meses después los resultados de Einstein recibieron confirmación experimental, esta se trasladó de inmediato a la realidad física de átomos y moléculas, usados por Einstein como base teórica para sus razonamientos.

La explicación de la estructura del átomo propuesta por el neozelandés Ernest Rutherford (1871−1937) en 1911, junto con la cuantización de la energía y la luz propuestas por Max Planck (1858−1947) y Einstein en 1900 y 1905, respectivamente, sugirieron a Niels Bohr (1885−1962) su modelo atómico. En pocos años todos esos descubrimientos y propuestas cuajaron en lo que se dio en llamar mecánica cuántica; es, junto con las relatividades de Einstein, la más importante teoría física del siglo XX y lo que llevamos del XXI.

La mecánica cuántica es la más revolucionaria de todas las teorías físicas —infinitamente más que las relatividades einstenianas— y, en buena parte es así porque algunos de sus postulados fundamentales no son deterministas sino probabilísticos. Contra la opinión de Laplace, el mundo atómico no es determinista, sino que hay algo profundamente aleatorio en su funcionamiento. Alguien tan revolucionario como Einstein acabó rechazando esa idea de que pudiera haber una insoslayable aleatoriedad e indeterminismo en el corazón de la explicación física de la naturaleza a escala atómica. Einstein no veía a la mecánica cuántica como una teoría errónea sino incompleta. Así lo expuso en 1926: «La mecánica cuántica sin duda resulta imponente. Pero una voz interior me dice que eso no es todavía lo real. La teoría dice mucho, pero en realidad no nos acerca en absoluto a los secretos del Viejo. Sea como fuera, yo estoy convencido de que Dios no juega a los dados». He aquí la cita más célebre de Einstein, ese Dios no juega a los dados… a la que un desesperado Bohr le replicó una vez harto ya de oírsela: «¡Einstein, deje de decirle a Dios lo que tiene que hacer!».

El hecho de que haya algo esencialmente aleatorio en el mundo atómico no quiere decir que no se puedan hacer predicciones. La mecánica cuántica las hace y acierta… ¡y de qué manera!: el catálogo de éxitos y predicciones acertadas de la mecánica cuántica es, con muchísima diferencia, el mayor que haya conseguido una teoría física en la historia de la humanidad. Como se explicó en la sección § 6.2, eso ha propiciado, además, una revolución tecnológica que ha generado y sigue generando profundos cambios sociales. Todo lo cual demuestra que, aunque parezca una contradicción en sus términos, el estudio de lo aleatorio permite predecir y sacar provecho de las predicciones.

En 1933, pocos años después de que Einstein renegara de los dados divinos, el ruso Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903−1987) publicó su libro Fundamentos de la teoría de la probabilidad, donde, haciendo honor al título, expuso cómo construir axiomáticamente la probabilidad dentro de la teoría de la medida y la integración desarrolladas por Borel y Lebesgue unas décadas antes.

§ 9.2. Topología

La topología es una de las ramas más recientes de las matemáticas. Su presencia se detecta en problemas y conceptos matemáticos que fueron surgiendo desde finales del siglo XVII, durante el XVIII y, sobre todo, a lo largo del XIX, hasta que se hizo explícita en las primeras décadas del siglo XX.

La topología es una búsqueda de invariantes, en este caso los que permanecen cuando sometemos un objeto a transformaciones que mantengan próximos los puntos que ya estaban próximos; por lo tanto, estas transformaciones no pueden pegar partes separadas ni producir desgarros de partes unidas. El siguiente ejemplo, vago aunque gráfico, servirá para hacernos una mejor idea; pensemos en un objeto tridimensional hecho de goma muy elástica, la topología estudia qué permanece invariante en ese objeto cuando, aprovechando su elasticidad, lo deformamos, bien estirándolo, bien contrayéndolo, bien retorciéndolo —pero sin rasgarlo—.

Posiblemente fue Leibniz el primero en intuir la importancia que tenía estudiar esas cuestiones, y, de una forma imprecisa, propuso el desarrollo de herramientas para manejar la localización de puntos, en contraste con las coordenadas que atendían más a la cuestión de la situación. Como localización es «situs» en latín, Leibniz llamó a la cosa «análisis situs», pero no fue mucho más allá de ese acto bautismal.

Teniendo en cuenta su génesis, podemos distinguir una topología combinatoria o algebraica, y otra conjuntista.

Hay buenos ejemplos de la primera en dos célebres problemas considerados por Euler: su fórmula que relaciona el número de caras, aristas y vértices de un poliedro, y su resolución del problema de los puentes de Königsberg.

Un poliedro, según el diccionario, es un sólido limitado por caras planas; o sea, el equivalente tridimensional de un polígono. A mediados del siglo XVIII, Euler se propuso clasificar los poliedros: «Mientras que en geometría plana los polígonos se podrían clasificar muy fácilmente según el número de sus lados que, por supuesto, siempre es igual al número de sus vértices —escribió—, en estereometría la clasificación de los poliedros representa un problema mucho más difícil, puesto que el solo número de caras es insuficiente para este fin». Naturalmente, Euler no se arredró ante la dificultad y dio con una elegante fórmula que podría servir para tal clasificación. En todo poliedro, el número de caras más el de vértices menos el de aristas vale siempre dos: C + V − A = 2 —como a menudo ocurre en matemáticas, es muy posible que la fórmula, o al menos una equivalente, fuera antes descubierta por Descartes—. El mérito de Euler no sólo fue dar con la fórmula, sino también introducir los conceptos de arista y vértice —la fórmula establece, de hecho, una relación entre los objetos de distinta dimensión que forman la superficie del poliedro—. Euler comprobó su fórmula para muchísimos poliedros —incluidas algunas familias completas, como pirámides o prismas—, pero no encontró una demostración general y la propuso como conjetura.

Medio siglo después, Cauchy dio la primera demostración de la fórmula de Euler —cuando todavía era un joven ingeniero de veintipocos años y trabajaba en la ampliación del puerto de Cherburgo, que Napoleón quería usar para una eventual invasión de Inglaterra—. Cauchy imaginó que el poliedro era hueco y estaba hecho de goma elástica, marcó con tinta las aristas y los vértices, le recortó una cara, extendió el resto sobre una superficie plana, trianguló sus caras y fue después desmontando los triángulos uno a uno hasta mostrar la veracidad de la fórmula de Euler. Hay que reconocer que la demostración es muy ingeniosa… y topológica: una vez eliminada la cara y dibujada la configuración de aristas y vértices sobre ella, lo esencial de esa configuración permanece al extender lo que queda del poliedro. Obviamente hay cosas que cambian —las aristas dejarán de ser líneas rectas—, pero lo esencial para determinar la fórmula de Euler, la configuración de líneas y vértices, permanece. Ese es el tipo de invariantes que estudia la topología.

Con todo, la demostración de Cauchy tiene lagunas, y dejó insatisfecho a más de uno. Especialmente porque pronto se encontraron contraejemplos a la fórmula de Euler. Piense el lector en un el marco de un cuadro —pongamos que tenga los lados con sección triangular para facilitar el cómputo de caras, aristas y vértices, figura 9.1—.

Figura 9.1

Una simple ojeada nos convencerá de que tiene 12 caras, 24 aristas y 12 vértices, y por lo tanto, la fórmula de Euler falla estrepitosamente, pues para este poliedro C + V − A = 0. Si revisamos la demostración de Cauchy nos damos cuenta de que no vale para este poliedro: si suponemos que el marco es de goma y le recortamos una cara, no puede ser extendido sobre un plano. La prueba de Cauchy vale para los poliedros que, dicho en términos actuales, son topológicamente equivalentes a una esfera, lo que permite que, tras eliminar una cara, puedan ser extendidos sobre un plano. Para ser topológicamente equivalentes a una esfera basta, por ejemplo, con que sean convexos: la recta que une dos puntos cualesquiera del poliedro cae dentro del poliedro.

El marco de un cuadro no es topológicamente equivalente a una esfera, porque tiene un agujero. Es topológicamente equivalente a lo que los matemáticos llamamos un «toro», y el resto de la población un «donut»: todos los poliedros con esa característica topológica verifican C + V − A = 0. A la fórmula C + V − A se la llama «característica de Euler», y es un invariante topológico: es constante para todos los poliedros que son topológicamente equivalentes. Fueron dos ayudantes de Gauss, Johann Listing (1806−1882) y Möbius quienes iniciaron el estudio topológico de los poliedros. A Listing, precisamente, se debe el nombre de «topología» para la nueva disciplina.

En la ciudad de Königsberg, en Prusia oriental, había siete puentes que unían las dos orillas del río Pregel con dos islas y estas entre sí —ver figura 9.2—. Desde siempre, los habitantes de esa ciudad se preguntaban si era posible dar un paseo de manera que cada puente fuera cruzado, pero sólo una vez. Euler resolvió el problema, probando con un inteligente análisis que tal paseo era imposible. Hoy todavía lo es más, porque Königsberg quedó materialmente destruida durante la segunda guerra mundial; de hecho, ya no es una ciudad alemana sino rusa, y se llama Kaliningrado: forma parte de un pequeño rectángulo de terreno —200 ∙ 100 kilómetros— situado entre Lituania y Polonia, y aislado del resto de Rusia.

Figura 9.2

Este problema que parece anecdótico no lo es en absoluto, pues, detrás de la cuestión particular de los puentes, se esconde de nuevo un problema de invariantes topológicos, y toda una subrama de la topología a la que Euler estaba dando vida: la teoría de grafos. En efecto, si imaginamos cada región de tierra, limitada por los distintos brazos del río Pregel, como un punto —vértice o nodo, en la terminología de grafos—, y los puentes que las conectan como las líneas que unen esos puntos —aristas—, obtenemos un grafo. Los grafos se usan para modelizar relaciones entre pares de objetos y tienen múltiples aplicaciones en matemáticas, física —Kirchhoff y Maxwell los usaron profusamente en electricidad—, economía y muchas otras disciplinas.

Parte de los problemas interesantes con grafos son intrínsecamente topológicos, entre ellos, el problema de si un grafo puede ser o no dibujado de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel y sin recorrer dos veces ninguna arista. Esto es lo que Euler resolvió para los puentes de Königsberg, y todos los grafos de ese tipo —conexos, en particular—. La solución de Euler fue: (a) si hay más de dos nodos unidos por un número impar de aristas, el grafo no se puede recorrer en los términos requeridos; (b) si sólo hay dos nodos unidos con un número impar de aristas, el grafo se puede recorrer pero comenzando en uno de tales nodos; y (c) si no hay ningún nodo unido con un número impar de aristas, el grafo se puede recorrer comenzando en cualquier nodo.

Otro célebre problema con trasfondo topológico se planteó a mediados del siglo XIX: ¿cuántos colores hacen falta para colorear un mapa de manera que no haya dos regiones contiguas con el mismo color? No es difícil ver que cinco bastan, y tres no son suficientes; pero, ¿y cuatro? Francis Guthrie (1831−1899) propuso en 1852 la conjetura de que cuatro eran también suficientes. Había nacido el problema de los cuatros colores, que no fue resuelto hasta 1976 por Kenneth Appel (1932-2013) y Wolfgang Haken (1928-). Demostraron que cuatro colores bastan, pero su demostración generó gran controversia: redujeron el problema a la comprobación de lo que ocurría en unos dos mil mapas específicos; ante la imposibilidad de que ese análisis pudiera ser hecho por humanos, elaboraron un programa de ordenador para hacerlo: fue el primer gran teorema cuya demostración requería la ayuda de un ordenador. Muchos consideraron eso inaceptable —¡qué diría Pitágoras si levantara la cabeza!—. Después han aparecido más teoremas con demostraciones donde es esencial el soporte computacional; de manera que hoy son bastantes menos los escépticos, pero todavía sigue habiendo quien desconfía de implicar máquinas en las demostraciones matemáticas.

El impulso definitivo a la topología combinatoria vino de Riemann y sus investigaciones en variable compleja, en particular las relacionadas con superficies de Riemann y funciones abelianas. Grosso modo, Riemann introdujo procedimientos para medir el número de agujeros en una superficie —número después llamado género en geometría algebraica—. El caso n dimensional fue desarrollado por Enrico Betti (1823−1892), que introdujo números similares, después llamados «números de Betti» por Poincaré. El género y los números de Betti son invariantes topológicos.

En la última década del siglo XIX, Poincaré inició un desarrollo sistemático de la topología combinatoria para variedades n-dimensionales —para su primer artículo sobre el tema (1895) eligió el leibniziano título de Analysis situs—. Poincaré extendió los números de Betti, introdujo conceptos nuevos —coeficientes de torsión, grupo fundamental o primer grupo de homotopía— y desarrolló técnicas para manejarlos. Su objetivo era dar con los invariantes topológicos que pudieran caracterizar de manera unívoca una variedad. En 1904, Poincaré propuso una célebre conjetura: toda variedad tridimensional cerrada, orientable y simplemente conexa es homeomorfa a la superficie esférica de dimensión tres —sin entrar en tecnicismos, simplemente «conexa» quiere decir que puedo conectar por un camino cualquier par de puntos de la variedad, y que dados dos cualesquiera de tales caminos puedo deformar uno en otro de manera continua, y homeomorfa que haya una aplicación uno a uno continua y con inversa continua entre la variedad y la superficie esférica—. Se habla de la «conjetura» de Poincaré, aunque sería más acorde con la historia llamarla «pregunta», porque lo que Poincaré propuso fue una pregunta, eludiendo pronunciarse sobre si la respuesta iba a ser positiva o negativa. La razón de la prudencia de Poincaré hay que buscarla en que años antes había formulado varias conjeturas relacionadas para las que él mismo encontró contraejemplos.

La conjetura de Poincaré fue después extendida a cualquier dimensión. En 1960−1961, Stephen Smale (1930-) demostró la conjetura para dimensión mayor o igual que cinco, y le valió la medalla Fields que recibió en 1966; en 1982, Michael Friedman (1951-) la demostró para dimensión cuatro y recibió la medalla Fields en 1986. El caso tridimensional, la conjetura primigenia propuesta por Poincaré, seguía sin respuesta en el año 2000, y el Instituto Clay la eligió como uno de sus problemas del milenio. Fue finalmente resuelta por Grigori Perelman (1966-), y le valió la medalla Fields que debía de haber recogido, pero no recogió, en 2006 en el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid —para más detalles véase la sección § 2.4—.

La topología conjuntista es más reciente. Escribía al principio de esta sección que la topología busca invariantes que permanezcan en transformaciones que lleven puntos próximos en puntos próximos. La topología conjuntista vendría a establecer qué se entiende por puntos próximos. Si pensamos en la recta, el plano, o en objetos más complicados como curvas o superficies, la noción de proximidad es muy intuitiva y tiene que ver con la distancia que separa los puntos, ya sea, por ejemplo, medida en línea recta en el plano o usando geodésicas en una superficie más complicada. La idea de proximidad en conexión con las propiedades de continuidad para funciones, sintetizadas por Bolzano y Cauchy en el primer cuarto del siglo XIX, motivó en las décadas siguientes conceptos con una clara componente topológica, como los de compacidad, puntos de acumulación, puntos frontera, etc.

Conforme las estructuras abstractas fueron desarrollándose a finales del siglo XIX, la noción de proximidad dejó de ser intuitiva. Pensemos, por ejemplo, en el desarrollo de los espacios cuyos puntos son funciones y que dio origen al análisis funcional —véase la sección § 6.4—. Por lo general, la estructura algebraica de esos espacios era vectorial, pero tenía que ser enriquecida con una medida de proximidad, pues su propósito era tratar en ellos problemas de límites y otros asuntos propios del análisis matemático. Inicialmente eso se logró abstrayendo el concepto de distancia —Fréchet, 1906—, lo cual fue suficiente durante unas décadas hasta que empezaron a surgir estructuras más complejas donde la proximidad no podía establecerse con una distancia, como los espacios de distribuciones que introdujo Laurent Schwartz (1915-2002) a finales de la década de los cuarenta, y que le valieron la medalla Fields en 1950. Entre otras muchas utilidades, las distribuciones permiten establecer teoremas de existencia de soluciones débiles de ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales.

Para entonces, la estructura abstracta de espacio topológico ya tenía varias décadas de vida. Fue presentada en sociedad en 1914 por Félix Hausdorff (1868−1942) en su libro Fundamentos de la teoría de conjuntos. Como reza el título, Hausdorff usó el contexto general de la recién creada teoría de conjuntos, y su definición se basó en el concepto de base de entornos que, con ligeras diferencias, es hoy habitual.

No mucho más voy a añadir sobre el desarrollo de la topología conjuntista, pero la filosofía de esta breve historia de las matemáticas me obliga a cerrar esta sección con un perfil biográfico de Hausdorff, dando cuenta, en especial, de las trágicas circunstancias que le tocó vivir en los últimos años de su existencia.

Quizá no haya mejores adjetivos para calificar la mayor parte de la producción matemática de Félix Hausdorff que los que se les suelen aplicar a las ficciones de Jorge Luis Borges (1899−1986): «imaginarias», «paradójicas», «irónicas», «laberínticas».

Con seguridad, la cumbre hausdorffiana de lo laberíntico es su concepto de dimensión. Con él enriqueció el concepto clásico y permitió una mejor clasificación de los objetos de acuerdo a ella —véase lo dicho al final de la sección § 7.5—. Así, los fractales, objetos laberínticos por excelencia, que tan célebres y populares hiciera Benoît Mandelbrot en el último cuarto del siglo XX, se describen precisamente como conjuntos cuya dimensión de Hausdorff no es un número natural.

Hausdorff también consideró el antecedente de lo que hoy en día se ha dado en llamar «cardinales inaccesibles». Estos conjuntos infinitos son entelequias mentales que poseen un inequívoco sentido de lo irónico. La característica que los determina es su inmensidad descomunal; pero ese amorfo gigantismo los hace tan improbables que se ignora si realmente existen. He ahí su ironía: ¡siendo tan enorme su tamaño, nadie hubiera dicho que los ojos de la mente iban a tener tantas dificultades para verlos! Porque la irrealidad de los cardinales inaccesibles persiste incluso cuando se le aplica al término «existencia» la más vaporosa e imprecisa interpretación que los matemáticos hayamos sido capaces de imaginar.

Y no sólo encontramos lo laberíntico o lo irónico en las matemáticas de Hausdorff, también lo contradictorio es protagonista principal. Con seguridad, la cumbre hausdorffiana de lo contradictorio es la descripción que hizo de la descomposición paradójica de una superficie esférica, el origen de la deconstrucción que diez años después harían los polacos S. Banach y Alfred Tarski (1902−1983) de una esfera maciza, y que permite dividirla en trozos —cinco, por ejemplo— y obtener, encajándolos, dos esferas idénticas a la de partida; o dividir un guisante en trozos, convenientemente diseñados, de manera que al reorganizarlos de forma adecuada podemos obtener una esfera maciza del tamaño del Sol. Es la versión matemática de la multiplicación evangélica de los panes y los peces.

Hausdorff nació en Breslavia en 1868, aunque tres años después se mudó con su familia a Leipzig. Allí, y también en Friburgo y en Berlín, estudió matemáticas y astronomía. A pesar de que sus trabajos matemáticos de juventud caen dentro de lo que se entiende por matemáticas aplicadas —a la astronomía y a la óptica, en su caso—, Hausdorff acabó siendo un «matemático puro». Su obra más influyente acaso sea Fundamentos de la teoría de conjuntos: Hausdorff presentó en él sus axiomas para un espacio topológico antes comentados, y por eso el libro se considera el acta fundacional de la topología conjuntista.

Hausdorff tuvo otras inquietudes intelectuales aparte de las matemáticas. De adolescente quiso estudiar música y hacerse compositor y, aunque después su trayectoria profesional siguió otros derroteros, compuso alguna que otra pieza, y fue siempre un consumado pianista.

Bajo el seudónimo de Paul Mongré, Hausdorff escribió poesía, ensayo filosófico y también una obra satírica de teatro. Para que el lector pueda apreciar la poesía de Hausdorff, aquí recojo uno de sus poemas, titulado «Melodía infinita» (Unendliche Melodie; la traducción del alemán es de José Luis Arantegui):

Ir yendo por trémulos planos lento

donde férreo el son del principio dura,

a humo y mundo en danza espiral oscura

desarrollarse el alma en firmamento.

Sin tropiezo el mirar ni impedimento

en ángulo o cara o comisura,

ir yendo por trémulos planos lento

donde el férreo son del principio dura.

De toda singularidad exento,

desligado del hombre, canción pura

un son sin manantial que se murmura,

flotar, pasar sin formas, movimiento,

ir yendo por trémulos planos, lento.

Fue su obra de teatro, sin embargo, la que más éxito alcanzó. Comparte título con un drama de nuestro Calderón, El médico de su honra, aunque el planteamiento de Hausdorff es bastante más satírico y alocado: la obra cuenta la historia de un arquitecto prusiano, un idealista, que habiendo seducido a la mujer de un consejero del Estado tiene que batirse en duelo con él. Pero, llegados el día y la hora fijados, hubo que suspender el lance dado el alarmante estado de embriaguez en que se encontraban ambos contendientes y sus respectivos testigos. A consecuencia del escándalo, el consejero pierde su empleo pero acaba reconciliado con su mujer. La obra se representó en Berlín y Hamburgo y, según las crónicas locales, cosechó una calurosa acogida.

Hausdorff fue profesor en las universidades de Leipzig (1902−1910), Greifswald (1913−1921) y Bonn (1910−1913 y 1921−1935). Se jubiló de esta última en marzo de 1935; tenía, a la sazón, sesenta y siete años, y tal y como él mismo había augurado unos años antes, las cosas en Alemania empezaban a ser diferentes. Si hasta aquí he hablado del matemático, del escritor y del filósofo, toca ahora hacerlo del patriota alemán que Hausdorff siempre consideró que había sido.

Tras las elecciones de primeros de marzo de 1933, Hitler proclamó el Tercer Reich en Alemania y asumió poderes absolutos. Fiel a su discurso antisemita, Hitler no tardó en aprobar las primeras leyes de exclusión étnica. El 1 de abril de 1933 se llamó al boicot contra los negocios judíos. Una semana después, el 7 de abril, se decretó una ley de reforma de la administración pública, que impedía a los judíos trabajar para la administración del Estado; los que hasta ese momento lo hacían fueron despedidos.

Había entonces en las universidades alemanas doscientos profesores de matemáticas, de los cuales 98 eran catedráticos; 35 fueron expulsados, quince de ellos catedráticos. De los expulsados, treinta lo fueron por ser «en mayor o menor grado» judíos. En 1935, la cifra de expulsiones rondaba ya los sesenta. 60 es sólo un número: detrás se esconden sesenta tragedias, sesenta infamias, sesenta personas, sesenta familias, que en no pocas ocasiones acabaron siendo exterminadas.

La ley del 7 de abril tenía, sin embargo, algunas cláusulas de exención: fueron eximidos aquellos judíos que se hubieran significado como patriotas alemanes —era el caso, por ejemplo, de los que habían participado como soldados en la primera guerra mundial—, que podían seguir siendo servidores públicos.

Ese fue el caso de Hausdorff. Nunca ocultó sus orígenes judíos; y no es que abunden en sus escritos las cuestiones religiosas, que no abundan, y cuando las trató hay muchas más páginas sobre religiones orientales que sobre judaísmo o cristianismo. Su esposa, Charlotte Goldschmidt, con quien se casó en 1899 y de la que tuvo una hija, Lenore, se había convertido al luteranismo en su juventud.

A pesar de que Hausdorff pronto vio las garras de la fiera nazi —a principios de 1933 había escrito: «Las cosas serán en el futuro muy diferentes»—, no hizo intentos decididos por abandonar Alemania; tan sólo se sabe de una carta enviada a Richard Courant en 1939 informándose sobre la posibilidad de una plaza de investigador en Nueva York.

Posiblemente, de haber expulsado la Universidad de Bonn a Hausdorff, las cosas habrían sido diferentes para él y su mujer. Pero Hausdorff se consideraba un patriota que, en su juventud, justo después de graduarse, había servido varios años como voluntario en la infantería alemana: allí alcanzó el rango de vice-sargento; así que le fue aplicada la exención de la ley del 7 de abril y siguió siendo catedrático en Bonn hasta su jubilación, por razones de edad, en marzo de 1935.

Su calvario no había hecho más que empezar. En abril de 1941, un colega de Hausdorff escribía sobre él y su mujer: «Las cosas les van a los Hausdorff tolerablemente bien, aunque naturalmente no pueden escapar a las vejaciones y la agitación que levantan los continuos legalismos antisemitas. Los gravámenes fiscales y monetarios que les han impuesto son tan altos que no pueden vivir con su sueldo de jubilado y han tenido que echar mano de sus ahorros, que afortunadamente aún conservaban. Han sido además obligados a ceder una parte de su casa y vive ahora allí demasiada gente. Es ciertamente alentador que todavía algún músico los visite para tocar con Hausdorff: por lo menos eso lleva algo de alegría a su casa».

En octubre de 1941, los Hausdorff fueron obligados a llevar la estrella de David, y hacia finales de año recibieron la noticia de que serían deportados a Colonia: era el paso previo al internamiento en los campos de concentración que Hitler había establecido en Polonia. La amenaza pareció desvanecerse en Año Nuevo, pero sólo para dar paso a una nueva: a mediados de enero se les comunicó que el 29 de ese mes serían internados en un suburbio de Bonn llamado Endenich; era, de nuevo, el paso previo a su internamiento en un campo de exterminio.

Se conserva una carta que Hausdorff escribió el domingo 25 de enero de 1942; en ella escribió: «Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nich!». La frase es un macabro juego de palabras entre «Endenich», un barrio de Bonn, y «ende» y «nicht» que significan «final» y «no»: «Aunque Endenich quizá todavía no sea el final». Siendo Hausdorff músico aficionado, seguro que sabía que en Endenich hubo un manicomio regentado por un tal doctor Richarz —quizá ya no existía en 1942—; un lugar tétrico donde el compositor Robert Schumann (1810−1856) pasó encerrado los dos últimos años de su vida. Un mal augurio, sin duda.

Así que «Aunque Endenich quizá todavía no sea el final» es un retruécano. Uno de los retruécanos más cargados de cruel ironía que se hayan escrito jamás, porque los Hausdorff habían decidido suicidarse: «Para cuando reciba estas líneas —se lee en esa carta del 25 de enero—, habremos resuelto nuestro problema; aunque será de la forma en que usted, incansablemente, ha intentado disuadirnos. Lo que se ha hecho contra los judíos en los últimos meses nos ha sumido en la más absoluta pesadumbre, porque se nos ha colocado ante una coyuntura intolerable. Dele las gracias de todo corazón al señor Mayer, por todo lo que hizo por nosotros pero también por todo lo que, con seguridad, habría hecho; nos maravillamos muy sinceramente con los logros y éxitos de su organización y, de no habernos acometido esta pesadumbre, nos habríamos acogido a sus cuidados; a ciencia cierta nos habrían procurado un sentimiento de relativa seguridad, aunque desafortunadamente no dejaría de ser relativa —Hausdorff tenía razón: este señor Mayer, abogado, murió en Auschwitz—. Si fuera posible, queremos que nuestros cuerpos sean incinerados; le adjunto tres declaraciones con ese propósito. Si no puede ser, que el señor Mayer o el señor Goldschmidt hagan lo que esté en sus manos (que tenga en cuenta que mi mujer y mi cuñada son luteranas). Cuente usted con que se pagará lo que cueste: mi mujer tiene ya pagados los gastos de su sepelio en una fundación protestante (encontrará los documentos en su dormitorio). Lo que todavía falte por pagar, lo aportará mi hija Nora. Perdónenos por causarle problemas incluso después de muertos. Estoy convencido de que hará lo que pueda, que quizá no sea mucho. ¡Perdone nuestra deserción! Le deseamos a usted y a todos nuestros amigos un futuro mejor».

Hausdorff mostró en esa carta, escrita horas antes de suicidarse, una presencia de ánimo ciertamente sobrecogedora. Hausdorff había escrito sobre el suicidio alguna que otra vez, y acaso esas reflexiones le sirvieran para afrontar el suyo, aunque quién es capaz de decir lo que servirá o no servirá cuando le llegue la hora. Hausdorff había publicado en 1899 un ensayo titulado Muerte y regreso, muy influido por el pensamiento niestzcheano sobre «la muerte libre». En esa carta de despedida que escribió Hausdorff la mañana de su muerte no dejan de resonar con fuerza las consignas de Zaratustra. «¡Muere a tiempo!», parecen gritarnos las frases de Hausdorff, como si nos quisiera enseñar con la dignidad de su conducta que «aquel que se realiza de manera completa muere su muerte victoriosamente». Hausdorff ya no estaba dispuesto a «colgar coronas marchitas en el santuario de la vida», de manera que eligió «la muerte libre, que viene a mí porque yo quiero».

La misma tarde en que escribió esa carta, Hausdorff, su esposa Charlotte y la hermana de esta, Edith, tomaron una sobredosis de veronal. Parece que sus deseos se pudieron cumplir, porque sus restos fueron incinerados y las cenizas depositadas en el cementerio de Poppelsdorf.

§ 9.3. Fundamentos

El cambio del siglo XIX al XX fue algo tumultuoso para las matemáticas. La ciencia en general vivió una época ciertamente revolucionaria que comenzó unas décadas antes con el advenimiento de la teoría de la evolución de Darwin y, ya en el siglo XX, siguió con las teorías de la relatividad de Einstein y la mecánica cuántica.

El alboroto en matemáticas tenía que ver con sus fundamentos. Como expliqué en la sección § 1.1, las matemáticas en el sentido que hoy las entendemos nacieron asociadas a la idea de «demostración», y esta se sustenta en la solidez de los razonamientos lógicos. Quien haya leído los capítulos anteriores de este libro, habrá podido comprobar que el respeto por demostrar los resultados matemáticos ha sufrido altibajos a lo largo de la historia, aunque volvió a resurgir con mucha fuerza conforme se iba desarrollando el siglo XIX.

En la segunda mitad del siglo XIX, además, el papel de la intuición en el razonamiento matemático sufrió un serio correctivo. Por un lado, con el surgimiento de las geometrías no euclídeas; se vio entonces que la intuición podía jugar malas pasadas, pues las geometrías no euclídeas, a pesar de ser lógicamente tan válidas como la euclídea, no lo parecían intuitivamente. A esto se unió el catálogo desconcertante de funciones que analistas y geómetras empezaron a construir casi por la misma época. Weierstrass, por ejemplo, presentó en 1872 una función continua que no es derivable en ningún punto: un monstruo que muchos pensaban que no podía existir: «Hasta muy recientemente —escribió Weierstrass—, era generalmente creído que una función continua de una variable real siempre tenía una derivada cuyos valores podían ser indeterminados o infinitamente grandes sólo en puntos aislados. Incluso en cartas de Gauss, Cauchy y Dirichlet, no he podido descubrir evidencias irrefutables de que estos matemáticos expresaran una opinión diferente». Y Giuseppe Peano, por poner otro ejemplo, construyó en 1890 una curva continua que llenaba todo un cuadrado. Todo lo cual contribuyó a la sensación de crisis de fundamentos, y a la discusión sobre qué había que entender por una demostración matemática que se inició coincidiendo con el cambio del siglo XIX al XX.

Al conocer esos ejemplos, y otros similares, Poincaré, como si fuera uno de esos terribles profetas que pueblan el Antiguo Testamento, clamó: «En tiempos pasados, cuando alguien inventaba una función era para un propósito práctico; hoy uno las inventa a propósito para mostrar los defectos en el razonamiento de nuestros padres y para deducir de ellas sólo ese error». En este caso, el gran Poincaré se equivocó, pues esos monstruos que son las funciones continuas sin derivada han acabado teniendo más de una utilidad práctica. Es imposible dibujar la gráfica de una de esas funciones, pero uno se la imagina con tantos cambios de dirección, con tantos picos arriba y abajo, con tantas rupturas de un comportamiento suave, como para imposibilitar la existencia de recta tangente —y por tanto la existencia de derivada— en cualquier punto. Sin embargo, el movimiento browniano —comentado al final de la sección § 9.1— necesita de este tipo de funciones continuas sin derivada para su modelización. Y, hoy en día, gráficas de ese tipo se pueden «ver» en la sección de economía de cualquier periódico: son las que ilustran los cambios en los valores de los mercados bursátiles a lo largo del tiempo. En general, no es raro que funciones continuas sin derivada aparezcan en los llamados «procesos estocásticos» —que vienen a modelizar problemas como el del movimiento browniano o el de la evolución de valores bursátiles—. De hecho, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Madrid en 2006 se concedió por primera vez la medalla Gauss, que premia las aplicaciones de las matemáticas. El primer galardonado fue el, por entonces, nonagenario matemático japonés Kiyoshi Itô (1915-2008): las sofisticadas matemáticas que Itô desarrolló en la década de los cuarenta del siglo XX para estudiar los procesos estocásticos son hoy herramienta imprescindible para predecir la evolución de los activos en los mercados financieros, o la de los genes dominantes en una población, entre otras aplicaciones de importancia tecnológica o económica que acabarán afectando a la vida diaria de las personas.

Pero volvamos a la cuestión de los fundamentos de las matemáticas. A lo largo del siglo XIX se hizo un ingente esfuerzo por dar fundamentos sólidos a todas las ramas de las matemáticas. Según se vio, se empezó por el análisis infinitesimal, muy cuestionado desde su creación por estar basado en algo tan fantasmal como los infinitésimos. Pero, pasado el ecuador del siglo, se abrió el problema de la geometría, porque el descubrimiento de que había geometrías lógicamente coherentes que no cumplían el axioma de las paralelas de Euclides generó algunas dudas sobre esa disciplina que había sido siempre el modelo del rigor —lo que llevó, además, a cuestionar el papel de la intuición en matemáticas—.

De manera que el modelo de rigor pasó, en primer lugar, de la geometría a la aritmética —o sea, a los aparentemente inofensivos números naturales 0, 1, 2, 3… y sus propiedades—; y, finalmente, a la teoría de conjuntos, que surgió de los trabajos de Cantor para domar al infinito —tal y como se narró en la sección § 1.4—, y una vez se fue viendo que puede servir de espacio ambiente para desarrollar todas las matemáticas. Pero la teoría de conjuntos tampoco estaba exenta de amenazas, como la paradoja de Russell y otras similares ponían de manifiesto.

Para superar esa crisis de fundamentos, se hicieron tres propuestas: el logicismo, el intuicionismo y el formalismo.

Los lógicos trataron de mostrar la certeza de las matemáticas convirtiéndolas en una parte de la lógica; a eso se le llamó «logicismo». El alemán Gottiob Frege (1848−1925) fue el primer gran abanderado de este movimiento, y dedicó veinte años de esfuerzos buscando un desarrollo logicista de las matemáticas. Veinte años que acabaron dramáticamente cuando Bertrand Russell le envió su célebre paradoja del conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismo. Russell la encontró en 1901: ¿pertenece a sí mismo el conjunto formado por aquellos conjuntos que no pertenecen a sí mismos? Si pertenece a sí mismo, contradice que ese conjunto esté formado por los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, pero si no pertenece a sí mismo entonces tendría que pertenecer a sí mismo por definición.

Para junio de 1902, cuando Frege estaba revisando el manuscrito de lo que iba a ser el segundo tomo de su monumental obra, recibió la carta de Russell con la paradoja: una paradoja que demolía los cimientos de su trabajo. «Un científico —escribió Frege en un apéndice que añadió al libro— apenas puede encontrarse con algo más indeseable que el ver derrumbarse los fundamentos de su obra precisamente cuando esta ha sido acabada. Yo he sido puesto en esta situación por una carta de Bertrand Russell.»

Según Russell, Frege asimiló el golpe con deportividad: «Cuando pienso en actos de gracia e integridad, me doy cuenta de que no conozco ninguno comparable con la dedicación de Frege a la verdad. Estaba Frege dando cima a la obra de toda su vida, la mayor parte de su trabajo había sido ignorado en beneficio de hombres infinitamente menos competentes que él, su segundo volumen estaba a punto de ser publicado, y, al darse cuenta de que su supuesto fundamental era erróneo, reaccionó con placer intelectual, reprimiendo todo sentimiento de decepción personal. Era algo casi sobrehumano y un índice de aquello de lo que los hombres son capaces cuando están dedicados al trabajo creador y al conocimiento, y no al crudo afán de dominar y hacerse famosos». Claro que esto lo escribió Russell más de medio siglo después de haberle enviado la paradoja a Frege, y para entonces quizá no recordaba bien la amargura que supuso para Frege aquella carta.

Russell y su colega Alfred North Whitehead (1861−1947) tomaron el relevo a Frege y compusieron la obra cumbre del logicismo: los Principia Mathematica (1910−1913). Pero la pureza lógica de los Principia fue muy cuestionada desde el inicio, y no digamos con el paso del tiempo: el mismísimo Russell llegó a reconocer que, para evitar paradojas y antinomias, usó principios tan complicados y poco lógicos como el infinito de Cantor.

El intuicionismo, que tuvo su apóstol en el holandés Luitzen Brouwer (1881−1966), fue otra alternativa para garantizar la solidez lógica de las matemáticas. Esta es una corriente muy conservadora que aborrece del infinito y establece que, para considerar una propiedad verdadera o falsa, tiene que mostrarse un método que en un número finito de pasos sea capaz de discriminar entre esas alternativas. Quedan descartadas las pruebas por reducción al absurdo y otras formas indirectas de demostración. Lo que quiere decir que toda esa parte de las matemáticas no es admisible para los intuicionistas. También quedaban descartadas las pruebas de existencia no constructivas —como, por ejemplo, la de Hilbert para su célebre teorema de la base—.

Eso era algo que muchos matemáticos no estaban dispuestos a consentir. Uno de ellos fue David Hilbert, que propuso la alternativa más importante al logicismo y al intuicionismo; a su propuesta la llamó programa formalista, y está basado en los sistemas formales axiomatizados. A pesar de los varapalos que recibió con los teoremas de incompletitud de Gödel, sigue siendo hoy en día, con mucho, la corriente mayoritaria en matemáticas.

Hilbert fue uno de los más grandes matemáticos de la primera mitad del siglo XX y, sin duda, el más influyente. En buena medida se debe a él que la Universidad alemana de Gotinga, donde se incorporó como profesor en 1895, se convirtiera en el centro matemático más prestigioso del mundo, hasta que la subida al poder de Hitler en 1933 y la subsiguiente persecución de los judíos derrumbara, en apenas unos meses, lo que tanto esfuerzo costó levantar.

Dentro de la amplísima tipología matemática, Hilbert cae entre los prematuramente calvos, danzarines y mujeriegos. Lo suficiente como para que, con ocasión de su cincuenta aniversario, algunos de sus alumnos le pudieran componer un «alfabeto del amor» donde cada letra tenía un verso que describía a una amante de Hilbert cuyo nombre empezaba por ella; la mujer de Hilbert, Kathé de nombre, agradeció sobremanera el detalle de que el verso correspondiente a la letra K le estuviera dedicado —probablemente ignoraba que no había otra alternativa—. El verso, algo ripioso, dice así:

Demos gracias a Dios porque Kathe, su esposa,

no tomara con Hilbert una actitud belicosa.

El prestigio e influencia de Hilbert se cimentó en 1900, cuando le ofrecieron impartir una conferencia en el segundo Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París. Después de mucho pensarlo, se decidió por hacer una conferencia absolutamente fuera de lo habitual: en vez de centrarse en alguna o algunas de sus propias contribuciones, optó por ofrecer una visión general de las matemáticas concretada en una lista con los 23 problemas que Hilbert creía más relevantes. «Sobre el futuro de las matemáticas» fue el título que eligió para la conferencia; su comienzo bien podría servir como primera línea de una gran novela: «¿Quién de nosotros no se alegraría de levantar el velo tras el que se oculta el futuro?». Y siguió con igual sutileza y tempo literario: «¿De echar una mirada a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos futuros? ¿Cuáles serán los objetivos concretos por los que se esforzarán las mejores mentes matemáticas de las generaciones venideras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos descubrirán las nuevas centurias en el amplio y rico campo del pensamiento matemático?».

Tiene mucho mérito que un joven de treinta y ocho años, como en 1900 tenía Hilbert, se atreviera a lanzar a la comunidad matemática los 23 problemas que, según él, había que aprestarse a resolver —y de bastantes de los cuales he ido dando noticia por aquí y por allí, en los capítulos anteriores—. Y todavía más mérito lograr que la comunidad siguiera después el camino que su reto marcaba, porque esa lista siguió influyendo en las matemáticas durante todo el siglo XX. «Lo que Hilbert presentó en 1900 no consiste simplemente en una serie de problemas buenos y difíciles —explicó Jeremy Gray en El reto de Hilbert—. Contiene una serie de argumentos, engarzados como las cuentas de un collar, acerca de por qué uno debería ocuparse, y por qué tendría que hacer un trabajo importante si quiere hacer progresos reales en cualquiera de ellos».

Hilbert fue un pacifista toda su vida. Lo fue durante la primera guerra mundial, cuando, como Einstein, rehusó firmar en 1914 la declaración de 93 intelectuales alemanes dirigida «Al mundo civilizado». Hilbert, además, había publicado en 1917 un obituario del matemático Gastón Darboux (1842-1917); en mitad de la contienda eso era todo un desafío porque Darboux, además de gran geómetra, era también francés. Hilbert tuvo que aguantar una manifestación de alumnos universitarios a las puertas de su casa exigiendo que se destruyeran los ejemplares con el obituario dedicado al «matemático enemigo»; pero Hilbert no se arredró, y exigió al rector una disculpa pública de la universidad so pena de renunciar a su puesto en ella. La disculpa fue inmediatamente formulada.

Hilbert fue también uno de los más fieles defensores del internacionalismo matemático, y cuando, tras el fin de la primera guerra mundial, la ciencia alemana sufrió un severo boicot por parte de los vencedores, Hilbert luchó ferozmente contra él. La comunidad matemática se lo reconoció y supo escenificar la reunificación en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Bolonia en 1928: «Con mucho esfuerzo —afirmó el presidente del congreso en la ceremonia inaugural—, el Comité Organizador perseveró para llevar paz al espíritu de las gentes, reconciliación a las naciones que la guerra enfrentó, y para restablecer las relaciones colegiales que han caracterizado a los matemáticos en los congresos de antes de la guerra»; y, casi a la vez que estas palabras se pronunciaban, entraron en la sede del congreso las delegaciones alemana, austríaca, búlgara y húngara. A la cabeza de todos ellos caminaba el ya sexagenario David Hilbert. «Durante unos minutos no se oyó un ruido en la sala —escribió Constance Reid en la biografía de Hilbert—. Entonces, espontáneamente, todos los presentes se levantaron y aplaudieron.» Hilbert tomó la palabra y dijo: «Las matemáticas no saben de razas y no conocen más patria que el mundo de la cultura».

Hilbert fue fiel a esa máxima a lo largo de toda su vida y, de hecho, no había permitido que ningún prejuicio, ya fuera nacionalista, racial o sexual, le afectara a la hora de seleccionar alumnos o colaboradores —véase la sección § 8.3 donde se dieron detalles de su postura sobre la contratación de Emmy Noether en Gotinga—. Por eso tuvo que ser terrible para él ver cómo las leyes racistas de Hitler llevaron en tan sólo unos meses al Instituto Matemático de Gotinga de ser el centro matemático más prestigioso del mundo a no ser prácticamente nada. «Cuando yo era joven —comentó Hilbert, que tenía entonces setenta y un años de edad—, decidí que nunca repetiría lo que había oído decir a tanta gente mayor: “aquellos eran buenos tiempos y no estos de ahora”. Decidí que nunca jamás diría eso cuando fuera viejo. Pero, ahora, no queda otro remedio que decirlo.»

Volvamos a la propuesta de Hilbert para fundamentar las matemáticas. Como dije antes, se basaba en los sistemas formales axiomatizados. En un sistema formal tenemos en primer lugar un conjunto de signos primitivos —tales como ∀, ∃, ∈, ≤, x, y, 0, 1, 2 …—; en segundo lugar, ciertas reglas combinatorias que determinan qué hileras de símbolos son fórmulas; en tercer lugar, unas fórmulas especiales, los axiomas; y, finalmente, unas reglas de inferencia que determinan cuándo una fórmula se deduce de otras. Partiendo de los axiomas, las demás fórmulas que se obtengan aplicando esas reglas de inferencia serán los teoremas.

Imaginemos ahora que tenemos un dominio de objetos que queremos estudiar; por ejemplo los conjuntos, o los números, o los puntos y las rectas del espacio. A ese dominio de objetos se le asocia un sistema formal. Para ello tenemos que establecer, en primer lugar, una interpretación de las fórmulas por la cual estas, que están en principio vacías de significado, se conviertan en propiedades susceptibles de ser verificadas por los objetos de nuestro dominio. En segundo lugar, tenemos que elegir los axiomas de ese sistema formal de manera que al interpretarlos correspondan con las propiedades básicas que describen la esencia de nuestro dominio de objetos. A partir de la manipulación de los axiomas mediante las reglas combinatorias y lógicas del sistema formal se obtienen los teoremas, que corresponden, una vez interpretados, con las propiedades válidas que verifican nuestros objetos.

Con esta concepción, la matemática propiamente dicha —en singular— consistiría en la manipulación de las ristras de símbolos y fórmulas; a la interpretación ulterior de esas expresiones formales se le dio el nombre de «metamatemática». Así las cosas, la matemática tendría esencialmente que ver con la sintaxis y la metamatemática con la semántica.

Este planteamiento formal garantiza la certeza de la deducción que va de los axiomas a los teoremas. Pero deja pendientes dos asuntos importantes. El primero es el de la consistencia de los axiomas, esto es, queremos tener la garantía de que con un mismo sistema de axiomas no podemos probar una propiedad y su contraria. Y, el segundo, el de su completitud; queremos que a cada propiedad válida en nuestro sistema de objetos le corresponda un teorema, o sea una fórmula deducible a partir de los axiomas.

En cierta forma, los sistemas formales significan una relativa desplatonización de las matemáticas. Qué tipo de existencia quepa atribuirle al sistema de objetos primitivo que queremos formalizar es una cuestión menor, dado que los teoremas, el objeto de deseo de los matemáticos, tienen ahora una existencia real como fórmulas demostradas en el sistema formal. De hecho, el propio nombre que acuñara Pitágoras, «matemática», queda reservado para las manipulaciones que hacemos en los sistemas formales.

Con su programa formalista, Hilbert pretendía, en primer lugar, construir sistemas de axiomas para las distintas teorías matemáticas —y algunas de la física—. Y, en segundo lugar, probar su consistencia y completitud.

Hilbert fue un entusiasta de la teoría de conjuntos que Cantor había creado con sus estudios sobre el infinito. En 1925, la llegó a describir en términos cuasi bíblicos: «La teoría de conjuntos es un paraíso para matemáticos del que nadie nos logrará echar jamás». Pero en esta historia hay también un ángel con una espada de fuego. Ese ángel se llamó Kurt Gödel.

Hilbert animó a formular un sistema de axiomas que permitiera el desarrollo formalizado de la teoría de conjuntos. Ese sistema de axiomas se creó en vida de Cantor. El sistema lo formuló Ernst Zermelo (1871−1953) en 1908 —desde 1899 estaba en Gotinga con Hilbert—, y lo pulió ligeramente Abraham Fraenkel en 1922 —y luego Von Neumann tres años después—; ese conjunto de axiomas se conoce hoy con el nombre de «axiomática de Zermelo-Fraenkel». Uno de esos axiomas postula, por ejemplo, la existencia de un conjunto infinito. Con los axiomas se pretendía cribar las paradojas del tipo de la Russell y otras cuantas que surgieron durante el cambio del siglo XIX al XX. El mismo Cantor había descubierto una que le contó por carta a Hilbert pero, como comenté en la sección § 1.4, a Cantor nunca le preocuparon esas paradojas porque siempre tuvo la convicción de que no afectaban al tipo de conjuntos e infinitos que él estudió, sino a esas entidades excesivas y monstruosamente enormes emparentadas con lo absoluto, esa cosa que según Cantor podemos reconocer pero no conocer.

Así que, aunque hacia 1930 el primer punto del programa de Hilbert se había esencialmente cumplido, quedaba todavía pendiente el asunto de la consistencia y la completitud, y, para hacerse una idea de la importancia que daba Hilbert a esa cuestión, baste decir que era el segundo de la célebre lista de 23 problemas que presentó en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en París en 1900: «Demostrar que no son contradictorios, es decir, que un número finito de pasos lógicos basados en unos axiomas nunca pueden llevar a resultados contradictorios».

Sobre que los matemáticos iban a ser capaces de demostrarlo, a Hilbert no le cabía ninguna duda y, de hecho, había acuñado una fantástica frase que mostraba su confianza absoluta en la capacidad de conocimiento del ser humano: «Debemos saber, sabremos». Esa frase la pronunció Hilbert cuando le nombraron ciudadano honorario de Königsberg, su ciudad natal.

Eso fue en 1930, el año en que Hilbert, tras cumplir sesenta y ocho años, se jubiló. En el discurso de agradecimiento, Hilbert defendió la idea de que no hay problemas irresolubles en ciencia: «En un esfuerzo por dar un ejemplo de problema irresoluble —aseguró Hilbert—, el filósofo Comte dijo una vez que la ciencia nunca descubriría el secreto de la composición química de los cuerpos del universo. Unos pocos años después el problema fue resuelto. A mi modo de ver, la verdadera razón por la que Comte no pudo encontrar un problema irresoluble es que tal cosa no existe». Entonces fue cuando afirmó: «Debemos saber, sabremos».

Después Hilbert se fue a la radio local, pues se había acordado que allí repetiría para toda la ciudad la parte final de su disertación. Ante el micrófono en la soledad del estudio, pero con idéntica intensidad a la empleada momentos antes al calor de los congregados en la sala de conferencias, Hilbert declamó otra vez la última frase de su discurso: «Debemos saber, sabremos». Y después sonrió. Todavía se conserva una grabación con sus palabras y, según Constance Reid, la biógrafa de Hilbert: «Si uno escucha muy cuidadosamente se puede oír al final la risa de Hilbert». Esa grabación se pudo escuchar en el acto celebrado el año 2000, en el que el Instituto Clay propuso sus siete problemas del milenio.

«Debemos saber, sabremos»: pocas frases sobre las matemáticas han sido tan inoportunas. Hilbert pronunció su frase el 8 de septiembre de 1930 en Königsberg. Durante los tres días anteriores se había celebrado, precisamente en Königsberg, un congreso sobre epistemología de las ciencias exactas; el día 6 —a las tres de la tarde para ser precisos—, el joven lógico austríaco Kurt Gödel, de veinticuatro años, había intervenido durante veinte minutos para comunicar un par de resultados que había obtenido en los meses anteriores, y al día siguiente en una mesa redonda afirmó: «Puedo dar ejemplos de proposiciones aritméticas verdaderas pero indemostrables en el sistema formal de las matemáticas clásicas». A pesar de su importancia, la frase pasó desapercibida para casi todos los asistentes, excepción hecha de Von Neumann, que quedó muy impresionado con lo que aquel joven de veinticuatro años dijo que podía hacer; a partir de entonces fue uno de sus más fervientes admiradores. En 1931, Gödel publicó sus resultados de incompletitud bajo el título «Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y otros sistemas afines». Es, sin duda, el artículo más famoso jamás publicado sobre lógica matemática, y bien puede ser también considerado el inicio de esa área dentro de las matemáticas.

Lo que Gödel fue a explicar a Königsberg significaba la imposibilidad de culminar el programa formalista de Hilbert y suponía un golpe de muerte a esa frase tan hermosa, «Debemos saber, sabremos», que Hilbert pronunció en la misma ciudad y casi el mismo día.

En primer lugar, Gödel demostró que los sistemas formales axiomatizados, a poco que sean suficientemente interesantes, como por ejemplo los Principia Mathematica de Russell y Whitehead, o los de la teoría de conjuntos, son necesariamente incompletos, es decir, habrá fórmulas que, siendo propiedades verdaderas en los dominios que esos axiomas formalizan, no serán teoremas de ese sistema formal. O sea, partiendo de un grupo de axiomas, la corrección sintáctica no nos permitirá alcanzar todas las verdades posibles. Y sin posibilidad de arreglo: el problema no se resuelve añadiendo más axiomas, porque, se añadan los que se añadan, seguirá habiendo propiedades verdades indemostrables en el sistema formal. En segundo lugar, caso de que el sistema sea consistente —no dé lugar a contradicciones—, su consistencia será precisamente una de esas verdades indemostrables.

Todavía hoy se discute sobre lo que esos resultados de Gödel puedan significar sobre la capacidad de la mente humana para conocer o discernir. Y, también, sobre si cabe deducir de ellos la imposibilidad de construir un computador que iguale a la mente humana. El software del ordenador reproduce en sus esquemas un sistema formal: manipula signos de los que desconoce el significado siguiendo ciertas reglas estrictas; es pura sintaxis, pura forma sin contenido. Los teoremas de Gödel muestran que el sistema formal implícito en un ordenador tendrá zonas que, aun siendo ciertas, será incapaz de alcanzar, por rápido que sea manipulando signos y símbolos.

«Las conclusiones de Gödel conducen a la cuestión de si podría construirse una máquina calculadora que llegara a equipararse en inteligencia matemática al cerebro humano —escribieron Ernest Nagel y James Newman—. Las calculadoras actuales poseen en su interior un conjunto de directivas o instrucciones; estas instrucciones corresponden a las reglas fijas de deducción del procedimiento axiomático formalizado. Las máquinas contestan, pues, a los problemas, operando por pasos medidos, cada uno de los cuales se halla controlado por las directivas introducidas en ellas. Pero, como demostró Gödel en su teorema de la ausencia de completitud, existen muchos problemas de la teoría elemental de los números que caen fuera del ámbito de un método axiomático fijo, y que tales máquinas son incapaces de resolver por intrincados e ingeniosos que puedan ser sus mecanismos, y por rápidas que sean sus operaciones. Dado un determinado problema, podría construirse una máquina de este tipo que lo resolviese; pero no puede construirse una máquina que resuelva todos los problemas. El cerebro humano puede, indudablemente, hallarse afectado de limitaciones inherentes al mismo, y pueden darse problemas matemáticos que sea incapaz de resolver. Pero, aun así, el cerebro parece incorporar una estructura de reglas de operación mucho más poderosa que la estructura de las máquinas artificiales. No hay nada que permita suponer una próxima sustitución de la mente humana por robots». Nagel y Newman fueron los primeros en postular la imposibilidad de que las computadoras igualen la mente humana —al menos en habilidad matemática—. Su tesis ha sido discutida y rechazada por filósofos —Hillaiy Putnam— y, principalmente, especialistas en robótica e inteligencia artificial. La diferencia intrínseca entre nuestro pensamiento y la acción de un computador ha sido profusamente defendida por Roger Penrose en su célebre obra La nueva mente del emperador.

Un ordenador se queda enredado en la rutina de sus reglas deductivas, sin poder discernir la veracidad de propiedades que, siendo verdaderas, sean inalcanzables aplicando esas reglas. Tal vez la computación cuántica —cuando eche a andar— sea capaz de construir otro tipo de ordenadores; los hoy disponibles son puro elemento apolíneo. Se diferencian de nosotros en que les falta la chispa dionisíaca. Eso no quita para que no esté justificada la preocupación, cada vez más explícita, sobre el impacto que ya tienen en las condiciones laborales de la humanidad. Por un lado, las máquinas multiplican la capacidad de trabajo humana, facilitando labores duras o tediosas, pero, por otro, el progreso de los «artilugios inteligentes» hace que sustituyan a la masa laboral humana cada vez en más oficios y labores, aumentando la sensación de que van a enviar al paro a una buena parte de los trabajadores. Me temo que el capitalismo salvaje que ahora controla la economía mundial no será capaz de enfrentar ese difícil problema, cuya solución vendrá necesariamente de introducir regulación flexible e «inteligente», que lleve los beneficios económicos de las máquinas mucho más allá de los bolsillos de unos pocos.

Muy relacionado con los teoremas de Gödel está el problema de la decisión, propuesto por Hilbert en 1928: ¿existe un algoritmo que pueda decidir en un número finito de pasos si una determinada fórmula puede ser demostrada a partir de un conjunto de axiomas dado? La respuesta es que no existe tal algoritmo, y lo demostraron en 1936 de forma independiente Alonzo Church (1903−1995) y Alan Turing (1912−1954). Para lo cual, ambos formularon de manera precisa la noción intuitiva de función computable: Church mediante el cálculo «lambda», y Turing usando una computadora idealizada, a la que un año después Church bautizó como «máquina de Turing».

A partir de la resolución en negativo del problema de la decisión, surgió con fuerza la teoría de la computación, emparentada con la lógica matemática, y de la que fueron pioneros, aparte de Church y Turing, el mismo Gödel, Von Neumann o Claude Shannon (1919-2001). Debido a la importancia creciente de los ordenadores en el mundo moderno, los problemas de computación se encuentran entre los más relevantes que enfrentan hoy los matemáticos; y el más relevante de todos consiste en determinar si son o no iguales las llamadas clases P y NP —lo que habitualmente se escribe como «¿P = NP?»—. Este problema es uno de los siete problemas del milenio, por cuya solución el Instituto Clay ofrece un millón de dólares —véase la sección § 2.4—.

Grosso modo, se dice que un problema es de la clase P si hay un algoritmo que lo resuelva en un tiempo de computación polinomial del número de datos. En un problema NP, desconocemos si una resolución es posible en tiempo polinomial del número de datos, pero si nos dan una solución, entonces es posible comprobar que lo es en un tiempo polinomial del número de datos —aclaro que todas estas definiciones imprecisas se pueden precisar de manera totalmente satisfactoria usando lógica formal—. Un típico problema P es el del cálculo del máximo común divisor de dos números; el algoritmo de Euclides, por ejemplo, resuelve el problema en un tiempo del orden del cuadrado del número de cifras de los números. Un típico problema NP es el de encontrar los factores primos de un número; hoy en día no se sabe resolver ese problema en tiempo polinomial —lo que no quiere decir que no se pueda hacer—, pero si nos dan los factores del número, comprobar que efectivamente lo son requiere sólo su multiplicación —que se puede realizar en un tiempo del orden del cuadrado del número de cifras de los números—. La importancia de hacer la factorización de un número en tiempo polinomial ya se explicó en la sección § 8.2 en relación con la seguridad de las comunicaciones electrónicas basadas en la criptografía RSA. Eso puede dar una idea de la importancia que tiene decidir la solución del problema ¿P = NP?

La misma importancia de los matemáticos podría evaluarse de saber la solución del problema ¿P = NP? En efecto, comprobar la corrección de la demostración matemática de un teorema es un problema de tipo P. Buscarla es un problema tan complicado que ni siquiera es NP, pero podemos hacer lo siguiente; dado un polinomio p, llamamos Ip al conjunto de teoremas que admite una demostración de longitud acotada por ese polinomio en el número de símbolos necesarios para enunciar el teorema. Para cada polinomio p, comprobar si un teorema está en Ip sí es un problema NP. De manera que si la clase de problemas P fuera igual a la NP, y la demostración fuera suficientemente constructiva, para cada polinomio p existiría un algoritmo que en tiempo polinomial nos permitiría encontrar una demostración de cada teorema en el conjunto Ip. Si eso fuera así, uno estaría tentado de decir que los matemáticos habríamos perdido buena parte de nuestra utilidad.

El gran matemático Gian-Carlo Rota (1932−1999), que coincidió algunos años con Church y Gödel en Princeton, escribió: «No puede ser simple coincidencia que varios de los más sobresalientes lógicos del siglo XX fueran internados en instituciones mentales en algún momento de sus vidas: Cantor, Zermelo, Gödel, Peano y Post, son algunos ejemplos. Alonzo Church fue uno de los más sanos de entre los lógicos sobresalientes, aunque de alguna forma su conducta debe ser calificada de extraña, incluso comparada con la estándar de un matemático». Gödel acabó exiliándose en Estados Unidos al inicio de la segunda guerra mundial, y allí encontró una plaza de investigador en Princeton. Fue un solitario, un ser socialmente inadaptado que se dedicó la mayor parte de su vida a pensar, y a buscar las fronteras de lo que es lógicamente admisible. De los pocos amigos que tuvo Gödel, uno fue Einstein, con quien solía pasear casi a diario en Princeton, desde 1942 y hasta la muerte del físico en 1955. Para muchos fue sorprendente que dos personalidades tan diferentes llegaran a congeniar tanto; según Ernst Straus, que ejerció un tiempo como asistente de Einstein en Princeton, este era «sociable, feliz, un mar de risas y sentido común», mientras que Gödel era «solemne en extremo, muy serio, bastante solitario, y desconfiaba del sentido común como herramienta para alcanzar la verdad». Según consta en su certificado de defunción, Gödel falleció de desnutrición e inanición como resultado de un trastorno de la personalidad: desconfiando de que pudieran envenenarlo, decidió dejar de comer. A Turing, en cambio, lo llevó al suicidio las costumbres morales de la Inglaterra de los años cincuenta; a pesar de su valía como científico, a pesar del relevante papel que había tenido durante la segunda guerra mundial en el desciframiento del código Enigma usado por los nazis para sus comunicaciones militares secretas, la justicia británica lo condenó en 1952 por prácticas homosexuales. Se le ofrecieron dos opciones, o la cárcel o la castración química. Eligió la segunda, pero la situación provocada fue más de lo que su dignidad pudo aguantar, y se suicidó en junio de 1954.

La filosofía de esta historia de las ideas matemáticas me debería de haber obligado a dar algo más de detalle de las más que interesantísimas circunstancias emocionales de Church, Gödel o Turing. Pero dado que esta historia debe ser también breve, no tengo más remedio que dejarlo aquí.

Moraleja final

Las matemáticas tienen historia, que he procurado contar en este libro de forma breve aunque enriquecida con sus circunstancias emocionales. Pero, como mencioné en el prólogo, las matemáticas tienen sobre todo futuro, simbolizado por el casi inabarcable catálogo de problemas que hoy seguimos tratando de resolver los matemáticos —unos cuantos de los cuales he descrito en los últimos capítulos—. Teniendo esto en cuenta, no se me ocurre forma mejor de cerrar esta breve historia de las ideas matemáticas que citando por extenso a Hardy; en concreto, la defensa que hizo en su A Mathematician’s Apology de la inmortalidad, pero no de Dios, ni del alma, ni del universo, sino de la inmortalidad de las matemáticas: «Los logros de las matemáticas, prescindiendo incluso de su valor intrínseco, son los que gozan de mayor perdurabilidad; y la historia se ocupa de darnos abundantes ejemplos al respecto. Podemos encontrar pruebas de tal afirmación con solo echar una ojeada a las civilizaciones protohistóricas. Las civilizaciones babilónica y asiria han perecido; Hammurabi, Sargón y Nabucodonosor son nombres vacíos; sin embargo, la matemática elaborada por los babilonios no ha perdido un ápice de su interés, y el sistema sexagesimal de numeración que crearon sigue siendo empleado en astronomía. Pero, sin lugar a dudas, el ejemplo crucial nos lo proporciona la civilización griega. Los griegos fueron los primeros matemáticos que han mantenido su plena vigencia y “realidad” hasta nuestros días. La matemática oriental puede ser una interesante curiosidad, pero la matemática griega es una auténtica realidad. Los griegos fueron los constructores del primer lenguaje matemático susceptible de ser entendido por sus modernos sucesores. Como Littlewood me dijo en cierta ocasión, los griegos no fueron hábiles colegiales o “candidatos a eruditos”, sino “miembros de otra universidad”. Así pues, la matemática griega “permanece” incluso aún con mayor fuerza que su literatura. Se recordará a Arquímedes aún cuando Esquilo haya sido olvidado, pues los lenguajes perecen mientras que las ideas matemáticas no mueren nunca. Quizás “inmortalidad” sea un término absurdo, pero es bastante probable que un matemático comprenderá el significado exacto que he querido dar a mis palabras. No creo que deba recelarse que el futuro acabe demostrando cuán poco se ajustaban a la realidad, por más que a menudo la inmortalidad sea ridícula o cruel». Y entonces Hardy nos dejó un consejo impagable: «La fama adquirida a través de las matemáticas, si se tiene efectivo para pagar por ella, es una de las inversiones más sólidas y estables».

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ANTONIO J. DURÁN GUARDEÑO (Cabra, Córdoba, 1962) es catedrático de Análisis Matemático en la Universidad de Sevilla. Entre sus obras científicas y divulgativas se cuentan ediciones de Arquímedes, Newton y Euler, el volumen colectivo La ciencia y el «Quijote» (2005), Vida de los números (Premio al Libro de Divulgación Mejor Editado de 2006) y Pasiones, piojos, dioses… y matemáticas (Destino, 2009). Como escritor de ficción ha publicado las novelas La luna de nisán (2002) y La piel del olvido (2007).