LA MAGIA DE LOS NÚMEROS

Para toda la gente de México, por vuestra hospitalidad, y por haberme tratado siempre con mucho afecto.

¡Viva México!

ÍNDICE

CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICAS EN EL DÍA A DÍA

1.1            MATEMÁTICA EN LA  NATURALEZA

la cigarra y los números primos

1.2            MATEMÁTICA Y ARTE

cuadrados mágicos

-         La melancolía de Durero

-         El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

1.3            MATEMÁTICA Y MÚSICA

1.4            MATEMÁTICA Y DEPORTE

Atletismo

Fútbol

Ciclismo

Tenis

Otros deportes

1.5            MATEMÁTICA Y JUEGO

Juegos de azar

- El Melate

- El chispazo

Juegos de Casino

-         Black Jack

-         Poker

-         Ruleta

Conclusiones matemática y juego

1.6            MATEMÁTICA Y SALUD

1.7            MATEMÁTICA Y DIETA

CAPÍTULO 2 – TÉCNICAS DE CÁLCULO Y TRUCOS CON NÚMEROS

2.1 INTRODUCCIÓN

2.2 SUMA O ADICIÓN

Método para sumar

Ejercicios

2.3 RESTA O SUSTRACIÓN

Método para restar

Ejercicios

2.4 MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

Método de izquierda a derecha

Ejercicios

Método cruzado de multiplicación

2.5 DIVISIÓN

Técnica para dividir

Ejercicios

2.6 TRUCOS CON NÚMEROS

1)    El Juego de la Raíz Cúbica

2)    Calcular días de la semana

3)    Adivinar fechas de nacimiento

4)    Adivinar el dinero que una persona lleva, su número de hermanas y su número de hermanos

5)    Complementario a 9

6)    Adivinar número elegido

7)    Adivinar edad

8)    Adivinar dos números pensados

9)    Adivinar números telefónicos

10)    Truco del mentalista

CAPÍTULO 3 – EJERCICIOS NUMÉRICOS

3.1 INTRODUCCIÓN

3.2 TÉCNICAS DE RELAJACIÓN-CONCENTRACIÓN

* EJERCICIO DE INSPIRACIÓN-ESPIRACIÓN

* RELAJACIÓN-CONCENTRACIÓN EN SÓLO DOS MINUTOS

3.3 EJERCITA TU CÁLCULO Y TU LÓGICA

JUEGOS DE VERDADERO O FALSO

CUÁL NÚMERO FALTA

SELECCIONA LA RESPUESTA CORRECTA

KAKUROS

CUADRADOS MÁGICOS

SOLUCIONES CAPÍTULO 3

CAPÍTULO 4 – LOS GRANDES CALCULISTAS MENTALES

4.1            INTRODUCCIÓN

4.2            CASOS HISTÓRICOS

4.3            ¿POR QUÉ HAY POCOS CALCULADORES PRODIGIO?

4.4            FOTOS Y DIPLOMAS

PRÓLOGO

“Los números gobiernan el Mundo”

Pitágoras de Samos

Durante los últimos años he dado cientos de conferencias en colegios, encontrándome en muchas ocasiones con una curiosa pregunta:

¿Para qué sirven las matemáticas?

Pues bien, el libro que tienes en tus manos expone, en un primer capítulo, algunas de las infinitas situaciones donde te puedes encontrar con matemáticas: haciendo compras, tomando decisiones, en el mundo del juego, en el arte, en la naturaleza, en el deporte, en la salud, etc.

Hay un segundo capítulo donde te planteo técnicas para que puedas entrenar tu cálculo mental y mejorar mucho en esa habilidad que es tan importante desarrollar, pues quien bien calcule tendrá muchas ventajas en el día a día.

Este segundo capítulo termina con 10 de los mejores trucos numéricos, con los que podrás deslumbrar a tus amigos, a la vez que estarás ejercitando tu cálculo mental.

El tercer capítulo empieza con un par de técnicas de relajación y concentración, algo fundamental cuando se va a realizar un trabajo mental. A continuación, tienes un buen número de variados ejercicios de cálculo, para que te ejercites adecuadamente.

Un cuarto capítulo versa sobre las historias de algunos de los mejores calculistas mentales que ha habido y las capacidades que es necesario trabajar para el correcto desarrollo de estas habilidades.

En definitiva, me encantaría que tras leer este libro no tuvieses ninguna duda de lo importantes que son las matemáticas y de que están en cualquier cosa y situación que te puedas imaginar.

A partir de ahí, toca divertirse con los números y potenciar de esta manera tus cualidades.

CAPÍTULO 1 – MATEMÁTICAS EN EL DÍA A DÍA

1.1         MATEMÁTICA EN LA NATURALEZA

la cigarra y los números primos

1.2         MATEMÁTICA Y ARTE

cuadrados mágicos

-         La melancolía de Durero

-         El cuadrado mágico de la Sagrada Familia

1.3         MATEMÁTICA Y MÚSICA

1.4         MATEMÁTICA Y DEPORTE

Atletismo

Fútbol

Ciclismo

Tenis

Otros deportes

1.5         MATEMÁTICA Y JUEGO

Lotería de Navidad

Lotería Primitiva y Bono-Loto

La ONCE 

Quiniela de Fútbol

Juegos de Casino

-         Black Jack

-         Poker

-         Ruleta

Conclusiones matemática y juego

1.6         MATEMÁTICA Y SALUD

1.7         MATEMÁTICA Y DIETA

1.8         MATEMÁTICA Y NUESTROS CÓDIGOS

1.1         MATEMÁTICA EN LA NATURALEZA

La naturaleza es sabia, y la naturaleza es matemática. Estas son dos verdades incuestionables. Hablar de matemáticas en la naturaleza sería un tema muy extenso, por lo que vamos a poner un ejemplo que a buen seguro te parecerá curioso.

La cigarra y los números primos

Como bien sabes, las cigarras (o chicharras) son unos insectos voladores y muy cantarines. Fíjate en el siguiente caso, como se protegen a través de los números primos (aquellos que son divisibles solamente por sí mismos y la unidad).

Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim, tienen el ciclo vital más largo de todos los insectos. Este empieza bajo tierra, donde las ninfas absorben pacientemente el zumo de las raíces de los árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas semanas después se aparean, ponen los huevos y mueren.

La cuestión que inquietaba a los zoólogos era:

¿Por qué el ciclo vital de la cigarra es tan largo?

¿Qué quiere decir  que el ciclo vital sea un número primo de años?

Otra especie, la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales que son un número primo de años dan algún tipo de ventaja para la conservación de la vida.

Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital que sea divisible por 2, si no el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá evitar un ciclo vital divisible por 3, si no el parásito y la cigarra volverán a coincidir.  Al fin, si se quiere evitar de encontrase con su parásito, la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un número primo de años. Como nada dividirá el 17, la Magicicada septendecim raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años, solo se encontrarán cada 34 años, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años, por ejemplo, sólo se encontrarán cada 272 (16 x 17) años.

El parásito, en su lucha por sobrevivir, sólo tiene dos ciclos vitales que incrementan la frecuencia de las coincidencias: el del ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las 16 primeras apariciones no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero durante un ciclo vital de 16 años. Esto significaría que, en algún estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirán durante 272 años! En cualquier caso, el largo ciclo vital de las cigarras, y el número primo de años, las protege.

¡Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado nunca!

En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha continuado alargando su ciclo vital, hasta conseguir traspasar la barrera de los 16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su falta de coincidencia con las cigarras le habrá llevado a la extinción. El resultado es una cigarra con un ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace ninguna falta porque su parásito ya no existe.

1.2         MATEMÁTICA EN EL ARTE

Mucho se podría hablar en esta sección, sólo hay que tener en cuenta que los cuadros, esculturas u obras en arquitectura, tienen unas determinadas proporciones (en muchos casos la proporción aúrea: hombre de vitrubio de Da Vinci; pirámide de Keops, etc.)

En este apartado te voy a exponer el ejemplo de dos lugares donde aparecen los conocidos como cuadrados mágicos.

¿Qué son los cuadrados mágicos?

Un cuadrado mágico se define como un cuadrado con celdillas en el que se disponen números, de tal forma que la suma de cualquiera de sus filas, columnas, y las dos diagonales principales, dan siempre el mismo resultado.

8

3

4

1

5

9

6

7

2

Cuadrado mágico de orden 3

Pues bien, hablar de un cuadrado mágico es hacerlo de una de las maravillas numérico-matemáticas más interesantes que pueda haber, remontándose su historia a más de 4 mil años, habiéndose utilizado desde un punto de vista mágico-místico en culturas como la china, la egipcia (predecían con ellos el futuro), la india, la griega, la árabe, etc.

Además, los cuadrados mágicos también han servido para la resolución de importantes teoremas matemáticos, aparte de inspirar trabajos arquitectónicos y diseños industriales.

La Melancolía de Durero

Uno de los más famosos cuadrados mágicos, es el creado por el gran artista y matemático Alberto Durero (1471-1528), en su obra “La melancolía”.

Este, es un claro ejemplo de las creencias de la época. En la obra, se puede apreciar un cuadrado mágico de orden 4, formado por los números del 1 al 16. La suma de los números en horizontal, vertical, o diagonal, suma 34. Esta cifra está asociada a Júpiter y, por tanto, capaz de conferir a quien se exponga a su influjo las virtudes atribuidas a este planeta: buena suerte, felicidad, prosperidad, y longevidad.

“la melancolía”, de Alberto Durero

“Detalles del Cuadrado Mágico”

Cuadrado mágico en “la Melancolía”

Resulta extraordinario observar la gran variedad de detalles que aparecen en este grabado.

En este cuadrado mágico, se puede apreciar un dato insólito, ya que aparece grabado en su parte inferior el año en el que Durero pintó el cuadro (1514)

El cuadrado mágico de La Sagrada Familia

Siguiendo con cuadrados mágicos en el arte, podemos observar otro cuadrado mágico en “La Fachada de la Pasión”, de “La Sagrada Familia”, en Barcelona.

Aunque Gaudí no dejó muy claro como dicha fachada tenía que quedar recubierta, cuando el escultor Josep María Subirachs aceptó el encargo, le dio su toque personal.

Este cuadrado mágico es de orden 4, siendo la suma obtenida en vertical, horizontal, diagonal o en sus cuatro cuadrantes, de 33, o sea, la edad de Jesucristo en “La Pasión”.

Se puede ver como es muy similar al de “La Melancolía”, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (12 y 14), apareciendo de esta forma repeticiones, rebajándose la constante mágica en 1.

Fachada de La Sagrada Familia

El Cuadrado de La Sagrada Familia

1.3         MATEMÁTICA Y MÚSICA

Leibnitz establece una tentadora analogía entre los números y la música:

“el placer que nos proporciona la música viene de contar, pero de contar inconscientemente. La música no es más que aritmética inconsciente”

¿Nos imaginamos un mundo sin música?

Cuesta trabajo imaginarlo, ¿verdad?

Pues la materia prima para que exista la música son los números.

Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros. Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones  1:2, 2:3 y 3:4 producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones.

La importancia de los experimentos pitagóricos radica en la constatación de que la armonía - la belleza - es un concepto que se fundamenta en la proporcionalidad, o lo que es lo mismo, en estructuras mensurables.

Por otra parte, los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico - una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o frecuencia.

Cuando pulsamos una cuerda, por ejemplo de una guitarra, se produce un sonido fundamental, pero curiosamente va acompañado de otros sonidos que lo refuerzan. Estos sonidos que acompañan siempre al fundamental, son sobre todo el 3º y el 5º (aunque hay más, se pueden considerar como nítidos estos dos), base de los acordes.

Imaginemos pulsar una cuerda partiendo de una de las notas DO, por ejemplo la que tiene 128 vibraciones por segundo, si fuéramos dividiendo la cuerda  sucesivamente en una, dos, tres, cuatro, cinco, seis partes …, obtendríamos la siguiente relación:

         Número de vibraciones             128      256      384      512      640      768

                                                           DO       DO     SOL     DO       MI      SOL

         Longitud de la cuerda              entera     1/2      1/3       1/4       1/5       1/6

En este cuadro se constata que son las notas del acorde las que aparecen bajo una de esas relaciones proporcionales que están subyacentes en ese “mundo mágico” que es la Música.

Como curiosidad, decir que el compositor Ernst Toch podía retener fácilmente tras su simple audición una serie muy larga de números; pero lo hacía “convirtiendo” la serie de números en una melodía (una melodía compuesta por él mismo, y que “correspondía” a los números).

1.4         MATEMÁTICA EN EL DEPORTE

En mis conferencias hago referencia a la relación existente entre matemática y deporte, y suele generar extrañeza, como si estuviese diciendo algo que no puede ser verdad. Pues bien, se podrían escribir varios libros sobre este tema, pero nos vamos a conformar con dar alguna pincelada.

Si tienes alguna duda, lee las siguientes páginas.

EL ATLETISMO

la pista de atletismo

Las carreras de atletismo se desarrollan, (con excepción de la marathon y las carreras de marcha de fondo) dentro de una pista estándar de 400 metros de longitud y que, obviamente, está diseñada de forma matemática, nada se deja al azar.

No deja  de ser una construcción simple, las secciones rectas y curvadas son casi de la misma longitud y de curvas uniformes, que son más adecuadas para el ritmo de carrera de los atletas.

La Pista Estándar se compone de dos semicírculos, cada uno de ellos con un radio de 36.50 m., unidos por dos rectas, cada una de ellas con una longitud de 84.39 m.

Todas las calles tienen una anchura de 1.22 metros. Dicha pista consta de 8, 6 y, ocasionalmente, 4 calles.

Plano y dimensiones de trazado de la Pista Estándar de 400 m.

los tacos de salida

Las pruebas de velocidad se desarrollan en muy corto espacio de tiempo, por lo que cualquier detalle puede resultar decisivo. En concreto, la importancia de partida desde los tacos es fundamental, puede significar la diferencia entre ganar o perder.

Determinar con exactitud la combinación de medidas individuales para obtener el mejor rendimiento desde los tacos es una tarea muy ardua, aunque pudiera parecer un gesto simple.

En general la posición más eficaz de colocar los tacos es la siguiente:

Taco delantero: 40 – 50 cm. de la raya de salida, la diferencia de centímetros vendrá determinada por la talla del atleta.

Taco trasero: 35- 40 cm. detrás del primero.

La inclinación de los tacos ha de ser  mayor cuanto más nos alejamos de la línea de salida: así, el taco trasero estará más vertical que el delantero.

Se ha calculado que lo mejor es que el primer taco con una inclinación de 25-30 grados y el segundo 30-40 grados. Con esto se consigue que  disminuya el ángulo formado por la tibia y el pie, permitiendo aprovechar mejor la fuerza de los gemelos y del pie como palanca, ampliándose la trayectoria de aplicación de la fuerza y, por tanto, la velocidad de salida.

A sus puestos:

Aquí hay que matematizar la posición, un gesto inadecuado puede ser fatal. El atleta ha de colocar las manos junto a la línea de salida, la separación entre ambas ha de ser algo mayor que la anchura de sus hombros y equidistantes del eje del cuerpo. Los dedos de las manos han de formar bóveda entre el pulgar y el resto de los dedos

Listos:

En este momento, el atleta ha de elevar y adelantar suavemente la cadera, hasta sobrepasar la altura de los hombros. El ángulo de la pierna anterior ha de ser de 90 grados y el de la posterior de 120. Las dos pantorrillas han de quedar paralelas, y los pies han de apoyarse con fuerza sobre los tacos.

Como ves, el atleta se va a limitar a correr, pero de poco le serviría si no aplicase todos estos criterios matemáticos antes de la carrera. Y ojo, durante el transcurso de la misma, seguirá aplicando criterios matemáticos, no vayas a pensar lo contrario.

Ya:

El tiempo transcurrido entre el disparo y la primera patada (fuerza ejercida igual o mayor a 27 kg) contra los tacos de salida es medido electrónicamente a través de sensores instalados en la pistola y en los tacos.

En cualquier caso, el tiempo mínimo admitido es de 100 milésimas de segundo (0.1 segundos), y cualquier tiempo inferior a este, se va a considerar salida nula.

Esta medida se consideró que debe ser la suma del tiempo que tarda el sonido del disparo en propagarse por el aire, el que tarda en alcanzar los oídos de los competidores, y el tiempo mínimo que tardarían las motoneuronas del cerebro en transferir la orden al músculo.  Este tiempo de reacción se puede mejorar mediante algunos ejercicios específicos de coordinación neuromuscular y, sobre todo, estimulando la respuesta motriz del músculo.

Como ves, perfectamente “calculado”.

Hay otras variables que también están perfectamente calculadas: número de zancadas adecuadas según la estatura del atleta, los efectos del viento durante la carrera, las fases más adecuadas para la aceleración y la desaceleración durante la propia carrera, etc.

Carrera de 100 metros lisos

La Marathon: una lucha contra la distancia y el tiempo

Hablamos de la distancia olímpica más corta, los 100 metros lisos, y pasamos a la más larga.

El marathon es la distancia olímpica de fondo por excelencia. Hay que superar la mítica distancia de 42.195 kilómetros.

Me pongo de ejemplo para dar una referencia numérica, yo mismo soy corredor de marathon, y tengo una mejor marca de 2 horas 55 minutos y 49 segundos (10549 segundos). Si quiero mejorar mi marca sé que tengo que correr por debajo de 4 minutos y 10 segundos cada kilómetro. Esa es la media kilométrica a superar, y a fe que en mi siguiente marathon lo tendré muy presente, pues mi objetivo siempre es tratar de superarme. Y, para superarse, no cabe duda que también hay unos patrones numéricos a seguir en los entrenamientos.

EL FÚTBOL

Del deporte rey, pasamos al deporte más seguido en muchos países.

Seguro que alguien diría:

¿y qué tiene que ver el fútbol con las matemáticas?

Pues “casi nada”, sólo te voy a dar unos pequeños esbozos para que tú mismo saques conclusiones.

El principal protagonista: la pelota

Un balón está diseñado de forma inteligente, no por capricho. Sus 32 caras conforman una esfera casi perfecta.  Digamos que representa un icosaedro que al ser hinchado con aire, se convierte en la moderna pelota de fútbol. Sus doce pentágonos y veinte hexágonos ocupan el 86.74 % de la esfera circunscrita.

Pero, todavía existe una figura geométrica más aproximada a una esfera perfecta, se llama rombicosidodecaedro; probablemente en unos años los actuales balones de fútbol serán reemplazados por esta figura de 62 caras, en un camino iniciado por lo menos hace 2500 años cuando los protofutbolistas griegos jugaban con pelotas hechas de doce trozos de fieltro y rellenos de trapos.

Un curioso teorema geométrico nada difícil de probar (Teorema de Euler) sostiene que todo poliedro formado por hexágonos y pentágonos debe contener precisamente doce de éstos, independientemente del numero de hexágonos con que cuente. Obviamente, sendos casos particulares de este hipotético poliedro son el dodecaedro regular, con cero hexágonos y nuestro moderno balón de fútbol con veinte.

Pitágoras describió once de los trece poliedros semirregulares que son menos conocidos que los platónicos pero si mas estéticos y agradables a la visión. Todos ellos tienen sus caras formadas por polígonos regulares de dos o tres clases distintas, todos iguales entre si respectivamente y dispuestos del mismo modo en cada vértice. Desde el sencillo tetraedro truncado, con solo ocho caras, al gran rombicosidodecaedro, con 62 caras, son todos ellos un prodigio de armonía geométrica.

El terreno de juego

Del “con qué” se juega al fútbol (la pelota), pasamos al “dónde” (el terreno de juego). Con el dibujo que tienes a continuación queda todo dicho: medidas y más medidas.

Emparejamientos y calendario en la liga

La liga de fútbol en España (Primera división) se compone de 20 equipos, y todos han de jugar contra todos en doble vuelta (en su terreno de juego, y en el campo del adversario). Un equipo no puede jugar 3 partidos consecutivos en su casa y, además, cuando dos equipos son de una misma ciudad hay que elaborarlo de tal forma que no coincidan en la misma jornada en su terreno de juego.

Como puedes ver, no resulta fácil confeccionar el calendario, hay todo un entramado de combinatoria:

La jornada 1 se confecciona mediante sorteo. Dos equipos de una misma localidad se disponen para que se encuentren opuestos respecto de la simetría central de la tabla que representa esa primera jornada.

Las jornadas pares de la primera vuelta se forman a partir de la jornada anterior con estos cambios:

El equipo que está el último de la primera columna (equipo comodín) se coloca en el primer lugar de esa misma columna. El resto de los equipos de esa primera columna bajan un lugar.

A continuación se intercambian las dos columnas de las que consta la jornada.

Las jornadas impares de la primera vuelta se forman a partir de la jornada impar anterior, de esta forma: el equipo comodín (que está en el último lugar de la primera columna) permanece en su lugar. Los demás equipos se mueven un puesto mediante una permutación circular en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Para evitar que un equipo juegue tres veces seguidas en su casa, el equipo comodín se intercambia con su contrario en las dos últimas jornadas de la primera vuelta.

Las jornadas de la segunda vuelta se confeccionan intercambiando las columnas de las correspondientes jornadas de la primera vuelta.

Clasificaciones

Si entramos en las clasificaciones de los equipos, ahí sí que está lleno de números y de continuos aportes matemáticos, algo muy bonito de analizar  y ante lo que sería más que útil  que los equipos contratasen a un buen equipo de matemáticos y estadísticos (igual que se hace con médicos fisioterapeutas o psicólogos). A buen seguro que les resultaría de gran utilidad.

A continuación te copio la clasificación en la Liga Española de Fútbol … observa la cantidad de números que se pueden ver. También se pueden establecer la probabilidad que tiene cada equipo de llegar a unos u otros resultados, es pura matemática, puro cálculo.

No dejes de analizar los datos numéricos, y ten en cuenta que la victoria vale tres puntos, el empate uno, y la derrota cero puntos.

Clasificación PRIMERA DIVISIÓN Liga española ( 2009-2010 )

Jugados

Ganados.

Empatados.

Perdidos

Goles F.

Goles.C.

Ptos

1

Barcelona

38

31

6

1

98

24

99

2

R. Madrid

38

31

3

4

102

35

96

3

Valencia

38

21

8

9

59

40

71

4

Sevilla

38

19

6

13

65

49

63

5

Mallorca

38

18

8

12

59

44

62

6

Getafe

38

17

7

14

58

48

58

7

Villarreal

38

16

8

14

58

57

56

8

Athletic

38

15

9

14

50

53

54

9

Atlético

38

13

8

17

57

61

47

10

Deportivo

38

13

8

17

35

49

47

11

Espanyol

38

11

11

16

29

46

44

12

Osasuna

38

11

10

17

37

46

43

13

Almería

38

10

12

16

43

55

42

14

Zaragoza

38

10

11

17

46

64

41

15

Sporting

38

9

13

16

36

51

40

16

Racing

38

9

12

17

42

59

39

17

Málaga

38

7

16

15

42

48

37

18

Valladolid

38

7

15

16

37

62

36

19

Tenerife

38

9

9

20

40

74

36

20

Xerez

38

8

10

20

38

66

34

Tabla Histórica LIGA MEXICANA:

Fíjate ahora cuánto número para determinar la tabla “histórica” de los equipos mexicanos en la liga de fútbol en primera división (sólo incluye temporada regular, 1943-2010):

Posición

Equipo

JJ

G

E

P

GF

GC

DIF

PTS

1

América

2174

911

646

617

3498

2841

657

2685

2

Guadalajara

2174

898

656

620

3273

2673

600

2662

3

Toluca

1926

778

566

582

2878

2312

566

2368

4

Atlante

2098

750

616

732

3159

3022

137

2290

5

Atlas

2080

741

584

755

3097

3133

-36

2266

6

Cruz Azul

1650

706

526

418

2633

1950

683

2169

7

UNAM

1702

669

505

528

2580

2174

406

2031

8

Monterrey

1808

617

553

638

2462

2619

-157

1964

9

León

1762

678

496

588

2703

2441

262

1921

10

Puebla F.C.

1674

576

496

602

2331

2384

-53

1741

11

Necaxa

1552

533

491

528

2238

2169

69

1737

12

Morelia

1325

432

385

508

1757

1945

-201

1462

13

Estudiantes UAG

1268

433

394

441

1732

1799

-67

1427

14

Tigres UANL

1272

426

401

445

1718

1766

-78

1422

15

Veracruz

1318

447

337

534

1914

2160

-246

1334

16

Santos

784

270

229

283

1147

1168

-21

969

17

Pachuca

710

257

182

271

1015

1059

-44

871

18

Zacatepec

832

289

228

315

1125

1165

-40

806

19

U de Guadalajara

750

258

245

247

999

968

31

761

20

Irapuato FC

838

235

258

345

1004

1267

-263

753

21

Oro

714

273

155

286

1255

1310

-55

701

22

Tampico FC

620

206

166

248

985

1090

-105

578

23

Atlético Potosino

560

161

171

228

630

831

-201

493

24

San Luis

386

115

115

156

481

587

-106

422

25

Atlético Español

406

143

125

138

559

549

10

411

26

Deportivo Neza

370

111

137

122

459

475

-16

359

27

Jaguares

280

89

87

104

348

404

-56

351

28

Atlético Celaya

337

90

98

149

423

542

-119

351

29

Club Jalisco

364

114

116

134

508

543

-35

344

30

Tampico-Madero

330

121

80

129

511

516

-5

322

31

Laguna F.C.

376

99

119

158

429

530

-101

317

32

Toros Neza

244

80

54

110

357

445

-88

272

33

Querétaro FC

296

68

94

134

300

448

-148

262

34

Correcaminos UAT

302

80

97

125

304

420

-116

257

35

U de Curtidores

304

79

98

127

364

441

-77

256

36

Marte

292

87

64

141

542

720

-178

238

37

Real Club España

182

89

25

68

458

358

100

203

38

Asturias F.C.

182

75

33

74

402

392

10

183

39

Moctezuma

182

71

34

71

405

423

-18

176

40

Club de Fútbol Cobras

192

42

72

78

194

275

-81

156

41

Torreón F.C.

194

48

59

87

204

300

-96

155

42

ADO

156

57

27

72

307

345

-38

141

43

Ángeles de Puebla

142

37

46

59

178

226

-48

120

44

San Sebastian de León

162

42

35

85

267

409

-142

119

45

Ciudad Madero

132

23

40

69

140

278

-138

86

46

Nacional

108

26

32

50

122

198

-76

84

47

Sinaloa

68

20

22

26

92

106

-14

82

48

Cuautla FC

102

25

30

47

111

177

-66

80

49

Nuevo León

90

26

23

41

110

135

-25

75

50

Zamora

104

21

30

53

143

214

-71

72

51

Atl. Campesinos

76

26

18

32

86

88

-2

70

52

La Piedad

58

22

10

26

81

99

-18

70

53

Oaxtepec F.C.

76

24

17

35

100

125

-25

65

54

Indios

68

14

21

33

56

103

-47

63

55

Cuernavaca

19

6

5

8

24

27

-3

23

Estadísticas: posesión de la pelota, etc.

Mientras estamos viendo un partido de fútbol, o lo escuchamos por la radio, nos estarán contando los tiros a puerta de uno u otro equipo, la posesión de la pelota, los saques de esquina, las faltas cometidas … los goles que tal o cual jugador ha marcado en Liga, en Copa o en otros torneos, los goles en los cinco primeros minutos, en los últimos cinco, los que tuvo en propia puerta, los minutos que lleva el portero sin encajar un gol, lanzamientos a los palos, y un largo etcétera.

EL CICLISMO

La bicicleta

La bicicleta de carreras está construida con muchos criterios matemáticos. Si echamos, por ejemplo, un vistazo a las ruedas, podemos ver llantas muy finas, muy adecuadas para que haya un menor rozamiento con el piso y se pueda ir más rápido. Si observamos las de contrarreloj (menos radios) y comparamos, se pone de manifiesto que el diseño de las ruedas está ligado a la construcción de polígonos regulares. Por ejemplo, las ruedas clásicas tienen un total de 36 radios y, como es lógico, su construcción está basada en el polígono regular del mismo número de lados.

Platos y piñones: el desarrollo

Cuando decimos que una bicicleta tiene 18, 21 o 24 velocidades nos referimos a las combinaciones plato-piñón que teóricamente podrían darse (número de platos por número de piñones).

Continuamente oímos en televisión o radio cómo un ciclista atacó subiendo un puerto con tal o cual desarrollo, pues todo ello es una combinación matemática. Al igual que tiene significado matemático el hablar del desnivel de esos mismos puertos.

Ante una escapada: los cálculos del pelotón

Escapada en el inicio, caza cerca de la meta y victoria de un sprinter. Guión de las etapas llanas en las grandes vueltas ciclistas, el pelotón lo tiene todo perfectamente calculado. Los aventureros saben de antemano que, casi siempre, su “hazaña” está condenada al fracaso. Pero, por si acaso y, sobre todo, porque está calculado el beneficio que supone que la marca patrocinadora pueda aparecer “x” minutos en televisión.

Es la palabra «casi» la que permite mantener viva la esperanza. Para intentarlo una y otra vez. Saben que es la única forma que tienen de ganar: los sprints y las etapas de montaña ya tienen sus especialistas.

En ocasiones, escasas, la fortuna sonríe. El pelotón calcula mal, o se despista, o los equipos con sprinters se miran unos a otros, o el viento beneficia a los fugados ...

Y uno de esos valientes halla petróleo donde no lo había. Porque entre el proletariado del pedal, entre esa clase que no destaca en ninguna especialidad, no hay victorias si antes no se compran boletos para la derrota.  Aquí la breve narración del triunfo de uno de ellos en la quinta etapa del Tour de Francia 2009:

Thomas Voeckler (Bouygues) no se lo creía. Movía la cabeza hacia ambos lados, en gesto de negación. Sin embargo, era cierto. Él alzaba los brazos, el pelotón enfilaba la recta final. ¡Siete segundos; qué poco y qué mundo de diferencia!

El francés formaba parte de un sexteto que tuvo su génesis en el kilómetro 12. Más de 180 restaban hasta la capital de Catalunya Nord. Geslin y Hutarovich (F. de Jeux), Sapa (Lampre), Ignatiev (Katusha) y Timmer (Skil) eran los otros cinco.

¿Todo controlado?

Llegaron a tener una distancia de casi diez minutos, pero daba la impresión de que el Columbia de Cavendish lo tenía todo controlado. Nadie hubiera dado un céntimo por los fugados, pero ellos nunca se rindieron.

A falta de 25 kilómetros la diferencia sobre el pelotón era de 3 minutos y 34 segundos … a falta de 20 era de 2 minutos 49 (descontando 9 segundos por kilómetro estarán cazados antes del  último kilómetro). A falta de 10 kilómetros la ventaja se reduce a 1 minuto 40 segundos, el pelotón se ha relajado ligeramente, momentos de indecisión, ¿estará calculando bien?, la esperanza de los escapados se mantiene.

Los 6 escapados fueron juntos hasta que faltaban seis kilómetros, hay que calcular hasta dónde compartir las fuerzas con los compañeros. Ignatiev dio el primer hachazo y el del Bouygues contraatacó. No pudieron seguirle. El tren de la gloria para de vez en cuando en la estación de los modestos. El pelotón cruza la meta a 7 segundos, en esta ocasión falló en sus cálculos.

Clasificaciones

El líder de una carrera ciclista tiene que ir regulando su ventaja, pues la clasificación viene dada por los tiempos, y ya sabemos que el tiempo es número. Ante eventuales escapadas de sus rivales es fundamental que regule sus fuerzas en base a la ventaja que pueda llevar. Todo ello es puro cálculo y suele salir victorioso, aparte del que más fuerza tenga, el que más cálculos hace y más frío es al valorarlos, midiendo en todo momento el riesgo.

Fíjate en la siguiente clasificación,  el ganador está sometido a los números, en este caso, al tiempo.

Alberto Contador

Clasificación Final Tour de Francia 2010

Clasificación general individual

Tour de Francia | Clasificación general individual | Etapa 20 (25-07-2010): Longjumeau - París (105 Km)

#

Ciclista

Nac.

Equipo

Tiempo

1

Alberto Contador

ESP

AST

91:58:48

2

Andy Schleck

LUX

SAX

+:00:39

3

Denis Menchov

RUS

RAB

+:02:01

4

Samuel Sánchez González

ESP

EUS

+03:40

5

Jurgen Van den Broeck

BEL

SIL

+06:54

6

Robert Gesink

NED

RAB

+09:31

7

Ryder Hesjedal

CAN

GRM

+10:15

8

Joaquín Rodríguez Oliver

ESP

KAT

+11:37

9

Roman Kreuziger

CZE

LIQ

+11:54

10

Christopher Horner

USA

RSH

+:12:02

EL TENIS

Cancha, pelota, raqueta

El tenis se juega en una pista rectangular. Sus medidas exactas están definidas en unidades del sistema anglosajón y varían dependiendo de la modalidad en que se juegue (individuales o dobles). Para individuales mide 78 pies (23.77 metros) de largo y 27 pies (8.23 metros) de ancho. Para dobles, el largo es el mismo y el ancho es de 36 pies (10.97 metros). Estos límites están marcados por líneas, las cuales son consideradas parte de la cancha. Una malla a forma de red divide a la pista en dos mitades, que separa a los oponentes. La altura de la red en los postes es de 3 pies 6 pulgadas (1.07 metros), y en el centro de 3 pies (0.914 metros). De cada lado de la red hay dos rectángulos, que miden 21 pies (6.40 metros) de largo y 13.5 pies (4.11 metros) de ancho, los cuales sirven únicamente para determinar si un saque es válido o no.

También tiene geometría y dimensiones la pelota con la que se juega, en concreto un diámetro entre 65.4 y 68.6 milímetros; y un peso entre 56 y 59.4 gramos.

Por cierto, la raqueta también tiene formas geométricas y dimensiones, ¿verdad? Incluso la tensión del cordaje tiene unos números lo más adecuados.

Guarismos

La forma de puntuación en los partidos de tenis es bastante singular, probablemente ya la conozcas, pero aquí la repasamos para ver que en ningún momento dejamos de hablar de números: son los que mandan.

Un partido de tenis está compuesto por sets, el primero en ganar un número determinado de sets es el ganador. Cada set está integrado por juegos. En cada juego hay un jugador que saca, el cual se va alternando. A su vez los juegos están compuestos de puntos.

El primero en ganar 4 puntos con una diferencia mínima de 2 puntos con respecto a su rival es el ganador del juego, en caso de que ninguno de los dos jugadores o equipos tenga una ventaja de dos puntos al llegar a cuatro, gana el juego el primero que logre una diferencia de 2 puntos. El conteo de los puntos es bastante particular: cuando un jugador gana su primer punto su tanteador es 15, cuando gana 2 puntos 30, y cuando gana 3 puntos 40.

El jugador que se lleva el set es el que consigue hacer 6 juegos, con una diferencia de dos. En caso de que un jugador llegue a 6 juegos, pero con diferencia de 1 (6-5) habrá que seguir hasta que alguno consiga la diferencia apropiada. Si el reglamento del torneo pone un tope de juego, habrá que jugar un "tie-break" o "muerte súbita", en el que el resultado del set se juega mediante puntos (uno-cero, dos-cero, tres-cero, etc.), hasta que alguien consigue llegar a 7 tantos, con diferencia de 2. Si se llega a 7 puntos sin diferencia de 2 (por ejemplo: 7-6), habrá que esperar a que uno de los dos jugadores obtenga una diferencia de 2 puntos, siendo éste el que consiga la victoria en el "tie-break" y en el set por 7-6. El jugador que comienza sacando en un "tie-break" solo dispone de un turno de saque (con primer y segundo servicio) y a partir de ahí, se alternarán 2 turnos de saque por jugador hasta la finalización del mismo.

Entre el 22 y el 24 de junio de 2010 se celebró el partido de los records en la historia del tenis. Dicho encuentro tuvo lugar en el torneo de Wimbledon y se disputó entre el estadounidense John Isner y el francés Nicolás Mahut. El primero logró la victoria tras 11 horas y 5 minutos de partido y un total de 183 juegos disputados. El marcador final fue de 6–4, 3–6, 6–7(7), 7–6(3), 70–68.

J. Isner y N. Mahut

Y tras tanto número, tomamos oxígeno.

El ojo de Halcón

Es un sistema que se utiliza en los torneos más importantes que se celebran en el tenis para comprobar in situ si una bola ha entrado dentro de los límites reglamentarios de la cancha o si ha botado fuera.

El ojo de halcón está basado en cálculos de triangulación a partir de imágenes visuales y mediciones de tiempo proporcionados por cámaras de vídeode alta velocidad.

El ojo de halcón utiliza al menos 4 cámaras colocadas estratégicamente por todos los ángulos de la pista. Esta colocación está matemáticamente estudiada para que la eficacia del sistema sea aceptable.

Las cámaras recogen los movimientos y unas computadoras de alta velocidad procesan adecuadamente los datos.

Para ello, y valiéndose de las leyes de la física, se han creado una serie de algoritmos matemáticos que tienen en cuenta detalles como la deformación de la pelota y su deslizamiento, habiéndose calculado que el margen de error está entre 2 y 3 milímetros.

El ojo de halcón no sólo se utiliza ante “bolas dudosas”, también se ofrecen gracias a este sistema todo tipo de estadísticas: colocación de los servicios, tiempo que cada tenista pasa en cada una de las zonas del campo, velocidad de cada saque, dirección, profundidad y trayectoria de los puntos directos,

El ojo de halcón también se utiliza para ofrecer repeticiones, medir la velocidad de las pelotas en cualquier momento, y otro tipo de estadísticas que nos ofrecen habitualmente en los partidos de tenis: patrón de colocación de los servicios, dirección, profundidad y trayectoria de los puntos directos, tiempo que pasa cada tenista en cada zona del campo y todas las que queramos, etc.

                  Datos numéricos en un partido de R.Federer

Puntuaciones ATP (Asociación de Tenistas Profesionales, masculino) y WTA (femenino)

Hablar de clasificaciones es hablar de números. Para establecer quién es el mejor tenista en cada momento se elaboran unos sistemas de puntaje que paso a resumirte:

En la clasificación de la ATP, los jugadores 'defienden' en cada semana los puntos obtenidos en esa misma semana el año anterior.

La siguiente tabla ofrece detalles estructurales sobre la organización de torneos en el circuito de tenis profesional:

Categoría del evento

Número

Puntos para el Ranking

Grand Slams

4

2000

ATP World Tour Finals

1

1300-1500

ATP World Tour Masters 1000

9

1000

ATP World Tour 500

11

500

ATP World Tour 250

40

250

ATP Challenger Series

178

75 a 125

Futures

534

17 a 33

Clasificación ATP (a 23 de agosto de 2010)

Jugador                     Puntos Ranking

1 Rafael Nadal                               10745

2 Roger Federer                              7215

3 Novajk Djokovik                          6565

4 Andy Murray                                 5125

5 Robin Soderling                            4910

6 Nikolay Davydenko                      4285

7 Thomas Berdych                          3860

8 Fernando Verdasco                       3430

9 Andy Roddick                              3225

10 Juan Martín del Potro                 3170

Rafael Nadal

Clasificación WTA (a 10 de abril de 2010)

Jugadora

Puntos WTA Ranking

1

Serena Williams

7895

2

Caroline Wozniacki

6410

3

Kim Clijsters

5325

4

Venus Williams

5176

5

Jelena Jankovic

5145

6

Samantha Stosur

4550

7

Francesca Schiavone

4450

8

Vera Zvonareva

4430

9

Na Li

4015

10

Agnieszka Radwanska

3995

Serena Williams

Otros deportes

Podríamos extendernos muchísimo dentro de la matemática y el deporte, pero no es el único objetivo de este libro.

Simplemente, terminar diciendo, que cualquier deporte que nos imaginemos conlleva detrás mucha matemática. Algunos dependen absolutamente del trabajo matemático para poder destacar, y aquí sólo tenemos que pensar en el trabajo que hacen los ingenieros con los monoplazas de fórmula 1 (imprescindible para poder ganar, es tener el mejor coche); no olvidemos que la ingeniería es matemática aplicada … y es que, querido lector, todo en esta vida conlleva matemática.

1.5         MATEMÁTICA Y JUEGO

No hay conferencia que dé en la que no salga este tema, y es que el buen calculista tendrá muchas opciones de ser un muy buen jugador, bien haciendo conteo de cartas o midiendo las probabilidades de cada mano.

A continuación te voy a contar algunos datos de diversos juegos muy populares.

LOS JUEGOS DE AZAR

* El Melate

En este popular juego mexicano, la probabilidad de acertar los 6 números (de entre 51) es la siguiente:

El primer número tiene 6/51 de probabilidad de que salga.

El segundo sería 5/50 (ya salió 1 y nos quedan 5 números elegidos)

El tercero 4/49 (dos menos)

El cuarto 3/48

El quinto 2/47

Y el sexto tiene 1/46 probabilidades.

Es decir, la probabilidad de acertar los 6 con una apuesta sencilla, es de:

6/51 x 5/50 x 4/49 x 3/48 x 2/47 x 1/46 =   

=                1/18,009,460

O sea, una entre poco más de 18 millones.

Lugar

Ganas si.

Premio

Probabilidad

1er Lugar

Acertaste los 6 números naturales

Millones de pesos

1/18,000,000

2do Lugar

Acertaste el número adicional y 5 números de los naturales

Cientos de miles de pesos

1/3,070,000

3er Lugar

Le atinas a 5 de los números naturales

Decenas de Miles de pesos

1/66,455

4to Lugar

Acertaste el número adicional y 4 números de los naturales

Miles de pesos

1/28,556

5to Lugar

Le atinas a 4 de los números naturales

Cientos de pesos

1/1,212

6to Lugar

Le atinas a 3 de los números naturales y al adicional

Entre 40 y 500 pesos

1/1,020

7moLugar

Le atinas a 3 de los números naturales

42.80

1/63

8vo Lugar

Le atinas a 2 de los números naturales y al adicional

42.80

1/100

9no Lugar

Le atinas a 1 de los números naturales y al adicional

21.50

1/25

La probabilidad de recuperar al menos nuestro dinero es del 6.80%.

* El Chispazo

En este juego tienes que seleccionar 5 números entre el 1 y el 28.

En el momento del sorteo se extraen de una urna cinco números, totalmente al azar. A continuación te adjunto una tabla en la que se aprecia cuándo ganas premio, la cantidad aproximada en pesos, y la probabilidad de acertar cada una de las premiaciones.

Lugar

Ganas si.

Premio

Probabilidad

1er Lugar

Le atinas a los 5 números del sorteo

Cientos de miles de pesos

1/98,200

2do Lugar

Adivinaste 4 de los números

Cientos de pesos

1/854

3er Lugar

Le atinas a 3 números sorteados

Unos cuantos pesos

1/39

4to Lugar

Le atinas a 2 de los números

Reintegro

1/6

La probabilidad de obtener un premio cualquiera en este juego es del 20.71%.

Otra diferencia interesante con el Melate es que en este sorteo, si no hay ganador a primer lugar, el premio se repartirá entre los que hayan quedado en segundo lugar. Si no hay segundo, entre los terceros. En chispazo no se acumulan las bolsas a primer lugar porque en cada sorteo se reparten los premios.

Nota aclaratoria:

En todos estos populares sorteos y quinielas, los importes de los premios dependerán de la cantidad de participantes, y de la cantidad de jugadores que acierten cada premiación. Por ejemplo, si dos participantes atinan a los 5 números, el premio se divide entre esas dos personas.

LOS JUEGOS DE CASINO:

Aquí vamos a hablar de tres juegos típicos: El Black Jack, el Poker y la Ruleta.

BLACK JACK

Black jack

En qué consiste

El blackjack es un juego de cartas, originario de Francia, muy popular en los casinos de todo el mundo, que consiste en obtener 21 mediante la suma de los valores de las cartas. Las cartas numéricas suman su valor, las figuras suman 10 y el as puede tomarse como 11 ó 1 si el primero hace al jugador pasarse de 21 en la jugada total. Si se consigue 21 con sólo dos cartas se considera blackjack  y gana automáticamente. Se juega en una mesa semicircular con capacidad normalmente para 7 jugadores, cada uno de los cuales dispone de un casillero marcado en el tapete para realizar su apuesta antes de cada mano.

Probabilidades

* Carta llama a carta:

Hay un mito en Black jack que dice que cuando sale una carta concreta, por ejemplo un 5, hay como una especie de llamada para que salga otro 5.

Esto no tiene ningún sentido matemático. En cada mazo de cartas hay 4 cincos, por lo que la probabilidad de que salga un 5 es:

4/52 = 7,69 %   

Si resulta que ya he recibido un 5, la probabilidad de recibir otro 5 desciende:

3/50 = 6,00 %

(digo 50 porque ya hay dos cartas en la mesa, la mía, y la del dealer, suponiendo que no haya más jugadores).

Por lo tanto, 5 no llama a 5, ni 7 a 7, ni 2 a 2. Más bien al contrario, la probabilidad se reduce considerablemente.

Análisis matemático del Black Jack

¿Cómo se puede ser hábil jugando a Black Jack?

Muy sencillo, de igual forma que con cualquier otro juego: trabajándolo matemáticamente y potenciando la habilidad de calcular.

El Black Jack ha sido estudiado minuciosamente. El pionero fue un matemático de IBM (Edward O. Thorp), que allá por los años sesenta del siglo XX, simuló en computadora millones de manos jugadas.

Thorp concluyó con que cada mano tiene una forma única de jugarse correctamente, una estrategia básica, que puede permitir recortar la ventaja inicial del casino sobre el jugador.

Jugando bien, aquí habría que desarrollar capacidades para utilizar los criterios matemáticos, el jugador podría disminuir la ventaja del casino de un 5 % a un 0. 5 % (aprox.)

Conteo de cartas

Los estudios de Thorp nos llevan también a la conclusión de que las cartas altas van a favorecer al jugador, ya que al doblar son básicas para obtener una buena jugada. Por contra, las cartas bajas van a favorecer al dealer o croupier, ya que le permiten hacer buenas las manos comprometidas (12, 13, 14, 15 ó 16).

Estas nociones básicas, dieron lugar a la posibilidad y conveniencia de contar cartas.

Este conteo de cartas consiste básicamente en no perder de vista las cartas jugadas, para tener en cuenta si entre las que quedan por jugar hay más cartas altas o bajas y, en función de ello, apostar en consecuencia.

Para poder practicar el conteo de cartas la mesa tiene que ser favorable a dicha práctica, es decir, sólo funciona si se juega en un casino tradicional, donde haya pocas mezclas y manuales (nunca con máquina). De igual forma, imposible es hacer conteo en el juego online, dado que las cartas son mezcladas tras cada ronda.

“21 Black jack”, un caso real

Cartel de la película “21 Black Jack”

Cuando en mis conferencias hablo de estos asuntos, suele surgir la pregunta de si se puede ganar a los casinos como lo refleja la famosa película “21 Black Jack”, y, automáticamente, si la película está basada en hechos reales.

La respuesta a la primera pregunta es que sí es posible; hablamos de conteo de cartas.

Para un buen calculista no sería demasiado difícil, pues los cálculos son muy rápidos, pero sencillos. Sería cuestión de prepararlo adecuadamente, pues la labor no deja de ser muy compleja.

Respondiendo a la segunda cuestión, efectivamente, la película “21 Black Jack” está basada en un caso real, paso a resumírtelo:

En primer lugar, como suele suceder, la película está basada en un libro, que a su vez se inspira en las aventuras de un grupo de estudiantes del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) denominado el equipo del MIT.

Todo comenzó a partir de un programa de “actividades independientes” que la propia Universidad planifica, para que los estudiantes propongan y organicen temas.

Uno de estos cursos llevaba por título “Como apostar cuando es conveniente”, impartido en enero de 1979.  Algunos alumnos, dispuestos a probar si lo aprendido era realmente válido, viajaron hasta los casinos de Atlantic City, donde fracasaron estrepitosamente. La mayor parte de ellos se olvidó del asunto terminando sus estudios en mayo, pero dos de ellos mantuvieron un gran interés por los métodos de conteo de cartas, y decidieron impartir ellos mismos el curso al año siguiente. Reclutando a los mejores alumnos que asistieron al curso, deciden volver a intentarlo después de un concienzudo entrenamiento. Esta vez logran cuadruplicar su capital, lo que les anima a continuar impartiendo el curso al año siguiente.

En mayo de 1980, uno de estos graduados escucha casualmente en un restaurante chino una conversación sobre el Blackjack a Bill Kaplan, otro alumno recién graduado que ha formado un equipo de jugadores que basa sus métodos en el análisis estadístico del juego. Deciden unirse aunque Kaplan, después de observar al otro grupo, impone unas condiciones de entrenamiento más estrictas, unos concienzudos análisis de los casinos a visitar y un fuerte autocontrol de las emociones de los jugadores. Llegan a tener hasta 80 jugadores entrenados y jugando simultáneamente en diferentes países.

Sus éxitos se prolongan desde 1980 hasta 1993, cuando un grupo de detectives, contratados por los casinos, y tras varios años de investigación, consiguen ir identificando a los principales miembros del grupo.

La película refleja palizas a los jugadores, no está demostrado que se llegase a ese punto, ya que el conteo de cartas no es ilegal. Lo que sí sucede, es que se les prohíbe la entrada en los casinos, se difunden sus rostros, y se les aconseja no seguir con sus prácticas (no es difícil suponer que las amenazas sí estuvieran presentes).

El casino está hecho para ganar él, cierto es que el conteo no es ilegal, pero siempre se pueden amparar en el derecho de admisión.

EL POKER

Escalera real en el poker

Es un juego de cartas de los llamados de "apuestas", en los que los jugadores, con todas o parte de sus cartas ocultas, hacen apuestas sobre una puja inicial, recayendo la suma total de las apuestas en el jugador o jugadores con la mejor combinación de cartas.

En nuestros días, el poker está muy de moda, sobre todo la modalidad conocida como “texas holdem”. Yo mismo empecé hace unos meses a estudiar el juego y a colaborar escribiendo artículos sobre “matemática y poker” en un conocido portal de Internet.

Tengo que decir en este sentido, que el buen jugador tiene que tener un buen dominio del cálculo y las matemáticas, atreviéndome a decir que en el juego influyen tres factores en la siguiente proporción:

30 % de azar. La suerte influye, como es lógico, pues en un juego.

35 % psicología. Tanto a la hora de analizar a los rivales y saber jugar con los posibles faroles, como a tener la sangre fría como para saber jugar, es decir, jugar poco y sin conducta adictiva de por medio.

35 % cálculo matemático. Aquí hay que ir calculando las distintas probabilidades que ofrece cada mano en cada momento, hay que tener en cuenta las diferentes variables: número de jugadores, cantidad del bote, cartas que faltan, riesgo recomendado, etc.

Los jugadores de poker que obtienen ganancias, son como en casi todas las profesiones del mundo, gente con disciplina, capacidad de trabajo y estudio. Por lo que, el talento o la misma intuición sirven de poco sin una buena disciplina.

El poker es un juego psicológicamente complejo debido a que un jugador debe enfrentarse a situaciones de estas características como son, las malas rachas, la correcta gestión de la banca y la continuación en el estudio.

La función fundamental a la hora de jugar al poker es llevar a cabo un análisis correcto de las situaciones teniendo en cuenta la parte matemática. En el poker, aunque parezca mentira, hacer la jugada correcta no nos garantiza ganar el bote y viceversa. Por tanto, el simple hecho de llevar a cabo un análisis a fondo nos permite saber si hemos jugado bien o no.

LA RULETA 

Ruleta

Si tuviese que escoger un método para tratar de ganar dinero en la ruleta lo haría basándome en una suposición: “no hay ruleta perfecta, físicamente hablando”. Si no hay ruleta perfecta, esto implica que las ruletas son imperfectas. Y si las ruletas son imperfectas, la bola caerá más en unos casilleros que en otros.

¿Cómo determinar en cuáles?

Respuesta sencilla: estudiando cada ruleta. Esto es, armarse de paciencia, trabajar preferiblemente en equipo para ser lo más discretos posible, y tomar nota de la caída de la bola en las ruletas (esto está permitido, sin problema).

Cuantas más tiradas tomemos, pues mejor. A partir de aquí, hacemos un estudio matemático, estadístico. Si la bola cae más en unos casilleros que en otros, podremos concluir que en esa ruleta hay mayor facilidad para caer en esos lugares, con lo que nuestras apuestas se dirigirán a esos sitios concretos.

Eso sí, tenemos que contar con que en la ruleta Europea el Casino tiene un 2,7 % de beneficio, con lo cual, sería lógico que apostásemos cuando la imperfección superase ese 2,7 % (en la ruleta americana el beneficio del Casino es del 5,26 %, con lo que tendríamos que encontrar ruletas quizá demasiado “imperfectas”).

Otra cuestión a tener en cuenta es que estamos hablando de una tendencia que se dará a largo plazo, con lo cual, nuestro éxito, matemáticamente hablando, tendrá lugar también a largo plazo. Esto significa que habría que contar con un capital previo (estamos hablando de tendencias a largo plazo, a corto plazo podríamos perder).

El principio fundamental sobre el que se ha de basar el trabajo en la ruleta es fácil de entender: los 37 casilleros que se reparten alrededor de la circunferencia de una ruleta no son físicamente iguales y, por lo tanto, la bola tiene más facilidad para entrar en unos que en otros, dependiendo de las características físicas de cada casilla.

Otro posible factor que otorgue imperfecciones al juego de la ruleta es que el crupier, cansado de hacer siempre lo mismo, tuviese una tirada un tanto automatizada y lanzara la bola y el plato de la ruleta a una velocidad parecida. Es lógico suponer, entonces, que la bola caería aproximadamente a la misma distancia del sitio en el que salió.

Hay casos de jugadores que trabajaron la ruleta de esta forma y a largo plazo consiguieron ganar mucho dinero. Siempre con disciplina y paciencia y, por supuesto, aplicando siempre un criterio matemático a la hora de jugar.

Conclusión de la matemática y el juego

Cuando alguien me pregunta el “truco” para ser un buen jugador de cartas, siempre  digo lo mismo: estudiar mucha matemática, dominando el campo de la combinatoria, y ser muy bueno en el cálculo mental (tener la mente ágil y rápida).

También jugar muy poco, pues la parte psicológica es fundamental y, no olvidemos nunca, que todo es bueno o malo dependiendo del uso que de ello se haga. Quien caiga en la adicción al juego, estará demostrando que es un pésimo jugador.

1.6         MATEMÁTICA Y SALUD

Cuidar de la salud también depende de criterios numérico-matemáticos, puesto que es la forma de valorar los diferentes hábitos y las acciones a llevar a cabo.

El ejemplo que te planteo es el de la adicción al tabaco, a buen seguro que los datos numéricos resultantes te parecerán curiosos.

Imaginemos a un fumador de una cajetilla diaria, 20 cigarrillos. Una cajetilla no es tanto para un buen fumador, como bien sabemos; y, sobre todo, y por eso se magnifica la cantidad, un fumador consume tabaco todos los días, es constante.

En términos numéricos, en un mes de 30 días hablaríamos de 600 cigarrillos fumados (20 al día). En un año serían 7,300 cigarrillos (20 x 365). En diez años estamos hablando de 73,000 cigarrillos fumados. Y en 20 años, un fumador de una cajetilla, se habrá fumado 146,000 cigarrillos.

Ahora, hagamos el sano ejercicio de imaginar 146,000 cigarrillos uno encima de otro… ¿sorprende imaginarse tal cantidad de cigarrillos, verdad?

Si cada cigarrillo mide aproximadamente 9 centímetros, si colocamos los 146,000 cigarrillos uno tras otro recorreríamos un trayecto de 1,314,000 centímetros; que es lo mismo que 13,140 metros; o 13 kms y 140 metros …

Es decir, quien fume una cajetilla diaria, si empieza a fumar a los 15 años, cuando tenga 35 años  se habrá fumado toda esa cantidad. Cuando tenga 55 años se habría fumado el doble (292,000 cigarrillos).

Contenido del cigarrillo: Hay numerosos estudios hechos sobre los efectos del tabaco en la vida y en la salud de las personas. El fumar implica auto exponerse a unas 4,000 sustancias  tóxicas, que son las que contiene el humo del cigarrillo. Entre estas podemos citar a las más conocidas,  (cancerígenas todas ellas): la nicotina, el alquitrán y el monóxido de carbono.

La nicotina:  Es una droga adictiva, la sustancia responsable de la aparición de signos y síntomas tras la reducción o supresión, y la que genera la dependencia del tabaco.

Esta sustancia puede ser entre 6 y 8 veces más adictiva que el alcohol, pudiendo generar una dependencia más fuerte que la heroína.

La nicotina tarda entre 7 y 10 segundos en llegar al cerebro tras su inhalación.

El alquitrán: En la calada de un cigarrillo se respiran partículas de alquitrán, las cuales van recubriendo los pulmones.

Pues bien, trasladándolo a términos numéricos, si cada cigarrillo tiene unos 15 miligramos de alquitrán, en 20 años habríamos ingerido, con una cajetilla de tabaco al día, nada menos que 2.190 kilos de alquitrán. Lo que puede ser una taza de alquitrán al año… Con estos números ahora se comprende mejor el que los pulmones de un fumador  tengan una tonalidad “oscura”.

Los riesgos del tabaco en números

Datos económicos:

Si cada cajetilla cuesta 30 pesos, nos habríamos gastado (fumando una al día) 900 pesos en un mes; 10,950 en un año; 109,500 en 10 años; 219,000 pesos en 20 años.

Evidentemente, más importante que el gasto económico, es el tema de salud y de años de vida (y de calidad de vida) que quita esta adicción. Me he encontrado muchas veces con el anumérico comentario de “tal o cual persona fumó hasta los 90 años” … Y es evidente que hay casos de estos, todos los conocemos. Pero se trata de hablar de matemáticas, de probabilidades, de datos estadísticos fiables, nunca las excepciones han de ser tomadas como datos fiables desde un punto de vista matemático, por ese mismo motivo: son excepciones.

Los datos sobre lo que esta adicción produce son la realidad, verificables, son números a tener en cuenta, ya que  cada día mueren 14,000 personas por enfermedades relacionadas con el tabaco o, lo que es lo mismo, una persona cada 6 segundos. Es decir, el tabaquismo mata más personas en el mundo que cualquier otra enfermedad.

1.7         MATEMÁTICA Y DIETA

La alimentación y la matemática también están íntimamente relacionadas, no olvidemos que hablamos de números y cantidades.

Una buena alimentación, acompañada del ejercicio, es fundamental en la vida de cada persona, por lo que hay que darle mucha importancia y tomárselo muy en serio.

Lo primero, siempre es tener claro el dicho:

Desayuna como un rey, come como un príncipe, no te olvides

de la merienda y cena como un mendigo.

Sólo te voy a dar unas pautas alimenticias en lo que al desayuno se refiere, que debe ser considerado como muy importante y, a la vez, analiza lo mal que por regla general, se está desayunando en estos tiempos.

Durante la noche no recibimos alimentos, por lo que nuestro

organismo requiere un desayuno adecuado para poder afrontar las actividades que el día nos exige con suficiente energía, de tal forma que nos permita mantener un buen rendimiento tanto físico como intelectual.

Por cierto, ¿sabías que los chavos mexicanos cada vez desayunan peor?

Vamos a continuación a hacer un breve análisis:

Se estima que un desayuno correcto implica un 30% de los nutrientes a consumir durante todo el día, siendo recomendable que se haga en dos tomas: al levantarnos y a media mañana.

El desayuno debe de contener tres grupos básicos de alimentos:

1. LÁCTEOS: Leche, yogur…, que nos aportarán proteínas y calcio.

2. CEREALES: Pan, galletas, cereales..., que aportan hidratos de absorción lenta, fibra, etc.

3. FRUTAS: En las cuales encontraremos vitaminas, hidratos de carbono de absorción rápida, minerales, etcétera.

Y ahora vamos a plasmarlo en números, por supuesto compara entre los dos desayunos que te presento:

DESAYUNO TÍPICO RECOMENDABLE

Vaso de jugo de naranja . . . . . . . .    80 calorías

1 tostada con aceite . . . . . . . . . . . . 150 calorías

Vaso de leche con chocolate . . . . . . 120 calorías

TOTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 calorías

DESAYUNO HABITUAL DE UN ESTUDIANTE HOY EN DÍA

1 Donuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 calorías

Batido de chocolate . . . . . . . . . . . . . 200 calorías

TOTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 calorías

Si tenemos en cuenta que el aporte ideal de calorías en un día normal está en torno a 1,750, con el desayuno que se hace hoy en día estaremos fomentando el sobrepeso.

Por lo tanto, hay que comer adecuadamente en cuanto a cantidad, y también sano.

CAPÍTULO 2 – TÉCNICAS DE CÁLCULO Y TRUCOS CON NÚMEROS

2.1 INTRODUCCIÓN

2.2 SUMA O ADICIÓN

Método para sumar

Ejercicios

2.3 RESTA O SUSTRACIÓN

Método para restar

Ejercicios

2.4 MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

Método de izquierda a derecha

Ejercicios

Método cruzado de multiplicación

2.5 DIVISIÓN

Técnica para dividir

Ejercicios

2.6 TRUCOS CON NÚMEROS

11)                    El Juego de la Raíz Cúbica

12)                    Calcular días de la semana

13)                    Adivinar fechas de nacimiento

14)                    Adivinar el dinero que una persona lleva, su número de hermanas y su número de hermanos

15)                    Complementario a 9

16)                    Adivinar número elegido

17)                    Adivinar edad

18)                    Adivinar dos números pensados

19)                    Adivinar números telefónicos

20)                    Truco del mentalista

2.1 INTRODUCCIÓN

Calcular mentalmente es algo muy importante para el día a día de cada persona. Continuamente tomamos decisiones en las que el buen manejo de los números nos puede dar una ventaja  y un beneficio interesantes.

Por ello, vamos a trabajar las cuatro operaciones aritméticas básicas, con algunas pautas para mecanizar dichos cálculos. Además, te voy a proponer ejercicios para que practiques y, sobra decir, que sería muy recomendable que tú mismo te sigas ejercitando: en el supermercado sumando los productos, o con las placas de los autos cuando vayas aburrido por la calle … cualquier momento es bueno para ejercitar tu cálculo mental.

También te propongo el método para calcular el día de la semana de cualquier fecha, que tanto gusta en mis demostraciones, así como algunos de los mejores trucos con números, para que consigas hacer magia a través del cálculo mental.

2.2 SUMA O ADICIÓN

La suma es la operación aritmética básica, y la que más trataremos de mejorar, puesto que quien sume rápido va a hacer más fácilmente el resto de operaciones.

A la  hora de dar un primer consejo para mejorar la velocidad y precisión en las sumas diría que lo más importante es la repetición. Repetir ejercicios constantemente nos ayudará a familiarizarnos con los números y poco a poco se ganará velocidad y soltura. No dudar en ningún momento de la vida diaria en practicar.

* Método para sumar

Personalmente considero más interesante practicar la suma de izquierda a derecha, de lo grande a lo pequeño, y no de derecha a izquierda. Ya en la escuela hacía mis cálculos mentales de esta forma, y siempre resultaba mucho más rápido que el resto de compañeros, ya de pequeñito.

La ventaja de hacer las sumas de izquierda a derecha son fundamentalmente dos: por un lado no tenemos que llevar en cuenta el resultado de las unidades. Y por otra parte, aunque no diésemos el resultado correcto, siempre será mucho más fácil dar una aproximación si lo hacemos de izquierda a derecha.

Vamos a dar una breve explicación sobre cómo podemos sumar dos dígitos más dos dígitos, haciéndolo por este método.

43 + 24 =

La mejor estrategia será sumar 43 + 20 = 63 , y a ello + 4 = 67. Es decir, aproximamos siempre uno de los sumandos a número exacto para que resulte más fácil y, por supuesto, hacemos la suma de izquierda a derecha.

Para sumarlo sigue siempre el mismo proceso mental, nunca lo varíes, de esta forma irás adquiriendo velocidad sin dudar en la forma de hacerlo.

64 + 48 =  64 + 40 + 8  = 104 + 8 = 112.

Insisto en que la clave de mejorar en la velocidad sumando es ponerlo en práctica, pero no sólo en los ejemplos de este libro, si no en cualquier situación que se nos plantee.

* Ejercicios

Trata de sumar estos números según nuestro método:

43 + 24

72 + 35

76 + 44

47 + 92

33 + 16

85 + 33

46 + 42

53 + 17

72 + 45

89 + 63

La estrategia para sumar números de tres dígitos es la misma que la que hemos utilizado para sumar números de dos dígitos. La cuestión es ir dando pasos en la suma e ir reduciendo su magnitud.

Por ejemplo, vamos a sumar 628 + 437.

Lo que debemos hacer es tener en cuenta que 437 es igual a 400 + 30 + 7 e ir sumando estas partes por orden:

628 + 400 = 1028

1028 + 30 = 1058

1058 + 7 = 1065.

Si tenemos que sumar  437 + 156;  156 = 100 + 50 + 6

437 + 100 = 537

537 + 50 = 587

587 + 6 = 593

Practica ahora con estas sumas:

428 + 362

735 + 426

253 + 174

683 + 522

943 + 381

246 + 238

987 + 435

654 + 321

564 + 353

843 + 625

Todos los problemas de sumas pueden ser resueltos por este método, la clave está en practicarlo muchas veces y en hacerlo siempre de la misma forma, adquirir un hábito de cálculo sin necesidad de pensar en cómo hacerlo. Buscar, en definitiva, que sea mecánico.

2.3 RESTA O SUSTRACIÓN

Restar sería quitar a una cantidad otra. Es decir, lo opuesto a sumar.

Dado que restar no deja de ser “sumar al revés”, potenciando la habilidad sumando se va a mejorar a la vez la velocidad restando. De todas formas, a continuación expongo las técnicas que yo aplico en la resta (aunque muchas veces cuando resto, no sé si estoy restando o haciendo la suma al revés, el proceso es muy mecánico).

Para la mayoría de las personas restar es más difícil que sumar, ya que la tendencia natural es a sumar, pero si continuamos ejercitando de izquierda a derecha y continuamos simplificando los cálculos, podemos llegar a convertirlo en similar.

* Método para restar

73 – 24

Lo primero que haremos será reducir la suma. Esto es:   73 – (20 + 4)

73 – 20 = 53

53 – 4 = 49

Si nos encontramos ante la resta  77 – 39, podríamos usar dos tipos de estrategias y elegir  la que nos resulte más fácil:

77 – (30 + 9) ó (40 – 1)

a)   77 – 30 = 47

47 – 9 = 38

b)   puedes hacerlo por la otra vía:

77 – 40 = 37

37 + 1 = 38

Cuando lleves unos días de entrenamiento empezarás a notar que cada vez lo haces con más soltura y rapidez.

Prueba con estos ejercicios:

73 – 26

85 – 43

94 – 38

66 – 54

39 – 16

87 – 44

69 – 33

95 – 47

86 – 29

51 – 22

* Ejercicios:

Un ejercicio muy interesante que potencia la resta y, de paso, refuerza la suma, es el de buscar el complementario a 100 de cualquier número de dos cifras.

Por ejemplo: el complementario a 100 de 73 es el 27, porque 100 – 73 = 27;  el de 41 es 59, porque 100 – 41 = 59.

Busca el complementario de los siguientes, practicándolo acabarás mecanizando el proceso:

83

47

66

39

82

44

93

23

55

46

2.4 MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

Una vez trabajados los apartados anteriores, de suma y resta, habrás adquirido el hábito de hacer los cálculos de izquierda a derecha y, de esta forma, te resultará más fácil la técnica de multiplicar.

* Método de izquierda a derecha

Imagina que tenemos que multiplicar 83 x 7. Mi propuesta es hacerlo de la siguiente forma:

83 x 7 = 80 x 7 + 3 x 7

80 x 7 = 560

3 x 7 = 21

560 + 21 = 581

(para multiplicar 80 x 7 hacemos 7 x 8  y añadimos un 0).

Siempre hay que descomponer la multiplicación en operaciones más sencillas.

42 x 8 = 40 x 8 + 2 x 8

320 + 16 = 336

* Ejercicios:

Prueba tú con estas multiplicaciones:

64 x 3 =

85 x 6 =

38 x 4 =

52 x 6 =

27 x 8 =

64 x 3 =

83 x 7 =

41 x 9 =

63 x 6 =

37 x 5 =

A medida que vayas ejercitándote lo verás más fácil.

Si quieres hacer multiplicaciones de números de tres dígitos, sería la misma mecánica, no dejes de practicarlo.

Método cruzado de multiplicación

Alberto coto, Record Guinness en multiplicación con este método

En Julio de 2.002 tuve la fortuna de homologar por primera vez mi Récord Guinness en velocidad multiplicando. Este nuevo Récord fue realizado en la localidad alemana de Flensburg durante una competición con otros calculistas mentales. Para ello, conseguí multiplicar dos números de ocho dígitos cada uno en 56.50 segundos. Este Récord volví a batirlo en otras tres oportunidades, siendo mi actual Récord Mundial de 38 segundos.

A continuación voy a explicar la técnica que llevo a cabo para desarrollar esta multiplicación (que utilizan la mayoría de mis colegas calculistas), basada en sucesivas multiplicaciones y sumas cruzadas. Veámoslo con un ejemplo:

Vamos a multiplicar  54 x 73

              54

           x 73

         3.942

Lo que hago es lo siguiente:

1)    3 x 4 =12 , coloco un 2 y llevamos 1

2)    1 + 3 x 5 = 1 + 15 = 16 ;  16 + 7 x 4 = 16 + 28 = 44, coloco un 4 y llevamos 4

3)    4 + 7 x 5 = 4 + 35 = 39, y coloco un 39

Ya hemos terminado, si lo practicas con papel y lápiz comprobarás que no es tan difícil.     

Si lo hacemos con 3 dígitos por 3 dígitos, la cosa se complica un poquito. Por ejemplo:       258  x  847

               258

          x   847 

           218.526

Pasos a seguir:

1)  multiplico 7x8, coloco un 6 y llevamos 5

2)  5 + 4 x 8 = 5 + 32 = 37; 37 + 7 x 5 = 37 + 35 = 72, coloco un 2 y llevamos 7

3)  7 + 8 x 8 = 7 + 64 = 71; 71 + 4 x 5 = 71 + 20 = 91; 91 + 7 x 2 = 91 + 14 = 105, coloco un 5 y llevamos 10

4)  10 + 8 x 5 = 10 + 40 = 50; 50 + 4 x 2 = 50 + 8 =  58, coloco un 8 y llevamos 5

5)  5 + 8 x 2 = 5 + 16 =  21, coloco el 21, y ya terminamos la operación.

Como se puede ver, voy cruzando las multiplicaciones, corriendo un lugar a cada paso que se va dando.

Para poder desarrollar este método multiplicativo se necesita mucha rapidez y agilidad sumando, ya que combina las multiplicaciones con sumas sucesivas. Sin embargo, este método cuenta con la ventaja de que sólo se requiere una memorización a “corto plazo” (en mi caso particular muy útil porque me baso en la velocidad sumando, utilizando la memoria en menor medida).

También es cierto que se requiere otra cualidad, que es básica: una gran concentración.

Un gran calculista de mediados de siglo, el holandés Win Klein, conseguía acortar el número de pasos de este método gracias a que se sabía de memoria la tabla de multiplicar del 1 al 100 (algo que conocían la mayor parte de calculistas).

Propongo que se ejercite esta técnica empezando con multiplicaciones de dos dígitos. Prueba con las siguientes:

    47

x 58

   72

x 14

   53

x 38

2.5 LA DIVISIÓN

Con mucha frecuencia nos encontramos en la vida diaria con divisiones. ¿Quién no ha ido a cenar con amigos y al final del banquete ha tenido que dividir la cuenta entre el número de personas para ver a cuanto toca cada una?

No es la división una operación fácil de resolver con exactitud de forma mental. Dado que es la operación inversa a la multiplicación, si mejoramos en ésta también obtendremos mayor soltura para dividir.

* Técnica para dividir:

Voy a explicar la técnica que mejores resultados me ha dado a la hora de efectuar divisiones.

Imagina que tenemos que dividir 465 entre 8 (465 : 8)

Lo primero que debemos de hacer es una valoración del posible resultado.

Dado que 8 x 10 es 80; y 8 x 100 es 800, la respuesta va a ser un número de dos cifras (un número entre 10 y 100).

Ahora recurrimos a nuestra memorizada tabla de multiplicar de un dígito por un dígito, y vemos que 8 x 5 es 40 (400 es menor que 465), y que 8 x 6 es 48 (480 es mayor que 465). Como el resultado tiene dos cifras o dígitos,  va a ser un número entre 50 y 60.

Ya tenemos hecha la aproximación, ya tenemos algo muy importante, no lo olvidemos.

Ahora restamos 465 – 400 = 65, y lo dividimos entre 8;   65 : 8 = 8 (con un resto de 1)

Por lo tanto, nuestra respuesta será 58 y 1/8

* Ejercicios:

Practica con las siguientes divisiones:

638 : 7 =

428 : 6 =

335 : 9 =

756 : 5 =

418 : 8 =

2.6 TRUCOS CON NÚMEROS

En este apartado te propongo una serie de trucos con números. Con un poquito de práctica y agilidad, podrás deslumbrar a tus familiares y amigos y, quién sabe, quizá con el tiempo convertirte en uno de los mejores calculistas mundiales.

Truco número 1) La raíz cúbica

Para poder hacer raíces cúbicas hay que tener memorizada la tabla con los números del 0 al 9 elevados al cubo:

0 = 0

1 = 1

2 = 8

3 = 27

4 = 64

5 =125

6 =216

7 =343

8 =512

9 =729

Conocida esta tabla, sería muy sencillo realizar las raíces exactas con resultado de dos dígitos.

Se pide a alguien que eleve un número de dos cifras al cubo. Una vez elevado al cubo le pedimos que nos diga el resultado, y nosotros haremos la raíz cúbica (el inverso a elevar al cubo). Es decir, le calculamos el número de dos cifras.

Ej.  Nos dicen 10.648

Sólo nos fijamos en la terminación (8), gracias a la cual obtenemos la unidad de la respuesta; y en la cantidad anterior al punto de mil (10), gracias a lo que obtenemos la decena.

Vamos a la tabla de los cubos:

¿Quién termina en 8? 

El que termina en 8 es el 2 , que será la unidad   _2

¿En qué intervalo está 10?

Entre 8 y 27, o sea, entre 2 y 3 (tomamos siempre el anterior, en este caso el 2, que será la decena)

Respuesta:  22

Ej. nº 2. Raíz cúbica de  91.125

El 5 es el que termina en 5 ;   _5

Y 91 está entre 4 y 5

Respuesta: 45

Ej. Nº 3. Raíz Cúbica de 571.787

El 3 es el que termina en 7 ;  _3

Y 571 está entre el 8 y el 9

Respuesta: 83

Truco número 2) Calcular días de la semana

Una de las pruebas que más hago y gustan es la de calcular el día de la semana que fue o será cualquier fecha que se pregunte. Para ello utilizo un sistema o técnica que, aunque pueda parecer compleja, con una buena capacidad de cálculo, un poco de memorización y práctica, se puede hacer a gran velocidad.

Para ello, tengo memorizado un código numérico de 12 dígitos de tal forma que cada dígito equivale a uno de los 12 meses del año.

0        3  3  6  1  4  6  2  5  0  3  5

E  F  M A M  J  J  A  S O  N  D

Si nos preguntan qué día de la semana fue el 24 de agosto de 1967 procederemos de la siguiente forma:

1º   24  - el día

2º    2   - equivalencia  a Agosto, en nuestra tabla.

3º   4  - (el resto de dividir 67 entre 7)

4º   16  - (resultado de dividir 67 entre 4, obtenemos así el número de bisiestos).

Sumamos estos 4 pasos y nos da 46

Lo dividimos entre 7 y obtenemos un cociente igual a 6 y un resto de 4, que es el dato que nos interesa.

Ahora aplicamos la siguiente equivalencia:

Domingo 0

Lunes 1

Martes 2

Miércoles 3

Jueves  4

Viernes 5

Sábado 6

Como nuestro resultado era un 4, esto implica que el 24 de agosto de 1967 fue un jueves.

Para los meses de enero y febrero de años bisiestos (aquellos cuyas dos últimas cifras son múltiplo de 4) tendremos que restar una unidad al resultado final obtenido.

Fechas desde el 1 de enero de 2000 hasta el 31 de diciembre de 2099 restamos 1 al resultado final (en meses de enero y febrero de bisiestos restaríamos, pues, 2).

Quizá pueda parecer un poco engorroso pero no lo es tanto con un buen entrenamiento.

Truco número 3) Adivinar fechas de nacimiento

Operaciones a realizar:

1)  anotar el día de nacimiento

2)  multiplicarlo x 2. 

3)  sumarle 4  

4)  multiplicar por 50.   

5)  Sumarle el número que indica el mes de nacimiento.

6)  multiplicar x 100

7)  Restar la edad que se tenía al terminar el año anterior.

*)  La persona nos dice el resultado y a nosotros nos queda por hacer:

1)  Restar al resultado el número 20001

2)  Sumar 100

3)  Sumar las dos últimas cifras del año en curso.

Ejemplo:   Supongamos que la persona ha nacido un 20 de junio de 1982.

Al decirle que vaya haciendo las operaciones indicadas le irán dando los siguientes resultados (teniendo en cuenta que entre cada operación hay que pulsar el signo igual):

1)  20 (x 2)

2)  40 (+ 4)

3)  44 (x 50)

4)  2200 (+ mes de nacimiento)

5)  2206 (x 100)

6)  220600 (- edad al terminar el año anterior)

7)  220580  (si estuviésemos por ejemplo en 2.003)

La persona nos dice este resultado y a nosotros nos queda por hacer:

1)  200579   (menos 20001)

2)  200679   (más 100)

3)  200682   (más 03)

Esto es: 20 – 06 – 82  (20 de junio de 1.982)

Truco número 4) Adivinar el dinero que una persona lleva, su número de hermanos y su número de hermanas

Este truco es más sencillo que los anteriores, pero recuerda que para poder hacerlo tienes que practicarlo.

Le decimos a una persona que haga las siguientes operaciones:

1)                           Anotar la cantidad de dinero que lleva en el bolsillo.

2)                           Multiplicar esa cantidad por 10.

3)                           Sumar 25.

4)                           Sumar el número de hermanas que tiene.

5)                           Multiplicar el resultado por 10.

6)                           Sumar el número de hermanos que tiene.

A continuación le pedimos el resultado y nosotros hacemos lo siguiente:

1) Restamos al resultado que nos de 250.

Una vez hecho esto, la última cifra del resultado final será el número de hermanos del jugador, la penúltima será el número de hermanas, y las primeras serán la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo.

Si su resultado son 2361 esto significa que tendría 1 hermano, 1 hermana, y 21 euros.

Truco número 5) Complementario a 9

Un truco sencillo es el del complemento a 9, y consiste en lo siguiente:

Pedimos un número de tres dígitos al azar. Nos dicen, por ejemplo, el 643.

Lo escribimos dos veces en la pizarra.

643                                                                     643

A continuación pedimos otro número de tres dígitos (nos dicen, por ejemplo, el 562) y lo colocamos debajo del primer 643. Debajo del segundo 643 colocamos el complemento a 9 de 562.

Es decir, restamos de 999 el número 562. Y 999 – 562 = 437, que es el complemento a 9 de 562

643                                                                     643

562                                                                     437

Y ahora decimos que vamos a efectuar mentalmente las dos multiplicaciones y sumar ambos resultados.

Resolución:

643 – 1 = 642. Su complemento a 9 es 357, de tal forma que la suma de los dos productos es 642.357.

¿Cuál es el truco?:

La suma de los dos productos es igual al producto de 642 x 999, que a su vez equivale al de 643 x 1000 menos 643.

Truco número 6) Adivinar un número elegido

Vamos con otro sencillo truco.

Le pedimos a un amigo que piense un número y a continuación le pedimos que haga las siguientes operaciones:

1)                           Multiplicar el número pensado por 5

2)                           Sumar 6

3)                           Multiplicar el resultado por 4

4)                           Sumarle 9

5)                           Multiplicar el resultado por 5

Ahora pedimos que nos diga el resultado e inmediatamente podremos decirle el número que había pensado, sólo tendremos que restar 165 del resultado que nos dé y quitarle los dos ceros finales.

Veámoslo con un ejemplo:

Supongamos que nuestro amigo piensa en el número 12

Siguiendo los pasos que le pedimos llegará a lo siguiente:

1) 12 x 5 = 60

2) 60 + 6 = 66

3) 66 x 4 = 264

4) 264 + 9 = 273

5) 273 x 5 = 1365

Y nosotros haremos lo dicho:

1365 – 165 = 1200

y quitándole los dos ceros =  12 , que era el número pensado.

Truco número 7) Adivinar la edad

Este truco nos permitirá adivinar la edad de una persona (y de su madre) de forma muy original. Para ello le pedimos que haga las siguientes operaciones:

   1) Multiplicar su edad por 2

   2) Sumar 5

   3) Multiplicar x 50

   4) Sumar la edad de su madre

   5) Restar 365.

A continuación pedimos que nos diga el resultado y haciendo lo siguiente obtendremos la edad de esa persona y la edad de su madre:

1) Sumamos 115 al número que nos han dado.

  2) Las dos primeras cifras serán la edad de esa persona y las dos últimas la edad de su madre.

Vamos a verlo con un ejemplo: imaginemos que esa persona tiene 25 años y su madre tiene 57.

1)  25 x 2 = 50

2)  50 + 5 = 55

3)  55 x 50 =2750   

4)  2750 + 57 = 2807

5)  2807 – 365 = 2442

El resultado que nos darán  será  2442, sólo tendremos que sumarle 115

2442 + 115 = 2557

De tal forma que nuestro amigo tiene 25 años y su madre 57.

Truco número 8) Adivinar dos números pensados

Con el siguiente truco podremos adivinar dos números con unos sencillos cálculos.

Decimos a una persona que piense dos números, uno de una cifra, y el otro de dos cifras. A continuación le pedimos que haga las siguientes operaciones:

1)  Escribir el número de una cifra.

2)  Multiplicarlo x 5

3)  Sumar 5 al resultado.

4)Multiplicar x 10

5)Sumar 20

6)Multiplicar x 2

7)Restar 8

6)  Sumar el número de dos cifras elegido.

Ahora tenemos que pedir el resultado y le restamos 132.

Obtendremos entonces un resultado de tres dígitos, el primero es el número de una cifra, y los dos últimos son el número de dos cifras que había pensado.

No dudes en comprobarlo por ti mismo.

Truco número 9) Adivinar números telefónicos

Este es uno de los trucos más divertidos, a través del que puedes adivinarle el número de teléfono a alguien.

Pasos a seguir:

1)  Dile a alguien que marque su número de teléfono en la calculadora (puede ser el fijo o el móvil)

2)  Que multiplique por 10

3)  Sumar 1998

4)  Dividir entre 2

5)  Restar 2001

En este momento le pides la calculadora y te entregará un resultado muy raro.

Tú resolverás el secreto haciendo lo siguiente:

1)    Sumar 1002

2)    Dividido entre 5

Si en lugar de pedirle la calculadora eres capaz de hacer estos dos últimos cálculos mentalmente o con papel y lápiz sorprenderás más aún.

Truco número 10) Truco del mentalista

Este es un truco para predecir resultados, al estilo de los mejores mentalistas.

Para ello, tendrás que hacer lo siguiente:

1-    Escribe en un papel el número 198

2-   Que a la persona a quien se lo hagas escriba cualquier número de tres dígitos consecutivos y en orden decreciente (432; 765; etc)

3-   Que invierta el orden de los dígitos y escriba el número debajo del primero

4-    Que reste los dos números

Finalmente, muéstrale la predicción de tu papel. ( Cualquiera que sea el número que haya pensado tu amigo, la respuesta será siempre la misma)

Este mismo truco lo puedes hacer con números de cuatro dígitos. En este caso el número que tú tendrás escrito será el 3087

CAPÍTULO 3 – EJERCICIOS NUMÉRICOS

3.1 INTRODUCCIÓN

3.2 TÉCNICAS DE RELAJACIÓN-CONCENTRACIÓN

* EJERCICIO DE INSPIRACIÓN-ESPIRACIÓN

* RELAJACIÓN-CONCENTRACIÓN EN SÓLO DOS MINUTOS

3.3 EJERCITA TU CÁLCULO Y TU LÓGICA

JUEGOS DE VERDADERO O FALSO

CUÁL NÚMERO FALTA

SELECCIONA LA RESPUESTA CORRECTA

KAKUROS

CUADRADOS MÁGICOS

SOLUCIONES CAPÍTULO 3

3.1 INTRODUCCIÓN

Para ser calculista mental, o incluso para ser bueno en cualquier materia, diría que se requiere trabajar sobre tres aspectos fundamentales:

1)    La concentración: y es que sólo puedes dar lo mejor de ti mismo si consigues estar plenamente centrado en eso que estás realizando.

En el caso del cálculo mental, es importantísimo que no pienses en nada diferente mientras estés haciendo los cálculos.

Cuando voy a televisión, bato un record guinness o compito en un campeonato mundial, ten por seguro que para hacerlo bien tendré que estar muy concentrado, imposible sería en caso contrario.

2)    La constancia: para todo en la vida hay que ser constante. Es decir, hay que entrenarse de forma continua, a poder ser a diario. Igual que un deportista hace sus entrenamientos en el día a día, alguien que quiera calcular bien también ha de practicarlo de forma continua, olvidándose lo más posible de la calculadora.

3)    El método: en este sentido, hay que realizar los cálculos de alguna forma, y procurar hacerlos siempre de esa manera. En el capítulo anterior ya vimos los métodos que yo mismo utilizo en mis cálculos.

Pues bien, en el siguiente capítulo te encontrarás con un par de técnicas de relajación-concentración, así como un buen número de ejercicios para que juegues con los números y potencies tu concentración, tu lógica, y tu cálculo mental. Procura disfrutarlo.

3.2 TÉCNICAS DE RELAJACIÓN-CONCENTRACIÓN

Cada persona puede tener sus propias técnicas para relajarse y concentrarse en cualquier situación. Técnicas que en la mayoría de ocasiones vienen acompañadas de la práctica y de afrontar las situaciones con experiencia.

Y esto es importante para todo; cuando un deportista tiene una situación de tensión extrema, es fundamental que se concentre en lo que va a hacer y que toda la tensión del momento la dirija hacia el objetivo.

Si es una carrera de 100 metros lisos, toda la energía interna ha de dirigirse hacia correr lo más rápido posible.

Imagínate a Pau Gasol en una final olímpica de baloncesto, dispuesto a ejecutar en los últimos segundos tiros libres con un marcador apretado. ¿Te imaginas que le temblase el pulso?

Pero estamos ante un campeón, y eso se consigue habiéndolo

ejercitado antes, la concentración viene con la práctica.

Pues para todo igual, imagínate que te enfrentas a un problema, a un examen o a la explicación de un tema que requiere atención para poder entenderlo; lo primero que tienes que hacer es relajarte y concentrarte para poder dar lo mejor de ti mismo. Por ello, trata este tema con el máximo interés. No puedes enfrentarte a un problema o situación si tu mente divaga en otros pensamientos y no diriges toda tu energía hacia el objetivo.

Si quieres ser un campeón en aquello que te guste, tienes que aprender a concentrarte, no lo olvides nunca.

A continuación te expongo un par de técnicas que podrás practicar de forma rápida y sencilla y que te ayudarán a relajarte y a concentrarte; el secreto está en que lo pongas en práctica y, de alguna forma, lo asimile tu subconsciente, para así realizarlo casi sin querer cuando la situación lo requiera.

1)  EJERCICIO DE INSPIRACIÓN-ESPIRACIÓN

Este es el primer ejercicio que te recomiendo para relajarte, es muy sencillo y hay que hacerlo con tranquilidad.

Te permitirá aprender a relajarte y ser capaz de centrar tu atención en una cosa en concreto, sin distraerte. Con el tiempo, cuando vayas consiguiendo esto, podrás realizar ejercicios más complejos que te permitan relajarte aún más y desarrollar tu capacidad de concentración.

Puedes hacerlo sentado o tumbado, a tu gusto y, eso sí, para

practicarlo, busca un lugar tranquilo. Cierra los ojos, que ninguna prenda te haga sentir incómodo, y descálzate.

Y ahora:

Inspira y espira, pero hazlo desde el abdomen, es decir, saca el abdomen al inspirar y mételo al espirar. Hazlo repetidas veces, con lentitud, que te resulte placentero.

Al inspirar sigue este orden:

— Saca el abdomen,

— hincha el tórax,

— echa los hombros ligeramente hacia arriba y hacia atrás.

Al espirar, relaja por el mismo orden abdomen, tórax y hombros.

Haz todo esto repetidas veces, sin pausas, y puedes continuar

durante varios minutos.

Recuerda no forzar las inspiraciones o espiraciones. Debe ser

fluido y siempre prestando atención en la respiración, percibiendo cómo el aire entra y sale de tus pulmones para oxigenar todo tu cuerpo, cómo el abdomen y luego el tórax se hinchan en la inspiración, etcétera.

Este ejercicio es muy importante; cuando lo practiques varias veces, lo realizarás en situaciones diversas, aunque no estés tan cómodo. Mientras lo ejecutas y te concentras en tus inspiraciones y espiraciones, te olvidarás de los problemas cotidianos y pasarás a ese estado de relajación deseado.

2)  RELAJACIÓN-CONCENTRACIÓN EN SÓLO DOS MINUTOS

Este ejercicio es mi favorito, lo practico con mucha frecuencia en situaciones diversas: cuando acudo a televisión, antes de una conferencia importante, al iniciar un campeonato del mundo o un torneo, etcétera.

Y lo hago empleando apenas un par de minutos. Eso sí, estoy

habituado a realizarlo en mi casa, con música lenta (cuando no puedo poner música, me la imagino, y es como si la estuviera escuchando).

Ten en cuenta algo:

La práctica de este ejercicio hace que se grabe en tu subconsciente, de tal forma que luego lo realices con sólo proponértelo.

Pasos:

1. Repite mentalmente varias veces: relajación-concentración,

relajación-concentración…

2. Si estás en tu casa ponte una música muy lenta y suave. Si no lo estás, imagínate esa música con la que ya has practicado previamente.

3. Piensa en tus pies y luego en tu cabeza, piensa que estás flotando.

4. Cierra los ojos y traza una línea imaginaria entre tus dos ojos e imagina un punto luminoso en su extremo.

5. Permanece en este estado durante un ratito (aproximadamente dos minutos). En este momento ya estarás concentrado, estarás entrando en lo que se llama estado alfa.

Cuando tengas buena práctica, no será necesario que cierres los ojos, y nadie se dará cuenta que lo estás haciendo, simplemente lo harás y estarás en un estado adecuado de relajación y concentración.

3.3 EJERCITA TU CÁLCULO Y TU LÓGICA

* JUEGOS DE VERDADERO O FALSO

En la siguiente sección te propongo una serie de cálculos con las opciones de Verdadero o Falso, en las que tienes que encontrar la respuesta correcta.

Este tipo de ejercicios son muy útiles no sólo para potenciar tu capacidad de cálculo mental, si no también para trabajar lo que es el tanteo, una forma intuitiva de discernir si puede o no puede ser la respuesta dada la correcta.

Tiempo recomendado: 6 minutos

1)    14 + 7 = 21

V

F

2)    5 + 14 + 37 = 102

V

F

3)    1 + 6 + 24 = 31

V

F

4)    18 + 66 - 9 = 70

V

F

5)    33 + 34 + 2 = 75

V

F

6)    42 x 2 + 8 = 92

V

F

7)    231 + 14 - 7 = 238

V

F

8)    44 x 5 + 31 = 501

V

F

9)    66 – 12 - 7 = 47

V

F

10)                    9 x 11 + 62 = 160

V

F

11)                    245 + 13 + 24 = 302

V

F

12)                    13 x 3 + 7 = 46

V

F

13)                    15 : 3 + 6 = 11

V

F

14)                    831 + 27 + 18 = 976

V

F

15)                    541 + 362 + 56 = 989

V

F

16)                    244 x 2 + 13 = 501

V

F

17)                    15 x 6 + 13 = 103

V

F

18)                    44 : 4 + 13  = 26

V

F

19)                    25 x 6 x 3 = 450

V

F

20)                    17 : 2  + 53 = 64

V

F

21)                    34 : 3  x 6 = 118.3

V

F

22)                    175 x 4 + 36 = 736

V

F

23)                    42 x 6 + 9 = 417

V

F

* CUÁL NÚMERO FALTA

El siguiente ejercicio consiste en identificar el número que falta para que se cumpla la igualdad. Es un ejercicio que te hará agilizar mucho tu cálculo mental.

Tiempo de realización recomendado: 8 minutos. Resolver todos los ejercicios por debajo de ese crono estaría muy bien. Por supuesto, trata de realizarlos correctamente.

Ejercicio

1)  47 + 4 + __ = 62

2)  22 + 13 + __ = 44

3)  __ + 12 -15 = 12

4)  45 + __ + 8 = 66

5)  19 + 3 + __ = 34

6)  42 – 28 + 9 + __ = 39

7)  118 – 14 + __ = 132

8)  44 – 25 – 19 + __ = 11

9)  32 : 4 – 35 + __ = 63

10)                    55 x 2 + 18 - __ = 105

11)                    14 – 13 + __ = 48

12)                    222 : 2 - __ = 108

13)                    20 x 3 + __ = 78

14)                    52 – 42 + __  = 97

15)                    15 x 4 + __ = 93

16)                    98: __ + 17  = 66

17)                    36 : 4 + 15 + __ = 32

18)                    17 x __ + 15 = 49

19)                    8 : 1 + 34 - __ = 27

20)                    16 : 4 - __ = -5

21)                    32 x 3 + __ - 3 = 98

22)                    18 – 13 + 21 - __ = 12

23)                    244 : 2 + 17 – __ = 131

* SELECCIONAR LA RESPUESTA CORRECTA

En los siguientes ejercicios tienes que seleccionar la respuesta correcta entre las posibles soluciones que te vienen ya dadas.

Este tipo de ejercicios has de resolverlos aplicando cálculo mental y, por supuesto, una buena dosis de lógica numérica, interpretando en cada momento que respuestas pueden o no pueden ser las correctas. De hecho, cuando veas que algún cálculo sea complicado, céntrate en determinar cuál deba ser la respuesta correcta, sin tratar de hacer el cálculo concreto.

Tiempo recomendado: 5 minutos

1)  12 + 7 + 12

a)   30

b)   31

c)   32

d)   110

2)  40 + 32

a)   74

b)   120

c)   72

d)   13

3)  67 + 15 - 8

a)   67

b)   81

c)   74

d)   56

4)  56 – 8 + 11

a)   57

b)   56

c)   55

d)   59

5)  640 + 18 + 7

a)   665

b)   465

c)   705

d)   351

6)  32 + 8 + 24

a)   86

b)   64

c)   103

d)   ninguna

7)  62 : 2 + 7

a)   48

b)   38

c)   28

d)   36

8)  5 x 12 + 17

a)   80

b)   78

c)   69

d)   77

9)  55 : 11 + 38

a)   40

b)   43

c)   33

d)   12

10)  47 x 2 + 19

a)   108

b)   121

c)   113

d)   106

11)  13 x 7 + 18

a)   142

b)   143

c)   109

d)   106

12)  115 – 32 + 19

a)   102

b)   141

c)   104

d)   98

13)  22 – 35 + 18

a)   12

b)   46

c)   5

d)   8

14)  412 + 68 – 433

a)   62

b)   117

c)   48

d)   47

15)  91 x 2 + 18

a)   208

b)   200

c)   136

d)   Ninguna es correcta

16)  14 : 2 + 34

a)   40

b)   31

c)   30

d)   41

17)  49 – 62 – 354

a)   -365

b)   -363

c)   -367

d)   -408

18)  23 x 3 + 15

a) 82

b) 85

c) 74

d) ninguna

19)  82 x 3 + 9

a) 286

b) 255

c) 431

d) 185

20)  43 – 38 – 17

a)   – 12

b)   – 9

c)   13

d)   4

21)  66 x 12 + 31

a)   1113

b)   967

c)   888

d)   823

22)  13 x 13 x 11

a)   1859

b)   2859

c)   859

d)   Ninguna

23)  35 : 7 + 42

a)   46

b)   57

c)   56

d)   47

* KAKUROS

¿qué son los kakuro?

Los Kakuro son unos pasatiempos numéricos ciertamente divertidos, aunque no hayan alcanzado la fama de los populares sudoku.

Personalmente, me gustan más los kakuro, puesto que además de la lógica, también tendrás que hacer sumas, con lo que tienes un ingrediente más en tu entrenamiento mental.

El kakuro es un crucigrama pero numérico, que al igual que este, tiene combinaciones verticales y horizontales a rellenar con números del 1 al 9, de tal forma que sumen la cantidad que requiere esa línea (que ya viene dada). Por este motivo, los kakuro también son llamados rompecabezas de sumas cruzadas, puesto que cada respuesta ayuda a resolver otras que se cruzan con ella.

Al igual que en el sudoku, no pueden repetirse los números en la misma línea (vertical u horizontal).

A continuación va un ejemplo para que veas cómo se realizan:

Kakuro
Kakuro a resolver

kakuro resuelto

Si te fijas bien, en el ejemplo partimos de un kakuro a resolver, con unas claves en forma de números a los que hay que llegar mediante sumas.

La resolución del kakuro, implica colocar números en esas casillas en blanco, de tal forma que sumen el número que indica la clave, tanto en horizontal como en vertical.

Los beneficios de hacer kakuro

Además de la parte lúdica y de entretenimiento que significa hacer kakuro, con ellos trabajaremos la parte lógica y también el cálculo mental, pues a diferencia de los sudoku, tendrás que hacer sumas, con el consiguiente ejercicio que ello supone.

En las próximas páginas te propongo una serie de kakuros para que trates de resolverlos. El grado de dificultad va en aumento, con lo que te aconsejo que empieces por el principio.

Kakuro número 1)

Kakuro número 2)

Kakuro número 3)

Kakuro número 4)

Kakuro número 5)

* CUADRADOS MÁGICOS

En el capítulo de “matemática y arte” ya habíamos mencionado los cuadrados mágicos, recordemos que son cuadrados con celdillas en las que se disponen números, de tal forma que la suma de cualquiera de sus filas, columnas, y las dos diagonales principales, dan siempre el mismo resultado. Al número resultante de esta suma se le denomina “constante mágica”, y al número de filas y columnas se le llama “orden” del cuadrado.

En el siguiente ejemplo puedes ver un cuadrado mágico de orden 4, cuya constante mágica es 34.

1

2

15

16

12

14

3

5

13

7

10

4

8

11

6

9

Breve reseña histórica

Nos dice la leyenda que el primer cuadrado mágico nació en el siglo XXIII antes de Cristo, y que fue encontrado por el emperador chino de la época en el caparazón de una tortuga que habitaba en el río amarillo.

Con este peculiar origen, no sorprende que los chinos les diesen un significado cabalístico y mágico (que en otras culturas se ha mantenido o incluso ampliado).

Además de esto, los cuadrados mágicos también han servido para la resolución de importantes teoremas matemáticos, aparte de inspirar trabajos arquitectónicos y diseños industriales.

Potenciadores del cálculo y la lógica

Aunque existen técnicas para la resolución de todo tipo de cuadrados mágicos (puedes ver al respecto en mi libro “Fortalece tu Mente”, publicado con EDAF) en este capítulo te propongo una buena cantidad de cuadrados sin completar, para que tú mismo coloques los números y termines de resolverlos.

Este es un perfecto potenciador de tu capacidad de cálculo mental, así como un buen ejercicio de lógica numérica.

1) Rellena el siguiente cuadrado con los números del 1 al 9 para que sea mágico.

2) Cuadrado mágico de orden 4. Rellena los huecos con números del 1 al 16

6

8

2

12

9

4

1

14

3) Coloca los números del 1 al 16 para convertir el cuadrado en mágico.

15

16

12

3

5

13

4

11

9

4)    Rellena el siguiente cuadrado mágico, compuesto por los números del 7 al 23

11

22

20

12

14

8

10

13

5)  Otro de orden cuatro y resultado 102 en sumas, columnas y diagonales.

18

33

31

24

21

25

28

6)  Rellena el siguiente cuadrado para que sea mágico. Orden 4 y suma de filas, columnas y diagonales igual a 102

33

42

44

31

43

20

7

18

45

7)  Cuadrado mágico de orden 5. Coloca los números que faltan, del 1 al 25

24

8

15

23

5

7

14

4

13

22

10

12

21

3

11

18

2

9

8)  Coloca los números del 1 al 25 para que el cuadrado sea mágico.

1

9

23

24

13

10

17

6

3

15

4

18

21

22

11

5

9)  En el siguiente, los números van del 9 al 33

9

15

23

26

32

17

19

25

33

11

30

13

16

29

10

18

10)                    Cuadrado mágico con números del 22 al 46

22

44

33

37

31

38

27

35

24

36

25

42

29

43

26

40

11)                    Cuadrado mágico con números del 12 al 36, suma.

12

29

36

31

35

22

13

21

30

32

20

27

33

34

26

28

SOLUCIONES CAPÍTULO 3

JUEGOS “VERDADERO O FALSO”

SOLUCIONES:

1)     V

2)     F

3)     V

4)     F

5)     F

6)     V

7)     V

8)     F

9)     V

10) F

11) F

12) V

13) V

14) F

15) F

16) V

17) V

18) F

19) V

20) F

21) F

22) V

23) F

JUEGOS “¿CUÁL NÚMERO FALTA?”

SOLUCIONES

1)     11

2)     9

3)     15

4)     13

5)     12

6)     16

7)     28

8)     11

9)     90

10) 23

11) 47

12) 3

13) 18

14) 87

15) 33

16) 2

17) 8

18) 2

19) 15

20) 9

21) 5

22) 14

23) 8

JUEGOS “SELECCIONAR LA RESPUESTA CORRECTA”

SOLUCIONES

1)     b

2)     c

3)     c

4)     d

5)     a

6)     b

7)     b

8)     d

9)     b

10) c

11) c

12) a

13) c

14) d

15) b

16) d

17) c

18) d

19) b

20) a

21) d

22) a

23) d

KAKUROS

SOLUCIONES

1)

2)

3)

4)

5)

CUADRADOS MÁGICOS

SOLUCIONES

1)

8

3

4

1

5

9

6

7

2

2)

6

5

11

8

13

2

12

3

10

9

7

4

1

14

0

15

3)

1

2

15

16

12

14

3

5

13

7

10

4

8

11

6

9

4)

7

11

18

22

20

17

12

9

21

14

15

8

10

16

13

19

5)

18

19

32

33

29

31

20

22

30

24

27

21

25

28

23

26

6)

6

33

21

42

44

19

31

8

43

20

32

7

9

30

18

45

7)

17

24

1

8

15

23

5

7

14

16

4

6

13

20

22

10

12

19

21

3

11

18

25

2

9

8)

1

20

9

23

12

24

13

2

16

10

17

6

25

14

3

15

4

18

7

21

8

22

11

5

19

9)

9

15

23

26

32

28

31

12

14

20

17

19

25

33

11

30

13

16

22

24

21

27

29

10

18

10)

22

41

30

44

33

45

34

23

37

31

38

27

46

35

24

36

25

39

28

42

29

43

32

26

40

11)

12

18

29

36

25

31

35

22

13

19

23

14

21

30

32

20

27

33

24

16

34

26

15

17

28

CAPÍTULO 4 – LOS GRANDES CALCULISTAS MENTALES

4.1         INTRODUCCIÓN

4.2         CASOS HISTÓRICOS

4.3         ¿POR QUÉ HAY POCOS CALCULADORES PRODIGIO?

4.4         FOTOS Y DIPLOMAS

4.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo te voy a contar algunos casos históricos de personas con gran capacidad para el cálculo mental, pero antes aportaremos unos datos genéricos:

Es una habilidad que suele manifestarse a edades tempranas (en mi caso con 5 ó 6 años de edad), pero también encontramos ejemplos de calculistas que se iniciaron a edades avanzadas.

Dentro de los calculistas ha habido genios matemáticos (Gauss, Euler, Ramanujan, Ampere, Wallis, Aitken …). También ha habido, y hay, numerosos casos de personas con síndrome de asperger (un tipo de autismo), que tienen muchas dificultades para relacionarse con los demás y, paralelamente, poseen grandes capacidades para aquellos temas que les motivan, como puede ser el cálculo.

Suele ser la parte izquierda del cerebro la que regula las capacidades aritméticas. Esto se sabe porque personas con lesiones en esa parte del cerebro perdieron la capacidad de cálculo.

Si bien hay muchos más hombres que mujeres calculistas, me atrevería a afirmar que se debe a un tema cultural y discriminatorio, es decir, no siempre ha habido las mismas posibilidades para unos y otras.

Muchas veces se asocia el cálculo a una gran memoria. Suele haber coincidencia, pero no siempre es así. Personalmente, he desarrollado la rapidez de cálculo sin paralelamente trabajar reglas mnemotécnicas, aunque sí he fortalecido mucho lo que es la memoria en el  corto plazo.

La actitud tan extraordinaria para el cálculo mental se funda en la misma facultad que está en la base del lenguaje. Una de las razones que explican la facilidad fenomenal con la que los calculadores prodigio manipulan los números es la utilización de la misma aptitud inconsciente que permite la palabra.

Se cree que el calculista llega a actuar de forma inconsciente. Pese a que para la gente normal el cálculo aritmético es un proceso consciente (se tendrían memorizados métodos para las distintas operaciones), dada la extraordinaria rapidez para calcular de los prodigios del cálculo, se ha sugerido que una parte del proceso debe de ser inconsciente.

    Personalmente me atrevería a afirmarlo, ya que cuando sumo una columna de dígitos, por ejemplo, consigo hacerlo a una media sostenida de 6 dígitos por segundo y soy incapaz de explicar cómo lo hago. Simplemente los veo y los sumo tan rápido como la vista los recoge, siendo para mí igual verlos que sumarlos, tardo lo mismo. La verdad es que no sé cómo lo hago, simplemente lo hago, y no encuentro ninguna dificultad para ello.

El prestigioso psicólogo Alfred Binet, que estudió a calculistas, concluyó que hay al menos dos tipos de calculadores: los visuales, (vemos los números mientras calculamos); y los auditivos (los oyen).

4.2 CASOS HISTÓRICOS

El eminente matemático inglés John Wallis estaba dotado de una extraordinaria memoria y capacidad de cálculo. Entre sus logros más destacados  podemos citar la creación de un algoritmo para calcular decimales del número PI.

Se cuenta de Wallis que en una noche de insomnio llegó a calcular la raíz cuadrada de un número de 40 cifras, recordándolo y escribiéndolo al día siguiente. Se sabe que el resultado era erróneo en sólo dos dígitos.

Uno de los más grandes matemáticos que la humanidad ha dado, Leonhard Euler, también era extraordinariamente hábil con los números.

Sus investigaciones en teoría de números se vieron apoyadas por el hecho de que dominaba mentalmente  no sólo los 100 primeros números primos, sino también sus cuadrados, cubos, cuartas, quintas y sextas potencias.  Era capaz de hacer mentalmente difíciles cálculos, algunos de los cuales requerían retener en la cabeza hasta 50 cifras. Arago cuenta  de él que calculaba sin esfuerzo aparente: “igual que una persona respira o un águila se mantiene en el aire”.

Leonhard Euler

Hablar de André Marie Ampere, nuestro siguiente caso de fenómeno del cálculo, es hacerlo de uno de esos prodigios que muy de vez en cuando da la humanidad.

Aprendió a calcular a la edad de 4 años, y es que la aritmética es una de las cualidades que primero empiezan a manifestarse en este tipo de genios. Con apenas 12 años ya había alcanzado a dominar la matemática más avanzada.

Y de genio a genio, porque  Karl Fredrich Gauss está considerado como uno de los grandes matemáticos de la Historia (algunos autores lo sitúan junto a Arquímedes y Newton en la cúspide).

Sus contribuciones a la matemática, física, óptica o astronomía fueron de una importancia extraordinaria.

Gauss fue un niño prodigio, mostrando sus impresionantes habilidades aritméticas a la increíble edad de tres años, habilidad que le acompañó durante toda su vida.

A esta tempranísima edad aprendió a leer y a hacer cálculos mentales con tanta habilidad que corrigió los cálculos de una nómina que estaba revisando su padre.

Karl Friedrich Gauss

Nuestro siguiente personaje, Zerah Colburn, fue uno de los más famosos calculistas habidos. Nacido en Vermont, EEUU, tenía 6 dedos en cada mano y en cada pie (me pregunto si sería determinante a la hora de que el joven Zerah se interesase por el cálculo).

Cuando tenía sólo 5 años se descubrió su habilidad para calcular y se inició su carrera profesional como calculista, dando desde entonces numerosas exhibiciones por Norteamérica y por Europa.

Muchos filósofos le calificaron como “el más extraño fenómeno en la Historia de la humanidad que quizá haya existido”.

El caso de George Parker Bidder es el de otro niño prodigio, que empezó a calcular a la edad de 6 años.

Nació en Inglaterra en 1,806. A la edad de  9 años fue presentado ante la Reina, donde respondió a numerosos problemas de cálculo causando gran asombro.

Parece ser que aprendió a contar y calcular jugueteando con piedrecillas y botones.

Reconozco que tengo una especial debilidad por nuestro siguiente protagonista: Srinivasa Ramanujan.

Fue Ramanujan uno de los más curiosos genios que ha dado la humanidad. Nacido en el seno de una familia pobre de la India en 1,887, estaba dotado de una capacidad intuitiva para las matemáticas muy inusual.

Antes de su fallecimiento, de tuberculosis a los 33 años, Hardy fue a visitarlo y de entonces nos cuenta la siguiente anécdota:

“una vez fui a verle cuando yacía enfermo en Putney. Para romper el hielo le conté que había viajado en un taxi cuyo número me resultaba un tanto insípido, el 1,729. Rápidamente me respondió: “no amigo no, es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos formas diferentes. 12 al cubo + 1 al cubo; y 10 al cubo + 9 al cubo”.

Srinivasa Ramanujan

John Von Neumann fue uno de los padres de la computadora moderna. También desarrolló la rama de las Matemáticas conocida como “Teoría de Juegos”.

Se cuenta la anécdota de que durante la Segunda Guerra Mundial estaban reunidos en Los Alamos – Nuevo México (donde se gestó la creación de la Bomba Atómica) cuatro genios de la Física y las Matemáticas: John Von Neumann, Enrico Fermi, Edward Teller y Richard Feynman. Continuamente se lanzaban ideas y siempre que había que efectuar un cálculo matemático (nos cuenta Robert Jungk citando a otro físico) Fermi, Feynmann y Von Neumann se ponían en acción. Fermi empleaba una regla de cálculo, Feynman una calculadora de mesa, y von Neumann su cabeza.

“La Cabeza terminaba normalmente la primera, y es notable lo próximas que estaban siempre las tres soluciones”.

4.3  ¿POR QUÉ HAY POCOS CALCULADORES PRODIGIO?

Aunque haya coincidencia entre las facultades que regulan el lenguaje y el cálculo mental, sorprende que haya tan pocos calculistas prodigio.

La respuesta a esta cuestión viene dada por el entorno. Cierto es que se acompaña una capacidad innata, pero no menos cierto que el factor ambiental juega un papel decisivo para desarrollar esta capacidad. Los niños aprenden a hablar porque en su entorno todo el mundo habla. El que muy pocos practiquen el cálculo mental se debe a que es un ejercicio muy poco corriente entre los adultos que los rodean. Sólo los niños que tienen un carácter o un modo de vida algo especial prosiguen una habilidad no alentada colectivamente.

En mi caso concreto, quiero recalcar el hecho de que mis juguetes tenían mucho número, o así los veía yo. De hecho mi primer entrenamiento con números fueron los juegos de cartas.

Todos los calculadores prodigio coincidimos en que los números son verdaderos amigos y aliados. El calculista Win Klein dijo al profesor Smith durante una entrevista, allá por 1,960 :

“Los distintos números son para mi como amigos más o menos queridos. El 3,844 no significa lo mismo para Usted que para mí. Para Ud. es sólo un 3, un 8, un 4 y un 4. Pero yo le digo: “Hola 62 al cuadrado!”

En una sociedad que se preocupara del cálculo mental tanto como de otra materia, no cabe la menor duda de que la gente calcularía mucho mejor. Hoy día, sin embargo, el mismo arte de calcular pierde terreno ante las calculadoras de bolsillo. Ya en 1,954 Alexander Aitken definía así  ante la Sociedad de Ingenieros los nefastos efectos de las máquinas de calcular para el cálculo mental:

“Es posible que, lo mismo que los tasmanos o los moriori, los calculadores mentales estemos condenados a la extinción. Podría ser que yo estuviera aquí en calidad de espécimen curioso y que me miráseis con un interés puramente etnológico … En el año 2,000, tal vez algunos de vosotros dirán: “Pues sí, yo conocí a uno de ellos”.

4.4 FOTOS Y DIPLOMAS

Participantes en la Olimpiada del Deporte Mental, Estambul 2008

Alberto Coto y Ruediger Gamm

A.C. y Andrew Robertshaw

Alberto, Vinay Bharadwaj y Josema Bea

Triplete en la Olimpiada de Estambul (2008)

Alberto Coto con dos de sus Guinness