A la memoria de mi madre,

María González

Introducción

La física cuántica es uno de los mayores triunfos intelectuales del ser humano, tal vez el más grande. Hablamos de la teoría que nos ha proporcionado más explicaciones satisfactorias de los hechos más diversos. ¿Por qué el cielo es azul y la hierba es verde? ¿Por qué los metales son buenos conductores del calor y la electricidad? ¿Por qué el agua hierve a 100 ºC? ¿Por qué arde la madera y no las piedras? La respuesta está en la física cuántica. Más preguntas: ¿Por qué los objetos se ponen rojos cuando se calientan? ¿Por qué el diamante es duro y frágil? ¿Por qué nos ponemos morenos al sol? ¿Por qué la resina es pegajosa? ¿Por qué hay sustancias radiactivas? ¿Por qué el hierro es más abundante que el oro? ¿Por qué brillan las estrellas?... Así podríamos seguir páginas y páginas, la lista de hechos familiares cuya explicación está en la física cuántica es interminable. Y esto vale también para cuestiones más profundas que subyacen a las anteriores: ¿Por qué hay elementos químicos y a qué se deben sus propiedades? ¿Por qué hay reacciones químicas y por qué son como son? ¿Por qué los objetos tienen colores? ¿Por qué la materia y la luz están hechas de partículas elementales?

A comienzos del siglo XX, cuando se empezó a desarrollar la física cuántica, todas las cuestiones anteriores eran un absoluto misterio. Hoy en día se explican rutinariamente en los libros de texto y las clases de los grados universitarios de física y química. La física cuántica subyace también a muchos procesos biológicos esenciales: la forma en la que los seres vivos almacenan información en el ADN y realizan copias del mismo, la función clorofílica que hace crecer las plantas, las señales nerviosas que recorren el cerebro y las que este envía al resto de los órganos, la sensibilidad a la luz de las células de la retina, etc. Indudablemente, la física cuántica ha aportado más a nuestra comprensión del mundo que cualquier otra teoría científica o filosófica de la historia. Pero antes de seguir en este tono triunfalista conviene avisar: la física cuántica no lo explica todo y las cuestiones más profundas siguen sin respuesta. De todo ello hablaremos en este libro.

El conocimiento de la naturaleza que ha proporcionado la física cuántica ha servido para que los humanos hayan aprendido a manipularla en su propio beneficio (a veces también en su contra). Esto ha dado lugar a una lista, también interminable, de avances tecnológicos. Toda la tecnología digital está fundada sobre la microelectrónica, desarrollada a partir de nuestra comprensión cuántica de la materia. Esto incluye ordenadores, smartphones, robots y cualquier dispositivo que contenga transistores o chips en su interior. Por supuesto, internet sería impensable sin ella. La física cuántica permitió también desarrollar el rayo láser y toda la tecnología asociada, incluyendo su aplicación en cirugía y la comunicación por fibra óptica. Otros avances extraordinarios genuinamente cuánticos son las luces LED, las cámaras digitales, el microscopio electrónico, los relojes atómicos (base, a su vez, del sistema de geolocalización GPS) e importantes métodos de diagnosis en medicina, como la imagen por resonancia magnética. En resumen, la física cuántica ha desencadenado la revolución tecnológica y social en la que estamos inmersos, y desde el punto de vista económico, es seguramente la idea abstracta más productiva de todos los tiempos.

Pero ¿qué es la física cuántica? El adjetivo «cuántico» aparece a menudo en los medios de comunicación, normalmente para describir de forma coloquial algún hecho asombroso o desconcertante; por ejemplo, se habla de un jugador de fútbol «cuántico» porque parece estar en dos sitios a la vez, o se invoca el famoso «gato de Schrödinger», simultáneamente vivo y muerto, para describir una realidad paradójica. Más allá de este uso informal, la física cuántica suele emplearse como paradigma de teoría científica abstrusa e incomprensible, o para aludir a misteriosas tecnologías del futuro como la computación y la criptografía cuánticas. En general, las referencias son vagas y confusas, como si la comprensión de la física cuántica estuviera reservada a especialistas. A veces, incluso, se levantan sospechas de que, tras la jerga científica, se oculta una teoría ambigua e imprecisa, que roza lo esotérico y que realmente no explica nada.

Lo primero que hay que decir es que la física cuántica es una teoría sobre cómo funciona la naturaleza, perfectamente consistente y bien formulada, sin ambigüedades ni contradicciones. Todos los científicos del mundo llegan a idénticos resultados cuando aplican la teoría cuántica a la descripción de un fenómeno. Sin embargo, la física cuántica tiene dos problemas para su comprensión en un ámbito no especializado. El primero es que su formulación precisa requiere conceptos matemáticos de cierta sofisticación: números complejos, espacios de Hilbert, operadores hermíticos, ecuaciones de autovalores, etc. No obstante, como esperamos que ilustre este libro, esos requisitos matemáticos no son imprescindibles para entender la esencia de la teoría, el significado de sus postulados y sus consecuencias más importantes. El segundo problema es que la física cuántica es profundamente contraintuitiva, parece chocar frontalmente con nuestro sentido común, y eso supone una dificultad para entender su lógica y su coherencia. Pero en realidad, más que un problema, esto supone un desafío apasionante para la inteligencia. Más allá de sus éxitos para explicar fenómenos físicos concretos o para desarrollar magníficas tecnologías, la física cuántica nos ofrece una perspectiva revolucionaria de la realidad; una perspectiva extraña y fascinante, incluso inquietante. Y también nos señala misterios profundos que aún no comprendemos. Como decía Niels Bohr, «quien no se haya sentido impactado por la teoría cuántica es que no la ha comprendido».

1

Una pepita de oro

En 1848, un capataz llamado James Marshall construía junto a sus hombres un aserradero propulsado por agua junto al río de los Americanos, en California. Inesperadamente, hicieron un hallazgo sensacional: unas brillantes pepitas de oro en el conducto de desagüe. Marshall informó rápidamente de ello a su patrón, el pionero suizo John Sutter, quien, en contra de lo que podría esperarse, no se alegró de las novedades. Sutter tenía planes de establecer un emporio agrícola en la zona y temió que la aparición del oro lo echara todo a perder; por ello, intentó mantener en secreto el descubrimiento. Sin embargo, el rumor de la noticia se extendió. Fue el comienzo de la fiebre del oro de California, que atrajo a cientos de miles de buscadores de fortuna (los cuales, efectivamente, casi destruyeron la propiedad de Sutter). Los buscadores no se limitaron a explorar las arenas del río y sus alrededores, sino que siguieron la corriente hacia arriba en busca del gran yacimiento del que se desprendían aquellos pequeños tesoros. Ese yacimiento fue encontrado unos años después, siendo bautizado como la «Veta Madre», una fabulosa franja de casi doscientos kilómetros de longitud repleta de depósitos de oro.

Medio siglo más tarde, en torno a 1900, un físico alemán de unos cuarenta años, Max Planck, investigaba en la Universidad Friedrich Wilhelm de Berlín, luchando por entender la llamada «radiación del cuerpo negro». Esta es la radiación electromagnética que emiten los cuerpos por el solo hecho de estar calientes. Dicha radiación puede ser invisible, como los rayos infrarrojos que emiten todos los cuerpos ordinarios; o visible, como la resistencia de un horno o una tostadora cuando se pone al rojo vivo. Esta radiación puramente térmica no depende de la naturaleza del objeto, solo de su temperatura. Por ejemplo, si calentamos lo suficiente un trozo de carbón, de hierro o de cualquier material que no se funda antes, este se pondrá rojo en torno a los 500 ºC y naranja en torno a los 1.000 ºC. Al elevar más aún la temperatura, el color amarillea y se hace más blanquecino, caso de las antiguas bombillas de filamento con temperaturas de hasta 3.000 ºC. Para temperaturas mucho más altas, el color se vuelve blanco con tintes azulados. La cuestión es: ¿por qué sucede todo esto?

Max Planck sabía que, si se calculaba esa radiación térmica usando los métodos ortodoxos de la física de entonces, se obtenía una predicción desastrosa. La física «oficial» no parecía capaz de explicar por qué los cuerpos se ponen rojos y naranjas cuando se calientan. Planck intentó modificar el razonamiento clásico de alguna forma que reconciliara las predicciones con el resultado experimental, pero sin éxito. Finalmente, en lo que él mismo calificó como «un acto de desesperación», corrigió la fórmula clásica de una manera extraña pero que resultó la acertada. No está muy claro cómo concibió Planck aquella misteriosa fórmula, pero sabemos que poco después descubrió que se podía llegar a ella si se partía de una hipótesis extravagante: que la energía almacenada en la luz no podía tomar cualquier valor, sino que cambiaba a saltos. Imaginemos una caja en la que podemos verter agua. La experiencia nos dice que la cantidad de agua almacenada puede modificarse de forma continua. Si la caja contiene un litro de agua, podríamos añadir o quitar un poquito, y ese poquito puede ser tan pequeño como queramos. Sin embargo, si la caja contiene monedas, la cantidad de estas ha de ser un número entero; por ejemplo, cien monedas. Entonces podremos añadir o quitar una moneda, pero no un «poquito de moneda». La cantidad de monedas cambia de forma discreta, no continua. La hipótesis de la cuantización es que la energía luminosa cambia como en el caso de las monedas, no como en el del agua. Si la caja está llena de luz roja (o azul, o de la longitud de onda que sea), no podremos añadir un poquito de luz roja, tan pequeño como queramos. Hay una cantidad mínima que podemos quitar o añadir. La energía luminosa cambia a saltos. A esos saltos o «paquetes de energía» se los denominó posteriormente «cuantos» de luz o radiación.

¿Qué tiene que ver la radiación del cuerpo negro con el hallazgo de pepitas de oro en un aserradero de California? Las dos historias son distintas, pero tienen aspectos en común. Al igual que el capataz James Marshall, Max Planck encontró una «pepita de oro intelectual», concretamente la fórmula correcta de la radiación del cuerpo negro y la extraña hipótesis que conducía a la misma: la cuantización de la energía radiante. Ciertamente, en el caso del capataz fue puro azar, mientras que en el de Planck hubo algo más que suerte: mucho trabajo y una intuición genial. Pero el hecho es que Planck encontró una hipótesis sorprendente y exitosa: que la energía de la luz está cuantizada. Este hallazgo se considera el momento fundacional de la mecánica cuántica, y a él debe esta su nombre. Aclaremos, de paso, que los términos «mecánica cuántica» y «física cuántica» son absolutamente equivalentes, y los utilizaremos indistintamente.

Casi dos décadas después, en 1918, Max Planck fue galardonado con el Premio Nobel de Física por su revolucionario hallazgo; pero ¿cuál fue la actitud inicial de Planck ante su propio descubrimiento? Seguramente no se sintió desgraciado por haber dado con la fórmula correcta de la radiación del cuerpo negro, pero lo cierto es que no mostró mucho entusiasmo. Concretamente, afirmó que consideraba la hipótesis de la cuantización de la energía como una «suposición meramente formal», es decir, un truco matemático que conducía a la fórmula correcta, más que una realidad física, y que, de hecho, «no pensaba mucho en ella». Posteriormente intentó, sin éxito, obtener su mágica fórmula apoyándose en argumentos puramente clásicos. Su actitud recuerda a la de John Sutter (el patrón de Marshall y dueño del aserradero), al cual no le hizo feliz el descubrimiento del oro, ya que rompía sus planes de dedicar la zona a la explotación agrícola. Aunque posiblemente la meta final de Sutter era hacerse rico, prefería hacerlo de una manera más tradicional, en vez de aventurarse en un terreno desconocido, por prometedor que fuera. De un modo semejante, parece que Planck se sentía más cómodo con las maneras y los métodos de la física clásica, que conocía muy bien, que adentrándose en un terreno intelectual desconocido. En el caso de la fiebre del oro, lo que no hizo Sutter lo hicieron los buscadores de fortuna. No solo explotaron el oro que arrastraba el río, sino que buscaron y encontraron el yacimiento del que provenía aquella riqueza. En el caso de la física cuántica, fueron otros investigadores los que tomaron el relevo de Max Planck. Y, al igual que en la fiebre del oro, no solo explotaron su descubrimiento inicial (que la energía luminosa está cuantizada), sino que fueron mucho más allá, buscando la teoría (la «Veta Madre») que explicara aquella extraña característica de la naturaleza.

Esta búsqueda duró treinta años, en los cuales se realizaron formidables avances científicos. Posiblemente, la primera persona en tomarse en serio la hipótesis de Planck (incluido el propio Planck) y aplicarla a la resolución de otro problema fundamental fue el celebérrimo Albert Einstein. Einstein supuso que la luz estaba realmente compuesta de paquetes de energía luminosa (más adelante denominados «fotones»), lo cual le sirvió para explicar el llamado «efecto fotoeléctrico», consistente en que cuando la luz incide sobre ciertos materiales, es capaz de arrancar electrones de ellos. Por este trabajo (y no por la teoría de la relatividad) fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1921. En los años siguientes se hicieron muchos más avances sensacionales. La aplicación de la «intuición cuántica» sirvió para explicar muchos fenómenos misteriosos que iremos encontrando a lo largo de este libro. De momento solo mencionaremos el que quizá fuera más importante: la explicación de la estructura del átomo de hidrógeno (y, por extensión, de todos los átomos), realizada por el físico danés Niels Bohr en 1913. Puede afirmarse que este trabajo sentó la base para la comprensión de las propiedades de los elementos químicos, un hecho fundamental y con un extraordinario potencial de aplicación práctica.

Sin embargo, esto era solo el principio, la prehistoria de la mecánica cuántica. Los físicos de la época trabajaban sobre arenas inseguras, ayudándose de reglas semiempíricas basadas en su gran intuición y en las observaciones experimentales. Sabían que la física clásica no servía para explicar el comportamiento íntimo de la materia y de la luz, pero no existía aún un nuevo corpus teórico que sustituyera al antiguo. Podemos comparar esta etapa con periodo en el que los buscadores de oro rastreaban río arriba, descubriendo nuevos tesoros, pero sin hallar la gran veta madre de la que provenían. Las cosas empezaron a cambiar en los años veinte del pasado siglo, con el trabajo de De Broglie, Heisenberg, Schrödinger, Born, Dirac y otros. Una nueva y extraña teoría empezó a conformarse, a partir de la cual se podían deducir todos los resultados anteriores, y muchos más que se deducirían en el futuro. Esta teoría es lo que propiamente se conoce como física cuántica o mecánica cuántica.

Indudablemente, la construcción de la teoría cuántica fue una tarea colectiva, en la que jugó un papel esencial no solo la genialidad de los investigadores involucrados, sino también las observaciones experimentales que les guiaron. La teoría es tan extraña, que es dudoso que sin información experimental se hubiera llegado a desarrollar jamás. Si hubiera que destacar un nombre entre todos los protagonistas de aquella empresa, tal vez sería el del alemán Werner Heisenberg, máximo responsable de la primera formulación completa de la teoría en 1925, cuando solo contaba veintitrés años. De hecho, Heisenberg recibió el Premio Nobel de Física en 1932, nada menos que «por la creación de la mecánica cuántica (...)»; pero, desde luego, esto es una exageración, no es posible atribuir la creación de la teoría a una sola persona.

Los científicos mencionados a menudo colaboraban entre ellos, pero también competían. Cuando la nueva teoría tomó forma, esta resultaba tan extravagante que algunos de ellos no aceptaron sus postulados. El caso más sonado fue el de Einstein. Para poner la historia en perspectiva, hay que insistir en que Einstein fue uno de los máximos promotores de la teoría cuántica en sus inicios, y no solo por el trabajo mencionado sobre el efecto fotoeléctrico. En 1907 aplicó las ideas cuánticas para explicar aspectos incomprendidos del calor específico de los sólidos, y en 1917, utilizando conceptos cuánticos, predijo el fenómeno de la emisión estimulada, base teórica del rayo láser desarrollado muchos años después. Todos estos trabajos son de excepcional calidad, y hay que apuntar que los realizó en paralelo a otras contribuciones científicas colosales, entre las que hay que destacar el desarrollo de la teoría especial de la relatividad (1905-1907) y la teoría general de la relatividad (1907-1915), su mayor logro científico. Todo ello sitúa a Einstein entre los científicos más importantes de la historia, tal vez solo comparable a Isaac Newton.

Sin embargo, su relación con la física cuántica fue de amor-odio. Más exactamente, comenzó como amor y terminó en odio. Parece claro que a Einstein le molestaban los postulados en los que se basaba la teoría cuántica (más adelante concretaremos qué aspectos le repugnaban especialmente). Él entendía la mecánica cuántica como una teoría efectiva, una aproximación útil de una teoría más fundamental, desconocida, que resolvería los aspectos desagradables de los postulados cuánticos. Durante años luchó por descubrir contradicciones lógicas en la nueva teoría. Esos esfuerzos culminaron en un extraordinario artículo de 1935, en el que, en colaboración con Podolsky y Rossen, formuló la crítica de más calado que se haya hecho a la física cuántica. Posiblemente este fue su último gran trabajo científico. En él se demostraba que los postulados de la física cuántica conducían, en experimentos imaginados, a fenómenos tan absurdos, que necesariamente la teoría era errónea o incompleta. Esos «fenómenos absurdos» son lo que hoy se conoce como «entrelazamiento cuántico». Lo irónico del caso es que muchos años después (con Einstein ya fallecido) el fenómeno del entrelazamiento fue demostrado experimentalmente. Más adelante discutiremos este fascinante aspecto de la física cuántica que, paradójicamente, él fue el primero en advertir. En resumen, Albert Einstein, que había ganado tantas batallas científicas, perdió su batalla con la mecánica cuántica. Aunque, como bien sabemos, las teorías no son sagradas, y no se puede descartar que algún día la naturaleza le dé póstumamente la razón a Einstein. Pero en este momento todas las evidencias señalan en un sentido contrario.

De la época del gran debate entre defensores y detractores de la nueva teoría cuántica es el famoso congreso Solvay de 1927 celebrado en Bruselas, posiblemente la reunión de físicos más impresionante de la historia. La fotografía de grupo del congreso muestra a los veintinueve participantes, de los que diecisiete habían recibido o iban a recibir el Premio Nobel de Física o, en algún caso, de Química. En ella figuran muchos de los nombres que hemos citado en los párrafos anteriores. También hay algunos físicos insignes que no participaron directamente en el desarrollo de la mecánica cuántica, como el holandés Hendrik Lorentz y la famosísima Marie Curie, la única que contaba con ambos premios Nobel (una proeza inigualada a día de hoy).

En la fotografía, Einstein aparece en el centro de la primera fila, como el patriarca de los demás físicos, sin duda debido a su colosal prestigio científico. Sin embargo, en aquella conferencia los vientos soplaban a favor de los jóvenes proponentes de la nueva teoría cuántica, como Heisenberg y Dirac, capitaneados por el anteriormente mencionado Niels Bohr.

Otro caso en el que merece la pena detenerse es el de Max Planck, la persona que abrió la puerta a aquella época fascinante de la física. ¿Por qué no sacó más provecho de la idea revolucionaria que había tenido? Según Max Born, Planck era por naturaleza una mente conservadora, si bien tenía una gran honestidad científica. Esta honestidad fue la que le permitió presentar su provocadora hipótesis, aunque visceralmente no creyera en ella. Por otro lado, Planck no era en absoluto un purista que rechazara cualquier modificación de la física tradicional; de hecho, fue de los primeros en adherirse entusiásticamente a la teoría especial de la relatividad formulada por Einstein en 1905, una teoría ciertamente revolucionaria. Pero la teoría de la relatividad tenía una lógica interna y una elegante simplicidad de las que carecía la mecánica cuántica en sus primeros estadios. Esto pudo haber influido en su distinta percepción de las dos teorías. Otro factor que pudo intervenir en la actitud de Planck fue simplemente la edad que tenía cuando realizó su descubrimiento: cuarenta y dos años. Para muchas profesiones es una edad todavía joven, pero los hechos demuestran, para bien o para mal, que raramente un científico o una científica hace su primera contribución genial después de los treinta y tantos. Desde luego, esto no es una regla fija, como demuestra el caso de Erwin Schrödinger, cuyas primeras (y sensacionales) aportaciones a la mecánica cuántica las realizó con treinta y nueve años.

En este capítulo hemos recreado el apasionante periodo en que se gestó la mecánica cuántica: entre 1900, en plena Belle Époque, hasta los dorados años veinte. Se trata de un periodo apasionante para los historiadores de la ciencia. Sin embargo, explicar el formalismo de la mecánica cuántica siguiendo la progresión histórica de su creación sería totalmente antipedagógico. Desde la perspectiva actual, muchas de las geniales intuiciones de aquella época son solo aproximaciones de las verdaderas predicciones de la física cuántica; y muchos de los principios que se invocaron entonces se contemplan ahora como consecuencias de la teoría, no como postulados fundacionales de la misma. Este último punto está perfectamente ilustrado por la propia hipótesis de Planck, es decir, que la energía de la luz está cuantizada y cambia a saltos. A pesar del nombre de la teoría, la cuantización de la energía no es un postulado de la mecánica cuántica. De hecho, no siempre sucede: por ejemplo, la energía de una partícula libre puede tener cualquier valor, no está cuantizada. La cuantización de la energía surge en determinados sistemas físicos (como la radiación o los átomos) cuando se aplican sobre ellos los postulados de la teoría. Entonces ¿cuáles son los verdaderos postulados de la física cuántica? Este es el asunto que abordamos en el próximo capítulo.

2

Superposición de realidades

Superposición y probabilidad

Supongamos que una partícula (por ejemplo, un electrón) está en una posición determinada, x. En la notación estándar de la mecánica cuántica, inventada por Paul Dirac, ese estado del electrón se representa así

Es lo que se llama un «autoestado de la posición». Naturalmente, si medimos la posición de la partícula con la ayuda de un detector, esta aparecerá en x. Hasta aquí todo normal. Ahora bien, según los postulados de la mecánica cuántica, el electrón podría estar en una superposición de autoestados, por ejemplo:

donde x1 y x2 son dos posiciones distintas, tan alejadas como se quiera. ¿Qué significa esto? ¿Que el electrón está en dos sitios a la vez? En cierto modo sí, por increíble que parezca. ¿Y qué pasa si ahora medimos su posición? De acuerdo con los postulados cuánticos, el electrón aparecerá en x1 o en x2 (nunca en los dos sitios a la vez), con una probabilidad del 50 % para cada caso. También se podría haber considerado una superposición con más cantidad de | x1  que de | x2  o viceversa. Entonces, el porcentaje de cada autoestado determina la probabilidad relativa de aparición en la posición correspondiente.

En el párrafo anterior hemos introducido dos postulados esenciales de la física cuántica: que una partícula puede estar en una superposición de estados; y que a menudo no podemos predecir el resultado de una medida con certeza, solo la probabilidad de obtener un resultado u otro. Vamos a profundizar en su significado.

Imaginemos que, al realizar el experimento anterior, el electrón ha aparecido en x1. Alguien (por ejemplo, una astuta fiscal) podría argumentar del siguiente modo: «Si el electrón ha aparecido en x1, ¿no sería más sencillo pensar que ya estaba allí antes de que lo observáramos, solo que no lo sabíamos? Parece más sensato que suponer que se ha materializado de repente en x1». Puede parecer sensato, pero no es lo que nos dice la mecánica cuántica. Antes de medir, el electrón no tenía una posición definida. No es que la tuviera y nosotros la ignoráramos, es que no la tenía. La superposición de estados no es una artimaña matemática para representar nuestra ignorancia acerca de la «verdadera» posición de la partícula, sino que representa el estado real y completo de la misma. Y en ese estado conviven las dos realidades: «electrón situado en x1» y «electrón situado en x2». Es solo cuando decidimos observarlo, cuando se manifiesta, al azar, en una de ellas. Según la mecánica cuántica, así es la naturaleza.

Nuestra fiscal podría seguir argumentando: «¿Y cómo podemos saber que el electrón estaba inicialmente en esa extraña superposición? Al fin y al cabo, todo sucede como si hubiera estado en x1 desde el principio». Nuevamente, esto parece de sentido común. Pero no es cierto que todo suceda igual. La clave es que, mientras no sea observado, el electrón continúa en una superposición de estados, y esto hace que evolucione de forma diferente a como lo haría si tuviera una posición bien definida. Esa evolución diferente se puede verificar experimentalmente, y en el capítulo 4 veremos una demostración espectacular de este hecho; pero por el momento, piense el lector en lo siguiente.

Un neutrón es un tipo de partícula elemental que se encuentra dentro de los núcleos atómicos, pero también hay neutrones libres; por ejemplo, ciertos núcleos radiactivos emiten neutrones. A diferencia de los electrones, los neutrones libres no son estables: al cabo de unos quince minutos se desintegran en tres partículas: un protón, un electrón y un neutrino (más exactamente, un antineutrino).

Hemos dicho que esto ocurre al cabo de unos quince minutos. ¿Por qué esa imprecisión? ¿Es que unos neutrones se desintegran antes y otros después? Exactamente. Todos los neutrones son idénticos entre sí; sin embargo, cada uno vive un tiempo diferente. En promedio se desintegran a los quince minutos, pero unos lo hacen antes y otros después. Bastantes no duran ni un minuto, y otros viven una hora o más. Si imaginamos el neutrón como una bomba de relojería, programada para explotar (desintegrarse) al cabo de quince minutos, habría que concluir que muchos neutrones son terriblemente «defectuosos». Pero no es así, todos los neutrones son idénticos. Lo que ocurre es que, nada más ser creado, el neutrón entra en una superposición de estados:

Los coeficientes a y b determinan la probabilidad de que, al observar el neutrón, este aparezca aún intacto o ya desintegrado en las tres partículas mencionadas. Pensemos en lo que esto significa: el neutrón no está ni intacto ni desintegrado, sino en una superposición de ambas posibilidades. Y es al observarlo cuando se manifiesta en una de ellas, con una probabilidad que depende del valor relativo de a y b.

Como veremos en el capítulo 4, la mecánica cuántica determina cómo los estados evolucionan en el tiempo (y, por tanto, la evolución de a y b), de forma que podemos predecir el porcentaje de neutrones desintegrados si los observamos en un instante cualquiera. Al principio, la magnitud de a es mucho mayor que la de b. Por tanto, si observamos el neutrón al poco de ser creado, es casi seguro que aparecerá intacto, sin desintegrar. Pero a medida que pasan los minutos, la magnitud de a disminuye y la de b aumenta. Al cabo de diez minutos, ambas se igualan, por lo que la probabilidad de encontrar el neutrón intacto ha decrecido al 50 %, y a partir de entonces continúa descendiendo. Los resultados se ajustan perfectamente a la predicción. Por ejemplo, la teoría pronostica que el 6,6 % de los neutrones se desintegran antes de un minuto, y eso es precisamente lo que se observa. Si el neutrón no estuviera en una superposición de estados, la única explicación de estos hechos sería que los neutrones son todos diferentes, de una forma tal que unos se desintegran antes y otros después, y justamente lo hacen en los porcentajes predichos por la mecánica cuántica. No solo eso. Las partículas resultantes de la desintegración (por ejemplo, el electrón y el neutrino) pueden salir en direcciones diferentes cada vez, y la mecánica cuántica predice a la perfección la probabilidad de que lo hagan formando un ángulo u otro. Nuevamente, si los neutrones no estuvieran en una superposición, tendríamos que admitir que en la «fábrica de los neutrones» hay una verdadera conspiración para hacerlos todos distintos, pero en unos porcentajes que reproduzcan las exitosas predicciones de la mecánica cuántica.

Lo que acabamos de describir enfatiza un aspecto importante de la física cuántica. Habitualmente, la teoría no predice con exactitud si un determinado suceso va a tener lugar, pero sí predice, con extrema precisión, la probabilidad de que ocurra. Por tanto, no se puede decir que la mecánica cuántica lo permite todo, como a veces se afirma. Permite muchas cosas, pero no todas con igual probabilidad. ¿Podría un neutrón permanecer sin desintegrarse un día entero? Sí, podría. Pero según las reglas de la mecánica cuántica, esto solo le ocurre a uno de cada 1042 neutrones (un 1 seguido de 42 ceros), lo que significa que en la práctica no veremos nunca neutrones tan longevos. En contraste, tampoco es cierto, como otros afirman, que la mecánica cuántica sea determinista. Es verdad que los estados evolucionan de forma determinista y, con ellos, las probabilidades asociadas. Pero no dejan de ser probabilidades, no certezas. Este es un punto bastante obvio, pero que algunos parecen olvidar.

Como vemos, según la mecánica cuántica, la naturaleza es intrínsecamente probabilística. Ahora bien, ¿es eso algo tan extraño? Al fin y al cabo, en nuestra vida ordinaria estamos acostumbrados a que muchas cosas no ocurren con absoluta certeza, sino con más o menos probabilidad. Cuando consultamos el pronóstico del tiempo meteorológico para las próximas veinticuatro horas, a menudo nos informan de la probabilidad de que llueva. Cuando lanzamos una moneda al aire, asumimos que la probabilidad de que salga cara o cruz es del 50 %. Algo parecido sucede en todos los juegos de azar, como los dados, la ruleta o la lotería. Otras veces usamos el concepto de probabilidad de forma inconsciente. Por ejemplo, cuando salimos a pasear, no nos suele preocupar que nos caiga una cornisa encima. Sabemos que es posible, y de cuando en cuando sucede, pero la probabilidad de que ocurra es muy pequeña, y la despreciamos. Sin embargo, no se nos ocurriría cruzar una calle con el semáforo en rojo y los ojos cerrados, la probabilidad de que nos atropellara un coche no es nada despreciable. Si tenemos que acudir a una importante cita de trabajo, saldremos de casa con un margen de tiempo suficiente para que la probabilidad de llegar puntuales sea muy alta, etcétera.

Indudablemente, la probabilidad forma parte de nuestras vidas y hacemos estimaciones probabilísticas, conscientes o inconscientes, de continuo. Pero es importante fijarse en algo que comparten todos estos casos cotidianos: la probabilidad que asignamos a los hechos no proviene de que estos sean probabilísticos en sí mismos, sino de que parecen serlo, debido a nuestra ignorancia. Por ejemplo, si supiéramos el impulso exacto con el que se lanza una moneda, podríamos calcular el número de vueltas que va a dar y, por tanto, predecir si va a salir cara o cruz. De hecho, se han construido máquinas que lanzan monedas con esa precisión. Algo parecido, aunque mucho más complejo, sucede con la predicción del tiempo meteorológico. El cálculo es muy complicado y exige datos muy completos y precisos de todas las variables que intervienen en la dinámica de la atmósfera: temperatura, presión, humedad, etc. Pero no es un hecho probabilístico en sí mismo. A medida que los datos disponibles son mejores y los ordenadores, más sofisticados, se realizan mejores predicciones y se anuncia con mucha más seguridad si va a llover o no. En contraste, por mucho que «conozcamos» a nuestro neutrón y dispongamos de fantásticos ordenadores, no podremos predecir mejor el instante en que va a desintegrarse, ya que es un hecho genuinamente probabilístico. La naturaleza parece ser así: genuinamente azarosa y probabilística en sus entresijos más profundos. Este es uno de los mensajes de la mecánica cuántica sobre el carácter del universo físico.

Al principio, esta perspectiva repugnó a muchos físicos. Es famosa la frase de Einstein: «Dios no juega a los dados con el universo». Ciertamente, es una idea contraintuitiva. ¿Por qué es así la naturaleza? Realmente no lo sabemos, no existen en la teoría cuántica unos principios tan bellos y simétricos como los de la teoría de la relatividad, la hija predilecta de Einstein, aunque algunas formulaciones de la mecánica cuántica se basan en principios de notable elegancia. Pero en esta batalla conceptual, el argumento decisivo (hasta ahora) a favor de los extraños postulados cuánticos proviene, no tanto de su elegancia, como de su extraordinario éxito a la hora de explicar fenómenos y realizar predicciones precisas y acertadas en todo tipo de situaciones; un éxito sin parangón en la historia de la ciencia.

Colapso

Regresemos a nuestro primer electrón, el que inicialmente se encontraba en una superposición de autoestados:

Recordemos que, con la ayuda de un detector, habíamos medido su posición, obteniendo x1. Podemos preguntarnos: ¿sigue el electrón en el mismo estado, | x1  + | x2 , después de haber realizado la medida? La respuesta es «no». Antes de observarlo, el electrón no tenía una posición bien definida (podía aparecer en x1 o x2), pero ahora ya sabemos que está en x1 sin ninguna ambigüedad. Por tanto, el nuevo estado del electrón es:

Así que, por el solo hecho de observar el electrón, su estado cambia:

Este fenómeno se llama «colapso del estado» y se considera un postulado de la mecánica cuántica en su interpretación más ortodoxa, también llamada «interpretación de Copenhague». Podemos imaginarlo como un reset del sistema, en este caso un simple electrón, cuando este es observado por un espectador. La diferencia con el botón de reset de cualquier dispositivo electrónico es que este último reinicia el dispositivo en su configuración primitiva. En el colapso cuántico, el nuevo estado del sistema puede ser cualquiera de los que aparecían en la superposición. Recordemos que la probabilidad de que sea uno de ellos el elegido está determinada por la magnitud del coeficiente con que dicho estado entra en la superposición. En el caso de arriba, dado que los dos estados, | x1  y | x2 , entran con el mismo coeficiente en la superposición | x1  + | x2 , tienen la misma probabilidad de ser seleccionados durante el colapso, o sea, un 50 %.

Notemos que, en cierto modo, este postulado implica que los observadores están dotados de una especie de magia, ya que pueden cambiar el estado de los sistemas físicos con solo observarlos. Hay que decir que el postulado no aclara qué seres están cualificados como observadores capaces de colapsar los estados: ¿solo los humanos?, ¿cualquier ser con consciencia, como un perro?, ¿cualquier objeto de un cierto tamaño, como un detector? Realmente, no sabemos la respuesta. Esto puede parecer contradictorio con lo que afirmamos al inicio respecto a la mecánica cuántica: que es una teoría perfectamente definida con predicciones precisas. ¿Cómo puede ser así si ni siquiera tenemos claro quiénes son los observadores que colapsan los estados? La razón es que, a todos los efectos prácticos, da lo mismo. Cualquiera de las opciones anteriores conduce a las mismas predicciones. Las diferencias son tan pequeñas que resultan absolutamente imposibles de detectar, un hecho que resultará más evidente cuando en el capítulo 10 discutamos el fenómeno de la decoherencia. Es por ello que en el día a día de la aplicación de la mecánica cuántica resulta una cuestión sin importancia, que normalmente ni se plantea. Todos los científicos y científicas del mundo llegan a idénticos resultados cuando aplican la teoría a la descripción de un fenómeno. Sin embargo, conceptualmente es un problema abierto y fascinante, sobre el que volveremos.

Actitudes ante la mecánica cuántica

Siempre que aparece una teoría nueva, especialmente si es revolucionaria (y la física cuántica lo es en grado sumo), la tendencia es querer explicar o visualizar los conceptos nuevos en términos de los antiguos, que nos resultan familiares e intuitivos. Esta actitud nos lleva, por ejemplo, a imaginarnos los electrones como bolitas de billar microscópicas. Pero esta representación, aunque inevitable, es errónea ya que una bola de billar la imaginamos siempre con una posición bien definida, mientras que un electrón puede estar en una superposición, | x1  + | x2 , como hemos insistido en este capítulo. La visualización del concepto de la superposición, que está en el corazón de la mecánica cuántica, no es fácil. Podemos decir que las dos posibilidades (electrón en x1 y en x2) conviven en una misma realidad. O que la partícula «olfatea» las dos posiciones sin decantarse por ninguna hasta que la obligamos a hacerlo cuando medimos su posición. Pero no dejan de ser metáforas. Lo único que nos asegura la mecánica cuántica es que el estado de la partícula está descrito por la expresión matemática | x1  + | x2 , y que eso se traducirá a la hora de medir en una probabilidad del 50 % de aparición en cada posición.

Algunos físicos adoptan la actitud radicalmente pragmática de preguntarse solo acerca de los resultados de las medidas, por lo que no parece preocuparles cuál es la realidad física del electrón, o del sistema físico que se trate, cuando no está siendo observado (o renuncian a especular sobre ello). No es el caso de otros, por ejemplo, el premio Nobel de Física de 2020, Roger Penrose.

Decíamos que no es aconsejable empeñarse demasiado en explicar los conceptos de una teoría nueva en términos de los de la antigua. Puede ser un recurso que nos ayude a visualizar intuitivamente lo que ocurre, pero es peligroso apegarse demasiado a esas imágenes. El desafío mental debe ir en la dirección contraria: comprender los conceptos antiguos y familiares en términos de los nuevos, menos familiares, pero más potentes. El verdadero reto es entender por qué el mundo macroscópico parece «clásico», es decir, determinista y sin extrañas superposiciones, a pesar de la naturaleza cuántica de la realidad. De hecho, esta es una cuestión aún no resuelta, aunque en los últimos años se han hecho importantes avances.

Esto enlaza con otro error bastante común: pensar que la mecánica cuántica se aplica solo al mundo microscópico (partículas elementales, átomos, etc.), mientras que en el mundo macroscópico (el que percibimos con nuestros sentidos) sigue reinando la familiar y confortable mecánica clásica, es decir, «no cuántica». Efectivamente, la mecánica clásica sigue siendo una aproximación excelente para hacer predicciones en el mundo que percibimos de forma directa. Con ella se diseñan edificios, puentes, coches y aviones. La mecánica clásica es extraordinariamente útil, pero no es una teoría fundamental. La verdadera teoría fundamental (hasta donde sabemos) es la mecánica cuántica, que se aplica tanto al mundo microscópico como al macroscópico. La creencia general es que la física clásica surge como una buena aproximación de la cuántica para objetos de un cierto tamaño. No es una afirmación totalmente demostrada, pero nunca se ha encontrado un contraejemplo, teórico o experimental, para la misma.

La alternativa es suponer que existe una frontera fundamental entre las áreas de validez de la mecánica cuántica y la clásica. Y eso, además de insatisfactorio, es muy poco preciso: ¿dónde está la línea que separa el mundo clásico del cuántico? ¿Una célula pertenece al mundo clásico o al cuántico? ¿Y un virus?

Otra cosa es que, en la práctica habitual que antes comentábamos, todos los físicos hacen cálculos como si esa línea de separación existiera, considerando todos los objetos de un cierto tamaño —y, en particular, los aparatos de medida— como clásicos. Pero esta actitud pragmática no resuelve la cuestión de fondo de la conexión entre el mundo cuántico y el clásico, que discutiremos en el capítulo 11. Un anticipo de este debate nos lo ofrece el célebre gato de Schrödinger, que visitamos a continuación.

3

El gato de Schrödinger

En el capítulo anterior hemos hablado de electrones que se encuentran en una superposición de estados y, por tanto, en cierto modo, en dos sitios a la vez. Pero ¿podría haber objetos cotidianos en una superposición de estados? ¿Podría estar una piedra, una mesa, o incluso un planeta o una estrella, en dos sitios a la vez? También hemos hablado de neutrones en una superposición de estados: intacto y desintegrado. De nuevo, ¿podría suceder algo análogo con objetos macroscópicos? ¿Podría un gato estar a la vez vivo y muerto?

El gato de Schrödinger es uno de los experimentos mentales más famosos de todos los tiempos. Fue propuesto en 1935 por Erwin Schrödinger, a partir de una conversación con Einstein, y es muy interesante por varias razones. En primer lugar, describe de una forma sencilla cómo se puede llevar un objeto familiar y de tamaño considerable a una superposición de estados. En segundo lugar, plantea cuestiones intrigantes acerca de la naturaleza de la realidad física. Por otro lado, el gato de Schrödinger no tiene ninguna implicación práctica directa, tal vez por eso algunos físicos detestan al pobre animal. Otro motivo para esa inquina puede ser que el gato de Schrödinger ha hecho correr ríos de tinta, a menudo sin sentido: se han dicho muchas tonterías invocando al famoso gato. Pero eso no quita para que se trate de un experimento imaginado fascinante, que nos ayuda a reflexionar sobre la realidad y la percepción que tenemos de la misma.

Supongamos que en una caja, perfectamente aislada, hay un neutrón, cuyo estado representamos de la forma habitual:

Y además hay un gato, el cual también tiene un estado asociado:

Puede parecer un poco raro, incluso poco serio, que un sistema tan complejo como un gato tenga asociado un estado, al igual que un simple neutrón, pero así es: los postulados de la física cuántica asignan un estado a cada sistema físico, independientemente de su tamaño o su complejidad. Naturalmente, cuanto más complicado sea dicho sistema, mayor será la diversidad de estados en que pueda encontrarse. Concretamente, los estados posibles de un gato son infinitamente más diversos y numerosos que los de un neutrón, pero esto no tiene importancia para este experimento.

Por otro lado, si consideramos el sistema conjunto formado por el gato y el neutrón, su estado es simplemente el producto de los estados de ambos:

Recuerde el lector esta expresión.

En nuestro experimento imaginado, además del gato y el neutrón, la caja contiene un detector de electrones conectado a una bomba. Si el neutrón se desintegra, emitiendo un electrón, el detector se activa y la bomba estalla, matando al gato instantáneamente (en el relato original de Schrödinger era un frasco de veneno que se rompía).

Ahora recordemos: el estado inicial del neutrón va cambiando con el tiempo. Al cabo de diez minutos se ha convertido en una superposición de estados, «intacto» y «desintegrado», con idéntica proporción de ambos:

Por lo tanto, a los diez minutos, el estado del sistema conjunto gato-neutrón será:

que matemáticamente es igual a:

Así que el estado del sistema gato-neutrón es ahora una superposición de estados: en uno, el gato convive con un neutrón intacto y, en el otro, con uno desintegrado. Bueno, este último no convive exactamente, sino que es destruido por la explosión de la bomba. En resumen, a los diez minutos de preparar la caja, tenemos dentro un estado de superposición de un gato vivo y uno muerto:

situación que ilustra el dibujo:

Esta es la famosa realidad paradójica que pone de relieve el gato de Schrödinger: dos realidades radicalmente contradictorias y excluyentes coexistiendo en el mismo lugar. Si ahora abrimos la caja, ¿qué encontraremos? De acuerdo con los postulados de la mecánica cuántica, es indudable que los humanos están cualificados como observadores que producen el colapso de los estados. Así que la persona que levante la tapa obligará al sistema a definirse por una de las dos posibilidades. Hay, por tanto, una probabilidad del 50 % de que el gato sobreviva en ese colapso:

y la misma probabilidad de que aparezca muerto.

Naturalmente, este es un experimento imaginado. A nadie se le ha ocurrido nunca llevarlo a la práctica puesto que, además de poner en riesgo al animal, sabemos de antemano cuál sería el resultado: la mitad de las veces encontraríamos el gato vivo y la otra mitad, muerto. También es un experimento idealizado: estamos suponiendo que la caja está perfectamente aislada del mundo exterior, de forma que el observador externo no tenga ninguna información de lo que ocurre dentro de ella hasta que la abre. Esto es difícil de conseguir en la práctica. Implica, por ejemplo, que no podemos oír el mínimo ruido proveniente de la caja, incluido el de la explosión. Si pudiéramos percibir algo de lo que ocurre allí dentro, sería equivalente a estar ya observando el interior de la caja, por lo que el estado del gato colapsaría antes de levantar la tapa.

Si ya sabemos de antemano el resultado del experimento, ¿cuál es su interés? En primer lugar, como ya se ha mencionado, nos muestra la forma de llevar un sistema macroscópico (por ejemplo, un gato) a una superposición de estados nada trivial (en este caso, vivo/muerto). Podríamos haber diseñado el experimento, con muy pocas variaciones, para que el gato entrara en una superposición de autoestados de la posición: un gato en dos lugares distintos a la vez. Esto deja bien claro que las superposiciones de estados no son algo que afecte únicamente al mundo microscópico, sino que puede haber también superposiciones de objetos grandes y cotidianos, al menos en principio.

La otra virtud del famoso gato es que nos permite especular sobre la naturaleza de la realidad que sugiere la mecánica cuántica. Sabemos que al abrir la caja encontraremos el gato vivo o muerto, sin ambigüedades. Pero ¿qué había dentro de la caja antes de abrirla? ¿Coexistían las dos realidades del gato vivo y muerto?

Tal como hemos descrito el experimento, así es, efectivamente. Pero la respuesta más correcta a esta pregunta es que «depende de si el gato está cualificado como observador o no», cosa que no aclaran los postulados de la mecánica cuántica. En la explicación anterior hemos asumido implícitamente que el gato no cualifica como observador al nivel de un ser humano. Es por esto que cuando el gato convive con el neutrón, entra él mismo en un estado de superposición, y hay que esperar a que un humano abra la caja para que la superposición colapse a un estado bien definido: vivo o muerto.

Pero podría ser que el gato fuera un observador en la misma categoría que un humano, capaz de producir el colapso de los estados cuánticos. En este caso, dentro de la caja el neutrón ya está siendo observado por el gato, por lo que su estado colapsa a | neutrón intacto  o | neutrón desintegrado . En el primer caso, el gato sobrevive y en el segundo muere, y lo hace sin ambigüedades. Si esto es así, antes de que nosotros abramos la caja el gato ya está solo vivo o solo muerto, en ningún momento estuvo en la extraña superposición. También puede ser que el propio detector de electrones esté cualificado como observador (opinión abundante entre los físicos). En este caso, el colapso del estado del neutrón se produce en un nivel anterior: sería el detector el que obligaría al neutrón a definirse (desintegrado o no desintegrado), con las conocidas consecuencias para la vida del gato.

Notemos que para nosotros, humanos observadores, el resultado que percibimos es siempre el mismo: la probabilidad de supervivencia del gato es del 50 %. Pero la realidad de lo que sucede dentro de la caja es muy distinta. ¿Y cuál de las posibilidades del galimatías anterior es la más verosímil? ¿Por cuál se inclinan los físicos?

Digamos que hay división de opiniones, con argumentos a favor y en contra de cada una de ellas. Por un lado, tendemos a pensar que el mundo macroscópico se ha de comportar de forma puramente clásica, lo que sugiere que el colapso del estado del neutrón se produce al nivel del detector, que es el primer objeto macroscópico que lo observa. En este caso, el neutrón pasaría a estar intacto o desintegrado sin ambigüedades (y, por tanto, el gato vivo o muerto) antes de abrir la caja. Pero, por otro lado, no hay ninguna razón clara para que el detector o el gato no puedan entrar en un estado de superposición; la mecánica cuántica no lo prohíbe, al menos no con claridad. Así que mientras no observemos el interior de la caja, es decir, el sistema conjunto gato-neutrón, no habría motivo para que este no pudiera encontrarse en dicha superposición, por extravagante que parezca. Desde el punto de vista de la lógica cuántica parece lo más natural, y muchos se inclinan por esta posibilidad, aunque conduzca a la paradójica realidad descrita anteriormente. Al fin y al cabo, un neutrón simultáneamente intacto y desintegrado no es fundamentalmente más extraño que un gato simultáneamente vivo y muerto, aunque desde luego mucho menos espectacular. Y en el caso del neutrón, sí sabemos que sucede.

Alguien podría pensar: si fuésemos capaces de hacer preguntas al gato (en el caso deseable de que lo encontremos vivo), saldríamos de dudas: el gato nos relataría si había estado simultáneamente vivo y muerto o solo vivo. Pero lo cierto es que el gato, aparte de mostrar su enfado con nosotros por enredarle en el peligroso experimento, no nos aclararía nada. Si el animal hubiera estado en una superposición, las dos realidades (gato vivo y gato muerto) habrían estado perfectamente desdobladas, sin interferir ni ser conscientes la una de la otra. Esto se debe a un fenómeno importante descubierto en las últimas décadas, llamado «decoherencia», que ya hemos mencionado de pasada y sobre el que volveremos en el capítulo 11. Así que el gato nos diría: «He estado vivo todo el tiempo, naturalmente».

Finalmente, existe una interpretación aún más radical del gato de Schrödinger, concretamente que el colapso del estado no se produce nunca, ni siquiera cuando un ser humano abre finalmente la caja. En esta hipótesis, la propia persona entraría en una superposición: «persona que ve el gato vivo» y «persona que ve el gato muerto»; pero, al igual que el animal, no percibiría el desdoblamiento. Esta es la famosa «interpretación de los muchos mundos» de la mecánica cuántica, alternativa a la ortodoxa interpretación de Copenhague, y que discutiremos en el capítulo 11.

Podemos concluir que el gato de Schrödinger no está muerto en absoluto y continúa suscitando apasionadas discusiones.

4

Espiando a los electrones

Imaginemos un dique rompeolas en el mar con dos agujeros por los que pudieran pasar las olas. Al otro lado del dique se produciría un fenómeno de interferencia entre las ondas que surgen de los dos agujeros, como muestra esta imagen:

El fenómeno de la interferencia es característico de las ondas. Se origina porque en un mismo punto se superponen las perturbaciones procedentes de los dos focos emisores (los agujeros del dique). Cuando las dos perturbaciones son positivas, es decir, cuando elevan el agua por encima de su nivel medio, se refuerzan la una a la otra. También lo hacen si las dos son negativas, o sea, hacen que el agua descienda por debajo del nivel medio. En ambos casos decimos que la interferencia es constructiva, y ocurre en algunos lugares, que aparecen como zonas luminosas en la figura. En otros puntos, sin embargo, las dos perturbaciones tienen distinto signo, por lo que, en vez de sumarse, se restan (interferencia destructiva). Esto produce las zonas oscuras, donde la perturbación resultante es pequeña o incluso nula.

Todas las ondas experimentan el fenómeno de la interferencia, independientemente de su naturaleza. Por ejemplo, si mandamos ondas luminosas sobre una lámina opaca con dos rendijas, al otro lado de la misma se producen interferencias, semejantes a las que acabamos de describir.

Si colocamos una pantalla detrás de la lámina, observaremos (ahora literalmente) zonas luminosas y oscuras alternándose.

Este es el llamado «experimento de la doble rendija», que fue realizado por Thomas Young en 1801, y puso de manifiesto la naturaleza ondulatoria de la luz. Esta es una imagen en perspectiva del experimento:

¿Qué pasa si ahora sustituimos el chorro de luz por un chorro de electrones? Intuitivamente, esperaríamos que los electrones se acumulasen en dos zonas justo enfrente de cada una de las rendijas, como ilustra la figura:

Visto en perspectiva:

Sin embargo, no es eso lo que ocurre. Los electrones llegan a la pantalla formando franjas, ¡exactamente como si fueran ondas de luz! Esto es lo que sucede:

Este resultado demuestra de forma rotunda que los electrones poseen algún tipo de naturaleza ondulatoria que los hace interferir como si fueran ondas, al igual que las ondas luminosas o las ondas en la superficie del agua. Históricamente, fue Louis de Broglie el primero en formular esta hipótesis en 1923. Posteriormente, la naturaleza ondulatoria de los electrones se demostró en experimentos de difracción a través de una red cristalina, y después en muchos otros experimentos, incluyendo experimentos de doble rendija como el que acabamos de describir (el primero de este tipo se realizó en 1961).

¿Qué tiene que ver esta naturaleza ondulatoria de los electrones con los postulados de la mecánica cuántica que hemos expuesto en capítulos anteriores? Para comprenderlo, tenemos que introducir una noción importante: la función de onda.

La función de onda

Recordemos que una partícula puede estar en una superposición de dos estados:

situación que está ilustrada en la siguiente figura:

donde las dos líneas verticales representan los coeficientes de | x1  y | x2 . También podemos considerar una superposición con pesos distintos, por ejemplo:

En este caso, la probabilidad de presencia es distinta en cada uno de los puntos. Podría pensarse que la proporción de probabilidades es 1:2, o sea, el doble en x2 que en x1, pero no es así. Un postulado de la mecánica cuántica es que la probabilidad de presencia en un punto es proporcional no al coeficiente con que entra en la superposición, sino al cuadrado del coeficiente. Por tanto, la proporción de probabilidades es 12: 22, o sea, 1: 4. La probabilidad de aparecer en x2 es el cuádruple que en x1.

De hecho, en una superposición más general, a | x1  + b | x2 , los coeficientes pueden ser negativos, ya que la probabilidad correspondiente es proporcional a su cuadrado, a2, b2, que siempre es positivo.[1] Esta flexibilidad tiene mucha relevancia en la teoría cuántica.

También podríamos imaginar la partícula en una superposición de varios estados con coeficientes distintos, por ejemplo:

Gráficamente:

En este caso, la partícula podrá aparecer en cualquiera de las cuatro posiciones, x1, x2, x3, x4, con distintas probabilidades.

En general, las partículas se encuentran en una superposición de muchos autoestados de la posición. Por eso tienen una cierta probabilidad de aparecer en muchas (o incluso en todas) las posiciones. Entonces, cada punto del espacio, x, tiene asociado un coeficiente, al que se suele denominar ψ(x), y recibe el nombre de función de onda. (La letra griega psi [ψ] es recurrente en el lenguaje de la mecánica cuántica). En consecuencia, sustituimos las líneas verticales anteriores por una curva continua, por ejemplo:

En el caso de la figura, la función de onda ψ(x) está centrada en una cierta posición, donde la probabilidad de presencia es máxima, pero la partícula también puede aparecer en otros lugares: en todos aquellos donde ψ(x) es distinta de cero. Conocer la función de onda de una partícula, ψ(x), es equivalente a conocer su estado, ya que describe la superposición en que se encuentra. Por ello, se puede decir indistintamente que la partícula está en el estado | ψ o que su función de onda es ψ(x).

De la norma mencionada arriba que asocia probabilidad al cuadrado del coeficiente en la superposición, se deduce que la probabilidad de presencia de la partícula es proporcional al cuadrado de la función de onda, P(x) = ψ(x)2. Por ello ψ(x) no es estrictamente una probabilidad, sino lo que los físicos llaman una «amplitud de probabilidad». Esta interpretación de la función de onda se la debemos a Max Born. El punto importante aquí es que ψ(x) puede tomar tanto valores positivos como negativos (incluso complejos, como se ha mencionado en la nota anterior); aunque, naturalmente, la probabilidad es siempre positiva.

Para el ejemplo de arriba, la función de onda, ψ(x), y la probabilidad asociada, P(x) = ψ(x)2, son parecidas:

Pero la partícula podría tener una función de onda como esta:

que toma valores positivos y negativos. En este caso, la función de onda, ψ(x), y la probabilidad asociada, P(x) = ψ(x)2, son algo diferentes:

Naturalmente, puede haber funciones de onda con otras formas, casi cualquiera que usted imagine. Pero ¿por qué se utiliza el término «función de onda» para referirse a ψ(x)?

La ecuación de Schrödinger

Basta con mirar a nuestro alrededor, o simplemente observarnos a nosotros mismos, para constatar que el mundo es dinámico. Desde luego, las personas y todos los seres vivos están en cambio permanente, pero no solo ellos. Los ríos fluyen, el viento agita las hojas de los árboles, el hierro se oxida, las sustancias radiactivas se desintegran, etc. Es un hecho que los sistemas físicos cambian con el tiempo. En otras palabras, su estado cuántico evoluciona. Pero ¿quién decide cómo evoluciona?

Uno de los postulados de la mecánica cuántica es que la evolución temporal del estado de una partícula (o, equivalentemente, de su función de onda) está dictada por la llamada «ecuación de Schrödinger». Se trata de una ecuación parecida a la que gobierna la propagación de las ondas en la superficie del agua cuando arrojamos una piedra a un estanque, solo que ahora lo que se propaga no son las perturbaciones del agua sino la función de onda ψ(x), es decir, la amplitud de probabilidad.[2] Como sospechará usted, esto tiene mucho que ver con los resultados del experimento de la doble rendija para electrones.

Es importante enfatizar que la ecuación de Schrödinger describe la evolución de la función de onda mientras no se realice ninguna medición u observación sobre la partícula. Al medir, se produce el fenómeno del colapso discutido en el capítulo 2. Recordemos: al observar la partícula, esta aparecerá sin ambigüedades en una posición, digamos x0, y en el instante siguiente se encontrará en el autoestado de esa posición:

Gráficamente:

Este es el motivo por el que a veces se dice que, según la física cuántica, las partículas se propagan como ondas y se manifiestan como partículas. Históricamente, es lo que se ha llamado «dualidad onda-corpúsculo». Como vemos, su significado preciso es que, mientras no sea observada, el estado de una partícula está definido por una función de onda que evoluciona en el tiempo gobernada por la ecuación de Schrödinger, de forma semejante a otras ondas. Pero si medimos su posición, la función de onda colapsa en un punto, y la partícula se manifiesta como un corpúsculo perfectamente localizado.

Por tanto, la función de onda de una partícula tiene dos formas de evolucionar: dependiendo de si la observamos o no.

Espiando a los electrones

Ahora estamos preparados para discutir el experimento de la doble rendija con electrones descrito al comienzo del capítulo. ¿Por qué aparecía en la pantalla un patrón de interferencias, como si los electrones fueran ondas?

El punto crucial es que mientras los electrones no son observados, es decir, mientras están en vuelo y no han impactado aún en la pantalla, su estado está dado por su función de onda, la cual evoluciona como una onda, regida por la ecuación de Schrödinger. Y es la función de onda de cada electrón la que atraviesa las dos rendijas e interfiere al otro lado de la pantalla, produciendo «zonas luminosas», o sea, donde la probabilidad de presencia del electrón es grande, y «zonas oscuras», donde la interferencia es destructiva y, por tanto, la probabilidad de presencia es mínima. Todo sucede de forma análoga a las ondas luminosas, sustituyendo la luz por electrones:

Concretamente, la interferencia destructiva (donde llegan muy pocos o ningún electrón) se da en los lugares donde la función de onda proveniente de cada una de las rendijas tiene signo opuesto. Y esto sucede porque la función de onda, ψ(x), puede tomar valores positivos y negativos.

Reflexionemos sobre las implicaciones de este experimento. El patrón de interferencia observado no se produce porque unos electrones interactúen con otros (por ejemplo, empujándose o algo así). Se produce porque la función de onda de cada electrón individual pasa por las dos rendijas simultáneamente y después interfiere consigo misma. Si la función de onda pasara solo por uno de los dos agujeros no se observaría ese patrón de zonas luminosas y oscuras.

Así que debemos admitir que, de alguna forma, cada electrón pasa simultáneamente por los dos agujeros. Técnicamente, es su función de onda la que lo hace, pero es que la función de onda representa la descripción completa del estado del electrón. Insistamos en este punto esencial: no es que el electrón tenga una posición definida y nosotros la desconozcamos. Es que no la tiene, y es eso precisamente lo que le permite realizar la proeza de atravesar simultáneamente ambas rendijas.

¿Cómo podemos estar tan seguros de que es cada electrón el que sufre el fenómeno de la interferencia y que no se trata de un fenómeno colectivo, producido por la interacción de unos electrones con otros? La forma más directa de comprobarlo es simplemente lanzar los electrones de uno en uno. Esto es más fácil de decir que de hacer, pero se ha conseguido llevar a cabo de manera plenamente convincente en varios experimentos. Los resultados son siempre los mismos, los electrones reproducen el patrón de franjas característico de las interferencias. Naturalmente, cada electrón individual es registrado en la pantalla en algún lugar concreto, en apariencia aleatorio, pero uno a uno van rellenando las franjas permitidas y dejando vacías las prohibidas. La siguiente figura muestra los impactos de los electrones en la pantalla en diferentes momentos de este proceso:

Si cada electrón no interfiriera consigo mismo, algunos impactarían en las zonas prohibidas por la interferencia, cosa que no sucede.

¿Dónde está cada electrón individual mientras vuela entre la lámina con las dos rendijas y la pantalla donde es finalmente registrado? La mecánica cuántica nos dice que no tiene una posición definida, y aquí podría terminarse la discusión (de hecho, para algunos físicos aquí se termina). Pero podemos ir un poco más allá. Podemos ser suspicaces e insistir en que «tal vez el electrón tiene en todo momento una posición bien definida, solo que no sabemos cuál es». Y más aún: podemos intentar «espiar» al electrón para averiguar la trayectoria de su vuelo. Esta discusión fue realizada por el gran físico Richard Feynman en sus famosas lecciones de física de los años sesenta, y se considera un clásico del análisis científico. Vamos a recoger aquí el punto más importante.

Supongamos que iluminamos el espacio entre las rendijas y la pantalla con algún tipo de luz para ver el electrón. La idea es que algún fotón sea desviado por la partícula, lo que nos informará acerca de su localización, sin impedir que siga volando hacia la pantalla:

De esta manera sencilla podemos visualizar la localización del electrón antes de ser registrado en la pantalla. Esto es exactamente lo que sucede cuando entra un rayo de sol por la ventana y vemos motas brillantes de polvo flotando en el aire. Iluminando en la zona de las rendijas podemos incluso espiar por qué rendija pasó el electrón en vuelo. Todo esto se puede hacer. ¿Y qué es lo que se observa? ¿Dónde está el electrón mientras está volando?

Al visualizar de esta forma el electrón, este aparece en un punto concreto. Es más, se puede determinar por qué agujero ha pasado. Unos lo hacen por el de arriba y otros, por el de abajo. Esto parece dar la razón a los que sospechaban que cada electrón tiene en todo momento una posición definida, por más que la mecánica cuántica diga que no. Pero el problema es que si observamos a los electrones de esta forma... ¡la figura de interferencia desaparece! Los electrones se acumulan ahora en dos zonas de la pantalla, justo como habríamos pensado que harían si fuesen bolas de billar:

La razón es que, al ser observado, el electrón se materializa en un punto, aquel donde el fotón interactúa con él; es decir, su función de onda colapsa, deja de ser extensa y se pierden todos los fenómenos de interferencia. Es como si el electrón jugara al gato y el ratón con nosotros: solo realiza su truco para atravesar simultáneamente las dos rendijas e interferir consigo mismo cuando no lo observamos.

La conclusión más importante de este experimento es que, mientras no sea observado, el electrón se comporta de forma semejante a una onda, sin una posición definida. Sin embargo, cuando lo observamos, se manifiesta en un punto concreto, como un corpúsculo. Se trata de una de las verificaciones más impresionantes de los postulados de la mecánica cuántica.

Indudablemente, los electrones son objetos extraños para nuestro sentido común; pero este insólito comportamiento no solo lo presentan ellos, sino cualquier partícula. El experimento anterior se ha realizado con electrones, pero también con protones, átomos e incluso grandes moléculas, y los resultados son siempre los mismos. Todas las partículas, independientemente de su tamaño, poseen esta doble naturaleza de onda y corpúsculo. El hecho de que no veamos este fenómeno cuando usamos proyectiles macroscópicos, como perdigones o granos de arena, quedará claro en próximos capítulos.

Esta dualidad onda-corpúsculo es cierta también para la propia luz. Sabemos que la luz se propaga como una onda, pero al detectarse con instrumentos de gran sensibilidad parece estar hecha de partículas, los famosos fotones. Por tanto, la luz y la materia no son tan distintos como parece, sino que tienen una naturaleza semejante. Volveremos sobre este punto en el capítulo 16.

5

El principio de incertidumbre

Imaginemos a un policía de tráfico invitando a una conductora a detener su coche en el arcén de una autopista. Acto seguido, le comunica que un radar ha detectado que en el kilómetro 23 circulaba a 130 km/h, diez por encima del límite legal; en consecuencia, le va a imponer una multa por exceso de velocidad. Entonces la conductora alega que, según el famoso principio de incertidumbre de Heisenberg, no es posible conocer al mismo tiempo la posición y la velocidad del coche; así que la multa debe ser anulada.

¿Tiene razón la conductora en su alegación? (No preguntamos si puede abrigar alguna esperanza de librarse de la multa porque usted ya sabe la respuesta).

Autoestados de la velocidad

En los capítulos anteriores hemos hablado repetidamente de los autoestados de la posición, es decir, estados en los que la posición de la partícula está perfectamente definida. Pero existen otras magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad. ¿Puede una partícula tener una velocidad bien definida? Efectivamente, así es. Un postulado de la física cuántica es que todas las magnitudes o cantidades físicas tienen sus propios autoestados. Lo que pasa es que dichos autoestados no tienen por qué coincidir con los de la posición, y esto conduce a consecuencias interesantísimas. ¿Cómo son los autoestados de la velocidad?

Conviene recordar primero el aspecto de los autoestados de la posición; por ejemplo, | x0 . Si una partícula se encuentra en este estado, al observarla aparecerá en x0 con total seguridad. En otras palabras, la probabilidad de encontrarla en cualquier otro lugar es cero. Por tanto, la función de onda asociada, ψ(x), ha de ser cero para cualquier valor de x, excepto para x0.

Gráficamente:

Una función de este tipo, es decir, picada exactamente en un punto, se suele llamar «delta de Dirac». Las funciones de onda de los autoestados de la posición son deltas de Dirac.

Supongamos ahora que la partícula tiene una velocidad bien definida, o sea, que se encuentra en un autoestado de la velocidad, digamos | v0 . Esto significa que, al medir su velocidad, obtendremos v0 con total seguridad. ¿Qué aspecto tiene la función de onda correspondiente, ψ(x)? De acuerdo con las prescripciones de la mecánica cuántica, es una función oscilante:

Es decir, la función de onda se parece bastante a una cuerda infinita agitada por una perturbación (sinusoidal) a lo largo de toda su longitud. Una función así se suele llamar «onda plana». Las funciones de onda de los autoestados de la velocidad son ondas planas.

La característica más importante de una onda plana es su longitud de onda, o sea, la distancia entre dos picos o dos valles (indicada con la letra griega λ en la figura). El valor concreto de la longitud de onda depende de la masa y la velocidad de la partícula, de una forma que luego precisaremos.

A continuación, vamos a extraer una consecuencia crucial de lo que acabamos de exponer.

El principio de Heisenberg

El punto importante es que, si la partícula tiene la velocidad bien definida, entonces no tiene la posición bien definida, ya que su función de onda (onda plana) no es una delta de Dirac. De hecho, al medir la posición podemos obtener cualquier valor con idéntica probabilidad, puesto que la onda plana se extiende por todo el espacio de manera homogénea: la deslocalización de la partícula es absoluta.

Del mismo modo, si la partícula está en un autoestado de la posición (delta de Dirac), la incertidumbre acerca de la velocidad es absoluta. Esto es así porque una delta de Dirac se puede construir superponiendo infinitas ondas planas con distintas longitudes de onda, y, por tanto, asociadas a distintas velocidades. (Dicha construcción matemática se denomina «descomposición de Fourier».)

Podemos considerar también casos intermedios, en los que el estado de la partícula no es un autoestado de la posición ni de la velocidad; por ejemplo:

En estos casos, ni la posición ni la velocidad están bien definidas, pero la incertidumbre sobre ellas no es absoluta. Es una especie de solución de compromiso. Sin embargo, sea como sea la función de onda, no se puede hacer que ambas incertidumbres sean cero. Se puede demostrar rigurosamente que hay un límite matemático para lo pequeñas que estas pueden ser. Ese límite es el célebre principio de incertidumbre de Heisenberg:

Esta fórmula, enunciada por primera vez por Werner Heisenberg en 1927, es sin duda una de las más icónicas de la mecánica cuántica y de la física en general. Hay que decir que, a pesar de su nombre, el principio de incertidumbre no es en realidad un principio ni un postulado, sino un teorema; es decir, una consecuencia matemática de los postulados de la teoría. Dada su extraordinaria importancia, vamos a profundizar en el significado de la ecuación. Δx representa la incertidumbre en la posición, o sea, la incertidumbre con la que podemos predecir la posición de la partícula al efectuar una medida. Es importante recalcar que esta incertidumbre no se debe a que nuestros aparatos de medida sean imperfectos e introduzcan errores, cosa que naturalmente sucede, sino que es una incertidumbre intrínseca: en general, la función de onda de una partícula no es una delta de Dirac (autoestado de la posición), por lo que no tiene una posición bien definida. Δx representa esta indefinición. (Matemáticamente, Δx es la desviación típica asociada a la medida de la posición.) Δv tiene exactamente el mismo significado: en general, la función de onda de la partícula no es una onda plana, por lo que no tiene bien definida la velocidad. Δv representa esta incertidumbre o indefinición.

Lo que nos dice la fórmula de Heisenberg es que no es posible conseguir que Δx y Δv sean arbitrariamente pequeñas. El producto de ambas tiene que ser igual o mayor que el miembro de la derecha, ℏ/2m. Aquí, ℏ es la famosa constante de Planck, que es una constante fundamental de la naturaleza, al mismo nivel que la velocidad de la luz o la constante de la gravitación de Newton. El valor de ℏ es extraordinariamente pequeño. En unidades convencionales, ℏ ≈ 7 × 10-34m2 kg/s; o sea, 0,00...007, con treinta y tres ceros a la derecha de la coma. Esta pequeñez indica que es en el mundo microscópico donde el principio de incertidumbre juega un papel más importante. A esto contribuye también el denominador de la fracción ℏ/2m. La letra m representa la masa de la partícula. Al estar en el denominador, cuanto más grande sea esta, menor será el valor de ℏ/2m, y por tanto menores pueden ser las incertidumbres. Este es el caso de los objetos macroscópicos, observables a simple vista: una piedra, un grano de arroz, un grano de arena, etc. Para ellos las incertidumbres en Δx y Δv pueden ser extraordinariamente pequeñas, despreciables. Sin embargo, para una partícula diminuta, como un electrón, un átomo o una molécula, la incertidumbre cuántica es siempre significativa.

El principio de incertidumbre es uno de esos conceptos de la física que han trascendido el ámbito puramente científico.

Todo el mundo ha oído hablar alguna vez de este principio y tiene una idea intuitiva de su significado... aunque no siempre rigurosa. Por ejemplo, en 2012 le preguntaron al presidente de Estados Unidos, Barack Obama, por qué no le gustaba consultar a sus asesores, a lo que respondió: «Es por el principio de Heisenberg: al hacerles [yo] una pregunta, modifico la respuesta [que ellos habrían dado]». Bromas aparte, se afirma a menudo que el significado del principio de incertidumbre es que cuando medimos la posición de una partícula, perturbamos de forma irremediable su velocidad, por lo que no podemos aspirar a medir ambas simultáneamente con precisión absoluta. Esto es bastante intuitivo, pero puede dar a entender que la partícula tiene una posición y una velocidad bien definidas, solo que cuando medimos una perturbamos la otra. Sin embargo, la cosa es más profunda: la partícula no puede tener a la vez una posición y una velocidad bien definidas, las midamos o no las midamos.

El principio de incertidumbre no solo aparece en libros de texto, sino también en libros de ficción, películas e incluso en gorras y camisetas. Y la forma en la que suele escribirse no es la que hemos empleado antes, Δx ∙ Δv ≥ ℏ/2m, sino una muy parecida:

donde p es el momento lineal de la partícula, definido como el producto de la masa por la velocidad, p = mv. Matemáticamente, ambas formas son exactamente equivalentes (simplemente hemos multiplicado por m los dos miembros de la ecuación inicial), y, por supuesto, también lo es su significado.

Es hora ya de regresar a nuestra conductora en aprietos, tratando de librarse de una multa por exceso de velocidad. Recordemos su línea de defensa: «Si mi coche fue detectado en el kilómetro 23 (y, por tanto, con una posición bien definida), no es posible afirmar con seguridad que su velocidad fuera de 130 km/h; el principio de incertidumbre lo impide». Esta afirmación es correcta. El problema, como hemos visto, es que para objetos macroscópicos (caso del coche) las incertidumbres en la posición y la velocidad pueden ser extraordinariamente pequeñas (aunque nunca nulas). Por ello, si bien es verdad que no se puede decir que el coche se encontraba en ese lugar y a esa velocidad con precisión absoluta, la incertidumbre cuántica es insignificante. Solo si nos empeñáramos en establecer la posición y la velocidad del coche con una precisión absurda de trillonésimas de trillonésimas de milímetro, entonces el principio de Heisenberg nos lo impediría. Desgraciadamente, ¡no podemos invocar el principio de incertidumbre para impugnar una multa en la carretera!

Aun así, nuestra conductora podría alegar que el principio de Heisenberg solo establece un límite inferior para las incertidumbres, pero permite que estas sean arbitrariamente grandes, incluso para objetos macroscópicos. Por ejemplo, podría afirmar (sin pruebas): «Cuando mi coche fue detectado, se encontraba en un autoestado de la posición, concretamente estaba situado exactamente en el kilómetro 23; por tanto, la incertidumbre acerca de su velocidad era total». Sin embargo, si de algo tenemos certidumbre absoluta es de que este argumento no la librará de la multa...

Por qué los átomos no se derrumban

El hecho de que el principio de incertidumbre sea solo significativo para el mundo microscópico puede dar la impresión de que es irrelevante para nuestras vidas; pero lo cierto es que, si estamos vivos, es gracias a él.

Pensemos en un átomo. Todos tenemos en mente la imagen de los electrones, orbitando en torno al núcleo atómico como pequeños planetas. Es una imagen atractiva, casi poética; pero la verdad es que, si el mundo fuera clásico, esas órbitas no serían estables y los electrones terminarían cayendo a los núcleos atómicos. Y lo harían inmediatamente, ya que radiarían energía electromagnética e irían frenándose progresivamente, cayendo en una espiral hacia el núcleo. La consecuencia sería que los átomos y las moléculas se derrumbarían como castillos de naipes: no habría elementos químicos, ni sustancias compuestas ni, por supuesto, vida. Esto no es una especulación teórica; lo vemos todos los días; por ejemplo, en los electrones que viajan por los anillos circulares de los aceleradores de partículas. Esos electrones se mantienen en órbita porque constantemente se les está suministrando energía para compensar la que pierden por la radiación que emiten. En cuanto se detiene el suministro, se vienen abajo. ¿Por qué no les sucede lo mismo a los electrones de un átomo? La respuesta es: gracias al principio de incertidumbre.

El principio de incertidumbre, Δx ∙Δv ≥ ℏ/2m, establece que un objeto no puede tener simultáneamente una posición y una velocidad bien definidas. Esto también es válido cuando su velocidad es cero. En este caso, el principio nos dice que el objeto no puede estar exactamente quieto en una posición determinada, ya que eso implicaría Δx = 0 y Δv = 0 simultáneamente. Y esta es sencillamente la razón por la que los electrones no caen a los núcleos. No pueden hacerlo porque entonces adquirirían simultáneamente una posición (dentro del núcleo) y una velocidad (cero o muy pequeña) «demasiado» definidas; tanto, que violarían el principio de incertidumbre. Es por eso que el estado de mínima energía del electrón corresponde a una función de onda extendida de forma esférica, denominada «orbital atómico», mucho más grande que el núcleo del átomo, como representa esta figura:

Para hacernos una idea de su tamaño relativo, si imaginamos el núcleo de un átomo de hidrógeno como un minúsculo grano de arena de una décima de milímetro, el orbital de su electrón sería tan grande como un salón de seis metros de lado. Insistamos: este es el estado de mínima energía; por tanto, el electrón «no puede caer más bajo». Se trata de una situación absolutamente estable.

La imposibilidad de estar exactamente quieto en una posición determinada afecta a cualquier objeto, no solo a los electrones de los átomos. Pensemos en un venerable reloj de péndulo, como los que había en las casas de nuestros abuelos. Cuando un reloj así se queda sin cuerda, el péndulo deja de oscilar y se relaja al estado de mínima energía, es decir, con la varilla del péndulo perfectamente vertical y en reposo absoluto. Bueno... no del todo. El principio de incertidumbre nos dice que su velocidad no puede ser exactamente cero. Naturalmente, al tratarse de un objeto macroscópico, la incertidumbre en la velocidad y la posición es inapreciable, pero realmente está ahí. En 2015 investigadores de la Universidad de Caltech (EE.UU.) demostraron este hecho estudiando la vibración de una pequeña (pero visible) lámina de aluminio.

En el mundo microscópico hay multitud de ejemplos de este fenómeno. Si pudiéramos observar con una formidable lupa los átomos de un cristal, veríamos que no están quietos, sino vibrando, como consecuencia de la temperatura. Si enfriamos el cristal, la vibración disminuye; pero, aunque consiguiéramos llegar al cero absoluto de temperatura, siempre quedaría una vibración residual imposible de eliminar debido al principio de incertidumbre. La quietud absoluta no existe.

La longitud de onda de una partícula

Unas páginas atrás afirmamos que la función de onda de una partícula con una velocidad bien definida es una onda plana:

donde la longitud de onda, λ, depende de la velocidad de la partícula. Ahora vamos a ser más concretos; la longitud de onda es:

A menudo esta fórmula se expresa de una forma más compacta: λ = h/p, donde h = 2πℏ es la constante que originalmente introdujo Planck, y p = mv es el momento lineal de la partícula. La fórmula anterior fue postulada en 1923 por Louis de Broglie, y a λ se la denomina a veces «longitud de onda de De Broglie» en su honor. La cuestión más importante aquí es que, como ℏ tiene un valor muy pequeño, la longitud de onda será típicamente muy pequeña. Y, dado que en el denominador tenemos el producto de la masa por la velocidad, cuanto mayores sean estas últimas, aún será menor la longitud de onda.

Es costumbre decir que cada partícula tiene una longitud de onda asociada, pero esto puede inducir a error. La afirmación correcta es que, cuando la partícula está en un autoestado de la velocidad, su función de onda es una onda plana con una longitud de onda dada por la fórmula de De Broglie. Lo que ocurre es que, a menudo, las partículas están efectivamente en un autoestado de la velocidad o muy cercano a él. Este es el caso de las partículas libres, no ligadas a átomos; por ejemplo, las partículas de los rayos cósmicos o las emitidas por las sustancias radiactivas. Así que en muchas situaciones sí podemos hablar de la longitud de onda de una partícula.

El hecho de que la longitud de onda de las partículas sea muy corta dio la idea para construir microscopios electrónicos. Los microscopios convencionales tienen una limitación insuperable: no pueden resolver distancias menores que la longitud de onda de la luz que emplean. La longitud de onda de la luz visible es del orden de una milésima de milímetro (el valor exacto depende del color de la luz). Por tanto, por muy bien construido que esté el microscopio, no podremos distinguir detalles más pequeños que una milésima de milímetro. Sin embargo, un electrón a gran velocidad tiene una longitud de onda muchísimo más corta. En consecuencia, si sustituimos la luz natural por electrones podremos resolver detalles imposibles para un microscopio ordinario. En esto consiste el microscopio electrónico, cuyo primer prototipo fue construido por el físico alemán Ernst Ruska en 1931. Con las velocidades típicas de los electrones a las que operan estos microscopios, la longitud de onda de estos es diez mil veces menor que la de la luz visible, por lo que se alcanzan resoluciones de una diezmillonésima de milímetro. Esta es la imagen de un radiolario (un ser unicelular del plancton marino) obtenida con un microscopio de luz y uno electrónico:

Indudablemente, el microscopio electrónico ha sido una herramienta fundamental en biología para profundizar en el estudio de microorganismos; y ha sido también esencial para el estudio de grandes moléculas, o la visualización de detalles de estructuras metálicas o cristalinas.

Terminamos esta sección recordando el experimento de la doble rendija del capítulo anterior. Ahora resulta claro por qué si se hace el experimento con perdigones, en vez de con electrones, no se observa ninguna figura de interferencia.

Dificultades técnicas aparte, lo que sucede es que los perdigones tienen una masa enormemente mayor que un electrón (aproximadamente diez mil cuatrillones de veces mayor). Por tanto, su longitud de onda es extraordinariamente corta, y eso hace que la distancia entre las franjas que se forman en la pantalla sea ridículamente pequeña, de manera que no podemos distinguir las zonas «luminosas» (donde llegan los perdigones) de las «oscuras» (donde no llegan). Están demasiado juntas para cualquier instrumento de observación.

El último postulado

En este capítulo hemos hecho hincapié en que los autoestados de la velocidad (ondas planas) no son los mismos que los de la posición (deltas de Dirac), lo cual nos ha conducido al principio de incertidumbre.

Pero ¿por qué son así los autoestados de la velocidad? La razón está en un postulado esencial de la mecánica cuántica.

Según este último postulado, los autoestados correspondientes a una magnitud física medible (posición, velocidad, energía, etc.) están determinados por una condición matemática, llamada «ecuación de autovalores». Y es esta ecuación la que dicta que los autoestados de la velocidad para una partícula libre sean ondas planas.[3]

Hay que aclarar que cada magnitud física tiene su propia ecuación de autovalores. Por eso los autoestados de la posición son diferentes de los de la velocidad y, a su vez, diferentes de los de la energía, el momento angular, etc.

La ecuación de autovalores no solo determina cuáles son los autoestados de una magnitud física. La propia consistencia matemática de la ecuación implica que, en general, no todos los valores de la magnitud son aceptables. Solo ciertos valores especiales (denominados «autovalores» en la jerga científica) lo son; en otras palabras, cuando realicemos una medición de esa magnitud física, solo podremos obtener alguno de esos valores especiales. En el caso concreto de una partícula propagándose libremente, cualquier valor de la velocidad está permitido. Pero para otras magnitudes físicas no es así. En estos casos se dice que la magnitud está cuantizada. Un ejemplo importante de esto último son las energías de los átomos, que solo pueden tener ciertos valores, como discutiremos en el capítulo 7.

6

El efecto túnel

Si lanzamos una pelota contra la pared, la experiencia nos dice que rebotará. Por muchas veces que hagamos la prueba, nunca sucederá que la pelota atraviese la pared y aparezca en la habitación de al lado. Simplemente, la pelota no lleva suficiente energía para atravesarla.

Sin embargo, las cosas son diferentes en el mundo microscópico. Cuando realizamos un experimento semejante con un electrón o un átomo, y una barrera microscópica, resulta que en muchos casos la partícula la atraviesa y aparece al otro lado. Este es el «efecto túnel», llamado así porque parece como si la barrera tuviera un agujero o túnel por donde pasará la partícula. El efecto túnel es una de las consecuencias más asombrosas de la mecánica cuántica. No solo eso: el efecto túnel explica importantes fenómenos naturales y ha dado lugar a tecnologías de gran relevancia.

Un modelo sencillo

Consideremos un modelo simplificado, pero que capta todas las sutilezas del fenómeno; de hecho, es el que se emplea en las universidades de todo el mundo para explicar el concepto en sus cursos de física cuántica. En este modelo, la barrera está representada por una región con un potencial V. Esto es equivalente a una montaña rectangular con una cierta altura, de forma que la partícula necesita una energía V para superarla. Si lanzamos una partícula desde la izquierda con una energía menor que el potencial, E < V, entonces la intuición clásica nos dice que no podrá superar la barrera, por lo que, al igual que la pelota anterior, rebotará.

Para analizar el problema cuánticamente, hemos de suponer que la partícula incidente está en un estado con la energía bien definida, que en este caso significa una velocidad bien definida, ya que para una partícula libre toda la energía es puramente cinética. Recordemos del capítulo anterior que en ese caso su función de onda es una onda plana. Si la intuición clásica fuera correcta, esta onda plana incidente debería reflejarse completamente en la barrera.

Esquemáticamente:

Sin embargo, no es esto lo que sucede. Cuando se aplica la ecuación de Schrödinger a la función de onda, se encuentra que, efectivamente, una parte de ella se refleja, pero no toda. La parte restante atraviesa la barrera y aparece al otro lado, como ilustra este diagrama:

Profundicemos un poco en el significado de esta figura. Dado que el cuadrado de la función de onda, ψ(x)2, proporciona la probabilidad de encontrar la partícula en un punto, la primera conclusión es que es posible detectarla a la derecha de la barrera. En otras palabras, hay una probabilidad no nula de que la partícula supere el obstáculo. Notemos que en esa región, la función de onda es también una onda plana semejante a la incidente, pero con menor amplitud de oscilación. Esto se debe a que solo una parte de la función de onda incidente se transmite, el resto se refleja. Por otro lado, la longitud de onda, λ, es la misma para la función de onda incidente y para la transmitida. Puesto que la longitud de onda está relacionada con la velocidad de la partícula (por la fórmula de De Broglie del capítulo anterior), la conclusión es que la velocidad de la partícula es igual a ambos lados de la barrera. En otras palabras, cuando la partícula atraviesa la muralla no sufre ningún tipo de frenado, lleva a cabo la hazaña sin perder nada de su velocidad inicial.

Dado que una parte de la función de onda se refleja, también hay una probabilidad no nula de que la partícula rebote, al estilo clásico. Solo cuando encontramos la partícula más allá de la barrera podemos decir que se ha producido el efecto túnel. Naturalmente, las probabilidades de reflexión y transmisión son complementarias: cuanto mayor es la primera, menor es la segunda. Más concretamente, la probabilidad de transmisión depende de forma muy sensible de la altura energética de la barrera, V, y de su anchura. Esto último se debe a que dentro de la barrera la función de onda disminuye de forma exponencial:

Para situaciones microscópicas, en las que la altura y la anchura de la barrera son pequeñas, la probabilidad de transmisión puede ser muy alta. Sin embargo, en situaciones cotidianas, donde las energías en juego y la anchura de las barreras son mucho mayores, la probabilidad de transmisión es ridículamente pequeña. En consecuencia, aunque estuviéramos toda la vida lanzando pelotas contra una pared, tendría que pasar un número colosal de trillones de años para que, con suerte, pudiéramos ver el fenómeno alguna vez. Una vez más, los efectos genuinamente cuánticos solo se observan en sistemas microscópicos. Esto no significa que el efecto túnel sea irrelevante para nuestras vidas. De hecho, es crucial, como veremos enseguida.

¿Qué ocurre dentro de la barrera?

En el capítulo 2 conocimos a una astuta fiscal que intentaba descubrir contradicciones lógicas en los postulados de la mecánica cuántica. Imaginémosla ahora escudriñando el efecto túnel que acabamos de exponer. Nuestra fiscal podría argumentar de esta forma: si la partícula incidente aparece al otro lado de la barrera, es que en algún momento ha atravesado la zona del muro. Por otro lado, para estar en dicha zona se necesita como mínimo una energía igual al potencial del muro, E ≥ V. Pero esto contradice nuestra hipótesis de partida de que la energía E es menor que V. Por tanto, la presencia de la partícula en la zona de la barrera debería estar prohibida en todo momento, a menos que su energía creciera de repente, lo cual violaría el conocido principio de conservación de la energía. Dado que la partícula no puede atravesar la zona de la barrera, tampoco puede acceder al otro lado de ella.

Curiosamente, en algunos libros o páginas web se dice que ese es el fundamento del efecto túnel: la no-conservación de la energía durante una pequeña fracción de segundo, en la cual la partícula atraviesa la barrera. Pero esto es incorrecto. La partícula tiene en todo momento la misma energía, E < V. No obstante, en el dibujo anterior observamos que la función de onda (y, por tanto, la probabilidad de presencia de la partícula) es distinta de cero en la zona de la barrera. ¿Cómo es posible esto sin violar el principio de conservación de la energía? Hay que admitir que este hecho es, cuando menos, sorprendente; sin embargo, a pesar de las apariencias, no hay contradicción lógica.

El punto importante aquí es recordar qué significa la «probabilidad de presencia». No es una medida de nuestra ignorancia. O sea, no es que la partícula esté realmente en algún punto pero nosotros ignoremos cuál es. Si fuera así, la partícula debería pasar en algún momento por una zona prohibida energéticamente, como argumenta la fiscal. Sin embargo, la partícula no tiene en ningún momento una posición definida, ya que no está en un autoestado de la posición. Y esa indefinición en su posición (no en su energía) es la que le permite tener una función de onda extendida, que incluso «penetra» en zonas clásicamente prohibidas, como el interior de la barrera. El hecho de que la función de onda (y, por tanto, la probabilidad de presencia) sea distinta de cero dentro de la barrera significa exactamente que «si medimos la posición de la partícula», hay una probabilidad no nula de que esta se materialice en esa zona.

Ahora nuestra fiscal podría replicar: «En cualquier caso, habríamos encontrado la partícula dentro de la barrera, lo que supone una violación de la conservación de la energía». Pero no es así, porque al medir la posición se produce el colapso del estado (recordemos los postulados de la física cuántica). En consecuencia, la función de onda cambia y pasa a ser un autoestado de la posición, o sea, una delta de Dirac situada en la zona de la barrera:

Sin embargo, una delta de Dirac no tiene una energía bien definida (lo que tiene bien definido es la posición), por lo que su presencia en esa zona no supone ninguna contradicción. Lo que ha sucedido es que, en el proceso de medida, la partícula ha interactuado con un aparato externo, de forma que se ha producido una transferencia de energía entre ellos, y este aporte de energía es el que permite la materialización de la partícula en la zona de la barrera.

¿Por qué luce el Sol?

La luz y el calor emitidos por el Sol o por cualquier estrella provienen de las reacciones nucleares que ocurren en su interior, semejantes a las que tienen lugar en una bomba nuclear de fusión. El Sol es, básicamente, un globo de hidrógeno que está transformándose en helio a través de esos procesos. Su temperatura es tan alta que tanto el hidrógeno como el helio están completamente ionizados, es decir, los electrones están desgajados de los núcleos. Así que el Sol es una especie de sopa caliente de núcleos atómicos de carga positiva (sobre todo, hidrógeno y helio) y electrones de carga negativa. Una sopa de este tipo se denomina «plasma». El plasma del interior solar está a una temperatura de unos 15 millones de grados. Los procesos nucleares en un medio así son complicados, pero, en resumen, consisten en que cuatro núcleos de hidrógeno se fusionan, produciendo un núcleo de helio y mucha energía; un proceso que ocurre millones de veces por segundo. Gráficamente:

Los cuatro núcleos de hidrógeno iniciales son simplemente protones de carga positiva. Después de la fusión tenemos un núcleo de helio (formado por dos protones y dos neutrones), dos positrones (antielectrones, de carga positiva) y energía en forma de radiación (rayos gamma) y neutrinos. Los dos positrones se aniquilan a su vez con dos electrones del plasma, produciendo aún más energía. Como se ve, esta reacción es energéticamente favorable, ya que libera energía; por tanto, si ponemos suficientemente juntos a los cuatro protones, estos se fusionarán espontáneamente en un núcleo de helio.

Pero hay un problema: los protones están cargados positivamente, por lo que se repelen eléctricamente. Cuando dos protones chocan, a menos que su velocidad sea enorme, no llegan a «tocarse» porque antes de hacerlo la repulsión eléctrica los aleja. Naturalmente, cuanto mayor sea su velocidad, más se podrán acercar, y a velocidades gigantescas pueden llegar a tocarse. Pero en el interior del Sol, aunque la velocidad de los protones es grande, está muy por debajo de la que necesitarían para vencer la barrera electrostática y fusionarse. Es aquí donde el efecto túnel juega un papel estelar (perdón por el chiste). Debido al efecto túnel, algunos protones, a pesar de su insuficiente energía, superan la barrera electrostática y logran fusionarse, con la consiguiente liberación de energía.

Así que, si el Sol luce, es gracias al efecto túnel, y lo mismo vale para la mayoría de las estrellas. Evidentemente, si el Sol no emitiera luz y calor, no habría vida en la Tierra, por lo que el efecto túnel es esencial para que estemos aquí conversando sobre ello.

Es interesante profundizar un poco más en el fenómeno de la fusión nuclear en el interior de las estrellas. Hemos dicho que «algunos protones» son capaces de superar la barrera electrostática y fusionarse. De hecho, son muy pocos los que lo consiguen. La probabilidad de que lo hagan es del orden de 10–20. En otras palabras, de cada cien trillones de choques entre protones, ¡solo hay uno en el que estos superan la barrera electrostática y se fusionan! Puede parecer una probabilidad ridícula, pero en el interior del Sol hay tantos protones y tantos choques entre ellos, que una cantidad importante de protones lo consigue, los suficientes para que el Sol luzca como lo hace. A decir verdad, que la probabilidad sea tan pequeña es bueno para nuestros intereses. En otras estrellas más masivas que el Sol, la presión en el interior es mayor y, por tanto, también lo es la velocidad de los protones. Esto hace que, de manera efectiva, la barrera electrostática que tienen que vencer sea menor. El resultado es que los procesos de fusión se producen a un ritmo mucho más rápido. La estrella luce más, pero también quema hidrógeno más deprisa y, en consecuencia, vive menos. En la mítica película de ciencia ficción Blade Runner se dice: «La luz que brilla con el doble de intensidad dura la mitad de tiempo». La razón de que esto pase en las estrellas es la desigual eficiencia del efecto túnel, a causa de sus distintas masas. Gracias a que el Sol es una estrella más bien pequeña, su vida es larga, del orden de 10.000 millones de años, de los que ya han transcurrido la mitad. Esto ha permitido que la vida evolucione en nuestro planeta durante varios miles de millones de años, dando lugar en sus últimas etapas a organismos complejos, y en particular a los seres humanos. Si el efecto túnel fuera más eficiente, el Sol y todas las estrellas se consumirían demasiado rápido y no estaríamos aquí para contarlo.

En resumen, el efecto túnel no solo permite que las estrellas luzcan, sino que lo hagan con la intensidad adecuada para el surgimiento y evolución de la vida.

Núcleos radiactivos

Vamos ahora a considerar la situación opuesta a la fusión, esto es, la desintegración de un núcleo atómico. Un proceso así solo puede producirse de forma espontánea cuando conlleva la liberación de energía. Para fijar ideas, supongamos que el núcleo en cuestión es de uranio-238. Este núcleo, constituido por 92 protones y 146 neutrones, es inestable y se desintegra emitiendo una partícula alfa (α), o sea, un núcleo de helio, formado por dos protones y dos neutrones. De esta manera se transforma en un núcleo más ligero, de torio-234.

Aunque este proceso es energéticamente favorable, un núcleo de uranio-238 no se desintegra inmediatamente. De hecho, se lo toma con mucha calma: en promedio tarda 6.446 millones de años, ¡más tiempo del que llevan existiendo el Sol y la Tierra! El hecho de que los veamos desintegrarse se debe a la cantidad fabulosa de ellos que hay en un solo gramo de sustancia (dos mil quinientos trillones). Pero ¿por qué tarda tanto en desintegrarse un núcleo de uranio?

Para entenderlo, hay que tener en cuenta que la partícula alfa está atrapada en el núcleo gracias a la llamada «interacción nuclear fuerte», una fuerza tan fundamental como la eléctrica o la gravitatoria, y aún más intensa que estas, pero de alcance mucho más corto. La tendencia natural de la partícula alfa es a escapar del núcleo, pues siente la repulsión electrostática ejercida por el resto de los protones, que, al igual que ella, tienen carga positiva. Esta tendencia es compensada en la distancia corta por la fuerza fuerte. Dicho de otra forma: para liberarse del núcleo de uranio, nuestra partícula alfa tiene que superar una barrera energética, creada por la fuerza fuerte, como ilustra el siguiente dibujo:

La altura de la barrera es de unos 30 MeV (el MeV es una unidad de energía que suele emplearse en física nuclear); sin embargo, la energía cinética de la partícula alfa es de 4,2 MeV, muy inferior a la necesaria para superarla. (Para los lectores curiosos: la velocidad de la partícula alfa atrapada en el núcleo es de unos 15.000 km/s.) Clásicamente, la partícula alfa no saldría jamás del núcleo de uranio-238, y este sería perfectamente estable. Pero, como se aprecia en la figura anterior, el efecto túnel da una oportunidad a nuestra partícula para burlar la barrera y reaparecer más allá del núcleo, alejándose felizmente de él.

Todos los núcleos que se desintegran mediante emisión alfa (una de las más comunes) pueden explicarse satisfactoriamente mediante el efecto túnel. Dependiendo de la altura de la barrera energética, el efecto túnel es más o menos eficiente, haciendo que la vida del núcleo sea más o menos corta. En consecuencia, la diversidad de barreras de los núcleos atómicos inestables se traduce en una asombrosa diversidad de vidas medias. Ya hemos dicho que un núcleo de uranio-238 tiene una vida media de 6.446 millones de años, y los hay aún más longevos, como el tungsteno-180, que en promedio vive más de un trillón de años. En contraste, la vida media del neptunio-222 no llega a una millonésima de segundo. Y entre estos casos extremos tenemos vidas de todas las duraciones imaginables, todas ellas explicables por el efecto túnel experimentado por las partículas alfa. Hay que aclarar que otras formas de radiactividad natural, como la desintegración beta (emisión de electrones), no pueden explicarse de una forma tan sencilla como la de tipo alfa.

Finalmente, nos gustaría llamar la atención sobre lo siguiente: si una microscópica partícula alfa puede llegar a necesitar un trillón de años en superar una barrera microscópica gracias al efecto túnel, es fácil imaginar que cuando las escalas del problema son macroscópicas, caso de la pelota lanzada contra la pared, la probabilidad de que se produzca el «mágico fenómeno» es absolutamente despreciable. Sin duda, nunca tendremos la fortuna de presenciarlo con nuestros ojos.

Microscopio de efecto túnel

El microscopio de efecto túnel, desarrollado en 1981 por los alemanes Gerd Binnig y Heinrich Rohrer, proporciona una de las ilustraciones más espectaculares de este fenómeno.

Imaginemos una pila eléctrica como la de la figura. ¿Por qué no saltan los electrones espontáneamente del electrodo negativo al positivo?

La razón es que para ello deberían vencer la fuerza de ligadura que los mantiene unidos a los átomos del metal. En otras palabras, los electrones tendrían que superar una barrera energética de tipo electrostático. La fuerza de atracción entre los dos terminales de la pila no es ni de lejos suficiente para superar dicha barrera. Sin embargo, como hemos visto, la mecánica cuántica ofrece a los electrones una esperanza de conseguirlo, gracias al efecto túnel. Naturalmente, en el caso de la pila (un sistema físico macroscópico) la probabilidad de que eso suceda es fabulosamente pequeña, así que ni un solo electrón es capaz de dar el salto. Pero ¿qué pasaría si disminuyésemos la distancia entre los electrodos, como muestra la figura?

A medida que la barrera se estrecha, la probabilidad de que algún electrón la supere crece, y cuando la distancia es extremadamente pequeña, saltan suficientes electrones para crear una corriente eléctrica medible. El número de electrones que lo consigue (y, por tanto, la magnitud de la corriente) depende de forma ultrasensible de la distancia entre los electrodos. Pequeñísimas variaciones de esa distancia se traducen en cambios sustanciales en la probabilidad de que los electrones superen la barrera, y, por consiguiente, en la corriente eléctrica que se establece. Este es el fundamento del microscopio de efecto túnel.

El microscopio está formado por una punta de un material conductor (tungsteno, platino-iridio u oro) extraordinariamente afilada. La punta se acerca al material que se quiere observar a una distancia de unas pocas diezmillonésimas de milímetro, apenas mayor que el tamaño de un átomo (¡una operación delicada!). Entre la punta y el material estudiado se establece desde el exterior una diferencia de potencial, de forma que algunos electrones saltan por el efecto túnel desde la punta hasta el material, con lo que se establece una corriente eléctrica muy débil, que es amplificada inmediatamente por métodos electrónicos. El tamaño de esa corriente depende de la distancia de la punta al material.

A continuación, se «pasea» la punta sobre la muestra de material, con lo que la magnitud de la corriente va cambiando, dependiendo del relieve de su superficie. De esta manera, se consigue cartografiar ese relieve hasta límites de precisión extraordinarios, más pequeños que el propio tamaño de los átomos del material. El resultado son unas imágenes fascinantes, con una resolución tan extrema que se observan perfectamente los átomos individuales del material. Por ejemplo, esta es una superficie de grafito, o sea el material de la mina de un lápiz, vista por un microscopio de efecto túnel. En ella se aprecian con claridad los átomos de carbono formando una red cristalina.

No existe ningún instrumento de observación que se pueda comparar en resolución al microscopio de efecto túnel. A veces se dice que la mecánica cuántica es una teoría frustrante porque establece limitaciones a nuestro conocimiento sobre la naturaleza, aludiendo al principio de incertidumbre o al hecho de que sea una teoría probabilística y no determinista. La realidad es que la mecánica cuántica no solo nos ha proporcionado un conocimiento muchísimo más profundo sobre cómo funciona la naturaleza, sino que nos ha permitido diseñar instrumentos para explorarla de forma más eficaz y precisa. Ejemplos de ello son el microscopio electrónico, comentado en el capítulo anterior, y el microscopio de efecto túnel.

¿Surgió el universo de una fluctuación cuántica?

Vamos a terminar este capítulo aventurándonos por los resbaladizos terrenos de la especulación, nada menos que acerca del origen del universo. Al fin y al cabo, la ciencia no es solo cálculo, rigor y experimentación; también es especulación e imaginación (y diversión).

Para empezar, hay que dejar claro que en la actualidad sabemos mucho de los primeros instantes del universo, y no se trata de meras especulaciones. La teoría del Big Bang, basada fundamentalmente en la teoría de la relatividad general, y también en la física de partículas y la física nuclear, describe en detalle la época inicial del universo desde instantes tempranísimos. Y disponemos de pruebas abrumadoras de la validez de esa descripción. Por ejemplo, según la teoría, a partir de un segundo después del instante inicial el universo se comportó durante unos minutos de forma semejante al interior de una estrella. Sus condiciones de temperatura y densidad eran propicias para la fusión de protones, produciendo núcleos de helio y (en cantidades mucho menores) otros elementos ligeros. La teoría predice con precisión la abundancia de helio, deuterio, helio-3 y litio en nuestro universo; y las observaciones astronómicas corroboran de forma impresionante el éxito de esas predicciones.

El problema surge cuando nos remontamos a momentos aún más cercanos al instante inicial. Para tiempos entre una billonésima de segundo y un segundo después del Big Bang, creemos saber lo que pasó, aunque no tengamos pruebas de ello, pues disponemos de una teoría que describe exitosamente el comportamiento de las partículas elementales a las energías y temperaturas que reinaban entonces. Pero si nos remontamos a instantes aún más primitivos, no disponemos ni de pruebas experimentales ni de una teoría con garantías. La teoría de la relatividad, en particular, implica de forma prácticamente ineludible la existencia de una singularidad inicial, donde la curvatura del espacio-tiempo y la temperatura se hacen infinitas. Esto se suele considerar una indicación de que probablemente la propia teoría de la relatividad clásica deja de ser válida en esas condiciones extremas.

Por otro lado, la teoría del Big Bang deja sin responder una pregunta básica de carácter filosófico: ¿por qué hay un universo en vez de no haber nada? Aquí encontramos un término engañoso: «nada». No es lo mismo la nada que el vacío. El vacío es simplemente espacio del que se ha extraído la materia y la energía. De hecho, en sentido estricto, el vacío así entendido no existe, sino que está «habitado» por extraños inquilinos, como la energía oscura (que comentaremos en el capítulo 16) y el campo de Higgs, además de presentar fluctuaciones de campos elementales, como el campo electromagnético. Por otro lado, la teoría de la relatividad nos enseña que el propio espacio-tiempo es un objeto dinámico, que puede estirarse, contraerse, curvarse y retorcerse. En definitiva, el vacío es un objeto físico, y muy complejo, por cierto. Cuando hablamos de la «nada» nos referimos a la ausencia, no solo de materia y energía, sino también de espacio y tiempo. La nada es un concepto engañoso. No hay ningún estado que en rigor podamos asociar a la nada porque la nada es por definición la ausencia de todo tipo de existencia, y un estado «está» (es decir, existe) también por definición. Probablemente, una reformulación más correcta de nuestra pregunta inicial «¿por qué hay un universo en vez de no haber nada?» sería simplemente «¿por qué hay un universo?».

Hechas estas salvedades, podemos, en un esfuerzo de imaginación, tratar de asignar algunas características a la nada. Por ejemplo, no cabe duda de que, se defina como se defina, la nada no debe tener energía ni materia. Entonces, nuestra pregunta filosófica anterior, particularizada para estas, tomaría la forma: «¿De dónde surgieron la materia y la energía del universo? ¿Cómo pudieron surgir de la nada?». Conviene recordar aquí que la materia es simplemente energía concentrada y organizada en formas concretas, algo que aprendimos con la celebérrima relación de Einstein, E = mc2; así que donde decimos «materia y energía» podemos decir simplemente «energía». Dado que la nada no puede poseer energía, la aparición repentina de un universo violaría el consabido principio de conservación de la energía; una cuestión que, enunciada en otros términos, ya fue expresada por Parménides y Lucrecio. Esto parece plantear una cuestión de difícil solución.

Aquí, sin embargo, la ciencia actual puede hacer una matización muy importante. En el universo no solo hay energía positiva, sino también negativa. Por ejemplo, la energía cinética de un tren, o de cualquier objeto, es energía positiva. También lo es la energía contenida en la propia materia de la que está hecho el tren, que por la relación E = mc2 es inmensamente mayor que su energía cinética. La energía contenida en la luz también es positiva. Entonces ¿cuál es la energía negativa? Simplemente, la contenida en el campo gravitatorio. Cuando un objeto cae, la energía cinética que adquiere en su caída proviene del campo gravitatorio que se crea en el proceso. No disponemos de espacio para explicar intuitivamente esta idea, pero es posible que usted recuerde de las clases de física en la escuela secundaria que la energía gravitatoria asociada a la ley de Newton tiene signo negativo.[4] Así que la Tierra posee una enorme cantidad de energía positiva, la contenida en su propia masa; pero también posee energía negativa, la asociada al campo gravitatorio que genera a su alrededor. En el caso de la Tierra, la primera es muchísimo mayor que la segunda; es decir, el balance es netamente positivo. Sin embargo, a nivel cósmico, podría ser que hubiera tanta energía positiva como negativa. Los datos astronómicos (concretamente los relacionados con el ritmo de expansión del universo) avalan esta posibilidad. Así que ¡puede que la energía total del universo sea exactamente cero! En consecuencia, el nacimiento espontáneo del universo, por raro que resulte, al menos no tiene por qué violar la ley de conservación de la energía.

Este hecho es extraordinariamente sugerente, y no es el único. Sabemos que la carga eléctrica se conserva, y no cabe duda de que la nada (signifique lo que signifique) no posee carga eléctrica. Por tanto, el surgimiento de un universo con carga eléctrica violaría la ley de conservación de la carga. Pero resulta que la carga eléctrica neta del universo ¡también parece ser nula!; o sea, hay tantas cargas eléctricas positivas como negativas (por ejemplo, tantos protones como electrones). Así que, por extraño que parezca, el universo comparte algunas propiedades con la nada. No todas, por supuesto: en la nada (concepto nebuloso, insistimos) no hay ningún tipo de energía, ni positiva ni negativa; ni ningún tipo de cargas eléctricas, por mucho que estas se compensen.

En este punto de nuestra discusión es donde aparece el efecto túnel. Gracias a él, un estado físico puede transitar a otro, aunque con ciertas restricciones. En particular, este proceso no puede violar las leyes de conservación. Hemos visto que una partícula puede desaparecer de un lado de una barrera y reaparecer al otro. Lo que no puede es reaparecer con más velocidad de la que tenía inicialmente, ya que esto implicaría un aumento de la energía cinética, y la energía se tiene que conservar. Lo mismo sucede en las desintegraciones alfa. Hay núcleos para los que la emisión de una partícula alfa implicaría un coste energético. Esos núcleos simplemente no se desintegran (al menos no de ese modo). Se podría pensar que en los dos casos mencionados la partícula «ya estaba ahí» antes de atravesar la barrera energética; el efecto túnel no la crea, solo hace que esta cambie de estado. Pero la mecánica cuántica permite saltarse también esta objeción. Recordemos que un neutrón se desintegra emitiendo un protón, un electrón y un neutrino. Estas tres partículas no estaban en la tripa del neutrón antes de desintegrarse, sino que se crean en el proceso. Lo mismo sucede cuando un electrón y un positrón chocan para desaparecer y producir dos fotones que antes no existían, y así millones de ejemplos. Por mencionar un caso notable: en el LHC (gran acelerador de protones en Ginebra) se producen choques protón-protón a velocidades extremas. Y en cada choque se producen decenas de partículas: protones, antiprotones, neutrones, electrones, piones y otras partículas que «antes no estaban». La mecánica cuántica proporciona reglas para calcular la probabilidad de transición de un estado a otro; y, en general, siempre que las leyes de conservación lo permiten, esa probabilidad no es nula, aunque puede ser pequeñísima.

Todo esto sugiere que, aunque no existiera un universo (o sea, aunque el estado del mundo fuera la nada), este podría aparecer espontáneamente, como una «transición desde la nada» sin violar ninguna ley de conservación. Incluso en esta imagen no tiene sentido preguntarse qué había antes del comienzo del universo, ya que dicho instante fue también el comienzo del tiempo. Se trata más bien de una imagen sugerente de cómo el universo pudo haber comenzado a existir de una forma espontánea. A veces se dice que quizá el universo nació de una fluctuación cuántica a partir de la nada, y el sentido de esta afirmación es el que hemos expuesto. Esta idea fue propuesta por vez primera por el físico ruso Alexander Vilenkin en 1982.

¿Podría el universo actual volver a la nada en una segunda fluctuación cuántica? Tal vez, pero con una probabilidad absurdamente pequeña. Recordemos que el efecto túnel no sucede nunca para objetos macroscópicos, debido a la diminuta probabilidad asociada; y no hay nada más macroscópico que el universo. Por el contrario, en sus inicios el universo observable era microscópico. Es más, en su origen el universo pudo haber contenido una cantidad ínfima de energía positiva y negativa para, posteriormente, aumentar ambas de forma colosal a través de un proceso denominado «inflación cósmica», que desgraciadamente no tenemos espacio para discutir. En la época de la inflación se habría generado toda la energía positiva que vemos en el universo (incluyendo la materia), a expensas de una creación equivalente de energía negativa (campo gravitatorio); como cuando conseguimos fondos en nuestra cuenta corriente (dinero positivo) gracias a un préstamo (dinero negativo). Afortunadamente, en el caso cósmico no parece que tengamos que devolver el préstamo jamás. Quede claro que esto es también una especulación, aunque hay observaciones muy interesantes que avalan la hipótesis inflacionaria.

Un comentario final. La aparición del universo como una fluctuación cuántica parece exigir que, incluso en la nada, las leyes de la mecánica cuántica sigan teniendo validez. Algunos críticos han aducido que una nada absoluta debería también carecer de leyes. Por otro lado, podría ser que las leyes de la física son las únicas lógicamente posibles, lo cual explicaría su «existencia» o validez, incluso en la ausencia de cualquier otra cosa. No lo sabemos. Se trata de una discusión interesante, pero en cualquier caso está a un nivel distinto a la cuestión de por qué existe el universo físico que observamos, en vez de nada.

7

La estructura de la materia

En nuestra vida cotidiana estamos rodeados por infinidad de sustancias con propiedades diferentes: aire, agua, rocas, metales, etc. ¿Por qué hay tantas sustancias distintas y a qué se deben sus propiedades? Este misterio intrigó a mentes inquietas durante milenios. En el siglo XIX se dio un paso de gigante para su comprensión: en realidad, todas las sustancias están formadas a partir de unos cien elementos químicos, recogidos en la célebre tabla periódica de Mendeléiev (1875). Pero esto no acababa con el misterio. La nueva pregunta, que se situó en la frontera de la física a comienzos del siglo XX, fue ¿por qué hay unos cien elementos y por qué son como son?

Justamente, uno de los primeros y más resonantes triunfos de la física cuántica fue proporcionar una explicación convincente y precisa de las características de los elementos químicos. Pero los éxitos de la mecánica cuántica para comprender la materia no terminan ahí.

Cuantización de la energía

De acuerdo con los postulados de la física cuántica, para cualquier magnitud física solo los valores que cumplen la llamada «ecuación de autovalores» están permitidos (v. capítulo 5). Apliquemos este concepto a la energía de un electrón.

Imaginemos primero un electrón que se propaga libremente. En este caso su energía proviene exclusivamente de la velocidad que lleva, o sea es energía cinética pura. En consecuencia, si ese electrón tiene una velocidad bien definida, también lo está su energía. En la jerga de la mecánica cuántica: los autoestados de la energía son los mismos que los de la velocidad (ondas planas). Además, dado que para una partícula libre la velocidad puede tomar cualquier valor, lo mismo se puede decir para la energía: todos los valores de la energía están permitidos.

Examinemos ahora un electrón de un átomo, y sometido por tanto a la atracción eléctrica ejercida por el núcleo atómico. La energía de este electrón no es puramente cinética, sino que tiene una contribución proveniente del potencial eléctrico. En esta situación, los autoestados de la energía no coinciden con los de la velocidad. No son ondas planas, sino los denominados orbitales atómicos, que ya encontramos en el capítulo 5. Además, la correspondiente ecuación de autovalores indica que solo ciertos valores de la energía están permitidos. Esa es la razón por la que los electrones de los átomos tienen niveles de energía discretos: su energía cambia a saltos. Esto suele describirse diciendo que, en un átomo, la energía de los electrones está cuantizada, o que el espectro de energías es discreto.

La cuantización de la energía y de otras magnitudes físicas es un fenómeno genuino de la física cuántica, que no tiene paralelo clásico. Como comentamos en el capítulo 1, históricamente fue la observación de que la energía de la radiación electromagnética estaba cuantizada la que dio nombre a la nueva teoría. Sin embargo, hay que recordar que, a pesar de su nombre, la cuantización no es un postulado de la física cuántica, sino una consecuencia. Y no siempre sucede.

Detengámonos ahora en el más simple de los átomos, el átomo de hidrógeno, formado por un solo protón en el núcleo y un electrón en la corteza. El cálculo de los niveles de energía del electrón, E1, E2, E3, etc., usando las reglas de la mecánica cuántica, proporcionó uno de los éxitos más extraordinarios de la teoría. La concordancia entre las predicciones y las medidas experimentales es asombrosa, con precisiones de varias cifras decimales. Este es un esquema simplificado de los primeros niveles de energía del átomo de hidrógeno:

El estado de energía más baja, E1, se denomina «estado fundamental». Su función de onda u orbital ya fue mostrada en el capítulo 5:

Recordemos que la función de onda proporciona la probabilidad de presencia del electrón, que, como se ve, está distribuida de forma esféricamente simétrica. La siguiente energía permitida, E2, también corresponde a un orbital con simetría esférica, pero con una distribución diferente:

Se aprecia que en este estado hay una zona intermedia (más oscura) en la que es muy difícil encontrar el electrón.

Los siguientes niveles de energía tienen sus propios orbitales, cada vez con formas más curiosas. Estos son algunos ejemplos:

En los últimos años se ha conseguido visualizar orbitales en átomos reales, utilizando la técnica denominada microscopía de fotoionización. El acuerdo encontrado con las predicciones teóricas es espectacular, como ilustra esta imagen del orbital del electrón de un átomo de hidrógeno real en un estado excitado:

Supongamos ahora que el electrón de nuestro átomo de hidrógeno se encuentra en el estado con energía E2. La intuición nos dice que se desexcitará, «cayendo» al nivel de mínima energía, E1; y, en efecto, esto es lo que sucede. Como la energía se tiene que conservar, en ese proceso el electrón emite un fotón, o sea, radiación electromagnética, con una energía igual a la diferencia E2-E1:

Concretamente, se trata de un fotón de luz ultravioleta (invisible). Las transiciones entre otros niveles de energía conllevan la emisión de fotones con energías diferentes, algunas en el rango visible. Por ejemplo, si el electrón pasa del nivel E3 al E2, en el proceso se emite un fotón rojo.

Una manera de excitar los electrones de los átomos de hidrógeno es simplemente calentando este hasta temperaturas muy altas, lo que hace que los electrones salten desde el nivel fundamental (E1 ) a niveles superiores (E2, E3...). Normalmente, son estados muy inestables que regresan rápidamente al estado fundamental, reiniciándose el ciclo de excitación/desexcitación. Cada vez que un electrón se desexcita, puede hacerlo directamente al estado fundamental o de forma escalonada; por ejemplo:

En cada salto se emite un fotón con una energía igual a la diferencia energética entre los dos niveles. El resultado es que la muestra de hidrógeno a alta temperatura emite luz en ciertas longitudes de onda, correspondientes a todos los saltos posibles. Esto es lo que se denomina «espectro de emisión» del hidrógeno (y, por extensión, de cualquier otro elemento). Cuando se descompone la luz así emitida usando un prisma, cada una de estas longitudes de onda aparece como una línea luminosa diferenciada. En el caso del hidrógeno, solo cuatro de estas líneas corresponden a longitudes de onda visibles:

Pero en realidad hay muchísimas más líneas en longitudes de onda invisibles (líneas infrarrojas y ultravioletas). Esta es una imagen más completa del espectro del hidrógeno:

Cada elemento químico, es decir, cada tipo de átomo tiene su propio espectro de emisión. Se dice a menudo, y con razón, que el espectro de un elemento es como un código de barras que lo identifica. A finales del siglo xix se conocían los espectros de muchos de ellos, pero el fenómeno era un absoluto misterio. ¿Por qué diablos el hidrógeno muy caliente emitía luz en esas precisas longitudes de onda? ¿Por qué cada elemento (hidrógeno, helio, cloro, sodio...) tenía su propio espectro de emisión? Fue con la llegada de la mecánica cuántica, y en particular con la primera descripción cuántica de los átomos debida a Niels Bohr (1913), que se comprendió el origen de los espectros. Insistamos en que el acuerdo entre las predicciones teóricas y las observaciones experimentales es perfecto dentro de la precisión disponible, que es fabulosa.

Química y mecánica cuántica

Hemos hablado del átomo de hidrógeno, que posee un solo electrón, pero ¿qué pasa con otros átomos? Por ejemplo, un átomo de hierro tiene 56 electrones, repartidos en muchos niveles energéticos: E1, E2, etc. La pregunta que surge es ¿por qué no se desexcitan todos los electrones, cayendo al nivel de energía fundamental? La razón es el espín.

El espín de una partícula es su giro o momento angular intrínseco. Podemos imaginarla girando sobre sí misma, como un diminuto planeta que rota sobre su eje:

Como de costumbre en la física cuántica, esta imagen ayuda a visualizar el concepto, pero no es del todo correcta. Por lo que sabemos, los electrones son partículas verdaderamente elementales y puntuales. Al no tener ningún volumen, no tiene sentido pensar que están girando como una peonza. Sin embargo, la mecánica cuántica permite que, aun así, posean un momento angular propio. No solo eso: la teoría predice que ese momento angular está cuantizado; es decir, solo puede tomar determinados valores. En unidades de ℏ (la constante de Planck), sus posibles valores son: 0, 1/2, 1, 3/2, 2 ... La existencia del espín y el hecho de que esté cuantizado fue uno de los numerosos éxitos conceptuales de la física cuántica, corroborado una y otra vez por el experimento. En el caso concreto del electrón, su espín es 1/2.

Las partículas pueden clasificarse entre las que tienen espín entero (0, 1, 2 ...) o bosones, y las de espín semientero (1/2, 3/2, ...) o fermiones, caso del electrón. Los fermiones tienen una importante propiedad: no puede haber dos de ellos en el mismo estado. Es por esta razón que los 56 electrones del átomo de hierro no pueden «caer» todos al estado fundamental de energía E1, sino que deben ocupar un estado diferente cada uno. Podría pensarse que, en consecuencia, los 56 electrones de un átomo de hierro ocuparán desde el nivel E1 al E56 en la notación que estamos usando. Eso no es exactamente así, debido a que hay niveles «degenerados», es decir, que hay varios estados distintos con la misma energía (o casi la misma). A esa degeneración contribuye el hecho de que el propio espín puede estar en dos estados básicos («girando» hacia la izquierda o hacia la derecha). Así que los niveles energéticos acostumbran alojar dos electrones (y a veces más).

Desde el punto de vista de las propiedades químicas del átomo, los electrones de la «última capa», o sea, los más externos y energéticos, son los más importantes. Dado que la estructura de niveles tiene propiedades periódicas, hay átomos cuya última capa es muy similar; por ejemplo, los de flúor y cloro, o los de carbono y silicio. Dichos elementos tienen propiedades químicas similares. Estas regularidades son las que están recogidas en la tabla periódica de Mendeléiev, y que la mecánica cuántica explica a la perfección.

Pero los éxitos de la mecánica cuántica no se limitan solo a entender las propiedades de los átomos. La teoría explica también por qué estos se enlazan unos con otros formando moléculas; por ejemplo, por qué dos átomos de hidrógeno se enlazan a uno de oxígeno, formando una molécula de agua, H2O. Es decir, la mecánica cuántica está detrás de todas las reacciones químicas conocidas y de las propiedades de las sustancias resultantes. En otras palabras, la química es una consecuencia de la física cuántica aplicada a los electrones de los átomos.

Naturalmente, esto se aplica también a la química orgánica o del carbono, que tiene una importancia especial porque es la que controla todos los procesos biológicos. Simplificando, podemos decir que la vida es una consecuencia de la química, la cual es a su vez una consecuencia de la mecánica cuántica. Por supuesto, esto no quiere decir que de los postulados de la física cuántica se deduzcan directamente la forma de los pinos, el vuelo de las golondrinas o el funcionamiento de nuestro cerebro. Los seres vivos son extraordinariamente complejos, por lo que se necesitan disciplinas científicas especializadas para explorar y comprender su estructura y comportamiento. Pero eso no quita para que la explicación última (hasta donde conocemos) de los procesos biológicos sea la física cuántica; del mismo modo que el funcionamiento de un reloj de cuerda se explica por las leyes de la mecánica clásica que gobiernan el comportamiento de los muelles y resortes de su interior.

Otro caso de sistema muy complejo y difícil de entender son los materiales sólidos: metales, cristales, vidrios, plásticos, etc. Existe un área de investigación, la física de materiales o de la materia condensada, especializada en su estudio y cuya herramienta básica es la mecánica cuántica aplicada a sistemas de muchos átomos. La física cuántica no solo explica la sutil estructura y las propiedades de muchos materiales (su densidad, color, conductividad térmica y eléctrica, etc.), sino que ha permitido crear materiales nuevos, como los semiconductores, con extraordinarias aplicaciones prácticas que comentaremos en el próximo capítulo.

La predicción de Comte

En 1835, en uno de los volúmenes de su obra Curso de filosofía positiva, el filósofo francés Auguste Comte realizó una predicción que ha pasado a la historia de la filosofía de la ciencia, aunque no por los motivos que él hubiera deseado. Comte afirmó que nunca sabremos la composición química de las estrellas, por la sencilla razón de que nunca podremos viajar hasta ellas para estudiarlas. La historia iba a probar muy pronto que estaba equivocado.

Antes hemos dicho que el hidrógeno o cualquier otro elemento tiene un espectro de emisión característico. De manera inversa, si ese mismo elemento es iluminado con fotones de todas las longitudes de onda, muchos fotones son absorbidos por los átomos, excitando sus electrones desde capas energéticas bajas a otras más altas (y, en ocasiones, arrancándolos). El resultado es que parte de la luz es absorbida, precisamente en las mismas longitudes de onda que aparecían en el espectro de emisión.

Ilustremos esto con un ejemplo. Este es el espectro de la luz blanca, o sea, el familiar arcoíris:

Y este es el espectro de esa misma luz después de haber atravesado una atmósfera de hidrógeno:

Como puede comprobarse, las líneas negras, donde la luz ha sido absorbida, se corresponden a la perfección con las líneas luminosas del espectro de emisión mostrado hace unas páginas:

En otras palabras, el espectro de absorción de los elementos es un negativo exacto del espectro de emisión. Naturalmente, cada elemento tiene su propio y característico espectro de absorción, que, como se ha dicho, lo identifica como un código de barras. Estos son algunos ejemplos:

Estudiando los espectros de absorción podemos saber la composición de la atmósfera que ha sido atravesada por la luz. Si esa atmósfera contiene varios elementos (caso del aire), lo que veremos será una superposición de los correspondientes espectros de absorción, con intensidades proporcionales a los porcentajes de la mezcla. De este modo, analizando el espectro del Sol, podemos saber qué elementos pueblan sus capas más externas y en qué proporciones; y lo mismo para las estrellas más lejanas. Si Comte hubiera vivido unos años más habría comprobado que el ingenio humano es mayor de lo que él preveía. Por cierto, lo que nos revela el espectro del Sol es que este está compuesto mayoritariamente de hidrógeno (73,4 %) y helio (25 %). Los demás elementos están presentes en mucha menor proporción. Entre ellos, el más abundante es el carbono (0,2 %).

Las técnicas de espectroscopia permiten identificar no solo elementos, sino también compuestos químicos (que tienen sus propios espectros de absorción). Representan por ello una herramienta poderosísima para identificar la composición de una sustancia, simplemente observando cómo absorbe la luz. Estas técnicas están tan desarrolladas que incluso ha sido posible determinar la composición básica de la atmósfera de algunos exoplanetas, o sea, planetas de otros sistemas solares situados a años luz de distancia.

Para finalizar, mencionemos que la mecánica cuántica es también el fundamento de otras herramientas, aún más sofisticadas, para determinar el entramado microscópico de la materia. Un ejemplo es la difracción de rayos X, que permitió en la década de 1950 determinar la estructura de la molécula de ADN, originando una revolución en la biología.

8

Tecnologías cuánticas

El capítulo anterior ilustra cómo la física cuántica nos ha ayudado a entender la naturaleza como ninguna teoría antes de ella. Pero cuando se conoce mejor la naturaleza, también es posible manipularla en nuestro beneficio (y a veces también en nuestro perjuicio). No es de extrañar, por tanto, que la física cuántica haya dado lugar a tecnologías revolucionarias, que a su vez han transformado radicalmente la forma en que vivimos.

Hemos discutido ya algunos ejemplos de estas tecnologías, como el microscopio electrónico o el de efecto túnel, que han permitido escudriñar el mundo microscópico con una resolución asombrosa. Pero estos instrumentos son solo una muestra, casi anecdótica, de la inmensa variedad de innovaciones que ha traído consigo la mecánica cuántica. En este capítulo vamos a exponer algunas de las más importantes.

El rayo láser

Los láseres se han convertido en dispositivos omnipresentes en la vida actual. Algunas de sus aplicaciones están a la vista, como los lectores de códigos de barras de los supermercados, los punteros láser, los efectos de iluminación en espectáculos o la depilación láser; otras están más ocultas, como la luz láser que recorre las fibras ópticas de las redes de comunicación o su uso en el corte y soldadura de piezas en la industria. Sin embargo, cuando el físico estadounidense Theodore Maiman creó el primer láser en 1960 no se adivinaba ninguna de estas utilidades. Muchos decían medio en broma (y con cierta maldad) que el láser era «una solución a la espera de un problema». Pero las aplicaciones no tardaron en llegar. En 1961, el láser se utilizó por primera vez con una finalidad práctica: eliminar un tumor en la retina de un paciente. Desde entonces su uso se ha multiplicado, y en la actualidad sus aplicaciones abarcan ámbitos extraordinariamente variados: desde las fábricas hasta los hospitales, desde los laboratorios científicos hasta las redes de comunicación, desde las aplicaciones militares hasta la industria del entretenimiento, etc.

Pero ¿qué es el láser?

La luz láser tiene tres características que la hacen especial. En primer lugar, es un haz luminoso extremadamente concentrado, que se propaga manteniéndose paralelo, sin apenas dispersarse. En segundo lugar, es una luz casi perfectamente monocromática, es decir, de una longitud de onda muy precisa, sin contaminación de otros colores. Y, por último, se trata de un tipo de luz denominado «coherente» que consiste en una onda electromagnética que oscila de forma ideal, como una cuerda sometida a una agitación perfectamente periódica y sin interrupciones:

La clave para conseguir estas cualidades está en un fenómeno predicho por Albert Einstein en 1917: la emisión estimulada.

Imaginemos un electrón de un átomo ocupando un cierto nivel de energía, digamos E1. Si lanzamos un fotón sobre él con una energía igual a la diferencia energética con el siguiente nivel, Efotón = E2-E1, entonces ese fotón será absorbido por el electrón, que se situará ahora en el nivel excitado E2 :

El electrón permanecerá un tiempo (normalmente muy breve) en dicho estado y finalmente se desexcitará, emitiendo un fotón igual al que anteriormente absorbió.

¿Qué sucede si, antes de que el electrón se desexcite, lo bombardeamos con otro fotón de la misma energía, Efotón = E2-E1? Ciertamente, este nuevo fotón no puede ser absorbido por el electrón porque este último ya se encuentra en el estado excitado. Así que es bastante intuitivo suponer que el electrón ignorará al fotón y se desexcitará en su momento, exactamente igual que si no lo hubiéramos bombardeado. Pero no es eso lo que ocurre. Lo que predijo Einstein, por un razonamiento puramente teórico, es que la presencia del fotón hace que la desexcitación del electrón sea mucho más probable, y por tanto más rápida. En otras palabras, el fotón no es absorbido, pero estimula al electrón para que regrese inmediatamente al nivel de energía E1, emitiendo en el proceso un segundo fotón con la misma energía:

Este es el proceso de emisión estimulada. ¿A qué se debe que la presencia de fotones en el ambiente haga más probable la desexcitación del electrón? Para entenderlo, pensemos nuevamente en el proceso de absorción: el electrón en el nivel E1 absorbe un fotón y salta al nivel E1. Claramente, este proceso será más probable cuantos más fotones haya en el ambiente, «dispuestos» a ser absorbidos. Pero en la mecánica cuántica, los procesos son reversibles; es decir, el proceso inverso (emisión de un fotón) también se ha de dar, y con la misma probabilidad que el de absorción. Por tanto, la emisión de un fotón, al igual que la absorción, es más probable cuantos más fotones haya en el ambiente. Y en esto consiste la emisión estimulada.

Un aspecto importantísimo de lo anterior es que el fotón producido por emisión estimulada tiene las mismas propiedades que el fotón responsable de la estimulación. No solo tiene la misma energía y longitud de onda (y, por tanto, color), sino que también viaja en la misma dirección.

Imaginemos ahora que disponemos de un conjunto de átomos excitados en el nivel E2; por ejemplo, un gas caliente en un tubo de cristal. Si bombardeamos el tubo con un fotón, cuando este se encuentre con el primer átomo provocará su desexcitación inmediata y la consiguiente emisión estimulada de un segundo fotón idéntico al inicial. Ahora habrá dos fotones iguales viajando en la misma dirección. Estos fotones, a su vez, se encontrarán con otros átomos provocando su emisión estimulada. De esta forma, en una especie de reacción en cadena, el número de fotones idénticos viajando en la misma dirección aumenta de forma exponencial:

Naturalmente, los fotones viajan a la velocidad de la luz y enseguida abandonan el tubo. Pero si ponemos espejos en los extremos, conseguimos que se queden dentro de él, rebotando entre los dos espejos y provocando en cada viaje por el gas la desexcitación de nuevos electrones, y la consiguiente emisión de nuevos fotones idénticos.

De este modo el proceso continúa hasta que todos los átomos se han desexcitado y están en el nivel fundamental, E1. ¿Cómo podemos evitar que el proceso finalice? Utilizando algún método para que los átomos desexcitados vuelvan a excitarse. Por ejemplo, podemos lanzar luz sobre el tubo para que excite a los electrones y los recoloque en el nivel E2.

Este método se denomina «bombeo óptico», en analogía al bombeo para extraer agua del fondo de un pozo. En este caso, el bombeo «eleva» a los electrones desde el nivel E1 al E2. Alguien podría pensar que con este método no ganamos nada, al fin y al cabo empleamos luz para excitar a los electrones de los átomos y luego estos se desexcitan emitiendo luz. Simplemente los átomos nos devuelven la luz que les hemos dado. Pero no es así exactamente. La luz que se emplea para excitarlos no tiene por qué ser monocromática, puede ser una luz muy «vulgar», por ejemplo la producida por un flash. Basta con que contenga fotones con la energía E2-E1. Más importante aún: la luz con la que realizamos el bombeo puede venir desde cualquier dirección, lo crucial es que impacte con los átomos y los excite. Sin embargo, los fotones producidos por la emisión estimulada caminarán todos en la misma dirección. Los que no lo hagan, al cabo de unos pocos rebotes en los espejos, escaparán del tubo por un lateral:

Solo los que vuelan en la dirección perpendicular a los espejos pueden rebotar en infinidad de ocasiones, produciendo en cada viaje nuevos fotones en esa misma dirección. Es por esto que al final disponemos de una auténtica avalancha de fotones idénticos viajando en paralelo. La tarea final es hacer que esos fotones sean emitidos fuera del tubo. Para ello se prepara uno de los dos espejos de forma que no sea totalmente reflectante, sino que deje pasar alguna luz. Por consiguiente, algunos de los fotones que inciden sobre él lo atraviesan y salen al exterior como un haz de luz perfectamente monocromático y paralelo: la luz láser.

Así que es cierto que los fotones nos devuelven la luz que les hemos dado, pero nos la devuelven «empaquetada» en una forma muy especial.

En la descripción anterior hemos supuesto que el material activo del láser era un gas, pero no tiene por qué ser así. En el primer láser construido por Maiman en 1960 era un cristal de rubí sintético. Actualmente se emplean infinidad de materiales distintos, tanto sólidos como gaseosos, dependiendo del uso al que esté destinado el aparato.

El rayo láser es un buen ejemplo de cómo la investigación básica no solo aporta conocimiento fundamental a la humanidad, sino que suele conducir a avances tecnológicos que de otro modo serían impensables. Cuando en 1917 Einstein predijo el fenómeno de la emisión estimulada no previó que esta sería la base para el desarrollo de los láseres... 43 años después. Y cuando Maiman creó el primer láser en 1960 no pensaba en sus aplicaciones prácticas. Mencionemos algunas de ellas.

En el campo de la cirugía, especialmente la ocular, el láser proporciona un método ideal para hacer incisiones de forma limpia y precisa, y para cauterizar heridas sin ni siquiera tocarlas, evitando así riesgos de infección. Por ejemplo, los desprendimientos de retina se tratan con rayo láser, produciendo quemaduras controladas en torno a la zona afectada, cuya posterior cicatrización sella la retina a la pared ocular; todo ello sin tocar el ojo.

Las características del rayo láser lo hacen también apropiado para el corte y soldadura industrial de piezas de metal, plástico, etc. La ventaja, además de la precisión y la pureza de los cortes, es que estas operaciones se realizan sin tener que sujetar la pieza en cuestión, que de este modo no sufre presiones ni deformaciones.

En la investigación científica, el láser es un aliado extraordinario en multitud de tareas (veremos algunos ejemplos en los próximos capítulos). Como curiosidad, los primeros astronautas que pisaron la Luna en la misión Apolo 11 (21 de julio de 1969) dejaron instalado un reflector, de forma que un rayo láser lanzado desde la Tierra pudiera rebotar en él y regresar al punto de partida. Midiendo el tiempo del viaje de ida y vuelta se puede determinar la distancia entre la Tierra y la Luna con una precisión del orden del centímetro. De esta forma sabemos que la Luna tiene una órbita espiral, que la aleja de nuestro planeta 3,8 centímetros al año, un efecto de las mareas. Los datos proporcionan un test valiosísimo de las predicciones teóricas; en particular, de la teoría de la relatividad general de Einstein. Y, por cierto, suponen una prueba incontestable de la realidad de los viajes a la Luna para los que todavía dudan de ellos. El rayo láser se puede lanzar desde cualquier observatorio con equipo especializado, y así se ha hecho, no solo desde Estados Unidos, sino desde Francia, Alemania y Australia. El mismo principio se usa para los medidores láser domésticos (telémetros), que permiten medir distancias entre puntos de un edificio o una habitación sin moverse del sitio, con precisiones del orden del milímetro.

Un empleo mucho más sofisticado del láser para medir distancias se utilizó en el detector LIGO (Estados Unidos) para registrar, por primera vez en la historia, ondas gravitacionales y constatar el choque de dos agujeros negros a 1.700 millones de años luz de distancia. El detector LIGO es un interferómetro láser sensible a las pequeñísimas variaciones de la distancia entre dos puntos producidas por dichas ondas; concretamente, puede detectar variaciones más pequeñas que el radio de un protón en una distancia de 4 kilómetros.

En el mundo de la comunicación, los láseres proporcionan la luz que circula por las fibras ópticas de todo el mundo, además de ser la base de multitud de dispositivos: lectores de códigos de barras, impresoras láser, punteros láser, etc.

Es imposible en este espacio ofrecer un recuento completo de las utilidades del láser. Algunas aplicaciones que fueron cruciales en su momento, como la lectura de discos duros o DVD, están hoy en retroceso; pero al mismo tiempo nuevas aplicaciones se descubren cada día. Sin duda, el láser es uno de los inventos más importantes del siglo XX; por cierto, es una injusticia flagrante que su inventor no recibiera el Premio Nobel.

Sin embargo, hay un pequeño dispositivo aún más trascendental que el láser...

El invento más importante del siglo XX

¿Cuáles son los inventos más importantes de la historia? Sin duda, aquellos que no solo nos facilitan la vida en algún aspecto concreto, sino que han cambiado la propia forma en que vivimos; inventos que, en definitiva, produjeron revoluciones sociales y económicas, normalmente sin vuelta atrás. Algunas de estas invenciones cruciales sucedieron en la prehistoria; por ejemplo, el fuego, es decir, las técnicas para producirlo y controlarlo, que fueron desarrolladas por el Homo erectus hace más de 400.000 años. El fuego proporcionó a los seres humanos calor y luz, especialmente por la noche, además de protección contra los depredadores. Les permitió además cocinar los alimentos y construir herramientas más avanzadas. Otro invento crucial fueron la agricultura y la ganadería, desarrolladas en el Neolítico, hace unos 10.000 años. La agricultura conllevó el establecimiento de núcleos de población permanentes, convirtiendo a los humanos en seres sedentarios. La nueva organización social condujo a otras invenciones de calado gigantesco, como el comercio y el dinero; la escritura, desarrollada en Sumeria y el antiguo Egipto hace algo más de 5.000 años, o la rueda, que data de una época similar. Si nos restringimos a los inventos que han producido revoluciones sociales, hay que dar un salto gigantesco, al menos hasta la invención del papel (desarrollado en China, durante el segundo siglo de nuestra era) y de la imprenta moderna (fabricada por Gutenberg en torno a 1450). Pero el invento que supuso un punto de inflexión en la historia de la humanidad, a un nivel semejante al de la agricultura, fue el de la máquina de vapor en Inglaterra a finales del siglo XVIII. La aplicación de la máquina de vapor a la industria y el transporte (trenes y barcos de vapor) señala el comienzo de la Revolución industrial y un cambio radical en la forma de vivir de las personas. La sociedad se hizo más urbana, más dinámica y cambiante, más conectada y diversa. Por supuesto, la Revolución industrial también acarreó abusos y conflictos sociales; pero al mismo tiempo abrió una era de desarrollo científico y tecnológico sin precedentes. A lo largo del siglo XIX y comienzos del XX aparecieron otras innovaciones que iban a revolucionar la sociedad, como la luz eléctrica, el automóvil, el teléfono, los electrodomésticos, la radio o el avión.

En el momento actual vivimos inmersos en otra revolución, quizá de tanto calado como la Industrial: la llamada Revolución Digital o de la Información, cuyo máximo exponente es internet y dispositivos como los ordenadores personales o los smartphones. No hace falta describir cómo internet lo ha cambiado todo: la forma en que trabajamos, nos informamos, nos entretenemos o nos relacionamos. Pero, al igual que la invención de la máquina de vapor fue el detonante y el motor de la Revolución industrial, la era digital se basa en un pequeño (de tamaño) invento: el transistor. Nuestros ordenadores portátiles o nuestros smartphones contienen literalmente miles de millones de transistores dentro de los chips que procesan la información. Los transistores son a los dispositivos electrónicos lo que las células a los seres vivos. Solo en siglos venideros se podrá calibrar el impacto del transistor en la historia de la humanidad, pero indudablemente estará al nivel de la rueda o la máquina de vapor.

¿Qué es el transistor y en qué se basa? Estas son las preguntas que queremos responder en las siguientes páginas. Pero podemos dar un anticipo: el transistor se basa en la mecánica cuántica, y posiblemente nunca habría sido concebido sin ella.

Semiconductores y diodos

Antes de abordar el funcionamiento del transistor, hay que hablar de la «materia prima» en que estos se basan: los semiconductores. Los semicondutores son materiales que pueden actuar como conductores o aislantes dependiendo de ciertas circunstancias. Este es el caso del silicio. Un átomo de silicio (Si) posee cuatro electrones en su capa más externa:

Esto le permite combinarse con otros cuatro átomos de silicio, a través de enlaces covalentes, en los que una pareja de electrones es «compartida» por dos átomos adyacentes:

De esta manera, el átomo central «disfruta» de ocho electrones en su capa externa, que es una configuración muy estable. Si tenemos muchos átomos de silicio, lo que se crea es una red o cristal de silicio, perfectamente regular:

Aunque suele representarse como una red plana, en realidad se trata de una red tridimensional tetraédrica, semejante a la estructura de un diamante. Esta es una situación muy estable ya que los electrones están fuertemente ligados a sus posiciones y no pueden deambular por el cristal. En consecuencia, el silicio es un material aislante, pues no permite la circulación de cargas eléctricas en su interior. Si el silicio se calienta, entonces los electrones de los enlaces covalentes adquieren mayor movilidad y llega un momento en que pueden liberarse de sus enlaces. En ese momento el material pasa de ser aislante a ser conductor.

Pero al silicio se le puede hacer algo mucho más interesante que calentarlo: contaminarlo en cantidades mínimas con otro tipo de átomos, un proceso conocido como «dopaje». Un caso típico es el dopaje con fósforo (P). A diferencia del silicio, el fósforo tiene cinco electrones en su capa más externa:

Al reemplazar en el cristal algunos átomos de silicio por átomos de fósforo, sucede que en esos lugares queda un electrón sin aparear, es decir, libre:

Esos electrones «sobrantes» (destacados en negro en la figura) pueden deambular por el cristal. La consecuencia es que el material ya no es aislante, pues permite el movimiento de cargas eléctricas en su interior (los electrones desapareados).

Un semiconductor dopado de esta manera se dice que es de tipo N, indicando que posee una cierta cantidad de cargas negativas móviles: los electrones desapareados. Para que el dopaje sea exitoso, el silicio ha de tener inicialmente un grado de pureza fabuloso. Esto se consigue haciendo crecer cristales de silicio en entornos ultraestériles (las llamadas salas blancas o limpias) y atmósferas inertes y libres de polvo para evitar problemas de contaminación u oxidación. El proceso de dopaje requiere de una gran precisión pues se realiza a nivel microscópico y en cantidades minúsculas pero muy bien controladas.

Hay otro tipo de dopaje, en el que el átomo que se añade tiene solo tres electrones en su capa más externa, como es el caso del boro (B):

En los sitios del cristal donde un átomo de boro reemplace a uno de silicio, uno de los cuatro enlaces queda incompleto, a falta de un electrón. En la jerga científica se dice que se ha creado un hueco, o sea, un puesto vacante para un electrón, indicado con un anillo en la siguiente figura:

En estas circunstancias, es muy fácil que un electrón de un átomo cercano salte para ocupar esa vacante. El hueco original queda así eliminado, pero el electrón que salta deja un hueco en el átomo del que partió:

Podemos decir que el hueco se ha desplazado del primer átomo al segundo (justo en sentido contrario al electrón). El átomo que pierde el electrón queda ahora con un exceso de carga positiva. Es como si el hueco transportara una unidad de carga positiva del primer átomo al segundo. En esta imagen, el semiconductor posee cargas eléctricas móviles de signo positivo (los huecos) y, por tanto, es capaz de conducir la corriente eléctrica.

Un semiconductor dopado de esta manera se dice que es de tipo P, indicando que son los huecos de carga positiva los que se mueven en él, aunque naturalmente el movimiento de huecos está producido por el movimiento de electrones que saltan para ocupar vacantes. (No hay que confundir esta P con el símbolo del fósforo, que es justamente el elemento dopante en los semiconductores de tipo N). Como curiosidad, los diamantes azules (más apreciados aún que los transparentes en joyería) deben su bello color a la contaminación de boro, y son un raro ejemplo de semiconductor de tipo P natural.

La magia de los semiconductores surge cuando se juntan un semiconductor de tipo P con uno de tipo N. Es lo que se llama una unión P-N, o simplemente un diodo. Veamos qué fenómeno ocurre en la zona de unión de los dos semiconductores.

El semiconductor de tipo P posee huecos positivos que están esperando a ser rellenados por electrones, y al de tipo N le sobran electrones. En consecuencia, en la frontera entre los dos semiconductores, muchos electrones saltan del semiconductor N al P, atraídos por los huecos de este:

Cada vez que un hueco es rellenado por un electrón, el hueco desaparece (ya no falta ningún electrón en ese sitio), y el electrón deja de ser móvil (ahora ha conseguido aparearse). En otras palabras, tanto el hueco como el electrón desaparecen como cargas libres.

Podría pensarse que todos los electrones libres del semiconductor N pasan al P, rellenando todos los huecos, pero no es así. La razón más importante es que, una vez que los primeros electrones rellenan los huecos más próximos de la región P, esa zona central se queda sin cargas libres. Ahí ya no hay ni electrones móviles ni huecos:

Esta región central se llama zona de deplexión y, al carecer de cargas libres que conduzcan la corriente, se comporta como un aislante, es decir, una barrera que impide que nuevos electrones puedan seguir saltando de la región N a la P.

Sin embargo, esta barrera puede ser vencida si el semiconductor P se conecta al polo positivo de una batería y el N al polo negativo:

Ahora, debido al voltaje externo, los electrones sienten una fuerza de atracción que les permite seguir saltando de la zona N a la zona P. Estos electrones continúan su viaje, saltando de hueco en hueco por la zona P y terminan fluyendo por el cable conductor, camino del polo positivo de la batería. De esta forma se establece una corriente eléctrica y el diodo se comporta como un conductor que permite el paso de la corriente.

Pero ¿qué pasa si conectamos la batería al revés, es decir, empalmando el semiconductor P con su polo negativo y el N con el positivo?

Ahora los electrones libres del semiconductor N huyen de la zona fronteriza, fluyendo hacia el polo positivo de la batería. Y lo mismo sucede con los huecos del semiconductor P, que vuelan hacia el polo negativo. La consecuencia es que rápidamente el semiconductor N se vacía de electrones libres y el P de huecos. Es como si la zona de deplexión se ensanchara. En la zona central de la unión no quedan cargas libres disponibles (ni electrones ni huecos) y, por tanto, no se establece una corriente eléctrica. El diodo se comporta como un aislante.

Esta es la propiedad esencial de los diodos: conducen la corriente eléctrica, pero solo en un sentido. Y esta propiedad es de extraordinaria utilidad a la hora de construir circuitos electrónicos con los más variados propósitos: receptores, estabilizadores de tensión, rectificadores, protectores contra cambios de voltaje, etc. Prácticamente no hay ningún circuito electrónico que no haga uso de diodos en alguna parte de él. Los diodos son usados también, en combinación con otros elementos, en la construcción de ciertas puertas lógicas en los ordenadores.

Mencionemos, para terminar, un tipo especial de diodo: el diodo LED, que se ha convertido en la principal fuente de iluminación para una gran variedad de aplicaciones, incluyendo la iluminación doméstica, la rotulación comercial, los faros de los automóviles, las luces de señalización de los aviones, los semáforos, las luces indicativas en dispositivos electrónicos, etc. ¿Cómo funciona un LED? Acabamos de ver que cuando se establece una corriente eléctrica a través de un diodo, los electrones del semiconductor N migran hacia el semiconductor P, rellenando los huecos que hay en este. Cada vez que un electrón rellena un hueco se emite un fotón, pues cae en un estado de menor energía. Por tanto, cuando la corriente eléctrica atraviesa un diodo, este emite fotones. Dependiendo de los materiales del semiconductor (el elemento de base y los dopantes), los fotones pueden tener más o menos energía, y por tanto una longitud de onda diferente. De este modo se puede conseguir que un diodo emita luz en el espectro visible. Hay diodos de luz roja, azul, verde, etc. Y combinándolos (o utilizando recubrimientos fluorescentes) se puede obtener luz blanca de diversas tonalidades. Las luces LED tienen enormes ventajas sobre las bombillas incandescentes o las fluorescentes: son luces frías y de menor consumo energético, tienen muchísimo más tiempo de vida, se pueden miniaturizar y son más resistentes a los golpes. También son algo más caras, pero eso está cambiando rápidamente, por lo que se están convirtiendo en el nuevo estándar de iluminación.

Transistores

La aplicación más importante de los semiconductores es la fabricación de transistores, cuyo primer prototipo fue construido por los físicos estadounidenses Bardeen, Brattain y Shockley en 1947. Del mismo modo que un diodo es simplemente una unión PN, un transistor es una unión NPN:

(También hay transistores PNP, que funcionan de forma semejante). El transistor tiene tres «pines» o terminales conectados a cada una de las zonas. En la jerga electrónica, estos terminales se denominan emisor, base y colector. ¿Qué sucede cuando conectamos los dos extremos del transistor (emisor y colector) a una batería?

Esto es equivalente a enlazar un diodo NP y un diodo PN en serie. Sea cual sea la orientación de la batería, siempre habrá uno de ellos que estará en modo aislante; en consecuencia, no pasará corriente a través del transistor. Supongamos ahora que establecemos un potencial (más pequeño que el anterior) entre el terminal central (base) y uno de los extremos (el emisor):

El efecto es que se produce una corriente en ese pequeño circuito, ya que esta solo tiene que atravesar una de las uniones NP; es decir, lo que ve la corriente es un diodo con la orientación correcta para que fluyan los electrones. La clave es que ahora en la zona intermedia de tipo P hay electrones libres, saltando de hueco en hueco, inyectados por esta pequeña corriente base-emisor que hemos establecido. Y la mayor parte de esos electrones se sentirán más atraídos hacia el colector que hacia la base, ya que la diferencia de potencial es mucho mayor. Notemos que la segunda unión es de tipo PN y, por tanto, funciona como un diodo con la orientación correcta para que fluyan los electrones. El resultado final es que ahora sí se establece una corriente emisor-colector, que antes estaba prohibida:

Esta es la esencia del transistor: la corriente en el colector está controlada por la corriente de base. Si la corriente de base es cero, no hay corriente en el colector. Pero si tiene un cierto valor, aunque sea extremadamente pequeño, esto habilita que se genere una corriente eléctrica en el colector.

El transistor tiene dos aplicaciones esenciales. La primera es como amplificador. Notemos que la corriente en el colector es proporcional a la corriente de base, ya que cuanto mayor sea esta, mayor es el número de electrones libres en la zona P intermedia; y por tanto mayor es el flujo de ellos hacia el colector. En consecuencia, la corriente en el colector es una amplificación de la corriente de base. Por ejemplo, cuando hablamos a un micrófono se produce en este una corriente eléctrica muy débil que varía de acuerdo con las inflexiones de la voz. Si esta mínima corriente se inyecta en la base de un transistor, en el colector se genera una corriente mucho mayor y que sigue milimétricamente las variaciones de la corriente inicial. El factor de amplificación para un transistor típico está entre 100 y 300. Si inyectamos esta corriente amplificada en la base de un segundo transistor, las amplificaciones de ambos se multiplican. Antiguamente, esta tarea de amplificación era realizada por válvulas de vacío, llamadas triodos. Los triodos contenían un filamento incandescente que debía calentarse, además de una placa y una rejilla. Estas antiguas válvulas parecen ahora vetustos objetos de museo, casi patéticos, frente a las prestaciones que ofrecen los transistores. Sin embargo, para ser justos, hay que decir que fueron estas válvulas las que permitieron construir los primeros receptores de radio con amplificación eficaz, abriendo con ello la era de la electrónica a principios del siglo XX. Y no fueron reemplazadas en las radios y los televisores hasta los años sesenta. No obstante, la comparación con el transistor resulta casi insultante. Las válvulas de vacío eran voluminosas, mientras que los transistores son diminutos; de hecho, se pueden hacer microscópicos. Las válvulas necesitaban un tiempo para calentarse, mientras que los transistores tienen una respuesta instantánea. Además, consumían y disipaban muchísima más energía y tenían una vida limitada, de unas 2.000 horas. Esto hacía que cada cierto tiempo los televisores (que contenían varias de estas válvulas) dejaran de funcionar y hubiera que llamar a un técnico para que reemplazara la válvula fundida. Por si fuera poco, los triodos necesitaban bastante potencia para funcionar, que no podía ser proporcionada por una simple pila. Esto, unido a su fragilidad y a todos los inconvenientes anteriores, hacía imposible la construcción de radios o televisiones pequeñas y fácilmente transportables. Por todo ello, el empleo del transistor como amplificador produjo una revolución en la electrónica.

Pero la mayor revolución se originó por el uso del transistor, no como amplificador, sino como simple interruptor. Cuando la corriente de base supera un cierto valor, el transistor entra en régimen de saturación. Esto significa simplemente que la corriente del colector alcanza su valor máximo posible, el cual ya no varía aunque sigamos aumentando la corriente de base. Es exactamente como si la corriente de base cerrara un interruptor entre el emisor y el colector. De hecho, los transistores se emplean a menudo como interruptores electrónicos, con la ventaja de que carecen de piezas móviles sujetas a desgaste. Pero lo más importante es que su faceta de interruptor permite usarlo para la construcción de puertas lógicas, que son la base de los procesadores de información en los ordenadores o los teléfonos móviles.

En un ordenador la información se expresa en código binario, es decir, mediante ceros (0) y unos (1), los cuales se representan respectivamente por la ausencia o presencia de corriente. En una operación realizada por una puerta lógica, se introduce un input de ceros y unos, y se obtiene un output, también en forma de ceros y unos. Un transistor realiza una operación lógica elemental, en la que la corriente de base es el input y la de colector, el output. Si la corriente de base es nula (0) o no nula (1), la segunda es también nula (0) o no nula (1). Conectando transistores de formas diversas se pueden construir puertas lógicas, cuyos inputs y outputs sean los deseados. Un teléfono móvil convencional contiene miles de millones de transistores microscópicos, construidos sobre un pequeño soporte de silicio. En la actualidad, los transistores más utilizados son los llamados MOS, que son una ligera variación respecto a los NPN que acabamos de describir.

Para hacernos una idea del salto cualitativo que han supuesto los transistores, pensemos en el que es considerado habitualmente como primer ordenador de la historia, el ENIAC, construido en 1945 en la Universidad de Pennsylvania. El ENIAC pesaba 27 toneladas, ocupaba 167 metros cuadrados y consumía 150 kilovatios de electricidad (el equivalente a 400 hogares medios de hoy en día). Decían las malas lenguas que, cuando se conectaba, las luces de Filadelfia se atenuaban. La temperatura de la sala que lo alojaba se elevaba hasta los 50 ºC. El ENIAC funcionaba con 18.000 válvulas de vacío. Esto hacía que todos los días se fundieran varias de ellas, lo que dejaba a la máquina inoperativa la mitad del tiempo. Este monstruo supuso un hito en la ciencia de los computadores, multiplicando por mil la capacidad de cálculo de cualquier otra máquina hasta entonces. Sin embargo, era millones de veces menos potente que un simple móvil actual.

Es imposible hacer un recuento de todos los usos de los transistores. Además de ser el corazón de los ordenadores, los móviles y las tabletas, prácticamente cualquier aparato electrónico actual contiene circuitos integrados con miles o millones de transistores, desde un simple termostato hasta un sofisticado robot.

Y además...

Por supuesto, siempre que la humanidad ha creado una herramienta nueva, la ha podido utilizar con buenos y malos propósitos; este fue el caso de la pólvora, la dinamita o un simple cuchillo. El dominio de la electricidad nos trajo la bombilla incandescente y el teléfono, pero también la silla eléctrica. Asimismo, la teoría cuántica ha generado sus propias pesadillas, cuyo máximo exponente son las bombas atómicas. Pero, como en el caso de la electricidad, los beneficios superan con mucho a las atrocidades.

En este capítulo nos hemos centrado en dos tecnologías genuinamente cuánticas de extraordinaria importancia: el láser y los transistores. Pero la lista de aplicaciones prácticas de la mecánica cuántica es interminable.

Por ejemplo, en medicina la imagen por resonancia magnética (IRM) y la tomografía por emisión de positrones (PET) son dos técnicas de diagnóstico importantísimas, basadas en fenómenos cuánticos. En alianza con ellas, las técnicas de tratamiento, como la radioterapia, salvan millones de vidas todos los años. En el pujante campo de las fuentes de energía renovables, la mecánica cuántica ha permitido el desarrollo de las células fotovoltaicas. En el mundo de la imagen, las cámaras CCD y las pantallas de cristal líquido son dos ejemplos de tecnologías cuánticas actuales. Otros desarrollos basados en la física cuántica son los relojes atómicos, base de los sistemas de posicionamiento global (GPS); los materiales superconductores o el incipiente campo de la computación cuántica, que trataremos más adelante.

Como última reflexión de este largo capítulo, resulta fascinante que todo este incomparable conjunto de avances prácticos haya surgido de la curiosidad humana por conocer la naturaleza, que era lo que bullía en las mentes de un grupo de científicos geniales en las primeras décadas del pasado siglo.

9

Diversión con la física cuántica

Más allá de su extraordinaria utilidad práctica, la física cuántica nos ha permitido bucear en los entresijos y las sutilezas de la naturaleza, como ninguna teoría hasta ahora. La imagen de la realidad que emerge de la teoría cuántica choca frontalmente con nuestro sentido común, lo que la hace perturbadora y a la vez fascinante.

Hemos visto algunos ejemplos de ello, como el experimento de la doble rendija, en el capítulo 4, o el efecto túnel, en el 6. Ahora vamos a discutir otros experimentos y efectos sorprendentes, que de paso nos permiten ahondar en el significado de la teoría y sus extrañas implicaciones.

La esencia de la doble rendija: interferómetro Mach-Zehnder

Recordemos el experimento de la doble rendija para un haz de luz que incide sobre una lámina opaca con dos orificios:

Las franjas luminosas que se forman en la pantalla corresponden a las zonas donde las ondas provenientes de los dos agujeros se refuerzan (interferencia constructiva) y las oscuras, a las zonas donde se anulan (interferencia destructiva). Esa es la esencia del experimento. Y esta esencia está perfectamente capturada por un dispositivo del siglo XIX denominado «interferómetro de Mach-Zehnder». Este aparato funciona como una especie de experimento de la doble rendija «simplificado», para el que solo se formara un punto luminoso y un punto oscuro en la pantalla final. Veamos cómo funciona.

El primer ingrediente es un haz de luz paralela y monocromática, producida, por ejemplo, por un láser. A continuación, se interpone en su camino un divisor de haz que, como su nombre indica, desdobla la luz inicial en dos haces de menor intensidad. A menudo se trata de un simple espejo semitransparente:

(Utilizaremos los términos «divisor de haz» y «espejo semitransparente» como sinónimos.) Los dos haces producidos son dirigidos por medio de espejos a lo largo de dos rutas, de forma que ahora la luz llega a las dos pantallas o detectores, A y B, de la figura:

Finalmente, y este es el punto clave, podemos hacer que los haces inferior y superior interfieran de una manera muy visible, interponiendo un segundo espejo semitransparente en el punto donde confluyen:

Ahora el haz superior se divide en dos haces que se dirigen hacia los detectores A y B, respectivamente; y exactamente para el haz inferior. Así que, detrás del segundo espejo semitransparente, tenemos una superposición de luces provenientes del haz superior y del inferior, tanto hacia el detector A como hacia el B. En otras palabras, tenemos una interferencia, simbolizada en la figura anterior como haces discontinuos que se dirigen a A y a B. ¿Es una interferencia constructiva o destructiva? Utilizando reglas de la óptica convencional se puede deducir que la primera interferencia es destructiva, es decir, las dos ondas que se superponen camino de A están exactamente «en oposición de fase» y se anulan:

Por tanto, el detector A no registra ninguna luz; allí habrá una mancha oscura. Por el contrario, las ondas que se superponen camino de B están «en fase» y se refuerzan. El detector B registra la llegada de luz. De hecho, al final toda la luz emitida por el láser termina en el detector B, después de haber viajado desdoblada a través de las dos rutas del interferómetro:

El interferómetro descrito fue concebido por los físicos austriacos Ludwig Mach y Ludwig Zehnder en 1891 y 1892, y es un aparato muy útil, por ejemplo, para estudiar los pequeños cambios de presión y temperatura en una muestra de gas. Para ello se interpone dicha muestra en una de las dos rutas del interferómetro y se observan las modificaciones producidas en la interferencia final. Se trata de un instrumento anterior al advenimiento de la física cuántica, pero que, curiosamente, resulta muy apropiado para poner a prueba algunas de sus implicaciones más profundas.

Trabajemos ahora con el interferómetro de Mach-Zehnder, pero disminuyendo la intensidad del haz inicial (interponiendo filtros, por ejemplo), hasta convertirlo en un goteo de fotones muy espaciados, de forma que realicen su viaje por el interferómetro uno a uno.

Nuevamente, comenzamos sin el segundo espejo semitransparente. Anteriormente, la luz, dividida en dos haces de igual intensidad, llegaba a ambos detectores. Pero un fotón no puede llegar a los dos detectores ya que es la cantidad mínima de energía radiante en una longitud de onda dada. Así que ¿adónde llega el fotón?

Lo que sucede en la práctica es que este aterriza en A o en B con la misma probabilidad. A medida que continúa el goteo de fotones, unos llegan a A y otros a B, por lo que al final ambos detectores reciben la misma cantidad de luz; pero cada fotón individual tiene que elegir entre ellos. Si se interpreta el fotón como una partícula de luz, sin más sutilezas, diríamos que cuando se encuentra con el primer espejo semitransparente toma la ruta inferior (fotón transmitido) o la superior (fotón reflejado), con una probabilidad del 50 %. En el primer caso termina en el detector A y en el segundo, en el detector B. Por ejemplo, si el fotón es detectado en A, podríamos interpretar que ha seguido la siguiente ruta:

Esta interpretación es semejante a suponer que en el experimento de la doble rendija los fotones (o los electrones) atraviesan solo una de las dos rendijas. Y, como en aquel caso, es una interpretación errónea, como vamos a comprobar.

Para ello, recolocamos el segundo divisor de haz en el punto donde confluyen los caminos inferior y superior. Recordemos que cuando teníamos un chorro de luz, los dos haces que recorrían el aparato interferían negativamente en la dirección del detector A y positivamente en la dirección del detector B, por lo que toda la luz llegaba a este último. Para los fotones individuales sucede exactamente lo mismo: todos ellos terminan en el detector B:

Pero para que esto suceda es necesario que el fotón recorra simultáneamente la ruta inferior y superior, exactamente como una onda, de forma que ambos caminos puedan interferir destructivamente camino de A y constructivamente camino de B. Si el fotón siguiera solo una de las dos rutas, como una partícula, al encontrarse con el segundo espejo semitransparente volvería a elegir entre reflejarse o transmitirse. La mitad de las veces acabaría en A y la otra mitad en B. Sin embargo, el fotón siempre acaba en B.

Lo que sucede, según la física cuántica, es que, cuando el fotón choca con el primer espejo semitransparente, todavía no elige si se refleja o se transmite, sino que entra en una superposición de ambas posibilidades. De esta forma recorre simultáneamente la ruta superior (reflejado) y la inferior (transmitido), para finalmente interferir consigo mismo: constructivamente camino de B y destructivamente camino de A. Es incorrecta la idea de que el fotón sigue la ruta superior o la inferior. Sigue las dos.

Como decíamos arriba, este aparato capta todas las sutilezas del experimento de la doble rendija. En el capítulo 4 intentábamos espiar dónde se encontraban los electrones mientras volaban, antes de producir la figura de interferencia en la pantalla. Aquí podemos espiar a los fotones. Por ejemplo, podemos colocar detectores supletorios, C y D, en medio de las rutas inferior y superior, para ver dónde está realmente el fotón cuando viaja por el interior del interferómetro:

Entonces el fotón se manifiesta en C o en D, nunca en ambos a la vez, dando la impresión de que circulaba por la ruta superior o la inferior, respectivamente. Pero es una impresión engañosa; en cuanto retiramos los detectores C y D, el siguiente fotón vuelve a aparecer indefectiblemente en B, exhibiendo el fenómeno de interferencia detrás del segundo espejo semitransparente y demostrando así que recorre ambas rutas a la vez, como haría una onda.

La elección retardada

Una mente conspiranoica podría pensar que el fotón solo se comporta como una onda cuando «sabe» (de alguna forma desconocida) que le espera un segundo espejo semitransparente, donde se producirá la interferencia. Pero si este no está, el astuto fotón decide comportarse como una partícula: al impactar con el primer espejo semitransparente, se transmite o se refleja, terminando en A o en B. El fotón actuaría de esta manera «para confundirnos», solo se comportaría como una onda cuando decidimos comprobar su comportamiento ondulatorio.

Desde luego, hay que tener una mente retorcida para concebir tanta perversidad en un humilde fotón. Pero ¿es esto posible? El distinguido físico estadounidense John Wheeler propuso en 1978 y 1984 un experimento denominado «la elección retardada» para demostrar que no lo es. Existen varias versiones de este experimento, pero vamos a describir la más simple.

La idea de Wheeler es esperar al último momento antes de colocar el segundo divisor de haz. De este modo, cuando el fotón impacta en el primero, el segundo aún no está en su sitio. Entonces, según la hipótesis conspiranoica, el fotón debería decidir comportarse como una partícula: o bien se refleja, o bien se transmite. Supongamos que se refleja. A continuación, mientras el fotón vuela alegremente por la ruta superior, recolocamos el segundo divisor de haz:

Ahora el fotón tiene un problema: ya es tarde para decidir comportarse como una onda. Ahora camina solo por la ruta superior, como una partícula, así que cuando finalmente impacte en el segundo espejo semitransparente se reflejará o se transmitirá, sin ninguna interferencia, terminando en el detector A o en el B con una probabilidad del 50%. Sin embargo, no es eso lo que sucede. Cuando se preparan así las cosas, el fotón sigue aterrizando siempre en el detector B, lo que demuestra que la interferencia sigue teniendo lugar. Así que la hipótesis conspiranoica queda excluida. El fotón se propaga siempre como una onda que se desdobla y solo se manifiesta como una partícula cuando decidimos observarlo, tal como prescribe la física cuántica.

Este experimento se ha realizado con éxito usando montajes semejantes al que acabamos de describir. En uno de ellos (realizado por el grupo de Alain Aspect en 2001), el segundo espejo semitransparente estaba situado a 48 metros del primero. La decisión de interponerlo o no en el camino del fotón era tomada por un dispositivo de forma totalmente aleatoria, y después de que fotón hubiera rebasado holgadamente el primer espejo semitransparente. Los resultados fueron los predichos por la mecánica cuántica: cuando el segundo divisor de haz estaba ausente, el fotón aparecía en el detector A o en el B, con igual probabilidad. Cuando se recolocaba en el último momento, el fotón aparecía solo en el detector B, exhibiendo el fenómeno de interferencia.

El experimento de la elección retardada se ha llevado también a cabo con partículas en vez de fotones; por ejemplo, sustituyendo los fotones por núcleos de helio, y siempre con resultados análogos.

Los resultados de estos experimentos confirman la teoría cuántica una y otra vez, pero también ponen de relieve la extraña naturaleza de la realidad. Imaginemos por un momento que realizamos el experimento permitiendo una enorme distancia entre los espejos, digamos miles o millones de años luz:

Aunque, naturalmente, este experimento «cósmico» no se ha realizado, podemos imaginar los resultados: exactamente los mismos que para los interferómetros Mach-Zehnder convencionales: el fotón terminará siempre en el detector B debido a la interferencia entre las rutas superior e inferior. Esto significa que el fotón viaja desdoblado durante miles o millones de años por dos rutas que se separan una de la otra, y que luego se las hace converger en nuestro segundo espejo semitransparente. Pero supongamos que interponemos detectores C y D en las dos rutas seguidas por el fotón:

Evidentemente, el fotón se materializará ahora en una de las dos rutas, siendo registrado, por ejemplo, por el detector C. Entonces «la otra parte del fotón», que se encuentra en D a muchos años luz, debe dejar de existir de forma inmediata porque el fotón ya se ha materializado «entero» en C. Es como si hubiera un flujo de información invisible entre C y D. Esta especie de «comunicación» instantánea es una característica de la mecánica cuántica, y un aperitivo de lo que veremos en el próximo capítulo al discutir el entrelazamiento cuántico.

El testador de bombas

Vamos a describir ahora uno de los experimentos más bellos que se han propuesto para demostrar las extrañas implicaciones de la física cuántica. Es tan bonito que parece un experimento imaginado; lo asombroso es que se ha llevado a la práctica y (para variar) con resultados en perfecto acuerdo con las predicciones teóricas.

Supongamos que tiene usted el siguiente problema: necesita una bomba con garantía de que funcione, o sea, de que estalle cuando llegue el momento de activarla. Desde luego, no es un problema al que nos enfrentemos a diario. Sería más frecuente en mitad de una guerra, pero para evitar connotaciones bélicas, imaginaremos que la vamos a emplear en una excavación minera. Así que usted se dirige a la tienda de bombas de la esquina y encuentra el modelo que necesita: una bomba con un sensor que se activa con un solo fotón:

El problema es que la fábrica de bombas no es muy fiable y en la mitad de las bombas fabricadas el sensor no funciona: el fotón lo atraviesa limpiamente sin producir ningún efecto:

En la otra mitad, el fotón es absorbido por el sensor, generando una señal eléctrica que hace estallar la bomba. La cuestión es: ¿cómo puede estar usted seguro de que ha escogido una bomba con un sensor en buen estado? Por su aspecto exterior no podemos decidir, pues todas las bombas parecen idénticas, y si hacemos la prueba de lanzar un fotón sobre el sensor, en caso de que este funcione nos quedamos sin bomba. Tampoco queremos desarmar el artilugio, es una operación demasiado complicada y peligrosa.

En resumen, necesitamos saber qué pasaría si lanzáramos el fotón sobre la bomba, pero sin lanzarlo. Este tipo de acontecimientos que no han sucedido pero que podrían haberlo hecho se denominan «contrafactuales» en la jerga filosófica. Se expresan siempre con algún verbo en modo condicional; por ejemplo, «si hubiera ido a la fiesta, lo habría pasado bien». Por definición, son afirmaciones de las que no podemos estar totalmente seguros, ya que el hecho en cuestión no se ha producido. En el caso de la bomba, nuestra incertidumbre de qué pasaría si la bombardeáramos con un fotón es del 50 %, o sea, el porcentaje de bombas operativas. Y clásicamente no hay nada más que hacer, excepto cruzar los dedos para que hayamos escogido bien.

Sin embargo, la física cuántica nos permite seleccionar con garantías una bomba operativa. En otras palabras, nos permite saber «qué pasaría si lanzáramos un fotón sobre la bomba» sin tener que destruirla. La idea, propuesta en 1993 por los físicos A. Elitzur y L. Vaidman de la Universidad de Tel Aviv, es interponer la bomba (o, más exactamente, su sensor) en una de las rutas del interferómetro Mach-Zehnder.

Supongamos primero que la bomba escogida es de las inservibles, por lo que un fotón lanzado sobre su sensor lo atraviesa sin problemas:

Todo sucede como si la bomba no estuviera en el interferómetro. Recordemos: el fotón inicial se desdobla en el primer divisor de haz, entrando en una superposición reflejado/transmitido; luego recorre simultáneamente las rutas superior e inferior, y finalmente interfiere destructivamente camino del detector A y constructivamente camino del detector B. Es decir, cada fotón que inyectemos en el interferómetro terminará inexorablemente en el detector B, exactamente igual que si no hubiera bomba. Esta es la señal evidente de que se trata de una bomba fallida.

Veamos ahora qué pasa cuando la bomba funciona. En este caso, nuestro sensor es un detector de fotones operativo, interpuesto en la ruta inferior. Dado que el fotón está en una superposición reflejado/transmitido, la probabilidad de que el sensor lo registre es del 50 %. Si lo hace, nos hemos quedado sin bomba:

Pero ¿qué pasa si no lo registra? Esto es equivalente a decir que el sensor ha medido la posición del fotón y el resultado ha sido que este no está en la ruta inferior. Por tanto, el fotón se ha «materializado» (colapsado) en su otra alternativa: la ruta superior. A partir de este momento, camina íntegramente por la ruta superior:

Meditemos sobre lo que ha pasado: la presencia del sensor obliga al fotón a definirse por una ruta u otra. Esto hace que el fotón deje de estar en la superposición reflejado/transmitido. Ahora tiene que elegir una de las dos alternativas. Si elige la alternativa «ruta inferior», la bomba estalla. Si elige la alternativa «ruta superior» (50 % de las veces), continúa íntegro exclusivamente por ella, y así llega al segundo divisor de haz. Pero ahora el fotón no puede interferir con la componente que recorría la ruta inferior, ya que esta desapareció en su encuentro con el sensor. Por tanto, simplemente se reflejará o se transmitirá con una probabilidad del 50 %. Si se transmite, aterrizará en el detector B, como cuando la bomba era inservible; así que no podremos saber si la bomba funciona o no. Pero si el fotón se refleja, aterrizará en el detector A, un resultado imposible si la bomba fuera defectuosa.

Resumiendo, cuando la bomba funciona, hay una probabilidad del 50 % de que no estalle. Y en ese caso hay una nueva probabilidad del 50 % de que el fotón termine en el detector A, indicando que la bomba es operativa. En total, el fotón tiene una probabilidad del 25 % de terminar en el detector A. Está claro que en el proceso de selección podemos perder alguna bomba, pero con un poco de paciencia enseguida encontraremos una bomba aprovechable sin necesidad de hacerla estallar.

Como decíamos, este experimento ha sido realizado con éxito, concretamente por el grupo de Anton Zeilinger, de la Universidad de Innsbruck, en 1994. Naturalmente, los experimentadores no utilizaron bombas que estallaran sino detectores que podían hacer «clic», pero el resultado es el previsto: podemos comprobar que un detector funciona sin llegar a activarlo. De hecho, este grupo también propuso (y llevó a la práctica) una modificación del montaje experimental para conseguir que la probabilidad de seleccionar una bomba operativa sin destruirla fuera cercana a uno, o sea, sin necesidad de malgastar bombas.

Este tipo de procesos se han bautizado como «medidas libres de interacciones», ya que permiten extraer información acerca de un objeto sin interactuar con él en absoluto; algo llamativo, incluso desde el punto de vista filosófico.

A veces se dice que, según la mecánica cuántica, no se puede medir u observar un objeto sin modificarlo de alguna forma, como si esa fuera la raíz de las incertidumbres cuánticas. Como discutimos en el capítulo 4, no lo es. Ahora vemos que, irónicamente, la mecánica cuántica nos permite observar algunas cosas sin producir la menor perturbación, algo imposible en la física clásica.

10

Entrelazamiento cuántico

El entrelazamiento es posiblemente la predicción más asombrosa de la mecánica cuántica, la que más se separa de nuestra intuición clásica. Esa era, por ejemplo, la opinión de Erwin Schrödinger, seguramente compartida por la mayoría de las físicas y los físicos teóricos.

La historia de este concepto es muy curiosa y bastante irónica. Albert Einstein siempre se sintió incómodo con las implicaciones de la física cuántica, a pesar de haber sido uno de sus promotores. En su opinión, había dos condiciones exigibles a una teoría que aspirase a describir fielmente la naturaleza, lo que él denominaba una teoría completa. La primera condición era que las magnitudes físicas medibles debían tener valores bien definidos, aunque fueran desconocidos para nosotros. Le molestaba que, según la teoría cuántica, una partícula pudiera carecer de posición o velocidad definidas. La segunda condición era que ningún suceso debería transmitir su influencia a mayor velocidad que la luz, de otro modo entraría en conflicto con la teoría de la relatividad; lo que sucede en una parte del universo no puede afectar de forma instantánea a lo que sucede en otra parte. Estos dos requisitos los bautizó como «realismo» y «localidad». En un artículo publicado en 1935, Albert Einstein, Boris Podolski y Nathan Rosen demostraron que la mecánica cuántica no podía cumplir ambas exigencias, por lo que debería considerarse incompleta. Indudablemente, la mecánica cuántica era una teoría útil y una excelente aproximación para muchas situaciones, pero debía existir una teoría más profunda que satisficiera los requisitos de realismo y localidad.

Este es probablemente el último gran trabajo de Einstein, con el que creyó haber asestado un golpe mortal a la física cuántica. Pero lo que lo hace importante no es que lograra refutarla, sino que pusiera de relieve las consecuencias más profundas e intrigantes de la teoría. Podría pensarse que el artículo de Einstein, Podolski y Rosen (EPR) levantó una gran polvareda científica, pero no fue así.

Hubo una respuesta (para muchos, un tanto confusa) de Niels Bohr, que aparentemente desmontaba las afirmaciones de EPR y poco más. La mayor parte de los físicos, con la notable excepción de Schrödinger, quien dio mucha importancia al artículo, se dedicaron a seguir explotando el formidable poder de la física cuántica para explicar fenómenos de la naturaleza y desarrollar nuevas tecnologías, como vimos en los capítulos 7 y 8. Algunos físicos de enorme prestigio, como Wolfgang Pauli, consideraron que las disquisiciones de Einstein eran discusiones bizantinas sin ningún interés científico, semejantes a discutir acerca de «cuántos ángeles pueden bailar en la punta de un alfiler». Sin embargo, gracias al trabajo de otro gran físico, John Bell, las cosas darían una vuelta de tuerca inesperada...

Un experimento clásico

Podemos decir que dos sistemas físicos están entrelazados cuando las propiedades de uno están correlacionadas con las del otro. Con esta definición provisional, el entrelazamiento no es algo misterioso y ocurre en el mundo clásico o cotidiano. Por ejemplo, supongamos que introducimos una bola blanca y una negra dentro de una bolsa. A continuación, extraemos al azar una de ellas y, sin mirarla, la ponemos en una caja cerrada que entregamos a una colaboradora llamada Alice. (Mantenemos aquí los nombres universalmente utilizados en este tipo de experimentos imaginados.) La otra bola la introducimos, también sin mirarla, en una segunda caja que entregamos a Bob. Ahora permitimos que Alice y Bob se alejen cuanto quieran el uno del otro. Ya que es un experimento imaginado, podemos suponer que han viajado a extremos opuestos del sistema solar, o incluso mucho más lejos.

Alice ignora el color de su bola y, por tanto, el color de la de Bob. Sin embargo, en el momento en que abra la caja, no solo descubrirá que, por ejemplo, su bola es blanca. También descubrirá que la de Bob es negra. Lo sabrá instantáneamente porque los colores de las dos bolas están correlacionados. Si una es blanca, la otra es negra, y viceversa. No hay nada misterioso en esta deducción. No es que Bob haya transmitido información alguna a Alice para comunicarle el color de su bola. Simplemente, las propiedades físicas de las dos bolas, concretamente sus colores, están correlacionadas.

Podemos ir un paso más allá, definiendo el entrelazamiento de una manera más fuerte: diremos que dos sistemas están entrelazados cuando sus propiedades no solo están correlacionadas, sino que lo que le suceda al primer sistema influirá de forma instantánea en el segundo, y viceversa. Con esta definición, las bolas de Alice y Bob no están entrelazadas, ya que lo que haga Alice con su bola (por ejemplo, teñirla de negro) no influirá en la bola de Bob, que seguirá siendo negra (no se volverá blanca por la acción de Alice). Los sistemas clásicos no están entrelazados en este sentido fuerte. Y aquí es donde surge una diferencia esencial con la física cuántica, que para algunos, como el mencionado Schrödinger, es la diferencia fundamental.

Un experimento cuántico. La paradoja EPR

Repitamos el experimento anterior, pero teniendo ahora en cuenta que las bolas están regidas por las leyes de la mecánica cuántica. (En un experimento realista usaríamos partículas en vez de bolas, pero de momento mantenemos el paralelismo con la discusión anterior).

Llamemos al estado de la caja con la bola blanca y al de la bola negra. Cuando Alice tiene la primera y Bob la segunda, el estado del sistema conjunto es:

donde los subíndices A y B se refieren a Alice y Bob. Notemos que en este estado no hay incertidumbre alguna: ella tiene la bola blanca y él, la negra. Consideremos ahora el caso inicial: no sabemos a quién le ha correspondido cada bola. En la jerga científica, una situación así se denomina «mezcla estadística de estados», que podemos expresar de esta forma:

Es importante recalcar que esto no es una superposición de estados, simplemente es una manera de representar nuestra ignorancia acerca del verdadero estado del sistema, que será uno de los dos: o bien A B , o bien A B. Hasta aquí todo es como en el experimento clásico.

Pero podemos tener una situación mucho más interesante, una verdadera superposición cuántica de estados; por ejemplo:

En contraste con la mezcla estadística, ahora no hay ignorancia acerca del estado del sistema. Su estado es el que acabamos de escribir y está perfectamente definido. Sin embargo, debido a la superposición, lo que no está bien definido es el color de las bolas de Alice y Bob. Ambas posibilidades coexisten, como sucede siempre en las superposiciones. ¿Qué pasa si ahora Alice abre su caja? Como dictan los postulados de la mecánica cuántica, el hecho de observar obliga al estado a colapsar en una de las posibilidades que entran en la superposición; por ejemplo:

En este caso Alice va a ver que su bola es blanca, pero el estado podría haber colapsado en la otra alternativa con idéntica probabilidad. Es importante recordar que no es que Alice haya descubierto que su bola era blanca. Antes de abrir la caja no tenía un color definido, y es ahora, al observarla, cuando se ha decantado por esa posibilidad.

¿Y qué pasa con Bob? Como vemos de la ecuación anterior, al observar Alice su bola, no solo ha obligado a esta a definirse por un color (blanco), sino que ahora la bola de Bob también tiene un color definido (negro), ya que el nuevo estado del sistema es A B. La actuación de Alice sobre su bola ha influido en el estado de la bola de Bob de forma instantánea. Antes la bola de Bob no tenía un color definido. Ahora lo tiene.

El experimento que acabamos de describir es la esencia del artículo de EPR. Los postulados de la mecánica cuántica conducen a una extraña comunicación instantánea entre los sistemas físicos (en este caso, las bolas de Alice y Bob). Se trata de una comunicación que no está transmitida por ninguna señal física que se propague de uno a otro. Simplemente, ocurre. Parece una especie de telepatía, pero hay que ser muy cuidadosos con los términos porque, como veremos en el capítulo 12, este fenómeno no puede emplearse para transmitir mensajes entre dos interlocutores de forma instantánea (aunque sí puede usarse de otras formas). En todo caso, Einstein opinaba que esta «fantasmal acción a distancia» contradecía el principio de localidad, según el cual ninguna influencia puede transmitirse de forma instantánea; y eso le repugnaba. De acuerdo con su intuición, el color de las bolas de Alice y Bob debía estar bien definido en todo momento, al estilo clásico. Por todo ello concluía que la mecánica cuántica era una teoría incompleta, un conjunto de reglas prácticas para manejar nuestra ignorancia acerca del «verdadero» estado de los sistemas físicos. En consecuencia, debía haber una teoría más fundamental (aún desconocida) que respetara los principios de localidad y realismo, y de la cual la mecánica cuántica sería solo una aproximación.

La mayoría de los físicos no prestaron mucha atención a estas conclusiones de Einstein y sus colegas. Adoptando el punto de vista de Niels Bohr, consideraron que no había nada paradójico en estas implicaciones de la física cuántica y siguieron con sus investigaciones. En realidad, a primera vista la observación de Einstein y compañía es poco sensacional. Al fin y al cabo, desde la perspectiva de Alice y Bob todo resulta igual que en el experimento clásico. El hecho es que ella encontrará que su bola es blanca o negra, y él, justo al revés. Por tanto, como afirmaba Pauli, se trataría de una discusión bizantina, una mera interpretación filosófica de lo que significan unos símbolos matemáticos. Pronto veremos que estaba equivocado.

Para finalizar esta sección, mencionemos que el estado anteriormente considerado:

es un ejemplo de estado entrelazado, en el que lo que sucede en una parte del sistema (Alice) influye en la otra (Bob), y viceversa. Un hecho característico de los estados entrelazados es que no es posible asignar un estado concreto a cada uno de los subsistemas. No podemos decir cuál es el estado de la bola de Alice. No es el de bola blanca, A, ni el de bola negra, A, ni siquiera una superposición de ambas, A + A. La única forma de expresar su estado es dar el estado conjunto de las dos bolas, A B + A B. Y esta es, de hecho, la prescripción que suele usarse en física cuántica para definir un estado entrelazado. El término «entrelazamiento» fue acuñado por Schrödinger, uno de los pocos en comprender en su momento la importancia del concepto.

Consecuencias del realismo

Si hubiera que elegir un héroe en esta historia del entrelazamiento, este sería el irlandés John Bell. Además de una persona encantadora, Bell era un físico de partículas muy competente, pero su afición eran los fundamentos de la mecánica cuántica. Para situarnos en el contexto histórico, estamos hablando de los primeros años sesenta, casi tres décadas después del artículo de EPR. Por aquella época, en los círculos científicos se consideraba «poco honorable» dedicarse a un tema así (en realidad, se sigue considerando, aunque de forma no tan radical). La impresión general era que la mecánica cuántica ya estaba perfectamente formulada y «cerrada» en cuanto a sus fundamentos. Discutir acerca de interpretaciones alternativas de la teoría o del artículo de EPR era perder el tiempo, filosofía barata sin implicaciones experimentales.

Recordemos una vez más la visión de Einstein: la teoría fundamental que describa la naturaleza, sea cual sea, debe respetar los principios de realismo y localidad; es decir, los valores de las magnitudes físicas deben estar bien definidos y no puede haber influencias que se transmitan de forma instantánea. En 1964, John Bell publicó un artículo que pilló por sorpresa a la comunidad científica. En él se exponía un resultado riguroso, ahora conocido como «teorema de Bell» o «desigualdades de Bell», según el cual una teoría como la soñada por Einstein («realista» y «local») tiene implicaciones experimentales medibles que difieren de las predicciones de la mecánica cuántica. Esto traslada el debate del mundo de las ideas al de los hechos. Ahora el experimento iba a poder decidir si la visión de Einstein era correcta o no.

Antes de exponer la forma concreta del teorema, reflexionemos un momento sobre su trascendencia. Por supuesto, nadie sabe cuál es la teoría fundamental de la naturaleza. No obstante, Bell propuso un experimento para el que cualquier teoría debe arrojar el mismo resultado, siempre que dicha teoría satisfaga las condiciones de realismo y localidad. En contraste, como el propio Bell demostró en su artículo, la mecánica cuántica arrojaría un resultado distinto. En consecuencia, si el resultado de dicho experimento estuviera de acuerdo con el realismo y la localidad, entonces se habría encontrado (por vez primera) una predicción fallida de la física cuántica; que, por tanto, sería una teoría errónea o defectuosa a pesar de sus grandes éxitos. En cambio, si el resultado del experimento estuviera de acuerdo con las predicciones cuánticas, entonces la teoría fundamental no podría ser realista y local. Este es un resultado fortísimo, ya que nos dice algo muy profundo acerca de la naturaleza. Aunque no sepamos cuál es la teoría fundamental del universo, podemos saber algo nada trivial acerca de su carácter. Quizá por eso algunos físicos como Henry Stapp lo consideran nada menos que «el descubrimiento más profundo de la ciencia».

Vayamos con el experimento propuesto por Bell. Existen varias versiones de este, además de la expuesta en el artículo original. La que vamos a presentar aquí es la llamada versión CHSH, formulada en 1969 por John Clauser, Michael Horne, Abner Shimony y Richard A. Holt. Tiene la ventaja de ser más concisa y fácil de llevar a la práctica; de hecho, es la versión utilizada en casi todos los experimentos importantes que se han realizado.

Supongamos que tenemos una fuente que emite pares de partículas, que salen dirigidas en direcciones opuestas hacia nuestros dos investigadores, Alice y Bob:

Cada partícula tiene varias propiedades físicas: velocidad, masa, carga eléctrica, espín, etc. En este experimento, Alice tiene asignadas dos (y solo dos) de estas propiedades, llamémoslas A y A’, que puede medir sobre su partícula; pero no debe medir ambas, tiene que elegir una de ellas. Adoptamos esta precaución porque quizá, al medir una, podría perturbar el valor de la otra, por lo que no estaríamos seguros de si el valor observado era el que realmente tenía la partícula. Por su parte, Bob también puede medir dos propiedades de su partícula, B y B’. El diseño del experimento requiere que sean propiedades distintas que las que mide Alice. Al igual que su colaboradora, Bob no debe medir ambas: para cada nueva partícula que recibe debe elegir entre B o B’. Así que, por ejemplo, en el primer par Alice mide la propiedad A sobre su partícula y Bob la propiedad B’ sobre la suya; en el siguiente par Alice mide A’ y Bob otra vez B’; en el siguiente ella mide A y él B; etc. Alice y Bob no deben consultarse uno a otro sobre qué propiedad van a medir en cada nuevo par. Lo deciden cada uno por su cuenta, de forma aleatoria.

Un temor habitual es que, al realizar Alice la medida sobre su partícula, pudiera alterar las propiedades de la partícula de Bob (o sea, B y B’). Sin embargo, si las medidas de Alice y Bob se realizan de forma simultánea, el principio de localidad defendido por Einstein nos asegura que una no puede influir en la otra. No hace falta que las medidas sean exactamente simultáneas, basta con que el intervalo entre ellas sea lo bastante corto para que cualquier influencia que viaje a la velocidad de la luz no haya tenido tiempo de ir de una partícula a la otra. Esta es una condición importantísima en este tipo de experimentos.

Finalmente, para simplificar las cosas, las propiedades físicas consideradas, A, A’, B y B’, solo toman dos posibles valores, que denotaremos 1 y –1. Por ejemplo, A y A’ podrían ser el signo de la carga eléctrica de la partícula y el signo de su espín (1 si la partícula «gira» hacia la derecha y –1 si lo hace hacia la izquierda); pero de momento no es necesario precisar qué propiedades concretas son.

Hagamos ahora la hipótesis de que la naturaleza satisface el principio de realismo. Entonces la partícula que llega a Alice ha de tener bien definidos sus valores de A y A’, para los que hay cuatro combinaciones posibles:

Y lo mismo para las propiedades B y B’ de la partícula que llega a Bob:

Ahora definimos una nueva cantidad, , de la siguiente forma:

donde A, A’ son propiedades físicas de la partícula de Alice, y B, B’, de la de Bob. Para cada par de partículas, los valores de A, A’, B y B’ pueden ser distintos, y por tanto el valor resultante de . Sin embargo, puede usted comprobar que siempre vale 2 o –2. Por ejemplo, para A = 1, A’ = 1, B = 1, B’ = 1, resulta = 2, ya que

Análogamente, si A = 1, A’ = 1, B = –1, B’ = 1, entonces = –2, etc.[5] Así que entre todos los pares generados los habrá con H = 2 y con H = –2. Dado que el valor máximo de es 2, su promedio entre todos los pares de partículas será como mucho igual a 2. Usando la notación para indicar el «valor medio de », podemos escribir ≤ 2. De forma más explícita:

Esta es la famosa desigualdad de Bell (en su versión CHSH). Los pasos seguidos para llegar a ella son de pura lógica, siempre que los valores de A, A’, B y B’ estén bien definidos para las dos partículas, es decir, que se satisfaga el principio de realismo.

Ahora fijémonos en lo siguiente: para un par de partículas concreto no podemos medir con garantías el valor de , ya que para ello necesitamos conocer las cuatro propiedades: A, A’, B y B’; y nuestras precauciones exigen que Alice y Bob solo puedan medir una propiedad cada uno. Sin embargo, como tenemos muchos pares, sí podemos determinar con garantías el valor promedio, . ¿Cómo es eso posible? En un experimento de este tipo se producen muchos miles de pares de partículas. Para cada par Alice elige, de forma aleatoria, si mide A o A’. Y lo mismo Bob con sus opciones, B o B’. Al final del experimento, Alice y Bob se reúnen y comparan sus medidas. Habrá muchos pares para los que Alice haya medido A y Bob haya medido B. Para estos pares podemos calcular el producto AB. Y promediando los valores obtenidos deducimos el valor medio, . Análogamente, habrá otros pares para los que Alice haya medido A’ y Bob haya medido B, con los que podemos determinar el valor medio . Y siguiendo el mismo procedimiento, podemos obtener los valores medios y . Combinando estos resultados, obtenemos el valor medio de , es decir, = + + – .

Este procedimiento es perfecto, asumiendo que cuando Alice realiza una medida, por ejemplo de la propiedad A, no altera los valores de las propiedades B y B’ de la partícula de Bob. En caso contrario, las mediciones de este no son fiables. Sin embargo, dado que Alice y Bob realizan sus medidas de forma simultánea, el principio de localidad defendido por Einstein nos asegura que no pueden influirse entre ellas.

En conclusión, si la naturaleza obedece los principios de realismo y localidad, el valor de obtenido en el experimento debería ser como mucho igual a 2, de acuerdo con el teorema de Bell. Si se obtiene un valor mayor, es que la naturaleza desobedece uno de esos dos principios, o los dos.

Enseguida vamos a ver cuál es el veredicto del experimento, es decir, de la naturaleza; pero antes tenemos que presentar cuál es la predicción de la mecánica cuántica.

Consecuencias de la mecánica cuántica

Revisemos el experimento anterior, pero asumiendo que las partículas obedecen las leyes de la mecánica cuántica. Es fácil demostrar que si el estado de cada par de partículas no está entrelazado, entonces la predicción para la cantidad es la misma que para una teoría que satisfaga los principios de realismo y localidad; es decir, la desigualdad de Bell + + – ≤ 2 también se cumple en ese caso.

Las cosas son distintas cuando el estado de las dos partículas está entrelazado. Unas páginas atrás mostramos un ejemplo concreto de estado entrelazado en el contexto de bolas blancas y bolas negras, concretamente:

donde los subíndices A y B se refieren a las bolas de Alice y Bob. Ahora necesitamos algo parecido pero con partículas. No podemos decir que una partícula sea blanca o negra, pero sí podemos decir que su estado de espín es positivo o negativo. Recordemos que el espín de una partícula es su giro intrínseco, semejante a la rotación de un planeta en miniatura sobre sí mismo. Habitualmente se representa este giro intrínseco mediante un vector que apunte en la dirección de avance de un tornillo que rotara de la misma forma que la partícula:

Llamaremos |   al estado del electrón cuyo espín apunta hacia arriba, y |   cuando apunta hacia abajo. Así que, en analogía con las bolas blancas y negras, nuestro estado entrelazado de dos partículas podría ser:

Como en el caso de las bolas, aquí se aprecian discrepancias esenciales con las premisas de una teoría realista y local. Para empezar, el sentido de giro de la partícula de Alice no está definido, ya que puede ser o con idéntica probabilidad; y lo mismo pasa con la de Bob. Esto se opone al principio de realismo de Einstein. Además, cuando Alice mide el espín de su partícula, en la parte de Bob se producen cambios instantáneos. Por ejemplo, si Alice observa que el espín de su partícula apunta hacia arriba, , el estado colapsará en la forma:

por lo que ahora el espín de la partícula de Bob pasa a estar bien definido (hacia abajo, ). Por tanto, tampoco se satisface la condición de localidad que exigía Einstein. Todo funciona igual que con el ejemplo de las bolas blancas y negras.

En los experimentos reales, el estado entrelazado que se emplea es muy parecido al anterior. Concretamente, se trata del llamado «estado de momento angular cero», que tiene la forma:

El signo menos entre los dos términos no debe despistar. Se trata de una superposición tan legítima como la del signo positivo. (Una de las ventajas de este estado es que es muy fácil de generar en el laboratorio.)

Así que, en la práctica, se producen miles de pares de partículas en el estado entrelazado anterior, que son enviadas a Alice y a Bob:

Para completar el montaje del experimento, tenemos que especificar cuáles son las propiedades (A, A’) y (B, B’) que miden Alice y Bob sobre sus partículas respectivas. Por ejemplo, Alice podría medir el espín de su partícula. Pero aquí hay que hacer una observación importante: el hecho de que el espín sea un vector significa que en realidad no es una sola cantidad física sino tres, es decir, sus componentes en las tres direcciones del espacio. Esto está representado en la siguiente figura, donde el vector es el espín de la partícula y Sx, Sy, Sz son sus componentes a lo largo de los tres ejes de coordenadas, x, y, z:

Cuando se mide el espín de una partícula, lo que realmente se hace es medir una de esas componentes, no las tres a la vez. Un procedimiento habitual para ello es dejar que la partícula penetre en el campo magnético que existe entre los polos norte (N) y sur (S) de un imán, y ver hacia dónde se desvía. De este modo determinamos la componente de espín en la dirección del campo magnético empleado. Por ejemplo, si el campo magnético, , está en la dirección vertical, z, la componente de espín que determinamos es Sz:

Supondremos que Alice puede orientar el campo magnético de su aparato en la dirección z o en la dirección x, de forma que puede medir las componentes Sz o Sx del espín de su partícula. Estas son por tanto las dos propiedades A, A’, que necesitábamos:

Si Alice decide medir A, lo que hace es medir la componente Sz del espín y anotar A = 1 cuando sale hacia arriba y A = –1 cuando sale hacia abajo. Si decide medir A’, procede de modo similar: mide la componente Sx del espín y anota A’ = 1 cuando sale hacia la derecha y A’ = –1 cuando sale hacia la izquierda. Hemos insistido en que Alice no debe intentar medir las dos propiedades, A y A’, para evitar que la medida de una perturbe el valor de la otra.

Finalmente, Bob realiza las mediciones sobre su partícula de forma análoga, solo que los ejes de su aparato están rotados 45 grados respecto a los de Alice. Las propiedades que mide, B y B’, son las componentes del espín (Sz y Sx) en esos ejes inclinados. Son por eso diferentes de las propiedades A, A’ que mide Alice.

Por otro lado, usando las reglas de la mecánica cuántica se puede calcular teóricamente el valor medio de , es decir, = + + – , cuando el par de partículas se encuentra en el estado entrelazado escrito más arriba, |  A |  B – |  A |  B. Esto requiere el uso de álgebra lineal, por lo que simplemente daremos el resultado:

Notemos que la predicción de la mecánica cuántica para es mayor que 2, y por tanto viola la desigualdad de Bell, ≤ 2 .

¿Cómo puede suceder algo así? Hace unas páginas vimos que, para cualquier valor de A, A’, B y B’, el valor correspondiente de es 2 o –2. Si ahora su promedio es mayor que 2, esto parece indicar que muchos pares tienen un valor de mayor que 2. Pero ¿no decíamos que eso era imposible?

El «truco» de la física cuántica para conseguirlo es el siguiente.

En primer lugar, en nuestro estado entrelazado las cantidades A, A’, B y B’, que corresponden a distintas componentes del espín de las dos partículas, no tienen valores bien definidos, y por tanto tampoco lo tiene . Así que no tiene sentido decir, para cada par, vale 2 o –2, porque en realidad no tiene un valor definido.

En segundo lugar, al tratarse de un estado entrelazado, cuando Alice actúa sobre su partícula, midiendo A o A’, altera instantáneamente el estado de la partícula de Bob. Y esa alteración no es siempre la misma: depende de si Alice mide A o A’, y depende del resultado que obtenga en esa medida. Esto hace imposible atribuir valores objetivos a las propiedades B y B’ de la partícula de Bob. Los valores de B y B’ dependen de qué propiedad esté mirando Alice en su partícula.

Desde luego, la violación de la desigualdad de Bell por la mecánica cuántica significa que esta última no respeta los principios de realismo y localidad. Pero lo realmente novedoso es que esta predicción se puede verificar en un experimento.

Por cierto, el trabajo de Bell fue realizado después de morir Einstein y Bohr. Los dos grandes físicos nunca supieron que el experimento iba a decidir su litigio.

El veredicto de la naturaleza

Experimentos como el anterior se han llevado a cabo muchas veces, casi siempre usando fotones en vez de partículas materiales, ya que es más sencillo producirlos a pares en un estado entrelazado, así como medir sus componentes de espín (para un fotón el espín es equivalente a la polarización, que se puede determinar con facilidad). Los experimentos más famosos fueron llevados a cabo por el grupo del francés Alain Aspect en la Francia de la década de 1980. Los resultados siempre han dado la razón a la mecánica cuántica; es decir, siempre se ha encontrado que la desigualdad de Bell, ≤ 2, es desobedecida, precisamente en la proporción predicha por la teoría cuántica, = 2√2 = 2,83. ¿Qué consecuencias debemos sacar de este resultado experimental?

Una conclusión correcta es que la naturaleza no respeta los principios de realismo y localidad, típicos de una teoría clásica, por más que parezcan de sentido común. Estos principios, tan queridos por Einstein, nos describen un mundo en el que las magnitudes físicas tienen valores bien definidos y en el que no hay influencias que viajen más rápido que la luz. En un mundo así la desigualdad de Bell sería obedecida. Es por tanto un mundo insostenible. Desde luego, en ciencia nunca se puede decir que algo está demostrado con una seguridad del cien por cien, pero lo cierto es que los resultados experimentales señalan de forma apabullante en esa dirección.

Una conclusión precipitada sería que la mecánica cuántica es correcta, o sea, que es la teoría fundamental de la naturaleza (o parte de ella). Es verdad que hasta ahora no se ha encontrado ningún fallo en sus predicciones, incluyendo la espectacular violación de las desigualdades de Bell. Sin duda, es una teoría que funciona excelentemente en todas las escalas en las que hemos podido experimentar. Pero esto no significa que sea infalible a otras escalas. Bastaría con un solo experimento que contradijera las predicciones cuánticas para tener que buscar otra teoría más perfecta; o sea, aún más próxima a la verdadera realidad de la naturaleza. Lo que parece muy claro es que esa teoría más profunda también deberá transgredir los principios de realismo y localidad; esto es lo que nos indica la violación de las desigualdades de Bell verificada experimentalmente.

Es interesante mencionar el punto de vista de John Bell en este debate. Curiosamente, Bell simpatizaba más con Einstein que con Bohr en la disputa entre ambos. Esto resulta bastante irónico, dado que su trabajo permitió a la mecánica cuántica salir airosa de las críticas de Einstein. A Bell le desagradaba la interpretación ortodoxa de la mecánica cuántica (interpretación de Copenhague, defendida por Bohr) y creía que posiblemente había una formulación preferible, en la que las magnitudes físicas tuvieran valores perfectamente definidos (principio de realismo), aunque hubiera que sacrificar el principio de localidad. El experimento de las desigualdades de Bell demuestra que los dos principios no pueden ser correctos, pero deja abierta la posibilidad de que uno de ellos lo sea. Sin embargo, Bell no propuso ninguna teoría o interpretación alternativa a la física cuántica para plasmar esta posibilidad.

11

La teoría de los muchos mundos

La física cuántica tiene implicaciones tan sorprendentes que, inevitablemente, ha conducido a una proliferación de «interpretaciones». Hay que distinguir entre formulación e interpretación. Las formulaciones de una teoría difieren en su formalismo matemático pero conducen exactamente a los mismos resultados experimentales. Es la misma teoría expresada de maneras distintas pero totalmente equivalentes.

Las formulaciones alternativas de las teorías físicas son muy útiles ya que, a menudo, una de ellas es la que mejor se adapta al problema considerado, ahorrando trabajo de cálculo y aportando claridad. La mecánica clásica, por ejemplo, posee varias formulaciones distintas. Además de la original de Isaac Newton, disponemos de la formulación de Lagrange, la de Hamilton, la de Jacobi, etc. Todas ellas han demostrado ser útiles en diferentes contextos. Algo parecido sucede con la mecánica cuántica. La formulación habitual es el resultado del trabajo de grandes físicos del siglo pasado, como Heisenberg, Dirac y Von Neumann. Pero existen formulaciones alternativas, como la de Richard Feynman, donde desaparece el concepto de «estado» y solo se habla de probabilidades y reglas para calcularlas.

Por otra parte, una interpretación es algo distinto; es un intento de comprender cómo la formulación matemática de la teoría se corresponde con la realidad. Muchos físicos se ponen enfermos cuando oyen esto. En su opinión, la misión de la física es proporcionar una teoría con la que podamos hacer predicciones exitosas, no pretender que esa teoría se corresponde con la realidad, algo que verdaderamente nunca podremos saber. Este es el punto de vista sostenido, por ejemplo, por Stephen Hawking, y que remite a otros grandes físicos como Heisenberg y Bohr. Sin embargo, otras grandes mentes, como Einstein, Schrödinger y Bohm, o en tiempos más recientes Murray Gell-Mann y Roger Penrose, han prestado mucha atención a las interpretaciones de la mecánica cuántica. Tampoco hay nada malo en «filosofar» sobre cuál es la naturaleza de la realidad. Es un ejercicio imaginativo y divertido, y a veces incluso puede ser fructífero científicamente. Y en todo caso... no es obligatorio.

Uno puede preguntarse por qué la mecánica cuántica, más que ninguna otra teoría científica, ha sido «interpretada» tantas veces y de maneras tan distintas. Sin duda, una razón es que sus predicciones parecen desafiar al sentido común: pensemos en el efecto túnel, el experimento de la doble rendija o los estados entrelazados. Aquí puede haber una resistencia mental a renunciar a conceptos muy arraigados en nuestra intuición, como el principio de «realismo», según el cual una partícula ha de tener una posición determinada, aunque no sepamos cuál es.

Sin embargo, hay una segunda razón para la proliferación de interpretaciones de la física cuántica: la interpretación ortodoxa o de Copenhague tiene problemas de consistencia o, al menos, puntos claramente mejorables. Indudablemente, se trata de una interpretación muy práctica a la hora de hacer predicciones o trabajar en un laboratorio, pero deja zonas inquietantemente oscuras, relacionadas sobre todo con el proceso de la medida. Esto ya lo mencionamos en el capítulo 3 y ahora volveremos sobre ello. Hay que decir que en este aspecto la interpretación ortodoxa no está sola: todas las interpretaciones alternativas tienen sus propios problemas. Esto puede sugerir que, en definitiva, se trata de un tema de gusto personal: cada uno simpatiza con la interpretación que más le agrade (incluidos los «agnósticos», que no se adhieren a ninguna) y no hay mucho más que añadir, al menos desde el punto de vista científico. En parte es así, pero no totalmente. Las interpretaciones más interesantes de la mecánica cuántica son las que conducen a predicciones experimentales distintas (aunque sean extraordinariamente difíciles de verificar). En ese caso, dichas interpretaciones son en realidad teorías distintas.

Si a usted no le importa especular, le invitamos a seguir leyendo este capítulo.

Dificultades de la interpretación de Copenhague. El problema de la medida

La formulación de Copenhague de la mecánica cuántica, a la que nos hemos ceñido casi en exclusiva hasta ahora, contiene un elemento perturbador. Un sistema físico cualquiera, por ejemplo una partícula, está descrito por un estado, digamos | ψ . Mientras no lo observemos, dicho estado evoluciona obedeciendo la ecuación de Schrödinger. Esta es una evolución suave, perfectamente determinista.

Pero, al medir una magnitud física, el estado cambia de golpe y pasa a ser un autoestado de esa magnitud. Por ejemplo, si medimos la posición de la partícula, el estado «colapsa» en la forma | ψ » → | x0 , donde x0 es la posición observada. Se trata de una evolución brusca e indeterminista, ya que el estado puede colapsar a cualquier posición con una cierta probabilidad. Este es el postulado del colapso, un ingrediente esencial de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica (la convencional).

Esta doble manera de evolucionar supone un problema conceptual: ¿Cómo sabe la partícula que está siendo observada y que, por tanto, debe dejar de evolucionar de forma suave para hacerlo de forma brusca?

Ilustremos esto de forma gráfica. El estado inicial de una partícula, | ψ , es equivalente a su función de onda ψ(x), por ejemplo:

Mientras no interfiramos con la partícula, ψ(x) cambia suavemente, gobernada por la ecuación de Schrödinger. La siguiente figura ilustra esta evolución para una partícula que se mueve hacia la derecha, mostrando la función de onda en tres instantes consecutivos:

Pero si ahora medimos la posición de la partícula, la función de onda colapsará de golpe a un autoestado de la posición: pasará a ser una «delta de Dirac» en un punto determinado:

Resulta muy insatisfactorio que la partícula deba elegir en cada momento cuál de las dos evoluciones ha de seguir. Ciertamente, en la práctica no resulta un gran problema; basta con suponer que el estado de la partícula colapsa solo cuando interactúa con un sistema macroscópico, como es un aparato de medida. Pero esta no deja de ser una prescripción muy ambigua e imprecisa. ¿Cómo de grande ha de ser exactamente un sistema macroscópico para producir el colapso del estado de la partícula? ¿Cómo de intensa ha de ser la interacción entre ellos?

La frontera entre los dos tipos de evolución debería estar claramente especificada en la teoría, como ha sido enfatizado por grandes físicos como Richard Feynman o Steven Weinberg; pero lo cierto es que no lo está.

Además, hay otro aspecto insatisfactorio: ¿por qué nunca observamos estados que están en una superposición? Por ejemplo, por qué nunca observamos un electrón en un estado | x1  + | x2 , cuya función de onda es:

Es cierto que si observamos la posición de la partícula, el estado tiene que colapsar en uno de sus autoestados: | x1  o | x2 . Pero la teoría no aclara por qué solo podemos medir magnitudes que tienen un significado clásico, como la posición o la velocidad. En principio, podríamos definir otras magnitudes para las que el estado anterior fuera un autoestado. ¿Por qué no podemos medir esas magnitudes? En este punto, la interpretación de Copenhague es claramente insatisfactoria.

La interpretación de los muchos mundos

Entre las interpretaciones alternativas a la mecánica cuántica, la que ha alcanzado mayor notoriedad, tanto en el ámbito científico como en el popular, es la llamada «interpretación de los muchos mundos», propuesta por el físico estadounidense Hugh Everett en 1957. En esta perspectiva no hay colapso de los estados. Estos solo evolucionan de una manera: en la forma determinista y suave dictada por la ecuación de Schrödinger. Pero si no hay colapso, ¿por qué una partícula, cuyo estado es | x1  + | x2 , no la vemos en dos sitios a la vez? Siempre la vemos, o bien en x1, o bien en x2, pero no en ambos.

Esta paradoja se resuelve (al menos en parte) cuando tenemos en cuenta que el observador también tiene un estado. Supongamos que el observador es nuestra colaboradora Alice del capítulo anterior, cuyo estado es:

y la partícula es un electrón en un estado de superposición:

El estado del sistema conjunto formado por Alice y el electrón es el producto de los estados de ambos:

que podemos escribir así:

Es decir, el sistema conjunto está en una superposición de dos estados. En el primero, | Alice  | x1 , Alice ve el electrón en la posición x1, y en el segundo, | Alice  | x2 , lo ve en x2. En la hipótesis de Everett, el electrón no colapsa a una de las dos posiciones. Por tanto, ahora coexisten dos mundos. En uno de ellos la investigadora ve el electrón en x1, así que interpreta que ese es el resultado de su medida; pero hay una segunda Alice que lo observa en x2. En cierto modo, el universo entero se ha bifurcado. Los dos universos son iguales en todo, salvo en la percepción de Alice respecto a la posición del electrón.

Seguramente, la discusión precedente recordará al lector el debate acerca del gato de Schrödinger, basta con que reemplacemos el estado del electrón anterior por el estado de un gato en una superposición vivo/muerto. En la hipótesis de los muchos mundos, cuando Alice abre la caja para comprobar si el animal ha sobrevivido, no se produce ningún colapso del gato, sino una bifurcación de universos. En uno de ellos Alice ve el gato vivo y en el otro lo ve muerto. El estado conjunto de Alice y el gato es:

En la teoría de los muchos mundos, el colapso de los estados es una ilusión producida por la bifurcación de universos en todas las alternativas posibles, unida al hecho de que nosotros solo contemplamos uno de esos universos. Más exactamente: cada una de las copias en que nos desdoblamos observa un universo distinto.

El desdoblamiento de universos se produce de manera constante, ya que continuamente estamos interactuando con el mundo que nos rodea; es decir, estamos observando cosas. Esquemáticamente, la línea temporal de Alice tendría un aspecto así:

A cada momento se crean copias nuevas de Alice, que comparten el pasado pero tienen ante sí un futuro diferente; quizá no muy diferente al principio, ya que solo discrepan en el resultado de una observación; pero a medida que pasa el tiempo, lo que sucede en estos universos difiere de forma creciente. Al final, todas las alternativas consistentes con las leyes de la física son realizadas en un universo u otro. Por ejemplo, si usted compra un billete de lotería de Navidad, en el propio acto de hacerlo y en momentos posteriores se crean copias de su yo en un número gigantesco. La mayoría de estos yoes verán que su apuesta falla, pero algunos yoes afortunados verán que les toca el premio gordo. Usted es solo una de las innumerables versiones de su yo. Todas las vidas alternativas que usted hubiera podido vivir se han realizado en alguno de los universos creados a lo largo de su existencia.

Evidentemente, si esta hipótesis es cierta, tiene implicaciones filosóficas y vitales de enorme trascendencia. Por mencionar una positiva, los seres queridos que hemos perdido podrían seguir vivos en otras ramas cuánticas y nosotros, disfrutando de su compañía. Aunque no podemos interactuar con ellos (como quedará claro un poco más abajo), saber que siguen existiendo en otros universos puede servir de consuelo. Por otro lado, nuestra vida entera, con sus éxitos y sus fracasos, queda relativizada, ya que en otras ramas cuánticas discurre por distintos derroteros. Es necesario insistir en que todo esto es una hipótesis, no una teoría comprobada.

Resaltemos también que, cuando hablamos de otros universos, no nos referimos a universos a millones de años luz del nuestro. Son realidades diferentes que coexisten en el mismo tiempo y lugar, igual que las dos versiones del gato de Schrödinger.

Es muy notable que, dieciséis años antes de la propuesta de Everett, el gran escritor argentino Jorge Luis Borges nos brindara una versión literaria de la teoría de los muchos mundos en su encantador relato El jardín de senderos que se bifurcan (1941). Allí leemos: «El tiempo se bifurca perpetuamente hacia innumerables futuros. [...] Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos. En este, que un favorable azar me depara, usted ha llegado a mi casa».

Críticas a la hipótesis de los muchos mundos

La interpretación de Everett de la mecánica cuántica ha cautivado la imaginación de muchas personas, pero ¿qué piensa de ella la comunidad científica? Inicialmente fue prácticamente ignorada hasta que el distinguido físico Bryce DeWitt se adhirió entusiásticamente a ella. Desde entonces ha ido ganando adeptos y, en las encuestas que a veces se hacen entre los participantes en congresos de física, suele quedar en segundo lugar, detrás de la de Copenhague. Pero, naturalmente, esto no significa nada, los físicos pueden estar todos confundidos (y lo han estado muchas veces). El único juez cualificado para decidir el grado de veracidad de una teoría es el experimento y, como veremos enseguida, este aún no ha emitido su veredicto.

Una crítica habitual a la hipótesis de los muchos mundos es que es terriblemente costosa conceptualmente, ya que para eliminar un problema (el colapso de los estados) necesita postular la existencia de un número fabulosamente grande de universos. Pensemos, por ejemplo, que cada vez que un fotón incide sobre una superficie de cristal entra en una superposición reflejado/transmitido. Según la hipótesis de Everett, al contemplar el fotón nosotros mismos nos desdoblamos: una versión de nuestro yo lo ve reflejado y la otra, transmitido. Y un haz de luz contiene trillones de fotones..., todos ellos desdoblándose y desdoblándonos.

En realidad, esta crítica es un poco injusta, al menos desde una cierta perspectiva. La economía conceptual de una teoría no se mide por sus consecuencias sino por sus principios. Y en este sentido la interpretación de los muchos mundos es más económica que la de Copenhague, puesto que se ahorra el postulado más problemático de esta última: el colapso de los estados cuando son observados. Los muchos universos que se crean son una consecuencia de eliminar este postulado, no un postulado en sí mismos. Por otro lado, la afirmación habitual de que el universo se desdobla no deja de ser una manera de hablar. En realidad, sigue habiendo un único universo en el que los sistemas físicos, incluidos usted y yo, evolucionan de forma determinista, gobernados por la ecuación de Schrödinger. Lo que realmente se multiplica son las percepciones de ese universo, o, en otras palabras, las conciencias de los seres que observan.

Una crítica más afilada es la siguiente. Cuando Alice observa el gato de Schrödinger, el estado conjunto de ambos es:

Nos hemos concentrado en la segunda línea de esta ecuación, en la que tenemos dos Alices contemplando el gato vivo y el muerto, respectivamente. Pero igualmente válida (y matemáticamente equivalente) es la primera línea, en la que hay una sola Alice y un gato en la superposición vivo/muerto. ¿Por qué es «mejor» la segunda línea que la primera?

Esta es una pregunta importante y no es trivial de contestar. Una respuesta posible es que nuestros estados de conciencia están asociados a estados del cerebro de tipo clásico, en los que las neuronas y las conexiones nerviosas tienen posiciones bien definidas. En consecuencia, la conciencia de Alice se desdobla en los dos estados con propiedades clásicas bien determinadas, que son los de la segunda línea de la ecuación anterior. Pero esto no deja de ser otra conjetura, en realidad nadie sabe cómo surge la conciencia, lo que es en sí mismo un tema apasionante pero aún sin resolver.

Afortunadamente, hay un mecanismo mucho más robusto para entender por qué se desdobla nuestra conciencia; y que describimos a continuación.

La emergencia del mundo clásico. Decoherencia

El estudio de la decoherencia y sus implicaciones representa uno de los avances teóricos más importantes de los últimos tiempos para la fundamentación de la mecánica cuántica.

Hemos visto que un problema conceptual de la teoría cuántica es entender por qué en el mundo cotidiano no vemos objetos en superposiciones extravagantes: gatos vivos y muertos, objetos en dos posiciones a la vez, etc. En otras palabras, si la naturaleza es cuántica, ¿por qué el mundo ordinario parece clásico? Este problema surge tanto en la ortodoxa interpretación de Copenhague como en la hipótesis de los muchos mundos; de hecho, se trata de una dificultad común a casi todas las interpretaciones de la mecánica cuántica.

La interpretación de Copenhague convencional «resuelve» este problema «por decreto», dictando que solo podemos medir cantidades físicas clásicas, como la posición o la velocidad. Esto es manifiestamente insatisfactorio, ya que parece deseable que la física clásica emerja como una buena aproximación de la cuántica cuando los sistemas físicos son grandes, no que haya que imponerla por decreto como parte del formalismo cuántico.

Por su parte, la interpretación de los muchos mundos intenta resolver el problema eliminando el postulado del colapso; pero, como hemos discutido más arriba, tampoco aclara por sí misma por qué no vemos sistemas físicos ordinarios en esas superposiciones extravagantes.

Afortunadamente, el mecanismo de la decoherencia ayuda a entender por qué sucede así. Imaginemos una silla en una superposición de estados de la posición:

donde x1, x2 son dos posiciones distintas; por ejemplo, en extremos opuestos de una habitación. Por supuesto, jamás hemos visto una silla en una superposición así, y queremos entender por qué. La clave está en que los objetos macroscópicos, como la silla, tienen interacciones constantes con el entorno. Por ejemplo, las moléculas del aire chocan continuamente contra la silla, y también lo hacen los fotones que iluminan la sala. Incluso si apagamos las luces y hacemos el vacío en la habitación, el ambiente contiene fotones no visibles, por ejemplo, fotones infrarrojos asociados a la temperatura de la estancia. Y además están los rayos cósmicos que golpean continuamente la Tierra y la débil radiación de fondo originada en las primeras etapas del universo, la cual permea todo el cosmos. Es extraordinariamente difícil aislar perfectamente un objeto macroscópico de su entorno, sea una silla, un gato o una persona.

La primera consecuencia de esto es que, al no poder considerar la silla aislada del entorno, debemos considerar el estado conjunto de ambos:

Ahora bien, el entorno de la silla en x1 es distinto al de x2, así que es más preciso expresar el estado conjunto como:

Por otro lado, estos dos entornos están cambiando de manera incesante y caótica debido al rápido movimiento de moléculas en la atmósfera y la propia interacción de estas con la silla.

De manera efectiva, es como si la silla estuviera en una superposición caótica; es decir:

donde a, b son coeficientes que varían rápidamente con el tiempo y sobre los que no tenemos ningún control.[6]

La consecuencia es que nuestra ignorancia acerca del estado de la silla ha aumentado debido al efecto caótico del entorno. No podemos saber si el estado es | x1  + | x2  o | x1  – | x2  (o uno intermedio cuando los coeficientes a, b toman otros valores). Lo único que sabemos es que tiene una parte de | x1  y otra de | x2 . Matemáticamente, todo funciona como si la silla estuviera en una de esas dos posiciones, pero ignoráramos en cuál de ellas. Una situación así es la que en el capítulo anterior definimos como una mezcla estadística, que expresábamos de esta manera:

El fenómeno que acabamos de describir se denomina decoherencia. Podemos decir que la decoherencia es la interacción de un sistema físico con el entorno, la cual tiene el efecto de «degradar» la superposición original pura, | x1  + | x2 , convirtiéndola en una superposición caótica que en la práctica funciona como una mezcla estadística:

Pero esa mezcla estadística es precisamente de estados con una posición bien definida, | x1  y | x2 , que podemos denominar «estados clásicos», ya que corresponden a una situación clásica: la silla en x1 o en x2. Por tanto, son los efectos del entorno los que «seleccionan» los estados clásicos como los estados visibles, en detrimento de superposiciones extrañas. En la práctica, esto significa que es extraordinariamente difícil, por no decir imposible, contemplar sistemas macroscópicos, como una silla, en tales superposiciones.

La decoherencia tiene una enorme importancia para entender por qué el mundo macroscópico presenta el familiar aspecto clásico, a pesar de ser cuántico en sus entresijos. Esto vale tanto para la interpretación de Copenhague como para la interpretación de los muchos mundos.

Sin embargo, es preciso prevenir de algunos errores frecuentes respecto a la decoherencia. Muchas veces se lee que los efectos de la decoherencia resuelven el problema de la medida en la interpretación de Copenhague. Ya no haría falta postular el colapso de los estados cuando los observamos. La decoherencia se encargaría de realizar ese trabajo llevando un estado inicial desde una superposición, | x1  + | x2 , a una mezcla estadística, { | x1 , | x2  }, donde simplemente ignoramos la verdadera posición del objeto, ignorancia que resolvemos al realizar la medida.

Esta visión es incorrecta. La realidad es que, a pesar de los efectos de la decoherencia, la silla sigue sin estar en una posición definida. Las dos posibilidades (silla en x1 y silla en x2) siguen coexistiendo, a menos que admitamos que al observarla se produzca el colapso de su estado en una de las dos posiciones. La decoherencia nos permite entender que solo podemos observar sillas con una posición definida, y no en extrañas superposiciones, y eso es un gran avance teórico, pero no explica por qué solo una de las posiciones sobrevive en el mundo real.

El fenómeno de la decoherencia es algo más que una especulación teórica, se trata de algo verificable experimentalmente en el laboratorio. De hecho, como veremos en el capítulo 15, la decoherencia es una maldición para los computadores cuánticos, ya que tiende a degradar las superposiciones de estados, que son el corazón de esta tecnología incipiente. Sin embargo, la decoherencia es una bendición para la interpretación de los muchos mundos, ya que permite resolver las ambigüedades que encontrábamos en la sección anterior. Para ver esto, volvamos a nuestra colaboradora Alice que contemplaba el gato de Schrödinger. Recordemos que el estado conjunto de ambos era:

Ahora sabemos que esta superposición se degrada a causa de la decoherencia, y se convierte en una mezcla estadística de los estados con significado clásico, que en este caso corresponden al gato vivo y al gato muerto:

Por tanto, la conciencia de Alice se desdobla en dos: una observa el gato vivo y la otra, el muerto. No hay una Alice que observa el gato en una superposición vivo/muerto porque esa superposición se ha degradado. La ambigüedad inicial queda así resuelta. Indudablemente, el fenómeno de la decoherencia aporta mucha consistencia a la versión de los muchos mundos de la mecánica cuántica.

¿Comunicación entre mundos paralelos?

Si se acepta la posibilidad de que la teoría de los muchos mundos sea la interpretación correcta de la mecánica cuántica, surgen muchas preguntas. Una de las más importantes es la siguiente: ¿se pueden comunicar los seres que habitan los mundos diferentes que se crean a cada momento? ¿Podría comunicarse la Alice que ve el gato vivo con la que lo ve muerto?

La respuesta resumida es «no», y el motivo son los efectos de decoherencia que acabamos de describir. El hecho de que el sistema de Alice y el gato se encuentre en una mezcla estadística de estados

significa en la práctica que los dos mundos creados evolucionan de manera independiente, sin afectarse el uno al otro. El tiempo que tarda un sistema macroscópico (como el gato o el cerebro de Alice) en pasar de una superposición a una mezcla estadística es extremadamente corto, del orden de trillonésimas de segundo. Este es el llamado «tiempo de decoherencia». A partir de este momento no hay esperanza de que lo que sucede en un mundo pueda afectar al otro, aunque ambos estén existiendo en el mismo sitio y al mismo tiempo.

No obstante, la pregunta es importante porque, aunque sea inviable con la tecnología actual, en principio sería posible detectar que las dos Alice han sido creadas, gracias a la interferencia entre los dos mundos durante el brevísimo tiempo de decoherencia. Y el solo hecho de que esto sea posible significa que la teoría de los muchos mundos no es una mera reformulación «romántica» de la convencional interpretación de Copenhague. Significa que son teorías diferentes y que por tanto una de las dos interpretaciones tiene que ser incorrecta (¡o quizá las dos!).

Hasta que el experimento pueda decidir entre ellas, podemos permitirnos soñar con la existencia de mundos paralelos.

12

Teleportación

En este capítulo analizamos tres conceptos que aparecen a menudo en historias de ciencia ficción: comunicación más rápida que la luz, clonación y teleportación. Veremos que, como suele pasar, una cosa es la ficción y otra la realidad. No obstante, en algunos aspectos la realidad que nos descubre la física cuántica puede ser aún más extraña que la ficción.

¿Comunicación superlumínica?

En el capítulo 10 revisamos el artículo de Einstein, Podolski y Rosen en el que demostraban que la mecánica cuántica viola los principios de realismo y localidad. Vamos a centrarnos ahora en este último principio, según el cual ninguna información o influencia puede viajar más rápido que la luz.

Recordemos la esencia del argumento EPR con nuestro ejemplo de las bolas de colores. Entregamos a Alice y a Bob sendas cajas con una bola en su interior:

Una de las bolas es blanca y la otra, negra, y se encuentran en un estado entrelazado:

de forma que no podemos asignar un estado a la bola de Alice sin hacer referencia al de la de Bob, y viceversa. En un momento dado, Alice abre su caja y observa el color de su bola. Esto provoca el colapso del estado. Por ejemplo, si ve que esta es blanca, el colapso es de la forma:

Ahora (y solo ahora) la bola de Bob adquiere repentinamente un color definido (negro) como consecuencia de la acción de Alice. Esta es la acción instantánea a distancia que repugnaba a Einstein.

¿Por qué le repugnaba tanto? Desde luego, el axioma de que ninguna influencia puede transmitirse más rápido que la luz es un ingrediente central de la teoría de la relatividad especial, uno de los mayores logros de Einstein, y una teoría científica corroborada hasta la saciedad en todo tipo de experimentos. Pero el rechazo de Einstein no era por orgullo personal (al menos, no solo). Es que la comunicación superlumínica implica contradicciones lógicas.

Es habitual afirmar que dos hechos, A y B, han tenido lugar a la vez y en sitios diferentes. Por ejemplo, «cuando salía por la puerta de casa (suceso A), el reloj del ayuntamiento dio la una del mediodía (suceso B)». Normalmente, este tipo de afirmaciones son solo aproximadas; pero, incluso si los sucesos son exactamente simultáneos, esta simultaneidad no es absoluta, sino que depende del observador que los contempla. Esta es una de las lecciones de la teoría de la relatividad. Si el observador se mueve con una cierta velocidad respecto a los sucesos A y B (por ejemplo, un avión que cruza el cielo justo en ese momento), percibirá que uno de ellos ocurre antes que el otro; por ejemplo, el suceso A antes que el B. Un segundo avión moviéndose en sentido opuesto vería que el suceso B ocurre antes que el A. Por supuesto, para hechos cotidianos, estas desviaciones de la simultaneidad son ínfimas y podemos ignorarlas, pero en el laboratorio se han confirmado una y otra vez. Por tanto, si dos sucesos son simultáneos, uno no debería influir en el otro. Si lo hiciera, habría observadores que percibirían que un suceso futuro influye en uno del pasado, algo absurdo. Sin embargo, esto es lo que parece sucederle a nuestro estado entrelazado: las acciones de Alice influyen instantáneamente en el estado de la bola de Bob.

La estructura de la mecánica cuántica es tan extraña que, aunque permite esta violación del principio de localidad, a la vez impide que esta sea usada para enviar información útil de forma instantánea. Volviendo a nuestro ejemplo anterior, aunque el estado de la bola de Bob ha cambiado instantáneamente debido a la acción de Alice, Bob no tiene ninguna manera de saber que esto ha sucedido.

Para entenderlo mejor imaginemos que Alice y Bob están alejados a extremos opuestos del sistema solar, es decir, a 9.000 millones de kilómetros, una distancia que la luz tarda algo más de ocho horas en recorrer. A las 12.00, hora española, Alice abre su caja y encuentra que su bola es blanca. Instantáneamente, la bola de Bob pasa a ser negra sin ambigüedades. Un minuto después, a las 12.01, Bob abre su caja y encuentra que, efectivamente, su bola es negra. Alice ya sabía esto con antelación (desde las 12.00), pero no ha podido comunicárselo a Bob. Aunque le hubiera mandado un mensaje por radio, habría tardado ocho horas en llegar. Por tanto, cuando Bob se dispone a abrir su caja a las 12.01 no tiene forma de saber que su bola ya es negra sin ninguna ambigüedad. Al abrirla, Bob comprueba que, en efecto, lo es; pero no puede deducir nada a partir de esta observación. No puede decir: «¡Ajá!, mi bola es negra, luego Alice ya ha abierto su caja y ha encontrado que su bola es blanca». Si este razonamiento fuera correcto, Bob estaría recibiendo información a velocidad superlumínica, ya que Alice había abierto su caja solo un minuto antes, en el otro extremo del sistema solar.

Pero este razonamiento no es correcto. Si Alice no hubiera abierto su caja, Bob podría perfectamente encontrar que su bola es negra; habría una probabilidad del 50 % de que esto sucediera. Por tanto, Bob no puede deducir nada a partir del hecho de que su bola sea negra: ni que Alice ha abierto su caja ni que no la ha abierto. En otras palabras, el entrelazamiento de las bolas no sirve para que Alice y Bob establezcan comunicación superlumínica.

Es interesante (y algo mareante) describir cómo contemplaría la secuencia anterior un observador que se moviera a gran velocidad respecto a nuestros dos científicos, de forma que para él el orden de los acontecimientos fuera el inverso. Como hemos recordado arriba, la teoría de la relatividad nos ha enseñado que esto es posible (cuando los sucesos son casi simultáneos). Para ese observador, el primero en abrir la caja es Bob, digamos que a las 11.59. Y un minuto después, a las 12.00, lo hace Alice. Por supuesto, el observador ve que Bob encuentra una bola negra y Alice, una blanca, pero interpreta los hechos de una manera distinta. Para él es Bob quien, al abrir su caja a las 11.59, produce el colapso del estado en la forma:

Así que cuando Alice, un minuto después, se dispone a abrir la suya, la bola del interior ya tiene un color definido (blanco), solo que Alice no tiene forma de saberlo.

Todo esto parece un juego del gato y el ratón, como pasa a menudo con la física cuántica; pero, aunque distintos observadores interpreten lo sucedido de forma diferente, esa ambigüedad no conduce a ninguna contradicción lógica.

Se podría pensar que con un montaje más complicado sí sería posible enviar señales instantáneas de Alice a Bob, pero puede demostrarse rigurosamente que es imposible. Aunque el entrelazamiento implica que la actuación sobre uno de los dos estados modifica instantáneamente el otro, este fenómeno no conlleva ninguna influencia que pueda utilizarse para enviar información. Cuando Alice y Bob se juntan es cuando constatan que ha existido una conexión superlumínica entre las medidas que han efectuado cuando estaban alejados, pero dicha conexión era invisible para cada uno de ellos por separado.

Resulta asombroso que, aunque la mecánica cuántica no fue «diseñada» para respetar el principio relativista que prohíbe la comunicación instantánea, el hecho es que, a pesar de las apariencias y de estos extraños entrelazamientos, lo respeta.

Clonación

En muchos relatos de ciencia ficción se realizan clonaciones de seres humanos, es decir, copias exactas de ellos. Esto conduce a situaciones divertidas; por ejemplo, los dos humanos resultantes reclaman ser el verdadero original ya que ambos tienen exactamente los mismos recuerdos en su cerebro. Por supuesto, con la tecnología actual es imposible imaginar una «proeza» semejante (dejando al margen que fuera deseable). Pero ¿sería posible en principio?

Podemos plantearnos un objetivo mucho más modesto: clonar el estado cuántico de una partícula. Para simplificar más las cosas, consideremos un electrón, cuyo espín tiene dos estados posibles | ↑  y | ↓ , correspondientes a las situaciones de giro:

El estado de espín más general posible es una superposición arbitraria de ambos estados:

y hay infinitas posibilidades, dependiendo del valor relativo de los coeficientes a y b.

La pregunta que nos hacemos es la siguiente: si tenemos un electrón en un estado | ψ  cualquiera:

¿es concebible una «máquina copiadora» que prepare un segundo electrón en un estado idéntico, | ψ ?

Para ser más concretos, supongamos que el segundo electrón, donde se va a realizar la copia, está inicialmente en el estado | ↑ . Entonces, la tarea de nuestra copiadora de estados es la operación:

Sin duda, copiar el estado de un simple electrón es una tarea mucho más modesta que copiar un complejísimo ser humano. Aun así, puede demostrarse rigurosamente que es imposible. Esto es lo que se conoce como el teorema de la no-clonación.

Por tanto, no hay esperanza de clonar un ser humano en un sentido estricto, es decir, producir una copia idéntica y en un estado idéntico al original, ya que ni siquiera es posible para un simple electrón. Sí es factible, sin embargo, producir copias imperfectas. Para un electrón esta clonación imperfecta se puede llevar a cabo en experimentos concretos o en un ordenador cuántico. En el caso de los humanos, estamos lejísimos de poder realizar un hecho semejante, aparte de las consideraciones éticas que pudiera suscitar.

Hagamos una precisión final. Si conociéramos el estado | ψ  que queremos copiar, entonces sí sería posible «preparar» una segunda partícula en ese mismo estado, al menos en principio. En este sentido, habríamos copiado el estado. Sin embargo, el proceso de preparación es distinto dependiendo del estado | ψ  que se quiere copiar. Por tanto, ninguna máquina puede realizarlo si no se cuenta con esa información previa.

Alguien (por ejemplo, nuestra astuta fiscal de otros capítulos) podría argüir: «Entonces sí se puede construir una máquina copiadora de estados, que funcionara en dos etapas. En la primera medimos el estado de la partícula, | ψ . Una vez conocido, en la segunda etapa preparamos otra partícula en ese mismo estado». Sin embargo, esto no es posible; no se puede medir el estado de una partícula, solo se pueden medir magnitudes físicas (posición, velocidad, espín, etc.). Y esas medidas proporcionan siempre una información parcial acerca del estado de la partícula, no la información completa que necesitaríamos. Por ejemplo, una partícula puede encontrarse en el estado

donde a y b son coeficientes desconocidos. Ahora podemos medir el espín de la partícula (más exactamente, su componente vertical). Sabemos que el resultado será ↑ o ↓ con una probabilidad que depende de la magnitud relativa de a y b. Pero no podemos, a partir de esa medida, deducir el valor de a y b. Por ejemplo, si obtenemos ↑, sabemos que a es distinto de cero, pero no podemos saber nada más acerca de su valor. Además, tras el proceso de medida, el estado inicial ha cambiado, debido al fenómeno del colapso:

Y el nuevo estado, | ↑ , no conserva ninguna memoria de cuál era el estado inicial. La información acerca del valor de a y b se ha perdido durante la medida. ¡Parece como si la estructura de la mecánica cuántica estuviera diseñada de forma malévola para que no podamos acceder a toda la información inherente a un sistema físico, aunque sea una simple partícula! Esa obstrucción impide que se pueda construir una máquina copiadora en la práctica.

Merece la pena mencionar que si fuera posible construir una máquina copiadora de estados, entonces sí podrían diseñarse experimentos en los que se produciría comunicación superlumínica. Así que, en la estructura de la física cuántica, todo está sutilmente conectado (de una forma perversa, si se quiere); en este caso, la imposibilidad de la comunicación superlumínica y la imposibilidad de la clonación. Dentro de poco veremos que ambos conceptos están también relacionados con la teleportación.

Teleportación

La teleportación o teletransporte se hizo popular en la serie de televisión Star Trek, de la década de 1960, mucho antes de que se contemplara esa posibilidad en el contexto de la física cuántica, en 1993. En realidad, la famosa serie tampoco fue la primera en considerar la idea, ya que esta aparece en muchos relatos de ciencia ficción del siglo XX, como Diarios de las estrellas, de Stanislaw Lem, o La máquina desintegradora, de Arthur Conan Doyle. En Star Trek, las personas teletransportadas eran primero «desmaterializadas» y luego engullidas por un rayo de luz o «energía» (no quedaba muy claro el significado de esto en la ficción), el cual era enviado a una nave o planeta distante, donde la persona era reconstruida. Es curioso que la idea de teletransportar a los viajeros espaciales en la producción televisiva surgiera como una forma de ahorrar dólares: resultaba mucho más barato simular la desaparición y aparición de una persona entre efectos de luz que construir maquetas de naves espaciales aterrizando en planetas lejanos. En cualquier caso, la idea tuvo éxito y, con variaciones, aparece en muchas películas y relatos de ciencia ficción.

Pasando de los sueños a los hechos, la teleportación cuántica es un fenómeno real y asombroso, aunque algo diferente de la ficción cinematográfica. En primer lugar, hay que dejar claro que no se ha conseguido teleportar ningún objeto macroscópico (mucho menos una persona). De hecho, ni siquiera se ha intentado, dada la extraordinaria complejidad técnica que un proceso así conllevaría, como quedará claro más adelante. Sin embargo, sí se han teleportado partículas en situaciones muy diversas, y siempre con resultados acordes con las predicciones cuánticas.

En segundo lugar, la teleportación cuántica no significa enviar la materia que compone un objeto de un punto a otro. La materia permanece en su sitio. Se parece más a un envío por fax o correo electrónico, donde no es la hoja de papel impresa la que viaja, sino la información que contiene. Imprimiendo dicha información en el punto de destino sobre una hoja en blanco, se crea un documento físico idéntico al original. En la teleportación, la información que se transmite es el estado cuántico de la partícula, | ψ , el cual «se imprime» en otra partícula que ya existía en el punto de destino (el equivalente a la hoja en blanco anterior).

Dicho así, no parece que la teleportación sea algo extraordinario. Al fin y al cabo, si Alice conoce el estado de la partícula de origen, | ψ , puede transmitir esa información a Bob por medios convencionales; por ejemplo, enviándole un email. Y Bob podrá manipular su partícula para ponerla en el mismo estado, | ψ , Sin embargo, esto no es posible en la práctica, ya que, como hemos visto en la sección anterior, no se puede medir el estado de una partícula. Alice no tiene forma de conocer cuál es el estado de su partícula (solo parcialmente), por lo que no puede darle a Bob las instrucciones precisas para que ponga la suya en el mismo estado. Sin embargo, a pesar de esta dificultad, resulta que sí es posible teletransportar un estado, como vamos a ver.

Una diferencia importante con el caso del documento enviado por fax o email es que la teleportación cuántica requiere que el estado transmitido, | ψ , sea borrado de la partícula original. Si no fuera así, la teleportación funcionaría como una máquina copiadora de estados, lo que sabemos que es imposible. En ese sentido, la teleportación cuántica se parece más a la ficción de Star Trek, donde antes de teletransportar había que «desmaterializar» a la persona en cuestión. Esquemáticamente, las situaciones inicial y final en la teleportación cuántica son las siguientes:

La bola negra representa la partícula en el estado | ψ  que queremos teletransportar, digamos:

donde a y b son dos coeficientes (normalmente desconocidos). La bola en blanco representa una partícula en un estado que no tiene nada que ver con | ψ . Como veremos, el aspecto más peculiar y fascinante de la teleportación cuántica es que, aunque requiere algo de comunicación por medios convencionales, la mayor parte de la información se transmite de manera instantánea y sin la ayuda de ningún medio físico, gracias a la magia del entrelazamiento.

A continuación, exponemos de forma gráfica los pasos que conlleva este extraño proceso.

En primer lugar, hay que preparar a Alice y a Bob para la operación que van a realizar. Para ello se crea un estado de dos partículas entrelazadas y se distribuye una a cada investigador:

Estas dos partículas no tienen nada que ver con la partícula cuyo estado vamos a teleportar; son puramente auxiliares, por eso las hemos coloreado en blanco. Supondremos que están en el estado entrelazado:

(otras posibilidades también servirían). Este reparto de partículas inicial se puede hacer con toda la antelación que se desee, siempre que se mantenga el entrelazamiento entre ellas. Dicho entrelazamiento implica que si Alice realiza alguna acción sobre su partícula, la de Bob se verá también afectada. Pero de momento Alice no hace nada, hasta que un día dispone de otra partícula, cuyo estado | ψ  desea teleportar (coloreada en negro):

Entonces Alice actúa sobre su partícula «blanca», entrelazándola con la que quiere teleportar. Esto se puede conseguir permitiendo una interacción controlada entre ambas:

Debido al entrelazamiento inicial entre Alice y Bob, esta acción se deja sentir de forma instantánea en la partícula de Bob, que sufre una alteración. Y la forma de esa alteración depende de cuál es el estado de la partícula negra, | ψ . Esto es muy importante, significa que ahora el estado de la partícula de Bob «sabe algo» acerca del estado de la partícula negra. Por otro lado, la partícula negra también se ha alterado, puesto que se ha entrelazado con la blanca. Ya no está en el estado | ψ  puro. Podemos decir que la información acerca del estado inicial de la partícula negra está ahora repartida entre las tres partículas entrelazadas:

Para terminar, tenemos que romper el entrelazamiento. Para ello, Alice mide el espín de sus dos partículas. Cada una de ellas pasa a estar en un estado puro (| ↑  o | ↓ ). Estos nuevos estados no guardan ningún recuerdo del estado inicial de la partícula negra. No hay rastro en ellos del valor de los coeficientes a y b que definían el estado | ψ . Así que, después de esta medida, las dos partículas de Alice debemos colorearlas en blanco:

Por tanto, toda la información acerca de | ψ  la posee Bob... ¡y todavía Alice no le ha comunicado nada por métodos tradicionales! La transferencia de información se ha producido de manera instantánea, gracias al entrelazamiento. Sin embargo, la partícula de Bob no está aún en un estado idéntico a | ψ . Si lo estuviera, habríamos transmitido información útil a mayor velocidad que la luz, y sabemos que eso es imposible.

Entonces ¿en qué estado ha quedado la partícula de Bob? La respuesta es: «depende de cuál haya sido el resultado que haya obtenido Alice al medir el espín de sus dos partículas». Para cada partícula hay dos resultados posibles, ↑ o ↓, así que en total hay cuatro combinaciones:

Como decimos, el estado en el que ha quedado la partícula de Bob depende de cuál de estas posibilidades se ha materializado, algo imposible de saber a priori, pues todas tienen la misma probabilidad. De hecho, en uno de los cuatro casos, concretamente en el segundo, la partícula de Bob queda exactamente en el estado | ψ  que se desea transmitir. Así que, si Alice obtiene ↑ ↓ como resultado de sus medidas, la teleportación se produce de forma instantánea y completa, sin ninguna señal o «rayo de luz» enviado desde Alice hasta Bob. En este sentido, es mucho más asombrosa que la que tiene lugar en la ficción de Star Trek. El problema es que Bob no tiene manera de saber que Alice ha obtenido ↑ ↓. Alice se lo tiene que comunicar, y esto ha de hacerlo por métodos convencionales (por ejemplo, mandando un mensaje de texto a Bob en el que le informe del resultado de su medida).

¿Y qué pasa en los otros tres casos: ↑ ↑, ↓ ↑, ↓ ↓? El estado de la partícula de Bob no es el inicial de la partícula negra, pero casi lo es. Solo falta realizar sobre él una rotación adecuada que lo dejará exactamente en el estado | ψ ... pero la forma de esa rotación depende de cuál haya sido el resultado de las medidas de Alice.

Así que, en los cuatro casos, Alice debe comunicar a Bob el resultado de su medida, y así Bob podrá actuar en consecuencia para colocar su partícula exactamente en el estado | ψ . Esto concluye el proceso de teleportación:

Los lectores pueden pensar: «Al final, ha habido que transmitir información por medios convencionales, así que no es algo tan asombroso; se parece al documento que enviábamos por email y luego era impreso en destino». Pero no es lo mismo. Aquí Alice tiene que transmitir un mensaje muy escueto: el resultado de su medida. Esto lo puede hacer enviando dos bits de información. Si representamos el resultado ↑ con un 0 y el resultado ↓ con un 1, el mensaje de Alice se reduce a uno de estos cuatro:

Sin embargo, la información que recibe Bob es en realidad infinita, ya que, dependiendo de los valores de a y b, hay infinitos estados iniciales posibles:

pero solo uno de ellos es el que realmente tenía la partícula negra inicial. Si quisiéramos mandar esta información por métodos puramente convencionales (como un email), tendríamos que emplear infinitos bits para precisar exactamente los valores de a y b con todas sus cifras decimales. Incluso si no requerimos precisión infinita, habría que enviar muchos bits. Sin embargo, a Alice le basta con mandar dos bits elementales para que Bob reconstruya | ψ  con total fidelidad. Es como si para enviar un documento de mil páginas que ocupara muchos megabites, nos bastara con mandar un SMS cuyo contenido fueran solo dos números: 00, 01, 10 o 11.

Teleportación en detalle

Para el lector o lectora interesado, vamos a precisar los pasos del proceso de teleportación anterior.

Empezábamos con un estado entrelazado de las dos partículas auxiliares:

donde, como siempre, los subíndices A y B significan partícula de Alice y de Bob. Por otro lado, el estado de la partícula a teleportar es:

donde el subíndice A’ significa que esta partícula se encuentra en el lado de Alice. Por tanto, el estado inicial conjunto de las tres partículas es:

Después de la maniobra de entrelazamiento que realiza Alice con sus dos partículas, el estado conjunto se enreda aún más y pasa a tener este aspecto (nos limitamos a dar el resultado):

Vemos que ahora es una superposición de cuatro estados. En el siguiente paso, Alice mide el espín de sus partículas, lo que provoca que el estado conjunto colapse en uno de ellos. Por ejemplo, si mide ↑ en la partícula A’ y ↓ en la partícula A, el colapso se produce sobre el primer estado:

En este caso concreto, para el que hay una probabilidad del 25 %, el estado de la partícula de Bob, a | ↑  + b | ↓ , es exactamente igual a | ψ , por lo que la teleportación se ha realizado con éxito, tal como anticipamos. Supongamos, sin embargo, que Alice obtiene un resultado distinto, por ejemplo ↑ ↑. Entonces el colapso se produce sobre el tercer estado:

por lo que la partícula de Bob ha quedado en el estado a | ↓  + b | ↑ , que es casi igual a | ψ  = a | ↑  + b | ↓ , excepto que las flechas tienen la orientación invertida. Realizando una rotación adecuada sobre este estado, Bob lo puede convertir en | ψ .

Para las dos posibilidades restantes, ↓ ↓ o ↓ ↑, la situación es análoga y también la forma de proceder de Bob.

El punto importante es que, para que Bob sepa cómo tiene que actuar sobre su estado, necesita conocer el resultado de las medidas de Alice. Por tanto, el paso final es que Alice le comunique a Bob el resultado de esas medidas, para lo cual ya hemos visto que necesita enviarle dos bits de información.

Sueños y realidades

La teleportación cuántica se ha verificado repetidamente en experimentos reales desde 1997, habitualmente usando fotones para las partículas implicadas en el proceso. Actualmente, el récord de distancia a la que se han teleportado fotones es de 1.400 kilómetros, entre un laboratorio en tierra y el satélite chino Micius en 2017. Sobre la superficie terrestre, el récord es de 143 kilómetros, conseguido entre la isla de La Palma y la de Tenerife en 2012 por el grupo de Anton Zeilinger. Con toda seguridad, estos récords serán batidos en el futuro.

Aunque habitualmente se han usado fotones, también se ha demostrado experimentalmente la teleportación con otro tipo de partículas. Esto incluye átomos y grupos de átomos, lo cual es muy interesante puesto que va en la dirección de poder teleportar algún día un objeto macroscópico. No obstante, ese objetivo está aún muy lejano. Por ejemplo, una persona posee unos siete mil cuatrillones de átomos. Para teleportar exitosamente todos ellos necesitaríamos el doble de átomos perfectamente entrelazados y realizar la operación de manera simultánea con todos ellos. Además, la cosa es aún más complicada si tenemos en cuenta que los átomos de una persona están a su vez entrelazados entre sí debido a los enlaces químicos. La dificultad técnica de teleportar todos ellos manteniendo esa estructura es verdaderamente inconcebible.

Por todo ello, podría parecer que la teleportación es una especie de truco de magia cuántico, llamativo pero sin aplicación práctica; pero no es así. Ya hemos visto que la teleportación permite enviar grandes cantidades de información usando muy pocos bits, por lo que puede tener una enorme aplicación en futuras redes de comunicación. Existe una técnica, denominada dense coding, que hace uso de una propiedad semejante a la teleportación. Además, la teleportación tiene gran importancia potencial en la computación cuántica (que examinaremos en el capítulo 15). Concretamente, en los entresijos operativos de un ordenador cuántico puede ser necesario en un momento dado transferir un estado cuántico de una unidad a otra, lo que se puede conseguir gracias a la teleportación. Teóricamente, la teleportación podría usarse incluso para conectar unos ordenadores cuánticos con otros y hacerlos trabajar juntos, aunque estén muy distantes. Otro campo de aplicación de este fenómeno es la criptografía cuántica, que abordaremos en el capítulo 14. No obstante, de momento muchas de estas tecnologías son más proyectos que realidades. Nadie sabe realmente cuáles serán las aplicaciones futuras de la teleportación. Como en el caso del láser, tal vez sea «una solución a la espera de un problema».

13

Bits y qubits

En este capítulo y en los dos siguientes abordaremos el emergente campo de la información y la computación cuánticas. Se trata de tecnologías revolucionarias, aún en el comienzo de su desarrollo, por lo que muchas de sus futuras aplicaciones son todavía una incógnita. De lo que no cabe duda es que su potencial es inmenso y están atrayendo un enorme esfuerzo de investigación e inversión (especialmente desde el sector privado).

Desde el punto de vista conceptual, la noción básica de esta revolución es el qubit, que es la unidad elemental de información cuántica, al igual que los bits (los ceros y los unos que pululan por los ordenadores) son las unidades elementales de información convencional. En este capítulo introducimos el concepto de qubit y sus sutilezas, que exploraremos en los siguientes capítulos.

Bits

Un bit es la unidad básica de información en computación y comunicación. Conviene imaginarlo como un objeto abstracto que puede tomar dos valores: 0 y 1.

Naturalmente, en la práctica un bit es realizado por algún sistema físico que puede estar en dos estados, a los que se asignan esos dos valores. Por ejemplo, los primeros ordenadores almacenaban ceros y unos en las posiciones «abierto» y «cerrado» de interruptores mecánicos; posteriormente, fueron representados por la magnetización (positiva o negativa) de pequeños elementos magnetizables, semejantes a imanes diminutos; en los CD y DVD, correspondían a pequeños abultamientos o depresiones del disco de plástico que eran detectados por un rayo láser; etc. Hoy en día, los unos y ceros de la memoria de un ordenador, un teléfono móvil o un lápiz de memoria se almacenan en un tipo especial de transistores (MOSFET), que pueden adquirir dos configuraciones electrónicas estables, es decir, cargados o no cargados. Por otro lado, en los microprocesadores actuales, compuestos de millones de transistores, los ceros y unos están representados por la presencia o ausencia de corriente eléctrica o voltaje.

Cualquier pieza de información se puede representar con precisión usando un número suficientemente grande de ceros y unos. Por ejemplo, un texto en español se puede codificar asignando un número a cada letra y signo de puntuación. Y esos números pueden expresarse en base binaria, con lo que el texto queda convertido en una larga secuencia de ceros y unos, que puede almacenarse en un lápiz de memoria o en cualquier otro soporte digital.

La tarea de un ordenador digital ordinario es tomar los datos que se le suministran (input), procesarlos y proporcionar un resultado (output). Tanto el input como el output se pueden expresar mediante ceros y unos, es decir, mediante bits. Asimismo, el procesamiento de los datos se realiza a través de programas que manipulan esos bits. Esquemáticamente:

Por tanto, los bits son los ingredientes abstractos básicos que se agitan en cualquier dispositivo electrónico (móviles, ordenadores personales, tabletas, etc.)

A partir de ahora denominaremos con frecuencia «bits clásicos» a estos bits convencionales, para diferenciarlos de los bits cuánticos que introducimos a continuación.

Qubits

El qubit (contracción de la expresión inglesa quantum bit) es la versión cuántica del bit, y representa la unidad básica de información cuántica. Al igual que el bit, se trata de un concepto abstracto que admite muchas realizaciones distintas. Pero para explicar sus sutilezas, lo mejor es empezar describiendo una de ellas.

Pensemos en el espín de un electrón. Recordemos que este puede representarse mediante un vector apuntando en la dirección de avance de un tornillo que rotara de igual forma que la partícula:

En capítulos anteriores hemos llamado | ↑  y | ↓  a los correspondientes estados cuánticos, pero usando la notación habitual de la computación cuántica, los expresaremos también de una forma más abstracta como | 0  y | 1 :

Antes hemos mencionado que algunos de los sistemas tradicionales de almacenamiento de bits se basan en la magnetización de pequeños imanes, y eso es justamente un electrón: un imán diminuto, cuyo campo magnético está orientado en la dirección del espín. Así que el espín del electrón, en sus dos estados posibles, podría representar perfectamente un bit clásico.

Pero la naturaleza del electrón es cuántica, lo que significa que también puede encontrarse en una superposición arbitraria de los dos estados:

donde los coeficientes a y b pueden tomar cualquier valor.

En general, un qubit es un sistema cuántico que puede encontrarse en dos estados, | 0  y | 1 , o en cualquier superposición de ellos, a | 0  + b | 1 . No tiene por qué tratarse del espín de un electrón, aunque este sea un ejemplo paradigmático que se usa a menudo para visualizar ideas. En la práctica hay realizaciones muy diversas de los qubits, como luego veremos.

Conviene insistir en la diferencia esencial entre un qubit y un bit clásico: el qubit no solo puede encontrarse en los dos estados básicos | 0  y | 1 , sino en cualquier superposición de estos. Tiene, por tanto, infinitos estados posibles.

¿Significa esto que un qubit (por ejemplo, un humilde electrón) puede almacenar una cantidad infinita de información? En principio sí, por increíble que parezca, aunque desde luego esta capacidad no se puede usar plenamente en la práctica por diversas razones. Pensemos en la manilla de las horas de un reloj de pared:

Si el reloj está parado, podemos poner la manilla en la posición que deseemos. En principio hay infinitas posibilidades, ya que la aguja se puede girar de forma continua. Por tanto, la manilla de ese reloj puede almacenar infinita información. ¿Podríamos almacenar el Quijote en esa manilla? Efectivamente. Por ejemplo, codificamos primero cada letra del alfabeto con un número, con lo que el texto del libro queda convertido en una larga secuencia de cifras:

Ahora construimos un número entre 0 y 1, llamémoslo Q, simplemente poniendo esa serie de cifras a la derecha de una coma decimal:

Finalmente, colocamos la manilla en un ángulo que sea exactamente una fracción Q de una vuelta completa. Si lo hacemos con exactitud, en la posición de la manilla está almacenado el número Q, y, por tanto, el Quijote:

Naturalmente, esto es imposible de llevar a la práctica, pues requeriría unos niveles de precisión delirantes en la colocación de la manilla. No obstante, la manilla puede colocarse sin esfuerzo en bastantes lugares perfectamente diferenciados, como por ejemplo en las doce horas de la esfera del reloj. Si la manilla se comportara como un bit clásico, tendría solo dos posiciones (las 12 y las 6). Gracias a que puede encontrarse en situaciones intermedias, puede almacenar o representar mucha más información.

Algo parecido sucede con el qubit. En principio puede almacenar infinita información, por lo que podríamos archivar una biblioteca entera en él, pero no es realista pensar que todo ese potencial sea aprovechable en la práctica. No obstante, tiene mucha más capacidad de almacenamiento que un simple bit. Y, como veremos en el capítulo 15, esa mayor capacidad crece de forma colosal cuando, en vez de un solo qubit, se considera una colección de ellos.

Sin embargo, hay una dificultad añadida a la hora de explotar la capacidad de almacenaje de un qubit. Esta surge cuando intentamos extraer la información almacenada. En el caso del reloj de pared, extraemos la información evaluando (normalmente a ojo) la dirección en la que apunta la manilla. En el caso del electrón (nuestro ejemplo de qubit), podemos intentar hacer lo mismo: medir en qué dirección apunta el espín. Pero, debido a los postulados de la mecánica cuántica, sabemos que al medir la componente vertical del espín, solo podemos obtener dos resultados: ↑ o ↓ , o sea, 0 o 1. Además, si por ejemplo obtenemos 0, el estado del qubit colapsará en la forma

con lo que habremos destruido la información que contenía: ya no quedará rastro en el nuevo estado del valor de a y b. Es como si al mirar el reloj de pared anterior, la aguja de las horas saltara hacia arriba (las 12) o hacia abajo (las 6).

Esta parece una dificultad terrible para explotar el potencial de los qubits. Se diría incluso que, al final, un qubit funciona como un aburrido bit, ya que al medirlo solo nos puede proporcionar un 0 o un 1.

Aquí hay que hacer dos matizaciones importantes. La primera es que, mientras no sea medido, esa cantidad ingente de información almacenada en un qubit o una colección de ellos está intacta, y se puede manipular de manera eficiente. En otras palabras, al medir los qubits se pierde información, pero no al procesarlos. La segunda matización es que, como veremos después, existen diferentes formas de medir un qubit; una flexibilidad que resulta enormemente útil en aplicaciones prácticas.

La esfera de Bloch

Hemos dicho repetidamente que los estados | ↑  y | ↓  corresponden a una situación del espín del electrón como la representada en la figura:

Técnicamente, | ↑  y | ↓  son los autoestados de la componente vertical del espín, Sz, como expusimos en el capítulo 10. Ahora podemos preguntarnos: ¿cuáles son los autoestados asociados a otra componente del espín, digamos Sx? Esos estados, a los que podemos llamar | →  y | ← , corresponden a una situación de giro en torno a un eje horizontal:

El punto esencial es que los estados | →  y | ←  se pueden expresar como superposiciones de nuestros estados iniciales, | ↑  y | ↓ . Concretamente:

De hecho, cualquier superposición, a | ↑  + b | ↓ , corresponde a una situación en la que el espín apunta en una cierta dirección:

Esto permite representar todos los estados posibles de un qubit como una esfera, llamada «esfera de Bloch». El estado en el que se encuentra el qubit se indica con una flecha, que va desde el centro de la esfera a un punto de su superficie, y que apunta en la dirección del espín:

Los estados puros | ↑  y | ↓  corresponden al polo norte y polo sur de la esfera de Bloch. Así que, en cierto modo, nuestro qubit es como la manilla del reloj de pared anterior, solo que en vez de moverse por un círculo plano, lo hace en las tres direcciones del espacio. Para un qubit, la «esfera del reloj» es una auténtica esfera. Volviendo a nuestra notación más abstracta: | 0  = | ↑ , | 1  = | ↓ , podemos comparar gráficamente la simplicidad de un bit con la variedad de un qubit:

Vemos que el bit clásico es como un qubit del que solo se aprovechan dos de las infinitas posibilidades que posee. En el laboratorio, y en particular en los ordenadores cuánticos, es posible manipular los qubits, sin medirlos: lo que significa que podemos rotar la flecha que define el estado del qubit de manera arbitraria y con gran precisión. Insistimos, no obstante, en que el verdadero potencial de los qubits se manifiesta cuando se consideran de forma colectiva, como discutiremos en el capítulo 15.

Formas de medir un qubit

Consideremos una vez más el espín de un electrón como nuestro modelo de qubit. Cuando realizamos una medida, se suele entender por defecto que medimos la componente vertical del espín, Sz, por lo que el resultado puede ser ↑ o ↓. Pero nada impide, en principio, que midamos la componente del espín en otra dirección.

Supongamos que nuestro electrón está en el estado

Está claro que si medimos la componente vertical obtendremos ↑ o ↓ con una probabilidad del 50 %. Pero, como vimos en la sección anterior, el estado | →  corresponde a un espín con la componente horizontal Sx perfectamente definida:

Por tanto, si medimos Sx en vez de Sz, el resultado será →, con una probabilidad del 100 %.

Antes dijimos que medir un qubit es como mirar la hora en un reloj de pared perverso que, al ser observado, situara la manilla en las 12 o las 6. Esto es cierto si medimos en la dirección vertical. Pero podemos elegir en qué dirección medimos. Si optamos por la horizontal, entonces el resultado será las 9 o las 3; o, en una dirección intermedia, las 11 o las 5; etc.:

Esta libertad en la forma de medir resulta valiosísima en el campo de la información y la computación cuánticas. La criptografía cuántica, que expondremos en el próximo capítulo, es un buen ejemplo de ello.

Para terminar esta sección conviene expresar la discusión anterior en una notación más abstracta y genérica, aplicable a cualquier realización del concepto de qubit. Recordemos que los estados | ↑  y |↓  los denotábamos alternativamente como | 0  y | 1 :

Análogamente, los estados de espín | →  y | ←  se suelen denominar | +  y | – :

de forma que :

En la jerga de la computación cuántica, los estados iniciales | 0 , | 1  se denominan base computacional o base z. En la esfera de Bloch, que describe todos los estados posibles, ocupan las posiciones norte y sur:

Medir «la componente vertical» del espín, Sz, es equivalente a medir en la base computacional, y esa es la forma de medir por defecto.

Por otro lado, los estados | + , | –  se suelen llamar la base x, o base + –. En consecuencia, medir «la componente horizontal» del espín, Sx, es equivalente a medir en la base + – :

Realización de qubits en el laboratorio

Mucha de la discusión anterior se ha ilustrado con un ejemplo particular de qubit, el espín del electrón. Sin embargo, igual que pasaba con los bits, los qubits admiten varias realizaciones que se han llevado a la práctica con éxito. En principio, cualquier sistema físico que posea dos estados puede servir como qubit. Esto incluye a los propios bits clásicos. Recordemos que un bit clásico se realiza en la práctica por un dispositivo que pueda encontrarse en dos estados, a los que se asignan los valores 0 y 1; por ejemplo, un interruptor abierto o cerrado. Si tenemos en cuenta el carácter cuántico de la naturaleza, los bits también pueden estar en una superposición de sus dos estados, en cuyo caso actúan como qubits de pleno derecho. El problema es que normalmente se trata de realizaciones macroscópicas, como el mencionado interruptor. Hay que recordar aquí que en los sistemas macroscópicos las superposiciones de estados se degradan rápidamente debido a los efectos de decoherencia. Esto los hace inservibles para desempeñar el papel de qubits. En la práctica vemos los interruptores abiertos o cerrados, no en una superposición de ambas posibilidades. Esto les sucede incluso a los microscópicos transistores de los chips electrónicos.

Por tanto, para realizar en la práctica el concepto de qubit hace falta un sistema físico que posea dos estados manipulables a los que se les pueda asignar los estados | 0  y | 1 , y que, además, se pueda aislar convenientemente de los efectos de decoherencia, de manera que las superposiciones de estados a | 0  + b | 1  sean suficientemente estables. Una de esas realizaciones prácticas es el propio espín de un electrón, es decir, el modelo que hemos empleado como guía para ilustrar las sutilezas de los qubits. Se trata de una tecnología denominada quantum dots, que está en desarrollo. También se han utilizado como qubits los espines de núcleos atómicos.

Otra realización práctica importante de los qubits son los fotones y sus dos estados de polarización (equivalentes a sus dos estados de espín). Se han construido ordenadores cuánticos basados en esta tecnología.

Pero, como decimos, en principio cualquier sistema físico con dos estados podría servir como qubit. Por ejemplo, sabemos que los electrones de los átomos tienen un espectro discreto; o sea, las energías asociadas cambian a saltos. Podemos usar dos de esos estados (por ejemplo, el estado más estable y el primer estado excitado) para definir un qubit.

Esquemáticamente:

Es importante que en las manipulaciones que se hagan del átomo, este no se excite a niveles de energía superiores, para que de forma efectiva funcione como un sistema con solo dos estados, | 0  y | 1 , y sus superposiciones.

Esta idea ha sido realizada en la práctica con iones (o sea, átomos cargados), usando las propuestas del físico español Ignacio Cirac y el austriaco Peter Zoller, y es una de las tecnologías más interesantes para crear qubits y manipularlos en un computador cuántico. En un dispositivo así, los qubits (o sea, los iones) están suspendidos en el vacío, donde se mantienen gracias a un campo eléctrico de radiofrecuencia, y en condiciones de vacío y baja temperatura extremos. Para su manipulación se emplea luz láser.

En la actualidad, la mayoría de los ordenadores cuánticos (por ejemplo, los de IBM o Google) funcionan con los llamados «qubits superconductores». En contraste con los iones atrapados o los fotones, los qubits de este tipo tienen un tamaño macroscópico, concretamente las uniones de dos materiales superconductores a bajísimas temperaturas. Allí se forman estados de carga oscilante con energías diversas. Los dos primeros estados hacen las veces de los estados | 0 y | 1  de un qubit. Los materiales superconductores son un raro ejemplo de sistema macroscópico que presenta propiedades cuánticas genuinas.

Por último, mencionemos que se ha explorado la posibilidad de utilizar sistemas cuánticos con tres o más estados, en vez de los dos estados de un qubit. Es lo que se conoce como qutrits o, más genéricamente, qudits.

Como vemos, la variedad de soportes en los que se pueden realizar los qubits es muy notable, casi comparable a la que exhiben las diversas realizaciones de los bits clásicos. Esto subraya el aspecto abstracto del concepto de qubit.

Es posible que usted tenga la impresión de que la ventaja de los qubits frente a los bits es que son capaces de almacenar mucha más información. Esto es cierto, y, como veremos, la ganancia aumenta de forma exponencial cuando se consideran colecciones de qubits. Sin embargo, la diferencia radical con los bits clásicos no reside ahí. Lo revolucionario es que los qubits pueden estar en una superposición de estados y que se pueden entrelazar entre ellos. Estos dos fenómenos, la superposición y el entrelazamiento, son genuinamente cuánticos, no tienen parangón en los bits clásicos, y son los que conducen a una nueva dimensión de la información y la computación, como discutiremos en profundidad en el capítulo 15.

14

Criptografía cuántica

El término «criptografía» está rodeado de un cierto halo misterioso y romántico, que evoca historias de espías durante las dos guerras mundiales o la Guerra Fría. Un ejemplo famoso es el desciframiento del código Enigma utilizado por los alemanes durante la Segunda Guerra Mundial, un hecho que se estima que adelantó dos años el fin de la contienda. Aquel episodio ha sido recreado en la película Descifrando Enigma (2014), en la que un pequeño grupo de hombres y mujeres, expertos en criptografía e ingeniería, y aficionados al ajedrez y a los crucigramas, son capaces de romper el código, liderados por el genial matemático Alain Turing. Por cierto, la película es magnífica, pero contiene errores históricos. El descifrado de Enigma fue inicialmente logrado por el matemático polaco Marian Rejewski en la década de 1930. Aunque los alemanes usaron una versión bastante más sofisticada del código, los conocimientos y procedimientos de Rejewski fueron esenciales para que Turing y sus colegas pudieran desentrañarlo, lo cual, naturalmente, no resta mérito a estos últimos.

Desde luego, la criptografía sigue estando omnipresente en el ámbito militar y de seguridad nacional. No obstante, más allá de historias de espionaje, la criptografía ocupa un lugar crucial y cada vez más importante en el hiperconectado mundo actual, aunque a menudo no reparemos en ello. Cada vez que navegamos por una página de internet en la que aparece un pequeño candado junto al dominio (por ejemplo, al acceder al correo electrónico), todo el flujo de información se realiza de forma cifrada. Los sistemas de mensajería tipo WhatsApp también utilizan el cifrado de mensajes para evitar que puedan ser interceptados por un extraño (e incluso por la propia compañía que ofrece el servicio). Algo parecido sucede cuando realizamos compras o transferencias online, o hacemos pagos con nuestra tarjeta bancaria. Los procedimientos administrativos a través de internet con sistema de firma electrónica también están protegidos por métodos de encriptación frente a la curiosidad de terceros.

En suma, si no fuera por la criptografía, el mundo sería mucho menos seguro y no podríamos aprovechar las ventajas que ofrece la conectividad digital.

Sin embargo, la criptografía clásica, incluso en sus formas más sofisticadas, tiene deficiencias que la hacen potencialmente vulnerable, algo que se hace más peligroso a medida que avanzan las técnicas de pirateo y descodificación. Y es aquí donde la mecánica cuántica tiene mucho que aportar; de hecho, la criptografía es una de las áreas más desarrolladas de la información cuántica.

Resulta irónico que el rápido desarrollo de la computación cuántica (que abordaremos en el próximo capítulo) supone uno de los mayores peligros potenciales para la seguridad de los sistemas actuales de cifrado. Sin embargo, la mecánica cuántica proporciona también la solución, ya que permite el cifrado de mensajes con un nivel de seguridad prácticamente perfecto.

Criptografía clásica

El objetivo básico de la criptografía es el envío de mensajes de un emisor (Alice) a un receptor (Bob), de forma que solo Bob pueda descifrarlos. Es decir, que si un intruso, usualmente denominado Eve, intercepta el mensaje, no pueda descifrar su significado. (El empleo del nombre Eve proviene de su similitud con la palabra inglesa eavesdropper, «fisgón».)

En la Antigüedad ya se usaban métodos de cifrado para mensajes, especialmente en operaciones bélicas. Uno de los más famosos es el llamado «código de César», denominado así por ser Julio César el primero del que hay constancia que lo utilizara. El código de César resulta hoy en día un tanto ingenuo y fácil de romper, pero seguramente esto no era tan obvio en aquellos tiempos. Consiste en desplazar cada letra un número fijo de posiciones dentro del alfabeto. Por ejemplo, si las desplazamos dos posiciones, haríamos la siguiente sustitución:

Así, un texto cualquiera es rápidamente encriptado o «cifrado»:

Mensaje original:

MAÑANA CRUZAREMOS EL RUBICÓN

Mensaje cifrado:

ÑCPCOC ETXBCTGÑQU GN TXDKEQO

Para el receptor es trivial descifrar el mensaje invirtiendo la sustitución anterior.

Por supuesto, desde los tiempos de César la criptografía ha avanzado mucho, y en 1917 se inventó un tipo de codificación imposible de desentrañar, el llamado «cifrado Vernam» o de «cuaderno de un solo uso», desarrollado por el ingeniero estadounidense Gilbert Vernam, aunque ya había sido descrito en 1882 por Frank Miller. En los años cuarenta, el distinguido matemático Claude Shannon demostró la absoluta seguridad del método.

Esto puede resultar un poco chocante. ¿Qué necesidad hay de criptografía cuántica, si ya hay un sistema de cifrado clásico irrompible? Para comprenderlo, debemos explicar primero en qué consiste el cifrado Vernam.

El primer paso consiste es escribir el texto del mensaje como una secuencia de ceros y unos. Como ya se ha dicho, esto es fácil: se numeran las letras y los signos de puntuación, y luego se expresan esos números en sistema binario. Por ejemplo:

De esta forma el mensaje a enviar adquiere el aspecto de una cadena de ceros y unos; por ejemplo:

Mensaje original:

1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 ...

El siguiente paso es crear una clave, que consiste en una secuencia de ceros y unos con dos propiedades cruciales. La primera es que ha de ser perfectamente aleatoria. Esto se puede conseguir de maneras diversas; por ejemplo, arrojando una moneda repetidas veces y anotando las caras como ceros y las cruces como unos. Hoy en día existen generadores de números aleatorios (más exactamente, pseudoaleatorios)[7] suficientemente precisos, que se pueden correr en un ordenador. La segunda condición es que la clave ha de ser, al menos, tan larga como el mensaje a enviar, por ejemplo:

Clave:

1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 ...

Una vez que se dispone de una clave, se construye una tercera secuencia, sumando los dígitos del mensaje y la clave, uno a uno. Cuando el resultado sea 2, se sustituye por un 0. Esto se denomina operación XOR o «suma módulo 2», y se representa por el símbolo ⊕. Más explícitamente:

Sumando el mensaje y la clave anteriores de esta manera obtenemos el mensaje cifrado:

Puede demostrarse rigurosamente que si la clave es una secuencia aleatoria, también lo es el mensaje cifrado. En otras palabras, el mensaje cifrado no «recuerda» nada de la estructura del mensaje original; es una secuencia tan aleatoria como una sucesión de lanzamientos de monedas. Para ilustrar esta propiedad, supongamos que el mensaje original tiene una estructura claramente no aleatoria, por ejemplo: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ... Al añadirle una clave aleatoria, digamos 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 ..., obtenemos una secuencia igualmente aleatoria:

Cualquiera que intercepte este mensaje no podrá descifrarlo a menos que posea la clave. Sin embargo, para el receptor es trivial: solo tiene que restar la clave al mensaje cifrado. De hecho, para la operación XOR la resta es equivalente a la suma; por ejemplo, 1 menos 1 es 0, exactamente igual que 1 ⊕ 1. Así que el receptor puede sumar la clave al mensaje cifrado que ha recibido y recuperará exactamente el mensaje original.

Comprobemos esto con nuestro último ejemplo:

Teóricamente, el método de Vernam funciona a la perfección. Sin embargo, incluso asumiendo que la clave empleada es rigurosamente aleatoria, tiene importantes debilidades, que exponemos a continuación.

Problemas

Un aspecto crucial del cifrado Vernam es que la clave ha de ser una secuencia aleatoria tan larga como el mensaje enviado. Si es más corta, nos vemos obligados a utilizarla más de una vez para codificar el texto completo. En este caso, la secuencia final obtenida (el mensaje cifrado) no es perfectamente aleatoria, contiene redundancias y correlaciones que, en principio, pueden ser aprovechadas por unos criptógrafos astutos para descifrar el mensaje.

Precisamente por ello, una clave solo puede ser usada una vez, o sea, para un solo mensaje. Si se emplea dos veces, es como usarla para codificar un texto más largo que ella, por lo que hay un riesgo de que el mensaje sea descifrado. De hecho, en este caso el riesgo es aún mayor, puesto que los intrusos (Eve) pueden tener una idea de lo que Alice le dijo a Bob en el anterior mensaje, y eso da pistas adicionales para descifrar el nuevo. De ahí que el cifrado Vernam se denomine «cuaderno de un solo uso».

Un ejemplo notable de esta peculiaridad tuvo lugar en los años cuarenta. El servicio de contraespionaje norteamericano interceptaba muchos mensajes cifrados de espías rusos que trabajaban en Estados Unidos extrayendo secretos militares, particularmente relacionados con la construcción de la bomba atómica. El método de encriptación empleado por los rusos era una variante del método de Vernam, por lo que los especialistas americanos no podían descifrarlos... hasta que los rusos empezaron a repetir claves (en aquella época era complicado producir secuencias aleatorias en grandes cantidades). Los americanos aprovecharon el resquicio y descifraron los mensajes. Así descubrieron horrorizados que los rusos habían espiado todo el proceso de fabricación de las primeras bombas atómicas (proyecto Manhattan). También identificaron a muchos espías, aunque en los juicios contra ellos no presentaron los mensajes interceptados como pruebas de la acusación, con objeto de evitar que los rusos supieran que su código había sido roto. De esta forma, algunos espías se libraron de la cárcel.

Volviendo a las debilidades del cifrado Vernam, está claro que al tratarse de claves de un solo uso se plantea un problema: es necesario tener un almacén de claves. Más exactamente: Alice y Bob han de poseer almacenes de claves idénticos. Pero esto es extremadamente peligroso, tanto si las claves se custodian en una caja fuerte como si se guardan en un lápiz de memoria o en un ordenador. Alguien (Eve) podría tener acceso a las claves, con consecuencias desastrosas. Además, las claves se agotarían tarde o temprano y habría que habilitar algún medio para distribuir nuevas claves a los dos interlocutores.

Esto sugiere otra posibilidad: cada vez que Alice deba transmitir un mensaje a Bob, crea una clave nueva que se la hace llegar por algún canal seguro. Pero claro, si existe un canal seguro para enviar la clave, Alice podría usar ese mismo canal para transmitir su mensaje directamente. No hemos ganado prácticamente nada, solo hemos transferido el problema inicial (la transmisión secreta del mensaje) a un problema nuevo (la transmisión secreta de la clave).

Y este es precisamente el problema central de la criptografía: la transmisión o distribución segura de la clave (secure key distribution en inglés).

Otro problema importante es el siguiente: ¿cómo pueden Alice y Bob estar seguros de que nadie ha interceptado el mensaje o la clave distribuida? Independientemente del éxito de la intentona, esto puede ser crucial para detectar ataques a sus vías de comunicación.

Y es precisamente en estos dos puntos esenciales donde la mecánica cuántica ofrece soluciones.

Criptografía cuántica. El protocolo BB84

Existen muchos procedimientos para una distribución segura de la clave usando conceptos de mecánica cuántica, pero el más conocido y usado en la práctica es el llamado «protocolo BB84», propuesto por Charles Bennett y Gilles Brassard en 1984. Fue además el primer protocolo de criptografía cuántica. A continuación, exponemos paso a paso en qué consiste, siguiendo un ejemplo ilustrativo.

Paso 1

El primer paso para crear una clave segura, compartida por Alice y Bob, es que Alice genere una secuencia aleatoria de bits; es decir, unos y ceros. Puede hacerlo arrojando una moneda para decidir el valor de cada dígito. Supongamos que los primeros 10 bits de la cadena generada son:

Paso 2

La idea es que Alice represente estos bits mediante qubits; o sea, que represente los dos valores 0 y 1 por dos estados de un qubit. Para ello puede hacer la siguiente asignación: 0 → | 0 , 1 → | 1 . Esto resulta bastante intuitivo. Pero no hay que olvidar que un qubit puede estar en otros estados; por ejemplo, en los estados | +  y | –  introducidos en el capítulo anterior:

Los estados | + , | –  son tan legítimos como los | 0 , | 1 , simplemente corresponden a direcciones distintas en la esfera de Bloch, donde están representados todos los estados posibles de un qubit:

Así que Alice tiene otra forma alternativa de representar los bits, asignando: 0 → | + , 1 → | – . Llamaremos alfabeto z y alfabeto x a estas dos formas de representar o «escribir» los bits en qubits, y que corresponden a lo que en el capítulo anterior definimos como la base z y la base x:

Paso 3

Alice decide de forma aleatoria qué alfabeto va a usar para «escribir» cada bit en un qubit. Nuevamente, lanza una moneda y, según salga cara o cruz, usa la prescripción del alfabeto z o del alfabeto x para ese bit. Supongamos que el resultado del procedimiento ha sido:

Paso 4

Alice envía los qubits a Bob y este los recibe.

La forma concreta de transmisión depende de cómo hayan sido realizados los qubits. En este contexto suelen utilizarse fotones, por lo que Alice los transmite por el espacio libre o a través de una fibra óptica. Esta comunicación es la única que se realiza de forma «privada» en todo el protocolo (y, por tanto, la fase más delicada). Naturalmente, esa privacidad podría verse estropeada por una Eve que interfiriera los qubits en su viaje entre los dos colegas. En la siguiente sección veremos qué pasa en ese caso. De momento, asumiremos que los qubits enviados por Alice llegan a Bob en perfecto estado.

Un punto importante aquí es que Alice no le dice a Bob qué alfabeto (x o z) ha empleado para escribir cada qubit. Se limita a enviárselos.

Paso 5

Bob «lee» los qubits que ha recibido, es decir, mide cada uno de ellos para ver si corresponde a un 0 o a un 1. Pero, al igual que Alice dispone de dos formas distintas de escribir, el alfabeto z y el alfabeto x, Bob tiene también dos formas de leer (o sea, de medir) usando esos mismos alfabetos: puede medir cada qubit en la base | 0 , | 1  o en la base | + , | – l. Como explicamos en el capítulo anterior, podemos visualizar estas dos alternativas como la medición de la componente vertical u horizontal del espín.

Supongamos primero que Bob lee un qubit con el alfabeto z, y veamos qué puede esperar:

• Si se trata del estado | 0 l, al medirlo obtendrá como resultado 0 con seguridad, ya que | 0 l es un autoestado de la «componente z del espín». Análogamente, si el estado es | 1 l, al medirlo obtendrá 1 con seguridad.

• Si es un estado | + , puede obtener 0 o 1 con una probabilidad del 50 %. Esto es así porque | +  = | 0 + | 1 ; es decir, los dos autoestados de la componente z entran con igual peso (mismo coeficiente) en la superposicion. Lo mismo sucede si el estado es | –  = | 0  – | 1 . El signo « – » en esta superposición no tiene importancia, ya que para las probabilidades lo que cuenta es el cuadrado de los coeficientes y (–1) 2 = 1.

Supongamos ahora que Bob lee el qubit con el alfabeto x:

• Si es un estado | + , al medirlo obtendrá como resultado «+» con seguridad, ya que | +  es un autoestado de la «componente x del espín». Análogamente, si el estado es un | – , al medirlo obtendrá « – » con seguridad.

• Si el estado es | 0  o | 1 , puede obtener « + » o « – » con una probabilidad del 50 %. Para comprender esto, hay que expresar estos estados en términos de | +  y | – . Concretamente:[8]

Como se ve, en ambas superposiciones los dos autoestados de la base x, | +  y | – , entran con idéntico peso.

Podemos resumir las expectativas de Bob al leer un qubit, según el alfabeto que emplee, en la siguiente tabla:

Teniendo en cuenta esto, Bob decide de forma aleatoria (por ejemplo, lanzando una moneda) el alfabeto con que lee cada qubit recibido. Supongamos que la elección y el consiguiente resultado de la lectura han sido:

Paso 6

Siguiendo las prescripciones del alfabeto x, Bob interpreta las lecturas « + » y « – » como bits 0 y 1, respectivamente. De este modo obtiene una cadena de bits:

Como se puede ver, siempre que Alice y Bob utilizan el mismo alfabeto (para escribir y leer, respectivamente), el bit obtenido es el mismo, ya que en esos casos el resultado de la lectura de Bob se da con un 100 % de seguridad. Esta coincidencia de alfabetos se da aproximadamente la mitad de las veces, ya que Bob no tiene ni idea de qué alfabeto ha usado Alice para cada bit. Cuando los dos colegas utilizan distinto alfabeto, hay una probabilidad del 50 % de que, aun así, Bob obtenga el bit que Alice escribió, ya que en esos casos Bob puede leer 0 o 1 con idéntica probabilidad. Sin embargo, Alice y Bob no van a estar interesados en esas coincidencias fortuitas.

Paso 7

Ahora Alice y Bob entran en comunicación convencional; por ejemplo, a través de teléfonos móviles. No hay problema en que otros escuchen lo que se van a decir porque se trata de una comunicación pública. Lo que se comunican de esta forma es el alfabeto que han usado para escribir (Alice) y leer (Bob) cada qubit. No se comunican el resultado de sus medidas en ningún momento, solo el alfabeto empleado. Si alguien los escucha hablar no podrá deducir de ninguna manera el valor de los bits.

En promedio, habrá coincidencia de alfabetos en el 50 % de los casos. Los bits correspondientes son la clave compartida. En el ejemplo que estamos usando, Alice y Bob han usado el mismo alfabeto para los bits primero, segundo, tercero, sexto y noveno. Por tanto, la clave es: 1 0 0 1 0.

Estos son los bits «rescatados» de los primeros diez dígitos. En la práctica, Alice puede enviar cientos o miles de qubits a Bob, de los que aproximadamente la mitad sobreviven al proceso anterior y constituyen la clave compartida. Si no ha habido errores en la transmisión de los qubits, ni en la lectura de los mismos, la clave generada es idéntica para Alice y Bob; y será la que utilice ella para cifrar su mensaje, y la que utilizará él para descodificarlo. Por la forma en que se ha procedido, la clave generada con el protocolo BB84 es perfectamente aleatoria, como se requiere para que el posterior cifrado del mensaje sea irrompible.

Notemos que este protocolo consigue a la vez dos cosas: crear una larga secuencia aleatoria de unos y ceros y hacer que tanto Alice como Bob dispongan de ella. Por tanto, aborda el problema central de la criptografía: la distribución segura de la clave. Gracias a este protocolo, Alice y Bob no necesitan tener un almacén de claves en una caja fuerte: cada vez que necesitan enviarse un mensaje, crean primero una clave secreta siguiendo los pasos anteriores. El uso de la mecánica cuántica para distribuir la clave se conoce genéricamente como QKD (quantum key distribution).

Pero... ¿realmente es un procedimiento seguro? ¿Qué pasa si un intruso interfiere la transmisión de qubits entre Alice y Bob? ¿Podría desentrañar la clave?

El ataque de los fisgones

Supongamos que Eve está interesada en lo que tienen que transmitirse Alice y Bob. En realidad, Alice y Bob todavía no se han enviado ningún mensaje, de momento solo están creando la clave; pero sin ella Eve no podrá descifrar el mensaje posterior que se intercambien. Dado que en el protocolo BB84 toda la comunicación entre Alice y Bob se hace de forma pública, excepto la transmisión de qubits, esta es la fase donde Eve debe intervenir si quiere tener alguna oportunidad de descubrir la clave.

Así que Eve intercepta los qubits mientras viajan de Alice a Bob. Por ejemplo, si son fotones, interpone algún dispositivo para detectarlos y examinarlos. Terminada la operación, los reenvía a Bob, para que este no note que el envío ha sido interferido.

Esta es la idea de Eve. Pero ¿realmente puede llevarla a cabo?

Supongamos que Eve intercepta un qubit. No tiene forma de saber si Alice lo escribió en el alfabeto z, en cuyo caso será | 0  o | 1 , o en el alfabeto x, en cuyo caso será | +  o | – .Recordemos un concepto importante de la mecánica cuántica: no se pueden medir los estados, solo se pueden medir cantidades físicas, y esas medidas dan solo información parcial acerca del estado. Así que Eve no puede determinar completamente qué estado tiene entre manos. Debe limitarse a medir alguna de sus propiedades. Al igual que Bob, tiene dos opciones: leer (o sea, medir) con el alfabeto z o con el alfabeto x.

Para fijar ideas, supongamos que Eve decide leer el qubit en el alfabeto z, y veamos qué puede pasar. (Las conclusiones son exactamente las mismas si decide leer en el alfabeto x).

Qubits | 0 y | 1

Si el qubit fue escrito con el alfabeto z, es decir, si es | 0  o | 1 , todo va a ir perfecto para Eve: al medirlo, obtendrá como resultado 0 o 1 con seguridad. Además, y esto es importante, después de la medida el qubit habrá quedado intacto. Recordemos que, genéricamente, cuando se mide una cantidad física, el estado cambia, colapsando a uno de los autoestados posibles. Pero en este caso, el qubit ya está en un autoestado de la «componente z del espín» (base z), así que se quedará como estaba. Por tanto, Eve no solo habrá leído correctamente el qubit, sino que lo reenviará sin dañar a Bob.

Para estos qubits, la operación de Eve pasa completamente desapercibida. Esto sucederá aproximadamente la mitad de las veces, es decir, el porcentaje de veces que Alice haya usado el alfabeto z.

Consideramos ahora la otra mitad de qubits.

Qubits | + y | –

Si el qubit fue escrito con el alfabeto x, es decir, si es | +  o | – , Eve tiene una probabilidad del 50 % de identificar correctamente el bit que Alice pretende enviar. Veamos por qué. Supongamos que el qubit en cuestión es | + , es decir, representa un bit 0 escrito en el alfabeto x. Dado que | +  =| 0  + | 1  al medir este qubit en la base z Eve puede obtener 0 o 1 con igual probabilidad. En el primer caso, habrá identificado correctamente el bit que Alice quiere transmitir (0); en el segundo caso, la identificación es errónea. Si el qubit en cuestión es del tipo | – , la conclusión es exactamente la misma.

Por consiguiente, de los qubits que Alice envía en la forma | +  o | –  (aproximadamente la mitad), el 50% son correctamente identificados por Eve, lo que supone un 25% del total. El problema es que Eve nunca podrá saber cuál es el 25% que ha identificado correctamente, ya que Alice y Bob nunca hacen públicos los valores de los bits, solo el alfabeto empleado. Por tanto, estos aciertos casuales son completamente inútiles. Si, en vez de interceptar los qubits | +  o | – , Eve decidiera a voleo si cada uno de ellos representa un 0 o un 1, ¡tendría el mismo porcentaje de éxito!

Pero Eve tiene otro problema, aún más grave. Concretamente, para los qubits | +  o | – , la lectura realizada por ella (en la base z) cambia el estado inevitablemente. Por ejemplo, si el qubit es un | +  e Eve mide un 0 en la base z, el estado colapsa en la forma:

Este estado | 0  será el que Eve reenvíe a Bob. Si Bob decide medirlo en la base x (la misma que utilizó Alice para escribirlo), puede obtener « + » o « – » con una probabilidad del 50 %, dado que | 0  = | +  + | – . Recordemos que, si Eve no hubiera intervenido, Bob habría recibido el estado | +  intacto, por lo que al leer en la base x, habría obtenido « + » con seguridad. La misma distorsión se habría producido si Eve hubiera obtenido un 1 en su lectura, colapsando el estado a | 1 .

Así que los qubits | +  y | –  (aproximadamente la mitad) son todos modificados por Eve:

De ellos, la mitad (un 25 % del total) son incorrectamente identificados por Bob, aunque los lea con el alfabeto x.

Quizá piense usted: «Lo que tiene que hacer Eve es no tocar los qubits escritos en la base x (qubits | +  y | – ), ya que no le aportan ninguna información y encima los daña, un hecho que podría ponerla en evidencia». El problema para Eve es que no tiene forma de saber qué qubits han sido escritos en la base x o en la z. Alice aún no ha comunicado esa información absolutamente a nadie. Por tanto, irremediablemente, si Eve se dedica a interceptar qubits, la mitad de ellos estarán en la base x.

Ahora pensemos: cuando no había entrometidos, en los qubits en que Alice y Bob habían utilizado el mismo alfabeto, el bit escrito y el leído coincidían necesariamente. Pero ahora eso se deja de cumplir el 25 % de las veces, debido a la intervención de Eve. Esto permite a nuestros dos interlocutores detectar que están siendo espiados. Para ello, una vez que han terminado el protocolo de creación de la clave, entresacan al azar un número de bits (por ejemplo, cien) que van a utilizar como test. Si no ha habido interferencias, todos ellos deberían coincidir en la lista de Alice y en la de Bob. Dado que las transmisiones no siempre son perfectas, se pueden esperar algunos fallos, digamos un 3 %. Pero si observan que el 25 % de las veces no hay coincidencia, es señal de que los espían, y entonces abortan el proceso.

Si Eve, en vez de interceptar todos los qubits, lo hace solo con una parte, la distorsión que produce es menor, pero también lo es la información que consigue. Se puede demostrar que, utilizando técnicas adicionales estándar, se puede reducir todo lo que se quiera la información accesible para Eve.[9]

En resumen, el protocolo BB84 permite a Alice y a Bob crear una clave aleatoria compartida siempre que necesiten enviarse un mensaje. Si alguien espía su comunicación, apenas podrá extraer información y, lo que es muy importante, ambos detectarán que están siendo atacados.

El protocolo BB84 puede ser automatizado y hay varias compañías que comercializan equipos para su uso en casos reales. En la actualidad, estos sistemas son utilizados para operaciones a nivel de gobiernos o empresas con requisitos de seguridad muy altos. La criptografía cuántica es más cara que la convencional, y esta última parece ser suficientemente segura en la mayoría de los casos. Sin embargo, eso está cambiando. En Estados Unidos, Austria, Suiza, China y Japón se han creado redes de comunicación que permiten distribuir claves cuánticas (QKD networks), y se están creando más en otros países, entre ellos España. La tendencia indica que los procedimientos cuánticos serán cada vez más baratos y estarán más extendidos.

15

Computación cuántica

La criptografía cuántica es un buen ejemplo de cómo las propiedades cuánticas de los qubits pueden ser aprovechadas en la práctica. Pero en la criptografía, los qubits se toman de uno en uno. Su verdadero potencial surge cuando se consideran de forma colectiva, como anticipamos en el capítulo 13. Ese es el reino de la computación cuántica.

La idea de los ordenadores cuánticos surgió a comienzos de los años ochenta. Se suele citar la charla dada por el gran físico Richard Feynman en el MIT de Boston, en 1981, como uno de los momentos fundacionales o inspiradores de este campo de investigación. Feynman afirmó que «la naturaleza es cuántica, maldita sea, así que, si la quieres simular, mejor que sea una simulación cuántica». Feynman se refería al hecho de que el carácter cuántico de la naturaleza habitualmente es demasiado complejo para recrearlo en un ordenador convencional, por lo que solo podría hacerse en un dispositivo que incorporara en su funcionamiento todas las sutilezas de la dinámica cuántica. El interés en este campo creció durante los años noventa, y a ello contribuyó en gran medida el desarrollo teórico de algoritmos cuánticos, que sobre el papel eran mucho más eficientes que los clásicos. Uno de ellos es el conocido como «algoritmo de Shor» (1994), que comentaremos después. A finales de los noventa se construyeron los primeros ordenadores cuánticos, inicialmente de solo dos qubits.

Memoria

Para empezar, vamos a comparar un ordenador convencional («clásico») con uno cuántico en cuanto a las posibilidades de almacenamiento de información.

Consideremos primero un ordenador clásico. Cualquier ordenador portátil posee memorias de billones de bits. Por ejemplo, un terabyte es equivalente a ocho billones de bits. De hecho, un lápiz de memoria ordinario puede almacenar cantidades semejantes de información, algo que aumenta año tras año. Si nos vamos a los grandes ordenadores, el más potente en la actualidad, el superordenador japonés Fugaku, tiene una memoria en disco de 150 petabytes (5 petabytes de memoria RAM, o sea, la memoria operativa para procesos). Cada petabyte son ocho mil billones de bits.

Al lado de esto, los ordenadores cuánticos más potentes tienen del orden de cien qubits. Comparar billones de bits con apenas cien qubits puede parecer una broma a efectos de almacenamiento de información. Pero las apariencias engañan. Para comprender esto, tomemos un caso concreto.

Supongamos que disponemos de dos bits. ¿Cuánta información podemos guardar en ellos? Podríamos, por ejemplo, guardar un número entre 0 y 3, con la siguiente asignación:

Es importante dejar claro que solo podemos guardar un número de esta manera. Si queremos guardar un segundo número (también entre 0 y 3), necesitaremos una segunda pareja de bits.

¿Cuánta información podríamos guardar en dos qubits? Al igual que un qubit puede estar en una superposición a | 0  + b | 1 , un sistema de dos qubits puede estar en una superposición arbitraria de todas las posibilidades para cada uno de ellos, es decir:

Los subíndices 1 y 2 se refieren al primer y segundo qubit, respectivamente. Una notación más compacta para esta expresión es la que sigue:

El punto importante aquí es que a, b, c, d son números cualesquiera. Por tanto, podemos guardar un número arbitrario en cada uno de estos coeficientes. De este modo podemos almacenar cuatro números arbitrarios en un sistema de dos qubits. Hay que darse cuenta de que los números no están almacenados en los ceros y los unos, sino en el valor de los coeficientes de la superposición. De hecho, esos valores no están restringidos a ser 0, 1, 2, 3, sino que son números arbitrarios. Pero, incluso sin tener en cuenta esa mayor flexibilidad, el hecho es que en el sistema de dos qubits hemos almacenado cuatro números, frente al único número almacenado por los dos bits; es decir, un factor 4 de ganancia en el almacenamiento.

Un factor 4 es importante, pero sigue palideciendo frente a los billones de bits disponibles en un ordenador ordinario y los apenas cien qubits de un ordenador cuántico. Sin embargo, la ganancia aumenta de forma exponencial con el número de qubits. Veamos un ejemplo.

Supongamos ahora que disponemos de cuatro bits. Como se ha dicho arriba, podemos usarlos para guardar dos números entre 0 y 3 (dos bits para almacenar el primer número y dos para el segundo). ¿Cuántos números podemos almacenar en cuatro qubits?

Para verlo, escribimos el estado más general en el que se pueden encontrar los cuatro qubits:

Como se observa, hay 16 coeficientes independientes: a1, a2, a3, ... a16. Así que en cuatro qubits podemos almacenar 16 números. Ahora el factor de ganancia es 8 (de 2 números a 16). En general, en N qubits se pueden almacenar 2N números, mientras que en N bits se almacena una cantidad mucho menor (del orden de N).

Por tanto, a medida que aumenta el número de qubits, la capacidad de almacenamiento del ordenador cuántico, y su ganancia respecto al clásico, se dispara de forma exponencial. La memoria del superordenador clásico Fugaku es igualada por la capacidad de 60 qubits. No perdamos de vista tampoco el tamaño físico de estas máquinas. El superordenador Fugaku ocupa el equivalente a tres pistas de tenis, mientras que el ordenador cuántico más potente de la actualidad (el Eagle de IBM, con 127 qubits) tiene el tamaño de una moneda (aunque el sistema para mantenerlo a una temperatura muy baja ocupa bastante más):

Por supuesto, tanto los superordenadores como los ordenadores cuánticos son cada vez más potentes, pero esta carrera no pueden ganarla los ordenadores clásicos. Imaginemos que el proceso de miniaturización al que nos tiene acostumbrados la industria informática alcanza su límite físico, que sería almacenar un bit en cada átomo de silicio. El silicio es un elemento muy abundante, el segundo más abundante en la corteza terrestre (después del oxígeno), y representa el 20 % de esta. Si consideramos la corteza terrestre hasta una profundidad de 20 kilómetros, resulta que hay unos 4 trillones de toneladas de silicio en ella, que contienen 4 septillones de átomos. (Un septillón es un 1 seguido de 42 ceros, o sea, un trillón de cuatrillones.) Esos serían los bits almacenados por este superordenador supremo. Pues bien, esa capacidad de almacenamiento es igualada por un ordenador cuántico de 143 qubits. ¡No estamos tan lejos! (probablemente cuando usted lea estas líneas ya se haya conseguido). Esta es la magia del crecimiento exponencial. Un ordenador cuántico de 273 qubits tendrá más memoria que átomos tiene el universo observable.

Todo esto suena fabuloso, pero hay que hacer dos matizaciones muy importantes. La primera es que, aunque un sistema de qubits puede almacenar esas cantidades formidables de información, a la hora de extraerla se pierde casi toda. Recordemos que al medir un qubit (por ejemplo, en la base z), la respuesta solo puede ser 0 o 1. Lo mismo sucede al medir un sistema de qubits. Por ejemplo, consideremos un sistema de dos qubits en el estado:

Este sistema almacena cuatro números: a, b, c, d. Sin embargo, si medimos estos qubits en la base z, el resultado será uno de estos cuatro:

La probabilidad de obtener cada uno de ellos depende del tamaño de los coeficientes a, b, c, d; pero el resultado de la medida son simplemente dos dígitos binarios, exactamente igual que si leyéramos dos bits. La información almacenada se ha perdido casi en su totalidad. Como ya comentamos en el capítulo 13, la cuestión importante es que mientras los qubits no sean medidos, la información contenida en a, b, c, d se mantendrá intacta. Por tanto, en las manipulaciones que hagamos de estos qubits (con el ordenador cuántico) podemos aprovecharla plenamente. Sin embargo, al leerlos en el paso final, esa memoria desaparece. Así que la memoria de un ordenador cuántico se parece un poco a la memoria RAM de un ordenador convencional: sirve para procesar la información, pero al final se pierde. Es por ello que los algoritmos y circuitos cuánticos tienen mucho de arte, es decir, de ingenio para explotar las ventajas que nos da la mecánica cuántica y minimizar las desventajas.

La segunda matización es que, aunque un sistema de qubits puede almacenar una cantidad colosal de información para ser luego procesada, el procedimiento para «cargar» esa información en el estado de los qubits no es sencillo. En general, esto requiere de un gran número de puertas cuánticas (elementos del circuito cuántico que discutiremos después). De hecho, ese número crece exponencialmente con el número de qubits, por lo que no podemos aspirar en la práctica a cargar un estado absolutamente genérico. Sin embargo, para muchos algoritmos el estado inicial que se necesita tiene regularidades que permiten prepararlo sin demasiado esfuerzo, como veremos más adelante al discutir el algoritmo de Grover. Esto forma parte también del arte de diseñar algoritmos cuánticos.

Finalmente, consideremos la «memoria cuántica» desde otro punto de vista. Si queremos simular con un superordenador el comportamiento cuántico de un sistema físico de una cierta complejidad, como por ejemplo una proteína hecha de cientos de átomos, va a ser imposible. Simplemente almacenar en la memoria del ordenador el estado cuántico de la molécula requiere una cantidad de bits completamente inviable; no digamos los cálculos posteriores que hay que realizar. Naturalmente, se pueden usar métodos aproximados, pero no se puede hacer una simulación auténtica. (Por cierto, el proceso de plegamiento de proteínas tiene una gran importancia en biología y medicina). Este era el tipo de procesos que tenía en mente Richard Feynman cuando afirmó que «la naturaleza es cuántica, así que si quieres simularla, mejor que sea una simulación cuántica». Sin embargo, como vamos a ver, hay otros problemas en ámbitos diversos que son intrínsecamente difíciles, y para los que la computación cuántica puede estar también muy cualificada.

Problemas difíciles

Sabemos por experiencia que no todos los problemas son igual de fáciles o rápidos de resolver. Sumar dos números, incluso de muchas cifras, se puede hacer de forma rápida y automática. Calcular los movimientos para solucionar un cubo de Rubik resulta, en general, mucho más difícil. La clasificación de los problemas matemáticos en diferentes clases de dificultad y las conexiones entre estas clases constituye un área de investigación apasionante y con enormes aplicaciones prácticas.

En general, decimos que un problema es resoluble si existe un algoritmo para encontrar la solución. Un algoritmo es una secuencia finita de instrucciones sistemáticas, es decir, una receta, que resuelven un problema o tarea específicos. Por ejemplo, en la escuela aprendemos algoritmos para sumar o multiplicar cualquier pareja de números, digamos 28 y 34:

Sin embargo, existen problemas para los que no se sabe si existe un algoritmo que los resuelva; como curiosidad, citaremos el problema del palíndromo. Supongamos que nos dan un número cualquiera, por ejemplo el 75, y jugamos al siguiente juego: invertimos el orden de las cifras y el número resultante lo sumamos al original:

Al número así obtenido le aplicamos la misma regla, hasta que obtenemos un número capicúa (o palindrómico), es decir, que sea idéntico leído de izquierda a derecha o de derecha a izquierda. En el ejemplo anterior, esto se consigue después de dos pasos:

La mayor parte de los números tienen esta propiedad, pero algunos, como el 196, no se sabe si después de un cierto número de pasos (quizá gigantesco) terminan siendo palíndromos. No hay ningún algoritmo conocido que, dado un número cualquiera, nos diga si va a terminar o no en palíndromo.

Es muy notable que haya otros problemas para los que se sabe que no existe un algoritmo que los pueda resolver. El más famoso de ellos es el de la parada de una máquina de Turing. En términos sencillos, una máquina de Turing es una construcción teórica equivalente a un ordenador convencional (y anterior a estos). El problema de la parada consiste en decidir si un programa informático cualquiera (escrito, por ejemplo, en el lenguaje Python) llegará a un final después de un número finito de pasos o no terminará nunca porque entra en una especie de bucle infinito (de algún modo, recuerda al problema del palíndromo anterior).

Por otro lado, hay muchos problemas prácticos para los que existen algoritmos de resolución, pero esto no significa que sean fáciles o rápidos de resolver. Hay una rama entera de las matemáticas (la teoría de la complejidad computacional) dedicada a la clasificación y exploración de estos problemas.

En general, el número de pasos necesarios para resolver un problema será mayor cuanto mayor sea el tamaño del input, es decir, el número de bits o dígitos necesarios para describir los datos de entrada. Consideremos el siguiente problema: dado un número entero, x, encontrar el valor de x2. Esta tarea se puede realizar en un número de pasos elementales que crece con el número de cifras de x, es decir, el tamaño del input. Por ejemplo, si calculamos el cuadrado de 127 debemos realizar nueve multiplicaciones elementales (dígito por dígito), además de algunas sumas:

En general, si x tiene N cifras, el número de pasos es aproximadamente N2. El número de pasos crece con N, pero no de una forma desbocada. Por ejemplo, si x tiene 10 cifras, el número de pasos es aproximadamente 102 = 100. Puede ser una lata hacer esta cuenta con papel y lápiz, pero no nos llevará más de una hora; y un ordenador lo hace en una minúscula fracción de segundo. Los problemas de este tipo, cuyo algoritmo de resolución contiene un número de pasos que crece como una potencia de N (en este caso, N2) se consideran «tratables», ya que el tiempo que se toma el algoritmo en encontrar la solución no aumenta de forma vertiginosa. Pero existen muchos problemas para los que el número de pasos de sus algoritmos no aumenta de esta forma moderada (llamada «polinómica» en la jerga matemática), sino de forma exponencial. Es el caso de la descomposición de un número, x, en factores primos. Cuando x tiene pocas cifras, es un problema sencillo; por ejemplo, para x = 12 (dos cifras):

Pero cuando el número de cifras aumenta, el tiempo de resolución crece de forma exponencial. Si usted intenta descomponer en factores primos un número de 10 cifras, como el 78569361201, tendrá que realizar unas 100.000 operaciones. Si el número tiene 300 cifras se requieren del orden de un billón de trillones de operaciones, que el superordenador más potente tardaría 600.000 años en realizar. Es interesante subrayar que en realidad no se sabe si hay un algoritmo capaz de realizar esta tarea de manera más eficiente; pero si lo hay, nadie lo ha encontrado. (Precisamente en esa dificultad se asientan los sistemas de criptografía más comunes, como luego comentaremos.)

Muchos de los problemas más importantes desde el punto de vista práctico pertenecen a este tipo de cuestiones cuyo tiempo de resolución aumenta de forma exponencial. Un ejemplo famoso es el problema del viajante: un viajante comercial deber recorrer N ciudades para dejar allí sus productos, y luego regresar al punto de inicio. El problema es: ¿en qué orden debe recorrerlas para minimizar el número de kilómetros (y, por tanto, el gasto de tiempo y dinero en los desplazamientos)? La dificultad proviene de que al aumentar el número de ciudades a recorrer, N, el número de rutas aumenta como (N – 1)!/2 (semejante a una exponencial).

Si el número N de ciudades es pequeño (por ejemplo, 5), no hay muchas rutas que explorar (12), y casi se puede deducir a ojo la mejor ruta:

Pero conforme aumenta el número de ciudades, el número de rutas posibles crece de forma salvaje. Para 10 ciudades hay 181.440 rutas, algo imposible de evaluar a ojo. Con 20 ciudades el número se eleva a 60.000 billones, lo que requiere días de trabajo de un ordenador convencional. Para 30 ciudades hay más de cuatro billones de trillones de rutas, que el superordenador Fugaku tardaría un millón de años en evaluar:

Aunque hay algoritmos que funcionan mejor que simplemente examinar las rutas una a una, cuando el número de ciudades crece, el problema se vuelve intratable.

Este tipo de problemas no son solo una curiosidad matemática, sino que, con pequeñas variaciones, aparecen continuamente en situaciones de la vida real, especialmente cuando hay que optimizar algún de tipo de actividad. Podemos citar como ejemplos el diseño de estrategias para una inversión financiera, la distribución de recursos logísticos de una empresa o una administración pública, el proceso de fabricación de microchips o la secuenciación de ADN. Pero problemas más genéricos, como los que se plantean habitualmente en el campo de la inteligencia artificial y el aprendizaje automático (machine learning), también entran en esta categoría. Estos problemas difíciles no «se le dan bien» a los computadores clásicos y, como veremos, podrían ser un campo en el que la computación cuántica marcase una diferencia cualitativa.

Computación clásica

En cualquier algoritmo o computación convencional se parte de un input, normalmente descrito en forma de bits (ceros y unos), y tras una serie de instrucciones para manipularlos, se obtiene un output, también en forma de bits:

Cualquier algoritmo de este tipo puede ser descompuesto en operaciones lógicas elementales que involucran unos pocos bits. Esas operaciones elementales se denominan «puertas lógicas». Por ejemplo, para la puerta lógica NOT, el input y el output constan de un solo bit. Cuando el input es 0, el output es 1, y viceversa.

Normalmente se utiliza una representación gráfica, para seguir visualmente el flujo de los bits. En este caso:

donde la relación entre el bit de entrada, x, y el de salida, x, está dada por la llamada «tabla de verdad» de la puerta:

Otras dos puertas importantes son la AND y la OR. Para ambas, el input consta de dos bits y el output, de un bit, y están definidas en la forma:

Se puede demostrar que utilizando unos pocos tipos de puertas lógicas elementales es posible recrear el algoritmo más complejo imaginable. Esas puertas son equivalentes a los ladrillos básicos de la computación. Hay varias opciones posibles para ese conjunto básico de puertas. Una de ellas es la constituida por las puertas NOT, AND y OR, definidas anteriormente; suplementadas con la puerta COPY (duplicación de un bit):

De esta forma, un algoritmo cualquiera está representado por un circuito lógico, es decir, un conjunto de puertas básicas conectadas de alguna manera, y por donde fluyen los bits (ceros y unos) hasta llegar al output final; por ejemplo:

Esto es una construcción matemática abstracta; naturalmente, las puertas lógicas han de ser implementadas en la práctica por algún dispositivo físico, que en los ordenadores ordinarios son siempre circuitos con transistores.

Computación cuántica

En analogía a la computación clásica, los algoritmos cuánticos son circuitos abstractos por los que fluyen qubits en vez de bits, y que representan recetas para manipular y medir esos qubits. Al igual que en un circuito lógico ordinario, en un circuito cuántico hay un input (qubits iniciales), un proceso de manipulación de estos y un output. Examinémoslos por separado:

Input

El input de un circuito cuántico es siempre una colección de qubits. Por convenio, se suele considerar que todos ellos están inicializados en el estado | 0 . Si se necesitaran en otro estado, este se puede preparar a partir del | 0 . Dicha preparación sería el primer paso de la fase siguiente, es decir, la manipulación de los qubits, que enseguida discutiremos. Gráficamente, el estado inicial se representa por un grupo de líneas paralelas:

Manipulación de los qubits

Esta es la fase más importante desde el punto de vista conceptual. Análogamente a los circuitos lógicos, cualquier manipulación posible con los qubits se puede descomponer en operaciones elementales, llamadas puertas lógicas cuánticas, o simplemente puertas cuánticas. Consideremos una de esas puertas, la llamada puerta X, que funciona de forma parecida a la puerta lógica NOT. Para definir la acción de X sobre un qubit genérico, basta con especificar cómo actúa sobre el estado | 0  y sobre el estado | 1 ; concretamente:

De forma gráfica:

¿Cómo actúa la puerta X sobre un estado cualquiera, a | 0  + b | 1 ? Sencillamente, aplicamos su acción a cada término de la superposición, es decir:

Por ejemplo, el estado | +  = | 0  + | 1  se transforma del siguiente modo:

Como se ve, el estado | +  no se transforma en el | –  por la acción de X (como tal vez cabría esperar), sino que se queda como está.

Una puerta importante en muchos circuitos cuánticos es la llamada «puerta de Hadamard» (H), que se define de la siguiente manera:

Gráficamente:

Como vemos, H transforma los autoestados | 0 , | 1  de la base z en los autoestados | + , | –  de la base x. Es fácil comprobar que también actúa así en sentido contrario, es decir:

Las puertas X y H son puertas de un solo qubit, ya que su input y su output constan de un qubit. En general se puede definir una puerta U para realizar una operación determinada con un qubit. Esa operación se puede visualizar siempre como una rotación en la esfera de Bloch del vector que representa el estado:

Por supuesto, hay muchas puertas U posibles, en realidad, infinitas, y cada una de ellas está asociada a una posible rotación en la esfera de Bloch. Las puertas X y H son casos especiales de U.

Además de estas puertas de un solo qubit, existen puertas de dos qubits. Para definir su acción debemos especificar cómo actúan sobre los cuatro inputs básicos posibles:

donde los subíndices 1, 2 se refieren al estado del primer y segundo qubit. La puerta más importante de este tipo es la llamada CNOT, que actúa de la siguiente manera sobre los cuatro estados anteriores:

Recordemos que en la computación clásica existía un conjunto básico de puertas lógicas (NOT, AND, OR y COPY) con las que se podía representar cualquier algoritmo, es decir, cualquier manipulación de bits (ceros y unos). Del mismo modo, cualquier manipulación posible de una colección de qubits se puede realizar combinando puertas U (o sea, puertas genéricas de un solo qubit) y puertas CNOT.

Output

La fase final de un circuito cuántico es la medida de los qubits, para obtener el resultado que sea. Por convenio (y por limitaciones prácticas) se supone que se mide siempre en la base z (de ahí que esta se llame también «base computacional»), y por tanto el resultado es siempre 0 o 1.

Gráficamente:

La obligación de medir siempre en la base computacional puede parecer una limitación, pero en realidad no lo es, como veremos enseguida.

A partir de las fases descritas anteriormente (input, manipulación y output), se deduce que un circuito cuántico tiene un aspecto de este tipo:

Una máquina que sea capaz de realizar circuitos cuánticos genéricos es por definición un ordenador cuántico. Por consiguiente, un ordenador cuántico ha de ser capaz de inicializar los qubits en el estado | 0 ; manipularlos de forma arbitraria con la aplicación de puertas U de un solo qubit y puertas CNOT, y finalmente medirlos en la base computacional. El proceso llevado a cabo por un ordenador cuántico es lo que se llama computación cuántica.

Detalles

Comentamos a continuación algunos aspectos esenciales que diferencian un circuito cuántico de un circuito lógico convencional.

En primer lugar, no se debe visualizar el proceso del circuito cuántico como unos qubits individuales que van fluyendo por sus carriles, en analogía a los bits de los circuitos lógicos. Normalmente, en un instante intermedio del circuito el estado global de la colección de qubits es un estado entrelazado, por lo que no se pueden atribuir estados individuales a cada uno de ellos; lo que hay es un estado conjunto. Ilustremos este concepto siguiendo el flujo de los qubits en este circuito simple, en el que consideramos tres momentos consecutivos (t1, t2, t3):

En el instante t1 sí podemos asignar un estado a cada qubit: el estado | 0  de inicio. Por tanto, el estado global es:

En el instante t2 el qubit 2 no ha cambiado, mientras que el 1 ha pasado de | 0  a | + , por la acción de la puerta H. Por tanto, sigue siendo posible atribuir un estado a cada qubit. El estado global lo podemos escribir como:

A continuación, al pasar por la puerta CNOT, el estado | 0 1 | 0 2 se queda como está, mientras que el | 1 1 | 0 2 se transforma en | 1 1 | 1 2. Por tanto, en el instante t3 el estado global es:

Este es un estado entrelazado, en el que no podemos asignar un estado al qubit 1 y otro al 2; la única forma de definir su situación es escribiendo el estado conjunto. Finalmente, al medir los qubits, tenemos dos posibilidades: que las dos medidas arrojen 0 o que las dos arrojen 1. No puede suceder que el primero dé 0 y el segundo 1, esa posibilidad no entra en la superposición de arriba. La correlación en las medidas es un efecto del entrelazamiento:

Dado que en un ordenador cuántico se pueden manipular y entrelazar estados, es posible verificar en ellos muchos de los fenómenos discutidos en otros capítulos, como las desigualdades de Bell, la teleportación y otros que no hemos podido comentar por razones de espacio.

Otro comentario importante se refiere a la medida. Supongamos que el estado final de un qubit, después de la computación cuántica, es:

Como sabemos, al medirlo obtendremos 0 o 1, por lo que perderemos la información acerca del valor de a y b. Recordemos, sin embargo, que el output 0 o 1 se produce con probabilidades relativas proporcionales a a2 y b2, respectivamente. Por tanto, si corremos el circuito muchas veces, obtendremos unos porcentajes de ouputs 0 y outputs 1 que nos dan información directa de los valores de a y b. Este es un procedimiento habitual en las computaciones cuánticas.

Otra cuestión importante se refiere a la capacidad de medir los qubits en una base que no sea la computacional, | 0 , | 1 . Esto se puede hacer usando un truco. Para explicarlo, piense primero en lo siguiente. Suponga que quiere usted medir el tamaño de una caja y que para ello dispone de un poste metálico con una escala graduada que indica las diferentes alturas desde el suelo. Medir la altura de la caja es fácil, solo tiene que acercarla al poste y ver hasta dónde llega en la escala. Esto es equivalente a medir en la base computacional (z). Para medir la anchura tiene dos opciones. La primera es arrancar el poste y tumbarlo al lado de la caja para leer su anchura en la escala. Esto es equivalente a medir en la base x. La otra opción, mucho más conveniente, es tumbar la caja, con lo que la anchura habrá pasado a ser la nueva altura, que se mide igual que antes: acercando la caja (tumbada) al poste. Ilustremos cómo funciona este truco con un qubit, cuando este está realizado por el consabido espín de una partícula. Decíamos en el capítulo 10 que para medir el espín en la componente z, se puede interponer un campo magnético en esa dirección:

Esto es equivalente a medir en la base computacional (base z). Si quisiéramos medir la componente x, tendríamos que rotar el aparato para que el campo fluyera en la dirección x. Pero la otra posibilidad es rotar 90 grados la dirección del espín (el equivalente a tumbar la caja) y medir la nueva componente z.

Para un qubit genérico (no necesariamente realizado por el espín de una partícula), esa «rotación» está proporcionada por la puerta de H, ya que esta transforma la base z en la x, y viceversa. Por tanto, para medir un qubit en la base x, basta con interponer una puerta H y medir normalmente:

Esto es infinitamente más práctico que modificar el sistema de medición, y se puede extender a otras direcciones de medida sustituyendo la puerta H por una puerta U arbitraria.

Finalmente, hemos dicho en la sección anterior que en los circuitos lógicos de la computación clásica hay una puerta importante, llamada COPY, cuya tarea es copiar bits:

Por desgracia, una operación de copia semejante con qubits es irrealizable en la computación cuántica con qubits genéricos, ya que la prohíbe el teorema de la no-clonación.

Por otro lado, hay que señalar que los procesos cuánticos son reversibles (hasta que se efectúa la medida al final). Esto implica, en particular, que en cualquier paso de un circuito cuántico el número de qubits entrantes ha de ser igual al de los salientes. Esa es la razón por la que no existe, por ejemplo, una puerta AND cuántica. En una puerta AND convencional, algunos de los inputs posibles de entrada (concretamente, 00, 10 y 01) conducen al mismo resultado final (0). Por tanto, no es invertible: a partir del output no podemos reconstruir el input. Por esta razón las puertas cuánticas descritas anteriormente (X, H, U, CNOT) van siempre de un qubit a un qubit, o de dos qubits a dos qubits. Estas limitaciones hacen que con frecuencia haya que introducir qubits auxiliares, llamados «ancillas» en la jerga de la computación cuántica, con objeto de poder realizar determinadas operaciones. El precio a pagar es que aumenta el número de qubits necesarios para una computación concreta.

A pesar de estas restricciones, todos los cálculos realizables en un computador clásico se pueden realizar en uno cuántico, y a una velocidad parecida. Pero, naturalmente, si el objetivo de un ordenador cuántico fuera emular a uno clásico, no tendría sentido el esfuerzo. Para correr algoritmos clásicos, funcionan mucho mejor los ordenadores clásicos: son más baratos y tienen menos errores (algo sobre lo que volveremos después). La verdadera ventaja de los ordenadores cuánticos es que pueden realizar tareas imposibles o muy costosas para uno clásico, como vemos a continuación.

Paralelismo cuántico

Supongamos que en un computador clásico hay instalado un algoritmo, indicado con la letra O en la figura, que tiene dos bits de entrada, x, y, y uno de salida, f(x, y):

El input x, y puede ser el que queramos, es decir, una de las cuatro posibilidades:

La letra O significa «oráculo» (un término de la jerga informática), es decir, un cálculo más o menos complicado cuyo resultado no conocemos hasta que no lo efectuamos o, usando esa misma jerga, hasta que no «consultamos al oráculo». Por supuesto, el output f(x, y) es 0 o 1 para cualquier pareja x, y, pero a priori lo desconocemos.

La cuestión es que si queremos conocer el output para los cuatro inputs posibles, es decir, f(0,0), f(0,1), f(1,0), f(1,1), no tenemos más remedio que correr el programa cuatro veces; o, en otras palabras, realizar cuatro consultas al oráculo.

Podemos representar cada bit de entrada 0 o 1 como un qubit | 0  o | 1 . Esto es lo que en criptografía cuántica (v. capítulo 14) definíamos como representar un bit en el alfabeto z, y es la forma estándar de proceder. Se podría pensar que el análogo cuántico del circuito anterior es:

Sin embargo, este circuito es imposible ya que no tiene el mismo número de qubits a la entrada y a la salida. En una implementación real, la respuesta del oráculo se deposita sobre un qubit auxiliar o ancilla en la forma:[10]

Nuestro objetivo sigue siendo determinar el valor de f(x, y) para las cuatro combinaciones posibles de x, y. Una posibilidad, «al estilo clásico», es realizar cuatro consultas y leer el correspondiente resultado. Por ejemplo, para conocer f(1,0) realizamos la consulta:

En forma de ecuación:

donde los índices 1, 2, a se refieren a los qubits primero, segundo y auxiliar (ancilla).

Sin embargo, hay otra posibilidad. Si partimos de un estado inicial para los dos qubits que sea una superposición de las cuatro posibilidades,

y la introducimos en el oráculo, este calculará simultáneamente los cuatro valores f(0,0), f(0,1), f(1,0), f(1,1):

Esto es el paralelismo cuántico, llamado así porque es semejante a realizar la consulta al oráculo en paralelo en cuatro ordenadores clásicos separados.

Sin embargo, las cosas no son tan sencillas como esta última frase sugiere. El problema es que, al medir, la superposición colapsará a una de las posibilidades; por ejemplo:

Así que, a pesar de que el oráculo ha realizado las cuatro operaciones simultáneamente, al medir destruimos casi toda la información generada y solo leemos uno de los cuatro outputs; en el ejemplo anterior, f(0,1).

Esto parece algo terriblemente negativo. Sin embargo, dependiendo del problema considerado, se puede manipular el estado final antes de medirlo, de forma que sí se puede aprovechar este paralelismo. Uno de los ejemplos más notables es el llamado «algoritmo de Grover», concebido por el estadounidense Lov Grover en 1996, y que describimos a continuación.

El problema de la búsqueda. Algoritmo de Grover

El problema de la búsqueda de un elemento dentro de una colección, con la ayuda de un oráculo, es muy común en el mundo actual. A modo de ejemplo, imagine una página web interactiva en la que se introduce un número de teléfono y la página facilita el nombre del propietario de este. Esa página sería el oráculo. Ahora suponga que desea conocer el número de teléfono de su amiga Alice. Dado que en esa página no puede introducir nombres, la única forma de encontrarlo es probar números hasta que uno de ellos produzca como resultado: «Alice». Naturalmente esto puede ser terriblemente costoso si hay miles o millones de números para probar. Problemas de este tipo se plantean continuamente; por ejemplo, cuando un buscador de internet ha de explorar millones o miles de millones de páginas para encontrar una que concuerde con la petición que se le ha hecho; o cuando se solicita a un ordenador que encuentre un fragmento de texto dentro de su memoria. La misma situación se plantea también, con variaciones, en problemas de optimización, como el comentado problema del viajante, donde hay que encontrar la mejor ruta.

Para analizar su resolución con un algoritmo clásico y uno cuántico, vamos a considerar un caso supersimplificado: encontrar un elemento entre cuatro. Supongamos que esos cuatro elementos o ítems están etiquetados con dos bits en la forma:

Esto sería el equivalente a los números de teléfono posibles. Uno de ellos es el que buscamos (el «número de teléfono de Alice»), pero aún no sabemos cuál. Para nuestra exploración disponemos de un oráculo en el que introducimos los dos bits como input. Cuando acertamos con el elemento buscado, la respuesta del oráculo es 1 (intento exitoso), pero en todos los demás casos la respuesta es 0 (intento fallido). Para fijar ideas, supongamos que el elemento buscado (el «número de teléfono de Alice») es el 10. En ese caso, nuestras consultas producirán los siguientes resultados:

De las cuatro consultas al oráculo, solo la indicada con la flecha resuelve nuestro problema de búsqueda. Así que, en general, necesitaremos varias consultas hasta dar con la solución.

Consideremos ahora la versión cuántica del problema. En este caso sabemos de la sección anterior que el oráculo deposita el resultado de la búsqueda en un qubit auxiliar, en la forma:

La novedad es que ahora no necesitamos saber f(x y) para todos los inputs x, y posibles; solo necesitamos saber cuál de ellos produce f(x y) = 1.

En el procedimiento de Grover se empieza de nuevo con un input que sea la superposición de las cuatro posibilidades,

que son evaluadas simultáneamente por el oráculo gracias al paralelismo cuántico. A continuación, se manipulan los qubits resultantes de forma que el estado final sea precisamente el que ha producido f(x y) = 1; en este caso sería el | 1 1 | 0 2. De forma esquemática:

Dentro del rectángulo G hay una cierta combinación de puertas cuánticas que realizan la tarea, y que mostramos explícitamente un poco más abajo. Así que con una sola consulta al oráculo es posible determinar cuál de los cuatro elementos es el que buscamos.

Puede dar la impresión de que algo parecido sería posible cuando buscamos un elemento entre millones o billones de ítems. Sin embargo, en esos casos el procedimiento de Grover exige realizar nuevas consultas al oráculo, no se puede determinar el elemento buscado con una sola llamada. De todas formas, la ganancia de tiempo es espectacular. Con el algoritmo de búsqueda clásico, si tenemos N ítems, hay que hacer del orden de N consultas al oráculo hasta dar con el elemento buscado. En el algoritmo cuántico, ese número es del orden de √N. Cuanto mayor sea N, mayor será la ventaja conseguida. Si hay que encontrar un ítem entre un millón, en vez de hacer un millón de consultas, basta con hacer mil (un factor mil de ganancia). Si el número de ítems es un billón (lo cual no es raro en estos tiempos de big data), el factor de ganancia es un millón (de un billón de búsquedas a un millón). Decididamente, ¡el algoritmo de Grover parece cosa de magia!, y, por supuesto, ha sido comprobado en ordenadores cuánticos con un número de ítems no muy grandes. Por su gran potencial práctico, este algoritmo puede llegar a tener mucha importancia en el futuro, cuando los ordenadores cuánticos reales estén más desarrollados.

Tal vez usted se haya preguntado lo siguiente: una parte del truco de Grover es comenzar con un estado de input que es la superposición de todas las posibilidades:

Ahora bien, ¿cómo conseguimos ese estado inicial? Afortunadamente, es muy sencillo. Ya hemos dicho que en un ordenador cuántico todos los qubits comienzan en el estado | 0 . Si a continuación los hacemos pasar por una puerta H, se transforman en estados | +  = | 0  + | 1 . El estado conjunto así creado es precisamente la superposición de todos los estados posibles. De forma más explícita:

Así que basta con insertar dos puertas H al comienzo del algoritmo de Grover:

Este procedimiento vale exactamente igual cuando partimos de un número cualquiera de qubits. Por ejemplo, si utilizamos 50 qubits para etiquetar los ítems, basta con que hagamos pasar cada qubit por una puerta Hadamard para obtener un estado que es la superposición de todas las posibilidades. Se trata de un estado verdaderamente gigantesco, ya que es la superposición de 250 estados, o sea, mil billones, que son todas las combinaciones posibles de 50 ceros y unos. ¡Y se consigue «cargar» usando tan solo 50 puertas H! Este es un buen ejemplo de la enorme memoria operativa de un ordenador cuántico, incluso si al final la mayor parte de ella se destruye en el proceso de medida.

Para los curiosos y curiosas acerca de qué contiene el rectángulo G que realiza la proeza de identificar el estado buscado, este es el circuito de Grover completo:

El algoritmo de Shor

El llamado algoritmo de Shor, formulado por el matemático estadounidense Peter Shor en 1994, supuso uno de los avances teóricos más importantes en el campo de la computación cuántica, atrayendo el interés de la comunidad científica. Se trata de un algoritmo para calcular la descomposición en factores primos de un número cualquiera. Unas páginas atrás comentábamos que todos los algoritmos clásicos conocidos para esa tarea se toman un tiempo que crece de forma exponencial con la cantidad de dígitos, N, del número en cuestión. Para números de 300 cifras, ni el superordenador más potente puede acometer semejante tarea. Sin embargo, el algoritmo de Shor es capaz de encontrar el resultado en «tiempo polinómico», es decir, que crece como una potencia del número de dígitos, concretamente como N2.

Potencialmente, este resultado tiene una enorme importancia teórica y práctica. Desde el punto de vista teórico, podría demostrar que los algoritmos cuánticos son cualitativamente más eficientes que los clásicos (al menos en algunos casos). Quizá usted piense que eso ya se comprueba con el algoritmo de Grover. Efectivamente, dicho algoritmo conduce a ganancias de tiempo enormes cuando se realizan búsquedas entre un número grande de ítems. Sin embargo, desde el punto de vista teórico, no cambia la clase del problema, no hay una ganancia exponencial. Sin embargo, el algoritmo de Shor transforma un problema que clásicamente requiere tiempo exponencial en uno «tratable», es decir, resoluble en tiempo polinómico. Es importante remarcar que, en realidad, no se sabe si existe algún algoritmo clásico que permita realizar la tarea de la factorización en tiempo polinómico. Si fuera así, la trascendencia del algoritmo de Shor desde el punto de vista de la teoría de la computación no sería tan grande. Pero lo cierto es que, si existe ese algoritmo clásico, nadie lo ha descubierto.

Desde el punto de vista práctico, hay que decir que el algoritmo de Shor, al igual que el de Grover, no se ha podido aplicar a números muy grandes debido a las limitaciones de los ordenadores cuánticos actuales. Sin embargo, cuando esto se consiga, tendrá un enorme impacto en el campo de la criptografía. En el capítulo 14 explicamos el método de cifrado Vernam, teóricamente irrompible, aunque con problemas de realización práctica (que pueden ser resueltos por la criptografía cuántica). El método Vernam se utiliza para transacciones o mensajes de altísima confidencialidad; pero en el día a día (por ejemplo, cuando enviamos un mensaje de texto o realizamos una operación bancaria) el método de cifrado que se utiliza es el llamado RSA o variaciones de este. Se trata de un protocolo de encriptación basado en la generación de números muy grandes, cuya descomposición en factores primos es imposible para cualquier sistema informático. Concretamente, se utilizan números generados por el producto de dos números primos gigantescos (de unas 300 cifras) que se mantienen en secreto. Sin embargo, con el algoritmo de Shor sería sencillo factorizar números así de grandes. Eso provocaría un auténtico terremoto en todas las operaciones y mensajes que requieren confidencialidad. Aunque ahora mismo se trate de una amenaza lejana, es de tal magnitud que se investiga activamente en sistemas de encriptación que pudieran sobrevivir al algoritmo de Shor o variaciones de él. Es lo que se llama la «criptografía pos-cuántica», que no es criptografía cuántica, sino criptografía clásica diseñada para defenderse del ataque de los algoritmos cuánticos.

El presente y el futuro

La computación cuántica es una tecnología con un potencial revolucionario que está en sus inicios. Actualmente hay un gran esfuerzo de inversión en el que están implicadas instituciones públicas y compañías privadas, como IBM y Google. Esta actividad tiene también un aire de competición: nadie quiere quedarse atrás y se pugna por ser los primeros en alcanzar hitos. Uno de estos hitos es la denominada «supremacía cuántica» (también llamada ventaja o prevalencia cuántica), consistente en utilizar un ordenador cuántico real para realizar una tarea concreta en menos tiempo que el superordenador más potente. Esto fue conseguido en 2019 por Sycamore, un ordenador cuántico de 53 qubits de Google. La tarea realizada era completamente inútil desde el punto de vista práctico, de hecho estaba diseñada para ser especialmente difícil de resolver por un ordenador clásico; no obstante, se trata de un hito importante. También hay una carrera para conseguir un computador cuántico con el mayor número de qubits operativos. El récord actual lo tiene IBM con su ordenador Eagle (127 qubits), fabricado a finales de 2021, pero seguramente será batido en poco tiempo. En los puestos de cabeza de esta carrera está también China y sus ordenadores cuánticos desarrollados en universidades científicas y tecnológicas.

Es bastante sobrecogedor (y da algo de miedo) que este esfuerzo se esté realizando sin haber alcanzado todavía un retorno práctico (más allá del prestigio obtenido por las compañías y los países involucrados). Está claro que hay muchas esperanzas puestas en esta nueva tecnología. Ciertamente, hay muchos campos cruciales que podrían beneficiarse de ella de forma espectacular, como la optimización de procesos o la inteligencia artificial. Por ejemplo, los algoritmos cuánticos pueden ser mucho más eficientes en encontrar el tratamiento óptimo para un paciente. También tienen el potencial de resolver problemas difíciles en química o biología, como el estudio y la creación de proteínas y otras moléculas complejas. Es imposible prever el enorme rango de aplicabilidad que podría tener la computación cuántica. Sin embargo, aún estamos lejos de alcanzar esas metas. El problema más importante al que se enfrenta la computación cuántica son los errores producidos por fallos diversos en la manipulación y la medida de los qubits, y muy especialmente por la pérdida de la coherencia cuántica.

Tal como explicamos en el capítulo 11, la decoherencia es un fenómeno causado por la interacción de un sistema físico con el entorno, cuyo efecto es degradar las superposiciones cuánticas, convirtiéndolas de forma efectiva en mezclas estadísticas que se comportan como estados clásicos. Esa interacción se produce por efectos de temperatura, ruido electromagnético, minúsculas vibraciones, etc., y es prácticamente imposible de evitar completamente, aunque puede reducirse. Por ejemplo, en el Eagle de IBM el tiempo de coherencia (es decir de supervivencia de las superposiciones cuánticas) es de unos 100 microsegundos. Ese sería por tanto el tiempo máximo que podría tomarse una computación cuántica para ser realizada con alguna garantía. Este límite puede superarse gracias a técnicas de corrección de errores; pero, por otra parte, dichas técnicas requieren aumentar significativamente el número de qubits. Todavía no se ha conseguido un ordenador cuántico capaz de realizar cálculos prácticos a gran escala de forma robusta.

En la actualidad se exploran varias direcciones para mitigar estos problemas, tanto desde el punto de vista del hardware (mejores dispositivos que proporcionen tiempos de coherencia más largos) como del software (mejores métodos de corrección de errores y algoritmos cuánticos capaces de funcionar en un entorno de ruido). También se investiga en configuraciones mixtas en las que colaboren los computadores cuánticos y los clásicos.

Respecto a los tipos de ordenadores cuánticos reales, tal como se comentó en el capítulo 13, existen técnicas diversas para realizar y manipular los qubits. Hay ordenadores cuánticos que utilizan la técnica de iones atrapados (basada en el trabajo pionero de Cirac y Zoller), computadores fotónicos (como el computador chino Jiuzhang) y ordenadores cuánticos superconductores (como el Sycamore de Google o el Eagle de IBM). La técnica superconductora es de momento la más empleada, pero se investigan otras posibilidades que podrían reducir enormemente la indeseable decoherencia, como los ordenadores cuánticos topológicos (de momento, solo una propuesta teórica).

Otra dirección importante de desarrollo son los simuladores cuánticos. Aunque están hechos de qubits, estos dispositivos no tienen la conectividad necesaria para realizar computaciones universales usando puertas cuánticas. Sin embargo, pueden simular la dinámica de sistemas físicos importantes, como moléculas complejas, intratables con ordenadores clásicos. En cierto modo se trata de una computación cuántica «analógica» en vez de «digital», que plasma muy bien el espíritu en el que Richard Feynman afirmaba que para simular la naturaleza, el simulador debe ser cuántico. Existen empresas que comercializan ordenadores cuánticos de este tipo. Hay que decir que, aunque los resultados son en algunos casos impresionantes, todavía no está claro que hayan alcanzado una mejora neta respecto a los métodos clásicos, si bien esto puede estar a punto de cambiar.

En vista de todo lo anterior, sería temerario afirmar que la computación cuántica va a suponer una revolución tecnológica semejante a la que desencadenaron los transistores en el siglo pasado, y aún más temerario anunciar que esa revolución está a la vuelta de la esquina. Sin embargo, tampoco parece apropiada una postura pesimista. Casi todas las tecnologías novedosas necesitaron un tiempo de desarrollo antes de sustituir o complementar las anteriores. Recordemos el tamaño y los problemas de los primeros ordenadores de los años cuarenta, como el monstruoso ENIAC.

Ahora mismo es un sueño pensar que vamos a disponer de un procesador cuántico en nuestro móvil, pero ya se comercializan ordenadores cuánticos de sobremesa que funcionan a temperatura ambiente (concretamente, el Quantum Brilliance de dos qubits), y varios ordenadores cuánticos de IBM son de acceso gratuito a través de la plataforma Q-experience. El futuro de la computación cuántica es una incógnita, pero, indudablemente, merece la pena explorarlo.

16

Los límites de la física cuántica

De todos los capítulos anteriores puede desprenderse la sensación de que la mecánica cuántica es una teoría tan poderosa que es capaz de explicar cualquier fenómeno natural con precisión fabulosa y sin un solo fallo. Es cierto que hasta ahora no se ha realizado ninguna observación, en la naturaleza o en el laboratorio, que contradiga esta extraña teoría. También es cierto que la diversidad de fenómenos que se han entendido gracias a la mecánica cuántica, a veces con precisiones fabulosas, hace palidecer a cualquier otra teoría desarrollada por el ingenio humano. Pero no es cierto que la mecánica cuántica por sí sola lo explique todo. Los misterios más profundos siguen sin poder ser explicados.

Por otro lado, no sabemos si la mecánica cuántica tendrá que ser sustituida algún día por otra teoría mejor. De momento no hay indicios de ello, pero otras teorías que parecían sagradas, como las leyes de Newton, sufrieron ese cambio de estatus: de teoría «fundamental» a teoría útil pero aproximada. (Cuando decimos «fundamental» es siempre de forma provisional, de ahí el entrecomillado).

De todo ello vamos a hablar en este capítulo final.

Mecánica cuántica y relatividad especial

La física moderna tiene dos pilares básicos: la mecánica cuántica, que nos ha ocupado a lo largo de este libro, y la teoría de la relatividad. Esta última describe cómo se observan los fenómenos desde distintos sistemas de referencia (estén estos en reposo o en movimiento) y supuso una revolución conceptual de primer orden al modificar radicalmente conceptos que parecían inamovibles, como el espacio y el tiempo. La teoría de la relatividad tiene dos «versiones». La primera se refiere solo a observadores con velocidad uniforme, y es la llamada teoría de la relatividad especial, formulada por Albert Einstein en la primera década del siglo XX. La relatividad especial tiene implicaciones trascendentales, como la dilatación del tiempo y la contracción del espacio, dependiendo del sistema de referencia del observador; y la famosa equivalencia entre la masa y la energía, E = mc2. Por otro lado, la teoría de la relatividad general, formulada por Einstein en la segunda década del siglo pasado, es una versión ampliada aún más ambiciosa: no solo incorpora todo tipo de observadores (se muevan como se muevan), sino que además es una teoría de la gravitación. A día de hoy sigue siendo la teoría más perfecta para describir los fenómenos gravitatorios, y la ley de Newton surge de ella como una buena aproximación cuando los campos gravitatorios no son muy intensos. Además, la relatividad general es una construcción intelectual de extraordinaria belleza, ¡algo de lo que no puede alardear la mecánica cuántica! Pero lo más importante es que hasta ahora no se le ha encontrado ningún fallo en experimentos u observaciones, incluso cuando la precisión de estas es altísima; en eso comparte el estatus privilegiado de la mecánica cuántica.

La teoría de la relatividad y la mecánica cuántica son dos teorías soberbias..., pero no se llevan muy bien entre ellas. Ya hemos visto que algunas consecuencias de la mecánica cuántica, en particular el entrelazamiento, ponían nervioso a Einstein porque parecen jugar a violar los principios de la relatividad especial, aunque no lleguen a hacerlo. Sin embargo, lo cierto es que, más allá de las sutilezas del entrelazamiento, la mecánica cuántica, tal como se formuló en los años veinte y treinta del siglo pasado, no tiene una estructura correcta desde el punto de vista relativista. La razón es que la ecuación de Schrödinger, que describe la evolución temporal de los estados cuánticos, no posee las propiedades de transformación que prescribe la teoría de la relatividad (técnicamente, no es covariante-Lorentz). La tarea de hacer compatibles la mecánica cuántica y la relatividad especial resultó más difícil de lo previsto, y se tomó dos décadas, desde finales de los años veinte a comienzos de los cincuenta del siglo pasado. La solución no fue tan directa como diseñar una versión relativista de la ecuación de Schrödinger. El problema es que, debido a la equivalencia entre masa y energía, en una teoría relativista el número de partículas no está bien definido: siempre se pueden crear partículas nuevas si hay suficiente energía en el sistema. Actualmente comprobamos eso todos los días en los aceleradores de partículas, como el LHC del CERN (Ginebra, Suiza), donde dos protones chocan mil millones de veces por segundo, y en cada choque se crean decenas de nuevas partículas. Sin embargo, en la ecuación de Schrödinger «tradicional» el número de partículas de un sistema no cambia. Si contiene una partícula al principio, seguirá conteniendo la misma partícula al final. Hacía falta un cambio radical de perspectiva.

La solución fue proporcionada por un nuevo tipo de teoría: la teoría cuántica de campos, que es a la vez una teoría cuántica y relativista, en el sentido de la relatividad especial. Es decir, no renuncia a ninguno de los dos principios (respeta escrupulosamente los postulados de las dos teorías), lo que cambia son los objetos básicos a los que se aplica. En la teoría cuántica de campos, los objetos fundamentales no son las partículas, sino los campos; por ejemplo, el campo electromagnético. El concepto de partícula surge por sí solo como una excitación cuántica del campo, de un modo análogo a las excitaciones discretas de la energía de un átomo. Por ejemplo, los fotones son las excitaciones del campo electromagnético, los electrones son las excitaciones del campo del electrón (no confundir con el campo electromagnético), etc. Así que la teoría cuántica de campos explica por qué la materia se presenta en forma de partículas: es una consecuencia necesaria de la combinación de la relatividad (especial) y la mecánica cuántica. Esto aclara de paso por qué la materia y la luz tienen una naturaleza semejante. En particular, explica por qué la energía del campo electromagnético está cuantizada en «paquetes de energía» (los fotones), exactamente como postularon Planck y Einstein a comienzos del siglo XX en los artículos pioneros de la mecánica cuántica.

La teoría cuántica de campos tiene una estructura matemática sofisticada, que de hecho aún se sigue explorando. La mecánica cuántica «tradicional», es decir, no relativista (que es la que hemos discutido a lo largo de este libro), surge de ella como una aproximación excelente cuando las energías en juego no son grandes en comparación con las masas de las partículas. Por otro lado, la teoría cuántica de campos ha proporcionado el marco fundamental para estudiar todas las partículas elementales y sus interacciones al nivel más básico posible, alcanzando niveles de éxito extraordinarios.

Así, la teoría cuántica de campos da cuenta de muchos fenómenos importantes, como la existencia de las antipartículas o el hecho de que todas las partículas del mismo tipo (por ejemplo, todos los electrones o todos los neutrones) sean exactamente iguales. También aclara por qué las partículas de espín semientero (como el electrón) no pueden ocupar el mismo estado, algo fundamental para entender, por ejemplo, la estructura atómica. Todas las predicciones de la teoría que han sido sometidas a la prueba del experimento (y son miles) han sido verificadas, a veces con grados de precisión sin precedentes de 11 y 12 cifras decimales, como el valor del momento magnético del electrón.

Como se puede ver, cuando la mecánica cuántica y la relatividad se alían para explicar la naturaleza, ¡el resultado es espectacular!

Mecánica cuántica y relatividad general

Si fue difícil conciliar la mecánica cuántica con la relatividad especial, mucho más lo está siendo con la relatividad general, y por tanto con la interacción gravitatoria. De hecho, aún no se ha conseguido, y este es uno de los grandes problemas conceptuales por resolver, para muchos el más importante, puesto que estas dos teorías son la base de la física moderna y, por tanto, de nuestro conocimiento fundamental sobre la naturaleza.

No podemos entrar en los detalles que dificultan la conciliación de las dos teorías, pero daremos al menos una pincelada. La relatividad general es una teoría «clásica» en la que las magnitudes físicas tienen valores bien definidos en cada punto del espacio y en cada instante del tiempo. Por otro lado, según la relatividad general, la gravedad es una consecuencia de la geometría del espacio-tiempo, la cual se ve alterada por la presencia de materia y energía. Por ejemplo, la Tierra curva el espacio-tiempo en sus inmediaciones, y esa curvatura es la que produce que los cuerpos caigan o que la Luna describa una órbita. Pensemos ahora en una partícula elemental, como por ejemplo un modesto electrón. Su masa es pequeñísima, así que el campo gravitatorio (es decir, la curvatura del espacio-tiempo) que genera a su alrededor es minúscula..., pero está ahí. El problema es que, como sabemos, un electrón puede estar en una superposición de dos (o más) posiciones, digamos | x1  + | x2 . Eso haría que la geometría del espacio-tiempo también entrara en una superposición de geometrías. Pero esto no puede suceder dentro del marco de la relatividad general clásica, donde la geometría ha de estar bien definida en cada punto. En la práctica habitual, esto no supone un problema para hacer predicciones, ya que los efectos de la gravedad en sistemas microscópicos son irrelevantes, pero desde un punto de vista conceptual, el problema es extremadamente serio. Además, hay sistemas físicos importantísimos, como los agujeros negros o los primeros instantes del universo, donde los efectos tanto de la gravedad como los cuánticos son cruciales, por lo que no podremos entenderlos completamente hasta que las dos teorías en conflicto puedan considerarse de forma consistente.

Existen varias propuestas o hipótesis «candidatas» para formular una teoría cuántica de la gravedad, es decir, una teoría unificadora de la relatividad general y la física cuántica. La más importante es la teoría de cuerdas. Esta mantiene todos los principios de la física cuántica y el «núcleo duro» de la relatividad general, aunque conduce a una gravedad que tiene correcciones (diminutas) respecto a la propuesta original de Einstein. Se basa en la hipótesis de que los objetos fundamentales son pequeños filamentos unidimensionales (cuerdas). Esta premisa, aparentemente inocente, da lugar a una teoría extraordinariamente sutil desde el punto de vista matemático y que, aunque ha sido intensamente explorada durante décadas, todavía no está bien comprendida. De todas formas, el problema más importante de la teoría de cuerdas es que no está comprobada experimentalmente, y es difícil que pueda estarlo a medio plazo, pues sus predicciones genuinas necesitarían recursos experimentales con energías fabulosas, aunque no puede descartarse que alguna mente brillante conciba alguna idea novedosa para ponerla a prueba.

Una de las implicaciones de la teoría de cuerdas es que en determinadas situaciones físicas se produce un fenómeno denominado «holografía» (y que tal vez no sea exclusivo de ellas). Hay que puntualizar que, aunque guarda cierta semejanza con los hologramas ordinarios, no tiene nada que ver con ellos. Debido a esta holografía, la física en cierto tipo de universos hipotéticos es equivalente a una teoría sin gravedad en un número de dimensiones menor. Nuestro universo ordinario de tres dimensiones, con su gravedad y el resto de las interacciones, sería equivalente a un espacio en dos dimensiones sin gravedad y con unas interacciones distintas. Se ha conjeturado incluso que la geometría del espacio-tiempo ordinario podría estar conectada con el entrelazamiento cuántico en la teoría de menor dimensión. Desde ese punto de vista, la gravedad podría verse como una «consecuencia» del entrelazamiento cuántico. Aquí nos movemos en el resbaladizo campo de las conjeturas.

La incompatibilidad entre los dos pilares de la física moderna puede resultar incómoda, pero por otro lado es enormemente sugerente y esperanzadora. Indica que tiene que haber una teoría física más profunda que las que disponemos en este momento, por exitosas que estas sean. La esperanza es que, cuando demos con esa nueva teoría, arroje luz sobre algunos de los misterios más profundos del universo, a los que ahora nos referiremos.

El Modelo Estándar

Hemos visto que la mecánica cuántica, o, si se quiere, la teoría cuántica de campos, explica exitosamente el comportamiento de los electrones y las demás partículas... Pero ¿de verdad lo explica todo acerca de ellas?

Realmente no. La mecánica cuántica y la teoría de la relatividad nos proporcionan patrones de comportamiento a los que, en efecto, se ajustan todas las partículas conocidas. Por ejemplo, la mecánica cuántica explica por qué se produce el fenómeno de interferencia cuando lanzamos electrones u otras partículas sobre una doble rendija. También explica la estructura de niveles energéticos de los átomos. Lo que no explica es por qué hay electrones y otras partículas elementales, y por qué tienen las propiedades que tienen. En el caso del electrón, la mecánica cuántica no explica por qué este tiene la masa que tiene, ni tampoco su carga eléctrica, su espín o su interacción débil (una fuerza semejante a la electromagnética e igual de fundamental). Para el resto de las partículas elementales sucede algo parecido. Una vez introducidos «esos datos», la mecánica cuántica (o su versión relativista, o sea, la teoría cuántica de campos) nos dirá cómo se comportan las partículas en todas las situaciones. Por tanto, hay muchas versiones de la teoría cuántica de campos según el tipo de las partículas consideradas. Una de esas versiones, llamada «Modelo Estándar», es la descripción más refinada que tenemos del comportamiento de las partículas elementales. Con el Modelo Estándar se han realizado miles (o millones) de predicciones, siempre exitosas. Una de las más importantes fue la existencia del bosón de Higgs, descubierto en 2012 en el LHC, y que es la partícula que está detrás del hecho de que las partículas elementales tengan masa. No vamos a entrar aquí en la estructura del Modelo Estándar, que es bastante compleja. No obstante, conviene aclarar que esta teoría no es una mera lista de partículas y las propiedades de cada una de ellas, sino que conecta muchas de esas propiedades de forma muy sutil (por ejemplo, las propiedades del electrón y las de los neutrinos).

Aun así, el Modelo Estándar contiene unos treinta parámetros que hay que meter a mano y para los que la teoría no ofrece ninguna explicación. Por ejemplo, en el Modelo Estándar hay doce partículas elementales de materia, distribuidas en tres familias de características similares. La primera de ellas está constituida por el electrón, el llamado neutrino electrónico y los quarks u y d. Estos últimos son las partículas de las que están compuestos los protones y los neutrones. Junto a esta primera familia, o «familia del electrón», hay una segunda familia, o «familia del muón». El muón es una partícula prácticamente igual en todo al electrón, solo que es doscientas veces más pesada. La segunda familia también contiene un neutrino (el neutrino muónico) y dos quarks. Y hay una tercera familia, o familia de la partícula τ (tau), con similares características. La única diferencia importante entre las familias es que las partículas de cada una de ellas son más pesadas que las de la anterior. Es como una tabla periódica de elementos, pero en este caso, en vez de átomos, lo que figura en ella son partículas elementales. Se sabe que solo hay tres familias de este tipo, pero no se sabe por qué la naturaleza es así. Cuál es el origen de este patrón de tres familias o por qué hay una jerarquía de masas entre ellas son misterios para los que de momento no tenemos respuesta.

Así que el Modelo Estándar es capaz de describir con éxito todos los experimentos que se han hecho hasta ahora con partículas elementales, pero deja preguntas muy profundas sin contestar.

Cuestiones sin resolver

Hemos dicho que el Modelo Estándar describe (hasta ahora) con gran éxito la conducta de las partículas en un laboratorio (por ejemplo, en el gran colisionador de protones LHC). Esto es cierto, pero también lo es que el universo nos proporciona hechos que no pueden ser explicados dentro de este marco teórico, y que indican que tiene que haber una nueva física «más allá del Modelo Estándar», como se suele decir en la jerga de los físicos de partículas.

La más importante de esas indicaciones es la existencia de la materia oscura, una materia que envuelve las galaxias como una especie de atmósfera y que se extiende más allá de ellas como jirones de niebla. Esa materia no se ha podido detectar, excepto por la fuerza gravitatoria que ejerce sobre la materia ordinaria, o sea, la que forma las estrellas, los planetas y a nosotros mismos. Aun así, las pruebas de su existencia son abrumadoras. Esta materia desconocida es seis veces más abundante que la materia ordinaria y apenas se sabe nada de ella, más allá de que no puede ser materia ordinaria, es decir, la que describe el Modelo Estándar.

Otro hecho intrigante es la energía oscura. Se trata de una energía distribuida de forma homogénea por todo el universo, incluyendo los espacios aparentemente vacíos. Esta energía supone el 69 % del contenido total de materia y energía del universo (el 26 % es materia oscura y apenas un 5 %, materia ordinaria). Fue descubierta en 1998, cuando, de forma inesperada, se comprobó que el universo no solo está expandiéndose, sino que lo hace de forma acelerada, una consecuencia directa de esta enigmática energía. Al igual que pasaba con la materia oscura, se desconoce el origen de la energía oscura; el Modelo Estándar no explica su existencia ni su magnitud.

La materia y la energía oscuras no son las únicas observaciones que exigen una física más allá del Modelo Estándar. Hay otras cuestiones fundamentales (en las que no vamos a entrar), como la asimetría materia-antimateria del universo, el llamado problema CP-fuerte o la naturalidad de la ruptura electrodébil, que tampoco encuentran respuesta dentro del Modelo Estándar.

El sueño de la física

El sueño de la física teórica es, naturalmente, resolver todos los enigmas que hemos enumerado. Como dijimos anteriormente, muchos físicos y físicas tienen la esperanza de que la teoría que resuelva el conflicto entre la mecánica cuántica y la relatividad general indicará el camino para resolver también gran parte de ellos. Históricamente ha sucedido esto varias veces, es decir, el descubrimiento de un nuevo marco conceptual para resolver un problema de consistencia entre teorías ha abierto la puerta para resolver otras cuestiones. Sucedió, por ejemplo, con la llegada de la relatividad especial, que puso fin al conflicto entre la mecánica newtoniana y la teoría del electromagnetismo (leyes de Maxwell). Sucedió también, como se ha comentado, con la teoría cuántica de campos, que solucionó el conflicto entre la mecánica cuántica y la relatividad especial. Y posiblemente suceda con la agraciada teoría que reconcilie la mecánica cuántica con la relatividad general.

¿Será esa teoría la «teoría final»?, o, como se ha venido en llamar, ¿la «teoría del todo»? Por supuesto, nadie lo sabe. De hecho, algunos piensan incluso que la teoría del todo no existe o que es inalcanzable para la mente humana. Todo son conjeturas, aunque no parece que exista ningún obstáculo a priori para que algún día se llegue a alcanzar esa meta final. Lo que es seguro es que ahora mismo estamos aún lejos de ella, a pesar de los pasos gigantescos que se han dado en los últimos siglos. Hay que tener en cuenta que una teoría del todo no solo debe describir con precisión toda la materia y sus interacciones, sino que también debe explicar por qué son como son. Por ejemplo, no debe tan solo describir correctamente las fuerzas eléctricas, sino que debe explicar por qué hay fuerzas eléctricas y por qué tienen la intensidad que tienen; y lo mismo con el resto de las interacciones. Asimismo, debe explicar por qué el universo tiene tres dimensiones espaciales y una temporal, e incluso debería explicar por qué la naturaleza ha decidido ser cuántica y relativista. En otras palabras, una teoría del todo explicaría que el mundo es así porque es la única forma lógica que tiene de existir.

¿Formará parte la mecánica cuántica de esa teoría del todo? Nuevamente, solo podemos especular. Lo que es seguro es que la física cuántica ha supuesto un paso colosal en el camino hacia esa teoría. Es muy llamativo que ninguna de las teorías que se barajan para resolver el conflicto entre la mecánica cuántica y la relatividad general modifica los postulados de la física cuántica. Siempre que se ha probado a modificarlos, aunque sea de forma minúscula, esto ha conducido a contradicciones lógicas. Esto es algo muy notable y quizá significativo, pero realmente no demuestra nada. El «ingenio de la naturaleza» puede ser muy superior al de toda la comunidad científica, como se ha demostrado en muchas ocasiones.

Antes hemos dicho que la relatividad general es posiblemente la teoría más bella que se haya formulado jamás; la mayoría de la comunidad teórica respaldaría esta afirmación. La mecánica cuántica, por su parte, tiene otros récords: no solo es la teoría que ha explicado más fenómenos naturales y que ha dado lugar a más tecnologías que han cambiado nuestra forma de vivir. Es, además, la teoría más extraña que se haya concebido jamás, la que nos presenta un universo más misterioso y paradójico. Y en esa extrañeza reside la fascinación que despierta.

Agradecimientos

En primer lugar quiero agradecer a mi mujer, Resu, por su paciencia leyendo, corrigiendo y aportando muchas sugerencias valiosas durante la redacción del texto. También me he beneficiado de la lectura y comentarios de mis hijos, Laura y Alberto, y de mi amigo Antonio Tricas. Muchas gracias a todos ellos. Asimismo, estoy en deuda con Luis Ibáñez e Ignacio Cirac, por su generosa valoración del texto, y con Oriol Masià, por su eficaz labor de edición. Finalmente, quiero agradecer una vez más a mi familia por su apoyo y cariño permanentes.

Un recorrido fascinante, desde el gato de Schrödinger hasta la computación cuántica, con uno de los físicos más prestigiosos de nuestro país.

La física cuántica es uno de los mayores triunfos intelectuales del ser humano, tal vez el más grande. Alberto Casas, uno de los más reputados investigadores y divulgadores de nuestro país, nos lleva a través de un viaje por esta fascinante disciplina, desde el célebre gato de Schrödinger hasta la computación cuántica. De su mano, conoceremos sus orígenes, sus más importantes ideas, sus principales protagonistas e incluso aquellas preguntas para las que aún no tenemos respuesta.

«La revolución cuántica ofrece una presentación clara e intuitiva —pero rigurosa— de los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica desde una perspectiva muy actual, sin necesidad de una base matemática. A diferencia de la mayoría de libros divulgativos dedicados a ella, la obra de Alberto Casas hace una introducción magistral a las cuestiones más candentes como la computación y criptografía cuánticas o la teleportación».
Luis Ibáñez, Premio Nacional de Física

«Este libro cubre, de una manera muy pedagógica y didáctica, todos los aspectos fundamentales de la física cuántica.»
Ignacio Cirac, Premio Príncipe de Asturias y Wolf de Física

Alberto Casas es doctor en Física teórica y profesor de investigación del CSIC en el Instituto de Física Teórica (Madrid), un centro científico de élite con un centenar de investigadores internacionales, del que ha sido director varios años. Sus áreas de investigación son la física de partículas elementales y la cosmología, temas sobre los que ha publicado más de cien artículos en revistas científicas internacionales. Ha trabajado durante tres años en Ginebra como fellow del Centro Europeo de Física de Partículas (CERN) —sede del gran colisionador de hadrones (LHC)— y otros tantos en las universidades de Oxford y California, así como, en estancias más breves, en centros e instituciones de todo el mundo. Desde hace años compagina su actividad científica con la de divulgación. Ha escrito varios libros dirigidos al gran público y ha complementado esta faceta con numerosos artículos periodísticos, programas de radio y televisión, vídeos divulgativos y charlas dirigidas a audiencias generales.

Primera edición: septiembre de 2022

© 2022, Alberto Casas

© 2022, Penguin Random House Grupo Editorial, S. A. U.

Travessera de Gràcia, 47-49. 08021 Barcelona

La editorial no ha podido contactar con el autor o propietario de las imágenes del capítulo 1, 5, 6, 7 y 15, pero reconoce su titularidad de los derechos de reproducción y su derecho a percibir los royalties que pudieran corresponderle.

Diseño de portada: Penguin Random House Grupo Editorial / Anna Puig
Fotografía de portada: © Carlos Villarejo

Penguin Random House Grupo Editorial apoya la protección del copyright. El copyright estimula la creatividad, defiende la diversidad en el ámbito de las ideas y el conocimiento, promueve la libre expresión y favorece una cultura viva. Gracias por comprar una edición autorizada de este libro y por respetar las leyes del copyright al no reproducir ni distribuir ninguna parte de esta obra por ningún medio sin permiso. Al hacerlo está respaldando a los autores y permitiendo que PRHGE continúe publicando libros para todos los lectores. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, http://www.cedro.org) si necesita reproducir algún fragmento de esta obra.

ISBN: 978-84-666-7264-1

Compuesto en: leerendigital.com

Facebook: penguinebooks
Twitter: penguinlibros
Instagram: penguinlibros
YouTube: penguinlibros
Spotify: penguinlibros

[1] En general, los coeficientes a, b pueden tomar valores complejos, y la probabilidad de presencia de la partícula en cada punto es proporcional al cuadrado de su módulo, | a | 2, | b | 2. Si el lector no está familiarizado con los números complejos, no debe preocuparse; basta con que tenga en cuenta que a, b pueden tomar valores positivos y negativos.

[2] Para los lectores familiarizados con las derivadas: la ecuación de Schrödinger para una partícula sometida a un potencial V(x) es –(ℏ2/2m) d2ψ/dx2 + Vψ = ٠, donde m es la masa de la partícula y ℏ es la llamada «constante de Planck», que encontraremos en el próximo capítulo.

[3] Para los lectores iniciados en el álgebra lineal: la ecuación de autovalores para una magnitud física, A, tiene la forma Â | ψ   = a | ψ  , donde Â es un operador asociado que actúa en el espacio de todos los estados. El estado | ψ   que satisface esta ecuación es un autoestado de A, y el valor de a (denominado «autovalor») es el resultado que obtendremos al realizar una medida de esa magnitud física.

[4] Concretamente, E = -GMm/r, donde G es la constante de Newton, M la masa de la Tierra, m la masa del objeto sujeto a la atracción terrestre y r la distancia del objeto al centro de la Tierra.

[5] Que H solo puede valer 2 o –2 puede deducirse rápidamente teniendo en cuenta que H = AB + A’B + A’B’ – AB’ = (A+A’)B + (A’ – A)B’. Necesariamente, uno de los dos paréntesis vale cero y el otro, 2 o –2. Dado que B y B’ han de tomar el valor 1 o –1, se deduce que H solo puede valer 2 o –2.

[6] Matemáticamente, los coeficientes a, b son números complejos de módulo 1 (habitualmente denominados «fases»). Si no está familiarizado con los números complejos, puede imaginar a, b como números que toman los valores 1 y –1 de forma caótica y rápidamente cambiante.

[7] Estrictamente, las secuencias obtenidas así no son perfectamente aleatorias, pero funcionan como tales, ya que en la práctica son totalmente impredecibles. Curiosamente, la única forma de obtener secuencias perfectamente aleatorias es usando el carácter rigurosamente probabilístico de las medidas cuánticas.

[8] Las expresiones de arriba se deducen a partir de las definiciones | +  = | 0  + | 1 , | –  = | 0  – | 1 . Quizá usted note que falta un factor ½; es decir, lo que uno obtiene realmente es | 0  = (| +  + | – )/2, | 1  = (| +  – | – /2. Sin embargo, los factores globales son irrelevantes en mecánica cuántica. Lo importante es el tamaño relativo de los coeficientes de la superposición.

[9] Por ejemplo, se puede dividir la clave en segmentos de 10 bits, asignando a cada uno de ellos un 0 o un 1, según contenga un número par o impar de unos. De este modo, 0010110010 → 0, 1010010110 → 1, etc. Esa sería la nueva clave. Para Eve, es virtualmente imposible deducirla, ya que, como mucho, solo dispone de la mitad de los bits de la clave antigua.

[10] De hecho, un proceso semejante sucede también en la computación clásica (al fin y al cabo, la naturaleza es siempre cuántica), solo que en esta se pierden o se «ignoran» los bits irrelevantes.