Este libro es una recopilación de los artículos de Albert Einstein publicados en la revista científica Annalen der Physik en 1905. Ese año es conocido como Annus mirabilis (año extraordinario) y trajo consigo cuatro artículos que contribuyeron sustancialmente a la fundación de la física moderna y cambiaron las opiniones sobre el espacio, el tiempo, la masa y la energía.

Albert Einstein

Annus mirabilis

Los cuatro artículos que cambiaron el mundo

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Skynet 27.02.2020

Título original: Annus mirabilis. Los cuatro artículos que cambiaron el mundo

Albert Einstein, 1905

Traducción: AA. VV.

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N. del E. D.

En el título de los cuatro artículo de esta obra hay una llamada a notas (en forma de [*]), con una breve introducción al contenido de dicho artículo.

Sobre un punto de vista heurístico concerniente a la producción y transformación de la luz [*]

A. Einstein

Berna, 17 de marzo de 1905
Annalen der Physik nº17 (1905): 132-148

Existe una diferencia formal y profunda entre los modelos que los físicos han creado sobre los gases y otros cuerpos ponderables y aquel de la teoría de Maxwell de los procesos electromagnéticos en el así llamado espacio vacío. Mientras que consideramos al estado de un cuerpo como determinado perfectamente por un número de átomos y electrones ciertamente muy grande, pero finito, nos servimos por otro lado de funciones espaciales continuas para la determinación de estados electromagnéticos de un espacio, de tal manera que un número finito de magnitudes no se considera como suficiente para una interpretación íntegra del estado electromagnético de un espacio. Según la teoría de Maxwell, se tiene que interpretar a la energía como una función del espacio continua para todos los fenómenos electromagnéticos, incluida la luz, mientras que según la actual interpretación de los físicos la energía tiene que ser representada como una suma que se extiende sobre todos los átomos y electrones. La energía de un cuerpo ponderable no puede descomponerse en cualquier número de partículas o en cualesquiera partículas pequeñas, mientras que según la teoría de Maxwell (o en general según toda teoría ondulatoria) la energía de un haz de luz emitido por una fuente puntual se puede distribuir continuamente en un volumen siempre creciente. La teoría ondulatoria de la luz operante con funciones espaciales continuas, ha demostrado representar excelentemente los fenómenos ópticos puros y probablemente no sea nunca sustituida por otra teoría. Sin embargo no se pierda de vista que las observaciones ópticas se refieren a promedios temporales no a valores momentáneos y que a pesar de la comprobación íntegra de la teoría de la difracción, reflexión, refracción, dispersión, etc, por medio de la experimentación, es concebible que la teoría de la luz operante con funciones continuas en el espacio, conduzca a contradicciones con la experiencia cuando se aplica a los fenómenos de la producción y la transformación de la luz.

Me parece ahora en efecto que las observaciones sobre la radiación del cuerpo negro, la fotoluminiscencia, la producción de rayos catódicos por luz ultravioleta y otros grupos de fenómenos concernientes a la producción o transformación de luz, parecen más comprensibles bajo la suposición de que la energía de la luz esta distribuida discontinuamente en el espacio. Según la suposición que se propone hacer, la propagación de un haz de luz desde un punto no se distribuye continuamente en espacios más y más crecientes, sino que el mismo consiste en un número finito de cuantos de energía localizados en puntos del espacio, los cuáles se mueven sin partirse y solo pueden ser absorbidos o emitidos como un todo.

A continuación quiero participar del razonamiento y citar los hechos que me han conducido por este camino, con la esperanza de que el punto de vista expuesto quiera ser comprobado como útil por algunos investigadores en sus estudios.

§ 1. Sobre una dificultad concerniente a la teoría de la radiación del cuerpo negro

Situémonos a continuación dentro del marco de la teoría Maxwelliana y la teoría de electrones y consideremos el siguiente caso. En un espacio cerrado con paredes perfectamente reflejantes se encuentra un número de moléculas gaseosas y electrones que se pueden mover libremente y ejercen fuerzas conservativas mutuamente, cuando se acercan mucho entre sí; esto es, pueden chocar entre sí como moléculas gaseosas de acuerdo a la teoría cinética de los gases[*]. Hagamos que un número de electrones esté en lo sucesivo anclado en puntos del espacio muy distantes entre sí, por medio de fuerzas proporcionales a las elongaciones y dirigidas hacia estos puntos. Estos electrones también deben interactuar conservativamente con los electrones y moléculas libres cuando estos últimos se aproximan mucho. Llamaremos «resonadores» a los electrones anclados en estos puntos del espacio; estos emiten y absorben ondas electromagnéticas con periodos determinados.

Según la concepción prevaleciente sobre la producción del luz, la radiación en el espacio considerado, la cual se encuentra basada en la teoría Maxwelliana para el equilibrio dinámico, es idéntica con aquella de la «radiación del cuerpo negro» —al menos cuando los resonadores de todas la frecuencias tomadas en consideración se asumen como disponibles—.

Prescindamos momentáneamente de la radiación emitida y absorbida por los resonadores e inquiramos acerca de la correspondiente condición del equilibrio dinámico de la interacción (las colisiones) de moléculas y electrones. La teoría cinética de los gases proporciona para este último la condición de que la energía cinética media de un electrón resonador debe ser igual a la energía cinética media del movimiento de translación de una molécula gaseosa. Si descomponemos el movimiento de un electrón resonador en tres oscilaciones perpendiculares entre sé, encontramos el valor medio fórmula de la energía de una de tales oscilaciones rectilíneas

donde R es la constante absoluta de los gases, N el número de moléculas reales en un equivalente gramo y T la temperatura absoluta. A causa de la igualdad del valor medio temporal de las energías cinética y potencial del resonador, la energía fórmula es ⅔ la energía cinética de una molécula monoatómica gaseosa libre. Si una causa cualquiera —en nuestro caso por procesos de radiación— produjera que la energía de un resonador poseyera un valor medio temporal mayor o menor que fórmula, entonces conducirían las colisiones con los electrones y moléculas libres a ganancias o a pérdidas de energía del gas con promedio distinto de cero. En el caso del equilibrio dinámico considerado por nosotros esto solo es posible si cada resonador posee la energía promedio fórmula.

Reflexionemos similarmente en relación a la interacción de los resonadores con la radiación existente en el espacio. Planck[*] ha derivado la condición del equilibrio dinámico para este caso bajo la suposición de que la radiación se puede considerar como un proceso con el desorden más concebible[*].

El encontró que

donde Eν es la energía media de un resonador con frecuencia propia ν (por componente de oscilación), L la velocidad de la luz, ν la frecuencia y ρv dν la energía por unidad de volumen de la parte de la radiación, cuya frecuencia yace entre ν y ν + dν.

Si la energía de la radiación de frecuencia ν no puede continuamente en conjunto ser disminuida o incrementada, entonces debe ser válido:

Esta relación encontrada como condición del equilibrio dinámico carece no solamente de coincidencia con los experimentos, sino que indica también, que no se puede hablar en nuestro esquema de una partición de energía determinada entre éter y materia. Mientras más amplio se escoja el rango de frecuencias del resonador, mayor sería la energía de la radiación del espacio y en el límite tenemos que

§ 2. Sobre la determinación de Planck de constantes elementales

Queremos mostrar a continuación que la determinación de las constantes elementales dada por Planck es independiente hasta cierto grado de la teoría de la radiación del cuerpo negro presentada por el mismo.

La formula de Planck[*] para ρ que basta para todas las observaciones experimentales actuales es

donde

α = 6,10 × 10 -56

β = 4,866 × 10 -11

Para valores grandes de fórmula, es decir, para grandes longitudes de onda y densidades de radiación, esta fórmula conduce en el límite hasta

Se reconoce que esta fórmula coincide con aquella de la sección desarrollada a partir de la teoría de Maxwell y de la teoría de electrones. Igualando los coeficientes de ambas ecuaciones se obtiene

o

esto significa que un átomo de hidrógeno pesa 1/N gramos = 1,62 × 10 -24g. Este es exactamente el valor encontrado por Planck el cual coincide satisfactoriamente con el valor encontrado por otros métodos para esta cantidad.

Logramos de aquí la siguiente conclusión: mientras más grande sea la densidad de energía y la longitud de onda de una radiación, es como si se confirmase más la utilidad de los fundamentos teóricos usados por nosotros; sin embargo para cortas longitudes de onda y pequeñas densidades de radiación fracasan totalmente los mismos.

A continuación se considerará la radiación del cuerpo negro en conexión con los experimentos sin partir de una visión particular sobre la producción y propagación de la radiación.

§ 3. Sobre la entropía de la radiación

La siguiente consideración está contenida en un trabajo muy famoso de W. Wien y se mencionará solo para completar.

Sea una radiación que ocupa el volumen υ. Supongamos que las propiedades observables de la radiación existente se pueden determinar totalmente cuando están dadas todas las densidades de radiación ρ(ν) para todas las frecuencias[*]. Ya que las radiaciones de diversas frecuencias se tienen que considerar separables las unas de las otras si no realizan trabajo y si no transportan calor, entonces la entropía de la radiación se puede representar de la forma

donde φ es una función de las variables ρ y ν. Se puede reducir φ a una función de solo una variable, formulando que la entropía de la radiación no se modifica por compresión adiabática entre paredes reflejantes. No queremos injerir aquí sin embargo, sino investigar inmediatamente cómo se puede calcular la función φ a partir de la ley de radiación del cuerpo negro.

En el caso de la radiación del cuerpo negro ρ es una función tal de ν, que para una energía dada la entropía es un máximo, esto es, que

si

De aquí se sigue que para cada elección de δρ como función de ν

donde λ es independiente de ν. En el caso de la radiación del cuerpo negro también fórmula es independiente de ν.

Para el incremento de temperatura dT de la radiación del cuerpo negro de volumen υ = 1 es válida la ecuación:

o, ya que fórmula es independiente de ν,

Ya que dE es igual al calor añadido y el proceso es reversible, entonces también es válido

Por comparación se obtiene:

Esta es la ley de la radiación del cuerpo negro. También se puede determinar la ley de la radiación del cuerpo negro a partir del la función φ y viceversa, de esta última función la función φ por integración, tomando en cuenta que, desaparece para ρ = 0.

§ 4. Ley límite para la entropía de radiación monocromática para baja densidad de radiación

De las actuales observaciones sobre la radiación del cuerpo negro se desprende a saber, que la ley formulada originalmente por W. Wien,

no es exactamente válida. Sin embargo, la misma se confirmó íntegramente experimentalmente para valores grandes de ν/T. Tomemos como base esta fórmula para nuestros cálculos teniendo a la vista que nuestros resultados son válidos solo dentro de ciertos límites. De esta fórmula se desprende a continuación:

y además usando la relación encontrada en el párrafo anterior

Sea dada una radiación con energía E, cuya frecuencia se encuentra entre ν y ν + dν. La radiación ocupa el volumen υ. La entropía de esta radiación es:

Limitémonos a examinar la dependencia de la entropía del volumen ocupado por la radiación y llamemos S₀ a la entropía de la radiación, en caso de que la misma ocupe el volumen υ₀, tenemos

Esta igualdad muestra que la entropía de una radiación monocromática con densidad suficientemente pequeña varía con el volumen con la misma ley que lo hace la entropía de un gas ideal o la de una solución diluida. La ecuación encontrada ahora será interpretada a continuación con base en el principio introducido en la física por Boltzmann, según el cual la entropía de un sistema es una función de la probabilidad de su estado.

§ 5. Examinación teórica molecular de la dependencia de la entropía de gases y soluciones diluidas con respecto al volumen

En el cálculo de la entropía por métodos moleculares teóricos se emplea frecuentemente la palabra «probabilidad», en un sentido que no coincide con la definición como se da en el cálculo de probabilidades. En particular, en los casos donde los modelos teóricos están suficientemente determinados, los «casos con igual probabilidad» son a menudo fijados hipotéticamente, en vez de dar a cada hipótesis una deducción. Planeo en un trabajo aparte demostrar que con la así llamada «probabilidad estadística» se pueden tratar íntegramente procesos térmicos y espero así eliminar una inconveniencia lógica, que aún dificulta la aplicación del principio de Boltzmann. Aquí solo se dará una formulación general y uso en casos muy particulares.

Si tiene sentido hablar de la probabilidad del estado de un sistema, si de aquí en adelante cada incremento de entropía puede ser entendido como una transición hacia un estado más probable, entonces la entropía S de un sistema es una función de la probabilidad W de su estado momentáneo. Si existen entonces dos sistemas estacionarios S₁ y S₂ que no interactúan, entonces se puede fijar:

Si se considera a ambos sistemas como un único sistema con entropía S y probabilidad W, entonces

Esta última relación expresa que los estados de ambos sistemas son eventos independientes entre sí. De esta ecuación se sigue

de aquí finalmente

La cantidad C es entonces una constante universal; como se deduce de la teoría cinética de los gases tiene el valor R/N, donde las constantes R y N tienen el mismo significado que se les otorgó anteriormente. Si S₀ es la entropía de un cierto estado inicial del sistema bajo consideración y W es la probabilidad relativa de un estado con entropía S, entonces obtenemos en general

Consideremos a continuación el siguiente caso especial. Exista en un volumen υ₀ disponible un número n de puntos móviles (p. ej. moléculas), a las cuales se referirán nuestras reflexiones. Además de estos, puede haber en el espacio todavía un número cualquiera de puntos móviles de cualquier tipo. No se supondrá nada sobre la ley según la cual se mueven en el espacio los puntos considerados, excepto que con respecto a este movimiento ninguna parte del espacio (y ninguna dirección) será preferida a las demás. El número de puntos móviles considerados (los primeros que se mencionaron) será en lo sucesivo tan pequeño, que se puede despreciar la acción mutua.

Al sistema en cuestión, el cual puede ser p. ej. un gas ideal o una solución diluida, le corresponde una determinada entropía S₀. Imaginemos una parte del volumen υ₀ de tamaño υ donde todos los puntos móviles n son trasladados al volumen υ, sin que al sistema se le modifique algo. A este estado le corresponde obviamente otro valor de la entropía (S), y ahora queremos determinar la diferencia de entropía con ayuda del principio de Boltzmann.

Nos preguntamos: ¿Cuán grande es la probabilidad de este último estado en relación con el original? O: ¿Cuán grande es la probabilidad de que en un instante cualquiera todos los puntos móviles independientes entre sí, dados en un volumen υ₀, se encuentren (aleatoriamente) en el volumen υ?

Para esta probabilidad, la cual es una probabilidad estadística, se obtiene evidentemente el valor:

a partir de aquí, se obtiene usando el principio de Boltzmann

Es notable que no se necesite hacer ninguna suposición sobre la ley que rige el movimiento de las moléculas para deducir esta ecuación, a partir de la cual se pueden obtener fácilmente de forma termodinámica[*] la ley de Boyle-Gay-Lussac y la ley análoga para la presión osmótica.

§ 6. Interpretación de la expresión para la dependencia de la entropía de radiación monocromática del volumen según el principio de Boltzmann

En la sección 4 encontramos la expresión para la dependencia de la entropía de la radiación monocromática del volumen:

Escribiendo esta ecuación de la forma:

y comparándola con la expresión más general del principio de Boltzmann

se logra la siguiente conclusión:

Si la radiación monocromática con frecuencia ν y con energía E está encerrada (por paredes reflejantes) en el volumen υ₀, entonces la probabilidad de que en un instante cualquiera, toda la energía de radiación se encuentre en una parte υ del volumen υ₀ es,

De aquí concluimos todavía más: La radiación monocromática de bajas densidades (dentro del rango de validez de la fórmula de la radiación de Wien) se comporta con respecto a la teoría cinética del calor, como si consistiese en cuantos de energía independientes entre sí con magnitud

Queremos comparar todavía la magnitud media de los cuantos de energía de la radiación del cuerpo negro con la energía cinética media del movimiento del centro de masa de una molécula a la misma temperatura. Esta última es

mientras que el valor medio del cuanto de energía según la fórmula de Wien es:

Si ahora la radiación monocromática (con una densidad suficientemente baja), en lo que respecta a la dependencia de la entropía del volumen, se comporta como un medio discontinuo, el cual consiste en cuantos de energía de tamaño

Es razonable indagar si también las leyes de la producción y transformación de luz están elaboradas, como si la luz consistiese de tales cuantos de energía.

§ 7. Sobre la regla de Stokes

Sea la luz monocromática transformada por fotoluminiscencia en luz de otra frecuencia y, conforme al resultado por ahora conjeturado, supóngase que tanto la luz productora como la producida consistiesen en cuantos de energía de tamaño

Donde ν es la frecuencia en cuestión. El proceso de transformación será interpretado de la siguiente manera. Cada cuanto de energía excitante de frecuencia ν₁ es absorbido y da lugar por sí solo a la generación de un cuanto de luz de frecuencia ν₂ —al menos para densidades de distribución suficientemente bajas de los cuantos de energía excitantes—; durante la absorción del cuanto de luz probablemente también podrían generarse simultáneamente cuantos de luz de frecuencias ν₃, ν₄, etc, así como energía de otro tipo (p. ej. calor). Es irrelevante por medio de qué tipo de proceso intermedio se lleva a cabo este resultado. Si la sustancia fotoluminiscente no se considera como una fuente continua de energía, entonces según el principio de conservación de energía, la energía de un cuanto generado no puede ser más grande que la de un cuanto de energía excitante: entonces tiene que ser válida la relación,

Esta es la conocida regla de Stokes.

Según nuestra interpretación, es de resaltar en particular que para bajas exposiciones, la cantidad de luz emitida de los estados excitados, cuyas otras condiciones permanecen constantes, debe ser proporcional a la intensidad de luz incidente, ya que cada cuanto de energía excitante causará un proceso elemental del tipo de los antes mencionados, independiente de la acción de los otros cuantos de energía excitantes. En particular, no habrá ningún límite inferior para la intensidad de la luz excitante, debajo del cual la luz sería incapaz de producir fotoluminiscencia.

Según las interpretaciones expuestas sobre los fenómenos, desviaciones de la Regla de Stokes son concebibles en los siguientes casos:

Cuando el número de cuantos de energía simultáneamente captados en la conversión sea tan grande, que un cuanto de energía de la luz generada pueda adquirir su energía de más de un cuanto de energía excitante.

Cuando la luz excitante (o generada) no sea de la constitución energética de aquella de la radiación del cuerpo negro correspondiente al rango de validez de la ley de Wien, o sea si, p. ej. la luz estimulante es producida por un cuerpo con una temperatura superior, con una longitud de onda para la cual la Ley de Wien no es ya más válida.

Esta última posibilidad merece particular atención. Según la interpretación desarrollada no está descartado a saber, que una radiación que no sea del tipo Wien incluso muy atenuada se comporte completamente diferente en términos energéticos que una radiación del cuerpo negro en el rango de validez de la Ley de Wien.

§ 8. Sobre la producción de rayos catódicos por iluminación de cuerpos sólidos

La interpretación común de que la energía de la luz estaría distribuida continuamente en todo el espacio iluminado, encuentra grandes dificultades particularmente al intentar explicar los fenómenos electroluminosos que se encuentran expuestos en un trabajo pionero de Lenard[*].

Según la idea de que la luz excitante consiste en cuantos de energía con valor Rβν/N, se puede interpretar la generación de rayos catódicos por luz de la siguiente manera. En la capa superficial del cuerpo penetran los cuantos de energía y su energía se transforma al menos en parte en energía cinética de los electrones. La representación más sencilla es aquella en la que un cuanto de luz cede toda su energía a un solo electrón; supondremos que esto ocurre. No debe sin embargo descartarse que los electrones solamente adquieran parcialmente la energía de los cuantos de luz. Un electrón que provisto de energía en el interior del cuerpo, habrá perdido una parte de su energía cinética cuando haya alcanzado la superficie. Además se supondrá que cada electrón tiene que hacer un trabajo P (característico del cuerpo) cuando abandone el cuerpo. Los electrones excitados directamente en la superficie dejarán el cuerpo con la mayor velocidad perpendicular. La energía cinética de tales electrones es

Si el cuerpo está cargado a un potencial positivo Π y está rodeado de conductores con potencial cero, y si Π es capaz de impedir una pérdida de electricidad del sólido, entonces debe ser que:

donde ε es la carga eléctrica del electrón, o

donde E es la carga de un equivalente gramo de un ion monovalente y P’ equivale al potencial de esta cantidad de electricidad negativa en relación al sólido[*].

Si se hace E = 9,6 × 10³, entonces es Π × 10 -8 el potencial en volts, que el sólido adquiere por iluminación en el vacío.

Para ver a continuación, si la relación derivada coincide con el orden de magnitud de los experimentos, asignemos P’ = 0, ν = 1,03 × 10¹⁵ (correspondiente al límite del espectro solar hacia el ultravioleta) y β = 4,866 × 10 -11. Obtenemos Π × 10 -7 = 4,3 volts, resultado cuyo orden de magnitud coincide con los resultados de Lenard[*].

Si la fórmula deducida es correcta, entonces Π representada en coordenadas cartesianas como función de la frecuencia de la luz excitante, tiene que ser una línea recta, cuya pendiente es independiente de la naturaleza de la sustancia ensayada.

Hasta donde yo veo, no existe contradicción alguna entre las propiedades del efecto fotoeléctrico observados por Lenard y nuestra interpretación. Si cada cuanto de energía de la luz incidente cede su energía independientemente de todos los restantes, entonces la distribución de velocidades de los electrones, esto es, la calidad de la radiación catódica generada será independiente de la intensidad de la luz excitante; por otro lado el número de electrones que dejan el sólido será proporcional a la intensidad de la luz excitante en condiciones por lo demás idénticas[*].

Sobre los límites de validez supuestos de los principios antes mencionados, se podrían hacer comentarios similares como en relación a las presumibles desviaciones de la regla de Stokes.

En lo anterior se asumió que la energía de al menos una parte de los cuantos energéticos de la luz excitante sería cedida íntegramente a electrones individuales. Si no se hace esta suposición obvia, se obtiene entonces en vez de la igualdad antes citada, la siguiente:

Para la catodoluminiscencia, que es el proceso inverso al antes mencionado, se obtiene por una consideración análoga

En las sustancias examinadas por Lenard, ΠE es siempre significativamente más grande que Rβν, ya que el voltaje por el cual deben colarse los rayos catódicos, para sencillamente ser capaces de generar luz visible, asciende en unos casos a algunos cientos, en otros a miles de volts[*]. También se tiene que suponer, que la energía cinética de un electrón se consume en la producción de varios cuantos de energía.

§ 9. Sobre la ionización de los gases por luz ultravioleta

Habremos de suponer que en la ionización de un gas por luz ultravioleta se absorbe un cuanto de energía de luz por cada molécula de gas. De aquí se deduce que el trabajo de ionización (esto es, el trabajo teóricamente necesario para ionizar) de una molécula no puede ser más grande que la energía de un cuanto de energía luminosa activo que fue absorbido. Si designamos con J el trabajo (teórico) de ionización por equivalente gramo, entonces se debe obtener:

Sin embargo, según mediciones de Lenard la máxima longitud de onda efectiva para aire es ca. 1,9 × 10 -5 cm, es decir

Un límite superior para el trabajo de ionización se logra también a partir de los voltajes de ionización de gases diluidos. Según J. Stark[*] el voltaje de ionización más pequeño medido (en ánodos de Platino) para aire es ca. 10 volts[*]. Resulta entonces para J un límite superior de 9,6 × 10¹² el cual casi iguala el ahora encontrado. Se deriva todavía otra consecuencia más, cuya prueba experimental me parece de mayor importancia. Si cada cuanto de energía luminosa absorbido ioniza una molécula, entonces entre la cantidad de luz absorbida L y el número j de moléculas gramo ionizadas debe ser válido:

Si nuestra interpretación corresponde con la realidad, esta relación (para la frecuencia relevante) debe ser válida para todos los gases, los cuales no presentan absorción significante sin ionización.

Investigaciones sobre la Teoría del Movimiento Browniano[*]

A. Einstein

Berna, 11 de mayo de 1905
Annalen der Physik nº17 (1905): 549-560

ACERCA DEL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS PEQUEÑAS SUSPENDIDAS EN UN LÍQUIDO ESTACIONARIO, DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA TEORÍA CINÉTICA DEL CALOR

En el presente artículo se demostrará que, de acuerdo a la Teoría Cinética del Calor, cuerpos microscópicos suspendidos en un líquido presentan movimientos de magnitud tal que pueden ser observados fácilmente en un microscopio y que dichos movimientos se pueden explicar en base al movimiento molecular del calor. Es posible que los movimientos aquí discutidos sean idénticos al llamado «Movimiento Molecular Browniano»; sin embargo la información con la que cuento acerca de ese tema no es lo bastante precisa, así que no formaré un juicio final acerca de él.

Si el movimiento aquí descrito de hecho puede ser observado (junto con las leyes relacionadas que se esperaría encontrar) entonces tendremos que decir que las leyes clásicas de la termodinámica no son confiablemente precisas, incluso hablando de cuerpos de dimensiones tales que puedan ser observados en el microscopio, y de aquí se desprende que es posible determinar las dimensiones exactas de los átomos. Por otro lado, si se determina que las predicciones de movimientos aquí descritas son incorrectas, tal divergencia puede considerarse como un argumento de peso en contra del concepto de calor de la teoría cinético-molecular.

§ 1. Acerca de la presión osmótica atribuible a las partículas en suspensión

Digamos que una cantidad z de moles de un no-electrolito se disuelven en un volumen V* el cual a su vez forma parte de una cantidad de líquido con volumen total V. Si el volumen V* es separado del resto del solvente por medio de una membrana que sea permeable para el solvente pero impermeable para la solución, tenemos que se ejerce una «presión osmótica», p, sobre esta membrana, y que satisface la ecuación

en donde V*/z es suficientemente grande.

Por otro lado, si en el volumen parcial V* existen partículas pequeñas suspendidas en lugar de la sustancia disuelta, dichas partículas tampoco pueden pasar a través de la membrana que es permeable al solvente: de acuerdo a la teoría termodinámica clásica —por lo menos cuando ignoramos la fuerza de gravedad, que no nos interesa aquí— no esperaríamos encontrar ninguna fuerza actuando sobre la membrana. Esto es porque de acuerdo a las concepciones comunes, la «energía libre» es independiente de la posición de la partición y de las partículas suspendidas. Dicha energía depende solamente de la masa total, de las cualidades del material suspendido, del líquido y de la membrana, y de la presión y la temperatura. De hecho, para poder calcular la energía del sistema deben de considerarse también la energía y entropía de las superficies limítrofes (las fuerzas de tensión superficial); pero estas pueden ser excluidas si el tamaño y las condiciones de las superficies de contacto no se alteran con los cambios de posición de la membrana y de las partículas en suspensión que estamos considerando.

Pero podemos llegar a una conceptualización diferente desde el punto de vista de la teoría cinético-molecular del calor. De acuerdo a esta teoría, una molécula disuelta se diferencia del cuerpo en suspensión únicamente por sus dimensiones, y no hay razón por la que un número de partículas suspendidas no deban producir la misma presión osmótica que el mismo número de moléculas. Debemos asumir primero que las partículas suspendidas exhiben un movimiento irregular —aunque sea muy pequeño— dentro del líquido, debido al movimiento molecular de este. Si la membrana les impide abandonar el volumen V*, ejercerán una presión sobre ella de la misma manera que las moléculas en la solución. Así, si hay un número n de partículas suspendidas en el volumen V*, y por lo tanto hay n/V* = v por unidad de volumen, y si las partículas alrededor están lo bastante separadas, existirá una presión osmótica p de magnitud dada por la ecuación

en donde N significa el número real de moléculas por mol. En la siguiente sección, se demostrará que la teoría cinético-molecular del calor de hecho predice este concepto más amplio de la presión molecular.

§ 2. La presión osmótica desde el punto de vista de la teoría cinético-molecular del calor[*]

Si p₁, p₂, … pl son las variables de estado de un sistema físico, que definen por completo la condición del sistema en cualquier instante (por ejemplo, las coordenadas y los componentes de velocidad de todos los átomos del sistema), y si el sistema completo de ecuaciones de cambio de dichas variables está dado en la forma

en donde

entonces la entropía del sistema está dada por la expresión

donde T es la temperatura absoluta, fórmula es la energía total del sistema, y E es la energía como una función de pv. La integral se extiende sobre todos los valores posibles de pv que sean consistentes con las condiciones del problema. La variable x está relacionada con la constante N antes referida, por medio de la relación 2xN = R. De esta forma podemos obtener para la energía termodinámica libre F:

Ahora, consideremos una cantidad de líquido dentro del volumen V. Digamos que existen n moléculas diluidas (o partículas suspendidas) en una fracción V* de este volumen V, y que tales moléculas están asiladas en V* por medio de una membrana semi-permeable. Los límites de la integral B obtenida en las fórmulas para S y F variarán de acuerdo a esos valores. Suponemos además que el volumen combinado de moléculas diluidas (o partículas suspendidas) es pequeño en comparación con V*. Este sistema estará completamente definido bajo la teoría que estamos discutiendo, en función de las variables de estado p₁, p₂, … , pl.

Si la idea de las moléculas se extendiera para calcular cada unidad del sistema, desde luego el cálculo de la integral B ofrecería dificultades tales que no se podría siquiera contemplar un cálculo exacto de F. Aquí, tan solo necesitamos saber cómo F depende de la magnitud del volumen V*, en donde se hallan presentes todas las moléculas en solución, a las cuales a partir de este momento llamaremos simplemente «partículas».

Llamaremos x₁, y₁, z₁ a las coordenadas rectangulares del centro de gravedad de la primera partícula; x₂, y₂, z₂ a las coordenadas de la segunda, etc., y xn, yn, zn a las de la última partícula del sistema; y además asignaremos como centros de gravedad al dominio de los paralelepípedos indefinidamente pequeños dx₁, dy₁, dz₁; dx₂, dy₂, dz₂, … , dxn, dyn, dzn, todos los cuales existen dentro de V*. Se buscará entonces el valor de la integral que aparece en la fórmula para F, con la limitante que dice que los centros de gravedad de las partículas existen dentro de un dominio así definido.

De esta forma, la integral puede expresase como

en donde J es independiente de dx₁ dy₂, etc. así como de V*; esto es, que es independiente de la posición de la membrana semi-permeable. Pero J también es independiente de cualquier posición que escojamos para los dominios de los centros de gravedad y de la misma magnitud de V*, como demostraremos a continuación. Si propusiéramos un segundo sistema, con los dominios de los centros de gravedad de sus partículas siendo indefinidamente pequeños y expresados como dx₁’ dy₁’ dz₁’; dx₂’ dy₂’ dz₂’ … dxn’ dyn’ dzn’, y que difieran de los dominios originales tan solo en su posición pero no en su magnitud, si están igualmente contenidos en V* se puede proponer una expresión análoga que sigue siendo válida:

donde

y por lo tanto

Pero a partir de la teoría molecular del calor citada[*], se puede fácilmente deducir que dB/B (o bien dB’/B) equivale a la probabilidad de que en cualquier instante arbitrario de tiempo, los centros de gravedad de las partículas estén incluidos en los dominios (dx₁ … dzn) o en (dx’₁ … dz’n) respectivamente. Ahora bien, si los movimientos de partículas individuales son independientes entre sí hasta cierto grado de aproximación, y si el líquido es homogéneo y no ejerce fuerza sobre la partículas, entonces para dominios del mismo tamaño, la probabilidad de ambos sistemas es la misma, de modo que la siguiente fórmula es válida:

Pero a partir de esta y de la última ecuación obtenida, se desprende que

Así hemos demostrado que J es independiente tanto de V* como de x₁, y₁ … zn.

Por integración, obtenemos que

y por lo tanto la fuerza es

y la presión osmótica puede representarse como

Por medio de este análisis, se ha demostrado que la existencia de la presión osmótica puede deducirse a partir de la Teoría Cinético-Molecular del Calor y que, desde este punto de vista, las moléculas en solución y las partículas en suspensión son idénticas en comportamiento en diluciones grandes.

§ 3. Teoría de la difusión de esferas pequeñas en suspensión

Supongamos que tenemos partículas suspendidas en un líquido y dispersas en forma irregular. Consideraremos su estado de equilibrio dinámico, asumiendo que existe una fuerza K que actúa sobre las partículas y que depende de la posición pero no del tiempo. Para simplificar, asumiremos que la fuerza actúa siempre en la dirección del eje x.

Digamos que v es el número de partículas suspendidas por unidad de volumen. En equilibrio dinámico del sistema, v es función de x, tal que la variación de la energía libre desaparece en un desplazamiento arbitrario δx de la sustancia en suspensión. Por lo tanto, tenemos que

Asumiremos también que el líquido tiene un área de una unidad en su sección transversal perpendicular al eje x, y que está delimitado por los planos x = 0 y x = l.

Entonces tenemos:

y también

Por lo tanto, la condición de equilibrio requerida es:

o bien:

La última ecuación afirma que el equilibrio en presencia de la fuerza K, es resultado de las fuerzas de presión osmótica.

La ecuación (I) puede usarse para encontrar el coeficiente de difusión de la sustancia en suspensión. Podemos conceptualizar la condición de equilibrio dinámico aquí descrita como una superposición de dos procesos que proceden en direcciones opuestas:

Un movimiento de la sustancia en suspensión bajo la acción de la fuerza K, en cada una de las partículas.

Un proceso de difusión, resultado del movimiento irregular de las partículas, producido por el movimiento molecular del calor.

Si las partículas en suspensión tienen forma esférica con un radio de la esfera = P, y si el líquido tiene un coeficiente de viscosidad k, entonces la fuerza que K le confiere a cada partícula[*] es:

y para calcular el paso en una unidad de área por unidad de tiempo, usamos:

partículas.

Si ahora designamos a D como el coeficiente de difusión de la sustancia en suspensión, y designamos a p como la masa de una partícula, tendremos que la ecuación para el paso por unidad de tiempo en una unidad de área será de:

fórmula gramos

o bien, de

fórmula partículas

Y ya que debe existir equilibrio dinámico, escribimos:

Podemos ahora calcular el coeficiente de difusión a partir de las condiciones (I) y (2) encontradas para el equilibrio dinámico, y obtenemos:

Por lo tanto, sin tomar en cuenta las constantes universales y la temperatura absoluta, el coeficiente de difusión de la sustancia en suspensión depende únicamente del coeficiente de viscosidad del líquido y del tamaño de las partículas en suspensión.

§ 4. Acerca del movimiento irregular de partículas suspendidas en un líquido y la relación de este fenómeno con la difusión

Nos enfocaremos ahora en un análisis más detallado de los movimientos irregulares que resultan del movimiento térmico de las moléculas, y que provocan el fenómeno de difusión investigado en la sección anterior.

Evidentemente, debemos asumir que cada partícula individual ejecuta un movimiento que es independiente del movimiento de las otras partículas. Además los movimientos de una misma partícula tras diferentes intervalos de tiempo también deben considerarse como procesos independientes, si consideramos que tales intervalos no son demasiado pequeños.

Consideremos en nuestra discusión un intervalo de tiempo τ, que sea muy pequeño en comparación al intervalo observado pero que a la vez, su magnitud sea tal que los movimientos de una partícula en dos diferentes intervalos τ puedan ser considerados como fenómenos independientes.

Supongamos que tenemos un total de n partículas en suspensión en un líquido. En un intervalo de tiempo τ, las coordenadas en x de las partículas individuales se incrementarán en una cantidad Δ, en donde Δ asume un valor diferente (positivo o negativo) para cada partícula individual. Para cada valor de Δ, existirá una cierta probabilidad de ocurrencia, de modo que el número δn de partículas que experimenten en el intervalo τ un desplazamiento que esté entre Δ y Δ + dΔ, puede ser expresado con una ecuación de la forma:

en donde

y la función de probabilidad Φ solo es diferente de cero para valores muy pequeños de Δ, y cumple con la condición

Investigaremos ahora cómo el coeficiente de difusión depende de la función Φ, de nuevo limitándonos al caso en el que el número v de partículas por unidad de volumen depende solamente de x y de t.

Si decimos entonces que el número de partículas por unidad de volumen está expresado como v = ƒ (x, t), calcularemos la distribución de partículas en un momento t + τ desde la distribución en el tiempo t. A partir de la definición de la función, es sencillo obtener el número de partículas en el momento t + τ, que están posicionadas entre dos planos perpendiculares al eje x, con abscisas x y en x + dx. Tenemos:

Ahora bien, ya que τ es muy pequeña, podemos escribir:

Y si expandimos ƒ(x + Δ, t) como potencias de A:

Podemos poner esta expansión de la fórmula dentro de la integral, ya que únicamente valores pequeños de Δ contribuyen significativamente. Así, obtenemos:

En la parte derecha de la ecuación, los términos pares (segundo, cuarto, etc.) tienden a desaparecer, ya que Φ(x) = Φ - (x); mientras que en los términos impares de la serie, cada uno es muy pequeño en comparación con el que le precede. Teniendo en cuenta que

y sustituyendo

y además tomando en consideración solo el primero y tercer término del lado derecho de la ecuación, encontramos:

Esta es la bien conocida ecuación diferencial del fenómeno de difusión, y podemos ver que el término D es precisamente el coeficiente de difusión.

Una consideración más en relación a este método de deducción: hemos asumido que las partículas individuales están referidas en su totalidad al mismo sistema de coordenadas, pero esta estrategia es innecesaria ya que los movimientos individuales son mutuamente independientes. Ahora, referiremos el movimiento de cada partícula a un sistema de coordenadas cuyo origen coincide, en el tiempo t = 0, con la posición del centro de gravedad de las partículas en cuestión. Con esta diferencia, la función ƒ(x, t)dx ahora dará como resultado el número de partículas cuya componente en x ha incrementado una cantidad que va desde x hasta x + dx, entre el tiempo t = 0 y el tiempo t = t. En este caso, la función ƒ con sus cambios, también debe de satisfacer las condiciones de la ecuación (I).

Además, debemos tener para x <> 0 y para t = 0, la expresión

Este problema, que es equivalente al problema de difusión hacia afuera a partir de un punto (ignorando la posibilidad de intercambio entre las partículas que se difunden), está completamente definido de forma matemática; su solución es:

La probabilidad de la distribución de los desplazamientos resultantes en un tiempo t, es por lo tanto equivalente al de la probabilidad de error, lo cual era de esperarse. Pero es muy significativo cómo las constantes en los exponentes están relacionadas con el coeficiente de difusión.

Ahora, usando esta ecuación, calcularemos el desplazamiento λx en la dirección del eje x, que una partícula experimenta en promedio. Más exactamente, calcularemos la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de todos los desplazamientos a lo largo del eje x, que es:

El desplazamiento medio es, por lo tanto, proporcional a la raíz cuadrada del tiempo transcurrido. Se puede demostrar fácilmente que la raíz cuadrada de la media de todos los cuadrados de los desplazamientos de las partículas tiene un valor de:

§ 5. Fórmula para el desplazamiento medio de partículas suspendidas. un nuevo método para determinar el tamaño real del átomo

En la § 3 encontramos que, para un coeficiente de difusión D de un material en suspensión en un líquido, formado de esferas pequeñas de radio P,

También, en la § 4 vimos que para el valor medio de los desplazamientos de las partículas en la dirección del eje x, en un tiempo t,

Eliminando el coeficiente D, tenemos que

Esta ecuación muestra cómo el desplazamiento depende de T, k y P.

Calculemos ahora qué tan grande es λx para un intervalo de segundo, si se toma a N como equivalente a 6 × 10²³, de acuerdo a la Teoría Cinética de los Gases; se escoge como líquido al agua a temperatura de 17ºC (k = 1.35 × 10 -2); y finalmente fijamos el diámetro de las partículas en 0.001 mm. La respuesta que obtenemos es:

Por lo tanto, el desplazamiento medio en un minuto sería alrededor de 6μ.

Por otro lado, la relación encontrada puede ser usada para determinar N. Obtenemos:

Es mi esperanza que alguien pueda tener éxito pronto en resolver el problema aquí sugerido, que es de tanta importancia en relación a la Teoría del Calor.

Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento[*]

A. Einstein

Berna, 30 de junio de 1905
Annalen der Physik nº17 (1905): 891-920

Se sabe que cuando la electrodinámica de Maxwell —tal como se suele entender actualmente— se aplica a cuerpos en movimiento, aparecen asimetrías que no parecen estar en correspondencia con los fenómenos observados. Pensemos, por ejemplo, en la interacción electrodinámica entre un imán y un conductor. En este caso, el fenómeno que se observa depende solamente del movimiento relativo entre el conductor y el imán, mientras que de acuerdo a la interpretación común se deben distinguir claramente dos casos muy diferentes, dependiendo de cuál de los dos cuerpos se mueva. Si se mueve el imán mientras que el conductor se encuentra en reposo, al rededor del imán aparece un campo eléctrico con cierto valor para su energía. Este campo eléctrico genera una corriente en el lugar donde se encuentre el conductor. Pero si el imán esta en reposo y el conductor se mueve, al rededor del imán no aparece ningún campo eléctrico sino que en el conductor se produce una fuerza electromotriz que en sí no corresponde a ninguna energía, pero da lugar a corrientes eléctricas que coinciden en magnitud y dirección con las del primer caso, suponiendo que el movimiento relativo es igual en cada uno de los casos bajo consideración.

Otros ejemplos de esta índole así como los intentos infructuosos para constatar un movimiento de la Tierra con respecto al «medio de propagación de la luz» permiten suponer que no solamente en mecánica sino también en electrodinámica ninguna de las propiedades de los fenómenos corresponde al concepto de reposo absoluto. Más bien debemos suponer que para todos los sistemas de coordenadas, en los cuales son válidas las ecuaciones mecánicas, también tienen validez las mismas leyes electrodinámicas y ópticas, tal como ya se ha demostrado para las magnitudes de primer orden. Queremos llevar esta suposición (cuyo contenido será llamado de ahora en adelante «principio de la relatividad») al nivel de hipótesis y además introducir una hipótesis adicional que solamente a primera vista parece ser incompatible con el principio de la relatividad. Dicha hipótesis adicional sostiene que la luz en el espacio vacío siempre se propaga con cierta velocidad V que no depende del estado de movimiento del emisor. Basándonos en la teoría de Maxwell para cuerpos en reposo, estas dos hipótesis son suficientes para derivar una electrodinámica de cuerpos en movimiento que resulta ser sencilla y libre de contradicciones. La introducción de un «éter» resultará ser superflua puesto que de acuerdo a los conceptos a desarrollar no es necesario introducir un «espacio en reposo absoluto», ni tampoco se asocia un vector de velocidad a ninguno de los puntos del espacio vacío en los que se llevan a cabo procesos electromagnéticos.

La teoría a desarrollar se basa —como cualquier otra electrodinámica— en la cinemática del cuerpo rígido porque las afirmaciones de cualquier teoría involucran relaciones entre cuerpos rígidos (sistemas de coordenadas), relojes y procesos electromagnéticos. El que estas circunstancias no hayan sido consideradas en forma apropiada es la raíz de las dificultades con las que actualmente debe luchar la electrodinámica de cuerpos en movimiento.

I. Cinemática

§ 1. Definición de simultaneidad

Supongamos un sistema de coordenadas en el cual se valen las ecuaciones mecánicas de Newton. A este sistema de coordenadas lo llamaremos «sistema en reposo» a fin de distinguirlo de otros sistemas que se introducirían más adelante y para precisar la presentación.

Si un punto material se encuentra en reposo con respecto a este sistema de coordenadas, su posición se puede determinar y expresar en coordenadas cartesianas mediante escalas rígidas, utilizando la geometría euclidiana.

Cuando queremos describir el movimiento de un punto material, especificamos los valores de sus coordenadas en función del tiempo. Será necesario tener en cuenta que una descripción matemática de esta índole tiene un sentido físico solamente cuando con anterioridad se ha aclarado lo que en este contexto se ha de entender bajo «tiempo». Debemos tener en cuenta que todas nuestras afirmaciones en las cuales el tiempo juega algún papel, siempre son afirmaciones sobre eventos simultáneos. Por ejemplo, cuando digo «Ese tren llega aquí a las 7», esto significa algo así como: «El momento en que la manecilla pequeña de mi reloj marca las 7 y la llegada del tren son eventos simultáneos[*]».

Podría parecer que todas las dificultades relacionadas con la definición del «tiempo» se superarían si en lugar de «tiempo» utilizara «la posición de la manecilla pequeña de mi reloj». De hecho, una definición de este tipo sería suficiente en caso de que se trate de definir un tiempo exclusivamente para el lugar en el cual se encuentra el reloj; no obstante, esta definición ya no sería suficiente en cuanto se trate de relacionar cronológicamente series de eventos que ocurren en lugares diferentes, o —lo que implica lo mismo— evaluar cronológicamente eventos que ocurren en lugares distantes del reloj.

No obstante, podríamos sentirnos satisfechos si avaluáramos cronológicamente los eventos mediante el reloj de un observador que se encuentra en el origen de coordenadas y le asigna la posición correspondiente de la manecilla del reloj a cada uno de los eventos a evaluar, en el momento en que recibe una señal de luz que proviene del evento y se propaga en el espacio vacío. Sin embargo, como lo demuestra la experiencia, una asignación de esta índole tiene la inconveniencia de no ser independiente del observador equipado con el reloj. Mediante la siguiente observación llegaremos a una especificación mucho más práctica.

Si en el punto A del espacio se encuentra un reloj, un observador que se encuentre en A puede evaluar cronológicamente los eventos en la vecindad inmediata de A, buscando las posiciones de la manecilla del reloj que correspondan simultáneamente a estos eventos. Si en el punto B del espacio también se encuentra un reloj —queremos añadir «un reloj de exactamente la misma naturaleza como el que se encuentra en A»— también es posible realizar una evaluación cronológica de los eventos en la vecindad inmediata de B mediante un observador que se encuentra en B. Sin embargo, sin especificaciones adicionales no es posible comparar cronológicamente el evento en A con el evento en B; hasta ahora hemos definido un «tiempo A» y un «tiempo B», pero no un «tiempo» común para A y B. Este último tiempo se puede definir estableciendo por definición que el «tiempo» que necesite la luz para viajar de A a B sea igual al «tiempo» para pasar de B a A. Supongamos que una señal de luz parte de A hacia B en el «tiempo A» tA, llega a B y se refleja de regreso hacia A en el «tiempo B» tB y finalmente llega al punto A en el «tiempo A» t'A. De acuerdo a la definición, los dos relojes estarán sincronizados si

tB - tA = t'A - tB. (1)

Supongamos que es posible formular sin contradicciones esta definición de sincronización para un número arbitrario de puntos, y que en general las siguientes relaciones son válidas:

Si el reloj en B está sincronizado con el reloj en A, entonces el reloj en A esta sincronizado con el reloj en B.

Si el reloj en A esta sincronizado con los relojes en B y en C, entonces los relojes en B y C también estarán sincronizados entre sí.

De esta manera con ayuda de ciertos experimentos físicos (imaginarios) hemos establecido lo que se debe entender bajo relojes sincronizados que se encuentran en reposo en diferentes lugares y, por ende, obviamente hemos obtenido una definición de «simultáneo» y de «tiempo». El «tiempo» de un evento es el dato de un reloj que se encuentra en reposo en el mismo lugar y el mismo momento del evento; dicho reloj debe estar sincronizado, para todas las determinaciones del tiempo, con un reloj específico que se encuentre en reposo.

Además, basándonos en el experimento asumimos que la magnitud

es una constante universal (la velocidad de la luz en el espacio vacío).

Lo importante es que hemos definido el tiempo mediante un reloj que se encuentra en reposo con respecto a un sistema en reposo; debido a su correspondencia con un sistema en reposo, al tiempo que acabamos de definir le llamaremos «el tiempo del sistema en reposo».

§ 2. Sobre la relatividad de la longitud y el tiempo

Las siguientes reflexiones se basan en el principio de la relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz, los cuales formularemos de la siguiente manera.

Las leyes de acuerdo a las cuales cambian los estados de los sistemas físicos no dependen de si estos cambios de estado se refieren a uno u otro de dos sistemas de coordenadas que se encuentran en movimiento relativo de traslación uniforme.

Cualquier rayo de luz se propaga en un sistema de coordenadas en «reposo» con cierta velocidad V, independientemente de si este rayo de luz ha sido emitido por un cuerpo en reposo o en movimiento. En este caso

donde el concepto de «intervalo de tiempo» se debe entender en el contexto de la definición presentada en § 1.

Consideremos una varilla rígida en reposo de longitud l, la cual se determina igualmente mediante una escala de medición en reposo. Imaginémonos ahora el eje de la varilla situado sobre el eje X del sistema de coordenadas en reposo y supongamos que la varilla se traslada uniformemente (con velocidad v) y de forma paralela al eje X en la dirección de crecimiento de la coordenada x. Ahora nos preguntamos cual sera la longitud de la varilla en movimiento, suponiendo que esta longitud se determina mediante las siguientes dos operaciones:

a) El observador se desplaza junto con la escala mencionada anteriormente y la varilla bajo consideración y efectúa la medición de la longitud superponiendo directamente la escala sobre la varilla, justamente de la misma manera como si la varilla, la escala y el observador se encontraran en reposo.

b) El observador determina los puntos del sistema en reposo en los cuales se encuentran los extremos de la varilla en determinado tiempo t, utilizando para ello relojes que no se mueven con respecto al sistema en reposo y han sido sincronizados de acuerdo al procedimiento del § 1. La distancia entre estos dos puntos, determinada mediante la escala en reposo que ya hemos utilizado en este caso, también es una longitud que se puede designar como la «longitud de la varilla».

De acuerdo al principio de la relatividad, la longitud a determinar en la operación a), que llamaremos «longitud de la varilla en el sistema en movimiento», debe ser igual a la longitud l de la varilla en reposo.

La longitud a especificar en la operación b), que llamaremos «longitud de la varilla (en movimiento) en el sistema en reposo», será determinada en base a nuestros dos principios y se demostrará que su valor es diferente de l.

La cinemática de uso general asume tácitamente que las longitudes determinadas mediante las operaciones arriba mencionadas son exactamente iguales o, en otras palabras, desde el punto de vista geométrico un cuerpo rígido en movimiento en el momento t se puede reemplazar completamente por el mismo cuerpo cuando se encuentra en reposo en alguna posición.

Supongamos ademas que en los extremos (A y B) de la varilla se colocan relojes sincronizados con los relojes del sistema en reposo, es decir, en un instante dado sus indicaciones corresponden al «tiempo del sistema en reposo» en las posiciones donde resulte que se encuentren. Por lo tanto estos relojes están «sincronizados en el sistema en reposo».

Supongamos además que con cada reloj se mueve un observador y que estos observadores aplican a cada uno de los relojes el criterio establecido en § 1 para la sincronización de dos relojes. En el instante de tiempo[*] tA un rayo de luz parte de A, luego se refleja en el punto B en el momento tB y regresa al punto A al tiempo t'A. Teniendo en cuenta el principio de constancia de la velocidad de la luz obtenemos:

y

donde rAB representa la longitud de la varilla en movimiento, medida en el sistema en reposo. Por lo tanto los observadores que se desplazan con la varilla determinarán que los relojes no están sincronizados, mientras que los observadores en el sistema en reposo los declararían como sincronizados.

De esta manera vemos que no podemos asignar un significado absoluto al concepto de simultaneidad, y que dos eventos simultáneos desde el punto de vista de un sistema de coordenadas ya no se pueden interpretar como simultáneos desde un sistema de coordenadas que se mueve relativamente con respecto al sistema en reposo.

§ 3. Teoría de la transformación de coordenadas y del tiempo de un sistema en reposo a otro sistema que se encuentra en movimiento traslacional uniforme con respecto al primero

Consideremos dos sistemas de coordenadas en el espacio «en reposo», es decir, dos sistemas cada uno con tres líneas materiales rígidas que parten de un punto y son perpendiculares entre sí. Supongamos que los ejes X de ambos sistemas coinciden y los ejes Y y Z son respectivamente paralelos. Consideremos una escala rígida y un número de relojes en cada uno de los sistemas y supongamos que tanto las escalas como también los relojes de ambos sistemas son, de manera respectiva, exactamente iguales.

Al punto de origen de uno de los sistemas de coordenadas (k) se le confiere una velocidad (constante) v en la dirección de crecimiento de la coordenada x del otro sistema (K) que se encuentra en reposo. Igualmente, la velocidad se transfiere a los ejes de coordenadas, la escala en cuestión y a los relojes. A cada tiempo t del sistema en reposo K le corresponde una posición determinada de los ejes del sistema en movimiento, y por razones de simetría estamos facultados para suponer que el movimiento de k puede ser tal que los ejes del sistema en movimiento en el momento t (siempre se designa con «t» el tiempo del sistema en reposo) son paralelos a los ejes del sistema en reposo.

Ahora imaginémonos que el espacio del sistema en reposo K se mide mediante la escala en reposo, e igualmente el del sistema en movimiento k mediante la escala que se mueve junto con él, y de esta manera se determinan las coordenadas x, y, z y ξ, η, ζ, respectivamente. El tiempo t del sistema en reposo se determina para todos los puntos del sistema mediante los relojes que se encuentran en reposo en dicho sistema y con la ayuda de señales de luz tal como se describió en § 1; de igual forma el tiempo τ del sistema en movimiento se determina para todos los puntos del sistema, en el cual se hallan relojes en reposo relativo con respecto al mismo sistema, utilizando el método mencionado en § 1 de señales de luz entre los puntos donde se encuentran dichos relojes.

Para cada sistema de valores x, y, z, t, el cual determina completamente la posición y el tiempo de un evento en el sistema en reposo, corresponde un sistema de valores ξ, η, ζ, τ, que fija dicho evento con respecto al sistema k. Ahora el problema a resolver consiste en encontrar el sistema de ecuaciones que relaciona estas magnitudes.

En primer lugar es claro que las ecuaciones deben ser lineales debido a las propiedades de homogeneidad que le asignamos al espacio y al tiempo.

Si fijamos que x’ = x - vt, es claro que a un punto en reposo en el sistema k le corresponde cierto sistema de valores x’, y, z que es independiente del tiempo. Primero determinaremos τ como función de x’, y, z y t. A tal fin debemos expresar en forma de ecuaciones el hecho de que τ no es nada más que el compendio de los datos de los relojes en reposo en el sistema k, los cuales han sido sincronizados de acuerdo a la regla especificada en § 1.

Supongamos que desde el origen del sistema k se emite un rayo de luz en el momento τ₀ a lo largo del eje X hacia x’ y desde allí en el momento τ₁ se refleja hacia el origen de coordenadas a donde llega en el momento τ₂.

Entonces se debe cumplir que

o incluyendo los argumentos de la función τ y aplicando el principio de la constancia de la velocidad de la luz en el sistema en reposo:

Tomando a x’ infinitamente pequeño, de esta última ecuación obtenemos:

o

Debemos anotar que en lugar del origen de coordenadas podríamos haber seleccionado cualquier otro punto como punto de salida del rayo de luz y, por lo tanto, la ecuación recién obtenida se cumple para todos los valores de x’, y, z.

Considerando que desde el punto de vista del sistema en reposo la luz siempre se propaga con la velocidad fórmula a lo largo de los ejes Y y Z, un análisis similar aplicado a estos ejes nos lleva a:

Puesto que τ es una función lineal, de estas ecuaciones obtenemos

donde a es por el momento una función desconocida φ(v) y por brevedad suponemos que en el origen de k, τ = 0 cuando t = 0.

Con ayuda de estos resultados es fácil determinar las magnitudes ξ, η, ζ, expresando mediante ecuaciones que la luz (tal como lo exige el principio de constancia de la velocidad de la luz en conexión con el principio de la relatividad) también se propaga en el sistema en movimiento con velocidad V. Para un rayo de luz que en el momento τ = 0 se emite en la dirección de crecimiento de ξ tenemos que:

ξ = Vτ,

o

Pero con respecto al origen de k el rayo de luz se desplaza con la velocidad V - v, cuando se mide en el sistema en reposo, de tal manera que:

Si reemplazamos este valor de t en la ecuación para ξ, obtenemos

Si consideramos rayos de luz propagándose a lo largo de los otros ejes, de forma análoga encontramos

donde

es decir,

y

Introduciendo el valor de x’, resulta

donde

y φ es por ahora una función desconocida de v. Si no se impone ninguna condición sobre la posición inicial del sistema en movimiento ni sobre el punto cero de τ, se debe agregar una constante aditiva en la parte derecha de estas ecuaciones.

Ahora debemos demostrar que desde el punto de vista del sistema en movimiento todo rayo de luz se propaga con la velocidad V, si este es el caso en el sistema en reposo, como lo hemos supuesto. Esto es necesario debido a que aún no hemos demostrado que el principio de constancia de la velocidad de la luz es compatible con el principio de la relatividad.

En el tiempo t = τ = 0, cuando ambos sistemas de coordenadas poseen un origen común, se emite una onda esférica que se propaga en el sistema K con velocidad V. Si (x, y, z) representa un punto abarcado por esta onda, entonces

A esta expresión le aplicamos nuestras ecuaciones de transformación y tras un cálculo sencillo obtenemos:

Por lo tanto, en el sistema en movimiento la onda bajo consideración también es una onda esférica con velocidad de propagación V. De esta manera se demuestra que nuestros dos principios básicos son compatibles entre sí.

En las ecuaciones de transformación que hemos derivado aparece una función desconocida de φ de v que determinaremos ahora.

A tal fin introducimos un tercer sistema de coordenadas K’ que con respecto al sistema k se encuentra en un estado de movimiento traslacional paralelamente al eje Ξ, de tal manera que su origen de coordenadas se desplaza con velocidad -v a lo largo del eje Ξ. Supongamos que en el momento t = 0 todos los tres orígenes de coordenadas coinciden y que para t = x = y = z = 0 el tiempo t' del sistema K' es igual a cero. Sean x’, y', z', las coordenadas medidas en el sistema K'. Utilizando dos veces nuestro sistema de ecuaciones de transformación obtenemos:

Puesto que las relaciones entre x’, y’, z’ y x, y, z no contienen el tiempo t, los sistemas K y K’ se encuentran en reposo uno con respecto al otro y es claro que la transformación de K a K’ debe ser la transformación idéntica. Por lo tanto:

Ahora nos preguntamos cuál es el significado de φ(v). Consideremos el intervalo del eje H localizado entre ξ = 0, η = 0, ζ = 0 y ξ = 0, η = l, ζ = 0. Este intervalo del eje H corresponde a una varilla que se mueve perpendicularmente a su eje con velocidad v con respecto al sistema K. Los extremos de la varilla en el sistema K tiene las coordenadas:

y

Por lo tanto, la longitud de la varilla medida en K es l/φ(v); de esta forma hemos hallado el significado de la función φ. Por razones de simetría es evidente que la longitud de una varilla, medida en el sistema en reposo, que se mueve perpendicularmente a su eje depende solamente de la velocidad y no de la dirección y el sentido del movimiento. Entonces, la longitud, medida en el sistema en reposo, de la varilla en movimiento no varía si se intercambia v por -v. En consecuencia tenemos:

o

A partir de esta relación y de la encontrada anteriormente se deriva que φ(v) = 1 y, consecuentemente, las ecuaciones de transformación se convierten en

donde

§ 4. Significado físico de las ecuaciones obtenidas en lo referente a cuerpos rígidos y relojes en movimiento

Consideremos una esfera rígida[*] de radio R que está en reposo con respecto al sistema k y cuyo centro se encuentra en el origen de coordenadas de k. La ecuación para la superficie de esta esfera que se mueve con velocidad v con respecto a K es:

Al tiempo t = 0 la ecuación de esta superficie en coordenadas x, y, z se expresa como:

Si en un sistema en reposo un cuerpo rígido tiene la forma de una esfera, en un sistema en movimiento, visto desde el sistema en reposo, tendrá la forma de un elipsoide de rotación con los ejes

Mientras que las dimensiones Y y Z de la esfera (y por lo tanto también de cualquier cuerpo rígido de forma arbitraria) no resultan afectadas por el movimiento, la dimensión X aparece reducida en la relación

es decir, se hace mayor a medida que aumenta v. En el caso v = V todos los objetos en movimiento, vistos desde un sistema en reposo, se transforman en figuras planas. A velocidades superiores a la de la luz nuestro análisis pierde todo sentido. Por lo demás, en los siguientes análisis veremos que físicamente la velocidad de la luz en nuestra teoría juega el papel de las velocidades infinitamente grandes.

Es claro que los mismos resultados son válidos para cuerpos en reposo en el sistema de «reposo», vistos desde un sistema en movimiento uniforme.

Además, imaginémonos uno de los relojes que están en la capacidad de indicar el tiempo t cuando se encuentra en reposo con respecto a un sistema en reposo, y el tiempo τ cuando se encuentra en reposo con respecto a un sistema en movimiento. Supongamos que dicho reloj está localizado en el origen de coordenadas de k y está ajustado de tal manera que indica el tiempo τ. ¿Que tan rápido marcara el tiempo este reloj, si se observa desde el sistema en reposo?

Entre las cantidades x, t y τ que se refieren a la posición de este reloj tenemos, obviamente, las siguientes ecuaciones:

y

Por lo tanto

de donde se deduce que la indicación del reloj (vista desde el sistema en reposo) por cada segundo se retrasa fórmula segundos, es decir, fórmula segundos, si nos olvidamos de las correcciones iguales o superiores al cuarto orden.

De lo anterior se deriva la siguiente consecuencia particular. Si en los puntos A y B de K existen relojes sincronizados, que se encuentran en reposo con respecto al sistema en reposo, y movemos el reloj de A con velocidad v a lo largo de la línea que une A con B, al llegar al punto B los relojes ya no estarán sincronizados, sino que el reloj desplazado de A hasta B mostrara, con respecto al reloj que desde el principio se encontraba en B, un retraso de fórmula segundos, donde t es el tiempo que necesita el reloj para pasar de A a B.

Inmediatamente se ve que este resultado también es válido cuando el reloj se desplaza desde A hasta B a lo largo de una línea poligonal arbitraria, incluso cuando los puntos A y B coinciden.

Si suponemos que el resultado demostrado para una línea poligonal es válido también para una curva de curvatura continua, obtenemos la siguiente conclusión: Si en A se encuentran dos relojes sincronizados y movemos uno de ellos con velocidad constante a lo largo de una curva cerrada hasta regresar al punto A, utilizando para ello un tiempo de t segundos, entonces al llegar al punto A el reloj desplazado mostrará un retraso de fórmula segundos, con respecto al reloj que ha permanecido inmóvil. De aquí concluimos que un reloj de balance situado en el ecuador de la Tierra debe andar más despacio, por una cantidad muy pequeña, que un reloj similar situado en uno de los polos y sujeto a las mismas condiciones.

§ 5. Teorema de adición de velocidades

Consideremos en el sistema k, que se mueve con velocidad v a lo largo del eje X del sistema K, un punto en movimiento de acuerdo a las siguientes ecuaciones:

donde wξ, y wη son constantes.

Se pretende describir el movimiento del punto con respecto al sistema K. Si introducimos en las ecuaciones de movimiento del punto las magnitudes x, y, z, t mediante las ecuaciones de transformación derivadas en § 3, obtenemos:

Consecuentemente, en nuestra teoría la ley del paralelogramo para las velocidades es válida únicamente a primer orden de aproximación. Sea

y

entonces, α se debe considerar como el ángulo entre las velocidades v y w. Un cálculo sencillo genera

Es interesante anotar que v y w aparecen de forma simétrica en la expresión para la velocidad resultante. Si w también tiene la dirección del eje X (eje Ξ), obtenemos

De esta ecuación se deriva que de la combinación de dos velocidades, ambas menores que V, siempre resulta una velocidad menor que V. En efecto, si tomamos v = V - K y w = V - λ, donde K y λ son positivas y menores que V, entonces:

Además, se deriva que la velocidad de la luz V no se puede alterar al combinarla con una «velocidad menor que la de la luz». En este caso se obtiene

Para el caso en que v y w tienen la misma dirección también hubiéramos podido obtener la fórmula para U aplicando dos de las transformaciones descritas en § 3. Si además de los sistemas K y k utilizados en § 3 introducimos un tercer sistema de coordenadas k’ que se desplaza paralelamente al sistema k y cuyo origen se mueve con velocidad w sobre el eje Ξ, obtenemos ecuaciones que relacionan a x, y, z, t con las cantidades correspondientes en k’ y que se diferencian de las encontradas en § 3 solamente porque en lugar de «v» aparece la magnitud

De aquí se deduce que, como debe ser, dichas transformaciones paralelas forman un grupo.

Hemos derivado las dos leyes necesarias de la cinemática que corresponden a nuestros dos principios y ahora procederemos a mostrar su aplicación en electrodinámica.

II. Electrodinámica

§ 6. Transformación de las ecuaciones de Maxwell-Hertz para el espacio vacío. Sobre la naturaleza de la fuerza electromotriz que aparece con el movimiento en un campo magnético.

Supongamos que las ecuaciones de Maxwell-Hertz para el espacio vacío son válidas en el sistema en reposo K de forma tal que:

donde (X, Y, Z) representa el vector de la fuerza eléctrica y (L, M, N) el de la fuerza magnética.

Si aplicamos a estas ecuaciones la transformación desarrollada en § 3, refiriendo los efectos electromagnéticos al sistema de coordenadas que se mueve con velocidad v, obtenemos las siguientes ecuaciones:

donde

El principio de la relatividad exige ahora que las ecuaciones de Maxwell-Hertz en el espacio vacío también se cumplan en el sistema k, si se cumplen en el sistema K, es decir, que los vectores de la fuerza eléctrica y magnética —(X', Y', Z’) y (L’, M’, N’)— del sistema en movimiento k, que se definen respectivamente mediante sus efectos ponderomotrices sobre la masa eléctrica y magnética, satisfacen las siguientes ecuaciones:

Evidentemente, los dos sistemas de ecuaciones derivados para el sistema k deben representar lo mismo debido a que ambos sistemas de ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell-Hertz para el sistema K. Además, puesto que las ecuaciones de ambos sistemas coinciden, con la excepción de los símbolos que representan los vectores, deducimos que las funciones que aparecen en las posiciones correspondientes en las ecuaciones deben coincidir, con la excepción de un factor ψ(v) que es común para todas las funciones de uno de los sistemas y es independiente de ξ, η, ζ, pero eventualmente dependiente de v. Por lo tanto se cumplen las siguientes relaciones:

Si calculamos el inverso de este sistema de ecuaciones, primero resolviendo el sistema recién obtenido y, segundo, aplicando las ecuaciones a la transformación inversa (de k a K), caracterizada mediante la velocidad -v, y consideramos que los dos sistemas de ecuaciones obtenidos de esta manera deben ser idénticos, obtenemos:

Además, por razones de simetría tenemos[*]

por lo que

y nuestras ecuaciones toman la siguiente forma:

Para interpretar estas ecuaciones notemos lo siguiente: Supongamos que una carga eléctrica puntual tiene el valor «uno» en el sistema en reposo K, es decir, cuando se encuentra en reposo con respecto al sistema en reposo ejerce una fuerza de una dina sobre una cantidad de electricidad igual que se encuentra a una distancia de un cm. De acuerdo al principio de la relatividad, esta carga eléctrica también tiene el valor «uno» en el sistema en movimiento. Si esta cantidad de electricidad se encuentra en reposo con respecto al sistema en reposo, de acuerdo a la definición, el vector (X, Y, Z) es igual a la fuerza que actúa sobre ella. Si la cantidad de electricidad se encuentra en reposo con respecto al sistema en movimiento (por lo menos en el momento relevante), entonces la fuerza que actúa sobre ella, medida en el sistema en movimiento, es igual al vector (X’, Y’, Z’). Consecuentemente, las primeras tres ecuaciones presentadas arriba se pueden expresar mediante palabras de las siguientes dos maneras:

Si una carga eléctrica, puntual y unitaria se mueve en un campo electromagnético, además de la fuerza eléctrica sobre ella actúa una «fuerza electromotriz» que, si despreciamos los términos multiplicados por las potencias de v/V de orden dos y superiores, es igual al producto vectorial de la velocidad de la carga unitaria por la fuerza magnética, dividido por la velocidad de la luz (modo de expresión antiguo).

Si una carga eléctrica, puntual y unitaria se mueve en un campo electromagnético, la fuerza que actúa sobre ella es igual a la fuerza eléctrica presente en la posición de la carga, la cual se obtiene mediante una transformación del campo a un sistema de coordenadas en reposo con respecto a la carga eléctrica (modo de expresión moderno).

La analogía es válida para «fuerzas magnetomotrices». Vemos que en la teoría desarrollada la fuerza electromotriz juega solamente el papel de concepto auxiliar cuya introducción se debe al hecho de que las fuerzas eléctricas y magnéticas no existen independientemente del estado de movimiento del sistema de coordenadas.

Además es claro que ahora deja de existir la asimetría mencionada en la introducción que aparecía cuando considerábamos corrientes producidas por el movimiento relativo de un imán y un conductor. Adicionalmente, las cuestiones relaciones con el «sitio» de las fuerzas electrodinámicas electromotrices (máquinas unipolares) no tienen ningún sentido.

§ 7. Teoría del principio de Doppler y de la aberración

Supongamos que muy lejos del origen de coordenadas del sistema K se encuentra una fuente de ondas electrodinámicas, las cuales en la parte del espacio que contiene el origen se representan con un grado suficiente de aproximación mediante las siguientes ecuaciones:

Las magnitudes (X₀, Y₀, Z₀) y (L₀, M₀, N₀) son los vectores que determinan la amplitud de la onda y a, b, c, son los cosenos direccionales de las normales de la onda.

Queremos investigar la constitución de estas ondas cuando son examinadas por un observador que se encuentra en reposo con respecto al sistema en movimiento k. Aplicando las ecuaciones de transformación para las fuerzas eléctricas y magnéticas derivadas en § 6 y las ecuaciones de transformación para las coordenadas y el tiempo halladas en § 3, encontramos directamente las siguientes relaciones

donde hemos utilizado que

De la ecuación para w’ se deriva lo siguiente: Si con respecto a una fuente de luz de frecuencia ν, situada a una distancia infinita, un observador se mueve con velocidad v de forma tal que la línea de conexión «fuente de luz-observador» forma el ángulo con la velocidad de un observador asociado con un sistema de coordenadas que se encuentra en reposo con respecto a la fuente de luz, la frecuencia ν’ de la luz percibida por el observador esta dada mediante la ecuación:

Este es el principio de Doppler para velocidades arbitrarias. Para φ = 0 la ecuación toma la forma clara

Vemos que —a diferencia de la opinión común— para v = -∞ corresponde ν = ∞.

Si denominamos como φ’ el ángulo entre la normal de la onda (dirección del rayo) en el sistema en movimiento y la línea de conexión «fuente de luz-observador», la ecuación para a’ toma la forma

Esta ecuación representa la ley de la aberración en su forma más general. Si φ = π/2, la ecuación toma la forma sencilla

Todavía debemos encontrar la amplitud de la onda tal como aparece en el sistema en movimiento. Si denominamos como A y A’ a la amplitud de la fuerza eléctrica o magnética medida en el sistema en reposo y en movimiento, respectivamente, obtenemos la ecuación

que para φ = 0 se simplifica y toma la forma

De las ecuaciones desarrolladas se deriva que para un observador que se aproxima con velocidad V hacia una fuente de luz, dicha fuente deberla mostrar una intensidad infinita.

§ 8. Transformación de la energía de rayos de luz. Teoría de la presión de radiación ejercida sobre un espejo perfecto.

Puesto que A²/8π es la energía de la luz por unidad de volumen, de acuerdo al principio de la relatividad debemos considerar a A' ²/8π como la energía de la luz en el sistema en movimiento. Por lo tanto A’ ²/A² sería la relación entre la energía de cierto complejo de luz «medida en movimiento» y la «medida en reposo», si el volumen del complejo de luz medido en K fuera el mismo que el medido en k. Sin embargo, este no es el caso. Si a, b, c son los cosenos direccionales de la normal de la onda de luz en el sistema en reposo, a través de los elementos de superficie de la esfera

que se desplaza con la velocidad de la luz no pasa ninguna energía. Por consiguiente, podemos decir que esta superficie encierra permanentemente el mismo complejo de luz. Nos preguntamos cuál es la cantidad de energía que encierra esta superficie desde el punto de vista del sistema k, es decir, la energía del complejo de luz con respecto al sistema k.

Desde el punto de vista del sistema en movimiento la superficie esférica es una superficie elipsoidal cuya ecuación para el tiempo τ = 0 es

Si S es el volumen de la esfera y S’ el volumen del elipsoide, un cálculo sencillo muestra que

Entonces, si designamos a la energía encerrada por esta superficie como E, cuando se mide en el sistema en reposo, y como E’, cuando se mide en el sistema en movimiento, obtenemos la fórmula

que para φ = 0 se simplifica y transforma en

Es notable que la energía y la frecuencia de un complejo de luz varían con el estado de movimiento del observador de acuerdo a la misma ley.

Sea el plano de coordenadas ξ = 0 una superficie reflectora perfecta sobre la cual se reflejan las ondas planas consideradas en el último parágrafo. Nos preguntamos cual es la presión de la luz ejercida sobre la superficie reflectora, y la dirección, frecuencia e intensidad de la luz después de la reflexión.

Supongamos que el rayo incidente esta definido mediante las magnitudes A, cos φ, ν (con respecto al sistema K). Desde el punto de vista de k las magnitudes correspondientes son:

Si relacionamos el proceso con el sistema k, para la luz reflejada obtenemos

Finalmente, aplicando la transformación inversa para el sistema en reposo K para la luz reflejada encontramos que

La energía (medida en el sistema en reposo) que incide sobre el espejo por unidad de área y unidad de tiempo está dada evidentemente por A²(V cos φ - v). La energía que sale del espejo por unidad de área y unidad de tiempo es A''' ²/8π (-V cos φ''' + v). De acuerdo al principio de la energía, la diferencia entre estas dos expresiones corresponde al trabajo ejercido por la presión de la luz en una unidad de tiempo. Si igualamos este trabajo al producto Pv, donde P es la presión de la luz, obtenemos

De acuerdo con el experimento y con los resultados de otras teorías, a primer orden de aproximación obtenemos

Todos los problemas sobre óptica de cuerpos en movimiento se pueden resolver aplicando el método utilizado aquí. Lo importante es que la fuerza eléctrica y magnética de la luz, la cual resulta influenciada por un cuerpo en movimiento, se transforman a un sistema de coordenadas que se encuentra en reposo con respecto al cuerpo. De esta manera cualquier problema relacionado con óptica de cuerpos en movimiento se reduce a una serie de problemas sobre óptica de cuerpos en reposo.

§ 9. Transformación de las ecuaciones de Maxwell-Hertz considerando las corrientes de convección.

Comenzamos con las ecuaciones

donde

representa 4π veces la densidad eléctrica y (ux, uy, uz) es el vector de velocidad de la carga eléctrica. Si nos imaginamos las cargas eléctricas acopladas de forma invariable a pequeños cuerpos rígidos (iones, electrones), estas ecuaciones representan el fundamento electromagnético de la electrodinámica de Lorentz y de la óptica de cuerpos en movimiento.

Si estas ecuaciones son válidas en el sistema K y las transformamos al sistema k con la ayuda de las ecuaciones de transformación derivadas en § 3 y § 6, obtenemos las ecuaciones

donde

Puesto que —como se deduce del teorema de adición de velocidades (§ 5)— el vector (uξ, uη, uζ) no es nada más que la velocidad de las cargas eléctricas en el sistema k, de esta forma se demuestra que, en base a nuestros principios cinemáticos, el fundamento electrodinámico de la teoría de Lorentz para la electrodinámica de cuerpos en movimiento esta de acuerdo con el principio de la relatividad.

Además, quisiéramos anotar brevemente que de las ecuaciones desarrolladas se puede derivar con facilidad la siguiente ley importante: Si un cuerpo cargado eléctricamente se mueve de forma arbitraria en el espacio sin alterar su carga, cuando se observa desde un sistema de coordenadas que se desplaza junto con el cuerpo, entonces su carga también permanecerá constante cuando se observa desde el sistema en «reposo» K.

§ 10. Dinámica de un electrón (acelerado lentamente).

En un campo electromagnético se mueve una partícula puntual (que llamaremos electrón) provista de una carga eléctrica ε y sobre su movimiento suponemos lo siguiente:

Si el electrón se encuentra en reposo en un momento dado, en los instantes de tiempo subsiguientes el movimiento se desarrolla de acuerdo a las ecuaciones

donde x, y, z son las coordenadas del electrón y μ es su masa, siempre y cuando el movimiento sea lento.

En segundo lugar, supongamos que en cierto momento el electrón posee la velocidad v. Buscamos la ley de acuerdo a la cual se mueve el electrón en los instantes de tiempo inmediatos.

Sin alterar la generalidad del análisis podemos y queremos asumir que el electrón, en los momentos en que lo observamos, se encuentra en el origen de coordenadas y se mueve a lo largo del eje X del sistema K con velocidad v. Entonces es claro que en un momento dado (t = 0) el electrón se encuentra en reposo con respecto a un sistema de coordenadas que se desplaza paralelamente a lo largo del eje X con velocidad v.

De la suposición descrita arriba en relación con el principio de la relatividad es claro que desde el punto de vista del sistema k y para los momentos de tiempo subsiguientes (valores pequeños de t) el movimiento del electrón se describe mediante las ecuaciones

donde las magnitudes ξ, η, ζ, τ, X’, Y’, Z’ se refieren al sistema k. Si además fijamos que para t = x = y = z = 0 deba ser τ = ξ = η = ζ = 0, entonces tienen validez las ecuaciones de transformación de § 3 y § 6 de forma tal que obtenemos

Con ayuda de estas ecuaciones transformamos las ecuaciones de movimiento del sistema k al sistema K y obtenemos como resultado

Asumiendo el punto de vista común nos preguntamos cuál es la masa «longitudinal» y «transversal» del electrón en movimiento. Primero escribimos las ecuaciones (A) en la forma

y luego notamos que εX’, εY’, εZ’ son las componentes de la fuerza ponderomotriz que actúa sobre el electrón, vistas desde un sistema que en ese momento se mueve junto con el electrón a la misma velocidad. (Esta fuerza se podra medir, por ejemplo, mediante una balanza de resorte que se encuentre en reposo en este último sistema). Si ahora llamamos a esta fuerza simplemente «la fuerza que actúa sobre el electrón» y mantenemos la ecuación

masa × aceleración = fuerza

y, además, decidimos que las aceleraciones deben ser medidas en el sistema en reposo K, de las ecuaciones mencionadas arriba obtenemos

Naturalmente, si se utilizaran otras definiciones para la fuerza y la aceleración, encontraríamos otros valores para las masas. De aquí vemos que se debe ser muy cuidadoso cuando se comparan diferentes teorías del movimiento del electrón.

Nótese que estos resultados sobre la masa también son válidos para puntos materiales ponderables, porque un punto material ponderable se puede convertir en un electrón (en nuestro sentido), adicionándole una carga eléctrica tan pequeña como se quiera.

Ahora determinaremos la energía cinética del electrón. Si un electrón se mueve partiendo del reposo desde el origen de coordenadas del sistema K a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza electrostática X, es claro que la energía extraída del campo electrostático tiene el valor de ∫εX dx. Puesto que el electrón se debe acelerar lentamente y, por lo tanto, no debe emanar energía en forma de radiación, la energía extraída del campo electrostático se debe igualar a la energía de movimiento W del electrón. Teniendo en cuenta que durante todo el proceso de movimiento bajo consideración se puede aplicar la primera de las ecuaciones (A), obtenemos

Para v = V la energía W crece infinitamente. Como en nuestros resultados anteriores, velocidades superiores a la de la luz no tienen ninguna posibilidad de existencia.

En virtud del argumento mencionado arriba, esta expresión para la energía cinética también debe ser válida para masas ponderables.

Ahora enumeraremos las propiedades del movimiento del electrón que se derivan del sistema de ecuaciones (A) y que podrían ser sometidas a experimentos:

De la segunda ecuación del sistema (A) se deduce que una fuerza eléctrica Y y una fuerza magnética N actúan con la misma intensidad de deflexión sobre un electrón que se mueve con velocidad v, cuando se cumple que Y = Nv/V. Entonces vemos que de acuerdo a nuestra teoría es posible determinar la velocidad del electrón a partir de la relación entre la deflexión magnética Am y la deflexión eléctrica Ae, utilizando la ley

Esta relación puede ser probada en el experimento porque la velocidad del electrón también se puede medir directamente, por ejemplo, mediante campos eléctricos y magnéticos que oscilan rápidamente.

De la derivación de la energía cinética para el electrón se deduce que entre la diferencia continua de potencial y la velocidad v adquirida por el electrón debe existir una relación de la forma

Calculemos el radio de curvatura R de la trayectoria cuando existe (como única fuerza de deflexión) una fuerza magnética N que actúa de forma perpendicular a la velocidad del electrón. De la segunda de las ecuaciones (A) obtenemos

o

Estas tres relaciones representan una expresión completa para las leyes que debe cumplir el movimiento de un electrón, de acuerdo a la teoría presentada aquí.

Finalmente quisiera anotar que durante el trabajo realizado para analizar los problemas aquí presentados he contado con la fiel asistencia de mi amigo y colega M. Besso a quien agradezco por algunas sugerencias valiosas.

¿Depende la masa inercial de la Energía?[*]

A. Einstein

Berna, 27 de septiembre de 1905
Annalen der Physik nº17 (1905): 639-641

El resultado de la investigación sobre una electrodinámica que publiqué recientemente en estos anales[*], lleva a una conclusión muy interesante, que debería desarrollarse aquí.

He basado mi investigación en las ecuaciones de Maxwell-Hertz para el espacio vacío, junto con la expresión maxweliana para la energía electromagnética en el espacio, y, además, en el principio de que las leyes por las que se altera el estado de los sistemas físicos son las mismas cuando se expresan en dos sistemas de coordenadas distintos que se desplazan en movimiento uniforme y rectilíneo. (Principio de Relatividad). En base a estos conceptos obtuve el siguiente resultado:

Sea un sistema de ondas planas de luz expresado en el sistema de coordenadas (x, y, z) que posee energía E; sea φ el ángulo que la dirección de propagación de las ondas forma con el eje x del sistema. Si introducimos entonces otro sistema de coordenadas (ξ, η, ζ) moviéndose en traslación rectilínea y uniforme con respecto al sistema (x, y, z) y manteniendo su origen de coordenadas en movimiento a lo largo del eje x con velocidad v, entonces, esta cantidad de luz medida en el sistema (ξ, η, ζ) tiene la energía

donde c es la velocidad de la luz. Haremos uso de este resultado en lo que sigue.

Consideremos un cuerpo estacionario con respecto a (x, y, z) y sea E₀ su energía en dicho sistema. Sea también E₀* la energía de dicho cuerpo medida en el sistema (ξ, η, ζ) que se mueve con velocidad v.

Este cuerpo envía, en la dirección que forma un ángulo φ con el eje x, ondas planas de luz, de energía E/2 medida en el sistema (x, y, z), y simultáneamente, envía una cantidad igual de luz en la dirección opuesta. Mientras tanto, el cuerpo permanece en reposo con respecto al sistema (x, y, z). Por el Principio de constancia de la velocidad de la luz, las ecuaciones de Maxwell pueden aplicarse a este proceso (pues las ecuaciones de Maxwell contienen implícitamente el Principio de Relatividad).

Si llamamos Ep y Ep* a la energía no emitida, medida, respectivamente, en el sistema (x, y, z) y en el sistema (ξ, η, ζ) entonces, empleando la relación antedicha obtenemos:

Por sustracción, obtenemos la relación

Las dos diferencias que aparecen, de la forma E₀* - E₀ , Ep* - Ep tienen un significado físico sencillo. E₀* y E₀ son los valores de la energía del mismo cuerpo referida a dos sistemas de coordenadas que están en movimiento relativo, manteniéndose el cuerpo en reposo con respecto a uno de los dos sistemas (x, y, z). Así, está claro que la diferencia de energía, E₀* - E₀ , Ep* - Ep , difiere de la energía cinética T del cuerpo con respecto al sistema (ξ, η, ζ) solo en una constante arbitraria C, que depende solo de la elección arbitraria de las constantes aditivas para las energías E₀* y E₀. Por tanto, podemos anotar:

donde la constante C no cambia durante la emisión de luz. Tenemos entonces

La energía cinética del cuerpo con respecto al sistema (ξ, η, ζ) disminuye como resultado de la emisión de luz, y la magnitud de esta disminución es independiente de las propiedades del cuerpo. Es más, la diferencia T₀ - Tp disminuye con la velocidad. Podemos desarrollar la anterior expresión, desechando aproximaciones de cuarto orden:

y de esta ecuación se sigue inmediatamente que si un cuerpo emite energía E en forma de radiación, su masa disminuye la cantidad m = E/c². Evidentemente, el hecho de que la energía que emite el cuerpo se convierta en radiación no impide que lleguemos a la conclusión de que la masa de un cuerpo es la medida de su contenido energético. Si la energía cambia en una cantidad ΔE, la masa cambiará en el mismo sentido que el cambio energético en Δm = ΔE/c². Si c = 3 × 10¹⁰ cm/s la energía se mediría en este caso en ergios y la masa en gramos.

No es imposible que en los cuerpos cuyo contenido energético varía (por ejemplo en las sales de radio), la teoría pueda ponerse a prueba con éxito.

Si la teoría se corresponde con los hechos, puede afirmarse, por tanto, que la radiación emitida modifica la masa del cuerpo emisor.

ALBERT EINSTEIN, Ulm (actual Alemania), 1879 - Princeton (EE. UU.), 1955. Físico alemán nacionalizado estadounidense, ganador del premio Nobel de Física y famoso por ser el autor de la teoría de la relatividad (general y especial) y por sus hipótesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el científico más conocido del siglo XX.

Notas

Primer artículo, publicado en Annalen der Physik, nº 17, con fecha de 17 de marzo de 1905, páginas 132-148.

A partir de 1887, con los trabajos de Heinrich Hertz, se habían descubierto algunos hechos sorprendentes que se denominaban efecto fotoeléctrico y que hasta la publicación de este artículo nadie había podido explicar: la emisión de electrones por un metal cuando sobre él incidía radiación luminosa, ya sea en el visible o en el ultravioleta; la fotoconductividad o aumento de la conductividad eléctrica de un material cuando se produce la incidencia de esta radiación; y, también, el denominado efecto fotovoltaico, por el que parte de la energía de la luz incidente se convertía en energía eléctrica.

En este artículo el autor establece el concepto de cuánto o corpúsculo de luz (fotón), mostrando cómo, mediante esta idea, puede explicarse el problema del efecto fotoeléctrico, hasta entonces no resuelto. La explicación definitiva requeriría de los trabajos de Planck y de los físicos que comenzaron a desarrollar en esos años la incipiente Mecánica Cuántica.

Son muchísimas las aplicaciones prácticas que se derivaron de este descubrimiento en los años siguientes: células fotoeléctricas, rayo láser, etc.

Diagrama ilustrando la emisión de los electrones de una placa metálica, requiriendo de la energía absorbida de un fotón.

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Segundo artículo, publicado en Annalen der Physik, nº 17, con fecha de 11 de mayo de 1905, páginas 549-560.

Ya en el año 1827 un botánico escocés, Robert Brown, había descubierto que los granos de polen se movían al flotar en un líquido en reposo. Los granos que flotan presentaban un movimiento impredecible a pesar de que el líquido estaba en total reposo. Aunque se intentó explicar el fenómeno durante décadas, nunca se había conseguido una explicación aceptable del mismo. Al mismo tiempo, existía una enorme controversia sobre la existencia real de los átomos.

La explicación que da Einstein en este artículo de 1905 es que los granos de polen que vio Brown se mueven porque las partículas microscópicas que los forman colisionan, como si fueran bolas de billar, con las partículas que forman el agua. La existencia de esas partículas microscópicas, los átomos, quedaría, por tanto, probada. Explica, pues, el fenómeno haciendo uso de las estadísticas del movimiento térmico de los átomos individuales que forman el fluido. La explicación de Einstein proporcionaba una evidencia experimental incontestable sobre la existencia real de los átomos. Se convertiría, en definitiva, este artículo, en una de las bases de la Mecánica Estadística y de la Teoría Cinética de los Fluidos.

El Movimiento browniano se observa en partículas que flotan en un líquido en reposo.

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Tercer artículo, publicado en Annalen der Physik, nº 17, con fecha de 30 de junio de 1905, páginas 891-920.

Einstein en este artículo introduce la teoría de la relatividad especial o restringida, haciendo un estudio del movimiento de los cuerpos en ausencia de interacciones gravitacionales. Se resuelve el problema abierto con el experimento de Michelson y Morley, por el que se tuvo la certeza de que las ondas de luz se movían en ausencia de medio.

Algunas de las fórmulas fundamentales de este artículo ya habían sido introducidas por Hendrik Lorentz en 1903 a fin de dar una formulación matemática a una conjetura hecha por George Fitzgerald en 1894 a la vista del experimento de Michelson y Morley, según la cual tal experimento podría explicarse claramente si los cuerpos se contraen en la dirección del movimiento.

Las ideas básicas que se muestran en el artículo son la reformulación del principio de simultaneidad de Galileo, por el que las leyes de la física han de ser invariantes para todos los observadores que se mueven relativamente a velocidad constante; y que la velocidad de la luz es constante para cualquier observador y no depende del movimiento del foco emisor.

La teoría que plantea el artículo se denominaría más tarde «teoría especial de la relatividad» o «teoría de la relatividad restringida» para distinguirla de la «teoría de la relatividad general», que sería formulada por el mismo Einstein en 1915 y en la que se consideran ya los efectos de la gravedad y la aceleración.

Gráfico del Cono de luz que describe el espacio cuadrimensional: el eje horizontal (el plano) figura las tres dimensiones espaciales, y en el eje vertical la dimensión temporal.

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Cuarto artículo, publicado en Annalen der Physik, nº 17, con fecha de 27 de septiembre de 1905, páginas 639-641

Muestra cómo una partícula con masa posee un tipo de energía, «energía en reposo», distinta de las clásicas energía cinética y energía potencial. Deduce Einstein en el artículo que, llamando L a la energía emitida por un cuerpo, y c a la velocidad de la luz, la variación de masa del cuerpo es

m = L/c²

lo que implica que la energía E de un cuerpo en reposo es igual a la masa multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz.

E = mc²

Hoy se acostumbra a interpretar la fórmula de la energía como que la materia puede convertirse en energía, y, recíprocamente, la energía se convierte en materia. Habríamos de interpretar el principio de conservación de la energía afirmando la constancia en un sistema cerrado de la masa más la energía.

Las consecuencias de esto son harto conocidas, en particular, por sus extraordinarias consecuencias hemos de mencionar la producción de energía nuclear. La cantidad de energía liberada por la fisión de los núcleos atómicos se calcula como el producto de multiplicar el cuadrado de la velocidad de la luz por la diferencia entre la masa inicial y la masa de los productos de la fisión.

La fisión nuclear es la división del núcleo de un átomo y esta produce energía. Una vez fisionado el átomo, la suma de la masa de los fragmentos es menor que la masa del átomo original. Esta perdida de masa es la energía que se obtiene del proceso.

<<

Esta suposición equivale a la condición de que la energía cinética promedio de moléculas gaseosas y electrones son iguales entre sí en el equilibrio térmico. Con ayuda de esta última condición Drude derivó teóricamente, como es conocido, el cociente entre las conductividades térmica y eléctrica de metales. <<

M. Planck, Ann. d. Phys. 1, p99, 1900. <<

Esta suposición se puede formular de la siguiente manera. Desarrollamos en una serie de Fourier la componente z en un punto cualquiera del espacio considerado entre los límites temporales t = 0 y t = T (donde T es un tiempo muy grande en relación a todas las duraciones de las oscilaciones consideradas

donde Aν ≥ 0 y 0 ≤ αν ≤ 2π. Si se piensa que en un punto del espacio se hace esta expansión con cualquier frecuencia para puntos iniciales en el tiempo escogidos al azar, entonces se obtiene para las cantidades Aν y αν distintos conjuntos de valores. Existen entonces para la repetición de las distintas combinaciones de valores de las cantidades Aν y αν probabilidades (estadísticas) dW de la forma:

La radiación es entonces concebible como la más desordenada si

esto es, cuando la probabilidad de un valor determinado de una de las cantidades A o α, es independiente de los valores que poseen las otras cantidades A y α respectivamente. Mientras mejor se satisfaga la condición de que un par único de cantidades Aν y αν, depende de los procesos de emisión y absorción de grupos de resonadores particulares, mejor puede considerarse que la radiación es la más desordenada posible. <<

M. Planck, Ann. d. Phys. 4, p561, 1901. <<

Esta suposición es arbitraria. Asumiremos como válida esta sencilla suposición si los experimentos no nos obligan a abandonarla. <<

Si E es la energía del sistema, se obtiene entonces:

<<

P. Lenard, Ann. d. Phys. 8, p. 169, U. 170, 1902. <<

Si suponemos que un único electrón solo puede desprenderse de una molécula neutra por medio de un cierta cantidad de trabajo, no se le tiene que cambiar nada a la relación deducida; ahora se tiene que considerar como una suma de dos términos. <<

P. Lennard, Ann. d. Phys. 8. p. 165 u. 184. Taf. I. Fig. 2. 1902. <<

P. Lenard, l.c.p. 150 y p. 166-168 <<

P. Lenard, Ann. d. Phys. 12. p. 469. 1903 <<

J. Stark, Die Elektrizität in Gasen p. 57, Leipzig 1902 <<

En el interior de los gases, sin embargo, el potencial de ionización de iones negativos es cinco veces mayor. <<

En este párrafo, se asume que el lector está familiarizado con el artículo del autor acerca de «Fundamentos de la Termodinámica» (Ann. d. Phys., 9, p. 417, 1902; 11, p. 170, 1903). Sin embargo, para entender las conclusiones del presente artículo no se requiere de conocimiento previo del artículo citado ni del conocimiento completo del presente párrafo. <<

A. Einstein, Ann. d. Phys., 11, p. 170, 1903. <<

Cf. e.g. G. Kirchhoff, Lectures on Mechanics, Lect. 26, § 4. <<

Aquí no se discutirá la imprecisión que se encuentra implícita en el concepto de simultaneidad de dos eventos en (aproximadamente) el mismo lugar y que de igual manera se debe conciliar mediante una abstracción. <<

En este caso «tiempo» significa «tiempo del sistema en reposo» y simultáneamente «indicación del reloj en movimiento que se encuentra en la posición que estamos considerando». <<

Es decir, un cuerpo que posee forma de esfera cuando se examina en reposo. <<

Por ejemplo, si X = Y = Z = L = M = 0 y N ≠ 0, es claro por razones de simetría que cuando v cambia su signo sin alterar su valor numérico, entonces Y' también debe cambiar su signo sin alterar su valor numérico. <<

A. Einstein, Ann. d. Phys. 17. p. 891. 1905. <<